Лабораторный практикум для печати

Е. А. Алейникова
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО
ДИСЦИПЛИНЕ «НАДЕЖНОСТЬ,
ЭРГОНОМИКА И КАЧЕСТВО АСОИУ»
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Е. А. Алейникова
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«НАДЕЖНОСТЬ, ЭРГОНОМИКА И КАЧЕСТВО АСОИУ»
Учебное пособие
Волгоград
2010
1
УДК 658.012.011.56 (075.8)
А 45
Рецензенты: д. т. н., профессор, проректор по качеству и информационным технологиям зав. кафедрой «Информационные системы и математическое моделирование» Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета О. В. Игнатьев; коллектив кафедры
«Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» СГТУ
Алейникова, Е. А. ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «НАДЕЖНОСТЬ, ЭРГОНОМИКА И КАЧЕСТВО АСОИУ»: учеб. пособие / Е. А. Алейникова;
ВолгГТУ, Волгоград, 2010. – 48 с.
ISBN 978-5-9948-0562-6
Содержатся основные теоретические сведения по теории надежности
и описание четырех лабораторных работ. Теоретически материал охватывает основные аспекты, знание которых позволит успешно выполнить поставленные в лабораторных работах задачи.
Учебное пособие написано в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 220200 «Автоматизированные системы обработки информации и управления», утвержденного 27.03.2000, рег. № 224
тех/дс. Предназначено для студентов, обучающихся по данной специальности.
Ил. 12. Табл. 5. Библиогр.: 7 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета

ISBN 978-5-9948-0562-6
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2010
ВВЕДЕНИЕ
Современная теория надежности занимается в основном вопросами
надежности техники, за боле чем 50-летнюю историю своего развития
она накопила большое количество полезных, проверенных на практике
результатов. В данном учебном пособии приводятся материалы, посвященные изучению методов расчета надежности для различного вида систем.
Теоретическая часть пособия содержит основные сведения, знание
которых необходимо для понимания основных вопросов, рассматриваемых в лабораторных работах.
Пособие включает четыре лабораторные работы, для успешного выполнения которых необходимо знание основ математической статистики
и умение работать с пакетом математических расчетов MathCad.
В первой лабораторной работе рассматривается технология статистического оценивания показателей надежности, а также обработка результатов исследования для определения закона распределения времени
работы изделия до отказа, являющегося случайной величиной. Для подтверждения выдвинутой гипотезы о законах распределения предлагается
использовать критерии значимости. При выполнении работы студентам
предоставляется возможность продемонстрировать знания, полученные
при изучении методов обработки экспериментальной информации.
Во второй лабораторной работе рассматриваются два метода расчета
надежности систем со структурным резервированием и основные показатели, оценивающие повышение надежности за счет введения резерва.
Третья и четвертая лабораторные работы позволяют прибрести
навыки по использованию математических методов расчета надежности
для реальных систем. В лабораторных работах описаны упрощенные системы, применяемые в электроснабжении и теплоснабжении. Расчет показателей надежности осуществляется с использованием Марковских моделей и обыкновенных дифференциальных уравнений Колмогорова.
Проблема обеспечения надежности не ослабевает с годами, что связано прежде всего с непрерывным ростом сложности аппаратуры, а также
с расширением диапазона условий эксплуатации техники. Кроме того,
следует учитывать и возрастание потерь, связанных с выходом из строя
столь сложной аппаратуры. В данном пособии рассмотрены лишь некоторые основы расчета надежности.
Основная цель пособия – изложить материал, необходимый для выполнения лабораторных работ по курсу «Надежность, эргономика и качество АСОИУ».
3
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Одной из важнейших характеристик любого изделия является надежность.
Надежность – свойство объекта (изделия), заключающееся в его способности выполнять свои функции в определенных условиях эксплуатации,
технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортирования.
Надежность является сложным свойством и формируется такими составляющими, как безотказность, долговечность, восстанавливаемость и
сохраняемость. Основным здесь является свойство безотказности – способность изделия непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение времени.
Безотказность (и другие составляющие свойства надежности) изделия проявляется через случайные величины: наработку до очередного отказа и количество отказов за заданное время. Поэтому количественными
характеристиками свойства здесь выступают вероятностные переменные.
Наработка есть продолжительность или объем работы объекта. Для
невосстанавливаемых и восстанавливаемых изделий понятие наработки
различается: в первом случае подразумевается наработка до первого отказа, во втором – между двумя соседними во времени отказами (после каждого отказа производится восстановление работоспособного состояния).
В данной работе рассматриваются невосстанавливаемые объекты и
показатели надежности для такого рода объектов.
1. ПОКАЗАТЕЛИ БЕЗОТКАЗНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
Наиболее важные показатели надежности невосстанавливаемых объектов – показатели безотказности, к которым относятся:
 вероятность безотказной работы;
 плотность распределения отказов;
 интенсивность отказов;
 средняя наработка до отказа.
Показатели надежности представляются в двух формах (определениях):
 статистическая (выборочные оценки);
 вероятностная.
Статистические определения (выборочные оценки) показателей получаются по результатам испытаний на надежность.
Допустим, что в ходе испытаний какого-то числа однотипных объектов получено конечное число интересующего нас параметра – наработки
до отказа. Полученные числа представляют собой выборку некоего объема из общей «генеральной совокупности», имеющей неограниченный
объем данных о наработке до отказа объекта.
Количественные показатели, определенные для «генеральной совокупности», являются истинными (вероятностными) показателями, поскольку объективно характеризуют случайную величину – наработку до отказа.
4
Показатели, определенные для выборки и позволяющие сделать какието выводы о случайной величине, являются выборочными (статистическими) оценками. Очевидно, что при достаточно большом числе испытаний
(большой выборке) оценки приближаются к вероятностным показателям.
Вероятностная форма представления показателей удобна при аналитических расчетах, а статистическая – при экспериментальном исследовании надежности.
1.1. Вероятностное определение
Перейдем к рассмотрению показателей безотказности невосстанавливаемого элемента, работоспособного в момент начала работы t = 0 и
работающего до первого отказа, наступающего в случайный момент t = .
Надежность такого элемента полностью определяется его безотказностью, а показатели безотказности – характеристиками случайной величины , которую часто называют временем жизни элемента.
Вероятность отказа или функция ненадежности измеряется вероятностью того, что время безотказной работы  будет меньше заданного t и
соответствует функции распределения величины :
(1)
Q(t )  вер(  t )  F (t ) .
Плотность вероятности отказа (или частота отказов):
dQ(t ) .
(2)
q (t ) 
dt
Функция надежности элемента представляет собой вероятность безотказной работы элемента за время :
(3)
P(t )  1  Q(t )  1  F (t )  вер(  t ) .
Очевидна связь функции надежности и функции ненадежности элемента:
(4)
P(t )  Q(t )  1 .
Данное выражение является одним из основных в теории надежности.
Характерный вид приведенных функций показан на рис. 1.
P(t), Q(t)
1
Q(t)
P(t)
0
Рис. 1. Функции надежности и ненадежности объекта
5
Среднее время безотказной работы T0, или средняя наработка до
отказа, является математическим ожиданием случайной величины .
Может быть представлена в виде:
T0    

 tq(t )dt или T0 
0

 P(t )dt .
(5)
0
Интенсивность отказов (t) – это условная плотность вероятности
q(t) возникновения отказа объекта, определяемая для рассматриваемого
момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник:
q (t )
1 dP (t ) .
(6)
 (t ) 

P (t )
P (t )
dt
Связь функции надежности и интенсивности отказов называется основным законом надежности и определяется как:
 t

P (t )  exp -   ( )d .
 0

(7)
Интенсивность отказов (t) для многих объектов имеет характерный
вид (рис. 2) для разных периодов эксплуатации.
В период I (интервал (0; t1)) интенсивность отказов уменьшается.
Этот интервал соответствует выявлению грубых дефектов, его часто
называют периодом приработки или периодом выжигания неисправностей, тренировки.
В периоде II (интервал (t1; t2)), часто называемом периодом нормальной эксплуатации, интенсивность отказов может оставаться постоянной.
(t)
0
t1
t2
t
Рис. 2. Характерное изменение интенсивности потока отказов
В периоде III (интервал (t2; )), называемом периодом старения и износа, происходит рост интенсивности отказов.
В случае постоянства интенсивности отказов (t) =  = const, тогда
(7) переходит в известное в теории вероятностей экспоненциальное распределение:
(8)
P(t )  e   t .
6
Это выражение называют эспоненциальным законом времени жизни
элемента. Для экспоненциального распределения формула (5) принимает вид:
(9)
T0 = 1 .

Следовательно, при простейшем потоке отказов средняя наработка
Т0 обратна интенсивности отказов .
1.2. Статистическое определение
Введем обозначения:
n(t) – число отказавших объектов к моменту t;
N(t) – число работоспособных объектов к моменту t;
n(t1, t2) – число отказавших объектов в интервале времени [t1, t2].
Статистическая оценка вероятности безотказной работы (ВБР)
(эмпирическая функция надежности) определяется как
N (t )
n(t ) .
(10)
P (t ) 
 1
N (0)
N
Оценка вероятности отказа (ВО):
n (t ) .
Q (t ) 
(11)
N
Статистическая оценка плотности распределения отказов (ПРО):
n(t , t  t ) .
(12)
f (t ) 
N  t
Статистическая оценка интенсивности отказов:
n(t , t  t ) .
 (t ) 
N (t )  t
Статистическая оценка средней наработки до отказа:
T0 
1
N
N

i 1
i
.
(13)
(14)
Кроме показателя средней наработки, следует учитывать показатели
рассеивания, к числу которых относятся дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО) наработки до отказа.
Дисперсия случайной величины наработки:
 вероятностное определение


D  Dt   M ti  T0    ti  T0   f t dt ;

2
статистическая оценка

2


2
1 n
 ti  T 0 .
N  1 i 1
СКО случайной величины наработки:
D
2
S  D.
7
(15)
0
(16)
(17)
2. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
Для того чтобы найти показатели, характеризующие надежность восстанавливаемого объекта, необходимо определить модель его функционирования.
Простейшей является такая модель, при которой объект какое-то
случайное время 1 работает до первого отказа, фиксируемого достоверно, затем следует мгновенное и полное восстановление свойств элемента
в момент t1 = 1, после чего элемент снова работает случайное время 2 до
второго отказа, определяемого достоверно, затем мгновенно восстанавливается до начального состояния в момент t2 = 1 + 2 и так далее. Для
определенности полагают, что в начальный момент времени элемент работоспособен (рис. 3).
Моменты отказов t1, t2, ... , ti, ..., tm образуют случайный поток (или
процесс) отказов, а так как восстановление следует мгновенно, то эти же
моменты образуют случайный поток (или процесс) восстановления.
1 2
i
m
0
t1
t2
ti-1 ti
tm-1
tm t
Рис. 3. Модель функционирования мгновенно восстанавливаемого элемента
Суммарная наработка до возникновения m-го отказа равна:
m
t m   1   2  ...   m    i .
(18)
i 1
Возможны два пути оценки надежности восстанавливаемых объектов:
1) вычисление характеристик потока отказов;
2) вычисление условных распределений наработки между отказами.
Процесс восстановления можно описать случайной величиной r(t),
равной числу отказов, происшедших за время t. Естественно, что r(t) принимает только целые неотрицательные значения. Величину r(t) можно характеризовать математическим ожиданием числа отказов, происшедших
на интервале (0, t):
(19)
M [r (t )]  (t ) ,
которое обычно называют ведущей функцией потока отказов или функцией восстановления. Часто удобно использовать функцию
d(t ) ,
(20)
 (t ) 
dt
которую называют плотностью восстановления (отказов) или параметром потока восстановления (отказа).
Параметр потока отказов – это отношение среднего числа отказов
восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки.
8
Случайная величина r(t) имеет распределение с законом
верr (t )  m  Pr (t )  m  P 1   2  ...   m  t   F m(t ) ,
(21)
где Fm(t) – закон распределения случайной величины tm.
Вероятность того, что за время t не будет ни одного восстановления
(отказа):
(22)
Pr (t )  0  P(t )  1  P(1  t )  1  F (t ) ,
где F(t) = F1(t) – вероятность первого отказа.
В общем случае вероятность того, что за время t будет ровно т восстановлений (отказов), определяется зависимостью:
(23)
Pr (t )  m  Pm (t )  Fm (t )  Fm1 (t ) .
По определению математического ожидания имеем:


m 1
m 1
(t )  M [r (t )]   mPm (t )   Fm (t ) .
(24)
Соответственно
dFm (t ) 
d(t )
,
  f m (t ) 
dt
dt
m 1
m 1

 (t )  
(25)
где fm(t) – плотность вероятности случайной величины tm.
В статистической форме:
n(t )  n(t1 ) ,
(26)
 (t )  2
t 2  t1
где n(ti) – количество отказов, зафиксированное по истечении ti.
Для случая экспоненциального закона распределения времени между
восстановлениями или отказами:
и
F1 (t )  F (t )  1  e t
P0 (t )  1  F (t )  e  t .
Процесс восстановления является пуассоновским потоком, для которого вероятность получения ровно т восстановлений (отказов)
  t m e t ,
(27)
Pr (t )  m  Pm (t ) 
m!
где t – математическое ожидание числа восстановлений (отказов) на
интервале (0, t), т. е.
(28)
(t )  t .
Тогда
d(t )
(29)
  (t )   .
dt
Таким образом, для экспоненциального закона плотность восстановления (или параметр потока отказов) численно равна интенсивности
отказов  невосстанавливаемого, работающего до первого отказа элемента.
9
Часто бывает важным установить асимптотические свойства процесса восстановления – его характеристики при большом времени t, после
того как наблюдалось большое количество отказов при произвольном законе F(t). Можно показать, что
(t ) 1 .
(30)
lim

t 
t
T0
Из формулы видно, что для длительного участка времени t среднее
число отказов, приходящихся на единицу времени, является величиной,
обратной среднему времени жизни элемента.
Следовательно, если рассматривать стационарный процесс, то часть
формул упростится.
Средняя наработка между отказами восстанавливаемого изделия:
p .
1
(31)


  p ( p )
А с учетом (29):
lim  (t )   
t 
1.

(32)
Полученные выше зависимости справедливы для простейшего процесса восстановления (мгновенное и полное восстановление свойств элемента при достоверно фиксируемом отказе). На практике время восстановления имеет конечные случайные значения, зависящие как от
свойств элемента, так и от характеристик персонала, ведущего восстановление, организации работ, наличия запасных элементов и других объективных и субъективных факторов.
Представим модель функционирования элемента (рис. 4) в следующем виде: работоспособный в момент t = 0 элемент функционирует в течение случайного времени 1 до первого отказа, фиксируемого достоверно в момент t1 = 1, затем в течение случайного времени 1в восстанавливается полностью до состояния, в котором находился в момент t = 0,
и работает случайное время 2 до второго отказа, фиксируемого достоверно в момент t2 = 1 + 1в + 2, затем восстанавливается за случайное
время 2в до начального состояния и так далее. Моменты
t m   1   1в   2   2в  ...   i   iв  ...   m
(33)
составляют поток отказов, а моменты
t mв   1   1в   2   2в  ...   i   iв  ...   m   mв
(34)
образуют поток восстановлений элемента (причем m = 1, 2, …).
1 1в 2
2в
i iв
m mв
…
…
0
t1
t1в
t2 t2в
ti-1в ti tiв
tm-1в tm
tmв t
Рис. 4. Модель функционирования элемента, восстанавливаемого за конечное время
10
Будем полагать, что все случайные величины i =  и iв = в (i = 1, …m)
независимы.
Кроме того, у всех i =  одинаковый закон распределения
F(t) = Р( < t) с математическим ожиданием М[] = T1 и СКО 1 = D[],
а также все величины iв = в распределены одинаково с законом
G(t) = Р(в < t) с математическим ожиданием М[в] = T2 и СКО 2 = D[в].
С использованием приведенных функций запишем формулы для
определения некоторых параметров для времени восстановления объекта.
Среднее время восстановления объекта:


0
0
 в  М { iв }   tg(t )dt   [1  G(t )]dt
(35)
или в статистической форме
1
N
в 
N

i 1
iв
.
(36)
Интенсивность восстановления объекта в момент времени t, отсчитываемый от момента начала восстановления:
g (t )
(37)
 (t ) 
1  G (t )
или в статистической форме
 (t ) 
где nв (t , t  t )
[t, t + t]; N в (t )
–
nв (t , t  t ) ,
N в (t )  t
(38)
число восстановлений в интервале времени
– число объектов, еще не восстановленных к моменту t;
t – длина интервала.
Важнейший показатель надежности такого элемента – коэффициент
готовности Кг(t), представляющий собой вероятность того, что элемент
окажется работоспособным в произвольный момент времени t.
В практических задачах обычно используют стационарное значение
коэффициента готовности Kг, к которому стремится функция Kг(t) при
t  . Можно показать [5], что
T1 ,
(39)
k г  lim K г (t ) 
t 
T1  T2
где Т1 и Т2 – математическое ожидание времени отказа и времени
восстановления соответственно.
Если длительность безотказной работы и длительность восстановления распределены по экспоненциальным законам, то:
k г  lim K г (t ) 
t 
11

 
.
(40)
3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
3.1. Нормальное распределение
Нормальное распределение является статистической моделью для
суммы большого числа независимых (или слабо зависимых) величин,
имеющих конечные средние и дисперсии, и с высокой степенью точности
описывает ошибку измерения. Для описания «времени жизни» применяется нормальное или усеченное нормальное распределение.
Плотность распределения:
f ( x,  ,  ) 

1
 2
e
( x )2
2 2
,
  x  .
(41)
Функция распределения:
F ( x,  ,  ) 
1
 2
x
e
 ( y  )2

 2 2





dy ,
(42)

где параметры  и  (- <  < ;  > 0) являются параметрами
сдвига и масштаба.
Среднее значение: m1 = .
Дисперсия: m2 = 2.
Коэффициент асимметрии:  1   3
 23  0 .
Эксцесс:  3   4  22  3  0 .
3.2. Экспоненциальное распределение
Постоянство интенсивности отказов делает экспоненциальное распределение особенно важным в теории надежности и в ее практических
приложениях.
Таким образом, из предположения об экспоненциальности распределения времени безотказной работы следует, что для оценок показателей
надежности достаточно иметь данные лишь о суммарном времени наработки и о числе произошедших отказов, а информация о предшествующей наработке элементов при этом не существенна.
Плотность распределения:
 x
 e , x  0
(43)
f e ( x,  )  
0,
x  0.
Функция распределения:
1  e  x , x  0
(44)
Fe ( x,  )  
0,
x  0,
12
где  – интенсивность отказов ( > 0).
Средняя наработка до отказа: m1  T0  1  .
Дисперсия: m2  1  .
Коэффициент асимметрии:  1  2 .
Эксцесс:  3  9 .
2
3.3. Распределение Вейбулла
Распределение Вейбулла обладает большим разнообразием форм,
используется для описания наработки до отказа систем с монотонной интенсивностью потока отказов.
Плотность распределения:
    1  x  
   e   , x  0
(45)
f B ( x,  ,  )     

x  0.
0,
Функция распределения:

x

1  e    , x  0
(46)
FB ( x,  ,  )  
0,
x  0,
где параметры  > 0 и  > 0 являются параметрами масштаба и формы, можно записать, что:
 при  < 1  интенсивность отказов (ИО) убывает, что соответствует периоду тренировки или выжигания неисправностей;

при  > 1  ИО возрастает – период износа;

при  = 1  закон Вейбулла принимает форму экспоненциального закона распределения, для которого ИО постоянна, что соответствует периоду нормальной эксплуатации.
13
4. МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ
Для повышения надежности систем и элементов применяют резервирование, основанное на использовании того или иного вида избыточности. Последняя определяет следующие разновидности резервирования:
функциональное, временное, информационное, структурное.
В том случае, если различные системы или устройства выполняют
близкие функции, осуществляется функциональное резервирование. Такое резервирование часто применяют для многофункциональных систем.
Временное резервирование заключается в том, что допускается перерыв функционирования системы или устройства из-за отказа элемента.
Во многих случаях временное резервирование, обеспечивающее непрерывность технологического процесса, осуществляется за счет введения
аккумулирующих емкостей, складов сырья и полуфабрикатов.
Информационное резервирование связано с возможностью компенсации потери информации по одному каналу информацией по другому.
На большинстве технологических объектов, благодаря внутренним связям, имеет место информационная избыточность, которая часто используется для оценки достоверности информации.
Для локальных систем наиболее характерно структурное резервирование. При использовании последнего повышение надежности достигается путем введения дополнительных элементов в структуру системы.
Структурное резервирование разделяют на общее и поэлементное
(раздельное). В первом случае система или устройство резервируется в
целом, во втором резервируются отдельные элементы или их группы.
Если резервные элементы функционируют наравне с основными, то
имеет место нагруженное резервирование.
Если резерв вводится в состав системы после отказа основного элемента, то имеет место ненагруженное резервирование.
При резервировании замещением один и тот же резерв может быть
использован для замены любого из ряда однотипных элементов. Такой
способ резервирования называют скользящим или с неоднозначным соответствием.
Простейшим вариантом расчета надежности систем со структурной
избыточностью является определение показателей безотказности систем,
содержащих резервированные невосстанавливаемые элементы.
14
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ
ОБ ОТКАЗАХ ИЗДЕЛИЙ
Время выполнения лабораторной работы (аудиторные часы) – 4 часа.
Время самостоятельной работы студента (дополнительные часы) – 4 часа.
Цель работы: изучение методики обработки экспериментальной
информации об отказах изделий и расчета показателей надежности.
Ключевые понятия, которые необходимо знать: надежность, отказ, основные показатели надежности.
Оборудование и программное обеспечение: работа выполняется на
ПЭВМ типа IBM PC с использованием пакета прикладных программ
MathCad.
Для выбора критерия надежности необходимо иметь развитую систему количественных показателей, характеризующих надежность объекта. Учитывая, что время работы до отказа изделия – величина случайная,
в качестве показателей надежности можно использовать: вероятность исправной работы объекта на определенном интервале времени, вероятность отказа объекта и т. д.
Основной характеристикой случайной величины является ее функция
распределения. Зная закон распределения, можно вычислить любые другие ее характеристики. Хотя число потенциально возможных моделей
распределения чрезвычайно велико, практически находит применение
относительно небольшое их число.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. Подбор распределений для эмпирических данных
Функция распределения для эмпирических данных может быть подобрана двумя методами:
 графическим;
 методом статистической проверки гипотез.
1.1. Графический метод
Графический метод самый простой. Он может быть использован для
разведочного анализа данных. Применение метода зависит от способа
представления результатов экспериментов.
Если результаты экспериментов представлены в виде статистической
выборки – массив наработки (в любых единицах измерения) до отказа
каждого объекта, то экспериментальные данные разбиваются на интервалы,
затем строится гистограмма частот попадания значений в эти интервалы.
Если результаты экспериментов представлены в виде количества отказов в исследуемые интервалы времени (как в данной работе), предварительная обработка не проводится.
15
Гистограмма частот сравнивается с различными теоретическими
функциями распределения. В качестве гипотетической функции распределения выбирается наиболее «похожая». После этого необходимо провести более точную проверку на соответствие выбранной функции распределения эмпирическим данным.
1.2. Статистическая проверка гипотез
Предположим, что в результате графического подбора функции распределения для некоторой случайной величины  была выбрана функция
F(x). Для проверки гипотезы о соответствии закона распределения 
функции распределения F(x) необходимы критерии, которые позволяли
бы судить, согласуются ли наблюдаемые значения х1, х2, …, xn величины
 с выбранной функцией распределения.
Пусть х1, х2, …, xn – случайная выборка и пусть Fn*(x) – эмпирическая
функция распределения выборки.
Определим некоторую неотрицательную меру D отклонения эмпирической функции распределения Fn*(x) от теоретической F(x): D = D(Fn*, F).
Величину D можно определить многими способами, в соответствии с которыми получаются различные критерии для проверки интересующей гипотезы. Например, можно положить
D Fn* , F  sup Fn* ( x)  F ( x) ,


x
где sup – верхняя грань по х, или


  F
D Fn* , F 
*
n
( x)  F ( x)

2k
g ( x)dx ,

где g ( x)  0,

 g ( x)dx   .

В первом случае для проверки гипотезы получим критерий Колмогорова, во втором случае (при к = 1) – критерий 2 Мизеса.
Величина D является функцией случайных величин, поэтому сама
является случайной величиной.
Пусть выдвинутая гипотеза верна, т. е. Fn* ( x)  F ( x) . Тогда распределение случайной величины D может быть найдено. Зададим малое
число  > 0, столь малое, что можно считать практически невозможным
осуществление события с вероятностью  в единичном опыте. Считая известным распределение случайной величины D, можно найти такое число
D0, что PD  D0    .
По имеющимся данным х1, х2, …, xn строим функцию Fn*(x) и вычисляем величину D{Fn*, F}. Если полученная при этом величина D окажется
16
больше D0, то это означает, что событие с вероятностью  произошло, т. е.
гипотеза отвергнута опытом.
Число , выбор которого зависит от характера задачи, называют
уровнем значимости критерия, а величину D0, определяемую из условия
PD  D0    – пределом значимости.
1.3. Критерии значимости, используемые в теории надежности
1.3.1. Критерий Хи-квадрат. Наиболее употребительная мера отклонения эмпирической функции распределения Fn* от теоретической F была
введена Пирсоном. Рассмотрим эту меру. Разобьем множество значений
величины  на r множеств S1, S2, …, Sr без общих точек. Обычно такое
разбиение осуществляется при помощи (r - 1) чисел а1 < а2 < …< аr. При
этом правый конец каждого интервала исключается из соответствующего множества.
Пусть pi, i = 1, 2, …, r – вероятность того, что величина  принадлежит множеству S1.
Пусть vi, i = 1, 2, …, r – количество величин из числа х1, х2, …, xn
принадлежащих множеству S1. Тогда vi n – частота попадания величины
 в множество Si при n наблюдениях. Очевидно, что
r
r
v
i 1
n
 vi  n;
i 1
i
 1.
Для приведенного разбиения pi есть приращение гипотетической
функции распределения на множестве Si, a vi n – приращение эмпирической функции Fn* выборки на том же множестве.
За меру D отклонения эмпирической функции от теоретической принимается величина
r
 
2
vi  n  p i 2 .
i 1
n  pi
Для проверки истинности гипотезы необходимо задать уровень значимости , затем по таблице для предельного (при n  ) распределения
2 с (r - 1) степенями свободы найти предел значимости  2 . Если для
данной выборки окажется, что  2   2 , то гипотеза отвергается.
Применение критерия  2 дает хорошие результаты во всех случаях,
когда величины n  pi  10,
i  1, 2, , r.
1.3.2. Критерий Колмогорова. Как и в предыдущем случае, гипотетическая функция распределения полностью определена и непрерывна. Ме17
ра D отклонения эмпирической функции распределения Fn*(х) от гипотетической F(x), предложенная А. Н. Колмогоровым, определяется следующим образом:
Dn  D Fn* , F  sup Fn* ( x)  F ( x) ,


x
где sup – верхняя грань множества по всевозможным значениям х.
Предельное распределение Dn при n   дает теорема Колмогорова.
Если функция распределения F(х) непрерывна, то при n  
 
k 2k 2 x 2
, при x  0
  (1) e
P n , Dn  x  K ( x)  k  
0,
при x  0.



Проверка истинности гипотезы производится так же, как и по  2 .
Предел значимости К  можно найти по таблице распределения Колмогорова или вычислить по вышеуказанному выражению.
Следует отметить, что ввиду сложности вычисления предельного
значения, данный критерий согласия иногда используется для непосредственного сравнения со значениями, рассчитанными для других гипотез.
В этом случае можно говорить о принятии гипотезы с наименьшим значением критерия Dn.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В промышленных условиях были проведены испытания N невосстанавливаемых одинаковых объектов, результаты испытаний зафиксированы в таблице с указанием границ временных интервалов и количества отказов, произошедших на данном интервале наблюдения.
По результатам эксперимента необходимо:
а) определить закон распределения случайной величины  – наработки на отказ;
б) рассчитать основные показатели надежности для данного вида
объектов.
ЗАДАНИЕ НА ПРОВЕДЕНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
1. Для заданной выборки чисел, представляющих собой наработки
объектов и соответствующие количества отказов при этих наработках,
определить основные характеристики и подобрать закон распределения
(задание по вариантам приведено в приложении А, номер варианта устанавливается преподавателем). В качестве критерия для проверки соответствия закона распределения использовать критерии Хи-квадрат и Колмогорова-Смирнова.
2. Рассчитать следующие показатели надежности и построить графики:
18
а) плотность распределения отказов;
б) функция распределения отказов;
в) функция выживаемости;
г) интенсивность отказов.
3. Оформить отчет о проделанной работе, который должен содержать:
 распечатку исходных данных;
 сводку статистик;
 результаты тестов для подобранного закона распределения;
 графики;
 выводы по каждому пункту работы.
МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Выполнение лабораторной работы разбито на два этапа:
Этап 1. Определение закона распределения по исходным данным.
Этап 2. Рассчет основных показателей надежности для заданной выборки.
Выполнение этапа 1
Шаг 1. Обработка исходных данных.
Построение гистограммы наработки до отказа. Для этого необходимо:
 определить интервал наработки [tmin, tmax] и его длину t  t max  t min
(в данной работе время начала эксперимента считается равным нулю);
 определить t – шаг гистограммы:
t  ti1  ti ;
 подсчитать частоты появления отказов во всех k интервалах:
pi 
n(t i , t i  t ) n(t i , t i 1 )
,

N
N
где n(ti, ti + t) – число объектов, отказавших в интервале [ti, ti + t].
Очевидно, что
k
p
i
0
 1;
 полученный статистический ряд представить в виде гистограммы.
Шаг 2. Используя знания, полученные в процессе обучения, и изложенный выше теоретический материал, подобрать закон распределения
наработки на отказ. В качестве критерия для проверки соответствия закона распределения использовать критерии Хи-квадрат и КолмогороваСмирнова.
Выполнение этапа 2
Шаг 1. Расчет эмпирических функций.
Используя данные сформированного статистического ряда, определяются статистические оценки показателей надежности, так называемые
эмпирические функции:
19
 функция распределения отказов (оценка ВО):
n(t min )
 0,
N
n(t ) n(t min , t1 )
Q(t1 )  i 
,
N
N
n(t ) n(t min , t1 )  n(t1 , t 2 )
Q(t 2 )  2 
,
N
N
Q(t min ) 
…
Q(t max ) 
n(t max )
;
N
 функция надежности (оценка ВБР):
P(ti )  1  Q(ti ) ;
 плотность распределения отказов (оценка ПРО):
n(t i , t i 1 ) Pi ;
f (t i ) 

N  t
t
 интенсивность отказов (оценка ИО):
n(ti , ti 1 )
n(ti , ti 1 )
.
 (ti ) 

N  n(ti ) t
N (ti )  t
Рис. 5. Оценка ВО и ВБР
Шаг 2. Расчет статистических оценок числовых характеристик.
Для расчета статистических оценок числовых характеристик можно
воспользоваться данными сформированного статистического ряда.
20
Оценки характеристик определяются по следующим формулам:
 оценка средней наработки до отказа (статистическое среднее
наработки):
k
T0   ti  Pi ,
i 1
где t i – значение, равное середине каждого временного интервала,
t i  t i  t / 2  t i 1  t / 2, то есть среднее значение наработки в интервале;
 оценка дисперсии наработки до отказа (эмпирическая дисперсия
наработки):
k
D   (ti  T0 ) 2  Pi ;
 оценка СКО:
1
2
DS .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
1. Перечислите основные показатели надежности.
2. Каковы правила выбора показателей надежности?
3. Назовите законы распределения наработки до отказа, наиболее
распространенные в теории надежности.
4. Как проверяется согласие эмпирического закона распределения
случайной величины и выдвинутой гипотезы?
5. Что такое квантиль функции распределения случайной величины?
6. В каких случаях на практике встречается экспоненциальный закон
распределения наработок до отказа?
7. Какие отказы чаще всего приводят к распределению наработок по
закону Вейбулла?
8. Назовите признаки и свойства простейшего потока отказов.
9. Как использовать коэффициент вариации для обоснования гипотезы о характере закона распределения случайной величины?
21
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ СО СТРУКТУРНОЙ
ИЗБЫТОЧНОСТЬЮ
Время выполнения лабораторной работы (аудиторные часы) – 4 часа.
Время самостоятельной работы студента (дополнительные часы) – 4 часа.
Цель работы: закрепить теоретические знания и приобрести практические навыки по применению математических методов исследования
надежности систем.
Ключевые понятия, которые необходимо знать: структурная избыточность, коэффициент готовности.
Для исследования показателей надежности систем обработки информации в качестве математического аппарата применяется теория вероятностей, теория случайных процессов, алгебра логики. Данная работа
посвящена построению и анализу модели для изучения одного из показателей надежности, а именно коэффициента готовности системы (вероятности существования работоспособного пути между узлами сети) передачи данных. Для построения модели используется аппарат теории вероятностей и алгебра логики.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. Комплексные показатели надежности
При расчетах показателей надежности как восстанавливаемых, так и
невосстанавливаемых объектов можно использовать комплексные показатели надежности изделий.
Нестационарный коэффициент готовности Kг(t) есть вероятность
того, что изделие окажется в работоспособном состоянии в момент времени t в периоде применения по назначению. Используя статистические
данные, можно оценить нестационарный коэффициент готовности с помощью соотношения
K г (t ) 
N (t ) ,
N (0)
где N (t ) – число работоспособных в момент времени t изделий из
общего числа изделий N (0) .
В практических задачах обычно используют стационарное значение коэффициента готовности kг, к которому стремится функция Kг(t) при t  :
k г  lim K г (t ) 
t 
N ,
N (0)
где N – число работоспособных изделий из общего числа изделий N(0)
в произвольный момент времени стационарного периода эксплуатации.
22
Коэффициент оперативной готовности – это комплексный показатель надежности, определяется как вероятность того, что объект окажется
в работоспособном состоянии в произвольный момент времени (кроме
планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается) и, начиная с этого момента, будет работать
безотказно в течение заданного интервала времени t.
K о.г . (t )  K г P(t x , t ) ,
где P(tx, t) – условная вероятность безотказной работы системы на
интервале(tx, tx + t).
В статистической форме это отношение числа объектов, работоспособных в момент времени t и проработавших безотказно до момента времени t + tх, к общему числу объектов в момент времени t.
K o,u (t ) 
N (t , t  t x ) .
N
Следует отметить, что для невосстанавливаемых объектов коэффициент готовности совпадает со значением вероятности исправной работы.
2. Методы расчета надежности систем со сложной структурой
2.1. Метод перебора состояний
Расчету надежности любой системы независимо от метода предшествует определение двух непересекающихся множеств состояний элементов, соответствующих работоспособному и неработоспособному состояниям системы. Каждое из этих состояний характеризуется набором элементов,
находящихся в работоспособном l и неработоспособном k состояниях.
При независимых отказах вероятность каждого из состояний определяется произведением вероятностей нахождения элементов в соответствующих состояниях, то есть при числе состояний, равном m, вероятность работоспособного состояния системы:
m
P   p l  q k ,
j 1 l j
kj
вероятность отказа:
m
Q  1   pl  q k ,
j 1 l j
kj
где m – общее число работоспособных состояний, в каждом j-м из
которых число исправных элементов равно lj, а вышедших из строя – kj.
2.2. Расчет надежности системы с использованием формулы Уоринга
Вторая модель предусматривает построение функции работоспособности как дизъюнкции всех кратчайших путей успешного функционирования (КПУФ) или с использованием формулы Уоринга:
23
n 1 n
n  2 n 1 n
 n
 n
P  Ai    P Ai     P Ai   P A j      P Ai   P A j   P Ak    
i 1 j  i 1
i 1 j  i 1k  j 1
 i 1  i 1
  1 P A1   P A2     P An ,
где Ai – i-й минимальный путь; P Ai  – вероятность исправной работы по i-му минимальному пути; n – количество минимальных путей в системе; i = 1… n .
n 1
3. Важность элементов в смысле вероятности надежной работы
Меру важности j-го элемента в смысле вероятности надежности работы определим следующим образом:
P


I k ( j) 
 P(1 j , p)  P (0 j , p ) ,
p j
где P(1 j , p ) – вероятность исправной работы системы, рассчитанная для случая, когда i-й элемент абсолютно надежен; P(0 j , p ) – вероятность исправной работы системы, рассчитанная для случая, когда i-й элемент абсолютно ненадежен.
Свойства меры:
1) поскольку 0  pi  1 и система монотонная, то 0  I r (i)  1, i;
2) эта мера может быть использована для оценки повышения
надежности системы при повышении надежности отдельного элемента:
n P dP
n
dP



 P   I k ( j )p .
dt
dt
j 1 p i
j 1
Приращение надежности системы пропорционально мере, следовательно, зависит от важности элемента. Таким образом, чем важнее элемент, тем больший вес он вносит в надежность системы.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для отдельных структурных подразделений предприятия «ХХХ»
предлагается следующая система передачи данных между различными
узлами (представлена на рис. 5). Ввиду повышенных требований к системе в структуру введены избыточные элементы. Для предлагаемой системы необходимо:
 определить коэффициент готовности системы применительно к
одной из пар узлов (вероятность наличия хотя бы одного работоспособного пути между двумя заданными вершинами графа);
 определить по каждой линии системы передачи данных значимость (меру важности) и ее вклад в надежность системы в целом.
Исходными данными для проведения расчетов являются:
 структура системы передачи данных в виде неориентированного графа;
24
 индивидуальный вариант исследуемой структуры системы для
каждого студента (в соответствии с данными таблицы Б.1 приложения Б);
 коэффициенты готовности линий связи (ребер графа), приведенные в таблице Б.2 приложения Б.
При проведении расчетов можно считать, что узлы системы (вершины графа) являются абсолютно надежными.
ЗАДАНИЕ НА ПРОВЕДЕНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
1. Разработать и реализовать на ЭВМ аналитические модели для
определения Кг пути между вершинами:
1 и 6 для вариантов задания 1–12;
3 и 6 для вариантов задания 13–24.
Исследуемая структура графа определяется рис. 6 и перечнем ребер
графа в соответствии с индивидуальным заданием для каждого студента
(таблицы Б.1 и Б.2).
12
1
3
1
8
2
11
2
5
9
6
5
3
4
7
10
13
4
6
Рис. 6. Граф исходной структуры сети
Следует построить два вида моделей:
 на основе метода перебора возможных состояний системы;
 на основе построения функции работоспособности системы с использованием (КПУФ) – формулы Уоринга.
Модели должны позволить производить расчет при различных значениях вероятности работоспособного состояния каждого из ребер графа.
2. Произвести расчеты Кг системы, если все линии имеют одинаковые значения коэффициента готовности, равные 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, и построить соответствующий график зависимости.
3. Определить ребро или ребра, которые дают максимальное приращение Кг при увеличении их надежности.
4. Провести анализ результатов расчетов и сформулировать выводы
по результатам исследования.
5. Рассчитать показатели значимости и вклада линий связи в надежность системы, сформулировать выводы о влиянии этих элементов на
обеспечение надежности системы.
6. Оформить отчет о проделанной работе, который должен содержать:
25
 исследуемый вариант структуры сети;
 перечень путей успешного функционирования сети и перечень состояний работоспособности сети;
 форму записи функции работоспособности;
 результаты расчета Кг системы для двух моделей и заданных
значений коэффициентов готовности ребер графа;
 результаты оценки степени влияния надежности ребер на Кг
.системы;
 результаты расчета структурных характеристик надежности
элементов системы;
 выводы по результатам исследования влияния надежности
элементов на надежность системы.
МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Этап 1. Подготовка исходных данных
В соответствии с заданным вариантом воспроизводится конкретная
структура системы, подлежащая исследованию.
Для полученной структуры в целях удобства построения моделей
производится перенумерация ребер. Определяются КПУФ как перечни
ребер, одновременная работоспособность которых обеспечивает возможность передачи информации между вершинами 1 и 6 (варианты 1–12) или
3 и 6 (варианты 13–24).
Этап 2. Реализация модели расчета коэффициента готовности системы с использованием метода перебора состояний
Для реализации модели осуществляется перебор всех возможных состояний системы, определяемых различными комбинациями работоспособности ребер выбранной структуры. И так как каждое ребро может
находиться только в одном из двух состояний (работоспособно, неработоспособно), то возможные состояния сети можно охарактеризовать двоичными числами. Количество возможных состояний сети будет равно 2 m,
где m – количество ребер в графе. Каждый разряд m-разрядного двоичного числа соответствует конкретному ребру графа. Например, двоичное
число 00110111 соответствует такому состоянию, когда первое, второе и
пятое ребро неработоспособны, а третье, четвертое, шестое, седьмое и
восьмое ребра работоспособны.
Все эти состояния системы несовместны и, следовательно, вероятности таких состояний можно складывать.
Коэффициент Кг системы определяется как сумма вероятностей всех
состояний, которые соответствуют наличию хотя бы одного работоспособного пути. Приведенное число 00110111 соответствует, например, пути работоспособности 4, 8. Вероятность такого состояния составит:
(1 - р1)(1 - р2) р3р4 (1 - р5)  р6р7р8,
где рi – вероятность работоспособного состояния i-го ребра.
26
Непосредственно саму модель для расчета Кг системы целесообразно
реализовать с помощью табличного процессора. Каждому ребру отводится один столбец таблицы. В строках таблицы записываются двоичные
числа от 0 до 2m - 1. В соседнем столбце вычисляются вероятности состояний. Еще один столбец отводится на задание признака работоспособности системы для каждого состояния: 1 – работоспособное, 0 – неработоспособное. Производится суммирование вероятностей тех состояний, которые соответствуют условию работоспособности.
Этап 3. Реализация модели расчета коэффициента готовности системы с использованием формулы Уоринга
Переход от функции работоспособности к вероятностной функции
осуществляется заменой логической переменной коэффициентом Кг, а
отрицание логической переменной 1- Кг соответствующего ребра.
Расчет по данной модели также можно осуществить с помощью табличного процессора.
Рассмотрим пример расчета с использованием формулы Уоринга для
схемы, представленной на рис. 7, в которой требуется провести расчет
для вершин (1)–(5):
1
2
2
1
3
3
5
4
5
4
6
Рис. 7. Упрощенный пример сети
1. Перечислим минимальные пути: 1 = х1х2; 2 = х3х4; 3 = х5х6.
2. Для использования в формуле нам потребуются:
12 = – х1х2х3х4, 13 = – х1х2х5х6, 23 = – х3х4х5х6, взятые (по
формуле) со знаком «–»;
123 = х1х2х3х4х5х6.
При записи результатов логического перемножения состояний следует помнить, что х × х = х.
3. Перейдем к обозначениям вероятностей, и итоговая формула запишется в виде:
Pc = p1р2 + р3р4 + р5р6 – р1р2р3р4 – р1р2р5р6 – р3р4р5р6 + р1р2р3р4р5р6.
Примечание: значения вероятностей работоспособности отдельных ребер графа целесообразно поместить в отдельные клетки таблицы и задавать их конкретные значения.
Этап 4. Построение графика зависимости коэффициента готовности
для случая равной надежности всех линий связи
Осуществляется по любой из реализованных моделей подстановкой
равных значений вместо заданных для каждого ребра реализуемой струк27
туры. Результаты расчета коэффициента готовности системы фиксируются и интерпретируются графически.
Этап 5. Определение значимости линий связи
Определение ребер, которые дают наибольшее приращение Кг системы, производится путем перебора: последовательно одному из Кг конкретного ребра дается приращение (например, на 10 %) по сравнению со
всеми другими ребрами. Результаты расчетов фиксируются. Такой расчет
можно проводить по одной из моделей.
Анализ результатов и формирование выводов должны включать:
 оценку влияния возрастания надежности ребер графа на Кг системы;
 выявление ребер, оказывающих наибольшее влияние на Кг системы;
 анализ трудоемкости моделирования и различий в результатах
моделирования.
Этап 6. Определение показателей значимости и вклада линий связи в
надежность системы в целом
Используя аналитическое выражение для расчета показателя коэффициента готовности системы по каждому ребру рассчитывается:
а) мера важности каждого ребра I k ( j ) ;
б) показатель вклада ребра в надежность системы:
B j  I k ( j)  K г j
и относительного вклада:
bj 
Bj
n
B
i 1
.
i
По результатам расчета формулируются выводы о фактическом влиянии элементов на надежность системы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
1. Показатели надежности восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем.
2. Что такое структурное резервирование? Назовите его виды.
3. Методы оценки надежности систем со структурной избыточностью.
4. Показатели, оценивающие влияние надежности элементов на
надежность системы.
5. Применение параметра "вес элемента" при исследовании надежности системы.
6. Понятие значимости и вклада элемента в надежность системы,
порядок их расчета.
7. Применение параметров "значимость" и "вклад" при исследовании надежности системы.
8. Возможные другие подходы к оценке влияния элементов на
надежность системы.
28
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТА ГОТОВНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ
Время выполнения лабораторной работы (аудиторные часы) – 4 часа.
Время самостоятельной работы студента (дополнительные часы) – 4 часа.
Цель работы: приобрести практические навыки по применению математических методов расчета надежности восстанавливаемых систем.
Ключевые понятия, которые необходимо знать: граф состояний,
интенсивность отказа, интенсивность восстановления, Марковские процессы.
Оборудование и программное обеспечение: работа выполняется на
ПЭВМ типа IBM PC с использованием пакета прикладных программ
MathCad.
Для расчета показателей надежности как восстанавливаемых, так и
невосстанавливаемых систем с различными вариантами резервирования,
можно использовать Марковские модели (применительно к графу состояний систем).
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и
систем наиболее распространено допущение:
 экспоненциальное распределение наработки между отказами;
 экспоненциальное распределение времени восстановления.
Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное
распределение описывает процесс без «предыстории» [5].
Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах
представить анализируемые системы в виде Марковских систем и использовать для расчета надежности метод дифференциальных уравнений
для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова).
При использовании метода в общем случае для системы S необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы
S1 , S2 , …, Sn , в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.
Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:
 отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект)
восстанавливаются;
 отсутствуют ограничения на число восстановлений;
 если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то слу29
чайный процесс переходов будет Марковским процессом с непрерывным
временем и дискретными состояниями S1 , S2 , … , Sn .
Основные правила составления модели:
 Математическую модель изображают в виде графа состояний.
Элементы графа:
а) кружки (вершины графа S1 , S2 , … , Sn ) – возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов;
б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния Si в другое Sj.
Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.
«восстанавливаемый
элемент»
«невосстанавливаемый
элемент»
(переход в состояние отказа)
λ
S0
S1
λ
S0
S1
µ
(переход в работоспособное
состояние путем восстановления)
Рис. 8. Пример графа:
S0 – работоспособное состояние; S1 – состояние отказа
«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1:
исправное состояние продолжается или состояние отказа продолжается (в
дальнейшем петли на графах не рассматриваем).
Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных
состояний системы S1 , S2 , … , Sn . Каждая из вершин графа соответствует
одному из состояний.
 Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/
восстановление) применяют вероятности состояний P1(t), P2(t), …, Pn(t).
 По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова), имеющих вид:
q
dPi (t ) 
  li  Pl (t )  Pi (t )   ij , j  1... q; l  1...  ,
dt
l 1
i 1
где
li – интенсивность перехода;  и q – число входящих и исходя-
щих стрелок соответственно.
В общем случае интенсивности потоков
времени t.
30
li
и
li
могут зависеть от
При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:
а) в левой части – производная по времени t от Pi(t);
б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих
рассматриваемое состояние с другими состояниями;
в) каждый член правой части равен произведению интенсивности
перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;
г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена
острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.
Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.
Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний P1(t), Pi(t), … , Pn(t), необходимо задать начальное значение вероятностей P1(t) (0), Pi(0), … , Pn(0) при t = 0, сумма которых равна единице.
Если в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t = 0) = Si, то Pi(0) = 1, а остальные равны нулю.
Метод дифференциальных уравнений может быть использован для
расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).
В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности  выхода из этих состояний исключаются.
Для решения полученной системы дифференциальных уравнений
используют методы, изученные в курсе высшей математики. В данной
лабораторной работе предлагается использовать возможности математического пакета MathCad.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В качестве практического примера восстанавливаемой системы используем упрощенную схему системы производства электроэнергии и
теплоты. В общем случае на электрических станциях установлены комплексы оборудования и устройств, при помощи которых различные виды
природной энергии преобразуются в электрическую. Основными элементами электростанции являются: котельная установка, производящая пар
высоких параметров (далее котельная); турбинная или паротурбинная
установка (далее турбина), преобразующая теплоту пара в механическую
энергию вращения ротора турбоагрегата; и электрические устройства,
обеспечивающие выработку электроэнергии.
В данной работе рассмотрим пример расчета коэффициента готовности для упрощенной схемы энергоблока (рис. 9).
31
Котельная № 1
Турбина
Котельная № 2
Рис. 9. Упрощенная принципиальная схема энергоблока
Требуется рассчитать коэффициент готовности системы для двух
способов подключения котельных установок.
Способ 1: обе котельные подключены к главному паропроводу.
Расход пара на турбину может быть обеспечен одной котельной при ее
номинальной нагрузке. Это позволяет рассматривать одну из котельных
как находящуюся в нагруженном резерве.
Способ 2: одна котельная подключена к главному паропроводу,
что полностью обеспечивает потребность пара на турбину. Вторая котельная находится в состоянии готовности к включению. Это позволяет
рассматривать вторую котельную как находящуюся в ненагруженном
резерве.
Исходная информация для реализации модели:
 упрощенная принципиальная схема энергоблока;
 средние наработки до отказа и среднее время восстановления
элементов после отказа.
(В работе заданы значения наработок, которые могут использоваться
в качестве контрольного примера).
ЗАДАНИЕ НА ПРОВЕДЕНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
1. Ознакомиться с теоретическими основами расчета надежности
восстанавливаемых систем.
2. Освоить технологию построения графа состояний по принципиальной схеме энергоблока.
3. Изучить методику составления уравнений Колмогорова по графу
состояний системы.
4. Рассчитать коэффициент готовности энергоблока по исходным
данным, в соответствии с вариантом задания по таблице В.1 приложения В для различных методов резервирования:
а) одна из котельных находится в нагруженном резерве;
б) одна из котельных находится в холодном резерве.
5. Для различных вариантов резервирования исследовать влияние:
32
а) времени восстановления котельной и турбины на коэффициент готовности;
б) средней наработки до отказа на величину коэффициента готовности;
в) начальных состояний энергоблока на показатели надёжности.
6. Оформить отчет о проделанной работе, который должен содержать:
 графы состояний для обоих вариантов реализации системы;
 результаты исследований и выводы по каждому из них.
МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Методику выполнения лабораторной работы рассмотрим на примере
расчета одного из вариантов структур, реализованных с использованием
пакета MathCad.
Шаг 0. На основании принципиальной схемы строится граф состояний системы, приведенный на рис. 10.
Множество состояний энергоблока:
S0 – работоспособное состояние энергоблока;
S1 – отказ одной котельной;
S2 – отказ двух котельных;
S3 – отказ турбины.
Шаг 1. Ввод исходных данных:
 среднее время безотказной работы котельной (ч):  1 : 4500,
 среднее время восстановления котельной (ч):  v1 : 1000 ,


среднее время безотказной работы турбины (ч):  2 : 5000,
среднее время восстановления турбины (ч):  v 2 : 1000 .
2λ1
µ2
S0
µ1
λ1
S1
2µ1
S3
λ2
S2
Рис. 10. Граф состояний энергоблока: вариант нагруженного резерва
Шаг 2. На основании исходных данных рассчитаем значения интенсивностей переходов (величин, обратных среднему времени безотказной
работы и восстановления соответственно):
33
1

интенсивность отказа котельной: 1 :

интенсивность отказа турбины:  2 :

интенсивность восстановления котельной: 1 :

интенсивность отказа турбины:  2 :
 0.00022,
1
1
 0.0002,
2
1
 v2
1
 v1
 0.001,
 0.00154 .
Шаг 3. Ввод вектора начальных состояний – начальные значения вероятностей нахождения объекта в каждом из четырех состояний. Следует
учесть, что сумма всех начальных состояний должна быть равна единице.
 1. 0 
 
 0 
p :  
0
 
 0 
 
Проверка:
p
j
 1.
j
Шаг 4. Для описанной системы по графу состояний составляем систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка –
уравнений Колмогорова.
В матрицу D(t, p) записываются правые части уравнений:
 2  1  p0    1 p1  2  p0   2 p3 
 2    p      p  2   p 
1
0
1
1
1
1 2 
D(t , p) : 


 2  1 p2  1  p1

.
  2 p3  2  p0


Шаг 5. Для определения значений вероятности воспользуемся встроенной функцией rkfixed(init, x1, x2, npoints, D), использующей метод
Рунге-Кутта для численного решения дифференциальных уравнений. Параметры функции:
 init – вектор начальных состояний;
 x1, x2 – значения интервала, на котором определяется решение
(значение init считается значением функции в точке x1);
 npoints – число тактов поиска решений;
 D – векторная функция D(t, p), являющаяся правой частью системы:
 f1 ( x, y ) 
 f ( x, y ) 
dy

 D ( x, y )   2
  
dx

.
 f n ( x, y ) 
34
Результат решения записывается в матрицу Z, столбцы которой содержат значения искомых функций (на каждом такте поиска решений).
Z : rfixed p, 0, 2000, 500, D .
Шаг 6. Рассчитаем значение вероятности исправного состояния на
конечной точке интервала наблюдения, что будет соответствовать стационарному значению коэффициента готовности.
Для этого введем дополнительную переменную:
station : rows ( Z )  1
и зафиксируем расчетное значение стационарного коэффициента готовности:


K : Z station,1.
Иллюстрация изменения коэффициента готовности энергоблока от
начального состояния до стационарного значения представлена на рис. 11
( n : 0.. station – вспомогательная переменная).
0
500
1 × 103
1.5 × 103
2 × 103
Рис. 11. Коэффициент готовности энергоблока
при использовании котельных в режиме горячего (нагруженного) резерва
Для второго варианта реализации системы необходимо выполнить
аналогичные расчеты с учетом особенностей графа состояний для холодного резерва.
СЦЕНАРИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Эксперимент 1. Оценить влияние времени восстановления котельных и турбины на коэффициент готовности для обоих методов резервирования, для этого необходимо зафиксировать значения коэффициента
готовности при 5–20 % отклонении от исходного значения. Сделать выводы по полученным результатам.
35
Эксперимент 2. Оценить влияние изменения средней наработки до
отказа на коэффициент готовности для обоих методов резервирования.
Для этого необходимо зафиксировать значения коэффициента готовности
при 5–20 % отклонении от исходного значения. Сделать выводы по полученным результатам.
Эксперимент 3. Исследовать влияние начальных состояний энергоблока на показатели надёжности. Необходимо рассмотреть следующие
варианты:
 в начальный момент времени система находится в неработоспособном состоянии;
 в начальный момент времени одна из котельных находится в состоянии отказа;
 за начальный момент времени взят пятый шаг работы исходной
схемы, т. е. информация о начальном состоянии известна неточно, а заданы только вероятностные значения нахождения системы в каждом из состояний.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
1. Каковы основные этапы расчета надежности при использовании
Марковской модели?
2. При каком законе надёжности применима Марковская модель
процесса изменения состояний объекта?
3. Каковы основные правила составления графа состояний? Приведите пример графа состояний для простейших структур.
4. Что такое интенсивность отказов, интенсивность восстановления?
5. Как изменяется интенсивность отказов с увеличением наработки
объекта?
6. Что такое коэффициент готовности?
7. Как влияет резервирование на коэффициент готовности объекта?
8. Как влияет увеличение времени восстановления на коэффициент
готовности?
36
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ
Время выполнения лабораторной работы (аудиторные часы) – 4 часа.
Время самостоятельной работы студента (дополнительные часы) – 4 часа.
Цель работы: закрепить практические навыки расчета показателей
надежности для реальных объектов.
Ключевые понятия, которые необходимо знать: структурная схема надежности, граф состояний, интенсивность отказа, коэффициент готовности.
Оборудование и программное обеспечение: работа выполняется на
ПЭВМ типа IBM PC с использованием пакета прикладных программ
MathCad.
Данная лабораторная работа является завершающей в цикле лабораторных работ по дисциплине «Надежность, эргономика и качество АСОИУ».
При её выполнении студентам предлагается осуществить основные этапы
расчета надежности для практического примера, используя методики,
изученные в ходе выполнения 2 и 3 лабораторных работ данного пособия.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В качестве практического примера рассмотрим упрощенную схему
системы теплоснабжения, основанной на использовании геотермальных
ресурсов (применительно для географических районов их наличия).
Теплоснабжение предлагается обеспечивать за счет использования
геотермальной системы теплофикации с теплонасосной станцией, обеспечивающей нагрев сетевой воды в отопительный период максимум до
95 °С и использующей потенциал геотермального теплоносителя [7].
Упрощенная схема теплонасосной станции (рис. 12) имеет три контура: контур геотермальной воды, промежуточный контур и контур сетевой воды системы теплоснабжения. Приведенная на схеме температура
воды (термальной, в промконтуре, сетевой) соответствует отопительному
максимуму тепловой нагрузки.
По магистральному трубопроводу геотермальная вода с месторождения поступает в город температурой 75 °С (снижение температуры в трубопроводе составляет не более 3...5 °С). Геотермальная вода поступает в
теплообменник, где отдает свое тепло теплоносителю промежуточного
контура, а затем сбрасывается в реку при температуре 10...20 °С. Вода
второго контура, проходя через теплообменник, нагревается геотермальной водой до 45 °С, а затем поступает в испарители трех последовательно
включенных тепловых насосов, где отдает свое тепло хладону, испаряя
его, и при температуре 15 °С возвращается в теплообменник.
Из системы сетей теплоснабжения вода поступает в конденсаторы
трех тепловых насосов, где нагревается от 60 до 80 °С. В случае неис37
правности одного из насосов дополнительный подогрев воды осуществляется в пиковой котельной, согласно температурному графику подающей линии тепловой сети.
Сетевая
вода
Тепловой
насос № 1
Паровая
котельная
Тепловой
насос № 2
Тепловой
насос № 3
В систему
теплоснабжения
Из системы
теплоснабжения
Система,
работающая с
геотермальной
водой
Геотермальная
вода
Сброс охлажденной
воды
Рис. 12. Упрощенная схема системы геотермального теплоснабжения
с использованием тепловых насосов
Требуется рассчитать коэффициент готовности контура сетевой воды
системы теплоснабжения.
Исходная информация:
 упрощенная схема системы теплоснабжения;
 средние наработки до отказа и среднее время восстановления
элементов после отказа (таблица Г.1 приложения Г).
ЗАДАНИЕ НА ПРОВЕДЕНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
1. На основании функциональной схемы системы геотермального
теплоснабжения с использованием тепловых насосов составить структурную схему надежности (ССН) для контура сетевой воды.
2. В расчетах учитывать следующие варианты реализации системы:
а) в системе используются восстанавливаемые объекты, паровая котельная находится в холодном резерве;
б) в системе используются восстанавливаемые объекты, один
из тепловых насосов является резервным, паровая котельная находится в
холодном резерве.
3. Сформировать множество состояний системы.
4. Построить граф состояния.
38
5. Записать уравнения Колмогорова по графу состояний системы.
6. Рассчитать коэффициент готовности энергоблока по исходным
данным (в соответствии с вариантом задания по таблице 4) для различных
вариантов реализации системы.
7. Для различных вариантов резервирования исследовать влияние:
а) изменения времени восстановления одного из элементов на
вероятность безотказной работы системы;
б) изменения среднего времени безотказной работы одного из
элементов на вероятность безотказной работы системы;
в) резервирования на показатели надёжности системы.
8. Оформить отчет о проделанной работе, который должен содержать:
 структурную схему надежности;
 графы состояний для различных вариантов реализации системы;
 расчетные значения коэффициентов готовности;
 результаты исследований и выводы по каждому из них.
При построении ССН следует учитывать, что отказ системы наступает в следующих случаях:
 выход из строя двух тепловых насосов и котельной,
 выход из строя трубопровода.
СЦЕНАРИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Эксперимент 1. Оценить влияние времени восстановления трубопровода на показатели безотказности. Для этого необходимо зафиксировать
значения вероятности исправной работы и полного отказа при 5–20 % отклонении показателя от исходного значения. Сделать выводы по полученным результатам.
Эксперимент 2. Оценить влияние изменения средней наработки до
отказа теплового насоса на вероятность безотказной работы. Для этого
необходимо зафиксировать значения при 5–20 % отклонении от исходного значения. Сделать выводы по полученным результатам.
Эксперимент 3. Рассмотреть вариант выхода из строя одного из тепловых насосов в начальный момент времени с учетом длительного ремонта, для этого необходимо установить соответствующее значение
начального состояния системы и присвоить значение, равное 50–100 часов времени восстановления теплового насоса.
Эксперимент 4. Исследовать влияние холодного и горячего резервирования паровой котельной на показатели надежности системы.
Эксперимент 5. Рассмотреть возможность подключения дополнительной магистрали трубопровода. Как данное изменение повлияет на показатели надежности системы?
39
Эксперимент 6. Оценить влияние использования восстанавливаемых
элементов на показатели надежности. Для этого необходимо рассчитать
коэффициент надежности для случая, когда интенсивности восстановления равны нулю, то есть используются невосстанавливаемые объекты.
Сделать выводы по полученным результатам.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
1. Что такое структурная схема надежности?
2. Перечислите основные комплексные показатели надежности.
3. Как влияет время восстановления элементов после отказа на безотказность работы системы?
4. Каков порядок составления дифференциальных уравнений для
расчета коэффициента готовности?
5. Как влияют закон отказов и закон восстановления на надежность
системы?
6. Перечислите основные методы резервирования. Какой из перечисленных методов наиболее приемлем для системы, рассматриваемой в
данной работе?
40
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кизим, А. Ф.Учебно-методический комплекс «Надежность, эргономика и качество АСОИУ» / А. В. Кизим; ВолгГТУ. – Волгоград, 2003.
2. Барлоу, Б. Статическая теория надежности и испытания на безотказность /
Р. Барлоу, Ф. Прошан. – М.: Наука, Главная редакция физико–математической литературы,
1984. – 327 с.
3. Математическая статистика: учеб. для вузов / В. Б. Горяинов [и др.]; Под ред.
В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. – 423 с.
4. Гнеденко, Б. В. Математические методы в теории надежности / Б. В. Гнеденко,
Ю. К. Беляев, А. Д. Соловьев. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965. – 524 с.
5. Волков, Л. И. Безопасность и надежность систем. / Л. И. Волков. – М.: Издательство СИП РИА, 2003. – 268 с.
6. Надежность технических систем: справочник / Ю. К. Беляев [и др.]; Под ред.
И. А. Ушакова. – М.: Радио и связь, 1985. – 608 с.
7. Сервер Правительства Хабаровского края. Пятый международный инвестиционный
форум. Секция: «Энергетика и топливно-эенергетические ресурсы» [Электронный ресурс] /
Электрон. дан. Хабаровск. [2003] – Режим доступа: http://www.adm.khv.ru/invest2.nsf/ pages/ru/news/invforum_morgun.htm, свободный. – Загл с экрана. – Яз. рус.
41
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ЗАДАНИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
№1
Таблица А.1
Результаты исследования изделий на отказ
ВаПараметр
риант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Наработка до
отказа, ч
Количество
отказов
Наработка до
отказа, ч
Количество
отказов
Наработка до
отказа, ч
Количество
отказов
Наработка до
отказа, ч
Количество
отказов
Наработка до
отказа, ч
Количество
отказов
Наработка до
отказа, ч
Количество
отказов
Наработка до
отказа, ч
Количество
отказов
Наработка до
отказа, ч
Количество
отказов
Наработка до
отказа, ч
Количество
отказов
Наработка до
отказа, ч
Количество
отказов
Наработка до
отказа, ч
Количество
отказов
Наработка до
отказа, ч
Количество
отказов
Номер интервала наблюдения
3
4
5
6
7
1
2
8
9
96
192
288
384
480
576
672
768
864
4
5
12
17
23
24
11
4
0
126
142
268
394
520
646
772
898
1024
3
2
14
22
30
15
9
5
0
1974
3948
5922
7896
9870
44
34
9
9
1
0
3
0
0
126
252
378
504
630
756
882
1008
1134
3
9
20
20
23
19
6
0
0
139
278
417
556
695
834
973
1112
1251
2
1
10
25
31
19
9
3
0
1754
3508
5262
7016
8770
58
25
7
7
3
0
0
0
0
312
624
936
1248
1560
1872
2184
2496
2808
4
7
18
25
20
19
7
0
0
562
1124
1686
2248
2810
3372
3934
4496
5058
10
5
18
11
23
10
12
11
0
674
1348
2022
2696
3370
4044
4718
5392
6066
4
5
22
25
19
13
7
5
0
58
116
174
232
290
348
406
464
522
5
2
14
31
27
14
7
0
0
482
964
1446
1928
2410
2892
3374
3856
4338
4
7
10
23
25
20
8
3
0
258
516
774
1032
1290
1548
1806
2064
2322
3
4
23
34
23
9
3
1
0
42
11844 13818 15792
10524 12278 14032
17766
15786
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ЗАДАНИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
№2
Таблица Б.1
Варианты исследуемых структур сети
№
пп
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Наличие ребер графа сети
5
6
7
8
9
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
10
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
11
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
12
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
13
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
Примечание:
 № пп соответствуют вариантам задания структуры сети;
 содержание строки таблицы характеризует наличие соответствующих ребер в
конкретном варианте структуры: 1 означает наличие ребра; 0 – отсутствие.
43
Таблица Б.2
Коэффициенты готовности
№
пп
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
0,7
0,75
0,6
0,9
0,8
0,85
0,95
0,6
0,6
0,75
0,85
0,8
0,9
0,95
0,85
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0,9
0,8
0,85
0,6
0,75
0,85
0,6
0,9
0,9
0,85
0,6
0,65
0,7
0,95
0,7
0,65
0,95
0,9
0,8
0,65
0,6
0,75
0,9
0,75
3
0,5
0,9
0,6
0,65
0,9
0,7
0,8
0,8
0,9
0,6
0,6
0,8
0,85
0,7
0,7
0,85
0,85
0,95
0,65
0,65
0,85
0,8
0,75
0,75
Коэффициенты готовности линий связи
4
5
6
7
8
9
10
0,75 0,8 0,85 0,7
0
0
0
0,75 0,9 0,75
0
0,8
0
0
0,75 0,75 0,9
0
0
0,7
0
0,9
0,7
0,5
0
0
0
0,85
0,8 0,75 0,6
0
0
0
0
0,8
0,8
0,6
0
0
0
0
0,85 0,6
0,7
0
0
0
0
0,85 0,6
0
0,8
0,9
0
0
0,65 0,75
0
0,85
0
0,7
0
0,65 0,85
0
0,6
0
0
0,6
0,95 0,7
0
0,75
0
0
0
0,95 0,7
0
0,8
0
0
0
0,75 0,6
0
0,9
0
0
0
0,75
0
0,7 0,85
0
0,9
0
0,8
0
0,95
0
0
0,65 0,8
0,8
0,7
0
0,8
0
0,6
0
0,8
0,8
0
0,8
0
0
0,5
0,6 0,75
0
0,5
0
0
0
0,6 0,75
0
0,5
0
0
0
0,9 0,65
0
0,7
0
0
0
0,9
0
0,8
0,6
0
0,8
0
0,7
0
0,9
0
0
0,6
0,9
0,7
0,8
0,6
0,6
0
0
0
0,85 0,7
0,6
0
0,5
0
0
44
11
0
0
0
0
0,75
0
0
0
0
0
0,75
0
0
0
0
0
0
0,6
0
0
0
0
0
0
12
0
0
0
0
0
0,75
0
0
0
0
0
0,6
0
0
0
0
0
0
0,7
0
0
0
0
0
13
0
0
0
0
0
0
0,7
0
0
0
0
0
0,8
0
0
0
0
0
0
0,5
0
0
0
0
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ЗАДАНИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
№3
Таблица В.1
Средние наработки до отказа и среднее время восстановления элементов
системы после отказа
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Среднее время
безотказной работы, ч
t1
t2
котельной
турбины
4100
5000
4000
5200
4000
5100
4000
6500
5000
5600
5100
4000
5100
5000
5000
6500
6000
4200
5000
6200
4200
3000
4000
3500
4500
5200
4500
5300
4500
6300
5500
6600
5500
3600
5500
5000
6200
4700
6200
4700
45
Среднее время
восстановления, ч
tv1
tv2
котельной
турбины
600
300
600
400
500
200
600
300
700
400
700
300
700
300
800
400
600
350
1000
600
1000
500
500
200
600
250
700
350
800
400
800
300
500
200
650
100
560
500
550
800
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
ЗАДАНИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
№4
Таблица Г.1
Средние наработки до отказа и среднее время восстановления элементов
системы после отказа
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Среднее время
безотказной работы, ч
t1
t2
t3
теплового
паровой
трубопронасоса
котельной
вода
1 000
12 000
200
1 100
12 000
250
1 200
11 000
250
1 000
11 000
200
2 000
10 000
200
2 000
12 000
250
1 000
12 000
200
1 400
12 000
250
1 000
12 000
250
1 000
12 000
200
2 100
12 000
200
2 000
15 000
200
2 100
15 000
250
2 000
15 000
250
2 200
15 000
200
2 000
14 000
200
1 000
12 000
200
1 100
12 000
250
1 400
11 000
150
2 000
10 000
200
46
Среднее время
восстановления, ч
tv1
tv2
tv3
теплового
паровой
трубопронасоса
котельной
вода
50
20
15
50
25
15
50
25
10
45
20
10
60
40
15
60
20
20
45
25
15
40
25
15
50
25
10
40
20
10
40
40
25
40
25
15
40
25
15
40
25
10
40
25
10
40
25
15
50
20
15
50
25
15
50
25
10
40
35
15
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………..
Теоретические основы………………………………………………
Лабораторная работа № 1. Обработка экспериментальной информации об отказах изделий………………………………………….
Лабораторная работа № 2. Определение показателей надежности
системы со структурной избыточностью………………………….
Лабораторная работа № 3. Расчет коэффициента готовности
восстанавливаемых систем……………………..…………………..
Лабораторная работа № 4. Расчет показателей надежности
системы теплоснабжения……………………………………………
Список использованной литературы………………..……………...
Приложение А………………………………………………………..
Приложение Б………………………………………………………..
Приложение В………………………………………………………..
Приложение Г………………………………………………………..
47
3
4
15
22
29
37
41
42
43
45
46
Елена Анатольевна Алейникова
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«НАДЕЖНОСТЬ, ЭРГОНОМИКА И КАЧЕСТВО АСОИУ»
Учебное пособие
Редактор Пчелинцева М. А.
Компьютерная верстка Сарафановой Н. М.
Темплан 2010 г., поз. № 15К.
Подписано в печать 03. 11. 2010 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 3,0. Усл. авт. л. 2,81.
Тираж 50 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.
Отпечатано в КТИ
403874, г. Камышин, ул. Ленина, 5, каб. 4.5
48