Кузьмичев Сергей Дмитриевич 1 Содержание лекции №4 1. Постановка задачи о дифракции. 2. Границы применимости геометрической оптики. Волновой параметр. Дифракционные явления при различных значениях волнового параметра. 3. Принцип Гюйгенса-Френеля. 4. Дифракция Френеля на круглом отверстии. Зоны Френеля. Зонная пластинка. 5. Дифракция Френеля на диске. Пятно Пуассона. 6. Линза. Постановка задачи о дифракции Дифракция волн — совокупность явлений, в которых проявляются отклонения от законов геометрической оптики при распространении волн в неоднородных средах (например, при наличии препятствий). Она представляет собой универсальное волновое явление и характеризуется одними и теми же законами при наблюдении волновых полей разной природы. Постановка задачи о дифракции • • • • • Падающая волна Экран с отверстием Плоскость наблюдения Граничные условия Метод расчёта искомого поля Приближенные граничные условия Кирхгофа fS x, y, z 0 в точках, принадлежащих отверстию; f x, y, z 0 0 в точках, закрытых непрозрачной частью тонкого экрана При условии наблюдается b λ, z λ удовлетворительно согласие с экспериментом t x, y f x, y, z 0 f S x, y, z 0 t x, y - функция пропускания Волновой параметр λ, b, z - длина волны, характерный размер препятствия, расстояние до плоскости наблюдения λz p b p 1 p 1 p 1 - волновой параметр - область геометрической оптики - область дифракции Фраунгофера - область дифракции Френеля Принцип Гюйгенса-Френеля Каждую малую площадку на плоскости экрана (или волновой поверхности) можно рассматривать как источник вторичной волны. Вторичные волны когерентны. Поле в любой точке наблюдения есть результат интерференции этих вторичных волн. Принцип Гюйгенса-Френеля (математическая формулировка) f P K 0 a0 x, y e S iφ0 x , y ikR e cos α dS R Круглое отверстие в непрозрачном экране (поле на оси) - экран освещается плоской нормально падающей волной с амплитудой a0 - радиус отверстия ρ0 много меньше расстояния z до точки наблюдения - точка наблюдения находится на оси отверстия cos α 1, 1 / R 1 / z f P K 0 a0 x, y e S iφ0 x , y ikR e a0 ikR cos α dS K 0 e dS R z S Круглое отверстие в непрозрачном экране R z ρ 2 2 1/ 2 z 1 ρ / z 2 ρ z , ρ 2z dS 2πρdρ 2 1/ 2 2 a0 ikR a0 e f P K 0 e dS K 0 z S z ikz e S z k 2 i ρ 2z 2πρdρ Круглое отверстие в непрозрачном экране ρ ξ , dξ 2 ρdρ 2 a0 e f P K0 z a0 λ e f P K0 i ikz ikz π e i k ξ 2z dξ 0 e k 2 ρ ρ0 2π, z1 , f z1 0 !!! 2 z1 2λ 2 0 ρ02 k 2 i ρ0 2z 1 Зоны Френеля Круглое отверстие в непрозрачном экране Точечный источник на оси Точка наблюдения на оси L1 a b, ρ a,b 2 2 ρ ρ L2 a 2 ρ 2 b 2 ρ 2 a b 2a 2b ρ ρ ρ 1 1 Δ L2 L1 2a 2b 2 a b 2 2 2 Круглое отверстие в непрозрачном экране (точечный источник на оси) ρ ρ ρ 1 1 Δ L2 L1 2a 2b 2 a b 2 λ ρm 1 1 Δm m , Δ 2 2 a b 2 λab ρm m ab ρm - радиус m-ой зоны Френеля Кольцевые зоны расположены в плоскости экрана 2 2 Круглое отверстие в непрозрачном экране (точечный источник на оси) λab ρm m ab Sодной зоны πρ 2 m 1 πλab πρ const ab 2 m Круглое отверстие в непрозрачном экране (точечный источник на оси) λab ρm m ab a (плоская волна) rm mλb Sодной зоны πλb const Круглое отверстие в непрозрачном экране (точечный источник на оси) Число открытых зон Френеля 2 ρ0 a b Sотв N Sодной зоны λab a ρ N πλb 2 0 a 1 м, b 1 м, λ 500 нм, m 1 λab ρ1 0 , 5 мм ab Круглое отверстие в непрозрачном экране (точечный источник на оси) ikR e iφ0 x , y f P K 0 a0 x, y e cos α dS R S C iφ0 x , y ik a0 x, y e e 2 2 a ρ ikR ik b 2 ρ 2 a 2 ρ2 e e 2 2 R b ρ b cos α , dS 2πρdρ 2 2 b ρ Круглое отверстие в непрозрачном экране (точечный источник на оси) Вклад одной зоны с номером m в поле в точке наблюдения Am P ρm e K 0C ik a 2 ρ2 b 2 ρ2 b a 2 ρ2 b 2 ρ2 ρm 1 ρm K m C ik a b Am P e e ab ρm 1 ik a b K mC e Am P ab kρ 2 1 1 i 2 a b 2π e ik b 2 ρ2 2πρdρ 2πρdρ, a,b 2 kρm 1 1 i 2 a b e 2 kρm 1 1 1 i 2 a b ρ Круглое отверстие в непрозрачном экране (точечный источник на оси) ik a b K mC e Am P ab 2π e ik 2 kρm 1 1 i 2 a b e 2 kρm 1 1 1 i 2 a b ρ 1 1 λ ρ 1 1 λ 2π m , m 1 , k 2 a b 2 2 a b 2 λ 2 m 2 m 1 ik a b K mC e Am P ab ik a b λk i 2π K mC e 4π m 2 e 1 1 e ik ab ik Am P Am 1 P im λk 2 Круглое отверстие в непрозрачном экране (точечный источник на оси) ik a b K mC e 4π m Am P 1 , ab ik K m K m 1 , K m K m 1 , Am 1 Am , Am 1 Am AΣ P Am P m 1 AΣ P A1 , 2 ik a b C e AΣ P ab ik a b 1 K1C e 2 ab ik k K1 e 2π 2π i π 2 4π 1 ik Векторная диаграмма 1 A0 P A1 P 2 Картина дифракции Френеля на круглом отверстии при разном числе открытых зон Зонные пластинки I0 A 2 0 - интенсивность света в точке наблюдения в отсутствии препятствий I1 A 2 A0 4 I 0 - интенсивность света в точке наблюдения 2 2 1 для отверстия, открывающего одну первую зону Френеля I n nA1 2nA0 4n I 0 2 2 2 - интенсивность n наблюдения для пластинки, открывающей зон Френеля света в точке первых нечётных Пятно Пуассона Пятно Пуассона — это яркое пятно, возникающее в области геометрической тени за непрозрачным диском, освещённым направленным пучком света. Это явление стало одним из веских подтверждений волновой теории света. Можно ли увидеть пятно Пуассона от Луны? RЛ RM Mλb , RЛ 1737 км, b 360000 км, RM 1 λ 0 , 5 мкм, a M 1 λb , R R λb 4 ΔR RM 1 RM 10 м RM 1 RM DЛ h 100 м ΔR невозможно увидеть 2 M 1 2 M b Линза и дифракция Френеля Линза уравнивает фазы волн, сходящихся в её фокус Спираль Френеля «разворачивается» в прямую линию Векторная диаграмма – прямая линия Rлинзы mλF , Вклад одной зоны πA0 Вклад m первых открытых зон I πD I 0 4 λF 2 л 2 1 πD mπA0 A0 4 λF 2 л