Расчёт магнитного поля коаксиального кабеля

Расчётно-графическая работа
«РАСЧЕТ МАГНИТНОГО ПОЛЯ КОАКСИАЛЬНОГО КАБЕЛЯ»
г. Санкт-Петербург
2020 г.
1
Дан бесконечно длинный прямолинейный коаксиальный кабель кругового сечения с
двухслойной изоляцией, состоящей из изоляционных материалов с относительной диэлектрической проницаемостью  1 и  2 и магнитной проницаемостью 0 , по которому подается энергия
от генератора к нагрузке (рис.1). По кабелю протекает постоянный ток I. Напряжение между
жилой и оболочкой равно U. Величины радиусов жилы, двух слоев оболочки и внешнего радиуса проводящей оплетки кабеля r0 , r1 , r2 , r3 . Значения всех вышеуказанных заданных величин и
металл, из которого выполнены жила и оплетка кабеля, приведены в таблице вариантов.
Жила кабеля
Диэлектрик ε1
Диэлектрик ε2
r3
r0
r1
r2
Границы проводящей
оплётки кабеля
Рис. 1
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Найти аналитические выражения и построить графики зависимости от радиуса r:
- векторного магнитного потенциала À
- напряженности магнитного поля Н;
- индукции магнитного поля В.
Для решения воспользоваться уравнениями Пуассона и Лапласа для векторного потенциала или законом полного тока согласно заданию.
Если H и B определяются по закону полного тока, то график A строить не требуется.
2. Определить индуктивность кабеля на единицу длины.
r0 ,мм
4
r1 ,мм
6
r2,мм
9
r3 ,мм
11
U ,кВ
30
I ,А
250
2
Учитывая круговую симметрию данной задачи, магнитное поле может быть также рассчитано по закону полного тока в интегральной форме:
 H dl  I
l
Применяя этот закон к замкнутым контурам, образованным линиями Н внутри проводников и в диэлектрике, т.е. выбирая контур интегрирования так, чтобы он совпадал с силовой
линией напряженности магнитного поля, получим выражение для Н. При этом под I(r) понимают ток, охватываемый контуром интегрирования.
Рассмотрим решение этой задачи для трех областей кабеля:
- для области, занятой жилой кабеля, при 0  r  r0 ;
- для области, занятой двумя слоями изоляции, при r0  r  r2 ;
- для области, занятой проводящей оплеткой кабеля, при r2  r  r3 .
1) Рассмотрим решение этой задачи для области, занятой жилой кабеля (при 0  r  r0 ).
Контур интегрирования l
S
S(r)
r
д
лr0
я
Рис. 2
На рис. 2 представлено поперечное сечение жилы кабеля площадью S, по которому проо
текает ток I , r0 - наружный радиус жилы, l - контур
интегрирования, S(r ) - площадь контура инб тока
тегрирования. В соответствии с законом полного
л
l H1dl   1 Sа(r ) ,
с
 1 - плотность тока жилы кабеля; т
где:
жилы, охватываемая контуром интегрироваS (r ) - часть площади поперечного сечения
и
ния l.
,
Плотность тока, протекающего по жиле, определяется выражением:
з
𝐼
а𝐼
𝛿1 = =
н𝑆 𝜋𝑟0 2
𝛿1 = я4.97 ∗ 106 ;
т
о
где S – площадь поперечного сечения жилы
кабеля.
й
В зависимости от выбранного радиуса контура интегрирования величина тока, охватываемого контуром, будет изменяться в соответствии с выражением:
ж
I ( r )   1 S ( r ) и 1r 2 ,
л
Поскольку вдоль контура интегрирования напряженность магнитного поля не изменяето
ся по величине и направлена по касательной кй контуру ( H 1  H  1  const ), выражение с учетом
можно записать в виде:
к
а
3
б
е
л
H  1  dl   1r 2 .
l
Интеграл по замкнутому контуру в выражении равен длине контура, поэтому можно записать в виде:
H  1 2r   1r 2 ,
1
Ir
откуда:
.
H  1   1r 
2
2
2r0
2) Рассмотрим решение задачи для области, занятой диэлектриками (при r0  r  r2 )
Поскольку относительная магнитная проницаемость диэлектриков равна единице, граница межу диэлектриками для магнитного поля не является границей раздела двух сред.
r
Диэлектрик
Жила кабеля
Контур интегрирования l
r2
r0
Рис. 3
Любой контур интегрирования, выбранный в области r0  r  r2 охватывает всю жилу
кабеля, а следовательно и весь ток, протекающий по жиле, и из закона полного тока, с учетом
того, что как и в рассмотренном случае в п.3.2.1 вдоль контура интегрирования напряженность
магнитного поля не изменяется по и направлена по касательной к контуру ( H  H   const ),
можно записать:
откуда
H  2 2r  I ,
H 2 
I
2r
.
4
3) Рассмотрим решение задачи для области, занятой проводящей оболочкой кабеля (при
r2  r  r3 )
Жила кабеля
Диэлектрик
r3
r
r2
Границы проводящей
оплётки кабеля
Контур интегрирования l
S(r)
Рис. 4
Поскольку контур интегрирования охватывает весь ток, идущий по жиле и ту часть тока
оплётки, которая проходит через площадь S(r), закон полного тока для данного случая запишетH  3  dl  I   2 S (r ) ,
ся в виде:
l
где:  2 - плотность тока оплётки кабеля
S(r) – часть площади оплётки, которую охватывает контур интегрирования.
Знак “минус” в выражении означает, что направление тока в оплетке противоположно
направлению тока в жиле.
I   2 S (r )
Беря интеграл в левой части выражения, имеем: H  3 
2r
2
Площадь поперечного сечения оплётки равна: S 3   (r3  r22 ) .
Часть площадь поперечного сечения оплётки, которую охватывает контур интегрироваS (r )   (r 2  r22 )
ния, равна:
Плотность тока оплётки кабеля определяется из выражения:
I
I
2 

2
S 3  (r3  r22 )
𝛿2 = 1,99 ∗ 106 ;
Исходя из выше сказанного, выражение можно записать в виде:
I (r32  r 2 )
H 3 
.
2r (r32  r22 )
5
Связь между векторным магнитным потенциалом и векторами индукции и напряженности магнитного поля в областях, занятых проводниками и диэлектриками, определяется выражениями:
Bk  rotAk ;
Hk 
Bk
k 0
.
При определении индукции В выражение для rot A следует также взять в цилиндрической системе координат:
1  (rA ) Ar 
 1 Az A 
 A A 
B  rotA  

er   r  z e  

ez

z 
r 
r  r
 
 z
 r 
Как говорилось выше, в данной задаче вектор A имеет одно направление, совпадающее
с осью z , т.е. A  k Az , где ось z направлена вдоль продольной оси кабеля. Вследствие круговой
Az
 0 , а поскольку кабель
цилиндрической симметрии задачи вектор А не зависит от , т.е.

Az
 0 . В следствие сказанного, выпринят бесконечно длинным, то А не зависит от z, т.е.
z
ражения (43) и (44) с учетом (45) можно записать в виде:
Az
dAz
B  rotA  
e ; B  B  
;
r
dr
B
H  H   .
0
Для построения зависимостей H  (r ) , B (r ) расчет удобнее свести в таблицу:
Область Предел изменения радиуса
1.
2.
3.
0  r  r0
r0  r  r2
r2  r  r3
r,
(м)
r=0
r=0.0001
r=0.001
r=0.002
r=0.003
(r = r0)
(r = r0)
r=0.005
r=0.006
r=0.007
r=0.008
(r=r2)
(r=r2)
r=0.01
r=0.0105
r=0.01075
(r=r3)
Hα
(А/м)
H=0
H=248.805
H=2488.057
H=4976.114
H=7464.171
H=9952.229
H=9952.229
H=7961.783
H=6634.819
H=5686.988
H=4976.114
H=4423.213
H=4423.213
H=2089.968
H=1018.918
H=503.397
H=0
Bα
(Тл)
B=0
B=0.0003124
B=0.0031249
B=0.0062499
B=0.0093749
B=0.01249
B=0.01249
B=0.009999
B=0.008333
B=0.0071428
B=0.0062499
B=0.0055555
B=0.005555
B=0.0026249
B=0.001279
B=0.00063226
B=0
6
7
8