Сборник задач по финансовой математике

Серия
Высшее образование •
И .А .
П еч ен еж с к а я
НАНСОВАЯ
МАТЕМАТИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ
Учебное пособие для студентов высших
учебных заведений подготовлено в соответствии
с Государственным образовательным стандартом
высшего образования Российской Федерации
и программой учебного курса «Финансовая математика»
Ростов-н а-Д ону
«Феникс»
2008
УДК 330:51(075.8)
Б Б К 658я73
К Т К 0904
П31
П31
Печенежская И.А.
Финансовая математика : сборник задач / И.А. Пе­
ченежская. — Ростов н/Д : Феникс, 2008. — 188, [1] с.
— (Высшее образование).
ISB N 978-5-222-14230-1
Учебное пособие содержит последовательное и система­
тизированное изложение проверенных практикой методов
количественного анализа финансовых и кредитных опера­
ций. Подробно изложены различные методы начисления про­
центов, обобщающие характеристики потоков платежей,
методики определения эффективности краткосрочных инст­
рументов и долгосрочных финансовых операций, включая
производственные инвестиции и облигации.
Книга предназначена студентам экономических вузов и
лицам, применяющим финансовые вычисления в своей ра­
боте, — сотрудникам банков, инвестиционных организа­
ций, пенсионных фондов и страховых компаний, а также
для слушателей факультетов переподготовки и повышения
квалификации по этим специальностям и для работников финансово-кредитных учреждений, предпринимателей, жела­
ющих самостоятельно выполнять финансово-экономические
расчеты.
IS B N 978-5-222-14230-1
УДК 330:51(075.8)
ББК 658я73
© Печенежская И.А., 2008
© ООО «Феникс», оформление, 2008
В
в е д е н и е
|
В современной России осознана потребность в овладе­
нии методикой финансовых расчетов. В связи с этим во
многих экономических вузах страны в рамках различных
дисциплин изучаются отдельные темы и проблемы, которые
можно отнести к высшим финансовым вычислениям. В част­
ности, некоторые расчетные методы рассматриваются в кур­
сах «Кредит», «Финансовый менеджмент», «Операции еден­
ными бумагами» и т.п. Настоящий задачник содержит по­
следовательную характеристику современных м етодов
финансовых вычислений. Вместе с тем учебник позволяет оз­
накомиться с основными направлениями количественного
финансового анализа, с применяемым при этом математи­
ческим аппаратом, понять важность и необходимость стро­
гого аналитического решения соответствующих проблем.
Основой здесь является, так сказать, «техническая» сторо­
на — методы расчетов, измерение влияния отдельных фа­
кторов на финансовые параметры, взаимозависимости этих
параметров.
Финансово-экономическое образование будущих эконо­
мистов, финансистов немыслимо без овладения ими мето­
дов количественного финансового анализа. Финансы, об­
разно говоря, — это кроветворная система любой рыноч­
ной экономики. М етодами ф инансово-экономических
расчетов должны владеть не только руководители предприя­
тий, фирм, экономисты, бухгалтеры и банковские работни­
ки, но, желательно, и каждый грамотный человек. Трудно
представить образованного современного человека, кото­
рый за жизнь ни разу не обратится за услугами в банк,
не использует кредиты для строительства жилья, приобре­
тения бытовых товаров. Овладение финансовой грамотно­
стью, хотя бы в минимальном объеме, поможет облегчить
жизнь человека в современном, бурно меняющемся мире.
4
Финансовая математика. Сборник задач
В данном учебном пособии рассматриваются так назы­
ваемые динамические финансовые расчеты, которые учитывают
временную ценность денег. Учет временного фактора состоит
в начислении процентов на денежные величины. Основным
принципом динамических финансовых расчетов является прин­
цип временной ценности денег: сумма денег, которой мы вла­
деем теперь, всегда более ценна, чем та же сумма, которая га­
рантированно может быть получена в будущем.
В настоящее время имеется довольно большое число
монографий и учебных пособий на русском языке, посвя­
щенных финансово-экономическим расчетам. Часть из них
приведена в цитируемом списке литературы. Большое чис­
ло простых иллюстративных примеров с их подробными
решениями, приводимых в упомянутых учебных пособи­
ях и сборниках задач, несомненно, способствует лучшему
пониманию теоретического материала. Однако опыт пер­
вых лет проведения практических и лабораторных занятий
по курсу финансовой математики показал, что в сборниках
задач мало задач и примеров, ориентированных на подго­
товку математиков-финансистов, способных решать слож­
ные задачи финансового анализа.
В конце каждого параграфа приводится ряд типовых за­
дач, что позволяет решать и другие аналогичные либо бо­
лее сложные задачи. Задачи и примеры, включенные в учеб­
ное пособие, в основном, оригинальные.
Данное учебное пособие состоит из глав, в которых рас­
смотрены основные разделы стандартного курса по фи­
нансовой математике. Детальное описание рассматриваемых
типов задач и примеров каждой главы представлено в
оглавлении. В начале каждого параграфа кратко излагает­
ся необходимый теоретический материал и приводятся
основные формулы. При необходимости ссылки на форму­
лу из другой главы указывается, в какой главе она нахо­
дится. В конце каждого параграфа приводится решение ти­
повых задач и примеров. В конце каждой главы содержится
перечень задач и примеров для самостоятельного решения.
П
р о ц е н т ы
1.1. Простая процентная ставка
Под процентами или процентными деньгами понимают
абсолютную величину дохода от предоставления денег в
долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в
кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя,
покупка сберегательного сертификата или облигации. Про­
цесс увеличения суммы денег во времени в связи с присо­
единением процентов называют наращением, или ростом,
этой суммы.
Наращённая сумма ссуды:
Б = Р + 1= Р( 1 + т),
( 1 . 1)
где 5 — наращённая сумма ссуды;
Р — первоначальная сумма ссуды;
I — начисленные к концу срока ссуды проценты;
1 + т — множитель наращения простых процентов.
Прост ая процентная ст авка наращения
Проценты/за весь срок ссуды вычисляются по формуле:
/ = Рт,
( 1 . 2)
где п — срок ссуды, как правило, в годах;
/— простая ставка наращения (десятичная дробь).
♦Пример 1.1
Ссуда 15 ООО руб. выдана на срок 0,4 года под простые
проценты 18% годовых. Определить проценты и наращён­
ную сумму.
Решение:
1= Рт = 15 ООО •0,4 •0,18 = 1080 руб.,
5 = р + 1 = 15 000 + 1080 = 16 080 руб.
6
Финансовая математика. Сборник задач
♦Пример. 1.2
Ссуда равна 800 тыс. руб. выдана на 3 года под простые
проценты 20% годовых. Определить проценты, сумму на­
копленного долга, во сколько раз увеличится наращенная
сумма.
Решение:
I = 800 •3 •0,2 = 480 тыс. руб.,
S = 800 + 480 = 1280 тыс. руб.
1 + 2 -3 -0 ,2
Наращённая сумма увеличится в ——^ ^ ^ = 1,375 раза.
Срок ссуды рассчитывается по формуле:
где t — число дней ссуды;
К — временная база или число дней в году.
В зависимости от принятой на предприятии методики
используют два типа временных баз:
К = 360 — обыкновенные проценты,
К = 365 (366) — точные проценты.
При расчёте срока ссуды при начислении по простым
процентам используются три метода:
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (А^ = 365
или АСТ/АСТ). Данный метод дает самые точные резуль­
таты. Применяется банками многих стран, например Ве­
ликобритании, США и др.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды.
Обозначается 365/360. Этот метод называется банков­
ским (К = 360 или АСТ/360), распространен во Франции,
Бельгии, Швейцарии.
3. Обыкновенные проценты с приближённым числом дней
ссуды. Обозначается 360/360 (К = 360). Применим толь­
ко тогда, когда не требуется большой точности, при про­
межуточных расчетах). Данный метод принят в банках
Германии, Швеции, Дании.
глава 1
жД роценты
7
♦ Пример 1.3
Ссуда в размере 2 млн руб. выдана на срок с 28 января по
15 июня включительно под простые проценты 29% годовых.
Определить величину долга в конце срока тремя методами.
Р еш ен и е:
1. 365/365:
t = 4 + 28 + 31 + 30 + 31 + 15 — 1 = 138,
п = 1 3 8 :3 6 5 = 0,37808219,
5 = 2 ООО 000(1 + 0,37808219 •0,29) = 2 219 287,6 руб.
2. 363/360:
п = 1 3 8 :3 6 0 = 0,383333333,
S = 2 000 000(1 + 0,383333333 •0,29) = 2 222 333,3 руб.
3. 360/360:
t = 3 + 4-30 + 1 5 - 1 = 137,
п = 137: 360 = 0,38055555,
S = 2 000 000(1 + 0,380555555 •0,29) = 2 220 722,2 руб.
П ерем енны е ставки
Если простые процентные ставки наращения изменяются
во времени, то наращённая сумма вычисляется по формуле:
S = Р( 1 + /ij/j + n2i2 + ... + nkik),
(1.4)
где Wj, w2,... + nk — временные интервалы, следующие друг
за другом;
/р i2,.. ■+ ik — соответствующие этим интервалам ставки.
♦Пример 1.4
Контракт предусматривает следующий порядок начис­
ления процентов: первый год — 11%, в каждом последую­
щем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо
определить множитель наращения за 2,5 года.
Р еш ен и е:
1 + ^ nth = 1 + 1 0,11 + 0 ,5 -0 ,1 2 + 0,5-0,13 + 0,5 0,14= 1,94.
t
8
Финансовая математика. Сборник задач
Дисконт ирование (сокращ ение)
по простым процентным ст авкам
При дисконтировании суммы 5, которая будет выдана
через срок п, по ставке дисконтирования * вычисляется со­
временная величина (стоимость) Р суммы 5. Другими сло­
вами, при дисконтировании определяют современную сто­
имость этой наращённой суммы. Формула дисконтирова­
ния простых процентов:
Р = 1и + ~т ‘
(1 '5)
Дисконтный множитель:
,
1
1+ т
=У.
( 1 . 6)
Дисконтом (скидкой) с суммы 5 называется:
1> = 5 - Р.
(1.7)
Проценты вычисляются по формуле:
I = Б - Р.
Пример 1.5____
Через 140 дней должник уплатит 6,5 тыс. руб. Кредит
выдан под простые проценты 29% годовых. Какова перво­
начальная сумма долга и дисконт при условии, что времен­
ная база равна 360 дней?
Решение:
Р =-Г~=
1+ " '
ы Т
= 5 8 5 5 ,5 6 руб.
1 + М 2 0 ,2 9
360
/) = 5 - Р = 6500 - 5855,56 = 644,44 руб.
Учет векселей (банковский учет )
Банк может учесть вексель до наступления срока плате­
жа с дисконтом, то есть купить его у владельца по цене,
которая меньше номинала, указанного в векселе. Размер
глава 1
9
ПР°Центы
дисконта при учете по простои учетной ставке определяется
по формуле:
( 1 . 8)
=
где
— простая учётная ставка;
п — срок от момента учёта до момента погашения.
Формула для расчёта суммы, выданной владельцу век­
селя при учёте:
Р = 5(1 - пс1).
(1.9)
Множитель (1 -пс[) называется дисконтным множителем.
Обычно при расчётах принимают К = 360.
Простая учётная ставка может быть использована и при
расчёте наращённой суммы, который рассчитывается в этом
случае по формуле:
5 = — ^— .
1- па
( 1. 10)
♦Пример 1.6
Вексель, имеющий номинальную стоимость 4000 руб­
лей, учтён в банке по учётной ставке 15,5% годовых за 156
дней до его погашения. Определить сумму, полученную вла­
дельцем векселя при учёте.
Решение:
.Р = 5(1 - ги1) = 4000
= 3731,33 руб.
1 -0 ,1 5 5 —
360
♦Пример 1.7
Переводной вексель (тратта) выдан на сумму 2 млн руб.
с уплатой 17.11.2007. Владелец векселя учел его в банке
23.09.2007 по учетной ставке 30% (АСТ/360). Оставшийся
до конца срока период равен 55 дням. Полученная при уче­
те сумма (без уплаты комиссионных) равна:
Р = 2 000 000 1 - ^
360
0,3 = 1 908 333,3 руб.
10
Финансовая математика. Сборник задач
Дисконт составит:
55
И = 2 ООО ООО —
0,3 = 91 666,7 руб.
360
Пусть на всю сумму долга теперь начисляются процен­
ты по ставке простых процентов i = 30,5% годовых. В этом
случае, очевидно, надо решить две задачи: определить на­
ращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете.
Оба последовательных действия можно представить в од­
ной формуле:
Р” —Р{1 + т)(1 - п'сГ),
где п — общий срок обязательства;
п' — срок от момента учета до погашения.
Пусть в примере п =
, тогда
360
Р ” = 2 000 000 1 + — 0,305
1- ^
360
360
0,3 = 2 102 347,2 руб.
Определение срока ссуды
и величины процентной ставки
Для простой ставки наращения срок ссуды в годах опре­
деляется:
а п .
Для простой учётной ставки срок ссуды определяется:
( 1 . 12)
„ = != (£ £ ).
Л
Срок ссуды в днях:
, =т
= ± к
/
где К — временная база
и
а
глава 1
11
П роценты
♦Пример 1.8
Какова должна быть продолжительность ссуды в днях
для того, чтобы долг, равный 8000 руб., вырос до 10 ООО руб.
при условии, что простая ставка наращения равна 19,5%
годовых при К = 365?
Решение:
„
„ ( S /Р ) - 1 „ ^ (1 0 / 8 )-1
t = Кп = К — --------- = 365 — --------- = 467 дней.
i
0,195
♦Пример 1.9
В контракте предусматривается погашение обязательства
в сумме 140 000 руб. через 200 дней. Первоначальная сумма
долга — 120 000 руб. Определить доходность ссудной опера­
ции в виде простой годовой ставки наращения при К = 360.
Решение:
. , ( Д £ Ь 1 . (14/12)-!
п
200/360
♦ Пример 1.10
Вексель, выданный на сумму 6500 руб., учтён за 90 дней
до дня погашения. Владелец векселя получил 4900 руб.
Определить доходность банка в виде простой учётной став­
ки при К = 360.
Решение:
, =1 - ( ^
п
= 1 —(4900/6500)
90/360
1.2. Сложная процентная ставка
Сложная процентная ст авка наращения
Сложная процентная ставка наращения — это ставка, при
которой база начисления является переменной, то есть про­
центы начисляются на проценты:
5 = Р(1 + 0”»
О-13)
12
Финансовая математика. Сборник задач
где S — наращённая сумма;
Р — первоначальный размер долга;
i — сложная ставка наращения;
п — число периодов (лет) наращения;
(1 + 0” — множитель наращения по сложным процентам.
♦Пример 1.11
Какой величины достигнет долг, равный 5500 руб., через
4 года при росте по сложной ставке наращения 28,5% годо­
вых?
Решение:
S = P( 1 + i)n = 5500 •(1 + 0,285)4 = 14 995,99 руб.
Формулу (1.13) используют и в том случае, когда срок
для начисления процентов является дробным числом.
Н ачисление процентов
в см еж ны х кален дарны х периодах
Ранее не рассматривалось расположение срока начисле­
ния процентов относительно календарных периодов. Часто
даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах.
Следовательно, начисленные за весь срок проценты не мо­
гут быть отнесены только к последнему периоду. В анализе
финансовой деятельности предприятия, в налогообложении
и в бухгалтерском учете возникает задача распределения
начисленных процентов по периодам.
Общий срок ссуды делится на два периода п { и п2:
/ = / i + / 2,
(1-14)
где /, =/> [(1 + 0«, -1]; 12 = Р ■0 + 0 •«г [(1 + 0«2 - !]•
♦Пример 1.13
Ссуда была выдана на два года — с 1 мая 2006 г. по 1 мая
2008 г. Размер ссуды — 10 000 руб. Необходимо распреде­
лить начисленные проценты (ставка 14% АСТ/АСТ) по ка­
глава 1
жП роценты
13
лендарным годам. Получим следующие суммы процен­
тов (в тыс. руб.):
► за период с 1 мая до конца года (244 дня):
Г
10 000
244
^
1,14 365 - 1
= 915,4;
244
► за 2007 г.: 10 000-1,14365-0,14 = 1528,2;
► наконец, с 1 января до 1 мая 2008 г. (121 день):
. 244 (
121
10 000-1Д4 365 1,14365 - 1
Л
= 552,4.
Итого за весь срок — 2996 тыс. руб.
Такой же результат получим для всего срока в целом:
10000 (1,142 - 1 ) = 2996.
П ерем енны е ставки
Формула (1.13) предполагает постоянную ставку на про­
тяжении всего срока начисления процентов. В случае, ког­
да изменения размеров ставок фиксируются в контракте,
общий множитель наращения определяется как произведе­
ние частных, т.е.
5 = />( 1 + 1, г
•( 1 + ¿2)"2 ■.... ■•( 1 + ;* )”* ,
( 1.1 5)
где /р ¡2, •••» ^ — последовательные значения ставок;
пх, п2, ..., пк — периоды, в течение которых действуют
соответствующие ставки.
♦Пример 1.14
Срок ссуды — 5 лет, договорная базовая процентная став­
ка — 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и
0,75% в оставшиеся годы. Множитель наращения в этом
случае составит:
5 = (1 + 0,125)2 (1 + 0,1275)3 = 1,81407.
14
Финансовая математика. Сборник задач
Начисление процентов при дробном числе лет
Часто срок в годах для начисления процентов не является
целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для
некоторых операций проценты начисляются только за целое
число лет или других периодов начисления. Дробная часть
периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитыва­
ется полный срок. При этом применяют два метода. Соглас­
но первому, расчет ведется непосредственно по формуле (1.13).
Второй, смешанный, метод предполагает начисление процен­
тов за целое число лет по формуле сложных процентов и за
дробную часть срока по формуле простых процентов:
Б = Р{\ + 1)а -(\ + Ы\
(1.16)
где а — целое число лет;
Ъ — дробная часть года.
Срок ссуды можно определить как п - а + Ъ.
Аналогичный метод применяется и в случаях, когда пе­
риодом начисления являются полугодие, квартал или месяц.
При выборе метода расчета следует иметь в виду, что
множитель наращения по смешанному методу оказывает­
ся несколько больше, чем по общему, так как для п < 1 спра­
ведливо соотношение 1 + т > (1 + /)". Наибольшая разница
наблюдается при Ь = ^ .
♦Пример 1.15
Кредит в размере 6 млн руб. выдан на 2 года и 160 дней
( п = 3 ———= 3,43836 года) под 16,5% сложных годовых. Рас-
365
считайте сумму долга обычным и смешанным методами.
Сумму долга на конец срока обычным методом опреде­
лим по формуле (1.13):
5 = 6 ООО ООО • 1,1653’43836 = 10 143 871,96 руб.,
в свою очередь, смешанный метод дает:
5 = 6 ОООООО •1,1653 (1 + 0,43836 - 0,165) = 10 173 191,96 руб.
глава 1
жПроценты
15
Н ом инальная процентная ст авка наращения
Часто в финансовых операциях в качестве периода нара­
щения процентов используется не год, а, например, месяц,
квартал или другой период.
Если номинальную ставку обозначить через у, то проУ
центы за один период начисляются по ставке — , а количе-
т
ство начислений равно тп. Наращённая сумма при исполь­
зовании номинальной процентной ставки наращения оп­
ределяется по формуле:
\тп
1+ '
5 = Р
т
(1.17)
♦ Пример 1.16
Какой величины достигнет долг, равный 5000 руб., через
5,7 года при росте по сложной ставке 16,5% годовых при
начислении процентов раз в году и помесячно?
Решение:
Б = Р(1 + 1)п = 5000 (1 + 0,165)5’7 = 11 940,64 руб.;
\тп
т
= 12 724,52 руб.
Эффективная ст авка
Введем теперь новое понятие — действительная, или эф­
фективная ставка процента. Эффективная ставка — это го­
довая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и т-разовое начисление процентов по ставке — .
т
Соотношения эквивалентности между номинальной про­
центной ставкой наращения у и сложной процентной став­
кой наращения а:
(
/У ™
(1 + а)п = \+ ^~
т
16
Финансовая математика. Сборник задач
Решив это уравнение относительно а и у, получим:
. \тп
Г
а = 1+ ^-
-1 ;
у =т(\1\ + а —1^.
(118)
Эффективная ставка при т > 1 больше номинальной,
обе ставки эквивалентны в финансовом отношении, т.е.
Замена в договоре номинальной ставки у при т-р азово м
начислении процентов на эффективную ставку а не изменит
финансовых обязательств участников сторон.
Дисконтирование по слож ной учет ной ст авке
Определение дисконтирования по сложной процентной
ставке то же, что и по простой. Формулы дисконтирования
сложных процентов:
Р=
5
„
р=
(1 + 0”
5
(1.19)
(1 + ^-У
т
Множители
= у называются дис-
=Vи
Ц+ 0"
( 1 + — )™"
т
контными множителями.
( 1. 20)
2) = 5 - Р
Разность
называется дисконтом с суммы 5.
♦Пример 1.17
Сумма 24 ООО руб. выплачивается через 1,4 года. Номи­
нальная ставка процентов — 19% годовых. Определить со­
временную стоимость при ежеквартальном начислении про­
центов.
Решение:
Р=
5
24000
\тп
'
0,19
\41,4
= 18504,24 руб.
глава 1
жЦроценты
17
Учет по сложной учётной ставке
В этом случае каждый раз учётная ставка применяется не
к первоначальной сумме, как при простой учётной ставке,
а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаге во
времени. Поэтому сумма, выдаваемая банком при учёте
векселя, рассчитывается по формуле:
( 1.21)
где — сложная учётная ставка.
Если дисконтирование производится т раз в году, то в
этом случае
где/ — номинальная годовая учетная ставка.
Эффективная учетная ставка (с1) характеризует степень
дисконтирования за год. Эффективная учетная ставка во всех
случаях, когда т > 1, меньше номинальной.
Наращённую сумму можно выразить с помощью слож­
ной учетной ставки
♦Пример 1.18
Вексель на сумму 20 ООО руб. учтён по сложной про­
центной ставке 18% годовых, срок платежа наступает че­
рез 1,8 года. Определить сумму, полученную владельцем
векселя при учёте, и дисконт при ежегодном й ёжёмёсячйом
дисконтировании.
Решение:
Р = Б( 1-4)"
= 20 ООО(1 - 0,18)4? = 13ЩЧ9ру&
18
Финансовая математика. Сборник задач
И = 5 - Р = 20 ООО - 13992,49 = 6007,51 руб
уш
ф 18
/
0’18
= 1 4429,52 руб.
Р = |1----= 20000 1 т
V
12
И = 5 - Р = 20 000 - 14 429,52 = 5 570 348 руб.
Сила р ост а
Если в формуле (1.19), определяющей наращённую сум­
му при использовании номинальной процентной ставки
наращения, периоды начисления процентов постоянно
уменьшать, то количество этих периодов в году будет увели­
чиваться. Такое начисление процентов называется непрерыв­
ным, а процентная ставка при непрерывном начислении на­
зывается силой роста. Большое значение непрерывное нара­
щение имеет в анализе сложных финансовых проблем,
например, при анализе характеристик ценных бумаг.
Сила роста называется постоянной, если она не изменя­
ется во времени. Если сила роста изменяется во времени, то
она называется переменной.
Формула для наращённой суммы при непрерывном на­
числении процентов для постоянной силы роста 5 :
/Г "
(
5= И т Р 1+ ^т —>оо ^
т/
Формула для наращённой суммы при непрерывном на­
числении процентов:
5 = Р е*.
(1-22)
6 = 1п(1 + /),/ = е° —1,
(
¡Л
-
8 = т 1п 1+ +- , у = т(ет - 1).
(1-23)
По формулам (1.23) можно, в частности, зная дискретные
ставки ценных бумаг, рассчитать силу роста этих бумаг.
глава 1
жП роценты
19
♦Пример 1.19
Определить силу роста и наращённую сумму при диск­
ретном и непрерывном начислении, если на сумму 3000 руб.
начисляются проценты по сложной годовой ставке /= 22%
в течение 3,5 лет.
Решение:
5 = 1п(1 + 0 = 1п1,22 = 0,19885084, или 19,885%.
Наращённая сумма при непрерывном начислении:
5 = РеЬп = зооо • ^0,19885084 ■3,5 = 6017,08 руб.
Наращённая сумма при дискретном начислении:
5 = Р( 1 + /)" = 3000 (1 + 0,22)3’5 = 6017,08 руб.
Таким образом, наращённые суммы при дискретном и
непрерывном начислениях совпали.
Если считать, что переменная сила роста изменяется во
времени (5 , = /(0)» то наращённая сумма и современная
стоимость определяются соотношениями:
( п
\
(
п
^
-/5, Л
/5 ,
О
(1.24)
о
Рассмотрим случаи изменения силы роста по линейно­
му закону и по экспоненте.
♦Пример 1.20
Определить современную стоимость суммы 5000 руб.,
выплачиваемой через 2,8 года, при линейном изменении
силы роста, когда начальное значение силы роста 50 = 0,1 2 ,
а прирост силы роста а - 0,1.
(
Р - Б ехр
г
80л +
V
Решение:
ап 2 Л\
))
V
(
= 5000 ехр - 0, 12 - 2,8 +
V
К
V
0, 1 - 2,8
= 2 4 1 4 ,3 6 8 .
20
Финансовая математика. Сборник задач
♦Пример 1.21
На годовой депозит можно положить денежные средства
под 10% годовых, а на полугодовой — под 9,75% годовых.
Что выгоднее — положить свободные денежные средства на
годовой депозит, или два раза воспользоваться полугодо­
вым депозитом, не снимая проценты? Чему будет равна
выгода, если имеется 100 тыс. $ и одним потерянным днём
при переоформлении депозита можно пренебречь?
Р еш ен и е:
Если денежные средства положить на годовой депозит,
то наращённая сумма:
5 = 100- 1,1 = 110 тыс. $.
Если два раза воспользоваться полугодовым депозитом,
то наращённая сумма:
(
0 0975
5, = 100 1 + ’
к
2
^
= 109,98766 тыс. $.
Выгоднее воспользоваться годовым депозитом и выиг­
рыш 5 - 5 1 = 12,34 $.
♦Пример 1.22
На сумму долга в течение 4 лет начисляются проценты
по ставке 9% годовых. Насколько возрастёт наращённая
сумма, если проценты будут капитализироваться поквар­
тально?
Р еш ен и е:
При ежегодной капитализации процентов множитель
наращения равен 1,094, а при ежеквартальной капитализа, т.е. он будет больше в 1,01136 раза.
Наращённая сумма увеличится на 1,136%.
глава 1
у~|~роценты
21
О пределение срока ссуды
и величины процентной ставки
Рассмотрим методы определения срока ссуды и величи­
ны процентной ставки для номинальной ставки и для ли­
нейного изменения силы роста.
Из формулы (1.17) находим:
(1.25)
]=т
♦Пример 1.23
За какой срок сумма, равная 20 ООО руб., достигнет
40 ООО руб. при начислении по сложной процентной ставке
19% годовых? Рассмотреть случаи помесячного начисления
процентов один раз в году.
Р еш ен ие:
/
_1_
Л
" 5 " тп
]= т
V
Р
(1.26)
/
При начислении процентов раз в году формула приоб­
ретает вид:
5
, 40000
1п
1п —
п=
___ Р
1п(1 + г)
_
20000
1п(1 + 0,19)
= 3,98 года.
Таким образом, срок ссуды при начислении раз в году
больше срока ссуды при помесячном начислении.
♦Пример 1.24
Финансовый инструмент куплен за 50 ООО руб., его вы ­
купная цена через 1,8 года составит 70 000 руб., проценты
начисляются один раз в месяц. Определить доходность опе­
рации в виде номинальной ставки и годовой ставки слож­
ных процентов.
22
Финансовая математика. Сборник задач
Решение:
Находим номинальную процентную ставку по формуле
(1.26):
1
Л
С
5 ^тп
]= т
- 1 = 12
70000
50000
912-1,8
-1
= 0,188393, или 18,84%.
Определяем доходность операции в виде годовой ставки
сложных процентов, используя соотношение:
Сс
Л
-1 =
I=
70000 1,8
- 1 = 0,2055, или 20,55%.
50000
Определение срока платежей и силы роста при осталь­
ных известных параметрах для случая непрерывного на­
числения процентов рассмотрим на примере линейного из­
менения силы роста от времени. Преобразуя формулу (1.24)
можно определить искомые величины:
- 5 о + \ 8п
о + 2а 1п —
р
, 5
1п -------
ап*
(1.27)
п = ---------
Знак «плюс» перед корнем выбран из-за условия п > 0.
♦Пример 1.25
За какой срок сумма, равная 44 ООО руб., достигнет
100 000 руб. при непрерывном начислении процентов? Сила
роста во времени изменяется по линейному закону, начальное
значение силы роста 80 = 0,12, а прирост силы роста а = 0,1.
Решение:
8о + 2а1п—
о
р
-0 ,1 2 +
„
2 о Л 1, 100000
0,12 + 2 *0, 11п ------------
44000
0Д
= 3,026 года.
глава 1
х у^роценты
23
♦Пример 1.26
Определить начальное значение силы роста при её ли­
нейном изменении во времени, если долг за 2,5 года увели­
чится с 16 ООО руб. до 30 ООО руб. при приросте силы роста
а = -0 ,1 .
Решение:
^ 3 0 0 0 0 | 0 .1 -2 .5 2
к
Р
2
16000
2
,
, л0/
50 = — -------— = -----------------------------= 0 ,3764, или 37,64%.
п
2,5
♦Пример 1.27
Через сколько лет первоначальная сумма депозита воз­
растёт в два раза, если на вложенные средства начисляется
9,75% годовых и: а) используются простые проценты, б) слож­
ные проценты с полугодовой капитализацией?
Решение:
Для простых процентов множитель наращения
1 + п •0,0975 = 2,
т.е. п = 10,256 года. При использовании сложных процен­
тов множитель наращения:
0 ,0 9 7 5 л2"
1 + —-------т.е.
/г = 1п2: 21п 1 +
= 2;
0,0975 \\
= 7,281 года.
♦Пример 1.28
По трёхмесячному депозиту назначена ставка 10,2% го­
довых. Какую ставку годовых процентов следует назначить
на месячные депозиты, чтобы последовательное переоформ­
ление этих депозитов привело бы к такому же результату,
что и использование трёхмесячного депозита, если пренеб­
речь двумя днями, которые теряются при переоформлении
депозитов (К - 360)?
24
Финансовая математика. Сборник задач
Р еш ен и е:
Приравняем соответствующие множители наращения:
Отсюда получаем, что /= 0,101145 = 10,11%.
1.3. Конверсия платежей
Эквивалентными считаются такие платежи, которые, бу­
дучи «приведенными» к некоторой базисной дате по ставке
процентов, удовлетворяющей обе стороны, оказываются
равными. Исходя из этого принципа, получают уравнение
эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей,
приведенных к базисной дате, равна сумме платежей по
новому обязательству, приведенных к той же дате [1].
Наиболее простой вид принимает уравнение эквива­
лентности при консолидации платежей, когда платежи 5 15
5 2,..., 5т со сроками оплаты соответственно пх, п2, ... , пт
заменяются одним в сумме 5 0 и сроком оплаты п0. Здесь
возможны две постановки задачи: если задается срок п^ то
находится сумма 5 0, и наоборот. При заданном п# если кон­
солидация производится по ставке простых процентов /, раз­
мер консолидированного платежа
/
к
где Sj — платежи со сроками оплаты п- < «0, /• = и0 Бк — платежи со сроками оплаты пк > п0, = пк - п0.
Если требуется определить время п0 оплаты консолиди­
рованного платежа 5 0, составляем уравнение эквивалентно­
сти, выбрав в качестве базисной даты начало отсчета. Разре­
шив уравнение эквивалентности относительно п^ для ставки
простых процентов /(ставки «приведения») получаем:
(1.29)
глава 1
25
Проценты
Формула (1.29) имеет смысл, если размер консолидиро­
ванного платежа не будет меньше «барьерного» значения (),
т.е. для 5 0 > (),. Таким же образом определяют время опла­
ты.
♦ Пример 1.29
Имеются три векселя с датами погашения, указанны­
ми в скобках, на сумму 12,5 тыс. (8.04); 7,25 ты с. (15.07) и
10,3 тыс. $ (23.11). Решено заменить их одним векселем на
основе банковской учётной ставки 7% годовых с оплатой 3.03.
Какую сумму следует поставить в новом векселе, если ба­
зовой для расчёта выбрана дата 3.03?
Решение:
Пусть 5 — сумма нового векселя. Составим уравнение
эквивалентности:
5 = 12,5-| I - 98 6 2 -0,07 + 7,25 | 1 - - 6 6 2 -0,07
360
360
+ 10,3- 1 _ 3 2 7 --6 2 о 07
360
Проведя расчёты, получим 5 = 29 242,86$.
♦ Пример 1.30
Платежи в сумме 8,25 тыс., 10,05 тыс. и 25,45 тыс. $ со
сроками оплаты соответственно через 2; 3,5 и 4 года долж­
ны быть заменены одним платежом, содержащим целое
число тысяч долларов. Замена производится на основе слож­
ной ставки 8,75% годовых. Чему равна минимальная допу­
стимая сумма платежа и через какой срок он должен быть
оплачен?
Решение:
Обозначим через 5 сумму заменяемого платежа, через п —
срок выплаты этой суммы. Запишем уравнение эквивален­
тности, выводя все платежи на начало отсчёта:
8,25 •1,0875-2 +10,05 •1,0875-3’5 + 25,45 •1,0875^ = 5-1,0875“” ■
26
Финансовая математика. Сборник задач
Логарифмируя обе части этого уравнения, получаем:
_ I n f - l n 32,66474069
П~
ln 1,0875
Формула имеет смысл только тогда, когда S > 32,66474
тысяч. Следовательно, требуемая сумма S = 33 тыс. Под­
ставляя это значение в формулу, имеем п - 0,122 года.
Задачи
1. Определить простую ставку процентов, при которой пер­
воначальный капитал в размере 20 ООО руб., достигнет
через 90 дней 30 000 руб.
2. Определить период начисления, за который первоначаль­
ный капитал в размере 20 000 руб. вырастет до 60 000 руб.,
если банк проводит расчеты с клиентами по простой
ставке 150% годовых.
3. Клиент положил вклад в банк на депозит в сумме
1000 руб. под 50% годовых сроком на 5 лет. Опреде­
лить наращённую сумму, которую клиент будет иметь
на своём счёте в банке через 5 лет.
4. Банк принимает вклады до востребования по ставке 20%
годовых. Определить сумму процентов на вклад 300 руб.,
размещенный на три месяца, полгода и год.
5. Определить сумму процентов и количество дней для на­
числения процентов при различной практике их начис­
ления, если вклад 200 руб. был размещён на условиях
40% годовых на срок с 10 января по 5 сентября.
6. Вклад 100 руб. положен 1 февраля на месячный депозит
под 20% годовых, затем продлён ещё на два последую­
щих месяца. Определить наращённую сумму при раз­
личных способах начисления процентов.
7. Какую сумму необходимо положить в банк на 9 меся­
цев, чтобы накопить 900 руб., если он принимает вкла­
ды на условиях 30% годовых?
глава 1
1
7«
Проценты____________________________________ щ ^ т
8. На какой срок необходимо положить в банк 200 руб.,
чтобы накопить 800 руб., если банк принимает вклады
под простые 40% годовых?
9. Вклад в размере 200 руб. был положен в банк 6 февра­
ля и востребован 20 декабря. Ставка процентов 80% го­
довых. Определить сумму начисленных процентов при
различных методах определения срока начисления.
10. Вклад 300 руб. был размещён в банке 10 июня по став­
ке 60% годовых. При востребовании вклада 20 сентяб­
ря вкладчику были начислены проценты в размере 50
руб. Определить какую практику начисления процен­
тов использовал банк.
11. Банк в 1997 году принимает вклады от населения под про­
стые и сложные проценты на 3 месяца под 21% годовых,
на 6 месяцев— под 18,5% годовых, на 12 месяцев— 20,09%
годовых. Сравнить доходность различных вкладов.
12. В честь своего 10-летнего юбилея банк предлагает с 1 ян­
варя 1998 года следующие условия по вкладам: мини­
мальная сумма 500 $ USA, или 3000 руб., выплата про­
центов по валютным вкладам каждые 30 дней, при сум­
ме вклада 50 000 $ USA и более каждые 15 дней, по
рублёвому вкладу каждые 3 месяца. Срок вклада 360 дней.
При открытии вклада бесплатно выдаётся пластиковая
карта. Проценты по вкладам могут переводиться на эту
карту или капитализироваться. Ставка по рублёвому
вкладу — 25% годовых, по валютному — 15% годо­
вых. Сравнить доходность различных вариантов вло­
жений денежных средств.
13. Финансовая компания предлагает вкладчикам на двух­
летний срок два варианта начисления процентов: 1) в пер­
вый год 6% ежеквартально, во второй год по 10% еже­
квартально; 2) в первое полугодие по 10% ежекварталь­
но, а в каждом последующем полугодии ежеквартальная
ставка возрастает на 4%. Сравнить варианты, используя
28
Финансовая математика. Сборник задач
множитель наращения, для схемы простых и сложных
процентов.
14. Банк предлагает разместить депозит на сумму 100 ОООруб.
в следующих вариантах: а) под 20% годовых с еже­
квартальным реинвестированием в течение года; б) под
17,5% годовых с реинвестированием каждые полгода в
течение года; в) под 18,5% годовых. Выбрать оптималь­
ную схему вложения денежных средств.
15. Банк предлагает разместить вкладчику 700 000 руб. на
срочный депозит в трёх вариантах: а) на 1 день под 6%
годовых с последующим реинвестированием ежеднев­
но в течении месяца; б) на 10 дней под 10% годовых с
последующим реинвестированием каждую декаду в те­
чение месяца; в) на 1 месяц под 18% годовых. Опреде­
лить наиболее выгодный вариант вложения денежных
средств.
16. Кредит в размере 200 000 руб. выдаётся на 2,5 года. Став­
ка процентов за первый год 50%, а за каждое последую­
щее полугодие увеличивается на 10%. Определить нара­
щенную сумму долга на конец срока действия кредита.
17. Ссуда в размере 300 000 руб. выдана на полгода по про­
стой ставке процентов 100% годовых. Определить на­
ращённую сумму.
18. Кредит 20 000 руб. выдаётся под простую ставку про­
центов 120% годовых на 150 дней. Рассчитать сумму,
получаемую заёмщиком и сумму процентных денег,
удерживаемых в момент выдачи кредита.
19. Акционерное общество получило в банке ссуду в раз­
мере 200 000 руб. под 50% годовых на срок с 10 февраля
до 10 мая. Определить сумму денег, которую необхо­
димо возвратить в банк 11 мая.
20. Банк объявил следующие условия выдачи ссуды на один
год: за первый квартал ссудный процент 50%; за вто­
рой квартал — 75%; за третий — 100%; за четвёртый
глава 1
х П роценты
29
квартал — 125%. Определить сумму к возврату в банк,
если ссуда составляет 200 ООО руб.
21. Определить сумму накопленного долга и проценты,
если ссуда 400 руб. выдана на два года под простые 30%
годовых. Во сколько раз увеличится наращённая сум­
ма при увеличении ставки в два раза?
22. Определить множитель наращения за 2,5 года, если кон­
тракт предусматривает начисление простых процентов
за первый год 30%, а в каждом последующем квартале
ставка повышается на 1%.
23. Предприятие получило кредит на один год в размере
200 000 руб. с условием возврата 320 000 руб. Опреде­
лить процентную ставку для случаев простого и слож­
ного процента.
24. Предприятие имеет на расчетном счете в банке 45 000 руб.
Депозитная ставка банка составляет 15% годовых. Пред­
лагается объединить оборотные средства в совместном
предприятии, которое прогнозирует удвоение капита­
ла через 5 лет. Провести сравнение вариантов вложе­
ния капитала.
25. Банк предлагает долгосрочные кредиты под 28% годо­
вых с ежеквартальным начислением процентов и 30%
годовых с полугодовым начислением процентов и 20%
годовых с ежемесячным начислением процентов. Оп­
ределить выгодные варианты кредитования для банка.
26. Банк предоставил ссуду в размере 50 000 руб. на 3,5 года
под 20% годовых на условиях полугодового начисле­
ния процентов. Определить возвращаемую сумму при
различных схемах начисления процентов: простых и
сложных.
27. Банк предоставил ссуду 40 000 руб. 20 января с погаше­
нием через 8 месяцем под 25% годовых. Определить сум­
мы к погашению при различных способах начисления
процентов.
30
Финансовая математика. Сборник задач
1.4. Конверсия валюты
Конверсия (обм ен) валюты и наращение процентов м о­
гут привести как к прибыли, так и к потерям. Э то зависит
от величины процентной ставки, от курса обм ена валюты в
начале и в конце операции, от инфляции [5]. Прежде чем
переходить к анализу конверсии валюты, р ассм отр и м о с­
новные показатели инфляции.
Учёт инфляции
Без учёта инфляции конечные результаты р асч ётов д е­
нежных п оток ов являются весьм а условны ми. Р ассм о тр и м
некоторые понятия, связанные с инфляционными процес­
сам и .
Реальная стои м о сть С суммы 5 , обесцененной во време­
ни за счёт инфляции, рассчиты вается по формуле:
(1 .3 0 )
где 1р — индекс цен 1р .
И ндекс цен может быть рассчитан, например, по форму­
ле П ааш е:
т
У=1
где р у , р у — цена у'-го то вар а в исследуемом и бази сн ом
периодах соответственн о;
<7^ — количество проданных товар ов у в исследуемом
периоде;
Т — общ ее количество исследуемых товар ов.
Темпом инфляции называется относительный прирост цен
за период:
Н —I р —1, или 1р = Н + 1.
(1.31)
глава 1
31
1 Проценты
Индекс цен за несколько периодов п, следующих друг за
другом:
/р = П /р . = П (1 + Н^ '
Г=1
1=1
(1-32)
где /— номер периода;
1р I — индекс цен в периоде г;
Н( — темп инфляции в периоде л
Если ожидаемый темп инфляции — величина постоянная
в течение п периодов, то формула (1.32) приобретает вид:
1Р = {\ + Н'У.
(1.33)
Среднегодовые индекс цен / { и темп инфляции Н{ на­
ходятся по формулам:
Й'=п[ГЦ-1 = ТР''-\ или Тр 1 =1 + Н( ,
где п — количество периодов (лет).
Для простых процентов обесцененная инфляцией сумма
определяется по формуле:
_
„1 + Ш
_
1+ ш
С = Р — — = Р ------ .
1Р
(1 + Н , ) п
(1.34)
Ставка /*, при которой наращение равно потерям из-за
инфляции:
1* = _ р—
(1 35)
п
♦Пример 1.31
Месячный темп инфляции составляет: а) Н х_12 = 6%,
б) Н { = 4%, Н2 = 3%, Я 3 = 2%. Для случаев а) и б) найти
индекс цен и темп инфляции за 12 и 3 месяца соответствен­
но, а также определить обесцененную наращённую сумму,
если на сумму 10 ООО руб. в течение указанных сроков на­
числялась простая процентная ставка 50% годовых (К = 360),
и определить ставку, при которой наращение равно поте­
рям из-за инфляции.
32
Финансовая математика. Сборник задач
Решение:
При решении примера используются формулы (1.32),
(1.34), (1.35).
а) 1р = ( 1 + 0,Об)12 = 2,004,
Я = (2 ,0 0 4 - 1)100% = 100,4%,
С = 10 0 0 0 - ^ - ^ = 7485,03,
2,004
9 0 0 4 -1
/* = ’
= 1,004, или 100,4%.
1
б) 1р = 1,04- 1,03 • 1,02= 1,0926,
Я = (1,0926-1)100% = 9,26%,
1 + — 0,5
С = 10 0 0 0 -------- ----- = 10 296,54,
1,0926
I* = 1,092- ~ 1 = 0 ,3 7 0 4 , или 37,04%.
3/12
В варианте а) произошла эрозия капитала, для его уве­
личения процентная ставка должна превышать 100,4%.
10 294,54
В варианте б) капитал вырос в --------------= 1,029454 раз
Р
10000
У
или приблизительно на 2,94%.
Обесцененная инфляцией сумма для сложных процен­
тов определяется выражением:
С = Р
^
1р
(1.37)
= Р
1 + Я *”
V
Ставка /*, при которой наращение компенсируется инф­
ляцией:
1* = Я Г
(1.38)
Для компенсации обесценивания денег ставку увеличи­
вают на величину инфляционной премии. Итоговую став­
ку называют брутто-ставкой. Выразим величину брутто-
глава 1
1 Дроценты
33
ставки г через доходность операции а. Для простых про­
центов эти величины связаны соотношением:
1+ пг
= 1 + па.
Отсюда:
г =
(l + n a)Ip —1 а = }_ 1 + пг
-1
(1.39)
Для сложных процентов номинальная ставка и доход­
ность:
(1 + г ) "
(1.40)
= (1 + а ) п.
Отсюда:
r = (l + a ) W 7 7 - l ,
а = 1 ± £ -1 .
(1.41)
При постоянном темпе инфляции номинальная ставка и
доходность:
r=
При \а\«
а + Н , + аН „ а = ^
1 и \Н(\«
'
— ~ 1.
1 + Ht
'
(1.42)
1 имеем r = a + Ht . Таким образом,
определить номинальную ставку путём сложения доходно­
сти операции и темпа инфляции можно только при неболь­
ших значениях этих величин.
♦ Пример 1.32
Найти реальную простую процентную ставку (доход­
ность) при номинальных ставках 70% и 20% годовых и ме­
сячных темпах инфляции Н х = 5%; Н2 = 2%; Нъ - 4%.
Решение:
Найдём индекс цен за три месяца по формуле (1.32):
1р = (1 + 0,05)(1 + 0,02)(1 + 0,04) = 1,11384.
3
По формуле (1.39) при п = — = 0,25 определяем для двух
случаев:
34
Финансовая математика. Сборник задач
а=
1 ^ 1 + 0 ,2 5 -0 ,7
-»1 пса/
--------------------1 = 0 ,2 1 9 6 3 , или 21,96%,
1,11384
0,25
1 (1 + 0 ,2 5 -0 ,2
J
ГЧ01Л^1
а = ------ ---------------------- 1 = -0 ,3 1 0 6 1 , или -31,06% .
0,25^
1,11384
Во втором случае произошла эрозия капитала на 31,06%.
♦Пример 1.33
Найти сложную номинальную процентную ставку при
доходности 15% годовых и годовых темпах инфляции за
три года для двух случаев а) Я , = 60%, Н2 = 80%, Нъ = 90%;
б) Ht - 75% = const.
Решение:
а) Находим средний темп инфляции затри года:
= ^(1 + 0 ,6)(1 + 0 ,8)(1+ 0 ,9 ) = 1,762.
По формуле (1.41) определяем номинальную процент­
ную ставку:
г = (1 + 0,15) • 1,762 - 1 = 1,0263, или 102,63%.
б) По формуле (1.42) определяем номинальную процен­
тную ставку для постоянного темпа инфляции:
г = 0,15 + 0,75 + 0,15-0,75 = 1,01, или 101%.
Покупка валю т ы
Во время экономических спадов, сопровождаемых силь­
ной инфляцией, граждане страны, не доверяя инвестиционным
организациям, предпочитают хранить сбережения в СКВ, так
как остальные способы, доступные широким слоям населе­
ния, оказываются неэффективными. Анализ доходности при
покупке СКВ можно провести на основе соотношения:
^
Р КI
С = — у1 ,
А0 1р
где Р — сумма в рублях в начале операции;
С — сумма в рублях в конце операции;
(1.43)
глава 1
А П роценты
35
К0 и К ! — курс обмена в начале и в конце операции со­
ответственно, имеющий, например, размерность руб./
долл.;
1р — индекс цен за время операции п.
Рублёвая сумма Р обменена на валюту (деление на А^0),
затем через период п лет обменена на рубли (умножение на
Л^). Для определения реальной стоимости полученной сум­
мы она делится на индекс цен за время операции п, равный 1р.
Введём обозначения: а — доходность операции в виде
]£
сложной процентной ставки, 1к = —- .
Ко
Тогда полученную формулу можно записать в виде:
(1.44)
Для определения доходности рассматриваемой финансо­
вой операции используется принцип финансовой эквивален­
тности обязательств.
Эквивалентными называются равные друг другу плате­
жи при приведении их к одному моменту времени. В соот­
ветствии с принципом финансовой эквивалентности обяза­
тельств выражение (1.44) можно записать в виде:
С = Р ^ = Р(1 + а)п.
I
(1.45)
р
Отсюда находим формулу для доходности операции:
(1.46)
Доходность операции будет равна нулю при выполне­
нии условия 1к = 1р. При 1к > I доходность будет больше
нуля, а при 1к < 1р. — меньше нуля. Поскольку цена покуп­
ки валюты и цена её продажи различаются в один и тот же
момент времени, то при расчёте доходности за К0 надо при­
нимать цену покупки, а за
— цену продажи.
3 6 __________________ Финансовая математика. Сборник задач
♦Пример 1.34
Доллары были приобретены по курсу 6 руб./долл. и че­
рез 1,2 года проданы по 6,6 руб./долл. (6,9 руб./долл.). Темп
инфляции за этот промежуток времени составил 12%. Оп­
ределить доходность финансовой операции.
Решение:
Для приведённых значений отношение курса продажи к
курсу покупки составит:
/м = 2 1 = М
кЛ
К0
= 1^
2= ^
6
* ’2
Индекс цен за 1,2 года равен:
К0
= М
= и 5 .
6
1р = 1 + Н = 1 + 0 ,1 2 = 1,12.
Доходности для рассматриваемых случаев:
1 = 1,л ~ - 1 = -0 ,0 1 4 9 или 1,49% годовых,
ах =
-
ах =
—1 =
- 1 = -0 ,0 1 4 9 или 2,22% годовых.
В первом случае произошла эрозия капитала, во вто­
ром случае капитал возрос.
Конверсия валю т ы с наращ ением процентов
При наращении процентов с конверсией возможны вариашы;
1) руб — С К В — наращение — СКВ — руб.;
2) СКВ — руб. — наращение — руб. — СКВ.
Причем наращение может вестись как по простой, так и
по сложной процентной ставке наращения. Рассмотрим пер­
вый вариант при наращении по сложной процентной став­
ке. Обозначения используемых здесь величин сохраним те
же, что и в предыдущем параграфе. Если г — сложная годо­
вая ставка наращения СКВ, то формула (1.44) для рассмат­
риваемых условий примет вид:
глава 1
1 Дроценты
37
С = Р — (1+ г)п = Р(\ + а )п.
(1.47)
Отсюда находим доходность финансовой операции:
а = (1 + г ) Д - - 1 .
(1.48)
♦Пример 1.35
Для условий предыдущего примера положить сложную
ставку наращения СКВ, равную 14% годовых.
Решение:
а = (1 + г)п1~~ 1 = (0 + 0 , 1 4 ) ^ - 1 = 0,123,
или 12,3% годовых,
а = (1 + г , Л - , = (0 + 0, 14, ^
= о, 1654,
или 16,54% годовых.
Теперь в обоих случаях произошло наращение капи­
тала.
Для второго варианта конверсии валюты с наращением
наращённая сумма с учётом инфляции С КВ определяется
выражением:
С скв
=
Рскв ~
~ г (1+
1 р ,С К В К \
=
Рокв ( 1 +
а )п •
Индекс СКВ показывает, что величина измеряется в де­
нежных единицах выбранной валюты,
скв — индекс цен
выбранной валюты за рассматриваемый период, г — руб­
лёвая годовая сложная ставка наращения. Из этого выра­
жения находится формула для доходности финансовой опе­
рации:
(1+ г)
,
38
Финансовая математика. Сборник задач
♦Пример 1.36
Доллары были проданы по курсу 6 руб./долл., а полу­
ченная сумма помещена на депозит по сложной процент­
ной ставке 10%) годовых. Через 1,2 года наращённая сум­
ма была истрачена на покупку долларов по курсу 6,6 руб./
долл. Темп инфляции доллара за этот промежуток време­
ни составил 4%. Определить доходность финансовой опе­
рации.
Решение:
а = —г=
1
1 + 0,1
-1 = П|
- 1 = -0 ,0 1 6 6 6 ,
4Ь1р,скв
^ (6 ,6 / 6 ,0)(1 + 0,4)
или -1,666% годовых,
(! + *■)
1+ 0 4
ф к 1 „ ,а с в
’^ ( 6 , 6 / 6 , 0)(1 + 0 , 4 )
а = ~.------- -г------- 1 = —
’
- 1 = 0 ,2 5 1 5 ,
или 25,15% годовых.
Таким образом, при больших рублёвых ставках эта фи­
нансовая операция может принести заметный доход.
1.5. Эквивалентность процентных ставок
Эквивалентными процентными ставками называются
любые две из перечисленных выше ставок, которые при за­
мене одной на другую приводят к одинаковым финансо­
вым результатам, то есть отношения сторон не изменяются
в рамках одной финансовой операции.
Эквивалентность простых процентных ставок (/5, (15) при
одинаковых временных базах определяется:
"Я
1-пс15
1 - т5
где 15 — ставка простых процентов;
с13 — простая учетная ставка;
п — срок в годах.
,
(1.50)
глава 1
39
жП роценты
Эквивалентность простых (|‘5, ds) и с л о ж н ы х ставок(/, у)
определяется соотнош ениями:
► эквивалентность
•
и г:
(1 + 0 " - 1
• „17—
= -------------, 1 =
ц \ + т
5
(1.51)
-1 ;
п
>
эквивалентность / и у:
(1 + j / m ) mn - 1 .
, г------ —
is = --------------------- , у =m (mq l + nis - 1 ) ;
(1.52)
п
► эквивалентность
и /:
l - q + i ) " . . = ^/1 / ( 1 - ^ ) - 1 ;
(153)
П
► эквивалентность
иу
l - q + j/m)
)_!).
=
(154)
П
Эквивалентность с л о ж н ы х ставок (/,у, </):
i = q + ; 7 m ) ™ - l , у = т ( ч/Г+7 —1),
I
( 1 . 55)
£/
= ------- , i =
1+ 1
1- с 1 '
Эквивалентность с л о ж н ы х дискретных и н епр е ры вн ых
ставок:
► эквивалентность 5 и г:
8 = 1п(1 + /), *=
е5
-1 ;
► эквивалентность 5 и у:
8 = mln, 1 + ^т
\
► эквивалентность 8 и
,
}
= т ( е Ь 1 т-
1);
(1.56)
/
d:
_-8
5 = - 1 п ( 1 - 4 ) , ¿ = 1 -< Г 8 .
♦Пример 1.37
П ростая процентная ставка депозита равна 20% годовых,
срок депозита — 0,5 года. Определить доходн ость ф инансо­
вой операции в виде сложной годовой проц ентной ставки.
40
Финансовая математика. Сборник задач
Решение:
а = у!\ + т
- 1 = ° ’^ 1 + 0 , 5 - 0 , 2 - 1 = 0 , 2 1 ,
или
21% .
♦Пример 1.38
Номинальная ставка процента при начислении один раз в
квартал равна 16% годовых. Определить эффективную ставку.
Решение:
тп
Л
а = (,1 + —
1 т)
4
(л 0,161
- 1 = 1+ ’
- 1 = 0,1699, или
1
4
♦Пример 1.39
Определить силу роста для сложной процентной ставки
и наращения 20% годовых.
Решение:
5 = 1п (1 + а) = 1п(1 + 0,2) = 0,1823, или 18,23%.
♦Пример 1.40
Кредит выдан под 12,5 сложных годовых процентов.
Каков должен быть уровень эквивалентной ставки простых
годовых процентов (К = 360) при сроке кредита: а) 6 лет,
б) 7 месяцев?
Решение:
а) Из равенства множителей наращения 1,1256 = 1 + 6 •
имеем:
¡н= 0,171214 = 17,1214%.
б) Аналогично получаем:
—
7
22
1Д2512 =1 + — 1И, / =0,121924 = 12,1924%.
7
♦Пример 1.41
Вексель учтён в банке по годовой учётной ставке 20% за
187 дней до его погашения. Оценить в виде годовой ставки
простых процентов (К = 365) доходность этой финансовой
операции для банка.
глава 1
жДроценты
41
Р еш ен и е:
Приравняем соответствующие множители наращения:
-1
360
Имеем
,
187 .
—1 н--------- 1п
365
”
= 0,22629 = 22,629%.
♦Пример 1.42
Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начис­
ление процентов по номинальной ставке 30% ?
Р еш ен ие:
6 = 41п(1 + 0,3) = 1,049457, или 104,95%.
♦Пример 1.43
При разработке условий контракта стороны договори­
лись о том, что доходность кредита должна составлять 24%
годовых. Каков размер номинальной ставки при начисле­
нии процентов: а) ежемесячно, б) поквартально?
Р еш ен ие:
а) у = 1 2 ( 1^ Г 2 4 - 1 ) = 0 , 21705;
б) у = 4 (3 / 1 2 4 - 1 ) = 0,22100.
Задачи
1. Заработная плата рабочего равна 5500 руб. Найдите ее
величину после увеличения ее на 7%
2. Цена холодильника равна 6000 руб. Человек благодаря
покупке в праздничный день будет иметь скидку 360 руб.
Найдите величину скидки в процентах.
3. Цена микроволновки после подорожания на 10% рав­
на 1100 руб. Чему равна стоимость микроволновки до
подорожания?
4. Подсчитайте, на сколько рублей снижена цена тостера,
если после снижения на 20% тостер стоит 720 руб.
42
Финансовая математика. Сборник задач
5. Количество работающих в одном городе по сравнению
с предыдущим годом увеличилось на 400 ООО чел., так
что оно стало равно 2 ООО ООО чел. Найдите, на сколько
процентов увеличилось количество работающих?
6. План урожая слив в одном сельскохозяйственном хо­
зяйстве увеличен на 20% и после повышения составляет
2 ООО ООО кг. На сколько килограммов увеличен план
урожая яблок?
7. П осле снижения цена телевизора стала равняться
90 ООО руб. На сколько процентов нужно повысить но­
вую цену, чтобы телевизоры продавались по старой цене?
8. Цена товара по счету-фактуре равна 32 500 руб Покупа­
тель пользуется скидкой 4%. Чему равна скидка и сколь­
ко заплачено за товар с учетом скидки?
9. Годовая заработная плата одного коммерсанта равна
44000 руб. Чему равна она после повышения на 5%?
10. Торговая организация перевыполнила план товарообо­
рота на 16%, что равно 3 200 000 руб. Вычислите, на сколь­
ко процентов был бы перевыполнен план, если бы был
осуществлен месячный товарооборот в 25 000 000 руб.?
11. После снижения цены на 20% товар продается за 48000 руб.
Вычислите: а) на сколько рублей снижена цена? б) чему
равнялась бы продажная цена, если бы снижение со­
ставляло 25% от первоначальной цены?
12. Вклад составляет 92% от основной суммы. Если увели­
чим данную сумму на 700 руб., она станет больше до­
хода на 9% своей новой стоимости. Определите размер
основной суммы дохода.
13. На заводе производят два вида холодильников. Ф аб­
ричная цена дешевого меньше на 1/6 стоимости доро­
гого. На сколько процентов увеличится фабричная цена
дешевого холодильника в торговой сети, если там деше­
вый холодильник продают по цене, которая равна 9/8
фабричной цены дорогого холодильника?
глава 1
П Р°Центы
43
14. Третья часть товара продана по цене, которая на 10%
выше запланированной, а половина того же товара про­
дана на 15% дешевле запланированной цены. Вычисли­
те, на сколько процентов больше запланированной
цены нужно установить цену для остатка товара, чтобы
за общее количество товара получить такую же сумму,
которую получили бы, если бы весь товар был продан
по запланированной цене.
15. Цена определенного товара снижена на 4%. На сколь­
ко процентов нужно повысить новую цену, чтобы по­
лучить первоначальную цену?
16. Цена одного товара сначала была увеличена на 50%, а
затем снижена на 50%. Цена другого товара была сна­
чала снижена на 50%, а затем увеличена на 50%. В ре­
зультате разница в их ценах составила 6 руб. Чему рав­
нялась первоначальная разница в ценах?
17. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 12%.
Сколько килограммов сушеных грибов можно полу­
чить из 22 кг свежих?
18. На сколько процентов изменится площадь прямоуголь­
ника, если длину увеличить на 10%, а ширину умень­
шить на 10%?
19. Капитал 50 000 руб. вложен в банк на 6 лет под 4%
годовых. Найдите величину процентного платежа.
20. Какой процентный платеж должен произвести заемщик,
если он занял сумму 62 000 руб. на 8 месяцев под 6%
годовых?
21. Капитал величиной 8240 руб. вложен в банк на 40 дней
под 6% годовых (К, 360). Найдите процентный платеж.
22. Заемщик взял в банке капитал под 5% годовых. За пол­
тора года он заплатил 5000 руб. процентного платежа
Какой капитал взял заемщик в банке?
23. В банк был вложен капитал под 4% годовых. На него
был начислен процентный платеж в сумме 520 руб.
44
Финансовая математика. Сборник задач
Вычислите капитал, если он был вложен на: а) 6 лет,
б) 9 месяцев, в) 20 дней.
24. На капитал 1000 руб., вложенный в банк на 6 лет, вып­
лачен процентный платеж в сумме 420 руб. Найдите,
под какой процент годовых был положен капитал.
25. На капитал 4600 руб., положенный в банк на 4 месяца,
выплачен процент в сумме 230 руб. Вычислите процент
годовых при данных условиях.
26. В банк была вложена сумма 50 000 руб. на 9 лет под 8%
годовых. Какой процентный платеж она дает?
27. Капитал величиной 40 000 руб. вложен в банк на 6 ме­
сяцев под 4% годовых. Какой процентный платеж при­
несет этот капитал через 6 месяцев?
28. Капитал величиной 150 000 руб. вложен в банк с 03.03
по 07.05 под 6% (К = 360). Найдите процентный платеж
за данное время.
29. Капитал 100 000 руб. вложен в банк на срок с 14.04 по
14.06 под 6% годовых. Чему равен процентный платеж?
(а: = 360)
30. Капитал 40 000 руб., вложенный в банк на 5 месяцев,
принес вкладчику 5000 руб. Вычислите, под какой про­
цент годовых был вложен капитал.
31. Капитал величиной К руб. был вложен в банк на 12 ме­
сяцев под 10% годовых. Он принес доход 12 000 руб. Оп­
ределите первоначальный капитал, вложенный в банк.
32. Вкладчик вложил в банк капитал 540 000 руб. на срок с
22.03 по 30.06 и получил доход 1500 руб. Вычислите, под
какой процент годовых был вложен капитал (К = 360)
33. За сколько дней капитал 660 000 руб., вложенный в банк
под 6% годовых, принесет доход 5500 руб. (К = 360)
34. После вычета процентов за 4 месяца заемщик получил
292 250 руб. Вычислите сумму долга и сумму выпла­
ченных процентов, если процент годовых равен 4,75%.
глава 1
1 Дроценты
45
35. Заемщику 8 января дан заем 8200 руб. При этом были
вычтены проценты до 8 мая и выплачен остаток в сум­
ме 8036 руб. С каким учетом годовых был вычислен
процент? (К = 360)
36. Величина двух капиталов равна 8 ООО ООО руб. Первый
был вложен в банк под 8% годовых, а второй — под
10% годовых. Сумма годового дохода от обоих капи­
талов равна 180 000 руб. Определите величину каждого
капитала.
37. 1/4 капитала величиной К руб. была вложена в банк на
срок с 21.04 по 19.05 под 4% годовых. 1/3 этого же капи­
тала вложена на срок с 17.04 по 13.06 под 6% годовых,
а остаток вложен на срок с 03.05 по 04.08 под 8% годо­
вых. Какова величина этого капитала, если вложенный
в банк при данных условиях, он принес доход 623 руб.
(.К = 360)
38. Восьмого августа банк выдал заем, а 19.09 заемщик вер­
нул заем с процентом, что составило 712 000 руб. Опре­
делите сумму займа, если он был выдан под 4% годо­
вых. (К = 360)
39. 22.07. банк выдал заем 4200 руб. Заемщик в срок вер­
нул заем с процентами, что составило 4256 руб Какого
числа был возвращен заем, если он был взят под 6%
годовых? (К = 360)
40. Разница между двумя капиталами составляет 500 руб.
Больший капитал вложен в банк на 7 месяцев под 5%
годовых, а меньший — на 5 месяцев под 4% годовых
Доход от большего капитала вдвое больше дохода от
меньшего капитала. Найдите величину каждого капи­
тала и величину каждого дохода.
41. Капитал 6000 руб. вложен в банк под 5% годовых в тот
же день, что и капитал 5400 руб. под 6% годовых. Вы ­
числите, через сколько лет оба капитала благодаря про­
центному платежу станут одинаковыми.
42. В банк был вложен капитал 1000 руб. под 4% годовых,
а через 4 месяца было вложено еще 1200 руб. под 2%
46
Финансовая математика. Сборник задач
годовых. Определите, через сколько месяцев второй ка­
питал благодаря процентному платежу будет меньше
на 12 руб. от увеличенной суммы первого капитала.
43. За какой срок вложенные в банк 12 ООО руб. под 6%
годовых (К = 360) принесут доход, равный доходу, по­
лученному от капитала 73 ООО руб., внесенного на срок
с 15.03 до 16.04 под 6,50% годовых? {К = 365)
44. В один и тот же день в банк были вложены сумма
20 000 руб. под 4% годовых и сумма 18 000 руб. под 5%
годовых. Вычислите, через сколько лет оба дохода бу­
дут одинаковыми.
45. Сколько лет должна находиться в банке сумма, равная
К руб., вложенная под 8% годовых, чтобы доход соста­
вил четырехкратную сумму от вложенного капитала?
46. 15.08 банк выдал заем 12600 руб. Заемщик в срок вер­
нул взятую сумму вместе с процентами, что составило
12 712 руб. Какого числа и месяца был возвращен заем,
если он был взят под 8% годовых? {К = 360)
47. За какое время капитал 180 000 руб., вложенный в банк
под 7% годовых (К = 360), дает тот же самый доход, что
и капитал 109 500 руб., вложенный в банк с 20.03 по
30.05 под 5% годовых? (/С = 365)
48. Разница между доходом на взятый капитал К , вычис­
ленным при помощи постоянного числа 36 000, и до­
ходом, вычисленным при помощи постоянного числа
36 500, составляет 1 руб., если капитал был вложен на
12 дней под 6%. Вычислите, чему равен капитал А ?
49. Заемщик взял в банке капитал К на срок 60 дней под 6%
годовых. Он вернул в срок заем с процентами, что со­
ставило 25 250 руб. Вычислите, сколько рублей прине­
сет вдвое больший капитал за срок 3 года под такие же
проценты годовых.
50. Сумма К руб., вложенная в банк под 4% годовых на
несколько лет, увеличилась на 43 200 руб. Та же сумма,
вложенная на срок на один год меньше под 5% годо-
гл ава 1
ТТроцеиты
47
вых, принесла бы 7200 руб. дохода. Определите сумму
и срок, за который насчитывался доход.
51. Какая должна быть ставка простых годовых процентов
для того, чтобы сумма долга, взятого 11.04, увеличи­
лась бы на 25% к 17.12, если используются: а) точные
проценты; б) обыкновенные проценты? (К = 365)
52. По годовому депозиту назначена ставка 12% годовых.
Какую ставку годовых процентов нужно назначить на
полугодовой депозит, чтобы последовательное пере­
оформление полугодового депозита привело бы к та­
кому же результату, что и при использовании годово­
го депозита? (К = 360)
Указание: пренебречь одним днем, который теряется при
переоформлении полугодового депозита.
53. Кредит в сумме 100 тыс. $ предоставлен 15.01 под9,5 про­
стых годовых процентов. С какого момента долг пре­
высит 105 тыс. $, если начисляются: а) точные процен­
ты, К = 365; б) обыкновенные проценты?
54. Кредит в сумме 120 тыс. $ выдан 10.01 по 16.09включительно под 10,5% годовых (обыкновенные проценты).
В счет погашения долга 21.05 уплачено 80 тыс. $. Ка­
кую сумму нужно вернуть 16.09?
Указание: использовать правило торговца, т.е. сумму в
80 тыс. $ «вывести» на дату 16.09.
55. На первоначальную сумму в 580 $ в течение 2,5 лет
начисляются проценты по годовой ставке 8,75%. На
сколько больше будет наращённая сумма, вычислен­
ная по смешанному методу, чем по общему методу,
если К = 360 дней?
56. Через сколько лет первоначальная сумма увеличится в
1000 раз, если на нее начисляются сложные годовые
проценты по ставке 12% при: а) начислении процентов
в конце года; б) ежемесячном начислении процентов?
57. Запас древесины лесного массива в данный момент оце­
нивается в 1 млн м3. Каков будет запас древесины через
50 лет при годовой силе роста 10%?
48
Финансовая математика. Сборник задач
58. На первоначальную сумму в течение 5 лет начисляют­
ся сложные годовые проценты по ставке 12% раз в кон­
це года. Во сколько раз вырастет наращённая сумма,
если проценты будут начисляться ежемесячно?
59. На пять лет под 8,5 сложных годовых процентов выда­
на ссуда в 1000 $. В счет погашения долга в конце вто­
рого года внесено 1100 $, которые пошли на уплату про­
центов, накопленных к этому сроку, а остальная сум­
ма — на погашение основного долга. Какую сумму
следует уплатить в конце пятого года, чтобы полнос­
тью погасить задолженность?
60. Кредит выдан на 5 лет под 8% годовых, начисление про­
центов — в конце года. Какую номинальную годовую
ставку процентов необходимо назначить, чтобы полу­
чить к концу пятого года ту же наращённую сумму при
поквартальном начислении процентов? Будет ли зави­
сеть эта номинальная ставка от срока ссуды?
61. На сумму долга в течение 2 лет начисляются сложные
проценты по ставке 8,7% годовых. Сколько раз в году
нужно начислять проценты по той же ставке, чтобы за 2
года наращенная сумма выросла бы не менее чем на
0,45%?
62. Кредит в сумме 2500 $ выдан на 8 лет. Сложная ставка
годовых процентов менялась от периода к периоду: на
протяжении первых 3 лет действовала ставка 7,5%, в сле­
дующие 3 года — 8%, в последнем периоде — 8,2%.
Какую сумму нужно вернуть в конце восьмого года?
Чему равна средняя ставка сложных процентов?
64. Остров Манхэттен был «куплен» в 1624 г. у индейского
вождя за 24 $ . Стоимость земли этого острова 350 лет
спустя оценивалась в 40 млрд. $. При какой ставке го­
довых процентов возможен такой рост?
65. На годовом рублевом депозите ставка процентов со­
ставляет 45% годовых. Месячный темп инфляции в пер­
вом полугодии был постоянен и составил 4,7% в месяц,
глава 1
жПроценты
49
во втором полугодии — 5% в месяц. Во сколько раз
возрастет реальная наращённая сумма депозита за год?
66. Месячные темпы роста инфляции за предшествующие
полгода характеризуются следующим рядом: 3,05, 3,07,
3,24, 3,29, 3,42, 3,53%, т.е. отмечался устойчивый рост
инфляции. Исходя из линейного прогноза месячных
темпов инфляции, укажите годовую ставку простых
процентов, обеспечивающую реальный рост долга по
трехмесячному кредиту в 3,5% годовых.
67. Свободные денежные средства в сумме 300 тыс. руб­
лей планируется поместить на трёхмесячный депозит.
В данный момент обменный пункт покупает доллары
по 2150 руб., а продает по 2165 руб. Ставка процентов
по трёхмесячным депозитам составляет: 14% годовых
по рублёвым вкладам и 3% годовых по долларовым.
Что выгоднее — использовать рублёвый депозит или
долларовый с двойной конверсией валюты, если пред­
полагается, что курс покупки долларов за 3 месяца вы­
растает на 4%? Чему будет равна потеря при неправиль­
ной тактике вложения денежных средств?
68. На депозит на 3 месяца положили 1 млн руб. под 36%
годовых, К = 360. Проценты простые. Есть основания
считать, что с равной вероятностью темп инфляции за
это время составит от 2 до 4%. Чему будет равно сред­
нее ожидаемое значение реальной наращённой суммы
депозита?
69. Исходя из условий предыдущей задачи, подсчитайте ве­
роятность попадания реальной наращенной суммы в
интервал от 1 049 000 руб. до 1 065 000 руб.
70. Планируется положить на трехмесячный депозит 10 млн.
руб. В данный момент курс покупки доллара составля­
ет 2850 руб. За предыдущие 10 месяцев курс доллара
рос и составил следующий временной ряд (в рублях):
1550, 2100, 2280, 2485, 2630, 2698, 2710, 2740, 2780, 2880.
Ставка процентов на рублевом депозите — 50%, а на
5 0 __________________ Финансовая математика. Сборник задач
долларовом — 5% годовых. Основываясь на степенном
прогнозе курса доллара, решить вопрос, что выгоднее:
поместить денежные средства на рублевый или долла­
ровый депозит с двойной конверсией? Чему будет рав­
на наращённая сумма депозита при наилучшем вари­
анте помещения денежных средств?
71. На первоначальную сумму денег в течение п лет начис­
ляются сложные проценты по годовой ставке 10%. На
сколько процентов возрастет сумма при переходе к
ежедневной капитализации процентов (К = 365) для:
а) п = 4; б) « = 8?
72. На начальную сумму в 1000 $ в течение 4 лет начисля­
ются каждые полгода сложные проценты по номиналь­
ной ставке 5%. На сколько увеличится или уменьшится
наращённая сумма, если номинальная ставка и число
периодов капитализации процентов возрастут вдвое?
73. Начальное значение силы роста равно 8%. Ежегодный
абсолютный прирост составлял 2% в течение 5 лет, за­
тем в течение последующих 5 лет происходило линей­
ное падение силы роста на 1% в год. Чему будет равен
множитель наращения за 10 лет?
74. Ссуда в размере 100 тыс. $ выдана на 90 дней под 8,5%
точных простых годовых процентов, К = 366 дней. Од­
нако она не была возвращена в намеченный срок, а была
погашена спустя 13 дней, не считая даты погашения.
Какую сумму следует вернуть, если за просроченное
время на сумму возврата долга начислялись точные
простые проценты по ставке 10% годовых?
75. Капитал 60 000 руб. вложен в банк на период 8 лет и
6 месяцев при 4% и годовой капитализации. Вычисли­
те, на какую величину возрастет капитал.
76. В банк вложен капитал 80 000 руб. на период 8 лет и
6 месяцев при 6% и годовой капитализации. Вычислите
сумму увеличенного капитала.
глава 1
1 Дроценты
51
77. Капитал вложен на 8 лет при р% годовых Соотноше­
ние между общим процентом в течение первых 3 лет и
последних 3 лет равно 0,802451. Определите декурсивный процентный платеж. Капитализация годовая.
78. В банк вложен капитал 20 ООО руб. при р% . В конце
первого года взято 20 ОООруб. Остаток в конце второго
года составлял 500 руб. Определите р, если капитализа­
ция годовая.
79. Заемщик через 4 года должен заплатить в банк 15 400 руб.,
а через 6 лет — 17 350 руб. Вместо этого он хотел бы
заплатить только один раз через 7 лет с 5%. Определите
сумму, которую должен заплатить заемщик.
80. Два денежных взноса, один из которых на 30 000 руб.
больше другого, вырастут за 15 лет с процентной став­
кой 6% так, что вместе составят 100 000 руб. Капитализа­
ция полугодовая. Чему равны эти два денежных взноса?
81. 11 лет назад в банк было вложено 34 560 руб., а 5 лет
назад — 45 000 руб. Какой капитал нужно вложить се­
годня, чтобы сумма всех вложений через 16 лет была
равна 835 000 руб.? Процентная ставка равна 10%, а ка­
питализация годовая.
82. 14 лет назад работник сферы обслуживания вложил в
банк 24 780 руб., сегодня вложил еще 18 650 руб. Рас­
считайте, какую общую сумму получит вкладчик через
12 лет (считая от сегодняшнего дня), если процентная
ставка до сегодняшнего дня равнялась 6% при полуго­
довой капитализации, а с сегодняшнего дня 3% при че­
тырехмесячной капитализации.
83. В банк вложено 40 000 руб., через 1 год внесено еще
40 000 руб. В конце второго года вкладчик располагает
суммой 88 101,28 руб. Определите полугодовую декурсивную процентную ставку.
84. В банк вложено 40 000 руб. В первый год вложение уве­
личивалось при р%, а во второй год — при (р + 1)% .
В конце второго года вложение вместе с процентами
52
Финансовая математика. Сборник задач
будет равно 42 848 руб. Капитализация годовая. Вы­
числите процентную ставку.
85. В банк вложено 60 ОООруб. под процентную ставку 6 %.
Через 4 года после вложения взяли 40 ООО руб., а еще
через 3 года — 20 ООО руб. Чему будет равен остаток
через 1 0 лет (со времени вложения первого взноса) при
годовой капитализации?
86
. В банк вложили 40 000 руб., а через 7 лет взяли 50 000 руб.
Чему будет равна сумма через 16 лет (со дня вложе­
ния), если процентная ставка 6 %, а капитализация по­
лугодовая?
87. В банк вложено 2000 руб. За период 6 лет и 5 месяцев
процент считался по процентной ставке 3%, а в следую­
щем периоде 5 лет и 3 месяца — по 4%, капитализация
годовая. Определите увеличенный капитал.
88
. Банк принимает вклады до востребования по простой
ставке 40% годовых. Определить сумму начисленных
процентов и сумму долга с начисленными процентами
на вклад 2 0 0 0 руб., размещённый на полгода.
89. Банк принимает депозиты на 3 месяца по ставке 50%
годовых, на 6 месяцев по ставке 70% годовых и на год
по ставке 90% годовых. Определить суммы, которые
может получить владелец депозита 4500 руб., и выбрать
наиболее выгодный вариант размещения вклада.
90. Определить простую ставку процентов, при которой
первоначальный капитал в размере 2 0 0 0 0 руб., достиг­
нет через 90 дней 30 000 руб.
91. Определить период начисления, за который первоначаль­
ный капитал в размере 2 0 0 0 0 руб. вырастет до 60 0 0 0 руб.,
если банк проводит расчеты с клиентами по простой
ставке 150% годовых.
92. Клиент положил вклад в банк на депозит в сумме
1000 руб. под 50% годовых сроком на 5 лет. Опреде­
лить наращённую сумму, которую клиент будет иметь
на своём счёте в банке через 5 лет.
глава 1
жПроценты____________________________________
93. Банк принимает вклады до востребования по ставке
20% годовых. Определить сумму процентов на вклад
3000 руб., размещенный на три месяца, полгода и год.
94. Определить сумму процентов и количество дней для
начисления процентов при различной практике их на­
числения, если вклад 2 0 0 0 руб. был размещён на усло­
виях 40% годовых на срок с 10 января по 5 сентября.
95. Вклад 1000 руб. положен 1 февраля на месячный депо­
зит под 2 0 % годовых, затем продлён ещё на два после­
дующих месяца. Определить наращённую сумму при
различных способах начисления процентов.
96. Какую сумму необходимо положить в банк на 9 меся­
цев, чтобы накопить 1 0 0 0 руб., если он принимает вкла­
ды на условиях 2 0 % годовых?
97. На какой срок необходимо положить в банк 4000 руб.,
чтобы накопить 1 0 0 0 руб., если банк принимает вклады
под простые 30% годовых?
98. Вклад в размере 4000 руб. был положен в банк 6 февра­
ля и востребован 20 декабря. Ставка процентов — 80%
годовых. Определить сумму начисленных процентов
при различных методах определения срока начисления.
99. Вклад 5000 руб. был размещён в банке 10 июня по став­
ке 60% годовых. При востребовании вклада 20 сентября
вкладчику были начислены проценты в размере 700 руб.
Определить какую практику начисления процентов ис­
пользовал банк.
100. Инвестиционная компания в 2004 году принимала вкла­
ды от населения с ежемесячной выплатой 40% при за­
ключении контракта на срок не менее трех месяцев, еже­
квартальной выплатой 1 2 0 % и ежегодной выплатой
1000%. Сформировать выгодный вариант финансовой
операции.
101
.
1 0 мая была положена сумма 1 0 0 0 руб. при открытии
сберегательного счёта на условиях 1 0 0 % годовых;
15 июля была доложена сумма 500 руб.; 20 сентября со
54
Финансовая математика. Сборник задач
счёта была снята сумма 750 руб., а 30 ноября счёт был
закрыт. Определить сумму, полученную вкладчиком
при закрытии счёта.
102. Банк в январе 2006 г. предлагает три варианта вложений
денежных средств на срок 1 месяц — 0 ,6 % в месяц, на
срок 2 месяца — 0,7% в месяц, на срок 3 месяца — 0,9%
в месяц. Минимальная сумма первоначального взно­
са — 300 рублей. Размер дополнительного взноса не
менее 1000 рублей. Ежемесячные начисления процен­
тов и их капитализация. Пролонгация договора по вкла­
ду без явки вкладчика. Определить наиболее выгодную
схему финансовой операции для вкладчика, располага­
ющего суммой 1 0 0 0 руб.
103. Вкладчик имеет возможность положить вклад на сум­
му 5000 рублей в Промстройбанк сроком на 3 месяца.
Сформировать наиболее выгодную схему финансовой
операции, если банк предлагает три варианта начисле­
ния процентов: 19% годовых, вклад «Юбилейный» 19%
годовых с ежемесячным реинвестированием, вклад «Ин­
вестор» по сложной ставке 19,81% годовых. Банк за бан­
ковские операции берёт 1 % с суммы за каждый вклад.
104. Банк предлагает разместить вклады на следующих ус­
ловиях: по ставке сложных процентов 16,5% годовых с
ежемесячной выплатой по рублёвым вкладам; по слож­
ным процентам 1 1 % годовых с ежемесячными выплата­
ми по валютным вкладам. Определить оптимальную
схему финансовой операции с суммой 6000 $ USA.
105. Банк в январе 2007 года принимает валютные вклады
от частных лиц как в наличном, так и в безналичном
виде в следующих вариантах: 1 ) вклады до востребова­
ния по сложной ставке 2 % годовых, принимаются до­
полнительные взносы и совершаются частичные выдачи
со вклада. Срок хранения не ограничен. Начисление про­
центов и присоединение их к остатку ежеквартально;
2 ) срочные депозиты по следующим ставкам: на 3 ме­
сяца — 5% в год, 6 месяцев — 6 % в год, 9 месяцев — 7%
глава 1
1 ууроценты
55
в год и 12 месяцев — 8,5% в год. Дополнительные взно­
сы не принимаются, и частичные выдачи с вклада не про­
изводятся, возможна пролонгация; 3) вклад с ежемесяч­
ным начислением процентов по ставке 0,5% в месяц.
Доход зависит от средневзвешенного остатка на счёте
за месяц. Срок хранения вклада не ограничен. Найти
выгодный вариант вложения 1000 $ USA.
106. Коммерческий банк принимает вклады от населения в
2005 году на следующих условиях: на срок 3 месяца с
выплатой 150% годовых минимальная сумма вклада
1 млн руб.; на срок 6 месяцев с выплатой 130% годовых
минимальная сумма вклада 50 тыс. руб. Выплата про­
центов — по окончании срока действия договора. Най­
ти наиболее выгодный вариант вложения 1 млн руб.
С п и сок ли тературы
1. Кирлица В.П. Финансовая математика. Руководство к ре­
шению задач. — Мн.: ТетраСистемс, 2005.
2. Ковалёв В. В. Сборник задач по финансовому анализу. —
М.: Финансы и статистика, 1997.
3. Кочовович Е. Финансовая математика с решениями и за­
дачами: учебно-метод. пособие. — М.: Финансы и стати­
стика, 2005.
4. Кузнецов Б. Т., Грачева Ю.А. Влияние нарушения пари­
тета цен на конверсию валюты //Внешняя торговля. 1999.
№ 4.
5. Кузнецов Б. Т. Финансовая математика. — М.: Экзамен,
2005.
6 . Управление инвестициями / Под ред. В.В. Шеремета. —
М.: Высшая школа, 1999.
7. Черкасов В. Е. Практическое руководство по финансовоэкономическим расчётам. — М.: Метаинформ, 1995.
8 . Четыркин Е.М. Финансовая математика. — М.: Дело,
2004.
П
л атеж и
Потоки платежей — это последовательные во времени
платежи, например, пенсии, выплаты по купонам облига­
ций и т.д.
Рассмотрим основные определения характеристик пото­
ков платежей:
► регулярным потоком платежей (финансовой рентой, пла­
тежами по потребительским кредитам и очень редко ан­
нуитетом) называются платежи, у которых выплаты по­
стоянны, происходят по установленным правилам и ин­
тервалы (периоды) между платежами одинаковы;
► нерегулярным потоком платежей называются платежи,
у которых частично выплаты являются положительны­
ми величинами и отрицательными величинами, а также
между платежами могут быть неодинаковые интервалы.
По моменту выплат в пределах периода между платежа­
ми ренты делятся на:
— постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты произ­
водятся в конце периода;
— пренумерандо, когда выплаты производятся в начале
периода;
— ренты с платежами в середине периода.
Наращённая сумма потока платежей — это сумма всех
выплат с начисленными на них к концу срока сложными
процентами.
Современная стоимость потока платежей — это сумма
всех выплат, дисконтированных на начало срока этого по­
тока по сложной процентной ставке.
Наращённая сумма такого потока платежей рассчиты­
вается по формуле:
к
(2.1)
1=1
глава 2
57
А П латеж и
Современная стоимость потока платежей определяется
соотношением:
^=
(2 -2 )
Г=1
где
у”' = ---- !---- —
(1 + 0 *
дисконтный множитель.
Формула современной стоимости имеет вид:
5 = А(1 + 0 я*.
(2.3)
(2.4)
♦ Пример 2.1
Имеется следующий график платежей во времени:
— 1 января 2005 г. — 20 тыс. руб.;
— 1 июля 2005 г. — 30 тыс. руб.;
— 1 января 2006 г. — 1 0 тыс. руб.;
— 1 января 2007 г. — 40 тыс. руб.
Определить сумму задолженности на 1 января 2007 г. и
её современную стоимость на момент выплаты первой сум­
мы при ставке наращения 15% годовых.
Решение:
Наращённая сумма вычисляется по формуле (2.1):
к
5 = £ я Д 1 + 0 '1*~"'=(20 1,152 + 30-1,51’5+10-1,15+40)-1000 =
г=1
= 114 947,13 руб.
Современная стоимость потока платежей определяется
соотношением (2 .2 ):
*
/=1
(
20
30
10
40 4
+ -----— + -----+
1,150’5 1Д5 1,15
1000 = 86916,54 руб.
Этот же результат можно получить, используя формулу
(2.3), то есть:
5__
114947,13
(1 + 0"* ~
1,15"
58
Финансовая математика. Сборник задач
2 .1 . П о с т о я н н а я р е н т а
Рассмотрим в основном ренты постнумерандо. В част­
ности, различные виды финансовых рент.
Годовая р ен т а
Годовая рента постнумерандо предусматривает выпла­
ты и начисление процентов один раз в конце года.
Наращённая сумма ренты будет равна:
5 = Л ( 1 + О" “ 1 + Д(1 + О” ' 2 + - + Л(1 + 0 + ЛНаращённая сумма годовой ренты к концу срока вычис­
ляется по формуле:
(1 + / Г - 1
(2.5)
(2 .6 )
(2.7)
где
коэффициент наращения ренты, табулированная функция.
♦ Пример 2.2
В фонд ежегодно в конце года поступают средства по
10 ОООруб. в течение семи лет, на которые начисляются про­
центы по ставке 15% годовых. Определить коэффициент на­
ращения ренты и величину фонда на конец срока.
Реш ение:
Коэффициент наращения ренты находится по формуле
(2.7):
Наращённая сумма:
5 =
= Ю ООО ■11,066799 = 110 667,99 руб.
глава 2
А|~|латежи
59
Для определения современной стоимости годовой ренты
необходимо каждый платёж: продисконтировать на начало
срока ренты и сложить все дисконтированные платежи. Со­
временная стоимость, равная сумме всех платежей, опреде­
ляется соотношением:
А = Я у + К у2 +
+ ... + Ду” = Я у (1 + V+ V2 + ... + у71-1).
Современная стоимость годовой ренты вычисляется по
формуле:
Л = Яу + Я у2 + Ду3 +... + Ду" = Ду(1 + у + у2 +... + у”' 1),
или
где
А = Ябп.1,
(2.8)
= — — ----------(2.9)
I
коэффициент приведения ренты, табулированная функция.
а
♦ Пример 2.3
В фонд ежегодно в конце года поступают средства по
10 ОООруб. в течение семи лет, на которые начисляются про­
центы по ставке 15% годовых. Определить коэффициент при­
ведения ренты и современную стоимость фонда.
Решение:
Коэффициент приведения ренты находится по формуле
(2.9):
1 -д + 0 " = 1 -и 5 1
2
/
0,15
Современная стоимость определяется соотношением (2.8):
А = Кап ( = 10 ООО •4,16042 = 41 604,2 руб.
Г о д о в а я р ен т а с н ач и сл ен и ем п роц ен т ов
п о н о м и н а л ьн о й п роц ен т н ой ст авк е
В рассматриваемом случае проценты начисляются т раз
в году по ставке
, где у — номинальная ставка. Срок рен­
ты равен п лет. т
60
Финансовая математика. Сборник задач
Наращённая сумма ренты:
f
+Я
т
. ^ (п -2 )т
1
с
1
+
или
+ ... + Я1 1 + ^ - 1 + я
т)
+ ^т
\тп
-1
га
т п \Ц т
1
+ '
т
- 1
г
1
где
(2 . 1 0 )
т п \Ц т
•\тп
+ ^- 1
т
' 1 + ^-Л
(2 . 1 1 )
- 1
т
коэффициент наращения ренты, табулированная функция.
♦ Пример 2.4
В фонд ежегодно в конце года поступают средства по
10 ОООруб. в течение трех лет, на которые начисляются про­
центы по номинальной ставке 15% годовых, причём про­
центы начисляются поквартально. Определить коэффициент
наращения ренты и величину фонда на конец срока.
Решение:
Коэффициент наращения ренты находится по формуле
(2 . 1 1 ):
1+ ^
-1
_V
1
т
-3,50236.
**т п \ Л т
0,15
1+
1+^ - 1 -1
- 1
т
Наращённая сумма:
5 = /&„„;,/„= 10 000 •3,50236 = 35 023,6 руб.
Современная стоимость ренты:
Я
Я
Я
глава 2
61
П латежи
или
тп^/т’
(2.13)
\-тп
1
где
*/пл;Цт
-
+^
т
Г
; \ш
-1
1 + ^т
1
коэффициент приведения ренты, табулированная функция.
♦ Пример 2.5
В фонд ежегодно в конце года поступают средства по
5000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются про­
центы по номинальной ставке 15% годовых, причём про­
центы начисляются поквартально. Определить коэффициент
приведения ренты и современную стоимость фонда.
Решение:
Коэффициент приведения ренты находится по формуле
(2.13):
\—тп
/
п 1*-\-4-7
0,15"}
11+
1 - 1 1 + ^т
= —
^
= 4,0546724.
а тп\'}!т
г 1 + -^/л - 1
-1
т
Современная стоимость ренты:
5 = Яатп..1т = 5000 ■4,054672 = 40 546,72 руб.
♦ Пример 2.6
В течение 30 лет создается пенсионный фонд. На посту­
пившие средства начисляются сложные проценты по ставке
8,5% годовых. Сумма годовых взносов составляет 200 $.
Определите величину фонда для следующих ситуаций:
а) взносы и начисление процентов в конце года; б) взносы в
конце каждого полугодия, начисление процентов в конце
года; в) взносы и начисление процентов в конце каждого
квартала; г) взносы в конце каждого полугодия, непрерыв­
ное начисление процентов по годовой ставке 8,5%.
6 2 _______________ Финансовая математика. Сборник задач
Решение:
а) в данном примере п = 30, i = 0,085. Поскольку взносы
и начисление процентов в конце года, то р - т - 1. Тогда в
силу формул ( 2 . 1 0 ), (2 . 1 1 ) имеем:
= 200 • (1 + 0,085)
= 24 842,5 $;
0,085
б) теперь р = 2 , т = 1 и, используя формулы (2 . 1 0 ), полу­
чаем:
5
5 = 200-
( ) Н~0 ’ 0 8 5 ) 3 ° - 1
2 (^ 1
= 25 360,09 $;
+ 0 ,0 8 5 -1 )
в) полагая р = т = 4 в формулах (2.10), (2.11), получим:
5 = 200
= 26 987,01 $;
0,085
г)
в данном случае р — 2 и используются непрерывные
проценты. Тогда, в силу формул для вычисления наращён­
ной /7-срочной ренты с непрерывным начислением процен­
тов по годовой ставке у = 5:
Ьп 1
с _ р . с (р)
5
с(Р) _
е
1
5":8 ’
0,085-30 _ 1
имеем:
5 = 2 0 0 ----- ------------- = 27 195.25 $.
2 (е ’
- 1)
Р ен т а с н ео д н о к р а т н ы м и в ы п л а т а м и в году
Выплаты производятся р раз в году, поэтому рента на­
зывается р-срочной. Наращённая сумма за каждый отдель­
ный год в конце этого года составит:
= — (1 + ^ р~Х)1р + - ( 1 + 1){р ~2)! р +... + — (1 + г)1/р + - .
Р
Р
Р
Р
глава 2
63
АП латежи
Сумма всех ежегодных платежей, равных
лет, вычисляется по формуле (2.5):
„
„
(1
где
+ /)" —1
^ >=
=
„
(1
+ 1)” - 1
в течение п
п (п)
г( 1 + ' ) 1/р 1 -I ~
(2, 4)
(2Л5)
коэффициент наращения ренты, табулированная функция.
♦ Пример 2.6
В фонд ежегодно поступают средства по 5000 руб. в тече­
ние семи лет, на которые начисляются проценты по ставке
15% годовых, причём выплаты производятся покварталь­
но. Определить коэффициент наращения ренты и величину
фонда на конец срока.
Решение:
Коэффициент наращения ренты находится по формуле
(2.15):
г(1 + У
-|= —^~~ТлГ~— = 11,671179.
р[(1 + /)!/р - 1 ] 4(1,15^ -1 )
'
Наращённая сумма:
5=
=5000-11,671179 = 58 355,895 руб.
Современная стоимость выплат за каждый отдельный год
в начале этого года составит:
„ Я
1
Я
1
Я
1
Я 1
А = ---------- Г,--- н---------- гт—+ ... + ---------- :---771--- Ь
1 Р (1 + 0 1/р Р (1 + 0 2/р
р (1 + 0 (р_1)/р Р 1 + 1*
„
ШИ
1
К
1
"/>< 1 + о 1/р +
(1
1 гт- ;-----1
+ 0 <1/р,р
1
к
~р
—1 —1
Ур
1 - (1 + О
1
1
1
+1
а + о 17'’
Сумма всех ежегодных, дисконтированных на начало
этого года, платежей за п лет вычисляется по формуле:
64
Финансовая математика. Сборник задач
А = Ах + Л1у +
Vя
+ ...+ \ п-\ ~ А
-1
V—1
где у =
1+/
Подставив сюда выражение для А 1 получим:
1
-1
(1 + 0 1/р- 1
+•
1
(1
+0 ”
+1
1
1
или
1
-
(1
+ /)-
( а + о ^ - 1] ’
+1
Р^Р)
А —= Яа
п \1 ’
(2.16)
1 - (1 + О
(2.17)
л р ) =
и п\1
где
=Я
(1
+ г)1/р - 1 ]
коэффициент приведения ренты, табулированная функция.
♦ Пример 2.7
В фонд ежегодно поступают средства по 10 ООО руб. в
течение семи лет, на которые начисляются проценты по став­
ке 15% годовых, причём выплаты производятся покварталь­
но. Определить коэффициент приведения ренты и современ­
ную стоимость фонда.
Решение:
Коэффициент наращения ренты находится по формуле
(2.17):
а (р) _
1 -0 + 0'
р [ (1 + 0 ^ - 1 ]
1-1,15
-7
= 4,387629.
4 (1 ,1 5 ^ -4 )
Современная стоимость фонда:
Л = Я а $ = 10 ООО •4,387629 = 43 876,29 руб.
глава 2
ж|~|латежи
65
Р ен т а с н а ч и сл ен и ем п роц ен т ов
п о н о м и н а л ь н о й п р о ц ен т н о й с т а в к е
и с н еодн ок р ат н ы м и вы п лат ам и в году
Я
В любом году производитсяр выплат по
руб., где Я —
годовая выплата. Количество начислений процентов в году
по номинальной ставке у равно т. Срок ренты — п лет. На­
ращённая сумма на все выплаты года к концу этого года
определяется соотношением:
Р-1
Я/ . I
«1 = - 1 + т
-
т
Р-2.
ж .
+ — \+ ‘ У
т)
Р
, 1+
Я 1
или
*1
1
—
га
-1
=
1
+
-1
га
Наращённая сумма всей ренты:
ч(п-1)т
С
. ^(п-2)т
5 = Я, [ 1+ —
+ Я| 1 + ту
I\ т /
\тп
(
/ У"
1+—
-1
1+- 1
-1
Я
т
т
р
т /р
1
+
т
- 1
+ К\/
\тп
= Я-
с —в Л р )
™тп\Цт’
(2.18)
. \тп
1
тп,Лт
_
(
+-1
т
(
,• \т/р
1+- 1
т
1
43
Г
где
\т
- 1
или
Лр )
+—
т
+т
I
1+т
- 1
(2.19)
- 1
коэффициент наращения ренты, табулированная функция.
66
Финансовая математика. Сборник задач
♦ Пример 2.8
В фонд ежегодно поступают средства по 5000 руб. в тече­
ние семи лет, на которые начисляются проценты по ставке
15% годовых, причём выплаты производятся поквартально,
а проценты начисляются ежемесячно. Определить коэффи­
циент наращения ренты и величину фонда на конец срока.
Решение:
Коэффициент наращения ренты находится по формуле
(2.19):
12-7
Г
: Л™
-1
- 1
1+12
т
Лр )
= 12,10876.
тп^/т
N12/4
Г
: \т/Р
0,15
- 1
1+
- 1
1+т
12
Наращённая сумма:
5 = Д ^ у./т = 5 0 0 0 •12,10876 = 60 543,8 руб.
Формулы для частного случая, когда количество начис­
лении процентов в году равно количеству выплат в году:
. \т п
1
5 =Д
+±
т
- 1
(2 .2 0 )
» цример 2.9
В фонд ежегодно поступают средства по 10 000 руб. в
течение семи лет, на которые начисляются проценты по став­
ке 15% годовых, причём проценты начисляются и выплаты
производятся ежемесячно. Определить коэффициент нара­
щения ренты и величину фонда на конец срока.
Решение:
Коэффициент наращения ренты:
глава 2
ж|~|латежи
67
Наращённая сумма:
f
i \тп
1+- I
-1
т
S =R
= 10 ООО •12,26075 = 122 607,5 руб.
Современная стоимость выплат за каждый отдельный год
в начале этого года составит:
R
1
R
1
+■
*1 =
. \2т/ р
Р (л J
1+—
т
т
R
1
R
1
+■
+■
. \(р -1 )т /р
1 + Jт
или R^ =
1
R
+^
т
R
vm - l
\т/р
1
\т/р
+ '
т
1+ J т
- 1
v " '- l
уп/р
1+ J т
Современная стоимость всей ренты:
А = Я,
+ Л,у” + «,у2т +... + й1у(”4)т = «!
vmn- l
vm - l
\-тп
R
vm
1
-1
1
+
=R
\т/р vm _ i
1
-
+т
т
■W Р
1
+
т
- 1
(2 .2 1 )
или
1
(2 .2 2 )
где
- 1
коэффициент наращения ренты, табулированная функция.
68
Финансовая математика. Сборник задач
♦ Пример 2.10
В фонд ежегодно поступают средства по 5000 руб. в тече­
ние семи лет, на которые начисляются проценты по ставке
15% годовых, причём выплаты производятся поквартально,
а проценты начисляются ежемесячно. Определить коэффици­
ент приведения ренты и современную стоимость фонда.
Решение:
Коэффициент приведения ренты находится по формуле
(2 .2 2 ):
-1 2 -7
0,15
1 -1 1 + 11+
т
12
Лр)
= 4,264981.
тп’Лт
т /р
12/7
0,15
1+
-1
1+
-1
т
12
Современная стоимость фонда:
А = Я а ^ /т = 5000 •4,264981 = 21 324,91 руб.
Формулы для частного случая, когда количество начис­
лений процентов в году равно количеству выплат в году.
Подставив в эти соотношения т = р, найдём:
1
-
1
А= Я
▼ и р п п ср
+
т
(2.23)
£.11
В фонд ежегодно поступают средства по 10 000 руб. в
течение семи лет, на которые начисляются проценты по став­
ке 15% годовых, причём выплаты производятся и проценты
начисляются поквартально. Определить современную сто­
имость фонда.
Решение:
Современная стоимость фонда находится по формуле
(2.23):
\-тп
чЧ-7
0,15
11 -1 1 + 1+
т
А =Я
= 10000 -
0,15
= 42 885,03 руб.
глава 2
* П латеж и
69
2 .2 . Н е п р е р ы в н а я р е н т а
Р ен т а с н еп реры вн ы м н ач и слен и ем п роц ен т ов
Формула для наращённой суммы и коэффициента нара­
щения ренты с непрерывным начислением процентов:
р^п —1
^ Ш7 ^ Т У
Для годовой ренты, когда /7 = 1 , формулы (2.24) приоб­
ретают вид:
( 2 ' 2 4 )
е5" - 1
S = Rs„,s , î „ :8 = V t е —1
(2
25)
♦ Пример 2.12
В фонд ежегодно поступают средства по 5000 руб. в тече­
ние семи лет, на которые начисляются проценты по силе
роста 15% годовых, причём выплаты производятся поквар­
тально (раз в году), а проценты начисляются непрерывно.
Определить коэффициент наращения ренты и величину фон­
да на конец срока.
Решение:
Коэффициент наращения и наращённая сумма ренты
находятся по формулам (2.24). Для поквартальных выплат:
6и_1
0,15-7 _ 1
= ------------- = — —— ------ = 12,153583.
"■5 р ( е ^ - 1 ) 4(е°’15/7- 1 )
Наращённая сумма:
S=
= 5000 •12,153584 = 60 767,92 руб.
Для выплат один раз в году коэффициент наращения бу­
дет равен:
8„ _ !
0,15-7 _ j
^
= -е^ —
T1 = Tе ï T —1
T =11’478722Наращённая сумма:
S = Rsn 8 = 5000 • 11,478722 = 57 393,61 руб.
70
Финансовая математика. Сборник задач
Формула для современной стоимости /7-срочной ренты с
непрерывным начислением процентов:
1 —р~^п
4 8 - р - (7е ыр
(2-26)
'г - 1„) ■
Л= Д а$.
(2.27)
Для годовой ренты, когда /7 = 1 , формулы (2.26) и (2.27)
приобретают вид:
^
Л = я а„;8, “Л; 5 = Ц 1 ^ -е —1
(2-28)
♦ Пример 2.13
В фонд ежегодно поступают средства по 5000 руб. в тече­
ние семи лет, на которые начисляются проценты по силе
роста 15% годовых, причём выплаты производятся поквар­
тально (раз в году), а проценты начисляются непрерывно.
Определить коэффициент приведения ренты и её современ­
ную стоимость.
Решение:
Коэффициент приведения ренты и её современная сто­
имость для поквартальных выплат находятся по формулам
(2.26) и (2.27):
1
„-5и
1
„“О-15’7
(Л } = -------- *77 ----- = -------- КТ7Т,------= 4,252998.
“пЛ р - ( е &/р- 1 ) 4 - ( е ° ’15 /4 -1 )
А = КаШ = 5000 •4,252998 = 21 264,99 руб.
Для выплат один раз в году коэффициент приведения рен­
ты и её современная стоимость определяются по формулам
(2.28):
1 - е -Ь" 1 - е - ° ’ 15-7
«„;6 = е^ —
Т1 = Те
- 1Г = 4’016838«
—
А = Я ап.8 = 5000 •4,016838 = 20 084,19 руб.
Связь между 5 и у.
8 = т1 п
глава 2
71
П латежи
♦ Пример 2.14
Какую сумму необходимо 40-летнему мужчине вносить
на протяжении 2 0 лет в конце года на счет под 8 % годовых,
чтобы затем, после достижения пенсионного возраста в 60 лет,
на протяжении 2 0 лет в конце каждого месяца снимать по
200 $? На остаток на счете начисляется 8 % годовых и счет
должен быть исчерпан за 2 0 лет.
Решение:
Определим современную величину пенсионных выплат
(Я = 2 0 0 •1 2 ; п = 2 0 , р = 1 2 , т = 1 ):
1
А = 200 12
12
_ 1 08-20
’ °----- ^- = 24415,55$.
1,0812 - 1
Эту сумму мужчина должен накопить в течение 20 лет,
внося на счет в конце каждого года сумму Я:
24 415,55 = Я ■52 о-8Таким образом
Л = 24415,55 = 24415 55-0,08 = 533'5 3 $
*20*
1,08
- 1
Р ен т а с н еп р ер ы вн ы м н ач и сл ен и ем п р оц ен т ов
и с н еп р ер ы вн ой вы п лат ой п л ат еж ей
Формулы для вычислении наращённой суммы и совре­
менной стоимости ренты с непрерывным начислением про­
центов и с непрерывной выплатой платежей имеют вид:
р — >°°
п;8
- 5 (л;8 )
еЪп - 1А
1 - еС~ Ъп
р —>°°
1
^ ’ ап;8 ~ а (п;8)
^ •
с
(2.26а)
♦ Пример 2.15
В фонд ежегодно поступают средства по 5000 руб. в тече­
ние семи лет, на которые начисляются проценты по силе
роста 15% годовых, причём выплаты производятся и про­
7 2 _______________ Финансовая математика. Сборник задач
центы начисляются непрерывно. Определить коэффициент
приведения ренты и её современную стоимость.
Решение:
Коэффициент приведения ренты находится по формуле:
1 _ .-5 п
а п-,ь
- а (п;5)
£
1 _ ¿-0.15-7
-
—
- 4,333748.
Современная стоимость ренты:
А = К а ^ ° ° = 5000 •4,333748 = 21 668,74 руб.
Р ен т ы с в ы п л ат ам и в н а ч а л е
и в сер еди н е п ери одов
При выплатах в начале периода (рента пренумерандо) на­
ращённая сумма годовой ренты определяется выражением:
^ = Я(1 + 0 " + Я(1 + О”-1 +... + Д(1 + 0 =
= / ? ( 1 + 0 [ 1 + ( 1 + 0 + .- + ( 1 + 0 и~1] = / ? ( 1 + ^
5 != 5 (1 + 0 -
- 1 (1
+0 .
(2.29)
Здесь 5 1 и 5 — наращённая сумма годовой ренты прену­
мерандо и постнумерандо соответственно.
Таким образом, наращённая сумма годовой ренты пре­
нумерандо в ( 1 + С) раз больше наращённой суммы годо­
вой ренты постнумерандо.
Аналогичная зависимость существует между современ­
ными стоимостями рент пренумерандо и постнумерандо,
то есть:
А х = А(\ + 0(2.30)
Здесь А 1 и А — современная стоимость годовой ренты
пренумерандо и постнумерандо соответственно.
♦ Пример 2.16
В фонд ежегодно в начале года поступают средства по
10 ОООруб. в течение семи лет, на которые начисляются про­
глава 2
д П латеж и
73
центы по ставке 15% годовых. Определить величину фонда
на конец срока и его современную стоимость.
Решение:
Величина фонда на конец срока определяется по формуле:
л
5
,
7
+ 0 ~ 1 (1 + /) = ю ооо 1 , 1 5 ~ 11,15 = 127268,18 руб.
/
0,15
Современная стоимость фонда:
= / ? (1
—я
7
+ /) = 10000 1 ~-Ь-1. " -1Л5 = 47844,83 руб.
0,15
К
В любом году производитсяр выплат по — руб., где Я —
Р
годовая выплата. Причём выплаты осуществляются в нача­
ле периода. Количество начислений процентов в году по
номинальной ставке у равно т. Срок ренты — п лет. Нара­
щённая сумма на все выплаты года к концу этого года оп­
ределяется соотношением:
С
; \ш
-1
1 + ^/?
т
1+ ^
\т-р
т
Р 1 1+ ±
т
Наращённая сумма всей ренты:
А1 = р 1~ (1 + 1)
(1
т
(2.31)
т
где Зр 5 — наращённая сумма ренты пренумерандо и постнумерандо с начислением процентов по номинальной про­
центной ставке и с неоднократными выплатами в году со­
ответственно.
Формула для современной стоимости ренты:
1
+
т
(2.32)
А = А 1 + +т
где А ,, А — современная стоимость ренты пренумерандо и
постнумерандо с начислением процентов по номинальной
74
Финансовая математика. Сборник задач
процентной ставке и с неоднократными выплатами в году
соответственно.
♦ Пример 2.17
В фонд ежегодно в начале года поступают средства по
10 ОООруб. в течение семи лет, на которые начисляются про­
центы по ставке 15% годовых, причём выплаты произво­
дятся поквартально, а проценты начисляются один раз в
году. Определить наращённую сумму и современную сто­
имость фонда.
Решение:
Наращённая сумма находится по формуле (2.31):
Наращённая сумма ренты постнумерандо с такими же
характеристиками определена в примере 2 .8 :
8 = КБтп-Цт = 10 000- 12,10876= 121 087,6 руб.
Наращённая сумма искомой ренты:
т
12
(
Л~п
/
0 .1 5 ^4
= 125 685,38 руб.
= 121087,6
Современная стоимость ренты постнумерандо с такими
же характеристиками определена в примере 2 . 1 0 :
А = Я а $ = 10 000 •4,264981 = 42 649,81 руб.
Я
В любом году производитсяр выплат по — руб., где Я —
годовая выплата. Выплаты производятся в начале периода.
Количество начислений процентов в году по номинальной
ставке у равно т. Срок ренты — п лет.
глава 2
П латежи
75
Наращённая сумма на все выплаты года к концу этого
года определяется соотношением:
р- 1
/?1
=
1
+^ -
2р
т
р- 2
¡Х Т т я Г
—
1+
+— 1+—
т
Р\
т
я (.
+
~
к (л1 + —
)
+—
Р\
т
Общая сумма:
/?1
=
Я
+
1
-1
т
’и - 0 2'
т
1
+
- 1
т
Наращённая сумма всей ренты:
\тп
1+
- 1
Я
т
1+^г- Г
т
1
+
- 1
га
или
1
+^
2р
(2.33)
т
где 5 ^ 2 , 5 — наращённая сумма ренты с выплатами в сере­
дине периода и ренты постнумерандо с начислением про­
центов по номинальной процентной ставке и с неоднократ­
ными выплатами в году соответственно.
Формула для современной стоимости ренты:
1
+^
2р
(2.34)
т
где А 1/2, А — современная стоимость ренты с выплатами в
середине периода, и ренты постнумерандо с начислением
76
Финансовая математика. Сборник задач
процентов по номинальном процентной ставке и с неодно­
кратными выплатами в году соответственно.
♦ Пример 2.18
В фонд ежегодно в середине периода поступают средства
по 10 ООО руб. в течение семи лет, на которые начисляются
проценты по ставке 15% годовых, причём выплаты произ­
водятся поквартально, а проценты начисляются ежемесяч­
но. Определить наращённую сумму и современную сто­
имость фонда.
Решение:
Наращённая сумма находится по формуле (2.33):
\тп
- 1
1+ J R
т
1
+
- 1
т
Наращённая сумма ренты постнумерандо с такими же
характеристиками определена в примере 2 . 8 :
S = Rsmn-jlm =
10 0 0 0
- 12,10876=
087,6 руб.
121
Наращённая сумма исследуемой ренты:
12
Si/2 - З Ч
1
+ ± \2р =121087, б( 1 + 0 , 1 5
т )
у
12
= 123365,07 руб.
Современная стоимость ренты постнумерандо с такими
же характеристиками определена в примере 2 . 1 0 :
А = Я а $ = 10 000 •4,264981 = 42 649,81 руб.
Современная стоимость исследуемой ренты:
т
2р
Л /2 ~ А + \1 + ~
1
т
= 42649,81
Л
1
+
0,15
1 2/ 8
= 43 451,99руб.
12
Из соотношений (2.33) и (2.34) следуют формулы для
других типов рент. Для годовой ренты т = 1, р = 1:
глава 2
АДлатежи
77
(2.35)
¿¡/2=3(1 + Я 2 , А1/2 = Л( 1+ ] ) 2 .
Для ренты с начислением процентов т раз в году и при
выплатах один раз в году, то есть при р - 1 :
(2.36)
5 1/2 = 5 -[1 + ^Ау 2 - А 1+ 11
т
т
Для ренты с начислением процентов один раз в году, то
есть т = 1 , и при выплатах р раз в году:
1
1
1
+ ^ 1р , А,/ 2 = Л- и + ^ \ 2р
т
(2.37)
В формулах (2.35)-(2.37) величины 5 и А являются нара­
щённой суммой и современной стоимостью соответствую­
щих рент постнумерандо.
О т лож ен н ы е р ен т ы
Отложенными называются ренты, у которых начало вы­
плат сдвинуто вперёд. При расчёте современной стоимости
такой ренты вначале находят современную стоимость исход­
ной ренты, у которой моментом приведения считается нача­
ло выплат, а затем дисконтируют полученный результат к
началу отложенной ренты. Для годовой отложенной ренты
современная стоимость ^ рассчитывается по формуле:
,А = А1Лак У
(2.38)
где А — современная стоимость исходной ренты, у которой
моментом приведения считается начало выплат;
/— время задержки в выплате ренты;
а пч-— коэффициент приведения ренты к началу выплат;
/=
(1
+ О“'-
♦ Пример 2.19
Спустя три года после образования фонда в него начина­
ют поступать средства по 10 ООО руб. в конце каждого года в
78
Финансовая математика. Сборник задач
течение последующих 7 лет, на которые начисляются про­
центы по ставке 15% годовых. Определить современную сто­
имость и наращённую сумму фонда.
Решение:
Современная стоимость фонда определяется по формуле
(2.38), которую перепишем в виде:
\-П
1А = Я 1~ (-: + 0 ' ( 1 + , Г .
/
Подставив сюда данные примера, получим:
+ 0Д5) (1 + 0,15)"3 = 27 355,44 руб.
0,15
Наращённая сумма фонда определяется по формулам
(2.6) и (2.7), то есть:
3
А = 10 0 0 0 1 ~
(1
= д ( Ь и ) — Г ^ ю о о о 1’ 1 5 - 1 = ц о 667,99 руб.
г
0,15
Задача деления ренты между двумя участниками. Пусть
годовая рента постнумерандо, имеющая годовую выплату
Я и срок п, делится между двумя участниками (например,
наследниками), причём вначале получает выплаты первый
участник. Причитающаяся ему доля от капитализированной
стоимости ренты равна х. Второй участник получает остав­
шиеся платежи ренты. Его д о л у , равна 1 - х. Определить вре­
мя получения ренты нерьым
и вторым щ участниками.
Если известно время получения ренты первым участником,
то время получения вторым определяется по формуле:
п2 = п - пх.
(2.39)
5
1п[1 - * + * ( 1 + /)-"]
щ = -------------------------- .
1
1п(1 + 0
(2.40)
♦ Пример 2.20
Пусть годовая рента постнумерандо со сроком 20 лет
делится между двумя участниками, причём первый участ­
ник получает 25% от капитализированной стоимости рен­
ты. Процентная ставка принимается равной 15% годовых.
глава 2
ж|~|латежи
79
Определить длительность периодов получения ренты пер­
вым и вторым участниками.
Решение:
Срок получения ренты первым участником определяет­
ся формулой (2.40):
—1п[1 —х + х(\ + О ” ]
п +0
1 (1
- 1п[1 - 0,25 + 0,25 •1,15-20 ]
= 1,91 ~ 2 года.
1п1,15
Доля второго участника — следующие 18 лет.
♦ Пример 2.21
Срок годовой ренты постнумерандо 10 лет, /= 20%. Пусть
рента делится между участниками на тех условиях, что пер­
вый участник получает немедленную ренту, а второй - от­
ложенную.
Решение:
—1п [ ( 1 + 1 , 2 1 0 )/ 2 ]
1
1п 1 , 2
Доля второго участника — следующие 7 лет.
В еч н ая р ен т а
Формула для вычисления современной стоимости р —
срочной вечной ренты с начислением процентов по нескольку
раз в году следует из соотношений (2 .2 1 ) и (2 .2 2 ) при я —> .
\-тп
+ ^т
(
; Лт/р
- 1
1 + -^1
т)
.
1 -1
л£3) = Цщ Я
1
Я
I >т/р
Р 1 + ^1
т
, (2.41)
(
где Я — годовая выплата;
у — номинальная процентная ставка;
- 1
80
Финансовая математика. Сборник задач
р — количество выплат в году;
т — количество начислений процентов в году.
Вечная рента используется при больших сроках плате­
жей или в тех случаях, когда срок конкретно не оговарива­
ется, например, при начислении пенсии.
♦ Пример 2.22
Определить цену ^-срочной вечной ренты, выплаты по
которой в конце каждого месяца составляют 2 тыс. руб. при
номинальной процентной ставке 1 2 % годовых и начисле­
нии процентов один раз в году.
Решение:
Из условия задачи следует, что р — 12, т - 1,у = /= 0,12.
Подставив результаты в формулу (2.41), получим:
= 210774,8 руб.
( , ' - 1)
Формула для вычисления современной стоимости годо­
вой ренты следует из (2.41) при подстановке туда р —1,т = 1,
Л22' =
7=
2° ° ° ;* 2
12 1 1 2
г' :
(2.42)
А„ = К .
♦ Пример 2.23
чуПрсдмнпь цену 1 одиБои вечной ренты, выплаты по ко­
торой в конце каждого года составляют 24 тыс. руб. при
процентной ставке 1 2 % годовых.
Решение:
Подставив данные примера в формулу (2.42), получим:
24000 = 2 0 0 ( Ю
0
б
0 ,1 2
♦ Пример 2.24
Участок сельскохозяйственных угодий может приносить
ежегодный доход в 2 0 0 тыс. $ в конце каждого года, если на
удобрения в начале года тратить по 2 тыс. $. В какую сумму
рлава 2
ж|~|латежУ1
81
следует оценить этот участок при нормативе доходности в
1 2 % годовых?
Решение:
Доходы по 200 тыс. в год (со знаком плюс) образуют веч­
ную ренту, расходы по 2 тыс. в год (со знаком минус) обра­
зуют вечную ренту пренумерандо. Стоимость участка — это
современная величина А этих рент с учетом знака соответ­
ствующих членов. Используя формулу (2.41) с т —р - 1,
получим:
А= —
0 ,1 2
~ 2 — — = 1648 тыс. $.
0 ,1 2
♦ Пример 2.25
Требуется выкупить вечную ренту, член которой равен
5 ОООООО руб., выплачиваемых в конце каждого полугодия.
Капитализированная стоимость такой ренты при условии,
что для ее определения применена годовая ставка 25%, со­
ставит:
Д*, = ------ —^------= 42,361 млн руб.
2(1,25 ^ -1 )
2 .3 . П е р е м е н н а я р е н т а
Переменной рентой называется поток платежей, у кото­
рого выплаты изменяются во времени по установленным
правилам, а интервалы между выплатами постоянны. Рас­
смотрим некоторые типы переменных рент.
Г о д о в а я р ен т а п ост н ум еран до
с и зм ен ен и ем вы п лат
по зак он у ар и ф м ет и ч еской п р огр есси и
Современная стоимость такой ренты определяется суммой:
А = Я у + (Я + а)у2 + (Я + 2а)у3 + ... + [Я + (и-1)я]1Л
82
Финансовая математика. Сборник задач
А = у ^ ( Я + 1а)у1
,
где у = ----- .
1+/
Или можно записать в виде:
п
1ШХ>
Формулу для современной стоимости годовой ренты с
изменениями платежей по закону арифметической прогрес­
сии можно записать в виде:
Наращённая сумма может быть определена по формуле:
5 = Л ( 1 + О”Подставив в эту формулу выражение для современной
стоимости (2.43), получим:
(2.44)
а
Vя (1 + /)” = 1 .
♦ Пример 2.26
Ожидается, что сбыт продукции будет увеличиваться каж­
дый год на 2,5 тыс. руб. (или уменьшаться на 2,5 тыс. руб.)
в течение 1 0 лет при поступлении денег в конце каждого года.
Первая выплата равна 50 тыс. руб. Начисление процентов
производится по ставке 12% годовых. Определить современ­
ную стоимость и наращённую сумму переменного потока
платежей.
глава 2
ж1 ~|латежи
83
Решение:
Современная стоимость исследуемого потока платежей
определяется по формуле (2.43). Предварительно найдём
коэффициент приведения постоянной ренты я ..
1-а+о""
1—1,12—10
а„ч = ---------------= -------------- = 5,65022.
/
0 ,1 2
Для я = 2,5 тыс. руб. современная стоимость потока пла­
тежей равна:
2500 ^
(
10-25 00
А = 50000 + _ _ _ 5,6502225— 1и
= 333156,33руб.
[
0 ,1 2 ]
0 , 1 2 1, 1 2 10
Для а = -2,5 тыс. руб. современная стоимость потока
платежей равна:
2500^1..................
10-2500
5,6502225-------= 231875,93 руб.
0 ,1 2
0 , 1 2 -1 , 1 2
Наращённая сумма исследуемого потока платежей оп­
ределяется по формуле (2.44). Предварительно найдём ко­
эффициент наращения постоянной ренты 5 ^.
Для а = 2,5 тыс. руб. наращённая сумма потока плате­
жей равна:
А = 50000-
А = Г50 0 0 0 + 250(Г' 17,548732 - Л 0^250?^ = 1 0 3 4 701,9 руб.
0 ,1 2
0 , 1 2 - 1, 1 2 ю
Для а = -2,5 тыс. руб. наращённая сумма потока плате­
жей равна:
А = 5 0 0 0 0 - 2500 17,548732 — 10’ 25°в = 720171,35 руб.
0 ,1 2
0 , 1 2 - 1, 1 2 ю
Г о д о в а я р ен т а п ост н ум еран до
с и зм ен ен и ем вы п л ат
по закон у геом ет р и ч еск ой п р огр есси и
Современная стоимость такой ренты определяется суммой:
А=
Я
у
+ Яду2 + Я д2у* + ... + Я д ^ у " =
84
Ф и н ан сов ая математика. Сборник задач
= Лу( 1 + д\ + д 2у2 + ... + дп 1уп !) =
ду —1
д —1 - г
Если темп роста ренты представить в виде:
д = 1+ А,
где А — темп прироста ренты, то формулу для современ­
ной стоимости годовой ренты с изменениями платежей по
закону геометрической прогрессии можно записать в виде:
(2.45)
Наращённая сумма может быть определена по формуле:
5 = Л ( 1 + О”,
или
5 = /?
♦ Пример 2.27
Ожидается, что сбыт продукции будет увеличиваться каж­
дый год на 5% (или уменьшаться на 5%) в течение 10 лет
при поступлении денег и кинцс каждого года. Первня выпла­
та равна 50 тыс. руб. Начисление процентов производится
по ставке 12% годовых. Определить современную стоимость
и наращённую сумму переменного потока платежей.
Решение:
Современная стоимость исследуемого потока платежей
определяется по формуле (2.45). Для А = 0,05 современная
стоимость потока платежей равна:
х ( 1 + 0,15 У°
Л = 50 000— ^-------— >- = 339 671,43 руб.
0,12-0,05
глава 2
АJ J лат ежи
85
Для А = -0 ,0 5 современная стоимость потока платежей
равна:
1
1
+ 0 ,1 2
= 237 418,47 руб.
0,12 + 0,05
Наращённая сумма исследуемого потока платежей оп­
ределяется по формуле (2.46).
Для А = 0,05 наращённая сумма потока платежей равна:
Л = 50 ООО
+ П" - U
il + аА;У1 = 5 (Юq q q112
10 - 1 05ю
s = R (\
V±1>---U f----= j 0 5 4 966,6руб.
I-А
0,12-0,05
Для А = -0 ,0 5 наращённая сумма потока платежей равна:
S=R
(1
+ /У* —(1 + ДУ”
i -A
1
= 500 0 0 0 -
1210 + 0 95ю
’
= 737 385,55 руб.
0,12 + 0,05
Н еп р ер ы в н ы е п ер ем ен н ы е п от оки п л а т еж ей
На практике часто бывает удобным представить перемен­
ный поток в виде непрерывного. В этом случае поток явля­
ется функцией времени
R, = R(t),
(2.47)
где t — время.
Срок инвестиций равен п. Промежуток времени от про­
извольной точки t на оси времени до п равен n - t .
Наращённая сумма для момента п при выплате в мо­
мент t определяется выражением:
dS = R (t)ebn~tdt,
где Ô — сила роста;
R{t)dt — величина выплаты в момент /;
dt — бесконечно малый отрезок времени.
Формула для наращённой суммы непрерывного пере­
менного потока платежей:
п
S = \R(t)eU"-,)dt.
(2.48)
86
Финансовая математика. Сборник задач
Формула для современной стоимости непрерывного пе­
ременного потока платежей:
п
A = ^R{t)e~htdt.
(2.49)
о
Связь между наращённой суммой и современной сто­
имостью непрерывного переменного потока платежей:
S = Ae8n.
(2.50)
Рассмотрим случай, когда поток не изменяется во време­
ни, то есть /?(i) = R = const. Формулы для наращённой сум­
мы и для современной стоимости можно представить в виде:
е 8п- 1
S = R -------- ,
. „ 1 - е “8и
A=R
Л и н ей н о и зм ен я ю щ и еся
н еп р ер ы вн ы е п от оки п л ат еж ей
Поток платежей (2.47) в этом случае представим в виде:
R t = R(t) = R + at.
(2.51)
Современная стоимость линейно изменяющегося непре­
рывного потока платежей определяется по формуле:
л=Гр х
р
£\,
' g J - ( n ;o )
ап е' Ы
g
•
п т
v—
где я(„,§) — коэффициент приведения постоянной непрерыв­
ной ренты.
Наращённая сумма линейно изменяющегося непрерыв­
ного потока платежей определяется:
глава 2
1 1 ~| латежи
87
♦ Пример 2.28
Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей
(2.51) имеет следующие параметры: базовый уровень вы­
пуска Я = 2 0 тыс. руб./год, ежегодное увеличение потока
платежей а = 1 тыс. руб., сила роста 5 = 10%. Срок этого
потока платежей составляет 5 лет. Определить современную
стоимость потока и его наращённую сумму.
Решение:
Современная стоимость потока определяется по форму­
ле (2.52):
(
2 0 0 0 0
+
2 0 0 0 0
+
1000
М -е "0 1 5
1 00
-5-е - 0 ’1 5
= 87 814,29 руб.
ОД
Наращённая сумма потока определяется формулой (2.53):
ОД )
ОД
ОД
= 144 616,4 руб.
Проверить результат можно по формуле (2.50):
5
= АеЬп = 87 714,29 ■г0 ’ 1
5
= 114 616,4 руб.
♦ Пример. 2.29
Намечается в течение трех лет увеличить выпуск продук­
ции на 1 млн. руб. ежегодно. Базовый уровень выпуска —
10 млн руб. Необходимо определить суммарный объем вы­
пуска с начисленными процентами. Сила роста 8 %.
Решение:
Определим коэффициент приведения:
88
Финансовая математика. Сборник задач
Современная стоимость ренты
А=
+
2,66715-----------------= 30,5 млн руб.
0,08
0,08
F
Искомая наращённая сумма:
10
S = 30,5 • 1,083 = 38,4 млн руб.
Э к сп он ен ц и ал ьн о и зм ен я ю щ и еся
н еп р ер ы в н ы е п от оки п л ат еж ей
Поток платежей (2.47) в этом случае представим в виде:
R t = R(t) = R •еы.
(2.54)
Современная стоимость экспоненциально изменяющего­
ся непрерывного потока платежей определяется:
1 _ е -(&-ь)п
A = R — -— -— .
(2.55)
о —Ь
Наращённая сумма экспоненциально изменяющегося
непрерывного потока платежей определяется:
Ъп _
Ьп
S = R - ------— .
5 -Ь
(2.56)
♦ Пример 2.30
Н З ш С Н Я Ю щ И Й ^ л H c i i p c p Ъ 1Ь Н Ъ 1Й l l O l O K
платежей (2.54) имеет следующие параметры: базовая вы­
плата R - 20 тыс. руб./год, b = 0,05 (другой вариант b = 0,15),
сила роста Ô = 10% годовых. Срок этого потока платежей
составляет 5 лет. Определить современную стоимость пото­
ка и его наращённую сумму.
Решение:
Современная стоимость потока определяется по форму­
ле (2.55). Для первого варианта:
1 _ р -(& -Ь )п
1_
'-(0 ,1 -0 ,0 5 )5
А = R — ---------- = 2 0 0 0 0 — --------------- = 88479,68 руб.
д -Ь
0 ,1 -0 ,0 5
глава 2
жП латежи
89
Для второго варианта:
-ф -Ь )„
1
-(0 ,1 -0 ,1 5 )5
А = Я ---------------= 2 00 0 0 ------------------- = 113 610,16 руб.
8 -Ь
0 ,1 -0 ,1 5
Наращённая сумма потока определяется формулой (2.56).
Для первого варианта:
Ьп _
Ьп
0,1-5 _
0,05-5
5 = Я - ---------- = 2 0 0 0 0 ------------------ = 145 878,3 руб.
Ъ -Ь
0 ,1 - 0 ,0 5
Для второго варианта:
Ьп _
Ьп
0,1-5 _
0,15-5
5 = Я - -------— = 2 0 0 0 0 -----------------= 113 610,16 руб.
Ъ -Ь
0 ,1 -0 ,1 5
Проверить результат можно по формуле (2.50).
Для первого варианта:
5 = АеЪп = 8 8 479,68 ■е0 ’ 1
Для второго варианта:
5
= 145 878,3 руб.
5 = АеЪп = 113 610,16 •еол ' 5 = 187 311,5 руб.
В случае, когда Ъ —>8 формула для вычисления совре­
менной стоимости потока имеет вид А —Яп.
Для начисления наращённой суммы используется фор­
мула:
5 = ЯпеЪп.
♦ Пример 2.31
Экспоненциально изменяющийся непрерывный поток пла­
тежей (2.54) имеет следующие параметры: базовый уровень
выпуска Я = 2 0 тыс. руб ./год, Ь — 0 , 1 , сила роста 8 = 1 0 %.
Срок этого потока платежей составляет 5 лет. Определить
современную стоимость потока и его наращённую сумму.
Р еш ет е:
Современная стоимость потока определяются по формуле
А = Яп = 20 000 •5 = 100 000 руб.
Наращенная сумма потока:
5 = им*" = юо 000 • е° 1 5 = 164 872,13 руб.
90
Финансовая математика. Сборник задач
♦ Пример 2.32
Ожидается, что прирост доходов составит 5% в год. Ка­
кова современная стоимость и наращённая сумма потока
доходов, если Я = 100, /= 7%, п - 3 года? Из условий задачи
следует:
3 - 5 = 1п1 + 0 , 0 5 = -0,01887.
1 + 0,07
Таким образом,
-0,01887-3
1
А = 100----------------- = 291,5.
-0,01887
5 = Л(1 + О3 = 291,5 •1,073 =357,1.
2 .4 . К о н в е р с и и р е н т
Иногда в практике сталкиваются со случаями, когда не­
обходимо пересмотреть или изменить условия выплаты
ренты. Простейшими случаями конверсии являются:
► выкуп ренты — сводится к замене ренты единовремен­
ным платежом;
► рассрочка платежей — замера разового платежа рентой;
► объединение рент — замена нескольких рент с разными
характеристиками одной.
Рассмотрим объединение рент. Объединяемые ренты
могут быть годовыми,р-срочными, отсроченными и немед­
ленными и др. Из принципа финансовой эквивалентности
следует равенство современных стоимостей заменяющей (А)
и заменяемых рент (А ):
я
Если заменяющая рента постнумерандо — немедленная
рента и известен ее срок п\
—Л
—Ч^
— ч ___
глава 2
91
П латежи
Если известно ^ А д , то п можно найти:
я
1\
—1п
Я
имеет смысл при г
^ 1.
п +о
Я
Если процентная ставка у всех рент одинаковая, то ве­
личина п имеет вид:
1п Д - 1п £ ^ ( 1 + 0
""
п=
1л ( 1 + 0
п=
1 (1
♦ Пример 2.33
Три ренты постнумерандо — немедленные, годовые —
заменяются одной отложенной на три года рентой постну­
мерандо. Согласно договоренности заменяющая рента име­
ет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяе­
мых рент: Я д = 100; 120; 300 тыс. руб., сроки этих рент: 6 ; 11 и
8 лет. Если в расчете принять ставку сложных процентов,
равную 2 0 %, то сумма современных стоимостей этих рент
составит немного более 2002,9 тыс. руб.
Решение:
Размер члена заменяющей ренты:
Я=
2002,946
2002,946
*-з = 960,189 руб.
3,60459-1,2'
а7;20у
Если заменяющая рента являлась бы немедленной, то
Я=
2002,946
3,60459
= 555,665 руб.
Определение члена заменяющей ренты
Рента (<7)
\
1
2
100
120
3
Итого
300
520
6
11
8
/
%;20
^а пд\20
20
20
20
3, 32551
4,32706
3, 83 7 16
332,551
5 1 9, 47 2
1151, 148
200 2, 9 4 6
92
Финансовая математика. Сборник задач
Пусть теперь задан не срок, а сумма годового платежа,
1500 тыс., и необходимо найти срок заменяющей ренты.
Определим современную стоимость немедленной ренты,
затем рассчитаем ее срок:
А = 2002,946 • 1,23 = 3461,091 тыс. руб.
-щ Г 1 - 3 4 6 1 0 9 1 .0 2
п = ----- 1--------1500----------= 3
1п 1 , 2
395
♦ Пример 2.34
Консолидируются ренты, предусматривающие годовые
платежи в суммах 0,5; 1,5 и 3 тыс. руб.; сроки этих рент 10; 15
и 12 лет, процентная ставка у заменяющей ренты— 5% годо­
вых. Если выплаты определены в размере Я = 5 тыс. руб., то
1п5-1п(0,5-1,05_10 н-1,5• 1,05—15 + 3-1,05-12)
п --------------------------------------------------------------- = 12,64 года.
1п1,05
2 .5 . И с п о л ь з о в а н и е в о в з а и м о р а с ч ё т а х
валю тн ого экви вален та
Для анализа поставленной задачи введём следующую
модель взаиморасчётов между генеральным подрядчиком,
его заказчиком и субподрядчиками, с которыми генераль­
ный подрядчик заключил договоры на выполнение работ.
А. Договором между генеральным подрядчиком и заказчи­
ком генеральному подрядчику определены средства в
виде непрерывного потока платежей N(t) условных еди­
ниц, которыми является долларовый эквивалент, по це­
нам на момент вступления генерального договора в силу.
Расчёты между заказчиком и генеральным подрядчиком
проводятся в рублях по курсу доллара на момент вы­
платы.
Б. Договорами между субподрядчиками и генеральным
подрядчиком субподрядчикам определены средства в виде
глава 2
П латежи
93
непрерывного потока M(t) рублей по ценам на момент
вступления генерального договора в силу. Расчёты с суб­
подрядчиками проводятся с учётом индексации цен.
В. 5 — непрерывная ставка (сила роста) дисконтирования.
Г. K(t) — курс руб./у.е. в момент времени t.
Д. Ip(t) — индекс цен с базой на момент вступления догово­
ра в силу.
За критерий доходности примем максимум приведённо­
го интегрального сальдо потока наличности генерального
подрядчика в ценах на момент вступления в силу генераль­
ного договора.
Приведённое интегральное сальдо потока наличности
генерального подрядчика на момент времени t можно пред­
ставить в виде разности двух интегралов:
Ц
к т
l
е - ь
MO
dt
J
V ')
Если ввести обозначения KQ— курс руб./у.е. в момент
K (t)
заключения договора при t = 0 , I^ t) = ------ , то сальдо прико
ведённого потока наличности имеет вид:
т
-Î
Ч м „ ( () _ М ( 0 Л
е btdt.
I p (t)
KQ
(2.57)
Для всего времени действия договора п приведённое ин­
тегральное сальдо потока наличности генерального подряд­
чика (2.57) на момент времени п можно представить в виде:
т
ко
e btdt.
ь
/Р (0
(2.58)
Ко
Генеральный подрядчик может принять проект, если при­
ведённое интегральное сальдо потока наличности (2.58)
подчиняется неравенству -^ -> 0 . Это означает, что при
ко
94
Финансовая математика. Сборник задач
заданных норме дисконта и динамике курса у.е. и инфля­
ции приведенные доходы превышают приведённые расходы.
Положим, что потоки платежей не изменяются во време­
ни, то есть N(t) = N = const; M(t) = М = const. Тогда (2.57)
можно переписать в виде:
(2.59)
Для практической деятельности может представлять ин­
терес резкий рост курса у.е. Приведённое интегральное саль­
до потока наличности генерального подрядчика на момент
времени г будет зависеть от дисконтного множителя е8г и
подынтегральной разности в выражении (2.59), которая, в
д.
свою очередь, зависит от хода функции
Л- I p (t)
Если же основные платежи будут сосредоточены в на­
чальных периодах всего срока договора, то инфляция в
меньшей степени влияет на результат и подобных потерь
можно избежать.
При работе по указанной модели для снижения потерь
генеральный подрядчик должен:
► при заключении договоров учитывать прогнозируемые
изменения индекса цен и курса условной единицы (у.е.);
> предусматривать в генеральном договоре максимально
возможное количество поступлений на первых этапах
работы и, если по особенностям технологического про­
цесса большие выплаты субподрядчикам на первых эта­
пах невозможны, выгодно вкладывать оставшиеся сред­
ства до наступления платежей.
Рассмотрим частный случай. Пусть отношение индекса
курса к индексу цен изменяется по закону
(0 _ -ы
—е . Тог-
*р
да формула (2.59) для расчёта приведённого интегрального
глава 2
95
П латежи
сальдо потока наличности генерального подрядчика за весь
период договора п приобретает вид:
<* =
Ь+ 8
(2.60)
КпЪ
♦ Пример 2.35
Договором генеральному подрядчику определены сред­
ства в виде непрерывного потока платежей 1 0 тыс. услов­
ных единиц в год. Расчёты между заказчиком и генераль­
ным подрядчиком проводятся в рублях по курсу доллара
на момент выплаты. Договорами между субподрядчиками
и генеральным подрядчиком субподрядчикам определены
средства в виде непрерывного потока 42 тыс. рублей в год.
Расчёты с субподрядчиками проводятся с учётом индексации
цен. Для договора сроком п = 8 лет при курсе доллара в мо­
мент заключения договора К0 = 6 руб./долл., при Ъ - 0,2 и
непрерывной ставке дисконтирования 8 = 1 0 % годовых оп­
ределить приведённое интегральное сальдо потока налич­
ности генерального подрядчика за весь период договора.
Рассмотреть также вариант, когда все выплаты производят­
ся за половину срока, то есть за 4 года, при выплатах гене­
ральному подрядчику 2 0 тыс. условных единиц в год, а суб­
подрядчикам — 84 тыс. рублей в год.
Решение:
Приведённое интегральное сальдо потока наличности
генерального подрядчика за весь период договора опреде­
ляется по формуле (2.60):
А = К,
=6
N
Ь+ Ь
100 00
0 ,1
+0 ,2
( 1 - е ~(Ь+8)п ) _о.3.8
М
( 1 - е - 8")
к0&
84000
60,1
-о ,18
= -49 425,42 руб.
96
Финансовая математика. Сборник задач
Если все выплаты производятся за половину срока, то
формулу (2.60) можно записать в виде:
N
( ! _ е -(Ь+Ь)п/2 ) _
Ь+ 5
М _ (1 _ е -Ьп/2 )
К 05
(1_,-о.з-4) _ 8 4 0 0 0 (1_ е_оЛ.4) = 2591,12 руб.
+ 0 ,2
6 0 ,1
Как и следовало ожидать, при сосредоточении платежей
в начальных периодах всего срока договора уменьшается
влияние инфляции на результат. Во втором случае приве­
дённое интегральное сальдо потока наличности генераль­
ного подрядчика стало положительным.
Решение:
Годовая выплата ренты определяется по формуле:
10000
=6
0 ,1
30000
Д=
апиу
-1,15
-7
30000
2,7355436
= 10966,74 руб.
0,15(1 + 0 ,15Г
Для /7-срочной вечной ренты величина годовой выплаты
определяется по формуле:
\т/ р
-1
л = 4 .',)р = р 1 + ^
т
где А„ — современная стоимость ренты;
р — количество выплат в году;
т — количество начислений процентов в году;
у — номинальная процентная ставка.
2 .6 . О п р е д е л е н и е п а р а м е т р о в
потока платеж ей
О п ределен и е вели ч и н ы
годовой вы п лат ы рен т ы
При определении величины годовой выплаты ренты ис­
пользуются полученные выше формулы для определения
наращённой суммы и современной стоимости различных
глава 2
97
1 П латежи
рент. При этом должны быть заданы все параметры ренты,
кроме годовой выплаты. Для р-срочной ренты с начислени­
ем процентов т раз в году величина годовой выплаты опре­
деляется по формулам (2.18) и (2 .2 1 ):
R=
5
Лр)
тп\Лт
_
R=
Л
Лр )
(2.61)
“ тп\]/т
где 5 и А — наращённая сумма и современная стоимость
ренты соответственно;
р(р)
s:l :. ■/_ и
, — коэффициенты наращения и приветп\Цт и а т„ Л т
дения ренты соответственно;
р — количество выплат в году;
т — количество начислений процентов в году;
У— номинальная процентная ставка;
п — срок ренты в годах.
♦ Пример 2.36
В фонд ежегодно в конце года поступают средства в тече­
ние семи лет, на которые начисляются проценты по ставке
15% годовых, причём выплаты производятся поквартально,
а проценты начисляются ежемесячно (раз в году). Наращён­
ная сумма к концу срока составит 100 тыс. руб. Определить
коэффициент наращения ренты и годовую выплату.
Решение:
Коэффициент наращения ренты при поквартальных вы­
платах и начислении процентов ежемесячно находим по
формуле (2.19):
(
. \тп
1+- 1
- 1
т
12
Лр)
= 12,10876.
mn',j/m
Л12/4
Í
: Yп1Р
- 1
- 1
1+—
'l+ W
12
Ч
Коэффициент наращения ренты при поквартальных вы­
платах и начислении процентов раз в году (т = 1 ) опреде­
ляется формулой:
98
Финансовая математика. Сборник задач
№ =
Л
0 ;
п=
1
р [( 1 + ¿)т/р - 1]
г^
0-1 ^
; 1 л = п ,4 8 1 1 8 .
4[(1 + 0,15)^ - 1 ]
Годовые выплаты при начислении процентов ежемесяч­
но составят:
Я = — — = ?00(Ю() = 8258,48 руб.
5 (^ . .
тп\]1т 12,10876
Годовые выплаты при начислении процентов раз в году:
к = 5
°п \1
= ЮОООО = 8 5 6 8
11,67118
’
б
11
^
Для /7-срочной непрерывной ренты величина годовой
выплаты определяется по формулам (2.24) и (2.27):
“4 8
где
5
К=А
ип\6
( 2 ' 6 2 )
— сила роста.
♦ Пример 2.37
В фонд ежегодно поступают средства в течение семи лет,
на которые начисляются проценты по силе роста 15% годо­
вых, причём выплаты производятся поквартально (раз в
году), а проценты начисляются непрерывно. Современная
стоимость ренты составляет 50 тыс. руб. Определить коэф­
фициент приведения ренты и её ежегодную выплату.
Решение:
Коэффициент приведения ренты для поквартальных вып­
лат определяется по формулам (2.26):
1 - е - « 5'7
ал-8 = ----- Г,------- = ----- КТШ------= 4,252998,
’
р ( е &1р- 1) 4(е ’ / - 1 )
„
А
50000
.
Я = —— = -------------= 11756,41 руб.
а и;5
(р)
4,252998
Для выплат один раз в году коэффициент приведения рен­
ты определяется по формуле (2.28):
рлава 2
жПлатежи
99
^ е - 0 .1 5 '7
= ^е —
—1 = ^е д Г —1
- Г = 4’016838’
п
А
50000
г
К = ----- = ------------- = 12447,6 руб.
а п;5 4,016838
^ 8
Коэффициенты наращения и приведения при непрерыв­
ном начислении процентов и непрерывных выплатах оп­
ределяются выражениями (2.26 а). Годовая выплата может
быть вычислена по формулам:
Д= —
5л;8
, Д= — .
(2.63)
а п;8
♦ Пример 2.38
В фонд ежегодно поступают средства в течение семи лет,
на которые начисляются проценты по силе роста 15% годо­
вых, причём выплаты производятся и проценты начисля­
ются непрерывно. Современная стоимость ренты составля­
ет 50 тыс. руб. Определить коэффициент приведения ренты
и её годовую выплату.
Решение:
Коэффициент приведения ренты находится по формуле:
1 - е - 0 ’ 1 5 -7
я„-б = -----с— = ------------- = 4,333748.
” ’6
е5
0,15
Годовая выплата рассматриваемой ренты составит:
/? = — = 5 0 0 0 0 =11537,36 руб.
ап.ъ 4,333748
Для /7-срочной ренты пренумерандо с начислением про­
центов т раз в году величина годовой выплаты определяет­
ся по формулам (2.31) и (2.32):
11 = ----------- - -------Т -, л = -----------/ ---------(2.64)
\ т /р
■ \т/Р
¿тп-^/гп
р ) ., |
1
+^т
а тп\]/т
(р )., | 1 + ^т
где 5 1 и А 1 — наращённая сумма и современная стоимость
ренты пренумерандо соответственно;
100
Финансовая математика. Сборник задач
и
— коэффициенты наращения и приве­
дения ренты постнумерандо соответственно.
♦ Пример 2.39
В фонд ежегодно в начале года поступают средства в те­
чение семи лет, на которые начисляются проценты по став­
ке 15% годовых, причём выплаты производятся покварталь­
но, а проценты начисляются ежемесячно (раз в году). На­
ращённая сумма к концу срока составит 1 0 0 тыс. руб.
Определить годовую выплату ренты.
Решение:
Коэффициент наращения ренты постнумерандо при по­
квартальных выплатах и начислении процентов ежемесяч­
но определяется по формуле (2.19):
= 12,10876.
Коэффициент наращения ренты постнумерандо при по­
квартальных выплатах и начислении процентов раз в году
(т = 1 ) равен :
5 $ = 11,67118.
Годовые выплаты при начислении процентов ежемесяч­
но составят:
5,
100000
_______
_
Я = ------------ --------- г = ------------■
------------- ттгт = /УЭО, 5 / руо.
/ тги/т\
р\,
1
+ т1
у»/?
12,10876
/
1
+
0,1 5 ''12/4
12
Годовые выплаты при начислении процентов раз в году:
я=
4 5 0 +0
V = ----------Ш 0 0 0 ------¡й = 8273,91 руб.
11,67118 - (1 + 0,15)
Для /^-срочной ренты с выплатами в середине периода и
с начислением процентов т раз в году величина годовой
выплаты определяется по формулам (2.33) и (2.34):
где 5 1/2 и А 1/2 наращённая сумма и современная стоимость
ренты с выплатами в середине периода соответственно,
^тп-Лт И а ^гт]1т — коэффициенты наращения и приве­
дения ренты постнумерандо соответственно.
♦ Пример 2.40
В фонд ежегодно в середине года поступают средства в
течение семи лет, на которые начисляются проценты по став­
ке 15% годовых, причём выплаты производятся покварталь­
но, а проценты начисляются ежемесячно (раз в году). На­
ращённая сумма к концу срока составит 100 тыс. руб. Оп­
ределить годовую выплату ренты.
Решение:
Коэффициент наращения ренты постнумерандо при по­
квартальных выплатах и начислении процентов ежемесяч­
но находится по формуле (2.19):
^ / * = 12-10876Коэффициент наращения ренты постнумерандо при по­
квартальных выплатах и начислении процентов раз в году
(т = 1 ) равен:
=11,67118.
Годовые выплаты при начислении процентов ежемесяч­
но составят:
* = ----------------------------------------- 1 0 0 0 0 0
ЛР)
тп'Лт 1+ ^т)
12,10876
1
+ 0Д5
, „ „ = 8 106,02 руб.
N 12/8
12
Годовые выплаты при начислении процентов раз в году:
$1 / 2
1 00000
_
К=
-------- ТТЛ = ------------------------ Ш = 8419,73 руб.
4 ; ’ (1 + 1)
11,67118(1 + 0 , 1 б) 1/ 8
102_______________ Финансовая математика. Сборник задач
Для отложенной годовой ренты постнумерандо величи­
на годовой выплаты определяется по формуле (2.38):
К = - £—г •
( 2 .6 6 )
где , А — современная стоимость отложенной годовой ренты;
V = (1 + О- '.
♦ Пример 2.41
Спустя три года после образования фонда в него начи­
нают поступать средства в конце каждого года в течение
последующих 7 лет, на которые начисляются проценты по
ставке 15% годовых. Величина фонда в конце срока состав­
ляет 30 тыс. руб. Определить величину ежегодных выплат.
Для годовой ренты с начислением процентов один раз в
году формула (2.67) приобретает вид:
Я = А001.
(2.68)
♦ Пример 2.42
Бесконечная рента куплена за 100 тыс. руб. На выплаты
ренты начисляются проценты по ставке 15% годовых. Оп­
ределить:
а) квартальную и годовую выплаты ренты при ежемесяч­
ном начислении процентов и поквартальных выплатах;
б) квартальную и годовую выплаты ренты при начислении
процентов раз в году и поквартальных выплатах;
в) годовую выплату ренты при начислении процентов вы­
платах раз в году.
Решение:
Ежегодные выплаты при начислении процентов ежеме­
сячно и при ежеквартальных выплатах находятся по фор­
муле (2.67):
. \ т /р
Я = А ^ )р = р
= 151 88,28 руб.
\1 2 /4
-1
т
= 100000-4
12
-1
Г\71с1Вс1 2
жП латежи_____________________________________
<|л д
Ежеквартальные выплаты при начислении процентов
ежемесячно и при ежеквартальных выплатах находятся по
формуле:
Я 15188,28
м
*
— = -------- -— = 3797,07 руб.
Р
4
Ежегодные выплаты при начислении процентов раз в году
и при ежеквартальных выплатах находятся по формуле:
Я = Ар[( 1 + г)1/р-1] = Ю0 ООО •4[(1 + 0,15)1/4-1] =
= 14 223,24 руб.
Ежеквартальные выплаты при начислении процентов раз
в году и при ежеквартальных выплатах находятся по фор­
муле:
^ = 14223,24 = 3 5 5 5 8 1 руб
Р
4
Ежегодные выплаты при начислении процентов и вы­
платах раз в году определяются по формуле (2 .6 8 ):
Я = А„1 = 100 0 0 0 -0 ,1 5 = 15 000 руб.
Для переменных рент рассмотрим метод расчёта величи­
ны платежей при заданной современной стоимости на при­
мере ренты с изменением выплат по закону арифметичес­
кой прогрессии. При определении выплаты в конце перво­
го года Я и постоянного годового приращения выплат а
воспользуемся формулой (2.43):
А
пауп а
Я = ---- + -------------,
ап,1 шп-4 1
(2.69)
А - Яа„
а = Я = --------- ^ -1
(2.70)
♦ Пример 2.43
Ожидается, что сбыт продукции будет увеличиваться каж­
дый год на 2,5 тыс. руб. в течение 10 лет при поступлениях
денег в конце каждого года. Начисление процентов произ-
104
Финансовая математика. Сборник задач
водится по ставке 12% годовых. Современная стоимость
переменного потока платежей равна 300 тыс. руб. Опреде­
лить выплату, сделанную в конце первого года.
Решение:
Предварительно найдём коэффициент приведения посто­
янной ренты постнумерандо ап.г
1 - ( 1 + 0 ~"
1 - 1 . 1 2 10
а„.,- = ---------------= -------------- = 5,6502225.
I
0 ,1 2
Для определения выплаты, сделанной в конце первого
года, используется формула (2.69):
А
~~ап.(
300000
пауп
а
ш„и
г ” 5,6502225
10 •2500 - 1Д2 ~ 10
2500 _
0,12-5,6502225
0,12 ~~
= 44 133,62 руб.
♦ Пример 2.44
Ожидается, что сбыт продукции будет увеличиваться
каждый год по закону арифметической прогрессии в тече­
ние 1 0 лет при поступлении денег в конце каждого года.
Начисление процентов производится по ставке 12% годо­
вых. Выплата в конце первого года переменного потока
платежей равна 44 тыс. руб. Современная стоимость пере­
менного потока платежей — 300 тыс. руб. Определить по­
стоянное годовое приращение выплат.
Решение:
Коэффициент приведения постоянной ренты постнуме­
рандо ап I был определён в предыдущем примере:
ап.. = 5,6502225.
Для определения постоянного годового приращения
выплат используется формула (2.70):
А - Я а пЧ . 300000 - 44000• 5,6502225Л „
а = Я = -----------'—г = -------------------------------- - — 0 , 1 2 =
а„и - т п
5,6502225 - 1 0 •1,12
= 2537,28 руб.
■глава 2
105
П латежи
Р асч ёт срока р ен т ы
В практической деятельности возникают задачи опреде­
ления срока ренты при прочих известных параметрах. Рас­
смотрим решение этой задачи для нескольких типов рент.
Срок ренты определяется из формул для наращённой сум­
мы и современной стоимости ренты, которые получены нами
ранее. Наиболее общим случаем постоянной ренты является
рента с начислением процентов по номинальной процент­
ной ставке и с неоднократными выплатами в году. Для этой
ренты наращённая сумма определяется формулами (2.18) и
(2.19). Объединяя их в одну, получаем:
тп
А
т)
Nт/р
]_
-1
т
(2.71)
.
Решив это уравнение относительно п, получим:
т/р
п\
1
п—
- р
К
-1
[М 1
^ т)
т 1п
1
+
+1
(2.72)
т
При расчёте по этой формуле срок получается, как пра­
вило, дробным. Поэтому количество периодов пр округля­
ется до целого числа. Затем уточняется значение разового
платежа по формуле, следующей из (2.71):
т/р
1
+
*= 5
-1
т
(2.73)
\тп
1+
т
-1
106
Финансовая математика. Сборник задач
♦ Пример 2.45
В фонд ежегодно поступают средства, на которые начис­
ляются проценты по ставке 15% годовых, причём выплаты
производятся в конце каждого квартала, а проценты начис­
ляются ежемесячно. Величина фонда на конец срока соста­
вит 100 тыс. руб., годовая выплата — 10 тыс. руб. Опреде­
лить срок ренты.
Решение:
Срок ренты находится по формуле (2.72):
п
1
1
Я
+^
т
- 1
+1
-1
+1
п=
т 1п
п
1
+
т
12/4
105
1
ю4
12
1 2 1
п
1
+
1п 2,518828
0,15
12-1п 1,0125
= 6,197 лет.
12
Количество кварталов в полученном сроке составит
пр = 6,197 •4 = 24,788.
Округляем полученное число до 25, то есть количество лет
ренты принимается равным 6,25. Подставив это число в формулу (2.73), получим величину ежеквартальной выплаты ( — ):
Р
\12/14
1+
- 1
- 1
12
= 10
= 2467,56.
12-6,25
+
-1
^1 + М !
- 1
т
12
Если известна современная стоимость ренты с начисле­
нием процентов по номинальной процентной ставке и с
неоднократными выплатами в году, то срок такой ренты
1
глава 2
107
П латежи
может быть найден из формул (2.21) и (2.22). Перепишем
эти формулы, объединив их в одну:
1
-
т
1 \т/р
А=К
(2.74)
- 1
Решив это уравнение относительно п, получим:
\т/р
Ар
п- 11 ----Я
1
1
+
- 1
п=
(2.75)
г
/
Л
1
+
^т 1п
т
Формула для уточнения значения разового платежа име­
ет вид:
с/
•\Ч
V-/У
р
Я
=А
\+ 1-1
т
Г
. \-rnn
1\+ 1т
(2.76)
♦ Пример 2.46
Долг в размере 50 тыс. руб. погашается равными частя­
ми в конце каждого квартала по 2,5 тыс. руб. На взносы
начисляются проценты раз в году по ставке 15% годовых.
Определить время погашения долга.
Решение:
Срок ренты определим по формуле (2.75), которая для
условий примера принимает вид:
1
(Г
[(1+0Д5)|/4-1 ]1
1п(1+ 0,15)
1п0,288838
1п1,15
= 8,886 лет.
Финансовая математика. Сборник задач
Количество кварталов в полученном сроке составит«/? =
•4 = 35,5. Округляем полученное число до 35, то есть
количество лет ренты принимается равным 8,75. Подставив
это число в формулу (2.76), уточним величину ежекварталь­
ной выплаты:
8 ,8 8 6
. \т/п
1
1
+^
т
-
1
+
- 1
1 15^4 - 1
= 50000— 1— — -8,75 = 2519,6 руб.
1-1,15
т
Рассмотрим ещё один пример определения срока для
/^срочной ренты с непрерывным начислением процентов
при известной наращённой сумме, определяемой форму­
лами (2.24). Объединив эти формулы в одну, получим:
е^-Х
5 = Д -----— ----- •
р(е8/р - 1 )
(2.77)
'
Из формулы (2.77) определяем срок ренты:
1 ,
п = —т - р ( е Ъ1р- 1) + 1
Я
5
(2.78)
Формула для расчета уточнённой величины разовой
выплаты следует из (2.77):
К/Я
еи / " - 1
(2.79)
Р
е*п - \ '
♦ Пример 2.47
В фонд ежегодно поступают средства, на которые начис­
ляются проценты по силе роста 15% годовых, причём вы­
платы производятся в конце каждого квартала, а проценты
начисляются непрерывно. Величина фонда на конец срока
составит 100 тыс. руб., годовая выплата — 10 тыс. руб. Оп­
ределить срок ренты.
глава 2
ж|~|латежи
109
Решение:
Срок ренты находим по формуле (2.78):
1 ,
п = —1п - р ( е 6 / р - 1 ) + 1
Я
5
1
п
1
0,15
1 ° _ 4(< ,0 .1 5 / 4 _
1
) + 1 = 6,184 года.
10
Количество кварталов в полученном сроке составит:
и/? = 6,184 ■4 = 24,736.
Округляем полученное число до 25, то есть количество
лет ренты принимается равным 6,25. Подставив это число
в формулу (2.79), получим величину ежеквартальной вы­
платы:
5/Р_ 1
0,15/4 _ *
= 100000-
— = 2459,59 руб.
0,15-6,25
р
еЪп-\
Для других типов ренты срок находится аналогично.
Р а сч ёт п р оц ен т н ой ст авки р ен т ы
Если известны все параметры ренты, кроме процентной
ставки, то расчёт процентной ставки можно трактовать как
определение доходности финансовой операции. Процент­
ная ставка определяется из соотношений для расчёта нара­
щённой суммы и современной стоимости по формулам,
полученным выше для различных типов рент. В отличие от
определения годовой выплаты ренты или её срока, выраже­
ние для расчёта процентной ставки, как правило, нельзя
представить в виде формулы. Поэтому процентную ставку
ренты рассчитывают цифровыми способами. Рассмотрим
один из них, называемый методом Ньютона-Рафсона.
В общем случае метод Ньютона-Рафсона состоит в по­
следовательном приближении к решению л;0 нелинейного
уравнения Дх) = 0 .
110
Финансовая математика. Сборник задач
Для годовой ренты наращённая сумма определяется фор­
мулой (2.5):
I =0 1 0 ^ 1
R
i
При решении этого уравнения его приводят к виду,
удобному для дальнейших расчётов. Прежде всего введём
замену:
х = 1 + /.
(2.83)
и перенесём левую часть вправо. В результате получим:
^
Л
=0.
х -1
R
Умножив левую и правую части этого уравнения на х - 1,
найдём:
х" - —* + — - 1 = 0 .
R
R
В качестве искомой функции принимаем:
/ (*) = * " - ! * + 4 - 1.
(2.84)
R
R
Производная этой функции вычисляется по формуле:
f \ x ) = nxn- 1- ^ .
R
(2.85)
♦ Пример 2.48
В накопительный фонд ежегодно в конце года поступа­
ют средства по 10 тыс. руб. в течение 7 лет, причём на конец
срока величина фонда составит 100 тыс. руб. Определить
доходность инвестиций.
Решение:
Для решения используются формулы (2.81), (2.84) и
с
(2.85). — = 10 . Положим, jc, = 1,15.
R
Первая итерация:
/(jcj) = JCÍ1 - - * ! + - - 1 = 1,157 - 1 0 1 ,1 5 + 1 0 -1 = 0,16;
R
R
глава 2
111
П латежи
/ \ х х) = пх"~Х- - = 7 •1,156 - 1 0 = 6,19;
Х2 = * , - - ¿ ^ - = 1 ,1 5 -— = 1,1241578.
Г ( х 2)
6,19
Вторая итерация:
/ ( х 2) = 0,0271944;
/ ' ( х 2) = 4,127383;
= 1117569.
/ (*2 )
Третья итерация:
/ (дез) = 0,0016208;
/ '(* 3) = 3,637794;
ъ= х
*4 = * э -
£ Ч = 1' 1171235/ (*з)
Поскольку результаты во второй и в третьей итерациях
слабо отличаются друг от друга, то вычисления можно пре­
кратить и принять в соответствии с (2.83)/ = х - 1 = 0,1171235,
или 11,71235%.
Другим методом, подтверждающим окончание вычисле­
ний, является проверка. Для этого в правую часть уравнения
(2.82) подставляют полученное значение ставки. Если резуль­
тат совпадает с левой частью или слабо отличается от неё, то
вычисления прекращаются. Для рассматриваемого примера
т
п1+
+ 1)---л " _ 1 1 = 1 1171237
—1£ = 1 0 ооооб.
---К
I
0,1171235
Поскольку результаты практически совпали, так как
с
— = 10, то принимаем /= 11,71235%= 11,71%.
Я
Аналогичным образом проводится расчёт процентной
ставки и для других рент. Например, современная стоимость
/^-срочной ренты определяется формулами (2.16) и (2.17),
которые запишем в виде:
1 -0 +0 -
я
р [ ( 1 + 0 |/,’ - 1 ] '
(2 86)
112
Финансовая математика. Сборник задач
Так же как и в предыдущем случае, это уравнение приве­
дём к виду, удобному для дальнейших расчётов. Введём
замену (2.83) и перенесём правую часть (2.86) влево. В ре­
зультате получим:
А
1 -х ~ п
=0.
Я р [ х 11р- 1 ]
Умножив левую и правую части этого уравнения на
р (х 1/р - 1)хп, найдём:
п+-
(
Р _
рх
1 + —р К + 1 =о.
К
В качестве искомой функции принимаем:
Л " -4
f ( x) = - P x Р
_
(.
А
1 + —р
Л
хп +\.
(2.87)
Я
Производная этой функции вычисляется по формуле:
К
лн—-— 1
/\ х ) =
п + — —рх
Р )к
р -л|1+^р|*л1
(2 . 8 8 )
♦ Пример 2.49
Единовременное вложение средств в предприятие соста­
вило 50 тыс. руб. В течение 7 лет по истечении каждого квар­
тала инвестор получает 2.5 тыс. руб. Определить доходность
инвестиций.
Решение:
Для решения используются формулы (2.81), (2.87) и
А
(2.88). Я = 2,5 •4 = 10 тыс. руб., — = 5 . Положим, х , = 1,15.
Я
Первая итерация:
глава 2
|~|латежи
113
п+— 1
(
рх 1
/ '(*!) = п + —
~ П\1+ ^ Р Р 1 =
Р Я
= 7,25 -5 -4 - 1,156’25 - 7(1 + 5 •4)1,156 = 7,3;
Р
, 2 = Х 1_ / М = и 5 _ 0 ^ 1 6 8 3 = 1,118.
2
1
/ (хх)
7,29983
Вторая итерация:
А
/ (* 2 >= - Р
п+~ (
л
Р 1+ ~^Р х2 +1 = 0,053;
*2
А л+—
/гн—
рх2
Р Я
1
х3 = х2 -
^ = 1,106.
/ (*2 )
Третья итерация:
^5 +1 = 0,007;
Г
1 "и
"+__:1
/ \ х 2) = « + — - р х г р р
г =г
А Л
ярИ
,07;
Л ^ з ) , , 5 0.231683 = 1,403.
/•//
ч
_
/ '(х3)
7,29983
Принимаем в соответствии с (2.82) г = х - 1 = 0,103, или
10,328%. Проведём проверку, используя формулу (2.86),
получим:
4
3
1 -(1
+0 "
1 —1,103
-7
= 4,999.
р[(1 + 0 Ур-\] 4(1,1031/4 —1)
Поскольку результаты практически совпали, так как
с
— = 5 , то принимаем /= 10,328% = 10,33%).
Я
Рассмотрим ещё один пример определения ставки нара­
щения (силы роста) для непрерывного потока платежей,
114
Финансовая математика. Сборник задач
изменяющегося по экспоненциальному закону (2.54). Най­
дём силу роста при известной современной стоимости та­
кого потока, определяемой соотношением (2.55). Введём
замену
х = Ь -Ь
(2.89)
и перепишем это соотношение в виде:
А
1_
е -(Ь-Ь)п
<2-90>
Приведём это уравнение к виду, удобному для дальней­
ших расчётов. Введём замену (2.83) и перенесём правую часть
(2.90) влево. В результате получим:
Я
X
Умножив левую и правую части этого уравнения на х,
найдём:
е~хп + — ДГ— = .
Л
В качестве искомой функции принимаем:
1
0
/ ( х ) = - х + е~хп-\ .
(2.91)
Производная этой функции вычисляется по формуле:
л
(2 92)
?'(г\ = -----пе~т
к
♦ Пример 2.50
Единовременное вложение средств в предприятие соста­
вило 80 тыс. руб. Начисления процентов и отдача от инвес­
тиций в течение пяти лет непрерывны, причём базовая вы­
плата Я = 20 тыс. руб./год, Ь = 0,05. Определить доходность
инвестиций в виде силы роста.
Решение:
Для решения используются формулы (2.81), (2.91) и (2.92).
д
— = 4 . Положим, х, = 0,1.
Я
1
гл а в а 2
115
ж П латеж и
Первая итерация:
/ (хх) = — хх + е~х'п - 1 = 4 •0,1 + у~°л 5 - 1 = 0,0065306;
/ \ Х1) = - - п е ~ х^п = 4-5е~°д 5 =0,9673468;
/?
/(* )
П1 0,0065306
х? = х , ---------— = 0 ,1 -------------------= 0 ,0 9 3 2 4 8 9 6 .
2
1 / Х х {)
0,9673468
Вторая итерация:
/
(Х2) = - Х2 + е~х1п - 1
/?
= 0 ,0 0 0 3 4 9 5 ;
/ \ х 2 ) = - - п е ~ Х2П =0,8632306;
х = д;2 -
= 0,092844.
/ (*г)
Принимаем в соответствии с (2.89) 5 = Ь + х = 0,142844, или
14,2844%. Проведём проверку, используя формулу (2.90):
(5_*)п
-0,092844-5
-------------- = ------------------ = 3,999987.
(5 -Ь )
0,092844
Поскольку результаты практически совпали, так как
д
— = 4 , то принимаем
7?
8
= 14,2844%.
2.7. Финансовая эквивалентность
обязательств
У р авн ен ие эквивалент ност и
В практической деятельности довольно часто возникают
ситуации, когда один поток платежей заменяется другим
потоком или одним платежом. При этом соблюдается не­
изменность финансовых отношений сторон до и после за­
ключения контракта, или, как говорят, финансовая эквива­
лентность обязательств. Расчёт платежей в этом случае ба­
зируется на уравнении эквивалентности.
116
Финансовая математика. Сборник задач
Уравнением эквивалентности называется равенство сумм
заменяемых и заменяющих платежей, приведённых к одно­
му моменту времени.
Принцип финансовой эквивалентности обязательств по­
зволяет, в частности, сравнивать два отдельных платежа,
выплачиваемых в различные моменты времени. При этом
используются простые проценты, если сроки платежей мень­
ше года, и сложные проценты — если сроки больше года [4].
Пусть имеются два платежа 5 1 и 32 со сроками соответ­
ственно « 1 и п2. При оценке этих платежей сравниваются их
современные стоимости, и тот платёж считается большим,
у которого больше его современная стоимость. Иногда воз­
никает необходимость в определении критической ставки
1к , при которой два рассматриваемых платежа оказывают­
ся равными. Рассмотрим два варианта.
А.
Для простых процентов критическая ставка находит­
ся из уравнения эквивалентности, получаемого путём при­
равнивания современных стоимостей первого и второго
платежей:
$ 1
_
Х+ п^кр
$ 2
1
+ п21кр
Решая это уравнение относительно
, найдём:
^
(2.93)
$\п2 ~ $
Б. Для сложных процентов уравнения эквивалентности
имеет вид:
-кр
2 П 1
$ 1
(\ + 1крГ
_
$ 2
( 1
+^ Г 2’
Решая это уравнение относительно ¿кр, найдём:
глава 2
Ау]-лат ежи
117
♦ Пример 2.51
Первый платёж, равный 900 руб., должен быть выпла­
чен через 30 дней, а второй, равный 920 руб., выплачивает­
ся через 270 дней. Сравнить эти платежи при простой про­
центной ставке 15% годовых и при базе К = 360.
Решение:
Современная стоимость первого платежа:
900
Р\ = ----- ^ -------= 888,89 руб.
1+ — 0,15
360
Современная стоимость второго платежа:
920
Р = — Ш ------ =
РУб*
1+ — 0,15
360
При заданной ставке первый платёж превышает второй.
2
8 2 6 ’ 9 7
♦ Пример 2.52
Первый платёж, равный 900 руб., должен быть выпла­
чен через 30 дней, а второй, равный 920 руб., выплачивает­
ся через 270 дней. Определить критическую ставку при базе
К = 360.
Решение:
Критическая ставка, при которой платежи эквивалент­
ны, определяется по формуле (2.93):
5 !-5 2
1кр = с
$1^2
.о
$2^1
9 2 0 -9 0 0
= -------9 7 0 ------------ЯО~ = ° ’ 0 3 3 4 н ™ 3 ’ 3 4 % -
900
360
-9 2 0
360
♦ Пример 2.53
Первый платёж, равный 9 тыс. руб., должен быть выпла­
чен через 2 года, а второй, равный 12 000 тыс. руб., выпла­
чивается через 5 лет. Сравнить эти платежи при сложной
процентной ставке 15% годовых.
118
Финансовая математика. Сборник задач
Решение:
Современная стоимость первого платежа:
Современная стоимость второго платежа:
Р2 =
12000 =
,12 руб.
(1 + 0,15)
При заданной ставке первый платёж превышает второй.
5 9 6 6
♦ Пример 2.54
Первый платёж, равный 9 тыс. руб., должен быть выпла­
чен через 2 года, а второй, равный 12 тыс. руб., выплачива­
ется через 5 лет. Определить критическую ставку.
Решение:
Критическая ставка, при которой платежи эквивалент­
ны, определяется по формуле (2.94):
- 1 = 0,1006, или 10,06%.
О б ъедин ен ие пот ока п л а т еж ей в один
Объединение потока платежей в один называется консо­
лидацией платежей. При этом определяют либо сумму кон­
солидированного платежа при известном сроке, либо срок
при извесшой сумме.
Здесь всем платежам до момента п0 присвоен номер / и
всего таких платежей Т, а платежам после момента «0 при­
своен номер к и всего таких платежей К. Общее количество
заменяемых платежей т = Т + К. Сумма консолидирован­
ного платежа при начислении простых процентов опреде­
ляется по формуле:
(2.95)
глава 2
1 |~|латежи
119
Если срок консолидированного платежа наступит позже
последнего срока заменяемых платежей, то формула (2.95)
приобретает вид:
т
5о=Х
г=\
5 > [ 1
+ (по - ' 1<)']-
<2-96)
♦ Пример 2.55
Три платежа: 5 тыс. руб. со сроком 130 дней, 3 тыс. руб.
со сроком 165 дней и тыс. руб. со сроком 320 дней — заме­
няются одним — со сроком 250 дней. Стороны договори­
лись об использовании простой процентной ставки % го­
довых. Определить сумму консолидированного платежа
при базе К = 365.
Решение:
При определении суммы консолидированного платежа
используется формула (2.95).
8
2 0
1
+
250-130
365
80000
+
1 +
+ 3000
0 , 2
3 2 °
-
2 5 0
(.
1
+
250-130
0 , 2
365
= 16 172,98 руб.
0 , 2
365
Сумма консолидированного платежа при начислении
сложных процентов определяется по формуле:
(2.97)
5 = V 5 (1 + /)«»-"- + V ----- ^ ------.
£ д
й и -о "*-"»
Если срок консолидированного платежа наступит позже
последнего срока заменяемых платежей, то формула (2.97)
приобретает вид:
т
0
+
Г=1
(2.98)
120
Финансовая математика. Сборник задач
♦ Пример 2.56
Три платежа: 5 тыс. руб. со сроком 2 года, 4 тыс. руб. со
сроком 4 года и тыс. руб. со сроком 5 лет — заменяются
одним — со сроком 3 года. Стороны договорились об ис­
пользовании сложной процентной ставки 25% годовых. Оп­
ределить сумму консолидированного платежа.
Решение:
При определении суммы консолидированного платежа
используется формула (2.97) и
6
50 = 5 0 0 0 •1,2 5 3' 2 + 40(*° + 6 0 0 0
1,25
1,25
= 13 290 руб.
При определении срока консолидированного платежа
уравнение эквивалентности представляют как равенство со­
временных стоимостей заменяемых и консолидированного
платежей.
В соответствии с обозначениями уравнение эквивалент­
ности для простых процентов имеет вид:
$о
_у
$./
+ Ио*
+
Сумму в правой части этого уравнения обозначим бук­
вой Т|, то есть:
5,
(2.99)
м 1 + п/
Тогда решение уравнения эквивалентности относитель­
но п0 имеет вид:
1
«0=7
I
( .
2
1 0 0
)
Л
♦ Пример 2.57
Три платежа: тыс. руб. со сроком 130 дней, 10 тыс. руб.
со сроком 160 дней и 4 тыс. руб. со сроком 200 дней — заме­
няются одним — в размере 21 тыс. руб. Стороны договори­
лись об использовании простой процентной ставки % го8
2 0
глава 2
А|~|латежи_______________________________________________
л^л
довых. Определить срок консолидированного платежа при
базе К = 365.
Решение:
При определении современной стоимости заменяемых
платежей используется формула (2.99):
А 5
Л = Х т —^
8000
10000
4000
= — Гчп— + — Ш — + — ?лп— = 20 266,92.
1
+
™
0 , 2
1
365
+—
0 , 2
365
1
+ ^
0 , 2
365
Срок консолидированного платежа находится по фор­
муле ( .
):
2
1 0 0
= 0,18086 года.
- 1
20 266,92
Определим срок в днях по формуле:
/ = Кп0 = 365 •0,18086 =
6 6
дней.
Уравнение эквивалентности для сложных процентов име­
ет вид:
_ 'у
$о
+ ”° м
+ ол /
Сумму в правой части этого уравнения обозначим бук­
вой Г], то есть:
( 1
0
( 1
5
т
п=2—
(2101>
> (
'
Тогда уравнения эквивалентности можно записать в виде
1
1
+
0
+ )"о = ^ °.
Л
Прологарифмировав левую и правую части этого урав­
нения, найдём
( 1
1
122
Ф и н а н с о в а я математика. Сборник задач
♦ Пример 2.58
Три платежа: 2 тыс. руб. со сроком 2 года, 4 тыс. руб. со
сроком 3 года и 3 тыс. руб. со сроком 4 года — заменяются
одним — в размере тыс. руб. Стороны договорились об
использовании сложной процентной ставки 18% годовых.
Определить срок консолидированного платежа.
Решение:
При определении современной стоимости заменяемых
платежей используется формула ( .
)
8
2
1 0 1
2000 4000 3000
^
^
= ----- + ----- + ------г = 5418,26 руб.
+ Л; М
1,18
1,18
Срок консолидированного платежа находим по форму­
ле ( .
):
Л=
^
“
2
С / | 1 0
У ----- -—
! ( 1
7
0
7
8 2
1 0 2
ь (^ 1
,3 ,
5418,26
«о = —*----1. = -----------— = 2,354 года,
^
п +
1п1,18
или 2 года 129 дней.
0
1
( 1
~ С /1
0
З а м ен а одного пот ока пла т еж ей другим
В практике довольно часто возникают ситуации, когда
один поток платежей заменяется другим. Для соблюдения
неизменности финансовых отношений сторон до и после
заключения контракта расчёт платежей в этом случае бази­
руется на уравнении эквивалентности. При этом задаются
все параметры заменяющих ила ежей, кроме одною, кошрый определяется из уравнения эквивалентности. После это­
го определяют либо величину выплаты, либо срок.
При начислении простых процентов уравнение эквива­
лентности имеет вид:
1
¿ 5
7=1
, [ 1
ь
=Е
1=1
+ (« -«,)-'] + Е т т т ^ ^ =
Т=11 + (пк ~ п0>
я
о
+ («о-»,)-'] + Е
+ 507^1 + К - " о ) *
0
(2.103)
глава 2
П латежи
123
Если базовая дата равна нулю, то в уравнении (2.103)
остаются только дисконтированные составляющие. Урав­
нение эквивалентности в этом случае приобретает вид:
к гя с
Е — ^ = Е т Т - + о(2.104)
й + п** г=11 + пг1
5
1
♦ Пример 2.59
Три платежа: тыс. руб., 10 тыс. руб. и 4 тыс. руб. с вып­
латами апреля, 15 июня и сентября данного года соответ­
ственно — заменяются двумя, причём июля выплачивается
20 тыс. руб., а остаток — 1 декабря этого же года. Стороны
договорились об использовании простой процентной став­
ки 25% годовых, базы К = 360, о количестве дней в месяце —
30. Определить остаток долга при базовых датах 1 апреля,
июля и декабря.
Решение:
В соответствии с условиями примера используются сле­
дующие временные интервалы:
1 апреля — 15 июня — 75 дней;
15 июня — июля — 15 дней;
июля — сентября — 60 дней;
1 сентября — 1 декабря — 90 дней.
При базовой дате 1 апреля уравнение эквивалентности
можно записать на основе соотношения (2.104):
8
1
1
1
1
1
1
1
1
10000
4000
20000
5
8000 + ----- —------- + — — ------- + ------—------- +
1+ — 0,25 1+ — 0,25 1+ — 0,25 1+ — 0,25
360
360
360
360
2
2
Отсюда находим: 5 = 2688,07 руб.
2
При базовой дате 1 июля уравнение эквивалентности за­
пишем на основе соотношения (2.103):
8000 + 1 + — 0,25 + 10 000 + 1 + — 0,25
360
360
4000
1+ — 0,25
360
Ф и н а н с о в а я математика. Сборник задач
=
2 0
0 0 0
+
1 + — 0,25
360
Решив это уравнение, получим: 5 = 2698,77 руб.
При базовой дате 1 декабря уравнение эквивалентности
имеет вид:
2
8000 +
1
+
240
360
0,25 +
1 0 0 0 0
90
+4000 + 1 + — 0,25 =
360
+ 1 + — 0,25
360
2 0 0 0 0
+ 1 + — 0,25 + Б').
360
Решив это уравнение, получим: 5 = 2645,83 руб.
Как следует из полученных результатов, остаток долга
зависит от базовой даты.
2
♦ Пример 2.60
Три платежа тыс. руб., 10 тыс. руб. и 4 тыс. руб. с выпла­
тами апреля, 15 июня и сентября данного года соответ­
ственно заменяются двумя с выплатами
тыс. руб. июля
этого же года и 2,6 тыс. руб. Стороны договорились об ис­
пользовании простой процентной ставки 25% годовых, базы
К = 360, количестве дней в месяце — 30. Определить дату
выплаты суммы в
тыс. руб.
Решение:
В соответствии с условиями примера используются сле­
дующие временные интервалы:
1 апреля — 15 июня — 75 дней;
15 июня — июля — 15 дней;
июля — сентября — 60 дней.
Уравнение эквивалентности составляется на основе фор­
мулы (2.104).
8
1
1
2 0
1
2 , 6
1
1
8000 +
1
10000
4000
75
1 150 „
1+ ——0.25 1+----0.25
20000
1+ — 0.25
+■
2600
1+ и-0,25
п = 0,5138 лет или 185 дней.
Таким образом, сумма 2,6 тыс. руб. будет выплачена
августа этого же года.
При начислении сложных процентов при приведении к
базовой дате уравнение эквивалентности имеет вид:
т
к
¿ 5 , ( 1 + )"0""' + Е ----- =
ы
ш й + П4 -"0
l
к
ч
(2.105)
= У s .d + o " 0-"' + У — ^ — + s0.
% '
¿ !(i+ o " ^
Чаще всего за базовую дату в этом случае принимают
начало процесса, то есть точку п0 = 0. В этом случае урав­
нение (2.105) принимает вид:
6
1
0
К
а
R
а
У ----- — = У ----- -— + 50.
Ä id+O "*
Ä + "'
0
(2.106)
0
♦ Пример 2.61
Три платежа: 2 тыс. руб., 4 тыс. руб. и 3 тыс. руб. со сро­
ками 2 года, 3 года и 4 года соответственно — заменяются
двумя, причём через год выплачивается тыс. руб., а оста­
ток — через 5 лет. Пересчёт осуществляется по сложной про­
центной ставке 25% годовых. Определить остаток долга.
Решение:
Уравнение эквивалентности можно записать на основе
соотношения (2.106)
1
2000
4000
2
3000
2000
S,
+ ---------- Г + ----------- Г = ------------ +
1,252
1,253
1,254
1,25
1,255 ‘
Отсюда находим: S 2 = 9 023,44 руб.
♦ Пример 2.62
Три платежа: 2 тыс. руб., 4 тыс. руб. и 3 тыс. руб. со
сроками 2 года, 3 года и 4 года соответственно — заменяют­
ся двумя с выплатами 2 тыс. руб. через 1 год и 8,5 тыс. руб.
126
Ф и н а н с о в а я математика. Сборник задач
Пересчёт осуществляется по сложной процентной ставке 25%
годовых. Определить срок выплаты суммы 8,5 тыс. руб.
Решение:
Схема заменяемых платежей представлена на верхней
оси, а замещающих — на нижней оси:
2000
3000
4000
„
руб.
•------------ ------------ ------------ ------------ ----- ►
0
1
2
3
4
Я , лет
1
1
1
1
2000
8500
с
5 , руб.
•------------ -------------------------------------- ----- ►
0
1
п
я’ лет
1
1
Уравнение эквивалентности имеет вид:
2000
4000
3000
2000
8500
1,25
1,25
1,25
1,25
1,25”
------- т --------- т --------- г —-----------*----------- •
Отсюда находим: 1,25” = 2,8747292.
Решая это уравнение относительно п, получим:
1п2,8747292 ,
п = ----------------- = 4,732 года или 4 года 257 дней.
1п1,25
З ам ена пот ока п ла т еж ей рент ой
Замена потока платежей рентой или замена нескольких
рент на несколько других рент также базируется на уравне­
нии эквивалентности. Рассмотрим случай замены произволь­
ного потока платежей с выплатами
в моменты времени
п(, где г = 1,2, ... , Т — номер выплаты.
Т — общее количество выплат, на ренту с неоднократ­
ными выплатами в году.
Используя замену:
<2-107)
Ы + '
Зная все параметры ренты, кроме одного, и решая урав­
нение (2.107), определяют недостающий параметр.
( 1
0
глава 2
А|~|латежк
127
♦ Пример 2.63
Три платежа: 2 тыс. руб., 4 тыс. руб. и 3 тыс. руб. со
сроками 2 года, 3 года и 4 года соответственно — заменяют­
ся рентой с ежеквартальными выплатами в году со сроком
5 лет. Пересчёт осуществляется по процентной ставке 18%
годовых. Определить ежеквартальную выплату.
Решение:
Уравнение эквивалентности можно записать на основе
соотношения (2.107):
д
1
+
( 1
+ о~я
р [(1 + /)1/'’ - 1 ]
¿л
а
й о+ о"' ’
Я 1-1.18“ 5 2000 4000 3000
-------- ’------ = -------- --------- -------Р 1,181/4 -1 1,182 1,183 1,184 ’
1
1
— 13,323931 = 5418,259.
Р
Отсюда находим ежеквартальную выплату:
- 13,323931 = 5418,259.
Р
Рассмотрим замену нескольких рент одной / -срочной
рентой. Тип каждой из объединяемых рент может быть лю­
бым из рассмотренных выше. При составлении уравнения
эквивалентности находят современную стоимость каждой
из заменяемых рент, суммируют их и приравнивают эту
сумму современной стоимости заменяющей /ьсрочной рен­
ты, то есть:
7
Я
(2.108)
где Ак — современная стоимость заменяемой ренты с номе­
ром к;
к = , ,..., К — номер заменяемой ренты;
К — количество заменяемых рент.
1
2
128
Ф и н а н с о в а я математика. Сборник задач
Зная все параметры заменяющей ренты, кроме одного, и
решая уравнение (2.108), определяют недостающий пара­
метр.
♦ Пример 2.64
Три ренты заменяются одной р-срочной рентой с ежеме­
сячными выплатами 3000 руб. в месяц. Параметры заменя­
емых рент:
) годовая рента с ежегодными выплатами
руб. в год
в течение семи лет, на которые начисляются проценты по
ставке 15% годовых;
) годовая рента с ежегодными выплатами по
руб. в
течение семи лет, на которые начисляются проценты по
номинальной ставке 15% годовых, причём проценты на­
числяются поквартально;
3) рента с ежегодными поступлениями
руб. в течение
семи лет, на которые начисляются проценты по ставке
15% годовых, причём выплаты производятся покварталь­
но, а проценты начисляются ежемесячно.
Пересчёт осуществляется по процентной ставке 18% го­
довых. Определить срок заменяющей ренты.
Решение:
Современная стоимость первой заменяемой ренты
равна:
1
1 0
2
0 0 0
1 0
1 0
0 0 0
0 0 0
Х -л + л
1 - 1 15-7
Ах = Яап { = Я — ------ — = 10 ООО - - = 41604,2 руб.
/
0,15
Современная стоимость второй заменяемой ренты
равна:
- ' 1
1
¿2
-
= КОгпп-Лш = 10 ООО—А------= 40 546,72 руб.
-1
глава 2
жЦ латежи
129
Современная стоимость третьей заменяемой ренты
равна:
1
-
1
0,15
+
= 42649,81 руб.
А* = * » 2т 2п ,Л,/т - “ 10 ООО- 1
1 2
Сумма современных стоимостей трёх заменяемых рент
равна:
к
£ Ак = 124800,73 руб.
к=1
Решая уравнение (2.108) относительно п, получим:
1
п
п=—
1
(2.109)
п + /)
( 1
Подставив сюда условия примера и сумму современных
стоимостей трёх заменяемых рент, найдём:
Ы
п=—
1
-
124800,731
-[1,181/12- 1 ]
3000
п 1,18
= 5,2 года.
1
Округлим срок ренты до пяти лет и уточним величину
ежемесячной выплаты. Ежегодная выплата заменяющей
ренты определяется по формуле:
Я=
А
а{рУ
“П\1
Коэффициент приведения:
д5?18= - - г (1 + °Д!1 — =г= 3,3774636 руб.
12[(1 + 0,18)1/12 —1]
130
Финансовая математика. Сборник задач
Ежегодная выплата:
„ 124800,73
,,
Я ---------------- = 36951,02 руб.
3,3774636
Ежемесячная выплата:
Я _ 36951,02
р
= 3079,25 руб.
1 2
2.8. Ставка дисконтирования
Для приведения доходов и расходов к одному моменту
времени используют ставку дисконтирования. Выбор став­
ки дисконтирования существенным образом зависит от ин­
фляции, риска, структуры капитала.
Для собственного капитала ставка дисконтирования а
определяется из следующих соображений. Безрисковая часть
этой ставки а вычисляется исходя из депозитного процен­
та по вкладам без учёта инфляции или как доходность по
безрисковым активам также без учёта инфляции. Например,
если годовая ставка по долларовому депозиту равна 7%,
а темп инфляции доллара — 3% за год, то безрисковая часть
ставки равна 4%. За счёт риска эта ставка увеличивается на
величину а (премия за риск). Выбор ар является весьма
неопределённой задачей и зависит от степени риска финан­
совой операции. Обычно премия за риск определяется экс­
периментально. В [5] приведены следующие рекомендации
по выбору этой премии:
► замещающие инвестиции:
— новые машины и оборудование, транспортные сред­
ства и т.д., которые будут выполнять те же функции,
что и старое оборудование — ар = %;
— новые машины и оборудование, которые заменяют
старое оборудование, но являются более совершен­
ными, требуют более высокой квалификации работ­
ников, других производственных подходов и т.д. —
ар = 3%;
5
0
глава 2
1 |~|латежи
131
— новые мощности, замещающие старые, новые заводы
на том же или другом месте — а = %;
► новые инвестиции:
— новые мощности или оборудование, с помощью кото­
рого будут производиться или продаваться те продук­
ты, которые уже производились, — а = 5%;
— новые мощности или машины для производства или
продажи производственных линий, которые тесно свя­
заны с существующими производственными линия­
ми — ар = %;
— новые мощности или машины, а также поглощение
(приобретение) других форм для производства или про­
дажи производственных линий, которые не связаны с
первоначальной стоимостью компании, — а = 15%;
► инвестиции в НИР:
— прикладные НИР, направленные на определённые спе­
цифические цели — ар = %;
— фундаментальные исследования, цели которых пока
точно не определены и результат точно не известен —
а = %.
6
8
1 0
2 0
Таким образом, ставка сравнения а для собственного
капитала без учёта инфляции определяется из соотношения:
+ а = + а8) • + ар).
При учёте инфляции среднее значение ставки сравнения
определяется соотношением:
+г
+а
+а
+#Д
( .
)
1
1
где Н ( =
( 1
=
( 1
( 1
5 ) - ( 1
р ) - ( 1
2
1 1 0
— средний темп инфляции за исследуемый
период;
п
п
(1 + Н () — индекс цен за исследуемый пе1=1
Г
риод, состоящий из п элементарных периодов;
г — номер элементарного периода;
1р , — индекс цен за время элементарного периода г;
Н ( — темп инфляции за время элементарного периода г.
= 1
132
Финансовая математика. Сборник задач
Таким образом, имея а5 , задавшись ар и определив Я ,,
находят г.
Еслиа§ < \, ар <\ и
< , то ставка сравнения для соб­
ственного капитала может быть рассчитана по формуле:
1
(2.111)
г = а & + а р + Нг
Из (2.110) следует, что при изменяющемся во времени
темпе инфляции Н { ставка сравнения также изменяется во
времени. Поэтому постоянство этой ставки на всё время
действия проекта при значительных изменениях темпа инф­
ляции год от года является неправомерным.
Задачи
1. В течение лет создается фонд. Годовые взносы —
в конце года по
тыс. $; на собранные средства начис­
ляется 10% годовых. В каком случае сумма фонда ста­
нет больше, если перейти к: а) ежемесячным взносам в
конце каждого месяца; б) ежедневной капитализации
процентов? (К = 365 дней)
8
1 2
2. В течение лет создается фонд. Денежные поступления в
фонд — в конце года равными суммами. На собранные
средства в конце года начисляется 10%>годовых. На сколь­
ко процентов возрастет наращённая сумма фонда при
переходе к: а) поквартальным взносам в конце каждого
квартала; б) поквартальному начислению процентов?
8
3. В течение лет создается фонд, взносы в который по­
ступают в конце каждого полугодия равными сумма­
ми. На поступившие средства в конце года начисляется
8,5%) годовых. Насколько процентов возрастет сумма
фонда в конце -го года при переходе к непрерывной
капитализации процентов?
6
6
4. Какую сумму разовым платежом нужно положить в
банк под % годовых мужчине в возрасте 40 лет, чтобы
по достижении им пенсионного возраста 60 лет в течение
лет в начале каждого месяца снимать по
$, если
8
2 0
2 0 0
глава 2
А|1 латежи
133
проценты капитализируются: а) в конце года; б) в конце
каждого полугодия?
5. Какую сумму разовым платежом нужно положить в
банк мужчине в возрасте 60 лет, чтобы в течение
лет
в конце каждого года снимать по тыс. $, если на оста­
ток вклада меньше 10 тыс. $ начисляется 5% годовых,
больше или равно
тыс. $ — % годовых?
2 0
2
1 0
6
8
. Задолженность в 1 млн $ планируется погасить следую­
щим образом: в течение 3 лет в конце года выплачивает­
ся по тыс. $, а остальной долг гасится равными сумма­
ми 5 в конце пятого и седьмого годов. На остаток долга
начисляется 7,5% годовых. Чему равно значение 5 0?
2
0
7. Стоит ли покупать за 980 $ облигацию номиналом
1 тыс. $ и длительностью 5 лет, если она в конце каждо­
го полугодия дает 40 $ процентного дохода и в конце
срока погашается по номиналу, если есть возможность
поместить эти денежные средства в банк под 9% годовых?
8
. Фирма может продать покупателю свою продукцию по
одному из двух вариантов оплаты: а) через год выпла­
чивается
млн $, затем с интервалом через год еще
4 платежа по 30 млн $; б) через год выплачивается
30 млн $, затем с интервалом в полгода платежей по
10 млн $. Какой из вариантов более приемлем для по­
купателя, если он имеет возможность разместить денеж­
ные средства в банке под % годовых?
2 0
8
8
9. За лет должен быть создан фонд в сумме 400 тыс. $.
На поступающие средства начисляется 10% годовых. На­
мечено каждый год увеличивать взносы, поступающие
в фонд в конце года на 10 тыс. $. Какую первоначаль­
ную сумму нужно внести в фонд?
6
10. На разработку и освоение нефтяного месторождения за­
трачено 100 тыс. $. Планируется, что доходы от эксплуа­
тации месторождения в конце каждого года составят по
30 тыс. $ в первые пять лет, по 20 тыс. $ в последующие
5 лет и по 10 тыс. $ в последние 5 лет. При норме доход­
134
Финансовая математика. Сборник задач
ности 30% годовых окупят ли доходы произведенные зат­
раты?
11. В условиях предыдущей задачи рассчитайте эффектив­
ную ставку инвестирования средств в эксплуатацию
месторождения в виде годовой ставки сложных процен­
тов. Вычисления произведите с точностью до 0,5%.
12. Ссуда в размере 200 тыс. $ выдана на 3 года под 11%
годовых и должна быть погашена разовым платежом в
конце третьего года. Для погашения задолженности дол­
жник решил создать погасительный фонд, размещая де­
нежные средства в банке под 11,5% годовых. В течение
первого года он вносил в банк по 5 тыс. $ в конце каждо­
го месяца, на протяжении второго года — по 15 тыс. $ в
конце каждого квартала. Какую сумму ему нужно вне­
сти в банк через 2,5 года, чтобы суммы погасительного
фонда было достаточно для погашения долга? В расче­
тах используются сложные ставки процентов.
13. Фонд в сумме 750 тыс. $ должен быть создан за лет.
Для этого в банк в конце каждого года вносили по
тыс. $ на протяжении первых трех лет, затем по
110 тыс. $ в конце каждого года в последние 3 года. Под
какую годовую ставку процентов в банке размещались
денежные средства? Вычисления произвести с точнос­
тью до , %.
6
1 0 0
0
1
14. В банке в конце каждого года размещают денежные сред­
ства под 10% годовых для создания фонда. Первые 4 года
вносили по 50 тыс. $ ежегодно, затем — по 100 тыс. $
ежегодно. Через сколько лет сумма, накопленная в фон­
де, впервые превысит млн $?
1
15. Создается фонд, взносы в который вносят в конце каж­
дого года на протяжении лет. Первые 5 лет плани­
руется вносить по
тыс. $, в последние три года —
по 200 тыс. $. Ожидается, что первые 4 года годовая став­
ка процентов будет % с вероятностью
и 8,5%> с ве­
роятностью 0,2. Затем последние 4 года ставка процен­
8
1 0 0
8
0 , 8
глава 2
П латежи
135
тов будет постоянной и будет принимать значение 8,5% с
вероятностью 0,7 и 9% с вероятностью 0,3. Для наращён­
ной суммы фонда 5 определить следующие характерис­
тики: £ { Я Я {£}, 5;„/и, 5 ^ , Р{ 1530тыс. = 5 = 1550тыс.}.
16. Создается фонд, денежные средства в который вносятся
в конце года под 8,5% годовых. В 5 первых лет в фонд
вносили по 100 тыс. $. Затем в течение 2 лет выплаты в
фонд не проводились. Начиная с конца восьмого года,
выплаты были возобновлены в размере
тыс. $ еже­
годно. Чему будет равна сумма фонда на конец десято­
го года?
1 2 0
17. Задолженность в сумме 720 тыс. $ погашается по час­
тям платежами в конце года. На остаток задолженнос­
ти начисляется 7,2% годовых. Первые 3 года в счет по­
гашения задолженности вносилось по
тыс. $, из ко­
торых 90 тыс. шло на погашение основного долга. Затем
в течение лет в конце каждого года выплачивались
только процентные платежи. Начиная с конца шестого
года, стали погашать задолженность, выплачивая сум­
му Я в конце каждого года. Чему равно значение Я,
если задолженность должна быть полностью погашена
к концу восьмого года?
1 0 0
2
18. Для создания через 5 лет фонда в размере 600 000 руб.
Определить размер ежегодных платежей по сложной
ставке 80% годовых.
19. Для погашения кредита размером 300 000 руб. в тече­
ние 5 лет определить размер ежегодных платежей при
значении сложной ставки 80% годовых.
20. В страховой фонд производятся взносы в течение 10 лет
ежегодно по
тыс. руб., на которые начисляются
проценты по сложной ставке 80% годовых. Определить
наращённую сумму.
1 0
0 0 0
21. Платежи величиной 5000 руб. вносятся ежегодно в те­
чение 5 лет с начислением на них процентов по слож­
ной ставке 80% годовых. Определить наращенную сум­
му и коэффициент наращения.
136
Ф и н а н с о в а я математика. Сборник задач
22. В течение десяти лет на счет вкладчика банка фирма по
контракту перечисляет равными долями в конце каж­
дого года по 1000 руб. Определить накопленную сум­
му на счете вкладчика после лет, если банковская став­
ка по депозитам составляет 4% годовых.
1 0
23. В условиях предыдущей задачи найти К если на про­
тяжении лет, когда не гасилась основная задолжен­
ность, проценты не выплачивались, а присоединялись
к сумме долга.
2
24. На протяжении лет создается фонд. На счет фонда вне­
сено
тыс. $ в конце первого года,
тыс. $ —
в конце третьего года, 250 тыс. $ — в конце пятого года,
280 тыс. $ — в конце седьмого года и через полгода —
250 тыс. $. На собранные средства в течение первых
4 лет начислялось % годовых, в последние 4 года —
8,5% годовых. Какова сумма фонда к концу восьмого
года, если на собранные средства начислялись сложные
проценты?
8
1 0 0
2 0 0
8
25. Задолженность в сумме 750 тыс. $ погашается нерегу­
лярными выплатами: 100 тыс. $ в конце 1,5 года, 200
тыс. $ в конце третьего года, 250 тыс. $ через 3,5 года
после получения ссуды. На остаток задолженности на­
числяется 7,2% годовых. Какую сумму нужно вернуть
в конце четвертого года, чтобы полностью погасить за­
долженность?
26. Долг в сумме 653 тыс. $ должен быть возвращен по ча­
стям за лет. В течение первых 2 лет в счет погашения
задолженности намечено выплачивать по 80 тыс. $ в
конце каждого полугодия, в последующие года — по
90 тыс. $ в конце каждого полугодия. На последнем эта­
пе планируется выплачивать равные суммы Я в конце
каждого квартала, чтобы полностью погасить задолжен­
ность. Чему должно быть равно значение К если на
остаток долга начисляется 9,2% годовых, К = 360? Ка­
кую сумму единовременным платежом должен выпла­
тить должник, чтобы полностью погасить долг: а) в кон­
це третьего года; б) в конце 4,25 года?
6
2
глава 2
АП латежи
137
27. Рентные платежи вносятся раз в год по 500 руб. в тече­
ние 4 лет с начислением на них простых 20% годовых.
Построить матрицу платежей с начисляемыми процен­
тами и определить наращенную сумму.
28. По условиям 4-летнего кредитного договора с банком
фирма должна проводить погашение суммы кредита
ежегодными равными платежами по 16 тыс. руб., вно­
симыми в конце года с начислением на них простых
15% годовых. Определить современную величину рен­
ты с использованием метода математического дискон­
тирования.
29. Оборудование стоимостью 450 тыс. $ планируется экс­
плуатировать в течение лет, после чего оно будет за­
менено на аналогичное, стоимость которого, по оцен­
кам экспертов, возрастет на 10%. Для замены оборудо­
вания ускоренно создается амортизационный фонд,
взносы в который в конце каждого года увеличиваются
на 2,5 тыс. $. На собранные средства в амортизацион­
ном фонде начисляется 7,25% годовых. Какова должна
быть величина первого взноса в фонд?
1 0
30. Планируется, что в период освоения месторождения
полезных ископаемых годовые доходы, приведенные на
конец года, будут линейно возрастать на млн $ в год в
течение трех лет, затем в течение
лет доходы будут
постоянны. В период истощения ископаемых, длитель­
ность которого 5 лет, годовые доходы будут сокращать­
ся на 2 млн $ в год. Чему равна современная стоимость
всех доходов от эксплуатации месторождения при нор­
мативе доходности %) годовых, если первый годовой
доход оценивается в
млн $?
1
1 0
2 0
1 0
31. При сохранении условий предыдущей задачи оцените
с точностью до 0,5% эффективность инвестирования
млн $ в разработку месторождения в виде годовой
ставки сложных процентов.
2 0
32. Ипотечная ссуда в 80 тыс. $ выдана на 10 лет под 12%
годовых. Погашение ссуды — в конце каждого месяца.
138
Финансовая математика. Сборник задач
Первые 4 года долг погашается ускоренно: каждый ме­
сяц сумма погасительного платежа возрастает в 1,00407
раза по сравнению с предыдущим месяцем. В после­
дние лет ежемесячные суммы погасительных плате­
жей постоянны. Чему равна сумма первого погаситель­
ного платежа?
6
33. Планируется, что в период освоения месторождения го­
довых доходы, приведенные на конец года, будут воз­
растать в
раза по сравнению с предыдущим годом в
течение 3 лет. Затем в течение 12 лет доходы будут по­
стоянны. В период истощения месторождения годовые
расходы будут линейно сокращаться на 3 млн $ в год в
течение 5 лет. Чему равна современная стоимость всех
доходов от эксплуатации месторождения при нормати­
ве доходности в 25% годовых, если первый годовой
доход оценивается в
млн $?
1 , 1
1 2
34. Здание стоимостью 100 млн $ можно приобрести либо
разовым платежом, либо в рассрочку на
лет с рав­
ными выплатами в конце каждого месяца. На остаток
задолженности при покупке в рассрочку начисляется
8,5%) годовых. Чему равны месячные погасительные пла­
тежи Я и суммарные процентные платежи, если здание
приобретается в рассрочку?
1 0
35. На сколько возрастут или уменьшатся суммарные про­
центные платежи в условиях предыдущей задачи, если
погасительные платежи при покупке в рассрочку будут
линейно убывать в год на 5 тыс $ при выплатах в конце
года?
36. Задолженность в сумме 250 тыс. $ должна быть погаше­
на за лет равными выплатами в конце каждого месяца,
на остаток долга начисляется 7,5% годовых. После 3 лет
выплат, согласно первоначальной договоренности, кли­
ент попросил в банке отсрочку на года по погашению
основного долга. За последние 3 года долг должен быть
погашен равными поквартальными платежами. Чему
равен размер поквартальных платежей К, выплачивае­
8
2
глава 2
жДлатежи
139
мых в конце каждого квартала, если а) в течение двух­
летнего льготного периода выплачиваются только про­
центные платежи в конце каждого года; б) в течение
льготного периода процентные платежи не выплачива­
ются, а присоединяются к сумме долга?
37. Долг в сумме 300 тыс. $ должен быть погашен за 10 лет
равными выплатами в конце каждого года. На остаток
долга начисляется 8,2% годовых. После трех лет выплат
согласно первоначальной договоренности должник
попросил в банке отсрочку на 3 года для погашения
основного долга. После этой отсрочки остаток долга
предлагается гасить полугодовыми платежами постнумерандо в размере 25 тыс. $. Чему должно быть рав­
но число полугодовых платежей п и чему равна недо­
плата Ь из-за округления п до целого числа, чтобы долг
был полностью погашен, если: а) за время льготного
трехлетнего периода процентные платежи периодичес­
ки выплачивались в конце каждого года; б) процент­
ные платежи за время льготного периода не выплачи­
ваются, а присоединяются к сумме долга?
38. Решено за лет создать фонд в сумме 800 тыс. $ путем
равных годовых платежей постнумерандо, на поступа­
ющие платежи начисляется 8,75% годовых. Четыре года
платежи в фонд выплачивались согласно намеченному
графику. Затем, в силу некоторых обстоятельств, в те­
чение последующих двух лет платежи в фонд не посту­
пали. Чтобы накопить намеченную сумму к сроку, было
решено в последние года увеличить сумму годовых
платежей. На сколько нужно увеличить сумму годо­
вых платежей?
8
2
39. Фирмы А и В «сливаются» с фирмой С. Полтора года
назад фирма А взяла кредит в банке на сумму 250 тыс. $
на 4 года под 7,2% годовых с погашением равными вы­
платами в конце каждого полугодия. Фирма В в том же
банке год назад взяла кредит на сумму 400 тыс. $ под
8,3%) годовых на 5 лет с погашением равными выплата­
140
Финансовая математика. Сборник задач
ми в конце каждого года. Фирма С должна погасить
долги фирм А и В в течение лет равными платежами в
конце каждого года при условии, что на остаток долга
начисляется 9% годовых. Какую годовую сумму по
оплате долга должна выплачивать фирма С, если к мо­
менту объединения фирма А произвела три погаситель­
ных платежа, а фирма В — один? Расчеты проведите при
условии, что долги фирм А и В на момент их объедине­
ния — это непогашенная основная задолженность по
их первоначальным обязательствам.
6
40. Амортизационный фонд должен быть создан за шесть
лет в сумме 475 тыс. $ посредством равных полугодо­
вых взносов постнумерандо. На собранные средства на­
числяется 7,6% годовых. В силу некоторых обстоя­
тельств взнос в фонд в конце третьего года был сделан в
размере 75% планируемого. Для компенсации недопла­
ты предлагается последующие годовые запланирован­
ные взносы вносить в фонд ежемесячно, равными пла­
тежами постнумерандо. Будет ли при этом амортиза­
ционный фонд больше или меньше запланированного
и насколько?
41. Для проведения профилактических ремонтов вновь по­
строенного шоссе была выделена некоторая сумма де­
нег, которую разместили в банке под 8,2% годовых. Ре­
монтные работы было решено проводить через каждые
5 лет и на эти цели выделять каждый раз по 20 тыс. $.
Временной горизонт ремонтного обслуживания шоссе —
50 лет. После 10 лет эксплуатации шоссе было решено
профилактические ремонты проводить через каждые два
года. Какую сумму нужно будет снимать со счета в бан­
ке на ремонтные работы, если для этих целей планиру­
ется расходовать каждые два года равные суммы?
42. Три фирмы А, В, С объединяются 1.01 в одну фирму £>.
Фирма А 4 года назад взяла в банке кредит на сумму
280 тыс. $ на 7 лет (погашение задолженности равными
уплатами в конце каждого года). Фирма В 3 года назад
глава 2
П латежи
141
в том же банке взяла кредит на сумму 350 тыс. $ на лет
с погашением долга в конце каждого полугодия рав­
ными выплатами. Фирма С 2 года назад в том же банке
получила кредит на сумму 300 тыс. $ на 7 лет и погаша­
ла его платежами в конце года, возрастающими каж­
дый раз на 10 тыс. $. Все три фирмы получали кредит
под 10% годовых. Фирма D должна погасить долги
фирм А, В, С за 5 лет равными платежами в конце каж­
дого года при условии, что на остаток долга начисляет­
ся 10%) годовых. Какую сумму фирма D должна еже­
годно возвращать банку?
8
43. Амортизационный фонд в сумме 450 тыс. $ должен быть
создан за лет равными годовыми платежами постнумерандо. На собранные средства начисляется 8,5% го­
довых. После двух выплат в фонд решено изменить
порядок взносов: выплаты производятся через два года
платежами постнумерандо, возрастающими каждый раз
на 10 тыс. $. Чему равна сумма взноса в фонд в конце
четвертого года?
8
44. При тех же условиях, что и в предыдущей задаче, сум­
ма, внесенная в фонд в конце четвертого года, состави­
ла 100 тыс. $. На сколько должен возрастать либо убы­
вать этот платеж в дальнейшем, чтобы к концу срока в
фонде была накоплена намеченная сумма в 450 тыс. $?
45. Фирма А 1 января 2005 г. получила кредит в банке на
250 тыс. $ на 5 лет под 9,8% годовых. Погашение креди­
та предусмотрено равными выплатами в конце года.
В январе 2008 г. фирма А разделилась на три фирмы:
В, С, D, у которых соответственно остались 40,25 и 35%
непогашенного долга фирмы А. Этот долг должен быть
погашен за 2 года. Фирма В погашает долг годовыми
платежами, фирма С — полугодовыми, а фирма D —
поквартальными платежами (все платежи постнумеран­
до). Определите сумму годовых платежей RB, R^ RD
фирм В, С, D.
46. Амортизационный фонд в сумме 875 тыс. $ намечено
создать за 5 лет путем равных взносов в конце каждого
142
Финансовая математика. Сборник задач
года. На созданные средства начисляется 9.5% годовых.
После двух лет взносов в фонд решено ускорить созда­
ние фонда: взносы вносить в конце каждого полугодия,
увеличивая выплаты каждый раз на тыс. $ по сравне­
нию с прежним взносом. Создание фонда прекращает­
ся, как только сумма фонда превысит намеченный уро­
вень. На сколько лет раньше будет создан фонд?
1 0
47. В условиях предыдущей задачи взносы в фонд после
двух лет намечено производить по схеме возрастающей
геометрической прогрессии, увеличивая каждую вы­
плату на
% по сравнению с предыдущим уровнем.
На сколько лет раньше будет создан фонд?
1 0
48. Задолженность в сумме 100 тыс. $ должна быть погаше­
на равными платежами Я в конце каждого года за 3 года.
На остаток задолженности начисляется 10% годовых.
Однако в силу некоторых обстоятельств, предполагает­
ся. что с равной вероятностью сумма первого погаси­
тельного платежа Я , будет лежать в интервале [0,9/?; 1,1 Я],
сумма второго погасительного платежа Я2, также с рав­
ной вероятностью, будет лежать в интервале [0,8 Я; Я].
Последний погасительный платеж Я3 вносится в таком
размере, чтобы задолженность была полностью пога­
шена. Считая, что платежи Л( и Л , являются независи­
мыми равномерно распределенными случайными ве­
личинами, вычислите среднее значение Я3 и вероятность
того, что
= Я.
49. Задолженность в сумме 85 тыс. $ должна быть погаше­
на за 5 лет равными платежами Я в конце каждого года.
На остаток задолженности начисляется 8,5% годовых.
Однако в силу некоторых обстоятельств погасительные
платежи могут отклоняться от намеченного уровня не
более чем на 5% в положительную либо отрицатель­
ную сторону. Последний платеж должен быть таким,
чтобы долг был полностью погашен. По различным
реализациям процесса погашения долга оцените сред­
нее значение и дисперсию последнего платежа.
Р и с к и
Риск — это некоторая потеря, вызванная наступлением
случайных неблагоприятных событий. Реакцией на нали­
чие риска является стремление компенсировать или сокра­
тить его с помощью либо рисковых премий, либо диверси­
фикации - прием, под которым понимается распределение
общей инвестиционной суммы между несколькими объек­
тами. Риск часто измеряется с помощью дисперсий и сред­
него квадратического отклонения. Обе характеристики из­
меряют колебания. Для рассмотрения задач в качестве
объекта решений примем портфель ценных бумаг или про­
сто, портфель.
Пусть портфель состоит из п видов ценных бумаг. Доход
от одной бумаги составляет с1г Суммарный доход составляет:
л
= 5 > ,4 .
где ai - количество бумаг вида л
Дисперсия дохода портфеля:
П
С=
(3.1)
(3.2)
;= 1
где
- дисперсия дохода от бумаги вида г;
п - количество ценных бумаг.
Для зависимых показателей дохода отельных бумаг дис­
персия суммарного дохода
п
В=
( . )
¡Ф;
где
— дисперсия дохода от бумаги вида /;
Гу — коэффициент корреляции дохода от бумаг вида г иу;
3
3
1= 1
о, и Oj — среднее квадратическое отклонение дохода у
бумаг вида г и у.
144
Ф и н а н с о в а я математика. Сборник задач
Коэффициент корреляции двух случайных переменных
х и у, как известно, определяется по формуле:
_ ^ (х -х )(у -у )
Г*У =
паха у
(3.4)
где х, у — средние (средние доходы двух видов бумаг).
Для расчетов часто применяется следующая формула:
п ^ х у -^ х ^ у
Для независимых доходов:
(3.5)
Для зависимых доходов:
Вгч = ахах +. ауа у
2
В
2
2
а х® х
2
а у® у
(3.6)
^ а х а у ^ х ® у гху-
Среднее значение суммарного дохода:
А = ахс1х + (1 - а х)с1у.
(3-7)
♦ Пример 3.1
Портфель должен состоять из двух видов бумаг, пара­
метры которых: с!х = ; а х = , ; е! = 3; ст^ = , .
Решение:
Доход от портфеля: А = 2ах + 3ау. Таким образом, доход
в зависимости от величины долей находится в пределах
2<А <3.
Дисперсия суммы дохода составит:
2
0
8
1
1
В = ах 0,8 + д 1,1 + ахаугху0,8 *1,1.
Определим доход и дисперсию для портфеля с долями,
равными, допустим, 0,3 и 0,7. Получим по формулам (3.6)
и (3.7):
В = 0,651 + 0,31гху и А =2,7.
2
2
2
Таким образом, при полной положительной корреляции
£>= 1,021, при полной отрицательной корреляции В = 0,281.
глава 3
ж риски
145
В итоге с вероятностью 95% можно утверждать, что сум­
марный доход находится в первом случае в пределах:
2.7 ± 2 •-у/1,021 = 2,7 ± 2,02;
во втором — он определяется пределами:
2.7 ± 2 -^ 0 ,2 8 1 = 2,7 ±1,06.
При нулевой корреляции доходов искомые пределы со­
ставят:
2,7±2-л /о,651 = 2,7 ±1,64.
Решить проблему диверсификации инвестиции и риска
можно, изучив структуру портфеля с минимальной диспер­
сией. Уменьшая дисперсию - уменьшаем риски.
Минимальное значение дисперсии суммы имеет место,
когда:
В*
(3.8)
ах = ------:---- или а = ------- -----—------------.
о , + о,,
£ ) ,+ В > - гп, а , с ¥
1
1
2
♦ Пример 3.2
Портфель должен состоять из двух видов бумаг, пара­
метры которых: с1х = 2; с х = 0,8; ¿¿у = 3; &у = 1,1. Определить
структуру портфеля с минимальной дисперсией.
Решение:
При полной положительной корреляции расчетные зна­
чения доли первой бумаги составят по формуле (3.8):
1, 12 - 1 0 ,81,1
а х = ------ 5
5
---------------------------> 1 ‘
+
- - - , Соответственно, ау < 0. Следовательно, минимальная
дисперсия имеет место в случае, когда портфель состоит из
одной бумаги вида X. Средний доход от портфеля равен 2.
При полной отрицательной корреляции находим:
0 , 8
1 , 1
2
1
0
8
1 , 1
_
1, 12 - ( - 1) 0 , 81,1
ах = — =-------=----------------------- = 0,579,
+
- - (- )- , 0 , 8
1 , 1
2
ау = 1 -0 ,5 7 9 = 0,421.
1
0
8
1 , 1
146
Ф и н а н с о в а я математика. Сборник задач
Дисперсия в этом случае равна нулю, а средний доход
составит 2,421.
Наконец, при отсутствии корреляции получим по фор­
муле (3.8) ах = 0,654; а = 1 - 0,654 = 0,346. Дисперсия дохода
при такой структуре портфеля равна 0,418, а средний доход
равен 2,346.
♦ Пример. 3.3
Экспертами было установлено, что отношения диспер­
сий доходов четырех ценных бумаг, составляющих порт­
фель, следующие:
= 1,8, 1
= 2,
= 0,7. Доходы
ценных бумаг не коррелируют между собой. Определите
структуру такого портфеля с минимальным риском.
Решение:
£ > 1/4
>2 / 4
А = 0 ~ 1е
По формуле
где
+
1
1
а
Р2 +
Э~1 =
А
1
...
1
Ал-1
А
"
А=
2 , 8
1
Г
1
3
1,7
гп
"0,15945"
1
0,14351
0,41002 у
V у V,
а4 = 1 - (0,15945 + 0,14351 + 0,41002) = 0,28702.
V
1 1
1
-1
1
Итак, в портфель следует включить 15,95% бумаг перво­
го типа, 14,35%) — второго, 41% — третьего и 28,7% — чет­
вертого типа.
глава 3
ж риски
147
3.1. Погашение задолженности
и доходность кредитных операций
Б а л а н с ф инансовой о п ера ции
при и сп о л ьзо в а н и и слож н ой
и прост ой ст авок наращ ения
Баланс финансовой операции предусматривает эквива­
лентность вложений и поступлений. Непогашенный оста­
ток долга служит базой для начисления процентов за сле­
дующий период. Наращённая к концу срока первоначаль­
ная сумма долга равна сумме частичных платежей, также
наращённых к концу срока.
♦ Пример 3.4
В соответствии с обязательством долг в сумме 100 тыс.
руб. должен быть погашен в течение трёх лет. Проценты
начисляются по сложной процентной ставке 14% годовых.
Погашение долга производится частичными платежами: в
конце первого года выплачивается сумма
тыс. руб.. в
конце второго — 50 тыс. руб., остаток — в конце третьего
года. Определить сумму, выплачиваемую в конце срока.
Решение:
Используя формулу (3.2), напишем исходное уравнение:
2 0
1 0
0
ооо=“ М + - “ М _ + . _ ^ _ .
1 + 0,14 (1 + 0 ,14)2 (1 + 0,14)3
Решив это уравнение относительно Яу получим сумму,
выплачиваемую в конце срока:
= 65 162,4 руб.
Рассмотрим расчёт простой процентной ставки, который
может проводиться двумя методами. Первый метод, назы­
ваемый актурным, используется в операциях со сроком
более года. Обычно при расчётах используются обыкно­
венные проценты с приближённым числом дней ссуды. Не­
погашенный остаток долга служит базой для начисления
процентов за следующий период. Если частичный платёж
меньше начисленных процентов, то его не учитывают в
/ ? 3
148
Финансовая математика. Сборник задач
момент поступления и приплюсовывают к следующему
платежу. Сбалансированная операция имеет замкнутый
контур, то есть последняя выплата полностью покрывает
остаток задолженности.
Второй метод расчёта остатка долга называется прави­
лом торговца. Сумма долга с начисленными процентами
остаётся неизменной до полного погашения. Параллельно
идёт накопление частичных платежей, сумма которых пос­
ле наращения к концу срока должна быть равна наращён­
ной сумме долга, то есть:
к
Р0(1 + nki) = Y jR j [l + (л* - nj )*■].
у
где Rj — сумма частичного платежа под номером у;
к — общее количество частичных платежей.
(3.9)
= 1
♦ Пример 3.5
Ссуда в размере 10000 руб. выдана 1 февраля до 1 августа
включительно под простые проценты 18% годовых. В счёт
погашения долга 16 апреля поступило тыс. руб., а 16 июня —
100 руб. Определить остаток долга на конец срока актурным методом и правилом торговца.
Решение:
При расчёте потребуются следующие промежутки вре­
мени:
с 01 февраля ио 16 апреля — 75 дней;
с 16 апреля по 16 июня — 60 дней;
с 16 июня по 01 августа — 45 дней.
На 16 апреля до частичной выплаты величина долга со­
ставит:
6
{
75
Sx = 10000 1 + -----0,18 1= 10375 руб.,
360
1
а после частичной выплаты:
Р, = Sj - R x = 10 375 - 6000 = 4375 руб.
глава 3
к риски
149
На 16 июня до частичной выплаты величина долга со­
ставит:
= 4506,25 руб.
360
Так как проценты в данном случае
S2 = 4375
= 5 - Р , = 4 5 0 6 ,2 5 -4 3 7 5 = 131,25 руб.
/ 2
2
больше взноса, равного
руб., то взнос не засчитывается
и переносится на следующий платёж.
На 1 августа наращённая величина долга составит:
1 0 0
г
105
S = 4375 1+ — 0,18 |= 4604,69 руб.
360
Окончательный платёж 1 августа будет равен:
3
R3 = S3- R 2 = 4604,69 - 100 = 4504,69 руб.
При расчёте потребуются следующие промежутки вре­
мени:
с
февраля по
августа — 180 дней;
с 16 апреля по 01 августа — 105 дней;
с 16 июня по 01 августа — 45 дней.
Подставив полученные данные в формулу (3.7), полу­
чим уравнение:
0 1
0 1
Ю
i + i ? o ,i A
360
/
45
Л
(
105
1
= 6000 + -----0,18 +
+ -----0,18 + R360
,
360
Решив это уравнение относительно /?3, найдём величину
последней выплаты: Я3 = 4482,75 руб. Таким образом, пос­
ледняя выплата, рассчитанная актурным методом, превы­
шает на 21,94 руб. последнюю выплату, рассчитанную при
помощи правила торговца.
0 0 0 1
2
1
8
1 0 0
1
1
150
Финансовая математика. Сборник задач
С ост авление п л а н а погаш ения
за д о л ж ен н о ст и
План погашения задолженности состоит из графика пе­
риодических платежей должника. При этом может быть ис­
пользован накопительный фонд для погашения долга или
долг может погашаться в рассрочку.
При использовании накопительного фонда могут быть
использованы постоянные взносы или взносы, изменяющи­
еся во времени по заданным законам. Проценты при этом
могут выплачиваться в конце каждого периода (рента постнумерандо) или присоединяться к сумме основного долга.
Рассмотрим случай выплат процентов по долгу в конце
каждого года постоянными суммами по сложной годовой
процентной ставке а и при начислении на вносимые в фонд
взносы по сложной годовой процентной ставке г. Расходы,
состоящие из процентов по долгу Аа и ежегодных выплат в
фонд Я, называются срочными уплатами У, где А — вели­
чина долга на начальный момент. Долг должен быть вып­
лачен через п лет. Таким образом, срочная уплата опреде­
ляется выражением:
д
У = Аа + Я = АаЛ------ = А а +
Если проценты присоединяются к основному долгу и
выплачиваются в конце срока, то срочная уплата вычисля­
ется по формуле:
у - Л а + д ) " - Л а + д ) яг
*я;г
+ г)" ( 1
(3.11)
1
♦ Пример 3.6
Долг в сумме 1 млн руб., выданный под 12% годовых,
выплачивается равными частями в течение четырёх лет в
конце каждого года. Для его погашения создаётся фонд, в
котором на инвестируемые средства начисляются процен­
глава 3
А риски
151
ты по ставке 15% годовых. Определить размеры срочных
уплат при ежегодной выплате процентов и при выплате
процентов в конце срока.
Решение:
При ежегодной выплате процентов срочные уплаты вы­
числяются по формуле (3.8):
(
г
У=А а +
+ /-Г
( 1
Л=
Г,
1 0 0 0 0 0 0
_
1 , 1 2
+
- 1
0,15
1,154 —1
= 320 265,35 руб.
При выплате процентов в конце срока срочные уплаты
определяются выражением (3.9):
Г=А
( 1
( 1
+ а) Г = 1 0 0 0 0 0 0
= 315121,41 руб.
+г
1 ,1 5 —1
1 , 1 2
)
"
~0 , 1 5
- 1
Для займа с выплатами процентов по долгу в конце каж­
дого года, предусматривающего льготный период, равный
I годам, и имеющего общий срок п лет, формула (3.9) при­
обретает вид:
у = А (Х+ а) =А (1 + а) г
(3 12)
+ Г)" Второе слагаемое в этой формуле принимается равным
нулю во время льготного периода.
( 1
1
♦ Пример 3.7
Долг в сумме 1 млн руб. выдан под 12% годовых на че­
тыре года. Долг выплачивается равными частями в течение
последних двух лет в конце года. Для погашения долга со­
здаётся фонд, в котором на инвестируемые средства начис­
ляются проценты по ставке 15% годовых. Определить раз­
меры срочных уплат при ежегодной выплате процентов.
Решение:
В течение четырёх лет в конце года выплачиваются про­
центы, определяемые выражением:
152
Финансовая математика. Сборник задач
I = Аа = 1 ОООООО ■0,12 = 120 ОООруб.
В конце последних двух лет в накопительный фонд вно­
сятся суммы, вычисляемые по формуле:
Я=
А
£
1000000
1 000000-0,15
= 465116,26 руб.
При погашении долга в рассрочку (амортизация долга)
также могут быть использованы постоянные взносы или
взносы, изменяющиеся во времени. Рассмотрим два вари­
анта: погашение основного долга равными суммами и по­
гашение долга равными срочными уплатами. Проценты на
сумму долга начисляются в конце каждого года по слож­
ной годовой процентной ставке а.
При погашении основного долга равными суммами в
конце каждого года в течение п лет величина долга каждый
л
год будет убывать на — , где А0 — величина первоначальп
ного долга. После очередной выплаты величина долга Aj в
конце года под номером у будет равна:
(3.13)
Срочная уплата, состоящая из ежегодной выплаты осД]
А
новного долга — и процентов А- Ха, в году под номером у
п
}
будет равна:
(3.14)
♦ Пример 3.8
Сумму долга в 1 млн руб. необходимо погасить в тече­
ние четырёх лет равными суммами. Выплаты основного
долга производятся и проценты на долг по ставке % годо­
вых начисляются в конце каждого года. Составить план
погашения долга.
1 2
глава 3
ж риски
153
Решение:
Ежегодные выплаты по погашению основного долга со­
ставляют:
А)
«
— = ------------ = 250 000 руб.
п
4
Оставшаяся сумма долга в конце каждого года опреде­
ляется по формуле (3.11).
1 0 0 0 0 0 0
Ах = 1 ОООООО
Л2 = 500 000;
А
- = 750 000;
4J
А 3 = 250 000;
1
А4 = 0.
Ежегодные выплаты процентов определяются соотноше­
нием /; = А - ха:
/, = Aq(i =
1
0 0 0
0 0 0
-
0 , 1 2
=
/ 2
= 750 000 0.12 = 90 000;
/ 3
= 500 000-0,12 = 60 000;
/ 4
= 250 000 0,12 = 30 000.
1 2 0
0 0 0
;
Срочные уплаты находим по формуле (3.12):
У, = 120
0 0 0
+ 250 000 = 370 000;
У = 90 000 + 250 000 = 340 000;
2
Yx = 60 000 + 250 000 = 310 000;
У = 30 000 + 250 000 = 28 0000.
4
Полученные результаты удобно свести в таблицу (см.
табл. 3.1).
Таблица 3.1
Н ом ер
года
О статок
долга на
конец года,
ты с. руб.
П о гаш ен и е
осн овн ого
дол га,
т ы с. руб.
П роценты
С рочн ая уп л ата,
ты с . руб.
370
1
750
250
120
2
500
250
90
340
3
250
250
60
3 10
4
0
250
30
280
154
Финансовая математика. Сборник задач
При погашении долга равными срочными уплатами в
конце каждого года в течение« лет ежегодные выплаты раз­
биваются на проценты и выплаты основного долга. Так как
величина долга последовательно сокращается, то такое раз­
биение приводит к уменьшению процентов и увеличению
выплат основного долга. В этом случае формулу для рас­
чёта срочной уплаты можно записать в виде:
У = Aj^a + Rj = const,
(3.15)
где j = , ,..., п — номер года;
Aj_{ — остаток долга в конце года под номером j - пос­
ле выплат или в конце года под номером j до выплат;
Rj — сумма выплаты основного долга в конце года под
номером j.
Величину срочной уплаты в рассматриваемом случае
можно определить как годовую выплату ренты с процент­
ной ставкой а, сроком п и современной стоимостью, рав­
ной величине долга А0, то есть:
1
2
1
У = - ^ - = ----- ^ ----- .
ап,а
+а )п
1
(3.16)
- ( 1
Остаток основного долга в конце года под номером j
после выплат вычисляется по формуле:
A j= A j_1- R j .
(3.17)
Как следует из соотношений (3.15) и (3.17), сумма, иду­
щая на погашение основного долга в конце года под номе­
ром j, может быть рассчитана по формуле:
R j = Y - Aj_xa = У - (Aj _2 - RM )a = Y - Aj_2a + Rj_xa. (3.18)
Соотношение (3.15) можно записать в виде:
Y - Aj_2a = Rj- Подставив это в формулу (3.18), получим выражение для
расчёта выплаты основного долга в конце года под номе­
ром j:
1
Rj =
(1+ а) = R j ~2 (\ + a )2 =... = Rl (\ + a )j~l.
(3.19)
глава 3
ж риски
155
Используя это выражение, можно определить сумму
выплат по основной задолженности к концу года под номе­
ром у:
= Е л , а + а = Я, + а)У~ ' = я1ч;„.
(3.20)
г
а
Значение выплаты в конце первого года
определяется
соотношением:
Щ = У -\ а .
(3.21)
) 1
( 1
= 1
♦ Пример 3.9
Сумму долга в 1 млн руб. необходимо погасить в тече­
ние четырёх лет равными срочными уплатами. Срочные
уплаты производятся в конце каждого года. Проценты на
долг начисляются по ставке 12% годовых. Составить план
погашения долга.
Решение:
Ежегодные срочные уплаты по погашению долга вычис­
ляются по формуле (3.16):
V
*
У = ------ - -------= --------------- ^— = 329 234,44 руб.
- а + о г '’
- ,
1 0 0 0 0 0 0
1
1
1
0 , 1 2
1 2 - 4
Значение выплаты в конце первого года определяется
соотношением (3.21):
Л, = У - А 0а = 329 234,44 - 1 000 000 •0,12 = 209234,44 руб.
Проценты в конце первого года равны:
/, = А0а =
1
0 0 0
0 0 0
*
0 , 1 2
=
1 2 0
0 0 0
руб.
Выплаты основного долга в конце каждого года опреде­
ляются по формуле (3.19):
Я2 = /^(1 + а) = 209 234,44 •1,12 = 234 342,57,
Я3 = Л,( 1 + а)2 = 209 234,44 •1Д2 = 262 463,67,
2
Л = /^(1 + а)3 = 209 234,44 •1,12 = 293 959,32.
4
3
Ежегодные выплаты процентов определяются соотноше­
нием:
156
Финансовая математика. Сборник задач
Проведя расчёты по этой формуле, получим ежегодные
выплаты процентов для второго, третьего и четвёртого годов:
/ 2
= 329 2 3 4 ,4 4 -2 3 4 342,57 = 94 891,87,
/ 3
= 329 234,44 - 262 463,67 =
/ 4
= 329 234,44 - 293 959,32 = 35 275,12.
6 6
770,77,
Остаток основного долга в конце каждого года после
выплат вычисляется по формуле (3.17).
Полученные результаты сведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Н ом ер
года
1
Срочн ая
О статок
д о л г а на
у п л а т а , руб.
П о гаш ен и е
д о л га, руб.
П роценты
329 2 3 4 ,4 4
209 2 3 4 ,4 4
12 000
руб.
790 7 6 5 ,5 6
к он ец года,
2
329 2 3 4 ,4 4
2 3 4 3 4 2 ,5 7
94 8 9 1 ,8 7
556 4 2 2 ,9 9
3
329 2 3 4 ,4 4
2 6 2 4 6 3 ,6 7
66 7 7 0 ,7 7
293 9 5 9 ,3 2
4
329 2 3 4 ,4 4
293 9 5 9 ,3 2
35 2 7 5 ,1 2
0
Д оходност ь ф ин ансовы х опер а ц и й
при у д ер ж а н и и к о м и сси о н н ы х
Полная доходность финансовых операций измеряется в
виде годовой ставки, начисление процентов по которой обес­
печит выплату всех платежей. Рассмотрим полную доход­
ность ссудной операции, при реализации которой удержи­
ваются комиссионные за эту операцию.
Ссуда в размере А выдаётся на срок п под простую или
сложную годовую процентную ставку а. При выдаче ссуды
удерживаются комиссионные В, которые повышают доход­
ность операции кредитора. В результате должник получает
сумму, равную А - В. При определении полной доходнос­
ти финансовой операции кредитора в виде годовой ставки
процентов г полагают, что наращение величины А - В по
глава 3
А риски
157
ставке г даст тот же результат, что и наращение величины А
по ставке а.
Для простой годовой процентной ставки а балансовое
уравнение принимает вид:
(А -В )(\ + г)п =А(\ + па).
Решив это уравнение относительно г, получим:
ч /И
+ па
- .
г=
(3.22)
1 -В /А
' )
Для сложной годовой процентной ставки а балансовое
уравнение запишем в виде:
1
1
1
(Л - Я)(1 + г)п = А(1 + па) .
Отсюда находим г:
г=
1
+а
(3.23)
- .
1
(\ -В /А )1/п
♦ Пример 3.10
Ссуда 1 млн руб. выдана на 240 дней (К = 360) под про­
стые проценты по ставке 12% годовых. При выдаче ссуды
кредитором удержаны комиссионные в размере
тыс. руб.
Определить полную доходность финансовой операции.
Решение:
Полная доходность финансовой операции вычисляется
по формуле (3.22):
1 0
360
г=
,
Г л
1+, па \Уп
1
- 1
1-В /А
=
240 п
+ ----360
' 240
0 , 1 2
1
-
- 1 = 0,1394 или 13,94%.
1 0
1 0 0 0
♦ Пример 3.11
Ссуда выдана на четыре (два) года под сложные процен­
ты по ставке 12% годовых. При выдаче ссуды кредитором
158
Финансовая математика. Сборник задач
удержаны комиссионные в размере , % от суммы ссуды.
Определить полную доходность финансовой операции.
Решение:
Полная доходность финансовой операции вычисляется
по формуле (3.23).
Для срока п = 4 года:
0
8
+ 0,12„ - 1 = 0,12225, или 12,225%.
г = -----^ - — =
(1 - В/А)1"
(1 -0 ,0 0 8 )'
Для срока и = 2 года:
7
г=
1
1
+ 0,121/о - 1 = 0,1245, или 12.45%.
(1 -0 ,0 0 8 ) /
С уменьшением срока ссуды полная доходность растёт
при прочих равных условиях.
—
1
Д охо дност ь при покупке и про даж е
ф инансового инст рум ент а
Рассмотрим прежде всего покупку и продажу векселя.
Пусть вексель учтён по простой учётной ставке^ за дней
до наступления срока погашения. За дней до погашения
этот вексель продан с дисконтированием по простой учёт­
ной ставке d Номинал векселя равен 5. Надо определить
доходность финансовой операции в виде простой ставки
наращения а. Временная база учёта — К{, временная база
наращения — К2.
Цена векселя в момент покупки Рх и в момент продажи
Р2 составила соответственно:
PX= S
(3.24)
P2 = S
Таким образом, через tx- t2 дней отдача от Рх равна Р2.
глава 3
к риски
159
Поэтому уравнение эквивалентности при использовании
простой ставки наращения а можно представить в виде:
г
(3.25)
а=
Полная доходность будет положительной величиной
к,
К,
или
(3.26)
при
♦ Пример 3.12
Вексель учтён по простой учётной ставке 10% годовых за
240 дней до наступления срока погашения. За 150 дней до
погашения этот вексель продан с дисконтированием по про­
стой учётной ставке 12% (17%) годовых. Временная база учёта
равна 360 дней, временная база наращения — 365 дней.
Определить доходность финансовой операции в виде про­
стой ставки наращения.
Решение:
Подставив данные примера в формулу (3.26), получим:
— для первого варианта 1800 < 2400;
— для второго варианта 2550 > 2400.
То есть первый вариант является прибыльным, второй —
убыточным.
Для определения доходности финансовой операции в виде
простой ставки наращения используется формула (3.25). Для
первого варианта:
а
________3 60 _ 1
=
1
v
_
240
360
2 4 0 -1 5 0
= 0,0724, или 7,24%.
160
Финансовая математика. Сборник задач
Для второго варианта:
1 -0 ,1 7
а=
1
-
0
, -
150
360
240
1
365
- 1
2 4 0 -1 5 0
= 0,0181 или -1,81%.
360
Аналогично проводится анализ доходности депозитно­
го сертификата или другого подобного краткосрочного ин­
струмента. Депозитные сертификаты выпускаются банками.
В момент выпуска продаются по номиналу. В качестве до­
хода депозитные сертификаты предусматривают выплату
процентов чаще всего в конце срока. Проценты начисляются
по простым или сложным процентным ставкам наращения.
Сертификаты обычно могут покупаться и продаваться на
рынке ценных бумаг в пределах объявленного срока.
Пусть депозитный сертификат покупается и продаётся в
пределах объявленного срока. Надо определить доходность
финансовой операции в виде простой ставки наращения а.
Введены обозначения:
5 — цена покупки в момент /р
5 — цена продажи в момент гу,
Р — номинал сертификата или цена в момент выпуска;
/ — объявленная простая ставка наращения в момент вы­
пуска;
^ — простая ставка наращения рынка в момент покупки;
— простая ставка наращения рынка в момент продажи:
= х —^ — срок от момента покупки до момента пога­
шения;
т = т — — срок от момента продажи до момента пога­
шения;
К — временная база.
Цена погашения сертификата определяется соотноше­
нием:
/
\
'1
2
/ 2
2
*2
5 =Р
(3.27)
глава 3
к риски
161
Таким образом, через ^ дней отдача от 5 равна 5 2.
Поэтому уравнение эквивалентности при использовании
простой ставки наращения а можно представить в виде:
/ 2
'1
Л К
а=
/о
(3.28)
и
Цена в момент покупки 5 ^ 8 момент продажи 5 депо­
зитного сертификата определяется ставками наращения рын­
ка в моменты покупки и продажи, а также сроками от мо­
ментов покупки т и продажи т до момента погашения со­
ответственно:
2
1
2
- =
¿ 2
5
1
+
^ - 1
1
К
г
1
а=
1
1
+
—
2К
•—
+Ц
К
+—
К
¿2
2
К
/2
Т 2
(3.29)
5
(3.30)
- 1
¿о —и
2
Полная доходность будет положительной величиной, то
есть операция не будет убыточной только при выполнении
условия:
* > 12*2'
Если сертификат покупается в момент выпуска по номи5
налу Р и продаётся в момент
по цене 5 =
то
1 ^ 1
/ 2
2
уравнение эквивалентности примет вид:
а=
(3.31)
так как 5! = Р и /, = 0. Выражение для определения доход­
ности:
162
Финансовая математика. Сборник задач
Если сертификат покупается после выпуска, а погашает­
ся в конце срока, то соотношение (3.28) для определения
доходности приобретает вид:
\ К_
(3.33)
а = ----т,
Л
так как S2 = S, t2 = г, тх = т - tx.
Цена депозитного сертификата S, в момент покупки /,
составила:
1
5i =
1
+^ i
К
(3.34)
а =[ — + — i\)~l
S
К 1
Таким образом, если сертификат покупается после выпус­
ка, а погашается в конце срока, то доходность финансовой
операции равна ставке наращения рынка в момент покупки.
( 1
1
♦ Пример 3.13
Депозитный сертификат куплен за 240 дней до наступле­
ния срока погашения за 800 руб. За 150 дней до погашения
этот депозитный сертификат продан за 820 руб. Временная
база принимается равной 365 дням. Определить доходность
финансовой операции в виде простой ставки наращения.
Решение:
Подставив данные примера в формулу (3.28), получим:
а=
(
Л К
tn
К
U
Тт
365
т,
2 4 0 -1 5 0
= 0,1014, или 10,14%.
♦ Пример 3.14
Депозитный сертификат со сроком 240 дней с номиналь­
ной стоимостью тыс. руб. с объявленной ставкой сертифи1
глава 3
А риски
163
ката 10% годовых приобретён в момент эмиссии. За 150 дней
до погашения этот депозитный сертификат продан за
(990) руб. Временная база принимается равной 365 дням.
Определить цену сертификата в момент погашения и доход­
ность финансовой операции в виде простой ставки нара­
щения.
Решение:
Найдём цену сертификата в момент погашения по фор­
муле:
1 0 2 0
(
240
+ ^-/ = 1000 1+ -----0,1 1= 1065,75 руб.
К
365
Используя формулу (3.29), получим:
Б=Р
1
► для первого варианта:
а=
(
К
Л *
’ 2
т -т ,
или ,
8
1 1
( 1 0
2 0
^
365
- 1
1 0 0 0
2 4 0 -1 5 0
= 0,0811,
%;
► для второго варианта:
( с
^ К
( 990 Л
365
а= —
= -0 ,0 4 0 6 ,
т -^
2 4 0 -1 5 0
юоо
р
или -^4,06%.
То есть первый вариант является прибыльным, второй —
убыточным.
- 1
1
♦ Пример 3.15
Депозитный сертификат куплен за 150 дней до наступле­
ния срока погашения за 1020 (1100) руб. Номинальная сто­
имость этого сертификата равна тыс. руб., срок с момента
выпуска до момента погашения — 240 дней, объявленная
ставка — % годовых.
Временная база принимается равной 365 дням. Опреде­
лить доходность финансовой операции в виде простой став­
ки наращения.
1
1 0
164
Финансовая математика. Сборник задач
Решение:
Найдём цену сертификата в момент погашения по фор­
муле (3.27):
(
240
т Л
------ г =
+
= 1065,75 руб.
К,
365
Используя формулу (3.33), получим:
► для первого варианта:
Б= Р
1
1 0 0 0
ЛАГ
а=
1
( 1065,75
т
»1
0 , 1
^365
-----= 0,1091, или 10,91%;
150
► для второго варианта:
а=
К
*
$ 1
-
1065,75
1
- 1
1 1 0 0
= -0,0758, или -7,58%о.
150
То есть первый вариант является прибыльным, второй
убыточным.
Д о хо д н о ст ь пот реби т ельско го кредит а
В потребительском кредите проценты по простой ставке
наращения начисляются на всю сумму кредита в момент
его открытия и присоединяются к основному долгу. Нара­
щённая сумма долга в этом случае будет равна:
5 = Р(\+т),
где Р — сумма кредита;
п — срок кредита в годах;
/ — простая годовая ставка наращения.
Величина разового погасительного платежа г составит:
5
Р(1 + т)
г = — = ----------- ,
(3.35)
рп
рп
где р — число платежей в году.
Решив уравнение (3.33) относительно суммы кредита Р,
получим:
грп
Рп
(3.36)
Р=
1+ т 1+ т
глава 3
ж риски
165
Здесь Я = гр — выплаты в счёт погашения кредита в тече­
ние года.
С другой стороны, выплаты в счёт погашения кредита
можно представить в виде годовой /7-срочной ренты по став­
ке а, которая является полной доходностью кредитора. Со­
временная стоимость такой ренты равна:
Р = Ва1£ -
(3.37)
Приравняв (3.34) и (3.35), получим уравнение для пол­
ной доходности а:
а ^ Т Т+ -т-
<3-38>
1
Решить уравнение (3.36) можно, например, методом
Ньютона-Рафсона. При этом рекурентное соотношение
Ньютона-Рафсона будет иметь вид:
х,+1 = х , - и в р - врх' р - х7" .
---
(3.39)
1
-Вх,р + пх~п^
♦ Пример 3.16
Потребительский кредит на сумму 100 тыс. руб. выдан
на четыре года по ставке % годовых. Погасительные пла­
тежи выплачиваются ежемесячно. Определить величину
ежемесячных выплат и полную доходность кредитора.
Решение:
Величина ежемесячных выплат рассчитывается по фор­
муле (3.35):
8
г _ 5 _ Р(1 + ш )_ 100000(1+ 4-0,08)
_
2 ? 5 0
^
рп
рп
12-4
Для определения полной доходности кредитора найдём
коэффициент:
В = —— = — = 3,030303.
1+ т 1,32
166
Финансовая математика. Сборник задач
Тогда рекурентное соотношение (3.39) можно предста­
вить в виде:
37,36 3 6 3 6 - 36,363636*,1/12 - х ?
Х‘+1
Х(
-3,030303*~11/12+4,-5
Положим, х = 1,16. Первая итерация:
1
;с = 1 ,1 6 -
37,363636 - 36,363636 •1,161Д2 -1 ,1 6 ^
2
= 1,1б
-3,030303л:-11/12 + 4-1,16 -5
= 1,153463.
-0,7404
Проведя проверку, получим:
-
~
° ' 0 0 4 8 4
1 -(1 + а)~п
1-1Д53463"4
р[(1 + а )1/р —1]
12(1,1534631/12-1 )
= 3,0293555.
Правая часть уравнения (3.38) равна В = 3,030303. Полу­
ченное значение левой части уравнения (3.38) составляет от
3 0293555
В величину —------------= 0,00031, то есть 0,031%. Поэтому
3,030303
расчёт можно прекратить и принять полную доходность
кредитора равной а = 15,35%.
Как следует из рассмотренного примера, ставка кредита
%>отличается от полной доходности кредитора 15,53% по­
чти в два раза. Это связано с тем, что ставка кредита назна­
чается на всю сумму первоначального долга, а долг после­
довательно уменьшается по мере выплат. Таким образом,
потребителя заставляют платить за кредит, которым он не
пользовался.
8
Д оходност ь долгосрочной кредитной о п ер а ц и и
с пер и о д и ческ о й вы плат ой процент ов
Долгосрочный кредит в размере А выдаётся на срок п
под сложную годовую процентную ставку а. При выдаче
ссуды удерживаются комиссионные В. В результате долж­
ник получает сумму, равную А - В. Проценты выплачива­
ются р раз в году, годовая выплата суммы процентов равна
Аа, основной долг выплачивается в конце срока. При опре­
делении полной доходности финансовой операции креди­
тора в виде годовой ставки сложных процентов г полагают,
что современная стоимость всех выплат по ставке г равна
сумме А - В, полученной должником, то есть балансовое
уравнение принимает вид:
=
Ро(\ + гУ
+
( 1
(3.40)
+ г)"
где А ,— современная стоимость выплат за каждый отдель­
ный год в начале этого года. Формула для вычисления А у
Аа (
1
А = —
.
у (\
\ + г)1/р-\
у
!
1 + г'
Решая это уравнение относительно г, например, мето­
дом Ньютона-Рафсона, приведём последнее выражение к
виду:
хп - а-
хп
- 1
= .
0
Получим:
хп(х1/р- 1 ) - - ( х п - 1 ) - ( х 1/р - ) = .
р
В качестве функции Д х) принимается выражение:
1
А
0
ЛН—
а\
а (3.41)
р - ( —А + — хл - х Ур + + —.
в ь>
Производная от этой функции:
/(* ) =
(л —В Лх
1
1
>
0
1
1
1
1
168
Финансовая математика. Сборник задач
♦ Пример 3.17
Кредит на сумму 100 тыс. руб. выдан на два года по слож­
ной процентной ставке % годовых. При выдаче ссуды кре­
дитором были удержаны комиссионные в размере 5 тыс.
руб. Проценты выплачиваются раз в полгода. Определить
полную доходность кредитора.
Решение:
8
В
5
Принимаем х, = 1,1. _ =
- о 05 •
А 100
’
Первая итерация. По формулам (3.39) и (3.40) находим:
/ ( Х1) = (1-0,05)-1,12’5 - Г 1 -0 ,0 5 + —
1-1,1 -1,11/2+1 + %^ =
2
= -0,001103.
/ ' ( х{ ) = 2,5 •0,95 •1,1
1 ’5
- 2 •0,99 •1,1 -
1
I
- 0 ’5
= 0,0852817.
, 2 = , 1_ 4 ^ = U _ Ä 1 0 3 = U 1 2 9 3 3 6 .
/ '( * ,)
0,0852817
Вторая итерация:
2
1
f ( x 2) = 0,0001655;
/ ' ( * ) = 0,110918;
2
0,0001655
x-, = 1,112 9 3 3 6 - —------------ = 1,1114415.
0,110918
Третья итерация:
3
Д х 3) = 0,0000021;
х4 = 1,126755-
/ ' ( хъ) = 0,10794878;
= 1,1263994.
0,2291641
Принимаем полнуюдоходность кредитора равной 11,14221%
и проведём проверку. Раз в полгода должник выплачивает
Q > Q Q Q Q 8 1 5
проценты Аа = 100 000 •5 ^ ? = 4000 руб.
2
В конце первого полугодия после выплаты процентов
задолженность составит:
глава 3
ж риски
169
(А - В)хЦ'5 =
ООО- 1,11142210’5- 4000 = 96 152,81 руб.
В конце второго полугодия:
9 5
96 152,81 •1,1114221
° ’5
—4000 = 97 368,15 руб.
В конце третьего полугодия:
97 368,15- 1,11142210’5- 4000 = 98 649,41 руб.
В конце четвёртого полугодия после выплаты процен­
тов и основного долга задолженность составит:
98 649,41 ■1,11142210°5 —104 000 = 0 руб.
При выплате процентов раз в году в конце каждого года
балансовое уравнение (3.40) принимает вид:
л
А~В= £
- 1
Аа
Р,(\ + гУ
(1 + г)"
(3.43)
Проведя необходимые преобразования и сократив на А,
найдем:
!-
1
=а? - а ^ г +
- = аап,г + (}+ г У
А
г
+ г)Л
Функцию/(л:) и её производную находим из (3.39) и (3.40),
положив там р = 1. В результате получим:
тз\
Г
-----+ а хп - х + 1 + а:
(3.44)
/ ( * ) = ----В
А
1
( 1
1
* л + 1
1
(3.45)
хп —п - - + а \хп~1- 1 .
А
В
Если комиссионные при выдаче кредита, предусматри­
вающего выплату процентов раз в году, не выплачиваются,
то полная доходность кредитора равна сложной годовой
процентной ставке кредита а. Этот вывод легко проверить,
подставив в (3.44) В - 0 и а = г или х = \ + а.
Действительно:
/ ' ( * ) = (и+ )
1
1
1
Л х)
= (1 + а)п + 1- (1 + я)(1 + я)"-1- а + 1 + а = 0.
170
Финансовая математика. Сборник задач
♦ Пример 3.18
Кредит на сумму 100 тыс. руб. выдан на два года по слож­
ной процентной ставке % годовых. При выдаче ссуды кре­
дитором были удержаны комиссионные в размере 5 тыс.
руб. Проценты выплачиваются раз в году. Определить пол­
ную доходность кредитора.
Решение:
8
В
5
Принимаем л:, = 1,11. — = ---- = 0,05.
Л 100
Первая итерация. По формулам (3.44) и (3.45) находим:
1
Ах) = (1 - 0,05)
1 , 1 1
з-
( 1
- 0,05 + 0,08) ,
1
1 1 2
-
1 , 1 1
+
1
+ 0,08 =
= 0,0001864;
/ \ х х) = 3 •0,95 •1,112 -2 1,03 •1,11 - 1 = 0,224885;
Х2=Х1- Л * 1 = т - Ш ! Ш = о л ш 1 п .
/ '( * ! )
0,224885
Вторая итерация:
1
Д х 2) = 0,0000015;
) = 0,2196425;
* 3 = 1 , 1 0 9 1 7 ц - 0 ’0 0 0 0 0 -15 = 1 ,1 0 9 1 6 4 3 .
0 ,2 1 9 6 4 2 5
Принимаем полную доходность кредитора равной 10,91643%
и проведём проверку. Раз в год должник выплачивает про­
центы Аа = 1 000 000,08 = 000 руб.
В конце первого года после выплаты процентов задол­
женность составит:
8
95 000 •1,1091643 - 8000 = 97 370,61 руб.
В конце второго года после выплаты процентов и основ­
ного долга задолженность составит:
97 370,61 •1,1091643 - 108 000 = 0 руб.
При отсутствии комиссионных при выплате процентов
р раз в году балансовое уравнение принимает вид:
+я Г
—я —¡=-------- —------ =г+
р
+ а)^р - ] а + г)п =<м<?г>
+ г)-" ‘
1
- (
1
1
1
[ ( 1
1
+
( 1
глава 3
ж риски
171
Введём, как и прежде, замену х = 1 + г и приведём послед­
нее выражение к виду:
х" (х'/р -1 ) - - (х" - 1) - (хУр -1 ) = 0.
В качестве функции/ ( х ) принимается выражение:
1
р _ \ + - Х п - х ' 1р+1 + ~ .
/(* ) = *
(3.46)
Производная от этой функции:
.
1
/'( * ) = п + —
,
1
Ур-1
Р
1
Р)
+-
Х
^ - -Х
(3.47)
Р)
♦ Пример 3.19
Кредит на сумму 100 тыс. руб. выдан на два года по слож­
ной процентной ставке % годовых. Проценты выплачива­
ются раз в полгода. Определить полную доходность креди­
тора.
Решение:
Принимаем х 1 = 1,08.
Первая итерация. По формулам (3.44) и (3.45) находим:
8
/(* ) = 1,082’5-
{
2
)
1,082—1,08
1/2
+
1
+ 5^5 =
2
= -0,000128;
/ '( * ) = 2,5- 1,081 ’5
2
• 1,04- 1 ,0 8 - ^
---- = 0,078397;
/ ( * ) т о -0 ,0 0 0 1 2 8 л/У7О^
1ЛО, « ^
х7 - х , -----— —= 1,08----------------- 0,078397 = 1,0816327.
/ '( * ,)
0,048397
Вторая итерация:
1
1
2
1
Д х 2) = 0,0000029;
* 3
3
= 1,0816327-
/ '( х 2) = 0,08172953;
0 ! 0 0 0 0 0 2 9
0,08172953
= 1,0815972;
172
Финансовая математика. Сборник задач
Третья итерация:
Д с 3) = -0,0000002;
/ \ х ъ) = 0,08165707;
= 1,0815972 - "в
=1 0815997.
0,08165707
Принимаем полную доходность кредитора равной 8,15997%
и проведём проверку. Раз в полгода должник выплачивает
* 4
’ 0 0 0 0 0 0 2
4
проценты Аа = 100 000 ■
= 4000 руб.
В конце первого полугодия после выплаты процентов
задолженность составит:
100 000- 1,08159970’5 - 4000 = 100 000 руб.
В конце второго полугодия:
100 000 -1,08159970'5 - 4000 = 100 000 руб.
В конце третьего полугодия:
100 000 •1,08159970’5 —4000 = 100 000 руб.
В конце четвёртого полугодия после выплаты процен­
тов и основного долга задолженность составит:
100 000 • 1,08159970’5 —104 000 = 0 руб.
Д оходност ь долгосрочной кредит ной о п ера ции
с п ер и о д и ч еск и м и р а в н ы м и р а с х о д а м и
по долгу
Долгосрочный кредит в размере А выдаётся на срок п
под сложную годовую процентную ставку а. При выдаче
ссуды удерживаются комиссионные В. В результате долж­
ник получает сумму, равную А - В. Проценты и основной
долг выплачиваются р раз в году в конце периода, причём
сумма расходов постоянна. При определении полной до­
ходности финансовой операции кредитора в виде годовой
ставки сложных процентов г полагают, что современная
стоимость всех выплат по ставке г равна сумме А - В, полу­
глава 3
1 р и ск и
173
ченной должником, то есть балансовое уравнение прини­
мает вид:
А
A _ 'B = S ^ - Lj ’
(3-48)
где А , — современная стоимость выплат за каждый отдель­
ный год в начале этого года.
Формула для вычисления А , при ежегодных выплатах,
равных Я, приобретает вид:
1
1
+г
Подставив выражение для А 1 в формулу (3.48), найдём:
А -В =
.
С другой стороны, выплаты в конце каждого периода
суммы — должны погасить задолженность А в конце срока п,
Р
то есть А является современной величиной р-срочной рен­
ты с годовой выплатой К и годовой процентной ставкой а.
А
Таким образом, В = —— . Подставив это значение в балана
ып\г
совое уравнение, получим:
В
а(р)
=
А
(3.49)
а^а
Перепишем это уравнение в виде:
1
- ( 1
+ г)~"
A J [ ( l + г)Ур - l ]
1
- (
1
+ г)"и
[(1 + r ) Vp - l ]
и приведем его к виду:
D (xl/p- \ ) - 1 + х~п0.
В качестве функции f(x ) принимается выражение:
f ( x ) = х~п + DxVp - D - 1 .
(3.50)
174
Финансовая математика. Сборник задач
Производная от этой функции:
1 - 1
/ '( * ) = -nx~n~l + D ^ — .
Р
(3.51)
♦ Пример 3.20
Кредит на сумму 100 тыс. руб. выдан на два года по слож­
ной процентной ставке % годовых. При выдаче ссуды кре­
дитором были удержаны комиссионные в размере 5 тыс.
руб. Проценты и основной долг выплачиваются раз в пол­
года, причём сумма расходов постоянна. Определить пол­
ную доходность кредитора.
Решение:
В
5
Принимаем х, = 1,1. — = -----= 0,05.
А 100
8
1
D = 0,95
+ 1,?/. )
= 3,4546626.
+ 0,08) ;
Первая итерация. По формулам (3.49) и (3.50) находим:
1
~
( 1
( 1
- 1
Д * ) = 1, Г + 3,4546626 •1,1
2
1 /2
- 3,4546626 - 1 =
= -0,0049358;
1
f \ x ) = - 2 •1, Г + 3,4546626
3
i-^
= 0,1443162;
/O tj) t l -0,0049358 11<а^ П1,
х7 = х л-----г—5—= 1,1-------------------= 1,1342013.
f \хх)
0,1443162
Вторая итерация:
/0 с 2) = 0,0018703;
f \ x 2) = 0,25117;
0,0018703
х3 =1,1342013-----------------= 1,126755.
0,25117
Третья итерация:
f ( x 3) = 0,0000815;
f '( x 3) = 0,2291641;
3
0,0000815 ,
X, = 1,26755 — -------------= 1,1263994.
0,2291641
1
4
глава 3
А риски
175
Четвёртая итерация:
Л хА) = 0,0000002;
/ ' ( * 4) = 0,2280964;
и
11Л^ пос
х* =1,1263994-----------------= 1,1263985.
0,2280964
Принимаем полную доходность кредитора равной
12,63985% и проведём проверку. Для этого рассчитаем ве­
личину разовой выплаты по формуле:
0 , 0 0 0 0 0 0 2
5
- = ^ - - = Л (1 + а)/'’ ~ 1 = 1 0 0 000-1,08
р
ра<£!
1-(1 + а)~”
1-1,08
Если это значение подставить в выражение
= 2 7 499 ,06 .
, то при
правильном определении полной доходности кредитора г
получим значение долга без комиссионных. Для нашего
случая:
= 27499 ,0 6 1 1, 1263 д85 5 = 9 5 0 0 0 руб.
Р (1 + /')|/', -1
1,1263985 - 1
Так как эта величина совпала с полученной должником
суммой, то полная доходность кредитора определена пра­
вильно.
Если проценты и основной долг выплачиваются один раз
в году в конце года, то балансовое уравнение (3.46) приоб­
ретёт вид:
^
) = - - 1- (1+/ Г
А~ в = %
^
=Какг-
<3-52>
С другой стороны, выплаты в конце каждого года сум­
мы Я должны погасить задолженность Л в конце срока«, то
есть А является современной величиной годовой ренты с
годовой выплатой К и годовой процентной ставкой а. Та­
ким образом,
* = ^ -.
а„.„
176
Финансовая математика. Сборник задач
Подставив это значение в балансовое уравнение, получим:
^ _ В _ &п\г
Перепишем это уравнение в виде:
х
В М -(1 + а Г
_ 1 - ( 1 + г)~ ”
А
а
г
При решении этого уравнения относительно г введём
замену х = 1 + /*,
и приведем его к виду:
И (х —1) - 1 + х~п = 0.
В качестве функции/( х ) принимается выражение:
f ( x ) = x~n - \ - D x - D - l .
(3.53)
Производная от этой функции:
/ '(х) = —пх п 1 + А
(3.54)
♦ Пример 3.21
Кредит на сумму 100 тыс. руб. выдан на два года по слож­
ной процентной ставке 8% годовых. При выдаче ссуды кре­
дитором были удержаны комиссионные в размере 5 тыс.
руб. Проценты и основной долг выплачиваются раз в год,
причём сумма расходов постоянна. Определить полную
доходность кредитора.
Решение:
Принимаем х 1 = 1,12.
= 1,6941018.
0,08
Первая итерация. По формулам (3.53) и (3.54) находим:
/ и 1) = 1,12"2 +1,6941018 1,12-1,6941018-1 = 0,0004861;
глава 3
ж риски
177
/'(* !> = -2 •112“ 3 +1,6941018 = 0,2705413;
/ ( * , ) , 1Л 0,0004861 , 1 1 И т ,
х7 =Хл -----—— = 1,12-----------------= 1,1182032.
2
1
/ \ х х)
0,2705413
Вторая итерация:
/ ( х 2) = 0,0000061;
/ \ х 2) = 0,2636679;
1П0^
0,0000061 111010Л1
Хт, =1,1182032-----------------= 1,1181801.
^
0,2636679
Принимаем полнуюдоходность кредитора равной 11,81801 %
и проведём проверку. Для этого рассчитаем величину разо­
вой выплаты по формуле:
Л=—
= А -------- -------= 100000 — 0,08 . =56 076,92.
а„.а
1-(1 + а )-"---------------- 1-1,08
Если это значение подставить в выражение Яап г, то при
правильном определении полной доходности кредитора г
получим значение долга без комиссионных. Для нашего
случая:
Яап.г = / ? 1~ (1 + г) = 56 0 7 6 ,9 2 1~ 1,П81801 = 95 000 руб.
г
0,1181801
Так как эта величина совпала с полученной должником
суммой, то полная доходность кредитора определена пра­
вильно.
При отсутствии комиссионных и выплате процентов р
раз в году при постоянной сумме расходов балансовое урав­
нение (3.49) можно представить в виде:
а (р )
1 = « Я;г
а п;а
(р У
Р еш ен и е это го ур авн ен и я оч ев и д н о и и м еет в и д г = а , то
есть п ол н ая д о х о д н о сть к р ед и то р а р авн а сл о ж н о й го д о во й
п роц ен тн ой ставке креди та а.
178
Финансовая математика. Сборник задач
3.2. Методы сравнения
коммерческих контрактов
С р а в н ен и е с о в р е м е н н ы х с т о и м о с т е й
всех п л ат еж ей
При определении наилучшего для себя контракта поку­
патель находит современную стоимость всех платежей каж­
дого из контрактов и выбирает контракт с современной наи­
меньшей стоимостью при приемлемых технических, орга­
низационных и юридических условиях. Расчёт современной
стоимости проводится на основе ставки дисконтирования,
от значения которой существенным образом зависят все ре­
зультаты.
Например, при больших ставках сравнения дальние пла­
тежи оказывают слабое влияние на современную стоимость
всех платежей. Рассмотрим метод на примере.
♦ Пример 3.22
На покупку товара существуют два альтернативных кон­
тракта со следующими характеристиками.
Контракт 1: цена товара — 600 тыс. руб., срок кредита —
11 лет из них льготный период — 3 года, проценты за льгот­
ный период выплачиваются в конце этого периода, ставка
кредита — 12%, основная задолженность погашается в кон­
це срока, проценты выплачиваются ежегодно.
Контракт 2: цена товара — 601 тыс. руб., срок кредита —
8 лет, из них льготный период 2 года, проценты за льгот­
ный период выплачиваются в конце этого периода, ставка
кредита — 11,5%, основная задолженность погашается в
конце срока, проценты выплачиваются ежегодно.
Выбрать контракт, наиболее приемлемый для покупате­
ля при ставке сравнения 17%.
Решение:
Введём следующие обозначения:
Р — цена товара;
п — срок кредита, включая льготный период;
глава 3
ж риски
179
/ — льготный период;
а — ставка кредита;
# — ставка сравнения;
А — современная стоимость всех платежей;
/ — проценты за льготный период.
Современная стоимость всех платежей рассчитывается по
формуле:
,
(1 + * )'
^
Ра
“ + ----------•
+ чУ
(3-55)
(1 + 4 )"
Так как при сложной процентной ставке кредита а про­
центы за льготный период равны I = Р[(\ + а)1- 1], а значе­
ние суммы в выражении (3.55) равно:
Ра
_
Р
1
_ Ра а п-1щ
£ +1(\ + д У ~ (\ + Я)‘ Р ( \ + д У ~ ( 1 -К?)'
’
то формулу для современной стоимости можно записать в
виде:
с
А =Р
(1 + д / — 1
Мп-Г,д
1
| _________
(1 + <?)'
( ! + <?)'
(1 + д ) п
\
(3.56)
Р
(1 + а?
(1+ ? )'
(1+ ч У
Подставив в (3.56) условия примера, получим:
600000
А
-
1—1
1 Д 2 3 - 1 + 0 , 1 2 ------ — ----------- +
0,17
1,17"
1
1Д7
11-3
= 447512,56,
А2 -
.
601000
1,17-
V
1 — 1 1 7 - (8 -2 )
1
1,115 - 1 + 0,115----- ------------+
8-2
0,17
1,17
= 446 089,75.
Так какА 2 < А 1? то для покупателя второй контракт пред­
почтительнее.
180
Финансовая математика. Сборник задач
О п р едел ен и е п р е д е л ь н ы х зн ач ен и й
п ар ам ет р ов конт ракт ов
Предельное значение параметра контракта — это такое
значение вменяющего контракта, при котором этот контракт
оказывается равноценен заменяемому контракту при осталь­
ных заданных параметрах контрактов. Знание предельного
значения параметра контракта позволяет оценить условия,
при которых заменяющий контракт предпочтительнее за­
меняемого. Рассмотрим использование предельной значе­
ния параметра контракта на простом примере. Пусть цена
товара по первому контракту равна Р х, по второму — Р-,,
причём Р 1 > Р2. Выплаты за товар по первому контракту
производятся через « 1 год, а по второму — через щ года.
Ставка по первому контракту а] объявлена, по второму кон­
тракту ставка а0пока неизвестна. Нужно определить предель­
ную ставку второго контракта, при которой контракты рав­
ноценны. Для этих целей приравняем современную стоимость
первого и второго контрактов при ставке сравнения д:
,2
л а + а ,) ”1
Рг й + а 1 ) п
(1 + <?)"'
(1 + ? ) " *
(3.57)
Решив это уравнение относительно ставки а2, найдём её
предельное значение:
(3.58)
Как следует из уравнения (3.57), при а2 < а2пр второй
контракт оказывается предпочтительнее первого.
Аналогично ставке и ? уравнения (3.57) находится пре­
дельное значение цены:
_
2,пр
_ Р1(\ + а1Г ( 1 + д )п*-п1
п
(3.59)
При Р2 < Р2 пр второй контракт оказывается предпочтительнее первого.
глава 3
жриски
181
♦ Пример 3.23
На покупку товара существуют два альтернативных
контракта со следующими характеристиками.
Контракт 1: цена товара — 50 тыс. руб., срок выплаты —
5 лет, процентная ставка — 12%.
Контракт 2: срок выплаты — 8 лет, процентная ставка —
15%. Определить предельное значение цены при ставке срав­
нения 17%.
Решение:
Предельное значение цены находим по формуле (3.59):
50000 1Д25 1,178-5 л, л^ с ло
с
Р2 = ---------------- =----------- = 46135,48 руб.
’Р
1,15
При цене товара по второму контракту менее 46 135,48 руб.
этот контракт будет предпочтительнее первого.
Рассмотрим другой пример, когда кредит погашается в
конце срока, проценты выплачиваются ежегодно.
Введём следующие обозначения:
Р — цена товара;
п — срок кредита, включая льготный период;
I — льготный период;
а — ставка кредита;
ц — ставка сравнения;
А — современная стоимость всех платежей;
/ — проценты за льготный период, выплачиваемые в кон­
це этого периода.
Современная стоимость всех платежей рассчитывается по
формуле:
1
™
( 1 + а , / - 1 | а а п- у .д
А =Р
\
(1 + ? ) '
(1 + 9 ) '
|
1
1
(1 + 9 ) "
А
/
Если заданы два контракта, то, приравняв современные
стоимости этих контрактов при ставке сравнения
полу­
чим уравнение для определения предельного значения не­
достающего параметра второго контракта.
182
Финансовая математика. Сборник задач
_ ^ Г а + Д 2 ) '2 - 1
(1 + ? )'2
, * 2 ^ -2 *
(1 + 9 )'2
,
1
(1 + ^
]
Решая это уравнение относительно Р 2 или д2, можно
определить предельное значение цены или ставки второго
контракта.
Задачи
1. Коммерческое предприятие продает банку контракт, по
которому покупатель за мебельный гарнитур должен
ежемесячно выплачивать по 10 ООО руб. в течение полугода. Какую сумму выплатит банк коммерческому пред­
приятию, если на деньги начисляются проценты по но­
минальной ставке 48% годовых? Определить доход бан­
ка и потерю коммерческого предприятия. Определить
сумму платы банка за риск.
2. Фермер поставил в розничное предприятие овощи на
3 млн руб. в соответствии с контрактом, по которому
предприятие обязано провести оплату овощной продук­
ции ежемесячно равными долями в течение полугода. По­
скольку деньги потребовались немедленно, то фермер
передал контракт банку с учетом номинальной сложной
процентной ставки 6% годовых. Определить сумму, по­
лученную фермером в банке.
3. Физическое лицо приобретает у строительной компании
дом за 50 млн руб. по контракту, в соответствии с кото­
рым погашение долга происходит ежегодно равными
платежами в течение 10 лет на условиях 5% годовых за
величину долга. Компания продает контракт банку, ко­
торый получает по ссудам 8% годовых. Определить сум­
му, полученную компанией в банке за контракт.
гл ава 3
183
ж риски
4. Фирма продала автомобиль за 30 млн руб., получив в
момент продажи 10 млн руб., и предоставила покупате­
лю кредит на 20 млн руб. под 8% годовых, который дол­
жен быть погашен в течение 3 лет равными платежами
раз в квартал. Определить доходность этой операции.
5. Эксперты установили, что отношения дисперсий дохо­
дов четырех видов бумаг следующие: / ) 1/4 = 1,6, £>2/4 = 3,
£> = 0,8. Доходы этих ценных бумаг не коррелируют
между собой. Определите структуру а4,1 — 1 , 2 , 3 , 4 порт­
феля ценных бумаг с минимальным риском.
3 /4
6. Формируется портфель ценных бумаг, состоящий из бу­
маг двух видов. Доходности этих бумаг (в тысячах услов­
ных единиц) — дискретные, случайные величины л: и у со
следующим совместным распределением вероятностей:
х1у
820
780
760
790
0 ,1 5
0,08
0,07
785
0,02
0 ,1
0,1
0 ,12
0 ,1 7
765
0 ,19
Определите: а) среднюю доходность Л и риск с портфеля
при условии, что бумаг первого типа в портфеле 40%,
а второго типа — 60%; б) структуру портфеля с мини­
мальным риском и его среднюю доходность А 0 при та­
кой структуре; в) оптимальную структуру портфеля с га­
рантированной доходностью в 780 тысяч при минималь­
ном риске.
Т ест -контроль по курсу
«ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА.
для студентов очной и заочной
форм обучения
1.
Б а н к о вск и й в к л ад за од и н и т о т ж е п ер и о д увел и ч и вается
б о л ь ш е п р и п р и м е н е н и и ... п р о ц е н т о в .
2.
□
п росты х
□
слож ны х
Г о д о в а я н о м и н а л ь н а я с т а в к а б а н к о в с к о г о п р о ц е н т а ...
год о во й ф акти ч еской ставки .
3.
□
больш е
□
м еньш е
□
равна
М е т о д а н н у и тета п ри м ен яется п р и р асч ете:
□
р авн ы х сум м платеж ей за ряд п ер и одов
□
о статк а д о л га по креди ту
□
величи ны п р о ц ен тов на вклады
4. Д и ск о н ти р о в а н и е —
э т о ...
□
оп редел ен ие будущ ей сто и м ости сегодн яш н и х денег
□
оп редел ен ие текущ ей стои м ости будущ и х денеж ны х
□
учет инф ляции
ср едств
5.
В ы сокая ста в к а д и скон та п р и води т к п овы ш ен и ю рен та­
б е л ь н о с т и п р о е к т а , есл и :
□
затр аты осущ ествляю тся в п ервы е п ери оды , д о хо д ы
п о л у ч а ю тся в п осл ед н и е п ер и оды врем ен и
□
затр аты и д о хо д ы отн осятся к одним и тех ж е пери о­
дам врем ени
□
больш ая ч асть д о хо д а получается в н ачальн ы е пери­
од ы врем ен и
6.
К р е д и т и сп о л ьзуется п р едп р и яти ем для:
□
п о п ол н ен и я со б ств ен н ы х и сто ч н и к ов ф и н ан си р зван и я
предпри ятия
трест-контроль по курсу «Финансовая математика»
А для студентов очной и заочной форм обучения
□
185
при обретен ия обор уд ован и я при отсутстви и у п ред­
п р и я ти я н ео б х о д и м ы х ср ед ств н а эту цель
□
7.
п олучен и я п рава на и сп ол ьзован и е об о р уд о в ан и я
П р и и сп ол ьзо ван и и д о л го ср о ч н о го креди та р а сч ет еж е­
г о д н ы х о б щ и х с у м м п л а т е ж е й м е т о д о м а н н у и т е т а ... о б ­
щ ие вы п л аты по креди ту.
8.
□
ум еньш ает
□
увели чи вает
□
не и зм еняет
М ето д еж егодн ого п огаш ен и я креди та равн ы м и сум м а ­
м и и м е то д ан н уи тета при п о гаш ен и и кр еди та и вы п л ате
п р о ц ен то в п р и во д и т к сущ ествен н о й разни це еж его д н ы х
вы п л ат при:
9.
□
в ы с о к о й с т а в к е п р о ц е н т о в за к р е д и т
□
б ол ьш ой сум м е кр еди та
□
к о р о тк и х ср ок ах его п огаш ен и я
П р ям ое ф и н ан сирован и е —
это:
□
получение бан к овской ссуды
□
в ы п уск векселя
□
ф и н ан си рован и е из ч и сто й при бы ли
□
эм и сси я акц и й
□
н ач и сл ен и е ам о р ти зац и и
10 . К о с в е н н о е ф и н а н с и р о в а н и е —
□
это:
ф и н ан сирован и е п утем вы п уск а акций и обл и гац и й
□
н ап равлен и е части п р и б ы л и н а и н вести ц и и
□
ф и нансировани е п утем
о б р а щ ен и я за б а н к о в ск и м и
кредитам и
□
получен и е прям ы х и н о стр ан н ы х и н вести ц и й
1 1 . В н е ш н и м и и с т о ч н и к а м и ф и н а н с и р о в а н и я я в л я ю т с я ...:
□
эм и сси я об л и гац и й
□
п р и б ы л ь, удер ж ан н ая о т расп р еделен и я
□
накопленная ам орти заци я
□
эм и сси я акц и й
□
бан к овски е ссуды
Ч^инансовая математика. Сборник задач
В а р и а н т №1
1.
Б анк н ачи сл яет п р о ц ен ты на вкл ады п о п р о сто й го д о в о й
с т а в к е 2 0 % . О п р е д е л и т ь с у м м у , н а к о п л е н н у ю н а сч ете за
3 г о д а п р и с у м м е в к л а д а 1 0 ООО р у б .
2.
Б анк н ач и сл яет п р о ц ен ты н а вкл ады п о сл ож н ой ставке
10 % . О п р е д е л и т ь с у м м у , н а к о п л е н н у ю н а сч е т е за 2 г о д а
п р и с у м м е в к л а д а 10 0 0 р у б .
3.
Б анк н ачи сл яет п р о ц ен ты на вкл ады п о п р о сто й го д о во й
ставке 50% . О п р едел и ть сум м у, к о то р у ю н адо п ол ож и ть
н а 2 г о д а , ч т о б ы п о л у ч и т ь 10 0 0 0 р у б .
4.
Ч то такое инф ляция, и каким и парам етрам и он а опреде­
ляется?
5.
О бли гац и я, осн овн ы е характери сти ки .
6.
О п и сать кр еди тн ую оп ерац и ю с кон версией вал ю ты
СКВ
—
Руб. —
Руб. —
СКВ.
В ари ант №2
1.
Б ан к н ач и сл яет п р о ц ен ты на вклады п о п р о сто й го д о в о й
с т а в к е 20 % . О п р е д е л и т ь с у м м у , н а к о п л е н н у ю н а с ч е т е за
5 л е т п р и с у м м е в к л а д а 10 000 р у б .
2.
Б ан к н ачи сл яет п р о ц ен ты н а вкл ады п о сл ож н ой ставке
20% . О п р ед ел и ть сум м у, н ак оп л ен н ую н а счете за 2 го д а
п р и с у м м е в к л а д а 10 0 0 р у б .
3.
Б ан к н ачи сл яет п р о ц ен ты н а вкл ады п о п р о сто й го д о в о й
ставк е 50% . О п р ед ел и ть сум м у, к о то р у ю н ад о п о л о ж и ть
н а 3 г о д а , ч т о б ы п о л у ч и т ь 10 000 р у б .
4.
Ч то п о к азы вает и н декс и ур овен ь инф ляция?
5.
А кци и , осн овн ы е характери стики.
6.
О п и сать кр еди тн ую оп ерац и ю с кон версией вал ю ты
Руб. —
СКВ — СКВ
—
Руб.
П ри м ерн ы е во п ро сы
к
З А Ч Е Т У
1.
К р е д и т н а я о п е р а ц и я (о с н о в н ы е п о н я т и я ).
2.
Н а ч и сл е н и е п р о с т ы х п р о ц е н т о в (о сн о в н а я ф о р м у л а ).
3.
Г ер м а н ск а я , ф р а н ц узск ая и ан гл и й ская м е то д и к и н а ч и с­
ления п р оц ен тов.
4.
П роц ен тн ы е ставки п р о сты х процентов.
5.
Р еи н вести р ован и е п од п р осты е проценты .
6.
С л о ж н ы е п р о ц е н т ы (о с н о в н а я ф о р м у л а ).
7.
О сн о в н ы е м етод ы н ачи сл ен и я сл ож н ы х п р о ц ен то в . П е ­
рем ен н ы е ставки сл ож н ы х п роц ен тов.
8.
С равн ен и е п росты х
и слож ны х п р о ц ен тов. П ер и од
удвоения.
9.
10.
Н ом и н ал ьн ая и эф ф ективная ставки п р о ц ен та.
О пераци я ди скон ти рован и я. М атем ати ч еское д и скон ти ­
рование.
11.
Б ан ко вски й учет. П р о ста я учетная ставка.
12 .
Д и ск он ти р ован и е по слож н ой учетн ой ставке.
13 .
И н д ек с и тем п ы р о ста инф ляции. Р о ст сто и м о сти п о ­
тр еби тельской корзи ны .
14 .
В лияние инф ляции н а ур овен ь д о хо д о в по вкладам .
15 .
О пределение р еал ьн ой процентной ставки с уч етом инф ­
ляции.
16 .
П он яти е и виды обл и гац и й .
17 .
Д о хо д н о сть разли чн ы х ви дов обли гац и й .
18.
П олная д о хо д н о сть обли гац и и .
19.
П о с т о я н н а я ф и н а н с о в а я р е н т а (о п р е д е л е н и е : ф о р м у л ы
д л я в ы ч и сл е н и я н а р а щ ё н н о й с у м м ы ).
20.
П о с т о я н н а я ф и н а н с о в а я р е н та (о п р е д е л е н и е : ф о р м у л ы
дл я р а сч е та со в р е м е н н о й сто и м о сти ).
2 1.
П ланирование
п огаш ен и я д о л го ср о ч н о й
задолж ен ­
н ости .
22.
П огаш ен и е д о л го ср о ч н о й задол ж ен н ости р авн ы м и с у м ­
м ам и.
23.
П огаш ен и е д о л га р авн ы м и ср оч н ы м и уп л атам и .
24.
У ч е т векселей.
25.
К он версия валю ты и наращ ени е п р о сты х п р о ц ен тов.
26.
К он версия валю ты и наращ ение слож н ы х п р оц ен тов.
С п и с о к ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ковалёв В. В. Сборник задач по финансовому анализу. —
М.: Финансы и статистика, 1997.
2. Кочовович Е . Финансовая математика с решениями и за­
дачами: учебно-метод. пособие. — М.: Финансы и стати­
стика, 2005.
3. Кузнецов Б. Т., Грачева Ю .А . Влияние нарушения пари­
тета цен на конверсию валюты // Внешняя торговля. 1999.
№ 4.
4. Кузнецов Б. Т. Финансовая математика. — М.: Экзамен,
2005.
5. Управление инвестициями / Под ред. В. В. Шеремета. —
М.: Высшая школа, 1999.
6. Черкасов В. Е. Практическое руководство по финансовоэкономическим расчётам. — М.: Метаинформ, 1995.
7. Ч е ты рки н Е .М . Финансовая математика. — М.: Дело,
2000.
О гл а в л ен и е
ВВЕДЕНИЕ...................................................................... 3
Г Л А В А 1 . П Р О Ц Е Н Т Ы ......................................................................................5
1 . 1 . П р о с т а я п р о ц е н т н а я с т а в к а ............................................................5
1 .2 . С л о ж н а я п р о ц е н т н а я с т а в к а ...................................................... 1 1
1 .3 . К о н в е р с и я п л а т е ж е й .........................................................................2 4
З а д а ч и ............................................................................................................2 6
1 .4 . К о н в е р с и я в а л ю т ы ............................................................................. 30
1 . 5 . Э к в и в а л е н т н о с т ь п р о ц е н т н ы х с т а в о к ..................................38
З а д а ч и ............................................................................................................4 1
С п и с о к л и т е р а т у р ы ....................................................................................... 5 5
Г Л А В А 2 . П Л А Т Е Ж И ....................................................................................... 5 6
2 . 1 . П о с т о я н н а я р е н т а ................................................................................ 58
2 .2 . Н е п р е р ы в н а я р е н т а ............................................................................ 6 9
2 .3 . П е р е м е н н а я р е н т а ...............................................................................8 1
2 .4 . К о н в е р с и и р е н т .....................................................................................9 0
2 .5 . И с п о л ь з о в а н и е в о в з а и м о р а с ч ё т а х
в а л ю т н о г о э к в и в а л е н т а .................................................................. 9 2
2 .6 . О п р е д е л е н и е п а р а м е т р о в п о т о к а п л а т е ж е й ................... 9 6
2 . 7 . Ф и н а н с о в а я э к в и в а л е н т н о с т ь о б я з а т е л ь с т в ...............1 1 5
2 .8 . С т а в к а д и с к о н т и р о в а н и я ......................................................... 1 3 0
З а д а ч и ......................................................................................................... 1 3 2
Г Л А В А 3 . Р И С К И ...............................................................................................1 4 3
3 .1 . П о га ш е н и е за д о л ж е н н о ст и
и д о х о д н о с т ь к р е д и т н ы х о п е р а ц и й ..................................... 1 4 7
3 .2 . М е т о д ы с р а в н е н и я
к о м м е р ч е с к и х к о н т р а к т о в ....... 1 7 8
З а д а ч и .......................................................................................................... 1 8 2
Т Е С Т -К О Н Т Р О Л Ь
по кур су « Ф и н ан совая м атем ати ка»
д л я с т у д е н т о в о ч н о й и з а о ч н о й ф о р м о б у ч е н и я .......................... 1 8 4
П РИ М ЕРН Ы Е ВО П РО СЫ
СП И СО К
К З А Ч Е Т У ....................................... 1 8 7
Л И Т Е Р А Т У Р Ы ...........................................................................1 8 8
С ери я
В ы сш ее
образован и е
Печенежская Ирина Александровна
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ
Ответственные редакторы
Технический редактор
Корректор
Компьютерная верстка:
Оксана Морозова,
Елена Сухарева
Галина Логвинова
Людмила Горбунова
Татьяна Машир
Сдано в набор 20.04.2008 г. Подписано в печать 18.08.2008 г.
Формат 84x108 1/зг- Бумага офсетная.
Гарнитура Таймс.
Тираж 3000 экз. Заказ № 4 4 2 9
Отпечатано с готовых диапозитовов в типографии О О О «КубаньПечать».
350059
98/2
, г. Краснодар, ул. Уральская,
.
Качество печати соответствует качеству предоставленных диапозитивов.
ООО «Феникс»
344082, г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80.
Тел.: (863) 261 -89-76, тел./факс: 261 -89-50.
E-mail: morozovatext@aaanet.ru
И
з д а т
е л ь с т
в о
е н
и
к с
Отдел оптовых продаж:
344082, г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80
Контактны е те л е ф о н ы : (863) 261-89 -53,261-89 -54,
26 1-8 9 -55, 261-89-56, 261-89-57, ф акс: 261-89-58
Н ачальник отдела — РОДИОНОВА Татьяна Александровна;
e-m a il: to rgl52 @ p h o en ixro sto v.ru
З ам ести тел ь начальн ика о тд ел а — МЕЗИНОВ Антон Николаевич
e-m a il: to rgl5 1@ p h o en ix ro sto v.ru
М ен ед ж ер по продаж ам на
те р р и то р и и М осквы , Центра
М ен едж ер по продаж ам
на терр итории б л и ж н е го
е в р о п е й с к о й части России
и р есп уб л и ки Казахстан
ЧЕРМАНТЕЕВА
Татьяна Степановна
и д а л ь н е го за р у б е ж ь я
ЯРУТА Игорь Игоревич
e -m a il: to rg l5 5 @ a a a n e t.ru
М ен едж ер по пр одаж ам
ФЕДОТОВА Ирина Петровна
М ен ед ж ер по продаж ам
на тер р и то р и и Урала
e -m a il: to rg@ a a an e t.ru
и С евер о-З ап ад а
ХОМУТЕЦКАЯ
Екатерина Владимировна
e -m a il: to rg l5 3 @ a a a n e t.ru
М ен едж ер по пр одаж ам
ЕРЕМЕНКО Алла Сергеевна
e -m a il: to rg l8 0 @ a a a n e t.ru
М ен едж ер по продаж ам
ФРАНК Татьяна Викторовна
e-m a il: sibir@ aaan et.ru
e -m a il: to rg l5 0 @ a a a n e t.ru
М ен едж ер по пр одаж ам
БЕСКРОВНЫЙ
Виктор Александрович
e -m a il: u ral@ aaan et.ru
Вы можете получить книги издательства «Феникс»
по почте, сделав заказ:
344082, г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80
ООО «Феникс», «Книга — почтой», Лоза Игорю В и ктор ови чу
Т ел.: 8-909-440-64-21, e -m a il: tvoyakniga@ m ail.ru
И
з д а т
е л ь с т
в о
е н
и
к
е
Региональные представительства:
г. МОСКВА
Москва, 17 проезд
Марьиной рощи, д. 1,
метро «Тимирязевская»
Тел.: (495) 618-03-34
e-mail: fenix-m@yandex.ru
Директор:
М0ИСЕЕНК0 Сергей Николаевич
Москва, шоссе Фрезер, 17,
район метро «Авиамоторная»
Тел.: (495) 517-32-95
Тел./факс: (495) 789-83-17
e-mail: mosfen@pochta.ru
mosfen@bk.ru
Директор:
МЯЧИН Виталий Васильевич
Торговый Дом «К ноРус»
Москва,ул. Б. Переяславская,46,
метро «Рижская», «Проспект мира»
Тел.: (495) 680-02-07, 680-72-54,
680-91-06, 680-92-13
e-m ail: phoenix@knorus.ru
г. САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
198096, г. Санкт-Петербург,
ул. Кронштадтская, 11, офис 17
Тел.: (812) 335-34-84
e-m ail: fnx.spb@mail.ru
Директор:
СТРЕЛЬНИКОВА Оксана Борисовна
г. ЕКАТЕРИНБУРГ
620085, г. Екатеринбург,
ул. Сухоложская, д. 8
Тел.: (343) 25 5 -11-27
e-m ail: bookva@isnet.ru
Директор:
ПОДУНОВА Наталья Александровна
г. ЧЕЛЯБИНСК—
ООО «И нтер-сервис ЛТД»,
454036, г. Челябинск,
Свердловский тракт, 14
Тел.: (351) 721-34-53
e-mail: zakup@intser.ru
Менеджер: МОРОЗОВ Александр
г. НОВОСИБИРСК— ООО «ТОП-Книга»
г. Новосибирск, ул. Арбузова, 1/1
Тел.: (3832) 36-10-28, доб. 1438
e-m ail: phoenix@top-kniga.ru
Менеджер:
МИХАЙЛОВА Наталья Валерьевна
УКРАИНА — ООО ИКЦ «К редо»
г. Донецк, ул. Куйбышева, 131
Тел.: +38 (8062) 345-63-08,
348-37-91, 348-37-92, 345-36-52,
339-60-85, 348-37-86
e-mail: moiseenko@skif.net
МОИСЕЕНКО Владимир Вячеславович
г. НИЖНИЙ НОВГОРОД
(Верхнее Поволжье) Нижний Новгород
Мещерский бульвар, 5, кв. 238
Тел./факс: (8312) 77-48-70
e-mail: fenixn@rambler.ru
Директор:
КОЦУБА Вячеслав Вячеславович
г. САМАРА (Нижнее Поволжье)
Самара, ул. Товарная, 7Е
(территория базы «Учебник»)
Тел.; (846) 951-24-76
e-mail: fenixma@maiLru
Директор:
МИТРОХИН Андрей Михайлович
г. КРАСНОДАР (ЮФО)
Краснодар, ул. им. Гудимы, 61
Тел.: (861) 274-30-11, 272-08-69
e-mail: yugkniga@mail.ru
Директор:
ЧЕРКАШИН Сергей Сергеевич