1 Îïåðàòîðè Îïåðàòîð  öå ïðàâèëî âèäó (1) çà ÿêèì êîæíèé åëåìåíò ψ ëiíiéíîãî ïðîcòîðó ïåðåâîäèòüñÿ â iíøèé åëåìåíò ϕ öüîãî æ ëiíiéíîãî ïðîñòîðó, Âψ = ϕ. (2) Ïðèêëàäè îïåðàòîðiâ: • îïåðàòîð ïîõiäíî¨ ∂x ψ → ϕ,  : ψ (x) → ψ 0 (x) = ∂x ψ (x) ∂x : • îïåðàòîð iíâåðñi¨ êîîðäèíàò Î Î : • − − ψ (→ r ) → ψ (−→ r) îïåðàòîð çñóâó êîîðäèíàò T̂a T̂a : ψ (x) → ψ (x + a) . Ïðèéíÿòî ââàæàòè, ùî îïåðàòîð äi¹ ëèøå íà òå, ùî çíàõîäèòüñÿ ñïðàâà âiä íüîãî. Òîáòî ÿêùî Âψ = ϕ, òî χÂψ = χϕ. (3) Äëÿ ïîñëiäîâíîñòi îïåðàòîðiâ ââàæà¹òüñÿ, ùî ïåðøèì äi¹ òîé îïåðàòîð, ùî ¹ êðàéíiì ñïðàâà, ïîòiì íàñòóïíèé çà íèì, i ò.ä. Òîáòî ÂB̂ψ =  B̂ψ = Âϕ = χ, (4) äå B̂ψ = ϕ. ßê âèäíî ç (4), äîáóòîê îïåðàòîðiâ òàêîæ ¹ îïåðàòîðîì: øëÿõîì ïåðåïîçíà÷åííÿ Ĉ = ÂB̂ âèðàç (4) çâîäèòüñÿ äî (2). 1 1.1 Ëiíiéíiñòü îïåðàòîðiâ Îïåðàòîð  ¹ ëiíiéíèì îïåðàòîðîì, ÿêùî îäíî÷àñíî âèêîíóþòüñÿ íàñòóïíi óìîâè ëiíiéíîñòi îïåðàòîðà: X X  ψi = Âψi (5) i i c = const. Âcψ = cÂψ, Çàäà÷à 1. Äîâåñòè, ùî îïåðàòîð ∂x ¹ ëiíiéíèì îïåðàòîðîì. (6) Ðîçâ'ÿçîê. Ïåðåâiðÿ¹ìî ïåðøó óìîâó ëiíiéíîñòi (5). Íåõàé ψ = Pi ψi, òîäi !0 ∂x ψ = ψ 0 = X ψi = i X ψi0 = i X ∂x ψi , (7) i òîáòî ïåðøà óìîâà âèêîíó¹òüñÿ. Ïåðåâiðÿ¹ìî äðóãó óìîâó ëiíiéíîñòi (6): ∂x cψ = (cψ)0 = c0 ψ + cψ 0 = 0ψ + cψ 0 = c∂x ψ, (8) òîáòî äðóãà óìîâà òàêîæ âèêîíó¹òüñÿ. Îïåðàòîð ïîõiäíî¨ ∂x çàäîâîëüíÿ¹ îáîì óìîâàì ëiíiéíîñòi, îòæå âií ¹ ëiíiéíèì îïåðàòîðîì. Çàäà÷à 2. Ïåðåâiðèòè íà ëiíiéíiñòü îïåðàòîð çñóâó T̂a . Ðîçâ'ÿçîê. Ïåðåâiðÿ¹ìî ïåðøó óìîâó ëiíiéíîñòi (5). Íåõàé ψ = Pi ψi, òîäi T̂a ψ (x) = ψ (x + a) = X ψi (x + a) = i X T̂a ψi (x) , (9) i òîáòî ïåðøà óìîâà âèêîíó¹òüñÿ. Ïåðåâiðÿ¹ìî äðóãó óìîâó ëiíiéíîñòi (6): T̂a cψ (x) = cψ (x + a) = cT̂a ψ (x) , (10) òîáòî äðóãà óìîâà òàêîæ âèêîíó¹òüñÿ. Îòæå, öåé îïåðàòîð ¹ ëiíiéíèì. Çàäà÷à 3. Ïåðåâiðèòè ëiíiéíiñòü îïåðàòîðà ïiäíåñåííÿ äî ñòåïåíÿ Ân = ()n , n ≥ 0. 2 Ðîçâ'ÿçîê. • Âèïàäîê n = 0. Ïåðøà óìîâà: !0 X Â0 ψ = ψ 0 = ψi =1 (11) i 6= X Â0 ψi = X i ψi0 = X i 1, i òîáòî äàíà óìîâà íå âèêîíó¹òüñÿ. Äðóãà óìîâà: 0 (12) òîáòî äðóãà óìîâà íå âèêîíó¹òüñÿ. Òóò íåÿâíî âðàõîâàíî íàñòóïíå ïåðåïîçíà÷åííÿ: φ = cψ. Îòæå, Â0 íå ¹ ëiíiéíèì îïåðàòîðîì âíàñëiäîê ïîðóøåííÿ óìîâ ëiíiéíîñòi. Âèïàäîê n = 1. Ïåðøà óìîâà: Â0 cψ = (cψ) = 1 6= cψ 0 = c, • !1 Â1 ψ = ψ 1 = X ψi = X i ψi = i X ψi1 = i X Â1 ψi . (13) i Äðóãà óìîâà: (14) Îáèäâi óìîâè ëiíiéíîñòi çàäîâîëüíÿþòüñÿ, îòæå îïåðàòîð Â1 ¹ ëiíiéíèì îïåðàòîðîì. Ïðèìiòêà. Ïåðåâiðêó äëÿ Â1 ìîæíà íå ïðîâîäèòè, ÿêùî âðàõóâàòè, ùî Â1 = Iˆ îäèíè÷íèé îïåðàòîð, òîáòî îïåðàòîð, ÿêèé çàâæäè ïåðåâîäèòü åëåìåíò ψ â ñàìîãî ñåáå (íi÷îãî íå çìiíþ¹). Âèïàäîê n > 1. Ïåðøà óìîâà. Íåõàé ψ = Pi ψi = ψ1 + ψ2. Òîäi Â1 cψ = (cψ)1 = cψ = cψ 1 = cÂ1 ψ. • n X k k n−k Ân>1 ψ = ψ = (ψ1 + ψ2 ) = ψ ψ n 1 2 k=1 n n 6= ψ1n + ψ2n = Ân ψ1 + Ân ψ2 . 3 (15) Îñêiëüêè ïåðøà óìîâà (5) äëÿ îïåðàòîðà Ân>1 íå âèêîíó¹òüñÿ, òî âií íå ¹ ëiíiéíèì îïåðàòîðîì äëÿ áóäü-ÿêîãî çíà÷åííÿ n > 1. Îòæå, îïåðàòîð ïiäíåñåííÿ äî ñòåïåíÿ Ân ¹ ëiíiéíèì îïåðàòîðîì ëèøå ó âèïàäêó n = 1. Çàäà÷à 4. Ïåðåâiðèòè íà ëiíiéíiñòü îïåðàòîð iíâåðñi¨ êîîðäèíàò Î . Çàäà÷à 5. Ïåðåâiðèòè íà ëiíiéíiñòü îïåðàòîð çìiíè ìàñøòàáó M̂a : Çàäà÷à 6. íÿ 1.2 ψ (x) → √ aψ (ax) . Ïåðåâiðèòè íà ëiíiéíiñòü îïåðàòîð êîìïëåêñíîãî ñïðÿæåíĈ : ψ (x) → ψ ∗ (x) . Êîìóòàòîð òà àíòèêîìóòàòîð îïåðàòîðiâ Êîìóòàòîð îïåðàòîðiâ  òà B̂ : (16) h i Â, B̂ = ÂB̂ − B̂ Â. ßêùî êîìóòàòîð îïåðàòîðiâ ðiâíèé 0, òî êàæóòü, ùî îïåðàòîðè êîìóòóþòü.  çàãàëüíîìó âèïàäêó îïåðàòîðè íå êîìóòóþòü, òîáòî ðåçóëüòàò äi¨ îïåðàòîðiâ çàëåæèòü âiä ïîðÿäêó ¨õ âèêîíàííÿ. Íàïðèêëàä: − → − → → íàâêîëî ðiçíèõ îñåé a , b → • îïåðàòîðè ïîâîðîòó R̂− a , R̂− b • îïåðàòîðè çñóâó T̂a òà iíâåðñi¨ Î T̂a Îψ (x) = T̂a ψ (−x) = ψ (−x + a) (17) 6= Î T̂a ψ (x) = Îψ (x + a) = ψ (−x − a) . Áóäü-ÿêèé îïåðàòîð çàâæäè êîìóòó¹ ñàì iç ñîáîþ, òîáòî Â2 − Â2 = 0. Àíòèêîìóòàòîð îïåðàòîðiâ  òà B̂ : n o Â, B̂ = ÂB̂ + B̂ Â. h i Â,  = (18) ßêùî àíòèêîìóòàòîð îïåðàòîðiâ ðiâíèé 0, òî êàæóòü, ùî îïåðàòîðè àíòèêîìóòóþòü. 4 Çàäà÷à 7. Äîâåñòè, ùî i h i Â, B̂ = − B̂,  (19) i Â, B̂ = ÂB̂ − B̂  = − B̂  − ÂB̂ h i = − B̂,  . (20) h Ðîçâ'ÿçîê. h Çàäà÷à 8. Ïîêàçàòè, ùî " # X Âi , X i (21) i Xh = Âi , B̂k . B̂k k i,k Ðîçâ'ÿçîê. " # X i Âi , X B̂k = X = X = X Âi i k X B̂k − B̂k X X Âi i k k Âi B̂k − X B̂k Âi (22) k,i i,k Âi B̂k − B̂k Âi i,k i Xh = Âi , B̂k . i,k Çíàéòè àíòèêîìóòàòîð îïåðàòîðiâ  òà B̂ , ÿêùî ¨õíié êîìóòàòîð äîðiâíþ¹ íóëþ. Ðîçâ'ÿçîê. Çàäà÷à 9. n o Â, B̂ = ÂB̂ + B̂  h i = Â, B̂ = ÂB̂ − B̂  = 0 = ÂB̂ + ÂB̂ = 2ÂB̂ = 2B̂ Â. 5 ⇒ ÂB̂ = B̂  (23) Çàäà÷à 10. . Ðîçâ'ÿçîê. h B̂, Ĉ Âèðàçèòè êîìóòàòîð h ÂB̂, Ĉ i ÷åðåç êîìóòàòîðè h Â, Ĉ i i i h i ÂB̂, Ĉ = ÂB̂ Ĉ − Ĉ ÂB̂ = ÂB̂ Ĉ − ÂĈ B̂ + ÂĈ B̂ − Ĉ ÂB̂ =  B̂ Ĉ − Ĉ B̂ + ÂĈ − Ĉ  B̂ h i h i =  B̂, Ĉ + Â, Ĉ B̂. (24) Çíàéòè êîìóòàòîð îïåðàòîðiâ  òà B̂ , ÿêùî ¨õíié àíòèêîìóòàòîð äîðiâíþ¹ íóëþ. Çàäà÷à 12. Íåõàé êîìóòàòîð îïåðàòîðiâ  òà B̂ ðiâíèé ¨õ àíòèêîìóòàòîðó. Çíàéòè B̂ Â. Ùî ìîæíà ïðè öüîìó ñêàçàòè ïðî ÂB̂ ? h i h i Çàäà÷à 13. Çíàéòè Â, B̂ 2 , ÿêùî Â, B̂ = λ = const. Çàäà÷à 14. Äîâåñòè òîòîæíiñòü ßêîái h h ii h h ii h h ii Â, B̂, Ĉ + B̂, Ĉ,  + Ĉ, Â, B̂ = 0. (25) Çàäà÷à 11. 1.3 Ôóíêöi¨ âiä îïåðàòîðiâ Íåõàé f (x) ôóíêöiÿ, äëÿ ÿêî¨ âèçíà÷åíèé ðÿä Òåéëîðà f (x) = ∞ X f (n) (0) n=1 Òîäi ôóíêöiÿ âiä îïåðàòîðà f íàñòóïíèì ÷èíîì:  n! xn . öå îïåðàòîð, ÿêèé âèçíà÷à¹òüñÿ ∞ X f (n) (0) n f  =  . n! n=1 Çàäà÷à 15. Ðîçêðèòè äóæêè â îïåðàòîðíîìó âèðàçi 6 (26)  − B̂ .  + B̂ Ðîçâ'ÿçîê.  − B̂  + B̂ =   + B̂ − B̂  + B̂ = Â2 + ÂB̂ − B̂  − B̂ 2 h i = Â2 + Â, B̂ − B̂ 2 . (27) Ïðèìiòêà. Ïîðÿäîê ðîçêðèòòÿ äóæîê íå ñóòò¹âèé. Ðåçóëüòàò íå çìiíèòüñÿ, ÿêùî ðîçêðèâàòè ñïåðøó äðóãi äóæêè. Çàäà÷à 16. Ðîçêðèòè äóæêè äëÿ  + B̂ 2 . Ðîçâ'ÿçîê.  + B̂ 2 =  + B̂  + B̂ =   + B̂ + B̂  + B̂ = Â2 + ÂB̂ + B̂  + B̂ 2 n o = Â2 + Â, B̂ + B̂ 2 . (28) Ïðèìiòêà. Îñêiëüêè ïðî îïåðàòîðè  òà B̂ íi÷îãî íå âiäîìî, òî âîíè íå îáîâ'ÿçêîâî êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ. Ñàìå òîìó ïðàâèëî ðîçêðèòòÿ êâàäðàòó ñóìè òóò íå ïiäõîäèòü: îïåðàòîðè íå ¹ ÷èñëàìè. 2 Çàäà÷à 17. Ðîçêðèòè äóæêè äëÿ (x∂x ) . Ðîçâ'ÿçîê. Îñêiëüêè äóæêè ìiñòÿòü îïåðàòîð ïîõiäíî¨, äëÿ çðó÷íîñòi ñïðàâà âiä äóæîê ïîñòàâèìî ñèìâîë •, ÿêèé ïîçíà÷๠ôóíêöiþ, íà ÿêó äi¹ îïåðàòîð. Òîäi (x∂x )2 • = x∂x x∂x • = x∂x • +x2 ∂x2 • = x∂x + x2 ∂x2 •, (29) äå âèêîðèñòàíî, ùî ∂xf g = (f g)0 = f 0g + f g0. Îïóñòèâøè ñèìâîë •, îñòàòî÷íî îòðèìó¹ìî (x∂x )2 = x2 ∂x2 + x∂x . (30) Çàäà÷à 18. Ðîçêðèòè äóæêè äëÿ (∂x + x)2. 7 Ðîçâ'ÿçîê. Àíàëîãi÷íî äî ïîïåðåäíüî¨ çàäà÷i, (∂x + x)2 • = (∂x + x) (∂x + x) • = (∂x + x) (∂x • +x•) = ∂x2 • +x∂x • +∂x x • +x2 • = ∂x2 • +x∂x • + • +x∂x • +x2 • = ∂x2 • +2x∂x • + • +x2 • = ∂x2 + 2x∂x + x2 + 1 • . (31) Îïóñòèâøè ñèìâîë •, îñòàòî÷íî îòðèìó¹ìî (∂x + x)2 = ∂x2 + 2x∂x + x2 + 1. (32) −̂ −̂ p âèçíàr òà iìïóëüñó ÷àñòèíêè → Îïåðàòîðè êîîðäèíàòè → ÷àþòüñÿ ÿê → −̂ → −̂ − p = −i~∇. (33) r =→ r, Îá÷èñëèòè êîìóòàòîð [p̂x, x]. Ðîçâ'ÿçîê. Àíàëîãi÷íî äî ïîïåðåäíiõ çàäà÷, ìà¹ìî Çàäà÷à 19. çâiäêè îñòàòî÷íî [p̂x , x] • = [−i~∂x , x] • = −i~∂x x • +i~x∂x • = −i~ • −i~x∂x • +i~x∂x • = −i~•, (34) [p̂x , x] = −i~. (35) −̂ Îïåðàòîð ìîìåíòó iìïóëüñó → L âèçíà÷à¹òüñÿ ÿê âåêòîð→ −̂ → −̂ íèé äîáóòîê îïåðàòîðiâ r òà p Çàäà÷à 20. (36) − äå → e i îäèíè÷íèé âåêòîð (îðò) âçäîâæ îñi Oxi , εijk ñèìâîë Ëåâi×èâiòè, à ïî ïîâòîðþâàíèì iíäåêñàì ïðîâîäèòüñÿ ïiäñóìîâóâàííÿ. → −̂ −̂ −̂ − L =→ r ×→ p =→ e i εijk x̂j p̂k , 8 Ðîçïèñàâøè (36) ïîêîìïîíåíòíî òà âðàõóâàâøè ïðåäñòàâëåííÿ (33), îòðèìó¹ìî L̂x = ε1jk xj p̂k = y p̂z − z p̂y , L̂y = ε2jk xj p̂k = z p̂x − xp̂z , (37) L̂z = ε3jk xj p̂k = xp̂y − y p̂x . h i L̂i , x̂s Çíàéòè êîìóòàòîð . Ðîçâ'ÿçîê. Ç (36), ðîçêðèâøè êîìóòàòîð çãiäíî (16) òà âðàõóâàâøè (33), ìà¹ìî h i L̂i , x̂s = [εijk xj p̂k , xs ] = εijk [xj p̂k , xs ] , (38) äå âðàõîâàíî, ùî εijk ¹ ñòàëîþ âiäíîñíî îïåðàòîðiâ êîîðäèíàòè òà iìïóëüñó, à òîìó éîãî ìîæíà âèíåñòè çà ìåæi êîìóòàòîðà. Âèêîðèñòàâøè (24), ç (38) îòðèìó¹ìî εijk [xj p̂k , xs ] = εijk xj [p̂k , xs ] + εijk [xj , xs ] p̂k = εijk xj (−i~δks ) = −i~εijs xj , (39) äå âðàõîâàíî, ùî [p̂k , xs] = −i~δks, [xj , xs] = 0. Îñòàòî÷íî, âðàõóâàâøè â (39), ùî εijs = −εisj , ìà¹ìî h i L̂i , x̂s = i~εisj xj . Çàäà÷à 21. (40) Äëÿ îïåðàòîðiâ 1 (mωx̂ − ip̂) 2~mω 1 â = √ (mωx̂ + ip̂) , 2~mω ↠= √ (41) äå m, ω êîíñòàíòè, x̂, p̂ îïåðàòîðè êîîðäèíàòè òà iìïóëüñó â 1 † âèìiðíîìó ïðîñòîði, çíàéòè êîìóòàòîð â , â . Ïðèìiòêà. Îïåðàòîðè ↠òà â íàçèâàþòüñÿ îïåðàòîðàìè íàðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ ÷àñòèíîê. 9 Ðîçâ'ÿçîê. Ç (41) i (21) 1 [(mωx̂ − ip̂) , (mωx̂ + ip̂)] 2~mω 1 = m2 ω 2 [x̂, x̂] + imω [x̂, p̂] − imω [p̂, x̂] + [p̂, p̂] 2~mω i ([x̂, p̂] − [p̂, x̂]) = 2~ i = − [p̂, x̂] ~ ↠, â = (42) äå ó 3-ìó ðÿäêó âðàõîâàíî, ùî [x̂, x̂] = [p̂, p̂] = 0, à â 4-ìó âèêîðèñòàíî (19). Ïiäñòàâèâøè (35) â (42), îñòàòî÷íî îòðèìó¹ìî, ùî † â , â = −1. (43) Çíàéòè êîìóòàòîð f f  ôóíêöiÿ âiä îïåðàòîðà. Ðîçâ'ÿçîê. Âèêîðèñòîâóþ÷è (26) òà (21), ìà¹ìî Çàäà÷à 22. h i  , B̂ , ÿêùî h i Â, B̂ = c = i h i X f (n) (0) h Ân , B̂ . f  , B̂ = n! n const, (44) Ðîçãëÿíåìî ÂnB̂ , âðàõóâàâøè óìîâó çàäà÷i ÂB̂ − B̂  = c: Ân B̂ = Ân−1 ÂB̂ = Ân−1 B̂  + c 99K = Ân−1 B̂  + cÂn−1 = Ân−2 ÂB̂  + cÂn−1 n−2 =  B̂  + c  + cÂn−1 99K = Ân−2 B̂ Â2 + 2cÂn−1 = Ân−3 ÂB̂ Â2 + 2cÂn−1 = ... 99K = B̂ Ân + ncÂn−1 , 10 (45) äå 99K ïðîñòî âêàçó¹ íà çàêîíîìiðíiñòü. Ïiäñòàâëÿþ÷è (45) â (44), îñòàòî÷íî îòðèìó¹ìî h i X f (n) (0) f  , B̂ = c nÂn−1 n! n X f (n) (0) ∂ Ân =c n! n X f (n) (0) = c∂ Ân n! n 0 = cf  . (46) Íåõàé σ̂ îïåðàòîð, äëÿ ÿêîãî σ̂2 = Iˆ. Çíàéòè eασ̂ , äå α äîâiëüíå ÷èñëî. Ðîçâ'ÿçîê. Ç (26) ìà¹ìî Çàäà÷à 23. e ασ̂ = = = ∞ X αn n=0 ∞ X k=0 ∞ X k=0 n! σ̂ n ∞ α2k 2k X α2k+1 2k+1 σ̂ + σ̂ (2k)! (2k + 1)! k=0 (47) ∞ α2k ˆ X α2k+1 I+ σ̂ (2k)! (2k + 1)! k=0 = Iˆ cosh α + σ̂ sinh α, äå ó 3-ìó ðÿäêó âðàõîâàíî, ùî ∀k, σ̂ 2k = σ̂ 2 Çàäà÷à 24. α Íåõàé k ˆ = Iˆk = I. const. Äîâåñòè, ùî äëÿ äîâiëüíîãî ÷èñëà eα(Â+B̂ ) = eα eαB̂ e−cα /2 . (48) h i Â, B̂ = c = 2 11 Ðîçâ'ÿçîê. Ïðîäèôåðåíöiþ¹ìî ôóíêöiþ f = eαÂeαB̂ ïî α: ∂α f = ∂α eα eαB̂ α αB̂ α αB̂ = ∂α e e +e ∂α e =e α αB̂ Âe α αB̂ +e e B̂ (49) = Âf + f B̂, äå ó 4-ìó ðÿäêó âèêîðèñòàíî (46). Ç (46) ñëiäó¹, ùî h i (50) eα , B̂ = αceα , çâiäêè, ïîìíîæèâøè (50) ñïðàâà íà eαB̂ , îòðèìó¹ìî (51) h i f, B̂ = αcf. Ç (49) òà (51) îòðèìó¹ìî äèôåðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ äëÿ f : ∂α f = Âf + B̂f + αcf =  + B̂ + αc f. (52) Ïîìíîæèâøè (52) ñïðàâà íà f −1 òà ïðîiíòåãðóâàâøè ïî α, ìà¹ìî f = eα(Â+B̂ ) ecα 2 /2 = eα eαB̂ . (53) Ïîìíîæèâøè (53) íà e−cα /2, îòðèìó¹ìî (48). 2 Çàäà÷à 25. Ðîçêðèòè äóæêè äëÿ  − B̂ 2 . Ðîçêðèòè îïåðàòîðíi äóæêè ∂x + x1 3. 2 Çàäà÷à 27. Ðîçêðèòè îïåðàòîðíi äóæêè (∂x · x) . Çàäà÷à 28. Ïîêàçàòè, ùî Çàäà÷à 26. [p̂i , xj ] = −i~δij , äå p̂i i-òà êîìïîíåíòà îïåðàòîðà iìïóëüñó, x̂j j -òà êîìïîíåíòà îïåðàòîðà êîîðäèíàòè, δij ñèìâîë δ-Êðîíåêåðà. Çàäà÷à 29. Îá÷èñëèòè êîìóòàòîð [p̂i , p̂j ]. 12 Îá÷èñëèòè êîìóòàòîð h L̂i , p̂s Îá÷èñëèòè êîìóòàòîð Çàäà÷à 32. Äîâåñòè, ùî h L̂i , L̂j Çàäà÷à 30. Çàäà÷à 31. i . . i Ŝ −1 f  Ŝ = f Ŝ −1 ÂŜ , (54) äå Ŝ −1 îïåðàòîð, îáåðíåíèé äî Ŝ , òîáòî Çàäà÷à 33. ˆ Ŝ −1 Ŝ = Ŝ Ŝ −1 = I. h i Â, B̂ = c = Äîâåñòè, ùî ÿêùî const, òî ˆ eα B̂e−α = B̂ + αcI, äå α äîâiëüíå ÷èñëî, Iˆ îäèíè÷íèé îïåðàòîð. Ïiäêàçêà. Ñêîðèñòàòèñÿ (46). 13 (55)