Тригонометрические уравнения на ЕГЭ

УРОК алгебры в 10 классе
Учитель: Шустова Надежда Ивановна
Тема: «Тригонометрические уравнения на ЕГЭ»
Цель урока:
Систематизировать знания и навыки необходимые при решении всех
тригонометрических уравнений изученных за курс алгебры и начал анализа, расширить
представления учащихся о методах решения тригонометрических уравнений, применении
тригонометрии в заданиях ЕГЭ; подготовка к сдаче экзамена в форме ЕГЭ.
Развивать интерес к истории математики и ее практическим приложениям,
логическое мышление, математическую грамотность речи.
Воспитывать познавательную активность, чувство ответственности, культуру
общения, культуру диалога.
Оборудование: компьютер, мультимедийные презентации. Приложение 1.
Компетентности, формируемые на учебном занятии
Обучающийся должен знать:
- значения тригонометрических функций для углов;
- тригонометрические формулы;
- формулы для решения простейших тригонометрических уравнений;
- технологию решения основных типов тригонометрических уравнений:
 введение новой переменной;
 разложение на множители;
 однородные уравнения первой и второй степени.
Ученик должен уметь:
- распознавать вид уравнения;
- определяться со способом решения каждого конкретного уравнения
Тип урока: урок повторения и обобщения.
Формы организации работы на уроке: индивидуальная, групповая.
Ход урока:
1. Организационный момент
Приветствие. Сообщение темы и цели урока. Подготовка учащихся к работе на
уроке.
2.Актуализация опорных знаний.
На доске приготовлена таблица значений функций, которую учащиеся заполняют
по строчкам, правильность каждой из которой проверяются с помощью
открывающихся сразу после ответа слайдом на экране.
Таблица:
0
π /6
Π
π /4
Π
π /3
Π
π /2
Π
π
π/2
3
π
sin α
cos α
tg α
ctg α

Простейшие тригонометрические уравнения (по одной строчке)
2






Частные случаи (а=0, а=1, а=-1)
Основные тригонометрические тождества
Формулы суммы и разности аргументов
Формулы двойного аргумента (тройного)
Формулы половинного аргумента или формулы понижения степени
Формулы для преобразования суммы и разности тригонометрических функций
в произведение
 Формулы приведения.
Все формулы и правила учащиеся проговаривают устно, правильность
ответов проверяется сразу открывающимся слайдом на экране.
3. Решение задач.
Способы решения тригонометрических уравнений. Схемы для простейших
уравнений и для различных способов решения (метод замены переменной, метод
разложения на множители, однородные уравнения первой и второй степени,
введением вспомогательного угла) выведены на экран. Каждый из способов
обсуждается и рассматривается на конкретных примерах, которые были заданы
отдельным ученикам. Презентации – выступления ребят
 «Простейшие тригонометрические уравнения» Глоба К..
 «Два метода решения тригонометрических уравнений» Ильченко Д.
 «Решение однородных уравнений» Дацунова Г.
 «Введение вспомогательного аргумента» Бражкина В.
4. Закрепление на доске. Решение в группах и представление на доске
уравнений каждого приложения.
Метод замены переменной.
1) 2sin² x -5sin x +2 = 0
sin x =t, ǀtǀ≤1(*),
2t²-5t + 2=0,
t=½, sin x = ½, x=(-1)ⁿ·π/6 +πn, nєZ,
t=2-не удовлетворяет условию (*).
2) cos² x – sin² x – cos x=0,
2cos²x – cos x – 1 =0,
cos x=t, ǀtǀ≤1(*),
2t² - t – 1 =0, t=-½, cos x =- ½, x = ±⅔π+2πn, nєZ,
t= 1, cos x = 1, x = 2πn.
3) tg x/2 + 3ctg x/2 = 4,
tg x/2 =t, tєR,
t + 3/t – 4 = 0, t² - 4t + 3 = 0,
t=1, tg x/2 = 1, x =π/2 + 2πn,
t = 3, tg x/2 = 3, x = 2arctg 3 +2πn, nєZ.
Метод разложения на множители.
1) (sin x - ⅓)(cos x+2/5)=0,
sin x – 1/3=0
или
sin x = 1/3,
x =(-1)ⁿ·arcsin1/3 + πn, nєZ,
2) 2sin x cos 5x – cos 5x = 0,
cos x + 2/5 = 0,
cos x =-2/5,
x = ±(π-arccos2/5) + 2πn, nєZ.
cos 5x (2sin x - 1) = 0,
cos 5x = 0,
или
x = π/10 + πn/5, nєZ,
2sin x – 1 =0,
x = =(-1)ⁿ·π/6 +πn, nєZ.
Однородные уравнения 1-ой степени.
1) 2sin x – 3 cos x = 0, /:cos x
2tg x – 3 = 0,
tg x = 3/2,
x = arctg 3/2 + πn, nєZ.
2) sin 2x + cos 2x = 0,/:cos 2x
tg 2x =-1,
x =- π/8 + πn/2, nєZ.
Однородные уравнения второй степени.
1) sin² x – 3 sin x· cos x + 2cos² x = 0, /:cos² x
tg² x – 3tg x + 2 = 0,
tg x =t, tєR,
t² - 3t + 2 = 0,
t =1, tg x = 1, x = π/4+ πn, nєZ,
t = 2,tg x = 2, x = arctg2 + πn, nєZ.
2) √3sin x· cos x + cos² x = 0,
cos x(√3sin x + 1) = 0,
cos x = 0,
или
x = π/2 +πn, nєZ,
sin x = -1/√3,
x = (-1)ⁿ·arcsin(-1/√3) + πn, nєZ/
3) sin³ x + sin² x· cos x – 3sin x· cos² x – 3cos³ x = 0, /:cos³ x
tg³ x + tg² x – 3tg x – 3 = 0,
(tg x - 3)(tg x + 1)= 0,
tg x =±√3
или
tg x = -1,
x = ±arctg√3 + πn, nєZ,
x = -π/4.
4) 3sin² 3x – 2√ 3sin 3x· cos 3x + 5cos² 3x = 2,
sin² 3x – 2√ 3sin 3x · cos 3x + 3cos² 3x =0,
tg² 3x – 2√3tg 3x + 3 = 0,
(tg 3x - √3)² = 0,
tg 3x = √ 3,
x = π/6 +πn/3, nєZ.
5. Проверочная самостоятельная работа. Решение с самопроверкой на
проекторе.
Проверочная работа.
1 вариант.
Реши уравнение:
1) sin² x – 4sin x + 3 = 0
2) 3cos x/2 = 2 cos² x/2
3) 3 cos² x – sin² x + 2sinx cosx = 0
2 вариант.
Реши уравнение:
1) cos² x – 4cos x + 3 = 0
2) 3sin x/2 = 2sin² x/2
3) 3sin² x + 4cos² x– 3sinx cosx = 2
Ответы.
1 вариант.
1) x=π/2 +2πn, nєZ,
2) x = π +2πn, nєZ.
3) x =- π/4+ πn, nєZ,
x = arctg3 + πn, nєZ.
2 вариант.
1) x = 2πn. nєZ,
2) x = 2πn, nєZ.
3) x = π/4+ πn, nєZ,
x = arctg2 + πn, nєZ.
Оценка
Количество
верных ответов
«5»
«4»
«3»
«2»
3
2
1
0
6. Любое число - тремя двойками.
Творческое задание.
- Продолжим урок остроумной алгебраической головоломкой, которой
развлекались участники одного съезда физиков в Одессе. Предлагается задача: любое
данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и
математических символов, например, пусть данное число 3.
7. Итог урока.
Рефлексия
1. О чем вы не имели представления до сегодняшнего урока и что теперь вам стало
ясно?
2. Что нового вы узнали о методах решения тригонометрических уравнений?
3. Какая информация вас заинтересовала?
4. С какими трудностями вы столкнулись при решении заданий?
5. Понравился ли вам сегодняшний урок?
8. Домашнее задание: найти и решить одно «интересное» тригонометрическое
уравнение из ЕГЭ с применением способа, не рассмотренном на уроке.