Toponogov, Viktor Andreevich Dif

Îãëàâëåíèå
Ïðåäèñëîâèå
1
4
Òåîðèÿ êðèâûõ â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå è íà
ïëîñêîñòè
1.1
1.2
Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ êðèâîé . . . . . . . . . . . .
Êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ è ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü . . . . .
1.2.1 Ãåîìåòðè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà êàñàòåëüíîé ïðÿìîé
1.2.2 Ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Äëèíà êðèâîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Êðèâèçíà êðèâîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Ïëîñêèå êðèâûå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Êðó÷åíèå êðèâîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Ôîðìóëû Ôðåíå è íàòóðàëüíîå óðàâíåíèå êðèâîé . . . . . .
1.10 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Óïðàæíåíèÿ ê ãëàâå 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
9
10
11
14
17
18
22
23
24
26
46
48
48
52
62
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì
ïðîñòðàíñòâå
65
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . 65
Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.1 Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . 72
2.3.1 Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . 77
2.4.1 Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4.2 Îìáèëè÷åñêèå òî÷êè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4.3 Ýêâèäèñòàíòíûå ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . 87
Òðåòüÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . 88
Êëàññû ïîâåðõíîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.7.1 Äîáàâëåíèå: Òî÷å÷íûå èíäèêàòðèñû ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Ëèíåé÷àòûå è ðàçâåðòûâàþùèå ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . 105
1
2
Îãëàâëåíèå
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
3
4
Âûïóêëûå ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñåäëîâûå ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . . .
Íåêîòîðûå êëàññû ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè . . .
2.12.1 Ëèíèè êðèâèçíû íà ïîâåðõíîñòè . . . .
2.12.2 Àñèìïòîòè÷åñêèå ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè
2.12.3 Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè . .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ òåîðèè ïîâåðõíîñòåé . . .
2.14.1 Ôîðìóëû ÃàóññàÏåòåðñîíàÊîäàööè .
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Óïðàæíåíèÿ ê ãëàâå 2 . . . . . . . . . . . . . .
Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
3.1
3.2
3.3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ââåäåíèå íîâûõ îáîçíà÷åíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Àáñîëþòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ . . . . . . . . . . .
Ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå âåêòîðà âäîëü êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ . . . . . . . . . .
3.4 Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Îïðåäåëåíèå ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé è èõ óðàâíåíèÿ . . .
3.4.2 Ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå. Ñâîéñòâà ýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ è ëîêàëüíûå ñâîéñòâà ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå è ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà
êðèâîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè è ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå . . .
3.5 Êðàò÷àéøèå ëèíèè. Ñâÿçü ìåæäó ãåîäåçè÷åñêèìè è êðàò÷àéøèìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Ìåòðèêà íà ïîâåðõíîñòè è êðàò÷àéøèå . . . . . . . . .
3.5.2 Ñòàöèîíàðíûå êðèâûå ôóíêöèîíàëà äëèíû . . . . . . .
3.5.3 Ãåîäåçè÷åñêèå, êàê êðàò÷àéøèå . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Ïîëíûå ïîâåðõíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Âûïóêëûå îáëàñòè íà ïîëíîé ïîâåðõíîñòè . . . . . . .
3.6 Ñïåöèàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Ðèìàíîâà íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò . . . . . . . .
3.6.2 Òåîðåìà ñðàâíåíèÿ ìåòðèê . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïîâåðõíîñòè . . . . . .
3.6.4 Ïîëóãåîäåçè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïîâåðõíîñòè
3.7 Òåîðåìà Ãàóññà-Áîííå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Ëîêàëüíûå òåîðåìû ñðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Òåîðåìà ñðàâíåíèÿ óãëîâ À.Ä. Àëåêñàíäðîâà . . . . . . . . . .
3.9.1 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñðàâíåíèÿ óãëîâ òðåóãîëüíèêà
3.10 Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äîáàâëåíèÿ
4.1
4.2
4.3
108
109
114
117
117
119
121
126
129
131
134
140
145
145
146
147
148
150
150
151
153
155
156
156
156
158
162
164
167
167
168
170
171
174
179
183
186
188
191
Òåîðåìà Áîííå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Òåîðåìà îá îâàëîèäå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Ìîäåëü Ïóàíêàðå ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî. . . . . . . . . . . . 197
Îãëàâëåíèå
3
Ëèòåðàòóðà
200
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü
201
Ïðåäèñëîâèå
Ó÷åáíèê ïî Äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñòóäåíòîâ óíèâåðñèòåòîâ ïåðâîãî óðîâíÿ, à òàêæå äëÿ ñòóäåíòîâ,
ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ ïî ãåîìåòðèè.
Ãëàâíûå öåëè ýòîé êíèãè â ñëåäóþùåì.
1. Ó÷åáíûé ìàòåðèàë äàí â äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïîòîêàõ.
Ïåðâûé ïîòîê ñîäåðæèò ñòàíäàðòíûé òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë ñîãëàñíî îáû÷íîé óíèâåðñèòåòñêîé ïðîãðàììå ïî êóðñó "Äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè" . Îí äîïîëíåí íåáîëüøèì êîëè÷åñòâîì ñòàíäàðòíûõ óïðàæíåíèé è çàäà÷ ëîêàëüíîãî õàðàêòåðà.
 íåãî, ïî çàìûñëó àâòîðà, âêëþ÷àåòñÿ âñÿ ïåðâàÿ ãëàâà áåç
çàäà÷ è âñÿ âòîðàÿ ãëàâà, êðîìå ïàðàãðàôà î êëàññàõ ïîâåðõíîñòåé, òåîðåì 2.14.1-2.15.3 è çàäà÷.
Âòîðîé ïîòîê ñîäåðæèò áîëåå òðóäíûé äîïîëíèòåëüíûé ìàòåðèàë è ôîðìóëèðîâêè íåêîòîðûõ ñëîæíûõ, íî âàæíûõ òåîðåì.
Íàïðèìåð, äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû À.Ä. Àëåêñàíäðîâà ñðàâíåíèÿ óãëîâ òðåóãîëüíèêà íà âûïóêëîé ïîâåðõíîñòèè, ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû À.Â. Ïîãîðåëîâà î æåñòêîñòè âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé è òåîðåìû Ñ.Í. Áåðíøòåéíà î ñåäëîâûõ ïîâåðõíîñòÿõ. Â
ïîñëåäíåì ñëó÷àå ôîðìóëèðîâêè îáñóæäàþòñÿ äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî.
2. Ó÷åáíèê ñîäåðæèò áîëüøîå êîëè÷åñòâî (70-80) íåñòàíäàðòíûõ è îðèãèíàëüíûõ çàäà÷. Áîëüøàÿ ÷àñòü èç íèõ íîâûå è íå ñîäåðæàòñÿ â äðóãèõ ó÷åáíûõ èçäàíèÿõ (ó÷åáíèêàõ èëè çàäà÷íèêàõ) ïî "Äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè" . Ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷
òðåáóåò îò ñòóäåíòîâ èçîáðåòàòåëüíîñòè è ãåîìåòðè÷åñêîé èíòóèöèè.  ýòîì îòíîøåíèè ó÷åáíèê áëèçîê ïî äóõó ê èçâåñòíîé
êíèãå Â. Áëÿøêå ("Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ", Berlin,1930),
íî ñîäåðæèò ìíîãî çàäà÷ áîëåå ñîâðåìåííûõ ïî ñâîåé òåìàòèêå.
Êëþ÷åâîé èäååé çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå êðèâèçíû: êðèâèçíû
êðèâîé, ãëàâíûõ êðèâèçí è Ãàóññîâîé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè.
Ïî÷òè âñå çàäà÷è äàíû ñ ðåøåíèÿìè, õîòÿ àâòîð íàäååòñÿ, ÷òî
ïðèëåæíûé ñòóäåíò ðåøèò èõ ñàìîñòîÿòåëüíî, è ëèøü â èñêëþ÷èòåëüíûõ ñëó÷àÿõ çàãëÿíåò â òåêñò ñ ðåøåíèåì. Òàê êàê çàäà÷è äàíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ èõ ñëîæíîñòè, òî äàæå íàèáîëåå
òðóäíûå èç íèõ äîñòóïíû ÷èòàòåëþ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äàíû ëèøü êîðîòêèå óêàçàíèÿ. Ïî ìíåíèþ àâòîðà, èìåííî ïîäáîð
áîëüøîãî ÷èñëà îðèãèíàëüíûõ çàäà÷ äåëàåò ó÷åáíèê èíòåðåñíûì è ïîëåçíûì.
3. Ãëàâà 3 "Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé" íà÷èíàåòñÿ
ñ ãëàâíîãî ïîíÿòèÿ êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîãî ïîëÿ
âäîëü êðèâîé. Îïðåäåëåíèå îñíîâûâàåòñÿ íà âíåøíå ãåîìåòðè-
Îãëàâëåíèå
5
÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ïîâåðõíîñòè. Çàòåì äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ åñòü îáúåêò âíóòðåííåé
ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòè, è äàëüíåéøèé ó÷åáíûé ìàòåðèàë íå ñâÿçàí ñ âíåøíåé ãåîìåòðèåé. Ïîýòîìó Ãëàâà 3 ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ââåäåíèå â n-ìåðíóþ Ðèìàíîâó ãåîìåòðèþ, ñîõðàíÿÿ
ïðè ýòîì ïðîñòîòó è ÿñíîñòü 2-ìåðíîãî ñëó÷àÿ. Îñíîâíûå òåîðåìû î ãåîäåçè÷åñêèõ è êðàò÷àéøèõ äîêàçàíû òàêèì ñïîñîáîì,
÷òî îíè ìîãóò áûòü ðàñøèðåíû íà n-ìåðíóþ ñèòóàöèþ ïî÷òè áåç
èçìåíåíèé.
Ãëàâà 2 êíèãè Äæ. Ìèëíîðà "Òåîðèÿ Ìîðñà" òàêæå îêàçàëà
âëèÿíèå íà àâòîðà, êîãäà îí ðàáîòàë íàä ýòîé ãëàâîé. Ïî÷òè âñå
çàäà÷è ê Ãëàâå 3 èìåþò n-ìåðíóþ ïðèðîäó.
Ïîëüçóÿñü ñëó÷àåì àâòîð êíèãè âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ñâîèì ó÷åíèêàì è êîëëåãàì, áåç êîòîðûõ ýòà êíèãà íå
áûëà áû íàïèñàíà. Íàèáîëåå ñóùåñòâåííóþ ïîìîùü ìíå îêàçàëè Å.Ä. Ðîäèîíîâ, Â.Â. Ñëàâñêèé, Â.Þ. Ðîâåíñêèé, Â.Â. Èâàíîâ,
Â.À. Øàðàôóòäèíîâ, Â.Ê. Èîíèí.
Âèêòîð Àíäðååâè÷ Òîïîíîãîâ,
Èíñòèòóò Ìàòåìàòèêè ÑÎ ÐÀÍ,
ã. Íîâîñèáèðñê-90, 630090, Ðîññèÿ
toponog@math.nsk.ru
6
Îãëàâëåíèå
Ãëàâà 1
Òåîðèÿ êðèâûõ â
òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì
ïðîñòðàíñòâå è íà ïëîñêîñòè
1.1
Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ êðèâîé
Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ââåäåíà äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò (O; x, y, z).
Îïðåäåëåíèå 1.1.1. Ñâÿçíîå ìíîæåñòâî γ â ïðîñòðàíñòâå R3 (â ïëîñêî-
ñòè R2 ) ìû íàçîâåì ðåãóëÿðíîé k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé, åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðôèçì ϕ : G → γ , ãäå G îòðåçîê [a, b] èëè
îêðóæíîñòü ðàäèóñà 1, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì:
(1) ϕ ∈ C k , k ≥ 1,
(2) îòîáðàæåíèå ϕ èìååò ìàêñèìàëüíûé ðàíã.
Ïðè k = 1 êðèâóþ γ áóäåì íàçûâàòü ãëàäêîé êðèâîé. Çàìåòèì, ÷òî ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ γ êëàññà C k , k ≥ 1 äèôôåîìîðôíà ëèáî çàìêíóòîìó
îòðåçêó, ëèáî îêðóæíîñòè. Òàê êàê â ïðîñòðàíñòâå R3 çàäàíà äåêàðòîâà
ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò x, y, z , òî îòîáðàæåíèå ϕ îïðåäåëÿåòñÿ
çàäàíèåì ôóíêöèé x(t), y(t), z(t), ãäå t ∈ [a, b] óñëîâèå (1) îçíà÷àåò ïðèíàäëåæíîñòü ýòèõ ôóíêöèé êëàññó C k , à óñëîâèå (2) îçíà÷àåò, ÷òî ïðîèçâîäíûå x0 (t), y 0 (t), z 0 (t) ïðè ëþáîì t îäíîâðåìåííî â íóëü íå îáðàùàþòñÿ.
Ëþáóþ ðåãóëÿðíóþ êðèâóþ â R3 (R2 ) ìîæíî çàäàòü îäíèì îòîáðàæåíèåì
ϕ : x = x(t), y = y(t), z = z(t) ãäå t ∈ [a, b].  ñëó÷àå, êîãäà ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ äèôôåîìîðôíà îêðóæíîñòè, ôóíêöèè x(t), y(t), z(t) îêàçûâàþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè íà R ñ ïåðèîäîì b − a, à ñàìè êðèâûå
íàçûâàþòñÿ çàìêíóòûìè êðèâûìè. Åñëè òàêîå îòîáðàæåíèå ϕ çàäàíî ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé x(t), y(t), z(t) òî óðàâíåíèÿ x = x(t), y = y(t), z = z(t)
íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèÿìè êðèâîé γ . ×àñòî óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ âåêòîðíîé ôîðìîé ïàðàìåòðè÷åñêîãî çàäàíèÿ êðèâîé: ~r = ~r (t) =
x(t)~i +y(t) ~j +z(t) ~k , ãäå ~i, ~j , ~k åäèíè÷íûå âåêòîðû îñåé OX, OY, OZ . Åñëè
êðèâàÿ γ ïëîñêàÿ, òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî z(t) ≡ 0.
7
8
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Îäíà è òà æå êðèâàÿ γ ìîæåò áûòü çàäàíà ðàçëè÷íûìè óðàâíåíèÿìè:
~r = ~r 1 (t) = x1 (t)~i + y1 (t) ~j + z1 (t) ~k ,
~r = ~r 2 (τ ) = x2 (τ )~i + y2 (τ ) ~j + z2 (τ ) ~k ,
t ∈ [a, b],
τ ∈ [c, d].
Òîãäà ýòè âåêòîð-ôóíêöèè ~r 1 (t) è ~r 2 (τ ) ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñòðîãî ìîíîòîííûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïàðàìåòðîâ t = t(τ ) : [c, d] → [a, b] òàê, ÷òî
(1) ~r 1 (t(τ )) = ~r 2 (τ ),
(2) t0 (τ ) 6= 0 äëÿ âñåõ τ ∈ [c, d].
Ñóùåñòâîâàíèå ôóíêöèè t = t(τ ), åå äèôôåðåíöèðóåìîñòü è ñòðîãàÿ
ìîíîòîííîñòü ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ðåãóëÿðíîé êðèâîé è òåîðåìû îá îáðàòíîé ôóíêöèè.
Îïðåäåëåíèå 1.1.2. Íåïðåðûâíóþ êðèâóþ γ íàçîâåì êóñî÷íî ãëàäêîé êðèâîé (êóñî÷íî ðåãóëÿðíîé), åñëè íà γ ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê pi , (i =
1, . . . , k) òàêèõ, ÷òî êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà γ \ ∪{pi } åñòü
ãëàäêàÿ (ðåãóëÿðíàÿ) êðèâàÿ.
Êðîìå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñïîñîáà çàäàíèÿ êðèâîé γ â R3 (R2 ) ñóùåñòâóþò òàêæå è äðóãèå ñïîñîáû.
ßâíîå çàäàíèå êðèâîé. ×àñòíûì ñëó÷àåì ïàðàìåòðè÷åñêîãî çàäàíèÿ êðèâîé ÿâëÿåòñÿ ÿâíîå çàäàíèå êðèâîé, êîãäà ðîëü ïàðàìåòðà t èãðàåò ëèáî
ïåðåìåííàÿ x, ëèáî y , ëèáî z , òî åñòü ëèáî x = x, y = f1 (x), z = f2 (x),
ëèáî x = f1 (y), y = y, z = f2 (y), ëèáî x = f1 (z), y = f2 (z), z = z . ßâíîå
çàäàíèå êðèâîé îñîáåííî óäîáíî äëÿ ïëîñêîé êðèâîé.  ýòîì ñëó÷àå êðèâàÿ ëèíèÿ ñîâïàäàåò ñ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè f , è òîãäà óðàâíåíèå
êðèâîé çàïèñûâàåòñÿ ëèáî â âèäå y = f (x), ëèáî x = f (y).
Íåÿâíîå çàäàíèå êðèâîé. Ïóñòü çàäàíî äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå
f : R3 → R2 ,
f = {f1 (x, y, z), f2 (x, y, z)}.
Òîãäà èç òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òî åñëè (0, 0) åñòü ðåãóëÿðíîå çíà÷åíèå îòîáðàæåíèÿ f , òî êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà
T = f −1 (0, 0) åñòü ãëàäêàÿ ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ â R3 . Èíûìè ñëîâàìè, ïðè
óêàçàííûõ âûøå óñëîâèÿõ, ìíîæåñòâî òî÷åê â R3 , êîîðäèíàòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé
(
f1 (x, y, z) = 0,
(1.1.1)
f2 (x, y, z) = 0,
îáðàçóþò ãëàäêóþ ðåãóëÿðíóþ êðèâóþ. Òî÷íåå ãîâîðÿ, íåêîòîðîå êîíå÷íîå
÷èñëî ãëàäêèõ ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ.  ïëîñêîì ñëó÷àå íåÿâíîå çàäàíèå êðèâîé îïðåäåëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì f : R2 → R è óñëîâèåì, ÷òî 0 ðåãóëÿðíîå
çíà÷åíèå. Òàêîé ñïîñîá çàäàíèÿ êðèâîé íàçûâàåòñÿ íåÿâíûì çàäàíèåì êðèâîé, à ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.1.1) íåÿâíûìè óðàâíåíèÿìè êðèâîé. Î÷åâèäíî,
÷òî ÿâíîå çàäàíèå êðèâîé åñòü îäíîâðåìåííî è ïàðàìåòðè÷åñêîå çàäàíèå,
ãäå ðîëü ïàðàìåòðà t èãðàåò êîîðäèíàòà x. Íàîáîðîò, åñëè ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè, òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè
ëþáîé åå òî÷êè, êàê ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû îá îáðàòíîé ôóíêöèè, ñóùåñòâóåò ÿâíîå çàäàíèå. Àíàëîãè÷íî, åñëè êðèâàÿ çàäàíà íåÿâíûìè óðàâíåíèÿìè,
òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ëþáîé åå òî÷êè îíà äîïóñêàåò ÿâíîå çàäàíèå.
Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ìîæíî âûâåñòè èç òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè.
9
1.2. Êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ è ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü
Íàïîìíþ, ÷òî çíà÷åíèå 0 îòîáðàæåíèÿ f = (f1 , f2 ) èç R3 â R2 íàçûâàåòñÿ
ðåãóëÿðíûì çíà÷åíèåì, åñëè ðàíã ìàòðèöû
!
∂f
∂f
∂f
1
1
1
∂x
∂f2
∂x
∂y
∂f2
∂y
∂z
∂f2
∂z
,
âû÷èñëåííûé â ëþáîé òî÷êå ìíîæåñòâà, îïðåäåëåííîãî ñèñòåìîé (1.1.1),
ðàâåí 2.
1.2
Êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ è ñîïðèêàñàþùàÿñÿ
ïëîñêîñòü
Ïóñòü ãëàäêàÿ êðèâàÿ γ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè
~r = ~r (t) = x(t)~i + y(t) ~j + z(t) ~k .
Îïðåäåëåíèå 1.2.1. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç òî÷êó p = ~
r (t0 ) ∈ γ â
íàïðàâëåíèè âåêòîðà
~r 0 (t0 ) = x0 (t0 )~i + y 0 (t0 ) ~j + z 0 (t0 ) ~k ,
íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïðÿìîé ê êðèâîé γ â òî÷êå p = ~r (t0 ).
Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ êàñàòåëüíîé ïðÿìîé ìîæíî ëåãêî çàïèñàòü åå óðàâíåíèÿ.  ñëó÷àå ïàðàìåòðè÷åñêîãî çàäàíèÿ êðèâîé ïîëó÷èì
R̄(u) = ~r (t0 ) + u~r 0 (t0 ), èëè â áîëåå ïîäðîáíîé çàïèñè

0

x = x(t0 ) + ux (t0 )
(1.2.2)
y = y(t0 ) + uy 0 (t0 )


z = z(t0 ) + uz 0 (t0 ),
èëè â êàíîíè÷åñêîé ôîðìå
x − x(t0 )
y − y(t0 )
z − z(t0 )
=
=
.
0
0
x (t0 )
y (t0 )
z 0 (t0 )
(1.2.3)
 ñëó÷àå ÿâíîãî çàäàíèÿ êðèâîé y = ϕ1 (x), z = ϕ2 (x) óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíîé ïðÿìîé ïðèíèìàþò âèä:
x − x0 =
y − ϕ1 (x0 )
z − ϕ2 (x0 )
=
.
ϕ01 (x0 )
ϕ02 (x0 )
Íàêîíåö, ïóñòü êðèâàÿ γ çàäàíà íåÿâíûìè óðàâíåíèÿìè
f1 (x, y, z) = 0,
f2 (x, y, z) = 0
è òî÷êà p (x0 , y0 , z0 ) ïðèíàäëåæèò γ . Òîãäà ðàíã ìàòðèöû ßêîáè
!
∂f
∂f
∂f
1
1
1
∂x
∂f2
∂x
∂y
∂f2
∂y
∂z
∂f2
∂z
,
(1.2.4)
10
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
âû÷èñëåííûé â òî÷êå p, ðàâåí 2. Ïðåäïîëîæèì, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî
îïðåäåëèòåëü
∂f1
∂y
∂f2
∂y
∂f1
∂z
∂f2
∂z
6= 0.
Òîãäà ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî ε > 0 è òàêèå
äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè ϕ1 (x), ϕ2 (x), ÷òî ïðè |x−x0 | < ε âûïîëíÿåòñÿ
f1 (x, ϕ1 (x), ϕ2 (x)) ≡ 0,
f2 (x, ϕ1 (x), ϕ2 (x)) ≡ 0.
Ïîýòîìó óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíîé ïðÿìîé ê êðèâîé γ â òî÷êå p (x0 , y0 , z0 )
çàïèñûâàþòñÿ â ôîðìå (1.2.4)
x − x0 =
y − ϕ1 (x0 )
z − ϕ2 (x0 )
=
,
0
ϕ1 (x0 )
ϕ02 (x0 )
ãäå ÷èñëà ϕ01 (x0 ) è ϕ02 (x0 ) íàõîäÿòñÿ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
( ∂f
1
∂x
∂f2
∂x
+
+
∂f1
∂y
∂f2
∂y
· ϕ01 (x0 ) +
· ϕ01 (x0 ) +
∂f1
∂z
∂f2
∂z
· ϕ02 (x0 ) = 0,
· ϕ02 (x0 ) = 0.
(1.2.5)
 ñëó÷àå íåÿâíîãî çàäàíèÿ ïëîñêîé êðèâîé γ : f (x, y) = 0 óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïðÿìîé ìîæíî çàïèñàòü â òàêîé ôîðìå
∂f (x0 , y0 )
∂f (x0 , y0 )
· (x − x0 ) +
· (y − y0 ) = 0.
∂x
∂y
1.2.1
(1.2.6)
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà êàñàòåëüíîé ïðÿìîé
Îáîçíà÷èì ÷åðåç d äëèíó õîðäû êðèâîé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè p = γ(t0 ) è
p1 = γ(t1 ), à ÷åðåç h äëèíó ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè p1 , íà
êàñàòåëüíóþ ïðÿìóþ ê γ â òî÷êå p. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1.2.1.
lim
d→0
h
h
= lim
= 0.
d t1 →t0 d
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí d è h íàõîäèì èõ âûðàæåíèÿ
d = |~r (t1 ) − ~r (t0 )|,
h=
|~r 0 (t0 ) × (~r (t1 ) − ~r (t0 ))|
.
|~r 0 (t0 )|
Òîãäà
h
|~r 0 (t0 ) × (~r (t1 ) − ~r (t0 )|
= lim
=
t1 →t0 |~
d→0 d
r 0 (t0 )| · |~r (t1 ) − ~r (t0 )|
lim
= lim
t1 →t0
~
r (t0 )
|~r 0 (t0 ) × r (t1t1)−~
|
−t0
|~r 0 (t0 )| ·
~
r (t0 )
| r (tt11)−~
−t0 ) |
=
|~r 0 (t0 ) × ~r 0 (t0 )|
= 0.
|~r 0 (t0 )|2
1.2
11
Êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ . . .
Òåîðåìà 1.2.1 âûÿñíÿåò ãåîìåòðè÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó êàñàòåëüíîé ïðÿìîé.
Âî-ïåðâûõ, ýòà òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ l ê êðèâîé
γ â òî÷êå p = γ(t0 ) åñòü ïðåäåë ñåêóùèõ êðèâîé γ , ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó
p è ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó p1 = γ(t1 ) ïðè t1 → t0 .  ñàìîì äåëå, åñëè ÷åðåç
α îáîçíà÷èòü óãîë ìåæäó l è ñåêóùåé pp1 , òî hd = sin α è èç òåîðåìû 1.2.1
ñëåäóåò, ÷òî sin α → 0 ïðè t1 → t0 . Îòêóäà è ñëåäóåò íàøå óòâåðæäåíèå.
Âî-âòîðûõ, òåîðåìà 1.2.1 äàåò îöåíêó îøèáêå, êîòîðóþ ìû ïîëó÷àåì,
çàìåíÿÿ êðèâóþ γ åå êàñàòåëüíîé ïðÿìîé l. Ïóñòü Bp (d) øàð ñ öåíòðîì â
òî÷êå p è ðàäèóñà d. Çàìåíèì äóãó γ ∩Bp (d) êðèâîé γ îòðåçêîì êàñàòåëüíîé
l, ëåæàùèì â Bp (d). Òîãäà òåîðåìà 1.2.1 óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè òàêîé çàìåíå
ìû äåëàåì îøèáêó áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷åì âåëè÷èíà ðàäèóñà
øàðà d. Ýòà æå òåîðåìà äàåò âîçìîæíîñòü äàòü ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå
êàñàòåëüíîé ïðÿìîé.
Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç ~τ (t0 ) åäèíè÷íûé âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé ~r 0 (t0 ),
~
r 0 (t0 )
. Íîðìàëüíîé ïðÿìîé íàçîâåì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿà èìåííî: ~τ (t0 ) = |~r 0 (t
0 )|
ìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó p ïåðïåíäèêóëÿðíî êàñàòåëüíîé ïðÿìîé.
1.2.2
Ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü
Çäåñü óäîáíåé ñðàçó äàòü ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ñîïðèêàñàþùåéñÿ
ïëîñêîñòè. Ïóñòü ÷åðåç òî÷êó p0 = ~r (t0 ) êðèâîé γ ïðîõîäèò ïëîñêîñòü α
~ . Îáîçíà÷èì, ÷åðåç d äëèíó õîðäû êðèâîé γ ìåæñ åäèíè÷íîé íîðìàëüþ β
äó òî÷êàìè p0 = ~r (t0 ) è p1 = ~r (t1 ), à ÷åðåç h äëèíó ïåðïåíäèêóëÿðà,
îïóùåííîãî èç òî÷êè p1 íà ïëîñêîñòü α (ñì. ðèñóíîê 1.1).
Ðèñ. 1.1: Ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü ê êðèâîé.
Îïðåäåëåíèå 1.2.2. Ïëîñêîñòü α íàçîâåì ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòüþ
ê êðèâîé γ â òî÷êå p0 = ~r (t0 ), åñëè
lim
d→0
h
h
= lim 2 = 0.
t1 →t0 d
d2
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 1.2.2.  êàæäîé òî÷êå p0 = ~r (t0 ) ðåãóëÿðíîé êðèâîé γ êëàññà
C k , k ≥ 2, ñóùåñòâóåò ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü α, è âåêòîðû ~r 0 (t0 ),
~.
~r 00 (t0 ) îðòîãîíàëüíû âåêòîðó β
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1.2.2 â
ïðåäïîëîæåíèè ñóùåñòâîâàíèÿ ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè ê êðèâîé γ â
òî÷êå p0 = ~r (t0 ). Èç îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí d è h ñëåäóåò
d = |~r (t1 ) − ~r (t0 )|,
~ )|.
h = |(~r (t1 ) − ~r (t0 ), β
Ïî ôîðìóëå Òåéëîðà
1
~r (t1 ) − ~r (t0 ) = ~r 0 (t0 )(t1 − t0 ) + ~r 00 (t0 )(t1 − t0 )2 + ō(|t1 − t0 |2 ).
2
12
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ïîýòîìó
~ )|
|(~r 0 (t0 )(t1 − t0 ) + 12 ~r 00 (t0 )(t1 − t0 )2 + ō((t1 − t0 )2 ), β
h
=
lim
=
2
2
t1 →t0
d→0 d
|~r (t1 ) − ~r (t0 )|
lim
= lim
~)
(~
r 0 (t0 ), β
t1 −t0
~) +
+ 12 (~r 00 (t0 ), β
t1 →t0
~
r (t1 )−~
r (t0 )
t1 −t0
~)
(ō(|t1 −t0 |2 ), β
(t1 −t0 )2
2
.
Òàê êàê ïðåäåë çíàìåíàòåëÿ ïðè t1 → t0 ðàâåí |~r 0 (t0 )|2 è ïî óñëîâèþ òåîðåìû îòëè÷åí îò íóëÿ, òî èç óñëîâèÿ lim dh2 = 0 ñëåäóåò ñíà÷àëà, ÷òî
t1 →t0
~ ) = 0, à çàòåì (~r 00 (t0 ), β
~ ) = 0.
(~r (t0 ), β
Äîêàæåì òåïåðü ñóùåñòâîâàíèå ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:
(1) ~r 0 (t0 ) × ~r 00 (t0 ) 6= 0,
(2) ~r 0 (t0 ) × ~r 00 (t0 ) = 0.
~ = ~r 00 (t0 )×~r 0000 (t0 ) , à âî âòîðîì ñëó÷àå
 ïåðâîì ñëó÷àå îïðåäåëèì âåêòîð β
|~
r (t0 )×~
r (t0 )|
~ âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé âåêòîðó
â êà÷åñòâå âåêòîðà β
~r 0 (t0 ).  îáîèõ ñëó÷àÿõ èìååì
0
~ ) = (~r 00 (t0 ), β
~ ) = 0.
(~r 0 (t0 ), β
Ïðîâåäåì òåïåðü ÷åðåç òî÷êó p0 = ~r (t0 ) ïëîñêîñòü α, îðòîãîíàëüíóþ âåêòî~ . Òîãäà
ðó β
~ )|,
h = |(ō(|t1 − t0 |2 ), β
d = |~r 0 (t0 )(t1 − t0 ) + ō(|t1 − t0 |)|.
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
lim
t1 →t0
h
= lim
t1 →t0
d2
~)
(ō(|t1 −t0 |2 ), β
(t1 −t0 )2
2
~
r (t1 )−~
r (t0 )
t1 −t0
lim
=
t1 →t0
ō(|t1 −t0 |2 )
|t1 −t0 |2 ,
~
β
|~r 0 (t0 )|2
= 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîñêîñòü α ÿâëÿåòñÿ ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòüþ. Ïðè÷åì, êàê ìû âèäèì, â ïåðâîì ñëó÷àå ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü åäèíñòâåííà, à âî âòîðîì ñëó÷àå ëþáàÿ ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ êàñàòåëüíóþ ïðÿìóþ
ê êðèâîé γ â òî÷êå p0 = ~r (t0 ), åñòü ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü. Äëÿ ïëîñêîé êðèâîé ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòüþ ÿâëÿåòñÿ òà ïëîñêîñòü, â êîòîðîé
ýòà êðèâàÿ ëåæèò.
Âûâåäåì óðàâíåíèå ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè â òîì ñëó÷àå, êîãäà
êðèâàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè, è â çàäàííîé òî÷êå p0 =
~r (t0 ) âåêòîðû ~r 0 (t0 ) è ~r 00 (t0 ) ëèíåéíî íåçàâèñèìû.  ýòîì ñëó÷àå âåêòîð
~ , êàê ýòî ñëåäóåò èç òåîíîðìàëè ê ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè âåêòîð β
0
00
ðåìû 1.2.2, ìîæíî âçÿòü ðàâíûì ~r (t0 ) × ~r (t0 )
~ = [ȳ 0 (t0 )z̄ 00 (t0 ) − ȳ 00 (t0 )z̄ 0 (t0 )]~i+
β
+ [z̄ 0 (t0 )x̄ 00 (t0 ) − z̄ 00 (t0 )x̄ 0 (t0 )] ~j + [x̄ 0 (t0 )ȳ 00 (t0 ) − x̄ 00 (t0 )ȳ 0 (t0 )] ~k ,
è ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè α:
A(x − x(t0 )) + B(y − y(t0 )) + C(z − z(t0 )) = 0,
13
1.3. Äëèíà êðèâîé
Ðèñ. 1.2: Íîðìàëü è áèíîðìàëü êðèâîé.
ãäå A = y 0 z 00 − y 00 z 0 , B = z 0 x00 − z 00 x0 , C = x0 y 00 − x00 y 0 , âû÷èñëåíû ïðè t = t0 .
Ïðîåêòèðóÿ îðòîãîíàëüíî êðèâóþ γ â ñîïðèêàñàþùóþñÿ ïëîñêîñòü α, ìû
ïîëó÷àåì ïëîñêóþ êðèâóþ γ̄ , íàèìåíåå "óêëîíÿþùóþóñÿ"îò γ . Âåëè÷èíà
ýòîãî óêëîíåíèÿ èìååò ïîðÿäîê ìàëîñòè áîëåå âûñîêèé, ÷åì d2 . Áîëåå ïîäðîáíî, ïóñòü Bp (d) øàð ñ öåíòðîì â òî÷êå p è ðàäèóñà d, òîãäà äëèíû
äóã êðèâûõ γ è γ̄ , ëåæàùèõ â Bp (d), îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íà âåëè÷èíó,
ïîðÿäîê ìàëîñòè êîòîðîé áîëåå âûñîê, ÷åì d2 .
 òåõ òî÷êàõ êðèâîé p = ~r (t), â êîòîðûõ ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü
åäèíñòâåííà, ñðåäè âñåõ íîðìàëüíûõ íàïðàâëåíèé, ìîæíî âûäåëèòü åäèíñòâåííûé íîðìàëüíûé âåêòîð ~ν óñëîâèÿìè:
(1) âåêòîð ~ν îðòîãîíàëåí âåêòîðó ~r 0 (t0 ),
(2) âåêòîð ~ν ïàðàëëåëåí ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè,
(3) âåêòîð ~ν îáðàçóåò ñ âåêòîðîì ~r 00 (t0 ) îñòðûé óãîë,
(4) âåêòîð ~ν èìååò åäèíè÷íóþ äëèíó; k~ν k = 1.
Âåêòîð ~ν íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì ãëàâíîé íîðìàëè ê êðèâîé γ â òî÷êå p.
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî âåêòîð ~ν ìîæíî îïðåäåëèòü ôîðìóëîé
~ν = −
(~r 0 ,~r 00 )
|~r 0 |
0
~
~r 00 .
r
+
|~r 0 | · |~r 0 × ~r 00 |
|~r 0 × ~r 00 |
(1.2.7)
Âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè ~ν îïðåäåëåí èíâàðèàíòíî â òîì ñìûñëå, ÷òî åãî
íàïðàâëåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè êðèâîé γ .
Ïóñòü ~r = R̄(τ ) äðóãàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé γ . Òîãäà, êàê ìû óæå
çíàåì, ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ t = t(τ ) òàêàÿ, ÷òî ~r (t(τ )) = R̄(τ ) è
R̄τ0 = ~r 0t t0 ,
R̄τ00 τ = ~r 00t t (t̄ 0 )2 + ~r 0 (t)t00 .
Èç ýòèõ ôîðìóë ñëåäóåò, ÷òî (~ν , R̄τ0 ) = 0 è (~ν , R̄τ00 τ ) = (~ν ,~r 00t t )(t0 )2 è, ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð ~ν óäîâëåòâîðÿåò âñåì ÷åòûðåì óñëîâèÿì è îòíîñèòåëüíî
~r 0
~
ïàðàìåòðèçàöèè R̄(τ ). Ïî âåêòîðàì ~τ = 0 è ~ν ìû îïðåäåëèì âåêòîð β
|~r |
~ = ~τ × ~ν . Âåêòîð β
~ íàçîâåì âåêòîðîì áèíîðìàëè. Íàïðàâëåíèå
ôîðìóëîé β
~ çàâèñèò îò îðèåíòàöèè êðèâîé è ìåíÿåòñÿ íà îáðàòíîå ïðè
âåêòîðîâ ~τ è β
åå èçìåíåíèè. Âåêòîð æå ~ν , êàê ìû âèäåëè, îò îðèåíòàöèè íå çàâèñèò.
~ óäîáíåå íàõîäèòü â òàêîé ïîñëåäîâàòåëüÍà ïðàêòèêå âåêòîðû ~τ , ~ν è β
0
00
~r 0
~ = ~r × ~r , è óæå
íîñòè: ñíà÷àëà íàõîäèì âåêòîð ~τ = 0 , çàòåì âåêòîð β
|~r |
|~r 0 × ~r 00 |
~
çàòåì âåêòîð ~ν = β × ~τ (ñì. ðèñóíîê 1.2).
1.3
Äëèíà êðèâîé
Ïóñòü γ çàìêíóòàÿ äóãà íåêîòîðîé êðèâîé, ~r = ~r (t) åå ïàðàìåòðèçàöèÿ;
a ≤ t ≤ b. Íàçîâåì ïîëèãîíîì â R3 (R2 ) êðèâóþ, ñîñòàâëåííóþ èç îòðåçêîâ
ïðÿìûõ ëèíèé, ñîåäèíÿþùèõ ñîñåäíèå òî÷êè óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà
òî÷åê P1 , P2 , . . . , Pk . Ïîëèãîí σ íàçîâåì ïîëèãîíîì, ïðàâèëüíî âïèñàííûì
â êðèâóþ γ , åñëè ñóùåñòâóåò ðàçáèåíèå T îòðåçêà [a, b] òî÷êàìè t1 < t2 <
14
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ðèñ. 1.3: Ïîëèãîí ïðàâèëüíî âïèñàííûé â êðèâóþ.
−−→
. . . < tk òàêîå, ÷òî OPi = ~r (ti ). Êàæäîìó ïîëèãîíó ñîïîñòàâèì åãî äëèíó
Pk−1
l(σ), ïîëàãàÿ åå ðàâíîé i=1 Pi Pi+1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Γ(γ) ìíîæåñòâî
âñåõ ïîëèãîíîâ ïðàâèëüíî âïèñàííûõ â êðèâóþ γ (ñì. ðèñóíîê 1.3).
Îïðåäåëåíèå 1.3.1. Íåïðåðûâíóþ êðèâóþ γ íàçîâåì ñïðÿìëÿåìîé êðèâîé, åñëè supσ∈Γ(γ) l(σ) < ∞
Îïðåäåëåíèå 1.3.2. Äëèíîé ñïðÿìëÿåìîé êðèâîé γ íàçîâåì òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü äëèí âñåõ ïîëèãîíîâ, ïðàâèëüíî âïèñàííûõ â γ :
l(γ) = sup l(σ).
σ∈Γ(γ)
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñïðÿìëÿåìîñòè êðèâîé è
ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ åå äëèíû.
Òåîðåìà 1.3.1. Çàìêíóòàÿ äóãà ëþáîé ãëàäêîé êðèâîé ñïðÿìëÿåìà è
Z
l(γ) =
b
|~r 0 (t)| dt.
a
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ~r = ~r (t), t ∈ [a, b] ãëàäêàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ çàìêíóòîé äóãè γ äàííîé êðèâîé. Âîçüìåì ëþáîé ïîëèãîí σ : P1 , P2 , . . . , Pk
èç êëàññà Γ(γ). Äëèíà i−ãî çâåíà ïîëèãîíà σ
Pi Pi+1 = |~r (ti+1 ) − ~r (ti )| =
p
= (x(ti+1 ) − x(ti ))2 + (y(ti+1 ) − y(ti ))2 + (z(ti+1 ) − z(ti ))2 .
Ê êàæäîé èç ôóíêöèé x(t), y(t) è z(t) ïðèìåíèì ôîðìóëó Ëàãðàíæà. Ïîëó÷èì
p
Pi Pi+1 = (x0 (ξi ))2 + (y 0 (ηi ))2 + (z 0 (ςi ))2 4ti ,
(1.3.8)
ãäå ti ≤ ξi ≤ ti+1 , ti ≤ ηi ≤ ti+1 , ti ≤ ςi ≤ ti+1 , 4ti = ti+1 − ti .
Òàê êàê ôóíêöèè x0 (t), y 0 (t) è z 0 (t) íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [a, b], òî
ïî ïåðâîé òåîðåìå Âåéðøòðàññà îíè îãðàíè÷åíû íà ýòîì îòðåçêå, òî åñòü
ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M , ÷òî |x0 (t)| < M , |y 0 (t)| < M , |z 0 (t)| < M , ïðè
âñåõ t ∈ [a, b]. Ïîëüçóÿñü ïîñëåäíèì íåðàâåíñòâîì, ìû ïîëó÷àåì
l(σ) =
k−1
X
Pi Pi+1 ≤
i=1
√
3M
k−1
X
4ti =
√
3M (b − a).
i=1
Ïîñêîëüêó σ ïðîèçâîëüíûé ïîëèãîí èç êëàññà Γ(γ), òî
√
sup l(σ) ≤ 3M (b − a) < ∞.
Γ(γ)
σ∈Γ
Èòàê, ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1.3.1 äîêàçàíî. Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó âòîðîé ÷àñòè òåîðåìû 1.3.1
Êàæäîìó ïîëèãîíó σ : P1 , P2 , . . . , Pk , ïðàâèëüíî âïèñàííîìó â êðèâóþ
γ , ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå ðàçáèåíèå
T (σ) : t1 < t2 < . . . < tk
1.3
15
Äëèíà êðèâîé
îòðåçêà [a, b] è, íàîáîðîò, êàæäîìó ðàçáèåíèþ T : t1 < t2 < . . . < tk îòðåçêà
[a, b] ñîîòâåòñòâóåò ïîëèãîí σ(T ) : P1 , P2 , . . . , Pk , ãäå Pi åñòü êîíåö âåêòîðà
~r (ti ). Äëÿ êàæäîãî ïîëèãîíà σ(T ) îïðåäåëèì ÷èñëî δ(T ) = max 4ti .
i=1...k−1
Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 íàéäåòñÿ ðàçáèåíèå T : t1 < t2 < . . . <
tk îòðåçêà [a, b], äëÿ êîòîðîãî îäíîâðåìåííî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà:
|l(γ) − l(σ(T ))| ≤
l(σ(T )) −
k−1
X
ε
,
3
|~r 0 (ti )|4ti ≤
i=1
k−1
X
|~r 0 (ti )|4ti −
Z
ε
.
3
b
|~r 0 (t)|dt ≤
a
i=1
(1.3.9)
(1.3.10)
ε
,
3
(1.3.11)
Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ äëèíû êðèâîé γ è åå ñïðÿìëÿåìîñòè ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ðàçáèåíèÿ T1 îòðåçêà [a, b], ÷òî íåðàâåíñòâî (1.3.9)
âûïîëíÿåòñÿ. Ñóììà
k−1
X
|~r 0 (ti )|4ti
i=1
åñòü èíòåãðàëüíàÿ ñóììà Ðèìàíà äëÿ èíòåãðàëà
Z b
|~r 0 (t)| dt.
a
Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî δ0 , ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T îòðåçêà
[a, b], äëÿ êîòîðîãî δ(T ) < δ0 , íåðàâåíñòâî (1.3.11) âûïîëíÿåòñÿ. Âîçüìåì
òåïåðü ðàçáèåíèå T2 îòðåçêà [a, b] òàêîå, ÷òî îíî ñîäåðæèò ðàçáèåíèå T1 , è
äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (1.3.11). Äëÿ ðàçáèåíèÿ T2 , â ñèëó
íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà, îäíîâðåìåííî, âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà (1.3.9)
è (1.3.11). Ôóíêöèè x0 (t), y 0 (t) è z 0 (t) íåïðåðûâíû è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíû íà [a, b]. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε1 > 0 ñóùåñòâóåò
÷èñëî δ1 > 0 òàêîå, ÷òî ïðè |t00 − t0 | < δ1 âûïîëíåíî
|x0 (t00 ) − x0 (t0 )| < ε1 ,
|y 0 (t00 ) − y 0 (t0 )| < ε1 ,
|z 0 (t00 ) − z 0 (t0 )| < ε1 .
Âîçüìåì òåïåðü ðàçáèåíèå T3 îòðåçêà [a, b], ñîäåðæàùåå ðàçáèåíèå T2 è óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó δ(T3 ) ≤ min{δ0 , δ1 }. Äëÿ i−ãî çâåíà Pi Pi+1 ýòîãî
ðàçáèåíèÿ, èìååì
|Pi Pi+1 − |~r 0 (ti )|4ti | =
p
p
=
(x0 (ξi ))2 + (y 0 (ηi ))2 + (z 0 (ζi ))2 − (x0 (ti ))2 + (y 0 (ti ))2 + (z 0 (ti ))2 4ti ≤
p
√
≤ (x0 (ξi ) − x0 (ti ))2 + (y 0 (ηi ) − y 0 (ti ))2 + (z 0 (ζi ) − z 0 (ti ))2 4ti ≤ 3ε1 4ti ,
ïðåäïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà.
Ñêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà ïîëó÷èì
n(T3 )−1
l(σ(T3 )) −
X
i=1
|~r 0 (ti )|4ti ≤
√
3ε1 (b − a),
16
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
ãäå n(T3 ) ÷èñëî
√ çâåíüåâ ðàçáèåíèÿ T3 . Âûáåðåì ε1 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü
íåðàâåíñòâî 3ε1 (b − a) < 3ε . Òàêèì îáðàçîì, åñëè â êà÷åñòâå ðàçáèåíèÿ T
îòðåçêà [a, b] ìû âîçüìåì ðàçáèåíèå T3 , òî íåðàâåíñòâà (1.3.9), (1.3.10) è
(1.3.11) áóäóò âûïîëíÿòüñÿ îäíîâðåìåííî. Ïîýòîìó ñêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà ïîëó÷èì
Z b
ε ε ε
l(γ) −
|~r 0 (t)| dt ≤ + + = ε.
3 3 3
a
Òàê êàê ε > 0 áûëî âûáðàíî ïðîèçâîëüíî, òî âòîðàÿ ÷àñòü òåîðåìû 1.3.1
äîêàçàíà.
Åñëè êðèâàÿ γ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé, òî åå äëèíó ìîæíî
âû÷èñëèòü, êàê ñóììó äëèí åå ãëàäêèõ ÷àñòåé. Âïðî÷åì, ëþáàÿ êóñî÷íîãëàäêàÿ êðèâàÿ èìååò ãëàäêóþ (íåðåãóëÿðíóþ!) ïàðàìåòðèçàöèþ (äîêàçàòü).
Ïðîèçâîëüíóþ êðèâóþ ìû íàçîâåì ñïðÿìëÿåìîé, åñëè ëþáàÿ åå çàìêíóòàÿ
êîíå÷íàÿ äóãà ñïðÿìëÿåìà. Äëÿ ñïðÿìëÿåìûõ êðèâûõ ìîæíî ââåñòè òàê
íàçûâàåìóþ åñòåñòâåííóþ ïàðàìåòðèçàöèþ, îñíîâàííóþ íà ñóùåñòâîâàíèè äëèíû ëþáîé åå çàìêíóòîé äóãè. Ïóñòü γ îðèåíòèðîâàííàÿ ñïðÿìëÿåìàÿ êðèâàÿ. Âîçüìåì íà íåé ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó p0 ∈ γ , ñîïîñòàâèì òî÷êå
p0 çíà÷åíèå ïàðàìåòðà s, ðàâíîå íóëþ. Ëþáîé äðóãîé òî÷êå p ∈ γ ñîïîñòàâèì çíà÷åíèå ïàðàìåòðà s, ðàâíîå äëèíå äóãè p0 p êðèâîé γ , âçÿòîå ñî çíàêîì
(+) åñëè p ñëåäóåò çà p0 è ñî çíàêîì (−), åñëè p ïðåäøåñòâóåò p0 . Åñëè êðèâàÿ γ èìååò ãëàäêóþ, ðåãóëÿðíóþ ïàðàìåòðèçàöèþ ~r = ~r (t), òî åñòåñòâåííàÿ
ïàðàìåòðèçàöèÿ ÿâëÿåòñÿ òàêæå ãëàäêîé è ðåãóëÿðíîéRïàðàìåòðèçàöèåé. Â
t
ñàìîì äåëå, ñ ó÷åòîì çíàêà äëèíà äóãè p0 p = s(t) = 0 |~r 0 (t)|dt. Ôóíêöèÿ
ds
0
s(t) äèôôåðåíöèðóåìà è dt = |~r (t)| > 0. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ
ôóíêöèÿ t = t(s) è
1
dt
= 0
.
(1.3.12)
ds
|~r (t(s))|
Åñòåñòâåííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé γ : ~r = ~r (s) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
~r (s) = ~r (t(s)).
(1.3.13)
Èç ôîðìóëû (1.3.13) ñëåäóåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü âåêòîð-ôóíêöèè ~r (s) è
|~r 0 (s)| = ~r 0 (t)
dt
|~r 0 (t)|
= 0
= 1.
ds
|~r (t)|
(1.3.14)
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïîêàçûâàåò, ÷òî äàííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé ïàðàìåòðèçàöèåé.  åñòåñòâåííîé ïàðàìåòðèçàöèè ~r = ~r (s) ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ~τ , âåêòîðà ãëàâíîé íîðìàëè ~ν
~ ïðèíèìàþò íàèáîëåå ïðîñòîé âèä:
è âåêòîðà áèíîðìàëè β
~τ (s) = ~r 0 (s),
~ν (s) =
~r 00 (s)
,
|~r 00 (s)|
0
00
~ (s) = ~r (s) × ~r (s) .
β
|~r 00 (s)|
(1.3.15)
 ñàìîì äåëå, ïåðâàÿ ôîðìóëà ñëåäóåò èç (1.3.14), âòîðàÿ èç ðàâåíñòâà
(~r 0 (s),~r 0 (s))0 = 2(~r 0 ,~r 00 ) = 0.
Îòêóäà óæå ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð ~r 00 (s) îðòîãîíàëåí âåêòîðó ~r 0 (s), è, íàêîíåö,
~ (s).
ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà èç îïðåäåëåíèÿ âåêòîðà β
17
1.4. Çàäà÷è
1.3.1
Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû
1. γ : ~r = ~r (t) = x(y)~i + y(t) ~j + z(t) ~k ,
Z
b
a≤t≤b
b
Z
0
|~r (t)| dt =
l(γ) =
a
p 0
x 2 + y 0 2 + z 0 2 dt.
a
2. γ : y = f1 (x), z = f2 (x),
a≤x≤b
Z
b
l(γ) =
q
1 + f10 2 + f20 2 dx.
a
3. γ(t) : ~r = ~r (t) = x(t)~i + y(t) ~j ïëîñêàÿ êðèâàÿ
b
Z
l(γ) =
p 0
x 2 + y 0 2 dt.
a
4. γ : y = f (x),
a≤x≤b
Z
l(γ) =
b
p
1 + f 0 2 dx.
a
1.4
Çàäà÷è
Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ èç òåîðèè âûïóêëûõ êðèâûõ íà ïëîñêîñòè.
Íàïîìíèì, ÷òî çàìêíóòàÿ îáëàñòü D íà ïëîñêîñòè R2 íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé
îáëàñòüþ, åñëè âìåñòå ñ ëþáîé ïàðîé òî÷åê A è B îíà ñîäåðæèò îòðåçîê
AB , ñîåäèíÿþùèé ýòè òî÷êè: A ∈ D, B ∈ D ⇒ AB ⊂ D. Ñâÿçíóþ êîìïîíåíòó ãðàíèöû âûïóêëîé îáëàñòè íàçûâàþò âûïóêëîé êðèâîé. Äðóãîå,
ýêâèâàëåíòíîå äàííîìó îïðåäåëåíèå âûïóêëîé êðèâîé ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: êðèâàÿ γ íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé êðèâîé åñëè ÷åðåç êàæäóþ åå
òî÷êó ìîæíî ïðîâåñòè îïîðíóþ ïðÿìóþ. Ïðÿìàÿ a íàçûâàåòñÿ îïîðíîé ïðÿìîé ê êðèâîé γ â òî÷êå p ∈ γ , åñëè a ïðîõîäèò ÷åðåç p è âñÿ êðèâàÿ ëåæèò
ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìîé a. Âûïóêëàÿ êðèâàÿ íå â êàæäîé ñâîåé òî÷êå
èìååò êàñàòåëüíóþ, íî â òåõ òî÷êàõ, ãäå êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ ñóùåñòâóåò,
îíà ÿâëÿåòñÿ îïîðíîé ïðÿìîé.
Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì è ðåøèì ðÿä çàäà÷ äëÿ âûïóêëûõ êðèâûõ.
Çàäà÷à 1.4.1. Ëþáàÿ çàìêíóòàÿ âûïóêëàÿ êðèâàÿ èìååò äëèíó (ñïðÿì-
ëÿåìà).
Ðåøåíèå. Ïóñòü σ : P1 , P2 , . . . , Pk = P1 ïðîèçâîëüíûé çàìêíóòûé ïîëèãîí, ïðàâèëüíî âïèñàííûé â êðèâóþ γ . Åñëè â òî÷êå Pi ïðîâåñòè îïîðíóþ ïðÿìóþ ê êðèâîé γ , òî òî÷êè Pi−1 è Pi+1 ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó
îò ýòîé ïðÿìîé è ïîýòîìó âíóòðåííèé óãîë ïîëèãîíà σ â âåðøèíå Pi íå
ïðåâîñõîäèò π . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëèãîí σ âûïóêëûé ïîëèãîí. Òàê êàê
γ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ, òî ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê M, ñîäåðæàùèé åå, à
ñëåäîâàòåëüíî, ñîäåðæàùèé σ , îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî: l(σ) ≤ l(∆).
Òàê êàê σ ïðîèçâîëüíûé ïðàâèëüíî âïèñàííûé â γ ïîëèãîí, òî èìååì
l(γ) = supσ∈ΓΓ(γ) l(σ) ≤ l(∆).
18
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ðèñ. 1.4: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.4.3.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëèíó çàìêíóòîé âûïóêëîé êðèâîé ìîæíî âû÷èñëèòü,
çíàÿ äëèíó åå îðòîãîíàëüíûõ ïðîåêöèé íà âñå ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç
îäíó òî÷êó. Îáîçíà÷èì ÷åðåç a(ϕ) ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïîä óãëîì ϕ ê îñè OX , à ÷åðåç dγ (ϕ) äëèíó îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè
êðèâîé γ íà ïðÿìóþ a(ϕ).
Rπ
Çàäà÷à 1.4.2. Âûâåñòè ôîðìóëó l(γ) = 12 0 dγ (ϕ) dϕ.
Ðåøåíèå. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê µ ïðÿìîé äëèíû d. Íå óìåíü-
øàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îí ëåæèò íà îñè OY . Òîãäà dµ (ϕ) =
d · sin ϕ è
Z π
Z π
dµ (ϕ) dϕ =
d sin ϕ dϕ = d(− cos ϕ)|π0 = 2d.
0
0
Ïóñòü òåïåðü σ : P1 , P2 , .P
. . , Pk = P1 ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé çàìêíóòûé
k−1
ïîëèãîí. Òîãäà dσ (ϕ) = i=1 dPi Pi+1 (ϕ) è
Z
π
dσ (ϕ)dϕ =
0
k−1
XZ π
i=1
0
dPi Pi+1 (ϕ)dϕ = 2
k−1
X
Pi Pi+1 = 2l(σ).
i=1
Òåì ñàìûì, ìû äîêàçàëè ôîðìóëó äëÿ ïîëèãîíîâ. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé âûïóêëîé êðèâîé ôîðìóëà çàäà÷è 1.4.2 ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåé ôîðìóëû è
îïðåäåëåíèÿ äëèíû êðèâîé.
Çàäà÷à 1.4.3. Ïóñòü γ1 (s) è γ2 (s) ãëàäêèå êðèâûå â R3 ,~
r 1 = ~r 1 (s) è ~r 2 =
~r 2 (s) óðàâíåíèÿ γ1 è γ2 ñîîòâåòñòâåííî, s äëèíà äóãè. Îáîçíà÷èì
÷åðåç l(s) äëèíó îòðåçêà γ1 (s)γ2 (s). Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
dl
= cos α1 (s) + cos α2 (s),
ds
d~r 1 −−→
−−→
ãäå α1 (s) è α2 (s) óãëû ìåæäó âåêòîðàìè γ2 γ1 è ~τ 1 =
, γ1 γ2 è ~τ 2 =
ds
d~r 2
, ñîîòâåòñòâåííî.
ds
Ðåøåíèå. Åñëè óðàâíåíèÿ êðèâûõ γ1 , è γ2 çàïèñàòü â ïàðàìåòðè÷åñêîé
ôîðìå x1 = x1 (s), y1 = y1 (s), z1 = z1 (s) è x2 = x2 (s), y2 = y2 (s), z2 = z2 (s),
ñîîòâåòñòâåííî, òî
p
l(s) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
è
(x2 − x1 )(x02 − x01 ) + (y2 − y1 )(y20 − y10 ) + (z2 − z1 )(z20 − z10 )
dl
p
=
=
ds
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
(x1 − x2 )x01 + (y1 − y2 )y10 + (z1 − z2 )z10
+
l(s)
(x2 − x1 )x02 + (y2 − y1 )y20 + (z2 − z1 )z20
=
+
l(s)
!
!
−−→
−−→
γ2 γ1
γ1 γ2
= −−→ , ~τ 1 + −−→ , ~τ 2 = cos α1 (s) + cos α2 (s).
|γ2 γ1 |
|γ1 γ2 |
=
1.4
19
Çàäà÷è
Ðèñ. 1.5: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.4.4.
dl
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà êðèâàÿ γ2 âûðîæäàåòñÿ â òî÷êó, òî
= cos α1 (s).
ds
Åñëè æå êðèâûå γ1 è γ2 ïàðàìåòðèçîâàíû ïðîèçâîëüíûì ïàðàìåòðîì t, è
dl
ds1
ds2
l(t) = γ1 (t)γ2 (t), òî
= cos α1 (t)
+ cos α2 (t)
.
dt
dt
dt
Çàäà÷à 1.4.4. Ïóñòü γ äóãà ãëàäêîé âûïóêëîé êðèâîé ñ êîíöàìè â òî÷-
êàõ A1 è A2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç l(h) äëèíó õîðäû A1 (h)A2 (h) êðèâîé γ , ïàðàëëåëüíîé ïðÿìîé A1 A2 è îòñòîÿùåé îò íåå íà ðàññòîÿíèå h. ×åðåç α1 (h)
è α2 (h) îáîçíà÷èì óãëû, êîòîðûå õîðäà A1 (h)A2 (h) îáðàçóåò ñ êðèâîé γ .
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
dl
= ctg α1 (h) + ctg α2 (h).
dh
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç B òî÷êó íà γ , â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ïàðàë-
ëåëüíà ïðÿìîé A1 A2 . Òî÷êà B ðàçáèâàåò γ íà äâå äóãè: γ1 îò A1 äî B è
γ2 îò A2 äî B . Ïóñòü ~r 1 = ~r 1 (s) è ~r 2 = ~r 2 (s) åñòåñòâåííûå ïàðàìåòðèçàöèè ýòèõ äóã. Íà êðèâûõ γ1 è γ2 îïðåäåëèì äâå ôóíêöèè h1 (s) è h2 (s),
ðàâíûå ðàññòîÿíèþ îò òî÷åê r1 (s) è r2 (s) äî ïðÿìîé A1 A2 , ñîîòâåòñòâåííî.
dh2
dh1
Òîãäà èç ôîðìóëû çàäà÷è 1.4.3 ñëåäóåò
= cos β1 (s) è
= cos β2 (s),
ds
ds
π
π
dh1
dh2
ãäå β1 = α1 −
è β2 = α2 − , èëè
= sin α1 (s),
= sin α2 (s). Èç
2
2
ds
ds
ôîðìóëû òîé æå çàäà÷è 1.4.3 ñëåäóåò
dl
ds
cos α1
cos α2
ds
= cos α1
+ cos α2
=
+
= ctg α1 + ctg α2 .
dh
dh1
dh2
sin α1
sin α2
Çàêîí÷èì ýòîò ïàðàãðàô ðàññêàçîì îá èçîïåðèìåòðè÷åñêîé çàäà÷å:
Çàäà÷à 1.4.5. Ñðåäè âñåõ çàìêíóòûõ êðèâûõ äàííîé äëèíû íàéòè òó,
êîòîðàÿ îãðàíè÷èâàåò îáëàñòü íàèáîëüøåé ïëîùàäè.
Ýòî óòâåðæäåíèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàêæå â ñëåäóþùåì âèäå. Ïóñòü
l äëèíà íåêîòîðîé çàìêíóòîé êðèâîé, à S ïëîùàäü îáëàñòè D(γ), îãðàíè÷åííîé γ . Òîãäà äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé êðèâîé ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:
1 2
l è çíàê ðàâåíñòâà äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà γ S ≤
4π
åñòü îêðóæíîñòü. Ýòî íåðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêèì íåðàâåíñòâîì.
Ðåøåíèå. Ðåøèì ýòó çàäà÷ó â ïðåäïîëîæåíèè ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìàëü-
íîé êðèâîé. Ïóñòü γ ýêñòðåìàëüíàÿ êðèâàÿ, ò.å. êðèâàÿ äëèíû l, îãðàíè÷èâàþùàÿ îáëàñòü íàèáîëüøåé ïëîùàäè. Òîãäà îíà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè
ñâîéñòâàìè:
1) γ âûïóêëàÿ êðèâàÿ,
2) åñëè òî÷êè A1 è A2 äåëÿò γ íà äâå äóãè ðàâíîé äëèíû, òî õîðäà A1 A2
äåëèò îáëàñòü D(γ) íà äâå ðàâíîâåëèêèå îáëàñòè D1 è D2 .
20
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ðèñ. 1.6: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.4.5.
Äîêàæåì ïåðâîå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü γ íå âûïóêëà. Òîãäà íà γ ñóùåñòâóþò äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè B1 è B2 òàêèå, ÷òî âñÿ êðèâàÿ γ ëåæèò ïî îäíó
ñòîðîíó îò ïðÿìîé B1 B2 , à âíóòðåííèå òî÷êè îòðåçêà B1 B2 íå ïðèíàäëåæàò γ . Òî÷êè B1 è B2 ðàçáèâàþò γ íà äâå äóãè γ1 è γ2 . Âìåñòå ñ îòðåçêîì
B1 B2 îíè îáðàçóþò äâå çàìêíóòûå êðèâûå σ1 è σ2 , îäíà èç êîòîðûõ, ïóñòü
ýòî áóäåò σ1 , ëåæèò âíóòðè äðóãîé. Âîçüìåì êðèâóþ γ 1 , ñèììåòðè÷íóþ
êðèâîé γ1 îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé B1 B2 . Òîãäà êðèâàÿ γ = γ 1 ∪ γ2 åñòü çàìêíóòàÿ êðèâàÿ òîé æå äëèíû l, îãðàíè÷èâàþùàÿ îáëàñòü D(γ) ⊃ D(γ) è
S(D(γ)) > S(D(γ)), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñâîéñòâó ýêñòðåìàëüíîñòè êðèâîé γ .
Äîêàæåì âòîðîå óòâåðæäåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòðåçîê A1 A2 ðàçáèâàåò
îáëàñòü D(γ) íà äâå îáëàñòè D1 è D2 íåðàâíîé ïëîùàäè. Ïóñòü S(D2 ) >
S(D1 ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç D2 îáëàñòü, ñèììåòðè÷íóþ D2 îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé A1 A2 . Îáëàñòü D = D2 + D2 èìååò ïëîùàäü ñòðîãî áîëüøóþ, ÷åì ïëîùàäü D(γ), à äëèíà åå ãðàíèöû ðàâíà l, ÷òî ñíîâà ïðîòèâîðå÷èò ñâîéñòâó
ýêñòðåìàëüíîñòè γ .
Ðåøåíèå çàäà÷è çàêîí÷èì èçÿùíûì è êðàñèâûì ðàññóæäåíèåì, ïðèíàäëåæàùèì Øòåéíèöó. Ïóñòü A1 è A2 òî÷êè, êîòîðûå äåëÿò γ íà äâå äóãè
ðàâíîé äëèíû. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó B ∈ γ , B 6= A1 , B 6= A2 . Òîãäà óãîë A1 BA2 = 900 .  ñàìîì äåëå, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà
B0 ∈ γ è ∠A1 B0 A2 6= 900 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç δ1 äóãó A1 B0 êðèâîé γ , è ÷åðåç
δ2 äóãó B0 A2 . Äóãà δ1 âìåñòå ñ õîðäîé A1 B0 îãðàíè÷èâàåò îáëàñòü K1 ,
à äóãà δ2 âìåñòå ñ õîðäîé B0 A2 îáëàñòü K2 . Ïîñòðîèì òåïåðü 4A1 B 0 A2 ,
ó êîòîðîãî A1 B 0 = A1 B0 , A2 B 0 = A2 B0 , à óãîë A1 B 0 A2 ðàâåí 900 . Òîãäà
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî S(4A1 B 0 A2 ) > S(4A1 B0 A2 ). Ïîñòðîèì òåïåðü
îáëàñòü D1 , ïðèêëàäûâàÿ ê êàòåòàì òðåóãîëüíèêà A1 B 0 A2 îáëàñòè K1 è K2 ,
ñîîòâåòñòâåííî, è ñèììåòðè÷íóþ åé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé A1 A2 îáëàñòü D2 .
Îáëàñòü D = D1 ∪ D2 èìååò ãðàíèöó òîé æå äëèíû l, à åå ïëîùàäü ñòðîãî
áîëüøå ïëîùàäè D(γ), ÷òî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîé òî÷êè
B ∈ γ è B 6= A1 , B 6= A2 óãîë A1 BA2 = 900 , íî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êðèl
, à ïëîùàäü
âàÿ γ åñòü îêðóæíîñòü. Ðàäèóñ R ýòîé îêðóæíîñòè ðàâåí
2π
2
2
l
l
S(D(γ)) =
, òî åñòü S =
.
4π
4π
1.5
Êðèâèçíà êðèâîé
Ïóñòü γ íåêîòîðàÿ ãëàäêàÿ êðèâàÿ â R3 . Âîçüìåì íà íåé ôèêñèðîâàííóþ
òî÷êó P0 è ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó P1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç 4s äëèíó äóãè P0 P1
êðèâîé γ , à ÷åðåç 4θ óãîë ìåæäó êàñàòåëüíûìè âåêòîðàìè ~τ 0 è ~τ 1 , ê
êðèâîé γ â òî÷êàõ P0 è P1 .
Îïðåäåëåíèå 1.5.1. Ïðåäåë
lim
P0 →P1
4θ
4θ
= lim
,
4s 4s→0 4s
åñëè îí ñóùåñòâóåò, íàçûâàåòñÿ êðèâèçíîé êðèâîé γ â òî÷êå P0 .
Êðèâèçíó êðèâîé γ â òî÷êå γ(t) áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç k(t).
21
1.5. Êðèâèçíà êðèâîé
Ðèñ. 1.7: Èëëþñòðàöèÿ ê òåîðåìå 1.5.1.
Ïðèìåð 1.5.1. Ïóñòü γ ïðÿìàÿ ëèíèÿ, òîãäà 4θ ≡ 0 è k ≡ 0 âî âñåõ
òî÷êàõ ïðÿìîé ëèíèè.
Ïðèìåð 1.5.2. Ïóñòü γ îêðóæíîñòü ðàäèóñà R, òîãäà 4s = R4θ è
lim 4θ
4s→0 4s
=
1
R,
òî÷êå è ðàâíà
òî åñòü êðèâèçíà îêðóæíîñòè îäíà è òà æå â ëþáîé åå
1
R.
Ïîçäíåå ìû äîêàæåì, ÷òî äðóãèõ êðèâûõ ïîñòîÿííîé êðèâèçíû êðîìå
îêðóæíîñòè è ïðÿìîé ëèíèè, íà ïëîñêîñòè íå ñóùåñòâóåò. Îïðåäåëåíèå è
ïðèìåðû 1 è 2 ïîêàçûâàþò, ÷òî êðèâèçíà êðèâîé ÿâëÿåòñÿ ìåðîé îòêëîíåíèÿ êðèâîé â îêðåñòíîñòè äàííîé òî÷êè îò ïðÿìîé, è ÷åì êðèâèçíà áîëüøå,
òåì áîëüøå è ýòî îòêëîíåíèå. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êðèâèçíû è ôîðìóëó äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ.
Òåîðåìà 1.5.1. Åñëè γ åñòü ðåãóëÿðíàÿ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåí-
öèðóåìàÿ êðèâàÿ, òî â êàæäîé åå òî÷êå ñóùåñòâóåò êðèâèçíà, è åñëè
|~r 0 × ~r 00 |
~r = ~r (t) åå ðåãóëÿðíàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ, òî k =
.
|~r 0 |3
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ~r = ~r (s) åñòåñòâåííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé
γ , p1 = ~r (s1 ), p2 = ~r (s2 ). Òîãäà 4s = |s2 − s1 |, à 4θ åñòü óãîë ìåæäó
âåêòîðàìè ~r 0 (s1 ) è ~r 0 (s2 ). Òàê êàê |~r 0 (s1 )| = |~r 0 (s2 )| = 1, òî 2 sin 4θ
2 =
|~r 0 (s1 ) − ~r 0 (s2 )|. Ïîýòîìó
4θ
|~r 0 (s1 ) − ~r 0 (s2 )|
4θ
= lim
lim
= |~r 00 (s1 )|.
4θ
Ms→0 4s
4θ→0 2 sin
4s→0
4s
2
lim
Òåì ñàìûì ïåðâàÿ ÷àñòü òåîðåìû 1.5.1 äîêàçàíà. Êðîìå òîãî, ìû èìååì
ôîðìóëó
k = |~r 00 (s)|
â òî÷êå γ(s). Ïóñòü òåïåðü ~r = ~r (t) ïðîèçâîëüíàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ. Òîãäà
dt
1
= ~r 0t (t) 0
,
ds
|~r (t)|
2
~r 00
dt
d2 t
(~r 00 ,~r 0 )
=~r 00tt
+ ~r 0t 2 = 0tt2 − ~r 0t tt 0 4 t
ds
ds
|~r t |
|~r t |
~r 0s =~r 0t
~r 00ss
è
(~r 00tt ,~r 00tt ) 2(~r 00tt ,~r 0t )2
(~r 00tt ,~r 0t )2
−
+
=
|~r 0t |4
|~r 0t |6
|~r 0t |6
|~r 00 |2 |~r 0t |2 − (~r 00tt ,~r 0t )2
|~r 0t × ~r 00tt |2
= tt
=
,
|~r 0t |6
|~r 0t |6
k 2 = |~r 00ss |2 =
îòêóäà
k=
|~r 00tt × ~r 0t |
.
|~r 0t |3
22
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ðèñ. 1.8: Çíàê êðèâèçíû ïëîñêîé êðèâîé.
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïîêàçûâàåò, ÷òî óñëîâèå íåêîëëåíèàðíîñòè âåêòîðîâ ~r 0t è ~r 00tt íîñèò ãåîìåòðè÷åñêèé õàðàêòåð è íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè. Åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå êðèâèçíà êðèâîé γ îòëè÷íà îò íóëÿ,
òî âåêòîðû ~r 0t è ~r 00tt íåêîëëåíèàðíîñòè è íàîáîðîò. Ýòî çàìå÷àíèå äàåò âîçìîæíîñòü äàòü ãåîìåòðè÷åñêîå óñëîâèå åäèíñòâåííîñòè ñîïðèêàñàþùåéñÿ
ïëîñêîñòè ê êðèâîé γ â íåêîòîðîé åå òî÷êå p è äîïîëíèòü òåîðåìó 1.2.2
ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèåì.
Òåîðåìà 1.5.2. Äëÿ òîãî, ÷òîáû â íåêîòîðîé òî÷êå ðåãóëÿðíîé äâàæäû
íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé ñóùåñòâîâàëà åäèíñòâåííàÿ ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â ýòîé òî÷êå
êðèâèçíà êðèâîé γ áûëà áû îòëè÷íà îò íóëÿ.
Êàê ìû óæå çíàåì, ïðÿìàÿ ëèíèÿ â êàæäîé ñâîåé òî÷êå èìååò íóëåâóþ
êðèâèçíó. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè êðèâèçíà êðèâîé γ â êàæäîé òî÷êå ðàâíà
íóëþ, òî γ åñòü ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Â ñàìîì äåëå, åñëè k ≡ 0, òî ~r 00ss ≡ 0, îòêóäà
ñëåäóåò ~r 0s = c̄1 è ~r = c̄1 s + c̄2 .
1.5.1
Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû
(1) γ : ~r = ~r (t) = x(t)~i + y(t) ~j + z(t) ~k
p
(y 0 z 00 − z 0 y 00 )2 + (z 0 x00 − x0 z 00 )2 + (x0 y 00 − y 0 x00 )2
.
k=
3
(x0 2 + y 0 2 + z 0 2 ) 2
(2) γ ïëîñêàÿ êðèâàÿ ~r = ~r (t) = x(t)~i + y(t) ~j
k=
(3) γ : y = f (x)
k=
1.6
|y 00 x0 − x00 y 0 |
3
(x0 2 + y 0 2 ) 2
|f 00 (x)|
3
(1 + f 0 2 (x)) 2
.
.
Ïëîñêèå êðèâûå
Äëÿ ïëîñêèõ êðèâûõ êðèâèçíå êðèâîé ìîæíî ïðèïèñàòü çíàê. Ýòî ìîæíî
ñäåëàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âäîëü êðèâîé ïîñòðîèì ïðîèçâîëüíîå íåïðåðûâíîå ïîëåé íîðìàëåé n(t). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî êðèâèçíà êðèâîé γ â òî÷êå
p = ~r (t) ïîëîæèòåëüíà, åñëè âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè ~ν (t) êðèâîé γ ñîâïàäàåò ñ n(t), è îòðèöàòåëüíà â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå. Äëÿ çàìêíóòîé
ïðîñòîé êðèâîé γ ïîëå n(t) áóäåì âñåãäà íàïðàâëÿòü âî âíóòðü îáëàñòè,
êîòîðóþ êðèâàÿ γ îãðàíè÷èâàåò.  ýòîì ñëó÷àå êðèâèçíà êðèâîé γ â íåêîòîðîé åå òî÷êå ïîëîæèòåëüíà, åñëè îíà âûïóêëà "íàðóæó", è îòðèöàòåëüíà,
åñëè îíà âûïóêëà "âíóòðü"(ñì. ðèñóíîê 1.8).
 ÷àñòíîñòè, ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè çíàêà êðèâèçíû çàìêíóòîé êðèâîé,
âûïóêëàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ èìååò â êàæäîé ñâîåé òî÷êå íåîòðèöàòåëüíóþ
1.6. Ïëîñêèå êðèâûå
23
êðèâèçíó. Äëÿ îðèåíòèðîâàííûõ êðèâûõ çíàê êðèâèçíû ìîæíî îïðåäåëèòü,
êàê ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ óãëà α(t) ìåæäó âåêòîðîì ~r 0 (t) è îðòîì îñè OX , ïîëàãàÿ sign k = sign dα
dt . Çíà÷åíèå óãëà α(t) îïðåäåëÿåòñÿ òàê: óãîë α(0) ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì ëèáî óãëó, îòñ÷èòûâàåìîìó îò OX ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è
òîãäà îí áåðåòñÿ ñî çíàêîì (+), ëèáî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, è òîãäà îí áåðåòñÿ
ñî çíàêîì (−). Äëÿ îñòàëüíûõ t óãîë α(t) îïðåäåëÿåòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè è
âîçðàñòàåò, åñëè âåêòîð ~r 0 (t) âðàùàåòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è óáûâàåò
â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå.
 ÷àñòíîñòè, åñëè ïëîñêàÿ êðèâàÿ γ çàäàíà ÿâíûì óðàâíåíèåì y = f (x),
òî íà íåé åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåò îðèåíòàöèÿ (ïî âîçðàñòàíèþ
x) è òîãäà çíàê êðèâèçíû ñîâïàäàåò ñî çíàêîì f 00 , òî-åñòü â ýòîì ñëó÷àå
f 00
k =
3 . Åñëè æå êðèâàÿ çàäàåòñÿ åñòåñòâåííîé ïàðàìåòðèçàöèåé,
(1 + f 0 2 ) 2
dα
òî k(s) =
. Åñëè êðèâèçíà k êðèâîé â íåêîòîðîé òî÷êå îòëè÷íà îò íóds
1
ëÿ, òî ÷èñëî
íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì êðèâèçíû êðèâîé â äàííîé òî÷êå è
|k|
1
. Èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû ðàîáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç R; R =
|k|
âåí áåñêîíå÷íîñòè, åñëè êðèâèçíà ðàâíà íóëþ, êðîìå òîãî, èíîãäà ðàäèóñó
1
êðèâèçíû R ïðèïèñûâàþò çíàê, â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé R = .
k
Ïëîñêèå êðèâûå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ñâîåé êðèâèçíîé k(s), çàäàííîé, êàê ôóíêöèåé äëèíû äóãè s. Íî ïðåæäå, ÷åì ñôîðìóëèðîâàòü ýòó òåîðåìó, ìû îáîáùèì îïðåäåëåíèå êðèâîé, äàííîå íàìè ðàíåå.
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.1.1 ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé êðèâîé ìû ïîíèìàåì
äèôôåðåíöèðóåìûé îáðàç îòðåçêà èëè îêðóæíîñòè â R2 (R3 ). Ïðè èçó÷åíèè
ëîêàëüíûõ ñâîéñòâ êðèâîé ýòîãî îïðåäåëåíèÿ áûëî äîñòàòî÷íî. Îäíàêî ïðè
èçó÷åíèè ñâîéñòâ êðèâîé â öåëîì íåèçáåæíî âîçíèêàþò êðèâûå, èìåþùèå
òî÷êè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ. Êðîìå òîãî, êðèâûå, îïðåäåëÿåìûå ãåîìåòðè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè, òàêæå äîñòàòî÷íî ÷àñòî èìåþò òî÷êè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ. Íàïðèìåð, óäëèíåííûå öèêëîèäà è ãèïîöèêëîèäû, ëåìíèñêàòà è ò.ä. Ïîýòîìó,
íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà, ïîä êðèâîé ìû áóäåì ïîíèìàòü ëîêàëüíî äèôôåîìîðôíûé îáðàç îòðåçêà èëè îêðóæíîñòè â R2 (R3 ).
Áîëåå ïîäðîáíî. Äâà ëîêàëüíûõ äèôôåîìîðôèçìà ϕ1 (t) è ϕ2 (t) îòðåçêà
èëè îêðóæíîñòè â R2 (R3 ) ìû áóäåì íàçûâàòü ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì t = t(τ ) îòðåçêà èëè îêðóæíîñòè íà ñåáÿ òàêîé, ÷òî
ϕ1 (t(τ )) ≡ ϕ2 (t).
Êëàññ ýêâèâàëåíòíûõ ëîêàëüíûõ äèôôåîìîðôèçìîâ ìû áóäåì íàçûâàòü ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé êðèâîé. Òî÷êó ñàìîïåðåñå÷åíèÿ ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé êðèâîé ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè è ñîïîñòàâëÿòü åé äâà êàñàòåëüíûõ âåêòîðà, äâà âåêòîðà ãëàâíîé íîðìàëè, äâà
çíà÷åíèÿ êðèâèçíû è ò.ä. Åñëè êðèâàÿ γ íå èìååò òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ,
òî òàêóþ êðèâóþ ìû áóäåì íàçûâàòü ïðîñòîé êðèâîé.
Òåîðåìà 1.6.1. Ïóñòü h(s) ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà îò-
ðåçêå [a, b]. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ, ñ òî÷íîñòüþ äî äâèæåíèÿ,
êðèâàÿ γ , äëÿ êîòîðîé h(s) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êðèâèçíû, à s äëèíîé
äóãè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèè x(s), y(s) è α(s) óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå
24
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
óðàâíåíèé
dx
dy
dα
= cos α(s),
= sin α(s),
= h(s).
ds
ds
ds
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, ïîëó÷èì
Z
Z s
Z s
cos α(s) ds, y(s) = y0 +
h(s) ds, x(s) = x0 +
α(s) = α0 +
sin α(s) ds.
0
0
0
s
Ïîëó÷åííàÿ êðèâàÿ γ : x = x(s), y = y(s) óäîâëåòâîðÿåò âñåì òðåáîâàíèÿì
òåîðåìû 1.6.1 Äîêàæåì, ÷òî s äëèíà äóãè. Ïî ôîðìóëå
Z sp
Z s
l=
x0 2 + y 0 2 ds =
ds = s − a.
a
a
Äàëåå, ïî ôîðìóëå
|k(s)| = |x00 (s)~i + y 00 (s) ~j | =
p
p
dα
= |h(s)|.
(x00 )2 + (y 00 )2 = |α0 |2 =
ds
Ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå çíàêà êðèâèçíû êðèâîé, ïîëó÷àåì k(s) = dα
ds = h(s).
Íàêîíåö, êîîðäèíàòû íà÷àëüíîé òî÷êè êðèâîé γ(s) ñóòü x0 , y0 , à íàïðàâëåíèå êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ~τ (α) îáðàçóåò ñ îñüþ OX óãîë α0 . Ïîýòîìó,
åñëè ñóùåñòâóþò äâå êðèâûå, ó êîòîðûõ ôóíêöèè êðèâèçíû ñîâïàäàþò, òî
äâèæåíèå, ñîâìåùàþùåå èõ íà÷àëüíûå òî÷êè è íàïðàâëåíèå êàñàòåëüíûõ
âåêòîðîâ â ýòîé òî÷êå, ñîâìåùàåò è ñàìè êðèâûå.
Èç òåîðåìû 1.6.1 ñðàçó æå ñëåäóåò, ÷òî åñëè êðèâèçíà êàêîé-ëèáî êðèâîé
ïîñòîÿííà, òî îíà åñòü ëèáî ÷àñòü ïðÿìîé, ëèáî äóãà îêðóæíîñòè. Óðàâíåíèå k = k(s) íàçûâàåòñÿ íàòóðàëüíûì óðàâíåíèåì êðèâîé.
Ïðîñòîé àíàëèç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1.6.1 ïîêàçûâàåò, ÷òî åå óòâåðæäåíèå îñòàåòñÿ âåðíûì, åñëè ôóíêöèÿ h(s) áóäåò òîëüêî èíòåãðèðóåìîé
ôóíêöèåé.  ÷àñòíîñòè, òåîðåìà 1.6.1 áóäåò âåðíà, åñëè ôóíêöèÿ h(s) áóäåò
êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ðàçðûâîâ ïåðâîãî ðîäà.  ýòîì ñëó÷àå êðèâàÿ γ , ñ óêàçàííîé ôóíêöèåé êðèâèçíû, áóäåò ãëàäêîé
ðåãóëÿðíîé êðèâîé, ñîñòîÿùåé èç êîíå÷íîãî ÷èñëà äóã êëàññ C 2 .
Òî÷êå, â êîòîðîé ñîïðÿãàþòñÿ äâå äóãè êëàññà C 2 , ìû áóäåì ïðèïèñûâàòü äâà çíà÷åíèÿ äëÿ ôóíêöèè êðèâèçíû: k− è k+ ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ äëÿ ôóíêöèè ñëåâà è ñïðàâà. Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî êðèâèçíà êðèâîé γ â ýòîé òî÷êå íå ìåíüøå k0 (íå áîëüøå k0 ), åñëè min(k− , k+ ) ≥ k0
(max(k− , k+ ) ≤ k0 ). Äî êîíöà ýòîãî ïàðàãðàôà, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ïîä êðèâîé γ ìû áóäåì ïîíèìàòü êðèâóþ ýòîãî êëàññà, òî-åñòü ãëàäêóþ
ðåãóëÿðíóþ êðèâóþ ñ êóñî÷íî íåïðåðûâíîé êðèâèçíîé k(s).
1.7
Çàäà÷è
Ïóñòü äâå ïëîñêèå êðèâûå γ1 è γ2 êàñàþòñÿ äðóã äðóãà â îáùåé òî÷êå M , è
ïóñòü çíàê êðèâèçíû êðèâûõ γ1 è γ2 îïðåäåëÿåòñÿ îäíîé è òîé æå íîðìàëüþ
~ . Îáîçíà÷èì ÷åðåç k1 è k2 êðèâèçíû êðèâûõ γ1 è γ2 â òî÷êå M .
n
Çàäà÷à 1.7.1. Åñëè k1 > k2 , òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü U òî÷-
êè M , â êîòîðîé êðèâàÿ γ1 ëåæèò ñòðîãî, èñêëþ÷àÿ òî÷êó M , ïî îäíó
~.
ñòîðîíó îò γ2 ñî ñòîðîíû âåêòîðà n
25
1.7. Çàäà÷è
Ðèñ. 1.9: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.1.
Ðèñ. 1.10: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.2.
Ðåøåíèå. Ââåäåì íà ïëîñêîñòè äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò (x, y), ïîëà-
~.
ãàÿ íà÷àëî ñèñòåìû â òî÷êå M , à îðò îñè OY , ñîâïàäàþùèì ñ âåêòîðîì n
Òîãäà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè V òî÷êè M óðàâíåíèÿ êðèâûõ γ1 è γ2 ìîæíî çàäàòü ÿâíûìè óðàâíåíèÿìè y = f1 (x), y = f2 (x). Èç óñëîâèÿ çàäà÷è
è ïîñòðîåíèÿ êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû, ñëåäóåò f1 (0) = f2 (0), f10 (0) = f20 (0)
è k1 (0) = f100 (0), k2 (0) = f200 (0). Ïóñòü f (x) = f1 (x) − f2 (x). Ïðèìåíèì ê
ôóíêöèè f (x) ôîðìóëó Òåéëîðà. Òàê êàê f (0) = f 0 (0) = 0, òî
1
ō(x2 )
.
f (x) = x2 (k1 − k2 ) +
2
x2
Èç ïîñëåäíåé
i ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ε > 0, ÷òî ïðè |x| < ε
h ôîðìóëû ñëåäóåò
âûðàæåíèå (k1 − k2 ) +
ō(x2 )
x2
ñòðîãî áîëüøå íóëÿ.
Åñëè êðèâàÿ γ çàìêíóòà, òî îíà ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè, èç
êîòîðûõ îäíà êîìïàêòíà. Ýòó îáëàñòü ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç D(γ).
Çàäà÷à 1.7.2. Ïóñòü γ(s) - ïëîñêàÿ êðèâàÿ êëàññà C 2 , ïàðàìåòðèçîâàííàÿ
äëèíîé äóãè, `(s) = |~r (s)|, ãäå ~r = ~r (s) ðàäèóñ-âåêòîð çàäàþùèé êðèâóþ
γ(s). Äîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà:
d2 `
ds2
= k cos α +
s=0
cos2 α
,
`
ãäå k = k(0) - êðèâèçíà êðèâîé â òî÷êå γ(0), ` = `(0) - äëèíà ðàäèóñâåêòîðà ~r (0), α - óãîë ìåæäó âåêòîðîì ~r 0 = |~~rr (0)
(0)| è âåêòîðîì ãëàâíîé
íîðìàëè ~ν = ~ν (0).
1
Ðåøåíèå. Òàê êàê ` = `(s) = h~
r ,~r i 2 , òî
ïîëó÷àåì:
d`
ds
=
h~
r ,~
r 0i
|~
r|
= h~r 0 ,~r 0 i. Îòñþäà
d2 `
d h~r ,~r 0 i
h~r 0 ,~r 0 i h~r ,~r 00 i h~r ,~r 0 i2
=
=
(
)
=
+
−
ds2
ds |~r |
|~r |
|~r |
|~r |3
1
cos2 α
= (1 − hr~0 ,~r 0 i2 ) + khr~0 , ~ν i = k cos α +
.
`
`
Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà âòîðîé âàðèàöèè ïðèîáðåòàåò áîëåå ïðîñòîé âèä,
åñëè íà÷àëî êîîðäèíàò ðàñïîëîæèòü òàê, ÷òîáû âåêòîðà r~0 è ~ν áûëè êîëd2 `
1
ëèíåàðíû. Òîãäà cos α = 1 è
=k+ .
ds2 s=0
`
Çàäà÷à 1.7.3 (Ïëîñêèå ôîðìóëû Ôðåíå). Äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëû:
dx
= cos α(s),
ds
dy
= sin α(s),
ds
dα
= k,
ds
26
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
ýêâèâàëåíòíû ðàâåíñòâàì:
d~τ
= k(s)~ν ,
ds
d~ν
= −k(s)~τ .
ds
Ðåøåíèå. Òàê êàê ~
τ = ~τ (s) = cos α~i + sin α~j , à ~ν = ~ν (s) = − sin α~i + cos α~j ,
d~τ
d~ν
= α0 (− sin α)~i + α0 cos α~j = α0~ν = k~ν ,
= −α0 cos α~i − α0 sin α~j =
ds
ds
0~
−α τ = −k~τ .
òî
Çàäà÷à 1.7.4. Åñëè êðèâàÿ γ çàìêíóòà, òî íà íåé íàéäåòñÿ òî÷êà, â
êîòîðîé êðèâèçíà ñòðîãî áîëüøå íóëÿ.
Ðåøåíèå. Ïóñòü p ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îáëàñòè D(γ). Âîçüìåì ÷èñëî R
íàñòîëüêî áîëüøèì, ÷òîáû êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå p è ðàäèóñà R ñîäåðæàë
γ . Áóäåì òåïåðü óìåíüøàòü ðàäèóñ r äî òåõ ïîð, ïîêà îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì
â òî÷êå p è ðàäèóñà R0 íå êîñíåòñÿ γ â ïåðâûé ðàç â òî÷êå p1 .  ýòîé òî÷êå
1
, à, êàê ýòî ñëåäóåò èç çàäà÷è 1.7.1, êðèâèçíà
êðèâèçíà îêðóæíîñòè ðàâíà
R0
1
k(p1 ) êðèâîé γ íå ìåíüøå, ÷åì
.
R0
Çàäà÷à 1.7.5. Êðèâèçíà çàìêíóòîé âûïóêëîé êðèâîé â êàæäîé òî÷êå íå-
îòðèöàòåëüíà.
Ðåøåíèå. Ñëåäóåò èç çàäà÷è 1.7.1.
Çàäà÷à 1.7.6. Åñëè ïðîñòàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ èìååò â êàæäîé òî÷êå
íå îòðèöàòåëüíóþ êðèâèçíó, òî îíà âûïóêëàÿ êðèâàÿ.
Ðèñ. 1.11: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.6.
Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êðèâàÿ γ íå âûïóêëà. Òîãäà íà γ ñóùåñòâóþò
äâå òî÷êè A è B òàêèå, ÷òî îòðåçîê AB ëåæèò âíå D(γ), à ñàìà êðèâàÿ γ
ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìîé AB . Òî÷êè A è B ðàçáèâàþò êðèâóþ γ
íà äâå äóãè γ1 è γ2 . Îäíà èç êðèâûõ σ1 = γ1 ∪ AB è σ2 = γ2 ∪ AB ñîäåðæèò
D(γ). Ïóñòü ýòî áóäåò êðèâàÿ σ2 . Íà äóãå γ1 íàéäåì òî÷êó P , íàèáîëåå
óäàëåííóþ îò ïðÿìîé AB . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Q îñíîâàíèå ïåðïåíäèêóëÿðà,
îïóùåííîãî èç òî÷êè P íà ïðÿìóþ AB , h = P Q, b = max(QA, QB). Ïóñòü
C(Q, R) - êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå Q è ðàäèóñà R òàêîãî, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî (∗)
R>
h2 + b2
2h
è íàñòîëüêî áîëüøîé, ÷òî C(Q, R) ñîäåðæèò σ1 . Áóäåì òåïåðü ñäâèãàòü
öåíòð O ýòîãî êðóãà ïî ïðÿìîé P Q â íàïðàâëåíèè, îïðåäåëåííîì âåêòî−−→
ðîì P Q äî òåõ ïîð, ïîêà C(Q, R) íå êîñíåòñÿ êðèâîé σ1 â íåêîòîðîé òî÷êå M . Äîêàæåì, ÷òî M ∈ γ1 \(A ∪ B).  ñàìîì äåëå, åñëè M = A, èëè
M = B , òî, ñ îäíîé ñòîðîíû, OQ = OP − P Q ≤ R − h è, ñëåäîâàòåëüíî
OQ2 + b2 ≤ (R − h)2 + b2 < R2 â ñèëó íåðàâåíñòâà (∗) à, ñ äðóãîé ñòîðîíû,
27
1.7. Çàäà÷è
OQ2 + b2 = R2 , è ìû ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò M ∈ γ\(A ∪ B).  òî÷êå M êðèâèçíà k1 êðèâîé γ1 ïî îòíîøåíèþ ê êðèâîé σ1 , â ñèëó çàäà÷è 1.7.1
íå ìåíüøå R1 , íî ïî îòíîøåíèþ ê êðèâîé γ îíà ðàâíà −k1 < − R1 âîïðåêè
óñëîâèþ.
Çàäà÷à 1.7.7. Åñëè γ çàìêíóòàÿ ïðîñòàÿ êðèâàÿ, òî
Z
k(s) ds = 2π.
γ
Ðåøåíèå. Ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ âûïóêëîé êðèâîé. Â êðèâóþ γ
âïèøåì çàìêíóòûé ïîëèãîí σ ñ âåðøèíàìè
A1 , A2 , . . . , An , An+1 ,
(An+1 = A1 )
òàêîé, ÷òîáû èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà äóãè γi = A\
i Ai+1 êðèâîé γ íå ïðåâîñõîäèëà áû π , íà êàæäîé äóãå γi âîçüìåì òî÷êó Bi , â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ
ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé Ai Ai+1
R . Âíóòðåííèé óãîë ïîëèãîíà σ â âåðøèíå Ai
îáîçíà÷èì ÷åðåç αi . Òîãäà γi k(s)ds = π − αi , ãäå γi åñòü äóãà γ îò Bi äî
Bi+1 . Ñëåäîâàòåëüíî,
Z
k(s) ds =
γ
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
n Z
X
i=1
Pn
i=1
γi
k(s) ds = nπ −
n
X
αi .
i=1
αi = π(n − 2) = nπ − 2π . Ïîýòîìó
Z
k(s) ds = nπ − nπ + 2π = 2π.
γ
Çàäà÷à 1.7.8. Åñëè γ çàìêíóòàÿ ïðîñòàÿ êðèâàÿ, êðèâèçíà êîòîðîé â
êàæäîé òî÷êå íå ìåíüøå ÷åì a1 > 0, òî
(1) l(γ) ≤ 2πa,
(2) ïëîùàäü S(D(γ)) ≤ πa2 ,
(3) äèàìåòð d ≤ 2a,
è çíàê ðàâåíñòâà âî âñåõ òðåõ ñëó÷àõ âîçìîæåí òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà γ åñòü îêðóæíîñòü ðàäèóñà a.
Ðèñ. 1.12: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.8.
Ðåøåíèå. Èç çàäà÷è 1.7.6 ñëåäóåò, ÷òî γ âûïóêëàÿ êðèâàÿ. Ïóñòü AB äèàìåòð γ . Íàéäåì íà γ òî÷êè C è D, â êîòîðûõ êàñàòåëüíûå ïàðàëëåëüíû
AB . Èç òî÷êè C è D îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿðû CO1 , è DO2 íà AB .
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå (1). Âîçüìåì äóãó BC . Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò
O1 íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò, O1 C îñü OX è O1 B îñü OY . ÈíòåRl
ãðàëüíàÿ êðèâèçíà äóãè CB ðàâíà π2 , çíà÷èò 0 0 k(t) dt = π2 , ãäå l0 äëèíà
äóãè BC . Òàê êàê k(t) ≥ a1 , òî la0 ≤ π2 èëè l0 ≤ π2 a, è çíàê ðàâåíñòâà âîçìîæåí òîëüêî òîãäà, êîãäà k(t) ≡ a1 . Àíàëîãè÷íî l(CA) ≤ π2 a, l(AD) ≤ π2 a è
l(DB) ≤ π2 a. Ïîýòîìó l(γ) ≤ 2πa.
28
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Âòîðîå óòâåðæäåíèå çàäà÷è ñëåäóåò èç èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà:
S(D(γ)) ≤
l2
4π 2 a2
≤
= πa2 .
4π
4π
Äîêàæåì òðåòüå óòâåðæäåíèå çàäà÷è. Çàïèøåì óðàâíåíèå äóãè CB êðèâîé
γ ÷åðåç êðèâèçíó k(t) êðèâîé γ , (ñì. òåîðåìó 1.6.1).
(
R s
Rt
x = x0 + 0 cos 0 k(t)dt + α0 ds
R s
Rt
y = 0 0 sin 0 k(t) dt + α0 ds.
Èç îïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò ñëåäóåò, ÷òî
Z
π
α0 = ,
2
O1 B = y(l0 ) =
Z
cos[
Z
s
k(t)dt ≥
0
s
k(t) dt] ds.
0
0
Òàê êàê
è
l0
s
a
Z l0
`0
π
≤
k(t) dt = ,
a
2
0
Z s
s
l
cos ≥ cos
k(t) dt è 0 < sin ≤ 1.
a
a
0
0≤
òî
Ïîýòîìó
Z
O1 B =
l0
Z
cos
0
0
s
Z
k(t) dt ds ≤
0
l0
cos
l0
s
ds = a sin ≤ a.
a
a
Àíàëîãè÷íî, O1 A ≤ a è AB = O1 A + O1 B ≤ 2a. Çíàê ðàâåíñòâà è çäåñü
âîçìîæåí òîëüêî òîãäà, êîãäà k(t) ≡ a1 .
Ñôîðìóëèðîâàòü è ðåøèòü çàäà÷ó äâîéñòâåííóþ çàäà÷å 1.7.8 äëÿ âûïóêëûõ êðèâûõ.
Çàäà÷à 1.7.9 (Çàäà÷à î ñîãíóòîì ëóêå). Ïóñòü äóãè âûïóêëûõ êðè-
âûõ γ1 è γ2 èìåþò îäíó è òó æå äëèíó l. Ïóñòü èõ êðèâèçíû k1 (t) è
Rl
k2 (t) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó k1 (t) ≥ k2 (t) ≥ 0 è 0 k1 (t)dt < π . Òîãäà
γ1 (0)γ1 (l) ≤ γ2 (0)γ2 (l) è çíàê ðàâåíñòâà âîçìîæåí òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà k1 (t) ≡ k2 (t).
Ðèñ. 1.13: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.9.
Ðåøåíèå. Íà êðèâîé γ1 , íàéäåì òî÷êó γ1 (s0 ), â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ γ1
ïàðàëëåëüíà õîðäå γ1 (0)γ1 (l). Ïîñòðîèì ñèñòåìó êîîðäèíàò ñëåäóþùèì îáðàçîì: γ1 (s0 ) íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò, îñü OX ñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíîé
ïðÿìîé ê γ1 , à îñü OY îðòîãîíàëüíà îñè OX è íàïðàâëåíà â ñòîðîíó õîðäû
γ1 (0)γ1 (l). Êðèâóþ γ2 ñäâèíåì òàê, ÷òîáû òî÷êà γ2 (s0 ) ñîâïàëà ñ γ1 (s0 ), à
êàñàòåëüíàÿ ê γ2 â òî÷êå γ2 (s0 ) ñîâïàëà áû ñ îñüþ OX . Îáîçíà÷èì ÷åðåç B
29
1.7. Çàäà÷è
òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ îñè OY ñ õîðäîé γ1 (0)γ1 (l). Óðàâíåíèÿ êðèâûõ γ1 è γ2 â
ïîñòðîåííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìåþò âèä:
(
Rs
Rs
x = x1 (s) = s0 cos[ s0 k1 (t) dt] ds
γ1 :
y = y1 (s),
(
Rs
Rs
x = x2 (s) = 0 cos[ s0 k2 (t) dt] ds
γ2 :
y = y2 (s).
Òîãäà x1 (l) = Bγ1 (l), à x2 (l) ðàâíà îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè
R s õîðäû γ2 (s0 )γ2 (l)
íà îñü OX . Äîêàæåì, ÷òî x1 (l) ≤ x2 (l). Òàê êàê 0 < s0 k(t) dt < π ïðè
s0 < s < l, òî
Z
l
x1 (l) =
Z
s
Z
l
k1 (t)dt ds ≤
cos
s0
s0
Z
s
k2 (t) dt ds = x2 (l).
cos
s0
s0
Àíàëîãè÷íî, x1 (0) = |Bγ1 (0)| íå ïðåâîñõîäèò îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè õîðäû γ2 (s0 )γ2 (0) íà îñü OX . Ïîýòîìó γ1 (0)γ1 (l) íå ïðåâîñõîäèò ñóììå ïðîåêöèé õîðä γ2 (0)γ2 (s0 ) è γ2 (s0 )γ2 (l), êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü íå ïðåâîñõîäèò
γ2 (0)γ2 (l). Çíàê ðàâåíñòâà âîçìîæåí òîëüêî òîãäà, êîãäà k1 (s) ≡ k2 (s).
Çàäà÷à 1.7.10. Åñëè γ çàìêíóòàÿ ïðîñòàÿ êðèâàÿ, êðèâèçíà êîòîðîé â
êàæäîé òî÷êå íå ìåíüøå ÷åì a1 , òî åå ìîæíî ïðîêàòèòü ñî ñêîëüæåíèåì
âíóòðè êðóãà ðàäèóñà a.
Ðèñ. 1.14: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.10.
Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé k(t) >
1
a.
Ðàñïîëîæèì îêðóæíîñòü
C(a) ðàäèóñà a òàê, ÷òîáû íà÷àëî êîîðäèíàò O ∈ C(a) è â òî÷êå O îñü
OX êàñàëàñü áû C(a). Âîçüìåì íà γ ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó p è ðàñïîëîæèì
γ òàê, ÷òî p = O è êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ ê γ â òî÷êå p ñîâïàëà áû ñ îñüþ
OX . Ïóñòü p1 òàêàÿ òî÷êà íà γ , ÷òî äóãè γ1 è γ2 íà êîòîðûå îíà âìåñòå ñ
òî÷êîé p ðàçáèâàåò γ , èìåëè áû èíòåãðàëüíóþ êðèâèçíó, ðàâíóþ π .
Ââåäåì
R s íà γ1 è C(a) ïàðàìåòð s (äëèíó äóãè, îòñ÷èòûâàåìóþ îò p). Òîãäà
α(s) = 0 k(t)dt íå ïðåâîñõîäèò π . Äîêàæåì, ÷òî γ1 ∩ C(a) = ∅. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü p2 ïåðâàÿ, ñ÷èòàÿ îò p, òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ γ1 è C(a).
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ êðèâîé γ1 è C(a)
(
Rs
x = 0 cos α(s) ds
γ1 :
y = y1 (s),
(
Rs
x = 0 cos as ds
C(a) :
y = y2 (s).
Òîãäà ñóùåñòâóþò ÷èñëà s2 è s1 , òàêèå, ÷òî
Z s2
Z s1
s
cos α(s) ds =
cos ds,
p2 = γ(s2 ) = C(a)(s1 ).
a
0
0
30
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Rs
Òàê êàê α(s) = 0 k(t) dt > as , òî cos α(s) < cos as . Ïîýòîìó s2 > s1 . Íî,
ñ äðóãîé ñòîðîíû, âûïóêëàÿ äóãà pp2 êðèâîé γ1 ëåæèò âíóòðè äóãè pp2
îêðóæíîñòè C(a) è õîðäû pp2 . Ïîýòîìó s2 ≤ s1 . Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.
Çíà÷èò γ1 ∩ C(a) = ∅.
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî γ2 ∩ C(a) = ∅. Åñëè òåïåðü k(t) ≥ a1 , òî
èç ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî γ ∩ C(a + ε) = ∅ ïðè ëþáîì ε > 0. Îòêóäà
ñëåäóåò, ÷òî γ ëåæèò âíóòðè C(a). Çàäà÷à ðåøåíà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè
âûáîðà òî÷êè p.
Ñôîðìóëèðîâàòü è ðåøèòü çàäà÷ó äâîéñòâåííóþ çàäà÷å 1.7.10 äëÿ âûïóêëûõ êðèâûõ.
Çàäà÷à 1.7.11. Ïóñòü ïðîñòàÿ êðèâàÿ γ êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè C(a) ñ
öåíòðîì â òî÷êå O ðàäèóñà a â òî÷êàõ A è B è ëåæèò âíóòðè C(a),
óãîë AOB < π . Òîãäà íà γ íàéäåòñÿ òî÷êà, â êîòîðîé êðèâèçíà γ ñòðîãî
ìåíüøå ÷åì a1 .
Ðèñ. 1.15: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.11.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì êðèâóþ γ , ñîñòàâëåííóþ èç áîëüøåé äóãè îêðóæíîñòè C(a) è êðèâîé γ . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà êðèâîé γ êðèâèçíà âî âñåõ
òî÷êàõ íå ìåíüøå, ÷åì a1 . Ïóñòü p0 òî÷êà íà γ , áëèæàéøàÿ ê öåíòðó O
îêðóæíîñòè C(a). Òîãäà Op0 , ïî óñëîâèþ çàäà÷è ñòðîãî ìåíüøå a. Îáîçíà÷èì ÷åðåç O1 , öåíòð îêðóæíîñòè ðàäèóñà a, êàñàþùåéñÿ γ â òî÷êå p0 . Òîãäà
ýòà îêðóæíîñòü ïåðåñåêàåò γ âîïðåêè óòâåðæäåíèþ çàäà÷è 1.7.10. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò íàøå óòâåðæäåíèå.
Çàäà÷à 1.7.12. Ïóñòü ïðîñòàÿ êðèâàÿ γ êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè C(a) ðàäè-
óñà a â òî÷êàõ A è B è ëåæèò âíå C(a). Óãîë ∠AOB ìåíüøå π . Äîêàçàòü,
÷òî òîãäà íà γ íàéäåòñÿ òî÷êà â êîòîðîé êðèâèçíà γ ñòðîãî áîëüøå a1 .
Ðåøèòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
Äëÿ ôîðìóëèðîâîê ñëåäóþùèõ äàëüøå çàäà÷ äàäèì íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ.
Ïóñòü γ íåêîòîðàÿ ãëàäêàÿ çàìêíóòàÿ âûïóêëàÿ êðèâàÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç C(p, γ) îêðóæíîñòü, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:
(1) C(p, γ) êàñàåòñÿ êðèâîé γ â òî÷êå p,
(2) C(p, γ) ⊂ D(γ),
(3) C(p, γ) èìååò ìàêñèìàëüíûé ðàäèóñ, ïðè êîòîðîì ïåðâûå äâà óñëîâèÿ
âûïîëíÿþòñÿ.
×åðåç C + (γ) îáîçíà÷èì îêðóæíîñòü íàèáîëüøåãî ðàäèóñà, âîîáùå ãîâîðÿ
íå åäèíñòâåííóþ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì D(γ). ×åðåç C − (γ) îáîçíà÷èì îêðóæíîñòü íàèìåíüøåãî ðàäèóñà, âîîáùå ãîâîðÿ íå åäèíñòâåííóþ,
óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì (1), (2) è (3) (ñì. ðèñóíîê 1.16). Åñëè ÷åðåç
R(p, γ) îáîçíà÷èòü ðàäèóñ C(p, γ), òî
R+ (γ) = sup R(p, γ),
p∈γ
R− (γ) = inf R(p, γ).
p∈γ
31
1.7. Çàäà÷è
Ðèñ. 1.16: Èëëþñòðàöèÿ ê îïðåäåëåíèþ îêðóæíîñòè C + (γ) è C − (γ).
Çàäà÷à 1.7.13. Åñëè C(p, γ) ∩ γ = p, òî êðèâèçíû γ è C(p, γ) â òî÷êå p
ðàâíû.
Ðèñ. 1.17: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.13.
Ðåøåíèå. Êðèâèçíà kγ (p) êðèâîé γ â òî÷êå p â ñèëó çàäà÷è 1.7.1 íå ïðå1
1
. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî kγ (p) < R(p,γ)
. Âîçüìåì ìîíîòîííóþ
âîñõîäèò R(p,γ)
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë Rn , óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì:
kγ (p) <
1
1
<
Rn
R(p, γ)
è
lim Rn = R(p, γ).
n→∞
Îáîçíà÷èì ÷åðåç C(p, γ, Rn ) îêðóæíîñòü ðàäèóñà Rn , êàñàþùóþñÿ γ â òî÷êå
p. Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ C(p, γ), C(p, γ, Rn ) ïåðåñåêàåò γ ïî êðàéíåé ìåðå,
åùå â îäíîé òî÷êå pn 6= p. Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
ñóùåñòâóåò lim pn = p̄.  ñèëó çàäà÷è 1.7.1, òî÷êà p̄ íå ìîæåò ñîâïàñòü ñ p.
n→∞
Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà p̄ 6= p è p̄ ∈ γ ∩ C(p, γ) âîïðåêè óñëîâèþ çàäà÷è.
Çàäà÷à 1.7.14. Íà ïðîèçâîëüíîé çàìêíóòîé ïîëóîêðóæíîñòè îêðóæíîñòè C + (γ) ñóùåñòâóåò òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ γ .
Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü C̄ çàìêíóòàÿ ïîëóîêðóæíîñòü
îêðóæíîñòè C + (γ), äëÿ êîòîðîé C̄ ∩ γ = ∅. Îáîçíà÷èì ÷åðåç O öåíòð
C + (γ), à ÷åðåç R+ åå ðàäèóñ. ×åðåç êîíöû C̄ ïðîâåäåì äèàìåòð a. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A1 è A2 ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé äèàìåòð ñ êðèâîé
γ . Òî÷êè A1 è A2 ðàçáèâàþò γ íà äâå äóãè γ1 è γ2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç γ1 òó èç
ýòèõ äóã, äëÿ êîòîðîé γ1 ∩C + (γ) = ∅. Ïóñòü d0 = minγ(s)∈γ1 (Oγ(s)−R+ ) > 0.
Èç öåíòðà O ïðîâåäåì ïåðïåíäèêóëÿð ê ïðÿìîé a âíóòðü ïîëóêðóãà C è îòëîæèì íà íåì îòðåçîê OO1 = d20 = δ .
Ðèñ. 1.18: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.14.
Äëÿ γ(s) ∈ γ1
O1 γ(s) − R+ > Oγ(s) −
d0
− R+ ≥ δ > 0.
2
Äëÿ γ(s) ∈ γ2
O1 γ(s) − R+ =
p
(Oγ(s))2 + δ 2 − 2Oγ(s) · δ cos α − R+ .
32
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ãäå α(s) óãîë â òðåóãîëüíèêå OO1 γ(s) ïðè âåðøèíå O. Èç îïðåäåëåíèÿ O1
ñëåäóåò, ÷òî α(s) ≥ π2 . Ïîýòîìó
p
p
O1 γ(s) − R+ ≥ (Oγ(s))2 + δ 2 − R+ ≥ (R+ )2 + δ 2 − R+ =
δ2
p
(R+ )2 + δ 2 + R+
= δ1 > 0.
Íî òîãäà îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå O1 ðàäèóñà R = R+ + σ > R+ öåëèêîì ëåæèò âíóòðè D(γ) âîïðåêè îïðåäåëåíèþ C + (γ). Çäåñü σ = 21 min(δ, δ1 ).
Ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà C + (γ) ∩ γ ñîñòîèò ðîâíî èç äâóõ òî÷åê.
Çàäà÷à 1.7.15. Åñëè γ çàìêíóòàÿ âûïóêëàÿ êðèâàÿ êëàññà C 2 , òî ìíî-
æåñòâî C0 = C − (γ) ∩ γ ñâÿçíî.
Ðåøåíèå. C0 çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Ñëåäîâàòåëüíî ìíîæåñòâî γ\C0 åñòü
ñóììà îòêðûòûõ äóã. Åñëè C0 íåñâÿçíî, òî ÷èñëî òàêèõ äóã γ1 , γ2 , . . . , γk
íå ìåíüøå 2.
Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.
(1) Èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà îäíîé èç ýòèõ äóã ñòðîãî ìåíüøå π .
(2) C0 ñîñòîèò èç äâóõ äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê p1 è p2
îêðóæíîñòè C − (γ).
 ïåðâîì ñëó÷àå íà äóãå γ1 , ñóùåñòâóåò òî÷êà p1 , â êîòîðîé êðèâèçíà kγ (p1 )
ñòðîãî áîëüøå 1/R− (γ), íî òîãäà R(p1 , γ) < R− (γ) âîïðåêè îïðåäåëåíèþ
C − (γ).
Âî âòîðîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé òî÷êè p ∈ γ, p 6∈ C0 ÷èñëî R(p, γ) íå ïðåâîñõîäèò R− (γ), òàê êàê C(p, γ) ïðèíàäëåæèò, âìåñòå ñî ñâîåé êðèâîé γ , ïîëîñå
øèðèíû 2R− (γ), îáðàçîâàííîé êàñàòåëüíûìè ê γ â òî÷êàõ p1 è p2 . Çíà÷èò, â
ýòîì ñëó÷àå R(p, γ) = R− (γ) äëÿ âñåõ p. Íî òîãäà, â ñèëó óñëîâèÿ, íàêëàäûâàåìîãî íà êëàññ ãëàäêîñòè êðèâîé γ , ïîëó÷àåì, ÷òî γ = C − (γ) âîïðåêè
ïðåäïîëîæåíèþ î íåñâÿçíîñòè.
Ñôîðìóëèðîâàòü è ðåøèòü çàäà÷è, äâîéñòâåííûå çàäà÷àì 1.7.14 è 1.7.15.
Çàäà÷à 1.7.16 (Òåîðåìà î ÷åòûðåõ âåðøèíàõ îâàëà). Äîêàçàòü, ÷òî
äëÿ âñÿêîé çàìêíóòîé âûïóêëîé äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé
êðèâîé ôóíêöèÿ êðèâèçíû k(s) èìååò íå ìåíåå äâóõ ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ
è íå ìåíåå äâóõ ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ.
Ðèñ. 1.19: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 1.7.15.
Çàìåòèì, ÷òî çàìêíóòóþ âûïóêëóþ êðèâóþ èíîãäà íàçûâàþò îâàëîì.
Ðåøåíèå. Åñëè C + (γ) 6= γ , òî C1 = C + (γ) ∩ γ ðàçáèâàåò γ íà îòêðûòûå
äóãè γ1 , γ2 , . . . , γk , k ≥ 2. Ïðè÷åì, ëèáî èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà, ïî êðàéíåé
ìåðå, äâóõ äóã, ñêàæåì γ1 è γ2 ñòðîãî ìåíüøå π , ëèáî C1 = {p1 , p2 } ãäå p1 è
p2 äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè C + (γ).
 ïåðâîì ñëó÷àå íà äóãàõ γ1 è γ2 â ñèëó çàäà÷è 1.7.11, ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå ïî îäíîìó ìàêñèìóìó, ìåæäó êîòîðûìè ëåæèò, ïî êðàéíåé ìåðå,
äâà ìèíèìóìà.
33
1.7. Çàäà÷è
Âî âòîðîì ñëó÷àå ðàññìîòðèì êðèâóþ, îáðàçîâàííóþ äóãîé γ1 è äóãîé îêðóæíîñòè C + (γ). Åñëè äëÿ ýòîé êðèâîé C − (γ) íå ñîâïàäàåò ñ C + (γ), òî â
òî÷êå êàñàíèÿ C − (γ) ⊂ γ1 , êðèâèçíà êðèâîé γ áîëüøå ÷åì êðèâèçíà êðèâîé
γ â òî÷êàõ p1 è p2 . Ñëåäîâàòåëüíî, íà äóãå γ1 ñóùåñòâóåò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì êðèâèçíû. Àíàëîãè÷íî äëÿ äóãè γ2 . Ñíîâà ïîëó÷èì, ïî êðàéíåé ìåðå,
äâà ìàêñèìóìà è ìåæäó íèìè äâà ìèíèìóìà. Åñëè æå C + (γ) = C − (γ), òî
γ åñòü îêðóæíîñòü.
Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î ÷åòûðåõ âåðøèíàõ îâàëà îïèðàåòñÿ íà
òåîðåìó Ãóðâèöà.
Òåîðåìà 1.7.1 (Òåîðåìà Ãóðâèöà.). Ïóñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f (ϕ)
èìååò ïåðèîä 2π è îðòîãîíàëüíà íà íåì ñèíóñó è êîñèíóñó:
Z2π
Z2π
f (ϕ) cos ϕ dϕ = 0.
f (ϕ) sin ϕ dϕ = 0,
0
0
Òîãäà íà ïðîìåæóòêå [0, 2π] îíà èìååò, ïî êðàéíåé ìåðå, äâå òî÷êè ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà è äâå òî÷êè ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà.
Äîêàçàòåëüñòâî. (Ïðåäëîæåíî Â.Â. Èâàíîâûì). Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì,
÷òî åñëè ôóíêöèÿ èìååò â ïðåäåëàõ ïåðèîäà, ñêàæåì, äâå òî÷êè ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, òî ó íåå íåïðåìåííî íàéäóòñÿ è äâå òî÷êè ìàêñèìóìà. Â
ñàìîì äåëå, äâå òî÷êè ìèíèìóìà, îòìå÷åííûå íà îêðóæíîñòè, ðàçáèâàþò
åå íà äâå äóãè. Î÷åâèäíî, ÷òî ñòðîãî âíóòðè êàæäîé èç ýòèõ äóã èìååòñÿ
ïî êðàéíåé ìåðå ïî îäíîìó ëîêàëüíîìó ìàêñèìóìó. Òî÷íî òàê æå, èìåÿ äâå
òî÷êè ìàêñèìóìà, ôóíêöèÿ èìååò åùå è äâå òî÷êè ìèíèìóìà.
Áëàãîäàðÿ íåïðåðûâíîñòè è ïåðèîäè÷íîñòè, ôóíêöèÿ f (ϕ) îáÿçàòåëüíî
ïðèíèìàåò íà óêàçàííîì â òåîðåìå ïðîìåæóòêå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå
çíà÷åíèÿ.  ñèëó ñêàçàííîãî âûøå, íàì äîñòàòî÷íî íàéòè â òîì æå ïðîìåæóòêå åùå îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî òàêèõ òî÷åê ó
ôóíêöèè, âñå-òàêè, íå îêàçàëîñü. Âûáåðåì íà÷àëî îòñ÷åòà íà îêðóæíîñòè
òàê, ÷òîáû ïðè ϕ = 0, à òîãäà è ïðè ϕ = 2π, ôóíêöèÿ äîñòèãàëà íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ, è íàéäåì òî÷êó ϕ0 â èíòåðâàëå 0 < ϕ0 < 2π, ãäå íàøà ôóíêöèÿ
èìååò ìèíèìóì. Òîãäà,èñêëþ÷àÿ ñëó÷àé ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè, îíà ñòðîãî
óáûâàåò íà îòðåçêå 0 ≤ ϕ ≤ ϕ0 è ñòðîãî ðàñòåò íà ó÷àñòêå ϕ0 ≤ ϕ ≤ 2π.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ýòèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ èíòåãðàëû
Zϕ0
ϕ0 f (ϕ) sin ϕ −
dϕ,
2
è
Z2π
ϕ0 f (ϕ) sin ϕ −
dϕ
2
ϕ0
0
îòðèöàòåëüíû.  ñàìîì äåëå, ôèãóðèðóþùèé â íèõ ñèíóñ ñèììåòðè÷åí íà
êàæäîì èç ó÷àñòêîâ èíòåãðèðîâàíèÿ îòíîñèòåëüíî èõ ñðåäíèõ òî÷åê ϕ0 /2 è
π + ϕ0 /2, ïðè÷åì â îáëàñòè, ãäå ñèíóñ ïîëîæèòåëåí, ôóíêöèÿ f (ϕ) ïðèíèìàåò ìåíüøèå çíà÷åíèÿ ÷åì â îáëàñòè, ãäå îí îòðèöàòåëåí. Íåòðóäíî ïåðåâåñòè ýòè "ãåîìåòðè÷åñêèå"àðãóìåíòû íà ñòðîãèé ÿçûê ôîðìóë. Íàïðèìåð,
ïåðâûé èç èíòåãðàëîâ ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå
ϕ
Z0 /2
h ϕ0 i
ϕ0 − f −ϕ +
sin ϕ dϕ,
f ϕ+
2
2
0
34
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
è ìû ÿñíî âèäèì, ÷òî îí ìåíüøå íóëÿ. Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåòñÿ è âòîðîé
èíòåãðàë. Òàêèì îáðàçîì, îòðèöàòåëüíîé îêàçûâàåòñÿ è ñóììà íàøèõ äâóõ
èíòåãðàëîâ:
Z2π
ϕ0 dϕ < 0,
f (ϕ) sin ϕ −
2
0
õîòÿ ïî óñëîâèþ îíà äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ.
Âòîðîå ðåøåíèå çàäà÷è 1.7.16.
Ðåøåíèå. Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè ðàññóæäåíèé áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êðè-
âèçíà îâàëà â êàæäîé òî÷êå ñòðîãî áîëüøå íóëÿ.
Åñëè L îçíà÷àåò äëèíó îâàëà, à â êà÷åñòâå s ìû âîçüìåì íàòóðàëüíûé
ïàðàìåòð, òî â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ (x, y) íàøà ëèíèÿ ìîæåò áûòü îïèñàíà óðàâíåíèÿìè âèäà
x = x (s),
0 ≤ s ≤ L.
y = y (s),
Èç òåîðåìû 1.6.1 ñëåäóåò, ÷òî
ẋ (s) = cos ϕ (s),
ẏ (s) = sin ϕ (s),
0 ≤ ϕ (s) < 2π
è ïóñòü ϕ (0) = 0. Êðèâèçíà îâàëà â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé s âû÷èñëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå k (s) = ϕ̇ (s) (ñì. òåîðåìó 1.6.1). Ïîñêîëüêó êðèâèçíà ïîëîæèòåëüíà, óãîë ϕ = ϕ (s) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âîçðàñòàþùóþ ôóíêöèþ ïåðåìåííîé s. è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò îáðàòíóþ s = s (ϕ). Ïîëàãàÿ äëÿ êðàòêîñòè k (ϕ) = k (s (ϕ)), ìû âèäèì, ÷òî êðèâèçíà k îêàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé
2π -ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ïåðåìåííîé ϕ. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ôóíêöèÿ
s = s (ϕ) â êàæäîé òî÷êå ϕ èìååò ïðîèçâîäíóþ, êîòîðàÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå
1
1
ds
=
=
.
dϕ
ϕ̇ (s (ϕ))
k (ϕ)
dϕ
. Òåïåðü ìû ãîòîâû èçëîæèòü ðåøåíèå çàäà÷è 1.7.16. ÔóíêÎòêóäà ds = k(ϕ)
öèÿ 1/k (ϕ) îðòîãîíàëüíà è êîñèíóñó, è ñèíóñó óãëà ϕ. Â ñàìîì äåëå, îâàë
ýòî çàìêíóòàÿ ëèíèÿ, à çíà÷èò,
ZL
ẋ (s) ds = 0 è
0
ZL
ẏ (s) ds = 0.
0
Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòè èíòåãðàëû ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
ZL
Z2π
cos ϕ (s) ds =
0
0
dϕ
cos ϕ
k (ϕ)
è
ZL
Z2π
sin ϕ (s) ds =
0
sin ϕ
dϕ
.
k (ϕ)
0
Íàì îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ôóíêöèè k (ϕ) è 1/k (ϕ) èìåþò îáùèå ýêñòðåìóìû, è ñîñëàòüñÿ íà òåîðåìó Ãóðâèöà.
Ñôîðìóëèðóåì åùå îäíó çàäà÷ó, ðåøåíèå êîòîðîé òàêæå îïèðàåòñÿ íà
òåîðåìó Ãóðâèöà è ïðèíàäëåæèò Â.Â. Èâàíîâó.
35
1.7. Çàäà÷è
Ïðåäñòàâèì ñåáå âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê, âñå ñòåïåíè ñâîáîäû êîòîðîãî îãðàíè÷åíû âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòüþ. Âñÿêóþ åãî ñòîðîíó, íà êîòîðîé îí ñïîñîáåí ñòîÿòü íà ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèè, íå îïðîêèäûâàÿñü ïîä
äåéñòâèåì íàïðàâëåííîé ¾âíèç¿ ñèëû òÿæåñòè, íàçîâåì îñíîâàíèåì ìíîãîóãîëüíèêà. Îñíîâàíèå áóäåì ñ÷èòàòü óñòîé÷èâûì, åñëè ñòîÿùèé íà íåì
ìíîãîóãîëüíèê íåëüçÿ óðîíèòü, ÷óòü-÷óòü íàêëîíÿÿ åãî â òó èëè èíóþ ñòîðîíó. ßñíî, ÷òî õîòü îäíî òàêîå îñíîâàíèå äîëæíî áûòü. Íà ñàìîì æå äåëå
ñèòóàöèÿ çäåñü íàìíîãî èíòåðåñíåå.
Çàäà÷à 1.7.17 (Îá îñíîâàíèÿõ âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà). Ëþáîé
âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê èìååò ïî êðàéíåé ìåðå äâà óñòîé÷èâûõ îñíîâàíèÿ.
Ðåøåíèå. Â ïëîñêîñòè ìíîãîóãîëüíèêà M ââåäåì äåêàðòîâû êîîðäèíàòû
(x, y), âçÿâ â êà÷åñòâå íà÷àëà ñèñòåìû îòñ÷åòà ¾öåíòð òÿæåñòè¿ íàøåé âûïóêëîé ôèãóðû, êîòîðûé ðàñïîëàãàåòñÿ, î÷åâèäíî, ñòðîãî âíóòðè M . Òàêèì
îáðàçîì, âî-ïåðâûõ,
ZZ
ZZ
x dx dy = 0 è
y dx dy = 0,
M
M
à âî-âòîðûõ, ãðàíèöó M ìû ìîæåì îïèñàòü â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëÿðíûõ
êîîðäèíàòàõ (%, ϕ) óðàâíåíèåì âèäà % = % (ϕ), ãäå ïîëÿðíûé ðàäèóñ % ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëîæèòåëüíóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ óãëîâîé ïåðåìåííîé
ϕ, ïðîáåãàþùåé îòðåçîê îò 0 äî 2π. Åñëè ìû ïåðåñ÷èòàåì óêàçàííûå âûøå äâîéíûå èíòåãðàëû â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ, òî ëåãêî ïðèäåì ê äâóì
íîâûì ðàâåíñòâàì:
1
3
Z2π
0
% (ϕ) cos ϕ dϕ = 0 è
3
1
3
Z2π
%3 (ϕ) sin ϕ dϕ = 0.
0
Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî òåîðåìå Ãóðâèöà, êóá ïîëÿðíîãî ðàäèóñà, à çíà÷èò, è ñàì îí èìååò äâå òî÷êè ìèíèìóìà. Èç ýëåìåíòàðíî-ãåîìåòðè÷åñêèõ
ñîîáðàæåíèé ÿñíî, ÷òî ýòè äâà çíà÷åíèÿ ïîëÿðíîãî óãëà ïîêàçûâàþò íàì, â
êàêèõ íàïðàâëåíèÿõ íóæíî ïðîâåñòè ëó÷è èç öåíòðà ìíîãîóãîëüíèêà, ÷òîáû îíè óïàëè ñòðîãî âíóòðü íåêîòîðûõ åãî ñòîðîí, ïðè÷åì â òî÷íîñòè ïîä
ïðÿìûì óãëîì. Ýòè ñòîðîíû, î÷åâèäíî, è áóäóò èñêîìûìè óñòîé÷èâûìè
îñíîâàíèÿìè.
Êàê âèäíî èç ðåøåíèÿ çàäà÷è, îíà îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé äëÿ ëþáûõ
îãðàíè÷åííûõ âûïóêëûõ îáëàñòåé, åñëè íàðÿäó ñ ¾îñíîâàíèÿìè¿ ìû áóäåì
ãîâîðèòü è îá óñòîé÷èâûõ ¾òî÷êàõ îïîðû¿.
Çàäà÷à 1.7.18. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ
ïåðåñåêàåò îâàë â 2n òî÷êàõ, òî íà îâàëå ñóùåñòâóåò 2n âåðøèí.
Óêàçàíèå. Âîñïîëüçîâàòüñÿ óòâåðæäåíèÿìè çàäà÷ 1.7.16 è 1.7.17.
Çàäà÷à 1.7.19. Ïóñòü γ ïðîñòàÿ (áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé) ðåãóëÿðíàÿ, çà-
ìêíóòàÿ êðèâàÿ êëàññà C 2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç D(γ), îáëàñòü îãðàíè÷åííóþ
γ . Äîêàçàòü, ÷òî åñëè êðèâèçíà k(p) êðèâîé γ â êàæäîé òî÷êå p ∈ γ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó |k(p)| ≤ a1 , òî ñóùåñòâóåò êðóã ðàäèóñà a, öåëèêîì ëåæàùèé â îáëàñòè D(γ).
36
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Äàííàÿ çàäà÷à áûëà ñôîðìóëèðîâàíà À. Ôåòîì è ðåøåíà Â. Èîíèíûì.
Óêàçàíèå. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íóæíî ðàññìîòðåòü è èçó÷èòü ñâîéñòâà
"öåíòðàëüíîãî"ìíîæåñòâà êðèâîé γ . Öåíòðàëüíîå ìíîæåñòâî M îáëàñòè
D(γ) (êðèâîé γ ) ñîñòîèò èç òî÷åê, îïðåäåëåííûõ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïóñòü q ∈ γ . Îáîçíà÷èì ÷åðåç C(q) êðóã ìàêñèìàëüíîãî ðàäèóñà, êàñàþùèéñÿ êðèâîé γ â òî÷êå q è öåëèêîì ëåæàùèé â îáëàñòè D(γ). Ìíîæåñòâî
öåíòðîâ êðóãîâ C(q), êîãäà q ïðîáåãàåò êðèâóþ γ , îáðàçóþò ìíîæåñòâî M .
Çàäà÷à 1.7.20. Èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà áåñêîíå÷íîé âûïóêëîé êðèâîé γ
íå ïðåâîñõîäèò π .
Ðåøåíèå. Ïóñòü γ(s) ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé γ äëèíîé äóãè, îòñ÷èòû-
îò íåêîòîðîé òî÷êè. Äîêàæåì, ÷òî ïðè ëþáûõ s1 è s2 âûïîëíåíî
Râàåìîé
s2
k(s)ds
≤ π.
s1
Rs
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü s1 è s2 òàêèå, ÷òî s12 k(s)ds = ω1 > π .
Ïðîâåäåì ïðÿìûå a1 è a2 , êàñàòåëüíûå ê êðèâîé γ â òî÷êàõ γ(s1 ) è γ(s2 ), ñîîòâåòñòâåííî. Òàê êàê ïðÿìûå íå ïàðàëëåëüíû, òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå A. Òîãäà îáëàñòü D, îãðàíè÷åííàÿ îòðåçêàìè γ(s2 )A, γ(s1 )A è
äóãîé γ(s\
1 )γ(s2 ) êðèâîé γ , îïðåäåëåííîé íåðàâåíñòâàìè s1 ≤ s ≤ s2 , áóäåò
âûïóêëîé êîìïàêòíîé îáëàñòüþ, êîòîðàÿ öåëèêîì ñîäåðæèò êðèâóþ γ , ÷òî
ïðîòèâîðå÷èò
óñëîâèþ çàäà÷è. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáûõ s1 è s2 âûïîëíåRs
íî s12 k(s)ds ≤ π .
Çàäà÷à 1.7.21. Åñëè ôóíêöèÿ êðèâèçíû k(s) íåêîòîðîé êðèâîé γ(s) ÿâ-
ëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé, òî
êðèâàÿ γ íå èìååò òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ. Çäåñü s äëèíà äóãè, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò íåêîòîðîé òî÷êè êðèâîé γ(s), (−∞ < s < ∞).
Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü ÷èñëà s1 è s2 òàêèå, ÷òî γ(s1 ) =
γ(s2 ) è äóãà σ = γ(s\
1 )γ(s2 ) êðèâîé γ(s) ïðè s1 ≤ s ≤ s2 íå èìååò äðóãèõ
òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ, êðîìå γ(s1 ) è γ(s2 ). Òîãäà êðèâàÿ σ îãðàíè÷èâàåò íåêîòîðóþ âûïóêëóþ îáëàñòü D. Ïóñòü C(O, R) êðóã ìàêñèìàëüíîãî
ðàäèóñà, âïèñàííûé â D, òî÷êà O åå öåíòð, à R ðàäèóñ.
Èç óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è 1.7.14 ñëåäóåò, ÷òî îêðóæíîñòü C(0, R) êàñàåòñÿ
σ , ïî êðàéíåé ìåðå, â äâóõ òî÷êàõ γ(s3 ) è γ(s4 ), s1 < s3 < s2 è s1 < s4 < s2 , è
óãîë ∠γ(s3 )Oγ(s4 ) íå ïðåâîñõîäèò π . Íî òîãäà èç óòâåðæäåíèÿ çàäà÷ 1.7.1 è
1.7.12 ñëåäóåò, ÷òî â òî÷êàõ γ(s3 ) è γ(s4 ) êðèâèçíà êðèâîé σ íå ïðåâîñõîäèò
1
\
R , è ñóùåñòâóåò òî÷êà âíóòðè äóãè γ(s3 )γ(s4 ) êðèâîé σ , â êîòîðîé êðèâèçíà
1
ñòðîãî áîëüøå R , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè k(s).
Çàäà÷à 1.7.22. Ïóñòü â óñëîâèÿõ çàäà÷è 1.7.19
lim k(s) = a,
s→∞
lim k(s) = b
s→−∞
(ñëó÷àé a = 0 èëè ñëó÷àé b = ∞ íå èñêëþ÷àþòñÿ). Òîãäà ñóùåñòâóþò
îêðóæíîñòè C1 ( 1b ) è C2 ( a1 ) ðàäèóñîì 1b è a1 , ñîîòâåòñòâåííî, òàêèå, ÷òî
êðèâàÿ γ ñïèðàëåâèäíî íàêðó÷èâàåòñÿ íà îêðóæíîñòü C1 ( 1b ) ñíàðóæè, à
íà îêðóæíîñòü C2 ( a1 ) èçíóòðè.
Óêàçàíèå. Ðåøèòü ñàìîñòîÿòåëüíî. Çàìåòèì, ÷òî ïðè a = 0 êðèâàÿ γ
èìååò àñèìïòîòó, à ïðè b = ∞ íàêðó÷èâàåòñÿ íà òî÷êó.
37
1.7. Çàäà÷è
Ýêâèäèñòàíòíûå êðèâûå. Ïóñòü γ(t) ãëàäêàÿ, ðåãóëÿðíàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé γ , à ~e (t) íåïðåðûâíîå ïîëå íîðìàëüíûõ åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ âäîëü γ; a ≤ t ≤ b. Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî γd , îòêëàäûâàÿ îò êàæäîé
òî÷êè γ(t) êðèâîé γ îòðåçîê äëèíû |d| â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ~e (t), åñëè
d > 0 è â íàïðàâëåíèè âåêòîðà −~e (t), åñëè d < 0. Ìíîæåñòâî γd íàçûâàåòñÿ ýêâèäèñòàíòíîé êðèâîé îòíîñèòåëüíî êðèâîé γ (ñì. ðèñóíîê 1.20). Ýòî
ìíîæåñòâî íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ êðèâîé. Ïðîñòåéøèé ïðèìåð ýêâèäèñòàíòà
γa îêðóæíîñòè ðàäèóñà a åñòü òî÷êà. Òåì áîëåå, íå âî âñåõ òî÷êàõ γd ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé êðèâîé. Óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè γd ñôîðìóëèðîâàíû íèæå
â òåîðåìå 1.7.2 Ëåãêî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ γd , åñëè èçâåñòíû óðàâíåíèÿ γ .
Ïóñòü x = x(t), y = y(t) óðàâíåíèÿ γ è t äëèíà äóãè, a ≤ t ≤ b. Òîãäà
óðàâíåíèÿ γd ñóòü
(
x = xd (t) = x(t) ± y 0 (t)d
(1.7.16)
y = yd (t) = y(t) ∓ x0 (t)d,
ãäå çíàêè (+, −) èëè (−, +) çàâèñÿò îò âûáîðà íàïðàâëåíèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ
~e (t). Îïðåäåëèì çíàêè êðèâèçíû íà êðèâûõ γ è γd ïîëåì ~e (t).
Ðèñ. 1.20: Ýêâèäèñòàíòà êðèâîé.
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1.7.2. Åñëè êðèâàÿ γ ñ ïàðàìåòðèçàöèåé γ(t), (a ≤ t ≤ b)
(a =
∞, b = ∞ íå èñêëþ÷àåòñÿ), ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé êðèâîé êëàññà C 2 è äëÿ
1
, òî ýêâèäèñòàíòà γd
âñåõ t ∈ [a, b] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî d 6=
k(t)
ðåãóëÿðíà è åå êðèâèçíà kd (t) ñâÿçàíà ñ êðèâèçíîé k(t) êðèâîé γ ôîðìóëîé
k(t)
kd (t) =
.
1 − k(t)d
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x = x(t) è y = y(t) óðàâíåíèÿ γ , è ïðåäïîëîæèì,
÷òî t äëèíà äóãè, à ïîëå ~e (t) ñîâïàäàåò ñ ïîëåì âåêòîðîâ (−y 0 (t), x0 (t)).
Òîãäà óðàâíåíèÿ γd ïðèíèìàþò âèä
(
x = xd (t) = x(t) − y 0 (t)d
y = yd (t) = y(t) + x0 (t)d.
Ñëåäîâàòåëüíî,
(
x0d (t) = x0 (t) − y 00 (t)d
yd0 (t) = y 0 (t) + x00 (t)d.
Èç ïðàâèëà îïðåäåëåíèÿ çíàêà êðèâèçíû k(t) êðèâîé γ ñëåäóåò, ÷òî
x00 (t) = −k(t)y 0 ,
y 00 (t) = k(t)x0 (t).
 ñàìîì äåëå, åñëè êîìïîíåíòû ν1 (t) è ν2 (t) ãëàâíîé íîðìàëè ~ν êðèâîé γ çàäàíû ðàâåíñòâàìè: ν1 = −y 0 , ν2 = x0 , òî êðèâèçíà k(t) êðèâîé γ â òî÷êå
γ(t) ïîëîæèòåëüíà, è èç ôîðìóë Ôðåíå ìû ïîëó÷àåì
x00 = −|k|y 0 = −ky 0 ,
y 00 = |k|x0 = kx0 .
38
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Åñëè æå ν1 = y 0 , ν2 = −x0 , òî êðèâèçíà k(t) êðèâîé γ â òî÷êå γ(t) îòðèöàòåëüíà è òîãäà ñíîâà èç ôîðìóë Ôðåíå ìû ïîëó÷àåì
x00 = |k|y 0 = −ky 0 ,
y 00 = −|k|x0 = kx0 .
Èòàê, ìû ïîëó÷èëè
(
x0d = x0 − y 00 d = x0 (1 − kd)
yd0 = y 0 + x00 d = y 0 (1 − kd).
(1.7.17)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
0
0
(x0d )2 + (yd0 )2 = (1 − kd)2 (x 2 + y 2 ) = (1 − kd)2 6= 0,
â ñèëó óñëîâèÿ òåîðåìû. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî. Íàéäåì
òåïåðü êðèâèçíó kd (t) ýêâèäèñòàíòû γd â òî÷êå γd (t). Âîçüìåì òî÷êó γd (t +
4t) è íàéäåì óãîë 4ϕ(t) ìåæäó êàñàòåëüíûìè ê γd â òî÷êàõ γd (t) è γd (t +
4t). Êàê âèäíî èç ôîðìóë (1.7.17) óãîë 4ϕ(t) ðàâåí óãëó 4θ(t) ìåæäó
êàñàòåëüíûìè ê êðèâîé γ â òî÷êàõ γ(t) è γ(t + 4t)
(1.7.18)
4ϕ(t) = 4θ(t).
Äëèíà äóãè 4s êðèâîé γd ìåæäó òî÷êàìè γd (t) è γd (t + 4t) âûðàæàåòñÿ
ôîðìóëîé
Z t+4t
4s =
|1 − kd| dt.
(1.7.19)
t
Èòàê èç (1.7.18) è (1.7.19) ñëåäóåò, ÷òî
|kd (t)| = lim
4t→0
4θ(t)
4t
1
4ϕ(t)
= lim
lim
= |k(t)|
.
4t→0 4t 4t→0 4s
4s
|1 − kd|
(1.7.20)
Èç îïðåäåëåíèÿ çíàêà êðèâèçíû k(t) è kd (t) íåòðóäíî âûâåñòè, ÷òî ïðè
1−kd > 0 çíàêè k(t) è kd (t) ñîâïàäàþò, à ïðè (1−kd) < 0 çíàêè k(t) è kd (t)
ðàçëè÷íû. Ïîýòîìó èç (1.7.20) ñëåäóåò âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Çàìå÷àíèå 1.7.1. Åñëè îïðåäåëèòü R(t) è Rd (t) ôîðìóëàìè
R(t) =
1
,
k(t)
Rd (t) =
1
,
kd (t)
òî ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå òåîðåìû ïðèíèìàåò âèä Rd = R − d.
Çàäà÷à 1.7.23. Ïóñòü γ(t), (−∞ < a ≤ t ≤ b < ∞) ðåãóëÿðíàÿ ïàðà-
ìåòðèçàöèÿ êðèâîé γ êëàññà C 2 . Äîêàçàòü, ÷òî åñëè
1
,
t∈[a,b] k(t)
|d| < inf
òî ìíîæåñòâî γd ∪ γ−d ìîæíî îïðåäåëèòü, êàê ìíîæåñòâî òî÷åê, ðàññòîÿíèå êîòîðûõ äî êðèâîé γ ðàâíî |d|.
Óêàçàíèå Ïðåäïîëîæèòü ïðîòèâíîå è èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò òåîðåìû 1.7.1
ïðèéòè ê ïðîòèâîðå÷èþ.
39
1.7. Çàäà÷è
Çàäà÷à 1.7.24. Ïîñòðîèòü ïðèìåð ãëàäêîé ðåãóëÿðíîé êðèâîé, äëÿ êîòî-
ðîé ýêâèäèñòàíòíûå êðèâûå γd èìåþò íåðåãóëÿðíûå òî÷êè ïðè ëþáîì d.
Ýâîëþòà è ýâîëüâåíòû. Äëÿ ðåãóëÿðíûõ äâàæäû íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûõ êðèâûõ ìîæíî îïðåäåëèòü êðèâóþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ýâîëþòîé
äàííîé êðèâîé γ .
Ïóñòü γ(t), (a ≤ t ≤ b) îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî k(t) 6= 0 ïðè âñåõ
t ∈ [a, b]. Òîãäà â êàæäîé òî÷êå ýòîé êðèâîé γ îïðåäåëåí âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè ~ν (t). Îòëîæèì îò êàæäîé òî÷êè γ(t) êðèâîé γ â íàïðàâëåíèè âåêòîðà
1
~ν (t) îòðåçîê âåëè÷èíû R(t) = k(t)
. Êîíöû ýòèõ îòðåçêîâ îáðàçóþò íåêîòîðîå ìíîæåñòâî òî÷åê, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ýâîëþòîé êðèâîé γ (ñì. ðèñóíîê
1.21).
Ðèñ. 1.21: Ýâîëþòà êðèâîé.
Ýâîëþòà êðèâîé íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ êðèâîé. Òàê, íàïðèìåð, ýâîëþòà îêðóæíîñòè åñòü òî÷êà. Èç òåîðåìû 1.7.2 ñëåäóåò, ÷òî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ
ýêâèäèñòàíòû è ýâîëþòû åñòü îñîáûå (íåðåãóëÿðíûå) òî÷êè ýêâèäèñòàíòû.
 îáùåì ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèå k(t) 6= 0 íå âûïîëíÿåòñÿ âî âñåõ òî÷êàõ
êðèâîé γ , ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ýâîëþòó êðèâîé γ îòäåëüíî äëÿ êàæäîé åå
äóãè, äëÿ êîòîðîé óñëîâèå k(t) 6= 0 óæå âûïîëíåíî.
Åñëè óðàâíåíèå êðèâîé γ â åñòåñòâåííîé ïàðàìåòðèçààöèè ñóòü x =
x(t), y = y(t), òî óðàâíåíèÿ ýâîëþòû çàïèñûâàþòñÿ â òàêîé ôîðìå:
(
x = x̃(t) = x(t) + R(t) ν1 (t)
(1.7.21)
y = ỹ(t) = y(t) + R(t) ν2 (t),
ãäå ν1 (t) è ν2 (t) êîìïîíåíòû ãëàâíîé íîðìàëè ~ν (t). Íàéäåì óñëîâèå, ïðè
êîòîðîì äàííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ ýâîëþòû ðåãóëÿðíà. Äèôôåðåíöèðóÿ (1.7.21)
ïî t, ïîëó÷èì
(
x̃ 0 (t) = x0 (t) + R(t) ν10 (t) + R0 (t) ν1 (t)
(1.7.22)
ỹ 0 (t) = y 0 (t) + R(t) ν20 (t) + R0 (t) ν2 (t).
Ïî ôîðìóëàì Ôðåíå ν10 (t) = −kx0 (t), ν20 (t) = ky 0 (t). Ïîýòîìó
(
x̃ 0 (t) = R0 (t) ν1 (t)
ỹ 0 (t) = R0 (t) ν2 (t).
(1.7.23)
Èç (1.7.23) ñëåäóåò, ÷òî (x̃ 0 )2 + (ỹ 0 )2 = (R0 )2 . Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè R0 (t) 6= 0,
òî òî÷êà (x̃(t), ỹ(t)) åñòü ðåãóëÿðíàÿ òî÷êà ýâîëþòû.
Èç ðàâåíñòâ (1.7.23) ñëåäóåò îñíîâíîå ñâîéñòâî ýâîëþòû: êàñàòåëüíàÿ
ïðÿìàÿ ê ýâîëþòå â òî÷êå (x̃(t), ỹ(t)) ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé ïðÿìîé ê êðèâîé
γ â òî÷êå (x(t), y(t)).
Èòàê, ìû ïîëó÷àåì òàêóþ êàðòèíó.
1. Åñëè âäîëü äóãè γ(t), (a ≤ t ≤ b) âûïîëíåíî k(t) 6= 0 è k 0 (t) 6= 0, òî
ýâîëþòà åñòü ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ.
2.  òî÷êå γ(t0 ), ãäå k(t0 ) = 0, íîðìàëüíàÿ ïðÿìàÿ ê γ ÿâëÿåòñÿ àññèìïòîòîé ê äâóì âåòâÿì ýâîëþòû.
40
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
3. Åñëè â òî÷êå γ(t0 ) âûïîëíåíî k(t0 ) 6= 0, à k 0 (t0 ) = 0 è k 00 (t0 ) 6= 0, òî
â òî÷êå (x̃(t0 ), ỹ(t0 )) ýâîëþòà èìååò îñîáåííîñòü.  ýòîé òî÷êå ñîåäèíÿþòñÿ
äâå ðåãóëÿðíûå äóãè ýâîëþòû, èìåþùèå îáùóþ êàñàòåëüíóþ, íî ëåæàùèå
îò íåå ïî ðàçíûå ñòîðîíû.
Ñëó÷àé k 0 (t0 ) = 0 è k 00 (t0 ) = 0 òðåáóåò äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ, è ìû
íå áóäåì íà íåì îñòàíàâëèâàòüñÿ.
Ïîäñ÷èòàåì òåïåðü äëèíó äóãè ýâîëþòû s ìåæäó òî÷êàìè ñî çíà÷åíèÿìè
ïàðàìåòðà t1 è t2
Z
t2
s=
p
x̃0 2 + ỹ 0 2 dt =
t1
Z
t2
R0 (t) dt = R(t2 ) − R(t1 ),
t1
òî åñòü äëèíà äóãè ðàâíà ðàçíîñòè ðàäèóñîâ êðèâèçíû êðèâîé γ â òî÷êàõ
γ(t2 ) è γ(t1 ).
Îïðåäåëèì ýâîëüâåíòó êðèâîé. Ýâîëüâåíòîé êðèâîé γ íàçûâàåòñÿ òàêàÿ
êðèâàÿ γ , äëÿ êîòîðîé γ ÿâëÿåòñÿ ýâîëþòîé (ñì. ðèñóíîê 1.22).
Ðèñ. 1.22: Ýâîëüâåíòà êðèâîé.
Ïóñòü x = x(t), y = y(t) åñòåñòâåííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ γ . Òîãäà óðàâíåíèå ýâîëüâåíòû γ ìîæíî çàïèñàòü òàê:
(
x = x(t) = x(t) + a(t)x0 (t)
(1.7.24)
y = y(t) = y(t) + a(t)y 0 (t).
Ôóíêöèþ a(t) ìû íàéäåì èç óñëîâèÿ îðòîãîíàëüíîñòè âåêòîðîâ (x0 (t), y 0 (t))
è (x 0 (t), y 0 (y)). Òàê êàê
x 0 (t) = x0 (t) + a(t)x00 (t) + a0 (t)x0 (t),
òî ìû ïîëó÷àåì
èëè
y 0 (t) = y 0 (t) + a(t)y 00 (t) + a0 (t)y 0 (t),
x02 (1 + a0 ) + y 02 (1 + a0 ) = 0
a0 (t) = −1,
îòêóäà a(t) = −t + C . Èòàê, óðàâíåíèÿ ýâîëüâåíòû γ(t) îêàçûâàþòñÿ òàêèìè:
x(t) = x(t) + x0 (t)(C − t),
y(t) = y(t) + y 0 (t)(C − t).
Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ äàííîé êðèâîé γ ñóùåñòâóåò öåëîå ñåìåéñòâî ýâîëüâåíò, çàâèñÿùåå îò êîíñòàíòû C . Íàãëÿäíî ïîñòðîåíèå ýâîëüâåíòû ìîæíî
îïèñàòü òàêèì îáðàçîì. Ïðåäñòàâèì ñåáå íåðàñòÿæèìóþ íèòü, íàòÿíóòóþ
íà ÷àñòü êðèâîé. Åñëè ýòó íèòü ñìàòûâàòü ñ êðèâîé, îñòàâëÿÿ åå âñå âðåìÿ
â íàòÿíóòîì ïîëîæåíèè, òî åå êîíåö îáðàçóåò ýâîëüâåíòó.
Êðèâûå ïîñòîÿííîé øèðèíû. Ïóñòü γ âûïóêëàÿ, çàìêíóòàÿ, ãëàäêàÿ
êðèâàÿ. ×åðåç íåêîòîðóþ òî÷êó q ∈ γ ïðîâåäåì ê íåé êàñàòåëüíóþ ïðÿìóþ
a. Â ñèëó âûïóêëîñòè è çàìêíóòîñòè êðèâîé γ ñóùåñòâóåò òîëüêî îäíà ïðÿìàÿ ā, ïàðàëëåëüíàÿ a, êàñàþùàÿñÿ γ è íå ñîâïàäàþùàÿ ñ a. Âñÿ êðèâàÿ
γ ëåæèò ìåæäó ýòèìè ïðÿìûìè. Ïîýòîìó ÷èñëî d(a), ðàâíîå ðàññòîÿíèþ
41
1.7. Çàäà÷è
ìåæäó ïðÿìûìè a è ā, íàçûâàåòñÿ øèðèíîé êðèâîé γ â íàïðàâëåíèè, îïðåäåëåííîì ïðÿìîé a.
Âûïóêëàÿ çàìêíóòàÿ, ãëàäêàÿ êðèâàÿ γ íàçûâàåòñÿ êðèâîé ïîñòîÿííîé
øèðèíû d, åñëè åå øèðèíà íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ ïðÿìîé a; d(a) ≡ d.
Âîò îäèí èç ïðèìåðîâ êðèâîé ïîñòîÿííîé øèðèíû, îòëè÷íîé îò îêðóæíîñòè.
Ïóñòü A1 A2 A3 åñòü ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé a; A1 A2 =
A1 A3 = A2 A3 = a. Ñ öåíòðîì â òî÷êå A1 , ïðîâåäåì îêðóæíîñòè ðàäèóñà r è ðàäèóñà (r + a) è âîçüìåì òå èõ äóãè σ1 è σ̄1 , êîòîðûå ëåæàò âíå
òðåóãîëüíèêà A1 A2 A3 ìåæäó ïðÿìûìè A1 A3 è A1 A2 (ñì. ðèñóíîê 1.23).
Ðèñ. 1.23: Êðèâàÿ ïîñòîÿííîé øèðèíû.
Àíàëîãè÷íî, îïðåäåëèì äóãè σ2 , σ̄2 è σ3 , σ̄3 . Äóãè σ1 σ̄2 σ3 σ̄1 σ2 σ̄3 â ñîâîêóïíîñòè îáðàçóþò ãëàäêóþ âûïóêëóþ êðèâóþ ïîñòîÿííîé øèðèíû a + 2r.
Ìîæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèå êðèâîé ïîñòîÿííîé øèðèíû è äëÿ êóñî÷íî ãëàäêèõ âûïóêëûõ êðèâûõ, åñëè êàñàòåëüíûå ïðÿìûå çàìåíèòü íà îïîðíûå ïðÿìûå. Ïðèìåðîì òàêîé êðèâîé ìîæåò ñëóæèòü òðåóãîëüíèê Ðåëëî. Îí ñòðîèòñÿ òàêèì îáðàçîì: ñ öåíòðîì â âåðøèíå A1 òðåóãîëüíèêà A1 A2 A3 ïðîâåäåì îêðóæíîñòü ðàäèóñà a è âîçüìåì åå ìåíüøóþ äóãó σ1 ìåæäó òî÷êàìè
A2 è A3 . Àíàëîãè÷íî ñòðîÿòñÿ äóãè σ2 è σ3 . Ñîâîêóïíîñòü äóã σ1 σ2 σ3 îáðàçóþò âûïóêëóþ, çàìêíóòóþ êðèâóþ ïîñòîÿííîé øèðèíû a.  òî÷êàõ A1 , A2
è A3 ýòà êðèâàÿ èìååò âåðøèíû, (ñì. ðèñóíîê 1.24).
Ðèñ. 1.24: Òðåóãîëüíèê Ðåëëî.
Çàäà÷à 1.7.25. Äîêàçàòü, ÷òî äëèíà êðèâîé ïîñòîÿííîé øèðèíû a ðàâíà
πa.
Óêàçàíèå Âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòîì çàäà÷è 1.4.2.
Çàäà÷à 1.7.26. Åñëè γ ãëàäêàÿ êðèâàÿ ïîñòîÿííîé øèðèíû b, è òî÷êè
q1 è q2 ñóòü òî÷êè êàñàíèÿ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ a1 è a2 ñ êðèâîé γ , òî
îòðåçîê q1 q2 ïåðïåíäèêóëÿðåí ïðÿìûì a1 è a2 è, ñëåäîâàòåëüíî, q1 q2 = b.
Ðåøåíèå. Ïóñòü p1 è p2 òî÷êè êðèâîé γ , äëÿ êîòîðûõ äëèíà îòðåçêà p1 p2
ðàâíà äèàìåòðó d êðèâîé γ . Òîãäà êàñàòåëüíûå ê γ , ïðîâåäåííûå â êîíöàõ
ýòîãî äèàìåòðà, îðòîãîíàëüíû îòðåçêó p1 p2 . Ñëåäîâàòåëüíî, d = b.
Ïóñòü òåïåðü òî÷êè q1 è q2 îáëàäàþò ñâîéñòâàìè, óêàçàííûìè â óñëîâèÿõ
çàäà÷è. Òîãäà, ñ îäíîé ñòîðîíû,
q1 q2 ≤ d = p1 p2 = b,
à, ñ äðóãîé ñòîðîíû,
q1 q2 ≥ b = d.
Èç ýòèõ íåðàâåíñòâ ñëåäóåò ðàâåíñòâî q1 q2 = b è q1 q2 îðòîãîíàëåí a1 è a2 .
Èç óòâåðæäåíèé ïîñëåäíåé çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîé òî÷êè q ∈ γ
ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà q ∗ òàêàÿ, ÷òî êàñàòåëüíûå ê γ â òî÷êàõ q è
q ∗ ïàðàëëåëüíû. Òî÷êè q è q ∗ íàçîâåì äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûìè
òî÷êàìè íà êðèâîé γ .
42
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Çàäà÷à 1.7.27. Åñëè γ äâàæäû íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ êðèâàÿ
ïîñòîÿííîé øèðèíû a, è êðèâèçíû êðèâîé γ â äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷êàõ ðàâíû, òî êðèâàÿ γ åñòü îêðóæíîñòü äèàìåòðà a.
Óêàçàíèå. Èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò òåîðåìû 1.7.2
Çàäà÷à 1.7.28. Íàéòè òàêèå àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè, ÷òîáû êðèâàÿ, çà-
äàííàÿ óðàâíåíèÿìè
x = h(θ) cos θ −
dh
sin θ,
dθ
y = h(θ) sin θ +
dh
cos θ,
dθ
áûëà áû êðèâîé ïîñòîÿííîé øèðèíû.
Óêàçàíèå. Óêàæó îäíó èç òàêèõ ôóíêöèé h(θ) = a+b cos 3θ, (0 < 8b < a),
ãäå a è b êîíñòàíòû.
1.8
Êðó÷åíèå êðèâîé
Ïóñòü êðèâàÿ γ ïðèíàäëåæèò êëàññó C 2 , è ïóñòü â òî÷êå p1 êðèâèçíà k
îòëè÷íà îò íóëÿ. Òîãäà, ïî íåïðåðûâíîñòè, êðèâèçíà êðèâîé γ îòëè÷íà îò
íóëÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p1 . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó p2
èç ýòîé îêðåñòíîñòè. Ïî òåîðåìå 1.5.2∗ â òî÷êàõ p1 è p2 ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå ñîïðèêàñàþùèåñÿ ïëîñêîñòè α1 è α2 . Îáîçíà÷èì óãîë ìåæäó íèìè
÷åðåç 4θ, à äëèíó äóãè p1 p2 êðèâîé γ ÷åðåç 4s.
Îïðåäåëåíèå 1.8.1.
lim 4θ
p2 →p1 4s
4θ
,
4s→0 4s
= lim
åñëè îí ñóùåñòâóåò, íàçûâàåòñÿ
àáñîëþòíûì êðó÷åíèå êðèâîé γ â òî÷êå p1 , è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç æ.
Åñëè êðèâàÿ ïëîñêàÿ, òî 4θ ≡ 0 è àáñîëþòíîå êðó÷åíèå æ = 0. Íåìíîãî
ïîçäíåå ìû äîêàæåì, ÷òî âåðíî è îáðàòíîå, åñëè ó êðèâîé γ êðèâèçíà â
êàæäîé òî÷êå îòëè÷íàÿ îò íóëÿ, à êðó÷åíèå ðàâíî íóëþ, òî γ ïëîñêàÿ
êðèâàÿ.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êðó÷åíèÿ è ôîðìóëó äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ.
Òåîðåìà 1.8.1. Åñëè γ åñòü ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ êëàññà C 3 , òî â êàæäîé
åå òî÷êå, â êîòîðîé êðèâèçíà îòëè÷íà îò íóëÿ, ñóùåñòâóåò àáñîëþòíîå
|(~r 0 , ~r 00 , ~r 000 )|
êðó÷åíèå æ, è åñëè ~r (t) ïàðàìåòðèçàöèÿ γ , òî æ =
.
|~r 0 × ~r 00 |2
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ~r = ~r (s) åñòåñòâåííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé.
Ïóñòü â òî÷êå p1 = ~r (s1 ) êðèâèçíà γ îòëè÷íà îò íóëÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ε > 0, ÷òî ïðè s ∈ (s1 −ε, s1 +ε) â òî÷êàõ ~r (s) êðèâèçíà γ òàêæå îòëè÷íà
îò íóëÿ. Óãîë ìåæäó ñîïðèêàñàþùèìèñÿ ïëîñêîñòÿìè â òî÷êå p1 = ~r (s1 ) è
â òî÷êå p2 = ~r (s2 ) ïðè s2 ∈ (s1 − ε, s1 + ε) ðàâåí óãëó ìåæäó áèíîðìàëÿìè
~ (s) è β
~ (s). Ïîýòîìó, |β
~ (s2 ) − β
~ (s1 )| = 2 sin 4θ . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
β
1
2
2
2
~ (s2 ) − β
~ (s1 )|
4θ
4θ
|β
~ 0 (s1 )|.
= lim
· lim
= |β
4θ
s2 →s1
4s→0 4s
4θ→0 2 sin
|s
−
s
|
2
1
2
lim
~ 0 (s1 ) , ãäå β
~ (s) =
Îñòàåòñÿ äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå β
~
r 0 ×~
r 00
|~
r 0 ×~
r 00 | .
43
1.8. Êðó÷åíèå êðèâîé
Çíàìåíàòåëü ýòîãî âûðàæåíèÿ ïðè s = s1 , îòëè÷åí îò íóëÿ, òàê êàê
0
r 00 |
k(s1 ) = |~r |~r×~
6= 0. Ïîýòîìó èç óñëîâèé íàøåé òåîðåìû è ïðàâèëà äèôôå0 |3
~ 0 (s1 ). Ôîðìóëó æ = |β
~ 0 (s1 )|
ðåíöèðîâàíèÿ äðîáè ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå β
ïðåîáðàçóåì â ôîðìóëó, áîëåå óäîáíóþ äëÿ âû÷èñëåíèé. Ïî îïðåäåëåíèþ
~ (s) = ~τ (s) × ~ν (s). Ïîýòîìó β
~ 0 = ~τ 0 × ~ν + ~τ × ~ν 0 . Òàê êàê ~τ 0 = ~r 00 , à
β
ss
~
r 00
0
0
0
0
~
~
~
~
~
~
~
~ν = |~r ss
,
òî
τ
×
ν
=
0
è
β
=
τ
×
ν
.
Îòñþäà
ñëåäóåò,
÷òî
β
⊥
τ
,
à
êðîìå
00 |
ss
~
~ . Çíà÷èò β
~ 0 = λ~ν , ãäå |λ| = |β
~ 0 |. Èòàê, æ = |β
~ 0 | = |(β
~ 0 , ~ν )| , èëè
β
òîãî, 0 ⊥ β
0 ~
0
0
τ
~
ν
ν
τ
~
ν
~
ν
~
ν
æ = |(~ × , )| = |(~ , , )|. Íàéäåì
~ν =
~
r 000
sss
|~
r 00
ss |
~ν 0
Ïîýòîìó ~ν 0 =
~r 00ss
.
|~r 00ss |
+ A~r 00 , ãäå A íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îò s. Ïîäñòàâëÿÿ âûr0 ~
r 00 ~
r 000
ðàæåíèå äëÿ ν â ôîðìóëó äëÿ æ, ïîëó÷èì æ = |(~τ , ~ν , ~ν 0 )| = |(~r ,|~rr 00,|2r )| .
Åñëè ~r = ~r (t) ïðîèçâîëüíàÿ òðèæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ, òî
~r 00tt
+ A~r 0t ,
|~r 0t |2
~r 000
|~r 0 × ~r 00 |
= ttt
+ B~r 00tt + C~r 0t , |~r 00ss | = t 0 3 tt ,
0
3
|~r t |
|~r t |
~r 0s = ~r 0t
~r 000
sss
1
,
|~r 0t |
~r 00ss =
ãäå A, B è C íåêîòîðûå ôóíêöèè îò t. Ïîýòîìó
æ=
|(~r 0t , ~r 00tt , ~r 000
ttt )|
.
|~r 0t × ~r 00tt |2
Äëÿ êðèâûõ γ â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî îïðåäå~ 0 | = |(β
~ 0 , ~ν )|. Îïðåäåëèì êðóëèòü çíàê êðó÷åíèÿ. Êàê ìû óæå âèäåëè |β
0 ~
~
÷åíèå ôîðìóëîé æ = −(β , ν ). Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî çíà÷èò, ÷òî êðó÷åíèå ïî~ } âðàùàåòñÿ
ëîæèòåëüíî, åñëè ïðè äâèæåíèè âäîëü êðèâîé ðåïåð {~τ , ~ν , β
âîêðóã ~τ ïî ïðàâèëó ïðàâîãî âèíòà, òî åñòü, ñ íà÷àëà âåêòîðà ~τ , òî âðàùåíèå ïðîèñõîäèò ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.
1.8.1
Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû
(~r 0 , ~r 00 , ~r 000 )
|~r 00 |2
(~r 0 , ~r 00 , ~r 000 )
æ=
|~r 0 × ~r 00 |2
æ=
äëÿ åñòåñòâåííîé ïàðàìåòðèçàöèè ~r = ~r (s),
äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïàðàìåòðèçàöèè ~r = ~r (t).
Íàéäåì òåïåðü âñå êðèâûå, ó êîòîðûõ â êàæäîé òî÷êå êðèâèçíà îòëè÷íà
~ 0 | = æ ïðè åñòåîò íóëÿ, à êðó÷åíèå ðàâíî íóëþ. Ïóñòü æ = 0 òàê êàê |β
~ 0 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, β
~ (s) = β
~ . Êðîìå
ñòâåííîé ïàðàìåòðèçàöèè, òî β
0
0
~
~
òîãî, íàì óæå èçâåñòíî, ÷òî (β , ~τ ) = 0, èëè (~r , β 0 ) = 0, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
~ ) = const. Çíà÷èò êðèâàÿ γ ëåæèò â ïëîñêîñòè îðòîãîíàëüíîé
(~r (s)−~r (s0 ), β
0
~
âåêòîðó β 0 , òî åñòü γ ïëîñêàÿ êðèâàÿ.
44
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå k 6= 0 íå ÿâëÿåòñÿ èçëèøíèì. Ðàññìîòðèì êðèâóþ
γ , ñîñòîÿùóþ èç äâóõ äóã γ1 è γ2 , γ1 , çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè y = x4 , z =
0, (0 ≤ x < ∞), à γ2 : y = 0, z = x4 , (−∞ < x ≤ 0). Äëÿ ïîëó÷åííîé
êðèâîé γ êðèâèçíà îïðåäåëåíà âî âñåõ òî÷êàõ è ðàâíà íóëþ òîëüêî â òî÷êå
M0 (0, 0, 0), êðó÷åíèå ðàâíî íóëþ âñþäó, ãäå îíî îïðåäåëåíî. Òåì íå ìåíåå,
ýòà êðèâàÿ íå ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé êðèâîé.
1.9
Ôîðìóëû Ôðåíå è íàòóðàëüíîå óðàâíåíèå
êðèâîé
Âî âñåõ òî÷êàõ ðåãóëÿðíîé òðèæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé γ , â êîòîðûõ êðèâèçíà îòëè÷íà îò íóëÿ, îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû òðè
~ , îáðàçóþùèõ áàçèñ.
åäèíè÷íûõ ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðà, ~τ , ~ν è β
Ïîýòîìó ëþáîé âåêòîð ìîæåò áûòü âûðàæåí ÷åðåç íèõ ëèíåéíîé êîìáèíà~ 0 òàêæå ìîæíî ðàçëîæèòü ïî âåêòîöèåé.  ÷àñòíîñòè, âåêòîðû ~τ 0 , ~ν 0 è β
~
ðàì ~τ , ~ν è β . Åñëè ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé åñòåñòâåííàÿ, òî êîýôôèöèåíòû
ðàçëîæåíèÿ èìåþò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë è âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êðèâèçíó è
êðó÷åíèå.  ñàìîì äåëå,
~τ (s) = ~r 0 (s),
~τ 0 = ~r 00 = |~r 00 |
~r 00
= k~ν
|~r 00 |
~ 0 = λ~ν è èç îïðåäåëåíèÿ çíàêà êðó÷åíèÿ èìååì λ = − æ. Ïîýòîìó
β
~ 0 = − æ ~ν .
β
~ } îáðàçóåò ïðàâóþ òðîéêó. Ïîýòîìó
Òðîéêà âåêòîðîâ {~τ , ~ν , β
~ × ~τ ,
~ν = β
~ = ~τ × ~ν ,
β
~.
~τ = ~ν × β
~ 0 × ~τ + β
~ × ~τ 0 = − æ(~ν × ~τ ) + k(β
~ × ~ν ) = æ β
~ − k~τ .
~ν 0 = β
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëû, íàçûâàåìûå ôîðìóëàìè Ôðåíå

0

~τ
~ν 0

~ 0
β
=
k~ν
~
= −k~τ
+ æβ
=
− æ ~ν .
(1.9.25)
Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè Ôðåíå, ëåãêî íàéòè îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè êðèâîé
~) è
íà ñîïðèêàñàþùóþñÿ ïëîñêîñòü (~τ , ~ν ), íà íîðìàëüíóþ ïëîñêîñòü (~ν , β
~
íà ñïðÿìëÿþùóþ ïëîñêîñòü (~τ , β ). Ââåäåì äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ
íà÷àëîì â çàäàííîé òî÷êå p = ~r (s0 ) è ñ îñÿìè êîîðäèíàò, íàïðàâëåííûìè
~ ; ~τ = ~i, ~ν = ~j , β
~ = ~k . Ïðèìåíèì ôîðìóëó Òåéëîðà ê
ïî âåêòîðàì ~τ , ~ν è β
âåêòîð-ôóíêöèè ~r = ~r (s0 )
1
1
~r (s) = ~r (s0 ) +~r 0 (s)(s − s0 ) + ~r 00 (s0 )(s − s0 )2 + ~r 000 (s0 )(s − s0 )3 + ō((s − s0 )3 ).
2
6
45
1.9. Ôîðìóëû Ôðåíå è íàòóðàëüíîå óðàâíåíèå êðèâîé
Òàê êàê
~r (s0 ) = 0,
~r 0 (s0 ) = ~τ (s0 ) = ~i,
~r 00 (s0 ) = k ~ν = k ~j
~ (s0 )) =
~r 000 (s0 ) = k 0~ν (s0 ) + k~ν 0 (s0 ) = k 0~ν (s0 ) + k(−k~τ (s0 ) + æ β
= −k 2 ~i + k 0 ~j + k æ ~k ,
òî

1


x(s) = s − s0 + (−k 2 )(s − s0 )3 + ō1 ((s − s0 )3 )


6


1
1
y(s) = k(s − s0 )2 + k 0 (s − s0 )3 + ō2 ((s − s0 )3 )

2
6



1

3
 z(s) = k æ(s − s0 ) + ō3 ((s − s0 )3 ).
6
Èç ïîñëåäíèõ ôîðìóë ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ îðòîãîíàëüíûõ ïðîåêöèé
y = 21 kx2 + ō(x3 ),
(1) íà ñîïðèêàñàþùóþñÿ ïëîñêîñòü:
(2) íà íîðìàëüíóþ ïëîñêîñòü: z 2 = Ay 3 + ō(y 3 ), ãäå A =
2 æ2
9k ,
(3) íà ñïðÿìëÿåìóþ ïëîñêîñòü: z = Bx3 + ō(x3 ), ãäå B = 61 k æ.
Èç âûâåäåííûõ íàìè ôîðìóë, ñëåäóåò, ÷òî êðèâèçíà ïðîåêöèè êðèâîé íà
ñîïðèêàñàþùóþñÿ ïëîñêîñòü ðàâíà êðèâèçíå ñàìîé êðèâîé â ýòîé æå òî÷êå, à êðèâèçíà ïðîåêöèé íà ñïðÿìëÿþùóþñÿ ïëîñêîñòü ðàâíà íóëþ. Îòñþäà ïðîèñõîäèò è íàçâàíèå ýòîé ïëîñêîñòè. Äëÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ êðèâûõ
ñïðàâåäëèâà òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå äëÿ ïëîñêèõ êðèâûõ.
Òåîðåìà 1.9.1. Ïóñòü k(s) ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ ñòðîãî ïîëîæè-
òåëüíàÿ ôóíêöèÿ, à æ(s) ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, 0 ≤ s ≤ a.
Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ, ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå, îðèåíòèðîâàííàÿ êðèâàÿ, äëÿ êîòîðîé k(s) ÿâëÿåòñÿ êðèâèçíîé, à
æ(s) êðó÷åíèåì â òî÷êå, ñîîòâåòñòâóþùåé êîíöó äóãè äëèíû s.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè êðèâàÿ γ ñ çàäàííûìè ôóíêöèÿìè êðèâèçíû k(s) è
êðó÷åíèå æ(s) ñóùåñòâóåò, òî äëÿ íåå âûïîëíÿþòñÿ ôîðìóëû Ôðåíå

0

=
k~ν
~τ
~
(1.9.26)
~ν 0 = −k~τ
+ æβ

~ 0
β
=
− æ ~ν .
Ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè óðàâíåíèÿ èñêîìîé êðèâîé γ , åñòåñòâåííî
ðàññìîòðåòü ôîðìóëû Ôðåíå, êàê ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ
çàäàííûìè ôóíêöèÿìè k(s) è æ(s), â êîòîðîé èñêîìûìè ôóíêöèÿìè ÿâëÿ~ (s). À çàòåì óæå, çíàÿ ôóíêöèþ ~τ (s),
þòñÿ âåêòîð-ôóíêöèè ~τ (s), ~ν (s) è β
íàéòè è âåêòîð-ôóíêöèþ ~r (s).
~ (s) ðåøåíèå ñèñòåìû (1.9.26) ñ íà÷àëüÏóñòü ôóíêöèè ~τ (s), ~ν (s) è β
~ (0) = β
~ , ïðè÷åì
íûìè óñëîâèÿìè ~τ (0) = ~τ 0 , ~ν (0) = ~ν 0 è β
0
~ ,β
~ )=1
(~τ 0 , ~τ 0 ) = (~ν 0 , ~ν 0 ) = (β
0
0
~
~
(~τ 0 , ~ν 0 ) = (~τ 0 , β ) = (~ν 0 , β ) = 0
0
0
~ ) = 1.
(~τ 0 , ~ν 0 , β
0
(1.9.27)
46
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Äîêàæåì, ÷òî ðàâåíñòâà (1.9.27) âûïîëíÿþòñÿ ïðè ëþáîì s. Ââåäåì øåñòü
íîâûõ ôóíêöèé
ξ1 = (~τ (s), ~τ (s)),
ξ4 = (~τ (s), ~ν (s)),
ξ2 = (~ν (s), ~ν (s)),
~ (s)),
ξ5 = (~τ (s), β
~ (s), β
~ (s)),
ξ3 = (β
~ (s)).
ξ6 = (~ν (s), β
Íàéäåì ïåðâûå ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè ξi , ïîëüçóÿñü óðàâíåíèÿìè Ôðåíå

ξ10 = (~τ , ~τ )0 = 2(~τ 0 , ~τ ) = 2kξ4 ,




~ , ~ν ) = −2kξ4 + 2 æ ξ6 ,
ξ20 = 2(~ν 0 , ~ν ) = 2(−k ~τ + æ β



ξ 0 = 2(β
~ 0, β
~ ) = 2(− æ ~ν , β
~ ) = −2 æ ξ6 ,
3
(1.9.28)
0
0
0

~ν ) + (~τ , ~ν ) = kξ2 − kξ1 + æ ξ5 ,
ξ
=
(~
τ
,

4



~ ) + (~τ , β
~ 0 ) = 2kξ6 − 2 æ ξ4 ,
ξ50 = (~τ 0 , β


 0
~ ) + (~ν , β
~ 0 ) = − æ ξ2 + hξ3 + kξ5 .
ξ6 = (~ν 0 , β
Ðàññìîòðèì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó ðàâåíñòâ, êàê ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèé ξi , (i = 1, . . . , 6), óäîâëåòâîðÿþùèõ íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
ξ1 = ξ2 = ξ3 = 1,
ξ4 = ξ5 = ξ6 = 0.
(1.9.29)
ξ4 (s) = ξ5 (s) = ξ6 (s) ≡ 0
(1.9.30)
Èç òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè ñëåäóåò
ξ1 (s) = ξ2 (s) = ξ3 (s) ≡ 1,
~ (s)) = 1 ïî íåïðåðûâíîñòè.
è (~τ (s), ~ν (s), β
Òåïåðü îïðåäåëèì âåêòîð-ôóíêöèþ ~r (s) ôîðìóëîé
Z s
~r (s) = ~r 0 +
~τ (s) ds.
0
Êðèâàÿ γ , çàäàííàÿ ýòîé ôîðìóëîé, åñòü èñêîìàÿ êðèâàÿ. Â ñàìîì äåëå,
|~r 0 (s)| = |~τ (s)| = 1. Çíà÷èò s åñòü äëèíà äóãè, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò òî÷êè
γ(0) = ~r (0). Ïîýòîìó
k(s) = |~r 00 (s)| = |~τ 0 (s)| = |k ~ν (s)| = k(s)
~ 0 , ~ν ) = −(− æ ~ν , ~ν ) = æ(s) ñíîâà
â ñèëó óðàâíåíèé Ôðåíå. Íàêîíåö, æ = −(β
â ñèëó óðàâíåíèé Ôðåíå. Çàìåòèì, ÷òî êðèâàÿ γ , âîîáøå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ òðèæäû íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé, à òîëüêî äâàæäû
íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîé, òåì íå ìåíåå îíà â êàæäîé ñâîåé òî÷êå
èìååò êðó÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Åñëè
êðèâèçíà êðèâîé åñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî γ îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ,
äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé, íî èç íåïðåðûâíîñòè êðó÷åíèÿ íå ñëåäóåò åå òðèæäû íåïðåðûâíàÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü.
Íàïðèìåð,
ïëîñêàÿ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ êðèâàÿ èìååò íóëåâîå êðó÷åíèå è íå ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, òðèæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé.
Èçó÷èì òåïåðü âîïðîñ î åäèíñòâåííîñòè êðèâîé γ . Êàê ìû óæå âèäå~ }.
ëè, êðèâàÿ γ îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî, åñëè çàäàíû âåêòîðû {~r 0 ; ~τ 0 , ~ν 0 , β
0
1.9. Ôîðìóëû Ôðåíå è íàòóðàëüíîå óðàâíåíèå êðèâîé
47
Ïîýòîìó, åñëè äâå êðèâûå γ1 è γ2 èìåþò ðàâíûå ôóíêöèè êðèâèçíû è
êðó÷åíèÿ, êàê ôóíêöèè äëèíû äóãè s, òî îíè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (~r 1 )0 , (~r 2 )0 è íàïðàâëåíèÿìè âåêòîðîâ
~ )0 è (~τ 2 )0 , (~ν 2 )0 , (β
~ )0 . Ïåðåâîäÿ ïàðàëëåëüíûì ñäâèãîì òî÷(~τ 1 )0 , (~ν 1 )0 , (β
1
2
r
r
êó (~ 2 )0 â òî÷êó (~ 1 )0 , ìû çàòåì ïîâîðîòîì âîêðóã ýòîé òî÷êè ìîæåì ñîâ~ )0 ñ ðåïåðîì (~τ 1 )0 , (~ν 1 )0 , (β
~ )0 , ïîñëå ÷åãî
ìåñòèòü ðåïåð (~τ 2 )0 , (~ν 2 )0 , (β
2
1
êðèâûå γ1 è γ2 ñîâïàäóò.
Åñëè â ýòîé òåîðåìå îòêàçàòüñÿ îò óñëîâèÿ k > 0 è ïîòðåáîâàòü, ÷òî
k(s) ≥ 0 è k(s) = 0 òîëüêî â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê s1 , s2 , . . . , sk , òî ìîæíî
äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå êðèâîé γ , ó êîòîðîé êðèâèçíà áóäåò ñîâïàäàòü ñ
çàäàííîé ôóíêöèåé k(s), à êðó÷åíèå ñîâïàäåò ñ ôóíêöèåé æ(s) âî âñåõ òî÷êàõ, êðîìå òî÷åê s1 , s2 , . . . , sk .  ýòèõ òî÷êàõ ó êðèâîé γ êðó÷åíèå ïðîñòî íå
îïðåäåëåíî. Åäèíñòâåííîñòè êðèâîé γ â ýòîì ñëó÷àå íåò. Êðèâàÿ γ ñîñòîèò
èç "æåñòêèõ"äóã ìåæäó òî÷êàìè γ(si ) è γ(si+1 ), (i = 1, . . . , k −1) à â òî÷êàõ
γ(s1 ) îíè (äóãè) ìîãóò âðàùàòüñÿ îòíîñèòåëüíî âåêòîðà ~τ (si ).
 çàêëþ÷åíèå, ïîäñ÷èòàåì êðèâèçíó è êðó÷åíèå âèíòîâîé ëèíèè:
x = a cos t, y = a sin t, z = bt, ãäå a è b íåêîòîðûå ÷èñëà, ïðè÷åì a > 0.
~r
~r 0
= ~r (t) = a cos t~i + a sin t ~j + bt ~k
= −a sin t~i + a cos t ~j + bk
~r 00 = −a cos t~i − a sin t ~j
~r 000 = a sin t~i − a cos t ~j ,
p
|~r 0 | = a2 + b2 ,
~k
~i
~j
~r × ~r
= −a sin t a cos t b = ab sin t~i − ab cos t ~j + a2 ~k ,
−a cos t −a sin t 0
p
0
00
|~r × ~r | = a a2 + b2 ,
√
a
a a2 + b2
,
k(t) =
3 =
2 + b2
2
2
a
2
(a + b )
0
00
−a sin t
(~r 0 ,~r 00 ,~r 000 ) = −a cos t
a sin t
æ(t) =
a cos t
−a sin t
−a cos t
b
0 = a2 b,
0
b
a2 b
= 2
.
+ b2 )
a + b2
a2 (a2
Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî
êðèâèçíà è êðó÷åíèå âèíòîâîé ëèíèè ïî-
ñòîÿííû è íå çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà
t. Èç òåîðåìû 1.9.1 ñëåäóåò, ÷òî
ëþáàÿ
êðèâàÿ ñ ïîñòîÿííîé êðèâèçíîé è ïîñòîÿííûì êðó÷åíèå åñòü âèíòîâàÿ ëèíèÿ, äëÿ êîòîðîé
a=
k2
k
,
+ æ2
b=
k2
æ
.
+ æ2
 ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðåøèì äâå çàäà÷è î ïðîñòðàíñòâåííûõ êðèâûõ.
Ïðåäâàðèòåëüíî ñôîðìóëèðóåì è ðåøèì ðÿä çàäà÷ î êðèâûõ íà ñôåðå.
48
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ïðåäâàðèòåëüíî ñîîáùèì íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ î ãåîìåòðèè íà ñôåðå (ñôåðè÷åñêîé ãåîìåòðèè). Ïóñòü SR ñôåðà ðàäèóñà R â R3 . Åñëè p åñòü íåêîòîðàÿ òî÷êà SR , òî ÷åðåç p∗ îáîçíà÷èì òî÷êó, äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíóþ òî÷êå P . Åñëè p è q ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ñôåðû è q 6= p∗ , òî ñóùåñòâóåò
åäèíñòâåííàÿ áîëüøàÿ îêðóæíîñòü c(p, q), ñîäåðæàùàÿ p è q (ýòà îêðóæíîñòü C(p, q) åñòü ïåðåñå÷åíèå SR ñ ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè
p, q è öåíòð ñôåðû SR ). Òî÷êè p è q ðàçáèâàþò C(p, q) íà äâå äóãè, ìåíüøóþ (ïî äëèíå) èç íèõ îáîçíà÷èì pq . Äëèíó ýòîé äóãè îáîçíà÷èì ÷åðåç
ρ(p, q) èëè ÷àñòî ïðîñòî pq , è íàçîâåì ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè p è q
íà ñôåðå SR .
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëèíà ëþáîé äðóãîé êðèâîé ñ êîíöàìè â òî÷êàõ p è q
ñòðîãî áîëüøå pq . Ýòî óòâåðæäåíèå áóäåò äîêàçàíî â ãëàâå 3, à ïîêà ìû åãî
ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà. Ïîýòîìó êðèâóþ pq ìû áóäåì íàçûâàòü êðàò÷àéøåé. Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè p è p∗ ïîëîæèì ðàâíûì πR è ëþáóþ
äóãó áîëüøîé îêðóæíîñòè, ñîäåðæàùóþ p è p∗ , íàçîâåì êðàò÷àéøåé pp∗ .
ßñíî, ÷òî p è p∗ ñîåäèíÿþòñÿ íå åäèíñòâåííîé êðàò÷àéøåé, à áåñêîíå÷íî
áîëüøèì ÷èñëîì êðàò÷àéøèõ. Ïðîñòî çàìêíóòàÿ êðèâàÿ γ íà ñôåðå SR ðàçáèâàåò åå íà äâå îáëàñòè D1 (γ) è D2 (γ), êàæäàÿ èç êîòîðûõ ãîìåîìîðôíà
êðóãó.
Îïðåäåëåíèå 1.9.1. Îáëàñòü D íà ñôåðå SR íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè
äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê p è q , ïðèíàäëåæàùèõ D, ñóùåñòâóåò êðàò÷àéøàÿ
pq , ïðèíàäëåæàùàÿ D. Êðèâàÿ γ íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé êðèâîé, åñëè îäíà
èç îáëàñòåé D1 (γ) èëè D2 (γ) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé îáëàñòüþ.
1.10
Çàäà÷è
Ñôîðìóëèðóåì åùå ðÿä çàäà÷.
Çàäà÷à 1.10.1. Äîêàçàòü, ÷òî äëèíà ëþáîé âûïóêëîé êðèâîé íà ñôåðå SR
íå ïðåâîñõîäèò 2πR è ðàâíà 2πR òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà γ ñîâïàäàåò ñ áîëüøîé îêðóæíîñòüþ, ëèáî ñ äâóóãîëüíèêîì, îáðàçîâàííûì äâóìÿ
êðàò÷àéøèìè, ñîåäèíÿþùèìè íåêîòîðóþ òî÷êó p ñ p∗ .
Ðåøåíèå. Ïóñòü D âûïóêëàÿ îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ êðèâîé γ .
Ðàññìîòðèì òîò ñëó÷àé, êîãäà íà γ ñóùåñòâóåò ïàðà äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê; p, p∗ ∈ γ . Ïðîâåäåì îäíó èç êðàò÷àéøèõ (pp∗ )1 , ëåæàùóþ âíóòðè D. Ñóùåñòâîâàíèå êðàò÷àéøåé (pp∗ )1 , ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ
ïîíÿòèÿ âûïóêëîé îáëàñòè. Êðàò÷àéøàÿ (pp∗ )1 ðàçáèâàåò D íà äâå îáëàñòè
D1 è D2 , à òî÷êè p è p∗ ðàçáèâàþò êðèâóþ γ íà äâå äóãè γ1 è γ2 . Ïóñòü
γ1 ïðèíàäëåæèò ãðàíèöå D1 à γ2 ãðàíèöå D2 è ïóñòü l(γ1 ) ≥ l(γ2 ). Ñðåäè
âñåõ êðàò÷àéøèõ, ñîåäèíÿþùèõ p ñ p∗ è ëåæàùèõ â îáëàñòè D1 , âîçüìåì òó
êðàò÷àéøóþ (pp∗ )2 , êîòîðàÿ ñ êðàò÷àéøåé (pp∗ )1 èìååò íàèáîëüøèé óãîë.
(Íå èñêëþ÷åíî, ÷òî (pp∗ )2 = (pp∗ )1 ).
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî γ1 = (pp∗ )2 . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü γ1 6=
∗
(pp )2 . Ââåäåì íà γ1 ïàðàìåòðèçàöèþ γ1 (t), ãäå t äëèíà äóãè, îòñ÷èòûâàåìàÿ
îò òî÷êè p, 0 ≤ t ≤ l1 = l(γ1 ).
Îïðåäåëèì íà [0, l1 ] ôóíêöèþ α(t), ïîëàãàÿ åå ðàâíîé óãëó, êîòîðûé
îáðàçóåò êðàò÷àéøàÿ pγ(t) ñ êðàò÷àéøåé (pp∗ )2 â òî÷êå p ïðè t 6= 0 è
α(0) = lim α(t). Ïîñëåäíèé ïðåäåë ñóùåñòâóåò â ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêt→0
öèè α(t). Àíàëîãè÷íî, îïðåäåëèì ôóíêöèþ β(t), ïîëàãàÿ åå ðàâíîé óãëó,
49
1.10. Çàäà÷è
êîòîðûé îáðàçóåò êðàò÷àéøàÿ p∗ γ(t) ñ êðàò÷àéøåé (pp∗ )2 â òî÷êå p∗ ïðè
t < l è β(l) = lim β(t). Òàê êàê 0 = β(0) < α(0), à β(l) > α(l) = 0, òî
t→l
ñóùåñòâóåò òàêîå t0 , ÷òî α(t0 ) = β(t0 ) 6= 0. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèíèÿ
pγ(t0 ) ∪ γ(t0 )p∗ åñòü êðàò÷àéøàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ p c p∗ , ëåæàùàÿ âíóòðè D è
îòëè÷íàÿ îò (pp∗ )2 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ (pp∗ )2 . Èòàê γ1 = (pp∗ )2 ,
è çíà÷èò äëèíà l1 êðèâîé γ1 ðàâíà πR. Íî òîãäà ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
πR ≤ l(γ2 ) ≤ l(γ1 ) = πR. Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî γ2 åñòü êðàò÷àéøàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ p c p∗ , è äëèíà γ ðàâíà 2πR.
Âî âòîðîì ñëó÷àå ïîñòðîèì ïîëèãîí p(γ), âïèñàííûé â êðèâóþ γ , è äëèíà êîòîðîãî îòëè÷àåòñÿ îò äëèíû γ ñêîëü óãîäíî ìàëî. Îáîçíà÷èì åãî âåðøèíû ÷åðåç A1 , A2 , . . . , An .  ñèëó âûïóêëîñòè êðèâîé γ , ïîëèãîí p(γ) òàêæå âûïóêëûé, è âî âñåõ åãî âåðøèíàõ âíóòðåííèé óãîë íå ïðåâîñõîäèò π
∠Ai Ai+1 Ai+2 ≤ π,
(i = 1, . . . , n).
Ñòîðîíó A1 A2 ïðîäîëæèì äî áîëüøîé îêðóæíîñòè C(A1 , A2 ). Òàê êàê p(γ)
íå ñîäåðæèò äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê, òî ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé íîìåð i0 òàêîé, ÷òî òî÷êà Ai0 6∈ C(A1 , A2 ).
Äîêàæåì, ÷òî C(A1 , A2 ) íå ïåðåñåêàåò äóãó γ1 , ïîëèãîíà p(γ) îò òî÷êè
Ai0 −1 äî òî÷êè An+1 = A1 . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü C(A1 , A2 )∩γ1 6=
∅. Îáîçíà÷èì ÷åðåç B1 ïåðâóþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ, ñ÷èòàÿ îò Ai1 −1 , à ÷åðåç B2 ïîñëåäíþþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ. Òîãäà äóãè îêðóæíîñòè Ai1 −1 B1
è B2 A1 ëåæàò âíå ïîëèãîíà p(γ). Íî îäíà èç ýòèõ äóã åñòü êðàò÷àéøàÿ, è
ìû ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ óñëîâèåì âûïóêëîñòè ïîëèãîíà p(γ). Èòàê, ìû
äîêàçàëè, ÷òî ïîëèãîí p(γ) öåëèêîì ëåæèò â çàìêíóòîé ïîëóñôåðå, îãðàíè÷åííîé îêðóæíîñòüþ C(A1 , A2 ). Îòñþäà óæå ñòàíäàðòíûìè ïðèåìàìè
äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëèíà ïîëèãîíà p(γ) ñòðîãî ìåíüøå äëèíû C(A1 , A2 ),
êîòîðàÿ ðàâíà 2πR. Çíà÷èò è äëèíà γ ñòðîãî ìåíüøå 2πR.
Çàäà÷à 1.10.2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè γ åñòü ñïðÿìëÿåìàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ íà ñôåðå SR è ñóùåñòâóåò òàêàÿ áîëüøàÿ îêðóæíîñòü C ñôåðû SR ,
÷òî ïåðåñå÷åíèå ëþáîé çàìêíóòîé ïîëóîêðóæíîñòè C ñ γ íå ïóñòî, òî
äëèíà êðèâîé γ íå ìåíüøå 2πR.
Ðåøåíèå. Ïóñòü T = C ∩ γ . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó A1 ∈ T . Òî÷êè
A1 è A∗1 ðàçáèâàþò C íà äâå äóãè C1 è C2 . Íà äóãå C1 âîçüìåì òî÷êó
A2 ∈ T , íàèáîëåå óäàëåííóþ îò A1 .  ñèëó óñëîâèé çàäà÷è, òàêàÿ òî÷êà A2
ñóùåñòâóåò è îòëè÷íà îò A1 . Åñëè A2 = A∗1 , òî çàäà÷à ðåøåíà, òàê êàê äëèíà
ëþáîé èç äóã γ1 è γ2 , íà êîòîðûå òî÷êè A1 è A∗1 ðàçáèâàþò γ , íå ìåíüøå
πR. Åñëè æå A2 6= A∗1 , òî íà äóãå A∗1 D ⊂ C2 è äëèíû πR − A2 A∗1 ñóùåñòâóåò
òî÷êà A3 ∈ T , îïÿòü æå â ñèëó óñëîâèé çàäà÷è. Èòàê ìû ïîëó÷èëè òðè
òî÷êè A1 , A2 , A3 ∈ T . Êàæäàÿ èç äóã A1 A2 , A2 A3 è A3 A1 îêðóæíîñòè C
åñòü êðàò÷àéøàÿ, à ñóììà èõ äëèí ðàâíà 2πR. Íî ýòè æå òî÷êè A1 , A2 , A3
ðàçáèâàþò γ íà òðè äóãè γ1 îò A1 äî A2 , γ2 îò A2 äî A3 è γ3 îò A3 äî A1 , è
êàæäàÿ èç íèõ èìååò äëèíó íå ìåíüøóþ, ÷åì äëèíà ñîîòâåòñòâóþùåé äóãè
C . Ïîýòîìó äëèíà l êðèâîé γ íå ìåíüøå 2πR.
Çàäà÷à 1.10.3. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðîñòàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ ðàçáèâàåò
ñôåðó SR íà äâå ðàâíîâåëèêèå îáëàñòè, òî äëèíà γ íå ìåíüøå ÷åì 2πR.
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç D1 è D2 îáëàñòè, íà êîòîðûå γ ðàçáèâàåò SR .
Ïî óñëîâèþ çàäà÷è èõ ïëîùàäè ðàâíû
S(D1 ) = S(D2 ).
(1.10.31)
50
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Ïóñòü J îòîáðàæåíèå ñôåðû SR íà ñåáÿ, ïåðåâîäÿùåå êàæäóþ òî÷êó p
â òî÷êó p∗ äèàìåòðàëüíî åé ïðîòèâîïîëîæíóþ, J(p) = p∗ . Äîêàæåì, ÷òî
êðèâàÿ γ ∗ = J(γ) è γ èìåþò íå ïóñòîå ïåðåñå÷åíèå.  ñàìîì äåëå, åñëè
γ ∗ ∩ γ = ∅, òî ëèáî îáëàñòü D1∗ = J(D1 ) ⊂ D2 , ëèáî îáëàñòü D2∗ = J(D2 ) ⊂
D1 , ÷òî íåâîçìîæíî â ñèëó ðàâåíñòâà (1.10.31). Èòàê γ ∩ γ ∗ = T 6= ∅. Ïóñòü
òî÷êà p ∈ T , òîãäà òî÷êè p è p∗ ïðèíàäëåæàò γ ,  ñàìîì äåëå, p ∈ γ è
p ∈ γ ∗ . Çíà÷èò p∗ = J(p) ∈ J(γ ∗ ) = γ . Òî÷êè p è p∗ ðàçáèâàþò γ íà äâå äóãè
γ1 è γ2 , è êàæäàÿ èç ýòèõ äóã èìååò äëèíó íå ìåíüøå ÷åì πR. Ïîýòîìó
äëèíà γ íå ìåíüøå, ÷åì 2πR.
Çàäà÷à 1.10.4. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè äëèíà ïðîñòîé çàìêíóòîé êðèâîé γ
íà ñôåðå SR ñòðîãî ìåíüøå ÷åì 2πR, òî ñóùåñòâóåò îòêðûòàÿ ïîëóñôåðà
0
SR
ñôåðû SR , ñîäåðæàùàÿ γ .
Ðåøåíèå. Êðèâàÿ γ ðàçáèâàåò ñôåðó SR íà äâå îáëàñòè D1 (γ) è D2 (γ).
Îäíà èç ýòèõ îáëàñòåé, â ñèëó óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è 1.10.3, èìååò ïëîùàäü
ñòðîãî ìåíüøå, ÷åì 2πR2 . Ïóñòü ýòî áóäåò îáëàñòü D1 (γ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç K(p) êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå p è ðàäèóñà π2 R. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S(p) ïëîùàäü ïåðåñå÷åíèÿ D1 (γ) è K(p) è ïóñòü S0 = inf p∈SR S(p). Ïóñòü K(p0 )
åñòü êðóã, äëÿ êîòîðîãî S(p0 ) = S0 . Ïóñòü C(p) åñòü áîëüøàÿ îêðóæíîñòü
ãðàíèöà êðóãà K(p), à M = γ ∩ C(p0 ). Åñëè M = ∅, òî γ ëåæèò â îòêðûòîì êðóãå K(p∗0 ). Åñëè M 6= ∅, òî M ⊂ C 0 (p0 ), ãäå C 0 (p0 ) åñòü íåêîòîðàÿ
îòêðûòàÿ ïîëóîêðóæíîñòü C(p0 ), ñì. çàäà÷ó 1.10.2.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç q1 è q2 êîíöû C 0 (p0 ), à ÷åðåç a = min ρ(γ, C(p0 )\C 0 (p0 )).
Âîçüìåì òåïåðü òî÷êó p1 , óäîâëåòâîðÿþùóþ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
(1) p1 ëåæèò â îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé äóãàìè q1 p0 ∪ p0 q2 è C(p0 ) \ C 0 (p0 ),
(2) êðóã K(p1 ) ñîäåðæèò òî÷êè q1 è q2 ,
a
π
a
π
(3) R − < ρ(p1 , C(p0 ) \ C 0 (p0 )) < R + .
2
4
2
4
Òîãäà ÷àñòü êðóãà K(p1 ), ðàâíàÿ K(p1 ) \ K(p0 ), íå ñîäåðæèò òî÷åê îáëàñòè
D1 (γ), à ÷àñòü êðóãà K(p1 ), ðàâíàÿ K(p0 )\K(p1 ) íå ñîäåðæèò òî÷åê D1 (γ), â
ñèëó îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà S0 è êðóãà K(p0 ), èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïëîùàäü
ïåðåñå÷åíèÿ îáëàñòè D1 (γ) ñ K(p1 ) áûëà áû ìåíüøå S0 . Ñëåäîâàòåëüíî,
S0 = 0 è D1 (γ) ∩ K(p0 ) = γ ∩ C(p0 ) = M . Íî òîãäà êðóã K(p1 ) íå èìååò
îáùèõ òî÷åê ñ γ .
Ïóñòü γ(t) ïðîñòðàíñòâåííàÿ ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ êëàññà C k , k ≥ 1 è t äëèíà äóãè, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò íà÷àëüíîé òî÷êè êðèâîé γ, ~e íåêîòîðûé
åäèíè÷íûé âåêòîð. ×åðåç òî÷êó γ(0) â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ~e ïðîâåäåì ïðÿìóþ a, è îïðåäåëèì ôóíêöèþ p(t), ïîëàãàÿ åå ðàâíîé äëèíå ïðîåêöèè âåêòî−−−−−→
−−−−−→
ðà γ(0)γ(t) íà ïðÿìóþ a ñ ó÷åòîì çíàêà, òî åñòü ïîëàãàåì p(t) = (γ(0)γ(t),~e).
dp
= (~τ ,~e ).
dt
Ðåøåíèå. Åñëè ~
r = ~r (t) âåêòîð ôóíêöèÿ, çàäàþùàÿ êðèâóþ γ , òî
−−−−−→
dp
d~r
γ(0)γ(t) = ~r (t) − ~r (0) è p(t) = (~r (t) − ~r (0),~e ). Îòêóäà
= ( ,~e ) = (~τ ,~e ).
dt
dt
Ñëåäñòâèå 1.10.1. Åñëè êðèâàÿ γ çàìêíóòà è èìååò äëèíó l, òî
Z l
(~τ ,~e ) dt = 0 äëÿ ëþáîãî ~e , |~e | = 1.
Çàäà÷à 1.10.5. Äîêàçàòü, ÷òî
0
51
1.10. Çàäà÷è
Ñëåäñòâèå 1.10.2. Ïóñòü d åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó íà÷àëüíîé è êîíå÷-
íîé òî÷êîé êðèâîé γ äëèíû l. Òîãäà
−−−−−→
d = |γ(0)γ(l)| =
l
Z
0
−−−−−→
γ(0)γ(l)
(~τ ,~e ) dt, ãäå ~e = −−−−−→ .
|γ(0)γ(l)|
Òåîðåìà 1.10.1 (Òåîðåìà Ôåíõåëÿ). Äîêàçàòü, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà ïðîèçâîëüíîé êëàññà C 2 çàìêíóòîé ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé γ íå
ìåíüøå 2π , è ðàâíà 2π òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà γ åñòü ïëîñêàÿ âûïóêëàÿ êðèâàÿ.
Ðåøåíèå. Ïóñòü γ(t) åñòü ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé γ ñ ïîìîùüþ äëèíû
äóãè t, 0 ≤ t ≤ l = l(γ). Îïðåäåëèì íà ñôåðå S1 êðèâóþ σ(t), ñîïîñòàâèâ
êàæäîé òî÷êå γ(t) êîíåö âåêòîðà ~τ (t) = γ̇(t), íà÷àëî êîòîðîãî ñîâïàäàåò
ñ öåíòðîì ñôåðû S1 . Êðèâàÿ σ(t) íàçûâàåòñÿ èíäèêàòðèñîé êàñàòåëüíîé
Rl
êðèâîé γ . Èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà êðèâîé γ , ðàâíàÿ 0 k(t) dt, ðàâíà äëèíå
èíäèêàòðèñû êàñàòåëüíîé êðèâîé σ(t). Â ñàìîì äåëå,
Z
l
0
Z
|~τ | dt =
l1 = l(σ(t)) =
0
l
Z
|k|dt =
0
l
k(t) dt
0
â ñèëó ôîðìóë Ôðåíå. Èòàê, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî äëèíà l1 , èíäèêàòðèñû
σ(t) íå ìåíüøå, ÷åì 2π . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü l1 < 2π . Òîãäà, êàê
ýòî äîêàçàíî â çàäà÷å 1.10.4, ñóùåñòâóåò îòêðûòàÿ ïîëóñôåðà S10 ñôåðû S1 ,
ñîäåðæàùàÿ σ . Ïóñòü p öåíòð ýòîé ïîëóñôåðû, è ïóñòü ~e åñòü åäèíè÷íûé
âåêòîð ñ íà÷àëîì â öåíòðå ñôåðû S1 è êîíöîì â òî÷êå p. Òîãäà, ñ îäíîé ñòîRl
ðîíû, 0 (~τ (t),~e) dt > 0, òàê êàê (~τ ,~e) > 0 ïðè âñåõ t, à ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç
Rl
ñëåäñòâèÿ çàäà÷è 1.10.5 ñëåäóåò, ÷òî 0 (~τ (t),~e ) dt = 0. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîRl
ðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî l1 = l(σ(t)) = 0 k(t) dt íå ìåíüøå, ÷åì 2π , è ðàâíà 2π
òîëüêî òîãäà, êîãäà σ(t) åñòü áîëüøàÿ îêðóæíîñòü íà SR è, ñëåäîâàòåëüíî,
γ åñòü âûïóêëàÿ ïëîñêàÿ êðèâàÿ.
Ôàçîâàÿ äëèíà ëèíèè è íåðàâåíñòâî Ôåíõåëÿ - Ðåøåòíÿêà
Èíòåðåñíî ïîíÿòü, ÷åì îãðàíè÷åíà èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà íåçàìêíóòîé ëèíèè? Ïóñòü ëèíèÿ L ñîåäèíÿåò äâå ðàçíûå òî÷êè A è B . Èçìåðèì óãëû α
è β , êîòîðûå îáðàçóåò õîðäà AB ñ êàñàòåëüíûìè ëó÷àìè ê íàøåé ëèíèè â
óêàçàííûõ åå êîíå÷íûõ òî÷êàõ. Åñëè çàìêíóòü ëèíèþ òàê, ÷òîáû äîñòðîåííàÿ åå ÷àñòü â îñíîâíîì áûëà ïðÿìîëèíåéíà è ïî÷òè ïàðàëëåëüíà õîðäå,
êàñàòåëüíûì âåêòîðàì â îêðåñòíîñòÿõ òî÷åê A è B íåîáõîäèìî áóäåò ïîâåðíóòüñÿ íà óãîë π − α è, ñîîòâåòñòâåííî, π − β . Ëåãêî äîáèòüñÿ, ÷òîáû ê
ýòèì ïîâîðîòàì í ñâîäèëàñü ïðàêòè÷åñêè âñÿ èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà çàìûêàþùåé ëèíèè, ò. å. ÷òîáû îíà, ñ ëþáîé ýàäàííîé òî÷íîñòüþ, áûëà ðàâíà
2π − α − β . Ïðèìåíÿÿ òåïåðü íåðàâåíñòâî Ôåíõåëÿ, ìû ïîëó÷àåì îòâåò íà
ïîñòàâëåííûé âîïðîñ:
Z
k(s)ds ≥ α + β.
L
Ýòî íåðàâåíñòâî, âìåñòå ñ ïðèâåäåííûì èçÿùíûì ðàññóæäåíèåì, ïðèíàäëåæèò Þ.Ã. Ðåøåòíÿêó. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî îíî çàêëþ÷àåò â ñåáå è ïðåäûäóùåå óòâåðæäåíèå: äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü åãî ê äâóì ÷àñòÿì çàìêíóòîé
52
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
ëèíèè, îïèðàþùèìñÿ íà îáùóþ õîðäó. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîå èç äâóõ íåðàâåíñòâ ëåãêî âûâîäèòñÿ èç äðóãîãî. Íåïîñðåäñòâåííîå æå äîêàçàòåëüñòâî
ëþáîãî èç íèõ íàìíîãî ñëîæíåå.
Íèæå ïðèâîäèòñÿ íîâîå äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ íåðàâåíñòâ, ïðèíàäëåæàùåå Â.Â. Èâàíîâó, â îñíîâå êîòîðîãî ëåæèò ïîíÿòèå ôàçîâîãî ðàññòîÿíèÿ
ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè, çàêðåïëåííûìè â ðàçíûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà.
Èäåÿ èçëàãàåìîé çäåñü êîíñòðóêöèè ôàêòè÷åñêè çàêëþ÷åíà âî âòîðîì èç
îáñóæäàåìûõ íåðàâåíñòâ.  ñàìîì äåëå, ñóììà α + β , âî-ïåðâûõ, îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü äâóìÿ òî÷êàìè, êîòîðûå ñîåäèíÿåò èçó÷àåìàÿ ëèíèÿ, è äâóìÿ
íàïðàâëåíèÿìè, ñ êîòîðûìè îíà íà÷èíàåò ñâîå äâèæåíèå è çàâåðøàåò åãî, à
âî âòîðûõ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå ïðîñòî íèæíþþ îöåíêó, íî òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíèöó èíòåãðàëüíûõ êðèâèçí âñåõ ëèíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ òåì æå
ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, ÷òî è ëèíèÿ L, â ÷åì ëåãêî óáåäèòüñÿ, ïîâòîðÿÿ èçëîæåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ. Îòñþäà ÿñíî, ÷òî ýòà ñóììà, êàê ôóíêöèÿ îò
ïàðû ñâÿçàííûõ âåêòîðîâ, äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà, à çíà÷èò ñ òàêîé ôóíêöèåé åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñâÿçàíî ñâîåîáðàçíîå
ïîíÿòèå äëèíû ãëàäêîé ëèíèè ýòî è åñòü åå ôàçîâàÿ äëèíà. Êàê ìû óâèäèì, íåðàâåíñòâî Ðåøåòíÿêà îçíà÷àåò, ÷òî ôàçîâàÿ äëèíà ëèíèè íå ìåíüøå
ôàçîâîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó åå êîíöàìè. Íî ïðåæäå íàì ïðèäåòñÿ äîêàçàòü,
÷òî èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà è ôàçîâàÿ äëèíà - îäíî è òî æå. Ýòî óæå - äåëî
àíàëèçà.
Òàêîâà ñõåìà, ðåàëèçóåìàÿ íèæå. Âñå äàëüíåéøåå ïðîèñõîäèò â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî ìîæåò áûòü ëþáîé, âïëîòü äî
áåñêîíå÷íîñòè.
1. Ôàçîâûì ðàññòîÿíèåì îò âåêòîðà a, ïðèëîæåííîãî ê òî÷êå A, äî âåêòîðà b, çàêðåïëåííîãî â òî÷êå B , íàçîâåì âåëè÷èíó ϕ(a, b), ðàâíóþ ñóììå
óãëîâ, êîòîðûå îáðàçóåò âåêòîð AB ñ íàïðàâëåíèÿìè a è b. Ðàçóìååòñÿ, ýòî
îïðåäåëåíèå èìååò ñìûñë ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà âåêòîðû a è b îòëè÷íû
îò íóëÿ, à òî÷êè A è B ðàçëè÷íû. Ñâîéñòâà ôàçîâîãî ðàññòîÿíèÿ íåñêîëüêî
íåîáû÷íû, õîòÿ, åñëè ó÷èòûâàòü åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë, âïîëíå åñòåñòâåííû.
Ëåììà 1.10.1. Âî-ïåðâûõ, çíà÷åíèÿ ôàçîâîãî ðàññòîÿíèÿ îãðàíè÷åíû:
0 ≤ ϕ(a, b) ≤ 2π;
âî-âòîðûõ, âìåñòî ñèììåòðè÷íîñòè, ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî:
ϕ(a, b) + ϕ(b, a) = 2π;
è â-òðåòüèõ, íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â ñëåäóþùåé ôîðìå:
ϕ(a, b) + ϕ(b, c) + ϕ(c, a) ≥ 2π.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â íåáîëüøîì îáñóæäåíèè íóæäàåòñÿ ëèøü ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå. Êîíôèãóðàöèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç òðåõ ñâÿçàííûõ âåêòîðîâ, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçìåùàåòñÿ â ïÿòèìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, íî îòíîñÿùååñÿ ê íåé
íåðàâåíñòâî îòðàæàåò ýëåìåíòàðíûå ñâîéñòâà îáû÷íîãî òðåõãðàííîãî óãëà
â îáû÷íîì òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ åãî äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî
ðàññìîòðåòü íåâûðîæäåííûé ñëó÷àé, êîãäà òî÷êè A, B , C , â êîòîðûõ çàêðåïëåíû âåêòîðû a, b, c, íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Íà ïðîäîëæåíèÿõ
53
1.10. Çàäà÷è
ñòîðîí CA, AB è BC òðåóãîëüíèêà îòìåòèì, ñîîòâåòñòâåííî, òî÷êè A0 , B 0
è C 0 . Íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ñóììû óãëîâ, îáðàçóåìûõ âåêòîðîì a ñ ëó÷àìè
AA0 è AB , ðàâíî âåëè÷èíå óãëà A0 AB è äîñòèãàåòñÿ ëèøü â òîì ñëó÷àå,
êîãäà âåêòîð a ëåæèò â ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà ABC è ðàñïîëàãàåòñÿ â
ïðåäåëàõ óêàçàííîãî åãî âíåøíåãî óãëà. Òî÷íî òàê æå óãëû B 0 BC è C 0 CA
îãðàíè÷èâàþò ñíèçó ñóììû äðóãèõ óãëîâ ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ B è C .
Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ñóììà òðåõ èíòåðåñóþùèõ íàñ ôàçîâûõ ðàññòîÿíèé,
ðàñïàäàþùàÿñÿ â ñóììó øåñòè óãëîâ, ïðèìûêàþùèõ ê âåêòîðàì a, b, c, íå
ìåíüøå ñóììû âíåøíèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà ABC , êîòîðàÿ ðàâíà óäâîåííîé
ñóììå åãî âíóòðåííèõ óãëîâ.
Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ âòîðûì óòâåðæäåíèåì ëåììû, íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà äëÿ ôàçîâûõ ðàññòîÿíèé ìîæíî çàïèñàòü è ïðèâû÷íûì îáðàçîì:
ϕ(a, c) ≤ ϕ(a, b) + ϕ(b, c).
Êðîìå òîãî, êàê ìû âèäåëè, ýòî íåðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â òî÷íîå ðàâåíñòâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîðû a, b, c ëåæàò â ñîîòâåòñòâóþùèõ
âíåøíèõ óãëàõ òðåóãîëüíèêà ABC .
2. Ðàññìîòðèì òåïåðü ãëàäêóþ ëèíèþ L, îïðåäåëÿåìóþ óðàâíåíèåì x =
x(s) ñ íàòóðàëüíûì ïàðàìåòðîì s, ïðîáåãàþùèì îòðåçîê 0 ≤ s ≤ l. Ïóñòü
s1 < s2 < ... < sn , ãäå s1 = 0, sn = l è ñîñåäíèì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå òî÷êè ëèíèè L. Ïîñòðîèì â êàæäîé èç ýòèõ òî÷åê
x(si ), êàñàòåëüíûé âåêòîð τi = x0 (si ). Ïîëó÷èâøóþñÿ öåïî÷êó τ1 , τ2 , ..., τn
íàçîâåì ôàçîâîé ëîìàíîé, âïèñàííîé â ëèíèþ L, à åå ôàçîâîé äëèíîé, åñòåñòâåííî, áóäåì íàçûâàòü ñóììó
ϕ(τ1 , τ2 ) + ... + ϕ(τn−1 , τn ).
Ôàçîâóþ äëèíó ñàìîé ëèíèè L îïðåäåëèì êàê òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíèöó
Φ(L) ôàçîâûõ äëèí âïèñàííûõ â íåå ôàçîâûõ ëîìàíûõ.
Ëåììà 1.10.2. Åñëè õîðäà, ñòÿãèâàþùàÿ êîíöû íåçàìêíóòîé ëèíèè L,
îáðàçóåò óãëû α è β ñ êàñàòåëüíûìè ëó÷àìè ê ëèíèè â åå êîíå÷íûõ òî÷êàõ, òî ôàçîâàÿ äëèíà ëþáîé âïèñàííîé â L ôàçîâîé ëîìàíîé íå ìåíüøå
ñóììû óãëîâ α è β . Òåì áîëåå,
Φ(L) ≥ α + β.
Åñëè æå ëèíèÿ L çàìêíóòà, ó ëþáîé âïèñàííîé â íåå ôàçîâîé ëîìàíîé,
ôàçîâàÿ äëèíà íå ìåíüøå 2π , à çíà÷èò è
Φ(L) ≥ 2π.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, â ïåðâîì ñëó÷àå äëÿ êàæäîé âïèñàííîé
â L ôàçîâîé ëîìàíîé
τ1 , τ2 , ..., τn
ôàçîâîå ðàññòîÿíèå îò τ1 äî τn , î÷åâèäíî, ðàâíî ñóììå óêàçàííûõ óãëîâ,
òàê ÷òî, ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà:
α + β = ϕ(τ1 , τn ) ≤ ϕ(τ1 , τ2 ) + ... + ϕ(τn−1 , τn ).
54
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
 ñëó÷àå çàìêíóòîé ëèíèè, êîãäà τ1 = τn , äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ê ïàðå âåêòîðîâ τ1 , τn−1 è çàìåòèòü, ÷òî
ϕ(τ1 , τn−1 ) = 2π − ϕ(τn−1 , τn ).
Êñòàòè, åñëè ó÷åñòü çàìå÷àíèå â êîíöå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, òî ëåãêî
ïîêàçàòü, ÷òî ïðèâåäåííûå â ëåììå 1.10.2 íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò â òî÷íûå
ðàâåíñòâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëèíèÿ ëèáî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîëèíåéíûé îòðåçîê, ëèáî ðàñïîëàãàåòñÿ â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè è âåðøèíû
ëþáîé âïèñàííîé â íåå ëîìàíîé ñëóæàò ïîñëåäîâàòåëüíûìè âåðøèíàìè âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëèíèÿ âûïóêëà â öåëîì.
3. Äëÿ èçó÷åíèÿ ñâÿçè ìåæäó èíòåãðàëüíîé êðèâèçíîé ëèíèè è ôàçîâîé åå äëèíîé íàì ïîòðåáóåòñÿ íåñêîëüêî àñèìïòîòè÷åñêèõ ôîðìóë, îïèñûâàþùèõ ëîêàëüíóþ ãåîìåòðèþ äâàæäû ãëàäêîé ëèíèè ñ òî÷êè çðåíèÿ åå
êðèâèçíû.
×òîáû óïðîñòèòü èõ çàïèñü, ìû âîñïîëüçóåìñÿ ñèìâîëîì o∗ (σ m ) êàê îáùèì îáîçíà÷åíèåì ëþáîé ôóíêöèè, îáëàäàþùåé òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ïîñëå
äåëåíèÿ íà σ m îíà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè σ → 0, ïðè÷åì ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî îñòàëüíûõ ïåðåìåííûõ, îò êîòîðûõ îíà ìîæåò çàâèñåòü.
Ïðè åñòåñòâåííîé ïàðàìåòðèçàöèè ~r = ~r (s) òðèæäû ãëàäêîé ëèíèè L
êàñàòåëüíûé âåêòîð ~τ (s) = ~r 0 (s) èìååò åäèíè÷íóþ äëèíó è îðòîãîíàëåí
âåêòîðó ~τ 0 (s), ÷üÿ äëèíà, êàê îòìå÷àëîñü, ïðèíèìàåòñÿ â êà÷åñòâå ìåðû
êðèâèçíû k(s) ëèíèè L â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé s.
Ëåììà 1.10.3. Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ôîðìóëû:
(~r (s + σ) − ~r (s), ~τ (s)) = σ −
k2 3
σ + o(σ 3 ),
6
2
~ (s)| = σ − k σ 3 + o(σ 3 ),
|h
24
k 2 (s) 2
σ + o(ω 2 ).
(~τ (s), ~τ (s + σ)) = 1 −
2
~ (s) = ~r (s + σ) − ~r (s), à σ > 0.
ãäå h
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Òåéëîðà è ôîðìóëû Ôðåíå èìååì:
1
1
~r (s + σ) − ~r (s) = ~τ (s)σ + ~τ 0 (s)σ 2 + ~τ 00 (s)σ 3 + o(σ 3 ) =
2
6
1
1 0
2
2
~ (s) σ 3 + o(σ 3 ).
= ~τ (s)σ + k~ν (s)σ +
k ~ν (s) − k ~τ (s) + k æ β
2
6
Îòñþäà è èç ñâîéñòâ ðåïåðà Ôðåíå ñëåäóåò ïåðâàÿ ôîðìóëà ëåììû. Ïîëî~ (s) = ~r (s + σ) − ~r (s). Ïðèìåíÿÿ ïîëó÷åííîå âûøå ðàçëîæåíèå äëÿ
æèì h
~ (s), èìååì:
âåêòîðà h
~ (s)|2 = σ 2 + 1 k 2 σ 4 − 1 k 2 σ 4 + o(σ 3 ) = σ 2 − 1 k 2 σ 4 + o(σ 3 ).
|h
4
3
12
Èçâëåêàÿ êîðåíü, ïîëó÷àåì âòîðîå ðàâåíñòâî ëåììû. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî
ëåììû äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
55
1.10. Çàäà÷è
Çàìå÷àíèå 1.10.1. Óñëîæíÿÿ äîêàçàòåëüñòâî ëåììû, ìîæíî ïîëó÷èòü
àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé êðèâîé.
4. Ïðîäîëæàÿ ðàññìàòðèâàòü òðèæäû ãëàäêóþ ëèíèþ, âåðíåìñÿ ê èíòåðåñóþùåìó íàñ âîïðîñó. Ïðåæäå âñåãî, çàïèøåì òåéëîðîâñêîå ðàçëîæåíèå
êîñèíóñà
ω2
(~τ (s), ~τ (s + σ)) = cos ω = 1 −
+ o(ω 2 ),
2
ãäå ω îçíà÷àåò óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ~τ (s) è ~τ (s + σ), è ñðàâíèì åãî ñ
ðàçëîæåíèåì, óêàçàííûì â ëåììå 1.10.3. Åñòåñòâåííî, ÷òî ìû ïðèäåì ê
îáùåèçâåñòíîìó ðàâåíñòâó
ω = k(s)σ + o(σ),
õàðàêòåðèçóþùåìó êðèâèçíó êàê ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé ïðèðàñòàåò óãîë ω
ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà σ . Êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, ôàçîâîå ðàññòîÿíèå
ïðè âñåì åãî îòëè÷èè îò îáû÷íîãî óãëà ìåæäó âåêòîðàìè, íà íåáîëüøèõ
ó÷àñòêàõ ëèíèè âû÷èñëÿåòñÿ ðîâíî ïî òàêîé æå ôîðìóëå.
Ëåììà 1.10.4. Ôàçîâîå ðàññòîÿíèå ϕ îò âåêòîðà ~
τ (s) äî âåêòîðà ~τ (s + σ)
ïðè ìàëûõ σ > 0 ïî÷òè ïðîïîðöèîíàëüíî äóãå σ :
ϕ = k(s)σ + o(σ)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ, ϕ åñòü ñóììà äâóõ óãëîâ ϕ1 è ϕ2 , îáðà~ = ~r (s + σ) −~r (σ) ñ êàñàòåëüíûìè âåêòîðàìè ~τ (s) è ~τ (s + σ).
çóåìûõ õîðäîé h
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîñèíóñà ïåðâîãî èç ýòèõ óãëîâ ïîäåëèì ðàçëîæåíèÿ, ïðèâåäåííûå â ëåììå 1.10.3:
~ , ~τ (s)
h
k 2 (s) 2
=1−
σ + o(σ 2 ).
cos ϕ1 =
~|
8
|h
Ìû óæå âèäåëè âûøå, êàêèì îáðàçîì îòñþäà ìîæíî ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó
k(s)
ϕ1 =
σ + o(σ).
2
Åñëè îáðàòèòü íàïðàâëåíèå ëèíèè, êîòîðîå àâòîìàòè÷åñêè áûëî åé ïðèïèñàíî âûáîðîì ïàðàìåòðèçàöèè, íî èãðàëî èñêëþ÷èòåëüíî âñïîìîãàòåëüíóþ
ðîëü, ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî ïåðåéäåò â àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå äëÿ êîñèíóñà âòîðîãî óãëà ϕ2 . Íóæíî òîëüêî çàìåíèòü k(s) íà k(s + σ). Îäíàêî
ìîæíî îáîéòèñü è áåç ýòîé çàìåíû, ïîñêîëüêó ðàçíîñòü ìåæäó óêàçàííûìè
âåëè÷èíàìè, êàê ôóíêöèÿ îò σ , áåñêîíå÷íî ìàëà ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî
s. Òàêèì îáðàçîì,
k(s)
ϕ2 =
σ + o(σ).
2
è îñòàåòñÿ ëèøü ñëîæèòü äâå ôîðìóëû â îäíó.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé èíòåãðàëüíûé âàðèàíò ëåììû 1.10.4, ïîäâîäèò èòîã èçëîæåííûì çäåñü ñîîáðàæåíèÿì. Åñëè ñîïîñòàâèòü åå ñ óòâåðæäåíèåì ëåììû 1.10.2, îíà ïîçâîëÿåò âçãëÿíóòü íà íåðàâåíñòâî Ôåíõåëÿ - Ðåøåòíÿêà ñ íîâîé òî÷êè çðåíèÿ.
56
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
Òåîðåìà 1.10.2. Ôàçîâàÿ äëèíà äâàæäû ãëàäêîé ëèíèè ðàâíà åå èíòå-
ãðàëüíîé êðèâèçíå:
Z
Φ(L) =
k(s)ds.
L
Äîêàçàòåëüñòâî.  îòðåçêå 0 ≤ s ≤ l çíà÷åíèé íàòóðàëüíîãî ïàðàìåòðà
s âûáåðåì s1 < s2 < ... < sn , ãäå s1 = 0 è sn = l. Åñëè âñå ðàçíîñòè
4si = si+1 − si , äîñòàòî÷íî ìàëû, ñîñåäíèå òî÷êè ~r (si ) è ~r (si+1 ) íå ìîãóò
ñîâïàäàòü, è ìû èìååì âîçìîæíîñòü ñîñòàâèòü ñóììó:
S=
n−1
X
ϕ(~τ (si ), ~τ (si+1 )).
i=1
Ïðè äîáàâëåíèè íîâûõ âåðøèí ê ôàçîâîé ëîìàíîé, â ñèëó íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà, åå ôàçîâàÿ äëèíà íå óìåíüøèòñÿ. Ïîýòîìó ôàçîâàÿ äëèíà èñõîäíîé ëèíèè ðàâíà ïðåäåëó ñóìì ðàññìîòðåííîãî âèäà ïðè óñëîâèè, ÷òî
íàèáîëüøàÿ èç äóã 4si , ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ñîãëàñíî ëåììå 1.10.4, ñóììà S
ïðåäñòàâèìà â âèäå:
S=
n−1
X
k(si )4si +
i=1
n−1
X
εi 4si ,
i=1
ãäå âñå εi , ðàâíîìåðíî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ îäíîâðåìåííî ñ 4si . Òàêèì îáðàçîì, âòîðîå ñëàãàåìîå ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ â ïðåäåëå èñ÷åçàåò, à ïåðâîå,
êàê èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ êðèâèçíû, ñòðåìèòñÿ ê åå èíòåãðàëó.
Ðàññìîòðèì äâå êðèâûå γ(t) è γ(t), èç êîòîðûõ ïåðâàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ
íåêîòîðîé äóãîé âûïóêëîé êðèâîé íà ïëîñêîñòè, à âòîðàÿ ïðîèçâîëüíàÿ
ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ. Ïóñòü γ(t) èìååò êîíöû â òî÷êàõ A è B , à γ(t) â
òî÷êàõ Ā è B̄ . Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî t íà îáîèõ êðèâûõ åñòü äëèíà äóãè,
îòñ÷èòûâàåìàÿ îò òî÷êè A è Ā, ñîîòâåòñòâåííî. Ðåøèì òåïåðü ñëåäóþùóþ
çàäà÷ó [Bl].
g
Çàäà÷à 1.10.6 (Î ñêðó÷èâàíèè êðèâîé). Åñëè äëèíû êðèâûõ γ(t) è γ(t)
g óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó k(t)
g ≤ k(t),
ðàâíû, à èõ êðèâèçíû k(t) è k(t)
eB
e , è çíàê ðàâåíñòâà âîçìîæåí òîëüêî òîãäà, êîãäà êðèâûå
òî AB ≤ A
g = k(t), òî ýòó çàäà÷ó
γ è γ
e ðàâíû ñ òî÷íîñòüþ äî äâèæåíèÿ. Åñëè k(t)
ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê. Ïðè ñêðó÷èâàíèè äóãè êðèâîé ðàññòîÿíèå
g òîæå ïëîñêàÿ êðèâàÿ,
ìåæäó åå êîíöàìè óâåëè÷èâàåòñÿ. Åñëè êðèâàÿ γ(t)
òî â ýòîì ñëó÷àå íàøà çàäà÷à ñîâïàäàåò ñ çàäà÷åé î ëóêå.
Ðåøåíèå. Íà êðèâîé γ âîçüìåì òî÷êó γ(t0 ), â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ê γ
]
ïàðàëëåëüíà AB . Êðèâóþ γ
e ïîìåñòèì òàê, ÷òîáû òî÷êà γ(t
0 ) ñîâïàëà áû
g èíäèêàòðèñû
ñ òî÷êîé γ(t0 ) è ~τe(t0 ) = ~τ (t0 ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç σ(t) è σ(t)
g , ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà, âî-ïåðâûõ, äëèíà
êàñàòåëüíûõ êðèâûõ γ(t) è γ(t)
g
]
m(t)
e
äóãè σ(t
e(t) íå ïðåâîñõîäèò äëèíû m(t) äóãè σ(t0 )σ(t)
0 )σ(t) êðèâîé σ
êðèâîé σ(t). Â ñàìîì äåëå, ïî ôîðìóëàì Ôðåíå èìååì:
g ~νe(t),
~τe 0 = k(t)
~τ 0 = k(t) ~ν (t),
g ≤ k(t) = |~τ 0 |.
|~τe 0 | = k(t)
57
1.11. Óïðàæíåíèÿ ê ãëàâå 1
Ïîýòîìó
Z
m(t)
e
=
t
|~τe 0 (t)| dt ≤
t0
Z
t
|~τ 0 | dt = m(t).
(1.10.32)
t0
g
]
Âî-âòîðûõ, åñëè ÷åðåç α(t) è α
e(t) îáîçíà÷èòü óãëû ∠σ(t0 )Oσ(t), ∠ σ(t
0 )O σ(t),
ñîîòâåòñòâåííî, òî ôóíêöèè α(t) è α
e(t) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó
(1.10.33)
α
e(t) ≤ α(t).
Äåéñòâèòåëüíî, ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè σ(t0 ) è σ(t) íà ñôåðå S1 , ðàâíî
m(t), à ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè σ
e(t0 ) è σ
e(t) íà òîé æå ñôåðå S1 íå ïðåâîñõîäèò m(t)
e
è, òåì áîëåå, â ñèëó (1.10.32) íå ïðåâîñõîäèò m(t). Ïîýòîìó
g
]
öåíòðàëüíûé óãîë ∠σ(t
0 )O σ(t) íå ïðåâîñõîäèò óãëà ∠σ(t0 )Oσ(t) è íåðàâåíñòâî (1.10.33) äîêàçàíî.
Çàìåòèì äàëåå, ÷òî â ñèëó âûáîðà òî÷êè γ(t0 ), óãîë α(t) ïðè t ≤ t0 è ïðè
t > t0 èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0 äî π2 . Ïîýòîìó èç íåðàâåíñòâà (1.10.32)
èìååì
cos α
e(t) = (~τe(t), ~τe(t0 )) ≥ cos α(t) = (~τ (t), ~τ (t0 )).
(1.10.34)
Íàêîíåö, êàê ìû óæå çíàåì (ñì. çàäà÷ó 1.10.5.)
Z t0
Z l
AB =
cos α(t) dt +
cos α(t) dt,
0
t0
ee ee
eB
e íà íàïðàâëåíèå ~τ (t0 ) ðàâíà
à ïðîåêöèÿ A
B îòðåçêà A
Z t0
Z l
ee ee
A
B=
cos α
e(t) dt +
cos α
e(t) dt.
0
t0
Ïîýòîìó èç íåðàâåíñòâà (1.10.34) ìû ïîëó÷àåì
ee ee
ĀB̄ ≥ A
B ≥ AB,
ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà â ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâàõ, êàê ýòî âèäíî èç òåêñòà
ðåøåíèÿ çàäà÷è, âîçìîæåí òîëüêî òîãäà, êîãäà êðèâûå σ(t) è σ
e(t) ñîâïàäàþò. Íî òîãäà ñîâïàäàþò è êðèâûå γ(t) è γ
e(t).
1.11
Óïðàæíåíèÿ ê ãëàâå 1
1. Íà îêðóæíîñòè ðàäèóñà a äàíà òî÷êà O, âîêðóã êîòîðîé âðàùàåòñÿ
ëó÷, ïåðåñåêàþùèé îêðóæíîñòü â ïåðåìåííîé òî÷êå A. Íà ýòîì ëó÷å
ïî îáå ñòîðîíû îò òî÷êè A îòêëàäûâàþòñÿ îòðåçêè AM1 = AM2 = 2a.
Íàïèñàòü óðàâíåíèå ëèíèè, îïèñûâàåìîé òî÷êàìè M1 è M2 .
Îòâåò: êàðäèîèäà.
2. Êðóã ðàäèóñà a êàòèòñÿ ïî ïðÿìîé áåç ñêîëüæåíèÿ. Ñîñòàâèòü ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ëèíèè, îïèñàííîé òî÷êîé M ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè êðóãà. Îòâåò: öèêëîèäà.
3. Êàêàÿ ëèíèÿ èçîáðàæàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè
x = a log(t),
y=
a
1
(t + )?
2
t
58
1
4. Íàéòè ïðîåêöèè ëèíèè x = t,
ïëîñêîñòè.
y = t2 ,
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
z = t3 íà êîîðäèíàòíûå
5. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîåêöèåé íà ïëîñêîñòü yOz ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà x = y 2 +z 2 è ïëîñêîñòè x−2y +4z = 0 ÿâëÿåòñÿ
îêðóæíîñòü ðàäèóñà R = 3 ñ öåíòðîì â òî÷êå M (0, 1, −2).
6. Íàéòè óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ àñèìïòîòû ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé
x = x(t), y = y(t), z = z(t), óõîäÿùåé â áåñêîíå÷íîñòü.
7. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïðÿìîé è íîðìàëüíîé ïëîñêîñòè
âèíòîâîé ëèíèè x = 2 cos(t), y = 2 sin(t), z = 4t â òî÷êå t = 0.
8. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ëèíèè
x = cosh t,
y = sinh t,
z = ct.
9. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ãëàâíîé íîðìàëè è áèíîðìàëè ëèíèè
x = t,
y = t2 ,
z = t3
t = 1.
10. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ãëàâíîé íîðìàëè è áèíîðìàëè ëèíèè
(
xy = z 2
x2 + y 2 = z 2 + 1
â òî÷êå M (1, 1, 1).
11. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ñôåðû x2 + y 2 + z 2 = 9 è ãèïåðáîëè÷åñêîãî öèëèíäðà x2 − y 2 = 3 â
òî÷êå M (2, 1, 2).
12. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê êðèâîé, çàäàííîé óðàâíåíèÿìè
(
x2 + y 2 + z 2 = 1
x2 + y 2 = x
â òî÷êå M (0, 0, 1).
13. Íà áèíîðìàëÿõ ïðîñòîé âèíòîâîé ëèíèè îòëîæåíû îòðåçêè îäíîé è
òîé æå äëèíû. Íàéòè óðàâíåíèå êðèâîé, îáðàçóåìîé êîíöàìè ýòèõ
îòðåçêîâ.
14.  êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà õîðîøî èçâåñòíà òåîðåìà Ëàãðàíæà
î ñðåäíåì. Âåðíû ëè àíàëîãè÷íûå óòâåðæäåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå?
(a) Ïóñòü A è B - êîíöû ãëàäêîé ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé γ(t), à
Π(t) - ãëàäêîå ñåìåéñòâî ïëîñêîñòåé, êàñàòåëüíûõ ê γ(t). Òîãäà
ñóùåñòâóåò òàêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t0 , ÷òî ïëîñêîñòü Π(t0 ) ïàðàëëåëüíà îòðåçêó AB .
(b) Ïóñòü A è B - êîíöû ãëàäêîé ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé γ(t), ëåæàùåé íà çàìêíóòîé âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè. Òîãäà ñóùåñòâóåò
òàêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t0 , ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü â òî÷êå
γ(t0 ) ïàðàëëåëüíà îòðåçêó AB .
59
1.11. Óïðàæíåíèÿ ê ãëàâå 1
Ðèñ. 1.25: Èëëþñòðàöèÿ ê çàäà÷å 14.
15. Íàéòè êðèâèçíó è êðó÷åíèå ëèíèè
x = exp t,
√
z = t 2.
y = exp(−t),
16. Íàéòè êðèâèçíó è êðó÷åíèå ëèíèè
y = sin3 t,
x = cos3 t,
z = cos 2t.
17.  êàêèõ òî÷êàõ ðàäèóñ êðèâèçíû ëèíèè
x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t),
z = 4a cos
t
2
äîñòèãàåò ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà?
18. Äîêàçàòü, ÷òî
1) τ β β 0 = æ,
k 0
),
2) β 0 β 00 β 000 = æ2 ( æ
0
3) τ 0 τ 00 τ 000 = k 3 ( æ
k) .
19. Íàéòè äëèíó ó÷àñòêà êðèâîé
x = a cosh t,
y = a sinh t,
z = at
ìåæäó òî÷êàìè 0 è t.
20. Íàéòè äëèíó äóãè àñòðîèäû
x = a cos3 t,
y = a sin3 t.
21. Íàéòè äëèíó ó÷àñòêà 0 ≤ t ≤ 2π öèêëîèäû
x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t).
22. Íàéòè êðèâèçíó êðèâîé, çàäàííîé óðàâíåíèÿìè â íåÿâíîì âèäå
(
x + sinh x = y + sinh y
z + exp z = x + log(1 + x) + 1,
â òî÷êå M (0, 0, 0).
23. Íàéòè ýâîëþòó òðàêòðèñû
x = −a(log tg
t
+ cos t),
2
y = a sin t.
24. Íàéòè ýâîëüâåíòó îêðóæíîñòè x2 + y 2 = R2 .
60
1
Òåîðèÿ êðèâûõ â . . .
25. Ïîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå êðèâèçíû ê êðó÷åíèþ êðèâîé
Z
Z
x = a sin α(t)dt, y = a cos α(t)dt, z = bt
ïîñòîÿííî.
26∗ . Äîêàçàòü, ÷òî ãëàäêàÿ êðèâàÿ γ(s) ëåæèò íà ñôåðå åäèíè÷íîãî ðàäèóñà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
(k 0 )2 = k 2 æ2 (k 2 − 1), k ≥ 1,
ãäå k = k(s), æ = æ(s) - êðèâèçíà è êðó÷åíèå êðèâîé γ(s).
Ãëàâà 2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ
ïîâåðõíîñòåé â òðåõìåðíîì
åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå
2.1
Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîâåðõíîñòè
Îïðåäåëåíèå 2.1.1. Ñâÿçíîå ìíîæåñòâî òî÷åê Φ â R3 ìû íàçûâàåì äâó-
ìåðíîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè p ∈ Φ ñóùåñòâóåò òàêîé îòêðûòûé øàð Up â R3 ñ öåíòðîì â òî÷êå p è òàêîå íåïðåðûâíîå èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå ψ : Up → R3 , ÷òî ψ ïåðåâîäèò W = Φ ∩ Up â îòêðûòûé
êðóã D1 ðàäèóñà 1 íåêîòîðîé ïëîñêîñòè α ïðîñòðàíñòâà R3 .
 ýòîì îïðåäåëåíèè êðóã D1 ìîæíî çàìåíèòü ëþáûì îòêðûòûì ìíîæåñòâîì ïëîñêîñòè α, äèôôåîìîðôíûì êðóãó D1 . Ââåäåì íà ïëîñêîñòè α
äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû u, v ñ íà÷àëîì â öåíòðå êðóãà D1 .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç ϕp îãðàíè÷åíèå îòîáðàæåíèÿ îáðàòíîãî ê ψ íà D1 . Òîãäà ϕp (D1 ) = W è îòîáðàæåíèå ϕp : D1 → R3 ïîðîæäàåò âåêòîð-ôóíêöèþ
~r = ~r (u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k , ãäå u2 + v 2 < 1. Òàêèì îáðàçîì, ìû
ïîëó÷àåì, ÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîé ñâîåé òî÷êè ïîâåðõíîñòü Φ
ìîæåò áûòü çàäàíà òðåìÿ ôóíêöèÿìè îò äâóõ ïåðåìåííûõ
x = x(u, v),
y = y(u, v),
z = z(u, v).
Òàêîå çàäàíèå ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèì çàäàíèåì. Ïàðàìåòðèçàöèÿ ïîâåðõíîñòè Φ íàçûâàåòñÿ k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé
ïàðàìåòðèçàöèåé, åñëè ôóíêöèè x(u, v), y(u, v) è z(u, v) ñóòü k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè. Ìíîæåñòâî W = ϕp (D1 ) íàçûâàåòñÿ
êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòüþ òî÷êè p íà ïîâåðõíîñòè Φ.
ðàç íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîé åå
òî÷êè ñóùåñòâóåò k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).  ýòîì ñëó÷àå, â äàëüíåéøåì ìû áóäåì
ãîâîðèòü, ÷òî ïîâåðõíîñòü Φ ïðèíàäëåæèò êëàññó C k .
Îïðåäåëåíèå 2.1.2. Ïîâåðõíîñòü Φ íàçûâàåòñÿ k
61
62
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Îïðåäåëåíèå 2.1.3. Ïîâåðõíîñòü Φ êëàññà C k , (k ≥ 1) áóäåì íàçûâàòü
ðåãóëÿðíîé, åñëè äëÿ êàæäîé åå òî÷êè p ñóùåñòâóåò ïàðàìåòðèçàöèÿ ϕp :
D1 → R3 êëàññà C k ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà.
Ïîñëåäíåå óñëîâèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â òàêîé ôîðìå ~r u × ~r v 6= 0, ãäå
~r u = xu (u, v)~i + yu (u, v)~j + zu (u, v)~k ,
~r v = xv (u, v)~i + yv (u, v)~j + zv (u, v)~k .
Ïîìèìî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñïîñîáà çàäàíèÿ ïîâåðõíîñòè ñóùåñòâóþò è äðóãèå ñïîñîáû çàäàíèÿ.
ßâíîå çàäàíèå. Ïóñòü f : D1 ⊂ R2 → R1 ôóíêöèÿ êëàññà C k , (k ≥ 1).
Òîãäà ìíîæåñòâî òî÷åê
{(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ D1 } ãðàôèê ôóíêöèè f (x, y)
îáðàçóåò ðåãóëÿðíóþ ïîâåðõíîñòü êëàññà C k . Óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè â ýòîì
ñëó÷àå ïðèíÿòî çàïèñûâàòü òàê: x = x, y = y , z = f (x, y) èëè ïðîñòî z =
f (x, y), (x, y) ∈ D1 .
Íåÿâíîå çàäàíèå ïîâåðõíîñòè. Ïóñòü D íåêîòîðîå îòêðûòîå ñâÿçíîå
ìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà R3 , à H : D → R1 åñòü äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå êëàññà C k è ïóñòü íîëü åñòü ðåãóëÿðíîå çíà÷åíèå îòîáðàæåíèÿ H .
Òîãäà êàæäàÿ êîìïîíåíòà ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà Φ = H −1 (0) åñòü ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C k . Óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè â ýòîì ñëó÷àå çàïèñûâàåòñÿ â òàêîé ôîðìå H(x, y, z) = 0, à ñàìî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ íåÿâíûì
óðàâíåíèåì ïîâåðõíîñòè Φ. Åñëè ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè:
x = x(u, v),
y = y(u, v),
z = z(u, v),
òî äëÿ êàæäîé òî÷êè p ∈ Φ ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü, â êîòîðîé ïîâåðõíîñòü
Φ ìîæåò áûòü çàäàíà ÿâíûì óðàâíåíèåì.  ñàìîì äåëå, òàê êàê ðàíã îòîáðàæåíèÿ ϕp â òî÷êå p ðàâåí 2, òî ïî òåîðåìå îáðàòíîé ôóíêöèè ïåðåìåííûå
u è v ìîãóò áûòü âûðàæåíû ëèáî ÷åðåç x, y , ëèáî ÷åðåç x, z , ëèáî ÷åðåç y, z , è
òîãäà óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè Φ â îêðåñòíîñòè òî÷êè p ìîæåò áûòü çàïèñàíî
â îäíîé èç ñëåäóþùèõ ôîðì
z = z(u(x, y), v(x, y)) = f1 (x, y),
y = y(u(x, z), v(x, z)) = f2 (x, z),
x = x(u(y, z), v(y, z)) = f3 (y, z).
ëèáî
ëèáî
Åñëè æå ïîâåðõíîñòü Φ çàäàíà íåÿâíûì óðàâíåíèåì H(x, y, z) = 0, òî ó÷èòûâàÿ, ÷òî íîëü åñòü ðåãóëÿðíîå çíà÷åíèå îòîáðàæåíèÿ H , ìû ïîëó÷àåì,
÷òî îäíà èç ïðîèçâîäíûõ Hx , Hy èëè Hz îòëè÷íà îò íóëÿ â êàæäîé òî÷êå
p ∈ Φ. Åñëè, íàïðèìåð, Hz 6= 0, òî ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ f (x, y) òàêàÿ, ÷òî H(x, y, f (x, y)) ≡ 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,
ïîâåðõíîñòü Φ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p ìîæåò áûòü çàäàíà ÿâíûì
óðàâíåíèåì: z = f (x, y).
Ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû. Ïóñòü ~r = ~r (u, v) ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå
ïîâåðõíîñòè Φ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p ∈ Φ. Òîãäà êàæäîé òî÷êå
ýòîé îêðåñòíîñòè ñîîòâåòñòâóþò óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà ÷èñåë (u, v), êîòîðûå
íàçûâàþòñÿ ëîêàëüíûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè. Ïðîèçâîëüíóþ êðèâóþ γ
63
2.1. Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîâåðõíîñòè
íà ïîâåðõíîñòè Φ ìîæíî îïðåäåëèòü óðàâíåíèÿìè â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ
u = u(t), v = v(t), (a ≤ t ≤ b). Â ïðîñòðàíñòâå R3 óðàâíåíèÿ γ ïðèíèìàþò
âèä x = x(u(t), v(t)) = x(t), y = y(u(t), v(t)) = y(t), z = z(u(t), v(t)) = z(t).
Êðèâûå u = t, v = const; u = const, v = t íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòíûìè
ëèíèÿìè (ñì. ðèñóíîê 2.1).
Ðèñ. 2.1: Ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû íà ïîâåðõíîñòè.
Ñïåöèàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ïóñòü ϕ1 : D1 → Φ íåêîòîðàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C k , (k ≥ 1) è ïóñòü h : Dp →
D1 èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå êðóãà Dp â D1 êëàññà C k , (k ≥ 1) ñ íåíóëåâûì ÿêîáèàíîì J . Òîãäà êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé ϕp = ϕ1 ◦h : Dp → Φ åñòü
òàêæå ðåãóëÿðíàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ ïîâåðõíîñòè Φ òîãî æå êëàññà C k . Â ñàìîì äåëå, ïóñòü ϕ1 çàäàåòñÿ ôóíêöèÿìè x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v),
à h ôóíêöèÿìè u = ϕ(α, β), v = ψ(α, β). Òîãäà ϕp çàäàåòñÿ ôóíêöèÿìè
x = x(u(α, β), v(α, β)),
y = y(u(α, β), v(α, β)),
z = z(u(α, β), v(α, β))
è ïî èçâåñòíûì òåîðåìàì èç àíàëèçà ϕp ïðèíàäëåæèò êëàññó C k .
Äîêàæåì ðåãóëÿðíîñòü ïàðàìåòðèçàöèè. Èìååì
~r α = ~r u ϕα + ~r v ψα ,
~r β = ~r u ϕβ + ~r v ψβ .
Ïîýòîìó
|~r α × ~r β | = |~r u × ~r v | · |ϕα ψβ − ϕβ ψα | = |~r u × ~r v | · J 6= 0,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Èíîãäà âîçíèêàåò ïîòðåáíîñòü ââåñòè íîâûå êîîðäèíàòû íà ïîâåðõíîñòè òàê, ÷òîáû ëèíèè èç íåêîòîðîãî çàäàííîãî ñåìåéñòâà êðèâûõ ñòàëè áû
êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè. Ïóñòü â äàííîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè W ñ
êîîðäèíàòàìè u, v çàäàíû äâà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà
A1 (u, v)du + B1 (u, v)dv = 0,
A2 (u, v)du + B2 (u, v)dv = 0
(2.1.1)
è ìû õîòèì ââåñòè íîâûå êîîðäèíàòû òàê, ÷òîáû èíòåãðàëüíûå ëèíèè óðàâíåíèé (2.1.1) ñòàëè áû êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè. Ñëåäóþùàÿ ëåììà äàåò
äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ òàêîé ïàðàìåòðèçàöèè.
Ëåììà 2.1.1. Åñëè â òî÷êå p0 (u0 , v0 ) îïðåäåëèòåëü
J=
A1 (u0 , v0 ) B1 (u0 , v0 )
A2 (u0 , v0 ) B2 (u0 , v0 )
6= 0,
òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p0 ìîæíî ââåñòè òàêèå êîîðäèíàòû,
÷òî èíòåãðàëüíûå êðèâûå óðàâíåíèé (2.1.1) áóäóò êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Óðàâíåíèÿ (2.1.1) ïåðåïèøåì â âèäå äâóõ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
(
du
dt = −B1 (u, v)
(2.1.2)
dv
dt = A1 (u, v),
64
2
(
du
dt
dv
dt
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
= −B2 (u, v)
= A2 (u, v).
(2.1.3)
Ïóñòü γ0 èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ ñèñòåìû (2.1.2), ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó
p0 è ïóñòü åå óðàâíåíèÿ çàäàþòñÿ ôóíêöèÿìè u = ϕ1 (t), v = ψ1 (t). Òîãäà
ôóíêöèè ϕ1 (t), ψ1 (t) óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâàì:
(
dϕ1
dt = −B1 (ϕ1 , ψ1 )
è ϕ1 (0) = u0 , ψ1 (0) = v0 .
(2.1.4)
dψ1
dt = A1 (ϕ1 , ψ1 )
Àíàëîãè÷íî, ïóñòü σ0 èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ ñèñòåìû (2.1.3), ïðîõîäÿùàÿ
÷åðåç òî÷êó p0 , à u = ϕ2 (τ ) è v = ψ2 (τ ) åå óðàâíåíèÿ. Òîãäà
(
dϕ2
dτ = −B2 (ϕ2 , ψ2 )
è ϕ2 (0) = u0 , ψ2 (0) = v0 .
(2.1.5)
dψ2
dτ = A2 (ϕ2 , ψ2 )
Îáîçíà÷èì ÷åðåç γτ (α) èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ ñèñòåìû (2.1.2), ïðîõîäÿùóþ
÷åðåç òî÷êó σ0 (τ ), à ÷åðåç σt (β) èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ ñèñòåìû (2.1.3),
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó γ0 (t). Ïóñòü p(t, τ ) åñòü òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ γτ (α)
è σt (β). Òàê êàê òî÷êà p(t, τ ) èìååò â W êîîðäèíàòû u, v , òî ìû ïîëó÷èì
îòîáðàæåíèå u = u(t, τ ), v = v(t, τ ). Òåïåðü ïðåæäå âñåãî, äîêàæåì, ÷òî ïðè
äîñòàòî÷íî ìàëûõ t è τ òî÷êà p(t, τ ) îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
ìû äîëæíû äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ñèñòåìû
óðàâíåíèé
(
F1 (α, β, t, τ ) = f1 (α, τ ) − f2 (β, t) = 0,
(2.1.6)
F2 (α, β, t, τ ) = h1 (α, τ ) − h2 (β, t) = 0,
ãäå u = f1 (α, τ ), v = h1 (α, τ ) ñóòü óðàâíåíèÿ êðèâîé γτ (α), à u = f2 (β, t),
v = h2 (β, t) óðàâíåíèÿ êðèâîé σt (β). Èç îïðåäåëåíèÿ êðèâûõ σ0 , γ0 , γτ (α)
è σt (β) ñëåäóþò ðàâåíñòâà: f1 (0, 0) = u0 = f2 (0, 0), h1 (0, 0) = v0 = h2 (0, 0).
Ýòè ðàâåíñòâà ïîêàçûâàþò, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåìû (2.1.6) ïðè t = τ = 0
(F1 )α (F1 )β
6= 0, â
ñóùåñòâóåò. Ïîäñ÷èòàåì òåïåðü îïðåäåëèòåëü J1 =
(F2 )α (F2 )β
òî÷êå (0, 0, 0, 0)

(0,0)
(α,0)
∂F1
1

= ∂f1∂α
= ∂f1∂α
= ∂ϕ
= −B1 (u0 , v0 ),

∂α
∂α

α=0
α=0




∂f2 (0,0)
∂f2 (β,0)

∂F
2

= ∂ϕ
= −B2 (u0 , v0 ),
 ∂β2 = − ∂β = − ∂β
∂β
β=0
β=0
(2.1.7)
∂h1 (0,0)
∂h1 (α,0)

∂ψ1
∂F2

=
=
=
=
A
(u
,
v
),

1
0
0
∂α
∂α
∂α
∂α

α=0
α=0





∂ψ2
 ∂F2 = − ∂h2 (0,0) = − ∂h2 (β,0)
= ∂β
= A2 (u0 , v0 ).
∂β
∂β
∂β
β=0
β=0
Èç (2.1.7), ïîëó÷àåì
J1 = −J 6= 0.
(2.1.8)
Èç (2.1.8) è èç òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè, ìû âûâîäèì ñóùåñòâîâàíèå
òàêîãî ÷èñëà δ > 0, ÷òî ïðè t2 + τ 2 < δ 2 ôóíêöèè α = α(t, τ ) è β = β(t, τ )
îïðåäåëåíû è äèôôåðåíöèðóåìû. Çàìåòèì êðîìå òîãî, ÷òî
α(t, 0) = t,
β(0, τ ) = τ.
(2.1.9)
65
2.2. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü
Ôóíêöèè u = u(t, τ ) è v = v(t, τ ) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè
u = u(t, τ ) = f1 (α(t, τ ), τ ) = f2 (β(t, τ ), t),
v = v(t, τ ) = h1 (α(t, τ ), τ ) = h2 (β(t, τ ), t).
Âåëè÷èíà îïðåäåëèòåëÿ J2 =
∂u
∂t
∂v
∂t
∂u
∂τ
∂v
∂τ
(2.1.10)
â òî÷êå t = τ = 0 îêàçûâàåòñÿ
ðàâíîé −J è, ñëåäîâàòåëüíî, J2 6= 0. Â ñàìîì äåëå, èç ôîðìóë (2.1.10),
(2.1.9) è (2.1.7) ñëåäóåò
∂u
∂f1 (0, 0) ∂α
=
·
∂t
∂α
∂t
∂v
∂h1 (0, 0) ∂α
=
·
∂t
∂α
∂t
= −B1 ,
t=0
= A1 ,
t=0
∂u
∂f2 (0, 0)
=
·
∂τ
∂β
∂v
∂h2 (0, 0)
=
·
∂τ
∂β
∂β
∂τ
∂β
∂τ
= −B2 ,
τ =0
= A2 .
τ =0
Ñíîâà ïðèìåíÿåì òåîðåìó îá îáðàòíîé ôóíêöèè è ïîëó÷àåì, ÷òî îòîáðàæåíèå u = u(t, τ ), v = v(t, τ ) èíäóöèðóåò íîâûå êîîðäèíàòû t è τ , â êîòîðûõ
êðèâûå t = const, τ = τ è t = t, τ = const ñóòü èíòåãðàëüíûå ëèíèè
óðàâíåíèé (2.1.2) è (2.1.3).
Äîêàæåì åùå îäíó ëåììó.
Ëåììà 2.1.2. Ïóñòü â òî÷êå p(u0 , v0 ) çàäàíû äâà íåêîëëèíåàðíûõ âåêòî-
~ = λ1~r u + λ2~r v è µ
~ = µ1~r u + µ2~r v . Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîîðäèðà: λ
~ , ~r η = µ
~.
íàòíàÿ ñèñòåìà ξ, η , â êîòîðîé p(0, 0) è ~r ξ = λ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèè u = u(ξ, η) è v = v(ξ, η) îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè:
u = λ1 ξ + µ1 η + u0 ,
v = λ2 ξ + µ2 η + v0 .
Òîãäà êîîðäèíàòû òî÷êè p ðàâíû (0, 0) è
∂v
∂u
~,
+ ~r v
= λ1~r u + λ2~r v = λ
∂ξ
∂ξ
∂u
∂v
~r η = ~r u
~,
+ ~r v
= µ1~r u + µ2~r v = µ
∂η
∂η
~r ξ = ~r u
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
2.2
Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü
Ïóñòü γ(t) : u = u(t), v = v(t), (a ≤ t ≤ b) íåêîòîðàÿ êðèâàÿ, ïðîõîäÿùàÿ
÷åðåç òî÷êó p0 = γ(0) = (u(0), v(0)). Êàñàòåëüíûé âåêòîð γ̇ = ~τ ê êðèâîé γ
â òî÷êå p0 ìîæíî çàïèñàòü â òàêîé ôîðìå: γ̇ = ~r t 0 = ~r u u0 + ~r v v 0 . Èç ýòîé
ôîðìóëû ìû âèäèì, ÷òî êàñàòåëüíûé âåêòîð ê ëþáîé êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè Φ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó p0 , ëåæèò â ïëîñêîñòè âåêòîðîâ ~r u (p0 ) è
~r v (p0 ). Ýòî íàáëþäåíèå ïðèâîäèò íàñ ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ.
Îïðåäåëåíèå 2.2.1. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó p ðåãóëÿðíîé ïî-
âåðõíîñòè Φ êëàññà C k , (k ≥ 1) ïàðàëëåëüíî âåêòîðàì ~r u (p) è ~r v (p), íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ ê ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p. Íîðìàëü ê
êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè â òî÷êå p íàçûâàåòñÿ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè Φ.
66
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
 äàëüíåéøåì, íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p ìû áóäåì îáîçíà÷àòü
~ (p) è ñ÷èòàòü å¼ âñåãäà åäèíè÷íûì âåêòîðîì; |~
÷åðåç n
n (p)| = 1.  ÷àñòíîñòè,
rv
.
íîðìàëü ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé |~~rr uu ×~
×~
rv|
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè. Ïóñòü p íåêîòîðàÿ òî÷êà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ, α êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê Φ â
òî÷êå p, è q ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïîâåðõíîñòè Φ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç d ðàññòîÿíèå ìåæäó p è q , à ÷åðåç h ðàññòîÿíèå îò òî÷êè q äî ïëîñêîñòè α.
Òåîðåìà 2.2.1. Åñëè ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ ïðèíàäëåæèò êëàññó C 1 ,
òî
lim
q→p
h
h
= lim = 0.
d d→0 d
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ~r = ~r (u, v) óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè Φ, à òî÷êà
p èìååò ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû (u0 , v0 ). Òîãäà d = |~r (u, v) − ~r (u0 , v0 )|, à
~ ). Îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆u = u − u0 , ∆v = v − v0 (ñì.
h = (~r (u, v) − ~r (u0 , v0 ), n
ðèñóíîê 2.2).
Ðèñ. 2.2: Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè.
Ïî ôîðìóëå Òåéëîðà èìååì
p
~r (u, v) = ~r (u0 , v0 ) + ~r u (u0 , v0 )∆u + ~r v (u0 , v0 )∆v + ~o ( ∆u2 + ∆v 2 ).
Ïîýòîìó,
p
d = |~r u (u0 , v0 )∆u + ~r v (u0 , v0 )∆v + ~o ( ∆u2 + ∆v 2 )|,
p
~ =
h = ~r u (u0 , v0 )∆u + ~r v (u0 , v0 )∆v + ~o ( ∆u2 + ∆v 2 ), n
p
p
~ )| = ~o 1 ( ∆u2 + ∆v 2 ).
= |(~o ( ∆u2 + ∆v 2 ), n
Èç ïîñëåäíèõ ôîðìóë ñëåäóåò
√
~o1 ( ∆u2 + ∆v 2 )
h
√
lim = lim
.
d→0 d
d→0 |~
r u (u0 , v0 )∆u + ~r v (u0 , v0 )∆v + ~o ( ∆u2 + ∆v 2 )|
√
Ïîäåëèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïîñëåäíåé äðîáè íà ∆u2 + ∆v 2 . Äîêàæåì, ÷òî âûðàæåíèå
√
|~r u (u0 , v0 )∆u + ~r v (u0 , v0 )∆v + ~o ( ∆u2 + ∆v 2 )|
√
∆u2 + ∆v 2
îãðàíè÷åíî ñíèçó íåêîòîðûì ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì. Äëÿ ýòîãî îáîçíà÷èì
÷åðåç ξ = √∆u∆u
, η = √∆u∆v
è çàìåòèì, ÷òî ξ 2 + η 2 = 1. Îöåíèì
2 +∆v 2
2 +∆v 2
|~r u ξ + ~r v η|2 = (~r u ,~r u )ξ 2 + 2(~r u ,~r v )ξη + (~r v ,~r v )η 2 .
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
E = (~r u ,~r u ),
F = (~r u ,~r v ),
G = (~r v ,~r v ).
67
2.2. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü
Ïîäñ÷èòàåì
EG − F 2 = |~r u |2 · |~r v |2 − |~r u |2 | · ~r v |2 cos2 ϕ = |~r u |2 · |~r v |2 sin2 ϕ = |~r u × ~r v |2 .
Çäåñü ÷åðåç ϕ áûë îáîçíà÷åí óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ~r u è ~r v . Òàê êàê ïîâåðõíîñòü Φ ðåãóëÿðíà, òî |~r u × ~r v | =
6 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, EG − F 2 > 0. Çíà÷èò
2
êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Eξ + 2F ξη + Gη 2 ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ôîðìîé, íî òîãäà
min |Eξ 2 + 2F ξη + Gη 2 | = a2 > 0.
ξ 2 +η 2 =1
Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî
√
|~r u ∆u + ~r v ∆v + ~o ( ∆u2 + ∆v 2 )|
a
√
≥ ,
2
2
2
∆u + ∆v
√
åñëè ∆u2 + ∆v 2 äîñòàòî÷íî ìàëî. Èòàê, ìû èìååì: çíàìåíàòåëü äðîáè
îãðàíè÷åí ñíèçó ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì, à ÷èñëèòåëü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Çíà÷èò limd→0 hd = 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
 äàëüíåéøåì êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p áóäåì
îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì (T Φ)p . Âåêòîðû ~r u è ~r v ëèíåéíî íåçàâèñèìû è ïîýòîìó ÿâëÿþòñÿ áàçèñîì â (T Φ)p . Ýòîò áàçèñ ìû áóäåì íàçûâàòü ëîêàëüíûì
áàçèñîì ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p.
Ââåäåì ïîíÿòèå îðèåíòèðîâàííîé ïëîñêîñòè.
Ïóñòü α íåêîòîðàÿ ïëîñêîñòü ïðîñòðàíñòâà R3 , à ~e åäèíè÷íûé âåêòîð åé îðòîãîíàëüíûé. Ïàðó (α,~e ) íàçîâåì îðèåíòèðîâàííîé ïëîñêîñòüþ.
Òàêîå íàçâàíèå îïðàâäûâàåòñÿ òåì, ÷òî çíàíèå îðèåíòàöèè R3 è çàäàíèå
âåêòîðà ~e îïðåäåëÿåò îðèåíòàöèþ ïëîñêîñòè α. È, íàîáîðîò, ïî îðèåíòàöèè
α è R3 ìîæíî âîññòàíîâèòü âåêòîð ~e . Êàæäàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîñêîñòü
ïðîñòðàíñòâà R3 ïîðîæäàåò â íåì ôóíêöèþ fα , îïðåäåëåííóþ ôîðìóëîé:
−→
fα (p) = (p0 p,~e ),
ãäå p0 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà α. Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ fα íå çàâèñèò îò
âûáîðà òî÷êè p0 .
Çàäà÷à 2.2.1. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè òî÷êà q åñòü êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè fα íà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ, òî êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü (T Φ)q
ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè α.
Çàäà÷à 2.2.2. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïî÷òè âñåõ ïëîñêîñòåé α ïåðåñåêàþùèõ
ðåãóëÿðíóþ ïîâåðõíîñòü Φ êëàññà C k ïåðåñå÷åíèå α ∩ Φ åñòü ðåãóëÿðíàÿ
êðèâàÿ êëàññà C k .
2.2.1
Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû
1. Óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòè çàäàíû â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå:
~r = ~r (u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k .
68
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Òîãäà ~r u = xu~i + yu~j + zu~k , ~r v = xv~i + yv~j + zv~k . Ïîýòîìó óðàâíåíèå
êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè â òî÷êå (u0 , v0 ) çàïèñûâàåòñÿ òàê
(yu zv − zu yv )(u0 ,v0 ) (X − x(u0 , v0 )) + (zu xv − xu zv )(u0 ,v0 ) (Y − y(u0 , v0 ))+
+(xu yv − yu xv )(u0 ,v0 ) (Z − z(u0 , v0 )) = 0,
ãäå X, Y, Z êîîðäèíàòû òåêóùåé òî÷êè íà ïëîñêîñòè, è âñå ïðîèçâîäíûå
âû÷èñëåíû â òî÷êå (u0 , v0 ).
2. ßâíîå çàäàíèå ïîâåðõíîñòè: x = x, y = y , z = f (x, y).
~r x = ~i + fx~k ,
~r y = ~j + fy~k ,
~r x × ~r y = −fx~i − fy~j + ~k .
Ïóñòü êîîðäèíàòû òî÷êè êàñàíèÿ áóäóò (x0 , y0 , z0 = f (x0 , y0 )). Òîãäà óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïðèíèìàåò âèä:
Z − z0 = fx (x0 , y0 )(X − x0 ) + fy (x0 , y0 )(Y − y0 ).
3. Íåÿâíîå çàäàíèå ïîâåðõíîñòè: H(x, y, z) = 0. Ïóñòü (x0 , y0 , z0 ) òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ ïîâåðõíîñòè. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè
â ýòîé òî÷êå èìååò âèä:
Hx (x0 , y0 , z0 )(X − x0 ) + Hy (x0 , y0 , z0 )(Y − y0 ) + Hz (x0 , y0 , z0 )(Z − z0 ) = 0.
2.3
Ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
Ïóñòü p ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ.  êàñàòåëüíîé
~ èµ
~ . Ïóñòü λ1 , λ2 è µ1 , µ2 êîîðäèïëîñêîñòè (T Φ)p âîçüìåì äâà âåêòîðà λ
~ èµ
~ â ëîêàëüíîì áàçèñå ~r u (p) è ~r v (p). Íàéäåì ôîðìóëó äëÿ
íàòû âåêòîðîâ λ
~ èµ
~ ÷åðåç êîîðäèíàòû èõ
âû÷èñëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ λ
âåêòîðîâ â ëîêàëüíîì áàçèñå. Èñïîëüçóÿ óæå ââåäåííûå íàìè îáîçíà÷åíèÿ
E = (~r u ,~r u ), F = (~r u ,~r v ), G = (~r v ,~r v ), ïîëó÷èì
~,µ
~ ) = Eλ1 µ1 + F (λ1 µ2 + λ2 µ1 ) + Gλ2 µ2 .
(λ
Òàêèì îáðàçîì, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïîðîæäàåò íà ïîâåðõíîñòè Φ (â
êàæäîé êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè Φ) ïîëå ñèììåòðè÷íîé áèëèíåéíîé ôîðìû
~,µ
~ ) = Eλ1 µ1 + F (λ1 µ2 + λ2 µ1 ) + Gλ2 µ2 .
I(λ
 ÷àñòíîñòè,
~ ) = I(λ
~,λ
~ ) = E(λ1 )2 + 2F λ1 λ2 + G(λ2 )2 .
I(λ
~ ) íàçûâàåòñÿ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïîÊâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà I(λ
âåðõíîñòè.
Äëèíà êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè. Ïóñòü òåïåðü íà ïîâåðõíîñòè Φ ëåæèò
íåêîòîðàÿ ãëàäêàÿ êðèâàÿ γ è u = u(t), v = v(t), (a ≤ t ≤ b) åå óðàâíåíèÿ
â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ. Íàéäåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû l(γ)
êðèâîé γ . Ïî ôîðìóëå äëèíû êðèâîé ãëàâû 1 ìû èìååì:
Z bp
Z b
Z bp
I(~r 0 ) dt =
E (u0 )2 + 2F u0 v 0 + G (v 0 )2 dt.
l(γ) =
|~r 0 | dt =
a
a
a
(2.3.11)
2.3. Ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
69
Ôîðìóëó (2.3.11) ìîæíî çàïèñàòü åùå â òàêîé ôîðìå
Z
l(γ) =
b
p
E du2 + 2F du dv + G dv 2 ,
(2.3.12)
a
à ñàìó ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó â òàêîì âèäå:
ds2 = E du2 + 2F du dv + G dv 2 .
 ýòîì ñëó÷àå âåëè÷èíó ds íàçûâàþò ýëåìåíòîì äëèíû. Òàêàÿ ôîðìà çàïèñè ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû íàçûâàåòñÿ êëàññè÷åñêîé. Ôîðìóëà (2.3.11)
ïîêàçûâàåò íàì, ÷òî çíàÿ êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû è
óðàâíåíèÿ êðèâîé â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ, ìû ìîæåì âû÷èñëèòü äëèíó
äóãè êðèâîé.
Ñäåëàåì òåïåðü ñëåäóþùåå çàìå÷àíèå.
Çàìå÷àíèå 2.3.1. Åñëè íàì èçâåñòíû óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòè, òî ìû,
âî âñÿêîì ñëó÷àå â ïðèíöèïå, èìååì ïîëíóþ èíôîðìàöèþ î ïîâåðõíîñòè
è åå ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ. Åñëè æå íàì óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè íå
èçâåñòíî, à èçâåñòíà òîëüêî ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà, òî ìû, êîíå÷íî, óæå íå âëàäååì ïîëíîé èíôîðìàöèåé î ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ïîâåðõíîñòè. Îäíàêî, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî çíàíèå ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïîâåðõíîñòè äàåò íàì âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü èíôîðìàöèþ î ìíîãèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòè. Ìû ìîæåì îïðåäåëèòü è èçó÷èòü òàêèå ãåîìåòðè÷åñêèå ïîíÿòèÿ: äëèíó êðèâîé, ïëîùàäü îáëàñòè,
êðàò÷àéøèå è ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè, ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè è ò. ï.
Òå ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà è îáúåêòû, êîòîðûå ìû ìîæåì îïðåäåëèòü,
çíàÿ òîëüêî ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïîâåðõíîñòè, íàçûâàþòñÿ âíóòðåííå ãåîìåòðè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè, à ñîâîêóïíîñòü ýòèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ
ñâîéñòâ è îáúåêòîâ ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò âíóòðåííåé ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòè. Èíûìè ñëîâàìè, ìîæíî ñêàçàòü òàê: âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè èçó÷àåò òå åå ñâîéñòâà êîòîðûå íå çàâèñÿò îò ôîðìû ïîâåðõíîñòè, à
çàâèñÿò òîëüêî îò èçìåðåíèé, êîòîðûå ìû ìîæåì ïðîèçâåñòè, îñòàâàÿñü íà
ñàìîé ïîâåðõíîñòè. Âíóòðåííåé ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòè áóäåò ïîñâÿùåíà
îòäåëüíàÿ ãëàâà 3. Ñåé÷àñ æå ìû îïðåäåëèì è èçó÷èì òîëüêî ïðîñòåéøèå
ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé.
Ìåòðèêà íà ïîâåðõíîñòè. Ôîðìóëà (2.3.11) íàìè âûâåäåíà â òîì ñëó÷àå,
êîãäà êðèâàÿ γ öåëèêîì ëåæèò â îäíîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè. Åñëè æå
êðèâàÿ γ(t) íå ëåæèò öåëèêîì â îäíîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè, òî òîãäà
ðàçîáúåì åå íà êîíå÷íîå ÷èñëî äóã, êàæäàÿ èç êîòîðûõ óæå ëåæèò öåëèêîì
â îäíîé èç êîîðäèíàòíûõ îêðåñòíîñòåé. Ïîäñ÷èòûâàÿ çàòåì ïî ôîðìóëå
(2.3.11) äëèíó êàæäîé èç ïîëó÷åííûõ äóã è ñóììèðóÿ èõ çíà÷åíèÿ, ìû ïîëó÷èì äëèíó âñåé êðèâîé. Äîêàæåì òåïåðü ñëåäóþùóþ ëåììó.
Ëåììà 2.3.1. Åñëè ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ ïðèíàäëåæèò êëàññó C 1 ,
òî ëþáûå åå äâå òî÷êè ìîæíî ñîåäèíèòü ñïðÿìëÿåìîé (êóñî÷íî-ãëàäêîé)
êðèâîé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü p0 è p1 äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ïîâåðõíîñòè.
 ñèëó ñâÿçíîñòè Φ, ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ σ(t), (0 ≤ t ≤ 1), ñ
êîíöàìè â òî÷êàõ p0 è p1 ; σ(0) = p0 è σ(1) = p1 . Äàëåå, èç êîìïàêòíîñòè
70
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
ìíîæåñòâà σ(t), (0 ≤ t ≤ 1) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà äóã
σi , (ti ≤ t ≤ ti+1 ); i = 1, . . . , n; t1 = 0, tn = 1 êðèâîé σ è êîîðäèíàòíûõ
îêðåñòíîñòåé Wi , i = 1, . . . , n, òàêèõ, ÷òî σi ⊂ Wi . Ïóñòü (ui , vi ) è (ui+1 , vi+1 )
êîîðäèíàòû òî÷åê σ(ti ) è σ(ti+1 ) â Wi . Âîçüìåì êðèâóþ γi , îïðåäåëåííóþ
óðàâíåíèÿìè
u = ui +
v = vi +
t − ti
(ui+1 − ui ),
ti+1 − ti
t − ti
(vi+1 − vi ),
ti+1 − ti
(ti ≤ t ≤ ti+1 , i = 1, . . . , n),
è êðèâóþ γ , ñîñòàâëåííóþ èç äóã γi . Òîãäà êðèâàÿ γ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íîãëàäêîé (ñïðÿìëÿåìîé) è γ(0) = p0 , γ(1) = p1 .
Ëåììà 2.3.1 äàåò íàì âîçìîæíîñòü äàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå 2.3.1. Òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü äëèí âñåõ êðèâûõ ñ êîíöàìè
â òî÷êàõ p0 è p1 ïîâåðõíîñòè Φ íàçîâåì ðàññòîÿíèåì ρ ìåæäó òî÷êàìè p0
è p1 .
Èëè áîëåå ïîäðîáíî: ïóñòü Γ(p0 , p1 ) ìíîæåñòâî âñåõ ñïðÿìëÿåìûõ
Φ ñ êîíöàìè â òî÷êàõ p0 è p1 . Òîãäà ïîëîæèì
êðèâûõ ïîâåðõíîñòè
ρ(p0 , p1 ) =
inf
l(γ).
γ∈Γ(p0 ,p1 )
Ëåììà 2.3.1 òåïåðü ïîçâîëÿåò íàì óòâåðæäàòü, ÷òî ìíîæåñòâî Γ(p0 , p1 ) íå
ïóñòî è ôóíêöèÿ ρ(p0 , p1 ) îïðåäåëåíà. Ôóíêöèÿ ρ(p0 , p1 ) ≥ 0 îáëàäàåò âñåìè
îáû÷íûìè ñâîéñòâàìè ìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè:
1) ρ(p1 , p2 ) = ρ(p2 , p1 ),
2) ρ(p1 , p2 ) + ρ(p2 , p3 ) ≥ ρ(p1 , p3 ),
3) ρ(p, q) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
p = q.
Çàìåòèì åùå, ÷òî òîïîëîãèÿ, ïîðîæäåííàÿ ýòîé ìåòðèêîé, ñîâïàäàåò ñ òîïîëîãèåé èíäóöèðîâàííîé èç R3 .
Ââåäåíèå íà ïîâåðõíîñòè Φ ìåòðèêè ïîçâîëÿåò íàì äàòü ñëåäóþùèå ïðîñòûå îïðåäåëåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 2.3.2. Ïîâåðõíîñòü Φ íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ïîâåðõíîñòüþ,
åñëè (Φ, ρ) åñòü ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.
Îïðåäåëåíèå 2.3.3. Ïîâåðõíîñòü Φ íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ (êîìïàêòíîé), åñëè (Φ, ρ) åñòü êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.
Èçîìåòðè÷íûå ïîâåðõíîñòè
Îïðåäåëåíèå 2.3.4. Äâå ðåãóëÿðíûå ïîâåðõíîñòè Φ1 è Φ2 êëàññà C 1 íà-
çûâàþòñÿ èçîìåòðè÷íûìè, åñëè ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå h : Φ1 → Φ2 , ñîõðàíÿþùåå äëèíó ëþáîé ñïðÿìëÿåìîé êðèâîé. Èëè áîëåå ïîäðîáíî. Ïóñòü
γ1 ñïðÿìëÿåìàÿ êðèâàÿ ïîâåðõíîñòè Φ1 , à γ2 = h(γ1 ). Òîãäà, åñëè êðèâàÿ
γ2 òîæå ñïðÿìëÿåìà è l(γ1 ) = l(γ2 ) äëÿ ëþáîé γ1 ⊂ Φ1 , òî îòîáðàæåíèå h
íàçûâàþò èçîìåòðè÷åñêèì îòîáðàæåíèåì, à ñàìè ïîâåðõíîñòè Φ1 è Φ2 ïîâåðõíîñòÿìè èçîìåòðè÷íûìè äðóã äðóãó.
71
2.3. Ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
Î÷åâèäíî, ÷òî ìîæíî ñêàçàòü åùå ïðîùå:
äâå ïîâåðõíîñòè
Φ1
è
Φ2
èçî-
ìåòðè÷íû äðóã äðóãó, åñëè îíè èçîìåòðè÷íû êàê ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà
(Φ1 , ρ1 ) è (Φ2 , ρ2 ).
Îòíîñèòåëüíî èçîìåòðè÷íûõ ïîâåðõíîñòåé ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2.3.1. Åñëè ðåãóëÿðíûå ïîâåðõíîñòè Φ1 è Φ2 ìîæíî ïàðàìåò-
ðèçîâàòü òàê, ÷òî èõ ïåðâûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû áóäóò îäèíàêîâû, òî
ïîâåðõíîñòè èçîìåòðè÷íû. Èçîìåòðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå h îïðåäåëÿåòñÿ
ñîïîñòàâëåíèåì òî÷åê ñ îäèíàêîâûìè êîîðäèíàòàìè. Îáðàòíî, åñëè ïîâåðõíîñòè Φ1 è Φ2 èçîìåòðè÷íû, òî îíè ìîãóò áûòü ïàðàìåòðèçîâàíû
òàê, ÷òî èõ ïåðâûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû áóäóò îäèíàêîâû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâàÿ ÷àñòü òåîðåìû î÷åâèäíà, è âòîðàÿ ÷àñòü ýòîé òåîðåìû áóäåò äîêàçàíà â ãëàâå 3.
Çàìåòèì åùå, ÷òî èçîìåòðè÷íûå ïîâåðõíîñòè íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþò. Ïðîñòåéøèé ïðèìåð: ïàðàáîëè÷åñêèé öèëèíäð èçîìåòðè÷åí ïëîñêîñòè
(ïðîâåðèòü).
Óãîë ìåæäó êðèâûìè íà ïîâåðõíîñòè. Ïóñòü u = u1 (t), v = v1 (t) è u =
u2 (t), v = v2 (t) óðàâíåíèÿ äâóõ ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ γ1 è γ2 íà ïîâåðõíîñòè
Φ êëàññà C 1 è ïóñòü êðèâûå γ1 è γ2 èìåþò îáùóþ òî÷êó γ1 (t0 ) = γ2 (τ0 ).
Òîãäà â ýòîé òî÷êå ìîæíî îïðåäåëèòü óãîë ìåæäó êðèâûìè γ1 è γ2 , ïîëàãàÿ
åãî ðàâíûì óãëó ìåæäó êàñàòåëüíûìè âåêòîðàìè ~τ 1 = γ10 è ~τ 2 = γ20 . Òàê êàê
êîîðäèíàòû âåêòîðà ~τ 1 ñóòü (u01 (t0 ), v10 (t0 )), à âåêòîðà ~τ 2 (u01 (τ0 ), v10 (τ0 )),
òî
I(~τ 1 , ~τ 2 )
p
cos ϕ = p
=
I(~τ 1 ) I(~τ 2 )
=p
E u01 u02 + F (u01 v20 + v10 u02 ) + G v10 v20
p
.
E (u01 )2 + 2F u01 v10 + G (v10 )2 E (u02 )2 + 2F u02 v20 + G (v20 )2
Ïëîùàäü îáëàñòè íà ïîâåðõíîñòè. Ïóñòü D íåêîòîðàÿ îáëàñòü íà ïîâåðõíîñòè Φ, öåëèêîì ëåæàùàÿ â íåêîòîðîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè.
Îïðåäåëèì åå ïëîùàäü S(D) ñëåäóþùåé ôîðìóëîé
Z Z p
S(D) =
E(u, v)G(u, v) − F 2 (u, v) du dv.
(2.3.13)
D
p
Âûðàæåíèå dS =
E(u, v)G(u, v) − F 2 (u, v) du dv íàçûâàþò ýëåìåíòîì
ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè Φ. Äàòü íàãëÿäíîå ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ïëîùàäè îáëàñòè, à çàòåì, èñõîäÿ èç íåãî, âûâåñòè ôîðìóëó (2.3.13), êàê ýòî
ÿâíî ñäåëàíî äëÿ ïîíÿòèÿ äëèíû êðèâîé, îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî çàòðóäíèòåëüíûì äåëîì. Ïîýòîìó ôîðìóëó (2.3.13) ìû âîçüìåì â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ ïëîùàäè è ïðèâåäåì íåêîòîðûå íàâîäÿùèå ñîîáðàæåíèÿ, ïîÿñíÿþùèå
ýòó ôîðìóëó. Âîçüìåì íà ïîâåðõíîñòè Φ êðèâîëèíåéíûé "ïàðàëëåëîãðàìì"σ :
u0 ≤ u ≤ u0 + ∆u, v0 ≤ v ≤ v0 + ∆v , à íà ïëîñêîñòè (T Φ)(u0 ,v0 ) âîçüìåì
ïàðàëëåëîãðàìì σ̄ , ïîñòðîåííûé íà âåêòîðàõ ~r u (u0 , v0 )∆u è ~r v (u0 , v0 )∆v .
Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà σ̄
p
S(σ̄) = |~r u × ~r v |∆u∆v = EG − F 2 ∆u∆v,
72
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Èç íàãëÿäíûõ ñîîáðàæåíèé, êàæåòñÿ ïðàâäîïîäîáíûì ñ÷èòàòü, ÷òî ïëîùàäü "ïàðàëëåëîãðàììà"σ ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíà ïëîùàäè σ̄ è îøèáêà, êîòîðóþ ìû ïðè ýòîì äåëàåì, èìååò áîëåå âûñîêèé ïîðÿäîê ìàëîñòè, ÷åì
∆u∆v (ñì. ðèñóíîê 2.3).
Ðèñ. 2.3: Ýëåìåíò ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè.
Ïîýòîìó, ïîëàãàÿ
X
X p
S(D) = lim
S(σi ) = lim
( EG − F 2 ∆ui ∆vi + ōi (∆ui ∆vi ) ,
i
i
ãäå ïðåäåë áåðåòñÿ ïî âñå áîëåå ìåëêèì ïîäðàçäåëåíèÿì, ìû ìîæåì ïðèéòè
ê ôîðìóëå (2.3.13). Åñëè æå îáëàñòü D íå ëåæèò öåëèêîì â îäíîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè, òî ðàçîáúåì åå íà òàêèå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ
ëåæèò â îäíîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè, è ïëîùàäü îáëàñòè D ïîëîæèì
ðàâíîé ñóììå ïëîùàäåé åå ÷àñòåé.
2.3.1
Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû
1. Ïîâåðõíîñòü çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè:
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).
E = x2u + yu2 + zu2 ,
F = xu xv + yu yv + zu zv ,
G = x2v + yv2 + zv2 ,
EG − F 2 = (xu yv − xv yu )2 + (xu zv − xv zu )2 + (yu zv − yv zu )2 ,
Z Z p
S=
(xu yv − xv yu )2 + (xu zv − xv zu )2 + (yu zv − yv zu )2 du dv.
D
2. Ïîâåðõíîñòü çàäàíà ÿâíûì óðàâíåíèåì: z = f (x, y).
E = 1 + fx2 ,
F = fx fy , G = 1 + fy2 , EG − F 2 = 1 + fx2 + fy2 ,
Z Z q
S=
1 + fx2 + fy2 dx dy.
D
2.4
Âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
Íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà. Ïóñòü p åñòü íåêîòîðàÿ òî÷êà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C k , (k ≥ 2). ×åðåç íîðìàëü ~n ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p è ÷åðåç
~ ∈ (T Φ)p ïðîâåäåì ïëîñêîñòü Π(p, λ
~ ). Ïåðåñå÷åíèå ýòîé ïëîñêîñòè
âåêòîð λ
ñ ïîâåðõíîñòüþ Φ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p åñòü ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ
γ êëàññà C k (ñì. óïðàæíåíèå 1).
~ ) åå êðèâèçíó â òî÷êå p è, åñëè k̃(p, λ
~ ) 6= 0, òî
Îáîçíà÷èì ÷åðåç k̃(p, λ
~
÷åðåç ~ν (p, λ ) îáîçíà÷èì âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè êðèâîé γ â òî÷êå p. Òàê
~ ), òî ~ν (p, λ
~ ) = ±n
~ (p). Îïðåäåëèì
êàê êðèâàÿ γ ëåæèò
â ïëîñêîñòè
Π(p, λ
~
~
~
~ (p) k̃(p, λ ), òî åñòü ïîëîæèì
÷èñëî k(p, λ ) = ~ν (p, λ ), n

~ ),
~)=n

~ (p),
åñëè ~ν (p, λ
 k̃(p, λ
~
~ ) = 0,
k(p, λ ) =
0
åñëè k̃(p, λ

 −k̃(p, λ
~ ), åñëè ~ν (p, λ
~ ) = −~
n (p).
73
2.4. Âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
~ ) ìû íàçîâåì
Îïðåäåëåíèå 2.4.1. ×èñëî k(p, λ
íîðìàëüíîé êðèâèçíîé
~
ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p è â íàïðàâëåíèè λ .
~ ) çàâèñèò îò âûáîðà íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè n
~ (p)
Î÷åâèäíî, ÷òî çíàê k(p, λ
è ìåíÿåòñÿ âìåñòå ñ èçìåíåíèåì ýòîãî íàïðàâëåíèÿ (ñì. ðèñóíîê 2.4). Ïî~ ) íå èìååò ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà (çíà÷åíèÿ).
ýòîìó ñàì ïî ñåáå çíàê k(p, λ
Îäíàêî, ñîõðàíåíèå çíàêà (èëè åãî èçìåíåíèå ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ
~ ) óæå èìååò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Òàê, åñëè k(p, λ
~ ) èìååò ïîñòîÿííûé
λ
~
çíàê äëÿ âñåõ λ ∈ (T Φ)p , òî ïîâåðõíîñòü Φ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè
p öåëèêîì ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ñâîåé êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè (T Φ)p .
~ ) ìåíÿåò çíàê, òî ïîâåðõíîñòü Φ ðàñïîëîæåíà ïî ðàçíûå ñòîÅñëè æå k(p, λ
ðîíû îò (T Φ)p .  ïåðâîì ñëó÷àå òî÷êà p íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé òî÷êîé
èëè òî÷êîé âûïóêëîñòè, à âî âòîðîì ñëó÷àå ãèïåðáîëè÷åñêîé èëè ñåäëîâîé òî÷êîé.
Ðèñ. 2.4: Íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè.
Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå âñåõ íîðìàëüíûõ êðèâèçí â òî÷êå p ïîâåðõíîñòè Φ äàåò íàì âîçìîæíîñòè ñóäèòü î ôîðìå ïîâåðõíîñòè Φ â äîñòàòî÷íî
ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p. Ïóñòü òåïåðü ~r = ~r (u, v) óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè Φ: u = u(t), v = v(t) óðàâíåíèÿ êðèâîé γ , à t ïàðàìåòð, ïðîïîðöèîíàëüíûé äëèíå äóãè êðèâîé γ , âûáðàííûé òàê, ÷òî
γ(0) = p,
~ = λ1~r u + λ2~r v ,
~τ (0) = λ
λ1 =
du
(0),
dt
λ2 =
dv
(0).
dt
~ ),
Âû÷èñëèì k(p, λ
d2~r
1 ~ ), n
~ ) = k̃(p, λ
~ ) ~ν (p, λ
~ ), n
~ (p) =
~
~
k(p, λ
·
ν
(p,
λ
(p)
.
~ |2
dt2 |λ
d2~r
d2 u
d2 v
1 2
1 2
2 2
~
~
~
~
=
r
(λ
)
+
2~
r
λ
λ
+
r
(λ
)
+
r
+
r
.
uu
uv
vv
u
v
dt2
dt2
dt2
Ïîäñòàâëÿÿ (2.4.15) â (2.4.14), ïîëó÷èì
~) =
k(p, λ
(2.4.14)
(2.4.15)
1 ~ )(λ1 )2 + 2(~r uv , n
~ )λ1 λ2 + (~r vv , n
~ )(λ2 )2 .
(~r uu , n
~ |2
|λ
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
~ ),
L = (~r uu , n
Òîãäà
~) =
k(p, λ
~ ),
M = (~r uv , n
~ ).
N = (~r vv , n
L(λ1 )2 + 2M λ1 λ2 + N (λ2 )2
,
E(λ1 )2 + 2F λ1 λ2 + G(λ2 )2
(2.4.16)
~ ) íàçûâàþò
ãäå L, M è N âû÷èñëåíû â òî÷êå p. Êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó II(λ
âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïîâåðõíîñòè Φ. Òàê êàê òî÷êà p ìîæåò áûòü
~ ) îïðåäåëåíà â êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè Φ.
âçÿòà ïðîèçâîëüíî, òî II(λ
Òî÷íåå, âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè Φ îïðåäåëåíà íà êàæäîé
åå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè.
74
2
2.4.1
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû
(à). Ïîâåðõíîñòü çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè: x = x(u, v), y =
y(u, v), z = z(u, v)
~) =
L = (~r uu , n
(~r uu ,~r u ,~r v )
1
=√
|~r u × ~r v |
EG − F 2
xuu
xu
xv
yuu
yu
yv
zuu
zu
zv
,
~) =
M = (~r uv , n
(~r uv ,~r u ,~r v )
1
=√
|~r u × ~r v |
EG − F 2
xuv
xu
xv
yuv
yu
yv
zuv
zu
zv
,
~) =
N = (~r vv , n
(~r vv ,~r u ,~r v )
1
=√
|~r u × ~r v |
EG − F 2
xvv
xu
xv
yvv
yu
yv
zvv
zu
zv
.
Èíîãäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ L, M è N óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:
~ u ),
L = −(~r u , n
~ v ),
M = −(~r u , n
(2.4.17)
~ v ),
N = −(~r v , n
êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç ïðåäûäóùèõ ôîðìóë äèôôåðåíöèðîâàíèåì òîæäåñòâ
~ ) = 0,
~ ) = 0.
(~r u , n
(~r v , n
Èç ôîðìóë (2.4.17) âèäíî, ÷òî âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà äîïóñêàåò èíâàðèàíòíîå îïðåäåëåíèå
n
~) = − λ
~ , d~
II(λ
.
~
dλ
 êëàññè÷åñêîé çàïèñè âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
II(d~r ) = −(d~r , d~
n ),
ãäå íàïðàâëåíèå d~r , îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèåì äèôôåðåíöèàëîâ du : dv .
(á). Ïîâåðõíîñòü çàäàíà ÿâíûì óðàâíåíèåì: z = f (x, y)
fxx
L= q
1+
fx2
,
+
fy2
fxy
M=q
1+
fx2
,
+
fy2
fyy
N=q
.
1 + fx2 + fy2
Ïðèìåð 4.1. Ñôåðà (ãäå ϕ è ãåîãðàôè÷åñêèå êîîðäèíàòû u = ϕ, v = ):

 x = r cos ϕ sin y = r sin ϕ sin 
z = r cos (0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ < π).
~r u = −r sin ϕ sin ~i + r cos ϕ sin ~j ,
~r v = r cos ϕ cos ~i + r sin ϕ cos ~j − r sin ~k ,
~r uu = −r cos ϕ sin ~i − r sin ϕ sin ~j ,
~r uv = −r sin ϕ cos ~i + r cos ϕ cos ~j ,
~r vv = −r cos ϕ sin ~i − r sin ϕ sin ~j − r cos ~k ,
75
2.4. Âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
−r sin (r2 sin2 ϕ sin2 +r2 cos2 ϕ sin2 )
= −r2 sin2 ,
r sin ~ ) = −r2 [sin2 (λ1 )2 + (λ2 )2 ].
M = 0, N = −r2 ,
II(λ
L=
Ïðèìåð 4.2. Öèëèíäð

 x = r cos v
y = r sin v

z=u
~ ) = 1 (λ1 )2 .
II(λ
r
Ïðèìåð 4.3. Ãåëèêîèä

 x = u cos v
y = u sin v

z = cv
E = 1,
M=√
L = N = 0,
c
,
+ c2
u2
F = 0,
G = u2 + c2 ,
~) = √ c
II(λ
λ1 λ2 .
u2 + c2
Ïóñòü γ1 ïðîèçâîëüíàÿ ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ êëàññà C 2 íà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C 2 , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó p â íàïðàâëåíèè âåêòîðà
~
λ . Åñëè êðèâèçíà k1 , êðèâîé γ1 â òî÷êå p îòëè÷íà îò íóëÿ, òî ÷åðåç ~ν 1
îáîçíà÷èì ãëàâíóþ íîðìàëü γ1 â òî÷êå p. Îïðåäåëèì çíàê êðèâèçíû k1
~ (p)), åñëè
àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó: çíàê k1 ïîëîæèì ðàâíûì çíàêó (~ν 1 , n
~ (p)) 6= 0, è îáîçíà÷èì ÷åðåç θ óãîë ìåæäó âåêòîðàìè n
~ è ~ν 1 .
(~ν 1 , n
~ ) ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
Òåîðåìà 2.4.1 (Ìåíüå). Êðèâèçíû k1 è k(p, λ
~ ) = k1 · cos θ.
k(p, λ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü u = u1 (t), v = v1 (t) óðàâíåíèÿ êðèâîé γ1 ; t ïàðàìåòð, ïðîïîðöèîíàëüíûé äëèíå äóãè γ1 è òàêîé, ÷òî
γ1 (0) = p,
du1
(0) = λ1 ,
dt
dv1
(0) = λ2 ,
dt
~ = λ1~r u + λ2~r v .
λ
Òàê êàê
d2~r
d2 u
d2 v
1 2
1 2
2 2
~
~
~
~
=
r
(λ
)
+
2~
r
λ
λ
+
r
(λ
)
+
r
+
r
,
uu
uv
vv
u
v
dt2
dt2
dt2
òî
d2~r
~
,n
dt2
~ ) = k(p, λ
~ ) · I(λ
~ ).
= II(λ
(2.4.18)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû (ñì. Ÿ9 ãëàâû 1),
d2~r
~ |2 · ~ν 1 .
= |k1 | · |λ
dt2
(2.4.19)
Èç (2.4.18), (2.4.19) è îïðåäåëåíèÿ çíàêà k1 ñëåäóåò
~ ) = |k1 | · (~ν 1 , n
~ (p)) = k1 · cos θ.
k(p, λ
Òåîðåìà äîêàçàíà.
(2.4.20)
76
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Ôîðìóëó (2.4.20) ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíîé êðè~ ) íå çàâèñèò
âèçíû, êàê ýòî îáû÷íî è äåëàåòñÿ.  ñàìîì äåëå, ÷èñëî k(p, λ
~
îò âûáîðà êðèâîé γ , à çàâèñèò òîëüêî îò âûáîð âåêòîðà λ è îò âûáîðà
~ (p).
íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè n
~ ) 6= 0, òî òåîðåìà Ìåíüå äîïóñêàåò êðàñèâóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ
Åñëè k(p, λ
~ , θ) ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó p ïàèíòåðïðåòàöèþ. Ïóñòü Π(p, λ
~
~ ). ×åðåç
ðàëëåëüíî λ è îáðàçóþùàÿ óãîë θ, (0 ≤ θ < π2 ) ñ ïëîñêîñòüþ Π(p, λ
~ , θ) îáîçíà÷èì êðèâóþ, îáðàçîâàííóþ ïåðåñå÷åíèåì Π(p, λ
~ , θ) è Φ, à ÷åγ(λ
~
~ , θ)
ðåç k(λ , θ) åå êðèâèçíó. Â íàïðàâëåíèè ãëàâíîé íîðìàëè êðèâîé γ(λ
~ , θ) = 1 .
îòëîæèì îò òî÷êè p îòðåçîê, ðàâíûé ðàäèóñó êðèâèçíû R(λ
~
λ
k(λ ,θ)
~ ). Èç òåîðåÏîëó÷åííîå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê îáîçíà÷èì ÷åðåç C(λ
~ ) åñòü îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì d = 1 (ñì.
ìû Ìåíüå ñëåäóåò, ÷òî C(λ
~
λ
k(p,λ )
ðèñóíîê 2.5).
Ðèñ. 2.5: Èëëþñòðàöèÿ ê òåîðåìå Ìåíüå.
~ ) ëåæèò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé Π(p, λ
~ , θ), à
Çàìåòèì, ÷òî C(λ
~ , 0) ~ν (p).
êîíöû äèàìåòðà C ëåæàò â òî÷êàõ ~r (p) è ~r (p) + R(λ
Ãëàâíûå êðèâèçíû è ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ. Ïóñòü p ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C 2 . Èçó÷èì ïîâåäåíèå íîðìàëüíîé
~
êðèâèçíû êàê ôóíêöèè îò íàïðàâëåíèÿ λ
~) =
k(p, λ
L(λ1 )2 + 2M λ1 λ2 + N (λ2 )2
.
E(λ1 )2 + 2F λ1 λ2 + G(λ2 )2
Òàê êàê ìíîæåñòâî íàïðàâëåíèé íà ïëîñêîñòè (T Φ)p îáðàçóåò êîìïàêòíîå
~ ) èìååò, ïî êðàéìíîæåñòâî, ãîìåîìîðôíîå îêðóæíîñòè, òî ôóíêöèÿ k(p, λ
íåé ìåðå, îäèí ìèíèìóì è îäèí ìàêñèìóì, òî åñòü èìååò, ïî êðàéíåé ìåðå,
äâà ýêñòðåìàëüíûõ çíà÷åíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 2.4.2. Ýêñòðåìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè íîðìàëüíîé êðè-
~ ) â äàííîé òî÷êå p ïîâåðõíîñòè Φ íàçîâåì ãëàâíîé êðèâèçíîé
âèçíû k(p, λ
ïîâåðõíîñòè â òî÷êå p, à òå íàïðàâëåíèÿ â ïëîñêîñòè (T Φ)p , ïî êîòîðûì
~ ) ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ, íàçîâåì ãëàâíûìè
ôóíêöèÿ k(p, λ
íàïðàâëåíèÿìè ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p.
Íàéäåì óðàâíåíèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ãëàâíûõ êðèâèçí è ãëàâíûõ íàïðàâ~ 0 ñîîòâåòñòâóþùåå åé ãëàâíîå íàëåíèé. Ïóñòü a0 ãëàâíàÿ êðèâèçíà, λ
1~
2~
~
~
r
r
λ
λ
ïðàâëåíèå; 0 = λ0 u + λ0 v , à
= λ1~r u + λ2~r v ïðîèçâîëüíûé âåêòîð
ïëîñêîñòè (T Φ)p . Òîãäà ôóíêöèÿ
~ ) − a0 · I(λ
~)
f (λ1 , λ2 , a0 ) = II(λ
∂f
∂f
2
1
1
è åå ïðîèçâîäíûå ∂λ
1 è ∂λ2 ïðèíèìàþò íóëåâûå çíà÷åíèÿ ïðè λ = λ0 , λ =
2
λ0 . Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:

~ 0 ) − a0 · I(λ
~ 0) = 0

 II(λ
~ 0 ) − a0 · Iλ1 (λ
~ 0) = 0
(2.4.21)
IIλ1 (λ

 II 2 (λ
~
~
0 ) − a0 · Iλ2 (λ 0 ) = 0,
λ
77
2.4. Âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
èëè â áîëåå ïîäðîáíîé çàïèñè
(L − a0 E)λ10 + (M − a0 F )λ20 = 0
(M − a0 F )λ10 + (N − a0 G)λ20 = 0.
(2.4.22)
~0 =
Òàê êàê âåêòîð λ
6 0, òî ñèñòåìà (2.4.22) èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå λ10 , λ20
è ïîýòîìó
L − a0 E M − a0 F
=0
M − a0 F N − a0 G
èëè
(EG − F 2 )a20 − (LG + EN − 2M F )a0 + LN − M 2 = 0.
(2.4.23)
Èòàê, ìû âèäèì, ÷òî ñóùåñòâóò íå áîëåå äâóõ ãëàâíûõ êðèâèçí. Åñëè æå
~ ) = max~ k(p, λ
~)
óðàâíåíèå (2.4.23) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òî minλ~ k(p, λ
λ
~
~
~
è k(p, λ ) íå çàâèñèò îò λ .  ýòîì ñëó÷àå ëþáîå íàïðàâëåíèå λ ∈ (T Φ)p ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì íàïðàâëåíèåì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç k1 (p) è k2 (p) ãëàâíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p; k1 (p) ≤ k2 (p). Âûâåäåì òåïåðü óðàâíåíèå
äëÿ íàõîæäåíèÿ ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé. Ñèñòåìà (2.4.21) èìååò íåíóëåâîå
ðåøåíèå (1, −a0 ). Ïîýòîìó
~ 0 ) · Iλ2 (λ
~ 0 ) − IIλ2 (λ
~ 0 ) · Iλ1 (λ
~ 0) = 0
IIλ1 (λ
èëè â áîëåå ïîäðîáíîé çàïèñè
(Eλ10 + F λ20 )(M λ10 + N λ20 ) − (F λ10 + Gλ20 )(Lλ10 + M λ20 ) = 0.
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå, áîëåå óäîáíîé äëÿ ïðèìåíåíèé è çàïîìèíàíèÿ
−(λ20 )2
E
L
λ10 λ20
F
M
−(λ10 )2
G
N
= 0.
(2.4.24)
Âåðíåìñÿ ê óðàâíåíèþ, îïðåäåëÿþùåìó ãëàâíûå êðèâèçíû k1 è k2
(EG − F 2 )k 2 − (LG + EN − 2M F )k + LN − M 2 = 0.
 òåîðèè äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé â òðåõìåðíîì Åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå
R3 áîëüøóþ ðîëü èãðàþò ñëåäóþùèå èíâàðèàíòû òî÷êè p íà ïîâåðõíîñòè Φ:
ãàóññîâà èëè ïîëíàÿ êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè K(p), îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé
K(p) = k1 (p)k2 (p),
è ñðåäíÿÿ êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè H(p), îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé
H(p) =
1
(k1 (p) + k2 (p)).
2
Ïîëüçóÿñü òåîðåìîé Âèåòà, ïðèìåíåííîé ê óðàâíåíèþ (2.4.23), ìû ïîëó÷àåì
K(p) =
LN − M 2
,
EG − F 2
H(p) =
1 EN + GL − 2F M
.
2
EG − F 2
(2.4.25)
78
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Èç ôîðìóë (2.4.25) ìû âèäèì, ÷òî åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè Φ
â íåêîòîðîé òî÷êå p ïîëîæèòåëüíà, òî âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà â ýòîé
òî÷êå ÿâëÿåòñÿ çíàêîîïðåäåëåííîé (ïîëîæèòåëüíî èëè îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé) è òîãäà íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà k(p, ~λ) ïîâåðõíîñòè Φ íå ìåíÿåò
~ .  ýòîì ñëó÷àå, êàê ìû óæå çíàåì, ïîâåðõíîñòü Φ â
çíàê ïðè èçìåíåíèè λ
íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p ðàñïîëîæåíà ïî îäíó ñòîðîíó îò ñâîåé êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè, à ñàìà òî÷êà íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé òî÷êîé èëè
òî÷êîé âûïóêëîñòè.
Åñëè æå K(p) < 0, òî k1 (p) < 0 à k2 (p) > 0 è òîãäà òî÷êà p ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé èëè ñåäëîâîé òî÷êîé, è ïîâåðõíîñòü ðàñïîëîæåíà ïî ðàçíûå
ñòîðîíû îò ñâîåé êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè. Âîçíèêíîâåíèå òåðìèíà ýëëèïòè÷åñêàÿ èëè ãèïåðáîëè÷åñêàÿ òî÷êà èìååò ñâîèì èñòî÷íèêîì òîò ôàêò, ÷òî
â îêðåñòíîñòè ýëëèïòè÷åñêîé òî÷êè ïîâåðõíîñòü Φ âåäåò ñåáÿ ñ äîñòàòî÷íî
âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè êàê ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä, à â îêðåñòíîñòè ãèïåðáîëè÷åñêîé òî÷êè êàê ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä. Òî÷êà æå, â
êîòîðîé K(p) = 0, íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêîé èëè öèëèíäðè÷åñêîé òî÷êîé, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå îäíà èç ãëàâíûõ êðèâèçíà ðàâíà íóëþ òî÷íî òàê
æå êàê ýòî ïðîèñõîäèò â ëþáîé òî÷êå öèëèíäðà (ñì. ðèñóíîê 2.6). Ñðåäíÿÿ
êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè â òåîðèè ïîâåðõíîñòåé, èãðàåò ìåíüøóþ ðîëü, ÷åì
ãàóññîâà êðèâèçíà.
Ðèñ. 2.6: Ýëëèïòè÷åñêàÿ, ãèïåðáîëè÷åñêàÿ, ïàðàáîëè÷åñêàÿ òî÷êà.
Ñäåëàåì òîëüêî îäíî çàìå÷àíèå. Åñëè â êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè Φ
ñðåäíÿÿ êðèâèçíà H = 0, òî òàêàÿ ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé
ïîâåðõíîñòüþ, è îíà õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì ñâîéñòâîì, ÷òî èìååò íàèìåíüøóþ ïëîùàäü ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ïîâåðõíîñòÿìè, èìåþùèìè òó æå
ãðàíèöó.
2.4.2
Îìáèëè÷åñêèå òî÷êè
îìáèëè÷åñêîé
èëè øàðîâîé òî÷êîé, åñëè ãëàâíûå êðèâèçíû k1 (p) è k2 (p) ðàâíû. Åñëè æå,
êðîìå òîãî, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî k1 (p) = k2 (p) = 0, òî òî÷êà p íàçûâàåòñÿ
òî÷êîé óïëîùåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 2.4.3. Òî÷êà p ïîâåðõíîñòè Φ íàçûâàåòñÿ
Òàêîå íàçâàíèå ýòèõ òî÷åê îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî íà ñôåðå ðàäèóñà R âûïîëíåíî k1 (p) = k2 (p) = ± R1 â ëþáîé òî÷êå p, à â ëþáîé òî÷êå ïëîñêîñòè
k1 (p) = k2 (p) = 0. Ïîçäíåå ìû äîêàæåì òåîðåìó î òîì, ÷òî åñëè âñå òî÷êè ïîâåðõíîñòè Φ ÿâëÿþòñÿ îìáèëè÷åñêèìè òî÷êàìè, òî Φ åñòü îòêðûòàÿ
îáëàñòü ëèáî íà ñôåðå, ëèáî íà ïëîñêîñòè.
 îìáèëè÷åñêîé òî÷êå íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ,
ïîýòîìó âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïðîïîðöèîíàëüíà ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìå, è êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ðàâåí ãëàâíîé êðèâèçíå
ïîâåðõíîñòè Φ â ýòîé òî÷êå: L = kE, M = kF, N = kG, ãäå k = k1 = k2 .
N
L
= M
Âåðíî è îáðàòíîå, åñëè E
F = G , òî òî÷êà p åñòü îìáèëè÷åñêàÿ òî÷êà.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì òåîðåìó.
Òåîðåìà 2.4.2. Òî÷êà p íà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C k , (k ≥ 2)
ÿâëÿåòñÿ îìáèëè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ðàâåí-
2.4. Âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
L
ñòâà E
= M
F =
L = M = N = 0.
N
G,
79
è òî÷êîé óïëîùåíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
Îðòîãîíàëüíîñòü ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé. Åñëè òî÷êà p ïîâåðõíîñòè Φ íå
ÿâëÿåòñÿ îìáèëè÷åñêîé òî÷êîé, òî â ïëîñêîñòè (T Φ)p ñóùåñòâóåò ðîâíî äâà
ãëàâíûõ íàïðàâëåíèÿ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòè íàïðàâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè è ñîïðÿæåííûìè îòíîñèòåëüíî âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû.
Òåîðåìà 2.4.3. Åñëè òî÷êà p ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ íå ÿâëÿåòñÿ îì-
~ 1, λ
~ 2 ∈ (T Φ)p åñòü äâà âåêòîðà, èäóùèå ïî ãëàâíûì
áèëè÷åñêîé òî÷êîé, à λ
~ 1, λ
~ 2 ) = II(λ
~ 1, λ
~ 2 ) = 0.
íàïðàâëåíèÿì ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p, òî I(λ
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì óðàâíåíèÿ (2.4.21), êîòîðûå îïðåäåëÿþò ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ
(
~ 1 ) − k1 · I 1 (λ
~ 1) = 0
IIλ11 (λ
λ1
(2.4.26)
~
~ 1 ) = 0,
IIλ21 (λ 1 ) − k1 · Iλ21 (λ
(
IIλ12 (~λ2 ) − k2 · Iλ12 (~λ2 ) = 0
~ 2 ) − k2 · I 2 (λ
~ 2 ) = 0.
IIλ22 (λ
λ2
(2.4.27)
Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.4.26) íà λ12 , à âòîðîå íà λ22 è ñëîæèì èõ, òîãäà
~ 1, λ
~ 2 ) − 2k1 · I(λ
~ 1, λ
~ 2 ) = 0.
2 · II(λ
(2.4.28)
Àíàëîãè÷íî, óìíîæàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.4.27) íà λ11 , à âòîðîå íà λ21 , è ñêëàäûâàÿ èõ, ïîëó÷èì
~ 1, λ
~ 2 ) − 2k2 · I(λ
~ 1, λ
~ 2 ) = 0.
2 · II(λ
(2.4.29)
Âû÷èòàÿ òåïåðü (2.4.29) èç (2.4.28) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî k2 − k1 6= 0, ïîëó÷èì
~ 1, λ
~ 2 ) = (λ
~ 1, λ
~ 2 ) = 0,
I(λ
(2.4.30)
~ 1, λ
~ 2 ) = 0.
à èç (2.4.28) è (2.4.30) ñëåäóåò II(λ
Ôîðìóëà Ýéëåðà. Ôîðìóëà, âïåðâûå ïîëó÷åííàÿ Ë. Ýéëåðîì, ïîçâîëÿåò
âû÷èñëèòü íîðìàëüíóþ êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè Φ â çàäàííîé òî÷êå p â ïðîèçâîëüíîì íàïðàâëåíèè, çíàÿ ãëàâíûå êðèâèçíû k1 è k2 ïîâåðõíîñòè â ýòîé
~ 1 = λ1~r u + λ2~r v è λ
~ 2 = λ1~r u + λ2~r v äâà åäèíè÷òî÷êå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç λ
1
1
2
2
íûõ îðòîãîíàëüíûõ äðóã äðóãó âåêòîðà, èäóùèõ ïî ãëàâíûì íàïðàâëåíèÿì.
Ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ âåêòîðîâ ñëåäóåò èç òåîðåìû 2.4.3. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
~
~ 1 óãîë ϕ, (0 ≤ ϕ ≤ 2π).
λ (ϕ) âåêòîð, îáðàçóþùèé ñ âåêòîðîì λ
Òåîðåìà 2.4.4.  ïðîèçâîëüíîé òî÷êå p ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà
C k , (k ≥ 2) âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
~ (ϕ)) = k1 cos2 ϕ + k2 sin2 ϕ,
k(p, ϕ) = k(p, λ
êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà.
80
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Äîêàçàòåëüñòâî.  îêðåñòíîñòè òî÷êè p ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò (u, v)
~ 1 è ~r v (0, 0) = λ
~ 2 . Ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ
òàê, ÷òîáû p(0, 0), à ~r u (0, 0) = λ
êîîðäèíàò ñëåäóåò èç ëåììû 2.1.1. Â ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååì:
λ11 = 1,
λ21 = 0,
E(0, 0) = 1,
λ12 = 0,
λ22 = 1,
F (0, 0) = 0,
λ1 (ϕ) = cos ϕ,
G(0, 0) = 1,
λ2 (ϕ) = sin ϕ,
M (0, 0) = 0.
Âñå ýòè ðàâåíñòâà ñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ E, F, G, à ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî
~ 1, λ
~ 2 ) = M = 0. Äàëåå,
èç òåîðåìû 2.4.3, òàê êàê II(λ
k(p, ϕ) =
L cos2 ϕ + N sin2 ϕ
= L cos2 ϕ + N sin2 ϕ.
cos2 ϕ + sin2 ϕ
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
k1 = k(p, 0) = L,
π
= N.
k2 = k p,
2
Ïîýòîìó ïîëó÷àåì k(p, ϕ) = k1 cos2 ϕ + k2 sin2 ϕ.
~ (p) ðåãóëÿðíîé ïîâåðõÒåîðåìà 2.4.5 (Ðîäðèãà). Ïðîèçâîäíàÿ íîðìàëè n
íîñòè Φ êëàññà C k , (k ≥ 2) ïî íåêîòîðîìó íàïðàâëåíèþ êîëëèíåàðíà åìó
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòî íàïðàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì íàïðàâëåíèåì ïîâåðõíîñòè â òî÷êå p, à êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ðàâåí
−k , ãäå k ãëàâíàÿ êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p, ñîîòâåòñòâóþùàÿ
ýòîìó ãëàâíîìó íàïðàâëåíèþ.
~ = λ1~r u + λ2~r v åñòü âåêòîð, çàäàþùèé äàííîå
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü λ
~ , â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðîíàïðàâëåíèå. Ïðîèçâîäíàÿ d n~~ ïî íàïðàâëåíèþ λ
dλ
èçâîäíîé ïî íàïðàâëåíèþ, çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
d~
n
~ u + λ2 n
~ v.
= λ1 n
~
dλ
(2.4.31)
~ ãëàâíîå íàïðàâëåíèå, òîãäà ïî òåîðåìå 2.4.3 ñóùåñòâóåò âåêòîð
Ïóñòü λ
~ = µ1~r u + µ2~r v òàêîé, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà
µ
~,µ
~,µ
~ ) = II(λ
~ ) = 0.
I(λ
Óìíîæàÿ (2.4.31) ñêàëÿðíî íà âåêòîð ~µ, ïîëó÷èì
d~
n
~,µ
~ = −II(λ
~ ) = 0.
,µ
~
dλ
(2.4.32)
~ . Çíà÷èò îí êîëëèíåàðåí
Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð d~n~ îðòîãîíàëåí âåêòîðó µ
dλ
d~
n
~
~
λ , è ìû èìååì ~ = a λ . Íàéäåì a.
dλ
~ , ïîëó÷èì −II(λ
~ ) = a·I(λ
~)
Óìíîæèì ýòî ðàâåíñòâî ñêàëÿðíî íà âåêòîð λ
~
λ
I(λ )
èëè a = − II(~λλ ) = −k . Ïóñòü òåïåðü äàíî, ÷òî
d~
n
~.
= aλ
~
dλ
(2.4.33)
81
2.4. Âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
Òîãäà, òàêæå êàê è âûøå, ìû ïîëó÷èì, ÷òî a = −k è îñòàåòñÿ òîëüêî äî~ èäåò ïî ãëàâíîìó íàïðàâëåíèþ. Èç (2.4.31) è (2.4.33)
êàçàòü, ÷òî âåêòîð λ
ñëåäóåò ðàâåíñòâî
~ u + λ2 n
~ v = (λ1~r u + λ2~r v )(−k).
λ1 n
Óìíîæèì åãî ñêàëÿðíî ñíà÷àëà íà ~r u , à ïîòîì íà ~r v , ïîëó÷èì ñèñòåìó
óðàâíåíèé
−Lλ1 − M λ2 = −kEλ1 − kF λ2
−M λ1 − N λ2 = −kF λ1 − kGλ2 ,
~ ãëàâíîå íàïðàâëåíèå.
êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ ñèñòåìîé (2.4.22), è ïîòîìó λ
Äàäèì îäíî ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ðîäðèãà. Ðåøèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó.
Çàäà÷à 2.4.1. Åñëè íà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C k , (k ≥ 3) íîð-
~ ) íå çàâèñèò íè îò p íè îò λ
~ , òî ïîâåðõíîñòü Φ
ìàëüíàÿ êðèâèçíà k(p, λ
åñòü îòêðûòàÿ ñâÿçíàÿ îáëàñòü ëèáî íà ñôåðå, ëèáî íà ïëîñêîñòè.
~ â
Ðåøåíèå. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó p ∈ Φ. Íàïðàâëåíèå íîðìàëè n
òî÷êå p è â íåêîòîðîé åå îêðåñòíîñòè âûáåðåì òàê, ÷òîáû íîðìàëüíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè áûëè áû ïîëîæèòåëüíûìè, òî åñòü ïðåäïîëîæèì, ÷òî
~ ) ≡ k0 > 0. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå íàïðàâëåíèå λ
~ ∈ (T Φ)p . Îáîçíà÷èì
k(p, λ
~
÷åðåç Π(p, λ ) ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó p ïàðàëëåëüíî âåêòîðàì
~n è ~λ, à ÷åðåç γ(p, ~λ) êðèâóþ, ëåæàùóþ â ïåðåñå÷åíèè ïîâåðõíîñòè Φ è
~ ). Ââåäåì íà γ(p, λ
~ ) ïàðàìåòðèçàöèþ t ñ ïîìîùüþ äëèíû
ïëîñêîñòè Π(p, λ
~ ), îòñ÷èòûâàåìîé îò òî÷êè p. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ~τ (t), ~ν (t) è β
~ (t)
äóãè γ(p, λ
êàñàòåëüíûé âåêòîð, âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè è âåêòîð áèíîðìàëè êðèâîé
γ(p, ~λ). Êðèâàÿ γ(p, ~λ) åñòü ïëîñêàÿ êðèâàÿ è åå êðó÷åíèå ðàâíî íóëþ. Ïîýòîìó èç ôîðìóë Ôðåíå ìû ïîëó÷àåì:
~τ 0 (t) = k ~ν (t),
~ν 0 (t) = −k ~τ (t),
~ 0 (t) = 0,
β
(2.4.34)
~ ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç òåîðåìû Ðîäðèãà
ãäå k(t) êðèâèçíà êðèâîé γ(p, λ
ìû èìååì
~ 0 (t) = −k0 ~τ (t).
n
(2.4.35)
~ (t)−~ν (t), òîãäà ~a (0) = 0 è, òàê êàê ~a (t) îðòîãîíàëåí
Îáîçíà÷èì ÷åðåç ~a (t) = n
~τ (t), òî
~ (t) + c2 (t) ~ν (t),
~a (t) = c1 (t) β
(2.4.36)
ãäå c1 (t) è c2 (t) íåêîòîðûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè. Òîãäà, ñ îäíîé
ñòîðîíû, ìû èìååì
d~a
d~
n
d~ν
=
−
= (k − k0 )~τ ,
(2.4.37)
dt
dt
dt
ñ äðóãîé ñòîðîíû,
d~a
~ + c0 (t) ~ν + c2 (t)(−k ~τ ).
= c01 (t) β
2
dt
(2.4.38)
Èç (2.4.37) è (2.4.38) ïîëó÷àåì
~ + c0 (t) ~ν − c2 (t)k ~τ
(k − k0 )~τ = c01 (t) β
2
(2.4.39)
82
2
èëè
k + c2 k2 − k0 = 0,
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
c01 (t) = 0,
c02 (t) = 0
è, ó÷èòûâàÿ (2.4.36), c1 (t) = c2 (t) = 0. Îòêóäà k(t) = k0 . Ñëåäîâàòåëüíî,
~ ) åñòü äóãà îêðóæíîñòè ðàäèóñà 1 , èëè â ñëó÷àå k0 = 0, åñòü
êðèâàÿ γ(p, λ
k0
~ áûëè âûáðàíû ïðîèçâîëüíî, òî
ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Òàê êàê òî÷êà p è âåêòîð λ
çàäà÷à ðåøåíà.
Èçó÷åíèå ñâîéñòâ ýêâèäèñòàíòíûõ ïîâåðõíîñòåé, êîòîðîìó ïîñâÿùåí ñëåäóþùèé ðàçäåë, ñóùåñòâåííî îïèðàåòñÿ íà òåîðåìó Ðîäðèãà.
2.4.3
Ýêâèäèñòàíòíûå ïîâåðõíîñòè
~ (p) ïîëå íîðìàëåé
Ïóñòü Φ ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C k , (k ≥ 3), à n
ïîâåðõíîñòè Φ. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà a ïîñòðîèì ïîâåðõíîñòü Φ(a), îòêëàäûâàÿ îò êàæäîé òî÷êè p ∈ Φ îòðåçîê äëèíû |a| â íàïðàâëåíèè íîðìàëè
~ (p), åñëè a > 0, è îòðåçîê äëèíû |a| â íàïðàâëåíèè −~
n
n (p), åñëè a < 0. Ïîâåðõíîñòü Φ(a) íàçûâàåòñÿ ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõíîñòüþ ïîâåðõíîñòè Φ
(ñì. ðèñóíîê 2.7). Î÷åâèäíî, ÷òî ñâîéñòâà ýêâèäèñòàíòû Φ(a) îïðåäåëÿþòñÿ
ñâîéñòâàìè Φ è çíà÷åíèåì ÷èñëà a.
Ðèñ. 2.7: Ýêâèäèñòàíòíûå ïîâåðõíîñòè.
Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíóþ òåîðåìó. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ϕ(p) îòîáðàæåíèå Φ
~ (p, a) íà Φ(a), ïîðîæäåííîå ïîñòðîåíèåì Φ(a), ÷åðåç k1 (p, a), k2 (p, a) è n
ãëàâíûå êðèâèçíû è íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè Φ(a) â òî÷êå ϕ(p) ∈ Φ(a), à
1
1
÷åðåç R1 (p, a) =
, R2 (p, a) =
.
k1 (p, a)
k2 (p, a)
6 k1 (p) = k1 (p, 0), a1 6= k2 (p) = k2 (p, 0), òî ïî=
~ (p, a) ñîâïàäàåò ñ n
~ (p),
âåðõíîñòü Φ(a) ðåãóëÿðíà â òî÷êå ϕ(p), íîðìàëü n
ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p ïåðåõîäÿò â ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè Φ(a) â òî÷êå ϕ(p) ïðè îòîáðàæåíèè ϕ, à ãëàâíûå
êðèâèçíû k1 (p, a) è k2 (p, a) âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè:
Òåîðåìà 2.4.6. Åñëè
1
a
k1 (p, a) =
k1 (p)
,
1 − ak1 (p)
k2 (p)
1 − ak2 (p)
(2.4.40)
R2 (p, a) = R2 (p) − a.
(2.4.41)
k2 (p, a) =
èëè
R1 (p, a) = R1 (p) − a,
Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ïîâåðõíîñòè Φ â îêðåñòíîñòè òî÷êè p ââåäåì ïàðàìåòðèçàöèþ ~ρ = ~ρ (u, v) òàêóþ, ÷òî òî÷êà p èìååò íóëåâûå êîîðäèíàòû, à
âåêòîðû ~ρ u (0, 0) è ~ρ v (0, 0) èäóò ïî ãëàâíûì íàïðàâëåíèÿì ïîâåðõíîñòè Φ â
òî÷êå p. Óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè Φ(a) çàïèøåì òàê:
~r = ~r (u, v) = ~ρ (u, v) + a n
~ (u, v).
Ïîäñ÷èòàåì ~r u × ~r v â òî÷êå p
~r u = ~ρ u + a n
~ u,
~r v = ~ρ v + a n
~ v.
83
2.5. Òðåòüÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
Èç ôîðìóëû Ðîäðèãà ñëåäóåò
~r u = (1 − ak1 )ρu ,
~r v = (1 − ak2 )ρv .
(2.4.42)
Èç (2.4.42) è èç óñëîâèé òåîðåìû, èìååì
~r u × ~r v = (1 − ak1 )(1 − ak2 )[~ρ u × ~ρ v ] 6= 0.
Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû âûòåêàåò ïåðâîå è âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Äàëåå, ïî ôîðìóëå Ðîäðèãà
(~n(p, a))u = ~nu = −k1 ~ρu ,
(~n(p, a))v = ~nv = −k2 ~ρv .
Îòñþäà è èç (2.4.42) ñëåäóåò
(~
n (p, a))u =
−k1
~r u ,
1 − ak1
(~
n (p, a))v =
−k2
~r v .
1 − ak2
(2.4.43)
Èç (2.4.43) è ôîðìóëû Ðîäðèãà, ïîëó÷èì
k1 (p, a) =
k1
,
1 − ak1
k2 (p, a) =
k2
.
1 − ak2
Èç ïîñëåäíèõ ôîðìóë ñëåäóåò îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû.
2.5
Òðåòüÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
Íà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C k , (k ≥ 2) ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà
~ =
åùå îíà êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà òðåòüÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà. Ïóñòü λ
1~
2~
λ r u + λ r v ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Òîãäà ïîëîæèì
d~
n d~
n
~
~ u + λ2 n
~ v , λ1 n
~ u + λ2 n
~ v ) = e(λ1 )2 + 2f λ1 λ2 + g(λ2 )2 ,
III(λ ) =
,
= (λ1n
~ dλ
~
dλ
ãäå e = (~nu , ~nu ), f = (~nu , ~nv ), g = (~nv , ~nv ). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå òðè êâàäðàòè÷íûå ôîðìû ïîâåðõíîñòè ëèíåéíî çàâèñèìû. Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà.
Òåîðåìà 2.5.1.  êàæäîé òî÷êå ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C k ,
(k ≥ 2) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî:
~ ) − 2H · II(λ
~ ) + III(λ
~ ) = 0.
K · I(λ
(2.5.44)
Íàïîìíþ, ÷òî K(p) ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè, à H(p) ñðåäíÿÿ
êðèâèçíà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü p ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïîâåðõíîñòè Φ. Ââåäåì â
íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè êîîðäèíàòû (u, v) òàê, ÷òîáû âåêòîðû ~r u
è ~r v â òî÷êå p øëè ïî ãëàâíûì íàïðàâëåíèÿì. Òîãäà èç òåîðåìû Ðîäðèãà è
òåîðåìû 2.4.3 ïîëó÷àåì, ÷òî â òî÷êå p
(~r u ,~r v ) = 0
~ u = −k1~r u ,
n
~ v = −k2~r v .
n
(2.5.45)
(2.5.46)
84
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Èç (2.5.45) è (2.5.46) ñëåäóåò
~ ) = E(λ1 )2 + G(λ2 )2 ,
I(λ
~) = − λ
~ , d~n = k1 E(λ1 )2 + k2 G(λ2 )2 ,
II(λ
~
dλ
n
~ ) = d~ , d~n = k 2 E(λ1 )2 + k 2 G(λ2 )2 .
III(λ
1
2
~ dλ
~
dλ
(2.5.47)
Èç (2.5.47) ïîëó÷àåì
~ ) − 2H · II(λ
~ ) + III(λ
~ ) = k1 k2 E(λ1 )2 + G(λ2 )2 −
K · I(λ
−(k1 + k2 ) k1 E(λ1 )2 + k2 G(λ2 )2 + k12 E(λ1 )2 + k22 G(λ2 )2 =
= E(λ1 )2 k1 k2 − k1 (k1 + k2 ) + k12 + G(λ1 )2 k1 k2 − k2 (k1 + k2 ) + k22 = 0.
Çàìå÷àíèå 2.5.1. Ñîîòíîøåíèå (2.5.44) íàìè äîêàçàíî â ñïåöèàëüíîé ñè-
ñòåìå êîîðäèíàò, íî ïîñêîëüêó âñå âåëè÷èíû, âõîäÿùèå â ôîðìóëó (2.5.44),
èíâàðèàíòíû, òî ðàâåíñòâî (2.5.44) âåðíî â ëþáîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.
Çàïèøåì ðàâåíñòâî (2.5.44) áîëåå ïîäðîáíî â ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
KE − 2HL + e = 0,
KF − 2HM + f = 0,
KG − 2HN + g = 0. (2.5.48)
Èç ñîîòíîøåíèÿ (2.5.44) ñëåäóåò, ÷òî òðåòüÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè ñàìà ïî ñåáå íå èãðàåò ñóùåñòâåííîé ðîëè â òåîðèè ïîâåðõíîñòåé. Îäíàêî ïðè ðåøåíèè íåêîòîðûõ èíòåðåñíûõ çàäà÷ ðàâåíñòâî (2.5.44)
èëè ðàâåíñòâà (2.5.48) áûâàþò ïîëåçíûìè.
Ïðèâåäåì îäèí ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ðàâåíñòâ (2.5.48) ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Ãàóññà î ïëîùàäè ñôåðè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ. Ââåäåì äâà íîâûõ ïîíÿòèÿ.
Ñôåðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå. Ïóñòü D íåêîòîðàÿ îáëàñòü íà ðåãóëÿðíîé
ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C 2 . Êàæäîé òî÷êå ýòîé ïîâåðõíîñòè ñîïîñòàâèì òî÷êó íà ñôåðå S 2 (1) åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó. Âîçüìåì
~ (p) ê ïîâåðõíîñòè Φ è ïàðàëëåëüíûì ñäâèãîì ïåðåíåâ òî÷êå p íîðìàëü n
ñåì åå òàê, ÷òîáû íà÷àëî âåêòîðà ~n(p) ñîâïàëî áû ñ öåíòðîì ñôåðû S 2 (1)
(ñì. ðèñóíîê 2.8). Òîãäà êîíåö âåêòîðà ~n(p) ñîâïàäåò ñ íåêîòîðîé òî÷êîé
ϕ(p) íà S 2 (1). Ïîñòðîåííîå íàìè îòîáðàæåíèå ϕ(p) : D → S 2 (1) íàçûâàåòñÿ
ñôåðè÷åñêèì èçîáðàæåíèåì îáëàñòè D ïîâåðõíîñòè Φ.
Ðèñ. 2.8: Ñôåðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå.
Èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà îáëàñòè. Åñëè D íåêîòîðàÿ îáëàñòü íà ïîâåðõRR
íîñòè Φ, òî ÷èñëî ω(D) =
K dS íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé êðèâèçD
íîé îáëàñòè D. Åñëè îáëàñòü D ëåæèò öåëèêîì â íåêîòîðîé êîîðäèíàòíîé
îêðåñòíîñòè (u, v), òî
Z Z
p
(2.5.49)
ω(D) =
K(u, v) E(u, v)G(u, v) − F 2 (u, v) du dv.
D
2.5. Òðåòüÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè
85
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî íåêîòîðàÿ îáëàñòü D íà ïîâåðõíîñòè Φ âçàèìíî
îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåòñÿ ïðè ñôåðè÷åñêîì èçîáðàæåíèè íà íåêîòîðóþ îáëàñòü D∗ = ϕ(D), è ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè Φ â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè D èìååò îäèí è òîò æå çíàê. Òîãäà âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2.5.2 (Òåîðåìà Ãàóññà î ñôåðè÷åñêîì îáðàçå). Ìîäóëü èíòåãðàëüíîé êðèâèçíû îáëàñòè D ðàâåí ïëîùàäè åå ñôåðè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ
Z Z
|ω(D)| =
dS1 ,
(2.5.50)
D∗
ãäå dS1 ýëåìåíò ïëîùàäè íà ñôåðå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî îáëàñòü
D ëåæèò âíóòðè íåêîòîðîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè, èáî â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå ìû ðàçáèëè áû åå íà ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ óæå ëåæèò â íåêîòîðîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè. Äîêàçàëè áû òåîðåìó äëÿ êàæäîé òàêîé
òî÷êè îòäåëüíî è, â ñèëó àääèòèâíîãî õàðàêòåðà ôîðìóëû (2.5.50), ïîëó÷èëè áû åå äëÿ âñåé îáëàñòè.  ýòîì ïðåäïîëîæåíèè îòîáðàæåíèå ϕ çàäàåòñÿ
~ (u, v). Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé ïàðàìåòðèçàöèè ïåðâàÿ êâàäôîðìóëîé ~r = n
ðàòè÷íàÿ ôîðìà ñôåðû ñîâïàäàåò ñ òðåòüåé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïîâåðõíîñòè Φ. Íî òîãäà
Z Z p
∗
e(u, v)g(u, v) − f 2 (u, v) du dv.
(2.5.51)
S(D ) =
D
p
Íàéäåì eg − f 2 , ïîëüçóÿñü ðàâåíñòâàìè (2.5.48),
eg − f 2 = (2HL − KE)(2HN − KG) − (2HM − KF )2 =
= K 2 (EG − F 2 ) − 2HK(LG − EN − 2M F ) + 4H 2 (LN − M 2 ) =
= K 2 (EG − F 2 ) − 2HK · 2H(EG − F 2 ) + 4H 2 · K(EG − F 2 ) =
= K 2 (EG − F 2 ).
Ñëåäîâàòåëüíî,
Z Z p
Z Z
p
S(D∗ ) =
eg − f 2 du dv =
|K| EG − F 2 du dv = |ω(D)|.
D
D
Ñëåäñòâèå 2.5.1. Îòíîøåíèå ïëîùàäè ñôåðè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ îáëà-
ñòè íà ïîâåðõíîñòè ê ïëîùàäè ýòîé îáëàñòè ñòðåìèòñÿ ê àáñîëþòíîìó
çíà÷åíèþ ãàóññîâîé êðèâèçíû â äàííîé òî÷êå, êîãäà îáëàñòü ñòÿãèâàåòñÿ
ê ýòîé òî÷êå è K(p) 6= 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè â òî÷êå p åå ãàóññîâà êðèâèçíà îòëè÷íà îò íóëÿ, òî
ñóùåñòâóåò òàêàÿ åå îêðåñòíîñòü, ÷òî â íåé ãàóññîâà êðèâèçíà íå ìåíÿåò çíàêà, à ñôåðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå ýòîé îáëàñòè íà ñôåðó îáëàäàåò ñâîéñòâîì
âçàèìíîîäíîçíà÷íîñòè. Òîãäà
RR
RR
| D K dS|
|K(q)| D dS
S(D∗ )
|ω(D)|
RR
= |K(q)|,
=
=
=
S(D)
S(D)
S(D)
dS
D
ãäå q åñòü íåêîòîðàÿ òî÷êà íàøåé îáëàñòè. Åñëè îáëàñòü ñòÿãèâàåòñÿ ê òî÷êå
∗
)
p, òî q → p, ïîýòîìó lim S(D
S(D) = |K(p)|.
86
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Òåîðåìà Ãàóññà î ïëîùàäè ñôåðè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ äîïóñêàåò äàëåêî
èäóùåå îáîáùåíèå. Ôîðìóëå (2.5.50) ìîæíî ïðèäàòü ÿñíûé ãåîìåòðè÷åñêèé
ñìûñë, íå òðåáóÿ âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè ñôåðè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ è ïîñòîÿíñòâà çíàêà ãàóññîâîé êðèâèçíû, è îíà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â òàêîé
ôîðìå
Z Z
Z Z
ω(D) =
K dS =
dS1 .
D
D∗
Íî ÷òîáû äîêàçàòü ýòó ôîðìóëó è ïðèäàòü åé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë, íóæíî
ñóùåñòâåííî îáîáùèòü ïîíÿòèå ïëîùàäè ñôåðè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ. ß íå
èìåþ âðåìåíè è âîçìîæíîñòè äàòü íåîáõîäèìûå êîíñòðóêöèè è ïîíÿòèÿ.
Äàäèì òåïåðü îäíî ïðèìåíåíèå òåîðåìû Ãàóññà î ïëîùàäè ñôåðè÷åñêîãî
èçîáðàæåíèÿ.
Ïóñòü O íåêîòîðàÿ òî÷êà â R3 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç P (O) ìíîæåñòâî
âñåõ îðèåíòèðîâàííûõ ïëîñêîñòåé ïðîñòðàíñòâà R3 , ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç
òî÷êó O. Ìíîæåñòâî P (O) ìîæíî ïàðàìåòðèçîâàòü òî÷êàìè åäèíè÷íîé ñôåðû S1 (O) ñ öåíòðîì â òî÷êå O, ñîïîñòàâëÿÿ êàæäîé òî÷êå q ∈ S1 (O) ïëîñ−
→
êîñòü α, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó O ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó Oq , è ñàì
−
→
âåêòîð Oq . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå èìååò îáðàòíîå. Ïóñòü òåïåðü Φ
åñòü ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C k , (k ≥ 2). Îáîçíà÷èì ÷åðåç P (Φ, O)
ïîäìíîæåñòâî îðèåíòèðîâàííûõ ïëîñêîñòåé ìíîæåñòâ P (O), äëÿ êîòîðûõ ôóíêöèÿ fα (p) èìååò õîòÿ áû îäíó âûðîæäåííóþ êðèòè÷åñêóþ òî÷êó
íà ïîâåðõíîñòè Φ.
Çàäà÷à 2.5.1. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî P (Φ, O) íèãäå íå ïëîòíî â ìíîæåñòâå P (O) â òîïîëîãèè ñôåðû S1 (O).
Ðåøåíèå. Äàäèì êðàòêîå èçëîæåíèå èäåè ðåøåíèÿ çàäà÷è 2.5.1. Íåòðóäíî
ïðîâåðèòü, ÷òî òî÷êà p0 ïîâåðõíîñòè Φ ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííîé êðèòè÷åñêîé
òî÷êîé ôóíêöèè fα (p) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (T Φ)p ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó P (Φ, O). Ïîëüçóÿñü òåïåðü òåîðåìîé Ãàóññà î ïëîùàäè ñôåðè÷åñêîãî
èçîáðàæåíèÿ, ìû ïîëó÷èì, ÷òî ìíîæåñòâî P (Φ, O) èìååò íóëåâóþ ìåðó íà
ñôåðå S1 (O). Îòñþäà óæå âûâîäèòñÿ óòâåðæäåíèå çàäà÷è.
Çàäà÷à 2.5.2. Åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè Φ ïîëî-
æèòåëüíà, òî |ω(Φ)| = 4π .
2.6
Êëàññû ïîâåðõíîñòåé
Ïðåæäå, ÷åì ìû ïåðåéäåì ê èçëîæåíèþ ìàòåðèàëà ýòîãî ïàðàãðàôà, âåðíåìñÿ ê îáñóæäåíèþ ïîíÿòèÿ ïîâåðõíîñòè. Äåëî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî
äàííîå íàìè ðàíåå îïðåäåëåíèå ñëèøêîì æåñòêî, îíî èñêëþ÷àåò ïîâåðõíîñòè, èìåþùèå òî÷êè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ, à òàêèå ïîâåðõíîñòè äîñòàòî÷íî ÷àñòî âîçíèêàþò ïðè åñòåñòâåííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèÿõ, íàïðèìåð,
ïðè ïîñòðîåíèè ýêâèäèñòàíòíûõ ïîâåðõíîñòåé.
Ïîâåðõíîñòü â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ Ÿ2.1 ãëàâû 2 áóäåì íàçûâàòü âëîæåííîé ïîâåðõíîñòüþ. Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå òåðìèí: äâóìåðíîå ñâÿçíîå
ìíîãîîáðàçèå, âëîæåííîå â R3 . Ââåäåì òåïåðü íîâûé êëàññ ïîâåðõíîñòåé ïîãðóæåííûõ ïîâåðõíîñòåé.
87
2.7. Ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ
Îïðåäåëåíèå 2.6.1. Ìíîæåñòâî Φ̃ ìû íàçîâåì ïîâåðõíîñòüþ ïîãðóæåííîé â R3 , åñëè ñóùåñòâóåò âëîæåííàÿ ïîâåðõíîñòü Φ è îòîáðàæåíèå ϕ : Φ →
Φ̃, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì äèôôåîìîðôèçìîì.
Ïðè èçó÷åíèè ëîêàëüíûõ ñâîéñòâ ïîâåðõíîñòè ðàçíèöà ìåæäó âëîæåííûìè è ïîãðóæåííûìè ïîâåðõíîñòÿìè íå ñóùåñòâåííà.  ñàìîì äåëå, åñëè
òî÷êà p ïîãðóæåííîé ïîâåðõíîñòè Φ̃ åñòü òî÷êà ñàìîïåðåñå÷åíèÿ, òî âîçüìåì òî÷êè p1 è p2 ïîâåðõíîñòè Φ, ÿâëÿþùèåñÿ ïðîîáðàçàìè p ïðè îòîáðàæåíèè ϕ. Íà ïîâåðõíîñòè Φ âîçüìåì êîîðäèíàòíûå îêðåñòíîñòè W1 è W2 ýòèõ
òî÷åê, ïðè÷åì âûáåðåì èõ íàñòîëüêî ìàëûìè, ÷òî W1 ∩ W2 = ∅. Îáîçíà÷èì
÷åðåç W̃1 = ϕ(W1 ) è W̃2 = ϕ(W2 ).
Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà p èìååò äâå êîîðäèíàòíûå îêðåñòíîñòè íà Φ̃ îêðåñòíîñòü W̃1 íà îäíîì "ëèñòå" ïîâåðõíîñòè Φ̃ è îêðåñòíîñòü W̃2 íà âòîðîì ëèñòå, è ëîêàëüíîå èçó÷åíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïîâåðõíîñòè Φ̃
ñâîäÿòñÿ ê ëîêàëüíîìó èçó÷åíèþ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïåðâîãî è âòîðîãî ëèñòîâ îòäåëüíî. Ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî â äàííîé òî÷êå p ∈ Φ̃ ìû
áóäåì èìåòü äâà íàáîðà ãåîìåòðè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê, ñîîòâåòñòâóþùèõ
ïåðâîìó è âòîðîìó ëèñòó, íàïðèìåð, äâà çíà÷åíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû èëè
äâå êàñàòåëüíûå ïëîñêîñòè. Ïîýòîìó ïðè ëîêàëüíîì èçó÷åíèè ïîãðóæåííûõ ïîâåðõíîñòåé òî÷êó ñàìîïåðåñå÷åíèÿ óäîáíåé ñåáå ïðåäñòàâëÿòü êàê
äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè. Ìîæåò, êîíå÷íî, ñëó÷èòüñÿ, ÷òî ÷åðåç äàííóþ òî÷êó p ∈ Φ̃ ïðîõîäèò íå äâà ëèñòà, à òðè èëè áîëüøå. Ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ
ïîâåðõíîñòè â öåëîì ðàçíèöà ìåæäó ïîãðóæåííûìè è âëîæåííûìè ïîâåðõíîñòÿìè ìîæåò îêàçàòüñÿ ñóùåñòâåííîé. Èíòåðåñíî, îäíàêî, îòìåòèòü, ÷òî
â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ óòâåðæäåíèå âåðíîå äëÿ âëîæåííûõ
ïîâåðõíîñòåé îêàçûâàåòñÿ âåðíûì è äëÿ ïîãðóæåííûõ, íî äîêàçàòåëüñòâî
â ïîñëåäíåì ñëó÷àå ÷àñòî ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåòñÿ.
Äàäèì åùå îäíî ïîíÿòèå, ïîëåçíîå ïðè ðåøåíèè çàäà÷ "â öåëîì".
Îïðåäåëåíèå 2.6.2. Ïîãðóæåíèå äâóìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ Φ â R3 íàçû-
âàåòñÿ ñîáñòâåííûì, åñëè ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî êîìïàêòà ïðîñòðàíñòâà R3
ñ Φ åñòü êîìïàêò â ñìûñëå âíóòðåííåé ìåòðèêè ïîâåðõíîñòè Φ.
2.7
Ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ
Ïóñòü â ïëîñêîñòè (x, z) çàäàíà êðèâàÿ γ è ïóñòü åå óðàâíåíèå èìååò âèä
z = f (x). Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) ∈ C 2 ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé
ôóíêöèåé è, äëÿ ïðîñòîòû, äàæå ñòðîãî ìîíîòîííîé ôóíêöèåé. ×åðåç Φ ìû
îáîçíà÷èì ïîâåðõíîñòü, ïîëó÷åííóþ âðàùåíèåì êðèâîé γ âîêðóã îñè OZ .
Óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè çàïèøåòñÿ â òàêîé ôîðìå
p
p
r = x2 + y 2 .
z = f ( x2 + y 2 ) = f (r),
Ïîëüçóÿñü âû÷èñëèòåëüíûìè ôîðìóëàìè Ÿ3, ìû íàéäåì
E =1+
x 2
y 2
xy
f0 , G = 1 +
f 0 , F = 2 (f 0 )2 ,
r
r
r
EG − F 2 = 1 + (f 0 )2 .
Äàëåå, èñïîëüçóÿ âû÷èñëèòåëüíûå ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåí~ (p)
òîâ L, M, N âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû è ó÷èòûâàÿ, ÷òî íîðìàëü n
ïîâåðõíîñòè Φ íàïðàâëåíà îò îñè âðàùåíèÿ OZ , ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ãàóññîâà
88
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
êðèâèçíà
K=
f 00 f 0
.
r(1 + (f 0 )2 )2
Èç íàãëÿäíûõ ñîîáðàæåíèé, à òàêæå èç âûøåïðèâåäåííîé ôîðìóëû âèäíî,
÷òî K äîëæíà áûòü îòðèöàòåëüíà, åñëè âûïóêëîñòü γ íàïðàâëåíà ê îñè OZ ,
è ïîëîæèòåëüíà â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Íàéäåì òåïåðü ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ è ãëàâíûå êðèâèçíû. Òàê êàê íàøà ïîâåðõíîñòü åñòü ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ, òî äîñòàòî÷íî íàéòè ýòè ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ïîâåðõíîñòè â òî÷êàõ êàêîãî-ëèáî ìåðèäèàíà.
Âîçüìåì ìåðèäèàí y = 0.  òî÷êàõ ýòîãî ìåðèäèàíà F = M = 0. Çíà÷èò
íàïðàâëåíèÿ êàñàòåëüíûå ìåðèäèàíó è ïàðàëëåëÿì ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè íàïðàâëåíèÿìè. Äàëåå, èç ôîðìóë (2.4.25) ìû ïîëó÷àåì
f0
k2 = p
,
x 1 + (f 0 )2
f 00
L
,
=
E
(1 + (f 0 )2 )3/2
k1 =
òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî k1 åñòü ïðîñòî êðèâèçíà êðèâîé γ è çíàê k1
îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì f 00 . Âûÿñíèì òåïåðü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ãëàâíîé
êðèâèçíû k2 . ×åðåç òî÷êó p(x, f (x)) êðèâîé γ ïðîâåäåì ïðÿìóþ åé îðòîãîíàëüíóþ. Óðàâíåíèå ýòîé ïðÿìîé çàïèñûâàåòñÿ òàê (X − x) + f 0 (x)(Z −
f (x)) = 0, ãäå X è Z êîîðäèíàòû òåêóùåé òî÷êè ïðÿìîé. Íàéäåì ïåðåñå÷åíèå ýòîé ïðÿìîé ñ îñüþ OZ . Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ òî÷êà q èìååò êîîðäèíàòû
f0
X = 0, Z = x+f
f 0 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç R ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè p è q
s
R=
x2
+
x + ff0
−f
f0
s
2
x2
=
1
1+ 0 2
(f )
p
x 1 + (f 0 )2
.
=
|f 0 |
1
.
R
Ñäåëàåì åùå îäíî çàìå÷àíèå. Äëÿ ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ âñåãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ ~r = ~r (u, v), ÷òî êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû èìåþò âèä E
p= 1, F = 0, G = G(u). Â ñàìîì äåëå, åñëè
ïàðàìåòð u ïîëîæèòü ðàâíûì x2 + y 2 , à v óãëó ïîâîðîòà ïëîñêîñòè XOZ
âîêðóã îñè OZ , òî
Ñëåäîâàòåëüíî, |k2 | =
x = u cos v,
y = u sin v,
z = f (u)
ñóòü ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ íàøåé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ Φ.  ýòîé
ïàðàìåòðèçàöèè èìååì:
~r u = cos v ~i + sin v ~j + f 0 ~k ,
~r v = −u sin v ~i + u cos v ~j .
Ïîýòîìó
E = 1 + (f 0 )2 ,
F = 0,
G = u2 .
Ââåäåì íîâûé ïàðàìåòð
Z
u
ū(u) =
u0
p
1 + (f 0 )2 du
89
2.7. Ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ
è ïóñòü u = H(ū) îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ~r ū = ~r u H 0 , à ~r v̄ = ~r v , è ìû
ïîëó÷èì
1 + (f 0 )2
= 1,
Ē = (~r ū )2 = 1 + (f 0 )2 (H 0 )2 =
1 + (f 0 )2
F = 0,
G = (H(ū))2 ,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çàìåòèì íàêîíåö, ÷òî ïàðàìåòð ū èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ýòî äëèíà êðèâîé γ , îòñ÷èòûâàåìàÿ îò òî÷êè
(u0 , f (u0 )).  òîì ñëó÷àå, êîãäà êðèâóþ γ íåëüçÿ çàäàòü ìîíîòîííîé ôóíêöèåé f (x), óäîáíåé óðàâíåíèå êðèâîé γ çàäàâàòü ôóíêöèåé îò z : x = ϕ(z).
 ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì òàêîå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè Φ
~r = ~r (u, v) = ϕ(u) cos v ~i + ϕ(u) sin v ~j + u ~k .
Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû K ïîâåðõíîñòè Φ, ïîëüçóÿñü
ãåîìåòðè÷åñêèì ñìûñëîì ãëàâíûõ êðèâèçí k1 è k2 . Èìååì
k1 =
−ϕ00
,
(1 + ϕ0 2 )3/2
~ (p) ïîâåðõíîñòè Φ íàïðàâëåíà â ñòîðîíó îñè âðàùåíèÿ. Äëÿ
åñëè íîðìàëü n
íàõîæäåíèÿ k2 ìû äîëæíû íàéòè äëèíó ïîäíîðìàëè γ . Óðàâíåíèå ïðÿìîé,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó p(ϕ(z0 ), z0 ) ïåðïåíäèêóëÿðíî γ , èìååò âèä
ϕ0 (z0 )(X − ϕ(z0 )) + Z − z0 = 0.
Êîîðäèíàòû
òî÷êè q ðàâíû X = 0, Z = z0 + ϕ0 ϕ è R =
p
02
ϕ 1 + ϕ . Ñëåäîâàòåëüíî,
k2 =
p
ϕ2 + (ϕ0 ϕ)2 =
1
ϕ00
1
= p
, K=−
.
R
ϕ(1 + ϕ0 2 )2
ϕ 1 + (ϕ)2
Ðåøèì òåïåðü ñëåäóþùóþ çàäà÷ó:
Íàéòè âñå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ
K0 . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
ïîñòîÿííîé ãàóññîâîé êðèâèçíû, ðàâíîé
K0 = −
ϕ00
.
ϕ(1 + ϕ0 2 )2
(2.7.52)
Óìíîæàÿ (2.7.52) íà ϕϕ0 è èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì
−K0 ϕ2 = −
1
+ c.
1 + ϕ0 2
(2.7.53)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ êîíñòàíòû c íåîáõîäèìî çíàòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé K0 > 0.  ýòîì ñëó÷àå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ìû ïîëîæèì ðàâíûìè
ϕ(0) = x0 ,
ϕ0 (0) = 0.
(2.7.54)
Òîãäà èç (2.7.53) ïîëó÷àåì c = 1 − K0 x20 . Ïîñëå ÷åãî óðàâíåíèå (2.7.53)
ïåðåïèøåì â òàêîé ôîðìå
0
ϕ2=
−K0 (ϕ2 − x20 )
.
1 + K0 (ϕ2 − x20 )
(2.7.55)
90
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Èç óðàâíåíèÿ (2.7.55) ìû âèäèì, ÷òî åãî ðåøåíèå ôóíêöèÿ ϕ åñòü ÷åòíàÿ
ôóíêöèÿ îò z , èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, êðèâàÿ γ ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî îñè OX . Ïîýòîìó óðàâíåíèå (2.7.55) ìû ðàññìîòðèì ïðè z < 0 è òîãäà
ìû ìîæåì åãî çàïèñàòü òàê:
p
K0 (x20 − ϕ2 )
0
,
z < 0.
(2.7.56)
ϕ =p
1 + K0 (ϕ2 − x20 )
 îáùåì ñëó÷àå óðàâíåíèå (2.7.56) íå èíòåãðèðóåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ, íî ìîæíî óêàçàòü ïàðàìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.7.56) âèäà
p
x(ū) = x0 cos
K0 ū ,
Z ū q
p
z(ū) =
1 − x20 K0 sin2 ( K0 t)dt,
0
ãäå ū ðàíåå ââåäåííûé ïàðàìåòð äëèíà äóãè ìåðèäèàíû. Òåïåðü ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ
1
1) x0 = √ ,
K0
1
2) x0 > √ ,
K0
1
3) x0 < √ .
K0
 ïåðâîì ñëó÷àå èíòåãðàë ëåãêî áåðåòñÿ è ðåøåíèå ïðèíèìàåò âèä
p
K0 ū ,
x(ū) = x0 cos
p
K0 ū .
z(ū) = x0 sin
Çíà÷èò, êðèâàÿ γ åñòü ïîëóîêðóæíîñòü, à ïîâåðõíîñòü Φ åñòü ñôåðà ðàäèóñà
√1 . Âî âòîðîì è òðåòüåì ñëó÷àå ìû ìîæåì ñäåëàòü íåêîòîðûå êà÷åñòâåíK0
íûå íàáëþäåíèÿ. Èç ïîëîæèòåëüíîñòè ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé â (2.7.56)
ñëåäóåò îãðàíè÷åíèå íà ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ôóíêöèþ ϕ, â âèäå íåðàâåíñòâ:
K0 (x20 − ϕ2 ) > 0,
(2.7.57)
(2.7.58)
1 − K0 (x20 − ϕ2 ) > 0.
Èç (2.7.57) ïîëó÷àåì ϕ(z) ≤ x0 , à èç (2.7.58) K0 ϕ >
Ýòè íåðàâåíñòâà ïîçâîëÿþò íàì óâèäåòü ðàçëè÷èÿ ìåæäó âòîðûì è òðåòüèì ñëó÷àåì
ìåæäó ñîáîé è ìåæäó ïåðâûì.
2
K0 x20 − 1.
1
2) x0 > √K
.  ýòîì ñëó÷àå K0 x20 −1 = a2 > 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ
0
1
ϕ(z) ≥ |a|, à z 0 (ū) â òî÷êå ū1 = √K
arcsin x √1K ðàâíà 0. Òàêèì îáðàçîì, ìû
0
0
0
ïîëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî
Z
z1 =
ū1
q
p
1 − x20 K0 sin2 ( K0 t)dt
0
òàêîå, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ(z) îïðåäåëåíà òîëüêî â èíòåðâàëå (−z1 , z1 ) è â ýòîì
èíòåðâàëå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó: 0 < |a| < ϕ < x0 , (ñì. ðèñóíîê 2.9).
Èòàê, ìû ïîëó÷èëè íåçàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü äèôôåîìîðôíóþ öèëèíäðó.
91
2.7. Ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ
Ðèñ. 2.9: Ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ïîñòîÿííîé êðèâèçíû K0 > 0.
1
3) x0 < √K
.  ýòîì ñëó÷àå èç íåðàâåíñòâà (2.7.57) ìû ïîëó÷àåì òó æå
0
îöåíêó íà ôóíêöèþ ϕ < x0 , à âòîðîå íåðàâåíñòâî (2.7.58), â ñèëó óñëîâèÿ
K0 x20 − 1 < 0 ïîêàçûâàåò íàì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå ÷èñëî
Z
z2 =
√π
2
K0
q
p
1 − x20 K0 sin2 ( K0 t)dt,
0
ïðè êîòîðîì
√
K0 x0
> 0.
ϕ (z2 ) = p
1 − K0 x20
0
ϕ(z2 ) = 0,
Çíà÷èò, â ýòîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòü îêàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ ãîìåîìîðôíîé ñôåðå, íî ñ äâóìÿ îñîáûìè òî÷êàìè (0, z2 ) è (0, −z2 ), (ñì. ðèñóíîê 2.10).
Ïîëó÷åííûå íàìè ðåçóëüòàòû, êîíå÷íî, íå ñëó÷àéíû.
Ðèñ. 2.10: Ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ïîñòîÿííîé êðèâèçíû K0 > 0.
Ïîçæå ìû äîêàæåì, ÷òî
ëþáàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü ïîñòî-
ÿííîé ïîëîæèòåëüíîé ãàóññîâîé êðèâèçíû åñòü ñôåðà.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé K0 < 0.  óðàâíåíèè (2.7.53) ïîëîæèì c = 1.
Òîãäà ìû ïîëó÷èì
0
−ϕ 2
K0 ϕ2 =
.
(2.7.59)
1 + ϕ0 2
Äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (2.7.59) ïåðåéäåì ê ïàðàìåòðè÷åñêîìó çàäàíèþ êðèâîé γ . Ïîëîæèì ϕ0 = tg t. Òîãäà K0 ϕ2 = − sin2 t èëè
ϕ= √
Èç (2.7.60) ñëåäóåò dz =
1
ϕ0
1
sin t.
−K0
(2.7.60)
dx = ctg tdx. Ñëåäîâàòåëüíî,
1
z=√
−K0
t
cos t + ln tg
+ c.
2
(2.7.61)
Èòàê, èñêîìàÿ êðèâàÿ γ èìååò ñëåäóþùèå ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ
1
1
t
√
√
x=
sin t, z =
cos t + ln tg
+ c.
(2.7.62)
2
−K0
−K0
Ýòà êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ òðàêòðèñîé, (ñì. ðèñóíîê 2.11).
Ðèñ. 2.11: Ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ïîñòîÿííîé êðèâèçíû K0 < 0.
Åå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äëèíà îòðåçêà
Ïðè c = 0 äëèíà ýòîãî
êàñàòåëüíîé îò òî÷êè êàñàíèÿ äî îñè ïîñòîÿííà.
92
2
îòðåçêà ðàâíà
Åå óðàâíåíèÿ
√ 1
.
−K0
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Ïîëó÷åííàÿ ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ ïñåâäîñôåðîé.


 x=
y=

 z=
√ 1
−K0
√ 1
−K0
√ 1
−K0
sin u cos v,
sin u sin v,
cos u + ln tan( u2 ) .
Îáëàñòü èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâàìè
0<u<
π
,
2
0 ≤ v < 2π.
1
, à
z(u) = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà u = π2 , íî òîãäà ϕ(0) = √−K
0
1
0
limz→0 ϕ (z) = −∞. Åñëè æå ϕ(0) 6= √−K , ÷òî ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèþ
0
êîíñòàíòû c â (2.7.58) íå ðàâíîé 1, òî óðàâíåíèå (2.7.53) â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ íå èíòåãðèðóåòñÿ. Çàìåòèì, ÷òî ïñåâäîñôåðà äèôôåîìîðôíà öèëèíäðó. Ïîëíîé æå ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû,
äèôôåîìîðôíîé ïëîñêîñòè, â R3 íå ñóùåñòâóåò. Ýòî óòâåðæäåíèå áûëî äîêàçàíî Ä. Ãèëüáåðòîì â êîíöå ÕIÕ âåêà.
Óïðàæíåíèå 6.1. Íàéòè âñå ìèíèìàëüíûå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ Φ. Èç
ôîðìóë:
f0
f 00
k1 = p
, k2 =
,
3/2
x 1 + (f 0 )2
(1 + (f 0 )2 )
âèäíî, ÷òî k1 è k2 çàâèñèò îò îäíîãî è òîãî æå ïàðàìåòðà. Ñëåäîâàòåëüíî,
âîîáùå ãîâîðÿ, ìåæäó k1 è k2 ñóùåñòâóåò ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü:
h(k1 , k2 ) = 0 èëè k2 = ϕ(k1 ). Ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðûõ k1 è k2 ñâÿçàíû
ìåæäó ñîáîé íàçûâàþòñÿ ïîâåðõíîñòÿìè Âàéíãàðòåíà. Íå êàæäàÿ òàêàÿ
ïîâåðõíîñòü åñòü ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ. Ïåðâûé âîïðîñ, êîòîðûé çäåñü âîçíèêàåò, ñîñòîèò â òîì äëÿ êàêèõ ôóíêöèé k2 = ϕ(k1 ) ñóùåñòâóþò ïîëíûå
ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ? Íèæå, áåç äîêàçàòåëüñòâà, äàåòñÿ ïîëíûé îòâåò íà
ýòîò âîïðîñ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèÿ ϕ çàäàåò áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå, òî åñòü åñëè k1 (P ) = k1 (Q), òî k2 (P ) = k2 (Q) è îáðàòíî, P, Q ∈ Φ.
Ýòîò ðåçóëüòàò ïðèíàäëåæèò Â.Â. Èâàíîâó è îí ñîîáùåí àâòîðó â ÷àñòíîì
ïîðÿäêå.
2.7.1
Äîáàâëåíèå: Òî÷å÷íûå èíäèêàòðèñû ïîâåðõíîñòåé
âðàùåíèÿ.
Èíäèêàòðèñîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ Φ íàçîâåì ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïàð (k1 , k2 ),
ïîñ÷èòàííûõ âî âñåõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè. Ïîñëåäóþùèé òåêñò ïðèíàäëåæèò
Â.Â. Èâàíîâó.
Òåîðåìà 2.7.1. Èíäèêàòðèñà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, ãëàâíûå êðèâèçíû
êîòîðîé ñâÿçàíû áèåêòèâíîé çàâèñèìîñòüþ, ëèáî ñâîäèòñÿ ê îäíîé òî÷êå,
ëèáî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàôèê íåïðåðûâíîé ñòðîãî ìîíîòîííîé ôóíêöèè, îïðåäåëåííîé íà íåêîòîðîì ÷èñëîâîì ïðîìåæóòêå.
Òî÷å÷íûå èíäèêàòðèñû ïîäõîäÿùèì âûáîðîì ìàñøòàáà èçìåðåíèé è
ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè ñâîäÿòñÿ ê òðåì âèäàì, óêàçàííûì íà ðèñ.  êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ
93
2.7. Ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ
(0,0) ïëîñêîñòü;
(1,0) öèëèíäð;
(1,1) ñôåðà.
Ðèñ. 2.12: Èíäèêàòðèñà ïëîñêîñòè, öèëèíäðà, ñôåðû.
îäíîçíà÷íî. (Ýòî óòâåðæäåíèå ñîâïàäàåò ñ çàäà÷åé 2.15.2, êîòîðàÿ áóäåò
ðàññìîòðåíà íàìè ïîçæå)
 äàëüíåéøåì, ãîâîðÿ îá åäèíñòâåííîñòè òîé èëè èíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, ìû áóäåì èìåòü â âèäó îäíîçíà÷íîñòü ñ òî÷íîñòüþ äî âûáîðà îñè
âðàùåíèÿ è ñäâèãà âäîëü íåå.
Òåîðåìà 2.7.2. Âîçðàñòàþùàÿ ëèíèÿ ñëóæèò èíäèêàòðèñîé ñîîòâåò-
ñòâóþùèì îáðàçîì îðèåíòèðîâàííîé ïîëíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ïðèíàäëåæèò îäíîìó èç îïèñàííûõ íèæå
êëàññîâ 1 6.
Òåîðåìà 2.7.3. Óáûâàþùàÿ ëèíèÿ ñëóæèò èíäèêàòðèñîé ñîîòâåòñòâó-
þùèì îáðàçîì îðèåíòèðîâàííîé ïîëíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ïðèíàäëåæèò îäíîìó èç îïèñàííûõ íèæå êëàññîâ 7 9.
Âîçðàñòàþùèå èíäèêàòðèñû
Âî âñåõ îïèñûâàåìûõ â ýòîì ðàçäåëå øåñòè ñëó÷àÿõ èíäèêàòðèñà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàôèê ñòðîãî âîçðàñòàþùåé íåïðåðûâíîé è îãðàíè÷åííîé
ôóíêöèè k2 = ϕ(k1 ) îïðåäåëåííîé íà îãðàíè÷åííîì ïðîìåæóòêå ñ êîíöàìè a è b, âñåãäà ðàñïîëàãàåòñÿ íàä äèàãîíàëüþ k1 = k2 è îïèðàåòñÿ íà íåå
ñâîèì ëåâûì êîíöîì.
Êëàññ 1. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ϕ ñëóæèò îòðåçîê a < k1 < b,
ãäå 0 < a < b. Ïðè ýòîì ϕ(a) = a è ϕ(k1 ) > k1 , åñëè a < k1 < b. Äëÿ
êàæäîé ôóíêöèè ϕ, îáëàäàþùåé óêàçàííûìè ñâîéñòâàìè ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ (ñì. ðèñóíîê 2.13). Ýòà ïîâåðõíîñòü
çàìêíóòà, âûïóêëà è îáëàäàåò ïëîñêîñòüþ ñèììåòðèè, îðòîãîíàëüíîé îñè
âðàùåíèÿ. Äåòàëè åå ïðîôèëÿ çàâèñÿò îò ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà
Z
I=
a
b
du
ϕ(u) − u
èìåþùåãî åäèíñòâåííóþ îñîáåííîñòü â òî÷êå a. Åñëè I = ∞, îáå êðèâèçíû
óáûâàþò ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê îñè âðàùåíèÿ.  ñëó÷àå æå I < ∞ ó
ïîâåðõíîñòè ïîÿâëÿþòñÿ ñôåðè÷åñêèå øàïî÷êè.
Ðèñ. 2.13:
Êëàññ 2. Ôóíêöèÿ ϕ çäåñü òàêæå îïðåäåëåíà íà îòðåçêå a ≤ k1 ≤ b,
òîëüêî òåïåðü 0 = a < b. Ïðè ýòîì, ϕ(0) = 0 è ϕ(k1 ) > k1 , åñëè 0 < k1 < b.
94
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Äëÿ êàæäîé ôóíêöèè ϕ, îáëàäàþùåé óêàçàííûìè ñâîéñòâàìè ñóùåñòâóåò
åäèíñòâåííàÿ ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ (ñì. ðèñóíîê 2.14). Îíà òîæå
çàìêíóòà, åùå ñîõðàíÿåò âûïóêëîñòü è ñèììåòðè÷íà â ïðåæíåì ñìûñëå.
Ïðè I = ∞ åå âèä ïî÷òè íå îòëè÷àåòñÿ îò óêàçàííîãî íà ðèñ. 2.13, òîëüêî îìáèëè÷åñêèå òî÷êè íà îñè âðàùåíèÿ â äàííîì ñëó÷àå ïðåâðàùàþòñÿ â
òî÷êè óïëîùåíèÿ. Åñëè æå I < ∞, òî íà ìåñòå êàæäîé ñôåðè÷åñêîé øàïî÷êè ìû âèäèì ó ïîâåðõíîñòè ïëîñêóþ êðóãëóþ îáëàñòü (ðèñ. 2.14), ðàäèóñ
êîòîðîé óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì èíòåãðàëà I .
Ðèñ. 2.14:
Êëàññ 3. Îòðåçîê a ≤ k1 ≤ b, íà êîòîðîì çàäàíà ôóíêöèÿ ϕ, òåïåðü
ñîäåðæèò êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà: a < 0 < b. Êàê
è ïðåæäå, ϕ(a) = a è ϕ(k1 ) > k1 åñëè a < k1 ≤ b. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ãðàôèê
òàêîé ôóíêöèè ñëóæèë èíäèêàòðèñîé ïîëíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ. À èìåííî, òî
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå v = v(x) äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
v
dv
=ϕ
,
dx
x
êîòîðîå îïðåäåëåíî (ñì. ðèñóíîê 2.15) íà ïðîìåæóòêå 0 < x < 1/b è ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1 ïðè x = 1/b, äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâàì:
Z
v > −1,
0
1/b
√
vdx
> 0.
1 − v2
Ïðè æåëàíèè ýòè òðåáîâàíèÿ ìîæíî âûðàçèòü íåïîñðåäñòâåííî â òåðìèíàõ
ôóíêöèè ϕ.
Ðèñ. 2.15:
Ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ â îáñóæäàåìîì ñëó÷àå òîæå îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿåòñÿ ñâîåé èíäèêàòðèñîé. Êàê è ðàíåå, îíà çàìêíóòà è ñèììåòðè÷íà, íî ïîëíîñòüþ óòðà÷èâàåò âûïóêëîñòü, ñòàíîâÿñü ïîõîæåé íà øàð, êîòîðûé ñèëüíî âòÿíóë ùåêè. Íàëè÷èå èëè îòñóòñòâèå îìáèëè÷åñêîé øàïî÷êè
- òîëüêî çäåñü óæå âîãíóòîé - îïðåäåëÿåòñÿ ïðåæíèì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè
èíòåãðàëà I . Êàê ìîæíî çàìåòèòü, ðàññìîòðåííûå òðè êëàññà áèåêòèâíûõ
çàâèñèìîñòåé ìåæäó ãëàâíûìè êðèâèçíàìè è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ åñòåñòâåííî ñîáèðàþòñÿ â åäèíóþ ñåðèþ: ïðàâûé êîíåö èíäèêàòðèñû íàõîäèòñÿ â îáëàñòè ïîëîæèòåëüíûõ êðèâèçí, à ëåâûé ïåðåõîäèò îò ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé - ÷åðåç íóëü - â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ
êðèâèçí.
Êëàññ 4. Ñëåäóþùèå òðè êëàññà òàêæå îáðàçóþò â íåêîòîðîì ñìûñëå
îòäåëüíîå ñåìåéñòâî, â ðàìêàõ êîòîðîãî âîçìîæåí ïëàâíûé ïåðåõîä îò îäíîãî ñëó÷àÿ ê äðóãîìó. Îáñóäèì ñíà÷àëà òîò èç íèõ, êîãäà ôóíêöèÿ ϕ îïðåäåëåíà íà îòðåçêå a ≤ k1 ≤ b, ãäå a < b < 0, ïðè÷åì, ϕ(a) = a è k1 < ϕ(k2 ) < 0,
åñëè a < k1 ≤ b. Äëÿ êàæäîé ôóíêöèè ϕ, îáëàäàþùåé ýòèìè (à òàêæå óêàçàííûìè â íà÷àëå ðàçäåëà) ñâîéñòâàìè ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ïîëíàÿ
95
2.7. Ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ
ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ (ñì. ðèñóíîê 2.16). Ýòà ïîâåðõíîñòü çàìêíóòà, âûïóêëà è îáëàäàåò ïëîñêîñòüþ ñèììåòðèè, îðòîãîíàëüíîé îñè âðàùåíèÿ. Íî,
â îòëè÷èå îò ïîâåðõíîñòåé êëàññà 1, êðèâèçíû òåïåðü óìåíüøàþòñÿ
Ðèñ. 2.16:
ïî âåëè÷èíå ïðè óäàëåíèè îò îñè âðàùåíèÿ, è åñëè òàì ïîâåðõíîñòè áûëè ïîõîæè íà ñïëþùåííûé ýëëèïñîèä, òî çäåñü - íà âûòÿíóòûé âäîëü îñè
âðàùåíèÿ. Çàìåòèì åùå, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå îñòàþòñÿ â ñèëå ïðåäûäóùèå çàìå÷àíèÿ îòíîñèòåëüíî âëèÿíèÿ èíòåãðàëà I íà îñîáåííîñòè ôîðìû
ïîâåðõíîñòè îêîëî îñè âðàùåíèÿ.
Êëàññ 5. Ïåðâûé ñëó÷àé íàðóøåíèÿ åäèíñòâåííîñòè âîçíèêàåò, êîãäà
ôóíêöèÿ ϕ, îïðåäåëåííàÿ íà òîì æå îòðåçêå a ≤ k1 ≤ b, ãäå a < b < 0,
óäîâëåòâîðÿåò ïî÷òè òåì æå óñëîâèÿì: ϕ(a) = a è k1 < ϕ(k1 ) < 0 åñëè
a < k1 < b, òîëüêî òåïåðü ϕ(b) = 0. Äëÿ ëþáîé òàêîé ôóíêöèè åå ãðàôèê
(ñì. ðèñóíîê 2.17) ÿâëÿåòñÿ èíäèêàòðèñîé íåñêîëüêèõ ïîëíûõ ïîâåðõíîñòåé
âðàùåíèÿ. Âñå îíè âûïóêëû, íî ëèøü îäíà èç íèõ çàìêíóòà è ñèììåòðè÷íà, êàê ïîâåðõíîñòü ïðåäûäóùåãî êëàññà. Îòëè÷èå çäåñü òîëüêî â òîì, ÷òî
íàøà íîâàÿ ïîâåðõíîñòü â ìàêñèìàëüíî óäàëåííóþ îò îñè âðàùåíèÿ òî÷êó,
êñòàòè, ëåæàùóþ íà ïëîñêîñòè ñèììåòðèè, ïðèõîäèò ñ íóëåâîé êðèâèçíîé
âäîëü ìåðèäèàíà. Èìåííî ïîýòîìó äàëüíåéøåå åå ïîâåäåíèå íå òàê æåñòêî
îãðàíè÷åíî, êàê ðàíüøå.
Ðèñ. 2.17:
Ïîâåðõíîñòü óæå íå îáÿçàíà îòðàçèòüñÿ îò óêàçàííîé ïëîñêîñòè, íî ìîæåò ñåáå ïîçâîëèòü ñêîëü óãîäíî äîëãî áûòü öèëèíäðîì, à ìîæåò è âîâñå
îñòàòüñÿ èì íàâñåãäà. Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì ÷åòûðå âàðèàíòà ïîâåäåíèÿ ïîâåðõíîñòè ïðè çàäàííîé èíäèêàòðèñå ðàññìàòðèâàåìîãî êëàññà - âñå
îíè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2.17.
Êëàññ 6. Ïîñëåäíèé ñëó÷àé âîçðàñòàþùåé èíäèêàòðèñû - ýòî åùå îäèí
ïðèìåð íàðóøåíèÿ åäèíñòâåííîñòè, íî ñîâñåì èíîãî ðîäà ïî ñðàâíåíèþ ñ
ïðåäûäóùèì. Çäåñü ôóíêöèÿ ϕ îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå a ≤ k1 < 0 è
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ϕ(a) = a è k1 < ϕ(k1 ) < 0, à êðîìå òîãî, â òî÷êå 0
èìååò íóëåâîé ëåâîñòîðîííèé ïðåäåë.
Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïîëíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, ó êîòîðîé èí- äèêàòðèñîé ÿâëÿåòñÿ ãðàôèê ôóíêöèè ϕ òàêîãî âèäà íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,
÷òîáû ïðè êàêîì-íèáóäü u∗ < 0 ñõîäèëñÿ èíòåãðàë
Z 0
Z u
ϕ(u) I(u)
dt
e
du, ãäå I(u) =
,
u∗ ϕ(u) − u
u∗ ϕ(t) − t
Åñëè íå ãîâîðèòü îá ýêçîòè÷åñêèõ, õîòÿ è âïîëíå âîçìîæíûõ, îñîáåííîñòÿõ
ïîâåäåíèÿ ôóíêöèè ϕ â íóëå, ýòî óñëîâèå èìååò ïðîñòîé ñìûñë. Íàïðèìåð,
îíî íå âûïîëíåíî äëÿ ôóíêöèè, ó êîòîðîé ãðàôèê èìååò íåíóëåâîé íàêëîí â
íà÷àëå êîîðäèíàò. Åñëè æå ϕ(u) = o(u), ïðèâåäåííîå óñëîâèå ýêâèâàëåíòíî
èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè ϕ(u)/u2 â íóëå.
Êàêîé áû íè áûëà ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óêàçàííîìó âûøå òðåáîâàíèþ, åå ãðàôèê (ðèñ. 15) ÿâëÿåòñÿ èíäèêàòðèñîé öåëîãî ñåìåéñòâà ïîëíûõ
96
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ (ðèñ. 16). Âñå îíè âûïóêëû è ñâîåé ôîðìîé íàïîìèíàþò ïàðàáîëîèäû, êñòàòè, ïðèíàäëåæàùèå ðàññìàòðèâàåìîìó êëàññó
ïîâåðõíîñòåé.
Ðèñ. 2.18:
Êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü ñåìåéñòâà óõîäèò íà áåñêîíå÷íîñòü ñ îïðåäåëåííûì
íàêëîíîì, åñëè ñìîòðåòü âäîëü ìåðèäèàíà. Íàêëîí ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íûì, íî ïðè ýòîì ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè ðàñøèðÿþòñÿ íåîãðàíè÷åííî, ëèáî âûðàæàåòñÿ êàêèì-íèáóäü ÷èñëîì, îòëè÷íûì îò íóëÿ. Äëÿ
êàæäîãî òàêîãî íàêëîíà â ñåìåéñòâå ïîâåðõíîñòåé, îòâå÷àþùåì äàííîé èíäèêàòðèñå, èìååòñÿ ðîâíî îäèí ïðåäñòàâèòåëü. Ëþáîïûòíî îòìåòèòü, ÷òî
åñëè õîòü îäíà èç ïîâåðõíîñòåé â ñåìåéñòâå îêàçàëàñü â øàïî÷êå (íàëè÷èå
êîòîðîé ïðåæíèì îáðàçîì çàâèñèò îò õàðàêòåðà ïðèáëèæåíèÿ ëåâîãî êîíöà
èíäèêàòðèñû ê äèàãîíàëè), òî è âñå äðóãèå - òîæå.
Óáûâàþùèå èíäèêàòðèñû
Ñîâñåì äðóãàÿ êàðòèíà ïîëó÷àåòñÿ, êîãäà èíäèêàòðèñà - óáûâàþùàÿ ëèíèÿ. Âî âñåõ îñòàâøèõñÿ ïðèìåðàõ îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàôèê ôóíêöèè
ϕ, êîòîðàÿ, êðîìå òîãî, ÷òî áóäåò ñêàçàíî î íåé â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå, îïðåäåëåíà íà îãðàíè÷åííîì ïðîìåæóòêå ñ êîíöàìè a < b ≤ 0, âñåãäà
âêëþ÷àþùåì òî÷êó a, íåïðåðûâíà íà íåì è ñòðîãî óáûâàåò. Ïðè ýòîì âåñü
ãðàôèê ðàñïîëàãàåòñÿ íàä îìáèëè÷åñêîé äèàãîíàëüþ, èíîãäà èìåÿ ñ íåé
îäíó îáùóþ òî÷êó.
Êëàññ 7. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè k2 = ϕ(k1 ) çäåñü ñëóæèò ïðîìåæóòîê a ≤ k1 < 0, òàê ÷òî íà íåì ϕ > 0. Ïðè ýòîì â òî÷êå 0 ëåâîñòîðîííèé
ïðåäåë ôóíêöèè ϕ äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ. Ëþáàÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ çàäàåò
åäèíñòâåííóþ ïîëíóþ ñåäëîâóþ ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ, ãîìåîìîðôíóþ öèëèíäðó, ñ ñèììåòðè÷íûì âûïóêëûì ïðîôèëåì è, â îáùåì ñëó÷àå, ïî ôîðìå íàïîìèíàþùóþ êàòåíîèä. Íî íåêîòîðûå âàæíûå îñîáåííîñòè çàâèñÿò
îò õàðàêòåðà àñèìïòîòèêè ôóíêöèè ϕ â íóëå. Äëÿ èõ îïèñàíèÿ ðàññìîòðèì
èíòåãðàëû:
Z 0
Z u
vdx
dt
√
èJ=
.
I(u) =
ϕ(t)
−
t
1 − v2
−1/a
a
Ïåðâûé èç íèõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âîçðàñòàþùóþ ôóíêöèþ íà ïðîìåæóòêå a ≤ u < 0, ïðåäåë êîòîðîé ïðè u → −0 ìû îáîçíà÷èì áóêâîé I . Âî
âòîðîì èíòåãðàëå, êîòîðûé ïðè æåëàíèè òîæå ìîæíî áûëî áû âûðàçèòü
íåïîñðåäñòâåííî ÷åðåç ϕ, ôóíêöèÿ v = v(x) îçíà÷àåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
óæå çíàêîìîãî íàì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ dv/dx = ϕ(v/x), ñóùåñòâóþùåå íà ïðîìåæóòêå −1/a ≤ x < +∞ è óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó
óñëîâèþ v(−1/a) = −1. Äàëåå íàì ïðèäåòñÿ âûäåëèòü òðè ñëó÷àÿ.
Ñëó÷àé 1. Ïóñòü I < ∞, à çíà÷èò, è J < ∞. Òîãäà ãðàôèê ôóíêöèè ϕ, åñëè äîïîëíèòü åãî åùå îäíîé òî÷êîé, ïðèñîåäèíèâ ê íåìó íà÷àëî êîîðäèíàò
(ðèñ. 17), ñëóæèò èíäèêàòðèñîé èíòåðåñíîé ïîâåðõíîñòè, ïðîôèëü êîòîðîé
èçîáðàæåí íà ðèñ. 18.
Ñëó÷àé 2. Ïóñòü òåïåðü I = ∞, íî ïî-ïðåæíåìó J < ∞.  ýòîì ñëó÷àå
èíäèêàòðèñà íå èìååò ïðàâîãî êîíöà (ðèñ. 19), à ïîâåðõíîñòü, ïîõîæàÿ íà
ïðåäûäóùóþ, îòëè÷àåòñÿ îò íåå òåì, ÷òî óæå íå ïðèëèïàåò ê ñæèìàþùèì
97
2.7. Ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ
Ðèñ. 2.19:
åå äâóì áåñêîíå÷íûì êîëüöàì, õîòÿ àñèìïòîòè÷åñêè ñòðåìèòñÿ ê íèì (ðèñ.
20).
Ðèñ. 2.20:
Ñëó÷àé 3. Ïóñòü, íàêîíåö, I = J = ∞. Ýòî çíà÷èò, ÷òî èíäèêàòðèñà
äîñòàòî÷íî ñèëüíî ïðèæèìàåòñÿ ê îñè àáñöèññ (ðèñ. 21).  òàêîì ñëó÷àå
ðàññòîÿíèå ìåæäó âåòâÿìè ïðîôèëÿ (ðèñ. 22) íåîãðàíè÷åííî óâåëè÷èâàåòñÿ
ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò îñè âðàùåíèÿ, íî íàêëîí
Ðèñ. 2.21:
èõ ñòðåìèòñÿ ê îïðåäåëåííîé êîíå÷íîé âåëè÷èíå. Îíà âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
Z
1 0 ϕ(u) I(u)
1−L
p
, ãäå L = −
e
du.
a a ϕ(u) − u
L(2 − L)
Çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà L çàïîëíÿþò ïðîìåæóòîê 0 < L ≤ 1, òàê ÷òî àñèìïòîòè÷åñêèé íàêëîí âåòâåé ìîæåò áûòü ëþáûì, íà÷èíàÿ ñ íóëÿ.
Êëàññ 8. Ïîâåðõíîñòü, èìåþùàÿ óáûâàþùóþ èíäèêàòðèñó, ìîæåò áûòü
ïåðèîäè÷åñêîé. Çäåñü ìû ðàññìîòðèì èìåííî òàêîé ñëó÷àé. Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ îïðåäåëåíà íà îòðåçêå îò a äî b, ãäå a < b < 0, è óäîâëåòâîðÿåò,
ïîìèìî óêàçàííûõ âûøå îáùèõ òðåáîâàíèé, ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: ϕ(a) >
0 > ϕ(b) > b. Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïîëíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, ó êîòîðîé
èíäèêàòðèñîé ñëóæèò ãðàôèê òàêîé
ôóíêöèè (ðèñ. 23), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî:
Z b
du
a
I=
= ln .
b
a ϕ(u) − u
Ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòü (ðèñ. 24), âìåñòå ñî âñåìè åå ïàðàìåòðàìè, îïðåäåëÿåòñÿ èíäèêàòðèñîé îäíîçíà÷íî.
Êëàññ 9. Ïîñëåäíèé ñëó÷àé, êîòîðûé íàì îñòàåòñÿ îáñóäèòü, âî ìíîãèõ
îòíîøåíèÿõ ïîõîæ íà ïðåäûäóùèé, íî îòëè÷àåòñÿ îò íåãî ïðèíöèïèàëüíûì
ìîìåíòîì: îí äîñòàâëÿåò íàì åùå îäèí ïðèìåð íàðóøåíèÿ åäèíñòâåííîñòè.
Çäåñü ôóíêöèÿ ϕ îïðåäåëåíà íà òîì æå îòðåçêå, îò a äî b, ãäå a < b < 0,
íî óäîâëåòâîðÿåò òåïåðü íåìíîãî äðóãèì óñëîâèÿì: ϕ(a) > 0 > ϕ(b) = b.
Ãðàôèê òàêîé ôóíêöèè (ðèñ. 25) ñëóæèò èíäèêàòðèñîé ïîëíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà I < ln(a/b), ãäå I òîëüêî ÷òî
ðàññìîòðåííûé èíòåãðàë. Íî òåïåðü ýòà ïîâåðõíîñòü óæå äàëåêî íå åäèíñòâåííà (ðèñ. 26). Ïðè÷èíà æå çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Íàèáîëåå óäàëåííàÿ îò îñè âðàùåíèÿ ïàðàëëåëü ñîñòîèò èç îìáèëè÷åñêèõ òî÷åê, à â ñëó÷àå,
êîãäà I < ln(a/b), ïîÿâëÿåòñÿ öåëûé îìáèëè÷åñêèé ñëîé. Íî è îäíîé åãî
îêðóæíîñòè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïî åå äîñòèæåíèè ïîâåðõíîñòü ìîãëà âûáèðàòü, êàê åé âåñòè ñåáÿ äàëüøå.  êàæäûé òàêîé ìîìåíò ó íåå äâà âàðèàíòà
- ëèáî ïðîéòè åùå îäèí ïåðèîä, ïîâòîðèâ
98
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Ðèñ. 2.22:
Ðèñ. 2.23:
ïðåäûäóùóþ ôîðìó, ëèáî ñâåðíóòüñÿ ñôåðîé. Òàêèì îáðàçîì âîçíèêàåò áåñêîíå÷íàÿ ñåðèÿ çàìêíóòûõ ïîâåðõíîñòåé, ïîõîæèõ íà ñòðó÷êè çåìëÿíîãî
îðåõà, çàêëþ÷àþùèå â ñåáå íåñêîëüêî çåðåí, ïðè÷åì ÷èñëî èõ ìîæåò áûòü
ëþáûì, íî íå ìåíåå äâóõ. Åñëè ïîâåðõíîñòü ëèøü îäèí ðàç ðåøàåò îñòàíîâèòüñÿ, ïîëó÷àþòñÿ äâå óêàçàííûå íà ðèñ. 26 ïîâåðõíîñòè ïàðàáîëîèäíîãî
òèïà (ò. å. ãîìåîìîðôíûå ïëîñêîñòè). Íàêîíåö, åñëè ïîâåðõíîñòü áåç êîíöà
ïîâòîðÿåò ñâîþ ôîðìó, îíà îñòàåòñÿ âñå òîé æå ïåðèîäè÷åñêè ïóëüñèðóþùåé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, êîòîðóþ ìû âèäåëè â ïðåäûäóùåì
êëàññå.
Äîêàçàòåëüñòâî âñåõ ýòèõ óòâåðæäåíèé äîñòàòî÷íî äëèííî è îñíîâàíî
íà òîì, ÷òî çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê èññëåäîâàíèþ óðàâíåíèÿ:
v
dv
=ϕ
,
dx
x
ãäå v = xk1 .
2.8
Ëèíåé÷àòûå è ðàçâåðòûâàþùèå ïîâåðõíîñòè
Îïðåäåëåíèå 2.8.1. Îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïðÿìûõ ëèíèé íà-
çûâàåòñÿ ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòüþ.
 îáùåì ñëó÷àå òàêîå îïðåäåëåíèå ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè íå êîððåêòíî. Íåòðóäíî óêàçàòü ñëó÷àè, êîãäà òîëüêî íåêîòîðàÿ ÷àñòü ýòîãî ìíîæåñòâà òî÷åê îáðàçóåò ïîâåðõíîñòü. Ìîæíî, êîíå÷íî, ïîñòóïèòü è òàê: çàðàíåå
ñ÷èòàòü, ÷òî ìû èìååì íåêîòîðóþ ðåãóëÿðíóþ ïîâåðõíîñòü Φ è íàçâàòü åå
ëèíåé÷àòîé, åñëè îíà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà ïðÿìûõ ëèíèé. Íàïðèìåð, îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä èëè
ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä. Îäíàêî, òàêîå îïðåäåëåíèå íå âñåãäà óäîáíî
äëÿ ïðèëîæåíèé. Èíîãäà óäîáíî èñïîëüçîâàòü êëàññè÷åñêóþ òî÷êó çðåíèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîé ìû âñåãäà íàõîäèìñÿ â òàêèõ óñëîâèÿõ, êîòîðûå íàì
íóæíû èëè íåîáõîäèìû.
Ëþáóþ ëèíåé÷àòóþ ïîâåðõíîñòü ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïóñòü γ(t) ïðîèçâîëüíàÿ ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ â R3 êëàññà C k , (k ≥ 2) è
ïóñòü ~a (t) íåêîòîðîå âåêòîðíîå ïîëå âäîëü γ(t), òàêæå êëàññà C k , (k ≥ 2),
è ~a (t) 6= 0 ïðè âñåõ t ∈ (a, b). ×åðåç êàæäóþ òî÷êó γ(t) êðèâîé γ â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ~a (t) ïðîâåäåì ïðÿìóþ ëèíèþ. Ñåìåéñòâî ýòèõ ëèíèé îáðàçóåò,
âîîáùå ãîâîðÿ, íåêîòîðóþ ëèíåé÷àòóþ ïîâåðõíîñòü Φ. Åñëè ~r = ~r 1 (u) åñòü
âåêòîðíîå óðàâíåíèå êðèâîé γ , òî óðàâíåíèå ~r = ~r 1 (u) + ~a (u)v îïðåäåëÿåò
ïîâåðõíîñòü Φ. Êàêàÿ ÷àñòü ìíîæåñòâà òî÷åê, îïðåäåëåííîãî ýòèì óðàâíåíèåì, îáðàçóåò ðåãóëÿðíóþ ïîâåðõíîñòü, çàâèñèò îò âåêòîðíûõ ôóíêöèé
~r 1 (u) è ~a (u). Ìû íå áóäåì èññëåäîâàòü ýòîò âîïðîñ ïîäðîáíî, à ïðîñòî áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â íåêîòîðîé îáëàñòè ïëîñêîñòè ïåðåìåííûõ (u, v)
99
2.8. Ëèíåé÷àòûå è ðàçâåðòûâàþùèå ïîâåðõíîñòè
ýòî óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò ðåãóëÿðíóþ ïîâåðõíîñòü. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, åñëè
|~a (u)| = 1 è (~a , ~a 0 ,~r ) 6= 0 ïðè âñåõ u ∈ (a, b), òî ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü Φ ðåãóëÿðíà â êàæäîé ñâîåé òî÷êå. Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû
ýòîé ïîâåðõíîñòè:
~r u = ~r 01 + ~a 0 v,
~r v = ~a,
~r uu = ~r 001 + ~a 00 v,
~r uv = ~a 0 ,
~r vv = 0.
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî êîýôôèöèåíò N âòîðîé êâàäðàòè÷íîé
ôîðìû ðàâåí íóëþ. Ïîýòîìó ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè Φ âûðàæàåòñÿ
ôîðìóëîé
M2
.
(2.8.63)
K=−
EG − F 2
Ôîðìóëà (2.8.63) ïîêàçûâàåò, ÷òî ãàóññîâà êðèâèçíà ëþáîé ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè íå ïîëîæèòåëüíà, ÷òî, êîíå÷íî, íå ÿâëÿåòñÿ íåîæèäàííûì, òàê
êàê â êàæäîé òî÷êå p ∈ Φ â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ~a íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà
ðàâíà íóëþ è, ñëåäîâàòåëüíî, ãëàâíûå êðèâèçíû ëèáî ðàçíûõ çíàêîâ, ëèáî, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíà èç íèõ ðàâíà íóëþ. Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî
òîò ñëó÷àé, êîãäà ãàóññîâà êðèâèçíà ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè òîæäåñòâåííî
ðàâíà íóëþ. Ïîäñ÷èòàåì êîýôôèöèåíò M
(~r u ,~r v ,~r uv )
((~r 01 + v ~a 0 ), ~a , ~a 0 )
√
M= √
=
,
EG − F 2
EG − F 2
è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåíñòâî K = 0 ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó
(~r 01 (u), ~a (u), ~a 0 (u)) = 0.
(2.8.64)
Ðàâåíñòâî (2.8.64) âûïîëíÿåòñÿ â ñëåäóþùèõ î÷åâèäíûõ ñëó÷àÿõ:
1. ~r 01 (u) ≡ 0, òî åñòü γ òî÷êà, à Φ êîíóñ (áåç âåðøèíû),
2. ~a 0 (u) ≡ 0, òî åñòü ~a (u) = const è Φ åñòü öèëèíäð,
3. ~r 01 (u) × ~a (u) = 0.  ýòîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòü Φ îáðàçîâàíà êàñàòåëüíûìè ïðÿìûìè ê "áàçîâîé"êðèâîé γ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü îáùèé ñëó÷àé. Èç ðàâåíñòâà (2.8.64) ñëåäóåò, ÷òî
~r 01 (u) = λ1 (u) ~a (u) + λ2 (u) ~a 0 (u),
ãäå λ1 è λ2 íåêîòîðûå ôóíêöèè îò u. Çàìåòèì, äàëåå, ÷òî ïîñêîëüêó
~r 01 (u) × ~a (u) 6= 0, òî ôóíêöèÿ λ2 (u) 6= 0 è
~a × ~a 0 6= 0.
(2.8.65)
Âîçüìåì íà ïîâåðõíîñòè Φ êðèâóþ γ̃ , îïðåäåëåííóþ óðàâíåíèåì v = v(u)
èëè ~r 2 (u) = ~r 1 (u)+v(u) ~a (u). Ïîäáåðåì ôóíêöèþ v(u) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
~r 02 (u) × ~a ≡ 0. Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè v = v(u)
(~r 01 (u) + v 0 (u) ~a (u) + v(u) ~a 0 (u)) × ~a (u) = 0
èëè
(λ1 (u) ~a (u) + λ2 (u) ~a 0 (u) + v 0 (u) ~a (u) + v(u)~a 0 (u)) × ~a (u) = 0
100
èëè
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
(λ2 (u) + v(u)) · (~a 0 (u) × ~a (u)) = 0,
è èç (2.8.65) ñëåäóåò v(u) = −λ2 (u). Èòàê, äëÿ êðèâîé γ̃ è âåêòîðíîãî ïîëÿ ~a (u) ìû ïîëó÷èì ñëó÷àé 3. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîé ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè Φ íóëåâîé ãàóññîâîé êðèâèçíû è íå ÿâëÿþùåéñÿ êîíóñîì èëè
öèëèíäðîì, ñóùåñòâóåò òàêàÿ êðèâàÿ, ÷òî ïîâåðõíîñòü Φ îáðàçîâàíà ñåìåéñòâîì êàñàòåëüíûõ ïðÿìûõ ê ýòîé êðèâîé. Ïîâåðõíîñòè íóëåâîé ãàóññîâîé
êðèâèçíû íàçûâàþòñÿ ðàçâåðòûâàþùèìèñÿ. Â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå ìû
ïðèâåäåì òåîðåìó, ÷òî âñÿêàÿ ðåãóëÿðíàÿ ðàçâåðòûâàþùàÿñÿ ïîâåðõíîñòü
åñòü ëèíåé÷àòàÿ.
Èçó÷èì ïîâåäåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè âäîëü îáðàçóþùèõ ëèíåé÷à~ =n
~ (u, v) íîðìàëü ê Φ. Òàê
òîé ðàçâåðòûâàþùåéñÿ ïîâåðõíîñòè Φ. Ïóñòü n
êàê ãàóññîâà êðèâèçíà K ðàâíà íóëþ, òî ëèíåéíàÿ îáðàçóþùàÿ â êàæäîé
ñâîåé òî÷êå èäåò ïî ãëàâíîìó íàïðàâëåíèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ôîðìóëå
Ðîäðèãà
d~
n
= 0.
(2.8.66)
dv
~ (u, v) íà ñàìîì äåëå çàâèñèò
Ðàâåíñòâî (2.8.66) ïîêàçûâàåò, ÷òî íîðìàëü n
òîëüêî îò u, ñëåäîâàòåëüíî, âñå êàñàòåëüíûå ïëîñêîñòè âäîëü îáðàçóþùåé
ïàðàëëåëüíû, à òàê âñå îíè ñîäåðæàò îäíó è òó æå ïðÿìóþ ëèíèþ, òî âñå
îíè ñîâïàäàþò. Ýòî ñâîéñòâî êàñàòåëüíûõ ïëîñêîñòåé âäîëü îáðàçóþùåé
íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâîì ñòàöèîíàðíîñòè êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè.
È, íàêîíåö, èçó÷èì áîëåå ïîäðîáíî ñòðîåíèå ëèíåé÷àòîé ðàçâåðòûâàþùåé ïîâåðõíîñòè â îêðåñòíîñòè áàçîâîé êðèâîé γ̃ : ~r = ~r 2 (u). Ðàçîáüåì
ïîâåðõíîñòü Φ íà äâå ïîëóïîâåðõíîñòè Φ1 è Φ2 íåðàâåíñòâàìè v ≥ 0 äëÿ
Φ1 , è v ≤ 0 äëÿ Φ2 . Ïîäñ÷èòàåì êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïîâåðõíîñòè
~r u = (~r 2 )u + v ~a 0 (u),
~r v = ~a (u).
(2.8.67)
Åñëè ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî u äëèíà äóãè êðèâîé γ̃ , à âåêòîðíîå ïîëå
~a (u) = ~r 02 (u), òî èç (2.8.67) ñëåäóåò
E = 1 + k2 v2 ,
G = 1,
F = 1,
(2.8.68)
ãäå k(u) åñòü êðèâèçíà êðèâîé γ̃ . Èç (2.8.68) âèäíî, ÷òî â òî÷êàõ (u, v) ∈ Φ1
è (u, −v) ∈ Φ2 êîýôôèöèåíòû E, F è G ñîâïàäàþò. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëóïîâåðõíîñòè Φ1 è Φ2 èçîìåòðè÷íû. Òàêèì îáðàçîì, ïîâåðõíîñòü Φ ñîñòîèò èç
äâóõ èçîìåòðè÷íûõ äðóã äðóãó ïîëóïîâåðõíîñòåé Φ1 è Φ2 , ñêëååííûõ äðóã
ñ äðóãîì âäîëü áàçîâîé êðèâîé. Èòàê, ìû âèäèì, ÷òî ïîâåðõíîñòü Φ íå ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòüþ â òî÷êàõ "áàçîâîé"êðèâîé γ̃ .  îñòàëüíûõ
æå òî÷êàõ ïîâåðõíîñòü Φ ðåãóëÿðíà, åñëè êðèâèçíà k(u) êðèâîé γ̃ íå ðàâíà
íóëþ íè â êàêîé åå òî÷êå, òàê êàê |~r u × ~r v |2 = EG − F 2 = k 2 v 2 .
Ïîëóïîâåðõíîñòè Φ1 è Φ2 ÷àñòî ïåðåñåêàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì. Ïðîñòåéøèé ïðèìåð. Ïóñòü γ îêðóæíîñòü â R2 , à ïîëå ~a (t) åñòü ïîëå êàñàòåëüíûõ
âåêòîðîâ ê γ . Òîãäà Φ1 è Φ2 ïðîñòî ñîâïàäàþò, à Φ ñîñòîèò èç äâóõ ýêçåìïëÿðîâ âíåøíîñòè êðóãà ñêëååííûõ âäîëü îêðóæíîñòè.
Îáúÿñíèì òåïåðü ïî÷åìó ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü Φ ñ íóëåâîé ãàóññîâîé
êðèâèçíîé íàçûâàåòñÿ ðàçâåðòûâàþùåéñÿ. Ïóñòü òî÷êà p0 (u0 , v0 ) ðåãóëÿðíàÿ òî÷êà ïîâåðõíîñòè Φ. Âîçüìåì íà Φ îêðåñòíîñòü U òî÷êè p0 , îïðåäåëåííóþ íåðàâåíñòâàìè |u − u0 | < ε, |v − v0 | < ε, ãäå ÷èñëî ε âûáðàíî íàñòîëüêî ìàëûì, ÷òî k(u) êðèâèçíà "áàçîâîé" êðèâîé îòëè÷íà îò íóëÿ åñëè
2.9. Âûïóêëûå ïîâåðõíîñòè
101
|u−u0 | < ε, à v 6= 0 åñëè |v −v0 | < ε. Íà íåêîòîðîé ïëîñêîñòè α âîçüìåì êðèâóþ γ̄ , (r̄ = ρ̄(u)) ó êîòîðîé êðèâèçíà k̄(u) ñîâïàäàåò ñ k(u) ïðè |u − u0 | < ε,
à âåêòîðíîå ïîëå ā(u) åñòü ïîëå åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ, êàñàòåëüíûõ ê γ̄ . Òîãäà îáëàñòè Ū ïëîñêîñòè α, îïðåäåëåííàÿ óñëîâèåì: r̄(u, v) = ρ̄(u) + vā(u)
ïðè u, v ∈ U èçîìåòðè÷íà, êàê ýòî âèäíî èç ôîðìóë (2.8.68), îáëàñòè U íà
Φ. Òàêèì îáðàçîì ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îêðåñòíîñòü U òî÷êè p0 ðàçâåðíóòà
íà ïëîñêîñòü.
Íàêîíåö, çàìåòèì, ÷òî, åñëè ïîëíàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ ÿâëÿåòñÿ
ðàçâåðòûâàþùåéñÿ ïîâåðõíîñòüþ, òî Φ åñòü öèëèíäð (â ÷àñòíîñòè, ïëîñêîñòü).
2.9
Âûïóêëûå ïîâåðõíîñòè
Íàïîìíèì, ÷òî îáëàñòü D â R3 íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé îáëàñòüþ, åñëè âìåñòå
ñ ëþáûìè äâóìÿ ñâîèìè òî÷êàìè p è q îíà ñîäåðæèò îòðåçîê pq , ñîåäèíÿþùèé ýòè òî÷êè p è q . Ãðàíèöà ∂D = Φ âûïóêëîé îáëàñòè D îêàçûâàåòñÿ
ïîâåðõíîñòüþ (â îáùåì ñëó÷àå íåïðåðûâíîé ïîâåðõíîñòüþ) è íàçûâàåòñÿ
âûïóêëîé ïîâåðõíîñòüþ.
Òåîðåìà 2.9.1. Åñëè âûïóêëàÿ îáëàñòü D ñîäåðæèò ïðÿìóþ ëèíèþ, òî
ïîâåðõíîñòü Φ = ∂D ãîìåîìîðôíà öèëèíäðó; åñëè îáëàñòü D ñîäåðæèò
ëó÷, íî íå ñîäåðæèò íèêàêîé ïðÿìîé ëèíèè, òî ïîâåðõíîñòü Φ = ∂D
ãîìåîìîðôíà ïëîñêîñòè; åñëè æå îáëàñòü D íå ñîäåðæèò íèêàêîãî ëó÷à
(D êîìïàêò), òî ïîâåðõíîñòü Φ = ∂D ãîìåîìîðôíà ñôåðå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 2.9.1 äîñòàòî÷íî î÷åâèäíû è ìû
äîêàæåì òîëüêî ïåðâîå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü a ïðÿìàÿ ëèíèÿ, öåëèêîì ëåæàùàÿ âíóòðè îáëàñòè D, à p ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïîâåðõíîñòè Φ. Âîçüìåì
íà ïðÿìîé a äâå òî÷êè M1 è M2 .  ñèëó âûïóêëîñòè îáëàñòè D, îòðåçêè pM1
è pM2 ïðèíàäëåæàò îáëàñòè D. Ïóñòü òî÷êè M1 è M2 , îñòàâàÿñü íà ïðÿìîé
a, ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, ïðè÷åì äëèíà îòðåçêà M1 M2 òàêæå ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Òîãäà îòðåçêè pM1 è pM2 ñòðåìÿòñÿ ê íåêîòîðûì
ëó÷àì a1 è a2 , êîòîðûå ëåæàò íà ïðÿìîé a(p), ïàðàëëåëüíîé a. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó p ∈ Φ ïðîõîäèò ïðÿìàÿ a(p), ïàðàëëåëüíàÿ a,
è öåëèêîì ëåæàùàÿ íà Φ. Ïðîâåäåì ÷åðåç íåêîòîðóþ òî÷êó q ∈ Φ ïëîñêîñòü
α, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ïðÿìîé a. Òàê êàê α ∩ D åñòü âûïóêëàÿ îáëàñòü íà
ïëîñêîñòè α, òî ïåðåñå÷åíèå α ∩ Φ åñòü âûïóêëàÿ êðèâàÿ γ . Ïóñòü C öèëèíäð, íàïðàâëÿþùåé êîòîðîãî åñòü êðèâàÿ γ , à îáðàçóþùèå ïàðàëëåëüíû
ïðÿìîé a. Äîêàæåì, ÷òî öèëèíäð C ñîâïàäàåò ñ ïîâåðõíîñòüþ Φ. Â ñàìîì
äåëå, öèëèíäð C ïðèíàäëåæèò Φ è ÿâëÿåòñÿ íà Φ îòêðûòûì è îäíîâðåìåííî çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì. Ñëåäîâàòåëüíî, C = Φ, ÷òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.
Ñëåäóþùèå ñâîéñòâà âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé î÷åâèäíû, è ìû ñôîðìóëèðóåì èõ â âèäå óïðàæíåíèé.
Óïðàæíåíèå 6.2. Ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ êëàññà C k , k ≥ 1 âûïóêëà
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ëåæèò öåëèêîì ïî îäíó ñòîðîíó îò ëþáîé
ñâîåé êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè.
Óïðàæíåíèå 6.3. Ãàóññîâà êðèâèçíà ðåãóëÿðíîé âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè êëàññà
Ck, k ≥ 2
â ëþáîé åå òî÷êå íåîòðèöàòåëüíà.
102
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Óïðàæíåíèå 6.4. Äîêàçàòü, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà (ñì. Ÿ 5) çà-
C 2 ðàâíà 4π .
Óêàçàíèå. Âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Ãàóññà î ïëîùàäè ñôåðè÷åñêîãî
èçîáðàæåíèÿ.
ìêíóòîé ðåãóëÿðíîé âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè êëàññà
Óïðàæíåíèå 6.5. Äîêàçàòü, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà ëþáîé îòêðû-
C 2 íå ïðåâîñõîäèò 2π .
Óêàçàíèå. Âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Ãàóññà î ïëîùàäè ñôåðè÷åñêîãî
èçîáðàæåíèÿ.
òîé, ðåãóëÿðíîé, âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè êëàññà
Óïðàæíåíèå 6.6. Äîêàçàòü, ÷òî íà îòêðûòîé, ðåãóëÿðíîé, âûïóêëîé
ïîâåðõíîñòè êëàññà
C2
òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ãàóññîâîé êðèâèçíû
K(p) ðàâ-
íà íóëþ.
Óêàçàíèå. Âîñïîëüçîâàòüñÿ óòâåðæäåíèåì ïðåäûäóùåãî óïðàæíåíèÿ.
Óïðàæíåíèå 6.7. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà K(p) ðåãóëÿðíîé, âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè êëàññà C 2 íå ìåíüøå, ÷åì ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî
a, òî ïîâåðõíîñòü çàìêíóòà (êîìïàêòíà).
Óïðàæíåíèå 6.8. Åñëè âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü Φ íå ÿâëÿåòñÿ öèëèíäðîì èëè ïëîñêîñòüþ, òî ñóùåñòâóåò íåâûðîæäåííûé ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ, ñîäåðæàùèé ïîâåðõíîñòü
2.10
Φ.
Çàäà÷è
Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü íåêîòîðîå óñëîâèå, ïðè êîòîðîì ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C 2 èìååò òî÷êè ñòðîãî ïîëîæèòåëüíîé ãàóññîâîé êðèâèçíû.
Çàäà÷à 2.10.1. Íà êàæäîé çàìêíóòîé (êîìïàêòíîé) ðåãóëÿðíîé ïîâåðõ-
íîñòè Φ êëàññà C 2 ñóùåñòâóåò òî÷êà, â êîòîðîé ãàóññîâà êðèâèçíà ñòðîãî
ïîëîæèòåëüíà.
Ðåøåíèå. Ïóñòü S(O, R) ñôåðà ñ öåíòðîì â íåêîòîðîé òî÷êå O è ðàäèóñà R íàñòîëüêî áîëüøèì, ÷òî âñÿ ïîâåðõíîñòü Φ ëåæèò âíóòðè ýòîé ñôåðû.
Áóäåì óìåíüøàòü ðàäèóñ ýòîé ñôåðû äî òåõ ïîð, ïîêà ñôåðà è ïîâåðõíîñòü
Φ íå êîñíóòñÿ äðóã äðóãà â ïåðâûé ðàç. Ïóñòü ýòî ïðîèçîéäåò òîãäà, êîãäà
ðàäèóñ ñôåðû ñòàíåò ðàâíûì R1 < R. Îáîçíà÷èì ÷åðåç p òî÷êó, ïðèíàäëåæàùóþ Φ ∩ S(O, R1 ).  òî÷êå p êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü (T Φ)p ÿâëÿåòñÿ
~ (p)
òàêæå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ ê ñôåðå S(O, R1 ). Íàïðàâèì íîðìàëü n
âíóòðü ñôåðû S(O, R1 ). Íîðìàëüíûå êðèâèçíû ñôåðû S(O, R1 ) â ýòîé òî÷êå ðàâíû R11 , à íîðìàëüíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè Φ íå ìåíüøå, ÷åì R11 ,
òàê êàê ïîâåðõíîñòü Φ öåëèêîì ëåæèò âíóòðè ñôåðû S(O, R1 ). Ñëåäîâàòåëüíî, ãàóññîâà êðèâèçíà K(p) ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p íå ìåíüøå, ÷åì
( R11 )2 . Çàäà÷à ðåøåíà.
Äëÿ ïîëíûõ, íåêîìïàêòíûõ (îòêðûòûõ) ïîâåðõíîñòåé àíàëîãè÷íûé êðèòåðèé ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê.
Çàäà÷à 2.10.2. Åñëè îòêðûòàÿ, ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ êëàññà C 2 ëå-
æèò âíóòðè âûïóêëîãî êðóãîâîãî êîíóñà T , òî íà ïîâåðõíîñòè Φ ñóùåñòâóåò òî÷êà, â êîòîðîé ãàóññîâà êðèâèçíà ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà.
Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå êîíóñà T çàïèøåì â òàêîì âèäå x2 + y 2 − a2 z 2 = 0, à
îáëàñòü, â êîòîðîé ëåæèò ïîâåðõíîñòü Φ, îïðåäåëèì íåðàâåíñòâàìè
x2 + y 2 − a2 z 2 < 0,
z > 0.
103
2.10. Çàäà÷è
Âîçüìåì äðóãîé êîíóñ T1 , çàäàííûé óðàâíåíèåì
(ãäå
x2 + y 2 − b2 (z + c)2 = 0,
b > a, c > 0).
(2.10.69)
Ïóñòü H åñòü îäíà (âåðõíÿÿ) ïîëîñòü äâóïîëîñíîãî ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ,
çàäàííîãî óðàâíåíèåì
4
4b2 2
(x + y 2 ) − 2 (z + c)2 = −1,
c2
c
c
z≥− .
2
Ýòà âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü H ëåæèò ìåæäó êîíóñàìè T è T1 , è êîíóñ T1
ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì êîíóñîì ê ïîâåðõíîñòè H . Ïóñòü
ρ0 =
inf
p∈D, q∈H
|pq|.
Èç óñëîâèÿ b > a â (2.10.69) ñëåäóåò, ÷òî ρ0 ñóùåñòâóåò è êîíå÷íî, è ÷òî
íà ïîâåðõíîñòÿõ Φ è H ñóùåñòâóþò òî÷êè p0 è q0 òàêèå, ÷òî ρ0 = |p0 q0 |.
Ñäâèíåì òåïåðü ïàðàëëåëüíî ñàìîé ñåáå ïîâåðõíîñòü H íà âåêòîð −
p0−q→
0.
Ïîëó÷åííóþ ïîâåðõíîñòü îáîçíà÷èì ÷åðåç H0 .  òî÷êå p0 ïîâåðõíîñòè H0 è
Φ èìåþò îáùóþ êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü, è ïîâåðõíîñòü Φ ðàñïîëîæåíà öåëèêîì âíóòðè âûïóêëîé îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòüþ H0 . Ïîýòîìó
ãàóññîâà êðèâèçíà, êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p0 íå
ìåíüøå, ÷åì ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè H â òî÷êå q0 , êîòîðàÿ ñòðîãî
ïîëîæèòåëüíà.
Çàìå÷àíèå 2.10.1. Åñëè íà âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè Φ ñóùåñòâóåò òî÷-
êà, â êîòîðîé ãàóññîâà êðèâèçíà ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà, òî ñóùåñòâóåò
ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ T , ñîäåðæàùèé ïîâåðõíîñòü Φ (ñì. óïðàæíåíèå
6.8).
Ïîýòîìó èç çàäà÷è 2.10.2 âûòåêàåò ñëåäñòâèå.
Ñëåäñòâèå 2.10.1. Åñëè ïîëíàÿ, îòêðûòàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ
ëåæèò âíóòðè âûïóêëîé îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé âûïóêëîé ïîâåðõíîñòüþ
Φ1 , ó êîòîðîé õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå ãàóññîâà êðèâèçíà ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà, òî è íà ïîâåðõíîñòè Φ ñóùåñòâóåò òî÷êà, â êîòîðîé ãàóññîâà
êðèâèçíà ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà.
Ðåøèì òåïåðü çàäà÷ó Àäàìàðà.
Çàäà÷à 2.10.3 (Àäàìàð). Åñëè â êàæäîé òî÷êå çàìêíóòîé ðåãóëÿðíîé
ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C 2 ãàóññîâà êðèâèçíà ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà, òî ïîâåðõíîñòü Φ âûïóêëà.
Çàäà÷à Àäàìàðà åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ñëåäóþùåé çàäà÷è 2.10.4. Íî ìû
äàäèì äðóãîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è, îòëè÷íîå îò ðåøåíèÿ çàäà÷è 2.10.4, íî
íå ìåíåå ïîó÷èòåëüíîå.
Ðåøåíèå. Ïîâåðõíîñòü Φ îãðàíè÷èâàåò íåêîòîðóþ îáëàñòü, êîòîðóþ îáî-
~ (p)
çíà÷èì ñèìâîëîì D. Íà ïîâåðõíîñòè Φ âîçüìåì òî÷êó p è íîðìàëü n
ê Φ â ýòîé òî÷êå p íàïðàâèì âî âíóòðü îáëàñòè D è ïðîäîëæèì ýòî íàïðàâëåíèå íîðìàëè ïî íåïðåðûâíîñòè â êàæäóþ òî÷êó ïîâåðõíîñòè Φ. Â
êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè Φ çíàê íîðìàëüíûõ êðèâèçí îïðåäåëèì íàïðàâ~ (p).  ñèëó óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è 2.10.1, íà ïîâåðõíîñòè
ëåíèåì íîðìàëè n
104
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Φ ñóùåñòâóåò òî÷êà q , â êîòîðîé, ïðè óêàçàííîì âûøå îïðåäåëåíèè çíàêà
íîðìàëüíîé êðèâèçíû, âñå íîðìàëüíûå êðèâèçíû ñòðîãî ïîëîæèòåëüíû. Èç
óñëîâèÿ íàøåé çàäà÷è 2.10.3, ãàóññîâà êðèâèçíà âî âñåõ òî÷êàõ p ∈ Φ ñòðîãî
ïîëîæèòåëüíà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íîðìàëüíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè Φ
âî âñåõ åå òî÷êàõ ñòðîãî ïîëîæèòåëüíû. Ïóñòü òåïåðü q íåêîòîðàÿ òî÷êà èç int D. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Γq ìíîæåñòâî òî÷åê int D, êîòîðûå ìîæíî
ñîåäèíèòü ñ òî÷êîé q îòðåçêîì ïðÿìîé, öåëèêîì ëåæàùåì â int D. Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî Γq îòêðûòî â int D. Äîêàæåì, ÷òî Γq çàìêíóòî â int D.
Ïóñòü q0 ∈ int D òàêàÿ òî÷êà, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê
qn ∈ Γq , ñõîäÿùàÿñÿ ê q0 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî q0 6∈ Γq . Ýòî çíà÷èò, ÷òî îòðåçîê qq0 êàñàåòñÿ ïîâåðõíîñòè Φ â íåêîòîðîé òî÷êå p, ëåæàùåé âíóòðè
→
îòðåçêà qq0 , (p ∈ qq0 , p 6= q, p 6= q0 ). Òîãäà âåêòîð −
pq 0 ëåæèò â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè (T Φ)p , è íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå
→
p è â íàïðàâëåíèè âåêòîðà −
pq 0 íåïîëîæèòåëüíà, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ðàíåå
äîêàçàííîìó. Çàäà÷à ðåøåíà.
Çàäà÷à 2.10.4. Ïóñòü Φ çàìêíóòàÿ, ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C 2 ,
ïîãðóæåííàÿ â R3 . Òîãäà, åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè Φ â êàæäîé
åå òî÷êå íåîòðèöàòåëüíà, òî ïîâåðõíîñòü Φ åñòü âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü,
ñëåäîâàòåëüíî, Φ ÿâëÿåòñÿ âëîæåííîé ïîâåðõíîñòüþ.
Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå è ïðèâåäåì ýòî ïðåäïîëîæåíèå ê ïðî-
òèâîðå÷èþ. Åñëè Φ íå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòüþ, òî ñóùåñòâóåò
ïëîñêîñòü α òàêàÿ, ÷òî α ∩ Φ íå ñâÿçíî, èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòü Φ ëåæàëà áû ïî îäíó ñòîðîíó îò ëþáîé ñâîåé êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè
è áûëà áû âûïóêëà. Âîçüìåì íà ïëîñêîñòè α òî÷êó q è åäèíè÷íûé ~e âåêòîð,
îðòîãîíàëüíûé ïëîñêîñòè α. Íà ïîâåðõíîñòè Φ îïðåäåëèì ôóíêöèþ fα (p),
→
ïîëàãàÿ åå ðàâíîé (−
qp,~e ). Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è 2.5.1
ìû ìîãëè ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ fα (p) íå èìååò âûðîæäåííûõ êðèòè÷åñêèõ
òî÷åê íà ïîâåðõíîñòè Φ. Ïóñòü p1 è p2 äâå òî÷êè ìíîæåñòâà A ∩ α èç
ðàçíûõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
íà ïîâåðõíîñòè Φ ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ σ(t), (0 ≤ t ≤ 1), ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè p1 è p2 è ëåæàùàÿ â îáëàñòè, îïðåäåëåííîé íåðàâåíñòâîì
fα (p) ≥ 0. Ïóñòü Γ(p1 p2 ) åñòü êëàññ êðèâûõ σ íà ïîâåðõíîñòè Φ, ñîñòîÿùèé
èç âñåõ íåïðåðûâíûõ êðèâûõ, ñîåäèíÿþùèõ p1 è p2 , ëåæàùèõ â îáëàñòè
fα (p) ≥ 0. Íà êàæäîé êðèâîé σ ∈ Γ(p1 p2 ) âîçüìåì òî÷êó pσ , â êîòîðîé
ôóíêöèÿ fα (σ(t)) ïðè 0 ≤ t ≤ 1 äîñòèãàåò ìàêñèìóìà. Îïðåäåëèì ÷èñëî a0
ðàâåíñòâîì
a0 =
inf
fα (pσ ).
σ∈Γ(p1 p2 )
Î÷åâèäíî, ÷òî a0 > 0.  ñèëó êîìïàêòíîñòè Φ è îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà a0 ,
íà ïîâåðõíîñòè Φ ñóùåñòâóåò òî÷êà p0 òàêàÿ, ÷òî fα (p0 ) = a0 è â ëþáîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè p0 íà ïîâåðõíîñòè Φ ñóùåñòâóþò òî÷êè q1 6= p0 è q2 6= p0
òàêèå, ÷òî
fα (q1 ) ≤ a0 ,
(2.10.70)
fα (q2 ) ≥ a0 .
(2.10.71)
 ñèëó îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà a0 è òî÷êè p0 ïëîñêîñòü (T Φ)p0 ïàðàëëåëüíà
ïëîñêîñòè α. Ââåäåì äåêàðòîâó ïðÿìîóãîëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò x, y, z ñ
íà÷àëîì â òî÷êå p0 , îñü OZ íàïðàâèì ïàðàëëåëüíî âåêòîðó ~e , à îñè OX
105
2.10. Çàäà÷è
è OY ðàñïîëîæèì â ïëîñêîñòè (T Φ)p0 .  íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p0
óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè Φ ìîæíî çàïèñàòü â ÿâíîì âèäå:
z = h(x, y).
Äëÿ ôóíêöèè h(x, y) âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà
h(0, 0) = 0,
∂h
∂h
(0, 0) =
(0, 0) = 0,
∂x
∂y
êðîìå òîãî, îñè OX è OY ìîæíî ðàñïîëîæèòü òàê, ÷òî
∂2h
(0, 0) = 0.
∂x∂y
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
a=
1 ∂2h
(0, 0),
2 ∂x2
b=
1 ∂2h
(0, 0).
2 ∂y 2
Äëÿ ôóíêöèè h(x, y) çàïèøåì ôîðìóëó Òåéëîðà
h(x, y) = ax2 + by 2 + ō(x2 + y 2 ).
(2.10.72)
Äàëåå, òàê êàê ôóíêöèè h(x, y) è fα (p) â îêðåñòíîñòè òî÷êè p0 ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì fα (x, y) = h(x, y) + a0 , è, â ñèëó òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ fα (p) íå
èìååò íà Φ âûðîæäåííûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê, òî÷êà p0 íå ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííîé êðèòè÷åñêîé òî÷êîé äëÿ ôóíêöèè h(x, y). Ïîýòîìó a · b 6= 0. Åñëè
òåïåðü ïðåäïîëîæèòü, ÷òî a · b > 0, òî â ñèëó ôîðìóëû (2.10.72), ýòî ïðåäïîëîæåíèå ïðèõîäèò â ïðîòèâîðå÷èå ëèáî ñ íåðàâåíñòâîì (2.10.70), ëèáî ñ
íåðàâåíñòâîì (2.10.71). Ñëåäîâàòåëüíî, a·b < 0. Íî òîãäà ãàóññîâà êðèâèçíà
K ïîâåðõíîñòè Φ, ðàâíàÿ 4a · b, áóäåò ñòðîãî îòðèöàòåëüíà, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ çàäà÷è. Çàäà÷à ðåøåíà.
Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ îòêðûòûõ (ïîëíûõ íåêîìïàêòíûõ) ïîâåðõíîñòåé.
Çàäà÷à 2.10.5. Åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà îòêðûòîé, ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíî-
ñòè Φ êëàññà C 2 âñþäó ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà, òî ïîâåðõíîñòü Φ âûïóêëà.
Óêàçàíèå. Ïîâòîðèòü ðàññóæäåíèÿ è ïîñòðîåíèÿ çàäà÷è 2.10.3.
Áîëåå ñëîæíî îáñòîèò äåëî ñ àíàëîãîì çàäà÷è 2.10.4. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Çàäà÷à 2.10.6. Ïóñòü Φ îòêðûòàÿ, ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C 2 ,
ïîãðóæåííàÿ â R3 . Òîãäà, åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè Φ â êàæäîé
åå òî÷êå íåîòðèöàòåëüíà è ñóùåñòâóåò òî÷êà, â êîòîðîé ãàóññîâà êðèâèçíà ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà, òî ïîâåðõíîñòü Φ åñòü âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ âëîæåííîé ïîâåðõíîñòüþ.
Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ñëîæíî è äîñòàòî÷íî äëèííî. Åå ðåøåíèå ìîæíî
íàéòè â [Pog]. Òåïåðü ìû äàäèì íåêîòîðûå êðèòåðèè, ïîçâîëÿþùèå îöåíèòü ãëàâíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè â íåêîòîðûõ òî÷êàõ ýòîé ïîâåðõíîñòè
ñâåðõó.
106
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Çàäà÷à 2.10.7. Åñëè îáëàñòü D , îãðàíè÷åííàÿ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòüþ Φ
êëàññà C 2 ñîäåðæèò øàð C(R) ðàäèóñà R, òî íà ïîâåðõíîñòè Φ íàéäåòñÿ
òî÷êà p, â êîòîðîé âñå íîðìàëüíûå êðèâèçíû íå ïðåâîñõîäÿò R1 .
Ðåøåíèå. Îñòàâëÿÿ öåíòð øàðà C(R) íà ìåñòå, áóäåì óâåëè÷èâàòü åãî ðà-
äèóñ äî òåõ ïîð, ïîêà îí (øàð C(R1 ), R1 > R) â ïåðâûé ðàç íå êîñíåòñÿ
ïîâåðõíîñòè Φ â íåêîòîðîé òî÷êå p0 . Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî ïîâåðõíîñòü
Φ êàñàåòñÿ øàðà C(R1 ) â òî÷êå p0 è ðàñïîëîæåíà âíå øàðà C(R1 ). Îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî àáñîëþòíîå çíà÷åíèå ëþáîé íîðìàëüíîé êðèâèçíû íå ïðåâîñõîäèò R11 , à, ñëåäîâàòåëüíî, è R1 .
Çàìå÷àíèå 2.10.2. Óñëîâèå âûïóêëîñòè ïîâåðõíîñòè Φ àáñîëþòíî íå ñó-
ùåñòâåííî, åñëè çíàê íîðìàëüíîé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè Φ îïðåäåëèòü
íàïðàâëåíèåì âíóòðåííåé íîðìàëè.
 ñëåäóþùåé çàäà÷å ýòîò êðèòåðèé ñóùåñòâåííî óñèëèâàåòñÿ.
Çàäà÷à 2.10.8. Ïóñòü Φ âûïóêëàÿ, ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C 2 ,
îãðàíè÷èâàþùàÿ âûïóêëóþ îáëàñòü D. Òîãäà, åñëè âíóòðè îáëàñòè D ìîæíî ïîìåñòèòü êðóã ðàäèóñà R, òî íà ïîâåðõíîñòè Φ íàéäåòñÿ òî÷êà, â
êîòîðîé âñå íîðìàëüíûå êðèâèçíû íå ïðåâîñõîäÿò R1 . (Çíàê íîðìàëüíîé
êðèâèçíû îïðåäåëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì âíóòðåííåé íîðìàëè).
Ðåøåíèå. Ïóñòü KR êðóã ðàäèóñà R, ëåæàùèé âíóòðè îáëàñòè D , à α
ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ ýòîò êðóã. Îáîçíà÷èì ÷åðåç C ïðÿìîé êðóãîâîé
öèëèíäð, íàïðàâëÿþùåé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöà êðóãà KR , à îáðàçóþùèå ñóòü ïðÿìûå ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïëîñêîñòè α. Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.
(1) öèëèíäð C íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ Φ,
(2) öèëèíäð C âûðåçàåò èç ïîâåðõíîñòè Φ, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíó ïîâåðõíîñòü Φ1 .
 ïåðâîì ñëó÷àå, êàê ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû 2.9.1, ïîâåðõíîñòü Φ ñàìà
åñòü öèëèíäð C , è óòâåðæäåíèå çàäà÷è 2.10.8 ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì.
Ðàññìîòðèì âòîðîé ñëó÷àé. Ïóñòü D̃ îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ öèëèíäðîì C è ïîâåðõíîñòüþ Φ. Ïóñòü S(R−ε) ñôåðà ðàäèóñà R−ε, (0 < ε < R)
ñ öåíòðîì íà îñè öèëèíäðà C , íå ïåðåñåêàþùàÿ ïîâåðõíîñòè Φ. Áóäåì äâèãàòü ñôåðó S(R − ε) â íàïðàâëåíèè ê ïîâåðõíîñòè Φ äî òåõ ïîð, ïîêà íå
ïðîèçîéäåò ïåðâîå êàñàíèå S(R − ε) è Φ. Ïóñòü òî÷êà p ∈ Φ1 ∩ S(R − ε). Ïîâåðõíîñòü Φ1 , êàê ýòî âèäíî èç íàøèõ ïîñòðîåíèé, öåëèêîì ëåæèò ïî îäíó
ñòîðîíó îò S(R − ε) è êàñàåòñÿ åå â íåêîòîðîé òî÷êå p, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé ïîâåðõíîñòè Φ1 . Ïîýòîìó âñå íîðìàëüíûå êðèâèçíû
1
Φ1 â òî÷êå p íå ïðåâîñõîäÿò R−ε
, à òàê êàê ε ìîæíî âçÿòü ñêîëü óãîäíî
áëèçêèì ê íóëþ, òî óòâåðæäåíèå çàäà÷è 2.10.8 äîêàçàíî.
Âûïóêëûì ïîâåðõíîñòÿì è âûïóêëûì òåëàì áåç âñÿêèõ ïðåäïîëîæåíèé
ãëàäêîñòè ïîñâÿùåíî ìíîãî êíèã è îáçîðîâ, ñì. [Bus], [Hop], [Pog].
2.11
Ñåäëîâûå ïîâåðõíîñòè
Îïðåäåëåíèå 2.11.1. Ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ êëàññà C 2 íàçûâàåòñÿ
ñåäëîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà â êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè Φ íå ïðåâîñõîäèò íóëÿ.
107
2.11. Ñåäëîâûå ïîâåðõíîñòè
Âîîáùå ãîâîðÿ, ñóùåñòâóåò äðóãîå îïðåäåëåíèå ñåäëîâîé ïîâåðõíîñòè,
êîòîðîå ïðèãîäíî è äëÿ íåïðåðûâíîé ïîâåðõíîñòè è êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ
íàøèì îïðåäåëåíèåì â ðåãóëÿðíîì ñëó÷àå.
Åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå p ∈ Φ ãàóññîâà êðèâèçíà Φ ñòðîãî îòðèöàòåëüíà,
òî êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü (T Φ)p ïåðåñåêàåò Φ, à ïîâåðõíîñòü ðàñïîëîæåíà
ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò (T Φ)p .  îêðåñòíîñòè òàêîé òî÷êè ïîâåðõíîñòü Φ
èìååò âèä ñåäëà, îòñþäà è ïîøëî íàçâàíèå ýòèõ ïîâåðõíîñòåé. Îäíîé èç
îñîáåííîñòåé ïîëíîé ñåäëîâîé ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ åå íåîãðàíè÷åííîñòü
â R3 . Òàê, íàïðèìåð, èç óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è 2.10.1 ñëåäóåò, ÷òî â R3 íå
ñóùåñòâóåò çàìêíóòûõ ñåäëîâûõ ïîâåðõíîñòåé, à èç óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è
2.10.2 (èëè åå ñëåäñòâèÿ) ñëåäóåò, ÷òî íè â êàêóþ ñòðîãî âûïóêëóþ îáëàñòü íåëüçÿ ïîìåñòèòü ñåäëîâóþ ïîâåðõíîñòü. Íî ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè ìîæíî ïîìåñòèòü ñåäëîâóþ ïîâåðõíîñòü, íàïðèìåð,
êðóãîâîé öèëèíäð èëè áîëåå èíòåðåñíûé ïðèìåð ïîâåðõíîñòü, ïîëó÷åíz2
íóþ âðàùåíèåì êðèâîé x = 1−z
2 , (−1 < z < 1) îêîëî îñè OZ . Â êàæäîé
òî÷êå ýòîé ïîâåðõíîñòè ãàóññîâà êðèâèçíà îòðèöàòåëüíà. Íî äëÿ ñåäëîâûõ
ïîâåðõíîñòåé ãîìåîìîðôíûõ ïëîñêîñòè òàêîå íåâîçìîæíî.
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà Áåðíøòåéíà.
Òåîðåìà 2.11.1. Åñëè ñåäëîâàÿ ïîâåðõíîñòü Φ, îïðåäåëåííàÿ óðàâíåíèåì
z = f (x, y),
(−∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞),
èìååò òî÷êè, â êîòîðûõ ãàóññîâà êðèâèçíà ñòðîãî îòðèöàòåëüíà, òî
sup |f (x, y)| = ∞.
x,y
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû äîñòàòî÷íî ñëîæíî è íå ìîæåò áûòü çäåñü
èçëîæåíî. Ïåðåéäåì ê èçó÷åíèþ ïîâåäåíèÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû K(p) è ãëàâíûõ êðèâèçí k1 (p) è k2 (p) ñåäëîâûõ ïîâåðõíîñòåé. Îòíîñèòåëüíî ïîâåäåíèÿ
ãàóññîâîé êðèâèçíû íà ñåäëîâîé ïîâåðõíîñòè íàèáîëåå ñèëüíûé ðåçóëüòàò
ïðèíàäëåæèò Í.Â. Åôèìîâó.
Òåîðåìà 2.11.2 (Í.Â. Åôèìîâ). Òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ãàóññîâîé êðè-
âèçíû íà ïîëíîé ñåäëîâîé ïîâåðõíîñòè ðàâíà íóëþ.
Òåîðåìà Í.Â. Åôèìîâà ýòî î÷åíü ñèëüíàÿ è òðóäíî äîêàçûâàåìàÿ òåîðåìà. Îíà ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì îáîáùåíèåì èçâåñòíîé òåîðåìû Ä. Ãèëüáåðòà î íåñóùåñòâîâàíèè â R3 ïîëíîé, ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé
îòðèöàòåëüíîé ãàóññîâîé êðèâèçíû.  ðàìêàõ ýòîãî ó÷åáíèêà ìû íå èìååì
âîçìîæíîñòè äàòü åå äîêàçàòåëüñòâî. Ìû îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû Ä. Ãèëüáåðòà, êîòîðîå äàäèì â êîíöå ãëàâû 2.
Óòâåðæäåíèå òåîðåìû Í.Â. Åôèìîâà è óòâåðæäåíèå óïðàæíåíèÿ 6.6.
ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå îäíîé òåîðåìû.
Òåîðåìà 2.11.3. Òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ìîäóëÿ ãàóññîâîé êðèâèçíû ðàâíà
íóëþ íà ëþáîé ïîëíîé, îòêðûòîé, ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè â R3 .
Òåïåðü ïåðåéäåì ê èçó÷åíèþ ïîâåäåíèÿ ãëàâíûõ êðèâèçí k1 (p) è k2 (p)
íà áåñêîíå÷íîñòè íà ëþáîé ïîëíîé ñåäëîâîé ïîâåðõíîñòè.
108
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Çàäà÷à 2.11.1. Äîêàçàòü, ÷òî, åñëè íà ïîëíîé ñåäëîâîé ïîâåðõíîñòè Φ
inf |k1 (p)| + inf |k2 (p)| = c > 0,
p∈Φ
p∈Φ
òî ïîâåðõíîñòü åñòü öèëèíäð, òî åñòü k1 (p) ≡ 0 è k2 (p) = const.
Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî k1 (p) ≤ 0 è k2 (p) ≥ 0 è
÷òî inf p∈Φ |k2 (p)| = c1 > 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãàóññîâà êðèâèçíà K(p) íå
ðàâíà òîæäåñòâåííî íóëþ, è ïðèâåäåì ýòî ïðåäïîëîæåíèå ê ïðîòèâîðå÷èþ.
Âîçüìåì ÷èñëî R, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó
R>
1
.
c1
(2.11.73)
Òîãäà ãàóññîâà êðèâèçíà ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõíîñòè Φ(R) íåîòðèöàòåëüíà. Â ñàìîì äåëå, ïî òåîðåìå 2.4.6 ìû èìååì
k1 (p, R) =
k1 (p)
,
1 − k1 (p)R
k2 (p, R) =
k2 (p)
.
1 − k2 (p)R
Îòêóäà
K(p, R) =
K(p)
.
(1 − k1 (p)R) · (1 − k2 (p)R)
×èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ýòîé äðîáè îòðèöàòåëüíû.  ñàìîì äåëå, K(p) ≤ 0
ïî óñëîâèþ, (1 − Rk1 (p)) > 0, òàê êàê k1 (p) ≤ 0 è 1 − Rk2 (p) < 0, â ñèëó
íåðàâåíñòâà (2.11.73). Èç íåîòðèöàòåëüíîñòè ãàóññîâîé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè Φ(R) ñëåäóåò (ñì. óïðàæíåíèå 6.8.), ÷òî åå ìîæíî ïîìåñòèòü âíóòðè
ñòðîãî âûïóêëîãî êîíóñà C . Âîçüìåì äðóãîé ñòðîãî âûïóêëûé êîíóñ C1
òàêîé, ÷òîáû îí ñîäåðæàë C è ðàññòîÿíèå îò ëþáîé òî÷êè C äî C1 áûëî áû áîëüøå R. Òîãäà ñåäëîâàÿ ïîâåðõíîñòü Φ ëåæèò âíóòðè êîíóñà C ,
÷òî íåâîçìîæíî (ñì. çàäà÷ó 2.10.2). Èòàê, ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè
Φ òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ.
 1966 ãîäó Äæ. Ìèëíîð âûñêàçàë ãèïîòåçó, êîòîðàÿ äëÿ ñåäëîâûõ ïîâåðõíîñòåé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèÿ ïðåäûäóùåé çàäà÷è äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû
inf (|k1 (p)| + |k2 (p)|) 6= 0.
p∈Φ
Ýòî óòâåðæäåíèå ïîêà åùå íå äîêàçàíî.
Ðåøèì åùå îäíó çàäà÷ó, â êîòîðîé ñåäëîâûå è âûïóêëûå ïîâåðõíîñòè
òåñíî ñâÿçàíû.
Çàäà÷à 2.11.2. Ïóñòü Φ ðåãóëÿðíàÿ, âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C k ,
(k ≥ 2), à k1 (p) è k2 (p) ðåãóëÿðíûå êðèâèçíû Φ â òî÷êå p. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî 0 ≤ k1 (p) ≤ k2 (p). Òîãäà, åñëè supp∈Φ k1 (p) < inf p∈Φ k2 (p),
òî ïîâåðõíîñòü Φ åñòü öèëèíäð è, ñëåäîâàòåëüíî, k1 ≡ 0, à k2 > 0. Çíàê
íîðìàëüíîé êðèâèçíû îïðåäåëåí íàïðàâëåíèåì âíóòðåííåé íîðìàëè.
Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîâåðõíîñòü Φ íå ÿâëÿåòñÿ öèëèíäðîì è ïðèâåäåì ýòî ïðåäïîëîæåíèå ê ïðîòèâîðå÷èþ. Ïîâåðõíîñòü Φ íå ìîæåò áûòü
ãîìåîìîðôíà ñôåðå, òàê êàê íà ëþáîé ïîâåðõíîñòè, ãîìåîìîðôíîé ñôåðå,
ñóùåñòâóåò îìáèëè÷åñêàÿ òî÷êà, â êîòîðîé k1 (p) = k2 (p), âîïðåêè óñëîâèþ
109
2.12. Íåêîòîðûå êëàññû ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè
çàäà÷è. Ïîýòîìó îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà Φ ãîìåîìîðôíà ïëîñêîñòè, ïðè ýòîì ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî supp∈Φ k1 (p) = c1 > 0. Îáîçíà÷èì
÷åðåç c2 = inf p∈Φ k2 (p), à ÷åðåç R ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó:
1
1
<R< .
c2
c1
(2.11.74)
Âîçüìåì ýêâèäèñòàíòíûå ïîâåðõíîñòè Φ(R) è Φ(−R). Ïîâåðõíîñòü Φ(−R)
âûïóêëàÿ è ñîäåðæèò âíóòðè ñåáÿ ïîâåðõíîñòü Φ(R).
Äîêàæåì, ÷òî ïîâåðõíîñòü Φ(R) - ðåãóëÿðíà è ÿâëÿåòñÿ ñåäëîâîé ïîâåðõíîñòüþ. Ðåãóëÿðíîñòü ïîâåðõíîñòè Φ(R) ñëåäóåò èç òåîðåìû 2.4.6. Ïîäñ÷èòàåì ãëàâíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè Φ(R) â òî÷êå ϕ(p). (Ìû ïîëüçóåìñÿ
îáîçíà÷åíèÿìè, ââåäåííûìè â 2.4.6). Ïî òåîðåìå 2.4.6
k1 (p, R) =
k1 (p)
,
1 − k1 (p)R
k2 (p, R) =
k2 (p)
.
1 − k2 (p)R
Ïîýòîìó ãàóññîâà êðèâèçíà K(p, R) ïîâåðõíîñòè Φ(R) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé:
K(p)
.
(2.11.75)
K(p, R) =
(1 − k1 (p)R) · (1 − k2 (p)R)
×èñëèòåëü ýòîé äðîáè íå ìåíüøå íóëÿ, à çíàìåíàòåëü îòðèöàòåëåí. Â
ñàìîì äåëå, â ñèëó (2.11.74)
1 − k1 (p)R ≥ 1 − c1 R > 0,
(2.11.76)
1 − k2 (p)R ≤ 1 − c2 R < 0.
(2.11.77)
à
Èòàê, èç (2.11.75), (2.11.76) è (2.11.77) ñëåäóåò, ÷òî
K(p, R) ≤ 0.
Èòàê, ñåäëîâàÿ ïîâåðõíîñòü Φ(R) ëåæèò öåëèêîì âíóòðè âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè Φ(−R), ÷òî íåâîçìîæíî.
2.12
2.12.1
Íåêîòîðûå êëàññû ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè
Ëèíèè êðèâèçíû íà ïîâåðõíîñòè
Îïðåäåëåíèå 2.12.1. Ãëàäêóþ êðèâóþ γ íà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè êëàñ-
ñà C 2 íàçîâåì ëèíèåé êðèâèçíû, åñëè åå êàñàòåëüíûé âåêòîð â êàæäîé òî÷êå
èäåò ïî ãëàâíîìó íàïðàâëåíèþ ïîâåðõíîñòè Φ â ýòîé òî÷êå.
Âñïîìíèì óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùèå ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ
−(λ2 )2
E
L
λ 1 λ2
F
M
−(λ1 )2
G
N
= 0.
Åñëè u = u(t), v = v(t) óðàâíåíèÿ íåêîòîðîé êðèâîé, òî åå êàñàòåëüíûé
âåêòîð èìååò, îòíîñèòåëüíî ëîêàëüíîãî áàçèñà, êîîðäèíàòû, ðàâíûå du
dt è
110
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
dv
dt .
Ïîýòîìó âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ëèíèè êðèâèçíû ñâîäèòñÿ ê âîïðîñó î
ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
(LF − EM )
du
dt
2
du dv
− (EN − LG)
·
+ (M G − N F )
dt dt
dv
dt
2
= 0.
Èç ëåììû 2.1.1 âûòåêàåò, ÷òî ÷åðåç êàæäóþ íåîìáèëè÷åñêóþ òî÷êó ïîâåðõíîñòè Φ ìîæíî ïðîâåñòè ëèíèþ êðèâèçíû è ïðîäîëæèòü åå äî òåõ ïîð, ïîêà ìû íå ïðèäåì â îìáèëè÷åñêóþ òî÷êó. Èç ýòîé æå ëåììû ñëåäóåò, ÷òî â
îêðåñòíîñòè ëþáîé íåîìáèëè÷åñêîé òî÷êè ìîæíî ïîñòðîèòü òàêóþ ñèñòåìó
êîîðäèíàò, ÷òî ëèíèè êðèâèçíû ñòàíóò êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïðèçíàêîì òàêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå
ñëåäóþùèõ ðàâåíñòâ M = F = 0. Â ñàìîì äåëå, åñëè êîîðäèíàòíûå ëèíèè åñòü êðèâèçíû, òî F = 0 â ñèëó èõ îðòîãîíàëüíîñòè, à M = 0 â ñèëó
ñîïðÿæåííîñòè ãëàâíûõ íàïðàâëåíèé îòíîñèòåëüíî âòîðîé êâàäðàòè÷íîé
ôîðìû.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ëèíèé êðèâèçíû.
Òåîðåìà 2.12.1. Ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü C , îáðàçîâàííàÿ ñåìåéñòâîì
íîðìàëüíûõ ïðÿìûõ ê Φ âäîëü ëèíèè êðèâèçíû, èìååò íóëåâóþ ãàóññîâó
êðèâèçíó.
~ (t) íàÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ~r = ~r (t) óðàâíåíèå ëèíèè êðèâèçíû γ , n
ïðàâëåíèå íîðìàëåé ê Φ âäîëü γ . Òîãäà óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè C çàïèøåòñÿ
òàê
~r = ~r (u, v) = ~r (u) + v n
~ (u).
~ 0 (u) = −k ~r 0 (u), è ñëåäîâàòåëüíî, ñì. (2.4.17), ãàóññîâà
Ïî òåîðåìå Ðîäðèãà n
êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè Φ ðàâíà íóëþ.
Òåîðåìà 2.12.2. Åñëè äâå ïîâåðõíîñòè Φ1 è Φ2 ïåðåñåêàþòñÿ ïîä ïîñòîÿííûì óãëîì è ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ íà îäíîé èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé êðèâèçíû, òî îíà ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé êðèâèçíû è íà äðóãîé ïîâåðõíîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ~r = ~r (t) óðàâíåíèå ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíî~1 è n
~ 2 íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòÿì Φ1 è Φ2
ñòåé Φ1 è Φ2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç n
âäîëü γ , ñîîòâåòñòâåííî. Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ìû èìååì ðàâåíñòâà
~ 2 (t)) = const,
(~
n 1 (t), n
(2.12.78)
d~
n1
= −k(t)~r 0 (t),
dt
(2.12.79)
~ 1 ) = (~r 0 (t), n
~ 2 ) = 0.
(~r 0 (t), n
(2.12.80)
Èç (2.12.78) ñëåäóåò
d~
n1
~2
,n
dt
d~
n2
~ 1,
+ n
= 0,
dt
(2.12.81)
à èç (2.12.79) è (2.12.81)
d~
n
~n1 , 2 = 0.
dt
(2.12.82)
2.12. Íåêîòîðûå êëàññû ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè
Êðîìå òîãî, ìû èìååì
d~
n
~n2 , 2 = 0.
dt
111
(2.12.83)
n2
Èòàê, èç ðàâåíñòâ (2.12.82) è (2.12.83) ìû âèäèì, ÷òî âåêòîð d~
dt îðòîãîíàn2
~1 è n
~ 2 , íî òîãäà èç ðàâåíñòâà (2.12.80) ñëåäóåò êîëëèíåàðíîñòü ~r 0 è d~
ëåí n
dt ,
n2
r 0 , è òåîðåìà 2.12.2 òåïåðü ñëåäóåò èç òåîðåìû Ðîäðèãà.
òî åñòü d~
dt = α~
Ñëåäñòâèå 2.12.1. Åñëè ïëîñêîñòü èëè ñôåðà ïåðåñåêàþò íåêîòîðóþ ïî-
âåðõíîñòü ïîä ïîñòîÿííûì óãëîì, òî ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ åñòü ëèíèÿ êðèâèçíû.
Ðèñ. 2.24: Èëëþñòðàöèÿ ê ñëåäñòâèþ 2.12.1
Ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî íà ïëîñêîñòè è íà ñôåðå
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè
âðàùåíèÿ ïàðàëëåëè è ìåðèäèàíû ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìè êðèâèçíû.
Èçó÷èì, íàêîíåö, ñâîéñòâà ëèíèé êðèâèçíû íà ïîâåðõíîñòè Φ íóëåâîé
ãàóññîâîé êðèâèçíû. Ïóñòü γ(t) ëèíèÿ êðèâèçíû, èäóùàÿ ïî ãëàâíîìó íàïðàâëåíèþ, ñîîòâåòñòâóþùåìó íóëåâîé ãëàâíîé êðèâèçíå. Òîãäà ïî òåîðåìå
n
Ðîäðèãà d~
dt = 0, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëå íîðìàëåé ê ïîâåðõíîñòè Φ âäîëü γ(t)
~ (t) = n
~ (0) = c. Íî òîãäà (~r 0 (t), n
~ 0 ) = 0 è (~r (t)−~r (0), n
~ 0 ) = const.
ïîñòîÿííî: n
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî êðèâàÿ γ ïëîñêàÿ êðèâàÿ. Äîêàæåì,
÷òî â ñëó÷àå H(p) 6= 0 êðèâàÿ γ åñòü îòðåçîê ïðÿìîé ëèíèè. Ââåäåì â îêðåñòíîñòè êðèâîé γ ñèñòåìó êîîðäèíàò (u, v), â êîòîðîé êîîðäèíàòíûå ëèíèè
åñòü ëèíèè êðèâèçíû. Ïóñòü ëèíèè u = t, v = const åñòü ëèíèè êðèâèçíû
èäóùèå ïî ãëàâíûì íàïðàâëåíèÿì, ñîîòâåòñòâóþùèõ íóëåâîé ãëàâíîé êðèâèçíå. Òîãäà ïî òåîðåìå Ðîäðèãà ~nu ≡ 0 è, ñëåäîâàòåëüíî (~nu )v ≡ 0. Ìåíÿÿ
ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ïîëó÷àåì (~
n v )u ≡ 0. Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà
~ v , îðòîãîíàëüíîå ïëîñêîé êðèâîé u = t, v = const, åñòü
ñëåäóåò, ÷òî ïîëå n
ïîëå ïàðàëëåëüíûõ âåêòîðîâ. Çíà÷èò u = t, v = const åñòü îòðåçîê ïðÿìîé.
Ñôîðìóëèðóåì åùå îäíó òåîðåìó.
ëþáàÿ ëèíèÿ åñòü ëèíèÿ êðèâèçíû.
Òåîðåìà 2.12.3. Ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ êëàññà C k , (k ≥ 2) íóëåâîé
ãàóññîâîé êðèâèçíû ÿâëÿåòñÿ ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòüþ, è, ñëåäîâàòåëüíî, åñòü ëèáî êîíóñ (áåç âåðøèíû), ëèáî öèëèíäð, ëèáî îíà îáðàçîâàíà êàñàòåëüíûìè ïðÿìûìè ê íåêîòîðîé ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé (èñêëþ÷àÿ
áàçîâóþ êðèâóþ).
Åñëè ïîâåðõíîñòü èìååò íåíóëåâóþ ñðåäíþþ êðèâèçíó âñþäó, òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2.12.3 äîêàçàíî, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå âòîðàÿ ãëàâíàÿ
êðèâèçíà îòëè÷íà îò íóëÿ.  îáùåì ñëó÷àå, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû
2.12.3 íóæåí áîëåå òîíêèé ïîäõîä è ìû íå èìååì âîçìîæíîñòè è ìåñòà äëÿ
åãî ðåàëèçàöèè.
2.12.2
Àñèìïòîòè÷åñêèå ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè
~ ∈ (T Φ)p â
Îïðåäåëåíèå 2.12.2. Íàïðàâëåíèå, îïðåäåëåííîå âåêòîðîì λ
òî÷êå p íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì, åñëè íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà ïîâåðõ~ ) = 0.
íîñòè Φ â ýòîì íàïðàâëåíèè ðàâíà íóëþ, òî åñòü, åñëè II(λ
112
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Îïðåäåëåíèå 2.12.3. Ãëàäêóþ êðèâóþ γ íà ïîâåðõíîñòè Φ íàçîâ
åì àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèåé, åñëè åå êàñàòåëüíûé âåêòîð â êàæäîé åå òî÷êå èäåò
ïî àñèìïòîòè÷åñêîìó íàïðàâëåíèþ.
Èç ôîðìóëû Ýéëåðà âèäíî, ÷òî àñèìïòîòè÷åñêèå íàïðàâëåíèÿ ñóùåñòâóþò òîëüêî â ãèïåðáîëè÷åñêèõ èëè â ïàðàáîëè÷åñêèõ òî÷êàõ ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ. Ïðè÷åì â ãèïåðáîëè÷åñêèõ òî÷êàõ òàêèõ íàïðàâëåíèé äâà, à
â ïàðàáîëè÷åñêèõ òî÷êàõ îäíî.
Óðàâíåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé ïîëó÷àþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç èõ
îïðåäåëåíèÿ. Åñëè u = u(t), v = v(t) óðàâíåíèå àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè,
òî ôóíêöèè u(t) è v(t) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ
2
2
du dv
dv
du
+ 2M
·
+N
= 0.
(2.12.84)
L
dt
dt dt
dt
Èç ëåììû 2.1.1 ñðàçó æå ñëåäóåò, ÷òî â îêðåñòíîñòè ãèïåðáîëè÷åñêîé òî÷êè
ñóùåñòâóåò ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèå ëèíèè.
Èç óðàâíåíèÿ (2.12.84) ñëåäóåò, ÷òî êîîðäèíàòíûå ëèíèè åñòü àñèìïòîòè÷åñêèå ëèíèè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà L = N = 0.  ñàìîì äåëå, åñëè
u = t, v = const àñèìïòîòè÷åñêàÿ ëèíèÿ, òî L · 1 + 2M · 0 + N · 0 = 0
èëè L = 0, àíàëîãè÷íî, åñëè u = const, v = t àñèìïòîòè÷åñêàÿ, òî N = 0.
Íàîáîðîò, åñëè L = N = 0, òî óðàâíåíèå (2.12.84) ïðèíèìàåò âèä
M
du dv
·
= 0.
dt dt
(2.12.85)
Åñëè M 6= 0, òî óðàâíåíèå (2.12.85) èìååò äâà ðåøåíèÿ u = f (t), v = const
è u = const, v = f (t), òî åñòü êîîðäèíàòíûå ëèíèè åñòü àñèìïòîòè÷åñêèå.
Åñëè æå M = 0, òî òîãäà ïîâåðõíîñòü Φ â îêðåñòíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé
òî÷êè åñòü ïëîñêîñòü, è ëþáàÿ ëèíèÿ åñòü àñèìïòîòè÷åñêàÿ.
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé
Òåîðåìà 2.12.4. Åñëè êðèâàÿ γ ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèåé íà
ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C k , (k ≥ 3), òî êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü
ê ïîâåðõíîñòè Φ â êàæäîé òî÷êå γ(t) ÿâëÿåòñÿ ñîïðèêàñàþùåéñÿ ïëîñêîñòüþ êðèâîé γ .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó γ(t) êðèâîé γ . Òàê êàê
íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè Φ â íàïðàâëåíèè êàñàòåëüíîãî âåêòîðà
~τ = γ 0 (t) ðàâíà íóëþ, òî èç òåîðåìû Ìåíüå ñëåäóåò, ÷òî ëèáî êðèâèçíà
êðèâîé γ ðàâíà íóëþ â ýòîé òî÷êå, ëèáî óãîë ìåæäó ãëàâíîé íîðìàëüþ ~ν (t)
~ (t) ê ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå γ(t) ðàâåí π2 .
ê êðèâîé γ è íîðìàëüþ n
 ïåðâîì ñëó÷àå ëþáàÿ ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ ~τ (t), åñòü ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü, â òîì ÷èñëå è (T Φ)p , à âî âòîðîì ñëó÷àå ïëîñêîñòü (T Φ)p
ñîäåðæèò êàê ~τ (t), òàê è ~ν (t), è, ñëåäîâàòåëüíî, ñíîâà åñòü ñîïðèêàñàþùàÿñÿ
ïëîñêîñòü.
~ (t) âäîëü àñèìïòîòè÷åñêîé
Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî âåêòîðíîå ïîëå n
~ (t)
~ (t) = ± β
ëèíèè γ(t).  òåõ òî÷êàõ, ãäå ñóùåñòâóåò êðó÷åíèå γ(t), âåêòîð n
2.12. Íåêîòîðûå êëàññû ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè
113
è ïîýòîìó æ2 = ( ddtn~ )2 ; â òåõ æå òî÷êàõ, ãäå êðèâèçíà γ ðàâíà íóëþ è êðó÷åíèå íå îïðåäåëåíî, äîîïðåäåëèì åãî, ïîëàãàÿ æ2 = ( ddtn~ )2 . Çäåñü t äëèíà
äóãè.
Èìåÿ â âèäó ýòî çàìå÷àíèå, ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó ÁåëüòðàìèÝííåïåðà.
Òåîðåìà 2.12.5. Êâàäðàò êðó÷åíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè íà ðåãóëÿð-
íîé ïîâåðõíîñòè êëàññà C k , (k ≥ 3) â êàæäîé åå òî÷êå ðàâåí ãàóññîâîé
êðèâèçíå ïîâåðõíîñòè â ýòîé òî÷êå, âçÿòîé ñ îáðàòíûì çíàêîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ,
~ 2
dn
2
= III(~τ ),
æ =
dt
ãäå ~τ êàñàòåëüíûé âåêòîð ê àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè. Ïî ôîðìóëå (2.5.44)
èìååì III(~τ ) = −K · I(~τ ) + 2H · II(~τ ), íî ïî óñëîâèþ òåîðåìû II(~τ ) = 0, â
ñèëó âûáîðà ïàðàìåòðà t: I(~τ ) = 1. Èòàê, ïîëó÷àåì æ2 = ( ddtn~ )2 = III(~τ ) =
−K . Òåîðåìà äîêàçàíà.
Èíòåðåñíî ðàññìîòðåòü òîò ÷àñòíûé ñëó÷àé òåîðåìû ÁåëüòðàìèÝííåïåðà, êîãäà àñèìïòîòè÷åñêàÿ ëèíèÿ γ åñòü ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Ïîñòðîèì âäîëü
~ (t) îðòîãîíàëüíîå γ(t)
γ(t) íà ïîâåðõíîñòè Φ ïîëå åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ λ
~ (t) ∈ (T Φ)γ(t) ,
λ
~ (t), ~τ (t)) = 0.
(λ
Çäåñü ìû, êîíå÷íî, ñíîâà ïðåäïîëàãàåì, ÷òî t åñòü äëèíà äóãè γ . Çàïèøåì
öåïî÷êó ðàâåíñòâ
!
~
d
λ
~λ(t),
= 0,
(2.12.86)
dt
~ (t), ~τ (t)) = 0,
(λ
(2.12.87)
~ (t) = ± ~τ (t) × n
~ (t),
λ
~ (t),
~ (t) = ± ~τ (t) × λ
n
(2.12.88)
d ~τ
= 0.
dt
Èç (2.12.88), (2.12.89) è (2.12.90), èìååì
~
d~
n
dλ
= ± ~τ ×
,
dt
dt
~
dλ
d~
n
= ± ~τ ×
,
dt
dt
îòêóäà ñëåäóåò
d~
n
, ~τ
dt
= 0.
Èç (2.12.90) è (2.12.91) ïîëó÷èì
~
dλ
d~
n
π
d~
n
= |~τ | ·
· sin =
.
dt
dt
2
dt
Ñëåäîâàòåëüíî,
~
dλ
dt
!2
=
d~
n
dt
2
= æ2 = −K.
Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
(2.12.89)
(2.12.90)
(2.12.91)
(2.12.92)
114
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Òåîðåìà 2.12.6. Ïóñòü ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ êëàññà C k , (k ≥ 3) ñî-
~ (t) ïîëå åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ âäîëü
äåðæèò ïðÿìóþ ëèíèþ γ , è ïóñòü λ
ïðÿìîé γ(t), êàñàòåëüíûõ ê ïîâåðõíîñòè Φ è îðòîãîíàëüíûõ γ . Òîãäà ãàóñ~
ñîâà êðèâèçíà K = −( ddtλ )2 , ãäå t äëèíà äóãè ïðÿìîé γ .
2.12.3
Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè
Çäåñü ìû äàäèì îïðåäåëåíèå è èçó÷èì ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà ñàìîãî çàìå÷àòåëüíîãî êëàññà ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè êëàññà ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé. Ïðåäâàðèòåëüíî îïðåäåëèì ïîíÿòèå ãåîäåçè÷åñêîé êðèâèçíû ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè Φ. Ïóñòü γ(t), (a ≤ t ≤ b) åñòü ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ êëàññà C 2 íà
ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C 2 . Ïóñòü t äëèíà êðèâîé γ(t), îòñ÷èòûâàåòñÿ îò íåêîòîðîé åå òî÷êè.
Îáîçíà÷èì, êàê îáû÷íî, ÷åðåç k(t) êðèâèçíó γ â òî÷êå γ(t), ÷åðåç ~τ (t) è
~ν (t) êàñàòåëüíûé âåêòîð è âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè â òî÷êå γ(t), à ÷åðåç
~ (t) (ñì. ðèñóíîê 2.25). Ãåîäåçè÷åñêóþ êðèâèçíó
ϕ(t) óãîë ìåæäó ~ν (t) è n
kg (t) ëèíèè γ â òî÷êå γ(t) îïðåäåëèì ôîðìóëîé:
kg (t) = k(t) · sin ϕ(t).
(2.12.93)
Ðèñ. 2.25: Ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà êðèâîé.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà kg (t) êðèâîé γ â òî÷êå γ(t)
ðàâíà ìîäóëþ ïðîåêöèè âåêòîðà k(t) ~ν (t) íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü (T Φ)γ(t)
ïîâåðõíîñòè Φ. Íàïîìíèì, äëÿ ñðàâíåíèÿ, ÷òî íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà êðèâîé
γ (íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè Φ â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ~τ ) ðàâíà
~.
ïðîåêöèè âåêòîðà k(t) ~ν (t) íà n
Íàéäåì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ kg . Èç (2.12.93) ñëåäóåò, ÷òî
~ , ~τ )| = |(k(t) ~ν , ~τ , n
~ )| = |(~r 00 ,~r 0 , n
~ )|.
kg (t) = k(t) · sin ϕ(t) = |k(t) (~ν × n
Íåòðóäíî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî åñëè t ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð, òî
kg (t) =
~ )|
|(~r 00 ,~r 0 , n
.
0
3
|~r |
(2.12.94)
Äàäèì òåïåðü îïðåäåëåíèå ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè.
Îïðåäåëåíèå 2.12.4. Ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ γ(t) êëàññà C 2 íà ðåãóëÿðíîé
ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C 2 íàçûâàåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèåé, åñëè åå ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà â êàæäîé òî÷êå ðàâíà íóëþ.
Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ, íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî íîðìàëü ~n ïîâåðõíîñòè
Φ âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé γ(t) ñîâïàäàåò ñ ãëàâíîé íîðìàëüþ ~ν (t) òàì, ãäå îíà
îïðåäåëåíà. Çàìåòèì, ÷òî ýòî ñâîéñòâî ìîæíî áûëî áû âçÿòü çà îïðåäåëåíèå
ãåîäåçè÷åñêîé.
Âûâåäåì óðàâíåíèå ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè.
Èç (2.12.94) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
~ ) = 0.
(~r 00 ,~r 0 , n
(2.12.95)
115
2.12. Íåêîòîðûå êëàññû ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè
Ïîäñ÷èòàåì ~r 0 è ~r 00 :
~r 0 = ~r u u 0 + ~r v v 0 ,
~r 00 = ~r uu (u 0 )2 + 2~r uv u 0 v 0 + ~r vv (v 0 )2 + ~r u u 00 + ~r v v 00 .
(2.12.96)
~
Òàê êàê, ïîâåðõíîñòü Φ ðåãóëÿðíà, òî â ëþáîé åå òî÷êå âåêòîðû ~r u , ~r v , n
îáðàçóþò áàçèñ è ïîýòîìó âåêòîðû ~r uu , ~r uv , ~r vv ìîãóò áûòü ëèíåéíî âûðà~ . Ïóñòü
æåíû ÷åðåç ~r u , ~r v è n
~r uu = Γ111~r u + Γ211~r v + α11n
~,
~r uv = Γ112~r u + Γ212~r v + α12n
~,
~r vv = Γ122~r u + Γ222~r v + α22n
~.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ áóäåò âûÿñíåí ïîçæå â
Ÿ8 ãëàâû 2 (è â ãëàâå 3), òàì æå áóäåò äàíî âûðàæåíèå ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ïåðâîé è âòîðîé êâàäðàòè÷íûõ ôîðì. Ïîäñòàâëÿÿ
ïîñëåäíèå ðàâåíñòâà â (2.12.96) ïîëó÷èì:
~r 00 = (u00 + A)~r u + (v 00 + B)~r v + c n
~,
A = Γ111 (u0 )2 + 2Γ112 u0 v 0 + Γ122 (v 0 )2 ,
B=
Γ211 (u0 )2
+
2Γ212 u0 v 0
+
(2.12.97)
Γ222 (v 0 )2 .
Èç (2.12.97) è (2.12.95) ñëåäóåò
u00 v 0 − u0 v 00 + Av 0 − Bu0 = 0.
(2.12.98)
Äîêàæåì ñëåäóþùóþ âàæíóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 2.12.7. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà
C 2 â ëþáîì íàïðàâëåíèè ìîæíî ïðîâåñòè ãåîäåçè÷åñêóþ ëèíèþ è ïðèòîì
òîëüêî îäíó.
~0 =
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü p0 (u0 , v0 ) íåêîòîðàÿ òî÷êà ïîâåðõíîñòè Φ, à λ
1~
2~
~
λ0r u + λ0r v íåêîòîðûé íåíóëåâîé âåêòîð â òî÷êå p0 ; λ 0 ∈ (T Φ)p0 . Ïóñòü,
äëÿ îïðåäåëåííîñòè, λ10 6= 0. Åñëè óðàâíåíèå ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè çàäàòü â
ÿâíîé ôîðìå u = u, v = v(u), òî (2.12.98) ïðèìåò âèä
−v 00 + Āv 0 − B̄ = 0,
ãäå
Ā = Γ111 + 2Γ112 v 0 + Γ122 (v 0 )2 ,
B̄ = Γ211 + 2Γ212 v 0 + Γ222 (v 0 )2 .
(2.12.99)
Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèè v(u) áóäóò òàêèìè:
v(u0 ) = v0 ,
v 0 (u0 ) =
λ20
.
λ10
(2.12.100)
Èç (2.12.100) íà îñíîâàíèè ñòàíäàðòíîé òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò óòâåðæäåíèå
òåîðåìû 2.12.7
116
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû.
1. Ãåîäåçè÷åñêèå íà ñôåðå. Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
áîëüøèå êðóãè íà ñôåðå ñóòü ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè, òàê êàê íîðìàëü ê ñôåðå è ãëàâíûå íîðìàëè ê áîëüøîìó êðóãó âî âñåõ òî÷êàõ ïàðàëëåëüíû, à
èç òåîðåìû 2.12.7 ñëåäóåò, ÷òî äðóãèõ ãåîäåçè÷åñêèõ íåò, òàê êàê ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó ñôåðû â ëþáîì íàïðàâëåíèè ìîæíî ïðîâåñòè áîëüøîé êðóã (ñì.
ðèñóíîê 2.26).
Ðèñ. 2.26: Ãåîäåçè÷åñêèå íà ñôåðå è öèëèíäðå.
2. Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè íà öèëèíäðå. Óðàâíåíèå ïðÿìîãî êðóãîâîãî öèëèíäðà C ðàäèóñà a çàïèøåì â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå
x = a cos u,
y = a sin u,
z = v,
ïðè −∞ < u < ∞, −∞ < v < ∞. Äîêàæåì, ÷òî ëþáàÿ âèíòîâàÿ ëèíèÿ,
ëåæàùàÿ íà C , åñòü ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ. Ïóñòü
~r = ~r (t) = a cos(t − t0 )~i + a sin(t − t0 ) ~j + [b(t − t0 ) + c] ~k ,
åñòü óðàâíåíèå âèíòîâîé ëèíèè (óðàâíåíèå ïàðàëëåëè ïðè b = 0). Òîãäà
~r 0 (t) = −a sin(t − t0 )~i + a cos(t − t0 ) ~j + b ~k ,
~r 00 (t) = −a cos(t − t0 )~i − a sin(t − t0 ) ~j ,
è
à
~r u (t) = −a sin(u)~i + a cos(u) ~j ,
~r v (t) = ~k ,
~r u (t) × ~r v (t) = a cos u~i + a sin u ~j ,
~ (u, v) ïàðàëëåëüíû â òî÷êàõ âèíòîâîé
è ìû âèäèì, ÷òî âåêòîðû ~r 00 (t) è n
~ ) = 0, è çíà÷èò âèíòîâàÿ ëèíèÿ ïðè ëþáûõ
ëèíèè. Ñëåäîâàòåëüíî, (~r 00 ,~r 0 , n
b, c è t0 åñòü ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ íà öèëèíäðå C (ñì. ðèñóíîê 2.26). Çàìåòèì
åùå, ÷òî îáðàçóþùèå öèëèíäðà C ïðÿìûå ëèíèè x = x0 , y = y0 , z = t−t0 ,
åñòü òàêæå ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè.
Äîêàæåì, ÷òî äðóãèõ ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé íà öèëèíäðå C íåò. Äëÿ ýòîãî, â ñèëó òåîðåìû 2.12.7, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó
~ = λ1~r u + λ2~r v ìîæíî ïðîp0 (u0 , v0 ) öèëèíäðà C è â ëþáîì íàïðàâëåíèè λ
~ 6= 0, è åñëè λ
~ = ~r v òî îáðàçóþùóþ.
âåñòè âèíòîâóþ ëèíèþ, åñëè λ
 ñàìîì äåëå, ïóñòü
~r (t) = a cos(t − t0 )~i + a sin(t − t0 ) ~j + [b(t − t0 ) + c] ~k ,
ãäå
t0 = −u0 ,
b=
λ2
,
λ1
c = v0 −
λ2
u0 .
λ1
Òîãäà
~r 0 (0) = −a sin(u0 )~i + a cos(u0 ) ~j +
λ2 ~
1
k = (λ1~r u + λ2~r v ) 1 ,
λ1
λ
2.12. Íåêîòîðûå êëàññû ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè
117
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
3. Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. Ïóñòü Φ åñòü ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C 2 , ïîëó÷åííàÿ âðàùåíèåì êðèâîé γ âîêðóã
îñè OZ (ñì. Ÿ6 ãëàâû 2). Íåïîñðåäñòâåííî èç îñíîâíîãî ñâîéñòâà ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè ñëåäóåò, ÷òî âñå ìåðèäèàíû Φ ñóòü ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè. Íàéòè
îñòàëüíûå ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè â âèäå ÿâíûõ óðàâíåíèé îáû÷íî íå óäàåòñÿ.
Íî ìîæíî óêàçàòü íåêîòîðîå ñâîéñòâî ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé, ïîçâîëÿþùåå
äàòü êà÷åñòâåííóþ êàðòèíó ïîâåäåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ.
Ïóñòü ~r = ~r (t) ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè σ(t),
à t åñòåñòâåííûé ïàðàìåòð. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ρ(t) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
σ(t) äî îñè âðàùåíèÿ, à ÷åðåç α(t) óãîë ìåæäó σ(t) è ïàðàëëåëüþ â òî÷êå
èõ ïåðåñå÷åíèÿ σ(t). Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (òåîðåìà Êëåðî)
ρ(t) · cos α(t) = c.
(2.12.101)
Ñíà÷àëà äîêàæåì ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî
ρ(t) · cos α(t) = (~r ,~r 0 , ~k ),
(2.12.102)
~ (t) åäèíè÷íûé
ãäå ~k åäèíè÷íûé îðò îñè âðàùåíèÿ OZ . Îáîçíà÷èì ÷åðåç µ
âåêòîð, êàñàòåëüíûé ê ïàðàëëåëè ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå σ(t). Òîãäà
~k × ~r (t) = ρ(t)~
µ (t),
(~
µ (t),~r 0 (t)) = cos α(t).
(2.12.103)
Èç ðàâåíñòâ (2.12.103) ñëåäóåò (2.12.102). Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïðàâóþ ÷àñòü
(2.12.102) ïî t. Ïîëó÷èì
(~r , ~r 0 , ~k ) 0 = (~r , ~r 00 , ~k ).
(2.12.104)
Òàê êàê t åñòü äëèíà äóãè σ(t), òî âåêòîð ~r 00 (t) ïàðàëëåëåí ãëàâíîé íîðìàëè
~ν (t) êðèâîé σ(t), à òàê êàê σ(t) ãåîäåçè÷åñêàÿ, òî ~ν (t) ïàðàëëåëåí íîðìàëè
~ (t) ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå σ(t), ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð ~r 00 (t) ïàðàëëåëåí
n
~ (t). Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê Φ ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ, òî
âåêòîðó n
~ (t) ëåæèò â ïëîñêîñòè âåêòîðîâ ~k è ~r (t). Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðû
âåêòîð n
~k , ~r (t) è ~r 00 (t) êîìïëàíàðíû, à çíà÷èò
(~r (t), ~r 00 (t), ~k ) = 0.
Èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà è ðàâåíñòâà (2.12.102) ñëåäóåò íàøå óòâåðæäåíèå ðàâåíñòâî (2.12.101). Ðàâåíñòâî (2.12.101) äàåò âîçìîæíîñòü îïèñàòü
"êà÷åñòâåííîå"ïîâåäåíèå ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè. Ïóñòü c 6= 0 (åñëè c = 0,
òî ìû ïîëó÷àåì, ÷òî σ ìåðèäèàí). Êîãäà ìû äâèãàåìñÿ ïî ãåîäåçè÷åñêîé
σ(t), ïåðåõîäÿ èç áîëåå "øèðîêîé"÷àñòè ïîâåðõíîñòè Φ â áîëåå óçêóþ ÷àñòü,
òî ôóíêöèè ρ(t) è α(t) óáûâàþò, òî åñòü óãîë ìåæäó ãåîäåçè÷åñêîé σ(t) è
ïàðàëëåëÿìè Φ ñòàíîâèòñÿ âñå ìåíüøå è ìåíüøå. Åñëè ïðè íåêîòîðîì t âåëè÷èíà ρ(t) ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé c, òî â ýòîé òî÷êå σ(t) êàñàåòñÿ ïàðàëëåëè è
âîçâðàùàåòñÿ â áîëåå "øèðîêóþ"÷àñòü ïîâåðõíîñòè Φ. Ïðè ïåðåõîäå æå îò
áîëåå "óçêîé"÷àñòè ïîâåðõíîñòè Φ ê áîëåå "øèðîêîé"÷àñòè ôóíêöèè ρ(t) è
α(t) âîçðàñòàþò è, ñëåäîâàòåëüíî, óãîë ìåæäó σ(t) è ìåðèäèàíàìè ñòàíîâèòñÿ âñå ìåíüøå è ìåíüøå. Åñëè "øèðîêàÿ"÷àñòü ñòàíîâèòñÿ íåîãðàíè÷åííî
118
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Ðèñ. 2.27: Ãåîäåçè÷åñêàÿ íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ.
"øèðîêîé", òî íàïðàâëåíèå ãåîäåçè÷åñêîé íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàåòñÿ ê
íàïðàâëåíèþ ìåðèäèàíà, (ñì. ðèñóíîê 2.27).
Íàêîíåö, åñëè êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé γ â íåêîòîðîé åå òî÷êå ïàðàëëåëüíà îñè âðàùåíèÿ, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîé òî÷êå ïàðàëëåëü Φ îêàçûâàåòñÿ
çàìêíóòîé ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèåé, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè Φ ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî ãëàâíîé íîðìàëüþ ê ýòîé ïàðàëëåëè.
2.13
Çàäà÷è
Ñëåäóþùèå äâå òîïîëîãè÷åñêèå ëåììû íàì áóäóò íåîáõîäèìû äëÿ ðåøåíèÿ
ðÿäà çàäà÷. Ïóñòü D íåêîòîðàÿ îáëàñòü, ãîìåîìîðôíàÿ êðóãó, íà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ ñ ðåãóëÿðíîé ãðàíèöåé ∂D = γ , à ~e (p) íåïðåðûâíîå
âåêòîðíîå ïîëå â D ∪ ∂D.
Ëåììà 2.13.1. Åñëè äëÿ êàæäîé òî÷êè q ∈ γ âåêòîð ~
e (q) îáðàçóåò ñ
êàñàòåëüíûì âåêòîðîì γ 0 ê êðèâîé γ â òî÷êå γ(t) = q íåíóëåâîé óãîë, òî
ñóùåñòâóåò òî÷êà q0 ∈ int D, â êîòîðîé ~e (q0 ) = 0.
Ëåììà 2.13.2. Ïóñòü Φ åñòü ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü, ãîìåîìîðôíàÿ ñôåðå. Òîãäà äëÿ ëþáîãî íåïðåðûâíîãî ïîëÿ ~e (p) íà ïîâåðõíîñòè Φ ñóùåñòâóåò
òî÷êà q , â êîòîðîé ~e (q) = 0.
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2.13.1 ìîæíî íàéòè â [AlekP] ãë. 16, § 55, ò. 53.
Ëåììà 2.13.2 åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé òåîðåìû Ïóàíêàðå-Áàóýðà, [AlekP] ãë.
16, § 55, ò.5.510.
Çàäà÷à 2.13.1. Ïóñòü Φ ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C 2 . Äîêàçàòü,
÷òî
(1) åñëè ëèíèÿ êðèâèçíû åñòü îäíîâðåìåííî ãåîäåçè÷åñêàÿ, òî îíà åñòü
ïëîñêàÿ êðèâàÿ, òî÷íåå, êðó÷åíèå ýòîé ëèíèè ðàâíî íóëþ âî âñåõ
òî÷êàõ, ãäå îíî (êðó÷åíèå) îïðåäåëåíî;
(2) åñëè àñèìïòîòè÷åñêàÿ ëèíèÿ åñòü îäíîâðåìåííî ãåîäåçè÷åñêàÿ, òî
îíà åñòü ïðÿìàÿ ëèíèÿ;
(3) åñëè ëèíèÿ êðèâèçíû åñòü îäíîâðåìåííî àñèìïòîòè÷åñêàÿ ëèíèÿ,
òî îíà åñòü ïëîñêàÿ êðèâàÿ.
Óêàçàíèå. Âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Ðîäðèãà, ñâîéñòâàìè àñèìïòîòè÷åñêèõ è ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé è ôîðìóëàìè Ôðåíå ãëàâû 1. Çàäà÷à 2.13.2. Íà ëþáîé ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C 2 , ãîìåî-
ìîðôíîé ñôåðå, ñóùåñòâóåò, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíà îìáèëè÷åñêàÿ òî÷êà.
Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû ïðåäïîëàãàåì âû-
ïîëíåíèå íåðàâåíñòâà
k1 (p) < k2 (p),
(2.13.105)
119
2.13. Çàäà÷è
ãäå, êàê îáû÷íî, k1 (p) è k2 (p) ãëàâíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè Φ â òî÷êå p.
Ïóñòü p0 ∈ Φ, à ~e åäèíè÷íûé âåêòîð, èäóùèé ïî òîìó ãëàâíîìó íàïðàâëåíèþ, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ãëàâíîé êðèâèçíå k1 (p0 ). Ïîñòðîèì âåêòîðíîå
ïîëå åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ íà âñåé ïîâåðõíîñòè Φ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñîåäèíèì òî÷êó p0 ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷êîé p íåêîòîðîé íåïðåðûâíîé êðèâîé
σ(t),
(0 ≤ t ≤ 1,
σ(0) = p0 ,
σ(1) = p),
è ïóñòü ~e íåïðåðûâíîå âåêòîðíîå ïîëå åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ âäîëü σ(t),
óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ~e (0) = ~e (p0 ) è ~e (t) ïðè êàæäîì t èäåò ïî ãëàâíîìó íàïðàâëåíèþ. Â ñèëó íåðàâåíñòâà (2.13.105), ýòèìè óñëîâèÿìè ïîëå ~e (t)
îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî. Ïîëîæèì òåïåðü ~e (p) = ~e (1). Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî
îïðåäåëåíèå âåêòîðà ~e (p) íå çàâèñèò îò âûáîðà êðèâîé σ(t), ñîåäèíÿþùèé
òî÷êè p0 è p. Ïóñòü
σ1 (t),
(0 ≤ t ≤ 1,
σ1 (0) = p0 ,
σ1 (1) = p)
íåêîòîðàÿ äðóãàÿ íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êó p0 ñ òî÷êîé
p. Ïîâòîðÿÿ ïðåäûäóùóþ êîíñòðóêöèþ äëÿ êðèâîé σ1 , ìû ïîëó÷èì âåêòîð ~e σ1 (p), êîòîðûé ëèáî ðàâåí ~e (p), ëèáî ~e (p) = −~e σ1 (p). Íî ïîñêîëüêó
ïîâåðõíîñòü Φ ãîìåîìîðôíà ñôåðå, òî íà íåé ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ äåôîðìàöèÿ σu (t), (0 ≤ u ≤ 1) ïóòè σ1 â ïóòü σ, σ(0, t) = σ0 , σ(1, t) = σ1 , ïðè
êîòîðîé âåêòîð ~e σu (p) íåïðåðûâíî çàâèñèò îò u. Ïîýòîìó âåêòîð ~e σ(1) (p) =
~e σ(0) (p) = ~e (p). Èòàê, íà âñåé ïîâåðõíîñòè Φ ìû ïîñòðîèëè íåïðåðûâíîå
ïîëå åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ ~e (p), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ëåììå 2.13.2
Çàäà÷à 2.13.3. Åñëè íà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C 2 ñóùåñòâóåò
çàìêíóòàÿ ëèíèÿ êðèâèçíû, îãðàíè÷èâàþùàÿ íà Φ îáëàñòü D, ãîìåîìîðôíóþ êðóãó, òî â îáëàñòè D ñóùåñòâóåò îìáèëè÷åñêàÿ òî÷êà.
Óêàçàíèå. Ïîâòîðèòü ñ î÷åâèäíûìè èçìåíåíèÿìè ðàññóæäåíèÿ çàäà÷è
2.13.2 è ïðèìåíèòü ëåììó 2.13.1 Çàäà÷à 2.13.4. Íà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà C 2 ñòðîãî îòðè-
öàòåëüíîé ãàóññîâîé êðèâèçíû íå ñóùåñòâóåò çàìêíóòûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé.
Óêàçàíèå. Ðåøåíèå àíàëîãè÷íî ðåøåíèþ çàäà÷è 2.13.3.
Çàäà÷à 2.13.5 (∗ ). Åñëè íà ñåäëîâîé ïîâåðõíîñòè, ãîìåîìîðôíîé ïëîñêî-
ñòè, ñóùåñòâóåò çàìêíóòàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ ëèíèÿ, òî îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ ýòîé ëèíèåé, åñòü îáëàñòü íà ïëîñêîñòè.
Ýòî óòâåðæäåíèå ñôîðìóëèðîâàíî À.Â. Ïîãîðåëîâûì, íî îíî ïîêà íå
äîêàçàíî.
Çàäà÷à 2.13.6. Ïóñòü Φ ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C 2 , à γ(t), (a ≤
t ≤ b) ëèíèÿ êðèâèçíû íà Φ. Òîãäà, åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà Φ ñòðîãî
îòðèöàòåëüíà, èëè ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà, òî
Z t1
æ(t) dt < π
t0
äëÿ ëþáûõ t0 , t1 ∈ (a, b), ãäå æ êðó÷åíèå, t äëèíà äóãè.
120
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Çàìå÷àíèå 2.13.1. Ñëó÷àé a = −∞ è b = ∞ íå èñêëþ÷àåòñÿ.
Ðåøåíèå. Èç óñëîâèé íàëîæåííûõ íà ãàóññîâó êðèâèçíó Φ ñëåäóåò, ÷òî
ãëàâíûå êðèâèçíû k1 (p) è k2 (p) â êàæäîé òî÷êå p îòëè÷íû îò íóëÿ, à, ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Ìåíüå, êðèâèçíà k(t) êðèâîé γ(t) âñþäó íå ðàâíà
íóëþ
k(t) 6= 0,
(a < t < b).
(2.13.106)
~ (t) è n
~ (t) ÷åòûðå âåêòîðíûõ ïîëÿ âäîëü γ , ãäå ~τ (t) Ïóñòü ~τ (t), ~ν (t), β
~ (t) áèíîðìàïîëå êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ, ~ν (t) ïîëå ãëàâíûõ íîðìàëåé, β
~ (t) ïîëå íîðìàëåé ê Φ âäîëü γ(t). Çàïèøåì n
~ (t) â âèäå ëèíåéíîé
ëåé, à n
~
êîìáèíàöèè ~ν (t) è β (t)
~ (t).
~ (t) = cos α(t) ~ν (t) + sin α(t) β
n
(2.13.107)
Òîãäà, ñ îäíîé ñòîðîíû, ïî ôîðìóëå Ðîäðèãà
(2.13.108)
~ 0 (t) = −k1 (t) ~τ (t),
n
à ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç (2.13.107) è ôîðìóë Ôðåíå ãëàâû 1 ïîëó÷àåì
~ (t))+
~ 0 (t) = − sin α(t) · α0 (t) ~ν (t) + cos α(t)(−k~τ (t) + æ β
n
~ (t) − sin α(t) æ ~ν (t) = −k cos α(t) ~τ (t)−
+ cos α(t) · α0 (t) β
(2.13.109)
~ (t).
− sin α(t) (α (t) + æ) ~ν (t) + cos α(t) (α (t) + æ) β
0
0
Ñðàâíèâàÿ (2.13.108) è (2.13.109), èìååì

 k1 (t) = k · cos α(t)
sin α(t) (α0 (t) + æ) = 0

cos α(t) (α0 (t) + æ) = 0.
(2.13.110)
Èç (2.13.110) ñëåäóåò, ÷òî
(2.13.111)
α0 (t) = − æ(t).
Ïóñòü t0 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëà èç èíòåðâàëà (a, b), è ïóñòü α(t0 ) = α0 . Òîãäà
èç (2.13.111)
Z t
α(t) = −
æ(t) dt + α0 .
(2.13.112)
t0
Íàêîíåö, èç (2.13.110) ïîëó÷àåì, ÷òî
cos α(t) =
k1 (t)
6= 0.
k(t)
Çíà÷èò α(t) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì
−
π
π
3π
π
< α(t) < , èëè < α(t) <
.
2
2
2
2
 ÷àñòíîñòè, − π2 < α0 < π2 , èëè π2 < α0 <
ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è 2.13.5.
3π
2 .
(2.13.113)
Èç (2.13.112) è (2.13.113)
2.14. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ òåîðèè ïîâåðõíîñòåé
121
Ïóñòü γ ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ â R3 êëàññà C 3 è γ(u) åå åñòåñòâåííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ, c < u < d, (c < u ≤ d).  ñëó÷àå c < u ≤ d ìû ïðåäïîëàãàåì,
÷òî γ çàìêíóòà, à â ïåðâîì ñëó÷àå ñëó÷àé c = ∞ è d = ∞ íå èñêëþ÷àåòñÿ.
 êàæäîé íîðìàëüíîé ïëîñêîñòè ê γ â òî÷êå γ(t) âîçüìåì îêðóæíîñòü ðàäèóñà a ñ öåíòðîì â òî÷êå γ(t). Ïîëó÷åííîå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî
îêðóæíîñòåé îáðàçóåò, âîîáùå ãîâîðÿ, ðåãóëÿðíóþ ïîâåðõíîñòü êëàññà C 2 ,
êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç Φ(a) è íàçîâåì îáîáùåííûì öèëèíäðîì èëè,
åñëè çàìêíóòà, îáîáùåííûì òîðîì (ñì. ðèñóíîê 2.28). Îáîçíà÷èì ÷åðåç
k(u) è æ(u) êðèâèçíó è êðó÷åíèå γ â òî÷êå γ(u).
Ðèñ. 2.28: Îáîáùåííûé öèëèíäð.
Çàäà÷à 2.13.7. Äîêàçàòü, ÷òî ïîâåðõíîñòü Φ(a) ðåãóëÿðíà òîãäà è òîëü-
êî òîãäà, êîãäà k(u) < a1 . Äîêàçàòü, ÷òî íà ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ(a)
îòñóòñòâóþò îìáèëè÷åñêèå òî÷êè. Äîêàçàòü, ÷òî á îëüøàÿ ãëàâíàÿ êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè Φ(a) ïîñòîÿííà è ðàâíà a1 . Íàéòè óðàâíåíèÿ ëèíèé
êðèâèçíû Φ(a).
Óêàçàíèå. Çàäà÷à ðåøàåòñÿ ïðÿìûìè âû÷èñëåíèÿìè, åñëè ïàðàìåòðèçàöèþ ïîâåðõíîñòè Φ(a) çàäàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
~ + sin α(u, v)β
~ (u)),
~r = ~r (u, v) = ~ρ (u) + a(cos α(u, v)ν (u)
ãäå ~ρ (u) ïàðàìåòðèçàöèÿ γ ,
Z
u
α(u, v) = v +
æ(u) du,
u0
è c < u < d (c < u ≤ d) è
Z u
Z
æ(u)du < v ≤ 2π +
u0
2.14
u
æ(u)du. u0
Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ òåîðèè ïîâåðõíîñòåé
Äåðèâàöèîííûå ôîðìóëû.  êàæäîé òî÷êå p ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ
êëàññà C k , (k ≥ 2), óðàâíåíèå êîòîðîé çàäàíî âåêòîð-ôóíêöèåé ~r = ~r (u, v),
~ . Ýòè òðè âåêòîðà, â ñèëó ðåãóëÿðíîîïðåäåëåíû òðè âåêòîðà ~r u , ~r v è n
ñòè ïîâåðõíîñòè Φ, ëèíåéíî íåçàâèñèìû è, ñëåäîâàòåëüíî, îáðàçóþò áàçèñ.
Ïîýòîìó ëþáîé äðóãîé âåêòîð äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ëèíåéíîé
~ . Ìû íàéäåì êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ïî
êîìáèíàöèè âåêòîðîâ ~r u , ~r v è n
~ u, n
~ v . Ïóñòü
ýòîìó áàçèñó âåêòîðîâ ~r uu , ~r uv , ~r vv è n
~,
~r uu = Γ111~r u + Γ211~r v + λ11n
~,
~r uv = Γ112~r u + Γ212~r v + λ12n
~r vv = Γ122~r u + Γ222~r v + λ22~n,
~ u = α11~r u + α12~r v ,
n
~ v = α21~r u + α22~r v .
n
(2.14.114)
122
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Ëåã÷å âñåãî íàéòè êîýôôèöèåíòû λij , (i, j = 1, 2). Óìíîæèì ïåðâûå òðè
~ ñêàëÿðíî, òîãäà
ðàâåíñòâà èç (2.14.114) íà n
λ11 = (~r uu , ~n) = L,
λ12 = (~r uv , ~n) = M,
λ22 = (~r vv , ~n) = N.
(2.14.115)
Äëÿ êîýôôèöèåíòîâ α11 , α12 è α21 α22 ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé, óìíîæàÿ äâà ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâà èç (2.14.114) ñêàëÿðíî íà ~r u è ~r v ,
α11 E + α12 F = −L
(2.14.116)
α11 F + α12 G = −M.
è
α21 E + α22 F = −M
(2.14.117)
α21 F + α22 G = −N.
Èç (2.14.116) è (2.14.117) èìååì

LF − M E
−LG + M F

α11 =
, α12 =
,
2
EG − F
EG − F 2
(2.14.118)
−N E + M F

α21 = N F − M G ,
α
=
.
22
EG − F 2
EG − F 2
Èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òî â ñèñòåìå êîîðäèíàò, ãäå êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè
ÿâëÿþòñÿ ëèíèè êðèâèçíû, óðàâíåíèÿ (2.14.118) ïåðåïèøóòñÿ òàê
α11 = −k1
α12 = α21 = 0,
α22 = −k2 ,
ãäå k1 , è k2 ãëàâíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè F â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå.
Äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Γijk ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé, óìíîæàÿ ïåðâûå òðè
óðàâíåíèÿ èç (2.14.114) ñêàëÿðíî íà ~r u è ~r v ,
(
Γ111 E + Γ211 F = 12 Eu ,
(2.14.119)
Γ111 F + Γ211 G = Fu − 21 Ev ,
(
Γ112 E + Γ212 F = 12 Ev ,
(2.14.120)
Γ112 F + Γ212 G = 12 Gu ,
(
Γ122 E + Γ222 F = Fv − 12 Gu ,
(2.14.121)
Γ122 F + Γ222 G = 12 Gv .
Ïðè ýòîì ìû ïîëüçîâàëèñü òîæäåñòâàìè
1
1
1
1
(~r uu ,~r u ) = Eu , (~r uv ,~r v ) = Gu , (~r uv ,~r u ) = Ev , (~r vv ,~r v ) = Gv ,
2
2
2
2
∂
1
(~r uu ,~r v ) =
(~r u ,~r v ) − (~r u ,~r uv ) = Fu − Ev ,
∂u
2
∂
1
(~r vv ,~r u ) =
(~r v ,~r u ) − (~r v ,~r uv ) = Fv − Gu .
∂v
2
Ðåøàÿ ñèñòåìû (2.14.119), (2.14.120) è (2.14.121), ïîëó÷èì
Γ111 =
Γ112 =
Γ122 =
1
2 Eu G
+ 12 Ev F − F Fu
,
EG − F 2
1
2 Ev G
− 21 Gu F
,
EG − F 2
− 21 Gu G − 12 Gv F + GFv
,
EG − F 2
Γ211 =
Γ212 =
Γ222 =
Fu E − 21 Ev E − 12 Eu F
,
EG − F 2
1
2 Gu E
− 12 Ev F
,
EG − F 2
1
2 Gv E
+ 12 Gu F − F Fv
.
EG − F 2
123
2.14. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ òåîðèè ïîâåðõíîñòåé
Åñëè ñèñòåìà êîîðäèíàò (u, v) îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà, òî åñòü, F (u, v) = 0,
òî ôîðìóëû äëÿ Γijk , (i, j, k = 1, 2) ñèëüíî óïðîùàþòñÿ
1 Eu
1 Ev
1 Ev
, Γ211 = −
, Γ112 =
,
2 E
2 G
2 E
1 Gu
1 Gu
1 Gv
, Γ122 = −
, Γ222 =
.
=
2 G
2 E
2 G
Γ111 =
Γ212
(2.14.122)
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë êîýôôèöèåíòîâ Γijk , (i, j, k = 1, 2) ìû âûÿñíèì ïîçäíåå â Ãëàâå 3. Ñåé÷àñ æå ïîêà òîëüêî îòìåòèì, ÷òî âñå îíè âûðàæàþòñÿ
òîëüêî ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû è èõ ïåðâûå ïðîèçâîäíûå. Ñàìè êîýôôèöèåíòû íàçûâàþòñÿ ñèìâîëàìè Êðèñòîôôåëÿ âòîðîãî ðîäà. Çàìåòèì, íàêîíåö, ÷òî äåðèâàöèîííûå ôîðìóëû (2.14.114) ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü êàê ïðÿìîå îáîáùåíèå ôîðìóë Ôðåíå äëÿ êðèâîé ëèíèè (ñì.
Ãëàâó 1).
2.14.1
Ôîðìóëû ÃàóññàÏåòåðñîíàÊîäàööè
Åñëè E(λ1 )2 + 2F λ1 λ2 + G(λ2 )2 è L(λ1 )2 + 2M λ1 λ2 + N (λ2 )2 ïåðâàÿ è âòîðàÿ êâàäðàòè÷íûå ôîðìû ïîâåðõíîñòè, òî îíè íå ìîãóò áûòü âçÿòû ïðîèçâîëüíûìè. Ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè ýòèõ ôîðì ñóùåñòâóþò îïðåäåëåííûå
ñâÿçè. Ýòè ñâÿçè ìîæíî íàéòè, èñõîäÿ èç óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè ïðîèçâîäíûõ îò ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Åñëè ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü Φ
ïðèíàäëåæèò êëàññó C k , (k ≥ 3) è ~r = ~r (u, v) åå âåêòîðíîå óðàâíåíèå, òî
ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà
(~r uu )v = (~r uv )u ,
(~r vv )u = (~r uv )v ,
(~nu )v = (~nv )u .
~ u, n
~ v èç
Åñëè â ýòè ôîðìóëû ïîäñòàâèòü âûðàæåíèÿ äëÿ ~r uu , ~r uv , ~r vv , n
(2.14.114), òî ïîëó÷èì òðè âåêòîðíûõ ðàâåíñòâà
(Γ111~r u + Γ211~r v + L~
n )v = (Γ112~r u + Γ212~r v + M~
n )u ,
1 ~
2 ~
(Γ22r u + Γ22r v + N~
n )u = (Γ112~r u + Γ212~r v + M~
n )v ,
(α11~r u + α12~r v )v = (α21~r u + α22~r v )u .
Äèôôåðåíöèðóÿ, ïîëó÷èì
∂Γ211
∂Γ111
~r u + Γ111~r uv +
~r v + Γ211~r vv + Lv n
~ + L~
nv =
∂v
∂v
∂Γ112
∂Γ212
~r u + Γ112~r uu +
~r v + Γ212~r uv + Mun
~ + M~
=
nu,
∂u
∂u
∂Γ122
∂Γ222
~r u + Γ122~r uu +
~r v + Γ222~r uv + Nun
~ + N~
nu =
∂u
∂u
∂Γ212
∂Γ112
~r u + Γ112~r uv +
~r v + Γ212~r vv + Mv ~n + M~nv ,
=
∂v
∂v
∂α11
∂α12
~r u + α11~r uv +
~r v + α12~r vv =
∂v
∂v
∂α21
∂α22
~r u + α21~r uu +
~r v + α22~r uv .
=
∂u
∂u
(2.14.123)
124
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
~ u, n
~ v èç ôîðÏîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ ~r uu , ~r uv , ~r vv è n
~ , ìû ïîëó÷èì
ìóë (2.14.114), è ñîáèðàÿ âìåñòå êîýôôèöèåíòû ïðè ~r u , ~r u , n
ðàâåíñòâà òàêîãî âèäà

~ = 0,
 A11~r u + A12~r v + B1n
~ = 0,
A21~r u + A22~r v + B2n
(2.14.124)

~ = 0.
A31~r u + A32~r v + B3n
Îòêóäà, â ñèëó ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ ~r u , ~r v , ~n, ñëåäóåò, ÷òî âñå
êîýôôèöèåíòû â (2.14.124) ðàâíû íóëþ. Èòîãî ìû ïîëó÷èëè 9 ñêàëÿðíûõ
ðàâåíñòâ. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî èç íèõ òîëüêî òðè íåçàâèñèìûõ, à îñòàëüíûå
ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ òðåõ ñòàíîâÿòñÿ òîæäåñòâàìè.
Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà A12 .
A12 =
∂Γ212
∂Γ211
−
+ Γ111 Γ212 + Γ211 Γ222 − Γ112 Γ211 − Γ212 Γ212 + Lα22 − M α12 = 0
∂v
∂u
èëè
M α12 − Lα22 =
∂Γ212
∂Γ211
−
+ Γ111 Γ212 + Γ211 Γ222 −
∂v
∂u
− Γ112 Γ211 − Γ212 Γ212 = T.
(2.14.125)
Ïðåäñòàâëÿÿ â (2.14.125) âûðàæåíèÿ äëÿ α12 è α22 , ïîëó÷èì
LN − M 2
−N E + M F
LF − M E
−L
= T èëè E
= T.
M
EG − F 2
EG − F 2
EG − F 2
Îêîí÷àòåëüíî ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ãàóññîâà êðèâèçíà K ïîâåðõíîñòè Φ ðàâíà
∂Γ212
1 ∂Γ211
−
+ Γ111 Γ212 + Γ211 Γ222 − Γ112 Γ211 − Γ212 Γ212 . (2.14.126)
K=
E ∂v
∂u
Ðàâåíñòâî (2.14.126) áûëî âïåðâûå ïîëó÷åíî Ê. Ãàóññîì è íîñèò íàçâàíèå
òåîðåìû Ãàóññà ”ergegium”, ÷òî çíà÷èò âåëèêîëåïíàÿ. Èç ýòîãî ðàâåíñòâà
âèäíî, ÷òî ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà, åñëè èçâåñòíû òîëüêî êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. Çíà÷èò ãàóññîâà êðèâèçíà åñòü îáúåêò âíóòðåííåé ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòè. ß äóìàþ,
÷òî ïî-íàñòîÿùåìó äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ âûäåëèëàñü â ñàìîñòîÿòåëüíóþ äèñöèïëèíó ïîñëå ðàáîò Ê. Ãàóññà è òåîðåìà Ãàóññà ”ergegium”
ñûãðàëà â ýòîì ïðîöåññå ãëàâíóþ ðîëü. Êàê ìû óâèäèì ïîçæå â ãëàâå 3,
èìåííî ãàóññîâà êðèâèçíà îïðåäåëÿåò íàèáîëåå ñóùåñòâåííûå ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòè ñ òî÷êè çðåíèÿ åå âíóòðåííåé ãåîìåòðèè. Ýòà æå òåîðåìà ïîñëóæèëà îäíèì èç îòïðàâíûõ ïóíêòîâ ïîñòðîåíèÿ ìíîãîìåðíîé ðèìàíîâîé
ãåîìåòðèè. Èç îñòàëüíûõ âîñüìè óðàâíåíèé òîëüêî äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìû, îñòàëüíûå âûïîëíÿþòñÿ ïîñëå ýòîãî òîæäåñòâåííî. Äâà îñòàëüíûõ
óðàâíåíèÿ áûëè ïîëó÷åíû Êîäàööè è Ïåòåðñîíîì. Èõ ìîæíî çàïèñàòü â
òàêîé íàèáîëåå ïðîñòîé è ñèììåòðè÷íîé ôîðìå (À.Â. Ïîãîðåëîâ)
2(EG − F 2 )(Lv − Mu ) − (EN − 2F M + GL)(Ev − Fu )+
+
E
F
G
Eu
Fu
Gu
L
M
N
=0
(2.14.127)
125
2.14. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ òåîðèè ïîâåðõíîñòåé
2(EG − F 2 )(Mv − Nu ) − (EN − 2F M + GL)(Fv − Gu )+
+
E
F
G
Ev
Fv
Gv
L
M
N
(2.14.128)
= 0.
Ôîðìóëû (2.14.127) è (2.14.128) èçâåñòíû ïîä íàçâàíèåì ôîðìóëû Ïåòåðñîíà
Êîäàööè. Íàêîíåö, ôîðìóëó Ãàóññà ìîæíî çàïèñàòü òàê
−1
E − Fu
Fv − G u
√ v
K= √
− √
−
2 EG − F 2
EG − F 2 v
EG − F 2 u
(2.14.129)
E Eu Ev
1
F Fu Fv .
−
4(EG − F 2 )2
G Gu G v
Ôîðìóëû Ïåòåðñîíà-Êîäàööè ïðèíèìàþò äîñòàòî÷íî ïðîñòîé âèä, åñëè ñèñòåìà êîîðäèíàò (u, v) òàêîâà, ÷òî êîîðäèíàòíûå ëèíèè ýòîé ñèñòåìû åñòü
ëèíèè êðèâèçíû. Â òàêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, êàê ìû óæå çíàåì, F = M = 0,
è òîãäà ôîðìóëû (2.14.127) è (2.14.128) óïðîùàþòñÿ è ïðèíèìàþò âèä
N
N
1 L
1 L
Lv =
+
+
Ev ,
Nu =
Gu .
(2.14.130)
2 E
G
2 E
G
Ãëàâíûå êðèâèçíû k1 (u, v) è k2 (u, v) â ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ðàâíû
k1 (u, v) =
L
,
E
k2 (u, v) =
N
.
G
(2.14.131)
Ïîýòîìó
Lv = (k1 )v E + k1 Ev ,
Nu = (k2 )u G + k2 Gu .
(2.14.132)
Ïîäñòàâëÿÿ Lv è Nu , èç (2.14.132) â (2.14.130), ïîëó÷èì
(k1 )v =
1
Ev
(k2 − k1 ) ,
2
E
(k2 )u =
1
Gu
(k1 − k2 )
,
2
G
à ôîðìóëà Ãàóññà (2.14.129) ïðèíèìàåò òàêîé âèä
Gu
Ev
1
√
+ √
.
K=− √
2 EG
EG u
EG v
(2.14.133)
(2.14.134)
Èç óðàâíåíèé ÃàóññàÏåòåðñîíàÊîäàööè âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ âàæíàÿ
òåîðåìà Áîííå.
Òåîðåìà 2.14.1 (Áîííå). Ïóñòü Edu2 +2F dudv+Gdv 2 è Ldu2 +2M dudv+
N dv 2 äâå ïðîèçâîëüíûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû, èç êîòîðûõ ïåðâàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ôîðìîé. Åñëè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ýòèõ
êâàäðàòè÷íûõ ôîðì âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ÃàóññàÏåòåðñîíàÊîäàööè, òî
òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî äâèæåíèÿ ïîâåðõíîñòü
Φ â R3 , äëÿ êîòîðîé ýòè ôîðìû ÿâëÿþòñÿ ïåðâîé è, ñîîòâåòñòâåííî,
âòîðîé êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè.
Äëÿ ýêîíîìèè ìåñòà è âðåìåíè ÿ íå áóäó äîêàçûâàòü ýòó òåîðåìó. Åå äîêàçàòåëüñòâî â èäåéíîì ïëàíå (ñìûñëå) ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû
1.9.1, íî â òåõíè÷åñêîì îòíîøåíèè îíî äëèííî è ñâÿçàíî ñ ìíîãî÷èñëåííûìè âû÷èñëåíèÿìè. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Áîííå ìîæíî íàéòè â ëþáîì
èç óêàçàííûõ ìíîþ ó÷åáíèêîâ [Kl2], èëè â äîïîëíåíèè 4.1 ê äàííîé êíèãå.
126
2.15
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Çàäà÷è
Çàäà÷à 2.15.1. Åñëè âñå òî÷êè ðåãóëÿðíîé ïîëíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà
C 3 ÿâëÿþòñÿ îìáèëè÷åñêèìè òî÷êàìè, òî ïîâåðõíîñòü Φ åñòü ñâÿçíàÿ
îòêðûòàÿ îáëàñòü ëèáî íà ñôåðå, ëèáî íà ïëîñêîñòè.
~ ) ïîÐåøåíèå. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà k(p, λ
~ , çíà÷èò, â ÷àñòíîñòè, ãëàâíûå
âåðõíîñòè Φ â êàæäîé òî÷êå íå çàâèñèò îò λ
êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè k1 (p) è k2 (p) ðàâíû ìåæäó ñîáîé â ëþáîé òî÷êå p
(2.15.135)
k1 (p) = k2 (p) = k(p).
Ïóñòü p ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïîâåðõíîñòè Φ.  íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p ââåäåì îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò (u, v). Òîãäà â ýòîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò F = 0, à òàê êàê ëþáàÿ êðèâàÿ íà ïîâåðõíîñòè Φ åñòü ëèíèÿ
êðèâèçíû, òî è M = 0. Òîãäà èç (2.14.133) ïîëó÷èì (k)u = (k)v = 0, òî åñòü
~ ) íå çàâèñèò íè îò p íè îò λ
~ è óòâåðæäåíèå
â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ k(p, λ
çàäà÷è 2.15.1 òåïåðü ñëåäóåò èç çàäà÷è 2.4.1.
Çàäà÷à 2.15.2. Åñëè ãëàâíûå êðèâèçíû ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ êëàññà
C 2 ïîñòîÿííû, òî ïîâåðõíîñòü Φ åñòü ëèáî ñôåðà, ëèáî ïëîñêîñòü, ëèáî
öèëèíäð.
Ðåøåíèå. Ïóñòü k1 (p) = c1 , k2 (p) = c2 . Åñëè c1 = c2 , òî, êàê óæå áûëî
äîêàçàíî, ïîâåðõíîñòü Φ åñòü ëèáî ñôåðà, ëèáî â ñëó÷àå c1 = c2 = 0 ïëîñêîñòü. Ïîýòîìó íàì îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî åñëè c1 6= c2 , òî ëèáî c1 = 0,
~ íà ïîâåðõíîñòè
ëèáî c2 = 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàïðàâëåíèå íîðìàëè n
Φ âûáðàíî òàê, ÷òî k2 (p) > 0, è ïðåäïîëîæèì, ÷òî c1 6= c2 . Ïóñòü p ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïîâåðõíîñòè Φ. Ââåäåì â îêðåñòíîñòè òî÷êè p ñèñòåìó
êîîðäèíàò (u, v), â êîòîðîé êîîðäèíàòíûå ëèíèè åñòü ëèíèè êðèâèçíû. Â
ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Ïåòåðñîíà-Êîäàööè ïðèìóò âèä, ñì. (2.14.133)
(k1 )v =
Ev
1
(k2 − k1 ) ,
2
E
(k2 )u =
1
Gu
(k1 − k2 )
.
2
G
Èç ïðåäïîëîæåíèé k1 (p) = c1 , k2 (p) = c2 è c2 6= c1 ñëåäóåò, ÷òî Ev ≡ 0 è
Gu ≡ 0. Òîãäà ôîðìóëà Ãàóññà íàì äàåò
k1 · k2 = K = −
1
(Evv + Guu ) = 0.
2 EG
(2.15.136)
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî k1 = 0. Çàäà÷à ðåøåíà.
Çàäà÷à 2.15.3. Íàéòè âñå ïîëíûå ðåãóëÿðíûå ïîâåðõíîñòè êëàññà C 3 áåç
îìáèëè÷åñêèõ òî÷åê, ó êîòîðûõ áîëüøàÿ ãëàâíàÿ êðèâèçíà ïîñòîÿííà è
ðàâíà a1 .
Ðåøåíèå.  îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîé òî÷êè p ∈ Φ ââåäåì ñèñòåìó êîîð-
äèíàò (u, v), â êîòîðîé êîîðäèíàòíûå ëèíèè ñóòü ëèíèè êðèâèçíû. Óðàâíåíèÿ ÏåòåðñîíàÊîäàööè ïðèíèìàþò âèä (2.14.133)
(k1 )v =
1
Ev
(k2 − k1 ) ,
2
E
(k2 )u =
1
Gu
(k1 − k2 )
.
2
G
127
2.15. Çàäà÷è
Èç óñëîâèÿ çàäà÷è è èç (2.14.133) ñëåäóåò, ÷òî
(2.15.137)
Gu ≡ 0,
íî òîãäà èç óðàâíåíèÿ (2.12.98) âûòåêàåò, ÷òî ëèíèÿ σu : u = l, v = t åñòü
ãåîäåçè÷åñêàÿ.  ñàìîì äåëå, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî âåëè÷èíà A â óðàâíåíèè (2.12.98), ðàâíàÿ Γ122 , ðàâíà íóëþ. Èç ôîðìóë (2.14.122) è (2.15.137)
èìååì
Gu
= 0.
(2.15.138)
Γ122 = −
2E
Èòàê, ëèíèè σu ñóòü ëèíèè êðèâèçíû è îäíîâðåìåííî ñóòü ãåîäåçè÷åñêèå
ëèíèè. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå îíè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêèìè êðèâûìè è èõ êðèâèçíà
ku (t) ñîâïàäàåò ñ ãëàâíîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè Φ â íàïðàâëåíèÿõ, êàñàòåëüíûõ ê σu (t), òî åñòü ku (t) = a1 . Çíà÷èò σu (t) åñòü îêðóæíîñòü Cu ðàäèóñà
a. Îïðåäåëèì êðèâóþ γu , êàê ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî öåíòðîâ îêðóæíîñòåé
Cu . Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî ïîâåðõíîñòü Φ åñòü îáîáùåííûé
öèëèíäð èëè îáîáùåííûé òîð, ñì. çàäà÷ó 2.13.7.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòè, ó êîòîðûõ ãëàâíûå êðèâèçíû ñâÿçàíû
íåêîòîðûì ñîîòíîøåíèåì: f (k1 (p), k2 (p)) = 0. Åñëè f ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî k1 è k2 , òî ïîâåðõíîñòü Φ â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ
Âåéíãàðòåíà. Ìû ðàññìîòðèì äâà íàèáîëåå èíòåðåñíûõ è âàæíûõ ñëó÷àÿ.
Òåîðåìà 2.15.1 (Ëèáìàí). Åñëè íà ïîëíîé ðåãóëÿðíîé êëàññà C 3 ïîâåðõ-
íîñòè Φ ãàóññîâà êðèâèçíà ïîñòîÿííà è ðàâíà íåêîòîðîìó ïîëîæèòåëü1
.
íîìó ÷èñëó Ko > 0, òî ïîâåðõíîñòü Φ åñòü ñôåðà ðàäèóñà √K
0
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ãëàâíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè Φ ðàâíû äðóã äðóãó âî âñåõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè Φ, òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2.15.1 ñëåäóåò èç
çàäà÷è 2.15.1. Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà p, â êîòîðîé
îäíà èç ãëàâíûõ êðèâèçí, ñêàæåì k1 , äîñòèãàåò ìàêñèìóìà, òîãäà äðóãàÿ â
ýòîé æå òî÷êå äîñòèãàåò ìèíèìóìà, è ïðèâåäåì ýòî ïðåäïîëîæåíèå ê ïðîòèâîðå÷èþ. Òàê êàê â òî÷êå p0 âûïîëíåíî k1 (p0 ) 6= k2 (p0 ), òî â íåêîòîðîé
åå îêðåñòíîñòè ìîæíî ââåñòè êîîðäèíàòû (u, v) òàê, ÷òî êîîðäèíàòíûå ëèíèè áóäóò ëèíèÿìè êðèâèçíû, èëè, ÷òî òî æå, áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâà
M = F = 0. Ïóñòü, êðîìå òîãî, p0 (0, 0).  òî÷êå p0 âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà
(k1 )u = (k1 )v = (k2 )u = (k2 )v = 0
(2.15.139)
è äâà íåðàâåíñòâà
∂ 2 k1
∂ 2 k2
≤
0,
≥ 0.
(2.15.140)
∂ v2
∂ u2
Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü óðàâíåíèÿìè Ïåòåðñîíà-Êîäàööè ñì. (2.14.133). Èç
íèõ è (2.15.139) ïîëó÷àåì
Ev (p0 ) = Gu (p0 ) = 0.
(2.15.141)
Èç (2.15.140) è (2.14.133) èìååì
2 1 Evv
∂ k1
(k2 − k1 )
=
≤ 0,
2 E
∂ v 2 p0
p0
îòêóäà
Evv (p0 ) ≥ 0.
(2.15.142)
128
2
Àíàëîãè÷íî
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
2 1 Guu
∂ k2
≥ 0,
(k1 − k2 )
=
2 G
∂ u2 p0
p0
îòêóäà
(2.15.143)
(2.15.144)
Guu (p0 ) ≥ 0.
Ïîäñòàâèì (2.15.141), (2.15.142) è (2.15.144) â ôîðìóëó Ãàóññà (2.14.134),
ïîëó÷èì
1
K(p0 ) = −
[Evv + Guu ]p0 ≤ 0
2 EG
âîïðåêè ïðåäïîëîæåíèþ. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó.
Óñëîâèå ïîëíîòû ïîâåðõíîñòè Φ â òåîðåìå 2.15.1 íå ÿâëÿåòñÿ èçëèøíèì.
Èçâåñòíî, ÷òî åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè Φ ïîñòîÿííà,
òî Φ íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ íåêîòîðîé ñôåðû. Èíûìè ñëîâàìè,
ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïîëíàÿ ñôåðà íåèçãèáàåìà, à ëþáàÿ åå ÷àñòü èçãèáàåìà.
Èç òåîðåìû 2.15.1 âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, òàêæå ïðèíàäëåæàùåå Ëèáìàíó.
Òåîðåìà 2.15.2. Åñëè íà çàìêíóòîé, ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè Φ ãàóññîâà
êðèâèçíà ïîëîæèòåëüíà, à ñðåäíÿÿ êðèâèçíà H ïîñòîÿííà è ðàâíà íåêîòîðîìó ÷èñëó H0 , òî ïîâåðõíîñòü åñòü ñôåðà ðàäèóñà 1/H0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.15.2 ìîæíî ïðîâåñòè ïî ñõåìå
äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2.15.1, ïîâòîðÿÿ åãî äîñëîâíî.
Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû îñíîâàíî íà ïðèåìå, óêàçàííîì
Áîííå. Ïóñòü Φ(a) ýêâèäèñòàíòíàÿ ïîâåðõíîñòü ê ïîâåðõíîñòè Φ òîãäà
ïî òåîðåìå 2.4.6 ãëàâíûå êðèâèçíû k1 (a) è k2 (a) ïîâåðõíîñòè Φ(a) âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè:
k1 (a) =
k1
,
1 − ak1
k2 (a) =
k2
.
1 − ak2
Ïîýòîìó ãàóññîâà êðèâèçíà K(a) ïîâåðõíîñòè Φ(a) ðàâíà
k1 k2
k1 k2
=
.
1 − a(k1 + k2 ) + a2 k1 k2
1 − 2H0 a + a2 k1 k2
1
1
. Òîãäà K 2H
= 4H02 . Èòàê, ìû âèäèì, ÷òî ãàóññîâà
Ïîëîæèì a = 2H
0
0
1
êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè Φ 2H
ïîñòîÿííà è ðàâíà 4H02 . Ñëåäîâàòåëüíî, êàê
0
1
ýòî äîêàçàíî â òåîðåìå 2.15.1, ïîâåðõíîñòü Φ 2H
åñòü ñôåðà. Íî òîãäà è
0
K(a) =
ïîâåðõíîñòü Φ åñòü ñôåðà ðàäèóñà
1
H0 .
Òðåáîâàíèå ñòðîãîé ïîëîæèòåëüíîñòè ãàóññîâîé êðèâèçíû Φ â óñëîâèÿõ
òåîðåìû 2.15.2 íå ÿâëÿåòñÿ èçëèøíèì, òàê êàê åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå p
ïîâåðõíîñòè Φ îäíà èç ãëàâíûõ êðèâèçí ðàâíà íóëþ, òî äðóãàÿ ãëàâíàÿ
1
êðèâèçíà â ýòîé òî÷êå ðàâíà 2H0 è òî÷êà ϕ(p) ïîâåðõíîñòè Φ( 2H
) íå áóäåò
0
ðåãóëÿðíîé òî÷êîé, êàê ýòî âèäíî èç òåîðåìû 2.4.6
Íàêîíåö, åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2.15.2 ïîòðåáîâàòü ïîñòîÿíñòâî ñóììû ãëàâíûõ ðàäèóñîâ êðèâèçí, òî ðåçóëüòàò áóäåò òîò æå. Ïîâåðõíîñòü Φ
129
2.15. Çàäà÷è
áóäåò ñôåðîé. Ýòî óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì áîëåå îáùåé òåîðåìû,
ïîëó÷åííîé Êðèñòîôôåëåì, è åãî ìîæíî äîêàçàòü, ñëåäóÿ ñõåìå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2.15.1
Íàêîíåö, ìû äîêàæåì îáåùàííóþ ðàíåå òåîðåìó Ãèëüáåðòà.
Òåîðåìà 2.15.3 (Ãèëüáåðò). Â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå íå
ñóùåñòâóåò ïîëíîé ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè êëàññà C 3 , ãàóññîâà êðèâèçíà
êîòîðîé ïîñòîÿííà è ðàâíà îòðèöàòåëüíîìó ÷èñëó K0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ñóùåñòâîâàíèå ïîâåðõíîñòè Φ, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì òåîðåìû 2.15.3 è ïðèâåäåì ýòî ïðåäïîëîæåíèå ê ïðîòèâîðå÷èþ. Ââåäåì íà ïîâåðõíîñòè êîîðäèíàòû (u, v) òàê, ÷òî êîîðäèíàòíûå
ëèíèè áóäóò ëèíèÿìè êðèâèçíû. Òîãäà â îáîçíà÷åíèÿõ òåîðåìû 2.15.1 ìû
ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé
(k1 )v =
Ev
1
(k2 − k1 ) ,
2
E
(k2 )u =
1
Gu
(k1 − k2 )
.
2
G
(2.15.145)
Ñ÷èòàÿ K0 = −1 è èíòåãðèðóÿ ñèñòåìó (2.15.145), ìû ïîëó÷èì
E=
C1 (u)
,
1 + k12 (u, v)
G=
C2 (v)
.
1 + k22 (u, v)
Êîíñòàíòû C1 (u), C2 (v), íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíû1
ìè 1. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû E(u, 0) =
è
1 + k12 (u, 0)
1
G(0, v) =
, ÷åãî âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïî1 + k22 (0, v)
ëó÷èì ðàâåíñòâà
1
1
E=
, G=
.
1 + k12
1 + k22
Íî òîãäà, ó÷èòûâàÿ ÷òî k1 k2 = −1
E+G=
1
1
2 + k12 + k22
2 + k12 + k22
+
=
=1
=
2
2
2
2
2
2
1 + k1
1 + k2
1 + k1 + k2 + k1 k2
2 + k12 + k22
è òàêèì îáðàçîì ïîëó÷èì:
√
√
E = sin σ,
G = cos σ.
Îòñþäà ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (2.14.131) ìû íàéäåì:
L = + sin σ cos σ,
N = − sin σ cos σ.
Ñëåäîâàòåëüíî, äèôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé áóäåò
èìåòü âèä:
(du + dv)(du − dv) = 0.
Åñëè ìû ââåäåì íîâûå ïàðàìåòðû p è q ñîîòíîøåíèÿìè:
u = p − q,
v = p + q,
òî íîâûå ïàðàìåòðè÷åñêèå ëèíèè p = const è q = const, áóäóò àñèìïòîòè÷åñêèìè ëèíèÿìè ïîâåðõíîñòè. Ëèíåéíûé ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè ïðåäñòàâèòñÿ
ïðè ýòîì âûðàæåíèåì:
ds2 = du2 sin2 σ + dv 2 cos2 σ = dp2 + 2dpdq cos 2σ + dq 2 .
130
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Îòñþäà ìåæäó ïðî÷èì âûòåêàåò âûâîä, ÷òî â ÷åòûðåõóãîëüíèêå, îáðàçîâàííîì èç àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé, ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Òàêèå ñåòè êðèâûõ (äëÿ êîòîðûõ E = G = 1) íà ïðîèçâîëüíûõ
ïîâåðõíîñòÿõ èññëåäîâàë ðóññêèé ìàòåìàòèê Ï.Ë. ×åáûøåâ â 1878 ã. Åñëè
ðûáîëîâíóþ ñåòü íàòÿíóòü íà êðèâóþ ïîâåðõíîñòü, òî íà ïîñëåäíåé îáðàçóþòñÿ ôèãóðû òàêîãî ðîäà.
Åñëè ê ëèíåéíîìó ýëåìåíòó, âûðàæåííîìó ÷åðåç ïàðàìåòðû p, q , ïðèìåíèòü ôîðìóëó Ãàóññà (2.14.129), òî äëÿ óãëà 2σ = ω , îáðàçîâàííîãî äâóìÿ
àñèìïòîòè÷åñêèìè ëèíèÿìè, ìû íàéäåì äèôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå:
∂2ω
= sin ω.
∂p∂q
(2.15.146)
Îòñþäà ëåãêî âûâåñòè ïðîñòûå ñëåäñòâèÿ, íàïðèìåð, äëÿ ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè:
Z Z
F =
sin ωdpdq.
Äëÿ ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêà, îãðàíè÷åííîãî àñèìïòîòè÷åñêèìè ëèíèÿìè p1 < p < p2 ; q1 < q < q2 ìû íàéäåì:
F = ω(p1 , q1 ) − ω(p1 , q2 ) + ω(p2 , q2 ) − ω(p2 , q1 )
èëè, åñëè îáîçíà÷èòü âíóòðåííèå óãëû ÷åðåç αk (ñì. ÷åðò.):
F = α1 + α2 + α3 + α4 − 2π;
0 < αk < π.
(2.15.147)
Ýòà ôîðìóëà áûëà äàíà â 1878 ã. Ãàööèäàêèñîì. Âñå èçâåñòíûå ïîâåðõíîñòè
ïîñòîÿííîé îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû, êàê íàïðèìåð, âèíòîâàÿ ïîâåðõíîñòü,
íàéäåííàÿ Ìèíäèíãîì, èìåëè îñîáûå ëèíèè. Ïîýòîìó Ãèëüáåðòîì áûë ïîñòàâëåí âîïðîñ, ñóùåñòâóþò ëè íåîãðàíè÷åííûå è â ëþáîé êîíå÷íîé îáëàñòè âñþäó ïðàâèëüíûå àíàëèòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè ñ êðèâèçíîé K = −1.
Îêàçàëîñü, ÷òî òàêèå ïîâåðõíîñòè íå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü.
Åñëè áû òàêàÿ ïîâåðõíîñòü ñóùåñòâîâàëà, òî åå àñèìïòîòè÷åñêèå ëèíèè
áûëè áû â ëþáîé êîíå÷íîé îáëàñòè âñþäó ïðàâèëüíûìè àíàëèòè÷åñêèìè
êðèâûìè; ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïðîõîäèëî áû äâå àñèìïòîòè÷åñêèõ
Ðèñ. 2.29: Èëëþñòðàöèÿ ê òåîðåìå 2.15.3
ëèíèè ñ äâóìÿ ðàçëè÷íûìè êàñàòåëüíûìè, òàê ÷òî óãîë ìåæäó íèìè ìû
ìîãëè áû ïîä÷èíèòü óñëîâèþ 0 < ω < π . Åñëè ìû ïðèìåì òåïåðü p è q çà
ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû òî÷êè íà ïëîñêîñòè, òî òî÷êè íàøåé ïîâåðõíîñòè ìû ïîñòàâèì â îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ñ òî÷êàìè ïëîñêîñòè. Ïîâåðõíîñòü îòîáðàçèòñÿ òàêèì îáðàçîì íà ïëîñêîñòü îäíîçíà÷íî. Áóäåò ëè è
îáðàòíîå îòîáðàæåíèå îäíîçíà÷íûì, ýòîãî çàðàíåå ñêàçàòü íåëüçÿ, òàê êàê
ìû íå èñêëþ÷èëè ïîêà âîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ çàìêíóòûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé. Òàê êàê â ñèëó ôîðìóëû (2.15.146) ω íå ìîæåò îñòàâàòüñÿ
ïîñòîÿííûì íè íà îäíîé èç àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé, òî ìîæíî âûáðàòü íà
ïîâåðõíîñòè íà÷àëî îòñ÷åòà p è q è ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îòñ÷åòà p
òàê, ÷òîáû ω(p, 0) âîçðàñòàëî ïðè
0 ≤ p ≤ p2 .
131
2.15. Çàäà÷è
Òîãäà ìû èìåëè áû:
Z
p
Z
ω(p, q) − ω(0, q) = ω(p, 0) − ω(0, 0) +
q
sin ωdpdq.
0
(2.15.148)
0
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ω âîçðàñòàåò íà êàæäîì îòðåçêå q = const > 0, 0 < p <
p2 ïî ìåíüøåé ìåðå ñòîëü æå áûñòðî, êàê íà îòðåçêå q = 0, 0 < p < p2 (èáî
äâîéíîé èíòåãðàë ïîëîæèòåëåí).
Ðàññìîòðèì òåïåðü ÷åòûðåõóãîëüíèê (ñì. ÷åðò.) 0 < p < p1 < p2 , 0 <
q < q1 è ïîëîæèì ω(p2 , 0) − ω(p1 , 0) = ε.  ýòîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ïðè
äîñòàòî÷íî áîëüøîì q1 çàâåäîìî íàéäåòñÿ òî÷êà, äëÿ êîòîðîé
ε
ω=π− .
2
 ñàìîì äåëå, åñëè áû ω îñòàâàëîñü âñåãäà ìåíüøå π − 2ε òî èíòåãðàë, âõîäÿùèé â ôîðìóëó (2.15.148), ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì q ìîã áû áûòü ñäåëàí
ñêîëü óãîäíî áîëüøèì, òàê êàê, íàïðèìåð, ïðè
p1
< q < p1
2
âñåãäà èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà:
p1
ε
ω( , 0) − ω(0, 0) < ω(p, q) < π −
2
2
è, çíà÷èò, sin ω âñåãäà ïðåâîñõîäèò íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Íî òîãäà ìîæíî áûëî áû ñäåëàòü è ω(p, q) ñêîëü óãîäíî áîëüøèì, âîïðåêè ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî ω < π . Ïóñòü òåïåðü p0 , q0 åñòü òàêàÿ òî÷êà, äëÿ êîòîðîé
ε
ω(p0 , q0 ) < π − .
2
 ñèëó ôîðìóëû (2.15.148) ìû èìåëè áû:
ω(p2 , q0 ) − ω(p0 , q0 ) = ω(p2 , 0) − ω(p0 , 0)+
Z p2 Z q0
+
sin ωdpdq > ω(p2 , 0) − ω(p1 , 0) = ε
p0
è, ñëåäîâàòåëüíî:
0
ε
ω(p2 , q0 ) > π − .
2
Òàêèì îáðàçîì óãîë ñî ïðåâçîøåë áû π íà îòðåçêå p0 < p < p2 ; q = q0 ,
âîïðåêè íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ. Ýòî ïðîñòîå äîêàçàòåëüñòâî áûëî äàíî
Ãîëüìãðåíîì â 1902 ã.
 çàêëþ÷åíèå óêàæåì âêðàòöå õîä ìûñëè ïåðâîãî, äàííîãî Ãèëüáåðòîì,
äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ.
Èç òîãî ôàêòà, ÷òî àñèìïòîòè÷åñêèå ëèíèè îáðàçóþò ñåòü ×åáûøåâà,
Ãèëüáåðò çàêëþ÷àåò, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè íå ñóùåñòâóåò íè îäíîé çàìêíóòîé àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè. Ïîýòîìó, åñëè áû ïîâåðõíîñòü áûëà âñþäó ïðàâèëüíîé, îíà íàõîäèëàñü áû âî âçàèìíîîäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ïëîñêîñòüþ p, q . Èç ôîðìóëû Ãàööèäàêèñà (2.15.147) ìîæíî âûâåñòè êàê ñëåäñòâèå, ÷òî ïëîùàäü êàæäîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, îãðàíè÷åííîãî àñèìïòîòè÷åñêèìè ëèíèÿìè, ìåíüøå 2π è ÷òî, ñëåäîâàòåëüíî, ïëîùàäü âñåé ïîâåðõíîñòè áûëà áû ìåíüøå èëè ðàâíà 2π . Íî ñ ïîìîùüþ îòîáðàæåíèÿ íà ïîëóïëîñêîñòü Ïóàíêàðå ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïëîùàäü âñåé ïîâåðõíîñòè
ZZ
dxdy
2
y>0 y
132
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
áåñêîíå÷íî âåëèêà. Èòàê, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò íåîãðàíè÷åííàÿ è
âñþäó ïðàâèëüíàÿ ïîâåðõíîñòü ñ ìåðîé êðèâèçíû K = −1, ìû ïðèõîäèì ê
ïðîòèâîðå÷èþ.
Íåîáõîäèìî òîëüêî îòìåòèòü, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå íà âñåé ïîâåðõíîñòè
íóæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íå äîêàçàíî.
2.16
Óïðàæíåíèÿ ê ãëàâå 2
1. Íàïèñàòü ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ: à) äâóïîëîñòíîãî ãèïåðáîëè÷åñêîãî öèëèíäðà, á) êðóãîâîãî öèëèíäðà, ñ) êðóãîâîãî êîíóñà.
2. Íàïèñàòü óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ:
à) òîðà, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ ïðè âðàùåíèè îêðóæíîñòè
x = a + b cos u, y = 0, z = b sin u, 0 < b < a,
âîêðóã îñè Oz .
á) ïñåâäîñôåðû, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïðè âðàùåíèè òðàêòðèñû
x = a sin u,
y = 0,
z = a(ln tg
u
2
+ cos u)
âîêðóã îñè OZ ,
â) êàòåíîèäà, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ ïðè âðàùåíèè öåïíîé ëèíèè
x = a cosh ua ,
y = 0,
z=u
3. Ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ

u
 x = u2 +v2
v
y = u2 +v2 ,

1
z = u2 +v
2
âîêðóã îñè OZ .

 x = u cos v
y = u sin v

z = u2
çàäàþò îäíó è òó æå ïîâåðõíîñòü.
4. Äîêàçàòü, ÷òî ïîâåðõíîñòü


 x=
y=

 z=
a(uv+1)
u+v
b(u−v)
u+v
uv−1
u+v
åñòü îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä. Êàêîâû êîîðäèíàòíûå ëèíèè ïîâåðõíîñòè ó ýòîé ïàðàìåòðèçàöèè?
5. Äàíà ïîâåðõíîñòü x = a(u + v), y = b(u − v), z = 2uv . Íàéòè ÿâíîå
óðàâíåíèå ýòîé ïîâåðõíîñòè è äîêàçàòü, ÷òî ýòî åñòü ãèïåðáîëè÷åñêèé
ïàðàáîëîèä.
6. Äîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå x = u + sin v, y = u + cos v, z = u + a ñóòü
óðàâíåíèå öèëèíäðà.
7. Íàïèñàòü óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè ïîâåðõíîñòè:
a) x2 + 2y 2 − 3z 2 − 4 = 0 â òî÷êå M (3, 1, −1),


 x=u+v
 x = u cos v
y = u sin v , âî âñåõ òî÷êàõ.
b) y = u − v , â òî÷êå M (2, 1), c)


z = uv
z = av
133
2.16. Óïðàæíåíèÿ ê ãëàâå 2
8. Íàïèñàòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè ê ïñåâäîñôåðå
x = a sin u cos v,
y = a sin u sin v,
z = a(ln tg u2 + cos u).
9. Ïîêàçàòü, ÷òî âñå ïëîñêîñòè, êàñàòåëüíûå ê ïîâåðõíîñòè
z = x3 + y 3
â òî÷êàõ M (α, −α, 0), îáðàçóþò ïó÷îê ïëîñêîñòåé.
10. Íàéòè ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïîâåðõíîñòè:


 x = R cos u cos v
 x = u cos v
y = R cos u sin v , b) êðóãîâîãî êîíóñà
y = u sin v
à) ñôåðû


z = R sin u
z=u

u
 x = a cosh a
y = u cos ua sin v .
c) êàòåíîèäà

z=u
11. Íàéòè ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó
à) öèëèíäðà;
â) ïñåâäîñôåðû;
ã) ãåëèêîèäà.
12. Íà ïðÿìîì
√ ãåëèêîèäå x = u cos v, y = u sin v, z = 2v çàäàíû ëèíèè
v = ln( u2 + b2 ± u) + C . Âû÷èñëèòü äëèíû äóã ýòèõ ëèíèé ìåæäó
äâóìÿ òî÷êàìè M1 (1, 2) è M2 (3, 4).
13. Íàéòè ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà íà ïðÿìîì ãåëèêîèäå
x = u cos v, y = u sin v, z = av , îãðàíè÷åííîãî ëèíèÿìè u = 0, u = a,
v = 0, v = 1.
14. Íàéòè ïåðèìåòð, âíóòðåííèå óãëû è ïëîùàäü
êðèâîëèíåéíîãî òðå
 x = u cos v
y = u sin v .
óãîëüíèêà u = ± 21 avr, v = 1 íà ãåëèêîèäå

z = −av
15. Íàéòè âòîðóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïîâåðõíîñòè: a) ñôåðû, b) êðóãîâîãî êîíóñà, ñ) êàòåíîèäà, d) ïñåâäîñôåðû

 x = a sin u cos v
y = a sin u sin v
.

z = a(ln tg u2 + cos u)
16. Íàéòè âòîðóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó: à) öèëèíäðà; á) ãåëèêîèäà.
17. Âû÷èñëèòü ãëàâíûå êðèâèçíû â âåðøèíàõ äâóïîëîñòíîãî ãèïåðáîëî2
2
2
èäà xa2 − yb2 − zc2 − 1 = 0. Âû÷èñëèòü ãëàâíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè
z = xy â òî÷êå M (1, 1, 1).
18. Íàéòè ãëàâíûå êðèâèçíû è ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè:
a) z = xy â òî÷êå M (1, 1, 1),
b)
x2
p
+
y2
p
= 2z â òî÷êå M (0, 0, 0),
134
2

 x = u2 + v 2
y = u2 − v 2
ñ)

z = uv
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
â òî÷êå M (1, 1).
19. Íàéòè ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè: a) ñôåðû, b) êðóãîâîãî öèëèí2
2
äðà, ñ) êàòåíîèäà, d) ïàðàáîëîèäà xp + yp = 2z , e) ïñåâäîñôåðû.
20. Âû÷èñëèòü ñðåäíþþ êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè: à) ñôåðû; á) öèëèíäðà; â)
ãåëèêîèäà.
21. Âû÷èñëèòü ñðåäíþþ êðèâèçíó êàòåíîèäà.
22. Íàéòè ëèíèè êðèâèçíû ñëåäóþùèõ ïîâåðõíîñòåé: à) ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ; á) ïîâåðõíîñòè x = u2 + v 2 , y = u2 − v 2 , z = v .
23. Äîêàçàòü, ÷òî îìáèëè÷åñêèå òî÷êè ïîâåðõíîñòè

2
 x = u2 + v
v2
 y =u+ 2
z = uv
ëåæàò íà ëèíèÿõ u = v, u + v + 1 = 0.
24. Íàéòè ëèíèè êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè:


 x = 3u2 − u3 + 3uv 2
 x = u2 + v 2
2
2
y = u2 − 3u2 v − 3v .
y = u − v , b)
a)


z = 3(u2 − v 2 )
z=v
2
25. Äîêàçàòü, ÷òî ëèíèÿ x = 1+t
, y =
1
ëèíèÿ ïîâåðõíîñòè z = x2 − y12 .
2
1−t ,
z = t åñòü àñèìïòîòè÷åñêàÿ
26. Íàéòè àñèìïòîòè÷åñêèå ëèíèè ïðÿìîãî ãåëèêîèäà.
27. Íàéòè ãåîäåçè÷åñêóþ êðèâèçíó ëèíèè: a) îêðóæíîñòè ðàäèóñà r íà
ñôåðå ðàäèóñà R, b) âèíòîâûå ëèíèè u = c, v = t íà ãåëèêîèäå x =
u cos v, y = u sin v, z = u.
28. Íàéòè ãåîäåçè÷åñêóþ êðèâèçíó ëèíèè u = const è v = const íà ïîâåðõíîñòè x = u cos v, y = u sin v, z = f (v).
29. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó, äâèæóùóþñÿ ïî íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè, íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû, òî îíà áóäåò äâèãàòüñÿ
ïî ãåîäåçè÷åñêîé.
30. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ïðÿìàÿ íà ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé
ëèíèåé.
31. Äîêàçàòü, ÷òî ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé êðèâèçíû òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ïëîñêàÿ.
32. Äîêàçàòü, ÷òî ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîé òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ïðÿìàÿ.
2.16. Óïðàæíåíèÿ ê ãëàâå 2
135
33. Äâå ïîâåðõíîñòè êàñàþòñÿ ïî ëèíèè L. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè L ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ íà îäíîé ïîâåðõíîñòè, òî îíà äîëæíà áûòü ãåîäåçè÷åñêîé è íà äðóãîé ïîâåðõíîñòè.
34. Íàéòè ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè:
1) öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè,
2) êðóãëîãî êîíóñà,
3) ïëîñêîãî òîðà,
4) ëèñòà Ìåáèóñà,
5) áóòûëêè Êëåéíà,
6) ñôåðû,
7) ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè.
35. Äîêàçàòü, ÷òî ìåðèäèàíû ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè ëèíèÿìè.
36. Äîêàçàòü, ÷òî ïàðàëëåëü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ áóäåò ãåîäåçè÷åñêîé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàñàòåëüíàÿ ê ìåðèäèàíó â åå òî÷êàõ ïàðàëëåëüíà îñè âðàùåíèÿ.
37. Íàéòè ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè: a) ãåëèêîèäà x = u cos v , y = u sin v , z =
hv , b) ïñåâäîñôåðû.
38. Äîêàçàòü, ÷òî ïëîñêîñòü è êàòåíîèä ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè ìèíèìàëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè âðàùåíèÿ.
39. Äîêàçàòü, ÷òî ñðåäè ëèíåé÷àòûõ ïîâåðõíîñòåé ìèíèìàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòü è ïðÿìîé ãåëèêîèä.
40∗ Ïóñòü γ çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé íà
çàìêíóòîé âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè. Äîêàçàòü, ÷òî ñôåðè÷åñêèé îáðàç
êðèâîé γ äåëèò ãàóññîâó ñôåðó íà äâå ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè.
136
2
Âíåøíÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé . . .
Ãëàâà 3
Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ
ïîâåðõíîñòè
 ýòîé ãëàâå èçëàãàþòñÿ îñíîâû âíóòðåííåé ãåîìåòðèè äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè. Èçëîæåíèå âåäåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî âñå óòâåðæäåíèÿ, êðîìå òåîðåìû Ãàóññà-Áîííå, ïåðåíîñÿòñÿ ïî÷òè äîñëîâíî íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé.
Ïîýòîìó òåêñò ýòîé ãëàâû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ââåäåíèå â òåîðèþ
ìíîãîìåðíûõ ðèìàíîâûõ ìíîãîîáðàçèé.
3.1
Ââåäåíèå íîâûõ îáîçíà÷åíèé
Ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû (u, v) íåêîòîðîé ïàðàìåòðèçàöèè ïîâåðõíîñòè M
áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç (u1 , u2 ), âåêòîðû ~r u1 (u1 , u2 ) è ~r u2 (u1 , u2 ) ÷åðåç ~r 1 è
~r 2 . Êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû îáîçíà÷èì ÷åðåç gik , (i, k =
1, 2), ãäå gik = (~r i ,~r k ); ýëåìåíòû ìàòðèöû, îáðàòíîé ê ìàòðèöå kgij k, ÷åðåç
~ â ëîêàëüíîì áàçèñå ~r 1 , ~r 2 ÷åðåç λ1 , λ2 , λ
~ =
g ij ; êîîðäèíàòû âåêòîðà λ
1~
2~
λ r 1 + λ r 2 . Ââåäåì åùå âåëè÷èíû
1 ∂gjl
∂gkl
∂gjk
Γjk,l =
+
−
,
(i, j, k = 1, 2),
(3.1.1)
2 ∂uk
∂uj
∂ul
êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ñèìâîëàìè Êðèñòîôôåëÿ 1-ãî ðîäà è ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ 2-ãî ðîäà, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè
Γijk =
2
X
Γjk,l g li ,
(i, j, k = 1, 2).
(3.1.2)
l=1
Äåðèâàöèîííûå ôîðìóëû (2.14.114) â ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ ïðèìóò âèä
2
X
∂~r i
~
r
=
=
Γkij~r k + Aij ~n,
ij
∂uj
(i, j = 1, 2),
(3.1.3)
k=1
~ íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè M , à Aij êîýôôèöèåíòû âòîðîé êâàäãäå n
ðàòè÷íîé ôîðìû. Ãàóññîâà êðèâèçíà K ïîâåðõíîñòè M âûðàæàåòñÿ ÷åðåç
137
138
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïî ôîðìóëå
∂Γ212
1 ∂Γ211
1
2
2
2
1
2
2
2
−
+ Γ11 Γ12 + Γ11 Γ22 − Γ12 Γ11 − Γ12 Γ12 .
K=
g11 ∂u2
∂u1
(3.1.4)
Åñëè óðàâíåíèÿ íåêîòîðîé êðèâîé c(t) â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ (u1 , u2 )
çàäàþòñÿ ôóíêöèÿìè (u1 (t), u2 (t)), òî êàñàòåëüíûé âåêòîð ê c(t), ðàâíûé
du1
du2
0
~
~
dt r 1 + dt r 2 , áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç c (t).  äàëüíåéøåì, äëÿ ñîêðàùåíèÿ
çàïèñè, óñëîâèìñÿ, ÷òî åñëè â íåêîòîðîì âûðàæåíèè îäèí è òîò æå èíäåêñ
âñòðå÷àåòñÿ äâàæäû îäèí ðàç ñâåðõó è îäèí ðàç ñíèçó, òî ïî ýòîìó èíäåêñó
ïðîèñõîäèò ñóììèðîâàíèå, íàïðèìåð, (~µ, ~λ) = gij λi µj , Γijk = g il Γjk,l è ò.ä.
3.2
Àáñîëþòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ
Ïóñòü âäîëü ãëàäêîé êðèâîé c(t) ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè M êëàññà C 3 çàäàíî äèôôåðåíöèðóåìîå âåêòîðíîå ïîëå ~λ(t) ∈ (T M )c(t) .  òî÷êå c(t) âîçü~
~ (t).  îáùåì ñëó÷àå âåêòîð d~λ íå
ìåì ïðîèçâîäíóþ dλ âåêòîðíîãî ïîëÿ λ
dt
dt
~
ïðèíàäëåæèò ïëîñêîñòè (T M )c(t) . Îïðåäåëèì àáñîëþòíóþ ïðîèçâîäíóþ Ddtλ
~ âäîëü c(t), êàê îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ d~λ íà (T M )c(t) .
âåêòîðíîãî ïîëÿ λ
dt
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò
!
d~λ
d~λ
D~λ
~ n
~,
=
−
,n
(3.2.5)
dt
dt
dt
~
~ íîðìàëü ê M â òî÷êå c(t). Íàéäåì àíàëèòè÷åñêóþ çàïèñü Ddtλ â
ãäå n
~ (t) = λ1 (t)~r 1 (t) + λ2 (t)~r 2 (t), à c(t) çàäàåòñÿ
ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ. Ïóñòü λ
1
1
2
óðàâíåíèÿìè u = u (t), u = u2 (t).  ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ
d~λ
dλ1
dλ2
du1
du1
du2
du2
1
2
~r 1 +
~r 2 + λ ~r 11
=
+ ~r 12
+ λ ~r 21
+ ~r 22
.
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
~ ïî äåðèâàöèîííûì ôîðìóëàì (3.1.3).
Âûðàçèì ~r 1i è ~r 2j ÷åðåç ~r 1 ,~r 2 è n
Ïîëó÷èì
1
2
j
j
dλ
d~λ
dλ
1 i du
2 i du
~
r
~r 2 + A~n.
=
+ Γij λ
+ Γij λ
(3.2.6)
1+
dt
dt
dt
dt
dt
~
~ ) = A. Ïîýòîìó
Èç (3.2.6) âèäíî, ÷òî ( ddtλ , n
1
2
j
j
D~λ
dλ
dλ
1 i du
2 i du
~r 1 +
~r 2 ,
=
+ Γij λ
+ Γij λ
dt
dt
dt
dt
dt
à
(
D~λ
dt
)k
=
dλk
duj
+ Γkij λi
,
dt
dt
(k = 1, 2).
Çàìå÷àíèå 3.2.1. Èíîãäà ïîëåçíî âìåñòî îáîçíà÷åíèÿ
D~
λ
dt
c(t)
D~
λ
dt
(3.2.7)
(3.2.8)
óïîòðåáëÿòü
, óêàçûâàÿ ÿâíî, ÷òî àáñîëþòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ áåðåòñÿ âäîëü c(t).
3.3. Ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå âåêòîðà âäîëü êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè
139
Çàìå÷àíèå 3.2.2. Ïðè îïðåäåëåíèè àáñîëþòíîé ïðîèçâîäíîé âåêòîðíî-
~ (t) âäîëü c(t) ìû ïîëüçîâàëèñü òåì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî ïîãî ïîëÿ λ
âåðõíîñòü M íàõîäèòñÿ â 3-õ ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Îäíàêî
ôîðìóëû (3.2.7), (3.2.8), (3.1.1) è (3.1.2) ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè çàäàííîé
~ (t) êîîðäèíàòû âåêòîðíîãî
êðèâîé c(t) è ïðè çàäàííîì âåêòîðíîì ïîëå λ
D~
λ
ïîëÿ dt âûðàæàþòñÿ òîëüêî ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé
~ . Ïîýòîìó ìîæíî
ôîðìû, èõ ïåðâûå ïðîèçâîäíûå è ÷åðåç êîîðäèíàòû λ
ñêàçàòü, ÷òî àáñîëþòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ âäîëü êðèâîé åñòü
îáúåêò âíóòðåííåé ãåîìåòðèè.
3.3
Ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå âåêòîðà âäîëü
êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè
~ (t) âäîëü êðèâîé c(t) íà M íàçûâàÎïðåäåëåíèå 3.3.1. Âåêòîðíîå ïîëå λ
åòñÿ ïîëåì ïàðàëëåëüíûõ âåêòîðîâ, åñëè
D~λ(t)
dt
≡ 0.
c(t)
~ 1 â òî÷êå c(t1 ) ïîëó÷åí
Îïðåäåëåíèå 3.3.2. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âåêòîð λ
~ 0 â òî÷êå c(t0 ) ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì âäîëü c(t), (t0 ≤ t ≤ t1 ),
èç âåêòîðà λ
~ (t), (t0 ≤ t ≤ t1 ),
åñëè ñóùåñòâóåò âäîëü c(t) ïîëå ïàðàëëåëüíûõ âåêòîðîâ λ
~
~
~
~
äëÿ êîòîðîãî λ (t0 ) = λ 0 , λ (t1 ) = λ 1 .
Åñëè êðèâàÿ c(t) öåëèêîì ëåæèò â îäíîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè,
~ 1 ÷åðåç êîîðäèíàòû λ1 , λ2
òî äëÿ íàõîæäåíèÿ êîîðäèíàò λ11 , λ21 âåêòîðà λ
0
0
~ 0 íóæíî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ 3.3.2 íàéòè ðåøåíèå ñèñòåìû:
âåêòîðà λ
dλk
duj
+ Γkij λi
= 0,
dt
dt
(k = 1, 2)
(3.3.9)
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè λ1 (t0 ) = λ10 , λ2 (t0 ) = λ20 è ïîëîæèòü λ11 = λ1 (t1 ),
λ21 = λ2 (t1 ). Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ñèñòåìû (3.3.9) ïðè
ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ è äëÿ ëþáîãî t ñëåäóåò èç èçâåñòíûõ òåîðåì î
ëèíåéíûõ ñèñòåìàõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
Åñëè æå êðèâàÿ c(t) íå ïîìåùàåòñÿ öåëèêîì â îäíó êîîðäèíàòíóþ îêðåñòíîñòü, òî åå ìîæíî ðàçáèòü íà êîíå÷íîå ÷èñëî äóã, êàæäàÿ èç êîòîðûõ óæå
íàõîäèòñÿ âíóòðè íåêîòîðîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè è ïðîèçâåñòè ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå ïîñëåäîâàòåëüíî âäîëü êàæäîé ÷àñòè. Ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå âåêòîðà ìîæíî îïðåäåëèòü òàêæå âäîëü êóñî÷íî-ãëàäêîé
êðèâîé, êàê ïîñëåäîâàòåëüíîå ïåðåíåñåíèå âäîëü êàæäîãî ãëàäêîãî êóñêà.
Çàìåòèì, ÷òî ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå âåêòîðà íà ïîâåðõíîñòè îïðåäåëåíî
êàê ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå âäîëü çàäàííîé êðèâîé. Ïîýòîìó ðåçóëüòàò
ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñèò íå òîëüêî îò íà÷àëüíîé òî÷êè p0 è êîíå÷íîé òî÷êè p1 , íî è îò òîãî, ïî êàêîé êðèâîé ìû åãî
ïðîèçâîäèì. Åñëè æå íà ïîâåðõíîñòè M ñóùåñòâóåò îáëàñòü B , â êîòîðîé
ðåçóëüòàò ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ íå çàâèñèò îò âûáîðà êðèâîé, à çàâèñèò òîëüêî îò íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷êè, òî òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî â îáëàñòè
B ñóùåñòâóåò àáñîëþòíûé ïàðàëëåëèçì.
140
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Î÷åâèäíî, ÷òî ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå, òàêæå êàê è àáñîëþòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå, åñòü îáúåêò âíóòðåííåé ãåîìåòðèè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî
ïîçâîëÿåò â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ ïðîèçâîäèòü ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå,
íå âûïèñûâàÿ è íå ðåøàÿ ñèñòåìó (3.3.9).
Ïðèìåð 3.3.1. Âîçüìåì êîíóñ ñ âåðøèíîé â òî÷êå O è ïîëíûì óãëîì ϕ.
Ïóñòü c êðèâàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè p0 è p1 , è ïóñòü â òî÷êå p0 çàäàí
~ 0 . Íàéäåì âåêòîð λ
~ 1 , ïîëó÷åííûé èç λ
~ 0 ïàðàëëåëüíûì ïåðåíåñåíèâåêòîð λ
åì âäîëü c. Ïîñêîëüêó êîíóñ ëîêàëüíî èçîìåòðè÷åí ïëîñêîñòè, òî ìîæíî
ïîñòóïèòü òàê: ”ðàçðåæåì” êîíóñ ïî îáðàçóþùåé è ðàçâåðíåì åãî íà ïëîñêîñòü. Íà ïëîñêîñòè ïîëó÷èì îáëàñòü âíóòðè óãëà. Ñòðîèì â òî÷êå p1
~ 1 , ïàðàëëåëüíûé λ
~ 0 â ñìûñëå ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ íà åâêëèâåêòîð λ
~ 0 â òî÷êå p1 èìåë ñ îáðàçóþùåé Op0 óãîë
äîâîé ïëîñêîñòè. Åñëè âåêòîð λ
~ 1 â òî÷êå p1 áóäåò èìåòü ñ îáðàçóþùåé Op1 óãîë α + β , ãäå
α, òî âåêòîð λ
β = ∠(p0 Op1 ). Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî â ëþáîé îäíîñâÿçíîé îáëàñòè
B íà êîíóñå, íå ñîäåðæàùåé âåðøèíû O, ñóùåñòâóåò àáñîëþòíûé ïàðàëëåëèçì. Îäíàêî ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíåñåíèè âåêòîðà âäîëü çàìêíóòîé êðèâîé, îõâàòûâàþùåé âåðøèíó O , âåêòîð ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà óãîë ϕ, ïîýòîìó
íà âñåì êîíóñå àáñîëþòíîãî ïàðàëëåëèçìà íåò.
Ðèñ. 3.1: Èëëþñòðàöèÿ ê ïðèìåðó 3.3.1.
3.3.1
Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ
Òåîðåìà 3.3.1. Ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíåñåíèè âåêòîðîâ âäîëü êðèâîé ñî-
õðàíÿåòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ è ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóåò êàê íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ, òàê è èç ëèíåéíîñòè ñèñòåìû (3.3.9).
~ 1 (t) è λ
~ 1 (t) äâà ïîëÿ ïàðàëëåëüíûõ
Äîêàæåì ïåðâîå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü λ
âåêòîðîâ âäîëü íåêîòîðîé êðèâîé c(t). Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî âäîëü êðèâîé
~ 1 (t), λ
~ 2 (t)) ≡ const. Ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ôîðìóëû
(λ
!
!
~λ2
d ~ ~
D~λ1 ~
D
~ 1,
(λ 1 , λ 2 ) =
, λ2 + λ
.
(3.3.10)
dt
dt
dt
Äîêàæåì åå:
d ~ ~
(λ 1 , λ 2 ) =
dt
d~λ1 ~
, λ2
dt
!
~
~ 1 , dλ2
+ λ
dt
!
.
~
λ1 ~
Èç îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ddt
, λ2 =
D~
λ1 ~
~ d~λ2 = λ
~ 1 , D~λ2 , îòêóäà è âûòåêàåò (3.3.10). Óòâåðæäåíèå
dt , λ 2 è λ 1 , dt
dt
òåîðåìû 3.3.1 ìîæíî òàêæå äîêàçàòü, ïîëüçóÿñü íåïîñðåäñòâåííî ôîðìóëîé
(3.3.9)
~ 1, λ
~ 2 ) = gij λi λj ,
(λ
1 2
j
d
∂gij duk i j
dλi1 j
i dλ2
(gij λi1 λj2 ) =
λ
λ
+
g
λ
+
g
λ
.
ij
ij 1
dt
∂uk dt 1 2
dt 2
dt
141
3.4. Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè
dλi
dλj
Ïîäñòàâèì ñþäà dt1 è dt2 èç (3.3.9), à çàòåì âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè
(3.2.8) è (3.2.7). Ïîëó÷èì
k
k
d ~ ~
∂gij duk i j
p du
j
j
p du
i
(λ 1 , λ 2 ) =
λ
λ
−
g
Γ
λ
λ
−
g
Γ
λ
λi =
ij
ij
pk 1
pk 2
dt
∂uk dt 1 2
dt 2
dt 1
∂gij duk i j
duk
duk
=
λ1 λ2 − Γpk,j λp1 λj2
− Γpk,i λp2 λi1
=
k
∂u dt
dt
dt
∂gkj
∂gpk p j duk
1 ∂gpj
∂gij i j duk
λ
λ
+
−
λ 1 λ2
−
−
=
∂uk 1 2 dt
2 ∂uk
∂up
∂uj
dt
∂gki
∂gpk i p duk
1 ∂gpi
+
−
λ1 λ2
=
−
2 ∂uk
∂up
∂ui
dt
1 ∂gij
∂gkj
∂gik
1 ∂gij
∂gki
∂gjk
duk
∂gij
−
+
−
−
+
−
λi1 λj2
=
= 0.
k
k
i
j
k
j
i
∂u
2 ∂u
∂u
∂u
2 ∂u
∂u
∂u
dt
Èòàê, èìåÿ ïîíÿòèå àáñîëþòíîé ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîãî ïîëÿ, ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ïîíÿòèå ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ âåêòîðà âäîëü êðèâîé.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìîæíî è íàîáîðîò, èìåÿ ïîíÿòèå ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ âåêòîðà âäîëü êðèâîé, îïðåäåëèòü àáñîëþòíóþ ïðîèçâîäíóþ âåê~ (t) âåêòîðíîå ïîëå
òîðíîãî ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü c(t) êðèâàÿ è λ
~
âäîëü c(t).  òî÷êå c(t) âîçüìåì äâà âåêòîðà λ (t) è λ̃(t + ∆t), ãäå λ̃(t + ∆t)
~ (t + ∆t) ïàðàëëåëüíûì ïåðåíåñåíèåì âäîëü äóãè c(t + ∆t)c(t)
ïîëó÷åí èç λ
êðèâîé c(t). Îïðåäåëèì òîãäà
D~λ
dt
~ (t)
λ̃(t + ∆t) − λ
.
∆t→0
∆t
= lim
c
(3.3.11)
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå âåêòîðà â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (3.3.9), òî èç (3.3.11) ìîæíî âûâåñòè
ôîðìóëó (3.2.8). Äîêàçàòåëüñòâî ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.
3.4
Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè
 ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïðîäîëæèì èçó÷åíèå ñâîéñòâ ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé.
Îêàçûâàåòñÿ, ñâîéñòâà ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé êîïèðóþò ñâîéñòâà ïðÿìûõ ëèíèé íà ïëîñêîñòè íàñòîëüêî, íàñêîëüêî ýòî âîçìîæíî. Îäíî èç õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âåêòîð,
êàñàòåëüíûé ê íåé, îñòàåòñÿ êàñàòåëüíûì ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíåñåíèè.
Îïðåäåëèì ãåîäåçè÷åñêóþ ëèíèþ íà ïîâåðõíîñòè M , êàê ëèíèþ, îáëàäàþùóþ òàêèì æå ñâîéñòâîì.
3.4.1
Îïðåäåëåíèå ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé è èõ óðàâíåíèÿ
Ïóñòü γ(t) äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ êðèâàÿ íà ðåãóëÿðíîé
ïîâåðõíîñòè M êëàññà C 2 .
142
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Îïðåäåëåíèå 3.4.1. Ëèíèþ γ(t) íàçîâåì ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèåé íà ïîâåðõ-
íîñòè M , åñëè ïîëå âåêòîðîâ γ 0 (t) åñòü ïîëå ïàðàëëåëüíûõ âåêòîðîâ âäîëü
γ(t).
Âûâåäåì óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ. Åñëè êðèâàÿ γ(t) çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè u1 = u1 (t), u2 = u2 (t), òî âåêòîð γ 0
1
du2
èìååò êîîðäèíàòû du
dt , dt . Ñëåäîâàòåëüíî, èç (3.2.8)
k
dui duj
Dγγ 0
d2 uk
+ Γkij
=
,
(k = 1, 2),
2
dt
dt
dt dt
è ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ
i
j
d2 uk
k du du
+
Γ
= 0,
(k = 1, 2).
(3.4.12)
ij
dt2
dt dt
Çàìåòèì, ÷òî èç íàøåãî îïðåäåëåíèÿ ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè ñëåäóåò, ÷òî ïàðàìåòð t ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì ïàðàìåòðîì, òî-åñòü ïàðàìåòðîì, ïðîïîðöèîíàëüíûì äëèíå äóãè.  ñàìîì äåëå, òàê êàê âåêòîðíîå ïîëå γ 0 (t) åñòü
ïîëå ïàðàëëåëüíûõ âåêòîðîâ, òî èç òåîðåìû 3.3.1 âûòåêàåò, ÷òî |γγ 0 (t)| = c
è
Z t
s=
|γγ 0 (t)| dt = ct.
(3.4.13)
0
Ïðèìåð 3.4.1. Íàéäåì åùå îäíèì ñïîñîáîì âñå ãåîäåçè÷åñêèå íà öèëèí-
äðå. Êàê âèäíî èç îïðåäåëåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé èëè íåïîñðåäñòâåííî
èç ñèñòåìû (3.4.12), ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè ïðè èçîìåòðè÷åñêîì (èëè ëîêàëüíî èçîìåòðè÷åñêîì) îòîáðàæåíèè îäíîé ïîâåðõíîñòè íà äðóãóþ ïåðåõîäÿò â ãåîäåçè÷åñêèå æå ëèíèè. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ñâîéñòâîì äëÿ
íàõîæäåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé íà ïðÿìîì êðóãîâîì öèëèíäðå ðàäèóñà
R. Ðàçðåæåì öèëèíäð ïî îáðàçóþùåé è ðàçâåðíåì åãî íà ïëîñêîñòü. Íà
ïëîñêîñòè ïîëó÷èì ïîëîñó ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè a1 è a2 øèðèíîé 2πR. Óäîáíåå, îäíàêî, ïîñòóïèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îáîçíà÷èì
÷åðåç d~ âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé a1 , è äëèíû 2πR. Âîçüìåì âíóòðè ïîëîñû ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó p è îòîæäåñòâèì ñ íåé âñå òî÷êè ïëîñêîñòè,
êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü ñäâèãîì òî÷êè p íà âåêòîð, êðàòíûé âåêòîðó
d~. Óêàçàííîå îòîæäåñòâëåíèå ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ëîêàëüíî èçîìåòðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè íà öèëèíäð (îòîáðàæåíèå íàêðûòèÿ). Ïðè
ýòîì îòîáðàæåíèè ëþáàÿ ïðÿìàÿ ïëîñêîñòè ïåðåéäåò â íåêîòîðóþ ãåîäåçè÷åñêóþ ëèíèþ öèëèíäðà, è âñå ãåîäåçè÷åñêèå öèëèíäðà ìîæíî ïîëó÷èòü
òàêèì îáðàçîì. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò íàéòè âñå ãåîäåçè÷åñêèå
öèëèíäðà. Ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå a1 , ïåðåõîäÿò â îáðàçóþùèå öèëèíäðà;
ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå a1 , ïåðåõîäÿò â çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå (ïàðàëëåëè öèëèíäðà); è ïðÿìûå, íàêëîííûå ê a1 , ïåðåõîäÿò â âèíòîâûå ëèíèè öèëèíäðà. Èòàê, ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè öèëèíäðà èñ÷åðïûâàþòñÿ îáðàçóþùèìè, ïàðàëëåëÿìè è âèíòîâûìè ëèíèÿìè.
Çàäà÷à 3.4.1. Èçó÷èòü ïîâåäåíèå ãåîäåçè÷åñêèõ íà ïðÿìîì êðóãîâîì êî-
íóñå.
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî îïðåäåëåíèÿ ãåîäåçè÷åñêîé äàííûå â ãëàâå 2 è â
ãëàâå 3 ýêâèâàëåíòíû. Ïóñòü γ(s) êðèâàÿ, ïàðàìåòðèçîâàííàÿ äëèíîé äóγ0
γ0
ν åñòü âåêòîð ïàðàëãè. Òîãäà, åñëè Dγds(s) = 0, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî dγ
ds = k~
γ0
γ0
dγ
~ , è íàîáîðîò, åñëè ds âåêòîð ïàðàëëåëüíûé n
~ , òî Dγ
ëåëüíûé n
ds = 0.
143
3.4. Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè
3.4.2
Ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå. Ñâîéñòâà ýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ è ëîêàëüíûå ñâîéñòâà
ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (3.4.12) ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé 2-ãî ïîðÿäêà, ðàçðåøåííûõ îòíîñèòåëüíî ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ. Ïîýòîìó èç èçâåñòíûõ òåîðåì î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è íåïðåðûâíîñòè çàâèñèìîñòè ðåøåíèé îò íà÷àëüíûõ äàííûõ âûòåêàåò ñëåäóþùåå
óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 3.4.1. Äëÿ êàæäîé òî÷êè p ïîâåðõíîñòè M ñóùåñòâóåò òàêàÿ
îêðåñòíîñòü U òî÷êè p è òàêîå ÷èñëî ˜p > 0, ÷òî äëÿ êàæäîé òî÷êè
~ ∈ (T M )q , ìîäóëü êîòîðîãî ìåíüøå ˜p , ñóùåq ∈ U è êàæäîãî âåêòîðà λ
ñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ γ(q, ~λ, t), (−1 < t < 1), óäîâëåòâîðÿ~ , 0) = q, γ 0 (q, λ
~ , 0) = λ
~.
þùàÿ óñëîâèÿì γ(q, λ
Èç íàøèõ îáîçíà÷åíèé è (3.4.13) âûòåêàåò ðàâåíñòâî
~ , 1) = γ(q, λ
~ , t).
γ(q, t · λ
(3.4.14)
~ ∈ (T M )q ñóùåÏóñòü òåïåðü äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè q è íåêîòîðîãî âåêòîðà λ
~ , t), (0 ≤ t ≤ 1). Îáîçíà÷èì ÷åðåç exp (λ
~
ñòâóåò ãåîäåçè÷åñêàÿ γ(q, λ
q ) òî÷êó
~ , 1);
γ(q, λ
~ ) = γ(q, λ
~ , 1).
expq (λ
(3.4.15)
~ ∈ (T M )q ,
 ñèëó ëåììû 3.4.1, äëÿ êàæäîé òî÷êè q ∈ M è êàæäîãî âåêòîðà λ
~ , t), ïðè
ìîäóëü êîòîðîãî íå ïðåâîñõîäèò ˜q , ñóùåñòâóåò ãåîäåçè÷åñêàÿ γ(q, λ
0 ≤ t ≤ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, (3.4.15) îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå îòêðûòîãî êðóãà ðàäèóñà ˜q ñ öåíòðîì â òî÷êå q ïëîñêîñòè (T M )q â ïîâåðõíîñòü M . Ýòî îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì îòîáðàæåíèåì.
Çàäà÷à 3.4.2. Îïèñàòü ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå êàñàòåëüíîé ïëî-
ñêîñòè íà ñôåðó ðàäèóñà R. Íàéòè êðèòè÷åñêèå òî÷êè ýòîãî îòîáðàæåíèÿ.
~ ) â òî÷êå q
Ëåììà 3.4.2. Ðàíã ýêñïîíåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ expq (λ
ðàâåí 2.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ u1 , u2 óðàâíåíèÿ ãåîäå~ , t) çàäàþòñÿ ôóíêöèÿìè
çè÷åñêèõ γ(q, λ
u1 = f 1 (λ1 , λ2 , t),
u2 = f 2 (λ1 , λ2 , t).
~ ) çàäàåòñÿ ôóíêöèÿìè
Òîãäà îòîáðàæåíèå expq (λ
f 1 (λ1 , λ2 , 1),
f 2 (λ1 , λ2 , 1).
~ , t)
Ïî îïðåäåëåíèþ ãåîäåçè÷åñêîé γ(q, λ
df i
dt
= λi ,
t=0
(i = 1, 2).
(3.4.16)
144
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
À â ñèëó (3.4.14), ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî
f i (λ1 , λ2 , t) = f i (tλ1 , tλ2 , 1),
(i = 1, 2).
(3.4.17)
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì òîæäåñòâî (3.4.17) ïî t è ïîëîæèì t = 0. Ïîëó÷èì
df i 1 2
(λ , λ , t)
dt
=
t=0
∂f i (0, 0, 1) 1 ∂f i (0, 0, 1) 2
λ +
λ ,
∂λ1
∂λ2
(i = 1, 2).
(3.4.18)
Èç (3.4.16) è (3.4.18) òåïåðü ñëåäóåò, ÷òî ìàòðèöà ßêîáè îòîáðàæåíèÿ expq
â òî÷êå q åñòü åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Èç ëåììû 3.4.1 è ëåììû 3.4.2 ìû âûâåäåì îñíîâíóþ ëåììó ýòîãî ðàçäåëà.
Ëåììà 3.4.3. Äëÿ êàæäîé òî÷êè q ∈ M ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü Wq è
÷èñëî q òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê q1 ∈ Wq è q2 ∈ Wq ñóùåñòâóåò
åäèíñòâåííàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ γ(q1 , q2 , t), (0 ≤ t ≤ 1), ñ êîíöàìè â òî÷êàõ q1
è q2 è äëèíû íå áîëüøå q .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Uq è ˜q îêðåñòíîñòü è ÷èñëî, îïðåäåëåííûå â ëåì~ ),
ìå 3.4.1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A(Uq , ˜q ) ìíîæåñòâî, ñîñòàâëåííîå èç ïàð (r, λ
~
ãäå r ∈ Uq è λ ∈ (T M )q . Ââåäåì âî ìíîæåñòâå A êîîðäèíàòû, ñîïîñòà~ ) ìíîæåñòâà A(Uq , ˜q ) ÷èñëà u1 , u2 , λ1 , λ2 , ãäå
âèâ êàæäîìó ýëåìåíòó (r, λ
~ â
u1 , u2 ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû òî÷êè r , à λ1 , λ2 êîîðäèíàòû âåêòîðà λ
ëîêàëüíîì áàçèñå ïëîñêîñòè (T M )r .
Äàëåå îïðåäåëèì ìíîæåñòâî B = Uq × Uq .  ìíîæåñòâå B òàêæå ââåäåì êîîðäèíàòû, ñîïîñòàâèâ êàæäîìó ýëåìåíòó (q1 , q2 ) ìíîæåñòâà B ÷èñëà
x1 , x2 , y 1 , y 2 , ãäå x1 , x2 ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû òî÷êè q1 , à y 1 , y 2 ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû òî÷êè q2 . Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå f : A → B ñëåäóþùèì
~ ) èç A ñîïîñòàâèì ïàðó (r, exp λ
~
îáðàçîì: ïàðå (r, λ
r ) èç B .
(α). Äîêàæåì, ÷òî ðàíã îòîáðàæåíèÿ f â òî÷êå (q, 0) ìàêñèìàëåí, òî-åñòü
ðàâåí 4.  îáîçíà÷åíèÿõ ïðåäûäóùåé ëåììû îòîáðàæåíèå f ìîæíî çàïèñàòü
â âèäå:
x1 = u1 , x2 = u2 , y 1 = f 1 (u1 , u2 , λ1 , λ2 , 1), y 2 = f 2 (u1 , u2 , λ1 , λ2 , 1). (3.4.19)
Èç (3.4.19) âèäíî, ÷òî âåëè÷èíà îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ßêîáè îòîáðàæåíèÿ
f ðàâíà âåëè÷èíå îïðåäåëèòåëÿ
∂f 1
∂λ1
∂f 2
∂λ2
∂f 1
∂λ1
∂f 2
∂λ2
, âû÷èñëåííîãî ïðè λ1 = λ2 =
0. Âåëè÷èíà ïîñëåäíåãî îïðåäåëèòåëÿ âû÷èñëåíà â ëåììå 3.4.2 è ðàâíà 1.
Óòâåðæäåíèå (α) äîêàçàíî.
Äàëåå, èç òåîðåìû îá îáðàòíîì îòîáðàæåíèè âûâîäèòñÿ ñóùåñòâîâàíèå
òàêîé îêðåñòíîñòè Wq è ÷èñëà q , ÷òî íà ìíîæåñòâå A(Wq , q ) îòîáðàæåíèå
f åñòü äèôôåîìîðôèçì â B . Ïóñòü C = f (A). Âûáåðåì òàêóþ îêðåñòíîñòü
Wq òî÷êè q , ÷òîáû Wq × Wq ⊂ C . Òîãäà îêðåñòíîñòü Wq è ÷èñëî q óäîâëåòâîðÿþò âñåì òðåáîâàíèÿì ëåììû 3.4.3
Îäíîâðåìåííî íàìè äîêàçàíî, ÷òî êîîðäèíàòû òî÷êè γ(q1 , q2 , t) è ôóíêöèÿ l(q1 , q2 ) äëèíà ãåîäåçè÷åñêîé γ(q1 , q2 , t) ãëàäêî çàâèñÿò îò êîîðäèíàò
òî÷åê q1 è q2 ïðè q1 6= q2 .
145
3.4. Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè
2
Ïðèìåð 3.4.2. Äëÿ ñôåðû SR
ðàäèóñà R â R3 ëþáàÿ êðóãîâàÿ îêðåñòíîñòü
Wp ðàäèóñà ñ öåíòðîì â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå p îáëàäàþò âñåìè ñâîéñòâàìè, óêàçàííûìè â ëåììå 3.4.3, åñëè < π2R .
Äåéñòâèòåëüíî, âñïîìíèì, ÷òî ãåîäåçè÷åñêèìè íà ñôåðå ÿâëÿþòñÿ äóãè áîëüøèõ êðóãîâ. Åñëè p1 ∈ Wp è p2 ∈ Wp , òî ïðè < π2R òî÷êè p1 , p2
è öåíòð ñôåðû O íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ïðîâåäåì ÷åðåç íèõ ïëîñêîñòü. Ýòà ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò ñôåðó ïî áîëüøîìó êðóãó, êîòîðûé, ïî
ïîñòðîåíèþ, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òî÷êàìè p1 è p2 , à ìåíüøàÿ äóãà
ýòîãî êðóãà ëåæèò â Wp è èìååò äëèíó ìåíüøå .
Çàäà÷à 3.4.3. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðÿìîãî êðóãîâîãî öèëèíäðà ðàäèóñà R
ëþáàÿ êðóãîâàÿ îêðåñòíîñòü Wp ðàäèóñà ñ öåíòðîì â òî÷êå p îáëàäàåò
âñåìè ñâîéñòâàìè, óêàçàííûìè â ëåììå 3.4.3, åñëè < π2R .
3.4.3
Ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå è ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà êðèâîé
Ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà kg ïðîèçâîëüíîé êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè áûëà îïðåäåëåíà ⠟7 ãëàâû 2. Òåïåðü ìû äàäèì äðóãîå (ýêâèâàëåíòíîå) îïðåäåëåíèå
kg , èñõîäÿ èç ïîíÿòèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ âåêòîðà âäîëü êðèâîé.
Ïóñòü c(t) ïàðàìåòðèçàöèÿ c è t äëèíà äóãè.  òî÷êå c(t) âîçüìåì äâà
âåêòîðà c0 (t) è c̃0 (t + ∆t), ãäå c̃0 (t + ∆t) åñòü âåêòîð, ïîëó÷åííûé èç c0 (t + ∆t)
ïàðàëëåëüíûì ïåðåíåñåíèåì âäîëü äóãè c(t + ∆t)c(t) êðèâîé c. Îáîçíà÷èì
÷åðåç ∆ψ(∆t, t) óãîë ìåæäó c0 (t) è c̃0 (t + ∆t). Ãåîäåçè÷åñêóþ êðèâèçíó ìû
òåïåðü îïðåäåëèì ôîðìóëîé:
∆ψ(∆t, t)
.
∆t→0
∆t
kg = lim
(3.4.20)
Òåîðåìà 3.4.1. Äëÿ ëþáîé ðåãóëÿðíîé êðèâîé c(t) êëàññà C 2 ãåîäåçè÷åñêàÿ
êðèâèçíà ñóùåñòâóåò è ðàâíà
kg =
Dc0
dt
,
(3.4.21)
c
ãäå t äëèíà äóãè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê âåêòîðû c0 (t) è c̃0 (t + ∆t) åäèíè÷íûå âåêòîðû,
0
0
òî 2 sin ∆ψ
2 = |c̃ (t + ∆t) − c (t)|. Ïîýòîìó
∆ψ
∆ψ
|c̃0 (t + ∆t) − c0 (t)|
Dc0 (t)
= lim
· lim
=
∆ψ
∆t→0 ∆t
∆t→0 2 sin
∆t→0
∆t
dt
2
kg = lim
c
ïî ôîðìóëå (3.3.11).
Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ôîðìóëà (3.4.21) è ôîðìóëà (2.12.93) ãëàâû 2 ñîâïàäàþò.
 ñàìîì äåëå, åñëè âñïîìíèòü îïðåäåëåíèå àáñîëþòíîé ïðîèçâîäíîé âåê0
0
òîðíîãî ïîëÿ, òî Dcdt(t) åñòü ïðîåêöèÿ âåêòîðà dcdt(t) íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü (T M )c(t) , ïîýòîìó
Dc0 (t)
dc0 (t)
=
sin ϕ,
dt
dt
146
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
ãäå ϕ óãîë ìåæäó ãëàâíîé íîðìàëüþ ê êðèâîé c(t) è íîðìàëüþ ê ïî0
0
âåðõíîñòè, íî dcdt(t) = k , è ìû èìååì Dcdt(t) = k sin ϕ, ÷òî è òðåáîâàëîñü
äîêàçàòü.
Èç òåîðåìû 3.4.1 ñëåäóåò, ÷òî åñëè kg = 0 â êàæäîé òî÷êå c(t), òî c(t) ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ.
Äëÿ êðèâûõ íà ïîâåðõíîñòè M ìîæíî îïðåäåëèòü çíàê ãåîäåçè÷åñêîé
êðèâèçíû, ïîäîáíî òîìó, êàê ýòî äåëàåòñÿ äëÿ êðèâèçíû ïëîñêèõ êðèâûõ.
Íàïîìíèì îäèí ÷àñòíûé ñëó÷àé âàæíûé äëÿ íàñ â äàëüíåéøåì. Ïóñòü c
ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ, îãðàíè÷èâàþùàÿ îáëàñòü D, ãîìåîìîðôíóþ êðóãó.
0
Åñëè âåêòîð Dc
dt â íåêîòîðîé òî÷êå íàïðàâëåí âíóòðü îáëàñòè D , òî áóäåì
ñ÷èòàòü ãåîäåçè÷åñêóþ êðèâèçíó êðèâîé c â ýòîé òî÷êå ïîëîæèòåëüíîé, à â
ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîé.
Ïðèìåð 3.4.3. Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå ñôåðû x2 + y 2 + z 2 = R2 ñ ïëîñ-
êîñòüþ z = a, (−R < a < R).  ïåðåñå÷åíèè ïîëó÷èì îêðóæíîñòü
Sa
√
R2 − a2 . Çíàíà ñôåðå. Ðàäèóñ r ýòîé îêðóæíîñòè íà ïëîñêîñòè
ðàâåí
0
÷èò êðèâèçíà Sa ðàâíà √R21−a2 , à âåêòîð dc
dt íàïðàâëåí âíóòðü îêðóæíî0
ñòè. Óãîë, êîòîðûé dc
dt îáðàçóåò ñ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ ê ñôåðå ðàâåí
a
arccos R
. Ñëåäîâàòåëüíî, ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè
D : z ≤ a ñ ó÷åòîì çíàêà ðàâíà R√Ra2 −a2 .  ÷àñòíîñòè, ïðè a = 0 ïîëó÷èì áîëüøîé êðóã, ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà êîòîðîãî ðàâíà íóëþ, òî åñòü
ïîëó÷èì ãåîäåçè÷åñêóþ ëèíèþ ñôåðû.
Çàäà÷à 3.4.4. Íàéòè ãåîäåçè÷åñêóþ êðèâèçíó ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè z =
a2 ñ ïàðàáîëîèäîì z = x2 + y 2 . Çíàê ãåîäåçè÷åñêîé êðèâèçíû îïðåäåëÿòü ïî
îòíîøåíèþ ê îáëàñòè 0 ≤ z ≤ a2 .
3.4.4
Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè è ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå
Ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå âäîëü ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè îñóùåñòâëÿåòñÿ îñîáåííî ïðîñòî.  ñàìîì äåëå, âî-ïåðâûõ, ïðè ïàðàëëåëüíîì
ïåðåñå÷åíèè êàñàòåëüíîãî âåêòîðà âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé îí îñòàåòñÿ êàñàòåëüíûì, à, âî-âòîðûõ, ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíåñåíèè ñîõðàíÿåòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Ïîýòîìó äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîëÿ ïàðàëëåëüíûõ âåêòîðîâ
âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé äîñòàòî÷íî â êàæäîé åå òî÷êå ïîñòðîèòü âåêòîð ïîñòîÿííîé äëèíû, îáðàçóþùèé îäèí è òîò æå óãîë ñ âåêòîðîì, êàñàòåëüíûì ê
êðèâîé.
Ïðèìåð 3.4.4.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ñíîâà ðàññìîòðèì äâóìåðíóþ ñôå-
ðó â R3 . Èç ñåâåðíîãî ïîëþñà ñôåðû òî÷êè O ïðîâåäåì äâà ìåðèäèàíà ïîä
ïðÿìûì óãëîì äðóã ê äðóãó. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A1 è A2 èõ ïåðåñå÷åíèÿ ñ
ýêâàòîðîì. Ðàññìîòðèì çàìêíóòóþ êóñî÷íî-ãëàäêóþ êðèâóþ γ , ñîñòàâëåííóþ èç äóã ãåîäåçè÷åñêèõ σ1 = OA1 , σ2 = A1 A2 è σ3 = A2 O. Ïóñòü
~
~ 1,
λ åäèíè÷íûé âåêòîð, êàñàòåëüíûé ê σ1 â òî÷êå O. Íàéäåì âåêòîð λ
~
ïîëó÷åííûé èç λ ïàðàëëåëüíûì ïåðåíåñåíèåì âäîëü σ1 . Òàê êàê σ1 äóãà
~ 1 åñòü âåêòîð òîé æå äëèíû è ñíîâà êàñàòåëüíûé ê
ãåîäåçè÷åñêîé, òî λ
~ 1 ïåðïåíäèêóëÿðåí ê σ2 . Ñëåäîâàσ1 , íî óæå â òî÷êå A1 . Äàëåå âåêòîð λ
~
~
òåëüíî, âåêòîð λ 2 , ïîëó÷åííûé èç λ 1 ïàðàëëåëüíûì ïåðåíåñåíèåì âäîëü
σ2 , åñòü ñíîâà âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðíûé ê σ2 , íî óæå â òî÷êå A2 . Äàëåå,
3.5. Êðàò÷àéøèå ëèíèè. Ñâÿçü ìåæäó ãåîäåçè÷åñêèìè è êðàò÷àéøèìè
147
~ 1 êàñàåòñÿ σ3 è σ3 ãåîäåçè÷åñêàÿ, ïîýòîìó âåêòîð λ
~ 3 , ïîëó÷åíâåêòîð λ
~ 2 ïàðàëëåëüíûì ïåðåíåñåíèåì âäîëü σ3 , òîæå êàñàåòñÿ σ3 , íî â
íûé èç λ
~
òî÷êå O. Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíåñåíèè λ
π
âäîëü γ îí ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà óãîë 2 .
Ðèñ. 3.2: Èëëþñòðàöèÿ ê ïðèìåðó 3.4.4
3.5
Êðàò÷àéøèå ëèíèè. Ñâÿçü ìåæäó ãåîäåçè÷åñêèìè è êðàò÷àéøèìè
3.5.1
Ìåòðèêà íà ïîâåðõíîñòè è êðàò÷àéøèå
Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ïîâåðõíîñòè M .
Ïóñòü p è q äâå òî÷êè M . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Lpq ìíîæåñòâî âñåõ êðèâûõ
ïîâåðõíîñòè M ñ êîíöàìè â òî÷êàõ p è q . Ðàññòîÿíèå ρM (p, q) ìåæäó
òî÷êàìè p è q îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå
ρM (p, q) = inf l(c).
c∈Lpq
(3.5.22)
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî íà ñâÿçíîé äèôôåðåíöèðóåìîé ïîâåðõíîñòè M ðàññòîÿíèå îïðåäåëåíî äëÿ ëþáûõ ïàð òî÷åê. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü,
÷òî ëþáûå äâå òî÷êè òàêîé ïîâåðõíîñòè ìîæíî ñîåäèíèòü êðèâîé êîíå÷íîé
äëèíû. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ.
Ôóíêöèÿ ρM îáëàäàåò âñåìè îáû÷íûìè ñâîéñòâàìè ìåòðèêè:
(1)
(2)
(3)
(4)
ρM (p, q) = ρM (q, p),
ρM (p, q) + ρM (q, r) ≥ ρM (p, r),
ρM (p, q) > 0 ïðè p 6= q,
ρM (p, q) = 0 ⇔ p = q.
(3.5.23)
 äàëüíåéøåì, â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ýòî íå ìîæåò ïðèâåñòè ê íåäîðàçóìåíèþ, ðàññòîÿíèå ρM (p, q) ìåæäó òî÷êàìè p è q áóäåì îáîçíà÷àòü pq .
Îïðåäåëåíèå 3.5.1. Êðàò÷àéøåé, ñîåäèíÿþùåé äâå òî÷êè p è q , íàçîâåì
êðèâóþ, äëèíà êîòîðîé ðàâíà pq .
3.5.2
Ñòàöèîíàðíûå êðèâûå ôóíêöèîíàëà äëèíû
Ïóñòü γ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ êðèâàÿ íà M , ïðèíàäëåæàùàÿ íåêîòîðîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè U ; ui = ui (t), (i = 1, 2) åå óðàâíåíèÿ, t êàíîíè÷åñêèé ïàðàìåòð, a ≤ t ≤ b. Íàéäåì íåîáõîäèìûå
óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ γ áûëà áû êðàò÷àéøåé. Ðàññìîòðèì êðèâóþ γ (t), çàäàííóþ óðàâíåíèÿìè:
u1 = u1 (t) + η 1 (t) = ũ1 (t, ),
u2 = u2 (t) + η 2 (t) = ũ2 (t, ),
(3.5.24)
148
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
è ïîòðåáóåì, ÷òîáû êðèâàÿ γ (t) èìåëà òå æå êîíöû, ÷òî è êðèâàÿ γ(t). Äëÿ
ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà:
η i (a) = η i (b) = 0,
(3.5.25)
(i = 1, 2).
Èç (3.5.24) ñëåäóåò, ÷òî γ0 = γ . Åñëè òåïåðü çàôèêñèðîâàòü ôóíêöèè η 1 è
η 2 , òî l() = l(γ ) äëèíà γ åñòü ôóíêöèÿ òîëüêî îò . Ïîýòîìó äëÿ òîãî,
÷òîáû γ áûëà êðàò÷àéøåé, íåîáõîäèìî, ÷òîáû
dl
d
Rb
Èìååì l() =
a
F (ũi , ũi0 ) dt, ãäå
dũi
,
dt
ũi0 =
dl
d
Z
=
=0
a
b
(3.5.26)
= 0.
=0
F (ũi , ũi0 ) =
q
gij (ũk )ũi0 ũj0 ,
∂F i
∂F i0
∂F i
η +
η dt =
η
i
i0
∂u
∂u
∂ui0
b
Z
b
+
a
a
∂F
d ∂F
−
η i dt.
∂ui
dt ∂ui0
Âíå èíòåãðàëüíûé ÷ëåí ðàâåí íóëþ â ñèëó óñëîâèé (3.5.25). Òàêèì îáðàçîì,
èç (3.5.26) ïîëó÷àåì
Z b
∂F
d ∂F
−
η i dt = 0.
(3.5.27)
∂ui
dt ∂ui0
a
Òåïåðü âñïîìíèì, ÷òî η 1 (t) è η 1 (t) ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè, ïîä÷èíåííûå
òîëüêî óñëîâèÿì (3.5.25). Îáîçíà÷èì ÷åðåç
∂F
d ∂F
d ∂F
∂F
1
2
f =
−
−
,
f =
,
∂u1
dt ∂u10
∂u2
dt ∂u20
è ïîëîæèì
η 1 = f 1 sin2
π(t − a)
,
b−a
η 2 = f 2 sin2
π(t − a)
.
b−a
Ïîäñòàâèì η 1 (t) è η 2 (t) â (3.5.27), òîãäà
Z
a
b
1 2
π(t − a)
(f ) + (f 2 )2 sin2
dt = 0,
b−a
îòêóäà f 1 = f 2 = 0, èëè
d
dt
∂F
∂ui0
−
∂F
= 0,
∂ui
(i = 1, 2)
(3.5.28)
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (3.5.28) íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé Ýéëåðà, à êðèâûå, ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû (3.5.28) íàçûâàþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè êðèâûìè
ôóíêöèîíàëà äëèíû. Çàïèøåì
óðàâíåíèÿ (3.5.28) äëÿ ôóíêöèîíàëà äëèíû,
p
òî åñòü òîãäà, êîãäà F = gij ui0 uj0
gpi up0
1
∂F
=p
= gpi up0 ,
i0
i0
j0
∂u
C
gij u u
3.5
149
Êðàò÷àéøèå ëèíèè. Ñâÿçü ìåæäó . . .
p
òàê êàê t êàíîíè÷åñêèé ïàðàìåòð, òî gij ui0 uj0 = C . Ïîýòîìó
d
1 ∂gpi dup duk
∂F
d2 up
=
.
+
g
pi
dt ∂ui0
C ∂uk dt dt
dt2
Äàëåå
∂F
1
= p
∂ui
2 gij ui0 uj0
∂gpk dup duk
∂ui dt dt
Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ
gip
Çàìåòèì, ÷òî
1
=
2C
∂F
∂ui
è
d
dt
∂gpk dup duk
∂ui dt dt
∂F
∂ui0
.
â (3.5.28), ïîëó÷èì
d2 up
∂gpi duk dup
1 ∂gpk dup duk
+
−
= 0.
2
k
dt
∂u dt dt
2 ∂ui dt dt
(3.5.29)
∂gki dup duk
∂gpi duk dup
1 ∂gpi
+
=
∂uk dt dt
2 ∂uk
∂up dt dt
Ïîýòîìó (3.5.29) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
1 ∂gpi
∂gki
∂gpk dup duk
d2 up
+
−
= 0,
gip 2 +
dt
2 ∂uk
∂up
∂ui
dt dt
(i = 1, 2)
èëè, ïîëüçóÿñü âûðàæåíèåì äëÿ ñèìâîëîâ Êðèñòîôôåëÿ 1-ãî ðîäà,
gip
d2 up
dup duk
+
Γ
= 0,
pk,i
dt2
dt dt
(i = 1, 2).
(3.5.30)
Óìíîæèì (3.5.30) íà g ji è ïðîñóììèðóåì ïî i. Òîãäà ôîðìóëû (3.1.2) äàþò
îêîí÷àòåëüíî
dup duk
d2 uj
+ Γjpk
= 0,
(j = 1, 2).
(3.5.31)
2
dt
dt dt
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ñòàöèîíàðíûå êðèâûå ôóíêöèîíàëà äëèíû
ñîâïàäàþò ñ ãåîäåçè÷åñêèìè ëèíèÿìè, êàê îíè áûëè îïðåäåëåíû ⠟3.
Íåîáõîäèìî îäíàêî îòìåòèòü, ÷òî èç ýòîãî ðåçóëüòàòà íå ñëåäóåò, ÷òî
ëþáàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ åñòü êðàò÷àéøàÿ, òàê êàê íàéäåíû òîëüêî íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ äëÿ ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà äëèíû. Áîëåå òîãî, ëåãêî ïðèâåñòè ïðèìåð, êîãäà äóãà ãåîäåçè÷åñêîé íå åñòü êðàò÷àéøàÿ. Äîñòàòî÷íî
âçÿòü íà ñôåðå äóãó áîëüøîãî êðóãà äëèíû, áîëüøå ÷åì ïîëîâèíà äëèíû
âñåãî êðóãà. Íå ñëåäóåò èç íàøåãî ðåçóëüòàòà òàêæå, ÷òî êðàò÷àéøàÿ åñòü
ãåîäåçè÷åñêàÿ, ïîòîìó ÷òî ïðè âûâîäå óðàâíåíèé (3.5.31) ìû ïðåäïîëàãàëè äâóõêðàòíóþ äèôôåðåíöèðóåìîñòü êðàò÷àéøåé γ , ÷òî, ïî êðàéíåé ìåðå
ïîêà, íè îòêóäà íå âûòåêàåò.
3.5.3
Ãåîäåçè÷åñêèå, êàê êðàò÷àéøèå
Çäåñü ìû äîêàæåì, ÷òî äîñòàòî÷íî ìàëûå äóãè ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé åñòü
êðàò÷àéøèå. Ïóñòü p òî÷êà M è Wp îêðåñòíîñòü, â êîòîðîé ëþáûå äâå
òî÷êè ìîæíî ñîåäèíèòü åäèíñòâåííîé ãåîäåçè÷åñêîé äëèíû íå áîëüøå p
(ñì. ëåììó 3.4.3). Ïóñòü, äàëåå â îêðåñòíîñòè Wp çàäàíû äâå êðèâûå γ1 (s)
è γ2 (s), ïàðàìåòðèçîâàííûå äëèíîé äóãè s. Òî÷êè γ1 (s) è γ2 (s) ñîåäèíèì ãåîäåçè÷åñêîé γ(γ1 (s), γ2 (s), t), ãäå t êàíîíè÷åñêèé ïàðàìåòð, îòñ÷èòûâàåìûé
150
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Ðèñ. 3.3: Èëëþñòðàöèÿ ê ëåììå 3.5.1
γ1
îò òî÷êè γ1 (s). Îáîçíà÷èì ÷åðåç α(s) óãîë ìåæäó dds
è (− ddtγ ) â òî÷êå γ1 (s),
dγ
d γ2
÷åðåç β(s) óãîë ìåæäó ds è dt â òî÷êå γ2 (s). Ôóíêöèÿ l(s) = l(γ(s, t))
åñòü, â ñèëó çàìå÷àíèÿ ê ëåììå 3.4.3 äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ îò s.
Ëåììà 3.5.1 (î ïðîèçâîäíîé äëèíû ñåìåéñòâà ãåîäåçè÷åñêèõ).
dl
= cos α(s) + cos β(s).
ds
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü óðàâíåíèÿ êðèâûõ γ1 (s) è γ2 (s) çàäàþòñÿ ôóíêöèÿìè fki (s); ui = fki (s), (k = 1, 2), à óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ γ(s, t) ôóíêöèÿìè ϕi (s, t). Òîãäà ôóíêöèè ϕi (s, t) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
ϕi (s, 0) = f1i (s),
ϕi (s, 1) = f2i (s),
df1i
ds
cos α(s) = q
−gij
·
dϕj
dt (s, 0)
i
gij dϕ
dt (s, 0) ·
gij
cos β(s) = q
df2i
ds
·
i
Îáîçíà÷èì ÷åðåç F =
1
,
dϕj
dt (s, 0)
dϕj
dt (s, 1)
gij dϕ
dt (s, 1) ·
(3.5.32)
(i = 1, 2),
(3.5.33)
.
dϕj
dt (s, 1)
p
gij ϕ̇i ϕ̇j
∂F ∂ 2 ϕi
∂F ∂ϕi
·
+
·
dt =
∂ ϕ̇i ∂s ∂t ∂ϕi ∂s
0
Z 1
1
d ∂F
∂F
∂ϕi
∂F ∂ϕi
·
−
dt.
+
=
∂ ϕ̇i ∂s 0
∂ϕi
dt ∂ ϕ̇i
∂s
0
dl
=
ds
Z
Âûðàæåíèå ïîä èíòåãðàëîì â ñêîáêàõ ðàâíî íóëþ, ïîñêîëüêó âñå êðèâûå
γ(s, t) ãåîäåçè÷åñêèå. Òàêèì îáðàçîì,
dl
∂ϕi
∂F
=
(s, 1) ·
ds
∂s
∂ ϕ̇i
à òàê êàê
−
t=1
∂F
∂ϕi
(s, 0) ·
∂s
∂ ϕ̇i
,
t=0
j
gij ∂ϕ
∂F
∂t
p
=
,
∂ ϕ̇i
gij ϕ̇i ϕ̇j
òî è èç (3.5.32) è (3.5.33) ïîëó÷àåì
dl
= cos α(s) + cos β(s).
ds
Çàìå÷àíèå 3.5.1. Åñëè îäíà èç êðèâûõ, íàïðèìåð, γ1 âûðîæäàåòñÿ â òî÷-
êó, òî òîãäà
dl
ds
= cos β(s).
Òåïåðü ìû äîêàæåì âàæíóþ ëåììó.
3.5
Êðàò÷àéøèå ëèíèè. Ñâÿçü ìåæäó . . .
151
Ëåììà 3.5.2. Ó êàæäîé òî÷êè p ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü òàêàÿ, ÷òî
ëþáûå äâå òî÷êè ýòîé îêðåñòíîñòè ìîæíî ñîåäèíèòü åäèíñòâåííîé êðàò÷àéøåé, è ýòà êðàò÷àéøàÿ åñòü äóãà ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Wp îêðåñòíîñòü, îïðåäåëåííàÿ â ëåììå 3.4.3. Âûáåðåì îêðåñòíîñòü Ṽp òî÷êè p òàê, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê q1 è q2 èç
ýòîé îêðåñòíîñòè ãåîäåçè÷åñêàÿ äóãà γ(q1 , q2 ), èõ ñîåäèíÿþùàÿ, ïðèíàäëåæèò Wp .
(α). Äîêàæåì, ÷òî l0 = l(γ(q1 , q2 )) äëèíà ãåîäåçè÷åñêîé γ(q1 , q2 ) íå
ïðåâîñõîäèò äëèíû s0 ëþáîé äðóãîé êðèâîé c(s), ñîåäèíÿþùåé òå æå òî÷êè
q1 è q2 è ëåæàùåé â Wp , è s0 = l0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà c(s) ≡ γ .
Çäåñü s äëèíà äóãè c(s), îòñ÷èòûâàåìàÿ îò q1 .
Ñîåäèíèì òî÷êó q1 ñ òî÷êîé c(s) ãåîäåçè÷åñêîé σ(s, t). Îáîçíà÷èì ÷åðåç
l(s) äëèíó σ(s, t) è ïðèìåíèì ê ýòîé ôóíêöèè çàìå÷àíèå ëåììû 3.5.1. Òîdl
= cos β(s), ãäå β(s) óãîë ìåæäó σ 0 (s, t) è c0 (s) â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ.
ãäà ds
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
Z s0
Z s0
Z s0
dl
ds = s0 = l(c(s)).
cos β(s) ds ≤
ds =
l0 =
ds
0
0
0
Óòâåðæäåíèå (α) äîêàçàíî.
Äàëåå, â ïëîñêîñòè (T M )p âîçüìåì êðóã K1 ñ öåíòðîì â òî÷êå p è ðàäèóñà 1 íàñòîëüêî ìàëîãî, ÷òî V1p = expp (K1 ) ⊂ Ṽp .
Äàëåå âîçüìåì, íàêîíåö, êðóãîâóþ îêðåñòíîñòü V2p ðàäèóñà 41 . Äîêàæåì,
÷òî çà èñêîìóþ îêðåñòíîñòü Vp ìîæíî âçÿòü îêðåñòíîñòü V2p . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü q1 è q2 ïðîèçâîëüíûå òî÷êè Vp è γ(q1 , q2 ) ãåîäåçè÷åñêàÿ, èõ
ñîåäèíÿþùàÿ. Äîêàæåì, ÷òî γ(q1 , q2 ) êðàò÷àéøàÿ.
Ðèñ. 3.4: Èëëþñòðàöèÿ ê ëåììå 3.5.2
Ïóñòü c(t) ïðîèçâîëüíàÿ êðèâàÿ ïîâåðõíîñòè M ñ êîíöàìè â òî÷êàõ q1
è q2 . Åñëè ýòà êðèâàÿ ëåæèò öåëèêîì â Wp è íå ñîâïàäàåò ñ γ(q1 , q2 ), òî åå
äëèíà l(c) áîëüøå äëèíû γ(q1 , q2 ) ïî óæå äîêàçàííîìó óòâåðæäåíèþ (α).
Ïðåäïîëîæèì ïîýòîìó, ÷òî c(t) íå ëåæèò öåëèêîì â Wp . Òîãäà îíà íå
ëåæèò öåëèêîì è â îêðåñòíîñòè V1p . Îáîçíà÷èì ÷åðåç r1 (r2 ) ïåðâóþ òî÷êó
ïåðåñå÷åíèÿ c(t) ñ ãðàíèöåé V1p , ñ÷èòàÿ îò q1 (îò q2 ). Äëèíà ðàäèóñà pr1
ðàâíà 1 , äëèíà ðàäèóñà pq1 íå áîëüøå 41 , à äëèíà êðèâîé, ñîñòàâëåííîé
èç ðàäèóñà pq1 è äóãè q1 r1 êðèâîé c(t), ïî óòâåðæäåíèþ (α), íå ìåíüøå
äëèíû ðàäèóñà pr1 . Ñëåäîâàòåëüíî äëèíà äóãè q1 r1 êðèâîé c(t) íå ìåíüøå
÷åì 1 − 41 = 341 . Àíàëîãè÷íî, äëèíà äóãè r2 q2 êðèâîé c(t) òàêæå íå ìåíüøå
31
4 . Çíà÷èò äëèíà âñåé êðèâîé c(t) â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå, íå ìåíüøå
÷åì 321 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëèíà ãåîäåçè÷åñêîé γ(q1 , q2 ), îïÿòü æå â ñèëó
óòâåðæäåíèÿ (α), íå áîëüøå ñóììû äëèí ðàäèóñîâ pq1 è pq2 , ðàâíîé 21 .
Ñîïîñòàâëÿÿ ýòè äâà ðåçóëüòàòà, ìû ïîëó÷èì óòâåðæäåíèå ëåììû 3.5.2
Îêðåñòíîñòü, äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ óòâåðæäåíèÿ ëåììû 3.5.2, íàçîâåì êàíîíè÷åñêîé îêðåñòíîñòüþ.
Çàäà÷à 3.5.1. Äîêàçàòü, ÷òî îêðåñòíîñòè, óêàçàííûå â ïðèìåðå 3.5 è
çàäà÷å 3.4.3, ÿâëÿþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè îêðåñòíîñòÿìè.
152
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Èç ëåììû 3.5.2 óæå ìîæíî âûâåñòè ðÿä âàæíûõ òåîðåì.
Òåîðåìà 3.5.1. Äëÿ êàæäîé âíóòðåííåé òî÷êè p íà ãåîäåçè÷åñêîé γ ñóùåñòâóåò äóãà qr òàêàÿ, ÷òî p ∈ qr è äóãà qr åñòü êðàò÷àéøàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Vp êàíîíè÷åñêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè p. Ïîñêîëüêó
p âíóòðåííÿÿ òî÷êà γ , òî íà ãåîäåçè÷åñêîé íàéäóòñÿ äâå òî÷êè q è r òàêèå,
÷òî p ïðèíàäëåæèò äóãå qr è îáå òî÷êè ëåæàò âíóòðè Vp . Òîãäà ïî ëåììå
3.5.2 äóãà qr åñòü êðàò÷àéøàÿ.
Óòâåðæäåíèå òåîðåìû 3.5.1 ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàêæå â òàêîì âèäå: ëþáàÿ äîñòàòî÷íî ìàëàÿ äóãà ãåîäåçè÷åñêîé åñòü êðàò÷àéøàÿ. Íà ñàìîì
äåëå, êîíå÷íî, è äîâîëüíî áîëüøèå äóãè ãåîäåçè÷åñêèõ ìîãóò áûòü êðàò÷àéøèìè. Íàïðèìåð, íà ñôåðå ðàäèóñà R è íà êðóãîâîì öèëèíäðå ðàäèóñà R
ëþáàÿ äóãà ãåîäåçè÷åñêîé äëèíû íå áîëåå πR åñòü êðàò÷àéøàÿ.
Äëÿ âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, ñôîðìóëèðîâàííàÿ À.Ä. Àëåêñàíäðîâûì è äîêàçàííàÿ À.Â. Ïîãîðåëîâûì [Pog].
Òåîðåìà 3.5.2. Íà âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè, ãàóññîâà êðèâèçíà êîòîðîé íå
ïðåâîñõîäèò ÷èñëà k0 , ëþáàÿ äóãà ãåîäåçè÷åñêîé äëèíû íå áîëüøå ÷åì
åñòü êðàò÷àéøàÿ.
√π
k0
Òåîðåìà 3.5.3. Êðàò÷àéøàÿ åñòü ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Vp êàíîíè÷åñêàÿ îêðåñòíîñòü ïðîèçâîëüíîé òî÷êè p, ïðèíàäëåæàùåé íåêîòîðîé êðàò÷àéøåé γ . Âîçüìåì äâå ëþáûå òî÷êè
q1 ∈ γ è q2 ∈ γ , ëåæàùèå â Vp è ñîåäèíèì ýòè òî÷êè ãåîäåçè÷åñêîé γ(q1 , q2 ).
Ïî ëåììå 3.5.2 ýòà ãåîäåçè÷åñêàÿ åñòü åäèíñòâåííàÿ êðàò÷àéøàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè q1 è q2 . Ñëåäîâàòåëüíî, γ(q1 , q2 ) ⊂ γ . Òàê êàê òî÷êè q1 è q2
âûáèðàëèñü ïðîèçâîëüíî, òî òåîðåìà 3.5.3 äîêàçàíà.
Òåîðåìà 3.5.4. Äëÿ ëþáîãî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà F ñóùåñòâóåò ÷èñ-
ëî d > 0 òàêîå, ÷òî ëþáûå äâå òî÷êè èç F , ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè
ìåíüøå d, ìîæíî ñîåäèíèòü åäèíñòâåííîé êðàò÷àéøåé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {Vp } ñèñòåìà êàíîíè÷åñêèõ îêðåñòíîñòåé, ïîñòðîåííàÿ äëÿ âñåõ p ∈ F . Ýòà ñèñòåìà ïîêðûâàåò F .
Ïîñêîëüêó F êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, òî ìîæíî âûáðàòü êîíå÷íîå ïîêðûòèå V1 = Vp1 , V2 = Vp2 , . . . , Vn = Vpn . Âîçüìåì ÷èñëî d (÷èñëî Ëåáåãà)
ñòîëü ìàëûì, ÷òîáû ëþáûå äâå òî÷êè, óäàëåííûå äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå ìåíüøå d, ëåæàëè áû â îäíîé èç îêðåñòíîñòåé {Vi }1≤i≤n . Òîãäà èç
ëåììû 3.5.2 ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 3.5.4
Òåîðåìà 3.5.5. Åñëè äâå ðàçëè÷íûå êðàò÷àéøèå γ1 è γ2 èìåþò äâå îáùèå
òî÷êè p1 è p2 , òî ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ êîíöàìè êàê γ1 , òàê è γ2 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü, íàïðèìåð, òî÷êà p2 åñòü
âíóòðåííÿÿ òî÷êà γ2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç p1 p2 äóãó êðàò÷àéøåé γ1 , à ÷åðåç
p1 p2 äóãó êðàò÷àéøåé γ2 .  êàíîíè÷åñêîé îêðåñòíîñòè Vp2 òî÷êè p2 âîçüìåì òî÷êó q1 ∈ p1 p2 , q1 6= p2 è òî÷êó q2 6= p2 , q2 ∈ γ2 , q2 6∈ p1 p2 . Ïî
íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà
q 1 q 2 ≤ q 1 p 2 + p2 q 2 .
(3.5.34)
3.5
153
Êðàò÷àéøèå ëèíèè. Ñâÿçü ìåæäó . . .
Íî ïî ëåììå 3.5.2 ðàâåíñòâî â (3.5.34) âîçìîæíî òîëüêî òîãäà, êîãäà äóãà
q1 p2 ëåæèò íà γ2 , îòêóäà, ïî òåîðåìå 3.5.3, ñëåäîâàëî áû, ÷òî êðàò÷àéøèå
γ1 è γ2 ñîâïàäàþò. Çíà÷èò
(3.5.35)
q 1 q 2 < q 1 p2 + p2 q 2 .
Ðàññìîòðèì òåïåðü êðàò÷àéøóþ p1 q2 ÷àñòü êðàò÷àéøåé γ2 . Èç îïðåäåëåíèÿ êðàò÷àéøåé è (3.5.35), ñëåäóåò
p1 q2 = p1 p2 + p2 q2 = l(p1 p2 ) + p2 q2 = p1 q1 + q1 p2 + p2 q2 > p1 q1 + q1 q2 ,
âîïðåêè íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà.
3.5.4
Ïîëíûå ïîâåðõíîñòè
Îïðåäåëåíèå 3.5.2. Ïîâåðõíîñòü M íàçûâàåòñÿ ãåîäåçè÷åñêè ïîëíîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè ëþáîé îòðåçîê ãåîäåçè÷åñêîé ìîæåò áûòü ïðîäîëæåí íåîãðàíè÷åíî.
Òåîðåìà 3.5.6 (Õîïô è Ðèíîâ). Åñëè ïîâåðõíîñòü M ãåîäåçè÷åñêè ïîë-
íà, òî ëþáûå äâå òî÷êè ìîæíî ñîåäèíèòü êðàò÷àéøåé.
Çàìå÷àíèå 3.5.2. Ïðèâåäåííîå íèæå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Õîïôà-
Ðèíîâà, ïðèíàäëåæèò Äæ. Ìèëíîðó [Miln].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü p è q òî÷êè M, p 6= q, pq = a.  êàíîíè÷åñêîé
îêðåñòíîñòè Vp òî÷êè p âîçüìåì îêðóæíîñòü Γδ ðàäèóñà δ . Òàê êàê Γδ êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, òî íà Γδ ñóùåñòâóåò òî÷êà pδ , äëÿ êîòîðîé pδ q ðàâíî
ðàññòîÿíèþ îò q äî ìíîæåñòâà Γδ . ×åðåç òî÷êè p è pδ ïðîâåäåì ãåîäåçè÷åñêóþ γ(t), t äëèíà äóãè, îòñ÷èòûâàåòñÿ îò p. Ìû äîêàæåì, ÷òî γ(a) = q ,
è ÷òî äóãà γ(t) ïðè 0 ≤ t ≤ a åñòü êðàò÷àéøàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè p è
q . Òàê êàê êàæäàÿ êðèâàÿ ñ êîíöàìè â òî÷êàõ p è q ïåðåñåêàåò Γδ , òî, ïî
îïðåäåëåíèþ ðàññòîÿíèÿ, è ââèäó ëåììû 3.5.2 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
(3.5.36)
δ + pδ q = pq = a.
Ïóñòü F ìíîæåñòâî òåõ ÷èñåë t ∈ [0, a], äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
t + γ(t)q = pq.
(3.5.37)
Ìíîæåñòâî F íå ïóñòî, êàê ýòî âèäíî èç (3.5.36), çàìêíóòî, â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè ρM , è ñâÿçíî, â ñèëó íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà.
Ïîëîæèì t0 = supt∈F t. Åñëè t0 = a, òî òåîðåìà äîêàçàíà.
Ïðåäïîëîæèì ïîýòîìó, ÷òî t0 < a, è ïðèâåäåì ýòî ïðåäïîëîæåíèå ê
ïðîòèâîðå÷èþ.  êàíîíè÷åñêîé îêðåñòíîñòè Vγ(t0 ) = V0 òî÷êè γ(t0 ) âîçüìåì
îêðóæíîñòü Γ1 ðàäèóñà δ1 , è âûáåðåì δ1 òàê, ÷òîáû δ1 < min(t0 , a − t0 ). Íà
Γ1 íàéäåì òî÷êó pδ1 = p1 òàêóþ, ÷òî
(3.5.38)
δ1 + p1 q = γ(t0 )q.
Ñóùåñòâîâàíèå òàêîé òî÷êè p1 äîêàçûâàåòñÿ òî÷íî òàêæå, êàê áûëî äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè pδ . Òåïåðü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ
(1)
p1 ∈ γ,
(2)
p1 6∈ γ.
154
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Ðèñ. 3.5:
 ïåðâîì ñëó÷àå èç (3.5.37) è (3.5.38) ñëåäóåò, ÷òî t0 + δ1 ∈ F , âîïðåêè
îïðåäåëåíèþ ÷èñëà t0 . Îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü âòîðîé ñëó÷àé.
 ýòîì ñëó÷àå, ïî ëåììå 3.5.2
γ(t0 − δ1 )p1 < 2δ1 ,
(3.5.39)
à èç (3.5.39), (3.5.38) è (3.5.37) ñëåäóåò
pq ≤ qp1 + p1 γ(t0 − δ1 ) + γ(t0 − δ1 )p < qp1 + 2δ1 + t0 − δ1 =
= t0 + γ(t0 )q = pq,
òî åñòü pq < pq . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî t0 = a, è òåîðåìà
äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå 3.5.3. Ïðåäïîëîæåíèå â òåîðåìå 3.5.8 î ãåîäåçè÷åñêîé ïîëíî-
òå íå ÿâëÿåòñÿ èçëèøíèì. Â ñàìîì äåëå, åñëè èç åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè
óäàëèòü õîòÿ áû îäíó òî÷êó O, òî òî÷êè p1 è p2 , ëåæàùèå ñ O íà îäíîé ïðÿìîé, íåëüçÿ ñîåäèíèòü êðàò÷àéøåé, åñëè O ëåæèò ìåæäó p1 è
p2 . Êðîìå ãåîäåçè÷åñêîé ïîëíîòû ïîâåðõíîñòè ìîæíî îïðåäåëèòü ìåòðè÷åñêóþ ïîëíîòó, òî åñòü ïîëíîòó îòíîñèòåëüíî ìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè
ρM (p, q). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îáà ýòè ïîíÿòèÿ ïîëíîòû ýêâèâàëåíòíû.
Òåîðåìà 3.5.7. Ïîâåðõíîñòü M ãåîäåçè÷åñêè ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà îíà ìåòðè÷åñêè ïîëíà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîâåðõíîñòü M ìåòðè÷åñêè ïîëíà.
Òîãäà ãåîäåçè÷åñêàÿ ïîëíîòà ñëåäóåò èç èçâåñòíûõ òåîðåì òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
Íàîáîðîò, ïóñòü M ãåîäåçè÷åñêè ïîëíà. Âîçüìåì îãðàíè÷åííîå, çàìêíóòîå â ñìûñëå ìåòðèêè ρM (p, q) ìíîæåñòâî F íà M . Äîêàæåì, ÷òî F
êîìïàêòíî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç d äèàìåòð F . Ïóñòü q ∈ F .  ïëîñêîñòè
(T M )q ïîñòðîèì çàìêíóòûé êðóã K ðàäèóñà d. Òàê êàê M ãåîäåçè÷åñêè ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü, òî expq îïðåäåëåíî íà K . Ìíîæåñòâî expq (K), êàê
íåïðåðûâíûé îáðàç êîìïàêòà, åñòü êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî. Çàìêíóòîå ìíîæåñòâî F ïðèíàäëåæèò expq (K), ñëåäîâàòåëüíî, òîæå êîìïàêòíî.
Çàìåòèì, ÷òî èç òåîðåì 3.5.6 è 3.5.7 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè q
íà ïîëíîé ïîâåðõíîñòè M îòîáðàæåíèå expq îïðåäåëåíî íà âñåé ïëîñêîñòè
(T M )q è îòîáðàæàåò åå íà âñþ ïîâåðõíîñòü M .
3.5.5
Âûïóêëûå îáëàñòè íà ïîëíîé ïîâåðõíîñòè
Ðàññìîòðèì, êàêîé âèä ïðèíèìàåò õîðîøî èçâåñòíîå â åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè ïîíÿòèå âûïóêëîé îáëàñòè.
Ïóñòü D íåêîòîðàÿ çàìêíóòàÿ îáëàñòü. Äëÿ ïðîñòîòû, áóäåì ñ÷èòàòü
åå ãîìåîìîðôíîé êðóãó. Îïðåäåëèì ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè p è q îáëàñòè D ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè D, ïîëàãàÿ
ρD (p, q) =
inf
c∈Lpq (D)
l(c),
(3.5.40)
3.5
Êðàò÷àéøèå ëèíèè. Ñâÿçü ìåæäó . . .
155
ãäå Lpq (D) ìíîæåñòâî âñåõ êðèâûõ, ñîåäèíÿþùèõ p è q è ïðèíàäëåæàùèõ D. Êðàò÷àéøåé ëèíèåé îáëàñòè D íàçîâåì êðèâóþ, ñîåäèíÿþùóþ
òî÷êè p è q , äëèíà êîòîðîé ðàâíà ρD (p, q). Îáëàñòü D íà ïîâåðõíîñòè M
íàçîâåì ãåîäåçè÷åñêè âûïóêëîé îáëàñòüþ, åñëè êðàò÷àéøàÿ ëèíèÿ îáëàñòè D åñòü ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ ïîâåðõíîñòè M . Îêàçûâàåòñÿ, ãåîäåçè÷åñêè
âûïóêëûå îáëàñòè, ïîäîáíî âûïóêëûì îáëàñòÿì íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè,
äîïóñêàþò ëîêàëüíóþ õàðàêòåðèñòèêó.
Âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 3.5.8. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îáëàñòü D áûëà ãåîäåçè÷åñêè âûïóêëîé
îáëàñòüþ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà ãðàíèöû ýòîé îáëàñòè â êàæäîé òî÷êå áûëà íåîòðèöàòåëüíà ñî ñòîðîíû
îáëàñòè D.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ìû ïðåäñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå
óïðàæíåíèÿ.
Âûïóêëîé îáëàñòüþ íà ïîâåðõíîñòè íàçîâåì îáëàñòü, â êîòîðîé êàæäàÿ
êðàò÷àéøàÿ îáëàñòè D åñòü îäíîâðåìåííî êðàò÷àéøàÿ ïîâåðõíîñòè M .
Çàäà÷à 3.5.2. Ïðèâåñòè ïðèìåð ïîâåðõíîñòè è îáëàñòè íà íåé, êîòîðàÿ
áûëà áû ãåîäåçè÷åñêè âûïóêëîé, íî íå âûïóêëîé.
Îáëàñòü íà ïîâåðõíîñòè íàçîâåì âïîëíå âûïóêëîé, åñëè ëþáàÿ êðàò÷àéøàÿ ïîâåðõíîñòè M ñ êîíöàìè â D öåëèêîì ëåæèò â D.
Çàäà÷à 3.5.3. Ïðèâåñòè ïðèìåð ïîâåðõíîñòè è îáëàñòè íà íåé, êîòîðàÿ
áûëà áû âûïóêëîé, íî íå âïîëíå âûïóêëîé.
Íàêîíåö, îïðåäåëèì ïîíÿòèå àáñîëþòíî âûïóêëîé îáëàñòè. Îáëàñòü D
íàçîâåì àáñîëþòíî âûïóêëîé îáëàñòüþ, åñëè ëþáàÿ äóãà ãåîäåçè÷åñêîé γ
ñ êîíöàìè â D öåëèêîì ëåæèò â D.
Çàäà÷à 3.5.4. Äîêàçàòü, ÷òî íà êîìïàêòíîé ïîâåðõíîñòè íå ñóùåñòâó-
åò àáñîëþòíî âûïóêëîé îáëàñòè.
Ãåîäåçè÷åñêóþ ñ íà÷àëîì â òî÷êå p íàçîâåì ëó÷îì ñ âåðøèíîé â òî÷êå
p, åñëè ëþáàÿ åå äóãà åñòü êðàò÷àéøàÿ.
Çàäà÷à 3.5.5. Äîêàçàòü, ÷òî íà ëþáîé ïîëíîé îòêðûòîé ïîâåðõíîñòè M
êëàññà C 2 ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó p ïðîõîäèò, ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí ëó÷.
Ïóñòü r1 åñòü íåêîòîðûé ëó÷ íà ïîëíîé îòêðûòîé ïîâåðõíîñòè M êëàññà
C 2 . Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ëó÷ r2 ñ âåðøèíîé â òî÷êå p ÿâëÿåòñÿ êî-ëó÷îì ê r1 ,
åñëè îí åñòü ïðåäåë êðàò÷àéøèõ ppn ïðè ñòðåìëåíèè ppn ê áåñêîíå÷íîñòè,
ãäå pn ∈ r1 .
Çàäà÷à 3.5.6. Äîêàçàòü, ÷òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó p ∈ M ìîæíî ïðîâå-
ñòè êî-ëó÷ ê çàäàííîìó ëó÷ó r1 .
Çàäà÷à 3.5.7. Ïóñòü r2 åñòü êî-ëó÷ ê ëó÷ó r1 , à q - âíóòðåííÿÿ òî÷êà
ëó÷à r2 . Äîêàçàòü, ÷òî ÷åðåç òî÷êó q ïðîõîäèò åäèíñòâåííûé êî-ëó÷ ê
ëó÷ó r1 .
156
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Ïðèìåð 3.5.1. Ðàññìîòðèì â R3 ïàðàáîëîèä âðàùåíèÿ Π : z = x2 + y 2 .
Äîêàæåì, ÷òî êàæäàÿ îáëàñòü D(a) ⊂ M , îïðåäåëåííàÿ íåðàâåíñòâîì
0 ≤ z ≤ a, åñòü àáñîëþòíî âûïóêëàÿ îáëàñòü. Ïàðàáîëîèä Π ðàçáèâàåò R3
íà äâå îáëàñòè, îäíà èç êîòîðûõ, à èìåííî òà, êîòîðàÿ ñîäåðæèò ïîëîæèòåëüíóþ ïîëóîñü Oz , åñòü âûïóêëàÿ îáëàñòü. Îáîçíà÷èì ýòó îáëàñòü
~ (p) íîðìàëü ê ïàðàáîëîèäó Π â òî÷êå p. Áóäåì ñ÷èòàòü,
÷åðåç B . Ïóñòü n
~ (p) ñ ïîëîæèòåëüíîé ïî÷òî îíà íàïðàâëåíà âíóòðü îáëàñòè B . Òîãäà n
ëóîñüþ Oz îáðàçóåò îñòðûé óãîë.
Âîçüìåì òåïåðü íà ïàðàáîëîèäå íåêîòîðóþ äóãó ïðîèçâîëüíîé ãåîäåçè÷åñêîé γ(t), (c ≤ t ≤ b). Èçó÷èì ïîâåäåíèå ôóíêöèè z íà äóãå γ(t). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìàêñèìóì ôóíêöèè z íà γ äîñòèãàåòñÿ òîëüêî íà êîíöàõ
(èëè íà îäíîì èç êîíöîâ). Â ñàìîì äåëå, ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü
â òî÷êå γ(t0 ) ôóíêöèÿ z(t) äîñòèãàåò ìàêñèìóìà. Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó
γ(t0 ) ïëîñêîñòü z = z(t0 ) = z0 . Òîãäà âñÿ êðèâàÿ γ(t) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè γ(t0 ) ëåæèò íå âûøå ïëîñêîñòè z = z0 . Ïîýòîìó ãëàâíàÿ
íîðìàëü ~ν (t0 ) êðèâîé γ â òî÷êå γ(t0 ) îáðàçóåò ñ ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñüþ
~ (γ(t0 )) îáðàçóåò ñ ýòîé æå ïîëóOz óãîë íå ìåíüøå ÷åì π2 , à íîðìàëü n
~ (γ(t0 )) ê M è ãëàâíàÿ íîðìàëü ~ν (t0 ) ê
îñüþ îñòðûé óãîë. Çíà÷èò, íîðìàëü n
êðèâîé γ â òî÷êå γ(t0 ) íå êîëëèíåàðíû âîïðåêè îïðåäåëåíèþ ãåîäåçè÷åñêîé.
Òåïåðü ìû ìîæåì äîêàçàòü àáñîëþòíóþ âûïóêëîñòü îáëàñòè D(a)
ïðè ëþáîì a > 0. Ïóñòü p ∈ D(a) è q ∈ D(a). Îáîçíà÷èì ÷åðåç γ(t) äóãó ïðîèçâîëüíîé ãåîäåçè÷åñêîé ñ êîíöàìè â òî÷êàõ p è q . Ïðåäïîëîæèì,
÷òî γ(t) íå ëåæèò öåëèêîì â îáëàñòè D(a). Òîãäà, ïîñêîëüêó z â òî÷êàõ p è q , ïî îïðåäåëåíèþ îáëàñòè D(a) íå ïðåâîñõîäèò a, òî ôóíêöèÿ z
äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ â íåêîòîðîé âíóòðåííåé òî÷êå äóãè
ãåîäåçè÷åñêîé γ(t), âîïðåêè âûøå äîêàçàííîìó. Èòàê, îáëàñòü D(a) ïðè
ëþáîì a > 0 åñòü àáñîëþòíî âûïóêëàÿ îáëàñòü.
157
3.6. Ñïåöèàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
3.6
3.6.1
Ñïåöèàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Ðèìàíîâà íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò
Ïóñòü p ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïîâåðõíîñòè M .  ïëîñêîñòè (T M )p ââåäåì
äåêàðòîâó ïðÿìîóãîëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò u1 , u2 .  ñèëó ëåììû 3.4.3 ñóùåñòâóåò òàêîå δ , ÷òî êðóã B(p, δ) ñ öåíòðîì â òî÷êå p è ðàäèóñà δ ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì îòîáðàæåíèè îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåòñÿ â íåêîòîðóþ îêðåñòíîñòü W òî÷êè p íà ïîâåðõíîñòè M . Ïóñòü q1 ∈ B(p, δ) è q = expp (pq 1 ).
Ââåäåì â W ñèñòåìó êîîðäèíàò u1 , u2 , ïîëàãàÿ êîîðäèíàòû òî÷êè q ðàâíûìè êîîðäèíàòàì òî÷êè q1 . Òîãäà òî÷êà p èìååò íóëåâûå êîîðäèíàòû, à
âåêòîðû ~r 1 (0, 0) è ~r 2 (0, 0) ÿâëÿþòñÿ åäèíè÷íûìè è âçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè
âåêòîðàìè. Ïîýòîìó
g11 (0, 0) = g22 (0, 0) = 1,
g12 (0, 0) = 0.
Óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé ïîâåðõíîñòè M , ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó p,
çàïèøóòñÿ â âèäå: u1 = α1 t, u2 = α2 t, ãäå t ïàðàìåòð, ïðîïîðöèîíàëüíîé
äëèíå äóãè, è ðàâåí äëèíå äóãè, åñëè (α1 )2 + (α2 )2 = 1.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ôóíêöèè â óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé, ìû ïîëó÷èì
Γijk (α1 t, α2 t)αj αk = 0,
(3.6.41)
(i = 1, 2).
Óìíîæàÿ (3.6.41) íà gip è ñóììèðóÿ ïî i, ïîëó÷èì
Γjk,p (α1 t, α2 t)αj αk = 0,
(p = 1, 2).
(3.6.42)
Ïîëîæèì t = 0, òîãäà
Γjk,p (0, 0)αj αk = 0,
(3.6.43)
(p = 1, 2).
Èç (3.6.43), â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ÷èñëà α1 è α2 , èìååì
Γij,k = 0,
(3.6.44)
(i, j, k = 1, 2).
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ îò êîýôôèöèåíòîâ ïåðâîé
êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïðîäèôôåðåíöèðóåì (3.6.42) ïî t è ïîëîæèì t = 0.
Òîãäà
∂Γjk,p i j k
α α α = 0,
(p = 1, 2).
(3.6.45)
∂ui
Ðàñïèøåì ðàâåíñòâà (3.6.45) áîëåå ïîäðîáíî
∂Γ11,p
∂Γ11,p
∂Γ12,p
1 2 2
(α1 )3
+
(α
)
α
+
2
+
∂u1
∂u2
∂u1
∂Γ22,p
∂Γ12,p
∂Γ22,p
+ α1 (α2 )2
+
2
+ (α2 )3
= 0,
1
2
∂u
∂u
∂u2
(p = 1, 2).
(3.6.46)
Èç (3.6.46) ïîëó÷àåì âîñåìü óðàâíåíèé
∂ 2 g1p
1 ∂ 2 g11
∂Γ11,p
(0,
0)
=
−
= 0,
∂u1
(∂u1 )2
2 ∂u1 ∂up
(p = 1, 2),
(3.6.47)
158
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
∂Γ11,p
∂Γ12,p
∂ 2 g1p
1 ∂ 2 g11
(0, 0) + 2
(0, 0) =
−
+
2
1
1
2
∂u
∂u
∂u ∂u
2 ∂u2 ∂up
∂ 2 g2p
∂ 2 g12
∂ 2 g1p
+
−
= 0,
+
∂u1 ∂u2
(∂u1 )2
∂u1 ∂up
(p = 1, 2), (3.6.48)
∂Γ22,p
∂Γ12,p
∂ 2 g2p
1 ∂ 2 g22
(0,
0)
+
2
(0,
0)
=
−
+
∂u1
∂u2
∂u1 ∂u2
2 ∂u1 ∂up
2
2
2
∂ g2p
∂ g12
∂ g1p
+
−
= 0,
+
2
2
1
2
(∂u )
∂u ∂u
∂u2 ∂up
(p = 1, 2), (3.6.49)
∂Γ22,p
∂ 2 g2p
1 ∂ 2 g22
(0,
0)
=
−
= 0,
∂u2
(∂u2 )2
2 ∂u2 ∂up
(p = 1, 2).
(3.6.50)
Äîáàâèì ê ýòèì óðàâíåíèÿì âûðàæåíèå äëÿ ïîëíîé (ãàóññîâîé) êðèâèçíû
K ïîâåðõíîñòè M â òî÷êå p. Ñ ó÷åòîì (3.6.44), ìû ïîëó÷èì
∂ 2 g11
∂ 2 g22
∂ 2 g12
1
−
.
(3.6.51)
2 1 2−
K=
2 ∂u ∂u
(∂u2 )2
(∂u1 )2
Ðåøàÿ ñîâìåñòíî óðàâíåíèÿ (3.6.47)(3.6.51), ïîëó÷èì
∂ 2 g11
∂ 2 g11
∂ 2 g22
(0, 0) =
(0, 0) =
(0, 0) =
1
2
1
2
(∂u )
∂u ∂u
(∂u2 )2
∂ 2 g12
∂ 2 g22
∂ 2 g12
=
(0, 0) =
(0, 0) =
(0, 0) = 0,
1
2
1
2
(∂u )
∂u ∂u
(∂u2 )2
∂ 2 g12
∂ 2 g11
2
1
(0, 0) = − K(0, 0),
(0, 0) = K(0, 0),
2
2
(∂u )
3
∂u1 ∂u2
3
∂ 2 g22
2
(0, 0) = − K(0, 0).
(∂u1 )2
3
(3.6.52)
Èç (3.6.52) ñëåäóåò, ÷òî
1
g11 = 1 − K(0, 0)(u2 )2 + ō((u1 )2 + (u2 )2 ),
3
1
g12 = K(0, 0) u1 u2 + ō((u1 )2 + (u2 )2 ),
3
1
g22 = 1 − K(0, 0)(u1 )2 + ō((u1 )2 + (u2 )2 ).
3
(3.6.53)
Ôîðìóëû (3.6.53) äàþò âîçìîæíîñòü ñðàâíèòü äëèíó ïðîèçâîëüíîé êðèâîé
γ1 êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè (T M )p ñ äëèíîé åå îáðàçà γ ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì îòîáðàæåíèè.
3.6.2
Òåîðåìà ñðàâíåíèÿ ìåòðèê
Ïóñòü êðèâàÿ γ1 ëåæèò â êðóãå B(p, δ) íà ïëîñêîñòè (T M )p , à γ åå îáðàç
ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì îòîáðàæåíèè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç l1 äëèíó γ1 , à ÷åðåç
l äëèíó γ .
Òåîðåìà 3.6.1. Ñóùåñòâóåò òàêîå δ0 , ÷òî ïðè âñåõ δ < δ0 âûïëîíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî |l−l1 | ≤ Cl1 δ 2 , ãäå êîíñòàíòà C çàâèñèò òîëüêî îò çíà÷åíèÿ
ãàóññîâîé êðèâèçíû â òî÷êå p .
159
3.6. Ñïåöèàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü óðàâíåíèÿ êðèâîé γ1 â äåêàðòîâûõ ïðÿìîóãîëüíûõ
êîîðäèíàòàõ íà (T M )P çàäàþòñÿ ôóíêöèÿìè f1 (t) è f2 (t); u1 = f1 (t), u2 =
f2 (t). Òîãäà óðàâíåíèÿ êðèâîé γ â ðèìàíîâûõ íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ çàäàþòñÿ òåìè æå ôóíêöèÿìè. Ïóñòü t äëèíà äóãè êðèâîé γ1 , îòñ÷èòûâàåìàÿ
îò íà÷àëüíîé òî÷êè êðèâîé γ1 . Òîãäà
(3.6.54)
(f10 (t))2 + (f20 (t))2 = 1.
Ïîäñ÷èòàåì äëèíó l êðèâîé γ
Z l1 r
1
l=
(f10 )2 + (f20 )2 + K(0, 0)(2f1 f2 f10 f20 − f12 (f20 )2 − f22 (f10 )2 ) + ō(δ 2 ) dt.
3
0
Îáîçíà÷èì ÷åðåç
A=
1
K(0, 0)(2f1 f2 f10 f20 − f12 (f20 )2 − f22 (f10 )2 ) + ō(δ 2 ).
3
Òîãäà
Z
|l − l1 | =
l1
√
( 1 + A − 1) dt =
l1
Z
√
0
0
A dt
.
1+A+1
Îöåíèì |A| ñâåðõó
|A| ≤
1
|K(0, 0)|2(f12 (f20 )2 + f22 (f10 )2 ) + ō(δ 2 ).
3
Òàê êàê |f10 | ≤ 1 è |f20 | ≤ 1, òî ìû ïîëó÷àåì
|A| ≤
1
|K(0, 0)|2δ 2 + ō(δ 2 ) ≤ |K(0, 0)|δ 2
3
ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì δ .
√
Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì δ èìååì 1 + A + 1 >
ïîëó÷àåì
2
|l − l1 | ≤ |K(0, 0)|δ 2
3
Z
l1
dt =
0
3
2.
Òàêèì îáðàçîì, ìû
2
|K(0, 0)|l1 δ 2 .
3
 ÷àñòíîñòè, ïóñòü γ1 îêðóæíîñòü ðàäèóñà δ ñ öåíòðîì â òî÷êå p íà
ïëîñêîñòè (T M )p , à γ îêðóæíîñòü ðàäèóñà δ ñ öåíòðîì â òî÷êå p íà ïîâåðõíîñòè M . Òîãäà èç òåîðåìû 3.6.1 ñëåäóåò: l = 2πδ + ō(δ), à åñëè γ åñòü
äóãà îêðóæíîñòè ñ öåíòðàëüíûì óãëîì α, òî
l = αδ + ō(δ).
(3.6.55)
Èç òåîðåìû 3.6.1 âûâåäåì îäíî ñëåäñòâèå.
Ñëåäñòâèå 3.6.1. Ïóñòü Ā ∈ B(p, δ), B̄ ∈ B(p, δ), Ā = exp−1
p (A) è B̄ =
exp−1
p (B). Òîãäà AB = ĀB̄ + ō(δ)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü γ = expp (ĀB̄), à γ̄ = exp−1
p (AB). Òîãäà, â ñèëó
òåîðåìû 3.6.1, èìååì l = l(γ) = ĀB̄ + ō(δ), ¯l = l(γ̄) = AB + ō(δ). À òàê êàê
AB ≤ l, ĀB̄ ≤ ¯l, òî AB ≤ ĀB̄ + ō(δ), ĀB̄ ≤ AB + ō(δ). Èç ïîñëåäíèõ äâóõ
íåðàâåíñòâ ñëåäóåò AB = ĀB̄ + ō(δ).
160
3.6.3
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïîâåðõíîñòè
Ïóñòü p ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïîâåðõíîñòè M . Ââåäåì íà ïëîñêîñòè (T M )p
ïîëÿðíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ öåíòðîì â òî÷êå p.  ñèëó ëåììû 3.4.3 ñóùåñòâóåò òàêîå δ0 > 0, ÷òî ïðè âñåõ δ, (0 < δ < δ0 ) ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå expp îòîáðàæàåò êðóã B̃(p, δ) ⊂ (T M )p íà íåêîòîðóþ îêðåñòíîñòü
W ⊂ M äèôôåîìîðôíî. Ââåäåì â W êîîðäèíàòû ρ, ϕ, ïîëàãàÿ êîîðäèíàòû
òî÷êè q ðàâíûìè êîîðäèíàòàì åå ïðîîáðàçà ïðè îòîáðàæåíèè expp . Òàêàÿ
ñèñòåìà êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ ïîëÿðíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò ñ öåíòðîì
â òî÷êå p, à ñàìà îêðåñòíîñòü W íàçûâàåòñÿ êðóãîì, êîòîðûé ìû áóäåì
îáîçíà÷àòü òåì æå ñèìâîëîì B(p, δ). Òî÷êà p ÿâëÿåòñÿ îñîáîé òî÷êîé ýòîé
êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû: |~r ρ (0, 0)| = 1, à |~r ϕ (0, ϕ)| = 0. Ïîýòîìó
g11 (0, 0) = (~r ρ ,~r ρ ) = 1,
g22 (0, ϕ) = (~r ϕ ,~r ϕ ) = 0,
g12 (0, ϕ) = (~r ρ ,~r ϕ ) = 0.
(3.6.56)
 ñèëó ëåììû 3.5.1 î ïðîèçâîäíîé äëèíû ñåìåéñòâà ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé,
ìû âèäèì, ÷òî êîîðäèíàòíûå ëèíèè ρ = const è ϕ = const ïåðåñåêàþòñÿ
ïîä ïðÿìûì óãëîì. Ïîýòîìó
(3.6.57)
g12 (ρ, ϕ) = 0.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç f =
p
g22 (ρ, ϕ). Òîãäà èç (3.6.56) ñëåäóåò, ÷òî
(3.6.58)
f (0, ϕ) = 0.
Äîêàæåì, ÷òî fρ0 (0, ϕ) = 1.  ñàìîì äåëå, ïóñòü l(ρ, α) äëèíà äóãè îêðóæíîñòè ðàäèóñà ρ ñ öåíòðîì â òî÷êå p è ñ öåíòðàëüíûì óãëîì α íà M . Òîãäà
Z αp
l(ρ, α) =
g22 (ρ, ϕ) dϕ.
0
Ïîýòîìó èç ôîðìóëû (3.6.55) ñëåäóåò ðàâåíñòâî
Z αp
g22 (ρ, ϕ) dϕ = αρ + ~o (ρ).
0
Äèôôåðåíöèðóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïî ρ è α, è ïîëàãàÿ çàòåì ρ = 0,
ïîëó÷èì
dp
=1
g22 (ρ, ϕ)
dρ
ρ=0
èëè
(3.6.59)
fρ0 (0, ϕ) = 1.
Âû÷èñëèì òåïåðü ãàóññîâó êðèâèçíó K ïîâåðõíîñòè M . Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâà (3.6.56) è (3.6.57), ïîëó÷èì
00
K(ρ, ϕ) = −fρρ
(ρ, ϕ)
1
.
f (ρ, ϕ)
(3.6.60)
Ïåðåïèøåì (3.6.60) â òàêîé ôîðìå
00
fρρ
(ρ, ϕ) + K(ρ, ϕ)f (ρ, ϕ) = 0,
(3.6.61)
161
3.6. Ñïåöèàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
(3.6.62)
fρ0 (0, ϕ) = 1.
f (0, ϕ) = 0,
Óðàâíåíèå (3.6.61) è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (3.6.62) ïîêàçûâàþò íàì, ÷òî åñëè
K(ρ, ϕ) åñòü èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò (ρ, ϕ), òî g22 (ρ, ϕ) îïðåäåëÿåòñÿ
îäíîçíà÷íî è âñå êîýôôèöèåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà íàõîäÿòñÿ. Íàïðèìåð, ïóñòü
K(ρ, ϕ) = ±a2 .
Òîãäà g11 = 1, g12 = 0, g22 =
3.6.4
sinh2 (aρ)
sin2 (aρ)
èëè
g
=
â ñëó÷àå K = −a2 .
22
a2
a2
Ïîëóãåîäåçè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïîâåðõíîñòè
Âîçüìåì íà ïîâåðõíîñòè M çàìêíóòóþ áåç ñàìîïåðåñå÷åíèÿ äóãó ãåîäåçè÷åñêîé γ . Ââåäåì íà γ ïàðàìåòðèçàöèþ γ(t) ñ ïîìîùüþ äëèíû äóãè t, îòñ÷èòûâàåìîé îò íåêîòîðîé òî÷êè, 0 ≤ t ≤ b. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó γ(t) ïðîâåäåì
ãåîäåçè÷åñêóþ σ(t, s) ïåðïåíäèêóëÿðíî ê γ , s äëèíà äóãè σ(t, s), îòñ÷èòûâàåìàÿ îò òî÷êè γ(t), êàê îáû÷íî, ñî çíàêîì. Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò
òàêîå δ0 > 0, ÷òî ïðè |s| < δ0 íèêàêèå ãåîäåçè÷åñêèå σ(t, s) íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî äâå äîñòàòî÷íî áëèçêèå ãåîäåçè÷åñêèå σ(t, s) íå
ïåðåñåêàþòñÿ ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ïðîäîëæåíèè.
Âîçüìåì íåêîòîðóþ òî÷êó γ(t), è ïóñòü â åå îêðåñòíîñòè îïðåäåëåíû
êàêèå-òî êîîðäèíàòû u1 , u2 . Ïóñòü γ(t) èìååò óðàâíåíèÿ ui = ui (t), (i =
1, 2), à σ(t, s) − ui = hi (t, s). Òîãäà
hi (t, 0) = ui (t),
Äîêàæåì, ÷òî îïðåäåëèòåëü ∆ =
Îáîçíà÷èì ÷åðåç λi =
∂hi
∂t
s=0
∂h1
∂t
∂h1
∂s
(i = 1, 2).
∂h2
∂t
∂h2
∂s
(3.6.63)
ïðè s = 0 îòëè÷åí îò íóëÿ.
, à ÷åðåç µi =
∂hi
∂s
s=0
. Òîãäà λi åñòü êîîð-
~ , êàñàòåëüíîãî ê γ(t) â òî÷êå γ(t), à µi êîîðäèíàòû åäèíè÷íîãî âåêòîðà λ
~ , êàñàòåëüíîãî ê ãåîäåçè÷åñêîé σ(t, s) â òî÷êå
äèíàòû åäèíè÷íîãî âåêòîðà µ
~ èµ
~ ïåðïåíäèêóëÿðíû ïî ïîñòðîåíèþ, òî
σ(t, 0) = γ(t). Ïîñêîëüêó âåêòîðû λ
∆ 6= 0. Îòñþäà, ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî t1
ñóùåñòâóåò ÷èñëî δ(t1 ) è ÷èñëî (t1 ) òàêèå, ÷òî ïðè t1 −(t1 ) < t < t1 +(t1 )
äóãè ãåîäåçè÷åñêèõ σ(t, s) íå ïåðåñåêàþòñÿ. Êðîìå òîãî, ìíîæåñòâî òî÷åê
σ(t, s) ïðè t1 − (t1 ) < t < t1 + (t1 ), |s| < δ(t1 ) îáðàçóþò îáëàñòü íà M .
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî òî÷åê äóãè γ ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì, òî
îòñþäà ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ÷èñåë δ1 è 1 òàêèõ, ÷òî äóãè ãåîäåçè÷åñêèõ
σ(t1 , s) è σ(t2 , s) íå ïåðåñåêàþòñÿ, åñëè |s| < δ1 , à |t2 − t1 | < 1 .
Ïóñòü òåïåðü δ2 = min{ρ(γ(t), γ(t + t0 )) : t, t0 ∈ [a, b], t0 ≥ 1 }. Îïðåäåëèì δ0 = min{ δ21 , δ22 }. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ÷èñëî δ0 è åñòü èñêîìîå
÷èñëî. Ðàññìîòðèì îáëàñòü íà ïîâåðõíîñòè M , ñîñòîÿùåå èç òî÷åê σ(t, s)
ïðè a ≤ t ≤ b. Â ýòîé îáëàñòè ââåäåì êîîðäèíàòû, ïîëàãàÿ u1 = s, u2 = t.
Ïîëó÷åííûå êîîðäèíàòû íàçûâàþòñÿ ïîëóãåîäåçè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè.
Ðèñ. 3.6:
162
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Çàìå÷àíèå 3.6.1. Ïðè ïîñòðîåíèè ïîëóãåîäåçè÷åñêèõ êîîðäèíàò ìîæíî,
âîîáùå ãîâîðÿ, âìåñòî ãåîäåçè÷åñêîé γ áðàòü ïðîèçâîëüíóþ ðåãóëÿðíóþ
êðèâóþ.
Èçó÷èì ñòðîåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïîâåðõíîñòè â ïîëóãåîäåçè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Êîîðäèíàòíûå ëèíèè u1 =
const è u2 = const ïåðåñåêàþòñÿ ïîä ïðÿìûì óãëîì. Ýòî óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç ïîñòðîåíèÿè è èç ëåììû 3.5.1 î ïðîèçâîäíîé äëèíû ñåìåéñòâà
ãåîäåçè÷åñêèõ. Ïîýòîìó
g21 (u1 , u2 ) = 0.
(3.6.64)
Äàëåå, ïîñêîëüêó u1 åñòü äëèíà ëèíèè u2 = const, òî
(3.6.65)
g11 (u1 , u2 ) = 1.
Òàêèì îáðàçîì,
ds2 = (du1 )2 + g22 (u1 , u2 )(du2 )2 .
(3.6.66)
√
1
2
Åñëè ïîëîæèòü f (u , u ) = g22 , òî òàêæå êàê è â ïðåäûäóùåì ïóíêòå
∂ 2 f (u1 , u2 )
+ K(u1 , u2 )f (u1 , u2 ) = 0.
(∂u1 )2
(3.6.67)
Îäíàêî íà÷àëüíûå óñëîâèÿ áóäóò äðóãèìè. Òàê êàê ïðè u1 = 0, u2 åñòü
äëèíà γ , òî
p
g22 (0, u2 ) = f (0, u2 ) = 1.
(3.6.68)
Íàêîíåö, u1 = 0, u2 = t åñòü ãåîäåçè÷åñêàÿ, ñëåäîâàòåëüíî,
(3.6.69)
Γ122 (0, u2 ) = Γ222 (0, u2 ) = 0.
Ïîëüçóÿñü âûðàæåíèåì äëÿ ñèìâîëîâ Êðèñòîôôåëÿ 1-ãî ðîäà, ïîëó÷èì
−f (0, u2 )
∂f
(0, u2 ) = 0,
∂u1
îòêóäà
∂f
(0, u2 ) = 0.
(3.6.70)
∂u1
Èòàê, ôóíêöèÿ f (u1 , u2 ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.6.67) ñ íà÷àëüíûìè
óñëîâèÿìè (3.6.68) è (3.6.70). Íàéäåì â ïîëóãåîäåçè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ 2-ãî ðîäà. Èìååì
g22 = G(u1 , u2 ) = f 2 (u1 , u2 ),
g12 = g21 = 0,
g11 = 1.
Ïîýòîìó
Γ111 = Γ211 = Γ112 = Γ121 = 0,
Γ221 = Γ212 =
2f fu1
2f 2
1
Γ122 = Γ22,1 = − Gu1 = −f fu1 ,
2
fu1
1
f 2
2
=
,
Γ22 = 2 Γ22,2 = u .
f
f
f
(3.6.71)
Äàëåå íàéäåì ôîðìóëó äëÿ ãåîäåçè÷åñêîé êðèâèçíû kg ïðîèçâîëüíîé êðèâîé c. Ïóñòü u1 = u1 (t), u2 = u2 (t) óðàâíåíèÿ c, è t äëèíà äóãè c,
îòñ÷èòûâàåìàÿ îò íåêîòîðîé òî÷êè. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:
!
Dc~0 (t)
0
0
~
~
|c (t)| = 1,
c (t),
= 0.
(3.6.72)
dt
163
3.6. Ñïåöèàëüíûå ñèñòåìû êîîðäèíàò
c~0
Åñëè îáîçíà÷àòü ÷åðåç µ1 è µ2 êîîðäèíàòû âåêòîðà Dcdt(t) â ëîêàëüíîì áàçèñå, òî â ïîëóãåîäåçè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ðàâåíñòâà (3.6.72) çàïèøóòñÿ
òàê:
2 2
1 2
du
du
+G
= 1,
(3.6.73)
dt
dt
du1
du2
+ Gµ2
= 0.
(3.6.74)
dt
dt
Äîêàæåì, ÷òî ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà kg êðèâîé c âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
µ1
√
kg =
G µ1
du2
du1
.
− µ2
dt
dt
(3.6.75)
Âîçâåäåì ïðàâóþ ÷àñòü â êâàäðàò. Ïîëó÷èì, ó÷èòûâàÿ (3.6.73), (3.6.74) è
(3.4.21),
"
#
2 2
1 2
1
2
1 2 du du
1 du
2 du
G µ
+ µ
− 2µ µ
=
dt
dt
dt dt
"
#
1
2 2
1 2
1
2
2
du
du
du
1
du
du
du
= G µ1
+ µ2
− µ1
−µ1
− µ2
−Gµ2
=
dt
dt
G
dt
dt
dt
dt
( "
(
2 1 2 )
2
2 2 )#
du2
du
du1
du
(µ1 )2
2 2
G
=G
+
+ (µ )
+G
=
G
dt
dt
dt
dt
Dc~0 (t)
= (µ ) + G(µ ) =
dt
1 2
2 2
2
= kg2 .
Ôîðìóëà (3.6.75) äîêàçàíà.
Ïîäñòàâèì òåïåðü â ôîðìóëó (3.6.75) âûðàæåíèå äëÿ µ1 è µ2 (ñì. (3.2.8)).
Òîãäà ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà kg ðàâíà
"
"
2 2 #
2 #
du2 d2 u1
du
du1 d2 u2
fu1 du1 du2
fu2 du2
f
− f fu1
−
+2
+
.
dt
dt2
dt
dt
dt2
f dt dt
f
dt
Ñäåëàåì ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû ÷ëåíîâ
− f 2 fu1
=−
du2
dt
du2
fu1
dt
3
2 2
du1
du
=
dt
dt
2 2 1 2 !
du
du
du2
2
f
+
= −fu1
.
dt
dt
dt
− fu1
Ñëåäîâàòåëüíî,
d2 u1 du2
d2 u2 du1
kg = f
−
−
dt2 dt
dt2 dt
1 2 2
2 2 1
du
du
du
du
du2
1
2
−fu
− fu
− fu1
.
dt
dt
dt
dt
dt
(3.6.76)
164
3.7
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Òåîðåìà Ãàóññà-Áîííå
Ðàññìîòðèì íà ïîëíîé ïîâåðõíîñòè M îáëàñòü W , ãîìåîìîðôíóþ êðóãó, öåëèêîì ëåæàùóþ â íåêîòîðîé êîîðäèíàòíîé îêðåñòíîñòè U ñ êîîðäèíàòàìè
(u1 , u2 ). Ââåäåì â îáëàñòè W îðèåíòàöèþ, èíäóöèðîâàííóþ êîîðäèíàòàìè
(u1 , u2 ), òî-åñòü â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè W çàäàäèì ðåïåð ~r 1 = ~r u1 , ~r 2 = ~r u2 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàíèöà îáëàñòè W åñòü êðèâàÿ c êëàññà C 2 . Ïîñòðîèì
âäîëü c ïîëå íîðìàëåé ~a , íàïðàâëåííîå âíóòðü îáëàñòè W . Ââåäåì ïàðàìåòðèçàöèþ íà c òàê, ÷òîáû óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà âåêòîðîâ {~a , ~c 0 (t)} îáðàçîâîâàëà áû ðåïåð ýêâèâàëåíòíûé ðåïåðó {~r 1 ,~r 2 }. Îïðåäåëèì òåïåðü çíàê
ãåîäåçè÷åñêîé êðèâèçíû kg êðèâîé c(t) ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè ðåïåð
0
{ D~cdt(t) , ~c 0 (t)} ýêâèâàëåíòåí ðåïåðó {~a , ~c 0 (t)}, òî kg > 0, è kg < 0 â ïðî0
òèâíîì ñëó÷àå. Åñëè µ1 , µ2 êîìïîíåíòû D~cdt(t) â áàçèñå {~r 1 ,~r 2 }, à (c1 , c2 )
êîìïîíåíòû ~c 0 (t) â ýòîì æå áàçèñå, òî çíàê êðèâèçíû kg ñîâïàäàåò ñî
µ1 µ2
= µ1 c2 − µ2 c1 . Èòàê
çíàêîì îïðåäåëèòåëÿ 1
c
c2
sign kg = sign (µ1 c2 − µ2 c1 ).
(3.7.77)
Ãåîìåòðè÷åñêè òàêîå îïðåäåëåíèå çíàêà kg ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî åñëè kg â
êàæäîé òî÷êå c(t) ïîëîæèòåëüíà, òî îáëàñòü W åñòü ãåîäåçè÷åñêè âûïóêëàÿ
îáëàñòü.
Ïåðåéäåì òåïåðü ê ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû Ãàóññà-Áîííå. Ïóñòü ãðàíèöà
îáëàñòè W åñòü êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì óãëîâûõ òî÷åê
A1 , . . . , An , ñîåäèíåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíî ðåãóëÿðíûìè êðèâûìè c1 , . . . , cn
êëàññà C 2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç αi âíóòðåííèé óãîë ñî ñòîðîíû îáëàñòè W
ïðè âåðøèíå Ai , (i = 1, . . . , n). Òîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
RR
Pn R
Pn
Òåîðåìà 3.7.1 (Ãàóññà-Áîííå).
i=1 ci kg dt+
i=1 (π−αi )+ W K dS =
2π , ãäå t äëèíà äóãè, dS ýëåìåíò ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè M , è K ãàóññîâà êðèâèçíà (ñì. ðèñóíîê 3.7).
Ðèñ. 3.7: Èëëþñòðàöèÿ ê òåîðåìå Ãàóññà-Áîííå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà ãðàíèöà ∂W îáëàñòè
W íå ñîäåðæèò óãëîâûõ òî÷åê è âî âñåé îáëàñòè W ìîæíî ââåñòè ïîëóãåîäåçè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò.
Âåëè÷èíó kg (t), â ñèëó îïðåäåëåíèÿ çíàêà
√
kg â (3.7.77), ðàâåíñòâà G = f è ôîðìóëû (3.6.76), ìîæíî çàïèñàòü â òàêîé
ôîðìå:
√ (u2 )0
√
kg dt = d arctan G 1 0 + (u2 )0 ( G)u1 dt.
(u )
Ïîýòîìó
Z
Z
Z √ (u2 )0
√
kg dt = d arctan G 1 0 + ( G)u1 du2 .
(u )
c
c
c
Òàê êàê arctan åñòü ìíîãîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, òî åå çíà÷åíèÿ, îòâå÷àþùèå
îäíîìó è òîìó æå çíà÷åíèþ àðãóìåíòà, îòëè÷àþòñÿ íà ÷èñëî êðàòíîå π .
Çíà÷èò
Z √ (u2 )0
(3.7.78)
d arctan G 1 0 = πρ,
(u )
c
165
3.7. Òåîðåìà Ãàóññà-Áîííå
R √
ãäå ρ åñòü íåêîòîðîå öåëîå ÷èñëî. Âòîðîå ñëàãàåìîå c ( G)u1 du2 ïî ôîðìóëå Ãðèíà è ôîðìóëå (3.6.61) ïðåîáðàçóåòñÿ ê òàêîé ôîðìå:
√
Z √
ZZ √
ZZ
( G)u1 u1 √
√
( G)u1 du2 =
( G) du1 du2 =
( G)u1 u1 du1 du2 =
G
c
W
ZWZ
=−
K dS.
W
Èòàê ìû ïîëó÷àåì
Z
ZZ
kg dt = ρπ −
c
K dS.
W
Îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü çíà÷åíèå ÷èñëà ρ. Åñëè áû ôóíêöèÿ f (u1 , u2 ) áûëà áû
òîæäåñòâåííà ðàâíà 1, òî âåëè÷èíà ρπ áûëà áû ðàâíà óãëó, íà êîòîðûé
ïîâîðà÷èâàåòñÿ êàñàòåëüíûé âåêòîð ê êðèâîé c(t) ïðè îáõîäå ýòîé êðèâîé.
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò óãîë ðàâåí 2π , òî-åñòü çíà÷åíèå ρ òîãäà ðàâíî 2. Ðàññìîòðèì èíòåãðàë
Z a(u1 , u2 )(u2 )0
.
d arctan
(u1 )0
γ
Ýòîò èíòåãðàë çàâèñèò íåïðåðûâíî îò a(u1 , u2 ) è ðàâåí 2π ïðè a(u1 , u2 ) = 1,
ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò èíòåãðàë ðàâåí 2π äëÿ ëþáîé ôóíêöèè a(u1 , u2 ) ïðè
óñëîâèè åå ïîëîæèòåëüíîñòè, â ÷àñòíîñòè, ïðè a = f . Òàêèì îáðàçîì, ìû
ïîëó÷àåì, ÷òî
Z
ZZ
kg dt +
K dS = 2π.
c
W
Òåîðåìà Ãàóññà-Áîííå â ýòîì ñëó÷àå äîêàçàíà.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ∂W = c(t) ñîäåðæèò óãëîâûå òî÷êè. Â
êàæäîé óãëîâîé òî÷êå Ai êàñàòåëüíûé âåêòîð c(t) ïîâîðà÷èâàåòñÿ
íà óãîë
R
(π − αi ) (ñì. Ÿ3 ). Ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå âìåñòî èíòåãðàëà c kg dt ìû äîëæíû íàïèñàòü
n
n Z
X
X
(π − αi ),
kg dt +
i=1
ci
i=1
è ìû ñíîâà ïîëó÷àåì ôîðìóëó Ãàóññà-Áîííå
ZZ
n Z
n
X
X
kg dt +
(π − αi ) +
i=1
ci
i=1
K dS = 2π.
W
Íàêîíåö, îñâîáîäèìñÿ îò óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíîé ïîëóãåîäåçè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â îáëàñòè W . Ðàññìîòðèì ïîäðîáíî òîò ÷àñòíûé
ñëó÷àé, êîãäà îáëàñòü W ìîæíî ðàçáèòü íà äâå îáëàñòè W1 è W2 , äëÿ êàæäîé èç êîòîðûõ ôîðìóëà Ãàóññà-Áîííå âåðíà. Áóäåì, äëÿ ïðîñòîòû, ïîëàãàòü, ÷òî ãðàíèöà W åñòü ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ c(t) êëàññà C 2 , à êðèâàÿ γ1 ,
ðàçáèâàþùàÿ îáëàñòü W íà W1 è W2 , òàêæå ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ êëàññà C 2 .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç A è B êîíöû êðèâîé γ1 , à ÷åðåç α1 , α2 è β1 , β2 âíóòðåííèå óãëû îáëàñòåé W1 è W2 â òî÷êàõ A è B , ñîîòâåòñòâåííî, à ÷åðåç c1 è c2
äóãè êðèâîé c. Òîãäà, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, èìååì
Z
Z
ZZ
kg dt +
kg1 dt + π − α1 + π − α2 +
K dS = 2π,
c1
γ1
W1
Z
Z
ZZ
kg dt +
kg2 dt + π − β1 + π − β2 +
K dS = 2π.
c2
γ1
W2
166
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Çäåñü kg1 ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà êðèâîé γ1 , çíàê êîòîðîé îïðåäåëåí îáëàñòüþ W1 è kg2 ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà òîé æå êðèâîé γ1 , çíàê êîòîðîé
îïðåäåëåí îáëàñòüþ W2 . Î÷åâèäíî, ÷òî kg1 + kg2 = 0. Âîçüìåì ñóììó ëåâûõ
è ïðàâûõ ÷àñòåé äâóõ ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ. Ïîëó÷èì
Z
Z
ZZ
ZZ
kg dt +
kg dt + 4π − (α1 + α2 + β1 + β2 ) +
K dS +
K dS = 4π.
c1
c2
W1
W2
Òàê êàê α1 + α2 + β1 + β2 = 2π , òî ìû èìååì
Z
ZZ
kg dt +
K dS = 2π.
c
W
 îáùåì ñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ãàóññà-Áîííå ìîæíî ïîëó÷èòü
èíäóêöèåé ïî ÷èñëó îáëàñòåé, ðàçáèâàþùèõ W .
Âûâåäåì òåïåðü èç òåîðåìû Ãàóññà-Áîííå ðÿä ñëåäñòâèé.
Ñëåäñòâèå 3.7.1. Âîçüìåì íà ïîëíîé ïîâåðõíîñòè M òðåóãîëüíèê ∆,
ñîñòàâëåííûé èç ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé, è ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáëàñòü D,
îãðàíè÷åííàÿ ∆, ãîìåîìîðôíà êðóãó. Îáîçíà÷èì ÷åðåç α1 , α2 è α3 âíóòðåííèå óãëû òðåóãîëüíèêà. Ïðèìåíèì ê D ôîðìóëó Ãàóññà-Áîííå
ZZ
K dS + π − α1 + π − α2 + π − α3 = 2π
D
èëè
ZZ
α1 + α2 + α3 = π +
K dS.
(3.7.79)
D
Åñëè K ≡ 0, òî ìû ïîëó÷èì èçâåñòíóþ òåîðåìó ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè. Ïðè K > 0 ìû âèäèì, ÷òî ñóììà óãëîâ â òðåóãîëüíèêå áîëüøå π , à
ïðè K < 0 ìåíüøå π .
Ñëåäñòâèå 3.7.2. Åñëè ïîâåðõíîñòü M ãîìåîìîðôíà ñôåðå, òî åå èíòå-
ãðàëüíàÿ êðèâèçíà ðàâíà 4π .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì íà M çàìêíóòóþ ãëàäêóþ êðèâóþ γ òàê, ÷òîáû
îíà ðàçáèëà M íà äâå îáëàñòè D1 è D2 , êàæäàÿ èç êîòîðûõ ãîìåîìîðôíà
êðóãó. Ê îáëàñòÿì D1 è D2 ïðèìåíèì ôîðìóëó Ãàóññà-Áîííå
ZZ
Z
K dS + kg1 dt = 2π,
(3.7.80)
D1
γ
ZZ
Z
K dS +
D2
kg2 dt = 2π.
(3.7.81)
γ
Çäåñü ÷åðåç kg1 îáîçíà÷åíà ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà êðèâîé γ , çíàê êîòîðîé
îïðåäåëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî îáëàñòè D1 , à kg2 ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà òîé
æå êðèâîé γ , íî çíàê kg2 îïðåäåëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî îáëàñòè D2 . Ïîýòîìó
(3.7.82)
kg1 + kg2 = 0.
Ñëîæèì (3.7.80) è (3.7.81) è ó÷òåì (3.7.82), òîãäà
ZZ
ZZ
ZZ
K dS +
K dS =
K dS = 4π.
D1
D2
M
3.7. Òåîðåìà Ãàóññà-Áîííå
167
Çàäà÷à 3.7.1. Äîêàçàòü, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà ëþáîé ïîâåðõíîñòè,
ãîìåîìîðôíîé òîðó, ðàâíà íóëþ.
Ïóñòü
∆ABC òðåóãîëüíèê íà ðåãóëÿðíîé ïîëíîé ïîâåðõíîñòè êëàññà C 2 , AC =
sin γ
sin α
δ . Òîãäà BC = sin(α+γ)
· δ + ō(δ), AB = sin(α+γ)
· δ + ō(δ) è α + β + γ = π + ō(δ)
, ãäå α, β è γ óãëû ∆ABC ïðè âåðøèíàõ A, C è B ñîîòâåòñòâåííî.
Çàäà÷à 3.7.2 (Òåîðåìà ñèíóñîâ äëÿ ìàëûõ òðåóãîëüíèêîâ).
Ðåøåíèå. Ââåäåì íà AC ïàðàìåòðèçàöèþ c(s) ñ ïîìîùüþ äëèíû äóãè s,
îòñ÷èòûâàåìîé îò òî÷êè A, 0 ≤ s ≤ δ . ×åðåç òî÷êó c(s) ïîä óãëîì γ ê AC
ïðîâåäåì ãåîäåçè÷åñêóþ σ(s) è îáîçíà÷èì ÷åðåç B(s) òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ
σ(s) è AB . Ïóñòü t(s) = AB(s), l(s) = A(s)B(s) è îáîçíà÷èì ÷åðåç β(s)óãîë òðåóãîëüíèêà ∆ABC ïðè âåðøèíå B(s). Òîãäà, â ñèëó ëåììû 3.5.1,
ìû èìååì:
dt
dl
= cos γ + cos β(s) .
ds
ds
Èç ñëåäñòâèÿ 3.7.1 è òåîðåìû Ãàóññà-Áîííå ñëåäóåò, ÷òî β(s) = π − α − γ +
ō(s). Ïîýòîìó
dt
dl
= cos γ − cos(α + γ) + ō(s).
ds
ds
Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïî s îò 0 äî δ , ïîëó÷èì
l(δ) = BC = cos γ · δ − cos(α + γ)AB + ō(s).
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì
AB = cos α · δ − cos(α + γ)BC + ō(s).
Èòàê
BC + cos(α + γ)AB = cos γ · δ + ō(s),
BC cos(α + γ) + AB = cos α · δ + ō(s).
Èç ýòèõ ðàâåíñòâ ñëåäóåò
AB =
BC =
cos α − cos γ cos(α + γ)
sin γ · δ
δ + ō(s) =
+ ō(s),
2
sin(α
+ γ)
sin (α + γ)
sin α · δ
cos γ − cos α cos(α + γ)
δ + ō(s) =
+ ō(s).
sin(α + γ)
sin2 (α + γ)
Íàêîíåö ôîðìóëà α + β + γ = π + ō(δ) ñëåäóåò èç ôîðìóëû (3.7.79).
Ðàññìîòðèì îäíîñâÿçíóþ ïîëíóþ ïîâåðõíîñòü íåïîëîæèòåëüíîé ãàóññîâîé êðèâèçíû. Îáîçíà÷èì òàêóþ ïîâåðõíîñòü ÷åðåç M− . Íàïîìíèì, ÷òî ïîâåðõíîñòü M íàçûâàåòñÿ îäíîñâÿçíîé, åñëè ëþáàÿ çàìêíóòàÿ ïðîñòàÿ êðèâàÿ ðàçáèâàåò M íà äâå îáëàñòè, îäíà èç êîòîðûõ ãîìåîìîðôíà êðóãó.
Òåîðåìà 3.7.2. ×åðåç ëþáûå äâå òî÷êè ïîâåðõíîñòè M− ïðîõîäèò åäèí-
ñòâåííàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü ÷åðåç òî÷êè p1 è p2 ïðîõîäÿò äâå ðàçëè÷íûå ãåîäåçè÷åñêèå γ1 è γ2 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç q1 ïåðâóþ
òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ γ1 è γ2 , ñ÷èòàÿ îò p1 . Ðàññìîòðèì êóñî÷íî-ãëàäêóþ êðèâóþ (äâóóãîëüíèê) γ , ñîñòàâëåííóþ èç äóã γ1 è γ2 îò p1 äî q1 . Ïóñòü d 168
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ γ è ãîìåîìîðôíà êðóãó D. Ïðèìåíèì ê D ôîðìóëó
Ãàóññà-Áîííå
ZZ
K dS + π − α + π − β = 2π,
(3.7.83)
D
ãäå α è β óãëû â âåðøèíàõ p1 è q1 , ñîîòâåòñòâåííî. Èç (3.7.83) ïîëó÷àåì
ZZ
α+β =
K dS ≤ 0,
D
÷òî íåâîçìîæíî.
Ñëåäñòâèå 3.7.3. Íà ïîâåðõíîñòè M− íå ñóùåñòâóåò çàìêíóòûõ ãåîäå-
çè÷åñêèõ.
Èç òåîðåìû 3.7.2 ìîæíî âûâåñòè ðÿä äðóãèõ òåîðåì.
Òåîðåìà 3.7.3. Ëþáûå äâå òî÷êè íà M− ìîæíî ñîåäèíèòü åäèíñòâåííîé
êðàò÷àéøåé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå êðàò÷àéøåé ñëåäóåò èç ïîëíîòû M− (ñì.
òåîðåìó 3.5.6), à åäèíñòâåííîñòü èç òåîðåìû 3.7.2
Òåîðåìà 3.7.4. Ëþáàÿ äóãà ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè íà M− åñòü êðàò÷àéøàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè êàêàÿ-òî äóãà pq íåêîòîðîé ãåîäåçè÷åñêîé γ íå åñòü êðàò÷àéøàÿ, òî ñîåäèíÿÿ åå êîíöû êðàò÷àéøåé, ìû ïîëó÷èì äâå ðàçëè÷íûå ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè, ñîåäèíÿþùèå äâå òî÷êè, âîïðåêè
òåîðåìå 3.7.2.
3.8
Ëîêàëüíûå òåîðåìû ñðàâíåíèÿ
Åñëè ãåîäåçè÷åñêèé òðåóãîëüíèê ëåæèò íà âûïóêëîé ïîëíîé ïîâåðõíîñòè
(òî åñòü íà ïîâåðõíîñòè íåîòðèöàòåëüíîé ãàóññîâîé êðèâèçíû), òî ñóììà
åãî âíóòðåííèõ óãëîâ íå ìåíüøå π , êàê ýòî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (3.7.79).
Îêàçûâàåòñÿ, ýòî ñâîéñòâî ãåîäåçè÷åñêîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî óòî÷íèòü â
ñëåäóþùåì ñìûñëå.
Ïóñòü ∆ABC òðåóãîëüíèê íà ïîëíîé âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè M , ñîñòàâëåííûé èç êðàò÷àéøèõ AB, AC è BC . Óãëîì òðåóãîëüíèêà ∆ABC ïðè
íåêîòîðîé åãî âåðøèíå íàçîâåì óãîë ìåæäó êðàò÷àéøèìè, èñõîäÿùèìè èç
ýòîé âåðøèíû (ñì. ðèñóíîê 3.8). Ïîýòîìó êàæäûé óãîë ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ABC íå ïðåâîñõîäèò π .
Ðèñ. 3.8: Óãîë òðåóãîëüíèêà.
Ââåäåì ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ: óãîë ïðè âåðøèíå A îáîçíà÷èì ÷åðåç
α, ïðè âåðøèíå B ÷åðåç β è ïðè âåðøèíå C ÷åðåç γ . Äëèíû êðàò÷àéøèõ
AB , AC è BC áóäåì îáîçíà÷àòü òåìè æå áóêâàìè, ÷òî è êðàò÷àéøèå. Çàìåòèì, ÷òî òðåóãîëüíèê ∆ABC íå îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñâîèìè âåðøèíàìè. Íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè R2 âîçüìåì òðåóãîëüíèê ∆A0 B 0 C 0 , ó êîòîðîãî
A0 B 0 = AB , A0 C 0 = AC , B 0 C 0 = BC . Íàçîâåì òàêîé òðåóãîëüíèê ∆A0 B 0 C 0
òðåóãîëüíèêîì ñðàâíåíèÿ äëÿ òðåóãîëüíèêà ∆ABC , à åãî óãëû îáîçíà÷èì
169
3.8. Ëîêàëüíûå òåîðåìû ñðàâíåíèÿ
÷åðåç α0 , β 0 , γ 0 . Òîãäà îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
êàæäûé óãîë òðåóãîëüíèêà
∆ABC
∆A0 B 0 C 0 (ñì. ðèñóíîê 3.9). Â äàííîì ïàðàãðàôå ìû äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ "ìàëûõ"
òðåóãîëüíèêîâ.
íå ìåíüøå, ÷åì ñîîòâåòñòâóþùèé óãîë òðåóãîëüíèêà
Ðèñ. 3.9:
Ñíà÷àëà äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíóþ ëåììó î ñðàâíåíèè ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïóñòü y(x) è z(x) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé:
è
y 00 + k1 (x)y = 0
(3.8.84)
z 00 + k2 (x)z = 0
(3.8.85)
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè:
y(0) = z(0) = 0,
y 0 (0) = z 0 (0) = 1.
(3.8.86)
Ëåììà 3.8.1. Åñëè k1 (x) ≥ k2 (x) è y(x) > 0, z(x) > 0 ïðè x ∈ (0, x0 ), òî
ôóíêöèÿ 1 ≤
(0, x0 ).
z(x)
y(x)
åñòü ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ íà èíòåðâàëå
Çàìå÷àíèå 3.8.1.  ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå ëåì-
ìå 3.8.1, íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé ñðàâíåíèÿ Ðàóõà [Kl3].
Äîêàçàòåëüñòâî. Óìíîæèì (3.8.84) íà z(x), à (3.8.85) íà y(x) è âîçüìåì èõ
ðàçíîñòü. Ïîëó÷èì
y 00 z − z 00 y + (k1 − k2 )yz = 0.
(3.8.87)
Ïðîèíòåãðèðóåì (3.8.87) îò 0 äî x. Ïîëó÷èì
Z x
0
0
y (x)z(x) − z (x)y(x) =
(k2 − k1 )yz dx.
0
Ïîäåëèì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà zy è ïðîèíòåãðèðóåì îò 0 äî x. Ïîëó÷èì
Z x Z x
y
1
ln =
(k2 − k1 )yz dx dx = −h(x).
(3.8.88)
z
yz 0
0
Èç (3.8.88) ñëåäóåò
z(x)
= eh(x) .
y(x)
Ôóíêöèÿ h(x), â ñèëó óñëîâèé ëåììû, åñòü ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ è h(x) > 0 ïðè x > 0.
Èç ëåììû 3.8.1 î÷åâèäíûì îáðàçîì âûòåêàþò ñëåäñòâèÿ.
Ñëåäñòâèå 3.8.1. Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî: y(x) ≤ z(x) ïðè x ∈ (0, x0 ].
Ñëåäñòâèå 3.8.2. Åñëè x1 ∈ (0, x0 ] è y(x1 ) = z(x1 ), òî k1 (x) = k2 (x) è
y(x) = z(x) ïðè x ∈ (0, x1 ].
170
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Ñëåäñòâèå 3.8.3. Åñëè z(x0 ) = 1, òî y(x) = z(x) è k1 (x) = k2 (x) ïðè
x ∈ (0, x0 ].
Òåïåðü ìû äàäèì îïðåäåëåíèå ”ìàëîãî” òðåóãîëüíèêà.
Îïðåäåëåíèå 3.8.1. ×èñëî ri (p) íàçîâåì ðàäèóñîì èíúåêòèâíîñòè ïîë-
íîé ïîâåðõíîñòè M â òî÷êå p, åñëè ëþáàÿ äóãà ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè ñ íà÷àëîì â òî÷êå p è äëèíû l ìåíüøå ÷åì ri (p) åñòü êðàò÷àéøàÿ, à äëÿ ëþáîãî
÷èñëà r > ri (p) íàéäåòñÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ äóãà äëèíû r ñ íà÷àëîì â òî÷êå p,
íå ÿâëÿþùàÿñÿ êðàò÷àéøåé. Åñëè ÷èñëî ri = inf{ri (p) : p ∈ M } îòëè÷íî îò
íóëÿ, òî îíî íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì èíúåêòèâíîñòè ïîâåðõíîñòè M .
Èç îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ri (p) è òåîðåìû 3.5.6 ñëåäóåò, ÷òî ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå îòêðûòîãî êðóãà K(ri (p)) ïëîñêîñòè (T M )p ñ öåíòðîì â
òî÷êå p è ðàäèóñà ri (p) îòîáðàæàåò K(ri (p)) âçàèìíî îäíîçíà÷íî íà îáëàñòü
W (p) = expp (K(ri (p))) ïîâåðõíîñòè M .
Îïðåäåëåíèå 3.8.2. Òðåóãîëüíèê ∆ABC íàçîâåì äîïóñòèìûì îòíîñèòåëüíî âåðøèíû A, åñëè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî ëþáîé òî÷êè ñòîðîíû
BC íå ïðåâîñõîäèò ÷èñëà ri (A).
Ïîñòðîèì íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèê ∆ĀB̄ C̄ , ñòîðîíû êîòîðîãî ĀB̄ = AB , ĀC̄ = AC è óãîë ∠B̄ ĀC̄ ðàâåí α.
Òåîðåìà 3.8.1. Åñëè íà âûïóêëîé ïîëíîé ïîâåðõíîñòè M êëàññà C 2 òðå-
óãîëüíèê ∆ABC åñòü äîïóñòèìûé òðåóãîëüíèê îòíîñèòåëüíî âåðøèíû
A, òî BC ≤ B̄ C̄ .
Äîêàçàòåëüñòâî.  ïëîñêîñòè (T M )A âîçüìåì äâà ëó÷à, êàñàòåëüíûå ê
êðàò÷àéøèì AC è AB è îòëîæèì íà íèõ îòðåçêè AC̃ è AB̃ , ðàâíûå ïî
äëèíå AC è AB ñîîòâåòñòâåííî. Òðåóãîëüíèê ∆AB̃ C̃ ðàâåí òðåóãîëüíèêó
∆ĀB̄ C̄ .  ÷àñòíîñòè
B̃ C̃ = B̄ C̄.
(3.8.89)
 êðóãå K(ri (A)) ñ öåíòðîì â òî÷êå A è ðàäèóñà ri (A) íà ïëîñêîñòè (T M )A è
â îáëàñòè W (A) = expA K(ri (A)) ââåäåì ñîãëàñîâàííûå ïîëÿðíûå ñèñòåìû
êîîðäèíàò (ρ̃, ϕ̃) è (ρ, ϕ), ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü óðàâíåíèÿ îòðåçêà B̃ C̃ â
êîîðäèíàòàõ (ρ̃, ϕ̃) çàïèñàíû â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå:
ρ̃ = h(t), ϕ̃ = ψ(t),
(0 ≤ t ≤ 1).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç γ = expA (B̃ C̃). Òîãäà óðàâíåíèÿ γ â êîîðäèíàòàõ (ρ, ϕ)
çàäàþòñÿ òåìè æå ôóíêöèÿìè ρ = h(t), ϕ = ψ(t). Ñðàâíèâàÿ äëèíó l(γ)
êðèâîé γ c äëèíîé îòðåçêà B̃ C̃ :
Z 1p
B̃ C̃ =
(h0 (t))2 + h2 (t)(ψ 0 (t)2 )dt,
(3.8.90)
0
è
Z
l(γ) =
1
p
(h0 (t))2 + f 2 (h(t), ψ(t))(ψ 0 (t))2 dt,
(3.8.91)
0
ãäå ôóíêöèÿ f (ρ, ϕ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.8.84) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè f (0, ϕ) = 0, fρ0 (0, ϕ) = 1. Èç ëåììû 3.8.1 è óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò
f (h(ρ), h(ϕ)) ≤ h(t).
(3.8.92)
Èç (3.8.92), (3.8.91) è (3.8.90) ñëåäóåò, ÷òî l(γ) ≤ B̃ C̃ , íî äëèíà êðàò÷àéøåé
BC íå ïðåâîñõîäèò l(γ). Ïîýòîìó ìû èìååì BC ≤ l(γ) ≤ B̃ C̃ = B̄ C̄ .
3.9. Òåîðåìà ñðàâíåíèÿ óãëîâ À.Ä. Àëåêñàíäðîâà
171
Èç òåîðåìû 3.8.1 ìû óæå ïîëó÷èì òåîðåìó ñðàâíåíèÿ óãëîâ äëÿ äîïóñòèìûõ òðåóãîëüíèêîâ.
Òåîðåìà 3.8.2. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 3.8.1 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî α ≥ α0 ,
ãäå α0 óãîë òðåóãîëüíèêà ñðàâíåíèÿ ∆A0 B 0 C 0 ïðè âåðøèíå A0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê BC = B 0 C 0 ≤ B̃ C̃ , òî ïî èçâåñòíîé òåîðåìå ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè α0 ≤ α.
Ñëåäñòâèå 3.8.4. Åñëè òðåóãîëüíèê ∆ABC íà ïîëíîé âûïóêëîé ïîâåðõ-
íîñòè Ì ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì òðåóãîëüíèêîì îòíîñèòåëüíî âñåõ ñâîèõ
âåðøèí, òî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà: α ≥ α0 , β ≥ β 0 , γ ≥ γ 0 .
Äëÿ ñåäëîâûõ ïîâåðõíîñòåé ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ àíàëîãè÷íûå òåîðåìàì 3.8.1-3.8.2 (ñ îáðàòíûìè çíàêàìè äëÿ íåðàâåíñòâ).
Çàäà÷à 3.8.1. Åñëè òðåóãîëüíèê ∆ABC íà ïîëíîé ñåäëîâîé ïîâåðõíîñòè
Ì êëàññà C 2 ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì îòíîñèòåëüíî âåðøèíû À, òî óãîë α
íå ïðåâîñõîäèò óãëà α0 òðåóãîëüíèêà ñðàâíåíèÿ ∆A0 B 0 C 0 .
Óêàçàíèå.
Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî BC ≥
B̄ C̄ (â îáîçíà÷åíèÿõ òåîðåìû 3.8.1). Äëÿ ÷åãî äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü äëèíó
êðàò÷àéøåé BC ñ äëèíîé êðèâîé γ̄ = exp−1
A (BC) è âîñïîëüçîâàòüñÿ ëåììîé
3.8.1.
Çàäà÷à 3.8.2. Óãëû ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ∆ABC , äîïóñòèìîãî äëÿ
âñåõ ñâîèõ âåðøèí, íà ïîëíîé, îäíîñâÿçíîé, ñåäëîâîé ïîâåðõíîñòè Ì êëàññà C 2 íå ïðåâîñõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà ñðàâíåíèÿ
∆A0 B 0 C 0 : α ≤ α0 , β ≤ β 0 , γ ≤ γ 0 .
Åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè M íå ìåíüøå, ÷åì íåêîòîðîå ÷èñëî k0 , òî åñòåñòâåííî óãëû òðåóãîëüíèêà ∆ABC íà M ñðàâíèâàòü ñ
óãëàìè òðåóãîëüíèêà ñðàâíåíèÿ, ïîñòðîåííîãî íà ïëîñêîñòè Rk0 ïîñòîÿííîé
êðèâèçíû k0 . Òðåóãîëüíèê ñðàâíåíèÿ íà ïëîñêîñòè Rk0 áóäåì îáîçíà÷àòü
÷åðåç (∆A0 B 0 C 0 )k0 , à ñàìó ïîâåðõíîñòü M ñ ãàóññîâîé êðèâèçíîé íå ìåíüøå
÷åì k0 ÷åðåç Mk0 . Åñëè k0 < 0, òî ïëîñêîñòü Rk0 åñòü ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî, à åñëè k0 > 0, òî â êà÷åñòâå Rk0 ìû áóäåì áðàòü ñôåðó ðàäèóñà √1k .
0
 ïîñëåäíåì ñëó÷àå òðåóãîëüíèê ñðàâíåíèÿ (∆A0 B 0 C 0 )k0 ñóùåñòâóåò òîëüêî
òîãäà, êîãäà ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ∆ABC íå ïðåâîñõîäèò √2πk . Ïîâòîðÿÿ
0
ïî÷òè äîñëîâíî ðàññóæäåíèÿ òåîðåì 3.8.1 è 3.8.2, ìû ìîæåì äîêàçàòü òåîðåìó 3.8.3
Òåîðåìà 3.8.3. Åñëè òðåóãîëüíèê ∆ABC íà Mk0 ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì
îòíîñèòåëüíî âñåõ åãî âåðøèí, òî åãî óãëû íå ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ
óãëîâ òðåóãîëüíèêà ñðàâíåíèÿ (∆A0 B 0 C 0 )k0 . Åñëè k0 > 0, òî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïåðèìåòð ∆ABC íå ïðåâîñõîäèò √2πk .
0
3.9
Òåîðåìà ñðàâíåíèÿ óãëîâ
À.Ä. Àëåêñàíäðîâà
 äàííîì ïàðàãðàôå ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñðàâíåíèÿ óãëîâ
À.Ä. Àëåêñàíäðîâà.  îòëè÷èå îò îðèãèíàëüíîãî äîêàçàòåëüñòâà, èñïîëüçîâàííàÿ ïðè ýòîì òåõíèêà ìîæåò áûòü ïðèìåíèìà äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äàííîé òåîðåìû â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå, è áåç òðåáîâàíèÿ âûïóêëîñòè [Top].
172
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Òåîðåìà 3.9.1. Óãëû ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ∆ABC íà ïîâåðõíîñòè
Mk0 áîëüøå èëè ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà ñðàâíåíèÿ
(∆A0 B 0 C 0 )k0 : α ≥ α0 , β ≥ β 0 , γ ≥ γ 0 (ñì. ðèñóíîê 3.10).
Ðèñ. 3.10: Èëëþñòðàöèÿ ê òåîðåìå À.Ä. Àëåêñàíäðîâà.
Ïðåäâàðèòåëüíî äîêàæåì òðè ëåììû.
Ëåììà 3.9.1 (À.Ä. Àëåêñàíäðîâà î âûïóêëûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ).
Ïóñòü äàíû äâà âûïóêëûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD è A0 B 0 C 0 D0 íà ïëîñêîñòè Rk0 , ó êîòîðûõ âñå ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû ðàâíû, AB = A0 B 0 ,
BC = B 0 C 0 , CD = C 0 D0 , DA = D0 A0 . Òîãäà, åñëè óãîë ∠ADC íå ìåíüøå
(ñòðîãî áîëüøå) óãëà ∠A0 D0 C 0 , òî óãëû ∠BAD è ∠BCD íå ïðåâîñõîäÿò
(ñòðîãî ìåíüøå) óãëîâ ∠B 0 A0 D0 è ∠B 0 C 0 D0 , ñîîòâåòñòâåííî. Â√ñëó÷àå
k0 > 0 ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïåðèìåòð ABCD ñòðîãî ìåíüøå 2π/ k0 . Íå
èñêëþ÷àåòñÿ òàêæå ñëó÷àé, êîãäà óãîë ∠ADC ðàâåí π .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé k0 = 0. Èç óñëîâèé ëåììû ñëåäóåò
íåðàâåíñòâî AC ≥ A0 C 0 (AC > A0 C 0 ), èç êîòîðîãî âûòåêàåò, ÷òî óãîë ∠ABC
íå ìåíüøå (ñòðîãî áîëüøå) óãëà ∠A0 B 0 C 0 . Íî ñóììà âñåõ óãëîâ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ABCD è A0 B 0 C 0 D0 ðàâíà 2π . Ïîýòîìó ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí
èç óãëîâ ∠BAD èëè ∠BCD íå ïðåâîñõîäèò (ñòðîãî ìåíüøå) óãëà ∠B 0 A0 D0
èëè óãëà ∠B 0 C 0 D0 .  îáîèõ ñëó÷àÿõ, ìû èìååì BD ≤ B 0 D0 (BD < B 0 D0 ),
îòêóäà óæå â ñâîþ î÷åðåäü ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû ??.
 ñëó÷àå k0 6= 0 äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ÷åòûðåõóãîëüíèê A00 B 00 C 00 D00 ,
ó êîòîðîãî óãîë ∠A00 D00 C 00 ðàâåí óãëó ∠A0 D0 C 0 , óãîë ∠B 00 C 00 D00 ðàâåí óãëó
∠BCD, à ñòîðîíû A00 D00 , D00 C 00 è C 00 B 00 ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî, ñòîðîíàì
AD, DC è CB . Ñðàâíèâàÿ ýòîò ÷åòûðåõóãîëüíèê ñ ÷åòûðåõóãîëüíèêàìè
ABCD è A0 B 0 C 0 D0 , íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî óãîë ∠B 0 C 0 D0 íå ïðåâîñõîäèò
(ñòðîãî ìåíüøå) óãëà ∠BCD. Îòêóäà óæå áóäåò ñëåäîâàòü è âòîðîå íåðàâåíñòâî. Óãîë ∠B 0 A0 D0 íå ïðåâîñõîäèò (ñòðîãî ìåíüøå) óãëà ∠B 0 A0 D0 .
Ïóñòü D íåêîòîðàÿ îòêðûòàÿ îáëàñòü íà ïîâåðõíîñòè M , çàìûêàíèå
êîòîðîé êîìïàêòíî, è êîòîðàÿ ñîäåðæèò òðåóãîëüíèê ∆ABC âìåñòå ñ åãî
âíóòðåííîñòüþ, à d- ýëåìåíòàðíàÿ äëèíà îáëàñòè D (ñì. òåîðåìó 3.5.4). Òðåóãîëüíèê ∆ABC íàçîâåì óçêèì òðåóãîëüíèêîì, åñëè ðàññòîÿíèå îò ëþáîé
òî÷êè ñòîðîíû AB äî ñòîðîíû AC íå ïðåâîñõîäèò δ = d/4.
Ëåììà 3.9.2 (îá óçêèõ òðåóãîëüíèêàõ). Åñëè òðåóãîëüíèê ∆ABC íà
ïîâåðõíîñòè Mk0 ÿâëàåòñÿ óçêèì òðåóãîëüíèêîì, òî åãî óãëû ïðè âåðøèíàõ B è C íå ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà ñðàâíåíèÿ
(∆A0 B 0 C 0 )k0 : β ≥ β 0 , γ ≥ γ 0 .  ñëó÷àå k0 > 0 ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïåðèìåòð ∆ABC íå ïðåâîñõîäèò √2πk .
0
Äîêàçàòåëüñòâî. Íà êðàò÷àéøèõ AB è AC ââåäåíû ïàðàìåòðèçàöèè B(x)
è C(y), ãäå x è y äëèíû äóã AB(x) è AC(y) êðàò÷àéøèõ AB è AC . Óãëû òðåóãîëüíèêà ∆AB(x)C(y) ïðè âåðøèíàõ B(x) è C(y) îáîçíà÷èì ÷åðåç
β(x, y) è γ(x, y) ñîîòâåòñòâåííî. Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî T óïîðÿäî÷åííûõ
ïàð (x, y) óñëîâèÿìè:
3.9. Òåîðåìà ñðàâíåíèÿ óãëîâ À.Ä. Àëåêñàíäðîâà
173
β(x, y) è γ(x, y) íå ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ β 0 (x, y) è γ 0 (x, y)
òðåóãîëüíèêà ñðàâíåíèÿ (∆A0 B 0 C 0 )k1 , ãäå k1 - ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, ìåíüøåå
÷åì k0 ,
δ
(2) |x − y| ≤ 2 ,
(3) åñëè ïàðà (x1 , y1 ) ∈ T , òî ïàðà (x2 , y2 ) òàêæå ïðèíàäëåæèò T , åñëè x2 ≤
x1 , y2 ≤ y1 è |x2 − y2 | ≤ 2δ . Èç ñëåäñòâèÿ 3.8.4 âûòåêàåò, ÷òî ïàðû (x, y) ïðè
x < 2δ è y < 2δ ïðèíàäëåæàò T . Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî T íå ïóñòî. Îïðåäåëèì íà T ôóíêöèþ f (x, y) = x + y . Ïóñòü T0 = max{f (x, y) : (x, y) ∈ T }.
Åñëè T0 = AB + AC , òî óòâåðæäåíèå ëåììû 3.9.1 äîêàçàíî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî T0 = x0 + y0 < AB + AC è ïðèâåäåì ýòî ïðåäïîëîæåíèå ê ïðîòèâîðå÷èþ. Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, x0 ≥ y0 . Äîêàæåì òîãäà,
÷òî óãîë β(x, y) ñòðîãî áîëüøå óãëà β 0 (x, y). Â ñàìîì äåëå, âñå óãëû òðåóãîëüíèêà ∆B(x0 − δ/2)B(x0 )C(y0 ) ñòðîãî áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ
òðåóãîëüíèêà (∆B 0 (x0 − δ/2)B 0 (x0 )C 0 (y0 ))k1 (ñì. ñëåäñòâèå 3.8.4 è óñëîâèå
íà k1 ), ïîýòîìó óãîë ïðè âåðøèíå B 0 (x0 − 2δ ) âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà
A00 B 00 (x0 − 2δ )B 00 (x0 )C 00 (y0 ) íà ïëîñêîñòè Rk1 , ïîëó÷åííîãî ïðèêëàäûâàíèåì òðåóãîëüíèêîâ (∆A0 B 0 (x0 − δ/2)C 0 (y0 ))k1 è (∆B(x0 − δ/2)B(x0 )C(y0 ))k1
äðóã ê äðóãó ïî îáùåé ñòîðîíå B 0 (x0 − δ/2)B 0 (x0 ), ñòðîãî ìåíüøå π . Ïðèìåíÿÿ ê ÷åòûðåõóãîëüíèêó A00 B 00 (x0 − δ/2)B 00 (x0 )C 00 (y0 ) è òðåóãîëüíèêó
(∆A0 B 0 (x0 )C 0 (y0 ))k1 ëåììó 3.9.1, ïîëó÷àåì íàøå óòâåðæäåíèå β(x0 , y0 ) >
β 0 (x0 , y0 ). Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà è ñîîáðàæåíèé íåïðåðûâíîñòè ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî δ1 > 0, ÷òî ïðè 0 ≤ t ≤ δ1 óãîë β(x0 , y0 + t)
íå ìåíüøå ÷åì β 0 (x0 , y0 + t). Äîêàæåì, ÷òî ïàðà (x0 , y0 + t) ïðè 0 ≤ t ≤
min{δ1 , δ, AC − y0 } = δ2 ïðèíàäëåæèò T . Äåéñòâèòåëüíî, âñå óãëû òðåóãîëüíèêà ∆B(x0 )C(y0 +t)C(y0 ) ñòðîãî áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà (∆B 0 (x0 )C 0 (x0 + t)C 0 (y0 ))k1 . Ïîýòîìó àðãóìåíòû, àíàëîãè÷íûå
âûøå èçëîæåííûì, ïîêàçûâàþò, ÷òî óãîë γ(x0 , y0 + t) > γ 0 (x0 , y0 + t), ïðè
0 ≤ t ≤ δ2 . Íî òîãäà f (x0 , y0 + t) = x0 + y0 + t > x0 + y0 = T0 ïðè t > 0
âîïðåêè îïðåäåëåíèþ ÷èñëà T0 . Óòâåðæäåíèå ëåììû 3.9.1 òåïåðü ñëåäóåò
èç ïðîèçâîëüíîñòè ÷èñëà k1 .
(1) óãëû
Ëåììà 3.9.3 (î ïðåäåëüíîì óãëå). Ïóñòü äàíû êðàò÷àéøèå AB , BC ,
¯ AB , Xn 6= B , AXn < AB . Îáîçíà÷èì ÷åðåç α óãîë ìåæäó
CXn , ïðè÷åì C ∈
BA è BC , ÷åðåç βn óãîë ìåæäó Xn C è Xn A. Åñëè limn→∞ Xn = B , òî
ñóùåñòâóåò limn→∞ βn = β è β ≤ α.
Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êðàò÷àéøèõ CXn ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé êðàò÷àéøåé CB , òî β ≤ α.
Äîïóñòèì, ÷òî β > α è ïðèâåäåì ýòî äîïóùåíèå ê ïðîòèâîðå÷èþ. ×åðåç
òî÷êó Xn ïðîâåäåì ãåîäåçè÷åñêóþ σn ïîä óãëîì π − βn ê êðàò÷àéøåé Xn B
òàê, ÷òîáû σn ïåðåñåêëà áû êðàò÷àéøóþ CB â íåêîòîðîé òî÷êå Cn , à èç
òî÷êè C ïðîâåäåì ãåîäåçè÷åñêóþ σ̄n ïîä óãëîì α ê êðàò÷àéøåé CXn òàê,
÷òîáû îíà ïåðåñåêëà êðàò÷àéøóþ CXn â íåêîòîðîé òî÷êå C̄n . Ïðè n äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ñóùåñòâîâàíèå ãåîäåçè÷åñêèõ σn è σ̄n ñ óêàçàííûìè âûøå
ñâîéñòâàìè ñëåäóåò èç ïðåäïîëîæåíèÿ β > α (ñì. ðèñóíîê 3.11).
Ðèñ. 3.11: Èëëþñòðàöèÿ ê ëåììå 3.9.3.
174
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Èç óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è 3.7.2 ñëåäóþò ðàâåíñòâà:
∠BCn Xn = ∠B C¯n Xn = βn − α + ō(BXn ),
BCn = B C¯n =
sin βn
· BXn + ō(BXn ),
sin(βn − α)
Cn Xn = C¯n Xn =
(3.9.93)
sin α
· BXn + ō(BXn ).
sin(βn − α)
Äàëåå, èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà ïîëó÷àåì
B C¯n + C¯n C ≥ BC = CCn + Cn B,
Xn Cn + Cn C ≥ Xn C = Xn C¯n + C C¯n .
(3.9.94)
Èç (3.9.93) è (3.9.94) âûòåêàåò ðàâåíñòâî
C C¯n = CCn + ō(BXn ).
(3.9.95)
Âîçüìåì òåïåðü íà êðàò÷àéøåé CXn òî÷êó E¯n òàê, ÷òîáû C¯n E¯n = C¯n Xn è
E¯n 6= Xn . Òîãäà èç óòâåðæäåíèÿ çàäà÷è ?? ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî
βn − α
π βn − α
+ō(BXn ) = 2C¯n Xn cos
+ō(BXn ).
C E¯n = 2C¯n Xn sin
−
2
2
2
Èç ýòîãî ðàâåíñòâà è (3.9.95) ñëåäóåò
βn − α
¯
¯
¯
CCn + Cn B = CB ≤ C En + En C = 2Cn Xn cos
+ E¯n C+
2
(3.9.96)
βn − α
¯
¯
+ ō(BXn ) = 2Cn Xn cos
+ C Cn − Cn Xn + ō(BXn ).
2
Äàëåå, èç (3.9.93), (3.9.95) è (3.9.96) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
βn − α
2CCn ≤2C¯n Xn cos
+ ō(BXn ) =
2
βn − α
=2C C¯n cos
+ ō(BXn ).
2
(3.9.97)
Ïîäåëèì
(3.9.97)
íà 2CCn è ïåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè n → ∞. Òîãäà ïîëó÷èì
β−α
1 ≤ cos
, ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê β − α > 0.
2
3.9.1
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñðàâíåíèÿ óãëîâ òðåóãîëüíèêà
Ïóñòü ∆ABC ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê ïîâåðõíîñòè Mk0 .  ñëó÷àå k0 >
0 ìû ïîêà ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïåðèìåòð ∆ABC ñòðîãî ìåíüøå √2πk . Äîêà0
æåì òåîðåìó äëÿ óãëà α. Ââåäåì íà AC ïàðàìåòðèçàöèþ C(x), ãäå x- äëèíà
äóãè AC(x) êðàò÷àéøåé. ×åðåç γ(x) îáîçíà÷èì óãîë ∠AC(x)B òðåóãîëüíèêà ∆ABC . Îïðåäåëèì ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî T òåõ ÷èñåë x, äëÿ êîòîðûõ
âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà:
α ≥ α0 ,
γ ≥ γ0
(3.9.98)
3.9. Òåîðåìà ñðàâíåíèÿ óãëîâ À.Ä. Àëåêñàíäðîâà
175
Ìíîæåñòâî T íå ïóñòî, òàê êàê â ñèëó ëåììû îá óçêèõ òðåóãîëüíèêàõ è
ëåììû î ïðåäåëüíîì óãëå, íåðàâåíñòâà (3.9.98) âûïîëíÿþòñÿ äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ x. Ïóñòü x0 = sup T . Åñëè x0 = AC , òî òåîðåìà 3.9.1 äîêàçàíà
äëÿ óãëà α. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x0 < AC è ïðèâåäåì ýòî ïðåäëîæåíèå ê
ïðîòèâîðå÷èþ. Çàìåòèì, ÷òî x0 ∈ T â ñèëó ëåììû î ïðåäåëüíîì óãëå. Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê Cn = C(xn ), Cn 6= C(x0 ) = C0 , xn > x0 è
òàêèõ, ÷òî lim Cn = C0 . Ìîæíî òàêæå, íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ïðåäïîëàn→∞
ãàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êðàò÷àéøèõ BCn ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé êðàò÷àéøåé BC0 . Ïðè n äîñòàòî÷íî áîëüøèõ (n ≥ n0 ) òðåóãîëüíèê 4Cn0 BC0
ÿâëÿåòñÿ óçêèì òðåóãîëüíèêîì. Ïîýòîìó óãîë ïðè âåðøèíå C 00 0 ÷åòûðåõóãîëüíèêà A00 B 00 C 00 n0 C 00 0 , ïîñòðîåííîãî ïðèëîæåíèåì äâóõ òðåóãîëüíèêîâ
(4A0 B 0 C 0 n0 )k0 è (4C 0 n0 B 0 C 0 0 )k0 ïî îáùåé ñòîðîíå B 0 C 0 0 íå ïðåâîñõîäèò π .
Ïîýòîìó èç ëåììû 3.9.1 âûòåêàåò, ÷òî xn0 ∈ T , âîïðåêè îïðåäåëåíèþ ÷èñëà
x0 . Èòàê, òåîðåìà 3.9.1 äîêàçàíà äëÿ óãëà α. Äëÿ îñòàëüíûõ óãëîâ òðåóãîëüíèê 4ABC òåîðåìà 3.9.1 äîêàçûâàåòñÿ òî÷íî òàêæå. Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü
ñëó÷àé k0 > 0 è îñâîáîäèòñÿ îò ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ïåðèìåòð 4ABC ñòðîãî
ìåíüøå √2πk . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè Mk0 ñóùåñòâóåò òðåóãîëü0
íèê 4ABC , ïåðèìåòð êîòîðîãî áîëüøå √2πk , ïðèâåäåì ýòî ïðåäïîëîæåíèå ê
0
ïðîòèâîðå÷èþ. Äîïóñòèì, ÷òî õîòÿ áû îäèí èç óãëîâ òðåóãîëüíèêà 4ABC
îòëè÷åí îò π . Ïóñòü ýòî áóäåò óãîë ïðè âåðøèíå A. Íà ñòîðîíàõ AB è AC
âîçüìåì òî÷êè B0 è C0 òàêèå, ÷òî
2π
AB0 + B0 C0 + C0 A = √ .
k0
Ïðè÷åì, íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñóììà äëèí íèêàêèõ
ìåíüøèõ äâóõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà 4AB0 C0 íå ðàâíà äëèíå òðåòüåé. Ïóñòü
Bn è Cn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê íà AB è AC , ïðè÷åì Bn 6= B0 , Cn 6=
C0 , ABn < AB0 , ACn < AC0 è lim Bn = B0 , lim Cn = C0 . Òîãäà ïðè
n→∞
n→∞
ëþáîì n âûïîëíåíî
2π
ABn + Bn Cn + Cn A < √ ,
k0
èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà 4ABC áûë áû ðàâåí √2πk .
0
Ïðèìåíèì ê òðåóãîëüíèêàì 4ABn Cn òåîðåìà 3.9.1 Ïîëó÷èì β ≥ β 0 , γ ≥ γ 0 .
Íî, êàê íåòðóäíî çàìåòèòü, lim β 0 n = π, lim γ 0 n = π, ñëåäîâàòåëüíî,
n→∞
n→∞
lim βn = lim γn = π . Íî òîãäà ëèíèÿ B0 BCC0 áûëà áû êðàò÷àéøåé, è åå
n→∞
n→∞
äëèíà áûëà áû ðàâíà √2πk è, ñëåäîâàòåëüíî, ïåðèìåòð 4ABC áûë áû ðà0
âåí √2πk , âîïðåêè ïðåäïîëîæåíèþ. Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî åñëè ïåðèìåòð
0
4ABC áîëüøå √2πk , òî âñå åãî óãëû ðàâíû π , òî åñòü ëèíèÿ AB ∪ BC ∪ CA
0
åñòü çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ γ . Íî òîãäà òðåóãîëüíèê 4A1 BC , ãäå A1 ∈ γ
è áëèçêà ê A, èìååò ïåðèìåòð áîëüøå ÷åì √2πk , à åãî óãëû ïðè âåðøèíàõ
0
B è C îòëè÷íû îò π . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò îòñóòñòâèå íà
Mk0 òðåóãîëüíèêîâ ïåðèìåòðà áîëüøåãî ÷åì √2πk . Ïóñòü òåïåðü òðåóãîëüíèê
0
4ABC èìååò ïåðèìåòð ðàâíûé √2πk . Åñëè îí íå âûðîæäåí, òî ðàññóæäåíè0
ÿìè àíàëîãè÷íûìè âûøåèçëîæåííûì, ìû ìîæåì äîêàçàòü, ÷òî 4ABC åñòü
çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå åãî óãëû ðàâíû π , è òîãäà
óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 3.9.1 âûïîëíÿþòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì. Åñëè æå îí
176
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
âûðîæäåí, òî åñòü ñîñòîèò èç äâóõ êðàò÷àéøèõ (äâóóãîëüíèê), òî â ýòîì
ñëó÷àå ïîâåðõíîñòü Mk0 åñòü ñôåðà (ñì. çàäà÷ó ??) è òðåóãîëüíèê 4ABC
ìîæíî ñðàâíèòü ñ íèì ñàìèì æå.
Òåîðåìå ñðàâíåíèÿ óãëîâ ìîæíî ïðèäàòü äðóãóþ ôîðìó ôîðìó óñëîâèÿ âûïóêëîñòè À.Ä. Àëåêñàíäðîâà. Ïóñòü AB è AC äâå êðàò÷àéøèå,
èñõîäÿùèå èç òî÷êè A, ïðè÷åì B(x) ∈ AB , C(y) ∈ AC , x = AB(x), y =
AC(y). Îáîçíà÷èì ÷åðåç ϕ(x, y) óãîë ïðè âåðøèíå A0 òðåóãîëüíèêà ñðàâíåíèÿ (4A0 B 0 (x)C 0 (y))k0 . Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè M âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå âûïóêëîñòè À.Ä. Àëåêñàíäðîâà îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè Rk0 , åñëè
ôóíêöèÿ ϕ(x, y) åñòü ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ.
Òåîðåìà 3.9.2. Íà ïîâåðõíîñòè Mk0 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå âûïóêëîñòè
À.Ä. Àëåêñàíäðîâà îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè Rk0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Òåîðåìà 3.9.2 ÿâëÿåòñÿ ëåãêèì ñëåäñòâèåì òåîðåìû 3.9.1
è ëåììû 3.9.1
177
3.10. Çàäà÷è
3.10
Çàäà÷è
Çàäà÷à 3.10.1. Äèàìåòð d ïîâåðõíîñòè Mk0 ïðè k0 > 0 íå ïðåâîñõîäèò
√π . Åñëè
k0
óñà √1k .
0
d=
√π ,
k0
òî ïîâåðõíîñòü Mk0 ñîâïàäàåò ñî ñôåðîé S( √1k ) ðàäè0
Ðåøåíèå. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå çàäà÷è 3.10.1 î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóåò
èç òåîðåìû 3.9.1 Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà d = √πk . Ïóñòü A è B êîíå÷íûå
0
òî÷êè äèàìåòðà, à P ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà Mk0 . Òîãäà, â ñèëó íåðàâåíñòâà
òðåóãîëüíèêà, AP + P B ≥ √πk , íî ñ äðóãîé ñòîðîíû √πk + AP + P B ≤ √2πk .
0
0
0
Ïîýòîìó AP + P B = √πk . Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî ëîìàííàÿ
0
AP ∪ P B åñòü êðàò÷àéøàÿ äëèíû √πk . Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî
0
ëþáàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ, âûõîäÿùàÿ èç òî÷êè A, ïðèõîäèò â òî÷êó B è äëèíà
äóãè AB ýòîé ãåîäåçè÷åñêîé ðàâíà √πk . Ââåäåì ïîëÿðíóþ ñèñòåìó êîîðäè0
íàò (ρ, ϕ) ñ íà÷àëîì â òî÷êå A. Òîãäà
ds2 = dρ2 + f 2 (ρ, ϕ)dϕ2 ,
ãäå ôóíêöèÿ f (ρ, ϕ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
f 00 ρρ + K(ρ, ϕ)f = 0
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè f (0, ϕ) = 0, f 0 ρ (0, ϕ) = 1. Èç òîëüêî ÷òî √
äîêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî f (ρ, ϕ) > 0 ïðè 0 < ρ < √πk , à òàê êàê √1k sin( k0 ρ)
0
0
îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè ρ = √πk , òî èç ñëåäñòâèÿ 3 ëåììû 3.8.1 âûòåêàåò, ÷òî
0
K(ρ, ϕ) ≡ k0 ïðè 0 ≤ ϕ ≤ 2π , òî åñòü ìû äîêàçàëè, ÷òî ãàóññîâà êðèâèçíà â
êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè Mk0 ïîñòîÿííà è ðàâíà k0 . Óòâåðæäåíèå çàäà÷è
3.10.1 òåïåðü ñëåäóåò èç òåîðåìû Ëèáìàíà.
Çàìå÷àíèå 3.10.1.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 3.10.1 ìîæíî ïîñòðîèòü èçîìåò-
ðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå ψ ïîâåðõíîñòè Mk0 íà S( √1k ) è íå ññûëàòüñÿ íà
0
òåîðåìó Ëèáìàíà. Èìåííî òàê ðåøàåòñÿ ýòà çàäà÷à â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå. ×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî expA åñòü èñêîìîå èçîìåòðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå ψ .
Íàïîìíèì, ÷òî ïðÿìîé ëèíèåé íà íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ
ïîëíàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ γ , êàæäàÿ äóãà êîòîðîé åñòü êðàò÷àéøàÿ.
Çàäà÷à 3.10.2 (Êîí-Ôîññåí). Äîêàçàòü, ÷òî åñëè íà ïîëíîé âûïóêëîé
ïîâåðõíîñòè M êëàññà C 2 ñóùåñòâóåò ïðÿìàÿ ëèíèÿ γ , òî ïîâåðõíîñòü
M åñòü öèëèíäð.
Ðåøåíèå. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó p ∈ M, p ∈ γ . Ïóñòü γp åñòü òî÷êà íà γ , áëèæàéøàÿ ê p. Òîãäà êðàò÷àéøàÿ pγp ëèáî îðòîãîíàëüíà γ , ëèáî
òî÷êà p ñîåäèíÿåòñÿ ñ òî÷êîé γp , ïî êðàéíåé ìåðå, äâóìÿ êðàò÷àéøèìè,
êàæäàÿ èç êîòîðûõ îáðàçóåò ñ γ óãîë íå áîëüøå π2 (ñì. ëåììó 3.5.1). Ïóñòü
γ(t) ïàðàìåòðèçàöèÿ γ è t = ±γp γ(t), γp = γ(0), −∞ < t < ∞, tn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ñòðåìÿùèõñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, è τn
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë, ñòðåìÿùèõñÿ ê ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè. Ìîæíî ñ÷èòàòü, íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, ÷òî ïðåäåë êðàò÷àéøèõ
pγ(tn ) ïðè n → ∞ åñòü íåêîòîðûé ëó÷ σ1 , ñ íà÷àëîì â òî÷êå p, à ïðåäåë
178
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
êðàò÷àéøèõ pγ(τn ) ïðè c åñòü íåêîòîðûé ëó÷ σ2 ñ íà÷àëîì â òîé æå òî÷êå p.
Òðåóãîëüíèêè 4p0 γ 0 (tn )γ 0 (τn ) ðàçìåñòèì íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè òàê, ÷òîáû ñòîðîíà γ 0 (tn )γ 0 (τn ) ëåæàëà áû íà îäíîé è òîé æå ïðÿìîé a. Èç òåîðåìû
3.9.1 è ëåììû 3.9.1 ñëåäóåò, ÷òî ðàññòîÿíèå îò âåðøèíû p0 òðåóãîëüíèêà
4p0 γ 0 (tn )γ 0 (τn ) äî ïðÿìîé a íå ïðåâîñõîäèò pγp ïðè ëþáîì n. Ïîýòîìó ïðåäåë óãëà ∠γ 0 (tn )p0 γ 0 (τn ) ïðè n → ∞ ðàâåí π . Íî òîãäà èç òåîðåìû 3.9.1
ñëåäóåò, ÷òî óãîë ìåæäó σ1 è σ2 òîæå ðàâåí π , òî åñòü ëó÷è σ1 è σ2 ëåæàò íà îäíîé è òîé æå ãåîäåçè÷åñêîé γ̄ . Äàëåå, ñóììà óãëîâ ∠p0 γ 0 (0)γ 0 (tn )
è ∠γ 0 (0)p0 γ 0 (tn ) òðåóãîëüíèêà 4γ 0 (0)p0 γ 0 (tn ïðè n → ∞ ðàâíà π , à òàê êàê
óãîë ∠p0 γ 0 (0)γ 0 (tn ) íå ïðåâîñõîäèò π2 (ïî òåîðåìå 3.9.1) ïðè ëþáîì n, òî
ïðåäåë óãëà ∠γ 0 (0)p0 γ 0 (tn ) ïðè n → ∞ íå ìåíüøå ÷åì π2 . Íî òîãäà, ñíîâà
ïî òåîðåìå 3.9.1, óãîë ìåæäó ëó÷îì σ1 è êðàò÷àéøåé pγ(0) íå ìåíüøå π2 .
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî óãîë ìåæäó σ2 è êðàò÷àéøåé pγ(0) òàêæå
íå ìåíüøå π2 . Íî òàê êàê èõ ñóììà ðàâíà π , òî ìû ïîëó÷àåì, ÷òî êðàò÷àéøàÿ pγ(0) ïåðåñåêàåò γ̄ ïîä ïðÿìûì óãëîì. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî è ãåîäåçè÷åñêóþ γ êðàò÷àéøàÿ pγ(0) òîæå ïåðåñåêàåò ïîä ïðÿìûì óãëîì. Ïóñòü
òåïåðü p1 ∈ γ̄ è p1 6= p. Ïîâòîðÿÿ âñå ïðåäûäóùèå ïîñòðîåíèÿ è ðàññóæäåíèÿ ìû ïîëó÷àåì, ÷òî êðàò÷àéøàÿ p1 γp1 ïåðåñåêàåò ãåîäåçè÷åñêóþ γ̄ è γ
òàêæå ïîä ïðÿìûì óãëîì. Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî â îáëàñòè D, îãðàíè÷åííîé ÷åòûðåõóãîëüíèêîì pp1 γp1 γp , âñå âíóòðåííèå óãëû ðàâíû π2 . Ïðèìåíÿÿ
ê îáëàñòè D ôîðìó Ãàóññà-Áîíå, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà
îáëàñòè D ðàâíà íóëþ. Íî ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè M íåîòðèöàòåëüíà, ñëåäîâàòåëüíî, îíà òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè
D.  ÷àñòíîñòè, ãàóññîâà êðèâèçíà M ðàâíà íóëþ â òî÷êå p. Íî òî÷êà p áûëà âûáðàíà ïðîèçâîëüíî. Çíà÷èò ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè M ðàâíà
íóëþ â ëþáîé åå òî÷êå.
Çàìå÷àíèå 3.10.2.  çàäà÷å 3.10.2 òàêæå êàê è â çàäà÷å 3.10.1 ìîæíî
ïîñòðîèòü èçîìåòðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå ψ ïîâåðõíîñòè M íà ïëîñêîñòü
R, è íå ññûëàòüñÿ íà òåîðåìó Ãàóññà-Áîííå. Èìåííî òàê ðåøàåòñÿ ýòà
çàäà÷à â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îòîáðàæåíèÿ ψ íàäî ââåñòè ïîëóãåîäåçè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò íà M è R è ñîïîñòàâèòü äðóã
äðóãó òî÷êè ñ îäèíàêîâûìè êîîðäèíàòàìè.
Çàäà÷à 3.10.3. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå 4ABC íà ïîâåðõíîñòè Mk0 êðàò-
÷àéøàÿ AB åñòü åäèíñòâåííàÿ êðàò÷àéøàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè A è B , à
óãîë γ ðàâåí óãëó γ 0 . Äîêàçàòü, ÷òî òîãäà âñå óãëû òðåóãîëüíèêà 4ABC
ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì óãëà òðåóãîëüíèêà (4ABC)k0 .
Óêàçàíèå. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè P êðàò÷àéøåé AC
óãîë ∠BP C ðàâåí óãëó ∠B 0 P 0 C 0 òðåóãîëüíèêà (4B 0 P 0 C 0 )k0 , ÷òî ëåãêî ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.9.1 è ëåììû 3.9.1 Ïîñëå ÷åãî óæå íåòðóäíî äîêàçûâàåòñÿ
ðàâåíñòâî α = α0 . Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ðàâåíñòâî β = β 0 . Çàäà÷à 3.10.4. Äîêàçàòü, ÷òî â óñëîâèÿõ çàäà÷è 3.10.3 òðåóãîëüíèê ABC
îãðàíè÷èâàåò îáëàñòü, â ëþáîé òî÷êå êîòîðîé ãàóññîâà êðèâèçíà òîæäåñòâåííî ðàâíà k0 .
Óêàçàíèå. Èñïîëüçóéòå ðåçóëüòàòû çàäà÷è 3.10.3, ëåììó 3.5.1 è ëåììó
3.8.1.
179
3.10. Çàäà÷è
Çàäà÷à 3.10.5. Ïóñòü òðåóãîëüíèê 4ABC ñîñòàâëåí èç êðàò÷àéøèõ
AB , BC è äóãè AC ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè, äëèíà êîòîðîé ìåíüøå ÷åì AB +
BC . Äîêàçàòü, ÷òî α ≥ α0 è γ ≥ γ 0 .
Óêàçàíèå. Ðàçáèòü ãåîäåçè÷åñêóþ AC íà êîíå÷íîå ÷èñëî äóã, êàæäàÿ
èç êîòîðûõ åñòü êðàò÷àéøàÿ, è âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé 3.9.1 è ëåììîé
3.9.1. Çàäà÷à 3.10.6. Äîêàçàòü, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè Mk0 ïðè k0 > 0 êàæäàÿ
äóãà ãåîäåçè÷åñêîé, äëèíà êîòîðîé áîëüøå ÷åì √4πk , èìååò òî÷êè ñàìîïå0
ðåñå÷åíèÿ.
Óêàçàíèå. Ïðåäïîëîæèòü ïðîòèâíîå è ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 3.9.1 ñâåñòè
ýòî ïðåäïîëîæåíèå ê ïðîòèâîðå÷èþ. Çàäà÷à 3.10.7. Äëÿ òðåóãîëüíèêà 4ABC íà ïîâåðõíîñòè Mk0 , k0 > 0, ïî-
ñòðîèì òðåóãîëüíèê (4A00 B 00 C 00 )k0 ó êîòîðîãî óãëû ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì óãëàì òðåóãîëüíèêà 4ABC . Äîêàçàòü, ÷òî òîãäà AB ≤ A00 B 00 ,
AC ≤ AC 00 , BC ≤ B 00 C 00 . Ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà AB = A00 B 00 è óãëû òðåóãîëüíèêà ABC ïðè âåðøèíàõ A è B ðàâíû óãëàì òðåóãîëüíèêà
A00 B 00 C 00 ïðè âåðøèíàõ A00 è B 00 .
Çàäà÷à 3.10.8. Ñôîðìóëèðîâàòü è ðåøèòü çàäà÷è, àíàëîãè÷íûå çàäà÷àì
?? è ??, äëÿ ñåäëîâûõ ïîâåðõíîñòåé.
Çàäà÷à 3.10.9. Ïóñòü Kr êðóã ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå O íà âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè M , à AB - √
õîðäà ýòîãî êðóãà. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè
∠OAB = ∠OBA = 450 , òî AB ≥ 2r.
Çàäà÷à 3.10.10. Ïóñòü r åñòü íåêîòîðûé ëó÷ ñ âåðøèíîé â òî÷êå P íà
ïîëíîé âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè M êëàññà C 2 . Ââåäåì íà r ïàðàìåòðèçàöèþ
r(t), ãäå t äëèíà äóãè, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò òî÷êè
S∞ P . Ïóñòü B(t) = {q ∈
M : ρ(q, r(t)) < t}. Äîêàçàòü, ÷òî D(r) = M \ t=0 B(t) åñòü àáñîëþòíî
âûïóêëîå ìíîæåñòâî íà M äëÿ ëþáîãî ëó÷à r.
Çàäà÷à 3.10.11. Ïóñòü M ïîëíàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C 2 , ó
êîòîðîé ãàóññîâà êðèâèçíà K óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó a12 ≤ K ≤ 1. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì ϕ ïîâåðõíîñòè M íà åäèíè÷íóþ
ñôåðó S1 òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáûõ òî÷åê p è q ïîâåðõíîñòè M âûïîëíÿþòñÿ
íåðàâåíñòâà
ρS1 (ϕ(p), ϕ(q)) ≤ ρM (p, q) ≤ aρS1 (ϕ(p), ϕ(q)).
Çäåñü ρS1 ìåòðèêà íà S1 è ρM ìåòðèêà íà M .
Çàìå÷àíèå 3.10.3. Ïîñòðîåíèå äèôôåîìîðôèçìîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ ïåð-
âîìó è âòîðîìó íåðàâåíñòâó îòäåëüíî, äîñòàòî÷íî ïðîñòî. Íî ïîêà íåèçâåñòíî, ñóùåñòâóåò ëè äèôôåîìîðôèçì ϕ, óäîâëåòâîðÿþùèé îáîèì íåðàâåíñòâàì îäíîâðåìåííî.
Çàìåòèì, ÷òî âñå òåîðåìû è çàäà÷è ïàðàãðàôîâ 7 è 8 ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü äëÿ ëþáîé ãåîäåçè÷åñêè âûïóêëîé îáëàñòè íà ðåãóëÿðíîé
ïîâåðõíîñòè êëàññà C 2 .
Êîíåö. 24.10.96ã. 17-30.
180
Ãëàâà 3. Âíóòðåííÿÿ ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè
Ãëàâà 4
Äîáàâëåíèÿ
4.1
Òåîðåìà Áîííå.
Ïðåäïîëîæèì âûïîëíåííûìè ñëåäóþùèå óñëîâèÿ.  íåêîòîðîé îäíîñâÿçíîé îòêðûòîé îáëàñòè D íà ïëîñêîñòè ïàðàìåòðîâ u è v çàäàíû äâå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû:
Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 ,
(I)
Ldu2 + 2M dudv + N dv 2
(II)
ò.å. â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè D îïðåäåëåíû ôóíêöèè
E = E(u, v), F = F (u, v),
G = G(u, v),
L = L(u, v), M = M (u, v), N = N (u, v),
Íàëîæèì íà ýòè ôóíêöèè ðÿä îãðàíè÷åíèé.
1. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû âñþäó â îáëàñòè D ïåðâàÿ èç êâàäðàòè÷íûõ ôîðì
Edu2 + 2F dudv + Gdv 2
áûëà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé.
2. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè D ôóíêöèè ñâÿçàíû ôîðìóëàìè Ãàóññà-Ïåòåðñîíà - Êîäàööè, ïðè ýòîì è ñàìè ôóíêöèè, è èõ ïðîèçâîäíûå, âõîäÿùèå â ôîðìóëû, íåïðåðûâíû âñþäó â îáëàñòè D.
Òîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 4.1.1 (Áîííå). Ñóùåñòâóåò ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü, äëÿ êîòîðîé çàäàííûå ôîðìû I è II ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîé è âòîðîé
êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè. Ôîðìàìè I è II ýòà ïîâåðõíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ
îäíîçíà÷íî, ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå.
Òåì ñàìûì óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé 1 è 2 â îáëàñòè D ìîæíî ïîñòðîèòü âåêòîðíóþ ôóíêöèþ
r = r(u, v),
(u, v) ∈ D,
òàêóþ, ÷òî
dr2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2
181
182
è
Ãëàâà 4. Äîáàâëåíèÿ
(d2 r, n) = Ldu2 + 2M dudv + N dv 2 ,
ãäå
n=
ru × rv
.
|ru × rv |
Ïðè÷åì, åñëè a, b è c ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû (âåêòîðû b è c íåêîëëèíåàðíû),
òî óñëîâèÿìè
r(u0 , v0 ) = a,
ru (u0 , v0 ) = b,
rv (u0 , v0 ) = c,
ãäå (u0 , v0 ) íåêîòîðàÿ òî÷êà îáëàñòè D, ýòà âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå. Ïðåæäå âñåãî, ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè,
âû÷èñëèì ïî êîýôôèöèåíòàì E, F, G, L, M, N çàäàííûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì
(I) è (II) êîýôôèöèåíòû Γkij è αij .
Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ïîñòðîèì âñïîìîãàòåëüíóþ ñèñòåìó
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ëèíåéíûõ îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé ξ , η , ζ :
ξu = Γ111 ξ + Γ211 η + Lζ,
ξv = Γ112 ξ + Γ212 η + M ζ,
ηu = Γ112 ξ + Γ212 η + M ζ,
ηv = Γ122 ξ + Γ222 η + N ζ,
ζu = α11 ξ + α12 η,
ζv = α21 ξ + α22 η,
(íåñîìíåííàÿ ñâÿçü óðàâíåíèé ñèñòåìû ñ äåðèâàöèîííûìè ôîðìóëàìè Âåéíãàðòåíà íå ñëó÷àéíà).
Ïîñòðîåííàÿ ñèñòåìà îáëàäàåò ñëåäóþùèì çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì:
ðàâåíñòâà
(Γ111 ξ + Γ211 η + Lζ)v = (Γ112 ξ + Γ212 η + M ζ)u ,
(Γ112 ξ + Γ212 η + M ζ)v = (Γ122 ξ + Γ222 η + N ζ)u ,
(α11 ξ + α12 η)v = (α21 ξ + α22 η)u
âûïîëíÿþòñÿ òîæäåñòâåííî â ñèëó óðàâíåíèé.
×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè òðåáóåìûå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è, çàìåíèâ ïîÿâëÿþùèåñÿ â ðåçóëüòàòå ïðîèçâîäíûå âåêòîðíûõ
ôóíêöèé ξ , η è ζ ïî ôîðìóëàì, âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè Ãàóññà-ÏåòåðñîíàÊîäàööè.
Òîæäåñòâåííîå âûïîëíåíèå ðàâåíñòâ îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ñèñòåìû ñîáëþäåíû óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè. Èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
èçâåñòíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà èìååò è ïðèòîì åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
ïðè çàäàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé.
Âûáåðåì òðè âåêòîðà ξ0 , η0 è ζ0 òàê, ÷òîáû îíè îáðàçîâûâàëè ïðàâóþ
òðîéêó è â íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êå (u0 , v0 ) îáëàñòè D âûïîëíÿëèñü
ðàâåíñòâà
ξ02 = E(u0 , v0 ),
(ξ0 , η0 ) = F (u0 , v0 ),
(ξ0 , ζ0 ) = 0,
(η0 , ζ0 ) = 0,
η02 = G(u0 , v0 ),
ζ02 = 1.
183
4.1. Òåîðåìà Áîííå.
Ïóñòü
ξ = ξ(u, v),
η = η(u, v),
ζ = ζ(u, v)
ðåøåíèå ñèñòåìû, óäîâëåòâîðÿþùåå âûáðàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
ξ(u0 , v0 ) = ξ0 ,
η(u0 , v0 ) = η0 ,
ζ(u0 , v0 ) = ζ0 .
Òàê êàê äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
ξv = ηu ,
òî íàéäåòñÿ âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ
r = r(u, v),
äëÿ êîòîðîé
ru = ξ, rv = η.
Ôóíêöèÿ r = r(u, v), ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà, íàïðèìåð, ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Z
r = r(u, v) = r(u0 , v0 ) + ξ(u, v)du + η(u, v)dv
l
(êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë áåðåòñÿ âäîëü ãëàäêîé êðèâîé l, öåëèêîì ëåæàùåé â îáëàñòè D è ñîåäèíÿþùåé òî÷êè (u0 , v0 ) è (u, v)).
Ïîêàæåì, ÷òî ïîâåðõíîñòü, çàäàâàåìàÿ ðàäèóñîì-âåêòîðîì, èìååò ïåðâóþ
è âòîðóþ êâàäðàòè÷íûå ôîðìû, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûå çàäàííûì ôîðìàì
Edu2 + 2F dudv + Gdv 2
è
Ldu2 + 2M dudv + N dv 2
×òîáû óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ðàâåíñòâà
dr2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 ,
äîñòàòî÷íî â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ ïðîâåðèòü, ÷òî
ξ 2 = E, (ξ, η) = F, η 2 = G.
Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ê óäîáíîé äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññìîòðåíèé
ôîðìå. Óìíîæèì èõ ïîî÷åðåäíî íà âåêòîðû ξ, η è ζ . Èç ïîëó÷åííûõ ïðè
ýòîì âîñåìíàäöàòè ñêàëÿðíûõ ñîîòíîøåíèé ïóòåì ïðîñòåéøèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèõîäèì ê äâåíàäöàòè, êîòîðûå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ñêàëÿðíûõ âåëè÷èí
ξ2,
η2 ,
ζ 2,
(ξ, η),
(ξ, ζ),
(η, ζ).
ïðèâåäåì ÷àñòü èç ýòèõ äâåíàäöàòè óðàâíåíèé:
[ξ 2 ]u = 2Γ111 ξ 2 + 2Γ211 (ξ, η) + 2L(ξ, ζ),
[ξ 2 ]v = 2Γ112 ξ 2 + 2Γ212 (ξ, η) + 2M (ξ, ζ),
[(ξ, η)]u = Γ112 ξ 2 + (Γ111 + Γ212 )(ξ, η) + Γ211 η 2 + M (ξ, ζ) + L(η, ζ),
[(ξ, η)]v = Γ112 ξ 2 + (Γ112 + Γ222 )(ξ, η) + Γ212 η 2 + N (ξ, ζ) + M (η, ζ).
184
Ãëàâà 4. Äîáàâëåíèÿ
Ïîõîæóþ ñòðóêòóðó èìåþò è îñòàëüíûå âîñåìü óðàâíåíèé. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî çàìåíà â óðàâíåíèÿõ âåëè÷èí
íà
E, G, 1, F, 0, 0
ñîîòâåòñòâåííî îáðàòèò êàæäîå èç óðàâíåíèé â òîæäåñòâî. Ýòî îòíîñèòñÿ
è ê âîñüìè äðóãèì óðàâíåíèÿì.
Îáðàòèìñÿ ê ñîîòíîøåíèÿì è. Íàáîð, êàê è íàáîð, â òî÷êå (u0 , v0 ) îáëàñòè D ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ
ξ02 , η02 , 1, (ξ0 , η0 ), 0, 0
ñîîòâåòñòâåííî.
Èç òîãî, ÷òî íàáîðû è èìåþò îäèíàêîâûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû âûòåêàåò,
÷òî ýòè íàáîðû ñîâïàäàþò òîæäåñòâåííî:
ξ 2 = E, η 2 = G, ζ 2 = 1, (ξ, η) = F, (ξ, ζ) = 0, (η, ζ) = 0.
Ïåðâîå, âòîðîå è ÷åòâåðòîå òîæäåñòâà îáåñïå÷èâàþò ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà. Òåì ñàìûì ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè ñ ðàäèóñâåêòîðîì ñîâïàäàåò ñ ôîðìîé (I). ×òîáû óáåäèòüñÿ â ñîâïàäåíèè âòîðîé
êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïîâåðõíîñòè ñ ôîðìîé (II), îáðàòèìñÿ ê îñòàâøèìñÿ
òîæäåñòâàì:
(ξ, ζ) = 0, (η, ζ) = 0, ζ 2 = 1.
Ïåðåïèñàâ èõ â íåñêîëüêî èíîé ôîðìå
(ru , ζ) = 0,
(rv , ζ) = 0,
ζ 2 = 1,
âèäèì, ÷òî âåêòîð ζ ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì íîðìàëè ïîâåðõíîñòè.
Ïðè ýòîì â ñèëó óñëîâèé, íàëîæåííûõ íà íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ξ0 , η0 è ζ0 ,
òðîéêà ru , rv è ζ ïðàâàÿ è
ru × rv
.
ζ=
|ru × rv |
Ñëåäîâàòåëüíî, êîýôôèöèåíòû âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïîñòðîåííîé
ïîâåðõíîñòè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
(ξu , ζ), (ξv , ζ) = (ηu , ζ), (ηv , ζ).
Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè êàæäîãî èç ïåðâûõ ÷åòûðåõ óðàâíåíèé ñèñòåìû ñêàëÿðíî íà âåêòîð ζ è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì, ÷òî
(ξu , ζ) = L, (ξv , ζ) = (ηu , ζ) = M, (ηv , ζ) = N.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ðàññìàòðèâàåìîé ïîâåðõíîñòè èìååò âèä
(d2 r, ζ) = Ldu2 + 2M dudv + N dv 2
è òåì ñàìûì ñîâïàäàåò ñ çàäàííîé ôîðìîé (II). Íà ýòîì äîêàçàòåëüñòâî
ñóùåñòâîâàíèÿ ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè ñ çàäàííûìè ïåðâîé è âòîðîé êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè çàêàí÷èâàåòñÿ.
Åäèíñòâåííîñòü. Ïîêàæåì, ÷òî ïîñòðîåííàÿ âûøå ïîâåðõíîñòü åäèíñòâåííà ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå.
185
4.1. Òåîðåìà Áîííå.
Ïóñòü S1 è S2 ïîâåðõíîñòè, çàäàííûå âåêòîðàìè r1 (u, v) è r2 (u, v) ((u, v) ∈
D), ó êîòîðûõ â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ ñîâïàäàþò ïåðâûå êâàäðàòè÷íûå
ôîðìû è âòîðûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû. îòìåòèì íà êàæäîé èç ýòèõ ïîâåðõíîñòåé ïî òî÷êå, îòâå÷àþùåé íàáîðó ïàðàìåòðîâ u è v :
u = u0 , v = v0 , (u0 , v0 ) ∈ D
Ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé (åñëè ýòî íåîáõîäèìî) ìîæíî äîáèòüñÿ ñîâïàäåíèÿ îòìå÷åííûõ òî÷åê.
Ñ÷èòàÿ, ÷òî òî÷êà X0 , îòâå÷àþùàÿ íàáîðó ïàðàìåòðîâ (u0 , v0 ), îáùàÿ
äëÿ îáåèõ ïîâåðõíîñòåé, ïîâåðíåì îäíó èç íèõ òàê, ÷òîáû â îáùåé òî÷êå
X0 ñîâïàëè åäèíè÷íûå âåêòîðû íîðìàëåé ê ýòèì ïîâåðõíîñòÿì. Ïðè ýòîì,
êîíå÷íî, ñîâïàäóò è êàñàòåëüíûå ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòåé â òî÷êå X0 .
ßñíî, ÷òî ïðîâåäåííûå äåéñòâèÿ íå èçìåíÿò êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ïîâåðõíîñòè, ïåðåìåùàåìîé â ïðîñòðàíñòâå. Ýòî îáåñïå÷èâàåòñÿ òåì, ÷òî ïð ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ïîâåðõíîñòè è ïðè åå ïîâîðîòå ñîõðàíÿåòñÿ âçàèìíîå
ðàñïîëîæåíèå ïðîèçâîäíûõ ðàäèóñ-âåêòîðà è åäèíè÷íîãî âåêòîðà íîðìàëè.
Ñ÷èòàÿ, ÷òî â îáùåé òî÷êå X0 ïîâåðõíîñòè S1 è S2 èìåþò îáùóþ íîðìàëü, ïîâåðíåì îäíó èç ïîâåðõíîñòåé âîêðóã ýòîé íîðìàëè òàê, ÷òîáû â
òî÷êå X0 ñîâïàëè íàïðàâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàòíûõ ëèíèé ïîâåðõíîñòåé, ñêàæåì, ëèíèé u = u0 . Òîãäà íàïðàâëåíèÿ êîîðäèíàòíûõ ëèíèé
v = v0 ñîâïàäóò àâòîìàòè÷åñêè âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî óãëû ìåæäó íàïðàâëåíèÿìè êîîðäèíàòíûõ ëèíèé îïðåäåëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû è â òî÷êå X0 ó îáåèõ ïîâåðõíîñòåé îíè îäèíàêîâû. Ïóñòü
r = r1 (u, v),
r = r2 (u, v)
ðàäèóñ-âåêòîðû ïîâåðõíîñòåé S1 è S2 ñîîòâåòñòâåííî ïîñëå îïèñàííûõ ïåðåìåùåíèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êå (u0 , v0 ) âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà
r1 (u0 , v0 ) = r2 (u0 , v0 ),
r1,u (u0 , v0 ) = r2,u (u0 , v0 ), r1,v (u0 , v0 ) = r2,v (u0 , v0 ),
n1 (u0 , v0 ) = n2 (u0 , v0 ).
Îáðàòèìñÿ ê ñèñòåìå. Êàæäûé èç íàáîðîâ
ξ = r1,u , η = r1,v , ζ = n1
è
ξ = r2,u , η = r2,v , ζ = n2
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ýòîé ñèñòåìû. Òàê êàê â ñèëó óñëîâèé ýòè ðåøåíèÿ ñîâïàäàþò â íà÷àëüíîé òî÷êå (u0 , v0 ), òî â ñëåäñòâèå åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ
ñèñòåìû îíè ðàâíû òîæäåñòâåííî:
r1,u (u, v) = r2,u (u, v), r1,v (u, v) = r2,v (u, v).
Îòñþäà âûòåêàåò ñîâïàäåíèå äèôôåðåíöèàëîâ
dr1 (u, v) = dr2 (u, v)
è ðàâåíñòâî
r1 (u, v) = r2 (u, v) + C
186
Ãëàâà 4. Äîáàâëåíèÿ
Ïîëàãàÿ â íåì u = u0 , v = v0 , â ñèëó óñëîâèÿ ïîëó÷èì, ÷òî c = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
r1 (u, v) = r2 (u, v).
4.2
Òåîðåìà îá îâàëîèäå.
Òåîðåìà 4.2.1. Îâàëîèä êëàññà C 3 îäíîçíà÷íî îïðåäåëåí ñâîåé ìåòðèêîé
â êëàññå òðèæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ïîâåðõíîñòåé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì ëèøü äëÿ îâàëîèäîâ ñ êðèâèçíîé K > 0. Ïóñòü
Φ1 îâàëîèä, à Φ2 ïîâåðõíîñòü êëàññà C 3 , èçîìåòðè÷íàÿ Φ1 .  ñèëó èçîìåòðèè ìåæäó Φ1 è Φ2 ïîâåðõíîñòü Φ2 ãîìåîìîðôíà ñôåðå è èìååò â êàæäîé òî÷êå ïîëîæèòåëüíóþ êðèâèçíó. Òîãäà ïî òåîðåìå 1 Φ2 òàêæå îâàëîèä.
Ââåäåì íà Φ1 è Φ2 ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû u, v òàê, ÷òî îòîáðàæåíèå èçîìåòðèè óñòàíàâëèâàåòñÿ ïî ðàâåíñòâó ýòèõ êîîðäèíàò. Òîãäà íà Φ1 è Φ2 ïåðâàÿ
êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ds2 = Edu2 +2F dudv +Gdv 2 îäíà è òà æå. Ðàññìîòðèì
íà Φ1 è Φ2 òàê íàçûâàåìûå "ïðèâåäåííûå" âòîðûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû
ψi = λi du2 + 2µi dudv + vi dv 2 , i = 1, 2,
ãäå
λi = √
Mi
Li
, µi = √
,
EG − F 2
EG − F 2
νi = √
Ni
EG − F 2
Òîãäà ãàóññîâû êðèâèçíû K1 , K2 ïîâåðõíîñòåé Φ1 , Φ2 áóäóò ðàâíû (K =
λi νi − µ2 , i = 1, 2. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íîðìàëè n1 è n2 ïîâåðõíîñòåé Φ1 è
Φ2 íàïðàâëåíû ñîîòâåòñòâåííî âíóòðü Φ1 è Φ2 . Èìåþùååñÿ ìåæäó Φ1 è Φ2
ñîîòâåòñòâèå èçîìåòðèè ìîæåò, âîîáùå ãîâîðÿ, ìåíÿòü îðèåíòàöèþ ðåïåðà,
îïðåäåëÿåìîãî êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè è âíóòðåííåé íîðìàëüþ. Íî â òàêîì ñëó÷àå ìû ìîæåì çàìåíèòü ïîâåðõíîñòü Φ2 åé ñèììåòðè÷íîé.)  ñèëó
âûáîðà ni êâàäðàòè÷íûå ôîðìû ψi áóäóò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûìè.
Ïîêàæåì, ÷òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
∆=
λ 2 − λ1
µ2 − µ1
µ2 − µ1
ν2 − ν1
≤0
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ñïðàâåäëèâî èçâåñòíîå íåðàâåíñòâî
q
q
λ1 ν2 − 2µ1 µ2 + λ2 ν1 ≥ 2 λ1 ν1 − µ21 λ2 ν2 − µ22
ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà âîçìîæåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
λ2 = tλ1 , µ2 = tµ1 , ν2 = tν1
(t 6= 0).
(Ìîæíî áåç òðóäà óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî ýëåìåíòàðíîãî óòâåðæäåíèÿ). Èìååì
∆ = (λ2 −λ1 )(ν2 −ν1 )−(µ2 −µ1 )2 = λ2 ν2 −µ22 +λ1 ν1 −µ21 −(λ1 ν2 −2µ1 µ2 +λ2 ν1 ) ≤
q
q
≤ λ2 ν2 − µ22 + λ1 ν1 − µ21 − 2 λ2 ν2 − µ22 λ1 ν1 − µ21 = K + K − 2K = 0
4.3. Ìîäåëü Ïóàíêàðå ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî.
187
Èòàê, ∆ ≤ 0. Îòìåòèì, ÷òî åñëè ∆ ≡ 0, òî ψ1 ñîâïàäàåò ñ ψ2 . Â ñàìîì äåëå,
â ýòîì ñëó÷àå ïåðåõîäèò â ðàâåíñòâî, à òîãäà, â ñèëó ïîëó÷àåì
∆=
λ 2 − λ1
µ2 − µ1
µ2 − µ1
ν2 − ν1
= (t − 1)2 K = 0
Òàê êàê K 6= 0, òî t = 1 îòêóäà è ñëåäóåò ðàâåíñòâî êâàäðàòè÷íûõ ôîðì
ψ1 è ψ2 , ò.å. λ1 = λ2 , µ1 = µ2 , ν1 = ν2 . Ðàñïîëîæèì îâàëîèäû Φ1 è Φ2
òàê, ÷òîáû íà÷àëî êîîðäèíàò áûëî âíóòðè íèõ. Òîãäà âñþäó íà Φ1 áóäåò
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (n1 , r1 ) < 0, ãäå r1 = r1 (u, v) âåêòîð-ôóíêöèÿ,
çàäàþùàÿ Φ1 . Â ñèëó è ôîðìóëû Ãåðãëîòöà
ZZ
ZZ
H2 dσ −
H1 dσ ≥ 0
Φ2
Φ1
Ïîìåíÿâ ðîëÿìè ïîâåðõíîñòè Φ1 è Φ2 ïîëó÷èì
ZZ
ZZ
H1 dσ −
H2 dσ ≥ 0
Φ1
Èç è ñëåäóåò ðàâåíñòâî
Φ2
ZZ
(n1 , r1 )∆dσ = 0
Φ1
Ïîñêîëüêó (n1 , r1 ) < 0, à ∆ ≤ 0, òî èç ñëåäóåò òîæäåñòâî ∆ ≡ 0. Íî òîãäà,
â ñèëó ñêàçàííîãî âûøå, â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïî èçîìåòðèè òî÷êàõ Φ1 è Φ2
ñîâïàäàþò ψ1 è ψ2 . Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó, çàêëþ÷àåì, ÷òî ïîâåðõíîñòè Φ1 è
Φ2 ðàâíû. Òåîðåìà äîêàçàíà.
 ñëó÷àå K ≥ 0 ïðèâåäåííîå âûøå ðàññóæäåíèå ïðîâîäèòñÿ äëÿ ëþáîé êîìïîíåíòû îòêðûòîãî ìíîæåñòâà òî÷åê ïîâåðõíîñòè Φ1 , ãäå K > 0,
à çàòåì ïðèíèìàåòñÿ âî âíèìàíèå òîò ôàêò, ÷òî îáëàñòè íóëåâîé êðèâèçíû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ èçîìåòðèåé è êàñàòåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè íà
ãðàíèöå.
4.3
Ìîäåëü Ïóàíêàðå ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî.
Ïóñòü â îáëàñòè, îïðåäåëåííîé íåðàâåíñòâàìè −∞ < u1 < +∞, 0 < u2 <
+∞, çàäàí ìåòðè÷åñêèé òåíçîð g11 = g22 = 1/(u2 )2 , g12 = g21 = 0. Âû÷èñëèì ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ 1 è 2 ðîäà. Âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâåäåì â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå.
1) Ñíà÷àëà íàõîäèì ýëåìåíòû g ij :
1/(u2 )2
0
0
1/(u2 )2
= 1/(u2 )4 ,
g 11 = g 22 = (u2 )2 , g 12 = g 21 = 0.
2) Äàëåå íàõîäèì ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ 1 ðîäà:
Γ11,1 = 0, Γ21,1 = Γ12,1 =
−1
1 ∂g
= 2 3 , Γ22,1 = 0
2 ∂u2
(u )
188
Ãëàâà 4. Äîáàâëåíèÿ
Γ11,2 = −
1
1 ∂g22
1
1 ∂g11
= 2 3 , Γ12,2 = Γ21,2 = 0, Γ22,2 =
= − 2 3.
2
2
2 ∂u
(u )
2 ∂u
(u )
3) Òåïåðü íàõîäèì ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ âòîðîãî ðîäà.
Γ111 = 0, Γ112 = Γ121 =
Γ211 =
−1
, Γ122 = 0,
u2
−1
1
, Γ212 = Γ221 = 0, Γ222 = 2 .
2
u
u
4) Íàïèøåì óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé
 2 1
1
2
d u
1 du du


 dt2 + 2Γ12 dt dt = 0
1 2
2 2

du
du
d2 u2

2
2

+ Γ11
+ Γ22
= 0.
2
dt
dt
dt
Ïîäñòàâèâ ñþäà âûðàæåíèÿ äëÿ Γ112 , Γ212 è Γ222 ïîëó÷èì
 2 1
d u
2 du2 du2


 dt2 − u2 dt dt = 0
2
2

d2 u2
1 du1
1 du2


+
−
= 0.
dt2
u2
dt
u2
dt
5) Ðåøåíèå ñèñòåìû Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà èìååò ðåøåíèÿ:
1
d2 u1
u1 = const, u2 = ϕ(t). Â ñàìîì äåëå, åñëè u1 = const, du
dt = dt2 = 0
è ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû ñòàíîâèòñÿ òîæäåñòâîì, à âòîðîå óðàâíåíèå
2
2 2
2
2
ïðèíèìàåò âèä: ddtu2 − u12 ( du
dt ) = 0, èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî u = ϕ(t), ãäå
ϕ(t) ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïîëàãàÿ r = ϕ(t), ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ
ãåîäåçè÷åñêèõ u1 = const, u2 = r, îòêóäà ìû âèäèì, ÷òî ãåîäåçè÷åñêèå
ëèíèè ñóòü ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå îñè u2 . Ïðîâåðüòå, ÷òî ϕ(t) = C2 eC1 t .
1
1
Ïóñòü òåïåðü du
dt 6= 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ t = t(u ) è ìû ìîæåì
2
2
1
1
ñ÷èòàòü u = u (t(u )) ôóíêöèåé îò u . Íàéäåì ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùèå
ïðîèçâîäíûå îò u2 ïî t è ïðîèçâîäíûå îò u2 ïî u1 .
du2
du2 du1
= 1
,
dt
du dt
d2 u2
d2 u2
=
2
dt
du12
Âûðàæåíèÿ äëÿ
Ïîëó÷èì
du2
dt
èç è äëÿ
du1
dt
2 "
du1
dt
2
du2 d2 u1
=
du1 dt2
2
d2 u2 du1
du2 2 du1 du2
=
+
=
dt
du1 u2 dt dt
du12
1 2 2 2
2
du
d u
2 du2
=
+ 2
.
dt
u
du1
du12
d2 u2
dt2
+
ïîäñòàâèì âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû.
d2 u2
2
2 +
2
1
u
du
du2
du1
2
1
+ 2
u
#
= 0.
189
4.3. Ìîäåëü Ïóàíêàðå ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî.
Èç ñëåäóåò
d2 u2
2
+ 2
u
du12
du2
du1
2
+
1
= 0.
u2
ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå. Ñäåëàåì çàìåíó
2
p0 du
du1
du1
6= 0,
dt
òàê êàê
du2
du1
= p(u2 ). Òîãäà
()
d2 u2
du12
=
= pp . Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â. Ïîëó÷èì
0
pp0
1
= − 2.
p2 + 1
u
1
1
p + 2 = 0 èëè
u2
u
pp0 +
Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì.
ln(p2 + 1) = −2 ln u2 + ln C1
p2 + 1 =
C1
u2 2
,
C1 − (u2 )2
,
(u2 )2
s
du2
C1 − (u2 )2
p= 1 =
.
du
(u2 )2
p2 =
u2 du2
p
= du1 ,
C1 − (u2 )2
p
C1 − (u2 )2 = −u1 + C2 ,
C1 − (u2 )2 = (u1 − C2 )2 ,
(u2 )2 + (u1 − C2 )2 = C1 .
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî ãåîäåçè÷åñêèì è ëèíèÿì â çàäàííîé ìåòðèêå ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûå ïàðàëëåëüíûå îñè u2 è îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â
ëþáîé òî÷êå îñè u1 è ëþáîãî ðàäèóñà.
6) Ïàðàëëåëüíîå ïåðåíåñåíèå. Íàïèøåì óðàâíåíèÿ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà
âäîëü êðèâîé u1 = cos t, u2 = sin t. Ïóñòü λ(t) : (λ1 (t), λ2 (t)) ïîëå ïàðàëëåëüíûõ âåêòîðîâ âäîëü êðèâîé γ ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè λ1 (π/2) =
0, λ2 (π/2) = 1. Òîãäà
du2
du1
dλ1
+ Γ112 λ1
+ Γ121 λ2
= 0,
dt
dt
dt
dλ2
du1
du2
+ Γ211 λ1
+ Γ222 λ2
= 0.
dt
dt
dt
Ïîäñòàâèâ â âûðàæåíèÿ äëÿ Γ112 , Γ121 , Γ222 , ïîëó÷èì
dλ1
1
− 2 (λ1 cos t − λ2 sin t) = 0,
dt
u
dλ2
1
1
+ 2 (λ1 (− sin t) − 2 λ2 cos t) = 0.
dt
u
u
Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé äàåò íàì ïîëå âåêòîðîâ ïàðàëëåëüíûõ
âäîëü êðèâîé γ . íî ïîñêîëüêó êðèâàÿ γ : (u1 )2 + (u2 ) − 1 åñòü ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ, òî íàì äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïîëå âåêòîðîâ ïîñòîÿííîé äëèíû,
îáðàçóþùèõ ñ êàñàòåëüíûìè âåêòîðàìè ê êðèâîé γ ïîñòîÿííûé óãîë. êàñàòåëüíûé âåêòîð r ê êðèâîé γ â òî÷êå γ(t) èìååò êîìïîíåíòû sint, cost.
Óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè äâóõ âåêòîðîâ λ(t) è τ (t) â íàøåì ñëó÷àå çàïèøåòñÿ òàêîì âèäå
1
[−λ1 sin t + λ2 cos t] = 0
sin2 t
Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì ïîëîæèòü λ1 = α(t) cos t, λ2 (t) = α(t) sin t. Ôóíêöèþ α(t) ìû íàéäåì èç óñëîâèÿ: |λ| = |λ0 |. Ýòî óñëîâèå çàïèøåòñÿ â òàêîì
âèäå.
1
(λ1 (t))2 + (λ2 (t))2
= .
2
1
sin t
Ïîäñòàâèì â ýòî ðàâåíñòâî λ1 = α(t) cos t è λ2 (t) = α(t) sin t. Ïîëó÷èì
α2 (cos2 t + sin2 t)
= 1.
sin2 t
Îòêóäà α(t) = sin t è λ1 (t) = sin t cos t,
λ2 (t) = sin2 t. Èòàê, ïîëå âåê2
òîðîâ, çàäàííîå ôóíêöèÿìè sin t cos t, sin t åñòü ïîëå ïàðàëëåëüíûõ âåêòîðîâ âäîëü êðèâîé γ : u1 = cos t, u2 = sin t. Ïðîâåðüòå, ÷òî ôóíêöèè
sin t cos t, sin2 t óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé.
Ðèñ. 4.1: Èëëþñòðàöèÿ ê ïÿòîìó ïîñòóëàòó â ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî.
Ëèòåðàòóðà
[AlekA] Aleksandrov, A.D.; Zalgaller, V.A. Intrinsic geometry of surfaces
Translations of Mathematical Monographs. 15. Providence, RI:
American Mathematical Society. VI, 327 p. (1967).
[AlekP] Aleksandrov, P.S. Combinatorial topology. Vol. 2. The Betti groups.
Vol. 3. Rochester: Graylock Press. XI, 244 p. (1957);
[Bl]
Blaschke, W.; Leichtweiss, K. Elementare Dierentialgeometrie.
Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. X,369 S. (1973).
[Kl1]
Klingenberg, W. Riemannian geometry. 2nd ed. Berlin: Walter de
Gruyter. x, 409 p. (1995).
[Kl2]
Klingenberg, W. A course in dierential geometry. Transl. from the
German by David Homan. Corr. 2nd print. Graduate Texts in
Mathematics, 51. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag.
XII, 178 p. (1983).
[Kl3]
Gromoll, D.; Klingenberg, W.; Meyer, W. Riemannsche Geometrie im
Großen. Lecture Notes in Mathematics. 55. Berlin-Heidelberg-New
York: Springer-Verlag. VI, 287 p. (1975).
[Cohn]
Cohn-Vossen, Stefan Verbiegbarkeit der Flächen im Großen. Usp.
Mat. Nauk 1, 33-76 (1936).
[Miln]
Milnor, J. Morse theory. Based on lecture notes by M. Spivak and
R. Wells Annals of Mathematics Studies. No.51. Princeton, Princeton
University Press, VI, 153 p. (1963).
[Top]
Toponogov, V.A. Riemannian spaces having their curvature bounded
below by a positive number. Dokl. Akad. Nauk SSSR 120, 719-721
(1958).
[Pog]
Pogorelov, A.V. Extrinsic geometry of convex surfaces. Translated
from the Russian by Israel Program for Scientic Translations.
Translations of Mathematical Monographs. Vol. 35. Providence,
American Mathematical Society. VI, 669 p. (1973).
191
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü
Àáñîëþòíî âûïóêëàÿ îáëàñòü, 160
Àáñîëþòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ, 142
Àáñîëþòíîå êðó÷åíèå êðèâîé, 44
Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ëèíèÿ, 117
Êàòåíîèä, 136
Êî-ëó÷, 160
Êðàò÷àéøàÿ, 49, 152, 160
Êðèâèçíà êðèâîé, 20
áàçîâîé êðèâîé, 106
Ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü, 104
Ëèíèÿ êðèâèçíû, 115
Ëîêàëüíûé áàçèñ, 69
Ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû, 65
Ëó÷, 160
Âåêòîð áèíîðìàëè, 11
Âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè, 11
Âèíòîâàÿ ëèíèÿ, 122
Âëîæåííàÿ ïîâåðõíîñòü, 90
Âíóòðåííèé óãîë, 169
Âïîëíå âûïóêëàÿ, 160
Âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà, 76
Âûïóêëàÿ êðèâàÿ, 16, 50
Âûïóêëàÿ îáëàñòü, 106, 160
Ìåòðè÷åñêàÿ ïîëíîòà, 159
Ìèíèìàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü, 81
Íåÿâíîå çàäàíèå êðèâîé, 6
Íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà, 75
Íîðìàëüíàÿ ïëîñêîñòü, 46
Íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè, 68
Ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà, 120, 149
Ãåîäåçè÷åñêè âûïóêëàÿ, 160
Ãåîäåçè÷åñêè ïîëíîé, 158, 159
Ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ, 146
Ãëàâíûå êðèâèçíû, 79, 80
Ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ, 79
Ãëàäêàÿ êðèâàÿ, 5, 23
Îáîáùåííûé òîð, 127, 133
Îáîáùåííûé öèëèíäð, 127, 133
Îäíîñâÿçíîé, 173
Îìáèëè÷åñêàÿ, 81, 114
Îðèåíòàöèÿ, 169
Èçîìåòðè÷íûå, 73
Èíäèêàòðèñîé êàñàòåëüíîé, 53
Èíòåãðàëüíàÿ êðèâèçíà, 53, 88
Ïàðàáîëè÷åñêàÿ, 81
Ïàðàëëåëè, 122
Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ âäîëü, 143
Ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé, 71
Ïîâåðõíîñòè Âàéíãàðòåíà, 96, 134
Ïîãðóæåííàÿ ïîâåðõíîñòü, 90
Ïîëå ïàðàëëåëüíûõ âåêòîðîâ, 143
Ïîëèãîí, 12
Ïîëíàÿ êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè, 80
Ïîëóãåîäåçè÷åñêèå, 166
Ïîëóïîâåðõíîñòè, 106
Ïðîñòàÿ êðèâàÿ, 23
Ïñåâäîñôåðà, 96, 136
Êàíîíè÷åñêàÿ îêðåñòíîñòü, 156
Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü, 68
Êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ, 7
Ðàäèóñ èíúåêòèâíîñòè, 176
Ðàññòîÿíèå, 49, 72, 151, 160
Ðåãóëÿðíàÿ, 5, 7, 64
Äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü, 63
Äâóóãîëüíèê, 173, 182
Äåðèâàöèîííûå ôîðìóëû, 129
Äëèíà ñïðÿìëÿåìîé êðèâîé, 12
Åñòåñòâåííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ, 15
Çàìêíóòàÿ êðèâàÿ, 5
Çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü, 73
192
Ñåäëîâàÿ ïîâåðõíîñòü, 112
Ñåäëîâàÿ òî÷êà, 75, 81
Ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ, 129, 141
Ñèñòåìà Ýéëåðà, 153
Ñîïðèêàñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü, 9, 46
Ñïðÿìëÿåìàÿ, 15
Ñðåäíÿÿ êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè, 80
Ñòàöèîíàðíîñòü ïëîñêîñòè, 105
Ñòàöèîíàðíûå êðèâûå, 153
Ñôåðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå, 87
Òåîðåìà Ãàóññà, 131
Òåîðåìà Ïóàíêàðå-Áàóýðà, 124
Òî÷êà âûïóêëîñòè, 75
Òî÷êà óïëîùåíèÿ, 81
Òðåóãîëüíèê Ðåëëî, 42
Òðåóãîëüíèêîì ñðàâíåíèÿ, 174, 177
Óãîë, 174
Óçêèé òðåóãîëüíèê, 178
Óðàâíåíèÿ Ãàóññà-Ïåòåðñîíà-Êîäàööè,
131, 132
Óñëîâèå âûïóêëîñòè À.Ä.Àëåêñàíäðîâà,
182
Ôîðìóëû Ôðåíå, 46
Ôîðìóëû Ýéëåðà, 83
Öåíòðàëüíîå ìíîæåñòâî, 37
Öèëèíäðè÷åñêàÿ òî÷êà, 81
Øèðèíà êðèâîé, 42
Ýâîëüâåíòà, 41
Ýêâèäèñòàíòíàÿ, 38, 85
Ýêñïîíåíöèàëüíîå, 147
Ýëåìåíò äëèíû, 71
Ýëåìåíò ïëîùàäè, 74
Ýëëèïòè÷åñêàÿ òî÷êà, 75, 81