шпаргалки по математике для 1курса СПО

Настоящий проект предназначен для студентов 1 курса колледжа и может быть также использован
в работе преподавателей математики. Он поможет систематизировать имеющиеся знания по
математике и ликвидировать пробелы в них, если такие окажутся. Проект включает краткий
теоретический материал по основным темам математики 1 курса ; примеры решения типовых
заданий ; упражнения для самостоятельной работы. Подробнее информацию по темАМ можно найти в
следующей литературе :
1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа . 10-11 кл. – М. 2009 г. ;
2. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10-11 кл. – М., 2010 г.
ГБПОУ «КЛТ»
Индивидуальный проект
Краткий справочный материал
по математике
для студентов 1 курса
( теория и практика)
Выполнил : Саранин Кирил
Студент группы ТЭ-11
Проверил преподаватель
ДЗЮБА Л.Г.
Г. Кудымкар, 2017
Тип проекта: практико-ориентированный, информационный, творческий .
Проблема проекта: программа по математике 1 курса очень насыщенная: изучаются
разделы алгебры, геометрии, начала математического анализа. На изучение некоторых
тем отводится небольшой объем часов. Для слабоуспевающих студентов, для студентов,
пропустивших занятия, нет кратного изложения теоретического материала с примерами
решения типовых заданий, который помог бы им овладеть необходимыми знаниями,
умениями и навыками по математике.
Цель проекта: улучшение качества формирования математической компетенции знаний, умений и навыков с использованием краткого теоретического материала по
математике 1 курса с примерами решения типовых заданий.
Задачи проекта:
- оказание помощи студентам при изучении курса математики 1 курса,
- поддержка и создание психолого-педагогических условий и среды для развития и
реализации творческого потенциала студентов,
- организация совместной коллективно – творческой деятельности студентов.
Вопросы проекта:
- какие ключевые темы изучаются к каждом разделе;
- что должны знать и уметь студенты в результате изучения ключевых тем;
- какой краткий теоретический материал выделить по каждой выбранной теме;
- какие привести примеры типовых заданий с решениями по каждой выбранной теме;
- какие задания подобрать по каждой теме для самостоятельной работы студентов;
- как скомпоновать и оформить материалы проектной деятельности.
Необходимое оборудование:- Учебные издания : 1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала
анализа. 10-11 кл.- М., 2010 2. Башмаков М.И.Алгебра и начала математического
анализа(базовый уровень). 10 кл. М. 2010
3. Погорелов А.В. Геометрия 10-11 “Базовый уровень” - М. 2011
4. Тюрин Ю.Н. Теория вероятностей и статистика- М. 2010 - ПК; - Принтер.
Настоящий проект предназначен для студентов 1 курса и может быть также
использован в работе преподавателей математики. Он поможет систематизировать
имеющиеся знания по математике и ликвидировать пробелы в них, если такие окажутся.
Особенно он может быть полезным при подготовке к контрольным работам и экзамену.
Проект включает краткий теоретический материал по основным темам математики 1
курса; примеры решения типовых заданий с подробными комментариями упражнения
для самостоятельной работы.
Новизна проекта заключается в том, что мною предпринята попытка
изложить теоретический и практический материал по математике 1 курса.
кратко
Предполагаемый продукт проекта:
- Планируется создать краткий справочный материал-«шпаргалку» для студентов по
основным темам математики 1 курса.
Краткий
справочный материал –
«шпаргалки»
по математике
для студентов 1 курса
Тема : « Рациональные уравнения »
Краткий справочный материал
Примеры решения уравнений
1. Уравнения с одной переменной
Решите уравнения:
Общий вид:
P(x)
Q(x)
=
1.
F(x)
R(x)
где х – переменная величина,
P(x), Q(x), F(x) и R(x) – выражения, содержащие переменную,
причем Q(x) ≠0 , R(x) ≠0.
Для решения
(*) воспользуемся главным
пропорции:
P(x) ∙ R(x) = Q(x) ∙ F (x) (**).
Решите уравнения:
2
- x = 119
1)
9
Решение:
2
10
- ∙x=
9
10
2)
9
4)
2. x2 – 2x -3 = 0
Решение:
D = (-2)2- 4 ∙ 1 ∙ (-3) = 4 + 12 = 16
2±4
x1;2 = ;
x1 = -1 ; x2 = 3
2
Ответ: -1; 3
−𝑏±√𝐷
𝑥
6𝑥−15
X1;2= 2𝑎 , где
3.
=
2
1
𝑥−2
D= b -4ac – дискриминант.
Решение:
Здесь возможны случаи:
D > 0 - уравнение имеет два действительных различных x2(x-2) = 6x -15
x - 2x – 6x -15
корня.
x2- 8x + 15 =0
D = 0 - уравнение имеет один корень.
D= 64 – 4 ∙ 15 = 4 > 0 => 2 действия корня.
D < 0 - нет действительных корней.
8±2
X1;2 =
; x1 = 5
2
Ответ: 3; 5
4
7
∙ x = 737
𝑥−119
𝑥+7
=5
3) x2 + 12x+36 = 0
x = : (− 29)
9
свойством
x= -5
Ответ: -5
(**) после преобразования может стать одним из следующих:
1. ax2+bx+c=0 – уравнение 1-ой степени.
Решение: ax = -b
𝑏
x= - 𝑎
2. ax2+bx+c = 0 – квадратное уравнение
Решение:
Задания для
самостоятельной работы
x2 = 3
5)
6)
9
𝑥 2 −16
13𝑥
2𝑥 2 −7
𝑥+8
5𝑥+7
=
=1
=1
𝑥+8
7𝑥+5
7) –x2 – 2x + 15 = 0
Тема: « Четность ( нечетность) функций »
Краткий
справочный материал по теме
Примеры решения
типовых заданий
Функция называется четной, если для любого х из Определить четность (нечетность) функции:
ее области определения f(-х) = f(х).
График четной функции симметричен
1) f(x) = x4 + 5
относительно оси ординат (ОY).
Решение:
f(-x) = (- x)4 + 5 = x4 + 5 = f(x) – четная функция
Функция называется нечетной, если для любого х
из ее области определения f(-х) = - f(х).
2) f(x) = x3 - 3х
График четной функции симметричен
Решение:
относительно начала координат.
f(-x) = (-x)3 - 3(-х) = - x3 + 3х = - (x3 - 3х) = - f(x) –
нечетная функция
Тригонометрические функции :
3) f(x) = x2 - 2х
y = cos x – четная функция
Решение:
cos (-x)= cos (x)
f(-x) = (-x)2 - 2(-х) = x2 + 2х = - (-x2 - 2х) – функция
общего вида (не является четной, не является нечетной)
y = sin x - нечетная функция
sin(-x) = - sin (x)
4) f(x) = cos2 x - 2х2
Решение:
y = tg x - нечетная функция
f(-x) = cos2(-x) - 2(-х) 2 = cos2 x - 2х2 = f(x) – четная
tg(-x) = - tg (x)
функция
y = ctg x - нечетная функция
ctg(-x) = - ctg (x)
5) f(x) = 2 sin x - 5х
Решение:
f(-x) = 2 sin(-x) - 5(-х) = -2 sin x + 5х = - (2 sin x - 5х) = =
- f(x) – нечетная функция
Задания для
самостоятельной
работы
Определить четность
( нечетность) функций:
f(x) = 2 x3 + 5x;
f(x) = 5 x2 + 8;
f(x) = 2sin2 x + cosx-3;
f(x) = sin x – cos x +x ;
f(x) = sin x + x – 9 ;
f(x) = sin x cos x – 3x.
Тема: « Корни »
Краткий
справочный
материал по теме
Задания для
самостоятельной
работы
Примеры решения
типовых заданий
𝑛
√𝑎
3
Читаем:
√2 - читаем: корень 3-ей степени из 2-х;
«Корень n-ой степени из
числа а»
2
√25 = √25 = 5 <=> 52 = 25
3
√−27 = -3
5
1
32
√
𝑛
√𝑎 ∙ √𝑏 = √𝑎 ∙ 𝑏
𝑛
√𝑎
√𝑏
𝑛
𝑛
𝑎
= √𝑏
2) √64 ;
5
4) √256
4
3) √−32 ;
1
1
<=> ( 2)5 = 32
=2
Вычислите:
5
√−27 ∙ √9 = √−27 ∙ 9 = √−243 = -3
1)√8 ∙ √4;
4
Вычислите:
√32
4
√2
81
(-3)3 = -27
<=>
√3 ∙ √9 = √3 ∙ 9 = √27 = 3
3
𝑛
1
3
4
1) √16 ;
34 = 81
√81 = 3 <=>
𝑛
Вычислите:
<=> 23 = 8
4
bn = a
√𝑥
√𝑐 - читаем: корень 5-ой степени из с
√8 = 2
√𝑎 = b <=>
6
5
3
𝑛
3
Прочитайте: √4,
3
3
5
4
= √
3
5
32
2
4
= √16 = 2
5
5
5
7
3
1)
в≠0
√−625
3
√−5
7
2) √16 ∙ √−8
3
√243
√−9
; 3) 3
4
2)
𝑛
𝑛∙𝒌
√𝑎 = √𝑎k
3
3∙𝟐
4
√4 = √42 = √16 = 2
к>0
√128
4
√8
;
Измените степень корня;
найдите значение
подкоренного выражения:
4
8
1)√5 = √?
6
2)√4 = √?
√𝑎k = ( √𝑎)k
3
√642 = (√64)2 = 42 = 16
Вычислите:
Если k ≤ 0, то а≠ 0
4
1)√324; 2)√7292
𝑛
𝑛
3
4
√813 = (√81)3 = 33 = 27
5
6
4
3)√2563
𝑚
4
√28 = 28/4 = 22 = 4
Вычислите:
m>0
3
1)√312; 2)√37
√𝑎n = an/m
√63 = 63/3 = 6
4
7
Тема : «Иррациональные уравнения»
Краткий справочный материал
Пример решения уравнений
иррациональные уравнения - это уравнения, Решите уравнения:
содержащие переменную величину под знаком
1. √𝒙𝟐 − 𝟓 = 𝟐
корня того или иного показателя:
Решение:
Пример: √𝐱 + 𝟐 + 𝐱 = 𝟐,
𝟐
(√𝒙𝟐 − 𝟓) = 𝟐𝟐
x2- 5 = 4
2
Решение иррациональных уравнений сводится к x - 9 = 0
(x-3) (x+3) = 0
освобождению их от корней.
X – 3 = 0 или x + 3 = 0
Примечание:
X=3
x = -3
1. Если в иррациональные уравнения входят Ответ: -3; 3
корни четной степени, то предполагается,
𝟔
𝟏
что они имеют только арифметические значения; 2. √𝟒𝒙−𝟓𝟒 = 𝟕
2. Иррациональные уравнения необходимо
проверять
т.к. в процессе освобождения Решение:
𝟐
от
корней
могут
появиться
“лишние”,
𝟔
𝟏 𝟐
посторонние решения.
(√
) = ( )
𝟒𝒙 − 𝟓𝟒
𝟕
𝟐
(√𝐚) = 𝐚
√𝟐𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟖 − 𝒙 = 𝟑.
𝐧
𝐧
( √𝐚) = 𝐚
𝟔
𝟏
=
𝟒𝒙 − 𝟓𝟒
𝟒𝟗
6 ∙ 49 = 4x – 54
4x – 54 – 294 = 0
4x = 348
x = 348 : 4
x = 87
Ответ: 87
Задание для самостоятельной
работы
Решите уравнения:
𝟑. √𝒙 − 𝟐 = 𝒙 − 𝟖
Решение:
𝟐
(√𝒙 − 𝟐) = (𝒙 − 𝟖)𝟐
x – 2 = x2 – 16x + 64
x2- 17x + 66 = 0
D = (-17)2 – 4 ∙ 1 ∙ 66 = 25
x1;2 =
𝟏𝟕 ± √𝟐𝟓
1. √𝟑𝒙 − 𝟖 = 𝟓
2. √𝟏𝟓 − 𝟐𝒙 = 𝟑
3.
𝟏
√𝒙 + 𝟏 = 𝟒
𝟐
𝟐
x1 = 6 ; x2 = 11
Проверка:
x=6
√𝟔 − 𝟐 = 𝟔 − 𝟖
√𝟒 = −𝟐 – неверно
x = 6 – не подходит
x = 11
√𝟏𝟏 − 𝟐 = 𝟏𝟏 − 𝟖
√𝟗 = 𝟑 – верно
Ответ: 11
𝟐𝒙+𝟓
4. √
𝟑
=𝟓
5. √𝟔 + 𝟓𝒙 = 𝒙
6. √𝟔 − 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 = x + 4
7. √− 𝟕𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 = −𝒙
Тема:
«Степень»
Краткий справочный
материал
по теме
Примеры решения типовых заданий
a ∙ a ∙ … ∙ a = an
Читаем:
an – « a в n-ой степени»
a ∙ a = a2 ( читаем: a во 2-ой степени)
x ∙ x ∙ x ∙ x = x4 ( читаем: x в 4-ой степени)
3∙ 3 ∙ 3 = 33 ( читаем: 3 в 3-ей степени)
n
m
a ∙a =a
n+m
1) a3 ∙ a4 = a3+4 = a7
1
1
1
1
14
1
Прочитайте: bn ,
4
1
4
1
9
3) 55 ∙ 510 = 55+10 = 510
2) 42 ∙ 4-3 = 42+(-3) = 4-1
1
Задания для самостоятельной
работы
m
n-m
a :a = a
1) a5: a3 = a5-3 = a2
2
2
4 3
4∙3
2
2
n m
nm
(a ) = a
1) (a ) = 𝑎
5
1
5 1
4
2
3) 46 : 46 = 46−6 = 46 = 43
2
3) 37 : 3−7 ;
2) (3 ) = 3
5∙3
=3
5
1 3
2
1 5
1
2
∙ ( )4
3
3
4) (4) 6 : (4)-3
Упростите:
5
3) (4 ) = 42 ∙ 3 = 46
15
1
2
4)
Упростите:
1) a7 : a5 ; 2) 48 : 4-5 ;
4
4
9
5 3
= 12
Упростите выражения:
1) b4 ∙ b5 ; 2) 32 ∙ 3-4 ;
3) 23 ∙ 2−2 ;
2) 3-2 : 3-5 = 3-2-5 = 3-7
4) (3) 4 : (3)2 = (3)4-2 = (3)2 =
42
1
1
4) (3)3 ∙ 3 = (3)3 ∙ (3)1 = (3)3+1 =(3)4 = 34 = 81
n
y5 ,
1
3
; 2) (32)7 ; 3) (( )2 )4
7 2
1)(с )
Раскройте скобки:
𝑎𝑛
𝑏𝑛
𝑎 n
𝑏
() =
1)
b≠ 0
-n
a =
1
𝑎𝑛
-3
1) a =
1
𝑎3
𝑎
𝑎3
(𝑏 )3 = 𝑏3
-2
2) 4 =
1
42
=
1
16
2)
4
3) a =
4
(5)2
=
42
52
1
𝑎 −4
=
16
25
𝑐
𝑘
2
3
1) ( )4 ; 2) ( )3
2
4) 5 =
1
5−2
Запишите в виде дроби:
1) с-4 ; 2) 6-3
; 3) b2 ; 4) 34
a≠0
Избавьтесь от знака «-» в показателе степени:
𝑎
(𝑏 )-n
=
𝑏
(𝑎)n
1)
𝑏
( 𝑐 ) -3
=
𝑐
(𝑏)3
2
2) (5) – 4
=
5
(2)4
𝑥
𝑦
1) ( )-2 ;
3
7
2) ( )-3
a≠0 , b≠0
Вычислите:
a0 = 1, a≠0
0
0 - не существует!
1) с0 = 1, c ≠ 0
2)
1
(3)0 =
1
1) 6
0
;
2) (-9)0 ;
7
3) (8)0
Тема : « Логарифмы »
Краткий справочный материал
по теме
Задания
Примеры решения типовых заданий
logab = c
для самостоятельной работы
Прочитайте:
log39 = 2
Читаем: логарифм числа b по основанию
a равен c
Читаем: логарифм 9 по основанию 3 равен 2
logab = c <=> ac=b
log2 8 = 3, т. к. 23 = 8
a>0, b>0, a≠1
log5 25 = 2, т. к. 52 = 25
log3
1
81
= -4, т. к. 3-4 =
log2 8 = 3; log5 1 = 0
Вычислите:
1
81
1) log4 16;
3) log 21 1;
2) log3 27;
4) log2
1
2
Вычислите:
a
log a b = b
c logc 8 = 8 ;
5 log5 9 = 9
3 log3 7 ; 4 log4 13
a>0, b>0, a ≠1
log3 1 = 0, т. к. 30 =1
loga 1 = 0
Вычислите:
log 37 1 = 0, т. к. (37)0 = 1
a>0
loga a = 1
log5 5 = 1,
log7 1;
Вычислите:
log7 7 ; log23
т. к. 51 = 5
a>0
loga ( x ∙ y) = loga x + loga y
log3(9∙ 27) = log3 9 + log3 27 = 2+3 = 5
a≠ 1
log4 8 + log4 2 = log4 (8 ∙ 2) = log4 16 = 2
a>0, x>0, y>0 ,
loga
𝑥
𝑦
= loga x - loga y
a>0, x>0, y>0, a≠ 1
loga x p = p ∙ loga x
a>0, x>0, a≠ 1
log10 b = lg b
десятичный логарифм
log3
9
27
log4 8 – log4 2 = log4
2
= log4 4 = 1
log7 3434 = 4∙ log7 343 = 4 ∙3 = 12
4∙ log4 24 = log4 16 = 2
log10 7 = lg 7
2
3
Вычислите:
1) log2 (16∙2) ; 2) log4 32 + log4 2
Вычислите:
= log3 9 – log3 27 = 2-3 = -1
8
log79 1
1) log3
54
2
; 2) log4 32 – log4 2
Вычислите:
log3
812
; 8 log4 2
Вычислите:
lg 8
+ lg 125 ; lg 13 – lg 130
Тема: « Основы тригонометрии»
Краткий справочный
Примеры решения типовых заданий
Задания для
самостоятельной работы
материя по теме
Формулы сложения:
sin( 𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽
1)sin( 20 ° + 30°) = sin20° cos30° +cos20°sin30° = sin20° ∙
п
п
п
п
п
п
1
√3
√3
2
1
sin( 𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽 2) 1)sin (2 − 3) = 𝑠𝑖𝑛 2 ∙ cos 3 − cos 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 3 = 1 ∙ 2 − 0 ∙ 2 = 2
п
п
−2√3
√3
cos( 𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑡𝑔 6 −𝑡𝑔 3
−√3
п п
3 = − √3
2
3)tg (𝑡𝑔 − ) =
=
=
∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽
п
п
6 3
2
3
√3
1 + 𝑡𝑔 6 ∙ 𝑡𝑔 3
1
+
∙
√3
cos( 𝛼 − 𝛽) = с𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝛼
2
∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽
4) cos 62° ∙ cos 28° − 𝑠𝑖𝑛62° ∙ 𝑠𝑖𝑛 28° = cos 90° = 0
tgα + tgβ
tg(α + β) =
1 − tgα ∙ tgβ
5)sin 112° ∙ cos 22° − cos 112 ° 𝑠𝑖𝑛22° = 𝑠𝑖𝑛90° = 1
tg(α − β) =
1
+ cos20° ∙ 2
Вычислите:
п
п
1) cos (2 − 3);
п
п
2) tg (4 + 6);
3) cos 52° ∙ cos7° + sin52° sin7°
sin29° ∙ cos16° + sin16° ∙ cos29°
tgα − tgβ
1 + tgα ∙ tgβ
Преобразование суммы в
произведение:
𝛼±𝛽
𝛼∓𝛽
∙ 𝑐𝑜𝑠
2
2
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠
∙ 𝑐𝑜𝑠
2
2
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛽 = −2𝑠𝑖𝑛
∙ 𝑠𝑖𝑛
2
2
sin(𝛼 ± 𝛽)
𝑡𝑔𝛼 ± 𝑡𝑔𝛽 =
𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑠𝑖𝑛𝛼 ± 𝑠𝑖𝑛𝛽 = 2𝑠𝑖𝑛
Преобразовать в произведение
1)sin 76° + sin 14° = 2 sin
76°+14°
2
∙ cos
76°−14°°
2
= 2 sin 45° ∙ 𝑐𝑜𝑠31° =
1)sin 73° + sin 17°
√2𝑐𝑜𝑠31°
2)cos 64° + cos 26° = 2 cos
64°+26°
2
∙ cos
64°−26°
2
= 2 cos 45° ∙ 𝑐𝑜𝑠19° =
2)tg 16° + tg 74°
√2𝑐𝑜𝑠19°
3)cos 76° + cos 14°
3)tg70° + tg 20° =
sin(70° + 20°)
1
=
𝑐𝑜𝑠70° ∙ 𝑐𝑜𝑠20° 𝑐𝑜𝑠70°𝑐𝑜𝑠20°
Тема: «Решение простейших тригонометрических уравнений»
Краткий справочный
материал
sin x = a, |a|≤ 1
x=(-1)n arcsin a + n, nZ
Частные случаи:
1) sin x = -1

x= - + 2n, nZ
2
2) sin x = 0
x = n, n Z
3) sin x = 1

x = + 2n, n Z
2
Примеры решения уравнений
Решите уравнения :
√2
2
1) sin x =
х = (-1) ∙ arcsin
n
√2
2
+ n,
n 
Ответ: x = (-1) ∙ + n, nZ
4
2) 2sin x – 1 =0
2sin x = 1
1
sin x = 2
Задания для
самостоятельной работы
Решите уравнения:
1) sin x =
√3
2
2) 2sin x + √2 = 0
3) 6sin x + 6 =0
1
x = (-1)n∙ arcsin 2 + n
Ответ: x = (-1)n∙ /6 +n, n Z
3) √3sin x - √3=0
√3sin x = √3
√3
sin x = 3
√
sin x = 1 – частный случай!

Ответ: x = + 2n, n Z
2
cos x = a, |a|≤ 1
x = ± arccos a + 2n, n Z
Частные случаи:
1) cos x = -1
x =  + 2n, n Z
2) cos x = 0

x = 2 + n, n Z
3) cos x = 1
x = 2n, n Z
tg x = a, -/2< a < /2
x = arctg a + n, nZ
Решите уравнения :
1
1) cos x =
2
x = ±arccos
1
+
2
2n, nZ
Решите уравнение:
1)cos x =
√3
2

Ответ: x = ± 3 + 2n, nZ
2)2cos x+√3 = 0
2) 2 cos x - √2= 0
2cos x = √2
3) 4cos x – 4 = 0
√2
cos x = 2
x = ±arccos
√2
+
2
2n, nZ

Ответ: x = ± 4+ 2n, nZ
3) √5 cos x - √5 = 0
√5 cos x =√5
cos x = 1 - частный случай!
Ответ: x=2n, nZ
Решите уравнения:
1) tg x = √3
x = arctg √3 + n, nZ
Ответ: x = /3 + n, nZ
2) 2tg x – 2 = 0
2tg x = 2
tg x = 2/2
tg x = 1
x = arctg 1 + n
Ответ: x = /4 + n, nZ
Решите уравнения:
1) tg x = 0
2) tg x = √3/3
3) 2tg x - 2 = 0
Тема: « Преобразование графиков функции »
Краткий
справочный материал по теме
Примеры решения
типовых заданий
Дан график функции y = f (x)
Чтобы получить графики следующих функций,
необходимо :
1. Дан график функции
f(х) = sin х.
Какие
преобразования необходимо выполнить, чтобы
получить график функции :
f(x) = 4 sin(3x - /2 ) + 1 ?
Решение:
1) Растянуть в 4 раза вдоль оси Оу ;
2) Сжать в 3 раза вдоль оси ОХ ;
3) Сместить на /2 вправо вдоль оси ОХ;
4) Сместить на 1 единицу вверх (поднять) по оси
ОУ.
1. y = f (x) + в, где в – действительное число,
сместить на : в>0 вверх по оси ОY ( поднять )
в<0 вниз по оси OY ( опустить)
2. y = k f(x), где k – действительное число
растянуть в k раз вдоль оси ОХ
3. y = 1/k f(x) , где k - действительное число
сжать в k раз вдоль оси ОХ
2. Дан график функции f(х) = соs х. Какие
преобразования необходимо выполнить, чтобы
4. y = f ( x – a )
получить график функции :
сместить вдоль оси ОХ на а>0 – вправо
f(x) = 1/3 cos(x/2 + /4) - 5 ?
а<0 – влево
Решение:
1) Cжать в 3 раза вдоль оси Оу ;
5. y = f ( x/k ) , где k – действительное
2) Растянуть в 2 раза вдоль оси ОХ ;
число, k=0,
3) Сместить на /4 влево вдоль оси ОХ;
растянуть в k раз вдоль оси ОХ
4) Сместить на 5 единиц вниз (опустить) по оси
ОУ.
6. y = f ( k x) , где k – действительное
число,
сжать в k раз вдоль оси ОХ
Задания для
самостоятельной
работы
1. Дан график функции
f(х) = sin х. Какие
преобразования
необходимо выполнить,
чтобы получить график
функции :
f(x) = 3 sin(x/5 - /6 ) + 4 ?
2. Дан график функции
f(х) = cos х. Какие
преобразования
необходимо выполнить,
чтобы получить график
функции :
f(x) = 1/5 cos(2x + /8 ) -7 ?
Тема: «Координаты и векторы»
Произвольная точка А в пространстве характеризуется тремя числами: абсциссой xA, ординатой yA, аппликатой zA, что записывается так:
А( xA; yA; zA) – координаты точки.
Краткий
справочный материал по теме
А
М
А( xA; yA; zA) ,
В
В( xA; yA; zA)
Длину отрезка АВ находим по формуле:
Примеры решения
типовых заданий
Найдите длину отрезка AB и координаты середины Найдите длину отрезка CD
отрезка AB, если А (3;-4;0) ; В (-1;2;4).
и координаты его середины,
Решение:
если С (-2;1;5) , D (4;0;6) .
2
АВ = √(−1 − 3)2 + (2 − (−4)) + (4 − 0)2 =
АВ=√(𝒙𝒃− 𝒙𝒂) 𝟐 + (𝒚𝒃 − 𝒚𝒂) 𝟐 + (𝒛𝒃 − 𝒛𝒂 )𝟐
= √(−4)2 + 62 + 42 = √ 16 + 36 + 16 =
= √68 – длина отрезка АВ.
Точка M – середина отрезка АВ.
Координаты середины отрезка находим по формуле :
M(
M(
Задания для
самостоятельной
работы
3+(−1)
2
;
−4+2
2
;
0+4
)
2
M ( 1;-1;2 ) – координаты середины отрезка АВ.
𝒙𝒂 +𝒙𝒃 𝒚𝒂 +𝒚𝒃 𝒛𝒂 +𝒛𝒃
;
;
)
𝟐
𝟐
𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ или
Вектор – направленный отрезок. Обозначают: АВ
𝑎
А
⃗
а
В
А – начало вектора, В – конец вектора
Длиной вектора называют длину соответствующего
ему отрезка.
⃗⃗⃗⃗⃗ | =| АВ|
Записывают так: |АВ
Вектор называется нулевым, если его начало совпадает
с концом
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АА , ⃗⃗⃗⃗⃗0 – нулевые векторы
⃗⃗⃗⃗⃗ , если А (5;-6;3), В (-2;0;7).
Координаты вектора:
Найдите координаты вектора АВ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ ( 𝑥𝑏− 𝑥𝑎 ; 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎 ; 𝑧𝑏 − 𝑧𝑎 )
Решение: АВ ( -2-5 ; 0-(-6) ; 7-3 )
⃗⃗⃗⃗⃗
АВ ( -7 ; 6 ; 4 ) – координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ
⃗⃗⃗𝑎 ( 𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 )
Найдите координаты вектора
⃗⃗⃗⃗⃗ , если А (3;8;-1); В (-4;0;2)
АВ
Краткий
справочный материал по теме
Длина вектора:
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝑥𝑏− 𝑥𝑎) 2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎) 2 + (𝑧𝑏 − 𝑧𝑎 )2
| АВ
|⃗⃗⃗⃗
𝑎 | = √ 𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32
Угол между векторами
а⃗
0
α
A
⃗𝑏
В
α – угол между а
⃗⃗⃗ и 𝑏⃗
Скалярное произведение векторов:
⃗ ∙ 𝑏⃗ = | а⃗ | ∙ | ⃗⃗⃗
а
𝑏 | ∙ cos α
⃗ ∙ 𝑏⃗ = а1 𝑏1 + а2 𝑏2 + а3 𝑏3
а
cos 𝛼 =
⃗ ∙ 𝑏⃗
а
|а
⃗ | ∙ |𝑏⃗|
Примеры решения
типовых заданий
Задания для
самостоятельной
работы
1.Найдите длину вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ, если А (5;-6;3), В (-2;0;7).
⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(−2 − 5)2 + (0 − (−6))2 + (7 − 3)2 = =
Решение: |АВ
√(−7)2 + 62 + 42 = √49 + 36 + 16 = √101 – длина вектора
⃗⃗⃗⃗⃗
АВ
2. Найдите длину вектора ⃗⃗а ( 1;-3;2 ).
Решение: | а⃗⃗⃗ | = √12 + (−3)2 + 22 = √1 + 9 + 4 = √15
1.Найдите длину вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ,
если А (3;8;-1); В (-4;0;2).
1.Если α = 00 => векторы а⃗⃗ и ⃗⃗⃗𝑏 − соноправленные
0
а⃗
𝑏⃗
В
А
2.Если α = 90° => ⃗⃗а ⊥ 𝑏⃗ – векторы перпендикулярные
B
𝑏⃗
а⃗
0
A
1.Найдите скалярное произведение векторов, если
а⃗ ( 2; 8; -4 ), ⃗⃗⃗⃗𝑏 ( 0; 1; -3 ).
Решение: а⃗ ∙ 𝑏⃗ = 2∙0+8∙1+(-4)∙(-3) = 0+8+12 = 20
1. Покажите угол между
векторами, определите его
градусную меру
2. Найдите скалярное произведение векторов, если угол
между ними равен 90°.
⃗⃗⃗ ∙
Решение: Т.к. α = 90°, cos 90° = 0 => а⃗ ∙ 𝑏⃗ = |а⃗ | ∙ |𝑏|
cos 90° = |а⃗ | ∙ |𝑏⃗| ∙ 0 = 0
2. Докажите, что вектора
взаимно перпендикулярны:
а⃗ (10; −6; 8) ; ⃗⃗⃗⃗𝑏 (2;6;2).
2.Найдите
а⃗⃗ (4;-3;7).
а⃗
длину
О
вектора
𝑏⃗
1.
Найдите
скалярное
произведение векторов, если
а⃗ (3; 5; 1); ⃗⃗⃗⃗
𝑏 (-2;4;6).
3.Найдите cos А, если дан
3.Докажите, что векторы взаимно перпендикулярны, треугольник АВС, заданный
координатами своих вершин:
если а⃗ (−4; −8; −14), ⃗⃗⃗⃗𝑏(2; −6; −4)
А(-6;4;-2), В(0;-2;8),С(8;-6;2).
Решение: ⃗⃗а ⋅ 𝑏⃗ = −4 ⋅ 2 + 8 ⋅ (−6) + (−14) ⋅ (−4) = 0
Т.к. ⃗⃗а ∙ 𝑏⃗ = 0 => cos α = 0 => α = 90° => а⃗⃗ ⊥ 𝑏⃗
Тема: «Элементы комбинаторики»
Комбинаторика - раздел математики, который изучает какие и сколько комбинаций можно составить
из определенного числа объектов, называемых элементами.
Рассмотрим три типа комбинаций, которые можно составить из некоторого числа (n) различимых между собой
элементов.
Тип комбинаций
Примеры решения типовых заданий
Задания для
самостоятельной работы
1. Перестановки
Возьмем n различных
элементов: А, В, С, … М;
будем переставлять эти
элементы всевозможными
способами, оставляя
неизменным их число и меняя
лишь их порядок.
Каждая из таких комбинаций
называется перестановкой.
1.Найти число перестановок из трех элементов А, В, С.
Решение:
Выпишем
возможные
варианты
перестановок: АВС ВАС САВ АСВ ВСА СВА.
Проверим по формуле: n= 3; P3 = 1∙2∙3 = 3! = 6
Ответ: 6 перестановок.
2.Найти число перестановок из трех элементов: 1,2,3.
Решение: выпишем возможные варианты перестановок:
123 213 312 132 231 321.
Всего получилось 6 перестановок.
Проверим по формуле: n= 3; P3 = 1∙2∙3 = 6
Ответ: 6 перестановок.
3.Сколькими способами можно расставить на полке
6 различных книг:
Решение: n=6; P6 = 6! = 1∙2∙3∙4∙5∙6 = 720
Ответ: 720 различных вариантов.
1. Сколько трехсловных
предложений можно
составить из слов: сегодня,
дождь, идет?
2. В пассажирском поезде 15
вагонов. Сколькими
способами можно
распределить по вагонам 15
проводников, если за каждым
закрепляют 1 вагон?
3.Сколько 5-тизначных чисел
(без повторения цифр) можно
составить из чисел: 0,3,4,6; 8.
4.Сколькими способами
можно выстроить очередь в
кассу, если хотят получить
зарплату 6 человек?
Р – число всех перестановок;
n – количество элементов.
Р𝐧 = 1∙2∙3∙…∙n = n!
Читаем: n! – эн факториал
Тип комбинаций
2. Размещения
Будем составлять из n
различных элементов в
каждой, располагая взятые
m элементов в различном
порядке. Каждая группа из
m элементов называется
размещением из n элементов
по m элементов.
А – число всех размещений;
n- количество всех элементов;
m- количество элементов в
группе.
𝑨𝒎
𝒏 =
𝒏!
(𝒏−𝒎)!
Примеры решения типовых заданий
Задания для
самостоятельной работы
1. Найдите число размещений из трех элементов:
7,4,5 по два.
Решение: выпишем возможные варианты: 74, 75, 47,
45, 57, 54 – всего 6 различных групп по 2 элемента.
Проверим по формуле: n = 3; m = 2
3!
1∙2∙3
𝐴23 =
=
=6
1. В забеге участвуют 5
спортсменов. Сколькими
способами можно предсказать
распределение первых трех
мест между ними ?
2. В классе изучают 7
предметов, в среду 4 урока,
причем все разные.
Сколькими способами можно
составить расписание на
среду?
3.В розыгрыше кубка страны
по футболу участвуют 17
команд. Сколько существует
способов
распределения
золотой,
серебряной
и
бронзовой медалей ?
(3−2)
1
Ответ: 6 размещений.
2. Найдите число размещений из четырех элементов:
A, B, C, D по два.
Решение: n = 4, m = 2
4!
1∙2∙3∙4
𝐴24 = (4−2)! =
= 3∙4 = 12
2!
Ответ: 12 размещений
3. Из 10 студентов группы надо выбрать старосту,
его заместителя и редактора газеты. Сколькими
способами это можно сделать?
Решение: n = 10; m= 3
10!
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10
3
𝐴10
= (10−3)! =
= = 720
1∙2∙3∙4∙5∙6∙7
Ответ: 720 способами.
Тип комбинаций
Примеры решения типовых заданий
Задания для
самостоятельной работы
3. Сочетания
Из n различных элементов
будем составлять группы по
m элементов в каждой, не
обращая внимание на порядок,
но так, чтобы число элементов
не повторялось
(в сочетаниях АВ и ВА
считаются эквивалентными)
Любая группа из n элементов
по m элементов в каждой
(различными считаются те,
которые имеют неодинаковый
состав элементов) называется
сочетанием.
1. Найдите все сочетания из трех элементов: 7, 4, 5
по два элемента в каждом.
Решение: Выпишем группы по 2 элемента (но 47 и 74 –
эквиваленты(одинаковые) группы): 74, 75, 45.
Всего - 3 группы, т.е. 3 сочетания. Проверим по
формуле:
3!
1∙2∙3
n = 3, m = 2; 𝐶32 =
=
=3
1. Из 10 рабочих необходимо
выделить для поездки за
границу 6 человек. Сколькими
способами это можно
сделать?
2.На тренировке занимаются
12 баскетболистов. Сколько
может быть образовано
тренером различных
стартовых пятерок ?
3. При встрече 12 человек
обменялись рукопожатиями.
Сколько сделано
рукопожатий?
4.В группе 20 человек. На
дежурство в столовую надо
назначит 4 дежурных.
Сколькими способами это
можно сделать ?
С – число сочетаний
n - количество всех элементов
m - количество элементов в
группе
𝒏!
𝑪𝒎
𝒏 =
2!(3−2)!
1∙2∙1
Ответ: 3 сочетания.
2.Найдите все сочетания из пяти элементов: A,B,C,D,E
по три в каждом.
5!
1∙2∙3∙4∙5
Решение: n= 5, m= 3; 𝐶53 =
=
= 10
3!(5−3)!
1∙2∙3∙1∙2
Ответ: 10 сочетаний.
3. Сколькими способами можно выбрать из 6 человек
комиссию, состоящую из трех человек?
6!
1∙2∙3∙4∙5∙6
Решение: n= 6, m= 3; 𝐶63 =
=
= 20
Ответ: 20 способов.
3!(6−3)!
1∙2∙3∙1∙2∙3
𝒎!(𝒏−𝒎)!
Подробнее информацию по данной теме можно найти в следующей литературе: 1. Тюрин Ю.Н. Теория вероятностей и статистика. М. 2009 г. ;
2. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10-11 кл. – М., 2010 г.
3. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа . 10-11 кл. – М. 2009 г. ;