Контрольная работа по теме «Случайные величины

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Костромской государственный технологический университет
Кафедра высшей математики
Т.А. Андревкина, Е.А. Борисова, Н.А.Иванова,
О.В. Назарова, А.К. Однодворцева
Учебно-методическое пособие
Кострома
2007
УДК 519.8 (075)
Сборник задач по теории вероятностей : учебно-методическое пособие /
Т.А. Андревкина, Е.А. Борисова, Н.А.Иванова, О.В. Назарова, А.К. Однодворцева. – Кострома : Изд-во Костром. гос. технол. ун-та, 2007. – 38 с.
Пособие содержит задачи для самостоятельного решения по основным
разделам теории вероятностей, предусмотренным программой дисциплины, и
предназначено для студентов инженерных специальностей очной формы обучения. Большой объем заданий направлен на формирование навыков решения
вероятностных задач и умений проводить анализ распределений случайных величин.
Учебно-методическое пособие предназначено студентам вузов для аудиторной и самостоятельной работы, а также для подготовки к контрольным работам и экзаменам.
Рецензенты:
канд. техн. наук, доцент кафедры ТХОМиТС
А.Г. Безденежных
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом КГТУ
© Костромской государственный технологический университет, 2007
2
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………..
Раздел 1. Вероятность случайных событий…………………….
1.1. Классическое определение вероятности. Теоремы о вероятности суммы и произведения событий……………………………………………
1.2. Формула полной вероятности. Формула Байеса...
1.3. Повторные независимые испытания……………..
Формула Бернулли....................................................
Формула Пуассона………………………………...
Локальная формула Муавра-Лапласа…………....
Интегральная формула Муавра-Лапласа………..
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по теме «Случайные события»...
Раздел 2. Случайные величины……………………………..
2.1. Дискретная случайная величина………………....
2.2. Непрерывная случайная величина……………….
2.3. Начальные и центральные моменты……………..
2.4. Основные законы распределения………………...
Биномиальный закон. Распределение Пуассона…
Равномерное распределение………………………
Случайная величина с нормальным законом распределения…………………………………….
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по теме «Случайные величины»...
ОТВЕТЫ к разделу 1…………………………………………….
ОТВЕТЫ к разделу 2……………………………………………..
ПРИЛОЖЕНИЯ…………………………………………………..
3
……………4
……………5
……………5
……………10
……………12
……………12
……………13
……………13
……………14
……………15
……………17
……………17
……………19
……………21
……………23
……………23
……………24
……………24
……………26
……………30
……………31
……………36
ВВЕДЕНИЕ
Базовый курс математики, изучаемый в высших учебных заведениях, традиционно разделялся на высшую математику, включающую разделы: линейная алгебра, аналитическая геометрия, векторный анализ, математический
анализ, дифференциальное и интегральное исчисления, теория рядов и дифференциальных уравнений, и специальные курсы, к числу которых относится и
теория вероятностей. Сборники задач также в большинстве случаев подчиняются этому делению. Однако, в последнее время в связи с сокращением часов
на изучение математики, теория вероятностей не выделяется в самостоятельный курс и включается в дисциплину «математика» в виде отдельных элементов. В этой связи сборники задач по теории вероятностей, содержащие задачи,
рассчитанные на широкое и достаточно глубокое изучение курса, не вполне соответствуют успешному усвоению отдельных его элементов (содержат небольшое число типичных задач).
Заметим, что изучение теории вероятностей обязательно должно сопровождаться решением задач. Только при этом условии вырабатывается теоретико-вероятностная интуиция специалиста, умение строить математические модели реальных процессов. Типичные задачи, как правило, разбираются в лекционных курсах, образцы решений приводятся в учебниках. Однако, известно, что
«не возможно научиться решать задачи, если только смотреть, как это делают
другие». Для того чтобы студенты могли не только познакомиться с основными
типами задач и методами их решения, но и самостоятельно применять знания,
необходима практика в решении задач.
В настоящем сборнике представлены задачи по разделам теории вероятностей в соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов для инженерных и экономических специальностей. Задачи подобраны и
скомплектованы таким образом, чтобы студенты могли освоить методы решений заданий разного типа. Объем материала достаточен для формирования
навыка решения вероятностных задач и умения анализировать распределения
случайных величин.
По разделам «Случайные события и их вероятности» и «Случайные величины, их законы распределения и числовые характеристики» в сборнике приводятся варианты контрольных работ. Для большинства задач, включенных в
сборник, указаны ответы. Все это позволяет использовать пособие для подготовки к контрольным работам и к практической части экзамена или зачета по
разделам теории вероятностей.
4
Раздел 1. Вероятность случайных событий
1.1. Классическое определение вероятности.
Теоремы о вероятности суммы и произведения событий
1.1.1. В магазин поступили футболки: 60% производства Ярославской фабрики; 25% – Рижской и 15% – Ивановской фабрики. Какова вероятность
того, что купленная наугад футболка изготовлена:
а) на Ярославской фабрике;
б) на Ивановской фабрике?
1.1.2. В ящике находятся катушки четырех цветов: белых катушек – 50%;
красных – 20%; зеленых – 20%, остальные – синие. Какова вероятность
того, что взятая наугад катушка окажется зеленой или синей?
1.1.3. Мастер обслуживает 5 станков. 20% рабочего времени он проводит у
первого станка, 10% – у второго, 15% – у третьего, 25% – у четвертого и
30% – у пятого. Найти вероятность того, что в наугад выбранный момент времени он находится:
а) у 1-го или 3-го станка;
б) у 2-го или 5-го станка;
в) у 1-го или 4-го станка;
г) у 1-го, или 2-го, или 3-го станка;
д) у 4-го или 5-го.
1.1.4. На 30-ти одинаковых жетонах написаны 30 двузначных чисел от 11 до
40. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером кратным: а) 2; б) 3; в) 2 или 3?
1.1.5. На предприятии брак составляет в среднем 2% общего выпуска изделий. Среди годных изделия первого сорта составляют 95%. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется первого сорта, если
изделие взято:
а) из числа прошедших проверку;
б) из общей массы изготовленной продукции?
1.1.6. На полке лежат 12 учебников, из них 7 – по математике. Студент берет
наудачу 5 учебников. Какова вероятность того, что взяты учебники по
математике?
1.1.7. Из колоды в 36 карт наудачу выбирают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них два туза?
1.1.8. У сборщика 10 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них четыре – первого вида, по две – второго, третьего и четвертого видов. Какова
вероятность того, что среди шести одновременно взятых деталей три
окажутся первого вида, две – второго и одна – третьего вида?
1.1.9. В группе 15 юношей и 10 девушек. По жребию выбирают 5 студентов.
Какова вероятность того, что среди них окажутся две девушки?
5
1.1.10. Контролер ОТК, проверив 20 пальто, установил, что 16 из них первого
сорта, а остальные – второго сорта. Найти вероятность того, что среди
взятых наудачу из этой партии 3 пальто одно будет второго сорта.
1.1.11. Собрание, на котором присутствует 25 человек, среди которых 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Какова вероятность того, что
среди отобранных 2 женщины и 1 мужчина?
1.1.12. В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу
извлекают 2 изделия. Найти вероятность того, что среди извлеченных
изделий:
а) одно окрашенное;
б) два окрашенных;
в) хотя бы одно окрашенное.
1.1.13. В урне имеются 8 черных и 5 белых шаров. Найти вероятность двукратного извлечения черного шара, если:
а) первый вынутый шар возвращают обратно в урну;
б) первый вынутый шар не возвращают в урну.
1.1.14. В урне 4 синих, 7 черных шаров. Случайным образом из урны извлекают
сразу 2 шара. Какова вероятность того, что:
а) оба шара – синие;
б) оба шара – черные;
в) шары разного цвета;
г) шары одного цвета?
1.1.15. Среди 15 лампочек 4 – стандартные. Одновременно берут наудачу 2
лампочки. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них стандартная.
1.1.16. На электростанции 15 сменных инженеров, из них 3 женщины. В смену
дежурят 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную
смену будет занято не менее 2-х мужчин.
1.1.17. Среди 20 поступающих в ремонт часов 8 нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых 3 часов, по
крайней мере, 2-е нуждаются в общей чистке механизма?
1.1.18. На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей.
Наудачу берутся 3 книги. Какова вероятность того, что среди них хотя
бы 1 книга по теории вероятностей?
1.1.19. На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено:
а) 4 билета; б) 2 билета?
1.1.20. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефектами, берут
наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что:
а) все 3 детали без дефектов;
б) по крайней мере, одна деталь без дефектов?
1.1.21. В коробке 10 красных, 3 синих и 7 желтых карандашей. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что они:
а) разных цветов;
б) одного цвета?
6
1.1.22. Из 20 сбербанков 10 расположено за чертой города. Для обследования
случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того,
что среди отобранных в черте города окажется:
а) 3 сбербанка; б) хотя бы один сбербанк?
1.1.23. В первой урне 5 красных, 3 белых и 2 черных шара, во второй – 3 белых
и 2 черных шара. Из первой урны наудачу взяли 2 шара, а из второй – 1
шар. Какова вероятность того, что среди отобранных:
а) все шары одного цвета; б) все шары разного цвета?
1.1.24. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число кратно 2
или 5.
1.1.25. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы мощностью 100 Вт – 7 штук, 75 Вт – 13 штук. Вынуты наудачу 3 лампы. Какова вероятность того, что:
а) все лампы одинаковой мощности;
б) хотя бы 2 из них по 100 Вт?
1.1.26. Для того чтобы сдать коллоквиум, студент должен ответить не менее
двух из трех вопросов, предложенных преподавателем. Студент не знает
8 вопросов из 40, которые могут быть предложены. Какова вероятность
того, что студент сдаст коллоквиум?
1.1.27. Студент из 40 экзаменационных билетов выучил только 30. Каким выгодней ему зайти на экзамен – первым или вторым?
1.1.28. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что хотя
бы на одной из них выпадет 5 очков?
1.1.29. Какова вероятность того, что при бросании трех игральных кубиков хотя
бы на одном из них появится цифра 3?
1.1.30. В мастерской два мотора работают независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,9; для второго мотора эта вероятность равна 0,85. Найти
вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует
внимания мастера.
1.1.31. Консультационная фирма получила приглашение для выполнения двух
работ от двух компаний. Руководство фирмы оценивает вероятность получения заказа от фирмы А (событие А) равной 0,45. Также, по мнению
руководителей фирмы, в случае, если фирма заключит договор с компанией А, то с вероятностью в 90% компания В даст фирме консультационную работу. С какой вероятностью фирма получит оба заказа?
1.1.32. Производится бомбометание в военный объект. Вероятность попадания
в цель при сбрасывании бомбы равна 0,7, а вероятность того, что бомба
не взорвется, равна 0,08. Найти вероятность разрушения объекта, если
будет сброшена одна бомба.
1.1.33. Детали проходят три операции обработки. Вероятность получения брака
на первой операции равна 0,02; на второй – 0,03; на третьей – 0,02.
Найти вероятность получения детали без брака после трех операций,
предполагая, что получение брака на отдельных операциях является независимым событием.
7
1.1.34. Прибор, работающий в течение суток, состоит из трех узлов, каждый из
которых, независимо друг от друга, может выйти из строя. Вероятность
безотказной работы в течение суток первого узла равна 0,9; второго –
0,95; третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение суток прибор будет работать безотказно.
1.1.35. При изготовлении детали заготовка должна пройти 4 операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях событием независимым,
найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность
брака на первой операции – 0,02; на второй – 0,01; на третьей – 0,02; на
четвертой – 0,03.
1.1.36. Два стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6; для второго – 0,7. Какова
вероятность, по крайней мере, одного попадания в цель, если каждый
сделает по одному выстрелу?
1.1.37. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из
первого орудия равна 0,85; из второго – 0,9. Найти вероятность поражения цели.
1.1.38. Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12.
Каждому студенту задают по одному вопросу.
Найти вероятность того, что:
а) оба студента правильно ответят на вопрос;
б) хотя бы один ответит верно;
в) правильно ответит только первый студент.
1.1.39. В первой команде 6 спортсменов, во второй – 9. В каждой команде одна
девушка. Из каждой команды выбирают спортсмена.
Какова вероятность того, что:
а) выбраны оба юноши;
б) выбрана одна девушка;
в) из второй команды выбран юноша?
1.1.40. Произведено три выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания
при первом выстреле равна 0,75; при втором – 0,8; при третьем – 0,9.
Определить вероятность того, что будет:
а) три попадания;
б) хотя бы одно попадание.
1.1.41. Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6; 0,5 и 0,8.
Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы
студентом: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам.
1.1.42. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй –
0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы:
а) только второй экзамен;
б) только один экзамен;
в) три экзамена;
г) по крайней мере, два экзамена;
д) хотя бы один экзамен.
8
1.1.43. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа
станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9;
для второго – 0,8 и для третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в
течение часа:
а) ни один станок не потребует внимания рабочего;
б) все станки потребуют внимания рабочего.
1.1.44. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других может за это время выйти из
строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение времени t первого узла равна 0,9; второго – 0,95; третьего – 0,8. Найти вероятность того, что
в течение времени t прибор выйдет из строя.
1.1.45. Студент ищет нужную ему формулу в трех справочника. Вероятность
того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках
равна соответственно 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится не менее чем в двух справочниках.
1.1.46. Экспедиция издательства отправила газеты в 3 почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95;
во второе отделение – 0,9; а в третье отделение – 0,8. Найти вероятность
того, что:
а) только одно отделение получит газеты вовремя;
б) хотя бы одно отделение получи газеты с опозданием.
1.1.47. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям первого предприятия равна 0,2; второго – 0,35; третьего – 0,15. Определить вероятность
того, что акционер, имеющий акции всех предприятий получит высокие
дивиденды:
а) на всех предприятиях;
б) только на одном предприятии;
в) хотя бы на одном предприятии.
1.1.48. Читатель в поисках нужной книги обходит три библиотеки. Вероятность
того, что книга имеется в очередной библиотеке, равна 0,3. Что вероятнее: найдет читатель книгу или не найдет?
1.1.49. На предприятии имеется три автомобиля. Вероятность безотказной работы в течение времени t первого из них равна 0,9; второго – 0,7; третьего – 0,8. Найти вероятности всех возможных значений числа автомобилей, работающих безотказно в течение времени t.
1.1.50. Вероятность поражения первой мишени для данного стрелка равна 0,6.
Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на следующий выстрел по второй мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,3. Найти вероятность поражения второй мишени.
1.1.51. Вероятность одного попадания в цель при одновременном залпе из двух
орудий равна 0,44. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым орудием, если для второго орудия эта вероятность равна
0,8.
9
1.1.52. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах
равна 0,784. Найти вероятность одного промаха при трех выстрелах.
1.2. Формула полной вероятности. Формула Байеса
1.2.1. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% – из
первого и 30% – из второго. При этом материал первого цеха имеет 10%
брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад
болванка окажется без дефектов.
1.2.2. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном.
Нормальный режим наблюдается в 90% случаев работы прибора, ненормальный – в 10%. Вероятность выхода прибора из строя за время T в
нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном – 0,6. Найти вероятность
выхода прибора из строя за время T.
1.2.3. Число пассажирских пароходов, проплывающих по реке мимо навигационного знака, относится к числу грузовых пароходов как 2:5. Вероятность того, что знак будет сбит пассажирским пароходом, равна 0,01; а
грузовым пароходом – 0,03. Найти вероятность того, что знак не будет
сбит проходящим пароходом.
1.2.4. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6; а для второго – 0,3. В
мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.
1.2.5. По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в первой
группе получили положительную оценку 20 студентов из 30, а во второй
– 15 из 25. Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа, имеющая положительную работу, написана студентом первой группы.
1.2.6. Известно, что 20% всех приборов собирает специалист высокой квалификации, а 80% – средней квалификации. Надежность прибора, собранного специалистом высокой квалификации, равна 0,9; надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации, равна 0,7. Взятый прибор оказался надежным. Найти вероятность того, что он собран
специалистом высокой квалификации.
1.2.7. На сборку попадают детали с 3-х автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2%, третий – 0,4%. Найти вероятность
попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.
1.2.8. Студент, явившийся на экзамен последним, берет наугад один из оставшихся шести билетов. Вероятности того, что он получит положительную оценку, отвечая на каждый из этих билетов, следующие: 0,5; 0,5;
0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что студент получит положительную оценку?
1.2.9. Электролампы изготавливаются на 3-х заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй – 40%, третий – 15%.
10
Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго –
80%, третьего – 81%. В магазин поступает продукция всех трех заводов.
Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется
стандартной?
1.2.10. Для сигнализации о том, что режим автоматической линии отклоняется
от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0,2; 0,3 и 0,5 к одному из трех типов, для которых вероятности
срабатывания при нарушении нормальной работы линии равны соответственно 1,0; 0,75 и 0,4. От индикатора получен сигнал. К какому типу
вероятнее всего принадлежит индикатор?
1.2.11. Для участия в отборочных соревнованиях выделено 5 студентов из первой группы, 4 – из второй, 6 – из третьей группы. Вероятности того, что
студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную команду,
соответственно равны 0,7; 0,9 и 0,7. Выбранный наудачу студент в итоге соревнования попал в сборную. Определить, к какой из групп вероятнее всего принадлежит этот студент.
1.2.12. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой
фабрики составляет 20%, второй – 46%, третьей 34%. Известно также,
что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен
3%, для второй – 2% и для третьей – 1%. Найти вероятность того, что
наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.
1.2.13. Страховая компания разделяет застрахованных клиентов по классам
риска: I класс – малый риск, II класс – средний риск, III класс – большой риск. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% – второго, 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса равна 0,01; второго – 0,03; третьего – 0,08. Какова вероятность того, что:
а) застрахованный клиент получит денежное вознаграждение за
период страхования;
б) застрахованный клиент, получивший денежное вознаграждение,
относится к группе малого риска?
1.2.14. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении
5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют
90%, второй – 85%, третьей – 75%. Найти вероятность того, что:
а) приобретенное изделие окажется нестандартным;
б) приобретенное изделие оказалось стандартным.
Какова вероятность того, что стандартное изделие изготовлено третьей
фирмой?
11
1.3. Повторные независимые испытания
Формула Бернулли
1.3.1. Производится 6 выстрелов по цели. Вероятность попадания в цель при
каждом выстреле равна 0,4. Найти вероятность того, что произойдет:
а) одно попадание в цель;
б) не менее 4-х попаданий;
в) хотя бы одно попадание.
1.3.2. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность того, что лицо, имеющее 6 билетов:
а) выиграет по 2-м билетам;
б) не выиграет по двум билетам?
1.3.3. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника: одну партию из
двух или две из четырех?
1.3.4. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет
гербом вверх не больше 3-х раз?
1.3.5. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в
ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее
10 автомашин.
1.3.6. Отмечено, что в городе А в среднем 10% заключенных браков в течение
года заканчиваются разводом. Какова вероятность того, что из 8 случайно отобранных пар, заключивших брак, в течение года:
а) ни одна пара не разведется;
б) разведутся 2 пары?
1.3.7. В течение гарантийного срока 20% телевизоров требуют ремонта. Найти
вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров:
а) не более одного потребует ремонта;
б) хотя бы один потребует ремонта.
1.3.8. В семье 10 детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки
равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье:
а) не менее 3-х мальчиков;
б) не более 3-х мальчиков.
1.3.9. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия равна 0,6. Производится по одному выстрелу одновременно из 3-х орудий. Цель поражена, если в нее попадут не менее двух орудий. Найти вероятность:
а) поражения цели;
б) промаха одним или двумя орудиями.
1.3.10. Вероятность выбора отличника на факультете равна 1/7; из 28 студентов
группы наудачу вызывают троих студентов. Определить вероятность
всех возможных значений числа отличников, которые могут оказаться
среди вызванных трех студентов.
12
Формула Пуассона
Если число испытаний n велико, а вероятность p наступления события A
в каждом испытании достаточно мала (p<0,1), причем их произведение np=λ
незначительно ( λ=np≤10), то вероятность Pn(k) можно приближенно найти по
формуле Пуассона
Pn (k ) 
k  e  
.
k!
Замечание. Значения функции Пуассона находятся по таблице (см. Приложение 1).
1.3.11. На потоке обучаются 1460 студентов. Какова вероятность того, что 1
мая – день рождения 8 студентов вуза?
1.3.12. Вероятность того, что пассажир опоздает на поезд, равна 0,01. Найти вероятность того, что опоздает 8 пассажиров из 500.
1.3.13. АТС в среднем за час получает 300 вызовов. Найти вероятность того,
что за данную минуту она получит точно 2 вызова.
1.3.14. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа
одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит
от состояния других элементов. Какова вероятность отказа не менее 2-х
элементов?
1.3.15. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того,
что пакет укомплектован неверно, равна 0,0001. Найти вероятность того,
что при проверке будет обнаружено:
а) 3 ошибочно укомплектованных пакета;
б) не более 3-х пакетов.
1.3.16. Вероятность допустить ошибку при наборе текста из 1200 знаков, равна
0,004. Найти вероятность того, что при наборе будет допущена хотя бы
одна ошибка.
Локальная формула Муавра-Лапласа
Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn(k)
1
k  np
Pn (k ) 
  ( x) при x 
.
npq
npq
Замечание. Имеются таблицы для функции φ(x) (см. Приложение 2).
1.3.17. Приняв вероятность рождения мальчика равной 0,515, найти вероятность того, что среди 80 новорожденных 42 мальчика.
1.3.18. Известно, что из каждых 100 студентов вуза 85 костромичи. Какова вероятность того, что из 400 студентов 340 – костромичи?
13
1.3.19. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Приборы
испытываются независимо друг от друга. Что вероятнее: отказ 10 приборов при испытании 80 или отказ 15 при испытании 120?
1.3.20. Бюффон бросил монетку 4040 раз. При этом герб выпал 2048 раз. С какой вероятностью можно было ожидать этот результат?
1.3.21. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Найти вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров более 36 выдержат гарантийный срок.
Интегральная формула Муавра-Лапласа
Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число k наступления события
А в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n приближенно
равна
Pn (a  k  b)  ( x2 )  ( x1 ),
x1 
a  np
;
npq
x2 
b  np
1
;  ( x) 
npq
2
2
x z
 e 2 dz.
0
Формула применима при npq≥20.
Замечание. Значения функции Φ(x) берутся из таблицы (см. Приложение 3). Φ(-x) = -Φ(x).
1.3.22. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий
высшего сорта заключено между 580 и 630, если известно, что доля изделий высшего сорта продукции завода составляет 69%.
1.3.23. Найти вероятность того, что число мальчиков среди 1200 новорожденных содержится в промежутке от 550 до 650 включительно. Вероятность
рождения мальчика p=0,515.
1.3.24. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число
очков, кратное 3, выпадет не меньше 260 и не больше 274 раз?
1.3.25. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных. Найти вероятность того, что среди 900 клемм будет от 790 до 820
(включительно) годных.
1.3.26. С вероятностью 0,8 орудие при выстреле поражает цель. Произведено
1600 выстрелов. Какова вероятность того, что при этом произошло не
менее 1200, но не более 1300 попаданий?
14
Контрольная работа по теме «Случайные события»
1.
2.
3.
4.
Вариант I
В организации работают 12 мужчин и 8 женщин. Для них выделено 3 премии. Определить вероятность того, что премию получат:
а) двое мужчин и одна женщина;
б) только женщины;
в) хотя бы один мужчина.
Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что отдельный студент сдаст
экзамен на «отлично» равна для первого студента 0,7; для второго – 0,6; для
третьего – 0,2. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан на «отлично»:
а) только одним студентом;
б) двумя студентами;
в) хотя бы одним студентом;
г) ни одним студентом?
Перед посевом 95% семян обрабатывается специальным раствором. Всхожесть семян после обработки составляет 99%, необработанных – 85%. Случайно выбранное семя проросло. Какова вероятность того, что оно обработанное?
Вероятность выигрыша по облигациям займа равна 0,25. Найти вероятность
того, что из 5-ти взятых облигаций выиграют более 3-х облигаций.
Вариант II
1. В коробке из 25 изделий 15 повышенного качества. Наудачу извлекается 3
изделия. Определить вероятность того, что:
а) одно из них повышенного качества;
б) все три повышенного качества;
в) хотя бы одно изделие повышенного качества.
2. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй –
0,8; третий – 0,7. Найти вероятность того, что студентом будут сданы:
а) только один экзамен;
б) только второй экзамен;
в) три экзамена;
г) по крайней мере два экзамена;
д) хотя бы один экзамен.
3. В группе 70% юношей, остальные – девушки. 20% юношей и 40% девушек
имеют сотовые телефоны. После занятий в аудитории был найден кем-то забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал:
а) юноше;
б) девушке?
4. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9. Какова вероятность
того, что среди 10 деталей окажется не более одной нестандартной?
15
1.
2.
3.
4.
Вариант III
Из 40 деталей в ящике 5 бракованных деталей. Какова вероятность того, что
взятые одновременно две детали окажутся:
а) небракованные;
б) одна – бракованная, другая – небракованная.
На предприятии имеются три автомобиля. Вероятность безотказной работы
первого из них равна 0,9; второго – 0,7; третьего – 0,8. Найти вероятность
того, что в течение определенного времени безотказно работают:
а) только 1 автомобиль;
б) хотя бы 2 автомобиля;
в) три автомобиля.
Два предприятия выпускают однотипные изделия. Второе предприятие выпускает 55% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием равна 0,1; вторым – 0,15.
а) Какова вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется нестандартным?
б) Взятое наудачу изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность
того, что оно выпущено на втором предприятии?
Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше 3-х девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются
одинаковыми.
Вариант IV
1. В группе 25 студентов, из них 10 – юношей и 15 – девушек. Какова вероятность того, что из выбранных наудачу трех студентов окажутся:
а) три девушки;
б) две девушки;
в) хотя бы одна девушка?
2. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии равна 0,2; на втором – 0,35; на третьем – 0,15. Определить вероятность
того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды:
а) на всех предприятиях;
б) только на одном предприятии;
в) хотя бы на одном предприятии.
3. Первая бригада производит 75% всей продукции, изготовленной обеими
бригадами. Вероятность того, что производимая продукция первой бригады
окажется стандартной, равна 70%, для второй бригады – 80%.
а) Какова вероятность того, что взятая наудачу единица продукции окажется стандартной?
б) Какова вероятность того, что стандартная единица продукции произведена второй бригадой?
4. Производится 5 выстрелов по цели. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,4. Найти вероятность того, что произойдет не менее 4х попаданий.
16
Раздел 2. Случайные величины
2.1. Дискретная случайная величина
2.1.1. Выпущено 1000 билетов денежной лотереи, причем разыгрывается
1 выигрыш по 500 руб., 5 выигрышей по 250 руб., 10 выигрышей по
100 руб., 25 выигрышей по 50 руб. Составить закон распределения стоимости выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
2.1.2. Вероятность выпуска нестандартного изделия 0,1. Из партии контролер
берет изделие и проверяет его качество. Если изделие окажется нестандартным, партия задерживается, если оно стандартное, берется следующее. Всего он проверяет не более 5 изделий. Составить закон распределения вероятностей числа проверяемых изделий.
2.1.3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия 0,4. Производится 6 выстрелов. Составить закон распределения вероятностей
числа попаданий.
2.1.4. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди
отобранных.
2.1.5. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X – числа
выпадений четного числа объектов на двух игральных костях.
2.1.6. Дискретная случайная величина X имеет распределение, представленное
таблицей:
X -2 -1 0
1
2
p 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2
Построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти M(X), D(X), σ(X).
2.1.7. Найти функцию распределения дискретной случайной величины, зная
закон ее распределения:
X 0,1 2,0 10,0 20,0
p 0,4 0,2 0,15 0,25
Построить ее график. Найти дисперсию этой случайной величины.
2.1.8. По линии связи передаются последовательно два сообщения. Вероятность искажения первого 0,1; для второго сообщения эта вероятность
0,25. Составить закон распределения вероятностей числа правильно переданных сообщений. Найти числовые характеристики этого распределения, функцию распределения, построить ее график.
2.1.9. Стрелок имеет 3 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле
0,8. При попадании в мишень стрельба прекращается. Составить закон
распределения, найти числовые характеристики и функцию распределе17
ния случайной величины X, где X – число израсходованных патронов.
Построить график функции распределения.
2.1.10. Производится 4 выстрела с вероятностями попадания: p1 = 0,6; p2 = 0,4;
p3 = 0,5; p4 =0,7. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение общего числа попаданий.
2.1.11. Случайная величина X может принимать два возможных значения: x1 с
вероятностью 0,3 и x2 c вероятностью 0,7, причем x2> x1. Найти x1 и x2,
зная, что M(X) = 2,7; D(X) = 0,21.
2.1.12. Ряд распределения дискретной случайной величины состоит из двух неизвестных значений. Вероятность того, что случайная величина примет
одно из этих значений 0,8. Найти функцию распределения случайной
величины, если ее математическое ожидание равно 3,2, а дисперсия 0,16.
2.1.13. Дан ряд распределения случайной величины:
X 2 4
p p1 p2
Найти функцию распределения этой случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,4, а дисперсия 0,84.
2.1.14. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
X 0
1 3
Y 2 3
p 0,2 0,5 ?
p 0,4 ?
Найти вероятности, с которыми эти случайные величины принимают
значение 3, а затем составить закон распределения случайной величины
3X-2Y и проверить выполнение свойств математических ожиданий и
дисперсий: M(3X-2Y)=3M(X)-2(Y);
D(3X-2Y)=9D(X)+4D(Y).
2.1.15. Случайные величины X и Y независимы и имеют один и тот же закон
распределения:
X, Y 1
2
4
p 0,2 0,3 0,5
Составить закон распределения случайных величин 2X, X+Y, X2. Убедиться в том, что 2X ≠ X + Y, но M(2X) = M(X+Y). Также убедиться в
том, что X 2 ≠ XY, но M(XY)=(M(X))2.
2.1.16. Даны две случайные величины X и Y, причем M(X)=5, M(Y)=3. Найти математическое ожидание случайной величины Z = X + 2Y.
2.1.17. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной
величины Z=3X+2Y, если известно, что D(X)=5, D(Y)=6.
2.1.18. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появлений
события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления
события А в этих испытаниях одинаковы и известно, что M(X)=0,9.
2.1.19. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления
события А, если дисперсия числа появлений события А в трех независимых испытаниях равна 0,63.
18
2.1.20. Пусть X, Y, Z – случайные величины. X – выручка фирмы, Y – ее затраты,
Z=X-Y – прибыль. Найти распределение прибыли Z, если затраты и выручка независимы и заданы распределениями:
X 3
4
5
p 1/3 1/3 1/3
Y 1
2
p 1/2 1/2
2.1.21. Пусть X – выручка фирмы в долларах. Найти распределение выручки в
рублях Z=XY в пересчете по курсу доллара Y, если выручка X не зависит
от курса Y, а распределения X иY имеют вид:
X 1000 2000
p 0,7
0,3
Y 25 27
p 0,4 0,6
2.1.22. Вероятность того, что аудитор допустит ошибку при проверке бухгалтерского баланса, равна 0,05. Аудитору на заключение представлено 2
баланса. Составить закон распределения числа правильных заключений
на проверяемые балансы.
2.2. Непрерывная случайная величина
2.2.1. Случайная величина X задана функцией распределения:

0, если x  1;

3
1
3
F ( x)   x  , если  1  x  ;
4
3
4
1

1
,
если
x

.

3
Построить график функции распределения. Найти вероятность того, что
в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале
(0; 1/3).
2.2.2. Функция распределения вероятностей случайной величины X имеет вид:
0, если x  0;

F ( x)   x 2
, если x  0.

2
1  x
Найти ее плотность распределения вероятностей.
2.2.3. Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения:
19


0
,
если
x


;

2




f ( x)  a cos x, если   x  ;
2
2



0, если x  2 .
Определить коэффициент a, функцию распределения, вероятность того,

что случайная величина примет значение в интервале (0; ). Построить
4
графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.
2.2.4. Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на
всей оси 0x равенством
4c
f ( x) 
.
x
x
e e
Найти с.
2.2.5. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения
3

f ( x)  sin 3x в интервале (0; ) , вне этого интервала f ( x)  0 . Найти
3
2
вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу:
 
 
 5
 5
а) ( ; );
б) ( ; );
в) ( ; );
г) ( ; ).
6 4
6 4
3 6
3 3
2.2.6. Случайная величина X задана функцией распределения:
0, если x  0;

F ( x)   x 2 , если 0  x  1;
1, если x  1.

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно 3 раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).
2.2.7. Случайная величина X задана функцией распределения:
0, если x  0;

F ( x)   x 3 , если 0  x  1;
1, если x  1.

Найти M(X), D(X), σ(X). Построить графики F(x) и f(x).
20
2.2.8. Случайная величина X задана функцией распределения:
3

0
,
если
x

;

4

3

F ( x)  cos 2 x, если
  x ;
4

1, если x   .

Найти M(X), D(X), σ(X).
0, если x  1;

2.2.9. Функция f(x) задана в виде: f ( x)   A
 4 , если x  1.
x
Найти:
а) значение постоянной А, при которой функция будет плотностью
вероятностей некоторой случайной величины X;
б) функцию распределения F(x);
в) вычислить вероятность того, что случайная величина X примет значение на отрезке [2; 3];
г) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
X.
2.2.10. Случайная
величина
задана
плотностью
распределения
f ( x)  с( x 2  2 x) в интервале (0; 1), вне этого интервала f ( x)  0 .
Найти:
а) параметр с;
б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
2.2.11. Случайная величина X в интервале (-с; с) задана плотностью распреде1
ления вероятностей f ( x) 
, вне этого интервала f ( x)  0 .
2
2
 с x
Найти дисперсию D(X).
2.2.12. Случайная величина X в интервале (0; π) задана плотностью распреде1
ления вероятностей f ( x)  sin x , вне этого интервала f ( x)  0 . Найти
2
дисперсию D(X).
2.3. Начальные и центральные моменты
2.3.1. Дискретная случайная величина задана законом распределения:
X 1
2
4
P 0,1 0,3 0,6
Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков.
21
2.3.2. Доказать, что для любой непрерывной случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю.
2.3.3. Случайная величина X задана плотностью распределения f ( x)  0,5 x в
интервале (0;2), вне этого интервала f ( x)  0 . Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков.
2.3.4. Дискретная случайная величина имеет следующий закон распределения:
X 1
3
5
7
9
P 0,1 0,4 0,2 0,2 0,1
Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков.
2.3.5. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины имеет вид:
0, если x  0;
 2
ax , если 0  x  1;
f ( x)  
a (2  x) 2 , если 1  x  2;

0, если x  2.
Найти коэффициент а и начальные центральные моменты первых четырех порядков.
2.3.6. Случайная величина X задана функцией распределения
0, если x  0;

F ( x)   x 2 , если 0  x  1;
1, если x  1.

Найти: а) плотность вероятности f(x);
б) математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X);
в) вероятности P(X=0,5), P(X<0,5), P(0,5≤X≤1);
г) построить графики f(x) и F(x) и показать на них математическое ожидание M(X) и вероятности, найденные в п. в);
д) моду и медиану случайной величины X;
е) квантиль x0,4 и 20%-ю точку распределения X;
ж) коэффициент асимметрии и эксцесс.
2.3.7. Дана функция распределения случайной величины X:
0, если x  0;
 2
x
F ( x)   , если 0  x  2;
4
1, если x  2.

а) Найти плотность вероятности f(x).
б) Построить графики f(x) и F(x).
в) Убедиться в том, что X – непрерывная случайная величина.
г) Найти P(X=1), P(X<1), P(1≤X<2) и показать их на графиках f(x)
и F(x).
22
д) Найти математическое ожидание M(X), дисперсию D(X), моду
M0(X) и медиану Me(X).
2.3.8. Случайная величина X задана плотностью распределения f ( x)  2 x в
интервале (0;1), вне этого интервала f ( x)  0 . Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию и эксцесс.
2.3.9. Дан ряд распределения случайной величины:
X 2
4
6
8
P 0,4 0,3 0,2 0,1
Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков
этой случайной величины, а также определить асимметрию и эксцесс.
2.3.10. Плотность распределения случайной величины X дана уравнениями:
0, если x  0;
 x, если 0  x  1;

f ( x)  
2  x, если 1  x  2;
0, если x  2.
Найти начальные и центральные моменты первых четырех порядков,
асимметрию и эксцесс.
2.3.11. Случайная величина X подчинена закону с плотностью вероятности f ( x)  e
x
. Определить λ и эксцесс случайной величины.
2.4. Основные законы распределения
Биномиальный закон. Распределение Пуассона
2.4.1. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4
пары обуви. Найти закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленной первой фабрикой. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
2.4.2. Вероятность выигрыша по облигации займа за время его действия равна
0,1. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди
приобретенных 19. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду этой случайной величины.
2.4.3. С вероятностью 0,3 каждый из 20 приборов является неточным. Составить таблицу распределения числа точных приборов среди отобранных 5
приборов. Определить математическое ожидание и дисперсию числа
точных приборов.
2.4.4. Найти дисперсию дискретной случайной величины X – числа появления
события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления
события в этих испытаниях одинаковы и M(X)=1,2.
23
2.4.5. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от
другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна
0,002.
а) Составить закон распределения отказавших за время t элементов.
б) Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
в) Найти вероятность того, что за время t откажет хотя бы один элемент.
Равномерное распределение
2.4.6. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты?
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
случайной величины X – времени ожидания поезда.
2.4.7. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого числа. Полагая, что при отсчете
ошибка округления распределена по равномерному закону, найти:
а) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение этой случайной величины;
б) вероятность того, что ошибка округления: 1) меньше 0,04;
2) больше 0,05.
2.4.8. Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности
1
в интервале (a;b), вне этого интервала f ( x)  0 .
f ( x) 
ba
Найти:
а) функцию распределения;
б) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение;
в) построить графики f(x) и F(x).
2.4.9. Случайные величины X и Y независимы и распределены равномерно:
X – в интервале (a;b); Y – в интервале (c;d). Найти математическое
ожидание и дисперсию произведения X∙Y.
2.4.10. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (a;b).
Найти функцию распределения и построить ее график.
Случайная величина с нормальным законом распределения
2.4.11. Случайная величина X имеет нормальное распределение, причем
M(X)=1, σ(X)=2. Найти плотность распределения вероятностей, построить ее график. Найти функцию распределения и построить ее график.
2.4.12. Найти вероятность того, что случайная величина с нормальным законом
распределения, у которой математическое ожидание равно 1, а дисперсия равна 4, примет значение меньше 0, но больше (-5).
24
2.4.13. Чему равна вероятность того, что нормальная случайная величина с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 1, примет
значение из интервала
(0,5; 3,5)?
2.4.14. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a = 40 и дисперсией D = 200. Вычислить вероятность попадания в интервал (30; 80).
2.4.15. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a = 15 и дисперсией D = 4.
Найти:
а) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (9; 19);
б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-a окажется меньше δ = 3.
2.4.16. Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок.
Случайная ошибка измерения X подчинена нормальному закону со
средним квадратическим отклонением σ = 10 мкм. Найти вероятность
того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по
абсолютной величине 15 мкм.
2.4.17. Измеряемая случайная величина X подчиняется нормальному закону
распределения с а=10, σ = 5. Найти симметричный относительно а интервал, в который с вероятностью p попадет измеряемое значение, если:
1) p1 =0,9974; 2) p2 = 0,9544; 3) p3 =0,50.
2.4.18. В нормально распределенной совокупности 15% значений x меньше 12 и
40% значений x больше 16,2. Найти среднее значение и среднее квадратическое отклонение.
2.4.19. Случайная величина X подчинена нормальному закону распределения,
причем a=1. Известно, что P(X<2)=0,99. Вычислить M(X2).
2.4.20. Деталь, изготовляемая автоматом, считается годной, если отклонение X
контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Считая, что
σ = 5 и X нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат.
25
Контрольная работа по теме «Случайные величины»
Вариант I
1. Дан ряд распределения случайной величины X. Найти: а) M(X), D(X), σ(X),
M(3X-2); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.
X -5 -3 1
4
p 0,2 0,3 0,4 0,1
2. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна
0,9; второй – 0,8; третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и
дисперсию этой случайной величины.
3. Дана функция распределения случайной величины X. Найти: а) плотность
распределения
вероятностей
(дифференциальную
функцию)
f(x);
б) построить графики F(x) и f(x); в) вычислить математическое ожидание
M(X), моду M0(X) и медиану Me(X); г) найти P(1<X<3).
0, если x  0;
 2
x
F ( x)   , если 0  x  4;
 16
1, если x  4.

4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).
 A sin x, если x  (o; ];
f ( x)  
0, если x  (0; ].
Найти: а) параметр А;
б) функцию распределения F(x).
5. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним
квадратическим отклонением 0,2 ден. ед. Найти вероятность того, что цена
акции не выше 15,3 ден. ед.
26
Вариант II
1. Случайная величина X имеет распределение вероятностей, представленное
таблицей. Найти: а) M(X), D(X), σ(X), M(2X+3); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.
X 1
3
5
6
p 0,2 0,1 0,4 0,3
2. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают в срок кредиты с
вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в
срок кредитов из трех выданных. Найти M(X), D(X) и σ(X).
3. Дана функция распределения случайной величины X. Найти: а) плотность
распределения
вероятностей
(дифференциальную
функцию)
f(x);
б) построить графики F(x) и f(x); в) вычислить математическое ожидание
M(X), моду M0(X) и медиану Me(X); г) найти вероятности P(X=1); P(X<2).
0, если x  0;
 3
x
F ( x)   , если 0  x  3;
 27
1, если x  3.

4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).
Bx, если x  (1;3];
f ( x)  
0, если x  (1;3].
Найти: а) параметр B;
б) функцию распределения F(x).
5. Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 150 г и математическим
ожиданием 1000 г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет
от 900 до 1300 г.
27
Вариант III
1. Случайная величина X имеет распределение вероятностей, представленное
таблицей. Найти: а) M(X), D(X), σ(X), M(2X+5); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.
X -4 -2 1
5
p 0,2 0,3 0,4 0,1
2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с
каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий
в цель, если сделано три выстрела. Найти M(X), D(X), σ(X) этой случайной
величины.
3. Дана функция распределения случайной величины X. Найти: а) плотность
распределения
вероятностей
(дифференциальную
функцию)
f(x);
б) построить графики F(x) и f(x); в) вычислить математическое ожидание
M(X), моду M0(X) и медиану Me(X); г) найти вероятности P(3<X<7).
0, если x  0;
 2
x
F ( x)   , если 0  x  5;
 25
1, если x  5.

4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).
C  cos x, если x  ( / 2;  / 2);
f ( x)  
0, если x  ( / 2;  / 2).
Найти: а) параметр C;
б) функцию распределения F(x).
5. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна
540 г и среднее квадратическое отклонение – 24,4 г. Известно, что масса коробок с конфетами имеет нормальное распределение. Каков процент коробок, масса которых более 550 г?
28
Вариант IV
1. Случайная величина X имеет распределение вероятностей, представленное
таблицей. Найти: а) M(X), D(X), σ(X), M(5X-4); б) функцию распределения F(x) и построить ее график.
X 1
3
5
8
p 0,3 0,1 0,4 0,2
2. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено
4 ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти M(X), D(X) этой
случайной величины.
3. Дана функция распределения случайной величины X. Найти: а) плотность
распределения
вероятностей
(дифференциальную
функцию)
f(x);
б) построить графики F(x) и f(x); в) вычислить математическое ожидание
M(X), моду M0(X) и медиану Me(X);
г) найти вероятности P(X=0,5),
P(1<X≤2).
0, если x  0;
 3
x
F ( x)   , если 0  x  2;
8
1, если x  2.

4. Случайная величина X имеет плотность вероятности f(x).

 Ax 2 , если x  (1;1];
f ( x)  

0, если x  (1;1].
Найти: а) параметр А;
б) функцию распределения F(x).
5. Средний рост женщин некоторого национального округа равен 167,3 см со
средним квадратическим отклонением 5,6 см. Каков общий процент женщин
ростом от 165 до 170 см, если рост имеет нормальное распределение?
29
ОТВЕТЫ К РАЗДЕЛУ 1
№
задачи
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.1.5.
1.1.6.
1.1.7.
1.1.8.
1.1.9.
1.1.10.
1.1.11.
1.1.24.
1.1.25.
1.1.26.
1.1.27.
Ответ
а) 0,6; б) 0,15.
0,3
а) 0,35; б) 0,4; в) 0,45;
г) 0,45; д) 0,55
а) 0,5; б) 1/3; в) 2/3
а) 0,95; б) 0,931
0,6
а) 0,282;
0,904
б) 0,27
Одинаково, т.к., если пойдет 1-й,
то вероятность взять билет, который он знает 30/40 =3/4; если
пойдет 2-м, билетов осталось 39 и
вероятность ответить на билет
30 29 10 30 30 3


 

40 39 40 39 40 4
5
C75 / C12
 7 / 264  0,027
1
C42  C32
16

 0,0269
3
595
C36
C43  C12
4

 0,0381
6
105
C10
2
3
C10
 C15
195

 0,3854
5
506
C25
2
C16
 C14 8
  0,421
3
19
C20
C52  C120 2

 0,087
3
23
C25
1.1.28.
1.1.29.
1.1.30.
1.1.31.
1.1.32.
1.1.33.
1.1.34.
1.1.35.
1.1.36.
1.1.37.
1.1.38.
1.1.39.
1.1.40.
1.1.41.
1.1.42.
1.1.12. а) 0,6; б) 0,3; в) 0,9
1.1.13. а) 64 /169  0,379 ;
б) 14 / 39  0,359
1.1.14. а) 6 / 55  0,109 ;
б) 21/ 55  0,382 ;
в) 28 / 55  0,509 ;
г) 27 / 55  0,491
1.1.15. 10 / 21  0,476
1.1.16. 418 / 455  0,9187
1.1.17. 98 / 285  0,344
1.1.18. 17 / 24  0,708
1.1.19. а) 0,188; б) 97 / 990  0,098
1.1.20. а) 0,579; б) 0,997
1.1.21. а) 0,184; б) 0,137
1.1.22. а) 0,348; б) 0,984
1.1.23. а) 0,049; б) 4 /15  0,267
11/36
91/216
0,765
0,405
0,644
0,932
0,727
0,922
0,88
0,985
а) 0,51; б) 0,94; в) 0,34
а) 0,741; б) 0,241;
в) 8/9 ≈ 0,889
а) 0,54; б) 0,995
а) 0,46; б) 0,7
а) 0,018; б) 0,044;
в) 0,648; г) 0,954; д) 0,998
а) 0,612; б) 0,003
0,316
0,788
а) 0,032; б) 0,316
а) 0,0105; б) 0,4265; в) 0,558
1.1.43.
1.1.44.
1.1.45.
1.1.46.
1.1.47.
1.1.48. Вероятность, что найдет, – 0,657;
вероятность, что не найдет, –
0,343.
1.1.49. Один автомобиль – 0,092;
два автомобиля – 0,398;
три автомобиля – 0,504;
ноль автомобилей – 0,006
1.1.50. 0,5
1.1.51. 0,6
1.1.52. 0,288
30
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.
1.2.5.
1.2.6.
1.2.7.
1.2.8.
1.2.9.
1.2.10.
1.2.11.
1.2.12.
1.2.13.
1.2.14.
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
1.3.5.
1.3.6.
0,87
0,15
683 / 700  0,976
0,667
0,571
0,76
0,0031
2/3
0,7565
1.3.7.
1.3.8.
1.3.9.
1.3.10.
1.3.11.
1.3.12.
1.3.13.
1.3.14.
1.3.15.
1.3.16.
1.3.17.
1.3.18.
1.3.19.
1.3.20.
1.3.21.
1.3.22.
1.3.23.
1.3.24.
1.3.25.
1.3.26.
Ко второму (0,367; 0,413; 0,22)
К третьей (0,31; 0,319; 0,372)
0,322
а) 0,03; б) 0,167
а) 0,1725; б) 0,2875;
0,317
а) 0,1866; б) 0,5109; в)
0,9533
а) 0,1652; б) ≈0,0046
Одну из двух
21/32
0,5584
а) 0,430;
а) 0,6554; б) ≈0,7379
а) 0,945; б) 0,172
а) 0,648; б) 0,72
P3(0)=0,630; P3(1)=0,315;
P3(2)=0,052; P3(3)=0,003
≈0,03
0,06520
0,09
0,264
а) 0,0072; б) 0,9992
0,95021
0,009
0,056
10 из 80
0,0085
0,972
0,8753
≈0,9675
≈0,14
0,8536
0,894
б) ≈0,149
ОТВЕТЫ К РАЗДЕЛУ 2
№
задачи
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.1.4.
2.1.5.
2.1.6.
Ответ
X
p
X
p
X
p
X
p
X
p
50
25
10
5
0
0,001 0,005 0,01 0,025 0,959
1
2
3
4
5
0,1 0,09 0,081 0,0729 0,6561
0
1
2
3
4
5
6
0,047 0,187 0,311 0,276 0,138 0,037 0,0041
3
2
1
14/30 7/15 1/15
0
1
2
9/16 6/16 1/16
P
0 при x  2,
0,1 при  2  x  1, M(X)=0,2

0,3 при  1  x  0, D(X)=1,56
F ( x)  
0,6 при 0  x  1,
σ(X)=1,25
-2 -1 0 1 2
x
0,8 при 1  x  2,

1,0 при x  2.
31
2.1.7.
0 при x  0,1,
0,4 при 0,1  x  2,

F ( x)  0,6 при 2  x  10,
0,75 при 10  x  20,

1,0 при x  2.
D(X)=67,6404
M(X)=1,65
0 при x  0,
0,025 при 0  x  1,

X
0
1
2
F ( x)  
D(X)=0,2775
2.1.8.
P 0,025 0,3 0,675
0
,
325
при
1

x

2
,

1,0 при x  2.
σ(X)=0,527
0 при x  1,
0,8 при 1  x  2,
M(X)=1,24

X 0
1
2
F ( x)  
2.1.9.
p 0,8 0,16 0,04
0,96 при 2  x  3, D(X)=0,26
1,0 при x  3.
2.1.10. M(X)=2,2;
D(X)=0,94;
σ(X)=0,97
2.1.11. x1=2; x2 = 3
0 при x  3,
0 при x  2,4;


2.1.12. F ( x)  0,8 при 3  x  4, или F ( x)  0,2 при 2,4  x  3,4;
1,0 при x  4.
1,0 при x  3,4.


0 при x  2,

2.1.13. F ( x)  0,3 при 2  x  4,
1,0 при x  4.

2.1.14.
Z=3X-2Y -6
-4
-3
-1
3
5
P
0,12 0,08 0,30 0,20 0,18 0,12
M(X)=1,4; M(Y)=2,6;
M(Z)=-1,0
D(X)=1,24; D(Y)=0,24;
D(Z)=12,12
Z=2X 2
4
8
U=X+Y 2
3
4
5
6
8
P
0,2 0,3 0,5
P
0,04 0,12 0,09 0,2 0,3 0,25
M(X)=M(Y)=2,8; M(Z)=M(2X)=5,6; M(U)=M(X+Y)=5,6
2.1.15.
2.1.16.
2.1.17.
2.1.18.
2.1.19.
X2 1
4 16
P 0,2 0,3 0,5
U=XY 1
2
4
8
16
P
0,04 0,12 0,29 0,3 0,25
M(X)=M(Y)=2,8; M(U)=M(XY)=7,84=2,82
M(Z)=11
D(Z)=69
D(X)=0,495
p1=0,3; p2=0,7
32
2.1.20.
2.1.21.
2.1.22.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.
2.2.5.
2.2.6.
2.2.7.
2.2.8.
2.2.9.
2.2.10.
2.2.11.
2.2.12.
2.3.1.
Z=X-Y 1
2
3
4
P
1/6 1/3 1/3 1/6
Z=XY 25
27
50
54
P
0,28 0,42 0,12 0,18
X (тыс. рублей)
X
0
1
2
P 0,0025 0,095 0,9025
0,25
0, если x  0,

f ( x)   2 x
, если x  0.
 (1  x 2 ) 2



0, если x   2 ,
2
a  1 / 2;
F ( x)  
p(0<X<π/4)=
4
 1 (sin x  1), если    x   .
 2
2
2
1
C
2
22
2
a)
; б)
; в) 0; г) 1
4
4
1/4
M(X)=3/4; D(X)=3/80; σ(X)= 3 / 80
M(X)=π-(1/2); D(X)=(π-3)/4; σ(X)= 0,5   3
A=3;
0, если x  1,
19
3
3

F ( x)  
P(2  X  3) 
; M ( X )  ; D( X )  .
1
216
2
4
1  3 , если x  1;
x

C=3/4; M(X)=11/16; D(X)=67/1280; σ(X)≈0,227
D(X)=0,5c2
D(X)=0,25(π2-8)
 3  40,9;
 1  3,1;
 2  10,9;
 4  158,5;
1  0;
 1  4 / 3;
2.3.3.
1  0;
 1  4,6;
2.3.4.
1  0;
 2  1,29;
 2  2;
 2  2 / 9;
 2  26,6;
 2  5,44;
 1  1;
2.3.5. a=3/2;
1  0;
3  0,888;
 3  3,2;
3  8 / 135;
 3  177,5;
3  4,992;
 3  1,3;
3  0;
 2  1,1;
 2  0,1;
33
 4  2,7777
 4  16 / 3;
 4  16 /135
 4  1293,8;
 4  64,55
22
;
35
 4  1 / 35.
4 1
0, при x  0 и x  1,
a) f ( x)  
2 x, при 0  x  1.
2.3.6.
б) M(X)=0,6667;
D(X)=0,0556;
в) P(X=0,5)=0; P(X<0,5)=0,25; P(0,5≤X≤1)=0,75;
д) M0(X)=1; Me(X)=0,707;
e) x0,4 =0,632; x0,8 =0,894;

ж) A=-0,556; E= 4  3  0,6.
4
0, при x  0 и x  2,
a) f ( x)  
 x / 2, при 0  x  2.
2.3.7.
2.3.8.
2.3.9.
2.3.10.
2.3.11.
2.4.1.
2.4.2.
2.4.3.
г) P(X=1)=0; P(X<1)=0,25; P(1≤X≤2)=0,75;
д) M(X)=4/3; D(X)=2/9; M0(X)=2; Me(X)= 2
 3  2 / 5;
 1  2 / 3;
 2  1/ 2;
 4  1/ 3;
A=-0,566; E=-0,6
1  0;
3  1/ 135;  4  1/ 135;
 2  1/18;
 3  116,8;
 1  4;
 2  20;
 4  752;
A=0,6; E=-0,8
1  0;
 2  4;
3  4,8;
 4  35,2;
1
 3  3 / 2;
 1  1;
 2  7 / 6;
4  2 ;
15 A=0; E=-0,6
3  0;
1  0;
 2  1/ 6;
 4  1/ 15;
λ=1/2; E=3
X
0
1
2
3
4
M(X)=1,6; D(X)=0,96
σ(X)=0,98
P 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256
k
P( X  k )  C19
 0,1k  0,919  k , где k  0,1,2,...,19;
M(X)=1,9; D(X)=1,71; M0(X)1=1; M0(X)2=2; σ(X)≈1,31
X
0
1
2
3
4
5
P 0,3
C1 0,710,34
C 2 0,7 20,33 C 3 0,730,32 C 4 0,7 40,3
5
2.4.4.
2.4.5.
2.4.6.
2.4.7.
M(X)=3,5;
D(X)=0,48
5
5
D(X)=1,35
2k  e  2
P( X  k ) 
, где k  0,1,2,...;
k!
M(X)=λ=2; D(X)=λ=2; P(X≥1)=0,865
3
M(X)=1 мин; σ(X)=
 0,58
3
a) M(X)=0,1; D(X)=0,00333; σ(X)=0,0577;
б) p(X<0,04)=0,7;
p(X>0,05)=0,25
34
5
5
0,75
2.4.8.
0, при x  a,
 x  a
ab
(b  a)
F ( x)  
, при a  x  b, M ( X ) 
;  (X ) 
2
2 3
b  a
1, при x  b;
M ( XY ) 
2.4.9.
ab cd

;
2
2
(a 2  ab  b 2 )(c 2  cd  d 2 ) (a  b) 2 (c  d ) 2
D( XY ) 

9
16
0, при x  a,
 x  a
, при a  x  b,
2.4.10. F ( x)  
b

a

1, при x  b.
2.4.11.
2.4.12.
2.4.13.
2.4.14.
2.4.15.
2.4.16.
2.4.17.
2.4.18.
2.4.19.
2.4.20.
2
1
 x 1 1
e  ( x 1) 8 , F ( x)  

2 2
 2  2
0,30619
0,685
0,758
0,97585; 0,8664
0,8664
1) (-5; 25); 2) (0; 20); 3) (6,625; 13,375)
а=15,39; σ =3,26
M(X 2)=1,1849
95%
f ( x) 
35
Приложение 1
k  
Распределение Пуассона P [ X  k ] 
e
k!

k
0
1
2
3
4
5
6

k
0
1
2
3
4
5
6
7

k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,90484
0,09048
0,00452
0,00015
0,81873
0,16375
0,01638
0,00109
0,00006
0,74082
0,22223
0,03334
0,00333
0,00025
0,00002
0,67032
0,26813
0,05363
0,00715
0,00072
0,00006
0,60653
0,30327
0,07582
0,01204
0,00158
0,00016
0,00001
0,6
0,54881
0,32929
0,09879
0,01976
0,00296
0,00036
0,00004
0,7
0,49659
0,34761
0,12166
0,02839
0,00497
0,00070
0,00008
0,00001
0,8
0,44933
0,35946
0,14379
0,03834
0,00767
0,00123
0,00016
0,00002
0,9
0,40657
0,36591
0,16466
0,04940
0,01112
0,00200
0,00030
0,00004
1,0
0,36788
0,36788
0,18394
0,06131
0,01533
0,00307
0,00051
0,00007
0,00001
2,0
0,13534
0,27067
0,27067
0,18045
0,09022
0,03609
0,01203
0,00344
0,00086
0,00019
0,00004
0,00001
3,0
0,04979
0,14936
0,22404
0,22404
0,16803
0,10082
0,05041
0,02160
0,00810
0,00270
0,00081
0,00022
0,00006
0,00001
4,0
0,01832
0,07326
0,14653
0,19537
0,19537
0,15629
0,10419
0,05954
0,02977
0,01323
0,00529
0,00193
0,00064
0,00020
0,00006
0,00002
36
5,0
0,00674
0,03369
0,08422
0,14037
0,17547
0,17547
0,14622
0,10445
0,06528
0,03627
0,01813
0,00824
0,00343
0,00132
0,00047
0,00016
0,00005
0,00001
Приложение 2
Таблица значений функции  ( x) 
1  x2 / 2
e
2
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2
3989
3961
3894
3790
3652
3485
3292
3079
2850
2613
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
8
3977
3925
3386
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0002
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
37
Приложение 3
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
(x)
1 x z2 / 2
dz
Таблица значений функции ( x) 
e
2 0
0,0000
0040
0080
0120
0160
0199
0239
0279
0319
0359
0398
0438
0478
0517
0557
0596
0636
0675
0714
0753
0793
0832
0871
0910
0948
0987
1026
1064
1103
1141
1179
1217
1255
1293
1331
1368
1406
1443
1480
1517
1554
1591
1628
1664
x
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
(x)
0,1700
1736
1772
1808
1844
1879
1915
1950
1985
2019
2054
2088
2123
2157
2190
2224
2257
2291
2324
2357
2389
2422
2454
2486
2517
2549
2580
2611
2642
2673
2703
2734
2764
2794
2823
2852
2881
2910
2939
2967
2995
3023
3051
3078
(x)
x
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
0,3106
3133
3159
3186
3212
3238
3264
3289
3315
3340
3365
3389
3413
3438
3461
3485
3508
3531
3554
3577
3599
3621
3643
3665
3686
3708
3729
3749
3770
3790
3810
3830
3849
3869
3883
3907
3925
3944
3962
3980
3997
4015
4032
4049
38
x
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
(x)
0,4066
4082
4099
4115
4131
4147
4162
4177
4192
4207
4222
4236
4251
4265
4279
4292
4306
4319
4332
4345
4357
4370
4382
4394
4406
4418
4429
4441
4452
4463
4474
4484
4495
4505
4515
4525
4535
4545
4554
4564
4573
4582
4591
4599
x
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,01
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,2
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
(x)
0,4608
4616
4625
4633
4641
4649
4656
4664
4671
4678
4686
4693
4699
4706
4713
4719
4726
4732
4738
4744
4750
4756
4761
4767
4772
4783
4793
4803
4812
4821
4830
4838
4846
4854
4861
4868
4875
4881
4887
4893
4898
4904
4909
4913
Продолжение приложения 3
x
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
(x)
0,4918
4922
4927
4931
4934
4938
4941
4945
4948
4951
x
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
(x)
0,4953
4956
4959
4961
4963
4965
4967
4969
4971
4973
(x)
x
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
0,4974
4976
4977
4979
4980
4981
4982
4984
4985
4986
39
x
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
(x)
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997