Загрузил Люба Привалова

Lekcii-Ch.1

Реклама
ОГЛАВЛЕНИЕ
3
Сдвиг
3.1
3.2
4
38
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ î ñäâèãå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Теория напряжённого и деформированного состояния
41
4.1
4.2
41
Îñíîâíûå ñâåäåíèÿ î íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè äåòàëè â òî÷êå
Íàïðÿæåíèÿ íà ïðîèçâîëüíîé ïëîùàäêå ïðè ëèíåéíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Íàïðÿæåíèÿ íà ïðîèçâîëüíîé ïëîùàäêå ïðè ïëîñêîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Ãðàôè÷åñêèé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé ïðè ïëîñêîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè. Êðóãè Ìîðà . . . . . . . . . .
4.5 Íàïðÿæåíèÿ íà ïðîèçâîëüíîé ïëîùàäêå ïðè îáú¼ìíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Êðóãè ïðè Ìîðà îáú¼ìíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè . . . .
4.7 Çàêîí Ãóêà ïðè îáú¼ìíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè . . . . .
4.8 Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãîé äåôîðìàöèè ïðè îáú¼ìíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå îáú¼ìà òåëà . . . . . . . . . . . .
4.10 Òåîðèè ïðåäåëüíûõ íàïðÿæ¼ííûõ ñîñòîÿíèé (òåîðèè ïðî÷íîñòè) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.1 I òåîðèÿ ïðåäåëüíûõ íàïðÿæ¼ííûõ ñîñòîÿíèé . . . .
4.10.2 II òåîðèÿ ïðåäåëüíûõ íàïðÿæ¼ííûõ ñîñòîÿíèé . . .
4.10.3 III òåîðèÿ ïðåäåëüíûõ íàïðÿæ¼ííûõ ñîñòîÿíèé . . .
4.10.4 IV òåîðèÿ ïðåäåëüíûõ íàïðÿæ¼ííûõ ñîñòîÿíèé . . .
4.11 Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2
44
45
47
51
52
53
56
58
59
61
61
62
63
65
Геометрические характеристики поперечного сечения бруса
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
66
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ î ãåîìåòðè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèêàõ . . .
Ìîìåíòû èíåðöèè ýëåìåíòàðûõ ñå÷åíèé . . . . . . . . . . .
5.2.1 Ïðÿìîóãîëüíèê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Êðóã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Êîëüöî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Òðåóãîëüíèê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Ïðîêàòíûå ïðîôèëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çàâèñèìîñòü ìåæäó ìîìåíòàìè èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ïàðàëëåëüíûõ îñåé, îäíè èç êîòîðûõ öåíòðàëüíûå . . . . . .
Ãëàâíûå îñè èíåðöèè è ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè ñå÷åíèÿ
Çàâèñèìîñòü ìåæäó ìîìåíòàìè èíåðöèè ñå÷åíèÿ ïðè ïîâîðîòå îò ãëàâíûõ îñåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
68
68
69
69
70
70
71
72
74
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.6
Îïðåäåëåíèå ãëàâíûõ ìîìåíòîâ è ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ îñåé
èíåðöèè ñå÷åíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Èññëåäîâàíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè ãðàôè÷åñêèì ñïîñîáîì .
5.8 Ýëëèïñ èíåðöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Îïðåäåëåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè ñëîæíûõ ñå÷åíèé . . . . .
5.10 Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Изгиб
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
7
.
.
.
.
.
76
77
78
80
82
84
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ îá èçãèáå. Ðàñ÷¼òíàÿ ñõåìà áàëêè . . . . 84
Ïîïåðå÷íàÿ ñèëà è èçãèáàþùèé ìîìåíò . . . . . . . . . . . 88
Äèôôåðåíöèàëüíûå çàâèñèìîñòè ìåæäó 𝑞 , 𝑄 è 𝑀 . . . . . 90
Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ðàñïðåäåë¼ííîé íàãðóçêè è å¼ ïîëîæåíèå 91
Ïîñòðîåíèå ýïþð ïîïåðå÷íûõ ñèë 𝑄 è èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ 𝑀 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Êîíòðîëü ïðàâèëüíîñòè ïîñòðîåíèÿ ýïþð 𝑄 è 𝑀 . . . . . . 94
Íàïðÿæåíèÿ â áàëêå ïðè èçãèáå . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.7.1 Íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ â áàëêå ïðè èçãèáå . . . . 96
6.7.2 Êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ â áàëêå ïðè èçãèáå. Ôîðìóëà Æóðàâñêîãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Ðàñ÷¼ò áàëîê íà ïðî÷íîñòü ïî äîïóñêàåìûì íàïðÿæåíèÿì . 105
Ðàöèîíàëüíàÿ ôîðìà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áàëêè . . . . . . 109
Ïåðåìåùåíèÿ áàëîê ïðè èçãèáå . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.10.1 Ïðîãèá è ïîâîðîò ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áàëêè . . . . 111
6.10.2 Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå èçîãíóòîé îñè áàëêè 112
Áàëêè ïåðåìåííîãî ñå÷åíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Áàëêè ðàâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Кручение
119
7.1
119
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ î êðó÷åíèè. Êðóòÿùèé ìîìåíò . . . . .
7.1.1 Âû÷èñëåíèå ìîìåíòîâ, ïåðåäàâàåìûõ íà âàë, ïî ìîùíîñòè è ÷èñëó îáîðîòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . .
Íàïðÿæåíèÿ êðóãëîãî âàëà ïðè êðó÷åíèè è ðàñ÷¼ò íà ïðî÷íîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïåðåìåùåíèÿ ïðè êðó÷åíèè êðóãëîãî âàëà . . . . . . . . . .
Ðàñ÷¼ò âèíòîâûõ öèëèíäðè÷åñêèõ ïðóæèí ñ íåáîëüøèì óãëîì ïîäú¼ìà âèòêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Êðó÷åíèå áðóñüåâ íåêðóãëîãî ñå÷åíèÿ . . . . . . . . . . . . .
Êðó÷åíèå òîíêîñòåííûõ áðóñüåâ (ñâîáîäíîå êðó÷åíèå) . . .
7.6.1 Ñâîáîäíîå êðó÷åíèå òîíêîñòåííûõ áðóñüåâ ñ îòêðûòûì ïðîôèëåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
122
127
129
131
132
133
ОГЛАВЛЕНИЕ
4
7.6.2
7.7
8
Îáùèé ñëó÷àé ñâîáîäíîãî êðó÷åíèÿ òîíêîñòåííîãî
áðóñà ñ îòêðûòûì ïðîôèëåì . . . . . . . . . . . . . . 134
7.6.3 Ñâîáîäíîå êðó÷åíèå òîíêîñòåííûõ áðóñüåâ ñ çàìêíóòûì ïðîôèëåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Устойчивость сжатых стержней
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
139
Ïîòåðÿ óñòîé÷èâîñòè ñæàòûì ñòåðæíåì. Ôîðìóëà Ýéëåðà
äëÿ êðèòè÷åñêîé ñèëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Âëèÿíèå ñïîñîáà çàêðåïëåíèÿ ñòåðæíÿ íà êðèòè÷åñêóþ ñèëó143
Ïðåäåëû ïðèìåíèìîñòè ôîðìóëû Ýéëåðà. Ïîëíûé ãðàôèê
êðèòè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Ðàñ÷¼ò ñæàòûõ ñòåðæíåé ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòà ñíèæåíèÿ îñíîâíîãî äîïóñêàåìîãî íàïðÿæåíèÿ . . . . . . . . . 148
Âûáîð ôîðìû ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ è ìàòåðèàëà ñæàòîãî
ñòåðæíÿ íà îñíîâàíèè ýêîíîìè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé . . . . . 151
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Глава 1
Основные понятия
1.1
Предмет сопротивления материалов
 ñîïðîòèâëåíèè ìàòåðèàëîâ èçó÷àåòñÿ ïðî÷íîñòü ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèè è ñîîðóæåíèé.
Ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëîâ äèñöèïëèíà ýêñïåðèìåíòàëüíî-òåîðåòè÷åñêàÿ.
Îíà òåñíî ñâÿçàíà ñ ìàòåìàòèêîé è òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêîé.  îòëè÷èå îò òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè, ãäå òåëà (äåòàëè) ñ÷èòàþòñÿ àáñîëþòíî
æ¼ñòêèìè, â ñîïðîòèâëåíèè ìàòåðèàëîâ äåòàëè ñ÷èòàþòñÿ äåôîðìèðóåìûìè.  ñîïðîòèâëåíèè ìàòåðèàëîâ èçó÷àåòñÿ ïðî÷íîñòü, æ¼ñòêîñòü è
óñòîé÷èâîñòü ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé, èìåþùèõ ôîðìó áðóñà.
Прочность — это способность детали сопротивляться разрушению.
Жёсткость — это способность детали сопротивляться изменению
формы и размеров.
Устойчивость – это способность детали сопротивляться быстро
нарастающим изменениям формы и размеров при достижении силами,
так называемых, критических значений.
1.2
Изучаемые объекты
1.Брус или стержень – это деталь (тело) (рис. 1.1), один размер
которой значительно больше двух других. Áî́ëüøèé ðàçìåð íàçûâàåòñÿ
äëèíîé áðóñà. Ìǻíüøèå ðàçìåðû ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
Ýëåìåíòû áðóñà:
îñü áðóñà ëèíèÿ, ñîåäèíÿþùàÿ öåíòðû òÿæåñòè ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé;
5
ГЛАВА 1.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
6
Ðèñ. 1.1. Áðóñ
ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ñå÷åíèå áðóñà ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè.
Ýòè ïîíÿòèÿ îäíîçíà÷íû: äëÿ ëþáîãî áðóñà îäíà îñü è äëÿ ëþáîé
òî÷êè îäíî ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå.
Áðóñüÿ áûâàþò ïðÿìûìè è êðèâûìè. Åñëè îñü ïðÿìàÿ ëèíèÿ, òî
áðóñ ïðÿìîé, åñëè îñü êðèâàÿ ëèíèÿ áðóñ êðèâîé. Åñëè ðàäèóñ êðèâèçíû îñè áðóñà çíà÷èòåëüíî áîëüøå ðàçìåðîâ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, òî áðóñ
ìàëîé êðèâèçíû, åñëè æå ðàäèóñ ìåíüøå ðàçìåðîâ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ,
òî áðóñ áîëüøîé êðèâèçíû.
Áðóñüÿ áûâàþò ïëîñêèìè è ïðîñòðàíñòâåííûìè. Åñëè îñü áðóñà ïëîñêàÿ êðèâàÿ, òî áðóñ ïëîñêèé; åñëè æå îñü ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ, òî
áðóñ ïðîñòðàíñòâåííûé.
Áðóñüÿ áûâàþò ïîñòîÿííîãî è ïåðåìåííîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
Ïðèìåðû áðóñüåâ: âàëû (ðàçëè÷íûå); êðûëî ñàìîë¼òà è ò.ä.
2. Ïëàñòèíà ýòî òåëî, îäèí ðàçìåð êîòîðîãî (òîëùèíà) çíà÷èòåëüíî
ìåíüøå äâóõ äðóãèõ. Ïëàñòèíà, èìåþùàÿ èñêðèâëåíèÿ â îäíîì èëè â
äâóõ íàïðàâëåíèÿõ, íàçûâàåòñÿ îáîëî÷êîé.
Ïðèìåðû: ãàçîâûé áàëëîí, áàê ðàêåòû, ôþçåëÿæ ñàìîë¼òà.
1.3
Основные гипотезы о деформируемом теле
1.Ãèïîòåçà ñïëîøíîñòè. Â ñîïðîòèâëåíèè ìàòåðèàëîâ âñå òåëà, äåòàëè
ñ÷èòàþòñÿ ñïëîøíîé ñðåäîé áåç ïóñòîò (ïðåíåáðåãàÿ àòîìíûì ñòðîåíèåì
ìàòåðèàëà).
2. Ãèïîòåçà èäåàëüíîé óïðóãîñòè. Â ñîïðîòèâëåíèè ìàòåðèàëîâ âñå
ìàòåðèàëû ñ÷èòàþòñÿ èäåàëüíî óïðóãèìè.
Óïðóãîñòü ýòî ñïîñîáíîñòü òåëà (äåòàëè) âîññòàíàâëèâàòü ñâîè ôîðìó è ðàçìåðû ïîñëå ñíÿòèÿ íàãðóçêè. Åñëè ôîðìà è ðàçìåðû âîññòàíàâëèâàþòñÿ ïîëíîñòüþ, òî ýòî ñëó÷àé èäåàëüíîé óïðóãîñòè.
ГЛАВА 1.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
7
Ïðîòèâîïîëîæíîå óïðóãîñòè ñâîéñòâî ïëàñòè÷íîñòü. Ïëàñòè÷íîñòü
ýòî ñïîñîáíîñòü òåëà (äåòàëè) ïîëó÷àòü íåèñ÷åçàþùèå, îñòàòî÷íûå èçìåíåíèÿ ôîðìû è ðàçìåðîâ.
3.Ãèïîòåçà îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïíîñòè. Ìàòåðèàë (òåëî, äåòàëü)
ñ÷èòàåòñÿ îäíîðîäíûì, åñëè åãî óïðóãèå ñâîéñòâà îäèíàêîâû âî âñåõ òî÷êàõ. Åñëè óïðóãèå ñâîéñòâà íå îäèíàêîâû ìàòåðèàë íåîäíîðîäåí.
Ìàòåðèàë ñ÷èòàåòñÿ èçîòðîïíûì, åñëè åãî óïðóãèå ñâîéñòâà îäèíàêîâû ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì. Åñëè óïðóãèå ñâîéñòâà íå îäèíàêîâû ìàòåðèàë àíèçîòðîïåí (ïðèìåð: äðåâåñèíà).
4.Ãèïîòåçà Ñåí-Âåíàíà. Åñëè ê íåêîòîðîé ÷àñòè òåëà ïðèëîæåíà ñàìîóðàâíîâåøåííàÿ ñèñòåìà ñèë, òî äåéñòâèå ýòî ñèñòåìû áûñòðî óáûâàåò
ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò ìåñòà ïðèëîæåíèÿ ñèë (ðèñ 1.2).
Ðèñ. 1.2. Âëèÿíèå ñèñòåìû ñàìîóðàâíîâåøåííûõ ñèë
Ñëåäñòâèå. Åñëè ñèñòåìó ñèë, ïðèëîæåííóþ â íåêîòîðîé ÷àñòè äåòàëè, çàìåíèòü ñòàòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíîé ñèñòåìîé, ïðèëîæåííîé â ýòîé
æå ÷àñòè äåòàëè, òî ýòà çàìåíà ñêàæåòñÿ òîëüêî â îáëàñòè ïðèëîæåíèÿ
ñèë.
5.Ãèïîòåçà íåèçìåííîñòè íà÷àëüíûõ ðàçìåðîâ. Äàæå ïðè ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìûõ äåéñòâóþùèõ ñèëàõ èçìåíåíèå ôîðìû è ðàçìåðîâ äåòàëåé íàñòîëüêî ìàëû, ÷òî ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ èìè
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Íàïðèìåð: øàðíèðíî-ñòåðæíåâîé êðîíøòåéí.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòîé ãèïîòåçîé 𝑙′ = 𝑙, 𝛼′ = 𝛼 (ðèñ 1.3).
Ðèñ. 1.3. Íåèçìåííîñòü íà÷àëüíûõ ðàçìåðîâ
6. Ãèïîòåçà ïëîñêèõ ñå÷åíèé. Ñå÷åíèå áðóñà, ïëîñêîå è ïåðïåíäèêóëÿðíîå îñè äî íàãðóæåíèÿ, îñòà¼òñÿ ïëîñêèì è ïåðïåíäèêóëÿðíûì îñè
ïîñëå íàãðóæåíèÿ .
ГЛАВА 1.
1.4
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
8
Классификация внешних сил
Âíåøíèìè íàçûâàþòñÿ ñèëû, ñ êîòîðûìè ñîñåäíèå äåòàëè (òåëà) äåéñòâóþò íà èçó÷àåìóþ äåòàëü. Âíåøíèå ñèëû áûâàþò ïîâåðõíîñòíûìè è
îáú¼ìíûìè.
Ïîâåðõíîñòíûå ñèëû ñèëû, ïðèëîæåííûå ê ïîâåðõíîñòè äåòàëè (ïðèìåð: ïîäú¼ìíàÿ ñèëà êðûëà ñàìîë¼òà).
Îáú¼ìíûå ñèëû ñèëû, ïðèëîæåííûå ê êàæäîìó ýëåìåíòó äåòàëè
(òåëà) (ïðèìåð: ñèëà âåñà, èíåðöèîííûå ñèëû).
Âíåøíèå ñèëû áûâàþò ðàñïðåäåë¼ííûìè è ñîñðåäîòî÷åííûìè.
Ðàñïðåäåë¼ííûå ñèëû ñèëû, ïðèëîæåííûå êî âñåé äåòàëè èëè ê å¼
÷àñòè.
Ñîñðåäîòî÷¼ííûå ñèëû ñèëû, ïðèëîæåííûå ê íåáîëüøîé ÷àñòè ïîâåðõíîñòè äåòàëè (ïðèìåð : ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ øàðèêà (ïîäøèïíèêà)
è áåãîâîé äîðîæêè).
Ñèëû áûâàþò ïîñòîÿííûìè è âðåìåííûìè.
Ïîñòîÿííûå ñèëû ñèëû, äåéñòâóþùèå â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè.
Âðåìåííûå ñèëû ñèëû, äåéñòâóþùèå â òå÷åíèå íåáîëüøîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè
Ñèëû áûâàþò ñòàòè÷åñêèìè è äèíàìè÷åñêèìè.
Ñòàòè÷åñêèå ñèëû ñèëû, êîòîðûå ìåäëåííî èçìåíÿþòñÿ îò íóëÿ äî
êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ è äàëåå íå èçìåíÿþòñÿ (çäàíèå ïðè ñòðîèòåëüñòâå).
Äèíàìè÷åñêèå ñèëû ðàçäåëÿþò íà óäàðíûå è öèêëè÷åñêè èçìåíÿþùèåñÿ.
Óäàðíûå ñèëû ñèëû, ïðè êîòîðûõ âîçíèêàþò áîëüøèå óñêîðåíèÿ
Ïðèìåð: ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ øàññè ñàìîë¼òà è ïîëîñû (â ìîìåíò ïîñàäêè).
Öèêëè÷åñêèå ñèëû ýòî ñèëû, ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèåñÿ îò îäíîãî
êðàéíåãî çíà÷åíèÿ äî äðóãîãî è îáðàòíî. Ïðèìåð: ñèëà, èñïûòûâàåìàÿ
øàòóíîì äâèãàòåëÿ âíóòðåííåãî ñãîðàíèÿ.
1.5
Метод сечений. Понятие о напряжениях
Ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë â äåòàëè âîçíèêàþò âíóòðåííèå ñèëû
(ðèñ 1.4) ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ îòäåëüíûõ ÷àñòåé äåòàëè. Èìåííî âíóòðåííèìè ñèëàìè îïðåäåëÿåòñÿ ïðî÷íîñòü äåòàëåé, ïîýòîìó îïðåäåëåíèå
âíóòðåííèõ ñèë ÿâëÿåòñÿ âàæíåéøåé çàäà÷åé ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ.
Âíóòðåííèå ñèëû îïðåäåëÿþòñÿ â äâà ýòàïà:
ГЛАВА 1.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
9
Ðèñ. 1.4. Âíóòðåííèå ñèëû
íà ïåðâîì ýòàïå îïðåäåëÿåòñÿ ñóììà âíóòðåííèõ ñèë â ïîïåðå÷íîì
ñå÷åíèè äåòàëè;
íà âòîðîì ýòàïå ðåøàåòñÿ âîïðîñ î òîì, êàê ýòà ñóììà ðàñïðåäåëåíà
ïî ïîïåðå÷íîìó ñå÷åíèþ.
Ïåðâûé ýòàï ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìàÿ çàäà÷à, âòîðîé ýòàï ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìàÿ çàäà÷à.
Ñóììà âíóòðåííèõ ñèë íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ñå÷åíèé îñíîâíîãî ìåòîäà îïðåäåëåíèÿ âíóòðåííèõ ñèë â ñîïðîòèâëåíèè ìàòåðèàëîâ.
Ñóòü ìåòîäà ñå÷åíèé.
Èçîáðàçèì òåëî ïðîèçâîëüíîé ôîðìû, íàãðóæåííîå ñèñòåìîé ñèë 𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3 , 𝐹4 .
Ìûñëåííî ïðîâîäèì ñå÷åíèå. Ëåâóþ ÷àñòü òåëà îòáðàñûâàåì, èçîáðàæàåì ïðàâóþ ÷àñòü. Ïîêàæåì âíåøíèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà îñòàâøóþñÿ
÷àñòü, è âíóòðåííèå ñèëû, ðàñïðåäåë¼ííûå êàêèì-òî îáðàçîì.
Ïðèâåä¼ì âíóòðåííèå ñèëû ê êàêîé-íèáóäü òî÷êå 𝐶 . Ïîëó÷èì ãëàâ→
−
→
−
→
−
→
−
íûé âåêòîð 𝑅 è ãëàâíûé ìîìåíò 𝐿 âíóòðåííèõ ñèë. 𝑅 è 𝐿 ñóììà
âíóòðåííèõ ñèë â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè òåëà.
Îïðåäåëèì 𝑅 è 𝐿 . Ïîêàæåì îñè êîîðäèíàò. Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ ñòàòèêè (óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ)
⎧ ∑︁
⎪
𝐹𝑥 + 𝑅𝑥 = 0;
⎪
⎪
⎪
⎪
∑︁
⎪
⎪
⎪
𝐹𝑦 + 𝑅𝑦 = 0;
⎪
⎪
⎪ ∑︁
⎪
⎪
⎨
𝐹𝑧 + 𝑅𝑧 = 0;
∑︁
⎪
⎪
𝑀𝑥 + 𝐿𝑥 = 0;
⎪
⎪
⎪
∑︁
⎪
⎪
⎪
𝑀𝑦 + 𝐿𝑦 = 0;
⎪
⎪
⎪
∑︁
⎪
⎪
⎩
𝑀𝑧 + 𝐿𝑧 = 0.
Èìååì 6 óðàâíåíèé ñòàòèêè è 6 íåèçâåñòíûõ (𝑅𝑥 , 𝑅𝑦 , 𝑅𝑧 , 𝐿𝑥 , 𝐿𝑦 , 𝐿𝑧 ),
òî åñòü çàäà÷à ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìà.
Âíóðòåííèå ñèëû 𝑅 è 𝐿 íå ìîãóò ñëóæèòü äëÿ îöåíêè ïðî÷íîñòè
ГЛАВА 1.
10
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
òåëà (äåòàëè), ò.ê. çàâèñÿò îò ðàçìåðîâ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Ïîýòîìó
ïåðåõîäèì ê íàïðÿæåíèÿì.
Íàïðÿæåíèå ýòî ñèëà, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè ñå÷åíèÿ.
Âûäåëèì â ñå÷åíèè ïëîùàäêó êîíå÷íîãî ðàçìåðà ∆𝐴 (ðèñ. 1.5). Íà
ïëîùàäêå äåéñòâóþò êàêèì-òî îáðàçîì ðàñïðåäåë¼ííûå âíóòðåííèå ñèëû. Ïîêàæåì ∆𝑅 ðàâíîäåéñòâóþùóþ âíóòðåííèõ ñèë íà ïëîùàäêå ∆𝐴.
Ðèñ. 1.5. Âíóòðåííèå ñèëû
∆𝑅
Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå
= 𝑝𝑐𝑝 ñðåäíåå íàïðÿæåíèå íà ïëîùàä∆𝐴
êå ∆𝐴. Ýòîé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëüçîâàòüñÿ íå óäîáíî, ò.ê. îíà çàâèñèò îò ïëîùàäè ïëîùàäêè, ïîýòîìó 𝑝𝑐𝑝 ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïðåäåëå, 𝑝 =
∆𝑅
lim
ïîëíîå íàïðÿæåíèå â èññëåäóåìîé òî÷êå ñå÷åíèÿ äåòàëè.
Δ𝐴→ 0 ∆𝐴
Íà ïðàêòèêå â ðàñ÷¼òàõ íà ïðî÷íîñòü ïîëüçóþòñÿ íå ïîëíûìè íàïðÿæåíèåì, à åãî ñîñòàâëÿþùèìè íà íîðìàëü ê ñå÷åíèþ è íà ïëîñêîñòü
ñå÷åíèÿ.
Îáîçíà÷èì ïðîåêöèè (ñîñòàâëÿþùèå) íà íîðìàëü ê ñå÷åíèþ ÷åðåç 𝜎
è íà ïëîñêîñòü ñå÷åíèÿ 𝜏 ; 𝜎 íîðìàëüíîå íàïðÿæåíèå, 𝜏 êàñàòåëüíîå
íàïðÿæåíèå. Âûðàçèì 𝜎 è 𝜏 ÷åðåç 𝑝
√
𝜎 = 𝑝 cos 𝛼,
𝜏 = 𝑝 sin 𝛼,
𝑝 = 𝜎2 + 𝜏 2.
Íàïðÿæåíèÿ 𝜎 è 𝜏 â ñèñòåìå ÑÈ èçìåðÿþòñÿ â Ïà (Ïà =
1.6
Í
).
ì2
Вопросы для самопроверки
×òî èçó÷àåò ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëîâ è êàêîâî çíà÷åíèå íàóêè â
îáùåì öèêëå èíæåíåðíûõ äèñöèïëèí? ×òî ïîíèìàåòñÿ ïîä ïðî÷íîñòüþ,
æ¼ñòêîñòüþ, óñòîé÷èâîñòüþ êîíñòðóêöèé? Îñíîâíûå ãèïîòåçû ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ.  ÷¼ì ñóòü ïðèíöèïà Ñåí-Âåíàíà? Êàêèå ñèëû íàçûâàþò âíåøíèìè, à êàêèå âíóòðåííèìè, èõ ðàçëè÷èå? Âíóòðåííèå ñèëîâûå ôàêòîðû è èõ îïðåäåëåíèå. ×òî òàêîå íàïðÿæåíèå â òî÷êå ïîëíîå,
íîðìàëüíîå, êàñàòåëüíîå?
Центральное растяжение и
сжатие
2.1
Напряжения при центральном растяжении и сжатии
Прямой брус испытывает центральное растяжение или сжатие,
если он нагружен силами, приложенными вдоль его оси.
Èçîáðàçèì áðóñ, èñïûòûâàþùèé öåíòðàëüíîå ðàñòÿæåíèå (ðèñ 2.1,
à).
Ðèñ. 2.1. Íîðìàëüíûå ñèëû â áðóñå ïðè öåíòðàëüíîì ðàñòÿæåíèè
Ïðèìåíèì ìåòîä ñå÷åíèé: ðàññåêàåì áðóñ ïëîñêîñòüþ 𝑎 − 𝑎, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè áðóñà (ðèñ 2.1, á). Âíà÷àëå îòáðîñèì íèæíþþ ÷àñòü.
Ïðèâåä¼ì âíóòðåííèå ñèëû ê öåíòðó òÿæåñòè 𝐶 ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
11
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
12
Ïîëó÷èì òîëüêî ñèëó 𝑁 , ïàðû ñèë íåò, òàê êàê íåò âíåøíèõ ñèë, âûçûâàþùèõ ýòó ïàðó.
𝑁 íîðìàëüíàÿ (ïðîäîëüíàÿ) ñèëà; 𝑁 âåëè÷èíà àëãåáðàè÷åñêàÿ
(ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé, òàê è îòðèöàòåëüíîé). Ïðè ðàñòÿæåíèè
𝑁 > 0, ïðè ñæàòèè 𝑁 < 0. ∑︀
Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ñòàòèêè:
𝑍 = 0 : 𝑁 − 𝐹 = 0 ⇒ 𝑁 = 𝐹.
Ê òàêîìó æå ðåçóëüòàòó ïðèä¼ì, åñëè áóäåì ðàññìàòðèâàòü ðàâíîâåñèå
íèæíåé ÷àñòè áðóñà (ðèñ 2.1, â).
Òàêèì îáðàçîì, нормальная сила в любом поперечном сечении бруса
равна сумме проекций на нормаль к этому сечению внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.
Ãðàôèê èçìåíåíèÿ íîðìàëüíîé ñèëû ïî äëèíå áðóñà íàçûâàåòñÿ ýïþðîé íîðìàëüíûõ ñèë. Èçîáðàçèì ýïþðó íîðìàëüíûõ ñèë (ðèñ 2.1, ã).
Òåïåðü íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèÿ. Çàäà÷à ïî îïðåäåëåíèþ
íàïðÿæåíèé ÿâëÿåòñÿ ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìîé è äëÿ å¼ ðåøåíèÿ ñëåäóåò óñòàíîâèòü çàêîíîìåðíîñòü äåôîðìàöèé.
Ïðè öåíòðàëüíîì ðàñòÿæåíèè èëè ñæàòèè ñïðàâåäëèâà ãèïîòåçà ïëîñêèõ ñå÷åíèé, ïðè ýòîì îñü áðóñà íå èñêðèâëÿåòñÿ. Ïîýòîìó ëþáûå âîëîêíà, íàõîäÿùèåñÿ ìåæäó äâóìÿ ïîïåðå÷íûìè ñå÷åíèÿìè, óäëèíÿþòñÿ íà
îäíó è òó æå âåëè÷èíó. Ñëåäîâàòåëüíî, äåôîðìàöèè ïî ñå÷åíèþ îäèíàêîâû è ïîýòîìó íàïðÿæåíèÿ ðàñïðåäåëåíû ïî ñå÷åíèþ ðàâíîìåðíî, òî
åñòü
𝑁
𝜎= ,
𝐴
ãäå 𝐴 ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ (êîíå÷íàÿ, íî îíà ìàëî îòëè÷àåòñÿ
îò íà÷àëüíîé). Ïðè ðàñòÿæåíèè 𝜎 > 0, ïðè ñæàòèè 𝜎 < 0.
 ñîîòâåòñòèè ñ ãèïîòåçîé Ñåí-Âåíàíà ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè îò òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèëû.
Êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ (â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè) ðàâíû íóëþ, ò.ê.
íåò ñäâèãà. À â íàêëîííûõ ñå÷åíèÿõ áðóñà åñòü è íîðìàëüíûå è êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ.  ïðîäîëüíîì ñå÷åíèè íåò íè íîðìàëüíûõ, íè êàñàòåëüíûåõ íàïðÿæåíèé.
2.2
Продольная деформация бруса при центральном растяжении и сжатии. Закон
Гука
Èçîáðàçèì áðóñ äî è ïîñëå íàãðóæåíèÿ (ðèñ. 2.2, à, á), ãäå ∆𝑙 àáñîëþòíàÿ äåôîðìàöèÿ (àáñîëþòíîå óäëèíåíèå) áðóñà. Ïðè ðàñòÿæåíèè ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
13
∆𝑙 > 0, ïðè ñæàòèè ∆𝑙 < 0.
Ðèñ. 2.2. Ïðîäîëüíàÿ äåôîðìàöèÿ áðóñà
∆𝑙
Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå
= 𝜀 îòíîñèòåëüíàÿ ïðîäîëüíàÿ äåôîð𝑙
ìàöèÿ: ïðè ðàñòÿæåíèè 𝜀 > 0, ïðè ñæàòèè 𝜀 < 0.
Äåôîðìàöèÿ ñâÿçàíà ñ íàïðÿæåíèÿìè ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííîé
çàâèñèìîñòüþ:
𝜎 = 𝐸 · 𝜀 çàêîí Ãóêà, ãäå 𝐸 ìîäóëü ïðîäîëüíîé óïðóãîñòè. Äëÿ
ñòàëè 𝐸 = 2 · 105 ÌÏà, äëÿ àëþìèíèåâûõ ñïëàâîâ 𝐸 = 0, 7 · 105 ÌÏà.
∆𝑙
𝑁
,
𝜀 =
Çàïèøåì çàêîí Ãóêà â äðóãîì âèäå: òàê êàê 𝜎 =
𝐴
𝑙
𝑁 ·𝑙
, òî ∆𝑙 =
çàêîí Ãóêà, çàïèñàííûé ÷åðåç äåéñòâóþùóþ ñèëó è
𝐸·𝐴
ðàçìåðû áðóñà, ãäå 𝐸 ·𝐴 æ¼ñòêîñòü áðóñà ïðè öåíòðàëüíîì ðàñòÿæåíèè
è ñæàòèè.
Çàïèøåì çàêîí Ãóêà â îáùåì ñëó÷àå íàãðóæåíèÿ áðóñà, êîãäà íîðìàëüíàÿ ñèëà èçìåíÿåòñÿ ïî åãî äëèíå. Âûäåëèì èç áðóñà ýëåìåíò äëèíîé
𝑑𝑧 è ïîêàæåì åãî îòäåëüíî (ðèñ. 2.2, â). Óäëèíåíèå ýëåìåíòà îïðåäåëÿ𝑁 (𝑧) · 𝑑𝑧
åòñÿ ïî ôîðìóëå 𝑑(∆𝑙) =
, èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì
𝐸·𝐴
∫︀𝑙 𝑁 (𝑧) · 𝑑𝑧
∆𝑙 =
çàêîí Ãóêà â îáùåì ñëó÷àå íàãðóæåíèÿ áðóñà.
𝐸·𝐴
0
2.3
Поперечная деформация бруса при центральном растяжении и сжатии. Закон
Пуассона
Èçîáðàçèì áðóñ äî è ïîñëå íàãðóæåíèÿ (ðèñ. 2.3, à, á), ∆𝑏 àáñîëþòíàÿ ïîïåðå÷íàÿ äåôîðìàöèÿ: ïðè ñæàòèè ∆𝑏 > 0, ïðè ðàñòÿæåíèè ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
∆𝑏 < 0. Îòíîøåíèå
14
∆𝑏
= 𝜀поп îòíîñèòåëüíàÿ ïîïåðå÷íàÿ äåôîðìàöèÿ.
𝑏
Ðèñ. 2.3. Ïîïåðå÷íàÿ äåôîðìàöèÿ áðóñà
Ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åíà çàâèñèìîñòü
𝜀поп = −𝜇 · 𝜀 çàêîí Ïóàññîíà, ãäå 𝜀 ïðîäîëüíàÿ äåôîðìàöèÿ, 𝜇 êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà èëè êîýôôèöèåíò ïîïåðå÷íîé äåôîðìàöèè (𝜇 =
0 ... 0,5).
2.4
Испытания на растяжение. Основные механические характеристики
Äëÿ âûÿâëåíèÿ ñïîñîáíîñòè äåòàëåé, ìàòåðèàëîâ ñîïðîòèâëÿòüñÿ ðàçðóøåíèþ ïðîâîäÿòñÿ èñïûòàíèÿ ñòàíäàðòíûõ ëàáîðàòîðíûõ îáðàçöîâ íà
ðàñòÿæåíèå âïëîòü äî ðàçðóøåíèÿ. Ñóùåñòâóþò òàêæå èñïûòàíèÿ íà
ñðåç, èçãèá, êðó÷åíèå, ñæàòèå.
Âñå ìàòåðèàëû óñëîâíî äåëÿòñÿ íà ïëàñòè÷íûå è õðóïêèå. Ðàçðóøåíèþ ïåðâûõ ïðåäøåñòâóþò áîëüøèå ïëàñòè÷åñêèå äåôîðìàöèè, âòîðûõ
ìàëûå.
Äëÿ èñïûòàíèé íà ðàñòÿæåíèå ñóùåñòâóþò ñïåöèàëüíûå ðàçðûâíûå
ìàøèíû. Èñïûòàíèÿ ïðîâîäÿòñÿ íà îáðàçöàõ, ôîðìà, ðàçìåðû è êà÷åñòâî îáðàáîòêè êîòîðûõ îãîâîðåíû â ñîîòâåòñòâóþùåì ÃÎÑÒå. Èçîáðàçèì öèëèíäðè÷åñêèé îáðàçåö (ðèñ. 2.4) äèàìåòðîì 𝑑 è äëèíîé ðàáî÷åé
÷àñòè 𝑙.
 ïðîöåññå èñïûòàíèé àâòîìàòè÷åñêè çàïèñûâàåòñÿ ãðàôèê çàâèñèìîñòè óäëèíåíèÿ îáðàçöà ∆𝑙 îò äåéñòâóþùåé ñèëû 𝐹 ìàøèííàÿ äèàãðàììà (äèàãðàììà ðàñòÿæåíèÿ). Èçîáðàçèì äèàãðàììó ðàñòÿæåíèÿ äëÿ
ìàëîóãëåðîäèñòîé ñòàëè (ðèñ. 2.5).
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
15
Ðèñ. 2.4. Îáðàçåö äëÿ èñïûòàíèé íà ðàñòÿæåíèå
Äî òî÷êè 𝐴 çàâèñèìîñòü ìåæäó ∆𝑙 è 𝐹 ëèíåéíàÿ. Ýòî îáëàñòü äåéñòâèÿ çàêîíà Ãóêà.  ýòîé îáëàñòè ðàáîòàþò âñå äåòàëè ìàøèí. Äî òî÷êè
𝐵 äåôîðìàöèè óïðóãèå.  òî÷êå 𝐶 íàáëþäàåòñÿ ïëîùàäêà òåêó÷åñòè (êîãäà óäëèíåíèå îáðàçöà ðàñò¼ò ïðè ïîñòîÿííîé ñèëå). Äàëåå íà÷èíàåòñÿ
êðèâàÿ óïðî÷íåíèÿ. Ïåðåä òî÷êîé 𝐷 â ðàáî÷åé ÷àñòè îáðàçöà îáðàçóåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ øåéêà è äàëüíåéøèé ðîñò äåôîðìàöèé âñåãî îáðàçöà
îáóñëîâëåí äåôîðìàöèÿìè â øåéêå. Ïîñëå òî÷êè 𝐷 íàãðóçêà ñíèæàåòñÿ,
òàê êàê ðåçêî óìåíüøàåòñÿ ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ îáðàçöà è â
òî÷êå 𝐸 íàñòóïàåò ðàçðóøåíèå.
Î çàêîíå ðàçãðóçêè è ïîâòîðíîãî íàãðóæåíèÿ. Îáðàçåö íàãðóæàåì
äî òî÷êè 𝐾 , à çàòåì ðàçãðóæàåì. Ðàçãðóçêà èä¼ò ïî ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé ïðÿìîé äåéñòâèÿ çàêîíà Ãóêà. Ïîâòîðíîå íàãðóæåíèå ïðîèñõîäèò ïî
òîé æå ïðÿìîé äî òî÷êè 𝐾 , à çàòåì âîñïðîèçâîäèòñÿ îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü
äèàãðàììû. Ïîëíîå óäëèíåíèå îáðàçöà ∆𝑙 ñîñòîèò èç óïðóãîé ∆𝑙упр è
îñòàòî÷íîé ∆𝑙ост äåôîðìàöèé, ∆𝑙 = ∆𝑙упр + ∆𝑙ост .
Èçìåðèâ äëèíó ðàáî÷åé ÷àñòè ïîñëå ðàçðóøåíèÿ 𝑙к (ñîñòûêîâàâ ÷àразр
ñòè), îïðåäåëèì ∆𝑙 ост
= 𝑙к − 𝑙 îáñîëþòíîå îñòàòî÷íîå óäëèíåíèå ïîñëå
ðàçðóøåíèÿ è ââåä¼ì ïåðâóþ ìåõàíè÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó
𝛿=
разр
∆𝑙ост
· 100%,
𝑙
ãäå 𝛿 îòíîñèòåëüíîå îñòàòî÷íîå óäëèíåíèå ïîñëå ðàçðóøåíèÿ.
Õàðàêòåðèñòèêà 𝛿 íèêîãäà íå îïðåäåëÿåòñÿ ïî äèàãðàììå, à îïðåäåëÿ-
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
16
Ðèñ. 2.5. Äèàãðàììà ðàñòÿæåíèÿ ìàëîóãëåðîäèñòîé ñòàëè
åòñÿ íà îáðàçöå íà ðàñ÷¼òíîé äëèíå 𝑙. Îáû÷íî 𝑙 = 10𝑑; äëÿ óêîðî÷åííûõ
îáðàçöîâ 𝑙 = 5𝑑 (𝛿5 > 𝛿10 ).
Ïîñëå ðàçðóøåíèÿ îáðàçöà çàìåðÿåòñÿ äèàìåòð øåéêè 𝑑к , âû÷èñëÿåòñÿ ïëîùàäü øåéêè 𝐴к è îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ìàòåðèàëà
𝐴 − 𝐴к
· 100%,
𝜓=
𝐴
ãäå 𝜓 îòíîñèòåëüíîå îñòàòî÷íîå ñóæåíèå ïîñëå ðàçðóøåíèÿ, 𝐴 íà÷àëüíàÿ ïëîùàäü.
Ýòè äâå õàðàêòåðèñòèêè 𝛿 è 𝜓 îïðåäåëÿþò ïëàñòè÷íîñòü ìàòåðèàëà
è íàçûâàþòñÿ äåôîðìàöèîííûìè.
Íà äèàãðàììå ðàñòÿæåíèÿ îðäèíàòû è àáñöèññû çàâèñÿò îò ðàçìåðîâ
∆𝑙
,
îáðàçöà, ïîýòîìó å¼ ïåðåñòðàèâàþò. Âìåñòî ∆𝑙 ðàññìàòðèâàþò 𝜀 =
𝑙
𝐹
à âìåñòî 𝐹 𝜎 = .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ãðàôèê, íàçûâàåìûé äèà𝐴
ãðàììîé óñëîâíûõ íàïðÿæåíèé (ðèñ. 2.6).
Õàðàêòåðíûå îðäèíàòû ýòîé äèàãðàììû ÿâëÿþòñÿ ìåõàíè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè ìàòåðèàëà (õàðàêòåðèñòèêè ïðî÷íîñòè).
𝜎п ïðåäåë ïðîïîðöèîíàëüíîñòè íàèáîëüøåå íàïðÿæåíèå, äî êîòîðîãî ñïðàâåäëèâ çàêîí Ãóêà.
𝜎у ïðåäåë óïðóãîñòè íàèáîëüøåå íàïðÿæåíèå, äî êîòîðîãî ïðàêòè÷åñêè íå âîçíèêàþò (𝜀ост < 0, 005) ïëàñòè÷åñêèå äåôîðìàöèè.
𝜎т ïðåäåë òåêó÷åñòè íàïðÿæåíèå, ïðè êîòîðîì íàáëþäàåòñÿ ðîñò
äåôîðìàöèé ïðè ïîñòîÿííîé íàãðóçêå.
𝜎в ïðåäåë ïðî÷íîñòè îòíîøåíèå íàèáîëüøåé íàãðóçêè, êîòîðóþ
âûäåðæèò îáðàçåö äî ðàçðóøåíèÿ, ê ïåðâîíà÷àëüíîé ïëîùàäè åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
17
Ðèñ. 2.6. Äèàãðàììà óñëîâíûõ íàïðÿæåíèé ìàëîóãëåðîäèñòîé ñòàëè
Ïðèìåð ïðî÷íîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ìàëîóãëåðîäèñòîé ñòàëè 20:
𝜎п = 200 ÌÏà; 𝜎у = 220 ÌÏà; 𝜎т = 240 ÌÏà; 𝜎в = 400 ÌÏà.
Äèàãðàììû íàïðÿæåíèé áîëüøèíñòâà êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ
íå èìåþò ïëîùàäêè òåêó÷åñòè (ðèñ. 2.7).
Ðèñ. 2.7. Äèàãðàììà íàïðÿæåíèé ìàòåðèëîâ, íå èìåþùèõ ïëîùàäêè òåêó÷åñòè
Äëÿ òàêèõ ìàòåðèàëîâ ââîäèòñÿ ïîíÿòèå óñëîâíîãî ïðåäåëà òåêó÷åñòè
𝜎0,2 ýòî íàïðÿæåíèå, ïðè êîòîðîì îñòàòî÷íûå äåôîðìàöèè ðàâíû 0,2
%.
Î çàêîíå ðàçãðóçêè è ïîâòîðíîãî íàãðóæåíèÿ ïðèìåíèòåëüíî ê äèàãðàììå íàïðÿæåíèé. Îáðàçåö íàãðóæàåòñÿ äî òî÷êè 𝐾 , à çàòåì ðàçãðóæàåòñÿ (ðèñ. 2.6). Ðàçãðóçêà ïðîèñõîäèò ïî ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé ãóêîâñêîìó ó÷àñòêó äèàãðàììû.  ðåçóëüòàòå ïðåäâàðèòåëüíîãî íàãðóæåíèÿ
ìàòåðèàë îáðàçöà áóäåò èìåòü äðóãèå ìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè, êîòîðûå îáóñëîâëåíû íàêë¼ïîì.
Íàêë¼ï èëè íàãàðòîâêà ýòî óâåëè÷åíèå ïðî÷íîñòíûõ (êðîìå 𝜎𝐵 )
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
18
è óìåíüøåíèå äåôîðìàöèîííûõ õàðàêòåðèñòèê ìàòåðèàëà â ðåçóëüòàòå
ïðåäâàðèòåëüíîãî íàãðóæåíèÿ çà ïðåäåë òåêó÷åñòè.
Äåëåíèå ìàòåðèàëîâ íà ïëàñòè÷íûå è õðóïêèå äîâîëüíî óñëîâíîå.
Õðóïêèå ìàòåðèàëû, êàê ïðàâèëî, íåðàâíîïðî÷íû . Ñæàòèþ îíè ñîïðîòèâëÿþòñÿ ëó÷øå, ÷åì ðàñòÿæåíèþ (ðèñ. 2.8), òî åñòü 𝜎вс > 𝜎вр .
Ðèñ. 2.8. Äèàãðàììà íàïðÿæåíèé õðóïêîãî ìàòåðèàëà
2.5
Расчёты на прочность при центральном
растяжении и сжатии
Âíà÷àëå îá îïàñíûõ íàïðÿæåíèÿõ. Îïàñíûå íàïðÿæåíèÿ îáîçíà÷àþò
÷åðåç 𝜎𝐿 ýòî òå íàïðÿæåíèÿ, ïðè êîòîðûõ ìàòåðèàë ëèáî ðàçðóøàåòñÿ,
ëèáî ïîëó÷àåò íåäîïóñòèìûå ïëàñòè÷åñêèå äåôîðìàöèè.
Äëÿ äåòàëåé èç ïëàñòè÷íûõ ìàòåðèàëîâ 𝜎𝐿 = 𝜎т , ò.ê. ïðè äîñòèæåíèè
ïðåäåëà òåêó÷åñòè äåòàëü ïîëó÷àåò ïëàñòè÷åñêèå äåôîðìàöèè è íàðóøàåòñÿ å¼ íîðìàëüíàÿ ðàáîòîñïîñîáíîñòü. Äëÿ äåòàëåé èç õðóïêèõ ìàòåðèàëîâ 𝜎𝐿 = 𝜎в , ò. ê. ïðè äîñòèæåíèè ïðåäåëà ïðî÷íîñòè äåòàëü ðàçðóøàåòñÿ. Òàêèå íàïðÿæåíèÿ â äåòàëÿõ äîïóñêàòü íåëüçÿ.
Íàèáîëüøèå íàïðÿæåíèÿ â äåòàëÿõ, îòâå÷àþùèå áåçîïàñíîé ðàáîòå
ìàòåðèàëà, íàçûâàþòñÿ äîïóñêàåìûìè íàïðÿæåíèÿìè è îáîçíà÷àþòñÿ
÷åðåç [𝜎]. Åñëè ìàòåðèàë äåòàëåé íåîäèíàêîâî ñîïðîòèâëÿåòñÿ ðàñòÿæåíèþ è ñæàòèþ, òî ñîîòâåòñòâåííî [𝜎]𝑝 äîïóñêàåìîå íàïðÿæåíèÿ íà
ðàñòÿæåíèå, [𝜎]𝑐 äîïóñêàåìîå íàïðÿæåíèÿ íà ñæàòèå.
Äîïóñêàåìûå íàïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ êàê ÷àñòü îïàñíûõ:
[𝜎] =
𝜎𝐿
,
𝑛𝐿
ãäå 𝑛𝐿 êîýôôèöèåíò çàïàñà ïðî÷íîñòè. Êîíêðåòèçèðóåì, Äëÿ ïëàñòè÷-
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
19
íûõ ìàòåðèàëîâ:
𝜎т
,
𝑛т
ãäå 𝑛т êîýôôèöèåíò çàïàñà ïðî÷íîñòè ïî ïðåäåëó òåêó÷åñòè.
Äëÿ õðóïêèõ ìàòåðèàëîâ:
[𝜎] =
[𝜎] =
𝜎в
,
𝑛в
ãäå 𝑛в êîýôôèöèåíò çàïàñà ïðî÷íîñòè ïî ïðåäåëó ïðî÷íîñòè.
Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî 𝑛в > 𝑛т .
Èç êàêèõ ñîîáðàæåíèé íàçíà÷àåòñÿ êîýôôèöèåíò çàïàñà? Çàïèøåì
îáñòîÿòåëüñòâà, êîòîðûå íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ïðè íàçíà÷åíèè êîýôôèöèåíòà çàïàñà.
1. Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà äåòàëü, èçâåñòíû íå òî÷íî.
2. Ìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè, èñïîëüçóåìûå â ðàñ÷¼òàõ íà ïðî÷íîñòü (𝜎т è 𝜎в ) èìåþò ðàññåÿíèå, à â ñïðàâî÷íîé ëèòåðàòóðå ïðèâåäåíû
ñðåäíèå çíà÷åíèÿ.
3. Ðàñ÷¼òíàÿ ñõåìà, èñïîëüçóåìàÿ â ðàñ÷¼òàõ íà ïðî÷íîñòü, îòðàæàåò
ðåàëüíóþ äåòàëü ïðèáëèæ¼ííî.
4. Ìåòîäû (ôîðìóëû) ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ íå ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíî òî÷íûìè.
Ñ ó÷¼òîì ýòèõ îáñòîÿòåëüñòâ â àâèàïðîìûøëåííîñòè êîýôôèöèåíò
çàïàñà 𝑛т = 1,2 3,0 (â çàâèñèìîñòè îò îòâåòñòâåííîñòè äåòàëåé).
Ðàñ÷¼ò íà ïðî÷íîñòü
Ïðè ðàñ÷¼òàõ íà ïðî÷íîñòü ðàññìàòðèâàþòñÿ 3 çàäà÷è:
1. Ïðîâåðêà ïðî÷íîñòè.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàáîòà äåòàëè áûëà áåçîïàñíîé, íåîáõîäèìî
| 𝜎 | наиб =
| 𝑁 | наиб
≤ [𝜎].
𝐴
Ýòà ôîðìóëà óñòàíàâëèâàåò óñëîâèå ïðî÷íîñòè ïðè öåíòðàëüíîì ðàñòÿæåíèè è ñæàòèè. Åñëè [𝜎]𝑝 ̸= [𝜎]𝑐 , òî â ïðàâîé ÷àñòè óñëîâèÿ ïðî÷íîñòè
äîëæíî áûòü ñîîòâåòñòâóþùåå äîïóñêàåìîå íàïðÿæåíèå.
2. Íàçíà÷åíèå ðàçìåðîâ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
Ðàçðåøèì óñëîâèå ïðî÷íîñòè îòíîñèòåëüíî ïëîùàäè
𝐴≥
| 𝑁 | наиб
.
[𝜎]
Ýòà ôîðìóëà èñïîëüçóåòñÿ ïðè îïðåäåëåíèè ðàçìåðîâ ïîïåðå÷íîãî
ñå÷åíèÿ äåòàëè.
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
20
3. Îïðåäåëåíèå ãðóçîïîäú¼ìíîñòè.
Ðàçðåøèì óñëîâèå ïðî÷íîñòè îòíîñèòåëüíî | 𝑁 | наиб
| 𝑁 | наиб ≤ [𝜎] · 𝐴.
Ýòà ôîðìóëà èñïîëüçóåòñÿ ïðè îïðåäåëåíèè äîïóñòèìûõ âíåøíèõ ñèë.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ | 𝑁 | наиб ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ñå÷åíèé, îïðåäåëÿþòñÿ
íîðìàëüíûå ñèëû è ñòðîèòñÿ ýïþðà íîðìàëüíûõ ñèë ○.
N
2.6
Статически неопределимые задачи при
растяжении и сжатии
Ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûìè íàçûâàþòñÿ êîíñòðóêöèè, îïðåäåëåíèå
óñèëèé â ýëåìåíòàõ êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìîé çàäà÷åé. Ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûå ýòî çàäà÷è, â êîòîðûõ ÷èñëî íåèçâåñòíûõ óñèëèé ïðåâûøàåò ÷èñëî óðàâíåíèé ñòàòèêè. Ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìàÿ êîíñòðóêöèÿ, â îòëè÷èå îò ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìîé, ïðè âûõîäå
èç ñòðîÿ îäíîãî ýëåìåíòà ïðåâðàùàåòñÿ â ìåõàíèçì.
Ðàññìîòðèì ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìóþ êîíñòðóêöèþ (ðèñ. 2.9).  ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ øàðíèðíîå çàêðåïëåíèå âñòðå÷àåòñÿ ðåäêî, íî ìíîãèå
ñëó÷àè íà ïðàêòèêå ìîæíî ïðèâåñòè ê òàêîìó çàêðåïëåíèþ.
Ðèñ. 2.9. Ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìàÿ ñòåðæíåâàÿ ñèñòåìà
Ñëàáûì çâåíîì ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíûé ñòåðæåíü. Íîðìàëüíàÿ ñèëà â ñòåðæíå îïðåäåëÿåòñÿ ìåòîäîì ñå÷åíèé.
Êîíñòðóêöèÿ íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, ïîýòîìó äëÿ ïëîñêîé ñèñòåìû
ìîæíî çàïèñàòü òðè óðàâíåíèÿ ñòàòèêè. Íåèçâåñòíûõ óñèëèé òîæå òðè,
ñëåäîâàòåëüíî ñèñòåìà (êîíñòðóêöèÿ) ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìà.
Òåïåðü èçîáðàçèì ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìóþ ñèñòåìó òàêîãî æå òèïà
(ðèñ. 2.10). Ãîðèçîíòàëüíûé áðóñ ïîääåðæèâàåòñÿ äâóìÿ ñòåðæíÿìè. Â
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
21
ðåàëüíûõ êîíñòðóêöèÿõ ãîðèçîíòàëüíûé áðóñ èìååò áîëüøîå ñå÷åíèå è
ñ÷èòàåòñÿ àáñîëþòíî æ¼ñòêèì, òî åñòü íåäåôîðìèðóåìûì.
Ðèñ. 2.10. Ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìàÿ ñòåðæíåâàÿ ñèñòåìà
Ñëàáûìè ýëåìåíòàìè ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ âåðòèêàëüíûå ñòåðæåíè 1 è
2, ïîýòîìó íåîáõîäèìî íàéòè íîðìàëüíûå ñèëû â ýòèõ ñòåðæíÿõ. Ïðèìåíèì ìåòîä ñå÷åíèé. Âåðõíþþ ÷àñòü ìûñëåííî îòáðîñèì è èçîáðàçèì
îñòàâøóþñÿ. Ïîêàæåì ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ñ îòáðîøåííîé ÷àñòüþ.
Íåèçâåñòíûõ ñèë ÷åòûðå, óðàâíåíèé ñòàòèêè òðè, òî åñòü ýòî îäèí
ðàç ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìàÿ êîíñòðóêöèÿ. Åñëè áû áûëî òðè âåðòèêàëüíûõ ñòåðæíÿ, òî ñèñòåìà áûëà áû äâà ðàçà ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìàÿ è òàê äàëåå.
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè ñòàòèêè. Áóäåì èõ
ñîñòàâëÿòü òàê, ÷òîáû 𝐻𝐴 è 𝑉𝐴 íå âîøëè â óðàâíåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì
ìû ëèøàåìñÿ äâóõ óðàâíåíèé, íî è äâóõ íåèçâåñòíûõ è îñòà¼òñÿ òîëüêî
îäíî óðàâíåíèå
𝑁1 · 𝑏 + 𝑁2 · 𝑐 − 𝐹 · 𝑎 = 0.
Ýòî óðàâíåíèå, ñ òî÷êè çðåíèÿ ñòàòèêè, ÿâëÿåòñÿ íåðàçðåøèìûì.
Íåäîñòàþùåå óðàâíåíèå ñîñòàâèì íà îñíîâàíèè çàêîíîìåðíîñòè äåôîðìàöèè êîíñòðóêöèè, âûðàçèâ êîòîðóþ ìàòåìàòè÷åñêè, ïîëó÷èì äîïîëíèòåëüíîå óðàâíåíèå. Çàêîíîìåðíîñòü äåôîðìàöèé â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ãîðèçîíòàëüíûé áðóñ íå äåôîðìèðóåòñÿ. Ïîñëå íàãðóæåíèÿ ãîðèçîíòàëüíûé áðóñ îñòà¼òñÿ ïðÿìûì ýòî
çàêîíîìåðíîñòü äåôîðìàöèè äàííîé êîíñòðóêöèè (ðèñ. 2.11).
Âåðòèêàëüíûå ñòåðæåíè íå òîëüêî óäëèíÿþòñÿ, íî è ïîâîðà÷èâàþòñÿ,
íî ýòè ïîâîðîòû ÷åðåçâû÷àéíî ìàëû è èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Àáñîëþòíûå óäëèíåíèÿ âåðòèêàëüíûõ ñòåðæíåé ÿâëÿþòñÿ êàòåòàìè
ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ, ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü
𝑏
∆𝑙1
=
∆𝑙2
𝑐
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
22
Ðèñ. 2.11. Èññëåäîâàíèå çàêîíîìåðíîñòè äåôîðìàöèé
ýòî ìàòåìàòè÷åñêîå âûðàæåíèå çàêîíîìåðíîñòè äåôîðìàöèè êîíñòðóêöèè, à ïî ñóùåñòâó íåäîñòàþùåå âòîðîå óðàâíåíèå.
Íåîáõîäèìî ïåðåéòè îò óäëèíåíèé ê óñèëèÿì. Âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì
Ãóêà
𝑁2 · 𝑙
𝑁1 · 𝑙
,
∆𝑙2 =
.
∆𝑙1 =
𝐸1 · 𝐴1
𝐸2 · 𝐴2
Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ñòåðæíè èçãîòîâëåíû èç ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ è
èìåþò ðàçëè÷íûå ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Ïîäñòàâèì óäëèíåíèÿ
âî âòîðîå óðàâíåíèå
𝑏
𝑁1 · 𝐸2 · 𝐴2
= .
𝑁2 · 𝐸1 · 𝐴1
𝑐
Ýòî óðàâíåíèå ïåðåìåùåíèé èëè óðàâíåíèå ñîâìåñòíîñòè äåôîðìàöèé.
Îíî âûðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî ãîðèçîíòàëüíûé áðóñ íå äåôîðìèðóåòñÿ.
Òåïåðü èìååì äâà íåèçâåñòíûõ è äâà óðàâíåíèÿ. Ðåøàåì èõ ñîâìåñòíî
è ïîñëå ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
𝑁1 =
𝑏+
𝑐2
𝑏
𝑎
·
𝐸2 ·𝐴2
𝐸1 ·𝐴1
· 𝐹,
𝑁2 =
𝑐+
𝑏2
𝑐
𝑎
·
𝐸1 ·𝐴1
𝐸2 ·𝐴2
· 𝐹.
Íåîáõîäèìî îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî âíóòðåííèå ñèëû ïðîïîðöèîíàëüíû âíåøíèì ñèëàì. Ýòî ðåçóëüòàò òîãî, ÷òî äëÿ ìàòåðèàëà ñïðàâåäëèâ çàêîí Ãóêà è ïåðåìåùåíèÿ ìàëû.
Èñïîëüçóÿ ïîñëåäíèå ôîðìóëû, ðàññìîòðèì îñîáåííîñòè ñîïðîòèâëåíèÿ ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûõ êîíñòðóêöèé.
1. Ïóñòü æ¼ñòêîñòü ïåðâîãî ñòåðæíÿ 𝐸1 ·𝐴1 óâåëè÷èòñÿ, òîãäà 𝑁1 òàêæå óâåëè÷èòñÿ, à 𝑁2 óìåíüøèòñÿ, ò. å. â ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûõ êîíñòðóêöèÿõ ïðè óâåëè÷åíèè æ¼ñòêîñòè êàêîãî-ëèáî ýëåìåíòà âîçðàñòàåò
íàãðóçêà íà ýòîò ýëåìåíò çà ñ÷¼ò ðàçãðóçêè äðóãèõ ýëåìåíòîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, èçìåíåíèå æ¼ñòêîñòè îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ ýëåìåíòîâ ïðèâîäèò ê ïåðåðàñïðåäåëåíèþ âíóòðåííèõ óñèëèé â ýëåìåíòàõ êîíñòðóêöèè.
 ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìûõ êîíñòðóêöèÿõ òàêîãî íå íàáëþäàåòñÿ òàì
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
23
âíóòðåííèå óñèëèÿ íå çàâèñÿò îò æ¼ñòêîñòè, à îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî ãåîìåòðèåé è ïîëîæåíèåì ýëåìåíòà â ñèñòåìå.
2.  ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûõ êîíñòðóêöèÿõ ÷àñòü ýëåìåíòîâ âñåãäà íåäîãðóæåíà. Ýòî íåæåëàòåëüíîå ÿâëåíèå. Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíò
êîíñòðóêöèè ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ çàãðóæåííûì, åñëè â ýòîì ýëåìåíòå
𝜎𝑖 = [𝜎]. Ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî äëÿ ÷àñòè ýëåìåíòîâ è íèêàêèì
ïåðåðàñïðåäåëåíèåì æ¼ñòêîñòåé íåâîçìîæíî äîáèòüñÿ ïîëíîé çàãðóçêè
âñåõ ýëåìåíòîâ. Äîêàæåì ýòî.
Ïóñòü â ðàññìîòðåííîé âûøå ñèñòåìå ñòåðæíè âûïîëíåíû èç îäíîãî
ìàòåðèàëà , òîãäà 𝐸1 = 𝐸2 = 𝐸; [𝜎1 ] = [𝜎2 ] = [𝜎].
Èç ðèñ. 2.11, âûðàæàþùåãî ñîâìåñòíîñòü äåôîðìàöèé, ñëåäóåò:
𝑐
∆𝑙2 > ∆𝑙1 â ðàç, ïîäåëèì îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà 𝑙;
𝑏
∆𝑙2
∆𝑙1 𝑐
>
â ðàç;
𝑙
𝑙
𝑏
𝑐
𝜀2 > 𝜀1 â ðàç, óìíîæèì îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà 𝐸 ;
𝑏
𝑐
𝐸 · 𝜀2 > 𝐸 · 𝜀1 â ðàç, ñëåäîâàòåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Ãóêà
𝑏
𝑐
𝑐
íàïðÿæåíèå 𝜎2 > 𝜎1 â ðàç, ò. å. íàïðÿæåíèå âî âòîðîì ñòåðæíå â ðàç
𝑏
𝑏
áîëüøå, ÷åì â ïåðâîì ñòåðæíå.
Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíîñòè ìàòåðèàëà êîíñòðóêöèè ïîëíîñòüþ íå
èñïîëüçóåòñÿ. Ýòî íåïðèÿòíàÿ îñîáåííîñòü ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûõ
ñèñòåì. Îäíàêî ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûå êîíñòðóêöèè èìåþò è áîëüøèå ïðåèìóùåñòâà îíè áîëåå íàä¼æíû (áîëüøàÿ æèâó÷åñòü äî âûõîäà èç ñòðîÿ íàèìåíåå íàãðóæåííîãî ýëåìåíòà). Ïîýòîìó ýòè ñèñòåìû
øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ íàèáîëåå îòâåòñòâåííûõ óçëîâ ìàøèí è ñîîðóæåíèé.
3.  ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûõ êîíñòðóêöèÿõ âíóòðåííèå íàïðÿæåíèÿ ìîãóò âîçíèêàòü è ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë ýòî òåìïåðàòóðíûå
è ìîíòàæíûå íàïðÿæåíèÿ.  ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìûõ êîíñòðóêöèÿõ òàêîãî íå áûâàåò.
2.6.1
Решение трёх основных задач применительно к
статически неопределимым конструкциям
1. Ïðîâåðêà ïðî÷íîñòè.
Íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü ïðî÷íîñòü êàæäîãî ýëåìåíòà. Äëÿ 𝑖-îãî ýëåìåíòà
| 𝑁 |𝑖
≤ [𝜎]𝑖 .
𝐴𝑖
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
24
Òàêóþ ïðîâåðêó íåîáõîäèìî ñäåëàòü äëÿ âñåõ 𝑛 ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèè. Åñëè óñëîâèå ïðî÷íîñòè áóäåò âûïîëíÿòüñÿ äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ ñèñòåìû, òî ðàáîòà êîíñòðóêöèè â öåëîì áóäåò áåçîïàñíîé.
2. Íàçíà÷åíèå ðàçìåðîâ ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé ýëåìåíòîâ.
Äëÿ 𝑖-îãî ýëåìåíòà
| 𝑁𝑖 |
.
𝐴𝑖 ≥
[𝜎]𝑖
Íà ïåðâûé âçãëÿä êàæåòñÿ âñ¼ ïðîñòî, îäíàêî çàäà÷à íàìíîãî ñëîæíåå, ò. ê. 𝑁𝑖 = 𝑓 (𝐴1 , 𝐴2 , . . . , 𝐴𝑛 ) åñòü ôóíêöèÿ îò ïëîùàäåé âñåõ ýëåìåíòîâ, ïîýòîìó â ÿâíîì âèäå ýòî íåðàâåíñòâî íå ðàçðåøèìî.  ñòàòè÷åñêè
íåîïðåäåëèìûõ êîíñòðóêöèÿõ ÷àñòü ýëåìåíòîâ áóäåò âñåãäà íåäîãðóæåíà. Çàäà÷à íàçíà÷åíèÿ ðàçìåðîâ ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé ýëåìåíòîâ íåîïðåäåë¼ííà, òî åñòü èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.
Íà ïðàêòèêå îáû÷íî çàäàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè èñêîìûõ ïëîùàäåé
𝐴1 : 𝐴2 : . . . : 𝐴𝑛 è çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ îïðåäåë¼ííîé. Äàëåå çàäà÷à ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ïîïûòîê.  ïåðâîé ïîïûòêå áåðóò ëþáîé ýëåìåíò 𝑖 è
| 𝑁𝑖 |
(1)
. Ïëîùàïðèìåíÿþò ê íåìó ôîðìóëó íàçíà÷åíèÿ ïëîùàäè:𝐴𝑖 ≥
[𝜎]𝑖
äè îñòàëüíûõ 𝑛 − 1 ýëåìåíòîâ îïðåäåëÿþòñÿ èç çàäàííîãî ñîîòíîøåíèÿ
ïëîùàäåé â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè. Íî îñòà¼òñÿ íåèçâåñòíûì, óäîâëåòâîðÿþòñÿ ëè óñëîâèÿ ïðî÷íîñòè â ýòèõ 𝑛 − 1 ýëåìåíòàõ. Ïîýòîìó íóæíî
ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèé ïðî÷íîñòè âî âñåõ 𝑛 − 1 ýëåìåíòàõ. Äëÿ
𝑚-îãî ýëåìåíòà
| 𝑁 |𝑚
≤ [𝜎]𝑚 .
(1)
𝐴𝑚
Åñëè äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ óäîâëåòâîðÿþòñÿ óñëîâèÿ ïðî÷íîñòè, òî çàäà÷à
çàâåðøåíà. Íî îáû÷íî ÷àñòü íåðàâåíñòâ íå óäîâëåòâîðÿåòñÿ è ïîýòîìó
ïðèõîäèòñÿ äåëàòü âòîðóþ, òðåòüþ è ò. ä. ïîïûòêè. Îäíàêî, åñëè âî âòîðîé ïîïûòêå èñõîäèòü èç íàèáîëåå íàãðóæåííîãî ñòåðæíÿ, òî ýòà ïîïûòêà áóäåò îêîí÷àòåëüíîé.
Íàèáîëåå íàãðóæåííûé ýëåìåíò èìååò íàèáîëüøåå îòíîøåíèå
⎞
⎛
| 𝑁𝑘 |
⎜ 𝐴(1) − [𝜎]𝑘 ⎟
⎟
⎜ 𝑘
,
⎜
⎟
[𝜎]𝑘
⎠
⎝
наиб
| 𝑁𝑘 |
(2)
. Ïî 𝐴𝑘 , èñ[𝜎]𝑘
(2)
(2)
(2)
ïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå ïëîùàäåé, íàõîäÿòñÿ 𝐴1 , 𝐴2 , . . . , 𝐴𝑛 . Ýòè ïëî(2)
òîãäà âòîðîå ïðèáëèæåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå 𝐴𝑘 ≥
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
25
ùàäè áóäóò îêîí÷àòåëüíûìè, òàê êàê óñëîâèÿ ïðî÷íîñòè âî âñåõ ñòåðæíÿõ áóäóò âûïîëíåíû àâòîìàòè÷åñêè.
3. Îïðåäåëåíèå ãðóçîïîäú¼ìíîñòè.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ãðóçîïîäú¼ìíîñòè çàïèøåì ôîðìóëó
| 𝑁𝑖 |≤ [𝜎]𝑖 · 𝐴𝑖 .
Èç ýòîãî óñëîâèÿ íóæíî îïðåäåëèòü äîïóñêàåìóþ ñèëó äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà. Ïîëó÷èì ñîâîêóïíîñòü 𝑛 äîïóñêàåìûõ ñèë. Çà äîïóñòèìóþ
ñèëó äëÿ âñåé êîíñòðóêöèè ïðèíèìàåòñÿ íàèìåíüøàÿ èç íèõ.
2.6.2
Монтажные напряжения в статически неопределимых системах
 ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûõ ñèñòåìàõ âíóòðåííèå ñèëû ìîãóò âîçíèêàòü äàæå ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë.
Èçîáðàçèì ñèñòåìó, ðàññìîòðåííóþ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå. Ïóñòü
âòîðîé ñòåðæåíü èçãîòîâëåí íåñêîëüêî êîðî÷å. Òàê áûâàåò âñåãäà, ò. ê.
èçãîòîâèòü äåòàëü àáñîëþòíî òî÷íî íåâîçìîæíî, çäåñü 𝛿 ìîíòàæíàÿ
íåòî÷íîñòü (ðèñ. 2.12).
Ðèñ. 2.12. Îïðåäåëåíèå ìîíòàæíûõ íàïðÿæåíèé
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñîáðàòü ñèñòåìó, íåîáõîäèìî âòîðîé ñòåðæåíü ðàñòÿíóòü, à ïåðâûé ñæàòü. Ïîñëå ñáîðêè â ýëåìåíòàõ ñèñòåìû âîçíèêíóò
âíóòðåííèå óñèëèÿ ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ.
Èçîáðàçèì ñèñòåìó ïîñëå ñáîðêè. Óñèëèÿ â ñòåðæíÿõ îïðåäåëÿþòñÿ
ìåòîäîì ñå÷åíèé. Íåîáõîäèìî ïîêàçàòü êèíåìàòè÷åñêè âîçìîæíûå íà-
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
26
ïðàâëåíèÿ ñèñòåìû ñèë. Åñëè çàðàíåå èçâåñòíî íàïðàâëåíèå ñèë (êàê â
íàøåì ñëó÷àå), òàêîå íàïðàâëåíèå è íóæíî ïîêàçàòü.
Äëÿ ðàñ÷¼òîâ íà ïðî÷íîñòü íóæíî çíàòü ñèëû 𝑁1 è 𝑁2 . Ó íàñ ÷åòûðå
íåèçâåñòíûõ è òðè óðàâíåíèÿ ñòàòèêè. Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à îäèí ðàç
ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìà. 𝐻𝐴 è 𝑉𝐴 íàñ íå èíòåðåñóþò, ïîýòîìó
−𝑁1 · 𝑏 + 𝑁2 · 𝑐 = 0,
òî åñòü èç òð¼õ óðàâíåíèé ñòàòèêè ìû èñïîëüçóåì òîëüêî îäíî ýòî
ïåðâîå óðàâíåíèå.
Óñòàíîâèì çàêîíîìåðíîñòü äåôîðìàöèé ñèñòåìû (ðèñ. 2.13): ãîðèçîíòàëüíûé áðóñ îñòà¼òñÿ ïðÿìûì è ïîñëå ñáîðêè. Èç ïîäîáèÿ äâóõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ìîæíî çàïèñàòü
𝑏
∆𝑙1
=
𝛿 − ∆𝑙2
𝑐
óðàâíåíèå ñîâìåñòíîñòè äåôîðìàöèé: îíî âûðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî ãîðèçîíòàëüíûé áðóñ îñòà¼òñÿ ïðÿìûì.
Ðèñ. 2.13. Çàêîíîìåðíîñòü äåôîðìàöèé ïðè ìîíòàæå
Ïåðåéä¼ì ê íîðìàëüíûì ñèëàì:
𝑁1 · 𝑙
𝑏
𝐸1 · 𝐴1
=
𝑁2 · 𝑙
𝑐
𝛿−
𝐸2 · 𝐴2
ýòî âòîðîå óðàâíåíèå.
Ñòðîãî ãîâîðÿ, â ïîñëåäíåé ôîðìóëå âìåñòî 𝑙 äîëæíî áûòü 𝑙 + ∆𝑙,
íî â ñîîòâåòñòâèè c ãèïîòåçîé íåèçìåííîñòè íà÷àëüíûõ ðàçìåðîâ ìû èñïîëüçóåì 𝑙.
Ðåøàÿ ñèñòåìó èç äâóõ óðàâíåíèé, íàõîäèì íîðìàëüíûå ñèëû 𝑁𝑙 è 𝑁2 ,
à çàòåì 𝜎1 è 𝜎2 . Â ñòåðæíå 1 îíè áóäóò ñæèìàþùèìè (îòðèöàòåëüíûìè),
à â ñòåðæíå 2 ðàñòÿãèâàþùèìè (ïîëîæèòåëüíûìè).
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
27
Âîçíèêàåò âîïðîñ: ïîëåçíû èëè âðåäíû ìîíòàæíûå íàïðÿæåíèÿ? Îíè
ïîëåçíû, åñëè â íàèáîëåå íàãðóæåííîì ýëåìåíòå, ñêëàäûâàÿñü ñ íàèáîëüøèìè íàïðÿæåíèÿìè îò âíåøíèõ ñèë, óìåíüøàþò ýòè íàïðÿæåíèÿ. Ýòî
ïðîèñõîäèò òîãäà, êîãäà ìîíòàæíûå íàïðÿæåíèÿ è íàèáîëüøèå íàïðÿæåíèÿ îò âíåøíèõ ñèë ðàçëè÷íû ïî çíàêó. Íî îíè ìîãóò áûòü è âðåäíû,
åñëè çíàêè ìîíòàæíûõ è íàèáîëüøèõ íàïðÿæåíèé îò âíåøíèõ ñèë ñîâïàäàþò.  ýòîì ñëó÷àå ãðóçîïîäú¼ìíîñòü êîíñòðóêöèè ñíèæàåòñÿ.
 íàøåì ñëó÷àå, åñëè âíåøíÿÿ ñèëà íàïðàâëåíà âíèç, òî ìîíòàæíûå
íàïðÿæåíèÿ âðåäíû. Åñëè áû ñòåðæåíü 2 áûë èçãîòîâëåí äëèííåå, òî
òîãäà ìîíòàæíûå íàïðÿæåíèÿ áûëè áû ïîëåçíû, ò. ê. ñóììàðíûå íàïðÿæåíèÿ â íàèáîëåå íàãðóæåííîì âòîðîì ñòåðæíå áóäóò ìåíüøå.
Íà ïðàêòèêå ðàçðàáàòûâàþòñÿ ñïåöèàëüíûå ïðè¼ìû íàâåäåíèÿ ïîëåçíûõ ìîíòàæíûõ íàïðÿæåíèé, íàïðèìåð, ïðåäâàðèòåëüíî íàïðÿæ¼ííûé
áåòîí.
2.6.3
Температурные напряжения в статически неопределимых системах
Ýòî âòîðîé ïðèìåð, êîãäà â ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûõ ñèñòåìàõ âîçíèêàþò íàïðÿæåíèÿ è ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë.
Íàïîìíèì, ÷òî ïðè òåìïåðàòóðå 𝑡1 äëèíà ñòåðæíÿ 𝑙, à ïðè òåìïåðàòóðå 𝑡2 𝑙 + ∆𝑙𝑡 , ãäå ∆𝑙𝑡 = 𝛼 · 𝑙 · (𝑡2 − 𝑡1 ) (ðèñ. 2.14); 𝛼 - êîýôôèöèåíò
ëèíåéíîãî òåìïåðàòóðíîãî ðàñøèðåíèÿ ìàòåðèàëà ñòåðæíÿ. Äëÿ ñòàëè
𝛼 = 1, 25 · 10−5 ì/(ì · 𝐾), äëÿ ìåäíûõ ñïëàâîâ 𝛼 = 1, 65 · 10−5 ì/(ì · 𝐾).
Ðèñ. 2.14. Òåìïåðàòóðíîå ðàñøèðåíèå ìàòåðèàëà
Ðàññìîòðèì ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìóþ êîíñòðóêöèþ, â êîòîðîé âîçíèêàþò òåìïåðàòóðíûå íàïðÿæåíèÿ (ðèñ. 2.15, à). Ïðè òåìïåðàòóðå 𝑡1
ñòåðæåíü âñòàâëåí áåç çàçîðà è áåç íàòÿãà â ìàññèâíîå îñíîâàíèå è æ¼ñòêî ñîåäèí¼í ñ íèì. Çàòåì òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ èçìåíèëàñü è ñòàëà 𝑡2
(ðèñ. 2.15, á). Íî ñâÿçè íå äàþò ñòåðæíþ óäëèíÿòüñÿ è â í¼ì âîçíèêíóò
òåìïåðàòóðíûå íàïðÿæåíèÿ.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíûõ ñèë ïðèìåíèì ìåòîä ñå÷åíèé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ (ðèñ. 2.15, á). Èçîáðàçèì âûðåçàííóþ ÷àñòü îò-
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
28
Ðèñ. 2.15. Îïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðíûõ íàïðÿæåíèé
äåëüíî (ðèñ. 2.15, â).
Óðàâíåíèå ñòàòèêè:
𝑁𝐴 − 𝑁𝐵 = 0;
⇒
𝑁𝐴 = 𝑁𝐵 = 𝑁.
Èìååì îäíî óðàâíåíèå ñòàòèêè è äâà íåèçâåñòíûõ, ò. å. êîíñòðóêöèÿ
îäèí ðàç ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìà.
Óñòàíîâèì çàêîíîìåðíîñòü äåôîðìàöèè: ïðè èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû
äëèíà ñòåðæíÿ íå èçìåíÿåòñÿ, òî åñòü ∆𝑙 = 0, íî ∆𝑙 = ∆𝑙𝑡 + ∆𝑙𝑁 = 0.
Ïóñòü ñòåðæåíü ñâîáîäåí è íàãðåò, òîãäà îí óäëèíÿåòñÿ, íî äëÿ òîãî, ÷òîáû ∆𝑙 = 0, íóæíî ïðèëîæèòü ñæèìàþùóþ ñèëó 𝑁 . Ðàñïèøåì
ñëàãàåìûå óäëèíåíèÿ
∆𝑙𝑡 = 𝛼 · 𝑙 · (𝑡2 − 𝑡𝑙 ),
∆𝑙𝑁 =
𝑁 ·𝑙
.
𝐸·𝐴
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ óäëèíåíèé â óðàâíåíèå äåôîðìàöèé, ïîëó÷àåì
𝛼 · 𝑙 · (𝑡2 − 𝑡𝑙 ) +
𝑁 ·𝑙
= 0,
𝐸·𝐴
îòêóäà 𝑁 = −𝐸 · 𝐴 · 𝛼 · (𝑡2 − 𝑡𝑙 ). Òåïåðü îïðåäåëÿåì òåìïåðàòóðíûå íà𝑁
ïðÿæåíèÿ 𝜎𝑡 = .
𝐴
𝜎𝑡 = −𝐸 · 𝛼 · (𝑡2 − 𝑡𝑙 )
ýòî ôîðìóëà äëÿ òåìïåðàòóðíûõ íàïðÿæåíèé.
Èç ôîðìóëû âèäíî, ÷òî òåìïåðàòóðíûå íàïðÿæåíèÿ íå çàâèñÿò îò
äëèíû ñòåðæíÿ. Ïðè íàãðåâå â ñòåðæíå âîçíèêàþò ñæèìàþùèå , à ïðè
îõëàæäåíèè ðàñòÿãèâàþùèå íàïðÿæåíèÿ.
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
29
Êàêîé ìîæåò áûòü âåëè÷èíà òåìïåðàòóðíûõ íàïðÿæåíèé? Íàïðèìåð,
ðàññìîòðèì òðàìâàéíûé ðåëüñ, êîòîðûé ìîíòèðîâàëè ëåòîì â 30∘ æàðó.
Êàêèå æå íàïðÿæåíèÿ áóäóò â í¼ì çèìîé â 30∘ ìîðîç? 𝑡1 = 30∘ ; 𝑡2 = −30∘ .
𝜎𝑡 = −2 · 105 · 1, 25 · 10−5 · (−60) = 150 ÌÏà.
Ôàêòè÷åñêè ñîåäèíåíèå ðåëüñîâ íåëüçÿ ñ÷èòàòü àáñîëþòíî æ¼ñòêèì,
ïîýòîìó íàïðÿæåíèÿ áóäóò íåñêîëüêî ìåíüøå.
Òåìïåðàòóðíûå íàïðÿæåíèÿ ìîãóò áûòü òîëüêî â ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûõ ñèñòåìàõ.  ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìûõ ñèñòåìàõ îíè íå âîçíèêàþò.
2.6.4
Расчёт статически неопределимых систем по предельным нагрузкам
Äëÿ ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûõ ñèñòåì ïðèìåíÿþòñÿ äâà ìåòîäà ðàñ÷¼òà íà ïðî÷íîñòü:
1) ðàñ÷¼ò ïî äîïóñêàåìûì íàïðÿæåíèÿì;
2) ðàñ÷¼ò ïî ïðåäåëüíûì íàãðóçêàì.
Ðàññìîòðèì ðàñ÷¼ò äâóìÿ ìåòîäàìè íà ïðèìåðå (ðèñ. 2.16 ).
Ðèñ. 2.16. Ðàñ÷¼ò íà ïðî÷íîñòü ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûõ ñèñòåì
Ïóñòü 𝑐 = 2 · 𝑏 äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî ñîïîñòàâèòü äâà ìåòîäà.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî 𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴, à ìàòåðèàë ñòåðæíåé îäèíàêîâûé, òî
åñòü 𝐸1 = 𝐸2 = 𝐸 , [𝜎]1 = [𝜎]2 = [𝜎].
1) Ðàñ÷¼ò ïî äîïóñêàåìûì íàïðÿæåíèÿì. Ìû óæå åãî ðàññìàòðèâàëè
âî âòîðîì ðàçäåëå äàííîãî ïàðàãðàôà, íî çäåñü áóäåò äðóãîé ïîäõîä.
Ðàñ÷¼ò ïî äîïóñêàåìûì íàïðÿæåíèÿì ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ êîíñòðóêöèé,
â êîòîðûõ îñòàòî÷íûå äåôîðìàöèè íåäîïóñòèìû, íàïðèìåð, ëîïàòêè ãàçîâûõ òóðáèí.
Ôîðìóëèðîâêà ìåòîäà: при расчёте по допускаемым напряжениям
за опасные принимаются такие внешние силы, при которых хотя бы в
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
30
одном элементе появляются пластические деформации, то есть наибольшие напряжения в системе достигают предела текучести .
 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòîé ôîðìóëèðîâêîé îïàñíóþ ñèëó îáîçíà÷àåì ÷åðåç
𝐹𝐿 . Ñàìîå áîëüøîå íàïðÿæåíèå âîçíèêàåò â ñòåðæíå 2. Ïðè 𝐹 = 𝐹𝐿
íàïðÿæåíèå 𝜎2 = 𝜎т . Äàëåå íóæíî âûðàçèòü 𝜎2 ÷åðåç 𝐹 . Ðàíåå áûëî
ïîëó÷åíî
𝑎
· 𝐹,
𝑁2 =
2
𝑏 𝐸1 · 𝐴1
𝑐+ ·
𝑐 𝐸2 · 𝐴2
òîãäà
𝑎
𝑎 𝐹
𝑁2
=
· 𝐹 = 0, 4 · · ,
𝜎2 =
2
𝑏
𝐴
𝑏 𝐴
)
𝐴 · (2 · 𝑏 +
· 𝐸·𝐴
𝐸·𝐴
2·𝑏
𝑎 𝐹𝐿
𝜎т = 0, 4 · ·
,
𝑏 𝐴
𝑏
𝐹𝐿 = 2, 5 · · 𝜎т · 𝐴.
𝑎
𝐹𝐿
𝜎т
Íî 𝐹 ≤
è [𝜎] = , òîãäà
𝑛т
𝑛т
𝑏 𝜎т
·
·𝐴
𝑎 𝑛т
è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëüíîìó ñîñòîÿíèþ, ïîëó÷èì
𝐹 ≤ 2, 5 ·
[𝐹 ] = 2, 5 ·
𝑏
· [𝜎] · 𝐴.
𝑎
2) Ðàñ÷¼ò ïî ïðåäåëüíûì íàãðóçêàì
Åãî ïðèìåíÿþò äëÿ êîíñòðóêöèé, â êîòîðûõ íåêîòîðûå îñòàòî÷íûå
äåôîðìàöèè íå íàðóøàþò íîðìàëüíûå óñëîâèÿ ðàáîòû êîíñòðóêöèè, íàïðèìåð, íàñòåííûé êðîíøòåéí â öåõå, êîòîðûé ñëóæèò ñèëîâîé êîíñòðóêöèåé.
 ðàñ÷¼òàõ ïî ïðåäåëüíûì íàãðóçêàì ìàòåðèàë ñ÷èòàåòñÿ èäåàëüíî ïëàñòè÷íûì (ðèñ. 2.17). Èäåàëüíî ïëàñòè÷íûì íàçûâàåòñÿ ìàòåðèàë
ñ òàêîé äèàãðàììîé íàïðÿæåíèé (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ). Ôàêòè÷åñêàÿ äèàãðàììà ïðîõîäèò ïî ïóíêòèðíîé ëèíèè. Ýòîò ìåòîä ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ
ïëàñòè÷íûõ ìàòåðèàëîâ.
Ôîðìóëèðîâêà ìåòîäà: При расчёте по предельным нагрузкам за опасные (предельные) принимаются такие внешние силы, при которых конструкция в целом начинает течь, т.е. становится изменяемой.
Èñõîäÿ èç ýòîãî, íàéä¼ì 𝐹𝐿 . Ïðîñëåäèì çà ðàáîòîé êîíñòðóêöèè ñ ðîñòîì 𝐹 . Íàïðÿæåíèÿ äîñòèãíóò ïðåäåëà òåêó÷åñòè, â ïåðâóþ î÷åðåäü, â
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
31
Ðèñ. 2.17. Äèàãðàììà íàïðÿæåíèé èäåàëüíî ïëàñòè÷íîãî ìàòåðèàëà
ñòåðæíå 2. Ïîñëå òîãî, êàê 𝜎2 = 𝜎т , äàëüíåéøèé ðîñò ñèëû áóäåò âîñïðèíèìàòü òîëüêî ñòåðæåíü 1. Íî, òàê áóäåò äî òåõ ïîð, ïîêà íàïðÿæåíèÿ
â ñòåðæíå 1 íå äîñòèãíóò ïðåäåëà òåêó÷åñòè. Äàëüíåéøèé ðîñò ñèëû
êîíñòðóêöèÿ íå áóäåò âîñïðèíèìàòü, ò. ê. îíà ñòàëà ìåõàíèçìîì. Ýòî è
áóäåò ïðåäåëüíîå ñîñòîÿíèå ïðè ðàñ÷¼òå ïî ïðåäåëüíûì íàãðóçêàì, òî
åñòü 𝐹 = 𝐹𝐿 òîãäà, êîãäà 𝜎2 = 𝜎1 = 𝜎т (ðèñ. 2.18).
Ðèñ. 2.18. Ðàñ÷¼òû íà ïðî÷íîñòü ïî ïðåäåëüíûì íàãðóçêàì
Cîñòàâèì óðàâíåíèå ñòàòèêè â ìîìåíò äîñòèæåíèÿ ïðåäåëüíîãî ñîñòîÿíèÿ:
𝜎т · 𝐴 · 𝑏 + 𝜎т · 𝐴 · 2 · 𝑏 − 𝐹𝐿 · 𝑎 = 0.
Ýòà cèñòåìà ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìà. Íàéä¼ì 𝐹𝐿 :
𝑏
· 𝜎т · 𝐴
𝑎
îïàñíàÿ ñèëà ïðè ðàñ÷¼òå ïî ïðåäåëüíûì íàãðóçêàì.
𝐹𝐿
𝜎т
è [𝜎] =
. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè è ïðåîáðàçîâàíèé
Íî 𝐹 ≤
𝑛т
𝑛т
ïîëó÷èì:
𝑏
[𝐹 ] = 3 · · [𝜎] · 𝐴
𝑎
𝐹𝐿 = 3 ·
ГЛАВА 2.
32
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
äîïóñêàåìàÿ ñèëà ïðè ðàñ÷¼òå ïî ïðåäåëüíûì íàãðóçêàì. Ýòà ñèëà
áîëüøå, ÷åì ïðè ðàñ÷¼òå ïî äîïóñêàåìûì íàïðÿæåíèÿì.
Ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ äîïóñêàåìûõ ñèë ïîëó÷àþòñÿ òîëüêî äëÿ ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûõ ñèñòåì. Äëÿ ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìûõ ñèñòåì (ðèñ.
2.19), ðåçóëüòàòû áóäóò îäèíàêîâûìè. Ïîêàæåì ýòî.
Ðèñ. 2.19. Ñðàâíåíèå ïðåäåëüíûõ íàãðóçîê
ïî äîïóñêàåìûì íàïðÿæåíèÿì
[𝐹 ] = [𝜎] · 𝐴.
ïî ïðåäåëüíûì íàãðóçêàì
𝐹 ≤ [𝐹 ] =
𝐹т
;
𝑛т
𝐹т = 𝜎т · 𝐴;
[𝜎] =
𝜎т
;
𝑛т
[𝐹 ] = [𝜎] · 𝐴.
Ïðè ðàñ÷¼òå ïî ïðåäåëüíûì íàãðóçêàì íå îáÿçàòåëüíî èìåòü óïðóãîå ðåøåíèå ñ òåì, ÷òîáû ðàññìîòðåòü õîä ðîñòà äåôîðìàöèé. Èíîãäà
áîëåå óäîáíûì ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå âñåõ âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ ïðåäåëüíûõ ñîñòîÿíèé. Ðàñ÷¼òîì êàæäîé ñõåìû (ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìîé)
ìîæíî óñòàíîâèòü ïîðÿäîê âûõîäà ñòåðæíåé çà ïðåäåë òåêó÷åñòè.
Ïðèìåð (ðèñ. 2.20). Äàíî 𝐴1 ̸= 𝐴2 ̸= 𝐴3 ,
𝜎т1 ̸= 𝜎т2 ̸= 𝜎т3 . Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü [𝐹 ].
Ðèñ. 2.20. Âàðèàíòû ñõåì ïðåäåëüíûõ ñîñòîÿíèé
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
33
Èçîáðàæàåì âîçìîæíûå âàðèàíòû ñõåì ïðåäåëüíûõ ñîñòîÿíèé (ðèñ.
2.20, á-ã)
Èç óðàâíåíèé ñòàòèêè äëÿ êàæäîé ñõåìû îïðåäåëÿåì [𝐹 ]𝐼 , [𝐹 ]𝐼𝐼 , [𝐹 ]𝐼𝐼𝐼 .
Èç âñåõ ñõåì âåðîÿòíîé áóäåò òà, â êîòîðîé [𝐹 ] áóäåò íàèìåíüøåé. Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå è ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé ãðóçîïîäú¼ìíîñòüþ.
Òàêèì îáðàçîì, ðàñ÷¼ò ïî ïðåäåëüíûì íàãðóçêàì ïîçâîëÿåò ñïðîåêòèðîâàòü áîëåå ýêîíîìè÷íóþ ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìóþ ñèñòåìó.
2.7
Учёт собственного веса в расчётах на прочность
Íóæíî ëè ó÷èòûâàòü ñîáñòâåííûé âåñ ïðè ðàñ÷¼òå äåòàëè (ñòåðæíÿ),
èñïûòûâàþùåé öåíòðàëüíîå ðàñòÿæåíèå (ñæàòèå)? Ðàññìîòðèì íàèáîëåå òÿæ¼ëûé ñëó÷àé, êîãäà ðàñòÿãèâàþùèå ñèëû è ñèëà âåñà ñîçäàþò
íàïðÿæåíèÿ îäíîãî çíàêà (ðèñ. 2.21). Íà÷àëî êîîðäèíàò ïîìåñòèì â òî÷êå ïðèëîæåíèÿ ñèëû 𝐹 . Íàéä¼ì íîðìàëüíóþ ñèëó â ñå÷åíèè 𝑧 ìåòîäîì
ñå÷åíèé. Ïîêàæåì ñèëû, äåéñòâóþùèå íà íèæíþþ ÷àñòü:
Ðèñ. 2.21. Ðàñ÷¼òû íà ïðî÷íîñòü ñ ó÷¼òîì ñîáñòâåííîãî âåñà
𝑤(𝑧) ñèëà âåñà; 𝑁 (𝑧) íîðìàëüíàÿ ñèëà â äàííîì ñå÷åíèè 𝑧 .
𝑤(𝑧) = 𝛾 · 𝐴 · 𝑧 , ãäå 𝛾 îáú¼ìíûé âåñ (âåñ åäèíèöû îáú¼ìà).
Íèæíÿÿ ÷àñòü ïîä äåéñòâèåì âñåõ ñèë íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåññèè. Óðàâíåíèå ñòàòèêè:
𝑁 (𝑧) − 𝛾 · 𝐴 · 𝑧 − 𝐹 = 0,
îòñþäà
𝑁 (𝑧) = 𝛾 · 𝐴 · 𝑧 + 𝐹.
Îïðåäåëÿåì íàïðÿæåíèÿ
𝑁 (𝑧)
𝐹
= + 𝛾 · 𝑧.
𝐴
𝐴
Âèäíî, ÷òî íàïðÿæåíèÿ îò ñå÷åíèÿ ê ñå÷åíèþ èçìåíÿþòñÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó.
𝜎(𝑧) =
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
34
Èçîáðàçèì ýïþðó íàïðÿæåíèé, ÷òîáû îïðåäåëèòü, â êàêîì ñå÷åíèè
äåéñòâóþò íàèáîëüøèå íàïðÿæåíèÿ. Ïîñëå ïîñòðîåíèÿ ýïþðû 𝜎 ìîæíî
îòâåòèòü íà âîïðîñ ÷åìó ðàâíî íàèáîëüøåå íàïðÿæåíèå
𝜎наиб =
𝐹
+ 𝛾 · 𝑙.
𝐴
Çàïèøåì óñëîâèå ïðî÷íîñòè:
𝜎наиб ≤ [𝜎],
𝐹
+ 𝛾 · 𝑙 ≤ [𝜎].
𝐴
Ïåðåïèøåì åãî â âèäå
𝐹
≤ [𝜎] − 𝛾 · 𝑙.
𝐴
Ýòî îêîí÷àòåëüíîå óñëîâèå ïðî÷íîñòè ñ ó÷¼òîì ñîáñòâåííîãî âåñà, êîãäà
çíàê âíåøíèõ ñèë ñîâïàäàåò ñî çíàêîì ñèëû âåñà.
Êîãäà íóæíî ó÷èòûâàòü ñîáñòâåííûé âåñ? Åãî íóæíî ó÷èòûâàòü òîãäà, êîãäà íàèáîëüøåå íàïðÿæåíèå îò âåñà ñðàâíèìî ñ äîïóñêàåìûì íà𝛾·𝑙
ïðÿæåíèåì, òî åñòü åñëè
· 100% > 5%. Ýòî ìîæåò áûòü â äâóõ ñëó[𝜎]
ֈ؛.
1) Ïðè áîëüøîé äëèíå äåòàëè (áðóñà).
Ïðèìåð: ñòåðæåíü âûïîëíåí èç ñòàëè äëèíîé 𝑙 = 10 ì, 𝛾 = 78,5 êÍ/ì3 ,
[𝜎] = 160 ÌÏà.
78, 5 · 103 · 10
𝛾·𝑙
· 100% =
· 100% = 0, 491%.
[𝜎]
160 · 106
Íåñìîòðÿ íà áîëüøóþ äëèíó, ñîáñòâåííûé âåñ ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ
ïðàâîé ÷àñòè ìåíåå ÷åì íà 0, 5%.  ýòîì ñëó÷àå ñîáñòâåííûé âåñ â ðàñ÷¼òàõ íå ó÷èòûâàåòñÿ.
2) Äëÿ ìàòåðèàëîâ, ó êîòîðûõ äîïóñêàåìîå íàïðÿæåíèå ìàëî.
Ïðèìåð: êèðïè÷íàÿ êëàäêà (ðèñ. 2.22). Áóäåì ðàññìàòðèâàòü êèðïè÷íûé ñòîëá âûñîòîé 𝑙 = 10 ì, 𝛾 = 18,0 êÍ/ì3 , [𝜎] = 120 ÌÏà (êèðïè÷íàÿ
êëàäêà ìîæåò ðàáîòàòü òîëüêî íà ñæàòèå).
𝛾·𝑙
18 · 103 · 10
· 100% =
· 100% = 15%.
[𝜎]
120 · 106
Ýòî óæå ñóùåñòâåííàÿ âåëè÷èíà è ðàñ÷¼ò íåîáõîäèìî âåñòè ñ ó÷¼òîì
âåñà. Ïîýòîìó ïðè ðàñ÷¼òå íà ïðî÷íîñòü êèðïè÷íîé êëàäêè ñîáñòâåííûé
âåñ îáÿçàòåëüíî ó÷èòûâàåòñÿ.
Ïðè ðàñ÷¼òàõ íà ïðî÷íîñòü â ìàøèíîñòðîåíèè ñèëà âåñà, êàê ïðàâèëî,
íå ó÷èòûâàåòñÿ.
ГЛАВА 2.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
35
Ðèñ. 2.22. Êèðïè÷íàÿ êëàäêà
2.8
Вопросы для самопроверки
×òî òàêîå ðàñ÷¼òíàÿ ñõåìà? Äàéòå îïðåäåëåíèå ãèïîòåçû ïëîñêèõ
ñå÷åíèé. ×òî òàêîå àáñîëþòíîå è îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå (óêîðî÷åíèå)? Íàçîâèòå îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ïëàñòè÷íûõ è õðóïêèõ ìàòåðèàëîâ. Îáúÿñíèòå ôèçè÷åñêèé è ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ìîäóëÿ ïðîäîëüíîé óïðóãîñòè. ×òî òàêîå êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà, çîíû óïðóãîñòè, îáùåé
òåêó÷åñòè, óïðî÷íåíèÿ? ×òî òàêîå ïëîùàäêà òåêó÷åñòè? Êàêîå ÿâëåíèå
íàçûâàåòñÿ íàêë¼ïîì? Êàêèå çàäà÷è ðåøàþòñÿ ïðè ðàñ÷¼òàõ íà ïðî÷íîñòü? Êàêèå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìûìè è êàêèå ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûìè? ×òî òàêîå ñòåïåíü ñòàòè÷åñêîé íåîïðåäåëèìîñòè ñèñòåìû? Êàêèì îáðàçîì ðàñêðûâàåòñÿ ñòàòè÷åñêàÿ íåîïðåäåëèìîñòü?  êàêèõ ñëó÷àÿõ ïðîâîäèòñÿ ðàñ÷¼ò ïî äîïóñêàåìûì íàïðÿæåíèÿì è â êàêèõ ïî ïðåäåëüíûì íàãðóçêàì? Êàê îïðåäåëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè ïðè öåíòðàëüíîì ðàñòÿæåíèè è ñæàòèè?
Глава 3
Сдвиг
3.1
Основные понятия о сдвиге
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü êðó÷åíèå òîíêîñòåííîé òðóáêè (ðèñ. 3.1). Òðóáêà çàêðó÷èâàåòñÿ ïàðîé ñèë.
Ðèñ. 3.1. Êðó÷åíèå òîíêîñòåííîé òðóáêè
Ðàññåêàåì òðóáêó ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé å¼ îñè. Âåðõíþþ
÷àñòü îòáðàñûâàåì è ðàññìàòðèâàåì íèæíþþ ÷àñòü.
 ñå÷åíèè äåéñòâóþò òîëüêî êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ 𝜏 . Íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé â ñå÷åíèè íå áóäåò. Âûðåæåì ýëåìåíò èç ñòåíêè òðóáêè.
Ïóñòü ýòî áóäåò ýëåìåíòàðíûé êóáèê (ýëåìåíò ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïðåäåëå, êîãäà äëèíà ð¼áåð ñòðåìèòñÿ ê íóëþ).
Ïîêàæåì êóáèê è íàïðÿæåíèÿ, äåéñòâóþùèå íà íåãî. Íà íèæíåé ãðàíè êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå áóäåò òàêèì æå, êàê è íà âåðõíåé ãðàíè, íî
ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ. Íà ïåðåäíåé è çàäíåé ãðàíÿõ íàïðÿæåíèé íåò. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íà áîêîâûõ ãðàíÿõ òîæå íåò íàïðÿæåíèé, òî ýëåìåíò íå áóäåò íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåññèè. Ïîýòîìó íà áîêîâûõ
ãðàíÿõ äîëæíû áûòü êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ, ñîçäàþùèå ìîìåíò ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ.
36
ГЛАВА 3.
СДВИГ
37
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèøëè ê çàêîíó ïàðíîñòè êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé.
Èç ðèñóíêà âèäíî: касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены либо оба к ребру,
либо оба от ребра.
Ïî ñóùåñòâó ýòî çàêîíîìåðíîñòü ñòàòèêè.
Напряжённое состояние, при котором по граням четырём элемента действуют только касательные напряжения, называется чистым
сдвигом.
Áûâàåò ïðîñòî ñäâèã, êîãäà íàðàâíå ñ êàñàòåëüíûìè íàïðÿæåíèÿìè
åñòü íåáîëüøèå íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ. Íàïðèìåð, çàêë¼ïêà, ãäå íàðàâíå ñ êàñàòåëüíûìè íàïðÿæåíèÿìè åñòü íåáîëüøèå íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ.
Ïðèìåð (ðèñ. 3.2): åñëè óñëîâèå ∆ << ℎ âûïîëíÿåòñÿ, òî áóäåò ñäâèã,
à åñëè ýòî óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ êðîìå ñäâèãà áóäåò åø¼ èçãèá.
Ðèñ. 3.2. Íàãðóæåíèå, âûçûâàþùåå ñäâèã
Ðàññìîòðèì äåôîðìàöèè ïðè ñäâèãå (ðèñ. 3.3).
Ðèñ. 3.3. Äåôîðìàöèè ïðè ñäâèãå
Ïðè ñäâèãå âûñîòà ýëåìåíòà íå ìåíÿåòñÿ, òàê êàê íåò íîðìàëüíûõ
íàïðÿæåíèé. Çäåñü 𝛿 àáñîëþòíûé ñäâèã, íî îí íå ìîæåò ñëóæèòü ìåðîé
èíòåíñèâíîñòè ñäâèãà (çàâèñèò îò ðàçìåðîâ ýëåìåíòà), ïîýòîìó ââåä¼ì
îòíîñèòåëüíûé ñäâèã.
𝛿
îòíîñèòåëüíûé ñäâèã, ÿâëÿåòñÿ ìåðîé èíòåíñèâíîñòè ñäâèãà,
𝑎
𝛾 óãîë ñäâèãà,
ГЛАВА 3.
38
СДВИГ
𝛿
= tg 𝛾 ≈ 𝛾 (â ðàä) òàê êàê ïåðåìåùåíèÿ 𝛿 î÷åíü ìàëû.
𝑎
Ñëåäîâàòåëüíî, îòíîñèòåëüíûé ñäâèã ðàâåí óãëó ñäâèãà, ïîýòîìó â
äàëüíåéøåì áóäåì ãîâîðèòü: óãîë ñäâèãà èëè óãëîâàÿ äåôîðìàöèÿ.
Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé 𝜏 è 𝛾 ? Ýòîò âîïðîñ èçó÷àëñÿ îïûòíûì
ïóò¼ì, íî åãî ìîæíî ðåøèòü è òåîðåòè÷åñêè, èñõîäÿ èç çàêîíà Ãóêà.
Áûëî óñòàíîâëåíî
𝜏 = 𝐺 · 𝛾,
ãäå 𝐺 ìîäóëü ñäâèãà èëè ìîäóëü óïðóãîñòè ïðè ñäâèãå (ìîäóëü ïîïåðå÷íîé óïðóãîñòè, ìîäóëü óïðóãîñòè âòîðîãî ðîäà).
Ýòî òðåòüÿ óïðóãàÿ ïîñòîÿííàÿ ìàòåðèàëà (𝐸 , 𝜇, 𝐺). Êàêîâû çíà÷åíèÿ 𝐺? Äëÿ ñòàëè 𝐺 = 0, 8 · 105 ÌÏà (â ñðåäíåì).
Çàêîí Ãóêà ïðè ñäâèãå: óãîë ñäâèãà ïðîïîðöèîíàëåí êàñàòåëüíûì íàïðÿæåíèÿì.
Äàëåå çàïèøåì óñëîâèå ïðî÷íîñòè ïðè ñäâèãå
𝜏наиб ≤ [𝜏 ].
ãäå [𝜏 ] = (0, 5 − 0, 6)[𝜎].
3.2
Вопросы для самопроверки
×òî òàêîå ÷èñòûé ñäâèã, êàê ôîðìóëèðóåòñÿ çàêîí ïàðíîñòè êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé? Íàïèøèòå çàêîí Ãóêà ïðè ñäâèãå.  êàêèõ äåòàëÿõ
÷àùå âñåãî ðåàëèçóåòñÿ ñäâèã? Êàê îïðåäåëÿþòñÿ íàïðÿæåíèÿ ïðè ñäâèãå? ×òî òàêîå ìîäóëü óïðóãîñòè ïðè ñäâèãå è êàê åãî îïðåäåëÿþò? Êàê
ôîðìóëèðóåòñÿ çàêîí Ãóêà ïðè ñäâèãå? Êàê ðåøàþòñÿ çàäà÷è ðàñ÷¼òà íà
ïðî÷íîñòü ïðè ñäâèãå?
Глава 4
Теория напряжённого и
деформированного состояния
4.1
Основные сведения о напряжённом состоянии детали в точке
Ðàññìîòðèì äåòàëü ïðîèçâîëüíîé ôîðìû, íàãðóæåííóþ ïðîèçâîëüíîé ñàìîóðàâíîâåøåííîé ñèñòåìîé ñèë, è òî÷êó 𝐴 äåòàëè, íàïðÿæåíèÿ
â êîòîðîé íàñ èíòåðåñóþò (ðèñ. 4.1, à). ×åðåç òî÷êó 𝐴 ìîæíî ïðîâåñòè
áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñå÷åíèé, íàïðÿæåíèÿ íà êîòîðûõ, â îáùåì ñëó÷àå, ðàçëè÷íû. Ñ ïîâîðîòîì ñåêóùåé ïëîñêîñòè íàïðÿæåíèÿ ìåíÿþòñÿ
îïðåäåë¼ííûì îáðàçîì.
Ðèñ. 4.1. Íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå äåòàëè â òî÷êå
Совокупность напряжений, действующих на бесконечном множестве площадок, проходящих через данную точку нагруженной детали,
называют напряжённым состоянием детали в точке.
Èññëåäîâàòü íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå çíà÷èò ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòè,
ïîçâîëÿþùèå îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèÿ íà ëþáîé ïëîùàäêå ïî ìèíèìàëüíûì èñõîäíûì äàííûì. Â òåîðèè óïðóãîñòè äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî ìîæíî
39
40
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
ñäåëàòü, åñëè èçâåñòíû íàïðÿæåíèÿ íà òð¼õ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ
ïëîùàäêàõ. Ñëåäîâàòåëüíî, íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå äåòàëè â òî÷êå çàäà¼òñÿ íàïðÿæåíèÿìè íà òð¼õ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîùàäêàõ.
Âûáåðåì ïðàâóþ âèíòîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò è â îêðåñòíîñòè òî÷êè
𝐴 âûðåæåì áåñêîíå÷íî ìàëûé ýëåìåíò, ãðàíè êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíû
êîîðäèíàòíûì îñÿì è ïîêàæåì åãî îòäåëüíî (ðèñ. 4.1, á).
Ïîêàæåì íàïðÿæåíèÿ íà ãðàíÿõ ýëåìåíòà: 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜎𝑧 íîðìàëüíûå
íàïðÿæåíèÿ (𝜎𝑥 ⊥ 𝑦𝑧, ‖ 𝑥); 𝜏𝑥𝑦 , 𝜏𝑦𝑧 , 𝜏𝑧𝑥 , 𝜏𝑦𝑥 , 𝜏𝑧𝑦 , 𝜏𝑥𝑧 - êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ (𝜏𝑥𝑦 êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå íà ïëîùàäêå, ïåðïåíäèêóëÿðíîé
îñè 𝑥 è íàïðàâëåííîå ïàðàëëåëüíî îñè 𝑦 ).
Ýëåìåíò äîëæåí íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè, ïîýòîìó íàïðÿæåíèÿ íà
ïðîòèâîïîëîæíûõ ãðàíÿõ äîëæíû áûòü òàêèìè æå ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíûìè ïî íàïðàâëåíèþ. Òàêèì îáðàçîì, íà òð¼õ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîùàäêàõ äåéñòâóþò 9 íàïðÿæåíèé èëè 9 êîìïîíåíò
íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ äåòàëè â òî÷êå. Âûïèøåì èõ â âèäå òåíçîðà
íàïðÿæåíèé
⎡
⎤
𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
⎣𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 ⎦ .
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧
Ïî çàêîíó ïàðíîñòè êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé: 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 , 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 ,
𝜏𝑧𝑥 = 𝜏𝑥𝑧 , òî åñòü èç 9 êîìïîíåíò îñòàíåòñÿ òîëüêî 6: 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜎𝑥 , 𝜏𝑥𝑦 , 𝜏𝑦𝑧 ,
𝜏𝑧𝑥 .
Çíàÿ ýòè 6 íàïðÿæåíèé, ìîæíî îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèÿ íà ëþáîé
ïëîùàäêå, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó .
Åñëè ïëîùàäêó ïîâîðà÷èâàòü, òî íàïðÿæåíèÿ íà íåé ìåíÿþòñÿ, è
âñåãäà ìîæíî íàéòè òàêîå ïîëîæåíèå ïëîùàäêè, êîãäà êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ íà íåé ðàâíû íóëþ.
Ïëîùàäêè, íà êîòîðûõ êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ ðàâíû íóëþ, íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè, à íàïðÿæåíèÿ, äåéñòâóþùèå íà ýòèõ ïëîùàäêàõ, íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè íàïðÿæåíèÿìè.
 òåîðèè óïðóãîñòè äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè ëþáîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè èìååòñÿ êàê ìèíèìóì òðè ãëàâíûõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ
ïëîùàäêè.
Ïîêàæåì áåñêîíå÷íî ìàëûé ýëåìåíò, ãðàíè êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû
ãëàâíûì ïëîùàäêàì (ðèñ. 4.2).  ýòîì ñëó÷àå (åñëè èçâåñòíû ãëàâíûå íàïðÿæåíèÿ è ïîëîæåíèå ãëàâíûõ ïëîùàäîê), íàïðÿæåíèÿ íà ëþáîé ïëîùàäêå ìîæíî îïðåäåëèòü, èìåÿ òðè ãëàâíûõ íàïðÿæåíèÿ 𝜎1 , 𝜎2 , 𝜎3 , ïðè÷¼ì 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ 𝜎3 , òî åñòü 𝜎1 àëãåáðàè÷åñêè íàèáîëüøåå íàïðÿæåíèå
(𝜎1 = 𝜎 наиб ), à 𝜎3 àëãåáðàè÷åñêè íàèìåíüøåå íàïðÿæåíèå (𝜎3 = 𝜎 наим ).
41
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Ðèñ. 4.2. Ãëàâíûå íàïðÿæåíèÿ
Êàêèå áû ïëîùàäêè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç äàííóþ òî÷êó 𝐴. ìû íå ðàññìàòðèâàëè, íàïðÿæåíèÿ íà íèõ íå ìîãóò áûòü áîëüøå 𝜎1 è ìåíüøå 𝜎3 .
 ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ íåêîòîðûå èç ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé ìîãóò áûòü
ðàâíûìè íóëþ.  ñâÿçè ñ ýòèì ðàçëè÷àþò 3 âèäà íàïðÿæ¼ííûõ ñîñòîÿíèé:
Ðèñ. 4.3. Âèäû íàïðÿæ¼ííûõ ñîñòîÿíèé
I. Ëèíåéíîå íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå (ËÍÑ) (ðèñ. 4.3, à):
1) 𝜎1 ̸= 0, 𝜎2 = 𝜎3 = 0 öåíòðàëüíîå ðàñòÿæåíèå;
2) 𝜎1 = 𝜎2 = 0, 𝜎3 ̸= 0 öåíòðàëüíîå ñæàòèå.
II. Ïëîñêîå íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå (ÏÍÑ) (ðèñ. 4.3, á):
1) 𝜎1 ̸= 0, 𝜎2 ̸= 0, 𝜎3 = 0;
2) 𝜎1 ̸= 0, 𝜎2 = 0, 𝜎3 ̸= 0;
3) 𝜎1 = 0, 𝜎2 ̸= 0, 𝜎3 ̸= 0.
III. Îáú¼ìíîå íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå (ÎÍÑ) (ðèñ. 4.3, â):
𝜎1 ̸= 0, 𝜎2 ̸= 0, 𝜎3 ̸= 0.
42
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
4.2
Напряжения на произвольной площадке
при линейном напряжённом состоянии
Ðàññìîòðèì äåòàëü ïðîèçâîëüíîé ôîðìû ( ðèñ. 4.4, à). Ïóñòü õîòÿ áû
â îäíîé òî÷êå 𝐴 ýòîé äåòàëè ðåàëèçóåòñÿ ëèíåéíîå íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå.  îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè âûðåæåì áåñêîíå÷íî ìàëûé ýëåìåíò è
ïîêàæåì åãî îòäåëüíî.
Ðèñ. 4.4. Ëèíåéíîå íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå
Ïðèìåð òàêîãî íàãðóæåíèÿ áðóñ ïðè öåíòðàëüíîì ðàñòÿæåíèè èëè
ñæàòèè (ðèñ. 4.4, á). Ïîêàæåì, ÷òî ïðè öåíòðàëüíîì ðàñòÿæåíèè äåéñòâóåò ëèøü îäíî èç ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé. Âûðåæåì â îêðåñòíîñòè òî÷êè
ýëåìåíò, âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíè êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè áðóñà.
Íà ýòèõ ãðàíÿõ äåéñòâóåò òîëüêî íîðìàëüíîå íàïðÿæåíèå, êàñàòåëüíûõ
íàïðÿæåíèé íåò. Íà áîêîâûõ ãðàíÿõ íåò íè íîðìàëüíûõ, íè êàñàòåëüíûõ
íàïðÿæåíèé (ñëîè äðóã íà äðóãà íå äàâÿò), òî åñòü èìååò ìåñòî ëèíåéíîå
íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïëîùàäêó, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç äàííóþ òî÷êó . Ïîëîæåíèå ýòîé ïëîùàäêè (ðèñ. 4.4, â) îïðåäåëÿåòñÿ íîðìàëüþ 𝑛,
òî åñòü óãëîì 𝛼(𝜎 ∧ 𝜎𝛼 ). Ðàññìîòðèì äåéñòâèå âåðõíåé ÷àñòè ýëåìåíòà íà
íèæíþþ. Ââ¼äåì ñëåäóþùåå ïðàâèëî çíàêîâ äëÿ óãëà 𝛼: ïðè ïîâîðîòå
ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè óãîë ïîëîæèòåëüíûé, à ïðè ïîâîðîòå ïî
õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè îòðèöàòåëüíûé. Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç 𝑑𝐴 ïëîùàäü íèæíåé ãðàíè ýëåìåíòà, òî ïëîùàäü íàêëîííîé ïëîùàäêè áóäåò
ðàâíà 𝑑𝐴/𝑐𝑜𝑠𝛼.
Ïîêàæåì íîðìàëüíîå 𝜎𝛼 è êàñàòåëüíîå 𝜏𝛼 íàïðÿæåíèÿ, äåéñòâóþùèå
íà ïëîùàäêå 𝛼, è âûðàçèì èõ ÷åðåç 𝜎 . Íàïðàâèì îñü 𝑥 ïî íàïðàâëåíèþ
𝜏𝛼 , à îñü 𝑦 𝜎𝛼 è ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äëÿ íèæíåé ÷àñòè
ýëåìåíòà
∑︁
𝑦 = 𝜎𝛼
𝑑𝐴
− 𝜎𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0,
𝑐𝑜𝑠𝛼
43
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
𝜎𝛼 = 𝜎𝑐𝑜𝑠2 𝛼;
𝑑𝐴
− 𝜎𝑑𝐴𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0,
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝜎
𝜏𝛼 = 𝑠𝑖𝑛2𝛼.
2
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé
íà ïðîèçâîëüíîé ïëîùàäêå ïðè ëèíåéíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè.
Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííûå ôîðìóëû.
Ôîðìóëà äëÿ íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé: 𝜎𝛼 =| 𝜎 | _íàèá = 𝜎 ïðè
𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1 èëè ïðè 𝑐𝑜𝑠𝛼 = ±1; 𝛼 = ±𝜋𝑛, ãäå 𝑛 = 0, ±1, ±2, . . . , òî
åñòü ïðè ëþáûõ 𝑛 ïîïàäàåì íà òå æå ãëàâíûå ïëîùàäêè. Ñëåäîâàòåëüíî,
íàèáîëüøèå íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ äåéñòâóþò íà ãëàâíûõ ïëîùàäêàõ.
𝜎
ïðè
Ôîðìóëà äëÿ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé äà¼ò: 𝜏𝛼 =| 𝜏 |наиб =
2
𝜋
𝜋
𝜋
± 𝜋𝑛
𝛼 =
± 𝑛, ãäå 𝑛 = 0, ±1, ±2, . . . .
𝑠𝑖𝑛2𝛼 = ±1;
2𝛼 =
2
4
2
Ñëåäîâàòåëüíî, êàêîå áû 𝑛 íå áðàëè, âñåãäà áóäåì ïîïàäàòü íà îäíó èç
ïëîùàäîê, íàêëîí¼ííûõ ê ãëàâíûì ïëîùàäêàì ïîä óãëîì 45∘ (ðèñ. 4.5).
Ñòðîãî ãîâîðÿ, | 𝜏 | наиб äåéñòâóþò ïî êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.
∑︁
𝑥 = 𝜏𝛼
Ðèñ. 4.5. Íàèáîëüøèå êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ
4.3
Напряжения на произвольной площадке
при плоском напряжённом состоянии
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíî íàãðóæåííîå òåëî (ðèñ. 4.6,à). Âûáåðåì òî÷êó , â êîòîðîé èìååò ìåñòî ïëîñêîå íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå, òî åñòü ýëåìåíò â ýòîé òî÷êå íàãðóæåí ëèøü ïî äâóì ãðàíÿì. Âûðåæåì â îêðåñòíîñòè òî÷êè ýëåìåíò, ãðàíè êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû ãëàâíûì ïëîùàäêàì,
è ïîêàæåì åãî îòäåëüíî (ðèñ. 4.6, á).
44
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Ðèñ. 4.6. Íàïðÿæåíèÿ íà ïðîèçâîëüíûõ ïëîùàäêàõ
Èçîáðàçèì ïðîèçâîëüíóþ ïëîùàäêó è íàïðÿæåíèÿ 𝜎𝛼 è 𝜏𝛼 íà íåé,
êîòîðûå íàì íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü. Îáîçíà÷èì ÷åðåç 𝛼 óãîë ìåæäó
íàèáîëüøèì èç ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé 𝜎𝐼 è íîðìàëüþ 𝑛 ê ïëîùàäêå, òîãäà
óãîë ìåæäó íàïðÿæåíèåì 𝜎𝐼𝐼 è íîðìàëüþ 𝑛 áóäåò ðàâåí 𝛼 + 90∘ .
 ñîïðîòèâëåíèè ìàòåðèàëîâ ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèíåéíûå ñèñòåìû,
ïîýòîìó íàïðÿæåíèÿ (äåôîðìàöèè, ïåðåìåùåíèÿ) îò ãðóïïû ñèë ìîæíî íàéòè êàê ñóììó íàïðÿæåíèé (äåôîðìàöèé, ïåðåìåùåíèé) îò êàæäîé ñèëû â îòäåëüíîñòè (ðèñ. 4.7). Ýòîò ïðèíöèï íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì
íåçàâèñèìîñòè äåéñòâèÿ ñèë èëè ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè.
Ðèñ. 4.7. Ñóììèðîâàíèå íàïðÿæåíèé
Ñëåäîâàòåëüíî, 𝜎𝛼 = 𝜎𝛼𝐼 + 𝜎𝛼𝐼𝐼 ,
ãäå 𝜎𝛼𝐼 = 𝜎𝐼 cos2 𝛼,
𝜎𝛼𝐼𝐼 = 𝜎𝐼𝐼 cos2 (𝛼 + 90∘ ) = 𝜎𝐼𝐼 sin2 𝛼, òîãäà
𝜎𝛼 = 𝜎𝐼 cos2 𝛼 + 𝜎𝐼𝐼 sin2 𝛼.
Àíàëîãè÷íî 𝜏𝛼 = 𝜏𝛼𝐼 +𝜏𝛼𝐼𝐼 , ãäå 𝜏𝛼𝐼 = 𝜎2𝐼 sin 2𝛼,
𝜏𝛼𝐼𝐼 = 𝜎2𝐼𝐼 sin [2(𝛼 + 90∘ )] =
− 𝜎2𝐼𝐼 · sin 2𝛼, òîãäà
𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼
· sin 2𝛼.
𝜏𝛼 =
2
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ íàïðÿæåíèé
ïðè ïîâîðîòå îò ãëàâíûõ ïëîùàäîê ïðè ïëîñêîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè.
Ïðîàíàëèçóåì ïîëó÷åííûå ôîðìóëû
| 𝜏𝛼 |наиб =
𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼
,
2
45
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
𝜋 𝜋
ïðè sin 2𝛼 = ±1, îòêóäà 𝛼 = ± + 𝑛.
4
2
Ñëåäîâàòåëüíî, íàèáîëüøèå êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ ðàâíû ïîëóñóììå ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé è äåéñòâóþò íà ïëîùàäêàõ, ðàâíîíàêëîí¼ííûõ ê ãëàâíûì (ðèñ. 4.8).
Ðèñ. 4.8. Ïîëîæåíèå ïëîùàäîê ñ íàèáîëüøèìè êàñàòåëüíûìè íàïðÿæåíèÿìè
4.4
Графический способ определения напряжений при плоском напряжённом состоянии. Круги Мора
 ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå áûëè ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé íà ïðîèçâîëüíîé ïëîùàäêå ïðè ïëîñêîì íàïðÿæ¼ííîì
ñîñòîÿíèè
𝜎𝛼 = 𝜎𝐼 cos2 𝛼 + 𝜎𝐼𝐼 sin2 𝛼;
𝜏𝛼 =
𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼
sin 2𝛼.
2
Åñëè â ýòèõ ôîðìóëàõ èñêëþ÷èòü 𝛼, òî ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü 𝜏𝛼 = 𝑓 (𝜎𝛼 ),
êîòîðàÿ â îñÿõ 𝜎, 𝜏 îòîáðàæàåò îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì íà îñè 𝜎 . Î.Õ. Ìîð
èñïîëüçîâàë ýòî îáñòîÿòåëüñòâî äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé ãðàôè÷åñêèì ñïîñîáîì. Ïðè ýòîì ìîæíî ðåøèòü äâà âèäà çàäà÷.
I çàäà÷à (ïðÿìàÿ)
Äàíî: 𝜎𝐼 , 𝜎𝐼𝐼 , 𝛼 (ðèñ. 4.9). Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü: 𝜎𝛼 , 𝜏𝛼 .
Èçëîæèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïåðàöèé, à çàòåì äîêàæåì, ÷òî îíè
ïðàâîìåðíû (ðèñ. 4.10).
Ïðîâåä¼ì îñè 𝜎, 𝜏 è îòëîæèì îòðåçêè, ðàâíûå ãëàâíûì íàïðÿæåíèÿì 𝑂𝐴 = 𝜎𝐼 , 𝑂𝐵 = 𝜎𝐼𝐼 . Íà îòðåçêå 𝐵𝐴, êàê íà äèàìåòðå, ïîñòðîèì
îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå 𝐶 . Ïîëó÷åííàÿ îêðóæíîñòü íàçûâàåòñÿ
êðóãîì Ìîðà èëè êðóãîì íàïðÿæåíèé. Ïðîâ¼äåì èç öåíòðà îêðóæíîñòè
46
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Ðèñ. 4.9. Îïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé íà ïðîèçâîëüíîé ïëîùàäêå
Ðèñ. 4.10. Ãðàôè÷åñêîå îïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé íà ïðîèçâîëüíîé ïëîùàäêå
𝐶 ðàäèóñ ïîä óãëîì 2𝛼 îò îñè 𝜎 ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè (òàê êàê
ñ÷èòàåì, ÷òî óãîë 𝛼 ïîëîæèòåëüíûé) è äîêàæåì, ÷òî êîîðäèíàòû ïîëó÷åííîé òî÷êè 𝐷𝛼 ñîîòâåòñòâóþò íàïðÿæåíèÿì íà ïëîùàäêå 𝛼.
𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 𝑂𝐴 − 𝑂𝐵
+
cos 2𝛼 =
2
2
1 + cos 2𝛼
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝛼
= 𝑂𝐴 ·
+ 𝑂𝐵 ·
= 𝜎𝐼 cos2 𝛼 + 𝜎𝐼𝐼 sin2 𝛼,
2
2
òî åñòü 𝑂𝐾𝛼 = 𝜎𝛼 .
𝑂𝐾𝛼 = 𝑂𝐶 + 𝐶𝐾𝛼 =
𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼
· sin 2𝛼,
òî åñòü
𝐾𝛼 𝐷𝛼 = 𝜏𝛼 .
2
Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî ñ ïîìîùüþ êðóãà Ìîðà ìîæíî îïðåäåëèòü
íàïðÿæåíèÿ íà ïðîèçâîëüíîé ïëîùàäêå 𝛼. Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à ðåøåíà.
Òî÷êó 𝐷𝛼 ìîæíî áûëî íàéòè òàêæå ñ ïîìîùüþ õîðäû, ïðîâåä¼ííîé
èç òî÷êè 𝐵 ïîä óãëîì 𝛼 ê îñè 𝜎 .
Ãðàôè÷åñêèé ñïîñîá Ìîðà ìåíåå òî÷íûé, ÷åì àíàëèòè÷åñêèé. Îäíàêî, ãðàôè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ïëîñêîãî íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ äåòàëè â òî÷êå ÿâëÿåòñÿ âåñüìà óäîáíîé äëÿ àíàëèçà. Âèäíî, ÷òî: 𝜎𝐼 = 𝜎наиб ,
𝐾𝛼 𝐷𝛼 = 𝐶𝐷𝛼 · sin 2𝛼 =
47
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼
𝜎𝐼𝐼 = 𝜎наим , | 𝜏𝛼 |наиб =
, ïðè÷¼ì, íàèáîëüøèå êàñàòåëüíûå íàïðÿ2
æåíèÿ äåéñòâóþò íà ïëîùàäêàõ, ðàâíîíàêëîí¼ííûõ ê ãëàâíûì ïëîùàäêàì.
Òåïåðü íàéä¼ì íà êðóãå Ìîðà òî÷êó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ïëîùàäêå 𝛽 ,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîùàäêå 𝛼, ò.å. 𝛽 = 𝛼 + 90∘ . Ïðîâåä¼ì ðàäèóñ ïîä
óãëîì 2𝛽 = 2𝛼 + 180∘ è ïîëó÷èì òî÷êó 𝐷𝛽 (𝜎𝛽 , 𝜏𝛽 = −𝜏𝛼 ).
Âàæíûé âûâîä: òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå äâóì âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûì ïëîùàäêàì, ëåæàò íà êîíöàõ îäíîãî äèàìåòðà êðóãà Ìîðà.
II çàäà÷à (îáðàòíàÿ).
Äàíî: 𝜎𝛼 , 𝜏𝛼 , 𝜎𝛽 , 𝜏𝛽 . Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü:𝜎𝐼 , 𝜎𝐼𝐼 , 𝛼0 (𝜎𝛼∧ 𝜎𝐼 ).
Ðèñ. 4.11. Ãëàâíûå ïëîùàäêè è ãëàâíûå íàïðÿæåíèÿ
Ýòà çàäà÷à èìååò äëÿ ïðàêòèêè áîëåå âàæíîå çíà÷åíèå, ÷åì ïðÿìàÿ
çàäà÷à.
Ïðîâîäèì êîîðäèíàòíûå îñè (ðèñ. 4.12) 𝜎, 𝜏 è ñòðîèì â ýòèõ îñÿõ
òî÷êè 𝐷𝛼 (𝜎𝛼 , 𝜏𝛼 ) 𝐷𝛽 (𝜎𝛽 , 𝜏𝛽 ). Òàê êàê ýòè òî÷êè ñîîòâåòñòâóþò âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíûì ïëîùàäêàì, òî îíè ëåæàò íà êîíöàõ îäíîãî äèàìåòðà
êðóãà Ìîðà. Ñîåäèíÿåì ýòè òî÷êè è îïðåäåëÿåì ïîëîæåíèå öåíòðà êðóãà
𝐶 . Èìåÿ öåíòð è äèàìåòð, ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ îêðóæíîñòü.
Çàäà÷à ðåøåíà.
𝑂𝐴 = 𝜎𝐼 , 𝑂𝐵 = 𝜎𝐼𝐼 .
Ïðîâåä¼ì õîðäó 𝐵𝐷𝛼 è ïîëó÷èì óãîë 𝛼 îò 𝜎𝐼 äî 𝜎𝛼 , à íàì íóæåí óãîë
𝛼0 îò 𝜎𝛼 äî 𝜎𝐼 . Ñëåäîâàòåëüíî, 𝛼0 = −𝛼.
Ïðîâîäèì õîðäó 𝐵𝐷𝛼′ , ãäå 𝐷𝛼′ çåðêàëüíîå îòîáðàæåíèå òî÷êè 𝐷𝛼 .
Óãîë 𝐴𝐵𝐷𝛼′ è åñòü èñêîìûé óãîë 𝛼0 .
Èñïîëüçóÿ êðóã Ìîðà, âûâåäåì àíàëèòè÷åñêèå çàâèñèìîñòè äëÿ îïðåäåëåíèÿ ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé:
√︀
𝜎𝐼 = 𝑂𝐴 = 𝑂𝐶 + 𝐶𝐷𝛼 = 𝑂𝐶 + 𝐶𝐾𝛼2 + 𝐾𝛼 𝐷𝛼2 =
√︃
𝜎𝛼 + 𝜎𝛽
𝜎𝛼 − 𝜎𝛽 2
=
+ (
) + 𝜏𝛼2 =
2
2
48
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Ðèñ. 4.12. Ãðàôè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé
1
= [(𝜎𝛼 + 𝜎𝛽 ) +
2
√︁
(𝜎𝛼 − 𝜎𝛽 )2 + 4 · 𝜏𝛼2 ].
Àíàëîãè÷íî
1
𝜎𝐼𝐼 = 𝑂𝐴 = 𝑂𝐶 − 𝐶𝐷𝛼 = [(𝜎𝛼 + 𝜎𝛽 ) −
2
√︁
(𝜎𝛼 − 𝜎𝛽 )2 + 4 · 𝜏𝛼2 ];
𝐾𝛼 𝐷𝛼
𝜏𝛼
=−
.
𝑂𝐾𝛼 − 𝑂𝐵
𝜎𝛼 − 𝜎𝐼𝐼
ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé âîçìîæíû òðè âàðèàíòà:
òîãäà 𝜎1 = 𝜎𝐼 , 𝜎2 = 𝜎𝐼𝐼 , 𝜎3 = 0;
òîãäà 𝜎1 = 𝜎𝐼 , 𝜎2 = 0, 𝜎3 = 𝜎𝐼𝐼 ;
òîãäà 𝜎1 = 0, 𝜎2 = 𝜎𝐼 , 𝜎3 = 𝜎𝐼𝐼 .
tg 𝛼0 = −
Ïðè îïðåäåëåíèè
1) 𝜎𝐼 > 0, 𝜎𝐼𝐼 > 0,
2) 𝜎𝐼 > 0, 𝜎𝐼𝐼 < 0,
3) 𝜎𝐼 < 0, 𝜎𝐼𝐼 < 0,
4.5
Напряжения на произвольной площадке
при объёмном напряжённом состоянии
Ðàññìîòðèì äåòàëü ïðîèçâîëüíîé ôîðìû, íàãðóæåííóþ óðàâíîâåøåííîé ñèñòåìîé ñèë, è òî÷êó 𝐴 äåòàëè, â êîòîðîé èìååò ìåñòî îáú¼ìíîå
íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå (ðèñ. 4.13), òî åñòü 𝜎1 ̸= 0, 𝜎2 ̸= 0, 𝜎3 ̸= 0.
Ðèñ. 4.13. Íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå äåòàëè â òî÷êå
49
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Èçîáðàçèì ýëåìåíò îòäåëüíî (ðèñ. 4.14). Ïîêàæåì ïðîèçâîëüíóþ ïëîùàäêó, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó 𝐴. Íîðìàëü 𝑛 ê ïëîùàäêå îáðàçóåò ñ
ãëàâíûìè íàïðÿæåíèÿìè óãëû 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 . Ïîêàæåì íàïðÿæåíèÿ íà ýòîé
ïëîùàäêå 𝜎𝛼 , 𝜏𝛼 .
Ðèñ. 4.14. Îïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé íà ïðîèçâîëüíûõ ïëîùàäêàõ ïðè
îáú¼ìíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè
Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåé: èçâåñòíû 𝜎1 , 𝜎2 , 𝜎3 , 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 .
Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü: 𝜎𝛼 , 𝜏𝛼 .
Âîñïîëüçóåìñÿ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè, òî åñòü ïðåäñòàâèì íàïðÿæåíèÿ íà ïðîèçâîëüíîé ïëîùàäêå êàê ñóììó íàïðÿæåíèé îò êàæäîãî
ãëàâíîãî íàïðÿæåíèÿ â îòäåëüíîñòè
𝜎𝛼 = 𝜎𝛼1 + 𝜎𝛼2 + 𝜎𝛼3 ,
ãäå 𝜎𝛼𝑖 = 𝜎𝑖 · cos2 𝛼𝑖 ,
òîãäà 𝜎𝛼 = 𝜎1 · cos2 𝛼1 + 𝜎2 · cos2 𝛼2 + 𝜎3 · cos2 𝛼3 .
Êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ, âûçâàííûå êàæäûì ãëàâíûì íàïðÿæåíèåì, ïî íàïðàâëåíèþ íå ñîâïàäàþò, ïîýòîìó íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü
âåêòîðíóþ ñóììó
𝜏 𝛼 = 𝜏 𝛼1 + 𝜏 𝛼2 + 𝜏 𝛼3 .
Ìîäóëü 𝜏𝛼 ìîæíî îïðåäåëèòü êàê
√︀
𝜏𝛼 = 𝑝2𝛼 − 𝜎𝛼2 , ãäå 𝑝2𝛼 = 𝜎12 · cos2 𝛼1 + 𝜎22 · cos2 𝛼2 + 𝜎32 · cos2 𝛼3 ,
òîãäà
𝜏𝛼 =
√︁
𝜎12 · cos2 𝛼1 + 𝜎22 · cos2 𝛼2 + 𝜎32 · cos2 𝛼3 − 𝜎𝛼2 .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðàâëåíèÿ 𝜏𝛼 â êàæäîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü êîíêðåòíóþ çàäà÷ó.
Ïðèìåð: îïðåäåëèì íàïðÿæåíèÿ íà îêòàýäðè÷åñêîé ïëîùàäêå, òî åñòü
íà ïëîùàäêå, ðàâíîíàêëîí¼ííîé ê ãëàâíûì 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = 𝛼 окт
Èç ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî cos2 𝛼1 + cos2 𝛼2 + cos2 𝛼3 = 1,
50
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
1
îòêóäà cos2 𝛼 окт = .
3
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè è âû÷èñëåíèé ïîëó÷àåì
𝜎 окт =
𝜏 окт
4.6
1
· (𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 );
3
√ √︁
2
=
· 𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1 · 𝜎2 − 𝜎2 · 𝜎3 − 𝜎3 · 𝜎1
3
Круги при Мора объёмном напряжённом
состоянии
Äëÿ îáú¼ìíîãî íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ ìîæíî òàêæå èçîáðàçèòü
êðóã Ìîðà.
Èçîáðàçèì ýëåìåíò, èñïûòûâàþùèé îáú¼ìíîå íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå, ãðàíè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè ïëîùàäêàìè. Âíà÷àëå ðàññìîòðèì íàêëîííûå ïëîùàäêè, ïàðàëëåëüíûå 𝜎1 , òî åñòü cos 𝛼1 = 0 (ðèñ.
4.15, à). Äëÿ òàêèõ ïëîùàäîê 𝜎𝛼 = 𝜎2 cos2 𝛼2 + 𝜎3 cos2 𝛼3 . Ó÷ò¼ì, ÷òî
𝛼2 + 𝛼3 = 90∘ , òîãäà cos 𝛼3 = sin 𝛼2 è
𝜎𝛼 = 𝜎2 cos2 𝛼2 + 𝜎3 sin2 𝛼2
ýòî èçâåñòíàÿ ôîðìóëà äëÿ ïëîñêîãî íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ, ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèåé êîòîðîãî áóäåò êðóã Ìîðà ìåæäó 𝜎2 è 𝜎3 .
Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàÿ ïëîùàäêè, ïàðàëëåëüíûå 𝜎2 è 𝜎3 , ïîëó÷èì
åù¼ äâà êðóãà Ìîðà (ðèñ. 4.15, á).
Ðèñ. 4.15. Ãðàôè÷åñêîå îïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé ïðè îáú¼ìíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè
Èòàê, íàêëîííûì ïëîùàäêàì, ïàðàëëåëüíûì îäíîìó èç ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé, ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè íà îäíîé èç îêðóæíîñòåé. Íî åñòü ïëîùàäêè, íå ïàðàëëåëüíûå íè îäíîìó èç ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé. Ýòèì ïëîùàäêàì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè â çàøòðèõîâàííîé îáëàñòè. Áóäåì ðàññìàò-
51
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
ðèâàòü òîëüêî âåðõíþþ ÷àñòü, ò.ê. íå îãîâîðåíî íàïðàâëåíèå êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé.
Ïðîàíàëèçèðóåì ïðåäåëû èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèé: 𝜎наиб = 𝜎1 ; 𝜎наим =
𝜎1 − 𝜎3
.
𝜎3 ; 𝜏наиб =
2
Ñëåäîâàòåëüíî, â ñëó÷àå îáú¼ìíîãî íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ íàèáîëüøèå êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ ðàâíû ïîëóðàçíîñòè êðàéíèõ ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé. Óñòàíîâèì ïëîùàäêó, íà êîòîðîé äåéñòâóþò 𝜏наиб ýòî ïëîùàäêà, ïàðàëëåëüíàÿ 𝜎2 è íàêëîí¼ííàÿ ïîä óãëîì 45∘ ê ãëàâíûì íàïðÿæåíèÿì 𝜎1 è 𝜎3 .
Òàêèì îáðàçîì, ìû íàó÷èëèñü îïðåäåëÿòü íàïðÿæåíèÿ íà ëþáûõ ïëîùàäêàõ ïðè ëèíåéíîì, ïëîñêîì è îáú¼ìíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèÿõ.
Îäíàêî, äëÿ ðàñ÷¼òîâ íà ïðî÷íîñòü è æ¼ñòêîñòü ýòîãî åù¼ íå äîñòàòî÷íî. Íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè è äåôîðìàöèÿìè, à òàêæå çàïèñàòü óñëîâèÿ ïðî÷íîñòè äëÿ îáú¼ìíîãî íàïðÿæ¼ííîãî
ñîñòîÿíèÿ.
4.7
Закон Гука при объёмном напряжённом
состоянии
Çàêîí Ãóêà óñòàíàâëèâàåò çàâèñèìîñòü ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè è äåôîðìàöèÿìè.
Ïðè ëèíåéíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè ýòà çàâèñèìîñòü áûëà óñòàíîâëåíà ïðè èçó÷åíèè öåíòðàëüíîãî ðàñòÿæåíèÿ è ñæàòèÿ (ðèñ. 4.16):
Ðèñ. 4.16. Äåôîðìàöèè ïðè ëèíåéíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè
𝜎
çàêîí Ãóêà,
𝐸
𝜎
𝜀 поп = −𝜇 · 𝜀 = −𝜇 ·
çàêîí Ïóàññîíà.
𝐸
𝜀=
52
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíî íàãðóæåííîå òåëî è òî÷êó , â êîòîðîé èìååò ìåñòî îáú¼ìíîå íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå (ðèñ. 4.17, à). Âûðåæåì â îêðåñòíîñòè òî÷êè ýëåìåíò, ãðàíè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè
ïëîùàäêàìè è îïðåäåëèì äåôîðìàöèè â íàïðàâëåíèÿõ 1, 2, 3.
Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü îáú¼ìíîå íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå êàê ñóììó òð¼õ ëèíåéíûõ è çàïèñàòü (ðèñ. 4.17, á-ã)
Ðèñ. 4.17. Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ äåôîðìàöèé
𝜀1 = 𝜀𝜎1 1 + 𝜀𝜎1 2 + 𝜀𝜎1 3 =
èëè
𝜎2
𝜎3
𝜎1
−𝜇·
−𝜇· ;
𝐸
𝐸
𝐸
𝜀1 =
1
· [𝜎1 − 𝜇 · (𝜎2 + 𝜎3 )];
𝐸
𝜀2 =
1
· [𝜎2 − 𝜇 · (𝜎3 + 𝜎1 )];
𝐸
1
· [𝜎3 − 𝜇 · (𝜎1 + 𝜎2 )].
𝐸
Ýòè óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáîáù¼ííûé çàêîí Ãóêà, çàïèñàííûé â ãëàâíûõ îñÿõ.
Îòíîñèòåëüíûå ïðîäîëüíûå äåôîðìàöèè 𝜀1 , 𝜀2 , 𝜀3 ïî íàïðàâëåíèþ
ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé íàçûâàþò ãëàâíûìè äåôîðìàöèÿìè.
𝜀1 ≥ 𝜀2 ≥ 𝜀3 , òàê êàê 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ 𝜎3 . Êðîìå òîãî 𝜀1 = 𝜀 наиб , 𝜀3 = 𝜀 наим
â àëãåáðàè÷åñêîì ñìûñëå.
Òåïåðü çàïèøåì çàêîí Ãóêà â ïðîèçâîëüíûõ îñÿõ, äëÿ ÷åãî âûðåæåì
â îêðåñòíîñòè òî÷êè ýëåìåíò, ãðàíè êîòîðîãî íå ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè
ïëîùàäêàìè (ðèñ. 4.18).
Íà ïëîùàäêàõ äåéñòâóþò 9 êîìïîíåíò íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ. Íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ âûçûâàþò òîëüêî ëèíåéíûå äåôîðìàöèè è íå âëèÿþò íà óãëîâûå. Êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ âûçûâàþò òîëüêî óãëîâûå
(ñäâèãîâûå) äåôîðìàöèè è íå âëèÿþò íà ëèíåéíûå. Òîãäà
𝜀3 =
𝜀𝑥 =
1
· [𝜎𝑥 − 𝜇 · (𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 )];
𝐸
𝛾𝑥𝑦 =
𝜏𝑥𝑦
;
𝐺
53
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Ðèñ. 4.18. Íàïðÿæåíèÿ íà ïðîèçâîëüíûõ ïëîùàäêàõ
1
𝜏𝑦𝑧
· [𝜎𝑦 − 𝜇 · (𝜎𝑧 + 𝜎𝑥 )];
𝛾𝑦𝑧 =
;
𝐸
𝐺
1
𝜏𝑧𝑥
𝜀𝑧 = · [𝜎𝑧 − 𝜇 · (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )];
𝛾𝑧𝑥 =
,
𝐸
𝐺
ãäå 𝛾𝑥𝑦 èçìåíåíèå ïåðâîíà÷àëüíî ïðÿìîãî óãëà ìåæäó ïðÿìûìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì x è y. Ïîêàæåì 𝛾𝑥𝑦 , äëÿ ÷åãî ðàññå÷¼ì òåëî ïëîñêîñòüþ,
ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè 𝑋𝑂𝑌 , äî è ïîñëå íàãðóæåíèÿ (ðèñ. 4.19).
𝜀𝑦 =
Ðèñ. 4.19. Ãðàôè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ óãëà ñäâèãà
4.8
Потенциальная энергия упругой деформации при объёмном напряжённом состоянии
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãîé äåôîðìàöèè ïðè öåíòðàëüíîì ðàñòÿæåíèè èëè ñæàòèè, òî åñòü â ñëó÷àå ëèíåéíîãî íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ,
îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
𝑈=
ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∆𝑙 =
𝐹 ·𝑙
.
𝐸·𝐴
𝐹2 · 𝑙
1
= · 𝐹 · ∆𝑙,
2·𝐸·𝐴
2
54
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Óäåëüíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãîé äåôîðìàöèè, òî åñòü ýíåðãèÿ, íàêîïëåííàÿ â åäèíèå îáú¼ìà, ïðè ëèíåéíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè
𝑢0 =
.
𝐹2 · 𝑙
𝜎2
𝜎·𝐸·𝜀
𝜎·𝜀
𝑈
=
=
=
=
.
𝑉
2·𝐸·𝐴·𝐴·𝑙
2·𝐸
2·𝐸
2
Ñîãëàñíî ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè, óäåëüíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
ïðè îáú¼ìíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè (ðèñ. 4.20) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà ýíåðãèé, íàêàïëèâàåìûõ â åäèíèöå îáú¼ìà ïîä äåéñòâèåì êàæäîãî èç
ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé 𝜎1 , 𝜎2 , 𝜎3 :
Ðèñ. 4.20. Îáú¼ìíîå íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå
𝑢0 =
𝜎1 · 𝜀1 𝜎2 · 𝜀2 𝜎3 · 𝜀3
1
𝜎1
𝜎2
𝜎3
+
+
= · [𝜎1 · ( − 𝜇 ·
− 𝜇 · )+
2
2
2
2
𝐸
𝐸
𝐸
𝜎2
𝜎3
𝜎1
𝜎3
𝜎1
𝜎2
−𝜇·
− 𝜇 · ) + 𝜎3 · ( − 𝜇 ·
− 𝜇 · )].
𝐸
𝐸
𝐸
𝐸
𝐸
𝐸
Ïîñëå àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì
+𝜎2 · (
1
[𝜎 2 + 𝜎22 + 𝜎32 − 2 · 𝜇 · (𝜎1 · 𝜎2 + 𝜎2 · 𝜎3 + 𝜎3 · 𝜎1 )].
2·𝐸 1
Ïîëíàÿ óäåëüíàÿ ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè ìîæåò áûòü ðàçäåëåíà íà äâå
÷àñòè:
1) 𝑢𝑣 ýíåðãèþ èçìåíåíèÿ îáú¼ìà, òî åñòü ýíåðãèþ, íàêàïëèâàåìóþ
çà ñ÷¼ò èçìåíåíèÿ îáú¼ìà ýëåìåíòàðíîãî êóáèêà ïðè ñîõðàíåíèè åãî ôîðìû;
2) 𝑢ф ýíåðãèþ èçìåíåíèÿ ôîðìû, òî åñòü ýíåðãèþ, íàêàïëèâàåìóþ
çà ñ÷¼ò èçìåíåíèÿ ôîðìû ýëåìåíòàðíîãî êóáèêà è ïðåâðàùåíèÿ åãî â
ýëåìåíòàðíûé ïàðàëëåïèïåä.
𝑢0 =
55
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Îïðåäåëèì âåëè÷èíó îáåèõ ñîñòàâëÿþùèõ óäåëüíîé ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèè. Êàê óæå áûëî ñêàçàíî, ïðè îäèíàêîâîé äåôîðìàöèè ð¼áåð ýëåìåíòàðíîãî êóáèêà , òî åñòü ïðè èçìåíåíèè òîëüêî îáú¼ìà, îòíîñèòåëüíîå
𝜎𝑚
𝜃
. Çäåñü 𝜎𝑚 ãèäðîñòàóäëèíåíèå êàæäîãî ðåáðà ðàâíî: 𝜀𝑚 = =
3
3·𝐾
𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3
. Ýòî äàâëåíèå äåéñòâóåò
òè÷åñêîå äàâëåíèå, ðàâíîå 𝜎𝑚 =
3
𝐸
íà êàæäóþ ãðàíü ýëåìåíòàðíîãî êóáèêà. 𝐾 =
ìîäóëü
3 · (1 − 2 · 𝜇2 )
îáú¼ìíîé äåôîðìàöèè. Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãèÿ èçìåíåíèÿ îáú¼ìà ðàâíà
𝑢𝑣 = 3 ·
𝜎𝑚 · 𝜀𝑚
𝜎2
(𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 )2
1−2·𝜇
= 𝑚 =
=
· (𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 )2 .
2
2·𝐾
18 · 𝐾
6·𝐸
Òîãäà ýíåðãèÿ èçìåíåíèÿ ôîðìû ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ðàçíîñòü
𝑢 ф = 𝑢0 − 𝑢𝑣 =
1
[𝜎 2 + 𝜎22 + 𝜎32 − 2 · 𝜇 · (𝜎1 · 𝜎2 + 𝜎2 · 𝜎3 + 𝜎3 · 𝜎1 )]−
2·𝐸 1
1−2·𝜇
· (𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 )2 .
6·𝐸
Ïðîèçâåäÿ àëãåáðàè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì
−
𝑢ф =
4.9
1−𝜇
· (𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1 · 𝜎2 + 𝜎2 · 𝜎3 + 𝜎3 · 𝜎1 ).
3·𝐸
Относительное изменение объёма тела
Âû÷èñëèì èçìåíåíèå îáú¼ìà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåïèïåäà ñî ñòîðîíàìè 𝑎, 𝑏, 𝑐 ïðè îáú¼ìíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè. Ãðàíè ïàðàëëåïèïåäà ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè ïëîùàäêàìè (ðèñ. 4.21). Äî äåôîðìàöèè åãî
îáú¼ì ðàâåí 𝑉 = 𝑎 · 𝑏 · 𝑐.
Ðèñ. 4.21. Îïðåäåëåíèå èçìåíåíèÿ îáú¼ìà òåëà
56
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Ïîñëå äåôîðìàöèè, âñëåäñòâèå èçìåíåíèÿ äëèíû ð¼áåð, åãî îáú¼ì
ñòàíåò:
𝑉1 = (𝑎 + ∆𝑎) · (𝑏 + ∆𝑏) · (𝑐 + ∆𝑐) = 𝑎 · 𝑏 · 𝑐 + 𝑎 · 𝑏 · ∆𝑐+
+𝑏 · 𝑐 · ∆𝑎 + 𝑐 · 𝑎 · ∆𝑏 + 𝑎 · ∆𝑏 · ∆𝑐 + 𝑏 · ∆𝑐 · ∆𝑎 + 𝑐 · ∆𝑎 · ∆𝑏 + ∆𝑎 · ∆𝑏 · ∆𝑐 =
∆𝑎 ∆𝑏 ∆𝑐
+
+
) = 𝑉 · (1 + 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 ).
= 𝑎 · 𝑏 · 𝑐 · (1 +
𝑎
𝑏
𝑐
Ïðè âû÷èñëåíèè 𝑉1 áåñêîíå÷íî ìàëûìè ñëàãàåìûìè âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïðåíåáðåãàåì.
Îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå îáú¼ìà:
𝜃=
𝑉1 − 𝑉
= 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 .
𝑉
Ïîäñòàâèâ âìåñòî 𝜀1 , 𝜀2 , 𝜀3 èõ çíà÷åíèÿ èç îáîáù¼ííîãî çàêîíà Ãóêà, ïîëó÷èì
1 − 2𝜇2
· (𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 ).
𝜃=
𝐸
Èç ïîëó÷åííûõ ôîðìóë âèäíî, ÷òî îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå îáú¼ìà
çàâèñèò ëèøü îò ñóììû ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé, à íå îò èõ ñîîòíîøåíèÿ.
Ïîýòîìó ýëåìåíòàðíûé êóáèê (èëè ïàðàëëåïèïåä) ïîëó÷èò îäíî è òî æå
èçìåíåíèå îáú¼ìà íåçàâèñèìî îò òîãî, áóäóò ëè ïî åãî ãðàíÿì äåéñòâîâàòü ðàçëè÷íûå ïî âåëè÷èíå ãëàâíûå íàïðÿæåíèÿ èëè îäèíàêîâûå íàïðÿ𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3
æåíèÿ, ðàâíûå èõ ñðåäíåàðèôìåòè÷åñêîìó çíà÷åíèþ 𝜎𝑚 =
3
ãèäðîñòàòè÷åñêîìó äàâëåíèþ.
Ñëåäîâàòåëüíî,
1 − 2𝜇2
𝜃=
· 3 · 𝜎𝑚 .
𝐸
𝐸
Îáîçíà÷àÿ
= 𝐾 ìîäóëü îáú¼ìíîé äåôîðìàöèè, ïîëó3 · (1 − 2 · 𝜇2 )
1
÷èì 𝜃 =
· 𝜎𝑚 èëè 𝜎𝑚 = 𝜃 · 𝐾 çàêîí Ãóêà ïðè îáú¼ìíîì íàïðÿæ¼ííîì
𝐾
ñîñòîÿíèè.
 ñëó÷àå, åñëè ýëåìåíòàðíûé êóáèê íàõîäèòñÿ ïîä äåéñòâèåì ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ, âñå ðåáðà êóáèêà ïîëó÷àò îäèíàêîâóþ äåôîðìà𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3
öèþ 𝜀𝑚 =
ñðåäíÿÿ ëèíåéíàÿ äåôîðìàöèÿ
3
𝜃
𝜎𝑚
𝜀𝑚 = =
.
3
3·𝐾
Ñðåäíÿÿ ëèíåéíàÿ äåôîðìàöèÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ãèäðîñòàòè÷åñêîìó äàâëåíèþ.
57
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
4.10
Теории предельных напряжённых состояний (теории прочности)
Òàê íàçûâàþò òåîðèè, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ñîñòàâèòü óñëîâèå ïðî÷íîñòè ïðè ëþáîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè.
Óñëîâèå ïðî÷íîñòè ýòî çàâèñèìîñòü ìåæäó êîìïîíåíòàìè íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ è õàðàêòåðèñòèêàìè ìàòåðèàëà, ïîçâîëÿþùàÿ äàòü
çàêëþ÷åíèå î ïðî÷íîñòè äåòàëè (òåëà).
Ïðè ëèíåéíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè (ðèñ. 4.22) óñëîâèå ïðî÷íîñòè
çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
| 𝜎 | наиб =
| 𝑁 | наиб
≤ [𝜎],
𝐴
𝜎𝐿
; 𝜎𝐿 îïàñíîå èëè ïðåäåëüíîå íàïðÿæåíèå, âûçûâàþùåå
𝑛𝐿
â äåòàëè îïàñíîå ñîñòîÿíèå; 𝑛𝐿 êîýôôèöèåíò çàïàñà ïðî÷íîñòè. Äëÿ
ïëàñòè÷íûõ ìàòåðèàëîâ 𝜎𝐿 = 𝜎т , à äëÿ õðóïêèõ 𝜎𝐿 = 𝜎в .
ãäå [𝜎] =
Ðèñ. 4.22. Ïðî÷íîñòü ïðè ëèíåéíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèì
Ïðè ëèíåéíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè îïàñíîå íàïðÿæåíèå ìîæåò
áûòü íàéäåíî îïûòíûì ïóò¼ì ïðè èñïûòàíèè îáðàçöîâ íà ðàñòÿæåíèå.
Ðàññìîòðèì äàëåå âîïðîñ î òîì, êàê ïðîèçâîäèòü ïðîâåðêó ïðî÷íîñòè
â ñëó÷àå îáú¼ìíîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ, òî åñòü êîãäà âñå òðè ãëàâíûõ íàïðÿæåíèÿ 𝜎1 , 𝜎2 , 𝜎3 îòëè÷íû îò íóëÿ (ðèñ. 4.23).  ýòîì ñëó÷àå
îïàñíîå ñîñòîÿíèå ìîæåò íàñòóïèòü ïðè ðàçëè÷íûõ âåëè÷èíàõ ãëàâíûõ
íàïðÿæåíèé â çàâèñèìîñòè îò èõ ñîîòíîøåíèÿ, òî åñòü êàæäîìó ñîîòíîøåíèþ 𝜎1 : 𝜎2 : 𝜎3 áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü ñâîè îïàñíûå âåëè÷èíû ãëàâíûõ
íàïðÿæåíèé 𝜎1𝐿 , 𝜎2𝐿 , 𝜎3𝐿 .
×òîáû íàéòè îïûòíûì ïóò¼ì îïàñíûå âåëè÷èíû ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé, ïðèøëîñü áû îñóùåñòâèòü áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ÷ðåçâû÷àéíî
ñëîæíûõ ëàáîðàòîðíûõ èñïûòàíèé ïðè ðàçëè÷íûõ ñîîòíîøåíèÿõ 𝜎1 :
𝜎2 : 𝜎3 , ïðè÷¼ì, íåêîòîðûå èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé, âîîáùå íåâîçìîæíî
58
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Ðèñ. 4.23. Ïðî÷íîñòü ïðè îáú¼ìíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèì
ïîëó÷èòü íà ñóùåñòâóþùèõ èñïûòàòåëüíûõ ìàøèíàõ. Ïî ýòèì ïðè÷èíàì îïàñíîå ñîñòîÿíèå ìàòåðèàëà ïðè îáú¼ìíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè óñòàíàâëèâàþò òåîðåòè÷åñêèì ïóò¼ì ïðè ïîìîùè òàê íàçûâàåìûõ
òåîðèé ïðî÷íîñòè.
Òåîðèåé ïðî÷íîñòè íàçûâàþò ïðåäïîëîæåíèå (ãèïîòåçó) î ïðåèìóùåñòâåííîì âëèÿíèè òîãî èëè èíîãî ôàêòîðà (êðèòåðèÿ) íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ íà ïðî÷íîñòü ìàòåðèàëà. Öåëü òåîðèé ïðî÷íîñòè çàêëþ÷àåòñÿ â
òîì, ÷òîáû, èñõîäÿ èç ðåçóëüòàòîâ ïðîñòîãî îïûòà íà ðàñòÿæåíèå è ñæàòèå, ïîëó÷èòü âîçìîæíîñòü ñóäèòü î ïðî÷íîñòè ìàòåðèàëà ïðè îáú¼ìíîì
íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè.
Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè âûäâèíóòû äåñÿòêè, äàæå ñîòíè ðàçëè÷íûõ
òåîðèé ïðî÷íîñòè, íî â ðàñ÷¼òíîé ïðàêòèêå, â îñíîâíîì, èñïîëüçóþòñÿ
òîëüêî ÷åòûðå.
4.10.1
I теория предельных напряжённых состояний
- òåîðèÿ íàèáîëüøèõ íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé (Ã. Ãàëèëåé, 1638 ã.)
Напряжённое состояние детали в точке считается безопасным, если наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение не превышает допустимого для данного материала значения, которое не зависит от типа напряжённого состояния и может быть найдено из
любого опыта.
Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ðàñ÷¼ò íåîáõîäèìî âåñòè ïî íàèáîëüøåìó ãëàâíîìó íàïðÿæåíèþ, ò. å. | 𝜎 | наиб ≤ [𝜎].
𝜎1 ≤ [𝜎] р
èëè
| 𝜎3 |≤ [𝜎] с .
I òåîðèÿ íåïëîõî ñîãëàñóåòñÿ ñ îïûòíûìè äàííûìè ëèøü â ñëó÷àå âñåñòîðîííåãî ðàñòÿæåíèÿ õðóïêèõ ìàòåðèàëîâ. Âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ
å¼ âûâîäû íå ñîãëàñóþòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ. Ïîýòîìó ýòà òåîðèÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðàêòè÷åñêè íå ïðèìåíÿåòñÿ.
59
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
4.10.2
II теория предельных напряжённых состояний
- òåîðèÿ íàèáîëüøèõ îòíîñèòåëüíûõ äåôîðìàöèé (Ìàðèîòò, 1686 ã).
Напряжённое состояние детали в точке считается безопасным, если наибольшая по абсолютной величине относительная линейная деформация не превышает допустимого для данного материала значения,
которое не зависит от типа напряжённого состояния и может быть
найдено из любого опыта.
Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ðàñ÷¼ò íåîáõîäèìî âåñòè ïî íàèáîëüøåé îòíîñèòåëüíîé äåôîðìàöèè, ò. å | 𝜀 | наиб ≤ [𝜀].
Âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè ïîëó÷àåì èç îáîáù¼ííîãî çàêîíà Ãóêà
| 𝜀 | наиб = 𝜀1 = 𝐸1 · [𝜎1 − 𝜇 · (𝜎2 + 𝜎3 )].
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûðàæåíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè ðàññìàòðèâàåì èñïûòàíèå
îáðàçöà ïðè öåíòðàëüíîì ðàñòÿæåíèè. Òîãäà 𝜎1 = 𝜎, 𝜎2 = 𝜎3 = 0. Ïîäñòà𝜎
âèâ çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé â óðàâíåíèå, ïîëó÷èì | 𝜀 | наиб ≤ , à
𝐸
[𝜎]
ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëüíîìó ñîñòîÿíèþ [𝜀] =
.
𝐸
Òîãäà óñëîâèå ïðî÷íîñòè ïî II òåîðèè ïðåäåëüíûõ íàïðÿæ¼ííûõ ñîñòîÿíèé çàïèøåòñÿ â âèäå
𝜎1 − 𝜇 · (𝜎2 + 𝜎3 ) ≤ [𝜎]
èëè
| 𝜎3 − 𝜇 · (𝜎1 + 𝜎2 ) |≤ [𝜎].
Ïðè ðàñ÷¼òå íà ïðî÷íîñòü äåòàëåé èç õðóïêèõ ìàòåðèàëîâ II-ÿ òåîðèÿ
äà¼ò ðåçóëüòàòû, óäîâëåòâîðèòåëüíî ñîãëàñóþùèåñÿ ñ îïûòíûìè äàííûìè. Äëÿ ïëàñòè÷íûõ ìàòåðèàëîâ ýòà òåîðèÿ íå ïðèìåíèìà. Íå ïîäòâåðæäàåòñÿ ýòà òåîðèÿ è ïðè âñåñòîðîííåì ñæàòèè.
4.10.3
III теория предельных напряжённых состояний
òåîðèÿ íàèáîëüøèõ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé (Êóëîí, 1773 ã).
Напряжённое состояние детали в точке считается безопасным,
если наибольшее касательное напряжение не превышает допустимого
для данного материала значения, которое не зависит от типа напряжённого состояния и может быть найдено из любого опыта.
Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ðàñ÷¼ò íåîáõîäèìî âåñòè ïî íàèáîëüøèì êàñàòåëüíûì íàïðÿæåíèÿì, òî åñòü 𝜏 наиб ≤ [𝜏 ].
Ðàññìîòðèì âûðàæåíèÿ â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà
Ëåâàÿ ÷àñòü (èç êðóãà Ìîðà ïðè îáú¼ìíîì íàïðÿæ¼ííîì ñîñòîÿíèè)
60
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
𝜎1 − 𝜎3
.
2
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûðàæåíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè ðàññìàòðèâàåì èñïûòàíèå
îáðàçöà ïðè öåíòðàëüíîì ðàñòÿæåíèè. Òîãäà 𝜎1 = 𝜎, 𝜎2 = 𝜎3 = 0. Ïîä𝜎
ñòàâèâ çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé â óðàâíåíèå, ïîëó÷èì | 𝜏 | наиб ≤ ,
2
[𝜎]
à ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëüíîìó ñîñòîÿíèþ [𝜏 ] =
. Òîãäà óñëîâèå ïðî÷íî2
ñòè ïî III òåîðèè ïðåäåëüíûõ íàïðÿæ¼ííûõ ñîñòîÿíèé çàïèøåòñÿ â âèäå
𝜏 наиб =
𝜎1 − 𝜎3 ≤ [𝜎].
III òåîðèÿ õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ îïûòíûìè äàííûìè äëÿ ïëàñòè÷íûõ
ìàòåðèàëîâ, îäèíàêîâî ñîïðîòèâëÿþùèõñÿ ðàñòÿæåíèþ è ñæàòèþ.
Äëÿ ìàòåðèàëîâ, ðàçëè÷íî ñîïðîòèâëÿþùèõñÿ ðàñòÿæåíèþ è ñæàòèþ, Ìîð (1882 ã.) ïðåäëîæèë îáîáù¼ííóþ òåîðèþ
𝜎1 − 𝐾 · 𝜎3 ≤ [𝜎],
𝜎р
ãäå 𝐾 = тс äëÿ ïëàñòè÷íûõ ìàòåðèàëîâ,
𝜎т
𝜎вр
𝐾 = с äëÿ õðóïêèõ ìàòåðèàëîâ.
𝜎в
4.10.4
IV теория предельных напряжённых состояний
òåîðèÿ îêòàýäðè÷åñêèõ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé (ýíåðãåòè÷åñêàÿ
òåîðèÿ) (Ãóáåðò, 1904 ã.).
Напряжённое состояние детали в точке считается безопасным, если октаэдрическое касательное напряжение не превышает допустимого для данного материала значения, которое не зависит от типа напряжённого состояния и может быть найдено из любого опыта.
Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå, ðàñ÷¼ò íåîáõîäèìî âåñòè ïî îêòàýäðè÷åñêèì êàñàòåëüíûì íàïðÿæåíèÿì, òî åñòü 𝜏 окт ≤ [𝜏 ].
Ðàññìîòðèì âûðàæåíèÿ â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ ýòîãî íåðàâåíñòâà.
Ëåâàÿ ÷àñòü
√ √︁
2
· 𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1 · 𝜎2 − 𝜎2 · 𝜎3 − 𝜎3 · 𝜎1 .
𝜏 окт =
3
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûðàæåíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè ðàññìàòðèâàåì èñïûòàíèå
îáðàçöà ïðè öåíòðàëüíîì ðàñòÿæåíèè. Òîãäà 𝜎1 = 𝜎, 𝜎2 = 𝜎3 = 0.
61
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Ïîäñòàâèâ
çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé â óðàâíåíèå,√ïîëó÷èì 𝜏 окт ≤
√
2
2
𝜏 , à ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëüíîìó ñîñòîÿíèþ [𝜏 ] окт =
[𝜏 ].
3
3
Òîãäà óñëîâèå ïðî÷íîñòè ïî IV òåîðèè ïðåäåëüíûõ íàïðÿæ¼ííûõ ñîñòîÿíèé çàïèøåòñÿ â âèäå
√︁
𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1 · 𝜎2 − 𝜎2 · 𝜎3 − 𝜎3 · 𝜎1 ≤ [𝜎].
IV òåîðèÿ õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ îïûòíûìè äàííûìè äëÿ ïëàñòè÷íûõ
ìàòåðèàëîâ.
Ñðàâíèâàÿ ôîðìóëû, óñòàíàâëèâàþùèå óñëîâèÿ ïðî÷íîñòè ïðè ðàçëè÷íûõ òåîðèÿõ ïðåäåëüíûõ íàïðÿæ¼ííûõ ñîñòîÿíèé, ìîæíî çàìåòèòü,
÷òî â ëåâûõ ÷àñòÿõ íåðàâåíñòâ íàõîäÿòñÿ àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ èç
ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî îáîáùèòü âñå òåîðèè è çàïèñàòü
𝜎 экв ≤ [𝜎],
ãäå
𝜎 экв𝐼 = 𝜎1 èëè | 𝜎3 |;
𝜎 экв𝐼𝐼 = 𝜎1 − 𝜇 · (𝜎2 + 𝜎3 ) èëè | 𝜎3 − 𝜇 · (𝜎1 + 𝜎2 ) |;
𝜎 экв𝐼𝐼𝐼 = 𝜎1 − 𝜎3
𝜎 экв𝐼𝑉 =
√︁
èëè 𝜎1 − 𝐾 · 𝜎3 ;
𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1 · 𝜎2 − 𝜎2 · 𝜎3 − 𝜎3 · 𝜎1 .
𝜎 экв èìååò è ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòî íàïðÿæåíèå â ðàñòÿãèâàåìîì
îáðàçöå, íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå êîòîðîãî ðàâíîîïàñíî çàäàííîìó (ðèñ.
4.24).
Ðèñ. 4.24. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýêâèâàëåíòíîãî íàïðÿæåíèÿ
Íàïðÿæ¼ííûå ñîñòîÿíèÿ íàçûâàþò ðàâíîîïàñíûìè, åñëè îíè èìåþò
îäèíàêîâûå êîýôôèöèåíòû çàïàñà ïðî÷íîñòè.
62
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Êîýôôèöèåíò çàïàñà ïðî÷íîñòè ýòî ÷èñëî, ïîêàçûâàþùåå âî ñêîëüêî ðàç íóæíî óâåëè÷èòü êîìïîíåíòû íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ (𝜎1 , 𝜎2 , 𝜎3 ),
÷òîáû îíî ñòàëî ïðåäåëüíûì.
Ïðèìåð: ðàññìîòðèì ðàñ÷¼òû íà ïðî÷íîñòü ïðè ÷èñòîì ñäâèãå (ðèñ.
4.25). Îïðåäåëèì ãëàâíûå íàïðÿæåíèÿ ãðàôè÷åñêèì ñïîñîáîì:
𝜎𝐼 = 𝜏, 𝜎𝐼𝐼 = −𝜏 .
Ðèñ. 4.25. Ýêâèâàëåíòíîå íàïðÿæåíèå ïðè ÷èñòîì ñäâèãå
𝜏,
Ïåðåõîäÿ ê îáùåé çàïèñè íàïðÿæåíèé 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ 𝜎3 , ïîëó÷èì 𝜎1 =
𝜎2 = 0, 𝜎3 = −𝜏 .
Òîãäà 𝜎 экв𝐼𝐼𝐼 = 𝜎1 − 𝜎3 = 𝜏 − (−𝜏 ) = 2 · 𝜏 ≤ [𝜎] è
[𝜎]
.
ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëüíûì âåëè÷èíàì, ïîëó÷èì [𝜏 ]𝐼𝐼𝐼 =
2
√︁
𝜎 экв𝐼𝑉 = 𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1 · 𝜎2 − 𝜎2 · 𝜎3 − 𝜎3 · 𝜎1 =
√︀
√
= 𝜏 2 + (−𝜏 2 ) − (−𝜏 ) · 𝜏 = 3 · 𝜏
[𝜎]
è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëüíûì âåëè÷èíàì, ïîëó÷èì [𝜏 ]𝐼𝑉 = √ .
3
Ïðè èçó÷åíèè òåì ¾÷èñòûé ñäâèã¿ è ¾ïîïåðå÷íûé èçãèá¿, ìû èñïîëüçîâàëè çíà÷åíèÿ [𝜏 ] ≈ (0, 5 − 0, 6) · [𝜎]. Òåïåðü ïîíÿòíî, êàê ïîëó÷åíû ýòè
çíà÷åíèÿ.
Çàêëþ÷åíèå:
1. III è IV òåîðèè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ðàñ÷¼òà äåòàëåé èç ïëàñòè÷íûõ
ìàòåðèàëîâ, à ðåçóëüòàòû îíè äàþò ðàçíûå;
2. III òåîðèÿ ìåíåå òî÷íà, òàê êàê íå ó÷èòûâàåò ñðåäíåå ãëàâíîå íàïðÿæåíèå, íî îíà èìååò ïðîñòîé âèä è ïîýòîìó ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ
ïðîåêòèðîâî÷íûõ (ïðèêèäî÷íûõ) ðàñ÷¼òîâ;
3. IV òåîðèÿ áîëåå òî÷íàÿ, áîëåå æ¼ñòêàÿ, òàê êàê ðàçìåðû äåòàëè,
îïðåäåë¼ííûå ïî ýòîé òåîðèè, áóäóò íàèìåíüøèìè.  àâèàñòðîåíèè, â
îñíîâíîì, èñïîëüçóåòñÿ IV òåîðèÿ.
63
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
4.11
Вопросы для самопроверки
×òî íàçûâàåòñÿ íàïðÿæ¼ííûì ñîñòîÿíèåì äåòàëè â òî÷êå? Êàêèå âèäû íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ â òî÷êå Âû çíàåòå? Íàçîâèòå êîìïîíåíòû
íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ â òî÷êå è ñêîëüêî èç íèõ íåçàâèñèìûõ? ×òî íàçûâàåòñÿ ãëàâíûìè îñÿìè íàïðÿæ¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ, ãëàâíûìè ïëîùàäêàìè, ãëàâíûìè íàïðÿæåíèÿìè? Íàïèøèòå âûðàæåíèÿ äëÿ ìàêñèìàëüíûõ
çíà÷åíèé êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé è óêàæèòå ïëîùàäêè èõ äåéñòâèÿ.
Êàê îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèå ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé è ïîëîæåíèå ãëàâíûõ
ïëîùàäîê? Êàêèå âû çíàåòå òåîðèè ïðåäåëüíûõ íàïðÿæ¼ííûõ ñîñòîÿíèé (òåîðèè ïðî÷íîñòè)? Äàéòå êðèòè÷åñêèé îáçîð òåîðèé ïðî÷íîñòè.
Êàê ðåøàþòñÿ çàäà÷è ðàñ÷¼òà íà ïðî÷íîñòü ïî òåîðèè íàèáîëüøèõ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé, ýíåðãåòè÷åñêîé òåîðèè?
Глава 5
Геометрические характеристики
поперечного сечения бруса
Ýòîò ðàçäåë ãåîìåòðèè èçó÷àåòñÿ â êóðñå ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ, òàê êàê ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ó÷àñòâóþò â ôîðìóëàõ ïðè
îïðåäåëåíèè íàïðÿæåíèé, ïåðåìåùåíèé, äåôîðìàöèé.
5.1
Основные понятия о геометрических характеристиках
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå áðóñà, ïðîâåä¼ì îñè 𝑥,
𝑦 ñ ïðîèçâîëüíûì íà÷àëîì êîîðäèíàò 𝑂. Âûäåëèì ýëåìåíòàðíóþ ÷àñòü
ñå÷åíèÿ 𝑑𝐴 (ðèñ. 5.1).Ðàññìîòðèì ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áðóñà, íåîáõîäèìûå ïðè èçó÷åíèè ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ.
Ðèñ. 5.1. Ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå áðóñà
Ïåðâàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà óæå âñòðå÷àëàñü:
64
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
𝐴 =
∫︀
𝑑𝐴 ïëîùàäü ñå÷åíèÿ, îíà èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðàñòÿæåíèè è
𝐴
𝑁
𝑁 ·𝑙
ñæàòèè â òàêèõ ôîðìóëàõ, êàê: 𝜎 = , ∆𝑙 =
.
𝐴
𝐸·𝐴
∫︀
𝑆𝑥 = 𝑦𝑑𝐴 ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò ïëîùàäè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî
𝐴
îñè 𝑥, ∫︀
𝑆𝑦 = 𝑥𝑑𝐴
ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò ïëîùàäè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî
𝐴
îñè 𝑦 .
Õàðàêòåðèñòèêè 𝑆𝑥 , 𝑆𝑦 èñïîëüçóþòñÿ â ôîðìóëàõ äëÿ êàñàòåëüíûõ
íàïðÿæåíèé ïðè èçãèáå è ïðè íàõîæäåíèè ïîëîæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè
ñå÷åíèÿ:
𝑆𝑥
𝑆𝑦
,
𝑦𝑐 =
.
𝐴
𝐴
∫︀
𝐽𝑥 = 𝑦 2 𝑑𝐴 îñåâîé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îñè 𝑥;
𝐴
∫︀
𝐽𝑦 = 𝑥2 𝑑𝐴 îñåâîé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îñè 𝑦 .
𝑥𝑐 =
𝐴
𝐽𝑥 , 𝐽𝑦 > 0, òàê êàê êîîðäèíàòû â êâàäðàòå. Ýòè õàðàêòåðèñòèêè
èñïîëüçóþòñÿ
â ôîðìóëàõ ïðè èçãèáå.
∫︀
𝐽𝑥𝑦 = 𝑥·𝑦𝑑𝐴 öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî
𝐴
îñåé 𝑥, 𝑦 .
 çàâèñèìîñòè îò ïîëîæåíèÿ îñåé 𝐽𝑥𝑦 ≶ 0. Ýòî âñïîìîãàòåëüíàÿ
õàðàêòåðèñòèêà, îíà â ôîðìóëàõ ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ íåïîñðåäñòâåííî íå ó÷àñòâóåò, íî ñ å¼ ïîìîùüþ îïðåäåëÿþòñÿ ãëàâíûå ìîìåíòû
èíåðöèè ∫︀ñå÷åíèÿ è ïîëîæåíèå ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè ñå÷åíèÿ.
𝐽𝑝 = 𝜌2 𝑑𝐴 ïîëÿðíûé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî íà𝐴
÷àëà êîîðäèíàò. Î÷åâèäíî, ÷òî 𝐽𝑝 > 0. Èñïîëüçóåòñÿ â ôîðìóëàõ ïðè
êðó÷åíèè.
Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó∫︀ïîëÿðíûì
ìîìåíòàìè èíåðöèè:
∫︀ è2 îñåâûìè
2
2
2
2
2
𝜌 = 𝑥 + 𝑦 , òîãäà 𝐽𝑝 = 𝜌 𝑑𝐴 = (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝐴 = 𝐽𝑥 + 𝐽𝑦 , ñëåäîâàòåëüíî,
𝐴
𝐴
𝐽𝑝 = 𝐽𝑥 + 𝐽𝑦 = 𝐽𝑥1 + 𝐽𝑦1 .
Ñëåäñòâèå èç ýòîãî ðàâåíñòâà: 𝐽𝑥 + 𝐽𝑦 = 𝐽𝑥1 + 𝐽𝑦1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Òàêèì îáðàçîì ïðè ïîâîðîòå îñåé (ðèñ. 5.2) ñóììà îñåâûõ ìîìåíòîâ
èíåðöèè íå èçìåíÿåòñÿ. Èíà÷å: ñóììà îñåâûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè ÿâëÿåòñÿ
èíâàðèàíòîì.
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
Ðèñ. 5.2. Ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå îáðàçöà
5.2
5.2.1
Моменты инерции элементарых сечений
Прямоугольник
Ïðîâåä¼ì öåíòðàëüíûå îñè 𝑥, 𝑦 , 𝐶 öåíòð òÿæåñòè ñå÷åíèÿ (ðèñ. 5.3).
Ðèñ. 5.3. Ïðÿìîóãîëüíèê
𝑑𝐴 = 𝑏 · 𝑑𝑦,
𝐽𝑥 =
∫︀
𝐴
Àíàëîãè÷íî íàõîäèì 𝐽𝑦 :
ℎ/2
∫︀
𝑏 · 𝑦3
𝑦 𝑑𝐴 =
𝑦 𝑏 · 𝑑𝑦 =
3
−ℎ/2
2
2
]︂ℎ/2
=
−ℎ/2
𝑏 · ℎ3
.
12
ℎ · 𝑏3
𝑏 · ℎ3
,
𝐽𝑦 =
.
12
12
Çàìåòèì, ÷òî 𝐽𝑥 íå èçìåíèòñÿ, åñëè ïåðåìåñòèòü âñå ïîëîñêè 𝑑𝐴 = 𝑏 ·
𝑑𝑦 ïàðàëëåëüíî îñè 𝑥. Òàêèì îáðàçîì ìîìåíò èíåðöèè ïàðàëëåëîãðàììà
îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé îñè , ïàðàëëåëüíîé îñíîâàíèþ, ðàâåí:
𝐽𝑥 =
𝐽𝑥 =
5.2.2
𝑏 · ℎ3
.
12
Круг
Ïðîâåä¼ì öåíòðàëüíûå îñè 𝑥, 𝑦 , 𝐶 öåíòð òÿæåñòè êðóãà (ðèñ. 5.4).
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
Ðèñ. 5.4. Êðóã
Âû÷èñëèì 𝐽𝑝 îòíîñèòåëüíî öåíòðà êðóãà. Âûäåëèì ýëåìåíòàðíóþ ïîëîñêó â âèäå êîëüöà òîëùèíîé 𝑑𝜌.
∫︁
𝑑𝐴 = 2·𝜋·𝜌𝑑𝜌,
𝐽𝑝 =
𝐴
]︂𝑅
∫︁𝑅
𝜋 · 𝑅4
𝜋 · 𝜌4
𝜋 · 𝐷4
3
=
𝜌 𝑑𝐴 = 2·𝜋· 𝜌 𝑑𝜌 =
=
.
2 0
2
32
2
0
𝜋 · 𝐷4
𝐽𝑝 =
.
32
Íî 𝐽𝑝 = 𝐽𝑥 + 𝐽𝑦 . Â ñèëó ñèììåòðèè 𝐽𝑥 = 𝐽𝑦 , ñëåäîâàòåëüíî
𝐽𝑥 = 𝐽𝑦 =
5.2.3
𝐽𝑝
𝜋 · 𝐷4
=
.
2
64
Кольцо
Ïðîâåä¼ì öåíòðàëüíûå îñè 𝑥, 𝑦 , 𝐶 öåíòð òÿæåñòè êîëüöà (ðèñ. 5.5)
Ðèñ. 5.5. Êîëüöî
 ýòîì ñëó÷àå ìîìåíò èíåðöèè êîëüöà ðàâåí ðàçíîñòè ìîìåíòîâ èíåðöèè áîëüøîãî êðóãà ñ äèàìåòðîì 𝐷 è ìàëîãî ñ äèàìåòðîì 𝑑. Îáîçíà÷èì
𝛼 = 𝑑/𝐷, òîãäà
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
𝐽𝑝 =
5.2.4
𝜋 · 𝐷4
(1 − 𝛼4 ),
32
𝐽 𝑥 = 𝐽𝑦 =
𝐽𝑝
𝜋 · 𝐷4
=
(1 − 𝛼4 ).
2
64
Треугольник
Ïðîâåä¼ì îñü 𝑥, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç îñíîâàíèå òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 5.6)
Ðèñ. 5.6. Òðåóãîëüíèê
Îïðåäåëèì ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè , ïðîõîäÿùèé ÷åðåç îñíîâàíèå òðåóãîëüíèêà.
𝑏(𝑦)
𝑏 · (ℎ − 𝑦)
𝑏
, îòñþäà 𝑏(𝑦) =
, òîãäà
Èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ =
ℎ
ℎ−𝑦
ℎ
∫︀ℎ
𝑏 ℎ4 ℎ4
𝑏 · ℎ3
𝑏 ∫︀ℎ 2
𝑦 · (ℎ − 𝑦) 𝑑𝑦 = ( − ) =
.
𝐽𝑥 = 𝑦 2 · 𝑏(𝑦) 𝑑𝑦 =
ℎ0
ℎ 3
4
12
0
Çàìåòèì, ÷òî ìîìåíòû èíåðöèè òðåóãîëüíèêîâ ñ îäèíàêîâûìè îñíîâàíèÿìè è âûñîòàìè îòíîñèòåëüíî îñè , ïðîõîäÿùèé ÷åðåç îñíîâàíèå,
ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
5.2.5
Прокатные профили
Äëÿ ïðîêàòíûõ ïðîôèëåé (äâóòàâð, øâåëëåð, óãîëîê) çíà÷åíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè ïðèâåäåíû â òàáëèöàõ ÃÎÑÒà.
5.3
Зависимость между моментами инерции
относительно параллельных осей, одни из
которых центральные
Öåíòðàëüíûå îñè ýòî îñè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç öåíòð òÿæåñòè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ: 𝑥, 𝑦 öåíòðàëüíûå îñè; 𝑥1 , 𝑦1 ïðîèçâîëüíûå îñè, ïà-
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
ðàëëåëüíûå öåíòðàëüíûì îñÿì 𝑥, 𝑦 . Âûäåëèì ýëåìåíòàðíóþ ïëîùàäêó
𝑑𝐴. Ïîêàæåì å¼ êîîðäèíàòû â äâóõ ñèñòåìàõ îñåé: 𝑥1 = 𝑥+𝑎, 𝑦1 = 𝑦 +𝑏,
ãäå 𝑎, 𝑏 êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè ñå÷åíèÿ â îñÿõ 𝑥1 , 𝑦1 (ðèñ. 5.7). Òîãäà
Ðèñ. 5.7. Ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå áðóñà
∫︁
𝐽𝑥1 =
𝑦12
𝐴
∫︀
∫︁
𝑑𝐴 =
2
∫︁
(𝑦+𝑏) 𝑑𝐴 =
𝐴
∫︁
2
𝑦 𝑑𝐴+2·𝑏
𝐴
𝑦 𝑑𝐴+𝑏
𝐴
2
∫︁
𝑑𝐴 = 𝐽𝑥 +𝑏2 ·𝐴,
𝐴
𝑦 𝑑𝐴 = 𝑆𝑥 = 0, ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò ïëîùàäè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî
𝐴
öåíòðàëüíîé îñè . Àíàëîãè÷íî íàõîäèòñÿ 𝐽𝑦1 , ñëåäîâàòåëüíî
𝐽𝑥1 = 𝐽𝑥 + 𝑏2 · 𝐴;
𝐽𝑦1 = 𝐽𝑦 + 𝑎2 · 𝐴.
Òàêèì îáðàçîì, осевой момент инерции относительно любой оси
равен моменту инерции относительно параллельной ей центральной
оси плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между
осями.
Ñëåäñòâèå: åñëè ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî ïàðàëëåëüíûõ îñåé, òî íàèìåíüøèì áóäåò ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé îñè.
Öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ
∫︁
∫︁
𝐽𝑥1 𝑦1 = 𝑥1 · 𝑦1 𝑑𝐴 = (𝑥 + 𝑎) · (𝑦 + 𝑏) 𝑑𝐴 =
𝐴
∫︁
𝑥 · 𝑦 𝑑𝐴 + 𝑏
=
𝐴
𝐴
∫︁
∫︁
𝑥 𝑑𝐴 + 𝑎 · 𝑏 · 𝐴 = 𝐽𝑥𝑦 + 𝑎 · 𝑏 · 𝐴.
𝑦 𝑑𝐴 + 𝑎
𝐴
𝐴
Ñëåäîâàòåëüíî, центробежный момент инерции относительно произвольных осей равен центробежному моменту инерции относительно
параллельных им и также направленных центральных осей плюс произведение площади сечения на координаты центра тяжести в той системе осей, к которой осуществлён переход.
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
5.4
Главные оси инерции и главные моменты
инерции сечения
Èçîáðàçèì ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå áðóñà è ïðîèçâîëüíûå îñè 𝑥, 𝑦 . Âûäåëèì ýëåìåíòàðíóþ ïëîùàäêó 𝑑𝐴 (ðèñ. 5.8, à) ñ êîîðäèíàòàìè 𝑥, 𝑦 .
Ðèñ. 5.8. Ñõåìà ïîâîðîòà êîîðäèíàòíûõ îñåé
Ïîâåðí¼ì îñè íà 90∘ , íàïðèìåð, ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 5.8, á).
Çàïèøåì çàâèñèìîñòü ìåæäó êîîðäèíàòàìè 𝑥1 = −𝑥; 𝑦1 = 𝑦 .
Âû÷èñëèì öåíòðîáåæíûå ìîìåíòû èíåðöèè ñå÷åíèÿ â îñÿõ 𝑥, 𝑦 è 𝑥1 , 𝑦1 ,:
∫︁
∫︁
𝑥 · 𝑦 𝑑𝐴;
𝐽𝑥𝑦 =
𝐴
∫︁
𝑥1 · 𝑦1 𝑑𝐴 =
𝐽𝑥1 𝑦1 =
𝐴
𝑦 · (−𝑥) 𝑑𝐴 = −𝐽𝑥𝑦 .
𝐴
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ïîâîðîòå îñåé íà 90∘ öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ ìåíÿåò çíàê íà îáðàòíûé.
Ïðåäñòàâèì ãðàôè÷åñêè èçìåíåíèå öåíòðîáåæíîãî ìîìåíòà èíåðöèè
â çàâèñèìîñòè îò óãëà 𝛼 (ðèñ. 5.9). Ýòà ôóíêöèÿ íåïðåðûâíàÿ (ðàçðûâîâ
íåò). Åñëè ïîâåðíóòü îñè íà óãîë 𝛼0 , òî ïîïàä¼ì íà îñè, îòíîñèòåëüíî
êîòîðûõ 𝐽𝑥𝑦 = 0.
Ðèñ. 5.9. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ 𝐽𝑥𝑦 ïðè ïîâîðîòå îñåé
Èòàê, äëÿ ëþáîãî íà÷àëà êîîðäèíàò èìååòñÿ õîòÿ áû îäíà ïàðà îñåé,
îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ ðàâåí íóëþ.
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен
нулю, называются главными осями инерции сечения, а моменты инерции относительно этих осей – главными моментами инерции сечения
(ðèñ. 5.10).
Ðèñ. 5.10. Ãëàâíûå îñè
Îáîçíà÷èì ÷åðåç 𝑥0 , 𝑦0 ãëàâíûå îñè; 𝐽𝑥0 , 𝐽𝑦0 ãëàâíûå ìîìåíòû
èíåðöèè ñå÷åíèÿ, ïðè÷¼ì 𝐽𝑥0 ≥ 𝐽𝑦0 . Äëÿ êàæäîãî íà÷àëà êîîðäèíàò ñâîè ãëàâíûå îñè.
Êàêîå çíà÷åíèå èìåþò ãëàâíûå îñè? Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ãëàâíûõ îñÿõ
ôîðìóëû äëÿ èçãèáà ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå ïðîñòûìè. Êàê îòûñêàòü ïîëîæåíèå ãëàâíûõ îñåé?
Ðàññìîòðèì ñå÷åíèå, èìåþùåå îñü ñèììåòðèè (ðèñ. 5.11). Åñëè ñå÷åíèå èìååò îñü ñèììåòðèè 𝑦 , òî îíà ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ãëàâíûõ îñåé. Äðóãàÿ ãëàâíàÿ îñü ïåðïåíäèêóëÿðíà åé. Äîêàæåì ýòî, äëÿ ÷åãî âûäåëèì
ýëåìåíòàðíûå ïëîùàäêè 𝑑𝐴1 = 𝑑𝐴2 , ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî îñè 𝑦 ,
è âû÷èñëèì öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ: 𝑥1 = −𝑥2 ; 𝑦1 =
𝑦2 ; 𝐴1 = 𝐴2 ,
Ðèñ. 5.11. Îïðåäåëåíèå ïîëîæåíèÿ ãëàâíîé îñè äëÿ ñèììåòðè÷íîãî ñå÷åíèÿ
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
𝐴2
𝐴1
𝐴
𝑥 · 𝑦 𝑑𝐴2 = 0,
(−𝑥) · 𝑦 𝑑𝐴1 +
𝑥 · 𝑦 𝑑𝐴 =
𝐽𝑥𝑦 =
∫︁
∫︁
∫︁
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
5.5
Зависимость между моментами инерции
сечения при повороте от главных осей
Èçîáðàçèì ïðîèçâîëüíîå ñå÷åíèå, ëþáîå íà÷àëî êîîðäèíàò è ïîêàæåì
ãëàâíûå îñè 𝑥0 , 𝑦0 . 𝐽𝑥0 𝑦0 = 0 (ðèñ. 5.12).
Ðèñ. 5.12. Îïðåäåëåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè ïðè ïîâîðîòå îò ãëàâíûõ îñåé
Èçâåñòíû 𝐽𝑥0 , 𝐽𝑦0 . Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü 𝐽𝑥 , 𝐽𝑦 , 𝐽𝑥𝑦 . Ïîëîæåíèå îñåé 𝑥, 𝑦 îïðåäåëÿåò óãîë 𝛼 (íà ðèñóíêå ïîêàçàí ïîëîæèòåëüíûé
óãîë). Âûäåëèì ýëåìåíò ñå÷åíèÿ 𝑑𝐴. Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó êîîðäèíàòàìè
𝑥 = 𝑥0 · 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑦0 · 𝑠𝑖𝑛𝛼;
𝑦 = 𝑦0 · 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑥0 · 𝑠𝑖𝑛𝛼.
Íàéäåì ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñåé 𝑥, 𝑦 :
∫︁
∫︁
2
𝐴
2
∫︁
(𝑦0 · 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑥0 · 𝑠𝑖𝑛𝛼) 𝑑𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ·
𝑦 𝑑𝐴 =
𝐽𝑥 =
2
𝐴
𝑦02 𝑑𝐴−
𝐴
∫︁
−2 · 𝑐𝑜𝑠𝛼 · 𝑠𝑖𝑛𝛼
2
∫︁
𝑥0 · 𝑦0 𝑑𝐴 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ·
𝐴
𝑥20 𝑑𝐴 =
𝐴
= 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 · 𝐽𝑥0 + 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 · 𝐽𝑦0 ,
òàê êàê 𝐽𝑥0 𝑦0 =
∫︀
𝐴
𝑥0 · 𝑦0 𝑑𝐴 = 0. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì 𝐽𝑦 , 𝐽𝑥𝑦 .
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
Òàêèì îáðàçîì
𝐽𝑥 = 𝐽𝑥0 · 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 + 𝐽𝑦0 · 𝑠𝑖𝑛2 𝛼,
𝐽𝑦 = 𝐽𝑦0 · 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 + 𝐽𝑥0 · 𝑠𝑖𝑛2 𝛼,
𝐽𝑥 − 𝐽𝑦0
· 𝑠𝑖𝑛2𝛼
𝐽𝑥𝑦 = 0
2
ôîðìóëû ïîâîðîòà îò ãëàâíûõ îñåé; ýòè ôîðìóëû àíàëîãè÷íû ôîðìóëàì ïîâîðîòà îò ãëàâíûõ ïëîùàäîê â òåîðèè íàïðÿæ¼ííîãî è äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ.
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà îòâå÷àåò íà âîïðîñ: ñêîëüêî æå ãëàâíûõ îñåé
èìååò ñå÷åíèå? Îäíè ãëàâíûå îñè åñòü è îíè ïîêàçàíû íà ðèñóíêå. Åñëè
åñòü äðóãèå ãëàâíûå îñè, òî ïðè ïîâîðîòå ê íèì 𝐽𝑥𝑦 îáðàòèòñÿ â íîëü.
𝐽𝑥 − 𝐽𝑦0
· 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 0. Çäåñü ìîæåò áûòü äâà ñëó÷àÿ:
Åñëè 𝐽𝑥𝑦 = 0, òî 0
2
1) 𝐽𝑥0 ̸= 𝐽𝑦0 , òîãäà 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 0, îòñþäà 2𝛼 = 𝜋 · 𝑛, ãäå 𝑛 âñå ïîëî𝜋
æèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà è íîëü. Òîãäà 𝛼 = · 𝑛, ò.å.
2
áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî êîðíåé. Åñëè îñè áóäåì ïîâîðà÷èâàòü íà óãîë,
𝜋
êðàòíûé , òî áóäåì ïîïàäàòü íà ïðåæíèå îñè, ïðàâäà èçìåíÿòñÿ íà2
ïðàâëåíèÿ îñåé, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ íå èìååò. Òàêèì îáðàçîì,
èìååòñÿ îäíà ïàðà ãëàâíûõ îñåé.
2) 𝐽𝑥0 = 𝐽𝑦0 .  ýòîì ñëó÷àå ïðîèçâåäåíèå îáðàùàåòñÿ â íîëü ïðè
ëþáîì 𝛼 è ëþáûå îñè ãëàâíûå, ò.å. èìååòñÿ áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî
ãëàâíûõ îñåé. Èç ôîðìóë, ïðèâåä¼ííûõ âûøå, ïîëó÷èì â ýòîì ñëó÷àå:
𝐽𝑥 + 𝐽𝑦 = 𝐽𝑥0 + 𝐽𝑦0 .
Ïðèìåðû òàêèõ ñå÷åíèé (ðèñ. 5.13):
Ðèñ. 5.13. Ñå÷åíèÿ, èìåþùèå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ãëàâíûõ îñåé
à) êðóãëîå, íî òîëüêî òîãäà, êîãäà íà÷àëî êîîðäèíàò íàõîäèòñÿ â öåíòðå òÿæåñòè ñå÷åíèÿ 𝐶 ;
á) êâàäðàòíîå ñå÷åíèå íà÷àëî êîîðäèíàò íàõîäèòñÿ â öåíòðå òÿæåñòè ñå÷åíèÿ 𝐶 , 𝐽𝑥0 = 𝐽𝑦0 , ñëåäîâàòåëüíî ëþáûå îñè ãëàâíûå.
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
5.6
Определение главных моментов и положения главных осей инерции сечения
Òàêàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ ïðè ðàñ÷¼òå áðóñà íà èçãèá. Âûøå áûëî ðàññìîòðåíî ðåøåíèå ïðbìåíèòåëüíî ê ñèììåòðè÷íîìó ñå÷åíèþ, à òåïåðü
ïðèâåä¼ì ðåøåíèå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñå÷åíèÿ (ðèñ. 5.14).
Ðèñ. 5.14. Îïðåäåëåíèå ãëàâíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè è ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ
îñåé
Èçâåñòíû 𝐽𝑥 , 𝐽𝑦 , 𝐽𝑥𝑦 . Ýòè õàðàêòåðèñòèêè ìîæíî îïðåäåëèòü ÷èñëåííûì ìåòîäîì, ðàçáèâ ñå÷åíèå íà îòäåëüíûå ÷àñòè, èëè ðàçáèâ ñëîæíîå
ñå÷åíèå íà ïðîñòûå ñîñòàâëÿþùèå.
Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü 𝐽𝑥0 , 𝐽𝑦0 , 𝛼0 (𝑥0 ∧ 𝑥0 ).
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ñå÷åíèå è ïðîèçâîëüíûå îñè 𝑥, 𝑦 . Ãëàâíûå
îñè, êîòîðûå ñëåäóåò íàéòè, ïîêàæåì øòðèõîâîé ëèíèåé.
Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé àíàëîãèåé ñ ôîðìóëîé äëÿ íàïðÿæåíèé.
Çàïèøåì âíà÷àëå ôîðìóëû, ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî àíàëîãèÿ ñóùåñòâóåò.
Íàïðÿæåíèÿ:
Ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ:
𝜎𝛼 = 𝜎𝐼 ·cos2 𝛼+𝜎𝐼𝐼 ·sin2 𝛼,
𝜎𝛽 = 𝜎𝐼𝐼 · cos2 𝛼 + 𝜎𝐼 · sin2 𝛼,
𝛽 = 90∘ +𝛼,
𝐽𝑥 = 𝐽𝑥0 ·cos2 𝛼+𝐽𝑦0 ·sin2 𝛼 ,
𝐽𝑦 = 𝐽𝑦0 · cos2 𝛼 + 𝐽𝑥0 · sin2 𝛼 ,
𝐽𝑥 − 𝐽𝑦0
𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼
· sin 2𝛼,
𝐽𝑥𝑦 = 0
· sin 2𝛼 .
2
2
Ñðàâíèâàåì ýòè ôîðìóëû îíè àíàëîãè÷íû. Èç ôîðìóë äëÿ íàïðÿæåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè, åñëè çàìåíèòü:
𝜎𝛼 íà 𝐽𝑥 , 𝜎𝛽 íà 𝐽𝑦 , 𝜏𝛼 íà 𝐽𝑥𝑦 , 𝜎𝐼 íà 𝐽𝑥0 , 𝜎𝐼𝐼 íà 𝐽𝑦0 .
Ïî àíàëîãèè ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ôîðìóëû:
√︁
1
2 ],
𝐽𝑥0 = 𝐽наиб = [(𝐽𝑥 + 𝐽𝑦 ) + (𝐽𝑥 − 𝐽𝑦 )2 + 4 · 𝐽𝑥𝑦
2
𝜏𝛼 =
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
√︁
1
2 ],
𝐽𝑦0 = 𝐽наим = [(𝐽𝑥 + 𝐽𝑦 ) − (𝐽𝑥 − 𝐽𝑦 )2 + 4 · 𝐽𝑥𝑦
2
𝐽𝑥𝑦
2𝐽𝑥𝑦
tg 𝛼0 = −
èëè
tg 2𝛼0 = −
.
𝐽𝑥 − 𝐽𝑦0
𝐽𝑥 − 𝐽𝑦0
Òàêèì îáðàçîì ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à ðåøåíà. Èç ïîëó÷åííûõ ôîðìóë ñëåäóåò çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî ãëàâíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè: îäèí
èç íèõ ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì, à äðóãîé íàèìåíüøèì, åñëè ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî îñåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç çàäàííîå íà÷àëî êîîðäèíàò (â
àðèôìåòè÷åñêîì ñìûñëå).
5.7
Исследование моментов инерции графическим способом
Òàê êàê ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè è ìîìåíòàìè èíåðöèè ñóùåñòâóåò àíàëîãèÿ, òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè ìîæíî èñïîëüçîâàòü êðóãè
Ìîðà.
Ðàññìîòðèì ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è. Äîêàçàòåëüñòâî ïðàâîìî÷íîñòè äåéñòâèé ìîæíî ïðîâåñòè àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ íàïðÿæåíèé.
Èçâåñòíî: 𝐽𝑥 , 𝐽𝑦 , 𝐽𝑥𝑦 . Íóæíî îïðåäåëèòü 𝐽𝑥0 , 𝐽𝑦0 , 𝛼0 (𝑥∧ 𝑥0 ). Èçîáðàçèì
ãîðèçîíòàëüíóþ 𝐽𝑥 , 𝐽𝑦 è âåðòèêàëüíóþ 𝐽𝑥𝑦 îñè. Íåîáõîäèìî îáðàòèòü
âíèìàíèå íà òî, ÷òî îñü 𝐽𝑥 , 𝐽𝑦 íå èìååò îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé. Ïîêàæåì ïðîèçâîëüíîå ñå÷åíèå ñ îñÿìè 𝑥, 𝑦 (ðèñ. 5.15).
Ðèñ. 5.15. Êðóã Ìîðà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè
Ñòðîèì òî÷êè 𝐷𝑥 (𝐽𝑥 , 𝐽𝑥𝑦 ) è 𝐷𝑦 (𝐽𝑦 , −𝐽𝑥𝑦 ). ×åòâ¼ðòîé âåëè÷èíû â ìîìåíòàõ èíåðöèè íåò, íî ó÷ò¼ì, ÷òî 𝜏𝛽 = −𝜏𝛼 . Ïóñòü 𝐽𝑥 > 𝐽𝑦 ; ýòî óñëîâèå
íåîáÿçàòåëüíî, íî äëÿ âûáðàííîãî ñå÷åíèÿ ýòî òàê.  ðàññìàòðèâàåìîì
ñëó÷àå òàêæå 𝐽𝑥𝑦 > 0. Äàëåå ñîåäèíÿåì òî÷êè 𝐷𝑥 , 𝐷𝑦 è ïîëó÷àåì öåíòð
îêðóæíîñòè 𝐶 . Çíàÿ öåíòð è ðàäèóñ 𝐶𝐷𝑥 = 𝐶𝐷𝑦 ïðîâîäèì êðóã Ìîðà
äëÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè è îïðåäåëÿåì
𝐽𝑥граф
= 𝑂𝐴,
0
𝐽𝑦граф
= 𝑂𝐵.
0
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
Äàëåå íóæíî îïðåäåëèòü óãîë 𝛼0 . Ñòðîèì òî÷êó 𝐷𝑥′ , ñèììåòðè÷íóþ
òî÷êå 𝐷𝑥 îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ. Èç òî÷êè 𝐵 ÷åðåç òî÷êó 𝐷𝑥′ ïðîâîäèì ëó÷ . Ýòî è åñòü íàïðàâëåíèå îñè 𝑥0 , îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ìîìåíò
èíåðöèè áóäåò íàèáîëüøèì.
Ïðÿìóþ çàäà÷ó ïðîðàáîòàòü ñàìîñòîÿòåëüíî. Äàíî 𝐽𝑥0 , 𝐽𝑦0 , 𝛼(𝑥0 ∧ 𝑥).
Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü 𝐽𝑥 , 𝐽𝑦 , 𝐽𝑥𝑦 .
5.8
Эллипс инерции
Ââåä¼ì íîâîå ïîíÿòèå ïîíÿòèå î ðàäèóñå èíåðöèè ñå÷åíèÿ. Èçîáðàçèì ïðîèçâîëüíîå ñå÷åíèå è ëþáóþ îñü 𝜈 (ðèñ. 5.16).
Ðèñ. 5.16. Îïðåäåëåíèå ðàäèóñà èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè
√︂
𝑖𝜈 =
𝐽𝜈
− ðàäèóñ èíåðöèè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëíî îñè 𝜈.
𝐴
Îòñþäà 𝐽𝜈 = 𝑖2𝜈 · 𝐴. Ýòà ôîðìóëà äëÿ îïðåäåëåíèÿ 𝐽𝜈 íå èñïîëüçóåòñÿ,
íî ðÿä ôîðìóë ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ, ãäå ñîêðàùàåòñÿ ïëîùàäü,
ìîæíî çàïèñàòü ïðîùå.
Çàïèøåì
√︂
√︂
𝐽𝑥0
𝐽𝑦0
𝑖 𝑥0 =
,
𝑖𝑦0 =
𝐴
𝐴
ãëàâíûå ðàäèóñû èíåðöèè ñå÷åíèÿ èëè ðàäèóñû èíåðöèè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëíî ãëàâíûõ îñåé.
Ýëëèïñîì èíåðöèè íàçûâàåòñÿ ýëëèïñ, èìåþùèé ñëåäóþùåå óðàâíåíèå â ãëàâíûõ îñÿõ (ðèñ. 5.17):
𝑥20
𝑦02
+
= 1.
𝑖2𝑦0 𝑖2𝑥0
.
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
Ðèñ. 5.17. Ýëëèïñ èíåðöèè
Ïîëóîñÿìè ýëëèïñà èíåðöèè ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûå ðàäèóñû èíåðöèè ñå÷åíèÿ, íî îíè ïîìåíÿëèñü ìåñòàìè. Èçîáðàçèì ýëëèïñ èíåðöèè äëÿ çàäàííîãî ñå÷åíèÿ.
Îá îäíîì ñâîéñòâå ýëëèïñà èíåðöèè. Ïðîâåä¼ì ïðîèçâîëüíóþ îñü 𝜈
è êàñàòåëüíóþ ê ýëëèïñó èíåðöèè, ïàðàëëåëüíóþ îñè 𝜈 . Îêàçûâàåòñÿ,
÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó êàñàòåëüíîé è îñüþ 𝜈 åñòü ðàäèóñ èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè 𝜈 , òîãäà 𝐽𝜈 = 𝑖2𝜈 · 𝐴.
Ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ýòèì ñïîñîáîì îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè íå ïîëüçóþòñÿ, òàê êàê îí ïðèáëèæ¼ííûé. Äëÿ ýòîãî
íóæíî ïîñòðîèòü ýëëèïñ èíåðöèè è çàìåðèòü 𝑖𝜈 . Îäíàêî ýëëèïñ èíåðöèè ïðèìåíÿþò äëÿ ïðèáëèæ¼ííîãî êîíòðîëÿ ðåçóëüòàòîâ îïðåäåëåíèÿ
ãëàâíûõ öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè ñå÷åíèÿ è ïîëîæåíèÿ ãëàâíûõ
öåíòðàëüíûõ îñåé. Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ â âèäå
𝑍 -îáðàçíîãî ïðîôèëÿ.
1) Ýëëèïñ äîëæåí áûòü âûòÿíóò âäîëü ñå÷åíèÿ (ðèñ. 5.18).
Ðèñ. 5.18. Íàïðàâëåíèå ýëëèïñà èíåðöèè ñå÷åíèÿ
Ïî÷åìó ýòî òàê? Ïîòîìó, ÷òî îäíà èç ãëàâíûõ îñåé äîëæíà áûòü ðàñïîëîæåíà âäîëü ñå÷åíèÿ, òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå 𝐽𝑥𝑦 = 0.
2) Ýëëèïñ èíåðöèè íå ìîæåò áûòü áîëüøå ñå÷åíèÿ.  îäíó ñòîðîíó îí
ìîæåò âûéòè çà êîíòóð ñå÷åíèÿ, òîãäà â äðóãóþ íåò. Ýëëèïñ èíåðöèè
òàêæå íå ìîæåò áûòü íàìíîãî ìåíüøå ñå÷åíèÿ
5.19).
∫︀ (ðèñ.
2
Ïî÷åìó ýòî òàê? Ñ îäíîé ñòîðîíû 𝐽𝑥0 = 𝑦0 𝑑𝐴, à ñ äðóãîé 𝐽𝑥0 =
𝐴
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
Ðèñ. 5.19. Ðàçìåðû ýëëèïñà èíåðöèè ñå÷åíèÿ
𝑖2𝑥0 · 𝐴. Ñëåäîâàòåëüíî 𝑖𝑥0 ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ âåëè÷èíà èç îðäèíàò
ñå÷åíèÿ, òîãäà 𝑖𝑥0 <| 𝑦0 |наиб , ïîýòîìó â îáå ñòîðîíû ýëëèïñ èíåðöèè íå
ìîæåò âûõîäèòü çà ñå÷åíèå. Ðàäèóñ èíåðöèè 𝑖𝑥0 íå ìîæåò òàêæå áûòü
çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé âåëè÷èíû 𝑦0 .
5.9
Определение моментов инерции сложных
сечений
Äîâîëüíî ÷àñòî äåòàëè, èñïûòûâàþùèå èçãèá, èìåþò ñëîæíîå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå. ×òîáû ðàññ÷èòàòü áðóñ íà èçãèá, íóæíî çíàòü ïîëîæåíèå
ãëàâíûõ öåíòðàëüíûõ îñåé è ãëàâíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû èíåðöèè ñå÷åíèÿ.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ñå÷åíèå, êîòîðîå ðàçáèâàåì íà ïðîñòûå,
îïðåäåëÿåì ïëîùàäè è ìîìåíòû èíåðöèè ñîñòàâíûõ ÷àñòåé îòíîñèòåëüíî
ñîáñòâåííûõ öåíòðàëüíûõ îñåé (𝐴𝑖 , 𝐽𝑥𝑖 𝑖 , 𝐽𝑦𝑖𝑖 , 𝐽𝑥𝑖 𝑖 𝑦𝑖 ) (ðèñ. 5.20).
Ðèñ. 5.20. Îïðåäåëåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè ñëîæíûõ ñå÷åíèé
Ïî ôîðìóëå Âàðèíüîíà îïðåäåëÿåì ïîëîæåíèå öåíòðà òÿæåñòè âñåãî
ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíûõ îñåé 𝑢, 𝑣
∑︀ 𝑖
∑︀ 𝑖
𝑣 · 𝐴𝑖
𝑢𝑐 · 𝐴𝑖
𝑢𝑐 = ∑︀ 𝑖 ,
𝑣𝑐 = ∑︀𝑐 𝑖 ,
𝐴
𝐴
ãäå 𝑢𝑖𝑐 , 𝑣𝑐𝑖 - êîîðäèíàòû öåíòðîâ òÿæåñòè ñîñòàâíûõ ÷àñòåé.
Äàëåå ïðîâîäèì öåíòðàëüíûå îñè 𝑥, 𝑦 , èõ íóæíî íàïðàâèòü ïàðàëëåëüíî âûáðàííûì îñÿì äëÿ ñîñòàâíûõ ÷àñòåé.
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
Îïðåäåëÿåì ìîìåíòû èíåðöèè âñåãî ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíûõ îñåé 𝑥, 𝑦
∫︁
∑︁ ∫︁
∑︁
2
𝐽𝑥 = 𝑦 𝑑𝐴 =
𝑦 2 𝑑𝐴 =
𝐽𝑥𝑖 ,
𝐴
𝐴𝑖
íî 𝐽𝑥𝑖 = 𝐽𝑥𝑖 𝑖 + 𝑏2𝑖 · 𝐴𝑖 ôîðìóëà ïåðåõîäà îò öåíòðàëüíûõ îñåé.
Èñïîëüçóÿ òàêèå æå ôîðìóëû äëÿ äðóãèõ ìîìåíòîâ èíåðöèè, ïîëó÷èì
∑︁
𝐽𝑥 =
(𝐽𝑥𝑖 𝑖 + 𝑏2𝑖 · 𝐴𝑖 ),
∑︁
𝐽𝑦 =
(𝐽𝑦𝑖𝑖 + 𝑎2𝑖 · 𝐴𝑖 ),
∑︁
𝐽𝑥𝑦 =
(𝐽𝑥𝑖 𝑖 𝑦𝑖 + 𝑎𝑖 · 𝑏𝑖 · 𝐴𝑖 ).
Çäåñü 𝑏𝑖 ðàññòîÿíèÿ ìåæäó îñÿìè 𝑥 è 𝑥𝑖 , à 𝑎𝑖 ìåæäó îñÿìè 𝑦 è 𝑦𝑖 .
Äàëåå, çíàÿ ìîìåíòû èíåðöèè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíûõ
îñåé 𝑥, 𝑦 , îïðåäåëÿåì ãëàâíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû èíåðöèè è ïîëîæåíèå ãëàâíûõ öåíòðàëüíûõ îñåé
√︁
1
2 ],
𝐽𝑥0 = [(𝐽𝑥 + 𝐽𝑦 ) + (𝐽𝑥 − 𝐽𝑦 )2 + 4 · 𝐽𝑥𝑦
2
√︁
1
2 ],
𝐽𝑦0 = [(𝐽𝑥 + 𝐽𝑦 ) − (𝐽𝑥 − 𝐽𝑦 )2 + 4 · 𝐽𝑥𝑦
2
𝐽𝑥𝑦
.
tg 𝛼0 = −
𝐽𝑥 − 𝐽𝑦0
Çíàÿ ýòè õàðàêòåðèñòèêè ñå÷åíèÿ, ìîæíî îïðåäåëèòü íàïðÿæåíèÿ è
ïåðåìåùåíèÿ áàëêè ïðè èçãèáå.
Ïðèìåð: îïðåäåëèòü çíà÷åíèå è çíàê óãëà ïîâîðîòà â çàâèñèìîñòè îò
ïîëîæåíèÿ íåðàâíîïîëî÷íîãî óãîëêà
Çàäàíî: 𝐽𝑥 , 𝐽𝑦 , 𝐽𝑦0 (â òàáëèöàõ ÃÎÑÒà 𝐽𝑢𝑚𝑖𝑛 , 𝛼т (ðèñ. 5.21, 1).
Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü 𝐽𝑥𝑦 , 𝛼0 (𝑥∧ 𝑥0 ).
𝐽𝑥 − 𝐽𝑦0
sin 2𝛼;
𝐽𝑥0 = 𝐽𝑥 +𝐽𝑦 −𝐽𝑦0 .
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû 𝐽𝑥𝑦 = 0
2 ∧
îïðåäåëÿåì çíà÷åíèå è çíàê óãëà 𝛼0 (𝑥 𝑥0 ). Ðåøåíèÿ ïîêàçàíû íà ðèñóíêå
5.21, 2-8.
5.10
Вопросы для самопроверки
×òî òàêîå îñåâîé, öåíòðîáåæíûé è ïîëÿðíûé ìîìåíòû èíåðöèè? Êàêàÿ ñóùåñòâóåò ñâÿçü ìåæäó îñåâûìè è ïîëÿðíûì ìîìåíòàìè èíåðöèè?
Îñíîâíîå ñâîéñòâî ñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà ïëîùàäè ñå÷åíèÿ. Ôîðìóëû
ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БРУС
Ðèñ. 5.21. Îïðåäåëåíèå âåëè÷èíû è çíàêà óãëà ïîâîðîòà
äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîîðäèíàò öåíòðà òÿæåñòè ñå÷åíèÿ. Êàê îïðåäåëÿþòñÿ
çíàêè ñòàòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ è öåíòðîáåæíîãî ìîìåíòà èíåðöèè? Ôîðìóëà ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà îñåé. Îòíîñèòåëüíî êàêîé îñè îñåâîé ìîìåíò
èíåðöèè ñå÷åíèÿ äîñòèãàåò íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ? Êàêèå îñè íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè, à êàêèå öåíòðàëüíûìè? Óêàæèòå îñíîâíîå ñâîéñòâî âñåõ
ìîìåíòîâ èíåðöèè ñå÷åíèÿ. Êàê îïðåäåëÿþòñÿ ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè ñå÷åíèÿ (àíàëèòè÷åñêè è ãðàôè÷åñêè)? Êàê èçìåíÿþòñÿ çíà÷åíèÿ
ìîìåíòîâ èíåðöèè ïðàâèëüíûõ ôèãóð (íàïðèìåð, êâàäðàò, êðóã è ò.ä.)
îòíîñèòåëüíî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ öåíòðàëüíûõ îñåé ïðè ïîâîðîòå íà ïðîèçâîëüíûé óãîë?
Глава 6
Изгиб
6.1
Основные понятия об изгибе. Расчётная
схема балки
Áóäåì ïîêà ðàññìàòðèâûòü ïðÿìûå áðóñüÿ ïîñòîÿííîãî ïîïåðå÷íîãî
ñå÷åíèÿ, íî çàòåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü è êðèâîëèíåéíûå áðóñüÿ.
Ðàññìîòðèì áðóñ, ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå êîòîðîãî èìååò âåðòèêàëüíóþ
îñü ñèììåòðèè, ñëåäîâàòåëüíî, îñè 𝑥, 𝑦 ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìè èíåðöèè åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ (ðèñ. 6.1).
Ðèñ. 6.1. Áðóñ, èñïûòûâàþùèé èçãèá
Ââåä¼ì íîâîå ïîíÿòèå ïîíÿòèå î ãëàâíîé ïëîñêîñòè æ¼ñòêîñòè áðóñà. Главной плоскостью жёсткости бруса называется плоскость, проходящая через ось бруса и одну из главных центральных осей его поперечного сечения.
Îäíà èç ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé æ¼ñòêîñòè ïëîñêîñòü íàèáîëüøåé æ¼ñòêîñòè ýòî ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îñè 𝑥. Äðóãàÿ ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü ïëîñêîñòü íàèìåíüøåé æ¼ñòêîñòè ýòî ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îñè 𝑦 . Âñå îñòàëüíûå îñåâûå ïëîñêîñòè ïî æ¼ñòêîñòè çàíèìàþò
81
ГЛАВА 6.
ИЗГИБ
82
ïðîìåæóòî÷íûå ïîëîæåíèÿ. Íàïîìíèì, ÷òî ÷åì ìåíüøå äåôîðìàöèè è
ïåðåìåùåíèÿ, òåì áîëüøå æ¼ñòêîñòü.
Брус испытывает плоский (прямой) изгиб, если он нагружен силами, перпендикулярными его оси, и парами сил, плоскость действия
которых совпадает с одной из главных плоскостей жёсткости бруса.
Âñå âíåøíèå ñèëû ëåæàò â ïëîñêîñòè 𝑧𝑐𝑦 è ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè 𝑧 .
Åñëè ñèëû íå ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè áðóñà, òî áóäåò èçãèá ñ ðàñòÿæåíèåì
èëè ñæàòèåì, õîòÿ ñèëû è áóäóò ëåæàòü â ãëàâíîé ïëîñêîñòè æ¼ñòêîñòè
áðóñà.
Áðóñ, èñïûòûâàþùèé èçãèá, íàçûâàåòñÿ áàëêîé.
Ïðè èññëåäîâàíèè äåòàëåé â ñîïðîòèâëåíèè ìàòåðèàëîâ âìåñòî áàëêè ðàññìàòðèâàþò ðàñ÷¼òíóþ ñõåìó, ãäå ïîêàçûâàåòñÿ òîëüêî îñòü áàëêè.
Ôàêòè÷åñêèå îïîðû çàìåíÿþòñÿ ðàñ÷¼òíûìè ñâÿçÿìè (ðàñ÷¼òíûìè îïîðàìè).
Ðàññìîòðèì ÷åòûðå òèïà ñõåìàòèçèðîâàííûõ îïîð:
1) Øàðíèðíî-ïîäâèæíàÿ îïîðà (ðèñ. 6.2). Ïðèìåíÿåòñÿ â êîíñòðóêöèè ìîñòà. Îñîáåííîñòü ýòîãî óñòðîéñòâà â òîì, ÷òî ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå
ïîä îïîðîé ìîæåò ñâîáîäíî ïîâîðà÷èâàòüñÿ è ïåðåìåùàòüñÿ ãîðèçîíòàëüíî, à âåðòèêàëüíî ïåðåìåùàòüñÿ íå ìîæåò. Òàêèì îáðàçîì, èç òð¼õ
ñòåïåðåé ñâîáîäû øàðíèðíî-ïîäâèæíàÿ îïîðà èìååò òîëüêî äâå ñòåïåíè
ñâîáîäû, à ðåàêöèÿ îäíà 𝑅.
Ðèñ. 6.2. Øàðíèðíî-ïîäâèæíàÿ îïîðà
2) Øàðíèðíî-íåïîäâèæíàÿ îïîðà (ðèñ. 6.3). Ó ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ
ïîä îïîðîé îòîáðàíû äâå ñòåïåíè ñâîáîäû. Ýòà îïîðà äà¼ò äâå ðåàêöèè
𝑉 è 𝐻.
Ðèñ. 6.3. Øàðíèðíî-íåïîäâèæíàÿ îïîðà
3) Ïîäâèæíî-çàùåìë¼ííûé êîíåö (ðèñ. 6.4). Áàëêà âñòàâëÿåòñÿ â îòâåðñòèå áåç çàçîðà è íàòÿãà è ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ãîðèçîíòàëüíî. Ýòî
ГЛАВА 6.
ИЗГИБ
83
îïîðíîå óñòðîéñòâî îòáèðàåò äâå ñòåïåíè ñâîáîäû. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì,
â îïîðå âîçíèêàþò âåðòèêàëüíàÿ ñèëà 𝑉 è ïàðà ñèë (ìîìåíò) 𝑀 .
Ðèñ. 6.4. Ïîäæâèæíî-çàùåìë¼ííûé êîíåö
4) Íåïîæâèæíî-çàùåìë¼ííûé êîíåö (çàäåëêà) (ðèñ. 6.5). Ó ñå÷åíèÿ
ïîä îïîðîé îòîáðàíû òðè ñòåïåíè ñâîáîäû. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì, â
îïîðå âîçíèêàþò òðè ðåàêöèè 𝐻 , 𝑉 , 𝑀 .
Ðèñ. 6.5. Íåïîäâèæíî-çàùåìë¼ííûé êîíåö
Åñòü è äðóãèå îïîðû, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ ðåæå, íàïðèìåð, øàðíèðíîíåïîäâèæíàÿ îïîðà ñ ïîäàòëèâîñòüþ (ðèñ. 6.6).
Ðèñ. 6.6. Øàðíèðíî-íåïîäâèæíàÿ îïîðà ñ ïîäàòëèâîñòüþ
Êàê îò ðåàëüíîé äåòàëè ïåðåéòè ê ðàñ÷¼òíîé ñõåìå ýòî ïîäðîáíî
ðàññìàòðèâàåòñÿ â êóðñå "Äåòàëè ìàøèí"è â äðóãèõ ñïåöèàëüíûõ äèñöèïëèíàõ. Ïðèâåä¼ì ïðèìåð: âàë âðàùåíèÿ ñ ïîäøèïíèêîì ñêîëüæåíèÿ.
Îêàçûâàåòñÿ, çàçîðà â ïîäøèïíèêàõ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â ðàñ÷¼òíûõ ñõåìàõ èñïîëüçîâàòü øàðíèðíî-ïîäâèæíóþ îïîðó (ðèñ. 6.7).
Áàëêè áûâàþò ëèáî ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìûìè, ëèáî ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìûìè. Áàëêà íà äâóõ îïîðàõ (ðèñ. 6.8): ðåàêöèé îïîð 3, ñòàòèêà
äà¼ò òðè óðàâíåíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ýòî ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìàÿ áàëêà.
Ðàññòîÿíèå ìåæäó îïîðàìè íàçûâàåòñÿ ïðîë¼òîì áàëêè.
ГЛАВА 6.
84
ИЗГИБ
Ðèñ. 6.7. Ïîäøèïíèê ñêîëüæåíèÿ
Ðèñ. 6.8. Äâóõîïîðíàÿ áàëêà
Íà ðèóíêå 6.9 èçîáðàæåíà áàëêà íåïîäâèæíî-çàùåìë¼ííûì êîíöîì.
Ýòî ñòàòè÷åñêè îïðåäåëèìàÿ áàëêà. Òàêóþ ðàñ÷¼òíóþ ñõåìó íàçûâàþò
êîíñîëüþ (íàïðèìåð, êðûëî ñàìîë¼òà).
Ðèñ. 6.9. Êîíñîëüíàÿ áàëêà
Íà ðèóíêå 6.10 èçîáðàæåíà íåðàçðåçíàÿ áàëêà. Îíà ïåðåêðûâàåò íåñêîëüêî ïðîë¼òîâ íå ïðåðûâàÿñü. Ó ýòîé áàëêè ïÿòü íåèçâåñòíûõ ðåàêöèé, à
ñòàòèêà äà¼ò òðè óðàâíåíèÿ ñëåäîâàòåëüíî, ýòà áàëêà äâà ðàçà ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìà.  íåðàçðåçíûõ áàëêàõ ñòåïåíü ñòàòè÷åñêîé íåîïðåäåëèìîñòè ðàâíà ÷èñëó ïðîìåæóòî÷íûõ îïîð. Ïîëó÷àåòñÿ òàê, ÷òî óðàâíåíèé ñòàòèêè õâàòàåò òîëüêî íà äâå êðàéíèõ îïîðû.
6.2
Поперечная сила и изгибающий момент
Ïîïåðå÷íàÿ ñèëà è èçãèáàþùèé ìîìåíò ýòî ñîâîêóïíèñòü âíóòðåííèõ
ñèë â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè áàëêè, ñ êîòîðûìè îäíà ÷àñòü áàëêè äåéñòâóåò
íà äðóãóþ.
Èçîáðàçèì áàëêó (ðèñ. 6.11), èñïûòûâàþùóþ ïëîñêèé èçãèá. Íà ðèñóíêå ïîêàçàíû êàê àêòèâíûå òàê è ðåàêòèâíûå ñèëû. Çäåñü 𝑞 èíòåíñèâíîñòü ðàñïðåäåë¼ííîé íàãðóçêè.
ГЛАВА 6.
85
ИЗГИБ
Ðèñ. 6.10. Íåðàçðåçíàÿ áàëêà
Ðèñ. 6.11. Îïðåäåëåíèå âíóòðåííèõ ñèë â áàëêå
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü âíóðòåííèå ñèëû, äåéñòâóþùèå â ïîïåðå÷íîì
ñå÷åíèè áàëêè. Ïðîâîäèì ñå÷åíèå 𝑎 − 𝑎, ïåðïåíäèêóëÿðíîå îñè áàëêè.
Âíà÷àëå îòáðîñèì ïðàâóþ ÷àñòü, èçîáðàçèì ëåâóþ è ïîêàæåì, êàê îíà
íàãðóæåíà. Çàòåì èçîáðàçèì íàãðóæåíèå ïðàâîé ÷àñòè.
Ïðèâåä¼ì ñèëû ê öåíòðó òÿæåñòè ñå÷åíèÿ áóäóò äåéñòâîâàòü òîëüêî
ïîïåðå÷íàÿ ñèëà 𝑄 è èçãèáàþùèé ìîìåíò 𝑀 . Áóäåò ëè íîðìàëüíàÿ ñèëà
𝑁 ? Íåò, ò. ê. íåò âíåøíèõ ñèë, êîòîðûå äàþò ïðîåêöèþ íà îñü áðóñà.
Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ïîïåðå÷íîé ñèëû
è èçãèáàþùåãî ìîìåíòà.
Êàê âû÷èñëèòü ñóììó âíóòðåííèõ ñèë â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè áàëêè?
Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè ñòàòèêè äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòè áàëêè:
∑︁
∑︁
∑︁
𝑦=
𝐹𝑦
− 𝑄 = 0, ⇒ 𝑄 =
𝐹𝑦
.
лев. внеш. сил
∑︁
𝑀𝑐 =
∑︁
𝑀𝑐
лев. внеш. сил
+ 𝑀 = 0,
лев. внеш. сил
⇒
𝑀 =−
∑︁
𝑀𝑐
лев. внеш. сил
.
Çäåñü ïðèâåäåíû óðàâíåíèÿ äëÿ ëåâîé ÷àñòè áàëêè, òàêèå æå ðåçóëüòàòû
ïîëó÷àþòñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè ðàâíîâåñèÿ ïðàâîé ÷àñòè.
Ïîïåðå÷íàÿ ñèëà â êàêîì-ëèáî ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ÷èñëåííî ðàâíà
ñóììå ïðîåêöèé íà ïëîñêîñòü ýòîãî ñå÷åíèÿ âñåõ âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ ïî îäíó ñòîðîíó îò äàííîãî ñå÷åíèÿ.
ГЛАВА 6.
ИЗГИБ
86
Ïðàâèëî çíàêîâ (ðèñ. 6.12): åñëè âíåøíÿÿ ñèëà ñòðåìèòñÿ ñäâèíóòü
ðàññìàòðèâàåìóþ ÷àñòü áàëêè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, òî ïîïåðå÷íàÿ ñèëà
ïîëîæèòåëüíà, è íàîáîðîò.
Ðèñ. 6.12. Ïðàâèëàî çíàêîâ äëÿ ïîïåðå÷íîé ñèëû
Èçãèáàþùèé ìîìåíò â êàêîì-ëèáî ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ÷èñëåííî ðàâåí ñóììå ìîìåíòîâ îòíîñòèåëüíî öåíòðà òÿæåñòè ýòîãî ñå÷åíèÿ âñåõ
âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ ïî îäíó ñòîðîíó îò äàííîãî ñå÷åíèÿ.
Ïðàâèëî çíàêîâ (ðèñ. 6.13): åñëè âíåøíÿÿ ñèëà ñòðåìèòñÿ èçãèáàòü
ðàññìàòðèâàåìóþ ÷àñòü áàëêè âûïóêëîñòüþ âíèç, òî èçãèáàþùèé ìîìåíò ïîëîæèòåëåí, à åñëè âûïóêëîñòüþ ââåðõ òî îòðèöàòåëåí.
Ðèñ. 6.13. Ïðàâèëà çíàêîâ äëÿ èçãèáàþùåãî ìîìåíòà
Ðàññìîòðèì ïðèìåðû (ðèñ. 6.14):
Ðèñ. 6.14. Ïðèìåðû îïðåäåëåíèÿ çíàêîâ âíóòðåííèõ ñèë
6.3
Дифференциальные зависимости между
𝑞, 𝑄 и 𝑀
𝑞 èíòåíñèâíîñòü ðàñïðåäåë¼ííîé íàãðóçêè ñèëà, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà
åäèíèöó äëèíû áàëêè.
ГЛАВА 6.
ИЗГИБ
87
∆𝐹
ñðåäÐàññìîòðèì ìàëûé ó÷àñòîê áàëêè äëèíîé ∆𝑧, 𝑞 = lim
Δ𝑧→0 ∆𝑧
íÿÿ èíòåíñèâíîñòü ðàñïðåäåë¼ííîé íàãðóçêè.
Èíòíñèâíîñòü ñ÷èòàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé âåëè÷èíîé: åñëè ñèëà íàïðàâëåíà ââåðõ, òî 𝑞 > 0. Åñëè âíèç, òî 𝑞 < 0.
Èçîáðàçèì áàëêó (ðèñ. 6.15). Âûðåæåì ýëåìåíò äëèíîé 𝑑𝑧 , íà êîòîðîé ñ÷èòàåì 𝑞 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Èçîáðàçèì ýëåìåíò îòäåëüíî è ïîêàæåì ñèëû,
äåéñòâóþùèå íà íåãî. Ñëåâà äåéñòâóþò ïîïåðå÷íàÿ ñèëà 𝑄 è èçãèáàþùèé ìîìåíò 𝑀 .  ïðàâîì ñå÷åíèè îíè ïîëó÷àþò ïðèðàùåíèÿ 𝑄 + 𝑑𝑄,
𝑀 + 𝑑𝑀 . Íà ðèñóíêå ïîêàçàíû ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ âíóòðåííèõ
ñèë.
Ðèñ. 6.15. Íàãðóæåíèå áåñêîíå÷íî ìàëîãî ýëåìåíòà
Ñîñòàâëÿåì óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðåäñòàâëåííîãî ýëåìåíòà è, ïðåíåáðåãàÿ áåñêîíå÷íî ìàëûìè âòîðîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷èì:
∑︁
𝑑𝑄
𝑦 = 𝑄 + 𝑞 · 𝑑𝑧 − 𝑄 − 𝑑𝑄 = 0,
⇒
=𝑞
𝑑𝑧
ïðîèçâîäíàÿ îò ïîïåðå÷íîé ñèëû ðàâíà èíòåíñèâíîñòè ðàñïðåäåë¼ííîé
íàãðóçêè.
∑︁
𝑑𝑀
= 𝑄.
𝑀𝑜 = −𝑀 + 𝑄 · 𝑑𝑧 − 𝑞 · 𝑑𝑧 · 𝑑𝑧/2 + 𝑀 + 𝑑𝑀 = 0,
⇒
𝑑𝑧
Ïîëó÷èì òðåòüå ñîîòíîøåíèå, ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå
𝑑2 𝑀
𝑑𝑄
𝑑2 𝑀
=
,
⇒
= 𝑞.
𝑑𝑧 2
𝑑𝑧
𝑑𝑧 2
 òàêîì âèäå ýòè ñîîòíîøåíèÿ ñïðàâåäëèâû ëèøü â ñëó÷àå, êîãäà
îñü 𝑧 íàïðàâëåíà ñëåâà íàïðàâî (ýòî ó÷òåíî íà ðèñóíêàõ ïðèðàùåíèÿ
ñëåâà íàïðàâî). Åñëè îñü 𝑧 íàïðàâèòü ñïðàâà íàëåâî, òî ìîæíî ïîâòîðèòü
âûâîäû, íî ìîæíî âìåñòî 𝑧 â ñîîòíîøåíèÿõ ïîäñòàâèòü −𝑧 è ïîëó÷èòü:
𝑑𝑄
𝑑𝑀
𝑑2 𝑀
= −𝑞;
= −𝑄;
= 𝑞.
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑧 2
Íåîáõîäèìî èìåòü â âèäó, ÷òî 𝑞 âåëè÷èíà àëãåáðàè÷åñêàÿ. Åñëè îñü
𝑦 íàïðàâëåíà âíèç, òî âî âñåõ ñîîòíîøåíèÿõ íóæíî èçìåíèòü çíàê ïåðåä
𝑞 íà îáðàòíûé.
ГЛАВА 6.
6.4
88
ИЗГИБ
Равнодействующая распределённой нагрузки и её положение
Èçîáðàçèì ó÷àñòîê áàëêè, íà êîòîðîì äåéñòâóåò ðàñïðåäåë¼ííàÿ íàãðóçêà (ðèñ. 6.16). Ïîêàæåì ðàâíîäåéñòâóþùóþ ðàñïðåäåë¼ííîé íàãðóçêè íà ó÷àñòêå îò 𝑎 äî 𝑏. Ãðàôèê èçìåíåíèÿ èíòåíñèâíîñòè 𝑞 = 𝑞(𝑧) íàçûâàåòñÿ ãðóçîâîé ëèíèåé (íàçâàíèå ïðèøëî îò ñòðîèòåëåé), ïëîùàäü ïîä
ãðóçîâîé ëèíèåé ãðóçîâîé ïëîùàäüþ.
Ðèñ. 6.16. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ðàñïðåäåë¼ííîé íàãðóçêè
𝐹𝑎𝑏 =
∫︀𝑏
𝑞(𝑧) 𝑑𝑧 = 𝜔𝑎𝑏 ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ðàâíîäåéñòâóþùåé 𝑎
ïëîùàäü ïîä ãðóçîâîé ëèíèåé.
∫︁𝑏
𝐹𝑎𝑏 · 𝑧𝐹 = 𝑧𝐹 ·
∫︁𝑏
𝑧 · 𝑞(𝑧) 𝑑𝑧,
𝑞(𝑧) 𝑑𝑧 =
𝑎
𝑎
Ìîìåíò ðàâíîäåéñòâóþùåé 𝐹𝑎𝑏 · 𝑧𝐹 ðàâåí ñóììå ìîìåíòîâ ýëåìåíòàðíûõ ñèë, îòêóäà
∫︀𝑏
𝑧 · 𝑞(𝑧) 𝑑𝑧
𝑎
𝑧𝐹 = 𝑏
∫︀
𝑞(𝑧) 𝑑𝑧
𝑎
ýòî ôîðìóëà Âàðèíüîíà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè
ãðóçîâîé ïëîùàäè, ò. å. 𝑧𝐹 = 𝑧 ц. т. (ãðóçîâîé ïëîùàäè).
Òàêèì îáðàçîì, ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ðàñïðåäåë¼ííîé íàãðóçêè ðàâíà
ãðóçîâîé ïëîùàäè è ïðîõîäèò ÷åðåç å¼ öåíòð òÿæåñòè.
ГЛАВА 6.
6.5
ИЗГИБ
89
Построение эпюр поперечных сил 𝑄 и изгибающих моментов 𝑀
Ýïþðà ýòî ãðàôèê èçìåíåíèÿ âíóòðåííèõ ñèë âäîëü îñè áàëêè. Ýïþðû ñòðîÿòñÿ, ÷òîáû:
1) íàéòè íàèáîëåå îïàñíîå ñå÷åíèå è ïðîèçâåñòè ðàñ÷¼ò íà ïðî÷íîñòü;
2) âû÷èñëèòü ïåðåìåùåíèÿ (ãðàôî-àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä).
Ïðåæäå âñåãî íåîáõîäèìî çíàòü âñå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà áàëêó: â
çàäàííîé áàëêå (ðèñ. 6.17) ýòî 𝐹, 𝐻𝐴 , 𝑉𝐴 , 𝑉𝐵 .
Ðèñ. 6.17. Ïîñòðîåíèå ýïþð 𝑄 è 𝑀
1. Âû÷èñëåíèå ðåàêöèé îïîð ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé ñòàòèêè. Íóæíî
óðàâíåíèÿ ñîñòàâèòü òàê, ÷òîáû íåèçâåñòíûå ðàçäåëèëèñü.
∑︀
𝑏
𝑀𝐵 = −𝑉𝐴 · 𝑙 + 𝐹 · 𝑏 = 0,
⇒
𝑉𝐴 = · 𝐹 ;
𝑙
∑︀
𝑎
𝑀𝐴 = 𝑉𝐵 · 𝑙 − 𝐹 · 𝑎 = 0,
⇒
𝑉𝐵 = · 𝐹 ;
𝑙
∑︀
𝑧 = 𝐻𝐴 = 0.
Íóæíî îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî äëÿ áàëîê ñ ïðÿìîé îñüþ, âñåãäà,
𝐻𝐴 = 0.
∑︀
𝑎
𝑏
Ïðîâåðêà: 𝑧 = 𝑉𝐴 −𝐹 +𝑉𝐵 = ·𝐹 −𝐹 + ·𝐹 = 0. Ýòî ñâèäåòåëüñòâó𝑙
𝑙
åò î òîì, ÷òî ðåàêöèè îïîð íàéäåíû âåðíî. Äîâîëüíî ÷àñòî âû÷èñëåíèÿ
âåäóòñÿ ïðèáëèæ¼ííî.  ýòîì ñëó÷àå, íóæíî ñëîæèòü îòäåëüíî ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå ñëàãàåìûå è ðàçíèöó ñðàâíèòü ñ îäíîé èç ýòèõ
ñóìì (ëó÷øå, ñ ìèíèìåëüíîé èç íèõ).
2. Îïðåäåëåíèå ïîïåðå÷íûõ ñèë. Äëÿ äàííîé áàëêè íåâîçìîæíî âûðàçèòü ïîïåðå÷íóþ ñèëó ñ ïîìîùüþ îäíîé ôóíêöèè, ïîýòîìó áàëêó ðàçáèâàåì íà ó÷àñòêè 1 è 2.
ГЛАВА 6.
90
ИЗГИБ
𝑏
𝑄1 = 𝑉𝐴 = · 𝐹 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, çíàê ïîëîæèòåëüíûé, ò. ê. âíåøíÿÿ ñèëà
𝑙
ïîâîðà÷èâàåò áàëêó ïî õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè.
𝑎
𝑄2 = −𝑉𝐵 = − · 𝐹 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, çíàê îòðèöàòåëüíûé, ò. ê. âíåøíÿÿ ñèëà
𝑙
ïîâîðà÷èâàåò áàëêó ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè.
Îáðàùàåì âíèìàíèå íà îäíó îñîáåííîñòü, êîòîðàÿ âîçíèêàåò ïðè ïîñòðîåíèè ýïþð îò ñîñðåäîòî÷åííûõ ñèë (ðèñ. 6.18). Íóæíî îòâåòèòü íà
âîïðîñ, ÷åìó ðàâíà ïîïåðå÷íàÿ ñèëà â ñå÷åíèè ïîä ñîñðåäîòî÷åííîé ñè𝑏
𝑎
ëîé? · 𝐹 èëè · 𝐹 çäåñü ïðîòèâîðå÷èå, ò. ê. â îäíîì è òîì æå ñå÷åíèè
𝑙
𝑙
äåéñòâóþò äâå ïîïåðå÷íûå ñèëû. Íà ñàìîì äåëå, ñèëà äåéñòâóåò íå â òî÷êå, à íà íåêîòîðîé ìàëîé ïëîùàäêå. Òîãäà, â êàæäîì ñå÷åíèè äåéñòâóåò
òîëüêî îäíà ïîïåðå÷íàÿ ñèëà, íèêàêîãî ïðîòèâîðå÷èÿ íåò. Ïîñêîëüêó
äëèíà ýòîé ïëîùàäêè íåñîèçìåðèìî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé áàëêè,
â ðàñ÷¼òíûõ ñõåìàõ èçîáðàæàåòñÿ ñêà÷îê ñèëû.
Ðèñ. 6.18. Õàðàêòåð ïðèëîæåíèÿ ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëû
2. Îïðåäåëåíèå èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ.
𝐹 ·𝑏
𝑀1 = 𝑉𝐴 ·𝑧1 =
·𝑧1 , çíàê ïîëîæèòåëüíûé, ò. ê. âíåøíÿÿ ñèëà èçãè𝑙
áàåò áàëêó âûïóêëîñòüþ âíèç. 𝑀1 èçãèáàþùèé ìîìåíò â ëþáîì ñå÷åíèè
ïåðâîãî ó÷àñòêà. Âûðàæåíèå äëÿ 𝑀1 ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýþðû ○ äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü äâå òî÷êè (íà ãðàíèöàõ ó÷àñòêà).
𝐹 ·𝑎·𝑏
.
Ïðè 𝑧1 = 0, 𝑀1 = 0;
𝑧1 = 𝑎, 𝑀1 =
𝑙
Àíàëîãè÷íî, ïî ïðàâûì ñèëàì, âû÷èñëÿåì 𝑀2
𝐹 ·𝑎
𝑀2 = 𝐵 · 𝑧2 =
· 𝑧2 òîæå ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ.
𝑙
𝐹 ·𝑎·𝑏
Ïðè 𝑧2 = 0, 𝑀2 = 0;
𝑧2 = 𝑏, 𝑀2 =
.
𝑙
Îáðàùàåì âíèìàíèå, ÷òî â ñå÷åíèè íà ãðàíèöå ó÷àñòêîâ çíà÷åíèÿ
èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ ðàâíû. Ñòðîèì ýïþðó ○. Èç ýïþð 𝑄 è 𝑀 âèäíî, ÷òî íàèáîëåå îïàñíûì ÿâëÿåòñÿ ñå÷åíèå ïîä ñèëîé 𝐹 , ò. ê. çäåñü è
íàèáîëüøàÿ (ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå) ïîïåðå÷íàÿ ñèëà è íàèáîëüøèé
èçãèáàþùèé ìîìåíò.
M
M
ГЛАВА 6.
6.6
91
ИЗГИБ
Контроль правильности построения эпюр
𝑄и𝑀
1. Åñëè ïî äëèíå ó÷àñòêà:
𝑑𝑄
= 0, òî ýïþðà ○ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, à ýïþðà ○ îãðàíè÷åíà
à) 𝑞 = 0, ò. å.
𝑑𝑧
íàêëîííîé ïðÿìîé;
𝑑𝑄
á) 𝑞 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, ò. å.
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, òî ýïþðà ○ íàêëîííàÿ ïðÿìàÿ, à
𝑑𝑧
ýïþðà ○ êðèâàÿ âòîðîãî ïîðÿäêà;
𝑑𝑄
̸= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, òî ýïþðà ○ êðèâàÿ 𝑛-ãî ïîðÿäêà, à
â) 𝑞 ̸= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, ò. å.
𝑑𝑧
ýïþðà ○ êðèâàÿ 𝑛 + 1-ãî ïîðÿäêà.
2. Âûïóêëîñòü ýïþðû ○ íàïðàâëåíà â ñòîðîíó , ïðîòèâîïîëîæíóþ
𝑑2 𝑀
íàïðàâëåíèþ ðàñïðåäåë¼ííîé íàãðóçêè, òàê êàê 𝑞 =
,.
𝑑𝑧 2
à) 𝑞 < 0 âûïóêëîñòü ýïþðû ○ ââåðõ (êðèâàÿ âûïóêëà);
á) 𝑞 > 0 âûïóêëîñòü ýïþðû ○ âíèç (êðèâàÿ âîãíóòà).
𝑑𝑀
) òàíãåíñ,
3. Êàæäàÿ îðäèíàòà ýïþðû ïîïåðå÷íûõ ñèë (𝑄 =
𝑑𝑧
îáðàçóåìîãî ñ îñüþ 𝑧 , óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê ýïþðå 𝑀 â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå. Åñëè, èäÿ ïî ëåâûì ñèëàì, íà íåêîòîðîì ó÷àñòêå áàëêè:
à) 𝑄 > 0, òî åñòü tg 𝛼 > 0, òî 𝑀 âîçðàñòàåò;
á) 𝑄 < 0, òî åñòü tg 𝛼 < 0, òî 𝑀 óáûâàåò;
â) 𝑄 ïðîõîäèò ÷åðåç íîëü, ìåíÿÿ çíàê ñ ïëþñà íà ìèíóñ, òî 𝑀 = 𝑀𝑚𝑎𝑥 ;
𝑄 ïðîõîäèò ÷åðåç íîëü, ìåíÿÿ çíàê ñ ìèíóñà íà ïëþñ, òî 𝑀 = 𝑀𝑚𝑖𝑛 .
ã) 𝑄 = 0, òî åñòü tg 𝛼 = 0, òî 𝑀 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
4.  ñå÷åíèè ïîä ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëîé íà ýïþðå 𝑄 ñêà÷îê âåëè÷èíó
ñèëû, à íà ýïþðå ○ èçëîì.
5. Íà êîíöåâîé øàðíèðíîé îïîðå ○ ðàâíà ðåàêöèè ýòîé îïîðû ñ
ñîîòâåòñòâóþùèì çíàêîì, à 𝑀 = 0, åñëè â îïîðíîì ñå÷åíèè íå ïðèëîæåíà
ñîñðåäîòî÷åííàÿ ïàðà ñèë.
6. Íà ñâîáîäíîì êîíöå áàëêè (êîíñîëè) 𝑀 = 0, åñëè íåò ñîñðåäîòî÷åííîé ïàðû ñèë, è 𝑄 = 0, åñëè íåò ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëû.
7. Â çàùåìëåíèè 𝑄 è 𝑀 ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû îïîðíîé ðåàêöèè è
îïîðíîìó ìîìåíòó.
8.  ñå÷åíèè, ãäå ïðèëîæåíà ñîñðåäîòî÷åííàÿ ïàðà ñèë, íà ýïþðå ○
ñêà÷îê íà âåëè÷èíó ìîìåíòà ýòîé ïàðû, à íà íà ýïþðå ○ ýòî íå îòðàæàåòñÿ.
Q
M
Q
M
Q
M
M
M
M
M
Q
Q
M
ГЛАВА 6.
6.7
ИЗГИБ
92
Напряжения в балке при изгибе
Èçîáðàçèì áàëêó (ðèñ. 6.19). Íà ðèñóíêå ïîêàçàíû àêòèâíûå è ðåàêòèâíûå ñèëû. Ïîñëå òîãî, êàê ðåàêöèè íàéäåíû, îïîðû ìîæíî íå èçîáðàæàòü. Ðàññìîòðèì ëþáîå ñå÷åíèå 𝑎 − 𝑎. Âûäåëèì ïëîùàäêó 𝑑𝐴 íà
íåé äåéñòâóþò è íîðìàëüíûå, è êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ.  ýëåìåíòàðíîé òåîðèè èçãèáà êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ ñ÷èòàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè
ïëîñêîñòè èçãèáà ýòî íå ñîâñåì òî÷íî, ýòî äîïóùåíèå.
Ðèñ. 6.19. Îïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé â áàëêå
Åñëè ïðîñóììèðîâàòü êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ ïî âñåé ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, ìû ïîëó÷àåì ïîïåðå÷íóþ ñèëó â äàííîì ñå÷åíèè.
Àíàëîãè÷íî, ñóììà íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé ïî âñåé ïëîùàäè ñå÷åíèÿ
äà¼ò èçãèáàþùèé ìîìåíò. Ñëåäîâàòåëüíî, êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ çàâèñÿò òîëüêî îò ïîïåðå÷íîé ñèëû 𝜏 = 𝜏 (𝑄), à íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ
òîëüêî îò èçãèáàþùåãî ìîìåíòà 𝜎 = 𝜎(𝑀 ).
6.7.1
Нормальные напряжения в балке при изгибе
Ðàçëè÷àþò äâà âèäà èçãèáà: ÷èñòûé è ïîïåðå÷íûé. Åñëè íà íåêîòîðîì ó÷àñòêå áàëêè ïîïåðå÷íàÿ ñèëà ðàâíà íóëþ, à èçãèáàþùèé ìîìåíò
ïîñòîÿíåí, òî íà ýòîì ó÷àñòêå áàëêà èñïûòûâàåò ÷èñòûé èçãèá (÷èñòûé,
ò. ê. èçãèá íå îñëîæí¼í ñäâèãîì).
Åñëè ïîïåðå÷íàÿ ñèëà íå ðàâíà íóëþ, òî ýòî ñëó÷àé ïîïåðå÷íîãî èçãèáà.
Ïðèìåð: ðàññìîòðèì áàëêó (ðèñ. 6.20), î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ íå¼ 𝑉𝐴 =
𝑉𝐵 = 𝐹 . Íà ñðåäíåì ó÷àñòêå ïîïåðå÷íàÿ ñèëà ðàâíà íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî,
𝑑𝑀
= 𝑄 = 0, òî
áàëêà èñïûòûâàåò ÷èñòûé èçãèá. Ïî÷åìó? Òàê êàê
𝑑𝑧
𝑀 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Áóäåì îïðåäåëÿòü íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ ïðè ÷èñòîì èçãèáå. Äâóìÿ ïîïåðå÷íûìè ñå÷åíèÿìè а – а è б – б âûðåæåì êîíå÷íûé ó÷àñòîê
áàëêè è èçîáðàçèì åãî îòäåëüíî (ðèñ. 6.21). Îáîçíà÷èì ÷åðåç 𝑥, 𝑦 ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè â ïðàâîì ñå÷åíèè. Èíäåêñû ïðè îáîçíà÷åíèè îñåé îïóùåíû, òàê êàê, â äàëüíåéøåì, âñåãäà áóäåì ðàññìàòðèâàòü
ГЛАВА 6.
ИЗГИБ
93
Ðèñ. 6.20. Èçãèá ÷èñòûé è ïîïåðå÷íûé
òîëüêî ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè. Îñü 𝑦 íàïðàâëåíà âíèç, ÷òîáû ñîãëàñîâàòü çíàêè èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ, êîîðäèíàò ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè
è íàïðÿæåíèé.
Ðèñ. 6.21. ×àñòü áàëêè ïðè ÷èñòîì èçãèáå
Âûäåëèì â ïðàâîì ñå÷åíèè ýëåìåíòàðíóþ ïëîùàäêó 𝑑𝐴 (âûáðàíà â
ïåðâîì êâàäðàíòå), 𝑥, 𝑦 êîîðäèíàòû ýòîé ïëîùàäêè. Ïîêàæåì íàïðÿæåíèÿ íà ïëîùàäêå: 𝜏 = 0, 𝜎 = 𝜎(𝑥, 𝑦) ïðåäñòîèò îïðåäåëèòü. Â ëåâîì
ñå÷åíèè ñóììà âíóòðåííèõ ñèë ñâîäèòñÿ òîëüêî ê ïàðå ñèë 𝑀 .
Ñîñòàâèì
óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ó÷àñòêà áàëêè:
∑︀
𝑥
=
0
≡
0 òîæäåñòâî;
∑︀
∑︀ 𝑦 = ∫︀0 ≡ 0 òîæäåñòâî;
𝑧 = 𝜎 𝑑𝐴 = 0 ýòî óæå íå òîæäåñòâî, à íåîáõîäèìàÿ ôîðìóëà;
𝐴 ∫︀
∑︀
𝑀𝑥 = 𝑦 · 𝜎 𝑑𝐴 − 𝑀 = 0;
𝐴 ∫︀
∑︀
𝑀𝑦 = − 𝑥 · 𝜎 𝑑𝐴 = 0 çíàê ìèíóñ, ò. ê. 𝜎 âðàùàåò ðàññìàòðèâàå𝐴
ìóþ ÷àñòü ïî õîäó ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü ñî ñòîðîíû ïîëîæèòåëüíîãî
íàïðàâëåíèÿ îñè 𝑦 ;
∑︀
𝑀𝑧 = 0 ≡ 0 òîæäåñòâî.
Èç ýòèõ øåñòè óðàâíåíèé òðè îáðàòèëèñü â òîæäåñòâî. Çàïèøåì ëèøü
ГЛАВА 6.
94
ИЗГИБ
òå óðàâíåíèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ âûâîäà:
∫︁
𝜎 𝑑𝐴 = 0,
(1)
𝐴
∫︁
𝑦 · 𝜎 𝑑𝐴 = 𝑀,
(2)
𝐴
∫︁
𝑥 · 𝜎 𝑑𝐴 = 0.
(3)
𝐴
Èìååì òðè óðàâíåíèÿ ñòàòèêè, ýòî èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòè òðè óðàâíåíèÿ èìåþò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.
Ñëåäîâàòåëüíî, òîëüêî ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé ñòàòèêè íåëüçÿ îïðåäåëèòü
íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ ïðè èçãèáå, òî åñòü ýòî ñòàòè÷åñêè íåîïðåäåëèìàÿ çàäà÷à. Íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü äîïîëíèòåëüíûå óðàâíåíèÿ, âûðàæàþùèå çàêîíîìåðíîñòü äåôîðìàöèè ïðè èçãèáå.
Çàêîíîìåðíîñòè äåôîðìàöèé èçó÷àëèñü ýêñïåðèìåíòàëüíî è òåîðåòè÷åñêèì ïóò¼ì. Ðàññìîòðèì áàëêó ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ (êîíå÷íî ïðè
÷èñòîì èçãèáå) (ðèñ. 6.22).
Ðèñ. 6.22. Çàêîíîìåðíîñòè äåôîðìàöèè áàëêè
Çàêîíîìåðíîñòè äåôîðìàöèé:
1. Ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿ, ïëîñêèå äî íàãðóæåíèÿ, îñòàþòñÿ ïëîñêèìè
è ïîñëå íàãðóæåíèÿ. Îíè îñòàþòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ê ïëîñêîñòè èçãèáà è èçîãíóòîé îñè áàëêè.
2. Âåðõíèå âîëîêíà áóäóò ñæàòû, à íèæíèå ðàñòÿíóòû. Åñòåñòâåííî,
ãäå-òî ìåæäó íèìè íàõîäèòñÿ ñëîé, íå ïðåòåðïåâàþùèé äåôîðìàöèé.
Ýòî òàê íàçûâàåìûé íåéòðàëüíûé ñëîé öèëèíäðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü,
ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ïëîñêîñòè èçãèáà.
ГЛАВА 6.
95
ИЗГИБ
Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ íåéòðàëüíîãî ñëîÿ ñ ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì íàçûâàåòñÿ íåéòðàëüíîé îñüþ èëè íåéòðàëüíîé ëèíèåé ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
3.  ñæàòîé çîíå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå óâåëè÷èâàåò ñâîè ðàçìåðû, à â
ðàñòÿíóòîé óìåíüøàåò. Òàêîå ÿâëåíèå ìû íàáëþäàëè ïðè öåíòðàëüíîì ðàñòÿæåíèè è ñæàòèè (ýôôåêò Ïóàññîíà). Ïîýòîìó ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðè ÷èñòîì èçãèáå èìååò ìåñòî ëèíåéíîå íàïðÿæ¼ííîå
ñîñòîÿíèå ïðîäîëüíûå âîëîêíà äðóã íà äðóãà íå íàäàâëèâàþò.
Ïðèñòóïèì ê ñîñòàâëåíèþ äîïîëíèòåëüíîãî óðàâíåíèÿ (ðèñ. 6.23).
Èçîáðàçèì ýëåìåíò äëèíîé 𝑑𝑧 äî íàãðóæåíèÿ è ïîñëå íàãðóæåíèÿ. Çäåñü
𝑚𝑛 ëþáîå âîëîêíî; 𝑒 ðàññòîÿíèå ìåæäó íåéòðàëüíûì ñëîåì è îñüþ
áàëêè; òî÷êà 𝐾 öåíòð êðèâèçíû èçîãíóòîé îñè áàëêè; 𝜌 ðàäèóñ êðèâèçíû íåéòðàëüíîãî ñëîÿ; ∆𝛼 óãîë ìåæäó ñå÷åíèÿìè.
Ðèñ. 6.23. Ñîñòàâëåíèå óðàâíåíèÿ ñîâìåñòíîñòè äåôîðìàöèé
Âû÷èñëèì îòíîñèòåëüíîå óäëèíåíèå âîëîêíà 𝑚𝑛
𝑙𝑚𝑛 = 𝑑𝑧 = 𝜌 · ∆𝛼;
𝑙𝑚′ 𝑛′ = (𝜌 + 𝑒 + 𝑦) · ∆𝛼;
∆𝑙𝑚𝑛 = 𝑙𝑚′ 𝑛′ − 𝑙𝑚𝑛 = (𝜌 + 𝑒 + 𝑦) · ∆𝛼 − 𝜌 · ∆𝛼 = (𝑒 + 𝑦) · ∆𝛼;
𝑒+𝑦
∆𝑙𝑚𝑛
=
.
𝑙𝑚𝑛
𝜌
Äàëåå ïî çàêîíó Ãóêà îïðåäåëèì íàïðÿæåíèå 𝜎 = 𝐸 · 𝜀𝑚𝑛
𝜀𝑚𝑛 =
𝜎=
𝐸
· (𝑒 + 𝑦)
𝜌
(4)
ýòî íåäîñòàþùåå óðàâíåíèå, îíî âûðàæååò çàêîíîìåðíîñòü äåôîðìàöèé, òî åñòü ñå÷åíèå îñòà¼òñÿ ïëîñêèì è âîëîêíà èñïûòûâàþò ëèíåéíîå
íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå.
Ïîäñòàâèì (4) â óðàâíåíèå (1)
∫︀
∫︀
𝐸 ∫︀
𝐸
(𝑒 + 𝑦) 𝑑𝐴 = 0, íî
̸= 0, òîãäà 𝑒 𝑑𝐴 + 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑒 · 𝐴 + 𝑆𝑥 = 0.
𝜌𝐴
𝜌
𝐴
𝐴
Çäåñü 𝑆𝑥 = 0 ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò ïëîùàäè ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé îñè, 𝐴 ̸= 0, ñëåäîâàòåëüíî 𝑒 = 0 è íåéòðàëüíûé ñëîé ïðîõîäèò
ГЛАВА 6.
96
ИЗГИБ
÷åðåç îñü áàëêè. Òîãäà óðàâíåíèå (4) ïðèìåò âèä
𝜎=
𝐸
· 𝑦.
𝜌
(4′ )
Ïîäñòàâèì (4′ ) â (3)
𝐸 ∫︀
𝐸
𝑥 · 𝑦 𝑑𝐴 =
· 𝐽𝑥𝑦 = 0, òàê êàê îñè 𝑥, 𝑦 ãëàâíûå îñè èíåðöèè
𝜌𝐴
𝜌
ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, òî åñòü óñëîâèå (3) âûïîëíÿåòñÿ.
Òåïåðü ïîäñòàâèì (4′ ) â (2)
∫︀
𝐸 ∫︀ 2
𝑦 𝑑𝐴 = 𝑀, íî 𝑦 2 𝑑𝐴 = 𝐽𝑥 , òîãäà
𝜌𝐴
𝐴
𝑀
1
=
𝜌
𝐸 · 𝐽𝑥
(5)
ýòî ïðîìåæóòî÷íàÿ, íî î÷åíü âàæíàÿ ôîðìóëà ôîðìóëà äëÿ êðèâèçíû èçîãíóòîé îñè áàëêè. Çäåñü 𝐸 · 𝐽𝑥 æ¼ñòêîñòü áàëêè ïðè èçãèáå.
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (5) â (4′ ) è ïîëó÷èì
𝜎=
𝑀
·𝑦
𝐽𝑥
(6)
ôîðìóëà äëÿ íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé ïðè ÷èñòîì èçãèáå.
Ýòó ôîðìóëó ìîæíî ïðèìåíÿòü è ïðè ïîïåðå÷íîì èçãèáå. Äëÿ ñëó÷àÿ 𝑄 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ôîðìóëà äëÿ 𝜎 òî÷íà, à äëÿ 𝑄 ̸= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ôîðìóëà äà¼ò
ïîãðåøíîñòü ïîðÿäêà ℎ/𝑙, ãäå ℎ âûñîòà ñå÷åíèÿ, 𝑙 äëèíà áàëêè, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ äëèííûõ áàëîê îøèáêà ìàëà.
Èç ôîðìóëû (6) âèäíî, ÷òî íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ ïî øèðèíå ñå÷åíèÿ íå ìåíÿþòñÿ, îíè èçìåíÿþòñÿ òîëüêî ïî âûñîòå ñå÷åíèÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó. Èçîáðàçèì ýïþðó íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé ïî âûñîòå ñå÷åíèÿ
(ðèñ. 6.24).
Ðèñ. 6.24. Ýïþðà íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé ïî âûñîòå ñå÷åíèÿ
Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî âèä ýïþðû íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé íå çàâèñèò îò ôîðìû ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
ГЛАВА 6.
6.7.2
ИЗГИБ
97
Касательные напряжения в балке при изгибе.
Формула Журавского
Èçîáðàçèì áàëêó, èñïûòûâàþùóþ ïîïåðå÷íûé èçãèá (ðèñ. 6.25). Òðåìÿ ïëîñêîñòÿìè âûðåæåì çàøòðèõîâàííûé ýëåìåíò è èçîáðàçèì åãî îòäåëüíî. Ïîêàæåì íàïðÿæåíèÿ â òî÷êå, ëåæàùåé íà ðåáðå. Çäåñü åñòü è
íîðìàëüíûå 𝜎 è êàñàòåëüíûå 𝜏 íàïðÿæåíèÿ. Íàïðàâëåíèå êàñàòåëüíûõ
íàïðÿæåíèé ïîêàæåì â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîëîæèòåëüíîé ïîïåðå÷íîé ñèëîé.
Ðèñ. 6.25. Íàïðÿæåíèÿ â áàëêå ïðè ïîïåðå÷íîì èçãèáå
 ýëåìåíòàðíîé òåîðèè èçãèáà ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî, âî-ïåðâûõ, êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ ïî øèðèíå ñå÷åíèÿ íå èçìåíÿþòñÿ è, âî-âòîðûõ, ÷òî
êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ â ñå÷åíèè èìåþò òîëüêî âåðòèêàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ, ïàðàëëåëüíóþ ïëîñêîñòè èçãèáà 𝜏 = 𝜏 (𝑦, 𝑧). Ýòè äîïóùåíèÿ íå
ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè.
 òî÷êå 𝐵 , íî â ïðîäîëüíîì ñå÷åíèè, äåéñòâóþò òàêèå æå êàñàòåëüíûå
íàïðÿæåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì ïàðíîñòè êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé. Íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé â ïðîäîëüíîì ñå÷åíèè íåò, òàê êàê äàâëåíèåì ìåæäó ñëîÿìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Åñëè ðàññìàòðèâàòü âòîðîé
òîðåö ýëåìåíòà, òî òàì òîæå áóäóò è íîðìàëüíûå è êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ.
Ïîêàæåì ýëåìåíò åù¼ ðàç, íî ïî ãðàíÿì ïîêàæåì ðàâíîäåéñòâóþùèå
ñèë (ðèñ. 6.26). Ñèëû ïðèâîäÿòñÿ ê ðàâíîäåéñòâóþùèì òàê, ÷òîáû ãëàâíûé ìîìåíò áûë ðàâåí íóëþ. Âåðõíÿÿ ãðàíü áåñêîíå÷íî ìàëà, ïîýòîìó
ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ðàâíà 𝑑𝑇 . Áàëêà íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåññèè, ïîýòîìó è
ýëåìåíò
∑︀ äîëæåí íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè, òîãäà
𝑧 = −𝑁 −𝑑𝑇 +𝑁 +𝑑𝑁 = 0, îòñþäà 𝑑𝑇 = 𝑑𝑁. Äàëåå 𝑑𝑇 è 𝑑𝑁 íóæíî
âûðàçèòü ÷åðåç íàïðÿæåíèÿ.
𝑑𝑇 = 𝜏 · 𝑏(𝑦) · 𝑑𝑧 îáðàùàåì âíèìàíèå, ÷òî êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ
áåðóòñÿ ñ ãîðèçîíòàëüíîé ãðàíè.
Íàéä¼ì íîðìàëüíóþ ñèëó 𝑁 , äåéñòâóþùóþ íà ïëîùàäè îòñå÷¼ííîé
÷àñòè
ГЛАВА 6.
98
ИЗГИБ
Ðèñ. 6.26. Ðàâíîäåéñòâóþùèå âíóòðåííèõ ñèë
𝑁 =
∫︀
𝐴отс
𝜎 𝑑𝐴, ãäå 𝜎 · 𝑑𝐴 ýëåìåíòàðíàÿ ñèëà,
îòñå÷¼ííîé ÷àñòè ñå÷åíèÿ. Íî 𝜎 =
𝐴 отс ïëîùàäü
𝑀 ∫︀
𝑀
· 𝑦 , òîãäà 𝑁 =
𝑦 𝑑𝐴 =
𝐽𝑥
𝐽𝑥 𝐴
отс
∫︀
𝑀
· 𝑆𝑥отс , ãäå 𝑆𝑥отс =
𝑦 𝑑𝐴 . Ïðîäèôôåðåíöèðóåì âûðàæåíèå äëÿ
𝐽𝑥
𝐴отс
𝑁 è íàéä¼ì 𝑑𝑁
𝑑𝑀 · 𝑆𝑥отс
𝑑𝑁 =
.
𝐽𝑥
Òåïåðü ïîäñòàâèì çíà÷åíèÿ 𝑑𝑇 è 𝑑𝑁 â óðàâíåíèå ðàâíîâåññèÿ
𝑑𝑀 · 𝑆𝑥отс
𝑑𝑀
𝜏 · 𝑏(𝑦) · 𝑑𝑧 =
, ó÷ò¼ì, ÷òî
= 𝑄, è ïîëó÷èì
𝐽𝑥
𝑑𝑧
𝜏=
𝑄 · 𝑆𝑥отс
𝐽𝑥 · 𝑏(𝑦)
ôîðìóëà Æóðàâñêîãî äëÿ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè áàëêè. Òàêèå æå íàïðÿæåíèÿ áóäóò äåéñòâîâàòü è â ïðîäîëüíîì
ñå÷åíèè.  ôîðìóëå Æóðàâñêîãî:
𝑄 ïîïåðå÷íàÿ ñèëà â òîì ñå÷åíèè, â êîòîðîì îïðåäåëÿþòñÿ êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ;
𝑆𝑥отс ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò ÷àñòè ñå÷åíèÿ, ðàñïîëîæåííîãî âûøå èëè
íèæå òî÷êè, â êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ 𝜏 , îòíîñèòåëüíî íåéòðàëüíîé îñè
ñå÷åíèÿ;
𝐽𝑥 ìîìåíò èíåðöèè âñåãî ñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî íåéòðàëüíîé îñè;
𝑏(𝑦) øèðèíà ñå÷åíèÿ íà óðîâíå òî÷êè, â êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ 𝜏 .
Ïðèíÿòî âû÷èñëÿòü êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå, òî åñòü â ôîðìóëå èñïîëüçóåòñÿ àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà 𝑄 è 𝑆𝑥отс , à
íàïðàâëåíèå 𝜏 ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïîïåðå÷íîé ñèëû.
Äîêàæåì, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè 𝑆𝑥отс ìîæíî áðàòü è âåðõíþþ, è íèæíþþ ÷àñòè ñå÷åíèÿ (ðèñ. 6.27).
𝑆𝑥 = 𝑆𝑥в + 𝑆𝑥н = 0
⇒
𝑆𝑥в = −𝑆𝑥н
⇒
| 𝑆𝑥в |=| 𝑆𝑥н |.
ГЛАВА 6.
ИЗГИБ
99
Ðèñ. 6.27. Ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû âåðõíåé è íèæíåé ÷àñòåé ñå÷åíèÿ
Ïðèìåðû: 1. Êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ â áàëêå ïðÿìîóãîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ (ðèñ. 6.28).
Ðèñ. 6.28. Ïðÿìîóãîëüíîå ñå÷åíèå
Îïðåäåëèì âåëè÷èíû, âõîäÿùèå â ôîðìóëó Æóðàâñêîãî.
ℎ
1 ℎ
𝑏 ℎ2
𝑏 · ℎ2
2·𝑦 2
𝑆𝑥отс = 𝑏 · ( − 𝑦) · · ( + 𝑦) = · ( − 𝑦 2 ) =
· [1 − (
) ],
2
2 2
2
4
8
ℎ
3
𝑏·ℎ
𝐽𝑥 =
,
𝑏(𝑦) = 𝑏. Ïîäñòàâèì ýòè çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó Æóðàâ12
ñêîãî, ïðîèçâåä¼ì ñîêðàùåíèÿ è ó÷èòûâàÿ, ÷òî 𝑏 · ℎ = 𝐴, ïîëó÷èì
𝜏=
𝑄 · 𝑏 · ℎ2
2·𝑦 2
3·𝑄
2·𝑦 2
) ]=
· [1 − (
)]
· [1 − (
2
𝑏·ℎ
ℎ
2·𝐴
ℎ
8·
·𝑏
12
ôîðìóëà äëÿ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ïðè èçãèáå â áàëêå ïðÿìîóãîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
Èçîáðàçèì ýïþðó êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ïî âûñîòå ñå÷åíèÿ (ðèñ.
ℎ
6.29). Èç ïîëó÷åííîé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî ïðè 𝑦 = ±
𝜏 = 0. Ýòî
2
ГЛАВА 6.
ИЗГИБ
100
Ðèñ. 6.29. Ðàñïðåäåëåíèå êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ïî âûñîòå ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ
ìîæíî óñòàíîâèòü è áåç ôîðìóëû, ïî çàêîíó ïàðíîñòè êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé, òàê êàê âíåøíèå ïîâåðõíîñòè íå íàãðóæåíû.
Íåîáõîäèìî îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ
ïî âûñîòå ðàñïðåäåëåíû íåðàâíîìåðíî. Íàèáîëüøèå êàñàòåëüíûå íàïðÿ3·𝑄
.
æåíèÿ äåéñòâóþò â òî÷êàõ íà íåéòðàëüíîé îñè è ðàâíû 𝜏 наиб =
2·𝐴
2. Êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ â áàëêå êðóãëîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ
(áåç âûâîäà) (ðèñ. 6.30).
Ðèñ. 6.30. Ðàñïðåäåëåíèå êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ïî âûñîòå êðóãëîãî
ñå÷åíèÿ
4·𝑄
ýòî ìåíüøå, ÷åì â ïðÿìîóãîëüíîì ñå ýòîì ñëó÷àå 𝜏 наиб =
3·𝐴
÷åíèè.
3. Êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ â áàëêå äâóòàâðîâîãî ñå÷åíèÿ (ðèñ. 6.31).
Ïîñòðîèì ýïþðó êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ïî âûñîòå ñå÷åíèÿ áåç ÷èñåë, ðàññóæäàÿ ïî ôîðìóëå Æóðàâñêîãî. Ïóñòü òî÷êà, â êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ 𝜏 , ïåðåìåùàåòñÿ îò âåðõíèõ âîëîêîí ê íèæíèì.  ïðåäåëàõ ïîëêè
áûñòðî âîçðàñòàåò ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò 𝑆𝑥отс è ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåòñÿ
øèðèíà ñå÷åíèÿ 𝑏(𝑦). Ïî âûñîòå ñòåíêè ìåäëåííî âîçðàñòàåò (äî íåéòðàëüíîé îñè) 𝑆𝑥отс è íå ìåíÿåòñÿ 𝑏(𝑦), à íà ãðàíèöå ïîëêè ñî ñòåíêîé
ГЛАВА 6.
ИЗГИБ
101
Ðèñ. 6.31. Ðàñïðåäåëåíèå êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ïî âûñîòå äâóòàâðà
ðåçêî óìåíüøàåòñÿ 𝑏(𝑦) (íà ýïþðå 𝜏 ñêà÷îê). Íèæå íåéòðàëüíîé îñè ýïþðà ñèììåòðè÷íà ñ âåðõíåé ÷àñòüþ. Íàèáîëüøèå êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ è â ýòîì ñëó÷àå äåéñòâóþò â òî÷êàõ íà íåéòðàëüíîé îñè.
Âûâîäû: 1. Íàèáîëüøèå êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ äëÿ ñèììåòðè÷íûõ
ñå÷åíèé äåéñòâóþò â òî÷êàõ íà íåéòðàëüíîé îñè.
2. Âèä ýïþðû êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ôîðìû ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, â òî âðåìÿ êàê âèä ýïþðû íîðìàëüíûõ íàïðÿæåíèé íå çàâèñÿò îò ôîðìû ñå÷åíèÿ.
6.8
Расчёт балок на прочность по допускаемым напряжениям
Ïðè ðàñ÷¼òå áàëîê ïî äîïóñêàåìûì íàïðÿæåíèÿì çà îïàñíîå ïðèíèìàåòñÿ òàêîå ñîñòîÿíèå ïðè êîòîðîì ýêâèâàëåíòíûå íàïðÿæåíèÿ äîñòèãàþò ïðåäåëà òåêó÷åñòè 𝜎т . Ýòîò ñïîñîá ðàñ÷¼òà ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ áàëîê, â
êîòîðûõ îñòàòî÷íûå äåôîðìàöèè íåäîïóñòèìû. Âûáèðàåì â ïðîèçâîëüíîì ñå÷åíèè áàëêè (ðèñ. 6.32) ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó 𝐴, â êîòîðîé áóäåì
îöåíèâàòü ïðî÷íîñòü (â äàëüíåéøåì áóäåì îöåíèâàòü ïðî÷íîñòü â îïàñíîì ñå÷åíèè).  ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè äåéñòâóþò ïîïåðå÷íàÿ ñèëà 𝑄 è
èçãèáàþùèé ìîìåíò 𝑀 ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè îíè áóäóò ïîëîæèòåëüíûìè.
𝑄 · 𝑆𝑥отс
𝑀
· 𝑦, 𝜏 =
îïðåäåëÿåì íàïðÿæåíèÿ è
Ïî ôîðìóëàì 𝜎 =
𝐽𝑥
𝐽𝑥 · 𝑏(𝑦)
ñòðîèì èõ ýïþðû.
Òåïåðü, â îêðåñòíîñòè òî÷êè 𝐴 âûðåæåì ýëåìåíò è ïîêàæåì íàïðÿæåíèÿ ïî ãðàíÿì (ðèñ. 6.33). Íà âåðõíåé è íèæíåé ïëîùàäêàõ íîðìàëüíûõ
íàïðÿæåíèé íåò, äåéñòâóþò òîëüêî êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ. Íà áîêîâûõ ãðàíÿõ äåéñòâóþò è íîðìàëüíûå, è êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ. Ýëåìåíò èñïûòûâàåò ïëîñêîå íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå: 𝜎𝛼 = 𝜎, 𝜏𝛼 = 𝜏,
𝜎𝛽 = 0, 𝜏𝛽 = −𝜏 .
ГЛАВА 6.
ИЗГИБ
102
Ðèñ. 6.32. Ðàñ÷¼ò íà ïðî÷íîñòü â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå
Ðèñ. 6.33. Íàïðÿæ¼ííîå ñîñòîÿíèå äåòàëè â òî÷êå
Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óñëîâèÿ ïðî÷íîñòè íåîáõîäèìî íàéòè ãëàâíûå íàïðÿæåíèÿ
√︁
√
1
1
𝜎𝐼,𝐼𝐼 = · [(𝜎𝛼 + 𝜎𝛽 ) ± (𝜎𝛼 − 𝜎𝛽 )2 + 4 · 𝜏𝛼 2 ] = · (𝜎 ± 𝜎 2 + 4 · 𝜏 2 ).
2
2
√
√
1
1
𝜎𝐼𝐼 = · (𝜎 − 𝜎 2 + 4 · 𝜏 2 ).
Òîãäà 𝜎𝐼 = · (𝜎 + 𝜎 2 + 4 · 𝜏 2 ),
2
2
Òàê êàê 𝜎𝐼 ≥ 0 è 𝜎𝐼𝐼 ≤ 0, ïðèñâîèì ãëàâíûåì íàïðÿæåíèÿì àðàá√
1
1
ñêèå èíäåêñû 𝜎1 = · (𝜎 + 𝜎 2 + 4 · 𝜏 2 ),
𝜎2 = 0,
𝜎3 = · (𝜎 −
2
2
√
𝜎 2 + 4 · 𝜏 2 ).
Äàëåå ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîäõîäÿùåé òåîðèåé ïðî÷íîñòè. Áàëêè îáû÷íî èçãîòàâëèâàþòñÿ èç ñòàëåé, èç àëþìèíèåâûõ èëè ìàãíèåâûõ
ñïëàâîâ, òî åñòü èç ïëàñòè÷íûõ ìàòåðèàëîâ, ïîýòîìó âîñïîëüçóåìñÿ IV-é
òåîðèåé ïðî÷íîñòè.
√︁
𝜎экв𝐼𝑉 ≤ [𝜎], 𝜎экв𝐼𝑉 = 𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 𝜎1 · 𝜎2 − 𝜎2 · 𝜎3 − 𝜎3 · 𝜎1 .
√
Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé, ïîëó÷èì 𝜎экв𝐼𝑉 = 𝜎 2 + 3 · 𝜏 2 .
Ýòà ôîðìóëà ïðèìåíèìà íå òîëüêî äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ 𝑄 è 𝑀 , íî è äëÿ
ГЛАВА 6.
103
ИЗГИБ
√
îòðèöàòåëüíûõ. Òîãäà 𝜎 2 + 3 · 𝜏 2 ≤ [𝜎] óñëîâèå ïðî÷íîñòè äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè áàëêè ïî ñïîñîáó äîïóñêàåìûõ íàïðÿæåíèé.
×òîáû ïðîâåðèòü ïðî÷íîñòü âñåé áàëêè, íóæíî âçÿòü îïàñíóþ òî÷êó
наиб
íàèáîëåå îïàñíîãî ñå÷åíèÿ, ò. å. äëÿ âñåé áàëêè 𝜎экв
≤ [𝜎].
𝐼𝑉
наиб
Êàê íàéòè 𝜎экв𝐼𝑉 ? Íóæíî èññëåäîâàòü 𝜎экв𝐼𝑉 = 𝑓 (𝑦, 𝑧) íà ýêñòðåìóì.
Ñíà÷àëà èññëåäîâàòü ïî êîíòóðó ñå÷åíèÿ, çàòåì âíóòðè, íàéòè âñå ýêñòðåìóìû, à çàòåì âûáðàòü íàèáîëüøåå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå çíà÷åíèå.
Îïûò ðàñ÷¼òîâ, íàêîïëåííûõ ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè, ïîêàçûâàåò, ÷òî
íàèáîëüøèå ýêâèâàëåíòíûå íàïðÿæåíèÿ ìîãóò áûòü â îäíîé èç ñëåäóþùèõ òî÷åê:
1. òî÷êà ñ íàèáîëüøèì ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íîðìàëüíûì íàïðÿæåíèåì;
2. òî÷êà ñ íàèáîëüøèì êàñàòåëüíûì íàïðÿæåíèåì â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè;
3. òî÷êà â ìåñòå ðåçêîãî èçìåíåíèÿ øèðèíû ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ â
ñå÷åíèè ñ áîëüøèìè çíà÷åíèÿìè ïîïåðå÷íûõ ñèë è èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ.
Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ýòè òî÷êè.
Ïåðâàÿ îïàñíàÿ òî÷êà (ïî÷òè âñåãäà îíà è áûâàåò ñàìîé îïàñíîé)(ðèñ.
6.34).
Ðèñ. 6.34. Ïåðâàÿ îïàñíàÿ òî÷êà
Íàèáîëüøèå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ âîçíèêàþò â íàèáîëåå óäàë¼ííîé îò íåéòðàëüíîé îñè òî÷êå ñå÷åíèÿ, ãäå
| 𝑀 |наиб
äåéñòâóåò | 𝑀 |наиб , è ðàâíû | 𝜎 |наиб =
· | 𝑦 |наиб .
𝐽𝑥
Áóäåì ïðèìåíÿòü óñëîâèå ïðî÷íîñòè: | 𝜎 |=| 𝜎 |наиб , 𝜏 = 0, òîãäà
𝐽𝑥
наиб
𝜎экв
=| 𝜎 |наиб ≤ [𝜎]. Íî
= 𝑊𝑥 , òîãäà óñëîâèå ïðî÷íîñòè â
𝐼𝑉
| 𝑦 |наиб
ГЛАВА 6.
104
ИЗГИБ
ïåðâîé îïàñíîé òî÷êå çàïèøåòñÿ â âèäå
| 𝑀 |наиб
≤ [𝜎].
𝑊𝑥
Òàêèì îáðàçîì, ïåðâàÿ îïàñíàÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ â ñå÷åíèè ñ íàèáîëüøèì ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå èçãèáàþùèì ìîìåíòîì â íàèáîëåå óäàë¼ííîé îò íåéòðàëüíîé îñè òî÷êå.
Âòîðàÿ îïàñíàÿ òî÷êà (ðèñ. 6.35).
Ðèñ. 6.35. Âòîðàÿ îïàñíàÿ òî÷êà
Ýòî òî÷êà ñ íàèáîëüøèìè êàñàòåëüíûìè íàïðÿæåíèÿìè. Âûÿñíèì,
ãäå îíà íàõîäèòñÿ. Ïî ôîðìóëå Æóðàâñêîãî
𝜏=
𝑄 · 𝑆𝑥отс
,
𝐽𝑥 · 𝑏(𝑦)
òîãäà
𝜏наиб =
| 𝑄 |наиб 𝑆𝑥отс
·(
)наиб .
𝐽𝑥
𝑏(𝑦)
Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå