Л15. Первообразная и интеграл ПРЕЗЕНТАЦИЯ

Первообразная
Интеграл
Содержание

Понятие первообразной

Неопределенный интеграл

Таблица первообразных

Три правила нахождения первообразных

Определенный интеграл

Вычисление определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции (1)

Площадь криволинейной трапеции (2)

Площадь криволинейной трапеции (3)

Площадь криволинейной трапеции (4)

Пример (1)

Пример (2)
Понятие первообразной
Функцию F(x) называют первообразной для
функции f(x) на интервале (a; b), если на нем
производная функции F(x) равна f(x):
F ( x )  f ( x )
Операцию, обратную дифференцированию
называют интегрированием.
Примеры
1. f(x) = 2x; F(x) = x2
F(x)= (x2) = 2x = f(x)
2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x
F(x)= (cos x) = – sin x = f(x)
3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x
F(x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)
4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x
F(x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)
Неопределенный интеграл
Неопределенным интегралом от непрерывной
на интервале (a; b) функции f(x) называют
любую ее первообразную функцию.
f
(
x
)
dx

F
(
x
)

c

Где С – произвольная постоянная (const).
Примеры

1.  Adx  Ax  C ; Ax  C   A
2.  e dx  e  С;
x
x
e
x
4.  x dx 
 С;
4
3


C e
x

3.  sin xdx   cos x  С ;
4
x
 cos x  C
 sin x

tg x  C  
1
2
cos x

x
 1
  С    4x 3  x 3
4
 4

1
5. 
dx  tg x  C ;
2
cos x
4
Таблица первообразных
F(x)
x n1
C
n 1
2x x
C
3
sin x  C
 cos x  C
tgx  C
 ctgx  C
f(x)
x
n
х
F(x)
f(x)
ax  C
ax
lna
1
C
x
ln x
cos x
ex  C
e
sin x
1
сos 2 x
1
sin2 x
Cx
C
loga x  C
1
x lna
arcsin x  C
x
1
1  x2
Три правила нахождения
первообразных
1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) –
первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть
первообразная для f(x) + g(x).
2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k –
постоянная, то функция kF(x) есть первообразная
для kf(х).
3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –
1
постоянные, причем k ≠ 0, то функция
F(kx + b)
k
есть первообразная для f(kx + b).
Определенный интеграл
b
 f xdx  F x
b
a
 F b   F a 
a
– формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
заключается в том, что определенный интеграл
равен
площади
криволинейной
трапеции,
образованной линиями:
сверху ограниченной кривой у = f(x),
и прямыми у = 0; х = а; х = b.
Вычисление
определенного интеграла
 3x

2
2

 2 x  1 dx  x  x  x
3
2

2
1

1

 

 23  22  2  13  12  1  6  1  5

10
3
2x  6 x  6
x  6 dx 
3

10

3
Площадь криволинейной
трапеции
y
D
C
b
S ABCD   f x dx 
a
a
b
B
x=b
x=a
0
A
 F b   F a 
y=0
x
Площадь криволинейной
трапеции (1)
y
B
b
y=0
x
b
S ABCD   f x dx 
D
C
x=b
a
x=a
0
A
a
 F a   F b
y
Площадь криволинейной
трапеции (2)
D
C
S PMCD  S ABCD  S ABMP 
P
0
Aa
M
b B
b
b
a
a
  f  x dx   g  x dx 
   f  x   g  x dxx
b
a
y
Площадь криволинейной
трапеции (3)
D
0
A
a
P
C
S PMCD  S ABCD  S ABMP 
B
b
M
b
b
a
a
x
  f  x dx   g  x dx 
b
   f  x   g  x dx
a
Пример 1:
вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
y
SВОС  SABCD  SABOCD 
C

B
A
-1
2
2
2
2
1
1
2



x

2
dx

x

 dx 
x
x
  х  2  х 2 dx    2x 
3
 2
1
O
D
2


2
3
2

 
 1
8 1
1
1

  2  4      2    5   4,5
3 2
3
2

x
y
Площадь криволинейной
трапеции (4)
SАЕDВ  SAEDC  SСDB 
D
с
b
a
с
  f x dx   gx dx
Е
0
Aa
с
C
b
B
x
вычислить площадь фигуры,
Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
y
4
0
SАDВ  SADС  SСDB 
D
A
2
4
C
8
B
x
вычислить площадь фигуры,
Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
4
8
  x - 2 dx   2
2
2
4
3 4

x  2
8 - хdx 
3
48  x  8  x

3
2
8

4
 4  23 2  23   48  8  8  8 48  4  8  4 






 3
 
3
3
3


 
8 32 40
1
 

 13
3 3
3
3