матрицы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II»
К аф едр а «М атем ати ка»
Д .З. К аган
Матрицы, определители, системы
алгебраических уравнений
Учебное пособие
для всех специальностей
студентов очно-заочной формы обучения
М о сква - 2016
УДК 512
К 12
Каган Д.З. Матрицы, определители, системы
алгебраических уравнений.: Учебное пособие. - М.: МГУГ1С
(МИИТ), 2016.-105 с.
Учебное пособие предназначено для студентов очно­
заочной формы обучения различных специальностей.
Учебное пособие удовлетворяет требованиям ФГОС третьего
поколения и написано в соответствие с примерной
образовательной
программой
дисциплины
«Линейная
алгебра»,
одобренной
УМО
по
классическому
университетскому образованию.
В пособии рассматриваются такие темы, как: матрицы,
определители, решение систем линейных уравнений
методами Гаусса, Крамера и обратной матрицы. Пособие
содержит изложение основных теоретических сведений,
примеры решения задач с подробными комментариями и
варианты самостоятельных работ.
Рецензенты:
А.А. Клячко - кандидат физ.-мат. наук, доцент
кафедры высшей алгебры механико-математического
факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.
Н.А.Корниенко - кандидат технических наук, доцент
кафедры "Высшая и вычислительная математика"
МГУПС (МИИТ).
© МГУПС (МИИТ), 2016
ОГЛАВЛЕНИЕ
ТЕМА 1 __ М А ТРИ Ц Ы ......................................................... 4
ТЕМА 2__ УМНОЖЕНИЕ М А Т РИ Ц ............................. 15
ТЕМА 3
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ........................................... 27
ТЕМА 4___ОБРАТНАЯ М АТРИЦА................................44
ТЕМА 5___РАНГ М А ТРИ Ц Ы ........................................... 54
ТЕМА 6___МЕТОД КРАМ ЕРА........................................ 69
ТЕМА 7___МЕТОД ОБРАТНОЙ М АТРИЦЫ..............76
ТЕМА 8___МЕТОД ГА У С С А ...........................................82
ЛИТЕРАТУРА...................................................................... 104
3
ТЕМА 1
МАТРИЦЫ
Понятие матрицы играет важную роль, как в
математике, так и в ее приложениях к технике,
естественным наукам, экономике.
Под матрицей подразумевает совокупность
чисел, расположенных в прямоугольной таблице.
Матрица может состоять из произвольного количества
строк и столбцов.
О пределение. Матрицей размера т х п
называется прямоугольная таблица чисел,
содержащая т строк и п столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются
элементами этой матрицы. Каждый элемент матрицы
имеет два индекса: первый индекс указывает номер
строк, а второй - номер столбца, в которых
расположен этот элемент. Элементы обозначаются
строчными латинскими буквами с двумя индексами. .
Элемент ajj матрицы А = {ау} стоит на пересечении
i - ой строки И) - го столбца. Например, а Х1 - элемент,
находящийся в первой строке и первом столбце; а 24 элемент, лежащий во 2-ой строке и 4-ом столбце.
Матрицы обозначаются большими латинскими
буквами А ,В ,С ,... Часто в обозначении матрицы
указывают и ее размер: A mxn, где т х п - размер
матрицы, первое число - количество строк, второе количество столбцов. Матрица может состоять из
любого количества строк и столбцов. Например,
матрица размера 4 Х3 состоит из 4 строк и 3 столбцов,
всего в матрице 12 чисел.
В общем случае матрица размера гпхп имеет вид
а 11
а 12
•••
а 1п^
а 21
а 22
•••
а 2п
ча т 1
а т2
•"
а тп у
д _
Также применяется общее обозначение
A = ( a ij) ;i =
j = l,2 ,...,n .
Примеры матриц
'\
2 ^
3
^3x2
4
4
> ^1x4 —
~\)
,5
^-'3x3 =
( 3"
-2
?
ч 1V
0
Т
3
■-2
1
4
1
1
-1
4,
(1
12
5
-3
2
4
0
V -3
1
6 У
; ^4,з =
5
Также мы можем найти элементы этих, матриц,
например,
а п = 1 (число 1-ой строки 1-го столбца);
^ 2 i = 4 (число 2-ой строки 1-го столбца);
с31 — —3 (число 3-ой строки 1-го столбца).
Виды матриц
Матрица, все элементы которой равны нулю,
называется нулевой матрицей.
Две матрицы А и В называются равными, если
они одного размера и соответствующие элементы в них
равны: a t- = btj для любых i, j.
Особенно часто используют матрицы, в которых
число строк равно числу столбцов - квадратные
матрицы.
О пределение. Квадратной называется матрица
А в том случае, когда т - п (число строк равно числу
столбцов):
( Яц
«21
А=
И12 • ■• Qln \
«22 • • • а2п
Ч исло строк называется порядком квадратной
( 3
матрицы. Например, квадратная матрица А второго порядка.
^
1
Л
^
Для квадратных матриц можно рассматривать
главную и побочную диагонали.
Определение. Множество всех элементов
квадратной матрицы, которые находятся на отрезке,
соединяющим её левый верхний угол с правым нижним,
т.е. совокупность элементов ац, ац,--., а„„ называется
главной диагональю квадратной матрицы.
О пределение. Множество всех элементов,
которые находятся на отрезке, соединяющем её
правый верхний угол с левым нижним, называется
побочной диагональю.
Пусть, например, дана матрица 3-го порядка
Л3 2
Р
А= 7
1
5
4
3
10
Для этой матрицы главную диагональ будут
составлять числа 3, 1, 10; побочную диагональ составят
числа 1, 1,4.
Среди квадратных матриц можно выделить
треугольные, диагональные и единичны е матрицы.
Квадратная матрица называется т реугольной,
если ее элементы, расположенные ниже главной
диагонали или выше главной диагонали, равны нулю.
7
^3
0
(р
7
1
0
П рим ер. А -
0
O'1
5
0
0
или В -
3 1°,
И
' 0
^5
4 10,
Квадратная матрица называется диагональной,
если ее элементы удовлетворяют условию
/ ач т^О, i = j\
I aij = 0, г ? у,
т.е. все элементы матрицы, не лежащие на
главной диагонали равны 0.
(
А =
а ц
0
0
...
й22 • ■•
V о
О
\
О
о
Е д и ни ч но й м атрицей называется матрица, у
которой все элементы главной диагонали равны
единице, а все остальные элементы равны 0, т.е. эго диагональная матрица, у которой все элементы главной
диагонали равны единице:
/1
0 . .. 0 \
1
п
0
Е-
Vо
о
/
Квадратная матрица называется симмет рической,
если ее элементы, элементы, расположенные
симметрично относительно главной диагонали, равны
друг другу.
8
Линейные операции над
матрицами
К линейным операциям с матрицами относят
сложение (или вычитание) матриц и умножение
матрицы на число.
1. С ум м а м атри ц
Складывать мож но только матрицы с
одинаковым размером. Д ля этого нужно каждый
элемент
одной
матрицы
сложить
с
соответствующим элементом другой, тогда получим
матрицу-сумму той же размерности, что и слагаемые.
Суммой (или разностью) матриц А и В
одинакового размера называется матрица С того же
размера, каждый элемент которой равен сумме
соответствующих элементов матриц А и В.
С — А ± В, Cij — a.ij ± Ьц
Л = |)оц||,
В = ||6у ||;
i — 1 ,2 ,... , m,
j = l,2 ,...,n .
П рим ер 1. Пусть даны матрицы А и В:
А ^ 2 = {ъ
7 ^ ,В 3х2 = ( д
3 j
Тогда суммой матриц А и В будет матрица С,
равная
9
/1 + 7
2 + ( —1 ) \
/8 1 \
С= Л + 5 = (
3+ 4 7+ 3
= 7 10
\5 + ( —2)
6+ 5 /
\3 1 1 /
Аналогично можно производить и вычитание
матриц одинакового размера.
С=Л-Я=(
/ 1 - 7
3-4
\5 - ( - 2 )
2 - (-1 )4
/-6
7-3
= -1
6 -5 /
V7
1\
4
1/
2. Умножение матрицы на действительное
число
Произведением матрицы А на действительное
число с называется матрица, каждый элемент которой
получен умнож ением соответствующего элемента
матрицы А на число с.
Пример 2. Пусть даны матрица А и число с,
нужно найти матрицу С = с*А
л зх2 = ( г
\7
С=
5 \ с=3.
15/
/3 x 4
ЗхА = I3x1
\3 х 7
3x3 \
/1 2 9 \
3 x 5 ) = 3 15
3x15/
\2 1 4 5 /
Для матриц одинакового размера можно также
считать любые их линейные комбинации - матрицы
вида а х А + /3 * В, где а, (3 — произвольные числа.
10
Пример 3. Пусть
•^3X2
Найти матрицу
/ 4 x 1 + 2x7
С = 1 4 x 3 + 2x4
\ 4 х 5 + 2 х ( —2)
4 x 2 + 2 х ( —1)\
/18
4 x 7 + 2x3 | = ( 2 0
4 x 6 + 2x5 )
V16
Свойства
операций
произведения на число
суммы
6\
34
34 /
матриц
и
Пусть А, В и С — матрицы, имеющие
одинаковый размер, а а и /? — произвольные действи­
тельные числа. Тогда выполняются следующие
свойства:
1)А+В=В+А,
2 )(А + В) + С = А + (В + С),
3) а (А+В) =оА+аВ,
4 )(а + Д М = аА + fiA,
5) (сф)-А= (аЛУР,
6)А + О - А, гдеО — нулевая матрица,
7) О А = О.
Транспонирование матриц
Транспонированием
матрицы
называется
замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их
порядка. Таким образом
1-а строка матрицы
переписывается как 1-ый столбец, 2-ая строка - как 2ой столбец. Если исходная матрица имеет размер т х п ,
11
то после транспонирования она будет иметь размер
п х т . Транспонированная матрица обозначается А т.
П рим ер 4. Пусть даны матрицы А п В:
5
1
8
3''
А= 5
-1
12
7 ,в =
3
1
-2
1,
( 1^
3
-2
И ,
Тогда соответствующие им транспонированные
матрицы имеют вид
5
5
3
1 -1
1
8
12
-2
3
-2
1
, £ г =(1
-3
2
Решение типовых задач
П рим ер 1. А=
(3
4
3"
v4
5
6,
Найти А+В.
12
( 5
-1
3^
J
-3
У
,В =
4)
Реш ение. А+В=
П рим ер 2. А=
Реш ение. 5А=
П рим ер 3. А=
8
3
6 Л
,5
2
13,
I
-2
Зл
12
6j
V 4
5
-1 0
-2 0
'
,-4
15л
60
5n
3
2,
. Найти 5А.
30
, в=
( 1
4 ^
12
-1J
. Найти
2А-ЗВ.
f
Реш ение. 2А-ЗВ=
6
v -8
3
10^ ( 3
124
4
-3
6
j
- 2 Л
-14
7
3
П рим ер 4. А=
5'
Найти ЗА-2АТ+5Е.
v -4 2
Реш ение. Е - это единичная матрица второго
у
г \
порядка:
<Л
О 1
ЗА-2АТ+5Е=
'
9
151
-
(
,-1 2
8
-2 2
-8 "
6
4
23'
7
13
,
+
' 5 0'\
,0
5J
Упражнения для
самостоятельного решения
Найти матрицу С — СИ-А + | З В
2
( \
0
3
,3
3. А= (з
(1
4. А=
5. А=
3
'
,13=
1
1
п
4
3
1
2
1
- 3
J
4
г-\
2^
3
, а
1
2
, 3
Л
-2
- 1
4
"4
з
-2"
, в=
4
J
,
1 5
2^
(1
2
3^
4
5
6 ,в =
4
К
,
.а
1 3 ),а г = Ъ,Р
0
2 л
' 3
1 ,в = 5
5,
4
3 , / ?
з,
6 ) , В = (2
V0
- 3
4
=
, а = 4 ,/? = - 3 .
1
“ Зу
,- 2
'3
1
4
5
,2
1
14
2 4
-3
7 ,
, а = 1, Р = 5
=
1
4 ,в =
(41
2
,5 ,
-к
2
v 0
7
- 1
4
'3
"
г о
' 1
-Г
О
г-Н
4,
J
з ,
ш
и
2
1
1
- 3
2
"
- 5
3
4
,
н
6. А=
"- 2
,4
1
-3
3^
К
ТЕМА 2
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Определение. Произведением матриц А и В
называется такая матрица С, каждый элемент
которой d jравен сумме произведений элементов i-ой
строки матрицы А на соответствующие элементы
j -ого столбца матрицы В.
15
Чтобы перемножить две матрицы меж ду
собой, ко личество столбцов в левой матрице
должно быть равно количеству строк в правой.
При умнож ении 2-х матриц
С, =
X 7li ^ ^
равенство 71^ ~
771.2 ХЛ.2
должно выполняться
771.2
Каж дый элемент произведения матриц равен
произведению одной строки левой матрицы на один
столбец правой.
Пусть матрица Л имеет размер т х к , матрица В
имеет размер кхп. Тогда любой элемент произведения
- матрицы С представляется в виде:
Сц = а п Ь у + a i2b 2J+ ••• + a ikb kj; i = 1,2,..., m; j
= 1 ,2 ,... ,n .
Произведение матриц имеет размер mxn, в
произведении столько же строк, сколько в левом
множителе и столько же столбцов, сколько в правом.
Каждый элемент произведения с(/- является
произведением строки левой матрицы на столбец в
правой. При вычислении элемента умножаем первый
элемент строки на первый элемент столбца, второй
элемент —на второй элемент, и т.д., после этого все
произведения складываем.
16
П ример 1. Даны матрицы А
• - GНужно вычислить произведение С — А х В.
i )
С= АхВ=
1x1 + 0 x 3 + 3x5
2 x 1 4 -1 x 3 + 4 x 5
(—1)х1 + 1x3 + 3x5
3x1 + 2x3 + 1x5
1x2 + 0x4 + 3x1
2x2 + 1x4 + 4x1
(—1)х2 + 1x4 + 3x1
3x2 + 2x4 + 1x1
В произведении будет 4 строки и 3
столбца.Л 4 х з Х В 3 х 2 — Q x 2
Произведение А х В имеет смысл, так как число
столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Обратное произведение В А не имеет смысла, так как
число столбцов матрицы В не равно числу строк
матрицы А.
17
Пример 2. Даны матрицы/! =
3
4
1
О
.1
3
^ jj),
Нужно вычислить произведение С = АхВ.
Найдем размер матрицы-произведения
Л 2х з Х /? 3х2 =
1x3 + 2x 1 + 3x1
( —1)хЗ + 1x1 + 0 x 1
С2х 2
1 x 4 + 2 x 0 + 3x3 \
( —1 ) х 4 + 1x0 + 0 x 3 /
Пример 3.
■^1x4 = (4
1
3
0)
#4x2
^ 1 Х 4 Х ^4Х 2
Найдем произведение этих матриц:
О А хВ =
(4x1 + 1 х( - 1 ) + 3x3 + 0x4
4x2 + 1x1 + З х ( - 1 ) + 0x3)
= (12
18
6)
Свойства произведения матриц
1)
Ассоциативность произведения матриц,
т.е. произведение не зависит от расстановки
скобок;
(.А В ) С =
А {В С )
2) Число при умножении можно выносить
за скобки;
{ЛАВ)
=
(Л А В ) = Я (Л В ) .
где Я - некоторое число
3) Дистрибутивность произведения можно раскрывать скобки также, как с числами;
А{в + с) = {ав + лс)
(Л + В ) С =
(Л С + В С )
4) Произведение зависитШ от порядка
множителей.
АВ * ВА
Более того, возможны ситуации, когда
произведение АВ существует, а В А нет.
В следующем примере мы рассмотрим
ситуация, когда для двух матриц А и В существуют
19
оба произведения АВ и ВА, но они не равны,
составляющие их элементы абсолютно разные.
Пример 4. Даны матрицы
Вычислить произведение А х В и ВхА.
А х В = /3
V2
/ 3 x 1 + ( —1) х (—3)
1 2x1 + 0 х ( —3)
-1W 1
0 / V-3
44 =
V
3 x 4 + ( —1)х 1 \
2 x 4 + 0X1 )
~(6
V2
™ - С 3 J M 2 V )=
/ 1 x 3 + 4x2
\ ( —3 )х 3 + 1x2
1 х ( —1) + 4 x 0 \
(—3 ) x ( —1) + 1 x 0 /
Мы убедились, что произведение матриц
зависит от порядка множителей.
П рим ер 5. Даны 3 матрицы. Выбрать пары
матриц, которые можно перемножить, и выполнить
умножение.
20
П>1
8/
' 3N
с=
-3
о
v 1у
Реш ение. Для того, чтобы перемножить две
матрицы количество столбцов в левой матрице должно
быть равно количеству строк в правой. Поэтому,
можно произвести следующие умножения: АС, ВС,
СА. Выполним каждое из этих умножений.
Вычислить произведение АхС.
Каждый элемент произведения матриц произведение одной строки левой матрицы на один
столбец правой. В матрице А всего одна строка, а в
матрице С - всего один столбец. Поэтому матрицапроизведение будет состоять всего из одного элемента.
.'3'
А х С = (1
v
0 2
1 )х " 3
'
0
= (1 x 3 + О х ( - З ) + 2x 0 + 1x1) = (4)
Найдем теперь произведение В х С . В матрице В
две строки. Каждую из этих строк необходимо
перемножить на единственный столбец матрицы С.
21
f з л
ВхС -
1 1 1 - ]
0 0 2
2
X
-3
о
V1у
__ /1 x 3 + 1 х ( —3) + 1x0 + ( ~ 1 ) х 1 \
V 0x3 + О х ( - З ) + 2 x 0 + 2x1 )
= а
)
Найдем произведение С х А .Каждая строчка
матрицы С состоит из одного элемента. Каждый
столбец в А также состоит из одного элемента.
Следовательно, каждый элемент этого произведения
будет являться просто произведением двух чисел.
Всего в произведении будет 4 строчки и 4 столбца.
Например, произведение 1-ой строчки на 4-ый
столбец будет равно 1•1 - 1.
22
f 1^
-1
СхА =
х(1
О
0 2 1)
v 1у
f
1x1
1x2
1x1
(—1 ) х 2
(“ 1) х 1
1x0
(—1) X1 (-- 1 ) х 0
0x1
0x1
0x1
0x1
ч 1x1
1x0
1x2
1x1
1>
' 1
0
2
-1
0
-2
-1
0
0
0
0
о
2
К
,1
Для квадратных матриц можно
рассматривать операцию возведения в степень.
Определение. Целой полож ительной
степенью А т (т> 1) квадратной матрицы А
называется произведение т матриц, равны х А, т.е.
А
т
= А хА х...хА
V
V
т
'
раз
(3
Пример 6. Л 2Х 2 = Vq
матрицы
А 2 и А 3.
23
4\
1 ) ' Найти
Решение.
=
6
i4 H o
I4)
/9 + 0 12 + 4\
-Г 9
Vo + 0 0 + 1 /
V0
\К
Л З=Л 2хЛ = (о
_ /2 7 + 0
16 л
1)
I4 )
36 + 16\ _ /27
V0 + 0
0+ 1/
52\
V0
\)
Упражнения для самостоятельного
решения
Даны 3 матрицы. Выбрать пары матриц, которые
можно перемножить, и выполнить умножение.
Г 1
1
1 °
v-l
А=
1
1
Г
0
1
в =f 1 1
V
К
'2 2^
,3
' 0
2У
0
2
1
-1>
0
?
с =
-1
1 л
0
/
,0
В=
' 1 3 1 3"
1 3
24
0,
с =
Г -1 -П
\2
2/
3) А .
4)
1
О
в=
(3 3 0 - 3
1 1 2
1
0
2
А = (\
'-2
5)
0
1 3^
1 0
4- 1
1 4J
Л=
В-
l)
С = ( - 2 2 0 2)
1 1 1 - 1
0
0
2
'1 4 1
0 1 4
С=
2
о
V1У
/'о Г
С= 4 0
\ о 1,
/
г 3 1
1) В =
6) л - (1 0 2
—J
f 1 1 1 -1 Л
С=
о
0 0 2 2
V1У
1) А =
f 0'
1
3
3
0
0
1 6
1 6
0
С = (- 2
2
0
Г-1
г
,7
7у
\
о
в
1/
=
C
N
°
О
8) А
1
о
, 6,
1
7Л
С =
7
25
1,
6)
Найти произведение матриц С — А х В
А- 4 1
2
'1
3
2Л
3), В= 1
1
0
1 -1
К
\
А=
"4
-2 "
4 у
,3
. В-
' 1
3 0)
-1
1 4)
Найти матрицыАВ и ВА.
3.
1 2\
1. A=v-
2. А-
3
1
О
4
' ,
/
В= '
2
В = (1 2
У.
3 5),
к -Ь
26
ТЕМ А З
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Понятие определителя
Важное значение в матричной алгебре, в
частности, для решения систем алгебраических
линейных уравнений имеет понятие определителя.
Определитель - число, которое по определенному
правилу ставится в соответствие каждой квадратной
матрице.
Пусть А - квадратная матрицы порядка п,
(
А=
а,
а,12
а,In
а 21
а 22
а 2я
кам
ап2
а
Тогда ей ставится в соответствие определитель
n-ого порядка, который обозначают символом А или |А|.
27
Подчеркнем различие в обозначениях. Матрица
А обозначается с помощью круглых скобок - таблица
чисел заключена в круглые скобки. Определитель
матрицы А - |А| обозначается с помощью прямых
линий, как модуль. Та же таблица чисел заключается в
прямые линии.
Заметим и разность в смысле этих понятий.
Квадратная
матрица
это
таблица
чисел;
соответствующий определитель - эго одно число,
вычисленное по определенному правилу. Определитель
во многих книгах также называется детерминантом.
Существует несколько способов для вычисления
определителей. Какой из этих способов удобнее
применять зависит от размера определителя.
Определителем матрицы первого порядка А =
(ап), или просто определителем первого порядка,
называется сам элемент ап , \А\ = а п .
Пример
1. Матрица А
— (15), тогда |Л| = 15.
Рассмотрим правила вычисления определителей
второго и третьего порядков.
11
Пусть дана матрица 2-го порядка А =
у а 21
12
а 22 У
Определитель 2-го порядка вычисляется по
формуле
Ml
|А|
42
а 11а 22
а 21
а 12а 2 Г
а 22
Правило вычисления определителя второго
порядка заключается в следующем: из произведения
элементов
главной
диагонали
( а ца
22
)вычитается
произведение элементов побочной диагонали ( a i 2 a 2 i)
матрицы.
Пример 2. Рассмотрим квадратную матрицу
л » .
е i 1)
Определитель, в свою очередь, будет равен
разности произведений элементов её главной и
побочной диагоналей:
|А| =
Ъ
. “I 1 = 3 x 5 - ( - 1 ) х 6 = 21
6
5
Пример 3. Найти определитель
13 - 1
= 1 х (-1 ) - 4x3 = -13 .
29
/7
Пример 4. Пусть В =
i А\
J. Найти
определитель|В|.
16
\ В \
3
| = 7x3 - 16x1 = 5.
Перейдем теперь к определителям 3-го порядка.
Рассмотрим
сначала
следующий
способ
его
вычисления.
Пусть дана квадратная матрица 3 x 3 .
а 12
аи Л
а 2.
Э22
а 23
va 31
а 32
а ззу
ч ,
А -
Определитель третьего порядка вычисляется
по формуле
А Н
ап
а 12
а 13
а 21
а 22
а 23
а 31
а 32
а зз
' а 13а 22а 31
а 11а 22а 33
a i'?а
*i + a 13
i4a 21
7i<^32
12 ')'*а
23 '31
а 11а 23а 32 _ а 33а 12а 21
Правило вычисления определителя третьего
порядка следующее. Берется сумма шести тройных
произведений элементов, стоящих в разных строках и
разных
столбцах.
Со
знаком
плюс
берется
произведение трех элементов главной диагонали (
30
a l la22a 33 )■ Также со знаком плюс берутся еще два
тройных произведения - произведения элементов на
линиях,
параллельных
главной
диагонали.
Сомножители этих произведений находятся в вершинах
треугольников, чьи основания параллельны главной
диагонали.
Со знаком минус также берутся 3 тройных
произведения, сомножители которых стоят на
побочной диагонали ( a i3a22a 3l) и на линиях,
параллельных побочной диагонали в вершинах
треугольников
с
основаниями,
параллельными
побочной диагонали. Схема выбора линий показана на
рисунке 1.
« + »
« —»
Рис. 1
3
8
-1
Пример 5. Дана матрица А 3х3 =
2 3\
5 О J. Найти ее определитель.
- 2 1/
Решение.
3; 5; 1 - главная диагональ; линии,
параллельные главной диагонали:
2; 0;-1 (2, 0 - основание, параллельное главной
диагонали; если продолжать эту линию, достраивать
до треугольника, получим элемент -1)
8 ; -2 ; 3
Произведение элементов, стоящих на этих
линиях (в вершинах треугольников) берем со знаком
«+».
Со знаком «-» берем произведение элемен тов на
побочной диагонали и параллельных ей линиях.
Побочная диагональ:3; 5; -1
Параллельно побочной диагонали расположены
элементы: 0 ;-2 ; 3 и
2; 8; 1.
3
8
-1
Получим, что:
2
3
5
0 = 3 x 5 x 1 + 2 х 0 х ( —1) + 8 х ( —2)х З
-2 1
- З х 5 х (-1 ) - 2x8x1 - 0 х (-2 )х З
= 15 + 0 - 48 + 15 - 16 - 0 = - 3 4
Пример 6
3
1
-1
1
4
5
0
1 = 3 х 4 х 2 + l x 1 х ( —1) + 0 x 1 x 5
2
- 0 х 4 х ( —1) - 1 x 1 x 2 - 5 x 1 x 3
= 24 — 1 + 0 —0 —2 —15 — 6
Заметим, что при вычислении определителя 3-го
порядка каждое из 6 слагаемых содержит по одному
32
элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы.
При вычислении определителей более высокого
порядка, таких слагаемых будет значительно больше.
Для определителя n-ого порядка общее количество
слагаемых будет равно п!, для определителя 4-го
порядка будет 24 слагаемых, 5-го порядка - уже 120.
В общем случае, строгое понятие определителя
связано с множеством перестановок и количеством
инверсий в перестановке. Однако эти понятия выходят
за рамки нашего курса.
Определители матрицы любого порядка можно
вычислить с помощью разложения по любой строке или
любому столбцу. Именно это свойство часто берут за
определение понятия определитель.
М иноры и алгебраические дополнения
Чтобы получить правило для вычисления
определителя любого порядка, введем понятие минора
М ц и алгебраического дополнения Лу элемента
квадратной матрицы.
Минором M g элемента а у матрицы n-го порядка
называется определитель (n -l)-ro порядка, полученный
из матрицы А вычеркиванием i-й строки и у-го столбца.
Алгебраическим дополнением Atj элемента a :j
матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со
знаком
, то есть Atj = (-1 )'+;М ц.
33
Для того, чтобы получить минор
Mjj элемента а у
нужно вычеркнуть /-ю строку и /-й столбец,
пересечении которых расположен данный элемент.
Чтобы
найти
алгебраическое
на
дополнение^
элемента dfJ нужно полученный минор Му умножить
на (-1) в степени суммы номеров строки и столбца, на
пересечении которых стоит элемент.
Пример 7. Дана матрица третьего порядка:
( 3
4
0Л
1
4
I
-2
5
3
А=
Найти миноры М п , М ,2, М3] и
алгебраические дополнения Ац, А12, А3].
Решение. Вычеркивая первую строку и первый
столбец
в
матрице,
получим
минор
4 1
Ми
1 2 - 5 = 7. Вычеркивая первую строку и
5 3
второй
столбец,
найдем
минор
М 12
1
1
= 5.
-2 3
Вычеркивая третью строку и первый столбец в матрице,
4 О
получим минор М 3] =
= 4 - 0 = 4.
4 1
34
Теперь найдем алгебраические дополнения. По
модулю они будут равны минорам, может поменяться
только знак.
А,, = (-1 )Ы М „ =7,
А|2 ~ (-1 ),+2М 12 = -5 ,
A 3 l= ( - l ) w M j,= 4 .
Ответ.
М„=7, A,j=7, М12 = 5, A12;z:—
5, М31 =4, Аз|=4.
Правило вычисления определителя n-го порядка
получается из утверждения следующей теоремы.
Т еорема. Определитель квадратной матрицы
равен сумме произведений элементов любой строки
(столбца)
на
соответствующие
алгебраические
дополнения.
А=
а
ап
а,1т
а 2]
а 22
а 2т
а т\
а т2
аА \ +а,2А12 + --- + ашА1п
где г - 1,2,...,п.
Формула из теоремы называется разлож ением
определителя по элементам i-й строки. Аналогично
имеет место разложение по элементам произвольного jго столбца:
А = а у А у + a 2j A 2J н— + a nJA nJ, где у= 1,2,...,п.
35
Таким образом, для того, чтобы посчитать
определитель произвольного порядка, достаточно
посчитать алгебраические дополнения к элементам
какой-либо строки или столбца и вычислить сумму
произведений элементов строки на алгебраические
дополнения.
Пример 8. Вычислить определитель квадратной
матрицы третьего порядка:
О
А=
Решение. Разложим определитель по элементам
первой строки. В данном случае удобно выбрать именно
первую строку, так как она содержит 0, а значит один из
слагаемых в разложении будет заведомо равен 0.
-2 5
3 -2
А3 —4*А || 0*А|2 3*А13
+3
-59.
3 4
1 3
Пример 9.
Вычислить определитель матрицы
М 1 2 5Ч
четвертого порядка: А =
3
-3
3
1
1
о
Решение. По правилу, разложить определитель
можно по любой строке или столбцу. Однако объем
вычислений можно существенно сократить, если
выбрать такую строку (столбец), в которой много
36
элементов равных нулю. Наиболее подходящей в
нашем случае является третья строка - в ней 2 нуля.
Раскроем определитель данной матрицы по
элементам третьей строки
4 1 2 5
4 2 5
4 1 5
'л
1 J -3 2
|А| = 0 3 1 0 = ЗА32 + 1А33 -3 - 1 -3 2 + 1- 1 3 2
3 0 4
3 1 4
л
1 0 4
Теперь нужно
третьего порядка.
4
2
|а | —з - 1 - 3
3
0
5
4
посчитать два определителя
1 5
2 + 1- 1
3
4
1 4
3
2 ; 3• ( - 48 + 12-1-0 + 45 —0 - 8 ) +
+ 1-(48 + 6 + 5 - 45 - 4 - 8 ) = 3 1 + 1-2 = 5
Основные свойства определителей
1.
Если какая-либо строка или столбец
определителя состоит из одних нулей, го определитель
равен нулю.
Действительно,
мы
можем
разложить
определитель по элементам этой строки или столбца. В
разложении все слагаемые равны 0, соответственно и
сумма равна 0.2. При перестановке двух строк
(столбцов) определитель меняет знак.
2.
При перестановке двух строк (столбцов)
37
определитель меняет знак.
Эго свойство несложно проверить, например,
при перестановке двух соседних строк.
3. Определитель, содержащий две одинаковые
строки (два одинаковых столбца), равен нулю.
При перестановке двух строк определитель
меняет знак. Если переставить местами две одинаковые
строки определитель останется таким же. Значит,
I А р —| A j >следовательно, |А| = 0.
4.
Если
определитель
имеет
пропорциональные строки, то он равен нулю.
две
5. Если одну строчку или один столбец
определителя умножить на число, то весь определитель
умножится на это число.
а 11
A aki
Un i
■
О-щ
а 11
= Я а к1
■■ а т
■ а кп
■■ a Tin
а пп
При умножении любой строки или столбца
исходного
определителя
на
число,
разложим
определитель по этой строке или столбцу. В
получившимся выражении можно вынести это число за
скобки. Тогда в скобках останется исходный
определитель.
6.
Если все элементы какой-либо строки
представляют сумму двух слагаемых, то определитель
можно представить как сумму двух определителей: у
первого в соответствующей строке стоят первые
слагаемые, а у второго - вторые, остальные элементы те
38
же, что и у исходного определителя.
U\,
+ Д
,
«12
"13
а г\ + Рг\
U22
«23
« з 1 ■*" Ръ 1
Д-,2
«33
=
аи
^12
«13
Ри
«12
«13
«21
а22
«23 +
Рг\
«22
«23
«31
Д 32
«33
А з.
«32
«33
7. Определитель не изменится, если к элементам
какой-либо
строки
(столбца)
прибавить
соответствующие элементы другой строки (столбца),
умноженные на любое число.
8.
При
транспонировании
определитель не меняется.
матрицы
9. Сумма произведений элементов одной строки
матрицы на алгебраические дополнения к элементам
другой строки этой матрицы равна нулю.
Ю.Определитель произведения двух квадратных
матриц равен произведению их определителей.
| А
* В
Н
А
| - | В
I
Соответственно, определитель степени равен
степени определителя.
! А п н А |п
В силу симметричности правил вычисления
определителя, все свойства одинаковы, как для строк,
так и для столбцов.
39
Вычисление определителей с
помощью элементарных
преобразований
Использую рассмотренные выше свойства,
можно проводить вычисления, предварительно
упростив вид определителя. Для этого применяются
элементарные преобразования.
Действия над элементами матрицы, при
которых не изменяется её определитель, называются
элементарными преобразованиями матрицы.
С помощью элементарных преобразований
можно существенно упростить вычисление
определителей. При нахождении определителей
целесообразно, используя перечисленные выше
свойства, так преобразовать исходную матрицу, чтобы
преобразованная матрица имела строку (или столбец),
содержащую как можно больше нулей, после этого
разложить определитель по этой строке (столбцу).
В рамках элементарных преобразований можно
прибавлять к одной строке или столбцу другой,
умноженный на произвольное отличное от нуля число;
менять две строчки или два столбца местами,
при этом поменяется знак определителя;
умножать или делить все элементы
определенной строки или столбца на одно и то же
число, тогда весь определитель также умножится на
это число.
40
Пример 10. Вычислить определитель четвертого
порядка:
1 0 3
1
-1
4
-1
2
0
3
4
-1
2
1
0
3
Решение. Преобразуем матрицу так, чтобы в 1ом столбце все элементы, кроме одного, обращались в
0. По свойству 7 мы можем к элементам одной строки
или столбца прибавить соответствующие элементы
другой строки, умноженные на любое число.
Прибавим к 2-ой строке элементы 1-ой
строчки, тогда вместо (-1) на 1-ой позиции получим 0.
Из элементов 4-ой строки вычтем элементы 1-ой,
умноженные на 2. При этом значение определителя не
изменится.
1
1
0
3
1
-1
4
-1
2
0
3
4
-1
2
1
0
3
0
-1 + 1 4 + 0
3
1
1
0
3
1
-1 + 3
2+1
0
4
2
3
0
3
4
-1
0
3
4
-1
2 -2
1 -0
0 -6
3 -2
0
1
-6
1
Теперь можно разложить определитель по 1-му
столбцу:
41
1 0
3
1
0
4
2
3
0
3
4
-1
0
1 -6
1
4
2
3
= !• 3
4
-1
1 -6
1
Полученный определитель третьего порядка
можно вычислить по правилу треугольников или с
помощью разложения по строке или столбцу. Но
можно и продолжить упрощение матрицы. Получим 2
нуля в 3-ем столбце. Для этого из элементов 1-ой
строки вычтем утроенные элементы 3-ей строки, а к
элементам 2-ой строки прибавим элементы 3-ей.
4
|А| = 3
2
3
= 3+ 1
4 -1
1 -6
4 -3
1
1 20
2 —(-1 8 )
3 -3
4 + (-6 )
-1 + 1 - 4 - 2
1
-6
1
1 -6
Теперь можем разложить полученный
определитель по 3-ему столбцу.
1
20
0
4
_2
0 = 1-
1
-6
1
1 20
4
О твет. |А| = -82,
42
-2
= 1х (-2 ) - 20 х 4
0
0
1
Упражнения для самостоятельного решения
Вычислить определители:
1)
4
-2
1
3
2)
5
0
-3
17
1
3
4
7
4
4) - 5
2
1 5) 6
-3
0
3
8
2
0
1
-1
_2
2
1
1
-2
2
3
-4
-3
4
3
-3
-7
10
1
5
-1
3
-2
2
0
4
3
17
4
6
1
10
0
4
2
3
4
10
-4
1
0
-3
1
-3
1
-1
-3
5
3
6
3)
3
1
7
10
4
2
1
4 6) - 1
1
2
3
3
4
1
8)
10)
12)
43
0
3
6
9
-3
-5
-9
-1 5
5
1
4
5
-1
4
9
8
-4
3
5
7
1
1
3
4
-1
2
0
3
11
4
0
0
1
7
-3
-4
1
-5
1
0
-4
4
—6
1
-1
-7
2
-4
-9
3
-3
1
2
-8
13)
-6
1
0
-7
4
1
-1
—2
-8
0
-9
6
14) 1
-1 0
—2
-1
1
3
- 5
4 10
0
2
1 - 6
3 - 3
ТЕМА 4
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Прежде всего вспомним понятие единичной
матрицы. Единичной называется квадратная матрица, в
которой все элементы на главной диагонали равны 1, а
все остальные элементы равны 0. Для каждого порядка
пхп будет существовать ровно 1 единичная матрица.
Например, единичные матрицы порядка 1, 2 и 3
будут иметь следующий вид
0"
0
1
0
I!
Гх
*■ 4
1У
0
г—
4
V0
"1
о
0"
о
II
hq
г—
<
II
"1
Единичная матрица является аналогом числа единицы при умножении.
Д ля
единичной
матрицы
44
выполняется
аналогичное
свойство:
произвольной матрицы
АЕ=ЕА=А
для
А.
Таким образом, произведение л ю б о й м атр и ц ы А
на единичную будет равно той же м атриц е А . Э то б у д ет
выполняться при умножении и слева и сп р ава. Э то
свойство обычно берут за определение ед и н и ч н о й
матрицы.
О пределение. Единичная м а т р и ц а
(Е) —
матрица,
для которой вы полняет ся
сво й ст во
А Е = Е А -А , где А - лю бая матрица.
П рим ер 1. А = (_ 52
°),
Е =
(J °)
А *£ =
/ 5 *1 + 0 *0
\ ( —2 ) ^ 1 + 3 * 0
5 *0 + 0 *1 W
5
( - 2 ) * 0 + 3 * 1/ “ V -2
0\
ЗУ
1 * 5 4 - 0 * (-2 )
1 * 0 + О* 3\
0 * 5 + 1* (-2 )
0 * О + 1 * 3/
Для
квадратных
матриц
такж е
м ож но
определить и понятие обратной м атр и ц ы — ан ал о га
обратного числа при умножении чисел.
О пределение. Обратная м ат р и ц а ( А '1) — эт о
такая матрица для которой вы полняет ся сво й с т во
А А -'= А -'А = Е .
Обратная матрица А '1 при умнож ении на А как
справа, так и слева, даёт единичную матрицу Е.
Понятие обратной матрицы имеет смысл только
для квадратных матриц. Обратная матрица является
квадратной того же порядка. Не каждая квадратная
матрица имеет обратную. Для того, чтобы матрица А
имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее
определитель не был равен О, |А| ф 0. Такие
матрицы
называются
невырожденными.
В
противном случае, если определитель матрицы равен
нулю, матрица называется вырожденной.
Приведём
теорему
о
необходимом
и
достаточном
условии
существования
обратной
матрицы.
Теорема. Обратная матрица А - 1 существует
тогда и только тогда, когда исходная матрица
невырожденная.
Обратная матрица будет единственна. Другой
матрицы, обратной к данной существовать не может.
Предположим, что для квадратной матрицы А
кроме А~г
существует
еще
одна обратная
матрица X
равенство
ФА
такая, что Х А = Е .
справа
на
А~г .
Умножим это
Получим
X • А А -1 = Е • А ” 1. Т о г д а Х • Е = А следовательно, X
совпадает с А - 1 . Таким образом, не сущ ествует
обратной м атрицы X, отличной от А -1 . А налогично
46
можно доказать, что равенство A Y =E выполняется
только в том случае, когда Y = А - 1 .
Обратная
матрица
следующей формуле
вычисляется
т
>
А ,2
А
А 21
^22
^23
ЧА 31
А 32
А 33у
'А „
по
где Ау
алгебраические дополнения элементов atJ матрицы А,
Т - операция транспонирования (строки заменяются на
столбцы).
Алгебраические
дополнения
рассматривались в теме «Ранг матрицы».
Таким
образом,
получаем
следующий
алгоритм нахождения обратной матрицы А -1 :
1. Находим определитель исходной матрицы.
Если определитель не равен 0, то обратная матрица
существует.
2. Находим алгебраические дополнения ко всем
элементам исходной матрицы.
3. Составляем матрицу, составленную из
алгебраических дополнений и транспонируем ее.
4. Делим полученную матрицу на определитель
исходной матрицы.
5. Делаем проверку правильности вычисления.
47
Отметим, что кроме рассматриваемого в
пособии метода, для вычисления обратной матрицы
можно также использовать метод Гаусса - метод
элементарных преобразований, когда к
рассматриваемой матрице присоединяется единичная
матрица. Согласно этому методу рассматриваемая
матрица А преобразуется в единичную. При
применении соответствующих преобразований к
единичной матрице она переходит в обратную
матрицу А '1.
Пример 1. Найти матрицу, обратную к данной:
Решение. Найдем обратную матрицу:
Сначала найдем определитель матрицы С
|С| = |д
“ 5 | = 7 x 4 - 8 х ( - 5 ) = 28 + 40 - 68
Вычисляем значения новой матрицы:
С11 = ( - 1 ) 1+1» 7 = 7
С 12 = ( - 1 ) 1+2 * 8 = - 8
C2i = C - l ) 2+I * С-5) = 5
С22 = ( - 1 ) 2+2* 4 = 4
48
Теперь найдем по формуле обратную матрицу
V5
4 )
f 7
'
5\
г
1
оо
68
17
Сделаем проверку:
5' \ _
1~
'1
°\
° ) = \[
68/
^0 V
" 5Vx ( 7
Г4
с * с ” 1 = ^ х V8
/2 8 + 40 20 — 20>
V56 — 56 40 + 28/
V -8
О
O
s
СО
V
7 /
После проверки можно сделать вывод, что
обратная матрица найдена правильно, ведь в результате
умножения мы получили единичную матрицу Е.
Пример 2. Найти матрицу, обратную к данной:
^5
0
3 ^
А= 1
1
-1
1
-1
0
Решение. Вычислим определитель матрицы А,
используя, например, разложение по 1-ой строчке.
5
0
|А | = 1
1
1 -1
3
-1 = 50
1
-1
-1
0
= 5 ■(-1 ) + 3 • ( - 2 ) = -11
49
+ 3-
1
1
1 -1
Теперь вычислим алгебраические дополнения
всех элементов матрицы А.
Напомним, что
алгебраические
дополнения
элемента
матрицы
являются произведением (-1) в степени суммы
номеров строки и столбца элемента и определителя
матрицы, получающейся при вычеркивании из
исходной матрицы строки и столбца, содержащих
элемент.
1
1+1
А ,3 = (-1)
-1
А ]2 = ( - 1 )
= -1 ,
А „ = (-1 )
-1
1+3 1
1+2
О
1
= -2,
А21 = ( - 1 ) 2+1
1 -1
5 3
a 22= ( - D 2+2
~ -3 ,
1 О
0 3
1
1
Теперь
формулой:
О
3
-1
о
О
= - 1,
= -з,
= 5,
А 32= ( - 1 )
3+2 5
3
1
-1
8,
= 5.
1
А 1в
вычислим
соответствии
-3
5
—3
-8
5
11
50
-3
-3 Л
00
1
-3
-1
(N
1
-1
м
1
- 2 лт
-1
с
7
11
1
0
5
-1
5 О
А33= (-1 )3+3
-1
1 -1
= -3 ,
А31 = (-1 )3+'
А'
А 23:= (-1 )2+3
1
5
Проверим наши вычисления, т.е. проверим
выполнение равенства А ■А~' - Е :
^5
0
1
1
Г
л
3
1
(
-1
-1
/
" lb
О
0
Г -П
Г
0
V П>
П
V0
-1
-3
-3
-1
-3
-8
-2
5
5
0 >
-11
0
0
-п .
0 <Г
— 0 1 0 =Е
v° 0
1,
Обратная матрица вычислена верно.
Пример 3. Найти матрицу, обратную к данной:
^3
4
1Л
1
2
1
,1
-1 - 1 ,
Решение. Вычислим определитель матрицы А:
|А|—2.
Так как det(A)^0, то вычислим алгебраические
дополнения каждого элемента матрицы А:
51
A i3=(-1)
i+i 2
1
-I
-1
1+3 1 2
1 -1
A 2 2= ( - 1 )
2+2
A 33 - (-1 )
:-3, A21 = (-1)
3
1
A 3 I = ( - 1 ) 3+1
-1, A12= (-l)
4
1+2
:2,
4
2+1
1
1
--1
= -4 ,
A 23 = ( - 1 )
1
2
1
3+3 3
1
4
2,
=3,
-1 -1
A 32 = ( - 1 )
2+3 3
1
3+2 3
1
4
-1
1
1
= -
2,
2
Построй
А '1 в
существовании обратной матрицы
т
ч
А-' = _ ! _
det(^)
Л21
U .
Аг
А2
а
А^
4
2 Аь
_
г-1 2
1 Л -4
2
,2 - 2
т
-
J
1
2,
м
-
3
2 '
i 2
2
-4
-2
гз
7
2,
Проверим
полученную
матрицу.
По
определению Л А~1 - Е . Умножим А на полученную
матрицу А ~ ' :
52
о
' 3
1
4
’
1
1
1
2
{~
2
'
" 2
0
( 0
0
2
0
(\
0
0 '
0
1
0
1
2
- 4
' 2
-
- 2
I
2
=
=Е
о
J
" I
-
7
1
0
, 0
2 ,
0
, 0
2 ,
1
Упражнения для самостоятельного решения
Найти матрицу, обратную к данной:
1) А
4)
А=
6 )
А
' 1
^2 0 N
2) А =
3) А =
ч -2 7 У
,5 - v j
v-1
(1
0Л
( 4 3х
5
г\ 2
5) А
1
Зл
?
2
4
А
-2
4)
А= 7
1
3
'
10)
-
А
0
v
"4
з
Г
А= 3
2
1
4
4 3,
1
1
f 1
12) А = 4
v4 3
h
,-2
' 1 2 -3'
53
4,
2
1
8 ^
—
Ъ
-3
11) А = 0
' 1
8 )
v 4
'3
3
=
у
2Л
3
" 5
7 )
=
v
9)
1\
( 3
3"
5 -1
7у
5
у
ТЕМА 5
РАНГ МАТРИЦЫ
Понятие ранга матрицы часто используется в
решении математических и прикладных задач.
Искать ранг матрицы можно по определению с
помощью
нахождения
порядка
наибольшего
ненулевого минора или, используя метод Гаусса,
применяя к матрице элементарные преобразования
строк.
Пусть дана произвольная матрица размера т х п
- т строк и п столбцов:
д _
а 11
а 12
а 21
а 22
va ml
a m2
•••
а 1п Л
а 2п
•"
a mn
J
Сначала уточним понятие минора. Выделим в
матрице произвольным образом к строк и к столбцов.
Все элементы, которые находятся на пересечении
выделенных строк и столбцов, образуют квадратную
матрицу к-го порядка. Определитель этой матрицы и
54
называется минором к-го порядка матрицы А. В одной
матрице миноров одного и того же порядка может быть
достаточно много.
Например,
«1 I
«12
«13
«14
а 2\
«22
«33
«34
hi
второго порядка,
а,.
« и
«13
а 22
а'23
—
миноры
минор третьего
а 31
порядка.
При этом максимальный порядок миноров равен
минимальному из размеров матрицы - т и п .
Определение. Рангом матрицы называется
порядок ее наибольшего отличного от нуля минора.
Ранг матрицы А обозначается г(А) или rk(A).
О пределение. Отличный от нуля минор
матрицы, порядок которого равен рангу матрицы,
называется базисным минором этой матрицы.
Столбцы и строки, элементы которых образуют
базисный минор, также называются базисными.
Заметим, что в общем случае у матрицы может
быть несколько базисных миноров.
П рим ер 1. Найти ранг матрицы А=
/1
2
3 0
4
4
7\
5
\1
0
-3
1/
А=
55
Решение. Найдем сначала некоторые миноры
2-го порядка:
2
3 О
(пересечение I и 2 строки и 1 и 2 столбца).
II
7
1
1
=
4
5
-3
1
-6
= 19
Это всё миноры второго порядка. Также можно
найти миноры третьего порядка:
1
3
1
1
3
1
2 4
4 - 26
0
0 -3
4
7
4
5 = -64
-3 1
М иноров 4-го порядка у рассматриваемой
матрицы быть не может, поскольку в ней всего 3
строчки. Так как у матрицы А есть миноры 3-го
порядка, не равные нулю, то ранг матрицы А равен 3,
г(А) = 3.
Пример 2. Найти ранг матрицы
56
1
2
1
0
5
2
3 -2
1
1
3
0
Решение. Самый большой порядок минора для
данной матрицы равен 3. Одним из миноров 3-го
порядка является минор, образованный элементами
первых трех строк -
1
2
О
5
3
-2
1
Значение этого
определителя равно 6, т.е. данный минор 3-го порядка
отличен от 0. Миноров большего порядка в данной
матрице быть не может. Следовательно, ранг матрицы
Л равен 3.
Пример 3. Определить ранг матрицы
( 3
2 - 1
0Л
1
4
13
О
- \
1
7
0Х
Решение. Ранг матрицы не может превосходить
минимального из ее размеров - min(3;4) = 3.
Проверим, равен ли ранг трём. Для этого нужно
вычислить все миноры 3-го порядка. Каждый минор
получается вычёркиванием одного из столбцов.
57
о
z.
1
4 13 = 84 —2 6 - 1 - 4 - 3 9 - 1 4 = О,
-1
1
7
Определители, в которых целая строка или
столбец состоит из одних нулей, равны нулю, поэтому:
3
2
0
3
0
-1
0
2
-1
1
4
0 = 0, 1
0
13 = о, 0
4
13
0
7
1
7
-1
1 0
-1
0
=
0.
Итак, все миноры третьего порядка равны нулю,
поэтому г(Л) < 2. Теперь нужно проверить миноры 2-го
порядка. Среди них существует ненулевые, например,
3
2
1 4
= 12 —2 — 10.
Следовательно, ранг матрицы равен 2, г(А)=2.
Рассмотрим теперь другой, основной метод
определения
ранга
матрицы
с
помощью
элементарных преобразований.
Вычисление ранга матрицы непосредственно по
определению может занимать много времени. Поэтому
для вычисления ранга матрицы можно с помощью
элементарных преобразований привести исходную
матрицу к ступенча1ч>му виду. Число ненулевых строк
в полученной после преобразований матрице будет
равно рангу данной матрицы.
58
Элементарными преобразованиями матрицы
называют следующие операции:
1. Умножение всех элементов некоторой строки
(столбца) матрицы на число, отличное от нуля
2. Прибавление (или вычитание) к элементам одной
строки (столбца) матрицы соответствующих
элементов другой строки (столбца), умноженных
на одно и то же число Л.
3. Перемена местами строк (столбцов) матрицы.
Матрицы, полученные одна из другой при
помощи
конечного
числа
элементарных
преобразований, называются эквивалентными. Для
эквивалентных матриц выполняется теорема, которую
приводим без доказательства.
Теорема. Эквивалентные матрицы имеют один
и тот же ранг.
П ример 4. Найдем ранг той же матрицы, что в
примере 1 с помощью элементарных преобразований
1 2
4
“
3
0
4
1 0 - 3
Решение. Нашей целью является, с помощью
элементарных преобразований, привести матрицу к
ступенчатому виду. Это значит, что, все элементы,
которые находится под главной диагональю, должны
59
стать равными нулю, и тогда ранг матрицы будет равен
количеству ненулевых строк в её ступенчатом виде.
Сначала
с
помощью
элементарных
преобразований получим 0 в 1-ом столбце на месте всех
элементов, кроме первого.
Вычтем из второй строки первую, умноженную
на три. Из третьей строки просто вычтем первую.
Получим эквивалентную матрицу, ранг которой равен
рангу исходной матрицы.
(1
0
3^
(\
0
А= 2
3
2 ~ 0
3
-4
5
V
5
"2v
3 '
/ 1
А =
3
2
4
0
4
5
\ 1
0
-3
V
Теперь можно умножить все строчки на (-1) все числа станут положительными. После этого
умножим третью строчку на 3 и вычтем из нее вторую.
60
\0
Л
0
\0
2 7
2
4
3
4
0 13
6,
7
8
2
I I I X 3 - I I I X 2
Матрица приведена к ступенчатому виду. В ней
остались 3 ненулевые строчки. Поэтому ранг последней
матрицы равен 3. Значит, и ранг исходной матрицы А
равен 3. г ( А ) ~ 3 .
1
О
3Л
П рим ер 5. Найти ранг матрицы А= 2
3
2
3
5
7' J
V"
Реш ение. Сначала с помощью элементарных
преобразований получим 0 в 1-ом столбце на месте всех
элементов, кроме первого.
Вычтем из второй строки первую, умноженную
на два. Из третьей строки вычтем первую, умноженную
на три. Получим эквивалентную матрицу, ранг которой
равен рангу исходной матрицы.
У
f1 0
(\ 0 3 Л
2 3 2 ~ 0 3 -4
,3
5 7,
5 -2 .
.0
Теперь умножим вторую строчку на 5, третью на 3, и потом из третьей вычтем вторую.
3> (1
(1 0
0
0
3 -4
0
15
0
5 - 2 , ,0
0
3 "
-20
14 ,
Матрица приведена к ступенчатому виду. В ней
остались 3 ненулевые строчки. Поэтому ранг последней
матрицы равен 3. Значит, и ранг исходной матрицы А
равен 3.
П ример 6. Найти ранг матрицы
f 1
3
-1
0
-1
2
1
3
2
11 -2
-4
4
-3
-3
Решение. Первую строку прибавим ко второй
строке. Из третьей строки вычтем первую, умножив на
2. Из четвертой строки вычтем первую, умножив на 3.
Получим следующую матрицу, эквивалентную данной:
62
Л-
/1
3
-1
0 "
0
5
0
3
0
5
0
-4
^0
-5
0
В этой матрице из
-3 ,
третьей строки вычтем вторую
вторую: А
(1
3
-1
0 "
0
5
0
3
0
0
0
-7
,0
0
0
0
,
Получена ступенчатая матрица, количество
ненулевых строк которой равно трём. Значит, г(А) = 3.
П рим ер 7. Найти ранг матрицы
63
Р еш ение
1
5
11
4
3
0
3
-3
-1
3
5
4
2
-1
0
-2
11-1x5
/ / / —/х 11
I V —1 x 4
<=>
3
-15
-30
-1 5
3
-1 5
0
0
-1
8
16
8
-1
8
0
0
2
-1 1
-2 2
-1 0
I V - I I
2
-1 1
0
1
У нас получилось три ненулевых стр о к и из четы рёх,
следовательно, Г ( В ) = 3
У праж нения для сам остоя тел ьн ого
реш ения
Н айти ранги следую щ их матриц:
64
f \
2
3
-1
5
4
1
4
О
3
-2 ,
1)
3)
2)
\
0
3
2
-3
1
О
-3
1
4
2
1
5
8
6
■1
-2
( 2
5)
4
0
-2
3
v3
-1
-5
' 1
3
-2
0
1
4
2
0
-5
2
7)
'Ъ
-7
8
0
1
3
5
1
8)
J
И)
4
10
1
4
-1
2
0
10
-3
7
1
2
3
-1
vl
/1
2
-Г
3
-1
5
4
1
4
0
3
-2 ,
4)
v
f 2
3
4
5
-1
0^
6) - 3
1
о
1
2
3
1
-1
о
3
2
4
3
4
1
0
1
1
2
3
9)
0
1 2
14
-2
10)
6 ,
f- \
2
1
Г
1
5
-8
1
7
-7
0,
,0
/ 0
1 -1
2
4
1
1
5
0
3
' 1
12)
65
0/
- 1Л
-1
3 0 о Г
2 1 5 7
5 1 5 8У
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим произвольную систему т линейных
уравнений с п неизвестными:
а 11 Х1 + а 12 х 2 +• • + а 1п- Хп =
а 21 Х1 + а 22 х 2 +- • + а 2 п - Х п =
b2
_a ml ' Х1 + а ш:Г Х2 + ••• + а т г Г Хп =
О)
m
В этой системе x j,x 2,...,xn - неизвестные: аи коэффициенты при неизвестных; Ь ъ Ъг, ...,bm
свободные члены. У всех коэффициентов при
неизвестных atJ первый индекс соответствует номеру
уравнения, второй индекс - номеру неизвестного X j.
Решением системы (1) называется совокупность
п значений неизвестныхx i =уг хг = у 2,..., х п - у п при
подстановке которой в систему (1) все её уравнения
обращаются в тождества.
Для решения систем линейных уравнений
применяется методы Крамера, Гаусса и обратной
матрицы. Методы Крамера и обратной матрицы могут
использоваться только для тех систем, в которых число
уравнений равно числу неизвестных. Метод Гаусса универсальный, он позволяет найти решение (или
66
определить,
системы.
что решений
нет) для
произвольной
Система, имеющая хотя бы одно решение,
называется совместной; система, не имеющая ни
одного решения, называется несовместной.
Совместная система, имеющая единственное
решение,
называется
определенной;
совместная
система, имеющая более одного решения, называется
неопределенной.
Две системы уравнений называются эквивалент­
ными, если они имеют одно и то же множество
решений.
Если все свободные члены в уравнениях системы
равны 0, система линейных уравнений (1) называется
однородной. Однородная система уравнений всегда
совместна. Действительно, такая система имеет,
например, нулевое решение:
хх = 0, х 2 = 0 , ..., х п —0.
Матрицы, составленные из коэффициентов
системы
67
А ,=
( яа 11
а 12
а 21
va ml
а 1п
V
а 22
а 2п
ь2
а т2
a mn
Ь,пу
•••
называются
соответственно
основном матрицей
системы и расш иренной матрицей системы.
Также можно рассматривать матрицы-столбцы
В -- свободных членов и X - неизвестных:
\
^ Ь) Л
bn
Х =
В=
VXI1J
V тУ
При помощи матричного умножения систему
уравнений (1) можно записать в виде:
АХ=В
68
(2)
ТЕМА 6
М ЕТОД КРАМЕРА
Если число уравнений равно числу неизвестных,
м атриц а^ линейной системы А-Х= В будет квадратной.
Если ее определитель не будет равен 0, то система
уравнений будет совместна и будет иметь единственное
решение. Эго решение можно найти по формулам
Крамера:
x i = ^r>
Л
Х2 = ~АГ ’
Х п = ТА*
(2 )
где А = |А( - определитель данной системы; А, определитель матрицы, получаемой из матрицы А
заменой г-го столбца (т.е. столбца коэффициентов при
Xj) столбцом В свободных членов. Формулы (2)
называются формулами Крамера.
Пусть система уравнений имеет вид:
Х 1 + а 12 Х2
+а
< а 21 ■Х 1
22 Х2
а ,1
• + а 1п ' Х п =
• + а 2п Х п =
ь2
а Ш ’ Х 1 + а п2 ’ Х 2 + • •' + а пп <Хп =
Через А обозначим определитель матрицы системы.
69
л = 1А | :
а П
а 12
‘ 12
22
Мп
2п
Ь1
а 12
‘"
а 1п
Ь2
а 22
'
а 2п
j r
II
1п
п2
Если
в
этом определителе
заменять
последовательно сначала 1-ый столбец столбцом
свободных членов В (получим определитель А1 или
Лх1); затем заменить 2-ой столбец столбцом В
(определитель А2) и т. д.; заменим n-ый столбец
столбцом В (определитель Лп).
>
Ьп
а п2
•
^ПП
аи
а 12
' ’■
а 12
а 22
'
а 1п
а п2
' •
Ь1
Ап = А хп =
ьп
После вычисления этих определителей можем
использовать формулы Крамера и найти решение
системы Метод Крамера применим только если
определитель системы не равен О, \А | * 0 .
После решения можно выполнить проверку,
подставив найденные значения в уравнения системы.
Если найдено правильное решение, все уравнения
обращаются в верные равенства.
70
Пример1. Решить систему уравнений методом
Крамера
3xj + х 2 = 15
Xj - 2 х 2 = - 2
Решение.
Прежде всего находим определитель А
Поскольку АФО, можно использовать метод
Крамера.
Теперь вычислим определители Ai и Аз.
полученные из определителя А заменой первого и
второго
столбцов
на
столбец
свободных
коэффициентов:
Д
Д
- 2 Л Н 154' 2)4 ’2) ' 1 ^ 28
Я 1S
I _ 2 - 3-(-2)-15Т =-21
Теперь можно применить формулы Крамера.
Сделаем проверку:
[3-4 + 3 - 1 5
[4 - 2 •(-3) = -2
Все
уравнения
превратились
71
в
тождества.
Значит, мы правильно определили решение системы.
П ри м ер
2.
Найти
решение
системы
+ х-, = 3
X,
4Х] + х 2 —х3 = 2
3xj - 2х2 + х3 = 3
Реш ение. В системе 3 уравнения
неизвестных. Найдем определитель системы
1 - 1
4
1
1 (
-1 ' = 1+3-8-3-(-4)-2 = -5
3
-2
1
Теперь вычислим определители Ai, Дг, Аз,
полученные
из
определителя
А,
заменой
соответствующих столбцов.
д
-1
1
-2
Л
2
з
3
А
1
4
3
-1
1
-2
1
-1
1
3+3-4-3-(-2)-6 = -5
1
-1 = 2-9+12-6+3-12 = -10
1
3
2
3
72
Применим формулы Крамера.
Aj__-5 _
= 2,
А ~ -5 ~
х.
_ А3
Х2~ А~ ~ 5
-2 0
= 4.
-5
Сделаем проверку:
1- 2 + 4 = 3
4- 1 + 2 - 4 = 2
31-2-2 +4 =3
Все уравнения превратились в равенства.
Значит, решение системы получено правильное.
П рим ер 3. Найти решение системы
3 xj - 2
х2
- 2
х3
=6
-х , + 3 х 2 + х3 = -1
xi + Зх2 х ,
1
Реш ение. Найдем определители
!3
Г1
11
6
-1
1
-2
3
3
-2
3
3
-2
1 = (-9) - 2 + 6 + 6 + 2 - 9 = -6
-1
-2
1 = (-1 8 )- 2 + 6 + 6 + 2 - 1 8
-1
73
-24
3
-1
1
6 - 2
-1
1 = 3 + 2 + 6 - 2 - 6- 3 = 0
1
-1
3 - 2
-1 3
1 3
6
-1
1
9 - 1 8 + 2 - 1 8 - 2 + 9 = -18
Применим теперь формулы Крамера.
_ ^1
А
-2 4 _
-6 - 4 ,
X; _
2 _ 0 _ О,
Сделаем проверку:
12 0 - 6
-
=
6
- 4 + 0 + 3 = -1
4 -ь 0 —3 —1
Ответ: xi = 4; Х2 = 0; хз = 3.
74
Л3
-18 _ ■
А
“6
Упражнения для самостоятельного решения
Решить системы уравнений методом Крамера
'3x1 + 2.Х2 — хз = 4,
1. х\ — Зхг + 4хз = 2,
.7xi + х г - 3 х з = 3.
Г2Х1 + 3x2 + 4хз = 3 3 ,
2. 17xi — 5x2
= 24,
(.4x1
+ И х з = —9.
( 2х\ + 3 x 2 + 4 x j = 12,
3. | 7xi — 5x2 + хз = —33,
(.4x1
+ хз = 12.
(
XI + 4X2 — хз = 6,
5x2 + 4хз = —20,
3xi — 2x2 + 5хз = —22.
(3xi — 2x2 + 4хз = 21,
5. I 3xi + 4x2 — 2хз = 9,
V 2X1 —Х2 —хз = 10.
3xi — 2x2 — 5хз = 5,
2xi + 3x2 —4хз = 12,
xi — 2 X2 + Зхз = —1.
!
|4xi + хг + 4хз = 19,
7. I 2xi —хг + 2хз = 11,
( xi + хг + 2хз = 8.
(2х\ - Х2 + 2хз = О,
8. 14xi + хг + 4хз = 6,
I xi + Х2 + 2хз = 4.
( 2xi —хг + 2хз = 8,
9. I xi + Х2 + 2хз = 11,
14x1 + Х2 + 4хз = 22.
10.
2xi —хг —Зхз = 0,
3xi + 4x2 + 2хз = 1,
XI + 5X2 + хз = —3.
'2xi —X? — Зхз = - 9 ,
xi + 5x2 + хз = 20,
(.3x1 + 4x2 + 2хз = 15.
{—3xi + 5x2 + бхз = —8.
12.1 3xi + Х 2 + хз = —4,
V xi — 4x2 — 2хз = —9.
|
75
ТЕМА 7
М ЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Рассмотрим систему, в которой число уравнений
равно числу неизвестных.
а 11 Х1 + а 12
а 21 • Х1 + а 22
х2н
аШ’ Х1 +
х 2 + " - + а Пп - х п
а п2
+ а 1п -хп
Такую систему уравнений можно записать в
матричной форме:
А-Х=В,
где матрицы X и В - матрицы-столбцы, они
имеют размер п х 1. Матрица А содержит
коэффициенты при неизвестных.
А=
V
41
42
In
*12
‘ 22
2п
In
п2
пп у
Если матрица системы А является
невырожденной (А Ф 0), то существует обратная
матрица А л .
Умножим обе части уравнения А Х = В слева на
А '\ получим
Учитывая свойства умножения матриц и
соотношение А ~1-А=Е, можем преобразовать левую
часть предыдущего уравнения:
А~ г-(А-X) = (А~1- А ) Х - E X = X.
Таким образом, решение системы уравнений в
матричной форме имеет вид:
Х=А~г В
Отметим, что метод обратной также, как и метод
Крамера применим только к системам, в которых число
уравнений равно числу неизвестных и определитель
системы Л не равен 0. При этих условиях система имеет
единственное решение, которое можно найти с
помощью обратной матрицы.
Для того, чтобы найти решение системы
методом обратной матрицы нужно сделать следующие
шаги:
1) Находим определитель системы. Если он не
равен 0, систему можно решить методом обратной
матрицы.
2) Находим обратную матрицу А~г.
3) Умножаем обратную матрицу слева на
столбец свободных коэффициентов А~х В. Полученное
произведение и будет решением системы.
77
П рим ер
1.
Найти
решение
системы
= 4
х, + х 2 —х 3
■< 2х, —2х2 + х 3
= 3
4х, —Зх2 —2 х 3
=
4
Реш ение. Сначала выпишем связанные с
системой матрицы: матрицу системы А, столбец
свободных коэффициентов В и столбец неизвестныхХ.
Найдем определитель матрицы А.
1
Д=
-
2 - 2
4
Теперь
дополнения.
1
-3
1
—4+4+6-8+4+3 —13
1
-2
вычислим
78
все
алгебраические
-2
1+1
-3
1+3
А 13= (-1)
2
-2
4
-3
4 -2
1 -1
3+1
-2
з+з 1
А33 =(-1>
2
Теперь
формуле:
А - = ±
13
2
1
4
1
-2
-1
-3
-2
1
1
> 1+2
А ]2 = ( - 1 )
-2
2+2
А 22 —(-1)
А 31 - ( - 1 )
1
7,
А „=Н)
1
1
-2
= 2,
= 2,
А 21 = (-1 )2+1
А 23= ( - 1 ) 2+3
= -1 ,
а
обратную
7
2
-1
= 5,
-
2
1
3,
= -4.
находим
5
8.
= 7,
-3
1 -1
4
32 = (-1 )3+2
=
8
2
-3
Лт
1_
7
13
-4
А 1по
матрицу
а7
5
-1л
8
2
-3
2
7 -4
Найдём решение системы по формуле X = А
Г1
5
-Г
( *2 = А-1 • В = — 8
13
,2
V
2
-3
7
-4
( ХЛ
г /2 8 + 15 - 4N
Ответ, xi = 3; хг = 2; хз = 1.
79
,
Э-
В
Упражнения для самостоятельного решения
Решить системы уравнений методом обратной
3)
4)
5)
6)
7)
х, + 3.x, + х 2
=
2.x, + 5х2 + Эх,
=
1
Зх, —х 2 - 2х3
=
-5
0
5.x - ,х2 - 3.x,
=
0
х, + 2.х2 + 2 х у
=
3
2х, —2 х , + х 3
=
6
4jc, + 1 х 2 + Зд:3
=
1
х, - 2 х 2 - х }
=
2
2.x, + х 2 - х 3
=
3
5х, —2 х 2 —х 3
=
-4
2х, + З х 2 —х 3
=
1
х, —4 х 2 + 2 х 3
=
0
2 х г + х 2 - 4jc3
=
0
х]-З х , +х3
=
3
Эх, —х г — 5х3
=
1
*2 ~ ХЪ
=
2
Зх, - х 2 - 2 х 3
=
1
х. + 2 х , - 5.x,
=
3
80
О
8)
- х 2 + 7х3
II
Г2х,
-
=
7
х, + Зх,
5х3
х, + Зх2 - Зх3
О
9)
- х 2 -1 4 х 3
=
1
Х[ + 5х2 - 2 х 3
=
1
5х,
5.г, 10)
1хг + х3
=
0
2дг, + 2х? + Зх3 =
3
х, + хг + 4х 2
= -1
7дг, - 2лг2 - Зх3 =
1
1
Н
х, + Зх2 + х3
to
Н
1 1ч
= -1
II
х , - х 2 +4х3
= 0
2х, + 2х 2 - Зх3
12)
< х,
- х 2 + 5х,
Зх, - 2х 2 + х3
Зх, —х2 -5 х ,
13)
. х, + 2х 2 + 2х3
2х, + х, + х.
1
= 3
=
4
=
0
=
1
=
0
= -1
=
1
81
ТЕМА 8
МЕТОД ГАУССА
Метод Гаусса основан на элементарных,
преобразованиях системы, при которых решение
системы
не
изменяется.
С
помощью
таких
преобразований
системы
осуществляется
последовательное исключение неизвестных.
Система
или
ее
расширенная
матрица
приводятся к ступенчатому виду, когда первый не
равный нулю элемент каждой следующей строки
расположен правее первого ненулевого элемента
предыдущей строки.
После этого включается «обратный ход» метода
Гаусса, когда в каждом ненулевом уравнеии
выбирается базисная переменная, которая выражается
через свободные переменные.
С помощью метода Гаусса можно решать
любые системы линейных уравнений, в том числе
системы, в которых число уравнений не равно числу
неизвестных.
В методе Гаусса используются элементарные
преобразования строк (уравнений), аналогичные тем,
которые рассматривались для нахождения ранга
матрицы. Важно, что в данном случае такие
преобразования можно применять только к строчкам
расширенной матрицы системы, но не к столбцам.
Элементарные преобразования:
82
1)
Умножение
обеих
частей
уравнения на число X * 0.
какого-либо
2)
Перестановка уравнений местами.
3)
Прибавление к обеим частям одного из
уравнений соответствующих частей любого
другого уравнения, умнож енного на одно и то
же число.
Такие элементарные преобразования не меняют
решения системы.
Две
системы
уравнений
называются
эквивалентными, если они имеют одно и то же
множество решений.
Переход с помощью преобразований от одной
системы уравнений к эквивалентной будем обозначать
знаками О .
Для удобство все коэффициенты системы
удобно выписывать в расширенную матрицу системы,
и далее все преобразования применять к строчкам
расширенной матрицы.
Рассмотрим произвольную систему с m
уравнениями и п неизвестными.
а 11 Х 1 + а 12 ' Х2
' + а 1п ' Х п = Ь,
а 21 X., + а 22 х 7■
L
а 2п ’ Х п —
О)
,a ml ‘ Х1 + a m 2 - x 2 + ‘ "‘
На
первом
a mri "Х п -
шаге
83
нужно,
элементарные
преобразования обратить в нули все коэффициенты в
первом столбце при неизвестной xi кроме
коэффициента в первом уравнении.
Пусть для определенности коэффициент а\\Ф О
(если ли = 0, то можно переставить первое уравнение с
другим). Будем умножать первое уравнение на числа
У —
—
Aj
и
вычитать
его
почленно
из
каждого
а 11
уравнения с номерами i=2,3,...,n. Например, умножим
первое уравнение системы на число ai\!aw и затем
вычтем его из второго уравнения этой системы.
Умножим обе части первого уравнения на число аг\!а\\
и вычтем его из третьего уравнения и так далее, т.е.
метод заключается в последовательном вычитании
первого уравнения, умножаемого на числа ац/ап, из
ых уравнений (i —2,3,... . т).
Получим эквивалентную систему, в которой xi
будет только в первом уравнении.
ап -xi + ai2 -х2 + (-а1п -хп = Ь,
-х2 +--- + а2п-хп = Ь2
a m 2 - X2 + " - + a m n ' Xn = Ьт
Разумеется, коэффициенты во всех уравнениях,
кроме первого, будут отличаться от тех, что были в
исходной системе.
На следующем шаге превращаем в нули все
коэффициенты во втором столбце, которые находятся
ниже второго уравнения.
В качестве второго уравнения выбираем то, в
84
котором коэффициент при хг не равен нулю и
исключаем хг из всех последующих уравнений.
Для этого умножаем второе уравнение на
соответствующие числа: <332/022 , <242/ 022 ,и вычитаем
полученные уравнения из 3-го, 4-го и всех
последующих уравнений системы. После этих операций
переменная хг будет исключена из всех последующих
уравнений системы.
Продолжая описанный процесс, после п-1 шага
получим систему следующего вида:
a n x i + a 12x 2 +--- + a lnx n = b 1
<
0+
a 22x 2 +--- + a 2nx n = р 2
0+
0+
0+
0
a 33x 3 + --- + a 3nx n = р 3
+ ... + 0 + a mnx n + a nnx n - | 3 n
Далее начинается «обратный ход» метода
Гаусса.
Из
полученной системы
находят все
неизвестные, начиная с последнего хп и кончая хь
П рим ер1. Найти решение системы методом
Гаусса:
2xi —хг — Зхз = О
3xi + 4x2 + 2хз = 1
Xi + 5X2 + хз = —3
(
Реш ение. Составим расширенную матрицу системы
85
г2
-1
3
4
2
5
1 - 3J
V1
-3 0 Л
1
Свободные
коэффициенты
составляют
последний столбец матрицы. Сначала поменяем
местами первую и третью строчки, чтобы в верхнем
левом углу была 1, так будет удобнее при
последующих преобразова н иях.
(i
5
1 -з"
1
<=> 3
4
2
1 Ч
v2
-1
'2
-1
-3 0 "
3
4
2
, 1
V
5
1
-3 0 ,
Вычтем из 2-ой строки первую, умноженную иа
3: а из 3-ей строки —первую, умноженную на 2. Эти
операции нужны для того, чтобы получить нули в
первом столбце.
1
3-3
5
4 -1 5
^2-2
-1 -1 0
(
1
2-3
-з Л
1+ 9
—
- 3 - 2 0 + 6у
1 —3'У\
1
5
0
-11
-1 10
v°
-1 1
- 5 6 ,,
(
Теперь из 3-ей строки отнимем 2-ую.
р
0
1°
5
1
-3
-1 1
-1
10
-1 1 + 1 1
N
-5 + 1 6 - 1 0 у
86
'1
=
0
V0
5
-1 1
0
1 -з"
- 1 10
-4
Л
Матрица приведена к ступенчатому виду.
Последней
полученной
матрице
соответствует
следующая система уравнений:
Xj + 5 х 2 + х 3 - - 3
-1 1 х 2 --х3 =10
- 4х3= -4
Рассмотрим
третье
уравнение
системы
—4 х 3 = —4 . Получаем Х3 = 1.
Второе уравнение имеет вид —1 IX 2 —
~ Ю .
Подставляем в него Х 3 = 1, получаем —1 IX2 —1 = Щ
откуда 1 1Х 2 — —11,
Теперь
х 2
— —1.
рассмотрим
первое
уравнение
Xj + 5X2 + Х3 = —3 . Подставим полученные значения
Х3 = 1,
Х2 ——1. Получим Xj —5 + 1 = —3 . Тогда
х, =1.
Ответ. Xj = 1 ,
Х 2 —~ 1,
Х3 = 1.
Рассмотрим теперь систему уравнений, в
которой число уравнений не равно числу неизвестных.
П ример2. Найти решение системы методом Гаусса:
Зх, + 5 х 2 + 4 х 3 - 8 х 4
=
7
< 2х, - З х 2 - х 3 + 2 х4
=
1
=
6
х, + 3х2 + 2 х 3- х 4
87
Решение. Составим расширенную матрицу системы
гъ
5
4
-8
2
-3
-1
2
ч1
3
2
-1
1
6у
Начнем элементарные преобразования с целью
привести матрицу к ступенчатому виду. Сначала
поменяем местами 1-ую и 3-ую строчки, чтобы поднять
наверх 1 в 1-ом столбце.
'з 5
2 -3
3
I1
4
-1
-8 7Л Г1 3
2 1 <=> 2 -3
-1
61
2 1
2
-1 6,
4
-8
I3
5
2
-1
V
Теперь вычтем из 2-ой строчки удвоенную 1ую. Из 3-ей строчки вычтем утроенную 1-ую.
61
'1
3
2
-1 6^
(1
3
2
2
-3
-1
2 1 <=> 0
-9
-5
4 -11
v3
5
4
-4
-2
-5 - l l j
-8
7J
-1
На следующем шаге нужно получить 0 вместо
-4. элемента 3-ей строки, 2-го столбца. С этой целью
сначала умножаем 2-ую строчку на 9, а 3-ью - на 4. А
потом из полученной 3-ей строки вычитаем 2-ую.
88
3
2
0
-3 6
-20
0
-3 6
-1 8
-1
6
>
16 -44
о
-45
(1
3
2
-1
0
-9
-5
4
0
2
0
V
61
-11
-6 1 -55J
После вычитания вторую строку можно обратно
поделить на 4. Теперь расширенная матрица приведена
к ступенчатому виду.
Начнем «обратный ход» метода Гаусса.
Последняя
строка
матрицы
определяет
уравнение 2Х} —6 IX 4 = —55. Теперь нужно выразить
или хз через Х4 или Х4 через хз. Поскольку коэффициент
прихз намного меньше, удобнее будет выразить
именно хз через Х4 . Получим:
х -6 1 /х _ 5 5 /
з ~ / 2 х4
/ 2
Мы выразили хз через Х4, поэтому Х4 будет
свободной переменной, а хз - базисной переменной.
При каж дом фиксированном значении свободных
неизвестных мож но вычислить соответствующие
значения базисных. На следующих шагах мы будем
выражать переменные xi и Х2 через свободную
переменную Х4 .
Вторая
определяет
строка
приведенной
уравнение
матрицы
—9 Х 2 —5Хз + 4 х 4 = —1 1 .
Подставляем в него выражение для Х 3 . Получаем
-9 х
2
- 5
х4 -
Выразим хг через Х4 :
89
j + 4 х 4 = -1 1
9х2 =11 + 4 х 4 - 3 0 ^ / х 4 +
^у2
9 x 2 = - 2 9 J / X 4 + 2 9 1/2
Х2 = - 3Х Х4 + 3К
Теперь раскроем первую строку матрицы первое уравнение имеет вид Х[ + ЗХ 2 +
2
х^ —X4 =
6
.
Подставим в него полученные выражения для Х 3 .
Окончательное
следующий вид:
реш ение
системы
имеет
• х , = - 3 ^ / х 4 + 3) /
х -6 1 /х _55/
х з ~ / 2 Х4
/2
Система
решений.
имеет
бесконечное
90
множество
Здесь Х4 - свободная переменная, ей можно
придавать различные значения и в зависимости от
этого получать соответствующие значения базисных
переменных Х |,Х 2 ,Х з.
Можем
записать
параметрическом виде.
решение
Придавая
значения
неизвестным
свободным
системы
в
произвольные
Х^ = 2а,
(умножение на 2 сделано, чтобы в записи общего
решения избавиться от дробей при параметре 2
)получим общее решение системы.
Произвольная система уравнений может быть
совместной или несовместной - иметь или не иметь
решения. Система с m уравнениями и п неизвестными
имеет вид
а11-х1+ а 12-х2 +--- + а1п-хп = Ь,
<
a 2i ' x i +
а 22
'Х 2 +
ь а 2п - х п = Ъ2
(1 )
a m r Xl + a m2 -X 2 + " - + a m n ' x n = Ь :
91
Ответ на вопрос, имеет ли система хотя бы одно
решение, дает теорема К ронекераКапелли.
Т еорем а
К ронекера-К апелли.
Система
линейных уравнений совместна тогда и только тогда,
когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной
матрицы системы.
Д о казательство .
Необходимость. Пусть система совместная,
тогда у нее существует хотя бы одно решение
Xj = a ls
Х2 = 0 2 , . . .
а 11а,1 +
а 12а 2 +
</ а 21°Ч +
а 22а 2 +
,a mla l +
а ш2а 2 +
>Хп “ а п...+
а 1па п
=
Ь1
***“Ь
а 2па п
=
ь2
••• +
а т п (-^п
=
Ьт
Расширенная
матрица
системы будет иметь вид
" а 11
а 1п
а 12
а 21
а 22
va ml
а т2
рассматриваемой
...
...
а 2п
ь2
а тп
Ьт у
Применим к этой матрице элементарные
преобразования
столбцов.
Элементарные
преобразования столбцов не изменяют ранг матрицы (в
отличии от реш ений системы уравнений), и если ранг
92
исходной матрицы равен г, то ранг преобразованной
матрицы также будет равен г.
Из последнего столбца матрицы Р вычтем
первый, умноженный на
второй, умноженный на
сх2,...,п —й столбец, умноженный на ССп.
4 i
Получим матрицу
=
а21
а1п
0
а21
а22 *" а2п
0
...
..................
...
\
...
0
vaml
ат2 • ашп
J
Столбец свободных коэффициентов состоит из
одних нулей. Поэтому ранг матрицы Pi равен рангу
матрицы без последнего нулевого столбца, т.е. ранг
r(Pi) равен рангу матрицы системы - без столбца
свободных коэффициентов.
Так как элементарные преобразования не
меняют ранг матрицы, то ранг новой матрицы
г(Р})
будет равен рангу исходной матрицы г(Р)= г.
Достаточность. Пусть ранг системы г (А)
равен рангу расширенной матрицы г(Р) = г(А)=т. По
определению ранга матрицы существует минор порядка
г, отличный от нуля. Пусть для определенности минор
‘11
имеет вид
а 22
Я,.
а,
а г2
а.
12
ФО.
93
Тогда исходную систему уравнений (1) можно
переписать в виде
а, ,х, + аих 2 + --- + alrx r
= Ьх- alr+lx r+]--------- аи хп
а2\Х\ + С11гХг Л
i- 02rXr
=
b2 ~ Cl2r+lXr+l
a2nxn
arlx t + ar2x2 + ••• + arrxr = br - arr^ x r+l
arrxn
Все остальные уравнения исходной системы
являются линейными комбинациями этих первых
уравнений. Неизвестные
Xr+j,X r+ 2 , ' * ,?Xn
могут
принимать различные значения. Они называются
свободными (с этим понятием мы уже познакомились
в
предыдущем
параграфе).
При
каждом
фиксированном значении свободных неизвестных
можно
вычислить
значения
соответствующих
неизвестных Х],Х2 v - Д р
которые
называются
базисными. При наличии свободных неизвестных
система будет иметь бесконечное множество решений
и, следовательно, эта система будет совместна. Если,
решая систему, выразить все базисные неизвестные
через свободные, то получим общее решение.
Также приведем важные дополнения к теореме
Кронекера-Капелли. Сформулируем их в виде 3
утверждений - возможных вариантов для множества
решений системы линейных уравнений.
I)
Если ран г матрицы системы равен рангу
расширенной матрицы и равен числу неизвестных,
г(Р)~г(А) = п, тогда система имеет единственное
решение.
94
2) Если ранг матрицы системы не равен рангу
расширенной матрицы,
г(Р)фг(А), система
несовместна, она не имеет реш ений.
3) Если ранг матрицы системы равен рангу
расширенной матрицы
и
меньш е
числа
неизвестных, г(Р )-г(А )
<п,
система и.неет
бесконечное множ ество решений.
Обычно исследование системы на совместность
проводится с помощью метода Гаусса.
Для исследования системы на совместность
можно определить следующий алгоритм:
1. Выписать расширенную матрицу.
2.
Привести
расширенную
матрицу
к
ступенчатому виду.
3. После приведения определить ранг матрицы
системы и ранг расширенной матрицы, сравнить их.
Если ранг матрицы системы равен рангу
расширенной матрицы, то система совместна.
Если ранги не равны, то система несовместна.
4. Если система совместна, можно найти ее
решение. Для этого выполнить «обратный ход» метода
Гаусса.
Составить
систему
уравнений,
соответствующую ступенчатой матрице.
5. Сравнить ранг матрицыг с числом неизвестны
Если г = п, то система имеет единственное
решение.
Если г<п, то система имеет бесконечное
множество решений.
6 . Найти решение системы.
Если г<п, выделить свободные неизвестные и
выразить через них базисные.
95
П ример 3. Найти решение системы методом Гаусса:
[ х,
+2
х2
- х 3 + х4
=
2
<3xj - х 2 + 2х 3 + х 4
= 3
4xj + х2 + х 3+ 2 х 4
= 5
Реш ение. Составим расширенную матрицу системы,
после этого приведём её к ступенчатому виду:
1
2
-1
1
Is
3
-1
2
1
3
4
1
1
2 5, II- 3*1
-4*1
V
<=>
(1
2
-1
0
~7
5
1°
0
0
1
2
-1
0
-7
5
-2 -3
-7
5
-2 Л
0
III-
2"
(1
1
2 "
-2 -3
0
После приведения к ступенчатому виду
количество ненулевых строк в матрице системы (без
последнего столбца) равно 2. В расширенной матрице
также остались 2 ненулевые строчки. Поэтому,
г(Р) = г(А) = 2.
Число неизвестных равно 4. Значит, система
будет иметь бесконечное множество решений.'
Второе уравнение имеет вид:
-7
х2
+ 5 х3 - 2
х4
= —3
96
В качестве базисной неизвестной на этом шаге
можно выбрать любую из Х2 ,Хз>Х.4 . Самый маленький
коэффициент стоит при Х4 , поэтому выберем именно
Х 4 . Тогда Х2 и Х3 будут свободными неизвестными.
3
2
7
5
2
■ - Х2 + - Х3
2
Выпишем первое уравнение:
+
2
х2 - х3 + х4 =
Теперь
подставим
2
выражение
для
Х4 ,
и
выразим Xj через Х2 Д 3 .
Xj = 2 - 2 х 2 + х 3 - х 4 = 2 - 2 х 2 + х 3
7"! х, + / 151
М 2,
' ))+ 1-2 + -2J
~2,
(
/3
2
7
5 4
х, + - х 3
2
/
1
3
—+ —х,
2
2 2
Таким образом, решение системы имеет вид:
1
3
3
X, = — + —Х7 — X,
х4 =
2
2
3
7
2
2
2
5
х , + -—
Х2
Х,
2
97
П ример 4. Найти решение системы методом Гаусса:
Xj - 2 х 2 +
х 3 + Зх4 = 1
<2xj - Зх2 + х3 -
5х 4 =
6
-4xj + 10х2 - 6х3 - 34х4 = 4
Реш ение. Запишем расширенную матрице системы.
(1
2
V-4
-2
1
3
-3
1
-5
10
-6
-3 4
6
4,
Теперь мы можем первую строку, умноженную
на 2 , вычесть из второй; первую строку, умноженную
на 4, прибавить к третьей. После этого расширенную
матрицу системы будет иметь вид
Г1
-2
1
3
0
1
-1
-1 1 4
2
-2
-2 2
п
V
Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду
нужно из третьей строчки вычесть удвоенную первую.
'1
-2
1
0
1
-1
0
0
v°
3
-1 1 4
0
98
Третья строчка - полностью нулевая. Она
соответствует уравнению 0 = 0 , под которое подходят
любые значения х. Поэтому 3-ью строчку можно
вычеркнуть.
'
1 - 2
v0
1
3
1
-1
Г
-1 1 4 ,
И в матрице системы и в расширенной матрице
остались две ненулевые строчки. Поэтому,
г(А) = 2, r(Ai) = 2, r(A) = r(Ai).
Система совместна.
Найдем ее решение.
Раскроем 2-ую строку матрицы.
х2 —хз —11х4 = 4
Выразим х2 через хЗ и х4, тем самым выберем
х2 в качестве базисной переменной, а хЗ и х4 - в
качестве свободных переменных.
х2 = х3 + 1 1х4 + 4
Рассмотрим первое уравнение.
Xj - 2
х2
+
х3
+ З х4 =1
Подставим в него выражение для х2.
Xj - 2
х3
-2 2
х4
-84-
х3
+З
х4
=1
Выразим xl через свободные переменные хЗ, х4.
Xj —Х3 + 1 9 х 4 + 9
99
Получаем реш ение системы,
X] = х3 +19х4 +9
х2 = х3 +11х4 +4
Упражнения для самостоятельного решения
Исследовать систему на совместность и в случае
совм естности реш ить ее методом Гаусса
1)
2х, + хг ■х, - х, + Зх<
3
5Х[ + 4 х 2 - 4х, - 4 х 4 +1 5х5
9.
Зх, + 2 х 2 - 2х3 - 2х4 + 7х5
5
Зх, + 2х 2 2)
х 3
+ 4х 4
X] + х 2 + х 3 - З х 4
5х, + 4 х 2 + х 3
3)
5
=
1
=
7
З х , - 2 х 2 + х 3+4 х 4
=
12
х ,-З х 2 - 4 х 3 +2х4
=
-3
2х,+3х2 +5х3 +2х4
=
15
5xj+3х2 -
=
27
6 х3+ 6 х4
Зх, - З х 2 + х 3
4)
■2х 4
=
5х 4
=
8
х, + х 2 - 2 х 4
4 Х [ - З х 2 + х 3 + Зх 4
=
4
=
11
+
100
5 х:4
6
7
2л:,
2 х 2 — лг3 + 6 х 4
— х 2 + Зл'з + х 4
1
.г, — 2 х , + З х 3
=
1
2х, — х 2 —х 3
=
0
Зх, + 2 х 2 + х 3
=
2
6х, — х 2 + З х 3
=
3
6)
7)
8)
Зх2 —4х3 +
З л ', +
.х, +
5)
х, — х 2 + З х 3
=
1
2х, + х 2 + х ,
=
0
4х, — х 2 + 7 х 3
=
2
5х, + х , + 5 х 3
=
1
2х, - х 2 +х3 - х 4
=
0
. х, + 2 х 2 - х3 + Зх4
=
2
10)
х, +2х, +Зх3- 4х4
х, - х2+2х3—х4
2х, +1хг +7х3-1 1х4
= 8
Зх, - 2 х 2 - х 3 + х 4
=
2
=
1
=
-1
. 4х,
= 3
= 1
- х 2 - З х 3 +3х4
х, + х, - 2х3 + 2 х 4.
И)
12)
CN
9)
II
Зх, - 4 х 2 + Зх3 + х,
2х, + 2х2 -
ху +Зх4
4х, - 4 х 2+.х3 +7х4 = 7
х1 - х 2 +х3 +2х4
= 3
х , + 2х2 - х, + х 4
х
+ 2 х2 + х 3 + 2х4
2л'| + 4,х2 - 4.т, + х 4
=
3
=
-1 2
=
О
101
—дг, + Зх2—x.j + x4 = 0
2x, - x, + x 3 + 2x4 = 1
3x, + x2 + x 3 + 5д:4 = 2
13)
И)
Зх, - 2x, + x3
x, + x2 - 2x3
4 x !-x 2—х,
8x, - 2x2 - 2x,
=1
= 0
= 1
= 2
55)
3x, - 4x2 + x3
x ,- x 2+2x3
2x,-3.v2-x .
- x, + 2x, + 3x3
= 3
= 2
= 1
= 1
5x, + x2 - 2x3 + 5x4 = 6
16)
. xl + x2 - 2x3 + 3x4
= 2
3x, - x 2 + 2x3 - x 4
17)
=
2x, - 6x2 + 2x3 - x4 = 4
. Xj - 3x2 + x3 —x4 = 2
X,+Xj+ 3x3 + 2x4 = 1
3x, - x2 + x3 - 2x4 =
18)
1
2
. x, + 2x2 + 2x3 —x4 - 3
2 x ,-3 x 2 - x } - x 4 = -1
19)
x, +2 x2- 2 x3 +3x4 =
1
3xt + x2 + 2x3- x 4
4
=
4X|+4x2+ x 3-3 x 4 = 12
=
—2
x , — 2 x 2 •+- x 3
=
3
2 x , + x 2 —3 x 3
=
1
3 x , —x 2 — 2 x 3
=
4
jc
20)
.
,
+ 3 x , —4 x 3
102
21)
2 х , - х , + Зх, + х 4
=
—х , + х , —2 х 3 + Здг4
=
1
Зх, - х г + 4х3 + 5.т4
=
5
=
х, - 2 х 2 + З х 3 - З х 4
22)
23)
24)
2
Зх, - х 2 + 2 х 3 - х 4
=
2х, + х 2 - х 3 + х 4
=
х, - 2 х2 + х3
=
5
Зх, + 2 х2 - х3 + 2 х4
=
-3
х , - х 2 + Зх3 + 5 х 4
=
3
х, + Зх2 + х3 —х4
=
1
4х, + 2х, + Зх3 + Зх4
=
0
Зх, + х2 + х3 - 2 х ,
=
2
х ,+ 3 х 2 - З х 3 + х 4
=
1
2х, - х2 + Зх3 —х 4
=
0
103
Литература.
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М. 1963.
2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов.
Учеб. пособие. Практикум /Под ред. Кремера Н.Ш., 2-е
изд., - М.: Ю нити 2010, - 477 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах. Ч. 1/ II.E. Данко,
А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.: ОНИКС. 2003.
4. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её
приложения: Учеб. пособие для вузов. 4-е изд ., испр. М: Наука, 1985.
5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей
математике/ В.П. Минорский - М.: Физматлит, 2.003.
6.
Красс М.С., Чупрынов Б.П. М атематика для
экономического бакалавриата: Учебник,- М.: ИНФРА М, 2 0 1 з.-4 7 2 с.
7. Новосельцева В.И. Линейная алгебра: Учебное
пособие. - М.: МИИТ, 2012, - 140 с.
8.
Сирош М.М. Элементы линейной алгебры: Учебное
пособие. - М.: МИИТ, 2014, - 80 с.
9. Малугин В.А. М атематика для экономистов:
Линейная алгебра. Курс лекций // М.: «Эксмо», 2006 г.
10. Ишханян М.В., Кекух Л.В., ФроловичевА.И.
Математика. Часть 1. Учебное пособие.// М.: МИИТ,
2013
104
Св. план 2016 г., поз.215
Каган Дмитрий Зиновьевич
Матрицы, определители, системы алгебраических
уравнений
Учебное пособие
Подписано в печать
Усл.-печ.л.
Заказ №
Тираж 100 экз.
Формат
105
/£ £ /^ 2