Для магнитной среды
𝐿𝐶0 = 𝜇0 𝜀0 𝐸
(1.5)
𝑈 + 𝐴𝑈 + 𝐵𝑈 = 𝑉
(1.6)
𝑈(𝑥, 𝑡) = (𝑉(𝑥,𝑡)
)
𝐽(𝑥,𝑡)
−1
𝐴 = (0𝐿−1𝐶 0 ) 𝐵 = (0𝐶
−1 𝐺
0
)
𝐿−1 𝑅
Однопроводная искажаемая линия
(𝑉𝐽𝑡)
𝑡
=
0
1
𝐶
(1 ) (𝑉𝐽 𝑘 )
𝑘
0
𝐿
𝐺
0
𝐶
𝑅
0
𝐿
𝑝
+ ( ) = (1)
𝑞
𝐽 + 𝐶𝑉𝑡 + 𝐺𝑉 = 0
{𝑘
𝑉𝑘 + 𝐿𝐽𝑡 + 𝑅𝐽 = 0
(2)
𝑉(𝑥, 0) = 𝜑(𝑥, 0)
𝐽(𝑥, 0) = 𝛹(𝑥, 0)
𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑒 𝜆𝑡 𝑉(𝑥, 𝑡)
𝐽(𝑥, 𝑡) = 𝑒 𝜆𝑡 𝑗(𝑥, 𝑡)
𝜆=−
𝑅𝐶+𝐿𝐺
2𝐿𝐶
𝑎2 𝑉𝑥𝑥 − 𝑉𝑡 + 𝜇2 𝑉 = 0
𝛿𝐽
{𝛿𝑥
𝛿𝑢
𝛿𝑥
+𝐶
+𝐿
𝛿𝑉
𝛿𝑡
𝛿𝐽
𝛿𝑇
𝐽1
𝐽 = (𝐽…2 )
𝐽𝑛
+ 𝐺𝑉 = 𝐽𝐹
+ 𝑅𝐽 = 𝑉𝐹
(1)
𝑉1
𝑉 = (𝑉
…2 )
𝑉𝑛
1
𝑎2 =
, 𝜇=
𝐿𝐶
𝑅𝐶−𝐿𝐺
2𝐿𝐶
𝑅𝐶 = 𝐿𝐺
𝑉(𝑥, 𝑡) =
𝑅
− 𝑡
𝑒 𝐿 [𝑓(𝑥
− 𝑎𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑎𝑡)]
𝑅
𝐽(𝑥, 𝑡) = 𝑒 − 𝐿 𝑡 [𝑓(𝑥 − 𝑎𝑡) − 𝑔(𝑥 + 𝑎𝑡)]
1
1
2
2
𝑓 = (𝜑 + 𝛹) , 𝑔 = (𝜑 − 𝛹)
1
𝐶 | = 𝜆2 − 1 = 0
𝐿𝐶
−𝜆
−𝜆
det(𝐴 − 𝜆𝐸) = |
1
𝐿
1
𝜆1 =
√𝐿𝐶
=𝑎
𝜆2 = −
1
√𝐿𝐶
= −𝑎
Матрица A диагонализируема, т.е. ∀ невырожденная матрица δ
𝐴′ = 𝑆 −1 𝐴𝑆
𝐿
1
𝐿
𝑆 = (−√𝐶
1
0
−√ ), 𝐴′ = (√𝐿𝐶
𝐶
0
1
0
−
1
)
√𝐿𝐶
𝑅𝐶−𝐿𝐺
𝐿𝐺 2
𝐴𝐵 − 𝐵𝐴 = (𝐿𝐺−𝑅𝐶
),
0
𝐿2 𝐶
𝑛
∑ 𝑐1𝑘
𝑘=1
−𝑐12
𝐶=
…
−𝑐1𝑛
(
−𝑐1𝑘
…
𝑛
∑ 𝑐2𝑘
…
𝑘=1
…
…
−𝑐2𝑛
…
−𝑐1𝑛
−𝑐2𝑛
…
𝑛
∑ 𝑐𝑛𝑘
𝑘=1
)
𝑛
∑ 𝑔1𝑘
𝑘=1
…
−𝑔1𝑛
…
𝑛
−𝑔12
𝐺=
−𝑔1𝑘
∑ 𝑔2𝑘
…
𝑘=1
…
…
−𝑔2𝑛
…
(
𝑅=(
−𝑔1𝑛
−𝑔2𝑛
…
𝑛
∑ 𝑔𝑛𝑘
𝑘=1
)
𝑟1 + 𝑟0
… 𝑟0
𝑟0
𝑟2 + 𝑟0 … 𝑟0 )
…
…
… …
𝑟0
𝑟0
… 𝑟0 + 𝑟𝑛
𝑙11
𝑙
𝐿 = ( 12
…
𝑙1𝑛
𝑙12 … 𝑙1𝑛
𝑙22 … 𝑙2𝑛
)
… … …
𝑙2𝑛 … 𝑙𝑛𝑛
Все матрицы симметричны и положительно определенные
𝜎
𝐺 = 𝐶 , (1.3)
𝜀
Где σ- эффективная проводимость земли
𝐿𝐶 = 𝐶𝐿 = 𝜇𝜀𝐸 , (1.4) для однородной среды