Вычисление координат спутника в земной системе с учетом возмущений от сжатия Земли

Задание 1. Вычисление координат спутника в земной системе с
учетом возмущений от сжатия Земли
1. Постановка задачи
Необходимо по элементам орбиты, данным на начальную эпоху t0 ,
найти элементы оскулирующей орбиты на эпоху t с учетом возмущений от
сжатия Земли. По ним предстоит рассчитать прямоугольные координаты
x, y, z в небесной (инерциальной) системе, от которых затем перейти к
земной системе координат.
Таблица 1
Элементы оскулирующей орбиты
№№
Элементы орбиты на эпоху t0
вар.
a (км)
e
i


M0
49
11142,45
0,00974824
6743’14.1
3317’50.1
12355’41.0
21635’19.0
Элементы орбиты: a- большая полуось, e - эксцентриситет, i наклонение,  - долгота восходящего узла,  - аргумент перигея, M0 средняя аномалия в эпоху t0 .
Таблица 2
Дополнительная информация для вычислений
№№
Начальная эпоха t0
вар.
дата d1
49
1
Эпоха эфемерид t
время S1
h
m
11 39 22.316
дата d2
s
2
время UTC2
h
m
14 44 35.123
время S0
s
h
m
0 26 43.504
s
xp
yp
0.156
0.121
2. Решение
1. Вычислим момент S2 , на который необходимо рассчитать эфемериду
спутника, по формуле:
S 2  S 0  UTC2 (1   ) ,
где всемирное время UTC2 и звездное время в Гринвичскую полночь S0
выберем из таблицы.
Коэффициент

служит для преобразования единиц среднего
солнечного времени в звездное:  =0.0027379035.
S0
0h 26m 43.504s
UTC2
14h44m35.135s
UTC2
2m 25.315s
S2
15h 13m 43.942s
2. Рассчитаем период обращения спутника P:
P  2 / n ,
Среднее движение получим в размерностях: - радиан/с, /с , /час , а
период обращения - в секундах времени, в минутах и долях минуты, а также
в часах и долях часа.
Геоцентрическая гравитационная постоянная GM = 398600.5 км3с-2.
Отсюда
n= 0,000536782 рад./c= 0,030755338 /c= 110,7192185/час.
P = 11705,28493s = 3,251468036h=3h 15m 05.285s .
3. Найдем возмущения в долготе восходящего узла орбиты, аргументе
перигея и начальном значении средней аномалии за один оборот по
формулам:
p  a (1  e 2 ) = 11142,45*(1-0.08292552) = 11141,93115 км
C20 (a E / p) 2 = 1,08263*10-3 (6378137*10-3/ 11141,93115)2 = 0,000354814 ,
здесь aE = 6378137 м – большая полуось земного эллипсоида
- коэффициент второй зональной гармоники C20 =1.08263·10-3
(безразмерный),
a
   540 C 20 cos i E
 p

2

 =

= 5400*0,000354814 *cos 6743’14.1= 0,072637963 /об.,
a
 M 0  270 C 20  E
 p

2
 3 cos 2 i  1

=
2 1/ 2
 (1  e )
=-2700*0,000354814*
3cos 2 68 37 '53,1'' 1
=0,05449159 /об.
(1  0,15321722 )1/2
4. Определим число оборотов N, совершенных спутником от эпохи t0
=(d1, S1) до эпохи t =(d2 , S2):
(t  t 0 ) h 24(d 2  d1 )  S 2  S1
.
N

P
Ph
В формуле моменты по Гринвичскому звездному времени S1, S2 и
период обращения P должны быть выражены в часах и долях часа. Даты d1 и
d2, а также момент S1 выбираются из таблицы.
24 (d2-d1)
24h
_ S2
15h 13m 43.942s
(t - t0)h
27,57267389
 S1
11h39m22.316s
Ph
3,251468036
t - t0
27h 34m 21.626s
N
8,480069 об.
5. Составим систему возмущенных элементов по формулам:
a  a0 ,
e  e0 ,
i  i0 ,
   0  d N,
   0  d   N,
M 0  M 0( 0 )  d M
(0)
 N,
a = a0 =11142,45 км,
e = e0 = 0.0974824,
i = i0 = 6743’14.1,
0
3317’50.1
0
12355’41.0
M0(0)
21635’19.0
N
036’57.5
N
256’46.4
MN
027’43.5

3354’47.6

12652’27.4
M0
21703’02.5
6. Получим среднюю аномалию M на эпоху t:
M  M 0  n( t  t 0 ) .
Значение средней аномалии приведем в интервал: 0M<360.
M0
21703’02.5
M0
21703’02.5
n(t-t0)
305249’29.7
360N
305249’29,7
M
2952’32,2
M
2952’31,9
7. Вычислим эксцентрическую аномалию, решив уравнение Кеплера
методом приближений:
E  M  e sin E .
Предполагается, что в этом уравнении E, M, e даны в радианной мере.
Если решение производится в градусной мере, то используется формула:
E  M  e  sin E ,
где   =180/ - число градусов в радиане.
Процесс продолжается до тех пор, пока расхождение между
значениями эксцентрической аномалии E(i) и E(i-1) не станет меньше точности
вычислений  = 0.1.
Подготовим: e  = 0,55853301. М= 2952’32,= 29,87556
M
29,87556
29,87556
29,87556
29,87556
29,87556
esinE(i-1)
0,27822
0,28056
0,28058
0,28058
0,28058
E(i)
30,15378
30,15612
30,15614
30,15614
30,15614
8. Перейдем от эксцентрической аномалии E к истинной v:
tan
v
1 e
E

tan .
2
1 e
2
Четверть для v/2 выбирается с учетом того, что v/2  180.
1 e
1 e
1.009796221
tan v/2
0,272049335
E/2
15,07807
v/2
15,21895865
tan E/2
0,269410134
v
30,4379173
9. Вычислим значение возмущенного радиус-вектора r спутника:
r
p
11705,2849 3
=
= 11048,531 км
1  e cos v
1  0.0974824 * cos 30,4379173
с контролем (в пределах не более 10 м):
r  a(1  e cos E ) = 11142,45*(1-0.0974824*cos30,15614) = 11048,531 км
10. Найдем возмущенный аргумент широты спутника:
u  v.

126° 52' 27.4''
v
30° 26' 16.5''
u
157° 18' 43.9''
11. Вычислим координаты спутника в небесной системе (НСК):
rн„ж
 x  cos u cos   sin u sin  cos i    9407,114 
 y   r cos u sin   sin u cos  cos i    4245,698 ,
 z  
  3943,385 
sin u sin i
контроль: r  x 2  y 2  z 2 = 11048,531км
12. Преобразуем координаты спутника из небесной системы НСК в
общеземную ОЗСК, не учитывая при этом влияние прецессии и нутации:
rОЗСК
X 
 
  Y   Pol(t ) S( S 2 ) rНСК .
 Z 
Матрица S( S 2 ) , в которой S2 - определенный ранее и выраженный в
градусах момент по звездному Гринвичскому времени, нужна для учета
суточного вращения Земли. Она представляется выражением:
cos S 2

S( S 2 )   sin S 2
 0
 sin S 2
cos S 2
0
0

0 ,
1
Матрица для учета движения полюса Pol(t 2 ) в эпоху t2 имеет вид:
1

Pol(t 2 )   0
x
 p
0
1
 yp
 xp 

yp  ,
1 
с координатами полюса x p , y p в радианной мере.
Вначале выразим момент S2 в градусной мере и координаты полюса в
радианах:
S2=15h13m43,942s =228,43309 0
xp =0.156/ = 7,5631-7 yp = -0.088/ = 5,8662510-7
Здесь  = 206265.
1
0
 7,56309  10 -7   - 0.66349423 0.0,748181403 0
X  


rОЗСК   Y   
0
1
5,86625  10 7   - 0.13950758 9 - 0.990221002 0 
 


 
 Z  7,56309  10 7  5,86625  10 7
1
0
0
1

- 90407,114  3065,01056 
  - 4245,698   9855,226172,_____ контроль _ r  X 2  Y 2  Z 2  11048,531

 

 3943,385  3943,381537
Данные для построения графиков.
Орбита в пространстве
ω ≈ 127°; i ≈ 68;Ω ≈ 33; v ≈ 30,5°; u ≈ 157
Орбита в плоскости
° Е ≈ 30о; ω ≈ 127°; v ≈ 30,5°