Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова Б.Ф. Азаров, И.В. Карелина РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ОШИБОК ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Методические указания для самостоятельной работы студентов, обучающихся по направлениям 270800 «Строительство» и 270100 «Архитектура» Барнаул, 2013 УДК 528.48 Азаров Б.Ф., Карелина И.В. Решение задач по теории ошибок геодезических измерений: Методические указания для самостоятельной работы студентов, обучающихся по направлениям 270800 «Строительство» и 270100 «Архитектура»/ Алт. гос. техн. ун-т им. И.И. Ползунова. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2013 - 29 с. В методических указаниях кратко изложены основные сведения из теории математической обработки геодезических измерений, даны примеры решения типовых задач, возникающих при обработке геодезических измерений, приведены вопросы для самоконтроля, а также исходные данные для вариантов индивидуальных заданий при выполнении лабораторной работы «Решение задач по теории ошибок геодезических измерений». Методические указания рассмотрены на заседании кафедры «Основания, фундаменты, инженерная геология и геодезия» Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова. Протокол № 2 от 14.12.2012. 1. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА Вычисления – часть геодезических работ как при измерениях, так и при их обработке. Цель общих требований к вычислениям уменьшить вероятность совершения ошибки и получить результат наиболее простым способом. К таким требованиям относятся: - Рациональная схема (алгоритм) вычислений - простота, наглядность, однотипность - для вычислений используют полевые журналы, специальные бланки, ведомости. - Контроль вычислений: а) текущий - проверяется правильность промежуточных вычислений; б) заключительный - проверяется правильность окончательного результата. - Независимые вычисления - «в две руки» (выполняются двумя вычислителями – каждым отдельно) и по контрольным формулам. Требования к ведению записей: вычисления размещают в таблицах или ведомостях; написание цифр - аккуратное и четкое, исключающее неоднозначное прочтение; записи чисел - столбиками разряд под разрядом; количество десятичных знаков должно соответствовать правилам техники вычислений; записи в таблицах и ведомостях не должны иметь исправлений; в полевых журналах нельзя исправлять отсчеты «цифра по цифре»; вычисления в журналах исправляют, зачеркивая неверные цифры и надписывая сверху верные; все величины: приращения координат, превышения, невязки, углы наклона - пишут со своим знаком («+» или «-»). Точные и приближенные числа. Точные числа используют при счете отдельных предметов и понятий; например, масштабные коэффициенты или целые величины, условно присваиваемые границам физических интервалов. Приближенные числа в геодезии получают, как правило, из измерений вместо точного. 3 Записанное приближенное число ошибочно не более, чем на половину единицы последнего разряда. Например: 4,785 - ошибочно на 0,0005; 4785 - ошибочно на 0,5 и т.д. В приближенных числах выделяют: • десятичные знаки (все цифры числа, стоящие после запятой); • значащие цифры (все цифры числа, кроме нулей слева); • верные цифры (цифры, значение которых больше ошибки этого числа). Примеры: 4,147 - 4 значащих цифры; 0,004147 - 4 значащих цифры; 40,00 - 4 значащих цифры; 217,35 м - 3 верных цифры при точности до метров (217). При вычислениях в числах удерживают такое количество знаков и цифр, которое обеспечивает требуемую точность вычислений. Количество верных значащих цифр в результате операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня определяется наименьшим количеством верных значащих цифр в исходных числах. Правила округления: • число значащих цифр промежуточных результатов берется больше числа верных цифр на 1-2 единицы последнего разряда, • окончательный результат может содержать не более одной лишней значащей цифры. Примеры: 3,4 0,4783 = 1,62622 ≈ 1,6; 98,763 - 45,8 + 0,7549 – 6,865 = 98,76 - 45,8 + 0,76 - 6,86 = 46,86 ≈ 46,9. Округление приближенных чисел: а) если первая отбрасываемая цифра больше 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу: 2,46 ~ 2,5; б) если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя оставляемая цифра не изменяется: 2,44 ~ 2,4; в) если следующая после нечетной оставляемой цифры равна 5, то последняя оставляемая цифра округляется в большую сторону, если четная – то в меньшую: Примеры: 2,05 ≈ 2,0; 2,15 ≈ 2,2; 2,25 ≈ 2,2; 2,35 ≈ 2,4; 2,45 ≈ 2,4; 2,55 ≈ 2,6; 2,65 ≈ 2,6; 2,75 ≈ 2,8; 2,85 ≈ 2,8; 2,95 ≈ 3,0. Обработка результатов геодезических измерений требует достаточно больших объемов вычислений при сравнительно простых алго4 ритмах и высоким требованиям к оперативности и надежности получаемых результатов. Поэтому наиболее подходящими средствами для такого рода вычислений являются электронные микрокалькуляторы. Электронные микрокалькуляторы подразделяются на программируемые и непрограммируемые, а по принципу выполнения вычислений – на микрокалькуляторы с алгебраической логикой вычислений и с обратной бесскобочной логикой вычислений. В функциональном отношении различия между разными видами микрокалькуляторов невелики. Ввод данных осуществляется цифровыми клавишами «0», «1», … «9» и клавишей десятичной точки «.». Микрокалькулятор может работать в нескольких режимах. Чаще всего используется основной режим и режим совмещенной функции. При работе калькулятора в основном режиме для обработки результатов геодезических измерений используют клавиши арифметических операций «+», «-», «», «÷», клавиши выполнения операций «=», смены знака числа «+/-», вычисления тригонометрических функций «sin», «cos», «tan», извлечения квадратного корня « », возведения в квадрат «х2», изменения представления аргумента тригонометрической функции «D R G» (соответственно, в градусах, радианах и градах), перевода угла, выраженного в ° ′ " в доли градуса «DEG», а также клавиши операций с памятью: «X→M» для записи в регистр памяти содержимого регистра индикации и «RM» или «М→Х» для вызова содержимого регистра памяти на табло, «М+» для алгебраического суммирования числа на табло с содержимым регистра памяти. Перевод микрокалькулятора в режим совмещенной функции выполняется нажатием специальной клавиши («2ndF», «SHIFT» «F» и т.п.), при этом в верхнем левом углу табло (на индикаторе) воспроизводится соответствующий символ. Указанная клавиша обеспечивает выполнение функций, символы которых нанесены над клавишами функций основного режима работы микрокалькулятора. Для выполнения расчетов при обработке результатов геодезических вычислений чаще всего используются функция нахождения обратной величины «1/х», функция «π» ввода числа π, функция «DMS» перевода угла, выраженного в долях градуса, в ° ′ ", функции получения градусной меры угла по значениям функций sin, cos, tan, обозначенные символами «sin-1», «cos-1», «tan-1» над соответствующими клавишами тригонометрических функций. Фактически для обозначения функций arcsin, asccos, arctg использованы символы обратных тригонометрических функций, что некорректно с точки зрения математики. 5 2. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОШИБОК. ВИДЫ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ Измерения - важная часть геодезических работ; из них получают количественную информацию об объектах. В геодезии измеряют длины линий, горизонтальные и вертикальные углы, превышения. Измерения бывают различного вида: - непосредственные (прямые) измерения - когда мерный прибор, отображающий единицу измерения, непосредственно сравнивается с объектом измерения; - посредственные (косвенные) измерения – когда искомая величина не измеряется, а получается вычислением по результатам измерений других величин. Результаты измерений (вычислений) содержат ошибки, величина которых зависит от прибора, применяемого при измерениях, способа измерения и вычислений конечных результатов. Классификация ошибок измерений приведена на рисунке 1. ВИДЫ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ ПО ИСТОЧНИКУ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ПО ХАРАКТЕРУ ДЕЙСТВИЯ ГРУБЫЕ ПРИБОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВУЮЩИЕ ОДНОСТОРОННЕ ВНЕШНИХ УСЛОВИЙ ДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОСТОЯННО ЛИЧНЫЕ ДЕЙСТВУЮЩИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИ Рисунок 1 – Классификация ошибок измерений Грубые ошибки – это результат промахов и просчетов. Их исключают при контроле измерений (например: линию на местности измеряют дважды – в прямом и обратном направлениях; горизонтальный угол измеряют при двух положениях вертикального круга – «круг лево» и «круг право» и т.п.). 6 Систематические ошибки возникают из-за неисправности приборов, одностороннего влияния условий внешней среды и т.п. Эти ошибки действуют по определенному математическому закону и могут быть вычислены до измерений. Различают систематические ошибки: • односторонне действующие, если у них знак постоянен, а величина меняется (например: поправка в отсчет за наклон нивелирной рейки); • периодически действующие, если у них меняются и знак, и величина (например: поправка за эксцентриситет алидады горизонтального круга теодолита); • постоянно действующие, если у них и знак, и величина постоянны (например: поправка за компарирование рулетки). Систематические ошибки исключают из результатов измерений методикой измерений, введением поправок в результаты, исследованием и поверками приборов. Случайные ошибки. Они неизбежно сопровождают измерения, причем их знак и величину до измерений точно предсказать невозможно. Случайные ошибки малы по величине и имеют разные знаки. Они зависят от: • точности способа измерений, • точности прибора, • квалификации наблюдателя, • внешних условий измерений. Исключить случайные ошибки из результатов измерений нельзя, можно только их изучить, чем и занимается теория ошибок измерений. Теория ошибок геодезических измерений изучает: • свойства ошибок и законы их распределения, • методы обработки измерений с учетом их ошибок, • способы получения числовых характеристик точности измерений. Задачи теории ошибок, применительно к геодезии: • нахождение наиболее надежного значения измеренной величины, • оценка точности результатов измерений и их функций, • установление допусков на использование результатов измерений. 3. СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ Случайная истинная ошибка измерения Δ - это разность между измеренным значением величины ℓ и ее истинным значением X, т.е. 7 Δ=ℓ–X. Свойства случайных ошибок: 1. Ограниченность: для данного вида и условий измерений абсолютные значения случайных ошибок не превосходят некоторого предела (допуска), т.е. i ПРЕД . , где i = xi – X – абсолютное значение случайной ошибки; xi – результат измерений; X – истинное значение измеряемой величины; ПРЕД. – предел (допуск). 2. Симметричность: при измерениях положительные и отрицательные случайные ошибки встречаются одинаково часто. 3. Плотность: малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие. 4. Компенсированность: среднее арифметическое случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений, т.е. 0 , lim n n где [ ] - знак Гауссовой суммы; n – число измерений. 5. Рассеивание: предел отношения среднего арифметического из квадратов случайных ошибок не равен нулю, т.е. 2 lim n 2 , n где σ – стандарт. 6. Пропорциональность: допуск пропорционален стандарту, т.е. ПРЕД const . 8 Если ошибки ряда измерений обладают свойствами с 1 по 6, то их считают случайными. 4. ПОНЯТИЕ О КРИТЕРИЯХ ДЛЯ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ Точность измерений – их качество, определяющее близость результатов измерений к точному значению измеряемой величины. Точное значение измеряемой физической величины, если оно не определяется теоретически, неизвестно. В отдельных случаях за точное значение величины может быть принято ее измеренное значение, максимально близкое к истинному значению. В геодезии такие величины называют действительными или исходными. Имея значения Δi истинных или случайных ошибок результатов измерений одной и той же величины, можно получить следующие количественные характеристики точности измерений: • θ – средняя ошибка, т.е. среднее арифметическое из абсолютных значений ошибок 1 . , n где i = 1, 2,…, n; n – число измерений. • r - вероятная (срединная) ошибка – такая, которая находится в середине ряда ошибок, расположенных в порядке возрастания или убывания по абсолютному значению. Кроме того, к критериям точности измерений относятся: • σ – стандарт (основная мера точности результатов геодезических измерений): а) σ определяет величину рассеивания (разброса) отдельных случайных ошибок Δ относительно их среднего арифметического; б) предельное значение случайной ошибки ΔПРЕД. пропорционально стандарту σ. • m – средняя квадратическая ошибка (СКО). В геодезии понятие СКО было введено Гауссом; он же разработал основные положения теории ошибок. На практике при ограниченном числе измерений n СКО одного измерения m вычисляется по формуле Гаусса , 2 m n 9 где 2 2 1 22 23 2n . Для характеристики точности измерений недостаточно указать СКО, также важно установить - по какому числу измерений получено ее значение, т.е. необходимо определить СКО самой СКО mm m . 2n Фактически величина mm позволяет количественно оценить точность замены стандарта на СКО. Примеры: n = 1 mm = 0,7m; n = 2 mm = 0,5m; n = 8 mm = 0,25m; n = 50 mm = 0,1m. Вывод: Оценка точности по ограниченному числу измерений считается надежной, если mm 0,25m. Это условие выполнимо при n8. Минимальное число наблюдений для надежной оценки точности n = 8. Между количественными характеристиками точности геодезических измерений существуют следующие зависимости, которые часто используют на практике: 1) Связь средней θ и вероятной (срединной) r ошибок со стандартом σ θ ≈ 0,798σ ; r ≈ 0, 675σ . 2) Связь средней квадратической ошибки m со средней θ и вероятной (срединной) r ошибками m ≈ 1,253θ; m ≈ 1,48r. Предельная ошибка ряда измерений ΔПРЕД служит для отбраковки грубых ошибок и является допуском для величин Δ: ΔПРЕД = 3m (на 1000 измерений только 3 ошибки больше ΔПРЕД), ΔПРЕД. = 2,5m (на 100 измерений только 1 ошибка больше ΔПРЕД), ΔПРЕД. = 2m (на 100 измерений только 5 ошибок больше ΔПРЕД). Величина предельной ошибки зависит от степени ответственности измерений. В качестве служебного допуска принимают ΔПРЕД 2m, для теоретических расчетов ΔПРЕД 3m. Относительная ошибка - это отношение абсолютной ошибки Δ к измеренной величине X, т.е. 10 f отн . X Ее используют для характеристики точности измерений, где абсолютная ошибка пропорциональна измеренной величине. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным единице. Например: fотн = 1/10 000. В геодезии относительной ошибкой характеризуют точность линейных измерений и точность определения площадей и объемов фигур. 5. ОБРАБОТКА РЯДА РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ На результаты измерений влияют следующие факторы: 1. Объект измерений (что измеряют). 2. Субъект измерений (кто измеряет). 3. Средство измерений (чем измеряют - прибор). 4. Метод измерений (как измеряют - способ, методика). 5. Условия измерений (где измеряют - внешняя среда). Измерения, при которых факторы 1-5 не изменяются, называют равноточными измерениями. Обработка равноточных измерений. Дано: ℓ1, ℓ2, ... ℓn - ряд равноточных результатов измерений, n – число измерений. Найти: а) наиболее надежный результат; б) ошибку любого из n измерений; в) ошибку наиболее надежного результата. Решение: 1) Определяем среднее арифметическое (простую арифметическую середину) для ряда измерений ср . . n 2) Вычисляем вероятнейшую ошибку vi = ℓi - ℓср. КОНТРОЛЬ: [v] = 0 – находим сумму вероятнейших ошибок, используя свойство компенсации случайных ошибок. 3) По формуле Бесселя определяем СКО измеренной величины 11 v . 2 m n 1 4) Вычисляем СКО арифметической середины ℓср М m . n Среднее арифметическое ℓср из результатов измерений и его СКО являются точечной оценкой измеренной величины. Однако эти числовые характеристики ни в коей мере не определяют точное значение измеренной величины L. Этот недостаток может восполнить предельная ошибка Δ0 простой арифметической середины ℓср, т.к. она позволяет установить такой интервал, внутрь которого попадает истинное значение L измеренной величины с заданной доверительной вероятностью р (ℓср - Δ0) ≤ L ≤ (ℓср + Δ0). Предельную ошибку Δ0 вычисляют по формуле Δ0 = t M, где t – число, зависящее от принятой доверительной вероятности р и числа N избыточных (дополнительных) измерений, использованных для вычисления М. В случае определения значения одной величины N= n–1. Числа t, p и N связаны между собой математической зависимостью, которая носит название закона Стьюдента. В Приложении А приведены значения t, соответствующие используемым в геодезии доверительным вероятностям p и числам дополнительных измерений N. Представление результатов измерений с указанием предельной погрешности называют оцениванием с помощью доверительных интервалов. В строительстве интервальная оценка непосредственно связана с установлением допусков на те или иные размеры. 6. ПОНЯТИЕ ВЕСА ИЗМЕРЕНИЙ. ОБРАБОТКА РЯДА НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 12 Если в процессе измерений хотя бы один из 5 перечисленных выше факторов, влияющий на их результат, изменился, то такие результаты измерения будут неравноточными. Степень доверия к результату измерения можно охарактеризовать его весом. Веса равноточных измерений одинаковы, а неравноточных – разные. Вес измерения р - это условное число, характеризующее надежность измерения, степень доверия к нему. Вес измерения получают по формуле р с , m2 где с = сonst - подбирая так, чтобы вес был удобным для расчетов числом. Ошибку измерения, вес которого равен единице, называют СКО единицы веса μ с 1 2 , откуда с = 2. Следовательно р . m 2 Для того, чтобы установить веса измерений, необходимо либо определить - СКО единицы веса для данного вида измерений, либо знать m – СКО самих результатов измерений. В практике геодезических работ в качестве весов принимают: 1) при обработке угловых измерений: р n1, где n - число приемов измерений (или величина им пропорциональная); 2) при обработке линейных измерений: р 1 , где S – длина изS меренной линии; 3) при определении превышений: р 1 , L хода в км, n - число станций в ходе; 1 p , где L - длина n 4) при выполнении тригонометрического нивелирования: р 1 , S2 где S - расстояние между точками. 1 - символ, означающий пропорциональность величин. 13 Формула для вычисления общей арифметической середины (весового среднего) для ряда неравноточных измерений X0 1 р1 2 р2 ... n рn р , р р1 р2 ... рn где рi - веса i-го измерения (i = 1, 2 …, n). р - вес общей арифметической середины. Обработка неравноточных измерений. Дано: ℓ1, ℓ2, ... ℓn - ряд неравноточных результатов измерений, n – число измерений. р1, р2, … , рn - веса измерений. Найти: а) весовое среднее; б) СКО единицы веса; в) СКО весового среднего; г) СКО любого из n измерений mi. Решение: 1) Определяем арифметическую середину (весовое среднее) 0 р. р 2) Вычисляем вероятнейшую ошибку vi = ℓi - ℓ0. КОНТРОЛЬ: [рv] = 0 – сумма произведений отклонений результатов измерений от весового среднего должно быть равно нулю. 3) Определяем СКО единицы веса рv . 2 n 1 4) Вычисляем СКО весового среднего ℓ0 М р . 5) Вычисляем СКО любого измерения 14 mi . pi 7. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ФУНКЦИИ ИЗМЕРЕНЫХ ВЕЛИЧИН. ПОНЯТИЕ О ДВОЙНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ. При обработке данных геодезических измерений часто бывает необходимо оценить точность не только самих измерений, но и вычисленных по их результатам величин. Приведем формулу для вычисления СКО функции U нескольких независимых аргументов. Дано: U = f(x, y … z), где x, y … z – истинные значения аргументов (измеренные величины), mx, my, … mz - СКО независимых аргументов функции. Найти: mU = f (mx, my, … mz) – СКО функции измеренных величин. Решение: 2 U 2 U 2 mU2 m y ... , mx x y 2 (1) где U , U ... U - частные производные функции U по аргументам x, x y z y, … z. Частные случаи формулы (1) для СКО некоторых функций: 1) U k x; k const; U k x mU mx k . U U 1 mU m x2 m 2y . x y U x1 x2 ... xn ; 2) U x y ; mx1 mx 2 ... mxn mx mU mx n . 15 (2) (3) (4) 3) U x y; U U y; x mU y 2 m x2 x 2 m 2y . (5) x y 4) U k1 x1 k2 x2 ... kn xn ; k1 k2 ... kn ; U ki ; mx1 mx 2 ... mxn xi n mU2 ki2mxi2 . 1 5) U a x b y mU a m b m 2y . 2 6) U x tgy (6) 2 x mU tg 2 y m x2 2 x2 m 2y . cos 4 y (7) (8) Если функция имеет вид U = x · y · z, то для нее можно записать выражение для вычисления относительной ошибки функции в виде 2 mU m x m y mz . U x y z 2 2 2 В Приложении Б приведены значения производных, необходимых для решения задач. При оценке точности способов геодезических измерений и исследовании геодезических приборов часто используют метод двойных измерений. Сущность метода заключается в том, что одна и та же величина измеряется дважды, а результаты измерений обрабатывают с применением формул для случайных ошибок. Предварительно образуют разности двойных измерений di = l’i - li, где li, l’i - соответственно, первое и второе значение одной и той же измеренной величины, (i = 1,2,…,n); n - число измерений. СКО разности двойных измерений выражается формулой md 16 d . 2 n Так как ml = ml’, то md m 2. Окончательно получим выражение для СКО отдельного измерения из n двойных измерений при отсутствии систематических ошибок d . 2 m 2n На наличие в разностях di постоянно действующей систематической ошибки укажет значительное отклонение от нуля величины среднего арифметического d0 из n разностей двойных измерений: d0 d . n Обозначив случайную составляющую ошибок разностей двойных измерений через i = d0 – di; (i = 1,2,…,n), получим md , 2 n 1 или m md 2 . 2(n 1) 2 Приняв коэффициент Стьюдента t = 2, что соответствует доверительной вероятности р = 0,95; при числе измерений n > 30 можно записать неравенство d 2,5 d n . Если данное условие соблюдается, то в разностях двойных измерений di постоянная систематическая ошибка отсутствует. В пособии [2] приведен более жесткий критерий d 0,25d , при соблюдении которого величина md CКО разности двойных измерений не будет искажена систематическими ошибками в пределах точности ее вычислений. 17 8. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ОШИБОК ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Задача 1. Горизонтальный угол измерен равноточно пять раз. Полученные результаты даны в таблице. Вычислить вероятнейшее значение угла и СКО отдельного измерения. Решение: № угла Величина угла 2 1 2 3 4 5 4532 4531 4530 4532 4531 0 = 4531,2 +0,8 -0,2 -1,2 +0,8 -0,2 = 0 0,64 0,04 1,44 0,64 0,04 2 = 2,8 Среднее арифметическое (вероятнейшее) значение определим как 0 [ ] 2 1 0 2 1 4530 4531,2. n 5 Вычислим в таблице построчно вероятнейшие ошибка i по формуле i = ℓi - 0. Контроль: [] = 0.2 СКО измеренного угла вычислим как m [ 2 ] 2,8 0,8. n 1 4 СКО вероятнейшего значения (окончательно результата) вычислим как m 0,8 М 0,4 . n 5 2 В некоторых случаях при контроле может наблюдаться небольшое расхождение, которое объясняется ошибками округления: например, [] = 0,2 ≈ 0. 18 Следовательно, наиболее надежный результат 0 = 4531,2 с ошибкой 0,4. Задача 2. В таблице приведены результаты определения отметки узловой точки 5 по каждому из 3-х нивелирных ходов (измерения неравноточные). Вычислить вероятнейшее значение угла и СКО отдельного измерения. Решение: № изм. Отметка точки, м Длина нивелирного хода, км 1. 81,379 8 2. 81,371 2 3. 81,374 4 р 1 L 1 8 1 2 1 4 р c , L c8 , мм р 2 2р 1 +6 +6 36 36 4 -2 -8 4 16 2 +1 +2 1 2 р = 7 ℓ0 = 81,373 р = 0 2р = 54 Вычислим в таблице построчно веса измерений Pi. Среднее арифметическое (вероятнейшее) значение определим как 0 [ р] 0,009 1 0,001 4 0,004 2 81,370 81,373 м. [ р] 7 Вычислим в таблице построчно вероятнейшие ошибка i по формуле i = ℓi - ℓ0. Контроль: [р] = 0.3 Получив 2р = 54, вычислим СКО единицы веса m [ 2 р ] 54 5,2 мм. n 1 2 3 В некоторых случаях при контроле может наблюдаться небольшое расхождение, которое объясняется ошибками округления: например, [р] = 0,3 ≈ 0. 19 СКО вероятнейшего значения (окончательно результата) вычислим как m 5,2 М 2 мм. [ р] 7 Следовательно, наиболее надежный результат ℓ0 = 81,373 м с ошибкой 0,002 м. Задача 3. СКО трех неравноточных измерений углов одного треугольника равны 2, 3, 6. Установить веса измерений. Решение: 1 1 1 1 р 2 р1 , р 2 , р 3 . 4 9 36 m Введем постоянный коэффициент с = 36, тогда р1 = 9, р2 = 4, р3 = 1. Задача 4. Для определения высоты сооружения Н измерено горизонтальное проложение d = 95,50 м и вертикальные углы 1 = -054, 2= +1030 (рисунок 1). Найти СКО mН вычисления высоты Н, если md= 0,03 м и m1 = m2 = 30. 2 Н 1 d Рисунок 1 - Расчет точности определения высоты сооружения Решение: Из рисунка 1 имеем H = d (tg 1 + tg 2). Применяя к функции H формулу (1), получим H (tg 1 tg 2 ), d 20 1 H 1 , d 2 2 cos 1 cos 2 d 2 m2 1 1 m H2 m d2 (tg 1 tg 2 ) 2 2 4 cos 1 cos 4 2 . Подставляя в последнюю формулу значения tg 1 = -0,015709; tg 2 = 0,18534; cos 1 = 0,99988; cos 2 = 0,98326 и принимая = 206265, получим 9120,25 900 (1,00048 1,06986) 2062652 0,00003 0,00040 0,00043; m H2 0,0009 0,02877 m Н 0,00043 0,021 м. Задача 5. Площадь S треугольника определялась графически. Его высота h = 4,46 см и основание b = 5,24 см измерены с ошибкой mh=mb= 0,02 см. Найти ошибку mS вычисления площади треугольника. Решение: Площадь треугольника S определяется по формуле S bh . 2 Согласно формуле (1) имеем S S m mb2 mh2 . b h 2 2 2 S Найдем значения частных производных S 1 h и b 2 S 1 b h 2 и подставим их в формулу m S2 1 2 2 1 2 2 h mb b m h , 4 4 21 mS 4,46 2 5,24 2 0,02 2 0,02 2 0,07 см 2 . 4 4 Относительная ошибка площади треугольника равна m S 0,07 см 2 1 1 . S 11,7 см 2 167 170 Задача 6. Вычислить предельную ошибку определения превышения, полученную из результатов тригонометрического нивелирования по формуле h = 0,5D sin 2; если измерены угол наклона = 110 с ошибкой m=30 и длина линии D = 200 м с ошибкой mD = 0,5 м. Решение: Используем формулу (1) и получаем f f mh mD m D 2 2 2 0,5 D cos 2 2 m (0,5 sin 2 m D ) 2 0,5 200 0,99917 2 30 (0,5 0,04071 0,5) 2 206265 2 0,0001 0,0008 0,03 м. Предельная ошибка 3mh = 0,09 м. Задача 7. Каковы ошибки приращений координат X и Y, вычисляемых по формулам X = d cos r, Y = d sin r, если линия d = 300 м измерена с ошибкой md = 0,02 м, а r = 36 определен с ошибкой mr=1. Решение: По формуле (1) получаем 22 m f f m X m d m r (cos r m d ) 2 d sin r r d r 2 2 2 1 (0,80902 0,02) 300 0,58778 3438 2 2 0,000262 0,00263 0,05 м. m m Y (sin r m d ) 2 d cos r r 2 1 (0,58778 0,02) 300 0,80902 0,07 м. 3438 Задача 8. В 9-угольнике углы измерены равноточно с m = 0,5. Вычислить СКО суммы всех углов. Решение: По формуле (4) 2 2 m m n 0,5 9 1,5. Задача 9. СКО измерения каждого из углов и равна m = 20. Чему равна ошибка угла , вычисленного по формуле = +? Решение: По формуле (4) m m2 m2 m 2 28. Задача 10. Вычислить ошибку направления, если СКО центрирования 5, отсчитывания 1, визирования 3. Решение: По формуле (3) m mЦ2 mО2 mВ2 25 1 9 6. Задача 11. При определении расстояний нитяным дальномером с коэффициентом К = 100 ошибка взятия отсчета по рейке mℓ = 5 мм. Найти СКО длины линии. Решение: По формуле (2) mD = K mℓ = 100 ( 5 мм) = 500 мм = 50 см. 23 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. Назовите общие требования к вычислениям. Назовите основные требования к ведению записей при геодезических измерениях и вычислениях. Назовите правила округления чисел. Какие факторы влияют на результаты измерений? Назовите виды ошибок измерений по характеру действия. Назовите виды ошибок по источнику происхождения. Какие ошибки называются грубыми? Какие ошибки называются систематическими? Какие ошибки называются случайными? Сформулировать свойство компенсированности случайных ошибок. Сформулировать свойство пропорциональности случайных ошибок. Как вычислить СКО по формуле Гаусса? Когда оценка точности измерения считается надежной? Какие величины вычисляют при обработке ряда равноточных измерений? Как вычислить простую арифметическую середину? Как вычислить СКО по формуле Бесселя для равноточных измерений? Что такое вес измерения? Что такое СКО единицы веса? Как установить веса при угловых измерениях? Как установить веса при измерении длины линии? Как установить веса при определении превышения? Как вычислить общую арифметическую середину? Какие величины вычисляют при обработке ряда неравноточных измерений? Записать условие компенсированности случайной ошибки для неравноточных измерений. Как вычислить СКО измерения, зная его вес и ошибку единицы веса? Как вычислить СКО функции измеренных величин по СКО их аргументов? 24 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Исходные данные для решения задач определяются студентами по номеру варианта индивидуального задания, который указывает им преподаватель. Пример: № варианта = 31. Задача. По значению m = (0,№ + 5) определить значение n, если n = m + 5. Решение: m = (0,№ + 5) = (0,31 + 5) = 5,31. n = m + 5 = 5,31 + 5 = 10,31. Задача 1. Линия измерена четыре раза равноточно: ℓ1; ℓ2; ℓ3; ℓ4 (см. данные в таблице 1). Определить вероятнейшее значение измерения и его ошибку. Таблица 1 – Значения результатов измерений по вариантам заданий № Результат измерения, м Результат измерения, м № вариваририℓ1 ℓ2 ℓ3 ℓ4 ℓ1 ℓ2 ℓ3 ℓ4 анта анта 1 88,22 88,24 88,23 88,27 16 34,67 34,68 34,64 34,65 2 72,32 72,35 72,32 72,33 17 95,06 95,04 95,04 95,10 3 57,78 57,79 57,77 57,76 18 42,12 42,14 42,15 42,11 4 88,11 88,13 88,13 88,15 19 82,43 82,46 82,42 82,45 5 29,95 29,94 29,97 29,98 20 34,28 34,26 34,24 34,26 6 45,45 45,48 45,49 45,46 21 73,65 73,67 73,68 73,64 7 62,32 62,33 62,32 62,35 22 22,97 22,96 22,99 22,96 8 92,27 92,23 92,26 92,24 23 59,30 59,28 59,26 59,28 9 98,35 98,36 98,33 98,36 24 57,08 57,05 57,07 57,04 10 78,12 78,16 78,15 78,13 25 44,68 44,65 44,64 44,67 11 46,56 46,57 46,54 46,53 26 71,33 71,34 71,30 71,35 12 97,12 97,15 97,15 97,14 27 37,81 37,82 37,85 37,84 13 97,77 97,75 97,78 97,74 28 167,77 167,76 167,74 167,73 14 49,24 49,25 49,23 49,20 29 59,03 15 58,10 58,06 58,04 58,08 30 153,27 153,24 153,26 153,27 25 59,00 59,02 59,03 Задача 2. Вычислить вероятнейшее значение из трех неравноточных измерений одного угла и его ошибку, если: 1 - среднее из n1 приемов, 2 - среднее из n2 приемов, 3 - среднее из n3 приемов (см. данные в таблице 2). Таблица 2 – Значения результатов измерений по вариантам заданий № варианта Результат измерения угла Число приемов измерения 1 2 3 n1 n2 n3 1 531431 531433 531432 2 3 4 2 1230805 1230807 1230804 2 3 4 3 2354534 2354533 2354535 2 3 4 4 453204 453205 453202 2 3 4 5 972441 972440 972442 2 3 4 6 3425606 3425604 3425603 2 2 5 7 885657 885659 885656 2 2 5 2 5 8 905908 905906 905909 2 9 125019 125100 125017 2 2 5 10 760101 760103 760104 2 2 5 11 382616 382613 382617 1 5 3 12 665304 665302 665304 1 5 3 13 811136 811134 811137 1 5 3 14 790756 790755 790754 1 5 3 15 713333 713334 713332 1 5 3 16 493518 493517 493519 6 1 2 17 2574307 2574306 2574305 6 1 2 18 3014944 3014942 3014944 6 1 2 19 3214115 3214117 3214116 6 1 2 20 1070609 1070605 1070607 6 1 2 21 654039 654037 654035 1 4 4 22 1683234 1683233 1683232 1 4 4 23 285819 285901 285912 1 4 4 26 Продолжение Таблицы 2 № варианта Результат измерения угла Число приемов измерения 1 2 3 n1 n2 n3 24 2484725 2484724 2484723 1 4 4 25 3101006 3101004 3101003 1 4 4 26 192718 192717 192715 3 3 3 27 1485521 1485524 1485523 3 3 3 28 692902 692904 692905 3 3 3 29 3461617 3461615 3461618 3 3 3 30 933717 933719 933716 3 3 3 Задача 3. СКО трех неравноточных измерений углов одного треугольника равны m1, m2, m3 (см. данные в таблице 3). Найти веса измерений. Таблица 3 – Значения результатов измерений по вариантам заданий № варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Значения СКО, секунд m1 m2 m3 1 2 4 1 3 9 4 4 8 2 4 8 3 1 9 2 8 2 3 6 1 7 4 28 5 2 10 5 10 1 3 27 9 4 8 1 6 1 2 9 18 2 21 3 7 № варианта 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Значения СКО, секунд m1 m2 m3 4 12 3 3 3 9 4 16 1 2 16 4 15 3 5 3 6 3 3 2 1 7 14 2 6 1 5 5 10 5 4 16 4 3 4 1 16 2 2 8 1 4 9 3 9 Задача 4. В 9-угольнике углы измерены m=(0,№). Вычислить СКО суммы всех углов. 27 равноточно с Задача 5. СКО измерения каждого из углов и равна m=(№+3). Чему равна ошибка угла , вычисленного по формуле =+? Задача 6. Вычислить ошибку направления, если СКО центрирования (№ + 1), отсчитывания (№ + 3), визирования (№ + 5). ЛИТЕРАТУРА: 1. Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений. - М.: Недра, 1983. 2. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической обработки геодезических измерений: Учебное пособие для вузов. - М.: Недра, 1984. 3. Драйв Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука, 1983. 4. Инженерная геодезия. Учебник для вузов / Клюшин Е.Б., Киселев М.И., Михелев Д.Ш., Фельдман В.Д.; под ред. Михелева Д.Ш. – М.: Высш. шк., 3-е издание, исправл. и дополн, 2002. 5. Инженерная геодезия: Учебник для вузов / Багратуни Г.В., Ганьшин В.Н., Данилевич Б.Б. и др. - 3-е изд. перераб. и доп.- М., Недра, 1984. 6. Кулешов Д.А., Стрельников Г.Е. Инженерная геодезия для строителей: Учебник для вузов - М.: Недра, 1990. 7. Курс инженерной геодезии / Под ред. В.Е. Новака - М., Недра, 1989. 8. Лабораторный практикум по инженерной геодезии: Учебное пособие для вузов / В.Ф. Лукьянов, В.Е. Новак, Н.Н. Борисов и др. М.: Недра, 1990. 9. Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. – М.: Недра, 1971. 28 Приложение А КОЭФФИЦИЕНТЫ СТЬЮДЕНТА t ДЛЯ ИНТЕРВАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ОДНОЙ ИЗМЕРЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ p N 2 3 4 5 6 8 10 20 0,950 0,990 0,997 4,3 3,2 2,8 2,6 2,4 2,3 2,2 2,1 9,9 5,8 4,6 4,0 3,7 3,4 3,2 2,8 18,5 9,2 6,6 5,5 4,9 4,3 4,0 3,4 Приложение Б ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ Функция Производная Функция Производная c = const 0 cos x -sin x cx c tg x xn nx n 1 ctg x 1 n x sin x 1 n 1 x n ln x cos x lg x 29 1 cos 2 x 1 2 sin x 1 x 1 x lg e Азаров Борис Федотович, Карелина Ирина Владимировна Решение задач по теории ошибок геодезических измерений Методические указания для самостоятельной работы студентов, обучающихся по направлениям 270800 «Строительство» и 270100 «Архитектура» Подписано в печать 16.02.13. Формат 60*84 1/16. Печать - цифровая. Усл. печ. л. 1,86. Тираж 150 экз. Заказ 2013 - 78 Отпечатано в типографии АлтГТУ, 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46 тел.: (8–3852) 29–09–48 Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД №28–35 от 15.07.97 г.
