Лекция 1 Основы математической теории упругости (ТУ). Пространственная задача ТУ ТУ имеет целью аналитическое изучение напряженно-деформированного (НДС) состояния упругого тела. В основе математической линейной ТУ лежат следующие гипотезы: Основные положения математической теории упругости 1. Гипотеза о непрерывности (сплошности) материала. Тело предполагается сплошным, т.е. непрерывное до деформирования, тело остается таковым и после деформирования. Любой объем тела, включая микрообъемы, не имеет пустот и разрывов, это дает возможность рассматривать деформации и перемещения точек тела как непрерывные функции координат. 2. Гипотеза о естественном состоянии: в момент нагружения тела деформации и напряжения в любой его точке равны нулю. 3. Гипотеза об однородности: состав тела одинаков во всех его точках, т.е. во всех точках тела при одних и тех же напряжениях возникают одинаковые деформации. 4. Гипотеза о шаровой изотропности: механические свойства материала одинаковы по всем направлениям. 5. Гипотеза об идеальной упругости: после снятия нагрузки предполагается полное исчезновение деформации. 6. Гипотеза о наличии однозначной линейной зависимости между напряжениями и деформациями тела. 7. Гипотеза о малости деформаций: относительные линейные и угловые деформации пренебрежимо малы по сравнению с единицей. Перечисленные гипотезы позволяют применить при решении задач ТУследующие основные принципы и теоремы: Малость деформаций и линейная зависимость между деформациями и перемещениями позволяют использовать 1. Принцип независимости действия сил: результат действия на тело системы сил равен сумме результатов действия каждой силы по отдельности. 2. Принцип локальности эффекта самоуравновешенных нагрузок (принцип СенВенана): система взаимно уравновешенных нагрузок, приложенная к малой части тела, вызывает напряжения, быстро убывающие по мере удаления от места приложения нагрузок. Этот принцип можно пояснить на следующем примере. Силы Р, действующие на стержень, создают большие напряжения и деформации в месте захвата, которые быстро уменьшаются при удалении от него. Принцип Сен-Венана имеет и другую формулировку: В сечениях, достаточно удалённых от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа нагрузки и определяется лишь статическим эквивалентом нагрузки. Так, на основании этого принципа нагрузку, распределенную на небольшой поверхности тела, можно заменить сосредоточенной силой. При решении задач ТУ пользуются также теоремой о единственности решения: если заданные внешние поверхностные и объемные силы находятся в равновесии, то им соответствует одна единственная система напряжений и деформаций. Стоит заметить, что 1 теорема справедлива, если справедливы допущение о естественном состоянии тела (иначе возможно бесчисленное множество решений) и допущение о линейной зависимости между деформациями и внешними силами. Теория напряжений. Дифференциальные уравнения равновесия. Выделим из тела, находящегося под действием внешних сил, бесконечно малый параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям и ребрами длиной dx, dy, dz. Для обозначения составляющих напряжений, действующих на гранях, примем следующие обозначения: Нормальные напряжения обозначим σ с индексом указывающим направление внешней нормали к площадке. Касательные напряжения обозначим τ с двумя индексами, где первый означает направление касательного напряжения, второй – нормаль к площадке. Правило знаков: 1. Для нормальных напряжений: нормальное напряжение считается положительным при растяжении. В этом случае оно совпадает по направлению с направлением внешней нормали к площадке, на которой оно действует. 2. Для касательное напряжений: если направление внешней нормали к площадке совпадает с положительным направлением параллельной ей координатной оси, то положительное касательное напряжение совпадает с положительным направлением соответствующей ему координатной оси, и наоборот. На каждой грани параллелепипеда действуют в общем случае три составляющих напряжений, параллельные координатным осям. Всего на шести гранях получаем 18 составляющих напряжений. Составляющие напряжений являются функциями трех координат. Обозначим нормальное напряжение в точке с координатами x, y, z x x, y,z . Тогда нормальное напряжение в точке, отстоящей от рассматриваемой на бесконечно малое расстояние, напряжение x с точностью до бесконечно малых величин первого порядка может быть разложено в ряд Тейлора: x, y,z x, y,z x, y,z x x dx, y dy,z dz x x, y,z x dx x dy x dz. x y z Для площадки, параллельной плоскости Oyz изменяется только координата x, а приращения dx dy 0 , следовательно, нормальное напряжение на соответствующей грани параллелепипеда будет x x dx . Аналогично связаны напряжения и на x остальных параллельных гранях параллелепипеда. Тогда из 18 составляющих напряжений неизвестными являются девять: x , y , z , xy , yx , yz , zy , xz , zx . Кроме составляющих напряжений на параллелепипед могут действовать объемные силы. Обозначим проекции объемных сил, действующих на единицу объема, на координатные оси X ,Y ,Z . Тогда составляющие объемных сил, действующие на выделенный параллелепипед будут соответственно равны Xdxdydz,Ydxdydz,Zdxdydz (на рисунке не показаны). Для тела, находящегося в равновесии, должны удовлетворяться шесть уравнений статики (три уравнения проекций сил на координатные оси и три уравнения моментов относительно этих осей). 2 Составляя указанные уравнения равновесия, отбросив слагаемые выше второго порядка малости и сократив на объем параллелепипеда, получим следующие уравнения равновесия: x xy xz x y z X 0; xy yx ; yx y yz Y 0; (1.1) yz zy ; (1.2) y z x . zy z zx xz zx Z 0. y z x (1.1) Представляют собой дифференциальные уравнения равновесия, а (1.2) т.н. закон парности касательных напряжений: по двум взаимно перпендикулярным площадкам составляющие касательных напряжений, перпендикулярные линии пересечения этих площадок, равны между собой. Вследствие парности касательных напряжений вместо девяти неизвестных составляющих напряжений, характеризующих напряженное состояние в точке тела, остается только шесть: x , y , z , xy , yz , zx. Таким образом, для отыскания шести неизвестных функций имеем только три дифференциальных уравнения равновесия. Следовательно, уравнений статики недостаточно и задача ТУ по определению напряжений в бесконечно малом объеме является статически неопределимой. Недостающие уравнения можно получить, рассматривая деформации тела и учитывая его физические свойства. Напряжения на наклонных площадках. Условия на поверхности Для исследования НДС в любой точке тела необходимо уметь определять напряжения на произвольной площадке, наклоненной к координатным осям. Пусть бесконечно малая площадка abc вместе с координатными площадками Оab, Оbc, Оcа образует бесконечно малый тетраэдр. Покажем действующие на координатные площадки шесть составляющих напряжений x , y , z , xy , yz , zx . Положение наклонной площадки abc определяется внешней нормалью ν, направляющие косинусы которой обозначим l, m, n. Обозначим Xν, Yν, Zν – составляющие полного напряжения по наклонной площадке с внешней нормалью ν. Объемные силы X, Y, Z, действующие на тетраэдр, на рисунке не показаны. Составляя уравнения равновесия сил, действующих на тетраэдр, и отбрасывая слагаемые второго и выше порядка малости, получим три уравнения: X x l xy m xz n; Y yx l y m yz n; (1.4) Z l m n. zx zy z Уравнения (1.4) определяют составляющие напряжения на любой наклонной площадке с нормалью ν с помощью шести составляющих напряжения на площадках, параллельных координатным плоскостям. Если площадка abc совпадает с поверхностью тела, то составляющие напряжения Xν, Yν, Zν соответствуют составляющим внешних сил, действующих на поверхности тела. Тогда уравнения (1.4) называют условиями на поверхности тела. Они связывают внешние силы с внутренними. Главные напряжения. Инварианты напряженного состояния. 3 Равнодействующая составляющих напряжения на наклонной площадке Xν, Yν, Zν называется полным напряжением на этой площадке и определяется как геометрическая сумма составляющих: p X2 Y2 Z2 . (1.5) Разложим полное напряжение pν на составляющую по нормали к площадке (нормальное напряжение) и составляющую в плоскости площадки (касательное напряжение). Нормальное напряжение равно сумме проекций составляющих полного напряжения, параллельных координатным осям, на направление нормали: (1.6) X l Y m Z n. Подставляя сюда значения составляющих Xν, Yν, Zν из (1.4), получим (1.7) xl 2 y m2 z n 2 2 xylm 2 yz mn 2 zxnl. Формула (1.7) позволяет определять нормальные напряжения на любой наклонной площадке с помощью шести составляющих напряжения на трех площадках, параллельным координатным плоскостям. Касательное напряжение на этой площадке определится как геометрическая разность полного и нормального напряжений: (1.8) p2 2 . Формула (1.8) позволяет определять величину касательного напряжения, но не указывает его направление в плоскости площадки. Составляющая касательного напряжения в плоскости площадки с внешней нормалью ν по заданному направлению η, с направляющими косинусами l1, m1, n1 , определяется соотношением xll1 y mm1 z nn1 xy lm1 l1m yz mn1 m1n zx nl1 n1l . (1.9) Эта формула позволяет определять касательные напряжения на любой наклонной площадке в заданном направлении с помощью шести составляющих напряжений на трех площадках, параллельных координатным осям. Площадка, на которой касательные напряжения равны нулю, называется главной. Очевидно, что на главной площадке полное напряжение совпадает с нормальным по величине и направлению. Обозначив главное напряжение σ и проецируя его на координатные оси, найдем составляющие главного напряжения, параллельные координатным осям: x l xy m xz n 0; yx l y m yz n 0; zx l zy m z n 0. (1.10) Однородная система (1.10) не допускает тривиального решения, т.к. оно противоречит известному из геометрии соотношению между направляющими косинусами (сумма квадратов направляющих косинусов равна 1). Для существования других решений, отличных от нуля, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю: x xy xz yx y yz 0. yz zy z (1.11) После перемножения и группировки по степеням σ, получаем кубическое уравнение 3 S1 2 S2 S3 0, (1.12) где коэффициенты при σ называются инвариантами напряженного состояния 4 S1 x y z ; 2 2 2 S2 xy yz zx x y y z z x ; 2 2 2 S3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy . (1.13) Решение уравнения (1.12) дает три вещественных корня σ1, σ2, σ3. Наибольший принято обозначать σ1, а наименьший - σ3. Можно доказать перпендикулярность главных площадок, на которых действуют указанные напряжения. Таким образом, в каждой точке тела можно выделить по крайней мере три взаимно перпендикулярные главные площадки. Величины главных напряжений σ1 , σ2 , σ3 не зависят от положения координатных осей x, y, z. Если вокруг заданной точки вырезать несколько элементарных параллелепипедов с различным направлением граней, то для всех параллелепипедов должны получиться одни и те же значения главных напряжений, определяемых уравнением (1.12). Следовательно, корни уравнения (значения главных напряжений) не зависят от выбора координатных осей, а коэффициенты уравнения ддолжны сохранять свои значения при преобразовании осей, т.е. они являются инвариантами. Если в (1.13) принять касательные напряжения равными нулю, то получим выражения для инвариантов через главные напряжения: S1 1 2 3 ; (1.14) S2 1 2 2 3 3 1 ; S . 3 1 2 3 В теории напряжений инварианты рассматриваются как основные характеристики напряженного состояния в точке; составляющие же напряжения, как связанные с осями координат, являются вспомогательными. Тензор напряжений Совокупность трех векторов px , py , pz , определяемых девятью составляющими, которые при перемене координатных осей преобразуются в соответствии с (1.4), называется афинным ортогональным тензором второго ранга. Тензором первого ранга является вектор. Тензор 2 ранга, компонентами которого являются напряжения, характеризующие напряженное состояние в данной точке, называется тензором напряжений. x xy xz T yx y yz . zx zy z (1.15) На основании закона парности касательных напряжений компоненты тензора напряжений, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой, поэтому тензор напряжений является симметричным. Инварианты напряженного состояния (1.13) можно рассматривать состоящими из компонентов тензора напряжений, поэтому их также называют инвариантами тензора напряжений. Теория деформаций. Составляющие перемещения и деформации. Зависимость между ними Исследуем деформацию упругого тела. Для ее определения необходимо сравнить положение точек тела до и после приложения нагрузки. Бесконечно малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz , вырезанный из упругого тела около произвольной точки, деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначальные прямые углы между гранями. 5 Изобразим два ребра этого параллелепипеда до и после деформирования. Пусть точка А получит перемещения вдоль координатных осей, которые обозначим u и w. Точка В, отстоящая от А на бесконечно малом расстоянии dx, получит перемещение, составляющие которого будут отличаться от составляющих перемещения точки А, на бесконечно малую величину за счет изменения координаты х: u w u dx ; w dx . x x Длина проекции ребра АВ на ось х после деформирования u u AB dx u dx u dx dx. x x Проекция абсолютного удлинения ребра АВ на ось х u AB AB AB dx. x Относительное удлинение вдоль оси х AB u x AB x Называется линейной деформацией по направлению оси х. Аналогично получим линейные деформации по направлениям координатных осей u v w x ; y ; z . x y z других Линейная деформация по любому направлению равна частной производной составляющей перемещения в этом направлении по переменной в том же направлении. Рассмотрим теперь изменения углов между ребрами параллелепипеда. Угол поворота ребра АВ в плоскости Oхz: w w w dx w dx BB w x x tg1 ; u u x AB dx dx dx 1 x x Ограничиваясь рассмотрением только малых деформаций, можно положить w tg1 1 . x Аналогично находим угол поворота ребра АС в той же плоскости. Угол сдвига в плоскости Oхz (т.е. искажение прямого угла ВАС называется угловой деформацией в плоскости Oхz и определяется как сумма углов поворота ребер АВ и ВС. u w xz 1 2 . z x Аналогично найдем угловые деформации в двух других координатных плоскостях u w ; xz z x u v ; xy y x v w . yz z y (1.17) 6 Угловая деформация в любой плоскости равна сумме частных производных составляющих перемещения в этой плоскости по переменной в перпендикулярном направлении. Формулы (1.16) и (1.17) дают шесть основных зависимостей составляющих линейных и угловых деформаций от составляющих перемещения. Эти геометрические соотношения иногда называются уравнениями Коши. Правило знаков для составляющих деформации: 1. Положительным линейным деформациям соответствуют удлинения по соответствующим направлениям, а отрицательным – укорочения. 2. Положительным угловым деформациям соответствует уменьшение углов между направлениями координатных осей, а отрицательным – увеличения. Уравнения неразрывности деформаций Геометрические соотношения Коши связывают шесть составляющих деформации и три составляющих перемещения. Если заданы три составляющих перемещения u, v, w , то шесть составляющих деформации x , y , z , xy , yz , zx определяются из этих уравнений однозначно, т.е. трем составляющим перемещения соответствует единственная система шести составляющих деформации. Если же заданы шесть составляющих деформации, то для определения трех составляющих перемещения необходимо проинтегрировать шесть дифференциальных уравнений Коши в частных производных. При произвольном выборе составляющих деформации шесть уравнений с тремя неизвестными не всегда могут быть решены однозначно. Поэтому между шестью составляющими деформации должны существовать определенные зависимости, которые носят название уравнений неразрывности деформаций Сен-Венана (1.18). Первые три уравнения показывают, что две линейные деформации во взаимно перпендикулярных направлениях однозначно определяют угловую деформацию в плоскости этих линейных деформаций. Три последних уравнения означают, что три угловые деформации в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, однозначно определяют линейные деформации по направлению линий пересечения этих плоскостей. Необходимость существования полученных уравнений можно обосновать геометрическим путем. Представим себе тело разрезанным на малые параллелепипеды. Если каждый из этих параллелепипедов получит произвольные деформации, то из отдельных деформированных параллелепипедов не удается вновь сложить непрерывное тело, в некоторых точках после деформации возникнут бесконечно малые разрывы. Уравнения (1.18) устанавливают такие зависимости между составляющими деформации, при удовлетворении которых тело и после деформирования остается сплошным, или непрерывным. Поэтому уравнения (1.18) можно рассматривать как следствие сделанного ранее допущения о сплошности тела. Тензор деформаций Между теорией напряжений и теорией деформаций существует математическая аналогия: все формулы теории деформаций можно получить из соответствующих формул теории напряжений, если в последних нормальные напряжения заменить линейными деформациями, а касательные – половинами угловых деформаций. Тензор, компонентами которого являются деформации, характеризующие деформированное состояние в данной точке, называется тензором деформаций 7 x 1 T yx 2 1 2 zx 1 xy 1 y 1 2 1 2 zy 2 xz yz . 2 z (1.19) Аналогично главным напряжениям можно найти главные деформации, т.е. такие деформации при которых отсутствуют сдвиги. Для их определения получаем кубическое уравнение (1.20) или (1.21), три корня которого 1 , 2 , 3 равны главным деформациям. Коэффициенты кубического уравнения представляют собой инварианты деформированного состояния (1.22). Направления трех главных деформаций ε1 , ε2 , ε3 взаимно перпендикулярны и называются главными осями деформаций . По направлению главных осей возникает только растяжение или сжатие, а сдвиги отсутствуют. Инварианты деформированного состояния могут быть выражены через главные деформации (1.23). Обобщенный закон Гука Для совместного рассмотрения теории напряжений и теории деформаций необходимо установить зависимости между напряжениями и деформациями. Эти зависимости носят физический характер, т.к. определяются свойствами материалов. Ограничиваясь рассмотрением малых деформаций упругого тела, связь между напряжениями и деформациями можно принять линейной. При этом в общем случае каждая составляющая напряжения может зависеть от всех составляющих деформации (1.24). Коэффициенты аij называются упругими постоянными, и в общем случае их оказывается 36. Рассматривая только обратимые процессы деформирования, т.е. такие, при которых после снятия нагрузок форма и размеры тела полностью восстанавливаются, можно доказать, что эти коэффициенты будут симметричными относительно главной диагонали, т.е. аij= аji. Тогда количество упругих постоянных снижается до 21. В случае изотропного тела уравнения (1.24) не должны изменяться при любых преобразованиях координат, в результате чего количество упругих постоянных снижается до двух, в качестве которых можно принять упругие постоянные, известные из курса сопротивления материалов. Из курса сопротивления материалов известна линейная зависимость мезжу нормальным напряжением и линейной деформацией в одном направлении (закон Гука при растяжении-сжатии). Входящая сюда упругая постоянная называется модулем продольной упругости. Также экспериментально установлен закон, связывающий линейные деформации в продольном и поперечном направлении ,входящая сюда вторая упругая постоянная ν называется коэффициентом Пуассона. При испытаниях на чистый сдвиг установлена пропорциональность между касательным напряжением и угловой деформацией в плоскости действия напряжения, называемая законом Гука при сдвиге. Здесь появляется уже третья упругая постоянная G, называемая модулем сдвига. Однако модуль сдвига не является независимой упругой константой, т.к. связан с первыми двумя известным из курса сопротивления материалов соотношением E G . 2 1 Выделим из тела бесконечно малый параллелепипед и рассмотрим действие только нормальных напряжений. x x ; Определим удлинение ребра длиной dx, параллельного напряжению σx E 8 Напряжение σу вызовет аналогичное удлинение в направлении ребра длиной dy, параллельного оси у y y ; E А в направлении первого ребра укорочение x y ;или с учетом деформации x y ; E Рассуждая аналогично, можно найти укорочение этого ребра, вызванного напряжением σz. x z ; E Тогда на основании принципа независимости действия сил полное относительное удлинение ребра будет равно x x x x x y z ; E E E Аналогично можно найти линейные деформации в направлениях двух других осей. Связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями получаем с помощью закона Гука при сдвиге. Таким образом имеем шесть формул (1.25), которые называют обобщенным законом Гука. Они выражают линейную зависимость между составляющими деформации и напряжений в изотропном теле. Выражение напряжений через деформации При решении задач часто бывает необходимо иметь выражения составляющих напряжений через составляющие деформаций. Эта зависимость имеет вид, называемой обратной формой закона Гука x 2 x ; xy 2 xy ; y 2 y ; yz 2 yz ; 2 ; 2 ; z z zx zx (1.26) Входящие в (1.26) упругие постоянные λ и µ, характеризующие упругие свойства материала называются коэффициентами Ламе и определяются соотношениями E E ; G. (1.27) 1 2 1 Объемная деформация θ определяется соотношением: (1.28) x y z . Как следует из (1.28) объемная деформация θ представляет собой 1-ый инвариант деформированного состояния Е1. Решение задач теории упругости. Основные уравнения теории упругости и способы их решения Таким образом, были получены три группы формул, которые и образуют осноые уравнения теории упругости. 1. Статические уравнения. В эту группу входят дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности. 2. Геометрические уравнения. В эту группу входят геометрические соотношения Коши и уравнения неразрывности деформаций. 3. Физические уравнения. В эту группу входят формулы обобщенного закона Гука в прямой либо обратной форме. Имея эти соотношения можно приступить непосредственно к решению задач ТУ о напряжениях и деформациях, возникающих в упругом изотропном теле под действиям внешних сил. 9 Перечисленные уравнения содержат 15 неизвестных функций: шесть составляющих напряжений x , y , z , xy , yz , zx ; шесть составляющих деформаций x , y , z , xy , yz , zx ; три составляющих перемещения u, v, w, все перечисленные функции являются функциями декартовых координат точки x, y, z. Для отыскания этих 15 функций имеем 15 уравнений: три дифференциальных уравнения равновесия, шесть геометрических соотношений Коши и шесть формул закона Гука. Таким образом, с математической точки зрения задача может быть решена и сводится к интегрированию указанных 15 уравнений при удовлетворении условий на поверхности. Решение уравнений можно вести различными способами в зависимости от того, какие величины приняты за основные неизвестные. 1. Решение в перемещениях - за неизвестные функции принимаются три составляющих перемещения u, v, w. 2. Решение в напряжениях - за неизвестные функции принимаются шесть составляющих напряжений: x , y , z , xy , yz , zx 3. Решение в смешанной форме - за неизвестные функции принимаются часть составляющих перемещений и часть составляющих напряжений. Решение задач теории упругости в перемещениях Для отыскания трех составляющих перемещения u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) необходимо иметь три уравнения, которые можно получить подставив в дифференциальные уравнения равновесия (1.30) выражения напряжений через перемещения (соотношения Коши и закон Гука). В результате придем к трем уравнениям вида 2 x u X 0; (1.36) 2 v Y 0; y 2 w Z 0. z называемых уравнениями Лапласа. Входящий в них дифференциальных оператор Лапласа (читается «набла два») имеет вид: 2 f 2 f 2 f 2 f ( x, y,z ) 2 2 2 . x y z Уравнения Лапласа объединяют статические, геометрические и физические предпосылки ТУ, рассмотренные ранее. Так же как и уравнения равновесия, условия на поверхности могут быть выражены через перемещения: u u u u l m n; X l y z x v v v v l m n; Y m y z x w w w w Z n l m n . y z x (1.37). Таким образом, для решения задачи ТУ в перемещениях необходимо проинтегрировать три уравнения Ламе (1.36) и удовлетворить условиям на поверхности 10 (1.37). По найденным перемещениям из геометрических соотношений Коши определяют составляющие деформации, а затем из формул закона Гука – составляющие напряжений. Решение задач теории упругости в напряжениях Рассмотрим порядок решения задачи ТУ в напряжениях. Для простоты рассуждений ограничимся кругом задач, в которых объемные силы постоянны или равны нулю. Это ограничение позволяет существенно упростить некоторые уравнения при решении задач в напряжениях, т.к. все производные от составляющих объемных сил по координатам обращаются в нуль. При решении задач ТУ в напряжениях за основные функции принимают шесть составляющих напряжений x , y , z , xy , yz , zx. Для их отыскания трех дифференциальных уравнений равновесия будет недостаточно, поэтому нужно добавить еще шесть уравнений неразрывности деформаций, в которых необходимо предварительно выразить составляющие деформации через напряжения с помощью закона Гука. В результате получают шесть уравнений вида (1.39) 2 S1 2 S1 2 2 ( 1 ) 0; ( 1 ) 0; x xy 2 x x y 2 S1 2 S1 2 2 ( 1 ) 0; ( 1 ) 0; y yz y 2 yz 2S 2 S1 2 2 0. ( 1 ) z 21 0; ( 1 ) zx z zx Которые называют уравнениями Бельтрами-Мичелла . Таким образом, для решения задачи ТУ в напряжениях приходится интегрировать девять уравнений. Наличие трех лишних уравнений необходимо для получения однозначного решения. Полученные после интегрирования шесть составляющих напряжений должны также удовлетворять условиям на поверхности. После этого по формулам закона Гука определяют составляющие деформаций, а из геометрических соотношений Коши – составляющие перемещений. Методы решения задач теории упругости Можно указать три основных метода математического решения задач ТУ. 1. Прямой метод заключается в непосредственном интегрировании уравнений теории упругости совместно с заданными условиями на поверхности. 2. Обратный метод. В этом случае задаются функциями напряжений или перемещений, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям равновесия, и определяют, каким внешним нагрузкам соответствует рассматриваемая система напряжений или перемещений. 3. Полуобратный метод Сен-Венана. При решении задачи этим методом делают допущение о виде некоторых из функций напряжений или перемещений. При этом дифференциальные уравнения настолько упрощаются, что их решение не представляет особых трудностей. Полуобратный метод является одним из наиболее эффективных методов решения задач ТУ. 11