10 Планиметрия-1-1

10 Планиметрия
Как показывает опыт, ошибки, допускаемые абитуриентами при
решении геометрических заданий на ЕГЭ и вступительных испытаниях в
вузы, достаточно типичны и прогнозируемы. Для того, чтобы избежать их,
Вам необходимо осуществить полное повторение всего курса геометрии в
следующей последовательности: планиметрия, стереометрия, векторная
алгебра. Это можно сделать, опираясь либо на школьные учебники, либо
используя справочники и пособия по математике ([2], [32], [36], [41], [83],
[89], [116], [138]).
Помните, что решение любой геометрической задачи рекомендуется
начинать с чертежа и анализа исходных данных. Наиболее рациональным
является метод решения геометрической задачи "с конца", когда Вы
проверяете, чего Вам не хватает, чтобы найти искомую величину. Не
забывайте, что, вводя неизвестные, можно свести решение геометрической
задачи к решению алгебраической.
Повторяя планиметрию, обратите особое внимание на свойства
медиан, биссектрис, высот треугольников (особенно на свойство высоты,
опущенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника на
гипотенузу), соотношения между элементами параллелограмма, свойства
касательных и секущих, условия существования вписанных и описанных
около многоугольников окружностей, признаки подобия и свойства
подобных фигур, свойства правильных n - угольников. Необходимо выучить
все формулы (смотрите, например, [36] или [138]) для определения
периметров и площадей плоских фигур и их частей, радиусов вписанных и
описанных окружностей. Не забудьте теоремы синусов и косинусов.
Наиболее подробное изложение методов решения задач по планиметрии (в
том числе, и повышенной степени сложности) имеется в [2], [23], [24], [38],
[41], [42], [50], [67] – [69], [85], [86], [88], [114], [119], [120], [130], [133],
[146], [150], [156].
Пример 10.1 В равнобедренном треугольнике сумма внутренних углов
4
с одним из внешних составляет  . Определите углы треугольника.
3
Решение.
В
А
С
1
Рисунок 74
Пусть дан треугольник АВС, в котором АВ = ВС (см. рисунок 74). Так
как в треугольнике АВС А +В +С =, то величина указанного

внешнего угла равна , и, следовательно, это может быть только внешний
3
угол при вершине В (внешние углы к углам при основании равнобедренного
 2
треугольника всегда - тупые). В таком случае В =   
; А = С =
3
3
1
2  
=  
 .
2
3  6
  2
Ответ:
.
, ,
6 6 3
Пример 10.2 В прямоугольный треугольник с катетами a и b вписан
квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр
квадрата.
Решение.
Пусть в треугольнике АВС С = 90, ВС = a, АС = b, CLKM - квадрат
(см. рисунок 75).
Пусть сторона квадрата - x, тогда СL = KL = KM = CM = x, BL = a - x,
MA = b - x.
B
L
K
С
А
М
Рисунок 75
Нетрудно заметить, что  BLK подобен  KMA, следовательно,
BL LK ВК
ax
x
. Откуда следует, что
.
Решая данное



x
bx
KM MA КА
ab
уравнение, получаем, что x 
и, соответственно, периметр квадрата
ab
4ab
равен
.
ab
2
Ответ:
4ab
.
ab
Пример 10.3 В треугольнике АВС из вершины В проведена медиана
ВД, длиной 2. Найдите площадь треугольника АВС, если  ВДА = 30 , АВ =
2.
Решение.
1
S  ABC  AB  AC  sin BAC .
2
По условию задачи АВ = ВД, следовательно, треугольник АВД равнобедренный и ВАД = ВДА = 30, а АВД = 120.
В
30
А
С
Д
Рисунок 76
ВАС = ВАД = 30 (см. рисунок 76). ВД - медиана треугольника
АВС, значит, АС = 2 АД.
Используя теорему синусов для треугольника АВД, получаем:
АД 2
АД
ВД
, т.е.

 и, следовательно, АД= 2 3 ; АС= 4 3 .
sin АВД sin ВАД
3 1
2
2
1
1
Таким образом, S  АВС   2  4 3   2 3 .
2
2
Ответ: 2 3 .
Пример 10.4 В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к
катетам, равны 52 и 73 . Найдите гипотенузу.
Решение.
Пусть в треугольнике АВС С = 90, ВК и АМ - медианы (см. рисунок
77), ВК = 52 , АМ = 73 .
В
М
С
К
А
3
Рисунок 77
Введем
треугольника АВС:
b
a
АС = b, ВС= a, АС = с. Так как ВК и АМ - медианы, то СК = , CM = .
2
2
Используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников АВС,
КВС, АМС, приходим к системе:

a 2  b 2  c 2 ,

 b  2
2
   a  52 ,
 2 
2

b 2   a   73.

2
Складывая второе и третье уравнения данной системы, получаем:
2
а  b 2  c 2 ,

Следовательно, a 2  b 2  100 и с =10 .
5 2
2
 a  b  125 .
4
Ответ: 10.

обозначения
для
длин
сторон

Пример 10.5 Основание равнобедренного треугольника равно 4 2 , а
медиана боковой стороны 5. Найти длины боковых сторон.
Решение.
Пусть в треугольнике АВС АВ = ВС, СМ и АК - медианы боковых
сторон. Тогда СМ = АК = 5, АС = 4 2 (см. рисунок 78).
B
M
А
K
O
L
Рисунок 78
C
Из прямоугольного треугольника АВL, используя теорему Пифагора,
получаем, что
AB  АL2  BL2 . Так как все медианы треугольника
4
пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:
1
1, считая от вершин треугольника, то BL = 3 OL. AL = AC = 2 2 .
2
Следовательно, AB = 8  9  OL2 .
2
Аналогично, учитывая, что AK - медиана, получаем, что АO = AK =
3
10
.
3
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию,
является высотой, следовательно, треугольник AOL - прямоугольный и
28
100
28
 6.
. Таким образом, АВ = 8  9 
OL2  AO 2  AL2 
8
9
9
9
Ответ: 6 .
Пример 10.6 Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного
треугольника с катетами 18 и 24.
Решение.
Пусть в прямоугольном треугольнике АВС С = 90, ВК и АМ биссектрисы, АС = 18, ВС = 24 (см. рисунок 79).
В
М
С
К
Рисунок 79
А
Используя теорему Пифагора, получаем:
АВ= АС 2  ВС 2  (18) 2  (24) 2  32  6 2  4 2  6 2  6 32  4 2  30
.
Так
как
биссектриса
любого
угла
треугольника
делит
противоположную сторону на части, пропорциональные длинам
прилежащих сторон, то
СК ВС
СК 24 4
4

 , следовательно, СК = АС = 8.

, т.е.
9
КА 30 5
КА ВА
5
СМ АС
СМ 18 3
3
, т.е.

 , следовательно, СМ = СВ = 9.

МВ 30 5
8
МВ АВ
Учитывая, что треугольники АМС и СВК являются прямоугольными,
получаем:
ВК =
ВС 2  СК 2  (24) 2  8 2  8 9  1  8 10 ,
АМ =
АС 2  СМ 2  (18) 2  9 2  9 4  1  9 5 .
Ответ:
8 10 , 9 5 .
Пример 10.7 В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга
делит высоту в отношении 12 : 5, боковая сторона равна 60 . Найдите
основание треугольника.
Решение.
Пусть в треугольнике АВС АВ = ВС = 60, ВД - высота, О - центр
ВО 12
вписанного круга и
(см. рисунок 80).

ОД 5
В
О
А
Д
С
Рисунок 80
Так как центр вписанного в треугольник круга совпадает с точкой
пересечения биссектрис треугольника, то АО - биссектриса
А.
АВ 12
Следовательно, в треугольнике АВД:
 . Учитывая, что АВ = 60,
АД 5
получаем: АД = 25.
ВД - высота равнобедренного треугольника, проведенная к
основанию, значит, ВД - медиана, т.е. АС = 2 АД = 50.
Ответ: 50.
Пример 10.8 В равнобедренном треугольнике MNR с основанием MR
высоты MA и NB пересекаются в точке C, лежащей внутри треугольника
MNR. Найдите площадь треугольника MNC, если MN=17, а площадь
треугольника MNR равна 68.
6
Решение.
Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке,
следовательно, если мы проведем прямую через точки R и С до пересечения
со стороной MN в точке F, то RF – высота (см. рисунок 81).
N
F
M
C
A
B
R
Рисунок 81
1
S MNC  MN  FC , MN = 17, следовательно, необходимо определить
2
FC.
Треугольник MNR – равнобедренный с основанием MR, следовательно,
NR = MN = 17, NB – высота и биссектриса.
1
17
S MNR  68 ,
S MNR  MN  FR   FR , т.к. по условию задачи
2
2
17
получаем уравнение
FR  68 , из которого следует, что FR = 8.
2
Треугольник FNR – прямоугольный, с гипотенузой NR, NR = 17, FR =
8, следовательно, NF  NR 2  FR 2  17 2  82 
17  817  8  3  5  15 .
FC FN 15

 ,
CR NR 17
17 15 255
  
 31,875 .
2 4
8
Так как NC – биссектриса в треугольнике FNR, то
15
15
15
и S MNC
FR   8 
32
32
4
Ответ: 31, 875.
следовательно, FC 
Пример 10.9 Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный
треугольник, если известно, что проекции катетов на гипотенузу равны 9 и
16.
Решение.
Пусть в треугольнике АВС С = 90, СД - высота, опущенная на
гипотенузу, АД = 9, ВД = 16 (см. рисунок 82).
7
В
Д
С
А
Рисунок 82
Радиус вписанной в треугольник АВС окружности (смотрите формулы
2S
для определения радиуса вписанной окружности: r 
) можно
abc
2S  ABC
определить по формуле: r 
.
AB  BC  AC
1
S  ABC  AB  CД , АВ = АД + ДВ = 25.
2
Из свойств высоты, опущенной из вершины прямого угла
прямоугольного
треугольника
на
гипотенузу
( h 2  a  b, a 2  a  c, b 2  b  c ; где a , b - проекции катетов a и b на
гипотенузу с), следует: СД 2  АД  ДВ , АС 2  АД  АВ ,
ВС 2  ВД  АВ .
Т.е. СД = 12, АС = 15, ВС = 20.
S  ABC  150 , Р АВС  60 , r  5 .
Таким образом,
И, следовательно, площадь вписанного круга равна 25  .
Ответ: 25 .
Пример 10.10 В прямоугольный треугольник вписана окружность.
Точка касания окружности делит один из катетов на отрезки 6 и 10, считая
от вершины прямого угла. Найдите площадь треугольника.
Решение.
Пусть в треугольнике АВС С = 90 , точки касания вписанной в
данный треугольник окружности - К, М и L соответственно, КС = 6, КВ = 10
(см. рисунок 83).
8
В
M
К
С
L
А
Рисунок 83
Из свойств касательных, проведенных к окружности из одной точки
(отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны),
следует:
ВК = ВМ = 10, КС = СL = 6,
LA = AM.
Пусть LA = AM = x. В этом случае ВС = 16, АВ = (10 + x), AC = (6 +
x).
Из теоремы Пифагора следует, что 16 2  (6  x) 2  (10  x) 2 . Решая
данное уравнение, получаем, что x = 24. Таким образом, АС = 30, АВ = 34.
1
Следовательно,
S  ABC  BC  AC  240 .
2
Ответ: 240 .
Пример 6.11 В равнобедренном треугольнике длины боковых сторон
равны b, угол при вершине . Найдите площадь круга, описанного около
этого треугольника.
Решение.
Пусть в треугольнике АВС АВ = ВС = b, АВС =  (см. рисунок 84).
В
К
О
О
А
Д
Рисунок 84
С
Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, можно найти
несколькими способами.
9
I способ. Известно (смотрите теорему синусов), что
АВ
BC
AC
=2R, где R - радиус описанной


sin BCA sin BAC sin ABC
1
 
около треугольника АВС окружности. АВ = b, BCА = (   )   ,
2
2 2
b
b
следовательно, R 
.

    2 cos 
2 sin  
2
2 2
II способ. Центр описанной окружности - точка пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Пусть КО и ВД - соответствующие серединные перпендикуляры (см.
рисунок 84). В этом случае, ВО = R. Треугольник КВО - прямоугольный, КВ

b

b
= , КВО =
, ВК = ВО  cos KBД , следовательно,
и
 R  cos
2
2
2
2
b
.
R

2 cos
2
III способ. Опираясь на теорему косинусов, получаем:
АС 2  АВ 2  ВС 2  2  АВ  ВС  cos ABC  b 2  b 2  2b 2 cos  , откуда
AC 2  2b 2 (1  cos  )  4b 2 sin 2
следует, что

2
AC  2b sin
, т.е.

2
. Так как
AB  BC  AC
(смотрите формулы для определения радиуса описанной
4S  ABC
abc
около
треугольника
окружности:
),
R
4S
1
1
S  ABC  AB  BC  sin   b 2 sin  ,
2
2
R
то
R
b  b  2b sin

2 
1
4  b 2 sin 
2
b sin

2 
sin 
b sin
2 sin

2

2
 cos

2

b
2 cos
описанного около данного треугольника круга будет равна

.
Площадь
2
b 2
4 cos
b
2

.
2
2
Ответ:
4 cos
2

.
2
10
Пример 10.12 Величина одного из углов параллелограмма равна 60, а
меньшая диагональ 2 31 . Длина перпендикуляра, проведенного из точки
75
пересечения диагоналей к большей стороне, равна
. Найдите длины
2
сторон и большую диагональ параллелограмма.
Решение.
Пусть в параллелограмме АВСД (см. рисунок 85) А = 60, ОК 
75
АД, ВД = 2 31 , ОК =
. Построим ВМ  АД.
2
Нетрудно заметить, что треугольник ВМД подобен треугольнику ОКД,
причем коэффициент подобия равен 2, так как диагонали параллелограмма
пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. В таком
случае ВМ = 75 .
В
С
О
А
М
К
Д
Рисунок 85
Треугольник АВМ - прямоугольный, следовательно,
ВМ
75
1

 10 , АМ = AB  cos 60  10   5 .
АВ =
sin 60
2
3
2
Треугольник ВМД - также прямоугольный. Применяя теорему
Пифагора,
получаем:
откуда
следует,
что
МД 2  ВМ 2  ВД 2 ,
МД  124  75  7 и АД = АМ + МД = 12.
Так как для параллелограмма АВСД справедливо соотношение:
2(АВ 2  АД 2 )  АС 2  ВД 2
(смотрите свойства параллелограмма: 2(a 2  b 2 )  d12  d 22 ), то
11
АС 2  2(АВ 2  АД 2 )  ВД 2  2(100  144)  124  364 , т.е. АС =2 91
.
Большую диагональ параллелограмма можно было также найти,
используя теорему косинусов для треугольника АСД.
Ответ: АВ = СД = 10, АД = ВС = 12, АС = 2 91 .
Пример 10.13 Периметр ромба равен 48, а сумма длин диагоналей
равна 26. Найдите площадь ромба.
Решение.
Пусть в ромбе АВСД (см. рисунок 86) АВ = ВС = СД = ДА = а;
тогда: 4а = 48 и a =12.
Пусть АС = d1 , ВД = d 2 , тогда: d1  d 2  26 .
1
1
S ABCД  AC  BD  d1  d 2 (смотрите формулы для нахождения
2
2
площади ромба).
С
В
А
Д
Рисунок 86
Учитывая, что для ромба
4a 2  d12  d 22 (смотрите свойства ромба),
d 21 d 22  4  12 2 ,
получаем систему:
Заметим, что, для получения

d

d

26
.
 1
2
решения задачи, нам нет необходимости находить значения d1 , d 2 отдельно,
а достаточно найти их произведение.
d12  d 22  d12  2d 1d 2  d 222d1  d 2  (d1  d 2 ) 2  2d1  d 2 , то
Так как
(d1  d 2 ) 2  2d1  d 2  24 2 ,
система приобретает вид:

d1  d 2  26.
Применяя метод подстановки, получаем: 26 2  2d1  d 2  24 2 , откуда
следует, что d1  d 2 50 . Следовательно, площадь ромба равна 25.
Ответ: 25.
Пример 10.14 Диагонали трапеции АВСД с основаниями ВС и АД
пересекаются в точке О. Площадь треугольника ВОС равна 6, ВО = 2,
ДО = 4. Найдите площадь трапеции.
12
Решение.
Из вершин А и С трапеции опустим перпендикуляры на диагональ ВД.
Основания перпендикуляров обозначим М и К (см. рисунок 87).
М
С
В
О
К
Д
А
Рисунок 87
S АВСД  S АВО  S BOC  SСОД  S AOД .
Треугольники ВОС и АОД подобные (по трем углам), причем
коэффициент подобия к = 2, т.к. ОД = 2 ВО; следовательно, S АОД  4S ВОС
= 24.
1
Так как S BOC  6 и S BOC  BO  CK , где ВО = 2, то СК = 6, и,
2
1
1
следовательно, SCOД  ОД  СК   4  6 = 12.
2
2
1
Аналогично, так как S АОД  24 и S АОД  ОД  АМ , где ОД = 4, то
2
1
1
АМ = 12, и, следовательно, S ABO  BO  AM   2  12  12 .
2
2
Таким образом,
S АВСД  12 + 6 + 12 + 24 = 54.
Ответ: 54.
Пример 6.15 Площадь равнобокой трапеции, описанной около круга,
равна 32 3 . Определите боковую сторону трапеции, если острый угол при
основании равен 60.
Решение.
Пусть в трапеции АВСД АВ = СД, ВАД = 60 (см. рисунок 88).
С
В
А
К
Д
13
Рисунок 88
Построим ВК  АД.
S АВСД 
определения площади трапеции).
ВС  АД
 ВК (смотрите формулы для
2
В трапецию можно вписать окружность, значит: АВ + СД = ВС + АД
(смотрите необходимые и достаточные условия существования вписанной в
четырехугольник окружности).
Учитывая, что АВ = СД, имеем: ВС + АД = 2 АВ. Треугольник АВК АВ 3
прямоугольный, ВАК = ВАД = 60, значит, ВК = АВ  sin 60 
.
2
ВС  АД
2АВ АВ 3 АВ2 3
Таким образом, S АВСД 
.
 ВК 


2
2
2
2
АВ 2 3
Так как S АВСД  32 3 , получаем уравнение:
 32 3 , откуда
2
следует, что АВ = 4.
Ответ: 4.
Пример 10.16 Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её
диагональ, равная 10, образует с основанием угол, косинус которого равен
2
.
10
Решение
Пусть АВСД – данная трапеция, где АВ = СД, АС = ВД = 10, О – точка
пересечения диагоналей АС и ВД (см. рисунок 89).
С
В
О
А
Д
Рисунок 89
Известно, что площадь любого выпуклого четырехугольника можно
1
d1 , d 2 - диагонали
определить по формуле: S  d 1d 2 sin  , где
2
четырехугольника,  - угол между ними.
1
Следовательно, S АВСД  АС  ВД  sin АОД , где
2
АОД   - 2ОДА .
14
2
 2
2 7
 
sin АОД  sin 2ОДА  2 sin ОДА  cos ОДА  2 1 - 


 10  10 25
.
Таким образом, S АВСД 
1
7
 10  10   14.
2
25
Ответ: 14.
Пример 10.17 Вычислите площадь трапеции, параллельные стороны
которой равны 16 и 44 , а непараллельные равны 17 и 25 .
Решение.
Пусть АВСД - трапеция, в которой АВ =25, ВС =16, СД = 17, АД = 44.
1 способ решения. Построим ВК  АД и СМ  АД (см. рисунок 90).
В
С
А
М
К
Д
Рисунок 90
Пусть АК = x, тогда ВС = КМ = 16, МД = АД - КМ - АК = (28 - x).
Треугольники АВК и СМА - прямоугольные, следовательно,
ВК 2  АВ 2  АК 2  25 2  x 2 ; СМ 2  СД 2  МД 2  17 2  (28  x) 2 .
Так как ВК = СМ, то получаем уравнение: 25 2  x 2  17 2  (28  x) 2 .
Из которого следует, что x = 20 и ВК = 15.
44  16
Площадь трапеции АВСД, таким образом, равна
 15  450 .
2
2 способ решения. Построим ВЕ параллельно
перпендикулярно АД (см. рисунок 91).
ВЕ = СД = 17, ВС = ЕД = 16, АЕ = АД - ЕД = 28.
СД
и
ВК
15
В
С
А
К
Д
Е
Рисунок 91
Заметим,
что
SΔ АВЕ  р( р  АВ)( р  ВЕ)( р  АЕ) ,
где
Герона).
1
и
SΔ АВЕ  АЕ  ВК
2
АВ  ВЕ  АЕ
(формула
р
2
1
 28  ВК  35  (35  25)  (35  17)  (35  28) и
2
ВК=15. Площадь трапеции АВСД будет равна 450 (см. 1 способ решения).
Ответ: 450 .
Так как
р = 35, то
Пример 10.18 Найдите диагональ и боковую сторону равнобочной
трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, что центр описанной
окружности лежит на большем основании трапеции.
Решение.
Пусть АВСД - трапеция, в которой ВС = 12, АД = 20, АВ = СД, О центр описанной около данной трапеции окружности (см. рисунок 92), ВК и
СN - перпендикуляры, опущенные из вершин трапеции на большее
основание.
В
А
С
К
О
N
Д
Рисунок 92
16
Тогда
KN = BC = 12,
АК = NД =
1
АД  ВС = 4, КД = АД - АК
2
=16.
Так как АД - диаметр окружности, то треугольник АВД прямоугольный (смотрите свойства вписанных углов), ВК - высота,
опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, следовательно,
АВ 2  АК  АД ,
ВД 2  КД  АД , откуда следует, что АВ = 4 5 , ВД
= 8 5.
Ответ: АВ = 4 5 , ВД = 8 5 .
Пример 10.19 Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна
4 3 см. Найдите длину описанной окружности.
Решение.
Пусть АВСДЕF - правильный шестиугольник, АС = 4 3 см (см.
рисунок 93).
С
В
Д
А
F
Е
Рисунок 93
Известно, что для правильных шестиугольников радиус описанной
окружности равен длине стороны, т.е. R = АВ = ВС = СД =ДЕ = ЕF = FA.
АД - диаметр, значит, АД = 2R и треугольник АСД - прямоугольный,
следовательно, АД 2  АС 2  СД 2 , т.е. 4 R 2  48  R 2 , откуда следует, что
R = 4 и длина окружности, описанной около данного шестиугольника, равна
8.
Ответ: 8.
Пример 10.20 Окружность, вписанная в ромб АВСД, касается сторон
АВ и ВС в точках М и Р, причем МР = ВР. Найдите периметр этого ромба,
если радиус окружности равен 3 .
Решение.
Теоретически возможны два случая (см. рисунок 94).
17
Так как МВ = ВР (свойства отрезков касательных, проведенных к
окружности из одной точки) и МР = ВР, по условию, то МВ = ВР = МР, т.е.
треугольник МВР - равносторонний и МВР =60.
Следовательно, возможен только второй вариант.
Пусть сторона ромба - а, а радиус вписанной окружности - r. Известно,
что высота ромба h = 2 r.
Р
Р
В
С
В
С
М
М
А
1 вариант
Д
А
2 вариант
Д
Рисунок 94
Учитывая, что площадь ромба можно найти, опираясь на формулы:
S = a h =2 a r и S  a 2  sin , где  - острый угол ромба, получаем
a  0,
3
уравнение: 2 3a  a 2
. Откуда следует, что 
2
a  4.
Так как а  0, то a = 4, и периметр ромба равен 16.
Ответ: 16.
Пример 10.21 Правильный многоугольник А1А 2 А 3 ...А n вписан в
окружность с радиусом 10. Найдите проекцию его диагонали A 3 A 7 на
диагональ А1 А 7 , если внутренний угол этого многоугольника равен 150.
Решение.
Определим число сторон данного многоугольника. С одной стороны,
сумма всех внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна 180(n 2).
С другой стороны, многоугольник - правильный, и его внутренний угол
равен 150, т. е. сумма всех его внутренних углов равна 150 n.
18
А5
А4
А6
А7
А3
А8
А2
К
А1
А9
А 10
А 11
Рисунок 95
Приходим к уравнению: 180 (n - 2) = 150 n, решая которое, получаем,
что n = 12 (см. рисунок 95).
Опустим перпендикуляр А3К на А1А7, тогда КА7 - проекция А3А7 на
А1А7. Нетрудно заметить, что А1А7 - диаметр окружности, описанной около
данного 12 - угольника и, следовательно, А1А7 = 2R =20. А1А3А7 вписанный угол, опирающийся на диаметр, следовательно, он равен 90, и
треугольник А1А3А7 - прямоугольный. Точки А1, А3, А5, А7, А9, А11 являются
вершинами правильного шестиугольника, который можно вписать в эту же
окружность, следовательно, А1А3=R=10. Так как
А1А7=2А1А3, то
А3А7А1=30, А 3 А 7  A1A 7 cos 30  10 3 и КА 7  А 3 А 7 cos 30  15 .
Ответ: 15.
А 12
Задания для самостоятельного решения
1.
Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит
гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см. Найдите катеты треугольника.
2.
Основание равнобедренного треугольника равно 6. Медиана
боковой стороны делит периметр в отношении 2 : 1. Найдите боковую
сторону.
3.
Катеты прямоугольного треугольника 30 и 40. Найдите медиану,
проведенную к гипотенузе.
4.
В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4
см, проведена медиана боковой стороны. Найдите основание треугольника,
если медиана равна 3 см.
5.
В треугольнике сумма двух сторон равна 14 см, а третья сторона
делится биссектрисой противолежащего угла на отрезки, равные 3 см и 4 см.
Найдите стороны треугольника.
19
6.
Высота равнобедренного треугольника равна 20 см, а основание
относится к боковой стороне как 4 : 3. Найдите радиус вписанного круга.
7.
В равнобедренном треугольнике MNQ с основанием MQ высоты
MA и NB пересекаются в точке С, причем MC=15, AC=12. Найдите площадь
треугольника MNC.
8.
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а
проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр
окружности, описанной около этого треугольника.
9.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой
касания с вписанной окружностью в отношении 5 : 8, считая от основания
треугольника. Найдите основание треугольника, если радиус вписанной
окружности равен 10 см.
10. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС, равной
20 см, проведена медиана ВМ. Окружность, вписанная в треугольник АВМ,
касается медианы ВМ в точке Р. Найдите катет ВС, если ВР : РМ = 3 : 2.
11.
В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15 и 60.
Найдите площадь треугольника.
12.
Периметр параллелограмма равен 90 см, острый угол содержит
60. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении
1:3. Найдите стороны параллелограмма.
13. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает
сторону BC в точке K и прямую DC в точке L. Найдите периметр
треугольника ABK, если AD = 10, KL = 7,5; CL = 6.
14.
Найдите сторону ромба, зная, что его диагонали относятся как
1:2 и площадь ромба равна 12 см 2.
15.
В ромб, который делится своей диагональю на два
равносторонних треугольника, вписана окружность с радиусом 2 см. Найдите
сторону ромба.
16.
В трапеции АВСД с основаниями ВС и АД диагонали
пересекаются в точке О, причем АО = 3ОС. Площадь треугольника АОД
равна 36. Найдите площадь трапеции.
17. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её высота
равна 3, а тангенс угла между диагональю и основанием равен 0,25.
18.
Площадь равнобокой трапеции, описанной около круга, равна S.
Найдите боковую сторону этой трапеции, если известно, что острый угол при
основании равен 30 .
19.
В равнобокой трапеции большее основание равно 44, боковая
сторона 17 и диагональ 39. Найдите площадь трапеции.
20.
В равнобочной трапеции даны основания a = 21см, b = 9см и
высота h = 8см. Найдите радиус описанного круга.
21.
К окружности проведены касательные МА и МВ (А и В - точки
касания). Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 20, а
расстояние от точки М до хорды равно 9.
20
22.
В окружность вписан правильный девятиугольник А 1 А 2 А 3 ... А 9
с диагональю А1 А 4 , равной 12. В эту же окружность вписан правильный
шестиугольник. Найдите радиус окружности, вписанной в шестиугольник.
23. Найдите сторону правильного восьмиугольника ABCDEFGH,
если площадь треугольника ADG равна 4  3 2 .
24. В окружность вписаны равнобедренный остроугольный
треугольник площади S = 42 и трапеция так, что её большее основание
совпадает с диаметром окружности, а боковые стороны параллельны
боковым сторонам треугольника. Средняя линия трапеции l = 7. Найдите
высоту трапеции.
Ответы: 1) 56; 42; 2) 24; 3) 25; 4) 10 ; 5) 6; 8; 7; 6) 8; 7) 270; 8) 25; 9)
8
R2 3
30; 10) 16; 11)
; 12) 30; 15; 13) 13; 14) 15 ; 15)
; 16) 64; 17) 36; 18)
4
3
85
; 21) 24; 22) 6; 23) 2; 24) 6.
2S ; 19) 540; 20)
8
21