Расчет электромагнитных полей

Федеральное агентство по образованию
ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
И.И. Бандурин, Н.И.Солнышкин
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Расчет электромагнитных полей
Методические указания к расчетно-графическим работам по курсу
«Теоретические основы электротехники ч.3»
(для студентов электромеханического факультета всех формы обучения)
Псков
Издательство ППИ
2009
УДК 621.3
ББК 31.2
С 60
Рекомендовано к изданию научно-методическим советом
Псковского государственного политехнического института
Рецензент
• Хитров А.И., доцент кафедры электропривода и систем автоматизации ППИ
И.И. Бандурин, Н.И. Солнышкин. Расчет электромагнитных полей. Методические указания к
расчетно-графическим работам по курсу «Теоретические основы электротехники». Для студентов
электромеханического факультета сокращенной формы обучения. Псковский государственный
политехнический институт. – Псков.: Изд-во ППИ, 2009 – 22с.
В данной работе приведены задания и методические указания по расчету электромагнитных
полей. Даны примеры решения задач.
Предназначено для студентов электромеханического факультета всех форм обучения, изучающих
«Теоретические основы электротехники».
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение. ............................................................................................................... 4
Общие указания ................................................................................................... 5
Выбор варианта: .............................................................................................. 5
Правила оформления работы........................................................................ 5
1. Электростатическое поле............................................................................ 6
Задача 2 .................................................................................................................. 9
2. Электростатическое поле постоянного тока ........................................ 15
3. Магнитное поле постоянного тока. ........................................................ 22
4. Переменное электромагнитное поле ...................................................... 25
Литература.......................................................................................................... 39
Приложение 1 ..................................................................................................... 40
Образец оформления титульного листа .................................................... 40
Цилиндрические Функции (Функции Бесселя) ..................................... 41
3
Введение.
Полноценное изучение курса «Теоретические основы электротехники»
возможно лишь в том случае, если оно сопровождается решением задач по
каждому разделу.
Для решения задач, входящих в задание, необходимо предварительно
изучить соответствующий материал по учебнику. В соответствии с этим
основные теоретические положения, законы, формулы считаются уже
известными студентам. Методические указания к решению задач,
помещенные в настоящей работе, разъясняют практические вопросы
применения общих методов, изложенных в теоретическом курсе.
Настоящие задания по ТОЭ предназначены для студентов
электротехнических и электроэнергетических направлений. Задания
охватывают все разделы по теории электромагнитного поля курса ТОЭ.
4
Общие указания
Выбор варианта:
Групповой вариант определяет преподаватель, ведущий практические
занятия в группе.
Индивидуальный вариант студентов соответствует порядковому номеру,
под которым студент записан в групповом журнале у преподавателя.
Для студентов заочной формы обучения индивидуальный вариант
соответствует сумме двух последних цифр шифра (номера зачетной книжки
студента).
Правила оформления работы
1. Расчетная работа выполняется на отдельных листах, используя только
одну сторону листа. Образец выполнения титульного листа приведен в
приложении 1. На листах следует оставлять поля шириной не менее 4 см
для замечаний преподавателей. Работа сшивается по большей (левой)
стороне листа.
2. Задание должно быть полностью внесено в работу. Работа должна
содержать все пункты задания.
3. Рисунки, графики, схемы, в том числе и заданные условием задачи,
должны быть выполнены аккуратно и в удобочитаемом масштабе, в
соответствии с действующими стандартами.
4. При построении кривых выбирать такой масштаб, чтобы на 1см оси
координат приходилось 1 10  n или 2 10  n единиц измерения физической
величины, где n - целое число. Градуировку осей выполнять, начиная с
нуля, равномерно через один или да сантиметра. Числовые значения
координат точек, по которым строятся кривые, не приводить. Весь график в
целом и отдельные кривые на нем должны иметь название.
5. Общий план решения и все математические действия должны иметь
достаточно полные пояснения.
6. Исходные формулы, промежуточные и окончательные результаты
должны быть четко выделены из общего текста. В окончательных
результатах для каждой величины должна быть указана размерность в
соответствии с международной системой единиц СИ.
7. Работа должна быть датирована и подписана студентом.
8. Работа засчитывается, если решения не содержат ошибок и
выполнены перечисленные требования.
9. Если работа выполнена неверно, она должна быть выполнена заново.
Если неправильно выполнена часть задания, то все необходимые поправки
делают на отдельных листах (сохраняя первоначальный вариант без
изменения!).
5
1. Электростатическое поле
Задача 1
1. Объемный заряд распределен равномерно с объемной плотностью
между обкладками конденсатора. Тип конденсатора (плоский или
цилиндрический). Напряжение между обкладками равно U 0 = 100В .
Диэлектрическая проницаемость среды равна  0 . Параметры конденсатора
приведены в табл. 1.1, 1.2 и 1.3
Допущение: пренебречь краевым эффектом.
, 0
,  0
r2
U0
U0
r1
d
x
а)
б)
Рис. 1.1
Требуется:
1. Найти выражение потенциала U точек, лежащих между обкладками
конденсатора, используя уравнение Пуассона.
2. .Найти напряженность электрического поля между обкладками.
3. Построить зависимости потенциала и напряженности электрического
поля от расстояния, отсчитываемого вдоль линии напряженности.
4. Найти поверхностную плотность электрического заряда на обкладках
конденсатора.
Таблица 1.1
Параметры плоского конденсатора
Инд.
вар.
Парам.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
S, см2
10
11
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
21
22
23
24
25
d, мм
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
28
10
12
14
16
18
20
22
24
26
11
12
13
14
15
6
Таблица 1.2
Параметры цилиндрического конденсатора
Инд.
вар.
Парам.
1
l, см
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18 22 23 24 25
r1, мм
5
r2, мм
10 12 14 13 15 16 18 20 22 20 22 24 19 20 22 24 25 26 22 24 21 22 23 24 25
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
8
9
10 11 12 13 14 15 16 11 12 13 14 15
Таблица 1.3
Групповой вар.
Парам.
U0,,В
,
Кл
м3
 10 − 6
1
2
3
4
5
6
100
200
300
400
500
600
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Указания
В зависимости от варианта задачи уравнение Пуассона следует записать
в декартовой прямоугольной или цилиндрической системе координат.
В декартовой системе координат
 2U  2U  2U

+
+
=
−
.

x 2 y 2 z 2
В цилиндрической системе координат
1   U  1  2U  2U

+ 2 =− ,
r
+ 2
2
r r  r  r 

z
где r ,  , z - цилиндрические координаты точки.
При рациональном выборе начала координат и направлении
координатных осей эти уравнения в рассматриваемых задачах существенно
упрощаются. Например, если в цилиндрическом конденсаторе ось z
направлена вдоль оси конденсатора, то с учетом допущения имеем:
U
U
= 0;
= 0.

z
Уравнение Пуассона в цилиндрических координатах принимает вид
1 d  dU 

r
=− .
r dr  dr 

Интегрирование такого уравнения не представляет затруднений.
Постоянные интегрирования определяются из заданных в условии
задачи граничных условий.
7
Пример 1. Дан плоский конденсатор с равномерно распределенным
объемным зарядом  между обкладками. Расстояние между обкладками
равно d (рис. 1.2). Конденсатор замкнут накоротко.
Пренебрегая краевым эффектом, найти потенциал и напряженность в
произвольной точке, лежащих между обкладками.
y

0
0
x
x
d
Рис. 1.2
Расположим оси координат, как показано на рис. 1.2. Уравнение
Пуассона в декартовой системе координат примет вид
d 2U

=− .
2

dx
Интегрируя это уравнение, находим
 x2
U =−
+ C1 x + C2 .
2
Здесь C1 и C 2 - постоянные интегрирования, определяемые граничными
условиями.
Так как конденсатор замкнут накоротко, потенциал левой и правой
обкладок одинаков. Можно положить их равными нулю. При этом
граничные условия формулируются в виде соотношений
U x =0 = 0 ;
U x =d = 0 .
Используя их, получаем
d
C1 =
;
C2 = 0 .
2
Таким образом, потенциал точки с координатой x
x
(d − x ).
U=
2
Напряженность E находим, учитывая, что в рассматриваемой задаче
при указанном расположении координатных осей
Ez = 0 .
Ey = 0 ;
Таким образом,
E = Ex = −
dU

= − (d − 2 x ) .
dx
2
8
Задача 2
Даны два бесконечно длинных параллельных цилиндра кругового
сечения, один вне другого (рис. 2.1).
R1
F
C
A
R2
B
E
D
Рис. 2.1
Радиусы цилиндров R1 и R2 , расстояние между осями цилиндров D .
Напряжение между цилиндрами U = 6000 B . Большой цилиндр заряжен
положительно, меньший – отрицательно.
Таблица 2.1
N
ва
риант
а
R
1
с
1
2
3
с
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
4
5
6
n
m
-
-
6
5
4
8
8
6
4
6
6
6
4
8
4
6
8
8
4
6
6
6
4
8
4
6
8
4
D
м
8
8
8
8
8
7
7
7
7
7
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
Группы
2
м
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
R
3
см
см
см
см
см
см
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
16
16
16
16
16
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
17
17
17
17
17
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
18
18
18
18
18
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
19
19
19
19
19
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
20
20
20
20
20
23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
21
21
21
21
21
9
4
5
4
5
5
6
4
6
5
3
4
5
4
5
3
6
4
6
5
3
4
5
4
5
Требуется:
1. Построить кривые распределения напряженности поля вдоль прямых
AB, CP, DE и кривые распределения потенциала вдоль этих же прямых.
2. Построить линии равного потенциала и силовые линии так, чтобы
число интервалов между линиями равного потенциала было равно n , а
число трубок потока - т .
3. Определить емкость цилиндров на 1 м длины. Исходные данные
приведены в табл. 2.1
Указания
Последовательность расчета рассмотрим на примере. Пусть U = 100 B ,
D = 8 см, R1 = 2 см, R2 = 4 см.
1. Определим расстояние от геометрических осей цилиндра до
плоскости постоянного (нулевого) потенциала и расстояние от
электрических осей до этой плоскости (рис.2.2).
D 2 + R12 − R22
h1 =
= 3,25 см ,
2D
D 2 + R22 − R12
h2 =
= 4,75 см ,
2D
b = h12 − R12 = h22 − R22 = 2,57 см .
Расстояние между электрическими и геометрическими осями цилиндров
S1 = h1 − b = 0,68 см ; S2 = h2 − b = 2,18 см .
2. Построим линии равного потенциала
У
h1
S1
h2
b
S2
b
M

C

r1
O
A
r2

-
B
O'2
O1 O'1
a1
D
E
Х
O2
b1
b2
a2
Потенциал произвольной точки М определяется:
r

U=
ln 2 .
2 0 r1
Линии равного потенциала являются окружностями. Радиус и абсцисса
центра  - ой эквипотенциальной окружности определяется:
10
Ro =
2 K
b ;
1 − K
1 + K 2 .
X o =
b
1 − K 2
Определяем значения параметра K i , соответствующие линиям равного
потенциала. Всего линий равного потенциала n + 1 = 5
Для первой линии:
k1 =
Для n + 1 линии:
r21 b1
= = 2,92 .
r11 a1
r25 b2
=
= 0,546 .
r15 a2
Для того, чтобы при переходе от одной линии равного потенциала к
другой, потенциал увеличивался на одну и ту же величину, необходимо,
чтобы число k изменялось в геометрической прогрессии, а именно:
k5 k 4 k3 k 2
=
=
=
= B.
k 4 k3 k 2 k1
Следовательно,
K
B = 4 5 = 0,658 .
K1
k5 =
Тогда числа К будут равны:
k2 = 1,94 ; k3 = 1,26 ; k4 = 0,831; k5 = 0,546 .
Определяем радиусы и абсциссы центров эквипотенциальных
окружностей:
2k 2
2  1,94
R02 =
b
=
 2,57 = 2,62 см;
1 − k 22
1 − 1,942
1 + k22
1 + 1,942
x02 =
b=
 2,57 = −4,44 см.
1 − k22
1 − 1,942
Аналогично определяем:
R03 = 10,8 см; x03 = −11,1cм ; R04 = 13,7 см; x04 = 14,05 cм .
3. Построим линии напряженности электрического поля. Силовые
линии являются дугами окружности 1 . Первой линией напряженности
является линия, для которой угол  = 0 . Следующие линии проводят через
одно и тоже приращение угла  . Для данного примера
2 2 
 =
=
= .
m
4
2
11
Координаты центров окружностей равны:
x0 = 0 ; y0 = b ctg .
Радиусы окружностей:
b
.
R0 =
sin
Картина поля нарисована на рис. 2.3.
Напряжение между цилиндрами (разность потенциалов):

ba
U АВ = U A − U B =
ln 1 2 .
2 0 a1b2
Определим расстояния a1, b1, a2 , b2 :
а 1 = R 1 - S 1 = 1,32 см; b 1 = 2b - a 1 = 3,82 см;
b 2 = R 2 - S 2 =1,82см;
a 2 = 2b – b2 = 3,32 см;
Учитывая, что
U AB

=
= 60 В;
b1a2
2 0
ln
a1b2
имеем
b−x
.
b+x
По этому выражению рассчитываются значения потенциала и
строится кривая распределения потенциала по оси х.
4.Построим эпюру распределения напряженности поля по оси х.
   dU 
 1   1 
E= i 
 = i 60 
+

b + x b − x
 dx 
По этому выражению рассчитываются значения модуля вектор
напряженности электрического поля и строится кривая распределения
напряженности по оси х.
U = 60 ln
2
1

+
-
3
4
Рис.2.3
12
1
Задача 3
Линия передачи энергии постоянным током высокого напряжения
питается от четырех последовательно соединенных одинаковых источников
э.д.с. (рис.3.1). Напряжение каждого источника U = 150кВ . Данные линии:
высота подвеса проводов h1 и h2 , расстояние между проекциями проводов
D на поверхность земли, радиус проводов r0 .
P
D
2r0
h1
h2
а)
б)
Рис. 3
Требуется:
1. Найти заряд каждого провода на 1 км длины.
2. Найти плотность  индуцированного на поверхности земли заряда.
Построить график зависимости  от x , где x - расстояние от некоторой
точки до проекции левого провода на поверхность земли.
3. Найти емкость двухпроводной линии на 1 км длины с учетом влияния
земли и сравнить этот результат с данными расчета емкости, в котором
влияние земли не учитывается.
4. В результате аварии один из источников энергии вышел из строя и его
зажимы оказались замкнуты накоротко. Найти заряд каждого провода на 1
км длины и заряд q0 на земле после аварии при отсутствии тока в линии.
5. Один провод отключен от источников (разъединитель Р). Определить
потенциал этого провода, если заряд на нем равен нулю.
Исходные данные приведены в табл. 3.1 и табл. 3.2
Таблица 3.1
Групповой
вариант
1
2
3
4
5
6
r0, мм
6
8
10
11
12
14
13
Таблица 3.2
Индив.
вар.
h, м
D, м
1
2 3
4 5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
4
2
5 6
2 2
7 8
2 2
4
3
5
3
6
3
7
3
8
3
4
4
5
4
6
4
7
4
8
4
4
5
5
5
6
5
7
5
8
5
4
6
5
6
6
6
7
6
6*. Записать уравнения для линии равного потенциала и для силовой
линии электрического поля. Построить картину электрического поля.
Выполняется по указанию преподавателя.
Указания
Для определения зарядов можно воспользоваться системой уравнений с
потенциальными коэффициентами
U1 = 11q1 + 12 q2 ;
U 2 =  21q1 +  22 q2 ,
где U1 и U 2 - потенциалы проводов;
q1 и q 2 - их заряды.
Потенциальные коэффициенты, зависят от геометрических параметров
системы заряженных тел и диэлектрической проницаемости среды,
собственные потенциальные коэффициенты проводов определяются по
выражению:
2h
1
 ii =
ln i ,
2l r0
где i - номер провода.
Выражение для взаимных потенциальных коэффициентов для
различных вариантов взаимного расположения проводов имеют вид:
12 =
12
1
2 0l
ln
D 2 + 4h 2
;
=
ln
2 0l
D
1
D 2 + (h1 + h2 )2
;
D 2 + (h1 − h2 )2
1
h +h
12 =
ln 1 2 .
2 0l h1 − h2
Студенту предоставляется возможность выбрать то значение
потенциального коэффициента , которое соответствует его варианту. Если
задано напряжение между проводами и найдена емкость, то не трудно найти
заряд на каждом проводе. Зная эти заряды и потенциальные коэффициенты
можно найти потенциал каждого провода.
Потенциал незаряженного провода определяют по взаимному
потенциальному коэффициенту и заряду соседнего провода. Последний в
свою очередь определяется по потенциалу провода и собственному
потенциальному коэффициенту. Обратить внимание, на то, что не
заряженный провод может иметь значительный потенциал.
14
Для определения распределения плотности  , индуцированного на
поверхности земли заряда можно воспользоваться методом зеркальных
изображений и затем методом наложения. Расчет поля в данной задаче
упрощается благодаря тому, что радиусы проводов r0 значительно меньше
высоты подвеса h . Поэтому провод и его зеркальное изображение в
плоскости земли можно считать бесконечно тонким.
Поверхностная плотность заряда на земле
 = Dn =  0 En ,
где Dn и E n - нормальная составляющая вектора смещения и вектора
напряженности электрического поля в диэлектрике у поверхности земли.
2. Электростатическое поле постоянного тока
Задача 4
В кабелях применяют многослойную изоляцию, это позволяет снижать
максимальное значение напряженности электрического поля и оказывает
влияние на величину тока утечки. Оценку этих эффектов удобно
рассмотреть на простейшем случае коаксиального кабеля.
Дан коаксиальный кабель с двухслойной изоляцией (рис. 4.1),
имеющий длину в осевом направлении l = 20 м.
 
 ,
R
3
2, 2
1
1
R2
R1
Рис.4.1
Радиус жилы R1 , радиус оболочки R3 . Радиус граничной поверхности
между слоями R2 . Диэлектрическая проницаемость внутреннего и
внешнего слоев соответственно равны  1 и  2 .
Удельная проводимость указанных слоев соответственно равна
 1 = 2 * 10 −9 См/м,  2 = 3 * 10 −9 См/м. Оболочка заземлена, напряжение
между жилой и оболочкой 6000 В (постоянное).
15
Требуется:
1. Найти емкость и проводимость утечки кабеля.
2. Рассчитать и построить кривые распределения:
- плотность тока утечки;
- напряженность электрического тока;
- электрического смещения;
- потенциала.
3. Найти поверхностную плотность свободного и связанного зарядов на
поверхности раздела сред.
Исходные данные приведены в табл. 4.1 и 4.2.
Таблица 4.1
Параметры
N
группового
R1
R2
R3
варианта
См
см
см
1
2
3
4
5
6
1
1,5
2
2,5
3
4
1,5
2
2,5
3
3,5
4,5
2
2,5
3
3,5
4
5
Таблица 4.2
№
варианта
r1
r2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4
3
3
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
1
1,5
2
2,5
3
3,5
1
1,5
2
2,5
1
1,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
1
1,5
2
3
4
5
Указания
В однородных неидеальных диэлектриках в стационарном поле даже
при незначительных удельной проводимости возникают токи утечки
I = gU , где g - проводимость утечки изоляции кабеля диэлектриках.
Плотность тока проводимости J (r ) в данной задаче является функцией
радиуса.
I
J (r ) =
.
2rl
На границе раздела сред выполняются условия:
напряженность электрического поля определяется по закону Ома в
дифференциальной форме:
J (r )
E (r ) =
.
(1)

нормальные составляющие вектора плотности тока на поверхности
16
раздела двух сред непрерывны: J n1 = J n2 ;
(2)
тангенциальные составляющие вектора напряженности электрического
поля непрерывна:
E 1 = E 2


Вектора смещения D , вектор напряженности электрического поля E и
поляризованности связаны соотношением


 
(3)
D = E =  0 E + P
С учетом (1) – (3) получаем граничное условие для нормальных
составляющих вектора электронного смещения
Dn
 r 2
1
=  1
r2 2
Dn 2
Поверхностныея плотности зарядов на поверхности раздела сред равны:
свободного заряда  :
 r r 
 = D n1 − Dn2 или  = 0J m  1 − 2  ;
 1  2 
связанного заряда  св :
  r − 1  r1 − 1 
.
−
 св = Pn1 − Pn2 или  св =  0 J m  2



1 
 2
Задача 5
Дан заземлитесь шаровой формы или часть шара, который располагается
в однородной почве, с заданной удельной проводимостью (рис. 5.1  5.10), к
которому подводится ток.
В задачах рис. 5.2, 5.4, 5.5, 5.7, 5.9, заземлители расположены в близи
вертикального обрыва.
Параметры заземлителя для каждого варианта даны в табл. 5.1.
Номер схемы должен соответствовать последней цифре индивидуального
варианта.
Требуется:
1. Определить сопротивление заземления (сопротивление растекания
тока).
2. Определить шаговое напряжение между точками «А» «В» (шаг
считать равным 0,75 м).
3. Определить распределение потенциала по поверхности земли.
Расчеты выполнить с учетом влияния границ проводящей среды
(почвы).
17
A
B
B
A
h
B
h
A
R
R
R
h
Рис.5.1 и 5.6
Рис.5.2 и 5.7
Рис.5.3 , 5.8 и 5.10
A
R
B
h
Рис.5.4, 5.5 и 5.9
Указания
При
решении
рекомендуется
решать
задачу
методом
электростатической аналогии.
При решении электростатической задачи нужно использовать метод
зеркальных отображений, считать при этом что h  R .
Исходные данные в табл. 5.1
Таблица 5.1
1
2
Группы
3
4
I
5
6

A
A
A
A
A
A
 10 −3
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
100
105
95
85
75
65
55
45
35
25
15
105
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
115
105
95
85
75
65
55
45
35
25
15
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
125
115
105
95
85
75
65
55
45
35
25
N
N
варианта схемы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
18
R h
См
см
0,32
9,57
5,3
3,83
14,1
5,3
1,61
4,96
3,11
14,1
0,32
cм м
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
3
3
6
6
5
5
2
2
4
4
5
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
90
80
70
60
50
40
30
20
10
100
90
80
70
60
95
85
75
65
55
45
35
25
15
105
95
85
75
65
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
110
100
90
115
105
95
85
75
65
55
45
35
25
15
115
105
95
10
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
120
15
125
115
105
95
85
75
65
55
45
35
25
15
125
9,57
5,3
3,83
14,1
5,3
3,83
14,1
5,3
1,61
4,96
3,41
14,1
3,63
0,32
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
10
11
12
5
3
3
4
4
2
2
2,5
2,1
5
5
4,5
4,5
2
Задача 6
Два параллельных провода радиуса R упали на землю на расстояние
друг от друга, равным B , на длине l = 100 м. Между ними протекает ток
короткого замыкания I .
Требуется:
1. Определить шаговое напряжение, под которым окажется человек,
подходящий к проводам, в момент когда он находится от них на расстоянии
a , при длине шага 0,85 м и удельной проводимости земли  = 10 −2 См/м.
2. Построить эквипотенциальные поверхности поля тока в земле,
определить потенциалы проводов.
Параметры для каждого варианта даны в табл. 6.1.
Таблица 6.1
Группы
N
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
B
R
a
кA
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
кA
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
кA
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
м
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
мм
м
4
4
4
4
6
6
6
6
2
2
2
2
2,5
2,5
1
1
1
1
1,5
10
10
10
5
5
5
5
7
7
I
кA
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
кA
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
кA
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
19
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2,5
2,5
3
3
3
3
3
3,5
3,5
3,5
3,5
7
7
8
8
8
8
8
9
9
9
9
Указания
1.Считать, что провода погрузились в землю на глубину равную
радиус провода R .
2. Задачу решать методом электростатической аналогии.
3. При решении аналогичной электростатической задачи
использовать метод зеркальных отображений. При этом влиянием проводов
друг на друга пренебречь, так как R  B .
4. Число интервалов между линиями равного потенциала n выбрать
четным и достаточным большим, например n = 18 .
Задача 7
Под дном водоема рис. 7.1 проложена труба, в нутрии которой
помещается высоковольтный кабель. При замыкании тока ведущих частей
на оболочку кабеля в аварийном режиме с трубы стекает в окружающую
среду ток I на длине l  n . Считая H  h . Найти выражение для
потенциала и построить картину поля в воде и в грунте.
Определить границу опасной для водолазов зоны, в нутрии которой
при аварии E  10 В/см. Принять L = 1000 м, d = 20 см.
Исходные данные приведены в табл. 7.1
Таблица 7.1
1
2
N
варианта
1
2
3
4
Группы
3
4
I
5
6
h
1
 10 − 4
кA
кA
кA
кA
кA
кA
м
7
8
9
10
8
9
10
11
9
10
11
12
10
11
12
13
11
12
13
14
12
13
14
15
0,5
0,6
0,7
0,8
20
2
− 4 См
См  10
м
м
1
1,5
2
2,5
0,5
0,75
1
1,5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
0,5
0,6
0,7
3
3,5
4
4,5
5,5
6
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5,5
6
1
1,5
2
2,5
3
2
0,5
0,75
1
1,5
2
0,5
0,75
1
1,5
2
0,5
0,75
1
1,5
2
0,5
0,75
1
1,5
2
Требуется:
1. Определить границу опасной для водолазов зоны, внутри которой при
В
аварии Е  10
.
см
2. Найти выражение для потенциала и построить картину поля в воде и
грунте.
H
h
d
Рис.7.1
21
Указания
1. Пренебречь влиянием поверхности воды на картину поля. Считать
H = .
2. Задачу решать методом электростатической аналогии.
3. При решении аналогичной электростатической задачи использовать
метод зеркальных отображений. При этом влиянии проводов друг на друга
пренебречь.
4. Картину поля в грунте можно построить графическим методом или с
помощью пакета программ Mathcad.
3. Магнитное поле постоянного тока.
Задача 8
По цилиндрическому медному проводу протекает постоянный ток I . В
плоскости, проходящей через ось провода, расположена тонкая катушка с
числом витков w = 20 (рис. 8.1). Параметры системы приведены в табл. 8.1.
Z
C
a
I
b
r0
Рис.8.1
Таблица 8.1.
Группы
N
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
a
b
R0
cм
cм
cм
cм
cм
cм
cм
cм
6
7
8
9
10
11
12
13
7
8
9
10
11
12
13
14
8
9
10
11
12
13
14
15
9
10
11
12
13
14
15
16
10
11
12
13
14
15
16
17
11
12
13
14
15
16
17
18
6
6
6
6
6
6
6
8
5
5
5
5
5
5
5
6
22
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
14
15
16
17
18
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
15
16
17
18
19
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
16
17
18
19
20
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
17
18
19
20
21
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
18
19
20
21
22
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
19
20
21
22
23
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
8
8
8
8
8
10
10
10
10
10
10
10
12
12
12
12
12
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
Требуется:
1. Определить зависимость потенциала векторного магнитного

потенциала A в функции радиуса от оси цилиндра, построить график A(r ) .
2. Вычислить магнитный поток, замыкающейся в самом проводе на
1м его длины, определить внутреннюю индуктивность;
3. Найти выражение взаимной индуктивности между проводами и
рамкой. Вычислить M для заданных параметров;
4. Найти э.д.с. e(t ) , индуктируемую в проводе током
i = 10 sin(314 + 30) А, в рамке протекает ток.
5. Построить картину магнитного поля, изобразив трубки магнитной
индукции и линии равного скалярного магнитного потенциала. Потоки всех
магнитных трубок (Ф) как внутри, так и вне провода должны быть
одинаковыми. Разности магнитных потенциалов между каждой парой
соседних линий равного потенциала должны быть одинаковыми.
Указания
Для определения векторного магнитного потенциала необходимо
решить уравнение Пуассона
 2 А = − ,
при граничных условиях на поверхности раздела сред:
Вn1 = Вn2 и H 1 = H .
2
Расположим оси цилиндрической системы координат так, чтобы ось z
совпала с осью цилиндра. Так как вектор плотности тока имеет только одну
проекцию, то и векторной потенциал будет иметь только одну проекцию на
ось z .
23
Учитывая, что поле обладает круговой симметрией A = f (r ) , для
векторного потенциала имеем уравнение:
1 d  dA  −  0 , при 0  r  r0 (первая область)
(1)
r  = 
при r0  r   (вторая область)
r dr  dr  0,
где
=
I
.
 r0 2
Граничные условия для данной задачи будут такими:
при r = r0
A1 (r0 ) = A2 (r0 ) ,
B1 (r0 ) = B2 (r0 ) .
(2)
Решив краевую задачу (1), (2) получается выражение для векторного
потенциала (вывод студентам нужно сделать самостоятельно).
  I
A1 (r ) = − 1z 0 2 r 2
4r0
при 0  r  r0 ;
  I
r
A2 (r ) = − 1z 0 1 + 2 ln 
4 
r0 
при
(3)
r0  r  .
Магнитный поток через поверхность ограниченную контуром, l
определяется
 
Ф =  Adl
(4)
l
Построение картины поля. Число трубок индукции внутри провода
рекомендуется выбрать m = 4, Тогда поток в одной трубке равен
Ф
Ф = i ,
(5)
m
где Фi - магнитный поток, замыкающий внутри провода
Используя (3)-(5), получаем рекуррентное соотношение для радиусов
линии индукции, разделяющих магнитное поле на трубки равного
магнитного потока внутри провода
r2+1 = r2 + N
Радиус окружность, ограничивающей последнюю внутреннюю трубку
должен получиться равному r0 .
Аналогично, для радиусов огранивающих трубки внешнего магнитного
потока, получаем рекуррентное соотношение
r' +1 = r  M
где М -показатель геометрической прогрессии в соответствии с которой
меняются радиусы.
24
Радиус окружности r1' ограничивающей первую внешнюю трубку, будет
равен:
r1' = r0  M .
4. Переменное электромагнитное поле
Расчет электромагнитного поля рекомендуется проводить по следующей
алгоритмической схеме:
1.Строится расчетная модель электромагнитной системы с учетом
сформулированных в задании допущений.
2.Анализируется структура электромагнитного поля и выбирается
система координат, в которой будет производится решения.
3.Записываются уравнения электромагнитного поля. Выбирается
величина, относительно которой будет искаться решение задачи,
записывается дифференциальное уравнение в частных производных
выбранной величины.
4.Находится общее решение однородного дифференциального
уравнения, которое содержит ряд постоянных интегрирования.
5.Определяются
постоянные
интегрирования
из
требования
удовлетворения граничным условиям задачи.
6.Записываются решения для искомых величин.
7.Определяются требуемые параметры, величины, строятся графики
функций.
Задача 9
поля и параметров
Расчет электромагнитного
цилиндрического
проводника.
По цилиндрической шине (рис. 9.1) пропускается ток I = 500 A .
R0
I
Z
Рис.9.1. Эскиз шины
25
Требуется:
1. Рассчитать электромагнитное поле, т.е. определить выражение для
Em , H m ,  m ;
2. Построить кривые распределения напряженности электрического
поля в шине для момента времени t = 0 ;
3. Построить кривые значения напряженности электрического и
магнитного поля и вектора Пойнтинга на поверхности проводника в
зависимости от времени за половину периода;
4. Определить потери мощности, а также
величины активного
сопротивления и индуктивного сопротивления, обусловленного внутренней
индуктивностью, на единицу длины шины;
5. Определить отношение активного сопротивления к сопротивлению
провода на постоянном токе;
6 Определить отношение внутренней индуктивности при переменном
токе к ее значению на постоянном токе.
Исходные данные приведены в табл. 9.1.
Таблица 9.1
Группы
N
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
2
3
4
5
6
R0
i

/0
См
м
-
f
Гц
Гц
Гц
Гц
Гц
Гц
см
рад
150
170
180
100
150
200
250
300
400
500
120
150
170
180
100
150
200
250
300
400
170
180
100
150
200
250
300
400
500
120
150
170
180
100
150
200
250
300
400
500
180
100
150
200
250
300
400
500
120
150
170
180
100
150
200
250
300
400
500
120
100
150
200
250
300
400
500
120
150
170
180
100
150
200
250
300
400
500
120
150
150
200
250
300
400
500
120
150
170
180
100
150
200
250
300
400
500
120
150
170
200
250
300
400
500
120
150
170
180
100
150
200
250
300
400
500
120
150
170
180
2
2
2
2
2
2
2
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
3
3
3
3
3
3
0
/2
/3
/4
/6
0
/2
/3
/4
/6
0
/2
/3
/4
/6
0
/2
/3
/4
/6
26
7107
7107
7107
7107
7107
5107
2107
1107
5106
5106
5106
5106
5106
5106
5106
5106
5106
4106
4106
4106
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
10
10
10
10
10
10
20
20
20
20
21
22
23
24
25
500
120
150
170
180
120
150
170
180
300
150
170
170
300
150
170
180
100
150
200
180
100
150
200
250
100
150
200
250
270
3
3,5
3,5
3,5
3,5
0
/2
/3
/4
/6
4106
4106
4106
4106
2106
20
20
20
20
20
Указания
Расчет произвести при следующих допущениях:
1. Проводник выполнен из линейного, однородного и изотропного
материала;
2. Система имеет бесконечную протяженность, т.е. краевой эффект
отсутствует;
3.
Токи электрического смещения пренебрежимо малы, свободные
заряды отсутствуют;
4. Комплексная амплитуда тока одинакова вдоль провода;
5. Отсутствует эффект близости.
Пример.
Параметры электромагнитной системы : R0 = 1,5 см; I = 670 A ;  i = 0 ;
См
;  = 0 .
f = 500 Гц;  = 0,48  108
м
С учетом указанных в задании допущениях строится расчетная модель
электромагнитной системы (рис.9.2)
0 ,  = 0
,  , 
R0
Рис.9.2.
Решение приведем в цилиндрической системе координат, ось которой
совпадает с осью проводника и имеет направление, совпадающее с
направлением тока в рассматриваемый момент времени. В такой системе
координат с учетом принятых выше допущений электромагнитное поле в
проводнике имеет только осевую составляющую напряженности
27
электрического поля, направленную вдоль линии тока и только угловую
составляющую напряженности магнитного поля, поверхностное значение
которой на поверхности проводника, благородя осевой симметрии системы
можно рассчитать на основании закона полного тока.
(9.1)
H m1 = 2I(2R0 ) .
Запишем уравнение Максвелла для проводящей среды в комплексной
форме


rotH m =  ,



rotE m = − j H m = − jB m
(9.2)
(9.3)
совместно с остальными уравнениями электродинамики:


divB m = 0(div H m = 0) ,


(9.4)
m = E m ;
(9.5)


div m = 0(divE m = 0) .
(9.6)
Будем для решения использовать понятие векторного магнитного

потенциала A , который вводится соотношениями


rotA = B, divA = 0 ,
тогда система уравнений поля (9.2)-(9.6) сводится к уравнению для
комплекса амплитуды векторного магнитного потенциала.
Перепишем (9.2)и (9.3) соответственно в виде


rot rot Am =   E m
(*)


rotE m = − j rot Am .
(**)


Из (**) следует E m = − j Am .
Учитывая векторное тождество



rot rot Am = grad div Am −  2 Am

и что Am = 0 , из (*) получаем


 2 Am + q 2 A = 0
28
(9.7)
где q = − j    = − j K .
Вектор имеет только одну составляющую, т.е. A = Az . Поэтому (9.7)
можно записать в виде
d 2 A m 1 dA m
(9.8)
+
+ q 2 A m = 0
2
r
dr
dr
Введя параметр p = qr получим уравнение Бесселя с комплексным
аргументом p.
d 2 A m 1 dA m 
(9.9)
+
+ Am = 0.
p dp
d2p
Общее решение (9.9) можно записать в виде
A m = C1 J 0 (qr ) + C2 N 0 (qr ) ,
(9.10)
где J 0 (qr ), N 0 (qr ) - функция Бесселя нулевого порядка соответственно
первого и второго рода.
Так как аргумент функции Бесселя общается в нуль на оси провода и
N 0 (qr ) =  , то функции Бесселя второго рода должна быть из решения
исключена, т.е. постоянная С2 = 0 . Тогда
A m = C1 J 0 (qr ) = C J 0 (qr ) .
Напряженность магнитного поля определим с учетом
дифференцирования функций Бесселя (см. приложения 2)
1 dA m
,
H m = −
 dr
q
H m = C J1 (qr ) .

(9.11)
правила
(9.12)
Определим постоянную интегрирования.
I
q
r = R1
H m1 = m = C J1 (qR0 ) ,
При
2R1
r
 Im
C=
откуда
.
2  R1 q J1 (qR0 )
Подставляя выражение для С в (9.12), находим
H m =
Im J1 (qr )
J1 (qr ) =
.
2 R1 q J1 (qR0 ) 
2R1 J1 (qR0 )
 qIm
Напряженность электрического поля:
29
(9.13)
E m = − j A m = − j
 Im J 0 (qr )
qI J (qr )
= m 0
2 R1 q J1 (qR0 ) 2R1 J1 (qR0)
(9.14)
Комплекс амплитуды плотности тока:
m = E m =
q Im J 0 (qr )
2  R1 J1 (qR0 )
Подставляя числовые данные и учитывая, что
q = − j 2  500  4  10 − 7  0,5  108 = 437e − 45 , м −1
(
(9.15)
)
J1 (qR0 ) = J1 − j 6,55 = 15,4 e j155 , получим
и
E m = 6  10 − 3 e − j 200 J 0
(
(
)
B
м
− j kr ,
)
Н m = 655 e − j155 J1 − j kr ,
(9.16)
A
м
m = 2б91  105 e − j 200 J 0 ( − j kr ),
(9.17)
А
м2
.
(9.18)
По получаемым выражениям
(9.16) - (9.18)
рассчитываются
E m , H m , m в зависимости от значений радиуса r с помощью таблице
функций Бесселя (см. приложение 1). Результаты сводятся в табл. 9.2. На
основании полученных данных строятся кривые зависимости E, H , и  от
r для рассматриваемого момента времени (рис. 9.3).
r
М
kr
Em
E
Hm
H
m
-
В/м
рад
А/м
рад
А/м
0
0,00232
0,0046
0,0068
0,0091
0,0114
0,0137
0,015
0
1
2
3
4
5
6
6,55
-3,49
-3,24
-2,58
-1,81
-1,08
-0,39
0,33
0,71
0
328
683
1180
2080
3810
100
10000
3,489
3,36
3,02
2,44
1,73
0,9
0,38
0
5,7 . 10-3
5,97 . 10-3
7,23 . 10-3
11,5 . 10-3
20,3 . 10-3
36,9 . 10-3
68,2 . 10-3
96 . 10-3
30
28,7 . 104
29,0 . 104
35,1 . 104
50,0 . 104
98,5 . 104
179,0 . 104
331,0 . 104
467,0 . 104
Таблица 9.2

рад
-3,48
-3,24
-2,58
-4,81
-1,08
-0,39
0,33
0,71
Записываются выражения мгновенных величин на поверхности
проводника
E (t ) = 96  10 −3 sin(3140t + 0,71),
H (t ) = 105 sin 3140t ,
H1кА/м
3
50
Е
2
25
1
0,5
0
1,0
1,5
r,см
-1
-25
H
-2
-50
-3
Рис. 9.3. Кривые значений E (r ) и H (r ) в момент времени t = 0
S = Em1 H m1 sin( t + 0,71)sin = 364 − 480 cos(6280t + 0,71)
Строятся эти зависимости на половину периода (рис.9.4).
Определяем модуль вектор Пойнтинга на поверхность провода .

BA

S1 = E1 H 1 = 480e j 0,71 2
М
31
S,ВА/м2
Е,мВ/м
Н,кА/м
600
400
200
100 10
50
H
5
E
0
-200
0
 /2
t,рад

-50 5
Рис.9.4. Кривые изменения величин в зависимости от времени на
поверхности проводника.
Используя теорему Умова-Пойнтинга, определяем: потери мощности
на 1м длины проводника
P = Re(S1 )2R1 1 = Re 480e j 0,71 2  0,015 = 35 Вт.
величины активного сопротивления и индуктивного сопротивления,
обусловленного внутренней индуктивностью проводника определятся:
S 2R1  1 480e j 0,71  2  0,15
r + jL1 =
=
= 7,8 + j 6,6  10 − 5 Ом;
2
2
I
670
r = 7,8  10 −5 Ом, x L = 6,6  10 −5 Ом .
(
)
Задача 10
Расчет электромагнитного поля и параметров шины, расположенной в
пазу электрической машины.
По шине, находящейся в прямоугольном пазу электрической машины
(рис.10.1), протекает ток i = I m sin ( t +  i ) . Высота шины h , ширина b ,
проводимость  , магнитная проницаемость  0 , частота f = 50 Гц.
32
x
y
z
h
I
b
Рис. 10.4. Эскиз электромагнитной системы
Для заданного варианта шины требуется:
1. рассчитать электромагнитное пол: получить выражение для
составляющих напряженности магнитного поля и плотности тока в шине;
2. построить кривые распределения напряженности магнитного поля и
плотности тока в шине в зависимости от координат z для момента времени
t = 0;
3. построить
кривые
распределения
амплитудных
значений
напряженности магнитного поля и плотности тока в шине в зависимости от
координаты z ;
4. определить активное и внутреннее сопротивление шины на 1м длины;
5. мощность, теряемую в шине на 1м длины.
Параметры электромагнитной системы для заданного варианта
приведены в таблице 10.1
Указания
Расчет произвести при следующих допущениях:
1. Шина выполнена из однородного, линейного изотропного материала:
2. Система имеет бесконечные размеры по оси x , т.е. краевой эффект
отсутствует;
3. Магнитная проницаемость материала, в котором сделан паз,
стремится к бесконечности;
4. Толщина изоляции между шиной и плазом мало и можно считать, что
ширина плаза практически равна ширине шины.
33
Таблица 1.2
Группы
N
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1
2
3
4
5
6
b
h

i
См
м
рад
Im
А
А
А
А
А
А
см
см
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
700
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
200
800
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
200
300
900
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
200
300
400
1000
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
200
300
400
500
100
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
200
300
400
500
600
200
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
6
6
6
6
6
6
6
8
8
8
8
8
8
8
12
12
12
12
7107
7107
7107
7107
7107
5107
2107
1107
5106
5106
5106
5106
5106
5106
5106
5106
5106
4106
4106
4106
4106
4106
4106
4106
2106

0
 /2
0
 /4
-  /4

 /6
 /6
-  /6
0
 /4
0
0
-
0
 /4
0
 /2
-  /2

-
 /6
 /6
-  /6
Пример.
В прямоугольном пазу электрической машины находится шина высотой
h = 1,5 см и шириной b = 0,5 . Проводимость материала шины
 = 5,7  107 См/м, магнитная проницаемость −  0 частота f = 50 Гц,
начальная фаза тока  0 = 0 , ток в шине I = 100 А.
С учетом указанных в задании допущений изобразим модель
электромагнитной системы (рис.10.2 а).
34

H

H
y

S
 =
0
 0 ,
 0 ,

S
y
 0 ,
Z
Z
h
Н=0
i
Н=0
i
H=0
в
H=0
б)
a)
Рис. 10.2. Модель электромагнитной системы
При бесконечной большой магнитной проницаемости ферромагнитного
материала, в котором сделан паз, магнитная индукция в ферромагнитном
материале будет конечная, а напряженность поля будет в нем равна нулю.
Учет границ приводит к модели рис.10.2 (метод отражения).
Решение приведем в декартовой системе координат.

В шине напряженность магнитного поля H направлена по оси y ,
напряженность электрического поля – по оси x . Вектор Пойнтинга
направлена по оси z . Электромагнитная волна проникает из диэлектрика в
шину через наружную поверхность шины и по мере проникновения в шину
затухает по амплитуде. Величины поля изменяются по гармоническому
закону.
Запишем уравнение поля для комплексов амплитуд:



rotH m =  m =  E m ,
(10.1)


rotE m = − j0 H m ,
(10.2)

divH m = 0,
(как следствие) (10.2)

div m = 0,
(как следствие) (10.1)
Уравнения (10.1) и (10.2) для нашего случая плоской волны приводится
к уравнению
d 2 H
(10.3)
= j  0  H
2
dz
Здесь H = H my (z )
Найдем решение уравнения (10.3)
35
Уравнение (10.3) представляет собой линейное дифференциальное
уравнение второго порядка. Его решение записывают следующим образом:
H = C1e pz + C2e − pz
(10.4)
где С1 и С2 – постоянные интегрирования, которые определяются на
граничных условиях:
p=
j   0 = (1 + j ) ,
=
0 8
2
.
Определим постоянные интегрирования.
По закону полного тока при z = 0 H = I / b, при z = h имеем H = 0 . Для
определения постоянных интегрирования составим два уравнения :
I
C1 + C2 = ,
b
C1e ph + C2 e − ph = 0,
откуда:
C1 =
тогда
I
1
I e 2 ph
,
C
=
−
.
2
b 1 − e 2 ph
b 1 − e 2 ph
I shp(h − z )
H =
.
b shp p
(10.5)
1 dH pI chp(h − z )
E = −
=
,
 dz b shp h
(10.6)
 =  E
(10.7)
Из (10.1) находим:
Подставляя числовые данные, имеем:
p=
j 0  = 150e j
36

4
= 106(1 + j ), м −1 ,
H = H sh p(h − z ),
где
A
,
м
I
1
100

H0 = 
=
= 7,83  103 e − j 91,1 .
b sh ph 0,005 sh 106(1 + j )0,015
E = E 0chp (h − z ).
где E 0 - напряженность электрического поля на нижней грани шины;
I p
100  1,5e j 45

E0 =
=
= 0,02e − j 46,1 ,
7
j
91
,
1

 b shp h 5,7  10  0,005  2,55e
А
 =  E = E 0 chp (h − z ) = 0 chp(h − z ),
;
м2
где 0 =  Е 0 = 5,7  107  0,02е −о 46,1 - плотность тока на нижней грани шины.
Строим по данным расчета зависимости H ( z ) t = 0 ;  ( z )
H m (z );  m (z ) (рис. 10.3).
Определим комплексное сопротивление шины длиной l − 1 м.
Вектор Пойнтинга внешней поверхности шины:
*
I p
I*
p

S (z = 0) = E (z = 0)  H (z = 0) = cth( ph ) = I 2 2 cth ph.
b
b
b
Комплексное сопротивление:
S lb lp
Z = r + jx = 2 =
cth ph = 3,41  10 − 4 + j 3,43  10 − 4 , Ом .
b
I
Определяем мощность, теряемую на 1м длины шины
P = rI 2 = 3,41  10 −4  10 4 = 3,41 Вт .
Н, мA
, м 2
A
Hm
3
10
2
1
m
 (t = 0)
Z
0
-1
H(t=0)
-10 -2
Рис.10.3
37
t =0
;
Задача 11
В прямоугольном пазу машины находятся две медные шины
(рис.
11.3) . Ток в каждой шине i = I m sin( t +  i ). высота каждой шины h ,
ширина b , проводимость материала  , магнитная проницаемость  0 ,
частота тока f = 50 Гц.
y
h
z

h
b
Рис.11.1
Требуется:
1. Рассчитать электромагнитное поле: получить выражение для
составляющих напряженности магнитного поля и плотности тока в шинах;
2. Построить кривые распределения напряженности магнитного поля и
плотности тока в шинах в зависимости от координаты для момента времени
t = 0;
3. Построить
кривые
распределения
амплитудных
значений
напряженности магнитного поля и плотности тока в шинах в зависимости от
координаты z ;
4. Определить активное и внутреннее реактивное сопротивление шин на
1 м длины;
5. Мощность, теряемую в шинах на 1 м длины;
параметры системы заданного варианта взять из табл. 10.1
Указания
Расчет произвести при допущениях, указанных в задании 10.
Зазор между шинами мал ( → 0) .
38
Литература
1.Теоретические основы электротехники: в 3-х т. Учебник для вузов.
Том 3. – 4-е изд./ К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман,., Н.В. Коровкин, В.Л.
Чечурин – СПб.: Питер, 2003.-377с.:ил.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники, т.2, Л.,
Энергоиздат, 1981.
3. Солнышкин Н.И., Федоров В.Н. Лабораторный практикум по теории
электромагнитного поля. Псков, 2005.
39
Приложение 1
Образец оформления титульного листа
Федеральное агентство по образованию
Псковский государственный политехнический институт
Кафедра «Теоретические основы электротехники»
Расчетно – графическая работа
«Расчет электромагнитных полей»
Работу выполнил:__________
дата
________
подпись
Иванов А.С., гр. 022-083
Принял:
________
подпись
Солнышкин Н.И.
__________
дата
40
Приложение 2
Цилиндрические Функции (Функции Бесселя)
Модули и аргументы функции Бесселя нулевого и первого
порядка первого рода: gr = − jkr = − jx.
J0
(
)
(
)
− jx = b0 (x )e j 0 ( x ) ; J1 − jx = b1 ( x )e j 0 ( x )
b1
10
0
0,150
0,567
1,283
2,283
3,617
5,150
7,000
9,150
11,550
14,217
0
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
0,3001
0,3502
0,4010
0,4508
0,5014
-45
-44,931
-44,714
-44,350
-43,854
-43,213
-42,422
-41,489
-40,358
-39,207
-37,837
1,0226
1,0319
1,0436
1,0584
1,0768
17,167
20,333
23,750
27,367
31,183
0,5508
0,6032
0,6549
0,7070
0,7599
-36,343
-34,706
-32,928
-31,011
-28,952
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
1,0983
1,1243
1,1545
1,1890
1,2286
35,167
39,300
43,550
47,883
52,283
0,8136
0,8683
0,9223
0,9819
1,0411
-26,768
-24,451
-22,000
-19,428
-16,732
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
1,2743
1,3250
1,3810
1,4421
1,5111
56,750
61,233
65,717
70,183
74,650
1,1022
1,1659
1,2325
1,3019
1,3740
-13,923
-11,000
-7,970
-4,838
-1,613
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
1,5830
1,6665
1,7541
1,8486
1,9502
79,114
83,499
87,873
92,215
96,518
1,4505
1,5300
1,6148
1,7045
1,7998
1,701
5,099
8,570
12,111
15,714
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
2,0592
2,1761
2,3000
2,4342
2,5759
100,789
105,032
109,252
113,433
117,605
1,9012
2,0088
2,1236
2,2459
2,3766
19,372
23,081
26,833
30,622
34,445
x
b0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1
1,0000
1,0001
1,0002
1,0003
1,0010
1,0020
1,0037
1,0063
1,0102
1,0155
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
00
41
Приложение 2
(продолжение)
x
b0
00
b1
10
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
2,7285
2,8895
3,0613
3,2443
3,4391
121,760
125,875
129,943
134,096
138,191
2,5155
2,6640
2,8226
2,9920
3,1729
38,295
42,171
46,067
49,978
53,905
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
3,6463
3,8671
4,1015
4,3518
4,6179
142,279
146,361
150,444
154,513
158,586
3,3662
3,5722
3,7924
4,0274
4,2783
57,840
61,789
65,743
69,706
73,672
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
4,9012
5,2015
5,5244
5,8696
5,2312
162,657
166,726
170,795
174,865
178,933
4,5460
4,8317
5,1390
5,4619
5,8118
77,638
81,615
85,590
89,571
93,549
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
6,6203
7,0339
7,4752
7,9455
8,4473
183,002
187,071
191,140
195,209
199,279
6,1793
6,5745
6,9960
7,4456
7,9253
97,533
101,518
105,504
109,492
113,482
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
8,9821
9,5524
10,160
10,809
11,501
203,348
207,417
211,487
215,556
219,625
8,4370
8,9830
9,5657
10,187
10,850
117,473
121,465
125,459
129,454
133,452
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
12,239
13,027
13,865
14,761
15,717
223,694
227,762
321,830
235,987
239,964
11,558
12,313
13,119
13,987
14,896
137,450
141,452
145,454
149,458
153,462
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
16,737
17,825
18,986
20,225
21,548
244,031
248,098
252,164
256,228
260,294
15,876
16,921
18,038
19,228
20,500
157,469
161,477
165,486
169,498
173,510
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
22,959
24,465
26,074
27,790
29,622
264,358
268,422
272,486
276,540
280,612
21,858
23,308
24,856
26,509
28,274
177,523
181,536
185,554
189,571
193,589
7,6
7,7
7,8
7,9
8,0
31,578
33,667
35,896
38,276
40,817
284,674
288,736
292,798
296,859
300,920
30,158
32,172
34,321
36,617
29,070
197,608
201,627
205,646
209,670
213,692
42
Приложение 2
(продолжение)
x
b0
00
b1
10
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
43,532
46,429
49,524
52,829
56,359
304,891
309,042
313,102
317,162
321,222
41,691
44,487
47,476
50,670
54,081
217,716
221,739
225,764
229,790
233,815
8,6
8,7
8,8
8,9
9,0
60,129
64,155
68,455
73,049
77,957
325,282
329,341
333,400
337,459
341,516
57,725
61,613
65,779
70,222
74,971
237,842
241,868
245,896
249,925
253,953
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
83,199
88,796
94,781
101,128
108,003
343,577
349,566
353,693
357,751
361,811
80,048
85,466
91,259
97,449
104,063
257,981
262,011
266,041
270,071
274,102
9,6
9,7
9,8
9,9
10,0
115,291
123,110
131,429
140,300
149,831
365,868
369,958
373,983
378,002
382,009
111,131
118,683
126,752
135,374
144,586
278,133
282,164
286,197
290,229
294,266
43