ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» Исследование функций и построение графиков Методические указания к самостоятельной работе для студентов строительных специльностей Издание второе, стереотипное Хабаровск 2012 УДК 517 (076.05) Исследование функций и построение графиков: Методические указания к самостоятельной работе для студентов строительных специальностей дневной вечерней форм обучения / Сост. В. И. Чеботарев. - Хабаровск: Хабар. политехн. ин-т, 1990. - 40 с. Работа составлена на кафедре высшей математики (с). Содержит указания по исследованию функций и построению графиков. Объем выполнения - 4 часа. Печатается в соответствии с решениями кафедры высшей математики (с) и методического совета строительного факультета. c Хабаровский политехнический институт, 1990. Содержание Введение. 1 §1.Предварительные сведения. Поведение графика в окрестности точки разрыва второго рода. Поведение функции на бесконечности. . . . . . . . . . . . . . . . . . Исследование на монотонность и экстремум. . . . . . . . . . . . . . Исследование на направление выпуклости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2.Метод промежуточных эскизов. 11 §3. Некоторые примеры построения Пример 3. . . . . . . . . . . . . . . . Пример 4. . . . . . . . . . . . . . . . Пример 5. . . . . . . . . . . . . . . . Пример 6. . . . . . . . . . . . . . . . Пример 7. . . . . . . . . . . . . . . . Пример 8. . . . . . . . . . . . . . . . графиков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §4. Построение «кусочных» функций. Варианты заданий Вариант 1 . . . . Вариант 2 . . . . Вариант 3 . . . . Вариант 4 . . . . Вариант 5 . . . . Вариант 6 . . . . Вариант 7 . . . . Вариант 8 . . . . Вариант 9 . . . . Вариант 10 . . . Вариант 11 . . . Вариант 12 . . . Вариант 13 . . . Вариант 14 . . . Вариант 15 . . . Вариант 16 . . . Вариант 17 . . . Вариант 18 . . . Вариант 19 . . . Вариант 20 . . . Вариант 21 . . . Вариант 22 . . . Вариант 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 5 8 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 13 14 15 17 17 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 21 21 21 22 22 22 22 23 23 23 23 24 24 24 24 25 25 25 25 26 26 26 Вариант Вариант Вариант Вариант 24 25 26 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 27 27 27 Введение. Обычно для построения графика сначала выясняют поведение функции, привлекая теоремы математического анализа, затем делают словесные выводы и уже как результат рассуждений получают график изучаемой функции (см., например, [1, стр. 239-242], [2, стр. 213-216], [3, стр. 182-186]). При этом, на наш взгляд, нет достаточного обоснования последовательности рассуждений. Кроме того, построение графика "сразу без промежуточых, как нам кажется, затрудительно для обучающихся. В §2 мы предлагаем свой подход к указанным двум аспектам задачи построения графиков. Суть подхода заключена в следующем общем принципе любых исследований. Сначала явление изучают «грубо», выделяя в нем главное. Потом, привлекая все больше информации, получают все более тонкие свойства явления. В результате исследователь приближается к истине. Для построения графиков указанный принцип используется следующм образом. В процессе исследования функции мы строим промежуточные эскизы, которые с ростом информации по своему виду приближаются к искомому графику. В §1 даны необходимые сведения из математического анализа. В §3 рассмотрены примеры использования метода. В §4 студент познакомится с так называемым "кусочными" функциями. Для закрепления изученного материала методические указания содержат варианты заданий. 1 §1. Предварительные сведения из математического анализа. Определение. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке α, если lim f (x) ≈ f (α). x→α Другими словами, непрерывность функции f (x) в точке α означает, что f (x) = f (α) при всех x, достаточно близких к α. Здесь важно выделить тот факт, что функция, нерерывная: т. α, почти постоянна в некоторой малой окрестности этой точки. Определение. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. График такой функции можно вычертить, двигаясь в одном направлении, скажем слева направо, не отрывая карандаша от графика. Известно, что каждая элементарная функция непрерывна в своей области определения. Обратим внимание читателя, что при построение графиков более важную роль играют не точки непрерывности, а как раз точки, в которых непрерывность нарушается. Такие точки называются точками разрыва. Различают точки разрыва двух родов. Определение. Точкой разрыва первого рода функции f (x) называется такая точка x0 , в которой функция имеет конечные левый и правый пределы, не равные между собой. Например, функция, график которой изображен на рис. 40, имеет разрыв первого рода в точке x = −1 : lim f (x) = 0, lim f (x) = −1. x→−1−0 x→−1+0 Для того чтобы описать точки разрыва другого вида, напомним некоторые понятия. Определение. Говорят, что предел функции равен бесконечности, когда x приближается к x0 слева (справа), если при этом значения функции неограниченно возрастают. В рассматриваемом случае применяют обозначения lim f (x) = +∞ или lim f (x) = +∞. x→x0 −0 x→x0 +0 Аналогично предел функции равен минус бесконечности, когда x приближается к x0 слева (справа), если при этом значения функции неограниченно убывают, то есть становятся меньше любого наперед заданного отрицательного числа. Применяют обозначения lim f (x) = −∞ или lim f (x) = −∞. x→x0 −0 x→x0 +0 1 1 = −∞, lim = ∞. x→0+0 x x→0−0 x Определение. Точкой разрыва второго рода для данной функции называется такая точка x0 , в которой функция имеет или бесконечный слева предел или бессконечный справа предел или не имеет предела. Приведем несколько примеров. Функция, график которой изображен на рис. 1, имеет разрыв второго рода в точке 1, причем предел слева конечен и равен 2, а предел слева равен бесконечности. Например, lim 2 y y6 6 y = sin π2 y= 2 1 x−1 − 12 x y=2 1 0 − 13 -1 1 2 1 0 1 3 1 2 - x - x рис. 2 рис. 1 π служит точкой разрыва второго рода: lim tg x = ∞, x→ π2 −0 2 π tg x = −∞ (см. рис.24). Далее, функция y = sin в точке O имеет разрыв второго рода, lim π x→ 2 −0 2 так как пределы справа и слева в этой точке не существует для рассматриваемой функции. С каждой точкой разрыва второго рода связана некоторая вертикальная прямая. Определение. Вертикальная прямая, задаваемая уравнением x = x0 , называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если в точке x0 передел слева или справа равен бесконечности. π -вертикальная асимптота графика функции y = tg x (см. рис. Например, прямая x = 2 24), прямая x = 1 - вертикальная асимптота графика функции, изображенного на рис. 1. Прямая x = 0 - вертикальная асимптота графика логарифмической функции (см. рис. 20, 21). Сравнивая графики, имеющие вертикальные асимптоты, нетрудно заметить следующее общее свойство: расстояние от точки (x, f (x)) графика функции y = f (x) до вертикальной асимптоты стремится к нулю при движении точки вдоль графика к бесконечности. Этим свойством могут обладать не только вертикальные асимптоты. Определение.Асимптотой графика функции f (x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (x, f (x)) графика до этой прямой стремится к нулю при движении этой точки вдоль графика к бесконечности. Для функции y = tg x точка Поведение графика в окрестности точки разрыва второго рода. Пусть известно, что lim f (x) = ∞. Это означает, что когда x приближается к x0 слева, то x→x0 −0 значения f (x) "убегают" в бесконечность. Возьмем для наглядности три точки x1 < x2 < x3 < x0 (можно и больше), достаточно близкие к x0 . На оси Oy отметим некоторые три больших числа y1 < y2 < y3 , причем подразумевается, что y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), y3 = f (x3 ). Заметим, что точки y1 , y2 , y3 должны отстоять достаточно далеко для начала координат, так как рассматривается случай lim f (x) = ∞. Отметим на плоскости три точки (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) и (x3 , y3 ). Проведем через x→x0 −0 них плавную кривую. В результате получим характерное поведение графика функции слева от точки разрыва второго рода, когда lim f (x) = ∞ (рис.3). Аналогичный прием можно x→x0 +0 3 использовать для того, чтобы понять, как ведет себя график функции справа от точки разрыва второго рода, когда lim f (x) = ∞ или −∞. На рис. 4 изображено характерное x→x0 +0 поведение графика в случае, когда lim f (x) = −∞. x→x0 +0 y y 6 6 q y3 y2 y1 q y1 y2 y3 q 0 x1 x2 x3 0 x0 x1 x2 x3x q q q - x рис. 4 1 Пример 1. Изобразить поведение функции y = в окрестности точки x = 1. x−1 1 y y = 1 6 x−1 Имеем lim = −∞. x→1−0 x − 1 q1 Поясним это. Возьмем несколько числовых значений x, q q q q q q1 3 5 3 приближающихся к 1 слева, например, x1 = 0, 9, x2 = 0, 99, −1 q 0 2 4 1 4 2 2 x 1 x3 = 0, 999. Подставим их в функцию y = и получим q −2 x−1 y1 = −10, y2 = −100, y3 = −1000. Эти вычисления приво1 q −4 дят нас к заключению, что значения функции y = x−1 "убегают"в минус бесконечность, если x приближается к рис. 5 1 слева. Если бы теперь мы взяли точки (0,9;-10), (0,99;-100), (0,999;-1000) и провели через них плавную кривую, то тем самым изобразили бы поведение функции в окрестности 1 (вблизи 1) слева. Но построение этих точек весьма затруднительно, и мы возьмем другие, более удобные значения x, приближающихся к 1 слева (хотя и не так быстро): x1 = 0, 1 3 x2 = , x3 = . Соответствующие значения функции: y1 = −1, y2 = −2, y3 = −4. Отмечая 2 4 1 3 точки (0; −1) , ; −2 , ; −4 на плоскости и проводя через них плавную кривую, получим 2 4 график исследуемой функции слева от = 1 (вблизи этой точки) (рис. 5). 1 Аналогично предыдущему, убеждаемся, что lim = ∞. Для этого достаточно вычисx→1+0 x − 1 лить значения функции в точках x1 = 1, 1, x2 = 1, 01, x3 = 1, 001. 3 Для построения графика выбираем на оси Ox более удобные точки x1 = 2, x2 = , 2 5 x3 = . Вычисляем соответствующие значения функции y1 = 1, y2 = 2, y3 = 4. Отмечая точки 4 рис. 3 4 3 5 (2; 1) , ;2 , ; 4 на плоскости и проводя через них плавную кривую, получаем график 2 4 функции справа от x = 1 (вблизи этой точки) (см. рис. 5). Поведение функции на бесконечности. Теперь нас будет интересовать геометрическое изображение функции при x → ∞ или x → −∞. Мы обсудим случай x → ∞ (второй случай рассматривается аналогично). Выделим три возможности: 1) график функции имеет горизонтальную асимптоту (рис. 6-8), 2) график функции имеет наклонную асимптоту (рис. 9-11), 3) график функции не имеет асимптот при x → ∞. y 6 y 6 q y1 q y2 q q y3 q q A q q x1 0 A y3 y2 y1 q q x2 x3 - x q 6 y q y2 y5 q A q q q - рис. 7 6 y y = f (x) y = kx + b q q y4 q y3 q 0 q x 1 x2 x3 x 0 рис. 6 y1 q q q q x1 xq2 qxq4 q x3 x5 y = f (x) - x - x 0 рис. 9 рис. 8 5 y 6 y = f (x) y 6 y= kx + b y= kx + b y = f (x) - x 0 0 рис. 10 рис. 11 - x 1. Пусть lim f (x) = A. Возьмем три достаточно больших числа (можно взять четыре x→∞ и т.д.) x1 < x2 < x3 на оси Ox и найдем соответствующие значения функции y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), y3 = f (x3 ). По предположению они близки к . Отметим эти три числа на оси Oy и три соответствующие точки (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), (x3 ; y3 ) на плоскости. Проводя через них плавную кривую, получим поведение функции при x → ∞ (рис. 7 или 8). Глядя на график, замечаем, что расстояние от точки (x, f (x)) графика до прямой y = A стремиться к нулю, когда x → ∞. Это означает, что прямая y = A является асимптотой. Ее называют горизонтальной асимптотой. Итак, если lim f (x) = A, то прямая, задаваемая уравнением y = A, является гориx→∞ зонтальной асимптотой, а функция может вести себя (при x → ∞) одним из трех способов, изображенных на рисунках 6-8. 2. Пусть lim f (x) = ∞ или −∞. В этом случае проверяют наличие наклонной асимптоты, x→∞ то есть такой прямой y = kx + b (k 6= 0), что расстояние от точки (x, f (x)) до этой прямой стремится к нулю, когда x → ∞. Справедливо утверждение: график функции y = f (x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b при x → ∞ тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы f (x) k = lim x→∞ x и b = lim [f (x) − kx] x→∞ . Если у функции есть наклонная асимптота, то при больших x графики функции y = f (x) и прямой y = kx + b сближаются. Это может происходить одним из способов, изображеных на рисунках 9-11. P (x) , то Замечание. Если функция является отношением двух многочленов f (x) = Q(x) наклонная асимптота существует тогда или только тогда, когда степень многочлена P (x) на 1 больше степени многочлена Q(x). 3. Пусть lim f (x) = ∞ или −∞, а наклонная асимптота не существует. Чтобы изобразить x→∞ характер изменения функции при x → ∞, возьмем три (а можно и больше) достаточно больших числа x1 < x2 < x3 и найдем y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), y3 = f (x3 ). Если lim f (x) = ∞, x→∞ то значения y1 , y2 , y3 велики. Отметим их на оси Oy, а затем три точки (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), (x3 ; y3 ). Проведя через них плавную кривую, получим график функции при достаточно больших x (рис. 12. 13). 6 6 y 6 y q y3 q y3 y2 y1 q y1 q x1 x2 x3 0 q y2 - x 0 рис. 12 q x1 x 2 x3 - x рис. 13 Аналогичные рассуждения помогают построить график функции y = f (x) при больших x, если lim f (x) = −∞. x→∞ x2 − 1 при x → ±∞. Так как степень 2x + 3 2 многочлена x −1 на 1 больше степени многочлена 2x+3, то наклонная асимптота существует. Найдем ее при x → ∞. Имеем Пример 2. Изобразить поведение функции y = x2 1 x2 − 1 = lim = , x→∞ 2x2 x→∞ (2x + 3)x 2 k = lim 3 3 2 2 x − 1 − x − x − x x −1 1 3 2 2 b = lim [ − x] = lim = lim =− . x→∞ 2x + 3 x→∞ x→∞ 2 2x + 3 2x 4 Здесь применим "способ выделения главного члена при x → ∞": в числителе и знаменателе y 6 оставлены только слагаемые с набольшей степенью. 3 1 x2 −1 y = 2x+3 Итак, прямая y = x − - наклонная асимптота 2 4 при x → ∞. Чтобы построить график функции 3 при больших x, осталось выяснить взаимное 0 s1 q q2 3 расположение асимптоты и графика. Возьмем, x − 4q например, x = 5 (достаточно большое число) и q −1 q 1 3 52 − 1 −3 или · 5- . Из выясним, что больше: 2·5+3 2 4 x2 −1 y = 2x+3 52 − 1 5 3 неравенства > − можно сделать вывод, 2·5+3 2 4 что при больших x график функции расположен рис. 14 над асимптотой. Этот график изображен в правой половине рисунка 14. Аналогично проверяется, что наклонной асимптотой при x → −∞ является та же прямая 1 3 y = x − и что значения функции при отрицательных, но больших по модулю x, меньше, 2 4 1 3 чем x − . Это значит, что график функции находится под асимптотой при x → −∞ ( рис. 2 4 14, левая половина). 2 7 Исследование на монотонность и экстремум. Теорема 1. Если f 0 (x) > 0 при всех x ∈ [a, b], то f (x) возрастает на [a, b]. Если f (x) < 0 при всех x ∈ [a, b], то f (x) убывает на [a, b]. Обратно, если дифференцируемая функция возрастает на [a, b], то f 0 (x) 6 0 при всех x ∈ [a, b], Если дифференцируемая функция убывает на [a, b], то f 0 (x) > 0 при всех x ∈ [a, b]. Определение. Точка x0 называется точкой максимума функции f (x), если при всех x, достаточно близких к x0 (x 6= x0 ), выполняется неравенство f (x) < f (x0 ). π точка гладкого максимума: Бывают гладкие и острые максимумы. На рис. 15 x = 2 π , 1 параллельно оси Ox. На рис. 16 x = 0 - точка острого касательная к графику в точке 2 максимума: в точке (0,0) касательная не существует. Кроме того, острый максимум бывает, когда касательная параллельна оси (рис. 18). Заметим, что функции, графики которых изображены на рисунках 15 и 16, имеют бесконечное число точек максимума (укажите их). y6 y6 1 −2π −π 0 −π 0 - π 2π x π - x −1 рис. 15 рис. 16 y6 y = q 1 −1 0 p |x| y6 q 0 - 1 x −1 q−1 - 1 q p y = − |x| рис. 17 рис. 18 Аналогично определяются точки минимума. 8 x Определение. Точка x0 называется точкой минимума функции f (x), если при всех x, достаточно близких к x0 (x 6= x0 ), выполняется неравенство f (x) > f (x0 ). Например, функция y =| sin x | имеет бесконечное число точек острого миимума, (рис. 15, x = 0, ±π,...), а функция y = − | sin x | имеет бесконечное число точек гладкого минимума √ π 3 (рис. 16, x = ± , x = ± π,...). Функция y = x |x=0 имеет острый минимум (рис. 17). 2 2 Определение. Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Геометрически гладкие экстремумы изображаются или плавными «холмиками» или плавными «ямками», а острые экстремумы - или «пиками» вверх или «пиками» вниз (рис. 15-18). Теорема 2 (необходимый признак экстремума). Если в точке x0 функция f (x) имеет экстремум, то f 0 (x) = 0 (случай гладкого экстремума). Краткое объяснение. Напомним, что существование производной f 0 (x0 ) равносильно существованию касательной к графику функции y = f (x) в точке (x0 , f (x0 )). В этом состоит геометрический смысл существования производной. Более того, f 0 (x0 ) равна угловому коэффициенту касательной, то есть f 0 (x0 ) = tg α, где α − угол между положительным направлением оси Ox и касательной, измеряемый против часовой стрелки (рис.19). y 6 y 6 y = f (x) Q Q Q Q Q f (x0 ) y = f (x) Qq Q Q Q Q Q x0 0 q f (x0 ) α Q xQ x0 0 рис. 19 - x рис. 20 Если x0 - точка гладкого экстремума, то, как видно на рис. 20, в точке (x0 , f (x0 )) касательная к графику параллельна оси Ox. Следовательно, tg α = 0. Отсюда f 0 (x0 ) = 0. Если x0 точка острого экстремума, то в точке (x0 , f (x0 )) не существует касательная к графику (см. рис. 15, точка (0,0) ). Следовательно, не существует и производная. Определение. Точка x0 , входящая в область определения исследуемой функции, называется критической, если f 0 (x) = 0 или f 0 (x) не существует. В случае, когда f 0 (x) = 0, эту точку приянато также называть стационарной. Если точка критическая, это еще не означает, что она является точкой экстремума. Например, функция y = x3 в точке x = 0 не имеет экстремума. (Приложение, рис. 14), но эта точка является критической, так как (x3 )0 |x=0 = 3x2 |x=0 = 0. Теорема 3. (первый достаточный признак экстремума). Пусть x0 - критическая точка функции y = f (x). Если производная f 0 (x) при переходе x через x0 слева направо меняет знак с «+» на «-», то x0 − точка максимума, если с «-» на «+», то x0 − точка минимума. 9 Краткое объяснение. Если f 0 (x) при переходе через x0 слева направо меняет знак с «+» на «-», то по теореме 1 слева от x0 функция возрастает, а справа убывает, то есть график функции в окрестности точки x0 представляет собой «холмик». Это и значит, что x0 − точка максимума. Аналогично объясняется второй случай. Иногда для исследования на экстремум удобно применять вторую производную. Теорема 4. (второй достаточный признак экстремума). Пусть x0 − стационарная точка. Если f 00 (x0 ) > 0, то x0 − точка минимума. Объяснение к этой теореме будет дано в следующем пункте. Исследование на направление выпуклости и точки перегиба. Определение. Кривая (на плоскости) называется выпуклой вверх, если она расположена ниже любой своей касательной (рис.21). Кривая называется выпуклой вниз, если она расположена выше любой своей касательной (рис.22). 6 y 6 y r y = f (x) y = f (x) q q - x 0 q - x 0 рис. 21 рис. 22 6 y y = f (x) - x 0 рис. 23 Определение.Точкой перегиба называется точка кривой, которая отделяет участки с разными направлениями выпуклости (рис. 23, точка А). Заметим, что в точке перегиба касательная пересекает кривую. Теорема 5. Если вторая производная f 00 (x) всюду в некотором интервале отрицательна, то часть графика функции y = f (x), соответствующая этому интервалу, выпукла вверх. Еслиf 000 (x) всюду в этом интервале положительна, то рассматриваемая часть графика выпукла вниз. 10 Замечание. Так как в окрестности точки гладкого максимума график обязан быть выпуклым вверх (см. рис. 15), то становится понятным утверждение теоремы 4: если f 0 (x0 ) = 0 и f 00 (x0 ) < 0, то x0 − точка максимума. §2. Метод промежуточных эскизов. Процедуру построения графиков мы разделим на три этапа. Первый этап. Применяем приемы исследования функций, не использующие производных: нахождение области определения, точек разрыва, исследование поведения в окрестности точек разрыва, исследование поведения на бесконечности, нахождение горизонтальных и наклонных асимптот, если они существуют. К этому этапу можно отнести нахождение точек пересеченя с осями координат (если это удается сделать) и другие уточнения. И самое важное: после каждого пункта исследования желательно строить эскиз, который бы отражал вновь полученную информацию о функции, причем каждый последующий эскиз уточнял бы или дополнял предыдущий. Второй этап. Применяя первую производную, находим точки экстремума (если они существуют), интервалы монотонности. Затем строим эскиз, который уточняет предыдущий. Заметим, что при исследовании на экстремум можно пользоваться и второй производной (см. теорему 4). Третий этап. С помощью второй производной находим точки перегиба и участки постоянного направления выпуклости графика. Затем производим дополнительные уточнения: угол наклона касательной в некоторых точках и т.д. Строим окончательный график. Заметим, что количество предварительных эскизов зависит, в основном, от опыта исследователя: чем больше опыта, тем меньше предварительных рисунков потребуется, чтобы построить график. §3. Некоторые примеры построения графиков. Рассмотрим примеры построения графиков. При этом предполагается, что рассуждения будет проводить не очень опытный, но добросовестный студент. Пример 3. Построить график функции y = (x + 1)(x2 + x + 1). Первый этап. Область определения − все действительные числа. Точек разрыва нет. Таким образом, график определен при всех . Далее, исследуя поведение на бесконечности, получается что lim (x + 1)(x2 + x + 1) = ∞ x→∞ и lim (x + 1)(x2 + x + 1) = −∞. x→−∞ 11 Кроме того, график не имеет асимптот. Вспоминая, как изображаются графики функций, которые так ведут себя на бесконечности (рис. 12 и 13), придем к эскизу, изображенному на рис. 24. y6 y6 1q - x 0 −1 q рис. 24 - x 0 рис. 25 Чтобы найти точку пересечения с осью Oy, достаточно найти значение функции при x = 0. Таким образом, (0,1) − точка пересечения графика с осью Oy. Для того чтобы определить точки пересечения с осью Ox, заметим, что график многочлена степени n пересекает ось Ox более, чем в n точках. В рассматриваемом случае максимальное число точек пересечения с осью Ox равно трем. Приравняем функцию к нулю. Легко видеть, что корнем функции (x + 1)(x2 +x+1) является число −1. Приравниваем к нулю x2 +x+1 и убеждаемся, что уравнение x2 + x + 1 = 0 действительных корней не имеет. Следовательно, график исследуемой функции пересекает ось Ox только в точке x = −1. С учетом полученной информации уточним рис. 24 (см. рис. 25). Второй этап. Чтобы найти производную, запишем функцию в виде y = x3 + 2x2 + 2x + 1. Тогда y 0 = 3x2 +4x+2. Дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, коэффициент при x2 положителен. Следовательно, y 0 > 0 для всех x. По теореме 1 функция всюду возрастает. Это соответствует рис. 25. 2 Третий этап. Имеем y 00 = 6x + 4. Следовательно, y 00 = 0 при x = − . Заполним таблицу 3 чередования знаков второй производной: 2 3 y 00 < 0 x<− 2 3 y 00 = 0 x=− 2 3 y 00 > 0 x>− 2 2 график имеет выпуклость вверх, при x > − − выпуклость 3 3 2 2 2 7 вниз. В результате вычислений получаем y − = . В силу предыдущего − ; 3 27 3 27 2 2 точка перегиба. Заметим еще, что y 0 − = ≈ 0, 67. 3 3 По теореме 5 при x < − 12 Следовательно, угол между касательной в точке перегиба и положительным направлением 1 оси Ox приблизительно равен 40◦ (так как tg 45◦ = 1, tg 30◦ = √ ≈ 0, 57). 3 Теперь из рис. 25 и последней информации получаем график исследуемой функции (рис. 26). Заметим, что характер поведения функции в основном отражен уже на рис. 25, а рис. 26 является лишь уточнением. y 6 1q q 7 q 27 - x − 32 0 рис. 26 Пример 4. Построить график функции y = (x + 2)(x2 − 4x + 3). Первый этап. Область определения − все действительные числа. Точек разрыва нет. Следовательно, график определен при всех x. Далее исследуем поведение на бесконечности: lim (x + 2)(x2 − 4x + 3) = lim x3 = ∞, x→∞ x→∞ lim (x + 2)(x2 − 4x + 3) = lim x3 = −∞. x→−∞ x→−∞ График не имеет асимптот. Первый эскиз так же, как на рис. 24 в предыдущем примере. Теперь определим точки пересечения с осями. Так как y(0) = 6, то (0,6) − точка пересечения с осью Oy. Далее, решаем уравнение (x + 2)(x3 − 4x + 3) = 0. Первый корень x1 = −2. Остается решить уравнение x2 − 4x + 3 = 0. По теореме Виетта x2 = 1, x3 = 3. Итак, x1 = −2, x2 = 1, x3 = 3 − точки пересечения с осью Ox. Учитывая предыдущую информацию, строим эскиз (рис. 27). y 6 y 6 q6 q6 q1 q q −2 0 - 3 x −2 q −1 q q 1 q xq5 q x4 0 3 −4 q рис.28 рис.27 13 - x Второй этап. Чтобы найти производную, запишем исследуемую функцию в виде 2 0 2 0 y = x3 − 2x √ − 5x + 6. Тогда y =√3x − 4x − 5. Решаем уравнение y = 0. Получаем 2 + 14 2 − 14 ≈ −0, 76, x5 = ≈ 2, 1. Заполним таблицу чередования знаков x4 = 3 2 производной: x < x4 y0 > 0 x = x4 y0 = 0 x4 < x < x 5 y0 < 0 x = x5 y0 < 0 x > x5 y0 = 0 В силу теоремы 3 x4 − точка максимума, x5 − точка миимума. Найдем значения функции в этих точках: y(x4 ) ≈ 8, 2, y(x3 ) ≈ −4. Теперь можно уточнить рис. 27 (см. рис. 28). Третий этап. Имеем y 00 = 6x−4. Заполним таблицу чередования знаков второй производной: 2 2 2 x= x> 3 3 3 y 00 < 0 y 00 = 0 y 00 > 0 x< Отсюда следует, что при x < 2 2 график имеет выпуклость вверх, x > − выпуклость вниз. 3 3 y 6 q6 −2 q −1 1 x q q q q q5q x4 0 2 3 −4 q рис.29 - x 2 56 Имеем y ≈ 2. В силу предыдущего = 27 3 2 56 , − точка перегиба. Теперь из рис. 28 3 57 и полученной информации получаем график исследуемой функции (рис. 29). Заметим, что на первом эскизе (рис. 27) уже в основном "схвачена"форма графика (поведение на бесконечности и два экстремума). Следующие два эскиза его уточняют. Пример 5. Построить график функции y = ln(x2 − 1). Первый этап. По определению логарифмируемое выражение должно быть положительным. Отсюда x2 − 1 > 0 − условие существования функции. Решая это неравенство, получим область определения: [−∞, −1] ∪ [1, ∞]. Функция непрерывна всюду в области определения. Кроме того, она четная. Следовательно, график симметричен относительно оси Oy. Выясним, как ведет себя функция справа от x = 1 ( в окрестности этой точки). Имеем lim ln(x2 −1) = −∞. Следовательно, прямая x = 1 - вертикальная асимптота (см. определение x→1+0 вертикальной асимптоты), а поведение графика при x, близких к 1, можно приблизительно изобразить, как на рис. 30. Пользуясь четностью функции, изображаем поведение функции в окрестности точки x = −1 (рис. 30). 14 y 6 −1 q y 6 q 0 1 q - x q −1 0 - 1 x рис.30 рис.31 Далее, посмотрим как ведет себя функция на бесконечности. Имеем lim ln(x2 − 1) = ∞. x→∞ С учетом этой информации дорисовываем предыдущий эскиз (см. рис. 31). Теперь уточним точки пересечения с осью√Ox. Решаем уравнение: ln(x2 − 1) = 0 : x2 − 1 = 1, x = ± 2. В результате получаем рис. 32. 2x , y 0 = 0 при x = 0 и y 0 не существует при x ± 1. Так как Второй этап. Имеем y 0 = 2 x −1 0, −1, 1 не входят в область определения, то функция y = ln(x2 − 1) не имеет критических точек. Далее, если x > 1, то y 0 > 0. Следовательно, функция возрастает при x > 1, а из-за симметричности, убывает при x < −1. Это соответствует рисунку 32. y y 6 6 √ q q −1 0 − 2 q q 1 √2 x q q −2 −1 0 рис.32 q 1 q - 2 x рис.33 2 x + 1 . Очевидно y 00 < 0 при всех допустимых x. СледоваТретий этап. Имеем y 00 = −2 2 (x − 1)2 тельно, график везде имеет выпуклость вверх. Это тоже согласуется с рис. 32. Ради большей точности найдем значение функции в какой-нибудь точке √ √ правее x = 1. Возьмем, например, такое число x0 , что x20 − 1 = e2 , то есть x0 = e2 + 1 ≈ 8 + 1 = 3. Очевидно, ln(x20 − 1) = 2. Учитывая это обстоятельство, получаем график (рис. 33). Пример 6. Построить график функции y= x2 + 1 . x−1 15 Первый этап. Область определения − все действительные числа, кроме 1, так как при x = 1 знаменатель обращается в ноль. Исследуем поведение в окрестности точки x = 1. Имеем x2 + 1 x2 + 1 = −∞, lim = ∞. lim x→1+0 x − 1 x→1−0 x − 1 Изобразим поведение графика вблизи точки x = 1 (рис. 34). Прямая x = 1 - вертикальная асимптота. y y 6 6 q −1 q 0 1 1 q - x −1q −1 q q0 1 - x рис.35 рис.34 Исследуем поведение функции на бесконечности. Имеем x2 + 1 x2 x2 + 1 lim = lim = ∞, lim = −∞. x→∞ x − 1 x→∞ x x→−∞ x − 1 Зададимся вопросом: существуют ли наклонные асимптоты? Так как степень многочлена, находящегося в числителе, на 1 больше степени многочлена, находящегося в знаменателе, то график функции имеет наклонные асимптоты. Найдем их, исходя из утверждения на стр. 9. Имеем x2 + 1 x2 + 1 = 1, b = lim ( − x) = 1. Отсюда следует, что наклонной асимптотой k = lim x→∞ x − 1 x→∞ (x − 1)x при x → −∞ является прямая y = x+1. Аналогично доказывается, что наклонной асимптотой при x → −∞ является эта же прямая. Для того чтобы изобразить поведение на бесконечности, необходимо выяснить взаимное расположение графика и асимптоты y = x + 1. Выясним, при каких x график функции находится выше асимптоты x2 + 1 > x+1. Решая это неравенство, y = x+1, то есть при каких x справедливо неравенство x−1 2 получаем > 0. x−1 Отсюда x > 1. Итак, при x > 1 график выше прямой y = x + 1, а при x < 1 − ниже. Рисуем эскиз (рис. 35), учитывая рис. 34, вновь полученную информацию и рассуждения на стр. 10. Кроме того, мы воспользовались тем, что y(0) = −1. Второй этап. √ √ x2 − 2x − 1 0 , y = 0 при x1 = 1 − 2 ≈ −0, 4, x2 = 1 + 2 ≈ 2, 4 не существует 2 (x − 1) только при x = 1. Однако x = 1 не входит в область определения функции и не может считаться критической точкой. Имеем y 0 = 16 Заполняем таблицу чередования знаков производной: x < x1 y0 > 0 x = x1 y0 = 0 x1 < x < 1 1 < x < x 2 y0 < 0 y0 < 0 x = x2 y0 = 0 x > x2 y0 > 0 Следовательно, x1 − точка максимума, x2 − точка минимума y(x1 ) ≈ −0, 8, y(x2 ) ≈ 4, 8. Уточняя предыдущий эскиз, получаем новый (рис. 36). y 6 Третий этап. q5 Имеем 1 q −1q q x 1 0 −1 q q q q - (2x − 2)(x − 1)2 − (x2 − 2x − 1)2(x − 1) 4 = . 4 (x − 1) (x − 1)3 y 00 = 1 2 x2 x Для всех x из области определения функции y 00 существует, y 00 6= 0 при всех x, y 00 > 0 при x > 1 y 00 < 0 при x < 1. рис.36 Следовательно, график имеет выпуклость вверх при x < 1 и выпукла вниз при x > 1. Это соответствует рис. 36. Если Вы чувствуете себя достаточно уверенными, попробуйте решить следующие задачи. Пример 7. Построить график функции y= p 3 (x − 1)(x2 + x + 1). Пример 8. Построить график функции y= √ 3 x2 · e−x . Ответы смотрите на рис. 37 и рис. 38 соответственно. y y 6 6 1q 0 q 1 −1 q - x q 0, 5 q q −1 x2 0 −1 q q q q рис.37 q- x1 1 x3 2 x 17 рис.38 Пояснение: 2 x1 = , y(x1 ) ≈ 0, 4, 3 √ 6 − 54 ≈ −0, 15, y2 = y(x2 ) ≈ 0, 24, x2 = 9 √ 6 + 54 x3 = ≈ 1, 5, y3 = y(x3 ) ≈ 0, 3. 9 (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) - точки перегиба. §4. Построение «кусочных» функций. Рассмотрим следующий пример. Пусть функция y равна x2 , если x ≤ 1, и равна x, если x > 1. Такую функцию кратко записывают в виде: ( x2 , если x ≤ 1; y= x, если x > 1. Ее график состоит как бы из двух «кусков» (рис. 39). Поэтому функции такого типа естественно называть «кусочными». y y 6 6 2 y=x q q q1 −1 0 q y = q 1 y = x3 x - x q1 y=0 q q −1 q 0 1 −1 - x рис.39 рис.40 Пример 9. Построить график функции ( 0, если x ≤ −1; y= x3 , если x > 1. При x ≤ −1 график совпадает с осью Ox, а при x > −1 − с графиком функции y = x3 (рис. 40). В точке x = −1 рассматриваемая функция имеет разрыв. Функции могут состоять из трех и более «кусков» (частей). Пример 10. Известен график функции (рис. 41). Задать ее с помощью формул. Эта функция состоит из пяти частей, соответствующих интервалам −∞ < x ≤ −1, −1 < x ≤ 0, 0 < x ≤ 1, 1 < x ≤ 2, 2 < x < ∞. 18 Легко определить формулу, которой задается каждая часть (прямая определяется двумя точками). y 6 Ответ: 0, x + 1, y = 1, −x + 2, 0, 1 qy = 1 −1 q y=0 Q Q2 q Q q - 1 y=0 x 0 если если если если если x ≤ −1, −1 < x ≤ 0, 0 < x ≤ 1, 1 < x ≤ 2, x > 2. рис.41 Замечание. Функции рассмотренного типа принято Пример 11. Построить график функции 2 x, если 2 y = (x + 2)(x − 4x + 3), если 2 x + 1, если x−1 называть также сплайнами. x < −2, −2 ≤ x < 1, x > 1. Учитывая рисунки 36 и 26, получаем требуемый график (рис. 42). y6 8q 6q 5q q 1q q −2−1 0 q 1 q −1 − 53 q q q q 2 x2 x - −2 рис.42 Пояснение: 2− √ 19 ≈ −0, 76, y4 = y(x4 ) ≈ 8, 2 3 √ x2 = 1 + 2 ≈ 2, 4, y2 = y(x2 ) ≈ 4, 8, x4 = 2 56 , 3 27 − точка перегиба. 19 Список литературы 1. Зельдович Я. Б., Яглом И. М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. −М.: Наука, 1982. − 510 с. 2. Бермант А. Ф., Арманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов. − М.: Наука, 1969.− 735 с. 3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, том первый. − М.: Наука, 1978. − 456 с. 20 Варианты заданий. Исследовать функции и построить их графики. Вариант 1. 1. y = x4 − 4x3 − 2x2 + 12x + 9. 1 − 2x2 2. y = . x − 1 2x + 1, если x < −1, 4 3 2 3.y = x − 4x − 2x + 12x + 9, если −1 ≤ x < 3, 2 1 − 2x , если x ≥ 3, x−1 Вариант 2. 1. y = −x3 + 3x2 − 3x + 1. x−1 2. y = . 2 1 − 2x −x3 + 3x2 − 3x + 1, если x < 2, − 1, если 2 ≤ x < 3, 3.y = x − 1 , если x ≥ 3,. 1 − 2x2 Вариант 3. 1. y = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x + 9. 3x2 + 2 2. y = . x4+ 2 3 x + 4x − 2x2 − 12x + 9, если x < 0, 9, если −3 ≤ x < 0, 3.y = 2 3x + 2 , если x ≥ 1. x+2 Вариант 4 1. −x3 + x2 − x + 6. x+2 2. y = 2 . x − 9 x+2 2 , если x < −3, x −9 3. y = 0, если −3 ≤ x < 0, 3 2 −x + x − x + 6, если x ≥ 0. 21 Вариант 5 1. y = −x3 + 3x2 + 6x − 8. x2 − x + 1 2. y = . 2x 1− −x3 + 3x2 + 6x − 8, если x < 1, 2 x −x+1 3.y = , если 1 ≤ x < 2, 1 − 2x − 1, если x ≥ 2. Вариант 6 1. y = 4x4 + 12x3 + 13x2 + 8x + 1. 1 − 2x 2. y = 2 . x +x−2 4 3 2 4x + 12x + 13x + 8x + 1, если x < −1, 1, если −1 ≤ x < 1, 3. y = 1 − 2x , если x ≥ 0. x2 + x − 2 Вариант 7 1. y = −x3 − x + 2. 2x2 − x − 1 2. y = . x2+ 1 2x − x − 1 x + 1 , если x < 0, 3. y = 0, если 0 ≤ x < 1, 3 −x − x + 2, если x ≥ 1. Вариант 8 1. y = −x3 − x − 2. 1+x 2. y = 2 . 4x − 4x + 1 −x3 − x − 2, если x < 0, если 0 ≤ x < 1, 3. y = −1 + 2x, 1 + x , если x ≥ 1. 4x2 − 4x + 1 22 Вариант 9 1. y = x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 4. 1 − x2 2. y = . 2 +4 x 3 x + 2x − 3x2 − 4x + 4, если x < 1, 2, если 1 ≤ x < 3, 3. y = 2 1 − x , если x ≥ 3. 2+x Вариант 10. 1. y = x3 + x − 2. x2 + 2 2. y = . 1 + 2x 3 x + x − 2, если x < 0, если 0 ≤ x < 3, 3. y = −2x + 1, 2 x + 2, если x ≥ 3. 1 + 2x Вариант 11 1. y = x3 − 3x2 − 6x + 8. 1 + 2x . 2. y = 2 + x2 x3 − 3x2 − 6x + 8, если x < 0, 8, если 0 ≤ x < 2, 3. y = 1 + 2x , если x ≥ 2. 2 + x2 Вариант 12 1. y = x4 − 4x3 + 4x2 . 1 + 2x 2. y = 2 . x −4 2x + 1 если x < −1, x2 − 4 , 3. y = 2x + 3, если −1 ≤ x < 1, 4 3 2 x − 4x + 4x , если x ≥ 1. 23 Вариант 13 1. y = x4 − 2x3 + x2 − 4. 1 + 5x2 2. y = . x 4+ 3 3 x − 2x + x2 − 4, если x < 2, − 1, если 2 ≤ x < 3, 3. y = 2 1 + 5x , если x ≤ 3. 3+x Вариант 14 1. y = x3 − 9x2 − 7x − 30. 2x2 2. y = − . 11(x − 1) x3 − 9x2 − 7x − 30, если x < 10, − 2, если 10 ≤ x < 11, 3. y = 2 2x , если x ≥ 11. − 11(x − 1) Вариант 15 1. y = x3 + 2x2 − 5x − 6. x−1 . 2. y = x+1 x3 + 2x2 − 5x − 6, если x < −1, − 3, если −1 ≤ x < 0, 3. y = x − 1 , если x ≤ 0. x+1 Вариант 16 1. y = 2x3 + 5x2 − 4x − 3. −x2 + x − 1 2. y = . 2x 1+ −x2 + x − 1 , если x < 0, 1 + 2x 3. y = 2x3 + 5x2 − 4x − 3, если 0 ≤ x < 1, x − 1, если x ≤ 1. 24 Вариант 17 1. y = −x3 + 5x2 − 11x + 15. 1 + 2x2 2.y = . x+3 1 + 2x2 , если x < −3, x+3 3. y = −x3 + 5x2 − 11x + 15, если −3 ≤ x < 0, 15, если x ≤ 0. Вариант 18 1. x3 + 3x2 + 5 + 7x. 1 + x − 3x2 . 2. y = 1+x 1 + x − 3x2 если x < −1, x+1 , 3. y = x3 + 3x2 + 7x + 5, если −1 ≤ x < 0, 5 − x, если x ≥ 0. Вариант 19 1. −x3 − 2x2 + 11x + 12. 4x2 − 1 2. y = . x + 24 4x если x < −4, x + 4, 3. y = −x3 − 2x2 + 11x + 12, если −4 ≤ x < 3, −x + 3, если x ≥ 3. Вариант 20 1. y = x3 − x2 − 4x + 4. 1 − 3x2 2. y = . 2 + x 2 1 − 3x , если x < −2, 2+x 3. y = x3 − x3 − 4x + 4, если −2 ≤ x < 2, x − 2, если x ≥ 2. 25 Вариант 21 1. y = x3 + 2x2 − x − 2. x2 + 3 2. y = . 2(x − 1) x2 + 3 если x < 1, 2(x − 1) , 3. y = x3 + 2x − x − 2, если 1 ≤ x < 0, −2 − x, если x ≥ 0. Вариант 22 1. y = x3 + 5x2 + 11x + 5. x2 + x + 2 2. y = . + 3) 2(x x2 + x + 2 если x < −3, 2(x + 3) , 3. y = x3 + 5x2 + 11x + 5, если −3 ≤ x < 0, 1, если x ≥ 0. Вариант 23 1. y = −x3 + 3x2 + 3 + 4. −4x2 + x + 1 2. y = . x3 − 4 2 −x + 3x + 3x + 4, если x < 0, −4x2 + x + 1 3. y = , если 0 ≤ x < 5, x−4 0, если x ≥ 5. Вариант 24 1. y = x3 − 5x2 + 5x − 4. x2 − x + 1 . 2. y = 43 − x 2 x − 5x + 5x − 4, если x < 4, 2 x −x+1 3. y = , если 4 ≤ x < 5, 4 − x 0, если x ≥ 5. 26 Вариант 25 1. y = x3 − 5x2 − 2x + 24. 5 − x2 2. y = . 3 x − x3 − 5x2 − 2x + 24, если x < 3, 5 − x2 3. y = , если 3 ≤ x < 4, x − 3 2x + 10, если x > 4, Вариант 26 1. y = x3 + 3x2 + 6x + 6. 2. y = ln(1 + x2 ). если x < −π, sin 3x, 3 2 3. y = x + 3x + 11x + 6, если −π ≤ x < 0, ln(1 + x2 ), если x ≥ 0. Вариант 27 1. y = x3 − 2x2 + 8x − 6. 2. y = xe−2x . 3 2 x − 2x + 8x − 6, если x < 3, 3. y = x − 3, если 3 ≤ x < 5, −x xe , если x ≥ 5. 27 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ Методические указания к самостоятельной работе для студентов строительных специльностей дневной и вечерней форм обучения. Владимир Иванович Чеботарев Редактор Л.С.Бакаева Технический редактор Л.А.Ушакова Н/К Подписано в печать 04.01.90. Формат 60х84 1/16. Бумага писчая. Офсетная печать. Усл. печ. л. 2,3. Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 300 экз. Заказ 51. Бесплатно. Редакционно-издательский отдел Хабаровского политехнического института. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136. Фотоофсетная лаборатория Хабаровского политехнического института. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136. 28
