

(10 класс, модуль V, урок 5)
Урок 5. Понятие о числовом ряде. Геометрический ряд
План урока








5.1. Пример ряда
5.2. Определение ряда. Частичные суммы, сходимость и расходимость
5.3. Запись ряда с помощью знака суммирования
5.4. Суммирование ряда специального вида
5.5. Суммирование геометрического ряда
5.6. Расходимость геометрического ряда
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
На этом уроке рассматриваются примеры простейших рядов, даются
определения ряда, его частичных сумм, сходимости и расходимости.
Вторая половина урока посвящена рассмотрению геометрического ряда и
некоторым его применениям.
5.1. Пример ряда
Понятие предела числовой последовательности позволяет рассматривать
суммы с бесконечным множеством слагаемых. Такие суммы называются
рядами.
Пример 1. Рассмотрим ряд
1
1
1
1


 ... 
 ...
1 2 2  3 3  4
n(n  1)
Сумма первых n слагаемых этого ряда имеет вид
1
1
1
1
Sn 


 ... 
1 2 2  3 3  4
n(n  1)
и называется n-й частичной суммой данного ряда.
Преобразуем S n следующим образом:
1 
 1 1 1 1 1
1
S n  1            ...   
.
 2  2 3 3 4
 n n 1
После раскрытия скобок одинаковые слагаемые с противоположными
1
Sn  1 
. Отсюда
знаками
взаимно
уничтожаются,
поэтому
n 1
1 

lim S n  lim 1 
  1.
n 
n 
 n 1
Таким образом, последовательность частичных сумм
S1 , S 2 , S 3 , … S n , …
имеет предел, равный 1. Этот предел называется суммой исходного ряда, что
записывают в виде равенства
1
1
1
1


 ... 
 ...  1.
1 2 2  3 3  4
n(n  1)
Говорят также, что данный ряд сходится к числу 1.
Вопрос. Чему равна сумма ряда
1
1
1
1


 ... 
 ...?
1 3 3  5 5  7
(2n  1)( 2n  1)
5.2. Определение ряда. Частичные суммы, сходимость и расходимость
Для всякой бесконечной числовой последовательности (an ) выражение
a1  a2  a3  ...  an  ...
(1)
называется рядом.
Сумма первых n его слагаемых
Sn  a1  a2  a3  ...  an
называется частичной суммой ряда (1).
Ряд называется сходящимся, если последовательность S1 , S 2 , S 3 , … ,
S n , . . . его частичных сумм имеет предел. В этом случае предел
S  lim S n ,
n
называется суммой ряда (1). Говорят также, что ряд (1) сходится к числу
S и пишут
S  a1  a2  a3  ...  an  ... .
Последовательность частичных сумм ( S n ) может не иметь предела. В
таком случае ряд (1) называется расходящимся. Например, частичные
суммы ряда
1  2  3  ...  n  ...
неограниченно возрастают. Поэтому последовательность частичных сумм
этого ряда не имеет предела, а значит ряд расходится.
Вопрос. Сходится или расходится ряд
1  (1)  1  (1)  ...  (1)n 1  ...?
5.3. Запись ряда с помощью знака суммирования
Для обозначения ряда
a1  a2  a3  ...  an  ...
обычно используется знак
записывается в виде

, при помощи которого данный ряд

a
n 1
(2)
n
Стоящие под значком суммирования  и над ним выражение n  1 и знак
 (бесконечность) указывают на то, что рассматривается выражение,
содержащее бесконечное число слагаемых, занумерованных всеми
натуральными числами. Читается выражение (2) следующим образом:
«сумма (или сигма) по эн от 1 до бесконечности». Символ n называется
индексом суммирования, и для его обозначения довольно часто
используются другие буквы, например, i, j, k.
Последовательность частичных сумм ряда (2) можно записать общей
формулой
k
S k   an .
n 1
Для сходящегося ряда существует предел
S  lim S k  lim
k 

k 
a .
n 1
n
В этом случае сумму ряда можно записать в виде

S   an , или,
n 1

a
n 1
n
S.
Например, для ряда, рассмотренного в примере 1, справедливо равенство

1
 1.

n 1 n( n  1)
Вопрос. Как доказать, что если ряд (2) сходится, то lim an  0 ?
n 
5.4. Суммирование ряда специального вида
В отдельных случаях члены ряда (2) удается представить в виде
разности an  f (n  1)  f (n) , где f (x) – функция, зависящая от
переменной x. Тогда
k
S k   an  ( f (2)  f (1))  ( f (3)  f (2))  ...  ( f (k )  f (k  1))  ( f (k  1)  f (k )).
n1
После раскрытия скобок одинаковые слагаемые с противоположными
знаками дадут в сумме 0, и мы получим
Sk  f (k  1)  f (1).
Отсюда следует, что существование суммы рассматриваемого ряда
зависит от существования предела последовательности ( f (k  1)) . В том
случае, когда существует lim f (k  1) , существует и сумма ряда
k 

a
n 1
n
,
равная lim f (k  1)  f (1) .
k 
Вопрос. Чему равна сумма ряда

n
 (n  1)! ?
n 1
5.5. Суммирование геометрического ряда
Ряд, члены которого составляют геометрическую прогрессию, называется
геометрическим рядом. Геометрический ряд имеет вид
a  aq  aq 2  aq3  ...  aq n 1  ...,
где а и q — фиксированные числа, причем a  0 и q  0 . Число q
называется знаменателем геометрического ряда.
Теорема При q  1 геометрический ряд сходится и имеет сумму
S
a
.
1 q
Доказательство. Пусть q  1 , то есть  1  q  1 . По формуле суммы n
начальных членов геометрической прогрессии имеем:
Sn  a  aq  aq  aq  ...  aq
2
3
n 1
1  qn
a
.
1 q
Отсюда
Sn 
a
a

 qn.
1 q 1 q
Поэтому
 a

a
a
a
a

 lim q n 
,
lim S n  lim 

 q n   lim
n  1  q
n


n


1 q
1 q 1 q
1 q


n 
так как lim q n  0 при q  1 .
n 
Тем самым доказана сходимость геометрического ряда при q  1 и
обоснована формула (3) для вычисления суммы этого ряда.
Пример 2. Геометрический ряд
1
1 1 1
(1) n 1
 2  3  ...  n 1  ...
2 2
2
2
1
имеет первый член a  1 и знаменатель q   . Поскольку q  1 , то этот
2
ряд сходится, и, по формуле (3), его сумма равна
1
2
 .
1
1  ( 2 ) 3
Пример 3. Геометрический ряд
3
3
3
3



 ...
10 100 1000 10000
3
1
и знаменатель q  . Поскольку q  1 , то этот
10
10
ряд сходится, и, по формуле (3), его сумма равна
имеет первый член a 
3
3 1
  .
1
10  (1  10 ) 9 3
Вопрос. Какую связь имеет третий пример с бесконечной десятичной
дробью 0,3333…?
При a  0 и 0  q  1 члены геометрического ряда убывают:
a  aq  aq 2  ...  aq n 1  ... .
В этом случае сумму ряда a  aq  aq 2  ...  aq n 1  ... иногда называют
суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Вопрос. Чему равна сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии?
Рассмотрим пример использования геометрической прогрессии при
вычислении площади одной необычной геометрической фигуры.
Возьмем квадрат площадью 1 дм 2. Разделим каждую его сторону на три
равные части и образуем восьмиугольник, как на рисунке 1. Площадь
1 1 1
1
каждого отрезаемого "уголка" равна   
дм 2 . Таких "уголков"
2 3 3 29
2
четыре, а поэтому площадь восьмиугольника равна 1  дм 2 .
9
Разделим каждую сторону восьмиугольника на три равные части и
образуем шестнадцатиугольник, как на рисунке 2. Площадь каждого
1
отрезаемого "уголка" равна
от площади "уголка", отрезаемого на
9
1
предыдущем шаге (рис. 3), то есть эта площадь составляет
дм 2 .
2  92
Таких «уголков» восемь, а поэтому площадь шестнадцатиугольника равна
2 22
 2 дм 2 . Каждую сторону шестнадцатиугольника снова разделим
9 9
на три равные части и образуем 32-угольник. Площадь каждого вновь
1
отрезаемого «уголка» равна
площади «уголка», отрезанного на
9
1
предыдущем шаге, то есть равна
дм 2 . Всего таких «уголков»
3
29
1
2
3
2 2 2
шестнадцать, а поэтому площадь 32-угольника 1        дм 2 .
9 9 9
Намеченный процесс можно продолжать шаг за шагом сколь угодно долго.
Вопрос. Чему равна площадь фигуры, которая останется от квадрата,
если представить процесс отрезания «уголков» выполненным бесконечное
число раз?
5.6. Расходимость геометрического ряда
Покажем, что при q  1 и a  0 геометрический ряд
a  aq  aq 2  aq3  ...  aq n 1  ...,
расходится.
Рассмотрим сначала случай, когда q  1 . Тогда можно положить
q  1  p , где p  0 . Из неравенства Бернулли при любом натуральном n
получаем
n
q  (1  p ) n  1  pn.
n
Поэтому число q неограниченно возрастает с увеличением n. Поскольку
qn  1  a q n  1
a  aq n
Sn 


 a,
1 q
q 1
q 1
то Sn также неограниченно растет с возрастанием п. Следовательно, при
q  1 последовательность частичных сумм ( S n ) не является ограниченной,
и поэтому не имеет предела.
Таким образом, при q  1 геометрический ряд расходится.
q  1 . Тогда
Sn  an . Так как
Пусть теперь
a  0 , то
последовательность ( S n ) не является ограниченной и не имеет предела. В
этом случае геометрический ряд также расходится. Пусть, наконец, q  1 .
Тогда геометрический ряд имеет вид a  a  a  a  ... Частичные суммы
этого ряда с нечетными номерами равны a, с четными номерами равны 0.
Поэтому последовательность частичных сумм состоит из чередующихся
чисел a и 0, а значит, не имеет предела. Следовательно при q  1
геометрический ряд также расходится.
Вопрос. Допустим, что в банк сделан вклад величиной 1 рубль под
1 % годовых. Через сколько лет величина вклада может превысить миллион
рублей?
Мини-исследование
Дан треугольник ABC. Пусть A1 – середина BC , B1 – середина AC , C1 –
середина AB ; таким образом A1B1C1 – треугольник средних линий для ABC.
Аналогично строятся треугольники A2 B2C2 – треугольник средних линий
для A1B1C1 , A3 B3C3 – треугольник средних линий для A2 B2C2 и т. д.
1) Докажите, что каждая из последовательностей точек A1 , A2 , A3 , … ,
B1 , B2 , B3 , … , C1 , C2 , C3 , … имеет предел. Эти точки делят соответственно
медианы AA1 , BB1 , CC1 в отношении 2:1.
2) Докажите, что эти пределы совпадают.
Отсюда следует, что медианы треугольника ABC пересекаются в одной
точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин треугольника.
Проверь себя. Понятие о числовом ряде. Геометрический ряд
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Предел последовательности an  (0,999) n равен:
1
 1. 0;  2. 9 ;  3. ;  4. 1
10
(Правильный вариант: 1)
Предел последовательности an  (1,0001) n равен:
1
 1. 0;  2. 1 ;  3.
;  4. не существует
1000
(Правильный вариант: 4)
1 1 1
(1) n 1
Сумма геометрического ряда 1   2  3  ...  n 1  ... равна
2 2
2
2
2
 1. 0;  2. 1 ;  3. ;  4. не существует
3
(Правильный вариант: 3)
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Геометрический ряд
сходится при q , равном
вида
a  aq  aq 2  aq3  ...  aq n 1  ...
(a  0)
2
3
;  4.
3
2
(Правильные варианты: 1, 3)
 1. 0;  2. 1 ;  3.
Геометрический ряд вида a  aq  aq 2  aq3  ...  aq n 1  ...
расходится при q , равном
 1. 0;  2. 1 ;  3. 1,0001 ;  4. 0,9999
(Правильные варианты: 2, 3)
(a  0)
Домашнее задание
1.
Найдите сумму геометрического ряда
2.
3 9 27
 
 ... .
4 16 64
Вычислите сумму площадей последовательности треугольников, в
которой первым членом является равносторонний треугольник со
стороной, равной 1, а каждый последующий треугольник имеет своими
вершинами середины сторон предыдущего треугольника.
1
3.
Найдите сумму площадей последовательности квадратов, в которой
первым является квадрат со стороной 1, а каждый последующий
квадрат имеет своими вершинами середины сторон предыдущего
квадрата.
4.
Найдите сумму геометрического ряда:
4
а) 100  10  1  ... ; б) 12  4   ... .
3
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 120, а
первый член прогрессии равен 3. Найдите знаменатель прогрессии.
5.
6.
7.
8.
9.
Фигура на рисунке 4 составлена из бесконечного множества квадратов.
Сторона первого из них равна 1, а сторона каждого последующего
3
квадрата равна
стороны предыдущего квадрата. Вычислите
4
площадь такой фигуры.
2
На куб с ребром 1 поставили куб с ребром , на него — куб с
3
4
8
ребром , затем — куб с ребром
и так далее. Найдите сумму
9
27
объемов всех кубов и высоту получившегося геометрического тела
7
Какой геометрический ряд имеет сумму
и начинается с
12
единицы?
Для
каких
углов
сходится
геометрический
ряд

1  sin   sin 2   ... ?
10. В острый угол  последовательно вписаны окружности, касающиеся
друг друга (рисунок 5). Радиус первой окружности равен R1 .
а) Найдите радиусы R2 , R3 , …, Rn , … остальных окружностей;
б) покажите, что последовательность радиусов образует бесконечно
убывающую геометрическую прогрессию;
в) докажите, что сумма
равна
R1  2( R2  R3  ...  Rn  ...)
расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.
11. В геометрическом ряде 1  1  1  1  1  1  ... расставьте скобки так,
чтобы получился ряд
а) сходящийся к нулю; б) сходящийся к 1.
1 1 1
1
12. Докажите, что ряд 1     ...   ... расходится.
2 3 4
n
13. Пусть 0,1 2 3 4 ... – произвольная бесконечная десятичная дробь.
Сходится ли ряд
1  2

4

 3 
 ... ?
10 100 1000 10000
Словарь терминов
Числовой ряд. Для всякой бесконечной числовой последовательности (an )
выражение a1  a2  a3  ...  an  ... называется рядом.
Частичная сумма ряда Сумма Sn  a1  a2  a3  ...  an первых n слагаемых
ряда называется частичной суммой ряда.
Сходящийся ряд. Ряд называется сходящимся, если последовательность
S1 , S 2 , S 3 , … , S n , . . . его частичных сумм имеет предел.
Сумма ряда. Суммой ряда называется предел его частичных сумм
S  lim S n
n 
Расходящийся
ряд.
Ряд
называется
расходящимся,
если
последовательность S1 , S 2 , S 3 , … , S n , . . . его частичных сумм не имеет
предела.
Геометрический ряд – ряд, члены которого составляют геометрическую
прогрессию. Геометрический ряд имеет вид
a  aq  aq 2  aq3  ...  aq n 1  ...,
где а и q — фиксированные числа, причем a  0 и q  0 . Число q
называется знаменателем геометрического ряда. При q  1 геометрический
ряд сходится и имеет сумму S 
расходится.
a
. При q  1 геометрический ряд
1 q
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. – 5-5-7-1.cdr
Рисунок 2. – 5-5-7-2.cdr
Рисунок 3. – 5-5-7-3.cdr
Рисунок 4. – 5-5-zu1-5.cdr
Рисунок 5. – 5-5-zu2-5.cdr