Механика сплошных сред Вопросы и задачи для подготовки к экзамену – весенний семестр 2020 Вопросы 1. Скалярные и векторные поля и их характеристики. Дивергенция и ротор векторного поля, градиент скалярного поля. Теоремы Стокса и Гаусса– Остроградского и некоторые связанные с ними свойства векторных полей. 2. Лагранжево и эйлерово описание движения сплошной среды. Лагранжевы и Эйлеровы координаты. Переход от лагранжева описания к эйлерову и обратный переход. Полная и частная производная по времени, их физический смысл. Связь полей перемещений, скоростей и ускорений. 3. Траектории материальных частиц. Линии тока в заданный момент времени. Их нахождение по заданному полю скорости. 4. Вектор вихря, его кинематический смысл. Вихревые линии. Потенциал скорости. Дивергенция скорости и ее физический смысл. Циркуляция скорости. Эквивалентность потенциального и безвихревого движения. 1. Закон сохранения массы. Вывод уравнения неразрывности. Уравнение неразрывности в эйлеровых и лагранжевых переменных. Уравнение неразрывности для несжимаемой среды. Массовые (объемные) силы и поверхностные силы. 2. Закон изменения количества движения в интегральной и дифференциальной форме. Вывод уравнения движения из баланса импульса для неподвижного объема. Уравнение равновесия как частный случай уравнения движения. 3. Давление. Модель идеальной жидкости. Уравнение движения идеальной жидкости — уравнение Эйлера. Замкнутая система уравнений в случае течений однородной несжимаемой идеальной жидкости. 4. Граничные условия в жидкости: на твердой (условие непроницаемости) и свободной (кинематические и динамические условия) поверхностях. 5. Равновесие покоящейся жидкости. Закон Паскаля. Понятие об устойчивости равновесия. Гидростатический закон. Сила Архимеда. 6. Интеграл Бернулли для установившихся течений идеальной несжимаемой жидкости в потенциальном поле массовых сил. Пример: истечение жидкости из сосуда, формула Торричелли. 7. Потенциальные течения. Уравнение Лапласа для потенциала скорости для течения несжимаемой жидкости. Интеграл Коши — Лагранжа для течений идеальной несжимаемой жидкости в потенциальном поле массовых сил. 8. Использование интегральных соотношений, следующих из законов сохранения. Примеры: задача об ударе струи о препятствие; гидравлическое описание движения жидкости в канале переменного поперечного сечения. 9. Плоское безвихревое движение жидкости. Комплексный потенциал и его свойства. Функция тока. Примеры простейших двумерных течений жидкости. Примеры потенциалов плоских течений несжимаемой жидкости: поступательный поток, плоский источник, точечный вихрь, вихресток, плоский диполь, течение внутри и вне угла. 10. Потенциальное баротропное движение сжимаемой идеальной жидкости. Постановка задачи о гравитационных поверхностных волнах. Система уравнений, граничные и начальные условия. 11. Потенциальные волны бесконечно малой амплитуды. Линеаризация уравнений и граничных условий для малых возмущений состояния покоя. 12. Гармонические волны. Длина волны и период. Стоячие волны в бассейне конечной и бесконечной глубины. 13. Прогрессивные волны в бассейне конечной и бесконечной глубины. Фазовая скорость. Дисперсионное уравнение. Дисперсия волн. Групповая скорость. 14. Короткие волны. Приближение «глубокой воды». Длинные волны. Приближение "мелкой воды". Система уравнений мелкой воды. 15. Волны на границе раздела двух слоев тяжелой жидкости разной плотности. 16. Физическое подобие явлений. Моделирование. Критерии подобия. Масштабный эффект. Оценка порядков слагаемых в уравнениях механики сплошных сред. 17. Вязкая несжимаемая жидкость. Коэффициент динамической вязкости. Коэффициент кинематической вязкости. Число Рейнольдса как отношение инерционных и вязких сил при стационарных течениях. Принцип подобия. Простейшие примеры вязких течений. 18. Уравнение движения для несжимаемой вязкой жидкости (уравнение Навье — Стокса). Замкнутая система уравнений для несжимаемой вязкой жидкости. Типичные граничные условия. Граничные условия на поверхности твердых тел и на свободной поверхности. Понятие о пограничном слое. Задачи1 1 2 3 4 5 1 Задан закон движения сплошной среды (простейшие примеры: простой сдвиг; одноосное растяжение; движение с линейной зависимостью эйлеровых координат от лагранжевых в каждый момент времени). Найти поле скорости и ускорения в лагранжевом и эйлеровом описании. Вычислить дивергенцию и ротор поля скорости. Задано поле скоростей в эйлеровом представлении (примеры: поступательное движение; движение с линейным распределением скорости от пространственных координат). Найти закон движения. Определить, куда переместится известная материальная частица через некоторый промежуток времени. Задано поле скоростей в эйлеровом представлении (примеры: поступательное движение; движение с линейным распределением скорости от пространственных координат). Найти закон движения. Определить, куда переместится известная материальная частица через некоторый промежуток времени. Заданы поле физической величины и скорость движения сплошной среды в эйлеровом представлении. Найти полную производную этой физической величины. Задано поле скорости. Найти поле ускорения. Во всех задачах, если не оговорено иное, используются прямоугольные декартовы координаты. 6 7 8 9 10 11 12 Проверить, что для полной производной справедливо правило Лейбница дифференцирования произведения. Задано поле скорости (примеры: твердотельное вращение; простой сдвиг). Найти траектории материальных частиц и линии тока в некоторый момент времени. Задан потенциал скорости стационарного движения сплошной среды (примеры: источник (сток) на плоскости и в пространстве; вихревая линия). Найти поле скорости, линии тока. Проверить, что ротор скорости для твердотельного движения сплошной среды равен удвоенной угловой скорости. Доказать, что ротор градиента и дивергенция ротора равны нулю. Доказать, что интеграл от вектора единичной нормали к замкнутой поверхности, вычисленный по этой поверхности, равен нулю. Дан закон движения континуума Определить компоненты скорости в эйлеровой и лагранжевой форме. 13 Задан закон движения сплошной среды 14 Показать, что траектории – окружности, а величина скорости постоянна. Для поля скорости найти линии тока и траектории и доказать, что они совпадают. Движение среды происходит с полем скорости 15 и полем ( температуры . Найти в момент времени ) ) ( ) ( )( скорость изменения температуры в индивидуальной частице, которая находится в точке пространства 16 Известно распределение скорости при плоскопараллельном движении сплошной 17 среды: v( x, y ) ( x; x 2 y ) . а) Найти ускорение материальной частицы, находящейся в точке (1; 1). б) В момент времени t = 0 материальная частица находится в точке (1; 1). В какой точке пространства находилась эта материальная частица в момент времени t = −1? Поле скорости и плотность при движении сплошной среды имеют вид v( x, y, z , t ) ( f ( x, t );0;0) , ρ(x, y, z, t) = A+Bt2, где A и B — некоторые константы. 18 19 Воспользовавшись законом сохранения массы, найти общий вид функции f(x, t). Движение среды происходит по закону: x1 1 at2 , x2 2 bt1 , x3 3 , a, b = const. Проверить, что числа (1, 2, 3) для индивидуальной частицы имеют смысл координат (x1, x2, x3) точки пространства, в которой частица находилась в момент t = 0. Найти поля скорости и ускорения в лагранжевом описании. Какая частица в момент t0 находится в точке пространства с координатами (x01, x02, x03)? 1. Ввести лагранжевы координаты и найти закон движения среды, если движение происходит с полем скорости: x 2tx 3t 2 x А) v 1 ; 2 2 2 ; 3 33 , = const > 0. t t t Q(t ) x1 Q(t ) x2 ; ;0 , r x12 x22 , Q(t)>0. 2 2 2r 2r Q(t ) xi В) vi , R x12 x22 x32 , Q(t)>0. 3 2R Б) v Г) v Ax1; Bx2 ;0 , A = const > 0, B = const > 0. Д) v A(t ) x1; B (t ) x2 ;0 , A(t) > 0, B(t) > 0. 20 Для случаев Г) и Д) сравнить линии тока. Привести пример функций A(t) > 0, B(t) > 0, при которых линии тока и траектории частиц не совпадают. Найти линии тока и траектории, если движение среды происходит с полем скорости: а) v x2 ; x1; u , , u = const; б) v Ax 2 ; Bx1;0 , A = const > 0, B = const > 0; в) v V sin(t );V cos(t );0 , , V = const. Можно ли по известным 21 траекториям частиц среды найти закон ее движения? Можно ли по известным в данный момент линиям тока найти мгновенное поле скорости? Доказать, что для движения с полем скоростей ⃗ ⃗ вихревые линии являются прямыми. 22 23 Для вращения абсолютно твердого тела со скоростью ⃗ ⃗⃗ определить вектор вихря скорости ⃗⃗ и показать, что ⃗ ⃗ . Пусть при t 0, x 0 задано поле скоростей в описании Эйлера v1 v2 0 , v3 ( x3 , t ) f ( x3 ) . Найти Лагранжево описание этого движения, рассмотреть частный случай f ( x3 ) 2 gx3 . 24 25 26 27 28 29 30 31 Тяжелая жидкость покоится относительно движущейся открытой цистерны. Найти угол наклона свободной поверхности к горизонту, если цистерна соскальзывает с плоскости, наклоненной под углом α к горизонту, если движение происходит с постоянным ускорение ̅ в горизонтальной плоскости. Из напорного бака вода течет по трубе диаметра d, и затем вытекает в атмосферу через насадок диаметром a (a <d). Избыточное давление в баке p0. Высота воды относительно оси насадка H (объем бака большой, уровень изменяется очень медленно). Пренебрегая потерями энергии, определить скорость течения в трубе и на выходе из насадка. На горизонтальной плоскости стоит открытый тяжелый колпак в виде усеченного кругового конуса с углом α при основании и радиусом основания R. Каков должен быть вес колпака G, чтобы он мог удержать воду, налитую в него до высоты H? Всюду вне колпака давление атмосферное. 32 33 34 35 В неподвижной атмосфере давление зависит от плотности по степенному закону p = p0(ρ/ρ0)n , n > 1, n = const, где p0 и ρ0 — давление и плотность воздуха у поверхности земли. Ускорение свободного падения g = const известно. а) Написать проекции уравнения равновесия. б) Найти распределение давления p(x, y, z). Найти комплексный потенциал течения от источника с расходом Q, расположенного в некоторой точке в полуплоскости y > 0. Найти комплексный потенциал течения от источника с расходом Q, расположенного внутри прямого угла x > 0, y > 0, координаты расположения источника (xa, ya). Задан потенциал скорости ax( x 2 3 y 2 ) , a > 0. Найти функцию тока, 37 комплексный потенциал и картину линий тока. Показать, что поле скорости с потенциалом С( x a exp(ky) sin(kx)) , где C, a, k – некие константы, определяет движение несжимаемой жидкости. Найти комплексный потенциал этого течения. Найти потенциал скорости и функцию тока для течений, задаваемых 38 комплексными потенциалами: а) W ( z) ln z( iQ) ; б) W ( z ) z n ( z r exp(i ) . Построить линии тока таких течений. Найти потенциал скорости и функцию тока для течения, задаваемого 36 комплексным потенциалом 39 Найти потенциал скорости и функцию тока для течения, задаваемого комплексным потенциалом 40 42 43 44 45 . Построить линии тока. Найти потенциал скорости и функцию тока для течения, задаваемого комплексным потенциалом 41 . Построить линии тока. . Построить линии тока. Задан комплексный потенциал . Найти ϕ, ψ и картину линий √ тока. Известен потенциал скорости при плоскопараллельном течении однородной несжимаемой идеальной жидкости с плотностью ρ: ϕ(x, y) = Axy, A = const. Объемные силы отсутствуют. Известно давление жидкости p0 = const в точке x = 0, y = 0. а) Выполняются ли для этого течения условия, при которых можно применять интеграл Бернулли? Ответ обосновать. б) Выполняются ли для этого течения условия, при которых можно применять интеграл Коши — Лагранжа? Ответ обосновать. в) Может ли поверхность y = 0 быть границей течения с неподвижным твердым телом? Ответ обосновать. г) Найти распределение давления p(x, y). Найти момент сил давления, действующих на плавающий на поверхности жидкости брус прямоугольного поперечного сечения. Найти условия устойчивости равновесия. Найти время истечения тяжелой идеальной жидкости из сосуда с малыми (по сравнению с размерами сосуда) отверстием. Тяжелая идеальная жидкость вращается в вертикальном цилиндрическом сосуде так, что скорость каждой материальной частицы зависит известным образом только от расстояния до оси сосуда. Найти форму свободной поверхности. При какой зависимости скорости от расстояния до оси вращения течение будет потенциальным? 46 47 48 49 Задан потенциал плоскопараллельного течения идеальной невесомой жидкости (примеры: течение внутри прямого угла; обтекание цилиндра (бесциркуляционное и циркуляционное)). Найти распределение давления. Проверить выполнение граничных условий на границе жидкости. Вычислить силу, действующую со стороны жидкости на часть границы. Найти частоту малых колебаний тяжелой идеальной жидкости в прямоугольном бассейне. См. Ландау и Лифшиц «Гидродинамика» 50 51 52 53 54 55 56 57 Вывести дисперсионное соотношение для волн на поверхности тяжелой жидкости глубины H. Рассмотреть приближение мелкой и глубокой воды. Найти траекторию частиц в волне на поверхности тяжелой жидкости глубины H. Поверхностным натяжением жидкости пренебречь, крутизну волн считать малой. Найти средние за период волны значения кинетической и потенциальной энергии колебательного движения в гравитационных волнах на поверхности тяжелой жидкости глубины Н. Найти дисперсионное уравнение для волн в двухслойной жидкости. Плотности слоев 1 и 2. Слои можно считать бесконечными. Найти дисперсионное соотношение для волн в двухслойной жидкости со свободной поверхностью. Плотности слоев 1 и 2. Нижний слой можно считать бесконечным, верхний слой имеет невозмущенную толщину h. Найти дисперсионное соотношение в двухслойной жидкости, ограниченной сверху и снизу горизонтальными неподвижными плоскостями, верхний слой имеет плотность 1 и глубину h1, нижний – плотность 2 и глубину h2. 58 59 60 61 62 63 64 Вязкая жидкость находится между двумя параллельными пластинками, расположенными на расстоянии l друг от друга. Верхняя пластинка совершает колебания в параллельной ей плоскости с частотой и амплитудой a. Нижняя пластина покоится. Определить поверхностную силу, действующую на нижнюю пластину. Найти распределение скорости при течении вязкой жидкости между двумя параллельными пластинами под действием постоянного градиента давления. Найти силы, действующие на пластины со стороны жидкости (плоская задача Пуазейля). Найти распределение скоростей в слое вязкой жидкости, текущей по наклонной плоскости в поле силы тяжести (задача о течении пленки). Полубесконечный слой вязкой жидкости граничит с пластиной, которая движется в своей плоскости по известному закону (примеры: пластина начинает движение из состояния покоя; пластина колеблется по гармоническому закону). Найти движение жидкости. В вертикальный цилиндрический канал, в котором находится слой пористого вещества, сверху наливают порцию жидкости, которая постепенно просачивается через пористый материал под действием силы тяжести. Найти закон, по которому меняется высота столба жидкости над пористым слоем (задача о работе фильтра для воды). 65 66 67 68 69 Найти зависимость периода малых колебаний воды в стакане от определяющих параметров явления. Найти силу, которая действует со стороны жидкости на частицу, движущуюся с известной постоянной скоростью в вязкой жидкости, в зависимости от определяющих параметров. Материалы по курсу2 1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, Ч. 1,2. М., Физматлит, 1963. 2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М. Наука. 1970. 3. Эглит М.Э. Лекции поосновам механики сплошных сред. М. 2010. 4. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М., МГУ, 1971. 5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, М., Наука, 1986. 6. Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 1. Теория и задачи. М., Московский лицей, 1996. 7. Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения. М., Московский лицей, 1996. 8. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн). М., Наука, 1982. 9. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М., Наука, 1977. 10. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М., ИЛ, 1963. 11. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М., Мир, 1973. 12. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М., Мир, 1977. 13. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М., Наука, 1979. 14. Скорер Р. Аэрогидродинамика окружающей среды. Пер. с англ. под ред. А.Я.Прессмана. М., Мир, 1980. 2 В электронном виде можно найти на странице http://gidropraktikum.narod.ru/documents.htm 15. Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости, 1955. 16. Бриджмен П. Анализ размерностей. М.-Ижевск, РХД, 2001. 17. Баренблатт Г.И. Анализ размерностей. Учебное пособие. М., МФТИ, 1987. 18. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., Наука, 1974. 19. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М., ГИФМЛ, 1962. 20. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течения вязкой жидкости. М., Изд-во МГУ, 1984.
