Автоматы с магазинной
памятью
• Автомат с магазинной памятью – это
односторонний недетерминированный
распознаватель. Автомат с магазинной
памятью является моделью синтаксического
анализатора языка.
Определение 14.21
• Автомат с магазинной памятью (МП-автомат)
– это семерка
•
P = (Q, Σ, Г, δ, q0, Z0, F), где
• Q – конечное множество символов состояний,
представляющих возможные состояния
управляющего устройства;
• Σ - конечный входной алфавит (алфавит входной
ленты);
• Г – конечный алфавит магазинных символов
(алфавит рабочей памяти автомата);
• δ - отображение множества Q × (Σ ∪ {λ}) × Г в
множество конечных подмножеств множества Q × Г*
(δ - функция переходов);
• q0 ∈ Q – начальное состояние управляющего
устройства;
• z0 ∈ Г - символ, находящийся в магазине в
начальный момент (начальный символ магазина);
• F ⊆ Q – множество заключительных состояний
управляющего устройства.
• В определении функции переходов запись (q′, χ) ∈
δ(q, a, Z) будет означать:
• если a ≠ λ, то МП-автомат Р, находясь в состоянии q
и имея a в качестве текущего входного символа,
расположенного под входной головкой, а в качестве
верхнего символа магазина - символ Z, может
перейти в новое состояние q′, сдвинуть входную
головку на одну ячейку вправо и заменить верхний
символ магазина цепочкой χ магазинных символов;
• если а = λ, будем называть этот такт λ –тактом; в λ –
такте текущий входной символ не принимается во
внимание и входная головка не сдвигается, однако,
состояние управляющего устройства и содержимое
памяти могут измениться (заметим, что λ-такт может
происходить и тогда, когда вся входная цепочка
прочитана);
• если χ = λ, то верхний символ удаляется из магазина
(магазинный список сокращается);
• следующий такт невозможен, если магазин пуст
Определение 14.22
•
•
Конфигурацией МП-автомата Р называется тройка
(q, ω, α) ∈ Q ×Σ*× Г*, где
q — текущее состояние управляющего устройства;
• ω — неиспользованная часть входной цепочки;
первый символ цепочки ω находится под входной
головкой; если ω=λ, то считается, что вся входная
лента прочитана;
• α — содержимое магазина; самый левый символ
цепочки α считается верхним символом магазина;
если α = λ, то магазин считается пустым.
Определение 14.23
• Начальной
конфигурацией
МП-автомата
P
называется конфигурация вида (q0, ω, Z0), где ω ∈
Σ*, (т. е. УУ находится в начальном состоянии,
входная лента содержит цепочку, которую нужно
распознать, а в магазине есть только начальный
символ Z0).
Определение 14.24
• Заключительной конфигурацией МП-автомата P
называется конфигурация вида: (q, λ, α), где q ∈ F,
α.∈Г*.
Определение 14.25
• Такт работы МП-автомата Р будем представлять в виде
бинарного отношения |⎯ Р, определённого на конфигурациях.
Будем говорить, что между двумя конфигурациями (q, aω, Zα) и
(q′, ω, χα) имеет место
• (q, aω, Zα) |⎯ Р (q′, ω, χα),
(**)
• если (q′, χ) ∈ δ(q, a, Z), где q ∈ Q, q′ ∈ Q, a ∈ ∑ ∪ {λ}, ω ∈ ∑*, Z∈Г
и α ∈ Г*, χ ∈ Г*.
• Через |⎯ Р* |⎯ Р+ обозначают соответственно рефлексивное
замыкание и транзитивное замыкание отношения |⎯ Р.
Определение 14.26
• Говорят, что цепочка ω допускается МП –автоматом
P, если
• (q0, ω, Z0) |⎯ Р* (q, λ, α) для некоторого q ∈ F и α ∈ Г*.
Определение 14.27
• Языком,
определённым
(или
допускаемым)
автоматом Р (обозначается L(P)), называют
множество цепочек, допускаемых автоматом Р.
• Пример 14.3.
• Построим МП –автомат, определяющий язык
L={0n1n | n≥0}.
• Пусть P=({q0, q1, q2}, {0, 1}, {Z, 0}, δ, q0, Z, {q0}),
• где
δ(q0, 0, Z) = {(q1, 0Z)}
• δ(q1, 0, 0) = {(q1, 00)}
• δ(q1, 1, 0) = {(q2, λ)}
• δ(q2, 1, 0) = {(q2, λ)}
• δ(q2, λ, Z) = {(q0, λ)}
• Работа МП –автомата Р состоит в том, что он
копирует в магазине начальную часть входной
цепочки, состоящую из нулей, а затем устраняет
из магазина по одному нулю на каждую единицу,
которую он видит на входе. Кроме того, функция
переходов гарантирует, что все нули
предшествуют единицам.
• Построим МП –автомат, определяющий язык L={wwR |
w∈{0,1}+}.
• Пусть P=({q0, q1, q2}, {0, 1}, {Z, 0,1}, δ, q0, Z, {q2}),
• где δ(q0, 0, Z) = {(q0, 0Z)}
• δ(q0, 1, Z) = {(q0, 1Z)}
• δ(q0, 0, 0) = {(q0, 00), (q1, λ)}
• δ(q0, 0, 1) = {(q0, 01)}
• δ(q0, 1, 0) = {(q0, 10)}
• δ(q0, 1, 1) = {(q0, 11), (q1, λ)}
• δ(q1, 0, 0) = {(q1, λ)}
• δ(q1, 1, 1) = {(q1, λ)}
• δ(q1, λ, Z) = {(q2, λ)}
• Работа МП –автомата Р состоит в том, что он копирует в
магазине начальную часть входной цепочки, состоящую из
нулей и единиц, и в какой-то момент начинает вычеркивать
символы из магазина, если символ, находящийся в вершине
магазина, совпадает с символом входной ленты.
Определение 14.28
• Расширенный автомат с магазинной памятью
(МП- автомат) – это семерка
•
P = (Q, Σ, Г, δ, q0, Z0, F), где
• 1) Q – конечное множество символов
состояний, представляющих возможные
состояния управляющего устройства;
• 2) Σ - конечный входной алфавит (алфавит
входной ленты);
• 3) Г – конечный алфавит магазинных
символов (алфавит рабочей памяти
автомата);
• 4) δ - отображение множества Q × (Σ ∪ {λ}) ×
Г* в множество конечных подмножеств
множества Q × Г* (δ - функция переходов),
т.е. расширенный автомат позволяет
рассматривать не один символ магазина, а
цепочку символов на каждом такте работы;
• 5) q0 ∈ Q – начальное состояние
управляющего устройства;
• 6) z0 ∈ Г - символ, находящийся в магазине в
начальный момент (начальный символ
магазина);
• 7) F ⊆ Q – множество заключительных
состояний управляющего устройства.
• В определении функции переходов запись (q′, χ) ∈
δ(q, a, Z) будет означать:
• если a ≠ λ, то расширенный МП-автомат Р, находясь
в состоянии q и имея a в качестве текущего входного
символа, расположенного под входной головкой, а в
качестве верхнего символа магазина - символ Z,
может перейти в новое состояние q′, сдвинуть
входную головку на одну ячейку вправо и заменить
верхний символ магазина цепочкой χ магазинных
символов;
• если а = λ, будем называть этот такт λ –тактом; в λ –
такте текущий входной символ не принимается во
внимание и входная головка не сдвигается, однако,
состояние управляющего устройства и содержимое
памяти могут измениться (заметим, что λ-такт может
происходить и тогда, когда вся входная цепочка
прочитана);
• если χ = λ, то верхний символ удаляется из
магазина (магазинный список сокращается);
• если Z = λ, то содержимое магазина не
анализируется.
• Заметим, что в отличие от автомата с
магазинной памятью, расширенный автомат с
магазинной памятью может продолжить
работу в случае, когда магазин пуст.
• Пример 14.5.
• Построим расширенный МП –автомат,
определяющий язык L={wwR | w∈{0,1}+}.
• Пусть P=({q, p}, {0, 1}, {S, Z, 0, 1}, δ, q, Z, {p}),
• где
δ(q, 0, λ) = {(q, 0)}
• δ(q, 1, λ) = {(q, 1)}
• δ(q, λ, λ) = {(q, S)}
• δ(q, λ, 0S0) = {(q, S)}
• δ(q, λ, 1S1) = {(q, S)}
• δ(q, λ, SZ) = {(p, λ)}
Определение 14.29
• МП-автомат P = (Q, Σ, Г, δ, q0, Z0, F)
называется детерминированным
(сокращенно ДМП-автоматом), если для
каждых q ∈ Q и Z ∈ Г либо
• δ(q, a, Z) содержит не более одного элемента
для каждого a∈Σ и δ(q, λ, Z) = ∅, либо
• δ(q, a, Z) = ∅ для всех a ∈ Σ и δ(q, λ, Z)
содержит не более одного элемента.
Лемма 14.5
• Пусть P = (Q, Σ, Г, δ, q0, Z0, F) – некоторый МПавтомат. Если (q, w, A) |⎯ Рn (q', λ, λ), то (q, w, Aα) |⎯
Рn (q', λ, α) для всех A ∈ Г и α ∈ Γ*.
• Доказательство.
• База индукции. При n = 1 доказательство очевидно (в
этом случае длина цепочи w не превосходит 1). Так
как выполнено (q, w, A) |⎯ Р1 (q', λ, λ), то очевидно,
что при наличии в магазине символов под символом
А получим (q, w, Aα) |⎯ Р1 (q', λ, α).
• Шаг индукции. Допустим, что утверждение леммы
верно для всех n, таких, что n' > n ≥1. Покажем, что
если выполнено (q, w, A) |⎯ Рn' (q', λ, λ), то (q, w, Aα)
|⎯ Р n' (q', λ, α).
• Так как выполнено (q, w, A) |⎯ Рn' (q', λ, λ), то
соответствующая последовательность тактов
должна иметь вид:
• (q, w, A) |⎯ (q1, w1, X1,X2,…,Xk )
• |⎯ n1 (q2, w2, X2,…,Xk )
• |⎯ n2 (q3, w3, X3,…,Xk )
• …
• |⎯ nk-1 (qk, wk, Xk )
• |⎯ nk (q', λ, λ),
• причем все ni < n'.
• Тогда для любых α возможна
последовательность
• (q, w, Aα)
|⎯ (q1, w1, X1,X2,…,Xkα )
• |⎯ n1 (q2, w2, X2,…,Xkα )
• |⎯ n2 (q3, w3, X3,…,Xkα )
• …
• |⎯ nk-1 (qk, wk, Xkα )
• |⎯ nk (q', λ, α),
• т.е. выполнено (q, w, Aα) |⎯ Р n' (q', λ, α).
Лемма доказана.
Определение 14.30
• Пусть P = (Q, Σ, Г, δ, q0, Z0, F) – некоторый
МП-автомат или расширенный МП-автомат.
Будем говорить, что P допускает цепочку w
∈Σ* опустошением магазина, если (q, w, Z0)
|⎯Р* (q', λ, λ) для некоторого q ∈ Q.
• Обозначим Lλ(P) – множество цепочек,
допускаемых автоматом P опустошением
магазина.
Лемма 14.6
• Пусть L = L(P) для некоторого МП-автомата P = (Q, Σ,
Г, δ, q0, Z0, F). Тогда можно построить такой МПавтомат P', что Lλ(P') = L.
• Доказательство.
• Построим МП-автомат P' = (Q ∪ {qλ, q'}, Σ, Г ∪ {Z'}, δ',
q', Z',∅). Определим функцию переходов следующим
образом:
• 1. если (r,γ) ∈ δ(q, a, z), то (r,γ) ∈ δ'(q, a, z) для любых
q ∈ Q, a∈Σ ∪ {λ}, z∈Г;
• 2. δ'(q', λ, Z') = {(q0, Z0Z')}, т.е. на первом такте
автомат P' записывает в магазин Z0Z' и переходит в
состояние q0 – начальное для автомата P;
• 3. для любых q ∈ F, z ∈ Г ∪ {Z'} элемент (qλ, λ) ∈ δ'(q,
λ, z);
• 4. δ'(qλ, λ, z) = {(qλ, λ)} для всех z ∈ Г ∪ {Z'}.
• Очевидно, что
• (q', w, Z') |⎯Р' (q0, w, Z0Z')
пункт (2)
определения δ'
• |⎯Р'n (q, λ, Y1Y2…Yr) пункт (1) определения δ'
• |⎯Р' (qλ, λ, Y1Y2…Yr) пункт (3) определения δ'
• |⎯Р'r-1 (qλ, λ, λ)
пункт (4) определения δ'
• где Yr = Z' тогда и только тогда, когда
• (q0, w, Z0) |⎯Р'n (q, λ, Y1Y2…Yr-1) для q ∈ F и
Y1Y2…Yr-1 ∈ Г*. Следовательно, Lλ(P') = L.
Лемма 14.7
• Пусть P = (Q, Σ, Г, δ, q0, Z0, ∅) – МП- автомат. Можно
построить такой МП-автомат P', что L(P') = Lλ(P).
Лемма 14.7
• Пусть G = (N, Σ, P, S) – КС-грамматика. По
грамматике G можно построить такой МП-автомат R,
что Lλ(R) = L(G).
• Доказательство. Построим R так, чтобы он
моделировал все левые выводы в G. Верхушка
магазина слева.
• Пусть R = ({q}, Σ, Σ ∪ N, δ, q, S, ∅), где функция
переходов δ определяется следующим образом:
• 1. если правило вида A → α ∈ P, то (q, α) ∈ δ(q, λ, A);
• 2. для всех a ∈ Σ построим δ(q, a, a) = {(q, λ)}.
• Докажем, что A ⇒ m w, где w ∈ Σ* ⇔ (q, w, A) |⎯n (q, λ,
λ) для некоторых m ≥ 1 и n≥ 1.
• Необходимость. Пусть имеет место A ⇒ m w при
некотором m≥ 1. Покажем (индукцией по m), что
тогда существует n≥ 1 такое, что выполнено (q,w, A)
|⎯n (q, λ, λ).
• База индукции. Если m = 1, A ⇒ 1 w и w = a1a2…ak ∈
Σ*, т.е. k ≥ 0, то правило A → w ∈ P и
• (q, a1a2…ak, A) |⎯ (q, a1a2…ak, a1a2…ak)
пункт (1) определения δ
•
|⎯k (q, λ, λ)
пункт (2) определения δ, т.е. n = ⏐w⏐+1 = k+1.
• Предположим, что при всех m', таких, что 1 < m' < m,
если A ⇒ m w, то существует n ≥ 1 такое, что
выполнено (q,w, A) |⎯n (q, λ, λ).
• Докажем справедливость утверждения при m. Так как
A ⇒ m w, то первый шаг вывода имеет вид A ⇒
X1X2… X k, причем правило A → X1X2… X k∈ P и
для всех i, 1 ≤i≤k имеет место Xi ⇒mi xi, где mi < m.
Но тогда по предположению индукции (q, xi, Xi)|⎯ni (q,
λ, λ), причем, в случае, когда Xi = xi ∈ Σ имеет место
(q,xi,xi)|⎯ (q,λ, λ), т.е. ni = 1 . Следовательно, если A ⇒
m w, то (q, w, A) |⎯ (q, w, X1X2… Xk) |⎯n1 (q, w, X2…
Xk) |⎯n2 …|⎯nk (q,λ,λ).
• Достаточность. Пусть имеет место (q, w, A) |⎯n (q, λ,
λ) при некотором n≥ 1. Покажем (индукцией по n), что
тогда существует m ≥ 1 такое, что выполнено A⇒mw.
• База индукции. Если n =1 и (q, w, A) |⎯1 (q, λ, λ), то w
= λ и правило A→λ∈P (см. определение функции
переходов), т.е. A⇒1w.
• Предположим, что утверждение верно при всех n',
таких, что n'<n. Докажем, что оно верно при n, т.е.
докажем, что если (q, w, A) |⎯n (q, λ, λ), то существует
m≥1 такое, что выполнено A ⇒m w.
• Первый шаг, сделанный автоматом, должен иметь
вид (q, w, A) |⎯ (q, w, X1X2… Xk), причем правило A
→ X1X2… Xk∈ P. Пусть w = x1x2… xk, где xk ∈ Σ* и
(q, xi, Xi) |⎯ni (q, λ, λ), причем ni < n, но тогда по
предположению Xi ⇒mi xi, причем mi = 0, если Xi ∈ Σ.
Таким образом, имеет место вывод цепочки w в
грамматике G:
•
•
•
•
•
A ⇒ X1X2… Xk
⇒* x1X2… Xk
⇒* x1x2X3… Xk
⇒* x1x2x3… xk = w
Из условия леммы в частности следует, что S
⇒+ w ⇔ (q, w, S) |⎯+ (q, λ, λ), следовательно
Lλ(R) = L(G).
• Пример 14.6.
• Построим МП –автомат P, для которого
L(P) = L(G), где G – КС-грамматика примера
7.5, определяющая арифметические
выражения.
• Пусть P=({q}, Σ, Г, δ, q, E, ∅), где Σ = {a, +, *,
(, )}
• где
δ(q, λ, E) = {(q, E+T), (q, E)}
• δ(q, λ, T) = {(q, T*F), (q, T)}
• δ(q, λ, F) = {(q, (E)), (q, a)}
• δ(q, b, b) = {(q, λ)} для всех b ∈ Σ.
Определение 14.31
• Пусть G = (N, Σ, P, S) – КС-грамматика и S
⇒r* αAw ⇒r αβw ⇒r*xw – правый вывод в G.
Будем говорить, что правовыводимую
цепочку αβw можно свернуть слева (или что
она левосвертывается) к правовыводимой
цепочке αAw с помощью правила A → β.
Вхождение цепочки β в цепочку αβw назовем
основой цепочки αβw.
• Основа правовыводимой цепочки – это
любая ее подцепочка, которая является
правой частью какого–либо правила, причем
после ее замены левой частью правила
получается также правовыводимая цепочка.
Лемма 14.9
• Пусть G = (N, Σ, P, S) – КС-грамматика. По
грамматике G можно построить такой расширенный
МП-автомат R, что L(R) = L(G).
• Доказательство. Пусть R = ({q, r}, Σ, Σ ∪ N ∪ {#}, δ, q,
#, {r}) – расширенный МП–автомат (верхушка
магазина располагается справа), в котором функция
переходов δ определяется следующим образом:
• (1) для всех a ∈ Σ определим δ(q, a, λ) ={(q, a)}
(выполняется перенос входного символа в магазин);
• (2) если правило A → α ∈ P, то (q, A) ∈ δ(q, λ, α)
(выполняется свертка, т.е. основа заменяется
нетерминальным символом грамматики);
• (3) δ(q, λ, #S) = {(r, λ)}.
• Докажем, что справедливо L(G) = L(R).
• 1. Докажем вначале справедливость L(G) ⊆ L(R), т.е.
покажем, что если w = xy ∈ L(G), то w ∈ L(R). Для
этого индукцией по n докажем, что
• (*) если имеет место S ⇒r* αAy ⇒rn xy, то также
(q, ху, #) |⎯m (q, y, #αA)
• Базис. При n = 1 имеем αAy ⇒r1 xy. В этом случае
xy = αβy и правило А → β ∈ Р. Тогда имеет место (q,
ху, #) |⎯* (q, y, #αβ)|⎯ 1(q, y, #αA) (т.е. выполняем
перенос входных символов до тех пор, пока в
магазине не появится основа β, а затем заменяем
основу нетерминальным символом A).
• Предположим, что (*) верно для всех значений n' < n.
• Докажем, что (*) верно для n. Вывод αAy ⇒rn xy
можно представить в виде αAy ⇒r αβy ⇒rn–1 xy.
• Допустим, что цепочка αβ состоит только из
терминалов. Тогда αβ=х и (q,ху, #) |⎯* (q, у, #αβ) |⎯ (q,
y, # αA).
• Если αβ ∉ Σ*, т.е. αβ содержит нетерминальные
символы, то можно представить αβ = γBz, где В—
самый правый нетерминал. По (*) из S ⇒r* γBzy ⇒rn–
1 xy следует (q, ху, #)|⎯* (q, zy, #γB). Кроме того, (q,
zy, #γB) |⎯* (q, у, #γBz) |⎯ (q, у, #αA) – тоже возможная
последовательность тактов (согласно
предположения индукции).
• Следовательно, (*) верно для всех n. Так как (q, λ,
#S) |⎯ (r, λ, λ), то L(G)⊆ L(R).
• 2. Теперь докажем обратное включение L(R) ⊆ L(G),
т.е. покажем, что если w = xy ∈ L(R), то w ∈ L(G). Для
этого индукцией по n покажем, что
• (**)
если имеет место (q, xy, #) |⎯n (q, y, #αA), то
выполнено αАу ⇒* ху
• Базис. При n = 1 имеем (q, xy, #) |⎯1 (q, y, #αA). В
этом случае xy = αβy и правило А → β ∈ Р, тогда αАу
⇒1 ху = αβy.
• Предположим, что (**) верно для всех n < m.
• Докажем, что (**) верно для m, т.е. покажем, что если
имеет место (q,xy,#)|⎯m (q, y, #αA), то выполнено αАу
⇒* ху
• Если верхний символ магазина автомата R
нетерминальный, то последний такт был сделан по
правилу (2) определения функции δ. Поэтому можно
записать
• (q, ху, #) |⎯m–1 (q, y, #αβ) |⎯ (q, y, # αA), где правило А → β ∈ Р.
• Если цепочка αβ содержит нетерминал, то по предположению
индукции αβy ⇒* ху. Отсюда αAу ⇒ αβy ⇒* ху, что и
утверждалось.
• В качестве частного случая утверждения (**) получаем, что если
выполнено (q, w, #)|⎯* (q, λ, #S), то также S ⇒* w. Так как R
допускает w только тогда, когда (q, w, #) |⎯* (q, λ, #S) |⎯ (r•, λ, λ),
то отсюда следует, что L(R) ⊆ L (G). Таким образом, L(R) =
L(G)).
• Заметим, что сразу после свертки правовыводимая цепочка
вида αAx представлена в R так, что αА находится в магазине, а
x занимает непрочитанную часть входной ленты. После этого R
может продолжать переносить символы цепочки х в магазин до
тех пор пока в его верхней части не образуется основа. Тогда R
может сделать следующую свертку. Синтаксический анализатор
этого типа называют „восходящим анализом" („анализом снизу
вверх").
• Пример 14.7. Построим восходящий анализатор R
для грамматики G примера 7.5. Пусть R –
расширенный МП-автомат R = ({q, r}, Σ, Г, δ, q, #,
{r}), где Σ = {a, +, *, (, )}, а функция переходов δ
определяется так:
• δ(q, b, λ) = {(q, b)} для всех b ∈ Σ;
• δ(q, λ, E+T) = {(q, E)}
• δ(q, λ, T) = {(q, E)}
• δ(q, λ, T * F) = {(q, T)}
• δ(q, λ, F) = {(q, T)}
• δ(q, λ, (E)) = {(q, F)}
• δ(q, λ, a) = {(q, F)}
• δ(q, λ, #E) = {(r, λ)}
Теорема 14.3
• Язык L является КС-языком тогда и только
тогда, когда L определяется некоторым МПавтоматом.
Задание 17
• (1). Построить пример МП-автомата. Описать
допускаемый им язык.
• (2). Для некоторого фрагмента КСграмматики реального языка
программирования построить нисходящий и
восходящий анализаторы.
