Загрузил fuad4552

fuad2

Реклама
“Azərbaycan Hava Yollari”
Qapalı Səhmdar Cəmiyyəti
Milli Aviasiya Akademiyası
Самостоятельная работа №6
Предмет: Математика
Тема: Однородные ДУ высшего порядка. Линейная зависимость
системы уравнений. Определитель Вронского и его свойства
Группа: 1148R
Специальность: Инженер по электронике, телекоммуникации и
радиотехнике
Студент: Байрамов Фуад
Преподаватель: Бахышов Рахман
Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид
где коэффициенты a1(x),a2(x),…,an(x) являются непрерывными функциями
на некотором отрезке [a,b].
Левую часть уравнения можно записать сокращенно, используя линейный
дифференциальный оператор L:
Ly(x)=0
где L обозначает совокупность операций дифференцирования, умножения на
коэффициенты ai(x) и сложения.
Оператор L является линейным, и, поэтому, обладает следующими
свойствами:
где y1(x), y2(x) − произвольные функции, дифференцируемые n−1 раз, C −
любое число.
Из свойств оператора L следует, что если функции y1,y2,…,yn являются
решениями однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то
функция вида
где C1,C2,…,Cn − произвольные постоянные, также будет удовлетворять
данному уравнению. Последнее выражение представляет собой общее
решение однородного дифференциального уравнения, если указанные
функции y1,y2,…,yn образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений
Совокупность n линейно независимых частных
решений y1,y2,…,yn называется фундаментальной системой линейного
однородного дифференциального уравнения n-го порядка.
Функции y1,y2,…,yn являются линейно независимыми на отрезке [a,b], если
тождество
выполняется лишь при условии
где числа α1,α2,…,αn одновременно не равны 0.
Для проверки функций на линейную независимость удобно
использовать определитель Вронского или вронскиан:
Если функции y1,y2,…,yn, дифференцируемые n−1 раз, являются линейно
зависимыми на отрезке [a,b], то выполняется тождество:
Фундаментальная система решений однозначно определяет линейное
однородное дифференциальное уравнение. В частности, уравнение 3-го
порядка записывается по известной фундаментальной системе y1,y2,y3 через
определитель в следующем виде:
Формула Лиувилля-Остроградского
Пусть функции y1,y2,…,yn образуют фундаментальную систему решений
дифференциального уравнения n-го порядка. Предположим, что
точка x0 принадлежит отрезку [a,b]. Тогда для определителя Вронского
справедлива формула Лиувилля-Остроградского:
где a1 − коэффициент перед производной y(n−1) в дифференциальном
уравнении. Здесь мы считаем, что коэффициент a0(x) перед y(n) в
дифференциальном уравнении равен 1. В противном случае формула
Лиувилля-Остроградского принимает вид:
Понижение порядка однородного линейного уравнения
Порядок линейного однородного уравнения
можно понизить на единицу с помощью подстановки y′=yz. К сожалению,
обычно такая подстановка не упрощает решение, поскольку новое уравнение
относительно переменной z является нелинейным.
Если известно частное решение y1, то порядок дифференциального
уравнения понижается (при сохранении его линейности) в результате замены
В общем случае, если известно k линейно независимых частных решений, то
порядок уравнения можно понизить на k единиц.
Скачать