Расчет бетонных и железобетонных элементов по предельным состояниям первой группы

Контрольная работа.
Расчет бетонных и железобетонных элементов по предельным состояниям
первой группы
Определить площадь сечения продольной рабочей арматуры Аs в изгибаемом
элементе (балке) прямоугольного сечения и подобрать по сортаменту 4 стержня
при следующих исходных данных:
b= 20см, h= 45 см; а= 5 см; γb1= 0,9 (коэффициент условия работы бетона);
2
М = 120 кН·м = 12000 кН·см; бетон В25, Rb= 14,5 МПа= 1,45кН/см ; арматура
А400С, Rs = 350МПа = 35 кН/см2.
Рис.1. Схема усилий и армирование
Условия равновесия:
1. ∑ х = 0; 𝑅𝑠 ∗ 𝐴𝑠 = 𝑅𝑏 ∗ 𝑏 ∗ 𝑥
𝑥
2. ∑ М = 0; М = 𝑅𝑏 ∗ 𝑏 ∗ 𝑥 ∗ (ℎ0 − )
2
1. Определяем граничную относительную высоту сжатой зоны бетона:
0,8
𝑅𝑠
350
𝜉𝑅 =
;
𝜀
=
=
= 0.00175
𝑠,𝑒𝑙
𝜀𝑠,𝑒𝑙
5
𝐸
2.0
∗
10
𝑠
1+
𝜀𝑏2
𝜀𝑏2 = 0.0035 [1]
0,8
0,8
𝜉𝑅 =
=
= 0.5333
𝜀
0.00175
1 + 𝑠,𝑒𝑙
1+
𝜀𝑏2
0.0035
2. Определяем αm:
h0=h-a = 45-5=40см
𝑀
12000
𝛼𝑚 =
=
= 0.2874
𝛾𝑏1 ∗ 𝑅𝑏 ∗ 𝑏 ∗ ℎ02 0.9 ∗ 1.45 ∗ 20 ∗ 402
3. Определяем относительную высоту сжатой зоны ξ (ξ можно определить по
таблице прил. 8):
𝜉 = 1 − √1 − 2 ∗ 𝛼𝑚 = 1 − √1 − 2 ∗ 0.2874 = 0.348
Т.к. 𝜉 < 𝜉𝑅 можно определять площадь рабочей арматуры, если 𝜉 > 𝜉𝑅 следует
повысить класс бетона, или запроектировать рабочую арматуру в сжатой зоне.
2
4. Определяем площадь арматуры (Rs= 35 кН/см ):
𝛾𝑏1 ∗ 𝑅𝑏 ∗ 𝑏 ∗ 𝜉 ∗ ℎ0 0.9 ∗ 1.45 ∗ 20 ∗ 0.348 ∗ 40
=
= 10,38
𝑅𝑠
35
5. По сортаменту принимаем продольную арматуру 4 20 A500C с площадью
сечения As,ef=12, 57 см2.(рис.2.)
6. Определяем процент армирования:
𝐴𝑠,𝑒𝑓 ∗ 100% 12.57 ∗ 100%
μ% =
=
= 1.57% > 0.1%
𝑏 ∗ ℎ0
20 ∗ 40
𝐴𝑠 =
где 0,1% — минимальный процент армирования изгибаемых элементов.
7. Проверяем прочность сечения из первого условия равновесия:
𝑅𝑠 ∗ 𝐴𝑠,𝑒𝑓
35 ∗ 12.57
𝑥=
=
= 16.86
𝛾𝑏1 ∗ 𝑅𝑏 ∗ 𝑏 0.9 ∗ 1.45 ∗ 20
Из второго условия равновесия:
𝑥
𝑀𝑢𝑙𝑡 = 𝛾𝑏1 ∙ 𝑅𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 ∙ (ℎ0 − 2) = 0,9 ∙ 1,45 ∙ 20 ∙ 16.86 ∙ (40 −
138.92 кН ∙ м > 120 кН ∙ м
16.86
2
) = 13892.25 кН ∙ см =
Прочность сечения обеспечена.
Можно определить предельный изгибающий момент, воспринимаемый
сечением, из условия равновесия составив его относительно центра тяжести
сжатой зоны бетона:
𝑥
16.86
𝑀𝑢𝑙𝑡 = 𝑅𝑠 ∙ 𝐴𝑠,𝑒𝑓 ∙ (ℎ0 − ) = 35 ∙ 12.57 ∙ (40 −
) = 13889.21 кН ∙ см = 138.89 кН ∙ м
2
2
Рис.2. Схема армирования к задаче №1
Пример экзаменационной задачи 1.
Консольная балка с вылетом l0=350 см прямоугольного сечения b*h=20x45
см, загруженная на конце консоли сосредоточенным моментом M=90 кН*м.
Бетон класса B20, Rb=11,5 МПа. Подобрать параметры продольной
арматуры А400 при a=a’=5 см, Rs=350 МПа.
Определяем высоту сжатой зоны х = 𝜉 · ℎ0 ,
где h0 – рабочая высота сечения ригеля;
ξ – относительная высота сжатой зоны, определяемая в зависимости от 𝛼𝑚
ℎ0 = ℎ𝑏 − 𝑎 = 45 − 5 = 40см
𝑀
9000
𝛼𝑚 =
2 = 1.0 ∗ 1.15 ∗ 20 ∗ 402 = 0.246
𝛾𝑏1 ∗ 𝑅𝑏 ∗ 𝑏 ∗ ℎ0
М = 90 кН·м = 9000 кН·см;
Rb = 11,5 МПа = 1,15 кН/см2;
𝜉 = 1 − √1 − 2 ∗ 𝛼𝑚 = 1 − √1 − 2 ∗ 0.246 = 0.287
Высота сжатой зоны х = 𝜉 · ℎ0 = 0,287 ∗ 40 = 11,48см
Расчет по прочности нормальных сечений производится в зависимости от
соотношения относительной высоты сжатой зоны бетона и граничной
относительной высоты ξR, при которой предельное состояние элемента
наступает по сжатой зоне бетона одновременно с достижением в растянутой
арматуре напряжения, равного расчетному сопротивлению Rs.
Значение ξR определяется по формуле:
0,8
𝜉𝑅 =
𝜀𝑠,𝑒𝑙 ;
1+
𝜀𝑏2
где 𝜀𝑠,𝑒𝑙 – относительная деформация растянутой арматуры при напряжениях,
равных Rs;
𝑅𝑠
𝜀𝑠,𝑒𝑙 =
𝐸𝑠
Rs = 350 МПа, Еs = 2·105 МПа;
εb2 – относительная деформация сжатого бетона при напряжениях, равных Rb,
принимаемая равной 0,0035
350
𝜀𝑠,𝑒𝑙 =
= 0,00175
2,0 ∗ 105
0,8
𝜉𝑅 =
= 0,533;
0,00175
1+
0,0035
значение ξR можно определить по справочным таблицам.
Т.к. ξ <ξR площадь сечения растянутой арматуры определяется по формуле:
𝛾𝑏1 ∗ 𝑅𝑏 ∗ 𝑏 ∗ 𝜉 ∗ ℎ0 1,0 ∗ 1.7 ∗ 20 ∗ 0.287 ∗ 40
𝐴𝑠 =
=
= 11,15см2
𝑅𝑠
35
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 𝜇𝑚𝑖𝑛 ∗ 𝑏 ∗ ℎ0 = 0.001 ∗ 20 ∗ 40 = 0.8
Если ξ > ξR следует увеличить сечение ригеля или повысить класс бетона,
или запроектировать в сжатой зоне сжатую рабочую арматуру с площадью
А’s. По найденной площади сечения растянутой арматуры по сортаменту
подбираем 2Ø28 А400 Аs,ef = 12,32 см2 > Аmin
Задача 2.
Свободно опёртая балка таврового сечения с размерами h=45 см, b=25 см,
b'f =40 см, h’f =10 см, a=5 см (одиночное армирование), l0 = 600 см; нагрузка –
равномерно распределённая по пролёту. Бетон класса В20, Rb=11,5 МПа,
γb1=0,9; рабочая арматура 2Ø25А400 Rs=350 МПа. Найти разрушающую
нагрузку qult.
Площадь рабочей арматуры 2Ø25А400 по сортаменту Аs,ef = 9,82 см2 .
Положение границы сжатой зоны определяется из условия:
𝑅𝑠 𝐴𝑠 ≤ 𝛾𝑏1 ∗ 𝑅𝑏 ∗ 𝑏𝑓′ ∗ ℎ𝑓′
Если это условие выполняется, граница сжатой зоны проходит в полке, и
площадь растянутой арматуры определяется как для прямоугольного сечения
шириной, равной 𝑏𝑓′
Rs = 350 МПа = 35,0 кН/см2;
Rb = 11,5 МПа = 1,15 кН/см2;
𝑅𝑠 𝐴𝑠 ≤ 𝛾𝑏1 ∗ 𝑅𝑏 ∗ 𝑏𝑓′ ∗ ℎ𝑓′ ; 35 ∗ 9.82 ≤ 1.0 ∗ 1.15 ∗ 40 ∗ 40; 343,7кН ≤ 460кН
условие выполняется, т.е. расчет ведем как для прямоугольного сечения.
Определяем изгибающий момент, воспринимаемый сечением балки с полной
запроектированной арматурой.
Из условия равновесия:
𝑅𝑠 𝐴𝑠 = 𝛾𝑏1 ∗ 𝑅𝑏 ∗ 𝑏 ∗ 𝑥, где х = 𝜉 · ℎ0
𝑅𝑠 ∗ 𝐴𝑠,𝑒𝑓
35 ∗ 9,82
𝜉=
=
= 0,187
𝛾𝑏1 ∗ 𝑅𝑏 ∗ 𝑏 1,0 ∗ 1,15 ∗ 40 ∗ 40
х = 𝜉 · ℎ0 = 0,187 ∗ 40 = 7,48см
Расчет по прочности нормальных сечений производится в зависимости от
соотношения относительной высоты сжатой зоны бетона и граничной
относительной высоты ξR, при которой предельное состояние элемента
наступает по сжатой зоне бетона одновременно с достижением в растянутой
арматуре напряжения, равного расчетному сопротивлению Rs.
Значение ξR определяется по формуле:
0,8
𝜀𝑠,𝑒𝑙 ;
1+
𝜀𝑏2
где 𝜀𝑠,𝑒𝑙 – относительная деформация растянутой арматуры при напряжениях,
равных Rs;
𝑅𝑠
𝜀𝑠,𝑒𝑙 =
𝐸𝑠
Rs = 350 МПа, Еs = 2·105 МПа;
εb2 – относительная деформация сжатого бетона при напряжениях, равных Rb,
принимаемая равной 0,0035
350
𝜀𝑠,𝑒𝑙 =
= 0,00175
2,0 ∗ 105
0,8
𝜉𝑅 =
= 0,533;
0,00175
1+
0,0035
𝜉𝑅 =
Т.к. ξ <ξR , изгибающий момент, воспринимаемый сечением балки,
определяется из условия равновесия:
𝑀𝑢𝑙𝑡 = 𝑅𝑠 𝐴𝑠 (ℎ0 − 0.5𝑥)
𝑀𝑢𝑙𝑡 = 35.0 ∗ 9.82 ∗ (40 − 0.5 ∗ 7.48) = 12463Кн ∗ СМ = 124.63Кн ∗ М
Изгибающий момент в середине пролета:
𝑞𝑢𝑙𝑡 ∗ 𝑙02
𝑀𝑢𝑙𝑡 =
8
Из этого разрушающая нагрузка qult равна:
𝑞𝑢𝑙𝑡 =
8∗𝑀𝑢𝑙𝑡
𝑙02
=
8∗124.63
62
= 27.7кН/м