Практика 3. Элементы теории трения. Бригада, картина художника Максима Ланчака. Картина была написана на заказ. Предназначена для подарка руководителю компании, занимающейся производством оборудования для нефтедобычи. Практика 3. Элементы теории трения. Видов трения существует очень много. Изучение видов трения имеет важное научное и практическое значение. Равновесие при наличии трения. Изучение равновесия тел с учетом трения сводится обычно к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения Fпр. При аналитическом решении задач реакцию реальной (шероховатой) связи в этом случае изображают двумя составляющими N и Fпр, где 𝐹пр = 𝑓0 𝑁 . Затем составляют обычные условия равновесия статики, подставляют в них вместо Fпр величину 𝑓0 𝑁 и, решая полученные уравнения, определяют искомые величины. Задача 1. Рассмотрим тело, имеющее вертикальную плоскость симметрии (рис.1). Сечение тела этой плоскости имеет форму прямоугольника. Ширина тела равна 2a. К телу в точке С, лежащей на оси симметрии, приложена вертикальная сила 𝑄 (вес тела) и в точке А, лежащей на расстоянии h от основания, горизонтальная сила 𝑃 (сила тяги). Реакция плоскости основания (реакция связи) приводится к нормальной реакции 𝑁 и силе трения 𝐹. Линия действия силы 𝑁 неизвестна и её надо определить. Расстояние от точки С до линии действия силы обозначим x ( x a ). Решение. Составим три уравнения равновесия: Согласно закону Кулона: Так как ℎ 𝑃∙ ≤𝑎 𝑄 𝑎 то P ≤ 𝑄 ℎ Проанализируем полученные результаты: Будем увеличивать силу 𝑃 Если f < a/h, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения покоя не достигнет своей предельной величины, условие превратится в равенство. Дальнейшее увеличение силы приведет к преодолению силы трения покоя и начнется скольжение тела по поверхности в право. Если f > a/h, то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет величины 𝑎 ∙ равенство 𝑄 ℎ , условие 𝑎 P ≤ 𝑄 . Величина x будет равна h. ℎ превратится в Дальнейшее увеличение силы приведет к тому, что тело станет опрокидываться вокруг точки B (скольжения не будет) (рис. 2). Где это применяется на практике? Кантование груза — это переворачивание, повертывание груза из одного положения в другое специальными приспособлениями, механизмами, кранами. Чаще всего кантовку выполняют при изменении операций в процессе монтажа конструкций или при необходимости поставить или уложить груз -в требуемое положение: из транспортного в рабочее или наоборот. Кантовку грузов разрешается выполнять только по заранее составленным схемам, в которых должны быть отражены последовательность выполнения операций, способы строповки и кантовки грузов. В зависимости от конкретных условий строительства кантовку выполняют по-разному: вручную с помощью простейших приспособлений, специальным кантовальным оборудованием, грузоподъемными кранами Такелажные работы — это комплекс мер и приёмов, направленных на поднятие и перемещение разнообразных тяжелых и/или объёмных грузов, с целью их дальнейшей погрузки, выгрузки или перевозки из точки А, в точку Б. Приставная лестница Задача 2. На какое максимальное расстояние а может подняться человек по лестнице, приставленной к стене (рис.2)? Если вес человека – Р, коэффициент трения скольжения между лестницей и стеной – f1 , между лестницей и полом – f 2. Решение. Рассматриваем равновесие лестницы с человеком. Показываем силу 𝑃, нормальные реакции 𝑁𝐴 и 𝑁𝐵 и добавляем силы трения: 𝐹𝐴 = 𝑓1 𝑁𝐴 и 𝐹𝐵 = 𝑓2 𝑁𝐵 . Полагаем, что человек находится на расстоянии 𝑎 = 𝑎𝑚𝑎𝑥 , при большем значении которого начнётся движение лестницы. Составляем уравнения равновесия. 𝑀0 𝐹𝑖 = 0; −𝐹𝐴 𝑙𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑃𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐹𝐵 𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0. Подставив значения сил трения и решим систему уравнений: 𝑋𝑖 = 0; 𝑁𝐴 − 𝑓2 𝑁𝐵 = 0; 𝑌𝑖 = 0; 𝑓1 𝑁𝐴 − 𝑃 + 𝑁𝐵 = 0; 𝑀0 𝐹𝑖 = 0; −𝐹𝐴 𝑙𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑃𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐹𝐵 𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0. 𝑁𝐴 = 𝑓2 𝑁𝐵 ; −𝑓1 𝑓2 𝑁𝐵 𝑙𝑐𝑜𝑠𝛼 + (𝑓1 𝑓2 𝑁𝐵 + 𝑁𝐵 )𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑓2 𝑁𝐵 𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0 𝑃 = 𝑓1 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵 = 0; −𝐹𝐴 𝑙𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑃𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐹𝐵 𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0. −𝑓1 𝑓2 𝑙𝑐𝑜𝑠𝛼 + (𝑓2 𝑓1 + 1)𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑓2 𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0 −𝑓1 𝑓2 𝑙 + (𝑓2 𝑓1 + 1)𝑎 − 𝑓2 𝑙𝑡𝑔𝛼 = 0 (𝑓2 𝑓1 + 1)𝑎 = 𝑙(𝑓1 𝑓2 + 𝑓2 𝑡𝑔𝛼) (𝑓1 𝑓2 + 𝑓2 𝑡𝑔𝛼) ) 𝑎=𝑙 1 + 𝑓2 𝑓1 𝑓2 (𝑓1 + 𝑡𝑔𝛼) ) 𝑎=𝑙 1 + 𝑓2 𝑓1 𝑓2 (𝑓1 + 𝑡𝑔𝛼) 𝑎=𝑙 1 + 𝑓2 𝑓1 Теперь можно определить и угол под которым надо поставить лестницу, чтоб добраться до стены. Полагая 𝑎 = 𝑙 , получим, после преобразований, 𝑓2 (𝑓1 + 𝑡𝑔𝛼) 𝑙=𝑙 1 + 𝑓2 𝑓1 1 + 𝑓2 𝑓1 = 𝑓2 𝑓1 + 𝑓2 𝑡𝑔𝛼 𝑓2 (𝑓1 + 𝑡𝑔𝛼) 1= 1 + 𝑓2 𝑓1 1 = 𝑓2 𝑡𝑔𝛼 Ответ. Лестницу надо поставить под углом: 𝛼=arcctg𝑓2 1 + 𝑓2 𝑓1 = 𝑓2 (𝑓1 + 𝑡𝑔𝛼) 1 𝑓2 = = 𝑐𝑡𝑔𝛼 𝑡𝑔𝛼 𝛼=arcctg𝑓2 Заметим, что если равнодействующая всех активных сил Q (всех кроме реакций) направлена под углом (рис.3), то нормальная реакция 𝑁 = 𝑄𝑐𝑜𝑠𝛼 , а сила трения 𝐹тр = 𝑓𝑁 = 𝑓𝑄𝑐𝑜𝑠𝛼. Для того, чтобы началось скольжение должно выполнятся условие 𝑄𝑠𝑖𝑛𝛼 > 𝑓𝑄𝑐𝑜𝑠𝛼 Так как 𝑡𝑔𝛼 > 𝑓 , то 𝑡𝑔𝛼 > 𝑡𝑔𝜇 Значит угол должен быть больше угла . Следовательно, если сила Q действует внутри угла или конуса трения ( < ), то как бы не была велика эта сила, скольжение тела не произойдёт. Такое условие называется условием заклинивания, самоторможения. Если из точки А провести линии I и II , а из точки В провести линии III и IV , получим границы конусов трения для горизонтальной и вертикальной опорных плоскостей. Четырехугольник, образованный этими линиями, внутри которого будут пересекаться линии действия реакций опор в точках А и В, называют областью равновесия для данной задачи. Брус находится в равновесии под действием трех сил : силы тяжести G, реакций опор RA, RB в точках А и В. Силы должны лежать в области равновесия, потому что при равновесии тела под действием трех сил - силы пересекаются в одной точке. Поэтому равновесие будет только в том случае, когда линия действия силы тяжести пересекает область равновесия. Если линия действия силы пройдет через точку К – это предельное состояние покоя. Определение области равновесия Задача решена для конкретного положения человека, угол наклона соответствует предельному равновесию (использованы максимальные значения сил трения). С помощью понятия конуса трения, образовываемого полной реакцией шероховатой поверхности и теоремы о трех силах можно определить область возможных равновесных положений человека на лестнице. Для этого достаточно по заданным коэффициентам трения определить углы трения, определяющие предельные положения полной реакции и построить конусы трения. Общая область конусов дает область равновесных положений человека. Трение качения – другой вид трения Карьерный самосвал «Белаз», грузоподъемность 450 тонн Рассмотрим случай действия внешней силы Q на колесо. Случай 1 (идеальный) Колесо на твердой поверхности, т.е. не деформируемой. Реакция опоры N действует в точке сцепления колеса с поверхностью. Вектора N = P равны по противоположно направлены. Q Q/ модулю но Сила сцепления колеса с поверхностью Q| = - Q и образует пару сил с моментом М. Р Вопрос, покатится ли это колесо без сопротивления приложенному уcилию Q? N Ответ мы уже знаем. Нет, не покатится, пока мы не увеличим силу Q до такой величины, которой будет достаточной для преодоления силы трения покоя. Для этого нам надо отказаться от представления, что колесо твердое тело и не деформируется, а поверхность идеально твердая. Рассмотрим второй случай с деформируемой поверхностью, которая продавливается под весом колеса. Точка приложения силы реакции опоры N сместится в направлении качении колеса на Q Р Q/ N расстояние . На практике это расстояние очень мало и составляет или микроны, или миллиметры. Колесо тоже деформируется. Возникновение пары сил P и N, препятствующей качению, связана с деформацией опорной плоскости, в результате которой равнодействующая нормальных реактивных сил по площадке контакта смещена от линии действия силы тяжести в сторону возможного или действительного движения. Эти случи мы не рассматриваем. Колесо спустило. Колесо увязло в песке. Пара сил Р и N будет создавать момент трения Мтр, что и наблюдается на практике. В теоретической механике в некоторых случаях надо отказываться от идеального абсолютного тела и твердой поверхности. 𝑀тр = 𝑁 ∙ 𝛿 Эта формула имеет сходство с законом сухого трения скольжения Амонтона, в котором есть коэффициент сухого трения скольжения f. 𝐹тр = 𝑁 ∙ 𝑓ск. В формуле 𝑀тр = 𝑁 ∙ 𝛿 , коэффициентом трения качения будет , имеющая размерность – метр. На практике эта величина очень мала и составляет микроны, когда стальное колесо катится по стальной поверхности или миллиметры для качения дерева по дереву. См. технические справочники. Момент сопротивления качению изменяется в широких пределах и не зависит от радиуса катка. Сравним трение качения и трение скольжения. Момент трения качения нельзя сравнивать с силой трения, поэтому будем рассуждать так. Сравним момент трения с моментом вызывающим качение колеса 𝑴 = 𝑸𝑹. 𝑀 = 𝑀тр Q = N ∙ 𝑓ск. 𝑄𝑅 = 𝑁 ∙ 𝛿= P∙ 𝛿 𝛿 𝑄=𝑃 𝑅 𝛿 Установлено, что 𝑅 ≪ 𝑓ск. Для уменьшения трения в механизмах надо использовать трение качение вместо трения скольжения. Если коэффициент трения скольжения является безразмерной величиной, то коэффициент трения качения измеряется единицами длины и равен по величине указанному смещению равнодействующей нормального давления . В силу малости деформаций коэффициент трения качения имеет очень малую величину и составляет, например, для стального бандажа по стальному рельсу 0.0005 м. Например, вместо втулок скольжения использовать шариковые подшипники. Подши́пник (от «под шип») — сборочный узел, являющийся частью опоры или упора и поддерживающий вал, ось или иную подвижную конструкцию с заданной жёсткостью. Фиксирует положение в пространстве, обеспечивает вращение, качение с наименьшим сопротивлением, воспринимает и передаёт нагрузку от подвижного узла на другие части конструкции. Втулка — деталь машины, механизма, прибора или предмета цилиндрической или конической формы (с осевой симметрией), имеющая осевое отверстие, в которое входит сопрягаемая деталь (часть). Втулка — деталь машины, механизма, прибора или предмета цилиндрической или конической формы (с осевой симметрией), имеющая осевое отверстие, в которое входит сопрягаемая деталь (часть). Втулки скольжения из бронзы. Поворотная колесная опора с тормозом. Ось вращения колеса проходит через втулку скольжения Разрушение (износ) вкладышей втулки верхней головки шатуна двигателя из-за действия сил трения. Однорядный шариковый подшипник Упорный шариковый подшипник Конические роликоподшипники Крупногабаритные подшипники Датская компания Huisman производит судовые краны которые должны работать на прокладке труб для буровых установок. Именно для создания одного из кранов, грузоподъемность которого должна превысить 10 тысяч метрических тонн и потребовалось создание гигантского подшипника.
