С ОДЕРЖАНИЕ 2 Дискретные марковские цепи Непрерывные марковские цепи ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 М АРКОВСКИЙ АНАЛИЗ 3 ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 применим в ситуации, когда будущее состояние системы зависит только от ее текущего состояния. используется для изучения краткосрочного и долгосрочного поведения стохастических систем. обычно используют для анализа ремонтопригодных систем, которые могут работать во многих режимах, а в ситуациях, когда применение анализа надежности отдельных блоков системы нецелесообразно. может быть использован для расчета эксплуатационной готовности. В АРИАНТЫ МАРКОВСКОГО 4 АНАЛИЗА ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 дискретный - дискретные состояния и дискретное время (цепь Маркова) - использует вероятности перехода между состояниями; непрерывный - дискретные состояния и непрерывное время (непрерывная Марковская цепь) - использует коэффициенты интенсивности перехода из состояния в состояние. другие варианты: непрерывные состояния и дискретное время (Марковские последовательности); непрерывные состояния и непрерывное время. О СНОВА МЕТОДА 5 На практике обычно используются Марковские цепи с дискретным или непрерывным временем. основан на понятии «состояния» (например, работоспособное и неработоспособное состояния) и перехода между этими состояниями во времени в предположении постоянной вероятности перехода. ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 И СХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ М АРКОВСКОГО АНАЛИЗА 6 перечень различных состояний системы, подсистемы или компонента (например, полное функционирование, частичное функционирование или ухудшенное состояние, отказ); точное понимание возможных переходов, которые необходимо смоделировать; скорость перехода из одного состояния в другое, обычно представленная либо вероятностью перехода (Pi) для дискретных событий, либо интенсивностью отказов (λ) и (или) интенсивностью восстановления (μ) для непрерывных событий. Состояние в текущий момент времени S1 S2 S3 S4 ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 Состояние в следующий момент времени S1 S2 S3 Pi λ μ S4 В ХОДНЫЕ И ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ 7 МЕТОДА При построении Марковских моделей сначала необходимо выделить возможные состояния системы и собрать данные для вычисления вероятностей переходов системы из одного состояние в другое. Для описания переходов между состояниями используют стохастическую матрицу вероятностей перехода, которая является основой для проведения вычислений по методу. Итогом проведенных расчетов является вывод о вероятности стабильности системы во времени, надежности системы. То есть, вероятности Pi пребывания процесса в состояниях Si, и доли времени, которую процесс проводит в каждом из состояний. ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 И СХОДНЫЕ ДАННЫЕ ПРИМЕРА М АРКОВСКОГО АНАЛИЗА ( ДИСКРЕТНОГО ) 8 Система может находиться только в трех состояниях: работоспособном (S1), ухудшенном (S2) и неработоспособном (S3). Матрица переходов P: Состояние в текущий момент времени ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 Состояние в следующий момент времени S1 S2 S3 S1 0,95 0,04 0,01 S2 0,3 0,65 0,05 S3 0,2 0,6 0,2 Диаграмма Маркова: круги - состояния, стрелки – переходы. Стрелки, замкнутые на одном состоянии, обычно не показывают, они приведены для полноты представления. Ц ЕЛЬ В ПРИМЕРЕ ДИСКРЕТНОГО М АРКОВСКОГО АНАЛИЗА 9 Определить вероятность нахождения системы в определенном состоянии через n шагов. Например, с какой вероятность она окажется неработоспособной (S3) через n шагов. Цепь Маркова называется неприводимой (эргодической), если любое состояние Sj может быть достигнуто из любого другого состояния Si за конечное число переходов. все состояния такой цепи называются сообщающимися, а граф переходов является сильно связным. Процесс, порождаемый такой цепью, начавшись в некотором состоянии, никогда не завершается. Система переходит из одного состояния в другое с разной частотой, зависящей от переходных вероятностей. В итоге основная характеристика эргодической цепи: вероятности Pi пребывания процесса в состояниях Si, i = 1,..., n, и доля времени, которую процесс проводит в каждом из состояний. ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 РАСЧЕТ ДИСКРЕТНОГО 10 МАРКОВСКОГО АНАЛИЗА Обозначаем заданную матрицу переходов за один временной шаг Р и назовем ее одношаговой матрицей перехода. Вероятности переходов за два временных шага - двухшаговую матрицу переходов можно получить, умножая одношаговую матрицу саму на себя: Р(2) = Р × Р. Вероятности умножаются т.к. события связанные (зависимые): только после исходного события возникает через промежуток времени следующее событие. ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 РАСЧЕТ ДИСКРЕТНОГО 11 ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 МАРКОВСКОГО АНАЛИЗА Обозначаем заданную матрицу переходов за один временной шаг Р и назовем ее одношаговой матрицей перехода. Вероятности переходов за два временных шага - двухшаговую матрицу переходов можно получить, умножая одношаговую матрицу саму на себя: Р(2) = Р × Р. Трехшаговая матрица: Р(3) = Р × Р(2) N-шаговая матрица: Р(n) = Р × Р(n-1) РАСЧЕТ ДИСКРЕТНОГО 12 МАРКОВСКОГО АНАЛИЗА Обозначаем заданную матрицу переходов за один временной шаг Р и назовем ее одношаговой матрицей перехода. Вероятности переходов за два временных шага - двухшаговую матрицу переходов можно получить, умножая одношаговую матрицу саму на себя: Р(2) = Р × Р. Трехшаговая матрица: Р(3) = Р × Р(2) N-шаговая матрица: Р(n) = Р × Р(n-1) Если известно распределение вероятностей по состояниям в начальный момент t = 0 и оно определяется вектор-столбцом q: Тогда распределение вероятностей через n шагов (t = n) может быть определено: q(n) = P(n) × q ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 РАСЧЕТ ПРИМЕРА 13 Определить вероятность нахождения системы в определенном состоянии через n шагов. Например, с какой вероятность она окажется неработоспособной (S3) через 3 шага. Исходные данные: Двухшаговая матрица: ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 РАСЧЕТ ПРИМЕРА 14 Исходные данные: Двухшаговая матрица: Трехшаговая матрица: ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 РАСЧЕТ ПРИМЕРА 15 Исходные данные: Двухшаговая матрица: ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 Трехшаговая матрица: ИТОГ: Вероятности нахождения системы в состояниях S1, S2, S3 через 3 временных промежутка: РАСЧЕТ ПРИМЕРА 16 Исходные данные: Двухшаговая матрица: ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 Трехшаговая матрица: ИТОГ: Вероятности нахождения системы в состояниях S1, S2, S3 через 3 временных промежутка: П РЕДЕЛЬНОЕ М АРКОВА ( ДИСКРЕТНОЙ ) ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ЦЕПИ 17 ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 ПОВЕДЕНИЕ Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, то возникает вопрос о предельном поведении вероятностей: Pi(t), t → ∞. Для эргодических цепей в этом случае наступает стационарный режим, при котором переходная матрица перестает меняться. Все ее столбцы матрица переходов P(n) , n ∞, станут одинаковыми и равными стационарному (неподвижному) вектору вероятностей, задающему стационарное вероятностное распределение состояний и не зависят от распределения вероятностей состояний системы в начальный момент времени, т.е. Pi = const. Н АЙДЕМ СТАЦИОНАРНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 18 (Р 1 , Р 2 , Р 3 ) ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 Pi - вероятность постоянного нахождения системы в состоянии Si, i=1, 2, 3. Т.к. события Si несовместны, а система без памяти, т.е. переход обусловлен только текущим состоянием, предыдущий переход (в текущее состояние) и следующий переход осуществляются независимо, и можно определить полные вероятности перехода в каждое из состояний: Но, первые три уравнения зависимы, поэтому исключаем одно из них (например - третье) и добавляем четвертое, получаем: Н АЙДЕМ СТАЦИОНАРНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 19 (Р 1 , Р 2 , Р 3 ) то есть: Решаем матричное уравнение: , причем определитель матрицы A должен быть отличен от 0. Тогда получаем: Р1 = ……, Р2 = ……. и Р3 = ……. ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 Н АЙДЕМ СТАЦИОНАРНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 20 (Р 1 , Р 2 , Р 3 ) то есть: Решаем матричное уравнение: , причем определитель матрицы A должен быть отличен от 0. Тогда получаем: Р1 = 0,85, Р2 = 0,13 и Р3 = 0,02. Значит, система является полностью функционирующей в течение 85% времени, в ухудшенном состоянии в течение 13% времени и в состоянии отказа в течение 2% времени ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 Н ЕПРЕРЫВНЫЙ М АРКОВСКИЙ 21 АНАЛИЗ ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 Непрерывный Марковский анализ - дискретные состояния и непрерывное время (непрерывная Марковская цепь) - использует коэффициенты интенсивности перехода из состояния в состояние. Исходные данные: перечень различных состояний системы, подсистемы или компонента (например, полное функционирование, частичное функционирование или ухудшенное состояние, отказ); точное понимание возможных переходов, которые необходимо смоделировать; скорость перехода из одного состояния в другое, обычно представленная либо вероятностью перехода (Pi) для дискретных событий, либо интенсивностью отказов (λ) и (или) интенсивностью восстановления (μ) для непрерывных событий. И НТЕНСИВНОСТЬ ОТКАЗОВ 22 Интенсивность отказов λ (t) это условная плотность вероятности возникновения отказа объекта, которая определяется для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник. где P(t)- вероятность безотказной работы системы. Это основной закон надежности. Если λ=const то P(t)= exp(-λ*t) ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 П РИМЕР ИНТЕНСИВНОСТИ 23 ОТКАЗОВ P(t)= exp(-λ*t) Т.е. вероятность безотказной работы системы подчиняется экспоненциальному закону распределения времени безотказной работы и одинакова за любой одинаковый промежуток времени в период нормальной эксплуатации. Если P(t) = const = P = 0,85 то для любого t ( для простоты t=1) λ = ln(0,85) = 0,16 ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 24 И НТЕНСИВНОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ Интенсивность восстановления (tв) - условная плотность вероятности восстановления объекта в момент времени tв, отсчитываемого от момента начала восстановления, при условии, что до этого момента восстановления объекта не произошло (ГОСТ). Интенсивность восстановления — количество ремонтов (устраненных отказов) в единицу времени: где n — число восстановленных элементов; tBj — продолжительность восстановления i-го элемента. ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 П РИМЕР ИНТЕНСИВНОСТИ 25 ВОССТАНОВЛЕНИЯ При экспоненциальном распределении времени восстановления (аналогично - как в отказах) при допущении: интенсивность восстановления = const, будем иметь: Тв=1/ или = 1/Тв где Тв – время восстановления работоспособности системы. ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 Например, при Тв = 1 час. = 1 Тв = 0,5 час. = 2 М ОДЕЛЬ К ОЛМОГОРОВА : ВЕРОЯТНОСТИ 26 СОСТОЯНИЙ И ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЙ S0, S1 – работоспособное и неработоспособное состояния системы λ - интенсивность отказов - интенсивность восстановления ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 П РИМЕР НЕПРЕРЫВНОГО М АРКОВСКОГО АНАЛИЗА 27 ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 Рассмотрим ситуацию, когда система состоит из двух последовательных элементов, т.е. для работоспособности системы оба элемента должны находиться в работоспособном состоянии. Элементы могут быть в работоспособном состоянии или в состоянии отказа. Работоспособность системы зависит от состояния элементов. Возможны следующие состояния элементов: S1. Оба элемента находятся в работоспособном состоянии; S2. Один элемент отказал и находится на восстановлении, а другой находится в работоспособном состоянии; S3. Оба элемента отказали и находятся на восстановлении. Найти вероятность того, что система будет находится в стационарном работоспособном состоянии. Д ИАГРАММА СОСТОЯНИЯ 28 ПЕРЕХОДА Интенсивность отказа каждого элемента - λ, Интенсивность восстановлений - μ, и они являются постоянными. Интенсивность перехода из S1 в S2 равна 2λ, т.к. отказ любого из двух элементов приводит систему в S2 ( а эти события независимы). Для перехода из S2 в S1, равно как и для перехода из S3 в S2, требуется восстановление одного элемента с интенсивностью μ. Переход из S2 в S 3 происходит при отказе одного элемента с интенсивностью λ. Сумма интенсивностей переходов (по исходящим стрелкам) для каждого состояния должна быть равна нулю. Отсюда можно определить интенсивность остальных переходов. ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 М АТРИЦА ПЕРЕХОДОВ 29 Пусть Pi(t) - вероятность нахождения системы в начальном состоянии i в момент времени t, Pi(t + δt) - вероятность нахождения системы в конечном состоянии в момент времени (t + δt). Тогда: Нулевые значения в таблице возникают потому, что переходы из состояния S1 в состояние S3 или из состояния S3 в состояние S1 невозможны. Сумма в столбце переходной матрицы должна быть равна нулю. ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 У РАВНЕНИЯ , ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ СИСТЕМУ ( ВРЕМЯ НЕПРЕРЫВНО ) 30 Система уравнений в непрерывном случае имеет вид: Если dt ∞, то dPi/dt 0, что позволяет упростить уравнения. Аналогично дискретному случаю, необходимо одно уравнение исключить ( проще второе) и в качестве третьего использовать дополнительное уравнение В итоге: ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 В ЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ М АРКОВСКОГО АНАЛИЗА 31 ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 Уравнение работоспособности A(t) = P1(t) + P2(t) можно записать в виде: A = P1 + P2 То есть, вероятность пребывания системы в работоспособном состоянии Выходными данными Марковского анализа являются вероятности пребывания системы в различных состояниях, то есть оценки вероятностей отказа и/или безотказной работы системы. П ЛЮСЫ И МИНУСЫ МЕТОДА 32 ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 Плюсы: Марковский анализ позволяет вычислять вероятности состояний систем с восстановлением и множественными состояниями деградации. Минусы: должны выполняться предположения о постоянстве вероятностей перехода и статистической независимости всех рассматриваемых событий (т. е. будущие состояния не зависят от прошлых состояний, за исключением непосредственно предшествующего состояния). возможны только два состояния элементов системы: отказ и восстановление. Необходимо знать все вероятности перехода. Работа с методом невозможна без знания операций с матрицами и системами линейных алгебраических уравнений. П РИМЕРЫ 33 ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020 Определить время Тв для системы, представленной диаграммой Маркова (см.рис.), которое предоставляется для восстановления работоспособности системы, если известно что интенсивность отказов λ = λ*, и требуемая вероятность пребывания системы в работоспособном состоянии А = А* : Вариант λ* А* Вариант 1 0,16 0,90 Вариант 2 0,16 0,85 Вариант 3 0,16 0,80 Вариант 4 0,16 0,95
