Wilcoxon-W-Test

Критерий Вилкоксона W для проверки однородности
выборок. v. 1.2
А. Б. Сергиенко
11 марта 2015 г.
Аннотация
В данном документе дано описание критерия Вилкосона W по справочнику «Таблицы
математической статистики» [1, с. 93] и методика его применения.
Оглавление
1 Введение
2
2 Для чего использовать
2
3 Постановка задачи
3
4 Методика применения критерия
3
5 Применения критерия для случая с несколькими выборками
8
6 Табличные значения критических значений
10
Список литературы
22
1
1
Введение
Критерий Вилкосона W берется из справочника «Таблицы математической статистики»
[1, с. 93].
Данный документ представляет его версию 1.2 от 11 марта 2015 г.
Последнюю версию документа можно найти по адресу:
https://github.com/Harrix/Wilcoxon-W-Test
Программу для проверки двух выборок по критерию Вилкосона можно найти тут:
https://github.com/Harrix/HarrixWilcoxonW
Реализация алгоритма критерия Вилкосона можно найти в авторской библиотеке
HarrixMathLibrary в виде функции HML_WilcoxonW на языке C++:
https://github.com/Harrix/HarrixMathLibrary
С автором можно связаться по адресу sergienkoanton@mail.ru или http://vk.com/harrix.
Сайт автора, где публикуются последние новости: http://blog.harrix.org/, а проекты располагаются по адресу http://harrix.org/.
2
Для чего использовать
Часто этот критерий используют, чтобы сравнить две методики (или два способа про-
изводства чего-то и др.), и сказать, что одна методика (или способ и др.) лучше другой.
Например, в своем исследовании человек предлагает новый алгоритм оптимизации, который
по его предположению лучшего старого, или предлагает новый способ выплавки стали, и
хочет показать, что он лучше старого способа.
Сравнивают две методики (два способа и др.) по некоторому параметру. При этом сравнить две методики по единичному эксперименту нельзя, так как любая разница между
значениями параметра может лежать в области статистической ошибки. Нужно провести
некоторое множество экспериментов с одной и другой методикой, и после две полученные
выборки сравнить. Критерий Вилкосона служит для сравнения этих двух выборок, при условии, что мы не знаем законы распределения (что чаще всего и бывает) случайных величин,
по которым выборки формировались.
2
3
Постановка задачи
Имеется две выборки:
𝑎
¯
¯𝑏
При этом 𝑎
¯𝑖
p𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑚qT ,
p𝑏1, 𝑏2, . . . , 𝑦𝑛qT .
(1)
P R, 𝑖 1,𝑚, ¯𝑏𝑗 P R, 𝑗 1,𝑛. Предполагается, что 𝑚 ¤ 𝑛. Если 𝑚 ¡ 𝑛, то
меняем выборки местами.
Выдвигается гипотеза об однородности выборок:
𝐻0 : 𝑃 p𝑎
𝑥q 𝑃 p𝑏
𝑥q, p|𝑥|
8q .
(2)
𝑎 — случайное число того же закона распределения, что и элементы выборки 𝑎
¯; 𝑏 соотвественно определяется для выборки ¯𝑏; 𝑃 p𝑎
𝑥q, 𝑃 p𝑏
𝑥q — функции распределения
случайных величин соответствующих выборок.
То есть проверяется гипотеза о равенстве законов распределения выборок. Если гипотеза
при выбранном уровне значимости 𝑄 подтвердится, то делается вывод, что выборки 𝑎
¯ и ¯𝑏
были сформированы по одному и тому же закону распределения случайных чисел, а, значит,
системы, которые генерировали данные выборки по данному параметру не отличаются с
точки зрения выбранного уровня значимости. Например, если рассматривалось сравнение
двух алгоритмов: старого и нового, то это означает, что алгоритмы не отличаются друг от
друга. В противном случае можно говорить о статистическом различии алгоритмов.
4
Методика применения критерия
Опишем методику применения критерия, сопровождая каждый шаг примером. Пусть,
решаем для примера задачу сравнения двух алгоритмов 𝐴 и 𝐵 по некоторому параметру эффективности 𝐸, в результате чего получили выборки для алгоритмов 𝐴 и 𝐵 соответственно:
𝑎
¯
¯𝑏
t50; 41; 45; 12; 74; 56u ;
t13; 78; 50; 50; 46; 70; 90u .
При этом 𝑚 6, 𝑛 7.
3
1. Сформировать объединенный массив из двух выборок. Формируем объединенный массив 𝐷 как множество кортежей:
𝐷
𝑧𝑘
𝑠𝑘
(
1,𝑚 𝑛;
𝑎 , если 𝑘 1,𝑚;
% 𝑘
𝑏𝑘𝑚 , если 𝑘 𝑚 1,𝑚
$
& 1, если 𝑘 1,𝑚;
%
2, если 𝑘 𝑚 1,𝑚 𝑛.
$
&
𝑧 𝑘 ; 𝑠𝑘
,𝑘
𝑛.
Фактически мы берем все элементы первой выборки и приписываем к ним номер
выборки, а именно 1. Потом добавляем элементы второй выборки и приписываем к
ним номер второй выборки, а именно 2. Для рассмотренного выше примера получим:
𝐷
tp50; 1q ; p41; 1q ; p45; 1q ; p12; 1q ; p74; 1q ; p56; 1q ;
p13; 2q ; p78; 2q ; p50; 2q ; p50; 2q ; p46; 2q ; p70; 2q ; p90; 2qu .
2. Отсортировать объединенный массив в порядке возрастания.
Сортировка производится в порядке возрастания значений 𝑧𝑘 (𝑘
1,𝑚
𝑛).
В нашем примере получим следующее упорядоченное множество:
𝐷
xp12; 1q ; p13; 2q ; p41; 1q ; p45; 1q ; p46; 2q ; p50; 1q ;
p50; 2q ; p50; 2q ; p56; 1q ; p70; 2q ; p74; 1q ; p78; 2q ; p90; 2qy .
3. Проставить ранги элементам объединенного массива. Присвоим ранги каждому
1,𝑚
, 𝑘 1,𝑚
элементу в упорядоченном множестве 𝐷 , где ранг 𝑟𝑘 (𝑘
кортежа в 𝐷 . Получим множество 𝐷 𝑘
𝑘
𝑧 ;𝑠 ;𝑟
𝑘
(
𝑛) равен номеру
𝑛.
Для примера получим:
𝐷
xp12; 1; 1q ; p13; 2; 2q ; p41; 1; 3q ; p45; 1; 4q ; p46; 2; 5q ; p50; 1; 6q ;
p50; 2; 7q ; p50; 2; 8q ; p56; 1; 9q ; p70; 2; 10q ; p74; 1; 11q ; p78; 2; 12q ; p90; 2; 13qy .
Для одинаковых элементов с одинаковым значениям первой компоненты (одинаковые значения в первоначальных выборках) ранги пересчитаем, как среднеарифметические ранги этих элементов (при этом могут получаться дробные значения).
Получим множество 𝐷
𝑧 𝑘 ; 𝑠𝑘 ; 𝑟 𝑘
(
4
,𝑘
1,𝑚
𝑛.
В примере есть одна группа элементов, одинаковых по первой компоненте:
p50; 1; 6q ; p50; 2; 7q ; p50; 2; 8q. Присвоим каждому из элементов ранги, равные:
6
7
3
8
7.
В итоге получим множество:
𝐷
xp12; 1; 1q ; p13; 2; 2q ; p41; 1; 3q ; p45; 1; 4q ; p46; 2; 5q ; p50; 1; 7q ;
p50; 2; 7q ; p50; 2; 7q ; p56; 1; 9q ; p70; 2; 10q ; p74; 1; 11q ; p78; 2; 12q ; p90; 2; 13qy .
4. Посчитать значение статистики 𝑊 . В качестве статистики 𝑊 критерия Вилкосо-
на используется сумма рангов из 𝐷 элементов выборки с меньшим количеством
элементов, то есть первой выборки:
𝑊
𝑚
¸𝑛
𝑟 𝑘 2 𝑠𝑘
(3)
𝑘 1
Множитель 2 𝑠𝑘 используется таким, потому что при 𝑠𝑘
выборки) получим 2 𝑠
А при 𝑠𝑘
𝑘
1 (элементы
2 (элементы второй
0, и ранги второй выборки не будут суммироваться.
первой выборки) получим 2 𝑠𝑘 1, и ранги первой
выборки будут учитываться, умножаясь на 1.
При программировании критерия или при ручном подсчете можно не использовать
эту формулу, а только сложить ранги элементов первой выборки.
В рассматриваемом примере получим:
𝑊
1
3
4
7
9
11 35.
5. Выберем уровень значимости.
Уровень значимости 𝑄 — вероятность отклонить гипотезу 𝐻0 , если на самом деле
она верна (ошибка первого рода).
Выбрать значение значимости можно из следующих значений:
𝑄
𝑄
𝑄
𝑄
𝑄
𝑄
5
0.002;
0.01;
0.02;
0.05;
0.1;
0.2.
(4)
При уменьшении значения 𝑄 критические границы статистики 𝑊 будут «разъезжаться», потому что, если выборки однородны на самом деле, то нам с меньшей
вероятностью разрешено пропустить подтверждение их однородности, и поэтому мы
увеличиваем «площадку» для «ловли» однородности. При этом при большой разнице
выборок по статистике 𝑊 мы подтвердим однородность выборок.
Для большего понимания рассмотрим критические значения 𝑄, которые не участвуют в методике применения критерия Вилкосона, но помогут лучше разобраться в
принципе выставления критических границ статистики 𝑊 .
Если 𝑄 0, то нам никогда нельзя ошибиться и сказать, что выборки неоднородны,
хотя на самом деле они однородны. Поэтому мы всегда будем говорит, что выборки
однородны. С точки зрения критических границ статистики 𝑊 , это будет означать,
что границы будут максимально разнесены, и какое бы значение статистики 𝑊 мы
не подсчитали в критерии, то всегда оно попадет в границы интервала.
Если 𝑄
1, то мы можем всегда ошибаться в однородности выборок, поэтому для
критических границ статистики 𝑊 можем указать самые узкие значения.
Теперь рассмотрим рекомендации для применяемых значений 𝑄.
Если хотим, чтобы «с максимальной точностью» (в смысле рассматриваемого множества значений 𝑄) проверить наличие неоднородности между выборками, то выбираем 𝑄
0.002. Если при данном уровне критерий выдаст результат, что выборки
неоднородны, то при других значений Q (4) и подавно будет подтверждено наличие
неоднородности. Например, нам нужно показать, что новый алгоритм оптимизации
очень хорош и точно отличается от старого алгоритма.
Если хотим, чтобы с большей вероятностью было сказано, что выборки неоднородны
(например, сравниваемые алгоритмы оптимизации довольно похожи, но нам нужно
показать, что различия есть), то выбираем значение 𝑄 0.2. При этом критические
границы статистики 𝑊 будут максимально (в смысле рассматриваемого множества
значений 𝑄) сжаты.
Для рассматриваемого примера выберем 𝑄 0.05.
6. Получить критические границы статистики 𝑊 .
Если 𝑚 ¤ 25 и 𝑛 ¤ 25, то критические границы 𝑊𝐿𝑒𝑓 𝑡 , 𝑊𝑅𝑖𝑔ℎ𝑡 статистики 𝑊 получаем
из Таблицы 1 (стр. 10), где для разных размеров выборки и уровня значимости
даны значения критических границ. Если для какого-то набора значений размеров
выборки и уровня значимости нет данных, то значит, что с указанным уровнем
значимости провести проверку гипотезы не представляется возможным.
Обратите внимание, что если сопоставлять таблицы критических значений в других
источниках с Таблицей 1, то одинаковые нижние границы (или верхние) будут даны
6
для уровня значимости в два раза ниже, чем в Таблице 1. Это связано с тем, что
в других источниках указываются критические границы отдельно для нижних или
верхних границ, и фактически проверяется одностороння гипотеза. Но при переводе
на гипотезу 𝐻0 мы проверяем уже двухстороннюю гипотезу, и уровень значимости
надо повысить в два раза. В Таблице 1 даны значения сразу для нижней (левой) и
верхней (правой) границы, поэтому уровень значимости дается сразу увеличенный
в два раза, который и используется в проверке гипотезы 𝐻0 .
Если 𝑚 ¡ 25 или 𝑛 ¡ 25 (при этом 𝑚,𝑛 ¥ 5), то используем приближенные формулы
[1, с. 95]:
𝑊𝐿𝑒𝑓 𝑡
𝑖𝑛𝑡
𝑊𝑅𝑖𝑔ℎ𝑡
𝑚 p𝑚
𝑚 p𝑚
𝑛
𝑛
2
1q 1
Ψ p1 0.5𝑄q c
𝑚𝑛 p𝑚
𝑛
12
1q 𝑊𝐿𝑒𝑓 𝑡 .
1q
;
(5)
(6)
Тут Ψ p1 0.5𝑄q — значение обратной функции нормального распределения с пара-
метрами p0, 1q. Так как мы рассматриваем шесть различных уровня значимости, то
ниже даны значения Ψ p1 𝑄q для этих шести значений 𝑄 [1, с. 136]:
Ψ p1 0.5𝑄q
Ψ p1 0.5𝑄q
Ψ p1 0.5𝑄q
Ψ p1 0.5𝑄q
Ψ p1 0.5𝑄q
Ψ p1 0.5𝑄q
Ψ p1 0.5 0.002q Ψ p0.999q 3.090232;
(7)
Ψ p1 0.5 0.010q Ψ p0.995q 2.575829;
Ψ p1 0.5 0.020q Ψ p0.990q 2.326348;
Ψ p1 0.5 0.050q Ψ p0.975q 1.959964;
Ψ p1 0.5 0.100q Ψ p0.950q 1.644854;
Ψ p1 0.5 0.200q Ψ p0.900q 1.281552.
Обратите внимание, что для случая, когда 𝑚 ¡ 25, а 𝑛
5 (или наоборот), в данной
работе не приводятся данные о сравнении таких выборок. Табличные данные отсутствуют, а предложенные формулы недостаточно точны для таких объемов выборок.
В рассматриваемом примере 𝑚 6, 𝑛 7, поэтому критические значения статистики
находим по Таблице 1 при 𝑄 0.05:
𝑊𝐿𝑒𝑓 𝑡
𝑊𝑅𝑖𝑔ℎ𝑡
27;
57.
7. Сделать вывод по проверке гипотезы.
Если 𝑊
P r𝑊𝐿𝑒𝑓 𝑡; 𝑊𝑅𝑖𝑔ℎ𝑡s, то делаем вывод, что при уровне значимости 𝑄 выборки
однородны по критерию Вилкосона W.
7
Если 𝑊
R r𝑊𝐿𝑒𝑓 𝑡; 𝑊𝑅𝑖𝑔ℎ𝑡s, то делаем вывод, что при уровне значимости 𝑄 выборки
неоднородны по критерию Вилкосона W.
35, и это значение попадает в интервал r27; 57s.
Поэтому делаем вывод, что при 𝑄 0.05 выборки 𝑎
¯ и ¯𝑏 однородны. Поэтому два
В рассматриваемом примере 𝑊
алгоритма 𝐴 и 𝐵 по параметру 𝐸 статистически неразличимы.
8. Сравнить среднеарифметические значения при неоднородности выборок. Данный шаг не обязателен.
В случае, когда мы сравниваем, например, два алгоритма, кроме вывода о неоднородности выборок нам нужен вывод о том, какой алгоритм лучше. Для этого сравниваем
средние арифметические выборок и делаем вывод о том, какая из выборок по параметру «лучше» или «хуже» согласно смыслу, вкладываемого в параметр, который
заключен в выборках.
5
Применения критерия для случая с несколькими выборками
Предлагается следующая методика для случая, когда нужно сравнить не две, а несколько
выборок:
Тут 𝑁
(
𝐴𝑠 𝑎
¯1 ; 𝑎
¯2 ; . . . ; 𝑎
¯𝑁 ; .
¡ 2, 𝑎¯𝑗 𝑎
¯𝑗1 ; 𝑎
¯𝑗2 ; . . . ; 𝑎
¯𝑗𝑚𝑗
T
,𝑗
(8)
1,𝑁 . Итак, каждая выборка имеет 𝑚𝑗 элементов.
Рассматривается случай, когда нужно выбрать выборку с максимальным значением параметра и определить статистическое различие с другими выборками.
1. Вычислить для каждой выборки среднее арифметическое.
𝑎𝑗ср
°𝑚 𝑗
𝑗
𝑎¯𝑖 , 𝑗
𝑖 1
𝑚𝑗
1,𝑁 .
(9)
2. Выбрать выборку с максимальным значением среднего арифметического.
𝑎
¯𝑚𝑎𝑥
𝑘
𝑎¯𝑘 ,
(10)
arg max
𝑎𝑗ср , 𝑗 1,𝑁 .
𝑗
3. Сравнить по критерию Вилкосона данную выборку со всеми остальными выборками.
8
4. Сделать вывод о сравнении выборок.
Если по всем выборкам выборка 𝑎
¯𝑚𝑎𝑥 неоднородна, то делается вывод неоднородности выборки по отношению ко всем остальным. Если выборки обозначают эффективность алгоритмов, то алгоритм, который соотвествует выборке 𝑎
¯𝑚𝑎𝑥 , статистически
различен по отношению к другим алгоритмам.
Другие варианты пока не рассматриваются в данной методике.
Аналогично рассматривается случай, когда нужно выбрать выборку с минимальным значением параметра и определить статистическое различие с другими выборками.
9
6
Табличные значения критических значений
В таблице ниже даны критические значения статистики W для опреденных размеров
выборок.
Таблица 1. Нижние и верхние критические значения статистики W критерия Вилкосона
𝑄
𝑚
𝑛
0.002
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
1
9
r1; 10s
1
10
r1; 11s
1
11
r1; 12s
1
12
r1; 13s
1
13
r1; 14s
1
14
r1; 15s
1
15
r1; 16s
1
16
r1; 17s
1
17
r1; 18s
1
18
r1; 19s
1
19
r1; 20s
r2; 19s
1
20
r1; 21s
r2; 20s
1
21
r1; 22s
r2; 21s
1
22
r1; 23s
r2; 22s
1
23
r1; 24s
r2; 23s
1
24
r1; 25s
r2; 24s
1
25
r1; 26s
r2; 25s
2
3
r3; 9s
2
4
r3; 11s
2
5
r3; 13s
r4; 12s
2
6
r3; 15s
r4; 14s
2
7
r3; 17s
r4; 16s
Продолжение на следующей странице...
10
Таблица 1. Нижние и верхние критические значения статистики W критерия Вилкосона
𝑄
𝑚
𝑛
0.002
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
2
8
r3; 19s
r4; 18s
r5; 17s
2
9
r3; 21s
r4; 20s
r5; 19s
2
10
r3; 23s
r4; 22s
r6; 20s
2
11
r3; 25s
r4; 24s
r6; 22s
2
12
r4; 26s
r5; 25s
r7; 23s
2
13
r3; 29s
r4; 28s
r5; 27s
r7; 25s
2
14
r3; 31s
r4; 30s
r6; 28s
r8; 26s
2
15
r3; 33s
r4; 32s
r6; 30s
r8; 28s
2
16
r3; 35s
r4; 34s
r6; 32s
r8; 30s
2
17
r3; 37s
r5; 35s
r6; 34s
r9; 31s
2
18
r3; 39s
r5; 37s
r7; 35s
r9; 33s
2
19
r3; 41s
r4; 40s
r5; 39s
r7; 37s
r10; 34s
2
20
r3; 43s
r4; 42s
r5; 41s
r7; 39s
r10; 36s
2
21
r3; 45s
r4; 44s
r6; 42s
r8; 40s
r11; 37s
2
22
r3; 47s
r4; 46s
r6; 44s
r8; 42s
r11; 39s
2
23
r3; 49s
r4; 48s
r6; 46s
r8; 44s
r12; 40s
2
24
r3; 51s
r4; 50s
r6; 48s
r9; 45s
r12; 42s
2
25
r3; 53s
r4; 52s
r6; 50s
r9; 47s
r12; 44s
3
3
r6; 15s
r7; 14s
3
4
r6; 18s
r7; 17s
3
5
r6; 21s
r7; 20s
r8; 19s
3
6
r7; 23s
r8; 22s
r9; 21s
3
7
r6; 27s
r7; 26s
r8; 25s
r10; 23s
3
8
r6; 30s
r8; 28s
r9; 27s
r11; 25s
3
9
r6; 33s
r7; 32s
r8; 31s
r10; 29s
r11; 28s
3
10
r6; 36s
r7; 35s
r9; 33s
r10; 32s
r12; 30s
Продолжение на следующей странице...
11
Таблица 1. Нижние и верхние критические значения статистики W критерия Вилкосона
𝑄
𝑚
𝑛
0.002
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
3
11
r6; 39s
r7; 38s
r9; 36s
r11; 34s
r13; 32s
3
12
r7; 41s
r8; 40s
r10; 38s
r11; 37s
r14; 34s
3
13
r7; 44s
r8; 43s
r10; 41s
r12; 39s
r15; 36s
3
14
r7; 47s
r8; 46s
r11; 43s
r13; 41s
r16; 38s
3
15
r8; 49s
r9; 48s
r11; 46s
r13; 44s
r16; 41s
3
16
r8; 52s
r9; 51s
r12; 48s
r14; 46s
r17; 43s
3
17
r6; 57s
r8; 55s
r10; 53s
r12; 51s
r15; 48s
r18; 45s
3
18
r6; 60s
r8; 58s
r10; 56s
r13; 53s
r15; 51s
r19; 47s
3
19
r6; 63s
r9; 60s
r10; 59s
r13; 56s
r16; 53s
r20; 49s
3
20
r6; 66s
r9; 63s
r11; 61s
r14; 58s
r17; 55s
r21; 51s
3
21
r7; 68s
r9; 66s
r11; 64s
r14; 61s
r17; 58s
r21; 54s
3
22
r7; 71s
r10; 68s
r12; 66s
r15; 63s
r18; 60s
r22; 56s
3
23
r7; 74s
r10; 71s
r12; 69s
r15; 66s
r19; 62s
r23; 58s
3
24
r7; 77s
r10; 74s
r12; 72s
r16; 68s
r19; 65s
r24; 60s
3
25
r7; 80s
r11; 76s
r13; 74s
r16; 71s
r20; 67s
r25; 62s
4
4
r10; 26s
r11; 25s
r13; 23s
4
5
r10; 30s
r11; 29s
r12; 28s
r14; 26s
4
6
r10; 34s
r11; 33s
r12; 32s
r13; 31s
r15; 29s
4
7
r10; 38s
r11; 37s
r13; 35s
r14; 34s
r16; 32s
4
8
r11; 41s
r12; 40s
r14; 38s
r15; 37s
r17; 35s
4
9
r11; 45s
r13; 43s
r14; 42s
r16; 40s
r19; 37s
4
10
r10; 50s
r12; 48s
r13; 47s
r15; 45s
r17; 43s
r20; 40s
4
11
r10; 54s
r12; 52s
r14; 50s
r16; 48s
r18; 46s
r21; 43s
4
12
r10; 58s
r13; 55s
r15; 53s
r17; 51s
r19; 49s
r22; 46s
4
13
r11; 61s
r13; 59s
r15; 57s
r18; 54s
r20; 52s
r23; 49s
4
14
r11; 65s
r14; 62s
r16; 60s
r19; 57s
r21; 55s
r25; 51s
Продолжение на следующей странице...
12
Таблица 1. Нижние и верхние критические значения статистики W критерия Вилкосона
𝑄
𝑚
𝑛
0.002
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
4
15
r11; 69s
r15; 65s
r17; 63s
r20; 60s
r22; 58s
r26; 54s
4
16
r12; 72s
r15; 69s
r17; 67s
r21; 63s
r24; 60s
r27; 57s
4
17
r12; 76s
r16; 72s
r18; 70s
r21; 67s
r25; 63s
r28; 60s
4
18
r13; 79s
r16; 76s
r19; 73s
r22; 70s
r26; 66s
r30; 62s
4
19
r13; 83s
r17; 79s
r19; 77s
r23; 73s
r27; 69s
r31; 65s
4
20
r13; 87s
r18; 82s
r20; 80s
r24; 76s
r28; 72s
r32; 68s
4
21
r14; 90s
r18; 86s
r21; 83s
r25; 79s
r29; 75s
r33; 71s
4
22
r14; 94s
r19; 89s
r21; 87s
r26; 82s
r30; 78s
r35; 73s
4
23
r14; 98s
r19; 93s
r22; 90s
r27; 85s
r31; 81s
r36; 76s
4
24
r15; 101s
r20; 96s
r23; 93s
r27; 89s
r32; 84s
r38; 78s
4
25
r15; 105s
r20; 100s
r23; 97s
r28; 92s
r33; 87s
r38; 82s
5
5
r15; 40s
r16; 39s
r17; 38s
r19; 36s
r20; 35s
5
6
r16; 44s
r17; 43s
r18; 42s
r20; 40s
r22; 38s
5
7
r16; 49s
r18; 47s
r20; 45s
r21; 44s
r23; 42s
5
8
r15; 55s
r17; 53s
r19; 51s
r21; 49s
r23; 47s
r25; 45s
5
9
r16; 59s
r18; 57s
r20; 55s
r22; 53s
r24; 51s
r27; 48s
5
10
r16; 64s
r19; 61s
r21; 59s
r23; 57s
r26; 54s
r28; 52s
5
11
r17; 68s
r20; 65s
r22; 63s
r24; 61s
r27; 58s
r30; 55s
5
12
r17; 73s
r21; 69s
r23; 67s
r26; 64s
r28; 62s
r32; 58s
5
13
r18; 77s
r22; 73s
r24; 71s
r27; 68s
r30; 65s
r33; 62s
5
14
r18; 82s
r22; 78s
r25; 75s
r28; 72s
r31; 69s
r35; 65s
5
15
r19; 86s
r23; 82s
r26; 79s
r29; 76s
r33; 72s
r37; 68s
5
16
r20; 90s
r24; 86s
r27; 83s
r30; 80s
r34; 76s
r38; 72s
5
17
r20; 95s
r25; 90s
r28; 87s
r32; 83s
r35; 80s
r40; 75s
5
18
r21; 99s
r26; 94s
r29; 91s
r33; 87s
r37; 83s
r42; 78s
5
19
r22; 103s
r27; 98s
r30; 95s
r34; 91s
r38; 87s
r43; 82s
Продолжение на следующей странице...
13
Таблица 1. Нижние и верхние критические значения статистики W критерия Вилкосона
𝑄
𝑚
𝑛
0.002
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
5
20
r22; 108s
r28; 102s
r31; 99s
r35; 95s
r40; 90s
r45; 85s
5
21
r23; 112s
r29; 106s
r32; 103s
r37; 98s
r41; 94s
r47; 88s
5
22
r23; 117s
r29; 111s
r33; 107s
r38; 102s
r43; 97s
r48; 92s
5
23
r24; 121s
r30; 115s
r34; 111s
r39; 106s
r44; 101s
r50; 95s
5
24
r25; 125s
r31; 119s
r35; 115s
r40; 110s
r45; 105s
r51; 99s
5
25
r25; 130s
r32; 123s
r36; 119s
r42; 113s
r47; 108s
r53; 102s
6
6
r23; 55s
r24; 54s
r26; 52s
r28; 50s
r30; 48s
6
7
r21; 63s
r24; 60s
r25; 59s
r27; 57s
r29; 55s
r32; 52s
6
8
r22; 68s
r25; 65s
r27; 63s
r29; 61s
r31; 59s
r34; 56s
6
9
r23; 73s
r26; 70s
r28; 68s
r31; 65s
r33; 63s
r36; 60s
6
10
r24; 78s
r27; 75s
r29; 73s
r32; 70s
r35; 67s
r38; 64s
6
11
r25; 83s
r28; 80s
r30; 78s
r34; 74s
r37; 71s
r40; 68s
6
12
r25; 89s
r30; 84s
r32; 82s
r35; 79s
r38; 76s
r42; 72s
6
13
r26; 94s
r31; 89s
r33; 87s
r37; 83s
r40; 80s
r44; 76s
6
14
r27; 99s
r32; 94s
r34; 92s
r38; 88s
r42; 84s
r46; 80s
6
15
r28; 104s
r33; 99s
r36; 96s
r40; 92s
r44; 88s
r48; 84s
6
16
r29; 109s
r34; 104s
r37; 101s
r42; 96s
r46; 92s
r50; 88s
6
17
r30; 114s
r36; 108s
r39; 105s
r43; 101s
r47; 97s
r52; 92s
6
18
r31; 119s
r37; 113s
r40; 110s
r45; 105s
r49; 101s
r55; 95s
6
19
r32; 124s
r38; 118s
r41; 115s
r46; 110s
r51; 105s
r57; 99s
6
20
r33; 129s
r39; 123s
r43; 119s
r48; 114s
r53; 109s
r59; 103s
6
21
r33; 135s
r40; 128s
r44; 124s
r50; 118s
r55; 113s
r61; 107s
6
22
r34; 140s
r42; 132s
r45; 129s
r51; 123s
r57; 117s
r63; 111s
6
23
r35; 145s
r43; 137s
r47; 133s
r53; 127s
r58; 122s
r65; 115s
6
24
r36; 150s
r44; 142s
r48; 138s
r54; 132s
r60; 126s
r67; 119s
6
25
r37; 155s
r45; 147s
r50; 142s
r56; 136s
r62; 130s
r69; 123s
Продолжение на следующей странице...
14
Таблица 1. Нижние и верхние критические значения статистики W критерия Вилкосона
𝑄
𝑚
𝑛
0.002
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
7
7
r29; 76s
r32; 73s
r34; 71s
r36; 69s
r39; 66s
r41; 64s
7
8
r30; 82s
r34; 78s
r35; 77s
r38; 74s
r41; 71s
r44; 68s
7
9
r31; 88s
r35; 84s
r37; 82s
r40; 79s
r43; 76s
r46; 73s
7
10
r33; 93s
r37; 89s
r39; 87s
r42; 84s
r45; 81s
r49; 77s
7
11
r34; 99s
r38; 95s
r40; 93s
r44; 89s
r47; 86s
r51; 82s
7
12
r35; 105s
r40; 100s
r42; 98s
r46; 94s
r49; 91s
r54; 86s
7
13
r36; 111s
r41; 106s
r44; 103s
r48; 99s
r52; 95s
r56; 91s
7
14
r37; 117s
r43; 111s
r45; 109s
r50; 104s
r54; 100s
r59; 95s
7
15
r38; 123s
r44; 117s
r47; 114s
r52; 109s
r56; 105s
r61; 100s
7
16
r39; 129s
r46; 122s
r49; 119s
r54; 114s
r58; 110s
r64; 104s
7
17
r41; 134s
r47; 128s
r51; 124s
r56; 119s
r61; 114s
r66; 109s
7
18
r42; 140s
r49; 133s
r52; 130s
r58; 124s
r63; 119s
r69; 113s
7
19
r43; 146s
r50; 139s
r54; 135s
r60; 129s
r65; 124s
r71; 118s
7
20
r44; 152s
r52; 144s
r56; 140s
r62; 134s
r67; 129s
r74; 122s
7
21
r46; 157s
r53; 150s
r58; 145s
r64; 139s
r69; 134s
r76; 127s
7
22
r47; 163s
r55; 155s
r59; 151s
r66; 144s
r72; 138s
r79; 131s
7
23
r48; 169s
r57; 160s
r61; 156s
r68; 149s
r74; 143s
r81; 136s
7
24
r49; 175s
r58; 166s
r63; 161s
r70; 154s
r76; 148s
r84; 140s
7
25
r50; 181s
r60; 171s
r64; 167s
r72; 159s
r78; 153s
r86; 145s
8
8
r40; 96s
r43; 93s
r45; 91s
r49; 87s
r51; 85s
r55; 81s
8
9
r41; 103s
r45; 99s
r47; 97s
r51; 93s
r54; 90s
r58; 86s
8
10
r42; 110s
r47; 105s
r49; 103s
r53; 99s
r56; 96s
r60; 92s
8
11
r44; 116s
r49; 111s
r51; 109s
r55; 105s
r59; 101s
r63; 97s
8
12
r45; 123s
r51; 117s
r53; 115s
r58; 110s
r62; 106s
r66; 102s
8
13
r47; 129s
r53; 123s
r56; 120s
r60; 116s
r64; 112s
r69; 107s
8
14
r48; 136s
r54; 130s
r58; 126s
r62; 122s
r67; 117s
r72; 112s
Продолжение на следующей странице...
15
Таблица 1. Нижние и верхние критические значения статистики W критерия Вилкосона
𝑄
𝑚
𝑛
0.002
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
8
15
r50; 142s
r56; 136s
r60; 132s
r65; 127s
r69; 123s
r75; 117s
8
16
r51; 149s
r58; 142s
r62; 138s
r67; 133s
r72; 128s
r78; 122s
8
17
r53; 155s
r60; 148s
r64; 144s
r70; 138s
r75; 133s
r81; 127s
8
18
r54; 162s
r62; 154s
r66; 150s
r72; 144s
r77; 139s
r84; 132s
8
19
r56; 168s
r64; 160s
r68; 156s
r74; 150s
r80; 144s
r87; 137s
8
20
r57; 175s
r66; 166s
r70; 162s
r77; 155s
r83; 149s
r90; 142s
8
21
r59; 181s
r68; 172s
r72; 168s
r79; 161s
r85; 155s
r92; 148s
8
22
r60; 188s
r70; 178s
r74; 174s
r81; 167s
r88; 160s
r95; 153s
8
23
r62; 194s
r71; 185s
r76; 180s
r84; 172s
r90; 166s
r98; 158s
8
24
r64; 200s
r73; 191s
r78; 186s
r86; 178s
r93; 171s
r101; 163s
8
25
r65; 207s
r75; 197s
r81; 191s
r89; 183s
r96; 176s
r104; 168s
9
9
r52; 119s
r56; 115s
r59; 112s
r62; 109s
r66; 105s
r70; 101s
9
10
r53; 127s
r58; 122s
r61; 119s
r65; 115s
r69; 111s
r73; 107s
9
11
r55; 134s
r61; 128s
r63; 126s
r68; 121s
r72; 117s
r76; 113s
9
12
r57; 141s
r63; 135s
r66; 132s
r71; 127s
r75; 123s
r80; 118s
9
13
r59; 148s
r65; 142s
r68; 139s
r73; 134s
r78; 129s
r83; 124s
9
14
r60; 156s
r67; 149s
r71; 145s
r76; 140s
r81; 135s
r86; 130s
9
15
r62; 163s
r69; 156s
r73; 152s
r79; 146s
r84; 141s
r90; 135s
9
16
r64; 170s
r72; 162s
r76; 158s
r82; 152s
r87; 147s
r93; 141s
9
17
r66; 177s
r74; 169s
r78; 165s
r84; 159s
r90; 153s
r97; 146s
9
18
r68; 184s
r76; 176s
r81; 171s
r87; 165s
r93; 159s
r100; 152s
9
19
r70; 191s
r78; 183s
r83; 178s
r90; 171s
r96; 165s
r103; 158s
9
20
r71; 199s
r81; 189s
r85; 185s
r93; 177s
r99; 171s
r107; 163s
9
21
r73; 206s
r83; 196s
r88; 191s
r95; 184s
r102; 177s
r110; 169s
9
22
r75; 213s
r85; 203s
r90; 198s
r98; 190s
r105; 183s
r113; 175s
9
23
r77; 220s
r88; 209s
r93; 204s
r101; 196s
r108; 189s
r117; 180s
Продолжение на следующей странице...
16
Таблица 1. Нижние и верхние критические значения статистики W критерия Вилкосона
𝑄
𝑚
𝑛
0.002
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
9
24
r79; 227s
r90; 216s
r95; 211s
r104; 202s
r111; 195s
r120; 186s
9
25
r81; 234s
r92; 223s
r98; 217s
r107; 208s
r114; 201s
r123; 192s
10
10
r65; 145s
r71; 139s
r74; 136s
r78; 132s
r82; 128s
r87; 123s
10
11
r67; 153s
r73; 147s
r77; 143s
r81; 139s
r86; 134s
r91; 129s
10
12
r69; 161s
r76; 154s
r79; 151s
r84; 146s
r89; 141s
r94; 136s
10
13
r72; 168s
r79; 161s
r82; 158s
r88; 152s
r92; 148s
r98; 142s
10
14
r74; 176s
r81; 169s
r85; 165s
r91; 159s
r96; 154s
r102; 148s
10
15
r76; 184s
r84; 176s
r88; 172s
r94; 166s
r99; 161s
r106; 154s
10
16
r78; 192s
r86; 184s
r91; 179s
r97; 173s
r103; 167s
r109; 161s
10
17
r80; 200s
r89; 191s
r93; 187s
r100; 180s
r106; 174s
r113; 167s
10
18
r82; 208s
r92; 198s
r96; 194s
r103; 187s
r110; 180s
r117; 173s
10
19
r84; 216s
r94; 206s
r99; 201s
r107; 193s
r113; 187s
r121; 179s
10
20
r87; 223s
r97; 213s
r102; 208s
r110; 200s
r117; 193s
r125; 185s
10
21
r89; 231s
r99; 221s
r105; 215s
r113; 207s
r120; 200s
r128; 192s
10
22
r91; 239s
r102; 228s
r108; 222s
r116; 214s
r123; 207s
r132; 198s
10
23
r93; 247s
r105; 235s
r110; 230s
r119; 221s
r127; 213s
r136; 204s
10
24
r95; 255s
r107; 243s
r113; 237s
r122; 228s
r130; 220s
r140; 210s
10
25
r98; 262s
r110; 250s
r116; 244s
r126; 234s
r134; 226s
r144; 216s
11
11
r81; 172s
r87; 166s
r91; 162s
r96; 157s
r100; 153s
r106; 147s
11
12
r83; 181s
r90; 174s
r94; 170s
r99; 165s
r104; 160s
r110; 154s
11
13
r86; 189s
r93; 182s
r97; 178s
r103; 172s
r108; 167s
r114; 161s
11
14
r88; 198s
r96; 190s
r100; 186s
r106; 180s
r112; 174s
r118; 168s
11
15
r90; 207s
r99; 198s
r103; 194s
r110; 187s
r116; 181s
r123; 174s
11
16
r93; 215s
r102; 206s
r107; 201s
r113; 195s
r120; 188s
r127; 181s
11
17
r95; 224s
r105; 214s
r110; 209s
r117; 202s
r123; 196s
r131; 188s
11
18
r98; 232s
r108; 222s
r113; 217s
r121; 209s
r127; 203s
r135; 195s
Продолжение на следующей странице...
17
Таблица 1. Нижние и верхние критические значения статистики W критерия Вилкосона
𝑄
𝑚
𝑛
0.002
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
11
19
r100; 241s
r111; 230s
r116; 225s
r124; 217s
r131; 210s
r139; 202s
11
20
r103; 249s
r114; 238s
r119; 233s
r128; 224s
r135; 217s
r144; 208s
11
21
r106; 257s
r117; 246s
r123; 240s
r131; 232s
r139; 224s
r148; 215s
11
22
r108; 266s
r120; 254s
r126; 248s
r135; 239s
r143; 231s
r152; 222s
11
23
r111; 274s
r123; 262s
r129; 256s
r139; 246s
r147; 238s
r156; 229s
11
24
r113; 283s
r126; 270s
r132; 264s
r142; 254s
r151; 245s
r161; 235s
11
25
r116; 291s
r129; 278s
r136; 271s
r146; 261s
r155; 252s
r165; 242s
12
12
r98; 202s
r105; 195s
r109; 191s
r115; 185s
r120; 180s
r127; 173s
12
13
r101; 211s
r109; 203s
r113; 199s
r119; 193s
r125; 187s
r131; 181s
12
14
r103; 221s
r112; 212s
r116; 208s
r123; 201s
r129; 195s
r136; 188s
12
15
r106; 230s
r115; 221s
r120; 216s
r127; 209s
r133; 203s
r141; 195s
12
16
r109; 239s
r119; 229s
r124; 224s
r131; 217s
r138; 210s
r145; 203s
12
17
r112; 248s
r122; 238s
r127; 233s
r135; 225s
r142; 218s
r150; 210s
12
18
r115; 257s
r125; 247s
r131; 241s
r139; 233s
r146; 226s
r155; 217s
12
19
r118; 266s
r129; 255s
r134; 250s
r143; 241s
r150; 234s
r159; 225s
12
20
r120; 276s
r132; 264s
r138; 258s
r147; 249s
r155; 241s
r164; 232s
12
21
r123; 285s
r136; 272s
r142; 266s
r151; 257s
r159; 249s
r169; 239s
12
22
r126; 294s
r139; 281s
r145; 275s
r155; 265s
r163; 257s
r173; 247s
12
23
r129; 303s
r142; 290s
r149; 283s
r159; 273s
r168; 264s
r178; 254s
12
24
r132; 312s
r146; 298s
r153; 291s
r163; 281s
r172; 272s
r183; 261s
12
25
r135; 321s
r149; 307s
r156; 300s
r167; 289s
r176; 280s
r187; 269s
13
13
r117; 234s
r125; 226s
r130; 221s
r136; 215s
r142; 209s
r149; 202s
13
14
r120; 244s
r129; 235s
r134; 230s
r141; 223s
r147; 217s
r154; 210s
13
15
r123; 254s
r133; 244s
r138; 239s
r145; 232s
r152; 225s
r159; 218s
13
16
r126; 264s
r136; 254s
r142; 248s
r150; 240s
r156; 234s
r165; 225s
13
17
r129; 274s
r140; 263s
r146; 257s
r154; 249s
r161; 242s
r170; 233s
Продолжение на следующей странице...
18
Таблица 1. Нижние и верхние критические значения статистики W критерия Вилкосона
𝑄
𝑚
𝑛
0.002
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
13
18
r133; 283s
r144; 272s
r150; 266s
r158; 258s
r166; 250s
r175; 241s
13
19
r136; 293s
r148; 281s
r154; 275s
r163; 266s
r171; 258s
r180; 249s
13
20
r139; 303s
r151; 291s
r158; 284s
r167; 275s
r175; 267s
r185; 257s
13
21
r142; 313s
r155; 300s
r162; 293s
r171; 284s
r180; 275s
r190; 265s
13
22
r145; 323s
r159; 309s
r166; 302s
r176; 292s
r185; 283s
r195; 273s
13
23
r149; 332s
r163; 318s
r170; 311s
r180; 301s
r189; 292s
r200; 281s
13
24
r152; 342s
r166; 328s
r174; 320s
r185; 309s
r194; 300s
r205; 289s
13
25
r155; 352s
r170; 337s
r178; 329s
r189; 318s
r199; 308s
r211; 296s
14
14
r137; 269s
r147; 259s
r152; 254s
r160; 246s
r166; 240s
r174; 232s
14
15
r141; 279s
r151; 269s
r156; 264s
r164; 256s
r171; 249s
r179; 241s
14
16
r144; 290s
r155; 279s
r161; 273s
r169; 265s
r176; 258s
r185; 249s
14
17
r148; 300s
r159; 289s
r165; 283s
r174; 274s
r182; 266s
r190; 258s
14
18
r151; 311s
r163; 299s
r170; 292s
r179; 283s
r187; 275s
r196; 266s
14
19
r155; 321s
r168; 308s
r174; 302s
r183; 293s
r192; 284s
r202; 274s
14
20
r159; 331s
r172; 318s
r178; 312s
r188; 302s
r197; 293s
r207; 283s
14
21
r162; 342s
r176; 328s
r183; 321s
r193; 311s
r202; 302s
r213; 291s
14
22
r166; 352s
r180; 338s
r187; 331s
r198; 320s
r207; 311s
r218; 300s
14
23
r169; 363s
r184; 348s
r192; 340s
r203; 329s
r212; 320s
r224; 308s
14
24
r173; 373s
r188; 358s
r196; 350s
r207; 339s
r218; 328s
r229; 317s
14
25
r177; 383s
r192; 368s
r200; 360s
r212; 348s
r223; 337s
r235; 325s
15
15
r160; 305s
r171; 294s
r176; 289s
r184; 281s
r192; 273s
r200; 265s
15
16
r163; 317s
r175; 305s
r181; 299s
r190; 290s
r197; 283s
r206; 274s
15
17
r167; 328s
r180; 315s
r186; 309s
r195; 300s
r203; 292s
r212; 283s
15
18
r171; 339s
r184; 326s
r190; 320s
r200; 310s
r208; 302s
r218; 292s
15
19
r175; 350s
r189; 336s
r195; 330s
r205; 320s
r214; 311s
r224; 301s
15
20
r179; 361s
r193; 347s
r200; 340s
r210; 330s
r220; 320s
r230; 310s
Продолжение на следующей странице...
19
Таблица 1. Нижние и верхние критические значения статистики W критерия Вилкосона
𝑄
𝑚
𝑛
0.002
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
15
21
r183; 372s
r198; 357s
r205; 350s
r216; 339s
r225; 330s
r236; 319s
15
22
r187; 383s
r202; 368s
r210; 360s
r221; 349s
r231; 339s
r242; 328s
15
23
r191; 394s
r207; 378s
r214; 371s
r226; 359s
r236; 349s
r248; 337s
15
24
r195; 405s
r211; 389s
r219; 381s
r231; 369s
r242; 358s
r254; 346s
15
25
r199; 416s
r216; 399s
r224; 391s
r237; 378s
r248; 367s
r260; 355s
16
16
r184; 344s
r196; 332s
r202; 326s
r211; 317s
r219; 309s
r229; 299s
16
17
r188; 356s
r201; 343s
r207; 337s
r217; 327s
r225; 319s
r235; 309s
16
18
r192; 368s
r206; 354s
r212; 348s
r222; 338s
r231; 329s
r242; 318s
16
19
r196; 380s
r210; 366s
r218; 358s
r228; 348s
r237; 339s
r248; 328s
16
20
r201; 391s
r215; 377s
r223; 369s
r234; 358s
r243; 349s
r255; 337s
16
21
r205; 403s
r220; 388s
r228; 380s
r239; 369s
r249; 359s
r261; 347s
16
22
r209; 415s
r225; 399s
r233; 391s
r245; 379s
r255; 369s
r267; 357s
16
23
r214; 426s
r230; 410s
r238; 402s
r251; 389s
r261; 379s
r274; 366s
16
24
r218; 438s
r235; 421s
r244; 412s
r256; 400s
r267; 389s
r280; 376s
16
25
r222; 450s
r240; 432s
r249; 423s
r262; 410s
r273; 399s
r287; 385s
17
17
r210; 385s
r223; 372s
r230; 365s
r240; 355s
r249; 346s
r259; 336s
17
18
r214; 398s
r228; 384s
r235; 377s
r246; 366s
r255; 357s
r266; 346s
17
19
r219; 410s
r234; 395s
r241; 388s
r252; 377s
r262; 367s
r273; 356s
17
20
r223; 423s
r239; 407s
r246; 400s
r258; 388s
r268; 378s
r280; 366s
17
21
r228; 435s
r244; 419s
r252; 411s
r264; 399s
r274; 389s
r287; 376s
17
22
r233; 447s
r249; 431s
r258; 422s
r270; 410s
r281; 399s
r294; 386s
17
23
r238; 459s
r255; 442s
r263; 434s
r276; 421s
r287; 410s
r300; 397s
17
24
r242; 472s
r260; 454s
r269; 445s
r282; 432s
r294; 420s
r307; 407s
17
25
r247; 484s
r265; 466s
r275; 456s
r288; 443s
r300; 431s
r314; 417s
18
18
r237; 429s
r252; 414s
r259; 407s
r270; 396s
r280; 386s
r291; 375s
18
19
r242; 442s
r258; 426s
r265; 419s
r277; 407s
r287; 397s
r299; 385s
Продолжение на следующей странице...
20
Таблица 1. Нижние и верхние критические значения статистики W критерия Вилкосона
𝑄
𝑚
𝑛
0.002
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
18
20
r247; 455s
r263; 439s
r271; 431s
r283; 419s
r294; 408s
r306; 396s
18
21
r252; 468s
r269; 451s
r277; 443s
r290; 430s
r301; 419s
r313; 407s
18
22
r257; 481s
r275; 463s
r283; 455s
r296; 442s
r307; 431s
r321; 417s
18
23
r262; 494s
r280; 476s
r289; 467s
r303; 453s
r314; 442s
r328; 428s
18
24
r267; 507s
r286; 488s
r295; 479s
r309; 465s
r321; 453s
r335; 439s
18
25
r273; 519s
r292; 500s
r301; 491s
r316; 476s
r328; 464s
r343; 449s
19
19
r267; 474s
r283; 458s
r291; 450s
r303; 438s
r313; 428s
r325; 416s
19
20
r272; 488s
r289; 471s
r297; 463s
r309; 451s
r320; 440s
r333; 427s
19
21
r277; 502s
r295; 484s
r303; 476s
r316; 463s
r328; 451s
r341; 438s
19
22
r283; 515s
r301; 497s
r310; 488s
r323; 475s
r335; 463s
r349; 449s
19
23
r288; 529s
r307; 510s
r316; 501s
r330; 487s
r342; 475s
r357; 460s
19
24
r294; 542s
r313; 523s
r323; 513s
r337; 499s
r350; 486s
r364; 472s
19
25
r299; 556s
r319; 536s
r329; 526s
r344; 511s
r357; 498s
r372; 483s
20
20
r298; 522s
r315; 505s
r324; 496s
r337; 483s
r348; 472s
r361; 459s
20
21
r304; 536s
r322; 518s
r331; 509s
r344; 496s
r356; 484s
r370; 470s
20
22
r309; 551s
r328; 532s
r337; 523s
r351; 509s
r364; 496s
r378; 482s
20
23
r315; 565s
r335; 545s
r344; 536s
r359; 521s
r371; 509s
r386; 494s
20
24
r321; 579s
r341; 559s
r351; 549s
r366; 534s
r379; 521s
r394; 506s
20
25
r327; 593s
r348; 572s
r358; 562s
r373; 547s
r387; 533s
r403; 517s
21
21
r331; 572s
r349; 554s
r359; 544s
r373; 530s
r385; 518s
r399; 504s
21
22
r337; 587s
r356; 568s
r366; 558s
r381; 543s
r393; 531s
r408; 516s
21
23
r343; 602s
r363; 582s
r373; 572s
r388; 557s
r401; 544s
r417; 528s
21
24
r349; 617s
r370; 596s
r381; 585s
r396; 570s
r410; 556s
r425; 541s
21
25
r356; 631s
r377; 610s
r388; 599s
r404; 583s
r418; 569s
r434; 553s
22
22
r365; 625s
r386; 604s
r396; 594s
r411; 579s
r424; 566s
r439; 551s
22
23
r372; 640s
r393; 619s
r403; 609s
r419; 593s
r432; 580s
r448; 564s
Продолжение на следующей странице...
21
Таблица 1. Нижние и верхние критические значения статистики W критерия Вилкосона
𝑄
𝑚
𝑛
0.002
0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
22
24
r379; 655s
r400; 634s
r411; 623s
r427; 607s
r441; 593s
r457; 577s
22
25
r385; 671s
r408; 648s
r419; 637s
r435; 621s
r450; 606s
r467; 589s
23
23
r402; 679s
r424; 657s
r434; 647s
r451; 630s
r465; 616s
r481; 600s
23
24
r402; 702s
r431; 673s
r443; 661s
r459; 645s
r474; 630s
r491; 613s
23
25
r416; 711s
r439; 688s
r451; 676s
r468; 659s
r483; 644s
r500; 627s
24
24
r440; 736s
r464; 712s
r475; 701s
r492; 684s
r507; 669s
r525; 651s
24
25
r448; 752s
r472; 728s
r484; 716s
r501; 699s
r517; 683s
r535; 665s
25
25
r480; 795s
r505; 770s
r517; 758s
r536; 739s
r552; 723s
r570; 705s
Список литературы
1. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука.
Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 416 с.
22