Метод интервалов для тригонометрических неравенств

Метод интервалов
Рассмотрим алгоритм решения тригонометрического неравенства
методом интервалов:
1. Приведите неравенство к виду, в котором в одной его части стоит
нуль, а другая его часть (например, левая) представлена в виде
произведения.
2. Определите нули и точки разрыва функции, стоящей в левой
части неравенства.
3. Расставьте на единичной окружности все найденные значения.
4. Определите знак выражения, стоящего в левой части, на любом
из полученных промежутков. Для этого:
а) возьмите произвольное число  из данного интервала и не
совпадающее ни с одним из ранее полученных чисел;
б) подставьте число  в левую часть неравенства и определите знак
получившегося выражения.
5. Поставьте на этом интервале контрольную точку X следующим
образом:

если выражение получилось больше нуля, то X ставится вне
окружности;

если выражение получилось меньше нуля, то X ставится
внутри окружности.
В приведенных ниже примерах точка X обозначена звездочкой .
6. Начиная с точки X , проведите плавную линию так, чтобы она
проходила через все отмеченные точки последовательно в порядке обхода
единичной окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки, линия
должна вернуться в точку X .
7. Если серии решений дают кратные корни, то надо помнить, что
корень четной кратности не меняет знака выражения, поэтому точка
четной кратности не дает возможность волнообразной линии, идущей от
точки X , перейти в иную область.
8. Определите нужные участки конфигурации, которую образовала
проведенная линия. Для этого:
а) если выражение, стоящее в левой части неравенства, больше
нуля, то выбираем участки фигуры, лежащие вне окружности;
б) если выражение, стоящее в левой части неравенства, меньше
нуля, то выбираем участки фигуры, расположенные внутри единичной
окружности.
9. Отметьте стрелками в положительном направлении те дуги
единичной окружности, которые принадлежат выбранным участкам.
Эти дуги соответствуют множеству решений неравенства.
1. Решите неравенство: sin 2 x  sin 3 x  0 .
Решение:
5x
 x
2sin     cos
0
2
2


x
5x
sin  cos  0
2
2
Введем новую переменную:
x
t
2
sin t  cos 5 t  0
sin t  0
 cos 5 t  0


t   n

t     k
 10 5
k, n  
Найдем серии решений:
1)
2)
n0
t 0
n 1
t 
k 0
t

10
k 5
t
11
10
k 1
t
  3
 
10 5 10
k 6
t
13
10
k 2
t
k 7
t
3
2
k 8
t
17
10
k 9
t
19
10
k 3
k 4

2
7
t
10
t
9
10
y
7
10
   3 
Выберем     ;

4  10 10 
sin

5
 cos
0
4
4
9
10


2
3
10 
10
X
19
10
11
10 13
10
0
3
2
x
17
10
  3 
Из рисунка видно, что решение  ;
 повторится через  , это
 10 10 
 11 13 
  7   9

интервал 
;
 , решения  ;
   ;   через период
10 
 10
 2 10   10

3

17

19


 

 будут интервалами  ;
; 2  .

10   10
 2

Следовательно, ответ можно записать в виде:
3

10   k  t  10   k

    n  t  7   n
2
10

9

 m  t   m
 10
k , n, m  
3

 5  2 k  x  5  2 k

x
7
Так как t  , то:   2 n  x 
 2 n

2
5

 9  2 m  x  2  2 m
 5
k , n, m  
3
7

 

О т в е т : x    2 k ;
 2 k      2 n;
 2 n  
5
5
5
 

 9


 2 m; 2  2 m  , k , n, m   .
 5



sin 3 x  cos  2 x  
6

2. Решите неравенство:
0.
sin 2 x
Решение:
Рассмотрим совокупность уравнений:
k

x  3
sin 3x  0


 cos  2 x     0   x     n


 
6
3 2



x  m
sin 2 x  0
k , n, m  

2
Отметим корни на окружности:
1)
2
x0
n0
k 0
)
k 1
k 2
k 3
x 
k 4
x
k 5
3)

3
2
x
3
x
n 1
n2
n3

3
5
x
6
4
x
3
11
x
6
x
4
3
5
x
3
m0
x0
m 1
x
m2

2
x 
m3
x
3
2
Помните, что эти точки
не являются решениями
неравенства!
y
2
  
3
Выберем     0;  .
6 
3
5


sin  cos
6
2
6 0

sin
  2
3
Проведем кривую знаков,
учитывая
кратность 4 2 
некоторых точек.
3

2

3
2
X
0 2
x
3
2
11
5 6
3
2

  5

О т в е т : x    2 k ;
 2 k     2 n;   2 n  
2
3
6

 

3
11

  5
  

    2 m;
 2 m     2 l ;
 2 l     2 t  ,
2
6

  3
  3

k , n , m, l , t   .