Курсовая работа «Основы теории цепей» Вариант №19 1 Задание............................................................................................................................................3 Исходные данные ..........................................................................................................................5 Выполнение ....................................................................................................................................6 Маткад ........................................................................................................................................6 Схема исследуемой цепи ..........................................................................................................8 Расчет токов и напряжений ......................................................................................................9 Проверка результатов расчетов ..............................................................................................12 Векторные и топографические диаграммы ...........................................................................13 Частотные характеристики .....................................................................................................14 Литература ...................................................................................................................................17 2 Задание 1. Составить схему исследуемой цепи Для этого на вход заданной цепи (вариант схемы цепи определяется преподавателем согласно приложению 1, а исходные числовые данные – согласно приложению 2), как показано на рис. 1, подключить реальный источник гармонического напряжения с э.д.с. e(t) = Emcos (ωt), амплитуда, частота ω и внутреннее сопротивление Re которого также определяются в соответствии с вариантом. Rе e(t) Вход Исследуемая цепь Выход Рис. 1. Подключение источника напряжения к исследуемой цепи Изобразить полученную схему цепи, проставить нумерацию элементов в соответствии с требованиями ГОСТ по оформлению чертежей и обозначить токи и напряжения на всех элементах, задав их положительные направления. 2. Рассчитать токи и напряжения в элементах цепи Путем проведения аналитических расчетов необходимо определить амплитуды и начальные фазы токов и напряжений на всех элементах цепи при отсутствии нагрузки, в отчете привести описание расчетов, результаты представить в виде таблицы, аналогичной табл. Таблица Результаты расчетов Элемент Номинал Um, мВ Im, мкА ψU, град. ψI, град. Re R1 R2 R3 С1 С2 Так как в исследуемой цепи присутствуют реактивные элементы, то протекающие в цепи процессы могут быть описаны в комплексном виде. Поэтому при проведении аналитических расчетов необходимо использовать метод комплексных амплитуд. В этом и последующих пунктах численные расчеты могут проводиться с применением вычислительной техники. В случае использования 3 специальных программ (кроме «Калькулятора» ОС Windows) в отчете необходимо указать наименование использованной программы и описать подробный порядок действий с ней. 3. Проверить результаты расчетов По результатам расчетов токов и напряжений провести проверку выполнения первого и второго законов Кирхгофа для узлов и контуров цепи. 4. Нарисовать полную векторную диаграмму цепи Построить полную векторную диаграмму токов, напряжений и цепи источника. Все векторы, изображенные на рисунке должны быть подписаны. Допускается векторы, относящиеся к токам и напряжениям, изображать разными цветами или изобразить на двух разных диаграммах. 5. Рассчитать частотные характеристики цепи Для выполнения расчета необходимо: – определить комплексный коэффициент передачи по напряжению исследуемой цепи U K вых , (1) U вх где U и U - комплексные амплитуды выходного и входного напряжений; вых вх – рассчитать амплитудно-частотную (АЧХ) и фазочастотную (ФЧХ) характеристики; – построить графики АЧХ и ФЧХ. 4 Исходные данные 𝑅 = 500 Ом; 𝐶 = 10−8 Ф; 𝐸𝑚 = 10 𝐵; 𝑤 = 104 рад⁄с; 𝑅𝑒 = 500 Ом 5 Выполнение Маткад Mathcad – это приложение для математических и инженерных вычислений, промышленный стандарт проведения, распространения и хранения расчетов. Mathcad – продукт компании PTC – мирового лидера разработки систем САПР, PDM и PLM. Mathcad является универсальной системой, т.е. может использоваться в любой области науки и техники – везде, где применяются математические методы. Документы Mathcad представляют расчеты в виде, очень близком к стандартному математическому языку, что упрощает постановку и решение задач. Mathcad содержит текстовый и формульный редактор, вычислитель, средства научной и деловой графики, а также огромную базу справочной информации, как математической, так и инженерной. Редактор формул обеспечивает естественный «многоэтажный» набор формул в привычной математической нотации (деление, умножение, квадратный корень, интеграл, сумма и т.д.). Мощные средства построения графиков и диаграмм сочетают простоту использования и эффектные способы визуализации данных и подготовки отчетов. Рис.2 6 Вычислительные средства Mathcad обеспечивают расчеты по сложным математическим формулам, включая численные методы и аналитические преобразования. Mathcad имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, интегралы, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, а также дифференциальные уравнения и системы, проводить минимизацию и максимизацию функций, выполнять векторные и матричные операции, статистический анализ и т.д. Автоматически ведётся контроль размерностей и пересчёт в разных системах измерения (СИ, СГС и др.). 7 Схема исследуемой цепи Схема исследуемой цепи приведена на рис.3. Рис.3 Электрическая схема исследуемой цепи. 8 Расчет токов и напряжений Комплексное входное напряжение: 𝐸𝑚 𝐸= = √2 5 √2 = 3.536 𝐵 Емкостное сопротивление: 𝑋𝐶 = 1 = 𝑤∙𝐶 1 106 ∙10−10 = 10000 Ом Сопротивления участков цепи: 𝑍𝑎𝑏 = −𝑗∙𝑅∙𝑋𝐶 𝑅−𝑗∙𝑋𝐶 = 990.099 − 99.01𝑗 Ом 𝑍𝑎𝑐 = 𝑅 + 𝑍𝑎𝑏 = 1990.099 − 99.01𝑗 Ом 𝑍𝑎𝑐1 = 𝑅∙𝑍𝑎𝑐 𝑅+𝑍𝑎𝑐 = 665.929 − 11.062𝑗 Ом 𝑍𝑎𝑑 = −𝑗 ∙ 𝑋𝐶 + 𝑍𝑐1 = 665.929 − 10011.062𝑗 Ом Эквивалентное сопротивление цепи: 𝑍е = 𝑅𝑒 + 𝑍𝑎𝑑 = 765.929 − 10011.062𝑗 Ом Вычисляем токи и напряжения: 𝐼= 𝐸 𝑍е 0 = 2.686 ∙ 10−5 + 𝑗 ∙ 3.511 ∙ 10−4 = 3.521 ∙ 10−4 ∙ 𝑒 𝑗∙85.668 𝐴 0 𝑈𝑎𝑑 = 𝐸 − 𝐼 ∙ 𝑅𝑒 = 3.533 − 0.035𝑗 = 3.533 ∙ 𝑒 −𝑗∙0.57 𝐵 0 𝑈𝑎𝑐 = 𝐸 − 𝐼 ∙ (𝑅𝑒 − 𝑗 ∙ 𝑋𝐶 ) = 0.022 + 0.234𝑗 = 0.235 ∙ 𝑒 𝑗∙84.716 𝐵 𝐼1 = 𝐼2 = 𝑈𝑎𝑐 𝑅 𝑈𝑎𝑐 𝑍𝑎𝑐 0 = 2.177 ∙ 10−5 + 𝑗 ∙ 2.335 ∙ 10−4 = 2.345 ∙ 10−4 ∙ 𝑒 𝑗∙84.716 𝐴 0 = 5.09 ∙ 10−6 + 𝑗 ∙ 1.176 ∙ 10−4 = 1.177 ∙ 10−4 ∙ 𝑒 𝑗∙87.566 𝐴 0 𝑈𝑎𝑏 = 𝑈𝑎𝑐 − 𝐼2 ∙ 𝑅 = 0.017 + 0.116𝑗 = 0.117 ∙ 𝑒 𝑗∙81.852 𝐵 𝐼3 = 𝐼4 = 𝑈𝑎𝑏 𝑅 0 = 1.668 ∙ 10−5 + 𝑗 ∙ 1.159 ∙ 10−4 = 1.171 ∙ 10−4 ∙ 𝑒 𝑗∙81.852 𝐴 𝑈𝑎𝑏 −𝑗∙𝑋𝐶 0 = −1.159 ∙ 10−5 + 𝑗 ∙ 1.668 ∙ 10−6 = 1.171 ∙ 10−5 ∙ 𝑒 𝑗∙171.898 𝐴 Переводим токи в амплитудные значения в мкА: 9 𝐼𝑚 = |𝐼| ∙ √2 ∙ 106 = 497.992 мкА 𝐼1𝑚 = |𝐼1 | ∙ √2 ∙ 106 = 331.673 мкА 𝐼2𝑚 = |𝐼2 | ∙ √2 ∙ 106 = 166.456 мкА 𝐼3𝑚 = |𝐼3 | ∙ √2 ∙ 106 = 165.63 мкА 𝐼4𝑚 = |𝐼4 | ∙ √2 ∙ 106 = 16.563 мкА Вычисляем амплитудные значения напряжения на элементах схемы в мВ: 𝑈𝑚𝐶1 = |𝐼| ∙ 𝑋𝐶 ∙ √2 ∙ 103 = 4979.921 мB 𝑈𝑚𝐶2 = |𝐼4 | ∙ 𝑋𝐶 ∙ √2 ∙ 103 = 165.63 мB 𝑈𝑚𝑅𝑒 = |𝐼| ∙ 𝑅𝑒 ∙ √2 ∙ 103 = 49.799 мB 𝑈𝑚𝑅1 = |𝐼1 | ∙ 𝑅 ∙ √2 ∙ 103 = 331.673 мB 𝑈𝑚𝑅2 = |𝐼2 | ∙ 𝑅 ∙ √2 ∙ 103 = 166.456 мB 𝑈𝑚𝑅3 = |𝐼3 | ∙ 𝑅 ∙ √2 ∙ 103 = 165.63 мB 10 Элемент Номинал Um, мВ Таблица 1.1 Результаты расчетов Im, мкА ψU, град. ψI, град. Re 500 Ом 49.799 497.992 85.6680 85.6680 R1 500 Ом 331.673 331.673 84.7160 84.7160 R2 С1 500 Ом 10−8 Ф 166.456 4979.921 166.456 497.992 87.5660 4.3320 87.5660 85.6680 С2 10−8 Ф 165.63 16.563 81.8520 171.8520 11 Проверка результатов расчетов Первый закон Кирхгофа: Узел с: 𝐼 − 𝐼1 − 𝐼2 = 0 𝐴 Узел b: 𝐼2 − 𝐼3 − 𝐼4 = 0 𝐴 Узел a: 𝐼 − 𝐼1 − 𝐼3 − 𝐼4 = 0 𝐴 Второй закон Кирхгофа: 𝐸 = 𝐼 ∙ (𝑅𝑒 − 𝑗 ∙ 𝑋𝐶 ) 3.536 = 3.536 𝐵 𝑅 ∙ (𝐼2 + 𝐼3 − 𝐼1 ) = 0 𝐵 −𝑗 ∙ 𝑋𝐶 ∙ 𝐼4 − 𝐼3 ∙ 𝑅 = 0 𝐵 Законы Кирхгофа выполняются. Баланс мощностей: Комплексная мощность источника: 𝑆̃ = 𝐸̇ ∙ 𝐼 ̅ = 9.497 ∙ 10−5 − 𝑗 ∙ 1.241 ∙ 10−3 Активная мощность приемников: 𝑃 = |𝐼|2 ∙ 𝑅𝑒 + 𝑅 ∙ (|𝐼1 |2 + |𝐼2 |2 + |𝐼3 |2 ) = 9.497 ∙ 10−5 Вт Реактивная мощность приемников: 𝑄 = 𝑋𝐶 ∙ (|𝐼|2 + |𝐼4 |2 ) = 1.241 ∙ 10−3 Вар Баланс выполняется с нулевой погрешностью, что подтверждает правильность выполненных вычислений. 12 Векторные и топографические диаграммы Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений (токи изображены в мкА, для наглядности масштаб напряжений увеличен в 10 раз). Рис.3 Векторная диаграмма токов и потенциальная диаграмма напряжений исследуемой цепи. На диаграмме видно, что напряжение на емкостях отстают от тока на 90 0, ток I2 векторная сумма токов I3 и I4, ток I векторная сумма токов I1 и I2, что еще раз подтверждает правильность выполненных расчетов. 13 Частотные характеристики Входное напряжение: 𝑈̇вх = 𝐸̇ Выходное напряжение определяется по формуле: 𝑈̇вых = −𝑗 ∙ 𝑋𝐶 ∙ 𝐼4̇ Комплексный коэффициент передачи по напряжению исследуемой цепи (полный вывод формулы выполнен в Маткаде): 𝐾̇ = 𝑈̇вых 𝑈̇вх Его действительная часть: 𝐴(𝑤) = 𝑅𝑒 (𝐾̇ (𝑤)) = 2 2 2 4 3 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 = C R w 4 C R w 4 C R Re w 4 C R Re w 10 C R w 12 C R Re w 9 C Re w 9 6 6 C w Мнимая часть: 𝐵(𝑤) = 𝐼𝑚 (𝐾̇ (𝑤)) = = 2 2 2 2 2 2 2 2 R C R w 4 4 C R w 2 Re j C R w j C R w 3 Re C w 3 j 5 5 C w Амплитудно – частотная характеристика: АЧХ(𝑤) = √𝐴(𝑤)2 + 𝐵(𝑤)2 Фазово – частотная характеристика: 𝐵(𝑤) ФЧХ(𝑤) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) 𝐴(𝑤) Строим графики: 14 Рис.4 АЧХ исследуемой цепи. Рис.5 ФЧХ исследуемой цепи. 15 Из графиков видно, что при круговой частоте 1.652 ∙ 107 рад⁄с имеется резонанс напряжений. 16 Литература 1. Теоретические основы электротехники: В 2 т. Учебник для вузов. Т. 1. – 5-е изд. / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин. – СПб.: Питер, 2009. – 512 с. 2. Теоретические основы электротехники: В 2 т. Учебник для вузов. Т. 2. – 5-е изд. / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н. В. Коровкин. – СПб.: Питер, 2009. – 432 с. 3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи : Учебник для вузов. – 10-е изд. – М.: Гардарики, 2001. – 638 с. 4. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи : Учебное пособие для вузов. – 7-е изд. – СПб.: Лань, 2009. – 592с. 5. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Нелинейные электрические цепи. Электромагнитное поле : Учебное пособие для вузов / Г.И. Атабеков, С.Д. Купалян, А.Б. Тимофеев и др. / Под общ. ред. Г.И. Атабекова. – 7-е изд. – СПб.: Лань, 2009. – 432 с. 6. Коровкин Н. В. Теоретические основы электротехники. Сборник задач : Учебное пособие для вузов / Н.В. Коровкин, Е.Е. Селина, В.Л. Чечурин. – СПб.: Питер, 2006. – 512 с. 7. Сборник задач по теоретическим основам электротехники : Учебное пособие вузов. – 3-е изд., перераб. и доп. / Л.А. Бессонов, И.Г. Демидова, М.Е. Заруди и др. / Под общ. ред. Л.А. Бессонова. – М.: Высш. шк., 1988. – 543 с. 17
