Кравченко Н.Н.Эконометрика.КР

Контрольная работа по дисциплине «Эконометрика»
Задача 1
Пусть имеется следующая модель регрессии, характеризующая зависимость y
от x:
y = 2 + 8x.
Известно также, что R2= 0,25; n = 14. Проведите проверку статистической
значимости коэффициента регрессии b при уровне α = 0.01, если в этом случае tкрит
= 3,05.
Решение:
Из уравнения регрессии коэффициент b  8 .
Коэффициент детерминации равен:
R
2
 y  y 
 1
2
x
n   y2
 y  y 
x
2
1   y  yx 
 1
, откуда
n
 y2
2
  y2  n  1  R2  . (1)
Стандартное значение ошибки регрессии:
 y2  n  1  R 2   y 1  R 2 
 y  yx 
sост

mb 



. (2)
x  n
n  2  x  n
n  2  x  n
n  2 x
2
Кроме того, rxy  R 2  b 
y
x
b
, откуда
. (3)

y
x
R2
Подставляем (3) в (2) и получаем:
mb 
y
1  R 
2
n  2  x

b 1  R 2 

8
1  0.25
14  2  0.25
n2 R
Фактическое значение t-статистики:
tb  b / mb  8/ 4  2  tкрит  3.05 .
2
 4.
Вывод: гипотезу о равенстве 0 коэффициента регрессии следует принять, так
как полученное значение t-статистики ниже критического значения, значит, делаем
вывод о незначимости коэффициента регрессии b.
Задача 2
Зависимость y от x описывается следующим уравнением регрессии, построенным по 12 наблюдениям:
y = 2,2 + 0,4x.
При этом доля остаточной вариации в общей вариации составляет 10%.
Оцените коэффициент детерминации и его статистическую значимость при
уровне α=0,05, если в этом случае Fкрит =4,96.
1
Решение:
Так как доля остаточной вариации в общей вариации составляет 10%, то доля
вариации, обусловленная регрессией, составляет 1-0.1 = 0.9, то есть коэффициент
детерминации равен R 2  0.9 .
Оценим значимость коэффициента детерминации на основе F-критерия Фишера. Фактическое значение критерия для линейной модели равно:
R2
0.9
F
 n  2 
 12  2   90 .
2 
1 R
1  0.9
Критическое значение Fкрит =4,96
Так как F  90  Fкрит  4.96 , то коэффициент детерминации следует признать
статистически значимым.
Задача 3
Зависимость y от x по данным 27 наблюдений описывается уравнением:
y = 17+2x.
Вычислите 95%-процентный доверительный интервал для параметра регрессии β, если соответствующее значение критерия Фишера F = 16, а tкрит = 2,06.
Решение:
Из значения критерия Фишера найдем коэффициент детерминации:
R2
F
F
 n  2  R2 
 1  R 2  
2 
1 R
n2
F 
F
F
16

R 2 1 
 R2 

 0.3902.

F  n  2 16  27  2
 n2 n2
Из уравнения регрессии коэффициент b  2 .
Коэффициент детерминации равен:
R
2
 y  y 
 1
x
n   y2
 y  y 
x
2
2
1   y  yx 
 1
, откуда
n
 y2
2
  y2  n  1  R2  . (1)
Стандартное значение ошибки регрессии:
 y2  n  1  R 2   y 1  R 2 
 y  yx 
sост

mb 



. (2)
x  n
n  2  x  n
n  2  x  n
n  2 x
2
Кроме того, rxy  R 2  b 
y
x
b
, откуда
. (3)

2
y
x
R
Подставляем (3) в (2) и получаем:
2
mb 
y
1  R 
2
n  2  x

b 1  R 2 
n  2  R2

2
1  0.3902 
27  2  0.3902
 0.5.
Предельная ошибка:
b  mb  tкрит  0.5  2.06  1.03 .
Доверительный интервал для параметра регрессии:
 b  b ; b  b    2  1.03; 2  1.03   0.97; 3.03 .
Таким образом, значение коэффициента регрессии с вероятностью не ниже 9
% лежит в интервале от 0,97 до 3,03.
Задача 4
Коэффициент регрессии показывает:
1. На сколько % изменится в среднем фактор при изменении результата на 1
%.
2. На сколько % изменится в среднем результат при изменении фактора на 1
%.
3. На сколько единиц изменится в среднем результат при изменении фактора
на 1 единицу.
4. На сколько единиц изменится в среднем фактор при изменении результата
на 1 единицу.
5. Во сколько раз изменится в среднем результат при изменении фактора на 1
единицу.
Ответ:
Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц изменится в среднем
результат при изменении фактора на 1 единицу.
Задача 5
Оценка b значения параметра модели β является несмещенной, если:
1. Обладает наименьшей дисперсией по сравнению с другими оценками.
2. При n→∞, вероятность отклонения b от значения β стремится к 0.
3. Математическое ожидание b равно β.
4. |b – β| < ε.
5. b = β.
Ответ:
Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно
истинному значению оцениваемого параметра.
3