“Azərbaycan Hava Yollari” Qapalı Səhmdar Cəmiyyəti Milli Aviasiya Akademiyası Самостоятельная работа №6 Предмет: Математика Тема: Однородные ДУ высшего порядка. Линейная зависимость системы уравнений. Определитель Вронского и его свойства Группа: 1148R Специальность: Инженер по электронике, телекоммуникации и радиотехнике Студент: Байрамов Фуад Преподаватель: Бахышов Рахман Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид где коэффициенты a1(x),a2(x),…,an(x) являются непрерывными функциями на некотором отрезке [a,b]. Левую часть уравнения можно записать сокращенно, используя линейный дифференциальный оператор L: Ly(x)=0 где L обозначает совокупность операций дифференцирования, умножения на коэффициенты ai(x) и сложения. Оператор L является линейным, и, поэтому, обладает следующими свойствами: где y1(x), y2(x) − произвольные функции, дифференцируемые n−1 раз, C − любое число. Из свойств оператора L следует, что если функции y1,y2,…,yn являются решениями однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то функция вида где C1,C2,…,Cn − произвольные постоянные, также будет удовлетворять данному уравнению. Последнее выражение представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения, если указанные функции y1,y2,…,yn образуют фундаментальную систему решений. Фундаментальная система решений Совокупность n линейно независимых частных решений y1,y2,…,yn называется фундаментальной системой линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Функции y1,y2,…,yn являются линейно независимыми на отрезке [a,b], если тождество выполняется лишь при условии где числа α1,α2,…,αn одновременно не равны 0. Для проверки функций на линейную независимость удобно использовать определитель Вронского или вронскиан: Если функции y1,y2,…,yn, дифференцируемые n−1 раз, являются линейно зависимыми на отрезке [a,b], то выполняется тождество: Фундаментальная система решений однозначно определяет линейное однородное дифференциальное уравнение. В частности, уравнение 3-го порядка записывается по известной фундаментальной системе y1,y2,y3 через определитель в следующем виде: Формула Лиувилля-Остроградского Пусть функции y1,y2,…,yn образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения n-го порядка. Предположим, что точка x0 принадлежит отрезку [a,b]. Тогда для определителя Вронского справедлива формула Лиувилля-Остроградского: где a1 − коэффициент перед производной y(n−1) в дифференциальном уравнении. Здесь мы считаем, что коэффициент a0(x) перед y(n) в дифференциальном уравнении равен 1. В противном случае формула Лиувилля-Остроградского принимает вид: Понижение порядка однородного линейного уравнения Порядок линейного однородного уравнения можно понизить на единицу с помощью подстановки y′=yz. К сожалению, обычно такая подстановка не упрощает решение, поскольку новое уравнение относительно переменной z является нелинейным. Если известно частное решение y1, то порядок дифференциального уравнения понижается (при сохранении его линейности) в результате замены В общем случае, если известно k линейно независимых частных решений, то порядок уравнения можно понизить на k единиц.