Дополнительный материал к учебной дисциплине «Начертательная геометрия» для подготовки к олимпиадам Иванов Г.С., Серегин В.И., Боровиков И.Ф. Материал данного раздела не входит в основной курс начертательной геометрии. Он предназначен для решения задач повышенной сложности при подготовке к олимпиадам. Проработка материала не является полной гарантией успеха, но его усвоение, несомненно, будет полезно для студентов, желающих расширить свои познания в учебной дисциплине и для преподавателей. При решении задач повышенной сложности применяются методы: - приведения, - геометрических мест, - преобразования, - обратности. Метод приведения По сложности последовательности: геометрические задачи располагаются проективные (позиционные: в такой принадлежность, пересечение), аффинные (параллельность, простое отношение трех точек) и метрические (длина, угол и т.д.). Поэтому упрощение алгоритма решения задачи, увеличение его наглядности и т.д. можно достичь путем приведения метрических условий к аффинным, а их, в свою очередь – к проективным. Пример. Даны три задачи. Задача 1. Через точку A требуется провести прямую l, пересекающую данные две скрещивающиеся прямые b и d. Задача 2. Через точку A требуется провести прямую l, пересекающую прямую b и параллельную плоскости δ. 1 Задача 3. Через точку A требуется провести прямую l, пересекающую прямую b и перпендикулярную прямой d. На первый взгляд имеем три разные задачи. Но анализ показывает, что они являются одной задачей, сформулированной в разных терминах: проективных, аффинных и метрических. Поэтому решаются по единому алгоритму. Действительно, третья задача сводится ко второй заменой условия перпендикулярности прямой d параллельностью плоскости δ. Вторая задача является частным случаем первой, когда собственная прямая d стала несобственной, заданной ее «собственным представителем» δ. Отсюда следует единый алгоритм решения всех трех задач: 1) точка A и прямая a определяют плоскость α (во втором случае плоскость α проходит через точку A параллельно плоскости δ, в третьем случае плоскость α проходит через точку A перпендикулярно прямой d); 2) строится точка B пересечения прямой b c плоскостью α; 3) проводится прямая AB, которая является искомой. Метод приведения широко применяется при решении задач на монопроекционных (однокартинных) чертежах, применяемых при изучении стереометрии. Дана четырехугольная пирамида SABCD и плоскость A, B , C , где A SA , B SB , C SC (рис. 1). Требуется построить сечение пирамиды этой плоскостью. Прямые AB и A B пересекаются как принадлежащие одной грани SAB в точке 1. Аналогично BC B C 2 . Точки 1 и 2 определяют прямую l пересечения плоскости с плоскостью основания ABCD данной пирамиды. Через точку 3 CD l проходит прямая 3C , пересекающая ребро SD в точке D . Четырехугольник A B C D является искомым сечением пирамиды SABCD плоскостью A, B , C . Теперь сформулируем новую задачу: задать плоскость A (рис. 1), пересекающую данную пирамиду SABCD по параллелограмму ABCD . 2 Решение этой задачи сведется к предыдущей, если плоскость задать прямыми kA k ACD SBC и и m A , параллельными m ASB CSD . соответственно Тогда стороны AD и B C будут параллельными как проходящие через бесконечно удаленную точку K k , и A B // C D как проходящие через бесконечно удаленную точку M m . Рис.1 Далее рассмотрим конкретные примеры решения задач, когда исходные условия заданы одной ортогональной проекцией. Пример 1. Дана фронтальные проекции куба ABCDA1 B1C1 D1 и точек P, Q, R , инцидентных ребрам AA1 , BC , B1C1 соответственно. Построить фронтальную проекцию сечения куба плоскостью PQR (рис.2). 3 Прямые, по которым произвольная плоскость пересекает параллельные плоскости, параллельны. Поэтому через P проводим прямую, параллельную RQ , и находим её точки пересечения с AD и A1D1 . Эти точки соединяем с точками Q и R и получаем проекции сечений граней ABCD и A1 B1C1 D1 . Дальнейшие построения понятны из чертежа. Рис.2 Пример 2. Дана фронтальные проекции куба ABCDA1 B1C1 D1 и точек P, Q, R , инцидентных ребрам AA1 , BC , C1 D1 соответственно. Построить фронтальную проекцию сечения куба плоскостью PQR (рис.3). Построим сначала проекцию точки M пересечения прямой PR и плоскости грани ABCD. Соединив проекции точек M и Q , получим 4 проекцию сечения грани ABCD. Дальнейшие построения аналогичны построениям в примере 1. Рис.3 Метод геометрических мест Геометрическим местом называется некоторая совокупность всех элементов, положение которых удовлетворяет одному или нескольким определённым условиям. Геометрические места могут обладать одним, двумя и более свойствами. Пусть мы имеем два геометрических места точек или элементов в пространстве. Это могут быть две поверхности, причём все точки одной поверхности обладают одним некоторым свойством, а все точки другой поверхности подчинены какому-то другому условию. Две поверхности в 5 пространстве могут пересечься по некоторой линии, все точки которой, в силу того что они принадлежат одновременно двум поверхностям, будут обладать уже не одним свойством, а двумя. Следовательно, геометрическое место точек в пространстве может быть как поверхностью, так и линией, рассматриваемой как пересечение двух поверхностей. Если же имеется три условия, то геометрическое место состоит, как правило, из одной или нескольких точек. Один и тот же геометрический образ можно рассматривать и как геометрическое место точек и как геометрическое место линий. Например, плоскость , параллельная плоскости и удалённая от последней на расстояние a , есть: - геометрическое место точек, удалённых от плоскости на расстояние a ; - геометрическое место прямых линий, параллельных плоскости и удалённых от нее на расстояние a ; - геометрическое место плоских кривых, плоскости которых параллельны данной плоскости и отстоят от неё на расстоянии a . Основные геометрические места в пространстве Укажем простейшие геометрические места в пространстве, встречающиеся в практике. 1. Геометрическое место точек, отстоящих от данной точки O на расстоянии, равном a , есть сфера с центром в точке O и радиусом a (рис.4). 6 Рис. 4 2. Геометрическое место точек, отстоящих на расстоянии a от данной прямой b , есть цилиндрическая поверхность вращения, для которой прямая b является осью, а направляющая - окружность радиуса a , плоскость которой перпендикулярна оси (рис.5). Рис.5 3. Геометрическое место точек, отстоящих от данной плоскости на расстоянии a , состоит из двух плоскостей и , проведённых параллельно плоскости на данном расстоянии a (рис.6). 7 Рис.6 Эти же две плоскости и можно рассматривать как геометрическое место прямых, каждая из которых параллельна плоскости и отстоит от плоскости на расстоянии a . 4. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек A и B , есть плоскость , перпендикулярная к отрезку AB в его середине (рис 7). Рис.7 8 5а. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых a и b , состоит из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и , проведённых перпендикулярно плоскости, определяемой прямыми а и b и проходящих через биссектрисы углов, образуемых прямыми a и b (рис.8). Рис.8 5б. Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от двух параллельных прямых a и b , есть одна плоскость , перпендикулярная к плоскости , определяемой прямыми a и b , и проходящая через равноотстоящую от них на этой плоскости прямую c (рис.9). Рис.9 6. Геометрическое пересекающихся место плоскостей точек, и , равноудаленных состоит из двух от двух взаимно 9 перпендикулярных плоскостей и , являющихся биссекторными плоскостями двугранных углов между данными плоскостями (рис.10). Рис.10 7. Геометрическое место точек, равноудаленных от трех точек A, B и C , не лежащих на одной прямой, есть прямая a , перпендикулярная к плоскости, определяемой этими тремя точками и проходящая через точку пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC (рис.11). Рис.11 10 10. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок AB виден под прямым углом, есть сфера , для которой данный отрезок является диаметром (рис.12). Рис.12 11. Геометрическое место прямых, проходящих через точку на данной прямой и образующих с этой прямой один и тот же угол, есть коническая поверхность вращения (рис.13). Рис.13 11 12. Геометрическое место прямых, проходящих через данную точку и образующих с данной плоскостью некоторый угол, есть коническая поверхность вращения(рис.14). Рис.14 13. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной плоскости и данной прямой a , перпендикулярной к этой плоскости, есть коническая поверхность вращения, угол осевого сечения которой равен 90°, а вершина A находится в точке пересечения прямой и плоскости (рис.15). Рис.15 12 При решении задач на геометрические места полезно знать основные правила их решения: - правило упрощения, - правило разложения. - правило приращений. Правило упрощения реализуется приведением исходных фигур в частное положение. Преобразованием исходных фигур общего положения, входящих в условие задачи, в проецирующие или фигуры уровня часто удается стереометрическую задачу свести к планиметрической, что существенно упрощает графические построения. Например, пусть требуется построить геометрическое место точек, равноудаленных, от вершин треугольника ABC . Нетрудно установить, что искомое геометрическое место точек представляет пряную l , проходящую через центр S описанной вокруг треугольника ABC окружности и перпендикулярную плоскости ABC . Задачу можно решить несколькими способами. Сначала рассмотрим алгоритм ее решения "в лоб" (рис.16): а) строим середины M и N любых двух сторон треугольника ABC , например, сторон AB и BC ; б) строим плоскости h1 f1 и h2 f 2 , проходящие соответственно через точки M и N и перпендикулярные прямым AB и BC ; в) строим искомую прямую l как линию пересечения плоскостей и . 13 Рис.16 Этот алгоритм требует выполнения достаточно громоздких графических построений и развитого пространственного представления и не базируется на опыте решения планиметрических задач, полученном в средней школе. Следующий алгоритм лишен указанных недостатков (рис.17): а) используя любой способ преобразования (в данном случае способ замены плоскостей проекций), плоскость треугольника ABC общего положения преобразуется в плоскость уровня; б) известным из планиметрии способом находится центр K окружности, описанной вокруг треугольника ABC ; 14 в) искомая прямая l проходит через точку K перпендикулярно плоскости треугольника. Рис.17 Таким образом, выбор рационального алгоритма является важным этапом в решении задач. Правило разложения. Вначале рекомендуется отбросить все условия, кроме одного. Тогда задача становится неопределённой и допускает наличие бесчисленного множества точек, которые лежат на некоторой поверхности. Это геометрическое место можно при желании однозначно определить на чертеже. Затем следует принять во внимание какое-либо новое условие из имеющихся, отбрасывая все остальные. Точки, удовлетворяющие этому новому условию, образуют опять-таки какое-то геометрическое место, 15 представляющее собой тоже некоторую поверхность, которую также можно вполне определить на чертеже. Наконец, надо рассмотреть третье условие, отбрасывая все остальные. Получится новое геометрическое место в виде какой-то поверхности, которая тоже однозначно определяется на чертеже. Искомые точки должны лежать на пересечении этих поверхностей. Таким образом, если геометрическое место определяется одним условием, то это будет некоторая поверхность; если оно определяется двумя условиями, то это будет линия, являющаяся пересечением двух поверхностей. Если же имеется три условия, то геометрическое место состоит, как правило, из одной или нескольких точек, так как три поверхности в пространстве пересекаются в общем случае в нескольких точках. Если решение задачи невозможно, то поверхности, являющиеся геометрическим местом точек, подчинённых определённым условиям, так расположены в пространстве, что у них нет общих точек, т. е. они не пересекаются и не касаются. Если же три поверхности, являющиеся геометрическими местами точек и подчинённых трём различным условиям, так расположены в пространстве, что пересекаются или касаются по одной и той же линии, то решению задачи удовлетворяет не одна или несколько точек, а целое множество их, лежащих на этой общей для трёх поверхностей линии. Правило приращений составляет базу графического способа построения некоторых геометрических мест. Суть этого способа состоит в том, что при построении геометрических мест, удовлетворяющих двум условиям, их численным значениям даются последовательные приращения и искомая фигура строится как множество точек, линий, получаемых после каждого приращения. Примером этого правила может быть способ построения параболы как геометрического места точек, равноудаленных от точки F и прямой d (рис. 18). 16 Рис. 18 Пример 1. Прямые a и b пересекаются в точке K . Найти геометрическое место точек, удаленных от точки K на расстояние 40 мм, от прямой a - на 20 мм, от прямой b - на 30 мм (рис. 19). Геометрическим местом точек, удаленных от точки K на расстояние 40 мм является сфера , радиус которой равен 40 мм, а геометрическими местами точек, удаленных от прямых a и b на расстояния 20 и 30 мм являются цилиндры вращения и с осями a и b и диметрами 40 и 60 мм соответственно. Следовательно, искомое геометрическое место состоит из четырех точек A, B, C, D , которые одновременно инцидентны этим поверхностям. 17 Рис. 19 Пример 2. Через точку S провести прямую, составляющую с плоскостью проекций 1 угол 45 , с 2 - 30 (рис.20). Геометрическое место прямых, инцидентных точке S и наклоненных к 1 под углом 45 является конус вращения с вершиной S , ось которого перпендикулярна 1 , с образующими, наклоненными к 1 под углом 45 , а геометрическим местом прямых, составляющих с 2 угол 18 30 , является конус вращения с той же вершиной S , ось которого перпендикулярна 2 , а образующие наклонены к 2 под углом 30 . Конусы и пересекаются по пространственной кривой 4 порядка, которая распадается на четыре прямые (общие образующие). Искомые образующие AS , BS, CS, DS можно найти с помощью вспомогательной сферы , центр которой находится в точке S . Рис.20 19 Геометрические преобразования в решении задач начертательной геометрии Преобразования подобия (гомотетия) Общий метод подобного преобразования геометрических фигур состоит в следующем. Выбирают произвольную точку S в пространстве и соединяют ее отрезками прямых линий со всеми точками данной фигуры . Все полученные таким образом отрезки изменяют в некотором, одном и том же отношении m : n . Концы всех полученных отрезков образуют новую фигуру 1 которую можно рассматривать как преобразованную фигуру . Фигуры и 1 называются гомотетичными, точка S центром гомотетии (или подобия), а число k m : n - коэффициентом гомотетии. Следовательно, гомотетия есть точечно-линейное преобразование пространства самого в себя, при котором точка A пространства переходит в некоторую точку A1 того же пространства. При этом: 1) точки A и A1 лежат на одной прямой с точкой S ; 2) SA : SA1 k , где k коэффициент гомотетии. Любой многоугольник преобразуется в многоугольник, углы которого равны углам данного многоугольника, а стороны пропорциональны, т.е. многоугольник преобразуется в подобный ему многоугольник. Аналогично каждый многогранник преобразуется в подобный многогранник. Коэффициент гомотетии k может принимать различные значения. При k 0 соответственные друг другу точки расположены по одну сторону от центра гомотетии S . Если k SA : SA1 1, то после преобразования получится фигура 1 , линейные размеры которой будут больше линейных размеров преобразуемой фигуры ; если k 1 , то фигура преобразуется в фигуру с меньшими линейными размерами. В случае k 0 соответственные точки находятся по разные стороны от центра гомотетии S . В частном 20 случае при k 1 получаем фигуры и 1 , для которых точка S является центром симметрии. Таким образом, центральная симметрия есть особый случай гомотетии. Геометрические фигуры могут быть подобны, но не гомотетичны. Так, например, все правильные тетраэдры подобны независимо от их расположения, но не все правильные тетраэдры гомотетичны. Гомотетия предполагает еще определенное расположение геометрических фигур. Если подобные тела расположены так, что их соответственные точки лежат на прямых, пересекающихся в одной точке, то они называются подобно расположенными или гомотетичными. Пример 1.Построить окружность l , проходящей через точки N и M и касающуюся прямой t (рис. 21). Точное построение окружности l основано на применении гомотетии: - в качестве центра S гомотетии принята точка пересечения серединного перпендикуляра n отрезка MN с данной касательной t ; - из произвольной точки O1 n как из центра описана вспомогательная окружность l1 , касающаяся прямой t в точке T1 O1T1 t ; - точки M , M 1 , где M 1 SM l1 , определяют коэффициент k SM SM1 гомотетии, в которой точке T1 соответствует искомая точка T касания окружности l с прямой t . Рис.21 21 Пример 2. В треугольник ABC писать квадрат MNKL. При решении задачи используется гомотетия (рис.22). Сначала строится произвольный квадрат M 1 N 1 K1 L1 , у которого три вершины лежат на сторонах заданного треугольника. Затем строится искомый квадрат, гомотетичный построенному. За центр гомотетии принята вершина A треугольника. Рис.22 Пример 3. В данную правильную четырехугольную пирамиду вписать куб так, чтобы четыре его ребра находились на боковых гранях пирамиды (рис.23). Проведем какую-нибудь плоскость параллельно основанию пирамиды и обозначим точки пересечения ее с боковыми ребрами буквами A1 , B1 , C1 , D1 . На квадрате A1 B1C1 D1 как на основании построим внутри пирамиды куб A1 B1C1 D1 E1 F1G1 H 1 . Тогда вершину пирамиды можно принять за центр подобия построенного и искомого куба. Проведя прямую SE1 до пересечения с основанием пирамиды, получим одну из вершин искомого куба E 2 . Точка E 2 определяется как пересечение прямой SE1 с диагональю AC основания пирамиды. Построение остальных вершин куба не вызывает затруднений. 22 Рис.23 Преобразования сжатия (растяжения) Пусть k - некоторое положительное число, - заданная плоскость (рис.24). Возьмем произвольную точку M , не принадлежащую плоскости . 23 Опустим из точки M перпендикуляр PM возьмем точку M 1 так, чтобы MP на плоскость . На луче M 1P k. MP Рис.24 Поставим точке M в соответствие точку M 1 . Каждой точке плоскости поставим в соответствие эту же самую точку. Прямые, параллельные плоскости , преобразуются в прямые, тоже параллельные плоскости . Каждая прямая, перпендикулярная плоскости , преобразуется сама в себя. Каждая точка этой прямой переходит в другую точку, лежащую на этой же прямой. Исключение составляет только точка пересечения этой прямой с осевой плоскостью. Она преобразуется сама в себя, т. е. будет двойной точкой. Такое преобразование есть сжатие, если точка M 1 в которую переходит точка М, расположена ближе к плоскости чем точка М, и растяжение, если расстояние от точки M 1 , до плоскости больше, чем расстояние до нее от точки М. Все пространство как бы сжимается по направлению к плоскости с обеих сторон или же растягивается в обе стороны от нее. 24 При таком преобразований всякая плоскость преобразуется в плоскость 1 , пересекающуюся с плоскостью по той же прямой a , по которой пересекаются плоскости и . Плоскость параллельная плоскости , переходит в плоскость 1 тоже параллельную плоскости . Плоскость , перпендикулярная к плоскости , преобразуется сама в себя. При этом все точки рассматриваемой плоскости переходят в другие точки этой же плоскости, за исключением двойных точек, находящихся на прямой a , являющейся линией пересечения плоскостей и т. е. плоскость есть неполностью двойная плоскость. Всякая фигура, лежащая в такой плоскости, деформируется, т. е. переходит в другую фигуру. Она либо сжимается, либо растягивается, в зависимости от того, какой вид преобразования мы имеем. Рассмотрим преобразование окружности, лежащей в плоскости , перпендикулярной к плоскости . Предположим, что диаметр AB окружности, лежащей в плоскости , находится на прямой а - линии пересечения плоскостей и . Пусть указано положение двух соответственных точек M и M 1 (рис.25). Тогда можно найти положение точки, в которую преобразуется любая точка окружности. Мы получаем эллипс, у которого большая ось равна диаметру преобразуемой окружности, а малая ось меньше его. Таким образом, эллипс можно рассматривать как сжатую окружность. Эллипс можно также рассматривать как растяжение окружности. 25 Рис. 25 Пример. Дан эллипсоид вращения . Построить касательную плоскость к нему в данной на нем точке M (рис.26). Примем плоскость наибольшей окружности k радиуса R , лежащей на поверхности эллипсоида, за плоскость . Построим сферу 1 , для которой окружность k является окружностью большого круга, и преобразуем данный эллипсоид в эту сферу. Для этого надо применить преобразование сжатия и вершине A эллипсоида поставить в соответствие точку A1 сферы, лежащую с точкой A на одном перпендикуляре к плоскости . Тогда точка M поверхности эллипсоида перейдет в точку M 1 сферы, которая может быть легко найдена как пересечение перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость , со сферой. Строим касательную плоскость 1 к сфере в точке M 1 . Плоскость 1 пересекается с плоскостью по прямой a , которая останется во время преобразования неизменной, так как лежит в плоскости . Теперь совершим обратное преобразование - растяжение, при котором построенная сфера перейдет в данный эллипсоид. Тогда касательная плоскость 1 к сфере в точке M 1 преобразуется в касательную плоскость к 26 эллипсоиду в точке M . Эта плоскость определяется точкой M и прямой a (треугольником MLT ). Рис.26 27 Метод обратности Сущность этого метода заключается в том, что сначала вместо решения данной задачи решают обратную ей. Затем решается прямая (данная) задача. Этот подход целесообразно использовать в том случае, если обратная задача решается проще прямой. Пример. Дан трехгранный угол Sabc у которого все плоские углы aSb=bSc=cSa=90º. Требуется найти плоскость δ, пересекающую трехгранный угол Sabc по треугольнику ABC, где A a, B b, C c , равному A B C (рис.27). Рис.27 План решения задачи основан на методе обратности. Вместо решения прямой задачи решаем обратную: на треугольник A B C «надстраиваем» тетраэдр SA B C , у которого углы SA B SB C SC A 90 . Для этого на отрезках A B B C C A как на диаметрах строим три сферы , , , которые пересекаются в точках S , S1 , симметричных относительно плоскости A B C . Откладывая на ребрах a, b, c данного трехгранного угла Sabc отрезки SA S A, SB S B , SC S C , получаем решение данной задачи. Литература 1. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями. – М.: УРСС, 2004. – 176 с. 28 2. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. – М.: Изд-во МГУЛ, 2012. – 340 с. 3. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Геометрические преобразования. – М.: Изд-во МГУ, 1961. – 232 с. 4. Наумович Н.В. Геометрические места в пространстве и задачи на построение. – М.: Гос. Учебно-педагогическое изд-во, 1962. – 152с. 5. Наумович Н.В. Простейшие геометрические преобразования в пространстве и задачи на построение. – М.: Гос. Учебно-педагогическое издво, 1959. – 132с. 6. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (стереометрия). – М.: Физматлит, 2000. – 280 с. 29