Учебно-методическое пособие по Высшей математике для преподавателей медицинского университета

федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Кемеровский государственный медицинский университет»
Министерства здравоохранения Российской Федерации
Кафедра медицинской и биологической физики и высшей
математики
МАТЕМАТИКА
(ЧАСТЬ 1)
учебно-методическое пособие для преподавателей по основной
профессиональной образовательной программе высшего образования
- программе специалитета по направлению подготовки
«Лечебное дело»
Кемерово-2019
УДК 53(076.5)
ББК 22.3я73
М
Математика (часть 1): учебно-методическое пособие для преподавателей по основной
профессиональной образовательной программе высшего образования –программе
специалитета по направлению подготовки «Лечебное дело» / Е. В. Салтанова, О. В. Головко,
Г.Н. Дадаева - Кемерово, 2019. – 58 с.
Методические рекомендации разработаны в соответствии с ФГОС ВО по
направлению подготовки (специальности) 31.05.01 «Лечебное дело», утв. приказом
Министерства образования и науки РФ от 9 февраля 2016 г. № 95, а также в соответствии с
рабочей программой дисциплины «Физика, математика».
Учебно-методическое пособие содержит рекомендации для проведения практических
занятий для обучающихся I – го курса обучающихся по направлению подготовки «Лечебное
дело» очной формы обучения.
Авторы:
Головко Ольга Владимировна – доцент кафедры медицинской, биологической физики и
высшей математики ФГБОУ ВО «Кемеровский государственный медицинский университет»
Минздрава России.
Салтанова Елена Владимировна – ст. преподаватель кафедры медицинской,
биологической физики и высшей математики ФГБОУ ВО «Кемеровский государственный
медицинский университет» Минздрава России.
Дадаева Галина Николаевна - ст. преподаватель кафедры медицинской, биологической
физики и высшей математики ФГБОУ ВО «Кемеровский государственный медицинский
университет» Минздрава России.
Рецензенты:
Начева Л.В. – председатель ЦМК блока естественно-научных и медико-биологических
дисциплин, д-р. биол. наук, профессор, зав. кафедрой биологии с основами генетики и
паразитологии ФГБОУ ВО «Кемеровский государственный медицинский университет»
Минздрава России.
Шатрова Н.В. – председатель ФМК лечебного факультета, канд. мед. наук, доцент кафедры
пропедевтики внутренних болезней ФГБОУ ВО «Кемеровский государственный
медицинский университет» Минздрава России.
Рекомендовано на заседании кафедры медицинской, биологической физики и
высшей математики в качестве учебно-методического пособия для преподавателей
по основной профессиональной образовательной программе высшего образования –
программе по направлению подготовки 31.05.01 «Лечебное дело» протокол № 1 от 30
августа 2019 года.
©ФГБОУ ВО «Кемеровский государственный
медицинский университет» Минздрава России, 2019
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................................................................... 4
ЗАНЯТИЕ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ............................................................................... 6
1.1. Краткая аннотация теоретического материала занятия .......................................................... 7
1.2 Практическая часть занятия ...................................................................................................... 13
1.3 Задания для аудиторной самостоятельной работы обучающихся ........................................ 15
1.4 Контрольные вопросы для определения конечного уровня усвоения знаний ..................... 18
1.5 Условия проведения занятия .................................................................................................... 18
1.6 Задания для внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся .................................. 19
ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ................................................................................ 19
2.1 Краткая аннотация теоретического материала по теме ......................................................... 20
«Дифференциал функции» .................................................... Ошибка! Закладка не определена.
2.2 Практическая часть занятия «Дифференциал функции» ....................................................... 27
2.3 Задания для аудиторной самостоятельной работы обучающихся ........................................ 30
2.7 Контрольные вопросы для определения конечного уровня усвоения знаний ..................... 32
2.8 Условия проведения занятия .................................................................................................... 32
2.9 Задания для внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся .................................. 32
ТЕМА 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ......................................................................... 33
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ................................................................................. 33
3.1
Краткая аннотация теоретического материала по теме .................................................... 35
«Неопределённый интеграл» .......................................................................................................... 35
2.5 Практическая часть занятия по теме «Неопределённый интеграл» ..................................... 37
2.6 Задания для аудиторной самостоятельной работы обучающихся ........................................ 39
3.3 Краткая аннотация теоретического материала по теме ......................................................... 41
«Определённый интеграл» .............................................................................................................. 41
3.2 Практическая часть занятия по теме «Определённый интеграл» ......................................... 43
3.3 Задания для аудиторной самостоятельной работы обучающихся ........................................ 44
3.4 Краткая аннотация теоретического материала по теме «Дифференциальные уравнения» 48
3.5
Практическая часть занятия по теме «Дифференциальные уравнения» ......................... 52
3.6 Задания для аудиторной самостоятельной работы обучающихся ........................................ 54
3.7 Контрольные вопросы для определения конечного уровня усвоения знаний ..................... 57
3.8 Условия проведения занятия .................................................................................................... 58
3.9 Задания для внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся .................................. 58
ВВЕДЕНИЕ
Учебно-методическое
пособие
предназначено
преподавателям,
проводящим практические занятия по блоку «Математика» дисциплины
«Физика,
математика» для
обучающихся
по
направлению подготовки
«Лечебное дело».
Учебно-методическое пособие написано в соответствии с рабочей
программой дисциплины «Физика, математика» по направлению подготовки
«Лечебное дело».
В
настоящем
учебно-методическом
пособии
излагается
методика
преподавания основ математического анализа, направленная на формирование
у обучающихся общекультурной (ОК - 1) и общепрофессиональной (ОПК - 7)
компетенций в соответствии с действующим Федеральным государственным
стандартом высшего образования по направлению подготовки «Лечебное
дело». Краткое содержание, структура компетенции и характеристика
обязательного порогового уровня знаний обучающихся приведены в таблице 1.
В
методическом
пособии
рассматривается
методика
проведения
практических занятий по темам: производная и дифференциал функции,
применение дифференциала к расчёту погрешностей измерений, простейшие
методы интегрирования, методы решения дифференциальных уравнений
первого порядка с разделяющимися переменными. Для каждого практического
занятия определена цель, перечень знаний и умений, которые должны освоить
обучающиеся, приведена краткая аннотация теоретического
материала,
контрольные вопросы для определения конечного уровня усвоения знаний и
условия проведения занятий. Особое внимание уделено практической части
занятия, в которой приведены не только типовые задания с решениями, но и
рассмотрены математические методы решения интеллектуальных задач и их
применение в медицине.
4
Таблица 1. Содержание и структура компетенций, формируемых при изучении дисциплины «Физика, математика».
Компетенции
Код
ОК-1
ОПК-7
Содержание компетенции
(или её части)
Способностью к
абстрактному мышлению,
анализу, синтезу
Готовностью к
использованию основных
физико-химических,
математических и иных
естественнонаучных
понятий и методов при
решении профессиональных
задач
Характеристика обязательного порогового уровня
Знать
Уметь
возможности
использования на практике
естественнонаучных
методов в различных видах
профессиональной
деятельности
Обобщать, анализировать
информацию, ставить цели,
искать методы достижения
их, опираясь на
естественнонаучные знания
способностью абстрактно
мыслить, анализировать,
получаемую информацию
– основные определения,
теоремы, формулы, понятия
и методы
математического
анализа в пределах рабочей
программы по дисциплине
«Физика, математика»;
– математические методы
решения интеллектуальных
задач и их применение в
медицине.
– проводить точную постановку
задачи и определять
приоритеты при решении задач;
– применять математические
методы для решения задач
медицинской проблематики;
– оценивать погрешности
эксперимента;
– решать типовые задачи по
предложенным методам и
алгоритмам.
- математическим языком
предметной области: основными
терминами, понятиями,
определениями математического
анализа;
– основными способами
представления математической
информации (аналитическим,
графическим, символьным).
5
Владеть
ТЕМА 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Продолжительность практического занятия – 3 часа (135 минут)
План практического занятия (хронокарта)
Актуальность и цель практического занятия
Разбор теоретического материала:
– понятие аргумента и функции, приращение аргумента и приращение
функции;
– производная функции: определение, правила дифференцирования;
– сложная функция, производная сложной функции, цепное правило;
– производные высших порядков;
– физический смысл производной первого и второго порядков;
– функция двух переменных, частные производные;
– понятие градиента.
Практическая часть занятия:
- вычисление производных элементарных и сложных функций;
- нахождение производных второго порядка;
- нахождение частных производных функции двух переменных;
- применение производных к решению задач.
5 мин.
Заключение и задание для внеаудиторной самостоятельной работы
обучающихся
10
30
мин.
90
мин.
мин.
Формируемые компетенции: ОК-1, ОПК-7.
Цель практического занятия
Теоретическое изучение и получение практических навыков по теме
«Производная функция».
В результате проведения практического занятия обучающийся должен
знать:
– определение аргумента, функции, приращения аргумента и функции;
– определение производной функции;
– понятие производной второго порядка функции одной переменной;
– определение частной производной функции нескольких переменных;
– свойства производных;
– физический смысл производной первого и второго порядков.
В результате проведения практического занятия обучающийся должен
6
уметь:
– вычислять производные элементарных функций;
– находить производные сложных функций;
– находить частные производные первого порядка функций двух переменных;
– применять производные к решению задач.
1.1. Краткая аннотация теоретического материала занятия
Понятие аргумента и функции
Методы дифференциального исчисления, т.е. нахождение производной
функции, применяются при изучении непрерывно изменяющихся процессов.
Изучая какие – либо процессы и явления, происходящие в природе и
обществе, необходимо описать их математически, т.е. составить функцию.
Пусть имеется некоторое множество Х элементами, которого являются
числа х1 х2  хi  и множество Y элементами которого являются числа
y1 y2  yi  Если каждому числу x  X по некоторому закону или правилу f
ставится в соответствие число y  Y , то говорят, что на множестве Х задана
функция
y  f (x) ,
где x - независимая переменная (или аргумент),
y - зависимая переменная,
f - обозначает закон соответствия.
Аргумент
функции
может
изменяться,
поэтому
вводят
понятие
приращение аргумента.
Приращением аргумента ( x ) называется разность
между двумя
значениями аргумента:
x  x2  x1 ,
где x2 - конечное значение аргумента,
x1 - начальное значение аргумента.
При изменении аргумента может изменяться и значение функции.
Изменение функции характеризуется приращением функции:
7
(1.1)
y  f ( x2 )  f ( x1 ) ,
(1.2)
где f ( x2 ) - конечное значение функции,
f ( x1 ) - начальное значение функции.
Производная функции
Производной функции y  f (x) называется предел (если он существует)
отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении
приращения аргумента к нулю
y
f ( x  x)  f ( x)
 lim
,
x  0 x x  0
x
y  lim
где
y  - обозначение производной.
Другие обозначения производной функции: f (x) ,
dy df ( x)
,
.
dx dx
Нахождение производных называется дифференцированием.
Правила дифференцирования
Пусть u  ux  и    x  - произвольные функции одного аргумента. При
дифференцировании используются следующие правила:
1. Постоянный множитель выносится за знак производной:
c  u   c  u ,
(1.3)
2. Производная алгебраической суммы функций.
u     u    ,
(1.4)
3. Производная произведения двух функций
u    u      u ,
(1.5)
4. Производная частного двух функций

 u  u       u
,
  
2
 

Для
нахождения
производной
(1.6)
функции
кроме
правил
дифференцирования надо знать таблицу производных элементарных функций
(таблица 2).
8
Итак, чтобы найти производную надо заданную функцию разобрать на
составляющие её простые функции и определить какими действиями
(произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные
элементарных
функций находят в таблице производных, а формулы
произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования.
Таблица 2. Основные формулы дифференцирования элементарных функций
1. C  x  0 , где С  const
7. tgx 
1
cos2 x
 
8. ctgx  
 
9. arcsin x  

2. x n  n  x n 1

3. a x  a x  ln a
4. ln x   ;
1
x
log a x ' 
1
sin 2 x
1
1  x2
10. arccos x   
1
x ln a
5. sin x   cos x
11. (arctgx) 
6. cos x    sin x
12. arcctgx  
1
1  x2
1
1  x2
1
1  x2
.
Сложная функция. Производная сложной функции
Если функция y  f (u ) есть функция от переменной u , а переменная u в
свою очередь является функцией u   (x) от переменной x , то функция
y  f  (x) называется сложной функцией, здесь x - называется основным
аргументом, u   (x) - промежуточным аргументом.
Любую сложную функцию можно представить в виде простых функций,
которые являются её промежуточными аргументами.
Пример. Функция y  sin( x 2 ) является сложной функцией, здесь x основной аргумент, u   ( x)  x 2 - промежуточный аргумент.
Пример. Функция y  ( x 2  3x) 4 - сложная функция, т.к. она состоит из
9
простых функций u  x 2 и y  u 4 .
Производную сложной функции y  f  (x) находят, используя цепное
правило: производная сложной функции по основному аргументу равна
произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на
производную промежуточного аргумента по основному.
На
основе
цепного
правила
записывают
формулу
вычисления
производной сложной функции:
yx  yu  u x ,
(1.7)
где y x - производная сложной функции по основному аргументу;
yu - производная функции по промежуточному аргументу;
u x - производная промежуточного аргумента по основному.
Если некоторая сложная функция имеет несколько промежуточных
аргументов u,  , ..., z, т.е. y  f1 (u ) , u  f 2 ( ) ,   f3 ( z ) , z  f 4 ( x) . Тогда
цепное правило принимает вид:
yx  yu  u  z  ... z x .
(1.8)
Производные сложных функций можно находить, применяя таблицу
производных сложных функций (таблица 3).
Таблица 3. Основные формулы производных сложных функций
 

1. u n  nu n 1  u 
7. tgu  
 
u
cos2 u

2. a u  a u  ln a  u 
u
8. ctgu   
sin 2 u
3. (eu )  eu  u 
9. arcsin u  
u
1  u2
u
4. ln u   ;
u
10. arccosu   
5. sin u   cosu  u 
11. (arctgu) 
10
u
1  u2
u
1  u2
6. cos u    sin u  u 
u
12. arcctgu   
1  u2
Производные высших порядков
Пусть для функции y  f  x  её производная y  f  x  есть также
функция от аргумента x . Если y   f  x  дифференцируемая функция, то её
производная обозначается y   f  x  
d2y
dx 2
и называется производной второго
порядка или второй производной.
Производную от производной второго порядка, если таковая имеется,
называется производной третьего порядка, и обозначают y  и т.д.
Производные порядков выше первого называются производными высших
порядков.
Физический смысл производной первого и второго порядков
При любых формах механического движения путь,
пройденный
материальной точкой, есть функция от времени: S  S t  .
Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от t до
t  t можно найти по формуле S  S t  t   S t  . Тогда средняя скорость
движения равна:
cр 
S
.
t
(1.9)
Чем меньше t , тем точнее средняя скорость характеризует движение в
момент времени t . При t  0 средняя скорость стремиться к своему пределу,
представляющему скорость движения материальной точки в данный момент
времени и называется мгновенной скоростью:
S
 мгн  lim  cр  lim
 S t  .
t  0
t  0 t
С помощью производной выражают быстроту протекания физических,
химических и других процессов, например:
1. если S t  - путь пройденный точкой за время t , то его производная 11
мгновенная скорость прямолинейного движения:
 мгн  S t 
(1.10)
2. если m(t ) - количество вещества, вступающего в химическую реакцию, то
его производная - скорость химической реакции:
  mt  
dm
dt
(1.11)
3. сила тока I - производная заряда q по времени:
I  qt  
dq
dt
(1.12)
Физический смысл производной первого порядка заключается в том, что
производная
выражает
скорость
протекания
процесса,
описываемого
зависимостью y  f  x  .
При неравномерном движении скорость есть функция от времени:
   t  . Пусть за промежуток времени t , скорость изменяется на  .
Величина, характеризующая изменение скорости  за промежуток времени
t , называется средним ускорением:
acр 

.
t
(1.13)
Если t  0 , то вводят понятие мгновенного ускорения (ускорение в момент
времени t ):
a мгн   t  
d
 S t  .
dt
(1.14)
Вторая производная функции, описывающей некоторый процесс, имеет
смысл мгновенного ускорения этого процесса.
Функции двух переменных. Частные производные функции двух
переменных. Понятие градиента.
Понятие частных производных вводят для функций, которые зависят от
двух и более переменных: z  f ( x ; y) .
Например, объем цилиндра V   R 2 H является функцией радиуса R
основания и высоты H : V  f ( R ; H ).
12
Частной производной функции
z  f ( x ; y)
по аргументу
x
(при
постоянном значении y ) называется предел отношения частного приращения
функции к приращению аргумента x , если x  0 .
z
z ( x  x ; y )  z ( x ; y )
.
 lim
x x 0
x
Для вычисления частной производной по переменной
x находят
производную функции по переменной x , при условии, что переменная y
остаётся постоянной величиной.
Частной производной функции
z  f ( x ; y)
по аргументу
y
(при
постоянном значении x ) называется предел отношения частного приращения
функции к приращению аргумента y , если y  0 .
z
z ( x ; y  y )  z ( x ; y )
.
 lim
y y 0
y
Частная производная функции z  f ( x ; y) по переменной y обозначается
z
или z 'y . Для её вычисления находят производную по переменной y , при
y
условии, что переменная x остаётся постоянной величиной.
Градиентом функции z  f ( x ; y) в точке A( x0 ; y0 ) называется вектор с
координатами равными соответственно частным производным
z z
,
, взятым
x y
в точке A( x0 ; y0 ) . Градиент функции обозначается grad z  x; y  и характеризует
направление и величину максимальной скорости возрастания функции в данной
точке.
1.2 Практическая часть занятия
Пример 1. Найти приращение аргумента и приращение функции y  2 x  1 если
аргумент изменяется от x1  4 до x2  4,1 .
Решение. По формуле (1.1) вычисляют приращение аргумента
x  x2  x1  4,1  4  0,1
По формуле (1.2) вычисляют приращение функции, для этого находят начальное
13
значение функции y1  y ( x1 )  2  4  1  9 ,
находят конечное значение функции y2  y ( x2 )  2  4,1  1  9,2 .
Приращение функции: y  y ( x2 )  y ( x1 )  9,2  9  0,2 .
Пример 2. Найти производную функции y  6 ln x
Решение. Последовательно применяют формулы (1.3) и 4 (таблица 2)
6
y   6 ln x   6  ln x   .
x
Пример 3. Найти производную функции y  2  x  3x 2
Решение. Последовательно применяют формулы (1.4) и 1 и 2 (таблица 2)
 

y   (2  x  3x 2 )  2  x  3x 2  1  6 x .
Пример 4. Найти производную функции y  x 4  sin x
Решение. Последовательно применяют формулы (1.5) и 1 и 5 (таблица 2)
 

y   ( x 4  sin x)  x 4  sin x  sin x  x 4  4 x 3  sin x  cos x  x 4  x 3 4 sin x  x cos x 
Пример 5. Найти производную функции y 
x3  1
x2
Решение. Последовательно применяют формулы (1.6) и 1 и 2 (таблица 2)


 
 




 2
3
2 
 x3 1
x

1

x

x
 x 3  1 3x 2  x 2  2 x  x 3  1


y   2  


4
2 2
x
x


x

3x 4  2 x 4  2 x x3  2
.

x4
x3


5
Пример 6. Найти производную сложной функции y  x 3  4x .
Решение. Выбирают промежуточный аргумент u  x 3  4 x , тогда сложная
функция примет вид: y  u 5 . Последовательно применяют формулы (1.7), (1.4),
(1.3) и формулу 1 (таблица 2), получают:
   x
yx  u 5
u
3
 4x

x

 
 
4

 5u 4  3x 2  4  5 x3  4 x  3x 2  4 .
Пример 7. y  ln 3 4 x 2 . Найти y  .
Решение. Выбирают промежуточный аргумент 4 x 2  u , тогда заданная функция
14
примет вид: y  ln 3 u . Вводят второй промежуточный аргумент: ln u  z , тогда
заданная функция запишется: y  z 3 .
По формуле (1.8) находят производную:
 
y x  z 3
z
 zu  u x
 

1
y ' x  ( z 3 )  ln u u  4 x 2 x  3z 2   8 x
u
Подставляют z  ln u  ln( 4 x 2 ) и u  4x 2 , получают
 
y x  3 ln 2 4 x 2 
 
1
6 2

8
x

ln 4 x 2 .
2
x
4x
Пример 8. Найти производную второго порядка функции y  4 x 3  3x  5



Решение. Находят производную первого порядка: y   4 x 3  3x  5  12 x 2  3 .



Находят производную второго порядка: y  12 x 2  3  24 x .
Пример 9. Найти все частные производные функции z  x 2  sin y .
Решение.
z
 ( x 2  sin y)x  2 x ,
x
z
 ( x 2  sin y)y  cos y .
y
Пример 10. Найти все частные производные функции z  x 2  3 xy 2  y 3 .
Решение.
z
 ( x 2  3xy 2  y 3 )x  2 x  3 y 2 ,
x
z
 ( x 2  3xy 2  y 3 )y  6 xy  3 y 2 .
y
1.3 Задания для аудиторной самостоятельной работы обучающихся
Найти производные функций, применяя свойства производных и таблицу
производных элементарных функций:
1. y  3x  5
Ответ: y   3
2. y  x 3  e x
Ответ: y   x 2 e x (3  x)
3. y  tgx  x
x
tgx

cos2 x 2 x
1
Ответ: y 
1  sin x
4. y 
cos x
1  sin x
Ответ: y 
15
5. y 
2
Ответ: y  
x3
6. y  2 x  ln x
7. S  3 3 t 2
1
 cos x
x2
9. y   x  2 x  8
8. y 
6
x2

Ответ: y  2 x  ln 2  ln x 

2
Ответ: S   3
t
2
Ответ: y   3  sin x
x
Ответ: y  2 x  6
1

x
2 x 2  3x  4
2x2  4
Ответ: y 
x
x2
Найти производные сложных функций, применяя цепное правило,
10. y 
свойства и таблицу производных.
1. y  sin 3 x
Ответ: y  3 sin 2 x cos x
2. y  cos x 4
Ответ: y   4 x 3 cos x 4
 
 
3. S  ln 5t 
Ответ: S  
4. y  t 2  4
Ответ: y 
5. y  tg 2 x
Ответ: y  
1
t
t
t2  4
2tgx
cos2 x
6. y  esin x
Ответ: y  esin x  cos x
7. y  ln 2 x
Ответ: y 
8. S  a 3t
3
9. y  e xln x
2 ln x
x
3
Ответ: S   9t 2 a 3 t ln a
 
10. y  sin 3 x 2
Ответ: y  e x ln x ln x  1
 
Ответ: y   6 x sin 2 x 2 cos x
Найти производную второго порядка функции
1. y  x 4
 
Ответ: y   12x 2
2. y  e x  cos x 2
Ответ: y   e x  2 sin( x 2 )  4 x 2 cos( x 2 )
3. y  sin 2 x
Ответ: y   2 cos( 2 x)
4. y  x  sin x
Ответ: y   2 cos x  x sin x
16
Применение производных к решению задач
Задача 1. Закон движения тела задаётся уравнением S  0,5t 2  5t  3 м  . Найти
за промежуток времени от t1  3c до t2  5c путь, пройденный телом; среднюю
скорость и скорость в момент времени t  5c .
Решение.
Путь, пройденный телом за 3 секунды: S1  0,5  32  5  3  3  16,5  м 
Путь, пройденный телом за 5 секунд: S2  0,5  52  5  5  3  34,5 м 
Путь, пройденный телом за промежуток времени от t1  3c до t2  5c
S  S 2  S1  34,5  16,5  18( м)
По формуле (1.9) средняя скорость движения:  ср 
S
S
18 м


 9м / с
t t 2  t1 5с  3с
По формуле (1.10) мгновенная скорость движения:

 мгн  S t   0,5t 2  5t  3  t  5( м / с)


Мгновенная скорость в момент времени 5 секунд:
 мгн (5с)  5  5  10( м / с)
Задача 2. Количество электричества, протекающего через проводник, начиная с
момента времени t  0 , задаётся уравнением q  0,2t 2  3t  1Кл  . Найти силу
тока в конце пятой секунды.
Решение. По формуле (1.12) сила тока в любой момент времени равна

dq
i
 qt   0,2t 2  3t  1  0,4t  3 ( А)
dt
Сила тока в момент времени 5 с: i5  0,4  5  3  5 A
Задача 3. Закон движения материальной точки задаётся уравнением


S  t 3  2t  5 (м). Найти ускорение в момент времени t  2 c .
Решение. По формуле (1.14) мгновенное ускорение:
a  S t   (t 3  2t  5)  6t (м/с2).
Ускорение в момент времени 2 с: a2  6  2  12 (м/с2).
Задача
4.
Тело,
массой
3 кг
движется
прямолинейно
по
закону
S  t 3  5t 2  4 м  . Определить кинетическую энергию тела в конце четвертой
секунды после начала движения.
Решение. Кинетическая энергия вычисляется по формуле: Eк  m .
2
2
17
Мгновенная скорость движения тела в любой момент времени находят по
формуле (1.9):   S t   t 3  5t 2  4  3t 2  10 t (м/с)

Скорость в момент времени 4 с:  4  3  4 2  10  4  8 (м/с)
Кинетическая энергия тела в конце четвертой секунды:
m 2 3кг  (8 м / с) 2
Eк 

 96 Дж .
2
2
Задача 5. Найти максимальную силу, действующую на материальную точку


массой 3кг, движущуюся по закону S  3 sin  2t   м.
3

Решение. По второму закону Ньютона сила, действующая на тело равна:
F  ma .
Ускорение находят по формуле (1.14):

 




a  S    3 sin  2t     12 sin  2t   м/с2
3 
3



Сила, действующую на тело:
 




F  ma  2    12 sin  2t     24 sin  2t   ( Н )
3 
3



Максимальная сила, действующая на тело: Fmax  24 ( Н ) .
1.4 Контрольные вопросы для определения конечного уровня усвоения
знаний
1. Понятие функции, приращение аргумента, приращение функции.
2. Определение производной функции. Правила дифференцирования.
3. Цепное правило вычисления производной сложной функции.
4. Функция нескольких переменных. Частные производные.
5. Физический смысл производных первого и второго порядков.
1.5 Условия проведения занятия
1. Плакат «Таблица производных элементарных функций»
2. Плакат «Таблица производных сложных функций»
3. Плакат «Свойства производных функций»
4. Комплект таблиц по математике.
18
1.6 Задания для внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся
1. Решение практических заданий по теме «Производная функции».
2. Подготовка к практическому занятию по теме «Дифференциал функции».
ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Продолжительность практического занятия – 3 часа (135 минут)
План практического занятия (хронокарта)
Актуальность и цель практического занятия
Текущий контроль знаний по теме «Производная функции»
Разбор теоретического материала по теме «Дифференциал функции»:
- дифференциал функции: определение, свойства;
- частный и полный дифференциал функции;
- погрешности измерений;
- применение дифференциала к расчёту погрешностей.
Практическая часть занятия по теме «Дифференциал функции»:
- вычисление дифференциала функции одной переменной;
- нахождение частного и полного дифференциала функции;
- вычисление погрешностей прямых и косвенных измерений на
примере решения задач практического содержания.
Заключение. Задание для внеаудиторной самостоятельной работы
студентов
5 мин.
10 мин.
30 мин.
80 мин.
10 мин.
Формируемые компетенции: ОК-1, ОПК-7.
Цель практического занятия
Теоретическое изучение и приобретение практических навыков по теме
занятия.
В результате проведения практического занятия обучающийся должен
знать:
– понятие дифференциала функции одной переменной;
– определение частного и полного дифференциала функции двух переменных;
– определение прямых и косвенных измерений;
– определение абсолютной и относительной погрешности;
В результате проведения практического занятия обучающийся должен
уметь:
19
– находить дифференциал функции одной переменной;
– находить частные и полный дифференциал функции двух переменных;
– вычислять абсолютную и относительную погрешности прямых и косвенных
измерений, записывать результат измерений с учётом погрешностей;
2.1 Краткая аннотация теоретического материала занятия
Дифференциал функции
Производной
функции
y  f (x)
называется
предел
отношения
приращения функции к приращению аргумента, при стремлении приращения
аргумента к нулю
y
f ( x  x)  f ( x)
 lim
,
x  0 x x  0
x
y  lim
Согласно определению предела между
y
и
x
y  не может быть равенства.
y
отличается от y  на бесконечно малую величину
x
:
y
 y   ,
x
где  - бесконечно малая величина, стремящаяся к нулю при x  0 , тогда
приращение функции
y можно записать в виде:
y  yx   x .
Первое слагаемое правой части стремится к нулю при x  0 , второе
слагаемое содержит произведение двух бесконечно малых величин. Т. о. первое
слагаемое стремится к нулю медленнее, чем второе. Первое слагаемое
называется главной частью приращения функции или дифференциалом.
Дифференциалом функции называется главная часть приращения
функции y , равная произведению
y x и обозначается
dy  yx
Пример.
Найти дифференциал независимой переменной
дифференциал функции
y  x . Согласно формуле (2.1) получают
20
(2.1)
x , то есть
dy  dx  xx  x .
То есть дифференциал независимой переменной равен её приращению:
dx  x .
Тогда формула для дифференциала перепишется в виде
dy  ydx
(2.2)
Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной
функции на дифференциал независимой переменной.
Свойства дифференциала функции
1. Дифференциал постоянной величины равен нулю
dc  0 , c - const.
2. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала
d (cu )  cdu , где u  u(x)
3. Дифференциал суммы двух функций
d (u   )  du  d , где u  u(x) и    (x)
4. Дифференциал произведения двух функций
d (u  )  ud  du , где u  u(x) и    (x) .
5. Дифференциал частного двух функций
 u  ud  du
.
d  
2

 
Понятие о частном и полном дифференциале функции
Понятие частного и полного дифференциала вводят для функций,
которые зависят от двух и более переменных, например
u  f ( x, y) .
Частным дифференциалом функции по одному из аргументов называется
произведение частной производной функции по этому аргументу на
дифференциал этого аргумента
21
u
dx - частный дифференциал по аргументу x характеризует главную часть
x
приращения функции при изменении аргумента x , когда аргумент у не
изменяется;
u
dy - частный дифференциал по аргументу y характеризует главную часть
y
приращения функции при изменении аргумента y , когда аргумент x не
изменяется;
Полный дифференциал функции равен сумме частных дифференциалов
du 
u
u
dx  dy .
x
y
(2.3)
Полный дифференциал характеризует главную часть приращения
функции при изменении всех её аргументов на малую величину, стремящуюся
к нулю.
Погрешности измерений
В физике, биологии, химии и медицине при проведении исследований
производят измерения различных величин (например, рост человека, масса,
температура, артериальное давление и т. д.).
Измерение - это нахождение числового значения физической величины
опытным путём с помощью средств измерений.
Измерения могут быть прямыми и косвенными.
Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение
физической величины находится непосредственно из опытных данных в
результате сравнения измеряемой величины с эталоном.
Например, измеряемая линейкой длина какого-либо тела сравнивается с
единицей длины – метром, измеряемая весами масса тела сравнивается с
единицей массы – килограммом и т. д.
Таким
образом,
в
результате
прямого
измерения
физическая величина получается сразу, непосредственно.
22
определяемая
Косвенное измерение – это измерение, при котором значение физической
величины вычисляется по результатам прямых измерений других величин, с
которыми они связаны известной функциональной зависимостью.
Например, определение объема тела по результатам измерения его
линейных размеров или сопротивление резистора находят на основании закона
Ома подстановкой значений силы тока и напряжения, полученных в результате
прямых измерений.
Ввиду несовершенства измерительных приборов, наших органов чувств,
влияния внешних воздействий на измерительную аппаратуру и объект
измерения, и других факторов все измерения можно производить только с
известной степенью точности; поэтому результаты измерений не дают точного
(истинного) значения измеряемой величины, а лишь приближенное.
Неточность в измерении характеризуется погрешностью.
Погрешность - отклонение измеренного значения физической величины
от её истинного (точного) значения.
Все погрешности принято подразделять на три группы: систематические,
случайные и промахи или грубые ошибки.
Систематической называют погрешность, которая остаётся постоянной
или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же
величины. Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками
приборов
(неправильная
шкала,
калибровка
и
т.
п.),
неучтёнными
экспериментатором; недостатков принятого метода измерений (например, при
взвешивании тела на аналитических весах сила Архимеда по-разному действует
на тело и гири), влияния внешних условий (изменение атмосферного давления
или влажности) или дефекта самого объекта измерения.
Систематические погрешности можно учесть или устранить. Однако,
систематическую погрешность заложенную в любом измерительном приборе
устранить невозможно, но можно учесть.
Случайные погрешности и промахи или грубые ошибки будут
рассмотрены в разделе «Элементы математической статистики».
23
По
способу
выражения
погрешности
делят
на
абсолютные
и
относительные.
Абсолютной погрешностью (  ) физической величины a называется
модуль разности точного ( a точн ) и измеренного ( aизм ) значения этой величины
  aточн  aизм
В
большинстве
случаев
точное
значение
физической
величины
неизвестно, а значит, и точную величину погрешности определить невозможно.
Однако почти всегда можно установить, что абсолютная погрешность не
превосходит некоторого числа, которое называется предельной абсолютной
погрешностью.
Под предельной абсолютной погрешностью понимается число, не
меньшее абсолютной погрешности этого числа. Таким образом, если a предельная абсолютная погрешность, то
  aточн  aизм  a
На практике предельная абсолютная погрешность равна половине цены
деления шкалы прибора
a 
Для
приборов,
1
цены деления шкалы прибора .
2
имеющих
нониус
(штангенциркуль,
(2.4)
микрометр)
абсолютная погрешность принимается равной точности нониуса.
Для электроизмерительных приборов (вольтметр, амперметр) предельную
абсолютную погрешность оценивают по классу точности прибора.
Класс точности прибора – это наибольшая относительная погрешность
прибора, которая определяется выражением k % 
где
a
100% ,
aпред
a - предельная абсолютная погрешность, aпред - верхний предел шкалы
прибора.
24
Класс точности прибора известен и отмечается на приборе. Зная класс
точности прибора и
aпред
можно определить предельную абсолютную
погрешность:
a 
k %  aпред
100%
.
(2.5)
Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины.
Численное
значение
предельной
абсолютной
ошибки
не
дает
представления о точности измерения. Например, если при измерении
температуры 200  и 2  абсолютная ошибка была 0,5 . Очевидно, что первое
измерение проведено с большей точностью, чем второе. Точность измерения
принято оценивать по той доле, которую составляет абсолютная ошибка от
измеряемой величины. Она называется относительной ошибкой. На практике
находят предельную относительную погрешность.
Предельной относительной погрешностью физической величины a
называется
отношение
предельной
абсолютной
погрешности
a
к
измеренному значению и выражается в долях или процентах:

a
100% .
aизм
(2.6)
Относительная погрешность является безразмерной величиной.
При записи окончательного результата измерений необходимо указать
границы, в пределах которых находится истинное (точное) значение
измеряемой величины. В общем виде окончательный результат выражается
формулой
a  aизмер  a, (ед. измерений),  (%) .
(2.7)
где a - истинное значение измеряемой величины, aизмер - измеренное значение
физической величины, a - предельная абсолютная погрешность, 
предельная относительная погрешность.
25
-
Применение дифференциала функции к расчёту погрешностей косвенных
измерений
Для определения абсолютной и относительной погрешностей физической
величины в случае косвенных измерений используют понятие дифференциала.
1 способ.
Если
функция
удобна
для
логарифмирования,
то
для
расчёта
погрешностей используют следующую методику:
т.к. относительная погрешность вычисляется по формуле  
a
, то используя
a
математические преобразования, получаем:

a 1
 a  ln a  a  d ln a , если a  0 ,
a a
т. о. d ln a    есть относительная погрешность.
Порядок вычисления абсолютной и относительной погрешностей косвенных
измерений
1. вычисляют значение косвенно измеряемой физической величины (значение
функции);
2. функцию логарифмируют, используя свойства логарифмов:
ln( ab)  ln a  ln b
(2.8)
a
ln    ln a  ln b
b
(2.9)
ln( a n )  n ln a .
(2.10)
3. по формуле (2.2) находят дифференциалы полученных логарифмов;
4. знак дифференциала заменяют знаком абсолютной погрешности (d  ) ,
знаки «-» заменяют на знак «+», т.к. ошибка должна быть наибольшей;
5. вычисляют относительную погрешность;
6. вычисляют абсолютную погрешность;
7. записывают результат измерений с учётом погрешностей.
2 способ.
26
Если функцию логарифмировать достаточно сложно, то вычисляют
сначала абсолютную погрешность: a  da , затем относительную:  
a
.
a
2.2 Практическая часть занятия
Пример 1. Найти приращение и дифференциал функции
x1  2,0
y  x 2 , если
x2  2,1
Решение
y  y( x2 )  y( x1 )  (2,1) 2  (2,0) 2  4,41
dy  ( x 2 )dx  2 xdx .
dy  2  2(2,1  2,0)  0,4
Вывод
y  dy
Пример2. Найти дифференциал функции y  2 x 3  3 .
Решение. Последовательно применяют формулы (2.2), (1.4), 1 и 2 (таблица 2)
dy  (2 x 3  3)dx  6 x 2 dx .
Пример 3. Найти дифференциал функции y  x  sin( 3x 2 ) .
Решение. Последовательно применяют формулы (2.2), (1.5), (1.7), 1 и 2 из
таблицы 2:









dy  x  sin( 3x 2 ) dx   x  sin( 3x 2 )  x sin( 3x 2 ) dx  sin( 3x 2 )  6 x 2 cos(3x 2 ) dx .


Пример 4. Найти полный дифференциал функции z  х3 y 4  2 .
Решение. Находят частные дифференциалы функции




z
dx  x3 y 4  2 x dx  3x 2 y 4 dx ,
x
z
dy  x3 y 4  2 y dy  4 x3 y 3dy .
y
Записывают полный дифференциал функции, применив формулу (2.3)
dz 
u
u
dx  dy  3x 2 y 4dx  4 x3 y3dy .
x
y
27
Задача 1. Температура тела, измеренная термометром цена деления которого
2,0°С,
равна
24°С.
Найти
предельную
абсолютную
и
предельную
относительную погрешности и записать результат измерений.
Решение: Измерение температуры тела – прямое измерение.

Измеренное значение температуры: t  24 C
По формуле (2.4) предельная абсолютная погрешность: t 
По

формуле
(2.6)
предельная
1
 2  1 C
2
относительная
погрешность:
t
1 C
100%   100%  4,2% .
tизм
24 C
По формуле (2.7) результат измерений:
t  24  1 ( C ),   4,2% .
Задача 2. Записать результат измерения напряжения с учётом погрешностей,
если измеренное значение напряжения 200В, верхний предел шкалы
вольтметра 250 В, класс точности прибора 2,0%.
Решение. Измерение напряжения – прямое измерение.
По формуле (2.5) предельная абсолютная погрешность:
U 
2,0%  250 В
 5В
100 %
По формуле (2.6) предельная относительная погрешность:

U
5В
100% 
100%  2,5% .
U изм
200 В
По формуле (2.7) результат измерений: U
 200  5 ( B),   2,5% .
Задача 3. Вычислить количество теплоты Q , выделившееся в проводнике,
U2
абсолютную и относительную погрешности, если Q 
t и U  220,0  0,5B
R
R  500  1Oм , t  60  1с .
Решение.
Количество теплоты – косвенное измерение. Применяют порядок вычисления
абсолютной и относительной погрешностей косвенных измерений.
28
1. Вычисляют количество теплоты, выделившееся в проводнике:
Q
2. Функцию Q 
220 2
 60  5808  Дж  .
500
U2
t логарифмируют: применяют последовательно формулы
R
(2.8) – (2.10):
ln Q  2 ln U  ln R  ln t
3. Находят дифференциалы полученных логарифмов:
d ln Q   2d ln U   d ln R   d ln t 
dQ

- применяют формулы (2.2) и 4 (таблица 1)
d ln Q   ln Q  dQ 
Q
2dU
,
2d ln U   2ln U  dU 
U
dR
,
d ln R   ln R  dR 
R
dt
d ln t   ln t  dt  ,
t
dQ 2dU dR dt


 .
Q
U
R
t
4. Знак дифференциала заменяют знаком абсолютной погрешности (d  ) ,
знаки «-» заменяют на знак «+»:
Q 2U R t



Q
U
R
t
dQ 2dU dR dt



Q
U
R
t
5. Вычисляют относительную погрешность:

Q 2  0,5
1
1



 0,023 или 2,3%
Q
220 500 60
6. Вычисляют абсолютную погрешность:
Q    Q  0,023  5808  133,58 Дж   134 ( Дж )
7.Результат измерений: Q  5808  134  Дж ,   2,3% .
Второй способ.
29
Т.к.
y  dy, то абсолютную погрешность измерения можно приближенно
считать равной дифференциалу функции
Q  dQ
U2
U2
U2
Q  dQ  ( t )U dU  ( t )R dR  ( t )t dt 
R
R
R
t
U2
U2
 2UdU  2 tdR 
dt.
R
R
R
Чтобы получить предельную ошибку, меняем знаки минус на плюс, т.к. ошибки
складываются по модулю, а знаки дифференциала - на знаки приращения
| Q | 
2Ut
U 2t
U2
| U |  2 | R | 
| t | .
R
R
R
| Q | 
2  220  60
220 2  60
220 2
 0,5 

1

 1  134 Дж
500
500 2
500
:
Вычисляют относительную погрешность:

Q 134

 0,023 или 2,3%
Q 5808
Результат измерений: Q  5808  134  Дж ,   2,3% .
2.3 Задания для аудиторной самостоятельной работы обучающихся
1. Найти дифференциалы функции:
y  x3  x 2  x
Ответ: dy  (3x 2  2 x 2  1)dx
y  ln 2 x
Ответ: dy 
y  5 x 4 cos x
Ответ: dy  5 x 3 (4 cos x  x sin x)dx
2 ln x
dx
x
2. Найти полный дифференциал функции
z  xy 3  3x 2 y 2  2 y 4 ,
Ответ: dz  ( y 3  6 xy 2 )dx  (3xy 2  6 x 2 y  8 y 3 )dy
z  cos  xy  ,
Ответ: dz   y sin  xy dx  x sin  xy dy .
30
z  x2  y 2 ,
Ответ: dz 
x
x y
2
2
dx 
y
x y
2
2
dy .
Задача . Вычислить абсолютную и относительную погрешности, допускаемые
при вычислении площади поверхности цилиндра, если Sцил  Sбок  Sосн и
R  10,0  0,1см , H  30,0  0,1см .
Решение
Sцил  Sбок  Sосн  2RH  2R 2
Данное выражение трудно логарифмируется, поэтому сначала, используя
полный дифференциал, вычисляют абсолютную погрешность:

S  dS  d 2RH   d 2R 2



RH dH  
d 2RH   2 d RH   2  RH dR 
H
 R

 2 H dR  R dH 


 
d 2R 2  2 d R 2  2  2 R  dR  4R dR
Тогда S  2 H dR  R dH   4R dR
dR  R; dH  H
Абсолютная погрешность:
 
S  2 30  0,1  10  0,1  4  10  0,1  12 см 2
Вычисляют измеренное значение площади цилиндра:
 
S  2 10  30  2 10 2  800 см 2
Относительная погрешность:

S 12

 0,015 или 1,5%
S 800
 
Результат измерений: S  800  12  cм 2 ,   1,5%
31
2.7 Контрольные вопросы для определения конечного уровня усвоения
знаний
– дифференциал функции одной переменной;
– частный и полный дифференциал функции нескольких переменных;
– прямые и косвенные измерения, абсолютная и относительная погрешности
измерений;
2.8 Условия проведения занятия
1. Комплект заданий текущего контроля знаний по теме «Производная функции»
2. Плакат «Таблица производных элементарных функций»
3. Плакат «Таблица производных сложных функций»
4. Комплект таблиц по математике.
2.9 Задания для внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся
1. Решение практических заданий по теме «Дифференциал функции».
2. Подготовиться
к
практическому
занятию
исчисление. Дифференциальные уравнения».
32
по
теме
«Интегральное
ТЕМА 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Продолжительность практического занятия – 3 часа (135 минут)
План практического занятия (хронокарта)
Актуальность и цель практического занятия
Текущий контроль знаний по теме «Дифференциал функции.»
Разбор теоретического материала по теме «Неопределённый
интеграл»:
- первообразная функции;
- неопределённый интеграл: определение, свойства,
геометрический смысл;
- методы интегрирования: непосредственного интегрирования,
преобразования подынтегрального выражения, замены
переменной;
- применение интеграла к решению задач.
Практическая часть занятия по теме «Неопределённый
интеграл»:
- вычисление неопределённых интегралов методами
непосредственного интегрирования, преобразования
подынтегрального выражения, замены переменной;
- решение задач практического содержания.
Разбор теоретического материала по теме «Определённый
интеграл»:
- определённый интеграл: геометрический смысл, свойства,
формула Ньютона-Лейбница;
- методы интегрирования: непосредственного интегрирования,
преобразования подынтегрального выражения, замены
переменной;
- применение интегралов к решению задач: а) вычисление
площадей плоских фигур, б) вычисление пути, пройденного
телом, в) вычисление работы переменной силы.
Практическая часть занятия по теме «Определённый
интеграл»:
- вычисление определённых интегралов методами
непосредственного интегрирования, преобразования
подынтегрального выражения, замены переменной;
- решение задач.
Разбор теоретического материала по теме
«Дифференциальные уравнения»:
- дифференциальное уравнение: определение, порядок, общее
и частное решение;
- порядок решения дифференциальных уравнений первого
порядка с разделёнными переменными;
33
5 мин.
10 мин.
10 мин.
30 мин
10 мин.
25 мин.
10 мин.
- порядок решения дифференциальных первого порядка
уравнений с разделяющимися переменными.
Практическая часть занятия по теме «Дифференциальные
уравнения»:
- решение дифференциальных уравнений первого порядка с
разделёнными переменными;
- решение дифференциальных уравнений первого порядка с
разделяющимися переменными;
- решение практических задач с помощью дифференциальных
уравнений.
Задание для внеаудиторной самостоятельной работы
студентов
30 мин
5 мин.
Формируемые компетенции: ОК-1, ОПК-7.
Цель практического занятия
Теоретическое изучение и приобретение практических навыков по теме
занятия.
В результате проведения практического занятия обучающийся должен
знать:
– определение первообразной функции и неопределённого интеграла;
– свойства неопределённого интеграла.
– находить неопределённые интегралы простейшими методами;
– решать прикладные задачи с помощью неопределённого интеграла
– геометрический смысл определённого интеграла;
– формулу Ньютона – Лейбница, свойства определённого интеграла;
– определение дифференциального уравнения, порядок дифференциального
уравнения, общее и частное решение дифференциального уравнения;
–
план решения дифференциальных
уравнений
первого
порядка с
разделяющимися переменными.
В результате проведения практического занятия обучающийся должен
уметь:
 вычислять
неопределенные
и
определённые
интегралы
методом
непосредственного интегрирования, преобразования подынтегрального
выражения, замены переменной;
34
 решать прикладные задачи;
 решать дифференциальные уравнения первого порядка с разделёнными и
разделяющимися переменными;
 составлять
и
решать
простейшие
задачи
с
использованием
дифференциальных уравнений.
3.1Краткая аннотация теоретического материала по теме
«Неопределённый интеграл»
Первообразная функции
Для решения многих задач приходится восстанавливать функцию по
известной производной, т.е. решать задачу обратную дифференцированию. На
практике отыскание функции производится не по производной, а по её
дифференциалу.
Пусть для функции y  F  x  производная равна y x   F  x   f  x  .
Дифференциал
этой
функции
dy  F  x dx  f  x dx .
Функция
y  F x 
называется первообразной функцией для функции f  x  на промежутке Х ,
если в каждой точке этого промежутка F '  x   f  x  .
Неопределённый интеграл
Одному и тому же дифференциалу функции соответствуют не
единственная, а множество первообразных, отличающихся постоянным
слагаемым.
y2  x 2  2 ;
Рассмотрим функции: y1  x 2 ;
y3  x 2  5 . Выражение
dy  2 x dx является дифференциалом для всех этих функций. В этом случае для
дифференциала dy  2 x dx функция y  x 2  C является первообразной.
Совокупность всех первообразных для функции f  x  на промежутке Х
называется неопределённым интегралом от функции f  x  и обозначается
 f xdx  F x  C ,
35
- символ действия интегрирования; f  x  - подынтегральная функция;

f  x dx
где
- подынтегральное выражение; F x  - первообразная для функции f  x  ;
С - произвольная постоянная.
Свойства неопределённого интеграла
1. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному
выражению:
d  f x dx  f x dx
(3.1)
2. Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и
постоянной интегрирования С :
 dFx  F x  C
(3.2)
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого
интеграла:
 k f xdx  k  f xdx,
k  const
(3.3)
4. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен
алгебраической сумме интегралов от слагаемых:
  f x   xdx   f xdx   xdx
(3.4)
Таблица 4. Основные формулы интегрирования
1.
 dx  x  C .
x n 1
2.  x dx 
 C , n  1 .
n 1
n
3.

dx
 ln x  C .
x
ax
4.  a dx 
 C , a  0, a  1 .
ln a
x
5.
e
x
dx  e x  C .
6.
 sin xdx   cos x  C .
7.
 cos xdx  sin x  C .
8.
 cos2 x  tgx  C .
9.
 sin 2 x  ctgx  C .
dx
10. 
36
dx
dx
 ln x  a  C ,
xa
а  const
Методы интегрирования
Непосредственное интегрирование. Метод основан на применении
1.
свойств
неопределённого
интеграла
и
таблицы
основных
формул
интегрирования.
2. Метод преобразования подынтегрального выражения.
Нахождение интеграла начинают с преобразования подынтегральной
функции таким образом, чтобы свести данный интеграл к табличному виду.
3. Метод замены переменной.
Чтобы упростить подынтегральное выражение и привести данный интеграл к
табличному виду, можно применить формулу
 f  x  x dx   f t dt,
'
где t   x .
3.5 Практическая часть занятия по теме «Неопределённый интеграл»
3

Пример 1. Найти неопределённый интеграл   5e x  sin x   dx .
x

Решение. Применяют метод непосредственного интегрирования.
Последовательно применяют свойства (3.4), (3.3) и формулы 3, 5, 6 таблицы 4:

  5e
x
3
dx
 sin x   dx  5 e x dx   sin xdx  3 
x
x
 5e x  cos x  3 ln x  C .
sin 2 x  3
Пример 2. Найти интеграл 
dx .
sin 2 x
Решение. Применяют метод преобразование подынтегрального выражения:
почленно делят числитель на знаменатель и, используя свойство (3.4), (3.3) и
формулы 1 и 9 таблицы 4, получают
sin 2 x  3
sin 2 x
dx
dx
dx

 sin 2 x
 sin 2 xdx  3 sin 2 x   dx  3 sin 2 x  x  3ctgx  C.
Пример 3. Найти интеграл

sin 2 x
dx .
sin x
37
Решение. Применяют метод преобразование подынтегрального выражения:
сначала используют формулу тригонометрической функции кратных углов
sin 2 x  2 sin x cos x , затем свойство (3.3) и формулу 7 таблицы 4:

sin 2 x
2 sin x cos x
dx  
dx  2 cos xdx  2 sin x  C .
sin x
sin x
Пример 4. Найти интеграл
dx
 5  3x .
Решение. Применяют метод подстановки.
1) ввоят новую переменную :
5  3 x  t (*);
2) находят дифференциал
новой переменной :
dx
 5  3x 
dt  5  3 x  ' dx
dt  3dx (**);
 
3) из (**) выражают dx :
dt примяняют


3t свойство (1.3)
dt
(* * *);
3
4) в интеграл подставляют
dx  
(*) и (**).
применяют
возвращаются
1 dt
1
1
   формулу
  ln t  C  к переменной x,   ln 5  3x  C .
3 t
3
3
3 табл. 3.
используя (*)
Пример5 . Найти интеграл  esin x cos xdx .
Решение. Применяют метод подстановки.
1) sin x  t
sin x
 e cos xdx 
2) d (sin x)  dt
sin x  dx  dt
'
  et dt  et  C  esin x  C.
cos xdx  dt
Применение неопределённого интеграла для решения физических задач
38
При рассмотрении решения задачи о нахождении мгновенной скорости
прямолинейного движения материальной точки мы говорили о вычислении
производной от закона движения по времени:
 мгн (t )  S t  
dS
.
dt
Для решения обратной задачи (нахождения закона движения материальной
точки по заданной скорости), необходимо вычислить интеграл:
S   (t ) dt .
(3.5)
Пример 1. Скорость точки задана уравнением   3t 2  4t м/с. Найдите
уравнение движения точки, если за 2 секунды после начала движения она
прошла путь 34 м.
Решение. Согласно формуле (3.5):


S   3t 2  4t dt  3 t 2 dt  4 tdt  t 3  2t 2  C (м/с)
t  2 c S  34 м , находят постоянную интегрирования С :
С учётом того, что
34  23  2  22  С
С  34  16  16
Следовательно, закон движения имеет вид S  t 3  2t 2  18 (м).
3.2 Задания для аудиторной самостоятельной работы обучающихся
1. Найти интегралы методом непосредственного интегрирования и методом
преобразования подынтегрального выражения.
1.
2
 5 x dx ,
2.
 2 x
3.
 2x3 ,
3
dx
dx
,
x
6 dx
5. 
,
1  x2
4.


 3 x  4 dx ,
5x3
Ответ:
C .
3
x 4 3x 2
 4x  C .
Ответ: 
2
2
1
Ответ:  2  C .
4x
Ответ: 2 x  C .
Ответ: 6 arctg x  C .
39
2 cos2 x  1
6. 
dx ,
cos2 x
x2  2x  3
7. 
dx ,
x3
x 2  x3  3
8. 
dx ,
x
sin 2 x
dx ,
9. 
cos x
3
10.
 e  4 cos t dt ,

Ответ: 2 x  tg x  C .
Ответ: ln x 
Ответ:
2
3
 2 C.
x 2x
2x2 x x2
 6 x C.
5
2
Ответ:  2 cos x  C .

Ответ: 3et  4 sin x  C .
2. Вычислить интегралы методом замены переменной
1.
 3  5 x  dx ,
Ответ:
2.

Ответ:
3.
 sin 2 xdx ,
Ответ:
x
Ответ:
4.
4
2 x  3dx ,
 2 x 2  3dx ,
x3
5.

6.
 sin
7.
 cos3 xdx ,
Ответ:
8.
x
Ответ:
x 2
4
2

2
dx ,
x  cos xdx ,
5 sin x
2
sin 3 x 3dx ,
ln 3 x
9. 
dx ,
x
x2
10. 
dx ,
3
x 1
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
40
(3  5 x) 5
C.
25
(2 x  3) 2 x  3
C.
3
1
 cos 2 x  C .
2
1
ln( 2 x 2  3)  C .
4
1

C.
4
4( x  2)
cos3 x

C.
3
5
C.
2 cos2 x
1
 cos 3x 3  C .
9
ln 4 x
 C.
4
 
2 x3  1
C.
3
3.3 Краткая аннотация теоретического материала по теме
«Определённый интеграл»
Понятие определённого интеграла широко используется в математике и
прикладных науках для вычисления площадей плоских фигур, работы
переменной силы, скорости движения тела, пути, пройденного телом и т.д.
Понятие определённого интеграла вводят, рассматривая задачу по
определению площади криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией
называется плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной функции
y  f (x) , отрезком a, b на оси Ox и прямыми x  a и x  b (рисунок 3.1).
Геометрический смысл определённого интеграла
Пусть функция
y
y  f (x)
непрерывна и
неотрицательна ( f ( x)  0 ) на отрезке a, b , где
y=f(x)
a  b , тогда в соответствии с рисунком 3.1
b
 f ( x)dx
численно
равен
площади
S
a
a
x
b
криволинейной трапеции, ограниченной кривой
y  f (x) , прямыми x  a , x  b и осью Ox :
Рисунок 3.1
b
S   f ( x)dx .
(3.6)
a
Свойства определённого интеграла
1. Определённый интеграл от сумы конечного числа непрерывных функций
f1 ( x ) ,
f 2 ( x ) , …,
f n (x ) , заданных на отрезке
a, b,
равен сумме
определённых интегралов от слагаемых функций:
b
b
b
b
 ( f1 ( x)  f 2 ( x)    f n ( x))dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx     f n ( x)dx .
a
a
a
(3.7)
a
2. Постоянный множитель k подынтегральной функции можно выносить за
знак определённого интеграла:
41
b
b
a
a
 k f ( x)dx  k  f ( x)dx .
(3.8)
3. Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то
определённый интеграл изменит свой знак на противоположный:
b
a
 f ( x)dx   f ( x)dx .
a
(3.9)
b
4. Если пределы интегрирования равны между собой (a  b) , то определённый
интеграл равен нулю:
a
 f ( x)dx  0 .
(3.10)
a
c
b
a
c
 f ( x)dx и  f ( x)dx , то существует также
5. Если существуют интегралы
b
 f ( x)dx и для любого взаимного расположения точек a, b, c :
a
b
c
b
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
a
a
(3.11)
c
Связь между определённым и неопределённым интегралами.
Формула Ньютона-Лейбница
Связь
между
определённым
и
неопределённым
интегралами
устанавливает формула Ньютона – Лейбница:
b
 f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) .
b
(3.12)
a
Согласно этой формуле вычисление определённого интеграла сводится к
нахождению первообразной F (x) от подынтегральной функции и вычислению
разности значений первообразной взятых при верхнем и нижнем пределах
интегрирования.
Вертикальная черта с верхним и нижним пределами интегрирования
в (3.12), называется знаком двойной подстановки.
42
b
,
a
На тесную связь между неопределённым и определённым интегралами
b
указывает общность их обозначения:  f x  dx и  f ( x)dx , хотя определённый
a
интеграл
есть
число,
а
неопределённый
интеграл
–
совокупность
первообразных функция.
Методы вычисления определённого интеграла
Так как формула Ньютона – Лейбница сводит вычисление определённого
интеграла к нахождению первообразной функции, то все основные методы
вычисления определённых интегралов будут аналогичны методам вычисления
неопределённых интегралов.
Метод непосредственного интегрирования основан на использовании
свойств определённого интеграла, таблицы неопределённых интегралов и
формулы Ньютона-Лейбница.
b
Метод замены переменной. Определённый интеграл  f ( x)dx может
a
быть вычислен с помощью введения новой переменной, если выполнены
следующие условия:
1) функция f (x) непрерывна на отрезке a, b ;
2) отрезок
a, b
является множеством значений функции x   (t ) ,
определённой на отрезке
at b
и имеющей на нем непрерывную
производную;
3)  ( )  a ,  (  )  b . Тогда справедлива формула:
b

a

 f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt .
3.4 Практическая часть занятия по теме «Определённый интеграл»
 2 x
3
Пример 1. Вычислить определённый интеграл
2
43
3

 x 2  5 dx .
Решение. Интеграл решают методом непосредственного интегрирования.
Последовательно применяют свойства (3.7), (3.8) и формулы 2 и 1 таблицы 4 и
формулу (3.12):


x4
3
2
3
2
 2 x  x  5 dx  2  x dx   x dx  5  dx  2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2
x3

3
3
3
2
 5x  2 
 34 (2) 4   33 (2) 3 
 
  5(3  (2))  19 1 .
  


2  2
2 
6
 2
1

Пример 2. Вычислить определённый интеграл  x 2  x
5
2
 dx
0
Решение. Интеграл вычисляют методом замены переменной.
1) 2  x 2  t


'
2) 2  x 2 dx  dt
 2 xdx  dt
dt
2
3) меняем пределы
xdx  
5
 x2  x  dx 
1
2
интегрирования :
0
1
 1 
  t 5   dt  
2 
2 
при х  0
  2  0 2  2;
при х  1
  2  12  1.
1
2
1 5
1 5
t6
   t dt   t dt 
22
21
12
2
1
26 16 21
  
 5,25.
12 12 4
3.5 Задания для аудиторной самостоятельной работы обучающихся
1. Вычислить интегралы методом непосредственного интегрирования и
методом преобразования подынтегрального выражения:
2
2
x2
2 2 12 3
1.  xdx 

 
2
2
2 4
1
1
44
1
x4 x2
2.  (3x 2  1) xdx  3 
4
2
1
 /4
1
0
1
 /4
 sin xdx   cos x  / 6  cos
3.

 /6
6
 cos

4
3 2
2

2
( x  1) 2
1
1
3



dx

x

2
ln
x


2

2
ln
2


1

2
ln
1

1

 2 ln 2
4. 


2
x
2
2
x


1
1
2
 /4

5.
0
2dt

 /4

tgt

tg
 tg 0  1
0
4
cos2 t
 /2
 (cos  sin  )d  sin x  cos x 
6.
0
 /2
 sin
0


 cos  sin 0  cos 0  2
2
2
2. Вычислить определённый интеграл методом замены переменной:
1) 2 x  t
2) 2 x  dx  dt
'
2dx  dt
 /4
dx 
1.  sin 2 xdx 
 /6
dt
2
3) х 
х

4

6

,  2
,  2

4



6

3

2
 /2
3
 /2
1 
sin
t
dt


cos
t



 2 
 /3
2
 /3
;
.
1)16  x 2  t
2)2 xdx  dt
3
2.

0
2 xdx
16  x 2

3) x  0
  16  0 2  16;

25  1
t 2 dt


16
1 25
2t 2
16
x3
  16  32  25.
45


 2 25  16  2
1)3  x 4  t
2)4 x 3 dx  dt
1
4
4
x 3 dx
dt
dt 1
1 4
3
3. 

x
dx



ln
t

ln

4
4
4
t
4
4
3
3

x
3
0
3
4
3) x  0,   3  0  3;
x  1,   3  14  4.
1)1  x 6  t
2)  6 x 5 dx  dt
0
1
dt
1 t8
7  dt 
4.   x (1  x ) dx  x dx  
  t    
6
6 68
1
0 
3) x  1,   1  (1) 6  0;
5
6 7
1

5
0
x  0,   1  0 6  1
1) cos x  t
2)  sin xdx  dt
 /3
5.
e
0
cos x
sin xdx  sin xdx   dt

3) x  0,   cos0  1;
x

3
,   cos

3

1/ 2
 e (dt)  e
t
1
t 1
1/ 2
e e
1
2
1)1  cos x  t
2) sin xdx  dt
2
2
sin xdx
1
1 1
2
6. 

  t dt    1  


2
t1
2 2
3) x  ,   1  cos  1; 1
 / 2 (1  cos x)
2
2
x   ,   1  cos  2.

1)e x  3  t
e 3
e x dx 2)e x dx  dt
dt
e3
e 3
7.  x

 
 ln t 4  ln
4
3) x  0,   e 0  3  4; 4 t
0e 3
1
x  1,   e  1.
46
1
48
1) ln x  t
1
1
3 1
ln 2 xdx 2) dx  dt
t
1
8. 
 x
  t 2 dt 

x
30 3
1
3) x  1,   ln 1  0; 0
e
x  e,   ln e  1.
1) cos x  t
2)  sin xdx  dt
 /2
9.
 cos
0
x sin xdx  sin xdx   dt
2
3) x  0,   cos0  1;
0
x

2
t3
  t ( dt ) 
3
1
1

2
,   cos

2
0
1
3
0
Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла
I тип задач – вычисление площади плоской фигуры.
Площадь
плоской
фигуры,
ограниченной
линиями
y  f (x) ,
осью
OX  y  0, x  a, x  b, численно равна интегралу
S
a
 f ( x)dx
b
Пример. Найти площадь фигуры, заключённой между ветвью кривой y  x 2 ,
осью OX и прямыми x  0, x  3 .
Решение. Фигуру, площадь которой необходимо вычислить, схематично
показывают на рисунке (заштрихованная часть):
Искомую площадь вычисляют по формуле (3.8):
x3
S   x dx 
3
0
3
3
2
47
0
33 03
 
 9 (кв.ед.).
3
3
II тип задач - вычисление работы переменной силы ( F (x) ):
b
A   F ( x)dx
a
Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на
x  0,06 м, если сила равная 1Н растягивает её на 0,01 м?
Решение. Согласно закону Гука, сила F, растягивающая пружину на x м, равна
F  kx (сила упругости Fупр  kx ), где k  коэффициент жёсткости пружины.
Искомую работу определяют по формуле (3.9)
0, 06
kx 2
A   kxdx 
2
0
0, 06

0
k
(0,06 2  02 )  0,0018 k ( Дж) .
2
Находят k , полагая x0  0,01м и F  1Н (по условию), по формуле k 
вычисляют k 
F
x0
1Н
Н
 100 .
0,01м
м
Тогда A  0,0018  100  0,18  Дж .
III тип задач – определение пути пройденного телом:
t2
S    (t )dt
t1
Пример. Скорость тела выражена формулой
  8t  1. Найти путь за первые
десять секунд после начала движения.
Решение. Путь вычисляют по формуле (3.10)
10
S   (8t  1)dt 4t 2  t 10
0  390 (м).
0
3.6 Краткая аннотация теоретического материала по теме
«Дифференциальные уравнения»
Дифференциальные уравнения применяются при изучении явлений и
процессов в физике, химии, биологии, медицине и других областях знаний.
Многие задачи в различных областях естествознания сводятся к нахождению
48
неизвестной функции y  f (x) , если известно уравнение, содержащее x, y и
производные функции f (x) : f (x) , f (x) … . Такие уравнения называются
дифференциальными.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее
независимую переменную x , искомую функцию y  f (x) и её производные
различных порядков y (x ) , y (x) …
Если
искомая
дифференциальное
функция
уравнение
зависит
от
называется
одной
переменной,
обыкновенным.
Общий
то
вид
обыкновенного дифференциального уравнения:
F ( x, y, y, y)  0
Порядком
дифференциального
уравнения
называется
порядок
наивысшей производной, входящей в уравнение.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция
y  f (x) , которая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество.
Общим решением дифференциального уравнения называется функция
вида
y  f ( x, C1 , C2 ,  Cn ) ,
в
которую
входит
столько
независимых
произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Частным
решением
дифференциального
уравнения называется
решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях
произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при
определённых начальных значениях аргумента и функции.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение,
связывающее независимую переменную
x , искомую функцию
y (x)
и
производную первого порядка искомой функции y (x ) .
Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка:
F ( x, y, y)  0
Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка является
множество функций y  f ( x, C ) , где C - произвольная постоянная.
49
Если известно, что при x  x0 функция принимает значение y  y0 , то
можно найти значение постоянной интегрирования C .
Частным решением дифференциального уравнения называется решение
вида y  f ( x, C0 ) , которое получаются из общего решения y  f ( x, C ) при
нахождении постоянной C  С0 .
Дифференциальное уравнение первого порядка с разделёнными
переменными
Уравнением с разделёнными переменными называется уравнение вида:
 ( y) dy  f x  dx
Решается такое уравнение интегрированием обеих частей уравнения
   y  dy   f x  dx .
После интегрирования получают общее решение: Ф( y)  F ( x)  C ,
где Ф( y ) и F (x)
–
некоторые
первообразные
функций
 ( y ) и f (x) ,
соответственно, C - произвольная постоянная.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными
Дифференциальные уравнения вида y   f ( x) ( y ) , где правая часть
представляет собой произведение двух функций, из которых одна не зависит от
x , а вторая не зависит от y , называется уравнением с разделяющимися
переменными.
Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с
разделяющимися переменными
1. Производную функции переписать через её дифференциалы: y 
dy
.
dx
2. Разделить переменные, т.е. необходимо провести такие алгебраические
преобразования, чтобы в одну часть уравнения (левую или правую часть
равенства)
входило
только x ,
а
в
другую
сомножители dx и dy должны стоять в числителях.
50
только y .
Причём
Общий вид преобразований:
dy
 f ( x) ( y ) ,
dx
dy  f ( x) ( y)dx ,
dy
 f ( x)dx
 ( y)
3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.
51
3.7 Практическая часть занятия по теме «Дифференциальные уравнения»
Пример 1. Определить порядок дифференциального уравнения.
y  2 x  0 - дифференциальное уравнение 1-го порядка,
y   2 y   0 - дифференциальное уравнение 2-го порядка.
Пример
2.
Проверить,
является
ли
y  x3  1
функция
решением
дифференциального уравнения y  3x 2 .
Решение. Находят первую производную функции y  x 3  1 . y  ( x 3  1)  3x 2 ,
подставив производную в дифференциальное уравнение: y  3x 2 , получают
3 x 2  3 x 2 тождество. Следовательно, функция y  x  1 является решением
3
дифференциального уравнения y  3x .
2
Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения
ydy  xdx при x0  0, y0  2 .
Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением 1-го
порядка с разделёнными переменными. Интегрируют обе части уравнения:
 ydy   xdx ,
y2 x2

C,
2
2
y   x 2  2C - общее решение.
При x0  0 найденная функция должна быть по условию равна двум,
y0  2 . Подставив x0  0 и y0  2 в общее решение, получают значение
величины C :
2   0  2C ; C  2 ,
y   x2  2  2 .
Следовательно, y   x 2  4 - частное решение.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения y  cos x  1 .
52
Решение: Данное уравнение является дифференциальным уравнением 1-го
порядка с разделяющимися переменными.
Уравнение решают согласно алгоритму
y 
dy
,
dx
dy
 cos x  1
dx
dy  (cos x  1)dx
 dy   (cos x  1)dx
y  sin x  x  C - общее решение
Применение дифференциальных уравнений при решении задач физики,
химии, биологии, медицины
Задача. Вывести закон радиоактивного распада, если известно, что скорость
распада пропорциональна числу не распавшихся в данный момент ядер и в
начальный момент времени число не распавшихся ядер равно N 0 .
Решение. 1) Переводят условие задачи на язык математики, т.е. составляют
дифференциальное уравнение.
Скорость – первая производная функции N по времени t , т.е.  
Согласно
условию
задачи
имеют
дифференциальное
dN
.
dt
уравнение:
dN
 N , где N - число не распавшихся ядер, t  время,  - постоянная
dt
распада. Минус означает, что количество не распавшихся ядер уменьшается.
2) Полученное уравнение является дифференциальным с разделяющимися
переменными. Разделяют переменные и интегрируют левую часть по N , а
правую по t :
dN
 dt
N

dN
   dt
N
53
ln N  t  ln C;
Применяя определение и свойства логарифмов (2.10), преобразуют  t :
 t  ln e  t ,
получают
ln N  ln e t  ln C;
По свойствам логарифмов (2.8) последнее выражение записывают в виде
ln N  ln C  e  t
Если равны логарифмы, то равны и выражения, стоящие под знаком
логарифма:
N  C  e  t . - общее решение дифференциального уравнения.
3) Находят частное решение. Начальные условия t  0 и N  N 0 подставляют в
общее решение:
N 0  Ce  0 ;
C  N0 ,
Значение
постоянной
интегрирования
подставляют
в
общее
решение
дифференциального уравнения:
N  N 0 e  t - эта формула представляет закон радиоактивного распада в
интегральной форме.
3.8 Задания для аудиторной самостоятельной работы обучающихся
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
xdy  ydx , если при
x  5, y  10 .
Решение.

dy dx
 .
y
x
dy
dx
 ;
y
x
ln y  ln x  C . Примечание: константу C берем в виде ln C .
ln y  ln x  ln C
54
y  Сx - общее решение дифференциального уравнения
Для определения частного решения, подставляют в полученное решение
начальные условия: x  5, y  10 , получают
10  5С , следовательно, С  2 .
Частное решение данного дифференциального уравнения:
y  2x .
Пример 2. Найти общее решение уравнения y  2 xy .
Решение. Применяют алгоритм решения дифференциальных уравнений с
разделяющимися переменными.
dy
 2 xy ,
dx
dy
 2 xdx ,
y

dy
  2 xdx ;
y 
ln y   x 2  ln C ;
ln y  ln e  x  ln C ,
2
y  Ce x - общее решение дифференциального уравнения.
2
Пример 3. Найти закон движения точки, если скорость изменяется по закону:
  t 2  2t  1 (м/с) и за 2(с), она проходит 10(м).
Решение. По определению  
dS 2
dS
, следовательно
 t  2t  1 .
dt
dt
Разделяют переменные: dS  (t 2  2t  1)dt .
Интегрируют обе части уравнения:
 dS   (t
2
 2t  1)dt ;
t3 2
S   t  t  C - общее решение.
3
55
Из начальных условий находят значение постоянной интегрирования C :
23
10 
 22  2  C ;
2
1
C 1 .
3
t3 2
1
Закон движения имеет вид: S   t  t  1 (м).
3
3
Пример 4. Скорость
распада
некоторого
лекарственного
препарата
пропорциональна количеству лекарства, введённого в организм. Определить
зависимость количества лекарственного вещества в организме от времени при
условии, что при t  0; m  m0 . Через какой промежуток времени после
введения
в
организме
останется
половина
начального
количества
лекарственного вещества?
Решение
1)Переводят условие задачи на язык математики, т.е. составляют
дифференциальное уравнение.
Скорость – первая производная функции m по времени t , т.е.  m 
dm
.
dt
Согласно условию задачи получают дифференциальное уравнение:
dm
 km , где m - количество введённого препарата, t  время, k
dt
-
постоянная распада. Минус означает, что количество не распавшегося в
организме лекарственного вещества уменьшается.
2)
Полученное
уравнение
является
дифференциальным
с
разделяющимися переменными. Разделяют переменные и интегрируют левую
часть по m , а правую по t :
dm
 kdt,
m
ln m  kt  ln C;

dm
 k  dt
m
ln m  kt ln e  ln C ,
56
т.к. ln e  1; m  0.
( e  основание натурального логарифма).
По свойствам логарифмов выражение ln m  ln e  kt  ln C записывают в виде
ln m  ln C  e kt
Если равны логарифмы, то равны и выражения, стоящие под знаком
логарифма: m  c  e  kt .
3) Находят частное решение, согласно условию задачи t  0 и m  m0 :
m0  Ce 0 ;
C  m0 .
Тогда m  m0e  kt .
Эта
формула
отражает
зависимость
не
распавшегося
количества
лекарственного препарата от времени.
4) Определяют время T, в течение которого количество лекарственного
вещества в организме уменьшится вдвое.
Положив в формуле t  T и m 
тогда:
m0
m
, получим, 0  m0e kT Сокращаем на
2
2
m0 ,
1
 e  kT .
2
Логарифмируют последнее выражение, используя свойства логарифмов:
ln 1  ln 2  kT ln e, откуда 0  ln 2  kT ;
T
ln 2 0,693

k
k
Ответ: m  m0e  kt ; T1 
2
0,693
.
k
3.9 Контрольные вопросы для определения конечного уровня усвоения
знаний.
– первообразная функция и неопределённый интеграл;
– свойства неопределённого интеграла.
– геометрический смысл определённого интеграла;
– формула Ньютона – Лейбница, свойства определённого интеграла;
57
– определение дифференциального уравнения, порядок дифференциального
уравнения, общее и частное решение дифференциального уравнения;
– решение дифференциального уравнения первого порядка с разделёнными
переменными;
– алгоритм решения дифференциального уравнения
первого порядка с
разделяющимися переменными.
3.8 Условия проведения занятия
1. Комплект заданий текущего контроля знаний по теме «Дифференциал
функции».
2. Плакат «Таблица производных элементарных функций»
3. Плакат «Таблица неопределённых интегралов»
4. Плакат «Свойства определённого интеграла»
5. Комплект таблиц по математике.
3.9 Задания для внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся
1. Решение практических заданий по теме «Интегральное исчисление.
Дифференциальные уравнения».
2. Подготовиться к практическому занятию по теме «Элементы теории
вероятностей».
58