ПЛАН ЗАНЯТИЯ №2 Вид занятия лекция Тема. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Производная суммы, разности, произведения, частного. Цель: сформировать понятия производной функции; рассмотреть физический и геометрический смысл производной; алгоритм нахождения производной; научить вычислять производную функции, используя данный алгоритм; познакомить с правилами дифференцирования на основе определения нахождения производных некоторых элементарных функций, формировать умения применять полученные знания развить умение логически и аргументировано рассуждать, используя обобщения, анализ, сравнение; воспитывать наблюдательность в ходе отыскания математических зависимостей, повышать интерес к математике. Литература Ш.А.Алимов, Ю.М.Колянин, М.В.Ткачева, НЕ Федорова, М.И.Шабунин. Математика: алгебра и начала математического анализа 10-11 класс: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углубленный уровни/ Ш.А.Алимов и др./-3-е изд.-М:Просвещение, 2016. -463с. (Глава VIII, §44, 46) Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы.-В 2 ч. Ч.1 Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г.Мордкович. – 14-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013.- 400с. (Глава 5, §27, 28) Н. И. Шкиль, З. И. Слепкань, Е. С. Дубинчук .Алгебра и начала анализа :учебник для 11 класса общеобразовательных учебных заведений/Шкиль Н.И и др.;Пер. с укр.-К: Зодіак-еко, 2003 .-400с. (Глава 1 §9-10, 12) СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ Организационная часть Приветствие, проверка отсутствующих, задание дежурным, настрой группы на плодотворную работу. Проверка домашнего задания Актуализация опорных знаний и мотивация научной деятельности путем фронтальной беседы повторить понятие Предел функции Приращение аргумента Приращение функции Вопрос занятия 1. 2. 3. 4. Задачи, которые приводят к понятию производной Производная, ее геометрический и физический смысл Производная суммы/разности Производная произведения/частного Подведение итогов: обобщение материала Выдача задачи для самостоятельной работы студентов Лекция № 3 (занятие №3) Тема. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Производная суммы, разности, произведения, частного. Перейдем к основным идеям одного из важнее разделов математики – дифференциального исчисления. Методы дифференциального исчисления дают возможность свести изучение сложного процесса к более простому – равномерному, найти его скорость и ускорение, определить условия оптимального прохождения процесса, оценить допущенные погрешности, построить графики и др. Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором рассматривается исследования функций с помощью производных и дифференциалов. 1. Задачи, которые приводят к понятию производной Задача 1 (о мгновенной скорости). Пусть некоторая материальная точка движется по оси x, так что x(t) есть координата точки в момент времени t. Спустя время t координата точки будет x(t + t ) , т.е. за время t точка пройдет путь x = x(t + t ) x(t ) . Поэтому средняя скорость точки за интервал времени t будет равна x . t Чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени t надо устремить t к нулю, то есть x(t t ) x(t ) x lim t 0 t 0 t t V (t ) lim Задача 2 (о касательной к графику). Пусть кривая задана уравнением y f (x) . Соединим две ее точки М0( x 0 , f ( x0 ) ) и М( x0 x , f ( x0 x) ) секущей. Тогда дробь f ( x0 x) f ( x0 ) = tg , где есть угол наклона секущей к x оси OX (в треугольнике М0МТ отношение катетов) f (x) M f (x0+ x) се ку ща я я ьна л е ат кас f (x0+ x) - f (x0) f (x0) ось вращения M0 x ' x x0 x 0+ x При x 0 точка M начинает двигаться к точке M0. При этом вся секущая будет поворачиваться около точки M0 и в пределе она превратиться в касательную к точке M0. Угол при этом перейдет в угол , который эта касательная образует с осью х. Поэтому можно утверждать, что lim x 0 y tg k , x где угол, образованный касательной к кривой в точке x 0 и осью OX, k угловой коэффициент касательной. Задача 3 (о скорости химической реакции) Пусть (t) есть количество вещества прореагировавшего за время t. Спустя время t количество прореагировавшего вещества будет (t + t ) , т.е. за время t количество прореагировавшего вещества = (t + t ) (t ) . Поэтому средняя скорость химической реакции за интервал времени t будет равна . Чтобы найти t мгновенную скорость химической реакции в момент времени t надо устремить t к нулю, то есть V (t ) lim t 0 (t t ) (t ) t t 0 t lim Поскольку с помощью предела lim x 0 y решают кроме рассмотренных x ещё и много других важнейших задач (например: задача о величине переменного тока, который течет в проводнике; нахождении линейной плотности неоднородного стержня, теплоемкости тела при его нагревании, угловой скорости тела, которое вращается и многие др), то целесообразно всесторонне изучить данный предел, в частности, указать способы его вычисления. Этот предел в математике и носит название производной. 2. Производная, ее геометрический и физический смысл Определение: Производной данной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее стремится к нулю и такой предел существует и конечен. Заметим, что производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x) Производная обозначается символами f'(x), y', . Конкретное значение производной при x=a обозначается f'(a) или y'|x=a. Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции. Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило: 2. Придать x приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx). Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x). 3. Составить отношение 1. y f ( x x) f ( x) x x и найти предел этого отношения при Δx→0. Примеры. 1. Найти производную функции y = x2 а) в произвольной точке; б) в точке x= 2. а) 1. f(x + Δx) = (x + Δx)2; 2. Δy = (x + Δx)2 – x2=2xΔx– x2; 3. б) f '(2) = 4 2. . Используя определение найти производную функции произвольной точке. 1. в . 2. 3. Учитывая задачи о мгновенной скорости и касательной к графику легко построить следующие утверждения: Физический смысл производной: скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени. x(t t ) x(t ) x lim X ' (t ) t 0 t 0 t t V (t ) lim Геометрический смысл производной: у'(x0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x0 (т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М0(x;y) с положительным направлением оси Ox). Определение. Касательной к графику функции в точке М0(x0, y0) назовем предельное положение секущей М0М, когда точка М, двигаясь вдоль кривой, стремиться к совпадению с точкой М0.. Уравнение касательной к графику функции в точке М0 (x0, y0): y y0 f ( x0 )( x x0 ) . (вывод формулы самостоятельно, у=kx+b-уравнение прямой, k= f ( x0 ) ) 3. Производная суммы/разности Итак, мы дали определение производной, объяснили ее физический и геометрический смысл. Теперь необходимо сделать следующий шаг рассмотреть правила дифференцирования. Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x. Основные правила дифференцирования выражаются формулами: 1. (𝑢 ± 𝑣)′ = 𝑢′ ± 𝑣 ′ (𝑢 ± 𝑐)′ = 𝑢′ 2. (𝑢 ∙ 𝑣)′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣 ′ (𝑐 ∙ 𝑢)′ = 𝑐 ∙ 𝑢′ 𝑢 ′ 3. ( ) = 𝑣 𝑢′ ∙𝑣−𝑢∙𝑣 ′ 𝑣2 𝑢 ′ 𝑢′ ( ) = 𝑐 𝑐 ′ 𝑐 ( ) =− 𝑣 𝑐∙𝑣 ′ 𝑣2 Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно. Доказательство формулы 1. Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx). Тогда Δy=y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx) + v(x+Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv. Следовательно, . (построить вывод следствия) 4. Производная произведения/частного Доказательство формулы 2. Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(x+Δx)=u(x+Δx)·v(x+Δx), поэтому Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx) – u(x)·v(x). Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(x+Δx)→u(x), v(x+Δx)→v(x), при Δx→0. Поэтому можем записать На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций. Пусть, например, y=u·v·w. Тогда, y ' = u '·(v·w) + u·(v ·w) ' = u '·v·w + u·(v '·w +v·w ') = u '·v·w + u·v '·w + u·v·w '. (построить вывод следствия) Доказательство формулы 3. Пусть . Тогда При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)→v(x) при Δx→0. (построить вывод следствий) Вопросы для самопроверки 1) При каком движении средняя скорость всегда совпадает с мгновенной? 2) Закон прямолинейного движения тела выражается формулой x = kt + b. Какое механическое содержание коэффициентов k, b? 3) Дать определения производной заданной функции. 4) Охарактеризовать символы f ( x), f ( x0 ). 5) Который геометрический и физический смысл производной? 6) Как найти производную, исходя из ее определения? 2 7) Доказать, пользуясь определением производной, (3x 5x 2) 6 x 5. Задания для самостоятельного решения [ш -11]– прочитать § 6,7,8, ответить на вопросы стр.49; выполнить задания №17,18(1,2). Исходя из определения производной, непосредственно найти производные от функций в заданных точках: а) f x x 3 x 1 вычислить f 1 и f 2 . f 1 2; f 2 5 . 1 3 x 1 б) f x вычислить f 3 и f 0 . x 1 f 3 0,5; f 0 2 .
