Методика формирования умения строить чертеж к стереометрической задаче
advertisement
Департамент образования и науки города Москвы Государственное автономное образовательное учреждение высшего образования города Москвы «Московский городской педагогический университет» Институт цифрового образования Кафедра высшей математики и методики преподавания математики Маслакова Екатерина Борисовна Методика формирования умения строить чертеж к стереометрической задаче КУРСОВАЯ РАБОТА Направление подготовки/специальность 44.03.01 Педагогическое образование Направленность (профиль) образовательной программы Математика (очная форма обучения) Руководитель курсовой работы: кандидат педагогических наук, доцент Савинцева Наталья Викторовна. __________________________ (подпись) Москва 2020 Оглавление Введение……………………………………………………………………………...3 1. Чертеж к стереометрической задаче…………………………………………5 1.1. Роль чертежа в стереометрической задаче……………………………5 1.2. Трудности, возникающие при построении чертежа к стереометрической задаче……………………………………………..8 2. Методические особенности формирования умения строить стереометрический чертеж………………………………………………….11 2.1. Методика формирования умения строить чертеж к стереометрической задаче на первых уроках геометрии в старших классах…………………………………………………………………11 2.2. Система упражнений, направленных на реализацию методики формирования умения строить чертеж к стереометрической задаче…………………………………………………………………..17 Заключение………………………………………………………………………….23 Библиография……………………………………………………………………….24 2 Введение В Федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования предметные результаты изучения области «Математика и информатика» включают следующие требования: «овладение геометрическим языком; развитие окружающего умения мира; использовать развитие его для описания пространственных предметов представлений, изобразительных умений, навыков геометрических построений» [1]. В старшей школе эти требования расширяются и, помимо вышеперечисленного, включают: «владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием» [2]. Если обобщать, то можно сказать, что в старших классах учащиеся должны активно использовать навыки пространственного мышления, на развитие которого в том числе нацелен курс стереометрии. Однако нередко на первых уроках геометрии в 10 классе преподаватели сталкиваются с недостаточной развитыми пространственными представлениями детей. Некоторые пути решения этой проблемы практикуются в разных школах, как, например, использование идей фузионизма при изучении геометрии в средней школе (данный подход частично представлен в учебниках Д.А. Александрова [3], [4], [6], [9], а его описание и примеры реализации отражены во многих работах педагогов разных лет [10], [11], [12]). Но в большинстве общеобразовательных учреждений ситуация складывается так, что ученики 3 года изучения геометрии «топчатся» на плоскости, а после перехода в старшие классы резко переходят к изучению фигур в пространстве. Удаление из программы общего образования курса черчения в том числе поспособствовало увеличению и усложнению работы учителей на первых уроках стереометрии. 3 Именно поэтому сейчас довольно актуальна проблема формирования умения учащихся строить чертеж стереометрических фигур, так как с каждым годом становится все больше возможностей для упрощения этого процесса вследствие информатизации и цифровизации образования [7], [21], а также видов наглядного материала, без которого невозможно полноценно сформировать пространственное мышление [16], [18]. Цель исследования: разработать систему задач и примеры упражнений, предназначенных для формирования умения строить чертеж к стереометрической задаче. Объект исследования: процесс обучения стереометрии в 10 классе. Предмет исследования: методика формирования умения строить чертеж к стереометрической задаче. Задачи: 1) изучить учебную и учебно-методическую литературу по данной теме; 2) определить роль чертежа в решении стереометрических задач и сложности, с которыми сталкиваются учащиеся при его построении; 3) рассмотреть теоретические основы формирования умений учащихся; 4) разработать рекомендации по использованию методики формирования умения строить чертеж; 5) разработать элементы системы упражнений для реализации методики формирования умения строить чертеж; 6) подвести итоги. Методы исследования: 1) анализ учебной, учебно-методической литературы; 2) анализ и синтез полученных данных. 4 1. Чертеж к стереометрической задаче 1.1. Роль чертежа в стереометрической задаче Умение применять полученные знания на практике – одна из основных целей изучения математики. Поэтому в обучении данной дисциплине значимую роль играет решение задач. Дело в том, что в процессе решения учащиеся могут посмотреть на используемые при этом математические понятия, теоремы, аксиомы, формулы, правила, геометрические фигуры с разных сторон, открыть новые способы их использования, в том числе и на практике в реальной жизни, что способствует расширению кругозора. С началом изучения школьного курса геометрии в 7 классе дети сталкиваются с новой для себя деятельностью: решением геометрических задач, в которых основными объектами являются геометрические фигуры – некоторые модели реальных предметов, связанных между собой различными отношениями. Решение практически любой геометрической задачи не обходится без построения чертежа. Поэтому важно с самого начала изучения новой дисциплины сформировать правильное понимание у учащихся его роли при решении геометрической задачи и отношение к нему. Так, удачно и корректно выполненный чертеж к задаче позволяет быстро отыскать ее решение или хотя бы указать направление поиска, в то время как некорректно составленный, наоборот, может поспособствовать увеличению времени решения, дав ложное представление об исследуемом объекте. Вместе с тем нельзя позволить детям воспринимать чертеж в качестве полного, истинного изображения исследуемой фигуры, потому что, в таком случае, увеличивается вероятность появления неточностей из-за ошибочной интерпретации данных. Еще более значимую роль играет чертеж к задаче в стереометрии. Помимо всего вышесказанного, в данном разделе геометрии от учащихся требуются навыки использования пространственного мышления, которое, зачастую, недостаточно развито у детей вследствие долгого периода решения геометрических задач на плоскости, из-за чего им может быть сложно перейти к 5 распознаванию проекций объектов трехмерного пространства и уж тем более к выполнению упражнений. В подтверждение этих слов можно привести описание ситуации из истории поступления на математический факультет Омского государственного педагогического института: «На письменном экзамене из пяти задач в билете одна была по стереометрии. Для примера приведем одну из них: «Площадь плоского сечения, проходящего через вершину правильной четырехугольной пирамиды и диагональ основания, равна Q. Боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом α. Определите объем пирамиды». При решении задачи большая часть абитуриентов допускала ошибки в выполнении чертежа, главным образом из-за слабо развитых пространственных представлений. Абитуриенты смешивали угол между пирамиды и плоскостью основания с углом, который образует ребро пирамиды с плоскостью основания или ребра пирамиды со стороной основания» [13; 5]. Данный пример в полной мере описывает ситуацию, сложившуюся в отношении решения проблемы недостаточной сформированности умения строить чертеж к стереометрической задаче, исходя из ее условия. Одним из первых шагов к ее решению является именно осознание роли самого чертежа в достижении требуемого в задаче результата учащимися. Выделим основные положения, которые наиболее конкретно характеризуют роль чертежа при решении стереометрической задачи. Итак, чертеж: несет значительную практическую значимость при решении задачи, что, в свою очередь: позволяет быстрее проанализировать условие; облегчает процесс поиска и установления зависимости между данными и искомыми элементами; уменьшает продолжительность процесса решения задачи; развивает как плоские, так и пространственные представления, воображение, т.е., в общем, мыслительную деятельность обучающихся; 6 несет особую методическую направленность, заключающуюся в облегчении понимания, усвоения и запоминания учениками материала, который дает учитель. Однако данные положения можно отнести только к корректно составленным чертежам. Определяются они следующими принципами (вне зависимости от вида изображения геометрических фигур): 1. изображение должно быть верным, то есть представляющим собой некоторую проекцию изображаемой фигуры (в зависимости от условия задачи проекция может быть разной); 2. изображение должно быть наглядным, то есть после него должно появиться четкое пространственное представление оригинала объекта; 3. изображение не должно иметь каких-либо лишних построений, не относящихся ни к теме урока, ни к самой задаче (отсутствие перегруженности рисунка лишними данными). Придерживаясь данных принципов, можно наиболее полно сформировать у учащихся представление об изучаемых объектах и, как следствие, подвести их к формированию грамотного представления о роли чертежа в решении стереометрической задачи. 7 1.2. Трудности, возникающие при построении чертежа к стереометрической задаче Ранее уже было сказано о сложностях, с которыми сталкиваются учащиеся во время начала работы с объектами трехмерного пространства, связанных с недостаточно развитыми пространственными представлениями детей (более подробно с методическими аспектами проблемы развития пространственного мышления школьников можно ознакомиться в статьях И.А. Бреуса [8] и Ю.И. Кузнецовой [15], а пример реализации в статье И.М. Смирновой [20]). И если раньше при наличии черчения как одного из основных предметов в школе данная проблема нивелировалась, то с момента, когда его убрали из курса, на учителей взвалилась ответственность по ее устранению. В данный момент педагогам зачастую приходится уделять большое количество времени на первых уроках геометрии в старших классах именно формированию пространственного мышления параллельно с умением строить чертеж к стереометрической задаче, на что уходит много сил и времени. Чтобы ускорить и упростить данный процесс, преподаватель должен знать, с какими трудностями может столкнуться ученик при построении изображения. В первую очередь важно понимать, из каких этапов состоит процесс построения чертежа к геометрической задаче. Исходя из анализа методической литературы, можно выделить следующие шаги: 1. мысленное представление комбинации геометрических фигур, которая соответствует условию задачи; 2. процесс построения изображения этой комбинации в соответствии с принципом наглядности (то есть наиболее наглядного); 3. нанесение на изображение символов (названия точек, прямых, плоскостей, углов, их величины (при необходимости), некоторые отношения элементов и т.д.); 4. запись в «Дано» тех условий задачи, которые не были отражены (отмечены) при выполнении двух предыдущих пунктов; 8 5. проверка соответствия чертежа к геометрической задаче ее условию; 6. (проводится по необходимости) выполнение дополнительных построений в случае, когда первоначальное изображение не позволяет полноценно составить план решения задачи. Важно понимать, что схема не всегда может помочь в поиске плана решения с первого раза. Причина тому заключается в следующем: существует много задач, в которых даже хорошо развитое воображение не способно дать полноценное представление о правильной конфигурации геометрических фигур в пространстве. И тогда только строгое, последовательное решение помогает определить наиболее приближенное к истине расположение тел или элементов тела. Также зачастую полезным бывает сделать новый чертеж и не зацикливаться только на одном изображении (с этим проблем не должно возникнуть при грамотно сформированном представлении о роли чертежа). Для детального разбора возможных трудностей следует дать некоторую классификацию геометрических задач. Если брать в качестве основания для дифференцирования размерность геометрических фигур, то можно выделить задачи: 1. с плоской конфигурацией геометрических фигур; 2. с конфигурацией фигур, выходящей за рамки плоскости (пространственной); 3. сформулированные для плоскости и пространства одинаково. Как видно, первая группа задач относится к планиметрии, поэтому мы не будем на ней останавливаться. О третьей группе скажем кратко, так как на первых уроках стереометрии они обычно не рассматриваются из-за более высокого уровня сложности: при анализе текста таких заданий учащиеся уже в самом начале должны определить, какое возможно расположение данных в условии элементов и насколько оно реализуемо на плоскости или в пространстве. Сформулируем некоторые проблемы, с которыми сталкиваются учащиеся при построении чертежа к задачам с пространственной конфигурацией: 9 2.1. Трудности в использовании сплошной линии и линии штриха для выделения «видимых» и «невидимых» деталей изображения (это задачи, в которых нужно построить чертеж многогранника или в которых необходимо учитывать особенности расположения плоскостей и прямых относительно друг друга); 2.2. Проблемы с пониманием того, как располагаются геометрические фигуры (более сложные, чем точки и прямые) и плоскости (проявляются в задачах на определение принадлежности одной геометрической фигуры или комбинации нескольких плоскости и на сечение геометрической фигуры плоскостью); 2.3. Сложности в рассмотрении различных вариантов расположения фигур, не лежащих в одной плоскости (может быть упущен один из вариантов вида конфигурации. Пример задачи: «Даны 4 луча с общим началом. Сколько различных трехгранных углов они определят?» [12, 72]); 2.4. Трудности при построении чертежа к задачам, в которых рассматривается некоторая комбинация стереометрических фигур (это наиболее сложные задания из четырех представленных групп. Без понимания того, как работать с тремя предыдущими видами, будет сложно осуществить процесс изображения данных условий). Проведенный анализ трудностей, возникающих при построении чертежа к стереометрической задаче, позволяет определить характер методической работы по их устранению, о которой будет рассказано в следующем параграфе. 10 2. Методические особенности формирования умения строить стереометрический чертеж 2.1. Методика формирования умения строить чертеж к стереометрической задаче на первых уроках геометрии в старших классах Умение строить чертеж к стереометрической задаче, как и любое другое математическое умение, формируется через соответствующий ему прием. Изучение приемов, в свою очередь, включает в себя определенные этапы, которые по-разному выделяются и описываются в зависимости от выбора методической литературы. Воспользуемся классификацией, представленной в учебно-методическом пособии под авторством педагогического коллектива МГПУ, и распишем некоторые этапы в соответствии с рассматриваемой темой. Итак, имеем следующие шаги формирования приема: 1. Введение приема, т.е. выявление тех действий (операций), которые войдут в прием, выстраивание их в определенной последовательности и фиксирование в виде инструкции, предписания, правила и т.д. В зависимости от контингента конкретного класса может происходить как в устной форме, так и с использованием некоторой системы задач в совокупности с некоторыми средствами наглядности. В зависимости от геометрических фигур будет разным. Например, введение приема построения произвольной пирамиды по учебнику А.Д. Александрова будет выглядеть следующим образом: - Выбрать произвольную плоскость α; - Построить произвольный многоугольник Q в данной плоскости; - Выбрать точку Р, не лежащую в плоскости α; - Соединить выбранную точку Р со всеми вершинами многоугольника Q [5, 50], [6]. Построение основных стереометрических фигур (точка, прямая, плоскость) обычно не вызывает сложностей. Однако важно давать не только 11 иллюстрации построения этих объектов, но и правила изображения их положения в пространстве относительно друг друга и правила изображения более сложных плоских фигур. Вот некоторые из них: Параллельные прямые в пространстве изображаются также, как и параллельные прямые на плоскости; Скрещивающиеся прямые изображаются как пересекающиеся (часто, чтобы показать, что прямые скрещиваются, изображается также и плоскость, в которой лежит одна из скрещивающихся прямых); Прямоугольный треугольник изображается как остроугольный, тупоугольный – как остроугольный или тупоугольный, остроугольный – как остроугольный (подобные правила также существуют и для других видов треугольников и многоугольников); Окружность изображается как эллипс; Прямая, перпендикулярная некоторой плоскости, которая лежит горизонтально, изображается вертикально. 2. Закрепление приема, которое осуществляется путем составления и решения системы дидактических задач (для рассматриваемой темы будет представлена позже); организация осознания, осмысления и закрепления каждого элемента, входящего в прием, и приема в целом; 3. Обучение учащихся путям переноса приема и нахождению нового приема (по образцу, с перестройкой исходных данных, с перестройкой самого приема). 4. Подведение учащихся к межпредметному обобщению приема [14, 97103]. Также целесообразно было бы разобрать этапы работы с задачей, однако, так как это не относится к нашей теме в должной степени, мы опустим этот момент (рекомендуем для этого ознакомиться с методической литературой, представленной в библиографии под номерами [14], [17], [19]) 12 Разберем более подробно второй этап формирования приема – закрепление. Как уже было сказано, для его осуществления учитель должен продумать и составить некоторую систему упражнений, в процессе выполнения которых учащийся отрабатывает и запоминает как отдельные элементы, так и сам прием. В отношении построения чертежа стереометрической фигуры также составляется некоторая система, которая на первых уроках может включать в себя задания следующего характера: - Анализ изображений геометрических фигур с целью определения их вида, выявления отношений составных элементов, их положения относительно взгляда наблюдающего (видимые и невидимые компоненты) и т.д.; - Достраивание изображения по уже имеющимся элементам до заданной пространственной фигуры; - Выделение отдельных фигур из общей конфигурации, представленной на рисунке; - Задачи на готовых чертежах (на выделение требуемых элементов, построение, определение отношения элементов фигуры между собой). Задания такого типа целесообразно использовать до введения алгоритма построения некоторых фигур в пространстве, так как они позволяют детям на примере шаблонов увидеть, как выглядят проекции пространственных фигур на плоскость. При этом важно учитывать следующие моменты: 1. Нельзя использовать один и тот же шаблон изображения геометрической фигуры. Конфигурация должна быть представлена с разных позиций. Так уменьшится вероятность того, что дети впоследствии столкнутся с проблемой непонимания, как изобразить необходимую фигуру, чтобы условия задания выполнялись. 2. На первых занятиях стоит уделить особое внимание наглядности изучаемого материала. То есть, к примеру, использовать на уроках реальные модели многогранников (развертки, гипсовые, пластиковые, каркасные и стеклянные модели и т.д.), показывать небольшие фрагменты мультимедиа, где многогранники и тела вращения показываются в 13 движении, использовать мобильные приложения и т.д. Это позволит сформировать начальные представления о стереометрических фигурах и их изображении на плоскости и поспособствует развитию пространственного мышления учащихся. После проведения пары занятий в процессе работы над вышеперечисленными заданиями наступает момент, когда ученики должны начать уже самостоятельно строить изображения требуемых фигур. Вначале преподаватель сам делает чертежи к основным понятиям, аксиомам, правилам, теоремам и свойствам, параллельно с этим комментируя свои действия. При этом чертеж должен строиться поэтапно, чтобы ученики могли видеть, в какой последовательности появляется каждый элемент (для этого может быть полезным использование техники «разбиения на кадры», когда каждый новый элемент рисунка появляется на новом изображении и выделяется цветом, отличным от основного), так как это «соответствует развитию мысли при доказательстве теоремы или решении задачи» [13, 67]. Построение чертежа к задаче зачастую включает в себя этапы, которые также являются многошаговыми. Приведем пример. Имеется задача: «Дан правильный тетраэдр. Вычислите угол α, образованный его гранями». При построении чертежа к данной задаче последовательность действий может быть следующей: - построить изображение правильного тетраэдра; - доказать равенство всех углов, образованных гранями правильного тетраэдра; - построить изображение линейного угла одного из двугранных углов правильного тетраэдра. В данном случае первый этап также может быть разбит на шаги. Однако, так как фигура, представленная в условии задачи, является одной из основных при изучении многогранников, то последовательность ее построения должна быть известна учащимся к моменту знакомства с данной задачей. Поэтому во время описания этапов построения формулировкой, представленной выше. 14 чертежа можно воспользоваться Перед созданием изображения ученики могут задавать вопросы для конкретизации условий задачи. Например: Плоскость какого угла / грани / сечения расположена параллельно / перпендикулярно плоскости чертежа? Какие элементы фигуры (углы, ребра, грани и т.д.) изображаются наиболее точно, без искажений? Как получить тот или иной элемент фигуры в ходе построения чертежа? Чертеж, выполняемый учителем, когда ученики знакомы с правилами изображения большинства пространственных фигур, может содержать ошибки, сделанные намеренно, чтобы дети могли их заметить, указать и обосновать, почему это изображение некорректно, опираясь на изученный материал. Дадим некоторые рекомендации относительно деятельности педагога в направлении формирования рассматриваемого умения: - В процессе обучения построению чертежей геометрических фигур в пространстве учитель должен научить детей тому, как изображать данную фигуру и по чертежу узнавать (выделять) ее среди основных; - Стоит пользоваться выносными чертежами, изображающими некоторый элемент фигуры на плоскости, чтобы показать связь новой конфигурации с уже знакомыми из курса планиметрии; - Важно организовать проведение работы по исправлению неверных представлений об изображениях пространственных фигур, которые могли быть сформированы из-за некорректного восприятия геометрических объектов окружающего мира или искажающего влияния чертежа (последнее можно ослабить, если рассматривать плоские сечения рассматриваемых тел и делать по ним выносные чертежи; также его появление маловероятно, если учащиеся имеют представление о роли чертежа и знают, как к нему надо относиться); - Стремиться к уменьшению количества средств наглядности к концу изучения курса с целью развития у учеников пространственного воображения. 15 Из всего вышесказанного следует, что полноценно сформировать у учеников умение строить чертеж к стереометрической задаче получится только в том случае, если учитель будет проводить свою работу систематически и целенаправленно, параллельно с этим развивая пространственное воображение детей, без которого невозможно изучение геометрии в старшей школе. 16 2.2. Система упражнений, направленных на реализацию методики формирования умения строить чертеж к стереометрической задаче В данном пункте будет представлена система упражнений и задач, разделенных в зависимости от вида и цели использования, которые раскрывают предыдущий пункт и направленны на реализацию элементов методики формирования умения строить чертеж к стереометрической задаче. 1. Первые уроки стереометрии. - Анализ изображений геометрических фигур с целью определения их вида, выявления отношений составных элементов, их положения относительно взгляда наблюдающего (видимые и невидимые компоненты) и т.д. Задание: «Проведя анализ изображенных на рисунке 1 фигур, ответьте на следующие вопросы: а) Какие изображены фигуры? б) Какие элементы являются видимыми? Невидимыми? в) Из каких планиметрических фигур могут состоять поверхности данных фигур?» Рис. 1 17 - Достраивание изображения по уже имеющимся элементам до заданной пространственной фигуры. Задание: «Используя имеющиеся элементы, достроить изображение до: а) куба б) треугольной пирамиды в) четырехугольной пирамиды». Задание: «Достроить чертеж многогранника по изображенным вершинам: а) треугольная пирамида б) треугольная призма 18 в) четырехугольная пирамида». - Выделение отдельных фигур из общей конфигурации, представленной на рисунке. Задание: «ABCDA1B1C1D1 – проекция куба на плоскость (рис. 2). Выпишите все пирамиды и призмы, которые изображены на рисунке, указывая вид фигуры». Рис. 2 19 - Задачи на готовых чертежах (на выделение требуемых элементов, построение, определение отношения элементов фигуры между собой). Задание: «Даны изображения куба и правильной треугольной призмы (рис. 3). Рис. 3 а) Постройте линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью нижнего основания и плоскостью А1ВD; б) Определите вид фигуры А1АВD и вид ее граней; в) Назовите равные ребра и грани фигуры А1АВD». Задание: «Дано изображение правильной пирамиды (рис. 4). Рис. 4 20 Постройте: а) высоты боковых граней; б) высоту пирамиды; в) линейные углы двугранных углов при основании пирамиды». 2. Задачи, которые могут использоваться в процессе формирования умения строить стереометрический чертеж. - Доказательство возможности или невозможности возникновения данной конфигурации. Задание: «Из одной точки одновременно в разных направлениях кинули четыре мячика. В определенной момент времени они оказались в одной плоскости. Может ли это произойти повторно?» Задание: «В каждой из двух параллельных плоскостей лежит по одному треугольнику. Может ли существовать выпуклый многогранник, такой, что его вершинами являются вершины данных треугольников? Результат обобщите». Задание: «Может ли в сечении куба плоскостью получиться: точка; отрезок; треугольник; правильный треугольник; прямоугольный треугольник; параллелограмм; пятиугольник; шестиугольник; семиугольник?» Задание: «У вас есть две одинаковые коробки из-под обуви. Как их приложить друг к другу, чтобы получился прямоугольный параллелепипед с наибольшей диагональю? С наименьшей диагональю?» - Мысленное воссоздание образа стереометрической фигуры по заданным элементам. Задание: «Воссоздайте образ прямоугольного параллелепипеда по заданному ее перпендикулярному сечению». - Мысленное разрешение разных геометрических ситуаций в пространстве. Задание: «В пирамиде с квадратом в основании одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания: а) чем являются грани данной пирамиды? б) как проходит высота пирамиды?» Задание: «Основание призмы представляет из себя правильный шестиугольник: 21 а) сколько граней у призмы? б) какими планиметрическими фигурами являются ее грани? в) могут ли боковые грани быть прямоугольниками?» Задание: «В основании призмы лежит равносторонний треугольник. Одна из ее боковых граней является квадратом и перпендикулярна плоскости основания. Какой вид имеет призма?» Задание: «У многогранника одна грань – треугольник, а остальные грани – четырехугольники. Может ли такой многогранник являться пирамидой? Призмой? Прямоугольным параллелепипедом?» Задание: «Скольким граням может быть перпендикулярна плоскость основания пирамиды?» - Мысленное и графическое разрешение разных геометрических ситуаций в пространстве. Задание: «Как надо разрезать прямоугольный параллелепипед на две части, чтобы из них можно было составить прямую пятиугольную призму?» Задание: «Какие фигуры можно составить из частей, образованных после разрезания прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через его диагональ? Изобразите их». Задание: «От правильной треугольной призмы отсечен трехгранный угол плоскостью, проходящей параллельно плоскости, которая содержит высоту основания. Постройте развертку поверхности получившегося многогранника». Грамотное использование представленных задач на уроках стереометрии позволит учителю как сформировать умение строить чертеж пространственной фигуры, так и поспособствует развитию пространственного мышления учащихся. 22 Заключение В процессе создания курсовой работы стало очевидным, что формирование умения строить чертеж трехмерной конфигурации невозможно без использования определенной последовательности задач, которые бы не только способствовали отработке и закреплению соответствующего приема, но и постепенному развитию у учащихся пространственного мышления, без которого невозможно дальнейшее изучение стереометрии. Нами была проанализирована роль чертежа к стереометрической задаче, а также трудности, с которыми сталкиваются учащиеся при его построении и без знания которых педагог не может полноценно сформировать необходимое умение. Следуя поставленным в самом начале задачам, мы смогли разработать необходимую для формирования рассматриваемого умения систему упражнений, которая бы удовлетворяла требованиям, представленным в теоретической части работы. Вместе с тем подтвердилась актуальность выбранной темы, так как именно в наше время появляется все больше технологий, позволяющих облегчить процесс решения стереометрических задач, осуществить выполнение принципа наглядности, а значит, и увеличить количество способов подхода к решению, которые также требуют исследования. 23 Библиография 1. Федеральные государственные образовательные стандарты основного общего образования (5-9 кл.) [Текст] : Приказ Минобрнауки России от 17.12.2010 № 1897 (в ред. Приказа Минобрнауки России от 29.12.2014 № 1644). – 41 с. 2. Федеральные государственные образовательные стандарты среднего общего образования (10-11 кл.) [Текст] : Приказ Минобрнауки России от 06.10.2009 № 413 (в ред. Приказа Минобрнауки России от 29.12.2014 № 1645). – 45 с. 3. Александров, А.Д. Геометрия [Текст] : Учеб. пособие для 8 кл. с углубл. изучением математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.— М. : Просвещение, 2002. – 240 с. : ил. 4. Александров, А.Д. Геометрия. 9 класс [Текст] : учеб. для общеобразоват. организаций / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.— М. : Просвещение, 2015. – 175 с. : ил. 5. Александров, А.Д. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. 10–11 классы [Текст] : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.— М. : Просвещение, 2015. – 255 с. : ил. 6. Александров, А.Д. Геометрия. Методические рекомендации. 10—11 классы [Текст] : учеб. пособие для общеобразоват. организаций / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик, Л. П. Евстафьева. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2017. — 144 с.: ил. 7. Алексеева, К.В. Обучение решению стереометрических задач с использованием элементов электронного обучения и дистанционных образовательных технологий [Текст] : Автореферат дис. на соискание ученой степени канд. пед. наук: 13.00.02 / К.В. Алексеева.— Защищена 07.04.16; Утв. 05.02.16.— Санкт-Петербург, 2016.— 19 с.— Библиогр.: С. 18-19. 8. Бреус, И.А. Теоретико-методические аспекты проблемы развития пространственного мышления школьников: [Электронный документ] / И.А. Бреус // «Проблемы современного педагогического образования». — 2018 (https://cyberleninka.ru/article/n/teoretiko-metodicheskie-aspekty-problemyrazvitiya-prostranstvennogo-myshleniya-shkolnikov). Дата обращения: 06.06.2020. 9. Вернер, А.Л. Геометрия. Методические рекомендации. 7 класс [Текст] : учеб. пособие для общеобразоват. организаций / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2017. – 132 с. : ил. 10. Гаджимурадов М. А. О пропедевтике геометрии в общеобразовательной школе: [Электронный документ] / М. А. Гаджимурадов, Х. М. Магомедов, Б. М. Гаджимурадов // «Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Психолого-педагогические науки». — 2017 (https://cyberleninka.ru/article/n/o-propedevtike-geometrii-vobscheobrazovatelnoy-shkole). Дата обращения: 06.06.2020. 24 11. Гойибназарова, Г.Н. Методические аспекты развития пространственных представлений с помощью идеи фузионизма: [Электронный документ] / Г.Н. Гойибназарова // «Научный журнал». — 2017 (https://cyberleninka.ru/article/n/metodicheskie-aspekty-razvitiyaprostranstvennyh-predstavleniy-s-pomoschyu-idei-fuzionizma). Дата обращения: 06.06.2020. 12. Гуревич, С.В. Методика построения чертежа к геометрической задаче при изучении геометрии, основанном на идеях функционизма [Электронный документ] : Дис. канд. пед. наук: 13.00.02.— М. : РГБ, 2003.– 173 с. 13. Далингер, В.А. Методика обучения стереометрии посредством решения задач : учебное пособие для среднего профессионального образования / В. А. Далингер. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 370 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-04873-5. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт (https://urait.ru/bcode/454296). Дата обращения: 06.06.2020. 14. Денищева, Л.О. Теория и методика обучения математике в школе. Часть 1. [Текст] : Учебно-методическое пособие для студентов математического факультета по специальности 050202.65 (032100) — математика / Авторысост.: Л.О. Денищева, А.Е. Захарова, М.Н. Кочагина, Н.В. Савинцева, Н.Е. Федорова. – М.: МГПУ, 2008. – 190 с. 15. Кузнецова, Ю.И. Развитие компонентов пространственного мышления обучающихся на уроках геометрии: [Электронный документ] / Кузнецова Ю.И. // «Вестник науки и образования». — 2017 (https://cyberleninka.ru/article/n/razvitie-komponentov-prostranstvennogomyshleniya-obuchayuschihsya-na-urokah-geometrii). Дата обращения: 06.06.2020. 16. Маланичева, Т.А. Использование пространственных моделей при решении стереометрических задач [Текст] / Т.А. Маланичева // Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе». — 2016. — № 2. — С. 32-34. 17. Митенева, С.В. Принципы методической системы обучения геометрии: [Электронный документ] / С.В. Митенева // «Russian Journal of Education and Psychology». — 2016 (https://cyberleninka.ru/article/n/printsipy-metodicheskoysistemy-obucheniya-geometrii). Дата обращения: 06.06.2020. 18. Потоскуев, Е.В. О принципе наглядности в геометрии [Текст] / Е.В. Потоскуев // Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе». — 2017. — № 5. — С. 18-26. 19. Слета, Ю.О. Методика обучения учащихся основной школы анализу условия планиметрической задачи [Текст] : Автореферат дис. на соискание ученой степени канд. пед. наук: 13.00.02 / Ю.О. Слета.— Защищена 11.12.18; Утв. 06.11.18.— Волгоград, 2018.— 28 с.— Библиогр.: С. 26-27. 20. Смирнова, И.М. Развитие пространственных представлений старшеклассников при изучении темы «Поворот. Фигуры вращения» [Текст] / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов // Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе». — 2016. — № 5. — С. 34-40. 25 21. Ярошевич, В.И. Особенности использования информационных технологий в обучении решению математических задач: [Электронный документ] / В.И. Ярошевич, А.М. Сафуанова, И.С. Сафуанов // «Вестник Российского университета дружбы народов». — 2018 (https://cyberleninka.ru/article/n/osobennosti-ispolzovaniya-informatsionnyhtehnologiy-v-obuchenii-resheniyu-matematicheskih-zadach). Дата обращения: 06.06.2020. 26
