shpargalka po vysshey matematike

СВ-ВА СТЕПЕНЕЙ
ОСНОВ. Ф-ЛЫ тригоном.

1 
рад .; 1 рад . 57  ;
180
180 

Nрра .
n;
  

180 
x x
2 x 1 2 x 1
a a
a
 a;   
 b  bx
xn n x
a  a ; a n a x  a n  x 
x n a  xn a ;
an
s in ( x )  s i n x ; s i n x  2k s i n x
co s x co s x ; co s x  2k co s x
 a  x n 
t an  x   t an x; t an(x  2k )  t an x
co t  x   co t x; cot (x  2k )  co t x
x ab  x a x b ;  ab  x  a x b x
sin 2   cos 2  1; tan  
n
n
n a  a ;  a x  a  xn 
b nb  
a x
sin 2  2 sin  cos  ; tan 2 
sec 1 cos ;cosec 1 sin; tan cot 1
1
; a log a b b
ax
  n; log c ab   log c a  log c b; log a b
c


1
cos     cos    
2
1
cos  cos  
cos      cos    
2
1
sin  cos  
sin      sin    
2
2 tan 

 c log a b

sinx1, x 2n
2
1
cos x1, x  2n
sin
0
cos
1
3
2
tan
0
3
3
cot
-
3
tan   tan 
cot   cot 
 C ,
 sin 
cot 
2 1cos

sin
tan 2  1cos ;
 1cos
cot 2  sin 
Ф-лы сокр. умнож-я,
квадратное ур-ние.
ax 2  bx  c  a  x x1  x x2 
b
a 2 b 2  a  b  a  b  D  0 корень1, x  
2a
 ab 
2
 a 2  2 ab  b 2
 ab 
3
 a 3  3a 2b  3ab 2  b3
3

3
a b
  ab 
D  0 нет корней ;
a 2  ab  b 2
ax
2



 
 
;
; a  1;1    ;
; a 
2 2
2 2
b 2
c ;
2

c
 c  0  x1, 2    ;
a
б  arcsin  sin 

 
в  arcsin   a    arcsin a
b 1;1 ;   0 ;  ;
b  ;   0 ,

  ,    0 ; 
г
f x  x
f x 
1
; F  x   ln 1
x
x
x
ax
f x   a ; F x  
ln a
x
f x  
f x  
1
sin 2 x
; F  x    cot x
1
cos 2 x
; F  x   tan x
f  x   cos x; F  x   sin x
f x   sin x; F x    cos x
f x  
f x  
1
1 x 2
1
1 x
2
; F  x   arcsin x
; F x   arc cot x
b
b
S   f  x dx  F  x   F b   F a 
a
a
методы интегрирования:
1)   ax  b dx 
b
,
если x   t    f  x dx    t  t dt
4)интегрир-ние по частям:  udv  uv   vdu
ax

 P n  x e dx  U  P  x 
n
Класс1  P n  x sin axdx 
многочлен


x


cos
ax

dx
 Pn

 P n  x ln xdx U ln x
Класс2  Pn  x arcsin xdx U arcsin x
 Pn  x arctan xdx U arctan x
b
a
d
d
c
ax
ax
 U e
 e  sin xdx  U  sin x
ax

e

cos

x

dx

 U  cos  x
S    f  x   x dx
a
x  0 , S     x dx
1
 f  ax  b d  ax  b 
a
2)  u  v  w dx   udx   vdx   wdx
3)правело подстановки:
Класс3
y  0, S   f  x dx
cot
 arc
arccos b  0 ,   1чет .; b  0 ,   2 чет .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА.
x
; F x  
r 1
f x   e ; F  x   e

а  cos  arccos b   b ,  b 1;1
б  arccos  cos 
S    f  y   y dx
c
12 
u
 c ,  a  1
a 1
5 
u2
15  
du
ln u  c
u
16  
u
a
6   au du 
c
ln a
u
7   e u du  e  c
du
cos 2 u
6)Метод отщепления:  sin
  sin
2n
x  cos
m
2 n 1
x  cos

tan
b
a


sin 2 x
1
1 x2
1
1 x 2
 1

1 x 2
1

1 x2
2
2 

 R  x , a  x dx


2
sin x   , cos x   9)Ф.преобр-ия произведен.
в сумму.10)Интегр. иррац-тей. Алгеб. постанов.
2
2 

 R  x , a  x dx



ax b
n
ax  b 
 dx , 
t
 R  x , n

cx
d
cx

d


n

V тела вращен.
кривол. трапец.
b
V     f 2  x dx
a
2
2 

 R  x , x  a dx


n
Длина дуги кривой заданной: параметрами
.ур-ем: y  f  x , a  x  b x  x t , y  y t 
b
2
S   1 f ,  x   dx


a

S  

1
n n u n 1
,
u
au ,  au ln a  u ,
eu ,
u
 e u
ln u ,
1 ,
u
u

sin u ,
,
1
,
u
u ln a

 cos u  u
x t  y t  dx
,
2
,
2



















,
cos u ,   sin u  u ,
tan u ,
1

cot u ,

1
8)Ф-ы понеж порядка: sin x  cos x  1 2 sin 2 x
2

cos 2 u
arcsin u ,
arccos u ,
u
,
1
,
u
sin 2 u
u,

1u 2

 u,
1u 2
1
,
u
1u 2
arc cot u ,   12 u ,
1 u
arctan u ,

11)Тригонометрическая подстановка.
Вид интеграла Подстановка Треуг.
x
2t
1 t 2
2 dt
 t , sin x 
; x  2 arctan t ; dx 
.
2 , cos x 
2
1 t
1 t 2
1 t 2

V   S  x dx
arc cot x ,
7)Универс-яподстановка для  R sin x ,cos x dx :
 R x , ax  b dx ,  ax  b  t
V тела через S
попереч. сечения
2
xdx 
cos 2 x

arctan x ,
n
n u ,
1
,
u
2 u
1

arcsin x ,
x  sin x  dx    1 cos x cos m d cos x 
2

log a u ,
  sin x
x  sec x  1, cot x  cos ecx  1
m
x
1
x ln a

arccos x ,
2
 e
tan x , 
cot x ,
 u ,
n
ln x ,  1
x
sin x  ,  cos x
 
2

2 x
n x n 1
log a x ,
22   cot u  du  ln sin u  c
5)Интегралы вида:
2
 R  tan x dx , z  tan x , tan
1
1
e x ,
  cot u  c 21  tan u du   ln cos u  c
 tan u  c


cos x ,
9   sin udu   cos u  c
11 
0
,
,
c u ,  u 
1

 ,
 
2 ;    c u
u

c
a x ,  a x ln a
 ln u  u 2  a 2  c
du
u n
20  
 ln tan 
c
cos u
2 u
sin 2 u
du
n x ,
1
a u
17   2 2  ln
c
a  u 2 a a u
8  cos udu sin u  c
du
 x ,
1
du
u a

ln
c
2a u  a
u 2 a 2
u 2 a 2
-
 
du
18 
-1
1
x,y

x
 arcsin u  c
1u 2
0
ф-лы диферин-ия (производная)
,
 u a ,  au a 1u ,
x a  ax a 1
u
 arcsin  c
2
2
a
a u
du
u
19  
 ln tan  c
sin u
2
10  
,
du
arctan u  c
u 2 1
du
3
0
1
y

если  x  x t ,  y x  t
xt
 y  y t .
du
14  
1
,
u , v  v ,u  c
u 
  
;
v2
v
u
du
1
u
 arctan c
a
u 2 a 2 a
13 
1
2
2
2
1
,
,
 0 , C  const; uv ,  u v  v u ; cu ,  c u ,
,
если u  u  x ,  du  u dx
1
  c
u
du
4
sin: a  0 , 1чет .; a  0 ,  4 чет .
 tan:
a  0 , 1 чет .; a  0 ,  4 чет .
2
x bxc 0x  x b; x x c
1 2
1 2
r  1
x
du
3 
 2 u c
u
 
 ,     ;
2 2
в  arccos   b     arccos b
r 1
,
2   u a du 
а  sin  arcsin a   a ,  a 1;1
b
c
2
ax  bx  c  0  x1  x2   ; x1x2 
a
a
ПЕРВООБРАЗНАЯ
f  x   k ; F  x   kx
u
u
a 1
arccos b    cos   b  arc cot b  

b
x  bx  c  0  x1, 2  
2
,
1   du  u  c
г
2
 y
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ.

b  D
2a
x
arcsin a    sin   a  arctan a  
 
ax 2  bc  c  o; D  0 корня 2, x1, 2 
,
ОБРАТНЫЕ ТРИГОН. Ф-ЦИИ
D  b 2  4 ac
где x1 , x2  корни уравнения
если : y  y u , u  u  x   y
3
2
,
1
,
,
,1
 1, x  arg; u  v  w ,  u  v  w     2
x
x
 x ,

1cos
cot 
2
1cos
 1cos
tan 
;
2 sin 
2
2
ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
y
Производная сложной функции
1
2
90 180


2
0
1
3
cos     cot     sin     tan    


1cos
cos 
2
2

1cos
tan 
;
2
1cos
cosx1x2n
1
log a b  log a b n  log a n b ; lg e  0 , 4343 ; ln 10  2 , 3
n


Ф-ции половинного аргумента

1cos
sin 
;
2
2

cosx0x n
2

sinx1x 2n
2
0
Формулы произведения.
sin  sin  
tan  tan  
sinx  0  x  n
1
m
1
m
1
log a b ; log a n b 
log a b ;  log a b  log a b  log a
n
n
b
log a n b 
1 cos 2
1 cos 2
sin 2  
; cos2  
2
2
АРГУМЕНТЫ.
45
60


3
4
30

6
ф-лы понижения степен.
1 tan 2 
Частн.случ.
log c b
1
a
k
; log a b 
; log c    log c a  log c b; log a b  log a k b
log b a
log c a
b
log a b 
tan   tan 
tan    
1 tan  tan 
 2 cos 2  1
log b
lg b
ln b
a a  b;10
 b; e
 b; loga a  1; loga 1  0; ln e  1; ln 1  0;
n
co s   co s cos  s in s in 
cos 2  cos 2   sin 2  1 2 sin 2  
1 tan 2  1 cos 2  ;1 cos 2  1 sin 2 
ЛОГАРИФМ log a b  x ; a x  b ; x b  a a , b  0 
lg 10 n  n; lg 10
s in   si n cos   co s s in
Ф-лы двойного угла.
sin 
cos 
; cot  
cos 
sin 
ФУ
НКЦИ
Я
Формулы сложения
 
 
sin  sin   2 sin
cos
2
2
 
 
sin  sin  2 sin
cos
2
2
 
 
cos   cos  2 cos
cos
2
2
    
cos  cos   2 sin
sin
2
2
sin    
tan   tan  
cos  cos 
b
c
b
s in   ; cos   ; tan  
a
a
c
x
2x
2x 2x
n
a  a 2x  a ;a n  ax
ax
ТРИГОНОМЕТРИЯ:
Ф-лы суммы и разности.
c
b
c
s in  ; cos  ; t an 
a
a
b
1
1
0
a  a ; a  1; a x  x a ;

x  a tan t , 

adt
dx 
, 
cos 2 t

a 
a2  x2 
.
cos t 
x  a sin t ,


dx  a cos tdt , 
a 2  x 2  a cos t 
a

x
,

cos t
a sin tdt 
dx 
,

cos 2 t

2
2
x  a  a tan t 

tan t 
x
a
sin t 
x
a
cos t 
a
x
S кривол.сектора в
полярных координ.
S 
1  2
  r  d
2 