Комбинации Мы иногда делаем выбор из множества без учета порядка . Такой выбор называется комбинацией. Если вы играете в карты, например, вы знаете, что в большинстве ситуаций порядок, в котором вы держите карты, не имеет значения. Пример 1 Найдите все комбинации 3-х букв, взятых из набора в 5 букв {A, B, C, D, E}. РешениеЭти комбинации следующие: {A, B, C}, {A, B, D}, {A, B, E}, {A, C, D}, {A, C, E}, {A, D, E}, {B, C, D}, {B, C, E}, {B, D, E}, {C, D, E}. Существует 10 комбинаций из трех букв, выбранных из пяти букв. Когда мы находим все комбинации из набора с 5 объектами, если мы берем 3 объекта за один раз, мы находим все 3-элементные подмножества. В таком случае порядок объектов не рассматривается. Тогда, {A, C, B} называется одним и тем же набором как и {A, B, C}. Подмножество Множество A есть подмножеством B, и означает что A это подмножество и/или совпадает с B если каждый элемент A является элементом B. Элементы подмножество не упорядочены. Когда рассматриваются комбинации, не рассматривается порядок! Комбинация Комбинация, содержащая k объектов является подмножеством, состоящим из k объектов. Мы хотим записать формулу для вычисления число сочетаний из n объектов, если взято к объектов одновременно. Обозначения комбинации Число сочетаний из n объектов, если взято к объектов одновременно, обозначается nCk. Мы называем nCk число сочетаний. Мы хотим записать общую формулу для nCk для любого k ≤ n. Во-первых, это верно, что nCn = 1, потому что множество с n элементами имеет только одно подмножестов с n элементами, есть само множество. Во-вторых, nC1 = n, потому что множество с n элементами имеет только n подмножеств с 1 элементом в каждом. Наконец, nC0 = 1, потому что множество с n элементами имеет только одно подмножество с 0 элементами, то есть пустое множество ∅. Чтобы рассмотреть другие сочетания, давайте вернемся к примеру 1 и сравним число комбинаций с числом перестановок. Обратите внимание, что каждая комбинация из 3-х элементов имеет 6, или 3!, перестановок. 3! • 5C3 = 60 = 5P3 = 5 • 4 • 3, so . В общем, число сочетаний из k элементов, выбранных из n объектов , nCk раз перестановок этих элементов k!, должно быть равно числу перестановок n элементов по k элементов: k!.nCk = nPk nCk = nPk/k! nCk = (1/k!).nPk nCk = Комбинации k объектов из n объектов Общее число комбинаций к элементов из n объектов обозначается nCk, определяется (1) или nCk = (2) nCk = , Другой тип обозначения для nCk это биноминальный коэффициент . Причина для такой терминологии будет понятна ниже. Биноминальный коэффициент Пример 2 Вычислите , используя формулы (1) и (2). Решение a) Согласно (1), . b) Согласно (2), Имейте в виду, что Пример 3 Вычислите не означает n/k. и . Решение Мы используем формулу (1) для первого выражения и формулу (2) для второго. Тогда используя (1), и испоьлзуя формулу (2). , , Обратите внимание, что , и используя результат примера 2 дает нам . Отсюда вытекает, что число 5-ти элементного подмножества из множества 7 элементов то же самое, что и число 2-элементного подмножества множества из 7 элементов. Когда 5 элементов выбираются из набора, они не включают в себя 2 элемента. Чтобы увидеть это, рассмотрим множество {A, B, C, D, E, F, G}: В целом, мы имеем следующее. Этот результат дает альтернативный способ вычисления комбинации. Подмножества размера k и размера и nCk = nCn-k Число подмножеств размера к множества с n объектами такое же, как и число подмножеств размера n - к. Число сочетаний k объектов из множества n объектов, такое же как и число сочетаний из n объектов, взятых одновременно. Теперь мы будем решать задачи с комбинациями. Пример 4 Мичиганская лотерея. Проводящаяся в штате Мичиган два раза в неделю лотерея WINFALL имеет джек-пот, который, по крайней мере, равен 2 млн. долларов США. За один доллар игрок может зачеркнуть любые 6 чисел от 1 до 49. Если эти числа совпадают с теми, которые выпадают при проведении лотереи, игрок выигрывает. (Источник: Мичиганская лоттерея) a) Сколько возможных комбинаций из 6-ти чисел в этой лотерее? б) Предположим, что 10 минут у Вас идет на то, чтобы купить лотерейный билет и зачеркнуть 6 чисел. Сколько лотерейных билетов вы можете купить за 4 дня? c) Сколько людей вы должны были бы нанять на 4 дня, чтобы купить билеты со всеми возможными комбинациями и быть уверенным, что вы выиграете? Решение a) Здесь нет порядка чисел. Вы зачеркиваете любые 6 чисел от 1 до 49. Тогда, число возможных комбинаций равно b) Во первых, мы посчитаем число минут в 4 -х днях: 4days • (24 ч/1 день).(60 мин/1 ч) = 5760 мин. Тогда, вы могли бы купить 576 билетов за 4 дня. c) Вам необходимо было бы нанять 13,983,816/576, или около 24278 человек чтобы купить билеты со всеми возможными комбинациями для гарантированного выигрыша. (С условием, что билеты можно покупать 24 часа в сутки.) Пример 5 Сколько комитетов может быть сформировано из группы 5-ти губернаторов и 7-ми сенаторов, если каждый комитет состоит из 3-х губернаторов и 4-х сенаторов? Решение Три губернатора могут быть избраны 5C3 путями и 4 сенатора могут быть избраны 7C4 путями. Если мы используем фундаментальный метод подсчета, то получим, что число возможных комитетов равно