Основные численные методы

Численные методы решения задачи Коши
для обыкновенных дифференциальных уравнений
Литература
[1] – Гл. 7; [2] – л. 7; [4] – гл. 8, п.15; [5] – ч. 2, гл. 6, п.1, 2; [6] – гл. 14,
п.14.114.10; [7] – гл. 9, п.16; [8] – гл. 8, п.18.
Основные теоретические сведения
1. Постановка задачи. Пусть требуется найти численные методы решения задачи Коши
(5.1)
y  f ( x; y), x  a; b
y(a)  y0 ,
(5.2)
где y0 задано.
Численные методы  это алгоритмы вычисления приближенных значений
искомой функции на некотором конечном множестве точек. Решение получается при этом в виде таблицы. Численные методы не позволяют найти общее
решение уравнения (5.1). С их помощью можно определить лишь частное решение задачи (5.1, 5.2). Необходимо, чтобы задача была хорошо обусловлена
(устойчива), т.е. малые изменения в задании исходных данных приводили к
достаточно малым изменениям искомого решения.
2. Построение численных алгоритмов опирается на дискретизацию задачи.
Введем в область расчета x  [a; b] дискретный набор точек x0  a ,
xn  b, h 
ba
n
, xk  a  k h, 0  k  n  1 . В этих точках будет вычисляться при-
ближенное решение. Точки xk называются узлами интегрирования, или узлами сетки, расстояние h между ними  шагом интегрирования, или шагом
xk nk 0  сеточной областью, или сеткой узy k nk 0 , отнесенных к узлам сетки, будем называть
сетки, а совокупность узлов
лов. Совокупность величин
сеточными функциями.
3. Использование формулы Тейлора. Наиболее простым способом построения
решения в точке xk 1 , если оно известно в точке x k , является способ, основанный на разложении в ряд Тейлора (в предположении надлежащей дифференцируемости решения):
50
yk 1  y( xk  h)  y( xk ) 
y ( xk )
y ( xk ) 2
y m ( xk ) m
h
h  
h  Rm 1 .
1!
2!
m!
(5.3)
Если заменить y( xk ) приближенным значением yk , отбросить остаточный
член Rm1 , то получим явный одношаговый метод, т.е. такой метод, который
позволяет найти приближенное значение решения заданной задачи в узле xk 1
по информации об этом решении лишь в одной предыдущей узловой точке xk :
m
y k 1 
 p! f
1
( p)
( xk , y k ) h p
(5.4)
p 0
где yk  f ( xk , yk ) . Для m  1 и m  2 имеем формулы
yk 1  yk  h f ( xk , yk ) (метод Эйлера),



y k 1  y k  h f ( xk , y k )  h2 f x ( xk , y k )  f y ( xk , y k ) f ( xk , y k ) ,
В каждой из формул при заданном значении y0 можно последовательно получить приближенное решение
 yk nk 0 .
4. Линейные многошаговые методы. После того как y k 1 получено какимлибо методом, приближение yk уже не используется в дальнейших расчетах.
Один из способов построения методов, использующих некоторые предварительные вычисленные значения yk , yk 1, yk 2 ,  , заключается в следующем.
Интегрируя (5.1), получаем тождество
xh
y ( x  h)  y ( x ) 
 f t, y(t )dt ,
(5.5)
x
где x и x + h  некоторые точки отрезка [a; b] . Теперь заменим f t, y(t ) интерполяционным многочленом, принимающим значения f k  f ( xk , yk ) на
множестве точек x k , в которых yk уже вычислены или тут же вычисляются.
Проинтегрировав этот многочлен, из соотношения (5.5) можно получить различ51
ные формулы, которые определяются положением точек x и x + h относительно
узлов интерполяции xk , xk 1 , , xk m (Адамса, АдамсаБэшворта).
5. Метод Эйлера. Простейшим и исторически первым численным методом
решения задачи Коши (5.1), (5.2) является метод Эйлера. Его можно получить,
если в приближенном равенстве (5.4) оставить только два первых слагаемых
(т.е. взять p  1 ). Тогда формула (5.4) примет вид
yk 1  yk  h  f ( xk , yk ) .
(5.6)
Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается
в аппроксимации решения на отрезке [ xk ; xk 1 ] касательной
y  yk  y( xk )( x  xk ) .
Касательная проведена в точке ( xk ; yk ) к интегральной кривой, проходящей
через эту точку. После выполнения n шагов неизвестная интегральная кривая
заменяется ломаной линией (ломаная Эйлера), для которой угловой коэффициент очередного k-го звена равен значению f xk ; yk  . Для метода Эйлера
погрешность аппроксимации имеет вид Rk 1 
y  k  , где xk   k  xk 1 .
h2
2
6. Метод РунгеКутты четвертого порядка точности, который является
одним из самых распространенных методов решения задач (5.1), (5.2), описывается следующими шестью соотношениями:
yk 1  yk  yk ;
y k 
1
6
K
(k )
1
(5.7)

 2 K 2( k )  2 K 3( k )  K 4( k ) ;
K1( k )  h f xk ; y k ;

 h f x
 h f x

;
K 2( k )  h f xk  h2 ; y k  12 K1( k ) ;
K 3( k )
K 4( k )
k

k
 h; y k  K 3( k ) .
h
;
2
yk 
1
2
K 2( k )

При однократном использовании метода значения функции
необходимо вычислять четыре раза с аргументами:
52
(5.8)
(5.9)
f ( x; y)
x k и yk , x k 
h
2
и y k  12 K1( k ) , xk 
h
2
и y k  12 K 2( k ) , xk  h и y k  K 3( k ) .
Шаг сетки можно менять при переходе от одной точки к другой. Для
контроля правильности выбора шага h вычисляют дробь

K 2( k )  K 3( k )
K1( k )  K 2( k )
.
Величина θ не должна превышать нескольких сотых, в противном случае шаг
следует уменьшить. В практике для контроля вычислений применяют двойной
пересчет, т.е. сначала вычисляют решение с шагом h, затем с шагом h2 . В заданных точках приближенное решение должно совпадать в пределах заданной
точности. Погрешность метода на каждом шаге имеет порядок h5 . Методы
Эйлера, и РунгеКутты легко распространяются на системы дифференциальных уравнений первого порядка.
Пример 5.1. Применяя метод Эйлера, найти на отрезке [0; 0.5] решение дифференциального уравнения y  y  x 2 с начальным условием y(0)  1 , выбрав
шаг h  0.1.
▲ 1-й шаг. По начальным данным в табл. 5.1 заполняем второй и третий столбец первой строки k  0 .
2-й шаг. Из уравнения y k  y k  x k2 вычисляем f k  f xk ; yk  и вписываем
значение в четвертый столбец.
3-й шаг. Значение четвертого столбца умножаем на величину h (вычисляем
 yk  h  f k ) и полученное значение записываем в пятый столбец этой же строки.
4-й шаг. К значению третьего столбца прибавляем значение пятого столбца
этой же строки (вычисляем yk 1  yk   yk ) и результат записываем в третий
столбец следующей строки. Определяем xk 1  x0  k  h и результат записываем
во второй столбец. Затем шаги 2, 3, 4 повторяем до тех пор, пока не будет
пройден весь отрезок [0; 0.5] .
Замечание. Точное решение уравнения y  y  x2 , удовлетворяющее условию y(0)  1 , выражается формулой y  3e x  x 2  2x  2 , следовательно,
y(0.5)  3e0.5  (0.5) 2  2  0.5  2  1.696164. ▼
53
Таблица 5.1
k
xk
yk
0
1
2
3
4
5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.000000
1.100000
1.211000
1.336100
1.478710
1.642581
f k  yk 
xk2
1.000000
1.110000
1.251000
1.426100
1.638710
 yk  h  f k
0.100000
0.111000
0.125100
0.142610
0.163871
Вопросы для самопроверки
1. Какова постановка задачи численных методов решения задачи коши?
2. Какое решение можно найти с помощью численных методов?
3. В чем заключается построение численных методов (дискретизация задачи)?
4. Как используется формула Тейлора для решения задачи?
5. Что такое одношаговый метод?
6. В чем смысл многошаговых методов?
7. В чем смысл метода Эйлера?
8. Каков геометрический смысл метода Эйлера?
Разностные схемы для уравнений
с частными производными
Литература
[1] – Гл. 8; [2] – л. 9, 10; [3] – ч. 3, гл. 9, п.1, 2, 5; [4] – гл. 10, п.1, 2,5, 6;
[5] – ч. 3, гл. 1, п.14, 6; [6] – гл. 15, п.15.115.3; [7] – гл. 11; [8] – гл. 10, п.17.
Основные теоретические сведения
1. Основные понятия. Для простейших краевых задач, сформулированных в
различных курсах математической физики, приводятся некоторые точные решения. В то же время большинство даже линейных уравнений, описывающих
реальные процессы, таковы, что не допускают построения точного решения с
помощью элементарных функций. В таких случаях прибегают к приближенным
методам. Обычно рассматривают два вида приближенных решений: аналитические и численные. Рассмотрим численные методы, основанные на разностной
аппроксимации производных. Такой подход называют разностным методом,
методом конечных разностей или методом сеток.
54
Пусть требуется найти решение дифференциальной задачи
Lu( x; y)  f ( x; y) ,
(6.1)
Задача (6.1) поставлена в некоторой области Ω с контуром   .
Разностный метод решения краевой задачи (6.1) можно представить в
виде двух этапов:
1. построение разностной схемы, аппроксимирующей данную непрерывную задачу;
2. получение решения разностной задачи и оценка погрешности этого
решения.
При построении разностной схемы первым шагом является замена области       непрерывного изменения аргументов областью дискретного
их изменения  сеточной областью  h (или просто сеткой), т.е. множеством точек ( xk ; yk ) называемых узлами сетки.
0
Например, для квадрата  сеточную область можно построить следующим образом. Проведем прямые xi  i h, y j  j h h  1n ; 0  i, j  n .


Множество точек пересечения ( xk ; yk ) этих прямых и составит сеточ0
ную область  h , а сами точки образуют узлы сетки. Вместо функций непрерывного аргумента рассматривают функции, определенные только в узлах сетки,  сеточные функции.
Второй шаг в построении разностной схемы состоит в аппроксимации
производных, которые входят в дифференциальное уравнение и краевые условия, их разностными аналогами  линейными комбинациями значений сеточных функций в некоторых узлах сетки, называемых шаблоном. В результате
краевую задачу заменяют дискретной краевой задачей (разностной схемой),
представляющей собой систему конечного числа линейных алгебраических
уравнений. Решение разностной схемы (предполагается, что оно существует)
принимают за приближенное решение краевой задачи. Следует иметь в виду,
что для одной краевой задачи можно построить большое число различных разностных схем, среди которых далеко не все пригодны для использования на
практике.
Пусть uh  точное решение задачи (6.1) в узлах сетки  h . Как правило,
вычислить uh не удается. Поэтому находят сеточную функцию u h  u h как
решение разностной задачи
55
Lhuh  f h
(6.2)
Обозначим линейное нормированное пространство, образованное функциями uh , через U h . Пространство, образованное функциями f h , через Fh .
Будем считать, что в пространствах U h , Fh , введены нормы  U ,  F .
h
h
Если
u h  u h
Uh
 0 при h  0 ,
(6.3)
то говорят, что разностная схема является сходящейся.
Если для всех h  h0 имеет место неравенство
u h  u h
Uh
 Ch k (C  const) ,
(6.4)
то говорят, что имеет место сходимость порядка k относительно h.
Исследование сходимости разностной схемы проводят в два этапа:
1. устанавливают аппроксимацию задачи (6.1) разностной схемы (6.2);
2. проверяют устойчивость разностной схемы.
Говорят, что разностная схема (6.2) аппроксимирует задачу (6.1), если
Lh u h  f h   f h ,  f h
Fh
 0 при h  0 ,
(6.5)
Величину  f h называют погрешностью аппроксимации.
Если  f h
Fh
 M h s , то говорят, что разностная схема (6.2) аппрокси-
мирует задачу (6.1) на решении uh с порядком s относительно h.
Разностная схема (6.2) называется устойчивой, если существует такое
h0  0 , что при всех h  h0 и любых f h  Fh :
1. разностная схема (6.2) имеет единственное решение;
2. u h
Uh
 K fh
Fh
, где K  постоянная относительно h и f h .
Если разностная схема (6.2) аппроксимирует задачу (6.1) с порядком s
относительно h и устойчива, то будет выполняться (6.4) при k  s .
56
2. Метод сеток решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Пусть требуется найти функцию u ( x; t ) , удовлетворяющую в области
  ( x; t ) a  x  b, 0  t  T , уравнению

начальному условию

Lu  u t  a 2u xx  f , a 2  const  0 ,
(6.5)
u( x; 0)   ( x) (a  x  b)
(6.6)
и краевым условиям первого рода
u (a; t )   a (t ) (0  t  T ),
u (b; t )   b (t ) (0  t  T ).
(6.7)
Здесь f ( x; t ),  ( x),  a (t ),  b (t )  известные функции, причем
 a (0)   (a),  b (0)   (b) (условия согласования).
Будем считать, что задача (6.5)(6.7) имеет единственное, достаточно
гладкое решение. Построим в области   ( x; t ) a  x  b, 0  t  T  равномерную прямоугольную сетку h  {xk ; yk } с шагом τ по оси t и шагом h 
ba
n
по
оси x: xi  x0  ih, x0  a, xn  b, (0  i  n); t k  k , (0  k  m) .
Покажем, как несущественные с первого взгляда различия в аппроксимации дифференциального уравнения приводят к разностным схемам с различными свойствами. С этой целью приведем две разностные схемы для численного интегрирования (6.5) (6.7), которые разнятся лишь аппроксимацией производной по времени. Применяя последовательно формулы
для аппроксимации
 u ( x; t ) u h ( x; t   )  u h ( x; t )

,
t

(6.8)
 u ( x; t ) u h ( x; t )  u h ( x; t   )

t

(6.9)
u
разностными отношениями и формулу
t
57
 2u u h ( x  h; t )  2u h ( x; t )  u h ( x  h; t )

 x2
h2
для аппроксимации
 2u
 x2
(6.10)
, получаем два варианта разностных уравнений:
вариант 1 для расчетной точки ( x; t )  ( xi ; t k )
Lh u h 
uik 1  uik

 a2
uik1  2uik  uik1
h
2
 f ik ;
(6.11)
вариант 2 для расчетной точки ( xi ; t k 1 )
Lh u h 
uik 1  uik

 a2
uik11  2uik 1  uik11
h2
 f i k 1 ,
(6.12)
где введены обозначения uik  u( xi ; t k ), f ik  f ( xi ; t k ) .
Вариантам 1, 2 отвечают следующие шаблоны, в которых кружком обозначена
расчетная точка. Оба шаблона являются четырехточечными двухслойными.
k  1       
k    
i 1
i
i 1
k  1 
k      
i 1
вариант 1
(шаблон явной схемы)
i
i 1
вариант 2
(шаблон неявной схемы)
Начальные и граничные условия для первой краевой задачи аппроксимируются точно:
(6.13)
ui0  ( xi ) (0  i  n) ,
u0k   a (t k ) (0  k  m),
u nk   b (t k ) (0  k  m).
58
(6.14)
В случае второй и третьей краевых задач граничные условия аппроксимируются на основе формул, аналогичных соотношениям (6.8), (6.9). В силу
условий согласования u00   (a) и u00   a (0) , а также un0  (b) и un0   b (0)
совместны.
Учитывая (6.13), (6.14), мы будем иметь (n  1)m неизвестных значений
uik (1  i  n  1, 0  k  m  1 , так что число уравнений оказывается равным
числу неизвестных.
Рассмотрим вопрос о том, как решать системы линейных алгебраических уравнений, получившихся в обоих вариантах.
В двухслойном шаблоне для варианта 1 в верхнем слое расположена
всего лишь одна точка. Следовательно, если мы уже знаем сечение u k , то из
уравнений (6.11) сможем найти u k 1 . Для этого достаточно преобразовать
уравнение (6.11) к виду
uik 1  cuik1  (1  2c)uik  cu ik1   f ik (1  i  n  1) ,
где c  a 2

h2
(6.15)
. При вычислении по формуле (6.15) для значений i  1 и i  n  1
будут использованы значения u0k и unk , полученные из граничных условий в
(6.14). Поскольку нулевое сечение ui0 известно, счет по формулам (6.15) позволяет определить uik для всех нужных пар (i; k ) .
Таким образом, использование варианта 1 полностью освобождает от
необходимости решать системы линейных уравнений, сводя дело к счету по
рекуррентным формулам (6.15). В связи с тем, что в уравнениях (6.15) составляющие u k 1 явно выражаются через значения составляющих u k , схему варианта 1 называют явной.
Уравнения (6.12) при первом взгляде мало отличаются от уравнений
(6.11). Однако шаблон варианта 2 весьма существенно разнится от шаблона
варианта 1. В шаблоне варианта 2 в верхнем слое расположены три точки, а
не одна, как в шаблоне варианта 1. В связи с этим из формул (6.12) не удается
извлечь явного выражения для составляющих u k 1 через составляющие u k .
Преобразуем уравнения (6.12) к виду
 cuik11  (1  2c)uik 1  cuik11  uik   f ik 1 (1  i  n 1) .
(6.16)
59
С учетом того, что значения u 0k 1 и u nk 1 известны из (6.14), мы имеем дело с
системой n  1 линейных уравнений с n  1 неизвестными uik 1 (1  i  n  1) .
Для того чтобы от k-го слоя продвинуться к (k + 1)-му, следует решить эту систему. В связи с этим схему варианта 2 называют неявной. Зная из (6.13) значения u 0 и на каждом слое u0k и unk , последовательно находим u1, u 2 , , u m .
Система (6.16) имеет трехдиагональную матрицу, а для решения этой системы
удобно использовать метод разностной прогонки.
Погрешность аппроксимации задачи (6.5)(6.7) разностной схемой вариантов 1 и 2 оценивается величиной

2
M t( 2)  a 2
h2
M x( 4)
12
, где M t( 2)  max
x, t
 2u
 4u
.
, M x( 4)  max
2
x, t  x 4
t
Явная разностная схема устойчива при значении c 
uik  u ( xi ; t k )  T
M

2
( 2)
t
 a2
1
2
и в этом случае
h2
M x( 4)
12
.
Условие c  12 , необходимое для устойчивости явной разностной схемы,
может вызвать неоправданно большое число шагов по t. Неявная разностная
схема устойчива при любых конечных значениях c.
3. Метод прогонки. Перепишем систему (6.14), (6.16) следующим образом
(для одного временного слоя, при этом опуская верхний индекс):
u0   0,
Ai ui 1  Bi ui  Ci ui 1  Fi (1  i  n  1),
un   n ,
где
 0   a (t k ),  n   b (t k ),
Ai  c, Bi  1  2c, Fi  uik  f i k 1.
Решение (6.17) по методу правой прогонки, состоит в следующем:
1) принимаем L0  0, K 0   0 ;
2) по рекуррентным формулам
60
(6.17)
Li  
Ci
Ai Li 1  Bi
, Ki 
Fi  Ai K i 1
Ai Li 1  Bi
(6.18)
последовательно вычисляем L1 , K1; L2 , K 2 ; ; Ln1 , K n1 ;
3) зная u n   n , по формуле
ui  Li ui 1  K i
(6.19)
вычисляем u n 1 , u n 2 , , u0 .
Первые два шага называют прямой прогонкой, последний шаг  обратной прогонкой. Они выполнены при условии, что Ai Li 1  Bi  0 .
 u  2u

, 0  x  1, 0  t  0.05 , удо t  x2
u( x; 0)  x(1  x), 0  x  1,
влетворяющее условиям
по явной разu(0; t )  2t , u(1; t )  t  2, 0  t  0.05,
ностной схеме, взяв h  0.2,   0.01 .
Пример 6.1. Найти решение уравнения
▲ Вычислим c 

h2
 0.25 (a 2  1) . Явная разностная схема записывается в
виде
uik 1  0.25(uik1  uik1 )  0.5uik ,
ui0  xi (1  xi ),
u0k  2t k , u5k  t k  2, 1  i  4, 0  k  5.
Получаем начальные условия
u10  0.24; u20  0.56; u30  0.96; u40  1.44
и граничные условия u00  0.00; u50  2.00 .
На первом шаге имеем u10  0.02; u15  2.01 ;
u11  0.25(u00  u20 )  0.5u10  0.26; u12  0.25(u10  u30 )  0.5u20  0.58;
u13  0.25(u20  u40 )  0.5u30  0.98; u14  0.25(u30  u50 )  0.5u40  1.46 .
Аналогичным образом проводятся вычисления и на последующих временных сечениях (слоях). Результаты вычислений приведены в таблице 6.1 с
тремя десятичными знаками. ▼
61
Пример 6.2. Найти решение задачи примера 6.1 по неявной разностной схеме,
взяв h  0.2 ,   0.05 .
▲ Вычислим c 

h2
 1.25 . При решении задачи по неявной разностной схеме
получаем систему уравнений
 1.25u1i 1  3.5u1i  1.25u1i 1  ui0 ,
ui0  xi (1  xi ),
u10  0.1, u15  2.05, 1  i  4.
Начальные условия те же, что в примере 6.1. Систему решаем методом прогонки. Здесь Ai  Ci  1.25, Bi  3.5, L0  0, K 0  0.1 . По формулам (6.18) последовательно вычисляем прогоночные коэффициенты:
L1  0.357 , K1  0.104 ; L2  0.409 , K 2  0.226 ;
L3  0.418 , K 3  0.416 ; L4  0.420 , K 4  0.658.
Зная u15  2.05 , по формулам (6.19) находим решение системы:
u10  0.1, u11  0.338, u12  0.656, u13  1.051, u14  1.519 . ▼
Таблица 6.1
tk
xi
k
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
i
0
1
2
3
4
5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
1
2
3
4
5
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.24
0.26
0.28
0.30
0.32
0.34
0.56
0.58
0.60
0.62
0.64
0.660
0.96
0.98
1.00
1.020
1.038
1.056
1.44
1.46
1.478
1.494
1.510
1.524
2.00
2.01
2.02
2.03
2.04
2.05
Вопросы для самопроверки
1. Какой подход называется разностным методом или методом сеток?
62
2. Из каких этапов состоит разностный метод решения краевой задачи?
3. Из каких шагов состоит построение разностной схемы?
4. Какие функции называются сеточными?
5. что такое шаблон разностной схемы?
6. Когда разностная схема является сходящейся?
7. Как исследуется сходимость разностной схемы?
8. Когда разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу?
9. Когда разностная схема называется устойчивой?
10. Что такое расчетная точка?
11. В чем заключается отличие шаблонов явной и неявной схем?
12. Для каких систем удобно использовать метод разностной прогонки?
13. В чем заключается решение по методу правой прогонки?
14. Каковы достоинства метода прогонки?
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетради, на обложке которой следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы и адрес, название дисциплины и дату отправки работы в университет.
Задачи контрольной работы выбираются согласно тому варианту, который совпадает с первой буквой Вашей фамилии. Решение задач необходимо
проводить в последовательности, указанной в контрольной работе. При этом
условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением. Решение задач следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных вычислений.
В прорецензированной зачтенной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Если же
работа не зачтена, то ее выполняют еще раз и отправляют на повторную рецензию. Зачтенная контрольная работа предъявляется студентом при сдаче зачета
или экзамена.
63
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Задача 1
Используя метод простой итерации (Якоби) и метод Зейделя, найти решение
системы с точностью   10 5 в норме  
(24 .21   ) x1  2.42 x2 
3.85 x3  30 .24,
1.52 x3  40 .95   ,
2.31x1  31 .49 x2 
3.49 x1  4.85 x2  (28 .72   ) x3  42 .81 .
Значения параметров α и β для вариантов приведены в таблице 1.
Задача 2
Аппроксимировать многочленов второй степени по методу наименьших квадратов функцию yi  f ( xi ) , таблицей 2.
Задача 3
1
Вычислить с погрешностью   10
5
интеграл

0
e  x sin ax
2
a  x2
dx :
1. по составной формуле Симпсона при m  10 ;
2. по формуле Гаусса при n  5 (значения Ak и t k взять из таблицы).
k
tk
1
–0.906180
2
–0.538469
3
0
4
0.538469
5
0.906180
Ak
0.236427
0.478629
0.568889
0.478629
0.236927
Значения α для всех вариантов даны в таблице 1.
64
Задача 4
Применяя метод Эйлера, найти на отрезке [0; 1] решение дифференциального
уравнения y  1   y sin x   y 2 с начальным условием y(0)  0 , выбрав шаг
h  0.1 .
Значения параметров α и β для вариантов приведены в таблице 1.
Задача 5
Найти решение уравнения
u  2u

, 0  x  1, 0  t  0.01 , удовлетворяющее
t x 2
условиям
u ( x; 0)  e bx sin ax, 0  x  1,
u (0; t )  0, u (1; t )  e b sin a :
1. по явной разностной схеме, взяв h  0.1,   0.002 ;
2. по неявной разностной схеме, взяв h  0.1,   0.01 .
Сравнить полученные решения.
Значения параметров α и β для вариантов приведены в таблице 1.
Вариант
А
Задача 1
α
β
0.0
0.0
Задача 3
A
0.1
Задача 4
α
β
0.2
Таблица 1.
Задача 5
a
b

1.0
12
0.1

6
0.1
Б
0.2
0.0
0.2
0.4
1.0
В
0.4
0.0
0.3
0.6
1.0
Г
0.6
0.0
0.4
0.8
1.0
Д
0.8
0.0
0.5
1.0
1.0
Е
0.0
0.2
0.6
0.2
1.25
Ж
0.2
0.2
0.7
0.4
1.25
З
0.4
0.2
0.8
0.6
1.25
И
0.6
0.2
0.9
0.8
1.25

4

0.1
3
0.1
5
12
0.1

12

6

4

3
0.2
0.2
0.2
0.2
65
К
0.8
0.2
1.0
1.0
1.25
5
12
Л
0.0
0.4
1.1
0.2
1.5
12
0.3

6
0.3
М
0.2
0.4
1.2
0.4
1.5
Н
0.4
0.4
1.3
0.6
1.5
О
0.6
0.4
1.4
0.8
1.5
П
66
0.8
0.4
1.5
1.0
1.5
Р.
0.0
0.6
1.6
0.2
1.75
С
0.2
0.6
1.7
0.4
1.75
Т
0.4
0.6
1.8
0.6
1.75
У
0.6
0.6
1.9
0.8
1.75
Ф.
0.8
0.6
2.0
1.0
Х
0.0
0.8
2.1
0.2


4

0.2
0.3
3
0.3
5
12
0.3

12

6

4

0.4
0.4
0.4
3
0.4
1.75
5
12
0.4
2.0
12
0.5

6
0.5
Ц
0.2
0.8
2.2
0.4
2.0
Ч
0.4
0.8
2.3
0.6
2.0
Ш
0.6
0.8
2.4
0.8
2.0
Щ
0.8
0.8
2.5
1.0
2.0
Э
0.0
1.0
2.6
0.2
0.75
Ю
0.2
1.0
2.7
0.4
0.75
Я
0.4
1.0
2.8
0.6
0.75


4

0.5
3
0.5
5
12
0.5

12

0.6
6
0.6

4
0.6
Варианты заданий для задачи 2
Значения xi  i  0.1, 1  i  20 (одинаковые для всех вариантов)
Таблица 2.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
А
2.05
1.94
1.92
1.87
1.77
1.88
1.71
1.60
1.56
1.40
1.50
1.26
0.99
0.97
0.91
0.71
0.43
0.54
0.19
0.01
Б
2.09
2.05
2.19
2.18
2.17
2.27
2.58
2.73
2.82
3.04
3.03
3.45
3.62
3.85
4.19
4.45
4.89
5.06
5.63
5.91
З
–0.10
–0.21
0.01
0.05
–0.13
–0.23
–0.21
–0.43
–0.57
–0.44
И
–0.16
0.01
0.10
0.16
0.05
0.35
0.19
0.50
0.74
1.03
В
2.02
1.98
1.67
1.65
1.57
1.42
1.37
1.07
0.85
0.48
0.35
–0.30
–0.61
–1.20
–1.39
–1.76
–2.28
–2.81
–3.57
–4.06
К
2.09
2.31
2.72
2.77
2.78
2.97
3.00
3.51
3.43
3.58
Варианты
Г
1.99
2.03
2.20
2.39
2.19
2.61
2.35
2.60
2.55
2.49
2.50
2.52
2.44
2.35
2.26
2.19
2.24
2.34
1.96
2.19
Д
2.23
2.29
2.27
2.62
2.72
2.82
3.13
3.49
3.82
3.95
4.22
4.48
5.06
5.50
5.68
6.19
6.42
7.04
7.57
8.10
Е
2.07
2.17
2.21
2.31
2.10
2.09
2.12
1.63
1.78
1.52
1.16
1.07
0.85
0.56
0.10
–0.25
–0.65
–1.06
–1.66
–2.01
Ж
2.18
2.43
2.40
2.43
2.65
2.75
2.67
.66
2.63
2.75
2.41
2.24
2.12
1.74
1.57
1.17
.96
0.63
0.25
–0.01
Л
2.15
2.41
2.58
2.84
3.28
3.46
4.02
4.11
4.61
5.03
М
0.10
–0.01
–0.19
–0.11
–0.31
–0.78
–0.64
–0.85
–1.18
–1.39
Н
0.17
0.07
0.17
0.05
0.12
0.00
0.01
–0.05
–0.21
–0.50
О
0.80
0.29
0.52
0.77
0.93
1.20
1.20
1.35
1.39
1.48
67
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
i
1
2
3
4
68
–0.44
–0.83
–0.78
–0.81
–1.06
–1.41
–1.40
–1.70
–1.96
–1.91
1.06
1.49
1.79
2.03
2.22
2.50
2.88
3.21
3.63
3.90
П
0.04
0.47
0.78
1.01
1.19
1.60
1.93
2.22
2.50
3.01
3.22
3.71
4.23
4.78
5.27
5.75
6.16
6.76
7.30
8.00
Р.
0.08
0.14
0.37
0.36
0.44
0.48
0.27
0.39
0.50
0.48
0.69
0.50
0.31
0.37
0.43
0.33
0.31
0.09
0.08
0.03
Ц
–1.84
–1.98
–1.72
–1.58
Ч
–1.92
–1.60
–1.57
–1.41
3.58
3.54
3.82
3.90
3.77
3.81
4.00
3.97
4.08
4.08
С
–0.02
0.44
0.51
0.67
0.69
1.04
1.14
1.37
1.77
2.00
2.12
2.47
2.90
3.50
3.99
4.06
4.54
4.99
5.36
5.99
Ш
–1.90
–1.80
–1.82
–1.86
5.34
5.86
6.33
6.81
7.21
7.67
8.23
8.68
9.35
9.93
–1.79
–2.02
–2.48
–2.93
–3.26
–3.91
–4.41
–4.91
–5.30
–6.00
Т
0.14
0.23
0.44
0.54
0.72
0.76
0.37
0.64
0.57
0.44
0.41
0.30
–0.01
–0.03
–0.47
–0.68
–0.93
–1.28
–1.53
–1.93
У
–1.86
–1.95
–2.12
–2.06
–2.15
–2.00
–2.12
–2.31
–2.29
–2.57
–2.56
–2.86
–2.85
–3.03
–3.25
–3.08
–3.29
–3.67
–3.70
–3.85
Щ
–1.80
–1.66
–1.36
–1.41
Э
–1.65
–1.64
–1.41
–0.91
–0.50
–0.86
–1.24
–1.47
–1.79
–2.25
–2.55
–3.18
–3.60
–3.93
Ф.
–1.65
–2.00
–1.87
–1.89
–1.75
–1.59
–1.44
–1.61
–1.00
–1.17
–0.87
–0.47
–0.33
–0.00
0.34
0.49
0.81
1.37
1.72
2.03
Ю
–1.88
–1.69
–1.52
–1.55
1.52
1.71
1.72
1.87
1.86
1.89
2.04
1.73
2.04
2.03
Х
–1.89
–2.07
–2.30
–2.26
–2.34
–2.66
–2.88
–2.85
–3.16
–3.49
–3.88
–4.22
–4.45
–4.99
–5.36
–5.71
–6.51
–6.76
–7.35
–8.02
Я
–4.01
–4.08
–3.88
–3.93
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
–1.69
–1.59
–1.58
–1.64
–1.55
–1.35
–1.33
–1.47
–1.50
–1.65
–1.65
–1.87
–1.61
–1.86
–1.84
–1.91
–1.36
–0.97
–0.59
–0.71
–0.15
0.01
0.22
0.63
1.07
1.42
1.68
2.49
2.57
3.09
3.40
4.00
–1.83
–2.00
–2.01
–2.05
–2.46
–2.68
–2.85
–2.98
–3.30
–3.40
–3.90
–4.37
–4.65
–5.00
–5.42
–6.13
–1.13
–0.82
–0.74
–0.76
–0.64
–0.46
–0.30
–0.27
–0.22
–0.11
–0.02
0.11
0.11
–0.02
0.03
0.01
–0.63
–0.34
–0.12
0.25
0.64
0.96
1.50
1.77
2.24
2.93
3.17
3.77
4.42
4.79
5.50
6.01
–1.16
–1.27
–1.23
–1.36
–1.26
–1.47
–1.72
–1.76
–2.00
–2.03
–2.35
–2.46
–2.86
–3.27
–3.68
–3.98
–4.36
–4.18
–4.16
–4.51
–4.53
–4.38
–4.76
–4.66
–4.82
–4.77
–5.12
–5.23
–5.40
–5.84
–5.86
–6.01
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие
3
Общие указания
3
Литература
4
Указания по разделам
5
Элементы теории погрешностей
5
Численные методы решения СЛАУ
8
Приближение функций
25
Численное дифференцирование и интегрирование
39
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
50
Разностные схемы для уравнений с частными производными
54
Рекомендации по оформлению контрольной работы
63
Контрольная работа
64
Содержание
69
69
Учебное издание
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
по дисциплине
«МАТЕМАТИКА»
Раздел – Основные численные методы
Составитель:
Валентин Николаевич Веретенников
Редактор И. Г. Максимова
ЛР №020309 от 30.19.96
Подписано в печать
Формат 60×90 116
Печ. л.
Уч-изд. л.
195196, СПб, Малоохтинский пр. 98. РГГМУ.
Отпечатано
70
Бумага кн.-жур.
Печать офсетная
Тираж
Зак.