Расчет оснований и фундаментов на просадочных грунтах

А. А. М устафаев доктор технических наук, проф ессор РАСЧЕТ ОСНОВАНИЙ И ФУНДАМЕНТОВ НА ПРОСАДОЧНЫХ ГРУНТАХ Д опущ ено Министерством высш его и среднего специального образования С С С Р в качестве учебного пособия для студентов строительных специальностей высших учебных заведений М О С К В А « В Ы С Ш А Я Ш К О Л А » 1979’ 3 ББК 38.58 M il У Д К 624.131(075) Рецензенты: кафедра механики грунтов, оснований и фундаментов МИСИ им. В. В. Куйбышева (зав. каф. член.-корр. АН СССР, докт. техн. наук, проф. И. А. Цытович); проф. И. А. Симвулиди (Всесоюзный заочный инженерно-строительный институт). МП Мустафаев А. А. Расчет оснований и фундаментов на просадочных грунтах: Учеб. пособие для вузов. — М .: Высш. школа, 1979.— 368 с., ил. В пер.: 1 р. 10 к. В книге на базе новейших экспериментальных и теоретических исследований но механике просадочных лессовых грунтов излагается методика расчета и проекти рования оснований зданий и сооружений по предельным состояниям. Приведены краткие сведения о физико-механических свойствах просадочных грунтов и законо мерностях их напряженно-деформированного состояния. Д ана четкая методика рас чета гибких фундаментов. По каж дом у из рассматриваемых вопросов приведены решения характерных при меров и даны принципы проектирования оснований сооружений, что позволит сту денту усвоить учебный материал и применить излагаемые методы расчета в инже нерной практике. П редназначается в качестве учебного пособия для студентов инженерно-строи тельных вузов и факультетов. 3 0 2 0 6 — 154 М --------------0 0 1 ( 0 1 ) — 79 1 25— 79 3202000000 6С1 ББК 38.58 © И здательство «Высшая школа», 1979 ПРЕДИСЛОВИЕ В связи с бурным развитием строительства в районах распространения лессопых нросадочных грунтов вопросы расчета и проектирования оснований и соору жений на этих грунтах приобретают большое практическое значение. Просадочнии деформация лессовых грунтов относится к весьма сложной категории явле ний, не имеющих общевыраженных закономерностей, и поэтому трудно поддается аналитическому описанию. Отправной точкой для создания теории просадочных деформаций, так же как и в классической механике грунтов, являются принципы механики сплошной деформируемой среды, дополненные соответствующими экспе риментальными закономерностями, характеризующими физическую природу деформирования лессовых грунтов при их увлажнении. Большинство проведенных в области просадочных деформаций исследований имеют инженерно-геологический характер и большей частью выявляют качествен ную характеристику этих деформаций. Заслуга инженерно-геологического подхо да к проблеме просадки состоит в создании теории происхождения лессов и лес совых пород, научно обоснованной их классификации, физической теории прослдочности, нашедшей свое выражение в различных гипотезах, а также в изуче нии закономерностей распространения различных генетических типов этих пород, исследовании структурных особенностей, вещественного состава и др. Между тем и этих исследованиях руководящая роль отводится гипотезам и наблюдениям, с помощью которых невозможно выявить количественные показатели закономер ностей деформируемости просадочных грунтов. Эти показатели возможно устано вить лишь па основе принципов механики грунтов. Поэтому основной задачей науки о просадке на современном этапе является создание всеобъемлющей тео рии, способной заменить ремесленническое использование результатов натурных наблюдений и эмпирически поставленных опытов при решении ответственных з а дач фупдиментостроснии на просадочных грунтах. В иметоищей книге кратко изложено современное состояние теории расчета пенонаний и фундамента» на просадочных грунтах, включая более чем 22-летнюю деятельность автора и его учеников в области механики просадочных грунтов н инженерных расчетов оснований и фундаментов на просадочных грунтах. 11екоторые вопросы, детально разобранные в доступной широкому читателю литературе, изложены в книге сжато, а иногда и опущены. Не все вопросы, рассмотренные в книге, можно считать в равной мере завер шенными. Отдельные из них нуждаются в теоретическом или экспериментальном развитии (расширение круга практически значимых задач, поддающихся расчету разработанными автором методами, развитие этих методов, уточнение границ их применимости и т. д .). Книга состоит из двух разделов. В первом излагаются основы механики про садочных грунтов, основные закономерности деформирования этих грунтов а установленные на основе этих закономерностей методы расчета оснований зда ний п сооружений, сложенных просадочными грунтами. Второй раздел книги посвящен методам расчета совместной работы зданий с присадочным основанием, фундаментов на статические и динамические нагруз ка. Здесь рассматриваются также вопросы устойчивости и несущей способности фундаментов глубокого заложения. Прогнозирование напряженно-деформирован ного состояния зданий и сооружений при неравномерной осадке (просадке) их оснований связано с созданием теорий расчета совместной работы основания и надземного строения. Эта весьма прогрессивная отрасль строительной механики и настоящее время развивается на основе исследований двух главных вопро сов — создания моделей грунтовой среды, наиболее реально отражающих совмест 3 ную работу конструкций и грунта основания, и разработки эффективных методов решения сформулированных на основе этих моделей краевых задач. В книге широко используются модели местных упругих деформаций с пере менным коэффициентом жесткости грунтов основания, которые приводят задачи к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям четвертого порядка с переменными коэффициентами. Эффективные решения сформулированных на основе этих уравнений краевых задач строятся на основе разработанного авто ром метода последовательных приближений, позволяющего без особого матема тического осложнения учесть переменность жесткости конструкций и грунтового основания и получить результаты в быстросходящихся степенных рядах. Многие излагаемые в настоящей книге расчеты являются дальнейшим раз витием разработанных автором методов, а также его идей, частично нашедших отражение в трудах его учеников С. К. Алиева, К- М. Мамедова, М. Д . Джаф арова, С. А. Ханалиева, Б. Г. Исмайлова и др. Некоторые важные результаты этих исследований были опубликованы в трудах VII Международного конгресса по механике грунтов и фундаментостроению (Мехико, М ексика— 1969), II Нацио нальной конференции по механике грунтов и фундаментостроению (Бухарест, Румыния— 1971), V Европейской конференции по механике грунтов и фунда ментостроению (Мадрид, Испания— 1972), V II Международного конгресса по механике грунтов и фундаментостроению (Москва, 1973), Стамбульской конфе ренции по механике грунтов и фундаментостроению (Стамбул, 1975), IX Между народного конгресса по механике грунтов и фундаментостроению (Токио, Япо ния— 1977), а также доложены на многих научно-технических конференциях. Автор надеется, что ознакомление студентов и аспирантов с изложенными в настоящей книге методами расчета и использование их при разработке курсо вого и дипломного проектирования, а также научных исследований окажут опре деленную пользу и будут способствовать подготовке высококвалифицированных инженерных кадров и молодых научных работников в области строительства. Автор О С Н О В Н Ы Е УСЛОВНЫ Е О БО ЗН АЧЕН И Я у — объемный вес грунта У уд — удельный вес грунта ус.(— объемный вес скелета грунта у« — объемный вес грунта в водонасыщенном состоянии Ао — удельный вес воды е — коэффициент пористости грунта а — пористость грунта w — влажность грунта w г — влажность на границе текучести грунта Дор — влажность на границе пластичности грунта Wnn — число пластичности грунта Wq — естественная влажность грунта wa — влажность грунта при полном водонасыщении и/и — максимальная молекулярная влагоемкость грунта Wu — начальная влажность просадки Ов — относительная просадка V — коэффициент Пуассона О- ■■сила сцепления грунта ф •угол внутреннего трения / —1ц ф коэффициент внутреннего трения грунта lt(w) --коэффициент водопроницаемости грунта к - коэффициент фильтрации при полном насыщении грунта водой Лор — среднее значение коэффициента фильтрации о— v0 — Он — <а0—с с !^ ф — Е0 — £— Q(t) — скорость фильтрации скорость продвижения фронта смачивания «начальное давление» просадки давление связности грунта модуль общей деформации грунта коэффициент бокового давления грунта потеря воды на инфильтрацию s, Sn, «к — конечная (стабилизированная) величина просадки от действия соб ственного веса грунта s c — конечная просадка в основаниях сооружений Ха — смоченный периметр русла канала Р kn — коэффициент влагопроводности грунта Ао ехр — основание натурального логарифма е — относительная деформация грунта Оь Од, о3 — главные нормальные напряжения б 6ni, бп2, бпз — относительные просадки по направлениям действия главных нор мальных напряжений Р, т — параметры нелинейной деформируемости грунтов Уп — верхняя граница области просадки от действия собственного веса грунта Л, — нижняя граница области просадки в основаниях сооружений y»(t) — глубина смачивания (фронт увлажнения) Лф— глубина заложения фундамента Т — период стабилизации просадки tj — период возникновения просадки Re — действительная часть функции комплексной переменной ВВЕДЕНИЕ ГЛ А В А I ПРИРОДА ЛЕССОВЫХ ПРО САД ОЧНЫ Х ГРУНТОВ, И Х ОСОБЕННОСТИ И Ф ИЗИКО-М ЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА § 1.1. Природные особенности лессовых просадочных грунтов Среди глинистых грунтов континентального происхождения чет вертичного периода особое место занимают лессовые и лессовидные породы, отличающиеся своеобразным составом и свойствами. Свои ми особыми, не нетречакмцимися у других глинистых грунтов, про■сидочнымн свойствами они издавна привлекали к себе большое внимание ученых, инженеров-геологов и строителей. Покрывая значительную часть суши всего земного шара (более 2 ,5 % ), эти породы широко распространены в Южной и особенно в Северной Америке, занимая большие площади в бассейнах рек Мис сисипи и Миссури. Встречаются они и в восточной, южной частях Ноной Зеландии и в Северной Африке (Н. И. Кригер, 1965). В Е в ропе лессы и лессовидные суглинки встречаются в северной и вос точной частях Франции, средней части Центральной Европы, у под ножья Альпийских гор и в понижениях, связанных с верхним, ниж ним и средним течением Дуная. В пределах Восточно-Европейской равнины эти породы распространены от Польши до Поволжья. Н а иболее характерные лессовые породы встречаются на огромной территории Северного Китая, а также в Монголии и северной части Индии. На территории нашей страны лессовые грунты занимают пример но 35% площади европейской части и около 7 % — азиатской. На Украине они охватывают свыше 70% всей территории республики (В. Ф. Краев, 1966). На Северном Кавказе и в Закавказских рес публиках эти породы в большом количестве встречаются в районах орошаемого земледелия, а также промышленного и жилищного строительства. Многие районы Азербайджана, преимущественно западные и се веро-восточные, остро нуждающиеся в орошении, заняты лессовыми и лессовидными породами, обладающими способностью давать зна чительные просадочные деформации. Лессовыми и лессовидными породами заняты более 25% общей территории центральной и южной частей Средней Азии (Г. А. Мав7 лянов, 1958), а также значительные площади в западной части З а падно-Сибирской низменности (В. Т. Трофимов, 1966). Изучением лессовых грунтов занимались видные русские ученые Л. С. Берг, И. П. Герасимов, К. И. Лисицын, В. А. Обручев, А. П. Павлов, Б. Б. Полынов, П. А. Тутковский, И. И. Трофимов и др., которые создали ряд оригинальных теорий о происхождении этих грунтов: эоловую, водно-ледниковую, пролювиальную, делюви альную, аллювиальную, почвенно-аллювиальную и др. Среди ука занных теорий большим распространением пользуются эоловая, водно-ледниковая и пролювиальная гипотезы. Сторонники теории эолового происхождения лессовых грунтов объясняют образование их на водоразделах в результате накопле ния на этих территориях пылеватых частиц, приносимых ветром из прилегающих пустынь. При этом они основываются на том, что раз мер частиц в лессе соответствует размеру пылеватой частицы, пере носимой ветром, и считают просадочными только лессовые грунты эолового происхождения, отлагавшиеся в условиях резкого недо статка воды. К сторонникам эолового происхождения лессовых грунтов относятся П. А. Тутковский, В. А. Обручев, считавшие об разование этих грунтов из продуктов развевания моренных и зондовых отложений в условиях сухого климата ледниковых эпох. Авторы других теорий происхождения лессовых грунтов нахо дят связь в их образовании и сходство с делювиальными отложе ниями на склонах, равнинных областях и постепенным переходом от делювия горных областей к лессовым грунтам предгорий (делю виальная теория); с распространением лессов с границами оледе нений (водно-ледниковая); приуроченностью лессовых грунтов к долинам рек и их террасам (аллювиальная теория); с характером залегания и текстурой лессовых грунтов с породами, из которых они образовались (почвенно-элювиальная теория), и др. По мнению В. А. Обручева, просадочность является характер ным свойством только лессовых грунтов первично эолового проис хождения, а из переотложенных лессовых грунтов просадочными могут быть только делювиальные, пролювиальные и аллювиальные лессовые грунты. Несмотря на ряд вышепредложенных теорий, нет единого мнения о происхождении лессовых просадочных грунтов. Проблемой лессов и лессовидных пород центральной и южной частей Средней Азии, включая их происхождение, разновидности генетических типов и особенности их физико-механических свойств, занимались Г/А. Мавлянов * и его предшественники. Ими было до казано, что просадочные свойства лессовых пород формируются только в особых геоморфологических, геологических и гидрогеоло гических условиях и сохраняются при определенных условиях. По этому при инженерно-геологическом изучении этих грунтов особое внимание должно быть уделено установлению связи просадочных свойств с геоморфологическими, геологическими и гидрогеологиче * Мавлянов Г. А. Генетические типы лессов и лессовидных пород централь ной и южной части Средней Азии. Ташкент, Изд. АН Узб. ССР. 1958. 8 скими условиями при образовании и дальнейшем существовании vnix пород. Лессовые породы, как правило, занимают покровное положение, залегая на самых различных геоморфологических элементах. Под стилаются лессовые породы разнообразными по возрасту и литоло гии отложениями; мощность их колеблется до нескольких десятков метров, а в отдельных случаях достигает даж е 100 м и более. Д ля северного К авказа, Средней Азии, Закавказья и других рай онов нашей страны характерно недоуплотненное состояние лессоиых грунтов эолового, делювиального и пролювиального происхож дения. Характерными внешними признаками лессовых пород являются видимая невооруженным глазом пористость (макроструктура), обусловленная наличием тонких, более или менее вертикальных ка нальцев; способность держаться вертикальными обрывами значи тельной высоты в открытых местах, подвергающихся действию ат мосферных осадков; быстрая размокаемость в воде; отсутствие мел кой слоистости; светлая окраска в сухом состоянии; наличие ходов мелких животных — кротовин, заполненных черноземом и идущих на значительную глубину. Лессовые грунты, достаточно прочные в естественных условиях, при увлажнении под действием веса здания и сооружения, а иногда Н только от действия собственного веса дают дополнительную де формацию, называемую просадкой. Просадка в лессовых грунтах представляет собой неравномерные большие деформации преимущественно вертикального характера, происходящие вследствие существенного изменения физико-механических свойств грунта под влиянием воздействия влаги в услоииях определенного напряженного состояния. Условиями возникно вении просадочных деформаций в лессовых грунтах являются: вы сокая пористость (более 45% ) и в особенности специфический ее характер (обилие макропустот), свойственный лессовым грунтам с относительно глубоким залеганием уровня грунтовых вод, обус ловленных ограниченным количеством осадков в условиях засушли вого климата; наличие некоторого значения уплотняющего напря жения, под действием которого деформация увлажняемого массива лессового грунта приобретает просадочный характер; проникнове ние в грунт в течение определенного периода времени слабоминера лизованной воды в количестве, обеспечивающем создание в прома чиваемом массиве достаточно увлажненной зоны с вдажностью, от вечающей данному виду грунта и его напряженному состоянию; своеобразный гранулометрический состав, характеризуемый преоб ладанием пылеватых (обычно более 50% ) и незначительным содер жанием глинистых фракций (до 2 0 % ); сравнительно большая, осо бенно в вертикальном направлении, водопроницаемость, обеспечи вающая достаточно быстрое проникновение влаги в глубь толщи; наличие водорастворимых солей (хлоридов, сульфатов и карбона тов), покрывающих трубчатые пустоты лессовых грунтов, а также насыщение кальцием поглощающего комплекса грунта, обусловли 9 вающим коагуляцию мелких частиц в агрегаты, способствующие повышению фильтрационных свойств лессовых грунтов. Долгое время потерю связности и нарушение устойчивости грун та объясняли влиянием уменьшения сил капиллярного давления,, гидродинамического давления воды на грунтовый каркас, бурноговыделения из грунта вытесняемых водой пузырьков воздуха, раст ворения тех кристаллов солей, которые наряду с водорастворимыми частицами участвуют в строении скелета грунта, уменьшения це ментации скелета по мере растворения солей, играющих роль цемен та, и др. Наиболее достоверной гипотезой считается выдвинутая в 1946 г. Н. Я. Денисовым теория образования недоуплотненного состояния лессовых пород, сформировавшихся эоловым, делювиальным или пролювиальным путем в условиях сухого климата. Согласно этой теории, агрегаты частиц таких грунтов при увлажнении вследствие устранения сцепления упрочнения подвергаются структурным де формациям, выразившимся в «распылении» (пептизации) на эле менты, размеры которых позволяют им проникать в имеющиеся в грунтах свободные поры. Природа распыливающего влияния во ды при этом сказывается как расклинивающим действием проник шей в микротрещины цемента влаги (по Б. В. Дерягину), так и растворяющим, приводящим к понижению размеров сцепления уп рочнения в результате длительного воздействия большого количе ства воды. Следствием просадочных деформаций являются: уплотнение грунта за счет сближения частиц грунтового скелета, выражающе гося в уменьшении пористости и соответственном увеличении средней плотности, приводящей к последовательному проявлению верти кальных трещин и опусканию промачиваемых участков; приобре тение грунтом более устойчивой структуры по сравнению с естест венным его состоянием; обеднение просевшей части массива водо растворимыми солями. Факторами, обусловливающими, как правило, величину просад ки, в условиях природного напряженного состояния являются: на чальная пористость и естественная влажность грунта; мощность и однородность просадочной толщи лессового грунта: характер, про должительность и размеры источника увлажнения толщи грунта. § 1.2. Основные представления о твердой и жидкой составляющих лессовых просадочных грунтов Твердая составляющая лессовых грунтов состоит из частиц раз личных минералов разной крупности и формы, соединенных между собой теми или иными связями различного происхождения, харак тера и прочности. М и нералоги чески й состав лессовых пород представлен большим» числом минералов (около 50), из которых главными породообразу ющими являются около 15, а оставшиеся относятся к акцессорным (тяжелым) и глинистым минералам. 10 Лессовые породы характеризуются сравнительным однообразич'м минералогического состава, и основное различие заключается не о разнообразии минералогических компонентов, а в различных их количественных соотношениях и содержании по сопротивляемости к выветриванию неустойчивых и умеренно устойчивых минералов ( В .П. Ананьев, 1964). Глинистую часть (фракции менее 0,005 мм) лессовых грунтов и основном представляют глинистые минералы, среди которых главную роль с точки зрения определения просадочности играют монтмориллонит, каолинит, нонтронит, гидрослюда. По процентно му содержанию глинистых минералов лессовые породы подразде ляются на монтмориллонитовые, монтмориллонито-каолинитовые и монтмориллонито-гидрослюдистые. Состав и различные соотноше ния глинистых минералов характеризуют в некоторой степени проч'.чдочиость лессовых пород. Глинистые минералы по-разному взаи модействуют с поровыми растворами и водой, обладают различной гпдрофильностью, в результате чего одни из них способствуют воз никновению и развитию просадки грунта (каолинит, гидрослюда и др.), другие же сопротивляются этому процессу, проявляя при этом своп специфические набухающие свойства (монтмориллонит, нон тропит, гидрослюда и др.) (рис. 1.1). Минералы же песчано-алевритовой части (фракции 0,1 — 0,05 мм) инертны по отношению к воде, и поэтому их свойства су щественной роли в процессе просадки не играют. Встречаются лес совые породы с большим содержанием в глинистой фракции монтмориллоннтовых частиц и с довольно высокой просадочностью, при этом в качестве основных признаков и свойств выступают глубина аялогпнин, плотность и влажность, гранулометрический состав й т, д, (рис. 1.2). Н крупной фракции лессовых пород различных районов СССР отмечается большое сходство в качественном содержании породо образующих минералов, но отличающихся друг от друга количест венным содержанием. Вместе с тем они отличаются и внешними формами минеральных зерен, характеризующими генезис пород. Окатанные формы минеральных частиц присущи лессовым породам эолового происхождения, а неокатанные— делювиального. Среди породообразующих минералов в крупной фракции боль шим содержанием отличаются кварц, полевые шпаты, карбонаты и изредка слюда. Содержание карбонатных минералов в крупной фракции лессовых пород разнообразно в различных районах СССР. Неодинакова и их форма: кальций представлен угловатыми зерна ми, иногда радиально-лучистыми агрегатами; доломит имеет форму ромбоэдра нередко с окатанными углами и др. Встречаются лессовые породы, содержащие слюдистые минера лы в количестве, превышающем 30— 50% (мусковит, бионит), гипс — не более 5% и другие обломки минералов: глауконит, бу рый железняк, опал, халцедон, мукрофана и обломки раковин мол люсков. 11 Рис. 1.1. Каолинит ненарушенной структуры (изображение получено с помощью электронного микрографа Н. К.. Товей в Кембриджском университете) Акцессорные минералы представлены цирконом, магнетитом, турмалином, анатазом, рутилом и т. д. и составляют всего 1— 2% в фракции 0,25— 0,01 мм. Минералогический состав крупной фракции лессовых пород, являющейся во многих случаях инертной к воде, не оказывает су щественного влияния на многие инженерно-геологические процес сы, происходящие при замачивании этих пород. Наиболее активную роль в этих процессах играют глинистые и тонкодисперсные части цы. Эти минеральные частицы обладают высокой удельной поверх ностью, благодаря чему лессовая порода приобретает способность к набуханию, усадке, просадке, меняет механические свойства, та кие, как сжимаемость, сопротивление сдвигу и др. Лессовые породы отличаются также полиминеральным составом в фракции менее 0,005 мм с преобладанием кварца, гидрослюды, кальцита, монтмо риллонита и каолинита, содержащихся в больших количествах во> многих генетических типах лессовых пород. В незначительных коли чествах в указанной фракции встречаются ферригаллуазит, гетит, гидрогетит, гидрогематит, пирофиллит, бейделлит, монотермит, беллит, нонтронит, метагаллуазит, сепиолит, гуминолиты (органи к а), доломит и др. Все перечисленные основные минералы, содержащиеся в тонко дисперсной фракции лессовой породы, за исключением монтморил12 Рис. 1.2. Иллит ненарушенной структуры (изображение по лучено с помощью электронного микрографа Н. К. Товей в Кембриджском университете) лонита» бейделлита (частично) и нонтронита, практически не на бухают, не гидрофильны и сорбционная способность их слабо вы ражена. Гранулометрический состав лессовых пород характеризуется вы соким содержанием (обычно более 50% ) пылеватых (0,05— 0,006 мм) частиц и незначительным содержанием глинистых и тонкодиснсрсных частиц размером менее 0,005 мм. Высокая пылеватость лессовых пород, пользуясь данными гра нулометрического анализа, рассматривается многими исследовате лями как один из основных показателей, определяющих просадочность породы. Пылеватые фракции при замачивании, как правило, не проявля ют набухающих свойств, так как представлены в основном угло ватой формы кварцевыми, иногда полевошпатовыми части цами. На основе гранулометрического состава лессовых пород различ ных районов нашей страны многими исследователями сделана по пытка классифицировать их по содержанию преобладающих в них пылеватых фракций: очень пылеватые грунты, содержащие фракции 0,05— 0,005 мм более 7 0% ; среднепылеватые с содержанием пыле ватых частиц 50—7 0 % ; малопылеватые с содержанием пыли менее 50,%. 13 '/ Данные многих анализов гранулометрического состава лессо вых пород различных районов СССР показывают на преоблада ющее содержание в них крупнопылеватых фракций размером 0,05— 0,01 мм с наибольшей подвижностью при увлажнении. Следует отметить, что агрегатность мелкопылеватых и глинистых частиц, содержащихся в лессовой породе, придает породе различ ную степень просадочности, а свойство просадочности по-разному может проявляться при замачивании ее водой в зависимости от х а рактера разрушения агрегатов. Количественное и качественное содержание агрегатов (водо устойчивых и водонеустойчивых) находится в определенной связи с условиями возникновения процесса пептизации лессовых пород при их увлажнении и определяет степень изменчивости прочности и устойчивости ее после увлажнения. Химический состав лессовых пород определяется валовым соста вом минеральных частиц в общей массе и отдельно по фракциям во дорастворимыми соединениями, составом поглощенных оснований, а также характером реакций суспензии. Главнейшими минеральными образованиями лессовых пород яв ляются S i 0 2 и полуторные окислы, входящие в состав как крупной фракции, так и тонкодисперсной части породы. Для различных тер риторий и районов распространения лессовых пород устанавлива ется некоторая закономерная изменчивость в относительном содер жании S i 0 2 и полуторных окислов, связанных с генезисом этих по род, географическим и геоморфологическим их расположением. От мечается закономерное увеличение содержания S i 0 2 и уменьшение полуторных окислов А120 3 и Fe20 3 по мере приближения к леднико вым районам, долинам рек и других водных магистралей, что сви детельствует о местной зональности лессовых отложений (В. П. Крокос и др.). Наиболее высокое содержание S i 0 2 характерно для лессовых пород увлажненных северных районов СССР. По направлению к югу страны в сторону засушливого климата характерно уменьше ние содержания S i 0 2 в лессовой породе и соответственное измене ние в содержании полуторных окислов (R 20 3). Наиболее высокое содержание R20 3 характерно для лессовых пород аллювиальных равнин. Лессовым породам отдельных районов присуще также относи тельно высокое содержание карбонатов, характеризуемых содержа нием С 0 2 в валовом составе лессовых пород. Карбонаты в составе лессовых пород придают им кристаллизационную прочность, возни кающую вследствие цементирующего влияния пленок углекислой из вести и гипса (Н. Я. Денисов, 1946). Следует отметить, что главную роль в придании лессовой породе высокой кристаллизационной прочности играют не все типы карбонатов, а лишь те, которые вхо дят в состав тонкодисперсных фракций. Высоким содержанием С 0 2 отличаются лессовые породы делю виального происхождения, залегающие вблизи коренных склонов, 14 сложенных карбонатными горными породами — известняками мер гелями и др. В лессовых породах содержатся также гумусовые соединения в количестве от 0,1 до 0,9% , присутствие которых является результа том микробиологического процесса и, вероятно, причиной образова ния микроагрегатов тонких фракций. Водные вытяжки лессовых пород разных районов содержат в различных соотношениях следующие водорастворимые соли: карбо наты и хлориды натрия, карбонаты кальция и магния, сульфаты кальция. Для лессовых пород наиболее характерны карбонаты ще лочных земель, в первую очередь карбонаты кальция, принима ющие большое участие в формировании прочности сухих лессовых пород (В. А. Прикловский, 1952). Плохая растворимость карбоната кальция обеспечивает длительное сохранение его в породе, но по мере увеличения в поровых растворах растворенной углекислоты увеличивает содержание водорастворимых карбонатов. Для лессовых пород Средней Азии, по данным С. В . Быстрова (1955), В. И. Батыгина (1938), Воронова Ф. И. (1936), Ф. Л. Андрухниа (1937), В. И. Архангельского, В. Д. Дмитриева (1941) и других ученых, характерны карбонатно-сульфатно-хлоридный, сульфатно-карбонатно-хлоридный и сульфатно-хлоридно-карбонатпый типы, а для лессовых пород Северного Кавказа — хлоридносульфатно-карбонатный тип засоления. Водорастворимые соли в проявленных просадочных лессовых породах, как правило, содержатся в большем количестве (1,67% ), чем в иепроявленных (0 ,4 0 % ). Гипс и известь, являясь цементирующим веществом между состннляющнми минеральными частицами, придают лессовой породе прочность и устойчивость. Растворение их вызывает нарушение смнамости, но слабая растворяемость этих солей в воде, заметно не отражаясь на просадочном процессе в первой его стадии, может оказывать существенное влияние вследствие длительного процесса растворения и вымыва солей из этих грунтов. Солевой состав лессов при прохождении через них воды без внешней нагрузки, по данным А. М. Дранникова, отнюдь не уско ряет процесс просадки, а наоборот, сохраняет устойчивость их бла годаря цементирующему действию труднорастворимых солей. Связность лессовых грунтов может быть наряду с другими фак торами объяснена цементацией солями вследствие их кристалли зации при выпадении в твердый осадок. Появление кристаллиза ционных связей между частицами грунта уменьшает роль связ ной воды за счет увеличения контактов между частицами, так как в местах контактов связанная вода исчезает. В лессовых про садочных грунтах содержится несколько большее количество солей, особенно водорастворимых, чем в непросадочных. При этом засоле ние в них преимущественно сульфатное, а карбонаты и хлориды имеют подчиненное развитие. Кристаллы солей в скелете просадоч ных лессовых пород могут играть роль самостоятельных механиче ских элементов, у непросадочных же они занимают пустоты между 15 плотно прилегающими частицами, поэтому их роль пассивна. Влияние водорастворимых солей на просадочный процесс для лессовых грунтов различных регионов неодинаково. Природная влажность лессовых грунтов в зависимости от кли матических, геоморфологических и гидрогеологических условий ко леблется в широких пределах. В районах глубокого залегания грунтовых вод, водораздельных пространствах высоких склонов или при подстилании лессовых толщ дренируемыми слоями, а так ж е в областях недостаточного увлажнения естественная влажность этих грунтов, как правило, невелика (12— 14% ). Характер измене ния естественной влажности по глубине существенно зависит от наличия подстилающего водоупорного слоя. В случае отсутствия последнего или достаточно глубокого залегания его наблюдается относительное постоянство значения влажности по глубине толщи. Наличие ж е водоупорного слоя может привести к образованию трех последовательных зон — сезонного колебания, относительно постоянной влажности и постепенного перехода от капиллярной каймы до полного насыщения грунта водой. Во многих случаях в толще лессовых грунтов удается выделить две зоны (Н. И. Кригер, 1965): верхнюю («живую»), в которой ес тественная влажность сезонно изменяется, и нижнюю («мертвый горизонт»), куда сезонное промачивание не доходит. Поэтому тол ща лессовых грунтов в этих условиях приобретает двухъярусное строение — верхний горизонт в условиях природного напряженного состояния, являющийся непросадочным, и нижний, состоящий из недоуплотненных просадочных грунтов. Степень просадочности лессовой толщи существенно зависит от естественной влажности: чем меньше природная влажность грунта, тем больше степень его просадочности. По данным Н. Я. Денисова (1 946 ), во многих случаях естественная влажность лессовых про садочных грунтов меньше их максимальной молекулярной влагоемкости. О влиянии естественной влажности лессовых грунтов на их просадочность свидетельствуют следующие данные Ф. Л . Андрухина (1937): если естественная влажность просадочных непроявленных (непросевших) грунтов составляет 3— 10% , то непросадочных проявленных (просевших) — 10— 16% , а непросадочных — 14— 28% . § 1.3. Структурные особенности лессовых грунтов Просадочные свойства лессовых грунтов тесно связаны с их хи мико-минералогическим составом и строением, т. е. со структурны ми особенностями породы, формирующимися в процессе образова ния и дальнейшего существования ее. А. К. Ларионов выделяет следующие типы структур: зернистый, зернисто-агрегатный и агрегативнын. Зернистая структура характе ризуется малым содержанием глинистых частиц в породе, созда ющих контактовый цемент между частицами, недостаточный для 16 образования и роста агрегатов, а агрегативная представлена глини стыми и другими агрегатами, обладающими различной прочностью в зависимости от того, какими из глинистых минералов или солей качественно и количественно они образованы. С увеличением содер жания монтмориллонита, бейделлита и монтмориллонитовой гид рослюды прочность агрегатов в лессовой породе возрастает. В ре зультате воздействия воды на агрегаты лессовой породы некоторая часть этих агрегатов, образованных водорастворимыми солями, коллоидами, коагуляционными частицами, распадается на состав ляющие их минеральные зерна, повышая просадочность, размывасмость и другие свойства, а другая часть, образованная склеива нием частиц гумусовыми коллоидами, остается устойчивой по отно шению к воде даже при многократной обработке. Кроме того, в лессовой породе в достаточном количестве имеют ся карбонаты, окислы железа, кремния и других соединений, яв ляющиеся для частиц цементирующими веществами. Агрегаты, об разованные этими веществами, являются достаточно водопроч ными. Исследования лессовых пород, выполненные Н. Я. Денисовым, И. И. Трофимовым, Н. И. Кригером и А. К- Ларионовым, позволили им выделпть по устойчивости к воде следующие типы агрегатов: ионодостойкий, образованный в результате коагуляции, цементации легкорастворимыми солями и обратимо высохшими коллоидами; водостойкий, образованный гумусовыми коллоидами и цементаци ей сравнительно слаборастворимыми в воде соединениями (гип со м ); водопрочный, образованный коллоидно-химическим путем; выеоконодопрочный, образованный цементацией частиц кремнеземом, окислами железа, н др. В лессовых породах встречаются все нанаииные типы, но только в различных количественных соотноше ниях, Присадочные свойства и размокаемость лессового грунта тес но снизаны с преобладанием ненодостойких агрегатов; чем больше нх н грунте, тем больше его просадочность и выше размокаемость л воде. Длительное воздействие воды на водостойкие агрегаты иногда приводит к их разрушению, которое носит затяжной характер и оказывает влияние на водопрочность грунта в различные периоды этого воздействия. Указанный процесс разрушения особенно уско ряется, если вода содержит углекислоты, почвенные кислоты и дру гие вещества. Следует отметить высокую активность глинистых и тонкодиснерсных частиц в лессовой породе. Эти частицы, обладающие зна чительной удельной поверхностью, устремляются к поверхности более крупных частиц и адсорбируются на них, способствуя образо ванию агрегатов или созданию на поверхностях кластогенных зе рен глинистой пленки определенной толщины, придающей зернам большую подвижность при гидратации. По мнению И. В. Попова, глинистые частицы дают структурные связи, характеризующие ся различной прочностью в зависимости от влажности породы. 17 Для просадочных лессовых пород (по В. П. Ананьеву) характер но содержание агрегатов размером менее 0,25 мм. Кристаллизационные связи, образованные водорастворимыми слоями и карбонатными солями, являются более прочными при низ ких влажностях, но при полном водонасыщении и длительном воз действии воды ослабевают и исчезают. В формировании просадочных свойств лессовых пород большая роль принадлежит порам и пустотам, являющимся наряду с грану лометрическим составом основной структурной характеристикой просадочности лессовой породы. В лессовой породе форма и размер пор не одинаковы и претерпевают различные изменения под влия нием их факторов. В се поры и пустоты в лессовой породе А. К. Л а рионовым классифицированы на следующие виды: 1) пористость, отвечающая максимальной объемной гигроскопичности; 2) межчастичные поры, которые подразделяются на подтипы: междуагрегатные, поры между зернами (пылеватыми и песчаными), поры между агрегатами и зернами; 3) макропоры; 4) трещины; 5) червеходы и замкнутые пустоты органического происхождения; 6) корнеходы травянистой и древесной растительности; 7) кротовины (ходы землероев); 8) крупные пустоты суффозионно-карстового происхож дения. Пористость, отвечающая максимальной объемной гигроскопич ности, представлена порами между коллоидно-дисперсными части цами, занятыми молекулярно-связанной пленочной гигроскопиче ской влагой и межпакетными промежутками в минералах группы монтмориллонита. Эта пористость из-за малого содержания в по роде указанных частиц не принимает участия в процессах уплотне ния и просадки. Межчастичные породы образуют в лессовой породе сообща ющуюся систему, имеющую размер от 0,002 до 0,5 мм. Эти поры в общем объеме пор занимают важное место, составляя от 13 до 35% , и связаны с дополнительной осадкой лессовой породы после смачивания их водой. По мнению Н. Я. Денисова, содержание этих пор наиболее характерно для лессовых недоуплотненных пород гидрослюдисто-каолинитового и гидрослюдисто-кварцевого соста ва и заметно уменьшается при их замачивании. Для лессовых пород характерно значительное содержание макропор, видимых невооруженным глазом, которые делятся на два типа (А. К. Ларионов, 1959): макропоры, имеющие размер от 0,002 до 0,5 мм (межчастичные поры), и макропоры размером бо лее 0,5 мм, имеющие чаще всего вид вертикальных канальцев окру глого сечения, внутренняя полость которых покрыта карбонатны ми, железистыми гумусовыми цементирующими пленками с плот ной упаковкой частиц, прилегающих к стенкам этих макропор. Реже встречаются макропоры щелевидной формы, на стенках кото рых выступают рыхлосвязанные частицы, слабосцементированные и недоуплотненные. Встречаются также неправильной округлой формы макропоры со средней плотностью упаковки минеральных частиц, прилегающих к их стенкам. 18 По отношению к воде водонеустойчивыми являются неправиль ные щелевидные макропоры с рыхлыми стенками. При действии поды они быстро разрушаются. Ю. М. Абелев, Е. Г. Борисова связывают просадочность лессо вых пород с содержанием в них макропор, считая основной причи ной просадочности оплывание макропор при замачивании лессовой породы. Однако Н. Я- Денисов и В. А. Приклонский считают, что макропоры в лессовых-породах при действии воды не разрушают ся и поэтому дополнительные осадки сооружений появляются и при возведении их на лессовидных суглинках, лишенных крупных Пор. Таким образом, согласно Н. Я- Денисову, уплотнение происходит tic столько в результате исчезновения макропор, сколько за счет общего понижения пористости недоуплотненных пород в процессе их приближения к состоянию истинного соответствия пористости давлению. А. К- Ларионов считает, что в результате просадки исчезают макропоры, сложенные рыхло связанными между собой зернами п имеющие неправильные или щелевидные формы, а все остальные макропоры сохраняются. Макропористость лессовой породы сопинляет 8% объема породы и поэтому не может быть причиной уменьшения общей пористости лессовой породы после просадки. Большая роль в определении общей пористости лессовой породы принадлежит также трещинам, червеходам, корнеходам, кротови нам и другим пустотам. Образование их в породе связано с органи ческим миром, живущим в толще этих пород, а также с различны ми физико-химическими явлениями и процессами, происходящими н них (выветривание, набухание и усадка, кристаллизация солей, явление оползня, просадочность и т. д .). § 1.4. О природе и сущности просадочных деформаций в лессовых грунтах Явление просадочности в лессовых грунтах с незапамятных вре мен известно народам Востока, жизнь которых основана на ороше нии широко распространенных в Средней Азии лессовых почв. Пер вые сведения о просадочных явлениях в лессовых грунтах появи лись в литературе в 1892 г. в работе Ю. Андреева. Второй печатной работой о просадочных явлениях при замачивании лессовых грун тов Средней Азии была статья горного инженера А. Штукенберга. В последующем физико-механические и химические свойства про садочных лессовых грунтов нашли отражение в работах Б. А. Пышкина (1928) и Н. А. Димо (1929) *. Несмотря на наличие многочисленных исследований, посвящен * Более детальное описание просадочных деформаций на каналах, построен ных на лессовых грунтах Северного Кавказа и Средней Азии, дано В. А. Пышкиным, И. Е. Хеладзе, В. С. Гвоздевым, К. И. Лисицыным, Е. А. Замариным, А. К. Волковым, М. М. Решетниным, А. А. Аничковым, Н. Я. Денисовым, Ф. И. Вороновым, Б. И. Михеевым, А. Г. Глаголевым, В. И. Гужовым, Ю. М. Абе левым и др. 19 ных изучению причин возникновения просадочного явления в лес совых грунтах, на сегодняшний день полностью не установлен механизм просадочных деформаций в лессовых грунтах. Существу ющие теоретические предпосылки из-за недостаточной изученности взаимосвязи комплекса факторов, определяющих закономерности механика просадочных деформаций, также не позволяют разрабо тать теоретически обоснованные методы прогнозирования процесса просадки для каждого случая проектирования увлажняемых осно ваний зданий и сооружений. Одним из первых предположений, объяснившим механизм про цесса просадки в лессовых грунтах, была солевая гипотеза, предло женная Б. Б. Полыновым (1930) и С. В. Быстровым (1936). Основ ной причиной просадочности изученных ими лессов Северного К ав каза они считали выщелачивание солей, происходящее при их ув лажнении. Другие исследователи (Б. А. Замарин, М. М. Решеткин, А. Г. Глаголев, Г. А. Мавлянов) связывают просадочность лессовых грунтов с высокой пористостью и присутствием в них водораствори мых солей. Большинство гипотез, объясняющих сущность явления просадоч ности, сводится к тому, что причиной сил сцепления в лессовых грунтах являются разного рода водорастворимые соли, которые иг рают роль цемента между отдельными частицами грунтового ске лета и обеспечивают кажущуюся связность грунта при естественной ее влажности. Таким образом, согласно этой концепции, причиной образования просадки при увлажнении толщи лессовых грунтов является растворение цементирующих солей. В упрек этой гипоте зе исследователи часто ставят то, что в большинстве случаев просадочные лессовые грунты мало засолены и влияние выщелачивания на образование просадки должно быть незначительным. Кроме то го, среди непросадочных пород часто встречаются грунты с более высокой общей засоленностью, чем просадочные, однако деформа ции просадки в них не проявляются. Так, например, Б. Б. Полынов (1934) в результате исследования грунтов М ало-Карабахского и Терских каналов приходит к выводу, что высокая пористость грунтов не обязательно служит признаком способности последних давать просадку. Просадка возможна при наличии не только высокой пористости, но и одновременного зна чительного содержания легко растворимых в воде солей и особенно сульфатов, причем для потери устойчивости толщи требуется не вымывание солей, а лишь их растворение. Согласно Ф. И. Воронову, структурная прочность лессовых грунтов обусловливается в основ ном гипсом и известью, растворение которых при увлажнении при водит к нарушению природной устойчивости толщи грунта. Одна ко, учитывая сравнительно слабую растворимость в воде этих солей, делается заключение, что растворение и вымыв солей из грунта влияют на развитие просадочных деформаций по прошествии до статочно больших промежутков времени. Одним из основных пока зателей пород лессовой группы, согласно Ф. Л. Андрухину, является водорастворимый комплекс, который решает вопрос о деятель20 norm эффективных частиц. При количестве водорастворимого ком плекса в пробе более 0,3% по плотному остатку водной вытяжки иффективные частицы могут переходить в состояние коагуляций И вызывать этим дополнительные осадки. По характеру деформа ции Ф. Л. Андрухин делит лессы на четыре типа. I тип — лессовые грунты, просадочные деформации в которых проявляются немедленно после увлажнения их толщи. Причиной их возникновения служит разрушение водных связей,создаваемых поисрхностным натяжением в менисках воды в углах пор. Такаядеформация возможна в том случае, если высокопористая структу ра грунта создана кристаллизационными связями между частицами из легко растворимых в воде солей. II тип — лессовые грунты, просадка в которых проявляется че рез продолжительное время после непрерывного их увлажнения. Механизм таких деформаций, очевидно, не может быть объяснен капиллярной теорией. В этом случае можно полагать, что кристал лизационные структурные связи грунта построены из трудно растнорнмого в воде вещества (карбонаты, двухвалентные металльг и др.), требующего для своего растворения большого количества йоды и времени. III тип — лессовые грунты, просадка в которых проявляется напродолжительном отрезке времени с малой величиной уплотнения. Тикая деформация имеет место в грунтах, в составе которых при сутствуют значительное количество труднорастворимых солей, не принимающих участия в цементации частиц грунта. Однако, помнению И. В. Попова, в последнем случае труднорастворимые соли (карбонаты магния, кальция и др.) обязательно составляют струк турные связи грунта, при растворении которых должна нарушаться устойчивость увлажняемой толщи. IV тип —■лессовые грунты, просадка в которых проявляется » виде карстового процесса. Причиной возникновения карстовых де формаций (лессовый карст) является значительная концентрация легко растворимых в воде солей в поверхностных зонах грунта. Н а личие вертикальных и наклонных каналов, ходов землероев или трещин создает условия для быстрейшего проникновения воды иинтенсивного замачивания грунта па некоторой глубине от его по верхности. В результате уплотнения подземной части грунта обра зуются цилиндрические или воронкообразные провалы — карсты. Г. И. Архангельский полагает, что наличие в лессе своеобраз но распределенных разного рода водорастворимых солей придает ему отличительный от обычных грунтов характер скальной и полускальной породы, выдвигая солевую часть на роль цемента скелета активного элемента грунта. Согласно Ф. П. Саваренскому, в понятие лессовидных грунтов; входит ряд их видов с наличием солей, как водостойких, так и лег корастворимых. В зависимости от того или иного количества воды,, вида и состояния солей изменяется и их влияние на процесс дефор мации грунта природной влажности и при дополнительном увлаж нении. В результате длительного наблюдения за содержанием со 21 лей в грунтовом потоке и воде деривационного канала одной и! ‘Среднеазиатских ГЭС, построенных на лессовых грунтах -А. Н. Глазь приходит к выводу, что степень минерализации воды ш пути фильтрации из канала через подстилающие слои грунтг 'непрерывно возрастает, обогащаясь за счет растворения сульфатов. Этим наблюдением было установлено, что влияние вы тцелачивания солей на деформируемость лессовых грунтов в про цессе фильтрации является весьма значительным и зависит от со* держания, распределения и качества солей в грунте. Л. П. Розов считает, что значение водорастворимых солей в про-, садочных грунтах может быть двояким: кристаллы, образующиеся при кристаллизации солей, могут раздвигать частицы грунта и тем самым как бы разрыхлять его; кристаллы солей могут находиться не только в порах грунта, но и являться элементами его скелета; В последнем случае замачивание грунта водой и растворение кристаллов неизбежно нарушают прочность строения твердых час тиц, из его архитектоники как бы выбиваются; отдельные кирпичи, толща грунта теряет устойчивость и начинает садиться. При этом выщелачивание солей из грунта вовсе не обязательно, нужно только их растворение. В случае, когда кристаллы солей находятся только в порах грунта, растворение и даж е выщелачивание их никакой де формации не должно вызывать. В самом деле, как показывают ре зультаты соответствующих опытов, прямой связи между количест вом солей в лессовом грунте и их просадочностью обычно не наблю дается. Более детальные исследования просадочности лессовых грунтов в связи с различным содержанием в них водорастворимых солей ус тановили явное несоответствие между величиной просадочности и количеством содержащихся в них водорастворимых солей. Н. Я. Денисов и А. М. Дранников, критикуя солевую гипотезу, до казывали, что соли вследствие их цементирующего действия могут снижать просадочность лессовых пород, но растворение их при увлажнении не может служить причиной возникновения в них зна чительных по величине и неравномерных по характеру дополни тельных деформаций. Н. Я. Денисов на примерах майкопских, юр ских, хвалынских глин, обладающих большой пористостью и нали чием крупных пор, указал на то, что просадочность связана с высо кой пористостью, но одной только высокой пористостью не может быть объяснено возникновение просадочности породы, так как на личие макропор характерно также и для других глинистых проса дочных пород. Кроме того, согласно Н. Я. Денисову, макропоры не только не оплывают, способствуя просадке породы, а наоборот, многие из них остаются в породе устойчивыми элементами строения, после проявления просадки. Были попытки также объяснить причин ну возникновения просадки лессовых грунтов вследствие исчезно вения менисков воды между частицами при их насыщении водой согласно капиллярной теории К. Терцаги. Ф. Л. Андрухин, С. М. Юсупова и И. Д . Седлецкий, изучая проса дочность лессовых пород Приташкентского района, обратили боль22 uioe внимание на качественное и количественное содержание кол лоидов, задерживающих процесс просадки, придавали большое значение минералогическому составу тонких коллоидных фракций и пришли к выводу, что если в тонкой фракции породы преоблада ют минералы типа монтмориллонита, то порода не способна к про садке из-за высокой набухаемости этих минеральных частиц. Если же преобладает каолинит, то она предрасположена к просадке. В механизме возникновения просадки Ю. М. Абелев большое значение придает гидродинамическим давлениям фильтрационного потока. Между тем, как показывают многочисленные наблюдения п натурные опыты, просадка при увлажнении толщи лессовых грун тов возникает при неполной насыщенности их водой. В этих у.слонннх, очевидно, фактор гидродинамического воздействия фильтра ционного потока на структуру грунта должен проявляться не в пол ной мере. Более обоснованная интерпретация процесса просадки, исходя из физико-химии, дана Н. Я- Денисовым (1946). Согласночт ой теории, прочность лессовых грунтов в естественном состоянии обусловлена в основном углекислым и сернокислым кальцием, со здающими сцепление упрочнения путем цементирующего влияния* пленок этих солей, обволакивающих частицы грунта. Сцепление уп рочнения между частицами и их агрегатами является маловодо стойким, поэтому под действием влаги оно существенно снижается, создавая благоприятные условия для отрыва одних структурных элементов от других, т. е. «распыления» грунта. Природа распылимшощего влияния влаги при этом объясняется как расклинивающим воздействием тонких пленок воды (по Б. В. Дерягину), так и раст воряющим. Расклинивающее и снижающее трение тонких пленок поды проявляется потому, что частицам лессовых грунтов и при родному цементу, объединяющему их в агрегаты, присуща гидрофидышеть. Детальные исследования структурных особенностей лессовых пород, проведенные А. К. Ларионовым (1956, 1959) объяснили при чины и сущность просадочного процесса. Просадка, по его мнению, возникает под действием воды в результате разрушения структуры лессовой породы и взаимосвязана с составом, структурными осо бенностями и рядом физических и механических свойств породы, что свидетельствует о многогранности этого явления. Известно, что просадка лессовой породы возникает в результа те се увлажнения, но прекращается не сразу после прекращения на сыщения ее водой, а продолжается длительное время, что связы ва ется с медленным характером разрушения водостойких агрегатов. Длительность распада водостойких агрегатов зависит от многих факторов: движения, состава грунтовой воды, цементирующих ве щ е с т в в составе водостойких агрегатов и др. Длительность и конеч ная величина просадки зависят такж е от количества содержащихся нодостойких агрегатов, от наличия различных типов коллоидных связей в них и цементации карбонами и другими солями. Исследованиями А. Л . Рубинштейна (1951) установлено нали чие третьей стадии просадки в лессовой породе (дополнительного 23 уплотнения породы, возникающего при наличии соответствующих скоростей движения грунтовых вод) — суффозионной просадки. Существующие представления о механизме просадочного про цесса в лессовых грунтах не исчерпываются изложенными выше теориями*. 1 § 1.5. О характере просадочных деформаций в лессовых грунтах Просадочные деформации в увлажняемых лессовых грунтах мо гут возникать как в условиях природного напряженного состояния, так и под действием внешней нагрузки от веса здания и сооружения. В первом случае нагрузки, вызывающие деформацию просадки, являются объемными (распределенными по всему объему деформи руемой среды), а во втором — поверхностными (действующими на поверхности грунтового основания). Поскольку эффект от действия объемных сил неизбежно проявляется одновременно действием на ■основание поверхностных нагрузок, то принято считать, что просад ка во втором случае возникает от совместного действия собствен ного веса грунта и внешней нагрузки. Характер распределения объ емных и поверхностных нагрузок по глубине основания совершенно различен: если уплотняющие напряжения от действия собственного веса грунта, вызывающие просадки, с глубиной возрастают, то эти ж е напряжения от веса здания и сооружений рассеиваются. Кроме того, необходимо учесть, что если каждый вид лессового грунта, д а ющий при увлажнении дополнительную осадку в основаниях здания или сооружения, способен проявлять просадку от действия только ■собственного веса грунта, то, наоборот, грунты, просадочные в при родных условиях, неизбежно получают дополнительную осадку при действии внешней нагрузки. Поэтому деформации лессовых грун тов от действия только его собственного веса Н. Я. Денисов реко мендует называть просадкой, а от действия веса здания или соору жений ■— дополнительной осадкой. Рассмотрим характер этих д в у х видов деформаций в лессовых грунтах. Просадка под действием собственного веса грунта проявляется только в определенных условиях залегания толщи лессовых грун тов. Многочисленными наблюдениями и опытом строительства ус тановлено, что ограниченное количество осадков, глубокое зал е гание грунтовых вод и значительная толща однородных лессовых грунтов неизбежно приводят к возникновению просадки от дейст вия собственного веса грунта. Большинство оросительных каналов, на которых наблюдались просадки, проходят в областях развития покатых предгорных равнин, сложенных пролювиальными накоп* С различными теориями просадочности лессовых грунтов подробно можно ознакомиться в работах Н. Я. Денисова, Г. А. Мавлянова, А. К. Ларионова, В . А. Приклонского, В. П. Ананьева, Н. И. Кригера и др. 24 линиями. В условиях ж е равнинной местности с очень спокойным рельефом просадки грунтов не представляют серьезной угрозы для нормальной эксплуатации сооружений. Существует определенная связь просадки с глубиной залегания грунтовых вод, с увеличени ем которой интенсивность просадочных деформаций возрастает. На основании анализа данных многочисленных исследований по. изучению просадки на ирригационных системах Голодной степи В. Ф. Булаевский (1956) установил определенную зависимость между величиной просадки и уровнем грунтовых вод. Возникают просадки в большинстве случаев вскоре после первого пропуска поды — иногда через несколько дней, а иногда через несколько ме сяцев — и продолжаются в течение нескольких лет. Наиболее интен сивно просадка развивается в течение первого года, и в это время она создает серьезную опасность для эксплуатации сооружения. Наиболее характерно проявляет себя просадка при пропуске воды, ио каналу и замачивании котлованов путем оседания их дна, до стигающего иногда 3 м, и прилегающих к нему участков на рассто янии от 10 до 200 м. Это оседание, как правило, сопровождается нарушением целостности массивц, который распадается на ряд тер рас, разделенных зияющими трейщнами. На рис. 1.3 представлены с^емы процесса образования проса дочных трещин при увлажнении опытного котлована. На рис. 1.3, а просадочная трещина а уже открылась и закры лась, трещина b открылась, а трещина с начала открываться. Грун товый массив над увлажненной зоной между трещинами b и с ра ботает как самостоятельный блок. Фронт увлажнения успел пройти и нижнюю часть трещины b и, не доходя до зоны под основанием трещины с, повернулся вниз. Блок между трещинами b и с ввиду неполного н неравномерного увлажнения основания не полностью нм поддерживается. На рис. 1.3, б по мере продвижения фронта ув лажнения вследствие просадки увлажненной зоны происходит вра щение блоков, поэтому трещина b закрывается и открывается тре щина с. Таким образом, с открытием новых просадочных трещин вдали от источника увлажнения старые трещины постепенно за крываются. Дневная поверхность блоков слегка наклоняется к ис точнику увлажнения. В плане просадочные трещины, изгибаясь, охватывают все стороны котлована, располагаясь концентрично несколькими рядами террас оседания. На каналах трещины боль шей частью идут параллельно и по обеим его сторонам. Обычно просадочные и непросадочные участки вдоль канала чередуются друг с другом, поэтому образование просадочных трещин носит очаговый характер. Террасы оседания, заключенные между трещи нами образуют обычно несколько эллипсов, вложенных друг в друга и вытянутых вдоль оси канала. Длина этих эллипсов оседания на отдельных каналах достигает нескольких десятков метров. Ширина просадочных трещин поверху достигает нескольких дециметров. Книзу трещины сужаются, причем на глубине они искривляются в сторону источника увлажнения; максимальная глубина их, до ступная промерам, иногда достигает 15— 20 м. Террасы, располо/ 25 женные между трещинами, смещаются друг относительно друга на ц 0 ,5 — 1,0 м. 1 Просадки грунтов особое осложнение вызывали при эксплуата ции оросительных каналов Голодной степи, бассейна р. Сурхан-Дарьи Приташкентского района, Ферган ской котловины и других ка налов Таджикистана и Кир гизии. Серьезные затрудненения возникали на Север ном Кавказе в связи с про садкой грунтов на М ало-К а рабахской, Терской ороси тельных системах, ТерскоКумском и ряде других ка налов, которые после не скольких поливов настолько сильно деформировались, что прекратилась подача воды на орошаемые земли. В Азер байджане из-за просадки Рис. 1.3. Схемы процесса образования грунтов на Шихлинском, Сапросадочных трещин при увлажнении опытного котлована мур-Дивичинском, ВерхнеКарабахском и других кана тах создавались чрезвычай но тяжелые условия для дальнейшей нормальной их эксплуатации. Немалые ос ложнения вызывали просад ки грунтов на ирригационных объектах Румынии. Просад ка от действия собственного веса грунта могут вызывать серьезные повреждения и на других инженерных соору жениях, таких, как шоссей ные дороги, строения, высо ковольтные линии электро передач, нефте- и газопро Рис. 1.4. Графики протекания осадки воды и т. д. основания во времени, построенные для искусственного увлажненного (кривая / ) Протекание просадки во и предварительно увлажненного (кри времени при напряженном вая 2) основания состоянии грунта от внешней нагрузки несколько отлича ется от характера описанной выше деформации. Если основание фундамента, получившее полную стабилизацию осадки от дейст вия веса сооружения, увлажнить небольшим количеством воды, то в нем через несколько часов наступают быстро протекающие вер26 тпкальные деформации грунта. Продолжительность этих деформа ции, как правило, не превышает 1— 2 сут, т. е. значительно меньше, чем период развития просадки от действия собственного веса грун та. После завершения просадки деформация увлажненного основа нии по характеру не отличается от исходной его деформации. Д е формация основания при увлажнении происходит в основном за счет уплотнения грунта непосредственно под штампом; выпор грун та основания при этом, как правило, не происходит. Опыты пока зывают, что при больших осадках штампа всегда наблюдается образование вокруг него вертикальных стенок. На рис. 1.4 представлены характерные графики протекания осад ки основания во времени для опытных штампов Т7= 5000 см2 при п= 0 ,2 МПа (кривая 1), а такж е F = 6000 см2 при а = 0 ,1 5 МПа (кривая 2 ), построенные по данным натурных опытов Ю. М. Абе лева (1948). Кривая 1 построена для случая искусственно у влаж ненного основания после стабилизации его природной осадки от передаваемой штампом нагрузки. Как видно из этого графика (У), просадка , т. е. резкое увеличение осадки, начинается спустя не сколько часов после начала увлажнения и протекает очень быстро. Изменение осадки по времени в период увлажнения основания, как видно из рисунка, носит провальный характер. Скорость просадки, как показывают опыты пробными нагрузками с замачиванием, за висит от степени просадочности грунтов основания и может изме няться от 5 до 25 м/сут. Па рис. 1.4 кривая 2 построена для предварительно увлажненною основания. Основание до установки опытного фундамента пред варительно увлажнялось в течение 7 сут, и его влажность достигла .'10%. Несмотря на повышенную влажность грунта основания, после дующее ого увлажнение через 32 ч повысило осадку с 4,8 до 44 мм. Однако при этом осадка фундамента протекала во времени доволь но плавно до момента повторного увлажнения. Кроме того, как видно, предварительное и последующее увлажнения грунта совер шенно различно влияют на осадку опытного фундамента. Если в нервом случае имеет место сравнительно большая и вполне устой чивая величина осадки фундамента, то при последующем увлажне нии основания осадка фундамента возрастает независимо от перво начального состояния влажности грунта. Для изучения вопроса о фазах деформации лессовых просадочпых грунтов под нагрузкой фундаментов В. И. Крутовым (1962) были проведены натурные экспериментальные исследования. Ана лиз результатов этих исследований показал, что в общем случае деформация грунта в водонасыщенном состоянии характеризуется четырьмя фазами. Первая фаза — допросадочное уплотнение — ничем не отличается от деформации обычного грунта и происходит при устойчивой структуре грунта вследствие уменьшения объема eio пор. Вторая фаза деформации представляет просадку и проис ходит с резким увеличением осадки, сопровождающейся наруше нием структуры грунта и более плотной его укладкой. Значение модуля деформации по сравнению с первой фазой уменьшается 27 в 2— 10 раз. Третья фаза — послепросадочное уплотнение — харак-i теризуется резким уменьшением степени нарастания деформаций в по существу ничем не отличается от характера деформации грун та в первой фазе. Модуль деформации грунта в этой фазе доста точно близок к модулю деформации в первой фазе. Четвертая и пятая ■фазы деформации характеризуются формированием под фунда ментом уплотненного ядра и образованием непрерывных поверхно стей скольжения, приводящих при дальнейшем увеличении нагруз ки к потере устойчивости основания. Таким образом, для просадочных грунтов характерны две су щественно отличающиеся между собой фазы деформации: первая — просадочное уплотнение грунта естественного сложения и влажно сти, вторая — просадка. При этом следует учесть, что деформация просадки по своим последствиям эквивалентна разрушению грунта, поэтому при расчетах возникновение ее в основаниях не должно до пускаться. Характер проявления и скорость развития просадочных дефор маций оказывают большое влияние на деформации различных кон струкций зданий и сооружений. Случайное увлажнение основания может вызвать серьезные аварии здания и сооружения и привести их к состоянию полной непригодности для дальнейшей эксплуата ции. Увлажнение основания, в большинстве случаев носящее с л у -: чайный и местный характер (утечка воды из различных трубопро водов), вызывает неравномерные просадки фундаментов, которые могут вызывать деформации зданий и сооружений в виде отдельных трещин в стенах, отклонений стен от вертикали и перекосов окон ных проемов. Устойчивость и эксплуатационная пригодность зданий и соору- ■ жений на просадочных грунтах достигается комплексом мероприя-. тий, применяемых в зависимости от типа грунтовых условий, в о з -' можной величины просадки, ее неравномерности, вероятности замачивания и чувствительности конструкций к неравномерным осадкам основания. Устранение просадочных свойств грунтов основания может осу ществляться уплотнением грунтов тяжелыми трамбовками, у с т -1 ройством грунтовой подушки из местных глинистых грунтов, глу бинным уплотнением грунтовыми сваями, предварительным зам а чиванием грунтов основания и другими проверенными спосо бами. § 1.6. Физико-механические характеристики лессовых просадочных грунтов Лессовые грунты характеризуются следующими физико-меха ническими показателями. 1. Пористость. Для лессовых просадочных грунтов характер значительная рыхлость пустот, хорошо видных невооруженным <j глазом. Эти пустоты часто представляют собой вертикально распо-^ ложенные цилиндрические канальцы, а такж е другие различные! 28 формы, называемые макропорами. Наличие макропор, как правило, присуще просадочным разновидностям лессовых грунтов. Суммарная пористость лессовых грунтов колеблется обычно от \0 до 60% . Меньшие величины характерны для непросадочных и просевших разностей, большие — для просадочных. Значительная по сравнению с обычными грунтами пористость лессовых грунтов обусловливается конкретными условиями их ге незиса и существования, а такж е склонностью этих грунтов к про садкам при увлажнении. Так, например, на водоразделах в более засушливых районах, где распространены лессовые грунты, дающие при увлажнении просадку от действия только своего собственного веса (II тип), сравнительно постоянная по глубине пористость име ет высокие значения (более 4 6 % ). После просадки величина об щей пористости вследствие уплотнения грунта по мере сближения частиц уменьшается. По данным Ф. И. Воронова, пористость грун тов канала Новый Джун в результате трехлетнего замачивания из менялось в пределах от 8,75 до 19,5% (табл. 1.1). Т а б л и ц а 1.1 Изменение пористости просадочных грунтов и результате увлажнения П ори стость, О/о Слой грунта от понерхности земли, м 0 -2 2 -4 4 -6 0 —8 8-Ю 10— 12 12-23 за пределами зоны просадки Изменения, % на дне канала 41,3 42,0 41,4 4 1 .1 44,2 43,8 4 2,3 47,7 4 8,1 4 7,9 5 1 ,1 48,7 48,0 4 6,8 1 3,4 12 ,7 1 3,5 1 9,5 9 ,24 8,75 9 ,62 По данным наших полевых опытов, в результате трехмесячного непрерывного увлажнения дна котлованов, уменьшение пористости лессовых грунтов Мингечаура (Азербайджан) достигало 11,11%, а Шихлов — 3,8% . Ориентировочные значения пределов изменения пористости лессовых грунтов некоторых районов нашей страны при ведены в табл. 1.2. 2. Удельный и объемный вес. Удельный вес лессовых грунто зависящий от состава слагающих их минералов, колеблется в пре делах 26,0—27,5 кН/м3. На основании 1000 определений из разных районов СССР А. К. Ларионов, В. А. Приклонский и В . П. Ананьев указывают колебания удельного веса лессовых грунтов в пределах 25,4— 28,4 кН/м3. Эти пределы, по данным Ю. М. Абелева, равны 25,2—27,8 кН/м3, а Ф. Л. Андрухина— 26,6—27,1 кН/м3. Присутствие в составе лессовых грунтов минералов акцессоров, слюд или минералов из групп окислов и гидроокислов железа по вышает значения удельного веса до 27,5— 28,0 кН/м3. Понижение 29 Т аб л и ц а 1.2 Ориентировочные значения некоторых физико-механических показателей просадочных грунтов Районы Украина Средняя Азия Северный Кавказ Ростовская обл. Сибирь Азербайджан ", % туд, кН/м° Т, кН/м3 3 6 -5 8 39— 59 39—55 3 8 -5 6 41— 58 42— 57 2 6 ,6 — 2 7 ,1 2 6 ,8 — 2 8 ,0 2 6 ,7 — 2 7 ,4 2 6 ,7 — 2 7 ,2 2 6 ,3 — 2 7 ,6 2 6 ,7 — 2 7 ,7 1 4 ,2 — 18,5 1 2 ,1 — 18,3 1 5 ,8 — 1 9,2 1 4 ,0 — 1 9,3 1 2 ,5 — 1 8,2 13,5— 1 8,8 ®т , % V 21— 34 25— 30 28— 44 24— 40 21— 34 23— 42 %w,m> % 15—20 17— 20 14— 26 12— 24 12— 20 15— 28 6 — 14 5— 10 14— 18 12— 20 9— 14 8 — 14 % 2 ,7 — 1 5 ,» 3 ,0 — 1 5 ,0 1 ,0 — 1 5 ,3 1 ,6 — 1 3 ,0 1 ,0 — 5 ,0 2 , 2 — 14,8. значения удельного веса обычно обусловливается содержанием в грунте гипса, гумуса, а также примесей водорастворимых солей. Объемный вес лессовых грунтов, зависящий от минерального’ состава, структуры и содержания в них воды, колеблется от 13,3. до 20,3 кН/м3. В некоторых случаях по объемному весу можно отличить просадочную разновидность лессового грунта от непросадочной. По дан ным Г. И. Архангельского и В. JI. Дмитриева, на просевшем мас сиве лессовой толщи и непосредственной близости от источника ув лажнения (канала) значения объемного веса отмечались выше 14,7 кН/мэ. Пределы изменения удельного и объемного веса лессо вых грунтов некоторых районов СССР приведены в табл. 1.2. 3. Пластичность. Пластичность лессовых грунтов, в высоко степени зависящая от дисперсности, минералогического состава, формы и упругости его частиц и особенно от структуры, по значе ниям довольно разнообразна. Между тем во многих случаях по пре делам пластичности можно различить просадочную разновидность лессовых грунтов от непросадочной. Так, например, согласно ис следованиям Н. Я. Денисова, просадочные лессовидные суглинки обладают более низкими значениями пределов и числа пластично сти, чем непросадочные. Согласно исследованиям Ф. Л. Андрухина,, значения числа пластичности у разных типов лессовидных грунтов Средней Азии невелики и мало различаются между собой (3,4— 3,8). Большей пластичностью обладают, как правило, тяжелые лес совидные суглинки (юг Украины), по числу пластичности которые являются лессовидными глинами, обладающими тяжелым механи ческим составом. Пределы пластичности лессовых грунтов могут служить характеристикой для оценки величины «начальной вл аж ности» их просадочности (влажность, при которой и выше которой при заданном значении уплотняющей нагрузки возникает деформа ция просадки). Так, например, по мнению В. И. Батыгина, при до стижении значения влажности границы текучести уничтожается ка жущееся сцепление и грунт, удерживаемый лишь силами внутрен него трения, приобретает способность двигаться вниз и в сторону. 30 Т абли ц а 1.3 Значения коэффициента сж имаемости просадочных и непросадочных лессовы х грунтов Коэффициент сжимаемости а, МПа при нагрузках, МПа Вид грунта Просадочный 11епросадочный 0,05 0,1 0,2 0 ,4 0,8 1,6 1 ,8 2 1 ,16 1 ,4 0 0 ,8 0 0 ,6 1 0 ,5 0 0 ,4 2 0 ,3 0 0 ,2 7 0 ,2 0 0 ,1 2 0 ,1 0 По данным Ф. И. Воронова, оптимальная весовая влажность при просадках близка к нижнему пределу пластичности. Ориенти ровочно значения пределов пластичности для лессовых грунтов раз личных районов нашей страны приведены в табл. 1.2. 4. Сопротивление уплотнению. Лессовые грунты при естествен ной влажности оказывают большое сопротивление уплотнению. Получаемая ими в этих условиях осадка, как правило, очень неве лика. При естественной влажности и ненарушенном состоянии лес совые грунты обладают достаточно хорошей несущей способностью н малой деформируемостью. Компрессионные свойства лессовых Грунтов при естественной влажности качественно не отличаются от Обычных милоежимаемых связных грунтов. Согласно исследованиям Ф, J1. Андрухина, сжимаемость просадочных лессовых грунтов относительно больше, чем непросадочных (табл. 1.3). Значительно более прочные структурные связи лессовых грунтов, обусловленные кик иодно-коллондными, так и цементационными евизнмн, мпломодостойкн, поэтому эти грунты, так же как мерзлые п илистые, относятся к структурно-неустойчивым. При увеличении влажности прочность этих грунтов вследствие разрушения структуры резко снижается и они приобретают свойства сильно сжиматься под уплотняющей нагрузкой. Об этом свидетель ствуют данные Ю. М. Абелева для значения модуля деформации, полученные им путем испытания лессовых грунтов пробными ста тическими нагрузками (табл. 1.4). Влияние воды на структуру лессовых грунтов имеет в основном адсорбционный характер и обусловливается проникновением моле кул воды в места контактов частиц и проявлением их расклиниваю щего и связывающего действия. Вследствие этого сложного физи ко-механического взаимодействия грунт при определенном значе нии уплотняющего давления претерпевает значительную деформа цию, называемую просадкой. Поэтому просадочные грунты имеют весьма характерные компрессионные кривые; при постоянном зна чении уплотняющей нагрузки под влиянием увлажнения резко скач кообразно изменяется коэффициент их пористости, что указывает на коренное изменение их структуры (рис. 1.5). 31 Т а б л и ц а 1.4 Значение модуля деформации лессовых грунтов в зависимости от их влажности и пористости Грунты Интервал влажности, % Интервал пористости, % Модуль деформации, МПа Л есс 10— 17 ' 47— 48 2 2 ,5 -3 2 ,0 Лессовидный суглинок 6—8 8— 14 12— 18 22— 25 25— 30 46— 48 47— 49 4 3 —45 45— 48 40— 45 2 2 ,0 — 2 8 ,0 1 9 ,0 —2 2 ,0 1 0 ,0 — 4 0 ,0 8 , 0 — 1 ,5 7 , 0 — 1 ,3 Как видно из рис. 1.5, на компрессионной кривой можно различить три характерных участка: 1) начальный участок ab, соответствую щий сжатию грунта в ненарушенном состоянии, имеет небольшой наклон к оси давлений, что показывает на незначительную сжимаемкость лессовых грунтов в природном состоянии; 2) участок Ьс ха рактеризует просадку грунта, при которой происходит резкое умень- Рис. 1.5. Характер компрессионной кривой для просадочных грунтов Рис. 1.6. Кривые зависимости изменения пористости просадочных грунтов от уплотняющей нагрузки ( / — 2 — для водонасыщенного состояния, 3 — 4 — для маловлажного состояния) шение коэффициента пористости на величину Де, которая возраста ет с увеличением уплотняющей нагрузки по криволинейному закону; 3) участок ей характеризуется большим по сравнению с пер вым изменением коэффициента пористости грунта, что указывает на увеличившуюся сжимаемость лессовых грунтов при нарушении их природной структуры. В водонасыщенном состоянии, как было отмечено выше, уплотняемость лессовых грунтов улучшается, поэтому зависимость изме32 пения пористости грунта от уплотняющей нагрузки представляет собой непрерывную кривую, крутизна которой с увеличением наг рузки плавно уменьшается (рис. 1.6, кривая 1—2 ). Указанная зави симость для маловлажных лессовых грунтов имеет совершенно дру гой характер (Н. Я. Денисов) (кривая 3—4 ). Значения пористости при любом диапазоне изменения уплотняющей нагрузки больше, чем ординаты кривой 1—2. При некотором значении нагрузки сг2 обе кривые, характеризующие уплотнение лессового грунта в различ ном состоянии, сливаются. При значениях нагрузки а < щ возможно набухание грунта и поэтому отрезок кривой 1—2 до значения наг рузки cTi проходит выше отрезка кривой 3 —4. Разность ординат двух кривых, по Н. Я. Денисову, характеризует степень просадочности лессового грунта при интервале изменения уплотняющей нагрузки от <ri до сг2. Поскольку влажность меняет физическое состояние лессовых грунтов, то эти грунты в зависимости от значения влажности под нагрузкой могут получать упругое, пластическое и вязкое состояние. На рис. 1.7 представлены кривые изменения упругой и пластической части общей деформации просадочного грунта при различных ве личинах уплотняющей нагрузки и влажности грунта. На осях ор динат соответственно отложены процентное отношение упругих де формаций к общей (б) и абсолютная величина пластических дефор маций (Д). К ак видно из кривых рис. 1.7, при одних и тех ж е зна чениях уплотняющей нагрузки с увеличением влажности грунта в соответствии с уменьшением упругой части общей деформации воз р а сте т пластическая деформация. При коэффициенте водонасыщения, равном 0,63—0,66, и о = 0 ,1 МПа упругие деформации состав ляют 4 , 8 % от общей деформации просадочного грунта. 8. Сопротивление сдвигу. Сопротивление сдвигу лессовых грун тов, так же как и сопротивление сжатию, всецело определяется их физическим состоянием при естественной влажности и плотности. Указанные грунты имеют высокие показатели сопротивления сдвигу, увлажнение существенно снижает это сопротивление. Прочность лессовых грунтов, по мнению Н. Я. Денисова, обусловливается как взаимодействием сил молекулярного притяжения частиц, так п цементирующим влиянием пленок углекислой извести и гипса, об волакивающих частицы пород. В прочности лессовых грунтов существенную роль играет вто рая часть сцепления, весьма чутко реагирующая на изменение вл аж ностного режима грунта. Существенное падение прочности лессо вых грунтов наблюдается в начальном участке интервала измене ния влажности. На рис. 1.8 представлены закономерности измене ния сопротивления сдвигу просадочных грунтов Мингечаура в за висимости от влажности при различных значениях уплотняющей нагрузки. Как видно из кривых рис. 1.8, сопротивление сдвигу грун та при различных значениях уплотняющей нагрузки резко снижает ся в интервале изменения влажности от 6 до 24% - Дальнейшее по вышение влажности не так существенно влияет на прочностные ха рактеристики грунта. 2— 724 33 Значения прочностных характеристик лессовых грунтов (угол* внутреннего трения и сила сцепления) в зависимости от их плотности — влажности может изменяться в широких диапазонах. Д ля i высушенных образцов просадочных грунтов (w = 3— 7 % ) значение силы сцепления может достигать 0,25—0,3 М Па; угол внутреннего трения грунта при этих влажностях изменяется от 33 до 40°. При повышении влажности грунта до полного водонасыщения значение силы сцепления может уменьшиться в 10 раз, а угол внутреннего трения — в 1,5 раза. цмпа 0 ,5 г .6= 0,3 МПа ОЛ Ь ,м м д )% 0,2 0 ,3 -0,1 0,2 Ъ О оТоН 0,1 о • 8 Рис. 1.7. Кривые изменения упругой (б) и пластической (Л) частей общей деформа ции просадочного грунта в зависимости от влажности при различных значениях уплотняющей нагрузки 16 2Ц- • а),"/, Рис. 1.8. Закономерности измене ния сопротивления сдвигу проса дочного грунта в зависимости от влажности при различных зна чениях уплотняющей нагрузки Характерно отметить, что после завершения процесса просадки значения прочностных характеристик повышаются. При этом зна чение силы сцепления возрастает во времени медленно; угол же внутреннего трения практически приближается к своему первона чальному значению. 6. Водопроницаемость. Наличие крупных пор и малое содерж ние глинистых частиц обусловливают сравнительно большую водо проницаемость лессовых грунтов. Постоянное значение коэффициен та фильтрации для лессовых грунтов может иметь место после пол ного завершения в них просадочного процесса, т. е. для уплотненно го состояния. В начальном периоде увлажнения значение водопро ницаемости ввиду трехфазного состояния грунта сравнительно низ кое. В процессе же возникновения и развития просадки вследствие 34 существенного изменения физического состояния грунта водопрони цаемость также не остается постоянной. Поэтому о стабильном зна чении коэффициента фильтрации для просадочных лессовых грунтов можно говорить лишь при полной водонасыщенности их состояния и при полной стабилизации деформации. Так, например, по данным Г. И. Туркина, скорость фильтрации и просадочных грунтах Средней Азии (Вахшстрой) в первые дни увлажнения составляла 0,0145, через 5 дней — 0,004, а через 16 дней — 0,0035 мм/с. Водопроницаемость просадочных лессовых грунтов канала Новый Джун(под Ташкентом), по данным Е .А . З а мирина, оказалась в 2,6—4,5 раза меньше, чем скорость просачива ния через смоченную поверхность опытного шурфа к концу 6— 12чпсового наблюдения. Согласно нашим полевым опытам, значения коэффициента водопроницаемости в начале увлажнения для про«■идочиых грунтов Мингечаура установлено равным feH= 0 ,3 4 м/сут. После трехмесячного непрерывного увлажнения толщи этих груниов значение указанного коэффициента было определено равным /?„„„ = 0,036 м/сут. Дли некоторых разновидностей просадочных грунтов Украины К). М. Абелевым установлено значение коэффициента фильтрации 0,864 м/сут. Согласно полевым опытам Ф. Л. Андрухина, коэффи циент фильтрации для просадочных непроявленных грунтов равен 0,212, для просадочных проявленных — 0,069 и для непросадоч ных грунтов на просадочных массивах — 0,017 м/сут. Наличие в просадочных лессовых грунтах макропор и вертикаль ных цилиндрических пустот обусловливает их фильтрационную ани зотропию; водопроницаемость в вертикальном направлении боль ше, чем в горизонтальном. После просадки ввиду разрушения струк туры грунта при увлажнении наблюдается тенденция к выравнива нию коэффициента фильтрации по двум направлениям. По данным лабораторных опытов Ю. М. Абелева, коэффициент фильтрации для просадочных грунтов в вертикальном направлении колеблется от О,.'МО-8 до 0 ,1 6 -10-5 см/с, а в горизонтальном— о тО ,Ы О -5 до 0,8 •10 0 см/с. По специально разработанной методике (А. А. Мустафаев, 1961) приводились исследования фильтрационной анизотропии просадочноЛ толщи грунтов Мингечаура. Значения коэффициента фильтра ции по горизонтальному (k x) и вертикальному (k y) направлениям дли нити характерных слоев 10-метровой толщи грунта, по данным ч|их исследований, приведены в табл. 1.5. 7. Просадочность. Лессовые грунты, как правило, при увлажн нии и определенном напряженном состоянии дают просадочные де формации. Характеристикой просадочности грунта служит относи тельная просадочность бп, которая представляет собой относитель ное уплотнение под влиянием замачивания и определяется по фор мул!' где h — высота образца грунта, обжатого без возможности боково го расширения нагрузкой a; h' — высота того же образца после воз действия замачивания при неизменном давлении на грунт; h 0 — вы сота того ж е образца грунта природной влажности, обжатого дав лением, равным природному без возможности бокового расшире ния. I Испытания на просадочность, как правило, производят в ком- ] прессионных приборах на образцах грунта ненарушенной структуры. 1 Существует несколько методов определения относительной п р о са -; дочности лессовых грунтов. Наиболее широко применяемыми из них : являются методы одной и двух кривых. Т абли ц а 15 Значения коэффициента фильтрации в горизонтальном ( kx ) и вертикальном ( k y) направлениях для грунтов различных горизонтов опытной площадки Значения коэффициентов фильтрации, см/ч, при глубине от поверхности земли, с м Продолжитель ность наблюде ния, ч 20 40 60 80 100 120 140 Среднее значение А - 200 ft- 600 А—400 ft- 800 1000 *х *« *х кУ ** k y kx k y 3 ,2 0 2 ,8 2 2 ,5 2 2 ,6 4 3 ,2 1 2 ,5 6 2 ,8 1 3 ,6 2 4 ,7 5 3 ,9 2 5 ,1 6 6 ,1 8 5 ,4 6 4 ,9 8 1 ,82 2 ,2 4 1 ,7 5 2 ,0 2 1 ,9 6 2 ,2 2 2 ,3 4 3 ,4 2 4 ,7 5 3 ,4 2 4 ,4 2 3 ,9 8 5 ,3 2 6 ,1 2 2 ,1 2 1,91 1 ,82 2 ,1 2 2 ,4 6 2 ,6 2 1 ,9 4 7 ,1 2 6 ,4 1 5 ,3 2 4 ,9 3 5 ,1 2 5 ,7 4 6 ,4 3 1 ,96 2 ,1 3 2 ,4 1 2 ,3 5 1,89 2 ,0 4 2 ,0 2 6 ,4 3 5 ,7 6 5 ,5 4 4 ,9 6 5 ,4 8 4 ,8 6 2 ,4 5 2 ,1 4 2 ,4 1 1 ,88 1 ,9 8 2 ,4 5 1 ,9 6 2 ,1 2 3 ,3 2 7 ,1 6 6 ,4 6 4 ,3 6 5 ,1 4 4 ,8 8 6 ,7 8 2 ,8 4 4 ,8 7 2 ,0 5 4 ,5 3 2 ,1 0 5 ,8 7 2 ,0 1 5 ,0 7 2 ,1 3 5 ,4 4 ky По методу одной кривой испытываемый образец грунта природ ного сложения и влажности предварительно обжимают в компрес сионном приборе при заданной нагрузке до получения условной ста билизации деформации. Затем при этом давлении замачивают грунт, ведут контроль за его деформациями и по полученным дан ным по формуле (1.1) подсчитывают относительную просадочность. Обычно опыты ведут при различных значениях уплотняющей на грузки, и по результатам этих опытов представляется возможным по строить кривую зависимости fin= / ( a ) . Метод двух кривых основан на одновременном параллельном ис пытании в компрессионных приборах двух образцов грунта, отоб ранных из одного монолита. Один образец испытывают в состоянии природной влажности путем нагружения его прикладываемыми от дельными ступенями нагрузки, а другой насыщают водой и затем 36 нагружают ступенями до определенного значения уплотняющей на грузки. По результатам каждого испытания строят компрессион ные кривые. Разности ординат этих кривых определяют величину изменения коэффициента пористости грунта и позволяют вычислить но формуле (1.1) значения относительной просадочности при раз личных давлениях. Существует также комбинированный метод определения проса дочности, представляющий собой сочетание методов одной и двух кривых (В. И. Крутов). Каждый из указанных методов определения относительной про садки обладает недостатками и не всегда дает одинаковые резуль таты. Метод одной кривой в некоторой мере отражает условия ра боты основания в процессе эксплуатации здания и сооружения. Метод двух кривых характерен для предварительно увлажненного основания и выгодно отличается от метода одной кривой, так как требует для испытания меньшего количества образцов. Для проса дочных грунтов Украины, по данным А. М. Дранникова, сущест венной разницы в результатах методов одной и двух кривых не наб людается. Д ля грунтов Ростовской области наиболее достоверные результаты дает метод одной кривой (В . П. Ананьев, В. Е. Волянпп и др.). I Относительная просадочность лессовых грунтов существенно за висит от их плотности и влажности, с увеличением которых она уменьшается. Значение относительной просадочности при изменении уплотняющего давления не остается постоянным, а возрастает с его увеличением. При умеренных значениях нагрузки эта зависимость, согласно Н. А. Цытовичу, может быть аппроксимирована линейной функцией 8П— •^о“Ь <а!оа> (1-2) где А0 — коэффициент просадки лессовых грунтов; а 0 — коэффи циент, характеризующий относительную сжимаемость грунтов в процессе просадки. Значения коэффициентов А 0 и а 0 определяют по результатам испытания двух одинаковых образцов на просадочность. Однако анализ результатов многочисленных испытаний пока зывает, что кривая 6n= f (сг) имеет криволинейный характер и доста точно удовлетворительно описывается степенной функцией. Кроме того, согласно формуле (1.2) при о = 0 относительная просадочность получается равной А 0г тогда как просадка возможна только при определенном напряженном состоянии грунта. При увлажнении толщи лессовых грунтов относительная их просадочность существенно снижается. По данным наших полевых опытов, в результате трехмесячного непрерывного увлажнения от носительная просадочность грунтов в пределах четырехметрового слоя под дном опытного котлована снизилась на 99,4% . На этом по ложении основывается широко применяемый в практике строитель ства метод предварительного замачивания толщи лессовых грунтов дли ликвидации ее просадочности. 37 § 1.7. Расчет величины ожидаемой просадки. Типы грунтовых условий Расчет величины ожидаемой просадки как от действия собст венного веса грунта, так и от веса здания и сооружения принято производить по формуле П 5 = 2 г-1 (1.3) Д ля применения формулы (1.3) просадочная толща в соответ ствии с литологическим разрезом разбивается на отдельные слои hi. Зная для каждого слоя значения относительной просадочности грунта бпг при полном водонасыщении и действующем на этом слое давления а], по формуле (1.3) производят суммирование в пределах всей просадочной толщи, начиная с глубины, на которой бп= 0 ,0 1 (при расчете просадки от действия собственного веса грунта), или от подошвы фундамента (при расчете просадки от действия веса сооружения) до среднегодового уровня грунтовых вод или до кров ли слоя грунта с относительной просадочностью бп< 0 ,0 1 . Распреде ление уплотняющего давления по глубине в основаниях сооружений определяют соответствующими решениями теории линейно-деформируемой среды (теории упругости). Коэффициент условий работы т, корректирующий условность методики лабораторных испытаний грунтов на просадочность и учитывающий особенности просадки грунтов от нагрузки, согласно СНиП I I - 15— 74 принимается: для фундаментов шириной от 12 м и более т = 1; для ленточных фунда ментов шириной до 3 м и прямоугольных шириной до 5 м включи тельно по формуле. т = 0,5-}- 1,5 (/7 — стн), где р, он— соответственно среднее давление по подошве фундамен та и начальное просадочное давление, кгс/см2. Приведенная выше расчетная формула не всегда приводит к достоверным результатам. Основная причина этого заключается в том, что компрессионные испытания не способны моделировать про цесс просадки и поэтому, как правило, дают неправильное (часто за ниженное) представление о значениях дополнительных осадок со оружений, получаемых вследствие увлажнения их оснований. Поэ тому попытки уточнения этого несоответствия путем введения коэф фициента условий работы основания и дифференциации его значе ния в зависимости от размеров фундаментов и давления на грунт не приводят к достаточно удовлетворительным и теоретически обосно ванным результатам. Грунтовые условия строительных площадок в зависимости от возможности проявления просадки грунта под действием его соб ственного веса при замачивании подразделяют на два типа: I тип, для которых просадка от собственного веса грунта практически от38 сутствует ( < 5 см ); II тип, для которых возможна просадка от собственного веса грунта ( > 5 см ). Тип грунтовых условий можно определить двумя методами. Пернын, упрощенный, метод применяют для отдельных зданий и соору жений, проектируемых в пределах застроенных территорий. По это му методу ожидаемую величину просадки от собственного веса грун та определяют по формуле (1.3). Основным, наиболее достоверным, методом определения типа грунтовых условий является опытное замачивание в полевых условиях участков грунтов, которое произ водят в котловане с размерами сторон, равными толщине просадоч ного слоя, но не менее 2 0 X 2 0 м. Увлажнение грунта производят при постоянном слое воды (30—50 см) до полного промачивания всей толщи просадочных грунтов и стабилизации просадки (если в тече ние двух последних недель деформация не превышает 1 см в неде лю). По результатам наблюдения за перемещениями поверхност ных марок строится график изменения просадки толщи во времени, я стабилизированная величина деформации на этом графике опре деляет величину ожидаемой просадки. РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ РАСЧЕТ ОСНОВАНИИ ЗДАНИИ И СООРУЖ ЕНИИ НА ПРОСАДОЧНЫХ ГРУНТАХ Г Л А В А II ЗАКОНОМ ЕРНОСТИ Д ЕФ ОРМИРОВАНИЯ ЛЕССОВЫХ ГРУНТОВ ПРИ ПРОСАДКЕ § 11.1. О физической природе явления просадки Как показывают результаты проведенных многочисленных опы тов и натурных наблюдений, просадка лессовых грунтов в условиях природного напряженного состояния и дополнительные осадки зда ний и сооружений, построенных на таких грунтах, происходят в ре зультате доуплотнения этих грунтов при их увлажнении. Другими словами, просадочные деформации могут рассматриваться как процесс перехода лессовых грунтов из недоуплотненного состояния в состояние нормальной плотности под влиянием инфильтрационного движения влаги. Процесс этот носит динамический характер и имеет вполне определенные закономерности. В условиях природного напряженного состояния, так ж е как и под действием внешних нагрузок, основным фактором, вызывающим просадочные явления в лессовых грунтах, является инфильтрационная влага, поэтому исследование динамики просадочного процесса требует прежде всего выяснения закономерностей фильтрационного движения при неполном насыщении грунта. Существующие уравне ния инфильтрационного движения влаги в обычных непросадоч ных грунтах очень сложны, получение общего их решения сопряжено с большими математическими затруднениями, а резуль таты приближенных решений конкретных задач не всегда отвеча ют запросам инженерной практики. В лессовых же грунтах ввиду наличия просадочного процесса это явление значительно усложняется. Наряду с влиянием деформации среды на поле влажности имеет место и обратное воздействие поля влажности на поле смешения частиц деформируемого грунта. Про садка в увлажняемой толще грунта возникает при некоторых зна чениях влажности в определенных его точках. С течением времени, по мере насыщения грунта водой, просадка охватывает все боль шие области, вызывая соответственно увеличение деформации ув лажняемой толщи во времени. Наличие однозначной связи просадки с влажностью грунта, с одной стороны, и деформации грунта с его 40 влагопроводностью, с другой, создают непрерывную взаимосвязь просадки с влажностью в течение всего процесса деформации лес совых грунтов при их непрерывном увлажнении. Поскольку просад ка оказывает «тормозящий» эффект в этом процессе, то интенсив ность насыщения толщи грунта водой с течением времени падает, а это в свою очередь приводит к постепенной стабилизации процес са просадки. Оба процесса — фильтрация и просадка — определя ются неустановившимися, непрерывными полями влажности и де формации грунта. Задача, рассматривающая взаимное влияние ука занных двух неустановившихся полей, по существу и есть задача о просадке в лессовых грунтах. Для описания механизма взаимодействия фильтрации и просад ки все виды просадочных лессовых грунтов условно могут быть раз делены на два класса. К первому классу можно отнести лессовые грунты, структурная прочность которых, в основном определяемая неводостойким сцеплением-упрочнения, обусловлена быстро растворяемой в воде цемен тацией частиц различными химическими соединениями и водно-кол лоидными вяжущими веществами. В таких лессовых грунтах для нарушения естественной прочности структуры достаточно проник новения в толщу незначительного количества инфильтрационной влаги в объеме, необходимом для наличия в грунте связной и ка пиллярной воды. Этого объема влаги оказывается достаточно для существенного снижения прочности цементирующих пленок и обра зования полного разрушения структуры грунта под влиянием силы тяжести вышележащих слоев увлажненного грунта. Механизм влияния влаги на цементирующие пленки при этом мо жет объясниться как расклинивающим действием проникшей в микротрещцны цемента воды (по Б. В. Дерягину), так и растворяющим. Растворяющее ж е влияние влаги имеет, как правило, затяжной хирактер и проявляется после проникания влаги в микротрещины це ментирующих солей. Процесс этот может происходить даж е при постоянном количестве влаги в диффузной области пропорциональ но недостатку насыщения влаги солями данного состава и величине поверхности, на которой происходит реакция растворения. Вследст вие растворяющего влияния влаги деформация лессового грунта может происходить при постоянном уплотняющем давлении и коли честве влаги и поэтому может иметь реологическую природу. Оче видно, в этом случае интенсивность процесса просадки помимо ве личины уплотняющего давления и количества влаги будет зависеть также от степени дисперсности содержащихся в грунте водораство римых частиц и условий их контакта с практически нерастворимым скелетом грунта. Таким образом, в просадочных лессовых грунтах первого класса нарушение структурной прочности несколько опережает стадию нас туплении сплошного фильтрационного потока. При этом не следует отрицать возможную роль фильтрационного потока в образовании дополнительной деформации грунта. Двигаясь следом за фронтом нарушении структуры, фильтрационный поток может производить 41 добавочные разрушения каркаса структуры грунта, может быть, д а ж е больше по величине, так как он вносит новые порции воды и тем самым способствует коренному изменению агрегатного состояния ■замачиваемой толщи. Ко второму классу можно отнести лессовые грунты, структурная прочность которых определяется в основном цементационными свя зями, возникающими вследствие кристаллизации в грунтах тех или иных водостойких солей и вяжущих веществ, для растворения кото рых необходимо относительно большое количество влаги. В этом случае наличие связной и капиллярной влаги в грунте вносит неко торые изменения в структуру увлажненной толщи грунта, несколь ко расслабляя цементирующие элементы, а также водные и водно коллоидные оболочки, уменьшая общее сцепление грунта. Но этих изменений водно-коллоидных и цементационных связей оказывается еще недостаточно для существенного нарушения структурной проч ности грунта, ведущей к развитию просадочных явлений. Для су^ щественного изменения прочности грунта необходимы достаточная продолжительность процессов взаимодействия влаги со скелетом грунта и дополнительные порции влаги. Оба эти фактора наступают вместе с появлением сплошного фильтрационного потока. Таким образом, для лессовых грунтов второго класса процесс су щественного нарушения устойчивости толщи, сопровождающийся просадочными явлениями, несколько отстает от момента наступле ния сплошного фильтрационного потока. Динамика просадочного процесса, очевидно, для каждого класса лессовых грунтов будет иметь свои особенности и закономерности. Выясним эти особенности для грунтов первого класса. Предста вим себе, что в момент возникновения просадочных процессов проса чивание влаги из поверхности грунта приостановлено. Тогда в грун те останется столько влаги, сколько ее потребовалось для связного и капиллярного заполнения пор некоторого верхнего слоя грунта, ох ватывающего очаги образования просадки. Будет ли расширяться в таком случае деформированная зона грунта? Вероятно, за счет инер ции процесса просадки это расширение будет незначительным, так как не будет добавочного поступления влаги, и поэтому раз витие деформации во времени будет носить реологический ха рактер. Таким образом, развитие деформированной зоны грунта — зоны просадки — зависит от поступления дополнительного количества во ды из вышележащих слоев. Последнее, очевидно, возможно в том случае, если влажность в этих слоях будет избыточной. На самом деле влага, необходимая для связного и капиллярного заполнения пор вышележащих слоев грунта, в период прекращения увлажнения будет находиться в равновесном состоянии. Тогда движение воды из верхних слоев грунта к нижним возможно лишь при наличии гра диента потенциала влаги, другими словами, при наличии избыточ ной влаги. Но в избытке вода в грунте будет лишь в том случае, когда она будет перемещаться сверху вниз не под действием адсорб ционной, а под действием гравитационной силы. 42 С течением времени деформированная зона грунта, развиваясь,займет все большую область своего существования. В пределах об ласти просадки произойдут уплотнение грунта и суффозионные яв ления, приводящие к коренному изменению его структуры. Эти из менения все больше будут затруднять продвижение фильтрационно го потока, в результате чего с течением времени вглубь проникнет псе меньше влаги. Поэтому эти горизонты под влиянием медленно проникшей и поэтому в меньшем количестве воды будут испытывать относительно меньшее уплотнение, нежели вышележащие горизонты, увлажненного грунта. Боковые участки увлажненной зоны, до кото рых влага проникает лишь в небольшом количестве, практически не будут испытывать явления просадки. В серединных же участках, в. особенности в тех, где влага продолжительное время содержалась в количестве, обеспечивающем наибольшую интенсивность процес-. га просадки, уплотнение грунта с течением времени будет затухать. Процесс затухания деформации грунта будет происходить вслед ствие проникновения структурных элементов в имеющиеся м;ежду ними пустоты, приводящие к увеличению контактных площадей между частицами грунта по мере уменьшения размеров их пор. Ниж ние горизонты увлажненной толщи грунта будут испытывать дефор мации главным образом за счет уплотнения по вертикали, в верхних же, где напряжения от собственного веса грунта невелики, значи тельная доля общей деформации грунта будет подать на горизон тальные (боковые) уплотнения грунта. Очевидно, вплоть до момен та, когда просачивающаяся с поверхности влага достигнет уровня грунтовых вод, толща грунта, залегающая между этим уровнем и дном канала (котлована), не будет насыщена водой до состояния полной влагоемкости. Лишь после смыкания просачивающегося сверху фильтрационного потока влаги с зеркалом грунтовых вод начнется в направлении снизу вверх постепенное насыщение толщи грунта до полной влагоемкости. Бели мощность просадочного слоя грунта невелика, то после дос тижения фронтом связной и капиллярной влаги уровня грунтовых под произойдет постепенное насыщение небольшой толщи лессово го грунта водой, поэтому период образования сплошного фильтра ционного потока в этом случае будет значительно меньше, чем при глубоком залегании уровня грунтовых вод. И если нагрузка от полностью увлажненных вышележащих слоев грунта будет мень ше, чем необходимая нагрузка для возникновения структурных де ф о р м а ц и й грунта, образование процесса просадки от собствен н о го веса грунта в этом случае может быть полностью исклю че н о . Белн в рассматриваемом случае в качестве подстилающего слоя хорошо фильтрующийся непросадочный грунт, то толща грунта во всем периоде увлажнения может находиться в |ре\фа:ювом состоянии и ее просадочность может быть проявлена чини, при дополнительном напряженном состоянии, получаемом от цейс |в ц я поверхностных нагрузок. Таким образом, несмотря на незн п ч м Iел ь и у ю мощность просадочного слоя грунта, процесс просад ы л егаст л ессов ого 43 ки от действия внешней нагрузки может протекать при неполной на сыщенности грунта водой. Период наступления стабилизации про цесса просадки в зависимости от свойств просадочного и подстилаю щего грунтов, а такж е от условия замачивания (геометрических размеров источника увлажнения, величины слоя воды и т. д.) мо жет быть меньше или же больше периода образования в просадочном слое грунта сплошного фильтрационного потока. Влияние мощ ности просадочного слоя на характер просадочных процессов может быть проанализировано также с учетом типа лессовых грунтов по просадочности. Первый тип лессовых грунтов, для которых просадка грунта от собственного веса практически отсутствует, очевидно, будет иметь место при небольшой мощности просадочного слоя, поэтому изуче ние просадочного процесса в этом случае должно быть построено в основном на закономерностях сплошного фильтрационного потока. Однако при этом следует учесть следующее важное обстоятельство. Увлажнение оснований жилых зданий, а также промышленных со оружений без «мокрого» технологического процесса в период экс плуатации их является случайным фактором, имеющим влияние в течение непродолжительного периода времени, поэтому вряд ли в этих условиях в основаниях сооружений может образоваться сплош ной фильтрационный поток. Очевидно, в этом случае расчета осно ваний будет представлять интерес закономерность фильтрации свя занной влаги. Второй тип лессовых грунтов, для которых возможна просадка от собственного веса, очевидно, будет иметь место при значительных мощностях просадочного слоя грунта. Закономерности просадочно го процесса для лессовых грунтов второго типа, очевидно, должны быть построены на явлении неустановившейся фильтрации при не полной насыщенности грунта. Для этих грунтов существенное зна чение приобретает закономерность движения связанной (адсорби рованной по Н. А. Цытовичу) воды. На самом деле в процессе ув лажнения, как это наблюдается в практике, поры лессового грунта по глубине насыщаются неравномерно. Сначала его частицы обво лакиваются пленочной влагой, вытягивая ее из вышележащих слоев грунта. По мере притока воды из поверхности грунта толщина пле нок, покрывающих частицы, увеличивается. Вышележащие частицы грунта оказываются покрытыми более толстыми пленками, чем ни жележащие. Вследствие этого удерживающее действие адсорбцион ных сил у верхних частиц становится меньше, чем притягивающее действие нижних. В результате на поверхностях соприкосновения между частицами появляется разность потенциалов, обусловливаю щая передачу избыточной влаги верхними частицами нижним, т. е. наблюдается стремление к выравниванию влажности, которое более или менее быстро прекращается без постоянно действующего источ ника увлажнения. Очевидно, в начальный период формирования области смачивания продвижение влаги в вертикальном направле нии будет совершаться с относительно большей скоростью, чем в го ризонтальных направлениях. 44 В связи со значительной мощностью просадочной толщи лессо вого грунта и наличием безнапорного характера фильтрационного потока с течением времени разница в величинах градиента влаги в горизонтальном и вертикальном направлениях будет настолько зна чительной, что влияние гравитации не сможет ее компенсировать, поэтому в рассматриваемом случае будут иметь место значитель ные скорости распространения влаги в стороны от источника увлаж нения. Влияние влаги на глубине промачиваемой толщи, очевидно, будет зависеть также от геометрических размеров источника увлаж нения. Чем больше ширина котлована, тем глубже будет распрост раняться промачивание грунта, способствуя тем самым интенсивно му развитию процесса просадки. При сравнительно узких котлова нах относительно большая часть влаги будет расходоваться на бо ковое растекание и поэтому процесс просадки будет проявляться менее интенсивно. В естественных условиях влага в лессовых грунтах второго клас са находится в пленочном состоянии и ее величина, как правило, бывает значительно ниже максимальной молекулярной влагоемкости. Просадка в этих грунтах в условиях природного напряженного состояния обычно наступает при влажности, близкой к максималь ной молекулярной влагоемкости, и происходит в узком интервале из менения влажности (Н. Я. Денисов, 1946). В отличие от рассматриваемых выше условий при изучении проеадочных процессов в основаниях сооружений влажностный режим грунта должен рассматриваться в зависимости от напряженного состояния оснований. На самом ж е деле величина влажности, при которой возникает просадка («критическая влажность»), зависит от действующего в рассматриваемой точке основания напряжения. Чем больше величина сжимающего напряжения, тем меньше долж но быть количество влаги, необходимой для возникновения просад ки. Следовательно, в пределах активной зоны основания независи мо от мощности просадочного слоя грунта процесс просадки должен быть рассмотрен в зависимости от величин влажности, далеко не достигающих полной влагоемкости грунта. § 11.2. Закономерности динамики просадки в условиях природного напряженного состояния грунта Сложность и многообразие факторов, вызывающих и способст вующих развитию просадочных деформаций в лессовых грунтах, приводит к необходимости проведения экспериментов, выясняющих качественные закономерности процесса просадки в природных ус ловиях. Современные лабораторные эксперименты, даж е в надлежа щей постановке и методике их проведения, не способны раскрыть природу естественного процесса просадки в лессовых грунтах, так кик они соответствуют большей частью весьма упрощенным расчет ным моделям, выдвинутым классической механикой грунтов. Поэюму одним из наиболее эффективных видов экспериментальных ис следований процесса просадки в условиях природного напряженно45 Таблица II .I Физические характеристики грунтов опытной площадки Глубина от поверхности земли, см Характеристики Пластичность: верхний предел нижний предел число Естественная влажность, 0/ /0 Удельный вес, кН/м3 Объемный вес, кН/м3 Объемный вес скелета, кН/м3 Пористость, % Коэффициент пористости Сцепление, МПа Угол внутреннего трения 200 23,0 17 б 4,5 2 7 ,6 14,5 13,9 450 700 900 1200 1600 2000 2600 23,4 26,6 18,4 19,3 8,2 4,1 5,2 „ 5,8 22,7 17,6 5,1 8,9 25,8 19,6 6,2 12,4 30,6 20,3 8,3 14,2 29,8 22,4 7,4 16,3 28,4 23,1 5,3 18,7 27,5 15,0 14,3 27,4 14 8 13,6 27,5 15,2 13,5 27,4 16,0 14,0 27,5 15,8 13,6 27,6 27,6 15,6 14,7 17,1 14,3 48,0 49,6 49,2 46,0 46,8 47,4 50,0 48,6 0,94 0,98 0,98 0,85 0,88 0,90 0,95 1,0 0,082 0,115 0,086 0,125 0,136 0,098 0,107 0,118 23°15' 25°30' 24°18' 26°44' 27°12' 25°36' 24°42' 23°18' го состояния грунта являются опыты по длительному увлажнению толщи лессовых грунтов в полевых условиях. .. Ниже на основании проведенного автором натурного опыта при водятся закономерности динамики просадки грунтов в условиях при родного напряженного состояния. Опытный участок был выбран в. наиболее характерных просадочных грунтах Азербайджана — на южном склоне Боз-дага в правобережном головном участке ВерхнеКарабахского канала в районе Мингечаура. В районе опытного уча стка залегает покровная толща просадочных лессовидных суглин ков, мощность которых достигает 30— 35 м. В табл. II. 1 приведены средние значения основных физических характеристик грунтов опытной площадки. Компрессионные испы тания грунтов опытной площадки на просадочность проводились по методике «одной кривой». Результаты выполненных опытов при ведены в табл. 11.2. Д ля проведения полевых экспериментальных исследований был: вырыт котлован размером в плане 3 0 x 3 0 м. Глубина котлована бы ла установлена равной 1 м. Для наблюдения за динамикой проса дочных деформаций в период непрерывного увлажнения толщи грун та на его поверхности и на характерных глубинах были установле ны контрольные поверхностные и глубинные марки. Установка по верхностных марок для измерения абсолютной просадки замачи ваемой толщи и глубинных марок для изучения послойной деформа ции толщи, а также методика выполненных по ним периодических наблюдений осуществлялись в соответствии с рекомендацией Ин струкции по уплотнению просадочных грунтов предварительным за мачиванием (НИИоснований, М., Стройиздат, 1965). 46 Т а б л и ц а 11.2 Значения относительной просадочности грунтов опытной площадки Относительная просадочность грунтов при уплотняющем давлении , МПа Глубина от поверхности земли, см 200 450 700 900 1200 1600 2000 2600 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 ,0 1 7 5 0 ,0 0 2 5 0 ,0 0 4 0 0 ,0 0 3 0 0 ,0 0 4 5 0 ,0 0 3 5 0 ,0 0 2 0 0 ,0 0 1 5 0 ,0 4 6 0 0 ,0 1 7 0 0 ,0 1 1 5 0 ,0 1 1 0 0 ,0 0 7 5 0 ,0 0 6 5 0 ,0 0 5 5 0 ,0 0 4 0 0 ,0 9 3 0 0 ,0 4 1 5 0 ,0 3 0 0 0 ,0 2 5 5 0 ,0 1 6 5 0 ,0 1 4 5 0 ,0 1 2 0 0 ,0 0 9 5 0 ,1 1 5 0 0 ,0 5 7 0 0 ,0 4 9 5 0 ,0 3 9 0 0 ,0 2 5 5 0 ,0 2 1 5 0 ,0 2 0 0 0 ,0 1 4 5 0 ,1 2 8 0 0 ,0 6 8 0 0 ,0 6 5 0 0 ,0 5 0 5 0 ,0 3 4 0 0 ,0 2 5 5 0 ,0 2 4 0 0 ,0 1 7 5 0 ,1 3 6 5 0 ,0 7 5 0 0 ,0 7 7 5 0 ,0 6 0 0 0 ,0 4 0 0 0 ,0 3 0 0 0 ,0 2 8 5 0 ,0 2 1 5 На рис. II. 1 построены графики изменения абсолютной просадки п скорости просадки увлажненной толщи грунтов опытного участка. Р и с. II. 1. Графики изменения просадки и скорости п росад ки во времени Как видно из Трафиков этого рисунка, во всем периоде непре рывного увлажнения абсолютная просадка толщи монотонно воз растает и условная стабилизация ее достигается после трех месяцев, I с. к концу 96-х суток. Кривая изменения просадки толщи грунта по времени с достаточной степенью точности аппроксимируется фор мулой 5 ( 0 = 7 6 (1 — е-°*036047 Закономерность изменения скорости просадки (см/сут) с неко-| торым приближением описывается формулой ■г>п= 2,77е0’07' . Результаты обработки данных наблюдения по глубинным мар кам представлены на рис. II.2 в виде зависимостей изменения про садки отдельных слоев увлажненной толщи грунтов опытного участ ка во времени. Как видно из рис. II.2, наибольшая и ин тенсивная просадка в толще наблюдается на глубине 5 м от поверхности грунта. Наи меньшая же просадка отме чается на самой отдаленной от поверхности марке, т. е. на глубине 11 м от поверхно сти. Разность просадки по верхности грунта в месте расположения первой глу бинной марки и ее деформа ции на всем протяжении про цесса увлажнения отмеча лась равной нулю. Послед нее позволяет полагать, что в пределах верхнего слоя грунта мощностью 4 м про исходит параллельное сме 111 t,cym щение грунта вниз без де формации просадки. Просад Рис. II.2. График зависимости изменения ка грунта от действия собст просадки отдельных слоев увлажняемой тол венного веса, по-видимому, щи грунтов во времени (а) и схема распо ложения глубинных марок (б) начиналась между глубина ми 4 и 5 м. В среднем глубину, начиная с которой возникала просадка грунтов опытного участка, можно принять равной 450 см. По данным периодической нивелировки поверхностных марок на рис. II.3 построены деформации поверхности грунта по двум взаимно перпендикулярным створам, проходящим через центр кот лована. На этом рисунке для каждого периода нивелировки построе ны соответствующие кривые деформированной поверхности грун та. Как видно из рис. II.3, в начальный период увлажнения (до 16 сут) поверхность грунта опускается вниз сравнительно интен сивно и с течением времени, по мере наступления периода стабили зации, просадки в различных точках поверхности грунта посте пенно затухают. В пределах дна котлована в течение всего периода увлажнения отмечается относительно равномерная просадка. С удалением от кромки котлована просадка поверхности грунта постепенно зату48 49 Рис. II.3. Динамика просадки поперечных CmSop-Z сечений опытного котлована хает и примерно на расстоянии 46,5— 49,2 м от оси котлована не наблюдается. Полученные данные по просадкам поверхности грунта и величи нам горизонтального перемещения в зонах горизонтального уплот нения и разуплотнения были сопоставлены с расчетными рекоменда циями СНиП II-1 5 — 74, согласно которым изменение просадки поверхности грунта от собственного веса достаточно хорошо описы вается уравнением косинусоиды, имеющим вид о (М ;В ) , ' о(М.В.) где о 11р.гр. — максимальная просадка поверхности грунта от собст венного веса; г — расчетная длина криволинейного участка поверх ности грунта, определяемая по формуле r = H ( 0 ,5 - f mptgp), где Н — величина просадочной толщи; /пр — коэффициент, учиты вающий увеличение распространения воды в стороны вследствие различной фильтрационной способности отдельных слоев и просло ек, изменяющийся от 1 до 2; р — угол распространения увлажнения в стороны от увлажняемой площади, принимаемый для лессовидных супесей и лессов р = 3 5 °, а для лессовидных суглинков р = 5 0 ° . Принимая для рассматриваемых опытов р = 3 5 °, т р = 1,5 и Н —30 м, получим г = 3 0 ( 0 ,5 + 1,5 t g 3 5 ° )= 4 6 ,5 м. Последняя величина совпадает с данными опыта по первому ство ру и на 5,8 % меньше, чем расстояние, полученное по второму ство ру котлована. Уравнение изменения просадки поверхности грунта окончательно имеет вид На рис. II.3, согласно последней формуле, для обоих створов котлована построены кривые изменения просадки поверхности грун та, достаточно хорошо аппроксимирующие опытные данные (сплош ные линии). Произведем расчет ожидаемой величины абсолютной просад ки грунтов опытного участка по формуле (1.3). Просадочную толщу разбиваем на отдельные слои в соответст вии с литологическим разрезом. Коэффициент условий работы при подсчете просадки от собственного веса грунта принимаем равным единице. Для определения значения относительной просадочности при каждом действующем посередине рассматриваемых слоев дав лении по данным табл. II.2 строят графики зависимости бп=!(<т). Исходя из данных табл. II. 1, для каждого слоя рассчитываемой тол щи подсчитаны объемные веса грунтов при водонасыщенном состоя50 Т абли ца II.3 Значения расчетных величин для подсчета просадки толщи грунтов опытного участка Объемный вес Объемный вес Глубина от поверх грунта в естествен грунта в водона сыщенном СО СТО Я ном состоянии, ности земли, м Н И И , кН/см3 кН/см3 2 ,0 4 ,5 7 ,0 9 ,0 1 2 ,0 1 6 ,0 2 0 ,0 2 6 ,0 14,5 0 15,30 14,80 15,20 1 6,0 0 15,8 0 17,10 17,5 0 18,6 6 19,21 1 8 ,7 0 18,9 6 1 9 ,2 3 1 9 ,1 0 1 9 ,2 4 1 8,8 8 Уплотняющее давление а = ? нЛ, МПа Относительная просадка 5Ц 0 ,0 3 7 3 0 ,0 8 4 8 0 ,1 3 2 3 0 ,1 7 0 0 0 ,2 2 7 9 0,3 0 4 1 0 ,4 8 0 8 0 ,4 9 4 8 0 ,0 1 0 5 0,01330 ,0 1 9 2 0,0 2 0 1 0 ,0 2 4 2 0 ,0 2 1 3 0 ,0 2 3 4 0 ,0 2 2 пии и сведены в табл. II.3. Используя данные табл. II.3 для возмож ной величины просадки грунтов опытного участка, получим следую щее значение: г-8 ; 5 = ^ 8п ^ = 300(0,0105 + 0,0133)+200(0,0192 + 0,020)4<-1 + 400 (0,0242 + 0,0213 + 0,0234) + 800 •0,022 = 60,16 см. 11о результатам полевых опытов для условно-стабилизированной про. садки получено значение, равное 76 см. Таким образом, сравнение опытной величины просадки с расчетной показывает, что формула из СНиП II-1 5 — 74 дает на 20,8% заниженное значение просадки. На рис. II.4 построены закономерности изменения количества по данной в котлован воды Q0 по мере их впитывания, а также кривая изменения фильтрационного расхода воды из котлована (2ф в про цессе протекания просадки. Как видно из кривых рис. II.4, по исте чении 24 сут непрерывного увлажнения отмечается тенденция к ста билизации инфильтрационного расхода воды из котлована. Поэто му весь процесс инфильтрационного движения влаги в толще грунта и данном случае условно можно разделить на два периода: период интенсивного поглощения воды из котлована грунтом и период уме ренной фильтрации, в течение которого количество профильтровав шейся воды почти пропорционально уменьшается со временем. Закмиомерности первого периода фильтрации с достаточной точностью вписываются уравнениями: Q0= a ^ = 8 0 0 / 0-76 м; Q< ^ = a 0t~bi>— 725Т~0’53, м3/сут. Второй период инфильтрации приближенно описывается уравне ниями: Qo=Qo + c0 — /о)= 7 4 0 0 -(-1 8 ,7 5 {t 24), м, 0ф=<?ф— D(/ — *о) = 9 5 — 1,88(* — 24), м3/сут. 51 Количество воды, затраченное на увлажнение толщи грунтов опытного участка, определяется выражением t т Q = J a<jt-b°d t4- j [Оф — D 0(t — /0)]dt, где Т — период условной стабилизации просадки увлажняемой толщи (Т = 9 2 су т). После раскрытия интегралов для определения количества воды, необходимого для увлажнения толщи лессового грунта, получим формулу Q- ао ■t Y K 1 Л Рис. II.4. Закономерности изменения фильтрацион ного расхода и количества поданной в котлован воды Q0 во времени Согласно этой формуле для грунтов опытного участка будем «меть Q = 9 3 6 0 м3. Д ля 1 м2 котлована количество потребной воды определится значением q = Q : F —9360 : (30-30) = 10,4 м. В опытах ж е на 1 м2 площади котлована б ы л о подано 10 м3 воды, что свиде тельствует о достоверности приведенной расчетной формулы. § 11.3. Закономерности инфильтрации в процессе просадки Для установления закономерностей процессов просадки и ин фильтрации в течение ряда лет в характерных просадочных грун та х проводились специальные экспериментальные исследования (А. А. Мустафаев, 1954). Ниже приводятся результаты некоторых серий опытов из указан«ы х полевых экспериментальных исследований, определяющих за52 копомерности инфильтрации в процессе развития просадки при не прерывном увлажнении толщи лессовых грунтов. Указанные исследования проводились в двух отличающихся между собой характерных просадочных лессовых грунтах Азербай джана в зоне Верхне-Карабахского и Шихлннского каналов. Сред нее значение коэффициента фильтрации, определяемое по формуле U= ^kxk y по данным лабораторных опытов, колеблется в пределах для грунтов Мингечаура 0,5— 1,5 см/ч, для грунтов Шихлы — 2,0— 5,6 см/ч. Коэффициент влагопроизводности по данным полевых з а меров для грунтов Мингечаура равен 2,88 м2/сут, для грунтов Шихлы — 3,84 м2/сут. Грунтовые воды на обоих опытных участках зале гают на глубине 25— 30 м. Характеривтика грунтов опытных участ ков приведена в табл. II.4. Т а б лица 11.4 Характеристика грунтов опытных участков Значение показателей грунтов Наименование показателей Щичлы Мингечаур Г.стественная влажность, % Удельный вес, кН/м3 Объемный вес, кН/м3 Объемный вес скелета, кН/м3 Пористость, % Угол внутреннего трения, град ('.ила сцепления, МПа Границы пластичности: верхняя нижняя <) гиосительная просадочность 4 ,2 -8 ,1 2 7 ,4 -2 7 ,6 1 4 ,5 — 1 5 ,6 1 3 ,9 — 1 4 ,8 4 6 -5 0 3 1 —33 0 ,0 7 — 0 ,2 9 3 9 ,3 -1 7 ,2 2 7 ,1 — 2 7 ,3 1 3 ,2 — 13,6 1 1 ,6 -1 2 ,2 55— 5 7 ,2 2 2 6 ° 3 0 '— 3 1 °4 0 ' 0 ,0 4 —0 ,8 8 2 2 ,7 -2 6 ,3 1 7 ,1 — 1 9 ,2 0 ,1 0 8 —0 ,1 7 7 3 7 - 4 8 ,5 2 1 ,9 —2 8 ,6 0 ,1 1 1 — 0 ,1 7 7 Увлажнение толщи грунтов опытных участков производили из траншей трапецеидального поперечного сечения. Геометрические ха рактеристики траншей обоих опытных участков приведены в табл. 11.5. Форму русла опытных траншей выбирали не произвольно, а исходя из того соображения, чтобы иметь для нее готовое теорети ческое решение задачи свободной установившейся фильтрации. Т а ким характерным сечением траншей оказалось русло, описываемое уравнением L arccos Т - V х~ ( f )’ • <I U ) дли которого указанная фильтрационная задача решена Н. Н. П ав ловским (1936). Нииду трудности выполнения криволинейного очертания русла в по левых условиях оно заменялось «сопряженной» ему трапецеидаль ной формой по методике, предложенной Н. Н. Павловским, соглас53 Т абли ц а Il i t Основные характеристики опытных траншей Опытные участки Серия опытов № траншей 2Ь0, см А, см 2Ан, см т I 1 2 3 300 400 600 100 100 100 20 50 100 1 ,40 1 ,7 5 2 ,5 0 1 ,5 0 2 ,0 0 3 ,0 0 1500 1500 1500 и 1 2 3 4 5 180 270 збо 450 540 60 90 120 150 180 1 4,0 2 0 ,0 2 6 ,8 3 3 ,4 4 0 ,0 1,3 9 1 ,3 9 1 ,3 9 1 ,3 9 1 ,5 1 ,5 1 ,5 1 ,5 1 ,5 1500' 1500 . 1500 1500 1500 III 1 2 324 324 100 100 50 50 1 ,3 7 1 ,37 1 ,6 2 1 ,6 2 1500 1500 IV 1 420 100 120 1 ,5 2 ,1 2800 II 1 2 3 180 270 360 60 90 120 1 4,0 2 0 ,0 2 6 ,8 1 ,3 9 1 ,3 9 1 ,3 9 1 ,5 1 ,5 1 .5 1500 1500 1500 IV 1 420 100 120 1 ,5 2 ,1 2800 Мингечаур Шихлы Ро=Ао/А L , см но которой размеры трапецеидального сечения определяются соот ношениями (рис. II.5 ): т = 0 ,72700+ 0,298; 6н=О ,273& 0-0,298/ г. Площадь живого сечения русла и «сопряженного» ему трапе цеидального сечения определяется выражением Г 2(1 +Ро) я п 4 Обработка результатов приведенных опытов позволила выявить ряд закономерностей по инфильтрации, которые приводятся ниже. Первая серия опытов проводилась в Мингечауре в течение трех месяцев. Увлажнение было непрерывным, снижение высоты слоя воды в траншее допускалось в пределах 10— 15 см. Результаты этих опытов представлены на рис. II.6. Здесь на вертикальной оси отло жено количество водыфф, профильтровавшейся через 1 м2 смочен ной поверхности русла %0Ь, на горизонтальной — продолжитель ность замачивания t в сутки. Ш кала времени неравномерная: у/. Разрывы в графиках, соответствующие периоду 65— 80 сут, вы зва ны непродолжительными перерывами в замачивании. Расположе ние опытных точек устанавливает пропорциональность величины по54 тори на инфильтрацию корню квадратному от времени, т. е. с уве личением ширины сечения канала поверху удельная потеря на инфильтрацию падает. Таким образом, чем шире канал, тем меньше относительная потеря на инфильтрацию, что соответствует известно му в практике ирригации положению о том, что большие каналы теряют воду относительно меньше, чем малые. Вторая серия опытов. При постоянном значении параметров р0 исследовали траншеи с различными глу бинами. Поскольку согласно формуле (I I .2) при постоян ном значении ро площадь по перечного сечения траншеи Рис. II.5. Теоретический (■ зависит только от их глуби -) и ) профили русла практический (■ ны h, то эта серия опытов (по Н. Н. Павловскому) позволила выявить также влияние площади попереч ного сечения канала на величину фильтрационной потери из него. Вторую серию опытов проводили в Мингечауре и в Шихлах in течение трех месяцев. Увлажнение было непрерывное при посто янной глубине наполнения, равной глубине опытных траншей. Сни жение слоя воды в траншеях допускалось в пределах 10— 15 см. Рис. II.6. График зависимости количе<■т а профильтровавшейся воды от продолжительности замачивания для траншей с различными значениями ро Рис. II.7. График зависимости количества профильтровавшейся воды от продолжительности замачивания для траншей с различными глубинами наполнения (для грунтов Мингечаура) Результаты опытов в четырех траншеях, проведенных в грун тах Мингечаура, представлены на рис. II.7. Обозначения коорди натных осей прежние. Расположение опытных точек также под тверждает установленную в первой серии опытов пропорциональ ность потери на инфильтрацию корню квадратному от времени. 11а рис. II.8 показаны результаты опытов, проведенных в грунтах 55 Шихлы. Как видно из расположения опытных точек, установлен ная зависимость для инфильтрации и здась остается в силе, не смотря на существенные различия грунтовых условий обоих опыт ных участков. Из второй серии опытов можно сделать вывод, что в условиях свободной неустановившейся фильтрации объем воды, профиль тровавшейся через единицу смоченной поверхности лессового грун та, практически не зависит от высоты столба воды в канале *. Таким образом, проведен ные опыты показывают, что в лессовых грунтах в условиях глубокого залегания грунтовых вод свободная неустановившаяся фильтрация из каналов но сит инфильтрационный харак тер. При этом преобладает пленочное движение, которое, как всякое явление переноса, с Рис. 11.8. Зависимость количества достаточной степенью точности профильтровавшейся воды от продол может быть описано уравненижительности замачивания для тран ем параболического типа. шей с различными глубинами наполне ния (для грунтов Шихлы) Исходя из этого положения, для определения потери на инфильтрацию на единицу длины русла в процессе развития просадки рекомендуется следующая формула (А. А. Мустафаев, 1965): Р ф = 2 ,8 Хо^ 1’и (1 .6 ^ о + 0 ,7 8 ™ п)у 'б 7 Г Расход на инфильтрацию определяют по формуле Q {t) = 1 1(1 >6®о+0,78®.',,) У % ¥ . Обе формулы дают результаты, хорошо согласующиеся с дан ными, полученными в двух отличающихся между собой характер ных просадочных лессовых грунтах. § 11.4. Влияние геометрии источника увлажнения на динамику просадки Деформации увлажненной толщи лессовых грунтов в условиях природного напряженного состояния возникают лишь по истече нии времени, необходимого для проникновения влаги на опреде* Следует отметить, что вывод о независимости свободной фильтрации в лес совых грунтах от напора воды в канале получен также Н. Я. Денисовым, Г. И. Архангельским, В. Л . Дмитриевым, С. Н. Тромбачевым, В. И. Алексеевым, Н. А. Осташевым, Г. Н. Виноградовым, и др. Закономерности инфильтрацион ного движения в просадочных лессовых грунтах в полевых условиях исследова лись также Е . А. Замариным, П. И. Бутовым, Г. И. Туркиным. 56 \ j 1 i j 1 ; j ; 't лепную глубину, чтобы могли вступать в силу законы, ведущие к просадке. В процессе развития просадочных деформаций, как показыва ют результаты проведенных полевых опытов, существенную роль играют геометрические размеры источника увлажнения. Просадка как в пределах русла, так и во всей увлажняемой толще развива ется, как правило, симметрично относительно вертикальной оси симметрии поперечного сечения канала (котлована). Дно канала деформируется путем вертикального опускания, оставаясь горизон тальным во всем периоде увлажнения. Эпюра просадки по смо ченному периметру опытных траншей получается аналогичной эпюре приведенной скорости фильтрации, определяемой для опыт ных траншей по формуле Н. И. Павловского: / = г>(Л=1)=— 1 V где ■ — . (Н.З) У ~h 2(1 +ft>) Приведенная скорость, или скорость установившейся фильтра ции для исследованного Н. И. Павловским русла [см. (II. 1)], при коэффициенте фильтрации, равном единице, представляет также значение градиента фильтрационного потока, подчиняющегося за кону Дарси. Значение этого градиента на дне русла канала, со гласно формуле (II.3 ), находят из выражения I d = I ( y = h)-- 1- р В поверхностной точке русла канала значение градиента филь трации вычисляют по формуле 1а= 1 ( у = 0)= 1 V i + р2 На рис. II.9 по данным проведенных полевых опытов построен график изменения отношения градиентов фильтрации в донной п поверхностной точках (/а//я) в зависимости от ширины зеркала поды в траншеях первого опыта (при h — const). Для просадочных I pvnTOB Мингечаура эта зависимость аппроксимирована уравнением прямой вида /а//п= 5,23 - 0 , 5 7 7 V Отношение ж е стабилизированных просадок в рассматривав' мых точках русла траншей рассматриваемого опыта в среднем получилось равным 1,154. Составим соотношение: 1д /„ . s d 5,23 0,5 77 5П 1 ,1 5 4 , 1,1 5 4 57 Ь0, 1 h 4,532-0,5^0 ; [/п ’ откуда V A ( b Q+ h ) 2 + Я2Л2 1 или S„ 4 ,5 2 3 — 0 ,56q 2(6q + A) — яh На рис. I I .9 по данным второго опыта (при |3o=const) такж е построен график изменения отношения I a l h в зависимости от глу бины траншей для просадочных грунтов обоих опытных участков; Как видно из рис. I I .9, график последней зависимости может быть, аппроксимирован уравнением прямой вида /а//„=3,183 — 3,624 ~ 3,404. h / А, Jo /ln -ftW яри ft в —OODSH 2DO h, см Рис. II.9. График изменения отношения 7 $ //п в зависимости от полуширины з е р -1 кала воды и глубины канала Отношение ж е просадок в донной и поверхностной точках всех : траншей рассматриваемого опыта, согласно данным проведенных : полевых опытов, в среднем равно 1,111. Тогда I— . - ^ - = 0,326, S„ /„ или — = 0,326 — = 0,326 —>L4 (go+_A)2. + Jl2A2 , S„ 1„ 2 (* о + Л ) - я А Динамика просадочных процессов существенно зависит от гео-; метрических размеров источника увлажнений. Проведенная серия полевых опытов с различными значениями размеров поперечного сечения русла траншей позволила выявить влияние геометрии ис- •ючника увлажнения на закономерности изменения просадки тол щи во времени. Учитывая, что величина и интенсивность просадки определя ются в основном количеством профильтровавшейся из русла канала «лаги, в качестве параметра, характеризующего геометрию источ ника увлажнения, введен в рассмотрение смоченный периметр опыт ных траншей, определяемый из выражения Xo = b H+ 2 h V l + m2-- =0,273&о- 0,298/г+ 2hV 1,088 -f 0,53 f0+ 4,ЗО?0. На рис. 11.10 построены кривые изменения просадки дна тран шей второго опыта во време ни для каждого значения их смоченного периметра для грунтов обоих опытных уча стков. Как видно из пост роенных кривых, независимо от вида грунта и значения смоченного периметра русла траншей интенсивное раз витие просадки наблюдает ся в течение первого месяца непрерывного замачивания. В дальнейшем скорость про садки постепенно затухает п к четвертому месяцу увлажнения в обоих грунто вых условиях независимо от Рис. 11.10. Кривые изменения просадки дна значения смоченного пери траншей во времени при различных значе ниях их смоченного периметра для грунтов метра наступает период ус Мингечаура ( ---------- ) и Шихлы (--------- ): ловной стабилизации про о — Л -6 0 см; Хо=219 см; □ — Л -9 0 см, х - 3 2 8 см; Д — h —\20 см; Х о=438 см; fc - Л - 1 8 0 см, садочных деформаций. Хо=658 см Закономерность измене ния просадки во времени достаточно удовлетворитель но описывается уравнением 5 ( 0 = £ к( 1 - е - П (П .4 ) Параметр р характеризу ет изменение просадки во времени, и значение его оп ределяют по формуле р= 1 ’In. =— Т 1 -То 1— ■ где То — устанавливаемый из опыта по непрерывному увлажнению толщи лессово Рис. 11.11. График изменения просад ки для опытных траншей, в зависимо сти от значения их смоченного пери метра; О — грунты Мингечаура; лы 59 ф — грунты Ших го грунта произвольный период протекания процесса просадки, течение которого достигается определенная величина про. садки 5т„. Характерно, что чем больше смоченный периметр русла тран-| шей, тем больше величина и скорость развития просадку (рис. 11.11). ] § 11.5. Взаимосвязь просадки с инфильтрацией ] j Закономерности процесса просадки в условиях природного на-| пряженного состояния лессовых грунтов в определенной мере обус-j ловливаются развитие^ контура смачивания и иЗ-j менением дискретных зна< чений влажности грунту в различных точках обла-* сти увлажнения. Поэтому естественно ожидать, что закономерность изменений просадки во времени! должна быть связана ка^ с геометрией источника^ так и с режимом процесс^ инфильтрации. Проведен-! ные в полевых условиях экспериментальные иссле-i дования позволили вы 1 явить указанную взаимо^ связь для двух характер-^ ных видов просадочньЦ грунтов Азербайджана! (А. А. Мустафаев, 1961)* На рис. I I .12 по резуль Рис. 11.12. Кривые изменения просадки дна татам второго опыта опытных траншей и расхода воды на ин (табл. 11.5) построены фильтрацию во времени для грунтов Мин кривые изменения просад гечаура ( — ) и Шихлы (------------): О — h —йО см; О — /1=90 см; Д — / i= 1 2 0 см; ки дна опытных траншей □ — /1=180 см с постоянными парамет ром р0, а также расхода воды на инфильтрацию (фильтрационный расход) во времени. Как видно из кривых рис. I I . 12, характер развития просадоч-' ных деформаций во времени вполне соответствует характеру из менения фильтрационного расхода. Чем больше глубина, а сле довательно, согласно формуле ( 11.2), и площадь живого сечения траншеи, тем больше количество профильтровавшейся в грунт во- j ды и шире области смачивания. Поэтому с увеличением глубины i траншеи возрастают также величина и скорость просадки. , ; 60 Просадочные деформации наиболее слабо проявляются у мел ких траншей, и период стабилизации просадки наступает для них сравнительно быстро. В глубоких траншеях условная стабилиза ция просадки наступает на четвертом месяце непрерывного зам а чивания. Характерно также, что в глубоких траншеях период наи более интенсивной просадки меньше, чем в мелких, но сама ин тенсивность более значительна. Фильтрационный расход, так ж е как и просадка, существенно зависит от глубины опытных траншей. Для мелких траншей этот расход сравнительно незначителен и к середине третьего месяца непрерывного замачивания приобретает установившийся характ ер, а в глубоких — с течением времени быстро падает и к концу треть его месяца приближается к соответствующим расходам в мелких траншеях. Период интенсивных просадочных деформаций соответ ствует начальному периоду инфильтрационного движения. Умень шение скорости просадочных деформаций соответствует периоду стабилизации фильтрационного расхода. Во всех случаях интенсивное развитие просадочных деформа ций влечет за собой столь ж е интенсивное падение соответствую щих фильтрационных расходов. Последующее же затухание про садочных деформаций приводит к выравниванию величины филь трационного расхода. На рис. II. 13 по данным второго опыта построены графики за висимости фильтрационного расхода от величины просадки дна траншей. Как видно из этих графиков, для траншей обоих опытных участков наблюдается линейный характер зависимости фильтра ционного расхода от величины просадки. Семейство прямых рис. II. 13 определяется уравнением Q (0 = Q ( 0 ) -A S ( 0 , ( И .5 ) где Q ( 0 ) — начальное значение фильтрационного расхода до воз никновения процесса просадки, зависящее от свойств замачивае мого грунта и размеров траншей, м2/сут; Q (t) и S ( t ) — соответст венно величина фильтрационного расхода, м2/сут, и абсолютная просадка дна траншей, м, к произвольному моменту времени не прерывного замачивания; А — постоянный для данного вида про садочного грунта коэффициент, характеризующий скорость изме нения фильтрационных свойств увлажняемой толщи в зависимо сти от темпа развития в нем просадочных деформаций, м/сут. Чем больше величина этого коэффициента, тем меньше степень проса дочности толщи лессового грунта. Для просадочных грунтов Мин гечаура коэффициент А равен 1,3— 1,8 м/сут, а для грунтов Шихлы — 3— 3,5 м/сут. Для выявления зависимости фильтрационных свойств (коэффи циента фильтрации) от величины просадки на компрессионно фильтрационном приборе были исследованы образцы лессовых грунтов одного из строительных объектов г. Нахичевани (Аз. ССР) (А. А. Мустафаев, 1961). По результатам этих исследований на 61 рис. 11.14 построены графики зависимости коэффициента фильтра ции от абсолютной просадки для пяти характерных образцов лес совых грунтов с различными значениями относительной просадоч ности (при а = 0 , 3 М П а). Как видно из этих графиков, коэффици ент фильтрации существенно уменьшается с увеличением абсо лютной просадки лессового грунта. Характерно отметить, что, так же как и в натурных условиях, чем меньше относительная проса дочность лессового грунта, тем резче уменьшается его коэффициент фильтрации. л, м/сут Рис. 11.13. Графики зависимости фильтрационного расхода от вели чины просадки дна траншеи для грунтов Мингечаура ( ■ . ) и Шихлы (------------): О — h — 60 см ; Д — Л = 90 см ; A —h= — 120 см ; □ — Л = 1 5 0 см ; 0 — Л = 1 8 0 см Рис. 11.14. Графики зависимости коэффи циента фильтрации от абсолютной про садки для грунтов с различной относи тельной просадочностью: о — вп=зое-ю — 9 8 1 -1 0 " 4; ® - о п= 11 б-ю- 3 ; r j — в„~ □ — 0 а = 8 51 -10 = 4; Д — 8 П= 55 1- 10 ~ 4 Взаимосвязь просадки с влажностью исследовалась также Р . Ж . Баллй (1961), Л . Г. Балаевым (1960) и др. Исследования Л . Г. Балаева, проведенные на просадочных грунтах Вахшской оро сительной системы Таджикистана, позволили ему предложить сле дующую эмпирическую формулу для изменения относительной про садки в зависимости от влажности грунта: На рис. 11.15 представлены кривые зависимости просадки от влажности, построенные по данным Р. Ж . Балли и J1. Г. Балаева. Закономерности б = /(да), а также имеющиеся экспериментальные данные показывают, что наиболее достоверные результаты может дать нелинейная связь между относительной просадочностью и влажностью грунта, имеющая вид 8 (ЗД) = 8 и ( - 2 ^ - У в, \w„ — w0 J (Н.7> где io — экспериментально определяемая постоянная, зависящая! только от вида просадочности грунта. Методика определения зна чения постоянной г'о для каждого вида грунта может быть принята следующая. i 18 16 Ш 12 10 8 6 Ч 2 7 15 23 31 ЗЩ% Рис. 11.15. Кривые зависимости просадки от влажности по данным Р. Ж- Балли ( --------- ) и Л . Г. Балаева (------------) В компрессионных приборах по обычной методике проводятся испытания по определению относительной просадочности при неко торых характерных значениях влажности в интервале Wq<2 w <2 w u. Полученные из испытания данные наносятся на логарифмическую сетку: In 8 (да) — In Аппроксимируя положения опытных; ®п — точек наклонно расположенной прямой, значения параметра i0 оп ределяются тангенсом угла наклона этой прямой к горизонталь ной оси, а значения бп при этом устанавливаются отрезком а, от секаемым указанной прямой от вертикальной оси, и значением би =ехр (а ). 63 § 11.6. Влияние режима увлажнения на закономерности инфильтрации и просадки Для изучения влияния характера увлажнения на закономерно сти процесса инфильтрации и просадки на Мингечаурском опыт ном участке были нарезаны две траншеи одинаковой формы и гео метрических размеров. Основные характеристики траншей опыта I I I приведены в табл. II.5. Наполнение одной траншеи проводили непрерывно в течение всего периода увлажнения с сохранением вы соты слоя воды (80— 90 см) постоянной. Вторую ж е траншею на полняли водой периодически после того, как находящаяся в ней вода полностью просачивалась в грунт. Увлажнение обеих тран шей производили до наступления условной их просадки — около четырех месяцев. Результаты этих опытов представлены на рис. 11.16 в виде кривых зави симостей изменения филь трационного расхода и просадки дна опытных траншей во времени для каждого вида увлажне ния. Как видно из кривых зависимостей су щественное снижение ве личины фильтрационного расхода как при непре рывном, так и при перио дическом увлажнении про исходит в течение первого Рис. 11.16. Кривые зависимости изменения месяца. По истечении это фильтрационного расхода и просадки дна го периода величина поте опытных траншей во времени при непрерыв ном 1 и периодическом 2 замачивании ри воды на инфильтрацию постепенно выравнивает ся, а к сотым суткам отмечается тенденция к стабилизации этой величины. Характерно, что на протяжении всего опыта потеря воды на инфильтрацию при непрерывном увлажнении больше, чем при пе риодическом. Это обстоятельство свидетельствует о существенном влиянии смоченного периметра русла на величину потери воды на инфильтрацию. В соответствии с закономерностями изменения фильтрационного расхода происходит изменение просадки во вре мени. С начала ж е процесса просадка получается большей при не прерывном увлажнении, чем при периодическом. Однако с тече нием времени приращение величины во времени при непрерывном увлажнении происходит более интенсивно, чем при периодическом. В период ж е наступления условной стабилизации просадки абсо лютная деформация толщи как при непрерывном, так и при перио дическом увлажнении практически не совпадает. Таким образом, развитие просадки во времени при периодиче ском увлажнении носит затяжной характер, так как для этого рас ходуется меньшее количество воды, чем при непрерывном замачи64 иании. Количество воды, ушедшее « а увлажнение, определится площадью, ограниченной осью времени и соответствующей кривой изменения фильтрационного расхода. Поэтому конечная возмож ная просадка толщи лессовых грунтов при периодическом увлаж нении достигается расходом значительно меньшего количества во ды, чем при непрерывном. В течение первых 15— 20 сут. уменьшение фильтрационного расхода протекает чрезвычайно интенсивно, и в соответствии с этим изменением просадочное явление развивается интенсивно также и в этом периоде. Интенсивность процесса инфильтрации и просад ки, как видно из кривых рис. II. 16, в обоих видах увлажнения по истечении указанного периода времени постепенно падает и толь ко на третьем месяце увлажнения появляются признаки стабили зации обоих процессов. § 11.7. Критериальные соотношения для взаимосвязи процессов инфильтрации и просадки Как было показано выше, в условиях природного напряженного состояния динамика просадочных процессов определяется не толь ко свойствами лессовых грунтов, но и геометрией поперечного се чения канала (траншеи или котлована), продолжительностью ув лажнения, а также режимом инфильтрации. Зависимость между перечисленными факторами может быть представлена в виде SV) . f S(T ) J p 1 K’ i T Q (0 Q (T ) ( 11.8 ) Зависимость (II.8) была изучена по данным описанных выше полевых опытов. Для этой цели для каждого вида траншей были подсчитаны безразмерные отношения, входящие в зависимость (II.8 ). При обработке опытных данных представляло интерес вы явление характера изменения произведения безразмерных отно шений - s ^ ~ . Я Ш . в зависимости от отношения ЦТ (рис. I I I .17). S(T) Q (Т) ^ ’ Аналогичная зависимость была выявлена также для грунтов Шихлинского опытного участка. Как видно из рис. 11.17, независимо от форм, размеров и режима увлажнения траншей зависимость межS(t) Q (t) ду величинами — ■ -- - - - и ЦТ с достаточной степенью точноS (Т) Q (Т) сти может быть аппроксимирована прямой. Выявленная из опытов зависимость позволяет составить для динамики просадочных деформаций в лессовых грунтах следую щее критериальное уравнение: Т_ ' S(t) ' t S{T) — Q (T) (Н-9) v ’ Зависимость ( 11.9), установленная натурными опытами в ха рактерных грунтовых условиях при изменении почти всех факторов, определяющих динамику просадок, позволяет сделать вывод, что произведение трех безразмерных отношений для любого вида про3— 724 65 садочного лессового грунта должно оставаться постоянным. Урав нение (II.9) можно представить в виде S(t) ~ - 0(0 М — -------------------- = const. S(T) — У - Q (Г) Рис. 11.17. Функциональная зависимость (Н О 5 (0 0(70 5(7-) = / 1 —• I серия, траншея I; 2 — 1 серия, траншея 2; 3 — I серия, траншея 3; -#— 11 се рия, траншея 1; 5 — II серия, траншея 2; 6 — II серия, траншея 3; 7 — II серия, траншея 4; 8 — II серия, траншея 5; 9 — I I I серия, траншея 1; /t? — I I I серия, траншея 2; И — IV серия, траншея 1 Физическая интерпретация полученного уравнения такова: от ношение произведения средней скорости просадки и количества по данной на увлажнение воды в любой момент времени к произведе нию средней в течение всего процесса скорости просадки и коли чества суммарно поданной воды для данного вида лессового грунта есть постоянная величина. Очевидно, параметр М всегда больше единицы лишь в момент времени, когда достигается полная ста66 билизация просадки, т. е. при t — T М для всех видов лессового грунта достигает предельного значения, равного единице. В период течения процесса просадки, т. е. когда 0 < Д < Т , зна чение параметра М для грунтов Мингечаура равно 1,2, а для грун тов Шихлы — 2,1. Графическое изображение зависимости вида 5 (t)/S ( Г ) + Q (t)lQ {Т) = <?(ЦТ) (II. Ю) по данным полевых опытов представлено на рис. 11.18. Как видно из этого рисунка, функциональная зависимость (11.10) для всех - Sft) Q(tl S(T) + Q(Т) 1,950 1 ,6 2 5 1,300 0 ,9 7 5 0 ,6 5 0 0,32-5 0,1 0,2 0,3 0,9 0,5 0,6 0,7 S (t) Рис. 11.18. Функциональная зависимость —^ ^ 0,8 Q (0 + ~q 0,9 = 1,0 t/T (t f^ ("^T 1 — 1 серия, траншея 1; 2 — I серия, траншея 2; 3 — I серия, траншея 3; 4 — 11 се рия, траншея 1; 5 — II серия, траншея 2; 6 — И серия, траншея 5; 7 — II серия, траншея 3; 8 — II серия, траншея 4; 9 — I I I серия, траншея 1; 10 — I I I серия. траншея 2 проведенных осрсдненной нием: опытов может быть аппроксимирована некоторой параболической кривой, описываемой уравне 5 (t)!S (T) + Q (t)IQ (T) = 2 (t/T ? , (11.11) где п — постоянная, зависящая от свойства замачиваемой толщи лессового грунта, значение которой для периода 0 меняется и незначительных пределах. Д ля грунтов Мингечаура п = 0,597, для Шихлы « = 0 ,5 4 2 . г 67 § (1.8. Закономерности просадки в основаниях жестких фундамента Для установления характера деформирования лессовых грун тов при непрерывном их увлажнении в основании фундамента в лаборатории механики грунтов АзПИ было проведено эксперн ментальное исследование (С. К. Алиев, 1967). Монолит характер ного просадочного грунта размерами 6 0 x 6 0 x 1 0 0 см испытывала в зеркальном лотке путем приложения к его поверхности чере; жесткий штамп постоянной нагрузки, равной 0,3 МПа. Д ля измерения деформации в дискретных точках основания в узлах era квадратной сетки пробуривали горизонтальные отверстия, в кото рые вплотную вдавливались чувствительные к деформациям алю миниевые стержни (рис. 11.19). После стабилизации осадки основание штампа непрерывно ув лажняли в течение 36 сут. ) Измерением направления и величины смещения головки глу бинных марок в различных точках основания устанавливались за-; кономерности динамики просадки в процессе непрерывного увлаж -i нения основания. На рис. 11.20 представлены кривые изменения; просадки и скорости просадки штампа во времени. Как видно из,; этих кривых, просадка в основании жидкого штампа возникает; сразу же после увлажнения и интенсивно растет в начальный пе риод деформации. Условная стабилизация просадки основания была достигнута на 30-е сутки, в течение которых происходило постепенное погло щение грунтом основания воды. После этого периода процесс де-< формирования основания должен был проходить в результате пол-1 зучести грунта при постоянной его влажности. Период стабили^ зации просадки в опытах оказался в 2,14 раза больше, чем период стабилизации осадки основания до увлажнения. Стабилизирован ная величина просадки основания размером 122 мм оказалась в семь раз больше осадки неувлажненного основания. В отличие от природного напряжения состояния вначале де формированию подвергаются верхние зоны основания и с течени ем времени, по мере распространения влаги вниз, в работу вовле каются нижележащие слои увлажненного грунта. Просадке под вергаются при этом не только грунты, находящиеся непосредствен но под подошвой штампа, а также и прилежащие к ним зоны. Рис. 11.20. Кривые изменения просадки и скорости просад ки штампа во времени Примерно на расстоянии 0,6 а от края штампа просадки поверх ности основания практически исчезает. В течение первых пяти суток непрерывного увлажнения просадки марок первой горизон тали составляли в среднем 46, второй — 40, третьей — 36 и четвер то й — 30% от своих стабилизированных величин. Таким образом, под действием поверхностной нагрузки фронт просадки развивается сверху вниз в соответствии с закономер ностью увлажнения. При этом верхние слои грунта, где имеет мес то концентрация напряжений вследствие жесткости штампа, обла дают повышенной влажностью. Высокая влажность и повышенная напряженность создают необходимое условие для возникновения пластической деформации грунта, т. е. просадки. По мере насыще ния основания водой в соответствии с эпюрой влажности фронт просадки продвигается вниз, приближаясь к своей конечной грани це, установленной в опыте в размере 3 а. В полевых опытах В. И. Крутова (1962) при просадке лессовых оснований наблюдается также некоторая концентрация деформа ции сжатия в верхней части грунта по сравнению с расчетными 69 величинами и, как следствие этого, уменьшение величины сжимае мой толщи. На рис. 11.21 построены кривые просадки на каждом горизонте в различные периоды деформирования основания. В непосредст венной близости к подошве штампа горизонтальные перемещения грунта равны нулю, а вертикальные в точках с одинаковым заглубГор и зон т -1 5-2 У -2 4-2 12 Г о р и зо н т -2 Г~2 0 -2 1-2 2'-2 3 0 5 6 2~2 3 -2 4-2 S,MM Г о р и зо н т -З 5 -3 4-J З'-З___ У - 3 1 '-3 0 -3 1-3 2 -3 \ 'S.MM 1 0 -3 J-J \ М \ \ И 2 3 k \ 5 5 -3 \ 6 Г ор изон т -О 5 ’- 4 4-4 J-4 2-4 7-4 0~0 1- 4 5, ММ 2-4 J-4 1 2 3 0 5 4-4 5-4 6 Рис. 11.21. Кривые изменения просадки во времени в различных горизонтах: основания: 1 — f = 5 сут; 2 — 10 сут; 3 — * = 1 5 сут; 4 — t = 20 сут; 5 — £ = 2 5 сут; б — 2 = 3 0 сут лением равны, что объясняется влиянием сил трения по подошвеи жесткостью штампа. Смещение точек, расположенных на верти калях, проходящих через прилегающие к штампу зоны, меньше, чем в точках на осях, проходящих в пределах подошвы штампа,, что объясняется поддерживающим действием окружающего грунта. На рис. 11.21 приведены линии равных просадок в основании в различные периоды его непрерывного увлажнения. При просадке помимо вертикальных перемещений наблюдаются также горизон тальные перемещения грунта, причем сравнительно больше боко70 тые деформации грунта наблюдаются в углах загруженного штам па и составляют всего лишь 15% от величины просадок. Характер но, что если при осадке неувлажненного основания боковые перемещения грунта составляют 0,3—0,5 от вертикальных осадок, то при просадке соотношение между этими перемещениями полу чается 0,12— 0,15. На рис. 11.22 приведены линии равных горизон- =lOdjw ) 0/ ч / ■J.5 % Ч •2,0 V > (1 № \ 1J 5 ,5 5,0 -2 ,0 t=30cym ц \ N 45^ М •ч V Г ---N \ *1\\ч \ \% ) А I ’iic. 11.22. Линии равных горизонтальных перемещений грунта основания в раз личные периоды увлажнения тлльных перемещении грунта основания в различные периоды ув лажнения. Таким образом, как видно из приведенных данных, просадка н основаниях жестких фундаментов в начальный период проявля ет себя как быстро протекающий процесс деформирования и про исходит в основном в вертикальном направлении. В этом процессе развитие деформации во времени в основном сопровождается на сыщением грунта в основании водой. 71 Боковые перемещения грунта при просадке имеют незначитель ную величину, и поэтому рассмотренные просадки в основания} сооружений в виде одномерной деформации не должны вносить существенную погрешность в получаемые результаты. По-види мому, величину погрешности, вызываемой влиянием боковых пеперемещений, следует ставить в зависимость от степени просадоч-^ ности лессовых грунтов; чем больше степень просадочности, тем меньше должна быть и величина боковых перемещений грунта. Интересно отметить, что расхождения между фактическими и расчетными величинами просадки наблюдаются также в услови ях природного напряженного состояния грунта, так как просад ку принято рассматривать в пределах первой фазы деформации грунта в основании, т. е. как деформацию уплотнения, тогда как она по своей природе имеет явно пластический характер. Естест венно, что компрессионные приборы не способны моделировать; работу грунта в последней фазе деформации — в фазе прогресси рующего течения грунта. Таким образом, если просадка будет рас смотрена как пластическая деформация грунта, то степень по грешности, получаемой при компрессионных испытаниях, можно; связать со степенью просадочности изучаемых грунтов: чем боль-, ше степень просадочности грунта, тем большая погрешность: должна получиться в результате компрессионных испытаний. Как показывают результаты сравнения расчетов с натурными данными, компрессионные испытания, как правило, дают занижен ное представление о величинах просадки лессовых грунтов в осно ваниях сооружений. Объяснение этого несоответствия принято искать во влиянии бокового уплотнения грунта в основании. Изу чению поведения просадочных грунтов в основаниях сооружений] посвящены многочисленные исследования (А. Лотоцкий, А. А. Гри-; горьян, В. Н. Голубков, Н. Н. Фролов, В. 3 . Любимов, В. И. Кру-! тов, И. В. Финаев, И. Е. Раевский и др.). § 11.9. Реологическая особенность просадки Просадочная деформация в лессовых грунтах интерпретирова- I лась нами как следствие взаимодействия двух нестационарных про- | цессов — инфил-ьтрационного движения влаги и смещения струк турных элементов деформируемого при этом грунта. Динамика , просадочного процесса при такой постановке задачи однозначно-, определяется динамикой насыщения толщи грунта инфильтрационной влагой. Связь просадки со временем осуществляется через;; функцию влажности — просадка принимается зависящей от вл аж - ' ности грунта, а степень влажности — от продолжительности увлаж - : нения. Между тем, как показывают эксперименты и натурные на- ; блюдения, процесс просадки развивается во времени в более м е д -: ленном темпе, чем процесс инфильтрации, и не всегда начинается с момента поступления влаги в грунт. Стабилизация ж е этого про цесса, как правило, наступает по истечении достаточного времени после прекращения увлажнения толщи грунта. Происходит как 72 бы запаздывание внутриобъемных процессов в агрегатах грунто вых частиц относительно быстрого продвижения фронта увлажне ния. Таким образом, механизм возникновения структурных деформа ций в просадочных лессовых грунтах при их увлажнении обуслов ливается чрезвычайно многообразными факторами, связанными не только с взаимодействием влаги с межчастичными связями, но и с внутрикристаллическими изменениями минеральных частиц этих грунтов в условиях определенного напряженного состояния. След ствием этих сложных физико-химических, механических и других процессов является возникновение и развитие в этих грунтах рео- Рис, 11.23. Кривые ползучести лессовых грунтов при просадке при постоянной влажности логических процессов — нарастания пластических деформаций во времени при постоянной влажности и нагрузке (явление ползуче сти). Для проверки правомерности этой предпосылки были прове дены эксперименты, позволившие получить семейства кривых про садки при постоянных напряжениях, кривых изменения напряже ний при постоянных значениях деформаций просадки (релакса ции), а также графиков зависимости напряжений от деформации для определенных значений времени. Все указанные графики были пост роены при различных, постоянных в течение всего опыта вл аж ностях (от естественной до водонасыщенного состояния) и уплот няющих давлениях. Наблюдения за изменением деформации про садочных грунтов в компрессионных приборах вели в течение 100 сут и по их результатам строили графики изменения относи тельной деформации во времени для каждой серии опытов. На рис. 11.23 представлены экспериментальные кривые ползу чести лессовых грунтов при просадке при постоянной влажности w — 25% . В правой части рисунка приведены кривые изменения от носительной просадки во времени при различной уплотняющей на грузке, в левой — кривые зависимости относительных деформаций 73 от напряжения, соответствующие разным периодам ползучести.*! Как видно из рис. 11.23, особенностью кривых ползучести является ; наличие в них двух участков. Первый соответствует деформациям с уменьшающейся скоростью и, по аналогии с классической теори ей ползучести, может быть назван неустановившейся стадией про садки. Деформация просадки в течение первой стадии обусловли вается структурно необратимыми явлениями, вызванными взаи модействием влаги с внутренними связями, и имеет только пластическую природу. Вторая стадия характеризуется медленнозатухающим пластично-вязким течением, вызываемым физико-хи мическими процессами внутри кристаллического пространства минеральных частиц грунта. Скорость течения процесса на этой стадии, несмотря на наличие тенденции приближения к нулю, пос ле определенного периода времени может быть принята практи чески постоянной ввиду небольшого изменения по сравнению с про должительностью процесса. Продолжительность первой стадии по сравнению со второй незначительная. Удельная роль каждой стадии деформирования, так же как и в классической теории пол зучести, зависит от нагрузки, влажности, вида и свойств просадоч ного грунта. Полученные из эксперимента кривые просадки в широком диа пазоне времени при всех исследованных значениях влажности ока зались взаимоподобными. Поэтому все кривые семейства 6П= ) :( 0 могут, быть получены из одних кривых этих же семейств умножени ем их ординат на некоторую величину, являющуюся функцией уп лотняющей нагрузки. Таким образом, явления просадки, связанные с физико-химиче скими процессами, вызывающими развитие деформации во време ни при постоянном напряжении и влажности грунта, могут быть классифицированы как реологические неравновесные процессы. Подобная трактовка механики просадки позволяет предпринять попытки описать напряженно-деформированное состояние увлаж няемых лессовых грунтов закономерностями теории наследствен ных сред и реологией. Использование теории наследственных сред и реологии, учиты вающих в явной форме временную сторону изменения напряжений и деформаций, вызывает определенное затруднение при построении так называемой функции наследственности. Индивидуальные свой ства просадочных грунтов при этом оказывают сильное влияниене только на входящие в функцию наследственности постоянные,, но и на вид самой функции. Решение задачи на основе этой тео рии возможно, по-видимому, следующими путями. Во-первых, мож но пытаться раскрыть вид функции наследственности, исходя из микромеханики деформации, успешно использованной С. С. Вяло вым (1970) при создании физической теории деформирования гли нистых грунтов во времени. Вторым возможным путем построения функции наследственности просадочных грунтов может быть про ведение экспериментальных наблюдений над характером дефор мирования этой среды в различных условиях их напряженного со 74 стояния и влажностного режима. Наконец, для установления зависимости между просадкой, напряжением и временем на осно ве соответствующих экспериментов можно высказать предположе ние о характере функциональной зависимости между основными переменными, определяющими ход протекания процесса. Этот по следний путь открывает большие возможности в применении суще ствующей технической теории ползучести для описания неравно весных процессов деформи рования в увлажняемых лес совых грунтах в основаниях зданий и сооружений. Наиболее удобной для ис следуемого процесса оказа лась общая трактовка тео рии старения, предложенная Ю. Н. Работновым (1948). согласно которой можно принять, что между дефор мацией, напряжением и вре менем для просадочного грунта при их постоянной влажности существует по стоянная зависимость Ф (6п, о, 0 —0. В соответствии с этой тео Выпрямленные кривые рис. 11.23 рией зависимость просадки Рис.на11.24. логарифмической сетке координат от напряжения и времени можно представить в виде произведения двух функций, из которых одна <р( о ) — функция только напряжения, а другая ф(^) — только времени: М°> *!) = 'Р ( аЖ г‘)- {\\Л2) Закон неравновесного во времени процесса деформирования ап проксимируется степенной зависимостью вида S„(c3 = const) = a tm, где а — относительная просадка в момент времени ^= 1 сут; т — параметр нелинейной деформируемости грунта при просадке. Зависимость такого вида широко применяется для различных грунтов (С. С. Вялов, М. Н. Гольдштейн и др.) и хорошо подтвер ж дается опытами. На рис. 11.24 представлены выпрямленные на логарифмической сетке координат кривые рис. 11.23, что подтверждает справедли вость принятого степенного закона деформирования. Параллельность полученных на логарифмической сетке коорди нат прямых свидетельствует о взаимоподобности кривых зависи мости 6П— t, что позволяет представить зависимость (11.12) в виде 8п= а ( о ) Р . 75 Зависимость между напряжением и деформациями при просад ке, как видно из рис. 11.23, в каждом периоде деформирования представляется криволинейной; с увеличением уплотняющего на пряжения относительная деформация монотонно возрастает. Для функции ф (сг) в широком диапазоне изменения напряжений хоро шее согласование с результатами эксперимента дают следующие аналитические представления: ср(о) = ( 1 — а » ? ; а > 0н, где ан — «порог просадки» (начальное давление), т. е. уплотняю щее напряжение, ниже которого для данного вида и состояния лес сового грунта исключается дефорб,мла мация просадки. . г 0.60 г Ес а = з г' — — т— т— — — I На рис. 11.25 представлены кривые изменения напряжений V 0,50 n -^ -J при некоторых постоянных значе ОАО ниях относительной просадки. Из " и - !0 ~J О,SO рисунка видно, что при просадке ■1 2 - 1 О ' 3 происходит явление релаксации, 0,20 ! т. е. расслабление во времени на 0,10 пряжений, необходимых для под 1 оо = 2 5 % i держания некоторой постоянной О 4 8 00 50 08 52 56 t.cym деформации просадки, причем Рис. 11.25. Кривые изменения напрясущественное снижение напряже жений при некоторых постоянных зна ния происходит в первой неустачениях относительной просадки новившейся стадии просадки. Закономерности изменения уп лотняющего напряжения при просадке достаточно удовлетворитель но описываются функцией ° ( ' ') = ак+ (°о — где (70 и Ок — уплотняющее напряжение соответственно в начале возникновения («мгновенная прочность») и стабилизации просад ки при ползучести («длительная прочность»); т) — параметр, ха рактеризующий скорость релаксации напряжений, для каждого вида просадочного грунта может быть вычислен по формуле 1 11= — 1пТ * (Г )-о к где Т — произвольный период релаксации реологического про цесса, отсчитываемой от начала возникновения просадки; о ( Т ) — соответствующее этому периоду уплотняющее напряжение. На рис. 11.26 представлены кривые изменения относительной просадки во времени (ползучести) при постоянном значении уп лотняющего давления ( о = 0 ,3 М Па) и различных значениях влажности грунта. В левой части этого рисунка построены кривые изменения относительной просадки в зависимости от влажности грунта в трех характерных периодах (в начале, середине и в кон це) процесса просадки. Как видно из кривых рис. 11.26, с увели 76 чением влажности грунта возрастают величина и скорость разви тия деформации грунта; та же самая деформация достигается при том же нагружении за меньшее время. Таким образом, лессовые грунты при просадке в зависимости от их состава и состояния могут деформироваться в течение дли тельного периода времени пластически, без нарушения сплошности строения. Очевидно, в основаниях сооружений длительное пласти ческое деформирование грунта недопустимо, так как последнее мо жет привести к потере общей устойчивости сооружений. Посколь ку пластическое деформирование грунта является следствием раз вития стадии установившейся ползучести, то во всех случаях проч- и различных значениях влажности грунта ность просадочных грунтов может быть характеризована перехо дом деформирования в эту стадию. Влияние влажности грунта на процесс просадки может быть объяснено так же, как и влияние температуры на ползучесть сплошных тел (Ю. Н. Работнов, 1966). Предполагается, что пластическая деформация связана с движе нием некоторых структурных элементов грунта, вызванных вл аж ностными флуктуациями. Каждый из этих элементов в данный мо мент времени имеет энергию, причем распределение энергии меж ду отдельными элементами подчиняется закону Максвелла. Влияние влажности на возникновение в просадочных грунтах длительных процессов деформирования может быть объяснено так же исходя из механизма взаимодействия влаги с кристаллической решеткой минеральных частиц. Составляющие просадочные грун ты минеральные агрегаты могут обладать подвижной кристалли ческой решеткой, способной при соответствующих условиях втя гивать внутрь кристаллов молекулы воды и подвергаться пласти ческому деформированию. Процесс распада минеральных частиц грунта и их агрегатов может происходить в силовых полях, развивающихся между з а ряженными грунтовыми частицами, окружающей их влагой и погло77 о. тка S Я Он о, < L>о 3 о со Я X <L) Он <У В эЯ и 2 55е ^ о вад а 6Е *© s< ^Qо, s C о J: =sХ н« ;; о £ * I! с:в к» > & с5 'а 2д в х =ад н ад о ад ад о с>>£5 Н аад д 5 ° х а, Я 3 UZ я ад ^ £ ад я о сз О ад С ита с Вч ая ад о ч кч 78 щенными ионами вследствие адсорбции молекул воды молеку лами внешней и внутренней поверхности коллоидных частиц. Все это оказывает существенное влияние на свойства грунта; влага, являясь понизителем твердости грунта, оказывает пласти фицирующее влияние и тем самым способствует развитию реоло гического процесса. На рис. 11.27 представлены кривые зависимости относительной просадки от уплотняющих напряжений для различных влажно стей грунта, подтверждающие наличие криволинейного закона де формирования грунта при просадке. На рис. 11.28 показаны выпря мленные кривые рис. 11.27 на логарифмической сетке коорди нат, что подтверждает справедли вость следующего степенного з а кона деформирования грунта при просадке: = (11.13) Параллельность полученных на логарифмической сетке коор динат прямых показывает подобность кривых рис. 11.27, что и позволяет представить зависи мость (11.13) в виде 5 10 15 20 25 50 5 5 <Д% Рис. 11.29. Кривая изменения «по рога просадки» в зависимости от влажности грунта 8П= А (т )з^ . Из семейства кривых рис. II.27 может быть установлена вели чина «порога просадки» для данного вида просадочного грунта при различных значениях его влажности. В самом деле, если к про садке отнести относительную деформацию грунта, равную 1%, то, проведя через это значение деформации горизонтальную линию, можно определить точки пересечения этой прямой с кривыми за висимости 6П— ст. Абсциссы полученных таким образом точек опре делят значения «порога просадки» при каждой влажности грунта. На рис. 11.29 представлена кривая изменения «порога просад ки» в зависимости от влажности грунта, построенная указанным способом, исходя из кривых рис. 11.27. Из рис. 11.29 видно, что с увеличением влажности грунта значение «порога просадки» мо нотонно уменьшается, что и согласовывается с принятым представ лением о взаимосвязи начального давления с начальной вл аж ностью просадки (А. А. Мустафаев, С. К. Алиев, 1967). ГЛ А В А II! ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПРОСАДКИ § 111.1. Зависимость между относительной просадкой и уплотняющим напряжением Деформативные свойства просадочных грунтов в наиболее об щем виде могут характеризоваться зависимостью между интенсив ностью напряжения «/= —~=Г |/(а1— °2)*-Н в2 — °з)2+ (°3— al)2 У 2 и интенсивностью деформации — просадки 8n‘ ~ 2 (Г + V )' ^ 8п1~ 8п2)2~ К 8п2 ~ 8пз)2~К8пЗ ~ 8п1)2’ т. е. *п/ = <Р (а/)- Как показывают многочисленные лабораторные и натурные экс периментальные исследования, напряженно-деформируемое состоя ние увлажняемых лессовых грунтов достаточно удовлетворительно описывается закономерностями нелинейно-деформируемой среды. Наиболее достоверным может оказаться степенной закон дефор мирования вида 5п1= № (Ш.1) В частном случае, когда просадка может быть представлена как одномерная деформация, имеем: a 2= a s = 0 ; cri=<Ti = a; бпг=бпз= = \’6П; 6дг= бп1 = бпЗакон деформирования ( I I I .1) при этом примет вид 8n= P9», (III.2) где р и т — определяемые по данным компрессионных испытаний параметры, характеризующие деформируемость лессовых грунтов при их увлажнении в широком диапазоне изменения уплотняю щей нагрузки. Параметр |3 соответствует обратной величине мо дуля общей деформации грунта, а т — отвлеченное число. 80 Действительно, если имеет место основная предпосылка нели нейной теории упругости (теории пластичности при простом нагру жении), заключающейся в том, что зависимость между интенсив ностью деформации и интенсивностью напряжения^ при сложном напряженном состоянии может быть принята такой же, как и з а висимость деформации от напряжения при простом одномерном загружении тела, то исследование напряженно-деформированного состояния просадочных грунтов может быть зна чительно упрощено. 0,16 Так, например, если в условиях одометра между D,lk относительной просадкой и уплотняющим напряже 0,12 /УУ J нием установлена степен ная зависимость вида 0,10 ( I I I .2 ), то эта ж е зависи УУ////Ж / у мость останется в силе и 0,08 ■ в случае трехмерного на пряженного состояния. 0,0 В Ш /уУ Таким образом, незави УУУ/У У'.КУЖ ОМ симость принятого закона деформирования ( I I I .1) 0,02 от вида напряженного со стояния позволяет любой . _ .1. О 010 вид объемного напряжен 0.20 0,80 б, мпа ного состояния как в об ласти нелинейно-упругих, Рис. I I I .I. Кривые зависимости относитель ной просадочности лессовых грунтов так и в области неупругих от уплотняющего напряжения для районов: деформаций свести к про -----------------К а з а х ; ------------------ Сумгаит; — . — . — — Ширван стейшим видам нагруже ния, построив кривую з а висимости ( I I I .1) по результатам опытов на одноосное сжатие об* разца просадочного грунта с беспрепятственным боковым расши* рением. На рис. III. 1 представлены результаты компрессионного испы тания методом «двух кривых» характерных просадочных грунтов трех районов Азербайджана (Сумгаит, Казах и Ширван). Нели нейная с начала нагружения зависимость бB— f ( a ) (рис. I I I .1) в виде монотонно возрастающей кривой может быть с достаточ ной точностью аппроксимирована степенной функцией ( I I I .2 ). З а висимость (III.2 ) является более обобщенной, так как из нее как частный случай при р = l/£'o=const и т = 1 вытекает широко при меняемая в настоящее время в механике грунтов линейная зависи мость между общими деформациями и напряжениями для обычных непросадочных грунтов: - /у У Ш /Л .w y/\/ у л -< -\ V* -Ж Ъа = Ъп0= \ 1 Е 0 с:. 81 1 1 Сравнение последней зависимости с (Ш .2) приводит к формуле ш --1 которая также применяется в задачах механики грунтов, когда приходится учитывать зависимость модуля общей деформации от напряженного состояния грунта. Для определения параметров р и т наносят точки, соответст вующие измеренным в компрессионных испытаниях значениям 6» при заданных значениях о, в логарифмических координатах и про водят через них прямую. Тангенс угла наклона этой прямой опре деляет значения параметра т, а отрезок, отсекаемый от оси,— зна чение In бп— р. Д ля ориентировочных расчетов параметры дефор мируемости просадочных грунтов могут быть вычислены по ре зультатам компрессионных испытаний с помощью следующих фор мул : ^= ехр m-- 1п<п 1п 81ю2— In с2 In 8 ш1 In oj — In 02 In 5rul In In 8'пз2 — In 02 где (7Ь 02 — уплотняющие нагрузки; бшл, бпог — соответствующая этим нагрузкам относительная просадочность грунта. Проведенные в компрессион 777 р ном приборе опыты показывают, 2 ,0 0,07 что значения параметров деформи руемости р и т зависят от степе °1 /° 1,8 Щ То ни просадочности лессовых грун 7 Q P=fi ( ^ тов: чем больше степень проса 1,6 -0,05 дочности грунта, тем больше и / ° □ с\/ значение этих параметров. Если 1Л Щ о условно за характеристику степе Q 1,2 -0,03 ни просадочности грунта принять относительную просадку при 'm=f 0 п) ЬО -0,02 ' 1 уплотняющем давлении, равном 0,3 МПа, то зависимость значе 0,8 -0,01 ний р и т от 6Пизобразится в виде | •1 —1 | кривых, построенных на рис. III.2 . 0,0k 0,06 0,08 0,10 0,12 0,Ш Зависимость (III.2) может грубо искажать эксперименталь Рис. III.2. Кривые зависимости па но полученную диаграмму при раметров деформируемости лессо малых деформациях. Как следует вых грунтов от относительной их просадочности из соотношения (III.2 ), при 0 < т < 1 производная от дефор мации по напряжениям в начале координат равна бесконечности, в то время как в действительности она численно равна обратному значению модуля упругих деформаций грунта. Однако для описа ния просадочных деформаций, возникающих только при определен 82 ных значениях уплотняющей нагрузки, указанная особенность за висимости ( I I I .2) не должна вызывать принципиальных ослож нений. § 111.2. Функция влажности при одномерном увлажнении толщи лессовых грунтов Как было отмечено выше, просадка в условиях природного на пряженного состояния возникает в результате увлажнения опреде ленного верхнего слоя грунта, под действием которого начиная с некоторой глубины развиваются пластические деформации грунта, т. е. просадка. В этой связи в период от начала замачивания до возникновения просадки закономерность распространения влаги бу дет характеризоваться отсутствием деформации увлажняемой тол щи. Поэтому распространение влаги в грунте в течение указанного начального для просадочного процесса периода определится зако номерностями обычного инфильтрационного движения воды в недеформируемой пористой среде. Процесс же протекания просадки и ее стабилизация, очевидно, будут определяться неустановившимся фильтрационным режимом с учетом изменяющейся во времени де формацией увлажняемой среды. Однако здесь такж е можно исхо дить из следующего упрощающего задачу предположения. Просадочная деформация в условиях природного напряженного состоя ния, как правило, возникает при значительных мощностях лессовых грунтов. В этих условиях, как показывают многочисленные полевые опыты и наблюдения, фильтрация как в процессе просадки, так и после его стабилизации происходит при неполной насыщенности грунта. Поэтому влиянием просадки увлажняемой толщи грунта на фильтрационный режим с некоторым допущением можно пренебречь и в основе решения задачи принять представление о нестационарном фильтрационном режиме увлажнения в недеформируемой однород ной и изотропной пористой средой. Учет влияния просадки на фильтрационный режим в принципе возможен, однако это может привести к необходимости проведения большой вычислительной работы и, кроме того, получаемые при этом решения не будут обладать достаточной общностью. С другой стороны, проведенные до настоящего времени исследования процес са просадки позволяют считать, что расчеты на основе предположе ния о неизменности параметров,деформируемости увлажняемой сре ды дают достаточно удовлетворительное сходство с результатами натурных наблюдений. Анализируя имеющиеся в литературе экспериментальные данные о характере распределения влажности при инфильтрации, а также теоретические закономерности для процесса увлажнения толщи лес совых грунтов, распределение влажности при одномерном движе нии с достаточной точностью можно аппроксимировать функцией вида ®0У. ^) = ® о+ ( ® п— ® o) cos 83 АУо кч [г/о(0 = 2 .3 7 /б^], (Ш.4) где г/о{i) — фронт смачивания; 0 — коэффициент влагопровод-. ности грунта, значения которого для каждого вида увлажняемого; грунта устанавливаются на основании полевых замеров по методу; инфильтрации из шурфов по формуле (А. А. Мустафаев, 1967)' Qt — Q i —i ) = 0,18 n F t ft i V h -i) где F — площадь впитывания; Qit Q{_ !— количество профильтро-« вавшейся воды в момент времени h, ii-i соответственно. ! Функция (III.4 ) обеспечивает выпол нение следующих граничных условий: на| поверхности замачиваемого грунта вл аж -s ность равна полной влагоемкости, т. е.j до (0, 0 = д о п, а на фронте смачивания — ■естественной влажности, т. е. до( у0, 0 =*| = Доо. Для наглядности на рис. III.3 по! формуле (III.4 ) построен профиль смачип] вания при следующих значениях парамет-1 ров: до0= 0,20; Дон= 0,40; 0 = 2,4 м2/сут. ■ § 111.3. Начальное давление просадки Исследованиями многих специалистов] (Ю. М. Абелев, В. И. Крутов. А. А. М уста-j фаев и др.) установлено, что просадочная] деформация в увлажняемых лессовых! грунтах возникает лишь при определен-*] ном значении действующего уплотняющей го давления. Величину этого давления) принято называть «начальным давлени-1 ем». Значение начального давления для! данного вида и состояния просадочного! грунта является постоянным и служит расчетной характеристикой для прог Рис. III.3. Профили влажности, построенные нозирования ожидаемой деформации) по формуле (III.4) увлажняемых оснований. * Для различных районов СССР вел и -; чина начального давления изменяется в пределах от 0,02 до S 0,2 МПа. Д ля лессовых грунтов второго типа по просадочности ве- 5 личина начального давления значительно меньше, чем для грунтов) первого типа. Так, например, для отдельных районов Средней J Азии и Закавказья значения начального давления снижаются до 0,02— 0,065 МПа. В настоящее время определение начального давления для каждо го случая расчета основания осуществляется по весьма упрощенной ) методике, основанной на экспериментальной зависимости между от носительной просадочностью грунта и действующим сжимающим напряжением. Эта кривая, как правило, строится по данным ком84 црессионного испытания образцов грунта на просадочность по мето ду двух кривых. При этом должны быть соблюдены условия, сог ласно которым к просадкам относится относительная деформация лессового грунта при фактическом давлении 8 п ^ 0 ,0 1 . Согласно это му условию, если исходить из зависимости (III.2 ), для определения начального давления можно использовать формулу « „ = (0 ,0 1 № т(ш -5) Характерная кривая зависимости относительной просадки от уп лотняющего давления показана на рис. III.4. По этой кривой на ходят начальное давление как уплотняющее напряжение, соответст вующее относительной просадке грунта, равной 1%. Обработка многочисленных кривых зависимости бп— о показывает, что значе,п Р -\ 2,0 -0,01 - \о 1,8 -0,06 1,6 -0,05 С15Л 1Л 1,2 т 1,0 -од 0,8 -0,01 ,Р = Ф ) "sP о - о Рис. III.4. График зави симости относительной просадки от уплотняю щего давления А - ' 16 24 32 ц % Рис. III.5. Кривые зависимости пара метров деформируемости лессовых грунтов от их влажности мне 0Н практически совпадает с пределом пропорциональности, т. е. краевой критической нагрузкой, определяющей границы первой фа зы напряженного состояния основания. Уравнение кривой зависимос ти бп— о можно записать также в форме, предложенной А. А. Илью шиным (1949). Для этого представим относительную просадку 6Пг соответствующую некоторому значению напряжения а, в виде раз ности отрезков А В и АС (рис. III.4 ). Первый отрезок в выбранном масштабе равен условной деформации, соответствующей идеально упругому поведению грунта, а второй отражает ту часть этой дефор мации, на которую она понижается за счет пластических свойств грунта, обусловливаемых в данном случае просадочной природной деформацией. Последняя может быть представлена в виде — Е оф, где ф — безразмерная функция деформации грунта, изменяющаяся и пределах 0 ^ ф < 1 . Тогда формула относительной просадки может быть представлена в виде ^п= ~ г а (1 — ?)• 85 (HI.6) Очевидно, при напряжениях, меньших начального давления про садочности, функция ф равна нулю. О п р е д е л е н и е н а ч а л ь н о го д а в л е н и я п о ф о р м у л е (III.5) св я за н о с о сл ед у ю щ и м и доп ущ ен и ям и . С ов ер ш ен н о усл овн ой явл я ется п р и н и м аем ая по р ек ом ен д ац и я м С Н и П а отн оси тел ьн ая д еф ор м ац и я грун та, р ав н ая 1 % . И звестн о, что грунты , не о б л ад аю щ и е пр осадоч н ы м и свой ствам и , при оп р едел ен н ы х усл ов и я х м огут д ать отн о си тел ьн ую д еф о р м ац и ю бол ее 1% . И зв естн о так ж е, что д е ф о р м а ц и я л ессо в ы х грун тов при их ув л аж н ен и и по своей п р и р оде я вл я ет ся п л асти ч еск ой д еф ор м ац и ей , так к ак при п р о сад к е п р ои сходи т н а р уш ен и е агр егатов гр ун та и п ол н ое р азд ел ен и е м и н ер ал ь н ы х ч асти ц м е ж д у собой . П о эт о м у п р о сад к а м о ж ет возн и к ать л и ш ь в том сл у чае, к огда н ап р яж ен и я , д ей ств у ю щ и е в свя зя х м еж д у стр ук турн ы м и э л е м е н т а м и , б у д у т б о л ь ш е , ч е м с т р у к т у р н а я п р о ч н о с т ь , т. е. п р о ч н ость связей эти х грунтов. К р о м е того, к ак п о к азы ваю т эк сп ер и м ен т ы , п а р а м е т р ы д е ф о р м и р у е м о с т и |3 и т в ф о р м у л е ( I I I . 5 ) о с т а ю т с я п остоя н н ы м и л и ш ь д л я д ан н ого состоян и я гр ун та; так, н ап ри м ер, с увел и ч ен и ем в л аж н о сти гр ун та зн ач ен и я эти х п ар ам етр о в ум ен ь ш аю тся . З ак он ом ер н о сть ум ен ьш ен и я п ар ам етр о в р и т с увел и ч е ни ем в л аж н о сти грун та, устан ов л ен н ая по р езул ьтатам эк сп ер и м ен тал ь н ы х и ссл ед ован и й С . К. А л и ев а (1 9 6 6 ), п р ед став л ен а на р и с. III.5. К а к в и д н о из к р и в ы х р и с. III.5, в п р а к т и ч е ск и в а ж н ы х д и а п а з о н а х и з м е н е н и я в л а ж н о с т и г р у н т а з а в и с и м о с т и Р ( ш ) и m(w) м огут бы ть ап п р ок си м и р о ван ы сл ед у ю щ и м и ли н ей н ы м и у р ав н е ниям и: р (та)= р (® 0) — m ( w ) = m ( w Q) — ^ Wn — W q т { w — эдо); ~ т Wn — W0 — w 0), г д е p ( f f i > 0 ) , m( wo) — п а р а м е т р ы p и m п р и е с т е с т в е н н о й в л а ж н о с т и г р у н т а ; р ( ш п ) , m (w a ) — э т и ж е п а р а м е т р ы п р и п о л н о м в о д о н а с ы щ ен и и грунта. Н а осн ован и и п р и веден н ы х зави си м остей ф о р м у л а н ач ал ьн ого д ав л ен и я м о ж ет бы ть устан ов л ен а сл ед у ю щ и м об р азом . В усл ов и я х п р и р од н ого н ап р яж ен н ого состоян и я в у в л аж н я ем ы х л ессо в ы х гр ун т а х п р о сад к а возн и к ает п од дей стви е уп л отн я ю щ его давл ен и я, р ав ного o = Y (® )y = YCK( l + ® )y О тн о си тел ьн ая д еф ор м ац и я у в л аж н я ем о го слоя грун та, р асп о л о ж ен н ого н а п р ои звол ьн ой гл у б и н е у со гл асн о ф о р м у л е (III.2), о п р ед е л и тся в ы р аж ен и ем й п = Р (^ )^ ск(1 + ®))у]т(ш)Если условно к просадке отнести относительную деформацию ув лажняемого грунта, равную 0,01, то, очевидно, значение уплотняю щего напряжения от собственного веса грунта, способного вызывать эту деформацию, должно действовать на определенной глубине уа. 86 Влажность грунта в пределах глубины смачивания 0 < y < y 0(t) в процессе замачивания, согласно формуле (III.4 ), переменна. Среднюю влажность грунта в процессе замачивания в пределах этой глубины обозначим через шср. Тогда можно составить условие 0,01 = р (® ср) [ Y c k ( 1 т(ч>сп) ^ср) ср1Уи] + откуда У п= 1 Yck(1 + ®сР) 0,01 1/т(щ>ср) (III.7 Р (®ср) Последняя формула определяет верхнюю границу области про садки увлажняемых лессовых грунтов в условиях природного напря женного состояния. Значение начального давления в этих условиях, очевидно, определится формулой l/m(wcp) mi > г 0,01 (III.8) 0н=Уск(1+®ср)Уп = Р (®ср) Средняя влажность грунта в процессе увлажнения в пределах глубины смачивания определится выражением ып Уо (О ^0 — (™н— ® o )co s лу 2уо ( 0 _ dy. Раскрывая последний интеграл и производя несложное преобра зование, получим ®'ср = ®о + — («/„ — Щ)- (III.9) Если исходить из наличия линейной зависимости между относи тельной деформацией увлажняемого грунта и действующим напря жением в пределах небольшой по сравнению с мощностью проса дочного грунта Н глубины уа, то полученные формулы значительна упростятся. В частности, верхняя граница области просадки опре делится выражением Уи- 0,01 Г 2 1 Yo + ---- (®п — W0) уск Р (Wcp) Я где уо —УскО + ^ о ) — объемный вес грунта в естественном состоя нии. Значение начального давления при этом определится формулой. 0,01 Р (Wcp) Если учесть, что связь между параметром р и модулем общей деформации грунта при т = 1 представляется в виде Е 0= 1/р, тр по лучим он= 0 , 0 1 £ 0(® ср). (ШЛО) 87 Таким образом, начальное давление в ориентировочных расче тах просадки от собственного веса грунта может быть принята рав ной 1 % от значения общего модуля деформации, устанавливаемого компрессионными испытаниями при некотором среднем значении влажности грунта, определяемом по формуле ( I I I .9). Пример III.1. Пусть требуется установить значение начального давления и верхнюю границу области просадки лессового грунта в условиях его природ ного напряженного состояния. Известны следующие характеристики грунта: естественная влажность грунта апо= 0,16; влажность при полном водонасыщении ®п = 0,38; объемный вес скелета грунта у Ск = 1 4 ,5 кН/м3. По формуле (III.9 ) находим среднюю влажность: даср = 0 ,1 6 + 2 / 3 , 1 4 ( 0 ,3 8 — 0 ,1 6 ) = 0 ,3 0 . Выполняя испытания на просадочность образца рассматриваемого грунта по методике двух кривых при постоянной влажности, равной шСр = 30% , значения параметров сжимаемости грунта установлены равными: Р (®ср) = 0 ,0 1 2 (М П а)~ 1,20; т (о^р) = 1 .2 0 . По формуле (III.8) находим начальное давление: <гн = ( 0 ,0 1 / 0 ,0 1 2 ) 1^1’20 = 0 ,0 8 6 3 МПа. Верхняя граница области просадки по формуле (III.7) будет 1 Уп~ ( 0,01 у/1.20 , 0 ,0 0 1 4 5 (1 + 0 , 3 0 ) ( 0 , 0 1 2 J ~ ° 7' см - В проведенном компрессионном испытании модуль общей деформации при влажности Шср = 30% установлен равным Е 0= 8 МПа. Тогда ориентировочно зна чение начального давления по формуле ( I I I .10) будет равно а„ = 0 ,0 1 - 8 = 0 ,0 8 0 МПа. Как видно из полученного результата, приближенное соотношение для на чального давления дает несколько заниженное значение. Верхнюю границу обла сти просадки при таком начальном давлении находим по формуле У <iH 0 ,0 8 0 -----------------------------------------------__ 424 4 см. Т с к ( 1 + ® с Р) 0 ,0 0 1 4 5 (1 + 0 , 3 0 ) Определение начального давления в основаниях зданий и соору жений может быть произведено по следующей методике. Пусть рас пределение уплотняющего давления по оси сооружения от действия внешней нагрузки и собственного веса грунта определяется выраже нием 0д = — ?(# ) + Y {У + /*ф)Я (III.11) Здесь функция ц>(у) характеризует закономерность изменения дав ления от внешней нагрузки по глубине в зависимости от формы, размеров и жесткости фундамента, определяемую соответствующи ми решениями теории упругости. Так, например, согласно решению 88 К. Е. Егорова (1938) для жесткого ленточного фундамента с шири ной подошвы 2а, функцию ср{у) определяют из выражения у ( у ) = 2 - !-+ 2 ( y f e ) l_ [1 + (у/й)2]3/2 Для круглого жесткого штампа К. Е. Егорова (1938) имеет вид с радиусом R решение 1 + 3(у/ / ?)2 ? (у )— 0,5 ■ y /R [i + ( y / m 2 Д ля гибкой полосовой нагрузки шириной 2а, согласно решению Г. В. Колосова (1935), имеем ®(г/)=2arctg- а , 2ау (а2 + у2) у (у2 —а2)2 + 4 д 2 у 2 На нижней границе, непосредственно примыкающей к подошве фундамента — зоне просадки, должно выполняться условие М У ) + Y( 0 + Л ф) = о н- (III. 12> Решая это уравнение относительно у, установим глубину y — hs, оп ределяющую нижнюю границу области просадки от совместного действия веса сооружения и собственного веса грунта. Далее, под ставляя найденное значение h s в выражение (III. 11), получим сле дующую формулу для определения выражения начального давле ния для каждого случая загружения основания: - Т ( Л , ) + 7 ( Л , - М Ф)* ( Ш .1 3 ) Уравнение (III. 12) относительно у удобнее всего решить графи ческим способом. Для этого в определенном масштабе, начиная с подошвы фундамента, строим график функции (рис. III.6 ): / (У )= -4 - <Р(У )+ Y (У + Дф)л В этом ж е масштабе на расстоянии стн проводим параллельную оси симметрии фундамента вертикальную линию. Ордината точки пе ресечения кривой f( y ) с вертикальной линией определяет решение уравнения ( I I I .12). § 111.4. Начальная влажность просадки Проведенные многочисленные эксперименты показывают, что для возникновения просадки не может быть установлено определенное значение давления независимо от влажности грунта; каждому зна чению действующего в толще грунта давления должно соответство вать определенное значение влажности, при котором возможно воз89 яикновение просадочной деформации грунта. Такая влажность лессового грунта была названа «критической влажностью» (А. А. Мустафаев, 1967). Следует отметить, что понятие критической влажности для лессовых грунтов не новое. Так, например, по мнению В. И. Б а тыгина (1933), при достижении влажностью нижней границы теку чести уничтожается кажущееся сцепление и грунт, удерживаемый. лишь силами внутреннего трения, приобретает способность двигать ся вниз и в стороны. По данным Ф. И. Воронова (1940), оптимальная весовая влаж ность при просадках лессовых грун тов Средней Азии близка к нижнему пределу пластичности. Поданным Ю .М .А белева (1968), влажность лессовидных суглинков, после окончания дополнительных осадков, вызванных увлажнением, в Кузнецке нередко не превышала 25% , а в Бобриках составляла даж е 18,6%, что далеко не соответствует полной влагоемкости. По вопросу влияния повышения влажности лес совых грунтов на размеры их де Рис. III.6. К графическому ме формации убедительные данные тоду решения уравнения приводит Н. Я. Денисов (1951), со ( I I I .12) гласно которым увеличение дефор мации глинистых пород происходит при повышении влажности по сравнению с некоторой критической величиной, примерно равной максимальной молекулярной влагоемкости. В лессовых ж е грун тах, как показывают полевые наблюдения, деформации начинают ся при влажности, намного меньшей, полной влагоемкости. Для района Терско-Кумской и Мало-Карабахской оросительной систе мы, по данным Н. Я- Денисова, влажность грунта, при которой воз никала просадка, близка, а иногда несколько ниже максимальной молекулярной влагоемкости. К более убедительному заключению приходит Б. М. Черный (1963) при исследовании просадочных деформаций в основаниях крупнопанельных жилых домов в г. Грозном. По данным Б. И. Чер ного, просадка в лессовых грунтах г. Грозного проявляется при оп ределенной величине влажности, зависящей от напряженного состоя ния грунта. Согласно исследованиям В. И. Крутова (1972), начальная (кри тическая) влажность тесно связана с начальным просадочным дав лением, а обычно применяемое понятие начального давления пред ставляет собой минимальное давление на грунт при максимальном значении начальной влажности. Для определения начальной вл аж ности В. И. Крутовым разработаны лабораторные и полевые мето ды, основанные на 4— 6 испытаниях грунта при различных влаж ностях. За критерий начальной влажности по результатам лабораторных испытании принимается относительная просадочность, рав90 пая 1 %, а по полевым испытаниям — предел пропорциональности на графике зависимости осадки от давления, представляющий собой давление на грунт, при котором начальная влажность равняется влажности испытываемого грунта. Таким образом, как видно из приведенного обзора, для построе ния расчетной формулы начальной влажности необходимо уста новить взаимосвязь между характерными значениями уплотняюще го давления и влажностью грунта, определяющую условия возник новения просадочных деформаций в увлажняемых основаниях зд а ний и сооружений. Такая формула может быть установлена, исходя из обобщенного условия прочности Мора, имеющего вид sin<p(®)=—— ------------------а? + °2 + [1 + 5 ( » ) ] a ic ( ® ) + 2 с ( w ) c t g <р ( w ) где а\Ч, G2 q и очс— соответственно главные напряжения от действия внешней нагрузки и собственного веса грунта. Как показывают про веденные экспериментальные исследования (А. А. Мустафаев, К. Алиев, 1967), сцепление, коэффициенты трения и бокового дав ления лессовых грунтов изменяются с увеличением влажности грун та и эти изменения с достаточной степенью точности могут быть аппроксимированы следующими линейными функциями: c ( w ' ) = c 0-----< ^ ^ - ( w — 'W0) = cQ— bw ; wn — w tg < p(®) = / (® ) = / 0 Wa — W q (W Wq) = f~Q uw , (III.15) l ( w ) = l 0- ^ ~ ^ ^ - ( w — w 0) = Zo+ kw . w„ — w0 Подставляя формулы ( I I I .15) в ( I I I .14), после несложного пре образования для определения начальной влажности получим сле дующее уравнение: A w 3-j- B w 2 -\-Cw-\~ D = 0. Решение последнего уравнения, согласно формуле Кардана, име ет вид ® н= и - \ - v — где и = V — g ' + F V + P 3 ; 3A C — В2 ------------------------; ^ v = y (Ш.16) — q V q 2 - \ - p s; S3 ВС , 27ДЗ 6Д2 1 2А q — ------------------,--------------- 9Д2 D . Постоянные А, В, С, D зависят от значения прочностных пара метров грунта при естественной влажности (со, /о, £о) и полной водо91 насыщенности грунта (сп, fa, |п), а также от значения действующих ] в рассматриваемой точке главных напряжений и определяются вы- s ражениями: А — 2 k a 2alc (of -j- of -f- з1с) -J- 4abkolc -(- 2 a?kou (of — of -f- olc); В = (of -f- 02 “I” ° 1C) fa 2 (°1 4 " 32 4 “ Oic) 4 " 2 £oa2alc — 4 a k f 4 ” 4db\ 4 ~ 4~(3i —a24~aic) [2ôa2aic—4af0kolc—a2(a? —of 4 - olc)]4 - f 4oIc (ab%0 — a c k — b f 0k — 0,25&2alc)-j- 4 b2; С —2 (of 4- of 4 ~olc)[&/o°ic — #/ о(°? 4" 32 4~°ic) — 2 a / 0So3ic — —2 ac0—2b f 0]4 - 2 (of —of 4 ~3ic)[^3ic 4" a /o (3i ~ 3?4 “ 3ic)~ —2a/o$o3ic4'^/o3ic] —8^<?0—4aco$o3ic—4bf0olc4 4 " 4 c 0/o&3]c — 2 k f(fc 0<3lc; jD = 2 ( o ? o f 4~aic)[So4'/o3ic4_ 2c 0/ o 4'0,5/ o (o i 4-s f 4_3ic)l — — (of —of 4 - 0Jc)[2 $o/o °lc — 2 $o°lc — (31 — 32 4 “3lc) ( 1 4 "/о)] + 4 " 4 c 2)]4-4co/o£o3ic> (III.17) Рассмотрим следующие частные случаи. 1. Напряженное состояние основания от действия собственного веса грунта по сравнению с напряжением от внешней нагрузки нез начительно. В этом случае a ic = 0 и поэтому выражения постоянных А, В , С, D примут вид: Л = Д = 0; в = Вг= 2 (of 4 - of) [Aab4- a 2 (of 4 - of)] - a? (of - off 4 - 462; C — C i = — 2 (of 4 - a2 )[ 2 a c0-|-26 / 0 — #/o(3f 4 ~32 )] 4 ~ 4 * 2 a / 0(°f — of[)2 О= £>i= (of -)- of) [4c0f 04 - /0 8 boo', (of 4~°2 )] — (3f — ° 2 ) [/0 4~(3i — 32)] 4~ 4ô- ■Формула начальной влажности для этого случая получается в виде <ш л 8 ) 2. Просадочный процесс протекает в условиях природного нап ряженного состояния. В этом случае af = of = 0 и выражения для постоянных А, В, С, D принимают вид: A = A 2= 4 a h lc (b-\-xialc); В = В 2= 4з1с(a b —2 a k /o3ic4~«Vic 4" а%о~ асф~ 0,25Рз1с—b k f 0) 44 -4 ЬН 92 С — С2— — 4aic(ac0-^ 6 / 0-}~#Co£o-b^/o?o — ^со/о)4~ -j- 2 ^ ic ( k — k%o -f- 2 k f о — 2 a f 0i;o) 8bCo', D = £)2= 43lcc0/ o (l + So)_b aic(4?o — So+2$o— l,j+ 4 c o . Формула начальной влажности для этого случая имеет вид в2 w H= u - { - v - где u = V — g + V g 2+ P3^ э2 ЗЛ2С 2 - в 2г _ Р~ 9 А\ 'V=^yr — q — V ^ + P ^ Щ _ q ’ за 2 27А\ в 2с 2 р 2 6Л 2 2Л 2 ‘ На основании полученных расчетных формул решим пример. Пример II 1.2. Рассмотрим напряженное состояние увлажняемого основания, обусловленное действием веса здания и собственного веса'грунта. Нагрузка по подошве ленточного фундамента шириной 2 а = 2 0 0 см равномерно распределенная с интенсивностью 9 = 0 ,3 МПа. Главные напряжения от действия внешней нагруз ки находим по формуле а 1,2 = ( ах + ау ) ± (-ах — а у ) 2 + 4 Т?Х у . Компоненты напряженного состояния для рассматриваемого случая загружения основания определяют по формулам: а ах = — ! я V q аи = — " я I ( а — х а + л:\ a r c t g -------------- h a r c t g ------------у a rc tg s а— х у У ) 2а д и ( х 2у 2 — а 2) -1------------------------ * ---------- ------------ ; я [(л :2 + 92- а 2) 2 + 4 д 2 г/2 ] а + *\ 2aq\if ( х 2 — у 2 — а 2) h a r c t g ------------- — --------- ^ --------; s у ) я [(jc2 + yt — а 2) 2 + 4 а 2т/2] ___________ 4 а д х у 2 __________ ху я [(яг2 + У2 — а 2)2 + 4 а 2у 2] ' Пусть по результатам соответствующих лабораторных опытов для грунтов основания установлены следующие значения расчетных показателей: с0 = 0 ,0 8 5 МПа; / 0 = 0 ,6 5 ; ® п = 0 ,3 8 ; с п = 0 ,0 0 5 МПа; / п = 0 ,2 5 ; и/0 = 0 , Ю ; £о = 0 ,4 0 ; £„ = 0 ,8 0 ; уск = 1 4 , 7 кН/м2 . Постоянные с0, / 0 и £0 по формулам (111.15) имеют значения: Г0 = 0 , 1 1 3 6 МПа; / 0 = 0 ,7 4 3 ; £ 7 = 0 ,2 5 7 ; * = 0 ,2 8 6 МПа; а = 1 ,4 3 ; k ~ = 1 ,4 3 . Значение начальной влажности определим в трех точках по оси симметрии основания, расположенных на расстояниях h = 1 0 0 , 200 и 280 см от поверхности грунта. Для первой точки { h = 100 см) постоянные А, В, С, D имеют значения: А = 0 ,0 9 7 7 МПа2; В = 0 ,8 8 5 МПа2; С = — 0 ,8 3 0 МПа2 ; £ > = 0 ,1 1 0 8 МПа2. Начальная влажность в рассматриваемой точке, согласно формуле (111.16), будет равна 16,2% . Для второй точки (Л= 2 5 0 см) соответственно имеем: 93 Л = 0,1163 М Па2; 5 = 0,5605 М Па2; С = — 0,5704 МПа2; £> = 0,0847 М Па2. Началь ная влажность по формуле (111,16) равна 18% . Для третьей точки (Я = 280 см ) Л = 0,19175 МПа2; 5 = 0,4572 М П а2; С = — 0,500 М Па2; £> = 0,089 М Па2. Начальная влажность по формуле (111.16) равна 23% . Как видно из результата примера, с удалением от загруженной поверхности основания в соответствии с рассеянием давления необходимое для возникнове ния просадки значение влажности грунта постепенно увеличивается. Для сравнения вычислим значения начальной влажности в тех же рассмат риваемых точках основания для первого рассмотренного выше частного случая,, когда напряжение от собственного веса грунта по сравнению с напряжением от внешней нагрузки незначительно. Для первой точки (Я = 100 см) 5 i = 0 ,9 6 3 МПа2; (Д = — 0 ,8 5 2 8 МПа2; D { = 0 ,1 1 9 7 МПа2. Соответствующее значение начальной влажности по формуле (111.18) составит шн= 1 7 ,3 % . Для второй точки (й = 2 0 0 см) соответственно 5 i = 0,6984 М Па2,; Ci = — 0,557 МПа2; £>[ = 0,0786 М Па2 и wH= 19% . Для третьей точки ( й = 280 см ) 5 , = 0,5137 МПа2; С ,= — 0,457 М Па2; 7% = 0,0855 М Па2 и шн = 27% . Таким образом, без учета напряжения от собственного веса грунта значения начальной влажности в соответствующих точках основания несколько повыша ются. Расчеты показывают, что в условиях действия только собствен ного веса грунта в горизонтах действия начального давления на чальная влажность (критическая влажность) практически остается постоянной. Поэтому эту величину в условиях природного напря женного состояния возможно определить в точках приложения (на чального давления), т. е. на определенном расстоянии от поверхнос ти грунта. Начальную влажность на этой глубине для упрощения задачи примем равной нижней границе пластичности, т. е. пределу раскатывания по Аттербергу. При этой влажности грунт, как извест но, приобретает пластическое состояние и поэтому под действием оп ределенного значения сжимающего давления (равном начальному давлению) создается условие для смещения вышележащих слоев грунта вертикально вниз. Через границы раскатывания условия возникновения просадки помимо характеристики деформируемости становятся зависящими также от дисперсности и минералогического состава грунта, формы и упругости его частиц и особенно от структуры. В этих условиях просадка представляется как процесс разрушения лессового грунта вследствие нарушения связей между частицами и взаимного сдвига отдельных частиц или зерен. Нарушение этих связей, как известно, может происходить как вследствие механического воздействия на грунт — изменения его напряженного состояния, так и вследствие из менения физического состояния грунта — плотности, влажности, сцепления. Именно изменения физического состояния служит при чиной разрушения лессового грунта при увлажнении, т. е. возник новении просадки. Таким образом, при построении инженерных расчетов просадку можно рассматривать как течение пластической массы грунта под действием его собственного веса в вертикальном направлении. Об ласти этих деформаций при этом оконтуриваются характерными значениями действующего давления и влажности грунта. 94 § lli.5. Условия возникновения просадки Исходя из установленных выше расчетных величин, определим условия возникновения просадки лессового грунта в природном на пряженном состоянии. Пусть производится непрерывное увлажнение толщи лессового грунта второго типа по просадочности. Профиль влажности, определяемый при одномерном движении инфильтрационной влаги по формуле ( III.4 ), представлен на рис. III.7. На по верхности грунт мгновенно насы щается водой до полной влагоем кости. wa. На фронте смачивания, определяемом расстоянием у 0. влажность грунта равна естест венной влажности wq. Уплотняю щее давление, необходимое для возникновения просадки, т. е. на чальное давление, действует на расстоянии уп от поверхности грунта. Очевидно, в начальный период увлажнения, когда фронт смачивания еще пс достиг глуби ны приложения начального дав ления, т. е. у о < у п, в толще грунта Рис. I I I . 7. Расчетн ая схема для опре не будут обеспечены необходимые деления периода возникновения про садки условия для возникновения про садки. Деформация увлажняемой толщи возникает лишь тогда, когда фронт смачивания спустится несколько ниже глубины приложения начального давления и вл аж ность грунта на згой глубине окажется равной начальной влажно сти, т. с. границе пластичности увлажняемого грунта wp. М атема тически что условие запишется как w (y,„ tQ) ■w.Р‘ 13 развернутом виде последнее равенство будет иметь вид яу„ 2у0 (О или COS - wp — wо ЯУп 2>'о (О (III.19) Последнее выражение определяет условие возникновения про садки в лессовых грунтах в условиях природного напряженного состояния. Согласно формуле (111.19), как будет показано в сле дующем параграфе, можно определить периоды возникновения t0 и стабилизации просадочного процесса Т. Начиная с момента времени t0 по мере продвижения фронта смачивания будет продвигаться также фронт просадки вниз, так 95 как в нижележащих горизонтах влажность грунта достигнет необ ходимого для просадки значения. Следует при этом учесть, что с течением времени значения уплотняющих давлений, действующих на нижней границе области просадки [г/п(0> Ua{ta) и т. д.], в соот ветствии с увеличением высоты опускающихся столбиков грунта* и их влажности будут непрерывно возрастать. В соответствии с уве личением сжимающих давлений в увлажненном грунте будет неч прерывно возрастать величина получаемой в этом процессе просадч ки. Процесс просадки в соответствии с принятой схемой явления ’ будет продолжаться до тех пор, пока на подошве увлажненной тол-? щи лессового грунта влажность не достигнет значения начальной? * влажности. Очевидно, этот момент времени не будет соответство-^ вать периоду полной стабилизации деформации, так как после пре-'< кращения просадки увлажненный массив под действием собствен ного веса получит дополнительную деформацию вследствие пол-' зучести скелета грунта. Кроме того, вследствие насыщения увлаж ненной толщи грунта до полного водонасыщения просадка получит* дополнительное приращение. Однако продолжительность дефор мации просадки в этом периоде по сравнению с периодом условной! стабилизации основной части просадки, возникающей в процессе насыщения толщи грунта, будет незначительна. § 111.6. Расчет периодов возникновения и стабилизации просадки На основании сформулированного условия (III. 19) определим периоды возникновения и стабилизации просадочного процесса в условиях природного напряженного состояния грунта. Глубина приложения начального давления из условия ( I I I .19) определится выражением arc cos Wb — Wо wu — w0 С другой стороны, эта ж е глубина по формуле ( I I I .7) определяется формулой Уи 1 Г У с к ( 1 + ® Ср) 0,01 Р (® с р ) Сравнивая два последних выражения, получим следующее ус ловие: 2ур (О _ я® ( w) j зи (III.20) у (»ср) ’ где f (w) = arc cos ®p — Wq . w„ — w0 ; 96 у (® сР) = У скП + я »с1.)- Решая выражение (111.20) относительно y o (t), получим И, ( 0 = 2 , 3 7 К 0 О = ~ Ч>(®), 2 у (wCp) откуда t = 5? —— ^ ( w ) . 2 2 ,4 7 0 (H I.21) у 2 (® с р ) Полученная формула ( I I I .21) в рамках точности принятой рас четной схемы определяет период возникновения просадочного про цесса при непрерывном увлажнении однородной толщи лессового грунта. Условие для периода стабилизации просадки можно сфор мулировать в виде ч о(Н , T )— w ] Последнее условие означает, что стабилизация просадочного процесса наступает в тот момент времени Т, когда на подошве просадочного слоя мощностью Н влажность грунта достигает сво его критического значения wv. Это условие в развернутом виде з а пишется так: ® о+(® п — ®o)cos ■ n-t1- = w r Из последнего выражения получим 2,37 y W = <р(-ш), откуда 2 2 ,4 7 0 т ' (111.22) ' v ; Формула (111.22) определяет период условной стабилизации просадочного процесса при непрерывном увлажнении однородной толщи лессового грунта. К вопросу определения периода стаби лизации просадочных процессов мы вернемся при установлении закономерности изменения деформации увлажняемой толщи по времени. Применимость полученных формул продемонстрируем на конкретном примере. Пример 111.3. П усть требуется прогнозировать периоды возникновения и ста билизации просадочного процесса в однородной толще лессового грунта мощ ностью Я = 3 0 м в условиях непрерывного его увлажнения. Д ля увлажненного грунта известны следующие данные: 100 = 0 ,1 0 ; wa = 0 ,4 0 ; дар = 0 ,2 0 ; в = 1 , 5 м 2/сут.; У ск = 1 2 ,5 кН/м3. Средняя влажность грунта по формуле (III.9) будет равна ® сР = Щ + 2 / я (wa - щ ) = 0 ,1 0 + 2 /3 ,1 4 ( 0 ,4 0 4— 724 97 0 ,1 0 ) = 0 ,2 9 . Параметры деформируемости грунта Р и т, вычисленные по данным компрес сионных испытаний на просадочность, при влажности грунта вуОр = 0,29 имеют значение: р (wcр) = 0 ,2 5 4 М П а~1,2; т. (® ср) = 1 ,2 . Начальное давление находим по формуле (III.8 ): „н = ( 0 ,0 1 / 0 , 2 5 4 )1/ 1>2 = 0 ,0 6 8 М Па. Верхнюю границу области просадки находим по формуле (III.7 ): ____________ 1__________ / 0,01 у/ 1,2 Уп V 0 ,2 5 4 ) 0 ,0 0 1 2 5 (1 + 0 ,2 9 ) СМ' Для определения параметров динамики просадки — начала возникновения* и периода условной стабилизации — предварительно вычислим значение функций Ф(ш): , ч 1 (до) = ------------------------= — дор — до0 ятссоъ. — wn ~ w 0 1 2 ,5 5 л 0 , 2 0 — 0 , 10 a rcco s * ■ 0 ,4 0 -0 ,1 0 . Период возникновения просадочного процесса по формуле (111.21) опреде-) ляем по формуле я2_______________ (0 ,0 6 8 )2 0 2 2 ,4 7 -1 5 0 0 0 (0,0125)2(1 + 0 , 2 9 ) 2 (2 ,5 5 )2 Я2 ~ ’ СуТ' Период условной стабилизации просадки находим по формуле (111.22): Я2.302 (2 ,5 5 )2 — - — « 174 с у т . Т — --------------- • 2 2 ,4 7 - 1 ,5 л2 У § 111.7. Расчет изменения просадки в о врем ени Для вывода расчетной формулы примем, что изменение значе ния просадки лессовых грунтов по времени в условиях природного напряженного состояния проис ходит в соответствии с развитием контура смачивания и изменением, дискретных значений влажности грунта в пределах этой области. Пусть при помощи котлована достаточной ширины производит ся непрерывное увлажнение одно-, родной толщи лессового грунта второго типа по просадочности. На глубине у ниже горизонта действия начального давления просадочности уп выделим эле ментарный слой увлажненного грунта высотой dy (рис. I I I .8 ). Рис. III.8. Расчетная схема для Относительная просадка рас определения изменения просадки сматриваемого слоя грунта, рабово времени 98 тающего в условиях отсутствия боковых деформаций, определится пыражением btt= - ~ = f { w , а). dy Согласно имеющимся в литературе экспериментальным данным, функция f(w , о) может быть аппроксимирована в виде f ( w , a ) = ^ ( w ) a m(w') f — !5!о_У° \wn — w0J где р, т и г'0— опытные коэффициенты, определяемые по данным соответствующих компрессионных испытаний. Абсолютная просад ка увлажненного слоя грунта ниже горизонта начального давле ния определится выражением yo(t) !/ о ( 0 ( Д£/^ = Д[^о(0 — Уп] = 5 ( 0 = J "и f ( - w ~ w° ) " d y . J \ ® п -® 0/ yп В условиях природного напряженного состояния уплотняющая нагрузка, вызывающая просадку, будет равна 9 = Y («' cp)^ = Yck(1 + « ' cP) ^ Тогда изменение просадки во времени определится выражением А'( 0 — 1 P(^cP)[Y(^cp) г/Г(а'сР) Г * " ” 0- ] 111 d y , .) \ W B — W0 ) ч11 ГДР rn(Wcp) и у (® с р )— параметры нелинейной деформи руемости и объемный вес лессового грунта при среднем значении илпжности, определяемой по формуле (III.9 ). Подставляя перемен ную но глубине и по времени влажность из выражения (III.4 ) в подынтегральное выражение и производя несложное преобразова ние, для изменения просадки во времени получим общее выраже ние: ып 5 ( 0 = j ft(^ср)[У (^ср) г/]т(та'ср) cos'° 2-^ ■d y . (III.23) Полученный интеграл в выражении динамики просадки при i0= 1 приводятся в квадратуру только при четных значениях параметра ///(MVp). При произвольно вещественном значении параметра интеграл в выражении ( I I I .23) приг'о = 1 раскрывается тл ь к о приближенными методами. Используя разложение подынтегральной функции cos1’0 пу 2уо (О и ряды Мнклорена и производя почленное интегрирование в выV 99 ражении (111.23), после преобразования получим формулу . 5 { t ) = р ( ® ср) y m(tV - F , ( у М , ( Ш .2 4 ) где Х+т У Г ,Д+»> ~ , »п „ v 3 + m ___v 3+ m /0Я 2 1 -f- ш Уо ~ У п 3 -{- ш (2у 0)2 2! ip ( З г 0 — 2 ) я 4 Уо+ т - 1 ^ л + т (2 i/o)4 4! 5 + тп Формула просадки, в предположении линейной зависимости между относительной просадкой и влажностью грунта, получится из выражения (111.24) как частный случай, если принять здесь значение параметра t0= l . Тогда расчетная формула примет вид S (*)= P (® c p ср) (М -25) РЛ УМ где „,1-Ю Т _ Шо I Уо J 1 v l+ m Уп + т , я4 v 3+m _ я2 Уо (2до)2 2! „Д +т , 3+т Уп 3+ т |„5+/п s/о — 1#п 5 + т 1 (2 i/o)4 4! По полученным расчетным формулам решим следующий при мер. Пример III.4. Требуется прогнозировать изменение абсолютной просадки однородной толщи лессового грунта второго типа при непрерывном его увлаж нении. Известны следующие данные: Н = 30 м, w a = 0 ,1 0 ; wa = 0 ,4 0 ; ie>cp = 0 ,2 9 ; у (® ср) = 1 6 ,6 кН/м3; 0 = 1 ,5 м2/сут. Параметры нелинейной деформируемости грунта по данным компрессионных испытаний равны: при средней влажности р (даср) = 0 ,1 5 0 М Па- 0 ’92; м (а>ср) = 0 ,9 2 . Параметр i0 согласно методике, изложенной в гл. III, определен значением хр= 2 ,5 . Изменение просадки во времени вычислим по формулам (III.24) и (111.25): а) по формуле (III.24) ,„3,92 _ S (О = 0 ,0 2 8 6 0 ,5 2 1 ( < / Г - ! / Л - 0 .3 1 4 + Уй ,Д.92 _ ■0,434 — б) по формуле (111.25) У0 „5,92 Уи 3,92 -] м; Т а б л и ц а ' II I.1 Результаты вычисления про садки по этим формулам сведены и табл. II 1.1. Условно-стабилизированная ве личина просадки будет равна ,V(t), см, вычисленная по формулам t, сут Я Ш И 1.25) ( I I I . 24) 3 ,7 2 12 ,60 22 ,2 0 35,1 0 4 3 ,40 57,7 0 65 ,0 0 69,5 0 75,8 0 76,6 0 77,1 0 5 ,0 8 1 6,60 3 0 ,6 0 4 8 ,6 0 58 ,1 0 74 ,1 0 85 ,8 0 9 0 ,6 0 9 4 ,8 0 96 ,0 0 98 ,0 0 s„ = j Р (®п) Гу («>п) y]m(Wn) dyi. Уп Раскрывая последний грал, получим формулу S _ 10 30 50 80 100 130 150 160 170 174 180 инте Р (и' п ) [ У ( а > п ) Г (а'п) у 1 + т (топ) " х / / 1 + я(" > [ \ - Ш Н ) х+т{та)]' (III. 26) При больших мощностях просадочного (III.26) можно представить в виде s = P (« ,)[Y (» o )] слоя m(w ) грунта ( Н > 20 м) я 1 + * ( . п) _ формулу П1-27) 1 + т (шп) (/гнбилизиронанная просадка, вычисленная по формуле (III.2 6 ), при toCp = 0,29 будет раина 0 ,0 0 0 1 6 ( 1 6 , 6 ) 0,92 S„ ■ - , 3 0 I+0'9‘ [1 - . ( 3 ,8 8 /3 0 ) + | ] = 1 ,0 м. § 111.8. Расчет периода стабилизации просадки Мыше период стабилизации просадки был установлен условно, исходя па условия насыщения подошвы просадочного слоя грунта м од ой д о границы пластичности — предела раскатывания. Однако в о п р о с установления стабилизации просадочного процесса должен решаться более обоснованно, исходя из закономерности изменения просадки но нремепн. Рассмотрим вывод формулы для определения периода условной стабилизации просадочного процесса при непрерывном увлажнении однородной толщи лессового грунта в условиях природного напря женною состояния. Максимально возможная (предельная) просадка увлажняемой толщи грунта, очевидно, будет достигнута при полном его водонасыщеппп п определится выражением 5 * = j P(®u)[Y(®n)y Уп 101 dy. (III.28) Математические выкладки значительно упростятся, если исхо дить из предположения о наличии линейной зависимости между относительной просадкой и действующим напряжением. В прййципе изложенную ниже методику расчета возможно распростра нить также для случая нелинейной связи между просадкой и нап ряжением, Итак, если исходить из значения параметра m (w n) = 1,то после раскрытия интеграла в формуле (111.28) выражение конеч ной просадки примет вид (III.29.) В процессе же увлажнения изменение просадки будет обусловле но насыщением грунта водой по мере продвижения фронта смачи вания. В этих условиях изменение просадки во времени определит ся выражением S { t ) = j р(w cp) y (w cp) у cos -2 dy. После раскрытия последнего интеграла и несложного преобра зования получим S ( 0 = р (Wcp) Y (®ср) ~ ~ я (III.30) Л) — Уо где Л> л 2у0 &0 2у0 Условие, при котором переменное во времени значение просадки достигнет своей конечной величины, запишется в виде равенства S (t) — S k или в развернутом виде Если учесть, что значения параметров р и у при средней вл аж ности и полном водонасыщении несущественно отличаются между собой, то последнее равенство можно представить в виде Решить уравнение ( III.31) относительно 10 можно только при ближенным способом. Используем графический метод решения это го уравнения. Д ля этой дели введем обозначения: 1 2 г 2t0 . т tpj = 1 cos t0 sin t0; A toУравнение ( I II .31) с помощью введенных обозначений примет Н11Д (111.32) ?1 = ?2- Для нахождения корня уравнения (111.32) строится кривая фун кции фг для характерных значений отношений Н /уп и cpi в зависи мости от параметра Го. Абс циссы точек пересечения кри вых <р2 с кривой ф! определят искомые значения парамет ра 10- На рис. I I I .9 пред ставлены семейство кривых функции ф2 при наиболее ха рактерных значениях отно шения Н /уп и кривая функ ции фь При помощи этих кривых для каждого случая расчета легко определить значение параметра /о- Со гласно найденному значению {о, период стабилизации про садки определится из соотиошении я1/„/2//(|==Го выра жением (in.зз) Рис. III.9. Графики функций cpi и ср2 и чис ленного решения уравнения (111.32) в \ 4,74/7, 1 Пример II 1.6. Пусть требуется оценить период условной стабилизации про силки при известных из предыдущего примера данных. Н рассматриваемом случае Я /у п= 10 и поэтому из рис. III.8 точку пересече нии крмных чч{Н1у»—- 10) и ф\ определим значением параметра £0= 0,11. По фор м у л е ( 1 11. 3 8) и ме е м W 3A 4W 1 ,5 (.4 ,7 4 - 0 ,1 1 / 7 Па рис. Ш .9 видно, что значение функции <pj при интересующих нас значе нии* Л> не поднерсается существенному изменению. Среднее значение функции <pi при атом определяется величиной cpj = 0,333. Таким образом, если исходить lit среднего значения функции cpb то будем иметь (/ / / * ) * - ! ^ \ 2 _ =0)з33> ill куда if,0 — ttV Т = 0 ,3 3 3 л V (Я/%)2 - 1 юз Р е ш а я п оследнее уравнение относительно Т, получим г = 7 ^ з 2 ^ [1-(№ ,/Я)2]- Д л я больших мощностей просадочного слоя грунта ( Н > 2 0 — 25 м) форму лу '(III.34) можно представить в виде Т = я # 2 / 7 ,4 8 0 . ( I I I .35) Полученные формулы (III.34) и (III.35) позволяют ориентировочно оценить продолжительность периода условной стабилизации просадочного процесса в лес совых грунтах в условиях природного напряженного состояния. § 111.9. Расчет изменения просадки во времени с учетом «арочного эффекта» При определении деформации толщи просадочного грунта мы исходили из линейного закона изменения уплотняющего напряжения по глубине. Однако при увлажнении просадочных грунтов отдельные его слои не будут полностью испытывать вес вышележащих слоев. Уплотнение нижних слоев существенно изменит природное распреде ление давления по вертикали. Будет наблюдаться картина, анало гичная напряженному состоянию в нарушенном массиве при подат ливости кровли горных выработок, создающей «арочный эффект». На самом деле в результате просадки в нижних слоях происхо дит нарушение природного напряженного состояния увлажняемого грунта. Вследствие неравномерности вертикальных смещений в грун те развиваются реактивные касательные напряжения, стремящиеся удержать массив в равновесии. Эти напряжения уменьшают вес опускающейся части и увеличивают напряжения в примыкающих неподвижных участках породы. В результате происходит образова ние разгружающего свода. Попытки учета «арочного эффекта» при расчете просадки ув лажняемых лессовых грунтов в условиях природного напряженного состояния сделаны также А. А. Григорьяном и В. И. Крутовым. Н. Я. Денисов выделяет две зоны под каналом: активную и пас сивную. В активной части происходит движение инфильтрационного потока, которое вызывает увеличение влажности пород, сопровожда ющееся их уплотнением. Пассивная часть залегает выше и Сбоку от зоны распространения инфильтрационного потока и сохраняет ес тественную влажность. Пассивная зона играет роль нагрузки по отношению к толще пород повышенной влажности. Опускание ее при просадках Н. Я. Денисов отождествляет с обрушением пород в горные выработки. В результате уплотнения под давлением п ас сивной части объем лесса повышенной влажности уменьшается. Это сопровождается соответствующим опусканием пассивной части тол щи, распространяющимся по аналогии с обрушением в горные выра ботки под некоторым углом. Величину угла обрушения Н. Я. Дени сов принимает равной 60° по аналогии с данными для наносов обрушающихся в горные выработки. 104 Используя указанную схему явления, можно вывести формулу для приближенного определения просадки. Пусть к моменту времени t l > t 0 область, занятая просадкой, оконтурена изолинией 1-2-1' (область активной зоны) (рис. III. 10). Тогда просадка в плоскости А — А вызовет опускание вышележа щих слоев грунта. Вследствие их смещения общее давление на осе вую полосу уменьшится на величину вертикальной составляющей сопротивления сдвигу, действующего на границе двух зон. Нерав номерность смещения грунта приведет к образо ванию криволинейных по верхностей скольжения 2-2-4 и 2-3'-4'. Поверх ность грунта в пределах юны, ограниченной точка ми ■/, 4', переместится вер тикально вниз. Определе ние уравнения поверхно сти скольжения чрезвы чайно сложно. При ориен тировочных расчетах угол наклона поверхностей скольжения может быть принят рапным 4 5 ° + ср/2. II практике упрощенных Рис. II 1.10. Расчетная схема для учета «ароч ного эффекта» при расчете просадки расчетов обычно считают, что поверхности скольже нии являются вертикальными плоскостями kik.2 — пщг- Результаты риечртон, согласно этой гипотезе, обычно хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными. При этом распределе ние Данлснпя но вертикали в пределах активной зоны устанавлива ется формулой Y— 1 — exp ^ — St g<? (111.36) где b полуширина смещающейся горизонтальной полосы. Преобразуем формулу (111.36) для рассматриваемого случая рвечсгв. Прежде всего примем, что грунт в активной зоне находит ся м предельном равновесии. Следовательно, коэффициент бокового давлении в формуле (III.36) можно принять равным единице. Для вычислении уплотняющего давления по формуле ( I I I .36) необходи мо определить полуширину смещающейся полосы, для чего криво линейные поверхности скольжения 2-3-4 и 2'-3'-4' заменим плоскос тями /I| / п к\4'. Далее примем, что плоскости скольжения касаются I ранимы пктнвной зоны и составляют с плоскостью А—А угол 4 5 °+ I t|42, Тогда плоскость обрушения определится уравнением £ ( * - * ,) + ^ -(У -У О -О . 105 (Ш .3 7 ) где F ( x , y ) = 0 — функция, определяющая границу активной зоны; Х \ , У \ — координаты точки касания. Изолинии влажности, т. е. границы активной зоны, могут быть определены уравнением (А. А. Мустафаев, 1967) Ьп — 5 , 620 £ -1 / 2 ^ Х = ± Л / ь\ У Ч щ - У - У 2. (Ш.38) 2 ,3 7 / 0 £ откуда д Р — - ==2х; дх д Р b% — 5 , 6 2 6 t — = 2y - f — -= -= 2у + ду 2,37 'Уо . Тогда уравнение (111.37) примет вид х х 1-\-{у1— В)у-\-х\ — у 1(у1— В ) = 0 , где В = (у о — &о)/2у0. Из сравнения полученного уравнения с общим уравнением пря мой следует: tg (45° + <p/2) =— т ~в = у 1 ctg (45°-\-<?j2)-\-x1, где х0 определяет границу распространения просадочных деформа ций на поверхности грунта. Решая уравнение для х 0 и tg (45° + ф/2), относительно Xi и у\ получим: v = 1 * 0 tg (4 5 ° + y /2 )-B * 0 + .B t g ( 4 5 ° + y /2 ) tg (45° -г у /2 ) + c tg (4 5 ° + у / 2 ) ’ 1 tg (45° + у /2 ) + ctg (4 5 ° + у/2) Величину Хо найдем из условия нахождения точки касания AI (%и Ух) на границе активной зоны, определяемой уравнением ( I I I .3 8 ): х\+ 2 B x Qctg (45° + т/2) - А2 - b\ [ 1 - f ctg (45° + <р/2)] = 0, откуда ■ E„= gctg(45°+ < p/ 2)+ - . (111.39) С другой стороны, из рис. III.10 видно, что * 0= Ь + Уо ctg (45° + ср/2). (111.40) Из формул (111.39) и (111.40) находим полуширину перемещаю щейся полосы: Ь1 + У20 tg 45° + _У/Д. 2у.а 2 (Ш.41) Ширина зоны просадки на поверхности грунта определится вы ражением Z. = х 0 — й0= Уоctg (45° + ср/2)-}- b — b0. 106 Согласно последней формуле, произведены вычисления ширины, зоны просадки на поверхности грунта к моменту их условной стаби лизации (через 80 сут) для траншей Мингечаурского опытного участка. Результаты подсчета следующие: Для траншеи 3 опыта I » » 1 » 11 » » 5 » III • L = 23 м L = 26 м L = 34 м Полученные из расчета размеры ширины зоны просадки оказа лись в пределах опытных величин. После установления закономерностей изменения уплотняющего давления по глубине можно перейти к расчету просадки увлажня емой толщи. Решим задачу в предположении о полном насыщении грунта водой в пределах активной зоны. Относительная деформация в этом случае определится выражением ~и I а » . Ь ( с\п I Yu---■п Г1 К 1 - ъ L tg? \ 6 ~ T yig\ ) Просадка в пределах активной зоны определится формулой 5= hm с г \т / ^ р _ £ _ { у н— £_} (l- е y'Sf * rd y . (111.42) “п Для вычисления последнего интеграла необходимо знать зако номерности изменения параметров нелинейной деформируемости грунта р и т по глубине увлажняемой толщи. Эти закономерности могут быть установлены опытным путем по данным компрессионных ИСНЫТИ'НИЙ. Рассмотрим случай, когда просадочные свойства увлаж няемого грунта по глубине меняются незначительно. В этом случае функции Рм Р(*/) и т = т (у ) могут быть аппроксимированы прямой, пионллелыюй оси у. Итак, примем, что параметры р и т в формуле (II I .42) являются некоторыми ооредненными по глубине значения ми, Тогда s = [ i 0— Ьт ° ft? / С \ ” ' (yh °Ю \ (1 -е . - — ytg9 * V».d b. Представим подынтегральную функцию в виде биномиального ряда и, ограничиваясь тремя его последовательными членами, пос ле интегрирования получим: S = A {2 ,3 7 V ^ - У Л •exp I — — tg «p + ^ [ ехР ( “ m° (4 tg i 0) -e x p ( — ^ [ 6ХР ( “ ^ Y M tg ? )V ¥ t g ?)] ” (III. 43) 107 где Сравнение расчетного значения просадки, вычисленного по фор муле (111.43), с опытными значениями, полученными в грунтах Мин гечаура (опыт серии I, траншея 3) (см. табл. II.5 ), показывает до статочную согласованность между ними. § 111.10. Приближенный метод решения нестационарных задач увлажнения толщи просадочных грунтов Рассмотрим задачу о непрерывном увлажнении однородной тол щи просадочного грунта с постоянной по глубине естественной вла жностью с помощью длинного узкого котлована. В этих условиях, очевидно, фильтрация и просадка могут быть рассмотрены двумер ными. Пусть в результате наблюдения в полевых условиях за из менением потери воды на фильтрацию из котлована установлены значения этой величины, отнесенные к длине котлована в различные периоды времени замачивания Q {tj). К произвольному моменту вре мени tj в процессе просадки в о д а из котлована просочится на неко торую глубину y {tj) и в вертикальной плоскости займет площадь F ( t j ) . При этом линия равных влажностей (изолиния) определится функцией w (x , у, tj) или y (w , х, tj). Количест во в о д ы в рассматри ваемой области определится следующим выражением: q — w {t)F {t), где w (t) — среднее значение влажности в пределах рассматривае мой области фильтрации, определяемое выражением Рассматриваемую задачу можно сформулировать следующим образом. По экспериментально найденным значениям фильтраци онной потери требуется построить изолинии влажности в просадочном грунте в процессе его замачивания. Особенность рассматривае мой задачи заклю чает ся в том, что значение и характер функции, подлежащие определению, не устанавливаются непосредственно из опыта. Из наблюдений могут быть определены лишь некоторые в е личины фильтрационной потери, являющиеся функцией неизвест ной влажности грунта. Таким образом, искомую функцию w (х, у, tj) при заданных граничных условиях мы заменяем прибли женным аналитическим выражением w (x, у, tj) и подбираем его так, чтобы оно наилучшим образом аппроксимировало эту функцию, т. е. чтобы уклонение от истинного значения функции было наимень- 108 шнм. Аппроксимирующей функции влажности w (x , у, tj), очевидно, будет соответствовать приближенное значение потери воды на ин фильтрацию, определяемое выражением Q ( / y ) = J J w ( * . у, t j ) d F . F(t) При решении поставленной задачи возникают вопросы, связан ные с выбором формы аппроксимирующей функции и способа при ближения функции, от которых зависит быстрота процесса сходи мости результата. Наиболее удобной формой выражения аппрокси мирующей функции является представление функции влажности и виде ряда еа w (х , у, у, t ) = (г = 1, 2, 3, . . . , п), г- i где У, t) — «подходящие» функции, наилучшим образом изо бражающие в совокупности функцию распространения влажности; — неопределенные постоянные параметры, варьируемые в соот ветствии с принятым способом приближения так, чтобы весь ряд в целом наилучшим образом аппроксимировал функцию распрост ранения влаги в грунте. Что ж е касается способа приближения, то для поставленной задачи наиболее эффективным оказался метод «наименьших квадратов». Итак, поставленную задачу математически можно сформулиро вать в виде ф /, = 2 [ Q ( 0 ) ~ J ]-i а г < Р г ( - * > У' 0 J 2 F(t) ^ ] s= m i n . (111.44) г- i Определение неизвестных параметров а,-, согласно условию <111.44), сводится к решению следующей системы линейных уравнеiriti'i: д *п oai л. о, дФп . да-2 _ > — о, . . . , д Ф п____„ — - д ап — и, . . . Рассмотрим задачу непрерывного замачивания однородной толщн просадочного грунта с постоянной по глубине влажностью wо с помощью котлована, имеющего размеры в плане не менее мощности увлажняемого грунта. В этих условиях задачи увлажнения и про садки могут быть рассмотрены как одномерные. Потери воды на фильтрацию из котлована в различные моменты времени замачи вания, отнесенные к его площади, обозначим через Q (tj) (рис. III. II, гг). К произвольному моменту времени tj в процессе просадки толщи вода из котлована просочится на глубину y 0(tj) ц образует профиль влажности, определяемый функцией w (у, tj) или i/(w , tj) (рис. 111.11,6). Аппроксимирующей функции влажности 109 у (да, t) будет соответствовать приближенное значение потери водь» на фильтрацию, определяемое выражением j 0 Q (t)— y (w > t)d w . Тогда для одномерного случая увлажнения задача математиче* ски сформулируется в виде V т фя = 2 [ д ^ ) Jf= l “o п f 0 tj)d w ^ = mm. (111.45) £= 1 Аппроксимирующую функцию .влажности примем в виде y (w , /-1 tj)= у г=1 (Ш-46) Функция (111.46) удовлетворяет граничным условиям задачи. В самом деле, при у = 0 имеем да = дап— да0, т. е. на поверхности Рис. I I I .11. Графики зависимости: а — количества профильтровавшейся воды во времени; б — изменения влажности по глубине грунта приращение влажности равно разности между полным водонасыщением и естественной влажностью грунта. На фронте смачи вания приращение влажности грунта, очевидно, должно равняться нулю, т. е. при у { 0, t ) —y0(t) мы должны иметь да = 0. Из (111.46) при этом имеем У о ( ^ ) = ait)l2jr a2tj-]r a3fj,2jr •■•+ < V r /2 + • ■. (Ш .47 ) Разложение (III.4 7 ) полностью совпадает с решением П. Я. Полу* бариновой-Кочиной, полученным ею для фронта смачивания в слу чае одномерного неустановившегося сплошного фильтрационного по 110 тока. Такая же закономерность для фронта смачивания получе на у Д. Р. Филиппа (1957). Подставляя ( II I .46) в (111.45), получим W —Wo О W wn — w0 (= 1 iJ2 d w tj =mm. Обозначая W—w0 S ■w0 [‘ - f c (III .48) dw , будем иметь m •■■JT a n ^ Jn / 2)]2— m *n- (41-49) 1=1 Введя обозначение t"l2= xjn, приравниваем нулю производные от суммы (II I .49) по каждому из параметров а г. В результате полу чим следующую систему п линейных уравнений относительно а*, по зволяющих налои все искомые параметры разложения ( II 1.46): т 'î \Q{tj) — {a J Iх п Л~а 2^2Х}2 "Ь •••“Г a J n X]n)\Xj J n = ^' 1= 1 Введя в последнюю систему обозначения А,.in ‘ п ( I I I . 50) X jn Xj i 1-1 1-1 получим следующую систему линейных алгебраических уравнений ^4iia i + ^ 12^ 2+ А за з”Ь •••-\~ А ыа п~ В и •421^1 4 22®2~Ь42з®з4~ •••4" ^2пап~^21 Ап\&\-j- 4„2^2 (III.51) 4 n3<Tg-|- . . . -j- Аппа п— В п. Определив постоянные параметры аг- из системы (111.51), по вы ражению ( 111.46) устанавливаем окончательную эпюру распростра нения влаги по глубине и времени. Функция, аппроксимирующая опытные значения фильтрационной потери, выразится через пара метры а, в виде w„-Wo Q (0 = п S 2/=1Н w »п — ®0 1 О = ( ^ - ® о ) ( - | - « Ф 1/2+ - ^ 111 t‘/2d w = + - | - ^ 3/2+ •••)■ (14-52) При решении практических задач иногда может возникнуть не^ц обходимость в представлении функции влажности через у и t, т. а w = w (y , i). Покажем возможность построения такого решения. Удельная потеря на фильтрацию в этом случае будет связана функцией влаж ности зависимостью Уо(‘ ] ) Q (t})= f о Условие для определения неизвестных параметров а» в функции влажности при этом примет вид ,т уа(.0 ® e= 2 [ Q ( ^ ) — j W ^ ’ (III.53) j-l о где m — число выполненных в опыте измерений. Аппроксимирующую функцию примем в виде оо w (y , t ) = w n~ { w n — w 0)'î A k (yjyQ)k. k-\ Последняя функция должна удовлетворять следующим усло виям: до(0, 0 = ® п ; w\y0(t), А= ш0. Первое условие удовлетворяется тождественно, а второе дает *=1 оо откуда 2 А *= 1 ft~l Известно, что ft-1 ---------— = 1 > тогда Ак = —— — (й + 1)! (А т 1)! Поэтому функция влажности окончательно примет вид т(у, t ) = w . - ( w . - w 0) V ft-1 Подставляя (111.54) в условие (III.53) и введя обозначение ( t ‘ iy ^ *=1 112 (Ш.б4> получим фп= 2 ;'=i W = min. (111.55) Подставляя (I II .46) в (III.5 5 ), получим т Фп^ № . . . + V f )]2= m in . ( ^ - М к( а / / 2+ а 2^ (111.56) Удовлетворение условия ( I I I .56) приводит к следующей системе ли нейных уравнений относительно постоянных а с т 1 дФп - = 5 ^ [ Q ( ^ ) - ^ ( « 4 /2+ ^ + • • • ) ] * f 2- 0 . 2 <?а„ ___ 2/г /-1 (III. 57) Решая полученную систему (III.57), устанавливаем значения постоянных a it а следовательно, и функцию (111.47), определяющую фронт смачивания при инфильтрации. Функция влажности по изве стным фронтам смачивания при этом определится зависимостью (111.54). Изложенный выше метод может 'быть распространен также для. случая увлажнения неоднородных (многослойных) грунтов. Рассмот рим непрерывное замачивание толщи грунта, сложенной из k одно родных слоев. Аппроксимирующую функцию влажности для рас сматриваемой толщи грунта представим в виде y (w , t'42, 1- (III. 58) ■ г-i где k — номер слоя грунта (й = 1 , 2, 3,...). Начальные и граничные условия задачи примем следующие: на поверхности толщи грунта у = 0 влажность равна w = wn— w 0\ на П фронте смачивания У — — приращение влажног=1 с i n w — 0. Если известен промежуток времени процесса инфильтрации и каждом слое грунта, т. е. для первого слоя t = t a, с числом изме рений фильтрационной потери <2(^а),д л я второго слоя t = с числом' измерений Q(fp) и для k-ro слоя t = tn с числом измерений Q (£ „ ),to , согласно ( I I I .58) и (II 1.56), будем иметь % = 2 [Q W ~ ^ j -1 А 4 /2+ 1 4 у+ •••+ № 113 rain. Определив минимумы функций Д1> ( 1) Ф 2 [ а \ 2) а (22), . . . , й42)], • • ■ , ], (*)т Фk [a\k\ получим ^-систему, в которой каждая из k будет иметь систему уравнений с неизвестными параметрами п. Введем прежние обозна чения: (£)_ А\- В (*). ^j f i ip 2 а, Р, 7-1 2 QV j V j =i где 1, 2, . . , а, Т = 7 = 1 , 2, . . ■ , я; j = 1, 2, . Р, .1, 2, . • , л. Тогда для первого слоя грунта получим следующую систему для определения неизвестных параметров а\1): / Я , а<11> + Л Й ) ^ 1)+ . . . + ^ ‘ >а‘ 1>= ^ 1> (/ = 1 , 2 , . я). Д ля второго слоя будем иметь Л Й М ’Ч л Ц ’ а У Ч . . . + А® Д ля k -то слоя грунта система имеет вид А\?а[к>+ А & а ? )+ • • . + А\Уа™ = 1#\ Решение каждой полученной системы дает значение неизвестных параметров соответственно k -шу слою г значение ш. Подставляя значения параметров в (III.58), получим закономерность распрост ранения влаги в каждом слое увлажняемой толщи грунта. Т абли ц а III.2 Число измерений tj, сут Q (tj), м 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 5 6 7 9 14 22 0 ,3 0 0 ,7 0 1 ,0 6 1 ,3 2 1 ,4 7 1 ,7 2 1 ,8 0 2 ,6 0 114 Пример 111.6. Рассмотрим по левые опыты, проведенные Е . Н. Сквалецким (1954) в Гарауте на характерных лессовых грунтах юго-запада Таджикистана. Увлаж нение толщи грунта производилось с помощью котлована с размерами в плане 5 4 X 2 4 см в течение 70 сут. Физическая характеристика грун тов следующая: естественная влаж ность до глубины 14 м — 3% , до глубины 21 м — 10% ; пористость с поверхности грунта до 21 м — 52 %, а с глубины 21 м — 42% ; объемный вес скелета грунта ко леблется от 12,5 до 15,3 кН/м*; удельный вес в пределах 25,9— 27,3 кН/м3; максимальная молекулярная влагоемкость равна 16— 18% . Мощность толщи просадочных лессов составляет 28 м. Столб воды в котловане в процессе увлажнения поддерживался постоянным (0,8 м). Просадка начиналась через сутки после подачи воды, и общая величина ее составила 69 см. Анализ данных влажности показал, что просадка начиналась при влажности, близкой к значению максимальной молекулярной влагоемкости грунта. Полная влагоемкость грунта шп = 0,4, а естественная весовая влажность, средняя по глубине, що= 0 ,0 5 . Результаты подсчета замеренных в опыте удельных фильтрационных потерь сведены в табл. III.2. Решим задачу, ограничиваясь тремя членами ряда (111.46). Количества замеренных в опытах фильтрационных расходов равно 8. Тогда п = Ъ ( i = l , 2, 3 ); т = 8 (/=1, 2, ..., 8). Согласно (111.48), имеем: / г= 2 С^п — ‘“ 'о) = 0 ,2 3 3 ; / 2 = 8 (дап — ®о) = 0 ,1 8 7 ; / 3 — (®п— w) = = 0 ,1 6 . Постоянные А ц и В ,, согласно (111.50), имеют значения: 8 ■Ли = / НуНП — Л (Hl-Cu + ^21*12 + . •■+ TJei'Oia) = Л (^1 + h + ••-+^8): 7-1 = 0 ,2 3 3 (1 + 2 + 5 + 6 + 7 + 9 + 14 + 22) — 15,40; 8 А 22 = / 2 ^ ^ 2 (U l2'® 21 + ^22^22 + • ■• + 'С8 2 т с 8 ) 7-1 = 0 , 1 8 7 ( 1 ? + tl + . . . + < § ) = 163,52; 8 = 0 , 1 6 ( 7 ? + 7| + . . . + i f ) = 2 3 7 0 ,7 2 ; 8 А\%= / 2 ^ Ч / 2 Т З / 1 = / 2 ( 412*11 + ^22*21 + . . . + = 7-1 = 0 ,1 8 7 (7 3/ 2 + 7f'2 + . . . + t T ) = 4 3 ,0 6 4 ; 8 8 А 13 = / 3 2 Т/зТ/Т = ^3 (*1 3 *1 1 + 'с23'с21 + • • • + T83T8 l) = * 7 -1 = 0 , 1 6 0 ( 7 ? + t\ + . . . + 7 g ) = 1 4 0 ,2 0 ; 115 Л31= Л 2 VJI — 1 1(Т11'®13 + ^Лгз + ••. + t 8iT83) = 7-1 = 0 ,2 3 3 ( / j + [tj + . . . + t2) = 2 0 4 ,4 0 ; x j i x j2 — / 3 (Т-Хз^12 + ^23^22 + . •• + ^вз^й) = ^23 — / 3 7 -1 = 0 ,1 6 0 ( 75/ 2 + t \ 2 + . . . + t f 2) = 5 5 0 ,0 0 ; •^32 — ^2 ^ xj2^j:i — 12 (33x2^13 + игг^гз + •••+ ^вг^вз) = 7 -i ■0 ,1 8 7 ( t f + t f -I- . . . + t\/2) = 6 4 1 ,6 6 ; Si —^ Q — Q (^1) + Q (^2) ^21 + ••• + Q (ê) êi — 7—1 ,;= Q (ti) t 1-2 + Q (t2) t f + . . . + Q (78) t f = 0 , 3 0 - 11' 2 + 0 , 7 0 - г 1''2 + + 1 ,0 6 -5 1/2 + 1 ,3 2 -6 1/2 + 1 .4 7 -7 1/ 2 + 1 ,7 2 -9 I/2 + 1 , 8 - 141/2 + 2 , 6 - 2 2 l/2 = 31-.90. B2 — 2 Q V i ) xj2 = Q ( h ) T 12 + Q Щ ) T>22 + ••- + Q (ts) T82 = /“ 1 = Q («“I) ti + Q ( t 2) t2 + . . . + Q (78) 7 8 = 1 2 3 ,1 0 ; 8 S3 = 2 Q (tj) t / 3 = Q (^1 ) + Q (^2 ) H23 + . . . + Q (^8) П3 3 = 7=i ( 111. 59) = Q (*i) 7 f + Q ( h ) fi’ 2 + . . . + Q (ts) i f = 4 6 8 ,1 0 . Подставляя вычисленные значения Aij я B t в (111.51), относительно неиз вестных параметров щ, а 2, а 3 получим следующую систему уравнений: 15,40ах + 4 3 ,0 6 д 2 + 1 4 0 ,0 2 а 3 = 3 4 ,9 0 ; 5 3 ,83а х + 1 6 3 ,5 2 а 2 + 5 5 0 ,0 0 а 3 = 1 2 3 ,1 0 ; 2 04,40ах + 6 1 1 ,6 6 а 2 + 2 3 7 0 ,7 2 а 3 = 4 6 8 ,6 0 . Решая последнюю систему, имеем ai = 2,00, a2= 0 ,0 7 ; a 3 = 0,0003. Тогда окончательное решение задачи примет вид y (w , [ t ) ~ 2 1■ Wa — Wо ^ + 0 ,0 7 -0 ,0 0 0 3 [ l - ( ------- L \®п — W0 t = (Ш .60) 116 Изменение удельной фильтрационной потери во времени определится выра жением - 0 (0 - »0 5 .(/)(» , * ) dw = (г»п — ® о )( !,3 3 ^1/2 + 0 ,0 7 * — 0 ,0 0 0 3 * 1/2) . ( I I I .61) о” Фр. шт смачивания согласно (111.47) определится формулой (III. 62) (О = 2 *1/2 + 0 ,0 7 * — 0 , ООО*3/2. Легко заметить, что при малых и при больших значениях времени некоторые члены в (111.60), (111.61) и (111.62) становятся пренебрежимо малыми по сравне нию с другими. Поэтому в практических расчетах достаточно ограничиться двумя членами в разложении (111.60). Тогда расчетные формулы примут вид: V (w, *) = Я1 W У ,1/* + вф _ г )Т '! ’п— щ ) а (*) = (w n — ш0) ^ |-в1*1/2+ U*o(*) = aj*1/2 + а $ . 15 <22* ( I I I .63) ( I I I .64) (III. 65) При малых значениях *, когда движением влаги в основном управляют нлеорбционные силы, доминирующее значение имеют первые члены в формулах ( 111.63) — (111.65). С течением времени, по мере увеличения значений капилляр ных и гравитационных сил, влияние вторых членов в (111.60), (111.61), (III.62) ■становится ощутимым. На рис. Ш .12 построены закономерности Т а б л и ц а II 1.3 изменения профиля влажности, а на рис. 111.13 — фронта смачива Q (tj), и t j , сут Число измерений ния но времени. Как видно из графика рис. 111.13, влажность грунта в преде 1 ,4 3 I 1 ,4 лах зоны распространения инфиль2 3 ,0 2 ,5 транионного потока не постоянна 3 5 ,0 3 ,4 5 но глубине и во времени. Степень 4 4 ,6 1 7 ,6 наполнения пор водой убывает в 5 1 0 ,2 5 ,6 6 направлении движения инфильтра1 4 ,2 6 ,7 6 6 шюппого потока. Влияние третьего 7 ,4 5 7 17,1 члена в (III.60) и (111.62) сказы 8 19 ,5 7,88 вается начиная с * = 5 сут. При 9 2 4 ,3 8 ,1 2 ■ном ограничение двумя членами в 10 3 3 ,0 8 ,3 9 (111.62) дает на глубине фронта 11 4 4 ,7 8 ,6 7 <м,питания погрешность 2% . Наи 12 5 0 ,5 8 ,7 7 большая погрешность при опреде 8 ,8 4 13 лении фронта смачивания (4% ) 5 9 ,3 лопигается при * = 2 2 сут. Вычисление показывает, что на величину фильтрационной потери сушественП". влияние оказывает первый член в формуле (III.6 4 .). Второй же член этой формулы оказывает практическое влияние также начиная с 5 сут. При этом перin.iii член в (111.64) дает погрешность на 1,7% , с учетом же второго члена указанп.ш погрешность составляет 4,24% . Пример 111.7. Определим закономерности увлажнения толщи просадочных |р\пхни Мингечаура по данным полевых опытов Н. А. Сулейманова (1 967). Опыты были проведены на южном склоне горы Боз-даг, на трассе Верхне!■ (ыл.чхекого канала. Условия этого опыта и физико-механические характеристи ки 1 руптов опытного участка приведены в гл. IV. Средняя естественная влажность п iki.hi.iя влагоемкость по глубине приняты равными: tno= 0 ,1 8 ; шд = 0,40. ЗамеI" иные н опытах значения удельного фильтрационного расхода приведены I 1.41,1. Ш .з. 117 Я ти <U^ я(Xfj О V- tU 2s < y со 0s7 J. fct я a. К /-Ч. Он CD I g > .. * щCU2 w я s Iо£ °x £Я ^ я я Я CQя gv н Я ** £ >» . я » wS ^ £ "■; u о ~ Я Мя S н * и яg О О S р . . ? 1 СЦ'&о я <и яs Я О ' <У СО S ГГ) я Я о» я я н я ОVO 2 я >> еО 07ни я о о я я С к Я ь ЯО ^ 2я сч % —« я н-; ч >—* со . w d Ч я я CU*в- 5« Я >».. S $*- Данные табл. III.3 показывают, что весь процесс увлажнения условно можно разделить на два периода. В течение первого периода, длившегося 24 сут, процесс инфильтрации характеризуется впитыванием влаги в сухой грунт и интенсив ностью поглощения воды с течением времени. Второй период характеризуется умеренной фильтрацией, в течение которого количество профильтровавшейся виды уменьшается пропорционально во времени. Согласно данным опыта, определим закономерности увлажнения опытного участка, ограничиваясь двумя членами ряда функции w(y, t) в (III.54 ). В отличие от предыдущего примера аппроксимирующую функцию влажности примем в виде w (у, t) = wa— (wn—w0) ^ — (yimf- k=i При этом фронт смачивания, согласно (III.4 7 ), определится выражением Уо ( 0 = а у 1/2 + a 2t. Вначале задачу решим для первого периода увлажнения ( 0 < f < 2 4 , 3 ) . Тогда / 8, t=2, 6 = 2. При этом имеем М 2 = wa — (wa — wo) j = 0 , 4 — ( 0 ,4 — 0 , 1 8 ) ^ = 0 ,3 2 . Определим значения постоянных А ц и В ц по данным опытных замеров: 8 t j = М 2 { t \ ~Ь ^2 “г •. • + А ц — М-2 0 ,3 2 * 7 8 ; " 8 А п = А12 = М2 ^ t f = М2 ( t f + t f+ . . . + t f 2) = 0 ,3 2 - 2 8 1 ,9 ; 7= i 8 Л>2= м22 + 4+ ... + ф= 0 , 3 2 - 1 0 7 1 ,9 ; 7 -1 8 Si = 2 Q( f7) 4/2 = о ( 4 ) ^1/2 + 0 (^2) 4/2 + . . . + Q (t2) t f = 1 3 5 ,6 ; 7-1 8 S2 = 2 Q ( O ) 0 = Q ( * 1 ) t i + Q ( t 2) t 2 + . . . + Q (7e) r8 = 4 9 6 , 6 . 7 -1 Подставляя вычисленные значения постоянных и в (II I.5 7 ), получим следующую систему уравнений для определения неизвестных параметров ац и а2: 78 a i + 2 8 1 ,9 a 2 = 1 3 5 ,6 /0 ,3 2 ; 281.9Д1 + 1071 ,9 д 2 = 4 9 6 ,6 / 0 ,3 2 . Из последней системы вычислены ai = 3,8; « 2 = 0 ,5 . Фронт смачивания при этом будет равен У о (t) = 3 , 8 £ + 0 ,57. Удельный фильтрационный расход составит Уо(0 Q ( t) = j w ( y , t ) d y = 1,2167 1/2 + 0 ,6 7 . о 119 Построим закономерности увлажнения толщи грунта для второго период^ ( 2 4 ,3 < 7 < 5 9 , 3 ) . Согласно данным табл. III.3, А1 = 0,32, а коэффициенты Ai j и В определяются значениями: 13 А ц = M<i tj — Мп (7д + По ~г ••■ + ^1 з) = 0 ,3 2 -2 1 1 ,8 ; 7=9 13 А 12 = А 21 = М 2 2 i f = Л12 ( И39/2 + t%2 + . . . + t%2) = 0 ,3 2 -1 4 2 3 ,7 7 ;. 7=9 13 А 22= М 2 ^ t ) = M 2 ( t \ + t\Q+ 7 -9 3) = 0 ,3 2 -9 7 4 4 ,3 2 ; 13 Bi = 2 Q V i ) i f = <3 (*9 ) 4 /2 + Q (iio) i f + . . . + Q (Пз) = 2 7 6 ,5 9 4 ; 7=9 13 Q { i f ) i j = Q (*э) ^9 + Q { i i o ) i i o + ■B2 — ^ ••• + Q ( i 13) ^13 = 1 8 2 8 ,8 3 2 . 7-9 Подставляя вычисленные значения постоянных Л,-3- и B i в (III.5 7 ), получим следующую систему уравнений: 2 1 1 ,Ъа[ + 1 4 2 3 ,7 7 4 = 2 7 6 ,5 9 4 /0 ,3 2 ; 1423,77*1 + 9 7 4 4 ,3 2 * 2 = 1 8 2 8 ,8 3 2 /0 ,3 2 . Значения неизвестных параметров из последней системы определены равны ми: a i '= 7 ,5 ; a f = — 0,5. Для второго периода увлажнения фронт смачивания равен ! f o ( 0 = 7 ,5 7 1/2 — 0 ,5 7 . Выражение удельного фильтрационного расхода при этом будет иметь вид Уо ( { ) Q (О = \ w { y , t ) d y = 2 , 5 t v2 — 0 ,1 8 / . о Анализ процесса увлажнения по полученным результатам может быть про изведен так же, как и выше. § 111.11. Расчет конечной просадки в условиях природного напряженного состояния В условиях природного напряженного состояния деформациюпросадки будем рассматривать одномерной, происходящей в услови ях компрессии, т. е. при отсутствии бокового расширения грунта. Такая деформация будет иметь место в случае увлажнения толщи лессового грунта с помощью котлована, имеющего размеры в пла не не менее -мощности просадочного слоя грунта. На глубине у ни ж е горизонта действия начального давления просадочности уа -вы делим элементарный слой увлажняемого грунта высотой dy (см. рис. I I I.8 ). Относительная просадка рассматриваемого грунта, рабо 120 тающего в условиях отсутствия боковых деформаций, определится иыражением dy где ро и т 0 — параметры нелинейной деформируемости рассматри ваемого грунта в водонасыщенном состоянии. Конечная абсолютная просадка всей толщи лессового грунта мощностью Н в условиях непрерывного увлажнения определится выражением я я Дd y = j $(Pm°dy Уп или я А( Я — y n) = S K= j %cm°dy. уа В условиях природного напряженного состояния изменение уплот няющей нагрузки по глубине без учета «арочного эффекта» при про садке можно определить по обычно применяемой в механике грун тов формуле о —упУ- Тогда выражение конечной просадки примет ЛИД S k= lU v jP 'd y - (Ш .66) Уп В случае однородной толщи лессового грунта, когда значения параметров нелинейной деформируемости Ро и т 0 по глубине могут быть приняты постоянными, выражение ( I I I .66) для определения конечной просадки примет вид 5 , = 1+т 0 Н ' + ”ь [ \ - ( у а1 Н ) ' + " ‘). (111.67) В случае неоднородного лессового грунта, когда расчетные его параметры изменяются по глубине, в расчет можно ввести средне взвешенные значения этих параметров по формулам: n0 Po“ По 2 Роу*/ i-i 2 то1hi i - i _______ П0 2 hi 1-1 По 2 ni i-i ’ П0 2 VhI h i . Irl По 2 1-1 121 hj (III.68) Для определения конечной просадки характерных лессовыщ грунтов, имеющих большие мощности ( # > 2 0 м ), можно рекоменгз довать приближенную формулу 8nvm°_______ S„ = —3 1+т 0 (III.69) Д ля прогнозирования конечной величины просадки неоднород ных слоисто сложенных лессовых грунтов значительной мощности может быть использована формула п° 8 .ут0 jL k 1 + m oj (III. 70) 7= 1 где п — количество неоднородных слоев грунта; hj — толщина этих слоев. Просадка в некоторых случаях может быть представлена как деформация самоуплотнения увлажненного лессового грунта, поэ тому ее расчет можно произвести, исходя из предположения о ли нейной связи относительной просадки с действующим напряжени ем. Такое первое, грубое, приближение равносильно принятию зна чения параметра деформируемости грунта т 0= 1 . Тогда расчетная формула (III. 67) примет вид S * = ^ f-U \ -y li№ ). (IH-7IJ Верхняя граница области просадки, согласно (III.7 ), определит ся формулой 1 ( - ^ L ). Уп-- Yh (III.72) В случае, когдаглубина уа по сравнению с мощностью просадоч ного слоя грунтаН незначительна, можно пользоваться упрощен ной формулой 5*= Yh# 2 2 Легко можно заметить, что выражение - i - y H//2 представляет собой площадь эпюры изменения уплотняющего давления от соб ственного веса грунта по гидростатическому закону в пределах однородной_ мощности просадочной толщи. Обозначив это давле ние через (ТСр для прогнозирования величины просадки, получим упрощенную формулу 5 й= асрРо. 122 (111.73) Просадку неоднородной толщи лессового грунта можно опре делить по формуле По (III.73') ;=1 где Оср — равнодействующая уплотняющего давления от собствен ного веса грунта в пределах /-го слоя; Poj — параметр деформи руемости /-го слоя грунта, определяемый по данным компрессион ных испытаний. Пример I I I .8 . Достоверность полученных расчетных формул проверим по релультатам натурных экспериментальных исследований, изложенных в § II.2. Произведем расчет ожидаемой величины абсолютной просадки грунтов опыт ного участка по формуле (111.69). Значения параметров нелинейной деформируе мости грунтов каждого слоя толщи опытного участка представлены в табл. III.4. Т абли ц а III.4 Значения параметров деформируемости грунтов опытного участка Параметры де< юрмируемости № слоев Мощность слоя /1 -, см 1 2 300 300 3 4 5 200 200 Р, (М П а) 400 400 400 800 6 7 8 т 0 ,3 2 5 0 ,1 6 4 0 ,1 4 0 0 ,1 1 2 0 ,0 8 0 0 ,0 6 6 0 ,0 6 2 0 ,0 4 6 т. 1 ,1 7 0 1 ,1 6 3 1,150 1 ,1 3 6 1 ,0 9 8 1 ,0 6 2 1 ,0 2 6 0 ,9 9 9 Средневзвешенные значения параметров деформируемости толщи грунтов опыт ного участка, определяемые по формулам ( 1 1 1 .6 8 ), равны: _ 3 0 0 ( 1 ,1 7 + 1 ,1 6 3 ) 4 - 2 0 0 ( 1 ,1 5 + 1 ,1 3 6 ) + 4 0 0 ( 1 ,0 9 8 + 1 ,0 6 2 + 1 ,0 2 6 ) + 8 0 0 -9 9 1 т ,) ~ ‘ 11 300 + 300 + 200 + 200 + 400 + 400 + 400 + 800 = 1,07;1 “ 3 0 0 (0 ,3 2 5 + 0 ,1 6 4 ) + 2 0 0 ( 0 ,1 4 + 0 ,1 1 2 ) 4 - 4 0 0 ( 0 ,0 8 + 0 ,0 6 6 + 0 ,0 6 2 ) 4 - 8 0 0 •0 ,0 4 6 ' 300 + 300 + 200 + 200 + 400 4- 400 + 400 + 800 _ = 0 ,1 0 6 МПа- 1 ’07. Верхнюю границу области просадки, т. е. глубины, начиная с которой в усло виях природного напряженного состояния возникает просадка грунта, опреде ляем по формуле (III.7 ). Среднее значение объемного веса грунта в водонасышгшюм состоянии в пределах верхних двух слоев толщи будет равно у„ = 0 , 5 ( 1 8 , 6 6 + 1 9 ,2 1 ) = 1 8 ,9 4 кН /мз. I in да, согласно (III.7 ), будем иметь 1 / 0 , 0 1 41/1,07 Таким образом, согласно расчету, просадка в грунтах опытного участка воз никает начиная с глубины 5 м. По данным же отметок глубинных марок, как было отмечено в § II.2, в проведенных опытах для глубины уп было установлено ориентировочное значение 450 см. Начальное давление для грунтов опытного участка определится значением: <гн = 7 ^ = 18.94'5 = 94,7 кН/м2 = 0,0947 М Па. Величина абсолютной просадки толщи грунтов опытного участка по формуле (111.69) будет равна 0 ,1 Об (0 ,0 0 1 8 9 4 )1’07 — ---------------------- 1 1т 1.о/ (3 0 0 0 )1+ 1>°7 = 9 8 ,5 см . Сравнивая полученное значение просадки с опытным, можно заметить, что в отличие от формулы (1.5) СНиП II-15— 74 формула (III.69) дает завышенное значение просадки на 2 2 ,8 %, т. е. прогнозирует просадку с определенным запа сом. Пример III.9. Требуется прогнозировать величину ожидаемой просадки при увлажнении однородной толщи лессового грунта мощностью Я = 2 0 м. Расчет про изведем по формулам (111.71)— (III.7 3 ). Характеристики грунта следующие: |5о=0,014 М П а-1 , ун = 18,8 к Н / м3. Верхняя граница области просадки определяется по формуле (111.72): _1 I/_ 0,01 0_,01 \ !/п = — ( щ ) = 0 ,0 0 1 8 8 \ 0 , 3 80 см. Величина ожидаемой просадки по формуле (111.71) определится значением s .0 ,0 0 1 8 8 (2 0 0 0 )2 л гГ ------:-------- J ; -------I— 0 ,0 1 4 1 — 2 L 3802 т 20002 J = 5 0 , 6 см . Согласно формуле (111.73), имеем у нЯ 2 0 ,0 0 1 8 8 ( 20 0 0 )2 = осрРо = — ц— Ро = -------------- 1)--------------- 0 ,0 1 4 = 5 2 ,6 см . § 111.12. Расчет конечной просадки в основаниях зданий и сооружений Расчет конечной просадки в основаниях зданий и сооружений в общем случае должен производиться с учетом действия трех нор мальных составляющих давления. Однако для простоты задачи, так же как при расчете осадки фундаментов, можно исходить из од номерной задачи уплотнения грунтов при просадке. Очевидно, ус ловия применения такого расчета должны быть оценены в зависи мости от отношения ширины подошвы фундамента к мощности про садочного слоя грунта. Если площадь подошвы сооружения доста точно велика, а мощность просадочного слоя грунта незначительна, то без существенной погрешности для прогнозирования величины ожидаемой просадки можно исходить из использованной выше зави симости (III.2 ) между относительной просадкой и уплотняющей на грузкой. При этом расчет, по существу, сводится к определению ожидаемой величины деформации основания сооружения по усло вию невозможности бокового расширения грунта при просадке. Следует, однако, отметить, что влияние бокового расширения грунта 124 при просадке в силу специфической особенности природы этой де формации будет значительно меньше, чем при расчете осадки обыч ного непросадочного грунта. Итак, исходя из нелинейной деформируемости лессового грунта при просадке, общее выражение просадки основания можно пред ставить в виде hs 5 С= j' $omd y , о где h s — расстояние от подошвы фундамента до нижней границы области просадки. Рис. I I I .14. Расчетная схема для определения нижней границы области просадки в основаниях зданий Рис. I I I .15. Определение различных зон деформаций в основаниях зданий путем графического ио строения Просадка в основаниях, сложенных лессовыми грунтами первого* типа по просадочности, возникает в области, непосредственно при мыкающей к подошве фундамента в пределах границы Н ф ^ у ^ У в (рис. I I I .14). Для определения нижней границы области просадки исходной зависимостью может служить известная формула для рас пространения дополнительной нагрузки в основаниях зданий и со оружений: °у = а (Ро — Рв) = а(У) (Ро — уАф). (111.74) где ро — среднее фактическое давление на грунт под подошвой фун дамента от нормативных нагрузок, не превышающее нормативного давления для неувлажненного состояния рассматриваемого лессово го грунта основания; а (у) — коэффициент, характеризующий из менение дополнительного давления в грунте по оси сооружения, учи тывающий форму .подошвы фундамента. 125 С учетом действия собственного веса грунта формула ( I I I .74) примет вид 3г/= а(У )1>-у/ 'ф )+Т(г/ + Лф). (III.75) Учитывая, что мощность зоны просадки по сравнению с мощ ностью сжимаемой толщи основания (активной зоны) невелика, криволинейную эпюру распределения внешнего давления в преде л а х этой зоны заменяем прямолинейной (рис. III. 14). Коэффициент рассеивания давления в грунте основания при этом определится по формуле 1 — си а ( у ) = 1 -------Л0 где а h0— значение коэффициента а на нижней границе сжимаемой толщи; А0 — нижняя граница сжимаемой толщи, определяемая для лессового основания так же, как для обычного непросадочного грун та. Формула ( I I I .75) с учетом принятого допущения примет вид ау===(Рй~У^ф)1^ - yj~{~Y(y-\-hф)- На нижней границе области просадки (y = h s) суммарное давле ние от внешней нагрузки и собственного веса грунта должно равгняться величине начального давления, т. е. ( ро — Y ^ ) ( 1 - - 1 ^ - h° h^ + У ( ^ + лф)=0Г«Решая последнее уравнение относительно h s, получим следую щую формулу для определения нижней границы области просадки: (Ро — У ^ ф Ж 1 — а й„ ) - у А 0] Ро — 0,01 у/ячл Ро ‘Согласно существующей методике, имеем условие (Р о — Укф) = откуда а йо 0 , 2 у? 10, 0,2 y h Q Ро — yV С учетом последнего выражения формула для определения ниж ней границы области просадки окончательно принимает вид (Р о — Y M — l , 2 y h 0 Ро — , 0,01 \1/т0‘ , - (III.76) Из формулы ( I I I .76) видно, что если удельное давление по по дошве фундамента принято равным начальному давлению, то про садка в основании будет отсутствовать, так как при этом получим h s = 0. Поэтому для грунтовых условий первого типа по просадоч126 ности одним из эффективных мероприятий может служить умень шение удельного давления по подошве фундамента. Площадь по дошвы фундамента при назначении этого мероприятия будет равна (III.77) щ е 2 jVh— сумма вертикальных нормативных нагрузок, включая вес фундамента. Зная нижнюю границу области просадки, согласно вы ражению о можно установить формулу для прогнозирования ожидаемой про садки в 'основаниях зданий и сооружений. Раскрывая интеграл в последнем выражении в предположении постоянства параметров нелинейной деформируемости грунта в пре делах небольшой зоны просадки, после несложного преобразования получим следующую расчетную формулу: Мо (1 + Щ ) ((Ро — Уйф) — 1 >2 у*о] X 1.2уй0 — (Ро — уйф) h 1 1+ m« U S (III.78) Д ля прогнозирования общего значения ожидаемой деформации основания, сложенного лессовыми грунтами, необходимо предвари тельно выявить возможность проявления в основании просадки от действия собственного веса грунта, веса сооружения, деформации обычной просадки, а также границы области этих деформаций. Д ля этой цели можно использовать графический метод. По формуле (111.74) в зависимости от формы и размеров подош вы фундамента строят эпюру распределения уплотняющей нагруз ки по глубине от действия веса сооружения (рис. III. 15, кривая /— 2). Затем на этом же чертеже в выбранном масштабе строят эпю ру распределения уплотняющего напряжения от действия собствен ного веса грунта (прямая 3—4). Суммируя соответствующие орди наты обеих эпюр, получаем результирующую эпюру распределения напряжений по глубине основания от совместного действия веса со оружения и собственного веса грунта (кривая 5— 6). Далее, поданным соответствующих компрессионных испытаний определяют значения параметров нелинейной деформируемости грунтов осно вания, согласно которым по формуле (II 1.8) вычисляют начальное давление. На расстоянии сгн проводят параллельную оси Оу линиюначального давления (прямая 7— 8). Пересечение линии начально го давления с результирующей эпюрой уплотняющей нагрузки оп ределяет в общем случае три характерные зоны деформации грун тов основания: 127 I зона — зона просадки от совместного действия веса сооруже ния и собственного веса грунта, простирается от подошвы фундамен та до первой точки пересечения линии начального давления с ре зультирующей эпюрой нагрузки. . II зона — зона, в которой практически отсутствует деформация просадки (пассивная зона). Она находится .между двумя граница ми пересечения линии начального давления с результирующей эпюрой нагрузки. III зона — зона просадки от действия только собственного веса грунта и в отдельных случаях также от внешней наг.рузюи. Следует отметить, что наличие перечисленных видов деформа ций лессового прунта в основании впервые экспериментально было установлено В. И. Крутовым (1962). Пример III.10. Требуется рассчитать возможную величину деформации лессо вого основания прямоугольного фундамента при увлажнении. В основании фунда мента с размерами подошвы 2 X 2 м и глубиной заложения Л ф = 1 м залегает 25-метровая однородная толща лессового грунта. Суммарное вертикальное нор мативное давление, с учетом веса фундамента передаваемое на основание, равно 400 кН. Объемный вес грунта однородной толщи основания принят равным 15,1 кН/м3. Параметры нелинейной деформируемости по данным компрессионных испытаний установлены равными: р0= 0 ,2 4 9 М П а-1 '25; т 0= 1 ,2 5 . Начальное давле ние, найденное по формуле (II I.5 ), равно 0 ,0 1 0 ,2 4 9 \ 1/1,25 ' = 0 , 0 7 6 М П а. Верхняя граница области просадки при этом определится значением 1 / 0 ,0 1 \Утл 1 ( 0 ,0 1 N1/1.25 Уп = — I —^----= --------------= 500 с м . а у V Ро / 0,0 0 1 5 1 ( 0 ,2 4 9 / Величина ожидаемой просадки от действия ло формуле (111.69) равна * = 1 + /яр только я 1 + , о = - ^ I W O I S D 1'25 1 + 1 ,2 5 собственного веса грунта (2500)1+1,25к 82 см . Нижняя граница сжимаемой толщи (Н ГС Т ), определяемая согласно дей ствующему СНиПу, составляет А0 = 330 см. Нижнюю границу области просадки от совместного действия веса здания и собственного веса грунта вначале опреде лим графическим способом. Для этого построим эпюры уплотняющей нагрузки от собственного веса грунта, от внешней нагрузки и суммарную результирующую эпюру (рис. 111.16). Проведя параллельно оси вертикальную линию начального давления, пересекаем суммарную эпюру напряжения в двух точках: первая верх няя точка определяет положение нижней горизонтальной границы области про садки от совместного действия веса здания и собственного веса грунта, равной As = 1 7 5 см, вторая нижняя точка определяет нижнюю границу пассивной зоны. Поскольку НГСТ проходит ниже нижней границы пассивной зоны, то в пределах полосы толщиной 330— (1 7 5 + 1 2 5 ) = 3 0 см под действием собственного веса грун та и давления от здания может наблюдаться просадка. Обозначим величину этой деформациигрунта через S c ", адеформацию просадки в пределах первой зоны — через S c'. Тогда суммарная величина просадки определится в виде S c = S c ' + S c". Величину просадки в пределах первой зоны определяем по формуле (111.78): , S° = 0 ,2 4 9 -3 3 0 ________ Г / (1 + 1 ,2 5 ) ( 1 ,2 -0 ,0 0 1 5 1 -330 — 0 ,8 4 9 ) Ц / + + 1,2-0,00151^-0,849 _ ll+1,*j = 2>25. 128 Просадка 30-сантиметровой полосы грунта будет равна S c" = 0,41 см. Общая величина ожидаемой деформации основания составит 2 5 = 8 2 + 2 ,2 5 + 0 ,4 1 = 8 5 см,. Пример 111.11. Требуется прогнозировать просадку в основании ленточного фундамента шириной подошвы 2 0 0 см. Известно: Л ф = 1 0 0 см; Н —2500 см; уи = = 15,1 кН/м3, р о = 0 , 2 М Па; р0= 0,14 М Па- 1 ’25; т 0= 1 ,2 5 . Начальное давление по формуле (III.5) будет равно Верхнюю границу области просадки от действия собственного веса грунта находим по формуле (III.7 ): р0-Рб=о,т9Мпч Рис. II I.17. К примеру расчета Рис. I I I .16. Границы различных зон деформаций в основаниях здания (к примеру 1 1 1 . 1 0 ) 111.11 Нижняя граница сжимаемой толщи (Н ГС Т) по рекомендации СНиП II-15— 74 установлена h 0= 820 см. На рис. 111.17 построены эпюры распределения давления от собственного веса грунта, от веса здания и суммарного давления. На этом же рисунке проведена вертикальная линия начального давления, которая не пере секает эпюру суммарного давления, поэтому общая деформация основания при увлажнении будет складываться: а) из просадки от действия веса здания (в пределах области от /1ф= 1 0 0 см: до £/ц=500 см ), определяемой по формуле (111.78): 0,014-820 (1 + 1 , 2 5 ) ( 1 , 2 - 0 , 0 0 1 5 1 - 8 2 0 — 1,849) 500j 5— 72 4 129 2,0 + - 22,25 — 15,47 см; б) из просадки от действия веса здания в пределах области от г/д = 500 см до Ло= 8 2 0 см: 5 = (1 + т 0)[1,2у„Л0 — (дэ — дб)] (Р о — Р б ) — 0>2ун^о Р 0 "+■ Т н й п h0 0 ,0 1 4 -8 2 0 ( 1 + 1 ,2 5 ) ( 1 ,2 -0 ,0 0 1 5 1 -8 2 0 — 1,849) — 2 ,0 + 0 ,0 0 1 5 1 -5 3 0 - (1,2у„Лэ + у„Лф)1+т0 1+т0 i7ll (1 ,2 -0 ,0 0 1 5 1 - 8 2 0 + 0 , 0015Ы О О )1+ 1’25 — 1 , 8 4 9 - 0 , 2 - 0 ,0 0 1 5 1 - 8 2 0 . U+1,25 = 8 ,7 4 см; 500 820 в) из просадки от действия собственного веса грунта (в пределах от Л0= — 820 см до # = 2 5 0 0 см ), определяемой по формуле (111.67): 0 ,0 1 4 (0 ,0 0 1 5 1 ) 1,25 1 + 1 ,25 ■(2500) 1 + 1,25 1■ 820 2500 \1 + 1,25 = 7 5 ,1 3 см . Суммарная величина деформации основания будет 2 -S = S ' + S ’ + S K S ЮО см. § 111.13. О характере просадочных деформаций в основаниях сооружений При расчете дополнительной осадки предполагалось, что грунт при увлажнении основания деформируется только в вертикальном направлении; боковые деформации грунта при этом не принимались во внимание, т. е. при расчете пренебрегались деформации грунта от действия горизонтальных составляющих уплотняющих напряже ний, т. е. не учитывались изменения коэффициента пористости грун та, происходящие от действия суммы главных напряжений. Поэто му рассмотренный метод определения дополнительной осадки осно вания по условию невозможности бокового расширения грунта должен привести к некоторым заниженным показателям. Как пока зывают результаты сравнения многочисленных расчетов с натур ными данными, компрессионные испытания дают заниженное пред ставление о величинах дополнительных осадок сооружений, возни кающих при увлажнении лессовых грунтов, на которых они построе ны. Такое несоответствие объясняется влиянием бокового уплотне ния грунта в основании. Наличие боковых деформаций грунта при просадке фундаментов отмечается также в работах А. О. Потоцкого, М. Н. Гольдштейна, В. Н. Голубкова, А. А. Григорьяна, В. И. Кру това и др. Между тем в литературе существуют самые противоречи вые мнения по данному вопросу и поэтому представляет интерес проанализировать его в свете новейших взглядов на явление про садки. Первыми опытами по изучению характера деформации лессовых грунтов в основаниях сооружений, по-видимому, являются полевые 130 исследования А. О. Лотоцкого (1934), проведенные им на лессовом суглинке Азовстали. Результаты этих исследований показали, что лессовые грунты при увлажнении деформируются в основании без бокового расширения; деформация в основном происходит только в вертикальном направлении. Исследования А. А. Григорьяна (1965), проведенные на лессовых грунтах Краснодара, показали так же, что деформация просадочного грунта в основаниях штампов различных размеров происходит за счет его уплотнения в пределах довольно ограниченной деформируемой зоны без выпора грунта в стороны. Аналогичный результат был получен В. Н. Голубковым, Ю. В. Тугаенко и С. С. Шеховцевым в работе (1963). Кафедрой ин женерных конструкций Грозненского нефтяного института под руко водством Б. И. Черного (1965) были проведены полевые опыты по уплотнению лессового основания весом сооружения при увлажне нии. Результаты этих исследований также показали, что при уплот няющих напряжениях порядка 0,1— 0,2 М Па боковые деформации грунта отсутствуют и просадка происходит за счет сокращения об щей пористости при вертикальном уплотнении. К таким же выводам приходит Н. Н. Фролов по результатам на турных исследований, проведенных им в Вахшской долине и Голод ной степи (1960). В. 3. Любимовым были проведены испытания лессовых грунтов Голодной степи и Яванской долины на просадоч ность под штампами различных размеров (1965). Результаты этих исследований показали, что в основаниях распластанных сооруже ний просадка происходит без бокового расширения грунта и в этих условиях работы основания компрессионные испытания дают резуль таты, совпадающие с натурой. Под узкими же фундаментами дефор мация просадки происходит с наличием выпора грунта в стороны. Имеющиеся материалы по среднеазиатским лессовым грунтам, в частности из Юго-Западного Таджикистана, свидетельствуют о том, что величина просадки, рассчитанная по данным компрессионных испытаний грунтов, обжатых давлением, равным природному, сов падает с фактически наблюдаемой при замачивании (X. X. Аскаров, 1964). По опытам с фундаментами размерами в плане 2 X 2 м, про веденным В. И. Крутовым (1964) в Никополе, фактическая просад ка оказалась в 2— 2,8 раз больше, чем расчетная с учетом реальных давлений при компрессионных испытаниях. Причину столь большого расхождения автор объясняет наличием бокового выпора грунта при просадке под штампами. В Горьковском инженерно-строительном институте И. В. Финаевым (1963) проводились экспериментальные исследования характе ра просадочных деформаций, результаты которых показали, что при малых размерах штампа существенное влияние на величину просад ки оказывают боковые деформации, составляющие примерно 50% полной просадки основания. Опыты И. Е. Раевского (1961), прове денные в полевых условиях штампами, показали, что лессовый грунт деформируется при замачивании как по вертикали, так и в стороны. По мнению Н. Я. Денисова (1951), осадки выстроенных на лессе и лессовидных суглинках сооружений связаны исключи 5* 131 тельно с уплотнением грунта и никогда не вызывались выпиранием грунта основания. Так, например, при проведении опытов с проб ным нагружением лессовых грунтов при больших осадках штампа всегда наблюдается образование вокруг него вертикальных стенок. На р»с. I I I .18 представлены линии равных вертикальных (про садок) (рис. I I I .18, а) и горизонтальных (боковых) перемещений a) f) Рис. I I I .18. Линии равных вертикальных и боковых перемещений при просадке основания сооружения в различные периоды его непрерывного увлажнения грунта (рис. III. 18, б ), построенные для трех периодов непрерывного увлажнения основания (по данным опыта С. К. Алиева, 1967). Как видно из графиков рис. I I I .18, характер изменения деформации ув лажняемого лессового грунта в основании штампа аналогичен ха рактеру развития деформации при осадке этого же грунта в осно вании при естественной влажности. Разница заключается лишь 132 в численных значениях деформации. Непосредственно под штампом просадка сохраняет постоянную величину. Таким образом, в основаниях штампа просадка развивается сверху вниз в соответствия с величиной влажности грунта. При замачивании основания сверху вниз верхний слой грунта обладает сравнительно повышенной влажностью и здесь имеет место концент рация напряжения. Оба эти фактора— .высокая влажность и повы шенная напряженность — создают благоприятные условия для воз никновения пластической деформации грунта, т. е. просадки. По ме ре насыщения основания-водой, в соответствии с эпюрой распреде- Рис. I I I .19. Линии равных просадок и боковых перемещений к моменту условной стабилизации просадки ления влажности фронт просадки продвигается вниз, приближа ясь к своей конечной нижней границе. Моменту стабилизации про садки основания соответствует некоторая стабильная во времени нижняя граница области просадки. В рассматриваемом опыте эта граница определена примерно на глубине За. В .полевых опытах В. И. Крутова (1964) при просадке лессовых оснований наблюдается также некоторая концентрация деформация сжатия в верхней ча сти грунта .по сравнению с расчетными величинами и, как следствие этого, уменьшение величины сжимаемой толщи. Таким образом, просадка фундаментов при замачивании происходит в основном за счет сжатия верхнего слоя грунта. На рис. III. 19 построены линии равных просадок (рис. III. 19, а) и боковых деформаций (рис. III. 19,6) к моменту условной стабилизации деформации основания (30 сут). Сравнения соответствующих кривых равных вертикальных и го ризонтальных перемещений грунта показывают, что при просадке величины горизонтальных составляющих перемещений значитель но меньше вертикальных. Сравнительно большие боковые переме щения грунта наблюдаются в углах загруженного штампа и состав ляют всего лишь 15% от величины вертикальных перемещений (про садок). Незначительные боковые .перемещения имеют место в обла сти несущего столба основания, где наблюдается максимальная просадка грунта. Как видно из приведенных данных, боковые пе 133 ремещения грунта при просадке имеют незначительную величину, поэтому 'рассмотрение просадки в основаниях сооружений в виде одномерной деформации не должно вносить существенной погреш ности в получаемые результаты. По-видимому, величину погрешно сти, вызываемой влиянием боковых перемещений, следует ставить в зависимость от степени просадочности лессовых грунтов; чем больше степень просадочности, тем меньше должна быть и величи на боковых перемещений. Интересно отметить, что расхождения между фактическими и расчетными величинами просадки наблюда ются также в условиях природного напряженного состояния грун та. Существо рассматриваемого вопроса заключается в том, что просадку принято рассматривать в пределах первой фазы дефор мации грунта в основании, т. е. как деформацию уплотнения, тогда как она по своей природе имеет явно пластический характер. Поэ тому, естественно, компрессионные приборы не способны модели ровать работу грунта в последней фазе деформации — в фазе про грессирующего течения грунта. Таким образом, если просадка будет рассмотрена как пласти ческая деформация грунта, то степень погрешности, получаемой при компрессионных испытаниях, можно связать со степенью проса дочности изучаемых грунтов: чем больше степень просадочности грунта (пластическая деформация), тем большая погрешность должна получиться в результатах компрессионных испытаний, т. е. чем ближе по своей природе изучаемый лессовый грунт подходит к обычным грунтам, тем точнее при равных прочих условиях долж ны моделировать компрессионные приборы его работу в основани ях. § 111.14. Расчет эффективности предварительного замачивания Одним из эффективных мероприятий для устранения просадоч ных свойств лессовых грунтов II типа по просадочности является метод предварительного замачивания. Предварительное замачивание в этих условиях применяется для устранения просадочных свойств грунта только в нижних слоях, начиная с глубины 4— 6 м. Верхние слои грунта при этом хотя и ув лажняются, но тем не менее сохраняются потенциальные способности к просадкам, так как действующие здесь природные давления не способны вызывать просадочных деформаций. Поэтому для полного устранения просадочных свойств грунтов в пределах всей толщи предварительное замачивание должно комбинироваться с уплотне нием верхнего слоя грунта тяжелыми трамбовками, грунтовыми сваями или с устройством грунтовой подушки либо в комбинации с прорезкой верхнего слоя грунта сваями или столбами закреплен ного грунта (силикатизацией, термическим или другими проверен ными способами). Метод предварительного замачивания относится к методам уп лотнения, так как и при этом методе происходит уплотнение грун 134 та, но не внешними нагрузками, а собственным весом увлажняемого грунта. Метод предварительного замачивания является одним из основных мероприятий по борьбе с просадочностью лесоовых грун тов при гидротехническом строительстве. В последнее время этот метод широко внедряется в промышленном и гражданском строи тельстве в грунтовых условиях строительных площадок II типа по просадочности. Очевидно, мероприятие по уплотнению грунтов основания пред варительным замачиванием будет эффективным в том случае, ес ли деформированная при этом зона грунта больше не будет под вергаться просадке под действием веса здания. Последнее условие будет соблюдаться, если на верхней границе области просадки фак тическое напряжение от нагрузки строящегося здания будет мень ше или равно начальному давлению для грунта рассматриваемого основания. Математически указанное условие запишем в виде ° у = а { р 0 — у0йф) < з н. (III .79) Значение коэффициента изменения дополнительного давления в грунте основания а для каждого вида проектируемого фундамен та определяется по таблицам в СНиП II-15— 74 в зависимости от формы и размеров подошвы фундамента (ш = г/: а и п —1 : 2 а). Условие (111.79) можно представить в виде где 2 N3 — сумма вертикальных осевых нормативных нагрузок на уровне подошвы фундамента. Из условия — у = т а = у п=- 1 / 0,01 \1/я»о ' ' Yo V Ро определим полуширину подошвы фундамента в зависимости от от ношения : = т Уоот (III.81) \ Ро / Далее расчет эффективности предварительного замачивания сво дится к проверке выполнения следующего условия: а \(4 n2a 2^ - г „ 0 « Р Я ' 1' ~ V Ро (П1.82) Д ля ведения расчета задается отношение т = у / а и по формуле (111.81) находят соответствующие значения для полуширины по дошвы фундамента а. По заданному значению т из табл. 1 приложения СНиП II-15— 74 устанавливают коэффициент а, а затем проверяют выпол нение условия (I I I .82). Если при этом условие (111.82) не удовлет 135 воряется или удовлетворяется с большим запасом, то отношение т меняется и расчет повторяют заново. Таким образом, расчет эффективности предварительного зам а чивания производится путем .последовательного приближения. Р а с сматриваемая методика расчета значительно упрощается, если ис ходить из следующего предположения. В пределах сжимаемой толщи грунта основания в естествен ном его состоянии распределение дополнительного давления от ве са здания примем .по известному линейному закону l-i У ( Л ) — YcAj,)- Тогда условие расчета эффективности предварительного замачи в а н и я примет вид 1. 1 — “ Ло .Л / - ч ^ / 0 ,0 1 \1 /т о Уп ( Р о — У о А ф Х Решая последнее уравнение относительно р 0 для удельного давления по подошве фундамента, получаем следующую формулу: -О,2у0Уп Ро-- (III.83) •YcAФ- По этой формуле можно определить величину максимального удельного давления по подошве фундамента на предварительно з а моченном лессовом основании, при котором просадка уплотненного замачиванием нижних слоев грунта не должна происходить. Это и определит, согласно исходной предпосылке расчета, эффектив ность предварительного замачивания основания проектируемого здания. В этих условиях просадка основания будет возникать только вследствие дополнительного замдчивания недоуплотненного верх него слоя основания в пределах глубины от Нф до уа . Величина этой просадки определится выражением уп ■'и *ф “ф ^ 1 —a h Ро ( Р о — У о * ф ) П hn dy. Раскрыв последний интеграл и произведя несложное разевание, для определения величины ожидаемой просадки в пред варительно замоченном основании здания получим следующую фор мулу: о М о (ро — Уо6ф)1+”г° ( 1 + т 0) [(ро - X I Уолф) — 0 , 2 yo*o] (JPQ — Уо^ф) — ° ,2 у 0Ао (Ро — Уо^ф) h0 136 X ■( Уа — Аф) ( II I .8 4 ) Дополнительные мероприятия для предварительно замочен ных оснований должны быть направлены на полное или же, если допустимо для данного вида здания, частичное устранение проса дочности грунта в пределах поверхностного слоя толщиной г/п- Од нако, как показывают проведенные в последнее время эксперимен тальные исследования, нижняя граница деформируемой зоны при п р о с а д к е составляет примерно За. Поэтому при установлении объ ема дополнительных строительных мероприятий против просадки предварительно замоченных оснований можно исходить из возмож ной величины просадки в пределах глубины За. Из формулы (I I I.84) видно, что если на предварительно замочен ном основании здание посадить на глубину уп, т. е. глубину зало жения фундамента йф принять равной у а и удельное давление по подошве фундамента принять равным начальному, то п р о са д к а основания полностью устранится. Рассмотренную методику расчета эффективности предваритель ного замачивания продемонстрируем на конкретном численном при мере. Пример III.12. Требуется на предварительно замоченном основании возвести ленточный фундамент жилого здания. Характеристики деформируемости грунтов основания по данным компрессионных испытаний определены равными: Р о = 0,14 М Па- 1 '35, т 0= 1 ,3 5 . Объемный вес грунта основания в водонасыщенном состоянии равен у н = 1 8 ,8 кН/м3. Просадка грунтов основания в результате пред варительного замачивания начинается с глубины 1 ( 0 ,0 1 y/mo и„ = — / -------------* Ун I Ро ) 1 ( 0 ,0 1 у / 1 ,35 = -----------------------0 ,0 0 1 8 8 V 0 ,0 1 4 J ==415 см . Начальное давление для грунтов основания будет 0 ,0 1 у / т 0 Ро 1 / 0 ,0 1 у/1.35 = 0 ,0 7 3 МПа. \ 0 ,0 1 4 Глубину заложения фундамента примем равной й ф = 1 2 0 см. Проверим отсут ствие дополнительной просадки ниже горизонта действия начального давления при ширине подошвы проектируемого фундамента 2 а = 1 4 0 см и удельном давле нии р о = 0 , 2 МПа. В соответствии с рекомендацией СНиП 11-15— 74 при выбран ном размере подошвы фундамента и значении удельного давления нижняя гра ница сжимаемой толщи равна й0= 62 2 см. Максимальное удельное давление по подошве фундамента, при котором будет отсутствовать дополнительная просадка уплотненного предварительным замачиванием грунта основания, будет равно °н — 0,2у„,(/1п Л - ■ \- ,.Д , , 0 ,7 8 — 0 ,2 -0 ,0 0 1 8 8 -4 1 5 Б + v"‘* “ + °'00,8S-120- = 0 ,2 1 6 МПа. Следовательно, выбранная величина удельного давления по подошве фундамента не вызывает дополнительной просадки грунта основания, уплотненного предвари тельным замачиванием. В этих условиях проведение мероприятия по предвари тельному увлажнению грунтов основания окажется более эффективным. Предварительно увлажненное основание можно представить в виде двухслойного грунта, состоящего из верхнего неуплотненного просадочного грунта с модулем общей деформации £oi и нижнего подстилающего уплотненного непросадочного грунта с модулем об 137 щей деформации E 0z. Д ля такого двухслойного основания, очевидно, не будет справедливо применение соответствующих решений теории упругости во схеме однородной полуплоскости или полупростран ства. Поэтому для определения напряженного состояния для пред варительно увлажненного основания расчетной схемой может слу жить двухслойная грунтовая среда с различными модулями упру гости и пуассоновскими отношениями (решение К. Е. Егорова, К. Маргуерра, Р. М. Раппопорта и др.). Как отмечалось выше, путем предварительного замачивания удается устранить просадочные свойства лессовых грунтов в ниж них слоях увлажняемой толщи. Верхние же слои грунта, под дейст вием веса которых происходит уплотнение, не проявляют при этом свои просадочные свойства. Поэтому можно считать, что методом предварительного замачивания лессовые грунты II типа по проса дочности можно перевести в грунтовые условия I типа. Отсюда сле дует, что при строительстве в грунтовых условиях II типа по проса дочности нельзя ограничиться только методом предварительного замачивания. Необходимо предусмотреть дополнительные меро приятия для полного или частичного устранения просадочности грунта в пределах деформируемой зоны основания. Эти мероприя тия для грунтовых условий I типа могут быть следующими: а) доуплотнение верхних слоев грунта замоченного основания (поверхностное трамбование) с применением тяжелых трамбовок; б) замена верхней недоуплотненной части толщи грунта путем уст ройства подушки из уплотненного лесса; в) фундирование по мето ду «уширенных фундаментов»; г) применение коротких свай; д) уплотнение верхних слоев основания грунтовыми сваями. Доуплотнение верхних слоев грунта замоченного основания трамбованием производится в соответствии с руководством по уп лотнению грунтов для снижения ожидаемой просадки основания. Глубина уплотнения при поверхностном трамбовании практически может достигать 2— 2,5 м, а высота недоуплотненного при замачи вании верхнего слоя грунта уа в подавляющем большинстве случа ев оказывается больше величины h s. Поэтому просадочный грунт в пределах слоя Уп — hs в основании проектируемого здания мо жет дать дополнительную осадку в зависимости от величины пе редаваемого на этот слой давления и степени просадочности грун та в пределах этого слоя. Таким образом, применение поверхностного уплотнения предва рительно замоченного основания может не устранять полностью просадки основания, а только снижает ее величину. Лишь в исклю чительно редких случаях, в частности когда нижняя граница актив ной зоны основания со значением сжимающего напряжения, равным начальному давлению при толщине уплотняемого слоя, не более hSr просадка основания может быть полностью устранена. Замена верхней недоуплотненной части толщи грунта подушкой из уплотненного лесса может быть наиболее эффективным меропри ятием для полного снятия дополнительной просадки предваритель но увлажненного основания зданий и сооружений. В этом случае 138 верхний слой грунта основания в пределах глубины уп снимается, а затем из снятого грунта путем послойного уплотнения устраива ется подушка под фундамент строящегося здания. Фундирование по методу «уширенных фундаментов» не требует применения дополнительных мероприятий по преобразованию не уплотненных при замачивании слоев грунтов основания. Цель это го мероприятия сводится к снижению передаваемого на основание среднего давления по подошве фундамента до величины начального давления для неуплотненного просадочного грунта основания пу тем увеличения размеров фундамента. Расчет ширины подошвы уширенного фундамента можно производить по формуле ( III.77). Идея применения коротких свай основывается на предположе ниях о возможности создания путем предварительного замачивания на глубине уа уплотненного непроеадочного слоя грунта, на кото рый должна опираться свая своим нижним кондом. Длина коротких свай при этом может быть назначена, исходя из соотношения 1с —Уп+2й. Этот метод, обладая определенным преимуществом, до сих пор не нашел широкого применения в строительстве. Одним из эффективных мероприятий для полного устранения просадки предварительно увлажненного основания жилых зданий может оказаться уплотнение верхних слоев основания грунтовыми сваями. Отметим, что в случае применения этого мероприятия дли ну грунтовых свай следует выбирать с соблюдением неравенства В крупнопанельном жилищном строительстве представляет осо бый интерес уплотнение грунтов основания весом сооружения (Б. И. Черный, 1965). Сущность этого метода состоит в следующем. Д о возведения фундамента здания на дне траншеи отсыпают пес чано-гравийную подушку и закладывают перфорированную трубу. В последующем возводится фундамент и подается определенное ко личество воды. Увлажнение производится организованно с целью образования просадки основания в деформируемой зоне иод посто янно возрастающей нагрузкой от здания. Плавное нарастание на грузки от здания обеспечивает постепенные и достаточно равномер ные деформации грунта основания. Описанным методом построено значительное количество жилых домов в г. Грозном. Успешная эк сплуатация зданий в течение ряда лет показала эффективность это го метода. Рассматриваемый метод был применен также для устра нения неравномерных деформаций кренов и т. п. в основаниях по строенных сооружений. ГЛАВА IV РАСЧЕТ ОСНОВАНИЙ! ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ § IV. 1. Принципы расчета оснований по предельным состояниям Лессовые грунты, структурно-неустойчивые при замачивании, в неувлажняемых основаниях зданий и сооружений обладают опре деленной прочностью и деформируемостью, и поэтому расчет их, так ж е как и обычных грунтов, может быть произведен по предельным состояниям, исходя из теорий предельного равновесия и линейных деформаций. В силу этого обстоятельства расчет оснований, .сложенных лес совыми грунтами, проявляющими просадочные свойства от совмест ного действия веса сооружения и собственного веса грунта (пер вый тип), следует производить по двум предельным состояниям: а) по первому предельному состоянию — с целью обеспечения несу щей способности основания; б) по второму предельному состоя нию— с целью ограничения деформаций основания. При этом расчеты должны содержать три следующих основных этапа: 1) выбор требуемого коэффициента безопасности по отно шению к несущей способности и допустимой деформации основания; 2) определение несущей способности и фактического коэффициен та безопасности при ожидаемой нагрузке; 3) оценка величины де формации основания и сравнение ее с величиной допустимой дефор мации. Расчет оснований по первому предельному состоянию сводится к удовлетворению неравенства (IV Л ) где N — заданная расчетная нагрузка на основание; R — несущая способность оснований, т. е. напряжение, соответствующее «колену» на кривой зависимости осадки основания от напряжения. Расчет оснований по второму предельному состоянию сводится к удовлетворению неравенства 5 Р< [ 5 ] , 140 (IV .2) где S p — ожидаемая, т. е. расчетная, деформация основания от нор мативных нагру зок, обусловленная осадкой лессового грунта осно вания естественного состояния от действия веса сооружения и про саджой, возникающей при увлажнении оснований от совместного действия веса сооружения и собственного веса грунта. Предельная деформация основания [S] назначается, так же как и в обычных грунтах, с учетом напряженного состояния конструкции, усло!вий эксплуатации зданий и сооружений и связанных с ними устройств. Величины допускаемых деформаций основания могут устанав ливаться проектировщикам на основе анализа принятой им кон структивной схемы сооружения и условий его эксплуатации, а так же исходя из опыта строительства. Результаты более чем 25-летних измерений осадок разнообраз ных по конструкции и грунтовым услО|Виям объектов, осуществленI 100 1 700 1 300 1 Ш 1 1 500 600 1 1 1 ООО SOO 900 ! I 1 1000 I____ I---------- I П р ед ел , при к о т о р о м В озн и к аю т за т р у д н ен и я Г*- § р а д о т е о б о р у д о в а н и я , ч у в с т в и т е л ь н о го к о с а д к а м - П редел опасност и д л я ди агон ал ьн ы х к а р к а со в П р едел д езоп асн ост и д л я с о о р у ж е н и й , п ри к о т о р о м " т р ещ и н ы н ед о п у с т и м ы - П р е д е л д о зн и к н о в е н и я п ер в ы х т р е щ и н в п а н е л ь н ы х с т е н а х - П р едел В озн и кн овен и я за т р у д н ен и й 8 р а б о т е м о ст о вы х к р а н о в -П р ед ел ви ди м ост и н а к л о н а вы со т ы ж ест к и х со ор у ж ен и й - З н а ч и т ел ьн ы е т рещ и н ы в п а н е л ь н ы х и к и р п и ч н ы х с т е н а х - П р едел д езоп асн ост и д л я п о д а т л и в ы х к и р п и ч н ы х с т е н (Р 1 ь с i j y } - П р едел в озн и к н о в ен и я о п а с н о с т и ст рукт урн ого н ар у ш ен и я в сег о Рис. IV. 1. Допустимые сооруж ен и я значения предельных относительных оснований (по JL Бьерруму) деформаций, ных в СССР, а также обработка данных эксплуатации более чем по ста объектам позволили установить официальные нормы предель ных величин деформаций и средних осадок оснований и фундамен тов зданий и сооружений (Д. Е. Полыпин, Р. А. Токарь). Система тическое накопление результатов наблюдений за осадками и дефор мациями зданий позволяет с течением времени уточнять норматив ные значения допускаемых деформаций оснований различных по конструкции зданий и сооружений. Известно, что для зданий и со оружений наиболее опасной является неравномерная деформация основания. На основе теоретических анализов, испытаний на круп ных моделях конструктивных каркасов и путем наблюдений на ме стах строительства JI. Бьеррумом (1963) составлены предельные значения относительных неравномерных деформаций основания (рис. IV. 1). Критерии, указанные на рис. IV. 1, могут быть исполь зованы при расчетах просадочных оснований зданий и сооружений по предельному состоянию. 141 § IV.2. Параметры прочности просадочных грунтов Как показывают экспериментальные исследования (А. А. Муста фаев, С. К. Алиев и др.), параметры прочности просадочных лессо вых грунтов — сцепление, угол внутреннего трения и коэффициент бокового давления — являются однозначными функциями влаж ности (рис. IV .2). Как видно из этого рисунка, значения силы сце£ у,град С, МПа Рис. IV.2. Закономерности изменения силы сцепления, угла внутреннего трения и коэффициента бокового давления просадочных грунтов в зави симости от влажности: О — грунты Мингечаура; □ — К азаха; Д — Сумгаита пления и угла внутреннего трения грунта с увеличением влажности падают. Существенному уменьшению при этом подвергается значе ние силы сцепления. Это объясняется тем, что прочность лессовых грунтов в значительной мере определяется оцеплением, угол же внутреннего трения в связи с малой природной плотностью этих грунтов играет незначительную роль в прочности их структуры. Не менее важной характеристикой для исследования напряжен но-деформированного состояния грунтов является коэффициент бо142 ■нового давления. Особо важное значение этот параметр имеет для просадочных грунтов. Как видно из рис. IV.2, с увеличением влажности просадочных грунтов коэффициент их бокового давления монотонно возрастает. В самом деле, характеристика бокового давления как постоянной величины свойственна только определенному физическому состоя нию грунта и вы ражает его поперечную деформируемость. С увели чением влажности лессового грунта структура его нарушается и приобретает пластическое состояние, и при этих условиях создается возможность возникновения просадки, приводящей к образованию сил трения по вертикальным плоскостям. Поэтому увеличение коэф фициента бокового давления при насыщении грунта водой показы вает соответствующее повышение горизонтальной составляющей давления в грунте. Увеличение ж е значений поперечных сжимаю щих напряжений является следствием возрастания склонности л ес сового грунта к боковым перемещениям по мере насыщения их водой. В количественном отношении изменение значения силы сцепле ния и угла внутреннего трения лессовых грунтов при повышении их влажности характеризуется следующими данными. По результатам полевых экспериментальных исследований (А. А. Мустафаев, 1961), при непрерывном трехмесячном увлажнении толщи просадочных грунтов Мингечаура сила сцепления их уменьшается на 90— 98% , а угол внутреннего трения — на 10— 38% . По данным же лаборатор ных опытов, в этих исследованиях установлено, что с повышением влажности просадочного грунта на 16% сила сцепления его падает на 92% , а угол внутреннего трения — на 36% . По данным лабора торных исследований С. К. Алиева (1968), при увеличении влажно сти просадочных грунтов в 3,5 раза, если сила сцепления их умень шается в 10 раз, значение угла внутреннего трения падает всего лишь в 1,5 раза. По данным Г. П. Агалина (1939), при повышении вл аж ности лесса Чирчикстроя на 8% сила сцепления его падает на 83% , а угол внутреннего трения— на 14%. Таким образом, из приведенных данных вытекает, что при ув лажнении просадочных грунтов существенному изменению подвер гается сила сцепления, в основном обусловливающая прочность этих грунтов; угол же внутреннего трения играет незначительную роль в устойчивости лессовых грунтов. В обычных ж е непросадоч ных связных грунтах влияние влажности на значения параметров прочности имеет другую особенность. По данным эксперименталь ных исследований Н. Н. Маслова (1949), в глинистых грунтах по вышение влажности существенно (60— 8 0 % ) снижает значение уг ла внутреннего трения. Сила ж е сцепления, так ж е как и угол внут реннего трения лессовых грунтов, уменьшается незначительно. § IV.3. Критерий просадочности лессовых грунтов Характерной особенностью лессовых грунтов, склонных к про садкам, является малая водостойкость связей, обусловливающих 143 структурную прочность этих грунтов, т. е. сцепление упрочнения между частицами и их агрегатами. Поэтому для построения крите рия просадочности, отражающего специфическую особенность лес совых грунтов, целесообразно исходить из количественных отноше ний, изменяющихся при увлажнении параметров, характеризующих структурные прочности этих грунтов. Структурные деформации лес совых грунтов, представляющие относительные смещения разных структурных элементов этих грунтов, возможны лишь тогда, когда действующее в рассматриваемом элементарном объеме увлажняемо го грунта давление достигнет размеров, достаточных для отрыва одних структурных элементов от других. Поэтому выбор критерия просадочности лессовых грунтов, естественно, приводит к установ лению количественных соотношений, исходя из прочностных пара метров, определяющих потенциальные возможности возникновения просадочных процессов в рассматриваемых грунтах. Такая поста новка задачи дает возможность представить критерий просадочно сти лессовых грунтов в виде соотношения g (да0) _ cpctgyp __ cqtg уп (IV 3) Па а(® п ) с п c t g <рп Cn tg<Po Если исходить из подкрепляемого опытами допущения о несу щественности изменения угла внутреннего трения лессовых грунтов при их увлажнении по сравнению с изменением силы сцепления, то критерий (IV .3) можно представить в виде Пс = с0/с„ (IV .4) Таким образом, согласно выполненным экспериментальным ис следованиям, порядок изменения прочности лессовых просадочных грунтов в процессе их увлажнения может быть охарактеризован сле дующими безразмерными критериями: °(®о) . о (® п ) д _ С(«>0) ’ “ C ( w „ ) В табл. IV .1 на основании анализа опытных данных различных •авторов приведены вычисленные значения критериев П0, Пс. Таблица Опыты Мустафаева Серия опытов 1 2 3 Алиева Сулейманова Агалина Аскарова Крутова 1 1 1 1 1 2 3 144 Па Пс 6 ,9 7 0 2 4 ,3 0 11,5 0 7 ,5 1 8 8 ,0 9 0 10,698 3 ,0 3 4 1 ,5 0 9 2 ,0 6 4 2 ,9 7 4 12,7 6 3 3 ,6 0 15,80 2 4 ,0 0 2 3 ,8 0 10,50 1,660 2 ,9 9 3 ,4 1 4 ,6 8 IV . 1 Как видно из данных табл. IV. 1, во всех рассматриваемых грун тах значения критериев Па и Пс больше единицы, причем чем боль ше просадочность лессовых грунтов, тем больше и величины этих критериев. В опытах X. А. Аскарова и В. И. Крутова сравнительно низкие значения критериев Па и Пс объясняются повышенным зна чением исходной влажности и небольшим диапазоном изменения влажности исследованных ими грунтов. В табл. IV.2 приведены значения указанных параметров, вычис ленные для исследованных Н. Н. Масловым глинистых грунтов. Таблица Содержание фракций 0,005 мм, IV.2 Пс % 23 25 19 0 ,2 1 9 0 ,6 3 7 0 ,4 8 5 1 ,5 6 2 1 ,1 9 3 1 ,2 1 5 Сравнивая данные табл. IV. 1 и 1V.2, можно заметить, что во всех случаях значения критерия Па для просадочных грунтов боль ше единицы, а для непросадочных — меньше единицы. Величина критерия Пс, как показывает сравнение результатов многочислен ных натурных и лабораторных опытов, растет с увеличением отно сительной просадочности лессовых грунтов. Водонеустойчивая природа структуры лессовых грунтов обуслов ливается в основном параметром Пс, величина которого при дан ном физическом состоянии грунта характеризуется действием всех видов сил связанности, обычно называемыми сцеплением грунта, и которая при увлажнении подвергается существенному снижению. Поэтому просадочность лессовых грунтов можно оценить безраз мерным критерием Пс, характеризующим степень снижения струк турного сцепления этих грунтов в процессе их увлажнения. По величине критерия Пс рекомендуется следующая классифи кация лессовых грунтов: I — структурно-устойчивые при замачива нии, если ПсС 2; II — структурно-неустойчивые при замачивании, если Пс > 2 . По величине критерия просадочности структурно-неустойчивые лессовые грунты при замачивании могут быть подразделены на сла'бопросадочные при Пс = 2— 5; среднепросадочныепри Пс = 5— 10; сильнопросадочные при Пс > 1 0 . Указанные критерии остаются справедливыми и в случае неод нородной толщи лессовых грунтов, в пределах которой величина си лы сцепления изменяется существенно. В этом случае значение кри терия просадочности может быть установлено отношением Пс = Сср ( ® о ) / с ср (® п )> 145 где » 2 j п 2 C i ( w 0) h i cCp(®o) = - ^ ---------2 *=p W hi Cl (wn) hi = ^ ----------2 hi /-1 i= l где n — число характерных слоев рассматриваемой толщи грунта толщиной h, в пределах 'которых изменяется значение силы сцепле ния грунта. § 1V.4. Прочность просадочных грунтов Просадка лессовых грунтов, как известно, возникает в результа те действия на основание нагрузки, оказывающейся предельной вследствие существенного снижения показателей прочности этих грунтов при увлажнении. Поэтому просадочная деформация должна рассматриваться как следствие разрушения лессовых грунтов в ре зультате изменения их физического состояния и расчет основания, сложенного этими грунтами, по мимо расчета по деформациям в некоторых случаях следует про изводить также и по условию прочности. Попытаемся интерпре тировать условие возникновения просадочных деформаций на ув лажняемых лессовых основаниях, исходя из теории прочности Мора. Рассмотрим случай, когда ос нование из просадочного лессово го грунта загружено некоторой распределенной нагрузкой, интен сивность которой значительно меньше начальной критической Рис. IV.3. Графическая интерпретация теории прочности Мора для деформа нагрузки, соответствующей окон ции просадки чанию фазы уплотнения и явля ющейся совершенно безопасной для основания. Очевидно, при этой нагрузке в точках основания ни по одной площадке не будет достигнуто состояние предельного рав новесия грунта. Графическирассматриваемое состояние грунт согласно теории прочностиМора, будет характеризоваться тем, ч ни один из кругов напряжений не будет касаться прямой предель ного сопротивления грунта сдвигу (рис. IV. 3). Пусть теперь при рассматриваемом напряженном состоянии ос нования производится его увлажнение непрерывной подачей воды. Прежде всего увлажнение будет оказываться на величинах силы сцепления с и угла внутреннего трения <р в различных точках осно вания, так как эти показатели грунта являются однозначной функци ей влажности. При непрерывном поле фильтрационного потока па раметры с0 и фо в различных точках основания будут изменяться не 146 прерывно как по величине, так и но времени. В соответствии с этим изменением прямая сопротивления сдвигу для увлажненного грун та, занимая последовательный ряд положений, постепенно будет приближаться к соответствующим кругам напряжений. При этом определенная часть результирующего напряжения, отвечающая действию собственного веса грунта, в процессе увлажнения также изменится. Этого изменения следует ожидать вследствие увеличе ния как объемного веса, так и коэффициентов бокового давления грунта. В соответствии с этим каждому положению прямой сопротивле ния сдвигу грунта будет соответствовать определенный круг на пряжений в рассматриваемой точке основания. Однако в процессе увлажнения изменения напряжений по сравнению с изменением сопротивления сдвигу грунта в рассматриваемой точке основания будут незначительными. Поэтому при некотором значении влажно сти грунта «ун прочностные его параметры достигнут определенных значений сп, фп, при которых прямая сопротивления грунта сдвигу в некоторой точке основания коснется соответствующего круга на пряжения. При этом грунт в рассматриваемой точке в отличие от обычного понятия о предельном состоянии будет иметь структурнонеустойчивое равновесие, п осл е чего наступит процесс пластической деформации, который следует рассматривать как присадочную де формацию лессовой среды. Дальнейшее увеличение влажности в этой точке вызовет непрерывное нарастание соответствующей де формации пластического течения. Таким образом, в отличие от обычного представления о предельном состоянии грунта пластиче ская природа просадочных деформаций обусловливается не увели чением напряжений в грунте при неизменных его характеристиках прочности, а существенным уменьшением значений этих характе ристик вследствие изменения ф изического состояния среды. По мере насыщения грунта водой в соответствии с фронтом распространения влаги все большая область загруженного основа ния будет подвергаться пластическому течению, т. е. просадочным деформациям. Очевидно, в более напряженных областях основания просадка наступит при меньшем значении влажности и, следова тельно, раньше, чем в менее напряженных областях, где просадка возникает при большем значении влажности грунта и несколько позже. Таким образом, просадочные деформации лессовых грунтов следует рассматривать не в пределах первой фазы как деформа цию уплотнения, а в последующей фазе — фазе прогрессирующего течения грунта. При этом можно исходить из следующего допуще ния. Ввиду того что пластическому течению должно предшество вать состояние равновесия на границе между упругим и пластиче ским поведением грунта, то просадку можно рассматривать как состояние структурно-неустойчивого равновесия грунта и всю об ласть просадки считать областью, охваченной этим состоянием. Ис ходя из этого, условие возникновения просадочных деформаций в лессовых основаниях, с о г л а с н о ф ормуле (JII.1 4 ), может быть вы ражено в виде 147 c in T f w y l + /2 (w) - . <7i _ j 2 + [i _ е (а > )] у ек( 1 4- w) у °1 + a2 + [1 + S(®)]Yck(1 + ®) У 4- 2a0(w) ( IV .5 ) Как видно, известное условие предельного равновесия сыпучей среды, вытекающее из теории прочности Мора, приобретает при этом обобщенный вид и по существу становится условием возникно вения просадочных деформаций в увлажняемых лессовых основани ях. Условие (IV .5) довольно наглядно вскрывает природу просадоч ных деформаций в увлажняемых лессовых основаниях. При наличии закономерности изменения прочностных параметров лессовых грунтов от влажности условие (IV .5) позволяет для каждого случая загружения основания установить размеры и очертания областей, занятых просадочными .процессами, величину влажности грунта, при которой возможно возникновение просадки, величину безопасной нагрузки на основание и т. д. § IV.5. Несущая способность просадочных грунтов Существующие методы расчета устойчивости и прочности грун товой среды в основном построены на основе теории прочности Мо ра, согласно которой разрушение грунта наступает при некотором определенном соотношении между главными напряжениями и зна чениями прочностных параметров грунта. Теория эта позволяет оце нить несущую способность основания в зависимости от очертания и размеров областей предельного напряженного состояния, а также дает возможность определить величину безопасных нагрузок для данного вида грунта основания в условиях его загружения. Именно по этому пути развивалась теория расчета основания на протяже нии многих лет (работы О. К. Фрелиха, Н. П. Пузыревокого, Н. М. Герсеванова, В. А. Флорина, С. П. Шеляпина, П. И. Морозова и др.). Решение вопроса прочности и на его основе несущей способности просадочных лессовых грунтов, позволяющего разработать прин ципы расчета оснований по первому предельному состоянию, в пер вом приближении возможно на основе обобщенного условия пре дельного равновесия (IV .5). Просадочные грунты при этом, как и обычные, могут быть рассмотрены как сплошная квазиоднородная — изотропная среда, характеристики деформируемости которой зависят от влажности грунта. Просадку, согласно условию (IV .5), возможно интерпретировать как пластическую деформацию, возни кающую в отличие от обычных грунтов при умеренных значениях действующих на основание напряжений в результате существенно го снижения прочностных параметров лессового грунта под влия нием фактора увлажнения. Существенное падение прочности лессовых грунтов, происходя щее при повышении их влажности, безусловно, должно отражаться на условиях общей устойчивости основания. Поэтому закономерно сти изменения прочностных показателей лессовых грунтов в зави148 шмости от влажности позволяют установить максимальную величи ну безопасной нагрузки, при которой увлажнение грунтов не вы зы вает существенных дополнительных деформаций основания. Для основания из обычных непросадочных грунтов совершенно безопасным давлением является начальная критическая нагрузка, определяемая по формуле Н. ,П. Пузыревского: * (Vft + c_ctgT) _ + ^ (IV>6) КР c t g ? + ? -я / 2 Формула (IV .6) может быть обобщена для расчета лессовых ос нований, если исходить из пластической природы просадочных де формаций и закономерностей из- д мпп менения прочностных параметров мл грунта в зависимости от влажно сти. В самом деле, если в формуле критической нагрузки в соответ ствии с полученными из экспери ментов данными учесть перемен ность силы сцепления и угла внутреннего трения лессовых грунтов, то можно установить су щественное снижение несущей способности лессовых оснований в процессе насыщения их водой. 12 16 20 24 W 3 1 0 ),% На рис. IV.4 по данным экспери IV.4. Графики изменения значе ментальных исследований (см. Рис. ния начальной критической нагрузки рис. IV.2) для трех видов проса для трех характерных разновидностей дочных грунтов (Мингечаур, К а просадочных грунтов: зах, Сумгаит) построены кривые О — Мингечаур; □ — К азах; Л — Сумгаит изменения значений начальной критической нагрузки, определяемые по формуле (IV .6), по мере увеличения влажности грунтов основания. Как видно из этих кри вых, несущая способность лессовых оснований существенно зависит от влажности грунта, поэтому при оценке несущей способности этих грунтов в основаниях зданий и сооружений необходимо исхо дить из определенной характерной величины влажности грунта. Одним из таких расчетных показателей для просадочных грунтов, как было отмечено ранее, является начальная влажность («крити ческая влажность»). Поэтому можно было бы рекомендовать зна чения прочностных параметров, входящих в формулу критических нагрузок, установить соответствующими начальной влажности. Однако, как было показано выше (см. гл. I I I ) , величина начальной влажности зависит от напряженного состояния грунта в основании, следовательно и от интенсивности действующих на основание на грузок и размеров фундамента. По этой причине при определении прочностных параметров лессового грунта величина начальной влажности должна быть установлена в соответствии с величиной определенного характерного давления в основаниях сооружений. 149 Таким давлением для лессовых оснований является начальное дав ление просадочности. Поскольку начальное давление соответствует наименьшей величине действующего в области просадки напряже ния, то этому значению давления будет соответствовать наиболь шая из возможных величин ожидаемой влажности грунта. Таким образом, если принимать, что с наступлением просадоч ных деформаций в основаниях предел пропорциональности между деформациями и напряжениями под фундаментом нарушается, то формула критической нагрузки для расчета несущей способности лессовых оснований может быть представлена в виде/V Рис. IV.5. я [у (дан ) h + с ( дан) c t S У ( дан )] ct g< p (w a ) + у (да ) — я /2 Y О н)/г. (IV .7 ) Изложенная методика расчета бу дет справедлива для грунтовых усло вий первого типа, для которых просад 0,1 МПа ка грунта от собственного веса практи чески отсутствует. В случае второго типа лессового грунта расчет оснований по первому предельному состоянию бу дет иметь значение, если просадочность основания от собственного веса грунта предварительно будет устранена одним из существующих способов. Покажем изложенную методику расчета на конкретном численном при К примеру расчета мере. IV.1 Пример IV.1. Пусть в основании здания залегает однородная 25-мо.тровая толща просадочного лессового грунта. Просадочность основания от собствен ного веса грунта устранена методом предварительного замачивания. Ширина подошвы ленточного фундамента 2 а = 2 0 0 см, глубина его заложения Лф = 10 0 см. Для характеристики грунта основания известны следующие данные: Р = 1,0836 (М П а)- 1 ’8; т = 1 ,8 ; у = 1 5 ,4 кН/мЗ- с 0 = 0 ,0 8 5 МПа; с п = 0 ,0 0 5 МПа; / О= 0 ,6 5 ; / п = 0 ,2 5 ; дап = 0 ,3 8 ; =0 ,1 0 ; Е0 = 0 ,4 0 ; Е п = 0 ,8 0 . Величина начального давления по формуле (III.5) будет равна ч„= / 0,01 \i/i,8 —— ^ \ 1 ,0 8 3 6 / = 0 ,0 9 0 о М П а. На рис. IV.5 построена эпюра распределения напряжения по глубине от внеш ней нагрузки (кривая 1). На этом же чертеже строится график распределения напряжений от собственного веса грунта (прямая 2 ) . Суммируя соответствующие ординаты этих эпюр, получаем результирующую эпюру распределения напряже ний от совместного действия обеих нагрузок (кривая 3 ). Глубину зоны просадки определяем на расстоянии рп = 164 см от подошвы фундамента. На этой глубине напряжения от внешней нагрузки ^ = 0 ,1 МПа будут равны: о = а\ = 0,05 МПа; вх = 4 = 0 ,0 1 МПа. 150 Напряжение от собственного веса грунта на этой глубине равно = 0,0405 МПа. Постоянные А, В, С, Д входящие в формулу начальной влажно сти, при принятых характеристиках прочности грунта по формуле (I I I .17) будут равны: А = 0 ,1 3 5 9 МПа2; с = 0 ,3 8 9 МПа2; С = - D = 0 ,8 5 5 7 МПа2 . 0,4 0 8 8 5 МПа2; Начальная влажность по формуле (111.16) равна шн= 0,31. При этой влаж ности сила сцепления, угол внутреннего трения и объемный вес рассматриваемого грунта основания, согласно установленной экспериментальной зависимости (см. рис. IV .2), равны: с (® „) = 0 ,0 1 0 МПа: <f (® „) = 1 4 °4 2 '; Y (®н) = Yck (1 + wH) = 1 ,4 7 (1 + 0 ,3 1 ) = 19 кН/м3 . Подставляя эти значения в формулу (IV .7) для критической нагрузки, по лучим 3 ,1 4 (0 ,0 0 1 9 - 1 0 0 + 0 ,1 - 3 ,7 8 5 ) „ p KD — ---------------------------------------------■— + 0 ,0 1 9 -1 0 0 = 0 ,0 9 1 МПаРкр 3 ,7 8 5 + 0 , 2 5 - 1 ,5 7 Как видно из полученного результата, начальная критическая нагрузка по величине практически совпадает с начальным давлением, поэтому последняя на грузка является совершенно безопасной для просадочного основания. § IV.6. О принципе «наложения» в расчетах просадки В увлажняемых лессовых грунтах следует выделять две раз личные по своему характеру деформации, а именно; просадку, про текающую в условиях природного напряженного состояния грунта, и дополнительную осадку, возникающую под воздействием внешней нагрузки от сооружения. Очевидно, лессовые грунты первого типа по просадочности в си лу завершения необходимых геологических процессов, способству ющих образованию недоуплотненного состояния породы, в условиях возрастающего с глубиной уплотняющего давления не будут спо собны проявлять при увлажнении просадочные деформации. Д е формация таких грунтов при увлажнении возможна лишь под дей ствием дополнительной внешней нагрузки, вызывающей в толще грунта затухающую по глубине уплотняющую нагрузку. В то же время лессовые грунты второго типа, дающие просадки под дейст вием только собственного веса грунта, одновременно будут склон ными к проявлению и дополнительной осадке. Для более строгого обоснования принципов расчета следует вы яснить возможность применения принципа «независимости действия сил» при определении суммарной величины деформации основания от просадки и дополнительной осадки. Для этой цели рассмотрим возможные расчетные схемы: просадку от действия собственного веса грунта (рис. IV .6 ,a ), дополнительную осадку от действия толь ко веса сооружения (рис. IV.6, б) и суммарную деформацию осно вания от просадки и дополнительной осадки (рис. IV.6, б ). На рис. IV.6 для каждого случая загружения толщи грунта представлены также зависимости между относительной просадкой 151 и действующей уплотняющей нагрузкой. В силу нелинейности зави симости бп — о, очевидно, сумма деформации от действия каждой нагрузки в отдельности — 8„(<згр)-{- 8» не будет равна деформа ции от совместного действия веса сооружения о д и собственного ве са грунта стгр, т. е. 8л(°гр + а?) ф Si ( а гр) " Ь 8 П ( а Д При просадке, как было по казано выше, происходит раз рушение грунта и поэтому за висимость между деформация ми и напряжениями значитель но уклоняется от закона прямой пропорциональности. Поэтому на основании принятого сте пенного закона деформирова ния (III.2 ) будем иметь: 8n'(3r p )= N ”P; 8,',(о9)= р о “ ; 8п(3гР+ а?) = Р (агр4~а,?)т - (IV .8) Согласно принципу незави симости действия сил, должно соблюдаться равенство 8П(®гр Ф 3«) = 8п (°гр) + 8д (од). Используя формулу (IV .8 ), бу дем иметь ( 3 r p + 3 </)m = K p ) m + K ) m- Последнее равенство может выполняться только при усло Рис. IV. 6 . Расчетные схемы просадки: вии т = 1. Тогда приведенные а — просадки от действия собственного ве в формуле (IV .8) нелинейные са грунта; б — просадка (дополнительная осадка) от действия веса сооружений; в — связи обращаются в законы просадка от суммарного действия собствен прямой пропорциональности. ного веса грунта и веса сооружений Следовательно, применение принципа «наложения» в расчетах просадки возможно, если связь между относительной просадкой и уплотняющим давлением представлена в виде линейной функции. § IV.7. Принцип «эквивалентности» Рассмотрим однородную толщу просадочного лессового грунта достаточной мощности в условиях природного напряженного состоя ния и естественной влажности. В этих условиях, согласно теории прочности Мора, из всех кругов напряжений ни один не является касательным к линии предельного сопротивления сдвигу грунта, т. е. грунт находится в состоянии упругого равновесия. 152 Проанализируем возможные случаи, когда рассматриваемая среда только .под действием собственного веса грунта может пере ходить в состояние предельного равновесия. Д ля этого, согласно те ории предельного равновесия, в условиях плоской задачи для ком понентов напряженного состояния среды о х, о у и тху необходимо найти такие выражения, которые тождественно удовлетворяли бы двум дифференциальным уравнениям равновесия сплошной среды и одному алгебраическому уравнению предельного равновесия грун товой среды. Математическая формулировка задачи при этом имеет вид: д*х дх | dtxy д.у дтху дх q. дау __ д'у {°х — °у? + 4т:1у = {°х + Зу + 2ао? sin2ср. (IV .9) Уравнения равновесия и предельного равновесия удовлетворя ются тождественно, если компоненты напряженного состояния пред ставлены в виде: ах =<з(1 — sin срcos 280) — °о! ау==о (1 - f sin <рcos 2g0) — з0; Хху=<з sin c? sin 28o- (IV. 10) Здесь o = l/2(31- f o2)-l-o0, где бо— угол наклона большего главного напряжения к вертикаль ной оси Оу. Так как поверхность грунта горизонтальная и единственной дей ствующей нагрузкой является собственный вес грунта, то можно считать, что компоненты напряженного состояния не должны за висеть от координаты х. Тогда уравнения равновесия (IV .9) при мут вид: дхху пdgУ у д&, ’ ду. Решение последних двух уравнений, удовлетворяющих гранич ным условиям задачи а у ( у = 0) = 0 ; тху( у = 0 ) = 0 , имеет вид: <*у= УУ1 1ху = ° - Равенство нулю касательной (IV. 10) приводит к уравнению составляющей (IV. 11) напряжения в о sin <р sin 280= 0 , откуда следует, что угол бо равен нулю, или ±я/2. Это означает, что в рассматриваемом случае направление большего главного на пряжения <7i либо вертикально, либо горизонтально. Так как тху = 0, то, очевидно, для случая 6о = 0, o v = <7i и а х = <7г- Формулы (IV. 10) при этом ^примут вид: °i — °(1 — sincp) — о0; о2= а (1 -j- sin <р) — а0) >53 (IV .121 откуда X+\ Зг) £>/ + °0V= ■,УШ+ а° 6 = 42- '\а1 1 — S1U< Тогда в соответствии с формулой (IV. 12) окончательное решение рассматриваемой задачи примет вид: — УУ> ° 2 — (go~f~lYy) —• ~ У 1 — sin <р °о- (IV .13) Формулы (IV. 13), впервые полученные Ренкиным (1857), ха рактеризуют пассивное предельное состояние грунтовой -среды. Сог ласно этому решению, начальное упругое напряженное состояние грунтового массива может перейти в предельное пластическое -на пряженное состояние равномерным уплотнением всей массы грунта в горизонтальном направлении. При этих условиях напряжение по вертикальным граням грунтовой призмы возрастает до тех пор, -по ка не будет достигнуто предельное соотношение главных напряже ний, в то время как напряжения по поверхности основания этой призмы остаются без изменения. Напряжения, вызывающие начало пластического течения, должны быть тождественны напряжениям, необходимым для сохранения состояния текучести, так что дальней шее сжатие грунта не будет оказывать никакого влияния на его напряженное состояние. Перейдем теперь к рассмотрению последствия увлажнения тол щи просадочных лессовых грунтов. -Прежде всего отметим, что полу ченное решение (IV. 13) можно использовать, если естественные ус ловия работы грунтовой среды хотя бы приближенно будут соответ ствовать предположению, положенному в основу ренкинской теории предельного равновесия. Если в обычных непросадочных грунтах, согласно этой теории, сжатие всей массы грунта в горизонтальном направлении, вызывающее пластическое его состояние, является на перед заданным, то в увлажняемых лессовых грунтах, как будет показано ниже, это состояние грунта вызывается неизбежно физи ческим процессом — увлажнением. Как известно, процесс увлажнения толщи просадочных грунтов сопровождается образованием трещин, наибольшая ширина кото рых получается на поверхности грунта и по мере углубления вниз постепенно убывает. Образование трещин при просадке Е. А. Замарин и М. М. Решеткин объясняют боковым сжатием грунта в пре делах верхней зоны увлажняемой толщи. По мнению Ф. И. Вороно ва и В. Л. Дмитриева, течение просадок в различных горизонтах увлажняемого массива отличается своеобразием, заключающимся в том, что нижние горизонты промачиваемого грунта испытывают деформацию главным образом за счет уплотнения по вертикали, в верхних же горизонтах, где давление от собственного веса невели ко, значительная доля общей деформации (до 40— 5 0 % ), как пока зывает учет ширины трещин, падает на горизонтальное (боковое) уплотнение грунта. По мнению Г. А. Архангельского, наличие тре щин -отрыва, которые являются характерным видимым результатом 154 ■просадочных процессов, также объясняется боковым сжатием увла жняемого грунта. По мнению Н. Я. Денисова, трещины при просад ке образуются вследствие бокового сжатия грунта в пределах верх ней зоны увлажняемого массива. По мнению А. М. Гельфандбейн и Л. А. Гелис, при увлажнении оснований, сложенных лессовыми грунтами, наряду с вертикальными просадками грунтов имеют мес то деформации в горизонтальном направлении, проявление которых объясняется природой деформирования грунтового массива, равно весное состояние которого нарушено в результате возникновения замоченной зоны. Таким образом, как видно, в процессе увлажнения лессовых просадочных грунтов неизбежно происходит боковое их сжатие. В связи с этим характерно напомнить результаты эксперимен тальных исследований по изучению коэффициента бокового давле ния увлажняемых лессовых грунтов, изложенных выше. Как видно из графика рис. IV.2, коэффициент бокового давления лессового грунта при его увлажнении непрерывно возрастает, т. е. следствием увлажнения просадочных грунтов является боковое сжатие их за счет увеличения горизонтальной составляющей напряжения. Как видно из приведенных данных, процесс увлажнения толщи просадочных грунтов по своим последствиям эквивалентен переводу лессового грунта в состояние пластического течения. Так как пла стическому течению всегда предшествует предельное состояние, т. е. состояние равновесия на границе между упругим и пластическим по ведением грунта, то можно считать, что влияние процесса увлаж нения толщи просадочных грунтов эквивалентно переводу грунта к пассивному ренкинсжому состоянию предельного равновесия. § IV.8. Графическая интерпретация принципа «эквивалентности». Формула эквивалентной нагрузки В предыдущем параграфе было показано, что процесс увлажне ния толщи просадочных лессовых грунтов по своим последствиям эквивалентен загружению его дополнительной нагрузкой. Следуя Н. Я. Денисову, дадим графическую интерпретацию последствия увлажнения просадочного грунта в основании зданий и сооружений. Пусть зависимость осадки от давления для лессового просадочного грунта естественной влажности и плотности изображается кривой 1 на рис. IV.7. Расчетная нагрузка по подошве фундамента для рас сматриваемого основания принята равной R, чему и соответствует осадка грунта основания природного сложения и влажности Si. В результате увлажнения основание получит дополнительную осад ку S 2 и произойдет потеря прочности грунта, вызывающая принци пиальное изменение его условий работы в основании. Поэтому для увлажненного состояния лессового грунта зависимость между осад кой и давлением представится кривой 2. Кривая 2 соответственно иллюстрирует зависимость осадки от давления для тех ж е условий опыта, что и кривая 1, только при более высокой влажности грунта. Если расчетная нагрузка в соответствие с кривой 1 характеризует 155 допустимый предел применимости модели линейно-деформируемой среды, то эта ж е нагрузка для увлажненного состояния грунта со ответствует началу последней фазы деформации грунта в основа нии— фазе прогрессирующего течения (по Н. А. Цытовичу). Таким образом, увлажнение лессового грунта в основании по своим последствиям эквивалентно такому увеличению давления на лессовый грунт в условиях его естественной влажности Аап, которое переводит основание в состояние разрушения. Поэтому в подавля ющем большинстве случаев в грунтовых условиях как I типа по про садочности, так и II отпадает необходимость проводить расчет по деформациям. В этих случаях применение различных способов уст ранения просадочности лессовых грунтов оснований оказывает ся б о л е е эффективным. Известно, что методы расчета ос нований во второй и третьей фазах деформации грунта (по Н. М. Герсеванову) пока еще отсутствуют, поэтому определение эквивалентной нагрузки для каждого вида лессо вого грунта основания и его загруже ния представляет чрезвычайно слож ную задачу. Определение этой на грузки связано с применением тео Рис. IV.7. Графическая интерпрета ция «принципа эквивалентности» рии больших упругих деформаций и нелинейной механики сплошной среды или ж е других расчетных моделей работы грунта в основа нии. В самом деле, если исходить из общепринятой трактовки яв ления просадки, то оно должно быть рассмотрено как деформация «самоуплотнения», характеризуемая уменьшением скорости дефор мации с течением времени и наличием линейной зависимости между напряжением и общими деформациями грунта. В действительности, к ак было выяснено выше, процесс просадки в лессовых грунтах дол жен быть рассмотрен как пластическое течение в пределах опреде ленного контура увлажнения грунта. При такой интерпретации де формации просадки закономерность ее, очевидно, должна быть ус тановлена теорией пластического течения или ж е в наиболее общей постановке, исходя из соответствующих реологических моделей сплошной среды (М. Рейнер, 1965). Однако для малых дополнитель ных осадок лессовых грунтов представляется возможным, исходя из математического аппарата теории упругости, вывести формулу для эквивалентной нагрузки. Рассмотрим основание сооружения сложенным однородной тол щей лессового грунта в двух состояниях1— увлажненном и неувлажненном. Увлажненное состояние рассматриваемого основания назо вем основным, неувлажненное — эквивалентным. Д ля эквивалент ного состояния основания нагрузка по подошве фундамента щ 156 выбрана значительно меньше начальной критической нагрузки 0К, т. е. предела .пропорциональности (рис. IV .7). В результате увлажнения вследствие просадки в основании произойдет дополнительная осадка, величина которой на поверх ности грунта определится некоторой непрерывной функцией S = S ( x ) (рис. IV.8, а — основная система). Рассмотрим состояние этого же грунта в основании до его увлажнения под действием не которой неизвестной пока нам непрерывной поверхностной нагруз ки q{r\) (рис. IV .8, б — эквивалентная система). Функцию, опреде ляющую осадку поверхности рассматриваемого грунта в эквивалентной системе под действием нагрузки <7(т]), обозна- Рис. IV. 8 . Расчетная схема для определения эквивалентной нагрузки чим через 5 0(х ). Сформулируем следующую задачу. Тре буется найти для эквивалентной системы распределенную в пре делах конечного участка 2а поверхностную нагрузку q{r\), способ ную вызвать осадку поверхности грунта, равную по величине и тож дественную по характеру дополнительной осадке рассматриваемого лессового грунта в его основной системе, т. е. 5 ( x ) = S 0(x). Р а с сматриваемая задача равносильна определению некоторой поверх ностной нагрузки «Так для неувлажненного лессового грунта, одно значно отвечающей дополнительной осадке этого же грунта в ре зультате увлажнения. Рассматриваемую задачу сводим к решению второй основной задачи теории упругости для полуплоскости, т. е. к определению напряженного состояния упругой полуплоскости при заданных на его границе компонентах смещения. 'Согласно методу Н. И. Мусхелишвили, задача сводится к оты сканию двух аналитических функций cp(z) и ф(г) комплексного пе ременного z = x + i y . Компоненты напряженного состояния .при этом определяются через эти функции по формулам: °* + б1 ,= 2 [ ? '( * ) + ? ( 2 ) ] = 4/?е<р'(г ); J a„ ~ ax + 2ixxl/= 2 l z < p " { z ) i - Y ( z ) ] . (IV. 14) j Неизвестные функции <p(z) и ф (г) выражаются интегралом типа Коши и определяются, исходя из заданных выражений горизонталь ных g 1 и вертикальных g% компонентов смещения на границе полу плоскости: 157 M z ) = - ^ X n ± i i ^ d t^ G -, ni J t —z —a +Й i l } - }M l d t _ Z(?> ( z ) - v.G, я i .) t — z (IV. 15) —a где постоянная % выражается через пуассоново отношение v ра венствами: в случае плоской деформации %= 3— 4v; в случае обоб щенного плоского напряженного состояния % = (3— v ) / (l+ v ). Рис. V I.9. Расчетная схема для определения чквивалептиой нагрузки при неравномерной осадке основания Пусть поверхность грунта в основании в результате деформации в пределах от — а до + а получила неравномерную вертикальную осадку, изменяющуюся от S 0 до S i по линейному закону (рис. IV .9). Тогда компоненты перемещения поверхности грунта определятся, выражениями: £-1 = 0; §-2= А ± 5 1_ + Л и = А ^ ==л + ^ 1 Подставляя последние значение g i и g 2 в формулы (IV. 15) и произведя интегрирование для истамых функций, получим: <p(z) = [ ях ( 2 а В zB) \n z + а ) х ф (г )= — — [ 2‘ а В - f ( A -I- z B ) In - z ~ а ■} — гср' (z) —- рП, я 1 z + а ) (IV .16) (IV .17) или ф(z) = х (z) — Zf' (z) — 1* (О — G), откуда у ( z ) = ( x - l ) c p '( z ) - z < p " ( z ) . 158 (IV .18) Производные функции <p(z) из формулы (IV. 16) выражениями: г — а 2а (А + гВ ) <р'( * ) = - - £ _ Я In. г 2 — а2 я% ( г + а 4(ха ях. ( г 2 — д2 <Р ( * ) = определятся г(Л + гД) (г2 — а2)2 Тогда из формулы (IV. 18) будем иметь f (г) = (х (Г Лаг , г — аЛ Вz -+- а П 1_ -(х— 1) In - I- 2а - ( А + гВ ) 4аг2 , (г 2 _ д2)2] г 2—д2 Используя выражение <p'(z) из основной формулы ( IV. 14), бу дем иметь 4;х ® * + ° * = 4 R e < p '( z ) = - 2д (А + Re В In- г + г В) 22 — а2 а Используя в последнем выражении замену переменных: z-|-a = p1e- , 'ex; z — a== р2е~ге*; z 2 — a 2= p1p2e- i (0x+0*), будем иметь 2а ЯХ ( р2 (A -фх В ) cos (0! -j- 02) — PlP2 — у В sin (©! + 02) (IV .19) Аналогичным способом находим: а„ —ах +Ы хху = 2 [г « р " + f (2 )]: -ф/ sin (0i + 62)] В 1Qia^y, = 2 [(х — \ ) ^ { z ) - 2 i y ^ ' { z ) \ Пх (х Pip2 ( + г^) (Л + хВ [cos(01- f 02) + — X р? р| 2[Л ( х — 1) X [cos 2 (01 -ф ©2)~ i sin 2 (0i -(- 02)] X [в 2а — 7 (61 — 62) Лх (А + хВ + iyB) Р1Р2 ■X X X [cos (©! — ф02)-ф / sin (01 — ф02)]1. Сравнивая в этом выражении действительные и мнимые части, получим: 8 ацу В cos (01 + Р1Р2 159 02) — P 2) В ~I~ X A] cos 2 (81 4- 62) — ($A 4- 2x y B ) sin 2 (Oi -j- 62) — P? РЁ H- ( % 1) rtx J/q g ^^_1_ 1 2 2 д [(Л -f~ x B ) sin (6j 4 - 62) 4 - у В cos (Oi 4 - 82)] 1 p2 p2 I 6 ait&. ( g sin ( h 4 - 62) P1P2 [(* 2 — У'2) В + x A ] sin 2 (61 + 62) + ( y A 4- 2 x y B ) cos 2 (0t + 62) P?P22 2 ц (x — 1) ях jn _Pl_ /' 2 а [(Л 4 - хД ) cos (61 + B2) — y.B sin (61 + 62)] p2 ( ) P1P2 (IV .2 0 ) Решая последнее уравнение с уравнением (IV .19) совместно, оп ределяем компоненты нормального напряжения: ° ,= — ях | ( ( * - 3 )5 1 п ^ + (. р2 2 а [(х — 3 ) (Л + x B ) cos ( 0! -4- 02) — (х — 7 ) у В sin ( 0i 4 - 62)] Р1Р2 8a y j[(x 2 — ,г/2) В + x A ] sin 2 ( 0j + 02) 4 - (iy-А + 2 x y B ) cos 2 ( 0j + 02)1 2 2 Pi P2 ). i’ i (IV .2 1 ) _2L . { 0 c + l ) 5 1 n - ^ + ЯХ I I P2 2 а [(л + 1) (Л + хД ) cos ( 0i 4- 62) — (x + 5 ) y B sin (61 + 62)] P1P2 8a y {[(x2 — y 2) В + x A ] sin 2 ( 0 i 4 - 02) + (lifA 4 - 2 x y B ) cos 2 ( 0 i 4- 02) } ( 2 2 I> P1P2 > (IV.22) По найденным формулам (IV .20), (IV .21), (IV .22) определяют напряженное состояние основания, вызываемого заданной деформа цией его поверхности. Выразим полученные формулы напряжений в декартовой систе ме координат. Для этого воспользуемся очевидными соотноше ниями: Pi = !/ + (•* — а )2; sin 0, = ------ Д ---------- ; У У!2 4 • Р2 = г/2 + ( л + а ) 2; (х — а )2 л sin 9 , = --------------- 2 Уу? 4- (х 4- а)2 , л ; V /7 1 COS I к 1^2 + (X х 4- а — а )2 cosGo— ---------------------- У«2 + (jc + а)2 160 I Тогда полученные формулы напряжения примет вид: 1* ( ( * — 3) ях ( 2 _ , ^ 1П ( х — а)2 + у? ( х + а ) 2 -f- 1&;2 , 2 а [(х — 3) (Л + х В ) (*2 - #2 _ Д2) + 4 (х — 7) лзд2 (л 2 — 'г/[2 - а 2) Д] ( х 2 + у? — а 2)2 + 4 а 2^/2 8ау> {(у Л + 2х у В ) [(л:2—у 2—а 2)2— 4 х 2&,2]— 4 х # ( х 2—j/2—а 2)[ (х 2— г /2 )В + х Л ] }) ^ [(л:2 + :J/2 — а 2)2 + 4 а 2|/ 2]2 I (IV.23) (■* — д)2 + и2 (л: + а )2 + Т- . ( (х + !)_ ^ [n ях ( 2 I j_ 2 a [(х + 1) (А + х В ) ( х 2 — у 2 — (х 2 + у2 — а 2 ) — 2 (х + 5 ) ху^В] 0, 2)2 + 4 а 2|&(2 __ ftg#! {(,у.Л + 2ху<Д) [ (х 2—у.2—a 2)2—4 x 2j/2] — 4х2/(х2 —у 2—д 2) [(х 2—)у2) В + х А ) } . [(X 2 + <у2 _ а 2)2 + 4д2^2]2 ■т J’ ' • (IV .24) _ _ 8аа.ч [ д _________ х 2 — у? — а 2____________ w ях 1 ( х 2 + ^2 — а 2)2 + 4 а 2#,2 [(х 2 — |У2).В +хЛ ;| [(.у2— у 2— a 2)2— 4 x 2,y2] + 4 x't/i(iM [ (х 2 + ^ ( х ~ 1) ( g a r c t r ях \ х2 у2 -г 2 х у В ) ( х 2 — р2 — а2) | _ д2)2 + 4 а 2|{/2]2 __ J 2 а , . 2 a f e £ ( x 2 — j / 2 — а 2) - 2 х у ( Л + x £ ) j . г/,2 — а 2 ( х 2 + « 2 — а 2)2 + 4а%/2 j (IV .25) Рассмотрим частный случай, когда осадка поверхности грунта в эквивалентной системе в пределах загруженного участка равно мерная и равна 5 0. Такая деформация поверхности грунта по ха рактеру соответствует природе дополнительной осадки лессового грунта под центрально загруженным фундаментом. Решение (рас сматриваемой задачи для этого случая получится из формул (IV .2 3 ), (IV .24) и (IV .25), если принять 5 = 0, Л = 5 С. Тогда будем иметь: о __ 2|J.aSc (, ^ х2 — у2 — д2_______ ^ ( Х2 — ЯХ у Г (X 2 + 2 _ д2)2 (д:2 _ а .2 + З#2) — 4 х 2и/|2 (З х2 + (г/,2 — За2) [ ( X 2 + \ у 2 — а 2)2 ях + 4 а 2|У!2] 2 ,____ х 2 — # 2 — а 2 2 y aS c И у ,2 — 0 .2 )2 4 - 4 а 2 у 2 Г ( х 2 + у2 — а 2)2 + 4 а 2# 2 ( х 2 — >у2 — а 2)2 ( х 2 — а 2 + З&ц2) — 4 х 2# 2 (З х 2 + у? _ З а 2) [ ( х 2 + у2 — а 2)2 -г 4 а 2# 2]2 _ х ^ 6— 724 4p.Sca я f .....................x tf_____________ { (X2 + у 2 — а 2)2 + 4а'2у 2 161 ху. (л:2 — у 2 — а 2) (Зх? — За? + 5jt/2) — 4 х 2у2 •х. [(л:2 + $2 — а 2)2 + 4 а 2|^2]2 ( I V .2 6 ) Таким образом, в результате решения поставленной задачи при ходим к заключению, что осадка поверхности грунта на определен ную величину вызывает в нем соответствующее напряженное со стояние. На поверхности грунта, согласно полученным решениям (IV .26), имеем условия: Заменяя коэффициенты % и ц известными выражениями H= G = ------------; ‘ 9 Л Д . •/= * +3}Х = 3 — 4v, *Л для граничного значения нормального напряжения получим фор мулу ау ( У = 0) = 3эк 4 Е 0 (1 — у)__________ S ca я (3 — 4v) (1 + v) а2 — х 2 (IV.27) Минимальное значение эквивалентной нагрузки имеет место при х = 0 и определяется значением 4£р (1 - v) п а (3 — 4v) (1 + v) Согласно формуле (IV .27), так же как и по решению М. Садов ского, с приближением к краям загруженного участка давления резко возрастают и на самих краях (при х = а) принимают беско нечно большие значения. В действительности реальный грунт не может принять таких больших давлений и в нем образуются пла стические деформации. Уточним значения эквивалентной нагрузки с учетом реальной возможности грунта. Согласно теории пластичности грунтов, давле: ния под краем фундамента не могут превысить величину (Прандтль, 1920) а — (у^Ф4 - cctgcp) v 1 + smf 1 — sin cp — cctgcp. (IV.28) Следовательно, значения эквивалентной нагрузки, определяемой по формуле (IV .27), в пределах загруженного участка (от — а до + а ) могут изменяться от 3°K до а. Определим расстояние от центра за груженного участка х 0, начиная с которого значение эквивалентной нагрузки не превосходит предельное сопротивление грунта, опреде ляемое по формуле (IV .28). Для этого запишем условие 4E 0 (1 - v) я (3 -~ 4v) (1 + v) 162 откуда ] f а2 V 4gg0 ( l - v ) ( IV .2 9 ) Я (3 — 4v) (1 + v) « Очевидно, что при дополнительной осадке увлажняемого осно вания, равной с ■—■ па (3 — 4v) (1 + v) — 4 £ „ (l-v ) &у минимальное значение эквивалентной нагрузки ~эк будет равно предельному сопротивлению грунта о. Равнодействующая эквивалентной нагрузки с учетам произве денного уточнения ее эпюры определится выражением — f 7BKd x = 2xq J —Xo 2S-Er>(] - v) n (3 — 4v) (1 - r v) xq In a + x ° . (IV .30) a —xQ Имея формулу эквивалентной нагрузки, расчет по второму пре дельному состоянию увлажняемых оснований, сложенных из при садочного лессового грунта первого типа, можно свести к расчету осадки того же грунта оснований без учета возможного его увлаж нения. Пусть ожидаемая просадка основания по формуле ( I I I .78) определена равной S c. Этой дополнительной от увлажнения дефор мации по формуле (IV .30) будет соответствовать определенная ве личина эквивалентной нагрузки «тЭк. Тогда условие расчета основа ния по второму предельному состоянию можно представить в ви де (Ро — У/гф) + 0эк< # > (IV.31) где R — расчетное сопротивление рассматриваемого основания без учета его увлажнения, определяемое по СНиП II-15— 74. Ширину подошвы ленточного фундамента под стену при центральном нагру жении, согласно последнему условию, ориентировочно можно опре делить по формуле 2 а = ---------------^ ----------------, (IV .32) l [ R — Лф (Yep — Y ) — ®9к] где I — длина участка стены, в пределах которого подсчитаны вер тикальные осевые нормативные нагрузки (обычно 1=1 м ); уСр — средний объемный вес материала фундамента и грунта, располо женного под уступами фундамента (обычно уср = 20 кН/м3). Если значения среднего давления по подошве фундамента и эк вивалентной нагрузки таковы, что условие (IV.31) выполняется, то расчет просадочного основания по второму предельному состоянию 6* 163 возможно вести так же, как для основания, сложенного из обычного непросадочного грунта-. В случае удовлетворения неравенства (IV .31) здания и сооруже ния возводятся без дополнительных мероприятий, как на обычных непросадочных грунтах. В случае же невыполнения этого неравен ства применяются различные мероприятия для частичного устране ния (просадочности основания или для предотвращения их образова ния (подготовка основания, водозащитные и конструктивные мероприятия). Выбор способа устранения просадочных свойств осно ваний производят по результатам технико-экономического анализа в зависимости от величины ожидаемой просадки, характера и наз начения проектируемого здания или сооружения. РАЗДЕЛ ВТОРОЙ РАСЧЕТ ФУНД АМ ЕНТО В НА ПРОСАДОЧНЫ Х ГРУНТАХ ГЛАВА V РАСЧЕТ Ф УНДАМЕНТОВ ПО МЕТОДУ МЕСТНЫХ УПРУГИХ Д ЕФ О РМ АЦ И Й § V.I. О методе местных упругих деформаций Д ля определения напряженно-деформируемого состояния осно ваний сооружений, как правило, используют расчетные модели, схематически описывающие природные механические свойства грун товой среды. Необходимость учета свойств грунтовых оснований, зависящих не только от условий их естественного залегания, но и от напряженного состояния, привела исследователей к созданию боль шого количества различных моделей грунтового основания. Наиболее простым и широко распространенным методом, опре деляющим взаимодействие конструкции с грунтом, является метод местных упругих деформаций. Этот метод базируется на гипотезе Ф у сса— Винклера, согласно которой осадка грунтового основания происходит только в точке приложения силы и величина этой осад ки у (х ) прямо пропорциональна интенсивности нагрузки в этой точке, т. е. p (x ) = bky{x), (V .1) где Ъ — ширина соприкасающейся с грунтом конструкции; k — ко эффициент пропорциональности, т. е. коэффициент постели. Зависимости (V.1) отвечает модель основания, образованного вертикальными, не связанными между собой упругими пружинами, осадка которых строго пропорциональна приходящемуся на них давлению. Модель Фусса — Винклера долгое время подвергалась жесткой критике, которая, однако, не сопровождалась соответствующими экспериментальными подтверждениями. Основным недостатком указанной модели считалось отсутствие в ней распределительной способности, а также переменность значения коэффициента посте ли для каждого вида грунтового основания и его загружения. С целью устранения присущих модели Фусса — Винклера недостат ков в дальнейшем взамен ее была предложена модель однородного 165 упругого полупространства, механические свойства которой описы ваются модулем деформации и коэффициентом Пуассона. Были предложены и другие модели: модель с ядрами Б. Г. Ко ренева, модель И. И. Черкасова, модель грунта с возрастающим по глубине модулем деформации Г. К. Клейна, раздельно учитываю щая упругие и остаточные деформации грунта «мембранная» мо дель М. М. Филоненко-Бородича, модель сжимаемого слоя конеч ной толщины В. 3 . Власова, модель с двумя коэффициентами постели П. Я . Пастернака и др. К аждая механическая модель грунта имеет определенную об ласть применения. Так, например, для несвязных песчанистых грун тов, обладающих малой распределительной способностью, наибо лее приемлемой моделью является винклеровское основание или гипотеза коэффициента постели. При правильном выборе числен ного значения коэффициента постели грунта и учете в необходимых случаях его переменности результаты расчета конструкций с ис пользованием этой модели соответствуют опытным данным. Такой вывод можно сделать, анализируя результаты экспериментальных исследований, проведенных за последние 10— 15 лет в Советском Союзе и за рубежом. Это, в первую очередь, многочисленные опыты Л . И. Манвелова, Э. С. Бартошевича, исследования И. И. Черкасо ва, опыты Ф. С. Кадыш, Е. К. Массальского и др. Л. И. Манвеловым, Э. С. Бартошевичем (1961) проведены об ширные экспериментальные исследования, результаты которых по зволяют с достаточной степенью надежности принять в качестве расчетной модели винклеровское основание. Указанные экспери менты показали, что деформация поверхности грунта за предела ми загруженной части быстро затухает, следовательно, грунты об ладают весьма малой распределительной способностью. Модель упругого полупространства не подтверждалась результатами ука занных экспериментов, так как сильно преувеличивала распреде лительную способность грунта. Результаты обработки материалов полевых и лабораторных исследований грунтов, как правило, так же приводили к необходимости применения именно винклеровской модели и лишь в случаях скального основания оправдывалось при менение модели однородного упругого полупространства. Исследования действительной работы балок, лежащих на насып ном песке, уплотненном илистом грунте и на других различных грунтовых основаниях, также подтвердили правильность вывода о приемлемости модели Винклера для практических расчетов. Таким образом, применение модели Фусса — Винклера тем бо лее оправдано, чем меньше связность грунта, размеры и заглубле ние сооружения, а такж е чем больше средняя интенсивность на грузки, передаваемой от сооружения на его основание. Установле но, что эта модель лучше отображает реальную картину в случае илистых, торфяных, мелкозернистых водонасыщенных песков. Для других песчаных оснований эта модель в случае малых опорных площадей и значительных нагрузок приводит к результатам, суще ственно не отличающимся от теории упругости. 166 Наиболее достоверные результаты по сравнению с другими эта модель дает при расчете конструкций на просадочных грунтах. Многочисленные опыты и натурные наблюдения показывают, что в случае увлажнения лессовых грунтов в основаниях зданий и со оружений просадка происходит в основном в несущем столбе грун та и за пределами фундамента величина деформации грунта, как правило, незначительна. Поэтому распределительная способность увлажняемых лессовых оснований еще более низкая, чем у естест венных оснований. Однако в модели Фусса — Винклера, оставляя общую форму зависимости между реактивным давлением грунта и осадкой в виде выражения (V .1), следует принимать коэффици ент постели переменным. Зависимость (V. 1) при этом следует рассматривать как услов ную расчетную формулу, дающую значение поверхностного напря жения по основанию через осадку. По существу, коэффициент по стели должен характеризовать упругое сжатие всего слоя грунта, являющегося основанием для сооружения. Введение переменного коэффициента постели устраняет недостатки модели Фусса — Винк лера; экспериментальные значения перемещений балки и изгибаю щих моментов при надлежащем выборе коэффициента постели и его изменчивости по длине балки совпадают с теоретиче скими. В дальнейшем мы будет исходить из модели Фусса — Винклера, но с переменными коэффициентами жесткости основания, опреде ляемыми но формуле k(x) = p (x ):S (x ), (V .2) где р ( х ) — удельное давление на подошве фундамента от веса со оружения; S ( x ) — возможная осадка поверхности грунта в преде лах плана здания от действия удельного давления. Удельное давление, передаваемое фундаментом основанию, при этом, очевидно, не должно превышать величину расчетного давле ния для данного вида грунта основания. Величина ожидаемой деформации основания определяется одним из существующих спо собов (метод послойного суммирования, метод К. Е. Егорова, метод эквивалентного слоя Н. А. Цытовича и др.). По мнению С. Н. Клепикова, для достижения лучшего прибли жения к действительности коэффициент жесткости оснований моде ли (V.1) должен определяться как отношение среднего расчетного давления в точке i фундамента к осадке основания 5 , в этой точ ке. Тогда для конкретного грунтового условия коэффициент жест кости получается характеристикой не только физических свойств грунта, но и переменной, отражающей деформативность основания (постели) только под конкретным фундаментом. Представляет определенный интерес также модель С. А. Ривкина, являющаяся некоторым обобщением модели Фусса — Винк лера p{x) = k(x )y (x). 167 В этой модели переменный коэффициент постели определяется выражением (V .3) .где k — расчетный параметр, измеряемый так же, как и коэффици ент постели, характеризующий сопротивление грунта осадке без учета краевого эффекта; |3 и а — безразмерные параметры, харак теризующие влияние краевого эффекта на величину и распределе ние реактивных давлений по подошве балки. Рассматриваемая модель позволяет, варьируя значения пара метров р и а, получить в частных случаях существующие модели грунтовых оснований. Так, например, при |3= 0 модель (V.3) пере ходит в модель Фусса — Винклера с постоянным коэффициентом постели; при (3= 5,5 и а = 1 0 он а переходит в модель упругого полу пространства и, наконец, при (3= 5,5 и а > 1 0 получается модель уп ругого слоя конечной толщины. Как показывают соответствующие расчеты (А. А. Мустафаев, М. А. Абдуллаев, 1974), представляет определенное удобство ап проксимирование функции (V.3) квадратичным полиномом вида Перспектива применения метода местных упругих деформаций в теориях расчета конструкций на упругом основании расширяется еще в связи с одним обстоятельством. Современная теория расчета инженерных конструкций на упругом основании в условиях плоской задачи основывается на фундаментальном решении Фламана для действия равномерно распределенной полосовой нагрузки на по верхности упругого полупространства. Между тем, как стало из вестно (М. И. Горбунов-Посадов, 1972), формула Фламана облададает парадоксальной особенностью: при значительном отходе от нагрузки граница полуплоскости не только оседает, а наоборот, деформируется вверх, причем эти деформации возрастают до беско нечности при бесконечном отходе от нагрузки. Таким образом, ре шение Фламана полностью противоречит поведению грунта в нату ре, где его осадка быстро затухает даж е вблизи от конструкций. Кроме того, для удовлетворения граничных условий контактных задач перемещения границы полуплоскости, -согласно этому реше нию, должны быть затухающими на бесконечности. Несмотря на эти серьезные недостатки, решение Фламана долгое время широко использовалось -при разработке теории расчета конструкций на упругом основании. § V.2. Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба ленточных фундаментов Пусть ленточный фундамент переменного по длине поперечного сечения несет поперечную нагрузку интенсивностью q ( x ) , сосредо точенные силы Nu а также пары сил с моментами т , , действующие 168 в вертикальной плоскости симметрии конструкции (рис. V .1). Изгибная жесткость фундамента характеризуется функцией E J ( x ) , которая может быть как непрерывной по всей длине фундамента, так и кусочно-непрерывной, сохраняющей постоянное значение в пределах определенных участков конструкции. Д ля общности рассматриваемой задачи будем полагать, что фундамент кроме поперечных нагрузок по концам сжимается так ж е центрально приложенными силами Р. Рассматриваемый фунда мент может быть и полосой, выделенной из балочной плиты, рабо- Рис. V .I. Расчетная схема по методу местных упругих деформа ций тающей в условиях плоской деформации. В этом случае изтибная жесткость конструкции будет характеризоваться цилиндрической ее жесткостью ' ' г , ; : I — Нч) где /п( х ) — переменный момент инерций поперечного сечения по лосы; цо — пуассоновское отношение материала полосы. . Взаимодействие фундамента с грунтом основания будем опреде лять согласно методу местных упругих, деформаций. Коэффициент жесткости грунтового основания примем также переменным, лю бым образом изменяющимся по длине фундамента. Будем считать, что высота сечения фундамента достаточно мала по сравнению с ее длиной, чем создаются условия для применения гипотезы, плос ких сечений. Обозначая через М изгибающий момент от внешних поперечных нагрузок, согласно принятым на рис. V.1 осям коорди нат, изгибающий момент в любом сечении фундамента на расстоя нии х от ее левого конца определится выражением М {х) = М +\ к{\ )г\ {х-\ )й \ + Р {у -уь).-:о " ' 16? ■ :: Перерезывающая сила и интенсивность нагрузки соответствен но определятся выражениями: X Q (x) dx J о dx d 2M (х) __ dx2 ~~ где Q — перерезывающая сила от внешней поперечной нагруз ки q (х). Уравнение изогнутой оси фундамента представится в виде откуда Полученная зависимость представляет собой дифференциаль ное уравнение продольно-поперечного изгиба балочного фундамен та на сплошном грунтовом основании, подчиняющемся модели местных упругих деформаций. В частном случае, когда фундамент подвержен только деформации поперечного изгиба, уравнение (V.5) принимает вид (V .6) Полученные уравнения продольнонтоперечного и поперечного изгиба балки относятся к обыкновенным однородным линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами E J (х) и k ( x ) , которые в зависимости от характера изменения ж ест кости фундамента и коэффициента жесткости грунта в основании могут быть как непрерывными, так и ступенчато-прерывными функ циями. Интегрирование уравнений (V.5) и (V.6) в квадратурах невоз можно, так как их общие решения не получаются выраженными через элементарные функции, поэтому для решения указанных уравнений можно применить только приближенные методы. Одним из наиболее часто применяемых методов интегрирова ния дифференциальных уравнений подобного типа является метод разложения искомого решения в бесконечные степенные ряды (ряд Тейлора). Для интегрирования уравнений (V.5) и (V.6) могут быть успеш но использованы вариационные методы Лагранжа — Ритца и Буб нова — Галеркина. Могут быть применены также численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, среди которых сле дует отметить методы Адамса, Штермера, Рунге — Кутта и др. 170 Ниже в отличие от вышеупомянутых методов излагается при ближенный метод интегрирования уравнений некоторых краевых задач строительной механики, описываемых обыкновенными линей ными дифференциальными уравнениями с переменными коэффици ентами, позволяющими довольно эффективно построить решения широкого класса задач, связанных с расчетами балочных фунда ментов на статическую и динамическую нагрузки. § V.3. Общее решение дифференциальных уравнений продольно-поперечного и поперечного изгиба ленточных фундаментов Исходя из разработанного метода (А. А. Мустафаев, 1962), зай мемся решением уравнения (V .5). Решение же уравнения (V.6) получим как частный случай из построенного решения задачи о продольно-поперечном изгибе. Примем следующие известные краевые условия: у { 0 ) = у 0; у'{ 0 ) = 6 0 ; [ E J { х ) у " { х) ] х . й= — М 0; [£ 7 (х )г /"(х )]* _ 0= — Qo- Уравнение (V.5) представим в виде d x г2 г [я/ (х) dty (х ) = -k(x )у(х )-Р + Я {Х). Произведя интегрирование этого уравнения в пределах от О до х, получим в общем виде выражение для перерезывающей силы: л JL |£У ( х) л j = ~ Q ( * ) = \ я (*!) d x x — _ ( х д) у ( х х) d x x ~ J V ( x) _ _ q p dx Д ля определения изгибающего момента последнее уравнение еще раз интегрируем в тех же пределах: d t y (л:) М (х) _ dx2 __ _ E J (х ) X Xi E l (x) EJ о X Xi q{x.2) d x 2c l x x~ oo ^ j1 k { x 2) y { x 2) d x 2d x v ' o o _ p j n * L _ + p y — I--------- Qo-— - ----------E (x) 1 E J(x) E J (x) E J(x) Интегрируя последнее уравнение в пределах от 0 до х, получим выражение для угла поворота сечения фундаментной балки в виде dy (х ) ;? М (Х> ХХ dx 3 о Е 1(х) ' = Ц х ) = Xl Хц 0 Г Q ( ( ’ E J ( x x) ' " 3 о X 0 Г if. ( x i ) d x x р 0 2 0 х | f p £ /(x i) 0 , d 2J Xi X, О X J * 1 б J 0 rfjfj E J ( x x) мЛ -Q f U3 0 3 £ /(X i) E J ( x x) Упругая линия фундаментной балки при этом определится вы ражением XХх Xxt dx^dx\ п f f x<2dx-2dx\ « (л О ^ о + А о Т С -Л Ц E J(x i) 0 0 0 0 0 x 2x3 x xt 0 0 0 о 0 0 0 x хг _ p j1 ^ Ж! <jf (x2) d x 2d x x E J ( x 2) о 0 г д е M D= M 0 — P y 0. Введя обозначение XXi У о { х ) = Уа-\г®а{х ) — M 0 ^ ^ о. о 0 0 , 0 0 dx2dxx E J ( * 2) 0 0 уравнение деформированной оси фундамента представим в виде X X i Уо(х ) = У » ( х ) — ^ ^ х \ 0 О 2 Ха \ k { x A) y { x A) d x 4 x ;A 0 0 172 x xt p fr J J У O2) d x 2d x 1 (V.7) E J ( x 2) 0 0 Функцию yo(x) в дальнейшем будем называть краевой, так как она содержит в себе четыре начальных параметра у0, 0о, Мо и Qo, характеризующих краевые условия рассматриваемых задач. Д ва из этих четырех параметров всегда равны нулю. Так, например, для фундамента со свободным левым концом имеем M 0= Q о= 0, для закрепленных г/о=0о = О и для опертых у 0= М 0==0. Оставшиеся два параметра определяют из условия на правом конечном сечении фундамента. Решение интегрального уравнения (V.7) строим методом после довательного приближения. Д ля построения последовательного приближения в качестве аппроксимирующей функции для продоль но-поперечного изгиба, т. е. нулевого приближения, примем крае вую функцию у о ( х ) . Подставляя в правой части уравнения (V.7) вместо у ( х 2) и у(х. 1) соответственно функции уо\х2) и yi,xt), получим первое при ближение в виде XXi. %Хъ У \ {х )= У ^ {х )— J J д / У а)~ \ 5 ^ (х 4)~Уо(х 4) d x 4d x 3 — 00 о о XX* Уо (х 2) dx2dxi - р И оо E l ( х 2) Заменяя г7о(х4) и у о{х2) соответственно на P i(x 4) и у\{х2) и по ступая так дальше, получим последовательность функций у\{х), г/2(х ), ..., г/Дх), ..., таких, что XXt Уг(■*) = Уо ^ \ k ix ^ y i- iix ^ d X id x 3— ~ j / u 2) 0 0 о о - оо Быстрота сходимости построенного решения в каждом конкрет ном случае, очевидно, будет зависеть от вида краевой функции у 0(х) и может быть оценена в зависимости от характера функций E J (x) и k ( x ) известными способами. _ ' Вынося в t'-M приближении параметры г/о, 0о, М о = М 0— Руо, Qo за скобки, решение рассматриваемой краевой задачи можно пред ставить в виде у t (х )= у0А (х)-\- Ь0В (х) тгМ0С (х) - Q o D ( x ) + 0 (х). 173 ( V. 8) Здесь функции А ( х ) , В ( х ) , С (х ), D ( x ) , Ф (х ) определяются выра жениями: I А { х ) = F f M(х) + Ф Г (х) + <|f (х); В (х) = F l ' м (х) + Ф% (х) + <|?■ж'р (х); С ( * ) = Я ? 3 (х) + D ( х) = ф Г (х) + # ' и'р (X); (х) ■+ Ф1 ( х ) + (х); Ф (х)=П<р (х) q (х ) + 2 ( — 1)" [Пер (х) k (х)]”- 1 Пер (х) k (х) Пер ( * ) q {х). П= 1 (V .9) Функции F ? ’M(x), Ф р (х), <$’м ,р(х), отражающие соответст венно в отдельности влияние поперечного изгиба, продольной силы и совместного влияния как поперечных, так и продольной сил, оп ределяются следующими выражениями: Я ?"" (*) - 1 + 2 Л = ( — 1 )"Плер(х) k (х); 1 оо F f М (jc) = J C + 2 ( — 1)пП л _ 1 ер (х) k (х) Пер ( * ) x k (х); /1 = 1 F f M ( X ) = П 0ер ( X ) + 2 ( л-1 1 )” П ” ер ( X ) А ( X ) П 0ер ( * ) ; Л 9Л х )= П о Х е р (х ) + 2 ( - 1 ) л Плт (х )й (х )П 0хер(х); л-1 (V.10) оо ф Г ( х ) = 2 ( - 1)"Я*1Й ? (х ); Л—1 оо ф 2р ( * ) = 2 ( - 1 г Р пП Г 1? (X) П0хер (X); Л-1 Фзр ( х ) = 2 ( - 1) " ^ n S +:V'fjc); л-1 оо Ф4Р (х) = 2 ( - 1 )пР пПо" ер(х) П0хср (X); Л-1. Ф?’М’Р (Л) = 2 ( - 1 ) Л+ Ф М „; л-1 174 (V .1 1) ^ ■ р (л )= 2 ( - 1 y +1/>«£„; Л = 1 ф?>">р ( х ) = 2 ( - 1 Г +1РпСп; Л—1 я-1 Коэффициенты А п, В С п и D n в последних разложениях опре деляются выражениями: Л = 2 ( - 1 )п+1аА,п\ Вг = 2 л —1 А 2= 2 ( - 1)n+1 *Л,«; Я2= 2 ( - 1)л+1 <&/»,«; Я=1 Я=1 ОО ОО А, = 2 ( - 1Г +1 я—1 Яз = 2 ( - 1)” +1Св,п, л-1 Q = 2 ( - 1)“+ 1а с ’*' Л-1 с 2= 2 Л—1 (- H i= 2 С- 1 )л+1«л,„ ; Я=1 1)л+1ь с ,п-, с 3= 2 ( - ^ я—1 ( - 1 )л+1 «Л.»; Я—1 а = 2 ( - 1)я+1 Я=1 <*■«; д .= 2 л —I ( - 1)я+1 с° * - (УЛЗ) В полученные выражения функций F ^ ’1^{х), <Z>f(x) и <|>?’ж,Р(х ) входят линейные интегральные операторы следующего вида: XXi XXi П0(р (х)= 1’ f v ( x 2) d x 2dxi\ П0&(х)-— | J k ( x 2) d x 2d x l; oo oo Xi X, U q ( x ) k ( x ) = T I Q'? (x )n 0k ( x ) = j* j* <p(x2) d x 2d x i f f k ( x 4) d x id x 3 oo oo Un^ (x ) k (x ) = ^ U 0f ( x ) U Qk ( x ) . . . П0<р( x ) J 7 0k ( x ) = = T b f ( x ) k ( x ) . . . U<p(x)k(x), 175 где П0 и П представляют собой линейные интегральные операторы над функциями ф(дг) = 1/ E J (х ) и k { x ) = k ( x ) b ( х ) . Вычисление показывает, что на результат расчета существенно влияют лишь первые члены суммы (V .13), которые приводятся в приложении I. Имея общее решение уравнения продольно-поперечного изгиба, из него, как частный случай, получим решение задачи о попереч ном изгибе фундаментной балки. Для этого достаточно в общем ре шений (V.8) принять Р = 0. Тогда (х ) — M c P i[x ) — Уп{х ) ~ У й ^ (•*■)». (V -14) где функции А\{х), В\(х), C i(x ), D\{x) и Ф Д х) определяются сле^ дующими выражениями: /2— 1 В г (X) = x - f J ( - 1 (х) k (х ) 1 % (х ) xk (х); П-1 ее Ci ( х ) = П 0<р( х ) + 2 ( - 1 )лП«ср (х ) k (х) По? (•*); . . . . . . п-\ . ............................ оо A ( j c ) = j l o ^ ) + 5 ’j ( 4 W " ? ( x ) k (х)ПоХср (x); «= 1 во ■ ф 1( х ) = ' £ ( - \ ) * П " + 1' ? ( х ) к ( х ) Щ ( х ) д ( х ) . л=1 (V .15) Решения уравнений (V.8) и (V.14) в каждом конкретном слу чае расчета получаются в виде быстросходящихся степенных рядов, ограничение двумя или максимум тремя членами которых, как правило, приводит к вполне удовлетворительным результатам. Следует отметить, что полученные решения могут называться при ближенными лишь условно, так как при помощи их можно достиг нуть любой точности результатов. Однако при увеличении длины интервала изменения х, на протяжении которого разыскивается ре шение, может ухудшаться сходимость приближений для больших значений х. В этих случаях эффективность изложенного метода расчета обеспечивается применением метода подвижного начала. § Y.4. Частные случаи расчета Анализ полученного общего решения (V.8) для упрощения ма тематических выкладок произведем для случая, когда, класс рас сматриваемых задач описывается однородным уравнением, т. е. когда q ( x ) —0. Этот случай часто встречается в расчетах продоль 176 но-поперечного изгиба свай (опор) и гибких фундаментов глубоко го заложения *. Рассмотрим следующие частные случаи. 1. Ж есткость фундаментной балки и коэффициент жесткости грунтов основания постоянные, т. е. ср(х) = l / E J ( x ) = 1/EJ = const; k ( x ) = k ( x ) b ( x ) = H b = k —const. Общее решение (V.8) для этого случая расчета можно предста вить в виде у М = У о М х )+ е 0г/2( х ) — f j - У з Н - г ^ - у 4(х), где функции у\ (х) у г(х ), у з(х ) и у4 (х) получаются из уравнений (V .1 0 ), (V. 11) и (V.12) путем многократного-интегрирования з а данных выражений ср(х) и k ( x ) : Л = 1 W T1 ' + а ~ Л = - ,2 я „ 2 л + 4 ^ Ж Т (/х (2/2 + 4 )! *,2 л „ 2 л + 8 ' — {- 1)“Ь а? V ' ^ Л — 1 -ffl3 1 v % nr 2n - b l 2 - - 1 ) « + 3 - ? - * ----------- 1 ' {2n + 1 2 )! m + a* ti—l V( . . 2 л „ 2 л -f 16 - t na + - ( 2 tf -j- 16)! л . . . ; 1 n~l я„4я + 1 ^ -IK Л-1 n=1 „2я „2я+5 VM tn+о ., 2я 2я + 1 V * (2/2 + 1)! ,,2n 2Л_2л 2Л+ 9» Л—1 Л-1 OO „ ж OO — 2л 2л+ 13 (- l r + S 2л 2л+17 <^л^гл+г n vAn+i У3 -t (2/г + 8 )! Л — 1 V( + а! S ( - 1 ) л+2- ^ - А _ Л—1 _ /2= 1 л.2л „2л-Ьб + а V ( - 1 )л+г - v ■■ - ----— (Д.+ 1) + (2/г I 6)! 1 Л=1 V, (-“ JL i Л—1 (2/2 + 2)! v^n у^л+Ю 1 )"+2 J L - f tn i + (2/2 + 10)! 11 * Подробное исследование таких задач проведено К. М. Мамедовым (АзПИ, Баку, 1970). 177 -1- о V I v 2n 2n+14 — 2я „2Я +18 + a 3 y ( _ i ) " + B _ L _ f -------- 1n2 + « 4 v ( — 1)л+4- ^ - ^ -------- 1„ 3 + . . . {2 n + 14)! ’ Я,2Д Л - 1 , Л - 1 x3 , , V -*n i-4n+ 3 I X y4(jc)= —— t- У ( _ 1) » Л _ £ 31 ^ jZ U I ОV I Я -1 х2= ~ Е Г ; 4 , 3 v-2 « + 3 ((52 / г + З ) ! „2я 2л + 1 1 + л= 1 Jin „2л+19 я=1 4 , 2 = 4 , 10, 20; J Л=1 ( — 1 )« + S _ 1 _ J E ---------- 4 2 + a 4 \ (2/2 + 15)! я2П где а==~1 Г ; V 2” (_ !)* JL x ~ ^ v2n 2Л+15 o3 у ’ (л+1)+“iS < - - I r ' л- 1 u\ ( 4 / 2г + З 3 )! л—1 v л jr л "*~ + n,3~ (2n + 18)! ( - 1 ) « + 4- ^ ’ (2/2 + 19)! + 3+ ~ *яД==3, 6’ 10, n==h % - 15 = 5, 15, 35. 2. Ж есткость фундаментной балки постоянна, а коэффициеш жесткости грунтов основания линейно возрастает по длине балки <р (х)= ----- ------ = —I— = const; v £ /(х ) £У k(x ) = k (x )b (x ) = -^ ~ X = - j - х. Д ля этого частного случая общее решение (V.8) примет вид У ( x ) = y 0z 1( x ) + Q 0z2 ( х ) - - У * - z 3( x )— J k - z A{x), где функции z\{x), 2 2(х ), 2 3(x) и 2 4(x) получаются из уравненш (V .1 0 ), ( V .ll) (V.12) путем многократного интегрирования задан ных выражений ф(х) и k ( x ) : ^ iW = l + 2 ( - 1)5n~4^ Л= 1 ^ [ 1 -6 - 1 1 " - . (5/i~ 4 jl + и2 я „ 2 я + 5 • + ( c o s v x - l ) + g ^ j ( - - l ) " + 1 -(2/I + 5y|- ( " + * ) 2+ Я -1 v2/i „2/1+10 ЖП v^n ~ щ г Т . , + а ‘% ( - 1Г Л - 1 Л = 1 2я„2л+20 +“‘I](- 1)“+,i+ 5 rr“ +-i л -1 178 m Г „ ,+ '■f'l z 2( x ) = X — V ( - l ) 5”~ пп „5л+1 3 (oti + 1)! [2 -7 -1 2 . . . (5л — 3)] + Л - 1 sm \x — x x i V I / n„,i -a 2 j ( ~ l r /1= 1 + a2V ( - 1 )л+2 1 ' /1= 1 v 2« j j 2n+ 6 (2и + 6)Г ( „2n J2n +n Y n ~1 - 1 1 + + )^~ 74,4 + (2n + 1 1 )! m ч _ ’ 1 „2 л + 1 6 + a 3 V ( —1)«+з_1_£------ 74B+ . . . ; 1 V (2n + 16)! ’ ’ 1 /1 = 1 *. w - - f + i l ( Л = -| S i r 13-8-13 ... ( 5 , - 2 ) ] + 1 +i ( 1~^L~C0SV,C )+aS (~1)*tl р/Г/)! (д,+*«+3)+ /1 = 1 «2/1 „2л + 12 + a2 V ( - 1)л+2------------74,6+ 1 ^ ' (2/j + 12)! 1 Л - 1 m •! v 2/z „2л + 17 +a3S ‘-1)'+ *-V+r7'«+---; Л - 1 v3 * > ш ^ л л „5/1+3 « - i r - 2 ( - :^ - ' + f K r 14' 9 ' 1 4 -■■(6 ,,- 1)1+ Л - 1 + _+ _ ( J * + ~ v3 \ u ~ Sin vx'j + a У 31 J ( - 1)л+> /1=1 «2/г , 2+ 5 , + 4 ) + a 2 ^ X I(.............................. ( 2/1 + 8)! 2л+ 13 ( - 1 > » « + + 5Г 7 „ + “л = 1 „ 2 л + 1 8 + Я3 V ( ~ 1)”+3 (2л -Г 18)! /1=1 Tn,9+ ■•• В приведенных выше выражениях приняты обозначения: &. ° /£ 7 IE J ’ 179 ^2 Р ~~ E J ' x Коэффициенты Tn,i равны: r „ ,! = 38, 128, 320, . . . ; Г л,5= 1 1 2 0 , 4320, 12 600, . ; 7 \ 2= 5 6 0 , 2480, . . . ; 7 „ )6= 104,284, 6 2 0 ,1 1 8 0 ,2 0 4 4 , Т п,з = 1 1 136, . . . ; Г й,7= 1 8 7 2 , 6700, . . . ; 7^,4 = 68, 200, 460, 910, 1624, . . . ; 7’„)8= 1 4 6 , 380, 800, 1480,. . . ; Т п,9= 2840, 9 6 2 0 ,____ Как видно из полученных выражений, первые ряды функций Z\(х) отражают влияние поперечного изгиба под действием гори зонтальных нагрузок М 0 и Qo, так <как сюда входит только пара метр а. Вторые же члены функций z i ( x ) , Zi(x), гз(х ) и Zi(x), имею щие соответственно вид ч co sv x — 1; sinvx — vx v 1 v3 / °--------- ; VX \ 11 V3J t 3 3! 1 /, v 2jf 2 v2 V 2! .— 1 \ co sv x ; } sin VX учитывают влияние только продольной силы Р, так как сюда “вхо дит параметр v. Остальные члены, представляющие бесконечные суммы, учитывают совместное влиянйе как поперечных, так и про дольной силы, поскольку в них фигурируют произведения парамет ров а и v. ■ 3. Ж есткость фундаментной балки постоянная, а коэффициен жесткости грунтов основания меняется по длине балки по квадра тичному закону, т. е. <р(х) = 1j E J (х) = 1j E J = const; . -- k { x ) = k { x ) . b { x ) = - ^ ~ х 2= X , X '-У .--..'. 1 2 - Общее решение уравнения в виде х 2. 42 ....... (V.8) в этом случае представится : У ( * )= У о А (*) + %А (■*)- ~ /з(■*)^ Л (■*). где функции /] ( х ) , /а(х) , /з(х) и fi ( x ) получаются из уравнений (V .10), (V. 11) и (V.12) путем многократного интегрирования за данных выражений ср(х) и k ( x ) : „тп чбт А (■*) = 1 ф ^ ( - 1)m га= 1 [ 1 •2 -;7 •8 •13 ■14 . . . ' в о ч . . ( 6 т — 5 )(6/и — 4 )]-(-(c o s v x — 1)-|-а W га—1 180 — l)m+1 X „2т 2/п+б v2 т 2m+12 m =l v 2m 2m +18 m m =l m =l „2m „2m + 24 X (2m + 24)! 7®-4+ ‘ ’ /»лг „ 6 m + 1 ( - l ) */_ ®(6m -£ + [2■ 3 -8 L - 9 - 1 4 - 1 5 .. . 1 )( - / „ ( *v) = * + V У21, m =l . . . ( 6 m - 4 ) (ботт—3 ) J + sinv* ~ v* . + a ^ ( - l)m+1> m =1 „ 2 m „2m + 7 v^m „2m +13 S< -1)"+! x m =l w -i ,'|-г ' r«+ _ +a,S (- 1)"+Jp+nFr"”+;-; « -1 Л+ „2 m . / Vjtf =■ J S i + у ja v ,2m „2m + l9 w zm „zm+i* J 2! ^ v m =l nm „6лг+2 ( _ \yn J*_JE — - j [3• 4-9■ 10• 15• 16 . j . ’ (6m + 2 ) ! 1 . . (6m — 3) (6m - 2)] + - i - f 1 - - cos vx \}Zm ущ +8 ЖП +*S<-,r+1-krir7* ^ 2 < -‘> -M* m =l m =l *,2m „ 2 m + l4 «2 m x :y j ■ • 74.9 + rt3 \ (2m+ 14)! у ( - 1 Г '3 ' ;i 2m + 2 0 . (2m+ 20)! /4,10-'; ••• m —1 ;; + j' ' •q‘ «Л1 хбт+3 . w— / 4( х ) = — - + У J i K 1 3! m—1 ( - 1 ) » - ^ ----- [4-5-10-11-16-17... (6m+ 3)! 1 . . . (6m — 2) (6m — l)] + - ~ ( - + i : . v 2m „2m + 9 ЧХ ^ sin v x j + +«S(+ K i + r г“л+“!Ц ‘-1'“+!x m= l m= l 181, v2mx 2m+2l v2m ^2т+15 В приведенных выражениях приняты обозначения; EJ 7 ^ ,2 = 1372, 7180, 2 5 3 8 0 , . . . ; ТтА= 7 7 4 5 9 2 0 , . . . ; Т т,6= 3 2 9 2 , 1 3 9 0 0 , . . . ; Тт,3 = 4 2 ,9 8 , 188, . . . ; 7 m,10= 2 286 144, . . . ; Т т,1 2 = 1 1 8 7 2 , 4 0 0 1 2 , . Решение рассматриваемой задачи в степенных рядах Тейлора получено Н. К. Снитко и А. Н. Снитко (1967). На основании полученного общего решения (V.14) рассмотрим некоторые частные случаи расчета балок на сплошном упругом ос новании и сопоставим полученные результаты с имеющимися в ли тературе решениями. 4. Ж есткость фундаментной балки и грунтов ее основания а также интенсивность внешней нагрузки всюду постоянные, т. е. ср(х)— 1i ' E J ( x ) = 1/£У = const; k ( x ) = k ( x ) b ( x ) = k b 9= k — const; q { x ) = q Q — const. Для этого случая решение (V.14) принимает вид У п(х ) — У й ^ 2 {х )-\ -% В 2 { х ) Р °. С а ( - * ) t,J “ 7 A CJ W + (V .16) где функции А2{х), В 2(х), С2(х), ражениями: D 2 (x ) 182 и Ф2 (х) определяются вы * 4л+2 ( 4я + 2)! оо ’ 4л+3 (4и + 3 )! ’ (V -17) Л = 1 Проверим достоверность полученного решения (V.16) для рас сматриваемого частного случая задачи. Для этого, очевидно, до статочно будет показать, что решение (V.16) представляет собой общее решение известного неоднородного уравнения для попереч ного изгиба балки с постоянной жесткостью и постоянным коэффи циентом постели, имеющего вид E j . й'У ix)- ~ -k y ( x ) = q ( x ) . (V .18) Д ля простоты рассмотрим однородное уравнение E J diyW - \-ky{>с ) = 0 , (V .19) хотя анализ решения неоднородного уравнения (V.18) и не пред ставляет особого затруднения. Общее решение (V.16) в рассматриваемом случае примет вид 4 W n+2 где Для сравнения с последним полученным решением известное общее решение однородного уравнения (V.19) удобно представить в виде у ( х ) = А ух (cue) + В у 2 (а х ) + Су3 ( а х )- f D yx (ах), 183 где функции г/i (а х ), г/г (а х ), г/з(ах) и г/4 (ах) — четыре линейно не зависимых интеграла уравнения (V .19), определяемые выражения ми (решение Н. П. Пузыревского и А. Н. К ры лова): у х(ax) = ch а х cos а х ; у 2 ( а х ) — —— (ch’a x sin a x + s h a x c o s ах); 2а г/3 ( а х ( sh а х sin а х); г/4( а х ) = - ^ - (eh а х sin а х — sh а х cos ах ). . ... Постоянные интегрирования А, В , С и D здесь определяются; че рез начальные параметры следующими выражениями: : . + В = 60; А = у 0; С = — ^ -\ EJ JJ- Q-°- ~E J Таким образом, задача сводится к проверке справедливости сле дующих равенств: 1( а х ) = 1 + ^m( -,- 1 ) «I».- л—1 уг ( а х ) = х + ^ { ~ У Г 4ЛИ 4" (4л)! 4па*пх 4п+ v Л = 1 't Уз{а х2 Г V I / )— 2 4na 4nx in+ (4 л + 2 )! v-з Ж дЛ 4я 4я+3 !/<( а , , = ^ . + 2 ( - 1 ) " - + + Г . Я= 1 '(V .2 0 ) Д ля этой цели воспользуемся следующими разложениями гиперболо-тригонометрических функций: - г _____ (' ё * Г ^ c h a x c o s a x = ^\ , ( _ — 4)л 4)n_1 1-2-3 . . . (4л — 4) я=1 ch a x sin a x -j- sh a x cos a x — 2 ( — 4 )л_1 —— (ox)4" - 3 2 - 3 . . . (4л — 3) Л - 1 sh a x sin a x = 2 \ ' ( — 4)”- 1 -------. ’ 1-2-3 . . . (4л- 2 ) ‘ ; л=1 . 184 ; , ch а х sin а х — sh а х cos а х = 4 (селЛ4* - 1 > ( — 4 )n_1----------— --------- Z A 1 - 2 - 3 . . . (4га — 1) П=1 (V .21) Ряды в правых частях равенств (V.20) могут быть преобразо ваны: 1 1 V f Z J IP 4" (а* )4" л=1 л: + V 11 m V Î , ------= — V i — 4)n_1--------- (4П + 1)! a ; n= 1 *3 Z l «=1 . Y (a'x)4n- 3 1-2-3 . . . ( 4 n - 3 ) я= 1 Д1 + V 2 1 - 2 -3 . . . (4 n — 4) n=l Апп 4п у.4« +1 4 na 4nx 4n+1 ( — 1)" iax)in~4 ( 4 n)\ ( (— 1V* 4"a4n-y4n+2 = J L V ' ( • 4)n~ 1 J (4n + 2)! n „ 4W Z A n+ 3 _ a2 1 n=1 ; n=l ^ 0? (4 /г+ З )! ^ <a^ 4"~2 1 - 2 -3 . . . (4n — 2) , Z A ( a x ) 4» - 1 1 -2 -3 ... Л —1 (4n - 1) Если учесть последнее равенство в (V .21), а затем в (V .20), то легко можно убедиться в справедливости равенства (V .20). Как видно из полученных равенств, построенное общее решение (V.14) в частном случае полностью совпадает с известным решени ем Н. ГЕ П узыревского— А. Н. Крылова. 5. Ж есткость фундаментной балки постоянная, а коэффициент жесткости грунтового основания является некоторой непрерывной или же ступенчато-прерывной функцией в пределах всей длины балки. Д ля этого случая решение задачи имеет следующий вид: С 3 (х ) Уп(.х )~УъАъ(х)-\-ЪъВ 3 {х) -^у-D 3 (•£)-]-Ф 3 (х ), (V .22) где функции А 3 {х), В 3 (х), С 3 (х), D 3 (x) и Ф 3 (х) определяются вы ражениями: 00 X Xt X2 Хя 55 1 S ^{x ^ d x d x d x 2d x A3(a :)= 1 -| - ^jjjTj ( — 1)" ^ g j ~ j 4 л-1 оооо 00 X Xt Х2 -Х$ у /1= 1 ' ^ ^ k { x 4 ) d x 4 d x 3 d x 2d x 0 0 0 0 X X i X t Xs X J S S S x ik ( x i ) d x id x 3 d x 2 d x l \ 185 3 л- 1 X с » ( * ) = ~ 7 " + т S ( ~ 1)n( ~ i r ) ” f\ \ f ^ k (x *)d x *d x zd x 2d x ^ л=1 0000 XXi хйxa x y \ \ \ \ xl k ( x 4) dx4d x 3dx2d x x\ 0 0 0 0 oo Дз (■ *)= - y - + у XХхХ2 X3 ^ ( ~ 1)" n~\ XXi X2 x9 И 5 Sk^ 0000 d x *dxitd x ->d x ^ ~ Xx X ^ j ^ j* x 4 k (x 4)dxtd x 3dx2d x 1; о о о о /1=1 0000 x Xi хлXa ^ \ j' x\k f x 4) dx4dx:idx2d x l j . 0 o' o' 0 Xdx4dx3d x 2d x ^ (V .23) Решение (V.22) дает возможность произвести деформационный расчет фундаментной балки постоянной жесткости как при непре рывных, так и при ступенчато-прерывных законах изменения ко эффициента жесткости грунтового основания. Задача при этом сво дится или к обычному многократному интегрированию непрерыв ных, или же многократному интегрированию ступенчато-прерывной функции k ( x ) . Многократное интегрирование непрерывной функции k ( x ) при любых ее явных формах изменения (линейных или же не линейных) не будет представлять математической трудности, по скольку при этом окончательные выражения функций А3(х ), В 3(х ), С з(х ), Dz(x) и Ф3(х) получаются из выражения (V.23) путем вычисления обычных многократных интегралов. В случае же сту пенчато-прерывного закона изменения коэффициента жесткости грунтового основания удобнее всего использовать математический аппарат теории прерывных функций, т. е. функциональных преры вателей Н. М. Герсеванова. Применение функциональных прерывателей в теориях расчета балок на сплошном упругом основании успешно осуществлено в работах И. А. Симвулиди (1958— 1973). 6. Ж есткость фундаментной балки постоянная, а грунтово среды линейно возрастает по длине балки согласно закону k k, (, x \) = —kbD t- X = X. v 1 I I Общее решение задачи для рассматриваемого случая примет вид 186 у(х )= м0 у 0Л 4 ( * ) ■ + 6 0 В 4 ( х ) - Qo D 4 ( x ) + 0 4 ( x ) . 4(* )EJ с 44 EJ (V .24) Здесь функции A 4 (x), B 4 {x), C4(x ), D*{x) и Ф4(х) определяются из выражения (V. 15) путем многократного интегрирования принято го закона изменения коэффициента жесткости грунта k { x ) и имеют вид: 5n A4W = l + ^ ( - l ) « ( * 1 i B t (x) = x + V ( - l ) ” Iff ' [ 1 - 6 - 1 1 - 1 6 . . . (5л — 4)]; (5 n)! IEJ п= 1 (5п , IEJ ) • k ' k [ 2 - 7 - 1 2 - 1 7 . . . (5л — 3)]; *5я + 2 \п [ 3 - 8 - 1 3 - 1 8 . . . (5л — 2)]; (5 п + 2)! IEJ ) 1 + 1)! ^5л+3 \п (5 л + 3)! n=1 [ 4 - 9 - 1 4 - 1 9 . . . (5 л — 1)]; „■5я+4 i)" n=l IEJ [ 5 - 1 0 - 1 5 - 2 0 . . . (5л)]1 (Ъп + 4)! 1 п) Ряды функций А 4 (х), В 4 (х), С4(х), Da{x) и Ф4(х) быстро сходя щиеся. Знакопеременность этих рядов дает возможность довольно просто, согласно правилу Лейбница, оценить погрешность при огра ничении конечными членами этих разложений. Обозначая через а отношение kb , а= IEJ IEJ и ограничиваясь лишь первыми тремя членами каждого ряда в вы ражениях А 4 (х), В 4 (х), С4(х ), Di(x) и Ф4(х ), решение (V.24) можно представить в виде: 1-6^2*10 1-6- 11а3Аг15 10*5 У ( х ) — Уо М — 5! 10 ! 15! ■ ) + — (—00 ^JCT- 20x6 2-702*11 2-7-1203*16 6! 11! 16! 30 * 7 7! 3 -8 0 2 *1 2 3 -8 -1 3 0 3 * 1 7 12 ! 17! 4 0*8 4-902*13 13! 4-9-1403* 18 8! Чо *4 50x9 5-1 0 0 2 *1 4 EJ 4! 9! Л40 ! х 2 EJ 21 Qo *з_ EJ 3! 14! 187 ±. - + 18! 5-10-1503*19 19! • ) + + - ) • ( V .25) Решение (V.25) полностью совпадает с решением Н. К- Снитко и А. Н. Снитко (1968). Таким образом, известное решение Н. К- Снитко для поперечного изгиба опор постоянной жесткости в грунтовой среде с линейно изменяющимся по глубине коэффици ентом постели получается из построенного нами общего решения (V.14) как частный случай. Далее, в (V .25), заменяя параметр а на а 5= — IEJ , будем иметь Ijcf 1-бл:}0 1 -6 -И л :}5 101 15! y { x ) — y Q[ \ -------------j---------------------------- а J , * \ 5! В0 ( х , 2x4 а \1! 61 { х\ Ъх\ а 2E J ( 2! 71 М0 х\ 4л;} азЕ ! ( 3 ! 8! qq 9о (Н Е/ / >с} \ 4! 1 | 2-7ДС» 1 V 2 - 7 - 12л:}6 11! ' h . . . 14- “ х ± 16! 3-8л:}2 3 - 8 - 13л;}7 12! 17! 4-9х}3 4 - 9 - 14л:}8 13! 18! ± ••• 5лс} 5 - Юл:}4 5-10-15лс}9' 9! 14! 19! ± — )+ + где Xi = а х — приведенная (безразмерная) абсцисса. Последнее выражение полностью совпадает с решением этой ж е задачи, полученным И. В. Урбаном (1939). 7. Ж есткость фундаментной балки постоянная, а жесткост грунтов основания изменяется по длине балки по нелинейному за кону £ ( ■ * )= 7 7 * 2Общее решение (V.14) для рассматриваемого случая предста вится в виде у ( х ) = у 0 А5( * ) + 0ОД5( х ) - ^ С в ( х ) ----- g - D s (х) + Ф 5 (х ). Частные решения Л5(х ), Д5(л:), С 5 (х), D 5 (x) и Фв(х) определяются из (V.23) путем обычного многократного интегрирования принятой функции k (х ). Выражения этих функций имеют вид: Л . ( * ) - 1 + 2 ( - 1 > . ( 1^ г ) * 1^ Я= 1 г 1 ( .2 .Г .в . 1 8 .1 4 ... . . . (6/г — 5) (6га — 4)]; 188 В 85 1( * ) ) = л I+ V ( - l W> Л-1 — £ ТJ « У ( 6n + y p E J 1) 1 1I 2 . 3 . 8 . 9 . 1 4 . 1 5 . . . . . . ( 6 л - 4 ) (6 л - 3 ) ] ; C 5( X ) = — 5 ; 2! + 1 V n = ( - 1 ) " M — )"— J I 12EJ J И6я-Ь2 - - - - - - - - - [ 3 - 4 - 9 - 10- 15- 16 . . . . (6n + 2 )! 1 1 . . . (6л — 3)(6л — 2)]; о (x)= — + V ( - l ) « f — 5V ; ’ 3! \ l 2E J j — -y6"-+3 - [ 4- 5- 10- 11•16- 17 . . , (6n + 3 ) ! 1 (6л — 2 )( 6 л — 1)]; до ( , V V iW n«l *1 \n 12EJ J * 6n+4 ( 6 n + 4)! X X [ 5 - 6 - 1 1 - 1 2 - 1 7 - 1 8 . . . (6 я — 1)(6л}]|. Сравним последнее решение при q ( x ) = 0 с решением А. Н. Снит ко (1968), полученным им для продольно-поперечного изгиба опо ры постоянной жесткости с квадратичным законом изменения ко эффициента постели грунта. Для этого подставим в указанном решении Р = 0 и полученное при этом выражение частных решений сравним с последними выражениями. Легко можно заметить, что оба эти решения тождественно совпадают. Пример V .I. П у с т ь требуется построить эпюры реактивного давления, изги бающих моментов и перерезывающих сил для железобетонного ленточного фунда мента (рис. V . 2 ), подверженного по всему пролету равномерно распределенной нагрузке 170= 0 ,015 М П а . Основание фундамента сложено из однородной толщи лёссового грунта первого типа по просадочности. Фундаментная балка имеет толщину 0,20 м, ширину 1 м и длину 6 м. Коэффициент жесткости грунтов осно вания в естественном состоянии имеет значение 6 0= Ю М Па/м . Тогда 170= 0 ,0 15 Х X I М П а - м = 1 5 кН/м; 6= 1-100=10 М П а ; £'=14-10* М П а . J = 1-0,203; 12 = 6 6 -1 0 - 5 М4 ; E J = 14-103-66-10-5=9,24 МПа-м4; ЪГ ~ Т _ 5/ - Vw- V 10 9,24-6 = 0,71 м- K Наиболее опасным для работы фундамента на просадочном грунте яв л я е тся глубинное увлаж нение грунта с очагом, расположенным вблизи здания. К а к пока зы ваю т эксперименты, напряжение в конструкции здания достигает м аксималь ного значения в первоначальный период увлаж нения, ^когда грунты основания у вл а ж н яю тся лиш ь вблизи источника замачивания и остаю тся сухими под боль шей частью подошвы фундамента. В качестве расчетной схемы, эквивалентной воздействию просадок, примем изменение жесткости основания от н уля у торца здания (в начальном левом сече 189 нии фундамента) вблизи очага увлажнения и далее по линейному закону до есте ственного значения на правом конечном сечении фундамента, т. е. k0b k k ( х ) = —-— х = — х . Из условия задачи имеем Al0 = Qo=0; оставшиеся два начальных параметра у о и 0 Оопределим из условия E l y " {1) = Е 1 у т {1) = 0. Согласно (V .24), имеем: E l » " ( ! ) = 0,827985.г/о — 7 , 7 1 6 в 0— 0 , 0 4 0 4 5 = 0 ; E l y " ' (I) = 5 , 8 3 9 1 5 у о + 3 , 8 0 2 6 в о— 0 , 0 6 2 1 1 2 = 0. Pj, (кн/м) ,№ 330 20 (кН/М} 0,987 Ox IкН) ^rTTrrffli!li£>ttTv ........ .............. 1365 9,250 Рис. V.2. К примеру расчета V.1 Решая совместно последнюю систему, получим: у0—1 3 1 8 - 10-5 м; 0о= = — 0,3 828 -1 0 - 2. Формулы реактивного давления, изгибающих моментов и перерезывающих сил имеют вид: ___ р (х) = k (х) -Ь ■ Чо a*EJ М (х) = Уо XI 2х, 1! 6! ( 1-6х 5! 10! 2-7Х } 1 + 5х4 9! V 4! — El 1х? 1 УФ 1 6- 1 1 х }5 ± 15! 2 - 7 - 12х ± 19 5- 1 0 х } 4 5 -1 0 - 1 5х { 14! 19! •+ 1х’х 1•6х® —+ 3! 8! 190 + 16 16! 11 ! ... ± g11 +3 \ • “ *1 13! ± " / + 0О<Х2 + 2-7*9 '+ ■ 2х\ 4! ?0«2 aÊJ 9! 1* Q (*) = + - - £ / да3 0оа 3 17! 6*7 + • 6 - 11* 2*? 2-7*1 3! 8! ± 12 ! 7! 2! 2-- 7 - 1 2 * } 3 х\ 5*? 5- 10*}1 а4Е/ 1! 6! ГП + \ "1 з Г " ± - ) gpa3 + 5-10-15*}7 12 ! 7! V 2! ± ... 14! 5- 10* 5*7 (£ L 2 - 7 - 1 2 * ’4 + 5-10-15* 16! ± - ) Вычисленные значения р ( х ) , М ( х ) и Q (* ) в четырех характерных сечениях фундамента даны в табл. V. 1. Т а б л и ц а V.1 *, м 0 ,0 2 ,0 4,0 6 ,0 Я (х), кН/м М (*), кН-м Q (х), кН 0 ,0 0 0 0 ,0 0 0 0 ,0 0 0 2 0 ,3 1 4 15,03 3 1,3 30 — 8 ,9 8 7 — 5,1 9 3 — 2 ,3 6 5 4 ,2 5 0 0 ,0 0 0 0 ,0 0 0 На рис. V.2 по данным табл. V.1 построены эпюры реактивного давления, изгибающих моментов и перерезывающих сил. § V.5. Применение функциональных прерывателей для описания прерывных законов изменения жесткости фундаментов, грунтового основания и внешних нагрузок В некоторых важных для практики случаях изменение жестко сти фундаментов по ее длине, а также грунтов оснований может происходить по кусочно-непрерывным законам. Приложенные к фундаментам внешние нагрузки в подавляющих случаях расчета представляются также в виде прерывных функций. В этих случаях расчета одним из эффективных математических приемов для опи сания закона изменения E J ( x ) , k ( x ) и q ( x ) является теория функ циональных прерывателей, разработанная Н. М. Герсевановым (1934). Введя обозначения < р ( л : ) = — -— ; ! £ /(* ) 'К - * ) — — -— , G F (*) представим изменения изгибной и сдвиговой жесткости фундамента с помощью односторонних прерывателей. 191 Функция ф (х) при любом числе ступеней жесткости фундамен т а представится в виде У^ = сТ 7 "\ "= Ез (х) “Ь ^’г>1СР2.1 + 2+ т ~Ь ••■“br^cp£+ii/= iyi -j- Г Л(.срг-+1д (г = 1, 2, 3 , . . . , /га), (V.26) где Tbj, Г ь ,, Гь.. — односторонние протяженные прерыватели; Ь\, Ьг b i — расстояния от левого конца до конца рассматривае мой ступени фундамента; 1 1 T i — ~ТГ7~> Е! 1 ?2,1 = ?2 — V l’ ? г — -д у г - > (Рз.2 = ЕЗ 2 ? з — ? 2! 1 Vi — ~7ГГ~’ Езi ?/ + 1,/ = <Р/+ 1 — Vi- Согласно свойствам односторонних протяженных прерывателей, имеем: при л : < & 1 Г 4 1 = Г*, = Гб<= . . . = Г * /==0; при Ь1< С х < Ь 2 Г \ = 1 ; с р ( л : ) = ср1 = Г*, = Г * 1= . . . = Г*. = 0; ® (х ) = v i + V2,1= ? i + v-2 — v i= ? 2 = — г г - ; Ез 2 при &2 < Л < ^ 3 < р (д ;) = при ^ _ 1< л Г*4= Г й ,= 1; г й1= 1 \ = . . . = Г * . = 0; ср1-[-ср 2,1-| -срз12 — 'pi — ^Рз — ? i 4 ~ ¥ з — V 2 ~ V a z :<& 1 1\ = 'Р ( * ) = <Р1 + Г й, = Г й, = <Р2,1 + . . . = ^ . 'Р З ,2 + • • • + ' P i , / - l = ^= cPl + ~ i ~ V 3 ~ V 2 ~ h • ■ ■ Jr V i ~ ~ V i - i ==Vi — 1; 1 E J3 Г *. = 0; cP 2 ~ cPl + EJ • Если фундамент по всей длине имеет две чередующиеся посто янные изгибные жесткости, то будем иметь т <р(л:)=<р1- | - 2 ( ~ 1)‘ r>.9i,2 ‘ =1 192 (/ = 1) 2, 3, ...,/re), (V.27) где 1 ?i = 92 — ' Eh Согласно свойствам лей, имеем: 1 Eh "> ^1,2 • — 9l — 92 z 1 ‘ односторонних 1 92 = 1 Я/2 1 £/2 протяженных прерывате при &,_г< л < й г I \ = r Ss= . . . — Tb. _1= 1; T i = 1 EJ i Г*. = 0; (если г — четный), (если г — нечетный). Аналогичным путем можно описать прерывный закон изменения сдвиговой жесткости фундамента. При любом числе ступеней сдви говой жесткости фундамента функция ф(х) представится в виде m 1 4i + 2 r */W+w (/==1. 2 . 3, . . . m ), ( V . 2 8 ) Ф (*)= G F (х ) i-i где ^1= Фг= _ „ ! Or 2 GFx <PH-M='W+i“ tW- При решении дифференциального уравнения изгиба фундамен та может возникать необходимость в аналитическом представлений 2с и 2а S’ г-т— - 7Ш 77Ш Ш 77777Ш ,Ъ7Ш 2 а 2а 2а УУ Рис. V.3. Ступенчатый закон изменения изгибной жест кости крупнопанельных зданий ступенчатого закона изменения изгибной и сдвиговой жесткости в виде непрерывной функции. Так, например, стену крупнопанель ного здания, ослабленную проемами, можно схематически предста вить в виде монолитного ступенчатого бруса с двумя жесткостями E l i и EJ%, отвечающими сечениям по проемам и простенкам (рис. V .3). Тогда по прямолинейной границе у = 0 изменение изгиб ной жесткости представится в виде разрывной периодической функ ции от х с периодом 2а, принимающей постоянное значение £У2—Е1\ на части интервала — с < х < с и равной EJ\ вне этого ин тервала. Функцию изгибной жесткости в этом случае можно выра зить в виде тригонометрического ряда: 7— 724 193 EJ{x) = E J l -f {E j 2_ E Jl) П + ± \ 2 a V i nc sin n cos a I a j n = l Если расстояние с по сравнению с а незначительно, то исполь зуя известный предел ■. / . hm s in с^о\ пае a : плс \ a j 1 = 1, функцию жесткости можно представить в более простой форме: E J ( x ) = E J ! + ~E~ 2~ E h (a - f ^ c o s ^ - ) , П=1 Аналогичные выражения можно составить для функционально го изменения сдвиговой жесткости фундамента. Перейдем к описанию прерывного закона изменения жесткости грунтового основания. Рассмотрим случай, когда фундамент в пре делах и I— h ^ x < l опирается на различные по своим ме ханическим свойствам грунты, характеризуемые соответственно коэффициентами жесткости k\(x) и k 2 (x). Тогда функция, харак теризующая жесткость сплошного основания рассматриваемого фундамента с помощью прерывателей, может быть представлена в виде k { x ) = ki{x)-\-YiJt 2 ,\{x), где, k^\{x) = k 2 {x) — ki { x ) . Согласно свойствам односторонних прерывателей, при л;<СЛ Г/, = 0 и k ( x ) = k 1 (x); при х ^ > 1 1 Г г1= 1 и k ( x ) ~ k 1 ( x ) Jr k 2 , i{x) = k 2 {x). Если фундамент под подошвой имеет различные грунты, коэф фициенты жесткости которых в пределах каждого t-ro участка со ответственно имеют значения k\(x), k 2 (x), ..., k i ( x ) , то закон изме нения жесткости многослойного грунтового основания с помощью прерывателей может быть представлен в виде т k { x ) = k l {x)-\-'î Tlik i + u [x\ (V.29) z-1 где k i +i,i(x) = k l+1 { x ) - k i {x). Здесь k i ( x ) — коэффициент жесткости грунта основания в предел лах i-ro участка; £ j+i ( x ) — то же, в пределах ( i + l ) - r o участка фундамента. 194 г В общем случае на фундамент могут быть приложены сосредо точенные Ni, распределенные q i { x ) и моментные Mi нагрузки (рис. V .4). В этом случае функция нагрузки примет вид ТП £ ? (^ = 2 ;=1 ТП а г «,л г' + 2 г» i- 1 i-l где mi, m 2, m3 — соответственно количество сосредоточенных сил, моментов и распределенных нагрузок; а*, Ьи ски сн» — соответствен но расстояние от левого конца фундамента, где приложены сосредо- Рис. V.4. Загружение фундаментной балки прерывными нагрузками точенные силы, моменты, а также начало и конец участка, в преде лах которого действуют распределенные нагрузки q i ( x ) ; Т'а{ — мгновенный прерыватель первого рода; Г^’ — мгновенный преры ватель второго рода; -— двусторонний прерыватель. Мгновенный прерыватель есть функция, обладающая тем свой ством, что она равна нулю во всех точках оси абсцисс, за исключе нием одной точки x —,ai или x —bi, в которой она равна единице. Очевидно, T a f ( x ) есть функция, равная нулю для всех х ф а и рав ная f ( a ) для х = а . Из определения следует, что та / (■ * )= / (я) Г«. Формула дифференцирования прерывателей строится на основании правила дифференцирования произведения двух функций Г и f ( x ) и имеет вид 7* 195 [Г / (*)]<»> = T W f (х) + Г(*-1>/ ' ( х ) - f . . . + V W f (х). Приведем формулу для интегрирования односторонних протя женных прерывателей j Va f [ X ) d x = Va j / {t)d t-\-C . a Последняя формула, обобщенная для многократного интегри рования, имеет вид Ш■ ■ЯГ“/ .■ . ( I /№-^‘Л+ а + Cl x * - ' + C 2 x * ~ * + . . . + C a . (V .30) Формула интегрирования мгновенного прерывателя имеет вид j r ; / ( x , t ) d t = T ef { x , с). Х0 ГЛ А ВА V I РАСЧЕТ КРУПНОПАНЕЛЬНЫХ ЗДАНИЙ НА ПРО САД ОЧНЫ Х ГРУНТАХ § VI. 1. Состояние вопроса Основным направлением дальнейшей индустриализации массо вого жилищного строительства в нашей стране, как и в прошлые годы, остается крупнопанельное домостроение, которое в полной мере отвечает выполнению основных задач по сокращению сроков и трудоемкости строительства и снижению его стоимости. Большой объем крупнопанельного домостроения осуществляется в районах распространения лессовых просадочных грунтов. В этих условиях вследствие случайного замачивания основания зданий получают большие и к тому же неравномерные дополнительные деформации. Поэтому, обладая высокой пространственной жесткостью, крупно панельные здания при просадке их оснований получают большие дополнительные усилия, приводящие часто к недопустимым их По вреждениям и д аж е к разрушениям. Ввиду различия причин замачивания оснований и характера увлажнения при этом грунта при проектировании не представляет ся возможным заранее прогнозировать, когда и где (могут появить ся повреждения несущих конструкций крупнопанельных зданий вследствие просадки грунтов в их основании. Поэтому каждое зда ние, возводимое на просадочных грунтах, как правило, проектиру ют с учетом возможного замачивания грунтов их оснований. Крупнопанельные здания должны рассчитывать с учетом про странственного напряженного состояния конструкций, что пред ставляет весьма сложную инженерную задачу. Точное решение этой задачи без введения упрощающих положений на данном эта пе, по-видимому, невозможно. Учитывая, что продольные стены крупнопанельных зданий обыч но не имеют надежной связи друг с другом, а поперечные стены состоят из отдельных панелей, часто не связанных между собой и разрезанных на всю высоту этажа дверными проемами, сущест вующими методами расчета пространственная коробка здания расчленяется на отдельные плоские элементы (продольные стены) и деформации этих стен при неравномерных осадках основания рассматриваются независимо друг от друга. 197 Для исследования пространственной работы здания А. С. Калманок (1956) и Д . А. Питлюк (1960) рекомендуют расчленять его на отдельные плоские элементы и рассчитывать на действие как внешней, так и единичных нагрузок, замещающих собой усилия в сопряжениях рассматриваемого элемента с соседними. Простран ственная работа коробки жилых зданий, возводимых на подраба тываемых территориях, была подробно исследована Б. А. Косицыным (1963). В этой работе коробка здания представляется в виде призматической многосвязной оболочки, раскрепленной нежестки ми диафрагмами жесткости. Кососимметричные вертикальные де формации стен при кручении определяются только деформацией контура поперечного сечения. Деформации поворота сечения при кручении не учитываются. В результате задача сводится к реше нию неоднородных дифференциальных уравнений изгиба и круче ния четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Б. С. В а сильков (1964) крупнопанельное здание рассматривает как при зматическую оболочку многосвязного сечения, находящуюся на податливом основании конечной толщины, подстилаемом жестким основанием. Таким образом, расчет коробки здания можно свести к расчету отдельных плоскостных стен и определению сил взаимодействия с основанием и между собой. При этом на основании принятых уп рощающих задачу предположений расчет продольных стен зданий можно производить как расчет балки, лежащей на сплошном уп ругом основании, с переменными коэффициентами жесткости. Такая задача математически сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с переменными коэффициентами. В ряде работ (Б. А. Косицын, Д. Н. Соболев, В . И. Лишак, П. П. Шагин и др.) установлено, что такой подход к решению поставленной задачи не приводит к существенным отли чиям от результатов более точного расчета. В этих условиях реша ющим фактором расчета является выбор наиболее обоснованной модели грунтовой среды. Сравнительно простой расчетной схемой крупнопанельных зда ний на просадочных грунтах, нашедшей широкое распространение, является балка с приведенными жесткостными характеристиками. Были разработаны также балочные перекрестные системы состав ных стержней, балок-стенок, рам, призматических оболочек, систем ортогональных пластин и др. Расчетная модель в виде многосвяз ного тонкостенного стержня с поперечными диафрагмами жестко сти рассматривалась А. П. Пшеничкиным (1968). Расчет крупнопа нельных зданий в условиях неравномерных осадок успешно осуще ствлялся Зденеком Базантом (1967— 1968). Некоторые расчетные схемы крупнопанельного дома на неравномерных осадках рассмат ривались также JL И. Неймарком (1967). Учет нелинейности, пере менности характеристик различных типовых связей, пластических деформаций несущих элементов, деформирования перемычек и дру гих особенностей работы многоэтажных зданий осуществлялся в ра ботах П. Ф. Дроздова, В. И. Заборова, Д. А. Питлюка. Для учета 198 взаимодействия здания с деформирующимся основанием А. С. Вайн: бергом (1970) предложена модель крупнопанельного дома в виде нескольких (по числу продольных стен) параллельно расположен ных вертикальных составных стержней, опирающихся на горизон тальные балки. Им же была предложена расчетная схема взаимо действия крупнопанельного здания и просадочного основания, учитывающая процесс развития просадки при случайном увлажне нии основания. В последнее время успешно разрабатываются веро ятностные методы расчета совместной работы сооружений и неод нородных деформируемых оснований (А. П. Пшеничкин, Б. А. Гар агаш ). Несмотря на значительный объем крупнопанельного строитель ства на просадочных грунтах, -модель «основание — здание», учитывающая все особенности взаимодействия увдд.жняе’мого про садочного грунта и изгибаемого гибкого здания, до настоящего вре мени окончательно не, раз-работажаг-. Значительную роль в этом направлении сыграли расчетные модели, предложенные Промстройi ниипроектом, Укргорстройпроектом (Харьков), ЦНИИСКом ! им. В. А. Кучеренко и другими проектными и научно-исследова! тельскими организациями. Следует отметить, что поскольку в настоящее время расчет ос нований зданий и сооружений производят по второму предельно му состоянию, то возникает необходимость установить для крупно панельных зданий, возводимых на просадочных грунтах, значение предельно допустимых деформаций их оснований. Эти деформации могут быть определены расчетным путем, учитывая совместную работу основания и конструкции сооружения, влияние конструкции и ее жесткости на величину деформации основания и влияние, в свою очередь, последней на перераспределение напряжений и из менение деформаций элементов сооружений. Однако до сих пор принципы подобных расчетов пока еще не разработаны, поэтому наиболее надежным путем определения допустимых деформаций пока является наблюдение и изучение в натуре деформаций зд а ний с учетом условий их эксплуатации и состояния конструкций. За последнее время в нашей стране в этом направлении были проведены большие и полезные исследования. Ведущее место в них принадлежит лаборатории по строительству на просадочных грун тах НИИоснований и подземных сооружений Госстроя СССР, ве дущей натурные испытания крупнопанельных домов на просадоч ных грунтах. В 1961—-1963 гг. в Украинской ССР под руководством Н. М. Литвинова при участии НИИоснований и подземных соору жений, а также проектных и строительных; организаций названной, республики были проведены натурные испытания крупнопанельных домов фазных типовых серий (1-464, 1-480) в различных конструк тивных вариантах, построенных на просадочных грунтах в разных районах УССР с целью выявления закономерностей совместной работы крупнопанельного дома жесткой схемы и основания -при ис кусственном замачивании грунта. 199 В 1971— 1972 гг. в г. Запорожье испытывался четырехсекционт ный 9-этажный крупнопанельный дом серии 1-480 АП, что позво лило установить высокую его надежность и способность перенести значительные неравномерные деформации основания. Д ля уточненения существующих методик расчета коробки крупнопанельного здания в ЦНИИСКе им. В. А. Кучеренко, ЛенЗНИИЭПе, ЦНИИЭПжилища, НИИСКе, КиевЗНИИЭПе, Донпромстройниипроекте проводились модельные испытания крупнопанельных зданий при неравномерных осадках. Ценная информация о поведении конст рукций зданий в условиях просадочных грунтов накоплена на осно вании обследования большого количества построенных зданий, об работки и анализа данных о состоянии их конструкций (И. Д . Бес палый, Н. Е. Ф урсова). ^■"Характер деформации стен, происходящий из-за неравномерной просадки грунта под основанием их фундаментов, определяется в основном характером просадки и может представлять собой про гиб или перегиб, т. е. наибольшую осадку краев. Степень искривле ния стен зависит от прочности и жесткости фундамента и стены. П ри малой ж есткости стена и фундамент следуют за деформацией грунта в основании, в этом случае степень их искривления близка к деформации грунта. При большой жесткости фундамента и стены они выравнивают деформации грунта и степень их искривления уменьшается. Трещины в стенах и фундаментах зданий и сооружений, возво димых на просадочных грунтах, появляются обычно в местах их наибольшего перегиба с раскрытием в направлении растянутой зо ны. Крены зданий и сооружений или их отдельных конструкций, такж е являющиеся следствием неравномерного замачивания и про садки грунта, особенно опасны для зданий и сооружений с малой площадью фундаментов и высоким расположением центра тяже сти. Сдвиг междуэтажных перекрытий и покрытий по опорным пло щадкам обычно наблюдается при больших просадках и вызывается образованием трещин в стенах и их перекосами. Эти виды дефор маций имеют место в зданиях и сооружениях с недостаточной поперечной и продольной прочностью, т. е. когда поперечные стены расположены на больших расстояниях или вовсе отсутствуют, а также когда нет анкеровки перекрытий к стенам или другим не сущим конструкциям зданий. Неравномерные просадки могут при вести к разрыву сетей водопровода, канализации и других инже нерных коммуникаций, нарушив, их нормальную эксплуатацию. И з-за дополнительного замачивания грунта за счет поврежденных коммуникаций просадки могут резко увеличиваться и усилить де формации зданий и сооружений. F~~ § VI.2. Жесткостные характеристики крупнопанельных зданий Необходимость в детальной оценке изгибной и сдвиговой ж ест кости зданий, работающих по гибкой системе, возникла в основном в связи с переходом к расчету оснований по второму предельному состоянию. По рекомендациям В. В. Михеева (1956) изгибная жесткость здания определяется по известным величинам средней осадки и мо дуля деформации грунта основания. Неравномерность осадки ха рактеризуется отношением стрелы прогиба к величине средней осадки, которое зависит от сжимаемости основания, нормы и р аз меров фундаментов и жесткости здания. Однако, согласно этой ме тодике, изгибная жесткость здания оказалась не зависящей от кон структивных особенностей несущих стен, поэтому эта методика не нашла в дальнейшем широкого применения в практике расчетов. Основная трудность при определения жесткости здания связана с оценкой влияния оконных и дверных проемов, а также вида сое динения элементов в панельных и кирпичных стенах. Сравнительно удобную для расчетов методику определения из гибной жесткости стены предлагает П. П. Шагин (1963). Согласно этой методике, изгибная жесткость системы «стена — фундамент» определяется из рассмотрения стен кирпичных, блочных и панель ных зданий как брусьев переменной (ступенчатой) жесткости EJ\ и E J 2, где E J 1 — жесткость стены в сечении по проемам, а E J 2 — жесткость стены в сечении по простенкам. Для упрощения расчетов жесткость системы переменного сечения заменяется на постоянную ( п р и ве д е н н у ю ) жесткость, определяемую по формуле £ / пр= 2 £ — h ( VI . 1) + J 2 где Е — модуль упругости бетона стеновых панелей; J \ и Д — мо менты интерции сечений здания по проемам и простенкам. Следует отметить, что формула П. П. Шагина дает завышенные значения жесткости, так как не учитывает деформации сдвигов в плоскости стены в сечениях по простенкам. Наиболее достоверная методика для определения жесткостных параметров предложена Б. А. Косицыным (1963). Эта методика нашла отражение в Указаниях по проектированию крупнопанель ных жилых домов, возводимых на обычных и просадочных грунтах (СН 321— 6 5 -и 339— 65). Пространственнуio pа боту здания ТТ. А. Косицын (1971) описывает совокупностью трех видов напряженного состояния: изгибом в трех плоскостях, кручением и растяжением (сжатием). Пользуясь принципом суперпозиции, последовательно рассматривают эти виды напряженного состояния здания. При из гибе наиболее напряжены продольные стены здания, жестко свя занные друг с другом плитами перекрытий, а такж е поперечными стенами. Наличие этих связей позволяет считать контуры попереч ного сечения здания при изгибе неизменными, а также принять го 201 ризонтальные перемещения всех продольных стен в плоскости каж дого перекрытия равными. Последние предположения позволяют крупнопанельные здания при изгибе рассматривать как одномер ную систему с обобщенными (суммарными) жесткостными пара метрами. Приведенную изгибную жесткость коробки здания опре деляют по формуле [ЕД = Ъ { В ] Л у 1Ъ V-i (V I.2) где [£7]ц — жесткость подземной части здания в целом при растя жении или сжатии; [В]ц — изгибная жесткость подземной части зда ния; г/г- — расстояние от центра тяжести цокольной части здания до верхней грани перекрытия i-ro этажа; у 0 — расстояние от центра тяжести цокольной части здания до условной нейтральной оси вер тикального сечения здания, определяемое по формуле k где — приведенная податливость поясов i-ro этажа, определяе мая по формуле а, = — 1--------!------------ '¥±-------------1-------------- ^ -------- [E J][ d eр d cр [G E ]ia p где [EJ]i — суммарная приведенная жесткость всех поясов г-го эта жа поперечного сечения всей коробки здания; d cp = l/t — усреднен ное расстояние между вертикальными стыками панелей наружных стен; [(?В]г лев. [GBjinp — приведенные сдвиговые жесткости левой и правой от рассматриваемого сечения частей коробки здания, оп ределяемые по формуле [О В]глев= [П/-'Пев+ 2 2 г-1 [С П -пр= [ ^ ] " р + 2 2 /=1 где г\ц — жесткостная характеристика г-го этажа /-го вертикально го столбца, численно равная горизонтальной силе, приложенной в верхней грани панели и вызывающей единичный перекос панели при закреплении ее по нижней грани; [GF]/ BH JieB, [G.F]?“ — приве денные горизонтальные сдвиговые жесткости участков внутренних продольных стен, расположенных слева (справа) от рассматривае мого /-го сечения, определяемые по формуле 1 где Е^левспр), 2/льв(пр) — соответственно суммарная площадь и мо мент инерции горизонтального сечения (в уровне проемов) участ ков внутренних продольных стен, расположенных слева (оправа) от рассматриваемого /-го сечения. Первое слагаемое в формуле щ учитывает податливость пане лей и стыковых соединений между ними при их растяжении или сжатии силами, приложенными в уровне i-и связи. Второе слагае мое учитывает отклонение от закона плоских сечений при изгибе, т. е. учитывает депланацию сечений. Приведенная сдвиговая жесткость [G/7] коробки здания вычис ляется как сумма приведенных сдвиговых жесткостей наружных и внутренних стен но формуле [G F] = 2 [G F ]H+ [ G F ] BH, (VI.3) где [G.F]H— сдвиговая жесткость ж естк наружной стены, определяемая по формуле I [0Лн= V 2u у- i di [O F], где dj ■— длина панели /-го вертикального столбца; t — количество вертикальных столбцов панелей на половине расчетной длины зд а ния; [G fjj — приведенная сдвиговая жесткость /-го вертикального столбца панелей, равная и h r Uj [G/7]' = S ” T L + [ G / '1 1=1 где h — высота этажа; [GF]4 — приведенная сдвиговая цокольной части стены, равная 1 [OFL1 4 Од^Ц.Н жесткость где F n.н, В ц.н — соответственно площадь поперечного сечения цо кольной части стены и изгибная жесткость. Приведенную сдвиго вую жесткость внутренней продольной стены в формуле (V I.3) с учетом ослабления вертикальными рядами дверных проемов вы числяют по формуле I [ G F ] в„ Ч ___________ ~~ 2 J l [G F ]k / -2 I_______ 1____ ^ G BHF cr ’ К = 1 где q — число участков, ослабленных проемами, на половине рас четной длины здания; I — половина расчетной длины здания; /к — ширина проемов к-го вертикального ряда дверных проемов в над203 земной части стены; GBH— модуль сдвига материала надземной части стены; jFCT — (приведенная площадь вертикального сечения сплошного участка стены; [GF]K— приведенная сдвиговая ж ест кость к-го участка стены, ослабленного проемами только в надзем ной части: где k-d — количество этажей; В к — изгибная жесткость перемычки. Пример расчета жесткостных характеристик крупнопанельных жилых домов по изложенной методике приводится в Указании по проектированию конструкций крупнопанельных жилых домов (СН 321— 65. М., Стройиздат, 1966). Основные исходные предпосылки метода Б. А. Косицына состо ят в следующем. При определении изгибной жесткости панели при нимаются абсолютно жесткими, а податливость связей определяет ся исходя из сечения арматуры. Ж есткость растянутой зоны опре деляется только сечением арматуры, работа бетона при этом не учитывается. По условиям долговечности и сохранности арматур ных связей в панелях допускается раскрытие трещин а т^ 0 , 3 мм. Сечение бетона замоноличивания ослабляется, но остальная часть продолжает работать на растяжение. Д. Д . Сергеева и В. И. Лишак (1963) предлагают отказаться от оценки жесткости элементов здания по упругим свойствам исход ных материалов, найденных при помощи испытаний малых стан дартных образцов (кубов, призм, балочек), так как работа пане лей зависит от ряда факторов, которые при этих испытаниях учесть невозможно. Рекомендуется в расчеты ввести фактические деформативные свойства панелей, которые характеризуются матрицей пере мещений точек ее контура. Жесткость панелей определяется переvi мещениями точек контура, в которых расположены связи, под дей' | ствием усилий, приложенных в тех ж е точках. В зависимости от I того, преобладают ли деформации сжатия, растяжения или сдвига, \ и определяется фактическая жесткость. г'~~ Попытка применения теории составных стержней строительных конструкций сделана А. П. Пшеничкиным (1968). Рассматривая стену здания, ослабленную оконными и дверными проемами, как составной стержень, за ветви стержня в этой методике принимают ся перемычные участки стен, а за упругоиодатливые связи — про стенки стен высотой, равной высоте проемов, заключенные между перемычными участками. Ветви стержня принимаются работаю щими на сжатие или растяжение, а связи — только на сдвиг. Зам е няя дискретно расположенные связи (простенки) сплошной конти нуальной связью, стену здания представляем в виде стрингеров, работающих на сжатие и растяжение, соединенных упруго между собой ортотроиной пластинкой, работающей на сдвиг. При такому представлении стены значительно упрощается определение изгиб ной жесткости здания и одновременно учитываются факторы, вы зывающие депланацию поперечного сечения коробки здания. 204 Предлагаемая А. П. Пшеничкиным методика успешно была ис пользована им при разработке теории расчета стены зданий по схе ме балки наДшлошном упругом основании. § VI.3. Жесткость фундаментов каркасных зданий с учетом жесткости конструкций надземного строения В настоящее время, как известно, при расчете гибких фундамен тов особенность конструкции верхнего строения, как правило, не учитывается; надземная часть зданий принимается абсолютно гиб кой. Между тем система «здание — фундамент — основание» рабо тает как единое целое, поэтому в монолитных ленточных и плит ных фундаментах происходит перераспределение нагрузок на фун дамент. Учет этого перераспределения приведет к уменьшению положительных изгибающих моментов, так как вследствие опреде ленной жесткости верхнего строения изгибающийся выпуклостью вниз фундамент стремится к выпрямлению. Наличие верхнего строения делает осадку фундамента более равномерной, причем уменьшается как разность между осадками, так и абсолютное зна чение осадки. Поэтому неучет жесткости верхнего строения приво дит к неоправданно большим запасам прочности конструкций фун даментов. Учесть указанную особенность работы фундаментов каркасных зданий возможно на основе обоснованного расчета сов местной работы системы «здание — фундамент — основание». По скольку методика такого расчета окончательно не разработана, то для оценки влияния жесткости надземной части здания на работу конструкции фундамента в настоящее время используются прибли женные приемы. Д ля одного частного случая, когда колонны связаны поверху абсолютно жестким поясом, решение указанной задачи получено М. И. Горбуновым-Посадовым (1953). Для случая гибкой конструк ции верхнего строения А. П. Синицын (1949) предложил способ расчета, основанный на приближенном определении изгибной ж ест кости этой конструкции ^Наиболее удобная методика для определе ния изгибной жесткости системы «здание — фундамент» разработа на Г. Г. Меергофом (1947). Рассматриваются следующие виды конструкции надземной части здания. I. Открытая многоэтажная рама. Рассматривается открытая рама многоэтажного здания длиной L с равными пролетами I, гиб ко соединенная со сплошной фундаментной плитой с размерами А х В (рис. VI. 1). Ж есткость ригелей рамы предполагается значи тельно больше жесткости стоек. Эффективная изгибная жесткость ригеля одного этажа определяется по формуле где k T= J T!l\ k u= J J h u\ k 0 = J Q!h0; J r, J u, J 0 — соответственно, мо менты инерции ригеля, стойки под ригелем, стойки над ригелем; h u, ht — высота этажа снизу и сверху ригеля. 205 Ж есткость всей рамной конструкции с па этажей определяется выражением *3 E J B^ = ^ E J b. 1 Если обозначить изгибную жесткость фундамента через E J $ = E B d 3 l l 2 , то яри расчете жесткости системы «здание — фунда мент» к ней следует добавить жесткость надфундаментной конст рукции, т. е. ns (V I.4) E J = E J ^ + ^ E j ' b. i Рис. V I.1. Открытая многоэтажная (по Г. Г. Меергофу) рама II. Открытая многоэтажная рама с жесткой заполняющей сте ной. В первом случае предполагалось, что жесткость рамы значи тельно больше жесткости заполняющей ее стены, поэтому участие стены в общей работе системы не принималось во внимание. Если прямоугольные ячейки рамы заполнены жесткой стеной толщиной Ь и высотой h с модулем упругости Ef, то изгибная ее жесткость определится выражением E f J f = EfbhJf\2. Тогда изгибная жесткость одного этажа рамы с учетом жесткости стены будет равна E f b = - E J r \1 + ku + *0 kr + ku + fto Ж есткость надземного строения определится выражением EJ, 206 Изгибная жесткость всей системы «здание — фундамент» опрв' делится формулой пs (V I.5) III. Балка-стенка. Если сооружение представляет собой жест кую стену толщиной b и высотой Я , то изгибная жесткость надзем ного строения определится формулой Изгибная жесткость системы «сооружение — фундамент» опреде лится формулой (VI.6) E J = E J ^ E J B. Все приведенные формулы являются приближенными, но доста точно удобными для практического применения. Одной из особен ностей этих формул является то, что изгибная жесткость системы «здание — фундамент» [формулы (V I.4) и (V I.5)] возрастает в квад ратной зависимости от количества пролетов рамы. Представляет немаловажное прикладное значение методика, предложенная французским ученым В. Кролом (1971). Согласно этой методике, влияние верхнего строения на жесткость фундамент ной балки при изгибе оценивается величиной изгибающего момента в сечении этой 'балки от единичных моментов, приложенных по кон цам пролета, при наличии верхнего строения. В результате жест кость фундаментной балки многопролетной рамы получается пере менной, изменяющейся в пределах каждого пролета по линейному закону. Приведем некоторые основные расчетные формулы для определения жесткости фундаментной балки с учетом особенности рамной конструкции надземного строения. 1. Одноэтажная однопролетная рама с шарнирными крепле ниями ригеля (рис. V I.2). Изгибная жесткость фундамента опреде ляется формулой (V I.7) где k s = J J h ; Аф= У ф//. Если осевая деформация ригеля по сравнению с деформациями фундамента и стойки ничтожно м ала, то формула (V I.7) примет вид 2. Одноэтажная однопролетная жесткая рама (рис. VI.3). Изгибную жесткость фундамента определяют по формуле 207 где k T= J Tj l . 3. Одноэтажная многопролетная рама с шарнирными крепле ниями ригелей (V I.4 ). Изгибную жесткость фундамента в г-ом про- Рис. VI.2. Одноэтажная однопролетная рама с шар нирными креплениями риге ля Рис. VI.3. Одноэтажная однопролетная жесткая рама «Г Ejm EJs Ш Ш Ш W tt m m « Ш 1 ^ L I L= nl r l Рис. VI.4. Одноэтажная многопролетная рама ригелей с шарнирными креплениями лете определяют по формуле E J, = E JА 1 1— C f i (V I.9) ( А ) В ) 1 кл где C = 3 k s; B = k ^ l A = 2 k b + 3 k s ( \ + - j ~ J . Значения функции /, (А; В) в каждом пролете рамы i находят по табл. V I. 1 в зависимости от числа пролетов п. 4. Одноэтажная многопролетная жесткая рама (рис. VI.5). И гибную жесткость фундамента в t-м пролете рамы определяют по формуле E J j = E J$ (VI. 10) 1 — tyD ’ где Е 1 Т D -- Е/ф— EJq 208 1 1 - C f i (А-.В) Таблица 1=2 i =i п V I.1 1=4 1=3 1 1 А 2 А А А 2— В2 АЪ— ВА /12— В'1 3 А 3— 2 А В 2 4 Д2 А 2— В2 АЗ— 2А В 2 А 3— 2 А В 2 А 3— 2 А В 2 А 3— А В 2 А 3— А В 2 А 3— 2 А В 2 Д4—ЗД2В2+Д-4 A4—3A2B2+Bi А 4— З А 2 В 2 + В 4 А 4— З А 2 В 2 + В 4 Рис. VI.5. Одноэтажная многопролетная жесткая рама Л = 2 А ф + З й ,( 1 + - ^ ; EJ'r = E J . \ - - С 5 = Аф; C = 3V- A' = 2ft, + 3 *r ( l + ' r \ £ ' = £r; lkf А 2 / 7, С ' = 3Ar Функцию if определяют по специальной таблице. Ее среднее значение в практических расчетах может быть принято равным 0,63. 5. Многоэтажная многопролетная жесткая рама (рис. V I.6 ). Ж есткость фундамента в i-м пролете определяют по формуле E J t = EJ\р — г ± 5 ~ , (V I.11) где y\EJ' ;----- -— ;— D = E J ф— ^ E (суммирование производят по этажам i-ro про- l г лета рамы); 209 l E J & = E J th Cfi В=кф', E J r= E J T 1 h' = h 6^s; A r — 2kr -\-6ks', Jr kT= fl2 F;Т ) С = 3ks: 1 - C ' f i ( A ’ -B') C ' = Ik A A — 3^ф+ 3ks (1 + (A; В ) ks = B ' = kr \ h’ 1 1- kji + krp + ksn k ri = Jri!l— относительный момент инерции ригеля левее, k rp = J rPll —■ правее рассматриваемого пролета и k sn = h J h — относительный мо мент инерции стойки верхнего этажа. Изгибная жесткость фунда мента всей многопролетной рам ной системы с количеством эта жей п в поперечном сечении г-го пролета рекомендуется опреде лять по формуле Г=П Рис. VI.6. Многоэтажная многопро летная жесткая рама £У1= £ ' 4 + ^ Е / г. /•=1 (VI. 12) § VI.4. Закономерности изменения жесткости увлажняемых просадочных грунтов в основаниях зданий и сооружений Замачивание просадочных грунтов в основании промышленных и гражданских зданий является случайным фактором. Расположе ние источников замачивания и глубина промачивания грунта при этом могут быть самыми различными, поэтому определение факти ческой схемы деформации основания для каждого частного случая затруднительно. В связи с этим целесообразно иметь расчетные схемы деформации просадочных грунтов для общих случаев, кото рые соответствовали бы характеру деформации лессовых грунтов при просадке и самым неблагоприятным условиям замачивания. Так как в настоящее время практически невозможно учесть все факторы, влияющие на эти показатели, на основе эксперименталь ных данных исследователями созданы различные расчетные схемы для описания закономерностей изменения жесткости просадочных грунтов в основаниях зданий и сооружений. В этих схемах эпюры и соответствующие формулы изменения жесткости просадочных 210 грунтов предлагаются в зависимости от характера увлажнения оснований. Так, например, для случая, когда увлажнение происхо дит с торца здания, эпюры коэффициента жесткости основания мо гут быть совершенно различными. Однако во всех случаях в соответ ствии с характером увлажнения значения коэффициента жесткости основания с приближением от середины к торцу здания постепенно уменьшаются. Указания по проектированию (СН 321— 65) рекомендуют вести расчет конструкций крупнопанельных жилых зданий, возводимых на просадочных грунтах, так же как и для обычных сжимаемых, после предварительного устранения просадочности этих грунтов различ ными приемами. Однако полностью устранить просадочность лессовых грунтов не всегда возможно, и в этих случаях рекомендуется принимать условную расчетную схему влияния просадок лессовых грунтов в виле . "снижения жесткостных хапактерис-^. тик осноТзанйя на участке длины зда VI.7. Изменение жесткооснования по СН 339— 65 ния (З/ согласно рис. V I.7. Величина (Л зависит от полной ожидаемой про садки лессовых грунтов, а также от наличия или отсутствия уплот ненной грунтовой подушки под фундаментами и при наличии пос ледней рекомендуется в размере р / = 8,55. В случае же отсутствия грунтовой подушки Ю. М. Абелев (СН 339— 65) предлагает принять р/= 12,5S. Формула изменения коэффициента жесткости основания имеет вид: при k{x) = k0 k ( x ) = k Q при (VI.13) где ко — средняя жесткостная характеристика основания, опреде ляемая по рекомендации Б. А. Косицына (1971) выражением ка где р — приведенная погонная нагрузка на основание; /%■— площадь фундамента i-й стены; S , — осадка i-ro фундамента от приходящей ся на него нагрузки. Как видно, формула (VI. 13) дает линейный закон изменения коэффициента жесткости увлажняемого основания, что значитель но упрощает математические выкладки при решении задачи. Одна ко нелинейный закон для k ( x ) более реально характеризует сов местную работу увлажняемого просадочного основания со зданием. И. А. РозенФельд. Ц. JI. Рохлин. А. Б. Зуб (1967) для рассмат риваемого случая рекомендуют принимать изменение к ( х ) на 211 участке увлажнения <по длине контакта по закону кубической пара болы, а в пределах неувлажненного участка — в виде квадратич ной параболы (рис. V I.8 ), т. е. k(x)-- 0 , Ш о (1 + 4 (р — 0 , 5 ) 2] 0 < х < р / ; (Р О 3 k ( х ) = 0,66&о 1 + ± ( х ' 12 *'* при (VI. 14) где ко — жесткостная характеристика грунта основания для лен точных фундаментов, определяемая по формуле Eq Y F к0 где Ео — модуль деформации грунта; F — площадь фундаментов отсека здания; ро — коэффициент Пуассона; ко — коэффициент фор мы подошвы. Рис. VI.8. Изменение жесткости основания по И. А. Розенфельду, Д . Л. Рохлину, А. Б. Зуб Рис. VI.9. Изменение жесткости осно вания по Д . Н. Соболеву Характеристику р, учитывающую длину участка возможного’ увлажнения, авторы рекомендуют определять по формулам: при отсутствии под фундаментами уплотненной грунтовой подушки, р = 12,5 S//; при наличии грунтовой подушки р = 8,8 S/1. Формулы (VI. 14) отличаются сложностью и поэтому вызывают большое неудобство при интегрировании дифференциального урав нения задачи. Д . Н. Соболев (1963) предлагает принять изменение коэффици ента жесткости основания по кососимметричному относительно се редины здания закону (рис. V I.9 ), т. е. А (т))= *°-(1 + *о ( а~ 1} (лз — зп), (VI. 15) где ко — расчетный коэффициент пропорциональности, определяе мый выражением k o — k xbфР (где k \— коэффициент пропорцио нальности, дфР— приведенная ширина фундамента); а — коэффи циент, характеризующий неоднородность основания по длине з д а 212 пия, определяемый по результатам статистической обработкиданных натурных замеров изменчивости модулей деформаций грунта и наблюдений за осадками построенных зданий; ц —х/ 1 . Формула (VI. 15) по структуре близка к формуле (VI. 14), но более удобна для использования при интегрировании дифференци ального уравнения задачи. Кроме того, коэффициент а, входящий в эту формулу, может принимать любые положительные значения, и, таким образом, с помощью принятого закона (VI. 15) могут быть обследованы все возможные случаи кососимметричного изменения жесткости основания. Для г р у н т о в II типа по просадочности В. И. К р у т о в (1970) предлагает такую последовательность определения жесткости ув лажняемого лессового основания. Исходя из принципа независимости действия сил, коэффициент к (х ) определяют в зависимости от внешней нагрузки (т. е. как для просадочного грунта I типа) и от собственного веса просадочногогрунта. Причем если расчетная величина просадки грунта от соб ственного веса Sfip превышает 10 см, то расчет зданий производят только на просадку грунта от собственного веса, а при < 1 0 см , кроме того, еще требуется расчет на неравномерные осадки грун тов, находящихся в пределах деформируемой зоны, по рекоменда циям для просадочных грунтов I типа. При полном устранениипросадочных свойств грунтов в пределах всей просадочной толщи (предварительным замачиванием, глубинным уплотнением и т. д.)1 возможная просадка грунтов от собственного веса не учитывается, и расчет зданий производят на неравномерные осадки грунтов, на ходящихся в пределах деформируемой зоны. Д ля просадочных грунтов I типа расчетная схема изменения коэффициента жесткости основания по длине здания задается: в следующем виде (рис. V I .10): Л х / 1 Я Х k { x ) = k 0 I — (1 — a) cos — v ; ‘2 1 1 при 0 < л : < 7 1; k { x ) = k Q при (V I.16): где k n —- коэффициент средней погонной жесткости основания: ko = m cP / S Cp, здесь Р — средняя погонная равномерно распределен ная нагрузка на основание от здания; S cp— средняя осадка здания; т с — коэффициент для просадочных грунтов I типа, определяемый по формуле 1 -J- (Х\ тс = L, е 2«! где cti — степень изменчивости сжимаемости основания; 5cp + 5*p «1 = ■Scp где S 0p — средняя осадка здания на просадочном грунте естествен 213 ной влажности; S np— возможная величина просадки грунта в пре делах деформируемой зоны от наиболее нагруженного фундамента. В случае просадочных грунтов II типа ‘коэффициент жесткости основания определяют по формулам: при т. :1' гр> / ; при 01 :л где а ц — 'коэффициент изменчивости сжимаемости грунтов II типа: ( V I . 17 просадочных ац = 1 • е ос где епр — средняя относительная деформация грунта при просад ке от собственного веса; еос — средняя относительная деформация грунта при уплотнении его в пределах деформируемой зоны; I — полудлина здания; гр — расчетная длина криволинейного участка просадки от собственного веса; р — коэффициент, характеризую щий степень изменчивости сжимаемости основания: о \— полудлина вания: 1 ai — 1 . «1 + 1 участка локального ослабления жесткости осно «,-2 У Рис. VI. 10. Изменение жесткости основа ния для грунтов I типа по В. И. Крутову * - Рис. VI.11. Изменение жесткости основания для грунтов II типа по В. И. Крутову Д ля просадочных грунтов II типа изменение коэффициента жесткости основания по длине здания от собственного веса в «Р е комендациях по унификации проектирования жилых зданий в осо бых грунтовых условиях» (Киев, НИИСП Госстроя УССР, 1972) 214 г предлагается рассматривать в виде (рис. VI. 11) k v- 0,8£е . 0,8£в и b lg 4а' ( V I . 18) b Ig 4a' где Е е и Е в — модули деформации лессового грунта соответственно в естественном и увлажненном состояниях; b — ширина подошвы рассчитываемого фундамента, см; а' — отношение длины подошвы ленточного фундамента к его ширине ( а ' ^ 5 ) . Формулы (V I.16) и (VI. 18) построены по результатам экспери ментальных исследований и поэтому могут считаться более обосно ванными. Однако применение их при расчете стен крупнопанельных жилых зданий связано с определенными затруднениями, так как рассматриваемая задача должна решаться дважды с использова нием выражения k ( x ) по формулам (V I.16) и (V I.18), что приводит к лишним вычислительным работам. На основе экспериментальных данных можно рекомендовать Рис. Рис. V I.12. Изменение жесткости основания по С. А. Ханалиеву более обобщенную формулу вида v r TTj----------------------------------------- VI. 13. Изменение жесткости основания по П. П. Шагииу (С. А. Ханалиев, 1973) (рис. — ---------------------- k ( x ) = an k 0+ А -о (1~ Цп) х 2. /2 (V I.19) Последняя формула, как видно, учитывает нелинейный закон изменения k ( x ) , более реально описывающий действительную р а боту увлажняемого основания. Кроме того, как будет показано' ниже, она более удобна для интегрирования уравнения изгиба стен и позволяет одновременно учитывать деформации увлажняемого лессового основания как от внешней нагрузки, так и от собственно го веса грунта. Анализируя изложенное, можно прийти к заключению, что в слу чае, когда увлажнение п р о и с х о д и т с торца зд ания, наиболее прием лемыми для- изменения коэффициента жесткости увлажняемых лессовых оснований являются формулы (V I.13), (V I.15) и (VI 1.19). Рассмотрим теперь предложенные различными авторами формулы коэффициента жесткости увлажняемых лессовых оснований, 215 когда случайное увлажнение основания может происходить в сере~дине зттяУлЫ "— ------------- -— —— . П. П. Шагин (1963) предлагает определять коэффициент ж ест кости основания в рассматриваемом случае относительно общей тпирины подошв фундаментов в поперечном сечении здания и коэф фициента упругого сжатия грунта Cz, т. е. k ( x ) = k = Z ^ Cz, (VI.20) .причем k уменьшается от концов системы к ее середине в а раз (рис. VI. 13). На основе построенных эпюр при а = 6 , а = 3 и а = 2 автор при ходит к мнению, что распределение k отвечает последовательному переходу от слабых грунтов к малосжимаемым, причем при срав нительно небольших значениях показателя а порядка 7— 8 изгиба- jP h c . VI. 14. Изменение жесткости основания по Б. А. Косицыну Рис. VI. 15. Изменение жесткости основания по И. А. Розенфельду, Д . Л. Рохлину. А. Б. Зуб тощие моменты и поперечные силы приближаются к пределам, ко торые принимаются за максимально возможные усилия в совмест ной работе основания и всего здания на слабых грунтах. Однако значения показателя изменчивости коэффициента жесткости а ав тором принимаются произвольно, что не может обеспечить требуе мую точность вычислений. На рис. VI. 14 показана эпюра k ( x ) . предложенная Б. А. Косицыным (1971). Как и в случае увлажнения основания с торца зд а ния, предлагается определить k ( x ) по формуле (V I.13). Характер ная особенность увлажнения основания посередине здания заклю чается в том, что эпюра k { x ) при этом принимается симметрично •относительно центра здания, причем значение k ( x )i в центре увлаж нения 'равно нулю, а далее в пределах длины вI изменяется по линеиному закону. За пределами увлажненных участков значение k { x ) ост а ет с я п осто я нным и равным &o='const. И. А. Розенфельд, Д . JI. Рохлин и А. Б. Зуб для рассматриваемо го случая увлажнения оснований предлагают в центре увлажнения принять k\x) равным нулю, на участке увлажнения по длине зд а ния— изменяющимся по закону кубической параболы, а в преде 216 лах неувлажненного участка — в виде квадратичной (рис. V I .15), т. е. т = o .e g ou + gi u - , при 0 < х < щ . k (x )= o ,m a( i + - ^ ) при 2 р г < х < (г / -р/). параболы (vi.2i> В. И. Лишак, А. В. Вронский (1971) рекомендуют принимать к {х) в зоне увлажнения по закону косинусоиды, а в неувлажненном участке здания — постоянным (рис. V I.16), т. е. а д = ^ о £ ± а ) Л _ J L z ii_ c o s n J ^ - ' j i n p H 2a \ a + 1 k { x ) — k0 при I j x < ( a — /), Рис. V I .16. Изменение жесткости основания по В. И. Лишаку, А. В. Вронскому (a -/ )< JC < (a + 0 ; x > (a -J-/ ). (V I.22) Рис. V I .17. Изменение жесткости» основания по В. И. Крутову от внешней нагрузки В. И. К р у т о в (19701. как и в первом случае увлажнения основа ния с торца здания, предлагает k ( x ) определять, исходя из принци па независимости действия сил от внешней нагрузки и от собствен ного веса, соответственно формулам (рис. V I.17) и (V I.18): k ( x ) — k 0 £ l — (1 — a )c o ,s -^ —J k ( x ) — k0 при V при 0 л:■< (/ — /'); е д = Л я = _ ^ Ц -. b lg 4a (V I.23) Как видно из рис. V I .17, при действии внешней нагрузки эпюра k ( x ) симметрична относительно середины здания, причем в зоне увлажнения k ( x\ п р и н я т -изменяющимся по к п г н н у о п ц / т р а на не увлажненном участке — постоянным, равным йд. В случае, когда просадка основания происходит только от собственного веса грун та, эпюра k ( x ) прямолинейна (рис. VI. 18), т. е. в зоне увлажнения 217 постоянна и равна к2. Более обобщенная формула для определения коэффициента жесткости увлажняемого лессового основания мо жет быть представлена в виде (рис. VI. 19) k ( x ) = a QJr alx]-a2X2, Г1Г где V и-i — jiq — &Q) 2£0 ( а - 1 ) . - _ kQ(1 #2 — ^ , ( V I . 2 4) а) Легко можно заметить, что формула (V I.24) полностью совпает с видоизмененной нами моделью С. А. Ривкина [формула (V.4)], если принять: а й= к(\ + $у, а х= — ^ - р ( 1 - е - ) ; О' w г г " г » { f ' тЯ X mm * i j I II * 1 1 If а я= - £ - р(1 - е ~ “). 21 J Рис. VI. 18. Изменение жесткости основания по В. И. Крутову от собственного веса грунта Рис. VI. 19. Изменение жесткости основания по С. А. Ханалиеву Таким образом, формула (V I.24). пригодна не только для увлажн яш ш _п£осадочных, но и для обычных связных.лшш 10 шдз..лоэтому она успешно может "бытьАкшользована в расчетах конструкций на оплошном упругом основании. В заключение рассмотрим различные формулы коэффициента жесткости увлажняемых просадочных грунтов, когда случайное увлажнение основания происходит с обоих торцов здания. Более удобную формулу для расчета стен крупнопанельных жилых зданий для этого случая предлагает Б. А. Косицын (1971) (рис. V I.2 0 ): & (x )= & o = co n st к{х)= кй %-х при при — (/ — ? / ) < - * ;< ( / —- Щ)\ — (/ — — г. (V I.25) Формула Б. А. Косицына, Д. Н. Соболева для рассматриваемо го случая увлажнения основания имеет вид (рис. V I.21): где а — коэффициент изменчивости сжимаемости основания, при нимаемый для случая прогиба здания: а = Е т\п : Е т ят: для случая выгиба здания: а = £ т а х : Emim k — жесткостная характеристика основания в сечениях х = ± / , определяемая по формуле k- Zkn 1 + 2а Emax и E min — значения модуля деформации основания в пределах контура здания; k 0-— средняя жесткостная характеристика, опреде ляемая по формуле (V I.25). Как вид ц аи з приведенного обзора, жестко_с1 ьдщдпддодных.грунтов в основаниях зданий и сооружений в зависимости от располо жения источника увлажнения может изменяться как по характеру* Рис. VI.20. Изменение жесткости основания по Б. А. Косицыну Рис. VI.21. Изменение жесткости основания по Б. А. Косицыну, Д. Н. Соболеву так и по величине в довольно широких пределах. Общая формула, характеризующая изменение жесткости просадочных грунтов с уче том их типа, особенности увлажнения и загружения оснований, отсутствует и, пожалуй, не может существовать. Поэтому задача расчета здания сводится к обоснованному выбору наиболее вероят ной картины изменения жесткости основания при их случайном увлажнении и определении на ее основе напряженно-деформирован ного состояния несущих конструкций. Если расчет стены выполня ют по схеме балки на сплошном упругом основании, то жесткост ная характеристика увлажняемого основания, а также и самого здания служит при этом переменным коэффициентом в дифферен циальном уравнении изгиба балки. Наиболее эффективным мето дом построения решения этой задачи, позволяющим без особого затруднения варьировать эпюрой изменения жесткости здания и их увлажняемых оснований с целью охвата всех встречаемых в прак тике случаев, является разработанный метод последовательного приближения (А. А. М устафаев). Ниже на основе выведенного уравнения этим методом решается в наиболее общей постановке задача изгиба стены крупнопанель ных зданий на увлажняемых просадочных грунтах. 219 § VI.5. Дифференциальное уравнение изгиба зданий При расчете крупнопанельных зданий на просадочных грунтах коробку здания для упрощения задачи будем рассматривать как балку с одной или двумя обобщенными жесткостями. Взаимодейст вие здания с основанием будем описывать моделью местных упру гих деформаций с перемен ным коэффициентом жестко сти основания. Приведенные изгибные и сдвиговые ж ест кости коробки здания будем принимать также переменны ми по длине здания, т. е. за висящими от х. Нагрузку на систему будем считать про извольной, зависящей также от х. В частном случае она может быть принята равно мерно распределенной, рав ной всей нагрузке от здания, Н2 (х) вызывающей деформацию основания и отнесенной к V (*) mn=i длине здания. Начало координат помес Рис. VI.22. Расчетная схема крупнопанель ного здания на просадочных грунтах тим в левом свободном конце балки (рис. V I.22). Тогда граничные условия задачи выразятся через начальные параметры следующими соотношениями: у { 0 ) = у 0; y '(O )= Q 0; E J ( O ) y " ( O ) = M 0i (VI.27) [ EJ ( x ) y " (x ) ] ' x- o = Q 0' Принимая справедливой гипотезу плоских сечений, выведем дифференциальное уравнение изгиба рассматриваемой балки на сплошном упругом основании. Известно, что между перемещения ми от изгиба у м( х ) и изгибающими моментами М{ х ) существует обычное соотношение EJ{x)- d 2 yM(.*) dx 2 --М(х) Перемещение же от сдвига лой зависимостью GF(x) dyQ(jc) dX ijq ■Q(x) ~ ИЛИ (x ) У м {х)- М (х) связано с перерезывающей си или y Q { x/) = — у^ ^ Полное перемещение балки определится суммой y ( x ) = y M(x) + y Q(x). 220 (V I.28) E J (х ) Q (x) ^ . (V I.2 9 ) Последовательно дифференцируя последнее выражение но пе ременной х дважды ,и подставляя в него значения У м " ( х ) , Уд"{х) из формул (V I.28) и (V I.29), получим М( х) Q (х) E J (х ) L G F (х ) _ или E J (х) у" { х ) = М { х ) — E J (х) Q (x ) G F (х ) (VI.30) Используя метод местных упругих деформаций, можно соста вить равенство [EJ(x)y"{x)]" = q (x ) — k ( x ) y { x ) . (VI.31) Последовательно интегрируя это равенство и подставляя полу ченные значения М { х ) и Q (x) в формулу (V I.30), получим X Х± E J {х )у "{х )=\^ ^ [ q { x 2) — k { x i ) y { x 2 )\dx 2 d x l — Оо х i [q ( * i ) — k C*i) у C*i)] dxi -E J ( x ) G F (x ) Продифференцировав дважды последнее выражение, будем иметь [ E J (х ) у " { x ) \ ' = q (х) — k { x ) y (х) f E J (х) [ q ( * i ) — k ( X , ) •у ( X i ) ] d x x _0________________________ G F (x ) откуда для поперечного изгиба стены в окончательном виде получим следующее интегродифференциальное уравнение: J I ? ( X i ) — k ( X i ) У ( x x)] d x 1 [£ У (х )г / "(х )]"+ \ E J { x ) G F (x ) + k{x)y{x)= q{x). (V I.32) Полученное уравнение относится к обыкновенным однородным линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффи циентами. Очевидно, что коэффициенты этого уравнения E J ( x ) , G F { x ) и k { x ) в зависимости от характера изменения изгибной и сдвиговой жесткости стены, а также от коэффициента жесткости упругого основания здания в общем случае могут быть как прерыв ными, так и кусочно-непрерывными функциями. Построить замкнутое решение уравнения (V I.32) невозможно, так как его общее решение не получается выраженным через эле 221 ментарные функции, поэтому для решения указанного уравнения возможно применить только различные приближенные методы. В более упрощенной постановке с использованием вариацион ного метода Бубнова-Галеркина решение дифференциального уравнения изгиба стены получено Д . Н. Соболевым (1963). При E J ( x ) = E J = c onst; G F ( x ) = G F = const с использованием метода начальных параметров решение уравнения (VI.32) получе но также Б. А. Косицыным (1963). Методом начальных параметров решение рассматриваемой з а дачи для случая постоянной равномерно распределенной нагрузки и сосредоточенных воздействий получено Крыловым А. Н. (1931) и Уманским А. А. (1935). При G F ( x ) = G F = co n st и E J ( x ) = \ o o Б. Г. Коренев (1960) пока зал, что если k ( x ) меняется по закону k ( x ) = £ 0(l + px)m, то реше ние уравнения (V I.32) может быть построено в бесселевых функ циях. При этих предположениях с использованием бесселевых функций для случая изменения жесткости основания по линейному k { x ) = k a (\ + а х ) и параболическому закону k ( x ) ~ k Q( l ± Рх2) решение уравнения (V I.32) получено также В. И. Лишаком (1961). Д ля случая загружения балки равномерно распределенной на грузкой с жесткостью £ 7 = const, применив принцип минимума по тенциальной энергии и задаваясь кривой изгиба в виде квадратной параболы, Д . Д . Сергеев (1961) получил в первом приближении достаточно простое решение уравнения (V I.32). Используя метод сил и заменяя оплошное основание перемен ной жесткости системой упруго оседающих опор, В . И. Лишак (1969) в наиболее простом виде получил решение этой задачи. Задача расчета стен на упругом основании переменной жестко сти рассматривалась также П. П. Шагиным (1961). Ниже на основании разработанного метода последовательных приближений дается решение задачи изгиба крупнопанельных зд а ний на просадочных грунтах в наиболее общей постановке. § VI.6. Построение общего решения дифференциального уравнения изгиба зданий Решим уравнение (V I.32) методом последовательного прибли жения. Д ля этой цели указанное уравнение представим в виде 222 f [я ( * i ) — k (Xi) У ( X i ) ] d x 1 _b_______________________ X — k{x)y{x)-\-q{x). G F (x) Произведя интегрирование последнего уравнения в пределах от О до х и используя условие [ E J (х) i/'/(x)]x=o= Q0, получим в общем виде выражение для перерезывающей силы: d dx E J (х) . dty ( х ) = Q (x ) = - X X у dx dx2 ,f [я < X i ) — k (Xi) У ( * i ) l d x t y,\EJ{x) G F (x) dx X — X (* i) У (-^l) - f ^ (x) d x - f Qo Еще раз интегрируя последнее выражение в тех же пределах и ис пользуя условие [ E J ( х ) у " (х)]ж=о=|Мо, получим выражение изгиба ющего момента в виде l[q(x\) — k(xi)y{xiy\dxi EJ(x) {х)- = М { х ) = - E J (х) — dx dx2 G F (x) X x t X x t — J j* k (x 2) у {x 2 ) dx 2 d x x+ ^ ^ q { x 2) d x 2 d x x- f M 0 - f Q0 x. о0 0 0 Разделив обе части последнего выражения на £ 7 (х ), произведя его интегрирование в пределах от 0 до х и используя условие у ' ( 0) =во, получим выражение для угла поворота сечения балки в виде X 1 dy (х) - 0 (х) = \ W.(x i ) - k ( x 1 ) y { x 1 ) ] d x 1dx X - j 0 G F (х) X X t Х 2 dx i Xt Xi dx\ \\ j -k{Xa)y{xs)dxtfix2Jr o’ 0 0 x\dxx E J ( x x) dx i -У И , E J ( x x) 223 5 0 o’ H * *)d x JX i + Уравнение изогнутой оси балки примет вид X Хх О О у{х)= -^ [ q { x 2 ) - k { x 2 ) y { x 2 )\dx2- х хх х2х3 х х% X 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 + М‘ \ \ - Ц о о Так как стена здания рассматривается как балка со свободны ми концами, то в дальнейшем всегда будем иметь jW0 = Qo= 0. П о этому уравнение изогнутой оси рассматриваемой балки будет имет вид х ах9 X Х х У(*)=Уо+М+^J ~ЕПх1 \\Q(xJdx4dx30 X 0 0 0 Х х - j — о ^ Iq { x 2 ) - k { x 2 ) y { x 2 )\dx21 о - Я 0 0 0 0 ‘ < х м х ,)ах ^ - Введя обозначение X Хх ifo W ^ o + M + j j 0 dE U x l) 0 о i \ 0 0 V (x ^ d x *d x z - о уравнение изогнутой оси балки представим в виде X х2х8 Хх y (x )= y 0—j j j j к ( х 4 ) у ( х 4 ) а х ^ х 3-\- dEJ d~ 0 0 x X j ' ( ,p о 0 0 xt ^ k { x 2 ) y { x 2 ) d x 2. о 224 (V I.33 Решение последнего интегрального уравнения будем строить методом последовательного приближения, принимая в качестве нулевого приближения краевую функцию уо(х). Подставляя в пра вой части уравнения (V I.33) вместо г/о(* 4) и г/0(х2) соответственно функции г/о(* 4) и уо(х2), получим первое приближение задачи в виде ХХх ХъХз УЛх)=~Уй(х)-\^ ^ е 7 (х 2 ) \ \ k (x ^ y o { ^ ) d x 4 d x 3-{0 0 0 0 х + j о Хх 0 рХ (Хх) \ k { x 2 ) y a { x 2 ) d x 2. о Заменяя далее в уравнении (V I.33) г/(х4) и у ( х 2) на у\{х4) и У\{х2) и поступая так дальше, получим последовательность функций г/i ( х ) , г/2 ( х) , ..., у п {х) , таких, что X х г х а х 3 У „ (х )= у 0( х ) - ^ j - £ * '? * * )' 5 j k {x 4)yn^x{x4)d x 4d x 3+ 0 0 X + J 0 0 0 ; Xx q f L x ) j k (x 2 )yn-\{ x 2 ) d x 2. 0 Очевидно, построенный таким способом ряд не зависит от функ ций г/о( * ) , и поэтому предел функций у п (х) также не будет зави сеть от функции уо{х), с которой построено приближение. Однако быстрота сходимости построенного приближения в каждом конкрет ном случае будет зависеть от вида функции г/о(х) и может быть оценена в зависимости от характера функций E J ( x ) , G F (x ) и k ( x ) известными способами высшей математики. К аж дая из функций у\{х), у 2 {х), ..., входящих в выражение Уп(х) , содержит в себе два начальных параметра: у 0 и 0о. Состав ляя в развернутом виде я-е приближение и вынося содержащиеся в каждом приближении начальные параметры за скобки, прибли женное решение уравнения (V I.32) можно представить в виде у п ( х ) = у 0 А ( х ) + Ь0 В( х ) - \ -С ( х ) . (V I.34) Функции Л ( х ) , В ( х ) и С ( х ) определяются выражениями: A ( x ) - - = F ? ( x ) + F ? ’q (x ) + F ? ( x ); B ( x ) = F ¥ ( x ) + F 2M’Q( x ) -} -F $ (x y , C ( x ) = F ^ ( x ) + F i i’Q(x)-\-F^(x). (V I.35) Функции F i M{x) и F i Q(x) зависят соответственно только от изгибной и сдвиговой жесткости здания, a FiM’Q(х) — от совместного 8— 724 225 влияния как изгибной, так и сдвиговой жесткостей и определяются следующими выражениями: F ? (х )= 1+ 2 ( - 1 ) “ [П2ср(х ) k (х)]«; Л - 1 /^ (х ) = х + 2 ( - 1)«[П2 ? ( х ) ^ ( х ) ] « - Щ 2ср (х)х/6(х); Л - 1 ( j c ) = I I 2«p(х) q (х) + 2 ( - 1)"[П2ср(х)k{x)\n~ 1П2<р(х)^(х)П2ср(х)q{x)\ (VI.36) F ? ' Q(x) = 2 { ( - l)« [n 2T ( x ) ^ ( x ) ] « - ^ H x ) ^ ( x ) + Л-1 + [П ^ (х) k (х )]« - Ш2ср(х ) k ( х ) ) ; F ? ' Q(X) = - 2 п— К “ 1)" № ? (х) k (х)]«- т { ь (X) x k (X) + 1 4" [П ^ (х ) k (х )]п_ 1 П2ср(х ) x k ( х ) } ; F ? ’q {x ) = - 2 { ( - 1 ) в 1П 2Т (^ )Л (х)]»-1ПаТ(х )А (х )П 1- Н х ) ^ ( х ) + Л -1 4 - [П 4 { x ) k (х )]п_ 1П1ф(х) k (х ) П2ср(х ) q (х ); (V I.37) оо Л с ( х ) = 2 [НЯ { x ) k { x ) \ n-, Л-1 F% (х ) = 2 № * (х) k ( х )]« - (х) x k (х ); л-1 F $ ( x ) = - П 4 ( х ) 9 ( х ) + 2 [П 4 (х ) £(• *)]"-* х п- 1 х П 4 ( х )А (х )П 4 ( х ) 9 '(х ), где П 1 и Пг — линейные интегральные операторы: X Xt П 4 {x)k (х ) = j" ф(Xj) d x x j1 k ( x 2) d x 2\ o o XXi Xi Xa П2ср ( x ) £ ( x ) = ^ j1 <p{x2)d x 2dxi £ j" k ( x 4)d x 4d x b oo oo над функциями < p (x)= k^' (V I.38) Формулы угла поворота, изгибающих моментов, перерезываю щих сил и реактивного давления грунта основания имеют вид: 9 { х ) = у 0 А' (x) + e 0 B f W + C ' (х); М {x)— E J (х)[у 0 А" (х) + 60 В" ( * ) + С" (х)]; Q ( x ) = { E J (.х)[у 0 А" (jc)+ В0 В" (х) + С" ( х )}}; р { x ) = k { x ) \ y , A (х) + % В (AT)-t-C(jc)J. (VI.39) Неизвестные начальные параметры у 0 и 0О, входящие в выра жения (V I.34) — (V I.3 9), определяются из условия E J ( x ) y " ( x ) \ x- t = [ E J ( x ) y " ( x ) ] x. , = О , откуда имеем: В'" (1)С" ( / ) — В" ( / ) С'" (I) . А'" (1)В" (7) — А" (1)Вт (I) ’ А ” ( I) С"' (О - 0 А'"(1) С " (I) (VI.40) 0 _ ~ А''' (О В " (I) — А " ( / ) В'" (I) § VI.7. Решения для некоторых частных случаев На основании общего решения (V I.34) получены формулы для некоторых встречаемых в практике частных случаев расчета зда ний *. 1. Сдвиговая жесткость стены по всей длине здания бесконечно велика, а изгибная — конечная. При GF(x)->-оо в. формуле (V I.35) функции F i M'Q(x) и F ^ ( x ) обращаются в нуль, и поэтому функции Л ( х ) , В ( х ) и С (х ) определяются выражениями: ; Л (д ;)= ^ (л )= 1 + 2 (-1 )я Л=1 Lo о л-1 хх Lo 0 хх l\ оо 4 x)dxdx]J 0 0 . J (VUI> x\\w^Mxt{x)dxdx' 0 0 0 0 C ( x ) = F ? (х)= * Приведенные формулы С. А. Ханалиевым (1973). 5J j j 0 0 0 0 для частных 4 случаев {x ) d x d x + расчета были получены dxdx + 2 j ( ” 1)“ [ 5 . f - H f r j \ k ^ л-1 00 0 0 j: л: X d x d x Y ' [ \ EHx) 0 0 дг лг I ( -Jig p f j X 5 о о 2. Изгибная жесткость стены бесконечно велика, а сдвиговая конечная. В этом случае функции F ? (х) и F ? ’Q( x ) в выражении (V I.35) обращаются в нуль, и поэтому функции А (х), В ( х ) и С ( х ) будут иметь вид: л-1 о [ [ л-1 \ о G F ( x ) ~( * ^ 0 х X 0 Х 0 х ^ ' \ о о xk^ <VI-421 d x 'tl—1 X л-1 X Х1 о о О X X О 4W " JCо1 о ? W rfx ' 3. Изгибная и сдвиговая жесткость стены по всей ее длине п стоянные, равные приведенной. Итенсивность внешней нагрузки такж е постоянная, т. е. E J (л ;)= [£ У ] = const; G/7 (x) = [G/:'] = const; q { x ) = q — const. Д ля этого случая уравнение задачи (V I.32) примет вид [£ / ] J^MSXL— ± Ё П - . - Л ? - Щ х ) у ( х )Л+ к { х ) у { х ) = д . 1 J dxA dx2 1 [GF] 'J 1 ' Решение последнего уравнения получим из построенного решения (V I.34) как частный случай в виде Уп{х ) — т~ "г £ (-*)> \_ы\ ~ общего (VI.43) где С ( х ) = ^ И - С { х ) . q Здесь функции А ( х ) , В { х ) и С (х ) определяются из общего выра жения (V I.3 5 ), где функции F f [х), F f ' Q(x) и F f ( x ) имеют вид: 228 X XX X Я=1 0o o0 o0o0 X X X X k{x)dxi X 0 0 0 0 Л-1 X X X X (V I.44) X j" j* ^ x k (jc) d x 4; ft—1 X oooo n=l x x x x X ■Г4 4! 1 Ш oooo k { x ) d x 4-, 1 M x X oooo лг j: x x X ^ j" k { x ) d x 2J 1 j“ jj J J k { x ) d x 4J + oooo 0 0 X X X X +S Ыч (рчГ' Ш .f*[x):dx'UI■*1 [x)dx1 Л-1 0 0 0 0 ‘+ 0 0 ЛГ X 1 k(x )d x 4 1j* j" k { x ) d x 2 v [E J] [G F] Л -11 oooo о о (VI.45) 1 \л—1 [G F] V [E J] X л-1 X X X X k(x)dx4 X fl—1 oooo 1 fE J ] x k { x ) d x 2-\- о 0 X 1 \ [H F] \ n -l \ \ k(x)dx2 о0 X X X n- 1 с f 0 0 0 0 229 xk{x )d x ‘ 1 [E J] л -1 XX XX j* j* j* j ”k ( x ) d x * n 2 ^ J k ( x ) d x 2 X 0 0 o1 o1 o- o- \п-1 \ [G F] X XXX x x хI II 1x k { x ) d x 4-\- 1 [E J] OOOO X X X \ n — \ j* j k (jf) d x 2^ \ [G F] X X u u X | k { x ) d x * J j" x k ( x ) d x 2; 0 0 00 о 0 X Л 1 l F ? ' q ( jc ) = - 2 {< -• > ■ X X X X Я 00 X Xi 41 k ( x ) d x 2-\- 1 x x \«-l k{x)dx2 n—l X о 0 X 1 '1 [EJ] \ Vя- 1 [G F] X X X n —l X X n- 1 \n-l [G F] V [ E J ] о 0 k(x]dx2 о 0 X 1 X X oooo \ [E J] ХШ1'ТГад< Х+2 0000 n-1 X A M \ \ k{x]dxt / 1 [E J] X r t - 1 [G F] \ [E J] n- 1 X Л \n - l k ( x ) d x A X 00 6 o X X X Л— 1 X Ш oooo ^ 2! X (X ,T [EJ] n= l X X 1 1 ( ~ П ) X 4 0 0 1 \n-l X хШ111ад^ +<^1НтХ'(Хт)‘ oooo x x x x k{x)dxi X n-1 oooo о 0 X n=l ■~ FQ 2(X) = 1 _ n= l [G F] ' X 00 x x \n . П— 1 . . k[x)dx2 X 0 о 00 X _ x k ( x ) d x 2; 00 X fS'w=2 Ыч)”[010Г6w1 dxT l0Я0 i r kt[x)'d* n -l 230 (V I.46) Приведенные выше решения дают возможность произвести рас чет здания на увлажняемых просадочных грунтах при любом х а рактере изменения жесткости стены и грунтов основания. § VI.8. Расчет здания для случая непрерывного закона изменения жесткости стен и грунтов основания Ниже на основе полученного общего решения (V I.34) в соответ ствии с возможными видами непрерывного изменения жесткости стен и увлажняемых просадочных грунтов основания приводятся расчетные формулы для некоторых практически возможных усло вий работы здания. I. Рассмотрим пример, когда случайное увлажнение основания возможно с торца здания. 1. Интенсивность внешней распределенной нагрузки примем по стоянной. Изгибная и сдвиговая жесткости стены постоянные, рав ные приведенным. Коэффицинет жесткости увлажняемого основа ния по длине здания примем переменным, изменяющимся по нели нейному закону (см. рис. V I . 12), т. е. <7(-x)=<7=const; £ '/ (x :)= f£ '/ ] = const; G.F(.x) = [G.F] = const; (VI.47) k { x ) = a - \ - b x 2, где a — i k о; b = —- 1 ; a — коэффициент, учитывающий неод№ нородность грунта основания; /— длина здания; k 0 — постоянный коэффициент жесткости основания по длине здания. Подставляя (V I.47) в (V I.44), (V I.45) и (VI.46) и производя здесь многократное интегрирование непрерывных функций, для основных функций F f ( л), F f ' Q(д) и F f (л), входящих в общее выражение (V I.3 5 ), получим следующие знакопеременные беско нечные: степенные ряды: . x in [E J]) I (4й)1 л=1 4- Ьа п- 1— «4>4 л + 2 (4и + 2)! ..6л —2 / \ I I Д6я /м I |„_1 ,И Т щ + а Ь " - 1— ----- — N t,a + bn ■ Т ’ : , (6л — 2)! (6л)! -1,л „4л-И ••• f '-ft- 1 v 4rt + 3 X ------- ' T %n-\-abn~ x (4/z;-f 3)1 ........ 1)д (-[ЕТ]-)'' X v o i •t - h t o "~ l x T.§n— 1 * \ ( 6/2 — 1)! N 2 ;„ + b n ' ' •, l ( 6 r t + 4 ) l F\n - \ * x -j- ban~l y.On+2 A n+6 Т 3)„ + ай«-1- (4 n + 6)! (6я + 2)1 oo 1 (x )= ■ „4л + (4 я )! 1 [£ /] A n +4 / 1 „4л—2 \rt-l (4 л — 2)! „6л—2 ,6л—4 /?!,„ + а й " -11 '" 'l a . ( [G F] Л ,л + Й"- (6я — 4)! * + 2л+4 -^1,л + (2 л + 4)! ( 2 л + 2 )! „4л+2 M i, п ( 4 л + 2)! 1 I- F ™ ' q { x )-- Л п —1 \л -1 ап [G F] \ [E J ] Л= 1 „4/1+1 (4л - 1)! „6л—3 (6л - (4л + 1)! „6л—1 1 бг,л [£ /] Я 2,я + & » Х 3)! „2л+3 \л-1 (2л + 3)! V [G F] 2л+5 + Ьап~1 G i,„ 2)1 - f - ban~ l — - (4 я)! ( 6 л — 1)1 (6я - ,2л+2 „4л + Ьап~х■ ^З.л!» (6n + 4)! [G F] ( [ E J ] s . л-1 + abn~ 1 -7TXrJ hnJ r b n X А?з,п-\-Ьп ' „4л+1 (2 л + 5)! ■>^2,л Л, л + (4 л + 1)! ,4л+3 + Я1 л: ЛЬ,»]}; (4 л + 3 ) ! „4/1+2 fF V )= - 2 { ( - ■ 1)“ - + у ( + ) " + ” ( 4 л 4- 2)1 л—I *,4я+4 + Й а"-1 (4 л 4 - 4)! „бл Яз,л + а ^ - 1+ т г Я 3,л + ^ (6л)! [£ /] р \ [G F] / г в. й а "-1 (2я 4- 6)! L О: >.л]+ (2л + 8)! ^3,л + Пл+6 „4я+4 + айл_ ( 6 л 4 - 2 )! 2л+8 2л + 6 _ v6л+2 (4 я 4- 4)! ■-/з,л+ ■ (4л 4 - 6 ) ! (V I.49) •М 3,п ,2л+ 2 W = У J j l l G F ] / la . X L + te .- , l “ (2л)! , F ,,„ + ( 2 л + 2)! л -1 ,4л лл „4я —2 ‘ \ — £------ D i „ + Ьп — — n liJtl; ((4л 4 л - 2 2)! )! 232 ’ 1 (4л)! (4л )! I /л W-',l / 1 \rt ( у.2я+1 у2л+3 (* ) = V (— — ) {а п — ------------ \-ban~ l — Jj\ {[G F \ ) \ л -1 (2 л + 1)1 „4я— 1 4 -a f tn -i— ± (4п - ^ Jm A \ {G F] / I й-1 ’ _к4л + 1 П2,„ ; (4л + 1)1 (2л + 4)1 т у 4я + 2 F 2,„ + (2л + 3)! j D 2 ,n+ b n — 1)! & {х)= У ( - J - Y \ап- ^ ’ ‘ (V I.50) - ^ г - Аз,л+ (2л + 6)! 4я + 4 'I +1 а6”- 1— --------А»,* + *я — — д—П3,лJ . (4л + 2)1 ’ (4л + 4)1 Значения биномиальных коэффициентов 7\,n, АДп, £f,n, Яг,п, Pi,n> Gi,rij 5г,тг> A,7ij Pi,nj Дг,я> И Пг,тг, ВЫЧИСЛеННЫе С. А. ХаНаЛИевым, приводятся в приложении II. Полученные решения представ лены в виде знакопеременных бесконечных рядов, содержащих в знаменателях возрастающие факториальные члены, что и обеспе чивает их быструю сходимость. Д ля обеспечения достаточной точ ности расчетов можно ограничиваться лишь первыми двумя или максимум тремя членами каждого ряда. Для случая, когда сдвиго вая жесткость стены бесконечно велика, функции А (х) , В (х ) и С( х) , входящие в общее выражение (V I.35), принимают вид: (4л)! Л= 1 „4л+ 2 4 - Ьап~ х — ^ ( 4л+ 2)! 6 я -2 Т^п+аЬ”’ 1 Jsn — -----------N hn + bn ~ — Д1(„ ; (6 л — 2)1 ’ 1 (6л)! ’ 1 1 4л+1 e w - r t , w - * + S ( - 4 ' ( 1^ r ) ' ( - - ^ +1)l • л -1 „4 л + 3 „6л —1 1 ( 4 л + 3)! ’ „6л+1 1 (6л - 1 ) ! 1 см=^м=7Г+Ё(-1 )"Ш '{°“ я=1 „4я+6 + _ Х (4л + 6)! ч N 2 ,n + b"— Y---------------------- Е 2'п ; - + b a n~ ' — - T 2,n+ a b n- 1 — Д>л+2 Т ьп + а Ь *-1. — (6 л + 2)! (6л + 1 )! ’ ) x 4n+i (4л + 4)! „6л+4 А з,л + 6 Я — 4 (6 л + 4 ) ! ч ^З,л . J (V I.51 ) Значения входящих в последние формулы биномиальных коэф фициентов приведены в приложении II. 2. Изгибная и сдвиговая жесткость стены постоянные, равные приведенным, интенсивность внешней распределенной нагрузки так 233 же постоянная. Изменение коэффициента жесткости основания по длине здания примем по кососимметричному закону, т. е. в виде кубической параболы (см. рис. V I.9 ): q { x ) = q = const; E J ( x ) = [ E J ] = const; GF[x]=^[GF]=const-, (V I.52) k [ x ) =- a -\ - bx 2 -\~cx3, где b = ~ 3- o(- ~ 1} •; c = a = ko\ 4/2 u (V I.53) 4/3 y ' Подставляя (V I.52) в (V I.44) — (V I.46) и произведя здесь мно гократное интегрирование, для основных функций F f ( x ) , F f ' Q(x) и F f ( x ), входящих в общее выражение (V I.35), получим следую щие знакопеременные бесконечные степенные ряды: F x { x ) = 1 + V ( - 1)« (— ^— ')'* (а» + а я- 1 Ь — t„A+ ' \ [E J] / I (4л)! (4л + 2)! л=1 Y4n+3 Ап—2 + 8 п, 1 -\-аЬп~ 1------------------r„ i-j-(a fo )"~ 2 X 1 (4л + 3 )! „бЛ—1 X ’ 1 (6л - 2 ) ! „6п Рп, 1+ bn ---------j n 1 -f- Ьп ~ У ’ (6л - 1 ) ! „7л—3 (6л )! J ' 1 1С 1 „7л—1 m n,i-\-bcn~ l — — (7л - 3 ) ! ’ ,1Т Ч ' „6я+ 1 -----------■ ---- g n,i 4( 6 л + 1)! 7я , e n,i-\-cn — ~ d n,i j; (7л - 1 ) 1 ’ (7л)! 00 V. ( F ?{x )= x + J a 1 )л (— М - " ( ап \ [E J] ) \ ~ П+- - - - - - - - - \-а*~1 Ь Х (4л + 1)! ^ л Л -1 Л п + З X — ^ 4л+ 4 ---------- /л,2+ а " - ‘ с — (4л + 3 )! ’ 1 „6л „6 л — 1 ----------- S n ^ + ab"-1— ----------- г „ 2 + п'г 1 ( 4 л + 4)! (6л - 1 ) ! „6я+1 "\-{dbc)n~2------ -- p nfi-\-bn----------------- j n 2 -]-bn~l С lv ; (6л)! г ( 6 л + 1)! ^ + 'К " ' ‘ J n И “'1 + * С”“ ' g n2 + ( 6 л + 2)! Р ^ < 7 .-2 )1 ’ ^ „6л+2 S "’ ^ У -7 Л + 1 е * '! + С“ \ (7л + 1)1 Н ( V I . 54) / r f W = = + l - f У ( - 1 )« (— ^— V"(а" — ^ +4 41 J jR \ [E J]) \ (4л + 4 )! ■+ Т Л -1 -.4 л + 6 - l - a n- l b — =---------- 1 ^ ( 4 л + 6)! v 4«+7 л . a n - i c — £--------п ,6 Т ( 4 л + 7)! „6л+2 Jr a b n " ' 1 — - (о л + 2)1 ЯА~ „бл+3 r n,3 + (a£c)”~2 - (6л + 3 )! 234 1»,з + „6л 4-4 + 4" „6л + 5 (6 » Т 4 )|"/"'*+ , '“' ' С (в» + 5)Т g "3 + „ 7 Л 4 -2 *-7 й + 3 4 - а с я_1-----------------тп,г-{-Ьс п~ 1 ------------ —— ^л,з-f- ~ (7л + 2 ) ! ’ + с“ ( 7 л + 3)1 (7 « T i)l ‘' ”4 - 2 (^ т^г(тйгП {-- ^ г г-+ Л=1 „4л + “- _ у4л+1 4+ У с - J m T W s- бя- - 4 X + а Ь " ~ 'х -ибя— 3 1 Й 7 + Г г« + ( “ <’с Г ! ^ С (6 л — _ 1 /1 - 2 )1 /w + „ 7 я — 5__________ 1)1 + а С ” _ 1 „7 л— 3 I йсл -1 убЯ-- 2 ( б „ - 3у Г / ’” ', + 4 ' - + „6л— 1 + _ ( 7 л 5 ) Г + ^ „ 7 я -2 , £ --------- е пЛ-\-Сп ----- ------- ;—й?я,1 I — (7л - 3 ) ! (7л - 2 ) 1 j \Я—1 ( ,2л+‘2 „ 2 лЯ 4-г^ -4 с.^ [а*-— - ------------- bn,i+an- ' b — - ------------Г я1 + — — (— — ) [ £ 7 ] I [О/7] / I (2л + 2 )! (2 л + 4)1 яД“ л -1 „ 2 л 4-5 „4я + а я- 1 с — “ (2л + 5 )! (4я)1 „ 4 л 4-2 A-b« — ~ ( 4 л + 2)1 „4л+1 snA-\-abn- x— — /?л,1 + (а ^ ) ”~2 — - — --------Ял ,1 + 4,1,1 1 ( 4 л + 1)1 „ 4 Л 4 -3 ”д 1 „5л— 1 J n i + b " - l c — - ---------- Gn, i + a c n- 1 — - ----------- М я ,1 + Т ( 4 л + 3)! ”д т « ,5 я + 1 + Ьсп-г^ F?*{x)= - V *.5 я + 2 - E n,i + c* (5л 4- 1)! F J l t e i ] / rt«l ~4я+1 — 4 - f l n— i ^ ------------------ — т + ь ’ " и . - i)i (5л -Ь 2)! l — А '2+ (4л - 1 ) ! v 4 rt+ 2 2 _j_ (4л + 2)! „6л— 2 ^ __ Д а л - i c ----------------------- S _ (VI.55) J ’ 1 _ ----------------- гп^-\-{аЬс)п~2----------------- Рп,2-\г (6л - 3 ) 1 „6я— 1 ( ( 4 л + 1)! „6л— 3 1 ч Dn A- ( - I ) . - ! - ( — L _ ) n_1(a« — 2^ J -i _ }_ а £л - 1 (5п -1 )1 _ ’ К „6л J ( 6 л - 2)1 ■ __ с 755Г« ..» + « 23S 1 „ 7 л — 4 _____ ___ (7„ _ 4)|"'" • .* + 1 \Я—i f . х [£■/] \ „2л+3 —- W / I . ■ 2л+5 -- - - -\-а"-'Ь ■ Тп>2 + * ( 2 л + 3)! (2л + 5)! Л - 1 2л+б „4я + 1 4 - а " - 1 с ---------------- S nfi-\-abn~ l ----------------- ^л,2 + (2 п + 6)! 1 ’ 1 (4л + 1)! „4л+ 2 + (a b c f ~ 2 — 1 V ' ' 1 „4я+3 Р п,2+ ( 4 л + 2)1 ’ — * ----------Уя 2 + 1 (4 л + 3)1 „4л+ 4 з ’ 1 „5л + Ьп~ 1с —,(4Гп 1 4)1 Л<Г Gn'2+ асп' г - 5л! Г Г Мп'2+ „5я-Ь2 + &сл-1— 1 / + + , = 4- а п~1Ь ^ (5л + 2 )! - j ] <- я—1 „4л Н-4 _ ■ — s---- ~tn,3 (4л + 4 )! - ’ ■\-ап~1с „7л—1 (5 л + 3)1 „6я+3 ~ ’ ’ ) . ’ 1 W -l 1 ’ 1 / 1 (6л + 2)! 1 +1 ^ J[E I]\ [G F ]} _ ~ + а п~'с ьп „2я+9 (2л + 9 )! „4л+6 — ------ :— (4л + 6)1 j ^ 1 у^я4*6 \ „7я-ь2 _ ( 7 л + 2)1 Т ап з + (2л + 8 )! v4n+4 ' - л,р“ „4л 4-5 1 (4л + 4)! Ул,^ + Ь " ~ ' с ’ 1 (5л + 3 )! „5Я4-5 „5л 4-6 _ _ Л ---------- £ n,i3 + c " — (5 л + 5)1 ,р т (5л + 6)1 {—'— \п{ а " ^ - - ) г а"-'Ь ! v 2n + 3 \ (2л)! 1 ^ г „4л—2 1 (4л - 2 ) ! ’ 1 ' М п,з + ' \ Dn з ; — Тп,1 + (2 л + 2)1 4 -а"~ гс — — - s n,i -\-аЬп~1 ------------- гп, i-\-{abc)"-? ’ (4л Т 5)! 4л+7 „5Я+3 — — G „ 3+ а с " - 1— ( 4 л + 7)! л-1 ( 2 л + 3)1 g n г3 4 - (бя + З ) ! * ’1 ^ „2л+8 (2л + 6 ) ! .. Jm J K lG F ]) 1 „6л+3 л . —S nV<-X-abn~ 1—------- — Rn 3 -f- {abc)n- 2-------------- рп>3 -|- _ /? ? (* )= V ’ п ,3~ . а * — ----- --— \-а"-'Ь — ---------- Т я13 + л=1 4- (7л + 1)1 \ п — li + [6л! _ j n з 4- bn~ lc — „7я ( 7 л - 1)! + 6л _ ^ -а с п- \ — ,— -------- т Я(3 + ^ л” 1— -------------еП]з-\-сп 1 - sn;3Jr ab n~ 1 —— r„ 3 4 - ( 6 л + 3)! - 4 1_ „6л+2 + bn з ч j.. - ^ ’ т [(6л + 1)1 „5л+3 с"—^--------Д,,2 ; 1)« ^ „6я+1 _ - f (a b c Y ~ 2 ------ т. — Рп ‘ V £-„,2 + “ „4л—1 — __ р п\ 4 - ( 4 л — 1)! и ~ „4л _ 4 -Ъп (4л)1 ^ ' „4л+ 1 in 14-Ь п~ ' _ „5л— 3 ял1, 4“-а с п~ 1 —(5/z—— 3)! — ' „5 л—1 + f ^ v 2/i + 4 4.5л _ •. , 1 £ = 1 Г * ' 1 + * № о Г ‘Ч ? ( x) = Y ( — ) V **'•-- + ат - ц , (2л-*2"+ 3)! V (2л + 1)! в ‘ *.4я—1 в (2л + 4 ) ! И«+ 1 + bn— ~ (4л + = 1)! 2 ( 4 л — 1)! „4л + 2 = ^ + г 4л 4- а п- 1с - —----- —— Sn^ + a b " - 1- ------— r n , 2 + { a b c ) n 1 14* хс ---------------(4л + 1 ) 1 в (4л)! „5л—2 24-ьп~ 1С —---- g n 2+ ’ ' (4л + 2)! _ — — р„ , 2 + = а с " - 1— -------т„,2+ in (5л — 2)1 у 5 л 4 -1 — \ (V ,'56) + Ьс' - ' Ь а е ^ + с " f? (x )= V f - 4 > \ [C F] / 1 + а--6 (2л + 4)1 . (2л '“ •=+ + 6)! л -1 2л + 7 _ „4л+2 4л + 4 . _ bn И .л + 5 jn,3 -\rbn~ lc Г = „5 л + 3 4-Й:'Л-1„„5 1 = „5я+1 биномиальных - » + _ (5л -Ь 1)1 „5я + 4 _ Л. СП-----£ _ ------ d .в (5 л + 3)1 г -5 ^ = :---- -g n ,z - ]r(M n~ l - — — Г - т п,з + ](\п ;• о)! (4л +4)! Значения 4л+3 (4„ - -2Т -'-,.» + ( ^ s « + “ i’“" 1 4- = ’ 1 (5л + 4 )! коэффициентов sn,i\ r„ti; р п,Г, jn,ii gn,r, вп.Г, dn,l\, tn,i\ Sn,i\ Xn, i >Pn,ii Jn,iign,i-> Mn,it &n,i> dnj 4 я,/|, $n,i\ Fn,i\ Pn,i] jn,it gn,i , Wln,ii &n,ii ^л,1 ИДр., ВЫ Ч И СЛ вН Н Ы в С. А. Ханалиевым, приведены в приложении III. Принимая в полученных решениях (V I.54), (V I.55) и (V I.56) GF (х) — оо, т. е. что сдвиговая жесткость стены бесконечно велика, функции А (х), В ( х ) и С ( х ) , входящие в выражение (V I.35), мож но представить в виде: A(x) = F f W = 1 4 ~ ’S ~ V4 ( - l ) nfV l E1J ] -JУ\У (— + a *~lb / 4Л+оТ,~tn'1 + 4и>! (4л + 2)! „4л+ 3 + “- v u „бл 4 + r s« ; „ 6я—2 (4 г „бл + 1 „ 6л —1 5я _ + „7 л 3 4-Ъ п (6л)1 }7 п’ \~\ ь п~ хс ----------Ял 1 4" асп~ 1 ■ -------------т пЛ 4~ Т ( 6 л + 1)1 Й Л , 1 Т (7л — 3)! ’ 1 237 x ln х 4п + 1 B (x)= F ? (*)= *+ - л=1 „4л+3 ± . а п~ /-2 + а » - Ч \Ь _ Л (4л + 3 )! ^ *’ 1 „4л+4 — (4л + 4 )! ( a b c ) n~ 2 — — р п 2 + Ьп (6л)! „6я+2 — ---------— ( 6 л + 2 )! -\-bn~ l c с М = ^ я-1 “ + ( 4 л + 6)! (ай л )"-2 1 ^ ’ „4я+7 /„ з + а п~ ' с — ",З Т „6 л +3 ----------/7 „,з + (6 л + 3) 1 (4л + 7 )! „7л+1 -|- а ' т ) > * 1 г й т ^ г г„ 3 4 - " ,3 т „6л+5 jn , 3 + b"~-1С -------^ — + „6л+2 5„ 34 - а ^ - 1 — £ ’ ^ ( 6 л + 2)! „6л+4 1 ’ „7 л +1 = --------------- dn, 2 ( 7 л + 1)! ( - 14 ( 4 „4я+6 + а я~ 1Ь — п'2 ^ ( 6 я — 1)1 „6л+1 — •/ л,2 + ( 6 л + 1)1 ( 7 л — 2)! = 4 + 2 м ~ 1 — ^ -------- г п 2 4 - 7л—2 6 ?я ,2 + С Л ’ 1 (7л)1 4 - а Ь п~ g n ,2 -\ -a cn- 1 ----------------------- m „ , 2 4 - „7 л 1 ( 4 « + 1)! 6л—1 S n2 „6 Л + -. ( 6 л + 4)! У ^ (6л + 5 )! „7л+3 „7Я+4 g„ з 4 &п' ъ ~ \ с п~ 1 -------;---------- т „}з -\ -Ь с п- 1 -----------------е „ 3 -\ -сп ------------------------ d „ 3 l . ( 7 л + 1)! ’ 1 (7л + 3 )! ’ 1 ( 7 л + 4 )! ’ j Значения биномиальных коэффициентов t n,i, s n,i, rn<i, p„tl, приведены в приложении III. II. Рассмотрим случай, когда увлажнение основания возможн в середине здания. Интенсивность внешней распределенной нагрузки, а также из гибная и сдвиговая жесткость стены постоянные, равные приведен ным. Изменение коэффициента жесткости увлажняемого основания по длине здания примем по симметричному закону (см. рис. V I. 19), т. е. g’(x) = < 7 =const; £7 (л г)= [£ У ]= const; jn ,i, g n ,i, m n, i , e„ ti и d n,i G F (лг)=[G/7] = const; А(х) = где Е,=*«; Е2_ (V I.58) $1 4 - ? 2л :-(-$ зЛ :2, “ s fc O . . ; - « .(■ - « ) . Подставляя (V I.58) в (V I.44), (V I.45) и (V I.46) и произведя здесь многократное интегрирование шие для основных функций F f (х ), 238 P f ' Q{x ) и F f (х), входящих а иищее бесконечные ряды: f f М - 1+ S ( - 1:> ”( + П= 1 v4rt+2 + $ г Ss „ . 4 , 5л’4 „5л—1 + *-5л+1 f - 43 ,, w■чи / г6"—3 --------- РпА + ’ » Г {Й - „4 л+ 1 - J j ^ + й-^ • 1Г6л 1 ^ - _ 1 ) Г £ я '4 + Е з W -I \п( ( - 1 )» Л ’4 + (6 л — 3)! Г6"- 1 (' б ^ - 1 Ж л ’4 + ^ 3 f?(x )= x + 2 „5п ( б ^ г т ц RnA+ 12 W бп—2 + w " _ On 4 + (|1?2|3)« -2 ( 5 л + 1)1 Т- л + ) “ 4 Д ^ + е Г ‘Е24 т 4 1 я, 4} ; „4 /1 + 2 г«4 /1=1 „4я+3 , +Ef'"ьд е т „5я „ +мг w +5!д е т + „5 я+ 2 + е2_1э „6я 2 (5л + 2 ) Г ^ ’5 + Ш з ) Л _ 2 „бЛ—1 + ^ Г СЛ , , , V I, 1 ^/ 1 F 8 W = TT + 2 l ( ~ ' ) W я~ 1 1 (6 л — 2)! 4 „6л у-^Я+б ^ '5 \лйл ) „ 1 />П'5 + 6/г+1 l ^ Z T T Жл’5 + ^ Г *4 „5я+1 * 4n+4 ( ё л " + 1 )!'Dn'5 1 ; , „«-1, I E|> - + 4)1 ■ + El Г®Л4"^ \ п х 4п+5 ЕгД Д Д Г> X^nJr^ +Е? д е т s-+«г д е т *«+ьд е т , „5я+5 „6л—1 + г Г 1з (5л + 5 )7 " <7п’6 + в ^ * -2 + ^ r l l £ ^ ^ 6+ ^ r \ ^ ^ ( 6 л - 1)1 jD" ’6 + 6+S3 I f l ^ T ^ (^ - 2 (- 1>'+(+Г,(Е'д е т ^ т J и. 6я—5 _ Р м + Ы Г 1-- (6л — 5)! „6я—4 * Г-, (6л — 4)! __ м п,4 + [ Ф ] ) ' ' ( Й ~ ‘а + 2 ) f 7 '».. + Е Г ‘Ь ■(2* + + 4 + /2=1 „ , „2 п+ 4 + $1 __ 63 " ( 2 л + 4 ) 1 + „З/г+ 1 5 л '4 + ^ 2 - ( З л + Т ) ! ^ ~ V (3: 1 — + 3)1 .? М + (Л ) _ _ У „ ( _ „ 4 /г+ 1____ _ 1 )« _ 1 _ _ Гл'4 + Ь 1 ^ л + 2 ) ! ' /, г ’4 + ^ ’4 + „4 л+ 2 (4л + 1)1 ; ^ J 1 „Зл+ 2 ( « А » ) В“ 2 ^ _ 1 у Г и 1 тпл + Уз _ + Й (Тл + 2)! М ; N n<5 + 1Ь « [.o n llf i/jj \ Г (4л - 1 ) ! ^ /2 = 1 + Е Г 'Ь Ш т' * + ^ % l £ +е; „6я— 3 + Ws ~ ^ Щ V 1 2 d [E J] /2=>1 я_1 „ + ^2 ~~ / __ Г М п '5 г« + ы Г ' - + + Г v-3ft + 4 + Ш Г 1 — , $3 " ( З л + 4 ) ! „6я—2 ~(6 n - W 1 у - 1/ ^ ( [ G / 7] ] ^2я+3 ( 2 л + 3)! м_1 £ я ,5 + $1Ь (2л + 5)! , r * - + 7«+Й_,Е*1+я*+«■*>-■1++, + ?1 + — g n ’5 + /2—1 я- v + п+4 ^ — — ' )Л~ 1 - ^ Г Р п * + ^ 7 (2л + 4)1 w Лп5 + |2 (З л + 2 )! ч + Ез" ( 6 л - 1)! _/Ц " " , п’5 + + „6л—1 ^ т ——— f 4re ^ _ „1 У3л"*"3 — Уя,5 + (Зл + 3)1 r 4n + , Я’5 1 (4л + 7)1 ~ — + „4/1+3 . -{-El — ( 4 л __ „4я + 4 я»б — {—£х о\.' 4 - 3 )! £ з— ( 4 л - Ь 4 )! „5я+2 1 [ £ / е т \ [ G £ ] J Г 1 (2 л + „6л+2 _ £ « + Е' д д д д г ] У~Ч>»; * 2л+6 I ] д 4 - 1 )! „ 6 я —1 _ „6я+1_ м ”'‘ + № V1 ( 5 л ° л'6 + ( ’ 1’2УП~ 2 ( ' б ^ Г Т ^ ^ 6 + „6я + Е* J L ———■ — / ? *. 4~ „5я+3 + ЬЯ“ (5И+ 2 ) Г ' /" 1 б + Е Г i 3 _ ( 5 n T i ) ! , .„5я + 1— ^ ,6 - [ - E i b ,А м т 6 )! , »я-1, ' л ’6 + и -Д + л+7 ( 2 л + 7 )! , " , 6 '4~ Я= 1 1 +Е‘ „2я + 8 — д s r ‘Es е „4л+4 W 3 " ■ ( 4 + + т Г т т „4л+5 л -6 + ^ 3 4 Г п „Зя + 6 + — г “'' + Е2Д з » + 6,1 е _ ^ — <3/1 + 5)1 Е= Д Д Д Д Г - $ ”'6 + № + + „Зя+5 г ^ '+ _ ^ Г ; ”'* + 4л+6 е я ’6 + i 3 ' ( 4 л + _ 6 )1 ■ ч ^ ’6 ) : (VI.60) F f (х)= V ^ 4 /— \ [ G л= 1 2л+2 + ^ F ( еГ -^— + е Г !Е2 - * * Л — — тпЛ + Г ] J _ (2Л + 2)! 5 л -“ + № £ + Л е > т + 2 — Ь ~ _ Зл h T W J n 'i + _ р »■< + , + й ); ' Зл . (2« + 3)i ( З л - - - ^ ' д е т +Е“+ д е т *З л + 2 52 R n ’i + „4л —3 „2я+3 + | Г ^3 + (З л -Т )Г 1 )! д _ = Л= 1 . ( 2 л + ° л-4 + Ш з ' Г - 2 (4п_ 3)1 Ез - - п + « !- ■ ■ д “ .,3л—1 „З л + 1 + $2 ( 2 л ) ! 5 «.s + w r ° „Зя+1 7 i ^ r ^ 5+ "2 = ) Г ; v 4” - 2 Л ’5 + Ш , X Л з +Ы Г- з Г ~ 2 ' (4 л "— „4л _ Р п '5 ..4Л+1 £« + g (^ + 1)Г Ул’5 + = ~ 2 ) Г __ „ + Ш — (1 , Уы ~ 1 ^ Г Т М ч ); "?«=1](1+)'1Е Гд е т+ ЕГ'Е“т е т ^ + Л=1 24 Г Х и * * | £ ~ fl'6 + Ез1 5 ^ 7 Г l 1 „ „3/2 + 5 ! „3/2+3 ElE2 —( З л + з ) __ __ „ЗЛ+4 __ 1 ^ ’6 + Е 2 1 + Т + ! „4/2 + 1 _. , Jn* + „4/2+2 + Е ? е>1 5 Г П 5 Г + « ■ « • > " " 1 г г г т г р ^ + Е'Е* , „4 л+ 3 _____ „4 л+ 4 _ х ч 1 Р Т Щ Г ^ + ь’ - + п г 2>- ) • х м ‘ * + Е* Значения биномиальных коэффициентов (У Ш > S n, i; Qntl,Pn,l\Mn,i\E„tl, D nX,Tn,l\Sn,l vRn,l\ Jn,i\ Qn,i'i Pn,lt P^n,l\ Fn,i\ Dn,i\ Tn,r, s n j ; R n J \ l n J ; Gn J ; P n J \ M n<i; Ъ пу, O n i, вычисленные С. А. Ханалиевым, приводятся в приложении IV. Принимая в полученных решениях (V I.59), (V I.60) и (V I.61) F G ( x ) = оо, т. е. что сдвиговая жесткость стены бесконечно велика, функции А ( х ) , В ( х ) и С ( х ) , входящие в общее выражение (V .35), можно представить в виде: A (x)= F?{x)= 1+ V V ( - 1)» ( - 2 _ Y* Ь » 4 + L + 1 Z A V ; \ [EJ) j /2=1 и „4/2 + 2 + E2 (4л + 1)! „6/2—6 Ез' ( 5 л + 1)! Р я '4 + ^ 3 Х 6и . „6л—1 T7T" 7И Л 4 + ^2|з (6л — 2)! — --------- — — £ « , 4 + ( 6 л — 1)! ^3 — A i ,4 (6л)! 1 + El + « 1 „4/1+3 Л -5+ | Г *Ез „5/2 бл п Г ~ ^ « .S + (6 л — 1)! fe b - + + Г ^ ’5 + ° " ’5+ (Ш з )"~ 2(6л —2 ) ! ( 5 л + 2)! „6/2— i — - £ л ,5 + (6л)! ! (4л + 1)! Ег ( 4 л + 2 ) Г :Гя'5+ Е1 Ез 1 + Т + Г 5 " '5+Е1Ь 6( 5 / г - f ?- 1)! J „4л+1 «.Л В М = . Л ? М _ л + 2 ] ( - 1 ) ' ( + ) ’ ?1 я= 1 п *^лi4 '4 ~ , <3,г’4 + Ш з ) 'г _ 2 " 7 б ' л - ' з ) ! ' г 6я—2 х 5л /?л 4 ~\~$2 (5л)| 4-I- ^$2 Л.4-Г5154 „5/2 + 1 Х ~ 7R J^ IL (4л )! ^ „5/2—1 X T Л 4,4— j—------Г « £3 53 --------------(4л + 2), “ - Г р ”’5+ „6/2+1 ^3 —-Г — (6/г + 1)! А г .5 (V I.62) с i + £ ( - i r ( j j L ) * ( Е; - + + - + /2=1 „ + ^ , „4л+5 1 О Т 4л+6 г * '+ й ^ 1 £ т 242 5 Г *'••+ « *■ „5л+3 * - + д.5я+4 +ьл „бЛ +1 V* ^5л+5 (5 л + 5)! (5 п + 4)1 On, 6 -{- (^1^ з ) П^ 2 Значения биномиальных коэффициентов T„ti\ S n l \ R n,i', Jn,i\ Оп,г, Р п,г, М п, 1 ; Е п, 1 \ F>n,i приведены в приложении IV. § VI.9. Расчет здания для случаев прерывного закона изменения жесткости стен и грунтов основания Определим выражения основных функций А { х ) , В ( х ) и С ( х ) , входящих в общее решение (V I.34), для следующих случаев пре рывного закона изменения жесткости грунтов основания. 1. Увлажнение основания предполагается с торца здания. И з менение коэффициента жесткости основания принимается в увлаж ненном участке прямолинейным, а далее постоянным (см. рис. V I.7 ). Интенсивность внешней нагрузки постоянная. Изгибная и сдвиго вая жесткости стены здания принимаются также постоянными, равными приведенным, т. е. ; E J (x) = [£ y ]= c o n s t; k(x)= - O F [ x ) = [ G E ] = const; 4? (jr)= ^ = const, (VI.63) где ko — постоянный коэффициент жесткости основания; 10 — дли на увлажненного участка; Гг0— односторонний протяженный пре рыватель. Согласно свойствам односторонних прерывателей, имеем: при -X < / 0 r / „ = 0 , k { x ) = - ^ - K \ при /0О < 7 Г / .= 1. k { x ) = ~~X-\-kQ—-yS- x = k 0. Подставляя (V I.63) в (V I.36), (V I.37) и (V I.38) и произведя здесь многократное интегрирование с учетом формулы (V .31), для функций F i M(x), F i M’Q(x) и F i Q(x), входящих в общее выражение (V I.3 5 ), получим следующие степенные ряды: F f (*)= 1+ V ( - 1)n a- 5-— 11•6 ■11.. .(5л - 4)1 + Г|. Y U n.V-b 243 F Г (x )= j i - + ^ ( - 1)» (5 ■1 0 - 1 5 . . . 5 * ) + /1 = 1 OO + Г го^ С ^ - ь , (VI .64)' Л - 1 F ? ’q(X)= - 2 { ( - 1)" t o " - i [ 1 - 4 ■9 ■14 . . . (5л - 6)] + . /2=1 r 3/l+2 v + a * » " 1 - (3^ + 2)1 (3 •6 •9 . . . З л )} + Г ,в ^ (Л"Д + A« d x "~^ /1= 1 oo / f ’Q(X) = - 2 {(■ - 1)” ■^ T i ) ! [0• 5. 10• 15 . . . (5л - 5)] H- /2 = 1 иЗ/1-Ь 3 + аЬп- 1 (3; ; 3), ' [ 4 - 7 - 1 0 - 1 3 . . . ( З л + 1)]} + Г /о ^ ■ * ; г y\ »i ■' - ‘ '' ' ^ /2-1 + (Яяд + а д * - 1; ; ( V I . 65) - ;.•* - - [3■ 8• 13 . . . (5л — 2)]-j-i ' ! ■■1 i ~3/2+6 ^ +6)! [7-10 -13... (Зл+4)]} +T,„ ^ (C„,:-LC„,l.x« -4 /1=1 /+or)= V] [1• 4.7 ... (Зл- 2)]+1+ У ^ А пх«- -1* n1=•11 / n/1=I1 Ьп х Ъп^ х ■> ? w = i l + Г Т Д Г 12 •5- 8 ■••( 3 x - 1 ) ) + Г, . ^ -J /2=1 6” .*ая+4 4^ (Зл + 4)! /1 —1 | 5 ' 8 ' U 5 .,» - . - ( 3 » + 2)] + Г , . ^ С . х » - . , ____ • л-1 (VI.66) где a = — *0-— ,; /«[£/] bt '__* q /о [ а л В выражениях■(VI.64), J V I . 65) и (VI.66) коэффициенты А„, В Пу Сп, А„и Впи Спи Л п, В п, Сп зависят как от жесткости стены, так и от жесткостных характеристик грунта основания по длине зда ния и их выражения, вычисленные С. А. Ханалиевым, приведены в приложении V. Для случая, когда сдвиговая жесткость стены бесконечно вели ка, функции А ( х ) , В ( х ) и С (х ), входящие в общее выражение (VI.35), принимают вид: А И = F ? (х) = 1+ ^ ( — 1)» - а^ ~ - [ 1 •6 ' 11 ...(5 « - 4 )] + В {x )= F ? (х ) = х + У ^ ( -\ Г *+ — [2 7 -1 2 . . . (5 л — 3)] + со (VI. (VI 67) 2. Увлажнение основания предполагается с середины здания. Изменение коэффициента жесткости увлажняемого основания при нимаем в центре замачивания равным нулю, на замоченном участ к е — прямолинейным, а на незамеченных краях — постоянным (см. рис. VI. 14). Интенсивность внешней нагрузки примем постоянной. Изгибная и сдвиговая жесткости стены здания также постоянные, равные приведенным, т. е. к ( * ) = k 0+ (b — а х ) -Ь Г г (с -}- 2 а х ) + Г г, {d — а х ); <7( . * ) = : # = const; | E J { x ) = \ E J ] = const; Подставляя (VI.68) в (VI.36), (VI.37) и (VI.38) и произведя ; здесь многократное интегрирование с учетом формулы (V.31), для функций F f (х), F f ’Q(x) и F ? (х), входящих в общее выражение (VI.35), получим следующие бесконечные степенные ряды: F f (л г)= 1 + 2 ( - 1). А,,, х - ‘ + + Г ,, ^ Л-1 Я=1 О О О О + Г, ^ Л л . г ^ + Г / . ^ Лплх”- 1; П=1 fl —1 Я= 1 л —1 2 + г, хп~х+ Л-1 ' f w - S r + л-1 j ] ' т Ш г + г '' S ' Л-1 Л=1 О О О О + r ^ C ni2. v - + r ^ C „ , 3x - ; /1= 1 /2= 1 ъл п Ж "! С ^ „2/1+2 \ —-----1+ (■*)=- V, |(- 1)nb an- x —-------baft"-1 ( 4л — 2 ) ! ( 2 л + 2) ! /2 = 1 О О + Th 2 О О А ”’хх "~1+ Гг 2 л-1 ^ " '2 хЛ_1+ л-1 О О + ^ 2 ^ . 3 ^ ; (VI-69) /2 = 1 ^ У )= _ V ((_ \ у ь а п~х >1=1 1 - Х*П~Х ( 4 л — 1)! ■+ a b n~x —^2 -Д+3- )+ 1 (2л +3)1 j /2 = 1 О О +Г+ ^ 00 Ъпл х«~х+ Г , ^ /2= 1 мл F f ' Q(*)= - £ „ , 2 х " - 1+ Г , , 2 /2=1 Вп,г х " - 1; ( V I . 70) /2= 1 / „4п +2 „2/2+6 ч V (- 1у Ьап~х —--■ —baft"-1— £------[+ ZA Y ( 4л + 2) ! ( 2 л + 6) ! Г /2= 1 246 оо + Г ,Х2 оо О О с я>1 * » -1 + Г г У ^ С ~ 2^ - 1 + Г га ^ Л= 1 Л=1 л-1 Св /•? ( х) = С п,зХп~1\ О О ( - 1 О О )я - ~ f - + г л ^ л =1 + :г* 2 2 л= 1 * * - ' -ь л=1 О О Л=1 Lti J2n+l F b x )= £ ( - О* - j ^ + Г-' S T Я=1 О О + Гг ^ СО 5 я,2JC"-1+ Г/. Л=1 л 5 ы Х “" + я=1 Л=1 О О Л Л Ж-^ S оо hn ~2л+4 Ж-^ <- ' ) “ - f e r i r + г - ' S /1= 1 — с" ''^ ‘+ /1=1 О О + TI ' £ О О Z ^ + T I. J ^ Л=1 ^ , (VI.71) Л=1 где а = — ^ — ; Ь= — ^ — . /0 [Д/] /о [О/7] В полученных выражениях (VI.69), (VI.70)_h (VI.71) коэффи циенты A n,ii Cn,ii A^j, $rt}ii ^ntit An,h &n,ii Cn,l зависят как от жесткости здания, так и от жесткостных характери стик грунта основания и их выражения приводятся в приложе нии VI. Для случая, когда сдвиговая жесткость стены бесконечно вели ка, функции А { х ) , В ( х ) и С (х ), входящие в о'бщее выражение (VI.35), принимают вид: А(Х):= / ^ ( * ) = 1 + 2 ! ( 1V п=\[ оо + а^ 4л (4/1)! + г' . 2 Л=1 00 + Г t S ) A n ,2X»-i T ,t V А п,зХп~ 1; Л= 1 п= 1 оо Пп v*4rt+l 1)„ « * (л ) = л + ^ ( ' (4 п + 1)! П—\ £ + 1 '( * ) = :^ 1)я ' 247 + г, - 2 ^ + * . 2 л-1 п=1 c w = f f W = ^ + 2 ( - i r / y y - + r ' . i ] c « ^ * - ,+ Л =1 Я=1 Л=1 Л=1 3. Увлажнение основания предполагается с обоих торцов з ния. Интенсивность внешней нагрузки изгибной и сдвиговой жест кости стены здания принимаем постоянной. Изменение коэффици ента жесткости увлажняемого основания принимаем по следую щему закону (см. рис. V I .2 0 ) : k { x ) — - ~ x-\-Tia (kQ— Ц - лА + Гц f -^£L_ /о V h Wo 1 -}—^2—л:]. /о (VI.73) Подставляя (VI.73), а также £ У ( * ) = ( £ / ] = const; G F ( x ) = [ G F ] = = const и q (x ) = q —const в (V I.36)—'(VI.38) и произведя здесь мно гократное интегрирование с учетом формулы (V.31), для функций F f (х), F f ' Q{x) vi F f (х)> входящих в общее выражение (VI.35), получим следующие бесконечные степенные ряды: F f y ) = l + V (_ 1 )я _ ^ _ [1 .б .1 1 ...(5 я -4 )] + Jm J (5л)! /2 = 1 О О + Г ,. О О A niix n~ l -\-Yil Л =1 Ап<5х п~ 1\ Л=1 /^ (*)= *+ > ► ] ( _ 1 ) « - | ^ /2= 1 г [2 .7 .1 2 ...(5 л - 3 ) ] + О О + г , 0у О О ^ ,4 ^ + г ,^ /2 = 1 r t ,w - + + S ( - 4 , /2 = 1 О О + Г г„ у В п ^ -у /2 = 1 ^ - l s -.10- l s - to l+ О О С ^ ^ - 1 + Г ^ у C„,sX*-'; Л=1 Л=1 248 (VI.74) F i ' QW = - 2 {(■ - 1)" b a« -' Я=1 [1 ■4• 9 •14 . . . ( 5 л - 6)] + + ^ ‘ , i £ r 5 r ( 3 ' 6 ' 9 ' ' - 3 , ! ) ) + r ' - i ] A ' * " ““ , + /1=1 Я-1 , J>n—\ { ( - I ) * * * ' * - 1 (^ _ 1 ) Г [ 2 - 5 - 1 0 -1 5 . . . ( 5 я — 5)] -f~ F ?*(x )= - V /1=1 + ^ ‘т а г 1 4 '7 ' 10- 00 + Г г„ ^ (3'1 + 1 )1 ) + СО Дя,4 JC»-l + r , t ^ л=1 5 л ,5 ^ л- 1; л-1 , „ 5 л +2 f*.«W = _ V { ( - l ) » t a — - ^ ^ г [3.8.13...(5*-2)]+ /1=1 ~3л+6 Ж ^ 1 *^г + айл-1— £ . . [ 7 . 1 ( М З . . . ( З л + 4)] + Г*в у \Сп,4Х"-' + (3 п + 6 )! Jm 4 л= 1 СО + Th ^ C n , 5 Х " -1; ( V I .7 5 ) Л=1 оо оо F ? ( х )= [ 1 •4 •7 . . . (3« - 2)] + Т1о ^ л=1 Ап,4 х"-1 + Л=1 Л= 1 оо 00 г? w = V ! 2 •5 ■8 . . . (3^ - 1 ) 1 + г , . ^ Л=1 Л-1 «О + г /1 ^ Д л , 5 ^ я- 1; л=1 249 + п hn и - (3я+2)1+ л-1 во оо + Г г„ ^ ё „,4х "- 1+ Г,, ^ С„,5**-», п = ko где а = В полученных . и _______ /0 [£/] выражениях (VI.76) 1 /0[О/Ч (VI.74) — (VI.76) коэффициенты Ап,и B n,i, Cn,i,A nti, B n i , Cn,i, An,i~Bn,u Cn,u зависят как от жестко сти самого здания, так и от жесткостных характеристик грунта ос нования по длине здания и их выражения приводятся в приложе нии VII. Для случая, когда сдвиговая жесткость стены бесконечно вели ка, функции А ( х ) , В ( х ) и С ( х ) , входящие в общее выражение (V I.35), принимают вид: оо Л (*)= ^ (*)= 1 + ^ ( - 1 ) '‘Л-1 оо Д(П 5^ - [ 1 - 6 - 1 1 . . . ( 5 Д- 4 ) ] + оо . + Г ^ Л л, 4 ^ + Г ^ Л л-2 л- 1 |!15 ^ ~ Ь В ( х ) - В ^ (л г)=д г+ "V^ ( — 1)” ~^г~~тгг~ [2-7 -12 . . . (5га—-3)]-fjimA (on + 1)1 Л=1 ео оо л—1 л-1 CW - F j* W = ^ + ^ ( - l) - - g ^ - [ S .1 0 .1 S ...5 ^ 1 + л« 1 оо оо •- . *■ (VI .77) л-1 Л-1 Как видно, все полученные решения представлены в быстросходящихся степенных рядах, и поэтому1 ограничение двумя-тремя членами каждого из рядов, входящих в расчетные формулы, обес печивает достаточную для практики точность расчета. 250 § VI. 10. Примеры расчета Ниже даются численные примеры расчета крупнопанельных зданий на просадочных грунтах, выполненные на основании приве денных выше расчетных формул *. Пример VI.1. Предполагается, что основание двухсекционного пятиэтажного крупнопанельного здания с жесткой конструктивной схемой может быть увлаж нено с торца. Длина здания 1 = 2 8 , 4 м. Приведенная изгибная жесткость здания, подсчитанная по рекомендациям СН 321— 65, составляет [£ /1 = 3 - 107 кН -м2. При веденная сдвиговая жесткость здания принимается бесконечной ( G F ( x ) = <»). Приведенная погонная нагрузка на фундаменты здания равна <7=715 кН/м. Коэф фициент жесткости основания k 0 —4 - 104 кН/м2. Ожидаемая полная просадка грунта, подсчитанная по существующей мето дике, равна S = 0,5 м. Длина участка, на котором проявляется просадка, по реко мендациям, §1 = 8 , 5 S, тогда р /= 8 ,5 ■0 ,5 = 4 ,2 5 м, где (3=0,15. Расчетная схема здания представлена на рис. V I.23, а. Изменение коэффи циента жесткости увлажняемого основания, как видно из рис. V I.23, а, в преде лах увлажняемой части здания изменяется по линейному закону, а далее остается постоянным, т. е. Задачу решаем на основе общей формулы (V I.34). Функции А ( х ) , В ( х ) и С ( х ) , входящие в эту формулу, в рассматриваемом случае определяются реше нием (V I.67). Неизвестные начальные параметры определяем по формуле (V I.40), подстав ляя в ней вторые и третьи производные от соответствующих функций (V I.6 7 ), Значения входящих в (V I.67) коэффициентов А п , В п и С п , взятых из приложе ния V, приведены в табл. V I.2. Т абли ца я 1 2 3 4 5 6 при вп — 354 6 -1 0 ~ 6 4 1 7 6 -10_ 6 — 1964-10” 6 4 6 0 -1 0 - 6 - 5 3 - 1 0“ 6 2 -1 0 А" (I) = - сп = 8 8 2 0 -1 0- 6 9 3 4 0 -Ю- 6 — 4 2 1 0 -1 0 - 6 6 6 0 -1 0 - 6 5 5 .1 0 “ ® —2 ,Ы 0 " 6 Значения вторых и третьих производных функций х=1= 28,4 м, следующие: А ’" (О = 2 ,4 4 3 8 ; V I.2 -1 3 2 9 0 - 1 0- 6 12 12 0 -10 ~ 6 — 3810•10 6 4 2 0 -1 0 -® 0 , 0 7 5 - 10_ 6 0 ,0 0 1 3 5 -1 0 А(х), В(х) и С(х) в (V I.67) — 1,9826; В" (О = — 3 3 ,2 9 4 ; В'" ( I ) = — 4 0 ,1 4 6 ; С " (I) = 1290; С'" (О = 3 1 3 ,5 . Подставляя последние значения вторых и третьих производных функций и С(х) при х=1 в формулу (V I.40), определяем начальные параметры: г/о==0,0307 м, 0о= — 0,00133 рад. А(х), В(х) * Приведенные в этом параграфе расчеты выполнены С. А. Ханалиевым. 251 Формулы для определения осадки, изгибающих моментов, перерезывающих •сил и интенсивности реактивных давлений грунта согласно (V I.43) имеют сле дующий вид: у (х ) = 0 ,0 3 0 7 .4 ( х ) — 0 ,0 0 1 3 3 В ( х ) + 2 3 ,8 3 - 1 0 -6 С ( х ) ; М (х ) = 3 -1 0 7 [0 ,0 3 0 7 / 1 " (х)— 0 ,0 0 1 3 3 £ " (х) + 2 3 ,8 3 - 1 0 -6 С " (* )]; Q { х ) = 3-107 [о ,0307А'" ( х ) — 0 ,00133В '" ( х ) + 23,83• 10 - 6С'" (jc)]; р ( х ) = k (дг)[0,0307/1 ( х ) — 0 ,0 0 1 3 3 5 ( х ) + 2 3 ,8 3 - 1 0 -6 С ( * ) ] . По этим формулам на рис. V I.23 построены эпюры осадок, изгибающих мо ментов, перерезывающих сил и реактивного давления грунта основания. Для г) д) Р(х), кН/м Р и с. V I.2 3 . К примеру расч ета V I. 1 сравнения на этих же эпюрах представлены (пунктиром) результаты расчета рас сматриваемой задачи, полученные Б. А. Косициным и Д . Н. Соболевым (1 9 6 7 ). Как видно из эпюр рис. V I.23, а — д, предложенный метод расчета дает ре шение на 7 — 10% экономичнее вариационного метода Лагранжа — Ритца и поз воляет без особого математического осложнения учесть все особенности расчета здания на структурно-неустойчивых при замачивании грунтах. Пример VI.2. Длина крупнопанельного жилого здания / = 3 0 м; приведенные изгибная и сдвиговая жесткости здания, подсчитанные по рекомендациям СН 3 2 1 — 65, соответственно равны [£ /] = 5 ,3 -1 0 7 кН •м2; [G£] = 2 ,2 5 - 106 кН; приведен ная погонная нагрузка на фундамент здания <7 = 6 -10 2 кН/м; постоянный коэф фициент жесткости основания k0= Z - 104 кН/м2; коэффициент неоднородности осно вания а = 0 ,4 . Принимаем, что увлажнение основания возможно с торца здания. Р и с. V I.2 4 . К примеру расч ета V I.2 1 что соответствует кососимметричному закону изменения коэффициента жесткости увлажняемого основания (рис. V I.24), т. е. k (х ) = а + Ьх 2+ ЗА0 (а — 1 ) где а = k0\ b = • с х 3, * 0 (а — 1 ) с = 4/з Задачу решаем на основе общей формулы (V I.3 4 ). Функции Л ( х ); В ( х ) и С ( х ) , входящие в эту формулу, в рассматриваемом случае, согласно (V I.35), опреде ляются решениями (V I.5 4 ), (V I.55) и (V I.5 6 ). Для расчета ограничимся двумя приближениями в этих решениях. Неизвестные начальные параметры у0 и 0о определяем по формуле (V I.4 0 ). Значения вторых и третьих производных функ ций А ( х ) , В ( х ) и С ( х ) при х = / = 30 м, входящих в (V I.4 0 ), следующие: А " ( 1 ) = - 0 ,0 0 9 5 ; А ’" ( / ) = 0 ,0 1 8 7 ; В " ( 1 ) = — 1,1478; В"’ ( 1 ) = — 0 ,0 2 0 9 ; С " ( /) = 160,93; С'" ( /) = — 1 8 ,0 7 . Подставляя эти значения в (V I.40), определяем начальные параметры, соот ветственно равные: у о = 0,0126 м; Оо=0,00148 рад. Расчетные формулы для определения осадки, изгибающих моментов, перере зывающих сил и интенсивность реактивных давлений грунтов имеют следующий вид: Й ( х ) = 0,0126Л ( х ) + 0 , 00148В ( х ) . + 1 ,1 3 2 - 10~5С ( х ); М ( х ) = 5 ,3 -1 0 7 [0 .0 1 2 6 Л " ( х ) + 0 ,0 0 1 4 8 В " ( х ) + 1,132- 1 0 -5 < Г (х )]; < ?(х ) = 5 ,З Д 0 7 [0 .0126Л '" ( х ) + 0 ,0 0 1 4 8 В '" (х ) + 1 ,1 3 2 -1 0 -5 С (л :)]; p ( x ) = k (х )[0 ,0 1 2 6 Л ( х ) + 0 ,0 0 1 4 8 В ( х ) + 1 ,1 3 2 - 1 0 -5 С ( х ) ] . На рис. V I.24 построены эпюры осадок, изгибающих моментов, перерезывая»щих сил и реактивного давления грунта основания без учета (сплошные линии) и с учетом сдвигаемой жесткости здания (пунктирные линии). В табл. V I.3 приведены значения осадки и изгибающего момента, вычислен ные в различных сечениях стены как без учета [ у( х ) , М ( х ) ] , так и с учетом [ у ( х } г М ( х ) ] сдвиговой жесткости стены. Как видно из рис. V I.24, учет влияния сдвиговой жесткости здания умень шает осадки, изгибающие моменты, перерезывающие силы и реактивное давление грунта. В рассматриваемом примере, как видно из табл. V I.3, учет влияния сдви говой жесткости здания приводит к уменьшению изгибающего момента в сред нем на 25— 30% . Влияние сдвиговой жесткости на величину изгибающего момен та, очевидно, может быть и большим, так как оно зависит от размеров увлажнен ного участка и от величины соотношения высоты к длине здания. Таблица X, м 0 6 12 18 24 30 У (х), м 1 ,2 6 -1 0 -2 2 ,1 6 -1 0 -2 3 ,2 4 -1 0 -2 4 ,6 1 -1 0 -2 6 ,0 5 -1 0 -2 7 ,0 6 -1 0 -2 М ( х ), кН-м У (х), м 0 1,2 5 -1 0 -2 2 , 12-10-2 3 ,1 7 -1 0 -2 4 ,5 2 -1 0 -2 5 .9 1 -1 0 -2 6 ,8 7 -1 0 -2 254 . 2 4 64,5 4 8 84,0 1662,6 — 8 9 0 2 ,4 0 V I.3 М ( х ) , кН-м 0 1872,8 3 6 14,0 1281,4 — 6 3 8 4 ,6 0 Пример VI.3. Сохраняя характеристики здания и основания такими.же, как и в предыдущем примере, поменяем лишь характер изменения жесткости осно вания при увлажнении. Предположим, что увлажнение основания здания происходите его торца, чему соответствует изменение коэффициента жесткости в виде квадратной параболы (см. рис. V I.12), т. е. к (х ) = а + Ьх2 , где а = ak0; Ь при х = 0 к 0 (1 — а ) /2 k ( х ) = а к0' > х — lj2 » х = I к ( х ) — ak 0 + k0 ( 1 — а ) -± к ( х ) = ka . Решение начинаем с определения начальных параметров уа и 0 О по форму ле (V I.4 0 ). Задачу решаем на основе общей формулы (V I.34), в которой функции А ( х ) , В ( х ) и С ( х ) в рассматриваемом случае, согласно (V I.3 5 ), определяются решениями (V I.48), (V I.49) и (V I.50). Для расчета ограничиваемся двумя при ближениями в этих решениях. Подставляя найденные значения вторых и третьих производных функций А ( х ) , В ( х ) и С ( х ) при х —1= 30 м в формулу (V I.40), определяем начальные параметры: г/0= 0 ,0 13 4 М; 0 о=О ,00157 рад. Расчетные формулы для определения осадки, изгибающих моментов и пере резывающих сил имеют вид: ^ ( * ) = 0 .0134Д (л:) + 0 ,0 0 1 5 7 В ( х ) + 1,1 3 2 - 1 0 -5 С ( х ) ; М ( х ) = 5 ,3 -1 0 7 [0 .0 1 3 4 Д " ( х ) + 0 ,0 0 1 5 7 В " ( х ) + 1,132- 1 0 -5 С " ( * ) ] ; Q ( х ) = 5 ,3 -1 0 7 [ 0 ,0134Д '" ( х ) + 0 ,0 0 1 5 7 В "' ( х ) + 1,132- 1 0 -5 С '" ( х ) ] ; р ( х ) = к (л :)[0,0134Л (л:) + 0 ,0 0 1 5 7 В ( х ) + 1,132- 1 0 -5 С (л :)]. На рис. V I.25, а — г по последним формулам построены эпюры осадки, изги бающих моментов и перерезывающих сил. Для оценки влияния сдвиговой жесткости в табл. V I.4 приведены значения осадки и изгибающих моментов как с учетом [у( х) , Л1 (х )], так и без учета [у (х ), М(х)~\ сдвиговой жесткости здания. Как видно из табл. V I.4, учет влияния сдвиговой жесткости здания приводит к уменьшению изгибающего момента в рассматриваемом примере в среднем на 20— 28% . Табли ца V I.4 Расстояние от левого торца здания дг, м У (X), М (х), 0 5 15 10 'У ( х) , М 7 ,4 2 -1 0 -2 7 ,1 0 -1 0 -2 5 ,8 6 -1 0 -2 4,4 8 -1 0 -2 У (X), м 7,9 5 -1 0 -2 7 ,4 6 -1 0 -2 6 ,1 2 - 1 0 - 2 М(х), кН-м 0 — 6 21 6 — 6395 М (х), кН-м 0 — 81 5 4 — 8 4 25 20 25 30 3,2 6 -1 0 -2 2 ,2 9 -1 0 -2 1,34-10-2 4 ,6 2 - 1 0 - 2 3 ,5 0 - 1 0 - 2 2 ,4 6 - 1 0 - 2 1 ,4 7 -1 0 -2 1036 1251 255 3344 2 65 9 0 4645 3366 0 Пример V I.4. Произведем расчет двухсекционного пятиэтажного крупнопа* нельного жилого дома жесткой конструктивной схемы длиной / = 3 0 м, возводи мого на просадочных грунтах II типа. Увлажнение основания здания предпола гается с его середины. Приведенные изгибная и сдвиговая жесткости здания соответственно равны: [£ У ]= 5 ,3 -1 0 7 кН -м2, [GF] = 2 ,2 5 - 106 кН. Приведенная по гонная нагрузка на фундамент здания <7 = 6 - 102 Н/м. Значение k0 примем равным 3 - 10 4 кН/м 2 и а = 0 ,4 . Рис. V I.25. К примеру расчета V I.3 Изменение коэффициента жесткости увлажняемого основания примем по сим метричному закону (см. рис. V I.19), т. е. к ( х ) = а х + а 2х + а%х2 , , ГДв Л \ — Kq\ 2 Л0 ( а — 1 ) U -2 — прих —0 к(х) = k0; » х = 1 к(х) — кр ( 1 А+ » х = 21 —L к {х) =k0. *0 (1 — а ) > #3 — 9 f я) Задачу решаем на основе общей формулы (V I.3 4 ); функции А ( х ) , В ( х ) и С ( х ) в рассматриваемом случае, согласно (V I.3 5 ), определяются решениями (V I.5 9 ), (V I.60) и (V I.61). Для расчета ограничиваемся двумя приближениями в этих решениях. Подставляя найденные значения вторых и третьих производных 256 функций А { х ) , В ( х ) и С ( х ) при x = L = 3 0 м в (V I.4 0 ), определяем неизвестные начальные параметры: у0 = 0,0174 м; 0 о = 0,00164 рад. В табл. V I.5 приведены значения осадки, изгибающих моментов и перерезы вающих сил без jyneTa [ у( х) , М { х ) , Q (x) и р(х)]_ и с учетом сдвиговой жестко сти стены [ у{ х) , М ( х ) , Q ( x ) и р ( х ) ] в различных сечениях здания. Т абли ца Изгибающие моменты, кН-м Прогибы, м Поперечные силы, кН V I.5 Реактивные давления, кН/м X, м У (х) 0 6 12 15 18 24 30 1 ,7 4 - 1 0 - 2 2 ,7 2 - 1 0 - 2 4 ,2 8 - 1 0 - 2 7 ,1 1 - 1 0 - 2 4 ,2 8 - 1 0 - 2 2 ,7 2 - 1 0 - 2 1 ,7 4 -1 0 - 2 У (-О М (х) 1 ,7 1 -1 0 - 2 2 ,6 7 - 1 0 - 2 4 ,2 2 - 1 0 - 2 7 ,0 0 - 1 0 - 2 4 ,2 2 - 1 0 - 2 2 , 6 6 - 1 0 -2 1 ,7 1 -1 0 - 2 2 384 8 217 11 154 8217 2 384 0 М (х ) 0 0 1902 6325 8510 6325 1902 0 Q( x) Q (х) 0 0 1475 526 1238 487 0 — 526 — 1475 0 0 — 487 — 1238 0 Р (X) Р(Х ) 522 502 544 853 544 502 522 513 493 537 840 537 493 513 На основании данных табл. VI.5 на рис. V I.26, а — д построены эпюры оса док, изгибающих моментов, перерезывающих сил и реактивного давления грунта . без учета (сплошные линии) и с учетом сдвиговой жесткости здания (пунктирные и/ Р(Х) Рис. V I.26. К примеру расчета VI.4 9— 724 257 линии). В этом примере учет влияния сдвиговой жесткости здания приводит к уменьшению изгибающего момента в среднем на 20— 25% . На этом же рисунке построены эпюры у ( х ) , М ( х ) , Q( x) и р( х ) для случая, когда основание увлажняется с торца здания. Нетрудно заметить, что при увлажнении основания здания с середины мак симальные значения изгибающего момента в среднем получаются на 25% боль ше, чем при увлажнении здания с торца. Это показывает, что при случайном увлажнении оснований зданий, возводимых на просадочных грунтах, наиболее опасным может оказаться также увлажнение здания с его середины, что соответ ствует симметричному закону изменения коэффициента жесткости грунтов осно вания. ГЛ АВА V II УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕСУЩ АЯ СПОСОБНОСТЬ ФУНДАМЕНТОВ ГЛУБОКОГО ЗАЛОЖ ЕНИЯ § VII. 1. Задача об устойчивости гибких фундаментов глубокого заложения при продольно-поперечном изгибе В последнее время при строительстве на просадочных грунтах чаще стали применяться различные конструкции гибких фундамен тов глубокого заложения, представляющие собой забивные или набивные сваи различных типов, различные виды длинных пусто телых фундаментов, шпунтовые стенки и др. Эти конструкции в общем виде могут иметь переменные по длине поперечного сече ния и прорезать несколько напластований однородных просадоч ных грунтов. Сопротивляемость этих грунтов оснований поперечным воздей ствиям, очевидно, так же как и фундаментов неглубокого заложе ния, будет изменяться в соответствии с закономерностями продви жения влаги при случайном увлажнении оснований. Поэтому в рас четной схеме коэффициент жесткости каждого прорезаемого конструкцией просадочного грунта становится переменным по глу бине (рис. V I I . 1). Функция жесткости E J (х) в зависимости от осо бенности изгибаемой конструкции может быть непрерывной по всей глубине опоры или же кусочно-непрерывной в пределах каждого прорезаемого ею слоя грунта. Характер функции k ( x ) , отобража ющей взаимодействие грунта с конструкцией, будет зависеть от многих факторов (от свойства и степени просадочности грунтов, особенности конструкции и ее загружения и др.), поэтому предста вить эту функцию в общем виде для всех встречающихся в прак тике случаев расчета пока еще не представляется возможным. В первом приближении для назначения вида функции k { x ) можно исходить из применяемых в расчетах свай на горизонтальную на грузку законов нарастания сопротивляемости грунта по глубине. В литературе встречаются различные предложения по данному вопросу. Так, например, в рекомендациях по расчету фундаментов глубокого заложения опор мостов (ЦНИИС, 1970) грунт рассмат ривается как упругая линейно-деформируемая среда, характеризу емая коэффициентом постели k ( x ) — mbx> 9* 259 где т — коэффициент, зависящий от свойства грунта, т/м4; х — глубина расположения точки от поверхности грунта. В работе И. В. Урбана (1939) коэффициент постели с учетом перехода грунта в состояние предельного равновесия на поверхности грунта принимается нарастающим с глубиной по линейному закону k { x ) = , k { x ) b = ^ ~ х, h где kh — коэффициент постели грунта в горизонтальном направле нии на глубине h. Линейный закон измене ния для k ( x ) принимается также в работах К. Хаяси (1930), М. М. Архангель ского (1952), М. Г. Мамедалиева (1955), А. Н. Снит ко (1968) и др. Исходя из экспериментальных данных на участке сваи от поверх ности грунта до первой ну левой точки, В. В. Миронов (1963) предлагает принять k (х)~- k ( x ) b = k0X х (я< 1), X А0 где ko — коэффициент посте ли на глубине ho; h 0—р а с Рис. V II. 1. Расчетная схема гибких фунда стояние от поверхности ментов глубокого заложения при продоль но-поперечном изгибе грунта до первой нулевой точки; п — эксперименталь но определяемый коэффициент, характеризующий степень разви тия в грунте пластических деформаций. На основании эксперимен тальных данных Риффат (1935) рекомендут принимать k { x ) — k { x ) b — k h { 1 — е~^), где k h — предельное значение коэффициента на глубине h ; |3— экс периментально определяемый параметр, учитывающий нелиней ность изменения сопротивляемости грунта по глубине. По данным опыта Риффата, р = 0,02. Воспринимаемое конструкцией внешнее воздействие в общем случае может быть сведено на уровне поверхности грунта верти кальной Р и поперечной нагрузкой Q0, а также моментом М0 (см. рис. VI 1.1). Расчет заглубленной в грунте опоры статически тож дествен расчету балки, свободно лежащей на сплошном упругом основании переменной сопротивляемости, находящейся под дейст260 вием приложенных на одном из концов поперечной нагрузки Q0 и момента Мо, а также продольной силы Р. В случае гибкого фун дамента с уширенной подошвой добавляются реакции упругого за щемления Подошвы в виде момента и поперечной силы (трение). Таким образом, согласно методу местных деформаций грунта, аналитическое решение задачи сводится к интегрированию извест ного дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба балки на упругом основании: £ . [ e s (x)J ^ + p j? s Jj°+ m i t = 0 . (V .I.1 ) Рис. V II.2. Расчетные схемы опор с различными краевыми условиями 261 Краевые условия в зависимости от особенности конструкции опоры и инженерно-геологических условий могут быть приняты в следующем виде: 1. Опора со свободными верхними и нижними концами (рис. VI 1.2, а ) : у{0)=Уо\ у '(о ) = б 0; [ E J (* ) у" (л)] |лг- 0= м 0; [E J (х) у" (л:)]'|.г- o = Q 0 — Р%\ [ E J (х) y"\\x=h= [ E J (х) у" ( j c ) ] V * = 0 . 2. Опора с жестко закрепленным подвижным верхним и со сво бодным нижним концами (рис. VI 1.2, б ) : У(О) = г/0; г/'(°) = ео= 0; [ E J (х) у" („v)]|,_о = - М 3; [ E J {х) у" (* )]'U - o = Q 0; [ E J (лг) у" (x)]\x„h= [ E J (х) у" (x)]'\x-h = 0. 3. Опора со свободным верхним и жестко закрепленным ниж ним концом (свая-стойка) (рис. VII.2, в ): У{0)=Уо\ у ' ( 0 ) = о о; [ E J ( х )у " (x)]U= 0 = М 0; [ E J {X)у"(x)]'lx- o = Q o - P e o ; y ( h ) = y ’ (h) = 0. 4. Опора с жестко закрепленным подвижным верхним и жестко закрепленным неподвижным нижним концами (свая-стойка) (рис. VII.2, г ): у ( 0 ) = у 0; У ' (0 ) = в 0= 0 ; [ E J (х)у"(х)]{х=0 = М 3; [ E J (х) t/"]'U=o=Q0; y (h )= y ’( h )= 0. Общее решение однородного уравнения ( V II .1), построенного методом последовательного приближения, согласно формуле (V.8), имеет вид Уп{х )= УоА (x )-{-M qC (.*)-{-Q o ^ M . (VII.2) где функции А ( х ) , Вх, Сх (V .9 ). и D (x ) определяются выражениями § VII.2. Уравнение устойчивости фундаментов глубокого заложения Задача устойчивости рассматриваемых конструкций будет за ключаться в отыскании значений «критических нагрузок», при ко торых уравнение (VII. 1) имеет нетривиальное решение, удовлетво ряющее возможным краевым условиям. Особый интерес при этом представляет наименьшая критическая нагрузка, значение которой 262 определяется из характеристического уравнения устойчивости рас сматриваемых конструкций. Последнее уравнение можно составить, исходя из общего решения (V II.2) однородного уравнения (VII. 1). В этом решении фигурируют два статических (Л10, Qo) и два кине матических (г/о, Эо) параметра. Из этих четырех начальных пара метров, как было показано выше при рассмотрении возможных краевых условий, два всегда заранее известны. Относительно оставшихся двух параметров составляются два уравнения исходя из условия на нижнем конечном сечении (по дошвы) конструкции. При этом получается система линейных уравнений, которая в отличие от случая центрального сжатия бу дет неоднородной, так как в нее войдут члены, не зависящие от искомых параметров. Эти члены неоднородных уравнений будут содержать лишь заданные статические параметры. Поэтому при любых значениях Р и h параметры у0, 0о не будут равны нулю и форма изогнутой оси конструкции определится однозначно. Ис ключение представляет случай, когда детерминант системы урав нений оказывается равным нулю. Так как детерминант полученной системы уравнений не будет зависеть от поперечных нагрузок (уИ0 и Qo), входящих лишь в свободные члены, то он обращается в нуль при том же значении силы Р, при котором происходит поте ря устойчивости центрально сжатых конструкций без поперечных нагрузок. Таким образом, условие появления бесконечно больших деформаций рассматриваемых сжато-изогнутых конструкций будет совпадать с условием критического состояния той же конструкции при наличии одной только центрально приложенной сжимающей силы Р (А. Р. Ржаницын, 1955). Приравнивая детерминант полученной системы, составленной из коэффициентов при неизвестных начальных параметрах, мы по лучим уравнение устойчивости для определения критических нагру зок (собственных чисел). Покажем ход решения практических задач. Очевидно, во всех рассматриваемых случаях для подошвы фундамента можно соста вить условия: М { h ) = [ E J (х)у " {x)]\x. h= 0; Q{h) = [ E J { х ) у п {х)\\x=h = 0. Если подчинить общее решение (VII.2) этим условиям, то отно сительно неизвестных начальных параметров у0 и 0О получим сле дующую линейную систему: y oA " ( h ) + 0 oB"(h)-\-M oC " ( h ) + Q oD " ( h ) = O ; yo[Aw(A )-fv 2A '(A )]+ 0o[ 5 w(A) + v ^ '( ^ ) ] 4 - A I o[ C - ( A ) + v 2C'(A)] + + Qo[D"'(h) + viD'(h)] = 0, Детерминант полученной системы, составленный из коэффици ентов при неизвестных начальных параметрах у0 и 0о, приравнива263 ем нулю: д= B "{h) В" (кО А" (А); A'"(h) + x2A '(h); В'" (h)-\-x2B' {h) откуда для определения критических нагрузок получаем следую щее характеристическое уравнение: A "(h) [В т ( h ) + v2B' (А)] - В" (A) [А'" ( А ) + v2А' (А)] = 0. (VII.3) Таким способом можно составить характеристические уравнения при различных краевых условиях рассматриваемой задачи. Так, например, для сваи-стойки (имеющей свободный верхний и жестко закрепленный нижние концы) уравнение устойчивости будет иметь вид (VII.4) A { h ) B ' { h ) - A ' ( h ) B { h ) = 0. Для проверки достоверности построенного общего решения (VII.2) из уравнения (V II.4), как частный случай, получим извест ную формулу критической нагрузки для центрально сжатого стерж ня постоянной жесткости с закрепленным нижним и свободным верхним концами. Произведя кратное интегрирование в (V.10) — (V. 11) с учетом А ( х ) = 0 и ф(х) = l/ £7= co nst, а также используя разложения sinvx и cosvx в степенные ряды, с помощью зависимо стей (V.9) можно установить: А ( А ) = 1 ; -A '(A )=0; B ( h ) = — sinvA; Z?'(A)=cosvA. Подставляя последние значения функций А (х ) , В (х) и их пер вых производных в (V II.4), получим cos vh = 0, откуда vA = y ( 2 r t + l ) (л = 0, 1, 2, 3 , . . . ) . (VII.5) Наименьшее значение vh, следовательно, и Р, удовлетворяющее уравнение (V II.5), получится при n=t0. Тогда откуда получим известную формулу критической нагрузки для рае сматриваемого центрально сжатого стержня в виде я 2E J 4№ Рассмотрим составленное М. Д. Джафаровым (1972) характе ристическое уравнение для трех характерных случаев изменения сопротивляемости грунта по глубине при постоянной жесткости фундамента: 264 1. Коэффициент жесткости грунта в пределах подземной части опоры остается постоянным, т. е. k ( x ) = k ( x ) b ( x ) = k hbp =>fi=const. Произведя многократное интегрирование в (V.10), (V. 11) для по стоянного значения k ( x ) = f c и используя разложения (V.12), после необходимых математических преобразований получим выражения для нахождения производных функций А (х ) и В ( х ) при x = h , вхо дящих в (VI 1.3): л-1 .1 Д » \ \ + а Л-1 I P (” + l ) ^ 2n+6 2 j { I дз У Ь р л - м . ] ( 2л + 6)1 л-1 . п'х \ ( 2л + 10)! ' Л-1 a nh i n ~ 3 ■«Ч + Ж-^ + «> 2 Л = 1 v 2/IA2ra+S (- + Л - 1 + д з у ( - 1)л+ 1 in + i W « h ^ ' (2л+9)! "д4" - 1 . ч п , л -1 жЧ + а ^ 1 x2nh2n~ i (2л— 1)! 1 л -1 , (п л- П v2” Д2л+3 ( _ 1 Г ■j " f f i J L - Ж~1 + д а^ л-1 tЛ ж Ч v 2nh 2n+1 ( - 1л + — 1 2л а 2л + 11 л-1 „ л л 4л— 2 Z T ( A ) + v*Z?'(A) = 2 ( - 1)" ^ 4 n - ^ r + g S Л-1 + Я> V ( п 4 - n V2nh.2n+e ( - р л1л J (1» ++ 11 ) V ) Л ^ J u [((2 л + 6)1 л —1 _ v 2n A 2n+2 ( - 1)л+^- ( 2л + 2) ! Л-1 жЧ ,л+ ! +. а оз Жу (/ __ 11)В+1 v2nh2n+10 V П tn 1 + ~ ( 2 л + 10)! я,1“ л—1 , где « = - ^ - 5 flTi = 3, 6, 1 0 , . . . ; 4 , 2 = 4 , 10, 2 0 , . . . EJ Ограничиваясь конечными членами в вышеприведенных сходя щихся степенных рядах и подставляя их в (V II.3), характеристиче ское уравнение задачи получим в виде следующего алгебраическо 265 го уравнения п-й степени относительно параметра v2: П 2 л д ^ ) ' = 0, (VII.6) /-о где т A 0= V ( - 1 ) V jr n fj0; At= V а/+1д4; 21 ( 4 / — Ji 2 )! ' i-i Л2 = У ( - I ? * - ' 2 tj i; 1 P 2 ! (4 y — 4 )! 51 ( 4 / — 3 )1 ’ ’ ^=i | - 1 ) г' Л ,= У ( - 1 Р - . ,n ; 21 (4 y — 2 )1 3 ' )= l 0 »; 7=1 Л4 = У ( - 1 ) ? « .— 4 Л 8~ У ( - 1 t,y . 41 ( 4 / 4 - 4 ) 1 J’ 5 7= 1 6 I ( 4 ^ + 4)I '• 7=1 a^+1AV+12 ( _ i y + i _ * — “------ tj 6;...; A 6= V 6 ’ 8 ! (4/ + 4)1 7= 1 г?Л1==0,33; 0,28; 0 , 4 8 ; . . . ; ^ д = 2,0; 0,80; 1,42; 3 , 6 3 ; . . . ; t} , 2 = 0,67; 1,36; 4,12; = 1,80; 1 9 , 3 5 ; . . . ; *y,3= l , 0 ; L0,35; 0,42; 2,04; . . . 5 6 . . . ; ti<t= 8,33; 112; 3 2 ; . . . ; ^ ,5 = 1,21; 3,29; 4 8 , 6 1 ; . . . ; (M = 0,66; 2,17; 1 6 , 4 4 ;. .. 2. Коэффициент жесткости грунта линейно возрастает с глуб ной, т. е. k ( x ) — k ( x ) b ( x ) = k h b p k h b px / h — khx/h. Раскрывая много кратные интегралы в (V.10), (V.11) для данного закона изменения k ( x ) и используя разложения (V.12), после необходимых преобра зований определяем выражения для значения производных функ ций А (х) и В (х) при x = h, входящих в (V II.3): X ’( k ) = У J m ( - 1)- ,+ а У (5 я 4 Л-1 J2/1 tj2n+& + a2 y 1 ( _ ! ) » _ ? _ * — 4 Л—1 ( 2 л + 8 )1 — 2 )1 ’ ~ w— « tnA+ a3V ’ ' Л'" (A )+ vM ' (A) = ^ _ ( - 1 ).* , - W H L + V Л-1 ( 2 л + -,2лд2л+13 (_i)»+i_L_* ' Л—1 3 )1 ~ 1 s+...; ( 2 л + 1 3 )1 ’ 1 ( - 1)» - 0 ^ - -3)1 ' ^ ’3 + Л -1 ^2я + 7 + “ sS ( - 1)“i S S , r (2" + 6 , + a ' S Л - 1 266 , ч и ,1 V 2" A 2” + l2 (~ ь --; , a nh 5 i- l B" « = ж Ч S <- 1 ) i £ 4 r ' " ' , + S /1—1 n=l n= 1 / 14» V 2nh 2n~ l ( ^ 1)" < *-■ > . ■ /1= 1 w-ч v2nh2n+ 14 Л—1 + *Я|7+ Л - 1 + a y ~ ( - i r . P " + 2) ^ » W + a . y (-l). (2 л + 3)! ' /1=1 ' ..2 / 1 * , 2 я + X.^1 vznh + a3 у ( _ i ) » + i - l - l ^ 1 ^ /„„ + (2 л + Л-1 8)! ’ ^ 13 (2л + 13)! 2 л=1 где a — - —^— ; 4 , s = l , -6, 6 6 . . . ; /д,4= 14, !24, 36,. . .; 4 ,5 = 248; hEJ 6 0 8 ; 1 2 2 0 , . . . ; 4 6 = 182, 360, 6 1 2 , . . . ; 4 7= 2, 14, 1 6 8 , . . . ; 4 s = = 6, 12, 2 0 . . . ; 4 э = 6 8 , 200, 4 6 0 , . . . ; 4 io= 1 1 2 0 , 4320, 12600,...; 4 , „ = 54,’ 132, 2 6 0 , . . . ; 4,12 = 952, 3200, 8 2 8 0 , . . . Подставляя конечные члены найденных сходящихся степенных рядов в (V II.3), после некоторых преобразований характеристиче ское уравнение задачи получим в виде алгебраического уравнения я - й степени относительно параметра v2: j£ £ .(v 2 )‘ = 0, 1=° 1 =0 (V II.7) где Д „ = У ( - |) ,/ + .'Д + ..1. д 1= у 31 (5 j — 2)! j-1 4 = > , i- i tn , 2 ! (5у — 4)! j-i /=1 ^ (_ !)/ / -■ }’ L/=l ( — i y + 1 — — [14! (5 ,/— 5)1 t j п ; 5 267 5 = 5 У j-i ( - 1 V ’ - - — ------------- 10! ( 5 / + 1)1 4,12; 1-1 t j , 7 = 0 ,5 0 ; 2 , 6 7 ; 4 9 , 5 0 ; . . . ; / Л8= 1 , 0 0 ; 4 , 2 9 ; 9 0 , 0 2 ; 9 5 5 5 ,0 0 ; . . . ; t j,9 — 1 0 , 0 0 ; 2 , 0 3 ; 1 6 ,8 6 ; 9 4 6 6 , 1 2 ; . . . 4 , ю = 2 1 , 0 0 ; 4 , 2 4 ; 1 2 ,3 6 ; 8 8 , 9 7 ; ^ , i i = 2 4 7 8 4 ,7 6 ; 4 7 6 , 6 7 ; 4 8 4 , 2 1 ; . . . ; *Л12= 1 3 ,7 0 ; 1 2 0 ,7 7 ; 5 9 1 0 , 6 6 ;...; tj, 13= 5 ,8 8 ; 1 8 6 ,8 0 ; 9 2 3 4 , 8 6 ; . . . 3. Коэффициент жесткости грунтовой среды изменяется с глу биной по нелинейному закону, т. е. k (х) = k (х) b (х) = - hj^ х 2— = Aft^-^-j2. Раскрывая многократные интегралы в (V.10), (V. 11) для заданного закона изменения k ( x ) и используя разложения ( V . 12 ), после необходимых преобразований определяем выраж ения производных ф ункций А (х ) и В ( х ) при x = h , входящих в уравнение (VI 1.3): Ж~"1 A "(h )= V ^ п п лбл—2 ( - 1)» - f L * ( 6 л — 2)1 л -1 I v2n h2n^ ( - 1 Д + 1 - 2—1 -------- [_ 4,13 + 2 а V ’ -Пл 1 ' л—1 v2 n h 2n+1° ( 2 л + 4)1 ^ , , 4 - а 2 ^ , ( — 1) • ---------------------- tn и "г 1 jS J V (2rt + 10)! ’ ‘ л -1 Ж"! V2n *2/1+ 16 + “* Ц < - 1)' +,+ Г П 5 Г <« + - ; л -1 Л '''И + v M ' ( * ) = 2 ( - » ” + л=*1 v^n tj^n+9 Ж~"1 л -1 ^ л -1 <«•»+ „2/ it 2/i+15 < - 1) W -4 л -1 Ln=l + Ж-"! ,л ^бл—1 + “ S 3 v2я д2л—1 л -1 (- ‘r ‘ w v2n h2n+5 V2n h2n+ll (*■ + »)» г)" Р " + ч » - ч V 2n л-1 268 д 2 л + 1 7 (V,L8> в (А)+ х2В' (Л) = > £ (- 1)» +18+ л=1 Ж 'ТЧ + 4 ^ »;2/г *-2л+4 ( - !)"« ж 'l , (2„ + 4), <.,* + 4 = 2 (■- 1)« (2„ +' Го)1- < . » + л -1 л-1 „2Л ,,2 я А 1 .2Л 2 Л+ + 1И 6 . + «3 ^ (_ 1 }л+1 (2 л + 1б)1 4 , 2 4 + . . . . п= 1 где a = k hjh 2E J ; 4 , 1 3 = 2 , 1 1 2 , 2 0 3 8 4 ; . . . ; 4 , 1 4 = 2 9 2 , 5 5 6 , 9 2 0 , . . . ; i n 15— 90464, 260 600, 610 200; 4 ,1 6 = 1 8 0 , 264, 3 6 4 , . . . ; 4 ,1 7 = + 70 080, 170136, 349 6 0 0 ; . . . ; 4 , i e = 2 1 , 1512, 317 5 2 0 ; . . . ; 4 ,19= = 2 6 , 68, 1 4 0 , . . . ; 4 ,2 0 = 3 2 9 2 ; 13900, 4 3 3 0 0 , . . . ; 4,21 = 986144, 5 7 3 9 9 4 4 , 1 8 925 9 4 4 , . . . ; 4 , 2 2 = 5 , 4 2 , 7 2 , . . . ; 4 ,2 3 = 1 7 8 0 , 10608, 2 9 4 0 0 , . . . ; 4 ,24= 668 624, 4 753 800, 13 186 ООО, . . . Подставляя конечные члены найденных выражений в уравнение (V II .3 ), относительно параметра v2 получим следующее алгебраи ческое уравнение я-й степени: . . 2 C i(v2)' = 0, (VII.9) г-о где V Г ° / 1\2i + +1А6Л'2 , 51 (6 у — 3)1 7= 1 . Л14’ j =1 т С ,- V 2 ^ j-i ( - 1)« ^ ' 1 У Л= 2 с «= 2 и/ 7=1 ' ' С - У г 6 4 ,14= 10,50; ^ 3 } ' * / + 1 * е /+ 1\ 66!! ( + } С ,= V 3! ( 6 ; — 3)! ++ 4 4)1 )i ^ ,ух1 - ( - 1)Л-> ^ с 1 V C c ss~ - 22 j f 77=1 =1 У +1А6/+14 Ю 1(6у + 4 )! “ , * W— 8! (6у — 6 )! i y ^ + 1^ {~ 11] . ’ ’ +12 ~^>т----------т д г 0 ’19’ . Л20’ - " ’ 213,81; 3 0 9 1 7 , 8 8 ; . . . ; 4 Д5= 8,00; 16,95; 11119,44 1 9 7 9 8 8 2 , 5 5 ;. .. ; 4 Д6= 2 , 0 0 ; 67,68; 92284,50; 1 2 2 7 0 7 2 9 0 ,7 6 ;... 4 , 17= 112,00; 24,35; 3870,79; 7 4 3 0 7 4 ,2 4 ;... ; 4,1 8 = 1 7 1 ,6 3 ; 59323,15 1 9 8 1 1 0 3 9 6 ,7 5 ;...; 4 ДЭ= 8 6 5 , 7 6 ; 1375143,48; 1 1 1 9 8 01 727 5,09 ;... 4 ,2 0 = И 3,45; 46586,95; 218090269,67; . . . Аналогичным способом строится уравнение устойчивости для случаев прерывных законов изменения жесткости грунтовой среды и изгибаемой конструкции. Так, например, если конструкция по стоянной жесткости со свободными концами находится в двухслой ной грунтовой среде с коэффициентами жесткости, линейно нарас тающими в пределах каждого слоя (рис. V II.3), то будем, иметь: ? (■*) = 'Pi = Ъ = V = — 7 = conbt; EJ ч /1 ^ 1 ,2 | ^2,1 kfi j -,/г k ( x ) = l Y■ —— x - T 1 и Ы ,\ ч (.Х - 1 ,) Рис. V II.4. Расчетная схема опоры со ступенчатым законом изменения жесткости Рис. V II.3. Расчетная схема опоры в двух слойной грунтовой среде Если же поперечное сечение конструкции по всей высоте состоит из двух участков, имеющих соответственно жесткости E J X и Е 1 2, а жесткость однородной грунтовой среды изменяется по линейному закону (рис. V II.4 ), то получим: 1 ? М = ? i + Г Й1 (с р 2 — < p i) = , „ + k{x]= JT г x=Jf / 1 а , ( El 2 1 E l I x- В обоих случаях для получения уравнения устойчивости рас крываются многократные интегралы в (V.10) и (V. 11) с учетом прерывных законов изменения функций ср(х), k { x ) . Используя раз ложения (V.12), определяется выражение производных функций А {х ) и В ( х ) при x = h , входящих в уравнение (V II.3). 270 \ ^ а к видно из (V II.6), (VII.7) и (V II.9), во всех рассматривае мых улучаях расчета определение продольной критической силы сводится к отысканию наименьшего положительного корня харак теристического алгебраического уравнения высшего порядка, име ющего вфд f \t) = cidn-\-CL1tri~ l -\-a2tn~2-j- . . . -\-ап—\t-\-a n— Q, где (V II.10) \ E J (h) Все существующие мето ды решения уравнения ( V I I .10), как правило, гро моздки по объму вычисли тельных работ, отнимают значительное время проектировщика-расчетчика и тре буют достаточно высокой их квалификации. Однако в настоящее время на воору жении проектных организа ций имеются различные ЭЦВМ, позволяющие со стандартной программой ре шать многие сложные инже нерные задачи, в том числе алгебраические уравнения высших порядков в очень короткие промежутки вре мени. Применение изложенной выше методики определения критических нагрузок к рас чету устойчивости буроза ливных свай, применяемых в основаниях морских гидро технических сооружений, осуществлено в работах М. Д. Джафарова (1972— Рис. V II.5. Конструктивная схема буро заливных свай 1973). В конструктивном отно шении бурозаливные сваи представляют собой металлическую трубу различного диаметра и длины, в полости которого устанав ливается анкер, состоящий из одного или нескольких кфнцентрично скрепленных металлических труб с различными типоразмерами (рис. V II.5). Вся полость анкера и его затрубное пространство за полняются цементным раствором. Жесткость этих свай может быть как постоянной (трубчатые сваи с ядром из цементного кам 271 ня или бурозаливная свая с анкером из одной металлической трубы), так и ступенчато-переменной (бурозаливные сваи с/анке* ром из нескольких труб). Пример V II.1. Одиночная бурозаливная свая длиной 15 м и постоянно» жесткости в однородной грунтовой среде состоит из металлической тфубы с на ружным диаметром 325 мм, толщиной стенки 6 = 1 1 мм. Жесткость свав £ / = 3 3 -1 0 3 кН -м 2. Внутренняя полость трубы заполнена тампонажрым цемент ным раствором МЗОО. В расчетной схеме соединение сваи к ростверку представ лено жесткой заделкой с возможным перемещением в горизонтальном направле нии. Свая на уровне поверхности грунта подвержена действию вертикальной силы Я = 1 4 4 0 кН и горизонтальной Q0= 4 9 кН. Свая нижним концом заглублена в мягкопластическую глину, прорезая относительно однородный просадочный грунт. Изменение коэффициента жесткости грунта по глубине с учетом вероят ности его увлажнения с поверхности грунта принято по параболическому закону k ( x ) = k h ( x / h ) 2. Значение коэффициента жесткости грунта на глубине x = h при нято равным £л = 36,44 МПа. Значение параметра а, входящего в выражения А"{ К) , А"' ( К) , В " (A), B " ' ( h ) , равно kh д = 3 6 4 4 0 0 ~№е Т = 1 52-33000 = 0 ’004Э ^ 6‘ Приближенное характеристическое уравнение для определения критической осевой нагрузки получаем из (V II.9), ограничиваясь здесь тремя последователь ными членами разложений cv. — 1934,6583 (v 2) 6 + 3 4 5 5 ,8 1 7 7 (v 2) 5 — 3085,9851 (v 2) 4 + + 2062,8828 (v2) 3 — 1186,4279 (v 2) 2 + 3 8 2 ,6 7 6 9 (v2) — 3 9 ,4 8 3 7 = 0 . Решение последнего уравнения на ЭЦВМ «Минск-22М» для наименьшего положительного корня дает значение \ ,2 = 0,1767 м~2. Продольная критическая сила при этом определится значением Р кр = v2E J = 0 ,1 7 6 7 -3 3 -1 0 ^ = 5 8 3 0 ,9 кН. Пример V II.2. Одиночная бурозаливная свая длиной 12,6 м и постоянной жесткости в двухслойной грунтовой среде состоит из металлической трубы диа метром 325 мм и толщиной стенки 6 = 1 0 мм. Внутренняя полость трубы запол нена тампонажным цементным раствором МЗОО. Головка сваи жестко заделана в ростверк. Известно: £ 7 = З Ы 0 3 кН -м2; Q0 = 54 кН; Р = 1 6 2 0 кН. Первый слой прорезаемого сваей грунта мощностью /i = 4,0 представлен про садочными лессовыми отложениями с включением тонкозернистого песка. Второй слой, простирающийся ниже подошвы опоры, составляет тонкозернистый песок с большим содержанием глинистых частиц. Коэффициенты жесткости грунтов с учетом вероятности их увлажнения с поверхности грунта приняты линейно на растающими в пределах каждого слоя грунта. В направлении горизонтального смещения сваи на глубине 1\ и h коэффициенты жесткости грунтов соответственно приняты равными: &i,2 = 2 ,8 МПа; k 2,i = 5,52 МПа; £ л = 17,40 МПа (см. рис. V II.3 ). Характеристическое уравнение (V II.3 ) и в рассматриваемом случае остается в силе. Значения последовательных производных функций A t ( x ) , B i ( x ) , входя щих в уравнение (V II.3 ), при x — h определяем из (V .9) путем многократного ин тегрирования (V .10) и (V . 1 1 ) функций; <j>(х ) = 1/ Е ! (x ) = k (x) = T ^ - ^ - x + Г* 1IEJ0 = const; , kh — A2,i *" + Л Г Г Г ( "J '4 Выполняя эти квадратуры с учетом свойства двусторонних прерывателей, согласно уравнению (VI 1.3), устанавливаем характеристическое уравнение рас сматриваемой задачи. Приближенное характеристическое уравнение для определения критической осевой нагрузки имеет вид: 1077814,34375 (v2)6 + 1656200,71875 (v2)5 + 2 10707,08984 (v2 )4 _ 272 у ~ 137103,21875 (v 2) 3 — 9 9 1 ,3 1 8 8 4 (v 2) + 96 9 ,4 3 3 3 0 (v 2)174,05278 = 0. Регйение последнего уравнения на ЭЦВМ «Минск-2 2 М» для минимального положительного корня дает значение v2= 0 , 219941. Продольная критическая сила при этом определяется значением: \ P Kp = v2fi/ = 0 ,2 1 9 9 4 1 -3 1 0 0 0 = 6 8 1 8 ,2 кН. Пример V II.3. Двухступенчатая комбинированная бурозаливная свая в одно родной грунтовой среде состоит из двух металлических труб. Первая диаметром 325 м и толщиной стенки 6 = 1 1 мм имеет длину подземной части 6 м, вторая — анкер с размерами 2 7 3 X 1 0 мм — установлена внутри первой трубы и имеет дли ну 15 м. Внутренняя полость анкера и его затрубное пространство заполнено тампонажным цементным раствором марки М300. Верхний конец рассчитываемой сваи имеет жесткую заделку с возможным перемещением в горизонтальном на правлении. В расчете приняты следующие данные: E J i = 54200 кН-м2; E J 2 = 19100 кН-м2; Р = 1820 кН;Н? = 81 кН. Коэффициент жесткости грунта принят нарастающим с глубиной по линей ному закону (см. рис. V II.4) k/tbp kh Свая на всю длину прорезает относительно однородную толщу лессового грунта и своим нижним концом опирается на мягкую пластичную глину. Коэф фициент жесткости грунта в направлении бокового смещения у низа сваи при нят kh = М р = Ю ,5 МПа. Выполняя многократное интегрирование в (V .10) и (V. 11) функций k(x)= kh Ч(•*) ~ Eг/ , ч= "7ГТ— + J (х) EJX х; ll \ E J 2 iH EJ с учетом свойств относительно протяженного прерывателя определяем вид функций F f n ( х ) , Ф £ (х ), ср ? мр ( х ), а по (V .9) — функции А ( х ) , В { х ) , С ( х ) и D { x ) . Д алее, вычисляя значения последовательных производных функций А ( х ) , В ( х ) , С ( х ) и D ( x ) при x = h согласно уравнению (V II.3 ), устанавливаем характеристическое уравнение задачи: 3 3 2 ,0 9 5 3 2 (v2)4 — 2 6 8 ,6 3 2 8 6 (v2)3 + 2 4 9 ,6 5 5 9 4 (v 2 ) 2 _ 3 ,7 1 6 6 9 (v 2) + 0 ,0 3 6 5 6 = 0 . Решение последнего уравнения на ЭЦВМ дает для минимального тельного корня значение v2= 0,914389 м-2 . Продольная критическая сила определится значением PKP= v 2E J ( h ) = v 2E J 2= 0 ,9 1 4 3 8 9 -1 9 1 0 0 = 17464,8 же задача решена для случая, когда оба конца сваи свободные. Здесь ская сила определена равной Р Кр = 9389,6 кН. положи при этом кН. Эта критиче § VII.3. Несущая способность висячих свай Существующие попытки создать формулы для определения рас четных сопротивлений свай в просадочных грунтах исходит из со ответствующих расчетных зависимостей, предложенных для Обыч ных непросадочных грунтов. Следуя этим принципам, ниже приво дятся некоторые соображения по уточнению существующей методики расчета несущей способности одиночных висячих свай. 273 / / Рассмотрим сваю, представляющую собой однородное не^еформируемое цилиндрическое тело с постоянным по высоте поперечным сечением, несущую в однородной грунтовой среде осевую' верти кальную сжимающую нагрузку. Грунты, прорезанные еврей, могут быть однородными по всей ее высоте или слоисто сложецйыми. Предельное сопротивление таких конструкций будет опреде ляться сопротивлением грунта разрушению под нижним ее концом и сопротивлением сдвигу по боковой поверхности ствола сваи и са мого грунта. Сопротивление трению будем определясь как сумму двух видов сопротивления сдвигу по боковым поверхностям сваи Рис. V II. 6 . Модели предельного равновесия под фундаментом глубокого зало жения: а — по Прандтлю, Рейснеру, Коко-Керизелю, Бисману, Терцаги; б — по Дебееру, Д ж аки, Мейергофу; в — по Березандеву, Ярошенко, Везичу; г — по Бишопу, Хиллу и Мотту, Скемптону, Янсену и Гибсону и смещающегося грунта при потере устойчивости грунтов основа ния вод острием сваи. Основой построения расчетной формулы будет служить инже нерная теория предельного равновесия грунта, определяющая ка чественную картину разрушения грунта в основаниях фундаментов глубокого заложения. Известно, что характер зоны разрушения (предельного равновесия) для фундаментов глубокого заложения существенно отличается от этих же зон для оснований фундамен тов неглубокого заложения. На рис. V II.6 показаны некоторые модели разрушения (зоны предельного состояния) для фундаментов глубокого заложения, полученные теоретическим путем разными авторами. Сопротивление грунта вертикальной нагрузке в основании рас сматриваемого столба будем определять как несущую способность фундамента круглого сечения. Следует отметить, что строгая тео ретическая формула для определения несущей способности основа ния круглого фундамента до сих пор еще не получена. Задача эта ввиду чрезвычайной математической трудности решена пока при ближенно только для некоторых идеальных грунтов. Так, например, для песчаного основания, исходя из приближенного метода реше 274 ния Осесимметричной задачи предельного равновесия, В. Г. Березанцейым получена формула средней предельной нагрузки. Путем использования результатов наиболее неблагоприятных опытов К. Терцаги для определения несущей способности основания круг лого фундамента предлагает следующую приближенную формулу: q o = h 3 c N e + y l N ' + O tG y r N r (VII. 11) r f l f i N c, N q n N v— коэффициенты несущей способности ленточных фундаментов, основанных на таком же грунте, определяемые из графиков рис. V II.7 в зависимости от угла внутреннего трения грунта. Для квадратных фундаментов с размерами поперечного (/>, град Рис. V II.7. Графики зависимости коэффициентов несущей способности основания ( N с , N q, N т ) от угла внутреннего трения грунта сечения ЬХЬ предельная удельная нагрузка на основании может быть определена по формуле К. Терцаги: q Q= \ , 3 c N c + y l N Q+ 0 ,4 y b N ,. Для грунтов рыхлых или значительно сжимаемых значения ко эффициентов N c, N g и Ny находят по кривым рис. VI1.7, -представ ленным в виде пунктирных линий. Для идеально пластических грунтов (ф = 0) значения коэффициентов несущей способности рав ны: N c = 5,7; Nq = l и Ny= 0. Тогда несущая способность основания круглого фундамента из пластического грунта определится в соответствии с формулой из (VII.11) выражением q 0= 7 , 4 l c + yl. (VII.12) Для определения несущей способности грунта по подошве ниж него конечного сечения сваи У. Дамбе и Р. Уитман (1969) предла гают использовать известную трехчленную формулу К. Терцаги: q0= c N c+ ^ - N i + y lN q. 275 (VII.13) / Однако при использовании последней формулы, справеддйвой для фундаментов неглубокого заложения, возникает необходимость ввести поправки в коэффициенты несущей способности. Коэффици енты несущей способности в формуле (VII. 13), как правило, уточ няются в зависимости от состояния грунта в районе пяты сваи и формы зоны предельного равновесия. Так, например, 'коэффици ент N q в формуле ( V II .13) принимается значительно выше, чем для фундаментов неглубокого заложения. Зависимость Nq от ф, по дан ным ряда исследователей, представлена на рис. V I I.8. Для легкодренируемых грунтов (песков) можно принять с = 0 и тогда формула (VII. 13) примет вид q b = . 2 L N , + y l N q. Учитывая, что значение \Ь (VII. 14) Ny по сравнению с ylNq невелико, последнюю формулу можно представить в более простом виде: Q o ^ y lN q . (VII.15) Для труднодренируемых грунтов (глина), принимая ф= 0, фор мулу (V II.13) можно представить в виде: q0= c N c + yl. (VII. 16) Следует отметить, что поскольку прочность грунта зависит от эффективного напряжения, то несущая способность сваи в увлаж ненных глинистых грунтах с течением времени существенно может измениться. Далее будем считать, что грунт, окружающий сваю, при действии на него осевой предельной нагрузки находится в состоя нии предельного равновесия. При этом кинематику разрушения грунта как в основании сваи, так и в зонах ее боковой поверхности будем принимать аналогичной расчетной схеме К. Терцаги. Соглас но этой схеме, грунты основания сваи под действием приложенной к ней внешней осевой вертикальной нагрузки после исчерпывания несущей способности стремятся кверху (рис. V II.9 ). Этому двусто роннему смещению противодействует не только вес вышележащих слоев грунта, но также трение по боковой поверхности сваи (т*) и касательные напряжения (то) по наружной границе 2—3 масси ва грунта, лежащего над кольцевой площадью. Эти напряжения окажут двоякое действие. Во-первых, они должны уменьшать общее давление на основание сваи и, во-вторых, они повышают вертикаль ное давление на единицы площади в горизонтальной плоскости острия сваи, как только грунты основания начинают смещаться вверх. В соответствии с принятой схемой разрушения основания под действием указанных выше касательных напряжений будет происхо дить уменьшение общего давления на основание сваи от действия нагрузки Q до величины Q1= Q — n dlxs. 276 Таким образом, если полное вертикальное давление в основании столба в момент разрушения грунта составляет qonr2, то нагрузка на столб Qo, включая и вес самого столба, необходимая для того, Рис. V II. 8 . Графики значений коэффи циентов несущей способности основа ния для фундаментов глубокого зало жения: Рис. V II.9. Расчетная схема ви сячей сваи (по Терцаги) 1 — по Д ебееру; 2 — забивные сваи по Меергофу; 3 — винтовые сваи по Меергофу; 4 — по Бринчхансену; 5 — по Коко-Керизелю ; 6 — по Березанцеву; 7 — по Скемптону, Янсену, Гибсону; 8 — по Везичу; 9 — по Бринчхансену; 10 — по Терцаги чтобы давление столба на грунт достигало его несущей способности, должна быть равна Qo= <7ол г2 + ndlxs или itd2 -n d lx . (VII. 17) Кроме того, появление касательных напряжений t s и то выше кольцевой площади 1—2 'будет повышать вертикальное давление на единицу этой площади с yl до более высокого значения yd, как только эта площадь начнет смещаться. Таким образом, если вес грунта выше кольцевой площади в при родном состоянии был равен Р = л [(n r f — г2] yl, 277 то после нарушения равновесия грунта этот вес определится'значением /\{п? — 1) лг2у + 2лг (т4+ пх0)}. Давление от последней нагрузки на единицу площади кольцево го сечения 1— 2 определится выражением Л-2 :/['у+ 2 - Х° + ПХ0 ] . L (л 2- 1) Г J Если ввести обозначение Yi = v + 2 * а-+ п х ° , (П2 — 1)г (VII. 18) V то интенсивность боковой пригрузки на уровне подошвы столба оп ределится значением q = yvl. Формула предельной нагрузки (VII. 17) с учетом значения (уД примет вид [ 1>ЗсЛ7с + ( у + 2 (^ " ^ г ) Ш я + 0,6yr 7VT- y j + Р пр= -\-7idtihQ. (VII. 19> Значение множителя п в ( V I I .19), согласно К- Терцаги, подби рается так, чтобы значение предельной нагрузки, получаемое из формулы (VII. 19), было минимальным. Для этой цели составляем условие: ДЛф = j g l dn 2 9 (л2— 1)2 ,-2 + ™°)+ n d lx ^ 0ш Отсюда для определения множителя п получаем следующее урав нение: п4- (2 + N q) п? - 2 т0 N „n + (1 - N „) = 0. (VII .20) Как видно из полученного уравнения, граница зоны разрушения грунта вокруг сваи, определяемая параметром п, зависит от проч ностных показателей грунта (с и ср), а также от силы трения и сцеп ления по боковой поверхности сваи. На рис. V I I . 10 по найденным из уравнения (V II.20) корням по строены графики для определения параметра п в зависимости o r значения отношения t s/ t 0 и угла внутреннего грунта. Интересно привести некоторые данные о размере внешней ци линдрической зоны, получаемой при разрушении грунта вокруг сваи. Согласно В. Г. Березанцеву, при глубоком погружении стерж ня в уплотненном основании происходит симметричный сдвиг грун та по поверхностям скольжения, заканчивающимся вблизи горизон тальной плоскости, проходящей на уровне начала конического» острия. Над этой горизонтальной границей области сдвига распо лагается сформировавшийся цилиндрический объем с радиусом 278 наружной границы в песках в пределах (2,5— 3,5) d, который бла годаря существенному уплотнению выделяется из окружающего грунта. Исходя из расчетной схемы В. Г. Березанцева условие оп ределения параметра п принимает вид п г = { 2,5— 3,5) d, откуда л = 5— 7. Значения этого параметра для песчаных грунтов (ф = 30°), согласно графикам рис. V II. 10, колеблются в пределах 5,58— 7,53, т. е. почти в тех же пределах, что и у В. Г. Березанцева. Для гли нистых грунтов значение параметра п получается несколько зани женным. Итак, подставляя найденное из графиков рис. V I I . 10 значение параметра п в формулу (VII. 19), можно определить предельную несущую спо собность висячих свай. Од нако при этом следует учесть следующее обстоятельство. Сопротивление сдвигу по бо ковой поверхности внешней цилиндрической зоны грунта 2 —3 существенно зависит от плотности — влажности грунта. Кроме того, это со противление ввиду местного значения зоны разрушения грунта в основании сваи бу дет использовано непол ностью. Согласно В. Г. БеРис. V II.10. Графики зависимости я = 1 (т,/то) резанцеву, при вдавливании цилиндрического стержня в песчаный грунт до относительной глубины I/d ~ 1,5— 2,0 грунт сим метрично сдвигается и выпирается вокруг стержня на поверхность. С увеличением высоты пригружающего слоя (I/d>2) характер деформации и смещений по мере внедрения стержня изменяется. Симметричный сдвиг грунта уже не может достигнуть поверхно сти, ввиду того что выдавливаемый из-под острия грунт проникает только в окружающий стержень массив и уплотняет его. При этом грунт выпирает внутри самого себя в зоне острия сваи и его раз рушение имеет локальное значение. В этих условиях, очевидно, касательные напряжения сдвига (то) будут возникать не по всей высоте цилиндрической поверхности 2—3, а лишь на некотором незначительном участке от ее основания. Степень использования касательных напряжений сдвига по внешней цилиндрической поверхности 2 —3 будет зависеть от отно шений I/d и t s/to; чем меньше отношение I/d и больше t s/to, тем больше будет использовано сопротивление сдвигу грунта по внеш ней поверхности 2— 3 в несущей способности сваи. Исходя из вышеизложенного, в расчетную формулу (VII. 19) вводим некоторый поправочный коэффициент k, учитывающий сте пень использования сопротивления то. С учетом этого коэффициен 279 та расчетная формула несущей способности сваи принимает вид (VII.21) P nP= Q i + Q 2 , где Q1= l , 0 2 c d W e+ 0,785 (у + 4 + 0 ,2355yfl?Wr — 0,785у zd 2l ; rf ) ^ 2N q + Q2= kn d n lx Q. Следует отметить, что сопротивления сдвигу xs и т0 зависят не только от вида грунта, но и метода установки сваи, который в зна чительной степени может влиять «а степень разрушения структуры грунта, величину нормального к оси сваи напряжения, а также на площадь контакта сваи с грунтом. В расчет, очевидно, следует вводить полное значение сопротив ления грунта сдвигу по боковой поверхности сваи t s, так как она не может погрузиться в грунт раньше, чем трение по боковой по верхности станет полностью эффективным. Что же касается сопро тивления грунта по наружной цилиндрической поверхности смеща ющегося массива то, то оно полностью определяется степенью уплотненности грунта и зависит от кинематического условия раз рушения грунта. Это сопротивление на поверхности 2—3 по мере удаления от поверхности грунта возрастает от нуля до своего мак симального значения. Используя результаты проведенных институ том «Гипроморнефть» натурных экспериментальных работ по> испытанию бурозаливных свай, М. Д. Джафаров установил, что» значение поправочного коэффициента k для свай, имеющих длину более 7 м, колеблется в пределах 0,1— 0,2. Касательное напряжение по наружной цилиндрической поверх ности 2—3 смещающегося массива грунта то в инженерных расче тах можно принять равным сопротивлению сдвигу грунта природ ного напряженного состояния при быстром сдвиге, полученном Hat срезном приборе. Сопротивление сдвигу по боковой поверхности сваи принимаем: равным среднему значению предельного сопротивления сил трени® слоев грунта, расположенных по наружной поверхности ствола? сваи, т. е. xs= f c v Величину /ср в каждом случае расчета определя ют по формуле х / 1^1 + / 2^2 + /з^з + •■• + f j h L (VII 221) J ср h x + h 2 + A3 + . . . + hi ' { где fi — нормативное сопротивление t-го слоя грунта по боковой поверхности сваи, принимаемое в зависимости от глубины располо жения слоев грунта и его состояния из соответствующих таблиц, действующего СНиПа; hi — толщина отдельных слоев грунта, прой денных сваей. Если сопротивление острия сваи определить по формуле(V I I .13), то расчетная формула несущей способности примет вид 280 Яй/2 пр- c N с+ Y+ 4 t j + knx.0 ( n 2 — \) d Ztf? + 0,5YaW T-Yc/} + (VII.23) -к.лс1п1%0. Для случая, когда свая своим острием упирается на легкодренируемые песчаные грунты, формула (V II.23) принимает вид р 1 пр — Яй!2 4 < № Л Г Т+ + (Я2 — l)d l N « - Yc/ (VII.24) В формуле (V II.24) в квадратной скобке значение первого сла гаемого, как правило, меньше по сравнению со вторым слагаемым, поэтому расчетную формулу для песчаных грунтов можно предста вить в виде : + ktlV0 l d 2N q— QCB-\-kndnl’t Q, (VII.25) Р пр= 0 , 7 8 5 [ у + 4 ^ (п 2 — 1 ) d где Qев — вес сваи. Для случая, когда свая упирается на труднодренируемые гли нистые грунты, расчетная формула принимает вид пр' nd? ( с -7. I Г.. I л i s + knxQ 5, 7c+ |v + 4(«2— 1) d Пример V II.4. Пусть требуется рассчитать несущую способность железобе тонной висячей сваи круглого сечения d =5Q см, длиной / = 1 0 м. Грунты представ ляют собой пылеватые пески с тонкими прослойками глинистых частиц, имеющих <р=30°; с = 0 ,0 0 4 МПа; у = 2 0 кН/м3. Значения коэффициентов несущей способ ности грунта при <р= 30° находим по графику рис. V II.7: /Vc = 3 6 ; N q = N ^ ~ 21, Д ля определения предельного сопротивления сил трения слоев грунта по наруж ной поверхности ствола сваи условно по высоте сваи разделяем на пять слоев, имеющих равную толщину Л, = 2 м. Для каждого слоя пылеватых песчаных грун тов из таблиц СНиП П -Б .5— 67 в зависимости от глубины слоя определяем: /i = 0,015 М Па; /2 = 0 ,0 2 5 М Па; / 3= 0 ,0 2 9 МПа; / 4= 0,034 МПа. Тогда по формуле (V II.2 2 ) будем иметь 0 ,0 1 5 -2 + 0 ,0 2 5 .2 + 0 ,0 2 9 -2 + 0 ,0 3 4 -2 2+ 2+ 2+ 2 = 0 ,0 2 7 М П а. Сопротивление сдвигу грунта в естественном его сложении определяем по формуле т 0 = с + ocpt g > = c + 0 ,5 y /£ t g < p . Принимая для рассматриваемого грунта £ = 0 ,4 , получим х0 = 0 ,0 0 4 + 0 ,5 - 2 0 - 1 0 - 0 ,4 t g 30° = 2 7 МПа. Из графиков рис. V II.10 при ф= 30° и ts : t0=1 определяем п —5,6. Принимая для поправочного коэффициента £ = 0,147, по формуле (V II.21) определяем несущую способность сваи; 0 ,2 7 + 0 ,1 4 7 - 0 ,2 7 - 5 ,6 1 10-0,52-21 + 1 ,0 2 - 0 ,0 4 - 0 ,5 2 .3 6 + 0 ,7 8 5 20 + 4 - (5,62- 1)0,5 + 0 ,2 3 5 5 - 2 0 - 0 ,5 3 .2 1 — 0 ,7 8 5 -2 5 - 0 ,5 2 - 1 0 + 0 ,1 4 7 - 3 , 1 4 - 0 ,5 - 5 , 6 - 1 0 - 0 ,2 7 = 7 9 6 ,7 2 кН . 281 § VII.4. Несущая способность свай в просадочных грунтах Свайные фундаменты в просадочных грунтах, как правило, ре комендуется применять в случаях, когда сваи полностью прорезают толщу лессовых грунтов с заглублением в непросадочный грунт. Это условие практически возможно удовлетворять в грунтовых ус ловиях первого типа по просадочности. Поэтому свайные фундамен ты за последние годы широко применялись в fi Н жилищном строительстве г. Красноярска, Рос* това-на-Дону, Краснодара, Горького, Кеме рова, Перми, Новосибирска и др. Рассмотрим несколько подробно условия работы забивных висячих свай в просадочных грунтах. В просадочных грунтах при забивке свай грунты уплоняются под концами свай как в глубину, так и в обе стороны. При этом вслед ствие уплотняемости грунт на некотором рас стоянии от сваи будет утрачивать свойства просадочности. По данным В. А. Зурнаджи, наибольшее уплотнение в обе стороны от сваи наблюдается в зоне, равной примерно d /З; оно остается довольно заметным на рас стоянии d. Сильно уплотненное ядро у острия сваи имеет радиус 2d и сходит на нет через (2,5— 3 ) 4 (рис. V I I . 11). Исследованиями, проведенными Е. С. И ва новым (1968) в натурных условиях, установле Рис. V II.11. Уплот но, что в сильнопросадочных лессовых грунтах ненные зоны в провокруг сваи образуются четыре зоны дефор садочном грунте маций. Первая зона толщиной 0,5—3 мм, об вокруг забивных свай (по В. И. Зур разуемая в виде тонкой пленки, тесно связана наджи) с боковой поверхностью железобетонной сваи. Вторая зона — зона переуплотненного грун т а — имеет толщину 0,8— 2 см; здесь плотность грунта достигает своего значения 17,2— 18,0 кН/м3. Характерно, что свая при загружении перемещается по контакту между первой и второй зонами, т. е. по контакту «грунт — грунт». В третьей зоне плотность грунта меняется от максимальной до конкретного значения плотности на границе просадочности. Плотность грунта в последней, четвертой, зоне по мере удаления от сваи постепенно уменьшается и доходит до значения природной плотности. Просадочность грунта в преде лах последней зоны сохраняется. Кроме того, размеры уплотнен ной вокруг сваи зоны в результате увлажнения увеличиваются. При этом существенно возрастает уплотненная зона на уровне по дошвы сваи и под ее острием. По данным Е. С. Иванова, размеры уплотненной зоны в ради альном направлении увеличиваются примерно в 1,34— 1,75 раза. Практически ценные результаты в указанных исследованиях были 282 получены по несущей способности одиночных висячих свай. Напри мер, установлено, что несущая способность железобетонных свай в сильнопросадочных грунтах после замачивания уменьшается в среднем для коротких свай (до 6 м) на 50% , а для более длин ных (свыше 10 м) — на 40%. Определение границы уплотненной зоны грунта вокруг ствола сваи имеет важное значение, в особенности при оценке несущей способности свай в просадочных грунтах. Приближенно толщину уплотненной вокруг сваи зоны можно определить по следующей схеме. При забивке (вдавливании) сваи с радиусом г в пределах ци линдрического объема ствола его естественная структура грунта полностью нарушается. При этом объем скелета грунта Ttf 2 у с— I будет перераспределяться в пределах некоторой 1 + ^0 зоны вокруг ствола сваи. Прибли женно эту зону можно принять в виде некоторого цилиндра. Таким образом, грунт будет уплотняться вокруг ствола сваи вследствие из менения объема пустот, который в каждом горизонтальном сечении грунта будет иметь одинаковое зна чение. В этом случае вытесненный стволом сваи объем скелета грунта будет заполнять пустоту грунта в Рис. V II.12. Расчетная схема пределах уплотненного цилиндра. уплотненной зоны грунта вокруг забивных свай Изменение объема пор в элемен тарном объеме, выделенном в пре делах уплотненной вокруг ствола сваи зоны, составит £о d V n~pd<fdpdz I Полное приращение объема пор в пределах уплотненной зоны будет определено выражением 2* 8 l+2d pdydpdz 0 г ч 1 + £о (VII.27) Изменение коэффициента пористости грунта при вдавливании сваи принимаем по линейному закону (рис. V I I . 12): в0 —' Ек Ь— г (9— г ), (VII.28) где ек — значение коэффициента пористости уплотненного грунта у ствола сваи; ео — коэффициент пористости грунта в природном сложении. 283 Подставляя формулу (V II.28) в (V II.27), для приращения объ ема пор грунта получим ео 1 + Е0 К„ = 2я(/ + 2Я) ^ а 1 + ( е0 Ек) Р а2 ек) Р + ( s0 — ■j Рdp, где а 1= *ЛЪ — г) — г ( в 0 — sK); r)-j-fl!j. а,2=(Ъ Раскрывая последний интеграл, после несложного преобразования для приращения пористости грунта получаем следующее выраже ние: 8— г i/„=2rt(/-{-2fi0(8 + 0 , 5 (5 — г) £0 — % ® (1 4- £к) — r (1 + 3о) (£0 — ек)2 , 1 + s0 1 + Ек 1 + Е0 In С другой стороны, согласно принятому допущению, ЛГ2 1 + Е0 v„=vK ■I. Из последнего равенства после несложных преобразований относи тельно радиуса уплотненной зоны получаем следующее квадратное уравнение: Л 0 (8/г ) * - Д ( 8 / г ) + Л 2= О , (VII.29) где 1 + £к 0 ,5 In Лп 1 + 30 ( Е0 — ек) 2 1 + «0 £0 ’ £0 — £к 1 + £0 0,5 + 1 + е0 ео — £к 2 + £0 + £к Jn 1 +■ Ек (е0 — ек)2 1 + ео 1г 1 + £о 2 (/ + Аг) v ео — £к ^ In 1 + £к 1 + еа Решая уравнение (V II.29) относительно б, для определения радиуса уплотненной зоны получим 8— ( А + У ^ Л ? - 4 Л 0Л2 ). (VII.30) В условиях сильнопроеадочных грунтов несущая способность одиночных свай существенно зависит от влажности окружающей среды. При естественной влажности прочностные характеристики лессовых грунтов не отличаются от характеристик обычных непро садочных грунтов, поэтому сваи имеют определенную несущую спо собность в соответствии с расчетными показателями сопротивляе мости грунтов. В случаях увлажнения свайного основания значения 284 прочностных показателей лессовых грунтов уменьшаются и в соот ветствии с этим существенно снижается несущая способность сваи. Закономерность изменения прочностных параметров просадоч ных грунтов и их сопротивлений сдвигу при повышении влажности имеет большое значение при рассмотрении вопросов оценки несу щей способности висячих свай. Действительно, в установленной выше формуле предельной на грузки для одиночных висячих свай (V II.21) основными парамет рами, определяющими сопротивление грунтов как по боковой по верхности сваи, так и на уровне ее острия, являются сила сцепле ния, угол внутреннего трения и сопротивления сдвигу грунта по двум вертикальным цилиндрическим поверхностям. Поскольку коэффициенты несущей способности грунта зависят от угла внут реннего трения, то, очевидно, значения и этих параметров, входящих в формулу критической нагрузки, будут уменьшаться при учете фактора увлажнения оснований. Таким образом, условия работы свай в увлажняемых просадоч ных грунтах должны существенно отличаться от условий его рабо ты в обычных грунтах. Поэтому при оценке несущей способности свай в просадочных грунтах необходимо учесть возможное увлаж нение грунтов оснований. При выводе формулы предельной нагрузки мы исходили из воз можности образования внутри грунта (в зоне острия сваи) поверх ностей скольжения как следствия повышения значения передавае мого на грунт давления. Из-за двустороннего выпирания грунта у острия сваи в расчетах принималось во внимание появление на боковой поверхности условной цилиндрической поверхности каса тельных напряжений, обеспечивающих дополнительное сопротивле ние сваи центральным нагрузкам. Однако, как показывают экспе рименты, при увлажнении просадочных грунтов образование в грун те областей выпирания маловероятно. Поэтому сопротивление грунта, определяемое выражением 4_ t - {xs -\-knx0) l d N q, в формуле предельной нагрузки (V II.21) для увлажняемых проса дочных грунтов можно принять равным цулю. Тогда несущая спо собность висячих свай без учета их собственного веса определится формулой Я „ р — F [1 ,3 N , (ш) с (со) + N q (ш) у (®) I + 0 ,6 7 V T (со) у (со) г ) + 2nrl%s (со), (V II.3 1 ) где jVc (со), Alg(co), Vv(co)— коэффициенты несущей способности просадочного грунта, зависящие от влажности; ts ( m), у(ш) — объ емный вес и сопротивление сдвигу просадочного грунта, зависящие от влажности. Таким образом, если исходить из переменности расчетных вели чин, входящих в формулу (V II.31), то можно установить законо 285 мерность уменьшения несущей способности висячих свай с учетом увеличения влажности грунтов основания. Согласно формуле (VII.31), будем иметь: № dPll?- = F + JV t^ dw dw + 0 ,6 r fy V dw /у J \ jy J i . dw dw dns dw aw J J dw Учитывая, что коэффициенты несущей способности зависят от угла внутреннего трения грунта, а последний, согласно эксперимен тальным данным, в свою очередь, зависит от влажности грунта, частные производные от Nc, Nq, Nv по влажности определятся вы ражениями: dN e _ dw <W C d<f d<f . dw dN a dNQ dtp dw df dw . dNg dN1 dw dtp B последнем и предыдущих выражениях производные dtp dw dC dw dtp и— dw могут быть вычислены графическим способом на основа нии установленных из эксперимента закономерностей изменения сцепления и угла внутреннего трения просадочного грунта от влажности. Аналогичным способом могут быть определены значения производных dNg dN с dN- ------- ,-------- и ------dtp dtp dtp на основании кривых, представлен- ных на рис. V II .7. Для приближенного определения численных значений коэффи циентов несущей способности и прочностных параметров увлажня емых просадочных грунтов, необходимых для определения предель ной нагрузки, можно использовать следующую методику. По данным лабораторных опытов на срезном приборе определяют сред невзвешенные значения угла внутреннего трения и сцепления проре заемых сваей просадочных грунтов при некоторых расчетных значе ниях влажности грунтов. Для оснований сооружений, в которых отсутствует мокрый технологический процесс, расчетная влажность ориентировочно может быть принята равной аур= шп+ 3% (гдег«п — влажность грунта на нижней границе пластичности, т. е. предел раскатывания). Для оснований гидротехнических сооружений расчетное значение влажности при определении параметров грунта может быть принято равным Yr Зная значения угла внутреннего трения грунта при расчетной влажности <р(дор), по соответствующим кривым (см. рис. V I I .7) определяют численные значения коэффициентов N c, Nq, Ny. Объем 286 ный вес грунта находят по формуле Y = 8 ( l - j - f f i > p). В качестве примера установим закономерности изменения вели чины предельной нагрузки на висячей свае для условий просадоч ных грунтов Мингечаура. Рассмотрим висячую сваю длиной /= 700 см и радиусом попе речного сечения г = 1 5 см. Средневзвешенное значение объемного веса скелета прорезаемых сваей грунтов примем равным 6 = = 14 кН/м3. При этих данных формула предельной нагрузки при мет вид Р пр= 9184,5с (да) N c [ср(да)] + 692,37 (1 + w ) N q [<р(да)] + + 8,9 (1 + да) N Jcp (да)] + 64940т, (да). ( VII.32) Определим предельную нагрузку при семи различных значени ях влажности грунта (до=|8, 12, 16, 20, 24, 28, 3 2 % ). Прочностные параметры и сопро тивления сдвигу грунта при рас сматриваемых значениях влажности, установленных по результатам со ответствующих опытов, на срезном приборе приведены в табл. VII. 1. Значения коэффициентов несу щей способности основания, входя щих в формулу (VII.32), для к аж дой влажности берутся в зависимо сти от угла внутреннего трения из соответствующих графиков рис. VII.7. В результате представляется возможность по формуле (V II.32) Рис. V II.13. Изменение пре установить закономерность измене дельной нагрузки на висячую ния несущей способности рассматри сваю в зависимости от влаж ваемой сваи в зависимости от вл аж ности просадочного грунта ности грунта (рис. V I I . 13). Как видно из кривой рис. V I I . 13, Т абли ц а V II.1 ~ ~ —1 ' 1 ' —----/ МПа, при давлениях, МПа Влажность, % 8 12 с, МПа 0 ,1 2 0 <р, град 39 26 23 20 0 ,0 7 5 0 ,0 4 0 0 ,0 3 4 24 28 32 0 ,0 2 0 2 0 ,4 0 ,0 1 8 0 ,0 1 6 2 0 ,2 16 5 = 0 ,1 о= 0,2 о = 0 ,3 0 ,1 9 5 0 ,2 6 0 0 ,1 8 0 0 ,2 1 0 0 ,1 2 0 0 ,0 8 5 0 ,0 5 2 0 ,0 4 8 0 ,0 4 1 0 ,0 3 8 2 1 ,6 19 ,3 287 ----—» 0 ,1 2 0 0 ,1 0 2 0 ,0 8 5 0 ,0 8 0 0 ,0 7 5 0 ,3 2 0 0 ,1 7 5 0 ,1 4 2 0 ,1 2 5 0 ,1 2 0 0 ,1 0 5 при естественной влажности просадочного грунта (ш = 8 % ) пре дельная нагрузка на висячую сваю достигает значительной вели» чины (Р пр= 1 4 0 0 кН). Однако при увлажнении основания по мере увеличения влажности грунта предельная нагрузка существенно уменьшается в начальный период увлажнения. Дальнейшее увели чение влажности грунта (в рассматриваемом примере начиная от 2 4 % ) не вызывает существенного изменения предельной нагрузки на сваю. По-видимому, в рассматриваемом случае при влажности грунта, равной 28— 32% , предельная нагрузка имеет наименьшее значение (Рпр= 2 5 0 кН), поэтому значения всех параметров грунта основания, входящих в расчетную формулу предельной нагрузки, должны быть определены при соответствующей критической вл аж ности грунта. § VII.5. Расчет просадки свайного основания Свайные фундаменты на просадочных грунтах рекомендуется рассчитать не только на несущую способность их с учетом возмож ного увлажнения основания, но также и на возникающую при этом деформацию (просадку). Ниже приводится методика инженерного расчета просадки основания висячих оди ночных свай, подверженных вертикальной осевой нагрузке. Пусть на одиночную висячую сваю дли ной I от веса сооружений передается вер ар тикальная осевая нагрузка Р (рис. V I I . 14). В общем случае внешняя нагрузка, воспри нимаемая сваей, будет передаваться по средством его боковой поверхности и острия ар (нижний торец сваи), которые создадут в окружающей грунтовой среде определен ное напряженное состояние. Часть внешней нагрузки, передаваемой в грунт по боковой 4 | L поверхности ствола сваи, следуя Н. А. Цытовичу, обозначим через а Р. Для упроще Рис. V II.14. Схема загру ния расчета предположим, что указанная жения грунтового масси ва вокруг висячих свай нагрузка по всей высоте сваи распределена (по Н. А. Цытовичу) равномерно. Соответственно другую часть внешней нагрузки, передающейся в грунт через острия сваи в виде сосредоточенной силы на расстоянии I от поверхности грунта, обозначим через рР. Помимо этих нагрузок напряженное состояние основания сваи будет обусловлено также действием собственного веса грунта. Таким образом, деформация основания сваи при увлажнении (просадке) будет вызвана одно временно действием всех трех видов нагрузок. При расчете про садки во внимание будем принимать только вертикальные состав ляющие нормальных напряжений (уплотняющую нагрузку), воз никающих в основании сваи от действия нагрузки а Р и рР. На288 пряженное состояние грунтов оснований сваи от рассматриваемых нагрузок будем определять, исходя из расчетной схемы сплошного линейно-деформируемого полупространства. Исходной формулой будет служить решение Р. Миндлина для действия сосредоточенной силы, приложенной внутри линейно-деформируемого полупростран ства. Вертикальное составляющее нормального напряжения, со гласно решению Р. Миндлина, имеет вид ( 1 - 2 ц )(у -А ) 8л (1 — (х) (1 - 2ц)(у - К) R\ 3 (,у — Д)з 4 4 3 (3 — 4[х) у ( у + А)2 — ЗА ( у + h ) ( 5 y — К) 30 h y ( у + Л)3 , (VII.33) 4 4 где h = l — глубина приложения сосредоточенной силы Р; у — коор дината рассматриваемой точки; 4 = [г2+ (у~ Л)2]1/2; 4 = [г2+ (у + Л )2]1/2, здесь г — расстояние (по горизонтали) от линии действия сосредо точенной силы до рассматриваемой точки. Согласно решению (VII.33), в точке приложения силы значение уплотняющего давления обращается в бесконечность, что не может быть воспринято реальной грунтовой средой. Такая же особенность решения теории упругости, как известно, отмечается в задаче Буссинеска о действии сосредоточенной силы, приложенной на поверх ность упругого полупространства. Для устранения указанной осо бенности решения Р. Миндлина необходимо путем интегрирования перейти от действия сосредоточенной силы к равномерно распреде ленной нагрузке. Однако в этом случае формула для о у приобрета ет значительно сложный вид и поэтому становится менее удобной в практических расчетах. Указанное обстоятельство вызывает необ ходимость аппроксимировать формулу нормального напряжения (V II.33) более упрощенной зависимостью. Наиболее удобные и практически приемлемые результаты получаются, если рассеива ние давления по глубине аппроксимировать экспоненциальной функцией вида { а'у = %е Ы1- у!1), (VII,34) где сто — уплотняющее давление в горизонтальной плоскости на уровне нижнего торца сваи. Зависимость (V II.34) справедлива для определения уплотняю щих давлений в пределах IsS^y^LH, где Н — мощность просадоч ного слоя грунта. В формуле ( V I I .34) коэффициент k\ зависит от нормального давления о у, приложенного по оси сваи на расстоянии Н от поверхности грунта, и выражается зависимостью 10— 724 289 где (Ху=н согласно формуле (VI 1.33) определяется выражением °у=н рР (1 — 2|л)(Я — /) 2 (? -(i) ( Я + /)з (Я -О 2 8 л ( f i— 1) 3 (3 — 4[л) Я ( Я ■ 0 — 3 / ( 5 Я ■ ■/) — ЗОЯ/~ ( Я + /)4 Если исходить из эквивалентности просадки состоянию предель ного равновесия грунта, то коэффициент бокового расширения грунта в последней формуле можно принять равным 0,5. Кроме того, если воспринимаемая сваей внешняя нагрузка становится предельной, т. е. свая достигает несущей способности, то можно принять $P = aoF. Тогда последняя формула примет вид Zy-H- 3 Я ( Я + 6/ ) + Я 4я К Я -/ )2 (VII.3 5 ) (Я + /) 4 Распределение уплотняющего давления от действия равномер но распределенной нагрузки т3 ниже торца сваи определится фор мулой Iа' = т, J (V II.3 6 ) о где т3— удельное сопротивление сдвигу грунта по боковой поверх ности сваи. Значение коэффициента Аг определяется выражением ко— - 0 ,5 / 0 ,5 /— Я ■In- где 3y-H z Зт 32я rl 4я Я ( Я + 31) + (/ 2)2 [< ^ 7 7 2)2 ( Я + //2)4 Таким образом, для определения просадки основания одиночной висячей сваи потребуется построить эпюры сжимающего давления от трех видов нагрузки (рис. V I I . 15). Исходя из формулы (V II.34) строится эпюра давления от на грузки под торцом сваи qo—'Oo (кривая 1). По выражению (VII.36) строится эпюра от действия нагрузки t s (кривая 2). Третья эпюра строится от действия собственного веса грунта (прямая 3). Все указанные эпюры соответственно складывают и определяют результирующую эпюру от совместного действия всех видов на грузок (кривая 4 ). Исходя из нелинейной связи между относитель ной просадкой и уплотняющим давлением [см. формулу (111.2)5 просадка свайного основания определится общим выражением i н г 1 S c= 1 Ро {yy)m°dy + ] Ро OqeMi-if/O + T, j” 0 yy ~лт° dy.. Раскрытие последних интегралов приводит к весьма сложным вычислительным работам, поэтому просадку свайного основания вычисляем по формуле (1.3). Для этого в пределах всей просадочной толщи результирующую эпюру напряжений разбивают на от дельные слои толщиной hi в соответствии с литологическим разре зом. При этом изменение суммарного давления в .пределах каждо го выделенного слоя hi не должно превышать 0,1 МПа. Зная относительную просадочность каждого слоя грунта, возможную величину просадки свайного основания можно определить по фор муле П 5 = 2 1 8п М * . (V II.37 ) где п — число обжимаемых слоев грунта в пределах от I до Н; т — коэффициент условий работы свайного основания. Суммирование по формуле (V II.37) произ водят в пределах всей просадочной толщи до среднегодового уровня грунтовых вод или до кровли слоя грунта с относительной просадочностью fnp ^ 0 ,0 1 при давлении о*. Для прогнозирования просадки основания одиноч ной висячей сваи возможен и следующий спо соб. Сопротивление грунта основания в пло скости острия сваи принимается равным нор мативному давлению (RH), определяемому в зависимости от глубины забивки сваи, вида и состояния грунта из соответствующей таб лицы *. Сопротивление грунта основания по боко вой поверхности сваи принимается равным нормативным нагрузкам (fH) и значение его, так же как и /?в, определяется из соответст вующей таблицы указанного руководства в зависимости от средней глубины расположе Рис. V II.15. Эпюры ния слоя грунта, вида и состояния! грунта ос напряжений в осно вании висячих свай нования. Для определения просадки свайного осно вания строят результирующую эпюру распределения уплотняю щего давления в нижележащих от острия сваи слоях грунта от следующих трех видов нагрузки: а) от нормативного сопротивления грунта основания в плоско сти острия сваи о '= ^ * , ( 1 - ^ / 0 ; ( V I I . 3 8) * Руководство по проектированию свайных фундаментов зданий и сооруже ний, возводимых на просадочных грунтах. М., 1968; Сваи и свайные фундамен т ы /Я . С. Метелюк, Г. Ф. Шишко, А. Б. Соловьева, В. В. Грузинцев. Киев, 1977. 10* 291 б) от нормативного сопротивления грунта по боковой поверх ности сваи i а’ = J /4e».d-v/4)rfTl; (VII.39) о в) от действия собственного веса грунта т ( v h .40) г- i где hi — толщина t-го слоя грунта, соприкасающаяся с боковой по верхностью сваи. В формулах (VI 1.39) и (VI 1.40) коэффициенты k { и k 2 опреде ляются выражениями: kl= — L In Я k2= - ° ’5/- 0, 51 — H In f н " /cp где fi Cp — среднее значение нормативного сопротивления грунта по боковой поверхности сваи: ,н + f\h 2 + J i cp— - h\ Ar h 2 a'y=r-H— уплотняющее давление грунта от нормативной силы: 1у~Н~ ЗЛ н^ ср г 4Я ... + f \ h n . Ar h n на подошве просадочного Я ( Я + 6 / ) + /2 1 L ( Н — 1)2 1 ( Я + /)4 слоя (VII.41) о у—н — уплотняющее давление на подошве просадочного слоя грунта от равнодействующей нормативных сил сопротивления грун та по боковой поверхности сваи Т (Т = 2nr'Zhif i) , определяемое вы ражением 3Т Зу~Н — ~~ 4я Я ( Я + 3 /) + ( Я 2)2 ( Я — //2 )2 1 ( Я + //2 )4 (VII.42) Для определения ожидаемой просадки свайного основания ре зультирующую эпюру в соответствии с литологическим разрезом разбивают на отдельные слои /+ Зная величину относительной просадочности каждого слоя грунта основания, по формуле (V II.37) вычисляют ожидаемую просадку свайного основания. Ко эффициент условий работы m вводят в расчет для корректировки результатов компрессионного определения относительной просадо чности грунта и фактической величины просадки основания одиноч ных висячих свай. Если исходить из предположения об одномерно сти деформаций основания одиночных' свай в лессовых грунтах при их увлажнении (без выпора), то в первом приближении m можно принять равным единице. Однако можно предполагать, что 292 расхождения между расчетными и фактическими величинами про садки неизбежны, поэтому действительное значение коэффициен та т следует определить из результатов соответствующих экспери ментальных исследований. Пример V11.5. Пусть требуется прогнозировать величину ожидаемой просад ки основания одиночной висячей железобетонной сваи круглого сечения, имеющей г = 1 5 см и длину 1 = 6 м при предельной для данной сваи нагрузке. Мощность однородного просадочного грунта равна Я = 20 м. Объемный вес грунта основа ния у = 1 5 ,6 кН/м3. Грунтовые условия II типа по просадочности; средневзвешен ные значения прочностных параметров грунтов основания определены равными ~т в Ф= 25°; со = 0,1 МПа. Расчетные характеристики деформируемости грунтов осно вания равны р0= 0,0066 МПа и т 0= 1 ,1 5 . Средняя пористость грунта равна п = 49% . К расчету деформации свайного основания приступаем с построения эпюры сжимающих нормальных напряжений в тринадцати точках основания, располо женных по оси сваи. Ординаты указанных точек приведены в табл. V II.2. ВнаТаблица № точек Ординаты / ау - °у - °у + точек 1 2 3 4 5 6 7 1 .4 1 .6 1 .8 2 ,0 2 ,2 8 2 ,4 9 2 ,6 2 ,8 10 11 12 13 мш У-1 1 .0 1 .2 0 МПа МПа 1 ,0 0 0 0 0 1,5540 0,0935 0,4 7 5 0 0 0 ,2 1 5 0 0 0,09600 0,0 4 7 0 0 1 ,2 1 0 0 0 ,1 1 2 2 0 ,9 4 2 0 0,7430 0 ,5 9 0 0 0 ,4 6 7 0 0 ,3 7 5 0 0 ,2 9 7 0 0 ,2420 0 ,1960 0 ,1 5 7 0 0 ,1 2 7 0 0 ,1150 0 ,1 3 1 0 0 ,1500 0,1685 0,1872 0,2040 0 ,2 2 4 2 0 ,2427 0 ,2620 0 ,2 8 5 0 0 ,3 0 0 0 0 ,3120 0 ,0 2 1 0 0 0,00960 0,00430 0 ,0 0 2 10 0 ,00094 0 ,00044 3 ,0 3 ,2 3,3 3 V I 1.2 п аУ - 0 ,0 0 0 2 0 0 ,0 0 0 1 2 + ° " у + ° бМПа 2 ,6475 1,7972 1,2880 0 ,9 8 9 0 0,8055 0,6752 0,5886 0,5255 0,4868 0,4589 0 ,4424 0 ,4272 0,4 2 7 1 1 чале вычисляем нормальное напряжение в указанных точках основания от дей ствия нормативного сопротивления грунта на острие сваи по формуле (V II.38). Нормативное сопротивление грунта основания в плоскости острия сваи в зависи мости от пористости грунта ( п = 49 % ) и глубины забивки сваи (1 = 6 м) прини маем равным /?н = 1,0 МПа*. Для определения коэффициента ki предварительно вычисляем сжимающее напряжение в подошве просадочного слоя грунта основания от действия норма тивного давления R B по формуле (V II.41): 3 - 1 0 - 3 ,1 4 ( 1 5 ) 2 г Су - Н ~ 4 - 3 ,1 4 2000 (2000 + 6 -6 0 0 ) + 60Q2 1 1 [(2 0 0 0 — 6 0 0 )2 + (20 0 0 + 600)4 J~ = 1 ,2 6 -1 0 - 4 М Па. * Сваи и свайные фундаменты / Н. С. Метелюк, Г. Ф. Шишко, А. Б. Соловь ева, В. В. Грузинцев. Киев, 1977. 293 6 * ,= 6 — 20 Окончательная формула для построения эпюры сжимающих напряжений в основании сваи по его оси от нормативного сопротивления грунта основания в плоскости острия сваи будет иметь вид: По данным табл. V II.2 на рис. V II.16 построена эпюра нормального напря жения о / . Р | | "У Рис. V II. 16. К примеру расчета V II.5 Вычислим нормальное напряжение в указанных точках j основания от дей ствия нормативного сопротивления грунта по боковой поверхности сваи по фор муле (V II.39). Нормативное сопротивление на боковой поверхности сваи для просадочного грунта берем из табл. II 1.41 справочного пособия (см. сноску на с. 293) в зависи мости от пористости грунта и средней глубины расположения слоев. При этом длину сваи разбиваем на три участка: / f = 0 ,0 0 5 МПа; / ^ = 0 ,0 0 6 МПа; / f = 0 ,0 0 7 М Па. Среднее значение нормативного сопротивления грунта по боковой поверхности сваи определяем выражением f i h + f i h + f z lз J ср 0 ,0 0 5 -2 + 0 ,0 0 6 -2 + 0 ,0 0 7 -2 2 + 2 l \ + h + /3 = 6 0 0 -1 0 -5 М П а. 294 + 2 Для определения значения коэффициента ние a y = fjtto формуле (V II.42): 3 - 6 - 2 - 3 , 1 4 -0 ,1 5 -6 г"-я 4-3,14 1 _ (20 — 3)2 предварительно вычисляем напряже 20 (20 + 3 -6)+ 32 (20 + 3)* : 5,10-10-6 МПа. Тогда / ° ', „ я к2 = ---------------- In — у — 2 1-2И J ср б 5 ,1 0 -1 0 -5 = ---------------In —2— ‘-------------- = 6 -2 -2 0 6 0 0 -1 0 -5 0 ,8 4 6 . ; Окончательная формула для определения нормального напряжения в осно вании от нормативного сопротивления грунта по боковой поверхности сваи будет иметь вид (М П а): I ff’ = 0,006 j* е0’846^ - ^ ^ о Для каждого значения у, приведенного в табл. V II.2, последний интеграл будем вычислять приближенно по методу Симпсона. Разбивая отрезок интегрирования на шесть равных участков, определяем г): Г|о = Э; r|i = 10 0 см; г)2 = 200 см; т)3 = = 300 см; т]4= 4 0 0 см; г)5= 500 см; г|5= 6 0 0 см. Согласно методу Симеона, можно составить выражение I z = 0 , 0 0 6 Г е 0’846( 1 ^ /Т|)йт1 = 0 ,0 0 6 у J 1 о 4- 6 -3 { е о , т ( 1 - у / ъ ) + е о , т ( 1- у М + 2 (е° ’846П—V/ri>) + e 0,M6(l-y /r]4)j + 4 ^ 0 ,8 4 6 ( 1 - ^ 4 + е 0,84б(1-у/ч>) + +e0,846(l-y/Tl5)j[_ Значения напряжений о у", вычисленные по последней формуле, приведены также в табл. V II.2. Согласно этим данным на рис. V II.16 построена эпюра на пряжения а у". Напряжения от собственного веса грунта для различных глубин приведены также в табл. V II.2. Результирующая эпюра напряжений от совмест ного действия трех видов нагрузки, построенная по данным последней колонки табл. V II.2, приведена также на рис. V II.16. Расчет относительной просадки при различных значениях действующих в основании напряжений производим по формуле 8 п = Р0чш° = 0 ,6 0 6 6 а 1’15. Данные для расчета просадки основания сваи приведены в табл. VI 1.3. Абсолютная просадка основания, согласно данным в табл. VI 1.3, определится значением ' 5 = 12 Д5/ = Д 5 1 - р Д 5 2 + . . . -р Д ^ 12 — 7 , 8 4 4 с м . Помимо подсчитанной величины деформации свайного основания просадка будет возникать также от действия собственного веса грунта в пределах глубины загру жения сваи. Оценим величину этой просадки. Просадка от действия собствен ного веса грунта возникает начиная с глубины, определяемой по формуле Мп:_ \i/m0 1 ( 0,01 0,01 у ' ~ Y I Ро / 295 Таблица № точек 1 2 3 4 а 6 7 8 9 10 11 12 13 Действующее напряжение, а, МПа Среднее напряже ние Относительная ’ ;+V+i просадка 5 ср 2 МПа 2 ,6 4 7 5 1,7972 1,2 8 8 0 0,9890 0 ,8 0 5 5 0 ,6752 0 ,5 8 8 6 0 ,5 2 5 5 0 ,4 8 6 8 0 ,4589 0 ,4 4 2 4 0 ,4 2 7 2 0,4271 2 ,2 2 2 4 1,5 4 2 6 1,1385 0 ,8 9 7 2 0 ,7 4 0 3 0 ,6319 0 ,5 5 7 1 0 ,5 0 6 1 0 ,4728 0 ,4 5 0 6 0,4348 0 ,4 2 7 2 0 ,0 1 6 5 0 ,0108 0 ,0076 0,0058 0 ,0047 0,0040 0 ,0 0 3 4 0 ,0 0 3 0 0 ,0028 0 ,0026 0,0025 0 ,0025 Толщина слоя ft, см V I I .3 Абс олютная просадка Д5:-, см 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 1 ,980 1 ,296 0 ,9 1 2 0 ,6 9 6 0 ,5 6 4 0 ,4 8 0 0 ,4 0 8 0 ,3 6 0 0 ,3 3 6 0 ,3 1 2 0 ,3 0 0 80 0 ,2 0 0 Подставляя значения входящих в эту формулу величин, получаем il/п — ’ 1 0 ,00156 / 0,01 \УЫ5 \ 0 ,0 6 6 / = 1 2 4 , 3 6 см. Так как ya<Ll, то к полученной просадке основания следует добавить про садку слоя грунта I — г/п= 473,64 см, начиная от г/п= 124,36 см и до 1 = 6 0 0 см. Пример VI 1.6. Пусть требуется прогно зировать величину ожидаемой просадки основания свайного фундамента под сбор ную железобетонную колонну сечением 4 0 X 6 0 см. Свайный фундамент состоит из четырех железобетонных свай марки С7-25. Каждая свая имеет длину /j = 7 ,0 м, сечение 2 5 X 2 5 см, вес <7 = 1 1 кН, бетон марки 200, арматуру 4Ф12 A -II. Глубину заложения ростверка принимаем Ар = 1,6 м. Ростверк из бетона марки 200. Мощность однородного просадочного грунта равна # 1 = 15,4 м. Объ емный вес грунта основания у = 1 5 ,6 кН/м3. Грунтовые условия второго типа по про садочности. Средневзвешенные значения прочностных параметров грунтов основания' определены равными: q>= 24°; С = 0 ,1 М Па. Расчетные характеристики нелинейной де формируемости грунтов основания равны: Р о=0,12 М П а- т о и /и0 = 1 .2 . V I I .6 Расчет по деформациям — просадкам свайного фундамента из висячих свай и его основания производим как для условного фундамента на естественном основании. Расчетная схема условного фундамента представлена на рис. V II.17. Как видно из расчетной схемы, площадь подошвы услов ного фундамента определяется выражением 296 Таблица . Расстояние от подошвы рост верка у, см № точек МПа У 3 4 5 6 7 — ТЛ, У МПа а ,.= о ' + а ' , У у у МПа 0 ,1 3 8 8 0 ,1 5 4 4 0 ,1 7 0 0 0 ,1 8 5 6 0,2 6 5 1 0 ,1 5 7 6 0 ,0 9 4 6 0 ,0 5 8 6 0 ,0 3 4 8 0 ,0 2 0 7 0 ,0 1 2 8 730 830 930 1030 1130 1230 1330 1 2 а о ' ~ £ н е*1 Н -У / О . V I I .4 0 ,2 0 1 2 0 ,2 1 6 8 0 ,2 3 2 4 0 ,4 0 3 9 0 ,3 1 2 0 0 ,2 6 4 6 0 ,2 4 4 2 0 ,2 3 6 0 0 ,2 3 7 5 0 ,2 4 5 2 = (А + 2 / tg а ) 2 , где а = <рср/4 = 2 4 /4 = 6 ° . Тогда F a = (1 ,0 + 2 - 6 ,8 - 0 ,0 9 ) 2= 4,85 фундамента равна B q= V K м2, откуда ширина подошвы условного» = = 2 , 2 м. Среднее фактическое давление по подошве условного фундамента определено рав ным 00 = 0,337 МПа. К расчету деформации свайного фундамента приступаем с построения эпюры сжимающих напряжений в семи точках основания, расположенных по оси у. Ординаты указанных точек приведены в табл. V II.4. Вначале вычисляем нормальное напряжение в указанных точках основания от действия Оо по формуле (V II.34). Для определения значения коэффициента по формуле (V II.35) предварительно вычисляем величину сжимающего напряже ния в подошве просадочного слоя грунта основания от действия его: 3 .3 3 ,7 - 4 ,8 5 Г 4 - 3 ,1 4 1 Г 1— 1 3 ,8 ( 1 3 ,8 + 6 . 6 , 8 ) + ( 6 , 8 ) 2 ; L , 8)2 [ ((13,8 1 3 ,8 — 0 ,8 + ‘ (1 3 ,8 + 6 , 8 ) 4 = 9 , 6 8 - 1 0 - 3 МПа. Тогда ' k\ = 1 I I - H , 4-я 6 ,8 . 9 ,6 8 -Ю -з I n ---------------= ----------------------- = I n ---------------------- = 3 ,4 4 . cq 6 , 8 - 1 3 ,8 0 ,3 3 7 Окончательная формула для построения эпюры сжимающих в основании свайного фундамента по оси у будет иметь вид напряжений 4 = 0 ,3 3 7 е3'4^ 1- ^ ) . Значения с г / и 0 „ " приведены в табл. VI 1.4. На рис. V II.17 по данным табл. V II.4 построены эпюры уплотняющих напря жений от (То и собственного веса грунта, а также результирующая эпюра от сов местного действия этих двух давлений. Для расчета деформации основания результирующую эпюру разбиваем на семь таких полос, чтобы указанные в табл. V II.4 точки находились в середине 297 этих полос. Значения относительной просадочности для каждого слоя грунта при действующих здесь средних значениях уплотняющих напряжений, вычисленные по формуле 6 п=|ЗоОт ° , приведены в табл. V II.5. Абсолютные просадки каждого слоя грунта основания также приведены в табл. V II.5. Таблица Mr точек 1 2 3 4 5 6 7 Действующие на* пряжения в сере дине слоя а, МПа 0 ,4 0 3 9 0 ,3 1 2 0 0 ,2 6 4 6 0 ,2 4 4 2 0 ,2 3 6 0 0 ,2 3 7 5 0 ,2 4 5 2 V II.5 Отиосительная про садочность 5 п Толщина слоя Л, см Абсолютная просадка слоя Д S -, см 0 ,0 6 4 1 5 0 ,0 4 7 0 0 0 ,0 3 8 6 5 0 ,0 3 5 0 0 0 ,0 3 3 6 6 0 ,0 3 3 9 7 0 ,0 3 5 1 7 100 100 100 100 100 100 100 6 ,4 1 5 4 ,7 0 0 3 ,8 6 5 3 ,5 0 0 3 ,3 6 6 3 ,3 9 7 3 ,5 1 7 Полную деформацию основания свайного фундамента определяем равной 7 S = 2 *-1 ASi = AS* + AS2 + ••• + A S 7 = 2 8 , 7 6 0 cm. ГЛ АВА V III Д И Н АМ И КА БАЛОЧНЫ Х ФУНДАМЕНТОВ § VIII. 1. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний балочных фундаментов. Краевые и начальные условия Рассмотрим поперечные колебания балочных фундаментов, имеющих изменяющуюся вдоль длины изгибную жесткость. Пусть на фундаментную балку действует распределенная нагрузка (рис. V I I I . 1). Предположим, что поперечные размеры фундамента малы сравнительно с его длиной и выполнен он из упругого мате риала, подчиняющегося при малых перемещениях закону Гука. В недеформированном состоянии упругая ось фундамента прямо линейна и совпадает с линией центров тяжести поперечных сечений конструкции. Эту прямолинейную ось примем за координатную ось х и от нее будем отсчитывать отклонения элементов фундамен та при поперечных колебаниях. Будем считать, что отклонение отдельных точек оси стержня ■происходит перпендикулярно прямолинейному, недеформированному ее направлению в одной плоскости. Далее предположим, что колебания малы и зависимость между силами и вызывающими ими перемещениями линейна. Взаимодействие грунтов основания с ко леблющейся конструкцией будем описывать моделью местных уп ругих деформаций. Эта модель была использована нами для описа ния жесткостных характеристик увлажняемых просадочных грун тов при статическом загружении оснований зданий. Воздействие просадки при динамическом загружении будем моделировать пере менностью коэффициента жесткости грунта на участках увлажне ния основания. При динамических расчетах массивных фундаментов в настоя щее время вертикальными перемещениями фундамента и реакция ми основания принимается линейная зависимость вида, R = k yy = QyF y, (VIII.1) где k v — коэффициент жесткости основания. Эксперименты показывают, что при правильном подборе значе ния коэффициента жесткости основания расчеты, базирующиеся на модели (VIII. 1), дают близкие к действительности результаты. Од нако модель (V I I I .1) не учитывает инерционные свойства грунтов оснований. Методы динамического расчета конструкций с учетом 299 «присоединенной массы» предложены О. Я- Шехтером (1948), Н. М. Бородачёвым (1964, 1966) и В. А. Ильичевым (1969). Величина коэффициента k v в (V I I I .1) зависит не только от свой ства грунтов, но также и от других факторов, главнейшие из кото р ы х— размеры и формы подошвы фундамента, характер напласто ваний грунтов и их инерционные свойства. Если в качестве исход ной расчетной модели основания принять невесомое упругое полупространство, то для фундаментов с прямоугольной подошвой ( Е ^ Ю м) зависимость коэффициента Су от размеров подошвы Рис. V IIIЛ . Расчетная схема балочных фундаментов на динамиче скую нагрузку и характеристик грунта может быть представлена в виде нов О. А., 1964) _ С « - 1 Fo %У 1 - 1 *2 (Сави ' Т ' где щ — коэффициент, зависящий только от соотношения сторон подошвы фундамента, значения которого приводятся в табл. V III. 1 (М. И. Горбунов-Посадов). Таблица а :Ь 0 ,2 0 ,5 1 ,0 1 ,5 2 ,0 3 ,0 5 ,0 V III.1 Таблица Яр, МПа хг/ 1 .3 1, 17 1, 14 1, 15 1, 17 0 ,1 0 0 ,2 0 0 ,3 0 0 ,4 0 0 ,5 0 V III.2 С у , МПа 0 ,2 0 0 ,4 0 0 ,5 0 0 ,6 0 0 ,7 0 1 ,2 1 1, 30 Расчетные значения коэффициента Су для естественных основа ний, относящихся к F > 10 м2, согласно рекомендациям СНиП П-Б.7— 70, можно установить в зависимости от расчетного сопро тивления основания согласно табл. VIII.2. 300 Коэффициенты жесткости основания е учетом влияния разме ров фундамента и инерции грунта могут быть найдены по прибли женной формуле О. А. Савинова: где Со — постоянное упругости основания, не зависящее от разме ров фундамента; Д = 1 м-1 ; Р — удельное статическое давление, пе редаваемое проектируемым фундаментом на основание; Ро — то же, под опытным штампом, использованным для определения коэф фициента С0. Значение коэффициента С0 (МПа) в приближенных расчетах может быть установлено зависимостью С о ~ 2 , Ы О - 4Д 0. Следует отметить, что все приведенные зависимости для коэф фициента жесткости основания относятся к обычным структурно устойчивым при увлажнении грунтам. Для просадочных грунтов соответствующие натурные экспериментальные исследования, повидимому, не проведены. В литературе отсутствуют также необхо димые расчетные зависимости для жесткостных характеристик просадочных грунтов при динамических нагрузках. В лаборатор ных условиях А. А. Мусаэляном (1972) были проведены экспери менты для определения просадочных свойств грунтов при динами ческих нагрузках, моделирующих сейсмические воздействия. Результатами этих экспериментов было установлено, что динами ческие нагрузки различной интенсивности вызывают дальнейшее развитие просадочных деформаций, достигающих 40— 60% дефор маций при статических нагрузках. При указанных выше предположениях отклонения точек оси ко леблющегося фундамента однозначно определится одной функцией двух переменных — координат х и времени t, т. е. у = у ( х , t ) . Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка, которое строится со гласно принципу Даламбера. Выделяя элемент фундаментной бал ки длиной dx (ем. рис. V I I I . 1), приложим крбме обычных динами ческих усилий и силу инерции элемента d J= = _ _ j n ± L . а также элементарную силу реакции основания d P = — k 0( x ) b y d x = — k { x ) y d x . Проектируя все силы, действующие на выделенный из фунда мента элемент, на вертикальную ось, получим \Р (х) d t y j x , t) g дП d x + Qx — (^Qx - \ - - ^ - d x ' j - { - q ( x ) d x 301 —k (x )y (x ) t ) d x = 0 , откуда -------- ^ dx - — F i x ) * * 1* ' gdt? + <7 (х) + В Д !/(■*, 0 = 0 . Используя известное соотношение сопротивления материалов <52 дШ х E J { x ) . д2^ х ' (1- dx? dx? _ dQx дх dx? последнее уравнение можно представить в виде d? dx? £У (х) d2w(x’ 0 dx? + — F (■*) — * * ■— g d<? + k {x) у (х, t) = q ( x ) . (VIII.2) Полученное уравнение (VIII.2) описывает собственное (свобод ное) колебание весомой (системы с бесконечной степенью свободы) фундаментной балки без учета рассеивания энергии колебаний (затухания). Как видно из полученного уравнения, явление попе речных колебаний фундаментных балок можно рассматривать как обычный поперечный изгиб этой конструкции, к которой кроме внешней нагрузки q (x ) и реакции основания k ( x ) y приложены еще силы инерции: JVd?i/(x, t)_ = m x ) a ? g ( * . Q _ . d<2 g. V dt ? Поэтому все дифференциальные зависимости для поперечного из гиба применимы и к теории изгибных колебаний. Если действующая на фундамент внешняя распределенная нагрузка q {x ) массовая, то в уравнении (VIII.2) погонную массу фундамента y/g следует з а менить на yi/g = y / g ( l + e ) , где ё ( х ) = q (х) g jy F ( х ) . Тогда уравне ние (V III.2) примет вид (А. П. Филиппов, 1970) d? E J ( x )-д2УЛх^ У dx2 dx? + AL/Г (JC) [1 + e {x)f y ^ L £ > + k { x )y{x , t ) = 0. g a t* (VIII.3) Если ввести безразмерную координату г\= х/1, то уравнение (V III.3) примет вид _У_ Ptn} /4Г1 I - f £ ( T })14у(Ц, t) = 0. d2y(g\, t) d^2 (VIII.4) При действии на балку внешней нагрузки, изменяющейся во времени, вынужденные колебания фундаментной балки относитель но положения статического равновесия описываются неоднородным дифференциальным уравнением, левая часть которого совпадает 302 с уравнением ( V I I I . 4 ) : + £ ( ' П ) / 4£/(1'1, = t). (VIII.5) Учет внутренних неупругих сопротивлений колеблющихся фун даментов можно осуществить с помощью формулы Фохта, соглас но которой сила внутреннего сопротивления принимается пропор циональной первой степени скорости деформации или скорости из менения упругой восстанавливающей силы: N — v0E J (т\) О dtdx 4 ’ где vo — постоянный коэффициент, характеризующий внутреннее вязкое трение материала конструкции. Более обоснованной является формула Е. С. Сорокина (1960), согласно которой полное внутреннее сопротивление при цикличе ских деформациях конструкции складывается из упругого сопротив ления, равного упругой восстанавливающей силе, и неупругого со противления, пропорционального упругой восстанавливающей силе, но сдвинутого по фазе относительно последней на л/2. Для одно родного стержня, совершающего изгибные колебания, формула Е. С. Сорокина имеет вид где i = У — 1; у — амплитуда конца стержня; Ау — приращение этой амплитуды. Формула Е. С. Сорокина дает удовлетворительные результаты для вынужденных колебаний от гармонической возмущающей силы, когда Ау/у весьма мало. Для построения решения уравнения поперечных колебаний фун даментных балок необходимо исходить из соответствующих крае вых и начальных условий. В простейших случаях, когда конец колеблющейся конструкции свободен, или1'жестко закреплен, или шарнирно оперт, краевые условия выражаются следующими соот ношениями: а) конец конструкции свободен; на таком конце изгибающий момент и перерезывающая сила равны нулю, следовательно, б) конец конструкции жестко закреплен; на таком конце про гиб и угол поворота равны нулю, т. е. у(х, * ) = 0 ; -~у{х, 0 = 0 ; 303 в) конец конструкции свободно оперт (или закреплен шарни ром); в этом случае прогиб и изгибающий момент равны нулю, т. е. у ( х , 0 = 0; = 0; дх2 г) нонец конструкции упруго опертый, с коэффициентом жест кости опоры k\ в этом случае краевые условия имеют вид: E J(x ) -2//(х; 0 дх2 =0; j - Г E J ( x ) д2^ х ’ ^ 1 = ± k y ( x , t). дх дх2 J Здесь знаки в правой части второго условия соответствуют знаку перерезывающей силы. Краевые условия, ограничивающие свободу перемещений кон цов конструкции вида у ( х , t) = 0; -^—у ( х , t ) = 0, называются геодх метрическими условиями. Условия, налагающие ограничения на изгибающий момент и перерезывающую силу, например E J { x ) dM A z l l =0, называются динамиУ дх2 ческими. Начальные условия задачи выражаются соотношениями ^ у ( х , 0) = « ( * ) ; ■ д у { х ’ 0 dt t=о = v {x ) , имеющими место в момент £= 0, где и (х) и v ( x ) — некоторые задан ные функции переменной х, определяющие начальное распределе ние по оси фундамента поперечных отклонений и скоростей отдель ных его элементов. § VIII.2. Собственные формы изгибных колебаний балочных фундаментов Согласно методу Фурье, решение уравнения (V III.4) предста вим в виде произведения двух функций, где у ( ц) является функ цией только расстояния, а ср(/) — функцией только времени: г/СП, 0 = ЙП)«р (0Представление Фурье (V III.5') приводит уравнение к двум однородным дифференциальным уравнениям: d2 dt]2 E J W * ^ Г ~ ] - l>' (T1) “ k (tl)] y (Y1)=0: j M - + u A p (/)= 0 , at1 где Х (Т|)=Х /?(Т 1) ^ [1 + ^ ( 4 ) ] ^ ; Ь{ч\) = к{1\)1*. 304 (VIII.5) (VIII.4) (V!1L6) ( V I I I . 7) Решение уравнения (V III.7) имеет вид cp[ t ) = Сх sin <at -j- C2 cos Ы и характеризует изменение формы колебаний во времени. Постоян ные интегрирования Сi и С2 определяются из начальных условий задачи. Решение уравнения (V III.6), устанавливающее закон рас пределения амплитудных отклонений точек оси конструкции от равновесного положения, определяет форму изгибных колебаний фундамента по его длине и поэтому называется формой главного колебания или собственной формой. Собственных форм колебаний рассматриваемого фундамента будет бесконечное множество. Каждой собственной форме соответствует определенное значение частоты со — так называемая собственная частота. Отбор собствен ных частот и соответствующих им собственных форм осуществля ется с помощью уравнения собственных форм (V III.6) и краевых условий задачи. Общее решение дифференциального уравнения (V III.6 ), определяющее собственную форму изгибных колебаний фундамента, содержит четыре произвольные постоянные и может быть представлено через нормальные фундаментальные функции yi(t]) в виде У {У\)— Ау$**1) “I- ^У2 (*П) Суъ (*П) ”1“ (Л)* (VIII.8} Значения постоянных интегрирования А, В, С, D должны быть подобраны так, чтобы для функции собственной формы у (ц ) вы полнялись соответствующие краевые условия. Обычно число крае вых условий равно числу произвольных постоянных— по два на каждом конце. Все они выражаются равенствами нулю двух из следующих четырех величин: у (р), у'(г$, у"(г\), у " '( ц ), пропорцио нальных соответственно прогибу, углу поворота, изгибающему мо менту и перерезывающей силе в точках т] = 0 или т) = 1. Подставляя решение (V III.8) в эти краевые условия, получим четыре однород ных линейных уравнения для четырех постоянных интегрирования. Условием уравнений является равенство нулю определителя, составленного из коэффициетов этих уравнений; это приводит к так называемому «вековому» уравнению, определяющему бесчисленное множество частот собственных колебаний.! Для каждой из этих собственных частот система из четырех линейных однородных уравнений для постоянных интегрирования имеет одно решение, которое посредством (V III.8) дает соответствующую этой частоте форму собственных колебаний. В практике проектирования могут встречаться случаи, когда на одном балочном фундаменте посажены ряд машин и установок, вызывающих динамическое воздействие на конструкции. Если обо значить веса — силы тяжести этих машин — через Qi, Q2, ..., Qu то силы, приложенные к фундаменту в сечениях тц, ц2, ..., щ, будут равны Постоянные нагрузки, действующие на фундамент, не будут влиять на установившееся колебательное движение; в таком случае в се чениях t)i, т]2, ..., т]г будут приложены сосредоточенные нагрузки р ___ 0± д2У (Т). t) . g 7l=rli д(2 ( t = 1, 2 , . . . , п). Так как решение уравнения (V I11.4), согласно (V III.5 ), имеет вид у(ч1, t) = y {f\ )(C l cos u tf-f^ c o s mt), (VIII.9) то сосредоточенные силы будут § у ^ и Ц С ^ sin arf-f C2 coso>/). (VIII.10) С учетом (V II I.9) и (V II I.10) уравнение (V III.4) примет вид d2 rff|2 E J(r drp ---------- [X (л) - Л (Л)] У I I /V 1 » м —— к . \ * I I ! и = II I= - Qi № у (»)/). (VIII.11) Правая часть уравнения (V II I.11) всюду равна нулю, за исклю чением места приложения сосредоточенных сил, амплитуда кото рых, согласно (V I I I .10), определяется выражением At= g Эти сосредоточенные силы, следуя А. Н. Крылову, можно рас смотреть как предельное положение сил, распределенных в интер валах от т}1 До т)1 + А с интенсивностью q на единицу длины при ус ловии, что qiAi-Âi, когда Дг-э-0. Прерывную нагрузку в правой части уравнения (V II I.11) удоб но выразить с помощью мгновенного прерывателя первого рода Н. М. Герсеванова: д2 ■[^(П)-Л(л)]у(л)= <7Т]2 д%2 1=п Г'2±-№ уЫ ( V I I I - 12) 111 g I-\ Как видно из уравнения (V III. 12), определение собственных форм изгибных колебаний балочных фундаментов с сосредоточен ными массами в общем случае сводится к решению неоднородного дифференциального уравнения четвертого порядка с переменными коэффициентами. § VIII.3. Построение нормальных фундаментальных функций уравнения собственных форм изгибных колебаний балочных фундаментов В предыдущем параграфе было показано, что получение спек тра частот собственных колебаний балочных фундаментов связано с решением уравнения собственных форм этих колебаний (V III.6 ). Это уравнение, имеющее переменные коэффициенты EJ(r\), A,(rj), 306 k(r\), не приводится в квадратуре, т. е. найти его точное решение не удается, поэтому для построения его решения прибегают к раз личным приближенным методам. Известно, что в тех случаях, когда краевые задачи сводятся к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами, представляется целесообразным перейти к соответствующим инте гральным уравнениям. Идея такого перехода тесно связана с при менением метода последовательных приближений для решения дифференциальных уравнений. Ниже на основании метода после довательных приближений строятся нормальные фундаментальные функции дифференциального уравнения (V II 1.6) путем сведения его к соответствующему интегральному уравнению. Пусть требуется построить общее решение уравнения (V III.6) на некотором интервале изменения г) ( 0 ^ т ] ^ 1 ) при заданных краевых условиях Коши: У (0)= У о; У' (О )= 0о; E J (0) у" ( 0 ) = — /И0; [£ / (Л )? (т | )];-0 = = -Q o - (VIII.13) Функции EJ(r\), Л.(т)) и /е(г]) предполагаются ограниченными на указанном интервале. Совокупность п (линейно независимых) решений однородного уравнения (V I11.6) {у ь (л )} (& = К 2, 3, 4 ), удовлетворяющих условию будем называть нормальной фундаментальной системой уравнения (V III.6) с начальным сечением р = 0. Если известны {гД(л)}> то общее решение уравнения (VIII.6) можно представить в виде 4 У (л)= 2 У[*~1] (0) VkW) = y (0) у, (л)+ У' (0) у2 (Т)) + + У''(0)Уз(Ю + У"'(0)у<(1\), где (0) — значения функции у (л) и ее первых трех производ ных в сечении r)=i0. Указанные значения будем называть начальными параметрами задачи. Нормальные фундаментальные функции линейного диффе ренциального уравнения (VIII. 6) будем строить решением соответ ствующего интегрального уравнения. Нетрудно показать, что при заданных краевых условиях Коши решение соответствующего ин тегрального уравнения определяет решение дифференциального уравнения рассматриваемой задачи, удовлетворяющее указанным условиям. Д ля сведения дифференциального уравнения (V III.6) к интегральному представим его в виде Ц2 d r? 11* E J (t]) rfr,2 J = [X(Л) - k (Л)] у (Т|). 307 (VIII.14) Интегрируя обе части равенства (V II I.14), дважды будем иметь: dri £ 7 СП) — 5L == = — _УИ = J Г [Х(Па) — * (Па)] У { \ ) d 4 2d \ + C tf + С2. Ж СП)= dr)2 О и Разделив последнее выражение на E J (ц) и произведя еще раз дважды его интегрирование, получим: -^ М -^ 0 ( Т ] ) d i i = Г J —£ / ( (ти) j О Г [ Ч Л з ) - Л (Лз)] _ y(T\2)dr\zd42d \ + 0 0 Tj T] + c ,| . о *) *)l J о ГЦ7]з У(Л) = j j EJ f j [^(Л4)-А(ти)]у(Л4)А?П4^ Ч 2й?Л1+ 0 0 0 0 +C 1l j ^ + C 2 j ‘l 0 0 ^ +C >4+C 4. 0 0 Выразив значения постоянных интегрирования С* через начальные данные задачи (V I I I.13), последнее выражение можно представить в виде Т| 1)1 _ -Пг 1^,3з T i 11 'П (Т1)==^(Т 1)+J J у{Г ' об -щ-j- j j ' " ’ об (VIII. 15) где 0 0 0 0 Функция i/o(и) содержит все начальные параметры задачи, ха рактеризующие прогиб, угол поворота, изгибающий момент и пе ререзывающие силы в начальном сечении (т] = 0) фундаментной балки, поэтому она будет названа нами в дальнейшем краевой функцией. Таким образом, рассматриваемую краевую задачу для диффе ренциального уравнения (V III.6) путем последовательного инте грирования мы свели к решению интегрального уравнения (V II I.15). Решение этого уравнения определит нормальные фунда ментальные функции уравнения собственных форм изгибных коле 308 баний балочных фундаментов. Уравнение будем решать итерацион ным методом Пикара *. Этот же метод был использован нами при решении статических краевых задач. Построим последовательное приближение решения интегрального уравнения (V III.6 ). В каче стве нулевого приближения примем краевую функцию. Подставляя в правую часть уравнения (V III.15) у ( t j4) = у о { щ ) , получим первое приближение в виде EJ (гц) оо! Заменяя в уравнении (V II I.15) у{ц\) на yi(r] 4) и поступая так дальше, получим последовательность непрерывных функций уо(п)* У\Сп). Уг(п)> Уп(п)> таких, что [К(n4) - k (п4)] Уп- 1 (n4) rfn4dn3rfn2tf%. 1/л(П)=г/о(П) + о (VIII.16) Очевидно, если при неограниченном возрастании числа членов этой последовательности Н т[г/п (П)-г/„_1 (П)] = 0, то предельная функция уп(п) будет являться решением уравнения (V II I.15). Сходимость и быстрота сходимости построенного реше ния (V I I I .16) в каждом частном случае могут быть оценены в за висимости от вида функций Я(п); / ( t j ) и & ( т] ) известными спосо бами. В теории интегральных уравнений доказывается, что постро енный ряд (V II I.16) не зависит от z/o(n)> поэтому предел г/(т]) функций г/п(п) не будет зависеть от функции г/о(п)> с которой мы начали строить приближения. Решение (V I I I .16) содержит в себе начальные параметры зада чи. Вынеся за скобки эти начальные параметры, это решение мож но представить в виде Ул(П) — УоУ1Л(П)-}-6оУ2л(П)— -МоУзлСЧ) — Qoy4/i(n), (VIII. 17) Где I/mC1!). Угя(П), W l ) . у4л(П) — четыре линейно независимых решения однородного уравнения (V III.14), называемые нормальны ми фундаментальными функциями уравнения собственных форм изгибных колебаний балочных фундаментов. * Вычислительная математика / В . А. Вергасов, И . Г . Журкин, М. В. Красни ков и др. М., 1976. 309 Введем в рассмотрение линейные интегральные операторы 1i 7ii ^а^з П х = j1j ‘ ~E 0 0 J J ' 0 0 ri ra f [ 0 над функциями 0 e j ( t2) (ii4) ^ n w w iii; â T|3 0 0 X(ri) и ----- -l E J (r,) E ! (r\) , &(Л). Разность введенных операторов будет П Х- й = П л = Щ — П А. Степени операторов определятся выражениями: Их = П х П "-1 = П х П х Щ . . . П х; я раз lift = Щ П Г 1= П А ^ . rift; я раз П д = ( П х — Щ ) ( П х — П й) = П х ф - lift — П хЩ — Щ Пх; П| = ( П х - Щ)(Пх - Пй)(Пх - ПА) = Пх - п I - п 1 щ - п * п ? + + Н |Пх-Ь- П хЩ 2 - ПхЩ Пх - Щ Щ П *. С помощью введенных операторов нормальные фундаменталь ные функции можно представить в виде = t+ У (VIII. 18) га—1 где i — номер фундаментальной функции; п — число приближения.' Далее, т = 1 при i — 1; т = т] при i = 2; г>ч т = ( 1 ------------ йЩсШх = П0 J J EJ (гв) о о чч х= Г( Ц J J E J2{i) о о li = ПоЛ 310 приi = 3; при i = A . Последовательные производные функций yin(r\) N-ro порядка вычисляют на основании рекуррентной формулы ^ ( Ч ) = *< *> + 2 (VIII. 19) п ^ ’п Г Ч . Проверку правильности построенного приближенного решения (V I I I .17) можно продемонстрировать в конкретном частном случае, для которого уравнение (V III. 14) имеет замкнутое решение. Рассмотрим случай, когда жесткости колеблющейся фундамент ной балки и грунтового основания — всюду постоянные, т. е. E J С п )= £ 7 0= const; k (Ч )= £ (Ч) l A= k l i = const. Уравнение задачи при этом примет вид drfi .= (7/g) — йо/4 . у (ту). EJ q (VIII.20) Общее решение уравнения (VI 11.20) в рассматриваемом слу чае, согласно уравнению (V II I.17), можно представить в виде У (Tl ) = z/o£/i (у\)-\~®оУ2 (т1) ^ГГ" ^/з(т1) bJ о ~т~ ^ОЧ)» Q (VIII-21) где у г М — четыре нормальные фундаментальные функции урав нения (V III.2 0 ), определяемые по формуле (V II I.18): Ап Ап (VIII.22) где 4 ((V У / /g)^< g ) F l*u a >> 22— 4= — fepP V _ E EJ q о Д алее известно, что L 311 СТ0Ы2— k0 E J0 л -0 ^ (V III.23) 40 4я +2 sh a tl + sin а ц = 2 а ц (4л + 1)! п —1 оо ',2 ch ал — cos аУ] — 2 (ал): T + S (аг,) 4я (4 п + 2)! оо sh ал — sin ал = 2 (аЛ)3 4л (лт)У Т + 2 л-1 (VIII.24) (4/г + 3)1 Сравнивая (V III.22) и (V III.2 4 ), легко можно заметить, что У1 (T1)= Y (ch аТ1 + cos aT1)i ^г(т1 ) = - ^ - (s h a ri-f sinaTl); za ^ з ( ‘П)= У4(Л)= 2a2 2a3 (ch ал — cos ал); (VIII.25) (sh all — sin ал ). Последние четыре функции уг{х\) являются линейно независи мыми решениями однородного уравнения (V I11.20) и составляют фундаментальную систему интегралов этого уравнения. Таким образом, построенное приближенное решение уравнения собственных форм изгибных колебаний (V II I.17) в частном случае полностью совпадает с известным замкнутым решением (V III.21). Функции yi(r\) впервые в теорию расчета балок на упругом ос новании были введены Н. П. Пузыревским (1923) и независимо от него А. Н. Крыловым (1931). Функции (V III.25) и их производные до третьего порядка включительно составляют единичную матрицу, вследствие чего их иногда называют функциями с единичной мат рицей (табл. V III.3). у .(г,_0) у ^ (ч -О ) у[2] (TJ-0) 1 2 3 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 V III.3 в о I чЦ ’""’со Т абли ц а и 0 0 0 1 Функции (V III.25) обладают свойством круговой замены до про изводных четвертого порядка включительно, т. е. повторяются при дифференцировании (а следовательно, и обратно — при интегриро вании) (табл. V lll.4 ) . ( ; ; 312 Таблица V I I I .4 yfhn) 1 yt О) 1 т (ч) atyi (г,) afy з ( О а 4г/2 (п) a 4i i (ц) 2 т Oi) г/i (ч) « 4г/4 (б) л4гГз С7]) О) 3 03 (ц) г/г U) т U) ай(,i (О « 40 з 0 0 4 У4 (О &з (п) РгО)) № I 1)) я%4 (ч) Указанные выше свойства функций (VIII.25) делают их весьма удобными в приложениях к практическим расчетам. Для составле ния уравнения частот решение (VIII.21) приспосабливается к за данным четырем краевым условиям рассматриваемых задач, при этом два из четырех начальных параметров всегда будут равнять ся нулю. В результате решение (VIII.21) в каждом конкретном случае будет содержать только два начальных параметра, которые определяются из условий на другом конце при г)=-1 (х = 1 ). При этом относительно оставшихся параметров получатся линейные однородные уравнения первой степени. Для существования не тривиального решения этих уравнений, т. е. такого решения, при ко тором все начальные параметры не были одновременно равны нулю, необходимо, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при начальных параметрах, был равен нулю. Раскрытие этого определителя дает трансцендентное уравнение для определения частоты собственных колебаний рассматриваемой конструкции фундамента. Из выражения (V III.23) видно, что параметр а харак теризует как жесткость самого фундамента, так и грунтового осно вания: 4 yFH , Й(/4 1-------— а 4= —------ № gE J0 Elо Очевидно, параметр а примет вещественное значение, если (y/g) F w 2> k 0. Определив в каждом конкретном случае из краевых условий значения параметра а, находим частоты собственного ко лебания фундаментной ба^ки 'но формуле V a * + — k 0) - ^ ^ E J 0] °) уЕН . (V III.26) Как видно из формулы (V III.2 1 ), частоты колебаний фундамент ной балки будут выше, чем частоты колебаний соответствующей балки со свободным основанием. Очевидно, решение (V III.21) уравнения (V III.20) будет справедливым как для фундаментных балок (с учетом жесткости грунтового основания), так и для балки со свободным основанием. Поэтому, используя корни частотного 313 уравнения балки со свободным основанием для различного случая закрепления его концов, можно определить частоты колебаний фундаментной балки при различных значениях постоянной жестко сти грунтового основания. Так, например, для весомой балки по стоянного сечения, имеющей свободные концы, характеристическое уравнение для определения частоты собственных колебаний имеет вид c h a c o s a = 1. Корни последнего уравнения будут: a j = 0; a 2= 4 ,7 3 0 0 ; a 3= 7 ,8 5 3 ; Д4= - -л + 1 я (при п ^ > 2). Нулевому значению параметра а соответствует движение балки без искривления ее, т. е. перемещение ее как твердого тела. При этом частота колебаний, согласно формуле (V III.26), будет Первая частота колебаний фундаментной балки с искривлением ее определится выражением 1 V (500,564 — — k 0 \ ^ E J0 V yF l* Форма колебаний свободно лежащей фундаментной (Mo = Q o = 0 ), согласно (V III.21), определится выражением балки У (И ) = УъУ\ ( H ) - f - 6 ol /2 (И ). Для низшей формы, соответствующей a i= ;0 и частоте со0, соглас но (V III.2 5 ), функции pi (г)) и 1/2 ( 11) получат значение г/Др), у 2 (р) = 0, поэтому получим перемещение фундаментной балки как твердого тела, т. е. у (tj) =|г/о§ VIII.4. Уравнения спектра частот балочных фундаментов с различными краевыми условиями На основании построенного приближенного решения (V III. 17) составим уравнения спектра частот балочных фундаментов, имею щих различные граничные условия. 1. Фундаментная балка с опертыми концами. Д ва из четырех начальных параметров равны нулю: Мо=Уо = 0. Решение (V I I I .17) при этом примет вид Уп (Ч)=%У2п СП) - Qoi/4* (П) • (VIII .27) Д ля определения оставшихся двух параметров 0о и Q0 имеем условия: У *(П = 1) = 0; у „ '(т 1 = 1 )= 0 . 314 Подчиняя функцию (V III.27) последним двум условиям, для определения 0О и Qo получим систему линейных однородных урав нений: (Л= 1) - Q o ^ (Л = 1 ) = 0 ; ®0^/2га(П====1) QoU^n (Л — 1) — 0. Для существования нетривиального решения последней системы необходимо, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при начальных параметрах, был равен нулю: ^2«(П= 1 ) —'^4«(Т1 = 1) = (Х У 2„С П = 1)-У 4«(Л = 1) Раскрывая определитель, получаем частотное уравнение задачи в виде 02Я(Л = 1 )0 4 п (Л = 1 ) —~У2п ('4 = 1 ) Р-4Л(Л = 1) = 0, (VIII.28) где значения функций у 2 п{ц) и г/4п(т|) и их вторых производных при г)='1 определяются по формулам (V IIIЛ 8) и (V II I.19). Рассмотрим частный случай, когда & (т ])= 0 ; E J (ц) = E J 0= — const; A(r]) ~Ao = const. По формуле (V III. 18) имеем: j/2n(Ti)— л 4- ^ Щл; 0 4 я (л )= п ол + ^ ПхП0л/1= 1 л= 1 Вторые производные последних функций по формуле (V II I.19) определятся выражениями: ^ я ( л ) = 2 Щ П Г Ч р;я ( л ) = ( Ц о Л Г + 2 п х П хв- Ч л - 1 Л = 1 Раскрывая выражения операторов путем выполнения кратных интегрирований, получим: 0Q Ао 'о ^2л ( Л = 1) = ^ ] (4л + 1 / / 4 л ( Л = 1 ) — 02л (Л ^ ( 4 /г=0 л 1) + _ 3 ) ! - 1 Е /о / _Ао_ \ Е /о (4 л -- 1)1 ( Е°/0 ) ’ п= 0 . V У и (Л ) = 1 . _ 1 _ (2±.\а (4 п + 1)! E / q \Е/о ) я -0 315 Подставляя последние ряды в уравнение (V III.28), получим уравнение спектра частот балки постоянного сечения со свободным основанием, имеющей на концах шарнирные опоры: оо ^ оо V ( 1 1)1 . [. E J _0 .) ^ ( 4 .л + л=0 - У /1= 1 (4л - Хр Y V л=0 (4л + 1)! ( Я / 0 -------------------------------------------- ( — Y * = 0 . 1)! \ E J 0 ) z J (4л + 3 )! \ E J 0 J п=0 (V III.29) К Используя формулу умножения степенных рядов по Коши, бу дем иметь: ^ (J o - Y V 1 (4 л + 1)1 л—О ОО / « п ч =0 ^ ]=0 (4У + 1)! ( 4 я — 1) 1 \ E J0 j оо ш л-1 ( *о /1=0 [ 4 ( л - Д + 1]1 \( h _ y . \EJoJ ’ / ( h .(Jh -Y ' л=1 1 J i u (4 л -Ь 1)1 \ E J 0 _ I_______________ 1 ш — \ IE I0 j л-0 (4 л + 3 )! v у_ E Jq ) п г Хп \ « ч \ )= 1 ( 4 ;- 1 ) ! [ 4 (л — j ) + 3 ] 1 1\ Е / 0 / Иопользуя последние равенства в (V III.29), уравнение спектра частот можно представить в виде UW / '* У (У— /1= 0 \ j - .у (у (4 / + 1 ) j \ E Jq _ J ------------------1--------- ) ( - 2 Ц " = о . Jm U I Jm J, ( 4 / — 1)1 л=1 \ y=l [4 (л — _/) + 1 ] ! [4 (fl-y ) + 3 ] l /U /o (VIII.30) / Для рассматриваемого частного случая частотное уравнение выражается через круговую и гиперболическую тригонометриче ские функции в виде s i n a s h « = 0, (VIII.3 1 ) Используя степенные ряды функций sin а и sh a , уравнение (V III.31) можно представить в виде 2я+1 sin a s h а = (2п -J- 1)! я=0 а 2п+ 1 л=0 (2п -}- 1)! Используя формулу умножения степенных рядов, получим sin a sh a = J j l Z j n=*0 \ ;=0 ( —I V ------ 1-------- — -— )) *a2n+1. [2 (2/ + 1)1 [ 2(я( n- -/ >J ) ++ l1]]! ' Тогда уравнение (V III.31) примет вид O O j O O \ 2/1+ 1 V W 'V / n / 1-----------------------1----------- H J o . r r - ^ o . ( V I I I . 3 2 ) Z k (27+1)1 [ 2 { n - j ) + 1]\ \ E J 0 } n- 0 \ j~0 ' Нетрудно показать, что уравнения (V III.30) и (V III.32) суть адекватные выражения. 2. Фундаментная балка с заделанными концами. Д ва из четы рех начальных параметров равны нулю: г/о= 0о= 0- Решение (V III. 17) при этом примет вид СП) = - M ^ 3nm ) - Q 0y M . ( V III.3 3 ) Д ля определения двух неизвестных параметров Мо и Qo имеем два условия: у'прi = i ) = o . Р » (т1 = Подчиняя функцию (V III.33) последним двум условиям относи тельно М0 и Qo, получим систему уравнения: ^Woi/3n(li= i)+ Q o i/ 4 n (1i = l ) = 0 ; ^йУъп{у\— 1) + ^о1/4л(4 = 1 ) = 0 . Приравниваем детерминант этой системы нулю: 03»(4= 1) 08» ( 4 = 1 ) i/4» ( 4 = 1 ) =0, (П= 1) откуда 0 з » ( 4 = 1) */4» ( 4 = 1) — г/зп (П== 1) У4» ("П===: 1) 0- (VIII. 34) Уравнение (V II I.34) представляет собой уравнение спектра частот собственных колебаний рассматриваемой фундаментной балки. Значения входящих в это уравнение функций при г]=-1, так же как и в (V III.2 8 ), находят по формулам (V III. 18) и (V III. 19). 3. Фундаментная балка со свободными концами. Д ва из четы рех начальных параметров равны нулю: M 0=(Qo = 0. Решение 317 ( V I I I . 17) при этом примет вид Уп { ^ — УоУхп (т1) "Ь ®оУ2п (т0- (VIII.35) Для определения двух неизвестных параметров у 0 и 0О имеем два условия: К С П = 1 ) = 0; у 4 'т ] = 1 ) = 0 . Подчиняя функцию (V III.35) последним двум условиям относи тельно неизвестных параметров у0 и 0О, получим систему уравнений: УоУ1п (т1 = (41 = 1 ) = 0 ; УоУт (4 = 1)-\~&оУ2п (4 = 1) = 0. Для существования нетривиального решения последней системы необходимо,чтобы У ы{1\=\) г /г « ( 4 = 1) Ут{11 = 1 ) р2Я(»1=1) =0, откуда У ы ( Ц = 1 ) ^ ( 4 = 1) —уГ*( 4 = 1 )~У2п (4 = 1 ) = 0 . (VI1I.36) Уравнение (V III.36) представляет собой уравнение спектра частот собственных колебаний рассматриваемой фундаментной балки. Значения входящих в это уравнение функций при г]= 1 оп ределяют по формулам (V II I.18) и (V II I.19). Изложенным выше способом можно составить уравнения спектра частот для других встречаемых в практике случаев закрепления концов балочных фундаментов. § VIII.5. Примеры расчета собственных колебаний балочных фундаментов на просадочных грунтах На основании полученных расчетных формул ниже дается реше ние характерных численных примеров по определению частоты соб ственных колебаний балочных фундаментов на просадочных грун тах. Пример V III.1. Пусть требуется рассчитать частоты собственных колебаний балочного фундамента постоянной жесткости, покоящегося на лессовом грунте первого типа по просадочности. С фундаментом кроме его собственного веса связана также равномерно распределенная по его длине массовая нагрузка q m. Влияние просадки на колебание фундамента учитываем переменностью коэффи циента жесткости грунтов основания при случайном его увлажнении. Железобетонный фундамент, имеющий прямоугольное поперечное сечение, толщиной А = 0 ,2 0 м, шириной 6 = 1 м и длиной / = 6 м несет на себе равномерно распределенную нагрузку = 2 - 1 04 Н/м2 (рис. V III.2 ). Плотность материала фун дамента принимаем равной у = 2 4 кН/м3. Погонная масса фундамента будет yF0 2 ,4 -1 0 3 .0 ,2 - 1 m0 = — - = — ■ — ------ : 0 g 9 ,8 1 318 = 0 ,4 9 -1 0 3 к Н -с2/М2. Интенсивность внешней массовой нагрузки равна q m = q - . g ^ 2 0 : 9 ,8 1 =-, 2 ,0 4 -1 0 3 к Н -с2/м 2 . Тогда погонная масса колеблющегося фундамента будет m0+ gm = 2 ,5 3 X X 104 кН -с2/м2. Момент инерции / о = 1 - 0 ,2 3 : 12 = 0,00066 м3; Е = 14 ■103 МПа; изгиб ная жесткость фундамента £ /о = 924• 102 Н -м 2. Коэффициент упругого равномер ного сжатия естественного основания принимаем равным_c z = k — 104 кН/м3. Тогда коэффициент жесткости основания по формуле k z —k a = c zF = k b = W кН/м2 = = 10 МПа, Расчет ведем для случая увлажнения просадочных грунтов основания с тор ца фундамента. Изменение коэффициента жесткости основания при увлажнении примем по линейному закону (рис. V III.2 ): ( l ) = F0 у - = £ 0т|; k (Tj) = F ( T|) H = . V III.l Частотное уравнение для рассматриваемой задачи принимаем как для балоч ного фундамента со свободными концами [уравнение V III.36)]. Предварительные расчеты показывают, что вполне удовлетворительные значения для частот соб ственных колебаний фундамента можно получить, если ограничиться двумя при ближениями в рядах (V III.18). Используемое в рассматриваемом случае частот ное уравнение (V III.36) содержит значения вторых и третьих производных функ ций у\п{х\) и г/2 п(т|) при т) = 1, которые определяются по формуле (V III.19). Частотное уравнение (V III.36) для второго приближения будет иметь вид У\,2 ( ri = = 1) — ®!”, 2 ( Tl = 1)iy-2,2(Ti = ! ) = 0 , (V III .37) где ~tj\,2(4 = i ) , ^ 2 ,2 ( т, = ! ) . ^ 1 , 2 ( т1 = 1 )> ^ 2 ,2 (ч = 1 ). согласно ( V I I I .19 ), числяются выражениями: 2 у\,2 (ч) = 2 2 папд-1 ; 71,2 (1) = 2 п=1 /г=1 2 ^ 2 ,2 ( ti) = 2 папа-1 ; 2 1 вы- п д п д_ Ч у Z 2 ( 4) = 2 и-1 (V III .3 8 ) n ln r v Раскрыв интегральные операторы путем выполнения кратного интегрирования функций X(ti) = Х0= (wio+ 9 m)I4co2 и k(r\) = k 0l4r\, согласно последним выражениям, легко можно установить: W1,2^4 = 1) = ~g~ X — kA\ + —— X2 — \kA\z + № Ац) 61 I 319 и/'t 2 У — 1) — ^ X2— 'kkAyi -f- k2A\%\ о! 'У2,2 С7! ~ О = ~^Г ^ — *Ц4 + X2 — lkA\% + №А2&\ У 2 ,2 ^ = 1 ) = - ^ Г - М 2 + ^ Х 2 — х £ 4 16 + *2Л 16, (V III .39) где - * 0Н А\ = ~ 6 Л 15=^ >^2 = ~ ; As = ’ z 3 ’ : Ale = ^ 3 m0 + q m . - = “— Б 7 ' 2 £h~ ; Ц4 = - 7^- ; A\s = ’ 4 12 k ’ Al7^ W o ’ A l s = ^ 5040 ; Ли = ■ ’ 14 40320 ’ ; Л19==~ Ш ; (VIIL40) 14 , 20 362 880 Частота собственного колебания фундамента из выражения (V III.40) опре деляется по формуле ш 1 12 л / у *Е }0 _ т0 + qm 1 12 у J/ . (V III .41) m0 + ^rm Подставляя (V III.39) в частотное уравнение (V III.37) и произведя необходи мую операцию относительно параметра X, получим алгебраическое уравнение четвертого порядка: Xi + ХЗБ 3 + Г2Б 4 + ХБ5 + Б 3 = 0 , (VIII .42) где _ 4 Б 3 = — 2 (А + 360); £ 4 = — * 2 + Ю80й + 302 40 0; О Б5 = — ь ( - у № + 44(^ + 302 400 j ; Б б = *2 С учетом безразмерного коэффициента фундамент» *, равного _= J ^ E J0 жесткости * 2 + 8 0 * + 50 40 0 j . системы «основание — = 1 0 0 ,6 0 0 ^ 4 0 2 ,6 , ; 924-107 частотное уравнение (V III.42) примет вид Х4— 0 ,3 5 2 0 - lOiX^-f 0 ,448 7-107Г 2 — 0 ,2 3 4 0 - lO iC -b 0 ,3 9 4 0 -1 0 1 2 = 0 . (V III .43) Определенные на ЭЦВМ «Минск-32» действительные положительные корни этого уравнения имеют значения: Xmm = 308,70; X i= 1407,41. Значения основной частоты колебания и первого обертона по формуле (V I11.41) будут равны: 1 <о0 = — !— 0 6002 , Г 924-107 1 / — у 0 ,0 2 5 3 320 - У 3 0 8 ,7 0 = 2 9 ,5 2 с - 1 ; “1= 1 Г , 924-107 ,/• ------------ V Х г^ " ^ 1407,41=63,09 V 6002 0 ,0 2 5 3 Без учета массовой нагрузки будем иметь: О)0 = 1 1 “ 1= , / ' л Г ---------- 924-107 6002 , У 6002 Г 924-107 — 0 ,0 0 4 9 ■ V 1407,41 = 1 4 3 ,3 3 с - 1 . Пример V1II.2. Рассмотрим заново пример V III.1, но только при другом за коне изменения коэффициента жесткости основания при случайном его увлажне нии. Расчет ведем для случая увлажнения просадочных грунтов основания с тор ца фундамента. Изменение коэффициента жесткости основания опишем по закону квадартной параболы (рис. V III.3 ): IP(t) 'Чт 'Ш И Ш И И й1И '" шшттш. т* i * e Рис. V III.3. К примеру расчета V III.2 k (tj) = ktft + k0 (1 — а ) т)2; k (г;) = k (т)) И = кйП а + &(/4 (1 — “ ) I 2 Коэффициент неоднородности грунтов основания при просадке примем рав ным 0,4. Значение функций УцгС'))- Уг, гС'))* ^ 2,2 ('9) и itifi (ч) ПРИ Л = 1» вхо дящих в частотное уравнение .(V III.37 ), по-прежнему определяем выражениями (V III.3 8 ): j J ___ _в 1 _ _ ___ У 1,2 O') = 1) = ~17 ^ — *0^5 + "777 ^1,2 O'! = 1) = ^ — k A j + — У2,2 (7) — У 2,2 (Т1 — Х2 — kAy^K + A2^26i X — Ы б + —— Х2 — Х Ы 6 1) — 5! 7! х — kA% + Q _ + fe2Л22; 6! Д1 6! 27 + Х2 — Х Х Л 23 + (V III.44) №А2Ъ, №А-24, где М 4 I As - 20 ; А7 : 3 T 29 l A i = ~ W ;A21" 321 267 71 1 Л22~ 71 ' 125 ’ 46 1 ■>23 : -^25 = 7! 5 1 374 71 25 : I -4124 = 347 = 7! ; ^27 = 125 1 6 7! 5 26 4 1 ; л 2б = 467 ^ ^28 = ! 1375 Подставляя выражение (V III.44) в частотное уравнение (V III.37) и произве дя необходимую операцию, относительно параметра X получим алгебраическое уравнение четвертого порядка: Х4 + £ 9X3 + £ц)Х 2 + £ ц Х + £ 1 2 = О, (VIII .4 5 ) где 86 _ А - 7 2 0 ; Б 10 = £ 9= 41074 _ 21 174 _ 653 976 - " “ _ ~48!25~ £12 = 12 145 849 1203 125 - 6696 _ - k + 302 400; £2 + - у 835 к* + 206 228 1375 „ - — зи97вк - 535248 - £3 ч--------------- Й2. 5 С учетом значения коэффициента жесткости системы мент» k частотное уравнение (V III.45) примет вид «основание — фунда Г4 _ 0 ,4 1 7 - 104X3 + 0,652• 107X2 — 0 ,4 4 7 - 10WX + 0 ,1 0 9 .1 0 1 3 = 0 . (V III .4 6 ) Определенные на ЭЦВМ «Минск-32» действительные положительные корни этого уравнения имеют значения: Xmin = 5 5 3 ,7 0 ; Xi = 1 3 5 0 ,3 3 . Основная частота колебаний и первый обертон по .формуле ( V I I I .4 1 ) соответственно имеют значе ния: Ю о=39,53 с - 1 ; 0)1 = 6 1 ,7 4 с~*. Без учета массовой нагрузки будем иметь: 0)0= 89,88 с - 1 ; o>i = 1 4 0 ,3 9 с -1 . Пример V III.3. Требуется рассчитать частоты собственных колебаний балоч ного фундамента на просадочном грунте. Условия задачи такие же, как в при мере V I I I . 1. Рассмотрим случай, когда увлажнение основания может происходить в сере дине фундамента. Эпюра коэффициента жесткости увлажненного основания будет симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через середину фунда мента, и опишется по квадратичному закону (рис. V I I I .4 ) : k O')) = k0 + к0 k(r[) = k (rt) 14 = й0)4 + £ 0/ 4 ( а _ (« — 1) 7) — k 0 (ОС — 1) т]2; 1 ) т ,]_ й 0/4 (а — 1 ) т]2 = а + Рч — Значение коэффициента неоднородности по-прежнему примем равным 0,4. грунта ' _ основания при просадке Значения функций */i 2 (^l)> У1 2 ^ ) ’ И2 2 (Tl)• 1*2,2 С 7)) ПРИ 0 = 1 . входящие в частотное уравнение(V III.37), определяем выражениями (V III.38). Раскрыв интегральные операторы в (V III. 19), путем кратного интегрирования Х о = (/П о + ?т)Р ш 2 и функции k(r\) легко можно установить: 322 У \р С7! = ^) = 77 ^ — ^ 9 77 + 1 -^ 1 , 2 = 0 = ^2 — 29 + & 2 Л зо I _ ^ — &Ац + X2 — Х А Л 33 4 - АЗДз4> #2’2O'! = !) —ПГ ^—^12 + 17!7 №—ХЫ35+ *2Лзб1 О #2,2 (''i — ' ) — 7 7 ^ — ^ 1 0 + ( V III.4 7 ) X2 — Х Ы 31 -р *2^ 32, 6! I P(t) i U! И ш ш ш • Рис. V III.4. К примеру расчета V III.3 3 -Дэ = -Дю = 1 3 ; Ап —~ ; т1]2; 367 13 150 _ _1_ ’ 46 1 _46_ _ 29 — 6 ! ' 1 35 367 ’ _ А з о = 61 ‘ 875 ’ Л з 1 = 6 ! ' 35 ’ Л з 2 = 61 ’ 875 ’ л 33 _ _ L 71 fin. -A _ _ L J0 6 _ . ’ 34 6 ! ‘ 35 ’ 35 __1_ 61 ' 6 35 ’ 36 1 71 ’ 487 1375 Подставляя (V III.47) в частотное уравнение (V III.37) и произведя необходи мую операцию относительно параметра X, получим алгебраическое уравнение чет вертого порядка: Х4 -р -Р ^1бХ2-|- E i 7 Х -Р ^ 1 8 — 0 , где Б 15 = 92 _ 24 294 — — Л — 720; £ 16 = — 35 9625 Бп = Z>18 = _ 7344 _ k2 + — -— k - f 3 0 2 4 0 0 ; 50404 _ 27360 _ „ - . ■ЛЗ— ----------------А2 — 411 264 k* 48 125 33 191029 1203 125 _ k* + 1 7 1216 — 825 323 _ 689472 A3 + ----;------ *2. (V III.48) С учетом коэффициента ж ест к о сти си стем ы «основание — ф ундамент» * чай то тн ое уравнение ( V I I I .4 8 ) примет вид Х 4 _ 0 ,4 4 0 6 - 104X3 + 0 ,7 3 3 1 •107X2 - 0 ,5 3 8 2 - 10ЮХ + 0,1460-1013 = 0 . ( V I I I . 49 Определенные приближенно действительные положительные корни этого уравнения имеют значения: Xmin = 7 0 0 , Xi = 1200. Основная частота колебаниИ и первый обертон по формуле ( V I I I .4 1 ) соответственно имеют значения: соо= = 4 4 ,4 5 с - 1 ; coi == 5 8 ,2 0 с - 1 . Без учета массовой нагрузки будем иметь: ш0=» = 1 0 1 ,0 7 с - 1; со ,= 1 3 2 ,3 3 с -* . Пример VII 1.4. Произведем расчет частоты собственных колебаний балочного фундамента на просадочном грунте в предположении отсутствия возмож ности увлажнения основания. Коэффициент жесткости основания по всей длине фундамента будет постоянным и равным значению его для грунта естественного состояния (рис. V III.5 ). Решение рассматриваемой задачи получается как частный P(v ! ЕЕ Ш W he" Не Рис. V III.5. К примеру расчета V III.4 случай из задачи, рассмотренной в примере V III.3. В самом деле, принимая в при мере V III.3 |3=0, будем иметь k (y]) = k (т ;) /4 = а = к0№ = co n st. Тогда постоянные At в примере V III.3 примут значения: А д — А 10 — 1 ; А п — 1; А , У _ _± у М32 — т пг. ' ’ 33 3 720 60 . i_ у 34 - 1 ; ^29 : 120 36 0 ’ Аз° 720 ’ Ап 360 ' 1 у ■ ЛЯ 35 ~~ 2 5 2 0 ’ А з6 5040- Частотное уравнение (V III.48) принимает вид Г* + £Г'16Р + Б '1 (р + Б'17Т + Б 'а = 0, где Б [5 = — 4 к — 720; £ ' 6 = 6*2 + 2160* + 302 400; Б \7 = £ ' g = — 4 * з — 2160Г 2 _ *4 + 720*3 + 324 604800*; 302 400*2. (V III.50) [■ С учетом коэффициента ж естк о й систем ы « о сн о в а н и е— ф ундамент» k ч а ст о т ‘ иое уравнение ( V I I I .5 0 ) принимает вид Х4— 0 ,6 3 4 0 -ю Т х з + 0,1514-108X 2— 0,1615-1011Х + 0 ,6 4 5 0 -1 0 7 = 0 . (V III. 5 1 ) Определенные приближенно действительные положительные корни этого уравнения имеют значения: Xmin = 1 4 0 0 ; X i= 1 8 0 0 . Основная частота колебаний и первый обертон по формуле (V III.41) соответственно имеют значения: шо= = 62,86 с - ' ; coi = 71,28 с -1 . Без учета массовой нагрузки будем иметь: о)о=142,91 с - 1; 0)1=162,04 с - 1. Рассматриваемая задача имеет замкнутое решение *. Частоту собственных ко лебаний соответствующего тона, согласно этому решению, определяют по фор муле г- (V III.5 2 ) где г — корень трансцендентного уравнения частоты балки постоянной жесткости с двумя защемленными (или свободными) концами, не имеющей сплошное осно вание: ch г cos г = 1, имеющий значения: г0= 0; r i= 4 ,7 3 ; = 7,853; г3= 10,995. Согласно формуле (V III.5 2 ), имеем: со0= 62,92 с -1 ; coi = 73,28 с -1 . Без учетамассовой нагрузки основная частота и первый обертон имеют значения: (о0= = 143 с - 1 ; Wi = 166,62 с -1 . Нетрудно заметить, что значения основной частоты, колебания, определенные методом последовательных приближений и замкнутымрешением, практически совпадают (погрешность 0 ,0 1 % ). Расхождение значенийпервых обертонов составляет 2,7% . Результаты решенных примеров приведеныв табл. V III.3. Как видно из данных табл. V III.3, минимальное значение основного тона частоты получается при увлажнении основания с торца зданий. При этом линей ный закон изменения жесткости грунтов основания приводит к наименьшему значению основной частоты. Наибольшее значение для основного тона и обертона получается для неувлажненного основания. Характерно отметить, что площади эпюры изменения жесткости грунтов основания и значения частот собственных колебаний фундамента находятся в определенном соотношении. Последнее обстоятельство позволяет предложить практическую формулу дляопределения основной частоты и обертонов колебаний балочных фундаментов на просадочных грунтах с учетом характера увлажнения оснований. Формула основного тона колебаний имеет вид (V III.5 3 ) Значения обертонов колебаний определяют по формуле (V III. 54> где * Филиппов А. II. Колебания деформируемых систем. М., 1970. 325 326 Таблица Vlll.5 Коэффициент ф(й) характеризует влияние просадки на частоту колебаний при увлажнении основания фундамента и определяется по формуле 1 Значения коэффициента ф (£) для каждой рассматриваемой в примерах эпюржесткости основания приведены в табл. V III.5. Вычисленные по формулам (V III.53) и (V III.54) значения частот собственных колебаний фундамента приве дены в табл. V III.5 в знаменателях соответствующих частот. Приведенные дан ные показывают надежность формул (V III.53) и (V III.54) для ориентировочной оценки частоты собственных колебаний балочных фундаментов на увлажняемых, просадочных грунтах. ПРИЛОЖ ЕНИЯ } Приложение = П<? (л:) А(л:) П0ср(л :)Г Г 0<р(л:) П<р(лг) &(х); Ял;2= П 2<р(х) k (х) П0р (л:) -j- Пf ( x ) k (х) П0р (х) Пр (х) k (л:) 4 4* ПоР {х) П2ср(л) k (х); а а, з= IFcp {х) k (х) П0р {х) -|- Шр ( x ) k ( x ) П0р (х) Пр (л:) k (л) - f 4 - Пр {х) k (л) П0р (х) П2ср(л) k (л) + П0р (л;) П3р (л:) k (л:); ЬЛ, 1 = Пер(х) k (х) По ср(х) - f П0ср(х) Пер(х) k (х) П0ср(х) + 4 Поер(х)Пу (х)А(х); Ьа ,2 = П2ер(X) k (X) По ер(X) 4 Пер(х) k (х) П0<р(х) Пер(х) k (х) П0ср(х) 4 4 П'ер (X) k (X) По_ер(X) Пер(х) k(x)-\- П0ер(х) Шер(х) k (х) П0ср(х) 4 4 П0ер(X) Пер(х) k (X) П0ер(х) Пер(х) k (х) 4 По ер(х) П2ср(х) k (х); Йд,а=П3ср(х) k (х) П2ер(х) 4 П2ср(х) k (х) П0ер(х) Пер(х) k (х) П0ср(х) 4 4 Шер(х) k (х) По ср(х) Пер(х) k (х) 4 Пер(х)£(х)П0р(х)Шр(х)£(х) П0ер(х) 4 4 Пер(х) k (х) П0ср(х) Пер(х) k (х) П0ср(х) Пер(х) k (х) 4 4 Пер(X) k (X) По ер(х) Шер(х) k (х) 4 П0ер(х) П3<р(х) k (х) П0р ( х ) 4 4 П0ер(х) Шер(х) k (X) П0ер(х) П<р(х) k (х) 4 П0р (х) П<р(х) k (х) П0ер(х) X X Шср(х)&(х)4Поср(х)П3ср(х)й(х); СА,\= П'Р (х) k (х) По ер(х) 4 П0ер(х)П р(х)£ (х) По ер(х) 4 4 По р (х) Пр (х) k (х) П0р (х) 4 По р (л) Пр (х) k ( x ); ■сА ,2 = Шр (х) k (х) П([р (х) 4 Пр (х) k (х) П0р ( х ) Пр(х)й (х) По р (х) 4 328 -f Пер(л:) k (л:) По ? (■*) П? (л) k (х) П0? (л:) + Пер(л:) k (х) По ер(л) X X Пер(х) k (х) + П0ер(х) П2?(х)£(х)По ер(х) + П0ер(х) п<р(х) k (х) По? (х) х х Пер(х) k (х) По? (х)+По? (х) П? (х) k (х) П? ? (х) П? (х) k (х )+ 4- По ? (х) П2? (х) k (х) П0? (х) -f По ? (х) П? (х) k (х) П0? (х) П? (х) k (х) 4* -f По ? (х) П2? (х) k (х); с а,3= п3? (х) k (х) По ? (х) -f п2? (х) k (х) По? (х) П? (х) k (х) По? (х) ' ГОр (х) k (х) По ? (х) П?(х) k (х) П0? (х) + П2? (х)£(х)По?(х)П<р(х)й(х) 44- П? (х) k (х) П0? (х) П2? (х) k (х) По ? (х) 4~ 4- П? (х) k (х) П0? (х) П? (х) k (х) П0? (х) П? (х) k (х) П0? (х) 44- П? (х) k (х) П0? (х) П? (х) k (х) По_? (х) П<р(х) k(x)-\4- П? (х) k (х) По ? (х) П2? (х) k (х) П0ср(х) 44- П? (х) k (х) По ? (х) П? (х) k (х) Пэ? (х) П? (х) k (х) 44- П? (х) k (х) П§ ? (х) П2? (х) k (х) + П0ср(х) П3? (х) k (х) По ? (х) 4 . 4- П0? (х) П2? (х) k (х) П0? (х) П? (х) k (х) П0? (л)44- П0? (х) П2? (х) k (х) По ? (х) П? (х) k (х) 4- П0? (х) П?(х)£(х)П0?(х) X X П 2? (х) k (х) П0? ( x j + П0? (х) П?(х) k (х) П 0? (х) П ? (х) k (х) П0? (х) х X П? (х) k (х) 4~ П0? (х) П? (х) k (х) По ? ( x ) n 2?(x)jfe(x)44- По ? (х) П3? (х) k (х) П0? (х) 4- По ? (х) П2? (х) k (х) П0? (х) П?(х)& (х) 44- По ? (х) П? (х) k (х) П0? (х) П2? (х) k (х) 4- По ? (х) П3? (х) k (х); а в,1= П? (х) k (х) П0х? (х) 4- П0? (х) П? (х) k (х) х; о-в,2= П2? (х) k (х) П0х? (х)4-П ?(х)А (х) П0? (х) П? (х) k(x)x-\4~ П0? (х) П? (х) k (х) П? (х) k (х) х ; а в,з= П3? (х) k (х) П0х? (х) 4- П2? (х) k (х) П0? (х) П? (х) k(x)x-{4- П? (х) k (х) П0? (х) П? (х) k (х) П? (х) k (х)х 44- П0? (х) П2? (х) k (х) П? (х) k (х) х; Ьв,\— П ? ( х ) &(х ) П 0? ( х ) П 0х ? ( х ) 4- П0? ( х ) П ? (x)k (х )П 0х ? ( х ) 4 4“ По ? (х ) П? (х ) &(х ) х ; 329 Ьв,2 = П 2р ( л :) k (х) П 0р (х) П0Хр (х) + Пер (х) k (х) П0р (х) Пер (х) k (х)>Я X П о Х ? (х) -f П 0ер (X) k (х) По ер (х) Пер (х) k (х)х + | + П0р (х) п 2ср(х) k (х) П0хер(х) + П0ер(х) Пер(х) k (х) П0<р(х)Пр (х) ft(x)X-f"1 + П?ер (х) Пер(х) k (х) Пер(х) k (х) X; 1 Ьв,з= пзер(х) k (х) П0ер(х) П0Хср(х) -f п2ср(х) k (х) П0р (х) Пр (х) k(x) X Х'ЛоХ ер(х) + Шер(х) k (х) По ер(х) Пр (х) k (х) X -f- Пр (х) k (х) Пар (х) X ■ X П2р (х) k (х) П0х® (x)-f4~ Пр (х) k (х) Црр (х) Пр (х) k (х) П0р (х) Пр (х) k (х) x - f + Пр (х) k (х) По р (х) Пр (х) k(x) х Пур (х) Шр (х) k (х) П0хр (х)-)- -f П0р (х) П2р (х) k (х) хПэр (х) Пр (х) k (х) х -{-Пэр(х) Пр(х)й(х) Пур(х) Пр(х)й(х) Пр(х) k (х) х-(- f Пор (х) П2р (х) k (х) Пр (х) k (х) х; C b,i = Пр (х) k (х) По р (х ) П0хр (х ) -j- П0р (х) Пр (х) k (х) П0р (х) X X Пахр (х ) -j- П2р (х) Пр (х ) k (х ) Пэ хр (х ) + По р (х) Пр (х) k (х) х; с в, 2= П2р (х) k (х) П о Р (х) Пор (х) х 4- Пр (х) k (х) п0р (х) х ; X Пр (х) k (х) Пэр (х) Пэх р (х) 4- Пр (х) k (х) По р (х) Пр (х) k (х) X ’ X П0р (х) х 4- Пр (х) k (х) По р (х) Пр (х) k (х) х 4- j 4- п0р(х) п2р (х) k (х) пэр (х) Пахр (х) 4- Пур (х) Пр (х) k (х) X X П0р (х) Пр (х) k (х) П0х р (х) 4* Пэр (х) Пр (х) k (х) X X По р (■*) Пр (л) k (х) х 4- По р (х) П2р [x)k (х) П0Хр (х) 44- Пор (х) Пр (х) k (х) Пор (х) Пр (х) k (х) х 4- По р (х) Пр (х) k (х) X ’ X Пр (х) k (х) х; a c,i = Пр(х) k (х) Пор(х)4- П0р (х) Пр ( x )k ( x ) П0р (х); j ! ас,2= П 2р(х)^(х)П ор(х) 4-Пр(х) k{x) П0р (х) Пр (х) £ (х) П0р (х) 4~ + П0р’(х) П2р (х) k (х) П0р (х); j а с ,з = П3р (х) k (х) П о р (х) 4 - П2р (х) k (х) Л0р (х) Пр (х) k (х) X х П0р (х) 4* Пр (х) k (х) П0р (х) П?р (x )k {x ) П0р (х)44- П0р (х) П3р (х) k (х) П0р (х); 330 j bc,\ = Пер (х) k (л) По ср(х) + П0ср(х) Пер (х) k (х) По ер(л:) + + По а (л:) Пер(х) k (х) П0ер(х); Ьа,2 = П2р (х) k (х) По ср(х) + Пер(х) k (х) П0ср(х) Пер(х) k (х) По ср(х) -j4- Пр (х) k (х) По 9 (х) Пр (х) k (х) П0р (x )-f П0р (х) П2р (х) k (х) X X По р (х)-f- П0р (х) Пр (х) k (х) П0р (х)Пср (х) k (х) И0р(х) 4~ 4- По р (х) П2р (х) k (х) Пор (х); Ьс,з= П3р (х) k (х) По р (х) 4- П2р (х) k (х) П0р (х) X X Пр (х) k (х) По р (х) -f П2р (х) k (х) По р (х) Пр (х) k (х) X X П0р (х) 4- Пр (х) k (х) П0р (х) П2р (х) k (х) По р (х) 44~ Пр (х) k (х) П0р (х) Пр (х) k (х) П0р (х),Пр (х) k (х) П0р (х) 4~ 4- Пр (х) k (х) По р (х) П2р (х) k (х) П0р (х) 44- П0р (х) П3р (х) k (х) По р (х)4- Пор (х) П2р (х) k (х) По®(х)_Х X Пр (х) k (х) П0р (х) 4- П0р (х) Пр (х) k (х) П0р (х) X X П2р (х) k (х) П0р (х) 4- По р (х)П3р (х) k (х) П0р (х); Сс, 1= Пр (х) k (х) По р (х) 4- П0р ( х ) Пр (х) k (х)По р (х) 4- 4- По р (х) Пр (х) k (л:).По р (х) 4~ По р (х) Пр (х )k (х) П0р (х); Сс,2 = п2р (х) k (х)_По Р (х) 4-Пр(х)/г (х) П0р (х) Пр [ x ) k (х) По ? (х) 4- 4- Пр (х) k (х) По р (х) Пр (х) k (х) По р (х) 4- Пр (х) k (х) X X По р(х)П р(х)£(х)П 0р(х) 4-П 0ф(х)П29 (х)£(х)По р(х)4 4- П0р (х) Пр (х) k (х) П0р (х) Пр (х) k (х) По р (х) 44- П0р (х) Пр ( x ) k (х) По р (х) Пр (х) k (х) П0р (х) 44- П^'р (х) П2р (х) k (х) Пор (л)'4~ По р (х) Пр (х) k (х) П0р (х) X X Пр (х) k (х) П0р (х) 4~ По р (х) П2р (х) k (х) П0р (х); ао, 1=П р (х) k (х) П0р (х) П0х р (х) 4- П0р (х) Пр (х) k (х) П0хр (х ) ; a Dt2 = П2р (х) k (х) П0р (хJ П0х р (х) 4- Пр (х) k (х) П0р (л) X х Пр (х) k (х) п0хр (х) 4- П0р (х) П2р (х) k (х) п0хр (х); оо,з— П3р (х) k (х) п0р (х) п0хр (х) 4- П2р (х) k (х) П0р (х) X х Пр (х) k (х) П0хр (х)4-Пр (х) k (х) П0р (х) П2р (х) k (х) X X П0р (х) х 4- П0р (х) П3р (х) П0хр (х); 331 bDtX= Пер(x) k (x) n 0tp(x) n0xcp (x) + H0tp(x) Пер(x) k (x) X X n 0ep(x) П0Xep(x) + По cp(x) Пер(x) k (x) П0Хср(x); bo ,2= П2ср(x) k (x) По ер(x) ПЭХ <p(x) + Пер(x) k ( X ) X П0ср(х)Пср(х)£(х) Поср(х)П0хср(х) + Пср(х)&(х)По<р(х) X X Пер(x) k (x) П0Хер(x) -f- П0<р( X ) П2р (x) k (x) Поср(x) П0хер( X ) - f п0ер(x) Пер(x) k (x) Паер(x) Пер(x) k (x) X X n 0x<p(x) + По ep(x) n 2ep X X X (x) k (x) П0Х<р(x); bD>3= П3р ( X ) k ( X ) П§ ер(х)П0Х p ( X ) + П2р ( X ) k{x) П0?;(Х) X Пр (x) k (x) П0р (x) П0х P (x) - f П2р (x) k (x) По p X (x) X X Пр (x) k (x) n 0p (x) x -f- Пр (x) k (x) П0р (x) n 2p ( x ) k_(x) X X n 0p (x) Пэхр (x) + Пр (x) k (x) Пор (x) Пр (x) k (x) X ХПор(х)Пр(х)Л(х) П0хр (x) 4 - Пр (x) k (x) По2p (x) X П2р (x) k (x) n 0Xp (x) -\- Hop (x) n3p (x) k (x) П0р (x) X x X П0хр ( х ) + п 0р (x) П2р (x) k (x) П0р (x) Пр (x) k (x) X х;пэхр (x) - f п0р(x) Пр(х) k (x) Пор (x) n 2p (x) k (x) X X П0хр (x) + ng p (x) П3р (x) k (x) П0хр (x); c Dll = Пр (x) k (xJHo p (x) П0хр (x) + П0р (x) Пр (x) k (x) X X ngp (x) П0х P (x) - f ng P (x) Пр (x) k (x) n 0p (x) n 0xp ( x ) + П®p (x) Пр (x) k (x) П0хр (x); Cd,2 = П2р (x)k{x) По]р(x) П0р (x)x-f+ Пр (x) k (x) П0р (x) Пр (x) k (x) IIo2p (x) П0хр (x) + + Пр (x) k (x) П2p (x) Пр (x) k (x) П0р (x) П0хр (x) + + Пр (x) k (x) По p(x) Пр (x) k (x) П0хр (x) -f ’ П0р (x) П2р i_x) k (х)По p (x) П0хр (x)-fП0р (x) Пр (x) k (x) П0р (x) Пр (x) k (x) П0р (x) П0хр (x) -f+ П0р (x) Пр (x) k (x) По p (x) Пр (x) k (x) П0хр (x) + ng p (x) П2р (x) k (x) П0р (x) П0хр (x)-f-1 + П2p (x) Пр (x) k (x) П0р (x) Пр (x) k (x) П0хр (x) -f+ ng p (x) П2р (x) k (x) П0хр (x). 332 Приложение II Г = 0, 7-1,2 = 2, N = 0, ^ , 2 = 30 , N l3 = 4 3 66, . . . = 2, £ 1i2 = 112, £ , 3 = 20384, . . . Т 7’1,з = 1 2 2 , . . . = 0, T2,2 ~ 6. 7-2,3 = 156, . . . ^ 2 ,1 = 0 . лг2,2 = 42, Tâ = 7920, . .. £ = 6, 7 -3, 2 7^3,1 — Л73 7^2,2 ~ 432, = 0, ~ 30 , ^ 3,2 = 9 0 , = 90 7 2 0, . . . £ 23 7-3,3 ~ 302, ... ЛГ3 3 = 32 760, . . . = 30 7^3,2 ~ 3960, £ 3 j3 = 0, = 1 213760, . . . Р = 0, T?1,2 — 2, P 1i2= 1 2 , 7?i,3 = 70, . •• P l3 = 1140, . . . а = 2, Gl,2 = 60, 0 , 3 = 7 9 20, . . . т? = 0, У?2,2 = 6, Т?2 ,з = 98, . . . Т>2 = 0, P22 = /> 2 3 = 3 112, . . . 02 = 6, G2,2 = 252, 7?з = 0, 7?з,2 ~ 30 , ^з.з = 218, . . . ^3 = 0, Т'з.г = 36, P G3 = 30, G3;2 = 2700, G 3>3 = 6 4 8 0 0 0 , . . . Si = 0, ^ 1,2 = 2, ^ 1,3 = 88, 7j = 0, 7 1, 2 AT, = 2, 20, = 30, ■^1,2 — 112, S 2, = 0 , "^2,2 = 3 > = 0, ^2,2 = 43, M2 S3 = 6 , S 3,2 = 30, 33 /,3 = 18 5 32, . . . ... = 2 9 9 2, . . . Л11 3 = 14 784, . . . 7*2,3 ^ 120, ... / 23 7.12,2 := 432, = 0, 0 2 з = 39 3 12, . . . = 5 7 1 2 ......... М2г = 67 392, . . . S 3>3 = 252, . . . = 0, ^3,2 = 90, M3 = 30, ^ 3,2 = 3960 / 33 = 25 800, . . . M 3)3 = 950 4 00, . . . Tî = 0, 7>i = 0, H i,2 = 12, 7?i,3 = 844, . . . И, = Hi,2 = 6 0, 41,,з — 5 400, . . . 7^2 = 0, T>2 = П2 = 2 , 0, 6 , 7Ч 2 7 Ч ,з = 4 4 , = 2, ... 7^2,2 = 6, Т'г.з = 68, П2,2 = 20, D2i? = 2 124, . . . Нг,2 = 2 52 , П2 3 = 2 7 7 2 0 , . . . 333 ... ^8.1 = °. ^3,2 — 00 • ^3i3=176, ^3,1 = ^3,2 = 36, £>33=14052, . . . n 3il = 30, П3)2 = 270 0 , ... П33 = 4 9 1 4 0 0 , . . . П риложение 1It *1, s l, r l = 0, ^2,1 = 2, = 0, S2,1 = 0, Г2,\ = 0 0 , Pi, = 0 , 7i, = 2 , = 0, «1, m h = 0, *1, d i, ^з,1 = 122, = 6, 1 206, ... Гз ,1 = 4 336, . . . р 31 = 89544, . . . />2,1 = °. У2,1 = 112, /3)1 = 20 3 8 4 ......... 8 2д = 432, £ 6^ = 502 320, . . . т2 j = 210, тзл = 4 7 6 064, . . . е31 — 4 = 0, е2 j = 504, = 6, rf2_j = 4 3 2 0 , h ,2 = 0 , s 3 ,i = ... 181 7 6 0 , . . . rf3 1 = 17 625 600, . . . ^2,2 = ^3,2 = 133, ••• s 1,2 = 0 , s2,2 = 24, s 3 2 = 1 6 80, . . . r l,2 = 0, '’г,2 = 42, г з,2 = 7 920, . . . P 1,2 = 0 , /?2,2 = 0, /?3 2 = 173 232, . . . 4 , = 90 720, . . . 7*1,2 = 6 , 7*2,2 ~ 4 3 2 , «*1,2 = 0, £2,2 = 2160, m l,2 = 0 , т 2 2 = 336, e l,2 = 0 , е2,2 = 720, a i,2 = 2 4 , = 0, £ 3)2 = 2 142 720, . . . тъ 2 = 1 006 560, . . . 4 2 = 18 213 120, . . . ^2,2 = 23 7 60, 4 д = 115 328 960, . . . ^2,3 = 30, 4 3 = 302, . . . S l,3 = 0 , 5 2.3 = 210, 4 з = 3 930, . . . /*1,3 = 0 . г 2,3 = 9 0 . Гз,з = 02 760, . . . P 1,3 = 0 , />2,3 = ° . />3,3 = 850 4 76, . . . h ,z = 3 0 , 72.3 = 3960, 73,з 5г,з = 02 760, £ 3 3 = 34 814 232, *1,3 5*1,3 = 0 , = 0, “ 1,-3 e l,3 = 0 , 5 l , 3 = 210, та0 = /и2,3 = 9 90, * 2 , 3 = ! 716, rf23 = 458 6 40, 334 = 1 211 7 6 0 ...... 6 333 840, . . . е 8>3 = 410 1 9 9 0 4 0 , . . . 4 3 = 3 6 6 1 9 4 7 2 0 0 .......... *1,1 ~ *2,1 = *3,1 = • • = * « , 1 = ° *1,1 = *2,1 = 70, *1,1 = °> s2 *3,1 — 7 0 , . . . s3 j = 5 7 0 ,'... i = 570, 7 1,1 = ° . 7 2>1 = 1 320, 7 3)1 = 1320, . . . ? 1 ,1 = ° . J 2iI = 21 792, ^3,1 = 21 7 92, . . . -/1,1 = 2 . 7 21 = 7 9 2 0 , 7зд = 7 9 2 0 , . . . #1,1 = 0 > ^ 2,1 = 207 792, 7 m = 207 7 92, . . . m i j = 0, m2 j = 89 136, m 3 1 = 89 136, . . . «1,1 = 0 , 7 2д = 1 834 5 50, 7 3 1 = 1 834 5 5 0 , . . **i,i = d 2 j = 5 503 6 8 0 , d 3 j = 5 503 6 80, . . *1,2 = *2,2 = *3,2 = • • = *л,2 = 0 *3,2 = 9 8 , . . . *1,2 = °> *2,2 ~ Sl,2 = °> s 2,2 = 24, s 3,2 = 8(34, . . . 7 i ,2 = 0 , r 2,2 = 20, 7 3;2 = 3 112, . . . Pl,2 = °> P2,2 = p 3 2 = 56 016, . . h , 2 = 8. 7*2,2 = 2^2, 7 з ,2 = 39 3 1 2 , . . i ri,2 = ° . £*2,2 = 6 7 2 , £ 2 ,2 = 1 03 9 5 8 4 , ^ 1 ,2 = 0 , m2 2 ~ 120, m3 2 = 2 5 9 2 0 0 , . ^1,2 = 0» 7 2j2 = 2 016, 7 3j2 = 9 8 7 8 4 0 0 , **1,2 = 2 4 , ■rf2 2 = 12 0 9 6 , 7 32 = 4 0 6 4 2 5 6 0 *1,3 = *2,3 = *3,3 = *1,3 = Sl,3 = °> 7 1,3 = °> -^1,3 = А ,з = ^*> £4,3 = « 1 ,3 = ° , • • = Ч з= ° * 3 ,3 = 2 1 8 , . . . *2,3 = 7 2,3 = 210, s 3,3 = 2 4 3 0 , . . . 7 23 = 5 6 , /■3 3 = 18 3 52, . . / ’3,3 = 419 0 40, . . ?2,3 = ° . / 2j3 = 2 7 0 0 , 7 з (з = б48 0 0 0 , . . £2,3 = 4 6 20, g 3>3--= 11 939 504 m23 = 5 0 4 , m3>3= 1 6 7 6 2 4 0 , 335 е 1,3 — O' e2i3 = 29 700, «33 = 252 853 920, ^1,3 = 210, rf23 = 277 2 00, rf3)3= 1 611 640 800 4 i = 4 i = 4 i ~ • •= 4 ,1 = 0 r u = °, 4 ,1 = 2, 4 , i = 3®> ••- s u = o, 4 , 1 = O' 4 , 1 = 7 20, . . . /?j,i = 0, 4 , 1 = 00, £ 3 1 = 2 9 92, . . . Л д = 0, P 2,1 = 0 , ,/> 3 1 = 56 880, . . . y ( i = 2, / 2,1 = 1 1 2 , / 3>1 = 14 784, . . . C?i,j = 0 , G2 1 = 4 32, G3)1 = 4 1 6 8 3 2 , . . . Afu = 0 , ^ 2 ,1 = 210, Af31 = 2 8 9 4 4 0 , . . . £ u = 0, £ 2 1 = 1008, £ 3>1 = 3 931 200, . . . z>M = 6 , £>2 1 = 4320, G 31 = 11 793 6 00, . . ^1,2 = ^2,2 = Ч 2 = ' • = 4 , 2 = 0 7’l,2 = 0 , 4 ,2 = 0. r 3,2 = 1 2 0 . . . . S 1>2 = 0 , $2,2 = 24, S 3j2 = i ObO. . . ^1,2 = °> 4 , 2 = “12, T?32 = 5 712, . . . P x2 = 0, />3 2 = 117 360, /^2,2 = 0 , •^1,2 = / 2,2 = 4 32, / 3,2 = 67 3 92, . . . ^1,2 = ®' G2j2 = 2160, G3 2 = 2 122 8 4 8 , . . . ^ 1 ,2 = 0> ^1,2 ~ D ifi — 2 4 , Л12 2 = 336, M 3,2 = 641 5 2 0 , . . . /* 2,2 = 4320, £ 3 2 = 23 680 0 0 0 , . . . D2j2 = 23760, £>32 = 79 833 6 0 0 , . . . Xi,3 = Ы з = ^3,3 = • • = 4 , 3 = 0 ^1,3 = ° . 0 со II 1,3 = Л ,з = ° . ■ Ч з= 3 0 ’ Gi,3 = 0 . ^ 1 ,3 = 0 . £ i3 = 0 £ > 13 = 2 1 0 , 4 , 3 = 30, r 3,3 = 2 52, . . . "“*2,3 = 2 10, S 3 3 = 2 9 16, . . . 4 , 3 = 90, £ 3,3 = 25 8 00, . . . 4 , 3 = 0, £ 3>3 = 663 8 40, . . / 2 3 = 3960, /д з = 950 400, . . G2|3 = 3 2 7 6 0 , G33 = 39 070 0 80, ЛГ2,з = 990, £ 2|3 =51480, £>2 3 = 458 6 4 0 , 336 ■M3i3 = 4 490 6 40, . £ 3>3 = 552 782 880, £>3 3 = 2 6 6 6 5 3 3 96 *1,1 — °> *2,1 — 2 , 7М = °, «2,1 = ®> *i,i = ° . *2,1 — *3,1 ~~ 4 4 ’ ••• 18|1= 276, . . . *3,1 = 8 4 4 , . . . /)3>1 = 12 4 8 0 , . . . P i,i = о. Р2,1 = Л , 1 = 2> 7*2,1 = 6 0 , У'з,, 1 = 0 4 0 0 , . . . л = 133 3 2 0 , . . . ^2,1 == 2 5 2 , m2 j = 60, , т3 j е-и = 0 , *2,! = 420, *з j = **i,i = 6> d 2jl = 2 0 1 6 , rf3 1 = 3 4 5 9 4 5 6 , . . ^1,2 = °> *2,2 = 6 , II "ю О «1,1 = ° . * 2,2 = P l,2 = ° . Р2,2 = 0 , Л ,2 = 49 536, . . . 1 153 152, . . *3,2 = 6 8 , . . . «з,2 = 4 8 ° , . . . «2,2 = 2 4 , *1,2 = ° > = гз 2= 20, 2 12 4 , . . . 2 = 3 4 368, . . . 7*2,2 = 2 5 2 , 4 2 = 27 7 2 0 , . . . 0, £*2,2 = 0 1 2 , i 32 = 8 8 7 4 5 6 , . . . «1,2 = ° . ttt 2 2 — 120, «3 2 = е 2 2 = 2 016, е32 = 6 4 9 9 584, . . ^ 2 = d 3j2 = 2 6 4 1 7 6 6 4 , , е 1,2 = «1,2 = °> 24, d h3 = *1,3 = 6> = 6> * 1 ,з = °> 12 0 9 6 , *2,3 = * з ,з= 1 7 6 , . . . «2,3 = 2 1 0 , «з,з = 1 7 0 4 , . . . \ *2,3 = 6 6 , 3 = 14 0 5 2 , . . . р 3>3 = 2 9 3 2 8 0 , . . . 7*2,3 = P l,3 = 656, ' ' * 72,з = 2 700, Уз,з = 4 9 1 4 0 0 , . . . * 1 ,3 = ° . I2i3= i 3 3 = 14 5 7 8 2 0 0 , «1,3 = 0 > « 2,3 = 504 > У 1,3 = «1,3 = rfi,3 = 2 1 0 f 4 620, т33 = 1 8 3 6 5 7 6 , . . е 2 3 = 29 700, е 3 3 = 181 8 4 3 2 0 0 , 1 23 = 277 200, d g 3 = 113 0 9 7 6 00, /'.... 7 - 2 ,4 = ! . 7-3,4 = ! 5 , ••• О П рилож ение I V S 2,4 = 2 , SM = 1 2 2 ,. ., = 0, 7?2,4 “ б , Т?з|4 = 6 6 , . . А ,4 = 1' ^2,4 = 6 , 7 3,4 = 66, II 7-1,4 = 0 , /?1,4 12— 724 337 ... £ 3 4 = 10 192, £>з)4 = 20 3 84, 4.5 = 1®. ... 4 .5 = 1*>8, • • 4 .5 = 113, .. /3,5 = I®®, ••• 4 .5 = 2132, . 4 .5 = 1 880, . М 35 = 7 9 20, . . £ 35 = 20 608, £>3 5 = 90 720, 4 .6 = 27, . . . 4 .6 = 302, ... 4 .6 = 200, .. 4 , 6 = 7 50, . . . G3 6 = 5 2 16, . . 4 . 6 = 4 0 76, . . Af3,6 = 32 7 60, . 4 . 6 = 1 1 5 192, £>3)6= 1 2 1 1 7 6 0 4 , 5 = =2, 4 , 5 = 14, . . . 5 1)S = 0, 4 , 5 = :6 , 4 , 5 = 98, . . . 4 , 5 = =4, 4 , 5 = 64, . . . II о 4 , 5 = 0, JO! СЛ 4 , 5 = 4 2 , 5 “ ’ 4 , 5 — ••• = 4 , 5 = о, 4 5 = 2, 4 ,5 = =10, 4 ,5 = 100, .. 4 , 5 = 0, 4 , 5 “ =36, 4 , 5 = 2 156, . 4 , 5 = 0, 4 , 5 ==0, 4 , 5 = 896, . .. 4 , 5 = 0, 4 , 5 = 20, 4 , 5 == 3 112, . 4 , 5 = 0- 4 , 5 = 56, 4 , 5 = 20 608, 4 , 5 = 0> 4 , 5 = 252, 4 , 5 == 39 312,. 4 ,6 = 4 ,6 = 4 , 8 = . • • = 4 ,6 = 0 4 , 6 = о. 4 , 6 = 30, 4 , 6 ;= 2 1 8 , . . . 4 , 6 = о, 4 , 6 = 7, 4 , 6 = 1 8 4 , .. . 4 , 6 = 40, 4,6 = 5 2 0 , . . . °2,6 = -.270, G3,6 = 16100, 4 , 6 = 0, 4 , 6 = 3 620,. 4 , 6 = 56, 4 , 6 = 18 352, 4 , 6 = 0. 4 , 6 = 360, 4 , 6 == 172 800, £>1,6 = 30, 4 , 6 = =2700, 4 , 6 = 648 000 4 ,б о» = О 4 , 6 = о. О 1 1,4 = 0, •*1,4 = 0, s 2,4 = 2. 4 ,4 = 0, г 2,4 = 4 ,4 ”5*2,4 *4,4 = 13,...J 88,... S 3,4 = —4 7*2,4 5» 7 3 ,4 = 4 = 4 ,4 = 54,... 54,... — 1 100,.. Ра,4 = 339 СО о оГ 11 I е*, я » = 0, 12* ч = 1. ■ 4 , 4 = 0, 4 ,4 II — 4 , 4 — 4,4 — ' ' II 4 ,4 II 1,6 = 4 2° О 4 , 6 := 2 3 , . . . i 5' О) II II со 1кГ 4 , 6 = 5, О со II cf »е « 3,4 = 2 9 9 2 , . . . 4 ,4 = °. 4 ,4 = 42. 4 ,4 = 7 3 9 2 ,... d lA = 2 , ^ 4 = 112, « 1 ,4 = 0 , rf3,4 = 14 7 8 4 , . . , Х1,5 = Х2,5 = Х3,5 = •• • = ^ , 5 = 0 *1,5 = °> ^2,5 = 2 , г_ *3,5 = 16, . •• Sl,5 = °> «2,5 = б > « 3,5 = 129, ■ ■• ~ °> Г2,5 = 6 > 4 ,5 = 86 , . . . (N II из_ h , 5 = 14 • 4 ,5 = 1 4 0 .... 11,5 — °> 1 2 , 5 = 48 - £ з ,5 = 8 6 9 0 , . . . 4 , 5 = °> />2,5 = 0 > 4 , 5 = 1 з б 0 >••• « 15 = 0 , т 2,5 = 4 ^> «3 5 = 5 7 1 2 ,... «1,5 = 0 > * 2,5 = 1 1 2 , еъ d 2>5 = 4 32 , 4 , 5 = 67 3 9 2 , . . . Г 1,5 1'^ d l,5 = ®' . 5= 2 6 3 0 4 ,... Х1,6 = Х2,6 ~ Х3,6 = ••• = Хя ,6 = ° * 1,6 = °> ^2,6 = « 1,6 = ° . « 2,6 = Г 1,6 = °> 4 , 6 = 25,... ’ «з,б = 2 5 2 , ... 4,6 = 218,. •• 4 , 6 = 9, 7з,е = 650,... Л , 5 = 5- Л,б = ^ 9 , 4 , 6 = °- ^ 2,6 = 889, 4 , 6 = 9 989,... 4 , 6 = °* Р ъ, 6= 4 ,6 = 4 6 2 4 . . . . 9> и 26 = 90, « з 6 = 25 8 0 0 , . .. « 1,6 “ О* * 2,6 = 650 , е3>6= 244 2 0 0 . d 1>6 — 3 0 , 4 ,6 = 3 960, d3,6= 950 4 0 0 , . . 4 , 4 = 0, 4 ,4 = 1 . 4 ,4 = 9 ,-.. ^2,4 = 53,4 = 4 4 , . - . ^1,4 = 0. Л 2,4 = 3 , /?3,4 = 2 8 , . . . 7 1>4= i . / 2,4 = 4 , 7 3,4 = 2 8 , ... ^,4 = 0, 024 = Ю, <534 = 4 6 4 , . . . « 1,6 = °» II : °> О J 011 S l,4 Р 3 ^ 2,4 = 9 , 340 4 = 2 9 6 , ... = 8 4 4 ,... ^ 1 , 4 == o , ^ 2 , 4 == 1 2 , f l,4 — o , * 2 , 4 == 2 0 *3 ,4 = 2 7 0 0 ,... S 2 , 4 == 6 0 , * 3 ,4 = 5 4 0 0 ,... ^ 3,5 = = 1 2 , . . . f l,5 = o , *2,5 = 2 , *1,5 = 0 , *2,5 = 6 , ^ .,5 = 0 , * 2 , 5 := 4 , J 1.5 = 2, ■12,5 = ^ 1,5 = = 0 . ^ 1 ,5 = 0, ■4 on, II = 2, < 4 =6 8 , . . . 5 2 .... *3 ,5 = ^3,5 = = 8 0 . . . . 10, 1 5 8 4 _____ ^ 2 ,5 := 3 6 , ^ 3 ,5 = * 2 ,5 = 0 , * 3 ,5 = =6 4 0 , . . . ^ 1 ,5 = 0 , ^ 2 , 5 := 2 0 , ^ 3 ,5 = 2 3 0 4 .... * 1 ,5 = o , * 2 , 5 := 6 0 , *3 ,5 = 11 1 6 0 , . . . S 1.5 = 6 , *2 ,5 = 252, * 3 , 5 = =2 7 7 2 0 . . . . f l,6 — o , *2,6 = 5 , *3 ,6 = *1 ,6 — o , *2,6 = 3 0 , *3 ,6 = = 1 7 6 , . . . *1 ,6 = 0 , *2 ,6 = 7 , * 3 , 6 == 1 6 0 , . . . =2 1 , . . . О TP J 2,6 = 4 0 , G l,6 = 0 , ^ 2 ,6 = 2 7 0 , ^ 1 ,6 = 0 , * 2 ,6 = 0, * 3 ,6 = M 2 fi = 5 6 , ^ 3 ,6 = 15 3 1 2 , . . . *2 ,6 = 3 6 0 , *3 ,6 = 1 3 3 3 8 0 ,... * 2 ,6 = 2700, * 3 ,6 = 4 9 1 4 0 0 , . . . = 0, * 1 ,6 = 0, * 1 ,6 - 3 0 , II ■^1,6 = 5 , •^3,6 = ^ 3 , 6 = = 12 8 4 0 , . . . 2 8 9 6 ,... Приложение V Гг 1 m /X l 00 . ш оO б /n /J0 IdSU 1 - j . Л 2 =сра/о Г— 2 Т L 5! ,зГЮ J g g fg _ i |_(y a )2 ■■1^ b90/°° Т 10! ' VT 630/5 л , = - П 1о [— ■- та — 341 15! J 367290/1° + W т ---------•••}; Я , = _ fa/® J A l f a - 340/® CpCLIq Cg CiA = ■cpa • 8! /*02 2! 10 15! "I' •]' 6 7 1 ,7/J0 + ( <pa) 2 151 4 /q ■]' 36/g3 + 8! (cpa)2 - 131 4/A cpa 1,7/, •> 15! 10! cpa ■ T > [ - y -c p a Ia гЩ 15! 5,91/05 20 •> 112930/,10 10 155’8/“ 0 10! сpa 03 ,1 — 10! •]= 151 + M 2 1 ,7 5 /? A 2a= — «J’a ^ iiT 10 31122/ ’*0 + (?«)2 0,24/5 cpa ■ 15 C2= tpa/o + (?«)2 10! B 3= — <?alo |7A - f a 8! 10 1 126/x 5Г 3 £2=cpa/o| —— cpa - C i = — cpa/o 3930/, 10 23/g + (cpa)2 7! 36/q2 12! 2/g , 6! 26/® 91 342 [- ( cp a) 1 ; -b(cpa)2 111 •]= 262/,14 14! •]= С г ,1 — фа 31 9JI g, 3/ -фа 51 А 3,2 = Ф а Г-1 ■(сра)2 71 4/“ 61 -^2,2= —<ра '--{у а ? 81 С; 1, ! = — <!а ^ср<2 Aifi— ya , I а 34/n 121 ; ■]' + 121 ill 136/ ю + « а ) 2 - 10! 13685/Л7 + М 2- 472/J1 f (фа)2 17! 0 35/° 9! 15/? <?2,2= — С3,2=ф а - 81 20*0 71 /3 + фа • +ф а + Ф'а 1092/, 12 12! + (1 а )2 175/Л0 1оГ Aib ь ..] = 32964/, 15 15! 644/J1 11! + "*]; 9456/J6 11! 16! Ю 3142/J5 F105/, •(фа)2 В: 1,2 = — фа ^фа • 10! 151 Ci,2=<pa •] 19428/Л4 + С!а)2 -f (фа)2 14! 5472/Л3 13! о q/9. А = ф а -^ -+ (ф а )2 - ^ - + (фа)3- ^ - + . . . ; 343 J ,3 3 8 /J 1 , 0 12! г« 9 6 /Q2 . 81 шо 5 2)2= - 1 а [ - - фа 131 + (фа)2 684/Л2 aS ^ 1 ,2 = фа — 498/Л13' 48/,о -^ --{-е р а I Л = - ф а — -(ф а )2 — (фа): 2 /4 Л = №~ + W _ g! 14/^ + ( 'И 3 " T j— + 2 /q 18/J 66840/ q° î = ^ “ + ( ^ ) 2- ^ - + ( 1 'a ) 3 4! 7! 1 10! 40 „ „ 14/6 _ ^ 1604/9 B 2= — '\a— — (фа)2 — ------- (фа)3 3! VT 6! 41 5/n 91 72/; £ 3= № *)2 ^ г + ^'а )3 ~ ^ Г ' + -- - : C x= фа _ 3/ 3 50/g + (фа)* it , o 3462/q1 + (фа)* — ^ 32ll 982lln° C 2= - ^ ^ ----- ((a)2 — - - « * ) " 4! 71 V1 10! 4 9/S , + ••• ; 225/S , + •••- Сз = { W где a = k 0/l0, <p=l/[£7], ф = 1 /[0 /7]. Приложение VI I5. 66/}° A i = — ^ 7517 + (T a )2 —77^ VT 10! • it 30/? 41 9! 13806/ }5 (Ча VT Т , „ 7046/}4 A 2,i = cp a——(cpa)2——-f (cpa)3' VT 14! °>5Zl , / 42 7Zi / 48 A>,1= —<pa— rr- + (?a)2— —41 (?a): 3! 8! 2/5 , „ 132/ю 15! , , ,3 1749Z53 13! 27612/is 2/4 . , =- cpa— + (<?af —60/9 - ,(cpa)314092/14 III /3 =cpa ■ 31 1/I fH 14/8 (?a ) - 7 7 - 344 ОЛЛОИО ll , 6 6 /i° 13806/i5 ^ 1,3 = — f a —- + ((pa)2 ——------ (fa)8-----------5! w 10! try l\ Vi 7 15! OUtn n m l A2:з = ?a — — — — (cpa)2 (csa)2— — - + (cpa)3 4! v' 0 ,5 / 32 9! , , n ‘ 41 7046/!,4 7 7l\ ll\ t „ 8! 4‘ 7 14! 1 74499 /2 / ,3 17 -A3,3 = — фа — -----r ( ? a ) — ------(®a)3 3! 4 ,2 /f Bi,i== —fa Т , 253/ 1 -44®a)2---I V , ; U! 6! 3 /f 13! 62880/ 6 M); 1 6! n 126/J0 3 1 122/5s #2,1= fa — ---- 41(fa)2--------j-(fa)3 5! 10! 7 34 /° ^3,1= —fa— + (fa)2— 4! 9! 1,4/® ^1,2==rfa — 6! d 02,2= — fa D (v‘cpa)3 (VcTpa>)2 5 011!6 /n (1, -,(c_pa'vs) 6/5 T 5! 7528/,14 14! 1 2 5 7 6 0 /4 16! , 62244/15 . 4(cpa1.„252/Ю )2-------ic pa)3---------4 , 10! 15! ‘ 1 4 , 2/S , 2 5 3 /,1 B\,2= —fa —p6!— 4" (fa) —— 7 41 11! 3/S /?2,3=fa -75!——(fa )2 1 it 126/3° 10! m l £3,3=fa -4-4(fa)2— 4! 9i 6*2,1= fa 15! 2/4 , , 15056Л4 — (cpa)„2 68/9 4(cpa„)3----------.. 4! 9! 1 VT ' 141 В гд= уа С11= —cpa — 4-...; >■ - p ... 4 5 /° . (® a)3 v‘ 7 4 (?a)3 7 15! ,i4i 5 7 6 6 /j4 9! 15/? 3 0 0 3 /J3 L- (fa)2-----4^-(cpa)3 8! 13! 7 9 2 /j 2 158141/'5° 19! 763776/ i8 63,1= —■fa—— 4-' (fa) —712!71----- (<‘Pa)3 7! ‘ 345 2 7528/Д4 4(f a)2-----------(® a): VT y 14! ‘ ; 2 ,5 /1 16! 31122/S5 1 v‘ (cpa): 62880/ f 18! ?-- 182784/ j 7 17! 90/9 C if2=cpa 30/8 cpa Сг,2= (9 7! (та)2 8! a 1527552/18 18! 17! 5766/ 14 15/S 9 19! 365568/17 ' ('f**)3 121 + (9 a )2 9! C 2,3 = = 9 a — a )2 316282/19 ■(9 a )3 (9 a ) 13! 1584/12 4 5 /f C i,a= — 9 a С з ,з = 6006/13 •(та): 81 5/7 Сг,2—<?а (cpa)2 11532/14 14! 9! 2,5/| 7! 14! 3 0 0 3 /f 13! ■(та)2 ГM 792/i 17! 4/i 158141/1® ■( т а )3 + (та)3 191 76 3776/j8 18! 182784/}! ■(9a):, 3 __________]£_ 17! „ 36/ 3 V, л м = 1 “ . [ - 5 Г - ?а в Г + ^ - Т з Г - ; - • ]+ + T a l 4 + ' l“ | - + < w T T r + ; -:J ; — 9a — 4! +|фта —7,- + I( фvrа )2у Г 0 ,5 /? 3! (1,2 = — фа Ш! 18/}1 Лзд — фа А 2 + Та 4/}° f ф а -^ -+ (ф а )2 ^ - + 2/3 3! 9а 7! h(9а)2---13! _ 29 а [| L + «|а /8 + (фа)2 А г = 2 ф а | - ^ - ?а - ^ - + ( 9 а )2 346 72/ 13 ■1 . . . j; .j + —j- 2cpa 4! , 4,3 ~ 71 1 u 10! 2/s-4 -(cpa¥ ---18/11 <oa -— ' 6! 1 VY 11! 1 Аз. 2 = — 2! a -cpa 1 2 31 ' [ 4 51 9! ' 2 ,7 7 q 0 ,5 /» L IT — ? a ~ ^71 r '+ ^ -ф а -A,3 12! 36i f 4l\ -cpa 7! 2! 121 6 ll г •]+ • ]- 5,4/1° -i - ? < > [ — - f t » — -+('•:<•) — Й Г + - } Ц з= ф а \y ~ ?a -jrp + i<?a )2 г 2 /f ’ [4 ! cpa 3/8 Y 4 8! , 1 VY [-^ f-K a •]+ 1 ,4 4 /} \-haf 10/? + ¥ 11! 3/? 31 -б 1,1 = Ф а 18/ .ll 121 — „ 7 ,5 4 / + , 6/i £2,1= —ф аг* i -f cpa— Г (cpa)* ■Зсра [ 1 Г + ^ 4 г + ('-’а)2, Г 9/ (cpa)2 B 3il = - фанера — 347 ’} ■ }- 222/“ - :■ ] + 111 r r + - ] + I +Ч £ + ^ +« ^ +'4 £ 3,2 — 21 a ~ Н — А , з = 2 фа M Ч ^ a -^ l-(c p a )2 - ^ - + . . . j - г + Г ^ + 13/S 4 /f — r 3/® 3,3 = 34/S r -I 3 6 2 /i2 ~i 4 9 8 /i3 , 9/г — i a |?a — n 3 3 8 /i1 - ^ [ - 5 f + ^ ^ r + < w - - } Ь(4а)г — ^ - + . . . j ; 48/S , + 131/i4 40/S + I a ~й r /о £ ^ (-(cpa )2 — — --------. . . ] + cpa — — 1 T ^ -1 - T i r + - ] : 96/i2 - ( 9a )2 — — — {-• ■ • ]+ г /2 , 14/i „ 136/i° - f c p a j^ — + фа — + (ф а) ^ Г 5/7 C i, 1 — фа J— M — cpa 35Z® , 5 7 /i N — h(cpa)2 3 ,3 5 /i7 n — -----------. . . - f Z15 9 1/i2 + - ] ; ; 2,1 = - фа Г- ft - cpa 4,29/lU 4- (cpa)2 T -1 L 6! Г 15/? T 91 5 ,8 5 /i1 348 rvr *' 131 R 9/14 --- . и ю 1,1 7 / } С зд — — фа сра Г 20/1 6! 70/9 — ?а [ 17,5/}° -ф а 0 ,7 /7 C i, 2 = — 2 фа -сра 0,52/12 9! 1,65/12 -сра Y 15/8 -ф-2 сра 4 ,2 9 /п сра 6! 91 -фа 5,85/п 9! ,1 7 /ю С 3,2==2 фа j^cpa- g[ 2 • ]- 3 ,3 5 /п ■(сра): 14! , 2Л5 И Г+2,8/16 + -]+ 13! |2 8,9/74 11! ■(фа): 15/15 h af г 20/7 17,5/ю -? « [-^ Г + Ф а 9! ll 13! ■(фа): 9! /6 15г?5 30/} ч„ ЗО /}3 i~ (фа )2 11! 9! 91 С 2,2 — 2 фа ■(<ра), 81 131 ■ ]" 30/13 (фа )2 11! 1 1 ,4 /f 0 ,6 7 /“ С1,3= 5фа - - « р а — — — (-(сра)2- ^ - 9 1 /4 „ i f 35/ о 91/} — -+ Ф а — 2 -— I- (фа)2— — + 11! i n 1 1 11! ~ 9! 9! 1% 6! 4 ,2 9 /4 _____ чЛ С 2, з = - ф а ^ '— — <Па - - V г 3/| , 5- + [- Г 2/^ , 1 ,1 7 / 4 -1 2 ,8 i f „ 1 ,8 /4 •■ ]- , -) * — 5 Г " + (W -7 T T + - ] ; 1 , 17/Д° 8! „ 1 ,7 5 /4 л /6 1 5/Д5 15/f ^~ + (сра )2 ~ 1Ь г + ' |“ ' - T T - + ( W /3 J Y - Т 91Г - + < * * - 1 Я — з,з= = - фа | ? а — г -1 „ З /}3 -1 - J r + ;- ] l 9q/ 9 Я и = ф а Л . + ( « 1 « ) а - ^ + (фл)з - г1 /2 л/6 9ft/® М г = - фа ■ £ - (фа)2 - (фа)3 — 1 349 п •••]- А 3, 1 = ф а А . + (ф а)2 -J - + т t Л i, 2= 2/s ,. (ф а)3. - ^ 1 у, 8/6 56/9 — ф (ф т а .-----------(ф з! vrа)2-----------1 6[ vrа)3> ------91 - =2 . -Z/2 Л 2,2 = ф а Т 3,2 = Л , а — ф , ,. 8/5 (ф а)2 — | ,, 56/8 + (н а ) 3 — - м(фа)2 v> -----------(ф 4/4 /-.Vi а)3 28/7 1 4/S . 28/2 -^1,3— фа ~ГГ~Ь ('^а Т ~Z.--- 1- (Ф®)' 3! =5 Л 2з= 61 4/2 VT 7 ‘ 9! „ 28/2 5! ^ 2/2 + 2 ' (фа)2 -----------(ф а)3 ----------- 2! » Л 3>3= ф а = 4 — фа _ 1 4 (фа)2 — 4! 2/f • 8! лл>1 I Л (ф а); 18/7 7! ■ 66 840/,10 Д м = ф а — — h (ф£г)2 ——------ К (ф а)3 4! = ' 7! /? ■V1 14/9 10! 1604/2 5 ? , i = — фа — — (фа)2 —— Г; — (фа )3 -------------34 '* ' 6! : : \ ; 9 ’Г ■ 2 з ,1 == а )2 ~Ь (ф а)3 ~"Ь •■• : ,, 36/7 133 680/ю (ф а)2 — — — (ф а)3 ------------- 1— 4/4 41 7! 2/3 , ,, т ■<! у> 28/6 . Ю! 3208/9 . 1 Г + ^ )2^ Г + ^ 3 - ^ - + : ±(ф а)2 ^ _ ф (а)3 ^ 24 184 5 1)3= ф а — — f- (фа)2 - - — [- (фа): 41 1 /| 5 2, з = - фа -5 7 31 71 (фа)2 ' 6 _ . . >. 66 840/2° 1 '• 14/| 1 350 - 101 Д , (фа)3 - 1 1604/° 91 = 5/5 , .= C M = « itt 3 /f ■ „ 72/1 • + (Фа ) - ^— [-•••; B zfi= № ) 5 0 /* + (фа)2 l\ 3 4 6 2 /“ + (фа)» 32l\ + 9 8 2 /}° C 2 л == — Ф а ---------- (фа)2 -------1-------(Ф а)3 ----------- — . . 41 VT . . 7.1 9/5 С з ,1 = ( ф а ) 2 - ^ - + ^ C 1;2= , 6/5 фа — — - VT ' 225/? (ф а)3 — - L + ’^ __ /I \2 18/8 C 3)2= — (ф а)2 — = 3/5 ’ ‘ 51 . i : J ’ ^q 450/9 . . . . ;. . . 81 3 4 6 2 /i1 — - j- (ф а)3 1 гill . 41 ' 71 9 /f = ( - ; .. 1 , 9 8 2 /i0 (фа)2 — ----------(ф а)3 т ; - ( , ; д) 3 32/1 С 2, з = — ф а ...; 1964/10 . ( фа) 3 5 0 /§ I- (фа)2 — 1 .;.; . , 100/8 6921/и O N 2- ^ -------- (ф а)3 — p =s, • , 2/4 . . . , 64/7 <?2,2 - ф а — + (ф а )2 — + C i , 3= ’J a rv— . 101 . . , ------------ . . . ; ' 101 -л 2251? , С3,з = (фа)2- ^ + (фа)3 ^ + . ; . ; - Приложение VII /g 6 , 6/J 0 . , A i,**= — (ра- g p - f (cpa f — Л 2,4= с р а — л Аз,4 = — cpa — ч, it , „ 30/® ----------( ? a ) 2 — -------- (cpa) ° ' 5/o 31 I . >2 h C 'p a f — 1 41 7 351 7/o , 7046/q4 ,3 --------- ( ? a ) 3 VT 8! 13806/q5 (cpa)3 — — ------ 1749/» 131 r 42/g 2 5 3 /i 6 2 8 8 0 /i 6 4 . cpa >2 ---------° т 6f2- tct n!5-------- (cpa vT>3 -- -----------]6! — B lA= - c p a 3ll , 126/J0 ^ ^ ^ 3 h 2 2 / i5 5 2 , 4 = c s a --------------- (<pa)2 ------------------f- (cpa) Y J 5! Z?3,4= 10! r VT ; 15! /о „ 34/2 7528/i4 c p a - f + (cpa)2 - Д - - ( с р а ) 3 4! 1 vr 9! v‘ 7 14! - Ci,4= — cpa — 45/j} 9! „ 158141/i9 5766/q4 ------ (-M 0 — 777-------' w 14! ” 7 19! 15/° . 1 3003/)3 . _ 763776/g8 C,2,4 = ? a ——---------- (cpa)2 — — ------- l-(cpa )3 8! ‘ 13! ' 18! r’ Li V2 792l°2 , H<Pa ) — т т -------( ? a )3 ' 1 12! 4T 7 2 -« S == — ? a — 7! з,4 /f 66/}° ч 182 7 8 4 /n7 17! 13806/,15 — cpa— 4 - vt (cpa t 5| - -г ~ ;)2 ----------; 1 0 , — (cpa vt )3 7 ---------------15! .Ai, 5 = 30/? l\ 7046/!4 ' ■ \з_____ Л 2)5= р а - ± 1- — (cpa)2 — -' - • f (cpa) 4! 41 9! 1 '• 14! Л 3,5= 5 i,s= — ? a — — pa*— L_ 0 ,5 /? 7 /? 1749/}3 1 ■' 1 ' )3 _______ L _ -------(_(cpa)2 — -- --------(cpa) 3! ' " 7 81 Vl 7 13! 4 ,2 / ° 253/11 - f ( ® a ) 2 — — ----------- (cpa) '* 11! 41 6! 3/? 126/1° 5 2,5= pa— ------ (pa)2 — —-----f- (cpa)351 41 /? 7 10! , 1 w „ 34/? 62880/)° 16! 31122/J5 15! 7528/14 5 з ,5 = — p a-^ --j-(cp a) ——-------- (cpa)3 — —-----j - . . . ; C i 5— — cpa т C2,5= p a т 4 5 /? , „ 5 7 6 6 /J4 g, h (?a)2 -------------(pa) 14! 15/? 3003/ i3 8! 13! „ 158 141/1° 19! 7 6 3 7 7 6 /}8 -l - (cpa)2 -------!— (-(cpa)3 ----------- 3352 1 VT ' 181 4-1 2,5/Т 792/p /5 51 + фа 1 сра ■ 3/ з/А 2/А 1 ^ 0.5/q 11! 4! — Зсра Z5 _L 5! 7 ,5 4 / ^ (ф а)2 9! — сра 11 ! 3/А - f - фа ■(Ф^)2 8! 3,2/i3 И! 1 3 ,6 /i0 2/А (ф а)2 б! 9/2 -ф а С i,4= сра сра 7! 8/ •(<?a f ' 35/q I , 91/о2 - + фа 9! 11 ! (сра)2 7! ^ з ,4 = < р а 12! 222/i1 п/о 6/А — фа 1,44/i4 -(ср а)2 8! -+ф а- 7! 18/^ - f(c p a )2 б! б! 3 /09 ■(Фа? б! -сра- 12 11 ! 7! /6 m/9 *0 I , Аи*0 tyci------- - 10! - f (сра)2 -фа 3! Jo. 2 Z?i 4=4сра В 2,4 = (ф а)2 4/А 0,5/g •^3,4— сра + фа -сва - 2 13! 5 4 /i° ш0 1Г+1>а-7Г V 36/Р д/7 *0 , , — фа + фа 11! + (сра)2 81 /4 Л г , 4 = — сра /И + (ф а)2А _ 8! 4/Я L lL _ L 8! fiT ~ /8 + <а А ^4^4= СрЛ ± 182 784/. — ia f------- W Сз,5= - ?а - ^ - + W 11! 353 9! 12 11! ,15 (фа)2 11! 12 57/ О 15/ 7 + фа 7! 15/g С 2 , 4 = — ера —фа 20 / ' С 3,4=сра ■фа 9! 1,17/, ера 11 ! 16 2.8/J + (сра)2 11 ! -фа ■ 7! 8,9/д 4 4,29/д ■ера 6! 5 ,8 5 /д 1 ■-|-фа 8! о ос/17 t / ■\г) o,tfDi0 -+ (е р а )2 11! 14! - сра ■ 1 7 ,5 /J0 13! 9! ю 15/ .(ера)2 8! зо/Д (фа)2 11 ! 15 13! 11 -^1,5 = ср// —i— [-фа — — h (фа)2 — — 5! 8! —’ —ера ---— -1 3! " т 1 т 0 ,5 / f А а ,5 = = < р (1 -f-'Ja ^1,5 = 4ера 3! № *)2 ^ 7! 10г! + -- 3/12 (ера)2 — :— ' VY > П ! 3/? 3/?. б! 71 + 2/® h — — та — 2 т - f (сра); 6! 11! 7 ,5 4 / }12 10/7 9! б! ?а 11/f — - -t- ф а — — 5! 1 т 8! ■/? 6/8 -L -i-e a -L 3! 1 ,4 4 /}14 + (<ря)2 l\ 1 т 71 пт -j- (фа)2 3/ 3! Вч,5 = —Зера 1а 54/ ю _ i +(ф а )2 — + ■ 0 ,5 / f - J~ фа 13! 4/7 ера т 7! 2! ----- (9 а ? . 8! 4! /? -фа З6/.13 + ы\ _ 211. -)-,фа— — -^2,5= - ера + 111. 4 /? /з +,фа 1 121 -Н ф а )2 222/ “ 3 ,2 /}'13 -(ера)2 354 111 11! + + /4 ■вз,5 = срЯ 2/' 4,! 1 13,6/ - f (ф а)2 1 6! 91] — фа сра Т 8 / }2 (фа 1Y 7| С г, 5= Ьфа- 91 71 15/? — сра 8! _/f — фа , .111. 3 ,3 5 /}17 14! 1 ,9 /}4 5185/ J1 1 н«--- 1 9! + {W -f(cp a )2 11 ! 20/, — L - i -ф a 7, 1 т 1 7 ,5 /}° 1 91 15/>15 -(c p o f - 8! /3 13! ЗО/}3 - j- (ф а)2 — ‘ VT > ш 1 ,1 7 /}lQl — фа фа 11 ! 2 1 8 /f 4 ,2 9 / J 1 г - сра 61 : Сз,5=сра 111 /15 J-(c|a)2 5 7 /J2 . -ср а — rT7 - rr f (сра)2 ill 51] -(-ф а )2 — шг— §1/}2 3 5 /j C i ,5 — сра 13! 28/g 4/S ‘0 ^1,4=ф а— .-Ь(фа)2; 61 ■A2,4 = — ф«- Л 3,4 = ф а f l i , 4 = фа 4! В 2>4 — — фа- _ (ф а )з 2/п f- (фа)2 * 2/п 9! 4/; « 5! (фа)2 2! 4! (ф а)3 - 18/7 - f (ф а)2 -бз,4= (фа)2 4! 14/о 31 + (ф а )3 355 14/2 7! 6 6 84/J0 + (ф а)3 -(ф а)2 28/n 8! 71 3! Ю ---------9! 91 1604/9 -(ф а)3 9/о 7! 91 ® З/g 50/S 3462/л1 C l’i==â ~ ^ - + (Ф « )2 - ^ - + ( Ф « ) 3 — —— *o C2>4= — фа ~ 32/7 __ (фа)2 ------------ (фа):|3, 41 7! v‘ ' 9/S , /-.i лoз С 3,4= (ф а )2 — u— - f1(фа) 6! _ ‘ 41 ;3 — ' 2 2 5 /nУ ^ 101 t 9! 4 /6 A l 's = â ~ ^ r + 9 8 2 ;io 28/® 2 ‘ i r + ^ a )3 _ 5 j L + /2 4/s 9 R /8 A 2,5 = - фа - ± - (фа)2 - g l - (фа)3 9/ 4 p Лз,5= фа + (фа)2 2i f - 14/7 + (фа)3 18/7 + • 6 6 8 4 /!° î,5 = фа — + (фа)2 — — (-(фа)3 - ■Q[ 1 if = B 2,5— — фа т = 31 З/f „ 14/f 1604/? (фа)2 -------- *(фа)3 --------61 , ; 5 0 /? С 115= ф а - 1 +(ф а)2 — ^ + (ф а )3 51 = 81 1 if 32/7 4! 71 Сг,5= - фа—- - (фа)2 ' 9! 3 4 6 2 /J1 111 1 9 8 2 /10 - - (фа)3 ------ i_ VT^ 101 = 9 /f 225/? С Ъ И ф а ) 2 - r f + (ф а)3 i-j _ . . . 6! 91 РЕК О М ЕН Д У Е М А Я ЛИТЕРАТУРА А белев Ю. М., А белев М. Ю. Основы проектирования и строитель ства на просадочных макропористых грунтах. М., 1968. Д енисов Н. Я. Строительные свойства лесса и лессовидных суг линков. М., 1951. Крутов В. И. Расчет фундаментов на просадочных грунтах. М., 1972. Мустафаев А. А. Основы механики просадочных грунтов. М., 1978. Основания и фундаменты / Я . А. Цытович, В. Г. Березанцев, Б . И. Долматов, М. Ю. А белев. М., 1970. Ф лорин В. А. Основы механики грунтов, Т. I, II. М., 1959, 1961. Цытович Н. А. Механика грунтов. М., 1963. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Изгибная сдвиговая жесткость стены< 227, 233, 237, 238, 242, 243, 245, 248, 250, 254 — цилиндрическая жесткость 169 Адсорбционные силы 42, 44 Арочный эффект 104 Агрегаты 17 — водостойкие 17, 23 неводостойкие 17 Амплитуда колебаний 305, 316 Инфильтрационная влага 40, 51, 56 Инерционные , свойства грунтов 299,. 300 Интегральные операторы 175, 226, 310 — разность Операторов 310 тт степень операторов 175, 310 Интегральное уравнение 307, 308, 309Интенсивность нагрузки 228 — внешней нагрузки 228, 231, 238, 243, 245, 248 Интенсивность напряжения 80 Интенсивность деформации 80 Бурозаливные сваи 271, 272, 273 Вековое уравнение 305 Внутреннее сопротивление при цикли ческих деформациях 303 Вода связная 15 Водопроницаемость 34 Водорастворимый комплекс 21, 22 Вынужденные колебания фундамента 302 Замкнутое решение 311, 312 Знакопеременные бесконечные степен ные ряды 231, 233, 234, 238, 243, 246, 248 Зоны разрушения в грунте 274, 278 Гармоническая возмущающая сила 303 Гранулометрический состав породы 13 Грунты легкодренируемые 276, 281 — труднодренируемые 276, 281 Кинематика разрушения 276 Колебания 299— 318 — весомой системы 302 — изгибные 302 — малые 299 — поперечные 299 Компрессионные свойства 31, 63, 72, 73, 80, 120, 131, 134 — кривая 32, 36 Коэффициенты биномиальные 233, 237, 238, 242, 243 Коэффициент жесткости основания 177, 180, 185, 186, 194, 211, 212, 218, 231, 234, 245, 251, 253, 299, 301, 314 — жесткости увлажняемого основа ния 231, 234, 238, 251, 253, 255, 256, 268, 272 — неоднородности грунта основания 231, 253 — несущей способности 275, 276, 285„ 286 — постели 165, 259, 260 Детерминант системы 203 Длина увлажненного участка 243, 254 — участка, на котором производится просадка 251 Допускаемые деформации 141 Дополнительная осадка 24, 130, 156 Динамика просадки 58, 65, 68, 72 Длительная прочность 76 Единичная матрица 312 Изгибная жесткость здания 201, 204, 221, 225 — жесткость стены 228, 233, 238, 243, 245 — жесткость фундамента 169, 191,206 — жесткость системы 205, 206, 207, 208 — сдвиговая жесткость 191, 193, 201, 221, 225 358 Коэффициент условий работы 38 — свайного основания 291 — фильтрации 34, 35, 62 — влагопроводности 84 Краевая задача 173, 307, 308 — функция 173, 225, 308 — условия 173, 220, 262, 263, 303, 304 Кристаллизационная прочность поро ды 14, 15 — связи 18, 21 Классификация лессовых грунтов 145 Критическая нагрузка 149, 150, 262, 263, 264, 272, 273 — наименьшая 262 ■ — состояние 263 Критерий просадочности 144, 145 Крупнопанельное здание 197, 202, 211, 220, 251, 256 Недоуплотненное состояние породы 9, 10, 40 Несущая способность висячих свай 273, 274 — основания 275 — просадочных грунтов 148 Нетривиальное решение 262, 313, 315 Нелинейно-деформируемая среда 80 Нормальная фундаментальная функ ция 305, 307, 309, 311 — система 307, 312 Нормативное давление грунта 291 — нагрузка 291 — сопротивление грунта основания 280, 291 Нулевое приближение 173, 225 — первое приближение 173, 309 — п-е приближение 173, 309 Линейно-деформируемая среда 259 .Линейно-деформируемое полупрост ранство 289, 300 Ожидаемая 101', 251 Макроструктура 9 .Макропор 19, 35 Максимальная молекулярная влагоемкость грунта 44, 90 М етод Лагранжа — Ритца 2 5 3 — Бубнова — Галеркина 1 7 0 , — одной кривой 36, 37, 4.6 — двух кривых 36, 37, 81 — местных упругих деформаций 165 — начальных параметров 222 — последовательного приближения 225, 307, 309 — Пикара 222, 309 — предварительного замачивания 134, 135, 136, 137, 138 — уширенных фундаментов 139 Мертвый горизонт 16 Минералогический состав породы 10, Параметры нелинейной деформируе мости 75, 82, 86, 99, 107, 121 Порог просадки 76, 79 Ползучесть 77 ' Пептизация 10, 23 Пластичность. 30 — предел пластичности 30, 94, 101 Погонная масса фундамента 302 Поперечное колебание фундамента 303 — изгиб 302 Последовательность функций 225 Послепросадочное уплотнение 28 Пористость 28 Потеря устойчивости центрально сж а тых конструкций 263 Полная влагоемкость 44, 90, 95 Предел функций 225, 309 Предельное сопротивление свай 274, 287, 288 Предельная удельная нагрузка на основание 275, 276 Прерыватели 186, 191 — мгновенные 195, 306 — двусторонний. 195, 272 — односторонний протяженный 191, 192, 193, 194* 243 Присоединенная масса 300 Приведенная изгибная и сдвиговая жесткость 202, 203, 228, 2 3 1>, 233, 238, 243, 245, 251, 253, 256 Предельное состояние 140, 141 Природная влажность грунта 16 Просадка 9, 26, 27, 31, 40, 41, 64, 83, 133 — конечная 121, 122, 123 — от веса сооружений 24, 38, 71, 124, 126, 127, 130, 131, 132, 133, 215 11 , 12 Многократное интегрирование 180, 186, 187, 188, 231, 234, 238, 243, 246, 248, 265, 268, 315 Модели разрушения 274 Модель местных упругих деформаций 220, 221, 299 — Фусса — Винклера 165, 166, 167 Модуль деформации 28, 31, 80, 82 212, 213 Начальное давление 38, 79, 84, 87 126, 127 Н ачальная влажность 79, 89 Начальные параметры 173, 225 251 254, 255 — статические 263, 313, 314, 317 — кинематические 263, 313, 314, 317 359 полная просадка грунта Увлажнение основания 199, 219, 231„ 259 — в середине здания 216, 238, 245, 256 — с торца здания 211, 217, 231, 243, 251 253 255 — с обоих торцов 218, 248, 238, 256- Просадка от собственного веса грун та 24, 38, 48, 50, 60, 65, 83, 120, 213, 215, 295 ■ — абсолютная 99, 107, 295 — относительная 37, 62, 63, 75, 84, 85, 107, 121 Просадочность грунта 72, 282 Просадка свайного основания 291, 292 Прочность просадочных грунтов 146, 147, 148 Прочностные показатели грунта 34, 91, 142, 278, 284, 285, 286, 287 Период стабилизации просадки 44, 59, 95, 97 Принцип наложения 151, 152 — эквивалентности 153, 154, 155, 157 Правила Лейбница 487 Удельный, объемный вес 29, 50 Уплотненная зона вокруг сваи 282, 283, 284 Уравнения n-ой степени 266, 267, 269— продольно-поперечного изгиба бал ки на упругом основании 261 — устойчивости 264 Условия Коши 307 — прочности Мора 91, 148 Разложение в степенные ряды 99, 170, 184, 264, 317 Расклинивающее действие 10, 23, 41 Рассеивание энергии колебаний 302, 303 Растворяющее действие 10, 23, 41 Расчетная схема здания 199, 251 Реология 41, 72, 74 Релаксация 73, 76 Форма главного колебания 305 — собственная форма 305, 306, 312 — колебаний 305 — изгибных колебаний 305 Формула просадки 227, 252, 254, 255— изгибающих моментов 227, 252,. 254, 255 — перерезывающих сил 227, 252, 254,, 255 — интенсивности реактивных давле ний 227, 252, 254, 255 — критической нагрузки 264 — предельной нагрузки на сван 278 — несущей способности на сваи 280,. 283 — Фламана 168 Фундаменты глубокого заложения; 259 — неглубокого заложения 276 Функция жесткости 259 — влажности 109, 110, 112, 119 Фильтрационный расход 51, 60, 61, 64,. 108, 111 Сплошной фильтрационный поток 41, 42 Сваи-стойки 264 Сила инерции 302 Сильнопросадочные грунты 282, 283, 284 Симметричный сдвиг грунта по по верхности скольжения 278 Скорость просадки 27, 28, 60, 61, 66 Сопротивление сдвигу 33 — сдвигу по боковой поверхности сваи 280 — уплотнению 31 Спектр частот 306, 314, 316, 317, 318 Степень просадочности 16 Структура грунта 16, 31 Структурные связи 21, 42 Сцепление упрочнения 10, 41 Сходимость приближения 176, 225 Характер просадки 24, 25, 26, 27 Характеристическое уравнение устой чивости 263, 264, 265, 267, 271 Химический состав породы 14 Теория предельного равновесия грун та 153, 274 — просадочности 20, 21, 22, 23 — происхождения лессовых пород 8, 9, 10 Теория наследственных сред 74 — старения 75 — пластическое течение 156 — упругости 156, 157 Террасы оседания 25 Тип грунтовых условий 38, 39, 44 Цементирующие вещества 15 Центрально-сжатый стержень 264 Частота собственная 305 — собственных колебаний 14, 305* Эффективное напряжение 276 Эквивалентная система 157 360 И М ЕН Н О Й УКАЗАТЕЛЬ Абдуллаев М. А. 168 Абелев Ю. М. 19, 23, 27, 29, 31, 35, 84, 90, 211 Агалин Г. П. 143 Адамс (Adams) 170 Алексеев В. И. 56 Алиев С. К. 68, 79, 86, 91, 132, 142, 143 Ананьев В. П, 11, 17, 24, 29, 37 Андреев Ю. 19 Андрухин Ф. Л . 15, 16, 20, 21, 22, 29, 30, 31, 35 Архангельский В. И. 15, 21, 30, 56, 154, 260 Аскаров X. X. 131, 145 Горбунов — Посадов М. И. 168, 205, 300 Григорьян А. А. 72, 104, 130, 131 Грузинцев В. В. 291, 292 Гужов В. И. 19 Даламбер (D A lam bert I. L.) 301, 302 Дарси 57 Денисов Н. Я. 10, 14, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 24, 30, 33, 45, 56, 90, 104, 131, 155 Дерягин Б. В. 10, 23, 41 Джафаров М. Д . 264, 271, 280 Димо Н. А, 19 Дмитриев В. Д . 15, 30, 56, 154 Дранников А. М. 15, 22, 37 Дроздов П. Ф. 198 Балаев Л . Г. 62, 63 Балли Р. Ж. 62, 63 Бартошевич Э. С. 166 Батыгин В. И. 15, 30, 90 Берг А. С. 8, 20 Березанцев В. Г. 275, 278, 279 Беспалый И. Д . 250 Базант 3 . 198 Борисова Е. Г, 19 Бородачев Н. М. 300 Бубнов И. Г. 170, 222 Булаевский В. Ф. 25 Бутов П. И. 56 Быстров С. В. 15, 20 Бьеррум Л . 141 Егоров К. Е. 89, 138, 167 Журкин И. Г. 308 Заборов В. И. 198 Замарин Б. А, 19, 20, 35, 154 Зурнаджи В. А. 282 Зуб А. Б. 211, 216 Иванов Е. С. 282 Ильичев В. А. 300 Ильюшин А. А. 85 Кадыш Ф. С. 166 Калманок А. С. 198 Кардан 91 Клейн Г. К. 166 Клепиков С. Н. 167 Колосов Г. В. 89 Коренев Б. Г, 166, 222 Косицын Б. А. 198, 201, 204, 211 216 218, 222, 253 Краев В. Ф. 7 Красников М. В. 308 Кригер И, И. 7, 16, 17, 24 Крокос В. П. 14 Крол В. (Klol Wilhelm) 207 Крутов В. И. 27, 37, 69, 72, 84 90 104, 128, 130, 131, 133, 145, 2 1 3 ’ 217 Крылов А. Н. 184, 185, 222, 306, 312 Кутт (Cutt) 170 Кучеренко В. А. 199, 200 Вайнберг А. С. 199 Васильков Б. С. 198 Вергасов В. А. 308 Винклер 165, 166, 167, 168 Виноградов Г. Н. 56 Власов В. 3 . 166 Волков А. К. 19 Волянин В. Е. 37 Воронов Ф. И. 15, 19, 20, 29, 31, 90, 154 Вронский А. В. 217 Вялов С. С. 74, 75 Галеркин Б. Г. 170, 222 Гарагаш Б. А. 199 Гелис Л . Л . 155 Гельфандбейн А. М. 155 Герасимов И. П. 8 Герсеванов Н. М. 148, 156, 186, 191 306 Глаголев А. Г. 19, 20 Глазь А. Н. 22 Голубков В. Н. 72, 130, 131 Гольдштейн М. Н. 75, 130 Лагранж (L agran ge J.) 170 - Ламбе У. 275 Ларионов А. К. 16, 17, 18, 19, 23, 24, 361 Лейбниц 187 Лисицын К. И. 8, 19 Литвинов Н. М. 199 Лишак В. И. 198, 204, 217, 222 Лотоцкий А. 72, 130, 131 Любимов В. 3 . 72 ,131 Мавлянов Г. А. 7, 8, 20, 24 Маклорен (Mecloren) 99 Максвелл 77 Мамедалиев М. Г. 260 Мамедов К. М. 177 Манвелов Л. И. 166 Маркуерр К. 138 Маслов Н. Н. 143, 145 Массальский Е. К. 166 Мейергоф Г. Г. 205 Метелик Н. С. 291, 293 Миндлин Р. 289 Миронов В. В. 260 Михеев В. В. 201 Мор 91, 146 Морозов П. И. 148 Мусаэлян А. А. 301 Мустафаев А. А. 35, 52, 56, 60, 61, 79, 84, 90, 91, 106, 142, 143, 171, 219 Мусхелишвили Н. И. 157 Саваренский Ф. П. 21 Савинов О. А. 300, 301 Садовский М. 162 Седлецкий И. Д . 22 Сергеева Д . Д . 204, 222 Симвулиди И. А. 186 Симеон 295 Синицын А. П. 205 Сквалецкий Е. Н. 114 Снитко А. Н. 182, 188, 189, 260 Соболев Д . Н. 198, 212, 218, 222, 253 Соловьева А. Б. 291, 293 Сорокина Е. С. 303 Сулейманов Н. А. 117 Тейлор 182 Терцаги К. 22, 275, 276, 278 Товей Н. К. 12, 13 Токарь Р. А. 141 Трофимов В. Т. 8 ' Трофимов И. И. 8, 17 Тугаенко Ю. В. 131 Туркин Г. И. 35, 56 Тутковский П. А. 8 Уитман Р. 275 Уманский А. А. 222, Урбан И, В. 188, 260 Неймарк Л. И. 198 Обручев В. А. 8 Остышев Н. А. 56 Павлов А. П. 8 Павловский Н. Н. 53, 55, 57 Пастернак П. Л. 166 Пикар (Picardz.) 309 Питлюк Д . А. 198 Полубаринова-Кочина П. Я. ПО Польшин Д . Е. 141 Полынов Б. Б. 8, 20 Попов И. В. 17, 21 Приклонский В. А. 15, 19, 24, 29 Пузыревский Н. П. 149, 184, 185, 312 Пшеничкин А. П, 198, 199, 204 Пышкин Б. А. 19 Работнов Ю. Н. 75, 77 Раевский И. Е. 72, 131 Раппопорт Р. М. 138 Рейнер М. 156 Решетнин М. М. 19, 20, 154 Ржаницын А. Р. 263 Ривкин С. А. 167, 218 Ритц (Ritz W.) 170 Риффат 260 Розов Л. П. 22 Розенфельд И. А. 211, 216 Рохлин Д . Л . 211, 216 Рубинштейн А. Л . 23 Рунге (Runge) 170 Филипп Д . Р. 111 Филиппов А. П. 302 Филоненко-Бородич М. М. 166 Финаев И. В. 72 Фламан 168 Флорин В. А. 148 Фохт 303 Фрелих О. К. 148 Фролов Н. Н. 72, 131 Фурсова Н. Е. 200 Фурье 304 Фусе 165, 166, 167, 168 Ханалиев С. А. 215, 227, 233, 237, 242, 245, 251 Хаяси К. 260 Хеладзе И. Е. 19 Цытович Н. А, 37, 44, 156, 167 Черкасов И. И. 166 Черный Б. М. 90, 131, 139 Шагин П. П. 198, 201, 216, 222 Шеляпин С. П. 148 Шеховцев С. С. 131 Шехтер О. Я. 300 Шишко Г. Ф. 291, 293 Штермер 170 Штукенберг А. 19 Юсупова С. М. 22 ОГЛАВЛЕНИЕ Стр. Предисловие .............................................................................................................. Основные условные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . ■. ................................. Введение . . . . . . . . • . .; . . • . • • . . . . . . • ........................................ 3 5 7 Глава I. Природа лессовых просадочных грунтов, их особенности и физико механические свойства . . . . . . . . . . . . . 7 § 1.1. Природные особенности лессовых просадочных гр ун тов................... 7 § 1.2. Основные представления о твердой и жидкой составляющих лес совых просадочных грунтов . . . . ................................................................. Ю § 1.3. Структурные особенности лессовых гр у н то в .................................................. 16 § 1.4. О природе и сущности просадочных деформаций в лессовых г р у н т а х ................................................................................................................................. 19 § 1.5. О характере просадочных деформаций в лессовых грунтах . . . 24 § 1.6. Физико-механические характеристики лессовых просадочных г р у н т о в .................................................................................................................................28 § 1.7. Расчет величины ожидаемой просадки. Типы грунтовых условий 38 Раздел первый. Расчет оснований зданий и сооружений на просадочных грунтах Глава II. Закономерности деформирования лессовых грунтов при просадке 40 § 11.1. О физической природе явления просадки...................................................40 § II.2. Закономерности динамики просадки в условиях природного на .................................... j .............................. 45 пряженного состояния грунта . § II.3. Закономерности инфильтрации в процессе просадки............................ 52 § II.4. Влияние геометрии источника увлажнения на динамику про садки .................................................................... 56 § II.5. Взаимосвязь просадки с инфильтрацией ............................ 60 § II.6. Влияние режима увлажнения на закономерности инфильтрации и просадки . . . . . . . . . . . . . ......................................... . . . . . . 63 § II.7. Критериальные соотношения для взаимосвязи процессов ин фильтрации и п р осадк и . . . . . . . . . . . . . 65 § II.8. Закономерности просадки в основаниях жестких фундаментов 68 § II.9. Реологическая особенность п р о са д к и ........................................................ 72 Г лава III. Инженерные методы расчета просадки .................................. . 80 § II I.1. Зависимость между относительной просадкой и уплотняющим напряж ением ................................... . .............................................................. . . 80 § III.2. Функция влажности при одномерном увлажнении толщи лес совых гр у н т о в ............................................................... 83 § III.3. Начальное давление просадки . .................................... 84 § II I.4. Начальная влажность п р о сад к и ......................................................... . . 89 § III.5. Условия возникновения просадки ...................... 95 § III.6. Расчет периодов возникновения и стабилизации просадки . . . 96 § III.7. Расчет изменения просадки во времени. .......................................... 98 § III.8. Расчет периода стабилизации просадки . .................... 101 363 § III.9. Расчет изменения просадки во времени с учетом «арочного эф фекта» ................................................................................................................... . . Ю'4 § 111.10. Приближенный метод решения нестационарных задач увлаж нения толщи просадочных гр ун тов...............................................................108§ III. 11. Расчет конечной просадки в условиях природного напряжен ного со ст о я н и я . . . 120 § III..I2. Расчет конечной просадки в основаниях зданий и сооруже ний .................................................................... 124 § I I I .13. О характере просадочных деформаций в основаниях сооруже ний ............................................................... 130 § II I.14. Расчет эффективности предварительного замачивания . . . . 134 Глава I V. Расчет оснований по предельным состояниям........................................ 140 § § § § § § § § IV. 1. IV.2. IV.3. IV.4. IV.5. IV.6. IV.7. IV.8. Принципы расчета оснований по предельнымсостояниям . . . 140Параметры прочности просадочных гр ун тов........................................... 142 Критерий просадочности лессовых гр ун тов............................................143Прочность просадочных г р у н т о в ................................................................... 146 Несущая способность просадочных гр у н т о в ........................................... 148 О принципе «наложения» в расчетах просадки...................................151 Принцип «эквивалентности»...............................................................................152 Графическая интерпретация принципа «эквивалентности». Фор мула эквивалентной нагрузки . . ...............................................................155 Р аздел второй. Р асчет фундаментов на просадочных грун тах Глава V. Расчет фундаментов по методу местных упругих деформаций . .165 § V .I. О методе местных упругих деформаций......................................................165 § V.2. Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба ленточных ф ундаментов..........................................................................................168 § V.3. Общее решение дифференциальных уравнений продольно-попе речного и поперечного изгиба ленточных фундаментов . . . 171 § V.4. Частные случаи р а с ч е т а ......................................................................................... 176' § V.5. Применение функциональных прерывателей для описания пре рывных законов изменения жесткости фундаментов, грунтового основания и внешних нагрузок ................................................................... 191 Глава VI. Р асч ет крупнопанельных зданий на просадочных грун тах . . . 197 § V I.1. Состояние в о п р о с а ...................................................................................................197 § VI.2. Жесткостные характеристики крупнопанельных зданий . . . . 201 § VI.3. Жесткость фундаментов каркасных зданий с учетом жесткости конструкций надземного стр оен и я................................................................. 205§ VI.4. Закономерности изменения жесткости увлажняемых просадоч ных грунтов в основаниях зданий и сооруж ений...............................210 § VI.5. Дифференциальное уравнение изгиба зданий ........................................2 2 0 § VI.6. Построение общего решения дифференциального уравнения из гиба з д а н и й .................................................................................................................222 § VI.7. Решения для некоторых частных сл у ч аев .................................................227 § VI.8. Расчет здания для случая непрерывного закона изменения жесткости стен и грунтов основания....................................................... 231 § VI.9. Расчет здания для случаев прерывного закона изменения жест кости стен и грунтов основания........................................................................2 4 3 § V I.10. Примеры расчета . ..........................................................................................251 Глава VII. Устойчивость и несущая способность фундаментов з а л о ж е н и я .................................................................. глубокого 259 § V II.1. Задача об устойчивости гибких фундаментов глубокого за ложения при продольно-поперечном и згибе............................................ 2 5 9 § V II.2. Уравнение устойчивости фундаментов глубокого заложения 262 364 § V II.3. Несущая способность висячих с в а й .........................................................2 7 3 § V II.4. Несущая способность свай в просадочных гр у н тах ...........................282 § V II.5. Расчет просадки свайного основания.......................................................... 288 Г лава VIII. Динамика балочных фундаментов .............................................299 § V III.1. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний балоч ных фундаментов. Краевые и начальные усл ови я........................ 299' § V III.2. Собственные формы изгибных колебаний балочных фундамен тов ............................................................................................................................... 304 § VII 1.3. Построение нормальных фундаментальных функций уравне ния собственных форм изгибных колебаний балочных фунда ментов ...................................................................................................................... 306§ V I11.4. Уравнения спектра частот балочных фундаментов с различ ными краевыми условиям и............................................................................314 § V III.5. Примеры расчета собственных колебаний балочных фунда ментов на просадочных грунтах ............................................................... 318 Прилож ения...........................................................................................................................................328 Рекомендуемая л и тер атура......................................................................................................... 357" ....................................................................................................... 358Предметный указатель .. Именной у к а з а т е л ь ...........................................................................................................................361 DESIGN OF BA SES AND FOUNDATION ON SUBSID IN G SOILS BY PRO F. A. A. M USTAFAEV, DR. SC. (E N G ). HIGHER SCHOOLS PU BLISH IN G HAUSE, MOSCOW, 1979 CONTENTS .................................................................................. 3 Symbols Preface . . ........................... 5 In tro d u c tio n ..................................................................................................................................... 7 Chapter I. Nature of Subsiding Loess Soils, Their Peculiarities and Physicomechanical P ro p e rtie s ............................................................................................... .... 7 § 1.1. Natural Features of Subsiding Loess S o i l s .............................................. 7 § 1.2. Principal conceptions of Solid and Liquid Components of Subsiding ...................................................... Ю Loess Soils § 1.3. Structural Features of Loess S o il s .......................................................................... 16 § 1.4. On Nature and Essence of Subsidence Deformations in Loess Soils 19 § 1.5. On Character of Subsidence Deformation in Loess S o ils ........................ 24 § 1.6. Physicomechanical Characteristics of Subsiding Loess Soils . . . 28 § 1.7. Calculation of Expected Subsidence Types of Soil Conditions . ■■. . 38 Part One. Design of Bases of Buildings and Structures on Subsiding Soils C hapter II. Mechanisms of Strain of Loess Soils in Subsidence .. , . . . . . 40 § IL L On Physical Nature of S u b sid en ce.............................................................. 40 § II.2. Mechanisms of Subsidence Dynamics under Conditions of Natural Stress State of Soil .................................................................. , .: § 11.3. Mechanisms of Infiltration in Subsidence P ro w e s s ..................................... 52 § II.4. Effect of Geometry of Humidity Source on Subsidence Dynamics 56 § II.5. Relationship between Subsidence and In filtratio n ......................... 60 § II.6. Effect of Humidification Regime on Infiltration and Subsidence M ech an ism s........................................ 63 § II.7. Criterial Equations for Relationship between Infiltration and Sub sidence P r o c e s s e s ................................ 65 § II.8. Mechanisms of Subsidence in Bases of Rigid Foundations . . . . 68 § II.9. Rheological Features of Subsidence . . . . . . . . . . . . . . 72 C hapter III. Engineering Methods of Subsidence D e s ig n ........................................ 80 § II I.l. Relationship between Relative Subsidence and Compacting Stress, 80 § III.2. Humidity Function in one — dimensional Humidification of Loess Soil M a s s ....................... 83 § III.3. «Initial Pressure» of S ub sid en ce ••84 § III.4. «Initial Humidity», of S u b sid en ce...................................................................... 89 § III.5. Conditions for S u b sid e n ce .....................................................................................95 § III.6. Calculation of Periods of Appearance and Stabilization of Surs i d e n c e .............................................................................. 96 § III.7. Calculation of Time Variation of S ub sid en ce.......................• • • • • 98 § III.8. Calculation of Stabilization Period of Subsidence . . . . . . . . 101 | III.9. Calculation of Time Variation of Subsidence with Allowance for «Arch Effect» ...................... 104 ■§ II I.10. Approximate Method for Solving Nonstationary Problems on Humidification of Subsiding Soil Mass ...........................108 § III.l 1. Calculation of Final Subsidence Under Conditions of Natural Stress S t a t e .......................... 120 366 § I I I .12. Calculation of Final Subsidence in Building and Structure Bases 124 § I I I .13. On Nature of Subsidence Strains in Structure B a s e s ........................... 130 $ I I I .14. Calculation of Pre — soaking, E fficien cy. ................................. 134 Chapter IV . § § § § § § § § IV. 1. IV.2. IV.3. IV.4. IV.5. IV.6. IV.7. IV.8. Base Design for Limiting States . ........................................................ 140 Principles of B ase Design for Limiting S ta te s . .. . . . . . . 140 ............................... 142 Strength Param eters of Subsiding Soils Subsidence Criterion of Loess S o i l s .......................... 143 Strength of Subsiding S o i l s .......................................................... 146 Bearing Capacity of Subsiding Soils . . . ....................................... 148 On «Superposition» Principle in Subsidence D e s ig n ..............................151 «Equivalence P rin cip le » ................................................................. . Graphical Interpretation of «Equivalence Principle» Equivalent Load E q u a tio n .............................................................................................................155 P art Two. Design of Foundations on Subsiding Soils Chapter V. Foundation Design by Method of Local Elastic Deformations . . . 165 § V.1. On Method of Local Elastic Deformations . . . . . . . . . . . 165 § V.2. Differential Equation for Longitudinal — Transverse Bending of Strip F o u n d atio n s...................................................................................................168 § V.3. General Solution of Differential Equations of Longitudinal — T rans verse and Transverse Bending of Strip Foundations . . . . . . . 171 § V.4. Particular Cases of D e s ig n .....................................................................................176 § V.5. Use of «Functional Interruptors» to Describe Discontinuous Laws of Variation in Rigidity of Foundations, Soil Base and External Loads .................................................................................. - 191 Chapter VI. Design of Large — Panel Buildings on Subsiding S o ils ........................197 § VI. 1. State of A r t ................................................................................................................197 § VI.2. Rigidity Characteristics of L arge — Panel B u ild in g s...................... . 201 § VI.3. Rigidity of Foundations of Carcas Buildings with Allowance for Rigidity of Building C o n stru ctio n s............................................................... 205 § VI.4. Mechanisms of Variation in Rigidity of Subsiding Soils in Bases of Buildings and S tru ctu re s ....................................................... 216 § VI.5. Differential Equation for Bending of B u ild in g s ........................................2 2 6 § V I.6. Constructing General Solution of Differential Equation for Bendings of B u ild in g s .............................................. 222 § V I.7. Solution for Some Particular C a s e s ...............................................................227 § V I.8. Design a Building for Case of Continuous Law of Variation in Rigidity of W alls and Base S o i l s ....................... ............................... . 231 § V I.9 Design a Building for Cases of Discontinuous Law in Variation of walls and Bose Soils . . . . ■. . . . . . . . . . . . . , . .. . ; . . 243 § V I.10. Examples of Design . . . .................................................................................251 Chapter VII. Stability and Bearing Capacity § V II.1. in § V II.2. § V II.3. § V II.4. § V II.5 . of Deep — lying Foundations 259 Problem on Stability of Flexible Deep — lying Foundations Longitudinal — Transverse Bending . . . i . . . . . . . . 259 Equation for Stability of Deep — lying F o u n d a tio n s...........................262 On Bearing Capacity of Pendant Piles . . . . .. . . i . : . . . 273 Bearing Capacity of Piles in Subsiding S o i l s .........................................282 Design of Subsidence of Pile B a s e ................................ ........................... 288 Chapter VIII. Dynamics of Beam F o u n d atio n s................................................................... 299 § V III.1. Differential Equation for Transverse Oscillations of Beam / Foundations Boundary and Initial Conditions . 299 ! § V III.2. Intrinsic Shapes of Bending Oscillations of Beam Foundations 304 § V III.3. Constructing Normal Fundamental Functions of Equation for Intrinsic Shapes of Bending Oscillations of Beam Foundations 3 0 6 367 . 1 § V III.4. Equation for Frequency Spectrum of Beam Foundations with DifferentBoundary C on d ition s............................................................................314 § VII 1.5. Examples of Calculation of Intrinsic Osbillations of Beam Foundations onSubsidence S o i l s ...................................................................... 318 A pp en dices........................................................................................................ 328 R e fe re n ce s................................................................................................................................................357 I n d e x ............................................................ ...........................................................................................358 L ist of N a m e s ....................................................................................................................................... 361 А б б а с Алиевич М устаф аев Расчет оснований и фундаментов на просадочных грунтах И Б № 1573 Р е д а к т о р Т. Ф . М е л ь н и к о в а . Х у д о ж . р е д а к т о р Т. А . р е д а к т о р Т. Д . Г а р и н а . К о р р е к т о р Г. И. К о с т р и к о в а . «Изд. № С т р . — 326. Ф о р м а т 6 0 X 9 0 V ie О б ъ е м 23 у ел . п е ч . л . «Ц ена 1 р. Ш к. Д урасова. Худож ник Б. А . Ш кольник. Т е хн . С д а н о в н а б о р 12.06.78. П о д п . в п е ч а т ь 23 .01.79. Т -03214. Б у м . ти п . № 1. Гар н и тур а л и тературная . П ечать вы сокая. 23,11 у ч .-и з д . л. Т и р а ж 20 000 экз. З а к . № 724. И зд а те л ь ство «В ы сш а я ш кола», М о с к в а , К -5 1 , Н е г л и н н а я ул., д. 29/14 М о с к о в ск а я тип огр аф ия № 8 С о ю э п о л и гр а ф п р о м а при Го су д а р с тв е н н о м ком итете С С С Р , п о д е л а м издате льств, п о л и гр а ф и и и к н и ж н о й то р го вл и , Х о х л о в с к и й п е р ., 7.

Расчет оснований и фундаментов на просадочных грунтах

Related documents

Products

Support

Расчет оснований и фундаментов на просадочных грунтах

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib