Загрузил Raqamli tehnologiyalar Oliy matematikada

Toponogov, Viktor Andreevich Dif

Реклама
Îãëàâëåíèå
Ïðåäèñëîâèå
1
4
Òåîðèÿ êðèâûõ â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå è íà
ïëîñêîñòè
1.1
1.2
Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ êðèâîé . . . . . . . . . . . .
Êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ è ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü . . . . .
1.2.1 Ãåîìåòðè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà êàñàòåëüíîé ïðÿìîé
1.2.2 Ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Äëèíà êðèâîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Êðèâèçíà êðèâîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Ïëîñêèå êðèâûå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Êðó÷åíèå êðèâîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Ôîðìóëû Ôðåíå è íàòóðàëüíîå óðàâíåíèå êðèâîé . . . . . .
1.10 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Óïðàæíåíèÿ ê ãëàâå 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
9
10
11
14
17
18
22
23
24
26
46
48
48
52
62
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì
ïðîñòðàíñòâå
65
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . 65
Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.1 Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . 72
2.3.1 Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . 77
2.4.1 Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4.2 Îìáèëè÷åñêèå òî÷êè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4.3 Ýêâèäèñòàíòíûå ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . 87
Òðåòüÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . 88
Êëàññû ïîâåðõíîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.7.1 Äîáàâëåíèå: Òî÷å÷íûå èíäèêàòðèñû ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Ëèíåé÷àòûå è ðàçâåðòûâàþùèå ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . 105
1
2
Îãëàâëåíèå
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
3
4
Âûïóêëûå ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñåäëîâûå ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . . .
Íåêîòîðûå êëàññû ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè . . .
2.12.1 Ëèíèè êðèâèçíû íà ïîâåðõíîñòè . . . .
2.12.2 Àñèìïòîòè÷åñêèå ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè
2.12.3 Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ òåîðèè ïîâåðõíîñòåé . . .
2.14.1 Ôîðìóëû ÃàóññàÏåòåðñîíàÊîäàööè .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Óïðàæíåíèÿ ê ãëàâå 2 . . . . . . . . . . . . . .
Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
3.1
3.2
3.3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ââåäåíèå íîâûõ îáîçíà÷åíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Àáñîëþòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ . . . . . . . . . . .
Ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå âåêòîðà âäîëü êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ . . . . . . . . . .
3.4 Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Îïðåäåëåíèå ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé è èõ óðàâíåíèÿ . . .
3.4.2 Ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå. Ñâîéñòâà ýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ è ëîêàëüíûå ñâîéñòâà ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå è ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà
êðèâîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè è ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå . . .
3.5 Êðàò÷àéøèå ëèíèè. Ñâÿçü ìåæäó ãåîäåçè÷åñêèìè è êðàò÷àéøèìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Ìåòðèêà íà ïîâåðõíîñòè è êðàò÷àéøèå . . . . . . . . .
3.5.2 Ñòàöèîíàðíûå êðèâûå ôóíêöèîíàëà äëèíû . . . . . . .
3.5.3 Ãåîäåçè÷åñêèå, êàê êðàò÷àéøèå . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Ïîëíûå ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Âûïóêëûå îáëàñòè íà ïîëíîé ïîâåðõíîñòè . . . . . . .
3.6 Ñïåöèàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Ðèìàíîâà íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò . . . . . . . .
3.6.2 Òåîðåìà ñðàâíåíèÿ ìåòðèê . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïîâåðõíîñòè . . . . . .
3.6.4 Ïîëóãåîäåçè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïîâåðõíîñòè
3.7 Òåîðåìà Ãàóññà-Áîííå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Ëîêàëüíûå òåîðåìû ñðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Òåîðåìà ñðàâíåíèÿ óãëîâ À.Ä. Àëåêñàíäðîâà . . . . . . . . . .
3.9.1 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñðàâíåíèÿ óãëîâ òðåóãîëüíèêà
3.10 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äîáàâëåíèÿ
4.1
4.2
4.3
108
109
114
117
117
119
121
126
129
131
134
140
145
145
146
147
148
150
150
151
153
155
156
156
156
158
162
164
167
167
168
170
171
174
179
183
186
188
191
Òåîðåìà Áîííå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Òåîðåìà îá îâàëîèäå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Ìîäåëü Ïóàíêàðå ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî. . . . . . . . . . . . 197
Îãëàâëåíèå
3
Ëèòåðàòóðà
200
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü
201
Ïðåäèñëîâèå
Ó÷åáíèê ïî Äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñòóäåíòîâ óíèâåðñèòåòîâ ïåðâîãî óðîâíÿ, à òàêæå äëÿ ñòóäåíòîâ,
ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ ïî ãåîìåòðèè.
Ãëàâíûå öåëè ýòîé êíèãè â ñëåäóþùåì.
1. Ó÷åáíûé ìàòåðèàë äàí â äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïîòîêàõ.
Ïåðâûé ïîòîê ñîäåðæèò ñòàíäàðòíûé òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë ñîãëàñíî îáû÷íîé óíèâåðñèòåòñêîé ïðîãðàììå ïî êóðñó "Äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè" . Îí äîïîëíåí íåáîëüøèì êîëè÷åñòâîì ñòàíäàðòíûõ óïðàæíåíèé è çàäà÷ ëîêàëüíîãî õàðàêòåðà.
 íåãî, ïî çàìûñëó àâòîðà, âêëþ÷àåòñÿ âñÿ ïåðâàÿ ãëàâà áåç
çàäà÷ è âñÿ âòîðàÿ ãëàâà, êðîìå ïàðàãðàôà î êëàññàõ ïîâåðõíîñòåé, òåîðåì 2.14.1-2.15.3 è çàäà÷.
Âòîðîé ïîòîê ñîäåðæèò áîëåå òðóäíûé äîïîëíèòåëüíûé ìàòåðèàë è ôîðìóëèðîâêè íåêîòîðûõ ñëîæíûõ, íî âàæíûõ òåîðåì.
Íàïðèìåð, äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû À.Ä. Àëåêñàíäðîâà ñðàâíåíèÿ óãëîâ òðåóãîëüíèêà íà âûïóêëîé ïîâåðõíîñòèè, ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû À.Â. Ïîãîðåëîâà î æåñòêîñòè âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé è òåîðåìû Ñ.Í. Áåðíøòåéíà î ñåäëîâûõ ïîâåðõíîñòÿõ. Â
ïîñëåäíåì ñëó÷àå ôîðìóëèðîâêè îáñóæäàþòñÿ äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî.
2. Ó÷åáíèê ñîäåðæèò áîëüøîå êîëè÷åñòâî (70-80) íåñòàíäàðòíûõ è îðèãèíàëüíûõ çàäà÷. Áîëüøàÿ ÷àñòü èç íèõ íîâûå è íå ñîäåðæàòñÿ â äðóãèõ ó÷åáíûõ èçäàíèÿõ (ó÷åáíèêàõ èëè çàäà÷íèêàõ) ïî "Äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè" . Ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷
òðåáóåò îò ñòóäåíòîâ èçîáðåòàòåëüíîñòè è ãåîìåòðè÷åñêîé èíòóèöèè.  ýòîì îòíîøåíèè ó÷åáíèê áëèçîê ïî äóõó ê èçâåñòíîé
êíèãå Â. Áëÿøêå ("Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ", Berlin,1930),
íî ñîäåðæèò ìíîãî çàäà÷ áîëåå ñîâðåìåííûõ ïî ñâîåé òåìàòèêå.
Êëþ÷åâîé èäååé çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå êðèâèçíû: êðèâèçíû
êðèâîé, ãëàâíûõ êðèâèçí è Ãàóññîâîé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè.
Ïî÷òè âñå çàäà÷è äàíû ñ ðåøåíèÿìè, õîòÿ àâòîð íàäååòñÿ, ÷òî
ïðèëåæíûé ñòóäåíò ðåøèò èõ ñàìîñòîÿòåëüíî, è ëèøü â èñêëþ÷èòåëüíûõ ñëó÷àÿõ çàãëÿíåò â òåêñò ñ ðåøåíèåì. Òàê êàê çàäà÷è äàíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ èõ ñëîæíîñòè, òî äàæå íàèáîëåå
òðóäíûå èç íèõ äîñòóïíû ÷èòàòåëþ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äàíû ëèøü êîðîòêèå óêàçàíèÿ. Ïî ìíåíèþ àâòîðà, èìåííî ïîäáîð
áîëüøîãî ÷èñëà îðèãèíàëüíûõ çàäà÷ äåëàåò ó÷åáíèê èíòåðåñíûì è ïîëåçíûì.
3. Ãëàâà 3 "Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé" íà÷èíàåòñÿ
ñ ãëàâíîãî ïîíÿòèÿ êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîãî ïîëÿ
âäîëü êðèâîé. Îïðåäåëåíèå îñíîâûâàåòñÿ íà âíåøíå ãåîìåòðè-
Îãëàâëåíèå
5
÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ïîâåðõíîñòè. Çàòåì äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ åñòü îáúåêò âíóòðåííåé
ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòè, è äàëüíåéøèé ó÷åáíûé ìàòåðèàë íå ñâÿçàí ñ âíåøíåé ãåîìåòðèåé. Ïîýòîìó Ãëàâà 3 ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ââåäåíèå â n-ìåðíóþ Ðèìàíîâó ãåîìåòðèþ, ñîõðàíÿÿ
ïðè ýòîì ïðîñòîòó è ÿñíîñòü 2-ìåðíîãî ñëó÷àÿ. Îñíîâíûå òåîðåìû î ãåîäåçè÷åñêèõ è êðàò÷àéøèõ äîêàçàíû òàêèì ñïîñîáîì,
÷òî îíè ìîãóò áûòü ðàñøèðåíû íà n-ìåðíóþ ñèòóàöèþ ïî÷òè áåç
èçìåíåíèé.
Ãëàâà 2 êíèãè Äæ. Ìèëíîðà "Òåîðèÿ Ìîðñà" òàêæå îêàçàëà
âëèÿíèå íà àâòîðà, êîãäà îí ðàáîòàë íàä ýòîé ãëàâîé. Ïî÷òè âñå
çàäà÷è ê Ãëàâå 3 èìåþò n-ìåðíóþ ïðèðîäó.
Ïîëüçóÿñü ñëó÷àåì àâòîð êíèãè âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ñâîèì ó÷åíèêàì è êîëëåãàì, áåç êîòîðûõ ýòà êíèãà íå
áûëà áû íàïèñàíà. Íàèáîëåå ñóùåñòâåííóþ ïîìîùü ìíå îêàçàëè Å.Ä. Ðîäèîíîâ, Â.Â. Ñëàâñêèé, Â.Þ. Ðîâåíñêèé, Â.Â. Èâàíîâ,
Â.À. Øàðàôóòäèíîâ, Â.Ê. Èîíèí.
Âèêòîð Àíäðååâè÷ Òîïîíîãîâ,
Èíñòèòóò Ìàòåìàòèêè ÑÎ ÐÀÍ,
ã. Íîâîñèáèðñê-90, 630090, Ðîññèÿ
toponog@math.nsk.ru
6
Îãëàâëåíèå
Ãëàâà 1
Òåîðèÿ êðèâûõ â
òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì
ïðîñòðàíñòâå è íà ïëîñêîñòè
1.1
Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ êðèâîé
Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ââåäåíà äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò (O; x, y, z).
Îïðåäåëåíèå 1.1.1. Ñâÿçíîå ìíîæåñòâî γ â ïðîñòðàíñòâå R3 (â ïëîñêî-
ñòè R2 ) ìû íàçîâåì ðåãóëÿðíîé k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé, åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðôèçì ϕ : G → γ , ãäå G îòðåçîê [a, b] èëè
îêðóæíîñòü ðàäèóñà 1, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì:
(1) ϕ ∈ C k , k ≥ 1,
(2) îòîáðàæåíèå ϕ èìååò ìàêñèìàëüíûé ðàíã.
Ïðè k = 1 êðèâóþ γ áóäåì íàçûâàòü ãëàäêîé êðèâîé. Çàìåòèì, ÷òî ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ γ êëàññà C k , k ≥ 1 äèôôåîìîðôíà ëèáî çàìêíóòîìó
îòðåçêó, ëèáî îêðóæíîñòè. Òàê êàê â ïðîñòðàíñòâå R3 çàäàíà äåêàðòîâà
ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò x, y, z , òî îòîáðàæåíèå ϕ îïðåäåëÿåòñÿ
çàäàíèåì ôóíêöèé x(t), y(t), z(t), ãäå t ∈ [a, b] óñëîâèå (1) îçíà÷àåò ïðèíàäëåæíîñòü ýòèõ ôóíêöèé êëàññó C k , à óñëîâèå (2) îçíà÷àåò, ÷òî ïðîèçâîäíûå x0 (t), y 0 (t), z 0 (t) ïðè ëþáîì t îäíîâðåìåííî â íóëü íå îáðàùàþòñÿ.
Ëþáóþ ðåãóëÿðíóþ êðèâóþ â R3 (R2 ) ìîæíî çàäàòü îäíèì îòîáðàæåíèåì
ϕ : x = x(t), y = y(t), z = z(t) ãäå t ∈ [a, b].  ñëó÷àå, êîãäà ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ äèôôåîìîðôíà îêðóæíîñòè, ôóíêöèè x(t), y(t), z(t) îêàçûâàþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè íà R ñ ïåðèîäîì b − a, à ñàìè êðèâûå
íàçûâàþòñÿ çàìêíóòûìè êðèâûìè. Åñëè òàêîå îòîáðàæåíèå ϕ çàäàíî ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé x(t), y(t), z(t) òî óðàâíåíèÿ x = x(t), y = y(t), z = z(t)
íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèÿìè êðèâîé γ . ×àñòî óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ âåêòîðíîé ôîðìîé ïàðàìåòðè÷åñêîãî çàäàíèÿ êðèâîé: ~r = ~r (t) =
x(t)~i +y(t) ~j +z(t) ~k , ãäå ~i, ~j , ~k åäèíè÷íûå âåêòîðû îñåé OX, OY, OZ . Åñëè
êðèâàÿ γ ïëîñêàÿ, òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî z(t) ≡ 0.
7
8
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Îäíà è òà æå êðèâàÿ γ ìîæåò áûòü çàäàíà ðàçëè÷íûìè óðàâíåíèÿìè:
~r = ~r 1 (t) = x1 (t)~i + y1 (t) ~j + z1 (t) ~k ,
~r = ~r 2 (τ ) = x2 (τ )~i + y2 (τ ) ~j + z2 (τ ) ~k ,
t ∈ [a, b],
τ ∈ [c, d].
Òîãäà ýòè âåêòîð-ôóíêöèè ~r 1 (t) è ~r 2 (τ ) ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñòðîãî ìîíîòîííûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïàðàìåòðîâ t = t(τ ) : [c, d] → [a, b] òàê, ÷òî
(1) ~r 1 (t(τ )) = ~r 2 (τ ),
(2) t0 (τ ) 6= 0 äëÿ âñåõ τ ∈ [c, d].
Ñóùåñòâîâàíèå ôóíêöèè t = t(τ ), åå äèôôåðåíöèðóåìîñòü è ñòðîãàÿ
ìîíîòîííîñòü ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ðåãóëÿðíîé êðèâîé è òåîðåìû îá îáðàòíîé ôóíêöèè.
Îïðåäåëåíèå 1.1.2. Íåïðåðûâíóþ êðèâóþ γ íàçîâåì êóñî÷íî ãëàäêîé êðèâîé (êóñî÷íî ðåãóëÿðíîé), åñëè íà γ ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê pi , (i =
1, . . . , k) òàêèõ, ÷òî êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà γ \ ∪{pi } åñòü
ãëàäêàÿ (ðåãóëÿðíàÿ) êðèâàÿ.
Êðîìå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñïîñîáà çàäàíèÿ êðèâîé γ â R3 (R2 ) ñóùåñòâóþò òàêæå è äðóãèå ñïîñîáû.
ßâíîå çàäàíèå êðèâîé. ×àñòíûì ñëó÷àåì ïàðàìåòðè÷åñêîãî çàäàíèÿ êðèâîé ÿâëÿåòñÿ ÿâíîå çàäàíèå êðèâîé, êîãäà ðîëü ïàðàìåòðà t èãðàåò ëèáî
ïåðåìåííàÿ x, ëèáî y , ëèáî z , òî åñòü ëèáî x = x, y = f1 (x), z = f2 (x),
ëèáî x = f1 (y), y = y, z = f2 (y), ëèáî x = f1 (z), y = f2 (z), z = z . ßâíîå
çàäàíèå êðèâîé îñîáåííî óäîáíî äëÿ ïëîñêîé êðèâîé.  ýòîì ñëó÷àå êðèâàÿ ëèíèÿ ñîâïàäàåò ñ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè f , è òîãäà óðàâíåíèå
êðèâîé çàïèñûâàåòñÿ ëèáî â âèäå y = f (x), ëèáî x = f (y).
Íåÿâíîå çàäàíèå êðèâîé. Ïóñòü çàäàíî äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå
f : R3 → R2 ,
f = {f1 (x, y, z), f2 (x, y, z)}.
Òîãäà èç òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òî åñëè (0, 0) åñòü ðåãóëÿðíîå çíà÷åíèå îòîáðàæåíèÿ f , òî êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà
T = f −1 (0, 0) åñòü ãëàäêàÿ ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ â R3 . Èíûìè ñëîâàìè, ïðè
óêàçàííûõ âûøå óñëîâèÿõ, ìíîæåñòâî òî÷åê â R3 , êîîðäèíàòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé
(
f1 (x, y, z) = 0,
(1.1.1)
f2 (x, y, z) = 0,
îáðàçóþò ãëàäêóþ ðåãóëÿðíóþ êðèâóþ. Òî÷íåå ãîâîðÿ, íåêîòîðîå êîíå÷íîå
÷èñëî ãëàäêèõ ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ.  ïëîñêîì ñëó÷àå íåÿâíîå çàäàíèå êðèâîé îïðåäåëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì f : R2 → R è óñëîâèåì, ÷òî 0 ðåãóëÿðíîå
çíà÷åíèå. Òàêîé ñïîñîá çàäàíèÿ êðèâîé íàçûâàåòñÿ íåÿâíûì çàäàíèåì êðèâîé, à ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.1.1) íåÿâíûìè óðàâíåíèÿìè êðèâîé. Î÷åâèäíî,
÷òî ÿâíîå çàäàíèå êðèâîé åñòü îäíîâðåìåííî è ïàðàìåòðè÷åñêîå çàäàíèå,
ãäå ðîëü ïàðàìåòðà t èãðàåò êîîðäèíàòà x. Íàîáîðîò, åñëè ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè, òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè
ëþáîé åå òî÷êè, êàê ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû îá îáðàòíîé ôóíêöèè, ñóùåñòâóåò ÿâíîå çàäàíèå. Àíàëîãè÷íî, åñëè êðèâàÿ çàäàíà íåÿâíûìè óðàâíåíèÿìè,
òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ëþáîé åå òî÷êè îíà äîïóñêàåò ÿâíîå çàäàíèå.
Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ìîæíî âûâåñòè èç òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè.
9
1.2. Êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ è ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü
Íàïîìíþ, ÷òî çíà÷åíèå 0 îòîáðàæåíèÿ f = (f1 , f2 ) èç R3 â R2 íàçûâàåòñÿ
ðåãóëÿðíûì çíà÷åíèåì, åñëè ðàíã ìàòðèöû
!
∂f
∂f
∂f
1
1
1
∂x
∂f2
∂x
∂y
∂f2
∂y
∂z
∂f2
∂z
,
âû÷èñëåííûé â ëþáîé òî÷êå ìíîæåñòâà, îïðåäåëåííîãî ñèñòåìîé (1.1.1),
ðàâåí 2.
1.2
Êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ è ñîïðèêàñàþùàÿñÿ
ïëîñêîñòü
Ïóñòü ãëàäêàÿ êðèâàÿ γ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè
~r = ~r (t) = x(t)~i + y(t) ~j + z(t) ~k .
Îïðåäåëåíèå 1.2.1. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç òî÷êó p = ~
r (t0 ) ∈ γ â
íàïðàâëåíèè âåêòîðà
~r 0 (t0 ) = x0 (t0 )~i + y 0 (t0 ) ~j + z 0 (t0 ) ~k ,
íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïðÿìîé ê êðèâîé γ â òî÷êå p = ~r (t0 ).
Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ êàñàòåëüíîé ïðÿìîé ìîæíî ëåãêî çàïèñàòü åå óðàâíåíèÿ.  ñëó÷àå ïàðàìåòðè÷åñêîãî çàäàíèÿ êðèâîé ïîëó÷èì
R̄(u) = ~r (t0 ) + u~r 0 (t0 ), èëè â áîëåå ïîäðîáíîé çàïèñè

0

x = x(t0 ) + ux (t0 )
(1.2.2)
y = y(t0 ) + uy 0 (t0 )


z = z(t0 ) + uz 0 (t0 ),
èëè â êàíîíè÷åñêîé ôîðìå
x − x(t0 )
y − y(t0 )
z − z(t0 )
=
=
.
0
0
x (t0 )
y (t0 )
z 0 (t0 )
(1.2.3)
 ñëó÷àå ÿâíîãî çàäàíèÿ êðèâîé y = ϕ1 (x), z = ϕ2 (x) óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíîé ïðÿìîé ïðèíèìàþò âèä:
x − x0 =
y − ϕ1 (x0 )
z − ϕ2 (x0 )
=
.
ϕ01 (x0 )
ϕ02 (x0 )
Íàêîíåö, ïóñòü êðèâàÿ γ çàäàíà íåÿâíûìè óðàâíåíèÿìè
f1 (x, y, z) = 0,
f2 (x, y, z) = 0
è òî÷êà p (x0 , y0 , z0 ) ïðèíàäëåæèò γ . Òîãäà ðàíã ìàòðèöû ßêîáè
!
∂f
∂f
∂f
1
1
1
∂x
∂f2
∂x
∂y
∂f2
∂y
∂z
∂f2
∂z
,
(1.2.4)
10
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
âû÷èñëåííûé â òî÷êå p, ðàâåí 2. Ïðåäïîëîæèì, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî
îïðåäåëèòåëü
∂f1
∂y
∂f2
∂y
∂f1
∂z
∂f2
∂z
6= 0.
Òîãäà ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî ε > 0 è òàêèå
äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè ϕ1 (x), ϕ2 (x), ÷òî ïðè |x−x0 | < ε âûïîëíÿåòñÿ
f1 (x, ϕ1 (x), ϕ2 (x)) ≡ 0,
f2 (x, ϕ1 (x), ϕ2 (x)) ≡ 0.
Ïîýòîìó óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíîé ïðÿìîé ê êðèâîé γ â òî÷êå p (x0 , y0 , z0 )
çàïèñûâàþòñÿ â ôîðìå (1.2.4)
x − x0 =
y − ϕ1 (x0 )
z − ϕ2 (x0 )
=
,
0
ϕ1 (x0 )
ϕ02 (x0 )
ãäå ÷èñëà ϕ01 (x0 ) è ϕ02 (x0 ) íàõîäÿòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
( ∂f
1
∂x
∂f2
∂x
+
+
∂f1
∂y
∂f2
∂y
· ϕ01 (x0 ) +
· ϕ01 (x0 ) +
∂f1
∂z
∂f2
∂z
· ϕ02 (x0 ) = 0,
· ϕ02 (x0 ) = 0.
(1.2.5)
 ñëó÷àå íåÿâíîãî çàäàíèÿ ïëîñêîé êðèâîé γ : f (x, y) = 0 óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïðÿìîé ìîæíî çàïèñàòü â òàêîé ôîðìå
∂f (x0 , y0 )
∂f (x0 , y0 )
· (x − x0 ) +
· (y − y0 ) = 0.
∂x
∂y
1.2.1
(1.2.6)
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà êàñàòåëüíîé ïðÿìîé
Îáîçíà÷èì ÷åðåç d äëèíó õîðäû êðèâîé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè p = γ(t0 ) è
p1 = γ(t1 ), à ÷åðåç h äëèíó ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè p1 , íà
êàñàòåëüíóþ ïðÿìóþ ê γ â òî÷êå p. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1.2.1.
lim
d→0
h
h
= lim
= 0.
d t1 →t0 d
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí d è h íàõîäèì èõ âûðàæåíèÿ
d = |~r (t1 ) − ~r (t0 )|,
h=
|~r 0 (t0 ) × (~r (t1 ) − ~r (t0 ))|
.
|~r 0 (t0 )|
Òîãäà
h
|~r 0 (t0 ) × (~r (t1 ) − ~r (t0 )|
= lim
=
t1 →t0 |~
d→0 d
r 0 (t0 )| · |~r (t1 ) − ~r (t0 )|
lim
= lim
t1 →t0
~
r (t0 )
|~r 0 (t0 ) × r (t1t1)−~
|
−t0
|~r 0 (t0 )| ·
~
r (t0 )
| r (tt11)−~
−t0 ) |
=
|~r 0 (t0 ) × ~r 0 (t0 )|
= 0.
|~r 0 (t0 )|2
1.2
11
Êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ . . .
Òåîðåìà 1.2.1 âûÿñíÿåò ãåîìåòðè÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó êàñàòåëüíîé ïðÿìîé.
Âî-ïåðâûõ, ýòà òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ l ê êðèâîé
γ â òî÷êå p = γ(t0 ) åñòü ïðåäåë ñåêóùèõ êðèâîé γ , ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó
p è ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó p1 = γ(t1 ) ïðè t1 → t0 .  ñàìîì äåëå, åñëè ÷åðåç
α îáîçíà÷èòü óãîë ìåæäó l è ñåêóùåé pp1 , òî hd = sin α è èç òåîðåìû 1.2.1
ñëåäóåò, ÷òî sin α → 0 ïðè t1 → t0 . Îòêóäà è ñëåäóåò íàøå óòâåðæäåíèå.
Âî-âòîðûõ, òåîðåìà 1.2.1 äàåò îöåíêó îøèáêå, êîòîðóþ ìû ïîëó÷àåì,
çàìåíÿÿ êðèâóþ γ åå êàñàòåëüíîé ïðÿìîé l. Ïóñòü Bp (d) øàð ñ öåíòðîì â
òî÷êå p è ðàäèóñà d. Çàìåíèì äóãó γ ∩Bp (d) êðèâîé γ îòðåçêîì êàñàòåëüíîé
l, ëåæàùèì â Bp (d). Òîãäà òåîðåìà 1.2.1 óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè òàêîé çàìåíå
ìû äåëàåì îøèáêó áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷åì âåëè÷èíà ðàäèóñà
øàðà d. Ýòà æå òåîðåìà äàåò âîçìîæíîñòü äàòü ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå
êàñàòåëüíîé ïðÿìîé.
Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç ~τ (t0 ) åäèíè÷íûé âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé ~r 0 (t0 ),
~
r 0 (t0 )
. Íîðìàëüíîé ïðÿìîé íàçîâåì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿà èìåííî: ~τ (t0 ) = |~r 0 (t
0 )|
ìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó p ïåðïåíäèêóëÿðíî êàñàòåëüíîé ïðÿìîé.
1.2.2
Ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü
Çäåñü óäîáíåé ñðàçó äàòü ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ñîïðèêàñàþùåéñÿ
ïëîñêîñòè. Ïóñòü ÷åðåç òî÷êó p0 = ~r (t0 ) êðèâîé γ ïðîõîäèò ïëîñêîñòü α
~ . Îáîçíà÷èì, ÷åðåç d äëèíó õîðäû êðèâîé γ ìåæñ åäèíè÷íîé íîðìàëüþ β
äó òî÷êàìè p0 = ~r (t0 ) è p1 = ~r (t1 ), à ÷åðåç h äëèíó ïåðïåíäèêóëÿðà,
îïóùåííîãî èç òî÷êè p1 íà ïëîñêîñòü α (ñì. ðèñóíîê 1.1).
Ðèñ. 1.1: Ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü ê êðèâîé.
Îïðåäåëåíèå 1.2.2. Ïëîñêîñòü α íàçîâåì ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòüþ
ê êðèâîé γ â òî÷êå p0 = ~r (t0 ), åñëè
lim
d→0
h
h
= lim 2 = 0.
t1 →t0 d
d2
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 1.2.2.  êàæäîé òî÷êå p0 = ~r (t0 ) ðåãóëÿðíîé êðèâîé γ êëàññà
C k , k ≥ 2, ñóùåñòâóåò ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü α, è âåêòîðû ~r 0 (t0 ),
~.
~r 00 (t0 ) îðòîãîíàëüíû âåêòîðó β
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1.2.2 â
ïðåäïîëîæåíèè ñóùåñòâîâàíèÿ ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè ê êðèâîé γ â
òî÷êå p0 = ~r (t0 ). Èç îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí d è h ñëåäóåò
d = |~r (t1 ) − ~r (t0 )|,
~ )|.
h = |(~r (t1 ) − ~r (t0 ), β
Ïî ôîðìóëå Òåéëîðà
1
~r (t1 ) − ~r (t0 ) = ~r 0 (t0 )(t1 − t0 ) + ~r 00 (t0 )(t1 − t0 )2 + ō(|t1 − t0 |2 ).
2
12
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ïîýòîìó
~ )|
|(~r 0 (t0 )(t1 − t0 ) + 12 ~r 00 (t0 )(t1 − t0 )2 + ō((t1 − t0 )2 ), β
h
=
lim
=
2
2
t1 →t0
d→0 d
|~r (t1 ) − ~r (t0 )|
lim
= lim
~)
(~
r 0 (t0 ), β
t1 −t0
~) +
+ 12 (~r 00 (t0 ), β
t1 →t0
~
r (t1 )−~
r (t0 )
t1 −t0
~)
(ō(|t1 −t0 |2 ), β
(t1 −t0 )2
2
.
Òàê êàê ïðåäåë çíàìåíàòåëÿ ïðè t1 → t0 ðàâåí |~r 0 (t0 )|2 è ïî óñëîâèþ òåîðåìû îòëè÷åí îò íóëÿ, òî èç óñëîâèÿ lim dh2 = 0 ñëåäóåò ñíà÷àëà, ÷òî
t1 →t0
~ ) = 0, à çàòåì (~r 00 (t0 ), β
~ ) = 0.
(~r (t0 ), β
Äîêàæåì òåïåðü ñóùåñòâîâàíèå ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:
(1) ~r 0 (t0 ) × ~r 00 (t0 ) 6= 0,
(2) ~r 0 (t0 ) × ~r 00 (t0 ) = 0.
~ = ~r 00 (t0 )×~r 0000 (t0 ) , à âî âòîðîì ñëó÷àå
 ïåðâîì ñëó÷àå îïðåäåëèì âåêòîð β
|~
r (t0 )×~
r (t0 )|
~ âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé âåêòîðó
â êà÷åñòâå âåêòîðà β
~r 0 (t0 ).  îáîèõ ñëó÷àÿõ èìååì
0
~ ) = (~r 00 (t0 ), β
~ ) = 0.
(~r 0 (t0 ), β
Ïðîâåäåì òåïåðü ÷åðåç òî÷êó p0 = ~r (t0 ) ïëîñêîñòü α, îðòîãîíàëüíóþ âåêòî~ . Òîãäà
ðó β
~ )|,
h = |(ō(|t1 − t0 |2 ), β
d = |~r 0 (t0 )(t1 − t0 ) + ō(|t1 − t0 |)|.
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
lim
t1 →t0
h
= lim
t1 →t0
d2
~)
(ō(|t1 −t0 |2 ), β
(t1 −t0 )2
2
~
r (t1 )−~
r (t0 )
t1 −t0
lim
=
t1 →t0
ō(|t1 −t0 |2 )
|t1 −t0 |2 ,
~
β
|~r 0 (t0 )|2
= 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîñêîñòü α ÿâëÿåòñÿ ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòüþ. Ïðè÷åì, êàê ìû âèäèì, â ïåðâîì ñëó÷àå ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü åäèíñòâåííà, à âî âòîðîì ñëó÷àå ëþáàÿ ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ êàñàòåëüíóþ ïðÿìóþ
ê êðèâîé γ â òî÷êå p0 = ~r (t0 ), åñòü ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü. Äëÿ ïëîñêîé êðèâîé ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòüþ ÿâëÿåòñÿ òà ïëîñêîñòü, â êîòîðîé
ýòà êðèâàÿ ëåæèò.
Âûâåäåì óðàâíåíèå ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè â òîì ñëó÷àå, êîãäà
êðèâàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè, è â çàäàííîé òî÷êå p0 =
~r (t0 ) âåêòîðû ~r 0 (t0 ) è ~r 00 (t0 ) ëèíåéíî íåçàâèñèìû.  ýòîì ñëó÷àå âåêòîð
~ , êàê ýòî ñëåäóåò èç òåîíîðìàëè ê ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè âåêòîð β
0
00
ðåìû 1.2.2, ìîæíî âçÿòü ðàâíûì ~r (t0 ) × ~r (t0 )
~ = [ȳ 0 (t0 )z̄ 00 (t0 ) − ȳ 00 (t0 )z̄ 0 (t0 )]~i+
β
+ [z̄ 0 (t0 )x̄ 00 (t0 ) − z̄ 00 (t0 )x̄ 0 (t0 )] ~j + [x̄ 0 (t0 )ȳ 00 (t0 ) − x̄ 00 (t0 )ȳ 0 (t0 )] ~k ,
è ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè α:
A(x − x(t0 )) + B(y − y(t0 )) + C(z − z(t0 )) = 0,
13
1.3. Äëèíà êðèâîé
Ðèñ. 1.2: Íîðìàëü è áèíîðìàëü êðèâîé.
ãäå A = y 0 z 00 − y 00 z 0 , B = z 0 x00 − z 00 x0 , C = x0 y 00 − x00 y 0 , âû÷èñëåíû ïðè t = t0 .
Ïðîåêòèðóÿ îðòîãîíàëüíî êðèâóþ γ â ñîïðèêàñàþùóþñÿ ïëîñêîñòü α, ìû
ïîëó÷àåì ïëîñêóþ êðèâóþ γ̄ , íàèìåíåå "óêëîíÿþùóþóñÿ"îò γ . Âåëè÷èíà
ýòîãî óêëîíåíèÿ èìååò ïîðÿäîê ìàëîñòè áîëåå âûñîêèé, ÷åì d2 . Áîëåå ïîäðîáíî, ïóñòü Bp (d) øàð ñ öåíòðîì â òî÷êå p è ðàäèóñà d, òîãäà äëèíû
äóã êðèâûõ γ è γ̄ , ëåæàùèõ â Bp (d), îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà âåëè÷èíó,
ïîðÿäîê ìàëîñòè êîòîðîé áîëåå âûñîê, ÷åì d2 .
 òåõ òî÷êàõ êðèâîé p = ~r (t), â êîòîðûõ ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü
åäèíñòâåííà, ñðåäè âñåõ íîðìàëüíûõ íàïðàâëåíèé, ìîæíî âûäåëèòü åäèíñòâåííûé íîðìàëüíûé âåêòîð ~ν óñëîâèÿìè:
(1) âåêòîð ~ν îðòîãîíàëåí âåêòîðó ~r 0 (t0 ),
(2) âåêòîð ~ν ïàðàëëåëåí ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè,
(3) âåêòîð ~ν îáðàçóåò ñ âåêòîðîì ~r 00 (t0 ) îñòðûé óãîë,
(4) âåêòîð ~ν èìååò åäèíè÷íóþ äëèíó; k~ν k = 1.
Âåêòîð ~ν íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì ãëàâíîé íîðìàëè ê êðèâîé γ â òî÷êå p.
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî âåêòîð ~ν ìîæíî îïðåäåëèòü ôîðìóëîé
~ν = −
(~r 0 ,~r 00 )
|~r 0 |
0
~
~r 00 .
r
+
|~r 0 | · |~r 0 × ~r 00 |
|~r 0 × ~r 00 |
(1.2.7)
Âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè ~ν îïðåäåëåí èíâàðèàíòíî â òîì ñìûñëå, ÷òî åãî
íàïðàâëåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè êðèâîé γ .
Ïóñòü ~r = R̄(τ ) äðóãàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé γ . Òîãäà, êàê ìû óæå
çíàåì, ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ t = t(τ ) òàêàÿ, ÷òî ~r (t(τ )) = R̄(τ ) è
R̄τ0 = ~r 0t t0 ,
R̄τ00 τ = ~r 00t t (t̄ 0 )2 + ~r 0 (t)t00 .
Èç ýòèõ ôîðìóë ñëåäóåò, ÷òî (~ν , R̄τ0 ) = 0 è (~ν , R̄τ00 τ ) = (~ν ,~r 00t t )(t0 )2 è, ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð ~ν óäîâëåòâîðÿåò âñåì ÷åòûðåì óñëîâèÿì è îòíîñèòåëüíî
~r 0
~
ïàðàìåòðèçàöèè R̄(τ ). Ïî âåêòîðàì ~τ = 0 è ~ν ìû îïðåäåëèì âåêòîð β
|~r |
~ = ~τ × ~ν . Âåêòîð β
~ íàçîâåì âåêòîðîì áèíîðìàëè. Íàïðàâëåíèå
ôîðìóëîé β
~ çàâèñèò îò îðèåíòàöèè êðèâîé è ìåíÿåòñÿ íà îáðàòíîå ïðè
âåêòîðîâ ~τ è β
åå èçìåíåíèè. Âåêòîð æå ~ν , êàê ìû âèäåëè, îò îðèåíòàöèè íå çàâèñèò.
~ óäîáíåå íàõîäèòü â òàêîé ïîñëåäîâàòåëüÍà ïðàêòèêå âåêòîðû ~τ , ~ν è β
0
00
~r 0
~ = ~r × ~r , è óæå
íîñòè: ñíà÷àëà íàõîäèì âåêòîð ~τ = 0 , çàòåì âåêòîð β
|~r |
|~r 0 × ~r 00 |
~
çàòåì âåêòîð ~ν = β × ~τ (ñì. ðèñóíîê 1.2).
1.3
Äëèíà êðèâîé
Ïóñòü γ çàìêíóòàÿ äóãà íåêîòîðîé êðèâîé, ~r = ~r (t) åå ïàðàìåòðèçàöèÿ;
a ≤ t ≤ b. Íàçîâåì ïîëèãîíîì â R3 (R2 ) êðèâóþ, ñîñòàâëåííóþ èç îòðåçêîâ
ïðÿìûõ ëèíèé, ñîåäèíÿþùèõ ñîñåäíèå òî÷êè óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà
òî÷åê P1 , P2 , . . . , Pk . Ïîëèãîí σ íàçîâåì ïîëèãîíîì, ïðàâèëüíî âïèñàííûì
â êðèâóþ γ , åñëè ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå T îòðåçêà [a, b] òî÷êàìè t1 < t2 <
14
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ðèñ. 1.3: Ïîëèãîí ïðàâèëüíî âïèñàííûé â êðèâóþ.
−−→
. . . < tk òàêîå, ÷òî OPi = ~r (ti ). Êàæäîìó ïîëèãîíó ñîïîñòàâèì åãî äëèíó
Pk−1
l(σ), ïîëàãàÿ åå ðàâíîé i=1 Pi Pi+1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Γ(γ) ìíîæåñòâî
âñåõ ïîëèãîíîâ ïðàâèëüíî âïèñàííûõ â êðèâóþ γ (ñì. ðèñóíîê 1.3).
Îïðåäåëåíèå 1.3.1. Íåïðåðûâíóþ êðèâóþ γ íàçîâåì ñïðÿìëÿåìîé êðèâîé, åñëè supσ∈Γ(γ) l(σ) < ∞
Îïðåäåëåíèå 1.3.2. Äëèíîé ñïðÿìëÿåìîé êðèâîé γ íàçîâåì òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü äëèí âñåõ ïîëèãîíîâ, ïðàâèëüíî âïèñàííûõ â γ :
l(γ) = sup l(σ).
σ∈Γ(γ)
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñïðÿìëÿåìîñòè êðèâîé è
ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ åå äëèíû.
Òåîðåìà 1.3.1. Çàìêíóòàÿ äóãà ëþáîé ãëàäêîé êðèâîé ñïðÿìëÿåìà è
Z
l(γ) =
b
|~r 0 (t)| dt.
a
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ~r = ~r (t), t ∈ [a, b] ãëàäêàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ çàìêíóòîé äóãè γ äàííîé êðèâîé. Âîçüìåì ëþáîé ïîëèãîí σ : P1 , P2 , . . . , Pk
èç êëàññà Γ(γ). Äëèíà i−ãî çâåíà ïîëèãîíà σ
Pi Pi+1 = |~r (ti+1 ) − ~r (ti )| =
p
= (x(ti+1 ) − x(ti ))2 + (y(ti+1 ) − y(ti ))2 + (z(ti+1 ) − z(ti ))2 .
Ê êàæäîé èç ôóíêöèé x(t), y(t) è z(t) ïðèìåíèì ôîðìóëó Ëàãðàíæà. Ïîëó÷èì
p
Pi Pi+1 = (x0 (ξi ))2 + (y 0 (ηi ))2 + (z 0 (ςi ))2 4ti ,
(1.3.8)
ãäå ti ≤ ξi ≤ ti+1 , ti ≤ ηi ≤ ti+1 , ti ≤ ςi ≤ ti+1 , 4ti = ti+1 − ti .
Òàê êàê ôóíêöèè x0 (t), y 0 (t) è z 0 (t) íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [a, b], òî
ïî ïåðâîé òåîðåìå Âåéðøòðàññà îíè îãðàíè÷åíû íà ýòîì îòðåçêå, òî åñòü
ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M , ÷òî |x0 (t)| < M , |y 0 (t)| < M , |z 0 (t)| < M , ïðè
âñåõ t ∈ [a, b]. Ïîëüçóÿñü ïîñëåäíèì íåðàâåíñòâîì, ìû ïîëó÷àåì
l(σ) =
k−1
X
Pi Pi+1 ≤
i=1
√
3M
k−1
X
4ti =
√
3M (b − a).
i=1
Ïîñêîëüêó σ ïðîèçâîëüíûé ïîëèãîí èç êëàññà Γ(γ), òî
√
sup l(σ) ≤ 3M (b − a) < ∞.
Γ(γ)
σ∈Γ
Èòàê, ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1.3.1 äîêàçàíî. Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó âòîðîé ÷àñòè òåîðåìû 1.3.1
Êàæäîìó ïîëèãîíó σ : P1 , P2 , . . . , Pk , ïðàâèëüíî âïèñàííîìó â êðèâóþ
γ , ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå ðàçáèåíèå
T (σ) : t1 < t2 < . . . < tk
1.3
15
Äëèíà êðèâîé
îòðåçêà [a, b] è, íàîáîðîò, êàæäîìó ðàçáèåíèþ T : t1 < t2 < . . . < tk îòðåçêà
[a, b] ñîîòâåòñòâóåò ïîëèãîí σ(T ) : P1 , P2 , . . . , Pk , ãäå Pi åñòü êîíåö âåêòîðà
~r (ti ). Äëÿ êàæäîãî ïîëèãîíà σ(T ) îïðåäåëèì ÷èñëî δ(T ) = max 4ti .
i=1...k−1
Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 íàéäåòñÿ ðàçáèåíèå T : t1 < t2 < . . . <
tk îòðåçêà [a, b], äëÿ êîòîðîãî îäíîâðåìåííî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà:
|l(γ) − l(σ(T ))| ≤
l(σ(T )) −
k−1
X
ε
,
3
|~r 0 (ti )|4ti ≤
i=1
k−1
X
|~r 0 (ti )|4ti −
Z
ε
.
3
b
|~r 0 (t)|dt ≤
a
i=1
(1.3.9)
(1.3.10)
ε
,
3
(1.3.11)
Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ äëèíû êðèâîé γ è åå ñïðÿìëÿåìîñòè ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ðàçáèåíèÿ T1 îòðåçêà [a, b], ÷òî íåðàâåíñòâî (1.3.9)
âûïîëíÿåòñÿ. Ñóììà
k−1
X
|~r 0 (ti )|4ti
i=1
åñòü èíòåãðàëüíàÿ ñóììà Ðèìàíà äëÿ èíòåãðàëà
Z b
|~r 0 (t)| dt.
a
Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî δ0 , ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T îòðåçêà
[a, b], äëÿ êîòîðîãî δ(T ) < δ0 , íåðàâåíñòâî (1.3.11) âûïîëíÿåòñÿ. Âîçüìåì
òåïåðü ðàçáèåíèå T2 îòðåçêà [a, b] òàêîå, ÷òî îíî ñîäåðæèò ðàçáèåíèå T1 , è
äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (1.3.11). Äëÿ ðàçáèåíèÿ T2 , â ñèëó
íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà, îäíîâðåìåííî, âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà (1.3.9)
è (1.3.11). Ôóíêöèè x0 (t), y 0 (t) è z 0 (t) íåïðåðûâíû è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû íà [a, b]. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε1 > 0 ñóùåñòâóåò
÷èñëî δ1 > 0 òàêîå, ÷òî ïðè |t00 − t0 | < δ1 âûïîëíåíî
|x0 (t00 ) − x0 (t0 )| < ε1 ,
|y 0 (t00 ) − y 0 (t0 )| < ε1 ,
|z 0 (t00 ) − z 0 (t0 )| < ε1 .
Âîçüìåì òåïåðü ðàçáèåíèå T3 îòðåçêà [a, b], ñîäåðæàùåå ðàçáèåíèå T2 è óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó δ(T3 ) ≤ min{δ0 , δ1 }. Äëÿ i−ãî çâåíà Pi Pi+1 ýòîãî
ðàçáèåíèÿ, èìååì
|Pi Pi+1 − |~r 0 (ti )|4ti | =
p
p
=
(x0 (ξi ))2 + (y 0 (ηi ))2 + (z 0 (ζi ))2 − (x0 (ti ))2 + (y 0 (ti ))2 + (z 0 (ti ))2 4ti ≤
p
√
≤ (x0 (ξi ) − x0 (ti ))2 + (y 0 (ηi ) − y 0 (ti ))2 + (z 0 (ζi ) − z 0 (ti ))2 4ti ≤ 3ε1 4ti ,
ïðåäïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà.
Ñêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà ïîëó÷èì
n(T3 )−1
l(σ(T3 )) −
X
i=1
|~r 0 (ti )|4ti ≤
√
3ε1 (b − a),
16
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
ãäå n(T3 ) ÷èñëî
√ çâåíüåâ ðàçáèåíèÿ T3 . Âûáåðåì ε1 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü
íåðàâåíñòâî 3ε1 (b − a) < 3ε . Òàêèì îáðàçîì, åñëè â êà÷åñòâå ðàçáèåíèÿ T
îòðåçêà [a, b] ìû âîçüìåì ðàçáèåíèå T3 , òî íåðàâåíñòâà (1.3.9), (1.3.10) è
(1.3.11) áóäóò âûïîëíÿòüñÿ îäíîâðåìåííî. Ïîýòîìó ñêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà ïîëó÷èì
Z b
ε ε ε
l(γ) −
|~r 0 (t)| dt ≤ + + = ε.
3 3 3
a
Òàê êàê ε > 0 áûëî âûáðàíî ïðîèçâîëüíî, òî âòîðàÿ ÷àñòü òåîðåìû 1.3.1
äîêàçàíà.
Åñëè êðèâàÿ γ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé, òî åå äëèíó ìîæíî
âû÷èñëèòü, êàê ñóììó äëèí åå ãëàäêèõ ÷àñòåé. Âïðî÷åì, ëþáàÿ êóñî÷íîãëàäêàÿ êðèâàÿ èìååò ãëàäêóþ (íåðåãóëÿðíóþ!) ïàðàìåòðèçàöèþ (äîêàçàòü).
Ïðîèçâîëüíóþ êðèâóþ ìû íàçîâåì ñïðÿìëÿåìîé, åñëè ëþáàÿ åå çàìêíóòàÿ
êîíå÷íàÿ äóãà ñïðÿìëÿåìà. Äëÿ ñïðÿìëÿåìûõ êðèâûõ ìîæíî ââåñòè òàê
íàçûâàåìóþ åñòåñòâåííóþ ïàðàìåòðèçàöèþ, îñíîâàííóþ íà ñóùåñòâîâàíèè äëèíû ëþáîé åå çàìêíóòîé äóãè. Ïóñòü γ îðèåíòèðîâàííàÿ ñïðÿìëÿåìàÿ êðèâàÿ. Âîçüìåì íà íåé ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó p0 ∈ γ , ñîïîñòàâèì òî÷êå
p0 çíà÷åíèå ïàðàìåòðà s, ðàâíîå íóëþ. Ëþáîé äðóãîé òî÷êå p ∈ γ ñîïîñòàâèì çíà÷åíèå ïàðàìåòðà s, ðàâíîå äëèíå äóãè p0 p êðèâîé γ , âçÿòîå ñî çíàêîì
(+) åñëè p ñëåäóåò çà p0 è ñî çíàêîì (−), åñëè p ïðåäøåñòâóåò p0 . Åñëè êðèâàÿ γ èìååò ãëàäêóþ, ðåãóëÿðíóþ ïàðàìåòðèçàöèþ ~r = ~r (t), òî åñòåñòâåííàÿ
ïàðàìåòðèçàöèÿ ÿâëÿåòñÿ òàêæå ãëàäêîé è ðåãóëÿðíîéRïàðàìåòðèçàöèåé. Â
t
ñàìîì äåëå, ñ ó÷åòîì çíàêà äëèíà äóãè p0 p = s(t) = 0 |~r 0 (t)|dt. Ôóíêöèÿ
ds
0
s(t) äèôôåðåíöèðóåìà è dt = |~r (t)| > 0. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ
ôóíêöèÿ t = t(s) è
1
dt
= 0
.
(1.3.12)
ds
|~r (t(s))|
Åñòåñòâåííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé γ : ~r = ~r (s) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
~r (s) = ~r (t(s)).
(1.3.13)
Èç ôîðìóëû (1.3.13) ñëåäóåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü âåêòîð-ôóíêöèè ~r (s) è
|~r 0 (s)| = ~r 0 (t)
dt
|~r 0 (t)|
= 0
= 1.
ds
|~r (t)|
(1.3.14)
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïîêàçûâàåò, ÷òî äàííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé ïàðàìåòðèçàöèåé.  åñòåñòâåííîé ïàðàìåòðèçàöèè ~r = ~r (s) ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ~τ , âåêòîðà ãëàâíîé íîðìàëè ~ν
~ ïðèíèìàþò íàèáîëåå ïðîñòîé âèä:
è âåêòîðà áèíîðìàëè β
~τ (s) = ~r 0 (s),
~ν (s) =
~r 00 (s)
,
|~r 00 (s)|
0
00
~ (s) = ~r (s) × ~r (s) .
β
|~r 00 (s)|
(1.3.15)
 ñàìîì äåëå, ïåðâàÿ ôîðìóëà ñëåäóåò èç (1.3.14), âòîðàÿ èç ðàâåíñòâà
(~r 0 (s),~r 0 (s))0 = 2(~r 0 ,~r 00 ) = 0.
Îòêóäà óæå ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð ~r 00 (s) îðòîãîíàëåí âåêòîðó ~r 0 (s), è, íàêîíåö,
~ (s).
ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà èç îïðåäåëåíèÿ âåêòîðà β
17
1.4. Çàäà÷è
1.3.1
Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû
1. γ : ~r = ~r (t) = x(y)~i + y(t) ~j + z(t) ~k ,
Z
b
a≤t≤b
b
Z
0
|~r (t)| dt =
l(γ) =
a
p 0
x 2 + y 0 2 + z 0 2 dt.
a
2. γ : y = f1 (x), z = f2 (x),
a≤x≤b
Z
b
l(γ) =
q
1 + f10 2 + f20 2 dx.
a
3. γ(t) : ~r = ~r (t) = x(t)~i + y(t) ~j ïëîñêàÿ êðèâàÿ
b
Z
l(γ) =
p 0
x 2 + y 0 2 dt.
a
4. γ : y = f (x),
a≤x≤b
Z
l(γ) =
b
p
1 + f 0 2 dx.
a
1.4
Çàäà÷è
Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ èç òåîðèè âûïóêëûõ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè.
Íàïîìíèì, ÷òî çàìêíóòàÿ îáëàñòü D íà ïëîñêîñòè R2 íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé
îáëàñòüþ, åñëè âìåñòå ñ ëþáîé ïàðîé òî÷åê A è B îíà ñîäåðæèò îòðåçîê
AB , ñîåäèíÿþùèé ýòè òî÷êè: A ∈ D, B ∈ D ⇒ AB ⊂ D. Ñâÿçíóþ êîìïîíåíòó ãðàíèöû âûïóêëîé îáëàñòè íàçûâàþò âûïóêëîé êðèâîé. Äðóãîå,
ýêâèâàëåíòíîå äàííîìó îïðåäåëåíèå âûïóêëîé êðèâîé ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: êðèâàÿ γ íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé êðèâîé åñëè ÷åðåç êàæäóþ åå
òî÷êó ìîæíî ïðîâåñòè îïîðíóþ ïðÿìóþ. Ïðÿìàÿ a íàçûâàåòñÿ îïîðíîé ïðÿìîé ê êðèâîé γ â òî÷êå p ∈ γ , åñëè a ïðîõîäèò ÷åðåç p è âñÿ êðèâàÿ ëåæèò
ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìîé a. Âûïóêëàÿ êðèâàÿ íå â êàæäîé ñâîåé òî÷êå
èìååò êàñàòåëüíóþ, íî â òåõ òî÷êàõ, ãäå êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ ñóùåñòâóåò,
îíà ÿâëÿåòñÿ îïîðíîé ïðÿìîé.
Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì è ðåøèì ðÿä çàäà÷ äëÿ âûïóêëûõ êðèâûõ.
Çàäà÷à 1.4.1. Ëþáàÿ çàìêíóòàÿ âûïóêëàÿ êðèâàÿ èìååò äëèíó (ñïðÿì-
ëÿåìà).
Ðåøåíèå. Ïóñòü σ : P1 , P2 , . . . , Pk = P1 ïðîèçâîëüíûé çàìêíóòûé ïîëèãîí, ïðàâèëüíî âïèñàííûé â êðèâóþ γ . Åñëè â òî÷êå Pi ïðîâåñòè îïîðíóþ ïðÿìóþ ê êðèâîé γ , òî òî÷êè Pi−1 è Pi+1 ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó
îò ýòîé ïðÿìîé è ïîýòîìó âíóòðåííèé óãîë ïîëèãîíà σ â âåðøèíå Pi íå
ïðåâîñõîäèò π . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëèãîí σ âûïóêëûé ïîëèãîí. Òàê êàê
γ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ, òî ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê M, ñîäåðæàùèé åå, à
ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæàùèé σ , îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî: l(σ) ≤ l(∆).
Òàê êàê σ ïðîèçâîëüíûé ïðàâèëüíî âïèñàííûé â γ ïîëèãîí, òî èìååì
l(γ) = supσ∈ΓΓ(γ) l(σ) ≤ l(∆).
18
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ðèñ. 1.4: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.4.3.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëèíó çàìêíóòîé âûïóêëîé êðèâîé ìîæíî âû÷èñëèòü,
çíàÿ äëèíó åå îðòîãîíàëüíûõ ïðîåêöèé íà âñå ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç
îäíó òî÷êó. Îáîçíà÷èì ÷åðåç a(ϕ) ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïîä óãëîì ϕ ê îñè OX , à ÷åðåç dγ (ϕ) äëèíó îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè
êðèâîé γ íà ïðÿìóþ a(ϕ).
Rπ
Çàäà÷à 1.4.2. Âûâåñòè ôîðìóëó l(γ) = 12 0 dγ (ϕ) dϕ.
Ðåøåíèå. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê µ ïðÿìîé äëèíû d. Íå óìåíü-
øàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îí ëåæèò íà îñè OY . Òîãäà dµ (ϕ) =
d · sin ϕ è
Z π
Z π
dµ (ϕ) dϕ =
d sin ϕ dϕ = d(− cos ϕ)|π0 = 2d.
0
0
Ïóñòü òåïåðü σ : P1 , P2 , .P
. . , Pk = P1 ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé çàìêíóòûé
k−1
ïîëèãîí. Òîãäà dσ (ϕ) = i=1 dPi Pi+1 (ϕ) è
Z
π
dσ (ϕ)dϕ =
0
k−1
XZ π
i=1
0
dPi Pi+1 (ϕ)dϕ = 2
k−1
X
Pi Pi+1 = 2l(σ).
i=1
Òåì ñàìûì, ìû äîêàçàëè ôîðìóëó äëÿ ïîëèãîíîâ. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé âûïóêëîé êðèâîé ôîðìóëà çàäà÷è 1.4.2 ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåé ôîðìóëû è
îïðåäåëåíèÿ äëèíû êðèâîé.
Çàäà÷à 1.4.3. Ïóñòü γ1 (s) è γ2 (s) ãëàäêèå êðèâûå â R3 ,~
r 1 = ~r 1 (s) è ~r 2 =
~r 2 (s) óðàâíåíèÿ γ1 è γ2 ñîîòâåòñòâåííî, s äëèíà äóãè. Îáîçíà÷èì
÷åðåç l(s) äëèíó îòðåçêà γ1 (s)γ2 (s). Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
dl
= cos α1 (s) + cos α2 (s),
ds
d~r 1 −−→
−−→
ãäå α1 (s) è α2 (s) óãëû ìåæäó âåêòîðàìè γ2 γ1 è ~τ 1 =
, γ1 γ2 è ~τ 2 =
ds
d~r 2
, ñîîòâåòñòâåííî.
ds
Ðåøåíèå. Åñëè óðàâíåíèÿ êðèâûõ γ1 , è γ2 çàïèñàòü â ïàðàìåòðè÷åñêîé
ôîðìå x1 = x1 (s), y1 = y1 (s), z1 = z1 (s) è x2 = x2 (s), y2 = y2 (s), z2 = z2 (s),
ñîîòâåòñòâåííî, òî
p
l(s) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
è
(x2 − x1 )(x02 − x01 ) + (y2 − y1 )(y20 − y10 ) + (z2 − z1 )(z20 − z10 )
dl
p
=
=
ds
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
(x1 − x2 )x01 + (y1 − y2 )y10 + (z1 − z2 )z10
+
l(s)
(x2 − x1 )x02 + (y2 − y1 )y20 + (z2 − z1 )z20
=
+
l(s)
!
!
−−→
−−→
γ2 γ1
γ1 γ2
= −−→ , ~τ 1 + −−→ , ~τ 2 = cos α1 (s) + cos α2 (s).
|γ2 γ1 |
|γ1 γ2 |
=
1.4
19
Çàäà÷è
Ðèñ. 1.5: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.4.4.
dl
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà êðèâàÿ γ2 âûðîæäàåòñÿ â òî÷êó, òî
= cos α1 (s).
ds
Åñëè æå êðèâûå γ1 è γ2 ïàðàìåòðèçîâàíû ïðîèçâîëüíûì ïàðàìåòðîì t, è
dl
ds1
ds2
l(t) = γ1 (t)γ2 (t), òî
= cos α1 (t)
+ cos α2 (t)
.
dt
dt
dt
Çàäà÷à 1.4.4. Ïóñòü γ äóãà ãëàäêîé âûïóêëîé êðèâîé ñ êîíöàìè â òî÷-
êàõ A1 è A2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç l(h) äëèíó õîðäû A1 (h)A2 (h) êðèâîé γ , ïàðàëëåëüíîé ïðÿìîé A1 A2 è îòñòîÿùåé îò íåå íà ðàññòîÿíèå h. ×åðåç α1 (h)
è α2 (h) îáîçíà÷èì óãëû, êîòîðûå õîðäà A1 (h)A2 (h) îáðàçóåò ñ êðèâîé γ .
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
dl
= ctg α1 (h) + ctg α2 (h).
dh
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç B òî÷êó íà γ , â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ïàðàë-
ëåëüíà ïðÿìîé A1 A2 . Òî÷êà B ðàçáèâàåò γ íà äâå äóãè: γ1 îò A1 äî B è
γ2 îò A2 äî B . Ïóñòü ~r 1 = ~r 1 (s) è ~r 2 = ~r 2 (s) åñòåñòâåííûå ïàðàìåòðèçàöèè ýòèõ äóã. Íà êðèâûõ γ1 è γ2 îïðåäåëèì äâå ôóíêöèè h1 (s) è h2 (s),
ðàâíûå ðàññòîÿíèþ îò òî÷åê r1 (s) è r2 (s) äî ïðÿìîé A1 A2 , ñîîòâåòñòâåííî.
dh2
dh1
Òîãäà èç ôîðìóëû çàäà÷è 1.4.3 ñëåäóåò
= cos β1 (s) è
= cos β2 (s),
ds
ds
π
π
dh1
dh2
ãäå β1 = α1 −
è β2 = α2 − , èëè
= sin α1 (s),
= sin α2 (s). Èç
2
2
ds
ds
ôîðìóëû òîé æå çàäà÷è 1.4.3 ñëåäóåò
dl
ds
cos α1
cos α2
ds
= cos α1
+ cos α2
=
+
= ctg α1 + ctg α2 .
dh
dh1
dh2
sin α1
sin α2
Çàêîí÷èì ýòîò ïàðàãðàô ðàññêàçîì îá èçîïåðèìåòðè÷åñêîé çàäà÷å:
Çàäà÷à 1.4.5. Ñðåäè âñåõ çàìêíóòûõ êðèâûõ äàííîé äëèíû íàéòè òó,
êîòîðàÿ îãðàíè÷èâàåò îáëàñòü íàèáîëüøåé ïëîùàäè.
Ýòî óòâåðæäåíèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàêæå â ñëåäóþùåì âèäå. Ïóñòü
l äëèíà íåêîòîðîé çàìêíóòîé êðèâîé, à S ïëîùàäü îáëàñòè D(γ), îãðàíè÷åííîé γ . Òîãäà äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé êðèâîé ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:
1 2
l è çíàê ðàâåíñòâà äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà γ S ≤
4π
åñòü îêðóæíîñòü. Ýòî íåðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêèì íåðàâåíñòâîì.
Ðåøåíèå. Ðåøèì ýòó çàäà÷ó â ïðåäïîëîæåíèè ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìàëü-
íîé êðèâîé. Ïóñòü γ ýêñòðåìàëüíàÿ êðèâàÿ, ò.å. êðèâàÿ äëèíû l, îãðàíè÷èâàþùàÿ îáëàñòü íàèáîëüøåé ïëîùàäè. Òîãäà îíà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè
ñâîéñòâàìè:
1) γ âûïóêëàÿ êðèâàÿ,
2) åñëè òî÷êè A1 è A2 äåëÿò γ íà äâå äóãè ðàâíîé äëèíû, òî õîðäà A1 A2
äåëèò îáëàñòü D(γ) íà äâå ðàâíîâåëèêèå îáëàñòè D1 è D2 .
20
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ðèñ. 1.6: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.4.5.
Äîêàæåì ïåðâîå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü γ íå âûïóêëà. Òîãäà íà γ ñóùåñòâóþò äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè B1 è B2 òàêèå, ÷òî âñÿ êðèâàÿ γ ëåæèò ïî îäíó
ñòîðîíó îò ïðÿìîé B1 B2 , à âíóòðåííèå òî÷êè îòðåçêà B1 B2 íå ïðèíàäëåæàò γ . Òî÷êè B1 è B2 ðàçáèâàþò γ íà äâå äóãè γ1 è γ2 . Âìåñòå ñ îòðåçêîì
B1 B2 îíè îáðàçóþò äâå çàìêíóòûå êðèâûå σ1 è σ2 , îäíà èç êîòîðûõ, ïóñòü
ýòî áóäåò σ1 , ëåæèò âíóòðè äðóãîé. Âîçüìåì êðèâóþ γ 1 , ñèììåòðè÷íóþ
êðèâîé γ1 îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé B1 B2 . Òîãäà êðèâàÿ γ = γ 1 ∪ γ2 åñòü çàìêíóòàÿ êðèâàÿ òîé æå äëèíû l, îãðàíè÷èâàþùàÿ îáëàñòü D(γ) ⊃ D(γ) è
S(D(γ)) > S(D(γ)), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñâîéñòâó ýêñòðåìàëüíîñòè êðèâîé γ .
Äîêàæåì âòîðîå óòâåðæäåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòðåçîê A1 A2 ðàçáèâàåò
îáëàñòü D(γ) íà äâå îáëàñòè D1 è D2 íåðàâíîé ïëîùàäè. Ïóñòü S(D2 ) >
S(D1 ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç D2 îáëàñòü, ñèììåòðè÷íóþ D2 îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé A1 A2 . Îáëàñòü D = D2 + D2 èìååò ïëîùàäü ñòðîãî áîëüøóþ, ÷åì ïëîùàäü D(γ), à äëèíà åå ãðàíèöû ðàâíà l, ÷òî ñíîâà ïðîòèâîðå÷èò ñâîéñòâó
ýêñòðåìàëüíîñòè γ .
Ðåøåíèå çàäà÷è çàêîí÷èì èçÿùíûì è êðàñèâûì ðàññóæäåíèåì, ïðèíàäëåæàùèì Øòåéíèöó. Ïóñòü A1 è A2 òî÷êè, êîòîðûå äåëÿò γ íà äâå äóãè
ðàâíîé äëèíû. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó B ∈ γ , B 6= A1 , B 6= A2 . Òîãäà óãîë A1 BA2 = 900 .  ñàìîì äåëå, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà
B0 ∈ γ è ∠A1 B0 A2 6= 900 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç δ1 äóãó A1 B0 êðèâîé γ , è ÷åðåç
δ2 äóãó B0 A2 . Äóãà δ1 âìåñòå ñ õîðäîé A1 B0 îãðàíè÷èâàåò îáëàñòü K1 ,
à äóãà δ2 âìåñòå ñ õîðäîé B0 A2 îáëàñòü K2 . Ïîñòðîèì òåïåðü 4A1 B 0 A2 ,
ó êîòîðîãî A1 B 0 = A1 B0 , A2 B 0 = A2 B0 , à óãîë A1 B 0 A2 ðàâåí 900 . Òîãäà
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî S(4A1 B 0 A2 ) > S(4A1 B0 A2 ). Ïîñòðîèì òåïåðü
îáëàñòü D1 , ïðèêëàäûâàÿ ê êàòåòàì òðåóãîëüíèêà A1 B 0 A2 îáëàñòè K1 è K2 ,
ñîîòâåòñòâåííî, è ñèììåòðè÷íóþ åé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé A1 A2 îáëàñòü D2 .
Îáëàñòü D = D1 ∪ D2 èìååò ãðàíèöó òîé æå äëèíû l, à åå ïëîùàäü ñòðîãî
áîëüøå ïëîùàäè D(γ), ÷òî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîé òî÷êè
B ∈ γ è B 6= A1 , B 6= A2 óãîë A1 BA2 = 900 , íî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êðèl
, à ïëîùàäü
âàÿ γ åñòü îêðóæíîñòü. Ðàäèóñ R ýòîé îêðóæíîñòè ðàâåí
2π
2
2
l
l
S(D(γ)) =
, òî åñòü S =
.
4π
4π
1.5
Êðèâèçíà êðèâîé
Ïóñòü γ íåêîòîðàÿ ãëàäêàÿ êðèâàÿ â R3 . Âîçüìåì íà íåé ôèêñèðîâàííóþ
òî÷êó P0 è ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó P1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç 4s äëèíó äóãè P0 P1
êðèâîé γ , à ÷åðåç 4θ óãîë ìåæäó êàñàòåëüíûìè âåêòîðàìè ~τ 0 è ~τ 1 , ê
êðèâîé γ â òî÷êàõ P0 è P1 .
Îïðåäåëåíèå 1.5.1. Ïðåäåë
lim
P0 →P1
4θ
4θ
= lim
,
4s 4s→0 4s
åñëè îí ñóùåñòâóåò, íàçûâàåòñÿ êðèâèçíîé êðèâîé γ â òî÷êå P0 .
Êðèâèçíó êðèâîé γ â òî÷êå γ(t) áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç k(t).
21
1.5. Êðèâèçíà êðèâîé
Ðèñ. 1.7: Èëëþñòðàöèÿ ê òåîðåìå 1.5.1.
Ïðèìåð 1.5.1. Ïóñòü γ ïðÿìàÿ ëèíèÿ, òîãäà 4θ ≡ 0 è k ≡ 0 âî âñåõ
òî÷êàõ ïðÿìîé ëèíèè.
Ïðèìåð 1.5.2. Ïóñòü γ îêðóæíîñòü ðàäèóñà R, òîãäà 4s = R4θ è
lim 4θ
4s→0 4s
=
1
R,
òî÷êå è ðàâíà
òî åñòü êðèâèçíà îêðóæíîñòè îäíà è òà æå â ëþáîé åå
1
R.
Ïîçäíåå ìû äîêàæåì, ÷òî äðóãèõ êðèâûõ ïîñòîÿííîé êðèâèçíû êðîìå
îêðóæíîñòè è ïðÿìîé ëèíèè, íà ïëîñêîñòè íå ñóùåñòâóåò. Îïðåäåëåíèå è
ïðèìåðû 1 è 2 ïîêàçûâàþò, ÷òî êðèâèçíà êðèâîé ÿâëÿåòñÿ ìåðîé îòêëîíåíèÿ êðèâîé â îêðåñòíîñòè äàííîé òî÷êè îò ïðÿìîé, è ÷åì êðèâèçíà áîëüøå,
òåì áîëüøå è ýòî îòêëîíåíèå. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êðèâèçíû è ôîðìóëó äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ.
Òåîðåìà 1.5.1. Åñëè γ åñòü ðåãóëÿðíàÿ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåí-
öèðóåìàÿ êðèâàÿ, òî â êàæäîé åå òî÷êå ñóùåñòâóåò êðèâèçíà, è åñëè
|~r 0 × ~r 00 |
~r = ~r (t) åå ðåãóëÿðíàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ, òî k =
.
|~r 0 |3
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ~r = ~r (s) åñòåñòâåííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé
γ , p1 = ~r (s1 ), p2 = ~r (s2 ). Òîãäà 4s = |s2 − s1 |, à 4θ åñòü óãîë ìåæäó
âåêòîðàìè ~r 0 (s1 ) è ~r 0 (s2 ). Òàê êàê |~r 0 (s1 )| = |~r 0 (s2 )| = 1, òî 2 sin 4θ
2 =
|~r 0 (s1 ) − ~r 0 (s2 )|. Ïîýòîìó
4θ
|~r 0 (s1 ) − ~r 0 (s2 )|
4θ
= lim
lim
= |~r 00 (s1 )|.
4θ
Ms→0 4s
4θ→0 2 sin
4s→0
4s
2
lim
Òåì ñàìûì ïåðâàÿ ÷àñòü òåîðåìû 1.5.1 äîêàçàíà. Êðîìå òîãî, ìû èìååì
ôîðìóëó
k = |~r 00 (s)|
â òî÷êå γ(s). Ïóñòü òåïåðü ~r = ~r (t) ïðîèçâîëüíàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ. Òîãäà
dt
1
= ~r 0t (t) 0
,
ds
|~r (t)|
2
~r 00
dt
d2 t
(~r 00 ,~r 0 )
=~r 00tt
+ ~r 0t 2 = 0tt2 − ~r 0t tt 0 4 t
ds
ds
|~r t |
|~r t |
~r 0s =~r 0t
~r 00ss
è
(~r 00tt ,~r 00tt ) 2(~r 00tt ,~r 0t )2
(~r 00tt ,~r 0t )2
−
+
=
|~r 0t |4
|~r 0t |6
|~r 0t |6
|~r 00 |2 |~r 0t |2 − (~r 00tt ,~r 0t )2
|~r 0t × ~r 00tt |2
= tt
=
,
|~r 0t |6
|~r 0t |6
k 2 = |~r 00ss |2 =
îòêóäà
k=
|~r 00tt × ~r 0t |
.
|~r 0t |3
22
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ðèñ. 1.8: Çíàê êðèâèçíû ïëîñêîé êðèâîé.
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïîêàçûâàåò, ÷òî óñëîâèå íåêîëëåíèàðíîñòè âåêòîðîâ ~r 0t è ~r 00tt íîñèò ãåîìåòðè÷åñêèé õàðàêòåð è íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè. Åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå êðèâèçíà êðèâîé γ îòëè÷íà îò íóëÿ,
òî âåêòîðû ~r 0t è ~r 00tt íåêîëëåíèàðíîñòè è íàîáîðîò. Ýòî çàìå÷àíèå äàåò âîçìîæíîñòü äàòü ãåîìåòðè÷åñêîå óñëîâèå åäèíñòâåííîñòè ñîïðèêàñàþùåéñÿ
ïëîñêîñòè ê êðèâîé γ â íåêîòîðîé åå òî÷êå p è äîïîëíèòü òåîðåìó 1.2.2
ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèåì.
Òåîðåìà 1.5.2. Äëÿ òîãî, ÷òîáû â íåêîòîðîé òî÷êå ðåãóëÿðíîé äâàæäû
íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé ñóùåñòâîâàëà åäèíñòâåííàÿ ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â ýòîé òî÷êå
êðèâèçíà êðèâîé γ áûëà áû îòëè÷íà îò íóëÿ.
Êàê ìû óæå çíàåì, ïðÿìàÿ ëèíèÿ â êàæäîé ñâîåé òî÷êå èìååò íóëåâóþ
êðèâèçíó. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè êðèâèçíà êðèâîé γ â êàæäîé òî÷êå ðàâíà
íóëþ, òî γ åñòü ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Â ñàìîì äåëå, åñëè k ≡ 0, òî ~r 00ss ≡ 0, îòêóäà
ñëåäóåò ~r 0s = c̄1 è ~r = c̄1 s + c̄2 .
1.5.1
Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû
(1) γ : ~r = ~r (t) = x(t)~i + y(t) ~j + z(t) ~k
p
(y 0 z 00 − z 0 y 00 )2 + (z 0 x00 − x0 z 00 )2 + (x0 y 00 − y 0 x00 )2
.
k=
3
(x0 2 + y 0 2 + z 0 2 ) 2
(2) γ ïëîñêàÿ êðèâàÿ ~r = ~r (t) = x(t)~i + y(t) ~j
k=
(3) γ : y = f (x)
k=
1.6
|y 00 x0 − x00 y 0 |
3
(x0 2 + y 0 2 ) 2
|f 00 (x)|
3
(1 + f 0 2 (x)) 2
.
.
Ïëîñêèå êðèâûå
Äëÿ ïëîñêèõ êðèâûõ êðèâèçíå êðèâîé ìîæíî ïðèïèñàòü çíàê. Ýòî ìîæíî
ñäåëàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âäîëü êðèâîé ïîñòðîèì ïðîèçâîëüíîå íåïðåðûâíîå ïîëåé íîðìàëåé n(t). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî êðèâèçíà êðèâîé γ â òî÷êå
p = ~r (t) ïîëîæèòåëüíà, åñëè âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè ~ν (t) êðèâîé γ ñîâïàäàåò ñ n(t), è îòðèöàòåëüíà â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå. Äëÿ çàìêíóòîé
ïðîñòîé êðèâîé γ ïîëå n(t) áóäåì âñåãäà íàïðàâëÿòü âî âíóòðü îáëàñòè,
êîòîðóþ êðèâàÿ γ îãðàíè÷èâàåò.  ýòîì ñëó÷àå êðèâèçíà êðèâîé γ â íåêîòîðîé åå òî÷êå ïîëîæèòåëüíà, åñëè îíà âûïóêëà "íàðóæó", è îòðèöàòåëüíà,
åñëè îíà âûïóêëà "âíóòðü"(ñì. ðèñóíîê 1.8).
 ÷àñòíîñòè, ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè çíàêà êðèâèçíû çàìêíóòîé êðèâîé,
âûïóêëàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ èìååò â êàæäîé ñâîåé òî÷êå íåîòðèöàòåëüíóþ
1.6. Ïëîñêèå êðèâûå
23
êðèâèçíó. Äëÿ îðèåíòèðîâàííûõ êðèâûõ çíàê êðèâèçíû ìîæíî îïðåäåëèòü,
êàê ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ óãëà α(t) ìåæäó âåêòîðîì ~r 0 (t) è îðòîì îñè OX , ïîëàãàÿ sign k = sign dα
dt . Çíà÷åíèå óãëà α(t) îïðåäåëÿåòñÿ òàê: óãîë α(0) ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì ëèáî óãëó, îòñ÷èòûâàåìîìó îò OX ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è
òîãäà îí áåðåòñÿ ñî çíàêîì (+), ëèáî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, è òîãäà îí áåðåòñÿ
ñî çíàêîì (−). Äëÿ îñòàëüíûõ t óãîë α(t) îïðåäåëÿåòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè è
âîçðàñòàåò, åñëè âåêòîð ~r 0 (t) âðàùàåòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è óáûâàåò
â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå.
 ÷àñòíîñòè, åñëè ïëîñêàÿ êðèâàÿ γ çàäàíà ÿâíûì óðàâíåíèåì y = f (x),
òî íà íåé åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåò îðèåíòàöèÿ (ïî âîçðàñòàíèþ
x) è òîãäà çíàê êðèâèçíû ñîâïàäàåò ñî çíàêîì f 00 , òî-åñòü â ýòîì ñëó÷àå
f 00
k =
3 . Åñëè æå êðèâàÿ çàäàåòñÿ åñòåñòâåííîé ïàðàìåòðèçàöèåé,
(1 + f 0 2 ) 2
dα
òî k(s) =
. Åñëè êðèâèçíà k êðèâîé â íåêîòîðîé òî÷êå îòëè÷íà îò íóds
1
ëÿ, òî ÷èñëî
íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì êðèâèçíû êðèâîé â äàííîé òî÷êå è
|k|
1
. Èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû ðàîáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç R; R =
|k|
âåí áåñêîíå÷íîñòè, åñëè êðèâèçíà ðàâíà íóëþ, êðîìå òîãî, èíîãäà ðàäèóñó
1
êðèâèçíû R ïðèïèñûâàþò çíàê, â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé R = .
k
Ïëîñêèå êðèâûå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ñâîåé êðèâèçíîé k(s), çàäàííîé, êàê ôóíêöèåé äëèíû äóãè s. Íî ïðåæäå, ÷åì ñôîðìóëèðîâàòü ýòó òåîðåìó, ìû îáîáùèì îïðåäåëåíèå êðèâîé, äàííîå íàìè ðàíåå.
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.1.1 ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé êðèâîé ìû ïîíèìàåì
äèôôåðåíöèðóåìûé îáðàç îòðåçêà èëè îêðóæíîñòè â R2 (R3 ). Ïðè èçó÷åíèè
ëîêàëüíûõ ñâîéñòâ êðèâîé ýòîãî îïðåäåëåíèÿ áûëî äîñòàòî÷íî. Îäíàêî ïðè
èçó÷åíèè ñâîéñòâ êðèâîé â öåëîì íåèçáåæíî âîçíèêàþò êðèâûå, èìåþùèå
òî÷êè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ. Êðîìå òîãî, êðèâûå, îïðåäåëÿåìûå ãåîìåòðè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè, òàêæå äîñòàòî÷íî ÷àñòî èìåþò òî÷êè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ. Íàïðèìåð, óäëèíåííûå öèêëîèäà è ãèïîöèêëîèäû, ëåìíèñêàòà è ò.ä. Ïîýòîìó,
íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà, ïîä êðèâîé ìû áóäåì ïîíèìàòü ëîêàëüíî äèôôåîìîðôíûé îáðàç îòðåçêà èëè îêðóæíîñòè â R2 (R3 ).
Áîëåå ïîäðîáíî. Äâà ëîêàëüíûõ äèôôåîìîðôèçìà ϕ1 (t) è ϕ2 (t) îòðåçêà
èëè îêðóæíîñòè â R2 (R3 ) ìû áóäåì íàçûâàòü ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì t = t(τ ) îòðåçêà èëè îêðóæíîñòè íà ñåáÿ òàêîé, ÷òî
ϕ1 (t(τ )) ≡ ϕ2 (t).
Êëàññ ýêâèâàëåíòíûõ ëîêàëüíûõ äèôôåîìîðôèçìîâ ìû áóäåì íàçûâàòü ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé êðèâîé. Òî÷êó ñàìîïåðåñå÷åíèÿ ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé êðèâîé ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè è ñîïîñòàâëÿòü åé äâà êàñàòåëüíûõ âåêòîðà, äâà âåêòîðà ãëàâíîé íîðìàëè, äâà
çíà÷åíèÿ êðèâèçíû è ò.ä. Åñëè êðèâàÿ γ íå èìååò òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ,
òî òàêóþ êðèâóþ ìû áóäåì íàçûâàòü ïðîñòîé êðèâîé.
Òåîðåìà 1.6.1. Ïóñòü h(s) ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà îò-
ðåçêå [a, b]. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ, ñ òî÷íîñòüþ äî äâèæåíèÿ,
êðèâàÿ γ , äëÿ êîòîðîé h(s) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êðèâèçíû, à s äëèíîé
äóãè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèè x(s), y(s) è α(s) óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå
24
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
óðàâíåíèé
dx
dy
dα
= cos α(s),
= sin α(s),
= h(s).
ds
ds
ds
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, ïîëó÷èì
Z
Z s
Z s
cos α(s) ds, y(s) = y0 +
h(s) ds, x(s) = x0 +
α(s) = α0 +
sin α(s) ds.
0
0
0
s
Ïîëó÷åííàÿ êðèâàÿ γ : x = x(s), y = y(s) óäîâëåòâîðÿåò âñåì òðåáîâàíèÿì
òåîðåìû 1.6.1 Äîêàæåì, ÷òî s äëèíà äóãè. Ïî ôîðìóëå
Z sp
Z s
l=
x0 2 + y 0 2 ds =
ds = s − a.
a
a
Äàëåå, ïî ôîðìóëå
|k(s)| = |x00 (s)~i + y 00 (s) ~j | =
p
p
dα
= |h(s)|.
(x00 )2 + (y 00 )2 = |α0 |2 =
ds
Ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå çíàêà êðèâèçíû êðèâîé, ïîëó÷àåì k(s) = dα
ds = h(s).
Íàêîíåö, êîîðäèíàòû íà÷àëüíîé òî÷êè êðèâîé γ(s) ñóòü x0 , y0 , à íàïðàâëåíèå êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ~τ (α) îáðàçóåò ñ îñüþ OX óãîë α0 . Ïîýòîìó,
åñëè ñóùåñòâóþò äâå êðèâûå, ó êîòîðûõ ôóíêöèè êðèâèçíû ñîâïàäàþò, òî
äâèæåíèå, ñîâìåùàþùåå èõ íà÷àëüíûå òî÷êè è íàïðàâëåíèå êàñàòåëüíûõ
âåêòîðîâ â ýòîé òî÷êå, ñîâìåùàåò è ñàìè êðèâûå.
Èç òåîðåìû 1.6.1 ñðàçó æå ñëåäóåò, ÷òî åñëè êðèâèçíà êàêîé-ëèáî êðèâîé
ïîñòîÿííà, òî îíà åñòü ëèáî ÷àñòü ïðÿìîé, ëèáî äóãà îêðóæíîñòè. Óðàâíåíèå k = k(s) íàçûâàåòñÿ íàòóðàëüíûì óðàâíåíèåì êðèâîé.
Ïðîñòîé àíàëèç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1.6.1 ïîêàçûâàåò, ÷òî åå óòâåðæäåíèå îñòàåòñÿ âåðíûì, åñëè ôóíêöèÿ h(s) áóäåò òîëüêî èíòåãðèðóåìîé
ôóíêöèåé.  ÷àñòíîñòè, òåîðåìà 1.6.1 áóäåò âåðíà, åñëè ôóíêöèÿ h(s) áóäåò
êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ðàçðûâîâ ïåðâîãî ðîäà.  ýòîì ñëó÷àå êðèâàÿ γ , ñ óêàçàííîé ôóíêöèåé êðèâèçíû, áóäåò ãëàäêîé
ðåãóëÿðíîé êðèâîé, ñîñòîÿùåé èç êîíå÷íîãî ÷èñëà äóã êëàññ C 2 .
Òî÷êå, â êîòîðîé ñîïðÿãàþòñÿ äâå äóãè êëàññà C 2 , ìû áóäåì ïðèïèñûâàòü äâà çíà÷åíèÿ äëÿ ôóíêöèè êðèâèçíû: k− è k+ ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ äëÿ ôóíêöèè ñëåâà è ñïðàâà. Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî êðèâèçíà êðèâîé γ â ýòîé òî÷êå íå ìåíüøå k0 (íå áîëüøå k0 ), åñëè min(k− , k+ ) ≥ k0
(max(k− , k+ ) ≤ k0 ). Äî êîíöà ýòîãî ïàðàãðàôà, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ïîä êðèâîé γ ìû áóäåì ïîíèìàòü êðèâóþ ýòîãî êëàññà, òî-åñòü ãëàäêóþ
ðåãóëÿðíóþ êðèâóþ ñ êóñî÷íî íåïðåðûâíîé êðèâèçíîé k(s).
1.7
Çàäà÷è
Ïóñòü äâå ïëîñêèå êðèâûå γ1 è γ2 êàñàþòñÿ äðóã äðóãà â îáùåé òî÷êå M , è
ïóñòü çíàê êðèâèçíû êðèâûõ γ1 è γ2 îïðåäåëÿåòñÿ îäíîé è òîé æå íîðìàëüþ
~ . Îáîçíà÷èì ÷åðåç k1 è k2 êðèâèçíû êðèâûõ γ1 è γ2 â òî÷êå M .
n
Çàäà÷à 1.7.1. Åñëè k1 > k2 , òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü U òî÷-
êè M , â êîòîðîé êðèâàÿ γ1 ëåæèò ñòðîãî, èñêëþ÷àÿ òî÷êó M , ïî îäíó
~.
ñòîðîíó îò γ2 ñî ñòîðîíû âåêòîðà n
25
1.7. Çàäà÷è
Ðèñ. 1.9: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.1.
Ðèñ. 1.10: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.2.
Ðåøåíèå. Ââåäåì íà ïëîñêîñòè äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò (x, y), ïîëà-
~.
ãàÿ íà÷àëî ñèñòåìû â òî÷êå M , à îðò îñè OY , ñîâïàäàþùèì ñ âåêòîðîì n
Òîãäà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè V òî÷êè M óðàâíåíèÿ êðèâûõ γ1 è γ2 ìîæíî çàäàòü ÿâíûìè óðàâíåíèÿìè y = f1 (x), y = f2 (x). Èç óñëîâèÿ çàäà÷è
è ïîñòðîåíèÿ êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû, ñëåäóåò f1 (0) = f2 (0), f10 (0) = f20 (0)
è k1 (0) = f100 (0), k2 (0) = f200 (0). Ïóñòü f (x) = f1 (x) − f2 (x). Ïðèìåíèì ê
ôóíêöèè f (x) ôîðìóëó Òåéëîðà. Òàê êàê f (0) = f 0 (0) = 0, òî
1
ō(x2 )
.
f (x) = x2 (k1 − k2 ) +
2
x2
Èç ïîñëåäíåé
i ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ε > 0, ÷òî ïðè |x| < ε
h ôîðìóëû ñëåäóåò
âûðàæåíèå (k1 − k2 ) +
ō(x2 )
x2
ñòðîãî áîëüøå íóëÿ.
Åñëè êðèâàÿ γ çàìêíóòà, òî îíà ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè, èç
êîòîðûõ îäíà êîìïàêòíà. Ýòó îáëàñòü ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç D(γ).
Çàäà÷à 1.7.2. Ïóñòü γ(s) - ïëîñêàÿ êðèâàÿ êëàññà C 2 , ïàðàìåòðèçîâàííàÿ
äëèíîé äóãè, `(s) = |~r (s)|, ãäå ~r = ~r (s) ðàäèóñ-âåêòîð çàäàþùèé êðèâóþ
γ(s). Äîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà:
d2 `
ds2
= k cos α +
s=0
cos2 α
,
`
ãäå k = k(0) - êðèâèçíà êðèâîé â òî÷êå γ(0), ` = `(0) - äëèíà ðàäèóñâåêòîðà ~r (0), α - óãîë ìåæäó âåêòîðîì ~r 0 = |~~rr (0)
(0)| è âåêòîðîì ãëàâíîé
íîðìàëè ~ν = ~ν (0).
1
Ðåøåíèå. Òàê êàê ` = `(s) = h~
r ,~r i 2 , òî
ïîëó÷àåì:
d`
ds
=
h~
r ,~
r 0i
|~
r|
= h~r 0 ,~r 0 i. Îòñþäà
d2 `
d h~r ,~r 0 i
h~r 0 ,~r 0 i h~r ,~r 00 i h~r ,~r 0 i2
=
=
(
)
=
+
−
ds2
ds |~r |
|~r |
|~r |
|~r |3
1
cos2 α
= (1 − hr~0 ,~r 0 i2 ) + khr~0 , ~ν i = k cos α +
.
`
`
Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà âòîðîé âàðèàöèè ïðèîáðåòàåò áîëåå ïðîñòîé âèä,
åñëè íà÷àëî êîîðäèíàò ðàñïîëîæèòü òàê, ÷òîáû âåêòîðà r~0 è ~ν áûëè êîëd2 `
1
ëèíåàðíû. Òîãäà cos α = 1 è
=k+ .
ds2 s=0
`
Çàäà÷à 1.7.3 (Ïëîñêèå ôîðìóëû Ôðåíå). Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëû:
dx
= cos α(s),
ds
dy
= sin α(s),
ds
dα
= k,
ds
26
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
ýêâèâàëåíòíû ðàâåíñòâàì:
d~τ
= k(s)~ν ,
ds
d~ν
= −k(s)~τ .
ds
Ðåøåíèå. Òàê êàê ~
τ = ~τ (s) = cos α~i + sin α~j , à ~ν = ~ν (s) = − sin α~i + cos α~j ,
d~τ
d~ν
= α0 (− sin α)~i + α0 cos α~j = α0~ν = k~ν ,
= −α0 cos α~i − α0 sin α~j =
ds
ds
0~
−α τ = −k~τ .
òî
Çàäà÷à 1.7.4. Åñëè êðèâàÿ γ çàìêíóòà, òî íà íåé íàéäåòñÿ òî÷êà, â
êîòîðîé êðèâèçíà ñòðîãî áîëüøå íóëÿ.
Ðåøåíèå. Ïóñòü p ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îáëàñòè D(γ). Âîçüìåì ÷èñëî R
íàñòîëüêî áîëüøèì, ÷òîáû êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå p è ðàäèóñà R ñîäåðæàë
γ . Áóäåì òåïåðü óìåíüøàòü ðàäèóñ r äî òåõ ïîð, ïîêà îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì
â òî÷êå p è ðàäèóñà R0 íå êîñíåòñÿ γ â ïåðâûé ðàç â òî÷êå p1 .  ýòîé òî÷êå
1
, à, êàê ýòî ñëåäóåò èç çàäà÷è 1.7.1, êðèâèçíà
êðèâèçíà îêðóæíîñòè ðàâíà
R0
1
k(p1 ) êðèâîé γ íå ìåíüøå, ÷åì
.
R0
Çàäà÷à 1.7.5. Êðèâèçíà çàìêíóòîé âûïóêëîé êðèâîé â êàæäîé òî÷êå íå-
îòðèöàòåëüíà.
Ðåøåíèå. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 1.7.1.
Çàäà÷à 1.7.6. Åñëè ïðîñòàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ èìååò â êàæäîé òî÷êå
íå îòðèöàòåëüíóþ êðèâèçíó, òî îíà âûïóêëàÿ êðèâàÿ.
Ðèñ. 1.11: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.6.
Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êðèâàÿ γ íå âûïóêëà. Òîãäà íà γ ñóùåñòâóþò
äâå òî÷êè A è B òàêèå, ÷òî îòðåçîê AB ëåæèò âíå D(γ), à ñàìà êðèâàÿ γ
ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìîé AB . Òî÷êè A è B ðàçáèâàþò êðèâóþ γ
íà äâå äóãè γ1 è γ2 . Îäíà èç êðèâûõ σ1 = γ1 ∪ AB è σ2 = γ2 ∪ AB ñîäåðæèò
D(γ). Ïóñòü ýòî áóäåò êðèâàÿ σ2 . Íà äóãå γ1 íàéäåì òî÷êó P , íàèáîëåå
óäàëåííóþ îò ïðÿìîé AB . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Q îñíîâàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà,
îïóùåííîãî èç òî÷êè P íà ïðÿìóþ AB , h = P Q, b = max(QA, QB). Ïóñòü
C(Q, R) - êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå Q è ðàäèóñà R òàêîãî, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî (∗)
R>
h2 + b2
2h
è íàñòîëüêî áîëüøîé, ÷òî C(Q, R) ñîäåðæèò σ1 . Áóäåì òåïåðü ñäâèãàòü
öåíòð O ýòîãî êðóãà ïî ïðÿìîé P Q â íàïðàâëåíèè, îïðåäåëåííîì âåêòî−−→
ðîì P Q äî òåõ ïîð, ïîêà C(Q, R) íå êîñíåòñÿ êðèâîé σ1 â íåêîòîðîé òî÷êå M . Äîêàæåì, ÷òî M ∈ γ1 \(A ∪ B).  ñàìîì äåëå, åñëè M = A, èëè
M = B , òî, ñ îäíîé ñòîðîíû, OQ = OP − P Q ≤ R − h è, ñëåäîâàòåëüíî
OQ2 + b2 ≤ (R − h)2 + b2 < R2 â ñèëó íåðàâåíñòâà (∗) à, ñ äðóãîé ñòîðîíû,
27
1.7. Çàäà÷è
OQ2 + b2 = R2 , è ìû ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò M ∈ γ\(A ∪ B).  òî÷êå M êðèâèçíà k1 êðèâîé γ1 ïî îòíîøåíèþ ê êðèâîé σ1 , â ñèëó çàäà÷è 1.7.1
íå ìåíüøå R1 , íî ïî îòíîøåíèþ ê êðèâîé γ îíà ðàâíà −k1 < − R1 âîïðåêè
óñëîâèþ.
Çàäà÷à 1.7.7. Åñëè γ çàìêíóòàÿ ïðîñòàÿ êðèâàÿ, òî
Z
k(s) ds = 2π.
γ
Ðåøåíèå. Ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ âûïóêëîé êðèâîé. Â êðèâóþ γ
âïèøåì çàìêíóòûé ïîëèãîí σ ñ âåðøèíàìè
A1 , A2 , . . . , An , An+1 ,
(An+1 = A1 )
òàêîé, ÷òîáû èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà äóãè γi = A\
i Ai+1 êðèâîé γ íå ïðåâîñõîäèëà áû π , íà êàæäîé äóãå γi âîçüìåì òî÷êó Bi , â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ
ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé Ai Ai+1
R . Âíóòðåííèé óãîë ïîëèãîíà σ â âåðøèíå Ai
îáîçíà÷èì ÷åðåç αi . Òîãäà γi k(s)ds = π − αi , ãäå γi åñòü äóãà γ îò Bi äî
Bi+1 . Ñëåäîâàòåëüíî,
Z
k(s) ds =
γ
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
n Z
X
i=1
Pn
i=1
γi
k(s) ds = nπ −
n
X
αi .
i=1
αi = π(n − 2) = nπ − 2π . Ïîýòîìó
Z
k(s) ds = nπ − nπ + 2π = 2π.
γ
Çàäà÷à 1.7.8. Åñëè γ çàìêíóòàÿ ïðîñòàÿ êðèâàÿ, êðèâèçíà êîòîðîé â
êàæäîé òî÷êå íå ìåíüøå ÷åì a1 > 0, òî
(1) l(γ) ≤ 2πa,
(2) ïëîùàäü S(D(γ)) ≤ πa2 ,
(3) äèàìåòð d ≤ 2a,
è çíàê ðàâåíñòâà âî âñåõ òðåõ ñëó÷àõ âîçìîæåí òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà γ åñòü îêðóæíîñòü ðàäèóñà a.
Ðèñ. 1.12: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.8.
Ðåøåíèå. Èç çàäà÷è 1.7.6 ñëåäóåò, ÷òî γ âûïóêëàÿ êðèâàÿ. Ïóñòü AB äèàìåòð γ . Íàéäåì íà γ òî÷êè C è D, â êîòîðûõ êàñàòåëüíûå ïàðàëëåëüíû
AB . Èç òî÷êè C è D îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿðû CO1 , è DO2 íà AB .
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå (1). Âîçüìåì äóãó BC . Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò
O1 íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò, O1 C îñü OX è O1 B îñü OY . ÈíòåRl
ãðàëüíàÿ êðèâèçíà äóãè CB ðàâíà π2 , çíà÷èò 0 0 k(t) dt = π2 , ãäå l0 äëèíà
äóãè BC . Òàê êàê k(t) ≥ a1 , òî la0 ≤ π2 èëè l0 ≤ π2 a, è çíàê ðàâåíñòâà âîçìîæåí òîëüêî òîãäà, êîãäà k(t) ≡ a1 . Àíàëîãè÷íî l(CA) ≤ π2 a, l(AD) ≤ π2 a è
l(DB) ≤ π2 a. Ïîýòîìó l(γ) ≤ 2πa.
28
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Âòîðîå óòâåðæäåíèå çàäà÷è ñëåäóåò èç èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà:
S(D(γ)) ≤
l2
4π 2 a2
≤
= πa2 .
4π
4π
Äîêàæåì òðåòüå óòâåðæäåíèå çàäà÷è. Çàïèøåì óðàâíåíèå äóãè CB êðèâîé
γ ÷åðåç êðèâèçíó k(t) êðèâîé γ , (ñì. òåîðåìó 1.6.1).
(
R s
Rt
x = x0 + 0 cos 0 k(t)dt + α0 ds
R s
Rt
y = 0 0 sin 0 k(t) dt + α0 ds.
Èç îïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò ñëåäóåò, ÷òî
Z
π
α0 = ,
2
O1 B = y(l0 ) =
Z
cos[
Z
s
k(t)dt ≥
0
s
k(t) dt] ds.
0
0
Òàê êàê
è
l0
s
a
Z l0
`0
π
≤
k(t) dt = ,
a
2
0
Z s
s
l
cos ≥ cos
k(t) dt è 0 < sin ≤ 1.
a
a
0
0≤
òî
Ïîýòîìó
Z
O1 B =
l0
Z
cos
0
0
s
Z
k(t) dt ds ≤
0
l0
cos
l0
s
ds = a sin ≤ a.
a
a
Àíàëîãè÷íî, O1 A ≤ a è AB = O1 A + O1 B ≤ 2a. Çíàê ðàâåíñòâà è çäåñü
âîçìîæåí òîëüêî òîãäà, êîãäà k(t) ≡ a1 .
Ñôîðìóëèðîâàòü è ðåøèòü çàäà÷ó äâîéñòâåííóþ çàäà÷å 1.7.8 äëÿ âûïóêëûõ êðèâûõ.
Çàäà÷à 1.7.9 (Çàäà÷à î ñîãíóòîì ëóêå). Ïóñòü äóãè âûïóêëûõ êðè-
âûõ γ1 è γ2 èìåþò îäíó è òó æå äëèíó l. Ïóñòü èõ êðèâèçíû k1 (t) è
Rl
k2 (t) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó k1 (t) ≥ k2 (t) ≥ 0 è 0 k1 (t)dt < π . Òîãäà
γ1 (0)γ1 (l) ≤ γ2 (0)γ2 (l) è çíàê ðàâåíñòâà âîçìîæåí òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà k1 (t) ≡ k2 (t).
Ðèñ. 1.13: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.9.
Ðåøåíèå. Íà êðèâîé γ1 , íàéäåì òî÷êó γ1 (s0 ), â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ γ1
ïàðàëëåëüíà õîðäå γ1 (0)γ1 (l). Ïîñòðîèì ñèñòåìó êîîðäèíàò ñëåäóþùèì îáðàçîì: γ1 (s0 ) íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò, îñü OX ñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíîé
ïðÿìîé ê γ1 , à îñü OY îðòîãîíàëüíà îñè OX è íàïðàâëåíà â ñòîðîíó õîðäû
γ1 (0)γ1 (l). Êðèâóþ γ2 ñäâèíåì òàê, ÷òîáû òî÷êà γ2 (s0 ) ñîâïàëà ñ γ1 (s0 ), à
êàñàòåëüíàÿ ê γ2 â òî÷êå γ2 (s0 ) ñîâïàëà áû ñ îñüþ OX . Îáîçíà÷èì ÷åðåç B
29
1.7. Çàäà÷è
òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ îñè OY ñ õîðäîé γ1 (0)γ1 (l). Óðàâíåíèÿ êðèâûõ γ1 è γ2 â
ïîñòðîåííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìåþò âèä:
(
Rs
Rs
x = x1 (s) = s0 cos[ s0 k1 (t) dt] ds
γ1 :
y = y1 (s),
(
Rs
Rs
x = x2 (s) = 0 cos[ s0 k2 (t) dt] ds
γ2 :
y = y2 (s).
Òîãäà x1 (l) = Bγ1 (l), à x2 (l) ðàâíà îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè
R s õîðäû γ2 (s0 )γ2 (l)
íà îñü OX . Äîêàæåì, ÷òî x1 (l) ≤ x2 (l). Òàê êàê 0 < s0 k(t) dt < π ïðè
s0 < s < l, òî
Z
l
x1 (l) =
Z
s
Z
l
k1 (t)dt ds ≤
cos
s0
s0
Z
s
k2 (t) dt ds = x2 (l).
cos
s0
s0
Àíàëîãè÷íî, x1 (0) = |Bγ1 (0)| íå ïðåâîñõîäèò îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè õîðäû γ2 (s0 )γ2 (0) íà îñü OX . Ïîýòîìó γ1 (0)γ1 (l) íå ïðåâîñõîäèò ñóììå ïðîåêöèé õîðä γ2 (0)γ2 (s0 ) è γ2 (s0 )γ2 (l), êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü íå ïðåâîñõîäèò
γ2 (0)γ2 (l). Çíàê ðàâåíñòâà âîçìîæåí òîëüêî òîãäà, êîãäà k1 (s) ≡ k2 (s).
Çàäà÷à 1.7.10. Åñëè γ çàìêíóòàÿ ïðîñòàÿ êðèâàÿ, êðèâèçíà êîòîðîé â
êàæäîé òî÷êå íå ìåíüøå ÷åì a1 , òî åå ìîæíî ïðîêàòèòü ñî ñêîëüæåíèåì
âíóòðè êðóãà ðàäèóñà a.
Ðèñ. 1.14: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.10.
Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé k(t) >
1
a.
Ðàñïîëîæèì îêðóæíîñòü
C(a) ðàäèóñà a òàê, ÷òîáû íà÷àëî êîîðäèíàò O ∈ C(a) è â òî÷êå O îñü
OX êàñàëàñü áû C(a). Âîçüìåì íà γ ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó p è ðàñïîëîæèì
γ òàê, ÷òî p = O è êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ ê γ â òî÷êå p ñîâïàëà áû ñ îñüþ
OX . Ïóñòü p1 òàêàÿ òî÷êà íà γ , ÷òî äóãè γ1 è γ2 íà êîòîðûå îíà âìåñòå ñ
òî÷êîé p ðàçáèâàåò γ , èìåëè áû èíòåãðàëüíóþ êðèâèçíó, ðàâíóþ π .
Ââåäåì
R s íà γ1 è C(a) ïàðàìåòð s (äëèíó äóãè, îòñ÷èòûâàåìóþ îò p). Òîãäà
α(s) = 0 k(t)dt íå ïðåâîñõîäèò π . Äîêàæåì, ÷òî γ1 ∩ C(a) = ∅. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü p2 ïåðâàÿ, ñ÷èòàÿ îò p, òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ γ1 è C(a).
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ êðèâîé γ1 è C(a)
(
Rs
x = 0 cos α(s) ds
γ1 :
y = y1 (s),
(
Rs
x = 0 cos as ds
C(a) :
y = y2 (s).
Òîãäà ñóùåñòâóþò ÷èñëà s2 è s1 , òàêèå, ÷òî
Z s2
Z s1
s
cos α(s) ds =
cos ds,
p2 = γ(s2 ) = C(a)(s1 ).
a
0
0
30
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Rs
Òàê êàê α(s) = 0 k(t) dt > as , òî cos α(s) < cos as . Ïîýòîìó s2 > s1 . Íî,
ñ äðóãîé ñòîðîíû, âûïóêëàÿ äóãà pp2 êðèâîé γ1 ëåæèò âíóòðè äóãè pp2
îêðóæíîñòè C(a) è õîðäû pp2 . Ïîýòîìó s2 ≤ s1 . Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.
Çíà÷èò γ1 ∩ C(a) = ∅.
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî γ2 ∩ C(a) = ∅. Åñëè òåïåðü k(t) ≥ a1 , òî
èç ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî γ ∩ C(a + ε) = ∅ ïðè ëþáîì ε > 0. Îòêóäà
ñëåäóåò, ÷òî γ ëåæèò âíóòðè C(a). Çàäà÷à ðåøåíà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè
âûáîðà òî÷êè p.
Ñôîðìóëèðîâàòü è ðåøèòü çàäà÷ó äâîéñòâåííóþ çàäà÷å 1.7.10 äëÿ âûïóêëûõ êðèâûõ.
Çàäà÷à 1.7.11. Ïóñòü ïðîñòàÿ êðèâàÿ γ êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè C(a) ñ
öåíòðîì â òî÷êå O ðàäèóñà a â òî÷êàõ A è B è ëåæèò âíóòðè C(a),
óãîë AOB < π . Òîãäà íà γ íàéäåòñÿ òî÷êà, â êîòîðîé êðèâèçíà γ ñòðîãî
ìåíüøå ÷åì a1 .
Ðèñ. 1.15: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.11.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì êðèâóþ γ , ñîñòàâëåííóþ èç áîëüøåé äóãè îêðóæíîñòè C(a) è êðèâîé γ . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà êðèâîé γ êðèâèçíà âî âñåõ
òî÷êàõ íå ìåíüøå, ÷åì a1 . Ïóñòü p0 òî÷êà íà γ , áëèæàéøàÿ ê öåíòðó O
îêðóæíîñòè C(a). Òîãäà Op0 , ïî óñëîâèþ çàäà÷è ñòðîãî ìåíüøå a. Îáîçíà÷èì ÷åðåç O1 , öåíòð îêðóæíîñòè ðàäèóñà a, êàñàþùåéñÿ γ â òî÷êå p0 . Òîãäà
ýòà îêðóæíîñòü ïåðåñåêàåò γ âîïðåêè óòâåðæäåíèþ çàäà÷è 1.7.10. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò íàøå óòâåðæäåíèå.
Çàäà÷à 1.7.12. Ïóñòü ïðîñòàÿ êðèâàÿ γ êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè C(a) ðàäè-
óñà a â òî÷êàõ A è B è ëåæèò âíå C(a). Óãîë ∠AOB ìåíüøå π . Äîêàçàòü,
÷òî òîãäà íà γ íàéäåòñÿ òî÷êà â êîòîðîé êðèâèçíà γ ñòðîãî áîëüøå a1 .
Ðåøèòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
Äëÿ ôîðìóëèðîâîê ñëåäóþùèõ äàëüøå çàäà÷ äàäèì íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ.
Ïóñòü γ íåêîòîðàÿ ãëàäêàÿ çàìêíóòàÿ âûïóêëàÿ êðèâàÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç C(p, γ) îêðóæíîñòü, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:
(1) C(p, γ) êàñàåòñÿ êðèâîé γ â òî÷êå p,
(2) C(p, γ) ⊂ D(γ),
(3) C(p, γ) èìååò ìàêñèìàëüíûé ðàäèóñ, ïðè êîòîðîì ïåðâûå äâà óñëîâèÿ
âûïîëíÿþòñÿ.
×åðåç C + (γ) îáîçíà÷èì îêðóæíîñòü íàèáîëüøåãî ðàäèóñà, âîîáùå ãîâîðÿ
íå åäèíñòâåííóþ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì D(γ). ×åðåç C − (γ) îáîçíà÷èì îêðóæíîñòü íàèìåíüøåãî ðàäèóñà, âîîáùå ãîâîðÿ íå åäèíñòâåííóþ,
óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì (1), (2) è (3) (ñì. ðèñóíîê 1.16). Åñëè ÷åðåç
R(p, γ) îáîçíà÷èòü ðàäèóñ C(p, γ), òî
R+ (γ) = sup R(p, γ),
p∈γ
R− (γ) = inf R(p, γ).
p∈γ
31
1.7. Çàäà÷è
Ðèñ. 1.16: Èëëþñòðàöèÿ ê îïðåäåëåíèþ îêðóæíîñòè C + (γ) è C − (γ).
Çàäà÷à 1.7.13. Åñëè C(p, γ) ∩ γ = p, òî êðèâèçíû γ è C(p, γ) â òî÷êå p
ðàâíû.
Ðèñ. 1.17: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.13.
Ðåøåíèå. Êðèâèçíà kγ (p) êðèâîé γ â òî÷êå p â ñèëó çàäà÷è 1.7.1 íå ïðå1
1
. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî kγ (p) < R(p,γ)
. Âîçüìåì ìîíîòîííóþ
âîñõîäèò R(p,γ)
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë Rn , óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:
kγ (p) <
1
1
<
Rn
R(p, γ)
è
lim Rn = R(p, γ).
n→∞
Îáîçíà÷èì ÷åðåç C(p, γ, Rn ) îêðóæíîñòü ðàäèóñà Rn , êàñàþùóþñÿ γ â òî÷êå
p. Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ C(p, γ), C(p, γ, Rn ) ïåðåñåêàåò γ ïî êðàéíåé ìåðå,
åùå â îäíîé òî÷êå pn 6= p. Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
ñóùåñòâóåò lim pn = p̄.  ñèëó çàäà÷è 1.7.1, òî÷êà p̄ íå ìîæåò ñîâïàñòü ñ p.
n→∞
Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà p̄ 6= p è p̄ ∈ γ ∩ C(p, γ) âîïðåêè óñëîâèþ çàäà÷è.
Çàäà÷à 1.7.14. Íà ïðîèçâîëüíîé çàìêíóòîé ïîëóîêðóæíîñòè îêðóæíîñòè C + (γ) ñóùåñòâóåò òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ γ .
Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü C̄ çàìêíóòàÿ ïîëóîêðóæíîñòü
îêðóæíîñòè C + (γ), äëÿ êîòîðîé C̄ ∩ γ = ∅. Îáîçíà÷èì ÷åðåç O öåíòð
C + (γ), à ÷åðåç R+ åå ðàäèóñ. ×åðåç êîíöû C̄ ïðîâåäåì äèàìåòð a. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A1 è A2 ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé äèàìåòð ñ êðèâîé
γ . Òî÷êè A1 è A2 ðàçáèâàþò γ íà äâå äóãè γ1 è γ2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç γ1 òó èç
ýòèõ äóã, äëÿ êîòîðîé γ1 ∩C + (γ) = ∅. Ïóñòü d0 = minγ(s)∈γ1 (Oγ(s)−R+ ) > 0.
Èç öåíòðà O ïðîâåäåì ïåðïåíäèêóëÿð ê ïðÿìîé a âíóòðü ïîëóêðóãà C è îòëîæèì íà íåì îòðåçîê OO1 = d20 = δ .
Ðèñ. 1.18: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.14.
Äëÿ γ(s) ∈ γ1
O1 γ(s) − R+ > Oγ(s) −
d0
− R+ ≥ δ > 0.
2
Äëÿ γ(s) ∈ γ2
O1 γ(s) − R+ =
p
(Oγ(s))2 + δ 2 − 2Oγ(s) · δ cos α − R+ .
32
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ãäå α(s) óãîë â òðåóãîëüíèêå OO1 γ(s) ïðè âåðøèíå O. Èç îïðåäåëåíèÿ O1
ñëåäóåò, ÷òî α(s) ≥ π2 . Ïîýòîìó
p
p
O1 γ(s) − R+ ≥ (Oγ(s))2 + δ 2 − R+ ≥ (R+ )2 + δ 2 − R+ =
δ2
p
(R+ )2 + δ 2 + R+
= δ1 > 0.
Íî òîãäà îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå O1 ðàäèóñà R = R+ + σ > R+ öåëèêîì ëåæèò âíóòðè D(γ) âîïðåêè îïðåäåëåíèþ C + (γ). Çäåñü σ = 21 min(δ, δ1 ).
Ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà C + (γ) ∩ γ ñîñòîèò ðîâíî èç äâóõ òî÷åê.
Çàäà÷à 1.7.15. Åñëè γ çàìêíóòàÿ âûïóêëàÿ êðèâàÿ êëàññà C 2 , òî ìíî-
æåñòâî C0 = C − (γ) ∩ γ ñâÿçíî.
Ðåøåíèå. C0 çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Ñëåäîâàòåëüíî ìíîæåñòâî γ\C0 åñòü
ñóììà îòêðûòûõ äóã. Åñëè C0 íåñâÿçíî, òî ÷èñëî òàêèõ äóã γ1 , γ2 , . . . , γk
íå ìåíüøå 2.
Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.
(1) Èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà îäíîé èç ýòèõ äóã ñòðîãî ìåíüøå π .
(2) C0 ñîñòîèò èç äâóõ äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê p1 è p2
îêðóæíîñòè C − (γ).
 ïåðâîì ñëó÷àå íà äóãå γ1 , ñóùåñòâóåò òî÷êà p1 , â êîòîðîé êðèâèçíà kγ (p1 )
ñòðîãî áîëüøå 1/R− (γ), íî òîãäà R(p1 , γ) < R− (γ) âîïðåêè îïðåäåëåíèþ
C − (γ).
Âî âòîðîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé òî÷êè p ∈ γ, p 6∈ C0 ÷èñëî R(p, γ) íå ïðåâîñõîäèò R− (γ), òàê êàê C(p, γ) ïðèíàäëåæèò, âìåñòå ñî ñâîåé êðèâîé γ , ïîëîñå
øèðèíû 2R− (γ), îáðàçîâàííîé êàñàòåëüíûìè ê γ â òî÷êàõ p1 è p2 . Çíà÷èò, â
ýòîì ñëó÷àå R(p, γ) = R− (γ) äëÿ âñåõ p. Íî òîãäà, â ñèëó óñëîâèÿ, íàêëàäûâàåìîãî íà êëàññ ãëàäêîñòè êðèâîé γ , ïîëó÷àåì, ÷òî γ = C − (γ) âîïðåêè
ïðåäïîëîæåíèþ î íåñâÿçíîñòè.
Ñôîðìóëèðîâàòü è ðåøèòü çàäà÷è, äâîéñòâåííûå çàäà÷àì 1.7.14 è 1.7.15.
Çàäà÷à 1.7.16 (Òåîðåìà î ÷åòûðåõ âåðøèíàõ îâàëà). Äîêàçàòü, ÷òî
äëÿ âñÿêîé çàìêíóòîé âûïóêëîé äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé
êðèâîé ôóíêöèÿ êðèâèçíû k(s) èìååò íå ìåíåå äâóõ ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ
è íå ìåíåå äâóõ ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ.
Ðèñ. 1.19: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.15.
Çàìåòèì, ÷òî çàìêíóòóþ âûïóêëóþ êðèâóþ èíîãäà íàçûâàþò îâàëîì.
Ðåøåíèå. Åñëè C + (γ) 6= γ , òî C1 = C + (γ) ∩ γ ðàçáèâàåò γ íà îòêðûòûå
äóãè γ1 , γ2 , . . . , γk , k ≥ 2. Ïðè÷åì, ëèáî èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà, ïî êðàéíåé
ìåðå, äâóõ äóã, ñêàæåì γ1 è γ2 ñòðîãî ìåíüøå π , ëèáî C1 = {p1 , p2 } ãäå p1 è
p2 äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè C + (γ).
 ïåðâîì ñëó÷àå íà äóãàõ γ1 è γ2 â ñèëó çàäà÷è 1.7.11, ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå ïî îäíîìó ìàêñèìóìó, ìåæäó êîòîðûìè ëåæèò, ïî êðàéíåé ìåðå,
äâà ìèíèìóìà.
33
1.7. Çàäà÷è
Âî âòîðîì ñëó÷àå ðàññìîòðèì êðèâóþ, îáðàçîâàííóþ äóãîé γ1 è äóãîé îêðóæíîñòè C + (γ). Åñëè äëÿ ýòîé êðèâîé C − (γ) íå ñîâïàäàåò ñ C + (γ), òî â
òî÷êå êàñàíèÿ C − (γ) ⊂ γ1 , êðèâèçíà êðèâîé γ áîëüøå ÷åì êðèâèçíà êðèâîé
γ â òî÷êàõ p1 è p2 . Ñëåäîâàòåëüíî, íà äóãå γ1 ñóùåñòâóåò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì êðèâèçíû. Àíàëîãè÷íî äëÿ äóãè γ2 . Ñíîâà ïîëó÷èì, ïî êðàéíåé ìåðå,
äâà ìàêñèìóìà è ìåæäó íèìè äâà ìèíèìóìà. Åñëè æå C + (γ) = C − (γ), òî
γ åñòü îêðóæíîñòü.
Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î ÷åòûðåõ âåðøèíàõ îâàëà îïèðàåòñÿ íà
òåîðåìó Ãóðâèöà.
Òåîðåìà 1.7.1 (Òåîðåìà Ãóðâèöà.). Ïóñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f (ϕ)
èìååò ïåðèîä 2π è îðòîãîíàëüíà íà íåì ñèíóñó è êîñèíóñó:
Z2π
Z2π
f (ϕ) cos ϕ dϕ = 0.
f (ϕ) sin ϕ dϕ = 0,
0
0
Òîãäà íà ïðîìåæóòêå [0, 2π] îíà èìååò, ïî êðàéíåé ìåðå, äâå òî÷êè ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà è äâå òî÷êè ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà.
Äîêàçàòåëüñòâî. (Ïðåäëîæåíî Â.Â. Èâàíîâûì). Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì,
÷òî åñëè ôóíêöèÿ èìååò â ïðåäåëàõ ïåðèîäà, ñêàæåì, äâå òî÷êè ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, òî ó íåå íåïðåìåííî íàéäóòñÿ è äâå òî÷êè ìàêñèìóìà. Â
ñàìîì äåëå, äâå òî÷êè ìèíèìóìà, îòìå÷åííûå íà îêðóæíîñòè, ðàçáèâàþò
åå íà äâå äóãè. Î÷åâèäíî, ÷òî ñòðîãî âíóòðè êàæäîé èç ýòèõ äóã èìååòñÿ
ïî êðàéíåé ìåðå ïî îäíîìó ëîêàëüíîìó ìàêñèìóìó. Òî÷íî òàê æå, èìåÿ äâå
òî÷êè ìàêñèìóìà, ôóíêöèÿ èìååò åùå è äâå òî÷êè ìèíèìóìà.
Áëàãîäàðÿ íåïðåðûâíîñòè è ïåðèîäè÷íîñòè, ôóíêöèÿ f (ϕ) îáÿçàòåëüíî
ïðèíèìàåò íà óêàçàííîì â òåîðåìå ïðîìåæóòêå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå
çíà÷åíèÿ.  ñèëó ñêàçàííîãî âûøå, íàì äîñòàòî÷íî íàéòè â òîì æå ïðîìåæóòêå åùå îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî òàêèõ òî÷åê ó
ôóíêöèè, âñå-òàêè, íå îêàçàëîñü. Âûáåðåì íà÷àëî îòñ÷åòà íà îêðóæíîñòè
òàê, ÷òîáû ïðè ϕ = 0, à òîãäà è ïðè ϕ = 2π, ôóíêöèÿ äîñòèãàëà íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ, è íàéäåì òî÷êó ϕ0 â èíòåðâàëå 0 < ϕ0 < 2π, ãäå íàøà ôóíêöèÿ
èìååò ìèíèìóì. Òîãäà,èñêëþ÷àÿ ñëó÷àé ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè, îíà ñòðîãî
óáûâàåò íà îòðåçêå 0 ≤ ϕ ≤ ϕ0 è ñòðîãî ðàñòåò íà ó÷àñòêå ϕ0 ≤ ϕ ≤ 2π.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ýòèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ èíòåãðàëû
Zϕ0
ϕ0 f (ϕ) sin ϕ −
dϕ,
2
è
Z2π
ϕ0 f (ϕ) sin ϕ −
dϕ
2
ϕ0
0
îòðèöàòåëüíû.  ñàìîì äåëå, ôèãóðèðóþùèé â íèõ ñèíóñ ñèììåòðè÷åí íà
êàæäîì èç ó÷àñòêîâ èíòåãðèðîâàíèÿ îòíîñèòåëüíî èõ ñðåäíèõ òî÷åê ϕ0 /2 è
π + ϕ0 /2, ïðè÷åì â îáëàñòè, ãäå ñèíóñ ïîëîæèòåëåí, ôóíêöèÿ f (ϕ) ïðèíèìàåò ìåíüøèå çíà÷åíèÿ ÷åì â îáëàñòè, ãäå îí îòðèöàòåëåí. Íåòðóäíî ïåðåâåñòè ýòè "ãåîìåòðè÷åñêèå"àðãóìåíòû íà ñòðîãèé ÿçûê ôîðìóë. Íàïðèìåð,
ïåðâûé èç èíòåãðàëîâ ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå
ϕ
Z0 /2
h ϕ0 i
ϕ0 − f −ϕ +
sin ϕ dϕ,
f ϕ+
2
2
0
34
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
è ìû ÿñíî âèäèì, ÷òî îí ìåíüøå íóëÿ. Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåòñÿ è âòîðîé
èíòåãðàë. Òàêèì îáðàçîì, îòðèöàòåëüíîé îêàçûâàåòñÿ è ñóììà íàøèõ äâóõ
èíòåãðàëîâ:
Z2π
ϕ0 dϕ < 0,
f (ϕ) sin ϕ −
2
0
õîòÿ ïî óñëîâèþ îíà äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ.
Âòîðîå ðåøåíèå çàäà÷è 1.7.16.
Ðåøåíèå. Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè ðàññóæäåíèé áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êðè-
âèçíà îâàëà â êàæäîé òî÷êå ñòðîãî áîëüøå íóëÿ.
Åñëè L îçíà÷àåò äëèíó îâàëà, à â êà÷åñòâå s ìû âîçüìåì íàòóðàëüíûé
ïàðàìåòð, òî â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ (x, y) íàøà ëèíèÿ ìîæåò áûòü îïèñàíà óðàâíåíèÿìè âèäà
x = x (s),
0 ≤ s ≤ L.
y = y (s),
Èç òåîðåìû 1.6.1 ñëåäóåò, ÷òî
ẋ (s) = cos ϕ (s),
ẏ (s) = sin ϕ (s),
0 ≤ ϕ (s) < 2π
è ïóñòü ϕ (0) = 0. Êðèâèçíà îâàëà â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé s âû÷èñëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå k (s) = ϕ̇ (s) (ñì. òåîðåìó 1.6.1). Ïîñêîëüêó êðèâèçíà ïîëîæèòåëüíà, óãîë ϕ = ϕ (s) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âîçðàñòàþùóþ ôóíêöèþ ïåðåìåííîé s. è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò îáðàòíóþ s = s (ϕ). Ïîëàãàÿ äëÿ êðàòêîñòè k (ϕ) = k (s (ϕ)), ìû âèäèì, ÷òî êðèâèçíà k îêàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé
2π -ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ïåðåìåííîé ϕ. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ôóíêöèÿ
s = s (ϕ) â êàæäîé òî÷êå ϕ èìååò ïðîèçâîäíóþ, êîòîðàÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå
1
1
ds
=
=
.
dϕ
ϕ̇ (s (ϕ))
k (ϕ)
dϕ
. Òåïåðü ìû ãîòîâû èçëîæèòü ðåøåíèå çàäà÷è 1.7.16. ÔóíêÎòêóäà ds = k(ϕ)
öèÿ 1/k (ϕ) îðòîãîíàëüíà è êîñèíóñó, è ñèíóñó óãëà ϕ. Â ñàìîì äåëå, îâàë
ýòî çàìêíóòàÿ ëèíèÿ, à çíà÷èò,
ZL
ẋ (s) ds = 0 è
0
ZL
ẏ (s) ds = 0.
0
Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòè èíòåãðàëû ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
ZL
Z2π
cos ϕ (s) ds =
0
0
dϕ
cos ϕ
k (ϕ)
è
ZL
Z2π
sin ϕ (s) ds =
0
sin ϕ
dϕ
.
k (ϕ)
0
Íàì îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ôóíêöèè k (ϕ) è 1/k (ϕ) èìåþò îáùèå ýêñòðåìóìû, è ñîñëàòüñÿ íà òåîðåìó Ãóðâèöà.
Ñôîðìóëèðóåì åùå îäíó çàäà÷ó, ðåøåíèå êîòîðîé òàêæå îïèðàåòñÿ íà
òåîðåìó Ãóðâèöà è ïðèíàäëåæèò Â.Â. Èâàíîâó.
35
1.7. Çàäà÷è
Ïðåäñòàâèì ñåáå âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê, âñå ñòåïåíè ñâîáîäû êîòîðîãî îãðàíè÷åíû âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòüþ. Âñÿêóþ åãî ñòîðîíó, íà êîòîðîé îí ñïîñîáåí ñòîÿòü íà ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèè, íå îïðîêèäûâàÿñü ïîä
äåéñòâèåì íàïðàâëåííîé ¾âíèç¿ ñèëû òÿæåñòè, íàçîâåì îñíîâàíèåì ìíîãîóãîëüíèêà. Îñíîâàíèå áóäåì ñ÷èòàòü óñòîé÷èâûì, åñëè ñòîÿùèé íà íåì
ìíîãîóãîëüíèê íåëüçÿ óðîíèòü, ÷óòü-÷óòü íàêëîíÿÿ åãî â òó èëè èíóþ ñòîðîíó. ßñíî, ÷òî õîòü îäíî òàêîå îñíîâàíèå äîëæíî áûòü. Íà ñàìîì æå äåëå
ñèòóàöèÿ çäåñü íàìíîãî èíòåðåñíåå.
Çàäà÷à 1.7.17 (Îá îñíîâàíèÿõ âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà). Ëþáîé
âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê èìååò ïî êðàéíåé ìåðå äâà óñòîé÷èâûõ îñíîâàíèÿ.
Ðåøåíèå. Â ïëîñêîñòè ìíîãîóãîëüíèêà M ââåäåì äåêàðòîâû êîîðäèíàòû
(x, y), âçÿâ â êà÷åñòâå íà÷àëà ñèñòåìû îòñ÷åòà ¾öåíòð òÿæåñòè¿ íàøåé âûïóêëîé ôèãóðû, êîòîðûé ðàñïîëàãàåòñÿ, î÷åâèäíî, ñòðîãî âíóòðè M . Òàêèì
îáðàçîì, âî-ïåðâûõ,
ZZ
ZZ
x dx dy = 0 è
y dx dy = 0,
M
M
à âî-âòîðûõ, ãðàíèöó M ìû ìîæåì îïèñàòü â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëÿðíûõ
êîîðäèíàòàõ (%, ϕ) óðàâíåíèåì âèäà % = % (ϕ), ãäå ïîëÿðíûé ðàäèóñ % ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëîæèòåëüíóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ óãëîâîé ïåðåìåííîé
ϕ, ïðîáåãàþùåé îòðåçîê îò 0 äî 2π. Åñëè ìû ïåðåñ÷èòàåì óêàçàííûå âûøå äâîéíûå èíòåãðàëû â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ, òî ëåãêî ïðèäåì ê äâóì
íîâûì ðàâåíñòâàì:
1
3
Z2π
0
% (ϕ) cos ϕ dϕ = 0 è
3
1
3
Z2π
%3 (ϕ) sin ϕ dϕ = 0.
0
Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî òåîðåìå Ãóðâèöà, êóá ïîëÿðíîãî ðàäèóñà, à çíà÷èò, è ñàì îí èìååò äâå òî÷êè ìèíèìóìà. Èç ýëåìåíòàðíî-ãåîìåòðè÷åñêèõ
ñîîáðàæåíèé ÿñíî, ÷òî ýòè äâà çíà÷åíèÿ ïîëÿðíîãî óãëà ïîêàçûâàþò íàì, â
êàêèõ íàïðàâëåíèÿõ íóæíî ïðîâåñòè ëó÷è èç öåíòðà ìíîãîóãîëüíèêà, ÷òîáû îíè óïàëè ñòðîãî âíóòðü íåêîòîðûõ åãî ñòîðîí, ïðè÷åì â òî÷íîñòè ïîä
ïðÿìûì óãëîì. Ýòè ñòîðîíû, î÷åâèäíî, è áóäóò èñêîìûìè óñòîé÷èâûìè
îñíîâàíèÿìè.
Êàê âèäíî èç ðåøåíèÿ çàäà÷è, îíà îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé äëÿ ëþáûõ
îãðàíè÷åííûõ âûïóêëûõ îáëàñòåé, åñëè íàðÿäó ñ ¾îñíîâàíèÿìè¿ ìû áóäåì
ãîâîðèòü è îá óñòîé÷èâûõ ¾òî÷êàõ îïîðû¿.
Çàäà÷à 1.7.18. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ
ïåðåñåêàåò îâàë â 2n òî÷êàõ, òî íà îâàëå ñóùåñòâóåò 2n âåðøèí.
Óêàçàíèå. Âîñïîëüçîâàòüñÿ óòâåðæäåíèÿìè çàäà÷ 1.7.16 è 1.7.17.
Çàäà÷à 1.7.19. Ïóñòü γ ïðîñòàÿ (áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé) ðåãóëÿðíàÿ, çà-
ìêíóòàÿ êðèâàÿ êëàññà C 2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç D(γ), îáëàñòü îãðàíè÷åííóþ
γ . Äîêàçàòü, ÷òî åñëè êðèâèçíà k(p) êðèâîé γ â êàæäîé òî÷êå p ∈ γ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó |k(p)| ≤ a1 , òî ñóùåñòâóåò êðóã ðàäèóñà a, öåëèêîì ëåæàùèé â îáëàñòè D(γ).
36
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Äàííàÿ çàäà÷à áûëà ñôîðìóëèðîâàíà À. Ôåòîì è ðåøåíà Â. Èîíèíûì.
Óêàçàíèå. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íóæíî ðàññìîòðåòü è èçó÷èòü ñâîéñòâà
"öåíòðàëüíîãî"ìíîæåñòâà êðèâîé γ . Öåíòðàëüíîå ìíîæåñòâî M îáëàñòè
D(γ) (êðèâîé γ ) ñîñòîèò èç òî÷åê, îïðåäåëåííûõ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïóñòü q ∈ γ . Îáîçíà÷èì ÷åðåç C(q) êðóã ìàêñèìàëüíîãî ðàäèóñà, êàñàþùèéñÿ êðèâîé γ â òî÷êå q è öåëèêîì ëåæàùèé â îáëàñòè D(γ). Ìíîæåñòâî
öåíòðîâ êðóãîâ C(q), êîãäà q ïðîáåãàåò êðèâóþ γ , îáðàçóþò ìíîæåñòâî M .
Çàäà÷à 1.7.20. Èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà áåñêîíå÷íîé âûïóêëîé êðèâîé γ
íå ïðåâîñõîäèò π .
Ðåøåíèå. Ïóñòü γ(s) ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé γ äëèíîé äóãè, îòñ÷èòû-
îò íåêîòîðîé òî÷êè. Äîêàæåì, ÷òî ïðè ëþáûõ s1 è s2 âûïîëíåíî
Râàåìîé
s2
k(s)ds
≤ π.
s1
Rs
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü s1 è s2 òàêèå, ÷òî s12 k(s)ds = ω1 > π .
Ïðîâåäåì ïðÿìûå a1 è a2 , êàñàòåëüíûå ê êðèâîé γ â òî÷êàõ γ(s1 ) è γ(s2 ), ñîîòâåòñòâåííî. Òàê êàê ïðÿìûå íå ïàðàëëåëüíû, òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå A. Òîãäà îáëàñòü D, îãðàíè÷åííàÿ îòðåçêàìè γ(s2 )A, γ(s1 )A è
äóãîé γ(s\
1 )γ(s2 ) êðèâîé γ , îïðåäåëåííîé íåðàâåíñòâàìè s1 ≤ s ≤ s2 , áóäåò
âûïóêëîé êîìïàêòíîé îáëàñòüþ, êîòîðàÿ öåëèêîì ñîäåðæèò êðèâóþ γ , ÷òî
ïðîòèâîðå÷èò
óñëîâèþ çàäà÷è. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáûõ s1 è s2 âûïîëíåRs
íî s12 k(s)ds ≤ π .
Çàäà÷à 1.7.21. Åñëè ôóíêöèÿ êðèâèçíû k(s) íåêîòîðîé êðèâîé γ(s) ÿâ-
ëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé, òî
êðèâàÿ γ íå èìååò òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ. Çäåñü s äëèíà äóãè, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò íåêîòîðîé òî÷êè êðèâîé γ(s), (−∞ < s < ∞).
Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü ÷èñëà s1 è s2 òàêèå, ÷òî γ(s1 ) =
γ(s2 ) è äóãà σ = γ(s\
1 )γ(s2 ) êðèâîé γ(s) ïðè s1 ≤ s ≤ s2 íå èìååò äðóãèõ
òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ, êðîìå γ(s1 ) è γ(s2 ). Òîãäà êðèâàÿ σ îãðàíè÷èâàåò íåêîòîðóþ âûïóêëóþ îáëàñòü D. Ïóñòü C(O, R) êðóã ìàêñèìàëüíîãî
ðàäèóñà, âïèñàííûé â D, òî÷êà O åå öåíòð, à R ðàäèóñ.
Èç óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è 1.7.14 ñëåäóåò, ÷òî îêðóæíîñòü C(0, R) êàñàåòñÿ
σ , ïî êðàéíåé ìåðå, â äâóõ òî÷êàõ γ(s3 ) è γ(s4 ), s1 < s3 < s2 è s1 < s4 < s2 , è
óãîë ∠γ(s3 )Oγ(s4 ) íå ïðåâîñõîäèò π . Íî òîãäà èç óòâåðæäåíèÿ çàäà÷ 1.7.1 è
1.7.12 ñëåäóåò, ÷òî â òî÷êàõ γ(s3 ) è γ(s4 ) êðèâèçíà êðèâîé σ íå ïðåâîñõîäèò
1
\
R , è ñóùåñòâóåò òî÷êà âíóòðè äóãè γ(s3 )γ(s4 ) êðèâîé σ , â êîòîðîé êðèâèçíà
1
ñòðîãî áîëüøå R , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè k(s).
Çàäà÷à 1.7.22. Ïóñòü â óñëîâèÿõ çàäà÷è 1.7.19
lim k(s) = a,
s→∞
lim k(s) = b
s→−∞
(ñëó÷àé a = 0 èëè ñëó÷àé b = ∞ íå èñêëþ÷àþòñÿ). Òîãäà ñóùåñòâóþò
îêðóæíîñòè C1 ( 1b ) è C2 ( a1 ) ðàäèóñîì 1b è a1 , ñîîòâåòñòâåííî, òàêèå, ÷òî
êðèâàÿ γ ñïèðàëåâèäíî íàêðó÷èâàåòñÿ íà îêðóæíîñòü C1 ( 1b ) ñíàðóæè, à
íà îêðóæíîñòü C2 ( a1 ) èçíóòðè.
Óêàçàíèå. Ðåøèòü ñàìîñòîÿòåëüíî. Çàìåòèì, ÷òî ïðè a = 0 êðèâàÿ γ
èìååò àñèìïòîòó, à ïðè b = ∞ íàêðó÷èâàåòñÿ íà òî÷êó.
37
1.7. Çàäà÷è
Ýêâèäèñòàíòíûå êðèâûå. Ïóñòü γ(t) ãëàäêàÿ, ðåãóëÿðíàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé γ , à ~e (t) íåïðåðûâíîå ïîëå íîðìàëüíûõ åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ âäîëü γ; a ≤ t ≤ b. Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî γd , îòêëàäûâàÿ îò êàæäîé
òî÷êè γ(t) êðèâîé γ îòðåçîê äëèíû |d| â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ~e (t), åñëè
d > 0 è â íàïðàâëåíèè âåêòîðà −~e (t), åñëè d < 0. Ìíîæåñòâî γd íàçûâàåòñÿ ýêâèäèñòàíòíîé êðèâîé îòíîñèòåëüíî êðèâîé γ (ñì. ðèñóíîê 1.20). Ýòî
ìíîæåñòâî íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ êðèâîé. Ïðîñòåéøèé ïðèìåð ýêâèäèñòàíòà
γa îêðóæíîñòè ðàäèóñà a åñòü òî÷êà. Òåì áîëåå, íå âî âñåõ òî÷êàõ γd ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé êðèâîé. Óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè γd ñôîðìóëèðîâàíû íèæå
â òåîðåìå 1.7.2 Ëåãêî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ γd , åñëè èçâåñòíû óðàâíåíèÿ γ .
Ïóñòü x = x(t), y = y(t) óðàâíåíèÿ γ è t äëèíà äóãè, a ≤ t ≤ b. Òîãäà
óðàâíåíèÿ γd ñóòü
(
x = xd (t) = x(t) ± y 0 (t)d
(1.7.16)
y = yd (t) = y(t) ∓ x0 (t)d,
ãäå çíàêè (+, −) èëè (−, +) çàâèñÿò îò âûáîðà íàïðàâëåíèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ
~e (t). Îïðåäåëèì çíàêè êðèâèçíû íà êðèâûõ γ è γd ïîëåì ~e (t).
Ðèñ. 1.20: Ýêâèäèñòàíòà êðèâîé.
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1.7.2. Åñëè êðèâàÿ γ ñ ïàðàìåòðèçàöèåé γ(t), (a ≤ t ≤ b)
(a =
∞, b = ∞ íå èñêëþ÷àåòñÿ), ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé êðèâîé êëàññà C 2 è äëÿ
1
, òî ýêâèäèñòàíòà γd
âñåõ t ∈ [a, b] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî d 6=
k(t)
ðåãóëÿðíà è åå êðèâèçíà kd (t) ñâÿçàíà ñ êðèâèçíîé k(t) êðèâîé γ ôîðìóëîé
k(t)
kd (t) =
.
1 − k(t)d
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x = x(t) è y = y(t) óðàâíåíèÿ γ , è ïðåäïîëîæèì,
÷òî t äëèíà äóãè, à ïîëå ~e (t) ñîâïàäàåò ñ ïîëåì âåêòîðîâ (−y 0 (t), x0 (t)).
Òîãäà óðàâíåíèÿ γd ïðèíèìàþò âèä
(
x = xd (t) = x(t) − y 0 (t)d
y = yd (t) = y(t) + x0 (t)d.
Ñëåäîâàòåëüíî,
(
x0d (t) = x0 (t) − y 00 (t)d
yd0 (t) = y 0 (t) + x00 (t)d.
Èç ïðàâèëà îïðåäåëåíèÿ çíàêà êðèâèçíû k(t) êðèâîé γ ñëåäóåò, ÷òî
x00 (t) = −k(t)y 0 ,
y 00 (t) = k(t)x0 (t).
 ñàìîì äåëå, åñëè êîìïîíåíòû ν1 (t) è ν2 (t) ãëàâíîé íîðìàëè ~ν êðèâîé γ çàäàíû ðàâåíñòâàìè: ν1 = −y 0 , ν2 = x0 , òî êðèâèçíà k(t) êðèâîé γ â òî÷êå
γ(t) ïîëîæèòåëüíà, è èç ôîðìóë Ôðåíå ìû ïîëó÷àåì
x00 = −|k|y 0 = −ky 0 ,
y 00 = |k|x0 = kx0 .
38
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Åñëè æå ν1 = y 0 , ν2 = −x0 , òî êðèâèçíà k(t) êðèâîé γ â òî÷êå γ(t) îòðèöàòåëüíà è òîãäà ñíîâà èç ôîðìóë Ôðåíå ìû ïîëó÷àåì
x00 = |k|y 0 = −ky 0 ,
y 00 = −|k|x0 = kx0 .
Èòàê, ìû ïîëó÷èëè
(
x0d = x0 − y 00 d = x0 (1 − kd)
yd0 = y 0 + x00 d = y 0 (1 − kd).
(1.7.17)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
0
0
(x0d )2 + (yd0 )2 = (1 − kd)2 (x 2 + y 2 ) = (1 − kd)2 6= 0,
â ñèëó óñëîâèÿ òåîðåìû. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî. Íàéäåì
òåïåðü êðèâèçíó kd (t) ýêâèäèñòàíòû γd â òî÷êå γd (t). Âîçüìåì òî÷êó γd (t +
4t) è íàéäåì óãîë 4ϕ(t) ìåæäó êàñàòåëüíûìè ê γd â òî÷êàõ γd (t) è γd (t +
4t). Êàê âèäíî èç ôîðìóë (1.7.17) óãîë 4ϕ(t) ðàâåí óãëó 4θ(t) ìåæäó
êàñàòåëüíûìè ê êðèâîé γ â òî÷êàõ γ(t) è γ(t + 4t)
(1.7.18)
4ϕ(t) = 4θ(t).
Äëèíà äóãè 4s êðèâîé γd ìåæäó òî÷êàìè γd (t) è γd (t + 4t) âûðàæàåòñÿ
ôîðìóëîé
Z t+4t
4s =
|1 − kd| dt.
(1.7.19)
t
Èòàê èç (1.7.18) è (1.7.19) ñëåäóåò, ÷òî
|kd (t)| = lim
4t→0
4θ(t)
4t
1
4ϕ(t)
= lim
lim
= |k(t)|
.
4t→0 4t 4t→0 4s
4s
|1 − kd|
(1.7.20)
Èç îïðåäåëåíèÿ çíàêà êðèâèçíû k(t) è kd (t) íåòðóäíî âûâåñòè, ÷òî ïðè
1−kd > 0 çíàêè k(t) è kd (t) ñîâïàäàþò, à ïðè (1−kd) < 0 çíàêè k(t) è kd (t)
ðàçëè÷íû. Ïîýòîìó èç (1.7.20) ñëåäóåò âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Çàìå÷àíèå 1.7.1. Åñëè îïðåäåëèòü R(t) è Rd (t) ôîðìóëàìè
R(t) =
1
,
k(t)
Rd (t) =
1
,
kd (t)
òî ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå òåîðåìû ïðèíèìàåò âèä Rd = R − d.
Çàäà÷à 1.7.23. Ïóñòü γ(t), (−∞ < a ≤ t ≤ b < ∞) ðåãóëÿðíàÿ ïàðà-
ìåòðèçàöèÿ êðèâîé γ êëàññà C 2 . Äîêàçàòü, ÷òî åñëè
1
,
t∈[a,b] k(t)
|d| < inf
òî ìíîæåñòâî γd ∪ γ−d ìîæíî îïðåäåëèòü, êàê ìíîæåñòâî òî÷åê, ðàññòîÿíèå êîòîðûõ äî êðèâîé γ ðàâíî |d|.
Óêàçàíèå Ïðåäïîëîæèòü ïðîòèâíîå è èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò òåîðåìû 1.7.1
ïðèéòè ê ïðîòèâîðå÷èþ.
39
1.7. Çàäà÷è
Çàäà÷à 1.7.24. Ïîñòðîèòü ïðèìåð ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé êðèâîé, äëÿ êîòî-
ðîé ýêâèäèñòàíòíûå êðèâûå γd èìåþò íåðåãóëÿðíûå òî÷êè ïðè ëþáîì d.
Ýâîëþòà è ýâîëüâåíòû. Äëÿ ðåãóëÿðíûõ äâàæäû íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûõ êðèâûõ ìîæíî îïðåäåëèòü êðèâóþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ýâîëþòîé
äàííîé êðèâîé γ .
Ïóñòü γ(t), (a ≤ t ≤ b) îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî k(t) 6= 0 ïðè âñåõ
t ∈ [a, b]. Òîãäà â êàæäîé òî÷êå ýòîé êðèâîé γ îïðåäåëåí âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè ~ν (t). Îòëîæèì îò êàæäîé òî÷êè γ(t) êðèâîé γ â íàïðàâëåíèè âåêòîðà
1
~ν (t) îòðåçîê âåëè÷èíû R(t) = k(t)
. Êîíöû ýòèõ îòðåçêîâ îáðàçóþò íåêîòîðîå ìíîæåñòâî òî÷åê, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ýâîëþòîé êðèâîé γ (ñì. ðèñóíîê
1.21).
Ðèñ. 1.21: Ýâîëþòà êðèâîé.
Ýâîëþòà êðèâîé íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ êðèâîé. Òàê, íàïðèìåð, ýâîëþòà îêðóæíîñòè åñòü òî÷êà. Èç òåîðåìû 1.7.2 ñëåäóåò, ÷òî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ
ýêâèäèñòàíòû è ýâîëþòû åñòü îñîáûå (íåðåãóëÿðíûå) òî÷êè ýêâèäèñòàíòû.
 îáùåì ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèå k(t) 6= 0 íå âûïîëíÿåòñÿ âî âñåõ òî÷êàõ
êðèâîé γ , ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ýâîëþòó êðèâîé γ îòäåëüíî äëÿ êàæäîé åå
äóãè, äëÿ êîòîðîé óñëîâèå k(t) 6= 0 óæå âûïîëíåíî.
Åñëè óðàâíåíèå êðèâîé γ â åñòåñòâåííîé ïàðàìåòðèçààöèè ñóòü x =
x(t), y = y(t), òî óðàâíåíèÿ ýâîëþòû çàïèñûâàþòñÿ â òàêîé ôîðìå:
(
x = x̃(t) = x(t) + R(t) ν1 (t)
(1.7.21)
y = ỹ(t) = y(t) + R(t) ν2 (t),
ãäå ν1 (t) è ν2 (t) êîìïîíåíòû ãëàâíîé íîðìàëè ~ν (t). Íàéäåì óñëîâèå, ïðè
êîòîðîì äàííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ ýâîëþòû ðåãóëÿðíà. Äèôôåðåíöèðóÿ (1.7.21)
ïî t, ïîëó÷èì
(
x̃ 0 (t) = x0 (t) + R(t) ν10 (t) + R0 (t) ν1 (t)
(1.7.22)
ỹ 0 (t) = y 0 (t) + R(t) ν20 (t) + R0 (t) ν2 (t).
Ïî ôîðìóëàì Ôðåíå ν10 (t) = −kx0 (t), ν20 (t) = ky 0 (t). Ïîýòîìó
(
x̃ 0 (t) = R0 (t) ν1 (t)
ỹ 0 (t) = R0 (t) ν2 (t).
(1.7.23)
Èç (1.7.23) ñëåäóåò, ÷òî (x̃ 0 )2 + (ỹ 0 )2 = (R0 )2 . Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè R0 (t) 6= 0,
òî òî÷êà (x̃(t), ỹ(t)) åñòü ðåãóëÿðíàÿ òî÷êà ýâîëþòû.
Èç ðàâåíñòâ (1.7.23) ñëåäóåò îñíîâíîå ñâîéñòâî ýâîëþòû: êàñàòåëüíàÿ
ïðÿìàÿ ê ýâîëþòå â òî÷êå (x̃(t), ỹ(t)) ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé ïðÿìîé ê êðèâîé
γ â òî÷êå (x(t), y(t)).
Èòàê, ìû ïîëó÷àåì òàêóþ êàðòèíó.
1. Åñëè âäîëü äóãè γ(t), (a ≤ t ≤ b) âûïîëíåíî k(t) 6= 0 è k 0 (t) 6= 0, òî
ýâîëþòà åñòü ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ.
2.  òî÷êå γ(t0 ), ãäå k(t0 ) = 0, íîðìàëüíàÿ ïðÿìàÿ ê γ ÿâëÿåòñÿ àññèìïòîòîé ê äâóì âåòâÿì ýâîëþòû.
40
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
3. Åñëè â òî÷êå γ(t0 ) âûïîëíåíî k(t0 ) 6= 0, à k 0 (t0 ) = 0 è k 00 (t0 ) 6= 0, òî
â òî÷êå (x̃(t0 ), ỹ(t0 )) ýâîëþòà èìååò îñîáåííîñòü.  ýòîé òî÷êå ñîåäèíÿþòñÿ
äâå ðåãóëÿðíûå äóãè ýâîëþòû, èìåþùèå îáùóþ êàñàòåëüíóþ, íî ëåæàùèå
îò íåå ïî ðàçíûå ñòîðîíû.
Ñëó÷àé k 0 (t0 ) = 0 è k 00 (t0 ) = 0 òðåáóåò äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ, è ìû
íå áóäåì íà íåì îñòàíàâëèâàòüñÿ.
Ïîäñ÷èòàåì òåïåðü äëèíó äóãè ýâîëþòû s ìåæäó òî÷êàìè ñî çíà÷åíèÿìè
ïàðàìåòðà t1 è t2
Z
t2
s=
p
x̃0 2 + ỹ 0 2 dt =
t1
Z
t2
R0 (t) dt = R(t2 ) − R(t1 ),
t1
òî åñòü äëèíà äóãè ðàâíà ðàçíîñòè ðàäèóñîâ êðèâèçíû êðèâîé γ â òî÷êàõ
γ(t2 ) è γ(t1 ).
Îïðåäåëèì ýâîëüâåíòó êðèâîé. Ýâîëüâåíòîé êðèâîé γ íàçûâàåòñÿ òàêàÿ
êðèâàÿ γ , äëÿ êîòîðîé γ ÿâëÿåòñÿ ýâîëþòîé (ñì. ðèñóíîê 1.22).
Ðèñ. 1.22: Ýâîëüâåíòà êðèâîé.
Ïóñòü x = x(t), y = y(t) åñòåñòâåííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ γ . Òîãäà óðàâíåíèå ýâîëüâåíòû γ ìîæíî çàïèñàòü òàê:
(
x = x(t) = x(t) + a(t)x0 (t)
(1.7.24)
y = y(t) = y(t) + a(t)y 0 (t).
Ôóíêöèþ a(t) ìû íàéäåì èç óñëîâèÿ îðòîãîíàëüíîñòè âåêòîðîâ (x0 (t), y 0 (t))
è (x 0 (t), y 0 (y)). Òàê êàê
x 0 (t) = x0 (t) + a(t)x00 (t) + a0 (t)x0 (t),
òî ìû ïîëó÷àåì
èëè
y 0 (t) = y 0 (t) + a(t)y 00 (t) + a0 (t)y 0 (t),
x02 (1 + a0 ) + y 02 (1 + a0 ) = 0
a0 (t) = −1,
îòêóäà a(t) = −t + C . Èòàê, óðàâíåíèÿ ýâîëüâåíòû γ(t) îêàçûâàþòñÿ òàêèìè:
x(t) = x(t) + x0 (t)(C − t),
y(t) = y(t) + y 0 (t)(C − t).
Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ äàííîé êðèâîé γ ñóùåñòâóåò öåëîå ñåìåéñòâî ýâîëüâåíò, çàâèñÿùåå îò êîíñòàíòû C . Íàãëÿäíî ïîñòðîåíèå ýâîëüâåíòû ìîæíî
îïèñàòü òàêèì îáðàçîì. Ïðåäñòàâèì ñåáå íåðàñòÿæèìóþ íèòü, íàòÿíóòóþ
íà ÷àñòü êðèâîé. Åñëè ýòó íèòü ñìàòûâàòü ñ êðèâîé, îñòàâëÿÿ åå âñå âðåìÿ
â íàòÿíóòîì ïîëîæåíèè, òî åå êîíåö îáðàçóåò ýâîëüâåíòó.
Êðèâûå ïîñòîÿííîé øèðèíû. Ïóñòü γ âûïóêëàÿ, çàìêíóòàÿ, ãëàäêàÿ
êðèâàÿ. ×åðåç íåêîòîðóþ òî÷êó q ∈ γ ïðîâåäåì ê íåé êàñàòåëüíóþ ïðÿìóþ
a. Â ñèëó âûïóêëîñòè è çàìêíóòîñòè êðèâîé γ ñóùåñòâóåò òîëüêî îäíà ïðÿìàÿ ā, ïàðàëëåëüíàÿ a, êàñàþùàÿñÿ γ è íå ñîâïàäàþùàÿ ñ a. Âñÿ êðèâàÿ
γ ëåæèò ìåæäó ýòèìè ïðÿìûìè. Ïîýòîìó ÷èñëî d(a), ðàâíîå ðàññòîÿíèþ
41
1.7. Çàäà÷è
ìåæäó ïðÿìûìè a è ā, íàçûâàåòñÿ øèðèíîé êðèâîé γ â íàïðàâëåíèè, îïðåäåëåííîì ïðÿìîé a.
Âûïóêëàÿ çàìêíóòàÿ, ãëàäêàÿ êðèâàÿ γ íàçûâàåòñÿ êðèâîé ïîñòîÿííîé
øèðèíû d, åñëè åå øèðèíà íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ ïðÿìîé a; d(a) ≡ d.
Âîò îäèí èç ïðèìåðîâ êðèâîé ïîñòîÿííîé øèðèíû, îòëè÷íîé îò îêðóæíîñòè.
Ïóñòü A1 A2 A3 åñòü ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé a; A1 A2 =
A1 A3 = A2 A3 = a. Ñ öåíòðîì â òî÷êå A1 , ïðîâåäåì îêðóæíîñòè ðàäèóñà r è ðàäèóñà (r + a) è âîçüìåì òå èõ äóãè σ1 è σ̄1 , êîòîðûå ëåæàò âíå
òðåóãîëüíèêà A1 A2 A3 ìåæäó ïðÿìûìè A1 A3 è A1 A2 (ñì. ðèñóíîê 1.23).
Ðèñ. 1.23: Êðèâàÿ ïîñòîÿííîé øèðèíû.
Àíàëîãè÷íî, îïðåäåëèì äóãè σ2 , σ̄2 è σ3 , σ̄3 . Äóãè σ1 σ̄2 σ3 σ̄1 σ2 σ̄3 â ñîâîêóïíîñòè îáðàçóþò ãëàäêóþ âûïóêëóþ êðèâóþ ïîñòîÿííîé øèðèíû a + 2r.
Ìîæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèå êðèâîé ïîñòîÿííîé øèðèíû è äëÿ êóñî÷íî ãëàäêèõ âûïóêëûõ êðèâûõ, åñëè êàñàòåëüíûå ïðÿìûå çàìåíèòü íà îïîðíûå ïðÿìûå. Ïðèìåðîì òàêîé êðèâîé ìîæåò ñëóæèòü òðåóãîëüíèê Ðåëëî. Îí ñòðîèòñÿ òàêèì îáðàçîì: ñ öåíòðîì â âåðøèíå A1 òðåóãîëüíèêà A1 A2 A3 ïðîâåäåì îêðóæíîñòü ðàäèóñà a è âîçüìåì åå ìåíüøóþ äóãó σ1 ìåæäó òî÷êàìè
A2 è A3 . Àíàëîãè÷íî ñòðîÿòñÿ äóãè σ2 è σ3 . Ñîâîêóïíîñòü äóã σ1 σ2 σ3 îáðàçóþò âûïóêëóþ, çàìêíóòóþ êðèâóþ ïîñòîÿííîé øèðèíû a.  òî÷êàõ A1 , A2
è A3 ýòà êðèâàÿ èìååò âåðøèíû, (ñì. ðèñóíîê 1.24).
Ðèñ. 1.24: Òðåóãîëüíèê Ðåëëî.
Çàäà÷à 1.7.25. Äîêàçàòü, ÷òî äëèíà êðèâîé ïîñòîÿííîé øèðèíû a ðàâíà
πa.
Óêàçàíèå Âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 1.4.2.
Çàäà÷à 1.7.26. Åñëè γ ãëàäêàÿ êðèâàÿ ïîñòîÿííîé øèðèíû b, è òî÷êè
q1 è q2 ñóòü òî÷êè êàñàíèÿ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ a1 è a2 ñ êðèâîé γ , òî
îòðåçîê q1 q2 ïåðïåíäèêóëÿðåí ïðÿìûì a1 è a2 è, ñëåäîâàòåëüíî, q1 q2 = b.
Ðåøåíèå. Ïóñòü p1 è p2 òî÷êè êðèâîé γ , äëÿ êîòîðûõ äëèíà îòðåçêà p1 p2
ðàâíà äèàìåòðó d êðèâîé γ . Òîãäà êàñàòåëüíûå ê γ , ïðîâåäåííûå â êîíöàõ
ýòîãî äèàìåòðà, îðòîãîíàëüíû îòðåçêó p1 p2 . Ñëåäîâàòåëüíî, d = b.
Ïóñòü òåïåðü òî÷êè q1 è q2 îáëàäàþò ñâîéñòâàìè, óêàçàííûìè â óñëîâèÿõ
çàäà÷è. Òîãäà, ñ îäíîé ñòîðîíû,
q1 q2 ≤ d = p1 p2 = b,
à, ñ äðóãîé ñòîðîíû,
q1 q2 ≥ b = d.
Èç ýòèõ íåðàâåíñòâ ñëåäóåò ðàâåíñòâî q1 q2 = b è q1 q2 îðòîãîíàëåí a1 è a2 .
Èç óòâåðæäåíèé ïîñëåäíåé çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîé òî÷êè q ∈ γ
ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà q ∗ òàêàÿ, ÷òî êàñàòåëüíûå ê γ â òî÷êàõ q è
q ∗ ïàðàëëåëüíû. Òî÷êè q è q ∗ íàçîâåì äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûìè
òî÷êàìè íà êðèâîé γ .
42
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Çàäà÷à 1.7.27. Åñëè γ äâàæäû íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ êðèâàÿ
ïîñòîÿííîé øèðèíû a, è êðèâèçíû êðèâîé γ â äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷êàõ ðàâíû, òî êðèâàÿ γ åñòü îêðóæíîñòü äèàìåòðà a.
Óêàçàíèå. Èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò òåîðåìû 1.7.2
Çàäà÷à 1.7.28. Íàéòè òàêèå àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè, ÷òîáû êðèâàÿ, çà-
äàííàÿ óðàâíåíèÿìè
x = h(θ) cos θ −
dh
sin θ,
dθ
y = h(θ) sin θ +
dh
cos θ,
dθ
áûëà áû êðèâîé ïîñòîÿííîé øèðèíû.
Óêàçàíèå. Óêàæó îäíó èç òàêèõ ôóíêöèé h(θ) = a+b cos 3θ, (0 < 8b < a),
ãäå a è b êîíñòàíòû.
1.8
Êðó÷åíèå êðèâîé
Ïóñòü êðèâàÿ γ ïðèíàäëåæèò êëàññó C 2 , è ïóñòü â òî÷êå p1 êðèâèçíà k
îòëè÷íà îò íóëÿ. Òîãäà, ïî íåïðåðûâíîñòè, êðèâèçíà êðèâîé γ îòëè÷íà îò
íóëÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p1 . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó p2
èç ýòîé îêðåñòíîñòè. Ïî òåîðåìå 1.5.2∗ â òî÷êàõ p1 è p2 ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå ñîïðèêàñàþùèåñÿ ïëîñêîñòè α1 è α2 . Îáîçíà÷èì óãîë ìåæäó íèìè
÷åðåç 4θ, à äëèíó äóãè p1 p2 êðèâîé γ ÷åðåç 4s.
Îïðåäåëåíèå 1.8.1.
lim 4θ
p2 →p1 4s
4θ
,
4s→0 4s
= lim
åñëè îí ñóùåñòâóåò, íàçûâàåòñÿ
àáñîëþòíûì êðó÷åíèå êðèâîé γ â òî÷êå p1 , è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç æ.
Åñëè êðèâàÿ ïëîñêàÿ, òî 4θ ≡ 0 è àáñîëþòíîå êðó÷åíèå æ = 0. Íåìíîãî
ïîçäíåå ìû äîêàæåì, ÷òî âåðíî è îáðàòíîå, åñëè ó êðèâîé γ êðèâèçíà â
êàæäîé òî÷êå îòëè÷íàÿ îò íóëÿ, à êðó÷åíèå ðàâíî íóëþ, òî γ ïëîñêàÿ
êðèâàÿ.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êðó÷åíèÿ è ôîðìóëó äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ.
Òåîðåìà 1.8.1. Åñëè γ åñòü ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ êëàññà C 3 , òî â êàæäîé
åå òî÷êå, â êîòîðîé êðèâèçíà îòëè÷íà îò íóëÿ, ñóùåñòâóåò àáñîëþòíîå
|(~r 0 , ~r 00 , ~r 000 )|
êðó÷åíèå æ, è åñëè ~r (t) ïàðàìåòðèçàöèÿ γ , òî æ =
.
|~r 0 × ~r 00 |2
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ~r = ~r (s) åñòåñòâåííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé.
Ïóñòü â òî÷êå p1 = ~r (s1 ) êðèâèçíà γ îòëè÷íà îò íóëÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ε > 0, ÷òî ïðè s ∈ (s1 −ε, s1 +ε) â òî÷êàõ ~r (s) êðèâèçíà γ òàêæå îòëè÷íà
îò íóëÿ. Óãîë ìåæäó ñîïðèêàñàþùèìèñÿ ïëîñêîñòÿìè â òî÷êå p1 = ~r (s1 ) è
â òî÷êå p2 = ~r (s2 ) ïðè s2 ∈ (s1 − ε, s1 + ε) ðàâåí óãëó ìåæäó áèíîðìàëÿìè
~ (s) è β
~ (s). Ïîýòîìó, |β
~ (s2 ) − β
~ (s1 )| = 2 sin 4θ . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
β
1
2
2
2
~ (s2 ) − β
~ (s1 )|
4θ
4θ
|β
~ 0 (s1 )|.
= lim
· lim
= |β
4θ
s2 →s1
4s→0 4s
4θ→0 2 sin
|s
−
s
|
2
1
2
lim
~ 0 (s1 ) , ãäå β
~ (s) =
Îñòàåòñÿ äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå β
~
r 0 ×~
r 00
|~
r 0 ×~
r 00 | .
43
1.8. Êðó÷åíèå êðèâîé
Çíàìåíàòåëü ýòîãî âûðàæåíèÿ ïðè s = s1 , îòëè÷åí îò íóëÿ, òàê êàê
0
r 00 |
k(s1 ) = |~r |~r×~
6= 0. Ïîýòîìó èç óñëîâèé íàøåé òåîðåìû è ïðàâèëà äèôôå0 |3
~ 0 (s1 ). Ôîðìóëó æ = |β
~ 0 (s1 )|
ðåíöèðîâàíèÿ äðîáè ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå β
ïðåîáðàçóåì â ôîðìóëó, áîëåå óäîáíóþ äëÿ âû÷èñëåíèé. Ïî îïðåäåëåíèþ
~ (s) = ~τ (s) × ~ν (s). Ïîýòîìó β
~ 0 = ~τ 0 × ~ν + ~τ × ~ν 0 . Òàê êàê ~τ 0 = ~r 00 , à
β
ss
~
r 00
0
0
0
0
~
~
~
~
~
~
~
~ν = |~r ss
,
òî
τ
×
ν
=
0
è
β
=
τ
×
ν
.
Îòñþäà
ñëåäóåò,
÷òî
β
⊥
τ
,
à
êðîìå
00 |
ss
~
~ . Çíà÷èò β
~ 0 = λ~ν , ãäå |λ| = |β
~ 0 |. Èòàê, æ = |β
~ 0 | = |(β
~ 0 , ~ν )| , èëè
β
òîãî, 0 ⊥ β
0 ~
0
0
τ
~
ν
ν
τ
~
ν
~
ν
~
ν
æ = |(~ × , )| = |(~ , , )|. Íàéäåì
~ν =
~
r 000
sss
|~
r 00
ss |
~ν 0
Ïîýòîìó ~ν 0 =
~r 00ss
.
|~r 00ss |
+ A~r 00 , ãäå A íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îò s. Ïîäñòàâëÿÿ âûr0 ~
r 00 ~
r 000
ðàæåíèå äëÿ ν â ôîðìóëó äëÿ æ, ïîëó÷èì æ = |(~τ , ~ν , ~ν 0 )| = |(~r ,|~rr 00,|2r )| .
Åñëè ~r = ~r (t) ïðîèçâîëüíàÿ òðèæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ, òî
~r 00tt
+ A~r 0t ,
|~r 0t |2
~r 000
|~r 0 × ~r 00 |
= ttt
+ B~r 00tt + C~r 0t , |~r 00ss | = t 0 3 tt ,
0
3
|~r t |
|~r t |
~r 0s = ~r 0t
~r 000
sss
1
,
|~r 0t |
~r 00ss =
ãäå A, B è C íåêîòîðûå ôóíêöèè îò t. Ïîýòîìó
æ=
|(~r 0t , ~r 00tt , ~r 000
ttt )|
.
|~r 0t × ~r 00tt |2
Äëÿ êðèâûõ γ â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî îïðåäå~ 0 | = |(β
~ 0 , ~ν )|. Îïðåäåëèì êðóëèòü çíàê êðó÷åíèÿ. Êàê ìû óæå âèäåëè |β
0 ~
~
÷åíèå ôîðìóëîé æ = −(β , ν ). Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî çíà÷èò, ÷òî êðó÷åíèå ïî~ } âðàùàåòñÿ
ëîæèòåëüíî, åñëè ïðè äâèæåíèè âäîëü êðèâîé ðåïåð {~τ , ~ν , β
âîêðóã ~τ ïî ïðàâèëó ïðàâîãî âèíòà, òî åñòü, ñ íà÷àëà âåêòîðà ~τ , òî âðàùåíèå ïðîèñõîäèò ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.
1.8.1
Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû
(~r 0 , ~r 00 , ~r 000 )
|~r 00 |2
(~r 0 , ~r 00 , ~r 000 )
æ=
|~r 0 × ~r 00 |2
æ=
äëÿ åñòåñòâåííîé ïàðàìåòðèçàöèè ~r = ~r (s),
äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïàðàìåòðèçàöèè ~r = ~r (t).
Íàéäåì òåïåðü âñå êðèâûå, ó êîòîðûõ â êàæäîé òî÷êå êðèâèçíà îòëè÷íà
~ 0 | = æ ïðè åñòåîò íóëÿ, à êðó÷åíèå ðàâíî íóëþ. Ïóñòü æ = 0 òàê êàê |β
~ 0 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, β
~ (s) = β
~ . Êðîìå
ñòâåííîé ïàðàìåòðèçàöèè, òî β
0
0
~
~
òîãî, íàì óæå èçâåñòíî, ÷òî (β , ~τ ) = 0, èëè (~r , β 0 ) = 0, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
~ ) = const. Çíà÷èò êðèâàÿ γ ëåæèò â ïëîñêîñòè îðòîãîíàëüíîé
(~r (s)−~r (s0 ), β
0
~
âåêòîðó β 0 , òî åñòü γ ïëîñêàÿ êðèâàÿ.
44
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå k 6= 0 íå ÿâëÿåòñÿ èçëèøíèì. Ðàññìîòðèì êðèâóþ
γ , ñîñòîÿùóþ èç äâóõ äóã γ1 è γ2 , γ1 , çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè y = x4 , z =
0, (0 ≤ x < ∞), à γ2 : y = 0, z = x4 , (−∞ < x ≤ 0). Äëÿ ïîëó÷åííîé
êðèâîé γ êðèâèçíà îïðåäåëåíà âî âñåõ òî÷êàõ è ðàâíà íóëþ òîëüêî â òî÷êå
M0 (0, 0, 0), êðó÷åíèå ðàâíî íóëþ âñþäó, ãäå îíî îïðåäåëåíî. Òåì íå ìåíåå,
ýòà êðèâàÿ íå ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé êðèâîé.
1.9
Ôîðìóëû Ôðåíå è íàòóðàëüíîå óðàâíåíèå
êðèâîé
Âî âñåõ òî÷êàõ ðåãóëÿðíîé òðèæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé γ , â êîòîðûõ êðèâèçíà îòëè÷íà îò íóëÿ, îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû òðè
~ , îáðàçóþùèõ áàçèñ.
åäèíè÷íûõ ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðà, ~τ , ~ν è β
Ïîýòîìó ëþáîé âåêòîð ìîæåò áûòü âûðàæåí ÷åðåç íèõ ëèíåéíîé êîìáèíà~ 0 òàêæå ìîæíî ðàçëîæèòü ïî âåêòîöèåé.  ÷àñòíîñòè, âåêòîðû ~τ 0 , ~ν 0 è β
~
ðàì ~τ , ~ν è β . Åñëè ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé åñòåñòâåííàÿ, òî êîýôôèöèåíòû
ðàçëîæåíèÿ èìåþò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë è âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êðèâèçíó è
êðó÷åíèå.  ñàìîì äåëå,
~τ (s) = ~r 0 (s),
~τ 0 = ~r 00 = |~r 00 |
~r 00
= k~ν
|~r 00 |
~ 0 = λ~ν è èç îïðåäåëåíèÿ çíàêà êðó÷åíèÿ èìååì λ = − æ. Ïîýòîìó
β
~ 0 = − æ ~ν .
β
~ } îáðàçóåò ïðàâóþ òðîéêó. Ïîýòîìó
Òðîéêà âåêòîðîâ {~τ , ~ν , β
~ × ~τ ,
~ν = β
~ = ~τ × ~ν ,
β
~.
~τ = ~ν × β
~ 0 × ~τ + β
~ × ~τ 0 = − æ(~ν × ~τ ) + k(β
~ × ~ν ) = æ β
~ − k~τ .
~ν 0 = β
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëû, íàçûâàåìûå ôîðìóëàìè Ôðåíå

0

~τ
~ν 0

~ 0
β
=
k~ν
~
= −k~τ
+ æβ
=
− æ ~ν .
(1.9.25)
Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè Ôðåíå, ëåãêî íàéòè îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè êðèâîé
~) è
íà ñîïðèêàñàþùóþñÿ ïëîñêîñòü (~τ , ~ν ), íà íîðìàëüíóþ ïëîñêîñòü (~ν , β
~
íà ñïðÿìëÿþùóþ ïëîñêîñòü (~τ , β ). Ââåäåì äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ
íà÷àëîì â çàäàííîé òî÷êå p = ~r (s0 ) è ñ îñÿìè êîîðäèíàò, íàïðàâëåííûìè
~ ; ~τ = ~i, ~ν = ~j , β
~ = ~k . Ïðèìåíèì ôîðìóëó Òåéëîðà ê
ïî âåêòîðàì ~τ , ~ν è β
âåêòîð-ôóíêöèè ~r = ~r (s0 )
1
1
~r (s) = ~r (s0 ) +~r 0 (s)(s − s0 ) + ~r 00 (s0 )(s − s0 )2 + ~r 000 (s0 )(s − s0 )3 + ō((s − s0 )3 ).
2
6
45
1.9. Ôîðìóëû Ôðåíå è íàòóðàëüíîå óðàâíåíèå êðèâîé
Òàê êàê
~r (s0 ) = 0,
~r 0 (s0 ) = ~τ (s0 ) = ~i,
~r 00 (s0 ) = k ~ν = k ~j
~ (s0 )) =
~r 000 (s0 ) = k 0~ν (s0 ) + k~ν 0 (s0 ) = k 0~ν (s0 ) + k(−k~τ (s0 ) + æ β
= −k 2 ~i + k 0 ~j + k æ ~k ,
òî

1


x(s) = s − s0 + (−k 2 )(s − s0 )3 + ō1 ((s − s0 )3 )


6


1
1
y(s) = k(s − s0 )2 + k 0 (s − s0 )3 + ō2 ((s − s0 )3 )

2
6



1

3
 z(s) = k æ(s − s0 ) + ō3 ((s − s0 )3 ).
6
Èç ïîñëåäíèõ ôîðìóë ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ îðòîãîíàëüíûõ ïðîåêöèé
y = 21 kx2 + ō(x3 ),
(1) íà ñîïðèêàñàþùóþñÿ ïëîñêîñòü:
(2) íà íîðìàëüíóþ ïëîñêîñòü: z 2 = Ay 3 + ō(y 3 ), ãäå A =
2 æ2
9k ,
(3) íà ñïðÿìëÿåìóþ ïëîñêîñòü: z = Bx3 + ō(x3 ), ãäå B = 61 k æ.
Èç âûâåäåííûõ íàìè ôîðìóë, ñëåäóåò, ÷òî êðèâèçíà ïðîåêöèè êðèâîé íà
ñîïðèêàñàþùóþñÿ ïëîñêîñòü ðàâíà êðèâèçíå ñàìîé êðèâîé â ýòîé æå òî÷êå, à êðèâèçíà ïðîåêöèé íà ñïðÿìëÿþùóþñÿ ïëîñêîñòü ðàâíà íóëþ. Îòñþäà ïðîèñõîäèò è íàçâàíèå ýòîé ïëîñêîñòè. Äëÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ êðèâûõ
ñïðàâåäëèâà òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå äëÿ ïëîñêèõ êðèâûõ.
Òåîðåìà 1.9.1. Ïóñòü k(s) ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ ñòðîãî ïîëîæè-
òåëüíàÿ ôóíêöèÿ, à æ(s) ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, 0 ≤ s ≤ a.
Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ, ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå, îðèåíòèðîâàííàÿ êðèâàÿ, äëÿ êîòîðîé k(s) ÿâëÿåòñÿ êðèâèçíîé, à
æ(s) êðó÷åíèåì â òî÷êå, ñîîòâåòñòâóþùåé êîíöó äóãè äëèíû s.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè êðèâàÿ γ ñ çàäàííûìè ôóíêöèÿìè êðèâèçíû k(s) è
êðó÷åíèå æ(s) ñóùåñòâóåò, òî äëÿ íåå âûïîëíÿþòñÿ ôîðìóëû Ôðåíå

0

=
k~ν
~τ
~
(1.9.26)
~ν 0 = −k~τ
+ æβ

~ 0
β
=
− æ ~ν .
Ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè óðàâíåíèÿ èñêîìîé êðèâîé γ , åñòåñòâåííî
ðàññìîòðåòü ôîðìóëû Ôðåíå, êàê ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ
çàäàííûìè ôóíêöèÿìè k(s) è æ(s), â êîòîðîé èñêîìûìè ôóíêöèÿìè ÿâëÿ~ (s). À çàòåì óæå, çíàÿ ôóíêöèþ ~τ (s),
þòñÿ âåêòîð-ôóíêöèè ~τ (s), ~ν (s) è β
íàéòè è âåêòîð-ôóíêöèþ ~r (s).
~ (s) ðåøåíèå ñèñòåìû (1.9.26) ñ íà÷àëüÏóñòü ôóíêöèè ~τ (s), ~ν (s) è β
~ (0) = β
~ , ïðè÷åì
íûìè óñëîâèÿìè ~τ (0) = ~τ 0 , ~ν (0) = ~ν 0 è β
0
~ ,β
~ )=1
(~τ 0 , ~τ 0 ) = (~ν 0 , ~ν 0 ) = (β
0
0
~
~
(~τ 0 , ~ν 0 ) = (~τ 0 , β ) = (~ν 0 , β ) = 0
0
0
~ ) = 1.
(~τ 0 , ~ν 0 , β
0
(1.9.27)
46
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Äîêàæåì, ÷òî ðàâåíñòâà (1.9.27) âûïîëíÿþòñÿ ïðè ëþáîì s. Ââåäåì øåñòü
íîâûõ ôóíêöèé
ξ1 = (~τ (s), ~τ (s)),
ξ4 = (~τ (s), ~ν (s)),
ξ2 = (~ν (s), ~ν (s)),
~ (s)),
ξ5 = (~τ (s), β
~ (s), β
~ (s)),
ξ3 = (β
~ (s)).
ξ6 = (~ν (s), β
Íàéäåì ïåðâûå ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè ξi , ïîëüçóÿñü óðàâíåíèÿìè Ôðåíå

ξ10 = (~τ , ~τ )0 = 2(~τ 0 , ~τ ) = 2kξ4 ,




~ , ~ν ) = −2kξ4 + 2 æ ξ6 ,
ξ20 = 2(~ν 0 , ~ν ) = 2(−k ~τ + æ β



ξ 0 = 2(β
~ 0, β
~ ) = 2(− æ ~ν , β
~ ) = −2 æ ξ6 ,
3
(1.9.28)
0
0
0

~ν ) + (~τ , ~ν ) = kξ2 − kξ1 + æ ξ5 ,
ξ
=
(~
τ
,

4



~ ) + (~τ , β
~ 0 ) = 2kξ6 − 2 æ ξ4 ,
ξ50 = (~τ 0 , β


 0
~ ) + (~ν , β
~ 0 ) = − æ ξ2 + hξ3 + kξ5 .
ξ6 = (~ν 0 , β
Ðàññìîòðèì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó ðàâåíñòâ, êàê ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèé ξi , (i = 1, . . . , 6), óäîâëåòâîðÿþùèõ íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
ξ1 = ξ2 = ξ3 = 1,
ξ4 = ξ5 = ξ6 = 0.
(1.9.29)
ξ4 (s) = ξ5 (s) = ξ6 (s) ≡ 0
(1.9.30)
Èç òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè ñëåäóåò
ξ1 (s) = ξ2 (s) = ξ3 (s) ≡ 1,
~ (s)) = 1 ïî íåïðåðûâíîñòè.
è (~τ (s), ~ν (s), β
Òåïåðü îïðåäåëèì âåêòîð-ôóíêöèþ ~r (s) ôîðìóëîé
Z s
~r (s) = ~r 0 +
~τ (s) ds.
0
Êðèâàÿ γ , çàäàííàÿ ýòîé ôîðìóëîé, åñòü èñêîìàÿ êðèâàÿ. Â ñàìîì äåëå,
|~r 0 (s)| = |~τ (s)| = 1. Çíà÷èò s åñòü äëèíà äóãè, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò òî÷êè
γ(0) = ~r (0). Ïîýòîìó
k(s) = |~r 00 (s)| = |~τ 0 (s)| = |k ~ν (s)| = k(s)
~ 0 , ~ν ) = −(− æ ~ν , ~ν ) = æ(s) ñíîâà
â ñèëó óðàâíåíèé Ôðåíå. Íàêîíåö, æ = −(β
â ñèëó óðàâíåíèé Ôðåíå. Çàìåòèì, ÷òî êðèâàÿ γ , âîîáøå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ òðèæäû íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé, à òîëüêî äâàæäû
íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîé, òåì íå ìåíåå îíà â êàæäîé ñâîåé òî÷êå
èìååò êðó÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Åñëè
êðèâèçíà êðèâîé åñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî γ îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ,
äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé, íî èç íåïðåðûâíîñòè êðó÷åíèÿ íå ñëåäóåò åå òðèæäû íåïðåðûâíàÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü.
Íàïðèìåð,
ïëîñêàÿ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ êðèâàÿ èìååò íóëåâîå êðó÷åíèå è íå ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, òðèæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé.
Èçó÷èì òåïåðü âîïðîñ î åäèíñòâåííîñòè êðèâîé γ . Êàê ìû óæå âèäå~ }.
ëè, êðèâàÿ γ îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî, åñëè çàäàíû âåêòîðû {~r 0 ; ~τ 0 , ~ν 0 , β
0
1.9. Ôîðìóëû Ôðåíå è íàòóðàëüíîå óðàâíåíèå êðèâîé
47
Ïîýòîìó, åñëè äâå êðèâûå γ1 è γ2 èìåþò ðàâíûå ôóíêöèè êðèâèçíû è
êðó÷åíèÿ, êàê ôóíêöèè äëèíû äóãè s, òî îíè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (~r 1 )0 , (~r 2 )0 è íàïðàâëåíèÿìè âåêòîðîâ
~ )0 è (~τ 2 )0 , (~ν 2 )0 , (β
~ )0 . Ïåðåâîäÿ ïàðàëëåëüíûì ñäâèãîì òî÷(~τ 1 )0 , (~ν 1 )0 , (β
1
2
r
r
êó (~ 2 )0 â òî÷êó (~ 1 )0 , ìû çàòåì ïîâîðîòîì âîêðóã ýòîé òî÷êè ìîæåì ñîâ~ )0 ñ ðåïåðîì (~τ 1 )0 , (~ν 1 )0 , (β
~ )0 , ïîñëå ÷åãî
ìåñòèòü ðåïåð (~τ 2 )0 , (~ν 2 )0 , (β
2
1
êðèâûå γ1 è γ2 ñîâïàäóò.
Åñëè â ýòîé òåîðåìå îòêàçàòüñÿ îò óñëîâèÿ k > 0 è ïîòðåáîâàòü, ÷òî
k(s) ≥ 0 è k(s) = 0 òîëüêî â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê s1 , s2 , . . . , sk , òî ìîæíî
äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå êðèâîé γ , ó êîòîðîé êðèâèçíà áóäåò ñîâïàäàòü ñ
çàäàííîé ôóíêöèåé k(s), à êðó÷åíèå ñîâïàäåò ñ ôóíêöèåé æ(s) âî âñåõ òî÷êàõ, êðîìå òî÷åê s1 , s2 , . . . , sk .  ýòèõ òî÷êàõ ó êðèâîé γ êðó÷åíèå ïðîñòî íå
îïðåäåëåíî. Åäèíñòâåííîñòè êðèâîé γ â ýòîì ñëó÷àå íåò. Êðèâàÿ γ ñîñòîèò
èç "æåñòêèõ"äóã ìåæäó òî÷êàìè γ(si ) è γ(si+1 ), (i = 1, . . . , k −1) à â òî÷êàõ
γ(s1 ) îíè (äóãè) ìîãóò âðàùàòüñÿ îòíîñèòåëüíî âåêòîðà ~τ (si ).
 çàêëþ÷åíèå, ïîäñ÷èòàåì êðèâèçíó è êðó÷åíèå âèíòîâîé ëèíèè:
x = a cos t, y = a sin t, z = bt, ãäå a è b íåêîòîðûå ÷èñëà, ïðè÷åì a > 0.
~r
~r 0
= ~r (t) = a cos t~i + a sin t ~j + bt ~k
= −a sin t~i + a cos t ~j + bk
~r 00 = −a cos t~i − a sin t ~j
~r 000 = a sin t~i − a cos t ~j ,
p
|~r 0 | = a2 + b2 ,
~k
~i
~j
~r × ~r
= −a sin t a cos t b = ab sin t~i − ab cos t ~j + a2 ~k ,
−a cos t −a sin t 0
p
0
00
|~r × ~r | = a a2 + b2 ,
√
a
a a2 + b2
,
k(t) =
3 =
2 + b2
2
2
a
2
(a + b )
0
00
−a sin t
(~r 0 ,~r 00 ,~r 000 ) = −a cos t
a sin t
æ(t) =
a cos t
−a sin t
−a cos t
b
0 = a2 b,
0
b
a2 b
= 2
.
+ b2 )
a + b2
a2 (a2
Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî
êðèâèçíà è êðó÷åíèå âèíòîâîé ëèíèè ïî-
ñòîÿííû è íå çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà
t. Èç òåîðåìû 1.9.1 ñëåäóåò, ÷òî
ëþáàÿ
êðèâàÿ ñ ïîñòîÿííîé êðèâèçíîé è ïîñòîÿííûì êðó÷åíèå åñòü âèíòîâàÿ ëèíèÿ, äëÿ êîòîðîé
a=
k2
k
,
+ æ2
b=
k2
æ
.
+ æ2
 ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðåøèì äâå çàäà÷è î ïðîñòðàíñòâåííûõ êðèâûõ.
Ïðåäâàðèòåëüíî ñôîðìóëèðóåì è ðåøèì ðÿä çàäà÷ î êðèâûõ íà ñôåðå.
48
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ïðåäâàðèòåëüíî ñîîáùèì íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î ãåîìåòðèè íà ñôåðå (ñôåðè÷åñêîé ãåîìåòðèè). Ïóñòü SR ñôåðà ðàäèóñà R â R3 . Åñëè p åñòü íåêîòîðàÿ òî÷êà SR , òî ÷åðåç p∗ îáîçíà÷èì òî÷êó, äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíóþ òî÷êå P . Åñëè p è q ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ñôåðû è q 6= p∗ , òî ñóùåñòâóåò
åäèíñòâåííàÿ áîëüøàÿ îêðóæíîñòü c(p, q), ñîäåðæàùàÿ p è q (ýòà îêðóæíîñòü C(p, q) åñòü ïåðåñå÷åíèå SR ñ ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè
p, q è öåíòð ñôåðû SR ). Òî÷êè p è q ðàçáèâàþò C(p, q) íà äâå äóãè, ìåíüøóþ (ïî äëèíå) èç íèõ îáîçíà÷èì pq . Äëèíó ýòîé äóãè îáîçíà÷èì ÷åðåç
ρ(p, q) èëè ÷àñòî ïðîñòî pq , è íàçîâåì ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè p è q
íà ñôåðå SR .
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëèíà ëþáîé äðóãîé êðèâîé ñ êîíöàìè â òî÷êàõ p è q
ñòðîãî áîëüøå pq . Ýòî óòâåðæäåíèå áóäåò äîêàçàíî â ãëàâå 3, à ïîêà ìû åãî
ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà. Ïîýòîìó êðèâóþ pq ìû áóäåì íàçûâàòü êðàò÷àéøåé. Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè p è p∗ ïîëîæèì ðàâíûì πR è ëþáóþ
äóãó áîëüøîé îêðóæíîñòè, ñîäåðæàùóþ p è p∗ , íàçîâåì êðàò÷àéøåé pp∗ .
ßñíî, ÷òî p è p∗ ñîåäèíÿþòñÿ íå åäèíñòâåííîé êðàò÷àéøåé, à áåñêîíå÷íî
áîëüøèì ÷èñëîì êðàò÷àéøèõ. Ïðîñòî çàìêíóòàÿ êðèâàÿ γ íà ñôåðå SR ðàçáèâàåò åå íà äâå îáëàñòè D1 (γ) è D2 (γ), êàæäàÿ èç êîòîðûõ ãîìåîìîðôíà
êðóãó.
Îïðåäåëåíèå 1.9.1. Îáëàñòü D íà ñôåðå SR íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè
äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê p è q , ïðèíàäëåæàùèõ D, ñóùåñòâóåò êðàò÷àéøàÿ
pq , ïðèíàäëåæàùàÿ D. Êðèâàÿ γ íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé êðèâîé, åñëè îäíà
èç îáëàñòåé D1 (γ) èëè D2 (γ) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé îáëàñòüþ.
1.10
Çàäà÷è
Ñôîðìóëèðóåì åùå ðÿä çàäà÷.
Çàäà÷à 1.10.1. Äîêàçàòü, ÷òî äëèíà ëþáîé âûïóêëîé êðèâîé íà ñôåðå SR
íå ïðåâîñõîäèò 2πR è ðàâíà 2πR òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà γ ñîâïàäàåò ñ áîëüøîé îêðóæíîñòüþ, ëèáî ñ äâóóãîëüíèêîì, îáðàçîâàííûì äâóìÿ
êðàò÷àéøèìè, ñîåäèíÿþùèìè íåêîòîðóþ òî÷êó p ñ p∗ .
Ðåøåíèå. Ïóñòü D âûïóêëàÿ îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ êðèâîé γ .
Ðàññìîòðèì òîò ñëó÷àé, êîãäà íà γ ñóùåñòâóåò ïàðà äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê; p, p∗ ∈ γ . Ïðîâåäåì îäíó èç êðàò÷àéøèõ (pp∗ )1 , ëåæàùóþ âíóòðè D. Ñóùåñòâîâàíèå êðàò÷àéøåé (pp∗ )1 , ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ
ïîíÿòèÿ âûïóêëîé îáëàñòè. Êðàò÷àéøàÿ (pp∗ )1 ðàçáèâàåò D íà äâå îáëàñòè
D1 è D2 , à òî÷êè p è p∗ ðàçáèâàþò êðèâóþ γ íà äâå äóãè γ1 è γ2 . Ïóñòü
γ1 ïðèíàäëåæèò ãðàíèöå D1 à γ2 ãðàíèöå D2 è ïóñòü l(γ1 ) ≥ l(γ2 ). Ñðåäè
âñåõ êðàò÷àéøèõ, ñîåäèíÿþùèõ p ñ p∗ è ëåæàùèõ â îáëàñòè D1 , âîçüìåì òó
êðàò÷àéøóþ (pp∗ )2 , êîòîðàÿ ñ êðàò÷àéøåé (pp∗ )1 èìååò íàèáîëüøèé óãîë.
(Íå èñêëþ÷åíî, ÷òî (pp∗ )2 = (pp∗ )1 ).
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî γ1 = (pp∗ )2 . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü γ1 6=
∗
(pp )2 . Ââåäåì íà γ1 ïàðàìåòðèçàöèþ γ1 (t), ãäå t äëèíà äóãè, îòñ÷èòûâàåìàÿ
îò òî÷êè p, 0 ≤ t ≤ l1 = l(γ1 ).
Îïðåäåëèì íà [0, l1 ] ôóíêöèþ α(t), ïîëàãàÿ åå ðàâíîé óãëó, êîòîðûé
îáðàçóåò êðàò÷àéøàÿ pγ(t) ñ êðàò÷àéøåé (pp∗ )2 â òî÷êå p ïðè t 6= 0 è
α(0) = lim α(t). Ïîñëåäíèé ïðåäåë ñóùåñòâóåò â ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêt→0
öèè α(t). Àíàëîãè÷íî, îïðåäåëèì ôóíêöèþ β(t), ïîëàãàÿ åå ðàâíîé óãëó,
49
1.10. Çàäà÷è
êîòîðûé îáðàçóåò êðàò÷àéøàÿ p∗ γ(t) ñ êðàò÷àéøåé (pp∗ )2 â òî÷êå p∗ ïðè
t < l è β(l) = lim β(t). Òàê êàê 0 = β(0) < α(0), à β(l) > α(l) = 0, òî
t→l
ñóùåñòâóåò òàêîå t0 , ÷òî α(t0 ) = β(t0 ) 6= 0. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèíèÿ
pγ(t0 ) ∪ γ(t0 )p∗ åñòü êðàò÷àéøàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ p c p∗ , ëåæàùàÿ âíóòðè D è
îòëè÷íàÿ îò (pp∗ )2 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ (pp∗ )2 . Èòàê γ1 = (pp∗ )2 ,
è çíà÷èò äëèíà l1 êðèâîé γ1 ðàâíà πR. Íî òîãäà ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
πR ≤ l(γ2 ) ≤ l(γ1 ) = πR. Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî γ2 åñòü êðàò÷àéøàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ p c p∗ , è äëèíà γ ðàâíà 2πR.
Âî âòîðîì ñëó÷àå ïîñòðîèì ïîëèãîí p(γ), âïèñàííûé â êðèâóþ γ , è äëèíà êîòîðîãî îòëè÷àåòñÿ îò äëèíû γ ñêîëü óãîäíî ìàëî. Îáîçíà÷èì åãî âåðøèíû ÷åðåç A1 , A2 , . . . , An .  ñèëó âûïóêëîñòè êðèâîé γ , ïîëèãîí p(γ) òàêæå âûïóêëûé, è âî âñåõ åãî âåðøèíàõ âíóòðåííèé óãîë íå ïðåâîñõîäèò π
∠Ai Ai+1 Ai+2 ≤ π,
(i = 1, . . . , n).
Ñòîðîíó A1 A2 ïðîäîëæèì äî áîëüøîé îêðóæíîñòè C(A1 , A2 ). Òàê êàê p(γ)
íå ñîäåðæèò äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê, òî ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé íîìåð i0 òàêîé, ÷òî òî÷êà Ai0 6∈ C(A1 , A2 ).
Äîêàæåì, ÷òî C(A1 , A2 ) íå ïåðåñåêàåò äóãó γ1 , ïîëèãîíà p(γ) îò òî÷êè
Ai0 −1 äî òî÷êè An+1 = A1 . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü C(A1 , A2 )∩γ1 6=
∅. Îáîçíà÷èì ÷åðåç B1 ïåðâóþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ, ñ÷èòàÿ îò Ai1 −1 , à ÷åðåç B2 ïîñëåäíþþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ. Òîãäà äóãè îêðóæíîñòè Ai1 −1 B1
è B2 A1 ëåæàò âíå ïîëèãîíà p(γ). Íî îäíà èç ýòèõ äóã åñòü êðàò÷àéøàÿ, è
ìû ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ óñëîâèåì âûïóêëîñòè ïîëèãîíà p(γ). Èòàê, ìû
äîêàçàëè, ÷òî ïîëèãîí p(γ) öåëèêîì ëåæèò â çàìêíóòîé ïîëóñôåðå, îãðàíè÷åííîé îêðóæíîñòüþ C(A1 , A2 ). Îòñþäà óæå ñòàíäàðòíûìè ïðèåìàìè
äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëèíà ïîëèãîíà p(γ) ñòðîãî ìåíüøå äëèíû C(A1 , A2 ),
êîòîðàÿ ðàâíà 2πR. Çíà÷èò è äëèíà γ ñòðîãî ìåíüøå 2πR.
Çàäà÷à 1.10.2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè γ åñòü ñïðÿìëÿåìàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ íà ñôåðå SR è ñóùåñòâóåò òàêàÿ áîëüøàÿ îêðóæíîñòü C ñôåðû SR ,
÷òî ïåðåñå÷åíèå ëþáîé çàìêíóòîé ïîëóîêðóæíîñòè C ñ γ íå ïóñòî, òî
äëèíà êðèâîé γ íå ìåíüøå 2πR.
Ðåøåíèå. Ïóñòü T = C ∩ γ . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó A1 ∈ T . Òî÷êè
A1 è A∗1 ðàçáèâàþò C íà äâå äóãè C1 è C2 . Íà äóãå C1 âîçüìåì òî÷êó
A2 ∈ T , íàèáîëåå óäàëåííóþ îò A1 .  ñèëó óñëîâèé çàäà÷è, òàêàÿ òî÷êà A2
ñóùåñòâóåò è îòëè÷íà îò A1 . Åñëè A2 = A∗1 , òî çàäà÷à ðåøåíà, òàê êàê äëèíà
ëþáîé èç äóã γ1 è γ2 , íà êîòîðûå òî÷êè A1 è A∗1 ðàçáèâàþò γ , íå ìåíüøå
πR. Åñëè æå A2 6= A∗1 , òî íà äóãå A∗1 D ⊂ C2 è äëèíû πR − A2 A∗1 ñóùåñòâóåò
òî÷êà A3 ∈ T , îïÿòü æå â ñèëó óñëîâèé çàäà÷è. Èòàê ìû ïîëó÷èëè òðè
òî÷êè A1 , A2 , A3 ∈ T . Êàæäàÿ èç äóã A1 A2 , A2 A3 è A3 A1 îêðóæíîñòè C
åñòü êðàò÷àéøàÿ, à ñóììà èõ äëèí ðàâíà 2πR. Íî ýòè æå òî÷êè A1 , A2 , A3
ðàçáèâàþò γ íà òðè äóãè γ1 îò A1 äî A2 , γ2 îò A2 äî A3 è γ3 îò A3 äî A1 , è
êàæäàÿ èç íèõ èìååò äëèíó íå ìåíüøóþ, ÷åì äëèíà ñîîòâåòñòâóþùåé äóãè
C . Ïîýòîìó äëèíà l êðèâîé γ íå ìåíüøå 2πR.
Çàäà÷à 1.10.3. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðîñòàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ ðàçáèâàåò
ñôåðó SR íà äâå ðàâíîâåëèêèå îáëàñòè, òî äëèíà γ íå ìåíüøå ÷åì 2πR.
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç D1 è D2 îáëàñòè, íà êîòîðûå γ ðàçáèâàåò SR .
Ïî óñëîâèþ çàäà÷è èõ ïëîùàäè ðàâíû
S(D1 ) = S(D2 ).
(1.10.31)
50
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ïóñòü J îòîáðàæåíèå ñôåðû SR íà ñåáÿ, ïåðåâîäÿùåå êàæäóþ òî÷êó p
â òî÷êó p∗ äèàìåòðàëüíî åé ïðîòèâîïîëîæíóþ, J(p) = p∗ . Äîêàæåì, ÷òî
êðèâàÿ γ ∗ = J(γ) è γ èìåþò íå ïóñòîå ïåðåñå÷åíèå.  ñàìîì äåëå, åñëè
γ ∗ ∩ γ = ∅, òî ëèáî îáëàñòü D1∗ = J(D1 ) ⊂ D2 , ëèáî îáëàñòü D2∗ = J(D2 ) ⊂
D1 , ÷òî íåâîçìîæíî â ñèëó ðàâåíñòâà (1.10.31). Èòàê γ ∩ γ ∗ = T 6= ∅. Ïóñòü
òî÷êà p ∈ T , òîãäà òî÷êè p è p∗ ïðèíàäëåæàò γ ,  ñàìîì äåëå, p ∈ γ è
p ∈ γ ∗ . Çíà÷èò p∗ = J(p) ∈ J(γ ∗ ) = γ . Òî÷êè p è p∗ ðàçáèâàþò γ íà äâå äóãè
γ1 è γ2 , è êàæäàÿ èç ýòèõ äóã èìååò äëèíó íå ìåíüøå ÷åì πR. Ïîýòîìó
äëèíà γ íå ìåíüøå, ÷åì 2πR.
Çàäà÷à 1.10.4. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè äëèíà ïðîñòîé çàìêíóòîé êðèâîé γ
íà ñôåðå SR ñòðîãî ìåíüøå ÷åì 2πR, òî ñóùåñòâóåò îòêðûòàÿ ïîëóñôåðà
0
SR
ñôåðû SR , ñîäåðæàùàÿ γ .
Ðåøåíèå. Êðèâàÿ γ ðàçáèâàåò ñôåðó SR íà äâå îáëàñòè D1 (γ) è D2 (γ).
Îäíà èç ýòèõ îáëàñòåé, â ñèëó óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è 1.10.3, èìååò ïëîùàäü
ñòðîãî ìåíüøå, ÷åì 2πR2 . Ïóñòü ýòî áóäåò îáëàñòü D1 (γ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç K(p) êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå p è ðàäèóñà π2 R. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S(p) ïëîùàäü ïåðåñå÷åíèÿ D1 (γ) è K(p) è ïóñòü S0 = inf p∈SR S(p). Ïóñòü K(p0 )
åñòü êðóã, äëÿ êîòîðîãî S(p0 ) = S0 . Ïóñòü C(p) åñòü áîëüøàÿ îêðóæíîñòü
ãðàíèöà êðóãà K(p), à M = γ ∩ C(p0 ). Åñëè M = ∅, òî γ ëåæèò â îòêðûòîì êðóãå K(p∗0 ). Åñëè M 6= ∅, òî M ⊂ C 0 (p0 ), ãäå C 0 (p0 ) åñòü íåêîòîðàÿ
îòêðûòàÿ ïîëóîêðóæíîñòü C(p0 ), ñì. çàäà÷ó 1.10.2.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç q1 è q2 êîíöû C 0 (p0 ), à ÷åðåç a = min ρ(γ, C(p0 )\C 0 (p0 )).
Âîçüìåì òåïåðü òî÷êó p1 , óäîâëåòâîðÿþùóþ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
(1) p1 ëåæèò â îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé äóãàìè q1 p0 ∪ p0 q2 è C(p0 ) \ C 0 (p0 ),
(2) êðóã K(p1 ) ñîäåðæèò òî÷êè q1 è q2 ,
a
π
a
π
(3) R − < ρ(p1 , C(p0 ) \ C 0 (p0 )) < R + .
2
4
2
4
Òîãäà ÷àñòü êðóãà K(p1 ), ðàâíàÿ K(p1 ) \ K(p0 ), íå ñîäåðæèò òî÷åê îáëàñòè
D1 (γ), à ÷àñòü êðóãà K(p1 ), ðàâíàÿ K(p0 )\K(p1 ) íå ñîäåðæèò òî÷åê D1 (γ), â
ñèëó îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà S0 è êðóãà K(p0 ), èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïëîùàäü
ïåðåñå÷åíèÿ îáëàñòè D1 (γ) ñ K(p1 ) áûëà áû ìåíüøå S0 . Ñëåäîâàòåëüíî,
S0 = 0 è D1 (γ) ∩ K(p0 ) = γ ∩ C(p0 ) = M . Íî òîãäà êðóã K(p1 ) íå èìååò
îáùèõ òî÷åê ñ γ .
Ïóñòü γ(t) ïðîñòðàíñòâåííàÿ ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ êëàññà C k , k ≥ 1 è t äëèíà äóãè, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò íà÷àëüíîé òî÷êè êðèâîé γ, ~e íåêîòîðûé
åäèíè÷íûé âåêòîð. ×åðåç òî÷êó γ(0) â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ~e ïðîâåäåì ïðÿìóþ a, è îïðåäåëèì ôóíêöèþ p(t), ïîëàãàÿ åå ðàâíîé äëèíå ïðîåêöèè âåêòî−−−−−→
−−−−−→
ðà γ(0)γ(t) íà ïðÿìóþ a ñ ó÷åòîì çíàêà, òî åñòü ïîëàãàåì p(t) = (γ(0)γ(t),~e).
dp
= (~τ ,~e ).
dt
Ðåøåíèå. Åñëè ~
r = ~r (t) âåêòîð ôóíêöèÿ, çàäàþùàÿ êðèâóþ γ , òî
−−−−−→
dp
d~r
γ(0)γ(t) = ~r (t) − ~r (0) è p(t) = (~r (t) − ~r (0),~e ). Îòêóäà
= ( ,~e ) = (~τ ,~e ).
dt
dt
Ñëåäñòâèå 1.10.1. Åñëè êðèâàÿ γ çàìêíóòà è èìååò äëèíó l, òî
Z l
(~τ ,~e ) dt = 0 äëÿ ëþáîãî ~e , |~e | = 1.
Çàäà÷à 1.10.5. Äîêàçàòü, ÷òî
0
51
1.10. Çàäà÷è
Ñëåäñòâèå 1.10.2. Ïóñòü d åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó íà÷àëüíîé è êîíå÷-
íîé òî÷êîé êðèâîé γ äëèíû l. Òîãäà
−−−−−→
d = |γ(0)γ(l)| =
l
Z
0
−−−−−→
γ(0)γ(l)
(~τ ,~e ) dt, ãäå ~e = −−−−−→ .
|γ(0)γ(l)|
Òåîðåìà 1.10.1 (Òåîðåìà Ôåíõåëÿ). Äîêàçàòü, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà ïðîèçâîëüíîé êëàññà C 2 çàìêíóòîé ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé γ íå
ìåíüøå 2π , è ðàâíà 2π òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà γ åñòü ïëîñêàÿ âûïóêëàÿ êðèâàÿ.
Ðåøåíèå. Ïóñòü γ(t) åñòü ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé γ ñ ïîìîùüþ äëèíû
äóãè t, 0 ≤ t ≤ l = l(γ). Îïðåäåëèì íà ñôåðå S1 êðèâóþ σ(t), ñîïîñòàâèâ
êàæäîé òî÷êå γ(t) êîíåö âåêòîðà ~τ (t) = γ̇(t), íà÷àëî êîòîðîãî ñîâïàäàåò
ñ öåíòðîì ñôåðû S1 . Êðèâàÿ σ(t) íàçûâàåòñÿ èíäèêàòðèñîé êàñàòåëüíîé
Rl
êðèâîé γ . Èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà êðèâîé γ , ðàâíàÿ 0 k(t) dt, ðàâíà äëèíå
èíäèêàòðèñû êàñàòåëüíîé êðèâîé σ(t). Â ñàìîì äåëå,
Z
l
0
Z
|~τ | dt =
l1 = l(σ(t)) =
0
l
Z
|k|dt =
0
l
k(t) dt
0
â ñèëó ôîðìóë Ôðåíå. Èòàê, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî äëèíà l1 , èíäèêàòðèñû
σ(t) íå ìåíüøå, ÷åì 2π . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü l1 < 2π . Òîãäà, êàê
ýòî äîêàçàíî â çàäà÷å 1.10.4, ñóùåñòâóåò îòêðûòàÿ ïîëóñôåðà S10 ñôåðû S1 ,
ñîäåðæàùàÿ σ . Ïóñòü p öåíòð ýòîé ïîëóñôåðû, è ïóñòü ~e åñòü åäèíè÷íûé
âåêòîð ñ íà÷àëîì â öåíòðå ñôåðû S1 è êîíöîì â òî÷êå p. Òîãäà, ñ îäíîé ñòîRl
ðîíû, 0 (~τ (t),~e) dt > 0, òàê êàê (~τ ,~e) > 0 ïðè âñåõ t, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç
Rl
ñëåäñòâèÿ çàäà÷è 1.10.5 ñëåäóåò, ÷òî 0 (~τ (t),~e ) dt = 0. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîRl
ðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî l1 = l(σ(t)) = 0 k(t) dt íå ìåíüøå, ÷åì 2π , è ðàâíà 2π
òîëüêî òîãäà, êîãäà σ(t) åñòü áîëüøàÿ îêðóæíîñòü íà SR è, ñëåäîâàòåëüíî,
γ åñòü âûïóêëàÿ ïëîñêàÿ êðèâàÿ.
Ôàçîâàÿ äëèíà ëèíèè è íåðàâåíñòâî Ôåíõåëÿ - Ðåøåòíÿêà
Èíòåðåñíî ïîíÿòü, ÷åì îãðàíè÷åíà èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà íåçàìêíóòîé ëèíèè? Ïóñòü ëèíèÿ L ñîåäèíÿåò äâå ðàçíûå òî÷êè A è B . Èçìåðèì óãëû α
è β , êîòîðûå îáðàçóåò õîðäà AB ñ êàñàòåëüíûìè ëó÷àìè ê íàøåé ëèíèè â
óêàçàííûõ åå êîíå÷íûõ òî÷êàõ. Åñëè çàìêíóòü ëèíèþ òàê, ÷òîáû äîñòðîåííàÿ åå ÷àñòü â îñíîâíîì áûëà ïðÿìîëèíåéíà è ïî÷òè ïàðàëëåëüíà õîðäå,
êàñàòåëüíûì âåêòîðàì â îêðåñòíîñòÿõ òî÷åê A è B íåîáõîäèìî áóäåò ïîâåðíóòüñÿ íà óãîë π − α è, ñîîòâåòñòâåííî, π − β . Ëåãêî äîáèòüñÿ, ÷òîáû ê
ýòèì ïîâîðîòàì í ñâîäèëàñü ïðàêòè÷åñêè âñÿ èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà çàìûêàþùåé ëèíèè, ò. å. ÷òîáû îíà, ñ ëþáîé ýàäàííîé òî÷íîñòüþ, áûëà ðàâíà
2π − α − β . Ïðèìåíÿÿ òåïåðü íåðàâåíñòâî Ôåíõåëÿ, ìû ïîëó÷àåì îòâåò íà
ïîñòàâëåííûé âîïðîñ:
Z
k(s)ds ≥ α + β.
L
Ýòî íåðàâåíñòâî, âìåñòå ñ ïðèâåäåííûì èçÿùíûì ðàññóæäåíèåì, ïðèíàäëåæèò Þ.Ã. Ðåøåòíÿêó. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî îíî çàêëþ÷àåò â ñåáå è ïðåäûäóùåå óòâåðæäåíèå: äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü åãî ê äâóì ÷àñòÿì çàìêíóòîé
52
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
ëèíèè, îïèðàþùèìñÿ íà îáùóþ õîðäó. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîå èç äâóõ íåðàâåíñòâ ëåãêî âûâîäèòñÿ èç äðóãîãî. Íåïîñðåäñòâåííîå æå äîêàçàòåëüñòâî
ëþáîãî èç íèõ íàìíîãî ñëîæíåå.
Íèæå ïðèâîäèòñÿ íîâîå äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ íåðàâåíñòâ, ïðèíàäëåæàùåå Â.Â. Èâàíîâó, â îñíîâå êîòîðîãî ëåæèò ïîíÿòèå ôàçîâîãî ðàññòîÿíèÿ
ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè, çàêðåïëåííûìè â ðàçíûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà.
Èäåÿ èçëàãàåìîé çäåñü êîíñòðóêöèè ôàêòè÷åñêè çàêëþ÷åíà âî âòîðîì èç
îáñóæäàåìûõ íåðàâåíñòâ.  ñàìîì äåëå, ñóììà α + β , âî-ïåðâûõ, îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü äâóìÿ òî÷êàìè, êîòîðûå ñîåäèíÿåò èçó÷àåìàÿ ëèíèÿ, è äâóìÿ
íàïðàâëåíèÿìè, ñ êîòîðûìè îíà íà÷èíàåò ñâîå äâèæåíèå è çàâåðøàåò åãî, à
âî âòîðûõ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå ïðîñòî íèæíþþ îöåíêó, íî òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíèöó èíòåãðàëüíûõ êðèâèçí âñåõ ëèíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ òåì æå
ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, ÷òî è ëèíèÿ L, â ÷åì ëåãêî óáåäèòüñÿ, ïîâòîðÿÿ èçëîæåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ. Îòñþäà ÿñíî, ÷òî ýòà ñóììà, êàê ôóíêöèÿ îò
ïàðû ñâÿçàííûõ âåêòîðîâ, äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà, à çíà÷èò ñ òàêîé ôóíêöèåé åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñâÿçàíî ñâîåîáðàçíîå
ïîíÿòèå äëèíû ãëàäêîé ëèíèè ýòî è åñòü åå ôàçîâàÿ äëèíà. Êàê ìû óâèäèì, íåðàâåíñòâî Ðåøåòíÿêà îçíà÷àåò, ÷òî ôàçîâàÿ äëèíà ëèíèè íå ìåíüøå
ôàçîâîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó åå êîíöàìè. Íî ïðåæäå íàì ïðèäåòñÿ äîêàçàòü,
÷òî èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà è ôàçîâàÿ äëèíà - îäíî è òî æå. Ýòî óæå - äåëî
àíàëèçà.
Òàêîâà ñõåìà, ðåàëèçóåìàÿ íèæå. Âñå äàëüíåéøåå ïðîèñõîäèò â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî ìîæåò áûòü ëþáîé, âïëîòü äî
áåñêîíå÷íîñòè.
1. Ôàçîâûì ðàññòîÿíèåì îò âåêòîðà a, ïðèëîæåííîãî ê òî÷êå A, äî âåêòîðà b, çàêðåïëåííîãî â òî÷êå B , íàçîâåì âåëè÷èíó ϕ(a, b), ðàâíóþ ñóììå
óãëîâ, êîòîðûå îáðàçóåò âåêòîð AB ñ íàïðàâëåíèÿìè a è b. Ðàçóìååòñÿ, ýòî
îïðåäåëåíèå èìååò ñìûñë ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà âåêòîðû a è b îòëè÷íû
îò íóëÿ, à òî÷êè A è B ðàçëè÷íû. Ñâîéñòâà ôàçîâîãî ðàññòîÿíèÿ íåñêîëüêî
íåîáû÷íû, õîòÿ, åñëè ó÷èòûâàòü åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë, âïîëíå åñòåñòâåííû.
Ëåììà 1.10.1. Âî-ïåðâûõ, çíà÷åíèÿ ôàçîâîãî ðàññòîÿíèÿ îãðàíè÷åíû:
0 ≤ ϕ(a, b) ≤ 2π;
âî-âòîðûõ, âìåñòî ñèììåòðè÷íîñòè, ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî:
ϕ(a, b) + ϕ(b, a) = 2π;
è â-òðåòüèõ, íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â ñëåäóþùåé ôîðìå:
ϕ(a, b) + ϕ(b, c) + ϕ(c, a) ≥ 2π.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â íåáîëüøîì îáñóæäåíèè íóæäàåòñÿ ëèøü ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå. Êîíôèãóðàöèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç òðåõ ñâÿçàííûõ âåêòîðîâ, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçìåùàåòñÿ â ïÿòèìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, íî îòíîñÿùååñÿ ê íåé
íåðàâåíñòâî îòðàæàåò ýëåìåíòàðíûå ñâîéñòâà îáû÷íîãî òðåõãðàííîãî óãëà
â îáû÷íîì òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ åãî äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî
ðàññìîòðåòü íåâûðîæäåííûé ñëó÷àé, êîãäà òî÷êè A, B , C , â êîòîðûõ çàêðåïëåíû âåêòîðû a, b, c, íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Íà ïðîäîëæåíèÿõ
53
1.10. Çàäà÷è
ñòîðîí CA, AB è BC òðåóãîëüíèêà îòìåòèì, ñîîòâåòñòâåííî, òî÷êè A0 , B 0
è C 0 . Íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ñóììû óãëîâ, îáðàçóåìûõ âåêòîðîì a ñ ëó÷àìè
AA0 è AB , ðàâíî âåëè÷èíå óãëà A0 AB è äîñòèãàåòñÿ ëèøü â òîì ñëó÷àå,
êîãäà âåêòîð a ëåæèò â ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà ABC è ðàñïîëàãàåòñÿ â
ïðåäåëàõ óêàçàííîãî åãî âíåøíåãî óãëà. Òî÷íî òàê æå óãëû B 0 BC è C 0 CA
îãðàíè÷èâàþò ñíèçó ñóììû äðóãèõ óãëîâ ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ B è C .
Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ñóììà òðåõ èíòåðåñóþùèõ íàñ ôàçîâûõ ðàññòîÿíèé,
ðàñïàäàþùàÿñÿ â ñóììó øåñòè óãëîâ, ïðèìûêàþùèõ ê âåêòîðàì a, b, c, íå
ìåíüøå ñóììû âíåøíèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà ABC , êîòîðàÿ ðàâíà óäâîåííîé
ñóììå åãî âíóòðåííèõ óãëîâ.
Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ âòîðûì óòâåðæäåíèåì ëåììû, íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà äëÿ ôàçîâûõ ðàññòîÿíèé ìîæíî çàïèñàòü è ïðèâû÷íûì îáðàçîì:
ϕ(a, c) ≤ ϕ(a, b) + ϕ(b, c).
Êðîìå òîãî, êàê ìû âèäåëè, ýòî íåðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â òî÷íîå ðàâåíñòâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîðû a, b, c ëåæàò â ñîîòâåòñòâóþùèõ
âíåøíèõ óãëàõ òðåóãîëüíèêà ABC .
2. Ðàññìîòðèì òåïåðü ãëàäêóþ ëèíèþ L, îïðåäåëÿåìóþ óðàâíåíèåì x =
x(s) ñ íàòóðàëüíûì ïàðàìåòðîì s, ïðîáåãàþùèì îòðåçîê 0 ≤ s ≤ l. Ïóñòü
s1 < s2 < ... < sn , ãäå s1 = 0, sn = l è ñîñåäíèì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå òî÷êè ëèíèè L. Ïîñòðîèì â êàæäîé èç ýòèõ òî÷åê
x(si ), êàñàòåëüíûé âåêòîð τi = x0 (si ). Ïîëó÷èâøóþñÿ öåïî÷êó τ1 , τ2 , ..., τn
íàçîâåì ôàçîâîé ëîìàíîé, âïèñàííîé â ëèíèþ L, à åå ôàçîâîé äëèíîé, åñòåñòâåííî, áóäåì íàçûâàòü ñóììó
ϕ(τ1 , τ2 ) + ... + ϕ(τn−1 , τn ).
Ôàçîâóþ äëèíó ñàìîé ëèíèè L îïðåäåëèì êàê òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíèöó
Φ(L) ôàçîâûõ äëèí âïèñàííûõ â íåå ôàçîâûõ ëîìàíûõ.
Ëåììà 1.10.2. Åñëè õîðäà, ñòÿãèâàþùàÿ êîíöû íåçàìêíóòîé ëèíèè L,
îáðàçóåò óãëû α è β ñ êàñàòåëüíûìè ëó÷àìè ê ëèíèè â åå êîíå÷íûõ òî÷êàõ, òî ôàçîâàÿ äëèíà ëþáîé âïèñàííîé â L ôàçîâîé ëîìàíîé íå ìåíüøå
ñóììû óãëîâ α è β . Òåì áîëåå,
Φ(L) ≥ α + β.
Åñëè æå ëèíèÿ L çàìêíóòà, ó ëþáîé âïèñàííîé â íåå ôàçîâîé ëîìàíîé,
ôàçîâàÿ äëèíà íå ìåíüøå 2π , à çíà÷èò è
Φ(L) ≥ 2π.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, â ïåðâîì ñëó÷àå äëÿ êàæäîé âïèñàííîé
â L ôàçîâîé ëîìàíîé
τ1 , τ2 , ..., τn
ôàçîâîå ðàññòîÿíèå îò τ1 äî τn , î÷åâèäíî, ðàâíî ñóììå óêàçàííûõ óãëîâ,
òàê ÷òî, ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà:
α + β = ϕ(τ1 , τn ) ≤ ϕ(τ1 , τ2 ) + ... + ϕ(τn−1 , τn ).
54
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
 ñëó÷àå çàìêíóòîé ëèíèè, êîãäà τ1 = τn , äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ê ïàðå âåêòîðîâ τ1 , τn−1 è çàìåòèòü, ÷òî
ϕ(τ1 , τn−1 ) = 2π − ϕ(τn−1 , τn ).
Êñòàòè, åñëè ó÷åñòü çàìå÷àíèå â êîíöå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, òî ëåãêî
ïîêàçàòü, ÷òî ïðèâåäåííûå â ëåììå 1.10.2 íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò â òî÷íûå
ðàâåíñòâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëèíèÿ ëèáî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîëèíåéíûé îòðåçîê, ëèáî ðàñïîëàãàåòñÿ â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè è âåðøèíû
ëþáîé âïèñàííîé â íåå ëîìàíîé ñëóæàò ïîñëåäîâàòåëüíûìè âåðøèíàìè âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëèíèÿ âûïóêëà â öåëîì.
3. Äëÿ èçó÷åíèÿ ñâÿçè ìåæäó èíòåãðàëüíîé êðèâèçíîé ëèíèè è ôàçîâîé åå äëèíîé íàì ïîòðåáóåòñÿ íåñêîëüêî àñèìïòîòè÷åñêèõ ôîðìóë, îïèñûâàþùèõ ëîêàëüíóþ ãåîìåòðèþ äâàæäû ãëàäêîé ëèíèè ñ òî÷êè çðåíèÿ åå
êðèâèçíû.
×òîáû óïðîñòèòü èõ çàïèñü, ìû âîñïîëüçóåìñÿ ñèìâîëîì o∗ (σ m ) êàê îáùèì îáîçíà÷åíèåì ëþáîé ôóíêöèè, îáëàäàþùåé òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ïîñëå
äåëåíèÿ íà σ m îíà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè σ → 0, ïðè÷åì ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî îñòàëüíûõ ïåðåìåííûõ, îò êîòîðûõ îíà ìîæåò çàâèñåòü.
Ïðè åñòåñòâåííîé ïàðàìåòðèçàöèè ~r = ~r (s) òðèæäû ãëàäêîé ëèíèè L
êàñàòåëüíûé âåêòîð ~τ (s) = ~r 0 (s) èìååò åäèíè÷íóþ äëèíó è îðòîãîíàëåí
âåêòîðó ~τ 0 (s), ÷üÿ äëèíà, êàê îòìå÷àëîñü, ïðèíèìàåòñÿ â êà÷åñòâå ìåðû
êðèâèçíû k(s) ëèíèè L â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé s.
Ëåììà 1.10.3. Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ôîðìóëû:
(~r (s + σ) − ~r (s), ~τ (s)) = σ −
k2 3
σ + o(σ 3 ),
6
2
~ (s)| = σ − k σ 3 + o(σ 3 ),
|h
24
k 2 (s) 2
σ + o(ω 2 ).
(~τ (s), ~τ (s + σ)) = 1 −
2
~ (s) = ~r (s + σ) − ~r (s), à σ > 0.
ãäå h
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Òåéëîðà è ôîðìóëû Ôðåíå èìååì:
1
1
~r (s + σ) − ~r (s) = ~τ (s)σ + ~τ 0 (s)σ 2 + ~τ 00 (s)σ 3 + o(σ 3 ) =
2
6
1
1 0
2
2
~ (s) σ 3 + o(σ 3 ).
= ~τ (s)σ + k~ν (s)σ +
k ~ν (s) − k ~τ (s) + k æ β
2
6
Îòñþäà è èç ñâîéñòâ ðåïåðà Ôðåíå ñëåäóåò ïåðâàÿ ôîðìóëà ëåììû. Ïîëî~ (s) = ~r (s + σ) − ~r (s). Ïðèìåíÿÿ ïîëó÷åííîå âûøå ðàçëîæåíèå äëÿ
æèì h
~ (s), èìååì:
âåêòîðà h
~ (s)|2 = σ 2 + 1 k 2 σ 4 − 1 k 2 σ 4 + o(σ 3 ) = σ 2 − 1 k 2 σ 4 + o(σ 3 ).
|h
4
3
12
Èçâëåêàÿ êîðåíü, ïîëó÷àåì âòîðîå ðàâåíñòâî ëåììû. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî
ëåììû äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
55
1.10. Çàäà÷è
Çàìå÷àíèå 1.10.1. Óñëîæíÿÿ äîêàçàòåëüñòâî ëåììû, ìîæíî ïîëó÷èòü
àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé.
4. Ïðîäîëæàÿ ðàññìàòðèâàòü òðèæäû ãëàäêóþ ëèíèþ, âåðíåìñÿ ê èíòåðåñóþùåìó íàñ âîïðîñó. Ïðåæäå âñåãî, çàïèøåì òåéëîðîâñêîå ðàçëîæåíèå
êîñèíóñà
ω2
(~τ (s), ~τ (s + σ)) = cos ω = 1 −
+ o(ω 2 ),
2
ãäå ω îçíà÷àåò óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ~τ (s) è ~τ (s + σ), è ñðàâíèì åãî ñ
ðàçëîæåíèåì, óêàçàííûì â ëåììå 1.10.3. Åñòåñòâåííî, ÷òî ìû ïðèäåì ê
îáùåèçâåñòíîìó ðàâåíñòâó
ω = k(s)σ + o(σ),
õàðàêòåðèçóþùåìó êðèâèçíó êàê ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé ïðèðàñòàåò óãîë ω
ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà σ . Êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, ôàçîâîå ðàññòîÿíèå
ïðè âñåì åãî îòëè÷èè îò îáû÷íîãî óãëà ìåæäó âåêòîðàìè, íà íåáîëüøèõ
ó÷àñòêàõ ëèíèè âû÷èñëÿåòñÿ ðîâíî ïî òàêîé æå ôîðìóëå.
Ëåììà 1.10.4. Ôàçîâîå ðàññòîÿíèå ϕ îò âåêòîðà ~
τ (s) äî âåêòîðà ~τ (s + σ)
ïðè ìàëûõ σ > 0 ïî÷òè ïðîïîðöèîíàëüíî äóãå σ :
ϕ = k(s)σ + o(σ)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ, ϕ åñòü ñóììà äâóõ óãëîâ ϕ1 è ϕ2 , îáðà~ = ~r (s + σ) −~r (σ) ñ êàñàòåëüíûìè âåêòîðàìè ~τ (s) è ~τ (s + σ).
çóåìûõ õîðäîé h
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîñèíóñà ïåðâîãî èç ýòèõ óãëîâ ïîäåëèì ðàçëîæåíèÿ, ïðèâåäåííûå â ëåììå 1.10.3:
~ , ~τ (s)
h
k 2 (s) 2
=1−
σ + o(σ 2 ).
cos ϕ1 =
~|
8
|h
Ìû óæå âèäåëè âûøå, êàêèì îáðàçîì îòñþäà ìîæíî ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó
k(s)
ϕ1 =
σ + o(σ).
2
Åñëè îáðàòèòü íàïðàâëåíèå ëèíèè, êîòîðîå àâòîìàòè÷åñêè áûëî åé ïðèïèñàíî âûáîðîì ïàðàìåòðèçàöèè, íî èãðàëî èñêëþ÷èòåëüíî âñïîìîãàòåëüíóþ
ðîëü, ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî ïåðåéäåò â àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå äëÿ êîñèíóñà âòîðîãî óãëà ϕ2 . Íóæíî òîëüêî çàìåíèòü k(s) íà k(s + σ). Îäíàêî
ìîæíî îáîéòèñü è áåç ýòîé çàìåíû, ïîñêîëüêó ðàçíîñòü ìåæäó óêàçàííûìè
âåëè÷èíàìè, êàê ôóíêöèÿ îò σ , áåñêîíå÷íî ìàëà ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî
s. Òàêèì îáðàçîì,
k(s)
ϕ2 =
σ + o(σ).
2
è îñòàåòñÿ ëèøü ñëîæèòü äâå ôîðìóëû â îäíó.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé èíòåãðàëüíûé âàðèàíò ëåììû 1.10.4, ïîäâîäèò èòîã èçëîæåííûì çäåñü ñîîáðàæåíèÿì. Åñëè ñîïîñòàâèòü åå ñ óòâåðæäåíèåì ëåììû 1.10.2, îíà ïîçâîëÿåò âçãëÿíóòü íà íåðàâåíñòâî Ôåíõåëÿ - Ðåøåòíÿêà ñ íîâîé òî÷êè çðåíèÿ.
56
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Òåîðåìà 1.10.2. Ôàçîâàÿ äëèíà äâàæäû ãëàäêîé ëèíèè ðàâíà åå èíòå-
ãðàëüíîé êðèâèçíå:
Z
Φ(L) =
k(s)ds.
L
Äîêàçàòåëüñòâî.  îòðåçêå 0 ≤ s ≤ l çíà÷åíèé íàòóðàëüíîãî ïàðàìåòðà
s âûáåðåì s1 < s2 < ... < sn , ãäå s1 = 0 è sn = l. Åñëè âñå ðàçíîñòè
4si = si+1 − si , äîñòàòî÷íî ìàëû, ñîñåäíèå òî÷êè ~r (si ) è ~r (si+1 ) íå ìîãóò
ñîâïàäàòü, è ìû èìååì âîçìîæíîñòü ñîñòàâèòü ñóììó:
S=
n−1
X
ϕ(~τ (si ), ~τ (si+1 )).
i=1
Ïðè äîáàâëåíèè íîâûõ âåðøèí ê ôàçîâîé ëîìàíîé, â ñèëó íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà, åå ôàçîâàÿ äëèíà íå óìåíüøèòñÿ. Ïîýòîìó ôàçîâàÿ äëèíà èñõîäíîé ëèíèè ðàâíà ïðåäåëó ñóìì ðàññìîòðåííîãî âèäà ïðè óñëîâèè, ÷òî
íàèáîëüøàÿ èç äóã 4si , ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ñîãëàñíî ëåììå 1.10.4, ñóììà S
ïðåäñòàâèìà â âèäå:
S=
n−1
X
k(si )4si +
i=1
n−1
X
εi 4si ,
i=1
ãäå âñå εi , ðàâíîìåðíî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ îäíîâðåìåííî ñ 4si . Òàêèì îáðàçîì, âòîðîå ñëàãàåìîå ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ â ïðåäåëå èñ÷åçàåò, à ïåðâîå,
êàê èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ êðèâèçíû, ñòðåìèòñÿ ê åå èíòåãðàëó.
Ðàññìîòðèì äâå êðèâûå γ(t) è γ(t), èç êîòîðûõ ïåðâàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ
íåêîòîðîé äóãîé âûïóêëîé êðèâîé íà ïëîñêîñòè, à âòîðàÿ ïðîèçâîëüíàÿ
ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ. Ïóñòü γ(t) èìååò êîíöû â òî÷êàõ A è B , à γ(t) â
òî÷êàõ Ā è B̄ . Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî t íà îáîèõ êðèâûõ åñòü äëèíà äóãè,
îòñ÷èòûâàåìàÿ îò òî÷êè A è Ā, ñîîòâåòñòâåííî. Ðåøèì òåïåðü ñëåäóþùóþ
çàäà÷ó [Bl].
g
Çàäà÷à 1.10.6 (Î ñêðó÷èâàíèè êðèâîé). Åñëè äëèíû êðèâûõ γ(t) è γ(t)
g óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó k(t)
g ≤ k(t),
ðàâíû, à èõ êðèâèçíû k(t) è k(t)
eB
e , è çíàê ðàâåíñòâà âîçìîæåí òîëüêî òîãäà, êîãäà êðèâûå
òî AB ≤ A
g = k(t), òî ýòó çàäà÷ó
γ è γ
e ðàâíû ñ òî÷íîñòüþ äî äâèæåíèÿ. Åñëè k(t)
ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê. Ïðè ñêðó÷èâàíèè äóãè êðèâîé ðàññòîÿíèå
g òîæå ïëîñêàÿ êðèâàÿ,
ìåæäó åå êîíöàìè óâåëè÷èâàåòñÿ. Åñëè êðèâàÿ γ(t)
òî â ýòîì ñëó÷àå íàøà çàäà÷à ñîâïàäàåò ñ çàäà÷åé î ëóêå.
Ðåøåíèå. Íà êðèâîé γ âîçüìåì òî÷êó γ(t0 ), â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ê γ
]
ïàðàëëåëüíà AB . Êðèâóþ γ
e ïîìåñòèì òàê, ÷òîáû òî÷êà γ(t
0 ) ñîâïàëà áû
g èíäèêàòðèñû
ñ òî÷êîé γ(t0 ) è ~τe(t0 ) = ~τ (t0 ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç σ(t) è σ(t)
g , ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà, âî-ïåðâûõ, äëèíà
êàñàòåëüíûõ êðèâûõ γ(t) è γ(t)
g
]
m(t)
e
äóãè σ(t
e(t) íå ïðåâîñõîäèò äëèíû m(t) äóãè σ(t0 )σ(t)
0 )σ(t) êðèâîé σ
êðèâîé σ(t). Â ñàìîì äåëå, ïî ôîðìóëàì Ôðåíå èìååì:
g ~νe(t),
~τe 0 = k(t)
~τ 0 = k(t) ~ν (t),
g ≤ k(t) = |~τ 0 |.
|~τe 0 | = k(t)
57
1.11. Óïðàæíåíèÿ ê ãëàâå 1
Ïîýòîìó
Z
m(t)
e
=
t
|~τe 0 (t)| dt ≤
t0
Z
t
|~τ 0 | dt = m(t).
(1.10.32)
t0
g
]
Âî-âòîðûõ, åñëè ÷åðåç α(t) è α
e(t) îáîçíà÷èòü óãëû ∠σ(t0 )Oσ(t), ∠ σ(t
0 )O σ(t),
ñîîòâåòñòâåííî, òî ôóíêöèè α(t) è α
e(t) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó
(1.10.33)
α
e(t) ≤ α(t).
Äåéñòâèòåëüíî, ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè σ(t0 ) è σ(t) íà ñôåðå S1 , ðàâíî
m(t), à ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè σ
e(t0 ) è σ
e(t) íà òîé æå ñôåðå S1 íå ïðåâîñõîäèò m(t)
e
è, òåì áîëåå, â ñèëó (1.10.32) íå ïðåâîñõîäèò m(t). Ïîýòîìó
g
]
öåíòðàëüíûé óãîë ∠σ(t
0 )O σ(t) íå ïðåâîñõîäèò óãëà ∠σ(t0 )Oσ(t) è íåðàâåíñòâî (1.10.33) äîêàçàíî.
Çàìåòèì äàëåå, ÷òî â ñèëó âûáîðà òî÷êè γ(t0 ), óãîë α(t) ïðè t ≤ t0 è ïðè
t > t0 èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0 äî π2 . Ïîýòîìó èç íåðàâåíñòâà (1.10.32)
èìååì
cos α
e(t) = (~τe(t), ~τe(t0 )) ≥ cos α(t) = (~τ (t), ~τ (t0 )).
(1.10.34)
Íàêîíåö, êàê ìû óæå çíàåì (ñì. çàäà÷ó 1.10.5.)
Z t0
Z l
AB =
cos α(t) dt +
cos α(t) dt,
0
t0
ee ee
eB
e íà íàïðàâëåíèå ~τ (t0 ) ðàâíà
à ïðîåêöèÿ A
B îòðåçêà A
Z t0
Z l
ee ee
A
B=
cos α
e(t) dt +
cos α
e(t) dt.
0
t0
Ïîýòîìó èç íåðàâåíñòâà (1.10.34) ìû ïîëó÷àåì
ee ee
ĀB̄ ≥ A
B ≥ AB,
ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà â ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâàõ, êàê ýòî âèäíî èç òåêñòà
ðåøåíèÿ çàäà÷è, âîçìîæåí òîëüêî òîãäà, êîãäà êðèâûå σ(t) è σ
e(t) ñîâïàäàþò. Íî òîãäà ñîâïàäàþò è êðèâûå γ(t) è γ
e(t).
1.11
Óïðàæíåíèÿ ê ãëàâå 1
1. Íà îêðóæíîñòè ðàäèóñà a äàíà òî÷êà O, âîêðóã êîòîðîé âðàùàåòñÿ
ëó÷, ïåðåñåêàþùèé îêðóæíîñòü â ïåðåìåííîé òî÷êå A. Íà ýòîì ëó÷å
ïî îáå ñòîðîíû îò òî÷êè A îòêëàäûâàþòñÿ îòðåçêè AM1 = AM2 = 2a.
Íàïèñàòü óðàâíåíèå ëèíèè, îïèñûâàåìîé òî÷êàìè M1 è M2 .
Îòâåò: êàðäèîèäà.
2. Êðóã ðàäèóñà a êàòèòñÿ ïî ïðÿìîé áåç ñêîëüæåíèÿ. Ñîñòàâèòü ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ëèíèè, îïèñàííîé òî÷êîé M ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè êðóãà. Îòâåò: öèêëîèäà.
3. Êàêàÿ ëèíèÿ èçîáðàæàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè
x = a log(t),
y=
a
1
(t + )?
2
t
58
1
4. Íàéòè ïðîåêöèè ëèíèè x = t,
ïëîñêîñòè.
y = t2 ,
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
z = t3 íà êîîðäèíàòíûå
5. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîåêöèåé íà ïëîñêîñòü yOz ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà x = y 2 +z 2 è ïëîñêîñòè x−2y +4z = 0 ÿâëÿåòñÿ
îêðóæíîñòü ðàäèóñà R = 3 ñ öåíòðîì â òî÷êå M (0, 1, −2).
6. Íàéòè óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ àñèìïòîòû ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé
x = x(t), y = y(t), z = z(t), óõîäÿùåé â áåñêîíå÷íîñòü.
7. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïðÿìîé è íîðìàëüíîé ïëîñêîñòè
âèíòîâîé ëèíèè x = 2 cos(t), y = 2 sin(t), z = 4t â òî÷êå t = 0.
8. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ëèíèè
x = cosh t,
y = sinh t,
z = ct.
9. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ãëàâíîé íîðìàëè è áèíîðìàëè ëèíèè
x = t,
y = t2 ,
z = t3
t = 1.
10. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ãëàâíîé íîðìàëè è áèíîðìàëè ëèíèè
(
xy = z 2
x2 + y 2 = z 2 + 1
â òî÷êå M (1, 1, 1).
11. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ñôåðû x2 + y 2 + z 2 = 9 è ãèïåðáîëè÷åñêîãî öèëèíäðà x2 − y 2 = 3 â
òî÷êå M (2, 1, 2).
12. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê êðèâîé, çàäàííîé óðàâíåíèÿìè
(
x2 + y 2 + z 2 = 1
x2 + y 2 = x
â òî÷êå M (0, 0, 1).
13. Íà áèíîðìàëÿõ ïðîñòîé âèíòîâîé ëèíèè îòëîæåíû îòðåçêè îäíîé è
òîé æå äëèíû. Íàéòè óðàâíåíèå êðèâîé, îáðàçóåìîé êîíöàìè ýòèõ
îòðåçêîâ.
14.  êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà õîðîøî èçâåñòíà òåîðåìà Ëàãðàíæà
î ñðåäíåì. Âåðíû ëè àíàëîãè÷íûå óòâåðæäåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå?
(a) Ïóñòü A è B - êîíöû ãëàäêîé ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé γ(t), à
Π(t) - ãëàäêîå ñåìåéñòâî ïëîñêîñòåé, êàñàòåëüíûõ ê γ(t). Òîãäà
ñóùåñòâóåò òàêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t0 , ÷òî ïëîñêîñòü Π(t0 ) ïàðàëëåëüíà îòðåçêó AB .
(b) Ïóñòü A è B - êîíöû ãëàäêîé ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé γ(t), ëåæàùåé íà çàìêíóòîé âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè. Òîãäà ñóùåñòâóåò
òàêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t0 , ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü â òî÷êå
γ(t0 ) ïàðàëëåëüíà îòðåçêó AB .
59
1.11. Óïðàæíåíèÿ ê ãëàâå 1
Ðèñ. 1.25: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 14.
15. Íàéòè êðèâèçíó è êðó÷åíèå ëèíèè
x = exp t,
√
z = t 2.
y = exp(−t),
16. Íàéòè êðèâèçíó è êðó÷åíèå ëèíèè
y = sin3 t,
x = cos3 t,
z = cos 2t.
17.  êàêèõ òî÷êàõ ðàäèóñ êðèâèçíû ëèíèè
x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t),
z = 4a cos
t
2
äîñòèãàåò ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà?
18. Äîêàçàòü, ÷òî
1) τ β β 0 = æ,
k 0
),
2) β 0 β 00 β 000 = æ2 ( æ
0
3) τ 0 τ 00 τ 000 = k 3 ( æ
k) .
19. Íàéòè äëèíó ó÷àñòêà êðèâîé
x = a cosh t,
y = a sinh t,
z = at
ìåæäó òî÷êàìè 0 è t.
20. Íàéòè äëèíó äóãè àñòðîèäû
x = a cos3 t,
y = a sin3 t.
21. Íàéòè äëèíó ó÷àñòêà 0 ≤ t ≤ 2π öèêëîèäû
x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t).
22. Íàéòè êðèâèçíó êðèâîé, çàäàííîé óðàâíåíèÿìè â íåÿâíîì âèäå
(
x + sinh x = y + sinh y
z + exp z = x + log(1 + x) + 1,
â òî÷êå M (0, 0, 0).
23. Íàéòè ýâîëþòó òðàêòðèñû
x = −a(log tg
t
+ cos t),
2
y = a sin t.
24. Íàéòè ýâîëüâåíòó îêðóæíîñòè x2 + y 2 = R2 .
60
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
25. Ïîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå êðèâèçíû ê êðó÷åíèþ êðèâîé
Z
Z
x = a sin α(t)dt, y = a cos α(t)dt, z = bt
ïîñòîÿííî.
26∗ . Äîêàçàòü, ÷òî ãëàäêàÿ êðèâàÿ γ(s) ëåæèò íà ñôåðå åäèíè÷íîãî ðàäèóñà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
(k 0 )2 = k 2 æ2 (k 2 − 1), k ≥ 1,
ãäå k = k(s), æ = æ(s) - êðèâèçíà è êðó÷åíèå êðèâîé γ(s).
Ãëàâà 2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ
ïîâåðõíîñòåé â òðåõìåðíîì
åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå
2.1
Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîâåðõíîñòè
Îïðåäåëåíèå 2.1.1. Ñâÿçíîå ìíîæåñòâî òî÷åê Φ â R3 ìû íàçûâàåì äâó-
ìåðíîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè p ∈ Φ ñóùåñòâóåò òàêîé îòêðûòûé øàð Up â R3 ñ öåíòðîì â òî÷êå p è òàêîå íåïðåðûâíîå èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå ψ : Up → R3 , ÷òî ψ ïåðåâîäèò W = Φ ∩ Up â îòêðûòûé
êðóã D1 ðàäèóñà 1 íåêîòîðîé ïëîñêîñòè α ïðîñòðàíñòâà R3 .
 ýòîì îïðåäåëåíèè êðóã D1 ìîæíî çàìåíèòü ëþáûì îòêðûòûì ìíîæåñòâîì ïëîñêîñòè α, äèôôåîìîðôíûì êðóãó D1 . Ââåäåì íà ïëîñêîñòè α
äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû u, v ñ íà÷àëîì â öåíòðå êðóãà D1 .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç ϕp îãðàíè÷åíèå îòîáðàæåíèÿ îáðàòíîãî ê ψ íà D1 . Òîãäà ϕp (D1 ) = W è îòîáðàæåíèå ϕp : D1 → R3 ïîðîæäàåò âåêòîð-ôóíêöèþ
~r = ~r (u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k , ãäå u2 + v 2 < 1. Òàêèì îáðàçîì, ìû
ïîëó÷àåì, ÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîé ñâîåé òî÷êè ïîâåðõíîñòü Φ
ìîæåò áûòü çàäàíà òðåìÿ ôóíêöèÿìè îò äâóõ ïåðåìåííûõ
x = x(u, v),
y = y(u, v),
z = z(u, v).
Òàêîå çàäàíèå ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèì çàäàíèåì. Ïàðàìåòðèçàöèÿ ïîâåðõíîñòè Φ íàçûâàåòñÿ k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé
ïàðàìåòðèçàöèåé, åñëè ôóíêöèè x(u, v), y(u, v) è z(u, v) ñóòü k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè. Ìíîæåñòâî W = ϕp (D1 ) íàçûâàåòñÿ
êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòüþ òî÷êè p íà ïîâåðõíîñòè Φ.
ðàç íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîé åå
òî÷êè ñóùåñòâóåò k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).  ýòîì ñëó÷àå, â äàëüíåéøåì ìû áóäåì
ãîâîðèòü, ÷òî ïîâåðõíîñòü Φ ïðèíàäëåæèò êëàññó C k .
Îïðåäåëåíèå 2.1.2. Ïîâåðõíîñòü Φ íàçûâàåòñÿ k
61
62
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Îïðåäåëåíèå 2.1.3. Ïîâåðõíîñòü Φ êëàññà C k , (k ≥ 1) áóäåì íàçûâàòü
ðåãóëÿðíîé, åñëè äëÿ êàæäîé åå òî÷êè p ñóùåñòâóåò ïàðàìåòðèçàöèÿ ϕp :
D1 → R3 êëàññà C k ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà.
Ïîñëåäíåå óñëîâèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â òàêîé ôîðìå ~r u × ~r v 6= 0, ãäå
~r u = xu (u, v)~i + yu (u, v)~j + zu (u, v)~k ,
~r v = xv (u, v)~i + yv (u, v)~j + zv (u, v)~k .
Ïîìèìî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñïîñîáà çàäàíèÿ ïîâåðõíîñòè ñóùåñòâóþò è äðóãèå ñïîñîáû çàäàíèÿ.
ßâíîå çàäàíèå. Ïóñòü f : D1 ⊂ R2 → R1 ôóíêöèÿ êëàññà C k , (k ≥ 1).
Òîãäà ìíîæåñòâî òî÷åê
{(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ D1 } ãðàôèê ôóíêöèè f (x, y)
îáðàçóåò ðåãóëÿðíóþ ïîâåðõíîñòü êëàññà C k . Óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè â ýòîì
ñëó÷àå ïðèíÿòî çàïèñûâàòü òàê: x = x, y = y , z = f (x, y) èëè ïðîñòî z =
f (x, y), (x, y) ∈ D1 .
Íåÿâíîå çàäàíèå ïîâåðõíîñòè. Ïóñòü D íåêîòîðîå îòêðûòîå ñâÿçíîå
ìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà R3 , à H : D → R1 åñòü äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå êëàññà C k è ïóñòü íîëü åñòü ðåãóëÿðíîå çíà÷åíèå îòîáðàæåíèÿ H .
Òîãäà êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà Φ = H −1 (0) åñòü ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C k . Óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè â ýòîì ñëó÷àå çàïèñûâàåòñÿ â òàêîé ôîðìå H(x, y, z) = 0, à ñàìî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ íåÿâíûì
óðàâíåíèåì ïîâåðõíîñòè Φ. Åñëè ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè:
x = x(u, v),
y = y(u, v),
z = z(u, v),
òî äëÿ êàæäîé òî÷êè p ∈ Φ ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü, â êîòîðîé ïîâåðõíîñòü
Φ ìîæåò áûòü çàäàíà ÿâíûì óðàâíåíèåì.  ñàìîì äåëå, òàê êàê ðàíã îòîáðàæåíèÿ ϕp â òî÷êå p ðàâåí 2, òî ïî òåîðåìå îáðàòíîé ôóíêöèè ïåðåìåííûå
u è v ìîãóò áûòü âûðàæåíû ëèáî ÷åðåç x, y , ëèáî ÷åðåç x, z , ëèáî ÷åðåç y, z , è
òîãäà óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè Φ â îêðåñòíîñòè òî÷êè p ìîæåò áûòü çàïèñàíî
â îäíîé èç ñëåäóþùèõ ôîðì
z = z(u(x, y), v(x, y)) = f1 (x, y),
y = y(u(x, z), v(x, z)) = f2 (x, z),
x = x(u(y, z), v(y, z)) = f3 (y, z).
ëèáî
ëèáî
Åñëè æå ïîâåðõíîñòü Φ çàäàíà íåÿâíûì óðàâíåíèåì H(x, y, z) = 0, òî ó÷èòûâàÿ, ÷òî íîëü åñòü ðåãóëÿðíîå çíà÷åíèå îòîáðàæåíèÿ H , ìû ïîëó÷àåì,
÷òî îäíà èç ïðîèçâîäíûõ Hx , Hy èëè Hz îòëè÷íà îò íóëÿ â êàæäîé òî÷êå
p ∈ Φ. Åñëè, íàïðèìåð, Hz 6= 0, òî ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ f (x, y) òàêàÿ, ÷òî H(x, y, f (x, y)) ≡ 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,
ïîâåðõíîñòü Φ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p ìîæåò áûòü çàäàíà ÿâíûì
óðàâíåíèåì: z = f (x, y).
Ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû. Ïóñòü ~r = ~r (u, v) ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå
ïîâåðõíîñòè Φ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p ∈ Φ. Òîãäà êàæäîé òî÷êå
ýòîé îêðåñòíîñòè ñîîòâåòñòâóþò óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà ÷èñåë (u, v), êîòîðûå
íàçûâàþòñÿ ëîêàëüíûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè. Ïðîèçâîëüíóþ êðèâóþ γ
63
2.1. Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîâåðõíîñòè
íà ïîâåðõíîñòè Φ ìîæíî îïðåäåëèòü óðàâíåíèÿìè â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ
u = u(t), v = v(t), (a ≤ t ≤ b). Â ïðîñòðàíñòâå R3 óðàâíåíèÿ γ ïðèíèìàþò
âèä x = x(u(t), v(t)) = x(t), y = y(u(t), v(t)) = y(t), z = z(u(t), v(t)) = z(t).
Êðèâûå u = t, v = const; u = const, v = t íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòíûìè
ëèíèÿìè (ñì. ðèñóíîê 2.1).
Ðèñ. 2.1: Ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû íà ïîâåðõíîñòè.
Ñïåöèàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ïóñòü ϕ1 : D1 → Φ íåêîòîðàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C k , (k ≥ 1) è ïóñòü h : Dp →
D1 èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå êðóãà Dp â D1 êëàññà C k , (k ≥ 1) ñ íåíóëåâûì ÿêîáèàíîì J . Òîãäà êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé ϕp = ϕ1 ◦h : Dp → Φ åñòü
òàêæå ðåãóëÿðíàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ ïîâåðõíîñòè Φ òîãî æå êëàññà C k . Â ñàìîì äåëå, ïóñòü ϕ1 çàäàåòñÿ ôóíêöèÿìè x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v),
à h ôóíêöèÿìè u = ϕ(α, β), v = ψ(α, β). Òîãäà ϕp çàäàåòñÿ ôóíêöèÿìè
x = x(u(α, β), v(α, β)),
y = y(u(α, β), v(α, β)),
z = z(u(α, β), v(α, β))
è ïî èçâåñòíûì òåîðåìàì èç àíàëèçà ϕp ïðèíàäëåæèò êëàññó C k .
Äîêàæåì ðåãóëÿðíîñòü ïàðàìåòðèçàöèè. Èìååì
~r α = ~r u ϕα + ~r v ψα ,
~r β = ~r u ϕβ + ~r v ψβ .
Ïîýòîìó
|~r α × ~r β | = |~r u × ~r v | · |ϕα ψβ − ϕβ ψα | = |~r u × ~r v | · J 6= 0,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Èíîãäà âîçíèêàåò ïîòðåáíîñòü ââåñòè íîâûå êîîðäèíàòû íà ïîâåðõíîñòè òàê, ÷òîáû ëèíèè èç íåêîòîðîãî çàäàííîãî ñåìåéñòâà êðèâûõ ñòàëè áû
êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè. Ïóñòü â äàííîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè W ñ
êîîðäèíàòàìè u, v çàäàíû äâà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà
A1 (u, v)du + B1 (u, v)dv = 0,
A2 (u, v)du + B2 (u, v)dv = 0
(2.1.1)
è ìû õîòèì ââåñòè íîâûå êîîðäèíàòû òàê, ÷òîáû èíòåãðàëüíûå ëèíèè óðàâíåíèé (2.1.1) ñòàëè áû êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè. Ñëåäóþùàÿ ëåììà äàåò
äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîé ïàðàìåòðèçàöèè.
Ëåììà 2.1.1. Åñëè â òî÷êå p0 (u0 , v0 ) îïðåäåëèòåëü
J=
A1 (u0 , v0 ) B1 (u0 , v0 )
A2 (u0 , v0 ) B2 (u0 , v0 )
6= 0,
òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p0 ìîæíî ââåñòè òàêèå êîîðäèíàòû,
÷òî èíòåãðàëüíûå êðèâûå óðàâíåíèé (2.1.1) áóäóò êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Óðàâíåíèÿ (2.1.1) ïåðåïèøåì â âèäå äâóõ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
(
du
dt = −B1 (u, v)
(2.1.2)
dv
dt = A1 (u, v),
64
2
(
du
dt
dv
dt
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
= −B2 (u, v)
= A2 (u, v).
(2.1.3)
Ïóñòü γ0 èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ ñèñòåìû (2.1.2), ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó
p0 è ïóñòü åå óðàâíåíèÿ çàäàþòñÿ ôóíêöèÿìè u = ϕ1 (t), v = ψ1 (t). Òîãäà
ôóíêöèè ϕ1 (t), ψ1 (t) óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâàì:
(
dϕ1
dt = −B1 (ϕ1 , ψ1 )
è ϕ1 (0) = u0 , ψ1 (0) = v0 .
(2.1.4)
dψ1
dt = A1 (ϕ1 , ψ1 )
Àíàëîãè÷íî, ïóñòü σ0 èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ ñèñòåìû (2.1.3), ïðîõîäÿùàÿ
÷åðåç òî÷êó p0 , à u = ϕ2 (τ ) è v = ψ2 (τ ) åå óðàâíåíèÿ. Òîãäà
(
dϕ2
dτ = −B2 (ϕ2 , ψ2 )
è ϕ2 (0) = u0 , ψ2 (0) = v0 .
(2.1.5)
dψ2
dτ = A2 (ϕ2 , ψ2 )
Îáîçíà÷èì ÷åðåç γτ (α) èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ ñèñòåìû (2.1.2), ïðîõîäÿùóþ
÷åðåç òî÷êó σ0 (τ ), à ÷åðåç σt (β) èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ ñèñòåìû (2.1.3),
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó γ0 (t). Ïóñòü p(t, τ ) åñòü òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ γτ (α)
è σt (β). Òàê êàê òî÷êà p(t, τ ) èìååò â W êîîðäèíàòû u, v , òî ìû ïîëó÷èì
îòîáðàæåíèå u = u(t, τ ), v = v(t, τ ). Òåïåðü ïðåæäå âñåãî, äîêàæåì, ÷òî ïðè
äîñòàòî÷íî ìàëûõ t è τ òî÷êà p(t, τ ) îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
ìû äîëæíû äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ñèñòåìû
óðàâíåíèé
(
F1 (α, β, t, τ ) = f1 (α, τ ) − f2 (β, t) = 0,
(2.1.6)
F2 (α, β, t, τ ) = h1 (α, τ ) − h2 (β, t) = 0,
ãäå u = f1 (α, τ ), v = h1 (α, τ ) ñóòü óðàâíåíèÿ êðèâîé γτ (α), à u = f2 (β, t),
v = h2 (β, t) óðàâíåíèÿ êðèâîé σt (β). Èç îïðåäåëåíèÿ êðèâûõ σ0 , γ0 , γτ (α)
è σt (β) ñëåäóþò ðàâåíñòâà: f1 (0, 0) = u0 = f2 (0, 0), h1 (0, 0) = v0 = h2 (0, 0).
Ýòè ðàâåíñòâà ïîêàçûâàþò, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåìû (2.1.6) ïðè t = τ = 0
(F1 )α (F1 )β
6= 0, â
ñóùåñòâóåò. Ïîäñ÷èòàåì òåïåðü îïðåäåëèòåëü J1 =
(F2 )α (F2 )β
òî÷êå (0, 0, 0, 0)

(0,0)
(α,0)
∂F1
1

= ∂f1∂α
= ∂f1∂α
= ∂ϕ
= −B1 (u0 , v0 ),

∂α
∂α

α=0
α=0




∂f2 (0,0)
∂f2 (β,0)

∂F
2

= ∂ϕ
= −B2 (u0 , v0 ),
 ∂β2 = − ∂β = − ∂β
∂β
β=0
β=0
(2.1.7)
∂h1 (0,0)
∂h1 (α,0)

∂ψ1
∂F2

=
=
=
=
A
(u
,
v
),

1
0
0
∂α
∂α
∂α
∂α

α=0
α=0





∂ψ2
 ∂F2 = − ∂h2 (0,0) = − ∂h2 (β,0)
= ∂β
= A2 (u0 , v0 ).
∂β
∂β
∂β
β=0
β=0
Èç (2.1.7), ïîëó÷àåì
J1 = −J 6= 0.
(2.1.8)
Èç (2.1.8) è èç òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè, ìû âûâîäèì ñóùåñòâîâàíèå
òàêîãî ÷èñëà δ > 0, ÷òî ïðè t2 + τ 2 < δ 2 ôóíêöèè α = α(t, τ ) è β = β(t, τ )
îïðåäåëåíû è äèôôåðåíöèðóåìû. Çàìåòèì êðîìå òîãî, ÷òî
α(t, 0) = t,
β(0, τ ) = τ.
(2.1.9)
65
2.2. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü
Ôóíêöèè u = u(t, τ ) è v = v(t, τ ) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè
u = u(t, τ ) = f1 (α(t, τ ), τ ) = f2 (β(t, τ ), t),
v = v(t, τ ) = h1 (α(t, τ ), τ ) = h2 (β(t, τ ), t).
Âåëè÷èíà îïðåäåëèòåëÿ J2 =
∂u
∂t
∂v
∂t
∂u
∂τ
∂v
∂τ
(2.1.10)
â òî÷êå t = τ = 0 îêàçûâàåòñÿ
ðàâíîé −J è, ñëåäîâàòåëüíî, J2 6= 0. Â ñàìîì äåëå, èç ôîðìóë (2.1.10),
(2.1.9) è (2.1.7) ñëåäóåò
∂u
∂f1 (0, 0) ∂α
=
·
∂t
∂α
∂t
∂v
∂h1 (0, 0) ∂α
=
·
∂t
∂α
∂t
= −B1 ,
t=0
= A1 ,
t=0
∂u
∂f2 (0, 0)
=
·
∂τ
∂β
∂v
∂h2 (0, 0)
=
·
∂τ
∂β
∂β
∂τ
∂β
∂τ
= −B2 ,
τ =0
= A2 .
τ =0
Ñíîâà ïðèìåíÿåì òåîðåìó îá îáðàòíîé ôóíêöèè è ïîëó÷àåì, ÷òî îòîáðàæåíèå u = u(t, τ ), v = v(t, τ ) èíäóöèðóåò íîâûå êîîðäèíàòû t è τ , â êîòîðûõ
êðèâûå t = const, τ = τ è t = t, τ = const ñóòü èíòåãðàëüíûå ëèíèè
óðàâíåíèé (2.1.2) è (2.1.3).
Äîêàæåì åùå îäíó ëåììó.
Ëåììà 2.1.2. Ïóñòü â òî÷êå p(u0 , v0 ) çàäàíû äâà íåêîëëèíåàðíûõ âåêòî-
~ = λ1~r u + λ2~r v è µ
~ = µ1~r u + µ2~r v . Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîîðäèðà: λ
~ , ~r η = µ
~.
íàòíàÿ ñèñòåìà ξ, η , â êîòîðîé p(0, 0) è ~r ξ = λ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèè u = u(ξ, η) è v = v(ξ, η) îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè:
u = λ1 ξ + µ1 η + u0 ,
v = λ2 ξ + µ2 η + v0 .
Òîãäà êîîðäèíàòû òî÷êè p ðàâíû (0, 0) è
∂v
∂u
~,
+ ~r v
= λ1~r u + λ2~r v = λ
∂ξ
∂ξ
∂u
∂v
~r η = ~r u
~,
+ ~r v
= µ1~r u + µ2~r v = µ
∂η
∂η
~r ξ = ~r u
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
2.2
Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü
Ïóñòü γ(t) : u = u(t), v = v(t), (a ≤ t ≤ b) íåêîòîðàÿ êðèâàÿ, ïðîõîäÿùàÿ
÷åðåç òî÷êó p0 = γ(0) = (u(0), v(0)). Êàñàòåëüíûé âåêòîð γ̇ = ~τ ê êðèâîé γ
â òî÷êå p0 ìîæíî çàïèñàòü â òàêîé ôîðìå: γ̇ = ~r t 0 = ~r u u0 + ~r v v 0 . Èç ýòîé
ôîðìóëû ìû âèäèì, ÷òî êàñàòåëüíûé âåêòîð ê ëþáîé êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè Φ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó p0 , ëåæèò â ïëîñêîñòè âåêòîðîâ ~r u (p0 ) è
~r v (p0 ). Ýòî íàáëþäåíèå ïðèâîäèò íàñ ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ.
Îïðåäåëåíèå 2.2.1. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó p ðåãóëÿðíîé ïî-
âåðõíîñòè Φ êëàññà C k , (k ≥ 1) ïàðàëëåëüíî âåêòîðàì ~r u (p) è ~r v (p), íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ ê ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p. Íîðìàëü ê
êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè â òî÷êå p íàçûâàåòñÿ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè Φ.
66
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
 äàëüíåéøåì, íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p ìû áóäåì îáîçíà÷àòü
~ (p) è ñ÷èòàòü å¼ âñåãäà åäèíè÷íûì âåêòîðîì; |~
÷åðåç n
n (p)| = 1.  ÷àñòíîñòè,
rv
.
íîðìàëü ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé |~~rr uu ×~
×~
rv|
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè. Ïóñòü p íåêîòîðàÿ òî÷êà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ, α êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê Φ â
òî÷êå p, è q ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïîâåðõíîñòè Φ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç d ðàññòîÿíèå ìåæäó p è q , à ÷åðåç h ðàññòîÿíèå îò òî÷êè q äî ïëîñêîñòè α.
Òåîðåìà 2.2.1. Åñëè ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ ïðèíàäëåæèò êëàññó C 1 ,
òî
lim
q→p
h
h
= lim = 0.
d d→0 d
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ~r = ~r (u, v) óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè Φ, à òî÷êà
p èìååò ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû (u0 , v0 ). Òîãäà d = |~r (u, v) − ~r (u0 , v0 )|, à
~ ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆u = u − u0 , ∆v = v − v0 (ñì.
h = (~r (u, v) − ~r (u0 , v0 ), n
ðèñóíîê 2.2).
Ðèñ. 2.2: Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè.
Ïî ôîðìóëå Òåéëîðà èìååì
p
~r (u, v) = ~r (u0 , v0 ) + ~r u (u0 , v0 )∆u + ~r v (u0 , v0 )∆v + ~o ( ∆u2 + ∆v 2 ).
Ïîýòîìó,
p
d = |~r u (u0 , v0 )∆u + ~r v (u0 , v0 )∆v + ~o ( ∆u2 + ∆v 2 )|,
p
~ =
h = ~r u (u0 , v0 )∆u + ~r v (u0 , v0 )∆v + ~o ( ∆u2 + ∆v 2 ), n
p
p
~ )| = ~o 1 ( ∆u2 + ∆v 2 ).
= |(~o ( ∆u2 + ∆v 2 ), n
Èç ïîñëåäíèõ ôîðìóë ñëåäóåò
√
~o1 ( ∆u2 + ∆v 2 )
h
√
lim = lim
.
d→0 d
d→0 |~
r u (u0 , v0 )∆u + ~r v (u0 , v0 )∆v + ~o ( ∆u2 + ∆v 2 )|
√
Ïîäåëèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïîñëåäíåé äðîáè íà ∆u2 + ∆v 2 . Äîêàæåì, ÷òî âûðàæåíèå
√
|~r u (u0 , v0 )∆u + ~r v (u0 , v0 )∆v + ~o ( ∆u2 + ∆v 2 )|
√
∆u2 + ∆v 2
îãðàíè÷åíî ñíèçó íåêîòîðûì ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì. Äëÿ ýòîãî îáîçíà÷èì
÷åðåç ξ = √∆u∆u
, η = √∆u∆v
è çàìåòèì, ÷òî ξ 2 + η 2 = 1. Îöåíèì
2 +∆v 2
2 +∆v 2
|~r u ξ + ~r v η|2 = (~r u ,~r u )ξ 2 + 2(~r u ,~r v )ξη + (~r v ,~r v )η 2 .
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
E = (~r u ,~r u ),
F = (~r u ,~r v ),
G = (~r v ,~r v ).
67
2.2. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü
Ïîäñ÷èòàåì
EG − F 2 = |~r u |2 · |~r v |2 − |~r u |2 | · ~r v |2 cos2 ϕ = |~r u |2 · |~r v |2 sin2 ϕ = |~r u × ~r v |2 .
Çäåñü ÷åðåç ϕ áûë îáîçíà÷åí óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ~r u è ~r v . Òàê êàê ïîâåðõíîñòü Φ ðåãóëÿðíà, òî |~r u × ~r v | =
6 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, EG − F 2 > 0. Çíà÷èò
2
êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Eξ + 2F ξη + Gη 2 ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ôîðìîé, íî òîãäà
min |Eξ 2 + 2F ξη + Gη 2 | = a2 > 0.
ξ 2 +η 2 =1
Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî
√
|~r u ∆u + ~r v ∆v + ~o ( ∆u2 + ∆v 2 )|
a
√
≥ ,
2
2
2
∆u + ∆v
√
åñëè ∆u2 + ∆v 2 äîñòàòî÷íî ìàëî. Èòàê, ìû èìååì: çíàìåíàòåëü äðîáè
îãðàíè÷åí ñíèçó ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì, à ÷èñëèòåëü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Çíà÷èò limd→0 hd = 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
 äàëüíåéøåì êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p áóäåì
îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì (T Φ)p . Âåêòîðû ~r u è ~r v ëèíåéíî íåçàâèñèìû è ïîýòîìó ÿâëÿþòñÿ áàçèñîì â (T Φ)p . Ýòîò áàçèñ ìû áóäåì íàçûâàòü ëîêàëüíûì
áàçèñîì ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p.
Ââåäåì ïîíÿòèå îðèåíòèðîâàííîé ïëîñêîñòè.
Ïóñòü α íåêîòîðàÿ ïëîñêîñòü ïðîñòðàíñòâà R3 , à ~e åäèíè÷íûé âåêòîð åé îðòîãîíàëüíûé. Ïàðó (α,~e ) íàçîâåì îðèåíòèðîâàííîé ïëîñêîñòüþ.
Òàêîå íàçâàíèå îïðàâäûâàåòñÿ òåì, ÷òî çíàíèå îðèåíòàöèè R3 è çàäàíèå
âåêòîðà ~e îïðåäåëÿåò îðèåíòàöèþ ïëîñêîñòè α. È, íàîáîðîò, ïî îðèåíòàöèè
α è R3 ìîæíî âîññòàíîâèòü âåêòîð ~e . Êàæäàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîñêîñòü
ïðîñòðàíñòâà R3 ïîðîæäàåò â íåì ôóíêöèþ fα , îïðåäåëåííóþ ôîðìóëîé:
−→
fα (p) = (p0 p,~e ),
ãäå p0 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà α. Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ fα íå çàâèñèò îò
âûáîðà òî÷êè p0 .
Çàäà÷à 2.2.1. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè òî÷êà q åñòü êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè fα íà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ, òî êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü (T Φ)q
ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè α.
Çàäà÷à 2.2.2. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïî÷òè âñåõ ïëîñêîñòåé α ïåðåñåêàþùèõ
ðåãóëÿðíóþ ïîâåðõíîñòü Φ êëàññà C k ïåðåñå÷åíèå α ∩ Φ åñòü ðåãóëÿðíàÿ
êðèâàÿ êëàññà C k .
2.2.1
Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû
1. Óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòè çàäàíû â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå:
~r = ~r (u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k .
68
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Òîãäà ~r u = xu~i + yu~j + zu~k , ~r v = xv~i + yv~j + zv~k . Ïîýòîìó óðàâíåíèå
êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè â òî÷êå (u0 , v0 ) çàïèñûâàåòñÿ òàê
(yu zv − zu yv )(u0 ,v0 ) (X − x(u0 , v0 )) + (zu xv − xu zv )(u0 ,v0 ) (Y − y(u0 , v0 ))+
+(xu yv − yu xv )(u0 ,v0 ) (Z − z(u0 , v0 )) = 0,
ãäå X, Y, Z êîîðäèíàòû òåêóùåé òî÷êè íà ïëîñêîñòè, è âñå ïðîèçâîäíûå
âû÷èñëåíû â òî÷êå (u0 , v0 ).
2. ßâíîå çàäàíèå ïîâåðõíîñòè: x = x, y = y , z = f (x, y).
~r x = ~i + fx~k ,
~r y = ~j + fy~k ,
~r x × ~r y = −fx~i − fy~j + ~k .
Ïóñòü êîîðäèíàòû òî÷êè êàñàíèÿ áóäóò (x0 , y0 , z0 = f (x0 , y0 )). Òîãäà óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïðèíèìàåò âèä:
Z − z0 = fx (x0 , y0 )(X − x0 ) + fy (x0 , y0 )(Y − y0 ).
3. Íåÿâíîå çàäàíèå ïîâåðõíîñòè: H(x, y, z) = 0. Ïóñòü (x0 , y0 , z0 ) òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ ïîâåðõíîñòè. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè
â ýòîé òî÷êå èìååò âèä:
Hx (x0 , y0 , z0 )(X − x0 ) + Hy (x0 , y0 , z0 )(Y − y0 ) + Hz (x0 , y0 , z0 )(Z − z0 ) = 0.
2.3
Ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
Ïóñòü p ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ.  êàñàòåëüíîé
~ èµ
~ . Ïóñòü λ1 , λ2 è µ1 , µ2 êîîðäèïëîñêîñòè (T Φ)p âîçüìåì äâà âåêòîðà λ
~ èµ
~ â ëîêàëüíîì áàçèñå ~r u (p) è ~r v (p). Íàéäåì ôîðìóëó äëÿ
íàòû âåêòîðîâ λ
~ èµ
~ ÷åðåç êîîðäèíàòû èõ
âû÷èñëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ λ
âåêòîðîâ â ëîêàëüíîì áàçèñå. Èñïîëüçóÿ óæå ââåäåííûå íàìè îáîçíà÷åíèÿ
E = (~r u ,~r u ), F = (~r u ,~r v ), G = (~r v ,~r v ), ïîëó÷èì
~,µ
~ ) = Eλ1 µ1 + F (λ1 µ2 + λ2 µ1 ) + Gλ2 µ2 .
(λ
Òàêèì îáðàçîì, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïîðîæäàåò íà ïîâåðõíîñòè Φ (â
êàæäîé êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè Φ) ïîëå ñèììåòðè÷íîé áèëèíåéíîé ôîðìû
~,µ
~ ) = Eλ1 µ1 + F (λ1 µ2 + λ2 µ1 ) + Gλ2 µ2 .
I(λ
 ÷àñòíîñòè,
~ ) = I(λ
~,λ
~ ) = E(λ1 )2 + 2F λ1 λ2 + G(λ2 )2 .
I(λ
~ ) íàçûâàåòñÿ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïîÊâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà I(λ
âåðõíîñòè.
Äëèíà êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè. Ïóñòü òåïåðü íà ïîâåðõíîñòè Φ ëåæèò
íåêîòîðàÿ ãëàäêàÿ êðèâàÿ γ è u = u(t), v = v(t), (a ≤ t ≤ b) åå óðàâíåíèÿ
â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ. Íàéäåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû l(γ)
êðèâîé γ . Ïî ôîðìóëå äëèíû êðèâîé ãëàâû 1 ìû èìååì:
Z bp
Z b
Z bp
I(~r 0 ) dt =
E (u0 )2 + 2F u0 v 0 + G (v 0 )2 dt.
l(γ) =
|~r 0 | dt =
a
a
a
(2.3.11)
2.3. Ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
69
Ôîðìóëó (2.3.11) ìîæíî çàïèñàòü åùå â òàêîé ôîðìå
Z
l(γ) =
b
p
E du2 + 2F du dv + G dv 2 ,
(2.3.12)
a
à ñàìó ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó â òàêîì âèäå:
ds2 = E du2 + 2F du dv + G dv 2 .
 ýòîì ñëó÷àå âåëè÷èíó ds íàçûâàþò ýëåìåíòîì äëèíû. Òàêàÿ ôîðìà çàïèñè ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû íàçûâàåòñÿ êëàññè÷åñêîé. Ôîðìóëà (2.3.11)
ïîêàçûâàåò íàì, ÷òî çíàÿ êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû è
óðàâíåíèÿ êðèâîé â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ, ìû ìîæåì âû÷èñëèòü äëèíó
äóãè êðèâîé.
Ñäåëàåì òåïåðü ñëåäóþùåå çàìå÷àíèå.
Çàìå÷àíèå 2.3.1. Åñëè íàì èçâåñòíû óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòè, òî ìû,
âî âñÿêîì ñëó÷àå â ïðèíöèïå, èìååì ïîëíóþ èíôîðìàöèþ î ïîâåðõíîñòè
è åå ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ. Åñëè æå íàì óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè íå
èçâåñòíî, à èçâåñòíà òîëüêî ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà, òî ìû, êîíå÷íî, óæå íå âëàäååì ïîëíîé èíôîðìàöèåé î ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ïîâåðõíîñòè. Îäíàêî, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî çíàíèå ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïîâåðõíîñòè äàåò íàì âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü èíôîðìàöèþ î ìíîãèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòè. Ìû ìîæåì îïðåäåëèòü è èçó÷èòü òàêèå ãåîìåòðè÷åñêèå ïîíÿòèÿ: äëèíó êðèâîé, ïëîùàäü îáëàñòè,
êðàò÷àéøèå è ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè, ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè è ò. ï.
Òå ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà è îáúåêòû, êîòîðûå ìû ìîæåì îïðåäåëèòü,
çíàÿ òîëüêî ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïîâåðõíîñòè, íàçûâàþòñÿ âíóòðåííå ãåîìåòðè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè, à ñîâîêóïíîñòü ýòèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ
ñâîéñòâ è îáúåêòîâ ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò âíóòðåííåé ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòè. Èíûìè ñëîâàìè, ìîæíî ñêàçàòü òàê: âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè èçó÷àåò òå åå ñâîéñòâà êîòîðûå íå çàâèñÿò îò ôîðìû ïîâåðõíîñòè, à
çàâèñÿò òîëüêî îò èçìåðåíèé, êîòîðûå ìû ìîæåì ïðîèçâåñòè, îñòàâàÿñü íà
ñàìîé ïîâåðõíîñòè. Âíóòðåííåé ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòè áóäåò ïîñâÿùåíà
îòäåëüíàÿ ãëàâà 3. Ñåé÷àñ æå ìû îïðåäåëèì è èçó÷èì òîëüêî ïðîñòåéøèå
ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé.
Ìåòðèêà íà ïîâåðõíîñòè. Ôîðìóëà (2.3.11) íàìè âûâåäåíà â òîì ñëó÷àå,
êîãäà êðèâàÿ γ öåëèêîì ëåæèò â îäíîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè. Åñëè æå
êðèâàÿ γ(t) íå ëåæèò öåëèêîì â îäíîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè, òî òîãäà
ðàçîáúåì åå íà êîíå÷íîå ÷èñëî äóã, êàæäàÿ èç êîòîðûõ óæå ëåæèò öåëèêîì
â îäíîé èç êîîðäèíàòíûõ îêðåñòíîñòåé. Ïîäñ÷èòûâàÿ çàòåì ïî ôîðìóëå
(2.3.11) äëèíó êàæäîé èç ïîëó÷åííûõ äóã è ñóììèðóÿ èõ çíà÷åíèÿ, ìû ïîëó÷èì äëèíó âñåé êðèâîé. Äîêàæåì òåïåðü ñëåäóþùóþ ëåììó.
Ëåììà 2.3.1. Åñëè ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ ïðèíàäëåæèò êëàññó C 1 ,
òî ëþáûå åå äâå òî÷êè ìîæíî ñîåäèíèòü ñïðÿìëÿåìîé (êóñî÷íî-ãëàäêîé)
êðèâîé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü p0 è p1 äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ïîâåðõíîñòè.
 ñèëó ñâÿçíîñòè Φ, ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ σ(t), (0 ≤ t ≤ 1), ñ
êîíöàìè â òî÷êàõ p0 è p1 ; σ(0) = p0 è σ(1) = p1 . Äàëåå, èç êîìïàêòíîñòè
70
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
ìíîæåñòâà σ(t), (0 ≤ t ≤ 1) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà äóã
σi , (ti ≤ t ≤ ti+1 ); i = 1, . . . , n; t1 = 0, tn = 1 êðèâîé σ è êîîðäèíàòíûõ
îêðåñòíîñòåé Wi , i = 1, . . . , n, òàêèõ, ÷òî σi ⊂ Wi . Ïóñòü (ui , vi ) è (ui+1 , vi+1 )
êîîðäèíàòû òî÷åê σ(ti ) è σ(ti+1 ) â Wi . Âîçüìåì êðèâóþ γi , îïðåäåëåííóþ
óðàâíåíèÿìè
u = ui +
v = vi +
t − ti
(ui+1 − ui ),
ti+1 − ti
t − ti
(vi+1 − vi ),
ti+1 − ti
(ti ≤ t ≤ ti+1 , i = 1, . . . , n),
è êðèâóþ γ , ñîñòàâëåííóþ èç äóã γi . Òîãäà êðèâàÿ γ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íîãëàäêîé (ñïðÿìëÿåìîé) è γ(0) = p0 , γ(1) = p1 .
Ëåììà 2.3.1 äàåò íàì âîçìîæíîñòü äàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå 2.3.1. Òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü äëèí âñåõ êðèâûõ ñ êîíöàìè
â òî÷êàõ p0 è p1 ïîâåðõíîñòè Φ íàçîâåì ðàññòîÿíèåì ρ ìåæäó òî÷êàìè p0
è p1 .
Èëè áîëåå ïîäðîáíî: ïóñòü Γ(p0 , p1 ) ìíîæåñòâî âñåõ ñïðÿìëÿåìûõ
Φ ñ êîíöàìè â òî÷êàõ p0 è p1 . Òîãäà ïîëîæèì
êðèâûõ ïîâåðõíîñòè
ρ(p0 , p1 ) =
inf
l(γ).
γ∈Γ(p0 ,p1 )
Ëåììà 2.3.1 òåïåðü ïîçâîëÿåò íàì óòâåðæäàòü, ÷òî ìíîæåñòâî Γ(p0 , p1 ) íå
ïóñòî è ôóíêöèÿ ρ(p0 , p1 ) îïðåäåëåíà. Ôóíêöèÿ ρ(p0 , p1 ) ≥ 0 îáëàäàåò âñåìè
îáû÷íûìè ñâîéñòâàìè ìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè:
1) ρ(p1 , p2 ) = ρ(p2 , p1 ),
2) ρ(p1 , p2 ) + ρ(p2 , p3 ) ≥ ρ(p1 , p3 ),
3) ρ(p, q) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
p = q.
Çàìåòèì åùå, ÷òî òîïîëîãèÿ, ïîðîæäåííàÿ ýòîé ìåòðèêîé, ñîâïàäàåò ñ òîïîëîãèåé èíäóöèðîâàííîé èç R3 .
Ââåäåíèå íà ïîâåðõíîñòè Φ ìåòðèêè ïîçâîëÿåò íàì äàòü ñëåäóþùèå ïðîñòûå îïðåäåëåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 2.3.2. Ïîâåðõíîñòü Φ íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ïîâåðõíîñòüþ,
åñëè (Φ, ρ) åñòü ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.
Îïðåäåëåíèå 2.3.3. Ïîâåðõíîñòü Φ íàçûâàåòñÿ çàìêíóòî&eacut