2 задачи на изгиб

ЗАДАЧА №1
Дано:    160МПа; h b  3.
Рис.1− Исходная схема
Решение
1. Построение эпюры
Q
и M.
Разбиваем балку на участки. Для построения эпюры Q и M необходимо
определить значение поперечной силы и изгибающего момента на границах
участках. Границами участков будут сечения A, B и С
Участок AB 0  z  2 м
Q  20  10  z; M x  20  z  5  z 2 .
при
z  0 : Q  20кН ; M x  0;
z  2 м : Q  0; M x  20кНм.
Участок BC 0  z  1м
Q  20  10   2  z   40  10  z  20  z; M x  20   2  z   5   2  z   40  z  5  z 2  10  z 2 ;
2
.
при
z  0 : Q  40кН ; M х  20кНм;
z  1м : Q  20кН ; M х  10кНм.
Q
Эпюра
и
Мх
представлена на рис. 1.1
2.Определяем размеры сечений балки.
Условие прочности:
 max
Тогда Wх 
х
M max
 

x
M max

   ,
Wx
20 103
 125 106 м3  125см3 .
160 106
Рис.1.1− Расчетная схема, эпюра поперечных сил и изгибающих моментов
Тип 1: круглое сечение:
Wx 

32
d 3  125см3 ;
тогда d 3 
Принимаем
32 125

см3  1273, 24см3 ;
d  10,84см.
d  110 мм.
Тип 2: прямоугольное сечение:
bh 2 b  3b 
3
Wz 

 b3  125см3 ;
6
6
2
2
тогда b3 
2 125 3
см  83,3см3 ;
3
Принимаем b  45мм. . Тогда h  3b  135мм.
b  4,37см.
ЗАДАЧА №2
Дано:    160МПа.
Рис.2− Исходная схема
Решение
1.Определение опорных реакций.
На схеме показывает опорные реакции RA , H A и RD . Вертикальные
реакции направляем вверх и записываем уравнения реакции:
 Z  0; H  0;
 m  A  20  4  3  10  10  60 1  R  6  0; R  26, 67кН ;
 m  D   20  4  3  10  10  60  5  R  6  0; R  6, 67кН .
A
D
D
A
A
Проверим правильность вычислений, составим еще одно уравнение
равновесия:
Y  0 :
RA  RD  20  4  60  0;
6, 67  26, 67  20  4  60  0.
Условие равновесия удовлетворяется, реакции определены правильно.
2. Построение эпюры
Q
и M.
Разбиваем балку на участки. Для построения эпюры Q и M необходимо
определить значение поперечной силы и изгибающего момента на границах
участках. Границами участков будут сечения A, B, С и СD
Участок AB 0  z  1м
Q  RA  6,67кН ; M x  RA  z  6,67  z.
при
z  0 : Q  6, 67кН ; M x  0;
z  1м : Q  6, 67кН ; M x  6, 67кНм.
Участок ВС 0  z  4 м
Q  RА  60  20  z  53,33  20  z; M x  RA  1  z   10  60  z  10  z 2 
6, 67  1  z   10  60  z  10  z 2 .
при
z  0 м : Q  53,33кН ; M х  16, 67кНм;
z  4 м : Q  26, 67кН ; M х  36, 67кНм.
На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
Q  53,33  20  z  0  z  2, 667 м .
Вершина параболы при z  2, 667 м : M х  54, 44кНм.
Участок DC 0  z  1м
Q  RD  26,67кН ; M x   RD  z  26,67  z.
при
z  0 : Q  26, 67кН ; M x  0;
z  1м : Q  26, 67кН ; M x  26, 67кНм.
Эпюра
Q
и
Мх
представлена на рис. 2.1.
2.Определяем размеры сечения балки.
Условие прочности:
 max 
Тогда Wх 
х
M max
 

x
M max
   ,
Wx
54, 44 103
 340, 25 106 м3  340, 25см3 .
160 106
По сортаменту ГОСТ 8239  72 выбираем двутавр №27, для которого
Wx  371см 3 .
Рис.2.1− Расчетная схема, эпюра поперечных сил и изгибающих моментов