Схема 1 Метод контурных токов В методе контурных токов за основные неизвестные величины принимают контурные токи, которые замыкаются только по независимым контурам (главным контурам). Контурные токи находят, решая систему уравнений, составленную по второму закону Кирхгофа для каждого контура. По найденным контурным токам определяют токи ветвей схемы. Алгоритмом метода контурных токов: 1. Задаются направлением токов ветвей и обозначают их на схеме. 2. Определяют независимые контуры и их нумеруют. При наличии в схеме источников тока независимые контуры, для которых составляются уравнения метода контурных токов, можно определить, если мысленно удалить источники тока. 3. Выбирают направление контурных токов (целесообразно в одну сторону) и составляют уравнения по методу контурных токов, обходя каждый контур в направлении его контурного тока. Контурный ток, проходящий через источник тока, известен и равен току источника тока (через источник тока проходит только один контурный ток!). 4. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно неизвестных контурных токов. 5. Искомые токи по методу контурных токов находят как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих по данной ветви. Токи в ветвях связи равны контурным токам. Зададимся направлением токов в трех контурах I11, I22, I33 По второму закону Кирхгофа запишем уравнения для этих контуров 𝐼11 ∙ (R1 + R 2 + R 3 ) + 𝐼22 ∙ R 3 − 𝐽1 ∙ R1 = 𝐸1 + 𝐸2 𝐼11 ∙ R 3 + 𝐼22 ∙ (R 3 + R 4 + R 5 ) + 𝐼33 ∙ R 5 = 𝐸2 𝐼33 ∙ R 5 + 𝐼22 ∙ R 5 = 𝐸3 Подставим исходные данные 𝐼11 ∙ 5 + 𝐼22 ∙ 1 = 2 + 2 + 1 ∙ 2 𝐼11 ∙ 1 + 𝐼22 ∙ 10 + 𝐼33 ∙ 5 = 2 𝐼22 ∙ 5 + 𝐼33 ∙ 5 = 1 𝐼22 = −5 ∙ 𝐼11 + 5 𝐼33 = 0,2 − 𝐼22 = 0,2 + 5 ∙ 𝐼11 − 5 = 5 ∙ 𝐼11 − 4,8 𝐼11 ∙ 1 + (−5 ∙ 𝐼11 + 5) ∙ 10 + (5 ∙ 𝐼11 − 4,8) ∙ 5 = 2 −𝐼11 ∙ 24 = −24; 𝐼11 = 1,0𝐴 𝐼22 = −5 ∙ 0,375 + 2 = 0 𝐴 𝐼33 = 5 ∙ 1 − 4,8 = 0,2𝐴 Определим токи в ветвях цепи: 𝐼1 = −𝐽1 = 1 − 1 = 0; 𝐼2 = −𝐼11 = −1𝐴; −𝐼22 = 2,65 − 1,92 = 0,73𝐴; 𝐼3 = 𝐼22 + 𝐼11 = 1𝐴; 𝐼4 = 𝐼22 = 0𝐴; 𝐼5 = 𝐼33 + 𝐼22 = 0,2𝐴; 𝐼6 = 𝐼33 = 0,2𝐴; Знак минус перед числовым значением тока I2 свидетельствует о том, что истинное направление тока противоположно изображенному на схеме. Метод узловых напряжений В методе узловых напряжений независимыми переменными являются напряжения узлов цепи относительно выбранного базисного (опорного) узла. Эти величины называют узловыми напряжениями. В качестве последнего удобно выбирать заземленный узел или узел, в котором сходится наибольшее число ветвей. Уравнения составляют только на основе первого закона Кирхгофа. Если принять потенциал базисного узла равным нулю, то узловые напряжения будут равны потенциалам соответствующих узлов. Поэтому метод называют также методом узловых потенциалов. В методе узловых напряжений используется число уравнений, равное числу независимых узлов, которое на единицу меньше общего числа узлов qH = q - 1, поскольку используется опорный узел. Заземлим узел 2, тогда потенциал этого узла равен нулю φ2=0. Для расчёта потенциалов оставшихся узлов составим систему уравнений 𝜑3 = 𝐸3 𝐺11 · 𝜑1 − 𝐺14 · 𝜑4 = 𝐼11 −𝐺41 · 𝜑1 + 𝐺44 · 𝜑4 = 𝐼44 𝐺11 = 1 1 1 1 + = + = 1,0 𝐶м 𝑅1 𝑅2 2 2 𝐺44 = 1 1 1 1 1 1 + + = + + = 1,75 См 𝑅1 𝑅3 𝑅4 2 1 4 𝐺14 = 𝐺41 = 1 1 = = 0,5 𝐶м 𝑅1 2 𝐺24 = 𝐺42 = 𝐼11 = 𝐽1 + 1 = 1 𝐶м 𝑅3 𝐸1 2 = 1 + = 2𝐴; 𝑅1 2 𝐼44 = −𝐽1 − 𝐸1 𝐸2 + = 0 𝐴; 𝑅1 𝑅3 Подставляя значения, получим: 1 · 𝜑1 − 0,5 · 𝜑4 = 45 −0,5 · 𝜑1 + 1,75 · 𝜑4 = 0 Проверка с применением первого закона Кирхгофа По первому закону Кирхгофа Узел 1: 𝐽1 + 𝐼1 + 𝐼2 = 1 + 0 − 1 = 0. Узел 2: 𝐼5 − 𝐼3 − 𝐼2 − 𝐼6 = 0,2 + 1 − 1 − 0,2 = 0 Узел 3: 𝐼4 − 𝐼5 + 𝐼6 = 0 − 0,2 + 0,2 = 0 Узел 4: −𝐽1 − 𝐼1 + 𝐼3 − 𝐼4 = −1 − 0 + 1 − 0 = 0 Схема 2 Метод контурных токов Зададимся направлением токов в трех контурах I11, I22, I33, I44 По второму закону Кирхгофа запишем уравнения для этих контуров 𝐼11 ∙ (R1 + R 2 ) − 𝐼22 ∙ R 2 = 𝐸1 −𝐼11 ∙ R 2 + 𝐼22 ∙ R 2 = 𝐸2 𝐼33 ∙ R 3 − 𝐼44 ∙ R 3 = −𝐸2 − 𝐸3 −𝐼33 ∙ R 3 + 𝐼44 ∙ (R 3 + R 4 ) = 𝐸3 Подставим исходные данные 𝐼11 ∙ 9 − 𝐼22 ∙ 4 = 2 −𝐼11 ∙ 4 + 𝐼22 ∙ 4 = 2 𝐼33 ∙ 1 − 𝐼44 ∙ 1 = −3 −𝐼33 ∙ 1 + 𝐼44 ∙ 3 = 1 Сложим два последних равенства −𝐼44 ∙ 2 = −2; 𝐼44 = −1𝐴 𝐼33 = −1 − 3 = −4𝐴 Сложим первое и второе равенства 𝐼11 ∙ 5 = 4; 𝐼11 = 0,8𝐴; 𝐼22 = 𝐼11 ∙ 9 − 2 = 1,3 𝐴 4 Определим токи в ветвях цепи: 𝐼1 = 𝐼11 = 0,8𝐴; 𝐼2 = 𝐼11 − 𝐼22 = −0,5𝐴; 𝐼3 = 𝐼22 − 𝐼33 = 5,3𝐴; 𝐼4 = 𝐼44 − 𝐼33 = 3,0 𝐴; 𝐼5 = 𝐼44 = −1,0𝐴; Метод узловых напряжений Заземлим узел 1, тогда потенциал этого узла равен нулю φ1=0. 𝜑2 = 𝜑2 + 𝐸2 = 2 В 𝐺11 · 𝜑1 − 𝐺14 · 𝜑4 = 𝐼11 −𝐺41 · 𝜑1 + 𝐺44 · 𝜑4 = 𝐼44 𝐼1 = 𝜑2 + 𝐸1 2 + 2 = = 0,8𝐴 R1 5 𝐼2 = 𝐼4 = −𝜑2 2 = − = −0,5𝐴 R2 4 𝜑2 + 𝐸3 2 + 1 = = 3𝐴 R3 1 𝐼5 = −𝜑2 −2 = = −1,0𝐴 R4 2 Проверка с применением первого закона Кирхгофа По первому закону Кирхгофа Узел 1: 𝐼1 + 𝐼4 − 𝐼2 − 𝐼3 − 𝐼5 = 0,8 + 3,0 + 0,5 − 5,3 + 1,0 = 0. Узел 2: −𝐼1 − 𝐼4 + 𝐼2 + 𝐼3 + 𝐼5 = −0,8 − 3,0 − 0,5 + 5,3 − 1,0 = 0
