Тригоном.форма записи компл.числа

02.03.2021
Тригонометрическая форма
записи комплексного числа
10 класс
Определение 1: Модулем комплексного числа z = a +
a 2  b2
bi называют число
.
2
2
z

a

b
Обозначают:
Геометрически модуль комплексного числа z = a + bi –
это расстояние от точки координатной плоскости,
соответствующей числу z, до начала координат.
Пример 1: Найдите модуль комплексного числа:
а) 21 – 20i б)  10
в) i(i – 1)
г) i  1
i
i
Если z = a + 0 · i = а – действительное число, то
z  a 2  02  a 2  a
То есть для действительных чисел введенное понятие модуля
совпадает с ранее изученным.
Совпадают и свойства модуля: они такие же, как и для
действительных чисел.
Наиболее важное свойство: Модуль произведения
двух комплексных чисел равен произведению
модулей этих чисел.
z1  z 2  z1  z 2
Приведем еще некоторые свойства модуля:
1) z  0; z  0  z  0.
2)  z  z .
3) z  z .
1
z
4) z  z  z или  2 .
z
z
2
z1
z1
5)

.
z2
z2
6) z  z , n  N .
n
n
7) z1  z 2  z1  z 2 .
Модуль комплексного числа равен 1 тогда и только
тогда, когда соответствующая ему точка
координатной плоскости лежит на числовой
окружности.
Действительно, и равенство
x  yi  1
, и принадлежность
точки (x; y) числовой окружности на координатной плоскости
по определению означают, что x  y  1.
2
2
Как же записывают точки числовой окружности в виде
комплексных чисел?
Если комплексное число z лежит на числовой окружности,
то z  cos  i sin  для некоторого действительного числа
α; если z  cos  i sin  , то z лежит на числовой
окружности.
Если комплексное число z лежит на единичной
1
1
окружности, то z 
. Обратно, если z 
, то z лежит
z
z
на единичной окружности.
Определение 2: Тригонометрической формой записи
отличного от нуля комплексного числа z называют его запись в
виде z   cos  i sin ,


где ρ – положительное действительное число.
Всякое отличное от нуля комплексное число z может быть
записано в виде z  z cos   i sin   , где α – некоторое
действительное число.

Если z   cos   i sin 
запись числа z, то
 z
и

- другая тригонометрическая
    2n, n  Z .
Итак, в тригонометрической форме записи z   cos  i sin 
число ρ определено однозначно:   z , а вот число α (в силу
периодичности косинуса и синуса) не однозначно (обычно
говорят «с точностью до 2πn»).
Например,
1  cos  i sin   cos    i sin(  )  cos 3  i sin 3 
 cos(3 )  i sin( 3 )  cos  2n  i sin(  2n)


5
5
 3 
 3 
i  cos  i sin  cos
 i sin
 cos    i sin    
2
2
2
2
 2 
 2 




 cos  2n   i sin   2n 
2

2

1
3
2
2
 4 
 4 
 i
 cos
 i sin
 cos 
  i sin  

2
2
3
3
 3 
 3 
 2

 2

 cos
 2n   i sin 
 2n 
 3

 3

Чтобы избежать неопределенности, математики договорились
выбирать число α , принадлежащее какому-нибудь
фиксированному промежутку длины 2π, обычно это
полуинтервал (– π; π].
Определение 3: Аргументом отличного от нуля
комплексного числа z называют действительное число α
такое, что:
а)    ;  ;
б ) z  z cos   i sin  .
Обозначение: arg z.
Геометрически:
Множество всех комплексных чисел с одним и тем же модулем
R – это окружность радиуса R с центром в начале координат;
Множество всех комплексных чисел с фиксированным
аргументом α – это открытый луч, выходящий из начала
координат и наклоненный под углом α к положительному
направлению оси абсцисс.
Любой такой луч пересекается с любой такой окружностью в
единственной точке. Поэтому, зная модуль
и аргумент
комплексного числа, мы однозначно можем определить само
число.
Два комплексных числа равны между собой тогда и только
тогда, когда равны их модули и равны их аргументы.
Если z1  1 cos  i sin   и z2  2 cos   i sin   , то
а) z1  z2  12 cos     i sin    ;
z1 1
cos     i sin    .
б) 
z2  2
а) При умножении комплексных чисел модули
перемножаются, а аргументы складываются.
б) При делении комплексных чисел модули делятся, а
аргументы вычитаются.
Список использованных источников:
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического
анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся
общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /
А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 8-е изд., стер. – М.:
Мнемозина, 2011.