Решение контрольной работы выполнено на сайте www.matburo.ru Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfeitv ©МатБюро. Решение задач по математике, экономике, программированию ВЗФЭИ. Контрольная работа №4 Вариант 9 Задача 1. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 1500 участников соревнования было отобрано 100 человек. Их распределение по числу набранных баллов дано в таблице: Число набранных баллов 52-56 56-60 60-64 64-68 68-72 72-76 Итого Число участников 9 11 19 30 21 10 100 Найти: А) границы, в которых с вероятностью 0,9861 будет находиться среднее число набранных баллов для всех участников соревнований; Б) вероятность того, что доля всех участников соревнований, набравших не менее 68 баллов, отличается от доли таких участников в выборке не более чем на 0,1 (по абсолютной величине); В) объем выборки, при котором те же границы для среднего числа участников (см. п. а)) можно гарантировать с вероятностью 0,97. Решение. Вычислим сначала числовые характеристики выборки. Построим соответствующий простой вариационный ряд, выбрав в качестве вариант середины интервалов: xi 54 58 62 66 70 74 Итого ni 9 11 19 30 21 10 100 Найдем среднее: 1 Решение контрольной работы выполнено на сайте www.matburo.ru Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfeitv ©МатБюро. Решение задач по математике, экономике, программированию x= 1 1 xi ni = 6492 = 64, 92 ∑ n 100 Найдем исправленную дисперсию: S2 = 1 1 ( xi − x) 2 ni = 3163,36 ≈ 31, 953 . ∑ n −1 99 Найдем исправленное среднеквадратичное отклонение: S ≈ 5, 653 . Расчеты в таблице ниже: xi 54 58 62 66 70 74 Сумма ni 9 11 19 30 21 10 100 xi ni 486 638 1178 1980 1470 740 6492 ( xi − x) 2 ni 1073,218 526,7504 162,0016 34,992 541,9344 824,464 3163,36 А) Найдем границы, в которых с вероятностью 0,9861 будет находиться среднее число набранных баллов для всех участников соревнований. Используем формулу: S2 n x − ∆ x < m < x + ∆ x , где ∆ x - предельная ошибка выборки, ∆ x = t ⋅ µ x = t ⋅ 1 − . Здесь n N доверительный коэффициент t определяется по значению вероятности, t = Φ −1 (γ / 2) = Φ −1 (0,9861/ 2) = Φ −1 (0, 49305) = 2, 46 . 2 Решение контрольной работы выполнено на сайте www.matburo.ru Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfeitv ©МатБюро. Решение задач по математике, экономике, программированию 31,953 100 1 − ≈ 1,343 . 100 1500 Подставляем и получаем: ∆ x = 2, 46 ⋅ Тогда искомый интервал: 64,92 − 1,343 < m < 64,92 + 1,343 , 63,577 < m < 66, 263 . Б) Найдем вероятность того, что доля всех участников соревнований, набравших не менее 68 баллов, отличается от доли таких участников в выборке не более чем на 0,1 (по абсолютной величине). Выборочная доля всех участников соревнований, набравших не менее 68 баллов, равна w= 21 + 10 = 0,31 . 100 Предельная ошибка для доли ∆ w = t ∆w = t w(1 − w) n 1 − . Получаем: n N 0,31(1 − 0,31) 100 1 − ≤ 0,1, 100 1500 0, 0447t ≤ 0,1, t ≤ 2, 24, γ ≤ 2Φ ( 2, 24 ) = 2 ⋅ 0, 4875 = 0, 975. Вероятность 0,975. В) Найдем объем выборки, при котором те же границы для среднего числа участников (см. п. а)) можно гарантировать с вероятностью 0,97. 3 Решение контрольной работы выполнено на сайте www.matburo.ru Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfeitv ©МатБюро. Решение задач по математике, экономике, программированию То есть найдем объем выборки n , который гарантирует такую же предельную ошибку для среднего ∆ x = 1,343 . Используем формулу: n = t2S 2 N . Вычислим ∆ 2x N + t 2 S 2 t = Φ −1 (γ / 2) = Φ −1 (0,97 / 2) = Φ −1 (0, 485) ≈ 2,17 . Получаем: n = 2,17 2 ⋅ 31,953 ⋅1500 ≈ 79 . 1,3432 ⋅1500 + 2,17 2 ⋅ 31,953 Задача 2. По данным задачи 1, используя χ 2 -критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X – число набранных баллов – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую. Решение. Пронормируем случайную величину X , то есть перейдем к величине Z = вычислим концы интервалов по формулам zi = x−x , S xi − x x −x , zi +1 = i +1 . S S Вычислим теоретические (выравнивающие частоты) ni ' = nPi , где n = 100 , Pi = Φ ( z i +1 ) − Φ ( z i ) вероятность попадания в интервал ( zi , zi +1 ) , Φ (z ) - функция Лапласа. Для нахождения значений составим расчетную таблицу: xi xi +1 ni zi zi +1 Φ ( zi ) 4 Φ ( zi +1 ) Pi ni ' (ni − ni ')2 ni ' Решение контрольной работы выполнено на сайте www.matburo.ru Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfeitv ©МатБюро. Решение задач по математике, экономике, программированию 52 56 9 −∞ -1,58 -0,50 -0,44 0,06 5,73 1,869 56 60 11 -1,58 -0,87 -0,44 -0,31 0,13 13,48 0,455 60 64 19 -0,87 -0,16 -0,31 -0,06 0,24 24,33 1,168 64 68 30 -0,16 0,54 -0,06 0,21 0,27 27,17 0,294 68 72 21 0,54 1,25 0,21 0,39 0,19 18,77 0,264 72 76 10 1,25 ∞ 0,39 0,50 0,11 10,52 0,026 Сумма 100,00 100,00 4,076 Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона: (ni − ni ')2 χ =∑ = 4, 076 . ni ' 2 По таблице критических точек распределения степеней свободы k = 6 - 3 = 3, находим χ2 по уровню значимости α = 0,05 и числу χ 2 кр. = 7,8. Так как χ 2 набл. = 4,076 < χ 2 кр. = 7,8, то следует принять гипотезу о нормальном распределении данной величины. Построим теоретическую нормальную кривую f ( x) = ( x − a)2 ( x − 64,922 1 1 exp − exp = − 2σ 2 5, 653 2π σ 2π 2 ⋅ 31,953 и гистограмму на одном чертеже. 5 Решение контрольной работы выполнено на сайте www.matburo.ru Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfeitv ©МатБюро. Решение задач по математике, экономике, программированию 0,0750 0,08 0,07 0,06 0,0525 0,0475 0,05 0,04 0,03 0,0275 0,0250 0,0225 0,02 0,01 0 52-56 56-60 60-64 64-68 68-72 72-76 Расчетная таблица: относит. частота плотность распр. ni 4 ⋅100 0,0225 0,0275 0,0475 0,075 0,0525 0,025 f ( xi ) 0,01092 0,03336 0,06176 0,0693 0,04713 0,01943 Задача 3. В таблице приведено распределение 120 коров по дневному надою Y (в кг) и по жирности X (в %): x\ y 7 9 11 3,3 3,5 13 15 8 2 Итого 8 16 8 6 26 Решение контрольной работы выполнено на сайте www.matburo.ru Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfeitv ©МатБюро. Решение задач по математике, экономике, программированию 3,7 4 16 10 2 3,9 2 6 10 4,1 8 6 20 Итого 10 16 48 2 32 20 34 36 10 120 Необходимо: 1) Вычислить групповые средние xi и y j и построить эмпирические линии регрессии; 2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний процент жирности молока для коров, дневной удой которых составляет 12 кг. Решение. 5 5 1) Найдем групповые средние по формулам: x j = ∑ xi nij i =1 nj Вычисления проведем в Excel, получаем: xj 4,060 3,925 3,900 3,533 3,540 yj 7 9 11 13 15 7 ∑y n ; yi = j ij j =1 ni . Решение контрольной работы выполнено на сайте www.matburo.ru Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfeitv ©МатБюро. Решение задач по математике, экономике, программированию xi yi 3,3 13,000 3,5 13,462 3,7 11,625 3,9 10,200 4,1 9,706 Построим эмпирические линии регрессии ( Y на X , X на Y ). Y на X 14,000 13,000 3,3; 13,000 3,5; 13,462 12,000 3,7; 11,625 11,000 3,9; 10,200 10,000 4,1; 9,706 9,000 8,000 0 1 2 3 4 Y на X 8 5 6 Решение контрольной работы выполнено на сайте www.matburo.ru Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfeitv ©МатБюро. Решение задач по математике, экономике, программированию Х на Y 16 3,540; 15 14 3,533; 13 12 3,900; 11 10 3,925; 9 8 4,060; 7 6 3,500 3,600 3,700 3,800 3,900 4,000 4,100 Х на Y Из вида эмпирических линий регрессии можно заключить, что между переменными наблюдается линейная зависимость. Найдем уравнения прямых линий регрессии. Вычислим необходимые величины (расчеты в таблицах ниже): xi 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1 Сумма ni 8 26 32 20 34 120 xi ⋅ ni 26,4 91 118,4 78 139,4 453,2 xi2 ⋅ ni 87,12 318,5 438,08 304,2 571,54 1719,44 yj 7 9 11 13 15 Сумма nj 10 16 48 36 10 120 y j ⋅ nj 70 144 528 468 150 1360 9 Решение контрольной работы выполнено на сайте www.matburo.ru Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfeitv ©МатБюро. Решение задач по математике, экономике, программированию y 2j ⋅ n j 5 i i 1296 5 = 453, 2 , ∑xn i =1 490 ∑x n 2 i i i =1 5808 6084 2250 15928 = 1719, 44 , 5 x= ∑xn i i i =1 = n 453, 2 = 3, 777 , 120 5 ∑x n sx2 = 2 i i i =1 n 5 ∑y n j i =1 2 −x = = 1360 , j 1719, 44 − 3, 777 2 = 0, 065 120 5 ∑y n 2 j j =1 j = 15928 , 5 ∑y n y= j i =1 j = n 1360 = 11,333 , 120 5 ∑y n s = 2 y 5 2 j j =1 j 2 −y = n 15928 − 11,3332 = 4, 289 . 120 5 ∑∑ x y n i i =1 j =1 j ij = 5093,2 5 5 ∑∑ x y n µ = xy − x ⋅ y = byx = µ s 2 x = i i =1 j =1 j ij n − x⋅ y = 5093, 2 − 3, 777 ⋅11, 333 = −0,359 120 −0, 359 = −5, 483 0, 065 10 Решение контрольной работы выполнено на сайте www.matburo.ru Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfeitv ©МатБюро. Решение задач по математике, экономике, программированию bxy = µ s 2 y = −0,359 = −0, 084 4, 289 Уравнения прямых регрессии: yx − y = byx ( x − x ), yx − 11, 333 = −5, 483( x − 3, 777), yx = −5, 483 x + 32, 042. x y − x = bxy ( y − y ), x y − 3, 777 = −0, 084( y − 11,333), x y = −0, 084 y + 4, 729. Построим графики линий регрессии на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии. 15,000 14,000 13,000 12,000 11,000 10,000 9,000 8,000 0 1 2 3 Y на X 4 регрессия 11 5 6 Решение контрольной работы выполнено на сайте www.matburo.ru Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfeitv ©МатБюро. Решение задач по математике, экономике, программированию 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 3,400 3,500 3,600 3,700 3,800 Х на Y 3,900 4,000 4,100 4,200 регрессия Экономическая интерпретация полученных уравнений: yx = −5, 483 x + 32, 042 - при увеличении жирности молока на 1%, дневной надой уменьшается в среднем на 5,483 кг. x y = −0, 084 y + 4, 729 - при увеличении дневного надоя на 1 кг, жирность молока уменьшается в среднем на 0,084 %. Вычислим коэффициент корреляции r = byx bxy = 5, 483 ⋅ 0, 084 ≈ 0, 679 На уровне значимости α = 0, 05 оценим значимость коэффициента корреляции. Вычислим значение критерия t = r n−2 1− r2 = 0, 679 120 − 2 1 − 0, 679 2 ≈ 10, 047 По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 находим t0,95;118 = 1, 98 . Так как наблюдаемое значение 10,047 больше критического, коэффициент корреляции значим. 12 Решение контрольной работы выполнено на сайте www.matburo.ru Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу https://www.matburo.ru/sub_vuz.php?p=vzfeitv ©МатБюро. Решение задач по математике, экономике, программированию Связь между переменными X и Y тесная, обратная. Используя соответствующее уравнение регрессии, оценим средний процент жирности молока для коров, дневной удой которых составляет 12 кг: x y (12 ) = −0, 084 ⋅12 + 4, 729 ≈ 3, 721% . 13
