Загрузил sasha.koknaev.921

Метода

Реклама
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Ивановский государственный энергетический
университет имени В.И. Ленина»
Е.В. Сметанин, Н.Б. Иванова
Организация самостоятельной работы
и аудиторных занятий по курсу
«МАТЕМАТИКА»
(1-й семестр)
Учебно-методическое пособие
Иваново 2015
УДК 517(075.8)
C 50
Сметанин
Е.В.,
Иванова
Н.Б.
Организация
самостоятельной работы и аудиторных занятий по курсу
«МАТЕМАТИКА»
(1-й
семестр):
Учеб.-метод.
пособие
/ ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический
университет имени В.И. Ленина». − Иваново, 2015. − 188 c.
ISBN
Учебно-методическое пособие содержит материалы для
организации самостоятельной работы и аудиторных занятий по
курсу математики (1-й семестр). Предназначено для студентов
первого курса, обучающихся по специальности 141403.65
«Атомные
станции:
проектирование,
эксплуатация
и
инжиниринг».
Печатается по решению редакционно-издательского совета
ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический
университет имени В.И. Ленина»
НАУЧНЫЙ РЕДАКТОР
доктор технических наук, профессор В.К. Семенов
РЕЦЕНЗЕНТ
кафедра атомных электрических станций
ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический
университет имени В.И. Ленина»
ISBN
© Е.В. Сметанин, Н.Б. Иванова, 2015
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебно-методическое пособие написано на основе
многолетнего опыта чтения лекций и ведения семинаров по
математике для студентов, обучающихся на специальности
141403.65 «Атомные станции: проектирование, эксплуатация и
инжиниринг» (ранее на специальности 140404.65 «Атомные
электрические станции и установки»). Существенное влияние на
подборку материала, последовательность и уровень его
изложения оказали чтение автором курсов по теоретической
физике и ряда специальных курсов, посвященных применению
математических методов в физике, на физическом факультете
Ивановского государственного университета и проводимый при
этом анализ математической подготовки физиков.
Пособие содержит программы лекционных и практических
занятий, план проведения лабораторных работ, информацию о
формах проведения промежуточных и итогового контролей,
список рекомендуемой учебной литературы, список вопросов к
экзамену, а также материалы для проведения практических
занятий и самостоятельной работы студентов в объеме 18
семинаров.
В материал первого семестра включены элементы
следующих разделов: теория множеств, математическая логика,
теория алгоритмов, теория групп, комплексные числа, теория
матриц, системы линейных алгебраических уравнений,
геометрические
векторы,
аналитическая
геометрия
на
плоскости,
метрические
пространства,
числовые
последовательности,
функции
одной
переменной
(до
вычисления производных включительно). Материал для
самостоятельной работы к каждому семинару содержит две
части: теоретическое введение (определения, теоремы,
формулы) и подбор задач, что способствует более активному и
неформальному усвоению студентами изучаемого предмета.
Расчетно-графические работы, предлагаемые студентам,
включают в себя решение задач по каждому семинару. В целях
более объективной оценки знаний студента в семинарах
выделены задачи удовлетворительного уровня сложности,
умение решать которые является необходимым условием для
получения студентом удовлетворительной оценки.
3
I. ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И КРАТКОЕ
СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ (по темам)
№
п/п
1
1
2
3
4
Всего
часов
Наименование разделов
2
Элементы теории множеств
Понятие множества, подмножества,
операции над множествами (объединение,
пересечение, разность, симметрическая
разность), дополнение множества, принцип
двойственности, формулы де Моргана,
декартово произведение, экспонента
множества, отображения множеств,
отношение эквивалентности, классы
эквивалентности, фактор-множество,
каноническое отображение,
эквивалентность множеств, мощность
множества
Элементы теории групп
Определение группы, таблица умножения
группы, подгруппы, коммутативные и
некоммутативные группы, дискретные и
непрерывные группы, циклические группы,
симметрические группы, свойства таблицы
умножения группы, изоморфизм, теорема
Кэли, смежные классы, теорема Лагранжа,
классы сопряженных элементов,
инвариантная подгруппа, фактор-группа,
гомоморфное отображение
Понятие поля, комплексные числа
Определение поля, примеры полей,
определение комплексного числа, формы
записи комплексного числа
(геометрическая, алгебраическая,
тригонометрическая и показательная),
действия над комплексными числами
(сложение, умножение, деление,
возведение в степень, извлечение корня)
Элементы теории матриц
Определение матрицы, виды матриц
(прямоугольная, квадратная,
симметрическая, кососимметрическая,
треугольная, диагональная, единичная,
нулевая), операции над матрицами
(сложение, умножение на число,
транспонирование, умножение,
вычисление следа), определитель
4
3
20
Аудиторные
Самозанятия
стоят.
ЛекСеми- работа
ции
нары
4
5
6
6
4
10
11
3
2
6
23
7
4
12
24
6
6
12
1
5
6
7
2
матрицы, свойства определителей,
обратная матрица, ранг матрицы,
собственные значения и собственные
векторы матрицы, группы матриц
Системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ)
Определение СЛАУ, виды СЛАУ,
определение решения СЛАУ, совместные
и несовместные СЛАУ, определенные и
неопределенные СЛАУ, теорема
Кронекера−Капелли, решение квадратных
(однородных и неоднородных) СЛАУ,
формулы Крамера, решение
прямоугольных СЛАУ, метод Гаусса
Геометрические векторы
Определение геометрического вектора,
операции над векторами, определение
векторного пространства, координаты
вектора, преобразование системы
координат, направляющие косинусы,
определение скалярного произведения
векторов, его свойства, длина вектора и
угол между векторами, работа постоянной
силы, определение векторного
произведения векторов, его свойства,
геометрические и физические приложения
векторного произведения, определение
смешанного произведения векторов, его
свойства, геометрические приложения
смешанного произведения векторов
Элементы аналитической геометрии на
плоскости
Декартова система координат,
преобразование декартовой системы
координат (параллельный перенос и
поворот осей координат), расстояние
между точками на плоскости, деление
отрезка в заданном отношении, площадь
треугольника, полярная система
координат, уравнение линии на плоскости,
различные виды уравнений прямой на
плоскости (общее уравнение прямой,
уравнение прямой с угловым
коэффициентом, уравнение прямой в
отрезках, уравнение прямой, проходящей
через заданную точку с заданным
направлением, уравнение прямой,
проходящей через две заданные точки,
нормальное уравнение прямой, уравнение
прямой, проходящей через заданную точку
и перпендикулярной заданному вектору,
5
3
4
5
6
11
3
2
6
14
4
2
8
20
6
4
10
1
8
9
10
11
12
2
каноническое уравнение прямой,
параметрические уравнения прямой,
уравнение прямой в полярной системе
координат), расположение прямых на
плоскости (условия совпадения и
параллельности прямых, угол между
прямыми, условие перпендикулярности
прямых), расстояние от точки до прямой,
общее уравнение линий второго порядка,
приведение уравнения к каноническому
виду, классификация кривых второго
порядка, окружность, эллипс, гипербола,
парабола
Элементы логики
Логика высказываний, таблицы истинности,
эквивалентность высказываний,
нормальные формы для логических
функций, логика предикатов,
преобразования формул логики
предикатов, элементы теории
доказательств
Элементы теории алгоритмов
Значение и свойства алгоритмов,
простейшие математические модели
алгоритмов, формальное доказательство
алгоритмической неразрешимости ряда
задач, формы представления алгоритмов,
виды алгоритмов и их реализация,
сложность алгоритмов
Метрическое пространство
Определение метрического пространства,
метрика, примеры метрических
пространств
Числовая последовательность
Определение числовой
последовательности, способы ее задания,
предел последовательности, бесконечно
большие и бесконечно малые
последовательности, вычисление
пределов последовательностей, второй
замечательный предел
Числовые функции
Определение числовой функции и способы
ее задания, обратная функция, сложная
функция, график функции, четные и
нечетные функции, периодические
функции, классификация функций одного
аргумента, графики основных
элементарных функций, предел функции в
точке, односторонние пределы, бесконечно
6
3
4
5
6
24
8(лаб.)
8
8
22
8(лаб.)
8
6
3
1
2
12
2
4
6
24
8
6
10
1
13
2
большие и бесконечно малые функции,
сравнение бесконечно малых функций,
символ «о малое» и его свойства,
вычисление пределов функций, основные
теоремы о пределах, типичные
неопределенности и способы их
раскрытия, первый и второй
замечательные пределы, асимптотические
формулы, непрерывность функции в точке,
точки разрыва, их классификация,
свойства непрерывных функций в точке,
непрерывность функции на промежутке,
свойства непрерывных функций на
промежутке (ограниченность функции,
первая и вторая теоремы Вейерштрасса,
теорема об устойчивости знака, первая и
вторая теоремы Больцано−Коши,
наибольшее и наименьшее значения
функции на промежутке), равномерная
непрерывность функции
Производная функции
Определение производной функции, ее
геометрический и физический смысл,
уравнение касательной и нормали к
кривой, техника дифференцирования:
таблица основных производных, правила
дифференцирования
(дифференцирование суммы,
произведения, частного функций,
дифференцирование обратной функции,
дифференцирование сложной функции,
дифференцирование функции, заданной
параметрически, дифференцирование
функции, заданной неявно,
дифференцирование векторной функции,
логарифмическое дифференцирование),
определение первого дифференциала
функции, основные свойства
дифференциала функции, определение
дифференцируемой функции, связь
непрерывности функции с ее
дифференцируемостью, односторонние
производные, применение
дифференциала к приближенным
вычислениям
Итого
7
3
20
228
4
6
52
16 лаб.
5
6
4
10
54
106
II. ПЛАН ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
И КОНТРОЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
4
Номер
практического
занятия
1
4
2
5
3
Числовые множества, группы и
поля
6
4
6
5
Комплексные числа,
геометрическое изображение
комплексных чисел, формы
записи комплексных чисел,
действия над комплексными
числами
Операции над матрицами
7
6
Вычисление определителей
матриц, свойства определителей
8
7
Вычисление обратных матриц,
собственные значения и
собственные векторы матриц, ранг
матрицы, группы матриц
8
8
Системы линейных
алгебраических уравнений
Номер
учебной
недели
Название темы практического
занятия
Множества, подмножества,
операции над множествами,
принцип двойственности, формулы
де Моргана, декартово
произведение множеств,
экспонента множества
Отображения множеств,
отношение эквивалентности,
фактор-множество, мощность
множества
8
Форма контроля
самостоятельной
работы
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15 минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15-ти минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
9
Номер
практического
занятия
9
10
10
Контрольная работа
10
11
Уравнения прямых, расположение
прямых на плоскости, расстояние
от точки до прямой
11
12
Кривые второго порядка на
плоскости
12
13
12
14
Понятие метрического
пространства, метрика,
определение числовой
последовательности, способы
задания последовательностей,
монотонность и ограниченность
последовательностей
Вычисление пределов
последовательностей
13
15
14
16
14
17
Номер
учебной
недели
Название темы практического
занятия
Операции над векторами,
скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов
Области определения функций,
четность и нечетность функций,
периодичность функций, обратные
функции, сложные функции,
неявно заданные функции,
параметрически заданные
функции
Определение предела функции и
его вычисление
Вычисление пределов функций с
помощью замечательных
пределов, получение
асимптотических формул и
применение их к вычислению
9
Форма контроля
самостоятельной
работы
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
Проверка
решения
домашних задач
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
Номер
учебной
недели
Номер
практического
занятия
15
18
16
19
16
20
Название темы практического
занятия
пределов, непрерывность
функции, классификация точек
разрыва
Определение производной
функции, правила
дифференцирования,
дифференцирование сложных
функций, дифференцирование
функций, заданных
параметрически
Логарифмическая производная,
дифференцирование функций,
заданных неявно, дифференциал
функции, использование
дифференциала в приближенных
вычислениях, уравнения
касательной и нормали к кривым
Контрольная работа
10
Форма контроля
самостоятельной
работы
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
15-минутная
контрольная
работа. Проверка
решения
домашних задач
Проверка
решения
домашних задач
III. ПЛАН ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
И КОНТРОЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО РАЗДЕЛУ «Элементы математической логики
и теории алгоритмов»
1. Логика высказываний, решение задач – 3 ч.
2. Логика предикатов, решение задач – 3 ч.
3. Доказательство логических утверждений, решение
задач – 3 ч.
4. Теория алгоритмов. Алгоритмы и вычислимые функции –
2 ч.
5. Машина Тьюринга – 1 ч.
6. Нормальные алгоритмы Маркова – 2 ч.
7. Контрольная работа по логике и алгоритмам.
11
IV. ПЛАН ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Номер
учебной
недели
4
6
8
10
12
Номер
лабораторного
занятия
1
2
3
4
5
14
6
16
Название темы лабораторного
занятия
Изучение среды MathCad
Выполнение простейших вычислений
Операции с векторами и матрицами
Построение графиков функций
Символьные вычисления. Точное и
приближенное вычисления
математических задач
Символьные вычисления. Точное и
приближенное вычисления
математических задач
Контрольная работа
V. ФОРМЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО
КОНТРОЛЕЙ
Промежуточный контроль:
а) 15-минутные контрольные работы на каждом семинаре,
проверка решения домашних задач, РГР по теме каждого
семинара;
б) две промежуточные контрольные работы.
Итоговый контроль: экзамен.
В подобранных задачах к каждому семинару выделены
задачи удовлетворительного уровня сложности. Умение
решать такие задачи является необходимым требованием к
знаниям студентов при удовлетворительной оценке их
подготовки на экзамене.
12
VI. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Список основной литературы
1. Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа/ А.Ф. Бермант,
И.Г. Араманович. – СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2006.
2. Пискунов, Н.С.
Дифференциальное
и
интегральное
исчисления,
т. 1/Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-пресс, 2007.
3. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления
/Г.М. Фихтенгольц. – М.: Физматлит, т. 1, 2003, т. 3, 2005.
4. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике, ч. 1
/Д.Т. Письменный. – М.:Айрис-пресс, 2008.
5. Гусак, А.А. Высшая математика, т. 1 /А.А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс,
2004.
6. Кудрявцев, Л.Д. Математический анализ, т.1 /Л.Д. Кудрявцев. – М.: Высш.
шк., 1973.
7. Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике /А.Д. Мышкис. – М.: Наука,
1973.
8. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для
вузов / П.Е. Данко [и др.]. – М.: ООО «Оникс»: Мир и образование, 2008.
9. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу [и др.]; под ред.
С. Н. Федина. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2007.
10. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учеб.
пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений /Г.С. Бараненков [и др.]; под
ред. Б.П. Демидовича. – М.: АСТ: Астрель, 2007.
11. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб.
пособие/ Г.Н. Берман. – СПб.: Профессия, 2007.
12. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике/ В.П. Минорский. –
М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2005.
13. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы
математического анализа: учеб. пособие для втузов /В.А. Болгов [и др.]; под ред.
А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.
14. Соболева, Е.С.
Дискретная
математика:
учеб.
для
студентов
вузов / Е.С. Соболева. – М.: Академия, 2006.
15. Куликов, В.В. Дискретная математика: учеб. пособие /В.В. Куликов. – М.:
РИОР, 2007.
Список дополнительной литературы
1. Демидович, Б.П. Краткий курс высшей математики / Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: Астрель, АСТ, 2001.
2. Ильин, В.А. Основы математического анализа, ч. 1 /В.А. Ильин, Э.Г. Позняк.
– М.: Наука, 1973.
3. Математический анализ в вопросах и задачах: учеб. пособие / под ред. В.
Ф. Бутузова. – СПб.: Лань, 2008.
4. Индивидуальные задания по высшей математике: учеб. пособие:в 4 ч.,
ч.1,2 / под общ. ред. А. П. Рябушко. − Минск: Вышэйш. шк., 2007.
5. Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб. пособие
для студентов высш. учеб. заведений /В.И. Игошин. – М.: Академия, 2008.
13
VII. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1. Понятие множества и подмножества. Операции над
множествами
(объединение,
пересечение,
разность,
симметрическая разность). Дополнение множества, принцип
двойственности,
формулы
де
Моргана.
Декартово
произведение, экспонента множества.
2. Отображение множеств, отношение эквивалентности,
классы эквивалентности, фактор-множество.
3. Эквивалентность множеств, мощность множества.
4. Числовые множества (множество натуральных чисел,
множество рациональных чисел, множество действительных
чисел).
5. Определение группы, таблица умножения группы,
подгруппы, коммутативные и некоммутативные группы,
дискретные и непрерывные группы, циклическая группа,
симметрическая группа, свойства таблицы умножения группы.
6. Изоморфные группы, теорема Кэли, смежные классы,
теорема
Лагранжа,
классы
сопряженных
элементов,
инвариантные подгруппы, фактор-группа.
7. Определение поля, примеры полей.
8. Определение комплексного числа, формы записи
комплексного
числа
(геометрическая,
алгебраическая,
тригонометрическая и показательная).
9. Действия над комплексными числами (сложение,
умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).
10. Определение матрицы, виды матриц (прямоугольная,
квадратная, симметрическая, кососимметрическая, треугольная,
диагональная, единичная, нулевая).
11. Операции над матрицами (сложение, умножение на
число, транспонирование, умножение, вычисление следа
матрицы).
12. Определитель матрицы, свойства определителей.
13. Обратная матрица, ранг матрицы.
14. Группы матриц.
15. Определение системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ), виды СЛАУ, определение решения СЛАУ,
совместные и несовместные СЛАУ, определенные и
неопределенные СЛАУ, теорема Кронекера−Капелли.
16. Решение квадратных (однородных и неоднородных)
14
СЛАУ, формулы Крамера, решение прямоугольных СЛАУ,
метод Гаусса.
17. Понятия геометрического вектора и векторного
пространства, операции над векторами, коллинеарность и
компланарность векторов, проекции вектора на ось и
направляющие косинусы, координаты вектора, операции с
векторами на координатном языке.
18. Скалярное, векторное и смешанное произведения
векторов.
19. Декартова система координат, преобразования
декартовой системы координат (параллельный перенос и
поворот осей координат), полярная система координат.
20. Различные виды уравнений прямой на плоскости
(общее уравнение прямой, уравнение прямой с угловым
коэффициентом, уравнение прямой в отрезках, уравнение
прямой, проходящей через заданную точку с заданным
направлением, уравнение прямой, проходящей через две
заданные точки, нормальное уравнение прямой, уравнение
прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной
заданному
вектору,
каноническое
уравнение
прямой,
параметрические уравнения прямой, уравнение прямой в
полярной системе координат).
21. Расположение прямых на плоскости (условия
совпадения и параллельности прямых, угол между прямыми,
условие перпендикулярности прямых), расстояние от точки до
прямой.
22. Общее уравнение линий второго порядка, приведение
уравнения к каноническому виду. Классификация кривых
второго порядка.
23. Окружность, эллипс, гипербола, парабола.
24. Понятие метрического пространства.
25. Определение числовой последовательности, предел
последовательности, вычисление пределов последовательностей,
бесконечно
малые
и
бесконечно
большие
последовательности, второй замечательный предел.
26. Определение функции и способы ее задания, четные и
нечетные функции, периодические функции, классификация
функций одного аргумента, графики основных элементарных
функций.
27. Предел функции в точке, односторонние пределы,
бесконечно большие функции, ограниченные функции,
15
бесконечно малые функции, сравнение бесконечно малых
функций, символ «о малое» и его свойства.
28. Свойства пределов, типы неопределенностей, техника
вычисления пределов, первый и второй замечательные
пределы.
29. Асимптотические формулы и их применение к
вычислению пределов.
30. Непрерывность функции в точке и в интервале,
свойства непрерывных функций, равномерная непрерывность
функции, точки разрыва и их классификация.
31. Определение производной и ее геометрическая и
физическая интерпретация, таблица производных основных
элементарных функций.
32. Правила дифференцирования (дифференцирование
суммы, произведения и частного, дифференцирование обратной
функции, дифференцирование сложной функции).
33. Правила дифференцирования (дифференцирование
функции, заданной параметрически, дифференцирование
векторной функции, дифференцирование неявных функций,
логарифмическое дифференцирование).
34. Дифференциал функции, свойства дифференциала,
применение дифференциала к приближенным вычислениям,
уравнения касательной и нормали.
16
VIII. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ
ЗАНЯТИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТОВ
CЕМИНАР 1
Множества, подмножества, операции над множествами,
принцип двойственности, формулы де Моргана, декартово
произведение множеств, экспонента множества
Понятие множества
Понятие множества относится к числу первоначальных
математических понятий. Его невозможно определить, не
заменив каким-либо синонимом: совокупность, набор, собрание
элементов и т. д. Основателю теории множеств, Георгию
Кантору,
принадлежит
следующее
высказывание:
под
«множеством» мы будем понимать соединение в некоторое
целое M определенных хорошо различимых предметов m
нашего созерцания или нашего мышления (которые будут
называться «элементами» множества M). Понятие множества
обычно поясняется только при помощи примеров.
Например: 1) множество преподавателей, работающих на
кафедре АЭС в текущем учебном году;
2) множество
многочленов
третьей
степени
P3(x)=ax3+bx2+cx+d, где a, b, c, d – вещественные числа;
3) множество всех окружностей с центром в начале
координат.
Множества обозначаются прописными буквами A,B,C,…, а
их элементы – малыми буквами a, b, c,… . Утверждение
«элемент a принадлежит множеству A» записывают кратко в
виде a  A (здесь  – символ принадлежности). Запись a  A
обозначает обратное утверждение: элемент a не принадлежит
множеству A.
Отметим некоторые способы задания множеств.
Пример 1. Зададим множество списком его элементов:
A = {1, 3, 4, 7, 12}.
Пример 2. Зададим множество с помощью порождающей
процедуры (индуктивное правило):
B = {a1 = 1, a2 = 2, an+2 = an+an+1}.
Пример 3. Зададим множество по некоторому признаку
(характеристическому свойству):
17
X – студенты первого курса ИГЭУ, обучающиеся на
специальности
«Атомные
станции:
проектирование,
эксплуатация и инжиниринг».
В этом случае часто пишут X={x|x обладает свойством Р}
или кратко X = {x | P(x)}. Например, X = {x  C|x3=1}.
Утверждение x обладает свойством P называется
характеристическим предикатом. В общем случае
предикатом в математической логике называют утверждение,
имеющее форму высказывания, на самом деле таковым не
являющееся, так как содержит переменные, конкретные
значения которых не указаны. Поскольку такое утверждение при
одних значениях переменных может быть истинным, а при
других – ложным, ему не может быть приписано истинное
значение. Высказыванием же называется утверждение или
повествовательное предложение, о котором можно сказать,
истинно оно или ложно.
Примеры высказываний:
1) куб целого числа – целое число,
2) 17 марта – международный женский день.
Примеры утверждений, не являющихся высказываниями:
1) прошу подготовиться к контрольной работе,
2) будь счастлив.
Примеры предикатов:
1) P(x):2+x = 5 (одноместный предикат),
2) R(x,y):sin x = cos y (двуместный предикат).
Введем некоторые символы, позволяющие сократить
записи высказываний:
1)  – квантор всеобщности ( x R(x20) − для любого
вещественного числа x его квадрат равен неотрицательному
числу (истинное высказывание));
2)  – квантор
существования
( x(sin x=0)
–
существует число x, синус которого равен нулю (истинное
высказывание));
3)  – импликация (логический союз если…, то… или
иное прочтение … является достаточным условием для …,
например, x0  y(x=y2);
4)  – эквиваленция (логический союз тогда и только
тогда…, когда или иное прочтение если и только если…, то…,
например, x0  x=y2.
18
Замечание. Следует быть очень внимательным при
определении истинности или ложности того или иного
высказывания. Например, высказывание xy( x  y )  0 (для
всякого числа x существует число y такое, что их сумма
положительна)
является
истинным,
а
высказывание
xy( x  y )  0 (существует такое число x, что его сумма с
любым числом y положительна) – ложным.
Далее мы рассматрим множества с различной
математической структурой. Отметим пока лишь принятые
обозначения ряда числовых множеств:
1) N={1,2,3,4,5,…} – множество натуральных чисел;
2) Z={…,−2,−1,0,1,2,… } – множество целых чисел;
m

3) Q   x | x   – множество рациональных чисел (m –
n

любое целое число, n – любое натуральное число);
4) R – множество действительных (вещественных)
чисел;
5) C – множество комплексных чисел;
6) [a,b] – отрезок (сегмент) (множество всех
вещественных чисел, удовлетворяющих неравенствам axb);
7) (a,b) – интервал (множество всех вещественных чисел,
удовлетворяющих неравенствам a<x<b);
8) (a,b], [a,b) – полуинтервал (полусегмент) (множества
всех вещественных чисел, удовлетворяющих соответственно
неравенствам a<xb, ax<b);
9) (a, +),[a, +), (-, a), (-, a] – полупрямые (лучи)
(множества всех вещественных чисел, удовлетворяющих
соответственно неравенствам a<x<+, ax<+, −<x<a,
−<xa). Заметим, что полупрямую 0x<+ часто обозначают
+
R.
Определение 1.
Множество
A
называется
подмножеством множества B, если каждый элемент
множества A является элементом множества B. Говорят также,
что множество A содержится в множестве B, или A включено
в B, или B включает A. Будем в этом случае писать A  B.
Символ  – символ включения.
Определение 2. Два множества назовем равными (или
одинаковыми), если они состоят из одних и те же элементов. В
этом случае будем писать A=B.
19
Определение 3. Если множество состоит из конечного
числа элементов, то такое множество называется конечным.
Предполагается,
что
существует
множество,
не
содержащее ни одного элемента. Такое множество называется
пустым множеством и обозначается символом .
Пример 4. X – множество действительных корней
уравнения x2+1=0.
Считается,
что
пустое
множество
является
подмножеством любого множества.
Определение 4. Пустое множество  и само множество B
называются несобственными подмножествами множества
B. Другие подмножества множества B называются его
собственными подмножествами. Для них используется
символ строгого включения A  B.
Пример 5. (1; 2)  [0; 4].
Определение 5. Множество, состоящее из одного
элемента A={a}, называется одноточечным множеством.
Следовательно,   {}.
Определение 6. Универсальным множеством U (или
универсумом) называется фиксированное в рамках данной
математической теории множество, содержащее в качестве
своих подмножеств все множества, рассматриваемые в этой
теории.
Определение 7. Пусть A и B – два множества.
Декартовым произведением A  B этих множеств называют
множество всех упорядоченных пар (a,b), где a  A, b  B.
Пример 6. A – корни уравнения x2−1=0, B – корни
уравнения x2+x−6=0. Тогда A  B = {(1,2),(1,−3),(−1,2),(−1,−3)}.
Аналогично определяется декартово произведение трех и
более множеств. Например,
A  A  A = A3 = {(1,1,1), (1,1,−1), (1,−1,1), (1,−1,−1), (−1,1,1),
(−1,1,−1), (−1,−1,1),(−1,−1,−1)}.
Определение 8. Экспонентой множества A называется
множество всех его подмножеств.
Пример 7. Exp(A)={Ø,{1},{−1},{1,−1}}.
Заметим, что Ø≠Exp(Ø).
Операции над множествами
Рассмотрим основные операции над множествами.
20
Определение 9. Пусть A и B – произвольные множества.
Их объединением (или их суммой) A  B называется
множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя
бы одному из этих множеств.
Пример 8. A  1, 2, 3 , B  2, 3, 4, C  A  B  1, 2, 3, 4 .
Определение 10. Пересечением множеств A и B
называется множество A  B , состоящее из всех элементов,
принадлежащих как A, так и B.
Пример 9. A  1, 2, 3 , B  2, 3, 4, C  A  B  2, 3 .
Введенные
операции
удовлетворяют
следующим
свойствам:
свойству коммутативности
A  B  B  A, A  B  B  A ;
свойству ассоциативности
A   B  C    A  B   C, A  B  C    A  B   C ;
свойству взаимной дистрибутивности
 A  B   C   A  C   B  C ,  A  B   C   A  C   B  C  .
Определение 11. Разностью множеств A и B называется
множество всех элементов из множества A, которые не
принадлежат множеству B. Такое множество обозначается через
C=A \ B.
Определение 12. Симметрической
разностью
множеств A и B называется множество
C  AB   A \ B    B \ A  .
Определение 13.
Дополнением
множества
AS
в
множестве S называется множество A  S \ A .
В теории множеств и ее приложениях важную роль играет
принцип двойственности, состоящий в том, что из любого
равенства,
относящегося
к
системе
подмножеств
фиксированного множества S , совершенно автоматически
может быть получено другое – двойственное ему равенство
путем
замены
всех
рассматриваемых
множеств
их
дополнениями, сумм множеств – пересечениями, а пересечений
– суммами. В основе этого принципа лежат два соотношения
(формулы де Моргана):
1) дополнение суммы равно пересечению дополнений:
21
S \   A     S \ A  ;

 
2) дополнение пересечений равно сумме дополнений:
S \   A     S \ A  .

 
Для двух множеств формулы де Моргана, которые иногда
называют законами, имеют вид
1) A  B  A  B ; 2) A  B  A  B .
Определение 14.
Множество
подмножеств
 A 
некоторого множества S образует покрытие множества S, если
S   A . Покрытие  A  множества S называется его

разбиением, если A  A  
   .
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Указанные множества задать перечислением всех своих
элементов.


1.1. A  x  R | x 3  3 x 2  2 x  0 .
1


1.2. A   x  R | x   2 и x  0  .
x




1.3. A  x  N | x 2  3 x  4  0 .
1


1.4. A   x  Z |  2x  5 .
4


1


1.5. A   x  N | log1/2  2  .
x




1.6. A  x  R | cos2 2 x  1 и 0  x  2 .
Изобразить на координатной плоскости множества.

1.8. ( x, y )  R
1.9. ( x, y )  R

1.7. ( x, y )  R 2 | x  y  5  0 .
2
2

2
|x y 0 .
2
| ( x 2  1)( y  2)  0 .

22

1.11. ( x, y )  R
1.12. ( x, y )  R
1.13. ( x, y )  R

1.10. ( x, y )  R 2 | y  2 x  1 и 2x  1  0 .
2

| y 2  2x  1 .
x 1

2
2
|2
 y  4 и 2x 1  y .
2
| cos2 x  cos2y .


1 1

1.14. ( x, y )  R 2 |  , x  0, y  0  .
x y


1.15. Описать перечислением всех элементов множества
A  B, A  B, A \ B , B\A, если




A  x  R | x 2  x  20  0 , B  x  R | x 2  x  12  0 .
1.16. Пусть A   x  N | 2  x  6 , B   x  N | 1  x  4 и


C  x  N | x2  4  0 .
Из каких элементов состоят множества:
а) B  C ;
б) A  B  C ;
в) A  B  C ;
г) ( A  B )  (B  C ) ;
д) A \ B ;
е) B C ;
ж) B  C ,
з) Exp(C ) .
1.17. Пусть
A  ( 1, 2], B  [1, 3) . Найти множества
A  B, A  B, A \ B, B \ A и изобразить их на числовой оси.
1.18. Найти все подмножества множеств ,  ,  x ,3, 4 .
1.19. Взяв множество U=[−1,1] в качестве универсального
множества, найти дополнения следующих множеств:
 1 1
 1   1 
б)   ,  ;
в)   ,0   0,
а) (−1,1);
;
2
4


 8   16 
 2 3  1
г)   ,   0,  .
 3 4  2 
1.20. Пусть множество A содержит n элементов,
множество B – m элементов, а пересечение A  B – k
элементов. Найти число элементов множеств:
а) A  B ;
б) A  B ;
в) Exp( AB ) .
1.21. Доказать формулы:
а) ( A  B )  C  ( A  C )  (B  C ) ; б) ( A  B )  C  ( A  C )  (B  C ) .
Прочитать приведенные высказывания, выяснить их
23
смысл и установить, истинны они или ложны (символами
x,y,z,a,b,c всюду обозначены действительные числа).
1.22. а) xy ( x  y  3) ;
б) y x( x  y  3) ;
в) x, y ( x  y  3) ;
г) x, y ( x  y  3) .
1.23. x, y ( x  y  0  x  y  0) .
1.24. x, y ( x  y )   z( x  z  y ) .
1.25. x, y ( x 2  2y 2 ) .
1.26. x( x 2  x  x  1  x  0) .
1.27. x( x  2  x  3  2  x  3) .
1.28.  x ( x 2  x ) .
1.29. Прочитать приведенные ниже высказывания,
выяснить их смысл и установить, истинны они или ложны:
а) a, b, c(x(ax 2  bx  c  0)  b2  4ac  0) ;
б) a, b, c(x (ax 2  bx  c  0)  b2  4ac  0  a  0) .
1.30. Прочитать приведенные ниже высказывания,
выяснить их смысл и установить, истинны они или ложны:
а) bax ( x 2  ax  b  0) ;
б) bax( x 2  ax  b  0) ;
в) abx( x 2  ax  b  0) .
Задачи повышенного уровня сложности
1.31. Для заданных семейств множеств An , n  N найти
 An и  An :
nN
nN
а) An   x  Z | n  x  n ;
б) An  3n  2, 3n  1 ;
1
 1 1
в) An  1, , , ,  .
n
 2 3
Доказать тождества.
1.32. A \  B  C    A \ B    A \ C  .
1.33. A \  B  C    A \ B    A \ C  .
1.34.  A \ B  \ C   A \ C  \  B \ C  .
1.35. A  B   AB    A  B  .
1.36. Доказать формулы де Моргана:
24
а) S \   A     S \ A  ;
б) S \   A     S \ A  .

 

 
1.37. Доказать, что A  B  B  A .
 A  X  B,
1.38. Решить систему уравнений 
 A  X  C,
где A,B,C – данные множества и B  A  C .
 A \ X  B,
1.39. Решить систему уравнений 
 X \ A  C,
где A,B,C – данные множества и B  A, A  C   .
 A \ X  B,
1.40. Решить систему уравнений 
 A  X  C,
где A,B,C – данные множества и B  A  C .
25
СЕМИНАР 2
Отображения множеств, отношение эквивалентности,
фактор-множество, мощность множества
Отображение множеств
Определение 1. Будем
говорить,
что
определено
отображение f из множества X в множество Y, если каждому
элементу x X поставлен в соответствие один и только один
элемент y Y. Синонимом слова отображение является слово
функция, которое будет употребляться при рассмотрении
числовых множеств. Кратко отображение из множества X в
f
множество Y будем записывать в виде f : XY или ( X Y ).
2
Пример 1. X – множество окружностей на плоскости R с
центром в начале координат. Если каждой окружности поставим
в соответствие ее радиус, то мы зададим отображение
f : XY=R+.
Определение 2. Если задано отображение f : XY, то
множество X называется областью определения отображения
f, а Y − областью значения этого отображения. Если x X, то
соответствующий ему элемент y=f(x) Y называется его
образом при отображении f. Совокупность всех тех элементов x
из X, образом которых является данный элемент y Y, носит
название прообраза (точнее полного прообраза) элемента y и
обозначается f−1(y).
Например, пусть y=f(x)=x2, тогда
f 1 (4 )  2,  2 .
Аналогично можно определить образ и прообраз множества.
Пусть f : XY и A  X . Тогда f (a ), a  A – образ множества A,
который обозначается f(A). Если же B  Y , то прообраз этого
множества f 1 (B ) – все элементы из X, которые отображаются в
элементы, принадлежащие множеству B. Если образом всех
элементов множества X является единственный элемент
множества Y, то такое отображение f : XY называется
постоянным отображением.
Справедливы следующие утверждения:
1) прообраз суммы двух множеств равен сумме их
прообразов:
f 1 ( A  B )  f 1 ( A)  f 1 (B ) ;
26
2) прообраз пересечения двух множеств равен
пересечению их прообразов:
f 1 ( A  B )  f 1 ( A)  f 1 (B ) ;
3) образ суммы двух множеств равен сумме их образов:
f ( A  B )  f ( A)  f (B ) .
Замечание. В
общем
случае
формула
f ( A  B )  f ( A)  f (B ) не верна.
Определение 3. Отображение f : XY есть отображение
множества X на множество Y, если f(X)=Y. Если же f(X)  Y, то
отображение f : XY называется отображением множества X
в множество Y.
Определение 4. Если отображение f : XY является
отображением множества X на множество Y и для любых двух
различных элементов x1 и x2 их образы y1=f(x1) и y2=f(x2) также
различны, то отображение f называется взаимно однозначным
отображением между множествами X и Y.
Пример 2.
Функция
y=f(x)=x3
является
взаимно
однозначным отображением f : RR.
Для каждого взаимно однозначного отображения f : XY
можно определить обратное к нему отображение f−1 : YX
правилом:
произвольному
элементу
yY ставится
в
соответствие тот элемент xX, для которого f(x)=y.
Пример 3. Для отображения f : RR, заданного правилом
3
-1
y=f(x)=x , обратное отображение f : RR имеет вид x  3 y
(или f 1 ( x )  3 x ).
Пример 4. Рассмотрим отображение
f : 0,    1,  1
вида y=f(x)=cosx. Обратное отображение f 1 : 1,  1  0,  
дается формулой x=arccosy (или f −1(x)=arccosx).
Определение 5. Отображение f : X  X , определенное
правилом f(x)=x, называется тождественным отображением и
обозначается idx.
Если заданы два отображения f:X→Y и g:Y→Z, то можно
определить
композицию
(или
произведение)
этих
отображений h  f  g : X  Z правилом h(x)=g(f(x)).
Пример 5. Пусть f:R→R (y=f(x)=x5) и
27
  
g : R   , 
 2 2
( z  g( y )  arctg y ) ,
  
тогда h  f  g : R    ,  z  h( x )  arctg x 5 .
 2 2
Прямое и обратное отображения удовлетворяют
равенствам f  f 1  id X , f 1  f  idY .


Отношение эквивалентности
Рассмотрим вопрос о разбиении множества на попарно не
пересекающиеся подмножества. Пусть M – некоторое
множество, а R – декартово произведение MM. Выделим в R
некоторое
подмножество
R  R.
Поскольку
элементы
подмножества R – некоторые пары (a,b), где a и b – элементы
множества M, то говорят, что выделение R задает бинарное
отношение в множестве M. Более точно скажем, что элемент
a находится в отношении  к элементу b, если пара (a,b) R. В
этом случае будем писать a  b. Частным случаем бинарного
отношения является отношение эквивалентности a~ b ,

которое удовлетворяет следующим свойствам. Это:
1) рефлексивность: a~ a (все пары вида

(a,a)
принадлежат подмножеству R);
2) симметричность: если a~ b , то b~ a (если (a, b )  R ,


то ( b, a )  R );
3) транзитивность: если a~ b и b~ c , то a~ c (если



(a, b )  R и ( b, c )  R , то и (a, c )  R ).
Отношение
эквивалентности
позволяет
разбить
множество на взаимно непересекающиеся классы, которые
называются классами эквивалентности отношения .
Пример 6. M=R2. В качестве отношения эквивалентности
возьмем равную удаленность точек плоскости от начала
координат. Тогда классами эквивалентности будут окружности
одинакового радиуса.
Определение 6. Множество всех классов эквивалентности
отношения  на множестве M Ka  называется фактором
28
множества M по отношению  или фактор-множеством
M / . Здесь Ka – множество всех элементов из M, находящихся
в отношении  с элементом a.
Пример 7. В предыдущем примере фактор-множество
R2 /  состояло из окружностей разного радиуса. Поскольку
каждой окружности можно поставить в соответствие число
2
+
(величину ее радиуса), то R /  отождествляется с лучом R .
Между множествами M и M /  можно задать отображение
следующего вида: каждому элементу a  M ставится в
соответствие класс Ka, содержащий этот элемент. Такое
отображение называется естественным или каноническим
(иногда проекцией) и обозначается буквой  .
Пример 8. В нашем примере каждая точка плоскости
отображается в окружность, имеющую центр в начале координат
и радиус, равный расстоянию от точки до начала координат.
Мощность множества
Определение 7. Два множества M и N называются
эквивалентными, если между их элементами можно
установить взаимно однозначное соответствие.
Так, конечные множества эквивалентны тогда и только
тогда, когда они содержат одинаковое число элементов.
Множества, эквивалентные множеству натуральных чисел N,
называются счетными множествами.
Пример 9. Рассмотрим множество целых чисел Z и
установим его счетность. Зададим, например, отображение
f:Z→N правилом 0→1, 1→2, −1→3, 2→4, −2→5, 3→6,…
Отображение
f
является
взаимно
однозначным,
следовательно, множество целых чисел – счетное множество.
Эквивалентность множеств обозначается символом
M ~ N . Об эквивалентных множествах говорят, что они имеют
одинаковую мощность. Мощность множества M обычно
обозначают m(M) (или |M|, или CardM). Последнее обозначение
обязано
другому
названию
мощности
множества
–
кардинальное число или кардинал.
Для конечных множеств понятие мощности множества
совпадает с понятием числа элементов множества. Так, если
m(M)=25, то множество M содержит 25 элементов.
Кардинальное число, приписываемое множеству натуральных
29
чисел, обозначается символом 0 (читается, алеф-нуль), а
кардинальное
число,
приписываемое
множеству
всех
вещественных чисел R, обозначается через c. Говорят, что это
множество имеет мощность континуум. Все бесконечные
множества, которые нам встретятся в курсе, будут либо
счетными, либо имеющими мощность континуум.
Пример счетности множества целых чисел показывает,
что в случае бесконечных множеств часть множества
(подмножество) может быть эквивалентна всему множеству.
Более того, справедливо утверждение: всякое бесконечное
множество эквивалентно некоторому своему собственному
подмножеству (это свойство бесконечных множеств можно взять
за их определение).
При доказательствах эквивалентности бесконечных
множеств важную роль играет теорема Кантора−Бернштейна.
Теорема 1 (Кантора–Бернштейна). Пусть M и N – два
произвольных
множества.
Если
существуют
взаимно
однозначное отображение f множества M на подмножество
N1  N и взаимно однозначное отображение множества N на
подмножество M1  M , то M и N эквивалентны (равномощны).
Мощности конечных множеств легко сравнить, поскольку в
этом случае мощность множества совпадает с числом
элементов. Для сравнения бесконечных множеств естественно
использовать следующие варианты.
1) Множество M содержит собственное подмножество,
эквивалентное множеству N, а аналогичного подмножества во
множестве N нет. В этом случае считается, что m(M)>m(N).
2) Множество N содержит собственное подмножество,
эквивалентное множеству M, а аналогичного подмножества во
множестве M нет. В этом случае считается, что m(M)<m(N).
3) Множество M эквивалентно некоторому подмножеству
множества N, а множество N эквивалентно некоторому
подмножеству множества M. Тогда в силу теоремы Кантора–
Бернштейна m(M)=m(N).
Теорема 2. Множество Exp(M) имеет мощность большую,
чем мощность исходного множества M.
Эта теорема показывает, что нет ограничения сверху на
шкалу мощностей множеств. Мощность множества Exp(M)
обозначается символом 2m, где m – мощность множества M. В
частности, 20  c .
30
Теорема 3 (о квадрате). Для каждого бесконечного
множества M его квадрат MM равномощен ему самому.
Пример 10. R ~ R 2 .
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
2.1. Доказать формулы:
а) f ( A  B )  f 1 ( A)  f 1 (B ) ;
б) f 1 ( A  B )  f 1 ( A)  f 1 (B ) ;
в) f ( A  B )  f ( A)  f (B ) .
2.2.
Привести
примеры
нарушения
равенства
f ( A  B )  f ( A)  f (B ) .
1
2.3. Какова связь между множествами A и f 1 (f ( A)) ?
Найти области определения функций.
3x  1
2.4. f ( x )  2
.
2.5. f ( x )  5  3x .
x 1
x2  4
2.6. f ( x )  ln( x  2 ) .
2.7. f ( x )  3
.
x 1
2.8. f ( x )  x  7  10  x .
2.10. f ( x )  sin
1
.
x 2
2.16. f ( x ) 
ln x
2.13. f ( x )  4 x  2 
.
2.15. f ( x )  e
x2  2
1
2x
x 2  7 x  10 .
2.11. f ( x )  log3 (  x ) .
2.12. f ( x )  x 2  tgx .
2.14. f ( x ) 
2.9. f ( x ) 
 arcsin
x
1
6
1 x
.
log2 ( 2  3x ) .
x2
.
3
2.17. Найти образ точки

и полный прообраз точки 1 при
4
отображении y=tgx.

)  R и полный
2
прообраз подмножества [ 0;1]  R при отображении y=tgx.
2.18. Найти образ подмножества [ 0;
31
Являются
ли
данные
отображения
однозначными?
2.19. f : R  R , где f  x 5  e x .

2.20. f : R  R , где f  arctg x  .
2

2.21. f : R  R , где f  5 ln( x  2 ) .
2.22. f : [ 1;1]  R , где f  arcsin x .
взаимно
2.23. f : [ 0; 2 ]  [ 1;1] , где f  sin x .
  
2.24. f :   ;   [ 1;1] , где f  sin x .
 2 2
Найти обратные функции для данных функций, если они
существуют.
2
2.25. y  x  1 .
2.26. y 
.
x3
2.27. y  x .
2.28. y  x 4 .
x
.
2.30. y  2 x 3 .
1 x
Найти сложные функции f ( x )  g( x ) и g( x )  f ( x ) .
2.29. y 
2.31. f ( x )  x , g( x )  x 2 .
2.33. f ( x )  e x , g( x )  ln x .
2.32. f ( x )  x 3 , g( x )  2x  1 .
2.34. f ( x )  3x  1, g( x )  2x  5 .
2.35. f ( x )  x , g( x )  cos x .
2.36. Рассмотрим множество действительных чисел R.
Будем считать, что между числами a и b задано отношение ,
если b=a+k, где k  Z. Показать, что данное отношение является
отношением эквивалентности. Найти фактор-множество R / .
+
2.37. Рассмотрим множество чисел R . Будем считать, что
между числами a и b задано отношение , если b = 3k a, где
k  Z. Показать, что данное отношение является отношением
эквивалентности. Найти фактор-множество R / .
2.38. Рассмотрим множество R2. Будем считать, что между
точками рассматриваемой плоскости задано отношение , если
их координаты удовлетворяют уравнению y=2x+b, где b  R.
Показать, что данное отношение является отношением
эквивалентности. Найти фактор-множество R / .
32
2.39. Показать, что эквивалентность множеств является
отношением эквивалентности. Что представляют собой классы
эквивалентности?
m
2.40. Доказать формулу m(Exp A)=2 , где m – мощность
конечного множества A.
33
СЕМИНАР 3
Числовые множества, группы и поля
Числовые множества
Определение 1. Скажем, что на множестве M определена
бинарная операция (закон композиции), если всяким двум
элементам (различным или одинаковым) множества M, взятым в
определенном порядке, ставится в соответствие вполне
определенный элемент этого же множества, т.е. бинарная
операция – это отображение M  M  M .
f
Число – основное понятие математики, сложившееся в
ходе ее длительного развития. Практическая деятельность
человека, с одной стороны; внутренняя потребность
математики, с другой стороны, определили формирование этого
понятия.
Множество натуральных чисел
Потребность счета привела к возникновению понятия
натурального числа. На множестве натуральных чисел
N={1,2,3,4,5,…} определены две бинарные операции: сложение
(n+m) и умножение (nm или просто nm). Обе эти операции
коммутативны
(n+m = m+n,
nm = mn)
и
ассоциативны
(n+(m+k) = (n+m)+k, (nm)k = n (mk)).
Множество целых чисел
Проведение математических расчетов с натуральными
числами потребовало расширения этого множества. К нему
были добавлены новые элементы («0» и «−n»), которые
обладали свойствами n+0=n и n+(−n)=0. Ноль и элементы вида
«−n» – отрицательные числа – долгое время не считались
числами,
равноправными
натуральным
числам.
Но
математическая практика доказала необходимость их введения,
что привело к формированию множества целых чисел
Z={…,−2,−1,0,1,2,…}, на котором введены те же две бинарные
операции сложения и умножения. Сложение с отрицательным
числом стали называть вычитанием.
Множество рациональных чисел
Понятие рационального числа основано на понятии
34
m
, где m  Z, n  N . На
n
множестве простых дробей также введены две бинарные
m r ms  nr
m r mr
операции правилами
 
и
 
.
n s
ns
n s ns
m
r
Рассмотрим две дроби:
и , для которых выполняется
n
s
равенство ms=ns.
Дроби, которые удовлетворяют этому равенству, назовем
m r
эквивалентными дробями и будем писать
 . Введенное
n s
отношение будет отношением эквивалентности. Действительно,
имеют место:
m m
1) рефлексивность:

(mn  nm);
n
n
m r
r m
2) симметрия: если
 , то 
( ms  nr , rn  sm );
n s
s n
m r
r p
m p
3) транзитивность: если
 и  , то
 .
n s
s q
n q
Введенное отношение эквивалентности позволяет разбить
m 
множество обыкновенных дробей   на взаимно не
n
пересекающиеся классы. Рациональным числом будем
называть класс всех эквивалентных дробей. При работе с
рациональными числами можно взять любого представителя из
класса, соответствующего данному рациональному числу
1
2
2014
(например,
, или
, или
и т.д.). При проведении
2
4
4028
вычислений с рациональными числами наиболее удобно брать
m
дроби
, где m и n − взаимно простые числа. Такую запись
n
рационального числа будем называть записью в виде
несократимой дроби.
простой (обыкновенной) дроби
Множество действительных чисел
Действительным
числом
называется
десятичная дробь вида
35
бесконечная
a = ± a0, a1, a2, a3 … an … ,
где из двух знаков «  » берется какой-либо один: плюс – для
положительных чисел (обычно не пишется), минус – для
отрицательных чисел. Здесь a0 – некоторое натуральное число
или ноль, а an(n=1,2,3, …) – одна из цифр 0,2,3, … ,9.
Рациональные числа задаются десятичными дробями с
повторяющимися цифрами или конечными десятичными
дробями.
1
Пример 1. 1)
 0 ,333 ...  0 ,( 3 ) – чистая периодическая
3
дробь;
11
2)
=0,8461538461538…=0,8(461538) – смешанная
13
периодическая дробь;
375
3)
=1,875000…=1,875(0)=1,875 (ноль в периоде
200
обычно отбрасывают).
Бесконечные десятичные дроби с неповторяющимися
числами называются иррациональными числами.
Пример 2.
1) 2  1,4142135627 7309504880 1688724209 7... ;
2)   3,141592653589793  .
На множестве действительных чисел R также вводятся
две бинарные операции: сложение и умножение. Очевидно,
N  Z  Q  R . На множестве действительных чисел также
введено отношение порядка.
А) Два числа a и b называются равными, если они имеют
одинаковые знаки и справедливы равенства ak=bk(k=0,1,2,3, … ).
Б) Если a и b – положительные неравные числа, то a0≠b0
или же при невыполнении этого неравенства существует такое
натуральное число n, что ai = bi (i=1,2, … , n−1) и an≠bn. Будем
считать, что a>b, если a0>b0 или же an>bn.
В) Если a – положительное число, b – отрицательное
число, положим a>b.
С) Если a и b – отрицательные числа, будем считать, что
a>b при условии a  b и a<b при условии a  b .
Целою частью [a] числа a называется наибольшее целое
число, меньшее a.
36
Дробной частью {a} числа a называется разность a−[a].
Теорема 1. Для любых двух вещественных чисел a и b
(a<b) найдется рациональное число c такое, что a<c<b.
Теорема 2. Для любых двух вещественных чисел a и b
(a<b) найдется иррациональное число β такое, что a<β<b.
Следовательно, между двумя любыми не равными друг
другу действительными числами можно вставить бесконечное
число как рациональных, так и иррациональных чисел.
Множество R является всюду плотным множеством.
Пусть X – непустое подмножество R.
Определение 2. Множество X называется ограниченным
сверху (снизу), если существует число M(m) такое, что x  X
выполняется неравенство x<M(x>m). Число M называется
верхней гранью множества X, а m – его нижней гранью.
Определение 3. Число x называется точной верхней
гранью ограниченного сверху множества X, если:
1) x  X : x  x ;
2) x  x x  X : x  x .
Определение 4. Число x называется точной нижней
гранью ограниченного снизу множества X, если:
1) x  X : x  x ;
2) x  x x  X : x  x .
Точная верхняя грань обозначается supX, нижняя – infX.
Определение 5. Элемент x0  X называется наибольшим
или максимальным (наименьшим или минимальным)
элементом множества X, если x  X : x  x0 ( x  X : x  x0 ).
Эти числа соответственно обозначаются maxX и minX.
Согласно данным определениям точная верхняя грань
множества X – его наименьшая верхняя грань, точная нижняя
грань множества X – его наибольшая нижняя грань.
Определение 6. Множество X называется ограниченным,
если оно ограничено сверху и снизу.
Если множество X не ограничено сверху (снизу), то пишут
supX=+∞(infX=−∞).
37
Группы
Определение группы
При определении бинарных операций на множествах
произвольной природы удобно сохранить термины умножение и
произведение и записывать бинарную операцию в виде a∙b=c
или же (в некоторых случаях) сложение и сумма и использовать
аддитивную запись: a+b=c.
Определение 7. Множество G называется группой, если
выполнены следующие условия:
1) на множестве G введена бинарная операция a∙b=c;
2) введенная бинарная операция является ассоциативной:
a∙(b∙c)=(a∙b)∙c;
3) множество G содержит единичный элемент e,
обладающий свойством e∙a=a∙e=a для всех a  G ;
4) для любого элемента a  G существует обратный
элемент a 1  G такой, что a∙a−1=a−1∙a=e.
Пример 3. Пусть G=Z. В качестве бинарной операции на
множестве целых чисел рассмотрим обычное сложение. Эта
операция удовлетворяет всем трем необходимым условиям
группы:
1) ассоциативность – 5+(3+4)=(5+3)+4=12;
2) единичным элементом e является 0;
3) обратным элементом к m  Z будет элемент m  Z
(5+(-5)=0).
Следовательно, множество целых чисел Z является
группой с бинарной операцией – сложением.
Определение 8. Два элемента a и b группы G
коммутируют друг с другом, если a∙b=b∙a.
Определение 9. Если все элементы группы G коммутируют
друг с другом, то такая группа называется коммутативной или
абелевой. Если какие-либо элементы группы не коммутируют
друг с другом, то такая группа называется неабелевой.
Определение 10. Число элементов в группе G называется
порядком этой группы.
Определение 11. Если число элементов в группе конечно,
то такая группа называется конечной группой. Если же группа
содержит счетное число элементов, то ее называют
бесконечной дискретной группой (например, Z).
Наряду с дискретными группами в современной физике
38
часто
рассматриваются
непрерывные
группы
(топологические группы или группы Ли).
Определение 12. Если все элементы группы (включая
единичный элемент) представимы в виде степени одного
элемента, то группа называется циклической и обозначается
Cn, где n – порядок группы.
Группа Cn может быть реализована вращениями вокруг
своего центра правильного многоугольника в его плоскости,
совмещающими многоугольник с самим собой. Обозначим
элемент группы Cn (вращение на угол φ ) через cφ Закон
композиции в группе введем правилом cφ∙ cθ=cφ+θ. Очевидно, что
c0 – единичный элемент группы, а элемент c−φ является
обратным элементом к элементу cφ. Любое рассматриваемое
вращение многоугольника представимо в виде некоторой
2
степени вращения на угол
, где n – число углов
n
рассматриваемого многоугольника, т.е. c  m   cm .
2  
n
Определение 13. Симметрической группой степени n
называется группа перестановок множества из n элементов. Под
перестановкой
же понимается
взаимно однозначное
отображение множества на себя, при этом элементы множества
меняются местами (или именами).
Поскольку для перестановки не важна природа элементов
множества, а важен только их порядок (или их номера),
перестановку можно задать таблицей. Например, перестановка,
1 2 3 4 
заданная таблицей, P  
 говорит нам, что первый
 3 4 2 1
элемент становится третьим, второй – четвертым, третий –
вторым, а четвертый – первым. Закон композиции в
симметрической группе задается следующим образом. Пусть
1 2 3  n 
заданы
две
перестановки:
P1  
и

 i1 i 2 i3  in 
1 2 3  n 
P2  
Переставим
столбцы
таблицы,
.
 j1 j 2 j3  j n 
соответствующей второй перестановке, так, чтобы ее верхняя
строчка совпала с нижней строчкой таблицы первой
39
 i1 i2 i 3  i n 
перестановки P2  
.
 k1 k2 k3  kn 
1 2 3  n 
Тогда
P1  P2  
Заметим,
что
.
 k1 k2 k3  kn 
перестановка столбцов таблицы не меняет саму перестановку.
1
Пример 4. Пусть P1  
3
1 2 3
Тогда P1  P2  
3 4 2
2 3 4
1 2
 и P2  
4 2 1
4 1
4  1 2 3 4 


1  4 1 2 3 
1 2 3 4   3 4 2 1  1 2



 3 4 2 1  2 3 1 4  2 3
3 4
.
2 3 
3
1
4

4.
Таблица умножения группы
Для задания той или иной группы достаточно построить ее
таблицу
умножения.
Она
похожа
на
привычную
арифметическую таблицу умножения. Элементы группы
располагаются в верхней строке и в том же порядке в левом
столбце таблицы, а внутри нее размещаются произведения
элементов:
a1
a2
a3
a4
a1
a1 a1
a1 a2
a1 a3
a1 a4
a2
a2 a1
a2 a2
a2 a3
a2 a4
a3
a3 a1
a3 a2
a3 a3
a3 a4
a4
a4 a1
a4 a2
a4 a3
a4 a4
Пример 5.
Рассмотрим
симметрическую
группу S3,
1 2 3 
элементами которой являются перестановки: P1  
 –
1 2 3 
тождественная перестановка (единичный элемент группы),
1 2 3 
1 2 3 
P2  
 , P3  
,
3
1
2


 2 3 1
1 2 3 
1 2
P4  
 , P5  
 3 2 1
2 1
40
3
,
3
1 2 3 
P6  
.
1 3 2 
Таблица умножения этой группы имеет вид
| P1 P2 P3 P4 P5 P6
P1 |
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P2 |
P2
P3
P1
P6
P4
P5
P3 |
P3
P1
P2
P5
P6
P4
P4 |
P4
P5
P6
P1
P2
P3
P5 |
P5
P6
P4
P3
P1
P2
P6 | P6 P4 P5 P2 P3 P1 .
Отметим основные свойства таблицы умножения
любой группы (для группы S3 их легко увидеть в приведенном
выше примере).
1) Если группа имеет n элементов, то ее таблица
умножения имеет n строк и n столбцов, т.е. является квадратной
с общим числом символов n2.
2) Таблица содержит только элементы группы, причем в
каждой строке и в каждом столбце эти элементы различные.
Следовательно, каждая строка и каждый столбец содержат все
элементы группы.
3) Имеются только одна строка и один столбец, в которых
элементы группы стоят в том же порядке, в котором они стоят
над таблицей или левее таблицы (эти строка и столбец
задаются единичным элементом группы и отражают свойства
единичного элемента e∙a=a∙e=a).
4) Таблица умножения абелевой группы симметрична
относительно главной диагонали (симметрическая группа S3 не
является абелевой: P4∙P5=P2, в то время как P5∙P4=P3).
5) Возьмем какую-либо строку таблицы умножения группы
(скажем, под номером m) и найдем в ней единичный элемент.
Пусть он принадлежит столбцу под номером n. Тогда на
пересечении строки с номером n и столбца с номером m стоит
также единичный элемент группы, т.е. единичные элементы
группы стоят в таблице умножения либо на главной диагонали,
либо симметрично относительно нее. Это свойство таблицы
отражает свойство обратного элемента a∙a−1=a−1∙a=e и
позволяет легко находить обратные элементы. Например,
элемент P3 стоит в третьей строке, а единичный элемент в этой
41
строке находится во втором столбце, следовательно, элементы
P3 и P2 взаимно обратны.
Определение 14. Пусть a  G и a  e . Порядком
элемента a называется наименьшее положительное число n,
удовлетворяющее условию an=e. Очевидно, что для циклических
групп порядок элемента равен порядку группы.
Определение 15.
Если
S={a,b,c,…}
–
множество
элементов, принадлежащих группе G, таких, что все элементы
группы G могут быть выражены в виде произведений элементов
из S (и их обратных), то множество S называется системой
образующих группы G (сами же элементы множества S
называются образующими элементами группы G).
Поскольку
каждый
элемент
циклической
группы
представляется степенью одного элемента этой группы, то эта
группа имеет одну образующую. Симметрическая группа S3
имеет две образующие, например, S  P2 , P4  :
P1  P23  P42 , P3  P22 , P5  P4  P2 , P6  P4  P22 .
Определение 16. Множество H называется подгруппой
группы G, если:
1) каждый элемент множества H является элементом
группы G;
2) H есть группа относительно закона композиции,
определенного в группе G.
Проверка факта, что подмножество H  G является
подгруппой группы G, сводится к проверке трех условий:
1) e  H ;
2) h1 , h2  H h1  h2  H ;
3) h  H h 1  H .
Любая группа имеет две тривиальные подгруппы –
единичный элемент e и саму группу G. Эти две подгруппы
называются несобственными подгруппами группы G,
остальные ее подгруппы (если они существуют) называются
собственными подгруппами.
Пример 6. Множества H  P , P , P  и H  P , P 
1
2
3
1
4
являются собственными подгруппами симметрической группы
S3.
42
Отображения групп. Теорема Кэли
Определение 17. Пусть мы имеем две группы: G1 и G2, а
также отображение f группы G1 на группу G2. Если это
отображение сохраняет групповую операцию – образ
произведения двух элементов равен произведению их
образов, т. е. f(a∙b)=f(a) f(b), то отображение f называется
гомоморфным отображением или гомоморфизмом.
Пример 7.
Рассмотрим
две
циклические
группы:
2 3
C4={e1,a,a ,a } и C2={e2,b}. Гомоморфизмом будет отображение
f: C4→C2, заданное правилом f(e1)=e2, f(a)=b, f(a2)=e2, f(a3)=b.
Определение 18. Взаимно однозначное гомоморфное
отображение одной группы на другую называется изоморфным
отображением или изоморфизмом. Сами группы при этом
называют изоморфными.
Изоморфные группы имеют одинаковое число элементов
и одинаковую групповую структуру.
Пример 8. Группа вращений пятиугольника C5 изоморфна
группе G{0,1,2,3,4}, в которой закон композиции – сложение по
модулю пять. Таблица умножения такой группы имеет вид
| 0 1 2 3 4
0| 0 1
2
3
4
1| 1 2 3 4 0
2| 2 3 4 0 1
3| 3
4| 4
4 0 1
0 1 2
2
3
.
Изоморфизмом является отображение f:C5→G, заданное
правилом f(e)=0, f(a)=1, f(a2)=2, f(a3)=3, f(a4)=4.
Симметрические группы Sn играют особую роль в теории
групп, о чем говорит теорема Кэли.
Теорема 4 (Кэли). Всякая группа G порядка n изоморфна
некоторой подгруппе симметрической группы Sn.
Следовательно, задачу изучения структуры всех конечных
групп можно перевести в плоскость изучения подгрупп
симметрических групп.
Смежные классы. Теорема Лагранжа
Рассмотрим группу G порядка n, которая имеет
собственную подгруппу H порядка m. Пусть H состоит из
43
элементов H={h1=e,h2,h3,…hm}. Так как m<n, то в группе G
найдется элемент g1, не принадлежащий подгруппе H.
Образуем множество произведений элемента g1 со всеми
элементами подгруппы H: g1H={g1e=g1, g1h2, g1h3,… g1hm}. Все
элементы множества g1H различны и не принадлежат подгруппе
H. Если в группе G найдется элемент g2, не принадлежащий
множествам
H
и
g1H,
то
образуем
множество
g2H={g2e=g2, g2h2, g2h3,… g2hm}. Все элементы множества g2H
различны и не принадлежат множествам H и g1H.
Повторяем эту процедуру до тех пор, пока не исчерпаем
все элементы группы G. Пусть последним мы образовали
множество gk−1H. Множества вида giH (включая саму подгруппу
H=eH) называют левыми смежными классами подгруппы H в
группе G. При этом справедливо равенство
G  H  g1H  g2 H   gk 1H .
Более точно левые смежные классы образуют разбиение
группы G. Следовательно, n=k∙m. Это равенство формулируется
в виде теоремы.
Теорема 5 (Лагранжа). Порядок подгруппы конечной
группы есть делитель порядка группы.
Пример 9. Рассмотрим симметрическую группу S3 с ее
отмеченной выше подгруппой H. Образуем левый смежный
класс P4,H={P4,P5,P6}. Классы H и P4H полностью исчерпывают
группу. Следовательно, S3=H+P4H. Возможен другой вариант:
S  H  P H  P H .
3
2
3
Аналогичным образом можно построить правые смежные
классы {Hgi}. В общем случае giH≠Hgi.
Если порядок группы – простое число, то она не имеет
собственных подгрупп. Все группы такого порядка – циклические
группы.
Инвариантные подгруппы. Фактор-группы
Определение 19. Говорят, что элемент b группы G
сопряжен элементу a, если в группе G можно найти элемент u
такой, что u∙a∙u−1=b.
Поскольку понятие сопряжения является отношением
эквивалентности,
группа
G
разбивается
на
классы
эквивалентности.
44
Пример 10. Симметрическая группа S3 разбивается на три
класса эквивалентности {P1},{P2,P3},{P4,P5,P6}.
Пусть H – подгруппа группы G. Заметим, что для любого
элемента a группы G множество вида aHa−1 также является
группой, называемой сопряженной подгруппой подгруппе H в
группе G.
Определение 20. Если для всех элементов a  G
−1
выполняется равенство aHa =H, то подгруппа H называется
инвариантной подгруппой (самосопряженной подгруппой
или нормальным делителем) группы G.
Для такой подгруппы aH=Ha, т.е. левые и правые смежные
классы совпадают.
Пример 11. Инвариантной подгруппой симметрической
группы является подгруппа H={P1,P2,P3}.
Определение 21. Единичный элемент и вся группа G
называются тривиальными инвариантными подгруппами
группы G.
Определение 22.
Группа,
которая
не
имеет
инвариантных собственных подгрупп, называется простой
группой.
Определение 23. Группа называется полупростой, если
ни одна из ее инвариантных подгрупп не является абелевой.
Определение 24. Группа смежных классов инвариантной
подгруппы H  G называется фактор-группой и обозначается
G/H. Закон композиции в такой группе вводится правилом
(aH)∙(bH)=(a∙b)H.
Пример 12. Фактор-группа S3 /H состоит из двух элементов
S3 /H={H,P4H} с таблицей умножения
H
|
H
P4 H
|
H
P4 H
.
P4 H | P4 H H
Можно задать гомоморфное отображение группы G на
фактор-группу G/H следующим правилом: каждому элементу
a  G ставится в соответствие смежный класс aH, его
содержащий.
45
Поля
Определение 25. Множество K называется полем, если на
нем определены две бинарные операции (сложение a+b и
умножение a∙b) и выполняются следующие условия.
1. K – абелева группа относительно сложения. Единичный
элемент этой группы будем обозначать через «0», а элемент,
обратный к элементу a – через « a ».
2. Множество K\0 – абелева группа относительно
умножения. Единичный элемент этой группы будем обозначать
через «1», а элемент, обратный к элементу a, – через « a 1 ».
Заметим, что 1≠0.
3. Операция умножения является дистрибутивной
относительно операции сложения: a∙(b+c)=a∙b+a∙c для любых
a,b, и c, принадлежащих K.
Приведем примеры полей.
1. Множество рациональных чисел Q.
2. Множество действительных чисел R.
3. K={0,1,2,3,4}. Таблицу сложения по модулю 5 мы ввели
ранее, дополним ее таблицей умножения по модулю 5.
| 1 2 3 4
1| 1
3
4
2| 2 4 1
3| 3 1 4
3
2
4| 4
2
3
2 1
.
Получим поле Галуа GF(5). В общем случае поле Галуа
обозначают GF(p), где p – простое число.
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Записать обыкновенные дроби в виде десятичных дробей.
3
13
71
3.1. .
3.2.
.
3.3.
.
7
18
15
Записать десятичные дроби в виде обыкновенных дробей.
3.4. 1,33.
3.5. 2,011.
3.6. 20,11.
3.7. 4,(4).
3.8. 0,(1764705882352941).
3.9. 2,14(21).
3.10. 5,432(10).
46
Сравнить указанные числа.
22
377 355
3.11. 3,141592 и
.
3.12.
и
.
7
120 113
3.13. 2  5 и 3  2 .
3.14. 3  2 и 2  5 .
3.15.
7  10 и 3  19 .
Найти maxX, minX, supX и infX, если они существуют.
1
1
 1 1



3.16. X  1, , ,  , ,  .
3.17. X   x  R | x  n ,n  N  .
2
3
n
2




3.18. X  [ 1,1] .
3.19. X   x  Z | 5  x  0 .
3.20. X   x  R | x  0 .
m


3.21. X   x  R | x  ; m,n  N и m  n  .
n


3.22. Дана таблица умножения группы:
e
a
b
c
a
b
c
e
b
c
e
a
c
e
a
b
Показать, что эта таблица – таблица умножения
циклической группы C4. Найти собственные подгруппы этой
группы.
3.23. Является ли циклической группой четверная группа
Клейна V, заданная таблицей умножения:
e
a
b
c
a
e
c
b
b
c
e
a
c
b
a
e
Перечислить все подгруппы данной группы.
Изоморфны ли группы V и C4?
Построить левые смежные классы подгруппы H={e;a} в
группе V.
Какие из этих классов являются группами?
Является ли подгруппа H инвариантной подгруппой? В
случае положительного ответа построить фактор-группу V/H,
задав ее таблицей умножения, и найти ее порядок.
Определить гомоморфное отображение группы V на
фактор-группу V/H.
3.24. Рассмотрим подмножество множества рациональных
47
k
чисел Q вида H={2 }, где k  Z . Образует ли это подмножество
подгруппу группы Q\0 с групповой операцией умножения
элементов? В случае положительного ответа найти смежные
классы 2∙H, 3∙H, 4∙H, 5∙H.
Какие из этих смежных классов являются подгруппами
группы Q\0?
3.25. Построить таблицу умножения симметрической
группы S3 Найти все сопряженные подгруппы подгруппе H
группы S3, образованной циклическими перестановками
1 2 3 
1 2 3 
1 2 3 
P1  
 , P2  
 и P3  
.
1 2 3 
3 1 2
 2 3 1
Является ли подгруппа H самосопряженной?
3.26. Доказать, что совокупность элементов aHa−1, где H –
подгруппа группы G и a  G , является подгруппой группы G.
3.27. Построить таблицу умножения группы диэдра D3. Эту
группу
можно
рассматривать
как
группу
симметрии
равностороннего треугольника относительно его поворотов на
углы {0˚;120˚;240˚} вокруг оси, перпендикулярной плоскости
треугольника и проходящей через его центр, а также поворота
треугольника на угол 180˚ относительно одной из его высот.
Найти подгруппы этой группы. Найти левые и правые
смежные классы по этим подгруппам.
Построить фактор-группу D3 /H, доказав инвариантность H,
где H – подгруппа третьего порядка.
Изоморфна ли группа диэдра D3 симметрической группе
S3?
3.28. Доказать, что отношение сопряжения элементов в
группе является отношением эквивалентности.
3.29. Образует ли поле множество Z4={0;1;2;3}, если
наряду со сложением по mod4 ввести на множестве {1;2;3}
операцию умножения по mod4?
3.30. Составить таблицы сложения и умножения поля
Галуа GF(7).
Задачи повышенного уровня сложности
3.31. Доказать, что любое рациональное число можно
записать в виде десятичной периодической дроби.
Доказать, что следующие числа иррациональны.
3.34. lg 5 .
3.32. 3 .
3.33. 2  3 .
48
3.35. Доказать, что для любых вещественных чисел
a,b(a<b) найдется рациональное число  такое, что a<  <b.
3.36. Доказать, что для любых вещественных чисел
a,b(a<b) найдется иррациональное число  такое, что a<  <b.
3.37. Каков порядок подгрупп групп 7−го и 10−го порядков?
Построить таблицу умножения группы седьмого порядка.
3.38. Построить таблицу умножения группы диэдра D4. Эту
группу можно рассматривать как группу симметрии квадрата
относительно его поворотов на углы {0˚;90˚;180˚;270˚} вокруг
оси, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через
его центр, а также поворота квадрата на угол 180˚ относительно
оси, лежащей в плоскости квадрата, проходящей через его
центр и параллельной стороне квадрата.
Найти подгруппы этой группы.
Построить фактор-группу D4 /H, доказав предварительно
инвариантность H, где H – подгруппа четвертого порядка.
Построить гомоморфное отображение группы D4 на
фактор-группу D4 /H.
Какой подгруппе симметрической группы S4 изоморфна
группа диэдра D4?
3.39. Построить таблицу умножения группы кватернионов
Q, содержащей элементы {1;−1;i;−i;j;−j;k;−k}. Учесть, что
i2=j2=k2=ijk=−1.
Найти левые и правые смежные классы подгруппы
H={1;−1;i;−i} в группе кватернионов.
Является ли эта подгруппа инвариантной? В случае
положительного ответа построить фактор-группу Q/H, задав ее
таблицей умножения.
Какие еще подгруппы имеет группа кватернионов?
3.40. Найти все собственные подгруппы группы
кватернионов Q.
Описать
все
сопряженные
подгруппы
подгруппе
H1={1;−1;j;−j} в группе Q.
Доказать,
что
подгруппа
H2={1;−1;k;−k}
является
нормальным делителем и найти фактор-группу Q/H2 с ее
таблицей умножения.
49
СЕМИНАР 4
Комплексные числа, геометрическое изображение
комплексных чисел, формы записи комплексных чисел,
действия над комплексными числами
Определение комплексного числа
Рассмотрим множество пар z  ( x,y )  R  R . Введем на
этом множестве две бинарные операции.
1. Сложение: z1  z2  ( x,y )  (u,v )  ( x  u,y  v ) .
Относительно этой бинарной операции множество RхR является
абелевой группой с единичным элементом (0,0) и обратным
элементом (−x,−y).
2. Умножение: z1∙z2=(x,y)∙(u,v)=(x∙u−y∙v, x∙v+y∙u).
Относительно этой бинарной операции множество RхR\(0,0)
также является абелевой группой с единичным элементом (1,0)


x
y
, 2
и обратным элементом  2
.
2
2 
x y 
x y
Можно проверить, что введенная операция умножения
является дистрибутивной относительно операции сложения.
Следовательно, множество RхR является полем. Поскольку
новые числа задаются двумя действительными числами, их
иногда называют двумерными числами. Традиционное название
этих чисел – комплексные числа. Поле комплексных чисел
обозначается символом C.
Введем более удобную форму записи этих чисел,
позволяющую наглядно проводить вычисления с этими числами.
Образуем формальную сумму z=x+iy, где символ i
удовлетворяет свойству i2=−1. Этот символ называют мнимой
единицей. Такая запись комплексного числа называется
алгебраической формой комплексного числа. Если y=0, то
комплексное число отождествляется с действительным числом,
если же x=0, то z=iy – чисто мнимое число. Действительное
число x называют реальной частью комплексного числа z и
обозначают x=Re(z), соответственно действительное число y
называют мнимой частью комплексного числа z и обозначают
y=lm(z).
В новой форме операции сложения и умножения
комплексных чисел выглядят более естественным образом:
50
z1  z2  ( x  iy )  (u  iv )  ( x  u )  i( y  v ) и
z1  z2  ( x  iy )(u  iv )  x  u  i( x  v )  i( y  u )  i 2 ( y  v ) 
 ( x  u  y  v )  i( x  v  y  u ) .
(Сравните с введенными ранее этими операциями над
−1
комплексными числами.) Чтобы найти обратное число z ,
1
запишем его в виде
. Однако такая дробь не подходит под
x  iy
нашу запись комплексного числа. Умножим числитель и
знаменатель этой дроби на одно и то же комплексное число
z  x  iy . Получим


x  iy
x  iy
x
y
1
 2
 2
 i  2
z .
2
2
2
( x  iy )( x  iy ) x  y
x y
x

y


Легко проверить, что z∙z−1=1. Комплексное число
z  x  iy называется комплексно-сопряженным числом к
числу z=x+iy. При нахождении обратного комплексного числа z−1
мы, фактически, научились делить комплексные числа.
1  2i (1  2i )(3  4i ) 5  10i
1 2


  i.
3  4i (3  4i )( 3  4i )
25
5 5
Комплексное число z=(x,y) или z=x+iy можно изобразить на
плоскости Oxy точкой с координатами x и y. Плоскость, на
которой изображаются комплексные числа, называется
комплексной
плоскостью.
Ось
Ox
называется
действительной осью (на ней изображаются действительные
числа x), а ось Oy – мнимой осью (на ней изображаются чисто
мнимые числа z=iy). Комплексное число можно также

изобразить с помощью радиус-вектора r точки с координатами
(x,y). Длина вектора r , изображающего комплексное число
z=x+iy, называется модулем этого комплексного числа и
Пример:
или r. Очевидно, что z  r  x 2  y 2 .

Величина угла между вектором r и осью Ox называется
аргументом комплексного числа и обозначается  или Argz.
Аргумент комплексного числа z=0 не определен. Аргумент же
комплексного числа z≠0 – величина многозначная и
определяется
с
точностью
до
слагаемого
2 k ( k  0,  1,  2,  ) . Можно записать Arg z  arg z  2 k ,
где argz – главное значение аргумента, заключенное
обозначается
z
51
(например) в полуинтервале (  , ] , т.е.   arg z   .
Тригонометрическая и показательная формы комплексного
числа
Рассмотрим другие формы записи комплексного числа.
Так как x  r cos 
и y  r sin  , то можно записать
z  r (cos   i sin  ) . Такая форма записи комплексного числа
называется тригонометрической.
Поскольку
cos   cos  arg z  2 k   cos arg z
и
sin   sin  arg z  2 k   sin arg z ,
то
при
переходе
от
алгебраической
формы
комплексного
числа
к
тригонометрической форме достаточно определить лишь
главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать
  arg z . Если принять, что argz лежит в пределах
  arg z   , формула tg 
y
приводит к такому результату:
x
y

arctg x для точек I - й и IV  й четвертей ,

y

argz  arctg   для точек II  й четверти ,
x

y

arcg x   для точек III  й четверти.

Для чисел, лежащих на координатных осях, получим:
1) для положительной ветви оси Ox argz=0 (arg5=0);
2) для отрицательной ветви оси Ox
arg z   (arg( 3 )   ) ;
3) для положительной ветви оси Oy arg z 

2
(arg 5i 

);
2
4) для отрицательной ветви оси Oy


arg z  
(arg( 3i )   ) .
2
2
Если комплексные числа записаны в тригонометрической
форме z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) и z2  r2 (cos 2  i sin 2 ) , то
формулы умножения и деления комплексных чисел имеют вид
z1  z2  r1  r2 cos( 1  2 )  i sin( 1  2 ) ,
52
z1
r
 1 cos( 1  2 )  i sin( 1  2 ) .
z2 r2
Очень часто при вычислениях удобно использовать
показательную форму комплексного числа z  re i , где
e  2,718281828  – основание натуральных логарифмов.
Число
e i
– комплексное число, имеющее в
алгебраической форме вид e i  cos   i sin 
(формула
Эйлера). Заметим, что e  i  cos   i sin  .
Законы умножения и деления комплексных чисел в
показательной форме имеют самый простой вид:
z1
r
z1  z2  r1  r2 ei ( 1 2 ) и
 1 ei ( 1 2 ) .
z2 r2
Пусть z  r (cos   i sin  ) , тогда zn  r n (cos n  i sin n )
n
или  r (cos   i sin    r n (cos n  i sin n ) .
Последняя формула называется формулой Муавра и
используется при возведении комплексных чисел в большие
степени. С помощью этой формулы легко получить формулу
извлечения корня какой-либо степени из комплексного числа.
Если z  r (cos   i sin  ) , то
n
 2  k
n
i
  2 k
  2 k 

n
z  n r  cos
 i sin
z nr e
 или
n
n


Для числа k следует взять значения k=0,1,2,…,n−1.
.
3
Пример. Вычислим
1 .
Запишем
подкоренное
выражение в тригонометрической форме 1  cos   i sin  , так
как
1  1
и
arg( 1)   .
Следовательно,
3
1  cos
  2 k
  2 k
 i sin
,
3
3
где
k=0,1,2.
корня:
k 0:
k 1 :
k 2:

 1
3
 i sin  
i;
3
3 2
2
3
1  cos   i sin   1 ;
3
1  cos
3
1  cos
5
5 1
3
 i sin
 
i.
3
3
2
2
53
Находим
три
Замечание. Попытка ввести «трехмерные числа (x,y,z)» по
аналогии с двумерными числами (x,y) потерпела неудачу.
Однако У. Гамильтону удалось определить «четырехмерные
числа» q=x+iy+jz+kδ – кватернионы, в которых имеются три
2 2
2
мнимых
единицы
i =j =k =ijk=−1.
При
введении
этих
гиперкомплексных чисел пришлось отказаться от свойства
коммутативности g1q2≠q2q1.
Доказано, что в пространствах большей размерности
построение таких систем «чисел» невозможно.
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Построить на комплексной плоскости точки.
4.1. 1+2i.
4.2. −1+2i.
4.3. 1−2i.
4.4. −1−2i..
4.5. 1.
4.6. −1.
4.7. 2i.
4.8. −2i.
Для данных комплексных чисел найти Rez,lmz,|z|,argz.
4.9. 5.
4.10. −2.
4.11. 3i.
4.12. −7i.
4.13. 2+2i.
4.14. −1−i.
1
3

i.
2
2
4.17.−4−3i.
4.15. 
4.16.
3 1
 i.
2
2
Построить на комплексной плоскости C векторы,
соответствующие комплексным числам z. Найти z и argz.
4.18. z=−3.
4.19. z=3i.
4.20. z=−2i.
4.21. z=1+i.
4.22. z=−2+3i.
4.23. z=−3−4i.
Записать в алгебраической форме числа.
2
2 




4.24. 3  cos
 i sin
 . 4.25.  2  cos  i sin  .
3
3 
4
4


4.26. 5  cos   i sin   .
54
Записать в
числа.
4.27. 2+4i.
тригонометрической
4.29. 2011.
4.31. −2(cos30˚+isin30°).
4.33. 1+itg1.
4.35. sin   i cos  .
форме
комплексные
4.28.
3 i .


4.30. 2 cos  2i sin .
3
3
4.32. 3(cos10˚−isin10°).
4.34. 1+cos33˚+isin33°.
4
4

4.36. 5  cos
 i sin
3
3


.



4.37. 1  i tg , где    ;   .
2


Записать в показательной форме комплексные числа.
4.38. 12i.
4.39. 1  2 .
4.40. −4−3i.
4.42. −3+4i.
4.44. 1+itg5.


 i cos .
3
3
4.43. 3(cos60˚−isin60°).
4.41. sin
Изобразить на комплексной плоскости C множества точек,
удовлетворяющих условиям.

4.45. z  5 .
4.46. arg z   .
6
4.47. 2<lmz≤5.
4.48. −3<Rez<3.
 z  1,

4.49.  

   arg z 
 4
3.
4.50. 1  z  4, Re z  2 , Im z  0,7 .
4.51. z  4, Re z  Im z .
4.52. Найти наибольшее и наименьшее значения z , если
z  5 sin   i cos  .
4.53. Могут ли быть комплексно-сопряженными:
- два действительных числа?
- два чисто мнимых числа?
- действительное и мнимое число?
55

. Чему равен arg z ?
6
4.55. Как выглядят условия равенства двух комплексных
чисел, заданных в тригонометрической форме?
4.56. Какое из чисел больше: z=5−i или z=−1+5i?
z
4.57. Найти z1  z2 , z1  z2 , z1  z2 , 1 , если z1=1+3i, z2=2−i.
z2
Вычислить комплексные числа.
4.58. (−1+4i)−(−3−2i).
4.59. (1−i)∙(−3+2i).
4.60. (2+3i)∙(3−i).
4.61. (1+2i)2.
3
2 3 4 5
4.62. (2+i) .
4.63. i −i +i −i .
3
3
2 2
3
4.64. (1−i) −(1+i) .
4.65. (2i−i ) +(1−3i) .
2i
1
1
4.66.
.
4.67.

.
1 i
1  4i 4  i
1  2i
2  3i 1  3i
4.68.
 (1  i )2 .
4.69.

.
3i
4  2i
2i
3
(1  i )( 3  i ) (1  i )(3  i )
1  i 
4.71.

.
4.70. 
.

3 i
3 i
1  i 
4.54. Пусть arg z 
2
5
 i5  2 
4.72.  19
 .
 i 1 
1i
4.74.
.
( 3  i )(1  i 3 )
4.76. i∙i2∙i3∙…∙i100.
 i16  3 
4.73.  6
 .
 i 3 
4.75. (−1+i)5.
4.77.i4+i14+i24+i34+i44+i54+i64+i74+i84.
Найти все значения корней.
1 .
4.79. i .
4.82. 3 1 .
4.81. 1  i 3 .
4.78.
4.84.
4.87.
3
4
i .
9i .
4.80.
4.83.
4.85.
3
i .
4.88.
4
2 3  2i .
4.86.
3
4
i .
1 .
1 .
4.89. Сколько и каких значений имеет произведение
1 4 ?
Решить уравнения ( x  C ) .
4.90. x2−4x+8=0.
4.91. 3x2−x+2=0.
56
Данные числа z1 и z2 записать в показательной форме и
выполнить над ними указанные действия.
z2
4.92. z1 z2 , 1 , где z1  2 3  2i , z2  3  3 3i .
z2
4.93. z12 z2 ,
z2
,где z1   2  i 2 , z2  8  i 8 .
z1
Доказать равенства.
4.94. z1 z2  z1 z2 .
4.95.
z
z1
 1 .
z2
z2
Используя формулу Эйлера, получить следующие
соотношения.
4.96. sin(    )  sin  cos   cos  sin  .
4.97. sin(    )  sin  cos   cos  sin  .
4.98. cos(    )  cos  cos   sin  sin  .
4.99. cos(    )  cos  cos   sin  sin  .
Используя формулу Эйлера, выразить через косинусы и
синусы кратных дуг функции.
4.100. cos3  .
4.101. sin 3  .
4.102. cos4  .
Используя формулу Муавра, доказать справедливость
тождеств.
4.103. cos 3  4 cos 3   3 cos  .
4.104. sin 3  3 sin   4 sin3  .
Найти действительные решения уравнений.
4.105. (1+i)x+(1−i)y=3−i.
4.106. x+y+ixy=i
Вычислить модули комплексных чисел.
4.108. cos 2  i sin 2 .
4.107. ei .
4.109. Может ли сумма квадратов двух комплексных чисел
быть отрицательной?
4.110. Как изменится модуль и аргумент комплексного
57
числа z после умножения этого числа на комплексные числа:
б) 2i;
в) −2i?
а) 2;
Задачи повышенного уровня сложности
Используя формулу Муавра, записать комплексные числа
в алгебраической форме.
10
4.111. (1+i) .
1  i 3
4.113. 
 1i
4.112.



(1  i )28
(1  i )24  i  (1  i )24
.
20
.
4.114. (1  i )8 (1  i 3 )6 .
Найти все значения корней.
4.115.
5
1  i .
4.116. 6 1  i 3 .
4.117.
5
( 2  2i )4 .
4.118. Выразить через синус и косинус кратных дуг
функции:
а) sin5x;
б) cos6x.
4.119. Составить таблицу умножения группы, элементами
которой являются корни пятой степени из единицы.
4.120. Показать, что комплексные числа, обладающие
свойством z∙z*=1, образуют группу с групповой операцией
"умножение".
4.121. Найти действительные и комплексные решения
(2  i )x  (2  i )y  6,
системы уравнений: 
(3  2i )x  ( 3  2i )y  8.
Решить уравнения.
4.123. z  3z  12i .
4.122. z2  z  0 .
2
4.124. z −(2i−5)z+5−5i=0. 4.125. z4+9z2+20=0.
4.126. Дано комплексное число z 
1
2(1  i )

1
i

4
.
2e
1
Найти: z и .
z
4.127. Найти комплексные числа, каждое из которых
сопряжено со своим квадратом.
58
4.128. Найти (1  sin   i cos  )16 .
4.129. При каком условии квадрат комплексного числа x+iy
является чисто мнимым числом?
4.130. Указать на комплексной плоскости точки z, для
которых:
1
1
а) z  ;
б) z   .
z
z
59
СЕМИНАР 5
Определение матрицы. Операции над матрицами
Определение матрицы. Виды матриц
Определение 1. Матрицей называется прямоугольная
таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов (m≥1,n≥1).
Матрица записывается в виде
 a11 a12 a13  a1n 


a21 a22 a23  a2n 

A


 a

 m1 am1 am3  amn 
или сокращенно A   aij   aij ( A   aij 
mn
 aij
mn
).
aij – элемент матрицы, стоящий в строке с номером i и в


столбце с номером j i  1,m, j  1,n .
Матрицу размером m×n называют (m,n) -матрицей.
В соответствии с размером матрицы делятся:
1) на прямоугольные матрицы (m>n) или (m<n);
2) на квадратные матрицы (m=n);
3) на матрицы - строки (m=1);
4) на матрицы - столбцы (n=1).
Матрицы считаются равными A=B, если равны все их
соответствующие элементы aij=bij. Если все элементы матрицы
равны нулю, то матрица называется нулевой и обозначается O.
Для квадратных матриц вводятся понятия диагоналей.
Главной диагональю называют диагональ, на которой стоят
элементы матрицы вида aij. Другую диагональ называют
побочной диагональю.
Некоторые квадратные матрицы имеют свои названия.
Если все элементы матрицы равны нулю вне главной
диагонали, а хотя бы один элемент на главной диагонали
отличен от нуля, то матрица называется диагональной.
1 0 0 
Пример 1. A   0  2 0  .
0 0 5 


Диагональная матрица, у которой все элементы на
диагонали равны единице, называется единичной матрицей.
60
1 0 0 


Пример 2. I   0 1 0  .
0 0 1 


Квадратная матрица называется треугольной, если все
элементы, расположенные по одну сторону от главной
диагонали, равны нулю. Различают верхние треугольные и
нижние треугольные матрицы.
7
1  3


Пример 3. A   0  2  4  .
0
0
5 

Если элементы матрицы удовлетворяют равенству aij=aji,
матрица называется симметрической (или симметричной).
1 5 7 
Пример 4. A   5  2 9  .
7 9 5 


Если элементы матрицы удовлетворяют равенству aij=−aji,
матрица
называется
кососимметрической
(или
антисимметричной).
 0 2 3 
Пример 5. A   2 0 5  .
 3  5 0 


Матрица, состоящая из нулевых элементов, называется
нулевой матрицей и обозначается через О.
Операции над матрицами
Введем основные операции над матрицами.
Сложение матриц
Суммой (разностью) двух (m,n)-матриц
B=(bij) называется (m,n)-матрица C=(cij) с
cij=aij+bij∙(cij=aij−bij).
1  2 3   2 7 9   1 5
Пример 6. 


 4  5 6   3 11 13   1 6
Правило сложения определено для матриц
размера.
Сложение матриц обладает свойствами:
 коммутативности – A+B=B+A;
61
A=(aij) и
элементами
12 
.
19 
одинакового

ассоциативности – A+(B+C)=(A+B)+C.
Умножение матриц на число
Произведением матрицы A=(aij) на число  называется
матрица B   aij  .
6
1 2 7   3

 
Пример 7. 3   5  2 8   15  6
 6 9 5  18 27

 
Произведение
матриц
на
следующим свойствам:
1)  ( A  B )   A   B ;
2) (    )A   A   A ;
21 

24  .
15 
число
удовлетворяет
3)  (  A)  (  )A .
Умножение матриц
Пусть мы имеем (m,n)-матрицу A=(aij) и (n,p)-матрицу
B=(bik). Произведением матриц AB называется (m,p)-матрица
C=(cik),
элементы которой вычисляются по формуле
n
cik   aij b jk  ai1 b1k  ai 2 b2k    ain bnk .
j 1
 2 7 9 
1  2 3  

Пример 8. 

  3 11 13  
4

5
6

 

 1  4 3 
1  9  13  2  3  3 
  1  2  2  3  3  1 1  7  11  2  3  4
 
 
  4  2  5  3  6  1 4  7  11  5  6  4 4  9  13  5  6  3 
7  22  12
9  26  9  1  27  8 
 2  6  3


.
 8  15  6 28  55  24 36  65  18  1  51  11 
Произведение матриц AB определено, если число
столбцов в матрице A совпадает с числом строк в матрице B.
Произведение матриц обладает следующими свойствами:
1) A(BC)=(AB)C;
2) A(B+C)=AB+AC;
3) (A+B)C=AC+BC.
В общем случае произведение матриц не коммутативно:
AB≠BA.
Разность AB−BA=[A,B] называется коммутатором
матриц A и B. Если [A,B]=O, то матрицы A и B называются
62
коммутирующими.
Сумму
AB+BA={A,B}
антикоммутатором матриц A и B.
называют
Транспонирование матриц
Транспонированной матрицей по отношению к матрице
t
A=(aij) называется матрица A =(aji). Если A – (m,n)-матрица, то
t
A – (n,m)-матрица.
4
 1
1  2 3 


t
Пример 9. Если A  
 , то A   2  5  .
4

5
6


 3
6 

Для операции транспонирования матрицы справедливы
следующие свойства:
t
t
t
1) (A+B) =A +b ;
t
t t
2) (AB) =B A ;
3) (At)t=A.
Симметричная матрица удовлетворяет свойству At=A,
антисимметричная – At=−A. Любая матрица A может быть
представлена как сумма симметричной и антисимметричной
1
1
матриц: A 
A  At  A  At .
2
2
Определение 2. Матрица, удовлетворяющая свойству
AAt  I , называется ортогональной матрицей.
 cos   sin  
Пример 10. C  
.
cos  
 sin 




Комплексное сопряжение
Если элементы матрицы A=(aij) – комплексные числа, то
можно ввести матрицу A*=(a*ij), которая называется комплексносопряженной к матрице A A .
1  i 1  i 
 , тогда
Пример 11. Пусть A  
 2  3i i 
1i
1  i
A  

2

3i
i .

Эрмитово сопряжение
Пусть матрица A задана над полем комплексных чисел.
Тогда матрица (A*)t=A+ называется эрмитово-сопряженной к
63
матрице A.
1  2 i
Пример 12. Пусть A  
  3i
1  3i 
 , тогда
5  2i 
3i 
1  2i
A  

5  2i 
1  3i
.
t
t
Справедливо равенство (A*) =(A )*.
Определение 3. Матрица называется унитарной, если
+
она удовлетворяет свойству AA =l.
0  i 
Пример 13.  y  
.
0
i
Вычисление следа квадратной матрицы
Рассмотрим квадратную матрицу
 a11 a12 a13  a1n 


a21 a22 a23  a2n 

A
.




 an1 an1 an3  an n 


Следом квадратной матрицы называют сумму ее
элементов,
стоящих
на
главной
диагонали,
т.е.
SpA=TrA=a11+a22+…+ann.
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Найти линейные комбинации матриц.
1 2 3 
 1
5.1. 2 A  3B , где A  
, B 
 0 1 1 
 2
4
.
2 3
1
 2 3
 2 4  5 




5.2. 4 A  5B , где A   3  4 2  ; B   5  4
3.
 1 3  2 
 1 2  2 




5
2 4 1  3 
 7 2 3




5.3. 3A+4B, где A   3 4 6 10  ; B  11 3  7 0  .
3 2  5 7 
 2 1 7  4 




64
3
 3 2 1


5.4. A  I , где A   5 4  2  .
 1 2  6 


Найти произведения матриц AB
существуют).
3  5 
 2 1
5.5. A  
, B  
.
2 4 
 3 5 
и
BA
 4 
 
5
5.6. A   2 3  3 1  , B    .
 2 
 
 3 
2  3 
 2 1 4 
5.7. A  
, B  
.
1 5 
 3 5  6 
4  5 
3 7 
5.8. A  1 3  , B  
.
 2 33 
2  8 


Найти значения матричных многочленов f(A).
1 2 
5.9. f(x)=−2x2+5x+9, A  
.
3 0 
1 5 
5.10. f(x)=3x3+x2+2, A  
.
0  3 
 1 2
5.11. f(x)=2x3−3x2+5, A  
.
 2 3 
1 2 0 
2
5.12. f(x)=3x −5x+2, A   3 0  1  .
 2 1 4 


1
5.13. f(x)=x −6x +9x+4, A   0
0

3
2
65
0
2
1
0 

1 .
4 
(если
они
Вычислить коммутаторы матриц A и B.
1 2 
 3 3
5.14. A  
B
,
.
4 1
 4 1 
 1 3
 1 1 
5.15. A  
B
,
.
2
 1 2 
3
1 0 0 
3 0 0 




5.16. A   0  3 0  , B   0  2 0  .
0 0  2 
0 0
4 



1
1 2
 2 0 3 




5.17. A   0 1
3  , B   1 2  4  .
1  2 4 
 4 1
2 



Транспонировать матрицы.
3  5 
5.18. A  
.
2 4 
5.20. A   2
3
 3 1 .
 2 1 4 
5.22. A  
.
 3 5  6 
 3

5.24. A   5
 1

2
4
2
4  5 
5.19. A  1 3  .
2  8 


 4 
 
5
5.21. A    .
 2 
 
 3 
5
 7 2 3

5.23. A   3 4 6 10  .
 2 1 7  4 


1

2.
 6 
Вычислить произведения матриц AAt и AtA.
 2 1 4 
5.25. A   2 3  3 1  .
5.26. A  
.
 3 5  6 
66
1 2

5.27. A   3 0
 2 1

0 

1 .
4 
Вычислить следы матриц.
3 0

5.29. B   0  2
0 0

3  5 
5.28. A  
.
2 4 
1

0
5.30. A  
1

1
2
1
2
3
0

0 .
4 
1 5 

3 5 
.
4 5 

2 8
n
Вычислить A .
1
5.32. A   0
0

1 1 
5.31. A  
.
 0 1
 cos 
5.33. A  
 sin 
1
0
0
1

0.
0 
 sin  
.
cos  
Вычислить комплексно-сопряженные матрицы A*.
i 
1  i 4  i
i
1  i



5.35. A   2i
3
7 i .
5.34. A  
.
 4  3i 2  5i 
 8  2i  i 1  6i 


Вычислить эрмитово-сопряженные матрицы A+.
i 
1  i 4  i


i 
2i 3i
7 
1  i
5.36. A  
5.37. A  
.
.
 2i  i
1  7i 
 4  3i 2  5i 


 i 1  i 5  3i 
5.38. Раскрыть скобки: (A+B)2, (A+l)2, (A+B) (A−B).
5.39. Вычислить произведения (AB)C и A(BC),
67
 1
где A  
 1
1
;
1
 2 0
B
;
 3 1 
3
C
2
1 
.
3
5.40. Для матриц Паули
 0 1
0  i 
1 0 
1  
, 2  
 , 3  
 вычислить:
1 0 
i 0 
0 1
б) [  i , j ] ( i  j ) ;
а)  i2 ( i  1,3 ) ;
в)  i , j  ( i  j ) ;
г) 1 2 3 ;
д) Sp i ( i  1,3 ) ;
е)  i ( i  1,3 ) ;
ж)  i i (i  1,3 ) .
Задачи повышенного уровня сложности
0 i 
5.41. Изучить свойства матриц Дирака  i  
,
 i 0 
I 0 
где i  1,3 ,  0  
:
0  I 
а) вычислить квадраты матриц  02 ,  i2 ;
б) найти антикоммутаторы {αi, αj} (i<j), {α0, αj};
в) вычислить коммутаторы [αi, αj] (i<j), {α0, αj};
г) найти эрмитово-сопряженные матрицы αi+, α0+;
д) доказать унитарность матриц Дирака.
5.42. Изучить свойства гамма-матриц Дирака
 0 i 
I 0 
i
0  
 , где i  1,3 :
 ,  
0  I 
  i 0 
 
а) вычислить квадраты матриц  0
2
,
 
i
2
;
б) найти антикоммутаторы {  i , j } ( i  j ) , {  0 ,  i } ;
в) вычислить коммутаторы [  i ,  j ] ( i  j ) , [  0 ,  i ] ;

  ,  
г) найти эрмитово-сопряженные матрицы  i
д) доказать унитарность гамма-матриц Дирака.
5.43. Вычислить матрицу  5  i  0  1 2  3 .
68
0

;
 
Найти матрицу  5

и доказать унитарность матрицы  5 .
5.44. Найти все квадратные (2,2)-матрицы A, если A2  I .
5.45. Найти все матрицы, коммутирующие с матрицей
1 2 
A
.
3 4
5.46. Найти все квадратные (2,2)-матрицы A, квадрат
которых равен нулевой матрице.
t
t t
5.47. Доказать, что (AB) =B A .
5.48. Найти общий вид ортогональной (2,2)-матрицы A.
2000
5
5.49. Вычислить матрицу 
0
1
.

5
1
1 2


5.50. Записать матрицу A   0 1
3  в виде суммы
1  2 4 


симметричной и антисимметричной матриц.
69
СЕМИНАР 6
Вычисление определителей матриц, свойства
определителей
Определитель матрицы
Понятие определителя матрицы, который обозначается
через detA или A , имеет смысл только для квадратных матриц.
Введем это понятие последовательно, увеличивая размер
матриц.
Определитель первого порядка
Рассмотрим матрицу, имеющую одну строку и один
столбец A=(a). Тогда detA=a.
Определитель второго порядка
a12 
a
Пусть A   11
 , тогда detA=a11a22-a12a21.
 a21 a22 
4
 2  7  4  3  14  12  2 .
3 7
Определитель третьего порядка
 a11 a12 a13 


Пусть A   a21 a22 a23  ,
a

 31 a32 a33 
тогда
detA=a11a22a33+a21a32a13+a12a23a31-a31a22a13-a21a12a33-a32a23a11.
2 3 5
Пример 2. 3 4 7 
Пример 1.
2
5 6 8
=(−2)∙4∙8+(−3)∙6∙5+3∙7∙(−5)−5∙4∙(−5)−(−3)∙3∙8−6∙7∙(−2)=
=−64−90−105+100+72+84=−3.
Определитель n-го порядка
Определение 1. Минором элемента aij (n,n)-матрицы A
называется определитель n-1-го порядка, соответствующий той
матрице, которая получается из матрицы A после вычеркивания
в ней i-й строки и j-го столбца. Минор элемента aij будем
обозначать Mij.
70
1 5 7 
5


Пример 3. Пусть A   5  2 9  , тогда M 31 
2
7 9 5 


7
9
 59 .
Определение 2.
Алгебраическим
дополнением
элемента aij называется произведение (−1)i+j на минор Mij и
i+j
обозначается через Aij, т.е. Aij=(−1) Mij.
1 5 7 
Пример 4. Пусть A   5  2 9  ,
7 9 5 


тогда A31  ( 1)3 1 M 31  ( 1)3 1
5
7
2
9
 59 .
Определение 3. Определителем n-го порядка (или
определителем матрицы A) называется число detA, равное
n
 aij Aij . Формула
j 1
n
det A   aij Aij
называется разложением
j 1
определителя по i-й строке.
2
Пример 5. Разложим определитель 3
3
4
5
7 по второй
5
6
8
строке и вычислим его:
2
3
3
4
5
6
5
3
7  ( 1)2 1 ( 3 )
6
8
5
2
 ( 1)2 2 4
8
5
5
2
 ( 1)2 3 7
8
5
3

6
 3  ( 6 )  4  9  7  3  3 .
Формула разложения определителя матрицы по j-му
n
столбцу имеет вид det A   aij Aij .
i 1
Пример 6.
Разложим
определитель
третьему столбцу и вычислим его:
71
2
3
3
4
5
7
5
6
8
по
2
3
3
4
5
6
5
3
7  ( 1)13 5
5
8
4
2
 ( 1)2 3 7
6
5
3
2
 ( 1)3  3 8
6
3
3

4
 5  2  7  3  8  1  3 .
Свойства определителей
Перечислим основные свойства определителей.
1. Определитель n-го порядка содержит n! слагаемых,
каждое из которых представляет собой произведение n
сомножителей, причем каждое произведение содержит лишь по
одному представителю от каждой строки и каждого столбца.
t
2. detA=detA .
3. det(AB)=detA∙detB.
4. При перестановке местами любых двух строк (столбцов)
определитель меняет знак на противоположный.
5. Определитель с двумя равными строками (столбцами)
равен нулю.
6. Общий множитель всех элементов любой строки
(столбца) можно вынести за знак определителя.
7. Определитель матрицы, у которой все элементы,
стоящие в какой-либо строке (столбце) равны сумме двух чисел,
равен сумме двух определителей.
Пример 7.
a11 a12 a13  a
a11 a12 a13
a11 a12 a
a21 a22 a23  b  a21 a22 a23  a21 a22 b .
a31 a32 a33  c
a31 a32 a33
a31 a32 c
8. Если все элементы некоторой строки (столбца)
определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
9. Если элементы двух строк (столбцов) определителя с
учетом их порядка пропорциональны друг другу, то
определитель равен нулю.
10. Если к элементам некоторой строки (столбца)
определителя прибавить соответствующие элементы другой
строки (столбца), умноженные на произвольное число  , то
величина определителя не изменится.
11. Определитель
треугольной
матрицы
равен
произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Вычисление определителя методом разложения его по
72
строке (столбцу) особенно эффективно, когда в этой строке
(столбце) имеются нулевые элементы. Поэтому при вычислении
определителей
большой
размерности
целесообразно
предварительно,
используя
перечисленные
свойства
определителей, сформировать такие строки (столбцы).
2
Пример 8.
3
3
4
2 1 1
6 2
1
2
3
2
 /прибавим третий столбец ко
0
0 5
2
0
3
4
2
второму столбцу/ 
6
0
3
1
1
2
 /вычтем четвертую строку
0
2
3
из третьей строки/ 
0 5
2
0
3
4
2
4
0
0
1
1
2
 /разложим определитель
5
2
3
0 5
2
по второму столбцу/  3  2
4
0
первой строки/  3  2
1
0 0
второму столбцу/  3  2 1
4 6
вычтем
ее
из
1
5
2 2
 1 2  /прибавим третий столбец ко
4
первой строке/  3  2 
3 4
 1 2  /вычтем вторую строку из
2 1
4
6
второй
5
2
2  /разложим определитель по
5
 /умножим первую строку на 2 и
строки/
 3 2 
2 1
0
4
 /разложим
определитель по первому столбцу/  3  2  2  4  3  2  2  4  48 .
73
Метод Гаусса
В численных методах при вычислении определителей
применяют метод Гаусса, основанный на приведении
определителя с помощью указанных ранее преобразований к
треугольному виду.
Пример 9. Вычислим
методом
Гаусса
тот
же
определитель,
что
и
в
предыдущем
примере:
2 3 3 4
2 1 1 2
 /вычитая первую строку из второй, третьей и
6 2
1 0
2 3
0 5
четвертой, сделаем нулевыми элементы в них, стоящие в
первом столбце (перед вычитанием из третьей строки умножим
2 3 3
4
0  2 2 2
первую строку на 3)/ 
 /поменяем местами
0  7 10  12
0 0 3 9
2
третью и четвертую строки/

3
3
0 2
0 0
2
3
0 7
вторую строку на
2

7
2
и вычтем ее из четвертой строки/
3
0 2
0 0
2
3
2
 /вычтем третью строку из
9
0
3
5
4
2
четвертой/
2
 /умножим
9
10  12
3
0
4

3
3
4
0 2
0 0
2
3
2

9
/используя
свойства
0 0
0
4
треугольной матрицы, вычислим определитель/ =−2∙(−2)∙3∙4=48.
74
Метод рекуррентных соотношений
Если матрица, определитель которой мы вычисляем,
имеет достаточную симметрию, можно использовать метод
рекуррентных соотношений.
Пример 10. Вычислим
методом
рекуррентных
соотношений определитель n-го порядка:
5 6 0 0 0  0 0
4 5 2 0 0  0 0
0 1 2 3 0  0 0
0 0 1 2 3  0 0
.
0 0 0 0 0  3 2
0 0 0 0 0  1 3
.
/разложим его по последнему столбцу/
5 6 0 0 0  0 0
4 5 2 0 0  0 0
0 1 2 3 0  0 0
0 0 1 2 3  0 0 
.
0 0 0 0 0  3 2
0 0 0 0 0  1 3
5
4
6
5
0
2
0
0
0  0
0  0
0
0
5
4
6
5
0
2
0
0
0  0
0  0
0
0
0 1 2 3 0  0 0
0 1 2 3 0  0 0
=3  0 0 1 2 3  0 0  2  0 0 1 2 3  0 0 
.
.
0 0 0 0 0  3 2
0 0 0 0 0  3 2
0 0 0 0 0  1 3
0 0 0 0 0  0 1
/разложим теперь определитель во втором слагаемом по
последней строке/
75
0
2
0
0
0  0
0  0
0 1 2
3 0 0 1
3
2
0
3
5
4
6
5
 0
 0
0
2
0
0
0  0
0  0
0
0 1 2
0  2 0 0 1
3
2
0
3
0
0
.
0 0 0 0 0  3 2
0
0
0
0
0
 1
3
5
4
6
5
 0
 0
0
0
0
0 .
.
0 0 0 0 0  3 2
0
0
0
0
0
 1
3
Замечаем, что мы теперь имеем три определителя
одинаковой структуры, но разной размерности. Если мы
обозначим первоначальный определитель n-го порядка через
Dn,
то
можно
написать
рекуррентное
соотношение
Dn=3Dn−1−2Dn−2.
Чтобы воспользоваться этим соотношением, вычислим
несколько первых определителей:
5 6 0
5 6
D1  5, D2 
 1, D3  4 5 2  7 .
4 5
0 1 2
Далее, используя рекуррентное соотношение, находим:
D4=3D3−2D2=−23, D5=3D4−2D3=−55, D6=3D5−2D4=−119.
Заметим, что D2−D1=−22,
D3−D2=−23,
D4−D3=−24,
5
6
D5−D4=−2 , D6−D5=−2 .
Следовательно,
можно
записать:
D1=5=9−22,
2
2
2
3
4
5
D2=D1−2 =9−2 −2 =9−2 , D3=9−2 , D4=9−2 и т. д. Вычисление
первых определителей дает общую формулу Dn=9−2n+1.
Чтобы
завершить
доказательство,
проверим
справедливость этой формулы методом математической
индукции. Предполагая, что эта формула верна для
определителя n-го порядка, мы должны показать, что
определитель n+1-го порядка равен 9−2n+2.
Находим, используя рекуррентное соотношение,
Dn+1=3Dn−2Dn−1=3(9−2n+1)−2(9−2n)=9−3∙2n+1+2n+1=9−2∙2n+1=9−2n+2.
Полученное выражение доказывает справедливость
формулы Dn=9−2n+1.
76
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Вычислить определители второго порядка.
1 2
2 2
6.1.
.
6.2.
.
3 1
4 7
6.3.
6.5.
6.7.
6.9.
1
1
4
2
a
b
c
d
.
6.4.
.
6.6.
tg 1
1
tg
i
2i
i
1i
.
.
Решить уравнения.
2x  3
4
6.11.
0.
 x 3
6.13.
6.15.
3x
x2
x 1
x 1
x 2
y 3
7y
x 4
6.8.
6.10.
6.12.
6.
6.14.
 34 .
6.16.
x
xy
3
y
cos 
.
 sin 
sin 
x
x 1
x  x 1
x2
2
2i
7  2i
3  4i
5 i
x 3
x 1
x 1
x 2
x 2
y 3
1y
x 2
1
3
1
5
2 .
3
2
.
0.
 4 .
 sin 3 x
cos 2x
cos 3 x
a
6.20. b
b
c
c
a .
c
a
b
77
.
sin 2 x
Вычислить определители.
1 1 1
1 1 0
6.17. 2 3 3 .
6.18. 2 3 1 .
4 6 7
0 2 3
2
6.19. 4
.
cos 
0.
 0 0
6.21. 0  0 .
0 0 
0 1 1
6.22. 1 0 1 .
cos 
6.23. cos 
0 x 0
6.24. x 1 x .
0
1 1 0
cos  0
0 cos  .
cos 
cos 
2 1 3
6.25. 5 3 2 .
1
4
0
1
6.26. 2
3
x
0
1
3
1
2 .
11 10 11
Вычислить определители разложением по какой-нибудь
строке или столбцу.
2 3 5
1 2 0
6.27. 0  1 0 .
6.28. 3 4 0 .
6 7 8
5 6 7
1 2 3
6.29. 4 5 6 .
7
8
x
6.30. 0
y
y
z
z .
x
0
z
0
1 2 3
6.31. 0 0 1 .
4
5
6
Решить уравнения и неравенство.
2
0 3
6
3 x 1
6.32. 1 7 x  3  0 .
6.33. 2x 1
0 0.
5 3 6
4 x2 2
1
3
6.34. 2  3x 0
3
2
2
5 0.
1
Вычислить определители.
78
2
6.35.
6.37.
6.39.
3
0
2
1
3
1
1
2
5
2
.
2
0
2
4
1
1 1
3
0
0
0
0
8
.
2
4
4
7
5
5
3
5
4
7
8
8
0
2
a
2
3
0
c
b
4
0
.
5
d
0
0
2
3
4
a
2 3
b c
2
.
d
3
1
4
3
1
2
2
3
3
7
4
5
10 13
6.40. 3
2
1
5
7
11
7
16
7
4
5
6.36.
4
2
3
3
1
2
5
7
5
6.38.
4
3
.
5
6
0
4 1
21 .
2
3 10
Задачи повышенного уровня сложности
Вычислить определители.
1
1
1
1 1
0
0  0 1
1 1
1
1 1
0
0  1 0
1  1 2
2 2
6.41.
. 6.42. 
 
 .
1  1  1
3 3
0 1  0 0



 
1
0 0 0
1  1  1  1  n  1
n 1
1 n
6.43. 1

1
1 
1 
1
1
1

n 1 .
 
1
1
n
3
2
6.44. 2

2
79
2
3
2 2
2 2
2 3 2 .
  
2
23
Вычислить
соотношений.
2 1
0
1
2
1
определители
00
00
6.45. 0

1

2

1 0 0 .
  
0
0
0
01
0
1
1
1
1
0
6.47. 1
0

1

0
2 0  0 0 .

  
0 0  0 n
1 1
00
методом
рекуррентных
3
1
2
3
0
2
00
0 0
6.46. 0

1

3

20 0 .
  
0
0
0
0 1
0
0
2
0
0
3
1
0
6.48. Не вычисляя определителей, показать, что они
делятся на a−b, b−c, c−a:
1 a bc
1 a a2
б) 1 b ca .
а) 1 b b2 ;
1 c ab
1 c c2
Вычислить определители, используя их свойства.
a a2  1 (a  1)2
sin  cos  sin(    )
6.49. sin 
sin 
cos 
sin(    ) .
cos 
sin(    )
6.50. b
c
80
b2  1 ( b  1)2 .
c2 1
( c  1)2
СЕМИНАР 7
Вычисление обратных матриц, собственные значения
и собственные векторы матриц, ранг матрицы, группы
матриц
Определение обратной матрицы
-1
Определение 1. Матрица A называется обратной к
-1
-1
матрице A, если выполняется условие A∙A =A ∙A=l.
Определение 2. Матрица, которая имеет отличный от нуля
определитель, называется невырожденной матрицей. В
противном случае она называется вырожденной.
Теорема. Любая невырожденная матрица имеет обратную
к ней матрицу.
Способы вычисления обратных матриц
Опишем алгоритм вычисления обратной матрицы.
1. Вычисляем определитель матрицы A. Если detA=0, то
обратная матрица не существует. Если же detA≠0, продолжаем
вычислять обратную матрицу.
2. Находим алгебраические дополнения Aij ко всем
элементам матрицы A.
 A11 A12  A1n 


A
A22  A2n 
3. Формируем из них матрицу A   21
.
 



 An1 An2  Ann 
4. Транспонируем
эту
матрицу
и
находим
присоединенную (союзную) матрицу к матрице A
 A11 A21  An1 


 t   A12 A22  An2  .
( A)
 



 A1n A2n  Ann 
5. Деля присоединенную матрицу на определитель
матрицы A, вычисляем обратную матрицу
81
 A11 A21  An1 


1  A12 A22  An2 
A1 
.

det A  


 A1n A2n  Ann 
-1
6. Проверяем соотношение A∙A =l.
Пример 1. Найдем матрицу, обратную к матрице
5
3  4


A  2  3
1 .
3  5 1 


1. Вычислим определитель матрицы detA=−1. Матрица A
является невырожденной, обратная матрица существует.
2. Вычислим алгебраические дополнения:
3
1
2
1
2 3
A11 
8,
A12  
5,
A13 
 1 ,
5  1
3 1
3 5
A21  
A31 
4
5
5
1
4
5
3 1
 29 ,
 11 ,
A22 
3
5
3
1
A32  
3
5
2 1
 18 ,
A23  
7 ,
A33 
3
4
3
5
3
4
2
3
3,
 1 .
3. Построим матрицу из алгебраических дополнений:
5 1
 8



A   29  18
3 .
 11
7  1 

4. Транспонируя эту матрицу, найдем присоединенную
матрицу
 8  29 11 


t

A   5  18
7 .
 1
3  1 

5. Делим эту матрицу на определитель матрицы A,
получим обратную матрицу
82
 8  29 11   8 29  11 
1 
 

A 
5  18
7    5 18  7  .
( 1) 
3  1   1  3
1 
 1
-1
6. Проверим равенство A∙A =l и убедимся в правильности
ответа.
При вычислении обратных матриц к матрицам большого
размера удобно использовать метод Гаусса. Сформируем
новую прямоугольную матрицу A′ размером n×2n, добавив
справа к матрице A единичную матрицу l того же размера,
т.е. A  ( A | I ) .
Пользуясь только элементарными преобразованиями над
строками, изменим вид матрицы A′ таким образом, чтобы на
месте матрицы A появилась единичная матрица l. Тогда на
месте единичной матрицы l в A′ сформируется обратная к A
-1
матрица A .
Элементарными
преобразованиями
матрицы
считаются следующие преобразования:
 перестановка строк (столбцов);
 умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
 прибавление
к
элементам
строки
(столбца)
соответствующих элементов другой строки (столбца),
умноженных на некоторое число.
5
3  4


Найдем обратную матрицу к матрице A   2  3
1
3  5 1 


методом Гаусса.
5 | 1 0 0
3  4

Сформируем матрицу A   2  3
1 | 0 1 0.
3  5 1 | 0 0 1 


Вычтем из третьей строки первую и далее вычтем вторую
строку из первой.
4 | 1 1 0 
1  1


Получим матрицу  2  3
1 | 0
1 0 .
 0  1  6 | 1
0 1 

Умножим на 2 первую строку и вычтем ее после
1
83
4 | 1 1 0 
1  1


умножения из второй строки:  0  1  7 |  2 3 0  .
 0  1  6 | 1
0 1 

Умножим вторую строку на (-1) и прибавим ее к первой и к
1 0 11 | 3  4 0 


третьей строкам:  0 1 7 | 2  3 0  .
0 0
1 | 1  3 1 

Умножим третью строку вначале на 11 и вычтем ее из
первой строки, затем умножим ее на 7 и вычтем ее из второй
строки.
В результате всех этих преобразований получим:
1 0 0 |  8 29  11 


 0 1 0 |  5 18  7  .
0 0 1 | 1  3
1 

Видим, что на месте единичной матрицы появилась
 8 29  11 
1
матрица A   5 18  7  , обратная к матрице A.
 1 3
1 

При обращении матрицы A методом Гаусса мы,
фактически, решаем матричное уравнение AX=Y, где матрицы X
и Y – матрицы-столбцы:
 x1 
 y1 
 
 
x
y
X   2 , Y   2 .
 
 
 
 
 xn 
 yn 
Запишем это уравнение в виде AX=lY.
Умножение рассматриваемого уравнения слева на
обратную матрицу A-1 (A-1AX= A-1lY) позволяет найти матрицу
X:X= A-1Y.
Видим, что при решении матричного уравнения AX=Y на
месте матрицы A появилась единичная матрица, а единичная
матрица преобразовалась в обратную матрицу A-1.
Рассмотрим еще один способ обращения матрицы.
Пусть матрица A может быть разбита на блоки
84
B | C 
(подматрицы) A  
 такие, что матрицы B и F являются
D | F 
невырожденными.
Разобьем матрицы-столбцы X и Y также на подматрицы
X 
Y 
X   1  , Y   1  , при этом число строк в матрицах X1 и Y1
 X2 
Y2 
должно совпадать с числом столбцов в матрице B, а число строк
в матрицах X2 и Y2 – с числом столбцов в матрице F.
Запишем
матричное
уравнение
AX=Y
в
виде
 B | C   X1  Y1 
    , что эквивалентно двум уравнениям:


 D | F  X 2  Y2 
BX1+CX2=Y1,
DX1+FX2=Y2.
Выразим
матрицу
X2
из
второго
уравнения
1
1
X 2  F Y2  F DX1 .
Подставим
ее
в
первое
уравнение




BX1  C F 1Y2  F 1DX1  Y1 или B  CF 1D X1  Y1  CF 1Y2 .
B  B  CF 1D ,
Введем
обозначение
тогда
1
1
1


X1  B Y1  B CF Y2 . Подставим теперь в формулу для X2
найденное выражение для матрицы X1 :
X 2  F 1Y2  F 1D B 1Y1  B 1CF 1Y2 ,

1
 1

или X 2  F DB Y1  F
1
 1
1
 F DB CF

1
Y
2
.
Итак, мы получили две формулы:
X1  B 1Y1  B 1CF 1Y2 ,
X 2  F 1DB 1Y1  F 1  F 1DB 1CF 1 Y2 ,


которые можно объединить в одну
 Y1 
B 1
 B 1CF 1
 X1  
 

   1  1
F 1  F 1DB 1CF 1  Y2 
 X 2   F DB
и записать в виде X=A−1Y,


B 1
 B 1CF 1
где A1  
 является обратной
 F 1DB 1 F 1  F 1DB 1CF 1 


матрицей к матрице A.
85
Очевидно, что при таком обращении матрицы нет
необходимости обращать матрицы большого размера. Даже в
нашем случае размер обращаемых матриц сокращается
примерно в два раза. Данный способ обращения матриц удобен,
если необходимо найти обратную матрицу в аналитическом
виде.
Перечислим свойства обратной матрицы.
1
1. det A1 
.
det A
−1
−1 −1
2. (AB) =B A .
−1 t
t −1
3. (A ) =(A ) .
4. Обратная матрица к симметричной матрице также
симметричная матрица; обратная матрица к антисимметричной
матрице также антисимметричная матрица.
 
Собственные
матрицы
значения
и
собственные
векторы
Пусть A – квадратная матрица размера n. Собственными
значениями и собственными векторами этой матрицы
называются соответственно числа 1 , 2 ,
и матрицы столбцы X1, X2,…, удовлетворяющие уравнению AX   X .
Пример 2. Найдем собственные значения и собственные
1 0 
векторы матрицы Паули  3  
 . Для этого нам надо
 0 1
решить уравнение  3 X   X , или более развернуто
 x1 
1 0   x1 

      .
 0  1  x2 
 x2 
Видим, что мы имеем систему из двух уравнений
 x1   x1 ,
для нахождения трех неизвестных величин  , x1 , x2 .

  x2   x2
Очевидно, что эта система имеет следующие два
решения:   1 , x1 – произвольное число, x2=0 и   1 , x1=0,
x2 – произвольное число.
Следовательно, матрица  3 имеет два собственных
значения, каждому из которых соответствует свой собственный
86
x
0 
вектор: 1  1 , X1    и 2  1 , X 2    ,
0 
x
где x – произвольное число.
Ранг матрицы
Рассмотрим (m,n)-матрицу
 a11 a12 a13  a1n 


a21 a22 a23  a2n 

A
.




 am1 am1 am3  amn 
Определение 3. Минором k-го порядка матрицы A
называется определитель k-го порядка с элементами,
лежащими на пересечении любых k строк и k столбцов матрицы
A ( k  m, k  n ).
k
Число миноров k-го порядка (m,n)-матрицы равно Cm
 Cnk ,
где Cnk 
n!
– биномиальный коэффициент.
k !( n  k )!
Определение 4. Если у матрицы A есть минор r-го
порядка, отличный от нуля, а все миноры более высокого
порядка равны нулю, то говорят, что ранг матрицы A равен r
(r≤min(m,n)). При этом любой минор r-го порядка, отличный от
нуля, называется базисным минором.
Ранг матрицы обозначают через r(A) или rang(A).
Отметим свойства ранга матрицы.
1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
2. Если вычеркнуть нулевую строку (столбец), то ранг
матрицы не меняется.
3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных
преобразованиях матрицы.
Определить ранг матрицы можно разными способами.
Приведение матрицы к канонической матрице
Определение 5. Матрицу называют канонической, если у
нее в начале главной диагонали стоят единицы, а все
остальные элементы равны нулю.
Ранг
матрицы
можно
найти,
если,
используя
элементарные преобразования, привести ее к канонической
87
матрице. Число единиц на главной диагонали канонической
матрицы равно рангу исследуемой матрицы.
Пример 3. Матрица
1

0
канонической матрице  0

0
0

2 4 
 0


5 
 1  4
A 3
1
7  приводится к


5  10 
 0
 2
3
0 

0 0

1 0
0 0  . Ранг матрицы A равен двум.

0 0
0 0 
Приведение матрицы к квазитреугольной форме
1  1 0 3 2 


4 2 5 0 3
Пример 4. Матрица A  
приводится к
2  3 0 6 1 


7  6 5 9 6 
3
2
1  1 0


0
1 5  12  8 

квазитреугольной форме
.
0
0 5  12  11 


0 0
0
0
0
Минор третьего порядка этой матрицы, стоящий на
пересечении первых трех строк и первых трех столбцов, равен
пяти. Следовательно, ранг матрицы A равен трем.
Метод окаймляющих миноров
Предположим, что мы нашли в исследуемой матрице
минор k-го порядка Mk, который не равен нулю.
Далее следует рассматривать миноры k+1-го порядка,
содержащие в себе минор Mk, до тех пор, пока не найдется
ненулевой минор этого порядка.
Если все эти миноры равны нулю, то ранг матрицы
равен k. Если же найден ненулевой минор k+1-го порядка Mk+1,
то начинается исследование миноров k+2-го порядка,
88
окаймляющих найденный на предыдущем шаге минор Mk+1.
Шаги эти повторяются до определения ранга матрицы.
Группы матриц
1. Очевидно, что все (m,n)-матрицы образуют группу
относительно сложения в качестве бинарной операции.
2. Все невырожденные (n,n)-матрицы образуют группу с
законом композиции – умножение. Эта группа называется
полной линейной группой и обозначается GL(n,R) (или
GL(n,C), если элементами матрицы являются комплексные
числа).
3. Подгруппой полной линейной группы является
ортогональная группа, которую образуют ортогональные
матрицы. Ее обозначают O(n,R).
4. Другой подгруппой полной линейной группы является
унимодулярная линейная группа SL(n,R). Элементы этой
группы удовлетворяют свойству detA=1.
5. Все (n,n)-матрицы, которые удовлетворяют свойствам
A∙At=l и detA=1, образуют собственную ортогональную
группу SO(n,R).
SO(n,R) – подгруппа групп O(n,R), SL(n,R) (и, очевидно,
GL(n,R)).
6. Рассмотрим далее матрицы, заданные над полем
комплексных чисел. Унитарные матрицы, удовлетворяющие
свойству A∙A+=l, образуют унитарную группу U(n), которая
является подгруппой полной линейной группы GL(n,C).
7. Пусть A∙A+=l и detA=1. Матрицы, удовлетворяющие этим
двум свойствам, также образуют группу, обозначаемую SU(n).
Эта группа играет большую роль в теории элементарных частиц
и называется собственной унитарной группой.
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Найти обратные матрицы к следующим матрицам.
1 2 
1 1 
7.1. 
7.2. 
.
.
 3 1
4 2 
a
7.3. 
c
b
.
d
x
7.4. 
y
89
z
.
 x
 a  b
7.5. 
.
 c d 
 cos 
7.7. 
 sin 
 sin  
.
cos  
1 1 0 


7.9.  2 3 1  .
0 2 3 


1 2  3 
7.11.  3 2  4  .
 2 1 0 


1
2
3


7.13.  4 5 6  .
7 8 9 


1
5 3

7.15.  1  3  2  .
 5 2
1 

1 1 1 
7.17. 1 2 3  .
1 3 2 


1 5 1 
7.19.  3 2 1  .
6  2 1 


2i 
 i
7.6. 
.
 i 1  i 
2i 
 1
7.8.  1  i 1  i  .


 2
2 
 0 1 1


7.10. 1 0 1  .
1 1 0 


 3 2 1
7.12.  2 3 1  .
2 1 3 


2

3
1


7.14.  4  5 2  .
5 7 3 


8 1
5
7.16.  2  3 2  .
1
2
3 

2
 4 1


7.18. 1
1  2 .
0 1
3 

a 1 1 
7.20.  0 b 1  .
0 0 c 


Найти
методом
Гаусса
(методом
элементарных
преобразований) матрицы, обратные к матрицам.
1
1
1 1 1 
 1



7.21. 1 2 1  .
7.22.  2  1  2  .
1 1 2 
 2
3
3 



90
1 2 3 


7.23.  4 6 4  .
 3 10 8 


4 
1 2  3


5 6
7 2 
7.24. 
.
 1 0
1
2 


5
6
 3 4
1 0 0 

1 1 0 
7.25.  0 1 1 


 
 0 0 0

0 0
1 1 0  0 



0 0
 0 1 1  0
0 0  . 7.26.  0 0 1  0  .



  
  
 
0 0
1 1 
0  1 

1 
1 0 0  0 



1
 1 1 0 0 
1.
7.28.  1 1 1 0  .



 
 
 
 1 1 1 1 
1 


1 1 1 

0 1 1 
7.27.  0 0 1 


 
0 0
0

Решить матричные уравнения.
1 2   0 0 
 1 1 
 2 0
7.29. X  
7.30. 

.
 X  
.
3 4  0 0 
 0 1
 1 3 
 1 1   2 0 
1 2 
7.31. X  
7.32. X  

.
   3  1 .
0
1

1
3

 

3 4 
1  1 
1 
7.33. 
 X   .
1
2
3 
1  2
7.34.  2
3
0  2

0

1  .
4 
3
1 2  3   1

 
7.35. X   3 2  4    2
2
 2  1 0   1  2

 
3
1  2


7.36. X   2
3  1   3 4 5  .
0  2
1 

91
3
5 

 
1  X   0  .
5 
1 
 
1  2  1 


7.37.  2
4
2 X
 3 1  2 


1  1 
 5
7.38. 
 X 
3
2
 4
 5 1 
 1
7.39. 
 X 
4  2 
 1
1 3 


 2 2  .
3 1 


6  1 2

.
5   1 3 
2   1 2 

.
1   1 5 
1  1 
 1 1   1 
7.40. 
 X 
 .
1
1
 2 1   1 
Найти собственные значения
матриц.
0 1
7.41. 
7.42.
.
1 0 
и собственные векторы
0

i
i
.
0
 0 0 1
7.44.  0 1 0  .
1 0 0 


матриц
методом
элементарных
1 0 1 
7.43.  0 1 0  .
1 0 1 


Найти
ранги
преобразований.
6
1 3
 2 1 5
1



7.45. 1
1 3
5 .
7.46.  2  1 1
1  5 1  3 
 1 2  1



2 1 1 1 


1 3 1 1 
1 1 4 1 
7.47. 
.
1 1 5 1 
1 2 3 4 


1 1 1 1 
Найти ранги матриц методом окаймляющих
указать один из базисных миноров.
4
1 3 3
 2 1 3

7.48.  0 0 1
2.
7.49.  4  2 5
2 6 1  2 
 2 1 1



92
7
1

6  4 .
 10 5 
миноров и
2
1
8
4

7.
2 
1

2
7.50. 
5

7
3
5
1
1
3
1
7
9
1

4
.
7

1 
Задачи повышенного уровня сложности
7.51. Доказать справедливость формул:
а)  AB 
где
1
 B 1 A 1 ;
t
   A 
б) A1
t
1
.
7.52. Найти методом Гаусса матрицу, обратную к матрице
n 
 1 2 3 4  n 1


 0 1 2 3  n  2 n 1 
 0 0 1 2  n 3 n  2
A
.
   

 

 0 0 0 0
1
2 


0
1 
 0 0 0 0
A I l 


7.53. Найти матрицу, обратную к матрице D  O B l ,
O O C 


l – единичные матрицы,
O – нулевые матрицы,
A,B,C – произвольные невырожденные матрицы.
Найти собственные значения
матриц.
0 0 0 1


0 0 1 0
7.54. 
.
7.55.
0 1 0 0 


1 0 0 0 
1 0 0 0 


0 1 0 0 
7.56. 
.
0 0 1 0 


 0 0 0 1
93
и собственные векторы
0

0
0

i
0
0
0
i
i
0
0
0
i 

0
.
0 

0
5
1
1 3


2 1  3
4
7.57. Найти ранг матрицы 
методом
5 1
1
7


9
1 
7 7
окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров.
7.58. Доказать, что ортогональные матрицы образуют
группу.
7.59. Доказать, что матрицы, определитель которых равен
единице, образуют группу.
7.60. Доказать, что унитарные матрицы образуют группу.
94
СЕМИНАР 8
Системы линейных алгебраических уравнений
Определение системы линейных алгебраических
уравнений
Определение 1. Системой линейных алгебраических
уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных,
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 ,

a21 x1  a22 x2    a2n xn  b2 ,
называется система вида 
.............................................
am1 x1  am2 x2    amn xn  bm,

где числа aij
 i  1, m, j  1, n 
называются коэффициентами
системы (известные числа), {x1,x2,…,xn} – неизвестными
величинами, подлежащими определению, {b1,b2,…,bm} –
свободными членами (известные числа).
Отметим основные виды систем линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ):
1) прямоугольные (m>n) или (m<n;
2) квадратные (m=n);
3) однородные (все свободные члены равны нулю);
4) неоднородные (хотя бы один свободный член отличен
от нуля).
Определение 2.
Решением
СЛАУ
называется
совокупность чисел c1,c2,…,cn, которая при подстановке в СЛАУ
вместо неизвестных обращает каждое уравнение в тождество.
Определение 3. СЛАУ называется совместной, если она
имеет хотя бы одно решение. В противном случае она
называется несовместной.
Определение 4.
Совместная
СЛАУ
называется
определенной, если она имеет единственное решение, и
неопределенной, если она имеет по крайней мере два
различных решения.
Введем матрицы
95
 a11 a12  a1n 
 x1 
 b1 


 
 
a
a22  a2n 
x
b
A   21
, X   2 , B   2 
 ............................. 
 
 


 
 
 am1 am2  amn 
 xn 
 bm 
и запишем СЛАУ в матричном виде: AX=B.
Матрица A называется основной матрицей,
 a11 a12  a1n b1 


a21 a22  a2n b2 

а матрица A 
называется
 .................................... 
 a

 m1 am2  amn bm 
расширенной матрицей.
Решение СЛАУ
Теорема Кронекера−Капелли. СЛАУ совместна тогда и
только тогда, когда ранг основной матрицы A равен рангу
расширенной матрицы A .
Рассмотрим различные виды СЛАУ.
Квадратная неоднородная СЛАУ
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 ,

a21 x1  a22 x2    a2n xn  b2 ,

.............................................
an1 x1  an2 x2    ann xn  bn.
1. Пусть основная матрица A является невырожденной,
т.е. detA≠0. Поскольку такая матрица имеет обратную, решение
СЛАУ легко находится в матричном виде: X=A−1B.
Следовательно, в этом случае решение СЛАУ существует
и оно единственное, т.е. СЛАУ является совместной и
определенной. Используя рассмотренную ранее структуру
обратной матрицы, можно получить формулы Крамера

xi  i ,

96
a11 a1i 1 b1 a1i 1 ... a1n
где   det A , а  i 
a21 a2 i 1 b2 a2 i 1 ... a2 n
..........................................
an1 ani 1 bn ani 1 ... ann
 x  y  2z  6,

Пример 1. Найдем решение СЛАУ 2 x  3y  7 z  16,
5 x  2y  z  16

используя формулы Крамера.
Вычисляем определители:
1 1 2
6 1 2
,
  2 3  7  2 1  16 3  7  6 ,
5 2
1
16 2
1
1 1 6
1 6 2
2  2 16  7  2 , 3  2 3 16  2 .
5 16
1
5 2 16

1

 3, y  2  1 , z  3  1 .



2. Пусть detA=0. В этом случае неоднородная квадратная
СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много
решений. Последнее имеет место, если выполнено условие
теоремы Кронекера−Капелли.
Следовательно, x 
Квадратная однородная СЛАУ
a11 x1  a12 x2    a1n xn  0,

a21 x1  a22 x2    a2n xn  0,

.............................................
an1 x1  an2 x2    ann xn  0.
1. detA≠0. X=A−1O=O, т.е. имеется только нулевое
(тривиальное) решение.
2. detA=0. Имеется бесконечно много решений, так как
rang(A)<n.
97
Прямоугольная СЛАУ
1. m<n и rang( A)  rang( A ) . СЛАУ совместная и
неопределенная.
2. m>n и rang( A)  rang( A)  n . В этом случае m-n
уравнений можно отбросить и найти единственное решение.
3. m>n и rang( A)  rang( A)  r  n . СЛАУ совместная и
неопределенная (можно отбросить m  r уравнений).
4. rang( A)  rang( A) . СЛАУ несовместная.
Метод Гаусса
Перечислим допустимые преобразования СЛАУ, не
изменяющие ее решения (подобные операции можно выполнять
над матрицей A ).
1. Перестановка
уравнений
(перестановка
строк
матрицы A ).
2. Перенумерация переменных (перестановка столбцов
матрицы A).
3. Умножение любого уравнения на любое число, не
равное нулю (умножение любой строки матрицы A на число).
4. Прибавление к одному уравнению любого другого
уравнения, умноженного на любое число, не равное нулю
(прибавление к любой строке матрицы A другой строки,
умноженной на любое число, не равное нулю).
Идея метода Гаусса поиска решения СЛАУ заключается в
том, чтобы, используя перечисленные выше допустимые
преобразования, привести СЛАУ к квазитреугольному виду (виду
«трапеции»):
11 x1  12 x2  13 x3    1n xn  d1 ,
 22 x2   23 x3     2n xn  d2 ,
 33 x3     3n xn  d3 ,
................................................................
 k 1k 1 xk 1     k 1n xn  d k 1 ,
 k 2  d k  2 ,
..................................................................
 m  dm .
98
Если последние m−(k+1) числовых равенств не являются
тождествами, то система уравнений несовместная. Пусть эти
равенства являются тождествами и k=n-1. В этом случае
система рассматриваемых уравнений имеет единственное
решение. Если k<n-1, то СЛАУ совместная и неопределенная.
После получения системы уравнений в квазитреугольном
виде находим неизвестные переменные, начиная с последнего
уравнения.
Пример 2. Решим методом Гаусса систему уравнений:
x1  x2  x3  x4  1,
x1  x2  x3  x4  2 ,
x1  x2  x3  x4  3 ,
3 x1  x2  3 x3  3 x4  4 ,
3 x1  x2  x3  3 x4  7.
С помощью первого уравнения уберем переменную x1 из
последующих уравнений:
x1  x2  x3  x4  1,
 2 x2
 1,
 2 x3
 2,
 2 x2
 1,
 4 x2  2 x3  7.
Теперь с помощью второго уравнения уберем переменную
x2 из четвертого и пятого уравнений:
x1  x2  x3  x4  1,
 2 x2
 1,
 2 x3
 2,
0  0,
 2 x3
 2.
Вычтем третье уравнение из пятого:
x1  x2  x3  x4  1,
 2 x2
 1,
 2 x3
 2,
99
0  0,
0  0.
Последние
два
тождества
показывают,
что
рассматриваемая СЛАУ является совместной, а тот факт, что
оставшееся число уравнений меньше числа неизвестных,
говорит о том, что система является неопределенной (т.е. имеет
бесконечно большое число решений).
Используя третье и второе уравнения, найдем
1
x3  1, x2   .
2
Подставляя эти значения в первое уравнение, получим
5
x1   x4 , где x4 – произвольное вещественное число.
2
Мы нашли общее решение СЛАУ. Взяв, например, x4=0,
5
1
получим частное решение: x1  , x2   , x3  1 , x4  0 .
2
2
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Исследовать
системы
линейных
уравнений,
совместных систем найти общее и одно частное решения.
 x  x2  3,
 x  x2  3,
8.1.  1
8.2.  1
 x1  x2  1 .
2x1  2 x2  5 .
 x  3x2  7,
 x  2x2  1,
8.3.  1
8.4.  1
 x1  x2  1 .
3x1  6x2  3 .
для
Исследовать системы линейных уравнений, зависящих от
параметра  . Для совместных систем найти общее и одно
частное решения.
 x  x2  3,
 x  x2  2,
8.5.  1
8.6.  1
 x1  x2   .
 x1  x2  1.
2 x   x2  1,
 x1  x2  2 x3  2,
8.7.  1
8.8. 

x

8
x

6.
 1
2
 x1  3x2  6x3  6.
100
 x1  4x2  2x3  1,

2x1  3 x2  x3  3,
8.10. 
 x1  x2  3x3  4,
 x  6x   x  9.
 1
2
3
Решить системы уравнений, используя формулы Крамера.
3x1  x2  2x3  0,
 x1  x2  x3  0,


8.11. 4x1  3x2  3x3  0,
8.12. 8x1  3x2  6x3  0,
 x  3x  0.
4x  x  3x  0.
2
2
3
 1
 1
4 x1  3x2  2x3  9,
 x1  x2  x3  3,


8.13. 2 x1  5 x2  3x3  4,
8.14. 2 x1  x2  x3  2,
5 x  6 x  2x  18.
 x  4x  2x  1.
2
3
2
3
 1
 1
(1   )x1  x2  x3  1,

8.9.  x1  (1   )x2  x3   ,

2
 x1  x2  (1   )x3   .
4 x  y  2z  1,

8.15.  x  y  2z  2,
  y  3z  3.

 x  2y  3z  7,

8.17. 2x  2y  3z  5,
3x  3y  4z  2.

 z  2,
x

8.19. 2x  3y  2z  1,
 x  y  2z  3.

  y  2z  1,

8.16. 
2y  z  2,
x 
z  4.

3x  y  3z  2,

8.18. 5 x  2y  2z  4,
2x  2y  3z  1.

4 x  3y  5z  4,

8.20. 3 x  y  z  1,
4 x  4y  7z  2.

Задачи повышенного уровня сложности
Решить системы уравнений.
3 x  y  2z  2,
4 x  3y  3 z  3,

8.21. 
8.22.
 0,
 x  3y
5 x  3z  3.
101
2x1  x2  3x3  5 x4  1,

 2,
 x1  x2  5 x3

3x1  2x2  2x3  5 x 4  3,
7 x  5 x  9x  10x  8.
 1
2
3
4
9x1  3 x2  5 x3  6x4  4,

8.23. 6x1  4 x2  3 x3  4 x4  5,
3x  x  3x  14x  8.
2
3
4
 1
8x1  6x2

3 x1  3x2

8.24. 4 x1  2x2
3 x  5 x
2
 1
7 x1  4x2
45 x1  28 x2  34x3  52x4  9,

36x1  23x2  29x3  43 x4  3,

8.25. 35 x1  21x2  28x3  45 x 4  16,
47 x  32 x  36x  48x  17,
1
2
3
4

27 x1  19x2  22 x3  35 x4  6.
8.26.
8.27.
8.28.
8.29.
8.30.
 x1  2x2  x3  x4  3x5  2,

2x1  4x2  3x3  2x4  6x5  5,
3x  6x  4 x  3x  9x  7.
2
3
4
5
 1
2 x1  x2  x3  2 x4  3 x5  2,

6x1  3x2  2x3  4x4  5 x5  3,

6x1  3x2  4x3  8x4  13x5  9,
4 x  2x  x  x  2 x  4.
 1
2
3
4
5
x

x

3x

2
x

3
x
 1
2
3
4
5  1,

2 x1  2x2  4 x3  x 4  3x5  2,

3 x1  3x2  5 x3  2x4  3x5  1,
2 x  2x  8x  3 x  9x  2.
 1
2
3
4
5
 x1  x2    xn  n,
2 x  2x    2x  2n,
2
n
 1




nx  nx    nx  n 2 .
 1
2
n
x

2x

3x


 nxn  1,
 1
2
3

2x1  4 x2  6x3    2nxn  2,

 
nx  2nx  3nx    n 2 x  n.
 1
2
3
n
102
 5 x3  2x4  21,
 2x3  x4
 10,
 3x3  x 4
 8,
 x3  x4
 15,
 5 x3  2x4  18.
СЕМИНАР 9
Операции над векторами, скалярное, векторное
и смешанное произведения векторов
Определение геометрического вектора
Вектором (геометрическим вектором) называется
направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий
определенную длину и определенное направление. Если A –
начало вектора, а B – его конец, то вектор обозначается




символом AB или a . Вектор BA ( a ) называется

противоположным вектору AB .
Длиной вектора или его модулем называется длина

отрезка и обозначается AB . Вектор, длина которого равна

нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0 .
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным
вектором. Единичный вектор, направление которого совпадает

с направлением вектора a , называется ортом этого вектора и

обозначается a0 .


Векторы a и b называются коллинеарными, если они
лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Для
 
коллинеарных векторов принято обозначение a || b . Два вектора
 
называются равными ( a  b ), если они одинаково направлены
и имеют одинаковые длины. Три вектора в пространстве
называются компланарными, если они лежат в одной
плоскости или в параллельных плоскостях.
Операции над векторами
На множестве векторов вводится бинарная операция,
которая называется сложением векторов. Эту операцию можно
определить либо правилом параллелограмма (если векторы


AB и AC являются сторонами параллелограмма, то их суммой

будет
вектор
AD ,
где
D
–
четвертая
вершина
параллелограмма), либо правилом треугольника (если


векторы AB и BC являются сторонами треугольника, то их

суммой называют вектор AC ).
Легко убедиться в следующих свойствах этой бинарной
операции на множестве векторов:
103
   
1) a  b  b  a ;
 

 

2) a  ( b  c )  (a  b )  c ;


 

3) a a  0  0  a ;
  
 
  
4) a a  ( a )  ( a )  a  0 .
Следовательно, относительно сложения множество
векторов образует абелеву группу.

Произведением вектора a на число   R называется


вектор  a , который имеет длину  a и направление вектора


a , если   0 ; направление противоположного вектора к a ,


если   0 . Отметим, что 0 a  0 .
Произведение вектора на число обладает следующими
свойствами:

 
 

1)  a, b  (a  b )   a   b ;






2)  ,  a (    )a   a   a, (   )a   (  a ) ;

 
3) a 1a  a .
Множество геометрических векторов V с введенными на
нем операциями называется векторным пространством.
Координаты вектора
Рассмотрим пространство R3 с введенной на нем
декартовой системой координат.
 

Пусть i , j и k – три единичных вектора, исходящих из
начала координат в направлениях соответственно декартовых
осей Ox, Oy и Oz. Эти векторы называются ортами
координатных осей.

Пусть вектор a имеет начало также в точке O(0,0,0)
(начале координат).

Спроектируем конец вектора a на координатные оси.
Полученные
проекции
можно
записать
в
виде



ax  a cos  , ay  a cos  и az  a cos  , где  ,  и  – углы,

которые образует вектор a соответственно с координатными
осями Ox, Oy и Oz. Числа cos  , cos  и cos  называются

направляющими косинусами вектора a .

Вектор a и его проекции на координатные оси




удовлетворяют равенству a  ax i  ay j  az k .
104
  
Тройка
векторов
(i , j , k )
называется
базисом
векторного пространства V, а написанное выше равенство
  

– разложением вектора a по базису ( i , j , k ) . При этом числа

(ax , ay , az ) носят название координат вектора a относительно
  
базиса ( i , j , k ) .

Поскольку координаты вектора a относительно данного
базиса являются проекциями этого вектора на координатные
оси, длина вектора и его координаты связаны формулой

a  ax2  ay2  az2 .
Подставляя в эту формулу координаты вектора,
выраженные через направляющие косинусы, легко получить
равенство cos2   cos2   cos 2   1 , которому удовлетворяют
направляющие косинусы любого вектора.
Заметим, что направляющие
косинусы являются

координатами орта вектора a0 .
Поскольку координаты вектора (ax , ay , az ) полностью его

определяют, можно ввести обозначение a  (ax , ay , az ) и
заменить введенные операции над векторами операциями над
их координатами.
 
Так сложение векторов a  b можно заменить сложением
их координат: (ax , ay , az )  ( bx , by , bz )  ( ax  bx , ay  by , az  bz ) ,
 
т.е. a  b  ( ax  bx , ay  by , az  bz ) , а умножение вектора на

число  a – умножением координат на это число:

 ( ax , ay , az )  (  ax ,  ay ,  az ) или  a  (  ax ,  ay ,  az ) .
 
Равенство векторов a  b на координатном языке
предполагает равенство их координат: ax  bx , ay  by , az  bz , а
 
коллинеарность a || b – пропорциональность их координат:
ax ay az


.
bx by bz
Пусть имеются две точки A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2).

Тогда вектор AB можно записать в виде



AB  ( x2  x1 )i  ( y 2  y1 ) j  ( z2  z1 ) или
105

AB  ( x2  x1 ,y 2  y1 ,z2  z1 ) .
В частности, для радиус-вектора точки M(x,y,z) имеем





формулу r  x i  y j  z k или r  ( x, y , z ) .
Скалярное произведение векторов


Скалярным произведением векторов a и b называется
 
число, равное a b cos  , где  – угол между векторами.
Это произведение обозначают разными способами:

    
 a  b   a  b  ab  a b cos  .
Отметим свойства введенного скалярного произведения:
   
1) a  b  b  a (симметричность);
 
 

 
2)  a   b  c   (a  c )   ( b  c ) (линейность);
 
 
3) a  a  0 , причем a  a  0 тогда и только тогда, когда
 
a 0 .
Векторное
пространство
с
таким
скалярным
произведением называется евклидовым пространством. В
этом пространстве можно ввести норму (длину) вектора

 
правилом a  a  a .
Для евклидова пространства справедливы следующие
теоремы.


Для любых двух векторов a и b евклидова пространства
справедливо неравенство Коши−Буняковского:
  2
   
a  b  a  a  b  b .


Для любых двух векторов a и b евклидова пространства

 
с нормой вектора a  a  a справедливо неравенство
треугольника:
 
 
ab  a  b .






Неравенство Коши−Буняковского позволяет ввести
понятие угла между векторами в евклидовом пространстве, для
 
a b
которого cos     .
a b
106


Два вектора a и b называются ортогональными, если
 
a b  0 .
В евклидовом пространстве угол между такими векторами
равен 90°. Попарно ортогональны орты координатных осей
  
(i , j , k ) .
Поскольку длины этих векторов считаются равными
 
единице (например, i  i  1 ), базис, состоящий из подобных
векторов, называется ортонормированным базисом.
Учитывая единичную нормировку таких базисных векторов
и их попарную ортогональность, легко показать, что
 
a  b  ax bx  ay by  az bz
и
 
 
 
ax  a  i , ay  a  j , az  a  k .
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно

из точки A в точку B под действием постоянной силы F ,

образующей угол  с вектором AB .
Работа этой силы при перемещении точки на расстояние

S  AB
равна произведению проекции этой силы на
направление перемещения
A  (F cos  )  S .
на
величину
перемещения:

Таким образом, скалярное произведение векторов F и


AB равно работе силы F при перемещении точки на вектор

 
AB , т.е. A  F  AB .
Эта
формула
отражает
физическое
приложение
скалярного произведения.
Векторное произведение векторов


Рассмотрим два вектора: a и b .
Векторным произведением этих векторов называется

 
вектор c  a  b  ,

 
1) равный по величине c  a b sin  , где  – угол между


векторами a и b ,
2) имеющий направление, определяемое правилом


буравчика, ручка которого вращается от вектора a к вектору b
107



(т.е. вектор c перпендикулярен как вектору a , так и вектору b ).
Отметим основные свойства векторного произведения.
 
 
1) антисимметричность: a  b    b  a  ;
2) линейность:
 
 

 
(  a   b )  c    a  c    b  c   ,   R .




К геометрическим свойствам векторного произведения
относят определение коллинеарности векторов и нахождение
площади параллелограмма (треугольника).


1. Если векторное произведение векторов a и b равно
нулю, то эти векторы коллинеарны (и наоборот).
2. Площадь
параллелограмма,
построенного
на


векторах a и b , равна длине их векторного произведения:
 
Sпар  a  b , а площадь соответствующего треугольника –
1  
ab .
2
В качестве физических приложений можно привести:
  
1) момент силы относительно точки M  r  f ;
  
2) момент импульса относительно точки L  r  p ;
  
3) линейную скорость вращения v    r .
половине его длины: S 
Используя свойство линейности векторного произведения

  
  
 
i   j  k  , j  k  i  , k  i  j  , несложно
получить формулу векторного произведения через координаты
векторов:



i
j
k
 
a  b  ax ay az .
и учитывая, что
bx
by
bz
Смешанное произведение векторов
Смешанным
произведением
векторов
называют
  


произведение вида a  b   c , т.е. смешанное произведение
векторов является числом (скаляром).
Отметим основные свойства смешанного произведения
108
векторов.
1. Смешанное произведение векторов не меняется при их
циклической перестановке:
  
  
  
a  b   c  c  a   b   b  c   a .




2. Смешанное произведение векторов не меняется при
перемене местами знаков векторного и скалярного умножения:
     
a  b   c  a   b  c  .




Последнее свойство позволяет записывать смешанное
 
произведение в виде abc (без знаков векторного и скалярного
произведений).
3.
Смешанное
произведение
меняет
знак
при
перестановке любых двух векторов, входящих в смешанное

    
произведение, например abc  acb  cab .
Используя определение смешанного произведения
векторов, не составляет труда получить формулу
ax ay az

abc  bx by bz ,
cx
cy
cz
позволяющую вычислить это произведение через координаты
векторов.
Перечислим основные геометрические приложения
смешанного произведение векторов.
Определение взаимной ориентации векторов в
пространстве

 

Если abc  0 , то векторы a, b и c образуют правую

тройку (буравчик двигается в направлении вектора c , если его


ручка поворачивается от вектора a к вектору b ).

 

Если же abc  0 , то векторы a, b и c образуют левую
тройку векторов.
Установление компланарности векторов
 

Ненулевые векторы a, b и c компланарны тогда и только
тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:
109
ax

abc  bx
ay
az
by
bz =0.
cx
cy
cz
Вычисление объема параллелепипеда
 
Объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b и
 

c , равен модулю их смешанного произведения, т.е. V  abc .
Вычисление объема треугольной пирамиды
Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах
 

1 
a, b и c , равен V  abc .
6
Вычисление объема треугольной призмы
 
Объем треугольной призмы, построенной на векторах a, b

1 
и c , равен V  abc .
2
Символ Кронекера и символ Леви-Чивита
При вычислении различных произведений векторов
удобно
использовать
символы,
сокращающие
объем
вычислений. К таким символам относятся символ Кронекера и
символ Леви-Чивита. Символ Кронекера обозначается  ij
( i , j  1, 3 ) и определяется следующим образом:
1, i  j,
 ij  
0, i  j.
Так если ввести новые обозначения для базисных
     
векторов i  e1 , j  e2 , k  e3 , то условие ортонормированности
базиса запишется в виде ei  e j   ij .
Если одновременно с введением новых обозначений
базисных векторов переобозначить компоненты вектора
ax  a1 , ay  a2 , az  a3 , то разложение вектора по базису примет
 3 
вид a   ai ei . Знак суммы можно убрать, если договориться,
i 1
110
что
по
повторяющемуся
индексу
подразумевается
суммирование (если это не противоречит сути формулы), т.е.


a  ai ei .
В новых обозначениях скалярное произведение векторов
 
запишется в виде a  b  ai bi .
Заметим, что в силу своего определения символ
Кронекера «снимает» сумму, например,  ij  km a j bm  ai b j .
Символ Леви-Чивита имеет три индекса и обозначается
через  ijk , при этом полагается, по определению, что 123  1 .
Этот символ является полностью антисимметричным, т.е. при
перестановке местами любых двух индексов он меняет знак,
например 123  132 .
Используя это свойство, можно найти значения этого
символа при любых индексах, не равных друг другу
(  312  132  123  1 ).
Условие антисимметричности символа Леви-Чивита также
приводит к результату: если какие-либо два индекса равны у
этого символа, то он равен нулю, например 122  0 .
С помощью символа Леви-Чивита i -я координата


векторного произведения векторов a и b представима в виде
 
a  b    ijk a j bk ,

i
где, как говорилось выше, по индексам j и k берется двойная
сумма.
Например,
 
a  b    3 jk a j bk   31k a1bk   32k a2 bk   312 a1b2   321a2 b1 


3
 123 a1b2  123 a2 b1  a1b2  a2 b1 ,
 
т.е. a  b   ax by  ay bx .
z
Смешанное произведение

формуле abc   ijk ai b j c k .
векторов
вычисляется
по
Заметим, что повторяющиеся индексы, по которым
проводится
суммирование,
называются
связанными
индексами, а индексы, по которым не проводится суммирование,
– свободными индексами. В начале расчета и в его конце
111
свободные индексы должны совпадать. При вычислениях
полезны формулы
 ijk  imn   jm kn   jn  km ,
 ijk  ijn  2 kn .
Если встречается двойная сумма Aij Bij , где объект Aij
симметричный
по
 Aij
индексам

 A ji ,
а
объект
Bij
антисимметричный  Bij  B ji  , то указанная выше сумма равна
нулю.
Рассмотрим пример расчета с помощью введенных
символов.
Пример. Показать, что
 
 
   
   
a  b   c  d )  ( a  c )( b  d )  (a  d )( b  c ) .

 

 

[ a  b ]  [ c  d ]   ijk a j bk  imn cm dn  (  jm  kn   jn  km )a j bk cm dn 
 a j bk c j dk  a j bk ck d j  a j c j bk dk  a j d j bk ck 
   
   
 (a  c )( b  d )  ( a  d )( b  c ) .
Замечание. Определитель третьего порядка также можно
записать через символ Леви-Чивита:
a11 a12 a13
a21
a22
a23   ijk a1i a2 j a3k .
a31
a32
a33
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности


По данным векторам a и b построить векторы.
 
 1
9.2.  2( 3 a  b ) .
9.1. 2a  b .
4
 

 1 

9.3. 5(a  b )  (4b  6a )  ( 3a  2b ) .
4


9.4. При каких значениях  векторы 2  a и  3  1  a

(a  0 ) имеют одинаковое направление?
112


 


 
9.5. Найти a  b , если a  13, b  19, a  b  24 .
9.6. Даны две точки A(2;3;−1) и B(−2;4;3). Найти

координаты вектора BA .
9.7.
Даны
три
последовательные
вершины
параллелограмма: A(1;−2;3), B(3;2;1), C(6;4;4). Найти его
четвертую вершину.
9.8. Найти координаты вектора a , если известно, что он
направлен
в
противоположную
сторону
к
вектору




b  5i  4 j  2 2 k и его модуль равен 5.

9.9. Вектор a составляет с осями Ox и Oy углы   60 o и

  120 o . Найти его координаты, если a  2 .


9.10. Разложить вектор c  (9; 4 ) по векторам a  (1; 2 ) и

b  (2;  3 ) .

9.11. Дана сила F  (4; 4;  4 2 ) . Найти величину и
направление этой силы.


2
9.12. Векторы a и b образуют угол    . Учитывая, что
3




 
a  10 и b  2 , вычислить (a  2b )  ( 3a  b ) .




9.13. Найти модуль вектора c  2a  3b , если a  3 ,




b  1 , угол между векторами a и b равен   .
3



 



9.14. Могут ли векторы a  7i  6 j  6k , b  6i  2 j  9k
быть ребрами куба?
В случае положительного ответа найти третье ребро куба.
9.15. Найти угол между диагоналями параллелограмма,

 



построенного на векторах a  2i  j и b   j  2k .
9.16. Даны три вершины треугольника A(2;3;−1), B(4;1;−2;)
и C(1;0;2;). Найти:
а) внутренний угол при вершине C;

 CB .
б) прCA
 

9.17. Единичные векторы e1 , e2 и e3 удовлетворяют
   
     
условию e1  e2  e3  0 . Найти e1  e2  e2  e3  e3  e1 .
113

9.18. Какую работу производит сила F  (2;  1;  4 ) , когда
точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из
точки A(1;−2;3) в точку B(5;−6;1).




9.19. Даны два вектора a и b , для которых a  2, b  6 .
 
Найти: а) | a  b | ;




б)
2a  3b  a  4b , если угол между векторами

равен  
 

5
.
6
9.20.
Найти
координаты
вектора

 
a  2a  b ,


если

a  ( 3;  1;  2 ) , B(1; 2;  1) .
9.21. Найти площадь треугольника с вершинами A(1;2;0),
B(3;2;1) и C(−2;1;2).

9.22. Дана сила F  (3; 4;  2 ) и точка ее приложения
A(2;−1;3). Найти момент силы относительно точки O(0;0;0).


9.23.
Три
силы
F1  (2; 4; 6 ) ,
F2  (1;  2; 3 )
и

F3  (1; 1;  7 ) приложены к точке A(3;−4;8).
Найти величину и направляющие косинусы момента
равнодействующей этих сил относительно точки B(4;−2;6).
Проверить компланарны ли данные векторы.



9.24. a  (1; 2;  2 ) , b  (1;  2; 1) , c  (5;  2;  1) .
       
9.25. a  j  k , b  j  k , c  i .
9.26. Найти высоту параллелепипеда, построенного на

 
  
векторах a  ( 2; 1;  3 ) , b  i  2 j  k , c  (1;  3; 1) , опущенную


на грань, построенную на векторах b и c .
9.27. Найти объем треугольной призмы, построенной на



векторах a  (1; 2; 3 ) , b  (2; 4; 1) , c  (2;  1; 0 ) .
Какую тройку образуют векторы?
       
9.28. a  i  j , b  i  j , c  k .



9.29. a  (1;  4; 0 ) , b  (6; 3;  2 ) , c  (1;  2; 2 ) .
114
     
9.30. Вычислить произведение a  b b  c c  a .




Задачи повышенного уровня сложности



9.31. Три ненулевых вектора a , b и c связаны
        
соотношениями a  b  c , b  c  a , c  a  b .
Найти длины этих векторов и углы между ними.
 

9.32. Пусть a , b и c – ненулевые векторы.
При каком их взаимном расположении справедливо
     
равенство a  b  c  a  b  c .




9.33. Точка O является центром тяжести (точка
пересечения медиан) треугольника ABC. Доказать, что
   
OA  OB  OC  0 .

  
 
9.34. Найти вектор x , зная, что x  a , a  (1; 0; 1) , x  b ,



b  (0; 2;  1) , проекция вектора x на вектор c  (1; 2; 2 )
равна 1 .



9.35. Зная, что c  1 a   2 b , найти соотношение между
 

векторами a , b и c , не содержащее коэффициентов 1 и  2 .
 
 
 
9.36. Показать, что
a  b  a  b  2 a  b . Каков

 



геометрический смысл этого равенства?



9.37. Векторы a , b и c удовлетворяют условию
      
ab  bc  c a  0 .
Доказать, что эти три вектора компланарны.
9.38. Найти площадь треугольника ABC с вершинами в
точках A(x1;y1; z1), B(x2;y2; z2), C(x3;y3; z3).
9.39. Найти объем пирамиды с вершинами в точках
A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2), C(x3;y3;z3), D(x4;y4;z4).
 
 
9.40. Вычислить произведение a  b   c  d  .
115
СЕМИНАР 10
Уравнения прямых, расположение прямых на плоскости,
расстояние от точки до прямой
Преобразования декартовой системы координат
Параллельный перенос осей координат
Под параллельным переносом осей координат понимают
перенос начала координат с сохранением направления осей
координат и масштаба. Пусть некоторая точка в старой системе
координат определена координатами (x,y), а (x0,y0) – координаты
центра новой системы координат.
Тогда координаты той же самой точки в новой системе
координат задаются числами:
x′=x−x0,
y′=y−y0.
Часто такое преобразование координат называют
сдвигом.
Поворот координатных осей
При таком преобразовании декартовой системы координат
начало координат остается прежним, но меняется направление
осей координат путем поворота их на некоторый угол
относительно оси, проходящей через начало координат
перпендикулярно координатной плоскости. Пусть координатные
оси поворачиваются против часовой стрелки на угол  , тогда
новые координаты точки имеют вид
x   x cos   y sin  ,
y    x sin   y cos  .
 cos  sin  
Матрица C  
называется матрицей

  sin  cos  
поворота.
Эта матрица является ортогональной CC t  I , и обратная
 cos   sin  
к ней матрица C 1  C t  
 задает поворот
cos  
 sin 
координатных осей на угол (  ) .
Следовательно,
116
x  x  cos   y  sin  ,
y  x  sin   y  cos  .
Сдвиг и поворот координатных осей
Такое последовательное преобразование
системы координат выражается формулами
x   x cos   y sin   xo ,
y    x sin   y cos   y 0 .
декартовой
Расстояние между двумя точками и деление отрезка
в заданном отношении
Расстояние между двумя точками
Пусть заданы две точки A(x1,y1) и B(x2,y2). Расстояние
между этими двумя точками в декартовой системе координат
дается выражением d 
 x1  x2 2   y1  y 2 2
.
Деление отрезка в заданном отношении
Рассмотрим отрезок AB, соединяющий точки A(x1,y1) и
B(x2,y2). Тогда координаты точки M, делящей отрезок AB в
AM
отношении
  , равны:
MB
x   x2
x 1
,
1 
y  y2
y 1
.
1
В частности, в случае AM=MB имеем
x  x2
x 1
,
2
y  y2
y 1
.
2
Площадь треугольника
Рассмотрим три точки A(x1,y1), B(x2,y2) и C(x3,y3),
являющиеся вершинами треугольника ABC. Площадь данного
треугольника можно вычислить по формуле
117
S
1 x3  x1
2 y 3  y1
x2  x1
y 2  y1
(при получении отрицательного числа следует взять его
модуль). Если площадь треугольника равна нулю, то имеем
x3  x1 x2  x1
0.
y 3  y1 y 2  y1
Следовательно, координаты точек, лежащих на одной
прямой, должны удовлетворять соотношению
x3  x1 y 3  y1

.
x2  x1 y 2  y1
Полярная система координат
В полярной системе координат положение точки M на
плоскости определяется двумя числами: r – расстоянием между
точкой и началом координат (полярным радиусом) и углом 

между осью Ox и радиус-вектором OM рассматриваемой точки
(полярным углом).
Формулы преобразования координат имеют вид
r  x 2  y 2 ,
 x  r cos  ,



y
 y  r sin  ,
tg  .

x
Различные виды прямой линии на плоскости
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой имеет вид
Ax+By+C=0,
где A, B и C – постоянные величины, причем A  B  0 .
Рассмотрим частные случаи.
C
1) A  0, y  
– уравнение прямой, параллельной оси
B
Ox или совпадающей с ней (C=0);
C
2) B  0, x  
– уравнение прямой, параллельной оси
A
Oy или совпадающей с ней (C=0);
A
3) C  0, y   x – уравнение прямой, проходящей через
B
118
начало координат и имеющей угловой коэффициент k  
A
.
B
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Это уравнение прямой линии легко получить из общего
уравнения прямой, выражая y через x:
y 
A
C
x kxb.
B
B
A
– угловой коэффициент прямой, он
B
равен тангенсу угла между прямой и осью Ox (k=tgα).
Здесь k  
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку
M(x0,y0)
в
направлении,
заданном
угловым
коэффициентом k.
Возьмем точку на прямой с координатами (x,y), тогда
y  y0
k  tg 
. Из этого соотношения легко найти уравнение
x  x0
рассматриваемой прямой
y-y0=k(x-x0).
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
M(x0,y0) и M1(x1,y1).
y  y0
Поскольку
в
этом
случае
k  tg  1
,
из
x1  x0
предыдущего уравнения получаем y  y 0 
y1  y 0
( x  x0 )
x1  x0
или
y
y1  y 0
y x  y1 x0
x 0 1
,
x1  x0
x1  x0
т.е.
k
y1  y 0
y x  y1 x0
и b 0 1
.
x1  x0
x1  x0
Каноническое уравнение прямой
Перепишем уравнение прямой, проходящей через две
заданные точки, в виде
119
x  x0
y  y0

.
x1  x0 y1  y 0
Заметим, что  x1  x0 , y1  y 0  – координаты вектора,
лежащего на рассматриваемой прямой и задающего ее

направление. Любой вектор S  ( n, m ) , задающий направление
прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Следовательно, записав уравнение прямой в виде
x  x0 y  y 0

,
n
m
мы получим каноническое уравнение прямой.
Параметрические уравнения прямой
Каноническое уравнение прямой позволяет получить два
уравнения:
x  x0 y  y 0

t
n
m
или
 x  x0  n t ,

 y  y 0  m t.
Здесь
 x0 , y0 
– координаты точки, через которую проходит
прямая, а ( n, m) – координаты ее направляющего вектора. Эти
уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
Уравнение прямой в отрезках
Если прямая отсекает на координатных осях отрезки
длиной a и b (от начала координат), то ее уравнение имеет вид
x y
 1 .
a b
Нормальное уравнение прямой
Пусть прямая находится на расстоянии p от начала
координат и перпендикуляр, опущенный на прямую из начала
координат образует угол  с осью Ox . Уравнение такой прямой
можно записать в виде x cos   y sin   p  0 .
120
Уравнение прямой, проходящей через точку M(x1,y1) и
перпендикулярной вектору n  ( A, B )
Возьмем точку на прямой M( x, y ) и запишем условие


перпендикулярности векторов MM1  ( x  x1 , y  y1 ) и n  ( A, B ) :
A( x  x1 )  B( y  y`1 )  0 .
Это и есть уравнение рассматриваемой прямой.
Сравнивая это уравнение с общим уравнением прямой
Ax  By  C  0 , видим, что коэффициенты A и B равны

координатам вектора n  ( A, B ) , перпендикулярного прямой.

Заметим, что направляющий вектор прямой S  ( n, m ) и

вектор нормали n  ( A, B ) ортогональны.
Следовательно, A n  B m  0 .
Уравнение прямой в полярной системе координат
(полярное уравнение прямой)
Пусть точка на прямой имеет полярные координаты ( r ,  ) ,
тогда уравнение прямой имеет вид
p  r cos(    ) ,
где p и  – параметры нормального уравнения прямой.
Расположение прямых на плоскости и расстояние
от точки до прямой
Пересечение прямых
Рассмотрим две прямые
A1 x  B1 y  C1  0,
A2 x  B2 y  C2  0.
Выделяются три случая:
A B1
C1
 0, x 
А) прямые совпадают –   1
A2 B2
C2
и y 
A1
 C1
A2
 C2
B1
B2
0
0;
B) прямые не пересекаются (параллельные прямые) –
  0, x  0 либо y  0 ;
121
y
x
, y0 
.


Угол между прямыми  можно найти из соотношения
С)   0 – прямые пересекаются в точке x0 
tg 
k2  k1
,
1  k1 k2
A1
A
, k2   2 – угловые коэффициенты прямых.
B1
B2
Рассмотрим частные случаи:
A
A 
k1  k2  1  2 
А)
tg  0
или
–
условие
 B1 B2 
где k1  
параллельности прямых;
A A



В) tg       или k1 k2  1  1 2  1  – условие
2

 B1B2

перпендикулярности прямых.
Расстояние от точки M(x0,y0) до прямой Ax+By+C=0
Это расстояние дается формулой
Ax0  By 0  C
d
.
A2  B 2
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
10.1. Построить прямые, отсекающие на оси Oy отрезок
b  3 и составляющие с осью Ox углы: 1) 45 o , 2) 135 o .
Написать уравнения этих прямых.
10.2. Написать уравнения прямых, проходящих через
начало координат и составляющих с осью Ox углы: 1) 45°, 2) 60°,
3) 90°, 4) 120°, 5) 135°.
10.3. Построить прямую, проходящую через начало
координат и точку ( 2; 3 ) . Написать уравнение этой прямой.
10.4. Определить параметры k и b прямой, проходящей
через точку A(2; 3 ) и составляющей с осью Ox угол 45°.
Определить параметры k и b для каждой из прямых.
10.5. 2 x  3y  6 .
10.6. 2 x  3y  0 .
122
x y
 1 .
2 5
10.7. 10.7. y  5 .
10.8.
Построить прямые.
10.9. 3 x  4y  12 .
10.10. 3 x  4y  0 .
10.11. 2 x  5  0 .
10.12. 2y  6  0 .
Уравнения данных прямых привести к виду в отрезках на
осях.
10.13. 2 x  3y  6 .
10.15. 4y  5 x  8 .
10.14. 3 x  2y  4  0 .
10.16. 3 x  9  6y .
10.17. Даны точки O(0; 0 ) и A( 3; 0 ) . На отрезке OA
построен параллелограмм, диагонали которого пересекаются в
точке B(0; 2 ) . Написать уравнения сторон и диагоналей
параллелограмма.
Построить области, заданные неравенствами.
10.18. y  3x  1 .
10.19. x  4y  2 .
10.20. 2 x  y  4  0 .
10.21. y  x  2 .
Определить углы между прямыми.
x
10.22. y  2x  3, y   1 . 10.23. 5 x  y  7  0, 2x  3y  1  0 .
2
x y
x y
10.24. 2 x  y  0, y  3 x  4 . 10.25.   1,
 1.
a b
b a
10.26. Среди
прямых
перпендикулярные:
а) 3 x  2y  7  0 ;
в) 6x  4y  5  0 ;
указать
параллельные
и
б) 6x  4y  9  0 ;
г) 2 x  3y  6  0 .
10.27. Написать уравнение прямой, проходящей через две
точки A( 1; 3 ) и B(4;  2 ) .
Привести к нормальному виду уравнения прямых.
10.28. 3 x  4y  20  0 .
10.29. x  y  3  0 .
123
10.30. y  kx  b .
10.31.
x y
 1 .
a b
Какие из уравнений являются уравнениями прямых в
нормальном виде?
12
5
2
1
10.32.
x
y 1  0 .
10.33. x  y  2  0 .
13
13
5
3
3
4
10.35. x  3,2  0 .
10.34. x  y  3  0 .
5
5
10.36. y  1  0 .
10.37. Можно ли подобрать коэффициенты 1 и  2 так,
чтобы прямые 5 x  3y  1  0 и 1 x   2 y  2  0 совпали?
10.38. Найти расстояние от точек A(4; 3 ), B( 2; 1) и C(1; 0 )
до прямой 3 x  4y  10  0 . Построить точки и прямую.
10.39. Найти расстояние от начала координат до прямой
12 x  5y  39  0 .
10.40. Найти расстояние между прямыми 3 x  4y  20  0
и 6x  8y  5  0 .
Задачи повышенного уровня сложности
10.41. Написать уравнения сторон и найти углы
треугольника с вершинами A(0; 7 ), B(6;  1) и C(2; 1) .
Вычислить площадь треугольника.
10.42. Написать уравнение прямой, проходящей через
точку A(4; 3 ) и отсекающей от координатного угла треугольник
площадью, равной 3.
10.43. Доказать, что если две прямые параллельны, то их
уравнения можно представить в таком виде, что они будут
отличаться только свободными членами.
10.44. Доказать, что условие принадлежности трех точек
M1 ( x1 ; y1 ), M2 ( x2 ; y 2 ), M3 ( x3 ; y 3 ) одной прямой можно записать
x1
y1
1
в виде x2
y2
1.
x3
y3
1
124
10.45. Из точки A( 5; 6 ) выходит луч света под углом
arctg( 2 ) к оси Ox , отражаясь от этой оси, он падает на ось Oy,
от которой он также претерпевает отражение. Найти уравнения
прямых, по которым направлены все три луча.
10.46. Под каким углом к оси Ox надо направить луч света
из точки A(2; 4 ) , чтобы отраженный от этой оси луч прошел
через точку B( 5; 3 ) ?
10.47. Луч света, пройдя через точки A(4; 6 ) и B(5; 8 ) ,
упал на прямую x  2y  2  0 и отразился от нее. Составить
уравнение прямой, по которой направлен отраженный луч.
10.48. Написать уравнение прямой, параллельной прямым
x 1 y  5
3 x  2y  1  0 ,

и проходящей посередине между
2
3
ними.
10.49. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну
его вершину A(2; 6 ) , уравнения высоты x  7 y  15  0 и
биссектрисы 7 x  y  5  0 , проведенных из одной вершины.
10.50. Даны
уравнения
y  4  0, 7 x  4y  5  0
биссектрис двух внутренних углов треугольника и уравнение
4 x  3y  0 стороны, соединяющей вершины, из которых
выходят данные биссектрисы. Написать уравнения двух других
сторон треугольника.
125
СЕМИНАР 11
Кривые второго порядка на плоскости
Уравнение линии на плоскости
Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости
Oxy в декартовой системе координат называется уравнение
F( x, y )  0 , где F( x, y ) – функция двух переменных x и y . В
полярной системе координат уравнение линии имеет вид
F( r ,  )  0 .
Если
уравнение
F( x, y )  0
разрешимо
относительно переменной y , то уравнение линии можно
записать в виде y  f ( x ) .
Так как координаты точки, находящейся на линии, связаны
уравнением, то линия является одномерным геометрическим
объектом.
Задача о нахождении точек пересечения двух линий,
заданных уравнениями F1 ( x, y )  0 и F2 ( x, y )  0 , сводится к
решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
F1 ( x, y )  0,

F2 ( x, y )  0.
Линию
на
плоскости
можно
также
задать
параметрическим образом с помощью двух уравнений
 x  x( t ),

 y  y(t ),
где x и y – координаты точки, лежащей на линии, а t –
переменная, называемая параметром.
Приведем примеры некоторых линий.
Окружность радиуса R с центром в начале координат
Уравнения такой окружности имеют вид:
а) x 2  y 2  R 2 – в декартовой системе координат;
б) r  R – в полярной системе координат;
 x  R cos t ,
в) 
– в параметрическом виде.
 y  R sin t
Циклоида
В параметрическом виде уравнения циклоиды имеют вид
 x  a( t  sin t ),

 y  a(1  cos t ).
126
Такую кривую описывает точка на окружности радиуса a ,
которая катится без скольжения по неподвижной прямой.
Астроида
Астроида задается уравнениями:
2
2
2
а) x 3  y 3  a 3 – в декартовой системе координат;
 x  a cos 3 t ,
б) 
– в параметрическом виде.
3
 y  a sin t
Такую кривую описывает точка на окружности радиуса
a
, которая катится без скольжения по внутренней стороне
4
окружности радиуса R  a .
r 
Кардиоида
Уравнение кардиоиды в полярной системе координат
имеет вид r  a(1  cos  ) .
a
,
2
катящаяся по окружности такого же радиуса с внешней стороны.
Эту кривую описывает точка окружности радиуса
Улитка Паскаля
Уравнение кардиоиды является частным случаем ( a  b )
уравнения улитки Паскаля r  b  a cos  .
Лемниската Бернулли
Лемниската Бернулли задается уравнениями:
а)
x
2
 y2

2

 a2 x 2  y 2

–
в
декартовой
системе
координат;
б) r 2  a2 cos 2 – в полярной системе координат.
Произведение расстояний каждой точки лемнискаты
 a

 a

Бернулли до двух данных точек F1  
,0 и F 
, 0  равно
2 

 2 
квадрату расстояния между точками F1 и F2 .
127
Декартов лист
Декартов лист задается уравнениями:
а) x 3  y 3  3axy  0 – в декартовой системе координат;
3at

x  1  t 3 ,

б) 
– в параметрическом виде.
2
 y  3at

1  t3
Эвольвента (развертка) окружности
В
параметрическом
виде
эта
 x  a(cos t  t sin t ),
уравнениями 
 y  a(sin t  t cos t ).
кривая
задается
Трехлепестковая роза
В полярной системе координат эта кривая задается
уравнением r  a sin 3 .
Четырехлепестковая роза
Ее уравнение имеет вид r  a sin 2 .
Спираль Архимеда
Эта кривая в полярной системе координат описывается
уравнением r  a .
Логарифмическая спираль
Ее уравнение имеет вид r  ea .
Гиперболическая спираль
Эта кривая задается уравнением вида r 
a
.

Общее
уравнение
кривой
второго
и приведение его к каноническому виду
порядка
Общее уравнение линии второго порядка имеет вид
Ax 2  2Bxy  Cy 2  2Dx  2Ey  F  0 .
При этом считается, что A  B  C  0 .
128
(1)
В таком общем виде трудно понять, с какой кривой мы
имеем дело. Поэтому при исследовании кривой, заданной этим
уравнением, следует вначале привести данное уравнение с
помощью координатных преобразований к каноническому
(простейшему) виду.
Параллельный перенос начала координат
Новую (штрихованную) систему координат введем с
помощью соотношений
 x  x   x0 ,

y  y   y 0 .
В новой системе координат уравнение (1) принимает вид
2
2
A  x    2Bx y   C  y    ( 2Ax0  2By 0  2D )x  
(2Bx0  2Cy0  2E )y   ( Ax0  By0  D )x0 
(Bx0  Cy 0  E )y0  Dx0  Ey0  F  0.
Выбирая в качестве постоянных величин
решение системы уравнений
 Ax0  By0  D  0,

Bx0  Cy 0  E  0,
x0
и
y0
(2)
мы можем исключить из уравнения кривой слагаемые с первой
степенью переменных x  и y  . Таким образом, в декартовой
системе координат с новым центром O ( x0 , y0 ) уравнение
кривой второго порядка будет иметь вид
2
2
A  x    2Bx y   C  y    F  0,
(3)
где F  F  Dx0  Ey 0 .
При решении системы уравнений (2) возможны
следующие случаи:
A B
1)  
 AC  B 2  0 .
B C
Система имеет единственное решение, точка O ( x0 , y0 )
называется центром кривой, а сама кривая называется
центральной кривой. Центральными кривыми являются:
а) ∆>0 – эллипсы;
б) ∆<0 – гиперболы.
2)   AC  B2  0 .
129
Возможны следующие случаи:
а) система уравнений не имеет решения, кривые не имеют
центра и называются параболами;
б) система уравнений имеет бесконечное множество
решений, кривая называется вырожденной параболой (пара
параллельных прямых или мнимое место точек).
Поворот координатных осей
Далее рассмотрим подробней случай центральных
кривых. Сделаем поворот координатных осей на угол  вокруг
центра O ( x0 , y0 ) :
x   x cos   y sin  ,
y   x sin   y cos  .
Уравнение кривой (3) примет вид
A1 x 2  2B1 x y  C1 y 2  F  0 ,
где
A1  A cos 2   2B sin  cos   C sin2  ,


B1  (C  A )sin  cos   B cos 2   sin2  
CA
sin 2  B cos 2 ,
2
C1  A sin2   2B sin  cos   C cos 2  .
Выберем угол поворота координатных
2B
удовлетворяющий
равенству
tg 2 
,
A C

осей
или,
,
что
эквивалентно, равенству Btg 2  ( A  C )tg  B  0 .
Такой угол поворота выбирается из условия B1  0 .
Следовательно, уравнение кривой в системе координат ( x, y )
примет канонический вид
A1 x 2  C1 y 2  F  0 .
(4)
Пример. Приведем к каноническому виду уравнение
5 x  4xy  8y 2  8x  14y  5  0 кривой второго порядка, для
которой
A  5, B  2, C  8, D  4, E  7, F  5 .
Найдем
координаты центра кривой из системы уравнений
2
130
5 x0  2y 0  4  0,
,

2 x0  8y0  7  0
1
3
где x0   , y 0   .
2
4
В штрихованной системе координат уравнение кривой
9
2
2
примет вид 5  x    4x y   8  y     0 .
4
Заметим,
что
для
рассматриваемой
кривой
  AC  B2  36 , т.е. кривая является эллипсом. Повернем
координатные оси на угол  , который найдем из уравнения
2tg 2  3tg  2  0 .
Это
уравнение
имеет
два
решения:
1
tg1  2 ( 1  63,4 o ), tg 2   (  2  26,6 o ) .
2
Поскольку 1   2  90 o , полученные два решения
соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям.
Поэтому замена одного угла на другой приводит только к замене
оси x на ось y (или наоборот).
Остановимся на первом решении: tg1  2 .
Учитывая,
что
tg
sin  
2
1  tg 
находим sin 1 
2
5
и cos 1 
1
5
и
cos  
1
1  tg 2
,
, а также коэффициенты
A1  9 и C1  4 .
Напомним, что нахождение угла поворота координатных
осей осуществлялось из равенства B1  0 .
Таким образом, уравнение кривой в новой системе
координат приобретает вид
x2
y2

1.
2
2
1 
3 
 
 
2 
4 
Мы получили каноническое уравнение эллипса с
1
3
полуосями a  , b  .
2
4
131
Канонические
уравнения
гиперболы и параболы
окружности,
эллипса,
Окружность
Вернемся к уравнению (1).
F
Пусть A1  C1  0, 
 R 2  0 . В этом случае в
A1
координатах x
и y
получаем уравнение окружности
x 2  y 2  R 2 радиуса R с центром в начале координат.
Уравнение окружности того же радиуса с центром в точке
2
2
( x0 , y 0 ) имеет вид  x  x0    y  y0   R 2 .
С
геометрической
точки
зрения
окружность
–
геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от
некоторой точки (центра окружности).
Если F  0 , то окружность вырождается в точку.
F
Наконец, если 
 0 , то уравнение x 2  y 2  R 2 не
A1
определяет какой-либо кривой на плоскости (мнимая
окружность).
Эллипс
Запишем полученное уравнение (1) центральной кривой в
виде
x2
y2

1.
 F   F 



 

 A1   B1 
 F 
 F 
2
2
Пусть
    a  0,     b  0 ,
 A1 
 B1 
каноническое уравнение эллипса
x2
получим
y2
1.
a2 b2
Оси Ox и Oy называются осями симметрии эллипса, а
точки
A1 (a, 0 ), A2 ( a, 0 ), B1 (0, b ), B2 (0,  b )
– вершинами
эллипса.
Пусть a  b . Отрезок A2 A1  2a называется большой

осью эллипса ( OA1  a – большой полуосью эллипса), а
132
отрезок B2 B1 – малой осью эллипса ( OB1  b – малой
полуосью
эллипса).
Эллипс
имеет
два
фокуса
F1 ( c, 0 ), F2 ( c, 0 ) ,
где
c  a2  b2 .
Расстояние
между
b
.
a
окружность.
эллипса
фокусами равно 2c . Форма эллипса зависит от отношения
При
ab
Отклонение от
эллипс превращается в
окружности (сплющенность)
c
характеризуется параметром   , который называется
a
эксцентриситетом эллипса. Для окружности   0 , для
эллипса 0    1 . При   1 эллипс вырождается в отрезок
( b  0 ). Справедливость этих утверждений легко увидеть из
b
соотношения  1   2 .
a
Рассмотрим точку M( x, y ) , лежащую на эллипсе. Длины
r1 и r2 соответственно отрезков F1M
и F2 M
называются
фокальными радиусами эллипса. Заметим, что r1  r2  2a .
Приведем соотношения, связывающие фокальные радиусы с
эксцентриситетом эллипса: r1  a   x, r2  a   x .
a
называются директрисами

a
эллипса. Рассмотрим правую директрису x 
и правый же

фокус эллипса F1 ( c, 0 ) . Точка M( x, y ) , лежащая на эллипсе,
Прямые x 
находится
на
a
и

x
расстоянии
d
a
x

от
директрисы. Преобразуя это равенство d 
рассматриваемой
a x
и замечая,

r1

(отношение
d
фокального радиуса любой точки эллипса к расстоянию между
этой точкой и соответствующей директрисой есть величина
постоянная, равная эксцентриситету эллипса). Аналогичное
что
r1  a   x ,
получим
формулу
133
соотношение можно получить для другого фокуса и другой
директрисы.
Приведем
геометрическое
определение
эллипса.
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма
расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой
плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная,
большая, чем расстояние между фокусами ( r1  r2  2a , a  c ).
 F 
 F 
Заметим, что если     a2  0,     b2  0 , то
 A1 
 B1 
мы имеем мнимый эллипс.
Гипербола
Вернемся к тому же каноническому виду кривой второго
x2
y2
порядка

 1 , но предположим, что знаменатели
 F   F 
   
 A1   B1 
имеют разные знаки.
Пусть для определенности
 F 
 F 
2
2
    a  0,     b  0 .
A
B
1
1




Уравнение
x2
y2
1
называется
каноническим
a2 b2
уравнением гиперболы. Точки пересечения гиперболы с
координатной осью Ox A1 ( a, 0 ) и A2 ( a, 0 ) называются
вершинами

гиперболы,
а
отрезок
A2 A1  2a
–
действительной
осью
гиперболы
( OA1  a
–
действительной полуосью гиперболы).
Точки B1 (0, b ) и B2 (0,  b ) , лежащие на координатной оси
Oy , можно назвать мнимыми вершинами гиперболы, а
отрезок B2 B1  2b – мнимой осью гиперболы ( OB1  b –
мнимой полуосью гиперболы).
Прямоугольник со сторонами 2a и 2b , на которых лежат
вершины гиперболы, называют основным прямоугольником
гиперболы.
134
b
x (частями которых являются диагонали
a
гиперболы) носят название асимптот
Прямые y  
прямоугольника
гиперболы.
Построение гиперболы удобно начинать с построения
прямоугольника и асимптот гиперболы. Если a  b , то
гипербола называется равносторонней, ее уравнение имеет
вид x 2  y 2  a2 .
Различают правую ветвь гиперболы (проходит через
вершину A1 ( a, 0 ) ) и левую ветвь гиперболы (проходит через
вершину A2 ( a, 0 ) ).
Гипербола имеет два фокуса F1 ( c, 0 ), F2 ( c, 0 ) , где
c

называется
a
эксцентриситетом гиперболы и характеризует степень
сжатости гиперболы. Заметим, что   1 .
Отношение полуосей гиперболы является функцией
b
эксцентриситета
  2  1 . При   1 гипербола сжимается до
a
двух
лучей.
При
росте
эксцентриситета
гипербола
«расправляется» и ее ветви стремятся к прямым x  a .
c  a2  b2 .
Отношение
Фокальные
r1  ( x  c )2  y 2
радиусы
и
r2  ( x  c )2  y 2 для точек правой ветви гиперболы имеют вид
r1   x  a и r2   x  a , а для левой –
r2  (  x  a ) .
r1  (  x  a )
и
a
называются директрисами гиперболы.

r
Директрисы гиперболы имеют то же свойство
  , что и
d
директрисы эллипса.
Прямые x  
Гиперболы
x2
y2
1 и
y2
x2
 1 , имеющие разные
a2 b2
b2 a2
действительные и мнимые оси, но одинаковые асимптоты,
называются сопряженными гиперболами.
Приведем геометрическое определение гиперболы.


135
Гиперболой называется множество всех точек плоскости,
модуль разности расстояний от каждой из которых до двух
данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть
величина постоянная, меньшая,
чем расстояние между
фокусами ( | r1  r2 | 2a , a  c ).
Парабола
Каноническим
уравнением
параболы
называется
уравнение вида y 2  2p x , где p  0 – параметр параболы.
Парабола не является центральной кривой. Вершина
параболы находится в начале координат, а фокус – в точке
p 
F  ,0.
2 
p
Уравнение директрисы параболы имеет вид x   .
2
Ось Ox является осью симметрии параболы. Фокальный радиус
любой точки параболы равен ее расстоянию до директрисы, т.е.
r  d . Об этом равенстве говорит геометрическое определение
параболы.
Параболой называется множество всех точек плоскости,
каждая из которых одинаково удалена от данной точки,
называемой фокусом, и данной прямой, называемой
директрисой.
Возможны три других случая расположения параболы на
плоскости: y 2  2p x, x 2  2p y, x 2  2p y .
Замечание 1. При выводе канонического уравнения
параболы следует первым сделать поворот координатных осей.
Поскольку для параболы   AC  B2  0 или B   AC , новые
коэффициенты можно записать в виде
A1 

A cos   C sin 
Выбирая угол


2
, B1 

A sin   C cos 
из уравнения
tg  
A
C

2
.
, можно
обратить коэффициент A1 в нуль (если взять угол tg 
A
, то
C
обратится в нуль C1 ). В обоих случаях станет нулевым и
136
коэффициент B1 .
Далее совершая параллельный перенос осей координат,
можно найти координаты вершины параболы и ее уравнение.
Замечание 2. Если совершить поворот координатных осей
до их параллельного переноса с выбором угла поворота,
обращающего в нуль коэффициент B1 , то общее уравнение
кривой второго порядка примет вид
A1 x 2  C1 y 2  2Dx  2Ey  F  0 .
Это уравнение определяет следующие кривые:
1) окружность при A1  C1 ;
2) эллипс при A1 C1  0 ;
3) гиперболу при A1 C1  0 ;
4) параболу при A1 C1  0 .
При этом возможны случаи вырождения:

окружности в точку
мнимую окружность



 x  x 
2
0
 x  x 
2
0
2
  y  y0   0
2

или

  y  y0   0 ;
 x2 y 2

эллипса в точку  2  2  0  или в мнимый
b
a

2
2
x

y
эллипс  2  2  0  ;
b
a

гиперболы в пару пересекающихся прямых
 x2 y 2
b 
 2  2  0, y   x  ;
a 
b
a
параболы
y
2
2
d ,
в
пару
параллельных
прямых

y  d .
Замечание 3. Кривые второго порядка имеют следующие
«оптические» свойства:
1) луч света, испущенный из одного фокуса эллипса и
отраженный эллипсом, попадает в его второй фокус;
2) луч света, испущенный из одного фокуса гиперболы и
отраженный гиперболой, пойдет по прямой линии, проходящей
через второй фокус гиперболы;
3) луч света, испущенный из фокуса параболы и
137
отраженный параболой, пойдет по прямой линии, параллельной
оси симметрии параболы.
Замечание 4. Четыре кривые: окружность, эллипс,
гиперболу и параболу – называют коническими сечениями,
поскольку эти кривые являются сечениями кругового конуса
плоскостями.
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Найти координаты центров и радиусы окружностей.
11.1. x 2  y 2  4 x  8y  16  0 .
11.2. 9x 2  9y 2  42x  54y  95  0 .
11.3. x 2  y 2  4 x  6y  3  0 .
11.4. 3 x 2  3y 2  6x  4y  2  0 .
11.5. Найти уравнение окружности, касающейся осей
координат и проходящей через точку A(4;  2 ) .
11.6. Найти уравнение окружности с центром на прямой
y  2 x , касающейся оси абсцисс в точке A(3; 0 ) .
11.7. Написать уравнения касательных к окружности
2
x  y 2  6x  4y  12  0 , проведенных из точки A(0; 3 ) .
11.8. Найти расстояние между центрами окружностей
x 2  y 2  9 и x 2  y 2  8x  12  0 .
11.9. Найти уравнение прямой, проходящей через центры
окружностей x 2  y 2  6x  8y  16  0
и x 2  y 2  10x  4y  13  0 .
11.10. Написать уравнение окружности, проходящей через
точки A( 1; 3 ) , B(0; 2 ) , C(1;  1) .
11.11. Определить, как расположена прямая 2 x  y  3  0
относительно окружности x 2  y 2  3 x  2y  3  0 – пересекает,
касается или проходит вне ее.
11.12. Показать, что уравнение
4 x 2  3y 2  8x  12y  32  0 определяет эллипс. Найти его оси,
координаты центра и эксцентриситет.
138
11.13. Дано уравнение эллипса 24x 2  49y 2  1176 .
Найти:
а) длины его полуосей;
б) координаты фокусов;
в) эксцентриситет эллипса;
г) уравнения директрис и расстояние между ними;
д) точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса
F1 равно 12.
11.14. Написать уравнение эллипса, проходящего через
точки A(2;  4 3 ) и B( 1; 2 15 ) .
Написать канонические уравнения эллипсов, фокусы
которых расположены на оси Ox симметрично относительно
начала координат, если:
11.15. Задана точка A(2 3 ; 1) эллипса и его малая
полуось равна 2.
11.16. Заданы две точки эллипса A(0; 7 ) и B(8; 0 ) .
11.17. Расстояние между фокусами равно 24 и большая
ось равна 26.
7
11.18.
Эксцентриситет равен

и заданы
25
фокусы ( 7; 0 ) .
11.19. Найти уравнение касательной к эллипсу
x2 y 2

 1 , перпендикулярной прямой x  y  50  0 .
20 5
11.20. Определить траекторию перемещения точки A ,
которая при своем движении остается вдвое ближе к точке
B( 1; 0 ) , чем к прямой x  8  0 .
11.21. Дано уравнение гиперболы 5 x 2  4y 2  20 . Найти:
а) длины ее полуосей;
б) координаты фокусов;
в) эксцентриситет гиперболы;
г) уравнения директрис и асимптот;
д) фокальные радиусы точки A(3; 2,5 ) .
11.22. Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы
лежат на оси Oy , расстояние между ними равно 10, а длина
действительной оси равна 8.
139
Написать канонические уравнения следующих гипербол.
4
11.23. c  10 , уравнения асимптот y   x .
3
3
8
11.24.   , а расстояние между директрисами равно .
2
3
11.25.   2 и точка A( 3 ; 2 ) лежит на гиперболе.
11.26. Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее
эксцентриситет равен 2.
11.27. Дана парабола x 2  4y . Найти координаты ее
фокуса, уравнение директрисы, длину фокального радиуса
точки A(4; 4 ) .
11.28. Найти вершину, фокус и директрису параболы
y  2x 2  8x  5 . Построить график этой параболы.
11.29. Найти уравнение линии, все точки которой
одинаково удалены от точки O(0; 0 ) и от прямой x  4  0 .
11.30. Найти уравнение касательной к параболе y 2  36x ,
проведенной из точки A(1; 10 ) .
Задачи повышенного уровня сложности
Построить кривые второго порядка, приведя их уравнения
к каноническому виду.
11.31. 9x 2  24xy  16y 2  18 x  226y  209  0 .
11.32. 50 x 2  8 xy  35y 2  100 x  8y  67  0 .
11.33. 7 x 2  60xy  32y 2  14 x  60y  7  0 .
11.34. 41x 2  24 xy  34y 2  34x  112y  129  0 .
11.35. 29x 2  24 xy  36y 2  82 x  96y  91  0 .
11.36. x 2  2xy  y 2  12 x  12y  14  0 .
11.37. 4 x 2  24 xy  11y 2  64x  42y  51  0 .
11.38. 41x 2  24 xy  9y 2  24 x  18y  36  0 .
11.39. 14 x 2  24xy  21y 2  4x  18y  139  0 .
11.40. 11x 2  20xy  4y 2  20x  8y  1  0 .
140
СЕМИНАР 12
Понятие метрического пространства, метрика, определение
числовой последовательности, способы задания
последовательностей, монотонность и ограниченность
последовательностей
Метрическое пространство
Определение 1.
Метрическим
пространством
называется пара ( X ,  ) , состоящая из некоторого множества X
и
метрики
.
Метрика
определяет
отображение
 : X  X  R  и удовлетворяет условиям:
1)  ( x,y )  0 тогда и только тогда, когда x  y ;
2)  ( x,y )   ( y ,x ) (свойство симметричности метрики);
3)  ( x,y )   ( x,z )  ( y,z ) (неравенство треугольника).
Метрика задает расстояние между элементами (точками)
множества (пространства) X .
Числовые последовательности
Определение 2. Числовой последовательностью (или
последовательностью) называется множество чисел an  ,
полученное при отображении множества натуральных чисел N
в множество действительных чисел R (f : N  R ) , при
котором f ( n )  an . Число an
называется элементом
последовательности, а число n его номером. Очевидно,
множество an  является счетным множеством.
Основные способы задания последовательностей:
1) задание с помощью формулы,
n
( 1)n 

 ( 1) 
например, an  2
 или просто  2
.
n  1 

 n  1 
Такая
последовательность
содержит
числа
1 1
1
 1 1

,
,
,  ;
 , , 
26
 2 5 10 17

2) задание с помощью рекуррентного соотношения,
например, a1  1, a2  2, an  2  an  an 1  .
Эта последовательность состоит из чисел 1, 2, 3, 5, 8,13,  .
141
 an 
 
 bn 
называются
соответственно
суммой,
разностью,
произведением и частным последовательностей an  и bn  .
Последовательности
an  bn  , an  bn  , an  bn  ,
Определение 3. Последовательность an  называется
постоянной, если все ее члены равны одному и тому же числу.
Определение 4. Последовательность an  называется
монотонной,
если
она
является
неубывающей
( n  N an  an 1 ) или невозрастающей ( n  N an  an 1 ).
Определение 5. Последовательность an  называется
строго монотонной, если она является возрастающей
( n  N an  an 1 ) или убывающей ( n  N an  an 1 ).
Последовательности
типа
( 1) 
n
называются
колеблющимися.
Определение 6.
Последовательность an 
называется
ограниченной сверху, если существует такое число M , что все
члены последовательности меньше M .
Определение 7. Последовательность an  называется
ограниченной снизу, если существует такое число m , что все
члены последовательности больше m .
Определение 8. Последовательность an  называется
ограниченной, если она ограничена одновременно и сверху и
снизу.
Определение 9. Последовательность
an 
называется
неограниченной, если для любого числа M  0 найдется такой
ее член an , что an  M .
(В случае неограниченной
последовательности ее членов, удовлетворяющих этому
свойству, будет бесконечно много).
142
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
12.1. Показать, что  ( x,y )  0 .
12.2. Пусть X  R . Доказать, что функция  ( x,y )  x  y
является метрикой.
12.3. Пусть   – метрика.
Доказать,
что
 ( x,y ) 
 ( x,y )
1   ( x,y )
также
является
метрикой.
Пусть X  R n . Доказать, что функции  ( x,y ) является
метриками.
12.4.  ( x,y )  max xk  y k .
1k  n
n
12.5.  ( x,y )   xk  y k .
k 1
12.6. Выяснить, определяют ли функции  ( x,y )  ( x  y )2
и  ( x,y )  min x k  y k метрики соответственно на множествах
1 k  n
n
R иR .
12.7. Что представляет собой нульмерная сфера
S0 радиуса R0 в метрическом пространстве ( X ,  ) , если X  R
и  ( x,y )  x  y ?
Изобразить на плоскости (в пространстве
R2 )
одномерные сферы S1 (окружности) единичного радиуса для
метрик, задаваемых следующими функциями.
12.8.  ( x,y )  ( x1  x2 )2  ( y1  y 2 )2 .
12.9.  ( x,y )  max  x1  x2 , y1  y 2  .
12.10.  ( x,y )  x1  x2  y1  y 2 .
Здесь ( x1 ,y1 ) – декартовы координаты точки x , и ( x2 ,y 2 ) –
декартовы координаты точки y .
Какие
из
чисел
a, b
последовательностей an  ?
143
являются
членами
12.11. a  1215, b  12555
12.12. a  6, b  8
a
12.13. a  6, b  11
n
a
n

 5  3 2n 3 .

 n2  32n  n .
n 2  11 

an 
.
n  1 

12.14. a  248, b  2050
a
n

 2n  n .
Написать первые четыре члена последовательностей
an  .
 
12.17. ( 1)  1 .
12.15. 2 n 1 .


12.16. n2  2n  n .
12.21. (2n  1)! .
n 1
12.18.  2  .
 n 
n
 5 
12.20.  2  .
 n 
12.22. (2n  1)! ! .
12.23. a1  1, an  n an 1 .
12.24. a1  2, an  an 1  2 .
n
  n
12.19. sin
.
2 

12.25. a1  1, a2  2, an  an 2  2an 1 .
Написать формулы общих членов последовательностей.
1 1
1 1
12.27. 0, 2, 0, 2,  .
12.26.  , ,  , ,  .
2 3
4 5
12.29.
4 6 8
12.28. 2, , , ,  .
1, 0,  3, 0, 5, 0,  7, 0,  .
3 5 7
5
7 9 11
12.30. 3, ,  , ,  ,  .
3
5 7
9
2
2
2
2
,1,
, 0, 
,  1, 
, 0,  .
2
2
2
2
1 1 1 1
1 1 1
1
12.32. , , , ,  .
12.33. 1, , ,
,
, .
2 5 8 11
2 6 24 120
12.31. 0,
Среди
следующих
монотонные,
строго
последовательности.
последовательностей
указать
монотонные,
ограниченные
144
12.34. 2n  1 .
 ( 1)n 
12.35. 
.
 n 
1 
12.36.  2  .
n 
12.37. 1,  1,  2,  2,  3,  3, 
12.38.
[
1

12.39. n   .
n

2
 n  1 
12.41.  2  .
 n 

n] .
 n

12.40. cos
.
2 



12.43. sin n .
12.42.  n .
12.44.

 3

2n


 n 
12.46. 
.
 3n  2 
12.48.
n
2

12.45. ( 1)n 1 n .
.
12.47. a1  1, an 1 

2
.
an  1
12.49. ln( n  1)  ln n .
1  n .
2
 3n  1 
12.50.  2
.
 n  1 
12.51. a1  2, a2  5, an 
3an 2  an 1
.
2
n
 3 
12.53. ln n  n .
12.52.   .
 n 
12.54. an – n -й знак десятичной записи
иррационального числа.
некоторого
Доказать ограниченность последовательностей.
 2n 2  1 
 1  n 
12.55. 
.
12.56. 
.
2 
2
 2  n 
 n  1 
n
 n  ( 1) 
12.57. 
.
 3n  1 


5n6  6
12.59.  4
.
2
 ( n  1)( n  2 ) 
2
 n  4n  8 
12.58. 
.
2 
 (n  1) 
145
Доказать неограниченность последовательностей.




12.60. ( 1)n n .
12.61. n2  n .
1  n 
12.62. 
.
 n 
4
 n  n 
12.63. 
.
3 
 ( n  2 ) 



n
.
12.64. n  ( 1)n n .
12.65. n( 1)
n

sin

12.66. (1  n ) 2  .


 n3 
12.67.  2
.
 n  1 
Найти формулу общего члена последовательности,
заданной рекуррентным способом.
a 1
1
1
12.68. a1  0, an 1  n
.
12.69. a1  , an 1 
.
n 1
2
2  an
12.70. a1 
1
2
, an 1 
.
2
3  an
146
СЕМИНАР 13
Вычисление пределов последовательностей
Предел последовательности
Определение 1. Последовательность
сходящейся к числу a , если   0
выполняется неравенство
пределом
an 
называется
N такое, что при n  N
an  a   . Число a
последовательности
an 
при
называется
n 
и
обозначается lim an  a .
n 
Определение 2. Если последовательность an  не имеет
предела, то ее называют расходящейся.
Теорема 1. Последовательность an  не может иметь
более одного предела.
Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Ограниченность
последовательности
является
необходимым условием ее сходимости.
Определение 3. Будем говорить, что последовательность
an  удовлетворяет условию Коши, если   0 N такое,
что n  N и p  N справедливо неравенство an  p  an   .
Последовательность an  , удовлетворяющая условию Коши,
называется фундаментальной последовательностью.
Приведем
эквивалентное
определение
такой
последовательности.
Определение 4. Последовательность
фундаментальной, если   0
an 
называется
N такое, что n  N и
m  N верно неравенство an  am   .
Сформулируем достаточное условие сходимости.
Теорема 3
(критерий
Коши).
Необходимым
и
достаточным условием сходимости последовательности an 
является ее фундаментальность.
Иногда более удобно использовать другой критерий
сходимости.
147
Теорема 4.
Всякая
монотонная
последовательность сходится.
Пример.
и
ограниченная
n
1

(второй замечательный предел) lim 1    e .
n  
n
Свойства пределов
При вычислении пределов последовательностей удобно
использовать следующие их свойства.
Пусть lim an  a и lim bn  b , тогда:
n 
n 
1) предел
суммы
(разности)
двух
сходящихся
последовательностей равен сумме (разности) их пределов:
lim  an  bn   lim an  lim bn  a  b ;
n 
n 
n 
2) предел
произведения
двух
сходящихся
последовательностей равен произведению их пределов:
lim  an bn   lim an  lim bn  a  b
(следствие:
постоянный
n 
n 
n 
множитель можно выносить за знак предела ( lim c  an  c  a ));
n 
3) предел частного двух сходящихся последовательностей
равен частному их пределов:
lim an a
a
lim n  n 

( b  0, y n  0 n ) ;
n  b
lim bn b
n
n 
4) предел
степени,
являющейся
сходящейся
последовательностью, от сходящейся последовательности
равен
степени,
совпадающей
с
пределом
первой
последовательности, от предела второй последовательности:



lim an bn  lim an
n 
n 

lim bn
n 
 ab
(первое следствие: предел натуральной степени от
сходящейся последовательности равен этой степени от ее
k

предела ( lim  an   lim an
n 
n 

k
 a k ),
второе следствие: предел корня k -й степени от
сходящейся последовательности равен корню этой же степени
от предела последовательности ( lim k an  k lim an  k a ));
n 
148
n 
5) пусть
lim an  a ,
n 
lim bn  a ,
и
n 
n ,
начиная
с
некоторого числа N , an  cn  bn , тогда lim cn  a (теорема о
n 
трех последовательностях).
Бесконечно малая последовательность
Определение 5. Последовательность
 n 
называется
бесконечно малой последовательностью, если lim  n  0 .
n 
Теорема 5. Если последовательность an  имеет предел,
равный a , то an  a   n , где
последовательность.
 n 
– бесконечно малая
Верно и обратное утверждение: если an  a   n , где  n 
– бесконечно малая последовательность, то lim an  a , т.е.
n 
равенство an  a   n – необходимое и достаточное условие
того, что a – предел последовательности an  .
Отметим
основные
свойства
бесконечно
малых
последовательностей:
1) сумма
конечного
числа
бесконечно
малых
последовательностей − бесконечно малая последовательность;
2) произведение любого числа бесконечно малых
последовательностей − бесконечно малая последовательность;
3) произведение бесконечно малой последовательности
 n  на ограниченную последовательность an  − бесконечно
малая последовательность.
Определение 6. Последовательность an  называется
бесконечно
большой
последовательностью,
если
M  0 NM такое, что n  NM an  M .
Для бесконечно больших последовательностей будем
писать lim an   или lim an   .
n 
n 
Теорема 6.
1) Если  n  – бесконечно малая последовательность, то
149
1 
  – бесконечно большая последовательность.
n 
2) Если an  – бесконечно большая последовательность,
1 
то   – бесконечно малая последовательность.
 an 
Вычисление пределов в случае неопределенностей
Замечание 1.
Использование
свойств
пределов,
приведенных ранее, при их вычислении теряет смысл в случаях
0 
  , 0  , ,
, 0 0 , 1 ,  0 ,
которые
называются
0 
неопределенностями. Вычисление пределов в этих случаях
называется раскрытием неопределенностей.
Замечание 2. Неопределенности типа 00,1∞,∞0 сводятся к
неопределенности вида
0
с помощью вычисления
логарифмической
функции
от
рассматриваемой
последовательности,
т.е.
вычисление
предела



lim an bn
n 

заменяется на вычисление предела lim ln an bn  lim bn ln an .
n 

При раскрытии неопределенности вида 1
знание второго замечательного предела.
n 
часто используют
Замечание 3. Неопределенность вида 0   заменяется
0

или неопределенностью
с помощью
0





a 
b 
преобразования lim  an bn   lim  n   lim  n  .
n 
n   1 
n   1 
b 
a 
 n 
 n
неопределенностью
Замечание 4. Неопределенность вида
на неопределенность
0
0

можно заменить

(или наоборот) преобразованием
150
 1 
 an 
bn 
lim    lim 

.
n   bn 
n  1
 a 

n 
Замечание 5.
an
,
n  bn
Пределы
имеющие
lim

, часто вычисляются делением

числителя и знаменателя на старшую степень числа n .
неопределенность вида
Замечание 6. Пределы
lim  an  bn  , представляющие
n 
неопределенность    , вычисляют путем умножения и
деления разности an  bn на сумму an  bn (сопряженную
величину).
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Используя
определение
предела,
доказать
справедливость формул.
3n  2
4n  1 4
13.1. lim
3.
13.2. lim
 .
n  n  1
n  5n  2
5
13.3. lim
n 
13.5. lim
2n2  1
n2
3  n3
n  1  n 3
13.7. lim
n 
n 1
n
2.
13.4. lim
 1 .
13.6. lim
n 
n 
4n2  1
n2  2
7n4  2
n 4  19
4.
7 .
1.
Найти пределы последовательностей.
2n  5
4  n2
13.8. lim
.
13.9.
lim
.
n 
n
n  3  n 2
3n  2
3.
n  n  1
13.10. lim
13.11. lim
n 
151
3n2  n  2
5n2  1
.
n 4  5n2  1
13.12. lim
n  10n
13.14. lim
21n3  7n  8
n 
5n 1
n  5
n
1
n  5n
.
13.15. lim
3
 4n 2  2n  2
( n  1)3  ( n  1)3
n2  1
2n  1
n 
13.17. lim
n  3
n2  n  4
.
.
.
5
.
13.19. lim
n2  1
n 3  n 2  4  n6
n  3
n sin n !
n 
7n2  1
13.13. lim
n 2  3n
.
n2
13.16. lim
13.20. lim
 3n  1
.
4n 3  5n 2  10n
n 
13.18. lim
3
n5  2n  4 n6  3n 4  2
.
.
Найти пределы последовательностей.
13.21. lim

n 1  n .
13.23. lim

n2  n  n .
n 
n 

13.22. lim

5 
 3
13.24. lim 

.
n   n  2
2n  1 
 2n 2  5 n 2  4 

13.25. lim 
 .
n 
 4n  1 2n  3 
 2n  1 1  2n 3 

13.27. lim 
.
n  5n  7
2  5n 3 

n 
13.26. lim
n 



n  1  n 1 .
3
3
13.28. lim n 2
n 

n3  4n2  n .


n3  1  n3  2 .
Найти пределы последовательностей.
1

13.29. lim 1  
n  
n
n k
n


13.30. lim 1   .
n  
n
.
n
n
 n 
13.31. lim 
 .
n   n  1 
 2n  4 
13.33. lim 

n   2n  3 
n 2
13.32. lim 
 .
n   n  1 
n 1
 2n 2  3 
13.35. lim  2

n  2n  1 


 n2  1 
13.34. lim  2 
n 
 n 
.
n2
.
 n 7 
13.36. lim 

n   n  5 
152
n2
.
n3
.
 n 1 
13.37. lim 

n   n  1 
3n2 1
 3n2  2n 
13.38. lim  2

n  3n  2n  5 


.
 2n 2  n  5 
13.39. lim  2

n  2n  n  1 


3n2
13.40. lim
.
1  2  3   n
n 
n2  1
Задачи повышенного уровня сложности
Найти пределы последовательностей.
1 1
1
1    n
3 9
3
13.41. lim
.
1 1
1
n 
1 
 n
4 16
4
 1
1
1

13.42. lim 


.
n   1  2
2 3
n(n  1) 
 1
1
1

13.43. lim 

 
.
n   2  4
4 6
2n(2n  2 ) 
13.44. lim
12  2 2  3 2    n2
n3
n 
13.45. lim
an  2
n  a2
n
4
.
, если lim an  1 .
n 
an2  3an  2
, если lim an  2 .
n 
n 
an  2
13.46. lim
13.47. lim an , если an  6  an 1 , a1  6 .
n 
n2
 n2  n  3 
13.48. lim  2
.

n  n  n  1 


1  3  5  7    (2n  1) 2n  1 
13.49. lim 

.
n  
n 1
2 
1 2n
 4n 2  4n  1 
13.50. lim  2

n  4n  2n  3 


.
153
n 2
.
.
СЕМИНАР 14
Области определения функций, четность и нечетность
функций, периодичность функций, обратные функции,
сложные функции, неявно заданные функции,
параметрически заданные функции
Область определения функции задается вместе с
определением самой функции как часть этого определения.
Если
же
функция
задается
только
формулой,
то
предполагается, что ее область определения совпадает с
множеством значений переменной, при которых формула,
определяющая функцию, имеет смысл.
Определение 1. Функция y  f ( x ) называется четной
функцией, если она удовлетворяет свойству f (  x )  f ( x ) , и
нечетной функцией, если f (  x )  f ( x ) .
Определение 2.
Функция
y  f( x)
называется
периодической, если существует такое положительное
число T , что для любого значения независимой переменной x
справедливо равенство f ( x  T )  f ( x ) . Число T называют
периодом функции y  f ( x ) . Наименьшее значение этого числа
называется основным периодом (часто просто периодом).
Пусть на некотором множестве X задана функция
y  f ( x ) (т.е. множество X является областью определения
функции y  f ( x ) ) с областью значений Y . Пусть также на
некотором множестве, включающем в себя множество Y ,
задана функция z  g( y ) с областью значений Z . Тогда можно
определить композицию функций f ( x ) и g( y ) , заданную
правилом h( x )  f  g  g( f ( x )) .
Функция h( x ) отображает множество X в множество Z и
называется сложной функцией. Заметим, что определенная
выше композиция функций f ( x ) и g( y ) существует тогда и
только тогда, когда область определения функции g( y )
включает в себя область значений функции f ( x ) .
Пусть функция f ( x ) взаимно однозначно отображает
множество X на множество Y . В этом случае можно
154
определить обратную к f ( x ) функцию f 1 ( x ) , отображающую
взаимно однозначно Y на X и удовлетворяющую свойствам
f ( f 1 ( x ))  f 1 (f ( x ))  x .
Для нахождения обратной функции к функции, заданной
формулой y  f ( x ) , необходимо разрешить данное уравнение
относительно x : x  ( y ) . Функции y  f ( x ) и x  ( y ) будут
взаимно обратными.
Функции вида y  f ( x ) будем называть явными
функциями. Рассмотрим уравнение F( x,y )  0 , связывающее
две переменные. В некоторых случаях это уравнение можно
разрешить относительно переменной y (или переменной x ) и
получить явную функцию y  f ( x ) (или x  ( y ) ). В других
случаях
этого
сделать
нельзя
(например,
 x 
sin x
sin( x 2 ln y )  tg  3  e xy arctg
 0 ).
cos y
y 
В любом случае назовем неявной функцией y
независимой переменой x функцию, значения которой
находятся из уравнения F( x,y )  0 , связывающего x и y и
неразрешенного относительно y .
Рассмотрим две функции одной и той же переменной:
x  (t ), y   (t ) . Задание этих функций означает задание
функциональной зависимости между переменными x и y .
Определение 3. Задание функциональной зависимости
между двумя переменными, состоящее в том, что обе
переменные определяются каждая в отдельности как функции
одной и той же вспомогательной переменной, называется
параметрическим,
а
вспомогательная
переменная
–
параметром.
Нахождение непосредственной связи между переменными
x и y без участия переменной t называется исключением
параметра.
Исключение
параметра
осуществляется
следующим образом: находим обратную функцию к функции
 (t ) ( t   1 ( x ) ) и подставляем ее вместо параметра t в
функцию  (t ) , получая функциональную зависимость между
переменными x и y y   (  1 ( x )) .
155
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Найти области определения функций.
5
14.1. f ( x ) 
 7 cos 2 x .
3
2x  x 2
14.2. f ( x )  arccos( x  2 )  ln( x  2 ) .
14.3. f ( x )  arcsin(log 3 x ) .
14.4. f ( x )  1  x 2 arctg
1
14.5. f ( x ) 
sh x  ch x  1
sh
14.6. f ( x ) 
1
.
x
.
1
x
.
1  ch 3 x
1
14.7. f ( x )  cos  ln( x  1)  10   x .
x
8
14.8. f ( x )  sin x .
1  x2
.
2
14.10. f ( x )  ln(1  2 cos x ) .
Какие из следующих функций четные, какие нечетные, а
какие – общего вида?
14.9. f ( x )  arcsin
14.11. f ( x ) 
x3
x2 1
sin x
14.13. f ( x ) 
.
x
.
14.15. f ( x )  x 5  3 x 3  x .
14.12. f ( x )  x 4  5 x .
14.14. f ( x ) 
3
.
x 1
14.16. f ( x )  arcsin x .
2
14.17. f ( x )  x .
14.19. f ( x )  sin x  cos x .
14.18. f ( x )  x  2 .
14.21. f ( x )  e x  2e  x .
14.22. f ( x )  th x .
14.23. f ( x )  ln
1x
.
1 x
14.20. f ( x )  xe x .
14.24. f ( x ) 
156
x
x
.
14.25. f ( x )  x  1  x  1 .
14.26. f ( x )  sec x .
Определить, являются ли функции периодическими, и
найти их наименьшие положительные периоды, если они
существуют.
14.27. f ( x )  sin 4 x .
14.28. f ( x )  x 2 .
14.29. f ( x )  cos
x
.
4
14.30. f ( x )  x .
14.33. f ( x )  sin 2x  cos 3x .
x
.
3
14.34. f ( x )  ln x .
14.35. f ( x )  cos x .
14.36. f ( x )  5 .
14.31. f ( x )  cos 2 5 x .
14.37. f ( x ) 
sin 5 x
.
cos 4x  2
14.32. f ( x )  tg
14.38. f ( x )  x sin x .
14.39. f ( x )  cos x  sin( 3 x ) .
Найти обратные функции для данных функций, если они
существуют.
14.40. y  sh x .
14.41. y  ch x, x  [ 0,  ) .
14.42. y  ch x, x  ( ,0 ] .
14.43. y  th x .
14.44. y  sin x cos x .
2x, x  0,
14.45. y   2
  x , x  0.
Найти сложные функции f ( x )  g( x ) и g( x )  f ( x ) .
14.46. f ( x )  sin x, g( x )  x 2 .
14.47. f ( x )  x 3 , g( x )  x 5 .
14.48. f ( x )  e2 x , g( x )  ln | x | .
14.49. f ( x )  3x 2  x, g( x )  x  5 .
14.50. f ( x )  x 3 , g( x )  e x .
Функция y задана неявно. Выразить ее в явном виде, где
это возможно.
14.51. xy 2  7 .
14.52. x 2  y 2  1, y  0 .
157
14.53.
x2 y 2

1.
9
4
14.54. x  y  1 .
14.55. e y  sin y  x 2 .
Функции заданы параметрически. Исключив параметр t ,
найти y( x ) .
 x
14.56. 
 y
x
14.58. 
y
 t  1,
2
 t  1.
 cos t ,
 sin t.
 x
14.57. 
 y
x
14.59. 
y
2
 x  5 cos t ,
14.60. 
2
 y  3 sin t.
158
 t  3,
 t 2  6t  10.
 4 cos t ,
 2 sin t.
СЕМИНАР 15
Определение предела функции и его вычисление
Предел функции
Рассмотрим функцию f ( x ) , определенную на множестве
X R.
Определение 1 (по Коши). Число b называется пределом
функции f ( x ) в точке a (при x  a ), если   0   0
такое, что x , удовлетворяющих условиям x  X , 0  x  a   ,
выполняется неравенство f ( x )  b   .
Для обозначения предела функции f ( x ) в точке a
используется запись lim f ( x )  b .
x a
Определение 2 (по Гейне).
Число b называется
пределом функции f ( x ) в точке a (при x  a ), если для
любой сходящейся к a последовательности
n x n  X , xn  a ,
соответствующая
 xn 
такой, что
последовательность
значений функции f ( xn ) сходится к b .
Точка a , к которой стремится независимая переменная x ,
называется ее предельной точкой.
Теорема 1 (о сохранении знака). Если предел в точке a
положителен, то все значения функции в некоторой окрестности
этой точки (за исключением, может быть, самой точки a )
положительны.
Теорема 2 (об ограниченности функции). Если функция
имеет предел в точке a , то она ограничена в некоторой
окрестности этой точки.
Определение 3 (по Коши). Число b называется правым
(левым) пределом функции f ( x ) в точке a , если
  0   0 такое, что x , удовлетворяющих условиям
x  X , a  x  a   (a    x  a ) , выполняется неравенство
f( x)  b   .
Правый
предел
обозначается
lim f ( x )  b
x a  0
f(a  0 )  b .
159
или
Определение 4 (по Гейне). Число b называется правым
(левым) пределом функции f(x) в точке a, если для любой
сходящейся к a последовательности  xn  такой, что
n xn  X , xn  a ( xn  a ) , соответствующая
последовательность значений функции f ( xn ) сходится к b .
Левый предел обозначается lim f ( x )  b или f(a – 0)=b.
x a  0
Теорема 3. Если в точке a существуют правый
lim f ( x )
x a  0
и левый
lim f ( x )
пределы и эти пределы равны, т.е.
x a  0
lim f ( x )  lim f ( x )  b , то существует предел lim f ( x )  b .
x a  0
x a  0
x a
Верно и обратное утверждение.
Пусть x   и функция f ( x ) определена на полупрямой
(c,  ) .
Определение 5 (по Коши). Число b называется пределом
функции f ( x ) при x   , если   0 a  0 ( a  c ) такое,
что x  a выполняется неравенство f ( x )  a   .
Аналогично определяется предел функции
x   .
f( x )
при
Определение 6 (по Гейне). Число b называется пределом
функции f ( x ) при
x   , если для любой бесконечно
большой последовательности  xn  ( xn  c n ) соответствующая
последовательность значений функции f ( xn ) сходится к b .
Аналогично определяется предел функции
x   .
f( x )
при
Теорема 4. Данные определения пределов по Коши и по
Гейне эквивалентны.
Бесконечно большие и бесконечно малые функции
Определение 7. Функция f ( x ) называется бесконечно
большой в точке a справа (слева), если для любой
сходящейся к a последовательности  xn  такой, что
n x n  X , xn  a ( x n  a ) ,
160
соответствующая последовательность
f ( xn ) является бесконечно большой.
В
этих
случаях
будем
значений
писать
функции
lim f ( x )  
x a  0
( lim f ( x )   ).
x a  0
Пусть функция f ( x ) определена на полупрямой (c,  ) .
Определение 8. Функция f ( x ) называется бесконечно
большой при x   , если для любой бесконечно большой
последовательности  xn  ( xn  c n ) соответствующая
последовательность f ( xn ) является бесконечно большой.
Для такой функции будем писать lim f ( x )   .
x 
Аналогичным образом определяется бесконечно большая
функция при x   , для которой lim f ( x )   .
x 
Наряду с бесконечно большими функциями можно ввести
понятие бесконечно малых функций.
Определение 9. Функция  ( x ) называется бесконечно
малой при x  a (в точке a ), если lim  ( x )  0 .
x a
Рассмотрим вопрос о сравнении бесконечно малых
функций.
Определение 10. Функции  ( x ) и  ( x ) называются:
а) бесконечно малыми одного порядка при x  a , если
( x )
lim
C 0 ;
x a  ( x )
б) эквивалентными бесконечно малыми при x  a ,
( x )
если lim
 1 (  ( x )   ( x ))
x a  ( x )
( x )
 0 , то говорят, что
( x )
функция  ( x ) является бесконечно малой более высокого
порядка при x  a , чем функция  ( x ) , и пишут   o(  ) при
x  a (  ( x ) равно «о малое» от  ( x ) при x  a ).
Определение 11. Если
lim
x a
161
Свойства символа «о малое»
Отметим ряд свойств символа «о малое», которые
полезны при сравнении бесконечно малых функций:
1) o(  )  o(  )  o(  ) ;
2) o(c  )  o(  ) c  0 ;
3) c  o(  )  o(  ) c  0 ;
4) o(  n )  o(  k ) ( n  2, k  1, 2,  , n  1) ;
n
5)  o(  )  o(  n ) ;
6)  n o(  )  o(  n 1 ) ;
o(  n )
 o(  n 1 ) ( n  2 ) ;

8) o(o(  ))  o(  ) ;
9) o(   o(  ))  o(  ) ;
7)
 n

10) o   ck  k   o(  ), где ck – конечные числа;
 k 1

11)     o(  ),     o(  ) ;
12) если  ( x )   ( x ) , то     o(  ) и     o(  ) .
Свойства пределов функции
При вычислении пределов функций используют их
свойства,
аналогичные
свойствам
пределов
последовательностей.
Пусть lim f ( x )  b и lim g( x )  c , тогда:
x a
x f
1) передел суммы (разности) функций равен сумме
(разности) их пределов:
lim  f ( x )  g( x )  lim f ( x )  lim g( x )  b  c ;
x a
x a
x a
2) предел произведения функций равен произведению их
пределов: lim  f ( x )  g( x )  lim f ( x )  lim g( x )  b  c
x a
x a
x a
(следствие: постоянный множитель можно выносить за
знак предела ( lim   f ( x )    b ));
x a
3) предел частного функций равен частному их пределов:
162
f( x) b
f ( x ) xlim
 a

x a g( x )
lim g( x ) c
(c  0) ;
lim
x a
4) предел степени, являющейся функцией, функции равен
степени, совпадающей с пределом первой функции, от предела
g( x )
второй функции: lim  f ( x )
x a

 lim f ( x )
x a

lim g( x )
x a
 bc
(первое следствие: предел натуральной степени от
функции
равен
этой
степени
от
ее
предела
k
k
( lim  f ( x )   lim f ( x )  b k ),
x a
 x a

второе следствие: предел корня k -й степени от функции
равен
корню
этой
же
степени
от
предела
k
k
функции( lim f ( x )  k lim f ( x )  b )).
x a
x a
Замечание. Методы раскрытия неопределенностей вида
0 
  , 0  , ,
, 0 0 , 1 ,  0
при вычислении пределов
0 
функций аналогичны методам, используемым при вычислении
пределов последовательностей (деление на старшую степень,
умножение на сопряженное выражение, вычисление предела от
логарифма функции, использование замечательных пределов).
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Используя определение предела функции по Коши,
доказать равенства.
15.1. lim ( 2x  1)  5 .
15.2. lim ( 4 x  3 )  1 .
x 2
x 1
15.3. lim ( 3 x  2 )  2 .
x 0
2
15.5. lim x  9 .
x 3
15.4. lim(  x  4 )  3 .
x 1
15.6. lim
x 5
1 1
 .
x 5
Используя определение предела функции по Гейне,
доказать равенства.
15.7. lim ( 2x  1)  5 .
15.8. lim ( 4 x  3 )  1 .
x 2
x 1
163
15.9. lim ( x 2  4x  8 )  4 .
x2  5
15.11. lim
x 3
2
x 1
4.
3
.
2
15.10. lim 1  x 2 
1
x
2
x 2
15.12. lim
x 2
x3
4
2
x  2x  16

Используя свойства пределов, найти пределы.
3x 2  1
15.13. lim (5 x 2  2 x  1) .
15.14.
lim
.
x 1
x 1 4 x 2  5 x  2
5x 1
4 x2  1
15.15. lim 3
.
15.16. lim 3
.
x 1 x  2x  3
x 2 x  x  7
x
4 x 3  3x 2  x
15.17. lim 2
.
15.18. lim
.
x 0 x  x
x 0
2x
x 2  5 x  10
15.20. lim ( 3 x 4  x 3 ) .
15.19. lim
.
2
x 3
x 5
x  25
15.21. lim ( 5 x 3  3 x 2  x ) .
x 5
2012
.
sin7 x
.
cos x 2
cos 2x
15.27. lim
.
 sin7 x
x
x 
 2 5
15.24. lim 

x 3 ln x 3  9 


sin x
15.26. lim
.
x  x
15.28. lim
x 
x
4 .
15.29. lim
5x
x 
tg
4
ctg
x

3
tg 2 x
.
3 x
ctg
2
arccos x 3
.
x 0 arcsin( x  1)
15.33. lim
.
x2
2
x
 5
x
2
15.31. lim
x2
x 2
 1 x 
15.23. lim 

x 1  5 x  3 
15.25. lim
15.22. lim 7 x  2 
15.30. lim
x

6
15.32. lim
cos 3x
.
tgx
sin 2 x
cos 3 x
.
arcsin x
.
 2)
x 1 arccos( x
15.34. lim
x 1
164
arcctg x 3
 arctg x 3
.
.
1
.
3
15.35. lim(arcsin(ln x )  3 2 x  2 ) .
x 1
ln 2000 x
15.36. lim
e ln 2 x
x e
.
15.37.
lim
x 3
log x 81
.
sin(arccos( ln(4  x )))
Вычислить пределы.
x3  x  2
15.38. lim
.
x 1
x3  1
15.40. lim
x 1
15.42. lim
x 3  3x  2
4
x  4x  3
x 3  a3
x2 1
15.44. lim
x 1
15.41. lim
.
x 
x 2  (a  1)x  a
x a
2
.
x 

x 2
15.56. lim
x 1
15.58. lim
x 
5 x 2

x 2  25
.
x2  7 x  6
15.49. lim
x 6
15.51. lim
x 
15.53. lim
x 0
.
15.55. lim
x 3
x  6x  4
2  x 1
x2  6 x  5
.
15.45. lim

2
6x 2  5 x  4
( x  h )3  x 3
.
h 0
h
3 
 1
15.47. lim 

.
x 1  1  x 1  x 3 
.
x( x  a )  x .
x 2  2x
15.54. lim
.
x2  1
2x 2  x  1
x 5
Вычислить пределы.
2  x 3
15.50. lim
.
x 7 x 2  49
15.52. lim
1
2
15.43. lim
x  3x  2
x 2  2x
15.46. lim 2
.
x 2 x  4x  4
x 3  x 2  3x  3
15.48. lim 3
.
x 1 2x  2x 2  x  1
x 1
x3  1
15.39. lim
.
15.57. lim
x 4

x2  5 x  6  x .
15.59. lim
x 0
165
3
x  6x 2  3x  18


xa  x .
x  25  5
x2  2 x
2x  3  3
x  2 1
3 5x
1 5 x
.
.
.
1 x  1 x
.
x
.
xh  x
.
h
15.60. lim
h 0
Задачи повышенного уровня сложности
Вычислить пределы.
1  x 1
15.61. lim 3
.
x 0 1  x  1
x 1
15.63. lim 3
x 1
x 1

3
3
15.64. lim
x 0

xh 3 x
.
h
15.67. lim
h 0
15.69. lim
x 
15.70. lim

3
x  6
x 8 3
3
.
15.65. lim x  1  x 3 .
x 
x 8
15.62. lim
x 2
8  x 2
.
x
15.66. lim x
x 

2x  x 2
x 2

x4  2  x
.
166

x2  1  x .
7  2x  x 4  1  x  x 2
15.68. lim
x 3  3x 2  4 x  3 x 3  3 x 2  4 .
x2  6  x
.
.
СЕМИНАР 16
Вычисление пределов функций с помощью замечательных
пределов, получение асимптотических формул
и применение их к вычислению пределов, непрерывность
функции, классификация точек разрыва
Замечательные пределы
Замечательными пределами являются:
sin x
первый замечательный предел lim
1
x 0 x
и второй замечательный предел
1
x
1

lim 1    lim (1  x ) x  e .
x  
x 0
x
Асимптотические формулы
Теорема.
Если
lim f ( x )  b ,
x a
то
f ( x )  b  ( x ) ,
где
lim  ( x )  0 , т.е. функция α(x) является бесконечно малой
x a
функцией при x→a. Верно и обратное утверждение: если
f(x)=b+α (x), где α(x) – бесконечно малая функция при x→a, то
lim f ( x )  b .
x a
Рассмотрим первый замечательный предел lim
x 0
sin x
1.
x
sin x
 1   ( x ) , при этом lim  ( x )  0 .
x 0
x
Используя полученную формулу, представим функцию
sinx в виде sinx=x+xα(x).
Так
как
xα(x)=o(x)
(действительно
x ( x )
lim
 lim  ( x )  0 ), перепишем найденную формулу в
x 0
x 0
x
виде sinx=x+o(x).
Подобные
формулы,
которые
называют
асимптотическими формулами (или асимптотическими
разложениями, или асимптотическими представлениями
функций), можно получить для многих функций.
Для простейших элементарных функций справедливы
оценки:
Тогда
167
1) sin x  x  o( x ) ;
1 2
x  o( x 2 ) ;
2
3) a x  1  x ln a  o( x ) ( a  0 ) ,
2) cos x  1 
e x  1  x  o( x ) ;
4) ln(1  x )  x  o( x ) ;
5) (1  x )  1   x  o( x ) ;
6) tg x  x  o( x ) ;
7) sh x  x  o( x ) ;
1 2
x  o( x 2 ) ;
2
9) th x  x  o( x ) ;
8) ch x  1 
10) arcsin x  x  o( x ) ;
11) arctg x  x  o( x ) .
Эти формулы удобно использовать при нахождении
пределов функций вида lim f ( x ) .
x 0
Непрерывность функции
Определение 1. Функция y=f(x) называется непрерывной
в точке x=a, если lim f ( x )  f ( a) .
x a
Приведем эквивалентное определение. Функция y=f(x)
называется непрерывной в точке x=a, если 1) она определена
в
точке
x=a;
2)
  0   0
такое,
что
при
x  a   f ( x )  f (a )   .
Определение 2. Точка x=a, в которой функция y=f(x) не
является непрерывной, называется точкой разрыва этой
функции.
Определение 3. Точка x=a называется точкой разрыва
первого рода функции y=f(x), если существуют конечные
односторонние пределы
lim f ( x )  A и
lim f ( x )  B и
x a  0
x a  0
выполняются условия:
1) A≠B или
2) A=B≠f(a).
168
Разность
называется
lim f ( x )  lim f ( x )
x a  0
скачком
x a  0
функции y=f(x) в точке x=a. Точка разрыва первого рода,
удовлетворяющая условию 2), называется точкой устранимого
разрыва (разрыв устраняется переопределением значения
функции в этой точке f(a)=A).
Определение 4. Точку x=a называют точкой разрыва
второго рода, если в этой точке имеется разрыв функции, не
являющийся разрывом первого рода.
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Вычислить пределы, используя первый замечательный
предел.
sin7 x
sin 5 x
sin  x
16.1. lim
.
16.2. lim
.
16.3. lim
.
x 0
x 0 2 x
x 1 sin 3 x
x
x
1  sin
tg2 x
sin 2 3x
16.6. lim
.
16.5.
lim
.
2
16.4. lim
.
x 0 sin 5 x
x 0 sin 2 2x
x    x
cos x
 1
1 
16.9. lim
.
16.7. lim 

. 16.8. lim x ctgx .


x

0
x 0  sin x
tgx 
x  2x  
2
arcsin x
16.10. lim
.
x 0
x
16.13. lim
x 0
16.16. lim
x 0
tgx  sin x
x
3
cos2 x  1
x
2
.
.
sin 2 x
.
tg4x
arctg2 x
.
x 0
x
16.12. lim
1  x2
.
x 1 sin  x
16.15. lim x sin
16.11. lim
16.14. lim

x
2
x 
1
.
x
16.17. lim x 4 ctgx 4 .
x 0
1


16.18. lim  3
3.
x 0  x cos ec 3 x

Вычислить пределы, используя второй замечательный
предел.
x
2

16.19. lim 1   .
x  
x
x
1

16.20. lim 1   .
x  
x
169
x
 x 1 
16.21. lim 
 .
x   x  1 
x
2 x
16.22. lim 
 .
x 0  3  x 
 x 1 
16.25. lim 

x   x  3 
x
 x 
16.23. lim 
 .
x   x  1 
x 2
2x
. 16.26. lim  1  x 1 .


x   x 2 
 x 1 
16.24. lim  2

x 1  x  1 
x 1
 x2  2 
16.27. lim  2

x  2x  1 


.
x2
1  x 1
и, используя
1
x 0
x
2
результат вычисления, найти асимптотическую формулу для
функции 1  x .
1  cos x
16.29. Вычислить предел lim
и, используя
x 0
x2
результат вычисления, найти асимптотическую формулу для
функции cosx.
ln(1  x )
16.30. Вычислить предел lim
и, используя
x 0
x
результат вычисления, найти асимптотическую формулу для
функции lnx.
16.28. Вычислить предел
lim
ex 1
и, используя
x 0
x
результат вычисления, найти асимптотическую формулу для
функции e x .
tgx
16.32. Вычислить предел lim
и, используя результат
x 0 x
вычисления, найти асимптотическую формулу для функции tgx.
Используя
асимптотические
формулы,
вычислить
пределы.
x  sin 2x
arctg2 x
16.33. lim
.
16.34. lim
.
x 0 x  sin 3 x
x 0 sin 3 x
cos ax  cos bx
1  cos x
16.36. lim
.
16.35. lim
.
x 0
x 0
x2
x2
tg5 x
ln(1  2x )
16.37. lim
.
16.38. lim
.
x 0 2x
x 0 arcsin 3 x
16.31.
Вычислить
e2 x  1
.
x 0 ln(1  6x )
16.39. lim
предел
lim
16.40. lim
x 0
170
7 x 1
3x 1
.
.
1  7 x 1
.
x 0
x
ln(1  10x )
16.43. lim
.
x 0
x
16.42. lim
16.41. lim
16.45. lim
x 0
16.47. lim
x 1
cos2 x  1
2
x2  2 x
ln cos x
16.44. lim
.
x 0
x2
x 2
x2  2 x  1
.
16.46. lim x 4 ctgx 4 .
.
x
cos(1  x )  1
arctg( x  2 )
x 0
.
Исследовать на непрерывность функции. Определить род
точек разрыва при их наличии.
16.48. f ( x )  x 3 .
16.49. f ( x )  5 x 2  3 x  8 .
16.50. f ( x ) 
2x  1
.
x 2
  x  3, x  2,
16.52. f ( x )   2
 x  4, x  2.
16.51. f ( x )  cos ec x .


x, x   ,



16.53. f ( x )   sin x,    x  ,
2



 1, x  2 .
2, x  2,

 x 3  1, x  1,


16.54. f ( x )   4  x 2 ,  2  x  2, 16.55. f ( x )  
2, 1  x  2,
 x  2, x  2.
 3x, x  2.


sin x
x 2  16
16.57. f ( x ) 
.
16.56. f ( x ) 
.
x
x 4
1
2
16.59. f ( x )  x 3
.
16.58. f ( x )  arctg
.
x 1
2
1
1
16.60. f ( x ) 
.
arcsin(sin x )  0,5
Задачи повышенного уровня сложности
Вычислить пределы, используя первый замечательный
предел.
171
sin( x  h )  sin x
.
h 0
h
tg  x
16.63. lim
.
x 2 x  2
16.61. lim
cos x  cos a
.
x a
x a
16.65. lim
1  sin x  1  sin x
.
x
sin x  sin a
16.64. lim
.
x a
x a
16.62. lim
x 0
1 x
 sin 2 x 
16.66. lim 

x 0 
x 
.
Вычислить пределы, используя второй замечательный
предел.
16.67.
1
lim (1  sin x ) x
x 0
16.69.
1
sin
lim (1  sin x ) x
x 0
 x2  2 x  3 
16.68. lim  2

x 0 x  3 x  2 


.
sin x
x
.
1
.
16.70. lim (cos 2x )sin
x 0
2
x
.
t
1 

16.71. lim 1  2  .
t  
t 
sh x
и, используя результат
x
вычисления, найти асимптотическую формулу для функции shx.
1  ch x
16.73. Вычислить предел lim
и, используя
x 0
x2
результат вычисления, найти асимптотическую формулу для
функции chx.
th x
16.74. Вычислить предел lim
и, используя результат
x 0 x
вычисления, найти асимптотическую формулу для функции thx.
16.72. Вычислить предел lim
x 0
Используя
асимптотические
пределы.
4 4
3
31 
 1
x
x .
16.75. lim
x 
5
151
x
n
16.76. lim
x 0
1  ax  k 1  bx
, n,k  N .
x
172
формулы,
вычислить
3
16.77. lim
x 0
cos 4x  3 cos 5 x
.
1  cos 3 x
16.79. lim 1  ctg x 

x
2
tg x
.
esin 5 x  esin x
.
x 0 ln(1  2x )
16.78. lim
16.80. lim  ln  e  x  
x 0
173
ctg x
.
СЕМИНАР 17
Определение производной функции, правила
дифференцирования, дифференцирование сложных
функций, дифференцирование функций, заданных
параметрически
Определение производной
Определение 1. Приращением функции y=f(x) в точке x,
соответствующем приращению аргумента  x , называется
разность
y  f ( x   x )  f ( x ) .
Определение 2. Производной функции y=f(x) в точке x
называется предел отношения приращения функции в этой
точке к приращению аргумента при стремлении последнего к
нулю, если этот предел существует, т. е.
f ( x  x )  f ( x )
y   f ( x )  lim
.
 x 0
x
Замечание 1. Часто используется другое обозначение
df
производной: f ( x ) 
.
dx
Геометрический смысл производной функции y=f(x) в
точке x заключается в том, что ее значение в этой точке равно
угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в
рассматриваемой точке. Физический смысл производной –
скорость изменения рассматриваемой физической величины
(например, m(t ) – скорость изменения массы в момент
времени t). Нахождение производной называют также
дифференцированием функции.
Техника дифференцирования включает в себя знание
производных простейших элементарных функций и знание
основных правил дифференцирования.
Таблица производных основных элементарных функций
1) (C )  0 ;

2) x   x 1 ;
 
3) (sin x )  cos x ;
4) (cos x )   sin x ;
174
1
5) (tg x ) 



 x    k, k  Z  ;
2


2
cos x
1
6) (ctg x )   2
 x   k, k  Z  ;
sin x


7) a x  a x ln a ( a  0, a  1) (в частности, e x  e x );
 
 

8)  loga x  
(ln x ) 
1
x ln a
1
);
x
9) (arcsin x ) 
10)
11)
12)
13)
14)
( x  0, a  0, a  1) (в частности,
1
( 1  x  1) ;
1  x2
1
(arccos x )  
( 1  x  1) ;
1  x2
1
(arctg x ) 
;
1  x2
1
(arcctg x )  
;
1  x2
(sh x )  ch x ;
(ch x )  sh x ;
15) (th x ) 
1
;
ch2 x
1
16) (cth x )   2 .
sh x
Правила дифференцирования
1. Производная от суммы функций, умноженных на числа
(свойство линейности производной),
 f ( x )   g( x )   f ( x )   g ( x ) .
2. Производная от произведения функций
f ( x )g( x )  f ( x )g( x )  f ( x )g ( x ) .
3. Производная от частного
175

 f( x) 
f ( x )g( x )  f ( x )g ( x )
.

 
g2( x )
 g( x ) 
4. Производная от обратной функции: пусть y=f(x), а
x  ( y ) , т.е. f и  – взаимно обратные функции, тогда
f ( x ) 
1
( y )
.
Замечание 2. При нахождении производной функции f(x)
по этой формуле после вычисления производной в правой части
следует выразить, используя формулу y=f(x), y через x.
Пример 1. (arctg x ) 
1
1
1
1
 cos 2 y 


.
2
2

(tg y )
1  tg y 1  tg (arctg x ) 1  x 2
5. Производная сложной функции y=f(g(u(v(x))))
f x ( x )  fg ( g )gu (u )uv (v )v x ( x ) .

Замечание 3. Нижние индексы у функций показывают
переменные, по которым производят дифференцирование.
Пример 2. [sin(ch(ln(1  x 2 )))]  
 cos( ch(ln(1  x 2 )))  sh(ln(1  x 2 )) 
1
1  x2
6. Дифференцирование функции, заданной
 x   (t ),
параметрически 
 y   (t ).
 2x .
Если функции x   (t ) и y   ( t ) имеют производные и
 (t )  0 , тогда функция y=f(x) также имеет производную, причем
 (t )
f ( x ) 
, т.е. производная f ( x ) является функцией
 (t )
параметра t , который, однако, может быть иногда исключен с
помощью обратной функции t   1 ( x ) .
7. Дифференцирование векторной функции.
Рассмотрим закон движения частицы, описываемый

радиус-вектором r (t ) . Чтобы найти скорость частицы, разложим




радиус-вектор по базисным ортам r (t )  x(t )i  y( t ) j  z( t )k .
176


dr ( t ) dx(t )  dy(t )  dz( t ) 
Тогда v(t ) 

i 
j
k.
dt
dt
dt
dt
8. Производная неявной функции.
Пусть функция y=f(x) задана неявным образом, т.е. в виде
уравнения F(x,y)=0. Производную
y ( x )
можно найти
дифференцированием уравнения F(x,y)=0 по переменной x,
учитывая, что y является функцией этой переменной.
Пример 3. Рассмотрим уравнение, задающее функцию
y( x ) неявным образом, e y  sin y  x 2  x  1  0 .
Продифференцируем это уравнение e y y   cos y  y   2 x  1  0 .
Выразим из полученного выражения нужную нам производную
2x  1
y ( x )   y
. Эта производная является функцией двух
e  cos y
переменных x и y. Заметим, что эту функцию можно, используя
уравнение F(x,y)=0, записать в другом виде:
2x  1
y ( x ) 
.
sin y  cos y  x 2  x  1
9. Логарифмическое дифференцирование.
При логарифмическом дифференцировании находится
 f ( x )
производная не самой функции, а ее логарифма  ln f ( x ) 
f( x)
(логарифмическая
производная).
С
помощью
такого
дифференцирования удобно находить производные от функций
вида y  f ( x )g( x ) . Сначала логарифмируем это выражение


ln y  ln f ( x )g( x )  g( x )ln f ( x ) ,
а
затем
находим
y
f ( x )
 g ( x )ln f ( x )  g( x )
.
y
f( x )
Легко теперь получить нужную нам производную функции
f

f ( x ) 

y   y  g  ln f  g   f ( x )g( x )  g ( x )ln f ( x )  g( x )
.
f 
f( x ) 


логарифмическую
производную
Пример 4. Вычислим производную функции y  (sin x )tgx .
Вычисляем логарифмическую производную
177
y
1
cos x

ln sin x  tg x
.
2
y cos x
sin x
ln sin x 

Окончательно находим y   (sin x )tgx 1 
.
cos2 x 

Также имеет смысл использовать логарифмическое
дифференцирование при нахождении производных функций
f ( x )g( x )u( x )
вида y 
,
v( x )s( x )
так как ln y  ln f ( x )  ln g( x )  ln u( x )  lnv( x )  ln s( x ) .
Пример 5. Вычислим производную функции
cos 5 x
7
sin 2 x
.
5 x tg 2 x
Находим логарифм этой функции
2
ln y  5 ln cos x  ln sin x  x ln 5  2 ln tg x .
7
Вычисляем логарифмическую производную
y
(  sin x ) 2 cos x
1
5

 ln 5  2
.
y
cos x
7 sin x
tg x  cos 2 x
y
Откуда y  
cos5 x
7
sin2 x  2
4

 ln 5  .
 ctg x  5tg x 
7
sin
2x
5 tg x


x
2
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Используя определение производной найти производные
функций.
17.1. f(x)=xn.
17.2. f(x)=sinx.
17.3. f(x)=cosx.
17.4. f(x)=ax.
17.5. f(x)=logax.
Используя
правила
дифференцирования,
производные функций.
17.6. f(x)=tgx.
17.7. f(x)=ctgx.
17.8. f(x)=shx.
17.9. f(x)=chx.
17.10. f(x)=thx.
17.11. f(x)=chx.
178
найти
1 2
x  7 x  10 .
5
1
17.13. y  x 8  9x 5  2 x 3  x  4 .
7
17.12. y  x 3 
17.14. y  5 x  3 x .
17.16. y 
5
17.15. y 
1
3
x2  x5 
4
x3
17.18. y  3  4 x  x ctg x .
17.20. y  x arctg x 
4 .
x2
.
arcctg x
17.22. z  ( y  y 2 )th y .
x
3 5

 2  5 .
x x
x
17.17. y  x 3 x  2 sin x .
17.19. y  tg x  x 2 ctg x .
17.21. y  x7 log3 x 
17.23. f ( t ) 
1  2et
2  et
arcsin x
.
arccos x
.
cos t
.
ln t
log2 
17.25. f (  )  2e 
 arcsin  ch .
tg
17.24. f ( t )  5 t 2
Используя
правило дифференцирования
функции, найти производные функций.
17.26. f(x)=arcsinx.
17.27. f(x)=arccosx.
17.28. f(x)=arctgx.
17.29. f(x)=arcctgx.
17.30. f(x)=Arshx.
17.31. f(x)=Archx.
17.32. f(x)=Arthx.
17.33. f(x)=Archx.
обратной
Используя
правило
дифференцирования
функций, найти производные функций.
17.34. y  sin 5 x .
17.35. y  sin 3x .
сложных
17.36. y  sin x 2 .
1
.
ln x
17.40. y  arcsin x .
17.38. y 
17.42. y  e
ctg x
.
17.37. y  ( x  1)2012 .
17.39. y 
2
ex
.
17.41. y  ln cos x .
17.43. y  arctg(e x ) .
179
17.44. y  arccos 3
1
x2
17.45. y  5 ( 2x 2  1)  3 cos 3x .
.
1x
.
1x
1  tgx
17.48. y  ln
.
1  tgx
17.47. y  2 cos
17.46. y  ln
17.50. y  cos
17.52. y  tg
2
1  ex
5
17.49. y  log5 sin 2 x 3 .
.
17.51. y  arctg
2
x2
.
2
2
ex
ln( 2x )
( 3 x 1)
17.53. f ( x )  ch sin 2 ( 2x 3 ) .
.
4
4
17.54. y=arccos(sin x−cosx ).
1
17.56. y 
 3 arctg
2x
 x
17.57. y  arcctg  e 2


x 1
.
x 1
17.55. y 
1
4
sin x  1
 ln
sin 4 x
sin 4 x  1
x
th  
2 .
3x

ex
  ln
.

ex  1



17.58. y  x 2 a2  x 4  a2 ln x 2  a2  x 4 .
17.59. y  th x 
2 1  2th x
ln
.
4
1  2th x
Найти производные функций, заданных параметрически.
1

x
,

x

2t

1,

t 1

17.60. 
17.61. 
2
3
.
 y  t
y   t 

 .

 t 1 
 x  t 2  1,
 x  t ,

17.62. 
17.63. 
t 1
3
 y  t .
y  2
t 1 .

180
.
2at

,
x 
1  t2

17.64. 
a 1  t2

.
y 

1  t2
1

,
 x  arccos
1  t2

17.66. 
t
 y  arcsin
.

1  t2

 x  2t  1,
17.68. 
3
.
 y  t


 x  a(cos t  t sin t ),
17.65. 
 y  a(sin t  t cos t ) .
 x  a cos 2 t ,
17.67. 
2
 y  b sin t .
 x  a cos 3 t ,
17.69. 
3
 y  b sin t .
 x  e t ,
17.70. 
2t
 y  e .
181
СЕМИНАР 18
Логарифмическая производная, дифференцирование
функций, заданных неявно, дифференциал функции,
использование дифференциала в приближенных
вычислениях, уравнения касательной и нормали к кривой
Дифференциал функции
Определение 1.
Дифференциалом
(или
первым
дифференциалом) функции y=f(x) в точке x0 называется
величина, пропорциональная бесконечно малому приращению
аргумента
x
и отличающаяся от соответствующего
приращения функции на бесконечно малую величину более
высокого порядка, чем  x .
Дифференциал функции обозначается через dy или df(x).
Следовательно, dy  f ( x0 ) x . Необходимым и достаточным
условием
существования
дифференциала
является
существование производной функции.
Определение 2.
Дифференциалом
независимой
переменной x называется приращение этой переменной, т.е.
dx   x .
Таким образом, дифференциал функции y=f(x) в точке x
dy
имеет вид dy  f ( x )dx , откуда f ( x ) 
.
dx
Замечание. Формулу f ( x0  x )  f ( x0 )  f ( x0 ) x можно
использовать для приближенного вычисления значения функции
f(x) в точке x0   x по известным значениям f ( x0 ), f ( x0 )
и x .
Отметим некоторые свойства дифференциала функции:
1) d(  f ( x )   g( x ))   df ( x )   dg( x ) (линейность);
2) d(f  g )  df  g  f  dg (дифференциал произведения);
3)
4)
 f  df  g  f  dg
d  
( дифференциал частного);
g2
g 
y  F(  ( x )) : dF  Fxdx и dF  Fd ,
т.е.
выражение
дифференциала не зависит от того, является ли аргумент
независимой переменной или он является функцией другой
независимой
переменной
(инвариантность
дифференциала).
182
Уравнения касательной и нормали к кривой
Так как значение производной в точке f′(x0) равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке x0,
само уравнение касательной имеет вид
y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) ,
а уравнение
1
y  f ( x0 )  
( x  x0 )
f ( x0 )
является уравнением нормали к графику этой функции в этой же
точке.
ЗАДАЧИ
Задачи удовлетворительного уровня сложности
Используя
логарифмическую
производную,
производные функций.
18.1. y  x sin x .
18.2. y  sin x x .
18.3. y  sin sin x x .
18.4. y  x ln x .
18.5. y  ( tg x )cos x .
18.6. y  x arctg x .

18.7. y  3x 2  4 x  8
18.9. f (  ) 

 2 tg
 

3
3 2
x
.
18.8. f ( t ) 
18.15. y 
18.17. y 
x
2


1  x  3
7
x8
3
4

4
.
 6 ( x  3 )3

arcsin t
( x  1)3 x  2
3
( x  1)2
.
.
( x 3  2 ) 3 ( x  1)
( x  5 )4
.
18.16. f ( t )  2 t  t 5  3 t 3  t 2 .
.
e x  ln x  x 2  7
x
18.14. y 
.
( x  3 )3
(1  x 2 )3 cos 5 x
2
t ln t
18.10. f ( t )  1  t 2
.
18.11. y  (1  x )(1  2x )(1  3x ) . 18.12. y 
18.13. y  5
найти
2
.
18.18. y 
cos2 x  e x  tg x
arccos x  5 ( x  5 )7
Найти производные функций y , заданных неявно.
183
.
18.19. y 3  x .
18.20.
18.21. x 3  y 4  sin( x  2y ) .
18.23. x 2  y 2  ln
18.25. arcsin
x
5 .
y
x2
y2
1.
a
b2
18.22. x sin y  y sin x  0 .
2



18.24. e x y  cos x 2  y 2  0 .
x
 y ln x .
y
18.26.
18.27. arctg y  xy 3 .
x y  5.
18.28. x y y x  1 .
18.29. y y x x  2 x .
18.30. x 2  y 2  4 (найти y′ в точке (  2 , 2 ) ).
18.31. e y  xy  e (найти y′ в точке x=0).
18.32. xy  ln y  1 (найти y′ в точке x=0).
Вычислить дифференциалы функций.

3
18.35. y  x 2 ln x .
18.37. y 
x2
x2  1

18.34. y  x 3  x tg x .
18.33. y  arctg x .
18.36. y  e x .
18.38. y  2 cos x .
.
18.39. y  ln 3 sin x .
18.40. f (  )  3 cos 2   3 sin 2  .
1 2
g t  vt  3 .
2
m0
18.43. m(v ) 
.
v2
1 2
c
18.42. x(t )  5e t sin(  t   ) .
18.41. S(t ) 
Используя
формулу
f ( x0  x )  f ( x0 )  f ( x0 ) x ,
вычислить приближенно следующие выражения.
18.44. 24 .
18.45. 3 25 .
18.46. (1,02 )5 .
18.47. (1,0000001)2011 .
18.48. tg44 o .
18.49. sin 28 o .
18.50. arctg1,05 .
18.51. ln1,03 .
18.52.
184
1,04  3
.
1,04
1,98
.
2,02
Найти уравнения касательной и нормали к данным кривым
в заданных точках.
18.54. y 2  4x, x0  1, y 0  2 .
18.55. y  e x , x0  0 .
18.53.
5

.
18.57. y  x 3 , x0  2 .
3
18.58. y 2  x 2  4, x0  1, y 0  3 .
18.59. x  t 2 , y  t 3 , t0  2 .
18.60. y  ln x, x0  2 .
18.61. y=2x-x2 в точках пересечения с осью Ox.
18.62. Найти точки, в которых касательная к графику
1
1
гиперболы y 
параллельна прямой y   x  3 .
x
4
18.63. В каких точках касательная к кривой y=lnx
параллельна прямым:
x
а) y  2x  5 ,
в) y   5 .
б) y  x  3 ,
5
18.56. y  sin x, x0 
Найти угол, под которым пересекаются кривые.
8
18.64. y  , x 2  y 2  12 .
x
18.65. y 2  2x, x 2  y 2  8 .
18.66. y  x 3  3 x 2  2x, y  5 x  5 .
18.67. y  sin x, y  cos x, 0  x   .
Дифференцируя данные тригонометрические тождества,
получить
соответственно
формулы
для
функций
cos 2 x, cos 3 x, cos( x  a ), a  const .
18.68. sin 2x  2 sin x cos x .
18.69. sin 3x  3 cos 2 x sin x  sin 3 x .
18.70. sin( x  a )  sin x cos a  cos x sin a .
185
Содержание
ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………………3
I. ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И КРАТКОЕ
СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ (ПО ТЕМАМ)………………………... 4
II. ПЛАН ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
И КОНТРОЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ……………… 8
III. ПЛАН ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
И КОНТРОЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО РАЗДЕЛУ
«ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ
АЛГОРИТМОВ»……………………………………………………... 11
IV. ПЛАН ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ…………….. 12
V. ФОРМЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО
КОНТРОЛЕЙ………………………………………………................12
VI. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ УЧЕБНОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………... 13
VII. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ…………………………………………. 14
VIII. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ..
17
CЕМИНАР 1……………………………………………………………….17
Множества, подмножества, операции над множествами,
принцип двойственности, формулы де Моргана, декартово
произведение множеств, экспонента множества
СЕМИНАР 2……………………………………………………………… 26
Отображения множеств, отношение эквивалентности, фактормножество, мощность множества
СЕМИНАР 3……………………………………………………………….34
Числовые множества, группы и поля
СЕМИНАР 4……………………………………………………………….50
Комплексные числа, геометрическое изображение
комплексных чисел, формы записи комплексных чисел,
действия над комплексными числами
СЕМИНАР 5……………………………………………………............... 60
Определение матрицы. Операции над матрицами
СЕМИНАР 6……………………………………………………............... 70
Вычисление определителей матриц, свойства определителей
СЕМИНАР 7……………………………………………………………… 81
Вычисление обратных матриц, собственные значения и
собственные векторы матриц, ранг матрицы, группы матриц
СЕМИНАР 8……………………………………………………………… 95
Системы линейных алгебраических уравнений
186
СЕМИНАР 9…………………………………………………………….. 103
Операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов
СЕМИНАР 10…………………………………………………………… 116
Уравнения прямых, расположение прямых на плоскости,
расстояние от точки до прямой
СЕМИНАР 11………………………………………………………….... 126
Кривые второго порядка на плоскости
СЕМИНАР 12…………………………………………………………… 141
Понятие метрического пространства, метрика, определение
числовой последовательности, способы задания
последовательностей, монотонность и ограниченность
последовательностей
СЕМИНАР 13………………………………………………………….... 147
Вычисление пределов последовательностей
СЕМИНАР 14…………………………………………………………… 154
Области определения функций, четность и нечетность
функций, периодичность функций, обратные функции,
сложные функции, неявно заданные функции,
параметрически заданные функции
СЕМИНАР 15………………………………………………………….... 159
Определение предела функции и его вычисление
СЕМИНАР 16………………………………………………………….... 167
Вычисление пределов функций с помощью замечательных
пределов, получение асимптотических формул и применение
их к вычислению пределов, непрерывность функции,
классификация точек разрыва
СЕМИНАР 17………………………………………………………….... 174
Определение производной функции, правила
дифференцирования, дифференцирование сложных
функций, дифференцирование функций, заданных
параметрически
СЕМИНАР 18………………………………………………………….... 182
Логарифмическая производная, дифференцирование
функций, заданных неявно, дифференциал функции,
использование дифференциала в приближенных
вычислениях, уравнения касательной и нормали к кривой
187
Cметанин Евгений Валентинович
Иванова Наталья Борисовна
Организация самостоятельной работы
и аудиторных занятий по курсу
«Математика»
(1-й семестр)
Учебно-методическое пособие
Редактор Н.С. Работаева
Подписано в печать
Формат 60 х 84 116
Печать плоская. Усл. печ. л.10,92. Уч.-изд. л. 11,7.
Тираж 50 экз. Заказ №
ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет
имени В.И. Ленина»
Отпечатано в УИУНЛ ИГЭУ
153003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, 34
188
Скачать