Название второй статьи 1Макарець М.В., 1Петренко Є. О., 2Микоушкин .... Киевский национальной университет имени Тараса Шевченко. Просп. акад. Глушкова 2. 2 Петербург. 1 Аннотация. Ключевые слова: моделирование. Introduction Электронные пучки лежат в основе электронной спектроскопии, Ожеспектроскопии и многих других методик исследования твердого тела, поэтому моделирование их эволюции проводят довольно давно и с разными целями [4-11]. Для нерелятивистских столкновений брались бинарные столкновения с атомами мишени и взаимодействие с их электронной подсистемой. Сечение упругих электрон-атомных столкновений рассчитывались в приближении Борна, ВКБ, или Мотта [4-11]. Потенциал электрон-атомного взаимодействия включал в себя экранирование и обмен, иногда - корреляцию. Другие авторы использовали намного больше приближений для описания упругого взаимодействия электронов с твердым телом. Как правило, выделяют ионизацию внутренних атомных уровней и столкновения с электронами двух внешних зон. Сечения первых процессов чаще описывают полуэмпирическими выражениями Руда [13,14], а других – в рамках модели диэлектрического отклика мишени с диэлектрической проницаемостью q, , которую берут согласно модели Пена [15,16], или Эшли [17]. Для электронов с низкой энергией (<20 эВ) учитывают также столкновения с фононами[18]. Большинство авторов моделируют движение электронов классическими траекториями, это оправдано для энергий приблизительно больше чем 100 эВ. Волновые свойства электронов начинают играть доминирующую роль, когда длина волны де-Бройля становится порядка межатомного расстояния a в мишени или превосходит его, т.е. при 2 a R y a , где a0 – радиус Бора, 0 E E – энергия электрона, Ry 13.6 эВ – Ридберг. Поэтому волновые свойства стоит учитывать, когда его энергия a 1 Å даёт ER y aa E 2 0 t r, что при 2 Etr 150 эВ, а при a 1.4 Å – Etr 80 эВ. На практике, обычно, используют первичные частицы с энергией выше нескольких КэВ, фотоелектрони мають енергію порядку, а Оже-електрони – Як правило дивжина хвилі де-Бройля для має порядок 1 Å. Для моделювання еволюції рою електронів з E Etr враховують різні ефекти, які В первом разделе описана используемая модель, во втором – приведены полученные результаты моделирования, долее их обсуждения и выводы. Model В работе рассматривали ионы со скоростью, много меньшей средней скорости их электронов. Поскольку 43 выполняется условие E 25A кэВ 1Z 1 [19], где E – энергия иона, A1 , Z1 – его массовое и атомное числа, поэтому считали, что он мнгновенно забирает электроны мишени и далее двигается как нейтральный атом (мы обсуждали противоположное, что ион не успевает поглотить электроны и все время движется с зарядом +2), который мы называем частицей. Он претерпевает упругие и неупругие столкновения с атомами мишени, в ходе которых могут образовываться электроны. Длину свободного пробега между столкновениями мы определяли из 1, где t E – условия t EN 0 полное сечение во всех типах столкновений N 0 – атомная концентрация мишени. Тип столкновения определялся из условия, равномерно распределенное случайное число R[0,1] попадает в интервал вероятностей i -го процесса 0 R 1 . i t i 1 t Упругие ион-атомные столкновения Атом-атомные столкновения для указанных энергий можно рассматривать [20] в рамках классической модели бинарных столкновений. Для ее использования необходимо чтоб a межатомное расстояние и минимальное приближение при лобовом столкновении bm удовлетворяло условию bm a/2 . Последнее искали из уравнения Vbm Ec , где потенциал атом-атомного взаимодействия V b задан в [21], E /(1) – энергия частицы в цc =E системе, M1 M2 , M 1,2 – массы частицы и атома мишени, соответственно. Нарушение данного условия не позволяет использовать модель бинарных столкновений, потому что при bm a/2 ион все время движется в поле многих атомов. Согласно [22], суммарное сечение рассеяния, которое является интегралом дифференциального сечения по утратам энергии от заданной до максимальной, имеет простой аналитический вид: T m ax e ET , dET , T , Vb , ET bET , 1 E c 2 (1) bET , b – минимальное где приближение частицы с атомом и передачей ему энергии T , которое является решением трансцендентного уравнения: E ,T a r c c o s 1 T = E d s 1 s () b V ( bs / )E V () b V c , (2) E, T – угол рассеяния частицы в 2 0 лабораторной системе координат, а 412. Из (1) и определения bm следует, что при лобовом столкновении, когда TTmax E, E,E0. Полное сечение рассеяния можно найти, если в (1) положить b a 2 , но тогда при энергиях EVa 2 его значение остается постоянным. Поэтому в работе задавали минимальную энергию TTmin 0.1 эВ и для нее считали полное сечение, которое удовлетворяет условию bE ,Tmina/2, начиная с какой-то энергии Emin , которую считали нижней границей применения классической модели бинарных столкновений для всех допустимых прицельных расстояний. Вероятность всех упругих рассеяний с потерей энергии от максимальной до заданной определяется соотношением: ,T E ,T E , m in p ( E ,T )= (3) которое удовлетворяет условию p(ET , ) 1. Из уравнения p(ET , )=R, где R[0,1] – равномерно распределенное случайное число, переданную атому угол рассеяния системе координат (2). численно определяли мишени энергию T и ионов лабораторной , как это следует из Ионизация атомов мишени ионами Для описания не столкновений ионов с атомами использовали полуклассическую Гризинского [23,24], согласно дифференциальное и полное ионизации: упругих мишени модель которой сечения 1 d 4 a2Z2 n i i = 0 u 3 i d T R y 1 u i 3 /2 1 1 1 4 u 1 i 1 ln e 1 uE 3 u i i (4) 1 1 u u i i 1 2 1 u i 1 u i 1 1 l n e 1 uE 3 u i i (5) где Z – атомный номер иона, ni – населенность i -го энергетического уровня атома, = E/Ry – энергия иона, = T/Ry – 3 /2 nM 4 aZ 1 i = m 1u i 2 2 i 0 e ui =Ui/Ry – энергия Um перехода, или ионизации, ui =M , i/ eE M , me – массы иона и электрона, потери энергии, соответственно, =41 ui /ui, e=2.71828. В этих выражениях должно T Ui . выполняться условие Угол неупруго рассеяния атома считали равным нулю. Полное ионизационное сечение рассеяния иона на атоме мишени брали равным сумме сечений (5) по энергетическим уровням, а номер уровня, ионизация которого произошла, разыгрывали как было указанно выше. Фазовые координаты образованные ионом электронов использовали для моделирования их торможения. При этом учитывались их упругие столкновения с атомами мишени, а неупругие рассматривали как сумму нескольких взаимодополняющих процессов: 1) ионизацию глубоких уровней; ионизацию электронов валентной зоны и зоны проводимости; возбуждение плазмонов и фононов. Упругие электрон-атомные столкновения Дифференциальное de E, упругого сечение рассеяния не поляризированных электронов с энергией E на атоме рассчитывали согласно [А1] как: d E , =(), 2 e f d 1 i ä å f() = l 1 c o s i n 2 P els l l kl= 0 (6) 2 где k = 2E – волновой вектор электрона (в единицах a0 ), E – его энергия (в Ry ) в л-системе, – угол рассеивания л-системе, а l – фазовые сдвиги. Они зависят от энергии электрона и потенциала взаимодействия и определяются асимптотическим поведением волновой функции на бесконечности, поэтому l l (r)r. Для их поиска использовали известный метод [А2] переход от уравнения Шредингера для радиальной волновой функции к уравнениям ее фазы и амплитуды. Для сдвига фазы получили уравнения: d l ( ) = 2 V d 2k k 2 (7) J 1 ( ) cos l ( ) N 1 ( ) sin l ( ) l l 2 2 J ( x) N 1 ( x) где l 12 та – функции l 2 Бесселя дробного порядка первого и второго рода (функции Неймана), соответственно, а V r – потенциал электрон атомного взаимодействия. Начальное условие для всех фазовых сдвигов брали одинаковое l (0) = 0 , Для проведения расчетов была написана специальная программа, которая позволяла находить фазовые сдвиги в широком диапазоне энергий и моментов, которые определяют l . отметим, что при низких энергиях E = Ry и некоторых l =0,1,2, углах рассеивания для достижения заданной точности в (А1) необходимо l 100 , было использовать а интегрирование (А2) – нужно было проводить до значений ? 1 . Это требовало учета поведения функций Бесселя и полиномов Лежандра при больших значениях индекса и аргумента. Полное сечение находилось по формуле: d E , sin e E = 2 d= e d 0 . 4 2 2 l 1 2 sinl k l=0 (8) Вероятность упругого рассеяния в интервал углов меньших заданного , задается как: E , 2d e ' ' p ( E , ) = s i n d , e ( E ) d e 0 (9) и удовлетворяет условию pe(E,) 1 уравнения pe(E,)=R, где R[0,1] – равномерно распределенное случайное число, решалось численно для угла рассеяния электрона . Расчеты сечения упругого рассеяния проводили для экранированного потенциала атома золота, рассчитанного в модели Томаса-Ферми без учета обмена и корреляции. При малых энергиях электронов полное сечение рассеяния можно приблизить формулой жестких 2 [А1] e 4a . Расчеты дали значение a 11.3 А, что не существенно выходит за пределы принятой модели бинарных столкновений. сфер Ионизация глубоких атомных уровней для расчета дифференциального и полного сечений ионизации атомных уровней электронами использовали полуэмпирическую модель Кима-Рудда [А3,А4] с дифференциальным сечением: 2 d iKR 4 an = 2 0i d T R yu ui i) i( 2 2 u u u u u i i i i i 2 ui) ui ui ( 2 d fi() u i nlnu d i i , (10) n K R 2 i E )= 4 a i ( 0 u ( u i i i) , 2 u 2 u 1 u i i i 1 1 l n 2 u u i i 2 (11) ni i -го где – населенность энергетического уровня атома, = E/Ry – энергия электрона, = T/Ry – потери энергии, ui =Ui/Ry и i = Ki/Ry – полная и кинетическая энергии электрона на i -м ' уровне, соответственно, e=2.71828, fi ( ) производная по энергии от силы осциллятора электронного перехода с i -го уровня атома в непрерывный спектр. После ионизации уровня будет три частицы: 1) рассеянный электрон с энергий E T , который движется под углом к первоначальному направлению; 2) ионизированный атом с кинетической Ea , энергией который движется относительного того же направления под углом a ; 3) вторичный электрон с U E ET энергией ET , который s= i a движется под углом s . Импульс атома P пренебрежимо мал, поэтому углы рассеяния электронов находили из законов сохранения энергии и импульса p= p' ps . Азимутальные углы рассеяния налетающего и вторичного электронов ' случайны в пределах 0 2 и = , соответственно. Столкновения с фононами Для описания рассеяния на фононах мы использовали оператор вектора смещений u(r) атома из узла n в представлении чисел заполнения фононов: + i q n e ( q ) ( b + b ) e ,(12) s q s q , s 2 M N Ω ( q ) s где Ω(q - частота, cs s )=qcs скорость длинноволновых акустических фонов ветки s ; e(q)=e(q) – единичный вектор поляризации фононов; M суммарная масса атомов, которые входят в N элементарную ячейку; - число элементарных ячеек в кристалле. Зная u(r) в представлении чисел заполнения, можно получить оператор деформационного потенциала: + F q)(bqαb eiqr, α( qα) 2 |q| F q)=i E α( F 3 2M cα (13) Оператор взаимодействия заряженных частиц с продольными акустическими фононами принимает вид: + + F ( q ) aa ( b b . α k + qk q α q α) (14) В качестве волновых функций фононов Φ использовали волновые функции гармонического осциллятора, которые по Ландау нормированы на единичную плотность потока и на объем элементарной ячейки. Волновая функция частицы Ψ – это плоская волна, нормированная также по Ландау на δ функцию. В случае когда, в начальный момент не было фононов, матричные элементы имеют следующий вид: 1 2 Ψ Φ H Ψ Φ = F ( q ) | Φ | k + q 0 , q i n t k 1 , q α 0 , q N (15) 2 e x p2 i q r Φ F ( q ) Φ 0 , qα 2 , q 1 2 Ψ Φ Ψ Φ = F ( q ) | Φ | (16) k qq 1 ,H i n t k 0 , q α 1 , q N Формула Борна, для нашего случая, будет выглядит так: m p d σ = Ψ ( r ) Φ ( R ) U Φ ( R ) Ψ ( r ) d R d r d Ω , k ' k 2 4 4 π (17) т.е. Это два интеграла от матричных элементов (16). После подстановки (16) в (17): 22 22 d σm v m v2| q | 2 4 = F ( q )= E = α 24 24 F d Ω 4 π 9 4 π 2 M c α 2 ' = A k + kk 2 k c o s θ (18) k k =q ' где k и k ' - волновые векторы частицы до и после взаимодействия с фононом соответственно, из закона v сохранения импульса, - объем элементарной ячейки. В моделировании Монте-Карло, расчет углов рассеяния и потери энергии налетающей частицы рассчитывались тем же самым способом, что и в предыдущих процессах. 7. Results and discussion Висновки Врахування лише кількох низько енергетичних процесів дає загальну картину поведінки руху електронів в твердому тілі, зокрема: вигляд розподілу електронів по глибині; «зупинених» References Роботи по предмету для наших досліджень 1. V. Pugatch et al. Micro-strip metal foil detectors for the beam profile monitoring // Proc. of the DIPAC 2005, Lyon, France, 2005, p. 18-20. 2. V. Pugatch, O. Mykhailenko. Micro-strip metal detector for the beam profile monitoring // NIM, 2007, Vol. A 581, p. 531534. 3. В.М. Пугач, В.Л. Перевертайло, О.А. та інші. Мікростріпові металеві детектори. // Ядерна фізика та енергетика. 2006, №1(17), с. 95-101. 4. Роботи по методу наших досліджень J.D. Martinez, R.Mayol, F. Salvat. Monte Carlo simulation of kilovolt electron transport in solids. // J. Appl. Phys., 1980, Vol. 67, No. 6, p. 2955-2964. 5. Z.J. Ding, R. Shimizu, K. Goto. Background formation in the low-energy region in Auger electron spectroscopy. // J. Appl. Phys., 1994, Vol. 76 (2), p. 1187-1195. 6. Z.J. Ding, X.D. Tang, R. Shimizu. Monte Carlo study of secondary electron emission. // J. Appl. Phys., 2001, Vol. 89, No. 1, p. 718-726. Z.J. Ding, X.D. Tang, H.M. Li. Monte Carlo calculation of the energy distribution of backscattered electrons. // Int. J. Mod. Phys. B., 2002, Vol. 16, No 28&29, p. 4405-4412. 8. M. Yasuda, S. Yamauchi, H. Kawata, K. Murata. Quantitative electron microprobe analysis of aluminum, copper, and gold thin films on silicon substrates // J. Appl. Phys., 2002, Vol. 92, No. 6, p. 3404-3409. 9. Z.J. Ding, K. Salma, Z.M. Zhang. Energy distribution of backscattered electrons from heavy metals. // [J]. Acta Metallurgica Sinica, 2005, Vol. 18(3), p. 345-350. 10. F. Salvat, J.M. Fernández-Varea. Overview of physical interaction models for photon and electron transport used in Monte Carlo codes. // Metrologia, 2009, Vol. 46, p. 112–138. 11. S.F. Mao, Z.J. Ding. A Monte Carlo simulation study on the image resolution in scanning electron microscopy. // Surf. Interf. An., 2010, Vol. 42, No 6-7, p. 443–1377. 12. Роботи по особливостях методу а) пружні електрон-атомні зіткнення Мотт Н., Месси Г. Теория атомніх столкновений. // М.: Мир, 1969. – 756 с. 13. б) непружні електрон-атомні зіткнення Kim Y.-K., Rudd M.E. Binary-encounterdipole model for electron-impact ionization. // Phys. Rev., 1994, Vol. A50, №5, р. 39543967. 14. Hwanga W., Kim Y.-K., Rudd M.E. New model for electron-impact ionization cross sections of molecules. // J. Chem. Phys., 1996, Vol.104, №8, р. 2956-2966. 15. D.R. Penn. Electron mean-free-paths calculation using a model dielectric function. // Phys. Rev., 1987, Vol. B35, №2, p. 482486. 16. J.C. Ashley. Energy loss probabilities for electrons, positrons, and protons in condensed matter. // J. Appl. Phys., 1991, Vol.69, №2, р. 674-678. 17. в) електрон-фононні зіткнення 18. A. Akkerman. Characteristacs of electron inelastic interactions in organic compaunds and water over energy range 20-1000 eV. // J. Appl. Phys., 1999, Vol.86, №10, р. 58095816. г) хвильові властивості д) посилання по ходу тексту роботи 19. M. Inokuti. Inelastic collisions of fast charged particles with atoms and molecules – The Bethe theory revisited. Rev. Mod. Phys. 1971, Vol. 43, p. 297. 20. N.Bohr. The Penetration of Atomic Particles Through Matter. // Kgl. Dan. Vid. Selsk. Mat. Fys. Medd. 1948, Vol. 18, p. 8. 21. Ziegler J.F., Biersack J.P., Littmark U. The Stopping and Ranges of Ions in Solids. Vol. 1. – N.Y.: Pergamon Press, 1985. – 321 p. 22. Макарець М.В., Сторчака С.Н. Новий метод розрахунку розподілу імплантованих іонів. 1. Алгоритм та семиінваріанти // Укр. Фіз. Журн. – 2001, Т.46, №4. – С.486-494. 23. Gryzinski M. Two-Particle Collisions. II. Coulomb Collisions in the Laboratory System of Coordinates // Phys. Rev., 1965, Vol. A138, №2. P.322-335. 24. Gryzinski M. Classical Theory of Atomic Collisions. I. Theory of Inelastic Collisions // Phys. Rev., 1965, Vol. A138, №2. P.336358. 25. [A1] Мотт Н., Месси Г. Теория атомніх столкновений. М.: Мир, 1969. – 756 с. 26. [А2] Chadan K., Kobayashi R., Kobayashi T. The absolute definition of the phase-shift in potential scattering // J. Math. Phys.-2001.Vol.42,№9.-P.4031-4049. 27. [A3] Hwanga W., Kim Y.-K., Rudd M.E. New model for electron-impact ionization cross sections of molecules // J. Chem. Phys.1996.-Vol.104, №8.-P.2956-2966. [A4] Kim Y.-K., Rudd M.E. Binary-encounterdipole model for electron-impact ionization // Phys. Rev.-1994.-Vol.A50, №5.-P.3954-3967.