Лекция. Последовательность расчета ПП операторным методом

Последовательность расчета ПП операторным методом.
Важные примечания к формуле разложения.
1. При наличии в цепи синусоидальной ЭДС
для перехода
от комплекса к функции времени от правой части формулы разложения
берется мнимая часть, т.е. выражение при j. Если при этом в цепи также
имеют место другие источники, например, постоянной Е и
экспоненциальной
ЭДС, и начальные условия для токов в ветвях с
индуктивными элементами и напряжений на конденсаторах ненулевые, то
они должны быть все введены в формулу предварительно умноженными на j,
поскольку только в этом случае они будут учтены при взятии мнимой части
от формулы разложения, т.е.
2. Принужденной составляющей от действия источника синусоидальной ЭДС в
формуле разложения соответствует слагаемое, определяемое
корнем
. Для сложных схем такое ее вычисление может оказаться
достаточно трудоемким, в связи с чем принужденную составляющую в этих
случаях целесообразно определять отдельно символическим методом, а
свободную – операторным.
3. Комплексно-сопряженным корням уравнения
в формуле
разложения соответствуют комплексно-сопряженные слагаемые, которые в
сумме дают удвоенный вещественный член, т.е. для к-й пары комплексносопряженных корней имеет место
Последовательность расчета переходных процессов
операторным методом
1. Определение независимых начальных условий путем расчета докоммутационного
режима работы цепи.
2. Составление операторной схемы замещения цепи (для простых цепей с нулевыми
начальными условиями этот этап может быть опущен).
3. Запись уравнений по законам Кирхгофа или другим методам расчета линейных
цепей в операторной форме с учетом начальных условий.
4. Решение полученных уравнений относительно изображений искомых величин.
5. Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц
соответствия оригиналов и изображений) по найденным изображениям.
В качестве примера использования операторного метода определим ток через
катушку индуктивности в цепи на рис. 1.
С учетом нулевого начального условия операторное изображение этого тока
.
Для нахождения оригинала
корне
воспользуемся формулой разложения при нулевом
(1)
,
где
,
.
Корень уравнения
.
Тогда
и
.
Подставляя найденные значения слагаемых формулы разложения в (1), получим
.
Воспользовавшись предельными соотношениями, определим
и
:
Формулы включения
Формулу разложения можно использовать для расчета переходных процессов при
нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые, то при
подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или
синусоидального напряжения для расчета переходных процессов удобно
использовать формулы включения, вытекающие из формулы разложения.
1. Формула включения на экспоненциальное напряжение
(2)
,
где
- входное операторное сопротивление двухполюсника при
определении тока в ветви с ключом (при расчете тока в произвольной ветви
это операторное сопротивление, определяющее ток в ней по закону
Ома);
- к-й корень уравнения
.
2. Формула включения на постоянное напряжение
при
)
(вытекает из (2)
.
3. Формула включения на синусоидальное
напряжение
при
(формально вытекает из (2)
и
)
В качестве примера использования формулы включения рассчитаем ток в цепи на
рис. 2, если в момент времени t=0 она подсоединяется к источнику с
напряжением
;
;
.
В соответствии с заданной формой напряжения источника для решения следует
воспользоваться формулой (2). В ней
уравнения
Производная
. Тогда корень
.
и
.
В результате
.
Сведение расчета переходного процесса к расчету
с нулевыми начальными условиями
Используя принцип наложения, расчет цепи с ненулевыми начальными условиями
можно свести к расчету схемы с нулевыми начальными условиями. Последнюю цепь,
содержащую пассивные элементы, можно затем с помощью преобразований
последовательно-параллельных соединений и треугольника в звезду и наоборот
свести к виду, позволяющему определить искомый ток по закону Ома с
использованием формул включения.
Методику сведения цепи к нулевым начальным условиям иллюстрирует рис. 3, на
котором исходная схема на рис. 3,а заменяется эквивалентной ей схемой на рис. 3,б,
где
. Последняя в соответствии с принципом наложения
раскладывается на две схемы; при этом в схеме на рис. 3,в составляющая
общего
тока равна нулю. Таким образом, полный ток равен составляющей тока в цепи
на рис. 3,г, где исходный активный двухполюсник АД заменен пассивным ПД, т.е.
схема сведена к нулевым начальным условиям.
Следует отметить, что если определяется ток в ветви с ключом, то достаточно
рассчитать схему на рис. 3,г. При расчете тока в какой-либо другой ветви АД в
соответствии с вышесказанным он будет складываться из тока в этой ветви до
коммутации и тока в ней, определяемого подключением ЭДС
двухполюснику.
к пассивному
Аналогично можно показать, что отключение ветви, не содержащей индуктивных
элементов, при расчете можно имитировать включением в нее источника тока,
величина которого равна току в ветви до коммутации, и действующему навстречу
ему.
Переходная проводимость
При рассмотрении метода наложения было показано, что ток в любой ветви схемы
может быть представлен в виде
,
где
- собственная (к=m) или взаимная
проводимость.
Это соотношение, трансформированное в уравнение
(3)
,
будет иметь силу и в переходном режиме, т.е. когда замыкание ключа в m-й ветви
подключает к цепи находящийся в этой ветви источник постоянного
напряжения
. При этом
переходной проводимостью.
является функцией времени и называется
В соответствии с (3) переходная проводимость численно равна току в ветви при
подключении цепи к постоянному напряжению
.
Переходная функция по напряжению
Переходная функция по напряжению наиболее часто используется при анализе
четырехполюсников.
Если линейную электрическую цепь с нулевыми начальными условиями
подключить к источнику постоянного напряжения
, то между произвольными
точками m и n цепи возникнет напряжение
,
где
- переходная функция по напряжению, численно равная напряжению между
точками m и n схемы при подаче на ее вход постоянного напряжения
.
Переходную проводимость
и переходную функцию по напряжению
можно
найти расчетным или экспериментальным (осциллографирование) путями.
В качестве примера определим эти функции для цепи на рис. 4.
В этой схеме
,
где
.
Тогда переходная проводимость
Переходная функция по напряжению
Операторные схемы замещения
При расчете ПП Операторным методом удобно пользоваться операторными схемами
замещения на основании которых легко можно определить изображения искомых
величин.
Таблица соответствия оригинальной схемы и схемы замещения в случае, если в цепи
действуют источники постоянной энергии
Таблица соответствия оригинальной схемы и схемы замещения в случае, если в цепи
действуют источники постоянной энергии
Алгоритм расчета ПП операторным методом с использованием операторных схем
замещения
1. Определяем значение напряжений на конденсаторах исходной расчетной
схемы и токи через индуктивности в начальный момент времени (t=0). С этой
целью составляют схему замещения для t=0- классического метода и из нее
находят искомые величины.
2. Составляют для исходной послекоммутационной схемы операторную схему
замещения используя представленные на предыдущей странице таблицы
соответствия.
3. Рассчитывают операторную схему замещения одним из методов и определяют
изображение искомой величины.
4. Используя формулу разложения или обратные преобразования Лапласа,
находят истинные значения искомой величины, т.е. оригинал.
5. Делают проверку расчета по следующим соотношениям
lim 𝑝 𝐹(𝑝) = lim 𝑓(𝑡),
𝑝→∞
𝑡→0
lim 𝑝 𝐹(𝑝) = lim 𝑓(𝑡).
𝑝→0
𝑡→∞
Литература
1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил,
С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи.
Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и
приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.:
Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред.
К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с
сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
1. Как в формуле разложения учитываются при наличии источника
синусоидальной ЭДС источники других типов, а также ненулевые начальные
условия?
2. Как целесообразно проводить расчет переходных процессов операторным
методом в сложных цепях при синусоидальном питании?
3. Проведите сравнительный анализ классического и операторного методов.
4. Какие этапы включает в себя операторный метод расчета переходных
процессов?
5. Из формулы включения на какое напряжение вытекают другие варианты ее
записи? Запишите формулы включения.
6. В каких случаях применяются формулы включения?
7. Чему численно соответствуют переходная проводимость и переходная
функция по напряжению?
8. На основании решения задачи 7 в задании к лекции № 27 с использованием
формулы разложения определить ток в ветви с индуктивным элементом, если
параметры цепи:
.
Ответ:
.
9. С использованием формулы включения найти ток
части цепи на рис. 5,
10.
в неразветвленной
если :
;
Ответ:
;
.