ИНДЕКСЫ ВЛИЯНИЯ КАК ЭЛЕМЕНТЫ
ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
1. ВВЕДЕНИЕ
Обычно считается, что влияние партии прямо
зависит от числа мест, которыми она располагает
в парламенте. Однако известно много примеров
(см., например, [2]), которые показывают, что это
противоречит фундаментальным закономерно"
стям. Аналогичная ситуация имеет место в акци"
онерных обществах – влияние акционера не все"
гда зависит от доли акций, которыми он владеет.
Индекс влияния (в соответствии со своим на"
званием) – это способ оценить влияние участника
(или партии) в выборном органе, т.е. приписать
каждой партии неотрицательное число, пропор"
циональное ее влиянию на принятие решений.
Теория индексов влияния непосредственно
связана с теорией игр. Один из самых известных
индексов влияния – индекс Шепли–Шубика –
совпадает с вектором Шепли, если рассматривать
голосование как кооперативную игру.
Работа посвящена аксиоматическому подходу
к индексам влияния, т.е. построению набора есте"
ственных свойств (аксиоматики), которым удо"
влетворяет только этот индекс.
Построение аксиоматики, описывающей ин"
дексы влияния, позволяет определить границы
применимости индексов. Поэтому в литературе
построены многочисленные аксиоматики как для
классических индексов влияния (см., например,
[6–8]), так и для индексов влияния, учитываю"
ших предпочтения участников [4].
Однако если говорить о “прозрачности”, упо"
мянутые аксиоматики (исключая классическую
аксиоматику для индекса Шепли–Шубика) име"
ют два недостатка.
1. При вычислении многих индексов влияния
(Банцафа, Джонстона, Дигена–Пакела, Холера–
Пакела) вначале считается так называемый “об"
щий индекс”, а сам соответствующий индекс
влияния получается из него нормированием.
Национальный исследовательский
университет “Высшая школа экономики”
Иначе говоря, в индексах влияния использу"
ются относительные значения.
При этом аксиоматики обычно строятся имен"
но для “общего индекса”, а при вычислениях ис"
пользуется нормированный.
2. В аксиоматике для индекса Банцафа [7, 8] и
для индексов влияния, зависящих от предпочте"
ний участников [4], входит совершенно неесте"
ственная аксиома “Общей суммы”, возникающая
как раз из"за того, что сумма всех влияний не рав"
на единице.
Автор считает, что естественно подходить к
индексам влияния как к элементам проективного
пространства, т.е. рассматривать их с точностью
до пропорциональности. В этом случае можно не
различать общий и нормированный индексы и
таким путем избавиться от первого недостатка.
При этом аксиома общей суммы становится не
нужна.
Цель сообщения – обоснование этой точки
зрения.
2. ПРОСТЫЕ ИГРЫ, ГОЛОСОВАНИЯ
С КВОТОЙ И ИНДЕКСЫ ВЛИЯНИЯ
О п р е д е л е н и е 1. Будем называть п р о "
с т о й и г р о й пару (N, v), где N = {1, 2, …, n}, а
v: 2N → {0, 1} – функция, сопоставляющая каждо"
му подмножеству N либо 0, либо 1, причем v( 䊊 ) = 0,
v(N) = 1, и выполняется свойство монотонности:
если S и T – подмножества N и S ⊂ T, то v(S) ≤ v(T).
Элементы множества N называются и г р о "
к а м и, подмножества N – к о а л и ц и я м и. Про"
стая игра (N, v) часто обозначается просто v, а
число игроков в коалиции S через s. Множество
всех простых игр n игроков обозначается SGn.
Коалиция S называется в ы и г р ы в а ю щ е й,
если v(S) = 1, и п р о и г р ы в а ю щ е й, если
v(S) = 0.
Игрок i называется к л ю ч е в ы м в коалиции
S, если S выигрывающая, а S\{i} – проигрываю"
щая. Игрок называется б о л в а н о м, если он – не
ключевой ни в одной коалиции. Множество всех
коалиций, в которых игрок i ключевой, обознача"
ется Wi(v).
Выигрывающая коалиция S называется м и "
н и м а л ь н о й, если S не содержит никакой дру"
гой выигрывающей коалиции. Множества выиг"
рывающих и минимальных выигрывающих коа"
лиций обозначаются соответственно W(v) и
M(v). Простая игра часто задается перечислением
всех (или только минимальных) выигрывающих
коалиций.
З а м е ч а н и е 1. В простой игре всегда имеет"
ся игрок, ключевой в одной из коалиций.
Пусть S – произвольная коалиция. Назовем
олигархической и обозначим через uS игру, в кото"
рой S будет единственной минимальной выигры"
вающей коалицией.
Пусть v – простая игра, не совпадающая с uN,
S ∈ M(v). Обозначим через v–S простую игру, та"
кую что W(v–S) = W(v)\{S}. Будем называть пере"
ход от v к v–S вычеркиванием коалиции S.
Простая игра удовлетворяет условию одно"
значности голосования, если из того, что S – вы"
игрывающая коалиция, следует, что N\S – проиг"
рывающая. Отметим, что если игра удовлетворяет
условию однозначности голосования, то любые
две выигрывающие коалиции пересекаются.
Индекс влияния Φ: SGn → ⺢n сопоставляет
каждой простой игре v вектор Φ(v), i"я компо"
нента которого интерпретируется как влияние
игрока i. Наиболее известны индексы влияния
Банцафа и Шепли–Шубика.
Индекс влияния Банцафа (BI) [5] вычисляется
в предположении, что влияние игрока пропорци"
онально числу коалиций, в которых он ключевой.
Общий индекс Банцафа TBzi для игрока i равен
TBz i = W i =
∑ ( v ( S ) – v ( S\ { i } ) ).
S⊆N
Индекс влияния Банцафа Bzi получается из об"
щего индекса нормированием:
Wi
Bz i = .
n
∑W
j
j=1
3. ИГРЫ И ИНДЕКСЫ ВЛИЯНИЯ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
УЧАСТНИКОВ
Приведенная ниже конструкция введена в [1].
В определение простой игры добавляется до"
полнительная информация: каждой коалиции S
сопоставляется число f(i, S), которое можно
условно воспринимать как меру желания игрока i
входить в коалицию S, которое, вообще говоря,
может быть и отрицательным.
О п р е д е л е н и е 2. Назовем п р о с т о й и г "
р о й с п р е д п о ч т е н и я м и тройку (N, v, f ),
где N = {1, 2, …,n} – множество игроков, пара (N, v)
образует простую игру, f – функция, сопоставля"
ющая каждой коалиции S и игроку i положитель"
ное число f(i, S). Будем называть v и г р о й с
симметричными
п р е д п о ч т е н и я м и,
если f зависит только от S. Множество простых игр
с (симметричными) предпочтениями для n игро"
ков обозначается SGPn (SSGPn, соответственно).
Простую игру можно воспринимать как простую
игру с предпочтениями, в которой все коалиции
одинаково предпочтительны: (N, v) ≡ (N, v, 1).
Игра (N, v, f ) часто будет обозначаться как v.
Понятия выигрывающей, проигрывающей и
минимальной выигрывающей коалиций, ключе"
вого игрока и вычеркивания коалиции дословно
переносятся из простых игр. Наличие дополни"
тельной функции f пока ни на что не влияет. При
вычеркивании коалиции меняется только v,
функция f остается прежней.
П р и м е р 1 [1]. Предпочтения игроков зада"
ются (n × n)"матрицей P. Неформально говоря, ее
элемент pij ∈ [0, 1] определяет желание игрока i
входить в коалицию с игроком j. Матрица P не обя"
зательно симметрична, т.е. в общем случае pij ≠ pji.
Для вычислений удобно считать, что pii = 0.
В [1] приведены несколько способов определе"
ния матрицы предпочтений и предложены более
10 версий индекса, основанных на матрице пред"
почтений. Приведем четыре из них. В обозначе"
ниях данного сообщения
+
f ( j, S, P ) =
p ji
∑ s–1;
(1)
i∈S
f ( S, P ) =
∑
j∈S
+
f ( j, S, P )
1
= s
s ⋅ (s – 1)
∑p.
ij
(2)
i, j ∈ S
Функцию f +(j, S, P) можно интерпретировать как
среднее желание игрока j входить в коалицию с
остальными игроками S, f(S, P) – как среднее же"
лание всех игроков входить в коалицию со свои"
ми коллегами из S.
Если функция v уже задана, функция (1) опре"
деляет простую игру с несимметричными предпо"
чтениями, а функция (2) – с симметричными.
Индекс влияния Φ: SGPn → ⺢n (SSGPn → ⺢n)
сопоставляет каждой игре v с симметричными
или несимметричными предпочтениями вектор
Φ(v), i"я компонента которого интерпретируется
как влияние игрока i.
О п р е д е л е н и е 3. α"И н д е к с в л и я н и я
определяется по формуле
αi ( v ) =
∑
S ∈ Wi ( v )
f ( i, S ).
(3)
Л е м м а 1 [4]. Пусть S ∈ M(v). Тогда
⎧ f ( i, S ), если i ∈ S;
α i ( v ) – α i ( v –S ) = ⎨
⎩ – f ( i, S ∪ { i } ), если i ∉ S.
Пусть теперь f(i, S) > 0 для всех игроков и коа"
лиций. Замечание 1 говорит, что в любой игре v
есть участник, ключевой в какой"нибудь коали"
ции, т.е. для какого"то i Wi(v) непусто, а по"
скольку f(·, ·) положительна, индекс α(v) не равен
0 как вектор, и все его координаты неотрицатель"
ны. Поэтому можно корректно определить нор"
мированный α"индекс влияния Nα(v) по фор"
муле
αi ( v )
Nα i ( v ) = .
(4)
αj ( v )
∑
j∈N
П р и м е р 2. Если предпочтения симметрич"
ны и f(S) = 1, то α"индекс совпадает с общим ин"
дексом Банцафа, а нормированный α"индекс – с
индексом Банцафа.
Многие другие индексы влияния тоже записы"
ваются используя α"индекс (см. [3]). Поэтому
α"индекс можно рассматривать как их обобщение.
4. ПРОЕКТИВНЫЕ ИНДЕКСЫ ВЛИЯНИЯ:
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Будем называть проективным индексом влия"
ния отображение Φ: SGPn → ⺢n.
Естественное отображение π: ⺢n\{0} → ⺢⺠n – 1
сопоставляет ненулевому вектору (x1, x2, …, xn)
точку проективного пространства (x1: x2: …: xn).
Это отображение задает соответствие между
обычными и проективными индексами влияния.
Каждому обычному индексу влияния, не равному 0
ни на одной простой игре c предпочтениями, со"
поставляется проективный по формуле
π* ( Φ ) ( v ) = π ( Φ ( v ) ).
Назовем операцию π* проективизацией индекса
влияния.
Проективный α"индекс для игр с предпочтени"
ями определяется как образ α"индекса при отобра"
жении π*, т.е. индекс тот же самый, но рассматри"
вается с точностью до пропорциональности.
P
α ( v ) = ( α 1 ( v ): …: α n ( v ) ) .
(5)
Аналогично проективный аналог индекса
Банцафа (PBz(v)) определяется как π*(Bz(v)).
Отметим, что нормированный и ненормированный
индекс Банцафа отличаются только умножением на
константу, поэтому π*(Bz) = π*(NBz) = PBz.
5. АКСИОМЫ И ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ
Существует множество аксиоматик для индек"
са Банцафа (см, например, [7, 8]). Две аксиомати"
ки для индексов влияния, определенных на играх
с предпочтениями, были построены в [4]. При по"
строении аксиоматики для проективного α"ин"
декса будем отталкиваться от аксиоматики для
индекса Банцафа, предложенной в [7].
А к с и о м а б о л в а н а (Null Player, NP). Для
любой игры v ∈ SGPn, если i – болван в игре v, то
его влияние равно 0, т.е.
Φ i ( v ) = 0.
А н о н и м н о с т ь (An). Для любой игры v ∈
∈ SGPn, любой перестановки σ множества N и лю"
бого i ∈ N
Φ ( σv ) = σ ( Φ ) ( v ),
где (σv)(S) = v(σ(S)), а σ(Φ) – перестановка коор"
динат вектора Φ.
Эту аксиому не удается использовать при до"
казательствах, поэтому необходимо ввести более
слабое условие, фактически ограничив примене"
ние аксиомы An только на олигархические игры.
С л а б а я а н о н и м н о с т ь (WAn). Для лю"
бой олигархической игры uS ∈ SGPn и любых иг"
роков i, j ∈ S Φi(uS) = Φj(uS).
Практически во всех аксиоматиках для индек"
сов влияния используется “аксиома линейно"
сти”. Но ⺢⺠n – 1 – линейное пространство, поэто"
му все “линейные” аксиомы (T из [7], T* из [8]
или ST из [4]) теряют смысл при попытке рас"
смотреть все входящие в них переменные как эле"
менты ⺢⺠n – 1. Далее сформулируем аналог акси"
омы линейности.
Согласно лемме 1 при вычеркивании мини"
мальной коалиции S игроки, входящие в S, теря"
ют во влиянии то, что им дает эта коалиция, а иг"
рок i ∉ S получает дополнительное влияние за
счет коалиции S ∪ {i}. В векторной форме утвер"
ждение леммы 1 записывается так: для любой иг"
ры v ∈ SGPn и любой коалиции S ∈ M(v)
S
Φ ( v ) – Φ ( v –S ) = w ,
где w – вектор доходов и потерь, координаты ко"
торого равны
⎧ f ( i, S ), если i ∈ S;
S
wi = ⎨
⎩ – f ( i, S ∪ { i } ), если i ∉ S.
Если рассматривать Φ(v) как точку проективно"
го пространства, разность векторов определена не"
однозначно. Можно утверждать лишь, что три упо"
мянутые точки лежат на одной прямой (или, в тер"
минах ⺢n, три вектора лежат в одной плоскости).
Проективная аксиома трансфера
(Projeсtive Transfer Axiom, PT). Для любой игры
v ∈ SGPn и любой коалиции S ∈ M(v) точки Φ(v),
Φ(v–S) и π(wS) лежат на одной прямой.
Аксиомы NP, WAn и PT однозначно определя"
ют проективный α"индекс при двух дополнитель"
ных ограничениях:
1) α"индекс удовлетворяет слабой аксиоме
анонимности только для игр с симметричными
предпочтениями;
2) выполняется условие однозначности голо"
сования.
Теперь все готово для основной теоремы этого
сообщения.
Те о р е м а 1. Пусть Φ – проективный индекс
влияния, определенный на множестве игр с симметричными предпочтениями, которые удовлетворяют условию однозначности голосования.
Тогда Φ удовлетворяет аксиомам NP, WAn и PT,
если и только если Φ(v) = α(v).
6. АКСИОМАТИКИ
ДЛЯ НОРМИРОВАННОГО α"ИНДЕКСА
И НОРМИРОВАННОГО
ИНДЕКСА БАНЦАФА
Вернемся к непроективным индексам влия"
ния. Сумма координат нормированного α"индек"
са по определению равна 1, т.е. Nα(v) удовлетво"
ряет следующему условию:
А к с и о м а н о р м и р о в к и (Normalization
axiom, Norm). Для любой игры v ∈ SGPn
n
∑ Φ ( v ) = 1.
i=1
Заметим, что из всех “представителей” проек"
тивного α"индекса индекс Nα(v) – единственный,
который удовлетворяет аксиоме нормировки.
Поэтому для того, чтобы получить аксиомати"
ку для нормированного α"индекса, нужно сфор"
мулировать три аксиомы так, чтобы из них следо"
вали соответствующие аксиомы для αP, и доба"
вить аксиому нормировки.
Аксиома NP дословно повторяет аксиому NP
для обычного α "индекса. Аксиома WAn повторя"
ет аксиому WAn для αP с той лишь разницей, что
индекс принимает значения в ⺢n, а не в ⺢⺠n – 1.
Аналог аксиомы PT формулируется следую"
щим образом:
Аксиома трансфера для нормиро"
в а н н о г о и н д е к с а (Tn). Для любой игры v ∈
∈ SGPn существует такое положительное число
c(v), что для любой коалиции S ∈ M(v)
S
c ( v )Φ ( v ) – c ( v –S )Φ ( v –S ) = w .
Следующая теорема характеризует нормиро"
ванный α"индекс.
Те о р е м а 2. Пусть Φ – индекс влияния, определенный на множестве игр с симметричными
предпочтениями, удовлетворяющих условию однозначности голосования.
Тогда Φ удовлетворяет аксиомам NP, WAn, Tn и
Norm, если и только если Φ(v) = α(v).
6.1. Следствие: аксиоматика
для нормированного индекса Банцафа
Как и в случае обычного α"индекса, при под"
становке f(i, S) = 1 из обычного нормированного
α"индекса получается нормированный индекс
Банцафа. Поэтому, подставив f(i, S) = 1 в аксиомы
и сузив область определения Φ(v) на простые иг"
ры, получим аксиоматику для нормированного
индекса Банцафа.
Аксиомы NP, Norm и WAn, кроме области
определения, не изменятся. Аксиому WAn можно
заменить на более сильную общепринятую акси"
ому An. Аксиома Tn переписывается следующим
образом:
Аксиома трансфера для нормиро"
в а н н о г о и н д е к с а (Tn). Для любой игры v ∈
∈ SGn существует такое положительное число
c(v), что для любой коалиции S ∈ M(v)
S
c ( v )Φ ( v ) – c ( v –S )Φ ( v –S ) = w ,
где w – вектор доходов и потерь, координаты ко"
торого равны
⎧ 1, если i ∈ S;
S
wi = ⎨
⎩ – 1, если i ∉ S.
Те о р е м а 3. Пусть Φ – индекс влияния, определенный на множестве простых игр, удовлетворяющих условию однозначности голосования. Тогда Φ
удовлетворяет аксиомам NP, An, Tn и Norm, если и
только если Φ(v) = NBz(v).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алескеров Ф.Т. // ДАН. 2007. Т. 414. № 5. С. 594–
597.
2. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные
отношения, графы и коллективные решения. М.:
Издат. дом ГУ ВШЭ, 2006.
3. Шварц Д.А. // АиТ. 2009. № 3. С. 152–159.
4. Шварц Д.А. // АиТ. 2010. № 1. С. 144–158.
5. Banzhaf J.F. // Rutgers Law Rev. 1965. V. 19. P. 317–
343.
6. Dubey P. // Intern. J. Game Theory. 1975. V. 4. P. 131–
139.
7. Dubey P., Shapley L.S. // Math. Operat. Res. 1979.
V. 4. P. 99–131.
8. Laruelle A., Valenciano F. // Math. Operat. Res. 2000.
V. 26. № 1. P. 89–104.
