Домашняя работа 13

Домашняя работа 13
Интегральное исчисление
Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства
неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом
замены переменной.
Первообразная функция
Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b],
если в любой точке этого отрезка верно равенство: F(x) = f(x).
Основное свойство первообразной: Функция f(х) имеет бесконечно много
первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянную.
Неопределенный интеграл
Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность
первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.
Записывают:
 f ( x)dx  F ( x)  C;
 – знак интеграла,
f(x) dx – подынтегральное выражение,
F(x) – первообразная функции f(x),
С – константа.
Свойства неопределенного интеграла

1.  f ( x)dx  ( F ( x)  C )  f ( x);
где


 f(x)  g(x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx где f(x), g(x) – некоторые функции от х.
3.  C  f ( x)dx  C   f ( x)dx;
2.
Таблица неопределенных интегралов
1.  0  dx  c
2.
 1 dx  x  c
3.

 x  dx 
x 1
 c,   1
 1
dx
 ln x  c
4. 
x
ax
c
5.  a x  dx 
ln a
6.  e x  dx  e x  c
7.
8.
 sin x  dx   cos x  c
 cos x  dx  sin x  c
dx
 tgx  c
9. 
cos 2 x
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
dx
 sin
 ctgx  c
x
dx
1
x
 a2  x2  a arctg a  c
dx
1
xa
 x2  a2  2a ln x  a  c
dx
1
xa
 a2  x2  2a ln x  a  c
dx
2
2
 a2  x2  ln x  a  x  c
dx
2
2
 x 2  a 2  ln x  x  a  c
dx
x
 a2  x2  arcsin a  c
2
 tgx  dx   ln cos x  c
18.
 ctgx  dx  ln sin x  c
Методы интегрирования
1) Непосредственное интегрирование
4.1 Найдите неопределенные интегралы методом непосредственного
интегрирования:
 4

 x2 2

8
1.     4 x  3 dx
 6 x dx
5.   2 
 2 х

1 x2
 sin x


x2  x  2
x 
  dx
dx
6. 
2.  
2 
3
x 1
 2x  x 
3. 
7.  ( x 2  2 sin x  1)dx
2 3 x  3x 2
dx
x2
3 
 5
4.    2e x  2
  dx
x  1
 3x
8.
3dx
 9  16 x
2
2) Метод введения новой переменной (метод подстановки)
Алгоритм
4.2 Найдите неопределенные интегралы методом подстановки:
x
1.  x( x 2  1) 3 / 2 dx.
11.  (2 x  1) 20dx
6. 2e dx
 2  e 
x 2
2.

sin x cos xdx
x2
dx
3. 
cos 2 x 3
4. 
5. 
sin x
 dx
5  cos x
x  dx
2x 2  3
12.

2  x2  2  x2
dx
x  ln x
13.

cos x
9.  sin 3 x  dx
14.

10.  sin 2 x  dx
15.  cos 2 x  sin xdx
7.  sin 4 x  cos x dx
8. 
4  x4
sin 3 x
dx
x  arctgx
dx
1 x2
dx
3) Метод интегрирования по частям осуществляется по формуле:
 udv  uv   vdu
где u, v – непрерывно-дифференцируемые функции от х.
Алгоритм
Представляют интеграл через u, dv с помощью таблицы:
Интеграл вида:
 f(x)  sin kx  dx
 f(x)  ln kx  dx
 f(x)  cos kx  dx
 f(x)  e  dx
 f(x)  a  dx
kx
kx
u  f ( x)  du  f ( x)  dx
 sin kx  dx
cos kx  dx

dv   kx

 e  dx
 a kx  dx
 sin kx  dx

 cos kx  dx
v   kx
  e  dx
 a kx  dx
 
 f(x)  arcsin kx  dx
 f(x)  arccos kx  dx
 f(x)  arctg kx  dx
 f(x)  arcctg kx  dx
Замена
 ln kx
 arcsin kx

u  arccos kx 
 arctg kx

 arcctg kx
 ln kx  dx

 arcsin kx   dx

du  arccos kx   dx


 arctg kx   dx
 arcctg kx   dx

 sin ax  e
 cos ax  e
kx
 dx
kx
 dx

u  e kx  du  e kx  dx
 
 sin ax  dx
dv  

cos ax  dx
 sin ax  dx
v  
 cos ax  dx
dv  f ( x)  dx  v   f ( x)  dx
Замечание
Интегрируют по частям
столько раз, какова степень
многочлена f(x)
где f(x) – степенная функция
Интегрируют по
частям два раза
4.3 Найдите неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
1.  ( x  5)cos x  dx.
6.  e 2 x cos xdx
ln x
 x dx
3.  x  arctgx dx
4.  x sin x  dx
5.  x å  dx
2.
3
2
2 4õ
7.  e  x sinxdx
8.  5 x 2 e 5 x dx
 x ln xdx
10.  10 x cos xdx
9.