Метеорологическое обеспечение народного хозяйства Преподаватель: д.ф.-м.н. Яна Викторовна Дробжева ЛЕКЦИЯ 1 Погода и климат оказывают огромное влияние на развитие общества. Целесообразность использования сведений о метеорологических условий очевидна. Принимаемые хозяйственные решения носят двоякий характер. Одни не связаны с погодными условиями, другие связаны с учетом метеорологических факторов. Потребителю метеорологической информации важно не только вовремя принять меры защиты в соответствии с предупреждением об опасном или неблагоприятном метеорологическом явлении, но и вести свою хозяйственную деятельность с учетом ожидаемой погоды в непрерывном режиме. Такие оперативные решения потребителя называются погодно-хозяйственными. Целью данного курса является: сформировать у вас четкие представления о полезности метеорологической информации, и о способах количественной оценки этой полезности. Погода - это физическое состояние атмосферы в определенный момент или промежуток времени, характеризуемое совокупностью метеорологических величин и атмосферных явлений. Атмосфера находится в непрерывном движении. Она полностью участвует во вращательном движении Земли вокруг Солнца и своей оси. Кроме этого периодического движения, атмосфера находится в сложном движении относительно поверхности Земли. Под влиянием взаимодействия с земной поверхностью, притока энергии от Солнца и внутренних процессов физическое состояние атмосферы и отдельных ее частей непрерывно изменяется. Для количественной характеристики состояния атмосферы введено понятие метеорологических величин. Метеорологические величины - это температура, давление, плотность и влажность воздуха; скорость и направление ветра; количество, высота и толщина облаков; интенсивность осадков; метеорологическая дальность видимости; водность туманов, облаков и осадков; потоки лучистой энергии и тепла и др. 1 В метеорологии часто используется понятие атмосферного явления (или просто явления), под которым имеют в виду определенный физический процесс, сопровождающийся резким (качественным) изменением состояния атмосферы. Атмосферные явления – это туман, гроза, изморозь, роса, иней, обледенение, осадки, облака, полярные сияния и др. Непрерывное изменение состояния атмосферы во времени и пространстве приводит к изменению метеорологических величин и атмосферных явлений. Климат – многолетний, характерный для данного района режим погоды. В зависимости от практической деятельности человека для характеристики погоды привлекаются различные совокупности метеорологических величин и явлений. Информация о текущем и будущем состоянии атмосферы, рек, озер, морей, сбором, и обработкой которой занимается гидрометеорологическая служба, широко используется в различных областях экономики и в деле обороны страны. 1.1 Классификация гидрометеорологической информации, используемой в экономике. Первичная метеорологическая информация это метеорологическая информация, получаемая с сети метеорологических, аэрологических, радиолокационных и др. станций, искусственных спутников земли, самолетов и других источников и содержащая данные наблюдений за метеорологическими величинами и явлениями погоды во всей толще атмосферы. (Полная программа наблюдений за состоянием среды включает 27 видов гидрометинформации: Отдать список! ) Первичная информация, поступающая с наземных метеорологических станций может быть регулярной и нерегулярной. Регулярная информация это результаты систематических наблюдений за погодой в определенные единые физические моменты времени на сети метеостанций. 2 Нерегулярная информация – это результаты наблюдений, выполняемые по специальному назначению (штормовые оповещения, метеорологические данные по запросам, проводимые по специальным программам и др.). Первичная метеорологическая информация должна отвечать следующим требованиям: 1) быть унифицированной; 2) адекватно отражать состояние атмосферы; 3) передаваться мобильно и с большой скоростью. Вторичная информация это информация о климатических характеристиках, а также все виды метеорологических и агрометеорологических прогнозов, составленные на основании первичной метеорологической информации. Вторичная информация – это обобщение метеорологической информации, которое позволяет сделать заключение о метеорологическом режиме, о текущих изменениях и будущем состоянии атмосферных процессов и погоды. Метеорологическую информацию, используемую в экономике, можно разделить на два класса. К первому классу относится метеорологическая информация консультативного назначения: прогнозы общего пользования, прогнозы погоды на месяц, текущая информация о состоянии погоды, различного рода справки, обзоры и консультации. Ко второму классу относится метеорологическая информация специализированного назначения: нормативные метеорологические данные – средние, экстремальные, вероятностные и другие статистические характеристики метеорологических величин и явлений погоды, а также прогнозы погоды и предупреждения об опасных явлениях (ОЯ) и особо опасных явлениях (ООЯ), необходимые для хозяйственных организаций. В соответствии с двумя классами метеорологической информации установлены два вида метеорологического обеспечения: Общее и специализированное метеорологическое обеспечение. Метеорологическое обеспечение общего назначения предусматривает предупреждения о стихийных гидрометеорологических явлениях, об экстремально высоком уровне загрязнения, разработку прогнозов до трех суток, распространение информации о фактической погоде. 3 Прогнозы важны для населения, чтобы обеспечить безопасность и здоровье людей. На основе этих прогнозов составляют прогнозы состояния водных объектов (рек, озер, наводнений), а также предупреждения об особо опасных явлениях погоды. Для горных районов разрабатывают прогнозы селей, схода снежных лавин, оползней. Для городов – уровень загрязнения атмосферы. Для курортов. Финансируется этот вид метеорологического обеспечения за счет бюджета Росгидромета. Специализированное метеорологическое обеспечение – проводится по заказу потребителя и содержит метеорологическую информацию, необходимую для выполнения конкретной производственной работы. Ключевым для обоих видов метеорологического обеспечения является прогноз погоды. Основные виды прогнозов погоды. Прогнозы погоды различают: по охвату территории: для пункта (города, аэродрома), района (области) и маршрута (железной дороги, авиа трассы, морского пути и т.п.); по времени действия: 1) сверхкраткосрочный прогноз – на час и менее; 2) краткосрочный прогноз – от 12 до 48 часов; 3) среднесрочный прогноз – на 3-10 суток; 4) долгосрочный прогноз – на месяц, сезон; 5) сверхдолгосрочный – на год или несколько лет. Это традиционная классификация по продолжительности действия прогноза, выработанная практикой. Основные классы прогнозов погоды. В зависимости от назначения различают два класса прогнозов: прогнозы погоды общего назначения и специализированные. Прогнозы погоды общего назначения предназначены для всех граждан и передаются несколько раз в сутки. Они включают основные сведения об ожидаемой погоде: 1) общую характеристику облачности, 2) указание на возможность выпадения осадков, их вид и интенсивность, 3) особые 4 явления погоды, 4) направление и скорость ветра, 5) значение минимальной температуры воздуха ночью и максимальной днем. Специализированные прогнозы погоды составляются как регулярно для определенных отраслей экономики, так и по единичным запросам. В них детально характеризуются те метеорологические элементы, которые необходимы для данной отрасли. При этом часто включаются характеристики, отсутствующие в общем прогнозе. 1.3. Методические и стандартные прогнозы. Методические прогнозы. В синоптической практике все оперативные прогнозы, основанные на применении некоторых физически обоснованных методов (синоптического, гидродинамического, физико-статистического), являются методическими. По формулировке степени утверждения достоверности ожидаемой погоды методические прогнозы разделяются на два вида: категорические и вероятностные. Категорические прогнозы содержат утверждение о полной достоверности ожидаемой погоды. В таких прогнозах явления ожидаемой погоды указывается в виде числа или интервала чисел (градации), в виде качественной характеристики (слабый, умеренный) или альтернативы (наличие или отсутствие явления). Градация дается в виде интервала, ширина которого устанавливается заранее, а граничные условия изменяются. Например, завтра температура от 18 до 20 градусов, с шириной интервала 2 градуса. При этом границы могут меняться от 17 до 19 и т.д. Однако Категорические прогнозы не содержат указаний, насколько вероятно такое утверждение. Такие прогнозы содержат категорическое утверждение, которое в действительности не имеет 100% - й обеспеченности. Их существенный недостаток в том, что нет информации о вероятности ожидаемой метеорологической величины или явления погоды. Вероятностные прогнозы содержат указания о вероятностях осуществления ожидаемых явлениях погоды или метеорологических величин. Например, вероятность грозы в Петербурге составляет 0, 85 или 85%. Вероятностные прогнозы требуют разработки специальных методов прогнозирования. Простой прием такого метода сводится к следующему. 5 На основании статистически обеспеченного ряда категорических прогнозов и данных фактических наблюдений строится матрица сопряженности условий прогноз - факт и полученные частоты сопряжения выражаются в вероятностной форме. Такой вероятностный прогноз широко используется в решении многих метеоролого-экономических задач. Стандартные прогнозы. Стандартные прогнозы – это прогнозы, которые не требуют использования какой-либо методики или специальных научных разработок. Это неметодические прогнозы. К ним относятся: случайные, инерционные и климатологические. Их еще называют критериальными. Случайные прогнозы – это такие, которые выбираются наудачу, «вслепую» из всей области распределения данной метеорологической величины. Исходу выбора текста прогноза наудачу соответствует определенная случайная величина (скорость ветра, температура, количество осадков и т.п.) При прогнозе явлений погоды исходу случайного прогноза будет соответствовать «наличие» или «отсутствие» явления. Опыт оперативной синоптической работы показывает, что при сложных синоптических условиях, даже методические прогнозы могут оказаться на уровне случайного (резкое возмущение в атмосфере). Прогнозы, при которых предсказанные значения метеорологических величин не зависят от распределения повторяемости осуществившихся значений, называются случайными. Такой прогноз статистически не связан с наблюдавшимся явлением, а следовательно, и вероятность осуществления признака Ф или Ф не зависит от формулировки прогноза. Инерционные прогнозы – это прогнозы, основанные только на исходном состоянии погоды. Прогнозируется то, что есть сейчас. Любое начальное значение метеорологической величины или комплекса величин или их тенденции рассматривается как прогностическое. Составляются эти прогнозы на основании правомерного допущения об инерционности атмосферы, т.е. такие характеристики атмосферы, как температура и влажность воздуха, атмосферное давление и направление ветра, при определенных условиях могут сохранять свои исходные значения в течение некоторого времени. 6 С увеличением периода прогнозирования свойство инерционности атмосферы физически утрачивается, а, следовательно, уменьшается оправдываемость такого прогноза - она приближается к ошибке случайного. Циклонические процессы, особенно в холодную часть года, содержат меньшую инерционность метеорологических величин, чем антициклонические. Климатологический прогноз - это прогноз, в котором в качестве прогнозируемой величины берется среднее многолетнее значение – норма. Можно рассчитать не только средние значения, но их средние квадратичные отклонения или максимальные и минимальные значения или вероятность данной метеорологической величины. Эти прогнозы содержат одну и ту же формулировку на длительный период – месяц, сезон и содержится в справочниках. Каждый из этих стандартных прогнозов обладает определенной объективной закономерностью и в этом смысле свободен от влияния синоптика. Это качество позволяет применять их для оценки успешности методических прогнозов. Стандартные прогнозы ещё называют базовыми. 1.4. Системы оценки успешности прогнозов погоды Под успешностью (оправдываемостью) прогнозов понимается отношение числа оправдавшихся прогнозов к общему числу прогнозов. При этом прогноз считается оправдавшимся, если отклонения предсказанных характеристик погоды от фактически наблюдавшихся не выходят за пределы, допустимые для данной отрасли экономики. Один и тот же прогноз погоды может оказаться оправдавшимся для одной отрасли, и неоправдавшимся для другой. Успешность или оправдываемость прогнозов есть критерий качества прогнозов. Выделяют две системы оценки успешности прогнозов: административную и матричную. Под системой оценки понимается набор правил и численных мер оценки для решения целевой задачи. В рамках административной системы оценивается успешность единичных прогнозов, т.е. отдельного явления погоды или какой-то одной метеорологической величины. Это, например, ежедневные краткосрочные прогнозы – на 12 и 24 часа. Оценивается на основании правил и допусков ошибок Наставления по краткосрочным прогнозам погоды общего 7 назначения (далее прогнозам погоды), его последнее издание появилось в 2002. Суточные прогнозы составляются и оцениваются раздельно по пункту и территории, а прогнозы на последующие двое суток составляются и оцениваются только по территории. 1.5.Матричная система: оценки успешности альтернативных прогнозов Альтернативный прогноз содержит одну из двух взаимоисключающих градаций (состояний, фаз) погоды: ожидается (П) или не ожидается ( П ). В синоптической практике альтернативный прогноз трактуется как «наличие» или «отсутствие» данного состояния погоды (например, ветер двух градаций, облачность двух градаций, другие явления погоды с фазами «наличие» или отсутствие). Оценка оправдываемости прогноза должна проводиться по достаточно большой совокупности N прогнозов погоды. Удовлетворительные оценки получаются при N ≥ 30 и хорошие N ≥ 100. Очевидно, что чем больше N, тем достовернее результаты. В современной отечественной и зарубежной синоптической практике результаты метеорологических прогнозов обобщаются в виде матриц (таблиц) сопряженности. 1.5.1.Алгоритм оценки успешности альтернативных прогнозов 1. Строится матрица сопряженности методических прогнозов. (На основании данных о прогнозируемых и фактических условиях погоды за выбранный отрезок времени (месяц, сезон, год)! 2. Строится матрица сопряженности инерционных прогнозов. (Выполняется только по фактическим (ежедневным) сведениям о погоде, а значит – о явлениях погоды и метеорологических величинах. Например, для скорости ветра, который как метеорологическая величина обладает свойством инерционности). и/или 3. Строится матрица сопряженности случайных прогнозов. 4. Проводится расчет критериев успешности прогнозов. (Устанавливается адекватность прогнозируемых Пj и фактических Фi метеорологических величин и явлений погоды! Особенность оценки 8 методических прогнозов в том, что полученные критерии сопоставляются с аналогичными для стандартных прогнозов!) 5. Результаты расчета критериев сводятся в таблицу, и рассчитывается относительное превышение методических над стандартными. ЛЕКЦИЯ 2 Построение матриц сопряженности альтернативных прогнозов. Матрица сопряженности является обобщенной формой представления осуществления (реализации) прогноза погоды (или метеорологической величины по соответствующим градациям). Иначе говоря, в виде матрицы (таблицы) прогностических и фактических значений метеорологической величины, явления погоды или другой характеристики погоды. В виде матрицы сопряженности представляется информация о прогнозируемых и фактических условиях погоды за выбранный отрезок времени (месяц, сезон, год). Она содержит число случаев (nij) соответствия этих условий (Пj ~ Фi). Выборка прогностической информации о погоде Пj и сопоставление их с фактической погодой (Фi) производится на основании оперативных синоптических журналов (или иных форм представления прогнозов). Итак, матрица сопряженности имеет вид матрицы размером m х n , которая содержит: два прогностических условия (m=2): «явление прогнозируется» (П) или «не прогнозируется» ( П ) и два условия исхода (n=2): «явление было» (Ф), или «не было» Ф . Таблица 1 Общий вид матрицы сопряженности (оправдываемости) альтернативных прогнозов. Прогнозировалось, Пj Фактически П – наличие явления, П – отсутствие наблюдалось, неблагоприятного явления, Фi условия погоды неблагоприятного условия погоды Ф – явление n12 n11 наблюдалось n21 n22 Ф – явление не наблюдалось n2 n01 n02 n m2 n j 1 j n10 n20 N i i 1 9 В таблице 1 сопряженность «прогноз-факт» выражена числом случаев nij (в учебнике используется термин «частота» вместо «числа случаев»). Первая цифра при n – номер строки (i), вторая – номер столбца (j). Пj – прогноз данной градации. Фi – фактическая погода той же градации. Итак, nij определяется по условию: что ожидалось по прогнозу (Пj) и что фактически наблюдалось (Фi) или nij – число случаев сопряженности Фi ~ Пj. Соответствующие сочетания «прогноза» и «факта» характеризуют следующее: n11 — число случаев оправдавшихся прогнозов наличия явления — явление прогнозировалось П и наблюдалось Ф. n21 — число случаев неоправдавшихся прогнозов наличия явления — явление прогнозировалось П, но не наблюдалось Ф . n12 — число случаев неоправдавшихся прогнозов отсутствия явления — явление (или состояние погоды) не прогнозировалось П , но фактически наблюдалось Ф. n22 — число случаев оправдавшихся прогнозов отсутствия явления — явление не прогнозировалось П и фактически не наблюдалось Ф . Здесь n12 — ошибки первого рода — ошибки пропуски; n21 — ошибки второго рода — ошибки страховки. n01 — число случаев прогнозов наличия явления — число прогнозов с текстом П. n02 — число случаев прогнозов отсутствия явления — число прогнозов с текстом П . n10 — число случаев наличия явления — столько раз явление фактически наблюдалось Ф. n20 — число случаев отсутствия явления — столько раз явление фактически не наблюдалось Ф . N — общее число прогнозов. 2.1 Построение матрицы сопряженности методического прогноза. Рассмотрим на примере методических суточных прогнозов гололеда для ряда потребителей Г. Ростова-на-Дону. Предварительно, на основании прогностических данных, имеющихся в «Журналах погоды», и данных 10 метеорологических наблюдений составлялась сводная таблица результатов прогнозирования за каждые сутки. Всего за январь-март и ноябрь-декабрь (1983 и 1984 гг.) было составлено 303 суточных прогноза. Схема разработки матрицы методических прогнозов. 1. За выбранный период времени устанавливается общее число прогнозов N (у нас N = 303) и число случаев, когда явление фактически наблюдалось Ф, т.е. n10. У нас n10 = 14. 2. Устанавливается число случаев отсутствия явления Ф , т.е. n20. У нас n20 = 289. 3. Находим число случаев, когда явление прогнозировалось П, т.е. n01. У нас n01= 17. 4. Находим число случаев, когда явление не прогнозировалось П , т.е. n02= N - n01. У нас n02 = 303-17=286. 5. Из таблицы находим число случаев, когда явление не прогнозировалось П (знак «−»), но наблюдалось Ф ( знак ) (выделены жирными линиями), т.е. n12. У нас n12= 8. 6. Находим остальные элементы матрицы как разностные значения: n11= n10− n12= 14-8=6; n21= n01− n11=17-6=11; n22= n20− n21= 289-11= 278. В результате было найдено: n01= 17 — число прогнозов наличия явления П; n02 = 286 — число прогнозов отсутствия явления П ; n10 = 14 — число случаев, когда явление фактически наблюдалось Ф; n20 = 289 — число случаев, когда явление фактически не наблюдалось Ф ; N = 303 – общее число суточных прогнозов. Записываем в матрицу! 2.2 Таблица сопряженности методического прогноза гололеда. Прогнозировалось, Пj Фактически П – наличие явления, П – отсутствие наблюдалось, неблагоприятного явления, Фi условия погоды неблагоприятного условия погоды Ф – явление n12 8 n11 6 наблюдалось m2 n j 1 j n10 14 11 Ф – явление n21 11 n22 278 n20 289 n02 286 N 303 не наблюдалось n2 n n01 17 i i 1 2.3 Построение матрицы сопряженности инерционного прогноза. Эта матрица устанавливается только по фактическим данным об явлении. Исходное состояние или значение явления рассматривается как прогностическое Пин и выполняется сравнение с последующим состоянием или значением, которое принимается за факт Фин. Последнее состояние или значение снова принимается за прогноз и т.д. Такая цепочка сопоставления «прогноза - факта» выполняется в таблице данных «по вертикали». Общее число методических и инерционных прогнозов должно быть одинаково. Поэтому в начале ряда Фi следует условно добавить одно значение предшествовавшей погоды Ф0 , допустить Ф0 = Ф1. Или сделать такую операцию в конце ряда Фn+1 = Фn. Порядок построения. 1. Фактически наблюдавшаяся частота явления погоды не зависит от способа прогнозирования. Поэтому n10 и n20 в матрице инерционного прогноза будут те же, что и в матрице методической, то есть 14 и 289, соответственно. 2. Инерционные прогнозы обладают свойством несмещённости, то есть количество фактически наблюдавшихся фаз погоды (n10 и n20) равно количеству текстов прогнозов (n01 и n02). Это означает, что n10 = n01= 14 и n20 = n02=289. Заносим значения в таблицу! 3. Находим число ошибок – пропусков n12 . Для этого по таблице проводим сопоставление значений Фi «по вертикали» и находим случаи, когда предшествующее явление отсутствовало, а последующее наблюдалось↕. Оказалось n12 = 10. Так же благодаря свойству несмещенности в инерционной матрице n12 = n21. И в нашем случае n12 = n21=10. 4. Находим соответствующие разности, чтобы определить остальные значения. n11= n10− n12= 14 – 10 = 4 n22= n02− n12= 286 − 10 = 276. 12 Итак, матрица сопряженности инерционного прогноза выглядит следующим образом: 2.4 Таблица сопряженности инерционного прогноза гололеда. Прогнозировалось, Пj Фактически П – наличие явления, П – отсутствие m 2 nj наблюдалось, неблагоприятного явления, j 1 Фi условия погоды неблагоприятного условия погоды Ф – явление n12 10 n10 14 n11 4 наблюдалось n21 10 n22 279 n20 289 Ф – явление не наблюдалось n2 n01 14 n02 289 N 303 n i i 1 2.5 Построение матрицы сопряженности случайного прогноза. Явления погоды, особенно вызванные конвективными процессами, обладают достаточно большой пространственно-временной изменчивостью. Отсутствие «обложного» характера таких явлений вызывает определенные сложности их прогнозирования по пункту. В пределах крупного города, например, ливневые осадки, ожидаемые по прогнозу, редко наблюдаются по всей его территории. Появление ливневого дождя в той или иной части города с позиции статистического анализа носит случайный характер. Естественно полагать, что в качестве стандартного прогноза такого рода явлений можно рассматривать случайный прогноз. Прогнозы, при которых предсказанные значения метеорологических величин не зависят от распределения повторяемости осуществившихся значений, называются случайными. Такой прогноз статистически не связан с наблюдавшимся явлением, а следовательно, и вероятность осуществления признака Ф или Ф не зависит от формулировки прогноза. Рассмотрим более общее пояснение случайного прогноза, или, что то же самое, случайного характера связи между признаками (категориями) П и Ф. Независимость этих признаков означает, что знание признака П не дает нам никакой информации о при13 14 Итак, матрица сопряженности случайного прогноза выглядит следующим образом: 2.5.4. Матрица сопряженности случайного прогноза гололеда. Прогнозировалось, Пj Фактически П – наличие явления, П – отсутствие m 2 nj наблюдалось, неблагоприятного явления, j 1 Фi условия погоды неблагоприятного условия погоды Ф – явление n12 13 n10 14 n11 1 наблюдалось n21 16 n22 273 n20 289 Ф – явление не наблюдалось n2 n01 17 n02 286 N 303 n i i 1 15 ЛЕКЦИЯ 3 Оценка успешности альтернативных прогнозов . Критерии успешности. Успешность прогнозирования погоды есть степень соответствия значений метеорологических величин и явлений погоды, содержащихся в тексте прогноза тем, которые реально наблюдались. Устанавливается адекватность (сходство) прогнозируемых и фактических значений метеорологических величин или явлений погоды. В качестве мер успешности прогнозов используются различные критерии. Критерии успешности позволяют дать количественную оценку результативности как методических, так и стандартных прогнозов. Особенность оценки методических прогнозов заключается в том, что эти оценки сопоставляются с аналогичными оценками для стандартных прогнозов. Можно сказать, что стандартным прогнозам соответствует нулевая мера мастерства прогнозирования. Прежде чем рассчитывать критерии, надо выяснить, а существует ли в принципе статистическая связь между прогнозом и фактом. Это выполняется с помощью критерия независимости Пирсона или критерий хи-квадрат. Прежде всего, примем нулевую гипотезу Н0, что прогноз П и факт Ф независимы. Нулевая гипотеза – это утверждение о распределении в целом или о нескольких его параметрах, которое предполагается подвергнуть статистической проверке. С помощью критерия Пирсона будем ее проверять. Критерий независимости Пирсона можно рассчитать и по формуле, представленной в книге Митропольского А.К. «Техника статистических вычислений»: n m 2 i 1 j 1 n ij n n сл ij сл 2 ij , (3.1) где элементы матрицы сопряженности методического прогноза nij сравниваются с элементами матрицы сопряженности случайного прогноза nijсл , которые характеризуют независимость случайных величин, 16 принятых в качестве нулевой гипотезы. Этой формулой мы тоже будем пользоваться. При неограниченном росте N (N – число повторений некоего опыта) случайная величина подчиняется табличному 2 асимптотически распределению 2 со степенями свободы . Для распределения 2 составлены специальные таблицы. 2. Для определения теоретического (табличного) значения 2 рассчитывается число степеней свободы ν в таблице сопряженности. (Число степеней свободы этого распределения определяется как разность между числом событий и числом связей, налагаемых моделью). k1 1k 2 1 , где k1 – число строк, k2 – число столбцов. 3. Задаем уровень значимости α – это вероятность отвергнуть нулевую гипотезу Н0, хотя на самом деле она верна. Критический уровень считается равным 0.05 или 5%. Смотрим табличное значение степеней свободы ν. 2 , для α = 0.05 и данного числа Если Если 2 > 2, , то нулевая гипотеза Н0 отвергается. 2 ≤ 2, , то нулевая гипотеза Н 0 принимается. Для нашей матрицы методического прогноза: смотрим табличное значение 2, для α = 0.05 и числа степеней свободы ν =1: 2, = 3.84: 2 > 2, , то есть нулевая гипотеза о том, что прогноз В нашем случае и факт независимы – отвергается, а это означает, что П и Ф – взаимозависимы , так как 2 > 2, ! 2. Общая оправдываемость прогнозов. 17 Под оправдываемостью прогнозов понимается их общая оправдываемость как отношение числа оправдавшихся прогнозов к общему числу прогнозов. 2.1.Общая оправдываемость альтернативного прогноза в процентах определяется по формуле: n11 n22 p 100% , N (3.2) где n11 и n22 – число случаев оправдавшихся прогнозов соответственно при сочетании П ~ Ф и П ~ Ф . Недостатки критерия р. 1) Не позволяет установить преимущество методического прогноза перед формальным (климатологическим). Если постоянно прогнозировать одну и ту же фазу погоды, например, отсутствие явления, то общая оправдываемость таких формальных прогнозов для нашей матрицы (прогноз гололеда) составит: p 289 100% 95,4% 303 В то же время общая оправдываемость методических прогнозов: p n11 n22 6 278 100% 100% 93.7% N 303 2). Критерий р не учитывает характера распределения ошибок – пропусков ( n12 ) и ошибок-страховок n21 . Замена их местами в матрице, очевидно, не вызывает изменения р. А на практике может оказаться, что для одного потребителя убыточнее будет вариант, когда n12 n21 , а для другого, когда n21 n12 . 3) Критерий р не учитывает географических различий, климатической природы прогнозируемого состояния погоды. Очевидно, если общая оправдываемость р прогнозов гроз в Архангельске и Астрахани 85%, то прогнозы гроз в Архангельске – предпочтительнее, так как там повторяемость гроз мала и прогнозы для Архангельска более надежны. 18 Аналогичные формулы для расчета общей оправдываемости инерционных и случайных прогнозов. 2.2. Общая оправдываемость инерционных прогнозов. ин ин n11 n22 4 279 pин 100% 100% 93% N 303 (3.3) 2.3. Общая оправдываемость случайных прогнозов. сл сл 11 22 сл n n 1 273 p 100% 100% 90% . N 303 (3.4) 3. Критерий надежности прогнозов по Н.А. Багрову (Н). р рсл Н ридеал рсл , (3.5) где ридеал=1 или 100, если р и рсл вычисляются в процентах. Значения Н меняются в пределах от 0 до 1. Чем ближе параметр Н к единице, тем лучше прогноз. (В знаменателе мы видим насколько идеальный прогноз лучше случайного, а в числителе любой другой прогноз (неидеальный) сравнивается со случайным. Если бы в числителе р был идеальным, то Н =1, а если соответствовал случайному, то Н= 0). Н р рсл 0,937 0,9 0,37 ; ридеал рсл 1 0,9 Н р рин 0,937 0,93 0,1 ридеал рин 1 0,93 4. Критерий точности прогнозов по М.А. Обухову (Q). 19 n12 n21 Q 1 n10 n20 , (3.6) Рассмотрим выражение в скобках: n12/n10 – частота ошибки первого рода при большом N есть вероятность ошибки первого рода; n21/n20 – тоже самое, но для ошибки второго рода. Очевидно, если из 1 вычитаем вероятности ошибок, то получаем вероятность успешных прогнозов. Показатель Q выражает долю успешных прогнозов при известной повторяемости фаз явлений. Он меняется в пределах от 1 до -1. Q = 1 – прогнозы на уровне идеальных; Q = 0 – прогнозы на уровне случайных; Q = -1- все прогнозы ошибочны. Рассчитаем для наших матриц прогноза гололеда. n n n n 11 8 10 10 Q м 1 12 21 1 0,39 ; Qин 1 12 21 1 0,26 14 289 14 289 n10 n20 n10 n20 5. Количество прогностической отношение υ (ипсилон). информации. Информационное О любой системе Х, которая случайным образом может оказаться в том или ином состоянии говорят, что ей присуща какая-то степень неопределенности. 1. Например, рассмотрим монету, которая в результате бросания примет одно из двух состояний: орел или решка и игральную кость, у которой 6 возможных состояний – неопределенность системы «кость» очевидно больше. Степень неопределенности системы определяется числом возможных состояний системы и вероятностями состояния. Все состояния погоды имеют природную неопределенность осуществления, то есть погода случайным образом может оказаться в том или ином состоянии. 20 Рассмотрим систему Ф , которая может принимать конечное множество состояний Фi . Мы говорим об альтернативных прогнозах, поэтому Фi - это 2 природных равновозможных события: дождь (Ф) и отсутствие дождя ( Ф ). За определенный промежуток времени представлена статистически представительная выборка N, позволяющая установить вероятности каждой из выбранных фаз дождя. Эти вероятности называются безусловными (или априорными). ni 0 р(Фi ) pi 0 N В качестве меры априорной неопределенности системы применяется характеристика, называемая энтропией. Энтропией системы называется сумма произведений вероятностей различных состояний системы на логарифмы этих вероятностей, взятая с обратным знаком. n Н (Ф) р Фi log p Фi i 1 . (3.7) Если за основание логарифма выбрано 10, то энтропия выражается в десятичных единицах (дитах) ( если основание равно 2 – в двоичных единицах (битах)). Знак минус перед суммой поставлен для того, чтобы энтропия была положительной (числа р меньше единицы и их логарифмы отрицательны) log a N m, N a m Логарифм числа N по основанию а, показатель степени m, в которую следует возвести число а (основание Л.), чтобы получить N; обозначается logaN. Итак, m = logaN, если ам = N. Например, log10 100 = 2 Выразим (3.7) через элементы матрицы для альтернативного прогноза: n10 n20 n20 n10 H (Ф) log log N N N N (3.8) 21 Задача методического прогноза сводится к тому, чтобы уменьшить климатическую (безусловную) энтропию (уменьшить природную неопределенность осуществления явления погоды) и тем самым повысить определенность знаний о возможной реализации прогнозируемого явления. Для этого используется дополнительная информация об ожидаемом явлении, которая выражена в тексте методического прогноза. Таким образом, к системе Ф добавляется система П. И нам надо определить энтропию для сложной системы, полученной объединением этих двух (может быть и более систем) простых систем. Причем эти системы зависимы. Чтобы найти энтропию зависимых систем вводится понятие условной энтропии. Пусть имеются две системы П и Ф зависимые. Предположим, система П приняла состояние Пj. Обозначим P(Фi / П j ) условную вероятность того, что система Ф примет состояние Фi при условии, что система П находится в состоянии Пj. Определим условную энтропию системы П находится в состоянии Пj. Ф при условии, что система Н (Ф / П j ) Р(Фi / П j ) log РФi / П j n i 1 . (3.9) Условная энтропия зависит от того, какое состояние Пj приняла система П; для одних состояний она будет больше, для других – меньше. Определим среднюю или полную энтропию системы Ф с учетом того, что система может принимать разные состояния. Для этого нужно каждую Н (Ф / П j ) условную энтропию (3.9) умножить на вероятность соответствующего состояния Р( П j ) и все такие произведения сложить. Обозначим полную условную энтропию H ( Ф/П ) 22 m H (Ф / П ) P( П j ) H (Ф / П j ) j 1 (3.10) H (Ф / П ) есть степень неопределенности Ф, после того, как П полностью определилось. И пользуясь формулой (3.9) запишем: Н (Ф / П ) РП j P(Фi / П j ) log PФi / П j m n j 1 i 1 nij где условная вероятность Р( П j ) p 0 j РФi / П j = qij n 0j ; а безусловная n0 j N . И на основании частот матрицы сопряженности можно записать: n01 n11 n11 n21 n21 log log N n01 n01 n01 n01 Н (Ф / П ) n n n n n 02 12 log 12 22 log 22 . n02 n02 n02 N n02 (3.11) В случае, когда, интересующая нас система Ф и система П различны, возникает вопрос: какое количество информации о системе Ф дают сведения о системе П. Естественно определить эту информацию, как уменьшение энтропии системы Ф в результате получения сведений о состоянии системы П. IП→Ф = Н(Ф) - Н(Ф / П). (3.12) IП→Ф называется количеством прогностической информации. 23 Действительно, до получения сведений о системе П энтропия системы Ф была Н(Ф); после получения сведений «остаточная» энтропия стала Н(Ф / П). Уничтоженная сведениями энтропия (неопределенность) и есть информация IП→Ф . Более универсальный критерий информационное отношение υ (ипсилон) Н (Ф) Н (Ф / П ) Н (Ф / П ) 1 Н (Ф) Н (Ф) . (3.13) Величина υ показывает, какая часть неопределенности климатологических прогнозов (природной неопределенности осуществления явления) устраняется с помощью методических прогнозов!!! υ =0 – прогнозы на уровне случайных; υ =1 – прогнозы на уровне идеальных, если n12= n21=0. И также υ =1, если все прогнозы ошибочны. Если, например, υ =0, 434, то прогнозы на уровне оперативных. (3.14) Значения I находятся в диапазоне от -1 до 1. При I=0 рассматриваемые признаки независимы, т.е. связь отсутствует. Коэффициент Юла близок к 1, когда произведение n11n22 >> n12n21, то есть, когда наблюдается 100%-ная положительная связь. Коэффициент Юла близок к -1, когда произведение n11n22 << n12n21, то есть, связь есть, но она отрицательная. 24 (3.15) Величина А изменяется от -1 до 1. А=-1, когда n11 = n22=0 – все прогнозы ошибочны. А=1, когда n12 = n21=0 – все прогнозы удачны. А=0 – все прогнозы случайны. 4). Меры Гутмана. Предназначены для оценки связи между известными признаками П и Ф. Три меры Гутмана характеризуют относительный прирост успешности прогноза выбранного признака в частных или общем случае. У нас есть совокупность случаев сочетания признаков П и Ф (таблица сопряженности). Оценим влияние признака П на признак Ф. Оценим насколько изменится прогнозирование признака Ф при знании признака П или насколько изменится вероятность осуществления Ф при условии, что известен текст прогноза П? n Ф / П n i 1 i max n0 j max N n0 j max . (3.16) максимальное значение частоты в i-й строке, n0 j max -максимальное значение частоты в строке сумм, определяющих повторяемость текстов прогнозов. ni max - 25 2. 1. Оценим влияние признака Ф на признак П. Оценим насколько изменится прогнозирование признака П при знании признака Ф или насколько изменится вероятность осуществления прогноза П при условии, что Ф известно? m П / Ф n j 1 j max ni 0 max N ni 0 max . (3.17) максимальное значение частоты в j- м столбце, ni 0 max - максимальное значение частоты в столбе сумм, определяющих повторяемость фаз явления или условия погоды. n j max - 3). Для оценки общей связности признаков П и Ф используется обобщенная мера n m ni max n0 j max n j max ni 0 max i 1 j 1 . 2 N ni 0 max n0 j max (3.18) Меры Гутмана – ассиметричные меры связи. Область их изменения находится в пределах от 0 до 1. Если λ(П/Ф) =1, то вероятность статистического прогноза П по Ф максимальна. Если λ (Ф/П) =1, то вероятность предсказания Ф при известном П максимальна. Формулы в определенной степени являются аналогами условной вероятности. 26 Меры Гутмана λ(П/Ф), λ (Ф/П) и λ характеризуют относительный прирост успешности прогноза выбранного признака в частных или общем случаях. ЛЕКЦИЯ 4 Оценка успешности многофазовых прогнозов. Критерии успешности. Многофазовыми называются прогнозы состояний погоды, которые содержат более двух фаз (градаций) (П1, П2, … Пm). Это, главным образом, прогнозы метеорологических величин: давления, температуры и влажности воздуха, скорости ветра. Матрица сопряженности многофазовых прогнозов - таблица 1 Фактически Прогно зировалось наблюдалось, П1 П2 Фi Ф1 n11 n12 Ф2 n21 n22 Ф3 n31 n32 …Фi… ni1 ni2 Фn nn1 nn2 Пj П3 …Пj… Пm n n13 n23 n33 ni3 nn3 n1j n2j n3j nij nnj n1m n2m n3m nim nnm n10 n20 n30 ni0 nn0 n03 n0j n0m N m j 1 j n n i 1 i n01 n02 nij – число случаев соответствия признаков Пj (прогнозировалось) и Фi (фактически было), где первая цифра при n указывает номер строки (i), а вторая – номер столбца (j). ni0 – фактически наблюдавшееся число случаев выбранных фаз погоды Фi; n0j – число прогнозов Пj тех же фаз погоды. Пj – прогноз данной градации (фазы), Фi – фактическая погода той же градации (фазы). Итак, частота nij определяется по условию: что ожидалось по прогнозу (Пj) и что фактически наблюдалось (Фi). Разработка многофазовой матрицы требует представительной выборки N. Один из вариантов расчета N предложен Ю. Кюном: z 2 1 p N e2 p достаточно (4.1) 27 где z – параметр, определяемый из таблицы стандартного нормального распределения, e – относительная ошибка прогнозирования (или иной расчетной операции), p – вероятность опасной градации, которая включается в методику прогнозирования. Пример. Выборка составляет полный диапазон прогностических скоростей ветра. Какой потребуется объем выборки, чтобы в пределах максимальных значений скорости ветра, составляющих 10% (р=0.1), с вероятностью 95% относительная ошибка их прогноза не превышала 20% (например, при V ≥ 15 м/с ошибка не должна превышать 3 м/с). В соответствии с доверительной вероятностью, принимаемой равной 1-α = 0.95, находим z =1.96, где α – вероятность ошибки. Наиболее употребительные значения z: 1-α … 0.90 0.95 0.99 0.999 z … 1.645 1.960 2.576 3.291 При относительной ошибке e =0.2 3.84 0.9 N 864 0.04 0.1 28 29 ЛЕКЦИЯ 5 Критерии успешности многофазовых прогнозов Для оценки успешности многофазовых прогнозов предварительно дается статистическая оценка распределения количества случаев соответствия признаков Пj и Фi - nij. Анализируются условные вероятности двух типов: - условная вероятность первого типа qij qФi / П j nij n0 j (3.2) Рассчитанные на основании формулы (3.2) матрицы сопряженности условных вероятностей позволяют установить насколько полно осуществляется фаза Фi в соответствии с текстом прогноза Пj. Условные вероятности первого типа записываются следующим образом: Ф1 Ф2 Ф3 …Фi… Фn П3 П1 q11 q21 q31 … qn1 П2 q12 q22 q32 … qn2 q13 q23 q33 … qn3 1 1 1 … … … … … … Пm q1m q2m q3m … qnm n q i 1 i 1 - условная вероятность второго типа q~ij qП j / Фi nij ni 0 (3.3) 30 Рассчитанные на основании формулы (3.3) матрицы сопряженности условных вероятностей позволяют установить, какая формулировка прогноза Пj в наибольшей степени отвечает данной фазе погоды Фi. Ф1 Ф2 Ф3 …Фi… Фn П3 П1 П2 q~ 11 q~ 21 q~ 12 q~ 22 q~ 13 q~ q~ 31 q~ 32 q~ 33 23 … … … q~ n1 q~ n2 q~ n3 … … … … … … Пm q~ 1m q~ j 1 2m 1 q~ 3m 1 … … q~ nm 1 2. Общая оправдываемость многофазовых прогнозов – оценка производственной эффективности прогнозов. При оценке успешности прогнозов надо учитывать, что в многофазовых прогнозах большое число «ошибок-пропусков» и «ошибок – страховок». Экономические последствия этих ошибок разные – потери из-за непринятых мер или затраты на ненужные меры защиты. Для потребителя важно знать весовую значимость ошибок прогнозирования. Т.е. ошибкам прогноза надо приписать определенные «веса» aij, которые можно представить матрицей. При этом безошибочные прогнозы получают максимальную значимость а11 = а22 = а33 = … = аnm =1, а ошибочным приписывают тот «вес», который они «заслуживают» с точки зрения производителя, хозяйственника. Веса есть некоторая мера согласия между прогнозируемой и осуществившейся погодой. 31 Веса при ошибках-пропусках (ошибки 1-го рода) и ошибках-страховках (ошибки 2-го рода) показывают, насколько снижается успешность специализированных прогнозов. Вид матрицы весов для альтернативных прогнозов: - безразличное отношение к ошибкам Ф aij Ф 1 Ф 0 П 0 ; 1 - жесткие требования к ошибкам aij Ф Ф Ф П 1 1 . 1 1 Посредством весов аij = а12 = а21 , которые относятся к ошибочным прогнозам (n12 и n21), ужесточаются требования к качеству прогнозов. В реальных условиях элементы а12 и а21 неравные, возможны варианты: Вид асимметричной матрицы, например, для трехфазового прогноза: Ф1 Ф2 П1 1 0 П2 0.5 1 Ф3 1 0.5 П3 0 0.25 1 Итак, на ошибочные прогнозы накладываются «штрафы». При больших ошибках-пропусках штрафы снижают цену использования прогноза до нуля или до ущерба потребителю (отрицательные значения – штрафы). 32 Если вес рассматривать как меру «штрафа» за ту или иную ошибку прогноза, то матрица весов есть реакция потребителя на ошибки прогноза. И она называется производственной матрицей весов. aij = 1 - AХij, (3.6) где А = А (s, Х) – некоторая положительная величина , характеризующая зависимость потребителя от условий погоды, а Хij = П(Х)j – Ф(Х)i. Если раскрыть формулу (3.6), то веса осуществившихся прогнозов, согласно матрице сопряженности, находятся по формуле: aij 1 aij 1 s макс X ij sдопX макс s макс X ij sдопX макс при Х <0 (3.6а) при Х >0 (3.7) где sмакс – максимальные потери потребителя соответственно при ошибках –пропусках ( Х < 0) и ошибках страховках ( Х > 0); sдоп – допустимые (минимально возможные) потери при тех же ошибках; Хмакс – максимальные ошибки прогноза. Ошибка – пропуск или ошибка-страховка устанавливаются в соответствии с тем, какое состояние погоды рассматривается для данного потребителя как опасное. Например, для скорости ветра ошибка – пропуск ΔХ < 0, ошибка страховка ΔХ >0; Для температуры воздуха ниже 8 оС ошибка – пропуск ΔХ >0, ошибка страховка ΔХ < 0. Критерием качества специализированных многофазовых является их производственная эффективность: прогнозов 100 n m рм aij nij N i 1 j 1 (3.8) Производственная эффективность инерционных многофазовых прогнозов: 33 100 n m ин рин aij nij N i 1 j 1 (3.9) Производственная эффективность случайных многофазовых прогнозов: 100 n m (3.10) рсл aij nijсл N i 1 j 1 Сопоставление значений рм, рин, рсл дает необходимую оценку успешности. 3). Количество прогностической отношение υ (ипсилон). информации. Информационное Меры Гутмана. Алгоритм оценки экономического эффекта использования метеорологических прогнозов 1 этап. Разрабатывается матрица сопряженности методических прогнозов nij матрица совместных вероятностей pij матрица условных вероятностей qij pij pП , Ф nij N ; qij nij n0 j Разработка матриц стандартных прогнозов (инерционного, случайного). Оперативный методический прогноз требует сравнения со стандартными. Расчёт критериев успешности метеорологических прогнозов. 2 этап. Устанавливается количественное описание зависимости потребителя от погодных и климатических условий. На основе данных определяются последствия действий потребителя – составляется матрица потерь sij . 3 этап. Выбирается оптимальная стратегия, в качестве критерия ее выбора (критерий оптимальности) используется минимум средних потерь: R sd j , Фi pП j , Фi n m i 1 j 1 4 этап. Рассчитывается экономический эффект, использования методических прогнозов: . получаемый потребителем от 34 Э N Rст Rм Зпп , где β – коэффициент долевого участия Росгидромета в получении экономического эффекта, величина колеблется в пределах 0.2 -1.0, преимущественно используется 0.3, в с/х рекомендуется 1.0. N – общее число прогнозов. Rст - минимальные средние потери при использовании стандартных прогнозов R м - минимальные средние потери при использовании методических прогнозов по формуле. Зпп – предпроизводственные затраты в прогностических подразделениях на получение прогнозов, т.е. Зпп есть стоимость единицы прогностической информации. 35 ЛЕКЦИЯ 6 Априорные и апостериорные вероятности. Вероятность Р(А) = n/N называется безусловной. Безусловная вероятность есть степень уверенности в том, что данное событие произошло в отсутствии любой другой информации, связанной с этим событием. Ещё они называются априорными (известными до «опыта», независимыми от «опыта»). Они отражают природные или иные события и являются результатом объективной оценки. У нас статистически представительная выборка N, например, позволяет установить вероятности каждой из выбранных фаз дождя р(Ф) и р(Ф ) n(Ф) n(Ф ) Р(Ф) , Р(Ф ) ; Р(Ф) Р(Ф ) 1 . N N (1) Безусловные (априорные) вероятности осуществления условия погоды определяются следующим образом: - вероятность неблагоприятного условия погоды (Ф): n10 р(Ф) , N - вероятность благоприятного условия погоды ( (Ф ) ): n20 р(Ф) . N Апостериорные (совместные) вероятности. Элементы nij характеризуют повторяемость сопряжения Пj ~ Фi и позволяют установить вероятность совместного осуществления двух событий П и Ф. Такие вероятности называются совместными. Т.е. совместная вероятность двух событий — это вероятность их пересечения. Совместная вероятность П и Ф записывается р (П, Ф). Математически вероятность одновременного появления любых двух событий выражается формулой умножения вероятностей, а по теореме умножения для двух зависимых событий: 36 Р(ПФ) = Р(П) Р(Ф/П). Для нашей матрицы сопряженности: n0 j nij nij р( П j , Фi ) р ( П j ) р (Фi / П j ) N noj N . №1.Матрица сопряженности nij = m n Фi Пj Ф П n11 П n12 n10 Ф n21 n22 n20 n01 n02 N j 1 ij n n i 1 ij №2. Матрица сопряженности в вероятностной форме (совместных вероятностей) Р(П,Ф) = р Фi Пj Ф П р( ПФ) р11 П р( П Ф) р12 р(Ф) р10 Ф р ( ПФ ) р 21 р( П Ф ) р 22 Р(Ф ) р 20 р( П ) р 01 р ( П ) р 02 1 n р i 1 m ij (П j ) j 1 ij (Фi ) 37 Условные (апостериорные) вероятности На практике потребитель получает прогноз погоды. Однако его закономерно волнует вопрос, а с какой вероятностью можно ожидать явление погоды Ф, если об этом явлении уже имеется предварительная информация в виде этого самого прогноза П. Задача 1. Пусть требуется определить вероятность события П, которое может произойти вместе с одним из событий Ф1…Фi, образующих полную группу несовместных событий, которые будем называть гипотезами. До опыта вероятности этих гипотез известны и равны р(Ф1), …р(Фi). В этом случае вероятность события П определяется по формуле полной вероятности: n р ( П ) р (Фi ) р ( П / Фi ) i 1 (3) А теперь ответим на интересующий потребителей вопрос: « Как изменится вероятность осуществления фазы погоды Ф в связи с появлением информации в виде текста прогноза П?» Задача 2. Пусть имеется полная группа несовместных событий Ф1…Фi. До опыта вероятности (безусловные) этих гипотез известны и равны р(Ф1), …р(Фi). Произведен опыт, в результате которого появилось событие П. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением текста прогноза П? По сути речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Фi / П ) для каждой гипотезы. Из теоремы умножения имеем: Р( ПФi ) Р( П ) Р(Фi / П ) Р(Фi ) Р( П / Фi ), (i 1,...n) Или, отбрасывая левую часть Р( П ) Р(Фi / П ) Р(Фi ) Р( П / Фi ), (i 1,...n) , откуда 38 Р(Фi ) Р( П / Фi ) Р(Фi / П ) , (i 1,...n) Р( П ) (4) Выражая Р(П ) с помощью формулы полной вероятности (3) имеем: Р(Фi / П ) Р(Фi ) Р( П / Фi ) n Р(Ф ) Р( П / Ф ) i 1 i , (i 1,...n) i . (5) Формула (5) называется формулой Байеса или теоремой гипотез. Для текста прогноза П формула будет выглядеть так: Р(Фi ) Р( П / Фi ) Р(Фi / П ) , (i 1,...n) Р( П ) (6) Выразим формулу (5) через элементы матрицы сопряжённости альтернативного прогноза ( nij ). Условная вероятность успешного прогноза наличия явления n11 Р(Ф / П ) q11. n01 Условная вероятность ошибочного прогноза наличия явления. n21 Р(Ф / П ) q 21 n01 Условная вероятность ошибочного прогноза отсутствия явления. 39 n12 Р(Ф / П ) q12 n02 Условная вероятность успешного прогноза отсутствия явления. n22 Р(Ф / П ) q 22 n02 n Очевидно, что q i 1 ij 1 . В итоге матрица условных (апостериорных) вероятностей имеет вид: Ф 1 (qij ) Ф 2 i П1 q11 q 21 1 П2 q12 q 22 1 40 ЛЕКЦИЯ 7 Функция полезности и формы её представления. Функция потерь, матрица потерь Система «погода – прогноз – потребитель» Функция полезности потребителя ij (Фi , d j ) полезность прогностической информации Фi фактическая погода с определенным значением метеорологических условий d j погодно-хозяйственные решения и действия потребителя в расчете на ожидаемую погоду Пj Форма представления функции полезности: • аналитическая • графическая • дискретная Вопрос 10 Анализ альтернативной матрицы потерь при кардинальных мерах защиты. Альтернативная матрица потерь потребителя при кардинальных мерах защиты Потребитель принимает решение, действие, d(Пj)=dj Фактически d П принимаются меры d П меры защиты не принимаются, работа ведется сог ласно тексту наблюдалас ь защиты сог ласно тексту пог ода, Фi прог ноза П прог ноза П C sij Ф s11 s12 C Ф s 21 s 22 Содержание элементов матрицы метеорологических потерь. 41 L 0 s11 и s22 – отвечают условию, что действия потребителя dj соответствовали успешным прогнозам. s12 и s21 – издержки из-за ошибочных действий потребителя в связи с ошибочными прогнозами. При этом принимается. По главной диагонали: s11 = C - оправданные затраты потребителя на защитные мероприятия в связи с текстом прогноза П- явление (неблагоприятное условие погоды) ожидается и действительно наблюдалось Такие меры защиты называются -. s22 =0 – нет затрат на защитные мероприятия, так как потребитель ориентировался на благоприятные условия П и они наблюдались Ф . По противоположной диагонали: s12 = L –прямые потери при ошибках пропусках или если потребитель не располагает прогнозом, или его не использует. s21 = C напрасные затраты на принятые меры защиты, т.е. явление предсказывалось, но не наблюдалось. 1). Если принимается (это допускается), что защитные меры стоимостью s11= s12 = С полностью исключают прямые потери s12 = L в ситуации d (П) ~Ф, то такие меры защиты называются кардинальными. Т.е. в ситуации d (П) ~Ф удается полностью предотвратить потери на величину s12 = L. Это будут предотвращенные потери Lп =L. 2). В реальности защитные меры носят частичный характер, т.е. прямые потери L предотвращаются частично. Это частичные меры защиты или некардинальные. Анализ альтернативной матрицы потерь при кардинальных мерах защиты. Предотвращённые потери Матрица потерь при частичных мерах защиты sij Ф Ф d П s11 s12 s 21 d П C L L s12 C 0 s 22 ε – коэффициент непредотвращенных потерь и меняется в пределах от 0 до 1. L Lн - непредотвращенные (остаточные) потери – потери по метеорологическим причинам, которые не удается предотвратить. Lп=L - Lн – предотвращённые потери. 42 Альтернативная матрица потерь содержит важную экономико-метеорологическую характеристику потребителя в виде отношения A C . L Где С – затраты на защитные меры, кардинально достаточные, чтобы полностью предотвратить прямые (максимально возможные) потери. Альтернативную матрицу можно использовать для анализа полезности и прогнозов метеорологических величин, если потребителем установлено пороговое для него условие. Например, скорость ветра V≥ 17 м / с – опасная градация. Матрицы потерь разрабатываются и для многофазовых прогнозов. Классификация метеорологических потерь 43 ЛЕКЦИЯ 8 Критерии оптимальности. Целевая функция. Байесовский подход к оценке средних потерь. Матрица условных систематических потерь Погодно-хозяйственные решения и стратегии Гидрометеорологические условия - экзогенный (предопределённый, заданный) фактор, влияющий на принятие управленческих решений. Прогнозы погоды – разновидность информационных ресурсов. Погодно-хозяйственное решение принимается в зависимости от ожидаемой погоды и специфики планируемой производственной операции. Оптимальное решение это решение потребителя, которое обеспечивает ему минимум потерь. Погодно-хозяйственная стратегия - правила использования информации о погоде при принятии экономических решений. Оптимальная стратегия – это такая стратегия, которая при известном наборе фаз погоды и принимаемых решений, обеспечивает потребителю минимум потерь. (Иначе, обеспечивает самое выгодное использование информационного ресурса). Итак, потребитель из набора возможных действий выбирает такое, которое обеспечивает решение целевой задачи, достижение наилучшего результата. В качестве критериев оптимальности (целевой функции) используются, например, следующие критерии: средние потери, средняя выгода, дисперсия потерь. 44 45 Байесовский подход к оценке средних (в статистическом смысле) потерь. Итак, на основе информации, представленной матрицей сопряженности nin (ее вероятностных представлений pij ) и матрицей потерь sij потребитель принимает решение, которое должно быть наилучшим в вероятностном смысле. В качестве показателя выбора решений используется понятие (критерий) средних потерь. Средние потери – это те потери, которые может понести потребитель при оперативном и стратегическом выборе ориентации на те или иные прогнозы. 46 Очевидно, что количество принимаемых потребителем решений dj в соответствии с Фi равно частоте совместного осуществления событий Пj и Фi, т.е. вероятности совместного осуществления событий Пj и Фi. Тогда средние (статистические) потери потребителя, принимающего решение dj , запишется: R sФi , d j pФi , П j sij pij n m n i 1 j 1 m i 1 j 1 R sФi , d П j pФi , П j sФi , d П j рП j рФi / П j n m n i 1 j 1 m i 1 j 1 Или в виде n m n m m n j 1 i 1 R sij pij sij р0 j qij p0 j sij qij i 1 j 1 i 1 j 1 Байесовский подход к оценке средних потерь состоит в том, что получаемые средние имеют статистическое (вероятностное) содержание. Они рассматриваются на основе условных вероятностей qij , определяемых формулой Байеса. nm R kj sik qij k 1 , где k – порядковый номер решения, есть условные (систематические) потери. Рассчитаем матрицу условных (систематических потерь): Рассмотрим действия потребителя, использующего альтернативные прогнозы, матрица сопряженности которых содержит условные вероятности qij. 47 sij Ф Ф d П d П s11 s12 s 21 s 22 Ф (qij ) Ф i П q11 q 21 1 П q12 q 22 1 1.Пусть потребитель получил формулировку прогноза П и принимает решение d согласно этому прогнозу (потребитель принимает решение доверять прогнозу П и принимает решение d) n R11 si1 qi1 s11q11 s 21q 21 i 1 Потребитель принимает решение не доверять прогнозу П и принимает решение d n R21 si 2 qi1 s12 q11 s 22 q 21 i 1 2. Пусть потребитель получил формулировку прогноза П и принимает решение d согласно прогнозу П (т.е. ему доверяет) n R22 si 2 qi 2 s12 q12 s 22 q 22 i 1 Потребитель принимает решение не доверять прогнозу П и принимает решение d1 n R12 si1 qi 2 s11q12 s 21q 22 i 1 Запишем результаты в виде матрицы: 48 Матрица условных (систематических) потерь Rkj d П R11 П R12 d R21 R22 (1) Согласно данной матрицы, можно установить важное правило: если при текстах прогноза П и П элементы матрицы условных потерь Ri j соответственно R11 и R22 принимают минимальное значение, то, следовательно, решение d при тексте П и решение d при тексте П - являются оптимальными решениями. Таким образом, стратегия полного доверия прогнозам отвечает условиям: R11 R21 и R22 R12 И тогда средние потери при стратегии доверия прогнозам будут равны для методических прогнозов: Rм p0 j Ri j П j m j 1 Запишем p0 j (5.10) через n0 j N элементы , qij матрицы сопряженности nij , учитывая nij n0 j : 49 n01 s11q11 s21q21 n02 s12q12 s22q22 N N n n n n n n 01 s11 11 s21 21 02 s12 12 s22 22 N n01 n01 N n02 n02 (2) Rм p01R11 p02 R22 1 s11n11 s21n21 s12n12 s22n22 N Таково условие достижения минимума средних потерь! Аналогично определяются средние байесовские потери для инерционных и случайных прогнозов: . Rин 1 s11n ин11 s 21n ин 21 s12 n ин12 s 22 n ин 22 N Rсл 1 s11n сл 11 s 21n сл 21 s12 n сл 12 s 22 n сл 22 N (3) (4) И в общем виде формула для оценки средних байесовских потерь для методического, инерционного и случайного прогнозов: m2 R м p0 j min R П j . j 1 (5) где min R П j - минимальные условные (систематические) потери согласно матрице. Однако на практике случается иначе. Например, если минимальными в матрице (1) являются элементы R21 и R22 , минимум средних потерь будет определяться выражением: 50 n01 s12q11 s 22q 21 n02 s12q12 s 22q 22 N N n n n n n n 01 s12 11 s 22 21 02 s12 12 s 22 22 N n01 n01 N n02 n02 1 (6) s12 n11 s 21n21 s12 n12 s 22 n22 N 1 s12 n10 s 22 n20 Rкл , 2 N R p 01R21 p 02 R22 Такие прогнозы не могут пользоваться доверием, а потери по (6) сводятся к средним потерям, отвечающим стратегии пренебрежения ( S кл .2 ). Если же минимум условных потерь приходится на R11 и то R R12 , 1 s11n10 s21n20 s11 p10 s21 p20 Rкл ,1 , N (7) что также исключает доверие к прогнозам и отвечает стратегии постоянной защиты ( S кл .1 ). ЛЕКЦИЯ 9 Анализ матрицы потерь при частичных мерах защиты для альтернативных прогнозов. Средние байесовские потери при частичных мерах защиты. Матрица потерь при частичных мерах защиты sij Ф Ф d П s11 s12 s 21 d П C L L s12 C 0 s 22 (1) ε – коэффициент непредотвращенных потерь (меняется в пределах от 0 до 1). L Lн - непредотвращенные (остаточные) потери – потери по метеорологическим причинам, которые не удается предотвратить. Меры защиты в высшей степени эффективны, если ε=0. Отсутствие мер защиты в ситуации (пренебрежение прогнозом), когда явление осуществилось ведет к максимально возможным потерям, тогда ε=1. Таким образом, предельные условия для коэффициента непредотвращенных потерь: 0 ≤ ε ≤ 1. Функционирование производства ведется в основном при 0 < ε < 1, а значит εL > 0. Вид альтернативной матрицы потерь для различных ε: 51 s s s s12 sd , Ф 11 12 ... 11 s 21 s 22 0 s 21 s12 s s ... 11 12 s 22 0 s 21 s12 s 22 1 (2) Отсюда байесовские средние потери при использовании альтернативных методических прогнозов определяются в виде: Rм 1 (s11 s12 )n11 s21n21 s12n12 s22n22 N Для инерционных и случайных прогнозов: (3) (4) (5) Rин 1 ( s11 s12 )n ин11 s 21n ин 21 s12 n ин12 s 22 n ин 22 N Rсл 1 ( s11 s12 )n сл 11 s 21n сл 21 s12 n сл 12 s 22 n сл 22 N Значение ε зависит не только от хозяйственной специфики потребителя – его технических и технологических возможностей противостоять опасной погоде, но и региональных особенностей синоптических процессов, с которыми связаны неблагоприятные условия погоды. Например, на основе фактических данных получены некоторые значения коэффициента ε для некоторых морских портов. Морской порт Санкт-Петербург Клайпеда Рига Владивосток Среднее ε 0,3 0,09 0,17 0,29 0,21 Оценка коэффициента непредотвращённых потерь Рассмотрим схему взаимодействия потребителя и природы в ситуациях d (П) ~Ф – действия потребителя при наличии информации о явлении Ф для различных ε . Размерность С (руб./ прогноз), размерность L (руб.) 1. Рассмотрим ситуацию d (П) ~Ф, ε = 1. 52 Потребитель не принимает меры защиты С=0. Ф П С=0 П L=L=Lн L Матрица потерь будет иметь вид: ( sij ) s11 s12 s12 s 21 s 22 L L 0 0 (6) Видно, что в случае осуществления явления Ф и полного игнорирования прогноза об этом явлении, потребитель несет максимально возможные потери (прямые) потери L независимо от текста прогноза и они равны непредотвращенным потерям L = Lн. 2. Ситуация d (П) ~Ф, ε >0. Потребитель принимает частичные (посильные) меры защиты Ф П П С>0 L=Lн L-L= Lп L Матрица потерь записывается в виде: ( sij ) s11 s12 s12 s 21 s 22 C L L C 0 . (7) где L - непредотвращенные потери. Посредством частичных мер часть потерь L удается предотвратить на сумму Lп = L L L(1 ) . В реальных условиях ε принимает значения в пределах от 0.2 до 0.7. 3. Ситуация d (П) ~Ф, ε =0 Потребитель принимает кардинальные меры защиты. Тем самым потребителю удается полностью предотвратить потери L. Ф П С>0 L=0 П Lп =L L 53 ( sij ) s11 s12 s 21 s 22 C L C 0 . (8) Так как меры защиты кардинальные, то меры защиты стоимостью С позволяют потребителю полностью предотвратить максимально возможные потери s12=L. Это и будут предотвращенные потери Lп=L. Кардинальные меры – это частный случай , который редко реализуется на практике. Итак, непременным условием оценки полезности использования прогнозов является знание: непредотвращенных потерь ( L ) и предотвращенных потерь ( L L ). Как установить значение ε? 1). Напрямую при известных из бухгалтерских отчетов L и L : ε= L / L. 2). Или косвенным путем устанавливается его пороговое значение или используются уже известные значения. ЛЕКЦИЯ 10 Уточненный байесовский подход к оценке средних потерь при частичных мерах защиты. Прямой байесовский подход расчета средних потерь (оценка риска) не дает однозначного решения. Есть матрицы потерь при кардинальных и частичных мерах защиты sij Ф Ф d1 П d 2 П s11 s12 s 21 s 22 0 sij Ф Ф =0 d П s11 s12 s 21 d П s12 s 22 0 >0 И матрицы сопряженности методических и инерционных прогнозов m nij Фi Пj Ф П n11 П n12 Ф n21 n01 n10 Ф П ин n11 П ин n12 ин n10 n22 n20 Ф ин n21 ин n22 ин n20 n02 N n ин n01 ин n02 N j 1 i 1 n ij n Пj n n m Фi i 1 ij j 1 ij 54 Положим, что методические прогнозы имеют высокую успешность ( n12<< n11 и n21 << n22 ). Тогда основным элементом потерь, издержек выступают прогнозы, количество которых определяется элементом n11 . Байесовские средние потери для ситуации d (П) ~Ф и ε =0 1 s11n11 Rм n11 И для ситуации d (П) ~Ф, ε >0. Rм 1 (s11 s12 )n11 n11 Так как n11 при методических прогнозах существенно больше, чем n11ин при инерционных ( n11 n11ин ), то оказывается, что Rм Rин (9) Неравенство (9) отражает парадокс прямой оценки средних потерь (риска). Конечно, если привлекать все элементы nij в методических и инерционных прогнозах и все элементы матрицы потерь sij, то в большинстве случаев Rм Rин только за счет того, что при методических прогнозах ошибок пропусков (n12) существенно меньше, чем при инерционных. Так как n11 является ведущим элементом в предназначении альтернативных прогнозов, то байесовский подход требует уточнения. Полезность успешных прогнозов наличия явления (n11) определяется на основании разности: Lп(Ф) = L(Ф) – L(П, П ), (10) где L(Ф) –максимально возможные потери при всех случаях опасных явлений; L(П, П ) – потери, которые несет потребитель, используя прогнозы П и П . Тогда общая величина предотвращенных потерь: (11) Lп (Ф) n10 s12 n12 s12 n11s12 n10 s12 n12 s12 n11s12 n11s12 (1 ) s12=L – прямые потери и s12=Lн – непредотвращенные потери Действительно, потребителю удается снизить потери на величину s12 (1 ) s12 s12 L L . При оправдавшихся прогнозах П максимальные потери при Ф есть сумма непредотвращенных s12 L и предотвращенных потерь L L . Отсюда следует, что кроме издержек в виде С + L потребитель снижает возможные потери на величину L L . Выгода реализации прогнозов n11 составит 55 W n11C L L L n11C L1 2 n11s11 s12 1 2 (12) Средние байесовские потери при > 0 с учетом (6.12) будут равны 1 (s11 s12 1 2 )n11 s21n21 s12n12 Rм n11 (13) Для = 0 Rм 1 (s11 s12 )n11 s21n21 s12n12 n11 (14) Для = 1 (потребитель никаких мер не принимает) Rм 1 (s11 s12 )n11 s21n21 s12n12 n11 (15) Аналогичные оценки выполняются для стандартных прогнозов. Анализ показывает, что первые члены суммы (s11 s12 1 2 )n11 и (s11 s12 )n11 могут быть отрицательными. Это значит, что реализации n11 могут нести отрицательные потери –выгоду. Таблица. Возможные потери и выгоды потребителя прогнозов, принимающего решение d в ситуации «явление по прогнозу ожидалось П и фактически наблюдалось Ф» В матрице сопряженности это соответствует элементу n11 В матрице потерь ситуация d (П) ~Ф реализуется в виде s11, s12 , s12 (1 ) Затраты на Коэффициент Предотвращенные Непредотвращенные защитные меры непредотвращенных потери (выгода) потери потерь s12 (1 ) s12 s12 0 s11 =0 0.5s12 0.5s12 s11 =0.5 s12 (1 ) 0 s12 s12 s11 =1.0 В рассматриваемой ситуации d (П) ~Ф правильный прогноз наличия явления позволяет заблаговременно принять меры доступные защиты и предотвратить прямые потери, если не полностью ( s12 ), то хотя бы на величину s12 s12 s12 (1 ) . Эта полезность частично или полностью компенсирует издержки s11 s12 . 56 ЛЕКЦИЯ 11 Выбор оптимальных погодно-хозяйственных решений и стратегий на основе байесовского подхода. Потребитель не только принимает ежедневные погодно-хозяйственные решения, но и выбирает стратегическое решение: какая прогностическая информация обеспечивает ему минимальные потери или максимальную выгоды. Выбор оптимальной стратегии может осуществляться при использовании различных прогнозов, например: 1. методических и стандартных 2. прогнозы локальных и региональных условий погоды 3. прогнозы по сезонам Для каждой ситуации может быть установлено несколько стратегий. Оптимальной S опт согласно байесовскому подходу, является та, которая стратегией обеспечивает минимум потерь s. Если потребитель несет потери (s) от погодных условий, то средние потери для данной стратегии находятся по формуле R sФi , d П j pФi , П j n m i 1 j 1 . S опт R min R Оптимальной будет стратегия S Выбор оптимальной стратегии на основании климатической информации и кардинальных мер защиты. Климат есть усредненное физическое состояние атмосферы, которое чаще всего наблюдается в данном районе за определенный период времени. Это преобладание определенных значений температуры, количества осадков, скорости и направления ветра. Первичную основу для разработки климатических показателей составляют метеорологические величины – температура, влажность воздуха, скорость и направление ветра, количество осадков, а также явления погоды – ливневые дожди, грозы, шквалы, град, туман, обледенение, метель и др. Для этого используются данные наблюдений за 30 лет и более. Для приближенной характеристики достаточно данных за 10 и 5 лет. 57 Наиболее распространенные климатические показатели – это среднее, среднее квадратическое отклонение и др. Средние многолетние значения метеорологических величин, включая вероятности, считаются климатическими нормами для данного пункта и района. Климат оказывает постоянное влияние на производственную деятельность. Погода и климат выступают в качестве потенциального капитала. Приобрести этот капитал потребитель может с помощью выбора оптимальной стратегии. При выборе оптимальной стратегии потребитель может ориентироваться на такие климатические характеристики, Например, как вероятность р=ркл осуществления опасного явления погоды, или норма (среднее) метеорологической величины. Задача. Выбрать оптимальную климатологическую стратегию при известной матрице потерь. Будем полагать, что потребитель не получает прогнозов, но имеет сведения о климатических вероятностях ркл ( p10 n10 ) N возникновения опасного явления. Известно при этом, что если в течение N дней отмечается n10 дней с неблагоприятной погодой для потребителя и он не применяет защитные меры стоимостью С, то каждый раз он будет нести убытки, равные L. Следует теперь установить, при каких условиях потребитель, который ориентируется только на климатические вероятности, рассматриваемые в качестве климатологического прогноза, выгодно или постоянно применять кардинальные меры защиты, или постоянно пренебрегать последствиями неблагоприятной погоды, т.е. принимать одно из двух решений. 1. Защитные меры стоимостью С применяются постоянно в расчете на то, что общие затраты на них СN будут меньше возможных прямых потерь L n10. Разделив неравенство СN < L n10 на L N, получим n10 C N L или C p10 p кл . L (1) Только при этом условии – если вероятность опасного условия погоды C p10 L - потребителю выгодно постоянно применять меры защиты, т.е. пользоваться стратегией перестраховки, называемой еще первой климатологической стратегией ( S кл .1 ). При кардинальных мерах защиты (=0) отношение C трактуется так: затраты стоимостью С полностью предотвращают L убытки L. 2. Защитные меры стоимостью С вовсе не применяются из расчета, что затраты СN могут оказаться больше, чем прямые возможные потери L n10. Неравенство L n10 < СN позволяет установить, что при условии: 58 C p10 p кл L (2) Потребителю выгодно постоянно рисковать, т.е. пользоваться стратегией пренебрежения, известной, как вторая климатологическая стратегия ( S кл .2 ). Для выбора оптимальной климатологической стратегии потребитель должен воспользоваться известным правилом: S опт p10 p кл p10 р кл p10 р кл C L C L C L S кл .1 защищаться S ( S кл .1 или S кл .2 ) безразлично Итак, известна матрица потерь (3) S кл .2 незащищаться d П d П s11 s12 . s21 s22 sij Ф Ф Средние потери при первой и второй климатологических стратегиях будут: Rкл .1 s11 p10 s21 p20 s11n10 s21n20 Cn10 Cn20 N C n10 n20 CN C N N N (4) Rкл .2 s12 p10 s 22 p 20 L n10 0 n20 N Ln10 N . Тогда оптимальная стратегия отвечает условию: Rкл .1 Rкл .2 S опт Rопт min R Rкл .1 Rкл .2 Rкл .2 Rкл .1 S кл .1 безразлично S кл .1 S кл .2 или S кл .2 (5) Введем понятие нормированных потерь вида: 59 R E L (6) В качестве нормировочной величины в (6) используются максимально возможные потери L, которые удается предотвратить посредством мер защиты. И выбор оптимальной климатологической стратегии устанавливается на основании соотношения величин Е и С/L: Еопт= мин (Екл.1, Екл.2) , где C Eкл .1 , L а Екл .2 n10 p10 . N ЛЕКЦИЯ 11 Выбор оптимальной климатологической стратегии при частичных мерах защиты. 1. Частичные защитные меры применяются постоянно (Sкл.1). При такой стратегии допускается, что NC Ln10 Ln10 (1) или C Lp10 Lp10 (2) Эта стратегия выгодна, если 60 C p10 L1 (3) 2. Защитные меры не применяются вообще (Sкл.2). Считается при этом что C Lp10 Lp10 (4) Эта стратегия выгодна, если C p10 L1 (5) ЛЕКЦИЯ 12 Выбор оптимальной стратегии при использовании различных прогнозов. Задача. Установить, позволяют ли данные прогнозы получить потребителю хозяйственный выигрыш от их использования. На практике потребитель может использовать различные прогнозы – климатологические, оперативные методические, краткосрочные инерционные или использовать текущую метеорологическую информацию. Рассмотрим правила выбора оптимальной стратегии при использовании различных прогнозов. Будем полагать, что потребитель применяет меры защиты, близкие к кардинальным. 61 При этом условии C E f L Постоянно ориентируясь на прогнозы погоды – стратегия S пр потребитель несет общие потери, равные R м s11n11 s 21n21 s12 n12 s 22 n22 Сn11 Cn21 Ln12 0n22 C n11 n21 Ln12 Cn01 Ln12 (8) Постоянно ориентируясь на прогнозы погоды – стратегия S пр потребитель несет средние потери, равные Rм s11 р11 s21 р21 s12 р12 s22 р22 Сp11 Cp21 Lp12 0 p22 C p11 p21 Lp12 Cp01 Lp12 (9) В виде нормированных потерь Rм C Eм p01 p12 . L L (10) Итак, при стратегиях S кл .1 , S кл .2 , S м (методический, инерционный) общие, средние и нормированные потери, которые может нести потребитель, следующие: 62 Оптимальная стратегия определяется областью минимальных значений Е (или минимальных значений R ), т.е. отвечает условию: S опт Eопт min EEкл.1 , E м , Eкл.2 . С учетом условных вероятностей q11 и q12 используется следующее правило: 1. Если C q12 , то потребителю следует придерживаться стратегии постоянной L защиты S кл .1 . 2. Если C q12 L , то потребителю следует придерживаться стратегии доверия методическим прогнозам. 3. Если C q11 L , то потребителю следует придерживаться стратегии доверия методическим прогнозам. C q11 4. Если L , то потребителю следует постоянно пренебрегать опасными условиями погоды, то есть придерживаться стратегии S кл .2 , В результате правило: Если q12 C q11 , то следует выбирать стратегию доверия оперативным методическим L прогнозам. Максимальная выгода использования прогнозов находится в области, близкой к C р10 . L 63 ЛЕКЦИЯ 13 Оценка экономической полезности оперативных метеорологических прогнозов при кардинальных мерах защиты. Содержание задания. Определить сбереженные материальные средства, полученные потребителем от использования методических прогнозов. Важнейшим показателем экономической полезности оперативных методических прогнозов является снижение потерь потребителя R при более выигрышной стратегии – использовании преимущественно прогностической информации. При известных общих и относительных общих потерях можно записать R Rкл Rпр LEкл Eпр (1) Используя формулы Получим Rкл 1 Rкл .1 Rм C Cp01 Lp12 C Cp01 Lp12 м C 1 p01 Lp12 Cp02 Lp12 p p02 C 12 L p02 C q12 L p02 (2) Полезность или сбереженные материальные средства Rкл м , полученные за счет использования методических прогнозов, тем больше, чем меньше условная вероятность ошибочных прогнозов пропусков q12 опасных состояний погоды и чем больше затраты на предупредительные меры С. 64 Разделив Rкл1м на L, найдем полезность метод. прогнозов в безразмерной форме: C C C м Екл1 Rклм1 / L p02 q12 p02 p02q12 p02 p12 L L L (3) Итак, можно выделить пять классов оценки полезности: 1) R Rкл Rм 2) R Rин Rм м кл м ин пр( ид) R Rм Rпр(ид) м 3) пр( ид) R Rин Rпр(ид) ин 4) пр( ид) R Rкл Rпр(ид) кл 5) Три последних класса характеризуют потенциальную полезность. Об экономической полезности прогнозов можно судить на основании показателя Rкл Rм Rкл (4) Если 0< λ<1 - прогнозы заслуживают доверия, λ=0 – доверие прогнозам безуспешно, λ<0 – прогнозы не заслуживают доверия – климатологический предпочтительнее. Или на основании показателя М.А. Омшанского о Rкл Rпр Rкл Rприд . 65 Оценка экономической полезности оперативных метеорологических прогнозов при частичных мерах защиты. Рассмотрим важнейший показатель экономической полезности – это снижение потерь потребителя при использовании более выигрышной стратегии. 1. Сравним стратегии S м и S кл .1 Rклм.1 Rкл.1 Rм Cp02 Lp12 1 (1) Или Еклм .1 Rклм.1 / L p02 C p12 1 L (2) 2. Сравним стратегии S м и S кл .2 - преимущество стратегии доверия методическим прогнозам по сравнению с стратегией постоянного пренебрежения защитой. м кл .2 кл .2 пр 11 01 (3) Или R R Lp 1 Cp R Еклм .2 Rклм.2 / L p111 p01 C L (4) 3. Преимущество стратегии S м по сравнению со стратегией S ин R м ин ин ин ин Rин Rм C p01 p01 L p11 p11 L p12 p12 (5) Или м Еин Еин Епр C ин ин ин p01 p01 p11 p11 p12 p12 L (6) 4. Полезность методических прогнозов, достигших уровня идеальных, представляет собой максимально возможную полезность. Следовательно, можно установить потенциальную полезность прогностической информации путем сравнения потерь, исчисляемых при идеальном прогнозе, с потерями при ориентации потребителя на иные прогнозы. Так, в случае Rм(ид) Rм R ( ид) ид ид Cp01 Lp11 Lp12 Cр11 Lp11 (7) С учетом того, что ид p11 р10 запишем 66 Rм(ид) Rм R (ид) C p01 р10 L р10 p11 Lp12 C р01 р10 Lp12 1 (8) Разность нормированных средних будет иметь вид: C Е p01 p10 p12 1 L ид м (9) Чтобы получить абсолютное значение сбереженных материальных средств, необходимо величину Е умножить на L. Относительная экономическая полезность (показатель Омшанского) определяется в зависимости от отношения C/L: Если C p10 L1 , то Rкл .1 R м Cp02 Lp12 1 1 Rкл .1 Rприд Cp 20 Если (10) C p10 L1 , то Rкл / 2 R м Lp11 1 Cp01 1 Rкл .2 Rприд p 20 L1 C (11) ЛЕКЦИЯ 15 Параметрические критерии выбора оптимальной стратегии: пороговая оправдываемость прогнозов. Установить оптимальную хозяйственную стратегию потребителя на основании прогностической информации 67 1. В качестве исходящих метеорологических данных можно использовать результаты прогнозирования, представленные в матрице сопряженности методических и инерционных прогнозов. 2. Потребителей прогностической информации будем характеризовать известным отношением «затрат к убыткам» C/L, где C - затраты потребителя на предупредительные меры, а L - прямые потери потребителя, если соответствующие меры не приняты. Задается условие, что потребитель принимает «кардинальные меры защиты». 68 69 ЛЕКЦИЯ 16 Экономический эффект и экономическая эффективность использования метеорологических прогнозов. Экономический эффект, получаемый потребителем от использования методических прогнозов, определяется формулой Э N Rст Rм Зпп , (1) 70 где β – коэффициент долевого участия Росгидромета в получении экономического эффекта, величина колеблется в пределах 0.2 -1.0, преимущественно используется 0.3, в с/х рекомендуется 1.0. N – общее число прогнозов. Rст - минимальные средние потери при использовании стандартных прогнозов, это есть базовое прогностическое условие. R м - минимальные средние потери при использовании методических прогнозов, это есть основное прогностическое условие. Зпп – предпроизводственные затраты в прогностических подразделениях на получение прогнозов, т.е. Зпп есть стоимость единицы прогностической информации. Например, предупреждение об ОЯ, НГЯ, выполненное в ГГО 2002 году 900 руб. R R R Разность в формуле (1) есть величина снижения потерь, ст м т.е. фактически сбереженные материальные средства, рассчитанные на один прогноз, за счет использования методических прогнозов. Экономическим эффектом Э называются сбереженные материальные средства Э N Rст Rм за вычетом затрат NЗпп на их получение. В целях сравнительной оценки полезности прогнозов, используемых различными потребителями, определяется экономическая эффективность: Rин R м Э Р 1 NЗпп Зпп . (2) Эффективность включает эффект, получаемый при использовании методических прогнозов, отнесенный к затратам на их разработку. Стратегия ориентироваться на прогнозы тем эффективнее, чем больше эффект Э при меньших затратах NЗпп на разработку прогнозов. Экономическая эффективность является безразмерным показателем экономической полезности. Например, Р=2,5. Это означает, что на один рубль затрат в Гидрометслужбе потребитель получает (за счет снижения потерь при методическом прогнозе) 2, 5 рубля. Очевидно, что экономическая результативность использования методических прогнозов достигается, если отношение стоимости результата к затратам P>1. Оценка экономического эффекта оперативных метеорологических прогнозов дает достоверные результаты в случае, если выполняются следующие условия. 1. Т.к. осуществление любого прогноза носит вероятностный характер, то полученный экономический эффект единичного прогноза может оказаться случайным. Допустимо оценивать единичные прогнозы, если прогнозируется особо опасные метеорологические явления при выполнении крупномасштабных мероприятий. Например, ураганный ветер и обледенение судов во время морских экспедиций, или уровень воды в устье рек ряда городов – СПб, Архангельск и др. 71 2. Для оценки надо выбирать достаточно продолжительный период времени (месяц, сезон), чтобы непрерывный ряд прогнозов был статистически обеспеченным. 3. На основании выдаваемого потребителю прогностического материала устанавливается начальный уровень отсчета полезности прогнозов – базовый вариант – это могут быть инерционные, случайные или климатологические прогнозы. Базовый вариант в виде стандартного прогноза позволяет установить преимущество оперативных методических прогнозов и является условием их усовершенствования. 4. Учитывая экономические последствия воздействия погоды, а также то, что они есть результат ориентации на прогнозы, которые не идеальны, то в качестве основной характеристики экономического эффекта рассматривается RR R ст м. уменьшение средних (статистических) потерь 5. Необходим учет производственных затрат Зпп на оперативные методические прогнозы. 72
