КУРС ФИЗИКИ - SLIVMAIL.com

4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
4.1.
Сила тока
Электрическим током называется направленное движение электрических
зарядов (например, в канале молнии, в проводе, в электронно-лучевой трубке
телевизора). Силой тока называется количество заряда, проходящего через всё
сечение провода в единицу времени
J(t) = dq/dt.
(4.1.1)
Чтобы вычислить отсюда количество заряда, прошедшего за промежуток
времени от момента времени t1 до момента t2, нужно вычислить интеграл
t2
q   J (t )dt .
(4.1.2)
t1
Если ток не зависит от времени (постоянный ток), то интеграл сводится к
простому выражению q = J (t2 – t1), соответственно, простую формулу имеем и
для силы тока J = q/(t2 – t1).
В Международной системе единиц СИ сила тока измеряется в амперах (А).
Единица измерения тока 1 А устанавливается по магнитному взаимодействию
двух параллельных проводников с током.
Задачи.
4.1.1. Через нить накаливания в лампочке карманного фонаря проходит ток 0.3
ампера. Какой заряд пройдет по нити за 1 минуту? [18 Кл]
4.1.2. При ударе молнии средней величины на землю за малый промежуток
времени порядка 1 мс приходит заряд примерно 20 Кл. Оценить
амплитуду электрического тока в импульсе. [Порядка 20 тысяч ампер]
4.1.3. Конденсатор емкостью C = 100 мкФ заряжается до напряжения U = 500 В
за время t = 0.5 с. Каково среднее значение силы тока зарядки? [0.1 А]
70
4.1.4. Сила тока в лампочке карманного фонаря равна 0.32 А. Сколько
электронов проходит через поперечное сечение нити накала за 1 с?
[21018]
4.1.5. Ток в цепи за время  = 1 мс равномерно увеличивался от нулевого
значения до значения Jm = 1 А. Какой заряд за это время протек по
проводу? [0.5 мКл]
4.1.6. Ток в цепи за время  = 10 с равномерно уменьшался от значения Jm = 1 А
до нуля. Какой заряд за это время протек по проводу? [5 Кл]
4.1.7. Определить ток, создаваемый электроном, движущимся в атоме водорода
по круговой орбите радиусом r = 0.053 нм. Масса электрона m = 0.9111030
кг. [J  1мА]
71
4.2.
Закон Ома и расчет простейших электрических цепей. Законы
Кирхгофа
Для участка цепи, не содержащего ЭДС, закон Ома имеет вид
J = U/R = (1 – 2)/R,
(4.2.1)
где J – сила тока через резистор с сопротивлением R, U – напряжение на
сопротивлении R, 1 – 2 – разность потенциалов между концами
сопротивления; ток течет от точки с большим потенциалом к точке с меньшим
потенциалом.
Сопротивление проводника прямо пропорционально длине проводника l и
обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:
R =  l/S,
(4.2.2)
где  – удельное сопротивление материала, из которого изготовлен проводник,
зависящее не только от конкретного вещества, но от температуры.
Если электрическая цепь содержит батарейку с ЭДС равной E и резистор с
сопротивлением R, то ток в цепи будет равен
J = E/(R+r),
(4.2.3)
где r – внутреннее сопротивление батарейки. Разность потенциалов между
концами сопротивления будет при этом равна 1 – 2 = U = J R = E R/(R+r).
Последнюю формулу можно также записать в виде: 1 – 2 = E (R+r–r)/(R+r) =
E – r E/(R+r), или
1 – 2 = E – J r.
(4.2.4)
При последовательном соединении между точками A и B электрической цепи n
резисторов с сопротивлениями R1, R2, …, Rn по всем резисторам протекает один
и тот же электрический ток
J1 = J2 = … = Jn  J;
напряжения на отдельных резисторах пропорциональны сопротивлениям Ui =
JRi, а сопротивление участка цепи между точками A и B, содержащего все эти n
сопротивлений, вычисляется по формуле
72
Ro = R1 + R2 +…+ Rn.
(4.2.5)
При параллельном соединении между точками A и B электрической цепи n
резисторов с сопротивлениями R1, R2, …, Rn к каждому из них приложено одно
и то же напряжение
U1 = U2 = … = Un  U,
равное разности потенциалов между точками A и B (U = A – B); токи,
текущие
через
отдельные
резисторы
обратно
пропорциональны
сопротивлениям Ji = U/Ri, а сопротивление участка цепи между точками A и B,
содержащего все эти n сопротивлений, вычисляется по формуле
1/Ro = 1/R1 + 1/R2 +…+ 1/Rn.
(4.2.6)
В СИ единицей электрического сопротивления проводников служит ом (Ом).
Сопротивлением в 1 Ом обладает такой участок цепи, в котором при
напряжении 1 В возникает ток силой 1 А.
Задачи.
4.2.1. Неизолированную проволоку сложили вдвое и скрутили. Во сколько раз
сопротивление скрученной таким образом проволоки отличается от
сопротивления исходной проволоки? [Уменьшилось в 4 раза]
4.2.2. Рассчитать сопротивление трамвайного медного провода диаметром 1 см
длиной 5 км. Удельное сопротивление меди  = 1.710-8 Ом м. [1 Ом]
4.2.3. Имеется катушка медного провода диаметром d = 1 мм. Масса всей
проволоки m = 1 кг. Определить сопротивление проволоки. Удельное
сопротивление меди  = 1.710-8 Ом м, плотность меди ’ = 8.96103
кг/м3. [ 3 Ом]
4.2.4. Считается, что все электроприборы в квартире включены параллельно
друг другу. Это обеспечивается малостью сопротивлений проводов, а
потому малым падением напряжения на соединительных проводах. Пусть
73
напряжение в розетке равно U = 220 В и пусть электрокамин с
сопротивлением Rк = 48.4 Ом включен не прямо в розетку, а с помощью
удлинителя длиной L = 5 м. В удлинителе используется медный провод
диаметром d = 1 мм. Какое реально напряжение U’ приложено к
электрокамину с учетом падения напряжения на проводе удлинителя?
(Задача могла быть переформулирована и для удаленной розетки.)
Удельное сопротивление меди  = 1.710-8 Ом м. [U’ = U  219 В, т.е.
весьма близко к 220 вольтам]
4.2.5. Все знают, как опасно для человека прикосновение к электрическим
проводам, когда они под напряжением. Между тем, все мы неоднократно
наблюдали, что птицы спокойно сидят на оголенных проводах с током
без всякого для себя ущерба. Почему?
4.2.6. Человек замкнул на себе батарейку карманного фонаря, дающую
напряжение 1.5 В. Какой ток пройдет по телу человека? [1.5 В/(1.5 104
Ом) = 0.1 мА]
4.2.7. Какой ток пройдет по телу человека, когда же он замкнет на себе розетку
с напряжением 220 В? Оценку провести для а) сухой и б) влажной кожи
рук. [а) 220/(1.5 104) А  15 мА; б) для влажной кожи сила тока достигает
очень большой величины 220 В/1000 Ом = 220 мА]
4.2.8. Проводник составлен из двух состыкованных друг с другом торцами
цилиндров из разного материала. Длины цилиндров l1 и l2, площади их
поперечных сечений S1 и S2, удельные сопротивления 1 и 2. Определить
сопротивление такого проводника. [R = 1l1/S1+2l2/S2]
4.2.9. Имеется проводник длиной L переменного сечения, радиус которого
линейно уменьшается от значения R1 на одном конце до R2 на другом.
74
Определить
сопротивление
проводника равно . [
L
S1 S 2
провода.
Удельное
сопротивление
, где S1 =  R12, S1 =  R12 – площади
поперечного сечения провода на разных его концах]
4.2.10.
Имеется проводник длины L переменного сечения, площадь
поперечного сечения которого линейно уменьшается от значения S1 на
одном конце до S2 на другом. Определить сопротивление провода.
Удельное сопротивление проводника равно . [
4.2.11.
L
S1  S 2
ln
S1
]
S2
Почему коснуться оголенного провода с током одним пальцем
менее опасно, чем взяться за него целой ладонью?
4.2.12.
Во
сколько
раз
сопротивление
n
одинаковых
резисторов,
соединенных последовательно, больше сопротивления тех же резисторов,
соединенных параллельно? [n2]
4.2.13.
Кусок проволоки сопротивлением 0.8 Ом разрезали на 4 равные
части и полученные части соединили параллельно. Каково сопротивление
соединенной таким образом проволоки? [0.05 Ом]
4.2.14.
Докажите, что сопротивление двух резисторов, включенных
последовательно, больше каждого из них, а сопротивление двух
резисторов, включенных параллельно, меньше каждого из них.
4.2.15.
В доме включено некоторое количество электроприборов. Общее
их сопротивление = R. После этого включается еще один электроприбор с
сопротивлением r. Как изменится при этом общее сопротивление
квартиры? [Уменьшится]
75
4.2.16.
Домашний пробочный предохранитель рассчитан на максимальный
ток Jmax = 10 ампер. Каким может быть минимальное сопротивление всех
одновременно включенных приборов в квартире, чтобы еще не выбивало
пробку? Напряжение в сети равно U = 220 вольт. [22 Ом]
4.2.17.
Сколько лапочек с одинаковым сопротивлением нужно соединить
последовательно для изготовления елочной гирлянды, если каждая
лампочка рассчитана на напряжение 6 В, а гирлянда будет включена в
сеть с напряжением 220 В? [37]
4.2.18.
При питании лампочки от элемента с ЭДС E = 1.5 В с внутренним
сопротивлением r = 0.5 Ом, сила тока в цепи J = 0.2 А. Чему равно
сопротивление лампочки? [7 Ом]
4.2.19.
При питании лампочки от элемента с ЭДС E = 1.5 В с внутренним
сопротивлением r = 0.5 Ом, сила тока в цепи J = 0.2 А. Найти напряжение
на лампочке. [1.4 В]
4.2.20.
Гальванический элемент с ЭДС E = 1.5 В и внутренним
сопротивлением r = 0.5 Ом замкнут накоротко. Определить силу тока
короткого замыкания? [3 А]
4.2.21.
При подключении лампочки к источнику с E = 4.5 В напряжение на
лампочке U = 4 В, а ток в ней J = 0.25 А. Каково внутреннее
сопротивление источника? [2 Ом]
4.2.22.
Сколькими батарейками с ЭДС E = 1.5 В и внутренним
сопротивлением r = 0.5 Ом, включенными последовательно, нужно
76
питать лампу мощностью P = 100 Вт, рассчитанную на напряжение в сети
U = 220 В, чтобы лампа работала в нормальном режиме? [173]
4.2.23.
В цепи, содержащей батарейку ЭДС с некоторым внутренним
сопротивлением и резистор, при уменьшении сопротивления резистора на
20% ток увеличился на 20%. На сколько процентов увеличился бы ток,
если бы сопротивление резистора уменьшилось на 40%? [На 50%]
(*) Мостовой схемой называют следующее соединение резисторов. Пусть
между точками 1 и 4 включены последовательно два резистора R1 и R3 (назовем
их «верхним берегом»), а параллельно им между этими же точками 1 и 4
включены два последовательно соединенных резистора R2 и R4 (назовем их
«нижним берегом»). Пусть точка 2 – какая-то точка провода, соединяющего
резисторы R1 и R3, а точка 3 – какая-то точка провода, соединяющего резисторы
R2 и R4. Между точками 2 и 3 делают перемычку – включают резистор
сопротивлением R5 («мост»), после чего схема соединения резисторов перестает
быть простой комбинацией последовательных и параллельных соединений,
которая и называется мостовой схемой.
4.2.24.
В симметричной мостовой схеме все 5 сопротивлений равны друг
другу и равны R. Определить сопротивление между точками 1 и 4. [R]
4.2.25.
В несимметричной мостовой схеме два сопротивления R1 = R4 = 0, а
остальные равны друг другу и равны R. Определить сопротивление
между точками 1 и 4. [R/3]
4.2.26.
В несимметричной мостовой схеме точки 2 и 3 закорочены
(сопротивление «моста» R5 = 0). Остальные сопротивления таковы: R1 =
R2 = R3 = 1 Ом, R4 = 2 Ом. К схеме подведен ток J = 1 А. Найти ток через
«мост» между точками 2 и 3. [J/6]
77
4.2.27.
Какому условию должны удовлетворять сопротивления «берегов»
несимметричной мостовой схемы, чтобы ток через «мост» равнялся
нулю? [R1/R3 = R2/R4]
4.2.28.
(*) В несимметричной мостовой схеме сопротивления таковы: R1 =
R2 = R4 = R5 = R, а R3 = 2R. К схеме подведен ток J. Найти ток J5 через
перемычку между точками 2 и 3, а также полное сопротивление мостовой
схемы между точками 1 и 4. [J5 = (1/11)J, Rобщ = (13/11)R. ]
4.2.29.
В несимметричной мостовой схеме сопротивления таковы R1 = R2 =
R4 = R5 = R, а R3 = 2R. Сопротивление R1 заменили конденсатором
емкостью C. К схеме подведено напряжение U. Определить заряд на
конденсаторе. [Q = (5/7)CU]
4.2.30.
Электрическая цепь состоит из конденсатора емкостью
C,
резистора с сопротивлением R и батареи с ЭДС E, внутренним
сопротивлением которой можно пренебречь. До момента t = 0 цепь
разомкнута, а конденсатор не заряжен q(t = 0) = 0. В момент времени t = 0
цепь замыкают. Определить зависимость от времени: а) заряда,
накопившегося на конденсаторе; б) электрического тока в цепи; в)
напряжения на конденсаторе; г) напряжения на резисторе; г) энергии в
конденсаторе.
[q(t) = C E [1 – exp(– t/)] (а), |J(t)| = |dq/dt| = (C E/) exp(– t/) = (E/R) exp(– t/)
(б), UC(t) = q(t)/C = E[1 – exp(– t/)] (в), UR(t) = E – UC(t) = E exp(– t/) (г), WC(t) =
q2(t)/2C = (1/2) C E2 [1 – exp(– t/)]2 (д), где  = RC]
4.2.31.
Электрическая цепь состоит из конденсатора емкостью C и
резистора с сопротивлением R. До момента t = 0 цепь разомкнута, а
конденсатор имел заряд q(t = 0) = q0. В момент времени t = 0 цепь
78
замыкают.
Определить
зависимость
от
времени:
а)
заряда
на
конденсаторе; б) электрического тока в цепи; в) напряжения на
конденсаторе; г) напряжения на резисторе; д) энергии конденсатора.
[а) q(t) = q0 exp(– t/), б) |J(t)| = |dq/dt| = (q0/) exp(– t/), в) UC(t) = q0/C exp(– t/),
г) UR(t) = – UC(t), д) WC(t) = (q02/2C) exp(– 2t/)]
79
4.3.
Закон Джоуля – Ленца
В проводнике с конечным (не равным нулю) сопротивлением при протекании
по нему электрического тока непрерывно выделяется тепло (проводник
нагревается). Количество тепла, выделяющееся в единицу времени называют
тепловой мощностью (или мощностью тока)
P(t) = dQ/dt.
(4.3.1)
Чтобы вычислить отсюда количество тепла, выделившегося за промежуток
времени от момента времени t1 до момента t2, нужно вычислить интеграл
t2
Q   P(t )dt .
(4.3.2)
t1
Если тепловая мощность не зависит от времени, то интеграл сводится к
простому выражению Q = P (t2 – t1). Соответственно, простую формулу имеем и
для мощности тока P = Q/(t2 – t1).
Закон Джоуля – Ленца можно записать тремя способами – либо в форме
(4.3.3а)
P  J 2R ,
либо (с учетом закона Ома U = J R) в виде P = JR J, т.е.
(4.3.3б)
P U J ,
либо, наконец, еще как P = (U/R)2R, т.е.
P
U2
.
R
(4.3.3в)
Какой формулой удобнее пользоваться, определяется конкретной постановкой
задачи (см. задачи 4.3.1 и 4.3.2).
Задачи.
4.3.1. Проводник составлен из двух состыкованных друг с другом торцами
цилиндров разного поперечного сечения (S1 > S2), но из одного и того же
материала. По проводнику пропускают электрический ток. Рассмотрим
два элемента одинаковой длины l в обоих цилиндрах. В каком из них
тепловая мощность тока больше – там, где сечение больше, или там, где
80
меньше? [В тонком цилиндре локальный разогрев сильнее, чем в
толстом]
4.3.2. В электрокамине перегорела спираль, развалившись на две примерно
равные половинки. Не имея под рукой запасной исправной спирали,
перегоревшую спираль решают заменить временно на одну из ее
половинок. Сильнее и слабее будет греть после этого электрокамин? [P’ =
2P]
4.3.3. В электрокамине имеется 2 спирали – одна на 600 Вт, а другая на 400 Вт.
Перегорела 600-ваттная спираль, развалившись на две примерно равные
половинки. Перегоревшую спираль решают заменить временно на одну
из ее половинок. Какую мощность после этого будет вырабатывать
электрокамин? [1600 Вт]
4.3.4. В электрокамине имеется 2 спирали – одна на 600 Вт, а другая на 400 Вт.
Перегорела 400-ваттная спираль, развалившись на две примерно равные
половинки. Перегоревшую спираль решают заменить временно на одну
из ее половинок. Какую мощность после этого будет вырабатывать
электрокамин? [1400 Вт]
4.3.5. Что больше – сопротивление в рабочем состоянии 100-ваттной или 40ваттной лампочки, рассчитанных на одно и то же напряжение 220 В, – и
во сколько раз? [R40/R100=100/40= 2.5]
4.3.6. Что больше – сопротивление в рабочем состоянии электрокамина
мощностью 1 кВт или лампочки карманного фонарика также в рабочем
состоянии? При работе с батарейкой в 4.5 В по лампочке протекает ток
0.3 А. [Сопротивление электрокамина = 48.4 Ом, сопротивление
лампочки карманного фонарика = 15 Ом.]
81
4.3.7. Что больше – сопротивление в рабочем состоянии электрокамина
мощностью 1 кВт или 40-ваттной лампочки также в рабочем состоянии?
[Сопротивление электрокамина = 48.4 Ом, сопротивление 40-ваттной
лампочки = 1210 Ом.]
4.3.8. В люстре одновременно светят 3 лампочки – 100-ваттная, 75-ваттная и
40-ваттная. Какие токи текут в лампах? [J100 = 100Вт/220В  0.45 А, J75 =
75/220  0.34 А, J40 = 40/220  0.18 А]
4.3.9. Домашний пробочный предохранитель рассчитан на максимальный ток
15 ампер. Желая скорее прогреть квартиру, хотят одновременно включить
несколько электрокаминов мощностью 1 кВт. Какое наибольшее число
электрических каминов можно включить сразу, чтобы еще не выбило
пробку? Напряжение в сети = 220 В. Как изменится оценка, если в
квартире установлена пробка, рассчитанная на 10 А? [В квартире могут
работать одновременно не более 3-х электрокаминов. Для пробочного
предохранителя с Jmax = 10 одновременно можно включить лишь 2
электрокамина]
4.3.10.
Считается,
что
все
электроприборы
в
квартире
включены
параллельно друг другу. Это обеспечивается малостью сопротивлений
проводов, а потому малым падением напряжения на соединительных
проводах. Пусть напряжение в розетке равно U = 220 В, и пусть
электрокамин мощностью P = 1 кВт включен не прямо в розетку, а с
помощью удлинителя длиной L = 5 м. В удлинителе используется медный
провод диаметром d = 1 мм. Какую реально мощность P’ дает
электрокамин с учетом падения напряжения на проводе удлинителя?
(Задача могла быть переформулирована и для удаленной розетки.)
Удельное сопротивление меди  = 1.710-8 Ом м. [P’ = 991 Вт]
82
4.3.11.
Ток через проводник с сопротивлением R = 1 Ом за время  = 1 мс
равномерно увеличивался от нулевого значения до значения Jm = 1 А.
Какое количество тепла за это время выделилось в проводнике? [0.33
мДж]
4.3.12.
Ток через проводник с сопротивление R = 1 Ом за время  = 10 с
равномерно уменьшался от значения Jm = 1 А до нуля. Какое количество
тепла за это время выделилось в проводнике? [ 3.3 Дж]
4.3.13.
Продолжительность молнии примерно t = 0.001 с. Разность
потенциалов между ее концами U = 109 В, а сила тока J = 2104 А. Какая
энергия выделяется при ударе молнии? На какое время работы лампочки
мощностью P = 100 Вт хватило бы этой энергии? Какова «стоимость»
молнии при тарифе 1 рубль за 1 кВт-час? [W= 1010 Дж  2780 кВт-часов, T
 3.2 года. «Стоимость» молнии  2780 рублей]
4.3.14.
Электродвигатель подъемного крана подключен к источнику тока с
напряжением U = 380 В, при этом сила тока в его обмотке J = 20 А. Каков
КПД подъемного крана, если груз массой m = 1 т кран поднимает на
высоту h = 19 м за время t = 50 с? [mgh/(mgh +UJt) = 0.33 = 33%.]
4.3.15.
Пусть
электрическая
мощность
66
кВт
передается
от
электростанции в город под напряжением 22 000 В. Сопротивление
линии электропередачи (ЛЭП) равно 0.4 Ом. А) Сколько теплоты
выделится в линии (а не на полезной нагрузке в городе)? Б) Сколько
тепла выделилось бы в линии, если бы та же мощность передавалась под
напряжением 220 В (именно такое напряжение обычно используется
потребителями)? [В случае А) выделившееся тепло составит (3 А)2 0.4 Ом
= 3.6 Вт, что составляет всего около 0.005% от передаваемой мощности.
83
В случае Б) тепловые потери в ЛЭП = 36 000 Вт, т.е. больше половины
передаваемой мощности (54.5%) будет потеряно в виде тепла]
4.3.16.
Электроэнергия генератора мощностью P0 передается потребителю
по проводам, общее сопротивление которых r; напряжение генератора U0.
Определить КПД  линии передачи, т.е. отношение мощности,
выделяемой на полезной нагрузке, к мощности генератора. Внутренним
сопротивлением генератора пренебречь. [ = P/P0 = 1 – P0 r/U02. Заметим,
что при увеличении напряжения, КПД увеличивается и стремится к
единице! (Сравните с предыдущей задачей!)]
4.3.17.
Линия электропередачи длиной L =
100 км работает при
напряжении U = 200 000 В. Определить КПД линии. Линия выполнена из
алюминиевого кабеля площадью поперечного сечения S = 150 мм2.
Передаваемая мощность P = 30 000 кВт. Удельное сопротивление
алюминия  = 2.810-8 Ом м. [КПД = 1 – 2PL/SU2  0.97 = 97%]
4.3.18.
При питании лампочки от элемента с ЭДС E =1.5 В сила тока в
цепи равна J = 0.2 А. Найти работу сторонних сил в элементе за время t =
1 мин. [E J t = 18 Дж]
4.3.19.
К источнику с ЭДС E = 3 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом
подключен резистор с
сопротивлением R = 2 Ом. Найти полезную
мощность источника тока, мощность источника тока и потери мощности
в цепи. [Pполезн. = 2 Вт, Pист. = 3 Вт, Pпотреь = 1 Вт]
4.3.20.
К источнику с внутренним сопротивлением r = 1 Ом подключен
резистор с сопротивлением R = 9 Ом. Найти КПД источника тока. [КПД
= R/(R + r) = 0.9 = 90%]
84
При питании лампочки от источника ЭДС E = 1.5 В напряжение на
4.3.21.
ней U = 1.4 В. Найти КПД источника тока. [КПД = R/(R + r) = U/E  0.93
= 93%]
4.3.22.
Цепь содержит батарейку с ЭДС E = 9 В и внутренним
сопротивлением r = 4 Ом, замкнутую на резистор с сопротивлением R.
Определить ток в цепи J, полезную мощность (выделяющуюся на
резисторе) P и КПД источника  для трех случаев: 1) R = 0.04 Ом << r, 2)
R = r = 4 Ом; 3) R = 400 Ом >> r.
[1) J  2.23 А, P0  20.0 Вт, P  0.2 Вт,  = P/P0  0.01; 2) J = 1.125 А, P0 = 10.125
Вт, P = 5.0625 Вт,  = P/P0 = 0.5; 3) J  0.02 А, P0  0.2005 Вт, P 0.1985 Вт,  =
P/P0  0.99]
4.3.23.
При каком сопротивлении нагрузки в условиях предыдущей задачи
максимальна полезная мощность источника (при фиксированных ЭДС
источника и его внутреннем сопротивлении)? [R = r]
4.3.24.
Электрическая цепь состоит из конденсатора емкостью C и
резистора с сопротивлением R. До момента t = 0 цепь разомкнута, а
конденсатор имел заряд q(t = 0) = q0. В момент времени t = 0 цепь
замыкают. Показать, что начальная энергия конденсатора равна полному
джоулеву теплу, выделившемуся на резисторе за все время разрядки
конденсатора.
4.3.25.
Электрическая цепь состоит из конденсатора емкостью
C,
резистора с сопротивлением R и батареи с ЭДС E, внутренним
сопротивлением которой можно пренебречь. До момента t = 0 цепь
разомкнута, а конденсатор не заряжен q(t = 0) = 0. В момент времени t = 0
цепь замыкают. Определить: а) энергию конденсатора к концу зарядки и
85
б) полное джоулево тепло, выделившееся на резисторе за все время
зарядки конденсатора. Откуда взялась вся эта энергия?
86
4.4.
Зависимость сопротивления от температуры
Зависимость
сопротивления
металлов
(но
не
полупроводников!)
от
температуры в широком диапазоне температур хорошо описывается линейной
функцией
R(t) = R0 (1 +  t),
(4.4.1)
где t – температура в градусах по шкале Цельсия, R0 – сопротивление при нуле
градусов Цельсия,  - температурный коэффициент сопротивления. Для
большинства чистых металлов он близок к значению 1/273 = 3.6610-3 1/градус.
Это позволяет записать формулу (4.4.1) в виде
R(T) = R0  T,
(4.4.2)
где T – температура по шкале Кельвина.
В конечном счете, линейная зависимость R(t) связана с линейной зависимостью
от температуры удельного сопротивления (t) металлов. (Зависимость
сопротивления полупроводников от температуры более сложная, но, как
правило, их сопротивление резко уменьшается с ростом температуры.)
В электронагревательных приборах и электрических лампах накаливания
сопротивление в рабочем (горячем) состоянии всегда заметно больше
сопротивления этих же приборов в холодном состоянии.
Задачи.
4.4.1. Следует ли при расчете сопротивления проводов, температура которых
отлична от 0оС, принимать во внимание изменение их геометрических
размеров при нагревании? [Нет, т.к. температурный коэффициент
сопротивления порядка 10-3 1/град, а коэффициент линейного расширения
– порядка 10-5 1/град.]
4.4.2. Сопротивление нити накаливания в 100-ваттной лампочке, рассчитанной
на напряжение 220 В, в холодном состоянии (при температуре t0 = 27oC)
составляет 42 Ом. Определить сопротивление нити в рабочем (горячем)
87
состоянии и сравнить его с сопротивлением нити холодной лампочки.
[R(t)/R(t0)  11.5]
4.4.3. Сопротивление нити накаливания в 100-ваттной лампочке, рассчитанной
на напряжение 220 В, в холодном состоянии (при температуре t0 = 27oC)
составляет 42 Ом. Определить ток через нить накаливания в рабочем
(горячем) состоянии и в момент включения. [ 5.2 А]
4.4.4. Оценить температуру вольфрамовой нити в 100-ваттной лампочке
накаливания, рассчитанной на напряжение 220 В, если в холодном
состоянии (при температуре t0 = 27oC) сопротивление лампы составляет
42 Ом. [t  2500oC]
4.4.5. Почему лампочки почти всегда перегорают в момент их включения?
4.4.6. (*) Считая, что сопротивление нити в лампе зависит от температуры
линейно, R(T) = R0  T, а также пренебрегая зависимостью теплоемкости
нити от температуры, определить, по какому закону росла бы
температура нити со временем, если бы никакого теплоотвода от нее не
было. [ T (t )  T0
U2
t  t , - температура росла бы с течением
R0 mcT0T0
времени пропорционально t , стремясь к бесконечности при t]
4.4.7. (*) Считая, что сопротивление нити в лампе зависит от температуры
линейно, R(T) = R0  T, а теплоотвод пропорциональным T4 (закон
Стефана – Больцмана), где  - некоторая постоянная, пропорциональная
площади
боковой
теплоотвод,
поверхности
определить:
1)
нити,
с
зависимость
которой
осуществляется
температуры
нити
в
стационарном состоянии от напряжения U, (когда рост температуры
прекращается и все тепло, которое выделяется в проводнике за счет
88
прохождения по нему тока, будет передаваться окружающим проводник
телам); 2) зависимость сопротивления в стационарном состоянии от U; 3)
зависимость тока в этом состоянии от U
и 4) зависимость тепловой
мощности тока от U. Напряжение U считать фиксированным (как в
домашней сети). [ T 
P
U2/5
U 2/5
U
,
R

R

 U 0.4 , J 
 U 0.6 ,
0
1/ 5
1/ 5
R(U )
( R0   )
( R0   )
U2
 U 1.6 ]
R(U )
4.4.8. (*) В электрокамине перегорела спираль, развалившись на две примерно
равные половинки. Не имея под рукой запасной исправной спирали,
перегоревшую спираль решают заменить временно на одну из ее
половинок. Во сколько раз сильнее при этом станет греть камин? [P’ =
20.6 P  1.5 P]
89
4.5.
Плотность тока и закон Ома в локальной (дифференциальной)
форме
Рассмотрим провод длиной l и поперечного сечения S. Сопротивление провода
R =  l/S, где  – удельное сопротивление провода. Пусть по проводу течет ток
J, тогда по закону Ома к концам провода приложено напряжение U = J R = J 
l/S. Запишем это иначе U/l =
 J/S и учтем, что величина U/l = E есть
напряженность электрического поля в проводе. Тогда получаем E =  J/S или
E =  j,
(4.5.1)
j = J/S –
(4.5.2)
где
так называемая плотность электрического тока (или просто – плотность тока).
Если сила тока J дает нам значение заряда, протекающего в единицу времени
через всё сечение провода, то плотность тока дает значение заряда,
протекающего в единицу времени через единицу площади сечения провода.
Вместо удельного сопротивления  часто используют связанную с ней
величину
 = 1/,
(4.5.3)
называемую удельной электропроводностью вещества, или просто
–
проводимостью. (В разных книгах для нее могут использоваться разные
обозначения, например,  или .) Тогда формулу (4.5.1) записывают в виде
j =  E.
(4.5.1’)
О формулах (4.5.1) и (4.5.1’) говорят как о законе Ома в дифференциальной
(или локальной) форме.
С плотностью тока связана еще одна важная величина – средняя скорость V
направленного движения носителей заряда (или – скорость дрейфа носителей
заряда). Связь эта дается формулой
j = q n V,
90
(4.5.4)
где q – заряд носителей, а n – их концентрация, т.е. число частиц в единице
объема.
(Часто
для
средней
скорости
используют
более
громоздкое
обозначение, а именно <V>.) В случае если заряд переносится электронами, q =
e; тогда j = e n V.
Приведем еще характерные значения удельных сопротивлений при Т = 300 К (и
концентраций электронов проводимости при той же температуре) некоторых
важных с бытовой точки зрения:
 металлов:
- серебро –  = 1.6108 Ом м (n  5.91022 см3); медь –  = 1.7108 Ом м (n 
8.41022 см3); алюминий –  = 2.8108 Ом м; олово –  = 12108 Ом м;
вольфрам –  = 5.5108 Ом м; нихром (сплав) –  = 1.1106 Ом м;
 чистых полупроводников:
- германий –  = 0.47 Ом м (ni  2.41013 см3); кремний –  = 2.3103 Ом м (ni
 1.41010 см3); антамонид индия (InSb) –  = 4.5105 Ом м (ni  1.71010
см3); арсенид галлия (GaAs) –  = 6.4105 Ом м (ni  1.1107 см3);
 диэлектриков:
- древесина –  порядка 1091010 Ом м; стекло –  порядка 1091013 Ом м;
резина мягкая – =41013 Ом м; эбонит –  порядка 1016 Ом м; янтарь – 
порядка 1016 Ом м;
- удельное сопротивление воды: дистиллированной – порядка 103104 Ом м;
речной –  порядка 10100 Ом м; морской –  порядка 0.3 Ом м;
- удельное сопротивление воздуха порядка 10151018 Ом м.
(*) Большинство вопросов и задач по теме «Постоянный электрический ток»
так или иначе связаны с законом Ома. Не многие, однако, задумывались, а
почему вообще справедлив закон Ома?
Уточним вопрос. Рассмотрим сначала такой пример. Пусть пучок электронов,
распространяющихся в вакууме, пересекает две сетки – сначала сетку №1, а
затем №2. Пусть обе они включены в некоторую электрическую цепь, а их
91
потенциалы равны 1 и 2, причем, потенциал второй сетки больше потенциала
первой, 1 < 2, так что электрическое поле E направлено от второй сетки к
первой. При пролете электронов промежутка между сетками, сила со стороны
поля, действуя на каждый электрон, совершит работу A = - e (1 - 2). В
результате кинетическая энергия каждого электрона увеличится на величину
K = mV22/2 - mV12/2 = e (2 - 1).
Увеличится при прохождении электронами промежутка между сетками и
скорость каждого электрона в пучке. Здесь всё совершенно ясно.
А теперь рассмотрим проводник, к концам которого приложена постоянная
разность потенциалов 1 - 2. Тогда по закону Ома в проводнике будет течь
постоянный ток J = (1 - 2)/R. Постоянный ток, однако, предполагает
постоянную (не меняющуюся со
(дрейфового)
движения
временем)
электронов,
скорость
упорядоченного
пропорциональную
напряженности
электрического поля
V = (J/S)/(nee)  1 - 2  E.
Спрашивается: почему же здесь электроны не ускоряются, а движутся с
постоянной скоростью?
Наличие постоянного
электрического поля в
проводнике, казалось бы, должно приводить к постоянному ускорению
электронов a = eE/m, а не постоянной скорости? – Всё дело здесь, разумеется,
в том, что провод оказывает сопротивление движению электронов.
Первая микроскопическая теория, учитывающая эту силу сопротивления и
впервые объяснившая как закон Ома, так и закон Джоуля – Ленца, была
предложена немецким физиком П. Друде. По этой теории движение электронов
из-за их рассеяния несовершенствами кристаллической решетки оказывается
довольно сложным – вовсе не равноускоренным, однако и не равномерным.
Постоянной оказывается лишь средняя (по времени) скорость упорядоченного
движения.
Чаще всего теорию Друде излагают, рассматривая отдельно движение
электрона в промежутке между актами рассеяния и отдельно сами акты
рассеяния. Реже можно найти другую трактовку теории Друде, которая по
92
мнению автора обладает своими несомненными достоинствами. Учтем акты
рассеяния
электронов
некоторой
эффективной
силой
сопротивления,
действующей непрерывно на электроны. Уравнение движения электрона
запишем в виде

 
dV
m
 eE  Fсопр
dt
(4.5.5)
и будем считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости движения
электронов: Fсопр–V. Коэффициент пропорциональности должен иметь
размерность массы, деленной на время, поэтому положим


mV
Fсопр  
.
(4.5.6)

При этом уравнение движения электрона запишется в виде


 mV
dV
m
 eE 
.
dt

(4.5.5’)
Мы не станем решать этого дифференциального уравнения (хотя трудностей
здесь никаких нет), - достаточно немного порассуждать. Предположим, что
электрическое поле включается в некоторый «нулевой» момент времени t=0,
когда электрон еще не имел никакой скорости упорядоченного движения. В
этот момент и сила сопротивления = 0. Далее электрон начинает разгонятся
электрическим полем. При этом его скорость растет, а с ней появляется и
начинает расти сила сопротивления. Ускорение электрона уменьшается за счет
роста силы сопротивления. Наконец, наступает «момент», когда при
неизменной силе со стороны поля скорость электрона вырастет настолько (а с
ней вырастет и сила сопротивления), что обе силы (разгоняющая со стороны
поля и тормозящая со стороны решетки) сравняются по величине. Движение
электрона при этом выйдет на стационарный режим – с равным нулю
ускорением (dV/dt =0) и постоянной скоростью упорядоченного движения
V = e E /m.
Вычисление плотности тока при этом дает
j = e n V = (n e2 /m) E =  E = E/,
что как раз совпадает с законом Ома в дифференциальной форме.
93
(4.5.7)
Что здесь существенно? – Если бы сила сопротивления была пропорциональна
не первой, а например, 2-й степени скорости (Fсопр=– V2), то мы не получили
бы закона Ома: скорость установившегося движения, а вместе с ней и
плотность тока, в этом случае были бы пропорциональны не E, а E1/2. Реально, в
металлах закон Ома (пропорциональность плотности тока именно первой
степени E) выполняется с очень хорошей точностью. В полупроводниках (когда
в них существуют большие тянущие электрические поля) закон Ома может
нарушаться. Так бывает, например, в тех случаях, когда тянущее поле столь
велико, что дрейфовая скорость электронов оказывается сравнимой со средней
скоростью их теплового движения.
Задачи.
4.5.1. В проводнике переменного сечения течет ток. Диаметр широкого участка
в 2 раза больше, чем узкого. Во сколько раз различаются скорости
упорядоченного движения электронов на этих двух участках? [Скорость
на узком участке в 4 раза больше]
4.5.2. Когда молния ударяет в землю, то за время порядка 1 мс = 10-3 с по
каналу молнии из грозовой тучи на землю (или наоборот) проходит заряд
порядка 10 кулон. При этом ток в импульсе достигает значения 10 4 ампер.
(Бывают молнии как более длительные, так и переносящие большие
заряды.) С другой стороны, по малюсенькой нити накаливания в
лампочке карманного фонаря (работающего от батарейки в 1.5 В) течет
ток примерно в 0.2 ампера. Легко сообразить, что за время 10 секунд по
нити пройдет заряд в 2 кулона. Это всего в 5 раз меньше заряда,
переносимого молнией! – Не ошибаемся ли мы в своих оценках? – Нет,
оказывается, не ошибаемся. Дело в том, в металлах ток переносится
чудовищно большим числом электронов. Оценить полное число
электронов и их суммарный заряд, например, в одном кубическом
сантиметре
медного
проводника
94
и
в
одном
килограмме
его.
[Концентрация атомов меди nат = 8.51022 см-3. Такой же будет
концентрация электронов ne, участвующих в переносе заряда. Суммарный
заряд всех электронов проводимости меди в 1 см3 равен 1.36104 Кл. и 1.5
миллиона кулон в каждом килограмме]
4.5.3. Оценить, какой бывает реально скорость упорядоченного движения в
металлах? Оценку провести для медного провода с сечением S = 1 мм2 =
10-6 м2 , по которому течет ток J = 1 А, что соответствует достаточно
большой плотности тока j = J/S = 106 A/м2 (при плотностях тока в 108
А/м2 металлы обычно уже плавятся). [0.07 мм/с]
4.5.4. Какой
величины
бывают
электрические
поля
в
металлических
проводниках, когда по ним течет ток? Оценку провести для медного
провода сечением S = 1 мм2 = 10-6 м2 и тока J = 10 ампер (что
соответствует плотности тока j = J/S=107 A/м2, лишь в 10 раз меньше
максимально допустимой). [0.17 В/м <0.2 В/м]


 mV
dV
 eE 
4.5.5. Решить уравнение m
(4.5.5’). [V(t) = (eE/m) (1 – exp(– t/))]
dt

4.5.6. Оценить время  в формуле для электропроводности  = 1/ = n e2 /m,
положив вместо m массу электрона 0.910-30 кг и, как это имеет место для
меди,  = 1.7 10-8 Ом м, n = 8.441028 м-3. [  2.5 10-14 с.]
4.5.7. Известно много случаев, когда лошадь или корову убивало током от
оборвавшегося провода. Оценить напряжение, под которым может
оказаться человек, приблизившийся к проводу, коснувшемуся земли. По
проводу на землю течет ток J = 1A, который затем растекается по грунту
с удельным сопротивлением  = 102 Ом м. [ U ш 
95
 J 1
1 
 
 , где L –
2  L L  l 
расстояние от провода до ближайшей ноги человека, l – длина его шага.
Положим для оценки l = 1 м. Тогда при расстоянии L = 2 м получим Uш 
2.7 В. При этом по человеку пойдет ток J= Uш/Rчел, что для Rчел = 15 кОм
составит менее 0.2 мА. Сопротивление человека может быть и много
меньше, например, всего 1 кОм; при этом по человеку пойдет ток уже
почти в 3 мА. А если он приблизится к проводу на меньшее расстояние,
то этот ток может оказаться настолько большим, чтобы стать опасным
для жизни человека. Например, при расстоянии от провода до ближайшей
ноги человека L=0.5 м мы получим ток более 20 мА, который уже весьма
опасен.]
4.5.8. Известно, как опасно во время грозы укрываться под деревом. При
попадании молнии в дерево ток, ударивший в вершину начинает
распространяться по неплохо проводящему стволу, а затем через корни
растекаться по земле. При этом в почве будет, хотя и короткое время,
существовать довольно сильное электрическое поле, а между любыми
двумя точками будет существовать разность потенциалов. Оценить, какое
напряжение возникнет между ступнями человека, который будет стоять
на расстоянии 1 м от дерева, а расстояние между ступнями составит 30
см. Для средней по силе молнии ток в импульсе равен 30 кА. Удельное
сопротивление грунта  = 200 Ом м. [200 000 вольт]
96