9 класс - Омские олимпиады

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
12.02.12  9 класс
г. Омск
Математическая олимпиада ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ИМЕНИ Г.П. КУКИНА
12.02.12  9 класс
г. Омск
Математическая олимпиада ОмГУ носит имя профессора Г.П. Кукина,
создателя системы городских математических олимпиад.
1. На складе находилось 25 белых стеклянных чашек и 35 черных фарфоровых.
Каждая стеклянная чашка, падая, разбивается на 7 осколков, а каждая
фарфоровая на 8 осколков. Сторож перекрасил несколько стеклянных чашек в
черный цвет, а несколько фарфоровых - в белый, и случайно разбил все
чашки. Могло ли белых осколков оказаться столько же, сколько и черных?
2. Запишите последовательность из 2012 чисел так, чтобы первый её член
совпадал с количеством членов последовательности, равных нулю; второй
член – с количеством членов последовательности, равных единице и т.д.
Последний 2012-й член должен совпадать с количеством членов, равных
числу 2011.
3. Три попарно различных числа a, b, c подобраны так, что прямые y=ax+a3,
y=bx+b3, y=cx+c3 имеют общую точку. Докажите, что a+b+c=0.
4. Во вписанном пятиугольнике одна из диагоналей каждого угла является
биссектрисой угла между стороной и другой диагональю. Докажите, что в
пятиугольнике, ограниченном диагоналями, есть четыре одинаковых угла.
5. У алхимика есть ровно 15 мер ртути и 10 мер серы. Он может проводить
алхимические реакции трёх типов. Можно соединить одну меру ртути и одну
меру любого другого вещества при низкой температуре, и тогда на выходе
получится три меры этого вещества. Можно соединить меру серы и меру
ртути при высокой температуре, и получится мера кислоты. Наконец, можно
соединить меру серы и меру кислоты (при любой температуре), и получится
мера ртути. Для приготовления меры философского зелья алхимику
необходимо взять 1 меру ртути, 2 меры серы и 3 меры кислоты. Какое
наибольшее число мер философского зелья сможет приготовить алхимик?
6. На доске написано число 24. Петя и Вася играют в такую игру. Петя
записывает на доску число, делящееся на 2, затем Вася выписывает число,
делящееся на 3, затем Петя – число, делящееся на 4 и т.д. При этом новое
число можно получить из предыдущего либо дописав одну цифру в конец,
либо стерев последнюю цифру предыдущего числа, либо переставив цифры
предыдущего числа (оставлять число без изменения нельзя). Проигрывает
тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
1. На складе находилось 25 белых стеклянных чашек и 35 черных фарфоровых.
Каждая стеклянная чашка, падая, разбивается на 7 осколков, а каждая
фарфоровая на 8 осколков. Сторож перекрасил несколько стеклянных чашек в
черный цвет, а несколько фарфоровых - в белый, и случайно разбил все
чашки. Могло ли белых осколков оказаться столько же, сколько и черных?
2. Запишите последовательность из 2012 чисел так, чтобы первый её член
совпадал с количеством членов последовательности, равных нулю; второй
член – с количеством членов последовательности, равных единице и т.д.
Последний 2012-й член должен совпадать с количеством членов, равных
числу 2011.
3. Три попарно различных числа a, b, c подобраны так, что прямые y=ax+a3,
y=bx+b3, y=cx+c3 имеют общую точку. Докажите, что a+b+c=0.
4. Во вписанном пятиугольнике одна из диагоналей каждого угла является
биссектрисой угла между стороной и другой диагональю. Докажите, что в
пятиугольнике, ограниченном диагоналями, есть четыре одинаковых угла.
5. У алхимика есть ровно 15 мер ртути и 10 мер серы. Он может проводить
алхимические реакции трёх типов. Можно соединить одну меру ртути и одну
меру любого другого вещества при низкой температуре, и тогда на выходе
получится три меры этого вещества. Можно соединить меру серы и меру
ртути при высокой температуре, и получится мера кислоты. Наконец, можно
соединить меру серы и меру кислоты (при любой температуре), и получится
мера ртути. Для приготовления меры философского зелья алхимику
необходимо взять 1 меру ртути, 2 меры серы и 3 меры кислоты. Какое
наибольшее число мер философского зелья сможет приготовить алхимик?
6. На доске написано число 24. Петя и Вася играют в такую игру. Петя
записывает на доску число, делящееся на 2, затем Вася выписывает число,
делящееся на 3, затем Петя – число, делящееся на 4 и т.д. При этом новое
число можно получить из предыдущего либо дописав одну цифру в конец,
либо стерев последнюю цифру предыдущего числа, либо переставив цифры
предыдущего числа (оставлять число без изменения нельзя). Проигрывает
тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
являются
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 9 КЛАСС
не могло. Обозначим через x число перекрашенных стеклянных
чашек, а через y число перекрашенных фарфоровых чашек. Тогда
белых осколков окажется 7(25–x)+8y=8(35– y)+7x, что эквивалентно
равенству 16y–14x=105. Но при всех целых значениях неизвестного в
левой части стоит чётное число, а в правой нечётное.
2. Годится следующая последовательность:
2006, 2,1,0, 0, …, 0, 1, 0,0,0,0,0,0.
3. Пусть (x,y) – координаты точки, через которую проходят все три
прямые. Тогда имеем ax+a3=bx+b3x(a–b)=–(a–b)(a2+ab+b2) 
x=–(a2+ab+b2), поскольку числа a, b различные. Аналогично
x=–(b2+bc+c2) и a2+ab+b2=b2+bc+c2(a–c)(a+b+c)=0. Поскольку
D
числа a, и c различны, получаем a+b+c=0.
4. По условию в вершине каждого угла одна
из диагоналей является биссектрисой
между стороной и другой диагональю. E
Возможны два случая: 1) в пятиугольнике
есть две соседние вершины такие, что
C
диагонали-биссектрисы «смотрят друг на
друга» и 2) таких вершин нет.
A
Рассмотрим первый случай: пусть АС
B
и ВЕ – биссектрисы углов BAD и ABD
соответственно. Из равенства вписанных углов, опирающихся на
одну дугу, следует, что BAC  BEC   , CAD  CED  CBD   ,
ABE  ACE  ADE   , EBD  ECD  EAD   . При вершине
D одна из диагоналей также является биссектрисой. Можем считать,
CDA ,
например,
что
DB
–
биссектриса
но
тогда
CDB  BDA    BCA  BEA . Тогда величины четырех углов
D
пятиугольника,
ограниченного
180      .
диагоналями,
равны
Пусть теперь в пятиугольнике нет
соседних вершин, что диагонали- E
биссектрисы «смотрят друг на друга» и
C
АС – биссектриса угла BAD , тогда
биссектрисами соответствующих углов
1. Нет,
A
B
диагонали
BD,
CE,
DA
и
ЕВ.
Пусть
  BAC  BEC  BDC , но тогда CAD  CBD  CED   , а
EBD  ECD  EAD   ,
ACE  ABE  ADE   ,
значит
BDA  BCA  BEA   . Тогда величины всех углов пятиугольника,
ограниченного диагоналями, равны 180  2 .
Ответ: 5. Решение. Рассмотрим выражение 2x+y+z, где x – число
мер ртути, y – число мер серы, z – число мер кислоты. Проследим,
как меняется значение этого выражения при каждой из трех
алхимических операций: а) 2(x-1)+y+(z-1+3)=2x+y+z (то же для серы);
б) 2(x-1)+(y-1)+(z+1)=2x+y+z–2; в) 2(x+1)+(y-1)+(z–1)=2x+y+z.
Как видим, величина эта величина при алхимических операциях
остается прежней или уменьшается. Изначально она равна 40. Для
получения t мер философского зелья требуется t мер ртути, 2t мер
серы и 3t мер кислоты, и эта величина равна 7t40. Значит, t не
превосходит 5.
Пять мер философского зелья получить можно: 1. Соединим по 2
меры ртути и серы при высокой температуре, получим 2 меры
кислоты (осталось 13 мер ртути и 8 мер серы). 2. Соединим при
низкой температуре по 1 мере ртути и серы, получим 3 меры серы. 3.
Соединим при низкой температуре по 2 меры ртути и кислоты,
получим 6 мер кислоты (осталось по 10 мер ртути и серы). Повторим
шаг 3 для 5 мер ртути и кислоты. Имеем 5 мер ртути, 10 мер серы и
16 мер кислоты.
6. Решение: выиграет Петя. Второе число он получает, дописав в конце
0. Теперь на доске записано 240. Далее, если Вася своим ходом
превратил число А в число В, Петя снова превращает В в А. Это не
противоречит правилам, поскольку число 240 делится на 4, 6, 8, 10,
12. Для получения 13-го числа Вася вынужден дописать в конец 5
(т.к. 204, 402 и 420 не делятся на 13), после чего Петя переставляет
цифры и получает 2450 (которое, очевидно, делится на 14). Вася
должен добиться делимости на 15, но это невозможно: сумма цифр
числа 2450 не делится на 3, поэтому перестановка не поможет.
Стирание последней цифры и дописывание нуля не меняют сумму
цифр. Дописывание 5 также приводит к числу, не делящемуся на 3.
Дописывание другой цифры в конец приводит к числу, не
делящемуся на 5.
5.